Universitatea “Al. I. Cuza” Iasi

Facultatea de Matematica

Teza de doctorat

Stabilizarea ecuatiilor Navier-Stokes

Coordonator stiintific:Acad. Viorel Barbu

Doctorand:Ionut Munteanu

Iasi2012

Cuprins

1 Stabilizarea ecuatiilor Navier-Stokes ıntr-un canal 71.1 Stabilizare feedback normala a fluidelor periodice ıntr-un canal doi-dimensional 8

1.1.1 Prezentarea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Proprietati ale operatorilor liniari Ak si Dk . . . . . . . . . . . . . . 161.1.4 Stabilizare feedback pentru sistemul echivalent (1.1.29) . . . . . . . 231.1.5 Stabilizare feedback pentru sistemul liniar (1.1.4) . . . . . . . . . . 31

1.2 Stabilizare feedback tangentiala a fluidelor periodice ıntr-un canal doi-dimensional 331.2.1 Asemanari si deosebiri fata de cazul controlului normal . . . . . . . 331.2.2 Stabilizarea feedback locala a sistemului neliniar Navier-Stokes (1.2.3) 35

1.3 Stabilizare feedback normala a fluidelor periodice ıntr-un canal trei-dimensional 411.3.1 Prezentarea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3.3 Stabilizare feedback pentru sistemul liniarizat (1.3.4)-(1.3.5) . . . . 49

1.4 Stabilizare feedback normala a fluidelor periodice ıntr-un canal magnetohi-drodinamic doi si trei dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.4.1 Prezentarea problemei si principalele rezultate de stabilizare . . . . 521.4.2 Constructia unui Observator pentru ecuatiile SMHD liniarizate (1.4.9) 63

2 Stabilizarea interna a ecuatiilor Navier-Stokes si controlabilitate exactape spatii de codimensiune finita 682.1 Prezentarea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2 Notatii si preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3 Stabilizarea sistemului liniar Oseen-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4 Stabilizarea ecuatiilor Navier-Stokes (2.2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5 Constructia unui feedback stabilizant real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Stabilizare interna a unui numar finit de stari de echilibru pentru ecuatiileNavier-Stokes 843.1 Prezentarea problemei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.2 Constructia controlului feedback ce stabilizeaza multimea finita de solutii

stationare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3 Legatura cu atractorul universal asociat ecuatiilor Navier-Stokes . . . . . . 89

1

4 Apendix 924.1 Operatori liniari ın spatii Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2 Semigrupuri de operatori si cateva notiuni din teoria sistemelor dinamice . 944.3 Ecuatiile Navier-Stokes clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2

Prefata

Curgerea fluidelor este unul dintre cele mai importante fenomene fizice studiate de catrecercetatori, datorita numeroaselor aplicatii ın viata de zi cu zi. Mecanica fluidelor vascoaseeste ramura Fizicii care se ocupa cu studiul fluidelor la care apar forte de frecare ıntre di-feritele straturi de fluid aflate ın miscare. Principalele marimi caracteristice ale fluidelorvascoase sunt: coeficientul de vascozitate (notat cu simbolul ν) si numarul lui Reynolds(notat cu simbolul Re). Coeficientul de vascozitate a fost introdus ın urma masuratorilorexperimentale care arata ca forta de frecare dintre doua straturi de fluid vecine esteproportionala cu gradientul viteza si cu suprafata comuna a acestora. Coeficientul deproportionalitate fiind tocmai coeficientul de vascozitate. Numarul lui Reynolds a fostintrodus cu scopul de a caracteriza tipul de curgere al unui fluid, care poate sa fie de douafeluri: laminara si turbulenta. De exemplu, curgerea laminara a unui fluid vascos ıntredoua placi plane si paralele presupune faptul ca diferitele straturi de fluid, ce se pun ınmiscare, sunt niste plane orizontale ce raman paralele ıntre ele, fara amestecul particulelorcomponente diferitelor straturi. In caz contrar, miscarea este turbulenta. Experimentelearata ca, ın cazul curgerii unui fluid, exista o valoare critica (notata Recr) a numarului luiReynolds, cu proprietatea ca: pentru Re < Recr, curgerea este laminara; pentru Re > Recr,curgerea este turbulenta; iar pentru Re = Recr, se face trecerea de la un regim la altul.

Ecuatiile care guverneaza miscarea unui fluid sunt celebrele ecuatii Navier-Stokes (nu-mite asa dupa fizicianul francez Claude-Louis Navier si matematicianul irlandez GeorgeGabriel Stokes). Aceste ecuatii au luat nastere prin aplicarea legii a doua a lui Newton,la miscarea fluidelor, ımpreuna cu ipoteza ca tensiunea fluidului este proportionala cu gra-dientul vitezei (fluid Newtonian), la care se adauga gradientul presiunii. Ecuatiile Navier-Stokes sunt folosite ın modelarea multor domenii ale mecanicii fluidelor, cum ar fi: miscareacurentilor atmosferici (previziunile meteorologice), ai curentilor oceanici, curgerea fluidelorprin tuburi, curgerea aerului ın jurul unei aripi de avion, pentru miscarea din interiorulstelelor, miscarea galaxiilor, curgerea sangelui prin vene, etc.. Cuplate cu ecuatiile lui Max-well, ele pot fi folosite la modelarea si studiul magnetohidrodinamicii (curgerea fluidelorconductoare electric, sub actiunea unui camp magnetic), cum ar fi: zborurile supersonice,racirea, propulsia, etc.. Pentru o introducere ın subiectul ecuatiilor Navier-Stokes se potconsulta lucrarile TEMAM [81] si CONSTANTIN si FOIAS [28].

Turbulenta este componenta haotica, dependenta de timp, observata ın curgerea fluide-lor. Se crede ca aceasta se datoreaza inertiei fluidului, considerat ca un tot. Acolo undeefectele inertiale ale unui fluid sunt mici, curgerea lui tinde spre o curgere laminara. Deasemenea, se crede ca ecuatiile Navier-Stokes descriu corect curgerea turbulenta. Un in-strument principal folosit pentru a atenua sau chiar elimina turbulentele este stabilizareaecuatiilor Navier-Stokes, cu comenzi ın forma feedback la frontiera sau distribuite intern.

1

Controlul este ın forma feedback ınseamna de fapt ca, ın orice moment t, acesta este de-finit de campul vitezelor fluidului, considerat ın acelasi moment t. Prin urmare, controlulpoate reactiona la fluctuatii imprevizibile ale campului vitezelor, suprimand influenta lornegativa asupra fluxului fluidului. Prima lucrare ın care este adresata direct problemastabilizarii unui fluid este rezultatul lui CORON [32], asupra stabilizarii asimptotice a ori-ginii pentru ecuatiile Euler doi-dimensionale ıntr-un domeniu marginit, simplu-conex, cucomenzi feedback ce actioneaza pe bucati oricat de mici, nevide si deschise, ale frontierei.In lucrarea de fata, studiem, de asemenea, problema stabilizarii feedback exponentiale acurgerii unui fluid, propunand metode noi de obtinere a comenzilor feedback stabilizante silegi noi ce le definesc, ımbunatatind rezultatele de stabilizare deja existente ın literatura.

In primul capitol, studiem curgerea unui fluid printr-un canal doi-dimensional si trei-dimensional. Acest subiect a fost intens studiat ın literatura, datorita aplicatiilor salenumeroase. In prima sectiune, adresam problema stabilizarii feedback normale a profi-lului parabolic Poiseuille, a curgerii unui fluid incompresibil ıntr-un canal dreptunghiularsemi-infinit. Primele rezultate ın legatura cu acest subiect au fost de natura numerica siau confirmat rezultatele experimentale amintite mai sus, si anume: pentru valori mari alenumarului lui Reynolds, curgerea fluidului devine haotica. ROZHDESTVENSKY si SIMA-KIN [76], folosind algoritmi de calcul eficienti, reusesc sa simuleze dinamica, ın intervalemari de timp, a acestor tipuri de fluxuri, evidentiind comportarea turbulenta a fluidu-lui. JIMENEZ [50] reuseste sa elucideze, prin simulari numerice, cum afecteaza numarulReynolds trecerea fluxului Poiseuille de la o curgere laminara la un comportament haotic,turbulent. FORTIN et al. [41] propun o abordare din punctul de vedere al sistemelordinamice si a teoriei bifurcatiei Hopf, si, la fel ca si Jimenez, constata influenta numaruluiReynolds asupra tipului de curgere a fluidului. Primele rezultate importante, ın legaturacu stabilizarea feedback a unui fluid doi-dimensional printr-un canal, au fost obtiunte deSPEYER si colaboratorii sai. In lucrarile [34] si [52], Speyer investigheaza cazul unui fluidprintr-un canal, ce dezvolta doar turbulente aproape de perete. Sunt folosite tehnicile dereducere a modelului si teoria controlului optimal cu functionale liniar-patratice Gaussiene,pentru a obtine comenzi feedback robuste, din liniarizatul ecuatiei Navier-Stokes, ın douadimensiuni. In lucrarea [51], Speyer si colaboratorii sai reusesc sa obtina scheme mai sim-ple pentru determinarea controlului, bazandu-se pe localizarea zerourilor sistemului fluidsi a polilor acestuia. Alte rezultate notabile, bazate pe metoda controlului optimal, au fostobtinute de BEWELEY si colaboratorii sai ın [24, 23, 26, 25]. In 2001, BALOGH, LIUsi KRSTIC [3] construiesc comenzi feedback stabilizante, usor de implementat numeric,cu actiune doar pe peretele superior asupra componentei tangentiale si a celei normalea campului vitezelor. Metoda lor se bazeaza pe tehnici de tip Lyapunov si pe metodalui Galerkin. In 2007, KRSTIC si VAZQUEZ [85] reusesc sa ımbunatateasca acest re-zultat, obtinand solutii explicite pentru sistemul cu bucla ınchisa. Este pentru primaoara cand se obtin formule explicite ale solutiilor ecuatiei liniarizate Navier-Stokes ıntr-un canal. Aceasta fiind posibila datorita constructiei particulare a comenzilor feedback,ce actioneaza asupra componentelor tangentiale si normale ale vitezei, folosind metodabackstepping, introdusa ın 1990 de KOKOTOVIC [54]. Din pacate, ambele rezultate [3] si[85] garanteaza stabilitatea doar pentru valori mici ale numarului Reynolds. De asemenea,controlul actioneaza si asupra componentei tangentiale, ceea ce, ın practica, este greu derealizat. Oricum, studiile lui GLEZER [79], asupra jeturilor sintetice, arata ca acest tip

2

de control este tehnologic posibil. Glezer demonstreaza ca o pereche de jeturi sinteticepoate atinge un unghi de 85 de la directia normala, ın acelasi moment cu actiunea con-trolului normal. Din punct de vedere practic, ideala ar fi constructia unui control feedbackstabilizant normal, la frontiera. Principala dificultate a stabilizarii normale la frontiera oreprezinta reducerea presiunii din sistem. BARBU [14] si TRIGGIANI [83] propun douametode diferite ın acest sens, obtinand rezultate de stabilizare normala, independente devaloarea numarului lui Reynolds. In [14] presiunea este redusa via descompunerii ın mo-duri Fourier, ın timp ce, ın [83] presiunea este redusa din sistem prin aplicarea rotorului.In lucrarea de fata, ne propunem sa ımbunatatim rezultatele prezentate mai sus. Obtinemstabilizarea exponentiala a profilului Poiseuille, pentru ecuatia liniarizata, printr-un con-trol feedback, liniar, finit-dimensional, usor de manevrat din punct de vedere numeric, ceactioneaza doar asupra componentei normale a campului vitezelor, doar pe peretele y = 1,cu stabilitate garantata indiferent de valoarea numarului lui Reynolds. Reducem presiu-nea folosind aceeasi metoda introdusa de BARBU [14], adica: descompunem liniarizatulNavier-Stokes ıntr-un canal, via seriile Fourier, dupa care eliminam presiunea prin sumareacelor doua ecuatii, prima derivata ın raport cu y si cea de-a doua ınmultita cu ik. Rezultaastfel un sistem parabolic infinit, decuplat. Din acest motiv, stabilizarea se realizeaza pefiecare nivel ın parte. Tehnica de obtinere a controlului feedback stabilizant este completdiferita de cea din [14]. De asemenea, daca ın [14] controlul actioneaza asupra componen-tei normale a vitezei pe ambii pereti, aici controlul actioneaza normal, doar pe un perete.In linii mari, tehnica utilizata este urmatoarea: folosind aplicatia Dirichlet, transformamproblema de control la frontiera ıntr-o problema de control intern, careia ıi aplicam me-toda de stabilizare spectrala dezvoltata de BARBU si TRIGGIANI [10]. Pe scurt, sistemulcontrolat intern se descompune ın doua: partea stabila si cea instabila. Sistemului insta-bil, fiind finit-dimensional, ıi aplicam metode de stabilizare clasice din teoria sistemelorliniare controlate, finit-dimensionale. Forma feedback a controlului este obtinuta via oproblema de minimizare a unei functionale de cost patratice. Asadar, ın forma controlu-lui feedback, intervin operatori liniari, auto-adjuncti, ce satisfac ecuatii Riccati, usor demanipulat din punct de vedere numeric, deoarece sunt asociate cu probleme de controlla frontiera, parabolice, pe intervalul (0, 1), a caror structura este identica pentru diferitevalori ale modurilor Fourier. Continutul acestei sectiuni reprezinta contributii originale aleautorului cuprinse ın lucrarea [66].

Rezultatele de stabilizare prezentate mai sus sunt valabile pentru liniarizatul sistemuluiNavier-Stokes ıntr-un canal. RAYMOND [75] obtine un rezultat de stabilizare locala a sis-temului neliniar Navier-Stokes, rezolvand o problema de control liniar-patratica si folosindproiectorii Helmoholtz. Pe acelasi subiect, BAKER et al. [2] propun un control neliniar,bazat pe metoda reducerii modelului. In cea de-a doua sectiune, folosind idei asemanatoarecu cele din prima parte a capitolului, construim un control feedback, stabilizant pentru li-niarizat, ce actioneaza, de aceasta data, doar asupra componentei tangentiale a campuluivitezelor, pe peretele superior. Datorita conditiilor tangentiale la frontiera, reusim sa de-monstram ca feedback-ul propus asigura si stabilitatea locala a sistemului neliniar Navier-Stokes ıntr-un canal, folosind ideile dezvoltate ın BARBU, TRIGGIANI si LASIECKA[13], [12]. Continutul acestei sectiuni se bazeaza pe lucrarea [65] a autorului.

In cea de-a treia sectiune, tratam subiectul stabilizarii profilului Poiseuille pentru cur-gerea unui fluid trei-dimensional, periodic ın raport cu doua coordonate, ıntr-un canal.

3

Asa cum anuntasera ın [85], COCHRAN, VAZQUEZ si KRSTIC [27] extind rezultatul destabilizare, obtinut ın cazul fluidului doi-dimensional, la cazul canalului trei-dimensional.Controlul stabilizant propus actioneaza asupra tuturor celor trei componente ale campuluivitezelor, pe peretele superior. Stabilitatea fiind garantata tot doar pentru valori miciale numarului lui Reynolds. Lucrarea lui RAYMOND [75], amintita mai sus, ofera unrezultat de stabilizare si ın cazul fluidului trei-dimensional, ınsa, de data aceasta, doarpentru liniarizat. In lucrarea de fata, construim un control feedback stabilizant, liniar,finit-dimensional, ce actioneaza tot doar asupra componentei normale a vitezei, pe pe-retele y = 1, cu stabilitatea liniarizatului garantata indiferent de valoarea numarul luiReynolds. Metoda folosita este asemanatoare cu cea din prima sectiune, cu cateva modi-ficari datorate cadrului trei-dimensional. Rezultatele de stabilizare, pentru cazul canaluluitrei-dimensional, au fost stabilite de catre autor ın lucrarea [67].

In ultima sectiune, consideram cazul unui fluid conductibil electric, printr-un canal doidimensional (respectiv trei-dimensional), asupra caruia actioneaza, din exterior, un campmagnetic transversal. Acest tip de flux a fost pentru prima data studiat experimental siteoretic de catre HARTMANN [46]. Vom considera fluidul cu un numar Reynolds magneticmic. Astfel, ecuatiile ce guverneaza miscarea sunt o combinatie ıntre ecuatiile Navier-Stokessi ecuatiile Inductiei Magnetice, derivate din ecuatiile lui Maxwell. Dupa cum se va vedea,aceste ecuatii sunt perturbatii liniare ale ecuatiilor Navier-Stokes ıntr-un canal. Prin ur-mare, este de asteptat ca, facand ajustarile necesare, sa se obtina rezultate de stabilizareasemanatoare cu cele prezentate mai sus. Intr-adevar, urmarind ideile din [3], SCHUSTER,LUO si KRSTIC [77] obtin un rezultat de stabilizare pentru acest tip de flux, ın doua dimen-siuni. Pentru cazul trei-dimensional, LUO si SCHUSTER [64] demonstreaza stabilitateafolosind doar comenzi asupra potentialului electric, pe ambii pereti. In sfarsit, VAZQUEZ,SCHUSTER si KRSTIC [92], [87] propun comenzi stabilizante, prin metoda backstepping.In lucrarea de fata, bazandu-ne pe rezultatele din primele trei sectiuni, construim con-troale feedback normale, liniare, stabilizante, finit-dimensionale pentru ambele cazuri alefluidului conductibil electric ıntr-un canal doi-dimensional, respectiv trei-diemnsional. Dinnou, trebuie precizat ca, spre deosebire de rezultatele lui Krstic si a colaboratorilor sai[77, 64, 92, 87], stabilizarea normala obtinuta este independenta de numarul lui Reynolds.

La finalul acestei sectiuni, studiem si problema construirii unui Observator pentru cur-gerea unui fluid conductibil electric doi-dimensional, ıntr-un canal (ideile prezentate pot fiextinse foarte usor si pentru cazul trei-dimensional). Constructia unui Observator este unsubiect foarte important din punctul de vedere al implemetarii numerice, deoarece, ın mareamajoritate a cazurilor practice, starea fizica interna a unui sistem nu poate fi determinataprin observatii directe. In schimb, efecte indirecte ale starii interne sunt observate analizandoutput-ul sistemului. De exemplu, ın cazul curgerii fluidului ıntr-un canal, se observa doarcomportarea fluxului pe pereti, tragandu-se astfel concluzii asupra comportarii acestuia, ıninteriorul canalului. Pentru cazul unui fluid printr-un canal doi-dimensional, VAZQUEZ siKRSTIC [84] propun constructia unui Observator folosind metoda backstepping si ideiledin [85]. Pentru cazul unui fluid conductibil electric printr-un canal trei-dimensional, VAZ-QUEZ, SCHUSTER si KRSTIC [86] folosesc aceeasi metoda backstepping si ideile din [87]pentru a gasi un Observator. In lucrarea de fata, construim un Observator bazandu-nepe rezultatele obtinute la ınceputul acestei sectiuni. Observatorul consta dintr-o copie aliniarizatului ecuatiilor, ce guverneaza miscarea, combinata cu o injectie a estimarii erorii

4

output-ului componentei normale a vitezei, pe peretele necontrolat. Continutul acesteisectiuni se bazeaza pe rezultatele originale obtinute de catre autor ın lucrarea [70].

Cel de-al doilea capitol adreseaza problema stabilizarii interne a solutiilor stationare aleecuatiilor Navier-Stokes, ıntr-un domeniu deschis si marginit. Cel mai important rezultatın acest sens a fost dedus de BARBU si TRIGGIANI [10] (vezi si [8]), unde se obtine sta-bilizarea prin controale finit-dimensionale, distribuite intern ıntr-o submultime deschisa,oricat de mica. Metoda spectrala folosita se bazeaza pe proprietatea de unica continuarea autofunctiilor operatorului Oseen-Stokes (pentru mai multe detalii vezi [19]). LEFTER[58] a obtinut un rezultat de stabilizare, similar cu acesta, pentru ecuatiile Navier-Stokes ındoua dimensiuni, cu conditii de alunecare la frontiera de tip Navier. BARBU si LEFTER[9] propun un control stabilizant proportional pentru ecuatiile Navier-Stokes cu conditiide alunecare la frontiera de tip rotor. Alte rezultate de stabilizare, bazate pe sistemeextinse, se gasesc ın lucrarea BEDRA [22]. Pentru mai multe detalii despre stabilizareaecuatiilor Navier-Stokes poate fi consultata monografia [16]. BARBU, RODRIGUES siSHIRIKYAN [18] obtin un rezultat de stabilizare pentru cazul solutiilor nestationare aleecuatiilor Navier-Stokes. Trebuie amintita si legatura stransa ıntre stabilizarea interna sicontrolabilitatea exacta locala (obtinuta de FURSIKOV si IMANUVILOV [43] si IMANU-VILOV [49]), deoarece controlabilitatea exacta implica stabilizarea prin comenzi cu bucladeschisa. Rezultate semnificative ın aceasta directie pot fi gasite ın cartea scrisa de CO-RON [33]. In lucrarea de fata, construim un control feedback stabilizant, finit-dimensional,neliniar pentru solutiile stationare ale ecuatiilor Navier-Stokes. Pe langa faptul ca controlulare o forma precisa, acesta asigura si un tip de controlabilitate exacta, pe spatiul modurilorstabile. Mai exact, controlul feedback propus duce data initiala ın spatiul modurilor sta-bile, ın timp finit. Acest rezultat de controlabilitate exacta este ın legatura cu cel obtinutde SHIRIKYAN [78], diferind de acesta prin tehnica folosita. Rezultatele incluse ın acestcapitol sunt rezultate originale ale autorului obtinute ımpreuna cu V. Barbu ın lucrarea[71].

Cel de-al treilea capitol trateaza problema gasirii unui control ce stabilizeaza, nu osingura solutie stationara, ci o familie de solutii stationare. Din cate stim, aceasta pro-blema este noua si nu exista rezultate pe acest subiect ın literatura. Ea a provenit dela urmatoarea observatie: cand se considera stabilizarea unui sistem controlat, mai ıntaise cauta o solutie particulara (stationara sau nestationara), dupa care, aplicand diferitetehnici, se construieste un control ce o stabilizeaza. Daca vom considera acum alta solutieparticulara a aceluiasi sistem, controlul gasit anterior nu mai asigura, ın general, stabili-tatea acesteia. Se pune problema determinarii unui control care, odata introdus ın sistem,asigura stabilitatea unei familii de solutii particulare. Metoda de obtinere a acestui tip decontrol o aplicam sistemului Navier-Stokes, controlat intern, deoarece acesta este subiectullucrari de fata. Insa, se poate observa cu usurinta ca aceeasi metoda poate fi aplicata sialtor tipuri de sisteme controlate. Continutul acestui capitol a fost publicat de catre autorın lucrarea [69].

Lucrarea se ıncheie cu un Apendix ce contine o incursiune rapida ın principalele notiunisi rezultate teoretice, utilizate de-a lungul prezentarii.

Doresc sa multumesc, ın mod deosebit, domnului Academician Viorel Barbu pentrufaptul ca a acceptat sa fie ındrumatorul primilor pasi realizati ın cercetarea matematica. Iimultumesc pentru tema interesanta si de actualitate propusa, dar mai ales pentru modul ın

5

care m-a ghidat ın tainele matematicii si pentru ıncrederea inspirata ın fiecare din etapeleelaborarii acestei lucrari. De asemenea, doresc sa ıi multumesc si pentru faptul ca mi-aoferit sansa sa lucrez ıntr-un cadru prielnic cercetarii oferit de Institutul de Matemtica”Octav Mayer” al Academiei Romane.

Multumesc colectivului de profesori din cadrul Facultatii de Matematica a Universitatii”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi, ın mod special domnului Prof. Dr. Catalin Lefter pentrusprijinul si sfaturile oferite.

In realizarea acestei lucrari, autorul a beneficiat de suportul oferit de Ministerul Educatieisi Cercetarii prin granturile:

• POSDRU/88/1.5/S/47646 - director de proiect Prof. dr. O. Iancu

• PN-II-IDEI-ID-70/2008 - director de proiect CS I G. Marinoschi

• PN-II-PCE-2011-3-0027 - director de proiect Acad. V. Barbu

6

Capitolul 1

Stabilizarea ecuatiilor Navier-Stokesıntr-un canal

In acest capitol, vom studia modelul matematic ce descrie curgerea unui fluid Newtonian,incompresibil, printr-un canal semi-infinit, doi-dimensional

(x, y) ∈ (−∞,+∞)× (0, 1),

respectiv trei-dimensional

(x, y, z) ∈ (−∞,+∞)× (0, 1)× (−∞,+∞).

Consideram doua cazuri, mai precis: ın primele trei sectiuni vom presupune ca fluidul nueste supus nici unei influente magnetice exterioare, ın timp ce, ın cea de-a patra sectiune,vom presupune ca asupra fluidului se exercita un camp magnetic exterior, transversal fatade axa canalului. Ecuatiile ce guverneaza miscarea sunt ecuatiile Navier-Stokes, respectivecuatiile magnetohidrodinamicii, adica ecuatiile Navier-Stokes combinate cu ecuatiile luiMaxwell.

Cercetarile experimentale arata ca, pentru valori mari ale numarului Reynolds (echi-valent, pentru valori mici ale coeficientului de vascozitate), curgerea fluidului poate sadezvolte un comportament haotic, turbulent. Teoria matematica a stabilizarii solutiilorstationare a ecuatiilor Navier-Stokes a fost dezvoltata ca instrument principal pentru aatenua sau chiar elimina turbulentele din curgerea unui fluid. In acest capitol, vom stu-dia stabilizarea feedback a profilului parabolic Poiseuille, corespunzator fluidelor printr-uncanal. Stabilitatea este obtinuta prin controale feedback, liniare, finit-dimensionale, ceactioneaza doar asupra componentei normale (sau doar asupra componentei tangentiale)a campului vitezelor, doar pe peretele superior. Obtinerea unui control normal stabili-zant, usor de manipulat numeric, este de o importanta evidenta din punctul de vedere alaplicatiilor. Exista numeroase lucrarii ın legatura cu stabilizarea la frontiera pentru cur-gerea fluidelor printr-un canal, ınsa singurele rezultate de stabilizare normala sunt Barbu[14] si Triggiani [83], rezultate pe care le vom ımbunatati ın cele ce urmeaza. Metodafolosita este urmatoarea: descompunem sistemul ın moduri Fourier, reducem presiuneadin ecuatii si obtinem un sistem parabolic infinit, decuplat. Din acest motiv, stabilizarease realizeaza pe fiecare nivel ın parte, urmarind metoda dezvoltata de Barbu si Triggiani

7

ın lucrarea [10], si anume: descompunerea ecuatiei ın partea stabila si cea instabila, sistabilizarea componentei instabile, finit-dimensionale. Forma feedback a controlului esteobtinuta via minimizarea unei functionale de cost patratice, asociata liniarizatului. Deci,aceasta contine operatori liniari, auto-adjuncti, ce satisfac ecuatii Riccati, usor de manipu-lat din punct de vedere numeric, deoarece sunt asociate unor probleme de control intern,parabolice, pe intervalul (0, 1), ce au aceeasi structura pentru diferite moduri Fourier.

1.1 Stabilizare feedback normala a fluidelor periodice

ıntr-un canal doi-dimensional

In aceasta sectiune, vom trata cazul stabilizarii normale a profilului parabolic Poiseuille, co-respunzator curgerii fluidelor periodice ıntr-un canal semi-infinit, doi-dimensional. Continutulacestei sectiuni este formata ın totalitate din rezultatele originale obtinute de catre autorın lucrarea [66].

1.1.1 Prezentarea problemei

Modelul matematic ce descrie dinamica unui fluid Newtonian, incompresibil, ce curgeprintr-un canal semi-infinit, doi-dimensional

(x, y) ∈ (−∞,+∞)× (0, 1),

este alcatuit din ecuatiile Navier-Stokes ın R2 si de urmatoarele conditii la frontiera.

ut − ν∆u+ uux + vuy = px,

vt − ν∆v + uvx + vvy = py,

ux + vy = 0,

∀t ≥ 0, x ∈ R, y ∈ (0, 1).

(1.1.1)

Aici u = u(t, x, y) si v = v(t, x, y) reprezinta componenta tangentiala, respectiv normala,a campului vitezelor fluidului; p = p(t, x, y) reprezinta presiunea fluidului; iar ν > 0coeficientul de vascozitate. Cea de-a treia ecuatie a sistemului (1.1.1), numita si ecuatiade continuitate, reprezinta exprimarea matematica a faptului ca fluidul considerat esteincompresibil (din acest motiv se mai numeste si conditia de incompresibilitate).

Pentru a nu lucra ın domenii infinite, vom presupune ca atat campul vitezelor cat sipresiunea sunt 2π−periodice ın raport cu coordonata x, mai precis avem

u(t, x+ 2π, y) = u(t, x, y), v(t, x+ 2π, y) = v(t, x, y), p(t, x+ 2π, y) = p(t, x, y),

∀t ≥ 0, ∀x ∈ R, ∀y ∈ (0, 1).

Perioada 2π poate fi ınlocuita cu oricare alt numar pozitiv, fara a schimba ın esenta ideile.In cele ce urmeaza, vom considera 2π−periodicitatea, pentru facilitarea calculelor. Evident,

8

aceasta presupunere este ın contradictie cu realitatea fizica, ınsa, din punct de vederematematic, astfel de conditii periodice sunt presupuse adevarate, deoarece nu altereazaca- racteristicile esentiale ale comportarii fluidului (acest punct de vedere este explicat pelarg ın lucrarea [24]). Conditiile de periodicitate sunt completate de conditiile pe peretiiy = 0, 1, si anume

u(t, x, 0) = u(t, x, 1) = 0, v(t, x, 0) = 0, v(t, x, 1) = Ψ(t, x), ∀t ≥ 0, ∀x ∈ R.

Aici Ψ reprezinta controlul aplicat asupra componentei normale v, pe peretele y = 1,ce va asigura stabilitatea exponentiala a sistemului. Dupa cum se observa, controlul nuactioneaza nici asupra componentei tangentiale a campului vitezelor, nici ın interiorulcanalului. In final, raman de precizat doar datele initiale, si anume

u(0, x, y) = uo(x, y), v(0, x, y) = vo(x, y), ∀x ∈ R, ∀y ∈ (0, 1).

Solutia de echilibru, ce urmeaza a fi stabilizata, este profilul parabolic Poiseuille, si areforma

(U e(x, y), 0).

Aceasta verifica sistemul Navier-Stokes stationar, adica

−ν∆u+ uux + vuy = pex,

−ν∆v + uvx + vvy = pey,

ux + vy = 0,

u(x+ 2π, y) = u(x, y), v(x+ 2π, y) = v(x, y), ∀x ∈ R, y ∈ (0, 1),

u(x, 0) = u(x, 1) = 0, v(x, 0) = v(x, 1) = 0,∀x ∈ R.

(1.1.2)

Aici pe este presiunea de echilibru.Datorita formei particulare, solutia de echilibru poate fi determinata exact din sistemul

(1.1.2). Astfel, divergenta zero si componenta normala zero implica U ex ≡ 0, adica U e este

functie doar de y. Atunci, din prima ecuatie a sistemului (1.1.2), deducem ca

−ν(U e)′′ = pex

(am notat cu ′ derivata ın raport cu coordonata y, si anume ∂∂y

). Din a doua ecuatie a

sistemului (1.1.2), reiese ca0 ≡ pey,

adica pe = pe(x). Prin urmare, avem

(U e)′′′ ≡ 0.

Daca tinem cont de conditiile la frontiera, obtinem ıntr-un final

U e(y) = C(y2 − y),

9

unde C ∈ R−. In cele ce urmeaza, vom considera C de forma C = − a2ν

, unde a ∈ R+.Deci, scopul acestei sectiuni este de a stabiliza profilul parabolic Poiseuille(

− a

2ν(y2 − y), 0

).

Facand substitutiile

(u, v)⇒ (u, v)− (U e, 0) si p⇒ p− pe,

suntem condusi, via (1.1.1) si (1.1.2), la studiul nulei stabilizari a sistemului urmator

ut − ν∆u+ uxUe + vU e

y + uux + vuy = px,

vt − ν∆v + vxUe + uvx + vvy = py,

ux + vy = 0,

u(t, x, 0) = u(t, x, 1) = 0, v(t, x, 0) = 0, v(t, x, 1) = Ψ(t, x),

u(t, x+ 2π, y) = u(t, x, y), v(t, x+ 2π, y) = v(t, x, y),

p(t, x+ 2π, y) = p(t, x, y), ∀t ≥ 0,∀x ∈ R,∀y ∈ (0, 1),

(1.1.3)

cu datele initiale

u(0, x, y) = u0(x, y) := uo(x, y)− U e(y), v(0, x, y) = v0(x, y) := vo(x, y),

∀x ∈ R, y ∈ (0, 1).

Liniarizatul sistemului (1.1.3) este

ut − ν∆u+ uxUe + vU e

y = px,

vt − ν∆v + vxUe = py,

ux + vy = 0,

u(t, x, 0) = u(t, x, 1) = 0, v(t, x, 0) = 0, v(t, x, 1) = Ψ(t, x),

u(t, x+ 2π, y) = u(t, x, y), v(t, x+ 2π, y) = v(t, x, y),

p(t, x+ 2π, y) = p(t, x, y), ∀t ≥ 0, x ∈ R, y ∈ (0, 1),

(1.1.4)

cu datele initiale u0, v0. Acesta se mai numeste si liniarizatul sistemului (1.1.1) ın jurulsolutiei stationare (U e, 0).

In cele ce urmeaza, vom construi un control feedback Ψ care, odata introdus ın liniariza-tul (1.1.4), asigura nula stabilitate asimptotica a solutiei. Din cauza conditiilor la frontierane-tangentiale, este dificil de aratat ca acelasi control Ψ implica si nula stabilitate locala

10

a sistemului neliniar (1.1.3) (pentru mai multe detalii despre ecuatiile Navier-Stokes, cuconditii ne-tangentiale la frontiera, poate fi consultata lucrarea [75]). Asadar, nula stabi-lizare a sistemului neliniar ramane o problema deschisa, ce urmeaza a fi tratata ın lucrariviitoare, de catre autor (ın practica, ınsa, nula stabilitate a sistemului liniarizat este consi-derata suficienta pentru aplicatii). Spre deosebire de acest caz, ın urmatoarea sectiune vomstudia modelul matematic ın care controlul actioneaza asupra componentei tangentiale acampului vitezelor, prin urmare, vom avea conditii tangentiale la frontiera. In acest caz,vom arata si nula stabilitate locala a sistemului neliniar, via o teorema de punct fix, folosindmetoda dezvoltata de Barbu et al. ın [12].

1.1.2 Preliminarii

In aceasta subsectiune, prezentam cadrul functional Fourier, ın care vom dezvolta metodade stabilizare a liniarizatului (1.1.4), descrisa la ınceputul acestui capitol.

Fie L22π(Q), Q = (0, 2π) × (0, 1), spatiul tuturor functiilor u ∈ L2

loc(R × (0, 1)), caresunt 2π−periodice ın raport cu variabila x. Aceste functii sunt caracterizate de seriile lorFourier

u(x, y) =∑k∈ Z

uk(y)eikx,

astfel ıncat ∑k∈ Z

∫ 1

0

|uk(y)|2dy <∞.

Deoarece functiile sunt cu valori reale, avem ın plus ca

uk = u−k,∀k ∈ Z.

(Aici z reprezinta conjugatul complex al lui z ∈ C.) Norma ın L22π(Q) este definita astfel

‖u‖L22π(Q) :=

(∑k∈Z

2π‖uk‖2L2(0,1)

) 12

.

Deoarece nu este pericol de confuzie, notam cu ‖ · ‖ norma din ambele spatii L22π(Q) si

L2(0, 1). Definim(L2

2π(Q))2 :=

(u, v) : u, v ∈ L22π(Q)

.

Notam cu ‖(·, ·)‖ norma ın (L22π(Q))2, definita astfel

‖(u, v)‖ :=(‖u‖2 + ‖v‖2

) 12 , ∀(u, v) ∈ (L2(Q))2.

Consideram H spatiul complexificat al lui L2(0, 1). Necesitatea introducerii spatiului Heste data de necesitatea unei teorii Fredholm complete, pentru operatorii liniari introdusimai jos (vezi Teorema 4.1.1 din Apendix). De asemenea, notam cu ‖ · ‖ norma ın H, si cu< ·, · > produsul scalar. Hm(0, 1),m ∈ N, sunt spatiile Sobolev uzuale pe intervalul (0, 1)(vezi [1]), iar

H10 (0, 1) :=

v ∈ H1(0, 1) : v(0) = v(1) = 0

11

siH2

0 (0, 1) :=v ∈ H2(0, 1) ∩H1

0 (0, 1) : v′(0) = v′(1) = 0.

Ne ıntoarcem acum la sistemul (1.1.4) si ıl rescriem ın functie de coeficientii Fourier aicampului vitezelor, presiunii si controlului, adica

u =∑k∈Z

uk(t, y)eikx, v =∑k∈Z

vk(t, y)eikx

si

p =∑k∈Z

pk(t, y)eikx, Ψ =∑k∈Z

ψk(t)eikx.

Mai exact, introducem dezvoltarile de mai sus ın ecuatiile (1.1.4) si identificam coeficientii.Obtinem urmatorul sistem infinit

(uk)t − νu′′k + (νk2 + ikU e)uk + (U e)′vk = ikpk a.p.t. ın (0, 1),(vk)t − νv′′k + (νk2 + ikU e)vk = p′k a.p.t. ın (0, 1),ikuk + v′k = 0 a.p.t. ın (0, 1),uk(0) = uk(1) = 0, vk(0) = 0, vk(1) = ψk,

(1.1.5)

cu datele initiale u0k, v

0k, pentru toti k ∈ Z.

Vom studia, pentru ınceput, cazul ın care k = 0. In acest caz, sistemul (1.1.5) capataforma

(u0)t − νu′′0 + v0(U e)′ = 0 a.p.t. ın (0, 1),(v0)t − νv′′0 = p′0 a.p.t. ın (0, 1),v′0 = 0 a.p.t. ın (0, 1),u0(0) = u0(1) = 0, v0(0) = 0, v0(1) = ψ0.

(1.1.6)

Din divergenta zero, v′0 = 0, ∀t ≥ 0, si conditiile la frontiera, v0(0) = 0, ∀t ≥ 0, deducemca v0 ≡ 0. Ceea ce implica, de asemenea, ca ψ0 ≡ 0. Deci, u0 satisface urmatoarea ecuatie

(u0)t − νu′′0 = 0, y ∈ (0, 1),u0(0) = u0(1) = 0.

(1.1.7)

Multiplicand scalar ecuatia (1.1.7) cu u0, luand partea reala a rezultatului, si folosindinegalitatea lui Poincare (vezi [1]), avem ca pentru o constanta C0 > 0, are loc

1

2

d

dt‖u0(t)‖2 + C0ν‖u0‖2 ≤ 0, t ≥ 0.

Aceasta implica‖u0(t)‖2 ≤ e−2C0νt‖u0

0‖2, ∀t ≥ 0. (1.1.8)

Ceea ce ınseamna ca, pentru coeficientii Fourier u0, v0, stabilitatea exponentiala are locfara a aplica vreun control. Din acest motiv, de acum ıncolo, vom considera doar k 6= 0.

Una din problemele majore pe care le prezinta ecuatiile Navier-Stokes este prezentapresiunii p. Din cauza acesteia, sistemul Navier-Stokes este un sistem cu d ecuatii si d+ 1necunoscute, unde d = 2 sau 3. Din acest motiv, ın general, se ıncearca eliminarea acesteiaprin diferite procedee, cum ar fi: aplicarea proiectorului Leray, aplicarea operatorului rotor,

12

s.a.m.d.. In cazul de fata, vom aborda problema ın acelasi mod. Vom reduce presiuneadin sistemul (1.1.5), astfel: derivam prima ecuatie ın raport cu y, ınmultim a doua ecuatiecu ik si facem diferenta lor. Obtinem

ik(vk)t − ikνv′′k + ik2(νk + iU e)vk − (u′k)t + νu′′′k− k(νk + iU e)u′k − ik(U e)′uk − (U e)′v′k − (U e)′′vk = 0.

(1.1.9)

Relatia data de divergenta zero ne permite sa exprimam uk ın functie de v′k, si anumeuk = − 1

ikv′k. Astfel, ınlocuind uk ın relatia de mai sus, deducem ca

ik(vk)t − ikνv′′k + ik2(νk + iU e)vk +1

ik(v′′k)t

− ν

ikv′′′′k +

1

i(νk + iU e)v′′k − (U e)′′vk = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1).

(1.1.10)

Prin urmare, obtinem urmatorul sistem parabolic infinit ın vk

(−v′′k + k2vk)t + νv′′′′k − (2νk2 + ikU e)v′′k+ k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)vk = 0, ∀t ≥ 0, ∀y ∈ (0, 1),

v′k(t, 0) = v′k(t, 1) = 0, vk(t, 0) = 0, vk(t, 1) = ψk(t), ∀t ≥ 0,

vk(0, y) = v0k(y), y ∈ (0, 1).

(1.1.11)

Pentru a scrie ıntr-un mod abstract sistemul (1.1.11), introducem urmatorii operatoriliniari, pentru toti k ∈ Z∗

Lk : D(Lk) ⊂ H → H si Fk : D(Fk) ⊂ H → H,

definiti astfelLkv := −v′′ + k2v, D(Lk) = H2(0, 1) ∩H1

0 (0, 1), (1.1.12)

Fkv := νv′′′′ − (2νk2 + ikU e)v′′ + k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)v, (1.1.13)

D(Fk) = H4(0, 1) ∩H20 (0, 1).

De asemenea, consideram si urmatoarele expresii diferentiale

Lkv := −v′′ + k2v,

siFkv := νv′′′′ − (2νk2 + ikU e)v′′ + k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)v.

Cu aceste notatii, sistemul (1.1.11) devine:(Lkvk)t + Fkvk = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),v′k(0) = v′k(1) = 0, vk(0) = 0, vk(1) = ψk(t).

(1.1.14)

Mai departe, ideea este sa transformam ecuatia (1.1.14) ıntr-o ecuatie cu conditii nule lafrontiera. Pentru aceasta, fie wk = wk(t, y) solutia sistemului

θkwk + Fkwk = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),w′k(0) = w′k(1) = 0, wk = 0, wk(1) = ψk.

(1.1.15)

13

Se observa usor ca pentru θk ∈ R, pozitiv si suficient de mare, exista o solutie unica wk,pentru ecuatia (1.1.15). Facem diferenta ıntre sistemele (1.1.14) si (1.1.15). Obtinem

(Lkvk)t + Fk(vk − wk)− θkwk = 0, t ≥ 0.

Sau, echivalent,

(Lk(vk − wk))t + Fk(vk − wk) = θkwk − (Lkwk)t,vk − wk ∈ D(Fk).

(1.1.16)

Ecuatia (1.1.16) se poate rescrie astfel

(Lk(vk − wk))t + (FkL−1k )Lk(vk − wk) = θkwk − (Lkwk)t, (1.1.17)

ceea ce sugereaza sa introducem urmatorii operatori liniari

Ak : D(Ak) ⊂ H → H, pentru toti k ∈ Z∗,

definiti astfelAk := FkL

−1k , D(Ak) =

v ∈ H : L−1

k v ∈ D(Fk). (1.1.18)

Un punct cheie ın nula stabilizare a sistemului (1.1.11) ıl constituie urmatoarea lema,ce listeaza cateva proprietati esentiale ale operatorilor Ak, introdusi mai sus. Aceasta afost stabilita de Barbu ın [17]. Pe scurt, lema spune ca operatorii −Ak sunt compacti sigenereaza C0−semigrupuri, care sunt exponential stabile pentru k suficient de mare.

Lema 1.1.1 Pentru toti k ∈ Z∗, operatorul −Ak genereaza un C0−semigrup analitic ınH, si pentru toti λ ∈ ρ(−Ak), (λI + Ak)

−1 este compact. Mai mult, avem

σ(−Ak) ⊂ λ ∈ C : <λ ≤ 0 , ∀|k| > S,

unde

S =1√ν

(1 +

a√2ν

) 12

. (1.1.19)

Aici, ρ(−Ak) si σ(−Ak) reprezinta multimea rezolventa, respectiv spectrul, lui −Ak.

Demonstratie. Demonstratia acestei leme se regaseste ın [17, Lemma 1], din acest motivva fi omisa.

Remarca 1.1.1 O prima consecinta a lemei de mai sus este ca sistemul parabolic infinit(1.1.11) trebuie controlat doar pentru |k| ≤ S, S dat de relatia (1.1.19). Intr-adevar,pentru |k| > S, sa consideram sistemul (1.1.11) cu control nul la frontiera, adica:

(−v′′k + k2vk)t + νv′′′′k − (2νk2 + ikU e)v′′k+ k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)vk = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),

v′k(0) = v′k(1) = 0, vk(0) = 0, vk(1) = 0.

(1.1.20)

14

Inmultind scalar ecuatia (1.1.20) cu vk si luand partea reala a rezultatului, avem ca

1

2

d

dt

(‖v′k‖2 + k2‖vk‖2

)+ ν‖v′′k‖2 + 2νk2‖v′k‖2 + νk4‖vk‖2

= −<(

ik

∫ 1

0

(U e)′v′kvkdy

).

(1.1.21)

Prin urmare,

1

2

d

dt

(‖v′k‖2 + k2‖vk‖2

)+ 2νk2‖v′k‖2 + νk4‖vk‖2

≤ |k|∣∣∣∣∫ 1

0

(U e)′v′kvkdy

∣∣∣∣≤ 3

2νk2‖v′k‖2 +

2

3ν

∫ 1

0

|(U e)′|2|vk|2dy

≤ 3

2νk2‖v′k‖2 +

a2

6ν3‖vk‖2

≤ 3

2νk2‖v′k‖2 +

1

2νk4‖vk‖2,

(1.1.22)

deoarece |k| > S = 1√ν

(1 + a√

2ν

) 12. Estimarile de mai sus implica faptul ca

d

dt

(‖v′k‖2 + k2‖vk‖2

)+ νk2(‖v′k‖2 + k2‖vk‖2) ≤ 0, t ≥ 0.

De unde deducem ca

‖v′k(t)‖2 + k2‖vk(t)‖2 ≤ e−νk2t(‖(v0

k)′‖2 + k2‖v0

k‖2), t ≥ 0, (1.1.23)

care, ımpreuna cu relatia data de divergenta zero uk = − 1ikv′k, implica

‖uk(t)‖2 + ‖vk(t)‖2 ≤ e−νS2t(‖u0

k‖2 + ‖v0k‖2), ∀t ≥ 0, ∀|k| > S. (1.1.24)

Relatia (1.1.24) nu spune altceva decat ca pentru |k| > S, solutia sistemului (1.1.11), cucontrol nul la frontiera, satisface o descrestere exponentiala pentru t → ∞. Deci, ramanede controlat sistemul (1.1.11) doar pentru 0 < |k| ≤ S.

Ne ıntoarcem la sistemul (1.1.17), notam cu

yk(t) := Lk(vk(t)− wk(t)),

si aplicam formula variatiei constantelor pentru a obtine ca

yk(t) = e−tAkyk(0) +∫ t

0e−(t−s)Ak(θkwk(s)− (Lkwk(s))s)ds

=e−tAkyk(0)− Lkwk(t) + e−tAkLkwk(0)

+

∫ t

0

e−(t−s)Ak(θkwk(s) + Fkwk(s))ds.

(1.1.25)

15

Deoarece wk nu apartine ın mod necesar domeniului de definitie al operatorului Fk, amconsiderat ın ultima relatie de mai sus, ın loc de Fk, Fk : H → (D(F ∗k ))∗, extinderea lui Fkla ıntreg spatiul H (vezi (4.1.6), din Apendix). De asemenea, consideram Ak extindereaoperatorului Ak la ıntreg spatiul H. La fel ca si −Ak, operatorul −Ak genereaza unC0−semigrup analitic ın H. Extinderea operatorului Lk, notata la fel cu Lk, actioneazade pe H pe spatiul dual (H1

0 (0, 1) ∩H2(0, 1))∗. Cu aceste notatii, ecuatia (1.1.25) poate firescrisa astfel

(Lkvk)t + AkLkvk = (θk + Fk)wk, t ≥ 0. (1.1.26)

In continuare, dorim sa evidentiem faptul ca solutia wk depinde de valoarea de pefrontiera ψk. Pentru aceasta, pentru orice ψ ∈ C, notam cu Dkψ := w ∈ H4(0, 1) solutiaecuatiei

θkw + Fkw = 0, ∀y ∈ (0, 1),w′(0) = w′(1) = 0, w(0) = 0, w(1) = ψ.

(1.1.27)

Astfel, introducem operatorul Dk : C → H, care poarta numele de aplicatia Dirichletasociata operatorului θk + Fk. Un calcul simplu arata ca dualul operatorului (θk + Fk)Dk

este dat de((θk + Fk)Dk)

∗φ = νφ′′′(1), (1.1.28)

pentru toti φ ∈ H4(0, 1), φ(0) = φ(1) = 0, φ′(0) = φ′(1) = 0.Putem conchide ca ecuatia (1.1.26) poate fi rescrisa astfel

(Lkvk)t + AkLkvk = (θk + Fk)Dkψk, t > 0, (1.1.29)

si data initiala v0k.

Remarca 1.1.2 Prin introducerea operatorului Dirichlet Dk am transformat sistemul(1.1.11), cu control la frontiera, ıntr-un sistem echivalent (1.1.29), de tip controlat intern.Spunem de tipul, deoarece, spre deosebire de cazul sistemelor controlate intern, operatorulce defineste controlul, ın cazul de fata, nu este continuu.

Remarca 1.1.3 Ecuatia (1.1.29) este ınteleasa ın sensul slab, adica

〈(Lkvk)t, φ〉+ 〈Lkvk,A∗kφ〉 =⟨ψk(t), ((θk + Fk)Dk)

∗φ⟩, ∀φ ∈ D(A∗k).

1.1.3 Proprietati ale operatorilor liniari Ak si Dk

In subsectiunea anterioara am introdus operatorii Ak si Dk cu scopul de a rescrie sistemulcu control la frontiera (1.1.11) ca o problema abstracta de control intern (1.1.29). In aceastasubsectiune, vom contiuna cu studiul proprietatiilor acestora.

Din Lema 1.1.1 stim ca −Ak este un operator liniar compact, prin urmare are o multimenumarabila de valori proprii notata cu

λkj∞j=1

(vezi Teorema 4.1.2 din Apendix) (λkj este

repetat ın acord cu multiplicitatea sa mkj ). Deci,

λkj

∞j=1

sunt autovalorile operatoru-

lui dual −A∗k, a lui −Ak. Notam cuφkj∞j=1

, respectivφk∗j∞j=1

, autofunctiile cores-

punzatoare operatorilor −Ak, respectiv −A∗k.

16

Remarca 1.1.4 Trebuie mentionat ca autovalorile (respectiv autofunctiile) operatoruluiextins −Ak coincid cu autovalorile (respectiv autofunctiile) lui −Ak. La fel are loc si

pentru operatorii duali −A∗k, −A∗k. Cu alte cuvinte, operatorul −Ak si extinsul sau −Ak

au aceleasi proprietati spectrale.

Dupa cum am mentionat si mai ınainte (vezi Remarca 1.1.1), trebuie sa stabilizam sistemul(1.1.14) (echivalent (1.1.29)) doar pentru 0 < |k| ≤ S. Fie k ∈ Z∗, astfel ıncat |k| ≤ S.Tot din Lema 1.1.1 rezulta ca −Ak are un numar finit Nk de autovalori λkj cu <λkj ≥ 0,asa numitele autovalori instabile (vezi Teorema 4.1.2 din Apendix). Notam cu Mk :=mk

1 + ...+mkNk

, suma multiplicitatilor autovalorilor instabile.Deoarece metoda de stabilizare, pe care o aplicam aici, se bazeaza pe proprietatiile

spectrale ale operatorilor −Ak, este necesar un rezultat de tipul ”unica continuare” pentruautofunctiile dualului −A∗k. Lema de mai jos ofera un raspuns ın acest sens si reprezinta,de altfel, rezultatul cheie al ıntregului capitol.

Lema 1.1.2 Fie λkj , pentru un 0 < |k| ≤ S si un j ∈ 1, ..., Nk, o autovaloare instabilapentru operatorul dual −A∗k. Atunci, putem alege o baza pentru spatiul autofunctiilor,

corespunzator autovalorii λkj , alcatuita din functii φ∗, pentru care <(φ∗)′′′(1) > 0. Cu

alte cuvinte, putem presupune ca autofunctia φk∗j , corespunzatoare autovalorii instabile λkj ,

satisface <(φk∗j )′′′(1) > 0.

Demonstratie. Notam cu λ = λkj , autovaloarea instabila. Daca φ∗ = φk∗j este o

autofunctie a operatorului dual −A∗k, corespunzatoare lui λ, atunci φ∗ satisface urmatoareaproblema cu valori la frontiera, pe intervalul (0, 1),

ν(φ∗)′′′′ − (2νk2 − ikU e + λ)(φ∗)′′

+ 2ik(U e)′(φ∗)′ + (k2λ+ νk4 − ik3U e)φ∗ = 0,φ∗(0) = φ∗(1) = 0, (φ∗)′(0) = (φ∗)′(1) = 0.

(1.1.30)

Vom arata ca putem alege autofunctia φ∗ astfel ıncat

(φ∗)′′′(1) 6= 0.

Atunci, ınlocuind eventual φ∗ cu (φ∗)′′′(1)φ∗, obtinem ca (φ∗)′′′(1) > 0. Demonstratia estealcatuita din trei pasi, ın care vom arata ca daca presupunem prin absurd ca (φ∗)′′′(1) = 0atunci, ın mod necesar, φ∗ ≡ 0.

Pasul 1. Pentru o functie f : [0, 1]→ C, notam cu f : [0, 1]→ C, urmatoarea functie

f(y) := f(1− y),∀y ∈ [0, 1].

Spunem ca functia f : [0, 1]→ C este simetrica daca si numai daca f(y) = f(y), ∀y ∈ [0, 1]si anti-simetrica daca si numai daca f(y) = −f(y), ∀y ∈ [0, 1].

In acest pas, vom arata ca putem alege o baza pentru spatiul autofunctiilor dualealcatuita din functii simetrice sau anti-simetrice. Observam ca, daca φ∗ este solutie pentru(1.1.30), atunci si φ∗ este solutie pentru (1.1.30), datorita formei simetrice a ecuatiei (avemU e simetrica, derivate de ordin par, iar derivata de ordin impar este compensata de faptul

17

ca (U e)′ este anti-simetrica). Notam cu H spatiul liniar de dimensiune patru, peste corpulnumerelor complexe, al solutiilor ecuatiei diferentiale liniare si omogene de ordin patru, peintervalul (0, 1)

ν(φ∗)′′′′ − (2νk2 − ikU e + λ)(φ∗)′′ + 2ik(U e)′(φ∗)′ + (k2λ+ νk4 − ik3U e)φ∗ = 0. (1.1.31)

Atunci, spatiul autofunctiilor poate fi reprezentat ca un subspatiu liniar E al lui H, definitastfel

E := φ ∈ H : φ(0) = φ(1) = 0, φ′(0) = φ′(1) = 0 .

Este usor de vazut ca dimensiunea lui E este ≤ 2. Putem gasi atunci o baza a acestuispatiu liniar alcatuita din functii simetrice sau anti-simetrice. Intr-adevar, sa presupunemca exista un φ ∈ E care nu este nici simetrica nici anti-simetrica. Atunci, urmatoareledoua functii φ1 = φ + φ, φ2 = φ − φ apartin spatiului E . Mai mult, φ1 6= 0, φ2 6= 0si sistemul φ1, φ2 este liniar independent, deoarece φ1 este simetrica, iar φ2 este anti-simetrica. Aceasta, ımpreuna cu faptul ca dimensiunea lui E este ≤ 2, sustine afirmatiafacuta anterior.

Prin urmare, putem presupune ca autofunctia corespunzatoare φ∗ este simetrica sau anti-simetrica. Pentru a fixa ideile, sa presupunem de exemplu ca φ∗ este simetrica. Celalalt cazpoate fi tratat asemanator. Vrem sa aratam ca avem (φ∗)′′′(1) 6= 0. Sa presupunem, prinreducere la absurd, ca avem (φ∗)′′′(1) = 0. Din simetrie rezulta imediat si ca (φ∗)′′′(0) = 0.Notam cu Ek si E∗k urmatoarele forme diferentiale

Ekφ := νφ′′′′ − (2νk2 + ikU e + λ)φ′′ + k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′ + kλ)φ,

respectiv

E∗kφ := νφ′′′′ − (2νk2 − ikU e + λ)φ′′ + 2ik(U e)′φ′ + (k2λ+ νk4 − ik3U e)φ.

Este evident ca φ∗ satisface E∗kφ∗ = 0. Deci,

0 =

∫ 1

0

E∗kφ∗φdy

=

∫ 1

0

φ∗Ekφdy + ν((φ∗)′′(1)φ′(1)− (φ∗)′′(0)φ′(0)), ∀φ ∈ H4(0, 1),

(1.1.32)

datorita conditiilor la frontiera pentru φ∗, adica,

φ∗(0) = φ∗(1) = 0, (φ∗)′(0) = (φ∗)′(1) = 0, (φ∗)′′′(0) = (φ∗)′′′(1) = 0.

Din (1.1.32), deducem ca ∫ 1

0

|φ∗|2dy = 0, (1.1.33)

daca φ satisface Ekφ = φ∗,

φ′(0) = φ′(1) = 0.(1.1.34)

18

Relatia (1.1.33) implica φ∗ ≡ 0, ceea ce este ın contradictie cu faptul ca φ∗ este o autofunctie.Aceasta implica faptul ca presupunerea (φ∗)′′′(1) = 0 este falsa, ceea ce conduce la rezulta-tul dorit. Asadar, pentru a termina demonstratia, mai ramane de aratat ca exista o solutieφ pentru ecuatia (1.1.34).

Pasul 2. Afirmam ca exista o functie φ1, astfel ıncatEkφ1 = 0, y ∈ (0, 1),φ′1(0)− φ′1(1) 6= 0.

(1.1.35)

Demonstratia acestui fapt va fi prezentata in pasul al treilea. In acest pas, vom arata ca,daca afirmatia de mai sus este adevarata, atunci exista o solutie pentru ecuatia (1.1.34),obtinand astfel rezultatul dorit.

Construim urmatoarea functie φ2 := φ1 + φ1. Ca si mai ınainte, ecuatia Ekφ1 = 0 estesimetrica, aceasta implicand faptul ca φ1, fiind solutie, atunci si φ1 este solutie. Deci, avem

Ekφ2 = 0,φ′2(0) = φ′1(0)− φ′1(1) 6= 0,φ2 este simetrica .

(1.1.36)

Fie φ3 o solutie pentru ecuatia Ekφ3 = φ∗, astfel ıncat φ3 sa fie simetrica. Exista o solutiesimetrica, deoarece φ∗ este simetrica. Intr-adevar, fie φ4 o solutie a ecuatiei Ekφ4 = 1

2φ∗.

Daca luam acum φ3 := φ4 + φ4, avem Ekφ3 = 12φ∗ + 1

2φ∗ = φ∗ si φ3 este simetrica.

Definim φ5 := −φ′3(0)

φ′2(0)φ2 + φ3. Avem ca φ5 satisfaceEkφ5 = φ∗,φ5 este simetrica,φ′5(0) = 0 si, datorita simetriei, φ′5(1) = 0.

(1.1.37)

Deci, putem lua φ = φ5.Pasul 3. Dupa cum am anuntat deja, ın acest ultim pas vom demonstra ca urmatoarea

problema are cel putin o solutie Ekφ1 = 0, y ∈ (0, 1),φ′1(0)− φ′1(1) 6= 0.

(1.1.38)

Vom rationa prin reducere la absurd. Presupunem ca, pentru orice solutie ψ a ecuatieiEkψ = 0, avem ψ′(0) − ψ′(1) = 0. Sa notam cu H1 spatiul liniar al solutiilor ecuatieidiferentiale liniare si omogene Ekψ = 0, si cu E1 subspatiul liniar al lui H1, definit astfel

E1 := ψ ∈ H1 : ψ′′′(0)− ψ′′′(1) = 0 .

Fie un ψ ∈ E1. Definim Ψ := ψ + ψ. Avem

Ψ′(0) = ψ′(0)− ψ′(1) = 0, Ψ′(1) = ψ′(1)− ψ′(0) = 0,

deoarece ψ ∈ H1. De asemenea,

Ψ′′′(0) = ψ′′′(0)− ψ′′′(1) = 0, Ψ′′′(1) = ψ′′′(1)− ψ′′′(0) = 0,

19

deoarece ψ ∈ E1. Notam cu Φ := Ψ′′ − k2Ψ. Avem EkΨ = 0, ecuatie care poate fidescompusa astfel

νΦ′′ − (νk2 + ikU e + λ)Φ + ik(U e)′′Ψ = 0, (1.1.39)

siΨ′′ − k2Ψ = Φ. (1.1.40)

Observam ca, deoarece Ψ′(0) = Ψ′(1) = 0 si Ψ′′′(0) = Ψ′′′(1) = 0, avem Φ′(0) = Φ′(1) = 0.Inmultim scalar ecuatia (1.1.39) cu Φ si ecuatia (1.1.40) cu Ψ. Obtinem

−ν∫ 1

0

|Φ′|2dy − (νk2 + λ)

∫ 1

0

|Φ|2dy − ik

∫ 1

0

U e|Φ|2dy + ik(U e)′′∫ 1

0

ΨΦdy = 0, (1.1.41)

si

−∫ 1

0

|Ψ′|2dy − k2

∫ 1

0

|Ψ|2dy =

∫ 1

0

ΦΨdy. (1.1.42)

Din (1.1.42) vedem ca∫ 1

0ΨΦdy este un numar real. Folosind aceasta si luand partea reala

a lui (1.1.41), obtinem ca

−ν∫ 1

0

|Φ′|2dy − (νk2 + <λ)

∫ 1

0

|Φ|2dy = 0.

Deoarece λ este o autovaloare instabila, avem ca <λ ≥ 0. Prin urmare, relatia de mai susconduce la

Φ ≡ 0.

Deducem cu usurinta ca Φ ≡ 0 implica Ψ ≡ 0, care la randul lui implica ψ = −ψ. Deci,

ψ ∈ E1 implica ψ = −ψ. (1.1.43)

Sa consideram acum urmatoarele subspatii ale lui H1, definite mai jos

S :=ψ ∈ H1 : ψ = ψ

, AS :=

ψ ∈ H1 : ψ = −ψ

,

care reprezinta subspatiul simetric, respectiv anti-simetric, al lui H1. Se verifica usor caavem egalitatile

S =

ψ ∈ H1 : ψ′(

1

2) = ψ′′′(

1

2) = 0

si

AS =

ψ ∈ H1 : ψ(

1

2) = ψ′′(

1

2) = 0

,

ceea ce implica dimC S = dimCAS = 2. Din relatia (1.1.43) avem adevarata incluziuneaE1 ⊂ AS.

Mai departe, consideram urmatorul subspatiu al lui H1

F1 := ψ ∈ H1 : ψ′′′(0) = 0 .

20

Avem ca dimCF1 = 3. Din moment ce dimC S = 2, dimCH1 = 4 si F1,S ⊂ H1, obtinemca

F1 ∩ S 6= 0 .Asadar, exista 0 6= ψ ∈ F1 ∩ S. ψ ∈ F1 implica ψ′′′(0) = 0, iar din simetrie (deoareceψ ∈ S) avem ψ′′′(1) = 0. Aceasta conduce la relatia ψ′′′(0)− ψ′′′(1) = 0, care ımpreuna cufaptul ca ψ ∈ H1, implica ψ ∈ E1 ⊂ AS. In sfarsit, avem ca ψ ∈ S ∩AS, deci, ψ ≡ 0, ceeace este absurd. Prin urmare, presupunerea facuta nu este adevarata. Aceasta ınseamna caexista o functie φ1 pentru care

Lkφ1 = φ∗, y ∈ (0, 1),φ′1(0)− φ′1(1) 6= 0.

(1.1.44)

Concluzionam ca daca φ∗ este autofunctie, ın sens clasic, atunci ea poate fi aleasa, astfelıncat (φ∗)′′′(1) > 0.

In final, trebuie studiat cazul ın care autofunctiile duale sunt generalizate. Asadar, sapresupunem ca exista φ∗0, φ

∗1, ..., φ

∗L, L ∈ N, astfel ıncat:(

λ+ A∗k)φ∗0 = 0, φ∗0 +

(λ+ A∗k

)φ∗1 = 0, ..., φ∗L−1 +

(λ+ A∗k

)φ∗L = 0.

Folosind rezultatele de mai sus, putem presupune ca (φ∗0)′′′(1) > 0. Mai departe, ınlocuindeventual φ∗l cu φ∗l + µlφ

∗0, µl ∈ R+, suficient de mare, l = 1, ..., L, putem presupune, de

asemenea, ca<(φ∗l )

′′′(1) > 0, l = 1, ..., L,

dupa cum doream. In final, demonstram ca operatorii liniari DirichletDk, introdusi ın (1.1.27), sunt continui

de la C ın H. Mai precis avem urmatorul rezultat.

Propozitia 1.1.1 Pentru toti 0 < |k| ≤ S, Dk este operator liniar continuu de la C ın H.

Demonstratie. Fie (ψn) un sir de numere complexe ce tinde la zero pentru n tinzand lainfinit. Din definitie H4(0, 1) 3 Dkψn := qn este solutia ecuatiei

θkqn + Fkqn = 0,∀y ∈ (0, 1),q′n(0) = q′n(1) = 0, qn(0) = 0, qn(1) = ψn.

(1.1.45)

Sau, echivalent, din (1.1.13)θkqn + νq′′′′n − (2νk2 + ikU e)q′′n

+ k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)qn = 0, y ∈ (0, 1),q′n(0) = q′n(1) = 0, qn(0) = 0, qn(1) = ψn.

(1.1.46)

Inmultind scalar ecuatia (1.1.46) cu qn, obtinem

θk‖qn‖2 + q′′′n (1)ψn + ν‖q′′n‖2 +

∫ 1

0

(2νk2 + ikU e(y))|q′n(y)|2dy

+ ik

∫ 1

0

(U e)′(y)q′n(y)qn(y)dy

+ νk4‖qn‖2 + i

(∫ 1

0

(k3U e(y) + k(U e)′′(y))|qn(y)|2dy)

= 0.

(1.1.47)

21

Luand partea reala a relatiei (1.1.47), obtinem

θk‖qn‖2 + < (q′′′n (1)ψn) + ν‖q′′n‖2 + 2νk2‖q′n‖2 + νk4‖qn‖2 = (1.1.48)

= −<(

ik

∫ 1

0

(U e)′(y)q′n(y)qn(y)dy

).

Avem

−<(

ik

∫ 1

0

(U e)′(y)q′n(y)qn(y)dy

)≤∣∣∣∣ik ∫ 1

0

(U e)′(y)q′n(y)qn(y)dy

∣∣∣∣≤ |k|

∫ 1

0

|(U e)′(y)q′n(y)qn(y)| dy.(1.1.49)

Luand ın inegalitatea aritmetico-geometrica

|αβ| ≤ 1

2

(ν|k||α|2 +

1

ν|k||β|2),

α = q′n(y) si β = (U e)′(y)qn(y), din (1.1.49), rezulta

|k|∫ 1

0

|(U e)′(y)q′n(y)qn(y)| dy

≤ 1

2νk2

∫ 1

0

|q′n(y)|2dy +1

2ν

∫ 1

0

|(U e)′(y)|2|qn(y)|2dy

≤ 1

2νk2‖q′n‖2 +

a2

8ν3‖qn‖2

≤ 2νk2‖q′n‖2 +a2

8ν3‖qn‖2.

(1.1.50)

Deci, din (1.1.48), (1.1.49) si (1.1.50), gasim ca(θk −

a2

8ν3

)‖qn‖2 + < (q′′′n (1)ψn) ≤ 0. (1.1.51)

Trecem la limita dupa n ın relatia (1.1.51) si obtinem

0 ≤(θk −

a2

8ν3

)limn→∞

‖qn‖2 ≤ 0,

deoarece ψn → 0 si θk este suficient de mare, astfel ıncat θk − a2

8ν3 ≥ 0.Prin urmare, lim

n→∞‖qn‖ = 0. Astfel, am obtinut ca: daca ψn → 0 ın C atunci qn =

Dkψn → 0 ın H. Deoarece Dk este liniar, deducem ca Dk este continuu de la C ın H, astfeldemonstratia este completa.

22

1.1.4 Stabilizare feedback pentru sistemul echivalent (1.1.29)

Vom demonstra ca exista un control care stabilizeaza asimptotic exponential sistemul(1.1.29), dupa care, vom arata ca acesta poate fi ales ın forma feedback. Pentru sim-plitate, vom omite simbolul ˜ (deoarece nu este nici un pericol de confuzie), de asemeneavom face si urmatoarele notatii

zk := Lkvk, Bk := (θk + Fk)Dk. (1.1.52)

Cu aceste notatii, ecuatia (1.1.29) devineddtzk(t) + Akzk(t) = Bkψk(t), t > 0,

zk(0) = z0k,(1.1.53)

unde z0k = Lkv0k.

Pentru ınceput, vom demonstra urmatorul rezultat.

Teorema 1.1.1 Pentru toti 0 < |k| ≤ S, exista un control ψk, astfel ıncat solutia cores-punzatoare zk a sistemului (1.1.53) si controlul au urmatoarea descrestere exponentiala∣∣∣∣ ddtψk(t)

∣∣∣∣+ |ψk(t)| ≤ Cα1e−α1t‖z0k‖, ‖zk(t)‖ ≤ Cα0e

−α0t‖z0k‖,∀t ≥ 0,

unde α0 este dat de relatia (1.1.56) de mai jos

0 < α0 < min0<|k|≤S

|<λNk+1| ,

α1 > 0 este dat de Lema 1.1.3 de mai jos, iar Cα0 , Cα1 sunt niste constante pozitive.

In subsectiunea anterioara, am notat autovalorile operatorului −Ak cu λkj , j = 1, 2, ...,si autofunctiile corespunzatoare cu φkj , j = 1, 2, .... De asemenea, am notat autofunctiileoperatorului dual −A∗k, a lui −Ak, cu φ∗kj , j = 1, 2, .... Mai mult, am vazut ca operatorul

−A∗k are un numar finit de autovalori instabile (λkj )Nkj=1, pentru care, conform Lemei 1.1.2,

putem alege autofunctiile corespunzatoare, astfel ıncat

<(φk∗j )′′′(1) > 0, ∀j = 1, ..., Nk, ∀ 0 < |k| ≤ S. (1.1.54)

Notam cu XuNk

:= linspanφkjNkj=1

si cu XsNk

:= linspanφkj∞j=Nk+1

. Introducem PNk ,

proiectia pe spatiul XuNk

, si operatorul adjunct P ∗Nk (vezi (4.1.2) din Apendix), definiteastfel

PNk := − 1

2πi

∫Γ

(λI + Ak)−1dλ si P ∗Nk := − 1

2πi

∫Γ

(λI + A∗k)−1dλ.

Notam cu−Au

Nk:= PNk(−Ak) si −As

Nk:= (I − PNk)(−Ak), (1.1.55)

restrictiile lui −Ak la XuNk

, respectiv XsNk

. Avem ca spectrul lui −Ak pe XuNk

si pe XsNk

coincide cuλkjNkj=1

, respectivλkj∞j=Nk+1

(vezi Teorema 4.1.3 din Apendix). Mai departe,

deoarece −Ak genereaza un C0−semigrup analitic pe H, atunci restrictia sa −AsNk

la XsNk

23

genereaza, de asemenea, un C0−semigrup analitic pe XsNk

. Prin urmare, via Teorema 4.2.2din Apendix, avem ca −As

Nksatisface urmatoarea descrestere exponentiala pe Xs

Nk

‖e−tAsNk‖L(H,H) ≤ Cα0e

−α0t, ∀t ≥ 0, (1.1.56)

pentru un 0 < α0 < |<λNk+1|.In acord cu ce am introdus mai sus, sistemul (1.1.53) poate fi descompus astfel

zk = zNk + ζNk , unde zNk := PNkzk si ζNk := (I − PNk)zk,

aplicand proiectorii PNk si I − PNk sistemului (1.1.53), obtinem

pe XuNk

:

ddtzNk + Au

NkzNk = PNk(Bkψk),

zNk(0) = PNkz0k,(1.1.57)

respectiv

pe XsNk

:

ddtζNk + As

NkζNk = (I − PNk)(Bkψk),

ζNk(0) = (I − PNk)z0k.(1.1.58)

Datorita relatiei (1.1.56), intuim ca solutia sistemului (1.1.58) (care este partea stabila asistemului (1.1.53)) descreste exponential la infinit, prin urmare, pentru a stabiliza sistemul(1.1.53) trebuie sa stabilizam doar componenta instabila (1.1.57). Sistemul (1.1.57) esteınsa un sistem controlat intern, finit-dimensional, iar stabilizabilitatea lui este garantatade rezultatul de tip ”unica continuare” din Lema 1.1.2.

Lema 1.1.3 Pentru toti 0 < |k| ≤ S, exista α1, Cα1 > 0 si un control ψk astfel ıncat,odata introdus ın sistemul (1.1.57), solutia corespunzatoare satisface estimarile

‖zNk(t)‖ ≤ Cα1e−α1t‖z0k‖, ∀t ≥ 0.

Mai mult, controlul ψk poate fi ales de clasa C1, astfel ıncat∣∣∣∣ ddtψk(t)∣∣∣∣+ |ψk(t)| ≤ Cα1e

−α1t‖z0k‖, ∀t ≥ 0.

Demonstratie. Descompunem zNk , astfel

zNk(t, y) =

Mk∑j=1

zkj (t)φkj (y),

unde zkj (t) ∈ C,∀t ≥ 0, j = 1, ...,Mk. Introducem acest zNk ın ecuatia (1.1.57), si obtinem

Mk∑j=1

d

dtzkj (t)φkj + zkj (t)Au

Nkφkj

= PNk(Bkψk).

24

Putem alege autofunctiile φkj , astfel ıncat sistemulφki , φ

k∗j

Nki,j=1

sa fie biortonormal ın H.

Inmultim scalar ecuatia de mai sus cu φk∗l . Obtinem

d

dtzkl +

Mk∑j=1

⟨AuNkφkj , φ

k∗l

⟩zkj =

⟨PNkBkψk, φ

k∗l

⟩, l = 1, ...,Mk. (1.1.59)

Fara a micsora generalitatea, putem presupune ca P ∗Nk(φk∗l ) = φk∗l , l = 1, ...,Mk (aceasta

este datorita idempotentei proiectorului P ∗Nk). Avem⟨PNkBkψk, φ

k∗l

⟩=⟨Bkψk, P

∗Nkφk∗l⟩

= ψkB∗kφ

k∗l

= din (1.1.28) = ψkν(φk∗l )′′′(1), l = 1, ...,Mk.

Notam cubkl := ν(φk∗l )′′′(1), l = 1, ...,Mk. (1.1.60)

De asemenea, notam cu

Zk :=

zk1zk2...zkMk

, Bk :=

bk1bk2...bkMk

, (1.1.61)

si

Λk =

⟨AuNkφk1, φ

k∗1

⟩ ⟨AuNkφk2, φ

k∗1

⟩...

⟨AuNkφkMk

, φk∗1⟩⟨

AuNkφk1, φ

k∗2

⟩ ⟨AuNkφk2, φ

k∗2

⟩...

⟨AuNkφkMk

, φk∗2⟩

... ... ... ...⟨AuNkφk1, φ

k∗Mk

⟩... ...

⟨AuNkφkMk

, φk∗Mk

⟩ . (1.1.62)

Cu aceste notatii, ecuatia (1.1.59) devine

d

dtZk + ΛkZk = Bkψk. (1.1.63)

Afirmam ca, pentru un µ > 0, suficient de mare, controlul ψk = −µ<BTk Zk stabilizeaza

exponential sistemul controlat (1.1.63). Unde <BTk este componenta reala a transpusei lui

Bk, adica,<BT

k :=(<bk1 <bk2 ... <bkMk

). (1.1.64)

Deoarece, din Lema 1.1.2, avem <bkl > 0, l = 1, ...,Mk, putem alege µ > 0 suficient demare, astfel ıncat

<(Λk + µBk<BTk ) ∈MMk

(R+).

Prin urmare, −(Λk + µBk<BT

k

)este o matrice hurwitziana. Ceea ce implica stabilitatea

exponentiala a sistemului (1.1.63), odata introdus controlul ψk = −µ<BTk Zk.

Acum, daca ne ıntoarcem de la CNk la XuNk

, avem ca exista un vector Ξk ın XuNk

, astfelıncat ψk = 〈zNk ,Ξk〉 , pentru care sistemul bucla ınchisa corespunzator lui (1.1.57) este datde

d

dtzNk + Au

NkzNk = 〈zNk ,Ξk〉 , (1.1.65)

25

rescris astfeld

dtzNk = A

uzNk , zNk = eA

utzNk(0), (1.1.66)

unde Au

:= −AuNk

+ Ξk.

In concluzie, exista α1 > 0 si Ξk ∈ XuNk

pentru care solutia sistemului (1.1.57) cores-punzatoare controlului ψk = 〈zNk ,Ξk〉, satisface estimarile

|ψk(t)|+ ‖zNk(t)‖ = ‖qkzNk(t)‖+ ‖zNk(t)‖

≤ (|qk|+ 1)‖eAutzNk(0)‖

≤ Cα1e−α1t‖zNk(0)‖, t ≥ 0.

(1.1.67)

Mai mult, controlul ψk este de clasa C1 si satisface descresterea exponentiala dorita, deoa-rece solutia zNk este de clasa C1 (ın variabila t).

Folosind rezultatul din Lema 1.1.3 si observatiile anterioare, demonstratia Teoremei1.1.1 este imediata.

Demonstratia Teoremei 1.1.1. Din Lema 1.1.3 avem ca, pentru toti 0 < |k| ≤ S,exista un control ψk care stabilizeaza exponential sistemul finit-dimensional (1.1.57), peXuNk

. Reamintim sistemul infinit-dimensional (1.1.58) pe XsNk

:

d

dtζNk + As

NkζNk = (I − PNk)(Bkψk), ζNk(0) = (I − PNk)z0k.

Estimam ın H formula variatiei constantelor, corespunzatoare

ζNk(t) = e−AsNktζNk(0) +

∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)(I − PNk)(Bkψk)dτ . (1.1.68)

Reamintim ca Bk = (θk + Fk)Dk. Deci, relatia (1.1.68) devine

ζNk(t) = e−AsNktζNk(0) +

∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)(I − PNk)((θk + Fk)Dkψk)dτ

=e−AsNktζNk(0) +

∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)(I − PNk)θkDkψkdτ

+

∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)(I − PNk)FkDkψkdτ .

(1.1.69)

Din Propozitia 1.1.1 stim ca Dk : C→ H este un operator liniar continuu. Prin urmare,ın virtutea Lemei 1.1.3 si a relatiei (1.1.56), avem∣∣∣∣∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)(I − PNk)θkDkψkdτ

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

0

C‖e−AsNk

(t−τ)‖|ψk|dτ (1.1.70)

≤ C

∫ t

0

e−α0(t−τ)e−α1τ‖z0k‖dτ ≤ Ce−α0t‖z0k‖,

26

pentru o constanta C > 0. Pentru cel de-al treilea termen al membrului drept al relatiei(1.1.69), deoarece −As

Nk= −(I − PNk)Ak si Ak = FkL

−1k , avem ca∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)(I − PNk)FkDkψkdτ =

∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)AsNkLkDkψkdτ

=

∫ t

0

d

dτ

(e−As

Nk(t−τ)

)LkDkψkdτ

=LkDkψk(t)− e−AsNktLkDkψk(0)

−∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)LkDkd

dτψk(τ)dτ .

(1.1.71)

Relatia (1.1.71), ımpreuna cu (1.1.56) si Lema 1.1.3, implica∣∣∣∣∫ t

0

e−AsNk

(t−τ)(I − PNk)FkDkψkdτ

∣∣∣∣≤ Ce−α0t‖z0k‖+ Ce−α1t‖z0k‖+ C

∫ t

0

e−α0(t−τ)e−α1τ‖z0k‖dτ

≤ Ce−α0t‖z0k‖.

(1.1.72)

In final, din relatiile (1.1.69), (1.1.70), (1.1.72) si (1.1.56) combinate, rezulta

‖ζNk(t)‖ ≤ Ce−α0t‖z0k‖, ∀t ≥ 0. (1.1.73)

Reamintind ca zk = zNk + ζNk , avem, ın virtutea Lemei 1.1.3 si a relatiei (1.1.73), ca

‖zk(t)‖ ≤ Cα0e−α0t‖z0k‖, ∀t ≥ 0,

astfel demonstratia este completa.

Remarca 1.1.5 Teorema 1.1.1 spune ca pentru toti 0 < |k| ≤ S, exista un control ψkastfel ıncat, odata introdus ın ecuatia (1.1.53), solutia corepunzatoare satisface estimarile

‖zk(t)‖ ≤ Cα0e−α0t‖z0k‖, ∀t ≥ 0. (1.1.74)

Tinand cont de relatia dintre norme

‖L−1k · ‖ ≤ Ck‖ · ‖,

pentru niste Ck > 0, deducem din (1.1.74) ca

‖L−1k zk(t)‖ ≤ CkCα0e

−α0t‖z0k‖, t ≥ 0. (1.1.75)

Putem presupune ca atat ‖L−1k z0k‖ cat si ‖z0k‖ sunt diferite de zero. In caz contrar, se

poate arata usor ca avem ın mod necesar vk ≡ 0. Prin urmare, (1.1.75) implica

‖L−1k zk(t)‖ ≤ CkCα0

‖z0k‖‖L−1

k z0k‖e−α0t‖L−1

k z0k‖,∀t ≥ 0. (1.1.76)

27

Relatia (1.1.76) spune ca controlul ψk stabilizeaza sistemul (1.1.53) ın topologia datade dualul X := (H2(0, 1) ∩H1

0 (0, 1))∗. Ceea ce sugereaza sa consideram sistemul (1.1.53)ın spatiul X si sa cautam o reprezentare feedback a controlului ψk, folosind o tehnicastandard, si anume: minimizarea unei functionale de cost. Mai precis, avem urmatorulrezultat

Teorema 1.1.2 Pentru toti 0 < |k| ≤ S, exista un control feedback de forma

ψk = −ν(L−2k Rkzk)

′′′(1)

astfel ıncat, odata introdus ın ecuatia (1.1.53), solutia corespunzatoare sistemului cu buclaınchisa (1.1.53) satisface

‖L−1k zk(t)‖ ≤ Ce−γt‖L−1

k z0k‖, ∀t ≥ 0,

pentru niste constante Cγk , γk > 0. Aici Rk ∈ L(X,X) este un operator liniar auto-adjunct,astfel ıncat

(i) Rk : H → H,

(ii) Rk satisface urmatoarea ecuatie algebrica Riccati ın H⟨L−1k Rkz0k, L

−1k Akz0k

⟩+

1

2ν2|(L−2

k Rkz0k)′′′(1)|2 =

1

2‖L−1

k z0k‖2,∀z0k ∈ H.

Remarca 1.1.6 Observam ca din (i) avemRkz0k ∈ H pentru toti z0k ∈ H, deci, L−2k Rkz0k ∈

H4(0, 1). Prin urmare, are sens derivata de ordin trei (L−2k Rkz0k)

′′′(1) ın ecuatia algebricaRiccati din (ii).

Demonstratie. Cautam o reprezentare feedback a controlului din Lema 1.1.3, via urmatoareaproblema liniara de control optimal

φ(z0k) := min1

2

∫ ∞0

(‖L−1k zk(t)‖2 + |ψk(t)|2)dt, (1.1.77)

supusa conditiilor ψk ∈ L2(0,∞;X) si

d

dtzk(t) + Akzk(t) = Bkψk, zk(0) = z0k. (1.1.78)

Sa aratam, pentru ınceput, ca problema de control optimal este bine-pusa ın spatiulstarilor X, adica φ(z0k) < ∞,∀z0k ∈ X. Trebuie demonstrat ca daca z0k ∈ X arbitrar,exista un control ψk ∈ L2(0,∞;X), astfel ıncat solutia corespunzatoare zk pentru (1.1.78)satisface zk ∈ L2(0,∞;X). Intr-adevar, Remarca 1.1.5 ne asigura rezultatul dorit (vezirelatia (1.1.76)). Din stabilitatea exponentiala deducem ca exista o constanta a2 > 0 astfelıncat

φ(z0k) ≤ a2‖L−1k z0k‖2,∀z0k ∈ X. (1.1.79)

Deoarece aplicatia φ(z) 7−→ z ∈ X este continua, avem

‖L−1k z‖ ≤ cφ(z),

28

pentru un c > 0. Aceasta, ımpreuna cu relatia (1.1.79), ne asigura ca exista constantele a1

si a2 pozitive, pentru care

a1‖z0k‖2X ≤ φ(z0k) ≤ a2‖z0k‖2

X ,∀z0k ∈ X. (1.1.80)

Asadar, via (1.1.80), exista un operator liniar ne-negativ si auto-adjunct Rk : X → Xasociat cu forma simetrica liniara φ(·), astfel ıncat

φ(z0k) =1

2〈Rkz0k, z0k〉X ,∀z0k ∈ X, Rk ∈ L(X,X). (1.1.81)

Din principiul programarii dinamice, pentru toti 0 < t < T , solutia optimala (ψ∗k, z∗k)

pentru (1.1.77)-(1.1.78) este, de asemenea, optimala si pentru urmatoarea problema deoptimizare

min

12

∫ Tt

(‖L−1k zk(s)‖2 + |ψk(s)|2)ds+ φ(zk(T ))

,

zk satisface (1.1.78), zk(t) = z∗k(t),(1.1.82)

z∗k(t) ∈ X drept conditie initiala, unde z∗k(T ) ∈ X de asemenea. Din principiul de maxim,deducem ca

ψ∗k(t) = B∗kqT = νq′′′T (1), a.p.t. t ∈ (0, T ),

L−2k Rkz

∗k(t) = −qT (t), ∀t ∈ [0, T ],

ψ∗k(t) = B∗k(L−2k Rkz

∗k(t)), ∀t ≥ 0,

(1.1.83)

unde qT este solutia ecuatiei dualeddtqT −A∗kqT = L−2

k z∗k,∀t ∈ (0, T ),

qT (T ) = −L−2k Rkz

∗k(T ).

(1.1.84)

Sa aratam, ın cele ce urmeaza, ca Rk : H → H. Mai precis, vom arata ca daca z∗keste solutia optimala pentru (1.1.77)-(1.1.78) (care este optimala si pentru (1.1.82)) cuz∗k(0) ∈ H, atunci Rkz

∗k(0) ∈ H. Avem ca L−2

k z∗k ∈ L2(0, T ;H4(0, 1)). Din ecuatia (1.1.84),din moment ce −A∗k genereaza un C0−semigrup analitic, stim ca

(T − t)12 qT ∈ C([0, T );D((−A∗k)

32 )).

Rezulta, qT (0) ∈ D((−A∗k)32 ) ⊂ H6(0, 1), deoarece D(−A∗k) ⊂ H4(0, 1). Astfel,

Rkz∗k(0) = −L2

kqT (0) ∈ H2(0, 1) ⊂ H.

In final, demonstram ca Rk este solutie pentru o ecuatie algebrica de tip Riccati. Pentruaceasta, din nou din principiul programarii dinamice si ecuatia (1.1.81), avem

1

2〈Rz∗(t), z∗k(t)〉X = φ(z∗k(t))

=1

2

∫ ∞t

(‖L−1k z∗k(s)‖2 + |ψ∗k(s)|2)ds, ∀t ≥ 0.

(1.1.85)

29

Diferentiind (1.1.85) ın t, uitilizand faptul ca Rk este auto-adjunct pe X si ecuatia (1.1.78),rezulta⟨

L−1k Akz

∗k(t), L

−1k Rkz

∗k(t)⟩

+1

2ν2|(L−2

k Rkz∗k(t))

′′′(1)|2 =1

2‖L−1

k z∗k(t)‖2, t ≥ 0. (1.1.86)

Ceea ce implica, pentru t = 0, ca Rk satisface urmatoarea ecuatie Riccati⟨L−1k Akz0k, L

−1k Rkz0k

⟩+

1

2ν2|(L−2

k Rkz0k)′′′(1)|2 =

1

2‖L−1

k z0k‖2, ∀z0k ∈ H. (1.1.87)

Utilizand teorema clasica a lui Datko, obtinem si descresterile exponentiale enuntate.

Remarca 1.1.7 Revenind la ecuatia (1.1.29) si avand ın vedere notatiile (1.1.52), Teorema1.1.2 spune ca pentru toti 0 < |k| ≤ S, exista constantele Cγk , γk > 0 si un control feedbackψk, de forma

ψk(t) = −ν(L−2k RkL

−1k vk(t))

′′′(1)

astfel ıncat, odata introdus ın ecuatia (1.1.29), solutia corespunzatoare sistemului cu buclaınchisa (1.1.29) satisface descresterea exponentiala

‖vk(t)‖2 ≤ Cγke−γkt‖v0

k‖2,∀t ≥ 0. (1.1.88)

In cele ce urmeaza, ne propunem sa aratam ca si solutia uk a ecuatiei (1.1.5) satisfaceo descrestere exponentiala de tipul celei de mai sus. Pentru aceasta, vom demonstra defapt ca v′k descreste asimptotic exponential ın norma H, dupa care, folosind relatia datade divergenta zero, obtinem descresterea dorita, pentru uk. Mai ıntai, observam ca ψksatisface urmatoarea estimare∣∣∣∣ ddtψk(t)

∣∣∣∣2 + |ψk(t)|2 ≤ Cµe−µt‖v0

k‖2, t ≥ 0, (1.1.89)

pentru niste Cµ, µ > 0, datorita formei sale feedback si a relatiei (1.1.88). Notam cuVk = Vk(t, y), urmatoarea functie

Vk(t, y) = vk(t, y) + (2y3 − 3y2)ψk(t), t ≥ 0, y ∈ (0, 1).

Din (1.1.11), observam imediat ca Vk verifica sistemul

(−V ′′k + k2Vk)t + νV ′′′′k − (2νk2 + ikU e)V ′′k + k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)Vk

= (2k2y3 − 3k2y2 − 12y + 6)d

dtψk − (2νk2 + ikU e)(12y − 6)ψk

+ k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)(2y3 − 3y2)ψk, ∀t ≥ 0, ∀y ∈ (0, 1),

V ′k(t, 0) = V ′k(t, 1) = 0, Vk(t, 0) = 0, Vk(t, 1) = 0, ∀t ≥ 0.

(1.1.90)

30

Inmultim scalar ecuatia (1.1.90) cu Vk, luam partea reala a rezultatului, si obtinem

1

2

d

dt(‖V ′k‖2 + k2‖Vk‖2) + ν‖V ′′k ‖2 + 2νk2‖V ′k‖2 + νk4‖Vk‖2

= −<(

ik

∫ 1

0

(U e)′V ′kVkdy

)+ <

(∫ 1

0

(2k2y3 − 3k2y2 − 12y + 6)d

dtψkVkdy

)−<

(∫ 1

0

(2νk2 + ikU e)(12y − 6)ψkVkdy

)+ <

(∫ 1

0

k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)(2y3 − 3y2)ψkVkdy

).

(1.1.91)

De unde deducem ca

1

2

d

dt(‖V ′k‖2 + k2‖Vk‖2) + νk2(‖V ′k‖2 + k2‖Vk‖2)

≤ C1k‖Vk‖2 + C2

k |d

dtψk|2 + C3

k |ψk|2 + C4k‖Vk‖2, t ≥ 0,

(1.1.92)

pentru niste C1k , C

2k , C

3k , C

4k > 0. Din (1.1.88), (1.1.89) si forma lui Vk, avem ca

‖Vk(t)‖2 ≤ C5ke−min(µ,γk)t‖v0

k‖2, t ≥ 0, (1.1.93)

pentru un C5k > 0. Urmeaza imediat din (1.1.92), ımpreuna cu (1.1.93) si (1.1.89), ca

‖V ′k(t)‖2 + k2‖Vk‖2 ≤ C7ke−min(µ,γk)t‖v0

k‖2, t ≥ 0,

pentru un C7k > 0. Prin urmare, folosind din nou (1.1.89), obtinem ıntr-un final ca

‖v′k(t)‖2 ≤ C8ke−min(µ,γk)t‖v0

k‖2, t ≥ 0,

sau, tinand cont de divergenta zero

‖uk(t)‖2 ≤ C8ke−min(µ,γk)t‖v0

k‖2, t ≥ 0, (1.1.94)

pentru un C8k > 0. Renotand Cγk := C8

k + Cγk si γk := min(γk, µ), conchidem din (1.1.88)si (1.1.94)

‖uk(t)‖2 + ‖vk(t)‖2 ≤ Cγke−γkt

(‖u0

k‖2 + ‖v0k‖2), t ≥ 0, 0 < |k| ≤ S. (1.1.95)

1.1.5 Stabilizare feedback pentru sistemul liniar (1.1.4)

Vom demonstra urmatoarea teorema de stabilizare feedback pentru sistemul liniarizat(1.1.4), care este de fapt si rezultatul principal al acestei sectiuni.

31

Teorema 1.1.3 Exista un control feedback finit-dimensional Ψ de forma

Ψ(t, x) = −ν∑

0<|k|≤S

(L−2k RkLkvk(t))

′′′(1)eikx, (1.1.96)

unde

vk(t, y) =

∫ 2π

0

v(t, x, y)e−ikxdx, 0 < |k| ≤ S

astfel ıncat, odata introdus ın ecuatia (1.1.4), solutia corespunzatoare sistemului cu buclaınchisa (1.1.4) satisface

‖(u(t), v(t))‖2 ≤ Cαe−αt‖(u0, v0)‖2, t ≥ 0,

pentru niste constante Cα, α > 0. Aici Rk : X → X sunt operatorii liniari auto-adjunctiintrodusi ın Teorema 1.1.2, care verifica

• Rk : H → H,

• Rk satisfac ecuatii algebrice Riccati ın H⟨L−1k Rkz0k, L

−1k Akz0k

⟩+

1

2ν2|(L−2

k Rkz0k)′′′(1)|2 =

1

2‖L−1

k z0k‖2,∀z0k ∈ H,

pentru toti 0 < |k| ≤ S, S dat de (1.1.19). Ak = FkL−1k , unde Fk este dat de (1.1.13) si

Lk este dat de (1.1.12). X = (H2(0, 1) ∩H10 (0, 1))∗.

Demonstratie. Definim urmatorul control feedback (vezi Remarca 1.1.7)

Ψ(t, x) := −ν∑

0<|k|≤S

(L−2k RkLkvk(t))

′′′(1)eikx. (1.1.97)

Aici, Rk este dat de Teorema 1.1.2.Daca introducem acest control ın sistemul (1.1.4), avem din relatia (1.1.8) ca modurile

Fourier u0 si v0 satisfac

‖u0(t)‖2 ≤ e−2C0νt‖u00‖2 si v0(t) = 0, ∀t ≥ 0. (1.1.98)

Mai departe, din Remarca 1.1.7, avem ca modurile Fourier uk si vk, pentru toti 0 < |k| ≤ S,satisfac

‖uk(t)‖2 + ‖vk(t)‖2 ≤ Cγke−γkt

(‖u0

k‖2 + ‖v0k‖2),∀t ≥ 0, (1.1.99)

(vezi (1.1.95)). In sfarsit, din Remarca 1.1.1, avem ca modurile Fourier uk si vk, pentrutoti |k| > S, satisfac

‖uk(t)‖2 + ‖vk(t)‖2 ≤ e−νS2t(‖u0

k‖2 + ‖v0k‖2),∀t ≥ 0, (1.1.100)

(vezi (1.1.24)). Deci, din (1.1.98)-(1.1.100), rezulta∑k

2π(|uk(t)|2 + |vk(t)|2

)≤ Cαe

−αt∑k

(‖u0

k‖2 + ‖v0k‖2), (1.1.101)

unde Cα := 2πmax Cγk : 0 < |k| ≤ S, 1 si α := min γk : 0 < |k| ≤ S, 2C0ν, νS2 .

Din definitia normei din (L22π(Q))2 si relatia (1.1.101) obtinem, ıntr-un final, ca

‖(u(t), v(t))‖2 ≤ Cαe−αt‖(u0, v0)‖2, t ≥ 0, (1.1.102)

adica, descresterea exponentiala anuntata.

32

1.2 Stabilizare feedback tangentiala a fluidelor perio-

dice ıntr-un canal doi-dimensional

Consideram din nou un fluid incompresibil ce evolueaza ıntr-un canal dreptunghiular semi-infinit

(x, y) ∈ (−∞,+∞)× (0, 1).

De data aceasta, ınsa, vom obtine stabilitatea profilului Poiseuille prin controale ce actioneazadoar tangential la frontiera, pe peretele superior. Mai mult, conditiile tangentiale lafrontiera ne perimt sa aratam ca acelasi control feedback ce stabilizeaza sistemul liniari-zat, stabilizeaza local si ecuatiile Navier-Stokes neliniare, doi-dimensionale, ıntr-un canal.Continutul acestei sectiuni este ın totalitate format din rezultatele originale obtinute decatre autor ın lucrarea [65].

1.2.1 Asemanari si deosebiri fata de cazul controlului normal

Ecuatiile ce guverneaza miscarea sunt aceleasi ecuatii Navier-Stokes, ın R2ut − ν∆u+ uux + vvy = px, x ∈ R, y ∈ (0, 1),vt − ν∆v + uvx + vvy = py, x ∈ R, y ∈ (0, 1),ux + vy = 0,

(1.2.1)

cu urmatoarele conditii la frontierau(t, x, 0) = 0, u(t, x, 1) = Ψ(t, x), v(t, x, 0) = v(t, x, 1) = 0,u(t, x+ 2π, y) = u(t, x, y), v(t, x+ 2π, y) = v(t, x, y),p(t, x+ 2π, y) = p(t, x, y), ∀t ≥ 0,∀x ∈ R,∀y ∈ (0, 1),

(1.2.2)

si datele initiale

u(0, x, y) = uo(x, y), v(0, x, y) = vo(x, y), x ∈ R, y ∈ (0, 1).

Dupa cum se vede, de aceasta data, controlul Ψ actioneaza asupra componentei tangentialea campului vitezelor, pe peretele superior. Starea de echilibru ce urmeaza a fi stabilizataeste acelasi profil parabolic Poiseuille, din cazul controlului normal, si anume

(U e(y), 0) = (− a

2ν(y2 − y), 0), y ∈ (0, 1),

unde a ∈ R+. Problema (1.2.1)-(1.2.2) se reduce la nula stabilizare a urmatorului sistem

ut − ν∆u+ uxUe + vU e

y + uux + vuy = px, x ∈ R, y ∈ (0, 1),vt − ν∆v + vxU

e + uvx + vvy = py, x ∈ R, y ∈ (0, 1),ux + vy = 0,u(t, x, 0) = 0, u(t, x, 1) = Ψ(t, x), v(t, x, 0) = v(t, x, 1) = 0,u(t, x+ 2π, y) = u(t, x, y), v(t, x+ 2π, y) = v(t, x, y),p(t, x+ 2π, y) = p(t, x, y), ∀t ≥ 0, ∀x ∈ R,∀y ∈ (0, 1),

(1.2.3)

33

cu datele initiale

u(0, x, y) = u0(x, y) := uo(x, y)− U e(y), v(0, x, y) = v0(x, y) := vo(x, y), x ∈ R, y ∈ (0, 1).

Liniarizatul acestui sistem este

ut − ν∆u+ uxUe + vU e

y = px,vt − ν∆v + vxU

e = py,ux + vy = 0,u(t, x, 0) = 0, u(t, x, 1) = Ψ(t, x), v(t, x, 0) = v(t, x, 1) = 0,u(t, x+ 2π, y) = u(t, x, y), v(t, x+ 2π, y) = v(t, x, y),p(t, x+ 2π, y) = p(t, x, y), ∀t ≥ 0,∀x ∈ R,∀y ∈ (0, 1),

(1.2.4)

care, via descompunerii ın serii Fourier, se transforma ın urmatorul sistem parabolic infinit(−v′′k + k2vk)t + νv′′′′k − (2νk2 + ikU e)v′′k

+ k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)vk = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),vk(0) = vk(1) = 0, v′k(0) = 0, v′k(1) = ψk(t).

(1.2.5)

Aiciu =

∑k∈Z

uk(t, y)eikx, v =∑k∈Z

vk(t, y)eikx

p =∑k∈Z

pk(t, y)eikx,Ψ =∑k∈Z

− 1

ikψk(t)e

ikx,

(am considerat coeficientii Fourier ai lui Ψ ın forma − 1ikψk pentru a facilita calculele, dar

mai ales pentru a obtine aceeasi forma a operatorilor implicati ca ın cazul controluluinormal, din sectiunea anterioara).

Argumentand ca ın cazul controlului normal, problema (1.2.5) poate fi rescrisa echivalentsub forma

(Lkvk)t + AkLkvk = (θk + Fk)Dkψk, t > 0, (1.2.6)

cu data initiala v0k. Operatorii care apar mai sus, Lk, Fk, Ak, sunt extinderile la ıntreg

spatiul H ai operatorilor Lk, Fk, respectiv Ak, introdusi ın sectiunea precedenta (vezi(1.1.12),(1.1.13), respectiv (1.1.18), iar pentru definitia extinderilor vezi (4.1.6) din Apen-dix). Operatorii Dirichlet Dk sunt definiti ın acest caz, astfel: pentru toti ψ ∈ C notam cuDkψ := w ∈ H4(0, 1) solutia ecuatiei

θkw + Fkw = 0,∀y ∈ (0, 1),w(0) = w(1) = 0, w′(0) = 0, w′(1) = ψ.

(1.2.7)

De aceasta data, dualul ((θk + Fk)Dk)∗ este dat de

((θk + Fk)Dk)∗φ = −νφ′′(1), (1.2.8)

pentru toti φ ∈ H4(0, 1), φ(0) = φ(1) = 0, φ′(0) = φ′(1) = 0.Datorita similitudinii cu cazul controlului normal, obtinem urmatorul rezultat de stabili-

zare tangentiala feedback pentru liniarizatul (1.2.4), ın mod asemanator cu cel din Teorema1.1.3. Mai exact, avem

34

Teorema 1.2.1 Exista un control feedback finit-dimensional Ψ de forma

Ψ(t, x) = −ν∑

0<|k|≤S

1

ik(L−2

k RkLkvk(t))′′(1)eikx, (1.2.9)

unde

vk(t, y) =

∫ 2π

0

v(t, x, y)e−ikxdx, 0 < |k| ≤ S

astfel ıncat, odata introdus ın ecuatia (1.2.4), solutia corespunzatoare sistemului cu buclaınchisa (1.2.4) satisface

‖(u(t), v(t))‖2 ≤ Cβe−βt‖(u0, v0)‖2, t ≥ 0,

pentru niste constante Cβ, β > 0. Aici Rk : X → X sunt operatori liniari, auto-adjuncti,care satisfac ecuatii Riccati algebrice ın H⟨

L−1k Rkz0, L

−1k Akz0

⟩+

1

2ν2|(L−2

k Rkz0)′′(1)|2 =1

2‖L−1

k z0‖2,∀z0 ∈ H,

pentru toti 0 < |k| ≤ S, S dat de (1.1.19). Ak = FkL−1k , unde Fk este dat de (1.1.13) si

Lk este dat de (1.1.12). X = (H2(0, 1) ∩H10 (0, 1))∗.

1.2.2 Stabilizarea feedback locala a sistemului neliniar Navier-Stokes (1.2.3)

In continuare, ne propunem sa aratam ca acelasi control feedback (1.2.9), care stabilizeazasistemul liniarizat (1.2.4), stabilizeaza si sistemul neliniar (1.2.3). Pentru aceasta, vomrescrie sistemul (1.2.3) ıntr-o forma mai compacta. Introducem notatiile:

v := (u, v) ∈ (L2(O))2, x := (x, y) ∈ R2, Ω = O × (0,∞),

unde O = (0, 2π)×(0, 1). ∂O = Σ1∪Σ2, unde Σ1 reprezinta peretele y = 1 si Σ2 = ∂O\Σ1.Introducem operatorul liniar G : L2(0, 2π)→ (L2(∂O))

2, definit astfel

G(Ψ) =

(Ψ(x), 0) daca (x, y) ∈ Σ1,

(0, 0) daca (x, y) ∈ Σ2,(1.2.10)

pentru toti Ψ ∈ L2(0, 2π). Cu aceste notatii, sistemul neliniar (1.2.3) poate fi rescris astfel

vt(t, x)− ν∆v(t, x) + (v · ∇)v(t, x) = ∇p(t, x) ın O,

∇ · v = 0 ın O,

v = G(Ψ(t)) pe ∂O, t ≥ 0,

v(0, x) = v0(x) := (uo(x), vo(x)) ın O.

(1.2.11)

35

Solutia stationara (U e, 0) o vom nota cu ve. Din (1.1.2) stim ca aceasta satisface−ν∆ve + (ve · ∇)ve = ∇pe ın O,

∇ · ve = 0 ın O,

ve = 0 pe ∂O.

(1.2.12)

Este aratat ın [13, Sectiunea 3.1] ca ecuatia translatata a lui (1.2.11) ( adica, v ⇒ v −ve, p⇒ p− pe), proiectata pe spatiul Hπ, este

vt −Av +Bv = −ADGΨ ∈ [D(A∗)]∗, v0 ∈ Hπ, G(Ψ) · n ≡ 0 pe ∂O, t ≥ 0, (1.2.13)

unde spatiul Hπ (vezi (4.3.2) din Apendix) este definit astfel

Hπ :=v ∈ (L2(O))2 : ∇ · v = 0,v · n = 0 pe ∂O

, (1.2.14)

operatorul A : Hπ → [D(A∗)]∗ este extensia prin transpozitie, dualitate ın raport cu spatiulHπ ca spatiu pivot, a operatorului diferential Oseen-Stokes

A := −(νA+ A0),D(A) = D(A) = (H2(O))2 ∩Hπ, (1.2.15)

Av := −P (∆v), ∀v ∈ D(A); A0v := P ((ve · ∇)v + (v · ∇)ve),

D(A0) = D(A12 ),

(1.2.16)

siBv := P ((v · ∇)v),∀v ∈ D(A

12 ), (1.2.17)

unde P : (L2(O))2 → Hπ este proiectorul Leray (vezi Apendix). Operatorul Dirichlet Ddin (1.2.13) este definit ın felul urmator (vezi Sectiunea 3.1, completata de anexa A.2 din[13]): introducem pentru ınceput urmatoarea expresie diferentiala

Av := −ν∆v + (ve · ∇)v + (v · ∇)ve. (1.2.18)

Operatorul Dirichlet D este solutia urmatoarei probleme stationare Oseen-StokesZ = Dg ⇔ (k + A)Z = ∇p ın O,

∇ · Z = 0 ın O,

Z =

(g(x), 0), daca (x, y) ∈ Σ1,

(0, 0), daca (x, y) ∈ Σ2.

(1.2.19)

Sistemul liniar, corespunzator lui (1.2.6), este

vt −Av = −ADGΨ ∈ [D(A∗)]∗, v0 ∈ Hπ, G(Ψ) · n ≡ 0 pe ∂O, t ≥ 0. (1.2.20)

In sfarsit, rezultatul principal de stabilizare este dat de urmatoarea teorema.

36

Teorema 1.2.2 Fie W := D(A14 ) si vecinatatea lui zero

Uρ :=

(u0, v0) ∈ W ; ‖(u0, v0)‖W ≤ ρ.

Cu referire la Teorema 1.2.1, controlul feedback

ψ(t, x) = −ν∑

0<|k|≤S

1

ik(L−2

k RkLkvk(t))′′(1)eikx,

odata introdus ın sistemul neliniar (1.2.3), impune existenta unui ρ > 0 suficient de mic,astfel ıncat pentru orice data initiala (u0, v0) ∈ Uρ exista o solutie unica

(u, v) ∈ C([0,∞);W ) ∩ L2(0,∞;Z),

a sistemului cu bucla ınchisa (1.2.3), care satisface

‖(u(t), v(t))‖W ≤Me−ωt‖(u0, v0)‖W ,∀t > 0,

pentru niste constante M,ω > 0. Aici Z := D(A34 ). A dat de relatia (1.2.16).

Remarca 1.2.1 Daca sistemul (1.2.13) (echivalent (1.2.11)) este feedback stabilizabil,atunci urmeaza ca si sistemul (1.2.3) este feedback stabilizabil. Prin urmare, este sufi-cient sa demonstram stabilizabilitatea sistemului (1.2.13), pentru a demonstra Teorema1.2.2.

Din Teorema 1.2.1, avem ca controlul feedback

Fv := Ψ = −ν∑|k|≤S

1

ik(L−2

k RkLkvk(t))′′(1)eikx,

stabilizeaza exponential sistemul (1.2.20), mai precis avem

‖eAF tv0‖ ≤ Cβe−βt‖v0‖, t ≥ 0,v0 ∈ Hπ, (1.2.21)

unde AFv := Av−ADGFv. Introducem acest control ın sistemul (1.2.13), si obtinem

vt +Bv = AFv. (1.2.22)

Formula variatiei constantelor corespunzatoare sistemului (1.2.22) este

v(t) = eAF tv0 − (Nv)(t); (Nv)(t) =

∫ t

0

eAF (t−τ)(Bv)(τ)dτ . (1.2.23)

Avem

Teorema 1.2.3 Daca ρ > 0 este suficient de mic, atunci pentru toti v0 ∈ W cu ‖v0‖W ≤ ρ,problema (1.2.23) este bine-pusa ın W cu solutie unica

v ∈ C([0,∞];W ) ∩ L2(0,∞;Z).

Mai mult, aceste solutii locale satisfac urmatoarea descrestere exponentiala: exista constan-tele M ≥ 1, ω > 0, independente de ρ > 0, astfel ıncat

‖v(t)‖ ≤Me−ωt‖v0‖, t ≥ 0.

Aici, W si Z sunt spatiile introduse ın Teorema 1.2.2.

37

Demonstratie. Vom aplica [12, Theorem 5.1]. Pentru aceasta, trebuie, mai ıntai, sademonstram ca ipotezele (H.1), (H.1i), (H.1ii) si (H.1iii) din [12] sunt adevarate pentrucazul nostru. Mai precis, trebuie aratat ca, cu notatiile de mai sus, avem

(i) AF genereaza un semigrup analitic eAF t pe W , care este uniform exponential stabilpe W , adica,

‖eAF t‖L(W,W ) ≤ Cβe−βt, t ≥ 0;

(ii) pentru toti v0 ∈ W , avem eAF tv0 ∈ L2(0,∞;Z); deci, pentru o constanta pozitiva c,avem ∫ ∞

0

‖eAF tv0‖2Zdt ≤ c‖v0‖2

W ,∀v0 ∈ W.

Lema de mai jos ne asigura de valabilitatea lor.

Lema 1.2.1 Avem ∫ ∞0

‖e(AF+β)tv0‖2Zdt ≤ c‖v0‖W , ∀v0 ∈ W, (1.2.24)

‖eAF tv0‖W ≤ Ce−βt‖v0‖W ,∀t ≥ 0. (1.2.25)

Demonstratie. Functia V (t) := e(AF+β)tv0 este solutia ecuatiei

dV

dt+ νAV + A0V +ADFV = βV,

V (0) = v0.

Daca o ınmultim scalar cu A12V , obtinem ca

1

2

d

dt‖V (t)‖2

W + ν‖A34V (t)‖2 ≤ C

(‖A

12V (t)‖2 + ‖A

12V (t)‖‖V (t)‖

), t > 0.

Inegalitatile de interpolare ne asigura, atunci, ca

‖A12V ‖2 ≤ ‖A

34V ‖

23‖V ‖

43 ≤ ν

2‖A

34V ‖2 + C‖V ‖2,

ceea ce implicad

dt‖V (t)‖2

W +ν

2‖A

34V (t)‖2 ≤ C1‖V (t)‖2, ∀t > 0.

Luand aceasta ın considerare, avem din relatia (1.2.21) ca

‖V (t)‖ ≤ Ce−βt‖v0‖,∀t ≥ 0,

estimarile urmeaza imediat.

Demonstratia Teoremei 1.2.3 (continuare). Dupa cum am spus mai sus, pentru ademonstra Teorema 1.2.3 vom aplica [12, Theorem 5.1]. Demonstratia este exact la fel,din acest motiv doar vom schita ideile.

38

Pentru ınceput, pentru r > 0, introducem bila de raza r, centrata ın origine, a spatiuluiL2(0,∞;Z):

S(0, r) :=

f ∈ L2(0,∞;Z) : ‖f‖L2(0,∞;Z) =

∫ ∞0

‖f(t)‖Zdt 1

2

≤ r

.

Mai departe, pentru orice v0 ∈ W si z ∈ L2(0,∞;Z), introducem aplicatia

(Λz)(t) := eAF tv0 − (Nz)(t); (Nz)(t) :=

∫ t

0

eAF (t−τ)(Bz)(τ)dτ .

In legatura cu termenul neliniar B, avem din [12, Lemma 5.4], urmatoarea estimare cheie

‖Bz‖W ≤ h‖z‖2Z ,∀z ∈ Z, (1.2.26)

pentru un h > 0. Folosind (1.2.26), gasim urmatoarea estimare pentru Λ.

Lema 1.2.2 Pentru toti v0 ∈ W si z ∈ L2(0,∞;Z), aplicatia Λ satisface urmatoareaestimare

|Λz|2L2(0,∞;Z) ≤ 2c‖v0‖2W + 2ch2

[∫ ∞0

‖z(t)‖2Zdt

]2

, (1.2.27)

unde c > 0 este constanta din (1.2.24), si h > 0 este constanta care se regaseste ın relatia(1.2.26).

Mai departe, impunand niste restrictii constantelor c, h si r, si folosind Lema 1.2.2,obtinem urmatorul rezultat.

Lema 1.2.3 Fie z ∈ S(0, r), unde r > 0 este ales astfel ıncat sa satisfaca constrangerile

2c‖v0‖2W ≤

1

2r2; 2ch2 ≤ 1

2r2 ori r ≤ 1

2√ch. (1.2.28)

Atunci,|Λz|2L2(0,∞;Z) ≤ r2.

Lema 1.2.3 spune ca Λ duce bila S(0, r) ın ea ınsasi. Pentru a obtine existenta solutiilor,vom aplica teorema de punct fix a aplicatiilor contractive. Pentru aceasta, trebuie saaratam ca Λ este o contractie. Avem

Propozitia 1.2.1 Fie v0 ∈ W si z1, z2 ∈ S(0, r). Atunci operatori Λ si N satisfac

|Λz1 − Λz2|L2(0,∞;Z) = |Nz1 −Nz2|L2(0,∞;Z)

≤ 2√c hr|z1 − z2|L1(0,∞;Z),

(1.2.29)

unde c > 0 este constanta din relatia (1.2.24) si h > 0 din relatia (1.2.26).

Rezultatul principal, via Propozitia 1.2.1, este stipulat de urmatoarele doua propozitii.

39

Propozitia 1.2.2 Fie r < 12√ch, c din (1.2.24) si h din (1.2.26). Avem

(i) operatorul Λ este o contractie pe S(0, r);

(ii) pentru orice v0 ∈ W , ‖v0‖W ≤ r/2√c, exista o solutie unica v ∈ S(0, r) ⊂

L2(0,∞;Z) pentru

Λv = v; aceasta este v(t) = eAFtv0 −∫ t

0

eAF(t−τ)(Bv)(τ)dτ ; (1.2.30)

(iii) mai precis, problema (1.2.23) (echivalent, (1.2.22)) are solutie unica v pentru toti v0

ca ın (ii), si r specificat acolo, sastisfacand

v ∈ C([0,∞);B(0, b)) ∩ L2(0,∞;Z);

unde B(0, b) este bila din W definita astfel

B(0, b) := f ∈ W : ‖f‖W ≤ b , b =C

2ch,

C din (1.2.25), c din (1.2.24), h din (1.2.26), continuu ın v0 ∈ W :∫ ∞0

‖v(t)‖2Zdt ≤ c1r‖v0‖2

W ; c1r =2c

1− 2ch2r2> 0. (1.2.31)

Propozitia 1.2.3 Fie v0 ∈ W, ‖v0‖ < r/2√c, pentru r < 1/(2

√ch), c ca ın (1.2.24),

h ca ın (1.2.26). Atunci, cu referire la solutia unica v(t), a sistemului (1.2.23), data dePropozitia 1.2.2, avem: exista constantele M ≥ 1 si ω > 0, pentru care

‖v(t)‖W ≤Me−ωt‖v0‖W , t ≥ 0. (1.2.32)

Demonstratia Teoremei 1.2.2 urmeaza imediat din Remarca 1.2.1 si Teorema 1.2.3.

40

1.3 Stabilizare feedback normala a fluidelor periodice

ıntr-un canal trei-dimensional

Cele doua rezultate de stabilizare, normala si tangentiala, pentru canalul dreptunghiular,prezentate ın sectiuniile anterioare, pot fi extinse la cazul canalului trei-dimensional, ınmod direct. Desi spatiul devine trei-dimensional, vom vedea ca, pentru a stabiliza profilulparabolic, este suficient sa aplicam tot doar un control la frontiera, pe peretele superior.Metoda de abordare este similara cu cea prezentata mai sus. Exista, ınsa, cateva rezultatece trebuie reconsiderate ın noul cadru 3-D. Aceasta sectiune este alcatuita integral dinrezultatele originale obtinute de catre autor ın lucrarea [67].

1.3.1 Prezentarea problemei

Consideram un flux trei-dimensional printr-un canal de forma

(x, y, z) ∈ (−∞,∞)× [0, 1]× (−∞,∞).

Dinamica este modelata de ecuatiile Navier-Stokes 3-D, incompresibile

ut − ν∆u+ u∂u∂x

+ v ∂u∂y

+ w ∂u∂z

= − ∂p∂x,

vt − ν∆v + u ∂v∂x

+ v ∂v∂y

+ w ∂v∂z

= −∂p∂y,

wt − ν∆w + u∂w∂x

+ v ∂w∂y

+ w ∂w∂z

= −∂p∂z,

∂u∂x

+ ∂v∂y

+ ∂w∂z

= 0, x, z ∈ R, y ∈ (0, 1), t ≥ 0.

(1.3.1)

Similar cu cazul doi-dimensional, pentru a nu avea de-a face cu domenii infinte, vompresupune ca atat campul vitezelor cat si presiunea sunt 2π−periodice ın variabilele x siz, mai precis avem urmatoarele conditii la frontiera

u(t, x+ 2π, y, z + 2π) = u(t, x, y, z),

v(t, x+ 2π, y, z + 2π) = v(t, x, y, z),

w(t, x+ 2π, y, z + 2π) = w(t, x, y, z),

p(t, x+ 2π, y, z + 2π) = p(t, x, y, z),

u(t, x, 0, z) = u(t, x, 1, z) = 0,

v(t, x, 0, z) = 0, v(t, x, 1, z) = Ψ(t, x, z),

w(t, x, 0, z) = w(t, x, 1, z) = 0,

∀x, z ∈ R, y ∈ (0, 1), t ≥ 0.

(1.3.2)

41

Si datele initiale

u(0, x, y, z) = uo(x, y, z), v(0, x, y, z) = vo(x, y, z), w(0, x, y, z) = wo(x, y, z),

pentru x, z ∈ R, y ∈ [0, 1].Solutia de echilibru a sistemului (1.3.1), ce urmeaza a fi stabilizata, este profilul parabolic

Poiseuille trei-dimensional, ce se obtine ın mod asemanator cu cazul doi-dimensional, sianume

U e = − a

2ν(y2 − y), V e ≡ 0, W e ≡ 0, y ∈ [0, 1], (1.3.3)

unde a ∈ R+.Liniarizatul sistemului (1.3.1)-(1.3.2), ın jurul solutiei de echilibru (1.3.3), este urmatorul

ut − ν∆u+ U e ∂u∂x

+ v ∂Ue

∂y= − ∂p

∂x,

vt − ν∆v + U e ∂v∂x

= −∂p∂y,

wt − ν∆w + U e ∂w∂x

= −∂p∂z,

∂u∂x

+ ∂v∂y

+ ∂w∂z

= 0, x, z ∈ R, y ∈ (0, 1), t ≥ 0,

(1.3.4)

completat de conditiile la frontiera

u(t, x+ 2π, y, z + 2π) = u(t, x, y, z),

v(t, x+ 2π, y, z + 2π) = v(t, x, y, z),

w(t, x+ 2π, y, z + 2π) = w(t, x, y, z),

p(t, x+ 2π, y, z + 2π) = p(t, x, y, z),

u(t, x, 0, z) = u(t, x, 1, z) = 0,

v(t, x, 0, z) = 0, v(t, x, 1, z) = Ψ(t, x, z),

w(t, x, 0, z) = w(t, x, 1, z) = 0,∀x, z ∈ R, y ∈ (0, 1), t ≥ 0.

(1.3.5)

Si datele initiale

u(0, x, y, z) = u0 := uo(x, y, z)− U e(y), v(0, x, y, z) = v0 := vo(x, y, z),

w(0, x, y, z) = w0 := wo(x, y, z).

1.3.2 Preliminarii

De aceasta data, L22π(Q), Q := (0, 2π) × (0, 1) × (0, 2π), este spatiul tuturor functiilor

u ∈ L2loc(R× (0, 1)×R) care sunt 2π−periodice ın x si z. Aceste functii sunt caracterizate

42

de seriile lor Fourier

u(x, y, z) =∑k,l∈Z

ukl(y)eikxeilz, ukl = u−k−l,

astfel ıncat ∑k,l∈Z

∫ 1

0

|ukl(y)|2dy <∞.

Norma ın L22π(Q) este definita astfel

‖u‖L22π(Q) :=

(∑k,l∈Z

2π‖ukl‖2L2(0,1)

) 12

.

Similar cu cazul doi-dimensional, vom nota cu ‖ · ‖ norma ın L22π(Q) si ın L2(0, 1). Definim

(L22π(Q))3 :=

(u, v, w) : u, v, w ∈ L2

2π(Q).

‖(·, ·, ·)‖ va nota norma ın (L22π(Q))3, definita astfel

‖(u, v, w)‖ :=(‖u‖2 + ‖v‖2 + ‖w‖2

) 12 .

Ne ıntoarcem la sistemul (1.3.4) si ıl rescriem ın functie de coeficientii Fourier (ukl)k,l∈Z,(vkl)k,l∈Z, (wkl)k,l∈Z, (pkl)k,l∈Z, (ψkl)k,l∈Z, ai campului vitezelor, presiunii, respectiv contro-lului. Avem

(ukl)t − ν[−(k2 + l2)ukl + u′′kl] + ikU eukl + (U e)′vkl = −ikpkl,

a.p.t. ın (0, 1),

(vkl)t − ν[−(k2 + l2)vkl + v′′kl] + ikU evkl = −p′kl, a.p.t. ın (0, 1),

(wkl)t − ν[−(k2 + l2)wkl + w′′kl] + ikU ewkl = −ilpkl, a.p.t. ın (0, 1),

ikukl + v′kl + ilwkl = 0, a.p.t. ın (0, 1),

ukl(0) = ukl(1) = 0, vkl(0) = 0, vkl(1) = ψkl,

wkl(0) = wkl(1) = 0,

(1.3.6)

cu datele initiale u0kl, v

0kl, w

0kl (la fel ca ın sectiunile anterioare, am notat cu ′ derivata partiala

∂∂y

). Reamintim ca H reprezinta spatiul complexificat al lui L2(0, 1), iar ‖ · ‖ norma sa,

si 〈·, ·〉 produsul scalar. Ideea este sa eliminam presiunea din sistemul (1.3.6), ın aceeasimaniera ca ın cazul doi-dimensional. Pentru a realiza acest lucru, trebuie ın mod necesarsa avem k, l 6= 0. Acesta este motivul pentru care vom studia, mai ıntai, cazurile pentrucare k sau l, sau amandoi sunt egali cu zero.

43

Daca k = l = 0, sistemul (1.3.6) devine

(u00)t − νu′′00 + (U e)′v00 = 0, a.p.t. ın (0, 1),(v00)t − νv′′00 = −p′00, a.p.t. ın (0, 1),(w00)t − νw′′00 = 0, a.p.t. ın (0, 1),v′00 = 0, a.p.t. ın (0, 1),u00(0) = u00(1) = 0, v00(0) = 0, v00(1) = ψ00,w00(0) = w00(1) = 0.

(1.3.7)

Din conditia de divergenta zero, v′00 = 0, ∀t ≥ 0, si conditiile la frontiera, v00(0) = 0, ∀t ≥0, deducem ca v00 ≡ 0. Ceea ce implica, de asemenea, ca ψ00 ≡ 0. Deci, u00 si w00 satisfacecuatiile

(u00)t − νu′′00 = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),u00(0) = u00(1) = 0,

(1.3.8)

si (w00)t − νw′′00 = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),w00(0) = w00(1) = 0.

(1.3.9)

Inmultind scalar ecuatia (1.3.8) cu u00 si ecuatia (1.3.9) cu w00, si folosind inegalitatea luiPoincare, obtinem, ın urma unor calcule, ca pentru o constanta C0 > 0, avem

1

2

d

dt‖u00(t)‖2 + C0ν‖u00‖2 ≤ 0, t ≥ 0,

si1

2

d

dt‖w00(t)‖2 + C0ν‖w00‖2 ≤ 0, t ≥ 0.

Aceasta implica‖u00(t)‖2 ≤ e−2C0νt‖u0

00‖2, ∀t ≥ 0, (1.3.10)

si‖w00(t)‖2 ≤ e−2C0νt‖w0

00‖2, ∀t ≥ 0. (1.3.11)

Ceea ce ınseamna ca, pentru coeficientii Fourier u00, v00, w00, stabilitatea exponentiala areloc fara a aplica vreun control la frontiera.

Daca k 6= 0 si l = 0, sistemul (1.3.6) capata urmatoarea forma

(uk0)t − ν[−k2uk0 + u′′k0] + ikU euk0 + (U e)′vk0 = −ikpk0, a.p.t. ın (0, 1),

(vk0)t − ν[−k2vk0 + v′′k0] + ikU evk0 = −p′k0, a.p.t. ın (0, 1),

(wk0)t − ν[−k2wk0 + w′′k0] + ikU ewk0 = 0, a.p.t. ın (0, 1),

ikuk0 + v′k0 = 0, a.p.t. ın (0, 1),

uk0(0) = uk0(1) = 0, vk0(0) = 0, vk0(1) = ψk0,

wk0(0) = wk0(1) = 0, ∀t ≥ 0.

(1.3.12)

44

Consideram separat doar ecuatiile corespunzatoare modurilor uk0 si vk0, adica,

(uk0)t − ν[−k2uk0 + u′′k0] + ikU euk0 + (U e)′vk0 = −ikpk0, a.p.t. ın (0, 1),

(vk0)t − ν[−k2vk0 + v′′k0] + ikU evk0 = −p′k0, a.p.t. ın (0, 1),

ikuk0 + v′k0 = 0, a.p.t. ın (0, 1),

uk0(0) = uk0(1) = 0, vk0(0) = 0, vk0(1) = ψk0, ∀t ≥ 0.

(1.3.13)

Observam imediat ca uk0, vk0 si pk0 verifica aceeasi problema de control la frontiera (1.1.5)ca si uk, vk, respectiv pk. Prin urmare, putem obtine un rezultat asemanator cu cel dinTeorema 1.1.2 si Remarca 1.1.1, si anume: exista α1, C1 > 0 astfel ıncat, pentru toti0 < |k| ≤ S, controlul feedback

ψk0 := −ν(L−2k RkLkvk0(t))′′′(1), (1.3.14)

odata introdus ın sistemul (1.3.13), solutia corespunzatoare sistemului bucla ınchisa (1.3.13)satisface estimarea

‖uk0‖2 + ‖vk0‖2 ≤ C1e−α1t(‖u0

k0‖2 + ‖v0k0‖2), ∀t ≥ 0, (1.3.15)

unde Lk este definit ın (1.1.12), iar operatorii Rk sunt introdusi ın Teorema 1.1.2. Pentru|k| > S, avem

‖uk0(t)‖2 + ‖vk0(t)‖2 ≤ e−νS2t(‖u0

k0‖2 + ‖v0k0‖2

), ∀t ≥ 0. (1.3.16)

Multiplicand scalar a treia ecuatie a sistemului (1.3.12) cu wk0 si luand partea reala arezultatului, obtinem ca

1

2

d

dt‖wk0‖2 + νk2‖wk0‖2 + ν‖w′k0‖2 = 0, ∀t ≥ 0. (1.3.17)

De unde gasim ca, pentru toti k ∈ Z∗, avem

‖wk0(t)‖2 ≤ e−νt‖w0k0‖2,∀t ≥ 0. (1.3.18)

Deci, punand ımpreuna relatiile (1.3.15) si (1.3.18), vedem ca exista α2, C2 > 0, astfel ıncatpentru toti 0 < |k| ≤ S, controlul feedback

ψk0 = −ν(L−2k RkLkvk0(t))′′′(1), (1.3.19)

odata introdus ın sistemul (1.3.12), solutia corespunzatoare sistemului cu bucla ınchisa(1.3.12) satisface estimarile

‖uk0(t)‖2 + ‖vk0(t)‖2 + ‖wk0(t)‖2 ≤ C2e−α2t(‖u0

k0‖2 + ‖v0k0‖2 + ‖w0

k0‖2), ∀t ≥ 0. (1.3.20)

Mai mult, din (1.3.16) si (1.3.18), avem ca

‖uk0(t)‖2 + ‖vk0(t)‖2 + ‖wk0(t)‖2 ≤ e−νS2t(‖u0

k0‖2 + ‖v0k0‖2 + ‖w0

k0‖2),∀t ≥ 0, (1.3.21)

45

pentru toti |k| > S.Cand k = 0 si l 6= 0, sistemul (1.3.6) are forma

(u0l)t − ν[−l2u0l + u′′0l] + (U e)′v0l = 0, a.p.t. ın (0, 1),

(v0l)t − ν[−l2v0l + v′′0l] = −p′0l, a.p.t. ın (0, 1),

(w0l)t − ν[−l2w0l + w′′0l] = −ilp0l, a.p.t. ın (0, 1),

v′0l + ilw0l = 0, a.p.t. ın (0, 1),

u0l(0) = u0l(1) = 0, v0l(0) = 0, v0l(1) = ψ0l,

w0l(0) = w0l(1) = 0, ∀t ≥ 0.

(1.3.22)

Reducem presiunea din a doua si a treia ecuatie a sistemului (1.3.22), luam ın consideraredivergenta zero, si obtinem ca

(−v′′0l + l2v0l)t + ν(v′′′′0l − 2l2v′′0l + l4v0l) = 0, a.p.t. ın (0, 1),v0l(0) = 0, v0l(1) = ψ0l, v

′0l(0) = v′0l(1) = 0.

(1.3.23)

Punem ψ0l ≡ 0, ınmultim scalar ecuatia (1.3.23) cu v0l, si luam partea reala a rezultatului.Obtinem astfel

1

2

d

dt(l2‖v0l‖2 + ‖v′0l‖2) + ν‖v′′0l‖2 + 2l2ν‖v′0l‖2 + νl4‖v0l‖2 = 0, ∀t ≥ 0.

De unded

dt(l2‖v0l‖2 + ‖v′0l‖2) + ν(l2‖v0l‖2 + ‖v′0l‖2) ≤ 0, ∀t ≥ 0.

Folosind aceasta, si luand din nou ın considerare divergenta zero, deducem ca

‖v0l(t)‖2 + ‖w0l(t)‖2 ≤ e−νt(‖v00l‖2 + ‖w0

0l‖2), ∀t ≥ 0, (1.3.24)

pentru toti l ∈ Z∗.Multiplicam scalar prima ecuatie a sistemului (1.3.22) cu u0l si obtinem, facand cateva

calcule si utilizand relatia (1.3.24), ca

‖u0l(t)‖2 ≤ Ce−νt(‖u00l‖2 + ‖v0

0l‖2 + ‖w00l‖2), ∀t ≥ 0,

pentru un C > 0.Deci, cand k = 0 si l 6= 0, putem considera control nul la frontiera, adica ψ0l ≡ 0, pentru

a obtine ca solutia sistemului (1.3.22) satisface

‖u0l(t)‖2 + ‖v0l(t)‖2 + ‖w0l(t)‖2 ≤ C3e−νt(‖u0

0l‖2 + ‖v00l‖2 + ‖w0

0l‖2),∀t ≥ 0, (1.3.25)

pentru un C3 > 0.De acum ınainte, vom considera doar cazul ın care k 6= 0 si l 6= 0. Intorcandu-ne la

sistemul (1.3.6), eliminam presiunea astfel: adunam la cea de-a doua ecuatie a sistemului

46

(1.3.6), ınmultita cu k2 + l2, derivata primei ecuatii a sistemului (1.3.6), ınmultita cu ik, siderivata celei de-a treia ecuatii a sistemului (1.3.6), ınmultita cu il. Obtinem ca

[v′′kl−(k2 + l2)vkl]t − νv′′′′kl + [2ν(k2 + l2) + ikU e]v′′kl− [ν(k2 + l2)2 + ik(k2 + l2)U e + ik(U e)′′]vkl = 0,

t ≥ 0, y ∈ (0, 1),v′kl(0) = v′kl(1) = 0, vkl(0) = 0, vkl(1) = ψkl(t),

(1.3.26)

folosind si relatia data de divergenta zero, adica, ikukl + v′kl + ilwkl = 0.Pentru toti k, l ∈ Z∗ notam cu Lkl : D(Lkl) ⊂ H → H si Fkl : D(Fkl) ⊂ H → H

operatorii liniari, definiti astfel

Lklv := −v′′ + (k2 + l2)v,D(Lkl) = H10 (0, 1) ∩H2(0, 1), (1.3.27)

Fklv := νv′′′′ − (2ν(k2 + l2) + ikU e)v′′ + (ν(k2 + l2)2 + ik(k2 + l2)U e + ik(U e)′′)v, (1.3.28)

D(Fkl) = H4(0, 1) ∩H20 (0, 1).

De asemena, introducem urmatoarele expresii diferentiale

Lklv := −v′′ + (k2 + l2)v,

si

Fklv := νv′′′′ − (2ν(k2 + l2) + ikU e)v′′ + (ν(k2 + l2)2 + ik(k2 + l2)U e + ik(U e)′′)v.

Cu aceste notatii, ecuatia (1.3.26) devine

(Lklvkl)t + Fklvkl = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1), (1.3.29)

v′kl(0) = v′kl(1) = 0, vkl(0) = 0, vkl(1) = ψkl(t).

Urmam aceeasi pasi ca ın cazul doi-dimensional si obtinem ca sistemul (1.3.29) se rescrieechivalent, astfel

(Lklvkl)t + AklLklvkl = (θ + Fkl)Dklψkl, t > 0, (1.3.30)

cu data initiala v0kl. In cele ce urmeaza, vom detalia operatorii ce apar ın sistemul (1.3.30).

Asadar, Akl este extinderea la ıntreg spatiul H al operatorului Akl : D(Akl) ⊂ H → H,definit astfel

Akl := FklL−1kl , D(Akl) =

v ∈ H : L−1

kl v ∈ D(Fkl), (1.3.31)

pentru care avem adevarat urmatorul rezultat ce corespunde Lemei 1.1.1, din cazul doi-dimensional.

Lema 1.3.1 Operatorul −Akl genereaza un C0−semigrup analitic pe H, si pentru oriceλ ∈ ρ(−Akl), (λI + Akl)

−1 este compact. Mai mult, avem ca

σ(−Akl) ⊂ λ ∈ C : <λ ≤ 0 ,∀k, l astfel ıncat√k2 + l2 > S,

unde S este dat de relatia (1.1.19).

47

Demonstratie Se poate adapta usor demonstratia din [17, Lemma 1], pentru acest caz.

Remarca 1.3.1 O prima consecinta a Lemei 1.3.1 este urmatorul rezultat, similar cu celdin Remarca 1.1.1.

Pentru√k2 + l2 > S, sa consideram sistemul (1.3.6) (care este echivalent cu (1.3.26))

necontrolat la frontiera, adica

(ukl)t − ν[−(k2 + l2)ukl + u′′kl] + ikU eukl + (U e)′vkl = −ikpkl, y ∈ (0, 1),

(vkl)t − ν[−(k2 + l2)vkl + v′′kl] + ikU evkl = −p′kl, y ∈ (0, 1),

(wkl)t − ν[−(k2 + l2)wkl + w′′kl] + ikU ewkl = −ilpkl, y ∈ (0, 1),

ikukl + v′kl + ilwkl = 0, y ∈ (0, 1),

ukl(0) = ukl(1) = 0, vkl(0) = 0, vkl(1) = 0,

wkl(0) = wkl(1) = 0.

(1.3.32)

Inmultind scalar prima ecuatie cu ukl, a doua cu vkl si a treia cu wkl, facand cateva calculeın care tinem cont de faptul ca

√k2 + l2 > S, obtinem

‖ukl(t)‖2 + ‖vkl(t)‖2 + ‖wkl(t)‖2 ≤ e−νS2t(‖u0

k‖2 + ‖v0k‖2 + ‖w0

k‖2), (1.3.33)

t ≥ 0, k, l 6= 0,√k2 + l2 > S.

Relatia (1.3.33) implica faptul ca pentru√k2 + l2 > S, stabilitatea exponentiala a siste-

mului (1.3.6) (echivalent, (1.3.26), (1.3.29) sau (1.3.30)) are loc fara a aplica vreun controlla frontiera. Deci, vom controla sistemul (1.3.30), doar pentru

√k2 + l2 ≤ S.

Continuam cu descrierea operatorilor ce apar ın (1.3.30). Operatorii Fkl si Lkl suntextinderile operatorilor Fkl, respectiv Lkl, la ıntreg spatiul H, iar operatorul Dirichlet Dkl

este introdus, ın acest caz, astfel: pentru toti ψ ∈ C, notam cu Dklψ := V ∈ H4(0, 1)solutia ecuatiei

θV + FklV = 0,∀y ∈ (0, 1),V ′(0) = V ′(1) = 0, V (0) = 0, V (1) = ψ.

(1.3.34)

Similar cu cazul doi-dimensional, dualul ((θ + Fkl)Dkl)∗ este dat de

((θ + Fkl)Dkl)∗φ = νφ′′′(1), (1.3.35)

pentru toti φ ∈ H4(0, 1), φ(0) = φ(1) = 0, φ′(0) = φ′(1) = 0.

Pentru toti k, l ∈ Z∗, notam cuλklj∞j=1

, autovalorile operatorului −Akl. Deci,λklj

∞j=1

sunt autovalorile operatorului dual −A∗kl, al lui −Akl. De asemenea, notam cuφklj∞j=1

siφ∗klj

∞j=1

autofunctiile corespunzatoare lui −Akl, respectiv −A∗kl.

48

Dupa cum am vazut ın Remarca 1.3.1, trebuie sa stabilizam sistemul (1.3.30) doarpentru

√k2 + l2 ≤ S. Asadar, sa consideram k, l ∈ Z astfel ıncat

√k2 + l2 ≤ S. Lema

1.3.1 spune ca −Akl genereaza un C0−semigrup analitic cu rezolventa compacta ın H,prin urmare are doar un numar finit Nkl de autovalori λklj cu <λklj ≥ 0, numite autovaloriinstabile. Ca si ın cazul doi-dimensional, avem urmatorul rezultat cheie referitor la semnulderivatei a treia, calculate ın y = 1, al autofunctiilor duale, corespunzatoare autovalorilorinstabile.

Lema 1.3.2 Fie λklj , pentru o pereche (k, l) astfel ıncat√k2 + l2 ≤ S si un j ∈ 1, ..., Nkl,

o autovaloare instabila a lui −A∗kl. Atunci, putem alege autofunctia duala φkl∗j , cores-punzatoare acesteia, astfel ıncat <(φkl∗j )′′′(1) > 0.

Demonstratie. Demonstratia este similara cu cea din Lema 1.1.2, de aceea va fi omisa.Urmand ideile din cazul doi-dimensional, se poate arata cu usurinta ca operatorii liniari

Dirichlet Dkl sunt continui de la C ın H.

1.3.3 Stabilizare feedback pentru sistemul liniarizat (1.3.4)-(1.3.5)

Ne propunem sa obtinem un rezultat de stabilizare exponentiala asemanator cu cel dincazul doi-dimensional. Mai precis, vom demonstra urmatoarea teorema.

Teorema 1.3.1 Exista un control feedback, finit-dimensional Ψ, de forma

Ψ(t, x, z) =∑k,l∈Z

ψkl(t)eikxeilz, (1.3.36)

unde

ψkl(t) =

−ν(L−2

k RkLkvk0(t))′′′(1) pentru 0 < |k| ≤ S, l = 0,0 pentru |k| > S, l = 0,0 pentru k = 0, l ∈ Z,

−ν(L−2kl RklLklvkl(t))

′′′(1) pentru k, l ∈ Z∗ si√k2 + l2 ≤ S,

0 pentru k, l ∈ Z∗ si√k2 + l2 > S,

(1.3.37)

astfel ıncat, odata introdus ın ecuatia (1.3.4) − (1.3.5), solutia corespunzatoare sistemuluicu bucla ınchisa (1.3.4)− (1.3.5) satisface

‖(u(t), v(t), w(t))‖2 ≤ Cγe−γt‖(u0, v0, w0)‖2, t ≥ 0,

pentru niste constante Cγ, γ > 0. Aici

vkl(t, y) =

∫ 2π

0

∫ 2π

0

v(t, x, y, z)e−ikxe−ilzdxdz,

Rkl : X → X sunt operatori liniari, auto-adjuncti ce satisfac ecuatii algebrice Riccati ınH ⟨

L−1kl Rklz0, L

−1kl Aklz0

⟩+

1

2ν2|(L−2

kl Rklz0)′′′(1)|2 =1

2‖L−1

kl z0‖2,∀z0 ∈ H,

pentru toti k, l 6= 0,√k2 + l2 ≤ S, S dat de (1.1.19). Akl = FklL

−1kl , unde Fkl este definit ın

(1.3.28) si Lkl definit ın (1.3.27). Operatorii Lk si Fk sunt introdusi ın (1.1.12), respectiv,(1.1.13), iar operatorii Rk sunt introdusi ın Teorema 1.1.2. X = (H2(0, 1) ∩H1

0 (0, 1))∗.

49

Demonstratie. Aplicand acelasi procedeu ca ın cazul doi-dimensional, se poate obtineun rezultat de stabilizare feedback pentru sistemul (1.3.30), similar cu cel din Teorema1.1.2. Mai precis, via metodei controlului optimal, gasim operatorii liniari, auto-adjunctiRkl : X → X ce satisfac ecuatii Riccati ın H⟨

L−1kl Rklz0, L

−1kl Aklz0

⟩+

1

2ν2|(L−2

kl Rklz0)′′′(1)|2 =1

2‖L−1

kl z0‖2,∀z0 ∈ H.

Cu ajutorul acestora, demonstram apoi ca exista constantele Cγkl , γkl > 0 astfel ıncat,odata introdus controlul feedback

ψkl(t) := −ν(L−2kl RklL

−1kl vkl(t))

′′′(1),

ın ecuatia (1.3.30), solutia corespunzatoare sistemului cu bucla ınchisa (1.3.30) satisfaceurmatoarea descrestere exponentiala

‖vkl(t)‖2 ≤ Cγkle−γklt‖v0

kl‖2,∀t ≥ 0, k, l 6= 0,√k2 + l2 ≤ S. (1.3.38)

Apoi, folosind acelasi artificiu ca ın Remarca 1.1.7, obtinem si o descrestere exponentialapentru derivata v′kl ın norma L2. Mai precis, avem

‖v′kl(t)‖2 ≤ Ckle−αklt‖v0

kl‖2, t ≥ 0, k, l 6= 0,√k2 + l2 ≤ S, (1.3.39)

pentru niste Ckl, αkl > 0. Din relatia data de divergenta zero, avem ikukl + ilwkl = −v′kl.Prin urmare, relatia (1.3.39) implica

‖kukl(t) + lwkl(t)‖2 ≤ Ckle−αklt‖v0

kl‖2, t ≥ 0, k, l 6= 0,√k2 + l2 ≤ S. (1.3.40)

Inmultim prima ecuatie a sistemului (1.3.6) cu il, a treia cu −ik, si le sumam, pentru aobtine ca

(ilukl − ikwkl)t − ν[−(k2 + l2)(ilukl − ikwkl) + (ilukl − ikwkl)′′]

+ ikU e(ilukl − ikwkl) + il(U e)′vkl = 0.(1.3.41)

Apoi, ınmultind scalar ecuatia (1.3.41) cu (ilukl−ikwkl) si luand partea reala a rezultatului,deducem ca

1

2

d

dt‖ilukl − ikwkl‖2 + ν(k2 + l2)‖ilukl − ikwkl‖2 + ν‖(ilukl − ikwkl)

′‖2

= −il

∫ 1

0

(U e)′vklilukl − ikwkldy.

Deci,

1

2

d

dt‖ilukl − ikwkl‖2 + ν(k2 + l2)‖ilukl − ikwkl‖2 ≤ |l|

∣∣∣∣∫ 1

0

(U e)′vklilukl − ikwkldy

∣∣∣∣≤ |l|1

2

(ν(k2 + l2)

|l|‖ilukl − ikwkl‖2 +

|l|ν(k2 + l2)

C1‖vkl‖2

).

50

Ceea ce implica

d

dt‖ilukl − ikwkl‖2 + ν(k2 + l2)‖ilukl − ikwkl‖2 ≤ C1‖vkl‖2.

Din estimarile de mai sus si relatia (1.3.38), deducem usor ca

‖lukl(t)− kwkl(t)‖2 ≤ C1kle−νt(‖u0

kl‖2 + ‖v0kl‖2 + ‖w0

kl‖2), (1.3.42)

t ≥ 0, k, l 6= 0,√k2 + l2 ≤ S, pentru un C1

kl > 0. Luand ın considerare ca

‖kukl + lwkl‖2 + ‖lukl − kwkl‖2 = (k2 + l2)(‖ukl‖2 + ‖wkl‖2),

relatiile (1.3.40) si (1.3.42) implica

‖ukl‖2 + ‖wkl‖2 ≤ C2kle−βklt(‖u0

kl‖2 + ‖v0kl‖2 + ‖w0

kl‖2), (1.3.43)

t ≥ 0, k, l 6= 0,√k2 + l2 ≤ S, pentru niste C2

kl, βkl > 0. In sfarsit, relatiile (1.3.38) si(1.3.43) implica

‖ukl(t)‖2 + ‖vkl(t)‖2 + ‖wkl(t)‖2 ≤ C3kle−µklt

(‖u0

kl‖2 + ‖v0kl‖2 + ‖w0

kl‖2), (1.3.44)

t ≥ 0, k, l 6= 0,√k2 + l2 ≤ S, pentru niste C3

kl, µkl > 0.Concluzionam ca relatiile (1.3.10), (1.3.11), (1.3.20), (1.3.21), (1.3.25), (1.3.33) si (1.3.44)

implica faptul ca, odata introdus controlul feedback

Ψ(t, x, z) =∑k,l∈Z

ψkl(t)eikxeilz, (1.3.45)

unde

ψkl(t) =

−ν(L−2

k RkLkvk0(t))′′′(1) pentru 0 < |k| ≤ S, l = 0,0 pentru |k| > S, l = 0,0 pentru k = 0, l ∈ Z,

−ν(L−2kl RklLklvkl(t))

′′′(1) pentru k, l 6= 0 si√k2 + l2 ≤ S,

0 pentru√k2 + l2 > S,

(1.3.46)

ın ecuatia (1.3.4) − (1.3.5), solutia corespunzatoare sistemului cu bucla ınchisa (1.3.4) −(1.3.5) satisface

‖(u(t), v(t), w(t))‖2 ≤ Cγe−γt‖(u0, v0, w0)‖2, t ≥ 0,

pentru niste constante Cγ, γ > 0.

Remarca 1.3.2 Se poate considera si cazul controlului ce actioneaza tangential, similarcu cel din cazul canalului doi-dimensional. Astfel, ın mod similar, se poate obtine unrezultat de stabilizare locala pentru sistemul neliniar (1.3.1)-(1.3.2).

51

1.4 Stabilizare feedback normala a fluidelor periodice

ıntr-un canal magnetohidrodinamic doi si trei di-

mensional

In aceasta sectiune, vom continua studiul curgerii unui fluid printr-un canal (doi-dimensionalsau trei-dimensional), ınsa, de aceasta data, vom presupune ın plus ca fluidul este conduc-tibil electric si ca asupra sa se exercita un camp magnetic exterior, perpendicular pe axacanalului. Fluidul este presupus cu valoarea numarului Reynolds magnetic mica, ceea ceva reduce semnificativ complexitatea problemei. Ca si ın cazul tipului de fluid consideratın prima parte a capitolului, vom obtine un rezultat de stabilizare feedback cu comenzinormale pe peretele superior, cu stabilitatea garantata indiferent de valoarea numaruluiReynolds. Continutul acestei sectiuni este alcatuit ın totalitate din rezultatele originaleobtinute de catre autor ın lucrarea [70].

1.4.1 Prezentarea problemei si principalele rezultate de stabili-zare

Consideram curgerea unui fluid conductibil electric, incompresibil, printr-un canal doi-dimensional, respectiv trei-dimensional, de forma

(x, y) ∈ (−∞,∞)× (0, 1),

respectiv(x, y, z) ∈ (−∞,∞)× (0, 1)× (−∞,∞),

asupra caruia se exercita un camp magnetic exterior B0 = constant, perpendicular peaxa canalului. Ecuatiile ce guverneza miscarea (numite ecuatiile magnetohidrodinamice,prescurtat MHD) sunt o combinatie ıntre ecuatiile Navier-Stokes si ecuatiile lui Maxwell.Mai exact, avem ecuatiile de transport a momentului

∂v

∂t− ν∆v + (v · ∇)v−N (j×B) = −∇p, (1.4.1)

si ecuatiile de transport a inductiei magnetice

∂B

∂t= ∇× (v×B) +

1

Rm∆B, (1.4.2)

unde v reprezinta campul vitezelor fluidului, B reprezinta campul magnetic, j reprezintadensitatea de curent, si p este presiunea. ν,Rm si N reprezinta coeficientul de vascozitate,numarul Reynolds magnetic, respectiv numarul Stuart. Densitatea de curent este data delegea lui Ampere

j =1

Rm∇×B. (1.4.3)

Ambele, B si v, sunt solenoidale, adica

∇ ·B = 0, ∇ · v = 0. (1.4.4)

52

Vom presupune ca valoarea numarului Reynolds magnetic Rm, a fluidului, este mica.Cand Rm << 1, campul magnetic indus este foarte mic ın comparatie cu campul magneticaplicat. Vom rationa la fel ca ın lucrarea [92], pentru cazul doi-dimensional, respectiv caın lucrarea [87], pentru cazul trei-dimensional. Astfel, ın cazul fluidelor cu valori mici alenumerelor Reynolds magnetice, ecuatiile MHD (1.4.1)-(1.4.2) se transforma ın asa numiteleecuatii magnetohidrodinamice simplificate (prescurtat SMHD):

ut − ν∆u+Nu+ uux + vuy = −px,vt − ν∆v + uvx + vvy = −py,ux + vy = 0,t ≥ 0, x ∈ R, y ∈ (0, 1),

(1.4.5)

ın doua dimensiuni, respectiv

Ut − ν∆U + UUx + V Uy +WUz −Nφz +NU = −Px,Vt − ν∆V + UVx + V Vy +WVz = −PyWt − ν∆W + UWx + VWy +WWz +Nφx +NW = −Pz,∆φ = Wx − Uz,Ux + Vy +Wz = 0,t ≥ 0, x, z ∈ R, y ∈ (0, 1),

(1.4.6)

ın trei dimensiuni. Se observa imediat ca sistemul (1.4.5) este de fapt (1.1.3), ın careprima ecuatie este perturbata cu termenul Nu. Insa, ecuatiile (1.4.6) difera substantial decele din sistemul (1.3.1), datorita prezentei termenului φ, potentialul electric al fluidului.Oricum, ın cele ce urmeaza, vom vedea ca se poate aplica, pentru acest caz, acelasi algoritmde stabilizare, prezentat ın sectiuniile anterioare.

Profilurile stationare, ce urmeaza a fi stabilizate, sunt profilurile Hartmann-Poiseuille

U e =sinh

(√1νN (1− y)

)− sinh

√1νN + sinh

(√1νN y)

2 sinh(√

1νN /2

)− sinh

√1νN

, V e ≡ 0, (1.4.7)

ın doua dimensiuni, respectiv

U e =sinh

(√1νN (1− y)

)− sinh

√1νN + sinh

(√1νN y)

2 sinh(√

1νN /2

)− sinh

√1νN

, V e ≡ 0, W e ≡ 0, (1.4.8)

ın trei dimensiuni. In sfarsit, liniarizatele sistemelor (1.4.5) si (1.4.6) ın jurul solutiilorstationare (1.4.7), respectiv (1.4.8), completate de conditiile periodice la frontiera, sunt

ut − ν∆u+ uxUe + vU e

y +Nu = −px,vt − ν∆v + vxU

e = −py,ux + vy = 0, t ≥ 0, x ∈ R, y ∈ (0, 1),u(t, x, 0) = u(t, x, 1) = 0, v(t, x, 0) = 0, v(t, x, 1) = Ψ(t, x)

u(t, x+ 2π, y) = u(t, x, y), v(t, x+ 2π, y) = v(t, x, y),

p(t, x+ 2π, y) = p(t, x, y),∀t ≥ 0,∀x ∈ R,∀y ∈ (0, 1),

(1.4.9)

53

si datele initiale u0, v0; respectiv

Ut − ν∆U + U eUx + V U ey −Nφz +NU = −Px,

Vt − ν∆V + U eVx = −Py,Wt − ν∆W + U eWx +Nφx +NW = −Pz,∆φ = Wx − Uz,Ux + Vy +Wz = 0, t ≥ 0, x, z ∈ R, y ∈ (0, 1),U(t, x+ 2π, y, z + 2π) = U(t, x, y, z),

V (t, x+ 2π, y, z + 2π) = V (t, x, y, z),

W (t, x+ 2π, y, z + 2π) = W (t, x, y, z),

P (t, x+ 2π, y, z + 2π) = P (t, x, y, z),

φ(t, x+ 2π, y, z + 2π) = φ(t, x, y, z), t ≥ 0, x, z ∈ R, y ∈ (0, 1),U(t, x, 0, z) = V (t, x, 0, z) = W (t, x, 0, z) = φ(t, x, 0, z) = 0,

U(t, x, 1, z) = 0, V (t, x, 1, z) = Ξ(t, x, z),

W (t, x, 1, z) = φ(t, x, 1, z) = 0, t ≥ 0, x, z ∈ R,

(1.4.10)

si datele initiale U0, V 0, W 0, φ0. Folosim acelasi cadru functional Fourier, ca ın sectiuniileanterioare. Rescriem ecuatiile liniare (1.4.9) si (1.4.10) ca sisteme parbolice infinite

(uk)t − νu′′k + (νk2 + ikU e)uk + (U e)′vk +Nuk = −ikpk, y ∈ (0, 1),(vk)t − νv′′k + (νk2 + ikU e)vk = −p′k, y ∈ (0, 1),ikuk + v′k = 0, y ∈ (0, 1),uk(0) = uk(1) = 0, vk(0) = 0, vk(1) = ψk,

(1.4.11)

k ∈ Z, respectiv

(ukl)t − ν(−(k2 + l2)ukl + u′′kl) + ikU eukl + (U e)′vkl − ilNφkl +Nukl = −ikpkl,(vkl)t − ν(−(k2 + l2)vkl + v′′kl) + ikU evkl = −p′kl,(wkl)t − ν(−(k2 + l2)wkl + w′′kl) + ikU ewkl + ikNφkl +Nwkl = −ilpkl,−(k2 + l2)φkl + φ′′kl = ikwkl − ilukl,ikukl + v′kl + ilwkl = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),ukl(0) = ukl(1) = wkl(0) = wkl(1) = 0,vkl(0) = 0, vkl(1) = ξkl(t), φkl(0) = φkl(1) = 0,

(1.4.12)k, l ∈ Z.

Pentru ınceput, construim un control feedback stabilizant pentru (1.4.11). Pentruaceasta, urmarim ındeaproape ideile din prima sectiune. Astfel, asemanator cu relatiile(1.1.6)-(1.1.8) obtinem, pentru k = 0, ca v0 ≡ 0, ψ0 ≡ 0 si u0 satisface descrestereaexponentiala

‖u0(t)‖2 ≤ e−2C0νt‖u00‖2, t ≥ 0. (1.4.13)

Consideram k 6= 0 si reducem presiunea din (1.4.11). Avem(−v′′k + k2vk)t + νv′′′′k − (2νk2 + ikU e +N )v′′k

+ k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)vk = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),v′k(0) = v′k(1) = 0, vk(0) = 0, vk(1) = ψk(t),

(1.4.14)

54

luand ın considerare si relatia data de divergenta zero. Definim operatorii liniari

LMHDk : D(LMHD

k ) ⊂ H → H, FMHDk : D(FMHD

k ) ⊂ H → H

si AMHDk : D(AMHD

k ) ⊂ H → H, astfel

LMHDk v := −v′′ + k2v, D(LMHD

k ) = H10 ∩H2(0, 1), (1.4.15)

FMHDk v := νv′′′′ − (2νk2 + ikU e +N )v′′ + k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′)v, (1.4.16)

D(FMHDk ) = H4(0, 1) ∩H2

0 (0, 1),

respectiv

AMHDk := FMHD

k (LMHDk )−1, D(AMHD

k ) =v ∈ H : (LMHD

k )−1v ∈ D(FMHDk )

. (1.4.17)

Urmarind ındeaproape ideile din prima sectiune, obtinem un rezultat similar de stabilizarenormala ca ın Teorema 1.1.3. Inainte de a-l prezenta, ınsa, trebuie precizat ca demonstratiarezultatului cheie din Lema 1.1.2 prezinta unele diferente majore, ın cazul canalului MHD(mai precis ın Pasul 3. al demonstratiei). Acestea nu se datoreaza neaparat prezenteiperturbatiei Nu, ci mai ales diferentei ıntre profilurile de echilibru considerate (daca ınprima sectiune, profilul U e satisfacea (U e)′′ = cst, ın cazul de fata U e nu mai are aceastaproprietate). Din acest motiv ıl vom prezenta mai jos, pe larg.

Lema 1.4.1 Fie λkj , pentru un 0 < |k| ≤ S1 si un j ∈ 1, ..., Nk, o autovaloare instabila

pentru operatorul dual (−AMHDk )∗, al lui −AMHD

K . Atunci, putem alege o baza pentru

spatiul autofunctiilor, corespunzator autovalorii λkj , alcatuita din functii φ∗, pentru care

<(φ∗)′′′(1) > 0. Cu alte cuvinte, putem presupune ca autofunctia φk∗j , corespunzatoare

autovalorii instabile λkj , satisface <(φk∗j )′′′(1) > 0.

Demonstratie. La fel ca ın demonstratia Lemei 1.1.2 vom arata ca putem alege autofunctiaφk∗j , astfel ıncat

(φk∗j )′′′(1) 6= 0,

daca aceasta este negeneralizata. Atunci, ınlocuind eventual φk∗j cu (φk∗j )′′′(1)φk∗j , obtinem

ca (φk∗j )′′′(1) > 0, dupa cum dorim. Demonstratia este alcatuita din trei pasi si, ın mare,urmareste demonstratia din Lema 1.1.2.

Pasul 1. Pentru o functie f : [0, 1]→ C, notam cu f : [0, 1]→ C, urmatoarea functie

f(y) := f(1− y),∀y ∈ [0, 1].

Spunem ca functia f : [0, 1]→ C este simetrica daca si numai daca f(y) = f(y), ∀y ∈ [0, 1]si anti-simetrica daca si numai daca f(y) = −f(y), ∀y ∈ [0, 1].

In acest pas, vom arata ca putem presupune ca autofunctia φk∗j este simetrica sau anti-simetrica. Notam cu λ = λkj , autovaloarea instabila. Daca φ∗ = φk∗j este o autofunctie

corespunzatoare lui λ, atunci φ∗ satisface urmatoarea problema cu valori la frontiera, peintervalul (0, 1)

ν(φ∗)′′′′ − (2νk2 − ikU e + λ+N )(φ∗)′′

+ 2ik(U e)′(φ∗)′ + (k2λ+ νk4 − ik3U e)φ∗ = 0,φ∗(0) = φ∗(1) = 0, (φ∗)′(0) = (φ∗)′(1) = 0.

(1.4.18)

55

Observam ca si φ∗ este solutie pentru (1.4.18), datorita formei simetrice a ecuatiei (avemU e(1 − y) = U e(y),∀y ∈ (0, 1), vezi (1.4.7), derivate de ordin par, iar derivata de ordinimpar este compensata de faptul ca (U e)′(1 − y) = −U e(y),∀y ∈ (0, 1)). Notam cu Hspatiul liniar de dimensiune patru, peste corpul numerelor complexe, al solutiilor ecuatieidiferentiale liniare si omogene de ordin patru, pe intervalul (0, 1)

ν(φ∗)′′′′ − (2νk2 − ikU e + λ+N )(φ∗)′′ + 2ik(U e)′(φ∗)′

+ (k2λ+ νk4 − ik3U e)φ∗ = 0.(1.4.19)

Atunci, spatiul autofunctiilor poate fi reprezentat ca un subspatiu liniar E al lui H, definitastfel

E := φ ∈ H : φ(0) = φ(1) = 0, φ′(0) = φ′(1) = 0Asadar, este clar ca dimensiunea lui E este ≤ 2. Putem gasi o baza a acestui spatiuliniar, alcatuita din functii simetrice sau anti-simetrice. Intr-adevar, sa presupunem caexista un φ ∈ E care nu este nici simetrica nici anti-simetrica. Atunci urmatoarele douafunctii φ1 = φ + φ, φ2 = φ − φ apartin amandoua spatiului E . Mai mult, φ1 6= 0, φ2 6= 0si sistemul φ1, φ2 este liniar independent, deoarece φ1 este simetrica iar φ2 este anti-simetrica. Aceasta, ımpreuna cu faptul ca dimensiunea lui E este ≤ 2, sustine afirmatiafacuta anterior.

Prin urmare, putem presupune ca autofunctia corespunzatoare φ∗ este simetrica sauanti-simetrica. Pentru a fixa ideile, sa presupunem, de exemplu, ca φ∗ este simetrica.Celalalt caz poate fi tratat asemanator. Vrem sa aratam ca avem (φ∗)′′′(1) 6= 0. Sapresupunem, prin reducere la absurd, ca avem (φ∗)′′′(1) = 0. Din simetrie rezulta imediatsi ca (φ∗)′′′(0) = 0. Notam cu Ek si cu E∗k urmatoarele forme diferentiale

Ekφ := νφ′′′′ − (2νk2 + ikU e + λ+N )φ′′ + k(νk3 + ik2U e + i(U e)′′ + kλ)φ,

respectiv

E∗kφ := νφ′′′′ − (2νk2 − ikU e + λ+N )φ′′ + 2ik(U e)′φ′ + (k2λ+ νk4 − ik3U e)φ.

Este usor de vazut ca φ∗ satisface E∗kφ∗ = 0. Avem

0 =

∫ 1

0

E∗kφ∗φdy

=

∫ 1

0

φ∗Ekφdy + ν((φ∗)′′(1)φ′(1)− (φ∗)′′(0)φ′(0)), ∀φ ∈ H4(0, 1),

(1.4.20)

datorita conditiilor la frontiera pentru φ∗, adica,

φ∗(0) = φ∗(1) = 0, (φ∗)′(0) = (φ∗)′(1) = 0, (φ∗)′′′(0) = (φ∗)′′′(1) = 0.

Din (1.4.20) deducem ca ∫ 1

0

|φ∗|2dy = 0, (1.4.21)

daca φ satisface Ekφ = φ∗,

φ′(0) = φ′(1) = 0.(1.4.22)

56

Relatia (1.4.21) implica φ∗ ≡ 0, ceea ce este ın contradictie cu faptul ca φ∗ este o autofunctie.Prin urmare, presupunerea facuta este falsa, ceea ce conduce la rezultatul dorit. Asadar,pentru a termina demonstratia, mai ramane de aratat ca exista o solutie φ pentru ecuatia(1.4.22).

Pasul 2. Afirmam ca exista o functie φ1, astfel ıncatEkφ1 = 0, y ∈ (0, 1),φ′1(0)− φ′1(1) 6= 0.

(1.4.23)

Demonstratia acestui fapt va fi prezentata in pasul al treilea. In acest pas vom arata ca,daca afirmatia de mai sus este adevarata, atunci exista o solutie pentru ecuatia (1.4.22).

Construim urmatoarea functie φ2 := φ1 + φ1. Ca si mai ınainte, ecuatia Ekφ1 = 0 estesimetrica, aceasta implicand faptul ca φ1, fiind solutie, atunci si φ1 este solutie. Deci, avem

Ekφ2 = 0,φ′2(0) = φ′1(0)− φ′1(1) 6= 0,φ2 este simetrica .

(1.4.24)

Fie φ3 o solutie pentru ecuatia Ekφ3 = φ∗, astfel ıncat φ3 sa fie simetrica. Exista o solutiesimetrica, deoarece φ∗ este simetrica. Intr-adevar, fie φ4 o solutie a ecuatiei Ekφ4 = 1

2φ∗.

Daca luam acum φ3 := φ4 + φ4, avem Ekφ3 = 12φ∗ + 1

2φ∗ = φ∗ si φ3 este simetrica.

Definim φ5 := −φ′3(0)

φ′2(0)φ2 + φ3. Avem ca φ5 satisfaceEkφ5 = φ∗,φ5 este simetrica,φ′5(0) = 0 si, datorita simetriei, φ′5(1) = 0.

(1.4.25)

Deci, putem lua φ = φ5.Pasul 3. Dupa cum am anuntat si ın pasul anterior, ın acest ultim pas vom demonstra

ca urmatoarea problema are cel putin o solutieEkφ1 = 0, y ∈ (0, 1),φ′1(0)− φ′1(1) 6= 0.

(1.4.26)

Vom rationa prin reducere la absurd. Presupunem ca pentru orice solutie ψ a ecuatieiEkψ = 0, avem ψ′(0) − ψ′(1) = 0. Sa notam cu H1 spatiul liniar al solutiilor ecuatieidiferentiale liniare si omogene Ekψ = 0 si cu E1 subspatiul liniar al lui H1, definit astfel

E1 := ψ ∈ H1 : ψ′′′(0)− ψ′′′(1) = 0 .

Fie un oarecare ψ ∈ E1. Definim Ψ := ψ + ψ. Avem

Ψ′(0) = ψ′(0)− ψ′(1) = 0, Ψ′(1) = ψ′(1)− ψ′(0) = 0,

deoarece ψ ∈ H1. De asemenea,

Ψ′′′(0) = ψ′′′(0)− ψ′′′(1) = 0, Ψ′′′(1) = ψ′′′(1)− ψ′′′(0) = 0,

57

deoarece ψ ∈ E1. Notam cu Φ := νΨ′′− (νk2 +N )Ψ. Avem EkΨ = 0, ecuatie care poate firescrisa astfel

Φ′′ −(k2 +

ik

νU e +

λ

ν

)Φ−N

(k2 +

ik

νU e +

λ

ν

)Ψ + ik(U e)′′Ψ = 0. (1.4.27)

Deoarece (U e, 0) este o solutie stationara pentru (1.4.5), avem

−ν(U e)′′ +NU e = C,

unde C ∈ R. Prin urmare,

ik(U e)′′Ψ =ikNνU eΨ− ikC

νΨ. (1.4.28)

Deci, ecuatia (1.4.27) devine

Φ′′ −(k2 +

ik

νU e +

λ

ν

)Φ−N

(k2 +

λ

ν

)Ψ− ikC

νΨ = 0, y ∈ (0, 1). (1.4.29)

Faptul ca Ψ′(0) = Ψ′(1) = 0 si Ψ′′′(0) = Ψ′′′(1) = 0, implica

Φ′(0) = Φ′(1) = 0.

Deci, multiplicand scalar ecuatia (1.4.29) cu Φ si luand partea reala a rezultatului, avem

−‖Φ′‖2 −(k2 +

<λν

)‖Φ‖2 −<

[N(k2 +

λ

ν

)∫ 1

0

ΨΦdy +ikCν

∫ 1

0

ΨΦdy

]= 0. (1.4.30)

Deoarece,Φ = −νΨ

′′ − (νk2 +N )Ψ,

deducem imediat ca ∫ 1

0

ΨΦdy = −ν‖Ψ′‖2 − (νk2 +N )‖Ψ‖2. (1.4.31)

Astfel, ∫ 1

0

ΨΦdy ∈ R,

si ecuatia (1.4.30) capata forma

−‖Φ′‖2 −(k2 +

<λν

)‖Φ‖2 +N

(k2 +

<λν

)(ν‖Ψ′‖2 + (νk2 +N )‖Ψ‖2

)= 0. (1.4.32)

Un calcul simplu arata ca

‖Φ‖2 = ν2‖Ψ′′‖2 + 2ν(νk2 +N )‖Ψ′‖2 + (νk2 +N )2‖Ψ‖2.

Deci, din (1.4.32) rezulta

−‖Φ′‖2−(k2 +

<λν

)(ν2‖Ψ′′‖2 + (2ν2k2 + νN )‖Ψ′‖2 + νk2(νk2 +N )‖Ψ‖2) = 0. (1.4.33)

58

Pentru ca λ este o autovaloare instabila, avem <λ > 0. Asadar, relatia de mai sus implica

‖Φ′‖ = ‖Ψ′′‖ = ‖Ψ′‖ = ‖Ψ‖ = 0,

de unde Ψ ≡ 0, ceea ce ınseamna ca ψ = −ψ. Conchidem ca

ψ ∈ E1 implica ψ = −ψ. (1.4.34)

Sa consideram acum urmatoarele subspatii ale lui H1, definite mai jos

S :=ψ ∈ H1 : ψ = ψ

, AS :=

ψ ∈ H1 : ψ = −ψ

,

care reprezinta subspatiul simetric, respectiv anti-simetric al lui H1. Se verifica usor caavem egalitatile

S =

ψ ∈ H1 : ψ′(

1

2) = ψ′′′(

1

2) = 0

si

AS =

ψ ∈ H1 : ψ(

1

2) = ψ′′(

1

2) = 0

,

ceea ce implica dimC S = dimCAS = 2. Relatia (1.4.34) implica E1 ⊂ AS.Consideram urmatorul subspatiu al lui H1

F1 := ψ ∈ H1 : ψ′′′(0) = 0 .

Avem ca dimCF1 = 3. Deoarece dimC S = 2, dimCH1 = 4 si F1,S ⊂ H1, obtinem ca

F1 ∩ S 6= 0 .

Asadar, exista 0 6= ψ ∈ F1 ∩ S. ψ ∈ F1 implica ψ′′′(0) = 0, iar din simetrie (deoareceψ ∈ S) avem ψ′′′(1) = 0. Aceasta conduce la relatia ψ′′′(0)− ψ′′′(1) = 0, care ımpreuna cufaptul ca ψ ∈ H1, conduce la ψ ∈ E1 ⊂ AS. In sfarsit, avem ca ψ ∈ S ∩ AS, ce implicaψ ≡ 0, ceea ce este absurd. Prin urmare, presupunerea facuta nu este adevarata. Aceastaınseamna ca exista o functie φ1 pentru care

Ekφ1 = φ∗, y ∈ (0, 1),φ′1(0)− φ′1(1) 6= 0.

(1.4.35)

Cazul ın care autofunctiile duale sunt generalizate se trateaza asemanator ca ın Lema1.1.2.

In sfarsit, putem enunta rezultatul de stabilizare normala pentru cazul curgerii unuifluid conductibil electric printr-un canal doi-dimensional, asupra carui actioneaza un campmagnetic transversal.

Teorema 1.4.1 Exista un control feedback, finit-dimensional Ψ de forma

Ψ(t, x) = −ν∑

0<|k|≤S1

((LMHDk )−2RMHD

k LMHDk vk(t))

′′′(1)eikx, (1.4.36)

59

unde

vk(t, y) =

∫ 2π

0

v(t, x, y)e−ikxdx, 0 < |k| ≤ S1,

astfel ıncat, odata introdus ın sistemul (1.4.9), solutia corespunzatoare sistemului cu buclaınchisa (1.4.9) satisface

‖(u(t), v(t))‖2 ≤ Cαe−αt‖(u0, v0)‖2, t ≥ 0,

pentru niste constante Cα, α > 0. Aici RMHDk : X → X sunt operatori liniari, auto-

adjuncti, ce satisfac ecuatii algebrice Riccati ın H⟨(LMHD

k )−1RMHDk z0, (L

MHDk )−1AMHD

k z0

⟩+

1

2ν2|((LMHD

k )−2RMHDk z0)′′′(1)|2 =

1

2‖(LMHD

k )−1z0‖2,

(1.4.37)∀z0 ∈ H, pentru toti 0 < |k| ≤ S1, unde S1 > 0 este omologul lui S dat de relatia (1.1.19)din Lema 1.1.1. AMHD

k dat de (1.4.17), FMHDk dat de (1.4.16) si LMHD

k dat de (1.4.15).X = (H2(0, 1) ∩H1

0 (0, 1))∗.

Constructia controlului stabilizant pentru (1.4.12) urmeaza, cu unele ajustari, la fel caın cazul fluidului trei-dimensional considerat ın cea de-a treia sectiune a acestui capitol.Vom studia, mai ıntai, cazurile ın care k sau l sunt nule.

Pentru k = l = 0, luam ξ00 ≡ 0, prin urmare sistemul (1.4.12) devine(u00)t − νu′′00 + (U e)′v00 +Nu00 = 0,(v00)t − νv′′00 = p′00,(w00)t − νw′′00 +Nw00 = 0,φ′′00 = 0,v′00 = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),

(1.4.38)

siu00(0) = u00(1) = w00(0) = w00(1) = 0,

v00(0) = v00(1) = 0, φ00(0) = 0, φ00(1) = 0.

De unde deducem ca v00 ≡ 0, φ00 ≡ 0 si

‖u00(t)‖2 + ‖w00(t)‖2 ≤ e−N t(‖u000‖2 + ‖w00‖2), t ≥ 0. (1.4.39)

Pentru k = 0 si l 6= 0, luam ξ0l ≡ 0. Atunci, sistemul (1.4.12) devine(u0l)t − ν(−l2u0l + u′′0l) + (U e)′v0l − ilNφ0l +Nu0l = 0,(v0l)t − ν(−l2v0l + v′′0l) = −p′0l,(w0l)t − ν(−l2w0l + w′′0l) +Nw0l = −ilp0l,−l2φ0l + φ′′0l = −ilu0l,v′0l + ilw0l = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),

(1.4.40)

siu0l(0) = u0l(1) = w0l(0) = w0l(1) = 0,

60

v0l(0) = 0, v0l(1) = 0, φ0l(0) = φ0l(1) = 0.

Reducem presiunea din cele doua ecuatii corespunzatoare modurilor v0l si w0l si folosimdivergenta zero. Obtinem

(l2v0l − v′′0l)t + νv′′′′0l − (2νl2 +N )v′′0l + νl4v0l = 0, y ∈ (0, 1),

care, ınmultita scalar cu v0l, implica, dupa cateva calcule,

‖v0l(t)‖2 + ‖w0l(t)‖2 ≤ e−νt(‖v00l‖2 + ‖w0

0l‖2), t ≥ 0. (1.4.41)

Scriem acum prima ecuatie din (1.4.40) ın functie de φ0l, utilizand cea de-a patra relatiedin (1.4.40). Avem

(l2φ0l − φ′′0l)t + νφ′′′′0l − (2ν +N )φ′′0l + νl4φ0l − il(U e)′v0l = 0, y ∈ (0, 1),

care, ınmultita scalar cu φ0l, implica, dupa cateva calcule,

‖(u0l(t), v0l(t), w0l(t), φ0l(t))‖2 ≤ C3e−α3t‖(u0

0l, v00l, w

00l, φ

00l)‖2, (1.4.42)

t ≥ 0, l ∈ Z∗, pentru niste C3, α3 > 0.Pentru k 6= 0 si l = 0, sistemul (1.4.40) devine

(uk0)t − ν(−k2uk0 + u′′k0) + ikU euk0 + (U e)′vk0 +Nuk0 = −ikpk0,(vk0)t − ν(−k2vk0 + v′′k0) + ikU evk0 = −p′k0,(wk0)t − ν(−k2wk0 + w′′k0)+ ikU ewk0 + ikNφk0 +Nwk0 = 0,−k2φk0 + φ′′k0 = ikwk0,ikuk0 + v′k0 = 0, t ≥ 0, y ∈ (0, 1),

(1.4.43)

siuk0(0) = uk0(1) = wk0(0) = wk0(1) = 0,

vk0(0) = 0, vk0(1) = ξk0(t), φk0(0) = φk0(1) = 0.

Luam separat ecuatiile pentru uk0 si vk0, adica,(uk0)t − ν(−k2uk0 + u′′k0) + ikU euk0 + (U e)′vk0 +Nuk0 = −ikpk0,(vk0)t − ν(−k2vk0 + v′′k0) + ikU evk0 = −p′k0,ikuk0 + v′k0 = 0,uk0(0) = uk0(1) = vk0(0) = 0, vk0(1) = ξk0.

(1.4.44)

Observam ca uk0, vk0, pk0 satisfac aceeasi problema de control (1.4.11) ca uk, vk, respectivpk. Prin urmare, aplicand Teorema 1.4.1, deducem: controlul feedback

ξk0 := −((LMHDk )−2RMHD

k LMHDk vk0(t))′′′(1), 0 < |k| ≤ S1 si ξk0 ≡ 0, |k| > S1, (1.4.45)

odata introdus ın sistemul (1.4.44), impune urmatoarea descrestere exponentiala a solutieisistemului cu bucla ınchisa (1.4.44)

‖uk0(t)‖2 + ‖vk0(t)‖2 ≤ C4e−α4t(‖(u0

k0‖2 + ‖v0k0)‖2), t ≥ 0, k ∈ Z∗, (1.4.46)

61

pentru niste C4, α4 > 0. In sfarsit, ınmultim scalar a treia ecuatie din (1.4.43) cu wk0, siluam partea reala a rezultatului. Avem

1

2

d

dt‖wk0‖2 + ν‖w′k0‖2 + (νk2 +N )‖wk0‖2 + <

(ikN

∫ 1

0

φk0wk0dy

)= 0. (1.4.47)

Inmultim conjugata celei de-a patra ecuatii din (1.4.43) cu φk0 si integram pe (0, 1). De-ducem

k2‖φk0‖2 + ‖φ′k0‖2 = ik

∫ 1

0

φk0wk0dy. (1.4.48)

Urmeaza, din (1.4.47) si (1.4.48), ca

1

2

d

dt‖wk0‖2 + ν‖w′k0‖2 + (νk2 +N )‖wk0‖2 ≤ 0, t ≥ 0. (1.4.49)

De unde deducem‖wk0(t)‖2 ≤ e−N t‖w0

k0‖2, t ≥ 0, (1.4.50)

si‖φk0(t)‖2 ≤ e−N t‖φ0

k0‖2, t ≥ 0. (1.4.51)

Conchidem din (1.4.46), (1.4.50) si (1.4.51) ca avem

‖(uk0(t), vk0(t), wk0(t), φk0(t))‖2 ≤ C6e−α6t‖(u0

k0, v0k0, w

0k0, φ

0k0)‖2, (1.4.52)

t ≥ 0, k ∈ Z∗, pentru niste C6, α6 > 0.Presupunem acum k, l 6= 0. Datorita faptului ca, reducand presiunea din (1.4.12),

se reduce si potentialul electric, putem construi controlul feedback stabilizant prin acelasiprocedeu prezentat ın cea de-a treia sectiune a acestui capitol. Si anume, sistemul parabolicinfinit ın vkl este urmatorul

(v′′kl − (k2 + l2)vkl)t − νv′′′′kl + [2ν(k2 + l2) + ikU e +N ]v′′kl− [ν(k2 + l2)2 + ik(k2 + l2)U e + ik(U e)′′]vkl = 0,

v′kl(0) = v′kl(1) = 0, vkl(0) = 0, vkl(1) = ξkl(t).

(1.4.53)

Definim operatorii

LMHDkl v := −v′′ + (k2 + l2)v,D(LMHD

kl ) = H10 (0, 1) ∩H2(0, 1), (1.4.54)

FMHDkl v := νv′′′′ − [2ν(k2 + l2) + ikU e +N ]v′′ + [ν(k2 + l2)2

+ ik(k2 + l2)U e + ik(U e)′′]v, ∀v ∈ D(FMHDkl ) = H4(0, 1) ∩H2

0 (0, 1).(1.4.55)

Obtinem un rezultat similar cu cel din Remarca 1.3.1 si Teorema 1.3.1. Mai precis, controlulfeedback

ξkl := ((LMHDkl )−2RMHD

kl LMHDkl vkl(t))

′′′(1), k, l 6= 0 si√k2 + l2 ≤ S1,

siξkl ≡ 0, k, l 6= 0 si

√k2 + l2 > S1,

62

odata introdus ın sistemul (1.4.12), solutia sistemului cu bucla ınchisa (1.4.12) satisfacedescresterea exponentiala

‖ukl(t)‖2 + ‖vkl(t)‖2 + ‖wkl(t)‖2 ≤ C7e−α7t(‖u0

kl‖2 + ‖v0kl‖2 + ‖w0

kl‖2), (1.4.56)

t ≥ 0, pentru niste C7, α7 > 0. Aici RMHDkl : H → H sunt operatori liniari, auto-adjuncti

ce satisfac ecuatii Riccati⟨(LMHD

kl )−1RMHDkl z0, (L

MHDkl )−1AMHD

kl z0

⟩+

1

2ν2|((LMHD

kl )−2RMHDkl z0)′′′(1)|2 =

1

2‖(LMHD

kl )−1z0‖2,

(1.4.57)∀z0 ∈ H, defniti ın mod similar ca ın Teorema 1.1.2. AMHD

kl = FMHDkl (LMHD

kl )−1.In final, ınsumand rezultatele de mai sus, mai exact relatiile (1.4.39),(1.4.42),(1.4.52) si

(1.4.56), deducem urmatorul rezultat de stabilizare feedback normala pentru curgerea unuifluid conductibil electric, trei-dimensional, aflat sub actiunea unui camp magnetic exterior,transversal.

Teorema 1.4.2 Exista un control feedback, finit-dimensional Ξ, de forma

Ξ =∑k,l∈Z

ξkleikxeilz, (1.4.58)

unde

ξkl :=

0 pentru k = 0, l ∈ Z,

−ν((LMHD)−2k RMHD

k LMHDk vk0(t))′′′(1) pentru 0 < |k| ≤ S1 si l = 0,

0 pentru |k| > S1 si l = 0,

−ν((LMHDkl )−2RMHD

kl LMHDkl vkl(t))

′′′(1) pentru k, l 6= 0 si√k2 + l2 ≤ S1,

0 pentru k, l 6= 0 si√k2 + l2 > S1,

(1.4.59)astfel ıncat, odata introdus ın sistemul (1.4.10), solutia corespunzatoare a sistemului cubucla ınchisa (1.4.10) satisface descresterea exponentiala

‖(U(t), V (t),W (t), φ(t))‖2 ≤ Cβe−βt‖(U0, V 0,W 0, φ0)‖2, t ≥ 0,

pentru niste Cβ, β > 0. Aici

vkl(t, y) =

∫ 2π

0

∫ 2π

0

v(t, x, y, z)e−ikxe−ikzdxdz.

Operatorii LMHDk sunt definiti ın relatia (1.4.15) iar operatorii LMHD

kl sunt definiti ın relatia(1.4.54). Operatorii RMHD

k si RMHDkl sunt liniari, auto-adjunti si satisfac ecuatiile Riccati

(1.4.37), respectiv (1.4.57).

1.4.2 Constructia unui Observator pentru ecuatiile SMHD linia-rizate (1.4.9)

In aceasta sectiune, vom construi un Observator pentru ecuatiile SMHD liniarizate, ındoua dimensiuni. Observatorul utilizeaza semnalele input si output ale sistemului pentru

63

a genera o estimare a starii sistemului, care este apoi utilizata pentru a ınchide buclacontrolului. Observatorii sunt utilizati pentru a creste sau ınlocui senzorii din sistemulcontrolat. De fapt, Observatorul este sistemul folosit ın simularile numerice si ın aplicatiilepractice. Prin urmare, constructia sa este de o importanta majora.

Sa observam mai ıntai ca, daca ın sistemul (1.4.9) aplicam controlul frontiera Ψ, deforma

Ψ(t, x) = ν∑

0<|k|≤S1

((LMHDk )−2RMHD

k LMHDk vk(t))

′′′(0)eikx, (1.4.60)

asupra componentei normale v, pe peretele y = 0, si argumentam ca mai sus, obtinemca acesta stabilizeaza sistemul (1.4.9). Aici RMHD

k sunt operatori liniari, auto-adjuncti cesatisfac ecuatii Riccati, omologi operatoriilor RMHD

k .Din demonstratia Lemei 1.1.3, aplicata ın acest caz, obtinem ca solutia Z a urmatorului

sistemd

dtZk + ΛkZk = Bkψk, t ≥ 0, (1.4.61)

satisface Z(t)→ 0 pentru t→ 0. Aici

Λk :=

⟨PNkA

MHDk φk1, φ

k∗1

⟩ ⟨PNkA

MHDk φk2, φ

k∗1

⟩...

⟨PNkA

MHDk φkMk

, φk∗1⟩⟨

PNkAMHDk φk1, φ

k∗2

⟩ ⟨PNkA

MHDk φk2, φ

k∗2

⟩...

⟨PNkA

MHDk φkMk

, φk∗2⟩

......

......⟨

PNkAMHDk φk1, φ

k∗Mk

⟩... ...

⟨PNkA

MHDk φkMk

, φk∗Mk

⟩

,

(1.4.62)si

Bk :=

−ν(φk∗1 )′′′(0)−ν(φk∗2 )′′′(0)

...−ν(φk∗Mk

)′′′(0)

si Zk :=

zk1zk2...zkMk

, (1.4.63)

unde

PNkLkvk(t, y) :=

Mk∑j=1

zkj (t)φkj (y).

PNk sunt proiectorii, corespunzatori operatorilor −AMHDk , definiti ca ın relatia (4.1.2) din

Apendix, ın timp ceφkj∞j=1

,φk∗j∞j=1

sunt autofunctiile operatorului −AMHDk definit ın

(1.4.17), respectiv dualului(−AMHD

k

)∗.

Consideram Observatorul asociat ecuatiilor (1.4.9), dat deut − ν∆u+ uxU

e + v(U e)′ +N u = −px,vt − ν∆v + vxU

e = −py −∑

0<|k|≤S1

Gk(v − v)(y)eikx,

ux + vy = 0, t ≥ 0, x ∈ R, y ∈ (0, 1),

(1.4.64)

cu urmatoarele conditii la frontiera

u(t, x, 0) = u(t, x, 1) = v(t, x, 0) = 0

v(t, x, 1) = Ψ(t, x).(1.4.65)

64

Aici

Gk(v−v)(y) = −ν2((LMHD

k )−2RMHDk LMHD

k (vk − vk))′′′(0)

ik

Mk∑j=1

(φk∗j )′′′(0)φkj (y), 0 < |k| ≤ S1,

si

Ψ = −ν∑

0<|k|≤S1

((LMHDk )−2RMHD

k LMHDk vk(t))

′′′(1)eikx.

Facand diferenta ıntre ecuatiile Obervatorului (1.4.64)-(1.4.65) si ecuatiile (1.4.9), obtinemecuatiile erorii, cu starile u := u− u, v := v− v, p := p− p, care poate fi scris ın coeficientiFourier astfel

(uk)t − νu′′k + (νk2 + ikU e)uk + (U e)′vk +N uk = −ikpk, y ∈ (0, 1),(vk)t − νv′′k + (νk2 + ikU e)vk = −p′k −Gk, y ∈ (0, 1),ikuk + v′k = 0, y ∈ (0, 1),uk(0) = uk(1) = 0, vk(0) = vk(1) = 0,

(1.4.66)

pentru 0 < |k| ≤ S1, si(uk)t − νu′′k + (νk2 + ikU e)uk + (U e)′vk +N uk = −ikpk, y ∈ (0, 1),(vk)t − νv′′k + (νk2 + ikU e)vk = −p′k, y ∈ (0, 1),ikuk + v′k = 0, y ∈ (0, 1),uk(0) = uk(1) = 0, vk(0) = vk(1) = 0,

(1.4.67)

pentru k = 0 si |k| > S1.La fel ca ın Remarca 1.1.1, relatia (1.1.24), avem pentru |k| > S1, ‖vk(t)‖, ‖uk(t)‖ → 0

cand t→∞. Faptul ca ‖v0(t)‖, ‖u0(t)‖ → 0 cand t→∞ poate fi aratat usor ca ın (1.1.6)-(1.1.8). Ramane de aratat ca ‖vk(t)‖, ‖uk(t)‖ → 0 cand t → ∞, pentru 0 < |k| ≤ S1.Dupa ce reducem presiunea din (1.4.66) si notam zk := Lkvk, deducem

(zk)t + AMHDk zk = ikGk, t ≥ 0. (1.4.68)

Descompunem sistemul (1.4.68) ın partea instabila, respectiv ın partea stabila

pe XuNk

:d

dtzNk + PNkA

MHDk zNk = ikGk, zNk(0) = PNk z0k, (1.4.69)

pe XsNk

:d

dtζNk + (I − PNk)A

MHDk ζNk = 0, ζNk(0) = (I − PNk)z0k, (1.4.70)

respectiv, prin aplicarea proiectorilor PNk si (I − PNk) sistemului (1.4.68). Deoarece (I −PNk)A

MHDk este exponential stabil, avem

‖ζNk(t)‖ → 0 cand t→∞. (1.4.71)

Ca ın demonstratia Lemei 1.1.3, descompunem

zNk(t, y) :=

Mk∑j=1

zkj (t)φkj (y),

65

ıl introducem ın sistemul (1.4.69) si multiplicam scalar cu φk∗l , obtinem

d

dtzkl +

Mk∑j=1

⟨PNkA

MHDk φkj , φ

k∗l

⟩zkj = ν((LMHD

k )−2RMHDk LMHD

k vk)′′′(0)(−ν(φk∗j )′′′(0)) = 0,

(1.4.72)l = 1, ...,Mk. Notam

Zk :=

zk1zk2...zkMk

. (1.4.73)

Luand ın considerare notatiile (1.4.62) si (1.4.63), ecuatia (1.4.72) se rescrie

d

dtZk + ΛkZk = (ν(L−2

k RkLkvk)′′′(0))Bk, t ≥ 0. (1.4.74)

Urmeaza imediat din (1.4.61) ca Zk(t)→ 0 pentru t→∞, asadar,

‖zNk(t)‖ → 0 cand t→∞. (1.4.75)

Relatiile (1.4.71), (1.4.75) si faptul ca zk = zNk + ζNk implica

‖zk(t)‖ → 0 cand t→∞, (1.4.76)

ceea ce ınseamna ‖vk(t)‖, ‖uk(t)‖ → 0 cand t → ∞, pentru 0 < |k| ≤ S1. Deci, erorile(u, v) sunt exponential stabile. Prin urmare, am stabilit urmatorul rezultat

Teorema 1.4.3 Consideram sistemulut − ν∆u+ uxU

e + v(U e)′ +Nu = −px,vt − ν∆v + vxU

e = −py,ux + vy = 0, t ≥ 0, x ∈ R, y ∈ (0, 1),

(1.4.77)

cu conditiile la frontiera

u(t, x, 0) = u(t, x, 1) = v(t, x, 0) = 0

v(t, x, 1) = Ψ(t, x).(1.4.78)

UndeΨ = −ν

∑0<|k|≤S1

((LMHDk )−2RMHD

k LMHDk vk(t))

′′′(1)eikx,

vk(t, y) =

∫ 2π

0

v(t, x, y)e−ikxdx, 0 < |k| ≤ S1.

u, v satisfac ecuatia Observatoruluiut − ν∆u+ uxU

e + v(U e)′ +N u = −px,vt − ν∆v + vxU

e = −py −∑

0<|k|≤S1

Gk(v − v)(y)eikx,

ux + vy = 0, t ≥ 0, x ∈ R, y ∈ (0, 1),

(1.4.79)

66

cu conditiile la frontiera

u(t, x, 0) = u(t, x, 1) = v(t, x, 0) = 0

v(t, x, 1) = Ψ(t, x).(1.4.80)

Unde

Gk(v−v)(y) = −ν2((LMHD

k )−2RMHDk LMHD

k (vk − vk))′′′(0)

ik

Mk∑j=1

(φk∗j )′′′(0)φkj (y), 0 < |k| ≤ S1.

Presupunem ca sistemul (1.4.77) cu conditiile la frontiera (1.4.78), si sistemul (1.4.79)cu conditiile la frontiera (1.4.80) admit solutii clasice u, v, respectiv u, v. Atunci, erorileu := u− u si v := v − v converg exponential la zero ın norma H.

67

Capitolul 2

Stabilizarea interna a ecuatiilorNavier-Stokes si controlabilitateexacta pe spatii de codimensiunefinita

In acest capitol, vom construi un control feedback neliniar, ce stabilizeaza intern ecuatiileNavier-Stokes cu conditii nule la frontiera. Mai mult, vom arata ca acest control duce datainitiala vo ın spatiul ve+Xs

N , ın timp finit T . Prin urmare, putem afirma ca obtinem si unrezultat de tipul controlabilitate exacta. Aici ve este o stare de echilibru oarecare pentruecuatiile Navier-Stokes, iar Xs

N este spatiul liniar generat de autofunctiile corespunzatoareautovalorilor stabile ale operatorului Oseen-Stokes. Rezultatele prezentate ın acest capitolsunt originale si au fost obtinute de catre autor ın lucrarea [71], ımpreuna cu V. Barbu.

2.1 Prezentarea problemei

Ecuatiile Navier-Stokes incompresibile, cu conditii zero la frontiera, sunt

∂∂t

v− ν∆v + (v · ∇)v = f e +∇p ın (0,∞)×O,

∇ · v = 0 ın (0,∞)×O,

v = 0 pe (0,∞)× ∂O,

v(0) = vo ın O,

(2.1.1)

unde O ⊂ Rd, d = 2, 3, este un domeniu deschis cu frontiera neteda ∂O, ν > 0 estecoeficientul de vascozitate, v si p sunt necunoscutele campul vitezelor, respectiv presiuneafluidului, iar data initiala vo ∈ (L2(O))d si densitatea de forta externa f e ∈ (H2(O))

dsunt

date.Deoarece f e este o functie ce nu depinde de timp, putem considera o solutie stationara

a ecuatiilor Navier-Stokes (2.1.1). Adica, o solutie ve = ve(x) ce verifica ecuatiile Navier-

68

Stokes stationare −ν∆ve + (ve · ∇)ve = f e +∇pe ın O,

∇ · ve = 0 ın O; ve = 0 pe ∂O,(2.1.2)

unde pe reprezinta presiunea de echilibru.Consideram un subdomeniu deschis O0 ⊂ O, si asociem sistemului (2.1.1) urmatoarea

problema de control intern

∂∂t

v− ν∆v + (v · ∇)v = f e +∇p+mΨ ın (0,∞)×O,

∇ · v = 0 ın (0,∞)×O,

v = 0 pe (0,∞)× ∂O,

v(0) = vo ın O,

(2.1.3)

unde m este functia caracteristica a multimii O0, iar Ψ este controlul.Scopul nostru este sa construim, pentru ecuatia (2.1.3), un control feedback stabilizant,

de forma

Ψ := −ηN∑j=1

sign(〈v− ve,Ξj〉)Φj,

care duce data initiala vo ın spatiul ve + XsN , ın timp finit T , unde Xs

N este un spatiu decodimensiune finita, constand din moduri stabile (vezi definitia (2.2.3) de mai jos). Pentruecuatiile liniare Oseen-Stokes, codimensiunea poate fi aleasa oricat de mare (vezi Teorema2.3.1 de mai jos).

2.2 Notatii si preliminarii

Introducem notatiile (vezi si Apendix-ul)

Hπ :=

v ∈(L2(O)

)d: ∇ · v = 0 ın O, v · n = 0 pe ∂O

, (2.2.1)

unde n este versorul normalei exterioare la frontiera ∂O. Deoarece Hπ este un subspatiuliniar, ınchis, al lui (L2(O))d, este bine-definit proiectorul P : (L2(O))

d → Hπ, numit siproiectorul Leray. Notam

A := −P∆, D(A) =(H1

0 (O) ∩H2(O))d ∩Hπ,

Av := νAv + P ((v · ∇)ve + (ve · ∇)v), D(A) = D(A),

siBv := P ((v · ∇)v), v ∈ D(A).

Deci, renotand v := P (v− ve), putem rescrie sistemul (2.1.3) astfelddt

v +Av +Bv = P (mΨ) ın (0,∞)×O,v(0) = vo := vo − ve,

(2.2.2)

69

deoarece aplicand proiectorul Leray P sistemului controlat Navier-Stokes (2.1.3), reducempresiunea.

Este convenabil sa extindem (2.2.2) la spatiul complex, dupa cum urmeaza:

HCπ := Hπ + iHπ

siAC(u + iv) := Au + iAv, u,v ∈ D(A),

BC(u + iv) := Bu + iBv, u,v ∈ D(A).

In cele ce urmeaza, pentru simplitate, vom scrie Hπ, A, B cand ne referim la extinderileHCπ , AC, respectiv BC.Operatorul −A genereaza un C0−semigrup analitic pe Hπ, si are rezolventa compacta

ın Hπ. Prin urmare, A are o multime numarabila de autovalori λj∞j=1 cu proprietatea

ca, dat γ ≥ 0, exista un numar finit N de autovalori λjNj=1 astfel ıncat <λj ≤ γ, pentruj = 1, ..., N . Fiecare autovaloare λj are o multiplicitate algebrica finita mj, si repetam totiλj ın acord cu multiplicitatea fiecaruia. Notam cu

XuN := linspan φjNj=1 ; Xs

N := linspan φj∞j=N+1 , (2.2.3)

spatiul liniar generat de autofunctiile (posibil generalizate) φjNj=1 ale operatorului A,

corespunzatoare autovalorilor λjNj=1; respectiv, spatiul liniar generat de autofunctiile

φj∞j=N+1 ale operatorului A, corespunzatoare autovalorilor λj∞j=N+1. Avem

Hπ = XuN ⊕Xs

N ,

ca suma algebrica. Mai departe, notam cu PN proiectia algebrica si adjunctul sau P ∗N ,definite astfel

PN := − 1

2πi

∫Γ

(λI −A)−1dλ; P ∗N := − 1

2πi

∫Γ

(λI −A∗)−1dλ,

unde Γ (respectiv, conjugatul sau Γ) separa multimea λjNj=1 de multimea λj∞j=N+1

(respectiv, multimeaλjNj=1

de multimeaλj∞j=N+1

). In sfarsit, notam cu

AuN := PNA; AsN = (I − PN)A (2.2.4)

restrictiile operatorului A la spatiul XuN , respectiv Xs

N . Aceste proiectii comuta cu A,prin urmare spectrul operatorului A pe Xu

N si pe XsN coincide cu λjNj=1, respectiv cu

λj∞j=N+1. Mai mult, semigrupul e−AsN t este exponential stabil pe Xs

N . Mai precis, avem

‖e−AsN t‖L(Hπ) ≤ Ce−γt, ∀t ≥ 0. (2.2.5)

Vom presupune, pentru simplitate, ca

(A1) Toate autovalorile λj, j = 1, ..., N, ale operatorului A, sunt semi-simple .

70

Aceasta ınseamna ca avemAφj = λjφj, ∀j = 1, ..., N. (2.2.6)

Daca notam cu φ∗j autofunctiile operatorului dual A∗, al lui A, avem

A∗φ∗j = λjφ∗j , j = 1, ..., N.

O consecinta imediata a ipotezei (A1) este ca sistemulφj, φ

∗j

Nj=1

poate fi ales biortonormal

ın Hπ, adica ⟨φi, φ

∗j

⟩= δij, i, j = 1, ..., N. (2.2.7)

Am notat cu 〈·, ·〉 produsul scalar pe Hπ si cu ‖ · ‖ norma indusa de acesta pe Hπ. Proprie-tatea (A1), sau mai general ca λj sunt autovalori simple, este generica ın raport cu solutiade echilibru ve (vezi [19]).

2.3 Stabilizarea sistemului liniar Oseen-Stokes

Definim urmatorul control feedback neliniar, finit-dimensional

Ψ(t) := −ηN∑j=1

sign(⟨PNv(t), φ∗j

⟩)PNΦj, (2.3.8)

unde η ∈ R+, sign este multifunctia pe C, definita astfel

sign(z) :=

z|z| , daca z 6= 0,

w ∈ C : |w| ≤ 1 , daca z = 0,(2.3.9)

si Φj ∈ Hπ sunt definiti astfel

Φj :=N∑k=1

αjkφ∗k, j = 1, ..., N,

cuN∑k=1

αik⟨φ∗k, φ

∗j

⟩0

= δij, i, j = 1, ..., N. (2.3.10)

Aici

〈φ, ψ〉0 :=

∫Omφψdξ, ∀φ, ψ ∈ (L2(O))d.

Prin urmare, relatia (2.3.10) implica faptul ca sistemul de functii Φj, φ∗jNj=1 este biortonor-

mal ın raport cu produsul scalar 〈·, ·〉0. Este usor de vazut ca sistemul (2.3.10) are solutie

unica. Intr-adevar, daca notam cu Λ matricea(⟨φ∗k, φ

∗j

⟩0

)Nk,j=1

, atunci (αjk)Nj,k=1 = Λ−1, iar

existenta inversei Λ−1 este asigurata de proprietatea de unica continuare a autofunctiilorφ∗j , corespunzatoare adjunctului operatorului Oseen-Stokes A∗. Mai precis, stim din [19]

ca sistemulφ∗jNj=1

este liniar independent ın (L2(O0))d, ceea ce implica faptul ca Λ este

nesingulara.

71

Teorema 2.3.1, de mai jos, spune ca pentru η suficient de mare, controlul feedback(2.3.8) stabilizeaza exponential, cu exponent −γ, liniarizatul sistemului (2.2.2), si duce voın spatiul Xs

N , ın timp finit T > 0 arbitrar.

Teorema 2.3.1 Fie ρ > 0 si vo ∈ Hπ astfel ıncat ‖vo‖ ≤ ρ. Fie v solutia sistemului cubucla ınchisa

dv

dt+Av + η

N∑j=1

sign(⟨PNv, φ∗j

⟩)PNm(Φj) = 0, t ≥ 0,

v(0) = vo,

(2.3.11)

unde T > 0 este arbitrar, dar fixat. Atunci, pentru η astfel ıncat

η ≥ ρmax

<λj

e<λjT − 1, j = 1, ..., N

, (2.3.12)

avemPNv(t) = 0, ∀t ≥ T, (2.3.13)

si‖v(t)‖ ≤ Ce−γt‖v0‖, ∀t ≥ T, (2.3.14)

pentru o constanta C > 0. In relatia (2.3.12), daca pentru un j ∈ 1, ..., N avem <λj = 0,

punem ın loc de<λj

e<λjT−1, limita sa cand <λj → 0, si anume 1

T.

Demonstratie. Aplicam proiectorul PN sistemului (2.3.11), pentru a obtinedvudt

+AuNvu + ηN∑j=1

sign(⟨vu, φ

∗j

⟩)PNm(Φj) = 0, t ≥ 0,

vu(0) = PNvo,

(2.3.15)

unde vu := PNv. Daca descompunem vu astfel vu =∑N

j=1 vjφj, ıl introducem ın (2.3.15),si ınmultim scalar cu φ∗j ecuatia (2.3.15), gasim

dvjdt

+ λjvj + ηsign vj = 0,∀t ≥ 0,vj(0) = voj ,

(2.3.16)

pentru toti j = 1, ..., N. Aici am folosit relatiile (2.2.6), (2.2.7) si (2.3.10).Trebuie mentionat ca sistemul diferential ordinar multivoc (2.3.16) are solutie unica,

absolut continua vjNj=1, deoarece multifunctia z 7−→ sign z este maximal monotona peC. Mai mult, daca luam ın considerare relatia

sign z · z = |z|,∀z ∈ C,

avem din (2.3.16) ca

1

2

d

dt|vj(t)|2 + <λj|vj(t)|2 + η|vj(t)| = 0, t ≥ 0.

72

Aceasta implicad

dτ|vj(τ)|+ <λj|vj(τ)|+ η = 0, τ ≥ 0.

Prin urmare, daca ınmultim ecuatia de mai sus cu e<λjτ si o integram pe (0, t), obtinem

e<λjt|vj(t)| − |vj(0)|+ η

<λj(e<λjt − 1

)= 0, ∀t ≥ 0. (2.3.17)

Este usor de vazut ca, din moment ce η satisface constrangerile (2.3.12), avem

η

<λj(e<λjt − 1

)− |vj(0)| ≥ 0, ∀t ≥ T,

care, ımpreuna cu (2.3.17), conduce imediat la relatia (2.3.13).Mai departe, aplicam sistemului (2.3.11) proiectia I − PN , si obtinem ca

dvsdt

+AsNvs = 0, t ≥ 0,vs(0) = (I − PN)vo,

(2.3.18)

unde vs := (I − PN)v. Daca luam ın considerare relatia (2.2.5), avem

‖vs(t)‖ ≤ Ce−γt‖(I − PN)vo‖ ≤ Ce−γt‖vo‖, ∀t ≥ 0.

Aceasta, ımpreuna cu (2.3.13), implica (2.3.14), dupa cum ne-am propus.

Remarca 2.3.1 Dupa cum am mentionat, rezultatele de mai sus raman adevarate si ıncazul ın care ipoteza (A1) nu este satisfacuta, adica autovalorile instabile nu sunt neaparatsemi-simple. Mai jos vom ilustra doua exemple cand ipoteza (A1) nu este satisfacuta, maiprecis vom studia doua cazuri ın care prima autovaloare λ1 are multiplicitatea algebrica 2si cea geometrica 1. Asadar, sa presupunem ca matricea ‖

⟨Aφi, φ∗j

⟩‖Ni,j=1 are forma

‖⟨Aφi, φ∗j

⟩‖Ni,j=1 =

λ1 0 0 0 ... 01 λ1 0 0 ... 00 0 λ3 0 ... 0... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... λN

(2.3.19)

Prin urmare, ın acest caz, (2.3.16) are urmatoarea forma

dv1

dt+ λ1v1 + ηsignv1 = 0, t ≥ 0; v1(0) = vo1,

dv2

dt+ v1 + λ1v2 + ηsignv2 = 0, t ≥ 0; v2(0) = vo2,

dvjdt

+ λjvj + ηsignvj = 0, t ≥ 0; vj(0) = voj , j = 3, ..., N.

(2.3.20)

La fel ca si ın demonstratia Teoremei 2.3.1, obtinem

e<λjt|vj(t)| − |vj(0)|+ η

<λj(e<λjt − 1) = 0, (2.3.21)

73

pentru t ≥ 0, j = 1 si j = 3, 4, ..., N. Urmeaza, ın particular, ca

e<λ1t|v1(t)| ≤ |v1(0)| ≤ ρ. (2.3.22)

Inmultim a doua ecuatie a sistemului (2.3.20) cu v2 si luam partea reala a rezultatului,pentru a obtine

1

2

d

dt|v2|2 + <λ1|v2|2 + η|v2| = −<(v1v2).

Aceasta implica

e<λ1t|v2(t)| − |v2(0)|+ ηe<λ1t − 1

<λ1

≤∫ t

0

e<λ1τ |v1(τ)|dτ. (2.3.23)

Folosind relatiile (2.3.21), (2.3.22) si (2.3.23), deducem imdeiat ca

vj(t) = 0, t ≥ T, j = 1, ..., N,

daca η ≥ ρ(1 + T ) max1≤j≤N

<λj

e<λjT − 1

.

Acum, sa tratam alt caz. Sa presupunem ca

‖⟨Aφi, φ∗j

⟩‖Ni,j=1 =

λ1 1 0 0 ... 01 λ1 0 0 ... 00 0 λ3 0 ... 0... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... λN

. (2.3.24)

Obtinem

ddt|v1|+ <λ1|v1|+ η ≤ |v2|, t ≥ 0,

ddt|v2|+ <λ1|v2|+ η ≤ |v1|, t ≥ 0,

ddt|vj|+ <λj|vj|+ η = 0, t ≥ 0, j = 3, ..., N.

(2.3.25)

Sumam primele doua ecuatii ale sistemului (2.3.25), pentru a vedea ca

d

dt(|v1|+ |v2|) + (<λ1 − 1)(|v1|+ |v2|) + 2η ≤ 0. (2.3.26)

Este usor de observat ca daca

η ≥ ρmax

1

2

<λ1 − 1

e(<λ1−1)T − 1; max

3≤j≤N

<λj

e<λjT − 1

,

avem, via (2.3.25) si (2.3.26),

vj(t) = 0, t ≥ T, j = 1, ..., N,

dupa cum dorim.Conchidem ca, ın cazul ın care autovalorile instabile nu sunt neaparat semi-simple,

se poate alege η > 0 ıntr-un mod adecvat, suficient de mare, pentru a obtine rezultateasemanatoare cu cele din Teorema 2.3.1.

74

2.4 Stabilizarea ecuatiilor Navier-Stokes (2.2.2)

In cele ce urmeaza, consideram γ egal cu 0. Deci, XsN este generat de autofunctiile cores-

punzatoare autovaloriilor λj, cu <λj > 0, j = N + 1, N + 2, .... Notam cu

β := min <λj, j = N + 1, ... .

Urmeaza ca avem urmatoarea estimare pentru operatorul AsN

‖e−AsN t‖L(Hπ ,Hπ) ≤ Ce−βt, ∀t ≥ 0. (2.4.27)

Principalul rezultat al acestui capitol este prezentat ın urmatoarea teorema ce spune cacontrolul feedback (2.3.8) stabilizeaza exponential sistemul neliniar (2.2.2) si, la fel ca ıncazul liniar, duce data initiala vo ın spatiul Xs

N , ın timp finit T > 0, suficient de mic.

Teorema 2.4.1 Fie T, ρ > 0 constante suficient de mici. Pentru toti vo ∈ W , astfel ıncat‖vo‖W ≤ ρ, problema

dv

dt+Av + η

N∑j=1

sign(⟨PNv, φ∗j

⟩)PNm(Φj) +Bv = 0, t ≥ 0,

v(0) = vo,

(2.4.28)

este bine-pusa pe W cu solutie unica

v ∈ C([0,∞);W ) ∩ L2(0,∞;Z),

daca η este astfel ıncat

η ≥ max

<λj

(k‖φ∗j‖+ ρ

)e<λjT − 1

; j = 1, ..., N

. (2.4.29)

Mai mult, aceste solutii satisfac

PNv(t) = 0,∀t ≥ T, (2.4.30)

si‖v(t)‖ ≤ Ce−βt‖v0‖, ∀t ≥ T, (2.4.31)

pentru o constanta C > 0.Aici k este dat de relatia (2.4.35) de mai jos, iar

W := (H12−ε(O))d ∩Hπ si Z := (H

32−ε(O))d ∩Hπ

daca d = 2,W := (H

12

+ε(O))d ∩Hπ si Z := (H32

+ε(O))d ∩Hπ

daca d = 3. De asemenea, daca pentru un j ∈ 1, ..., N avem <λj = 0, punem ın relatia

(2.4.29), ın loc de<λj

e<λjT−1, 1T

.

75

Demonstratie. Pentru toti 0 < r ≤ 1, introducem bila de raza r, centrata ın origine, aspatiului L2(0,∞;Z):

S(0, r) :=

f ∈ L2(0,∞;Z) : ‖f‖L2(0,∞;Z) :=

(∫ ∞0

‖f(t)‖2Zdt

) 12

≤ r

.

Pentru toti z ∈ S(0, r), consideram sistemuldv

dt+Av + η

N∑j=1

sign(⟨PNv, φ∗j

⟩)PNm(Φj) = −Bz, t ≥ 0,

v(0) = vo.

(2.4.32)

Ideea demonstratiei este urmatoarea: aratam ca pentru toti z ∈ S(0, r), problema (2.4.32)are solutie vz ∈ S(0, r), pentru T, ρ si r suficient de mici. Mai mult, aratam ca

PNvz(t) = 0,∀t ≥ T.

Apoi, notam cu Γ operatorul ce asociaza lui z solutia vz. Aratam ca Γ : S(0, r)→ S(0, r)este o contractie pe S(0, r), pentru T, r, ρ suficient de mici. In final, aplicam principiulaplicatiilor contractive pentru a obtine existenta solutiilor sistemului (2.4.28), completandastfel demonstratia.

Vom utiliza cateva rezultate din lucrarile [12] si [16]. Mai precis, folosind aceleasi ideica ın [16, Lema 3.2], se poate arata ca operatorul stabil AsN = (I − PN)A satisface∫ ∞

0

‖e−AsN tw‖2Z ≤ c‖w‖2

W , ∀w ∈ W, (2.4.33)

pentru o constanta c > 0. Mai departe, notam cu

(N z)(t) :=

∫ t

0

e−AsN (t−τ)(Bz)(τ)dτ. (2.4.34)

Din [12, Lema 5.4] avem urmatoarele estimari pentru termenul neliniar B

‖Bz‖W ≤ k‖z‖2Z , ∀z ∈ Z, (2.4.35)

pentru o constanta k > 0. Ca ın [12, Ec. (5.41)-(5.43)] avem de asemenea si urmatoareleestimari pentru B

‖Bz1 −Bz2‖W ≤ k (‖z1‖Z + ‖z2‖Z) ‖z1 − z2‖Z ,∀z1, z2 ∈ S(0, r). (2.4.36)

Folosind acestea si estimarea (2.4.33), se poate arata, ca ın Pasul (c) al demonstratiei [12,Proposition 5.6], ca avem urmatoarele estimari pentru operatorul N , definit ın (2.4.34),

‖N z1 −N z2‖2L2(0,∞;Z) ≤ 4ck2r2‖z1 − z2‖2

L2(0,∞;Z),∀z1, z2 ∈ S(0, r). (2.4.37)

In sfarsit, notam cu(Λz)(t) := e−A

sN t(I − PN)vo + (N z)(t). (2.4.38)

76

Folosind aceleasi idei ca ın [12, Proposition 5.2], gasim ca

‖Λz‖2L2(0,∞;z) ≤ 2c‖(I − PN)vo‖2

W + 2ck2

(∫ ∞0

‖z(t)‖2z

)2

≤ 2c(ρ2 + k2r4),∀z ∈ S(0, r).

(2.4.39)

Avand aceste rezultate cheie clarificate putem continua cu demonstratia.Pentru a arata ca exista o solutie pentru ecuatia (2.4.32), se poate argumenta ca ın

demonstratia Teoremei 2.3.1, apeland la faptul ca multifunctia sign este maximal mono-tona pe C. Mai departe, aratam ca aceasta solutie ramane ın bila S(0, r), pentru r suficientde mic, si satisface relatiile (2.4.30) si (2.4.31). Aplicam proiectorul PN ecuatiei (2.4.32),pentru a obtine ca

1

2

d

dt|vj(t)|2 + <λj|vj(t)|2 + η|vj(t)| = −<

(⟨Bz, φ∗j

⟩vj), t ≥ 0, (2.4.40)

pentru toti j = 1, ..., N , unde PNv =N∑j=1

vjφj. Apoi, folosind inegalitatea lui Schwarz,

deducem−<

(⟨Bz, φ∗j

⟩vj)≤∣∣⟨Bz, φ∗j

⟩∣∣ |vj| ≤ ‖Bz‖‖φ∗j‖ |vj| .

Aceasta, ımpreuna cu (2.4.40), implica

d

dτ|vj(τ)|+ <λj|vj(τ)|+ η ≤ ‖Bz‖‖φ∗j‖,∀τ ≥ 0, (2.4.41)

pentru toti j = 1, ..., N . Inmultind (2.4.41) cu e<λjτ si integrand pe (0, t), obtinem

e<λjt|vj(t)|−|vj(0)|+∫ t

0

ηe<λjτdτ

≤∫ t

0

e<λjτ‖Bz(τ)‖‖φ∗j‖dτ, t ≥ 0,

(2.4.42)

pentru toti j = 1, ..., N. Acum, folosind estimarea (2.4.35), avem ca∫ t

0

e<λjτ‖Bz(τ)‖‖φ∗j‖dτ ≤∫ t

0

e<λjτ‖Bz(τ)‖W‖φ∗j‖dτ

≤ k‖φ∗j‖∫ t

0

e<λjτ‖z(τ)‖2Zdτ

≤ k‖φ∗j‖∫ ∞

0

‖z(τ)‖2Z

≤ kr2‖φ∗j‖,

(2.4.43)

deoarece z ∈ S(0, r). Deci, (2.4.43) si (2.4.40) implica

e<λjt|vj(t)|+ ηe<λjt − 1

<λj−(kr2‖φ∗j‖+ |vj(0)|

)≤ 0, ∀t ≥ 0, (2.4.44)

77

pentru toti j = 1, ..., N . Este usor de vazut ca, daca η satisface constrangerile (2.4.29),avem ca |vj(t)| = 0,∀t ≥ T , pentru toti j = 1, ..., N . Mai mult, obtinem de asemenea din(2.4.44) ca

|vj(t)| ≤ e−<λjT(kr2‖φ∗j‖+ ρ

), 0 ≤ t ≤ T. (2.4.45)

Alegem T > 0 suficient de mic astfel ıncat

hTN∑j=1

|λj|αe−2<λjT

(kr2‖φ∗j‖+ ρ

)2≤ r2

4, (2.4.46)

unde α := 32− ε daca d = 2 si α := 3

2+ ε daca d = 3, si h > 0 este dat de urmatoarea

relatie dintre norme‖ · ‖(Hα(O))d∩Hπ ≤ h‖A

α2 · ‖ (2.4.47)

(pentru mai multe detalii a se vedea [81]). Deci, se obtine, via (2.4.45), (2.4.47) si (2.4.46),ca ∫ ∞

0

‖PNv(t)‖2Zdt =

∫ T

0

‖PNv(t)‖2Zdt ≤ h

∫ T

0

N∑j=1

|λj|α|vj(t)|2dt (2.4.48)

≤ hTN∑j=1

(|λj|αe−2<λjT

(kr2‖φ∗j‖+ ρ

)2)≤ r2

4. (2.4.49)

Acum, aplicand proiectorul I − PN ecuatiei (2.4.32), avem

d

dtvs +AsNvs + (I − PN)Bz = 0, t ≥ 0; vs(0) = (I − PN)vo, (2.4.50)

unde vs = (I − PN)v. Folosind formula variatiei constantelor, urmeaza ca

vs(t) = e−AsN t(I − PN)vo +

∫ t

0

e−AsN (t−τ)(I − PN)Bz(τ)dτ, t ≥ 0. (2.4.51)

Este usor de observat ca, via (2.4.51),(2.4.34) si (2.4.38), avem egalitatea

vs(t) = (Λz)(t), ∀t ≥ 0.

Deci, din (2.4.39), obtinem ca

‖vs‖2L2(0,∞;Z) ≤ 2c(ρ2 + k2r4). (2.4.52)

Luand ρ si r suficient de mici astfel ıncat

2c(ρ2 + k2r4) ≤ r2

4, (2.4.53)

deducem din (2.4.52) ca

‖(I − PN)v‖2L2(0,∞;Z) = ‖vs‖2

L2(0,∞;Z) ≤r2

4. (2.4.54)

78

In final, concluzionam ca daca T , ρ si r sunt suficient de mici astfel ıncat satisfac relatiile(2.4.46) si (2.4.53), avem

‖v‖2L2(0,∞;Z) =

∫ ∞0

‖v(t)‖2Zdt ≤ 2

∫ ∞0

(‖PNv(t)‖2

Z + ‖(I − PN)v(t)‖2Z

)dt

≤ 2

(r2

4+r2

4

)= r2,

(2.4.55)

daca luam ın considerare relatiile (2.4.48)-(2.4.49) si (2.4.54). Aceasta ınseamna ca solutiav ramane ın bila S(0, r). Prin urmare, daca notam cu Γ operatorul care asociaza lui zsolutia corespunzatoare vz a sistemului (2.4.32), avem ca Γ duce bila S(0, r) ın ea insasi.Deci, pentru a termina demonstratia, mai ramane de aratat ca Γ este o contractie peS(0, r), de unde, via principiului aplicatiilor contractive, obtinem rezultatul dorit. Pentruaceasta avem: fie z1, z2 doua functii din S(0, r), si v1,v2 ∈ S(0, r) solutiile corespunzatoarepentru sistemul (2.4.32). Deci, v1 si v2 satisfac

dv1

dt+Av1 + η

N∑j=1

sign(⟨PNv1, φ

∗j

⟩)PNm(Φj) = −Bz1, t ≥ 0,

v1(0) = vo.

(2.4.56)

si dv2

dt+Av2 + η

N∑j=1

sign(⟨PNv2, φ

∗j

⟩)PNm(Φj) = −Bz2, t ≥ 0,

v2(0) = vo.

(2.4.57)

Aplicand, ca si mai ınainte, proiectorul PN ecuatiilor (2.4.56) si (2.4.57), si descom-punand PNv1 =

∑Nj=1 v1jφj si PNv2 =

∑Nj=1 v2jφj, avem

ddt

v1j + λjv1j + ηsign(v1j) = −⟨Bz1, φ

∗j

⟩, t ≥ 0,

v1j(0) = voj ,(2.4.58)

si ddt

v2j + λjv2j + ηsign(v2j) = −⟨Bz2, φ

∗j

⟩, t ≥ 0,

v2j(0) = voj ,(2.4.59)

pentru toti j = 1, ..., N . Extragand (2.4.59) din (2.4.58), obtinemd

dt(v1j − v2j) + λj (v1j − v2j) + η (sign(v1j)− sign(v2j))

= −⟨Bz1 −Bz2, φ

∗j

⟩, t ≥ 0,

(v1j − v2j) (0) = 0,

(2.4.60)

pentru toti j = 1, ..., N . Luand ın considerare ca sign este un operator maximal monoton,obtinem din (2.4.60) ınmultit cu v1j − v2j, ca

ddt|v1j − v2j|+ <λj |v1j − v2j| ≤ |

⟨Bz1 −Bz2, φ

∗j

⟩|, t ≥ 0,

(v1j − v2j) (0) = 0,(2.4.61)

79

pentru toti j = 1, ..., N . De unde,

e<λjt| (v1j − v2j) (t)| ≤∫ t

0

e<λjτ |⟨(Bz1 −Bz2) (τ), φ∗j

⟩|dτ

≤ ‖φ∗j‖∫ t

0

‖Bz1 −Bz2‖W

(folosind (2.4.36))

≤ k‖φ∗j‖∫ t

0

‖z1‖Z + ‖z2‖Z ‖z1 − z2‖Zdt

≤ 2kr‖φ∗j‖‖z1 − z2‖L2(0,∞;Z),

(2.4.62)

pentru toti j = 1, ..., N. Asadar,

| (v1j − v2j) (t)| ≤ e−<λjT2kr‖φ∗j‖‖z1 − z2‖L2(0,∞;Z), 0 ≤ t < T (2.4.63)

si, din calculele de mai sus,

| (v1j − v2j) (t)| = 0, ∀t ≥ T, (2.4.64)

pentru toti j = 1, ..., N . Folosind aceleasi idei ca ın relatia (2.4.48) obtinem, via relatiile(2.4.63) si (2.4.64), ca∫ ∞

0

‖PN(v1 − v2)(t)‖2Zdt

≤ hTN∑j=1

[|λj|αe−2<λjT

(2kr‖φ∗j‖

)2]‖z1 − z2‖2

L2(0,∞;Z).

(2.4.65)

Pentru a obtine estimari pentru (I−PN)(v1−v2), aplicam proiectorul (I−PN) ecuatiilor(2.4.56) si (2.4.57), folosim formula variatiei constantelor ca mai sus, si gasim ca

(I − PN)(v1 − v2)(t) =

∫ t

0

e−AsN (t−τ)(I − PN)(Bz1 −Bz2)(τ)dτ, t ≥ 0. (2.4.66)

Folosind (2.4.37), obtinem

‖(I − PN)(v1 − v2)‖2L2(0,∞;Z) ≤ 4ck2r2‖z1 − z2‖2

L2(0,∞;Z). (2.4.67)

Acum, (2.4.65) si (2.4.67) ımpreuna implica

‖v1 − v2‖2L2(0,∞;Z) ≤ 2

hT

N∑j=1

(|λj|αe−2<λjT

(2kr‖φ∗j‖

)2)

+ 4ck2r2

‖z1 − z2‖2

L2(0,∞;Z).

(2.4.68)Acum, daca luam T si r suficient de mici astfel ıncat

2

hT

N∑j=1

(|λj|αe−2<λjT

(2kr‖φ∗j‖

)2)

+ 4ck2r2

< µ2 < 1, (2.4.69)

80

gasim‖Γz1 − Γz2‖L2(0,∞;Z) ≤ µ‖z1 − z2‖L2(0,∞;Z), ∀z1, z2 ∈ S(0, r),

cu µ < 1. Deci, Γ este o contractie pe S(0, r), dupa cum doream.Conchidem ca: daca T, r, ρ sunt suficient de mici astfel ıncat se supun constrangerilor

(2.4.46),(2.4.53) si (2.4.69) atunci, via principiului aplicatiilor contractive, exista o solutieunica v ∈ S(0, r) ⊂ L2(0,∞;Z) pentru (2.4.28), care satisface relatia (2.4.30). Maideparte, ne propunem sa aratam ca aceasta solutie v apartine de asemenea spatiuluiC([0,∞);W ). Pentru aceasta, tinem cont de faptul ca vj|[0,T ] ∈ C([0, T ],C) si vj(t) =0, t ≥ T pentru toti j = 1, ..., N . Deci,

PNv ∈ C([0,∞);W ).

Mai mult, deoarece e−AsN t este un semigrup analitic pe W , urmeaza ca ın [17, Ec. (5.51a)],

ca(I − PN)v ∈ C([0,∞);W ).

Asadar, v ∈ C([0,∞);W ). In sfarsit, argumentand ca ın [17, Ec. (5.51b)], avem pentrutoti t ≥ T , luand ın considerare ca v = (I − PN)v, t ≥ T ,

‖v(t)‖W ≤ C‖vo‖W + Ck‖v‖2L2(0,∞;Z) ≤ b, (2.4.70)

unde b := Cρ+ Ckr2. Urmeaza din (2.4.70) ca

‖v(t)‖W ≤ b, t ≥ T,

prin urmare, v(t) ∈ B(0, b) := f ∈ W : ‖f‖W ≤ b, pentru toti t ≥ T . Similar cu ideiledin [17, Ec. (5.52)-(5.55)], deducem∫ ∞

T

‖v(t)‖2Zdt ≤ K‖vo‖2

W ,

de unde, folosind strategia clasica pentru sisteme neliniare autonome [4, p.178], obtinemca ın [17, Proposition 5.9], descresterea exponentiala (2.4.31).

2.5 Constructia unui feedback stabilizant real

Consideram din nou γ ≥ 0 arbitrar dar fixat. Notam ψjNj=1 := <φj,=φjN2j=1 (presu-

punem, pentru simplitate, ca toti λj, 1 ≤ j ≤ N, sunt complexi, si deci, N este par).Notam

XuN := linspan ψjNj=1 ,

si PN : Hπ → XuN , proiectia algebrica pe Xu

N . Aici, si ın cele ce urmeaza, Hπ este spatiulreal definit ın (2.2.1). Notam cu Xs

N := (I − PN)Hπ, si

AuN := A|XuN, AsN := A|Xs

N.

81

Avem, bineınteles, AuN = <AuN si AsN = <AsN . Mai mult, putem ortogonaliza ψjNj=1, viaprocedurii Schmidt, urmeaza ca

〈ψj, ψi〉 = δij, i, j = 1, ..., N. (2.5.71)

Acum, consideram controlul feedback real

u := −ηN∑j=1

sign(〈PNv, ψj〉)PNΨj, (2.5.72)

unde

Ψj :=N∑k=1

αjkψk, j = 1, ..., N, (2.5.73)

siN∑k=1

αjk 〈ψk, ψi〉0 = δji, i, j = 1, ..., N. (2.5.74)

(Putem alege αjk ın acest mod deoarece sistemul ψjNj=1 este liniar independent ın (L2(O0))d.)

Apoi, substituind u ın sistemul liniarizat Oseen-Stokes, avemddt

v +Av = −η∑N

j=1 sign(〈PN , ψj〉)PN(m(Ψj)), t ≥ 0,

v(0) = vo.(2.5.75)

Argumentand ın mod asemanator ca ın demonstratia Teoremei 2.3.1, si tinand cont defaptul ca

〈Ψj, ψi〉 = δij, i, j = 1, ..., N,

si ca, ın virtutea relatiei (2.2.5), avem

‖e−AsN t‖L(Hπ ,Hπ) ≤ Ce−γt, ∀t ≥ 0,

obtinem urmatorul rezultat.

Teorema 2.5.1 Fie T, ρ > 0 si vo astfel ıncat ‖vo‖ ≤ ρ. Pentru 0 < η = η(T, ρ) suficientde mare, avem ca solutia v, a sistemului bucla ınchisa (2.5.75), satisface

PNv(t) = 0,∀t ≥ T, (2.5.76)

si‖v(t)‖ ≤ Ce−γt‖vo‖,∀t ≥ T. (2.5.77)

Demonstratie. Pentru simplitate, presupunem ca N = 4. Celelalte cazuri pot fi abordateasemanator. Avem

AC(φ1) = AC(ψ1 + iψ2) = Aψ1 + iAψ2.

Pe de alta parte, avemAC(φ1) = λ1φ1 = λ1(ψ1 + iψ2).

82

Deci,Aψ1 = <λ1ψ1 −=λ1ψ2 si Aψ2 = <λ1ψ2 + =λ1ψ1. (2.5.78)

In aceeasi maniera, obtinem de asemenea

Aψ3 = <λ2ψ3 −=λ2ψ4 si Aψ4 = <λ2ψ4 + =λ2ψ3. (2.5.79)

Asadar, ın acest caz, sistemul finit dimensional

d

dtvu + AuNvu = −η

4∑j=1

sign(〈vu, ψj〉)PN(m(Ψj)),

are forma ddt

v1 + <λ1v1 + =λ1v2 = −ηsign(v1),ddt

v2 + <λ1v2 −=λ1v1 = −ηsign(v2),ddt

v3 + <λ2v3 + =λ2v4 = −ηsign(v3),ddt

v4 + <λ2v4 −=λ2v3 = −ηsign(v4), ∀t ≥ 0.

(2.5.80)

Inmultind prima ecuatie din (2.5.80) cu v1, a doua ecuatie cu v2, si sumandu-le gasim ca

1

2

d

dt(|v1|2 + |v2|2) + <λ1(|v1|2 + |v2|2) + η(|v1|+ |v2|) = 0, ∀t ≥ 0.

Acelasi rezultat poate fi obtinut si pentru coeficientii v3 si v4. Acum, argumentand ca ındemonstratia Teoremei 2.3.1, se poate obtine rezultatul dorit. Detaliile sunt omise.

In aceeasi maniera, urmarind ideile din demonstratia Teoremei 2.4.1, se obtine, pentrusistemul neliniar

d

dtv +Av +Bv = −η

N∑j=1

sign(〈PN , ψj〉)PN(m(Ψj)), t ≥ 0; v(0) = vo, (2.5.81)

urmatorul rezultat

Teorema 2.5.2 Fie T, ρ > 0 suficient de mici. Pentru toti vo ∈ W , astfel ıncat ‖vo‖W ≤ρ, problema (2.5.81) este bine-pusa pe W , cu solutie unica

v ∈ C([0,∞);W ) ∩ L2(0,∞;Z),

daca η = η(T, ρ) este suficient de mare. Mai mult, aceste solutii satisfac

PNv(t) = 0,∀t ≥ T, (2.5.82)

si‖v(t)‖ ≤ Ce−βt‖v0‖,∀t ≥ T, (2.5.83)

pentru niste C, β > 0.Aici W := (H

12−ε(O))d∩Hπ si Z := (H

32−ε(O))d∩Hπ daca d = 2, si W := (H

12

+ε(O))d∩Hπ si Z := (H

32

+ε(O))d ∩Hπ daca d = 3.

83

Capitolul 3

Stabilizare interna a unui numar finitde stari de echilibru pentru ecuatiileNavier-Stokes

Asa cum am vazut de-a lungul acestei lucrari, stabilizarea unui sistem controlat presupunemai ıntai considerarea unei solutii particulare a sistemului necontrolat (stationara saunestationara), dupa care se construieste un control feedback care o stabilizeaza. In general,atat forma controlului cat si domeniul sau de actiune depind de solutia particulara aleasa.Cu alte cuvinte, acelasi control nu poate garanta, ın general, stabilitatea a doua solutiiparticulare diferite. Si atunci, adresam urmatoarea ıntrebare: putem construi un controlcare sa stabilizeze mai multe solutii particulare (de exemplu un numar finit, sau chiarnumarabil)? In acest capitol, vom raspunde afirmativ la aceasta ıntrebare. Acest capitoleste alcatuit ın ıntregime din rezultatele originale obtinute de catre autor ın [69].

3.1 Prezentarea problemei

Ecuatiile Navier-Stokes controlate intern, cu conditii zero la frontiera, sunt

vt(x, t)− ν∆v(x, t) + (v · ∇)v(x, t)

= m(x)Ψ(x, t) + f e(x) +∇p(x, t), ın Q = O × (0,∞),

∇ · v = 0, ın Q,

v = 0, pe Σ = ∂O × (0,∞),

v(x, 0) = v0(x), ın O.

(3.1.1)

Ca de obicei, O este un domeniu neted, marginit, din Rd, d = 2, 3; m este functia ca-racteristica a unei submultimi netede si deschise O0 ⊂ O, de masura pozitiva; Ψ estecontrolul. Functiile v0, f

e ∈ (L2(O))d sunt date, cea din urma fiind o densitate de forta.Deoarece fortele sunt independente de timp, cautam o solutie stationara pentru ecuatiileNavier-Stokes (3.1.1) necontrolate, adica, o functie ve = ve(x) (si o functie pe = pe(x))

84

care satisface −ν∆ve + (ve · ∇)ve = ∇pe + f e, ın O,∇ · ve = 0, ın O,ve = 0, pe ∂O.

(3.1.2)

Aplicand proiectorul Leray, ecuatiile (3.1.1) pot fi rescrise ın urmatoarea forma abstracta(vezi Apendix)

dv

dt+ νAv +Bv = P (mu+ f e); v(0) = v0 ∈ Hπ. (3.1.3)

Rezultatul principal din [10], referitor la stabilizarea interna a ecuatiilor (3.1.1) este pre-zentat mai jos

Teorema 3.1.1 Exista un control feedback finit-dimensional Ψ = Ψ(x, t) de forma

Ψ := −M∑i=1

〈R(v− ve), ψi〉ψi, (3.1.4)

unde R : D(R) ⊂ Hπ → Hπ este un anumit operator auto-adjunct si ψiMi=1 reprezinta unsistem de functii dat, astfel ıncat, odata introdus ın sistemul (3.1.3), stabilizeaza exponentialsolutia stationara ve a sistemului (3.1.1) ın vecinatatea

Uρ :=

v0 ∈ D(A); ‖A14 (v0 − ve)‖ < ρ

(3.1.5)

a lui ve, pentru un ρ > 0 convenabil ales. Mai precis, daca ρ > 0 este suficient de mic,atunci pentru orice data initiala v0 ∈ Uρ exista o solutie slaba

v ∈ L∞(0, T ;Hπ) ∩ L2(0, T ;V ),dv

dt∈ L

43 (0, T ;V ′),

pentru d = 3, si

v ∈ L∞(0, T ;Hπ) ∩ L2(0, T ;V ),dv

dt∈ L2(0, T ;V ′)

pentru d = 2, ∀T > 0, a sistemului cu bucla ınchisaddt

v + νAv +Bv + P (m∑M

i=1 〈R(v− ve), ψi〉ψi) = Pfe, t ≥ 0,v(0) = v0,

(3.1.6)

astfel ıncat are loc urmatoarea descrestere exponentiala

‖A14 (v(t)− ve)‖ ≤ Ce−γt‖A

14 (v0 − ve)‖, t ≥ 0,

pentru niste constante C, γ > 0.

Demonstratie. Vezi [10, Theorem 2.2]. Ecuatiile Navier-Stokes au proprietatea ca, generic ın raport cu densitatea de forta f e,

numarul solutiilor stationare este finit. Mai precis, avem

85

Teorema 3.1.2 Pentru d = 2, 3, exista o multime densa si deschisa Oν ⊂ Hπ astfel ıncat,pentru orice f e ∈ Oν, multimea solutiilor sistemului (3.1.2) este finita si impara (multimeadensa Oν depinde de coeficientul de vascozitate ν).

Demonstratie. Vezi [28, Theorem 10.4]. Teorema 3.1.2 ne asigura ca, pentru f e ∈ Oν , exista un numar finit de solutii de echilibru

pentru ecuatia (3.1.1), pe care le notam cu ve1,ve2, ...,veN. Teorema 3.1.1 implica faptulca, pentru orice solutie stationara vei , i = 1, ..., N , exista un control feedback, pe care ılnotam Ψi = Ψi(v− vei ), i = 1, ..., N , de forma

Ψi := −Mi∑l=1

⟨Ri(v− vei ), ψ

il

⟩ψil , (3.1.7)

unde, Ri : D(Ri) ⊂ Hπ → Hπ, i = 1, ..., N sunt operatorii auto-adjuncti si ψilMi

l=1 , i =1, ..., N sunt sistemele de functii din Teorema 3.1.1, corespunzatori solutiilor stationarevei , i = 1, ..., N . Mai mult, solutia sistemului cu bucla ınchisa

dv

dt+ νAv +Bv = P (mΨi(v− vei )) + Pfe, t ≥ 0; v(0) = v0, (3.1.8)

satisface|v(t)− vei | 1

2≤ Cie

−γit|v0 − vei | 12, t ≥ 0, (3.1.9)

pentru v0 ∈ Uρi (Uρi dat de (3.1.5)), pentru niste constante ρi, Ci, γi > 0, pentru toti

i = 1, ..., N . Aici, am notat cu |v| 12

:= ‖A 14 v‖,∀v ∈ D(A

14 ).

Sa consideram multimile

Ui =

v0 ∈ Hπ; |v0 − vei | 1

2<ρiCi

, i = 1, ..., N. (3.1.10)

Putem presupune Ci suficient de mare astfel ıncat ρiCi< ρi, deci

Ui ⊂ Uρi ,∀i = 1, ..., N.

Mai departe, pentru i 6= j, i, j = 1, ..., N putem presupune ca

Uρi ∩ Uρj = ∅.

Mai mult, pentru ε > 0 suficient de mic, putem presupune de asemenea cav; |v− vei | 1

2< (1 + ε)ρi

∩

v; |v− vej | 12< (1 + ε)ρj

= ∅, (3.1.11)

∀j 6= i, i, j = 1, ..., N (altfel putem lua ρi, i = 1, ..., N , suficient de mici).Pentru un ε > 0 pentru care relatia (3.1.11) are loc, introducem aplicatia w : R+ → [0, 1],

definita astfel

w(r) =

1 0 ≤ r ≤ 1,0 r ≥ 1 + ε,

neteda 1 < r < 1 + ε.

Cu ajutorul aplicatiei w, definim functiile χi : D(A14 )→ [0, 1], astfel

χi(v) = w

(|v| 1

2

ρi

),∀v ∈ D(A

14 ), i = 1, ..., N. (3.1.12)

86

Remarca 3.1.1 Fie v ∈ Uρi , pentru un i = 1, ..., N , atunci avem

χj(v− vej) =

1, daca j = i0, daca j 6= i.

Intr-adevar, sa consideram v ∈ Uρi , pentru un i = 1, ..., N . Deci, v ∈

z; |z− vei | 12< (1 + ε)ρi

.

Prin urmare, din relatia (3.1.11)

v ∈

z; |z− vej | 12≥ (1 + ε)ρj

,∀j 6= i, j = 1, ..., N.

Urmeaza imediat din definitia functiilor χj, j = 1, ..., N (vezi (3.1.12)) rezultatul dorit.

3.2 Constructia controlului feedback ce stabilizeaza

multimea finita de solutii stationare

Folosind notatiile introduse ın sectiunea anterioara, construim urmatorul control finit-dimensional

Ψ(v) :=N∑i=1

χi(v− vei )Ψi(v). (3.2.1)

Ne propunem sa aratam ca, odata introdus acest Ψ ın sistemul (3.1.3), stabilizeaza exponentialtoate solutiile stationare vei , ale sistemului (3.1.1), ın multimea deshisa Ui data de (3.1.10),pentru toti i = 1, ..., N . Mai exact, avem

Teorema 3.2.1 Fie f e ∈ Oν. Controlul feedback finit-dimensional Φ, definit de relatia(3.2.1), stabilizeaza exponential orice solutie stationara vei , i = 1, ..., N ın vecinatatea Ui, i =1, ..., N , definita ın (3.1.10). Mai exact, pentru toti v0 ∈ Ui, i = 1, ..., N exista o solutieslaba

v ∈ L∞(0, T ;Hπ) ∩ L2(0, T ;V ),dv

dt∈ L

43 (0, T ;V ∗),

pentru d = 3, si

v ∈ L∞(0, T ;Hπ) ∩ L2(0, T ;V ),dv

dt∈ L2(0, T ;V ∗)

pentru d = 2, ∀T > 0, a sistemului cu bucla ınchisa

dv

dt+ νAv +Bv = P (m

N∑j=1

χj(v− vej)Ψj(v)) + Pf e, t ≥ 0; v(0) = v0, (3.2.2)

ce satisface urmatoarea descrestere exponentiala

|v(t)− vei | 12≤ Cie

−γit|v0 − vei | 12, t ≥ 0,

pentru Ci, γi > 0 dati de (3.1.9). Aici Oν este introdus ın Teorema 3.1.2.

87

Demonstratie. Fie v0 ∈ Ui, pentru un i ∈ 1, ..., N. Consideram urmatorul sistemıntarziat, pentru λ > 0,

dvλdt

(t) + νAvλ(t) +Bvλ(t)

= P

(m

N∑j=1

χj(vλ(t− λ)− vej

)Ψj(vλ(t))

)+ Pf e, t > 0,

vλ(t) = v0, t ∈ [−λ, 0].

(3.2.3)

Pentru t ∈ [0, λ], vλ(t− λ) = v0. Deoarece v0 ∈ Ui, avem ca

|vλ(t− λ)− vei | 12<ρiCi

< ρi,∀t ∈ [0, λ]

(vezi (3.1.10)). Deci, vλ(t− λ) ∈ Uρi ,∀t ∈ [0, λ]. Urmeaza atunci, din Remarca 3.1.1,

χj(vλ(t− λ)− vej) =

1, daca j = i0, daca j 6= i,

pentru toti t ∈ [0, λ]. Asadar, pe [0, λ], ecuatia (3.2.3) devine

dvλdt

(t) + νAvλ(t) +Bvλ(t) = P (mΨi(vλ(t))) + Pf e, t ∈ (0, λ]; vλ(0) = v0. (3.2.4)

Din Teorema 3.1.1 si relatiile (3.1.8), (3.1.9), deducem ca, exista o solutie slaba vλ(t) pe[0, λ] a sistemului (3.2.3), ce satisface

|vλ(t)− vei | 12≤ Cie

−γit|v0 − vei | 12, t ∈ [0, λ]. (3.2.5)

Deoarece v0 ∈ Ui, ınseamna ca avem

|v0 − vei | 12<ρiCi. (3.2.6)

Urmeaza din (3.2.5) si (3.2.6), ca |vλ(t)− vei | 12< ρi, t ∈ [0, λ], ceea ce ınseamna ca

vλ(t) ∈ Uρi , t ∈ [0, λ].

Prin urmarevλ(t− λ) ∈ Uρi , t ∈ [λ, 2λ]. (3.2.7)

Deci, procedand ca si mai ınainte, deducem din (3.2.7) ca

χj(vλ(t− λ)− vej) =

1, daca j = i0, daca j 6= i,

pentru toti t ∈ [λ, 2λ]. Aceasta, ımpreuna cu pasul anterior (vezi (3.2.4)), implica ca, pe[0, 2λ], ecuatia (3.2.3) devine

dvλdt

(t) + νAvλ(t) +Bvλ(t) = P (mΨi(vλ(t))) + Pf e, t ∈ (0, 2λ]; vλ(0) = v0. (3.2.8)

88

Aplicam Teorema 3.1.1 ınca o data si obtinem ca exista o solutie pentru (3.2.8) pe [0, 2λ]ce ramane ın Uρi . Continuand cu acest argument, conchidem ın final ca sistemul (3.2.3),pentru v0 ∈ Ui, are o solutie vλ. Mai mult, vλ este de fapt solutia slaba a sistemului

dvλdt

(t) + νAvλ(t) +Bvλ(t) = P (mΨi(vλ(t))) + Pf e, t > 0; vλ(0) = v0, (3.2.9)

pentru care stim, via Teorema 3.1.1 si relatiile (3.1.8), (3.1.9), ca satisface

|vλ(t)− vei | 12≤ Cie

−γit|v0 − vei | 12, t ∈ [0,∞). (3.2.10)

In virtutea relatiei (3.2.10), a faptului ca v0 ∈ Ui si a definitiei functiilor χj, j = 1, ..., N ,avem ca

χj(vλ(t− λ)− vej) =

1, daca j = i0, daca j 6= i,

pentru toti t ≥ 0. Ceea ce ınseamna, de fapt, ca functiile χj(vλ(t−λ)−vej) sunt constante(1 daca j = i si 0 daca j 6= i) pentru toti t ≥ 0. Prin urmare, pentru toti λ > 0 exista osolutie slaba vλ a sistemului ıntarziat (3.2.3), iar aceste solutii sunt de fapt toate egale cusolutia slaba a sistemului

dv

dt(t) + νAv(t) +Bv(t) = P (mΨi(v(t))) + Pf e, t > 0, t ≥ 0; v(0) = v0; (3.2.11)

adica, vλ ≡ v,∀λ > 0, v solutia sistemului cu bucla ınchisa (3.2.9). Deci putem trece lalimita λ→ 0 ın (3.2.3), pentru a obtine ca exista o solutie slaba a sistemului

dv

dt+ νAv +Bv = P (m

N∑j=1

χj(v− vej)Ψj(v)) + Pf e, t ≥ 0; v(0) = v0, (3.2.12)

ce satisface descesterea exponentiala dorita. Demonstratia este completa.

3.3 Legatura cu atractorul universal asociat ecuatiilor

Navier-Stokes

In aceasta ultima sectiune vom studia legatura dintre atractroul universal pentru ecuatiileNavier-Stokes (despre care stim ca exista) si controlul, introdus mai sus.

Sa consideram din nou ecuatiile Navier-Stokes controlate

dv

dt(t) + νAv(t) +Bv(t) = P (Ψ(v)) + f, t > 0; v(0) = v0; (3.3.1)

unde f = Pf e si Ψ este dat de (3.2.1). O prima egalitate de tip energie se poate obtine luandprodusul scalar al ecuatiei (3.3.1) cu v. Folosindu-ne de proprietatea de ortogonalitate

b(v, z, z) = 0,∀v ∈ V, ∀z ∈ (H1(O))d,

89

(vezi Propozitia 4.3.1 din Apendix) avem ca 〈Bv,v〉 = 0 si prin urmare ramane

1

2

d

dt‖v‖2 + ν‖v‖2

V = 〈f,v〉+ 〈P (Ψv),v〉 . (3.3.2)

Stim ca

‖v‖ ≤ 1√λ1

‖v‖V ,∀v ∈ V,

unde λ1 este prima autovaloare a lui A. Deci, putem majora membrul drept al relatiei(3.3.2) cu

1√λ1

‖f‖‖v‖V + 〈P (Ψv),v〉 ≤ ν

2‖v‖2

V +1

2νλ1

‖f‖2 + C‖v‖2,

de unde rezultad

dt‖v‖2 + (νλ1 − 2C)‖v‖2 ≤ 1

νλ1

‖f‖2. (3.3.3)

Aici C := ‖PΨ‖(L2(O))d . Din definitia lui Ψ (vezi (3.2.1)), putem alege O0 cu masuraLebesgue suficient de mica astfel ıncat νλ1−2C > 0. Folosind Lema lui Gronwall, obtinemdin (3.3.3), ca

‖v(t)‖2 ≤ ‖v0‖2e−αt +1

ν2λ21

‖f‖2(1− e−αt), (3.3.4)

unde α := νλ1 − 2C > 0. Deci,

lim supt→∞

‖v(t)‖ ≤ ρ0, ρ0 :=1

νλ1

‖f‖. (3.3.5)

Pentru a vedea ce consecinta are estimarea de mai sus, folosim notiunile specifice siste-melor dinamice introduse ın Sectiunea 4.2 din Apendix. Definim urmatorul semigrup peHπ care asociaza datei initiale v0 solutia ecuatiei (3.3.1), adica

S(t) : v0 → solutia v(t).

Avem din (3.3.5) ca bilele centrate ın zero de raza ρ, BHπ(0, ρ), din Hπ cu ρ ≥ ρ0 suntpozitiv invariante pentru semigrupul S(t), si ca aceste bile sunt absorbante pentru oriceρ > ρ0. Alegem ρ′0 > ρ0 si notam cu B0 bila BHπ(0, ρ′0). Orice multime B marginita ınHπ este inclusa ıntr-un BHπ(0, R). Este usor de dedus din (3.3.5) ca S(t)B ⊂ B0 pentrut ≥ t0(B, ρ′0). Deci, B0 este o multime absorbanta pentru semigrupul S(t). Mai departe,definim

X =⋂t>0

S(t)B0.

Atunci, X este compact, invariant sub S(t), conex si

limt→∞

dist(S(t)v0, X) = 0,∀v0 ∈ Hπ.

X se numeste atractorul universal pentru ecuatia (3.3.1) (pentru mai multe detalii vezi[28]).

90

In concluzie, avem ca ve1, ...,veN ⊂ X. Mai mult, ın virtutea Teoremei 3.2.1, datv0 ∈ Hπ, daca exista t′ ≥ 0 pentru care S(t′)v0 ∈ Ui, pentru un i = 1, ..., N , atunciS(t)v0 → vei , ın Hπ, atunci cand t→∞. Deci, avem de asemenea ca

U1, ...,UN ⊂ X.

Folosind acestea, am putea ıncerca sa vizualizam ”mai bine” cum arata acest atractorglobal X, pentru ecuatiile Navier-Stokes (ın general acest atractor este greu de precizat!).Acesta este ınsa subiectul unor lucrari viitoare.

91

Capitolul 4

Apendix

4.1 Operatori liniari ın spatii Banach

Fie X un spatiu Banach real (deci, este definit peste campul numerelor reale R), atuncicomplexificatul XC este spatiul XC := X + iX, adica, XC = x+ iy : x, y ∈ X cu norma‖x+ iy‖ := ‖x‖X + ‖y‖X , unde i =

√−1 si ‖ · ‖X este norma ın spatiul X.

Fie A : D(A) ⊂ X → X un operator liniar continuu. Notam cu ρ(A) multimea rezolventaa lui A, definita astfel

ρ(A) :=λ ∈ C : (λI − A)−1 ∈ L(X,X)

,

iar, pentru toti λ ∈ ρ(A), operatorul (λI − A)−1 ∈ L(X,X) se numeste rezolventa lui A.In sfarsit, notam cu σ(A) := C \ ρ(A), spectrul lui A.

Numarul complex λ se numeste valoare proprie (sau autovaloare) pentru operatorul Adaca ecuatia

Ax− λx = 0, (4.1.1)

admite solutie nenula. In acest caz, solutiile ecuatiei (4.1.1) se numesc vectori proprii(sau autovectori) ai operatorului A, corespunzatori lui λ. Dimensiunea spatiului liniar alvectorilor proprii

Ker(λI − A) = x ∈ X : Ax = λx

se numeste multiplicitatea geometrica a lui λ. Vectorul x se numeste vector propriu gene-ralizat corespunzator valorii proprii λ daca (λI − A)mx = 0 pentru un m ∈ N (multimeanumerelor naturale). Dimensiunea spatiului vectorilor proprii generalizati se numeste mul-tiplicitatea algebrica a lui λ. In general, multiplicitatea algebrica este mai mare decat ceageometrica, ınsa, ın cazul ın care acestea doua coincid, autovaloarea λ se numeste semi-simpla. Relativ la proprietatiile spectrului unui operator compact A este binecunoscuturmatorul rezultat, cunoscut ın literatura ca teorema Riesz-Schauder-Fredholm (vezi, deexemplu, [53]).

Teorema 4.1.1 Fie A ∈ L(X, Y ) un operator compact. Atunci spectrul sau σ(A) contineo multime cel mult numarabila de puncte din planul complex, care nu are nici un punct deacumulare cu exceptia lui λ = 0. Mai mult, orice λ ∈ σ(A) este autovaloare a lui A cumultiplicitate algebrica finita.

92

In particular, urmeaza din Teorema 4.1.1.

Teorema 4.1.2 Fie A un operator liniar ınchis si dens definit ın X cu rezolventa (λI −A)−1 compacta pentru un λ ∈ ρ(A). Atunci spectrul σ(A) contine autovalori izolateλj∞j=1, fiecare de multiplicitate (algebrica) finita.

Daca A este un astfel de operator, atunci pentru orice N ∈ N, spectrul σ(A) poate fi scrisastfel

σ(A) = λjNj=1 ∪ λj∞j=N+1 ,

si daca Γ este o curba ınchisa ın C, ce contine ın interiorul sau λjNj=1, notam cu

PN := − 1

2π

∫Γ

(λI − A)−1dλ, (4.1.2)

si XuN := PNX, X

sN := (I − PN)X (pentru mai multe detalii ın legatura cu proiectiile PN

vezi [53]). Atunci avem ca X se descompune ca suma directa

X = XuN ⊕Xs

N , P2N = PN ,

si daca notamAuN := PNA, A

sN := (I − PN)A, (4.1.3)

avem urmatorul rezultat (vezi [53, Theorem 6.17]).

Teorema 4.1.3 Sub ipotezele Teoremei 4.1.2 avem

AuNXuN ⊂ Xu

N , AsNX

sN ⊂ Xs

N , (4.1.4)

siσ(AuN) = λjNj=1 , σ(AsN) = λj∞j=N+1 . (4.1.5)

Daca A ∈ L(X, Y ), atunci operatorul A∗ : Y ∗ → X∗, definit astfel

(Ax, y∗) = (x,A∗y∗), ∀x ∈ X, ∀y∗ ∈ Y ∗,

se numeste dualul operatorului A. Am notat cu X∗, Y ∗ dualul spatiului X, respectiv Y , sicu (f, y∗) valoarea functionalei y∗ ∈ Y ∗ ın f ∈ Y . Este usor de vazut ca A∗ ∈ L(Y ∗, X∗).

Sa presupunem acum ca X = H este un spatiu Hilbert cu norma ‖ · ‖H si produsulscalar (·, ·)H si ca exista λ0 ∈ ρ(A). Atunci, definim spatiul (D(A))∗ (dualul lui D(A) ınperechea (·, ·)H) ca fiind completatul lui H ın norma

‖x‖(D(A))∗ := ‖λ0x− Ax‖H , ∀x ∈ H.

Atunci, avemD(A) ⊂ H ⊂ (D(A))∗,

algebric si topologic. Mai mult, operatorul A : D(A) ⊂ H → H are o extindere la ıntregspatiul H, notata A : H → (D(A∗))∗, definita astfel

(D(A∗))∗(Ax, y)D(A∗) := (x,A∗y)H , ∀y ∈ D(A∗). (4.1.6)

Bineıntels avem ca Ax = Ax, ∀x ∈ D(A).

93

4.2 Semigrupuri de operatori si cateva notiuni din

teoria sistemelor dinamice

Fie X un spatiu Banach (real sau complex) si S(t), t ≥ 0 o familie de operatori liniaricontinui ın L(X,X), indexata dupa t. S(t), t ≥ 0 se numeste semigrup de clasa C0 (sauC0-semigrup) daca

(i) S(t)S(s) = S(t+ s), ∀t, s ≥ 0,

(ii) S(0) = I,

(iii) limt→0 S(t)x = x, ∀x ∈ X.

Se numeste generatorul infinitesimal al C0−semigrupului S(t) operatorul A0 definit astfel

A0x := limt→0

S(t)x− xt

, ∀x ∈ D(A0),

si se poate arata ca A0 este un operator liniar ınchis si dens definit ın X.C0−semigrupul S(t) se numeste analitic daca admite o extensie S(λ) ın planul complex,

data de

S(λ)x =∞∑j=0

(λ− t)j

j!

dj

dtjS(t)x pentru |arg(λ− λ0)| < C,

unde λ0 ∈ R.Urmatorul rezultat este binecunoscuta teorema Hille-Yosida ce ofera conditii necesare si

suficiente pentru ca un operator liniar sa fie generatorul infinitesimal al unui C0−semigrupanalitic (pentru mai multe detalii vezi [72]).

Teorema 4.2.1 Operatorul liniar A0, ınchis si dens definit, este generatorul unui C0−semigrupanalitic daca si numai daca

‖(λI − A0)−1‖ ≤ C

|λ− λ0|, ∀λ ∈ C, <λ > λ0.

Daca A0 este generatorul infinitesimal al C0−semigrupului S(t), atunci problema Cauchyddtu(t) = A0u(t), t ≥ 0,

u(0) = x,(4.2.1)

are solutie unica u ∈ C1([0, T ];X) cu ddtu ∈ C([0, T ];X), pentru orice x ∈ D(A0). Avem

u(t) = S(t)x, ∀t ≥ 0,∀x ∈ D(A0). Semigrupul generat de A0 se mai noteaza si cu etA0 .Generatorul infinitesimal A0 al C0−semigrupului S(t) = eA0t se spune ca are proprietatea

cresterii logaritmice daca σ(A0) ⊂ λ;<λ > ω implica faptul ca

‖S(t)‖L(X,X) ≤Meωt, ∀t ≥ 0.

Trebuie precizat ca, contrar cu cazul finit-dimensional, aceasta proprietate nu este sa-tisfacuta de toti generatorii infinitesimali. Avem ınsa urmatorul rezultat.

94

Teorema 4.2.2 Daca A0 este generatorul infinitesimal al unui C0−semigrup analitic,atunci A0 are proprietatea cresterii logaritmice.

Pentru mai multe detalii ın legatura cu teoria C0−semigrupurilor se poate consulta lucrarea[89].

In final, introducem cateva notiuni din teoria sistemelor dinamice. Fie S(t), t ≥ 0 unsemigrup pe X. Spunem ca o multime M ⊂ H este pozitiv invarianta pentru semigrupulS(t) daca

S(t)M ⊂M,∀t > 0.

Definitia 4.2.1 Se numeste atractor o multime M ⊂ X care satisface proprietatile:

• (i) M este invarianta (S(t)M = M,∀t ≥ 0).

• (ii) M are o vecinatate deschisa U pentru care, pentru orice v0 ∈ U , S(t)v0 convergela un element din M pentru t→∞ :

dist(S(t)v0,M)→ 0 pentru t→∞.

Distanta care apare ın (ii) este de fapt distanta de la un punct la o multime definita astfel

d(v,M) = infz∈M

d(v, z),

d(v, z) fiind distanta de la v la z ın X. Daca M este un atractor, cea mai mare multimeU care satisface (ii) se numeste bazinul de atractie a lui X.

Definitia 4.2.2 Spunem ca M ⊂ X este atractor global pentru semigrupul S(t), t ≥ 0daca M este un atractor compact ce atrage toate multimile marginite ale lui X (si decibazinul de atractie este ıntreg X).

Definitia 4.2.3 Multimea B ⊂ X se numeste absorbanta pentru U ⊂ X, daca: ∀B0 ⊂U, marginit , ∃t1(B0) astfel ıncat S(t)B0 ⊂ B, ∀t ≥ t1(B0).

Pentru mai multe detalii despre teoria sistemelor dinamice pot fi consultate, de exemplu,lucrarile [48, 57].

4.3 Ecuatiile Navier-Stokes clasice

Ecuatiile Navier-Stokes cu conditii nule la frontiera, ce descriu miscarea unui fluid New-tonian, vascos si incompresibil ıntr-un domeniu deschis O ⊂ Rd, d = 2, 3, au urmatoareaforma

ddt

v(x, t)− ν∆v(x, t) + (v · ∇)v(x, t) = f(x, t) +∇p(x, t)

pentru (x, t) ∈ O × (0, T ),

(∇ · v)(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ O × (0, T ),

v(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ ∂O × (0, T ),

v(x, 0) = vo(x), x ∈ O.

(4.3.1)

95

Unde v reprezinta campul vitezelor fluidului iar p presiunea. Conditia de divergenta zero

(∇ · v)(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ O × (0, T ),

semnifica faptul ca fluidul este incompresibil. Am folosit notatiile standard

∇ · v = div v :=d∑i=1

Divi, Di =∂

∂xi, i = 1, ..., d;

(v · ∇)v :=d∑i=1

viDivj, j = 1, ..., d.

Printr-un procedeu clasic propus de J. Leray, problema cu valori la frontiera (4.3.1)poate fi scrisa ca o problema Cauchy infinit-dimensionala, ıntr-un spatiu de functii alescorespunzator pe O. Pentru aceasta, introducem spatiile urmatoare

Hπ :=v ∈ (L2(O))d : ∇ · v = 0, v · n = 0 pe ∂O

, (4.3.2)

V :=v ∈ (H1

0 (O))d : ∇ · v = 0. (4.3.3)

Aici n este normala exterioara la frontiera ∂O. Spatiul Hπ este un subspatiu ınchis al lui(L2(O))d si poate fi vazut ca spatiu Hilbert cu produsul scalar

〈v, z〉 :=

∫O

v · zdx,

si cu norma corespunzatoare ‖v‖ :=(∫O |v|

2dx) 1

2 (aici |·| este norma ın spatiul Rd). Normaspatiului V o notam cu ‖ · ‖V :

‖v‖V :=

(∫O|∇v(x)|2dx

) 12

. (4.3.4)

Notam cu P : (L2(O))d → Hπ proiectia ortogonala a lui (L2(O))d pe Hπ (proiectorulLeray) si definim

a(v, z) :=

∫O∇v · ∇zdx, ∀v, z ∈ V, (4.3.5)

A := −P∆, D(A) = (H2(O))d ∩ V, (4.3.6)

echivalent〈Av, z〉 = a(v, z), ∀v, z ∈ V.

Operatorul Stokes A este auto-adjunct ın Hπ, A ∈ L(V, V ∗), si

〈Av,v〉 = ‖v‖2V , ∀v ∈ V. (4.3.7)

In sfarsit, consideram functionala triliniara

b(v, z,w) :=

∫O

d∑i,j=1

viDizjwjdx, ∀v, z,w ∈ V, (4.3.8)

96

si notam cu B : V → V ∗ operatorul neliniar definit astfel

Bv := P (v · ∇)v, (4.3.9)

sau, echivalent,〈Bv,w〉 = b(v,v,w), ∀v,w ∈ V.

Fie f ∈ L2(0, T ;V ∗) si vo ∈ Hπ. Functia v : [0, T ] → Hπ se numeste solutie slaba pentruecuatia (4.3.1) daca

v ∈ L2(0, T : V ∗) ∩ Cw([0, T ];Hπ) ∩W 1,1([0, T ];V ∗),

si

d

dt〈v(t), ψ〉+ νa(v(t), ψ)+b(v(t),v(t), ψ) = 〈f(t), ψ〉

a.p.t. t ∈ (0, T ), ∀ψ ∈ V,v(0) = vo.

(4.3.10)

Aplicand proiectorul Leray P , ecuatia (4.3.1) poate fi scrisa echivalent astfel

d

dtv(t) + νAv(t) +Bv(t) = f(t) a.p.t. t ∈ (0, T ); v(0) = vo, (4.3.11)

unde ddt

v este derivata tare a functiei v : [0, T ]→ V ∗.Functia v se numeste solutie tare pentru (4.3.1) daca v ∈ W 1,1([0, T ];Hπ)∩L2(0, T ;D(A))

si (4.3.11) are loc cu ddt

v ∈ L1(0, T ;Hπ). Mai departe vom prezenta pe scurt cateva pro-prietati ale functionalei triliniare b ce defineste operatorul inertial B (pentru mai multedetalii vezi [81]).

Propozitia 4.3.1 Fie 1 ≤ d ≤ 3. Atunci

b(v, z,w) = −b(v,w, z), ∀v, z,w ∈ V, (4.3.12)

|b(v, z,w)| ≤ C‖v‖m1‖z‖m2+1‖w‖m3 , ∀v ∈ Vm1 , z ∈ Vm2 ,w ∈ Vm3 , (4.3.13)

unde mi ≥ 0, i = 1, 2, 3 si

m1 +m2 +m3 ≥ d2

daca mi 6= d2, ∀i ∈ 1, 2, 3 ,

m1 +m2 +m3 >d2

daca mi = d2

pentru un i ∈ 1, 2, 3 .(4.3.14)

Aici Vmi := V ∩ (Hmi0 (O))d si ‖ · ‖m este norma ın Vm.

Referitor la existenta solutiilor pentru ecuatiile Navier-Stokes (4.3.1) avem urmatorul re-zultat (vezi [16, Theorem 1.17]).

97

Teorema 4.3.1 Fie d = 2, 3 si f ∈ W 1,1([0, T ];Hπ), vo ∈ D(A) unde 0 < T <∞. Atunciexista o unica functie v ∈ W 1,∞([0, T ∗);Hπ) ∩ L∞(0, T ∗;D(A)) ∩ C([0, T ∗];V ) astfel ıncat

d

dtv(t) + νAv(t) +Bv(t) = f(t) a.p.t. t ∈ (0, T ∗); v(0) = vo,

pentru un T ∗ = T ∗(‖vo‖) ≤ T . Daca d = 2 atunci T ∗ = T . Mai mult, v(t) este derivabilala dreapta si

d+

dtv(t) + νAv(t) +Bv(t) = f(t), ∀t ∈ [0, T ∗).

(Pentru mai multe detalii referitor la existenta solutiilor ecuatiilor Navier-Stokes vezi[28],[81]) Sa consideram o solutie particulara v a ecuatiilor Navier-Stokes (4.3.1), adicav satisface

ddt

v(x, t)− ν∆v(x, t) + (v · ∇)v(x, t) = f(x, t) +∇p(x, t)

(x, t) ∈ O × R+,

(∇ · v)(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ O × R+,

v = 0 pe ∂O × R+,

v(x, 0) = vo(x), x ∈ O.

(4.3.15)

Stabilizarea interna a solutiei v consta ın a determina un control feedback F (v − v) cusuportul ıntr-o submultime O0 ⊂ O, de masura Lebesgue pozitiva, astfel ıncat, urmatorulsistem cu bucla ınchisa

d

dtv(x, t)− ν∆v(x, t) + (v · ∇)v(x, t)

= f(x, t) +∇p(x, t) + F (v− v), x ∈ O, t ∈ R+,

(∇ · v)(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ O × R+,

v = 0 pe ∂O × R+,

v(x, 0) = vo(x), x ∈ O,

(4.3.16)

sa aibe o solutie globala ce satisface o descrestere eponentiala, de tipul

‖(v− v)(t)‖ ≤ Ce−δt‖vo − vo‖, t ≥ 0,

pentru niste constante pozitive C, δ. Cerem ca controlul sa fie ın forma feedback, ceea ceınseamna de fapt ca ın orice moment t, controlul este definit de campul vitezelor fluidu-lui, considerat ın acelasi moment t. Prin urmare, controlul poate reactiona la fluctuatiiimprevizibile ale campului vitezelor v, suprimand influenta lor negativa asupra fluxuluifluidului.

98

Stabilizarea la frontiera a solutiei v consta ın a determina un control feedback F (v− v)ce actioneaza pe frontiera ∂O × R+, astfel ıncat, urmatorul sistem cu bucla ınchisa

d

dtv(x, t)− ν∆v(x, t) + (v · ∇)v(x, t)

= f(x, t) +∇p(x, t), x ∈ O, t ∈ R+),

(∇ · v)(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ O × R+,

v = F (v− v) pe ∂O × R+,

v(x, 0) = vo(x), x ∈ O,

(4.3.17)

sa aibe o solutie globala ce satisface aceeasi descrestere eponentiala de mai sus, adica

‖(v− v)(t)‖ ≤ Ce−δt‖vo − vo‖, t ≥ 0,

pentru niste constante pozitive C, δ. Desi, la o prima privire stabilizarea la frontiera paremai simpla decat cea interna, ın realitate aceasta se dovedeste a fi mai delicat de realizat.

99

Bibliografie

[1] Adams, D., Sobolev spaces, Academic Press (1975).

[2] Baker, J., Armaou, A. si Christofides, P., Nonlinear control of incompressible fluidflow: application to Burgers equation and 2D channel flow, J. Math. Anal. Appl. 252(2000), 230-255.

[3] Balogh, A., Liu, W.-J. si Krstic, M., Stability enhancement by boundary control in 2-Dchannel flow, IEEE Transactions on Automatic Control 46 (2001), 1696-1711.

[4] Balakrishanan, A.V., Applied functional analysis, Springer, Berlin (1981).

[5] Barbu, V., The time optimal control of Navier-Stokes equations, Systems Control Lett.30 (1997), 93-100.

[6] Barbu, V., Partial differential equations and boundary value problems, Kluwer Acade-mic Publishers (1998).

[7] Barbu, V. si Sritharan, S.S., H∞-control theory of fluid dynamics, R. Soc. Lond. Proc.Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 454 (1998), no. 1979, 3009-3033.

[8] Barbu, V., Feedback stabilization of Navier-Stokes equations, ESAIM COCV 9 (2003),197-206.

[9] Barbu, V. si Lefter, C.G., Internal stabilizability of the Navier-Stokes equations, Sys-tems and Control Lett. 48 (2003), 161-167.

[10] Barbu, V. si Triggiani, R., Internal stabilization of Navier-Stokes equations with finite-dimensional controllers, Indiana Univ. Math. Journal 53 (2004), 1443-1494.

[11] Barbu, V. si Lefter, C., Optimal control of ordinary differential equations, Handbookof differential equations, Elsevier, Amsterdam (2005).

[12] Barbu, V., Lasiecka, I. si Triggiani, R., Abstract settings for tangential boundary stabi-lization of Navier-Stokes equations by high-and low-gain feedback controllers, Nonlin.Anal. 64 (2006), 2704-2746.

[13] Barbu, V., Lasiecka, I. si Triggiani, R., Tangential boundary stabilization of Navier-Stokes equations, Memories AMS 851 (2006), pp+128.

100

[14] Barbu, V., Stabilization of a plane channel flow by wall normal controllers, Nonlin.Anal. Theory-Methods Appl. 56 (2007), 145-168.

[15] Barbu, V., Nonlinear Differential Equations of Monotone Type in Banach Spaces,Springer, New York (2010).

[16] Barbu, V., Stabilization of Navier-Stokes Flows, Springer, New York (2010).

[17] Barbu, V., Stabilization of a plane periodic channel flow by noise wall normal control-lers, Systems Control Lett. 59 (2010), 608-614.

[18] Barbu, V., Rodrigues, S.S. si Shirikyan, A., Internal exponential stabilization to anonstationary solution for the 3D Navier-Stokes equations, SIAM J. Control Optim.49 (2011), no.4, 1454-1478.

[19] Barbu, V. si Lasiecka, I., The unique continuation property of eigenfunctions toStokes-Oseen operator is generic with respect to the coefficients, Nonlin. Anal. Theory-Methods Appl. http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2011.07.056 (2011).

[20] Barbu, V., Stabilization of Navier-Stokes equations by oblique boundary feedback con-trollers http://arxiv.org/abs/arXiv:1106.3931 (2011).

[21] Barbu, V. si Munteanu, I., Internal stabilization of Navier-Stokes equation with exactcontrollability on spaces with finite codimension, Evol. Eqs. Control Theory 1 (2012),1-16.

[22] Bedra, M., Feedback stabilization of the 2D and 3D Navier-Stokes equations based onan extended system, ESAIM COCV 15 (2009), 934-968.

[23] Bewely, T.R. si Liu, S., Optimal and robust control and estimation of linear paths totransition, J. Fluid Mech. 365 (1998), 305-349.

[24] Bewely, T.R., New frontiers for control in fluid mechanics: a renaissance approach,ın ASME FEDSM 99-6926 (1999).

[25] Bewely, T.R., Temam, R. si Ziane, M., A general framework for robust control in fluidmechanics, Physica D 138 (2000), 360-392.

[26] Bewely, T.R., Moin, P. si Temam, R., DNS-based predictive control of turbulence: anoptimal benchmark for feedback algorithms, J. Fluid Mech. 447 (2001), 179-225.

[27] Cochran, J., Vazquez, R. si Krstic, M., Backstepping boundary control of Navier-Stokeschannel flow: a 3D extension, 25th Amer. Control Conf. (2006).

[28] Constantin, P. si Foias, C., Navier-Stokes Equations , Univ. Chicago Press (1989).

[29] Coron, J.-M., On the controllability of 2-D incompressible perfect fluids, J. Math.Pures Appl. 75 (1996), 155-188.

101

[30] Coron, J.-M., On the controllability of the 2-D incompressible Navier-Stokes equationswith the Navier slip boundary conditions, ESAIM: Control, Optim. Cal. Var. 1 (1996),35-75.

[31] Coron, J.-M. si Fursikov, A.V., Global exact controllability of the 2-D Navier-Stokesequations on a manifold without boundary, Russian J. Math. Phys. 4 (1996), 429-448.

[32] Coron, J.-M., On null asymptotic stabilization of the 2-D Euler equation of incom-pressible fluids on simply connected domains, SIAM J. Control Optim. 37 (1999),1874-1896.

[33] Coron, J.-M., Control and Nonlinearity, AMS, Providence, RI (2007).

[34] Cortelezzi, L., Speyer, J.L., Lee, K.H. si Kim, K., Robust reduced-order control ofturbulent channel flows via distributed sensors and actuators, Proc. 37th IEE Conf.Decision Control, Tampa, Fl. (1998), 1906-1911.

[35] Desai, M. si Ito, K., Optimal controls of Navier-Stokes equations, SIAM J. ControlOptim. 32 (1994), 1428-1446.

[36] Fattorini, H.O. si Sritharan, S.S., Existence of optimal controls for viscous flow pro-blems, Proceedings of the Royal Society of London Ser. A 439 (1992), 81-102.

[37] Fattorini, H.O. si Sritharan, S.S., Necessary and sufficient conditions for optimal con-trols in viscous flow problems, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Ser. A124A (1994), 211-251.

[38] Fattorini, H.O. si Sritharan, S.S., Optimal chattering controls for viscous flow, Nonli-near Anal. Theory-Methods Appl. 25 (1995), 763-797.

[39] Fattorini, H.O. si Sritharan, S.S., Optimal control problems with state constrains influid mechanics and combustion, Appl. Math. Optim. 38 (1998), 159-192.

[40] Fernandez-Cara, E., On the approximate and null controllability of the Navier-Stokesequations, SIAM Rev. 41 (1999), 269-277.

[41] Fortin, A., Jardak, M., Gervais, J.J. si Pierre, R., Old and new results on the two-dimensional Poiseuille flow, J. Comput. Physics 115 (1994), 455-469.

[42] Fursikov, A.V., Imanuvilov, O.Y., On exact boundary zero-controllability of two-dimensional Navier-Stokes equations- Mathematical problems for Navier-Stokes equa-tions (Centro, 1993), Acta. Appl. Math. 37 (1994), 67-76.

[43] Fursikov, A.V. si Imanuvilov, O.Y., Local exact controllability for the Boussinesquesequation, SIAM J. Control Optimiz. 36 (1998), 391-421.

[44] Fursikov, A.V., Gunzburger, M.D. si Hou, L.S., Boundary value problems and optimalboundary control for the Navier-Stokes system: the two-dimensional case, SIAM J.Control Optim. 36 (1998), 852-894.

102

[45] Fursikov, A.V., Real processes of the 3-D Navier-Stokes systems and its feedback stabi-lization form the boundary, AMS Translations. Partial Diff. Eqs. M. Vishnik Seminar(2006).

[46] Hartmann, J., Theory of the laminar flow of an electrically conductive liquid in ahomogeneous magnetic field, Det Kgl. Danske Vidensk-abernes Selskab Mathematisk-fysiske Meddelelser XV 6 (1937), 1-27.

[47] Hou, L.S. si Yan, Y., Dynamics and approximations of a velocity tracking problem forthe Navier-Stokes flows with picewise distributed control, SIAM J. Control Optim. 35(1997), 1847-1885.

[48] Howie, J.M., Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press (1995).

[49] Imanuvilov, O.Y., On exact controllability for Navier-Stokes equations, ESAIM COCV3 (1998), 97-131.

[50] Jimenez, J., Transition to turbulence in two-dimensional Poiseuille flow, J. FluidMech. 218 (1990), 265-297.

[51] Joshi, S.S., Speyer, J.L. si Kim, J., A system theory approach to the feedback stabi-lization of infinitesimal and finite-amplitude distrubances in plane Poiseuille flow, J.Fluid Mech. 332 (1997), 157-184.

[52] Joshi, S.S., Speyer, J.L. si Kim, J., Finite-dimensional optimal control of Poiseuilleflow, J. Guid. Control. Dyna. 22 (1999), 340-348.

[53] Kato, T., Perturbation Theory for Linear Operators, Die Grundlehren der mathema-tischen Wissenschaften, Band 132, Springer-Verlag New York, Inc., New York (1966).

[54] Kokotovic, P., Krstic, M. si Kanellakopoulos, I., Nonlinear and adaptive control design,John Wiley and Sons, New York (1995).

[55] Lasiecka, I. si Triggiani, R., Control Theory for Partial Differential Equations: Conti-nuous and Approximation Theories: Abstrac Parabolic Systems, Encyclopedia of Ma-thematics and its Applications 74, Cambridge University Press, Cambridge (2002),pp+648.

[56] Lefter, C.G., Calculul variatiilor si controlul sistemelor diferentiale, Ed. Al. Myller,Iasi (2006).

[57] Lefter, C.G., Ecuatii diferentiale si sisteme dinamice, Ed. Al. Myller, Iasi (2006).

[58] Lefter, C.G., Feedback stabilization of 2D Navier-Stokes equations with Navier slipboundary conditions, Nonlinear Analysis 70 (2009), 553-562.

[59] Leray, J., Etude de diverses equations integrales non lineares et de quelques problemesque pose l’hydrodynamique, J. Math. Pures Appl. 12 (1933), 1-82.

103

[60] Leray, J., Essai sur les mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parois,J. Math. Puress Appl. 13 (1934), 331-418.

[61] Leray, J., Essai sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, ActaMath. 63 (1934), 193-248.

[62] Lock, R.C., The stability of the flow of an electrically conducting fluid between parallelplanes under a transverse magnetic field, Proceedings of Royal Society of London A233 (1955), 100- 105.

[63] Lorenzi, A. si Munteanu, I., Recovering a constant in the two-dimensional Navier-Stokes system with no initial condition (trimis spre publicare).

[64] Luo, L. si Schuster, E., Mixing enhancement in 3D MHD channel flow by boundaryelectrical potential, Amer. Control Conf. (2010), 3347-3352.

[65] Munteanu, I., Tangential feedback stabilization of periodic flows in a 2-D channel, Diff.Int. Eqs. 24 (2011), 469-494.

[66] Munteanu, I., Normal feedback stabilization of periodic flows in a two-dimensionalchannel, J. Optimiz. Theory Appl. 152 (2012), 413-443.

[67] Munteanu, I., Normal feedback stabilization of periodic flows in a three-dimensionalchannel, Num. Funct. Anal. Optimiz. 33 (2012), 611-637.

[68] Munteanu, I., Existence of solutions for models of shallow water in a basin with adegenerate varying bottom, J. Evol. Eqs. (sub tipar).

[69] Munteanu, I., Internal stabilizable feedback controller for a finite set of equilibriumsolutions to the Navier-Stokes equations, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza, Ser. noua,Mat. (sub tipar).

[70] Munteanu, I., Normal feedback stabilization and observer design for linearized MHDchannel flow at low magnetic Reynolds number (trimis spre publicare).

[71] Munteanu, I., Stability in periodic MHD channel flow subject to low external magneticfield (trimis spre publicare).

[72] Pazy, A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equa-tions, Springer, Berlin (1985).

[73] Potter, M.C. si Kutchey, J.A., Stability of plane Hartmann flow subject to a transversemagnetic field, Phisics of Fluids 16(1848).

[74] Ravindran, S.S., Reduced-order adaptive controllers for fluid flows using POD, J.Scientific Computing 15 (2000), 457-478.

[75] Raymond, J.P., Feedback boundary stabilization of the two-dimensional Navier-Stokesequations, Siam J. Control Optimiz. 45 (2006), 790-828.

104

[76] Rozhdestvensky, B.L. si Simakin, I.N., Secondary flows in a plane channel: theirrelationship and comparison with turbulent flows, J. Fluid Mech. 147 (1984), 261-289.

[77] Schuster, E., Luo, L. si Krstic, M, MHD channel flow control in 2D: Mixing enhance-ment by boundary feedback, Automatica 44 (2008), 2498-2507.

[78] Shirikyan, A., Exact controllability in projections for three-dimensional Navier-Stokesequations, Ann. I. H. Poincare 24 (2007), 521-537.

[79] Smith, B.L. si Glezer, A., The formulation and evolution of synthetic jets, Phys. Fluids10 (1998), 2281-2297.

[80] Takashima, M., The stability of the modified plane Pousseuille flow in the presence ofa transverse magnetic field, Fluid Dynamics Research 17 (1996), 293-310.

[81] Temam, R., Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis: second edi-tion, Society for industrial and applied mathematics, Philadelphia (1995).

[82] Temam, R., Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics,Springer-Verlag, New York (1997).

[83] Triggiani, R., Stability enhancement of a 2-D linear Navier-Stokes channel flow by a2-D wall normal boundary controller, Discrete and Contin. Dyn. Syst. SB, 8279-314.

[84] Vazquez, R. si Krstic, M., A closed-form observer for the channel flow Navier-Stokessystem, Proceedings of the 2005 CDC (2005), 5959-5964.

[85] Vazquez, R. si Krstic, M., A closed-form feedback controller for stabilization of thelinearized 2-D Navier-Stokes Poiseuille flow, IEEE Trans. Autom. Control 52 (2007),2298-2312.

[86] Vazquez, R, Schuster, E. si Krstic, M., Magnetohydrodynamic state estimation withboundary sensors, Automatica 44 (2008), 2517-2527.

[87] Vazquez, R, Schuster, E si Krstic, M., A closed-form full-state feedback controller forstabilization of 3D magnetohydrodynamic channel flow, Journal of Dyn. Syst. 131(2009).

[88] Vladimirov, V. si Lin, K., The three-dimensional stability of steady MHD flows of anideal fluid, Physics of Plasmas 5 (1998), 4199-4204.

[89] Vrabie, I., C0−semigroups and applications, Ser. Mathematics Studies no. 191, Else-vier, North-Holland, Amsterdam (2003).

[90] Shirikyan, A., Approximate controllability for three-dimensional Navier-Stokes equa-tions, Comm, Math. Phys. 266) (2006), 123-151.

[91] Shirikyan, A., Exact controllability in projections for three-dimensional Navier-Stokesequations, Ann. I. H. Poincare 24 (2007), 521-537.

105

[92] Xu, C., Schuster, E., Vazquez, R. si Krstic, M., Stabilization of linearized 2D mag-netohydrodynamic channel flow by backstepping boundary control, Syst. Control Lett.57 (2008), 805-812.

[93] Zabczyk, J., Mathematical control theory: an introduction, Systems Control: Founda-tions Applications, Birkh auser Boston Inc., Boston, MA (1992).

106