Cap 5 Curbe in Spatiu

Curbe n spaiu 5.1. Moduri de reprezentare a unei curbe n spaiu. Puncte singulare. 5.2. Lungimea unui arc de curb plan. Elementul de arc. Parametrizare

natural. 5.3. Tangenta ntr-un punct la o curb. 5.4. Plan osculator la o curb. 5.5. Planul normal. Normala ntr-un punct la o curb 5.6. Planul rectifiant 5.7. Triedrul lui Frenet 5.8. Formulele lui Frenet 5.9. Curbura i torsiunea unei curbe strmbe 5.10. Calculul curburii i torsiunii

5.1. Moduri de reprezentare a unei curbe n spaiu Fie un sistem de coordonate carteziene n spaiu ; , ,O i j k . Definiie. Aplicaia vectorial r : I de clas Ck, , definit

pe intervalul real I prin 3 k n

, ,y t ,r t x t z t It se numete drum parametrizat n . 3

Definiie. Se numete curb n spaiu de clas Ck submulimea de puncte

din plan: = {P | t I : P = r(t) }. (5.1) 3

Se noteaz cu r(I ) = Im(r) = {r(t)|t I } i se numete imaginea (urma, suportul) geometric a curbei.

____________________________________________________________Geometrie diferenial 1

Fig. 5.1. Drum. Curb n spaiu n continuare, prezentm cteva moduri concrete de reprezentare a unei

curbe. 1. Reprezentarea vectorial Fiecrui punct , ,x t y t z t din r(I) i se poate asocia vectorul de poziie

r t x t i y t j z t k , iar ecuaia ,r r t t I , (5.2)

se numete ecuaia vectorial a drumului parametrizat r. 2. Reprezentarea parametric Relaiile

x x t

y y t

z z t

, t I, (5.3)

se numesc ecuaiile parametrice ale drumului r. Presupunem c funciile x(t), y(t), z(t) sunt derivabile de k *k ori.

Aceast ipotez este necesar i util n aplicaii. Exemplu. Elicea cilindric Este curba al crei suport este suportul drumului parametrizat

3:r , r(t) = (Rcost, Rsint, ht), cu R, h > 0. (fig. 5.1). Elicea cilindric ste curba descris de un punct aflat pe cilindrul de ecuaie

x2 + y2 = R2, aflat iniial n punctul A(R, 0, 0). Micarea punctului se compune dintr-o rotaie uniform n jurul axei Oz i dintr-o translaie uniform de-a lungul acestei axe. Alegem ca parametru, care definete poziia unui punct M(x, y, z) al elicei, unghiul t format de proiecia ortogonal OP a segmentului pe planul xOy cu axa Ox. Coordonatele x i y ale punctului M sunt aceleai cu ale punctului P, deci x = Rcost, y = R sint. Deplasarea pe vertical z este proporional cu t, adic z = ht. Se obin astfel ecuaiile paremetrice ale elicei:

x = Rcost, y = Rsint, z = ht. Arcul de curb dintre punctele A i B (R, 0, 2h) se numete spir a elicei, iar

distana AB = 2h se numete pasul elicei. Se folosete deseori urmtoarea reprezentare parametric a unei curbe:

1


, ( ),

( ), ( , ),

x ty y t

z z t t a b

sau ( ),

( ), ( , ).y y x

z z x x a b

care se mai numesc i ecuaiile carteziene explicite. Se pune problema n ce condiii o curb admite o astfel de parametrizare. Teorem. Fie C o curb parametrizat de clas C1 reprezentat de drumul r,

cu ecuaiile parametrice (5.3). Dac, de exemplu, x'(t0) 0, atunci, ntr-o vecintate suficient de mic a punctului t0, curba C se poate defini prine cuaiile

y = y(x), z = z(x), unde y i z sunt funcii de x, de clas C1.

Demonstraia se bazeaz pe teorema de inversiune local. 3.Reprezentarea implicit Ecuaiile

, , 0

, , 0

F x y z

G x y z

(5.4)

se numesc ecuaii implicite ale curbei, curba obinndu-se ca intersecia a dou suprafee 1, : , ,F G D F G C D , unde o mulime deschis. 3D

Mulimea , , ; , , 0, , , 0x y z D F x y z G x y z

nu este, n general, urma unei curbe. Mulimea este urma unei curbe dac satisface condiiile teoremei urmtoare.

Teorem. Fie un punct al curbei M0(x0, y0, z0) . Dac n acest punct rangul matricei jacobiene

F F Fx y zG G Gx y z

(5.5)

este 2, atunci exist o vecintate W a punctului M0, astfel nct este urma unei curbe.

W

2


Demonstraie. S presupunem c 0

,0

,M

D F GD y z

. Conform teoremei

funciilor implicite, exist o vecintate deschis I a punctului x0 i o vecintate deschis U V a punctului (y0, z0), precum i funciile implicite f : I U, g : I V, f, g C1(I), astfel nct

, , ;W x f x g x x I . Observaie. Dac rangul matricei (5.5) este 2 n orice punct din , atunci din

teorem rezult c este "local" urma unei curbe parametrizate. Exemplu. Curba lui Vivianu. Este curba care se obine intersectnd o sfer cu cilindrul drept a crui baz

este un cerc avnd diametrul egal cu raza sferei. Poriunea de curb din semispaiul z > 0 este reprezentat n fig. 5.2.

Fig. 5.2.

Avem deci 3 2 2 2 2 2 2, , ; ,x y z x y z R x y Rx ,

cu suprafeele 2 2 2 2 2 2, , , , ,F x y z x y z R G x y z x y Rx . Matricea

2 2 22 2 0

x y zx R y

are rangul 2 pentru orice punct diferit de (R, 0, 0). Atunci, pentru orice astfel de punct, exist o vecintate W astfel nct

este urma curbei. WCa i n cazul curbelor plane, introducem n cele ce urmeaz, noiunile de

punct singular, vitez, acceleraie, gradient pentru cazul curbelor n spaiu. Definiie. Un punct (x0, y0, z0) se numete singular dac:

3


0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , 0F F Fx y z x y z x y zx y z n reprezentare vectorial, punctul t I se numete singular dac ' 0r t . Definiie. Un punct t I se numete nesingular dac ' 0r t . Curba de clas C1 se numete nesingular sau neted dac:

2 2 2' ' ' 0, .x t y t z t t I Definiie. Vectorul ' ' ' 'r t x t i y y j z t k se numete vectorul

vitez. Pentru k 2, vectorul " " " 'r t x t i y t j z t ' k se numete vectorul acceleraie la drumul r n punctul t.

n cazul unui imobil, faptul c 'r t 0 , t I, are semnificaia c mobilul "se mic" tot timpul (de aceea punctele singulare se numesc uneori puncte staionare).

Exemplu. Drumul , t (Rcost, R sin t), unde R > 0 i z0 sunt constante,

este un drum parametrizat de cals C, nesingular, al crui suport este cercul cu centrul n punctul (0, 0, z0), de raz R, situat n planul z = z0.

3: 0,2r

Definiie. Fie un punct (x0, y0, z0) . Vectorul grad 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , , , 0F F FF x y z x y z i x y z j x y z kx y z

se numete gradientul aplicatiei F.

5.2. Lungimea unui arc de curb. Parametrizarea natural Fie o curb n spaiu () dat n reprezentare vectorial: ,r r t t I . Se consider arcul AB pe aceast curb astfel nct A(t = t0 = a) i

B(t = tn = b), unde a, b (, ), a < b. Se mparte arcul AB n subarce prin punctele M0 = A, M1, , Mn = B, Mi(xi,yi, zi), 0 i n. Se formeaz astfel o linie poligonal nscris n arcul AB (fig.5.3.), adic am realizat o diviziune a arcului

4


AB, creia i corespunde o diviziune a intervalului real I, = (a = t0 < t1 < < tn = b), astfel nct , ,i i i i i ix x t y y t z z t 0 I n.

Fig. 5.3.

Punctele Mi, 0 I n, determin o linie poligonal nscris n arcul AB, care

au o anumit lungime. nlocuind diviziunea cu o diviziune mai fin, lungimea liniei poligonale corespunztoare crete.

Se noteaz norma vectorului 1i iM M prin li: 1 , 0,1,2,..., 1i i il M M i n .

Definiie. Se numete lungime a arcului AB expresia:

1

0max| | 0

limi

n

in il

l

dac aceast limit exist i este unic.

Observaie . Lungimea arcului AB se noteaz prin s. Deci:

1

0max| | 0

limi

n

in il

s l

.

Definiie. Un arc de curb n spaiu () se spune c este rectificabil dac:

1

0max| | 0

limi

n

in il

l

exist i este unic, adic dac arcul () are o lungime s.

5


Se poate demonstra urmtoarea teorem: Teorem. Fie curba n spaiu () dat n reprezentare parametric: ( ) : , ,r r t t

i fie AB un arc pe curba () astfel nct A(t = t0 = a), B(t = tn = b), a, b (, ), a < b.

Dac AB este un arc regulat de curb, atunci lungimea sa este dat de formula:

ba

s r t dt , unde:

drr t tdt

. Observaie. n cazul n care curba n spaiu () este dat n reprezentare

parametric: ,

x x t

y y t

z z t t I

atunci

2 2 2r t x t y t z t , rezult:

2 2 2ba

s x t y t z t dt . Teorema. Se consider curba n spaiu (), regulat, dat n reprezentare

vectorial: 1 2( ) : , ,r r t t t t , i fie 0M M un arc regulat pe curba (), cu M0 punct fix, M0(t0), iar M un punct curent pe curba (), M(t). Atunci lungimea s a arcului 0M M este o funcie continu i derivabil de parametru t:

s = s(t). Demonstraie. Din teorema precedent rezult:

6


0

t

ts r t dt

unde integrala din membrul al doilea este o integral definit scalar, limita superioar fiind parametrul t. Se demonstreaz n analiza scalar c o asemenea integral este o funcie continu i derivabil de parametru t:

s = s(t). Observaie. Dac se consider curba n spaiu () regulat, atunci din

condiiile de regularitate, rezult c: 2 2 2 0ds r t x t y t z t

dt

deci: 1 2 1 2: , ,s t t s t t , este o funcie surjectiv, strict cresctoare i continu, deci bijectiv. n plus, inversa ei:

t = t(s), este continu i derivabil, cu derivata:

1 0dt dss t sds dt

. Observaie. Fie arcul 0M M i coarda 0M M . Dac arcul 0M M este

rectificabil, atunci se demonstreaz uor c:

0lim

M M

s ll

, unde s este lungimea arcului 0M M , l este lungimea coardei [MM0], iar punctul M tinde ctre M0 pe arcul 0M M .

Fie () o curb n spaiu dat n reprezentare vectorial: 1 2( ) : , ,r r t t t t Se consider 0M M un arc regulat pe curba (). Conform teoremei

anterioare, lungimea arcului 0M M este o funcie continu i derivabil, de parametru t:

s = s(t). Definiie. Se numete element de arc al curbei n spaiu (), difereniala ds

a funciei s = s(t).

7


Teorem. Fie () o curb n spaiu regulat i ds elementul de arc pe (). 1. Dac () este dat n reprezentare vectorial: 1 2: ,r r t t t t , ,

atunci: ds dr 2. Dac () este dat n reprezentare parametric:

1 2

:

, ,

x x t

y y t

z z t t t t

atunci: 2 2ds dx dy dz 2 .

Demonstraie. 1. Fie punctele M, M' (), M(t), M'(t + t) (fig. 5.4).

1'MM r t t r tt

, unde t este creterea lui t, rezult pe baza observaiei de mai sus:

0 0

'lim limt t

MM r t t r tds r tdt t t

de unde:

ds r t dt , sau: ds dr .

Fig. 5.4.

2. Dac se ine cont de relaiile: r t x t i y t j z t k , 2 2 2r t x t y t z t ,

8


dr dxi dyj dzk , 2 2dr dx dy dz 2

rezult c: 2 2 2ds x t y t z t dt

sau 2 2ds dx dy dz 2 .

Definiie. Parametrul s este numit parametru natural al curbei n spaiu (),

iar reprezentarea vectorial a curbei (): () : r r s , s parametru natural,

se numete reprezentare natural a curbei n spaiu (). Noiunea de orientare pe o curb n spaiu se introduce n acelai mod ca

pentru o curb plan. Definiie. Se numete sens pozitiv de parcurs pe curba n spaiu: 1 2: , (r r t t t t , ) ,

sensul care corespunde la valorile cresctoare ale parametrului t. Evident, exist dou moduri de orientare a lui () i trecerea de la o

orientare la orientarea opus poate fi efectuat printr-o transformare parametric a crei derivat este negativ.

Observaie. Utilizarea reprezentrii naturale a unei curbe n spaiu va

simplifica unele calcule ce se vor face n consideraiile ce urmeaz a fi fcute asupra unei curbe n spaiu.

Observaie. Punctul M0(t = t0) (), corespunztor la s = 0, poate fi ales n relaia:

0 0

t t

t ts t r t dt r t r t dt

n mod arbitrar. Sensul pozitiv al reprezentrii naturale este acelai cu al reprezentrii

iniiale. Problem. S se determine parametrizarea natural a drumului

3: 0,2 ,r cos , sin , .t tr t e t e t e t

9


Soluie. Deoarece ' cos sin sin costr t e t t i t t j k

, rezult c

' tr t e 3 . Atunci 0

3 3 1t

u ts t e du r . Rezolvnd n raport cu t, obinem 3ln

3st , deci 1 3ln

3ss . Imaginea intervalului [0, 2] prin

funcia este intervalul 20, 3 1J e . Drumul cu parametrizare natural echivalent 3 3cosln ,

3 3s s s 3 3 3sin ln ,

3 3 3s ss

cu drumul dat

este . 3: J

5.3. Tangenta ntr-un punct la o curb

Definiie. Se numete tangent la curba n spaiu () n punctul nesingular M, poziia limit a dreptei secante MM' cnd M' M (fig. 5.5).

Fig. 5.5.

Teorem. O curb de clasa C1 are tangent n orice punct. Demonstraie. Fie M, M' , OM r t , 'OM r t t . Atunci

'MM r t t r t . Vectorul 1'' ' r t t r tMM MM

t t

este coliniar cu 'MM

. Punctul M fiind nesingular, vectorul r t t r t

t

10


are o limit nenul, bine determinat i anume 'r t , cnd t 0, deci cnd M' M, M' . Acest vector limit, nenul, are ca dreapt suport chiar dreapta cutat MT.

Am artat c o curb parametrizat de clas C1 are tangent n orice punct i c un vector director al tangentei n punctul M este 'r t .

Punctul M se numete punct de contact al tangentei. Cum 'r t este continuu, rezult c direcia tangentei variaz continuu cnd punctul de contact descrie curba.

Deoarece sensul lui 'MM

coincide sau nu cu sensul n care se mic punctul curent al curbei C, dup cum t > 0 sau t < 0, rezult c sensul vectorului 1 'MMt

este acelai cu sensul micrii punctului curect al curbei cnd t crete. Deci sensul lui 'r t este acelai cu sensul micrii punctului curent al curbei cnd t crete. Dac orientm curba astfel nct sensul pozitiv de-a lungul curbei s fie acelai cu sensul micrii punctului curent al curbei cnd t crete, putem spune c sensul derivatei este acelai cu sensul pozitiv pe curb.

S determinm ecuaiile tangentei n diverse reprezentri ale curbei. n acest scop considerm un punct oarecare P(X, Y, Z) pe tangenta n M la

curba . Reprezentare parametric Cum MP

este coliniar cu 'r t , exist astfel nct 'MP r t ,

relaie echivalent cu ecuaiile

' ,

'

' .

X x t x t

Y y t y t ,

Z z t z t

(5.6)

numite ecuaii parametrice ale tangentei. Ecuaiile (5.6) se mai pot scrie sub forma

' ' 'X x t Y y t Z z t

x t y t z t (5.7)

i se numesc ecuaii canonice ale tangentei. Reprezentare explicit

11


n cazul n care curba este dat prin ecuaii explicite, ecuaiile (5.7) devin

1 ' '

Y y x Z z xX xy x z x (5.8)

Reprezentare implicit Vom scrie acum ecuaiile tangentei n cazul curbelor n spaiu date implicit

de ecuaiile

, , 0

, , 0

F x y z

G x y z

(5.9)

Fie M0(x0, y0, z0) un punct, cu x0, y0, z0 satisfcnd (5.9) i

0

2

M

F F Fx y z

rangG G Gx y z

Dac, de exemplu, 0

,0

,M

D F GD y z

, atunci, conform teoremei funciilor

implicite, local, putem scrie ,y y x z z x . Derivnd n raport cu x egalitile

, ,

, ,

F x y x z x

G x y x z x

00

(5.10)

obinem ' 'F F Fy x z x

x y z 0

' 'G G Gy x z xx y z

0 Atunci, din sistemul de mai sus, obinem

, ,, ,

' , ', ,, ,

D F G D F GD x z D y x

y x z xD F G D F GD y z D y z

Folosind (5.9), ecuaiile tangentei n acest caz vor fi

12


0 0

0 0

, , ,, , ,

0

0

M M M

X x Y y Z zD F G D F G D F GD y z D z x D x y

(5.11)

Definim versorul tangent n punctul M la curb c fiind

''

r tt

r t

(5.12)

Probleme. 1. S se determine tangentele la curba n spaiu: 4 3 21 1:

2 3r t i t j t k

care sunt paralele cu planul: () : 3x 2y 2z 1 = 0. Soluie: Parametrii directori ai direciei unei tangente oarecare la curba

dat sunt (2t3, t, 2t). Pentru ca tangenta s fie paralel cu planul dat trebuie ca produsul scalar

dintre vectorul director, 3 22 , ,2v t t t , al tangentei i normala la plan, 3, 2, 2N s fie zero (cei doi vectori s fie perpendiculari). Adic:

3 2t3 + 2t2 4t = 0,

cu soluiile t1 = 1, i 2 23t , (pentru t = 0 nu se obine un punct ordinar al curbei ()).

Coordonatele punctului corespunztor valorii t1 = 1 sunt 1 1,2 3

x y z = 1, iar parametrii directori ai direciei tangentei n acest punct sunt: (2, 1, 2).

Ecuaiile tangentei n acest punct sunt: 1 2 1 3 1: 4 3

12

x y zT

n mod analog pentru 23

t se obine:

2 81 8 81 8 9 4: 4 3x y zT 1

.

13


2) S se scrie ecuaiile tangentei la curba de reprezentant , 3:r 4 2 3 4 31, 4 5 2,r t t t t t t t , n punctul A(3, 7, 2).

Soluie. Determinm valorile lui t pentru care r(t) = A. Acestea trebuie s satisfac ecuaiile: t4 + t2 + 1 = 3, 4t3 + 5t + 2 = 7, t4 t3 = 2. Din prima ecuaie obinem t1 = 1, t2 = 1. Numai t = 1 satisface i celelalte dou ecuaii. Aadar A = r(1). Deoarece 3 2 3' 4 2 12 5 4 3r t t t i t j t t k 2 , rezult c ' 1 6 17r i 7j k .

n consecin, ecuaiile tangentei n punctul A sunt 3 7

6 17 7x y z

2 .

3) S se scrie ecuaiile tangentei n punctul M0(1, 3, 4) la curba de ecuaii

x2 + y2 = 10, y2 + z2 = 25. Soluie. Folosind ecuaiile (5.19), unde F(x, y, z) = x2 + y2 10,

G(x, y, z) = y2 + z2 25.

Obinem 0

,48

,M

D F GD y z

, 0

,16

,M

D F GD z x

, 0

,12

,M

D F GD x y

.

Deoarece vectorii 48 16 12i j k i 12 4 3i j k sunt coliniari, ecuaiile tangentei n punctul M0 sunt

1 312 4 3

x y z 4 .

5.4. Plan osculator la o curb Fie o curb parametrizat de clas C2, 'PT r t vectorul tangent n

punctul P la curb i P' , P' P. Se numete plan osculator la curba () n punctul P poziia limit a planului ce trece prin punctul P' i prin tangenta la curba () n punctul P, cnd P' P, dac aceast poziie exist i este unic (fig.5.6).

14


Fig. 5.6.

Fie dou puncte P', P i OP r t , 'OP r t t . Aplicm formula lui Taylor pentru cmpuri vectoriale i obinem:

2

' "2t

r t t r t r t t r t t

(5.13) unde 0t cnd t 0. Atunci vectorul

1 ' "2tPA PP PT r t t

t

este coliniar cu , deci planul PTP' coincide cu planul PTA. 'PP

Dac alegem vectorul 2TB TAt

, atunci

"TB r t t i planele PTA i PTB coincid. Aadar, planul PTP' coincide cu planul PTB.

Dar, cnd t 0, "TB r t , deci planul osculator este determinat de vectorii necoliniari 'r t i "r t .

Am artat c o curb parametrizat de clas C2 are un plan osculator n orice punct n care vectorii 'r t , nu sunt coliniari. Planul osculator ce trece prin P are ca vectori directori vectorii

"r t t'r i "r t .

S determinm acum ecuaia planului osculator. Vectorii PN, i fiind coninui n planul osculator, sunt coplanari,

deci produsul lor mixt este nul, adic : 'r t "r t

15


' ''PN r t r t care constituie ecuaia vectorial a planului osculator n punctul P la curba n spaiu ().

Dac X, Y, Z sunt coordonatele unui punctului curent P din planul osculator, ecuaia planului osculator n punctul P (x(t), y(t), z(t)) este

' ' '" " "

X x t Y y y Z z tx t y t z tx t y y z t

0 (5.14)

Introducnd notaiile

' '" "

y t z tl

y t z t ,

' '" "

z t x tm

z t x t ,

' '" "

x t y tn

x t y t (5.15)

ecuaia planului osculator se mai scrie 0l X x t m Y y t n Z z t . (5.16) Observaie. Dac curba regulat () este plan, atunci planul osculator n

orice punct P (), coincide cu planul curbei. ntr-adevr, fie () planul curbei (), deci () () i fie punctele P, P',

P" (). Se poate uor arta c planul osculator (0) n P la curba () este poziia limit a unui plan (') ce trece prin punctele P, P', P" (), cnd P P i P" P.

Deoarece P, P', P" () rezult c () ('). ns poziia limit a planului (), adic (0) este identic cu ('), deci:

(0) (). Probleme. 1. S se determine punctele curbei n spaiu: 4 3: 1 1r t i t j tk 2

ale cror plane osculatoare sunt paralele cu dreapta de ecuaie: 1 1:

12 7 2x y zd .

Soluie: Ecuaia planului osculator ntr-un punct curent M (), de vector de poziie r t este:

16


4 3

3 20

2

1 1 2

: 4 3 2

12 6 0

x t y t z t

t t

t t

0

sau:

4 2 3 40 :12 1 24 1 12 2 0t x t t y t t z t adic:

4 3 30 : 1 2 1 2x t t y t t z t 0 . Pentru ca planul (0) s fie paralel cu dreapta (d) trebuie s fie ndeplinit

condiia: 0

N d (vectorul normal la planul osculator: 0 31,2 ,N t t s fie ortogonal pe vectorul director al dreptei : 12, 7,2d d , deci:

12(1) 7(2t) + 2t3 = 0. Soluiile acestei ecuaii sunt: t1 = 2, t2 = 1, t3 = 3. Deci punctele cutate

sunt M1(15, 7, 4), M2(0, 0, 2) i M3(80, 28, 6). 2. S se scrie ecuaia planului osculator la curba , 3:r

2 2, , 20r t t t t , n punctul A(9, 3, 7). Soluie. Evident A = r(3). Deoarece 2' 2 3r t ti j t k , " 2 6r t i tk ,

rezult c ' 3 6 27r i j k , " 3 2r 18i k , deci l = 18, m = 54, n = 2. Ecuaia planului osculator devine: 9x 27y z + 7 = 0. 3. S se scrie ecuaia planului osculator la curba de ecuaii y2 = x, x2 = z, n

punctul A(1, 1, 1). Soluie. Curba se poate parametriza uor alegnd ca parametru y = t.

Ecuaiile parametrice ale curbei vor fi: x = t2, y = t, z = t4. Procednd ca n exemplul anterior, obinem ecuaia planului osculator: 6x 8y z + 3 = 0.

4. S se scrie ecuaia planului osculator la curba de ecuaii x2 + y2 1 = 0, x2

2yz = 0, n punctul A(0, 1, 0). Soluie. Folosind teorema funciilor implicte, putem gndi local y i z ca

funcii de x. Derivnd de dou ori cele dou egaliti n raport cu x, rezult x + yy' = 0, x y'z yz' = 0, respectiv 1 + (y')2 + yy" = 0, 1 y"z 2y'z' yz" = 0. Scriind

17


aceste relaii n punctul A, obinem y'(0) = 0, z'(0) = 0, y"(0) = 1, z"(0) = 1. Atunci

ecuaia planului osculator este 1

1 0 00 1 1

x y z0

, adic y + z 1 = 0.

5.5. Plan normal. Normala ntr-un punct Fie () o curb parametrizat de clas C2 i r un drum al curbei () cu

proprietatea c vectorii 'r t i "r t nu sunt coliniari. Aadar ' " 0,r t r t t I ,

deci drumul r este nesingular.

Definiie. Se numete plan normal n punctul M la curba (), planul care trece prin M i este perpendicular pe tangenta n punctul M la ().

innd seama de ecuaiile canonice ale tangentei, ecuaia planului normal pentru o curb dat parametric este

' 'X x t x t Y y t y t Z z t z t ' 0 (5.17) n cazul ecuaiilor tangentei (5.10) pentru curbe date implicit, avnd n

vedere i (5.11), ecuaia planului normal este:

0 0

0 0 0, , ,

0, , ,

M M

D F G D F G D F GX x Y y Z z

D y z D z x D x y

0M

(5.18)

Am definit n paragraful 5.3 versorul tangent n punctul M la curb ca fiind:

''

r tt

r t

.

Mulimea dreptelor care trec M i sunt perpendiculare pe se numesc normale n punctul M la curba (). Aadar, o curb n spaiu are o infinitate de normale ntr-un punct al su.

t

Definiie. Se numete normala principal n punctul M la curba () normala

situat n planul osculator n punctul M la curba ().

18


Definiie. Se numete binormal n punctul M la curba () normala la planul osculator n punctul M la curba ().

Aadar, ecuaiile binormalei sunt: X x t Y t z Z z t

l m n . (5.19)

Normala principal fiind intersecia dintre planul normal i planul osculator, ecuaiile ei vor fi:

' '

0

X x t x t Y y y y t Z z t z t

l X x t m Y y t n Z z t

' 0

. (5.20)

5.6. Plan rectifiant Definiie. Se numete plan rectifiant n punctul M la curba () planul

determinat de tangenta i binormala n punctul M la curb. Prin urmare, ecuaia planului rectifiant este:

' ' 'X x t Y y y Z z t

x t y t z tl m n

0 (5.21)

S considerm acum : J drumul parametrizat natural echivalent cu drumul r : I .

n capitolul 7, pentru t0 I fixat, am definit funcia schimbare de parametru:

0

' ,t

t

s t t r d t I . Atunci J = s(I), = r s1 i ,r t s t t I . (5.22) Avem c: ' ' ,s t r t t I . Derivnd n relaia (5.22), obinem: ' ' ' ' 'r t s t s t s t r t ,

adic

19


'

''

r ts t

r tt

. (5.23)

Avem de asemenea, n continuare:

2

2

" " ' ' "

" ' ' "

r t s t s t s t s t

s t r t s t s t

(5.24)

ntruct

22' ' ' 's t r t r t r t derivnd, rezult:

' " ' "s t s t r t r t , Adic:

' ""

'r t r t

s tr t

.

Aadar, (5.23) se mai scrie:

2 ' "" " ' '

'r t r t

r t s t r t s tr t

,

din care obinem

2 2

' "1" "' '

r t r t's t r t

r t r tr t

(5.25)

Din (5.25) rezult c vectorul " s t se afl n planul osculator n punctul M la curb. ntruct avem

' 1, ,s t t I (5.26) conform regulii de derivare, rezult c:

" 's t s t t Astfel, " s t se afl n planul normal n punctul M la curb, deci

" s t este coliniar cu normala principal n punctul M la curb. Definim versorul normalei principale n punctul M la curb ca:

"

"

s tt

s t

. (5.27)

20


i de asememea, prin definiie, versorul binormalei, n punctul M la curb astfel: t t t .

5.7. Triedul lui Frenet

Definiie. Triedrul tridreptunghic format din: - tangent (orientat n sensul creterii parametrului), - normala principal i - binormal

se numete triedru principal sau triedrul lui Frenet al curbei C n M. Aadar, versorii triedului lui Frenet al curbei C n punctul M = r(t) sunt notai

, ,t t t . Feele triedrului lui Frenet sunt: - planul osculator, - planul normal i - planul rectifiant.

Fig. 5.7.

Observaie. n practic nu este nevoie obligatoriu de determinarea

parametrizrii naturale : J n problema determinrii triedrului lui Frenet. Pentru versorii axelor triedrului lui Frenet se folosesc:

- versorul tangentei: ''

r tt

r t

, (5.28)

- versorul binormalei: ' "' "

r t r tt

r t r t

, (5.29)

- versorul normalei: t t t . (5.30) Determinarea relaiei (5.28) se face folosind urmtoarele:

21


Pornim de la relaia:

' "

"

s t st

s t

t

.

ce deriv din (5.23) i (5.27). Avem de asemenea

3' "

' "'

r t r ts t s t

r t

,

iar din (5.26) i (5.27) obinem " ' "s t s t s t ,

deci

3' "

"'

r t r ts t

r t

. (5.31)

n consecin obinem formula de calcul (5.29). Probleme. 1) S se scrie ecuaiile muchiilor i feelor triedrului lui Frenet ntr-un punct

oarecare al curbei de reprezentant , r(t) = (acos , asint, bt), a, b > 0. 3:r tSoluie. Avem ' sin cosr t a ti a tj bk , " cos sinr t a t i a t j .

Atunci 2sin ti ab tj a k ' "r t r t ab , deci l = absint, m = abcost, n = a2. n consecin, ecuaiile tangentei sunt

cos sinsin cos

x a t y a t z ba t a t b

t , iar ecuaiile binormalei sunt

cos sinsin cos

x a t y a t z bb t b t a

t De asemenea, ecuaia planului normal este axsint aycost bz + b2t = 0

iar a planului osculator este bxsint bycost + az abt = 0. Folosind (5.21), ecuaia planului rectifiant este xcost + ysint a = 0

deci ecuaiile normalei principale sunt cos sin

cos sin 0x a t y a t z b

t t t .

22


2) S se determine versorul triedului lui Frenet ntr-un punct oarecare al curbei de reprezentant 3 2 3: 0, , cos ,sin ,cos22r r t t t t

(

.

Soluie. Vom folosi formulele (4.19), (4.35), 4.36). Deoarece 3 2' 3cos sin 3sin cos 2sin 2r t t ti t tj tk ,

rezult c ' 5sin cor t t t s . Atunci ' 3 3cos sin

5 5'r t

t tir t

45

tj k .

De asemenea, 2 2 2 2" 3cos 2sin cos 3sin 2cos sin 4cos2r t t t t i t t t j tk , deci 2 2cos 4cos 4sin 3t t ti tj k ' " 3sinr t r t .

n consecin, 2 2' " 15sin cosr t r t t t , deci 1 4cos 4sin 35t ti tj k . Atunci sin cost t t ti tj .

3) Fie curba de reprezentant , r(t) = (tsint, tcost, tet). S se

determine versorii triedului lui Frenet n origine. 3:r

Soluie. Deoarece ' sin cos cos sin 1 tr t t t t i t t t j t e k " 2cos sin 2sin cos 2 tr t t i t i t t t j t e k ,

rezult c 'r t j k , " 0 2 2r i k , ' 0 2r . Atunci .' 0 12' 0r j k

r

Dar ' 0 2j " 0 2 2r r i k , ' 0 " 0 2 3r r , deci 0 .i j k 1

3

Atunci 10 26

i j k0 0 .

5.8. Formulele lui Frenet

Fie o curb parametrizat de clas C3, : J parametrizarea sa natural, s parametrul natural pe curb, M = (s) un punct pe curb i

, ,s s s

versorii tangentei, normalei principale respectiv binormalei n punctul M. Din (5.28) i (5.29) rezult c:

's s ,

23


""

ss

s

,

s s s . Ne propunem s exprimm ' , ' , 's s s n funcie de

, ,s s s . Acestea sunt date de formulele lui Frenet: 1. ' s K s s prima formul a lui Frenet. (5.32) 2. ' s K s s T s s a doua formul a lui Frenet (5.33) 3. ' s T s s , a treia formul a lui Frenet (5.34) Demonstraie: 1. Deoarece ' "s s , rezult c ' s este coliniar cu s , deci

' s s s . Vom nota (s) = K(s) i o vom numi curbura curbei n punctul M. 2. Pe de alt parte, deoarece 1, 's s s , rezult c vectorii

, , 's s s sunt coplanari, deci 1 2 1 2' ,s s s s s s s , .

nmulind scalar cu s , obinem c 1 's s s . Derivnd relaia 0s s i innd seama de (5.31), rezult c 1 's s s K s .

Vom nota 2(s) = T(s) i o vom numi torsiunea nctul M. curbei n pu3. Derivnd relaia s s s , obinem ' ' 's s s s s . Folosind (5.31) i (5.32), rezult c 2 2' 's s s k s s s k s s . Aadar, formulele lui Frenet sunt:

'

'

'

s K s s

s K s s T s s

s T s s

Formulele lui Frenet sunt de mare importan pentru demonstrarea urmtoarei teoreme fundamentale a teoriei curbelor n spaiu i anume:

Teorem. Fie K = K(s), = (s) dou funcii continue pe intervalul I

[0,) i astfel nct K(s) > 0 pentru orice s I. n aceste condiii exist o curb care admite o reprezentare natural cu s ca parametru i pentru care K(s) i (s) sunt

24


curbura i respectiv torsiunea. Dou curbe cu aceast proprietate difer cel mult printr-o rotaie i o translaie.

Observaie. Rezultatul dat n teorema anterioar arat c funciile continue: K = K(s), = (s), K(s) > 0, s I,

determin o curb pn la rotaii i translaii n spaiu. Din acest motiv, ecuaiile de mai sus se numesc ecuaii intrinseci ale curbelor n spaiu.

Exemplu. Fie curba n spaiu: 2: 2 ln ,r t ti t j tk t 0 S se determine ecuaiile muchiilor i feelor triedrului Frenet n punctul

P(2, 1, 0). Soluie: Pe curba () punctul P(2, 1, 0) corespunde la valoarea t = 1 a

parametrului. Vectorul director al tangentei n P este:

1

12 2 2 2P

tr i t j k i j

t

k , iar ecuaiile tangentei n P la curba () sunt date de:

2 1:2 2 1

x y zT . Planul normal are drept vector normal N r i ecuaia: : 2 2 2 1 1 0 0N x y z

sau: : 2 2 6 0N x y z Planul osculator conine punctul P i este determinat de vectorii ,

P Pr r ,

ecuaia sa este:

02 1

: 2 2 1 00 2 1

x y z

,

sau: : 2 2 3 0N x y z Dreapta binormal este perpendicular pe planul osculator n P, deci are

vectorul director 2, 1, 2PN , rezult ecuaiile: 2 1:

2 1b 2x y zN .

Normala principal se afl la intersecia dintre planul normal i planul osculator, i are ecuaiile:

25


2 2 6: 2 2 3p x y zN x y z 00

Planul rectificant conine dreapta tangent i dreapta binormal iar ecuaia sa este:

2 1

: 2 2 1 02 1 2

R

x y z

sau: : 2 2R x y z 0 .

5.9. Curbura i torsiunea unei curbe n strmbe

Fie o curb de clas C2 i dou puncte ale curbei M(x(t), y(t), z(t)) i N , N M, N(x(t + t), y(t + t), z(t + t)) (fig.). n cele dou puncte M, N ale curbei, ducem tangentele t , respectiv t t .

Fig. 5.8.

Definiie. Se numete unghi de contingen , notat cu , al unui arc de

curb MN , unghiul format de tangentele t i t t duse la extremitile arcului. Unghiul de contingen msoar deviaia pe care o are tangenta cnd punctul curent descrie arcul MN datorit curbrii (ncovoierii) curbei.

Am notat, de asemenea cu |s| lungimea arcului MN . Gradul de ncovoiere al arcului se msoar prin raportul

s , dintre unghiul

de contingen i lungimea arcului i avem atunci urmtoarea definiie:

26


Definiie. Se numete curbur a curbei n punctul M i o vom nota cu K(t) limita raportului

s , cnd N M, N .

Observaii. 1) n cazul unei drepte, tangenta n orice punct coicide cu dreapta, deci

curbura unei drepte este nul. 2) Curbura unei drepte este prin definiie nenegativ. 3) n cazul unui cerc, unghiul de contingen corespunztor arcului MN este

egal cu unghiul normalelor n M i N, deci cu unghiul razelor n M i N. Dac R este raza cercului, atunci |s| = R. Prin urmare, raportul 1

s R este constant,

deci 1K tR

. Aadar, pentru un cerc curbura este aceeai n orice punct i anume inversul razei, deci raza este inversa curburii.

Prin analogie cu cazul cercului, putem folosi urmtoarea definiie. Definiie. Se numete raza de curbur a unei curbe ntr-un punct inversa

curburii n acel punct. Dac R(t) este raza de curbur ntr-un punct, atunci curbura K(t) n acel punct

este

1K t

R t .

Teorem. O curb parametrizat de clas C2 are o curbur bine determinat

n orice punct. Dac s este parametrizarea natural a curbei, atunci: "K t s t (5.35) Demonstraie. Fie s i s s versorii tangentelor n punctele M

respectiv N. Cum s i s s sunt versori, unghiul dintre ei fiind , din teorema cosinusului rezult c:

2sin2

s s s i avem:

27


2sin sin2 22

s s ss s s

.

ntruct 0 cnd s 0, trecnd la limit, obinem:

0lims

s s sK s

s

.

Cum 's s t , rezult (5.35). Observaie. O curb a crei curbur n orice punct este nul este o dreapt.

ntr-adevr, din " s 0 , obinem prin integrri succesive 0s a r

, s , (5.36) unde vectorii i a li mj nk 0 0 0 0r x i y j z k

sunt constani. Relaia (5.36)

se mai scrie: x = x0 + ls, y = y0 + ms, z = z0 + ns, s ,

deci curba este o dreapt. Am introdus anterior noiunea de torsiune ca fiind un anumit factor n

formulele lui Frenet. n continuare vom da torsiunii o definiie geometric, similar cu definiia curburii.

Fie M un punct al curbei , de clas C3 i fie N , N M. n cazul curbelor plane, binormalele n M i N sunt perpendiculare pe planul curbei. Cnd curba nu este plan, unghiul al planelor osculatoare n punctele M i N, care coincide cu unghiul binormalelor n M i N, msoar deviaia pe care o sufer binormala cnd punctul curent descrie arcul MN , datorit faptului c arcul MN iese din planul osculator M. Fie |s| lungimea arcului MN .

Definiie. Se numete torsiune absolut limita raportului s

cnd N M,

N . Dac s este parametrizarea natural a curbei, atunci torsiunea este:

0lim 's

T s ss

. (5.37)

Teorem. O curb de clas C3 are torsiunea absolut |T(s)| bine determinat

n orice punct n care curbura este nenul. Demonstraie. Din motive de continuitate, curbura fiind nenul n punctul

M(x(s), y(s), z(s)), este nenul ntr-o vecintate a acestui punct. n orice punct n

28


care curbura este nenul, vectorii ' s i " s sunt necoliniari, deci n orice punct din vecintatea lui M exist un plan osculator bine determinat.

Fie N(x(s + s), y(s + s), z(s + s)) i fie s i s s versorii binormalelor n punctele M i N. Unghiul dintre aceti versori fiind , din teorema cosinusului rezult c 2sin

2s s s . Prin urmare,

2sin sin2 22

s s ss s s

deci 0

lim 's

ss

. Conform celei de-a treia formule a lui Frenet, obinem c

20lims k ss , adic (5.37).

Definiie. Se numete raz de torsiune ntr-un punct i se noteaz cu T(t)

inversa torsiunii n acel punct, adic 1

TR t T t .

Observaii. 1) Curbura i torsiunea unei curbe ntr-un punct au fost definite geometric,

deci exprim proprieti intrinseci ale curbei. Aadar, curbura i torsiunea sunt invariani scalari ai curbei. Se poate arta c dac se cunosc curbura i torsiunea unei curbe, curba este determinat abstracie fcnd de poziia sa.

2) Curbele cu proprietatea RT(t) d2 = const., unde d este distana de la origine la planul osculator n punctul curent al curbei, au fost studiate de matematicianul romn Gh. ieica. De aceea i poart numele, numindu-se curbe ieica.

3) O curb este plan dac i numai dac torsiunea ei n orice punct este nul. ntr-adevr, curba fiind plan, n orice punct al curbei planul osculator coincide cu planul curbei, deci ' s 0. Conform (7.1), T(s) = 0. Reciproc, din T(s) = 0 rezult c este un vector constant, deci s Ai Bj Ck . Dar 0s s , adic

sau A x'(s) + B y'(s) + C z'(s) = 0. Integrnd, rezult A x(s) + B y(s) + C z(s) = D, deci curba se afl n planul de ecuaie Ax + by + Cz + D = 0.

's r s 0

29


5.10. Calculul curburii i torsiunii unei curbe strmbe

n continuare, vom aborda problema calculului curburii i torsiunii. innd seama de (5.31), formula curburii este 3

' "

'

r t r tK t

r t

(5.38)

Cnd curba este dat de ecuaiile parametrice

x x t

y y t

z z t

, t I,

obinem pentru curbur urmtoarea expresie:

2 2 2

3/ 22 2 2' ' '

l m nK tx t y t z t

unde

' '" "

y t z tl

y t z t ,

' '" "

z t x tm

z t x t ,

' '" "

x t y tn

x t y t .

Probleme. 1) S se calculeze curbura ntr-un punct oarecare a curbei dat de

, 3:r cos , sin ,t tr t e t e t e t . Soluie. Avem: ' cos sin sin costr t e t t i t t j k

, " ( 2sin 2costr t e ti tj k) . Atunci ' 3 tr t e , sin cos 2i t t j k2' " 2 sin costr t r t t t

, deci

2' " 6 tr t e r t . Folosind (5.28) obinem pentru curbur 23 t

K te

. 2) S se calculeze curbura ntr-un punct oarecare al curbei dat de

, 3:r cos , sin , , , 0.r t a t a t bt a b

30


Soluie. Imaginea curbei este elicea cilindric. Deoarece , rezult c ' sin cosr t a ti a tj bk 2' " sin cosr t r t ab ti ab tj a k ,

deci 2 2'r t a b , 2 2a b' "r t r t a . n acest caz, folosind (5.28), obinem 2 aK t a b 2 . Aadar, curbura elicei

cilindrice este constant. 3) S se calculeze raza de curbur a curbei dat de , 3:r

32 1, ,1r t t t t 2 , n punctul A(1, 0, 1). Soluie. Este clar c A = r(0). Dar 2' 2 3 2r t i t j tk , " 6 2r t tj k . n

consecin , ' 0 2r i " 0 2r k , ' 0 " 0 4r r j , deci ' 0 2r . Raza de curbur a curbei n punctul A este R(0) = 2.

4) S se calculeze raza de curbur a curbei de ecuaii x2 + y2 = a2, x2 2yz =

0, n punctul A(0, a, 0), a > 0. Soluie. Metoda I. Vom folosi teorema funciilor implicite. Coordonatele

punctului A verific cele dou ecuaii, deci punctul se afl pe curb. Dac notm F(x, y, z) = x2 + y2 a2, G(x, y, z) = x2 2yz, rezult c 2

,4

,A

D F Ga

D y z , deci,

local, putem gndi y i z ca funcii de x. Alegnd x ca parametru, local, curba este dat de ecuaiile

x xy y x

z z x

Prin urmare x2 + y2(x) a2 = 0, x2 2y(x) z(x) = 0. Derivnd de dou ori n raport cu x, obinem 2x + 2y(x) y'(x) = 0, 2x 2y'(x) z(x) 2y(x) z'(x) = 0, 2 + 2y'2(x) + 2y(x) y"(x) = 0,2 2y"(x) z(x) 4y'(x) 2y(x) z"(x) = 0.

Scriind aceste ecuaii n punctul A, deci innd seama c y(0) = a, z(0) = 0, rezult c y'(0) = 0, z'(0) = 0, y"(0) = 1

a , 1" 0z

a . Atunci ' 0r i ,

31


1 1" 0r j k a a

, 1 1' 0 " 0r r j ka a

, ' 0 1r , 2' 0 " 0r ra

.

Raza de curbur a curbei n punctul A este 02

aR . Metoda a II-a. Ecuaiile parametrice ale curbei sunt:

2

cossin

cossin

x a ty a t

a tzt

Atunci 2

A r , ' 2r ai

, "

2r aj ak

, 2 2' "

2 2r r a j a k

,

'2

r a

, ' "2 2

r r a

2 . n consecin, raza de curbur a curbei n

punctul A este 2 2

aR . Pentru calculul torsiunii, din formula a doua a lui Frenet obinem: 'T s s s

Dar ' "s s s R s s s . Pe de alt parte, din

"s R s s rezult ' ' " "'s R s s R s s . Atunci 21

' , " , "'s s sT s

k s

(5.39)

Aadar, torsiunea T (s) a curbei C n punctul M este dat de 2

' , " , "'

' "

s s sT s

s s

(5.40)

Ne propunem acum s gsim formula de calcul a torsiunii n cazul unei parametrizri oarecare.

S considerm : J drumul parametrizat natural echivalent cu drumul r : I .

Din (5.24) rezult: 3"' "' ' 3 " ' " ' "'r t s t s t s t s t s t s t s t (5.41)

Din (5.23), (5.24) i (5.41) obinem

32

____________________________________________________________Geometrie diferenial

33

33

6' , " , "' ' ' , " , "'r t r t r t r t t t t . Dar din (5.23) i (5.25) avem

3' "

' "'

r t r ts t s t

r t

Atunci, din (5.40) rezult 2

' , " , "'

' "

r t r t r tT t

r t r t

sau

2 2 2

' ' '" " ""' "' "'

x t y t z tx t y t z tx t y t z t

T tl m n

(5.42) unde l, m, n sunt dai de (5.15).

Probleme. 1) S se calculeze torsiunea curbei dat de , r(t) = (acost, asint,

bt), a, b > 0. 3:r

Soluie. Imaginea rbei este elicea cilindric. Avem: cu ' sin cosr t a ti a tj bk , " cos sir t a ti a tj n , "' sin cosr t a ti a tj .

Atunci 2cos tj a k' " sinr r ab ti ab , deci 2' "r r 2 2 2a a b . Folosind (7.5), obinem 2 2

bTa b

. Aadar, torsiunea elicei este constant. 2) S se determine funcia t f(t), t > 0, astfel nct curba dat de

3: 0,r , 2, ln ,r t t t f t s fie o curb plan. Soluie. Condiia T(t) = 0, t >0, conduce la ecuaia diferenial 2 "' " ' 0t f t tf t f t . Rezult c 21 2 3 lnf t C t C C t .

Curbe n spaiu 5.1. Moduri de reprezentare a unei curbe n spaiu 5.2. Lungimea unui arc de curb. Parametrizarea natural 5.3. Tangenta ntr-un punct la o curb 5.4. Plan osculator la o curb 5.5. Plan normal. Normala ntr-un punct 5.6. Plan rectifiant 5.7. Triedul lui Frenet 5.8. Formulele lui Frenet 5.9. Curbura i torsiunea unei curbe n strmbe 5.10. Calculul curburii i torsiunii unei curbe strmbe

Cap 5 Curbe in Spatiu

Documents

Transcript of Cap 5 Curbe in Spatiu