Capitolul 9 CONICE S¸I CUADRICE - TUIASImath.etc.tuiasi.ro/apletea/cursuri/algcap9.pdfCapitolul 9...

Capitolul 9

CONICE SI CUADRICE

9.1 Conice pe ecuatii reduse

9.1.1 Cercul

Definitia 9.1 Fie un plan () si un reper ortonormat R = (;−→ −→ ) Cercul este loculgeometric al punctelor din plan care au proprietatea ca sunt egal departate, de un punct fix.

Punctul fix, 0(0 0) se numeste centrul cercului iar distanta de la punctele cercului la

punctul fix se numeste raza cercului.

Fie ( ) un punct oarecare al cercului. Daca si 0 sunt vectorii de pozitie ai

punctelor respectiv atunci

k − 0k = ⇔p(− 0)2 + ( − 0)2 = ⇔

(− 0)2 + ( − 0)

2 = 2 (9.1)

Daca centrul cercului este ın origine, atunci ecuatia cercului va fi 2 + 2 = 2

Teorema 9.1 O ecuatie de forma

2 + 2 + 2+ 2 + = 0 cu 2 + 2 − 0 (9.2)

reprezinta un cerc cu centrul ın punctul (−−) si de raza = √2 + 2 −

Demonstratie. Putem scrie (+)2+(+)2+−2−2 = 0deci cu 0 = − 0 = −2 = 2 + 2 − 0 obtinem (9.1)¥Ecuatia (9.2) se numeste ecuatia generala a cercului. In ecuatia generala a cercului

intervin trei parametrii deci un cerc este determinat de trei conditii.

135

136 CAPITOLUL 9. CONICE SI CUADRICE

Teorema 9.2 Ecuatia cercului care trece prin trei puncte necoliniare ( ) = 1 2 3

este ¯¯

2 + 2 1

21 + 21 1 1 1

22 + 22 2 2 1

23 + 23 3 3 1

¯¯ = 0 (9.3)

Demonstratie. Daca punctele( ) = 1 2 3 se gasesc pe cerc, atunci coordonatele

acestor puncte verifica ecuatia cercului. Consideram un punct ( ) oarecare de pe cerc.

Obtinem astfel un sistem de patru ecuatii cu trei necunoscute ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2 + 2 + 2+ 2 + = 0

21 + 21 + 21 + 21 + = 0

22 + 22 + 22 + 22 + = 0

23 + 23 + 23 + 23 + = 0

.

Conditia de compatibilitate a sistemului este ca determinantul caracteristic sa fie nul,

adica (9.3) Se observa ca numarul

=

¯¯ 1 1 1

2 2 1

3 3 1

¯¯

este coeficientul lui 2 + 2 deci pentru ca (9.3) sa reprezinte ecuatia unui cerc trebuie ca

6= 0 ceea ce reprezinta conditia ca cele trei puncte sa nu fie coliniare.¥Deducerea ecuatiei tangentei la cerc ıntr-un punct al sau, 1(1 1)

Daca ( ) este un punct oarecare de pe tangenta, atunci vectorul−−→1 = (1 −

0)−→ + (1 − 0)

−→ este perpendicular pe vectorul

−−→1 = (− 1)

−→ + ( − 1)

−→ adica

h−−→1−−→1 i = 0⇔ (1 − 0)(− 1) + (1 − 0)( − 1) = 0⇔

(1 − 0) [(− 0) + (0 − 1)] + (1 − 0) [( − 0) + (0 − 1)] = 0⇔(1 − 0)(− 0) + (1 − 0)( − 0)− [(1 − 0)

2 + (1 − 0)2] = 0⇔

(1 − 0)(− 0) + (1 − 0)( − 0) = 2 (9.4)

Ecuatia (9.4) se numeste ecuatia tangentei la cerc dusa printr-un punct al cer-

cului obtinuta prin dedublare.

Ecuatiile parametrice ale cercului:½ = 0 + cos

= 0 + sin ∈ [0 2)

Daca cercul are centrul ın origine obtinem parametrizarea:½ = cos

= sin ∈ [0 2)

9.1.2 Elipsa

Definitia 9.2 Elipsa este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea ca

suma distantelor la doua puncte fixe, si 0 (numite focare) este constanta si egala cu2 ∈ R+.

9.1. CONICE PE ECUATII REDUSE 137

Deducerea ecuatiei elipsei.

Pentru a deduce ecuatia elipsei alegem un reper preferential: originea a reperului se

considera ın mijlocul segmentului 0 versorul−→ este versorul vectorului

−→ iar versorul−→

se alege perpendicular pe−→ ın

Din felul ın care am ales reperul R deducem ca−→ =

−→ si−−→ 0 = −0−→ unde 0

Deci ( 0) 0(0 0) si daca ( ) este un punct al locului geometric, atunci°°°−−→°°°+ °°°−−→ 0

°°° = 2 0 fixat.Rezulta

p(− )2 + 2+

p(+ )2 + 2 = 2⇔

p(− )2 + 2 = 2−

p(+ )2 + 2

Ridicand la patrat si efectuand simplificarile obtinem:

p(+ )2 + 2 = 2 + (9.5)

Pentru −2

ridicam din nou la patrat si efectuand simplificarile obtinem:

(2 − 2)2 + 22 − 2(2 − 2) = 0

Notam 2 = 2 − 2 daca sau 2 = 2 − 2 daca si obtinem

22 + 22 − 22 = 0⇔

2

2+

2

2− 1 = 0 (9.6)

Ecuatia (9.6) reprezinta ecuatia elipsei de semiaxe si

Din (9.5) obtinem

+ =

p(+ )2 + 2 Notam =

se numeste excentrici-

tatea elipsei si obtinem

(+

) =

p(+ )2 + 2 (9.7)

Observam ca 1 ın cazul elipsei ( deoarece°°°−−→

°°°+ °°°−−→ 0°°° °°°−−→ 0

°°°)+

reprezinta distanta de la punctul ( ) la dreapta de ecuatie = −

numita

directoarea elipsei. Elipsa are doua drepte directoare de ecuatii = −si =

iar punctele elipsei se gasesc ıntre aceste drepte, ≥ − −si ≤

(

=

2

)

Relatia (9.7) ne arata ca raportul distantelor de la la 0 si la dreapta direc-

toare de ecuatie = −este constanta si egala cu excentricitatea elipsei care

este subunitara.


Observatia 9.1 Axa intersecteaza elipsa ın punctele (− 0) si ( 0) numite varfurileelipsei. Axa intersecteaza elipsa tot ın varfuri, (0 ) (0−) Axele si sunt axede simetrie pentru elipsa. Punctul (0 0) numit centrul elipsei este centru de simetrie.

Tangenta la elipsa

0

2+

0

2− 1 = 0 (9.8)

Ecuatia (9.8) a tangentei la elipsa dusa printr-un punct (0 0) de pe elipsa se obtine

prin dedublare.

Reprezentarea paramertica a elipsei:½ = cos

= sin ∈ [0 2)

9.1.3 Hiperbola

Definitia 9.3 Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea

ca diferenta distantelor la doua puncte fixe, si 0 (numite focare) este constanta siegala cu 2 ∈ R+.

Deducerea ecuatiei hiperbolei.°°°−−→ 0°°°− °°°−−→

°°° = 2 0 fixat, daca °°°−−→ 0°°° °°°−−→

°°°sau

°°°−−→°°°− °°°−−→ 0

°°° = 2 daca °°°−−→°°° °°°−−→ 0

°°° Rezulta doua ecuatii carora le corespund cele doua ramuri ale hiperbolei,p(+ )2 + 2 −

p(− )2 + 2 = 2 si

p(− )2 + 2 −

p(+ )2 + 2 = 2

Prin calcul si daca notam 2 = 2 + 2 si obtinem:

2

2− 2

2− 1 = 0 (9.9)

Ecuatia (9.9) reprezinta ecuatia hiperbolei de semiaxe si

9.1. CONICE PE ECUATII REDUSE 139

Din (??) obtinem −

− =

p(+ )2 + 2 Notam =

numita excentricitatea

hiperbolei. Observam ca 1 ın cazul hiperbolei ( deoarece°°°−−→ 0

°°° − °°°−−→°°° °°°−−→ 0

°°°)+

reprezinta distanta de la punctul ( ) la dreapta de ecuatie = −

numita

directoarea hiperbolei. Hiperbola are doua drepte directoare de ecuatii = −

si =

iar punctele hiperbolei se gasesc ın exteriorul acestor drepte, ≤ − −

si

≥ (= 2

)

Relatia (??) ne arata ca raportul distantelor de la la 0 si la dreapta directoare

de ecuatie = −este constanta si egala cu excentricitatea hiperbolei.

Din ecuatia (9.9) a hiperbolei obtinem: =

√2 − 2 sau = −

√2 − 2 Rezulta ca

dreptele = ±

sunt asimptote. Intr-adevar, = lim

→∞

=

si = lim

→∞

µ

−

¶=

0 Dreptele = ±

se numesc asimptotele hiperbolei.

Tangenta la hiperbola

0

2− 0

2− 1 = 0 (9.10)

Ecuatia (9.10) a tangentei la hiperbola dusa printr-un punct (0 0) de pe hiperbola se

obtine prin dedublare.

Observatia 9.2 Axa intersecteaza hiperbola ın punctele (− 0) si ( 0) numite varfurilehiperbolei. Axa se numeste axa transversa. Axa nu intersecteaza hiperbola. Axele

si sunt axe de simetrie pentru hiperbola. Punctul (0 0) numit centrul hiperbolei

este centru de simetrie.

Observatia 9.3 Hiperbola

2

2− 2

2+ 1 = 0 (9.11)

este numita si hiperbola conjugata hiperbolei (9.9) Are aceleasi asimptote, aceleasi axe.

Exemplu de hiperbola conjugata:2

32− 2

22+ 1 = 0


-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

Daca = hiperbola se numeste echilatera si are ecuatia 2−2 = 2 Asimptotele

sale sunt bisectoarele axelor, = si = −Exemplu de hiperbola echilatera: 2 − 2 = 1

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

Tot hiperbola echilatera este = ±2 In acest caz asimptotele hiperbolei sunt axelede coordonate.

Exemple: = 22 (rosu) si respectiv = −22(verde).

4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

-5

5

x

y

Reprezentarea paramertica a hiperbolei:½ = ch

= sh ∈ R

9.1.4 Parabola

Definitia 9.4 Parabola este locul geomertic al punctelor din plan egal departate de un

punct fix, , numit numit focar, si o dreapta data, numita dreapta directoare.

Deducerea ecuatiei parabolei.

9.2. CONICE PE ECUATII GENERALE 141

Figura 9.1:

Pentru a deduce ecuatia parabolei alegem un reper preferential: originea a reperului

se alege ın varful parabolei, versorul−→ este versorul vectorului

−→ iar versorul

−→ se alege

perpendicular pe−→ ın

Din felul ın care am ales reperul R deducem ca−→ =

2

−→ si dreapta directoare de

ecuatie = −2 Trebuie sa avem +

2=

r(−

2)2 + 2 ⇔ 2 + +

2

4= 2 − +

2

4+ 2 ⇔

2 = 2 (9.12)

Tangenta la parabola

0 = (+ 0) (9.13)

Ecuatia (9.13) a tangentei la parabola dusa printr-un punct (0 0) de pe parabola se

obtine prin dedublare.

Observatia 9.4 Excentricitatea parabolei este = 1

Razele care pornesc din focar sunt reflectate de parabola ıntr-un fascicul paralel cu axa

a parabolei. Aceasta proprietate este folosita la constructia farurilor.

O reprezentare parametrica a parabolei este = = 2(2)

9.2 Conice pe ecuatii generale

Facultativ

Fie reperul R = (0−→ −→ ) ıntr-un plan ()


Definitia 9.5 Conica este locul georetric (Γ) al punctelor din planul () ale caror

coordonate ( ), ın raport cu reperul ortonormat R satisfac ecuatia:(Γ) : ( ) := 11

2 + 212 + 222 + 210+ 220 + 00 = 0

unde 211 + 212 + 222 6= 0 ∈ R ∈ {0 1 2} (9.14)

Matriceal, ecuatia conicei se scrie:¡

¢µ 11 1221 22

¶µ

¶+ 2

¡10 20

¢µ

¶+ 00 = 0

Utilizand rotatia si translatia realizam o schimbare de reper de la reperulR = (0−→ −→ )la un reper adecvat orientat pozitiv, numit reper canonic, fata de care conica (9.14) sa aiba

cea mai simpla forma posibila, numita forma canonica.

9.2.1 Algoritmul de aducere la forma canonica a unei conice.

Pasul I. Se realizeaza rotatia sistemului de axe, R = (−→ −→ ) → R0 = (−→1 −→2 )

astfel:

Fie A =

µ11 1212 22

¶

Calculam ecuatia caracteristica¯11 − 1212 22 −

¯= 0⇔

2 − (11 + 22)+ 1122 − 212 = 0 (9.15)

Corespunzator valorilor proprii 1 si 2 avem vectorii proprii (−→1 −→2) Fie −→1 = 1

k−→1k−→1

−→2 = 1k−→2k−→2 versorii vectorilor proprii. (−→1 −→2 ) dau directiile noilor axe 0 si respectiv

0Daca −→1 = 1

−→ + 2

−→ −→2 = 1

−→ + 2

−→ atunci matricea de rotatie

R =

µ1 12 2

¶trebuie sa indeplineasca conditia ca detR = 1 (avem ın vedere posibilitatea ınlocuirii unuia

din versori prin opusul sau sau renumerotarea acestora) pentru a fi la fel orientata cu baza

canonica.

Facem schimbarea de coordonateµ

¶=

µ1 12 2

¶µ0

0

¶Ecuatia conicei dupa rotatie devine

102 + 2

02 + 2010

0 + 20200 + 000 = 0

Pasul II.

Efectuam translatia reperului, R0 = (−→1 −→2 )→ R00 = (−→1 −→2 ).Daca 12 6= 0 conica va fi o conica cu centru.Restrangem patratele si efectuam o translatie


1

µ02 + 2

010

10 + (

010

1)2¶+ 2

µ02 + 2

0202

0 + (0202)2¶+ 000−

(010)

2

1− (

020)

2

2= 0⇔

1

µ0 +

010

1

¶2+ 2

µ0 +

0202

¶2+ 000 −

(010)

2

1− (

020)

2

2= 0

Notam⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ = 0 +

010

1

= 0 +0202

si obtinem: 12 + 2

2 + 000 −(

010)

2

1− (

020)

2

2= 0 care reprezinta forma canonica a

conicei. Centrul conicei va fi⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0 = −

010

1

0 = −020

2ın reperul R0 = (−→1 −→2 ) Coordonatele centrului conicei raportate la reperul initial,µ

00

¶=

µ1 12 2

¶⎛⎜⎜⎝ −010

1

−020

2

⎞⎟⎟⎠reprezinta originea reperului R00 = (−→1 −→2 ) (0 0)Discutia tipului conicei

1 2 000 −(

010)

2

1− (

020)

2

2Tipul conicei

+ + + elipsa imaginara

+ + - elipsa reala

+ - hiperbola

+ + hiperbola

+ + 0 un punct

+ - 0 doua drepte concurente

- + doua drepte concurente

Desenam graficul conicei ın noul sistem de axe. (exemplele 9.1,9.2). Algoritmul se

opreste.

Pasul III Daca 12 = 0. In acest caz o valoare proprie este nula deoarece(ambele

valori proprii nu pot fi nule). Presupunem ca 2 6= 0Vom obtine 2(

0)2 + 2010

0 + 20200 + 000 = 0 Restrangem patratele si efectuam o

translatie

2

Ã02 + 2

0202

0 +

µ0202

¶2!=(020)

2

2−

000 − 2

010

0 ⇔

2

µ0 +

0202

¶2= −2010

Ã0 +

000 − 020

2

010

!


Notam⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ = 0 +

0202

= 0 +000 − 020

2

010

iar forma canonica va fi:

22 = −2010 ⇔ 2 = −2

010

2

Daca 010 = 0 conica se reduce la doua drepte confundate. Daca

010 6= 0 conica este o

parabola.

Vırful parabolei va fi si originea noului reper. Coordonatele originii ın sistemul rotit vor

fi: 0 = −020

2 0 = −

000 − 020

2

010

In sistemul initial coordonatele originii se obtin aplicınd

rotatia:µ00

¶=

µ1 21 2

¶⎛⎜⎜⎝ −0202

−000 − 020

2

010

⎞⎟⎟⎠

Se deseneaza parabola. Algoritmul se opreste.

(Exemplul 9.3)

Observatia 9.5 Conicele nedegenerate sunt elipsa (cercul este un caz particular de elipsa),

hiperbola si parabola. Conicele degenerate sunt punctul, doua drepte paralele si doua drepte

secante.

9.2.2 Exemple

Exemplul 9.1 Sa se aduca la forma canonica conica

52 + 8 + 52 − 18− 18 + 9 = 0si sa se reprezinte grafic.

Rezolvare: Matriceal, ecuatia conicei se scrie¡

¢µ 5 4

4 5

¶µ

¶− 2 ¡ 9 9

¢µ

¶+ 9 = 0

Matricea formei patratice este

µ5 4

4 5

¶

Ecuatia caracteristica este 2 − 10+ 9 = 0⇒ 1 = 1 2 = 9

Vectorii proprii se obtin rezolvand sistemele:½41 + 42 = 0

41 + 42 = 0⇒ −→1 = −→ −−→ ⇒ −→1 = 1√

2

³−→ −−→

´½ −41 + 42 = 041 − 42 = 0 ⇒ −→2 = −→ +−→ ⇒ −→2 = 1√

2

³−→ +−→´

Matricea de rotatie este:


R =

Ã1√2

1√2−1√

2

1√2

!detR = 1

Transformarea coordonatelor este data deµ

¶=

Ã1√2

1√2−1√

2

1√2

!µ0

0

¶¡0 0

¢Ã 1√2− 1√

21√2

1√2

!µ5 4

4 5

¶Ã 1√2

1√2−1√

2

1√2

!µ0

0

¶−

−2 ¡ 9 9¢Ã 1√

2

1√2−1√

2

1√2

!µ0

0

¶+ 9 = 0

(0)2 + 9(0)2 − 180√2 + 9 = 0⇔ (0)2 + 9£(0)2 − 20√2 + 2¤− 9 = 0⇔

(0)2 + 9(0 −√2)2 − 9 = 0Conica este o elipsa. Notam½

= 0

= 0 −√2

Forma canonica este 2 + 9 2 − 9 = 0⇔ 2

9+ 2 − 1 = 0

Originea reperului ın care conica are forma canonica esteµ

¶=

Ã1√2

1√2−1√

2

1√2

!µ0√2

¶=

µ1

1

¶Trasarea graficului:

-rotatia sistemului de axe: reperul R = (;−→ −→ ) trece ın reperul R0 = (;−→1 −→2 )Sensul axelor (0 0) este dat de vectorii −→1 = 1√

2

³−→ −−→

´−→2 = 1√

2

³−→ +−→´

R = (;−→ −→ )⇒ R0 = (−→1 −→2 )

Figura 8.7.

-translatia sistemului de axe: reperulR0 = (−→1 −→2 ) trece ın reperulR00 = (−→1 −→2 )unde (1 1)


ın acest ultim reper trasam graficul elipsei:

Fig. 8.8

Exemplul 9.2 Sa se aduca la forma canonica conica

32 − 4 − 2+ 4 − 3 = 0si sa se traseze graficul.


¢µ 3 −2−2 0

¶µ

¶+ 2

¡ −1 2¢µ

¶− 3 = 0


µ3 −2−2 0

¶

Ecuatia caracteristica este 2 − 3− 4 = 0⇒ 1 = −1 2 = 4Vectorii proprii se obtin rezolvand sistemele:½41 − 22 = 0−21 + 2 = 0

⇒−→1 = −→ + 2−→ ⇒ −→1 = 1√5

³−→ + 2

−→´

½ −1 − 22 = 0−21 − 42 = 0 ⇒

−→2 = −2−→ +−→ ⇒−→2 = 1√5

³−2−→ +−→

´


R =

Ã1√5

−2√5

2√5

1√5

!detR = 1


¶=

Ã1√5

−2√5

2√5

1√5

!µ0

0

¶¡0 0

¢Ã 1√5

2√5

− 2√5

1√5

!µ3 −2−2 0

¶Ã 1√5

−2√5

2√5

1√5

!µ0

0

¶+

+2¡ −1 2

¢Ã 1√5

−2√5

2√5

1√5

!µ0

0

¶− 3 = 0⇔

4(0)2 − (0)2 + 650√5 + 8

50√5− 3 = 0⇔

4¡(0)2 + 2

50√5 + 1

5

¢− ¡(0)2 − 650√5 + 9

5

¢− 2 = 0⇔4³0 +

√55

´2−³0 + 3√

5

´2− 2 = 0

Conica este o hiperbola. Notam( = 0 − 3√

5

= 0 +√55

Forma canonica este 4 2 −2 − 2 = 0⇔−2

2+ 2 2 − 1 = 0

Originea reperului ın care conica are forma canonica esteµ

¶=

Ã1√5

−2√5

2√5

1√5

!Ã3√5

−√55

!=

µ1

1

¶Trasarea graficului:

-rotatia sistemului de axe: reperulR = (;−→ −→ ) trece ın reperulR0 = (−→1 −→2 )Sensul axelor (0 0) este dat de vectorii −→1 = 1√

5

³−→ + 2

−→´si −→2 = 1√

5

³−2−→ +−→

´

R = (;−→ −→ )⇒ R0 = (−→1 −→2 )

-translatia sistemului de axe: reperul R0 = (−→1 −→2 ) trece ın reperul R00 =(−→1 −→2 )unde (1 1)


ın acest ultim reper trasam graficul:

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

Exemplul 9.3 Sa se aduca la forma canonica si sa se deseneze conica:

2 − 4 + 42 − 6+ 2 + 1 = 0


¢µ 1 −2−2 4

¶µ

¶+ 2

¡ −3 1¢µ

¶+ 1 = 0


µ1 −2−2 4

¶

Ecuatia caracteristica este 2 − 5 = 0⇒ 1 = 0 2 = 5

Vectorii proprii se obtin rezolvand sistemele: pentru 1 = 0½1 − 22 = 0−21 + 42 = 0 ⇒

−→1 = 2−→ +−→ ⇒−→1 = 1√5

³2−→ +−→´

pentru 2 = 5½ −41 − 22 = 0−21 − 12 = 0 ⇒

−→2 = −→ − 2−→ ⇒ −→2 = 1√5

³−→ − 2−→

´R =

Ã2√5

1√5

1√5

−2√5

!detR = −1

Pentru ca detR = 1 schimbam sensul vectorului −→2 −→2 = 1√5

³−−→ + 2−→

´ deci ma-

tricea de rotatie va fi

=

Ã2√5

−1√5

1√5

2√5

!

Transformarea coordonatelor este data de


µ

¶=

Ã2√5

−1√5

1√5

2√5

!µ0

0

¶¡0 0

¢Ã 2√5

1√5

− 1√5

2√5

!µ1 −2−2 4

¶Ã 2√5

−1√5

1√5

2√5

!µ0

0

¶+

+2¡ −3 1

¢Ã 2√5

−1√5

1√5

2√5

!µ0

0

¶+ 1 = 0⇔

5(0)2 − 20√5 + 20√5 + 1 = 0⇔ 5³(0)2 + 2√

50 + 1

5

´− 20√5 = 0⇔

5³0 + 1√

5

´2− 20√5 = 0

Notam½ = 0

= 0 + 1√5

Forma canonica este 2 − 2√5 = 0

Varful parabolei va fi ın punctul (0−1√5) coordonatele punctului fiind ın sistemulrotit. In sistemul initial coordonatele varfului parabolei vor fiµ

¶=

Ã2√5

−1√5

1√5

2√5

!µ0−1√5

¶=

µ15

−25

¶(1

5 −25)

Trasarea graficului:

-rotatia sistemului de axe: reperulR = (;−→ −→ ) trece ın reperulR0 = (−→1 −→2 )Sensul axelor (0 0) este dat de vectorii−→1 = 1√

5

³2−→ +−→´−→2 = 1√

5

³−→ − 2−→

´

R = (;−→ −→ )⇒ R0 = (−→1 −→2 )

-translatia sistemului de axe: reperul R0 = (−→1 −→2 ) trece ın reperul R00 =(−→1 −→2 ) unde va fi varful parabolei


ın acest ultim reper trasam graficul parabolei:

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

Exemplul 9.4 Sa se aduca la forma canonica si sa se deseneze conica:

2 + 2 + 2 + 2+ 2 − 3 = 0


¢µ 1 1

1 1

¶µ

¶+ 2

¡1 1

¢µ

¶− 3 = 0


µ1 1

1 1

¶ Ecuatia caracteristica este 2 − 2 = 0 ⇒

1 = 0 2 = 2

Vectorii proprii se obtin rezolvand sistemele: pentru 1 = 0½1 + 2 = 0

1 + 2 = 0⇒ −→1 = −→ −−→ ⇒ −→1 = 1√

2

³−→ −−→

´pentru 2 = 5½ −1 + 2 = 0

1 − 2 = 0⇒ −→2 = −→ +−→ ⇒ −→2 = 1√

2

³−→ +−→´

R =

Ã1√2

1√2

− 1√2

1√2

!detR = 1


¶=

Ã1√2

1√2

− 1√2

1√2

!µ0

0

¶

9.3. CUADRICE PE ECUATII REDUSE 151

¡0 0

¢Ã 1√2− 1√

21√2

1√2

!µ1 1

1 1

¶Ã 1√2

1√2

− 1√2

1√2

!µ0

0

¶+

+2¡1 1

¢Ã 1√2

1√2

− 1√2

1√2

!µ0

0

¶− 3 = 0

202 + 20√2− 3 = 0⇔ 202 + 20

√2 + 1− 4 = 0⇔¡

0√2 + 1

¢2 − 4 = 0 ⇔ ¡0√2− 1¢ ¡0√2 + 3¢ = 0 ⇒conica reprezinta doua drepte

paraleleµ0

0

¶=

Ã1√2− 1√

21√2

1√2

!µ

¶=

µ12√2− 1

2√2

12√2 + 1

2√2

¶0√2− 1 = 0⇒ (1

2√2 + 1

2√2)√2− 2 = 0⇒ + − 1

0√2 + 3 = 0⇒ (1

2√2 + 1

2√2)√2 + 3 = 0⇒ + + 3 = 0

= −3− = 1−

-4 -2 2 4

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

9.3 CUADRICE PE ECUATII REDUSE

Numim cuadrice nedegenerate suprafetele: sfera, elipsoidul, hiperboloidul cu o panza,

hiperboloidul cu doua panze, paraboloidul eliptic si paraboloidul hiperbolic. Deoarece ele

admit ıntr-un reper ortonormat reprezentari analitice pe ecuatii algebrice de gradul doi, ele

sunt suprafete algebrice de ordinul al doilea.

9.3.1 Sfera

Fie reperul R =(;−→ −→ −→ ) si punctele ( ) = 1 2 3 Reamintim formula

distantei dintre doua puncte:

dist(12) =p(2 − 1)2 + (2 − 1)2 + (2 − 1)2

Definitia 9.6 Locul geometric al punctelor din spatiu( ) cu proprietatea ca distanta

lor la un punct fix 0(0 0 0) este constanta se numeste sfera (suprafata sferica).

Daca respectiv 0 sunt vectorii de pozitie ai punctelor si 0 atunci

k − 0k = (9.16)


0(0 0 0) se numeste centrul sferei, iar este raza sferei.

Teorema 9.3 Punctul ( ) apartine sferei de centru (0 0 0) si raza daca si

numai daca(− 0)

2 + ( − 0)2 + ( − 0)

2 = 2 (9.17)

Demonstratie. ∈sferei⇔ k0k = ⇔ k − 0k = ⇔p(− 0)2 + ( − 0)2 + ( − 0)2 = ⇔ (− 0)

2 + ( − 0)2 + ( − 0)

2 = 2¨

Observatia 9.6 Ecuatia (9.16) se numeste ecuatia vectoriala a sferei. Ecuatia (9.17)

se numeste ecuatia carteziana implicita a sferei.

Ecuatia sferei este un polinom de grad doi ın , termenul de grad doi fiind 2+2+2

Aceasta ne sugereaza sa cercetam ecuatia

2 + 2 + 2 + 2+ 2 + 2 + = 0

si sa stabilim ın ce caz ea reprezinta ecuatia unei sfere. Aceasta ecuatie se mai poate scrie

de forma

(+ )2 + ( + )2 + ( + )2 = 2 + 2 + 2 −

De aici observam ca daca

a) 2 + 2 + 2 − 0 ecuatia reprezinta o sfera de centru (−−−) si raza =√2 + 2 + 2 −

b) 2 + 2 + 2 − = 0 ecuatia reprezinta un punct de coordonate (−−−);c) 2 + 2 + 2 − 0 ecuatia reprezinta o sfera imaginara

Ecuatia 2+2+2+2+2+2+ = 0 cu 2+ 2+ 2− 0 reprezinta ecuatia

carteziana generala a sferei.

Ecuatia sferei cu centru ın origine si de raza este

2 + 2 + 2 = 2

Observatia 9.7 Sfera este o multime marginita si ınchisa, deci compacta. Punctele de pe

suprafata sferica sun ın interiorul unui patrat deoarece din ecuatia (− 0)2 + ( − 0)

2 +

( − 0)2 = 2 rezulta ca (− 0)

2 ≤ 2 ⇒ 0 − ≤ ≤ 0 + Analog si pentru si

Ecuatiile parametrice ale sferei cu centru ın 0(0 0 0):⎧⎨⎩ = 0 + cos sin

= 0 + sin sin

= 0 + cos

∈ [0 2) ∈h−2

2

i


9.3.2 Elipsoidul

Definitia 9.7 Locul geometric al punctelor ( ) din spatiu care satisfac ecuatia

2

2+

2

2+

2

2= 1 ∈ R+ (9.18)

se numeste elipsoid.

Studiem forma acestei suprefete plecand de la ecuatia (9.18). Deoarece coordonatele

apar ın ecuatia (9.18) la patrat, rezulta ca daca punctul ( ) apartine elip-

soidului, atunci si punctele 1(− )2(− )3( −) apartin elipsoidului.Dar aceste puncte sunt simetricele punctului fata de planele de coordonate. Deci

planele de coordonate ( ) sunt plane de simetrie ale suprafetei. Analog si

punctele 4(−− )5(− −)6(−−) simetricele fata de axele de coordo-nate ale punctului apartin elipsoidului, deci acesta admite trei axe de simetrie. Punctul

7(−−−) simetricul fata de origine a punctului se afla pe suprafata, deci elip-

soidul admite un centru de simetrie.

In concluzie elipsoidul admite

-trei plane de simetrie,

-trei axe de simetrie si

-un centru de simetrie.

Punctele ın care axele de coordonate intersecteaza suprafata se numesc varfurile elip-

soidului si ele sunt: ( 0 0) 0(− 0 0) (0 0) 0(0− 0) (0 0 ) 0(0 0 ).Numerele se numesc semiaxele elipsoidului.

Pentru a ne da seama de forma acestei suprafete, o intersectam cu planele de coordonate

si cu plane paralele cu planele de coordonate.

Intersectiile elipsoidului cu planele de coordonate sunt elipse si anume:⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 1

= 0

⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 1

= 0

⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 1

= 0

Intersectand elipsoidul cu plane paralele cu obtinem elipse:⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 1− 2

2 =

pentru ∈ [− ]


Analog cu plane paralele cu ⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 1− 2

2 =

⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 1− 2

2 =

Teorema 9.4 Elipsoidul este o multime marginita si ınchisa, deci compacta.

Demonstratie. Din ecuatia elipsoidului rezulta2

2≤ 1

2

2≤ 1

2

2≤ 1⇔ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ⇒

toate punctele elipsoidului sunt cuprinse ın interiorul unui paralelipiped cu laturi de lungimi

finite.¨Ecuatia planului tangent la elipsoid printr-un punct al elipsoidului se obtine

prin dedublare. Fie 0(0 0 0) un punct de pe elipsoidul de ecuatie (9.18). Ecuatia

planului tangent prin acest punct este0

2+

0

2+

0

2= 1

O reprezentare parametrica a elipsoidului se obtine de forma:⎧⎨⎩ = cos sin

= sin sin

= cos

∈ [0 2) ∈h−2

2

i

Suprafata reprezentata prin ecuatia:2

2+

2

2+

2

2+ 1 = 0 0

se numeste elipsoid imaginar.

9.3.3 Hiperboloidul cu o panza


2

2+

2

2− 2

2− 1 = 0 ∈ R+ (9.19)

se numeste hiperboloid cu o panza. Numerele se numesc semiaxele hiper-

boloidului.

Observatia 9.8 Tot hiperboloizi cu o panza reprezinta ecuatiile:2

2− 2

2+

2

2− 1 = 0

−2

2+

2

2+

2

2− 1 = 0


Hiperboloidul cu o panza are aceleasi simetrii ca si elipsoidul. Are patru varfuri,

( 0 0) 0(− 0 0) (0 0) 0(0− 0). Intersectiile cu planele = 0 si = 0 sunt

hiperbole,

⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 1

= 0respectiv

⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 1

= 0iar cu planul = 0 intersectia este

o elipsa

⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 1

= 0

Intersectiile cu plane paralele cu = sunt elipse reale, oricare ar fi ∈ R:⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 1 +

2

2 =

Intersectiile cu plane paralele cu planele si respectiv sunt hiperbole,

⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 1− 2

2 =

⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 1− 2

2 =

Rezulta ca hiperboloidul cu o panza este o suprafata nemarginita .

Daca = elipsele de intersectie ale suprafetei cu plane paralele cu planul sunt

cercuri.

Cuadrica2

2+2

2− 2

2= 0 se numeste conul asimptotic al hiperboloidului cu o panza.


Ecuatia planului tangent la hiperboloidul cu o panza printr-un punct al sau

se obtine prin dedublare. Fie 0(0 0 0) un punct de pe hiperboloidului cu o panza de

ecuatie (9.19) Ecuatia planului tangent prin acest punct este0

2+

0

2− 0

2= 1

O reprezentare parametrica a hiperboloidului cu o panza este:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ =

cos

cos

= sin

cos = tg

∈ [0 2) ∈³−2

2

´

O a doua reprezentare parametrica a hiperboloidului cu o panza se obtine, tinınd seama

ca 1 + sh2 = ch2 luand = sh Avem:⎧⎨⎩ = cos ch

= sin ch

= sh

∈ [0 2) ∈ R

9.3.4 Hiperboloidul cu doua panze


−2

2− 2

2+

2

2− 1 = 0 ∈ R+ (9.20)

se numeste hiperboloid cu doua panze. Numerele se numesc semiaxele hiper-

boloidului.

Observatia 9.9 Tot hiperboloizii cu doua panze reprezinta ecuatiile:2

2− 2

2− 2

2− 1 = 0−

2

2− 2

2+

2

2− 1 = 0

2

2− 2

2− 2

2− 1 = 0

-2

2+

2

2+

2

2+ 1 = 0−

2

2+

2

2− 2

2− 1 = 0

2

2+

2

2− 2

2+ 1 = 0

2

2− 2

2+

2

2+ 1 = 0−

2

2+

2

2+

2

2+ 1 = 0


Hiperboloidul cu doua panze are aceleasi simetrii ca si elipsoidul. Are doua varfuri

(0 0 ) 0(0 0 ). Intersectiile cu planele = 0 si = 0 sunt hiperbole⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 1

= 0

⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 1

= 0

Intersectiile cu plane paralele cu = sunt elipse:⎧⎨⎩ 2

2+

2

2=

2

2− 1

= ∈ (−∞ ]∪[∞)

Intersectiile cu plane paralele cu planele si sunt hiperbole⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 1 +

2

2 =

⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 1 +

2

2 =

Hiperboloidul cu doua panze este o multime nemarginita.

Cuadrica2

2− 2

2− 2

2= 0 se numeste conul asimptotic al hiperboloidului cu doua

panze.

Ecuatia planului tangent la hiperboloidul cu doua panze printr-un punct al

sau se obtine prin dedublare. Fie 0(0 0 0) un punct de pe hiperboloidului cu doua

panze de ecuatie (9.20). Ecuatia planului tangent prin acest punct este0

2− 0

2− 0

2= 1

O reprezentare parametrica a hiperboloidului cu doua panze este:⎧⎨⎩ = cos sh

= sin sh

= ch

∈ [0 2) ∈ R+

9.3.5 Paraboloidul eliptic


2

2+

2

2= 2 0 (9.21)


se numeste paraboloid eliptic.

Observatia 9.10 Tot paraboloizi eliptici reprezinta ecuatiile:2

2+

2

2= 2

2

2+

2

2= 2

Planele de coordonate si sunt plane de simetrie, iar axa este axa de simetrie

a suprafetei. Paraboloidul eliptic nu are centru de simetrie.

Din relatia (9.21) rezulta ca ≥ 0 deci paraboloidul eliptic esta situat deasupra planului

Intersectiile cu planele = ≥ 0 sunt curbele⎧⎨⎩ 2

2+

2

2= 2

=

care reprezinta pentru 0 elipse reale ale caror semiaxe cresc odata cu Pentru = 0

obtinem = = = 0 adica originea reperului. Punctul este singurul varf al suprafetei.

Intersectiile cu celelalte plane de coordonate sunt parabole.

Intersectiile cu plane paralele cu si sunt parabole⎧⎨⎩ 2

2= 2 − 2

2 =

⎧⎨⎩ 2

2= 2 − 2

2 =

Ecuatia planului tangent la paraboloidul eliptic printr-un punct al sau se obtine

prin dedublare. Fie 0(0 0 0) un punct de pe paraboloidului eliptic de ecuatie (9.21).

Ecuatia planului tangent prin acest punct este0

2+

0

2= + 0

O reprezentare parametrica a paraboloidului eliptic se obtine luand 2 = 2 :⎧⎪⎨⎪⎩ = cos

= sin

=1

22

( ) ∈ [0 2)× [0∞)

9.3.6 Paraboloidul hiperbolic


2

2− 2

2= 2 0 (9.22)


se numeste paraboloid hiperbolic.

Observatia 9.11 Tot paraboloizi hiperbolici reprezinta ecuatiile:

2

2− 2

2= 2

2

2− 2

2= 2

Planele de coordonate si sunt plane de simetrie, iar axa este axa de simetrie

a suprafetei. Paraboloidul hiperbolic nu are centru de simetrie.

Intersectiile cu planele = sunt curbele⎧⎨⎩ 2

2− 2

2= 2

=

care reprezinta hiperbole. Pentru = 0 obtinem2

2− 2

2= 0 adica o pereche de drepte

secante prin origine. Punctul este singurul varf al suprafetei. Intersectiile suprafetei cu

plane paralele cu planul sunt parabole⎧⎨⎩ 2 = −22 + 22

2 =

iar intersectiile suprafetei cu plane paralele cu planul sunt parabole⎧⎨⎩ 2 = 22 +22

2 =

Ecuatia planului tangent la paraboloidul hiperbolic printr-un punct al sau

se obtine prin dedublare. Fie 0(0 0 0) un punct de pe paraboloidului hiperbolic de

ecuatie (9.22). Ecuatia planului tangent prin acest punct este0

2− 0

2= + 0

O reprezentare parametrica a paraboloidului eliptic se obtine luand:

160 CAPITOLUL 9. CONICE SI CUADRICE⎧⎪⎨⎪⎩ =

=

=1

2(2 − 2)

( ) ∈ R2

9.4 Cuadrice degenerate

Numim cuadrice degenerate urmatoarele suprafete: suprafata determinata de o pereche

de plane, cilindrul patratic, conul patratic.

9.4.1 Cilindri patratici

Cilindrii patratici sunt de trei tipuri:

a) cilindrul eliptic are ecuatia canonica

2

2+

2

2− 1 = 0 0 (9.23)

Intersectand aceasta suprafata cu plane paralele cu planul = obtinem elipsele

de semiaxe si pentru orice ∈ R⎧⎨⎩ 2

2+

2

2− 1 = 0

= .

Observatia 9.12 Tot cilindrii eliptici au ecuatiile

2

2+

2

2− 1 = 0 0

2

2+

2

2− 1 = 0 0

b) cilindrul hiperbolic are ecuatia canonica

2

2− 2

2− 1 = 0 0 (9.24)

Intersectand aceasta suprafata cu plane paralele cu planul = obtinem hiperbole

de semiaxe si pentru orice ∈ R

9.4. CUADRICE DEGENERATE 161⎧⎨⎩ 2

2− 2

2− 1 = 0

= .

Tot cilindrii hiperbolici sunt2

2− 2

2− 1 = 0 0;

2

2− 2

2− 1 = 0 0

c) cilindrul parabolic are ecuatia canonica

2 = 2 (9.25)

Intersectand aceasta suprafata cu plane paralele cu planul = obtinem parabolele

pentru orice ∈ R½2 = 2

= .

Tot cilindrii parabolici sunt

2 = 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2

9.4.2 Conul patratic

Conul patratic este suprafata de ecuatie

2

2+

2

2− 2

2= 0 ∈ R+ (9.26)

Intersectand aceasta suprafata cu plane paralele cu planul = obtinem elipsele

pentru orice ∈ R⎧⎨⎩ 2

2+

2

2− 2

2= 0

= .

Observatia 9.13 Tot conuri patratice reprezinta ecuatiile2

2− 2

2+

2

2= 0 0− 2

2+

2

2+

2

2= 0 0

Capitolul 9 CONICE S¸I CUADRICE - TUIASImath.etc.tuiasi.ro/apletea/cursuri/algcap9.pdfCapitolul 9...

Documents

Transcript of Capitolul 9 CONICE S¸I CUADRICE - TUIASImath.etc.tuiasi.ro/apletea/cursuri/algcap9.pdfCapitolul 9...