Cuprins - acces.chimie.upb.roacces.chimie.upb.ro/doc/matematica-manual-suport.pdf · x 2 x 1 (x x...
Transcript of Cuprins - acces.chimie.upb.roacces.chimie.upb.ro/doc/matematica-manual-suport.pdf · x 2 x 1 (x x...
Cuprins
I Elemente de geometrie 3
1 Reprezentari ın plan 4
2 Vectori 11
3 Functii trigonometrice 17
4 Curbe plane 33
II Elemente de algebra 40
5 Numere complexe 41
6 Matrice 56
7 Determinanti 63
8 Sisteme liniare 67
III Elemente de analiza matematica 73
9 Siruri si functii 74
10 Functii 82
11 Integrale 93
2
CAPITOLUL 1. REPREZENTARI IN PLAN
1.1 Reper cartezian
Fie un reper cartezian xOy cu axe ortogonale (perpendiculare) ın planul P, cu origineaın punctul O(0;0) si cu sensurile pozitive ale axelor indicate prin sageti (axa orizontalaa absciselor sens de la stanga la dreapta si axa verticala a ordonatelor cu sensul de josın sus). Fiecarui punct M din planul xOy ıi corespund ın acest reper doua coordonatecarteziene, notatie M(x,y). In Fig. 1 punctul M are coordonatele carteziene (5,4).
Figura 1.1: Reper cartezian
Pagina 5
CAPITOLUL 1. REPREZENTARI IN PLAN
1.2 Drepte ın plan
Distanta ıntre doua puncte ınplanA(x1, y1), B(x2, y2)
AB =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Coordonatele mijloculuiunui segment AB undeA(x1, y1), B(x2, y2)
x =x1 + x2
2, y =
y1 + y22
Coordonatele punctului M careımparte segmentul (AB) ın ra-portul k
x =x1 + kx2
1 + k, y =
y1 + ky22
Ecuatia dreptei determinatade coordonatele unui punctMo(x0,y0) si de panta sa.
y − y0 = m · (x− x0)
Ecuatia dreptei determinata depunctele A(x1,y1) si B(x2,y2) .
y − y1 =y2 − y1x2 − x1
· (x− x1)
Drepte paralele cu axa Oy x=aDrepte paralele cu axa Ox y=aEcuatia generala a unei drepte ax+by+c=0
Pozitia relativa a dreptelor d1si d2: d1=d2
a1a2
=b1b2
=c1c2
Pozitia relativa a dreptelor d1si d2: d1||d2
a1a2
=b1b26= c1c2
Pozitia relativa a dreptelor d1si d2: d1 se intersecteaza cu d2
a1a26= b1b2
Distanta de la un punctM(x0,y0) la o dreapta hreprezentata prin ecuatieax+by+c=0
d(M,h) =|a · x0 + b · y0 + c|√
a2 + b2
Unghiul determinat de douadrepte cu pantele m1 si m2
tg(α) =m2 −m1
1 +m1m2
m1m2 6= −1
d1 perpendicularape d2 m1m2 = −1
Pagina 6
CAPITOLUL 1. REPREZENTARI IN PLAN
1.3 Sistem polarIn sistemul de coordonate polar, pozitia unui punct P fata de origine este descrisaprin specificarea distantei r si a unghiului α dintre linia r si directia pozitiva a axeix, numita axa polara. Coordonatele polare ale punctului P sunt P(r,α ), unde r ≥0, α ∈ [0, 2π).
Figura 1.2: Coordonate polare
Conversia ıntre cele doua sistemeTransformarea coordonatelor polare ın coordonate carteziene se face dupa relatiile:
Convertire din coordo-nate polare in coordonatecarteziene
x = r cosαy = r sinα
Convertire din coordonatecarteziene in coordonatepolare
r =√x2 + y2 α= arctg
(yx
), x >
0 , pentru cadranele I si IV
Distanta intre doua punctedefinite prin coordonatecarteziene (x1, y1), (x2, y2)este
d =√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
Distanta intre doua punctedefinite prin coordonatepolare (r1, α1), (r2, α2)
d =√r21 + r22 − 2 · r1 · r2 · cos(α1 − α2)
Pagina 7
CAPITOLUL 1. REPREZENTARI IN PLAN
Figura 1.3: Coordonate polare vs. coordonate carteziene
1.4 Exercitii
Exercitiul 1. Sa se determine lungimea segmentului [AB] unde A(1,3) si B(5,-1)Exercitiul 2. Sa se determine coordonatele mijlocului segmentului [AB] unde A(1,3)si B(5,-1).Exercitiul 3. Se dau dreptele de ecuatii:AB: 5x + 2y - 11=0AC: x - y + 2=0BC: 2x + 5y + 4=0Sa se gaseasca:
1. Coordonatele varfurilor triunghiului ABC;
2. Aria triunghiului ABC;
3. Distanta de la originea sistemului de axe xOy la dreapta AC;
4. Ecuatia medianei duse din C pe AB;
5. Ecuatia ınaltimii duse din A pe BC;
6. Coordonatele punctului D astfel ıncat ACBD sa fie paralelogram;
7. Lungimea laturii AB;
8. Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC;
9. Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC.
Exercitiul 4. Se da triunghiul de varfuri A(-1,3) , B(2,-1) , C(3,6). Sa se determine:
Pagina 8
CAPITOLUL 1. REPREZENTARI IN PLAN
1. ecuatia dreptei AC;
2. ecuatia paralelei prin B la AC;
3. ecuatia mediatoarei segmentului [BC];
4. ecuatia medianei din C;
5. ecuatia ınaltimii din C.
Exercitiul 5. Stiind ca A(1,2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreaptad , sa se scrie ecuatia dreptei d.Exercitiul 6. Sa se gaseasca proiectia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1= 0.Exercitiul 7. Sa se scrie ecuatia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) si este echidis-tanta de punctele A(-1,0), B(1,-1).Exercitiul 8. Sa se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) fata dedreapta d : x + y + 1 = 0 ]csi apoi fat]ua de punctul B(-1,-4).
Exercitiul 9. Sa se determine coordonatele punctului B, stiind ca C(3,5) este mijloculsegmentului AB si ca A(2,4).
Exercitiul 10. Sa se determine m ∈ R pentru care distanta dintre punctele A(2,m)si B(-m,-2) este egala cu 4
√2.
Exercitiul 11. In reperul cartezian xOy se considera punctul A(2,3). Stiind capunctele B si C sunt simetricele punctului A fata de axele Ox si Oy, sa se calculezelungimea segmentului BC.Exercitiul 12. Sa se calculeze coordonatele punctului de intersectie al dreptelor deecuatii 2x+y-4=0 si x+y-3=0.Exercitiul 13. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A(1,-1) si esteparalela cu dreapta y=x.Exercitiul 14. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(3,0), B(x,y), C(5,-2).Sa se determine numerele reale x si y astfel incat punctul B sa fie mijlocul segmentuluiAC.Exercitiul 15. Sa se reprezinte in coordonate polare urmatoarele puncte: (2,2), (-3,4),
(−2,−2√
3), (1,−1).
Exercitiul 16. Sa se reprezinte in coordonate carteziene urmatoarele puncte: (2, −π2),
(1, 3π4
),
(2,−π3
).
Pagina 9
CAPITOLUL 1. REPREZENTARI IN PLAN
Exercitiul 17. Transformati in coordonate polare ecuatia x2 + y2 = 9.Exercitiul 18. Gasiti coordonatele carteziene ale curbei 2
r= 1 + cos θ.
Pagina 10
CAPITOLUL 2. VECTORI
2.1 Vectori in planO marime este vectoriala daca este determinata de urmatoarele trei elemente:
marime, directie si sens.Se numeste directie a dreptei d multimea formata din dreapta d si toate dreptele
paralele cu ea.Se numeste directia segmentului [AB], A 6= B, directia dreptei AB.Fie dreapta d pe care se fixeaza doua puncte A,B A B. Punctele dreptei d pot fi
parcurse de la A spre B (un sens de parcurgere) sau de la B spre A (al doilea sensde parcurgere). Prin aceasta metoda s-au definit doua sensuri pe dreapta d, numitesensurile dreptei.
Parcurgerea unui segment [AB], A 6= B, se poate face de la A spre B sau de la Bspre A. Astfel pe segmentul [AB], sunt definite doua sensuri (opuse). O pereche A,B
se numeste segment orientat sau vector legat si se noteaza−→AB, unde A este originea,
iar B este extremitatea.Daca A 6= B dreapta determinata de punctele A si B se numeste dreapta suport.
Vectorul−→AB se numeste vector nul. Doi vectori legati nenuli
−→AB si
−−→CD au aceeasi
directie daca dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.
Daca A,B,C,D sunt patru puncte necoliniare, vectorii−→AB si
−−→CD au acelasi sens
daca au aceeasi directie si punctele B si D sunt n acelasi semiplan determinat de dreaptaAC.
Se numeste lungimea sau norma vectorului−→AB numarul real si pozitiv care reprezinta
distanta d(A,B) ntre punctele A si B si se simbolizeaza prin ||AB||.Doi vectori legati
−→AB si
−−→CD sunt egali daca si numai daca A=C si B=D.
Doi vectori legati se numesc echipolenti si se noteaza−→AB
−−→CD daca au aceeasi
directie, acelasi sens si acelasi modul.Se numeste vector liber multimea tuturor vectorilor legati echipolenti cu un vector
legat dat −→a (Un vector este liber daca originea sa poate fi aleasa n mod arbitrar nplan.
Se spune ca vectorul liber−→AB este determinat de vectorul legat
−→AB sau ca vectorul
legat−→AB este un reprezentant al vectorului liber
−→AB. Daca A=B, atunci vectorul liber−→
AA se numeste vector nul, notat−→0 , de modul 0, directie si sens arbitrar.
Doi vectori liberi sunt egali daca au: aceeasi directie (adica pot fi situati pe aceeasidreapta suport sau pe drepte suport paralele), acelasi sens, acelasi modul.
Vectorul liber −→u de norma 1 se numeste versor.Se considera o dreapta x′x pe care se fixeaza punctul O (originea). In origine
ca punct de aplicatie, se considera un versor situat pe dreapta, notat cu−→i =
−→OA,
reprezentnd versorul dreptei. Prin fixarea versorului pe dreapta, aceasta devine axa.Astfel pe aceasta dreapta exista o origine, un sens de parcurgere si o unitate de masuraa lungimilor.
Doi vectori se numesc ortogonali daca directiile lor sunt perpendiculare.
Pagina 12
CAPITOLUL 2. VECTORI
Doi vectori care au aceeasi directie si acelasi modul, dar sensuri opuse se numesc
vectori opusi. Daca −→a ,−→b sunt vectori opusi, atunci se scrie
−→b = −−→a .
Proprietate: Fiind dat un punct O n plan si un vector liber −→a exista un unic punctM n plan, astfel nct −→om = −→a .2.2 Operatii elementare cu vectori liberi
2.2.1. Adunarea a doi vectoriSuma a doi sau mai multi vectori este tot un vector, care se poate obtine cu ajutorulunei constructii geometrice efectuate asupra acestora.
a) Adunarea a doi vectori dupa regula paralelogramului
Fie doi vectori liberi −→a ,−→b si
−→OA = −→a ,
−−→OB =
−→b . Se construieste paralelogramul
OBCA. de laturi OA si OB: OBCA. Vectorul −→c , de reprezentant−→OC, (care porneste
din originea comuna) reprezinta prin definitie suma vectorilor −→a si−→b si se noteaza
prin −→c = −→a +−→b .
Aceasta regula prin care s-a obtinut vectorul suma se numeste regula paralelogramului.
b) Adunarea a doi vectori dupa regula triunghiului.Se poate ajunge la acelasi rezultat cu ajutorul unei alte constructii.
Fie aceiasi vectori liberi −→a ,−→b . Se considera
−→OA = −→a ,
−→AC =
−→b . Atunci vectorul suma
a vectorilor −→a si−→b este vectorul −→c reprezentat de
−→OC. Aceasta regula de adunare a
doi vectori se numeste regula triunghiului.Este usor de vazut ca vectorul suma c este vectorul care nchide conturul format de
vectorii −→a si−→b , avnd originea n originea unuia dintre vectori si extremitatea n ex-
tremitatea celuilalt vector. Este evident ca triunghiul construit prin regula triunghiuluieste jumatatea paralelogramului construit prin regula paralelogramului.
Observatie: Daca −→a +−→b +−→c =
−→0 , atunci cu vectorii a,b,c se poate forma un triunghi.
c) Metoda pentru adunarea a n vectori (regula poligonului).
Daca trebuie adunati trei (sau mai multi) vectori liberi −→a ,−→b ,−→c , se aplica succesiv
regula triunghiului. Din extremitatea lui −→a se duce un vector egal cu−→b , iar din
extremitatea acestui al doilea vector se duce un vector egal cu −→c .Astfel s-a format un contur poligonal din vectori. Vectorul −→v care nchide conturul(adica uneste originea primului vector cu extremitatea ultimului vector) reprezinta
suma vectorilor dati: −→v = −→a +−→b +−→c .
Regula de obtinere a sumei mai multor vectori se numeste regula poligonului.Observatie: n cazul n care conturul de vectori se nchide, astfel nct extremitatea unuiasa coincida cu originea urmatorului vector, suma vectorilor reprezinta vectorul nul.
Proprietati ale adunarii vectorilor liberi n plan.
1. Adunarea vectorilor este asociativa, adica: (−→a +−→b ) +−→c = −→a + (
−→b +−→c ).
2. Adunarea vectorilor este comutativa, adica: −→a +−→b =
−→b +−→a .
Pagina 13
CAPITOLUL 2. VECTORI
3. Vectorul nul 0 este elementul neutru pentru adunare, adica: −→a +−→0 = −→a
4. Pentru orice vector −→a , exista −−→a , pentru care −→a + (−−→a ) = −−→a + −→a =−→0 .
Vectorul −−→a se numeste opusul vectorului −→a .
2.2.2. Inmultirea unui vector cu un scalarDefinitie: Fie α ∈ R, −→a 6= −→0 . Produsul dintre numarul real α si vectorul liber −→a estevectorul notat α−→a avnd: - aceeasi directie cu −→a ; - aceeasi acelasi sens cu −→a , dacaα > 0; sens contrar lui −→a , daca α < 0; - modulul egal cu produsul dintre |]alpha| simodulul vectorului −→a .
Proprietati ale nmultirii unui vector cu un scalar
1. α(−→a +−→b ) = α−→a + α
−→b . (nmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea
vectorilor).
2. (α + β)−→a = α−→a + β−→b . (nmultirea cu scalari este distributiva fata de adunarea
scalarilor).3. α(β−→a ) = (αβ)−→a . (Asociativitatea scalarilor).4. 1−→a = α−→a . (Numarul 1 este element neutru pentru nmultirea cu scalari).
2.2.3. Coliniaritatea a doi vectoriDefinitie: Doi vectori liberi nenuli se numesc coliniari daca au aceeasi directie. n cazcontrar se numesc necoliniari. Se admite ca vectorul nul este coliniar cu orice vector.
Teorema de coliniaritate: Doi vectori nenuli −→a ,−→b sunt coliniari daca si numai daca
exista α astfel nct −→a = α−→b .
2.3 Reper cartezian n plan
Descompunerea unui vector dupa doua directii date. Baza. Definitie: Cuplula,bformat din doi vectori liberi necoliniari se numeste baza pentru multimea vecto-rilor din plan V . O baza formata din versori ortogonali se numeste baza ortonormata.
Componentele unui vector ntr-o baza. Fie −→a ,−→b doi vectori necoliniari fixati, iar
−→u un vector arbitrar. Daca −→a ,−→b sunt necoliniari, atunci cele doua directii pe care le
definesc sunt distincte. Se considera reprezentantii−→OA = −→a si
−−→OB =
−→b .
Prin extremitatea M a vectorului−−→OM , se duc paralele la OB si, respectiv OA care
intersecteaza pe OA n M1 si pe OB n M2. Conform regulii paralelogramului−−→OM =−−−→
OM1 +−−−→OM2. Exista constantele reale x, y astfel nct
−−−→OM1 = x
−→OA,
−−−→OM2 = y
−−→OB.
Rezulta ca−−→OM = x
−→OA+ y
−−→OB, sau ca vectori liberi: −→u = x−→a + y
−→b . Se mai spune ca
vectorul −→u a fost descompus dupa directiile a doi vectori−→b si−→b . Numerele reale x si
y se numesc coordonatele vectorului liber −→u n raport cu baza −→a ,−→b . Descompunerea
−→u = x−→a + y−→b este unica.
Fie Oxy un system de axe ortogonale. Fie ~i si ~j versorii axelor Ox si Oy.
Pagina 14
CAPITOLUL 2. VECTORI
Definirea vectorului u din plan ~u =~i · x+~j · yDefinirea vectorului AB AB =~i · (xB − xA) +~j · (yB − yA)
Modulul unui vector u ~u =~i · x+~j · y ⇒ |~u| =√x2 + y2
Suma a doi vectori u si v
~u =~i · x1 +~j · y1~v =~i · x2 +~j · y2~u+ ~v = (x1 + x2) ·~i+ (y1 + y2) ·~j
Conditia de paralelism ~u ‖~v ⇔ x1x2
= y1y2
pt x2,y2 6= 0
Conditia de perpendicularitate ~u⊥~v ⇔ x1 · x2+y1 · y2= 0Produs scalar, intre doi vectoricare formeaza unghiul θ
~u · ~v = |u| |v| cos θ
Produs scalar a doi vectori per-pendiculari
~u · ~v = 0
2.4 ExercitiiExercitiul 1. Sa se determine numarul real a stiind ca vectorii ~u = ~i · 2 + ~j · a si~v =~i · 3 +~j · (a− 2) sunt coliniari.Exercitiul 2. In reperul cartezian (O,~i,~j) se considera vectorii ~u = −3 ·~i + 2 · ~j si~v = 5 ·~i−~j. Sa se determine coordonatele vectorului 5 · ~u+ 3 · ~v.Exercitiul 3. Daca ~u = 4 ·~i+ 9 ·~j si ~v = 3 ·~i+ 2~j atunci calculati: ~u · ~v, ~v · ~u, ~u · ~u,~v · ~vExercitiul 4. Sa se gaseasca produsul scalar al vectorilor 5 ·~i si 8 ·~j.2.2. Vectori (In spatiu)Coordonatele unui punct ın spatiu. Vectorul de pozitie al unui punct. Vectorul deter-minat de doua puncte. Distanta dintre doua puncte ca marime a vectorului. Coliniar-itatea a doi vectori.Orice doua puncte din spatiu determina un vector care are marimea egala cu distantadintre aceste dou puncte. Daca P(a,b,c) si P’(a’,b’,c’) sunt doua punce din spatiultridimensional R3, atunci vectorul care trece prin cele doua puncte este u=(x,y,z) cuu = (a− a′, b− b′, c− c′). Vectorul u este reprezentat ca o sageata de la P’ la P.
Adunarea vectorilor~u = (x, y, z) si ~v = (x′.y′, z′)
~u+ ~v = (x+ x′, y + y′, z + z′)
Multiplicarea cu un scalar avectorului ~u = (x, y, z)
cu = (cx, cy, cz)
Produs scalar, vectorial, mixt. Vectorul de pozitie al unei drepte. Vectorul normal alunui plan.
Produsul mixt al trei vectori numit si produsul triplu se defineste ca produsul scalardintre unul din vectori si produsul vectorial al celorlalti doi. In consecinta produsulmixt este un scalar. Produsul mixt are semnifcatia geometrica urmatoare : volumuldeterminat de cei trei vectori.Exemplu: ~a ·
(~b x ~c
)
Pagina 15
CAPITOLUL 2. VECTORI
Exercitiul 1. Sa se determine produsul scalar al vectorilor w1 ?i w2. Comentatirezultatul obtinut :
w1 = 2 ·⇀
i −5 ·⇀
j si w2 = 10 ·⇀
i +4 ·⇀
j +3 ·⇀
k
Exercitiul 2. Sa se determine produsul vectorial al vectorilor w1 si w2. Comentatirezultatul obtinut :
w1 = 3 ·⇀
i −2 ·⇀
j si w2 = −5 ·⇀
j +3 ·⇀
k
Exercitiul 3. Sa se determine produsul mixt al vectorilor w1, w2 ?i w3. Comentatirezultatul obtinut :
w1 = 4 ·⇀
i −3 ·⇀
j ; w2 = 2 ·⇀
i +6 ·⇀
j +2 ·⇀
k si w3 = 2 ·⇀
i +2 ·⇀
k
Exercitiul 4. Sa se calculeze produsele mixte a trei vectori ~w1 ·(~w2x~w3), ~w2 ·(~w3 x ~w1)
si ~w3 · (~w1 x ~w2) daca ~w1 = 3−→i − 2
−→j ,~w2 = −5
−→i − 3
−→k , ~w3 = 6
−→i + 2
−→k .
Sa se demonstreze ca prin permutari circulare rezulta: ~w1 · (~w2x~w3) = ~w2 · (~w3 x ~w1) =~w3 · (~w1 x ~w2).
Pagina 16
CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE
3.2 Formule de baza
sin(π
2− t)
= cos (t) , cos(π
2− t)
= sin (t)
sin (π − t) = sin (t) , cos (π − t) = − cos (t)
sin (π + t) = − sin (t) , cos (π + t) = − cos (t)
sin (2π − t) = − sin (t) , cos (2π − t) = cos (t)
sin (x+ y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)
cos (x+ y) = cos (x) cos (y)− sin (x) sin (y)
sin (x− y) = sin (x) cos (y)− cos (x) sin (y)
cos (x− y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)
sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) , cos (2x) = 2 (cos (x))2 − 1
Pagina 19
CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE
3.3 Functii trigonometrice directe
Fie cercul trigonometric (cercul cu centrul ın origine si de raza 1) si un punctM(xM , yM) situat pe acest cerc.
Figura 3.1: Cercul trigonometric
Cu aceste notatii se definesc functiile:- sinus sin t = yM- cosinus cos t = xM
- tangenta tg t =sin t
cos tdaca expresia are sens
- cotangenta ctg t =cos t
sin tdaca expresia are sens.
Pagina 20
CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE
Functia sinussin : R −→ [−1.1]
Figura 3.2: Functia sinus
Pagina 21
CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE
Functia cosinuscos : R −→ [−1.1]
Figura 3.3: Functia cosinus
Pagina 23
CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE
Functia tangenta
tg : R\{
(2k + 1)π
2, k ∈ Z
}−→ R
Figura 3.4: Functia tangenta
Pagina 25
CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE
Functia cotangenta
ctg : R\ {kπ, k ∈ Z} −→ R
Figura 3.5: Functia cotangenta
Pagina 27
CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE
3.3 Functii trigonometrice inverse
Functia arcsinus
Figura 3.6: Functia arcsinus
Pagina 29
CAPITOLUL 3. FUNCTII TRIGONOMETRICE
Functia arccotangenta
Figura 3.9: Functia arccotangenta
Pagina 32
CAPITOLUL 4. CURBE PLANE
4.1 Cercul
Definitie Se numeste cerc de centru C(x0, y0) si raza r, r > 0, multimea punctelordin plan M(x, y) care verifica relatia
d(M,C) = r. (4.1)
Observatie Multimea punctelor din plan M(x, y) care apartin cercului de centruC(x0, y0) si raza r, r > 0, verifica relatia
(x− x+ 0)2 + (y − y0)2 = r2. (4.2)
care reprezinta ecuatia carteziana implicita a cercului de centru C(x0, y0) si raza r,r > 0.
Ecuatiax2 + y2 + 2ax+ 2by + r = 0 (4.3)
undea2 + b2 = c > 0, (4.4)
este ecuatia carteziana generala a cercului. Aceasta corespunde cercului de centruC(x0, y0), unde x0 = −a, y0 = −b si de raza r =
√(a2 + b2 − c).
Pagina 34
CAPITOLUL 4. CURBE PLANE
4.2 Elipsa
Definitie Se numeste elipsa multimea punctelor din plan M(x, y) a caror suma adistantelor la doua puncte fixe F1 si F2 este constanta.
Aceste puncte verifica relatia
d(M,F1) + d(M,F2) = 2a, (4.5)
unde a > 0.
Daca alegem un sistem de axe ortogonal, astfel ıncat F1(−c, 0) si F2(c, 0), atuncipunctele elipsei verifica ecuatia√
(x+ c)2 + y2 +√
(x− c)2 + y2 = 2a, (4.6)
sau echivalent ecuatia redusa a elipsei
x2
a2+b2
b2= 1, (4.7)
unde b =√a2 − c2.
Pentru elipsa descrisa prin ecuatia redusa (4.7) identificam:- Punctele F1(−c, 0) si F2(c, 0) numite focarele elipsei;- a si b se numesc semiaxele elipsei;- Punctele A(a, 0), A′(−a, 0), B(0, b), B′(0,−b) se numesc varfurile elipsei;- Punctul O(0, 0) se numeste centrul (de simetrie al) elipsei;- Numarul e = c
ase numeste excentricitatea elipsei.
Pagina 35
CAPITOLUL 4. CURBE PLANE
4.3 Hiperbola
Definitie Se numeste hiperbola multimea punctelor din plan M(x, y) care au pro-prietatea ca modulul diferentei distantelor la doua puncte fixe F1 si F2 este constanta.
Aceste puncte verifica relatia
|d(M,F1)− d(M,F2)| = 2a, (4.8)
unde a > 0.
Daca alegem un sistem de axe ortogonal, astfel ıncat F1(−c, 0) si F2(c, 0), atuncipunctele elipsei verifica ecuatia
|√
(x+ c)2 + y2 −√
(x− c)2 + y2| = 2a, (4.9)
sau echivalent ecuatia redusa a elipsei
x2
a2− b2
b2= 1, (4.10)
unde b =√a2 − c2.
Pentru hiperbola descrisa prin ecuatia redusa (4.10) identificam:- Punctele F1(−c, 0) si F2(c, 0) numite focarele hiperbolei;- a si b se numesc semiaxele hiperbolei;- Punctele A(a, 0), A′(−a, 0) se numesc varfurile hiperbolei;- Punctul O(0, 0) se numeste centrul (de simetrie al) hiperbolei;- Numarul e = c
ase numeste excentricitatea hiperbolei.
Pagina 36
CAPITOLUL 4. CURBE PLANE
4.4 Parabola
Definitie Se numeste parabola multimea punctelor din plan M(x, y) care au pro-prietatea ca distanta de la M la un punct fix F este egala cu distanta de la M la odreapta fixa ∆.
Aceste puncte verifica relatia
d(M,F ) = d(M,∆). (4.11)
Daca alegem un sistem de axe ortogonal, astfel ıncat F (p2, 0) si ∆ : x = −p
2, atunci
punctele elipsei verifica ecuatia√(x− p
2
)2+ y2 =
∣∣∣x+p
2
∣∣∣ , (4.12)
sau echivalent ecuatia redusa a parabolei
y2 = 2px. (4.13)
Pentru parabola descrisa prin ecuatia redusa (4.13) identificam:- Punctul F1(p/2, 0) numite focarul parabobolei;- Punctul O(0, 0) se numeste varful parabolei;- Dreapta x = −p/2 se numeste directoarea parabolei;
Pagina 37
CAPITOLUL 4. CURBE PLANE
4.5 Conice (ecuatii generale)
In coordinate carteziene, conicele reprezinta multimea punctelor care satisfac oecuatie de forma
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (4.14)
Daca ∆ = B2 − 4AC < 0 atunci ecuatia corespunde unei elipse.Daca ∆ = B2 − 4AC > 0 atunci ecuatia corespunde unei hiperbole.Daca ∆ = B2 − 4AC = 0 atunci ecuatia corespunde unei parabole.
Schimband convenabil coordonatele se obtin ecuatiile clasice (curbele fiind simetricefata de una sau ambele axe). Adica
- Cerc x2 + y2 = r2
- Elipsax2
a2+y2
b2= 1
- Hiperbolax2
a2− y2
b2= 1
- Parabola y2 = 2px
Aceste curbe pot fi descrise si parametric
- Cerc
{x = r cos ty = r sin t
, t ∈ [0.2π]
- Elipsa
{x = a cos ty = b sin t
, t ∈ [0.2π]
- Hiperbola
{x = a cosh ty = b sinh t
, t ∈ [0.2π]
- Parabola
{x = 2pt2
y = 2pt, t ∈ [0.2π]
Pagina 38
CAPITOLUL 4. CURBE PLANE
Exercitii
Exercitiul 1. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(1,0) si estetangent axei Oy.
Exercitiul 2. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(a,b) si estetangent axei Oy si axei Ox.
Exercitiul 3. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(1,-2) si caretrece prin punctul O(0,0).
Exercitiul 4. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul O(0,0) si careare R=1.
Exercitiul 5. Sa se determine pozitia punctului B(2,2) fata de cercul descris deecuatia:
(x− 3)2 + (y + 1)2 − 25 = 0
Exercitiul 6. S se gseasc ecuaia cercului determinat de punctele M(-1,1), N(2,-1) siP(1,3).Exercitiul 7. Sa se scrie ecuatia elipsei care are semiaxele 4 si 2.
Exercitiul 8. Sa se scrie ecuatia elipsei care contine punctul A(2,-1) si axa mareegala cu a=8.
Exercitiul 9. Sa se scrie ecuatia hiperbolei care are axele 2a=10 si 2b=8.
Exercitiul 10. Sa se scrie ecuatia hiperbolei care are axa mare 2a=18 si excentrici-tatea e=4/3.
Exercitiul 11. Sa se scrie ecuatia parabolei dispusa simetric fata de axa Oy, careare varful in punctul O(0,0) si care trece prin punctul D(1,-2).
Exercitiul 11. Ce puncte de intersectie are dreapta y=mx si cercul care are ecuatia(x− 2)2 + (y − 2)2 − 1 = 0. Reprezentati grafic.
Pagina 39
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
5.1 Multimea numerelor complexeNotand cu R multimea numerelor reale s-a ıncercat extinderea acesteia ın multimea
numerelor complexe notata C, astfel ca orice ecuatie de gradul al doilea sa aiba solutiiın noua multime. Ca multime, C nu difera de R2, adica C este multimea perechilorordonate de numere reale
C = {(x, y)|x ∈ R, y ∈ R} (5.1)
Pe multimea se C definesc doua operatii algebrice interne, adunarea si ınmultirea,astfel ca (C,+, ·) sa fie corp, iar (R,+, ·) sa poata fi asimilat cu un subcorp al lui C.Avem, oricare ar fi numerele complexe z = (x, y) si z′ = (x′, y′),
z + z′ = (x+ x′, y + y′), (5.2)
z · z′ = (xx′ − yy′, xy′ + x′y).
Elementele neutre al corpului C se noteaza
0 = (0, 0), 1 = (1, 0). (5.3)
Numarul complex (0, 1) a fost notat de Euler prin i, numit unitatea complexa.Avem
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
Numarului complex z i se asociaza ın planul xOy (multimea R2) punctul M decoordonate carteziene (x, y) numit imaginea geometrica a lui z. Reciproc fiecarui punctM(x, y) i se asociaza un numar complex z numit afixul lui M. Axa Ox se numeste axareala, axa Oy se mai numeste axa imaginara, iar planul xOy se mai numeste planulcomplex sau planul lui Gauss al variabilei z.
Pentru orice z = (x, y) ∈ C avem z = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) de unde,prin identificarea x ≡ (x, 0), se obtine scrierea uzuala a numerelor complexe z = x+ iy.
Pentru orice z = x+iy ∈ C se defineste conjugatul z = x−iy, partea reala Rsez = xsi partea imaginara Imz = y. Avem
Rez =z + z
2, Imz =
z − z2i
.
Pentru orice z ∈ C se defineste modulul sau |z| =√x2 + y2 =
√z · z .
Au loc urmatoarele proprietati:
• z = 0 daca si numai daca |z| = 0;
• |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| , ∀z1, z2 ∈ C (inegalitatea triunghiului);
• |z1 · z2| = |z1| · |z2| ,∀z1, z2 ∈ C;
• |Rez| ≤ |z|, |Imz| ≤ |z|.
Pagina 42
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
Pentru orice z ∈ C\ {0}, unicul numar real ϕ astfel ıncat
cosϕ =x
|z|si sinϕ =
y
|z|,
se numeste argumentul lui z (determinarea principala a argumentului) si se mai noteazaarg z. Multimea solutiilor ın R a sistemului de ecuatii de mai sus se numeste argumentulnumarului complex z si o notam cu Arg z. Argumentul numarului complex 0 = (0, 0)nu este definit. Avem
Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z.
Fie z ∈ C\ {0} arbitrar. Notand ρ = |z| si folosind ϕ cu semnificatia de mai susrezulta
x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ.
Rezultaz = x+ iy = ρ (cosϕ+ i sinϕ)
numita forma trigonometrica a numarului complex z.Doua numere complexe scrise sub forma trigonometrica
z1 = ρ1 (cosϕ1 + i sinϕ1) ,
z2 = ρ2 (cosϕ2 + i sinϕ2) ,
sunt egale daca si numai daca
ρ1 = ρ2, ϕ1 = ϕ2 + 2kπ, k ∈ Z.
Folosind celebra formula a lui Euler
eiϕ = cosϕ+ i sinϕ,∀ϕ ∈ R,
obtinem forma exponentiala a lui z
z = ρeiϕ.
De exemplu se verifica imediat ca avem
1 + i =√
2(
cosπ
4+ i sin
π
4
)=√
2eiπ/4.
Scrierea numerelor complexe ın forma trigonometrica sau exponentiala are avan-teje evidente ın operatiile de ınmultire, ımpartire, ridicare la putere sau extragere deradacina. Avem
z1z2 = ρ1ρ2 (cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)) = ρ1ρ2ei(ϕ1+ϕ2)
z1z2
=ρ1ρ2
(cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)) =ρ1ρ2ei(ϕ1−ϕ2)
Pagina 43
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
zn = ρn (cosnϕ+ i sinnϕ) = ρneinϕ.
Daca ın formula de mai sus luam ρ = 1 se obtine formula lui Moivre
(cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ+ i sinnϕ.
Avem de asemenea
n√z = n√ρ
(cos
ϕ+ 2kπ
n+ i sin
ϕ+ 2kπ
n
)= n√ρei
ϕ+2kπn , k = 0, 1, 2, ..., (n− 1).
De exemplu se verifica imediat ca ecuatia
z4 + 1 = 0
rescrisa astfelz4 = −1 = eiπ
are solutiilezk = ei(π+2kπ)/4, k = 0, 1, 2, 3.
Inegalitatile ıntre numere complexe nu au sens, corpul C nefiind total ordonat. Sepot scrie inegalitati doar ıntre numere reale asociate numerelor complexe.
Pe multimea C se poate defini o distanta prin
d(z1, z2) = |z1 − z2| , ∀z1, z2 ∈ C
si se cunoaste ca (C, d) este un spatiu metric complet deci un spatiu Hilbert.Fie z0 ∈ C si r > 0. In planul complex o vecinatate a punctului z0 este discul
deschis centrat ın z0 de raza r
B(z0, r) = {z ∈ C| |z − z0| < r}
Se stie ca multimile deschise dintr-un spatiu metric formeaza o topologie, deci oricespatiu metric este ın mod natural un spatiu topologic.
O multime D ⊂ C este deschisa daca ∀z ∈ D, ∃r > 0 astfel ca B(z, r) ⊂ D. DacaC\A este deschisa se spune ca A este ınchisa.
O multime D ⊂ C este conexa daca orice doua puncte din D pot fi unite printr-un contur poligonal continut ın D. Multimile deschise si conexe se numesc domenii.Multimea M ⊂ C este marginita daca este continuta ıntr-un disc. O multime K ⊂ Ceste compacta daca este ınchisa si marginita. Un sir de puncte {zn}n≥0 din C esteconvergent catre un punct z0 ∈ C daca d(zn, z0) = |zn − z0| tinde catre zero candn→∞.
Tinand cont ca zn = (xn, yn) ∈ R2,∀n ≥ 0, rezulta ca sirul de numere complexe{zn = xn + iyn}, n ∈ N , este convergent ın C daca si numai daca sirurile de numerereale {xn}n∈N, {yn}n∈N sunt convergente ın R.
Pagina 44
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
Se spune ca sirul de numere complexe {zn}n∈N are limita infinita daca limn→∞
|zn| =
+∞ ın R.Aici R = R ∪ {−∞,+∞} poarta numele de dreapta reala ıncheiata sau compacti-
ficata.Este util dupa modelul dreptei reale sa extindem modelul numerelor complexe prin
introducerea, de data aceasta, a unui singur punct la infinit, notat cu simbolul ∞.Pe multimea C = C∪{∞} numit planul complex compactificat s-au extins operatiile
de adunare si de ınmultire cu anumite reguli de calcul” ın cazul cand unul din elementeeste ∞. Avem prin definitie
a+∞ = ∞+ a =∞,∀a ∈ Ca · ∞ = ∞ · a =∞, ∀a ∈ C\ {0}
a
0= ∞,∀a ∈ C\ {0}
Prin definitie ∞ ·∞ =∞ iar operatiile ∞+∞,∞−∞ si 0 · ∞ nu se definesc.Pe C se introduce o topologie ın care multimile deschise sunt reuniuni oarecare de
discuri deschise.Putem lua drept vecinatati ale lui ∞ complementarele unor multimi compacte din
C. In particular, exteriorul unui cerc cu centrul ın origine este o vecinatate a punctuluide la ∞.
Daca consideram sirurile cu limita infinita, deci sirurile {zn}n∈N ⊂ C cu propri-etatea
limn→∞
|zn| = +∞ ın R
vom observa ca numai un numar finit de termeni ai acestui sir se afla ın interiorul unuicerc cu centrul ın origine. Pentru aceste siruri putem scrie lim
n→∞zn =∞.
In figura 1.2 se observa cum punctele lui C pot fi reprezentate pe o sfera (sfera luiRiemann) prin proiectie stereografica.
Punctului M ′ oarecare de pe sfera (distinct de N , opus lui O) ıi corespunde Mdin C obtinut prin intersectia dreptei NM ′ cu planul. Daca punctului N ıi asociempunctul de la infinit si reciproc, se realizeaza o bijectie ıntre punctele de pe sfera luiRiemann si planul lui Gauss.
Functii complexe de o variabila realaDaca se tine seama de bijectia ıntre multimea numerelor complexe C si multimea
R2
z ∈ C⇐⇒ (Rez, Imz) ∈ R2
rezulta ca o functie complexa de o variabila reala este o functie vectoriala bidimen-sionala de o variabila reala
Pagina 45
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
(t ∈ [α, β] ⊂ R 7−→z(t) ∈ C)⇐⇒ (t ∈ [α, β] ⊂ R 7−→ (x(t), y(t) ∈ R2)
Functia z(t) poate fi privita ca un drum parametrizat ın C daca este continua pe[α, β]. Deci reprezentarea parametrica a curbei ν{
x = x(t)y = y(t), t ∈ [α, β]
poate fi scrisa ın notatie complexa z = z(t), t ∈ [α, β] unde z(α) = a si z(β) = b. Inaceasta reprezentare nu exista nici o indicatie asupra modului ın care se obtine z(t)pentru un t dat ın [α, β] ci numai ca z = z(t) ∈ ν,∀t ∈ [α, β].
In electrotehnica, unde functiile complexe de o variabila reala se ıntalnesc frecvent,se folosesc asa numitele diagrame, adica curba ν reprezentata de ecuatia z = z(t)ınsotita de un procedeu grafic de corespondenta ıntre valorile variabilei (parametrul t)si punctele de pe curba.
Este utila de asemenea o reprezentare ın complex a functiilor sinusoidale reale.O functie y : R→ R, y(t) = A sin(ωt + ϕ) cu A ≥ 0 si ϕ real se numeste functie
sinusoidala de pulsatie ω. A ≥ 0 se numeste amplitudinea functiei, iar ϕ este faza lamomentul initial. Fie Sω multimea functiilor sinusoidale de aceeasi pulsatie ω. Oricefunctie y ∈ Sω este evident periodica de perioada principala T = 2π
ω. Functia x(t) =
A cos(ωt+ ϕ) se mai numeste conjugata lui y. Daca notam z(t) = x(t) + iy(t), avem
z(t) = A [cos(ωt+ ϕ) + i sin(ωt+ ϕ)] = Aei(ωt+ϕ) = Aeiϕ · eiωt
Se observa ca odata fixata pulsatia ω, functia z(t) ( deci si y(t) ) este perfectdeterminata de valorile A si ϕ, adica de cunoasterea numarului complex Aeiϕ.
Aplicatia F : Sω → C, prin care lui y ∈ Sω, arbitrar ıi corespunde Aeiϕ = A ∈C, se numeste reprezentarea lui Fresnel a marimilor sinusoidale reale ın complex sautransformarea lui Fresnel
A = F(y)
se numeste imaginea ın complex a functiei sinusoidale y.Aplicatia F este evident o bijectie. Avem
y(t) = Im(A · eiωt) ∀t ∈ R
si este echivalenta cu y = F−1(A).Importanta transformarii Fresnel consta ın faptul ca reduce unele operatii cu functii
sinusoidale reale de o aceeasi pulsatie ω la operatii corespunzatoare efectuate numai cuimaginile lor. Avem
a) Imaginea derivatei y′(t) a unei functii sinusoidale (care este tot sinusoidala deaceeasi pulsatie ω) se obtine din imaginea A a functiei y(t) prin ınmultire cu ωi.
Pagina 46
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
Demonstratie Din y(t) = A sin($t+ϕ) avem prin derivare y′(t) = Aω cos(ωt+ϕ) =Aω cos(ωt+ ϕ+ π
2). Rezulta ca imaginea derivatei va fi
A′ = ωAei(ϕ+π2) = ωei
π2Aeiϕ = ωi · A
In acelasi mod se demonstreaza:b) Imaginea unicei primitive sinusoidale de aceeasi pulsatie ω cu a functiei date y(t)
se obtine prin ımpartirea cu ωi imaginii lui y(t), adica
A1 =1
ωi· A
c) Imaginea sumei a doua functii sinusoidale de pulsatie ω (care este tot sinusoidalade pulsatie ω) este egala cu suma imaginilor celor doua functii.
d) Pentru orice constanta reala K, imaginea functiei Ky(t) este A1 = K · A.Aceste proprietati permit transformarea unor relatii ıntre functii sinusoidale, derivatele
si primitivele lor, ın relatii ın care nu intervin decat operatii algebrice.
Example 1 Sa se determine diferenta de potential la bornele unui circuit ın serieformat dintr-un rezistor cu rezistenta R, o bobina cu inductanta L si un condensatorde capacitate C, prin care circula un curent alternativ de intensitate i(t) = I sin(ωt+ϕ).
Ecuatia circuitului se stie ca este de forma
u(t) = R i(t) + Ldi
dt+
1
C
∫i(t)dt.
Imaginea Fresnel U a lui u(t) se obtine folosind proprietatile acesteia. Avem aplicandtransformarea Fresnel
U = R′I + LI ωi+1
CωiI =
[R + (Lω − 1
Cω)i
]I = Z · I
Numarul complex Z = R + (ωL − 1ωC
)i se numeste impedanta complexa a circuitului.Avem
U = Z · I
relatie analoaga cu legea lui Ohm din cazul curentului continuu. Vom avea u = F−1(U)deci
u(t) = I |Z| sin($t+ ϕ+ θ); unde θ = argZ
5.2 Functii olomorfe. Conditiile Cauchy-RiemannPrin definitie se numeste functie complexa de variabila complexa, aplicatia
f : D ⊂ C→ C
Pagina 47
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
Functia f poate fi privita fie ca functie de variabila z = x + iy ∈ D, fie ca functiede variabilele independente x si y cu (x, y) ∈ D.
Se poate deci nota
f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y)
Se pun ın evidenta aplicatiile
z 7−→ u(x, y) = Ref(z)
z 7−→ v(x, y) = Imf(z)
care sunt functii complexe particulare si anume sunt functii reale de o variabila com-plexa.
Se observa ca definitia lui f(z) este echivalenta cu definirea simultana a doua functiireale u si v, de varibile reale x si y.
Topologia planului complex, fiind de fapt topologia spatiului E2 (unde am notat cuE2 multimea R2 cu structura topologica de spatiu euclidian real de dimensiune doi)notiunile de limita si continuitate se extind cu usurinta si ın complex, considerand ofunctie complexa de variabila complexa ca o functie vectoriala f : D ⊂ R2 → R2.
Unde se va deosebi o functie complexa de o variabila complexa de o functie vectorialabidimensionala de doua variabile reale este ın problema derivabilitatii.
Pe cand la acestea din urma se studiaza doar existenta si proprietatiile matriceiformate din derivatele partiale ale functiilor componente, la functii complexe de o vari-abila complexa se pune problema existentei unei derivate globale a functiei complexe(nedesfacute ın componente reale). Ajungem astfel la importanta notiune de olomorfiea unei functii complexe de variabila complexa (olos = ıntreg, morfos = forma).
Definitie Functia f : D → C se numeste derivabila sau monogena (olomorfa) ıntr-unpunct z0 ∈ D daca exista si este finita limita
limz→z0z 6=z0
f(z)− f(z0)
z − z0
Limita, daca exista, se noteaza f ′(z0).
Functia f se numeste olomorfa pe D, daca este derivabila ın fiecare punct al lui D.Observand ca ın ipoteza existentei derivatei, relatia de definitie a ei are aceiasi
structura formala ca ın domeniul real, se deduc exact aceleasi reguli formale de derivaresi ın C ca si ın R.
Se va vedea ca functiile olomorfe au unele proprietati pe care functiile real derivabilenu le au, deoarece ın conceptul de olomorfie existenta limitei de definitie a derivatei
Pagina 48
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
implica independenta ei de directia de tindere a lui z catre z0 (ceea ce este mai restrictivdecat trecerea la limita pe dreapta reala) prin care z tinde catre z0 (figura 1.5)
Daca f este olomorfa ın z0 atunci conform definitiei
f ′(z0) = limh→0
f(z0 + h)− f(z0)
h= lim
h→0
f(z0 + ih)− f(z0)
ih
si tinand cont ca f = u(x, y) + iv(x, y), avem
f ′(z0) = limh→0
u(x0 + h, y0)− u(x0, y0)
h+ ilim
h→0
v(x0 + h, y0)− v(x0, y0)
h=
= limh→0
u(x0, y0 + h)− u(x0, y0)
ih+ ilim
h→0
v(x0, y0 + h)− v(x0, y0)
ih
Daca presupunem ca u si v admit derivate partiale ın raport cu x si y ın punctul(x0, y0) rezulta prin trecere la limita ca
f ′(z0) =∂u
∂x(x0, y0) + i
∂v
∂x(x0, y0) =
1
i
∂u
∂y(x0, y0) +
∂v
∂y(x0, y0)
de unde ınlocuind punctul (x0, y0) cu unul oarecare se deduc celebrele conditii Cauchy-Riemann
(C-R)
{ ∂u∂x
= ∂v∂y
∂u∂y
= − ∂v∂x
Observatie Intr-un punct oarecare avem formulele de calcul
f ′(z) =∂u
∂x+ i
∂v
∂x=∂v
∂y− i∂u
∂y
Cauchy a descoperit conditiile C-R efectuand cercetari privind integralele dublereale (realizand ca ele contin esenta teoriei de trecere de la complex la real) ın timpce Riemann a ajuns la aceleasi conditii efectuand cercetari ın domeniul ecuatiilor cudeerivate partiale.
Criteriu de olomorfie Fie D ⊂ C o multime deschisa si f : D → C, f = u + iv.Daca u, v ∈ C1(D) si daca ın orice punct z ∈ D au loc conditiile C-R atuncifunctia f este olomorfa pe D.
Example 2 Fie functia f = u+ iv de forma f = (x2 − y2) + i · 2xy.a) Sa se verifice ca f este olomorfa ın tot planulb) Sa se aduca f la forma w = f(z).
Pagina 49
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
a) Functiile polinomiale u = x2 + y2 si v = 2xy sunt de clasa C1 ın tot planul, ınplus conditiile C-R se verifica ın fiecare punct din C, deci f este olomorfa ın C conformcriteriului de olomorfie.
b) Se stie ca functiile olomorfe w = u(x, y) + iv(x, y), pot fi puse sub forma w =f(z) = u(z, 0)+ iv(z, 0), adica ın expresia lui w, ınlocuim pe x cu z si pe y cu 0. Avemw = f(z) = z2.
Example 3 Sa se verifice ca ın coordonate polare conditiile C-R, sunt:
∂u
∂r=
1
r
∂v
∂θsi∂v
∂r= −1
r
∂u
∂θ
Pentru a arata egalitatiile de mai sus este suficient sa se exprime derivatele partiale∂u∂x
, ∂u∂y
, ∂v∂x
, ∂v∂y
ın functie de derivatele partiale ∂u∂r
, ∂u∂θ
, ∂v∂r
, ∂v∂θ
si tinand seama deconditiile Cauchy-Riemann ın coordonate carteziene rezulta conditiile Cauchy-Riemannın coordonate polare.
Una din contributiile matematicianului roman Dimitrie Pompeiu ın analiza com-plexa a fost definirea derivatei areolare.
Se porneste de la faptul ca daca u si v au derivate partiale ın raport cu x si yrezulta ca si f are derivate partiale ın raport cu x si y (ca suma de doua functii,neavand importanta ca f are valori complexe). Avem:
∂f
∂x=∂u
∂x+ i
∂v
∂x,∂f
∂y=∂u
∂y+ i
∂v
∂y
Notam
∂f
∂z=
1
2(∂f
∂x− i∂f
∂y)si
∂f
∂z=
1
2(∂f
∂x+ i
∂f
∂y)
Prin definitie numarul ∂f∂z
(z0) se numeste derivata areolara a lui f ın punctul z0 ∈ D.Importanta acestei notiuni este data de urmatoarea teorema.
Theorem 4 Fie D ⊂ C este o multime deschisa si f : D → C, f = u + iv. Dacau, v ∈ C1(D) si ∂f
∂z= 0 pe D, atunci functia f este olomorfa pe D.
Example 5 Se da functia f : C→ C definita prin f(z, z) = z5 + zz − 2z + 4z. Sa sedetermine punctele din plan ın care f este derivabila.
Evident functiile u si v sunt de clasa C1 ın tot planul. Ramane sa verificamconditiile C-R; vom utiliza derivata areolara. Avem
∂f
∂z= z + 4 = 0⇒ x+ iy + 4 = 0⇒
{x = −4y = 0
Rezulta ca f este derivabila ıntr-un singur punct, (-4,0).
Pagina 50
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
Se reaminteste ın continuare ca o functie u : D → R de clasa C2 pe deschisul D senumeste armonica daca avem ∆u = ∂2u
∂x2+ ∂2u
∂y2= 0, ın fiecare punct al lui D.
Theorem 6 Fie D ⊂ C o multime deschisa si f : D → C, f = u+iv cu u, v ∈ C2(D).Daca f este olomorfa pe D, atunci functiile u, v sunt functii armonice pe D.
Demonstratie In fiecare punct din D avem
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2=
∂
∂x(∂u
∂x) +
∂
∂y(∂u
∂y)C−R=
∂
∂x(∂v
∂y) +
∂
∂y(−∂v∂x
) =∂2v
∂x∂y− ∂2v
∂y∂x= 0
conform criteriului lui Scwarz.
Deci ∆u = 0 pe D. Asemanator se verifica ∆v = 0.
Daca pentru f(z) = u(x, y) + iv(x, y) se da de exemplu u(x, y) de clasa C2(D),atunci, putem determina pe v(x, y) astfel ca f sa fie olomorfa pe D.
Avem:
dv(x, y) =∂v
∂xdx+
∂v
∂ydy = −∂u
∂xdx+
∂u
∂ydy
si
v(x, y) =
(x,y)∫(x0,y0)
(−∂u∂x
)dx+∂u
∂ydy +K (K ∈ R)
integrala fiind independenta de drum, conditionata de armonicitatea lui u(x, y)ın D.
Analog putem proceda daca ni se da v(x, y).
Example 7 Sa se determine functia olomorfa, f = u+ iv, stiind ca u(x, y) = x2− y2si f(0) = 0.
Verificam daca ∆u = 0; Avem
∂u
∂x= 2x;
∂u
∂y= −2y;
∂2u
∂x2+∂2u
∂y2= 2 + (−2) = 0
Ramane sa determinam functia v(x, y).
Metoda 1 Folosim expresia diferentialei lui v
dv(x, y) =∂v
∂xdx+
∂v
∂ydy
C−R= −∂u
∂ydx+
∂u
∂xdy = 2ydx+ 2xdy
Pagina 51
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
Expresia 2ydx+ 2xdy este o diferentiala totala, deoarece am verificat ca functiau este armonica; integrand, obtinem:
v(x, y) =
x∫0
2 · 0 dt+
y∫0
2xdt+K = 2xy +K
Rezulta:
f = u+ iv = (x2 − y2) + i(2xy +K)|x=z,y=0 = z2 + iK
Dar f(0) = 0⇒ K = 0, deci f(z) = z2
Metoda 2 Folosim expresia derivatei lui f obtinuta ın decursul demonstratiei conditiilorC-R. Avem
f ′ =∂u
∂x+ i
∂v
∂x=∂u
∂x− i∂u
∂y= 2x+ i · 2y|x=z,y=0 = 2z
Deoarece si functia f ′ este olomorfa, asa cum se va vedea ea admite o primitivape C. Integrand avem f(z) = z2 + K. Deoarece f(0) = 0 rezulta K = 0, decif(z) = z2.
Metoda 3 Deoarece conform conditiilor C-R:{ ∂u∂x
= ∂v∂y
∂u∂y
= − ∂v∂x
⇒{
∂v∂x
= 2y∂v∂y
= 2x
Integram ın raport cu x prima ecuatie si folosind drept constanta de integrareg(y) pentru a obtine pe v drept functie de doua variabile, avem
v(x, y) = 2xy + g(y)
Functia v astfel obtinuta trebuie sa verifice ecuatia a doua.
2x+ g′(y) = 2x⇒ g′(y) = 0⇒ g(y) = K
Deci v(x, y) = 2xy +K. In continuare procedam ca la metoda 1.
Prin definitie un punct a ∈ D, este pentru f : D → C, punct ordinar, daca exista ovecinatate a lui a ın care f este olomorfa. Cazuri particulare de puncte ordinare suntzerourile lui f .
Definitie Daca f(z) se poate prezenta sub forma f(z) = (z − a)pg(z) unde p ∈ N;g(a) 6= 0 si g(z) olomorfa ın vecinatatea lui a, atunci punctul a este zero deordinul p al lui f .
Pagina 52
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
Se numesc puncte singulare ale lui f toate punctele planului C care nu sunt puncteordinare.
Ele pot fi puncte singulare izolate si respectiv neizolate. In primul caz exista ovecinatate a lui a, ın care nu exista alte puncte singulare ale lui f diferite de a. In aldoilea caz punctul singular a, apare ca punct de acumulare a multimii singularitatilorlui f .
Definitie Punctul singular a se numeste pol pentru f (si anume de ordinul p ∈ N),daca este un zero (respectiv de ordin p) pentru 1
f(z).
Deci din definitia polului a de ordin p, rezulta ca el este un punct ordinar ce nueste zero pentru g(z) = f(z)(z − a)psi ca putem scrie: f(z) = g(z)
(z−a)p .
Definitie Orice punct singular al lui f care nu este pol se numeste punct singularesential. El poate fi izolat sau nu.
Definitie Se numeste punct singular aparent (sau singularitate ınlaturabila) un puncta ∈ D pentru care f nu este definita, ınsa exista limita finita: lim
z→af(z).
Pentru a determina natura punctului ∞ ∈ C, pentru o functie f , se considerah(z) = f(1
z) si se studiaza natura punctului 0 fata de h.
Example 8 Sa se studieze singularitatile functilor
f1(z) =z2 − 4
z2 + z − 2
f2(z) =1
(z − i)3
f3(z) =1
sin 1z
Scriind functia f1(z) = z2−4z2+z−2 = (z−2)(z+2)
(z−1)(z+2), se observa ca z = 2 este un zero de
ordinul ıntai, z = −2 este singularitate ınlaturabila iar z = 1 este un pol de ordinulıntai.
Functia f2(z) are pe z = i drept pol de ordin 3.Cercetam polii functiei f3(z). Avem sin 1
z= 0 deci ak = 1
kπ(k ∈ Z) sunt poli
simplii.Se observa ca numarul 0 apare ca punct de acumulare a multimii polilor deci este
un punct singular esential neizolat. Punctul z =∞ este un pol simplu.Functii elementare
Acestea sunt extensiile la multimea C ale functiilor elementare definite pe R.
Pagina 53
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
a) Functia f : C→ C, f(z) = zn, este olomorfa pe C.
Intr-adevar, ∀z0 ∈ C, avem:
limz→z0
zn − zn0z − z0
= nzn−10
deci f ′(z) = nzn−1,∀z ∈ C. Rezulta ca functiile polinomiale sunt olomorfe pe C (casume de functii olomorfe). Functia polinomiala este evident o functie ıntreaga avand(conform teoriei fundamentale a algebrei) atatea zerouri (distincte sau nu) cat estegradul sau n, iar punctul ∞ ıi este pol de ordinul n.
De asemenea functiile rationale sunt olomorfe pe domeniul lor de definitie; ıntr-adevar, daca f = P
Q, cu P,Q polinoame, atunci f este olomorfa pe deschisul C \ {z ∈ C| Q(z) = 0}.
Zerourile lui f coincid cu ale lui P iar singularitatile lui f sunt poli ce coincid cu ze-rourile lui Q, cu ordinele de multiplicitate corespunzatoare. Rezulta ca f , functierationala este o functie meromorfa ın tot planul.
b) Functia exponentiala complexa: f : C→ C, f(z) = ez este functia f(z) = ρeiϕ,unde ρ = |f(z)| = ex si ϕ = arg f(z) = y. Intr-adevar, putem scrie ez = ex+iy =ex · eiy = ρ · eiϕ; ∀z ∈ C.
Functia exponentiala a fost definita astfel ıncat sa se mentina si ın C, relatiafunctionala caracteristica exponentialei reale:
f(z1 + z2) = f(z1) · f(z2); ∀z1, z2 ∈ C
Se verifica usor ca ez este o functie ıntreaga si are punctul ∞ ca punct singularesential:
Daca ϕ ∈ R are loc celebra formula:
eiϕ = cosϕ+ i sinϕ (formula lui Euler); ∀ϕ ∈ R
Rezulta ca functia exponentiala este periodica de perioada 2πi.Functiile circulare si cele hiperbolice se definesc prin functia exponentiala ın modul
urmator:
cos z =1
2(eiz + e−iz); sin z =
1
2i(eiz − e−iz)
tg z =sin z
cos z; ctg z =
1
tg z
si respectiv:
ch z =1
2(ez + e−z); sh z =
1
2i(ei − e−z)
th z =sh z
ch z; cth z =
1
th z
Pagina 54
CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE
c) Functia logaritm natural: w = f(z) = Ln z
Aceasta functie se defineste ca o functie inversa a exponentialei. Fie deci ecuatia
ew = z, z ∈ C \ 0
Ecuatia aceasta admite o infinitate de solutii.Intr-adevar, notand w = u+ iv, fie z = ρeiϕ. Avem
eu+iv = ρeiϕ
eu(cos v + i sin v) = ρ(cosϕ+ i sinϕ)
Din egalitatea modulelor rezulta
eu = ρ, deci u = ln ρ = ln |z| = ln√x2 + y2
Pentru argumente avem
v = ϕ+ 2kπ = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, ...
Rezulta
Ln z = ln√x2 + y2 + i(arctg
y
x+ 2kπ), (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} , k ∈ Z
deci
Re(Ln z) = ln√x2 + y2; Im(Ln z) = arctg
y
x+ 2kπ, (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} , k ∈ Z
Se observa ca pentru un numar complex z = x + iy dat, z 6= 0, partea imaginaraa numarului Ln z nu este unic determinata (fiind dependenta de parametrul k ∈ Z, eapoate lua o infinitate de valori). In fapt, functia logaritmica complexa asociata fiecaruinumar z ∈ C, z 6= 0, nu o singura imagine (ca ın cazul functiei logaritmice reale), ci oinfinitate de imagini (corespunzatoare valorilor k ∈ Z).
O astfel de functie se numeste multiforma. Functia multiforma Ln z are o infinitatede determinari sau ramuri distincte
Ln0 z = ln |z|+ i arg z; k = 0
Ln1 z = ln |z|+ i(arg z + 2π); k = 1
Ln−1 z = ln |z|+ i(arg z − 2π); k = −1...
Se poate fixa o determinare principala a lui Ln z, daca practicam de exemplu otaietura pe axa reala pozitiva. Consideram argumentul lui z ca fiind cuprins ıntre0 si 2π. Pentru z situat pe taietura (figura 1.6) pe partea y pozitiv, luam ϕ = 0.Daca descriem un contur ınchis ın jurul punctului z = 0, ajungem pe partea taieturiisituata ınspre y-cii negativi, avem ϕ = 2π. Daca nu traversam niciodata taieturaT = {z ∈ C| Imz = 0, Rez ≥ 0} functia Ln z este bine determinata convenind sa luamk = 0. Se spune ca ea este uniforma pe C \T .
Pagina 55
CAPITOLUL 8. SISTEME LINIARE
Exercitii
1. Fie matricile A =
(2 1 13 0 1
), B =
x 1y u1 v
si C =
(9 310 3
). Aflati
x, y, u, v numere reale daca AB = C.
2. Rezolvati ecuatia matriciala XA = B, unde A =
(3 24 3
)si
B =
(1 −1−1 1
).
3. Aflati rangul matricii
0 1 21 2 4−1 3 6
.
4. Aflati x ∈ R daca matricea
−1 3 x0 1 41 2 1
este singulara (adica are determi-
nantul nul).
5. Rezolvati sistemul algebric
x+ y + 2z = −1
2x− y + 2z = −44x+ y + 4z = −2
6. Se dau matricile A =
(1 0−1 2
)si B =
(2 31 4
). Aflati matricea AB −BA.
7. Se dau matricile A =
3 1 0−1 4 20 −2 1
si B =
2 −3 30 1 −11 2 4
.
Aflati det(AB).
8. Aflati matricea coloana din ecuatia
3 −1 11 1 −2−1 1 1
xyz
=
4−22
.
9. Aflati numarul real x astfel ıncat matricea
1 0 1 01 1 0 00 1 x 0
sa aiba rangul 2.
10. Fie matricea A =
(2 −3−2 3
). Formati matricea A − λI2, unde I2 este
matricea unitate de ordin 2, iar λ ∈ R. Aflati toate valorile lui λ daca det(A−λI2) = 0.
11. Aflati numerele reale x si y daca x
(1 21 −2
)+ y
(2 41 −2
)= O2, unde O2
este matricea nula de ordin 2.
12. Fie matricile A =
(1 22 0
), B =
(0 1−1 0
)si C =
(2 62 0
). Exista
x, y, z ∈ R nu toate nule astfel ıncat xA+ yB + zC = O2 ?
13. Aflati multimea solutiilor sistemului
{x− 2y + z = 0x+ 3y − 2z = 0
Pagina 71
CAPITOLUL 8. SISTEME LINIARE
14. Aratati ca sistemul
x+ y + 2z = 1
2x+ 2y + z = −1x+ y − z = −2
este compatibil simplu nedetermi-
nat si aflati multimea solutiilor.
15. Rezolvati sistemul algebric
x+ y + z + t = 1x+ y + z − t = 0x+ y − z + t = 2
16. Aratati ca sistemul
4x+ y − 2z = 0x− 2y + z = 0
11x− 4y − z = 0admite si alte solutii decat cea
nula.
17. Aratati ca sistemul
x− 2y + z + t = 6
2x+ y − 5z − t = −144x− 3y − 3z + t = −2
este compatibil dublu nede-
terminat si aflati multimea solutiilor.
18. Aflati valorile parametrului a pentru care sistemul
x− ay + z = 0ax+ y − 2z = 03x+ y + 3z = 0
ad-
mite si solutii diferite de cea nula.
Pagina 72
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia putere
f : R −→ R, f(x) = x2n, n ∈ N?
Figura 10.1: Functia putere f(x) = x2n, n ∈ N?
Pagina 83
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia putere
f : R −→ R, f(x) = x2n+1, n ∈ N?
Figura 10.2: Functia putere f(x) = x2n+1, n ∈ N?
Pagina 84
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia radical de indice par
f : (0,∞) −→ (0,∞), f(x) = 2n√x, n ∈ N?
Figura 10.3: Functia radical f(x) = 2n√x, n ∈ N?
Pagina 85
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia radical de indice impar
f : R −→ R, f(x) = 2n+1√x, n ∈ N?
Figura 10.4: Functia radical f(x) = 2n+1√x, n ∈ N?
Pagina 86
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia putere
f : R −→ R, f(x) =1
x2n+1, n ∈ N
Figura 10.5: Functia putere f(x) =1
x2n+1, n ∈ N
Pagina 87
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia putere
f(x) =1
x2n, n ∈ N?
Figura 10.6: Functia putere f(x) =1
x2n, n ∈ N?
Pagina 88
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia exponentiala
f : R −→ (0,∞), f(x) = ax, a ∈ (1,∞)
Figura 10.7: Functia exponentiala f(x) = ax, a ∈ (1,∞)
Pagina 89
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia exponentiala
f : R −→ (0,∞, f(x) = ax, a ∈ (0, 1)
Figura 10.8: Functia exponentiala f(x) = ax, a ∈ (0, 1)
Pagina 90
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia logaritmica
f : (0,∞) −→ R, f(x) = loga x, a ∈ (1,∞)
Figura 10.9: Functia logaritmica f(x) = loga x, a ∈ (1,∞)
Pagina 91
CAPITOLUL 10. FUNCTII
Functia logaritmica
f : (0,∞) −→ R, f(x) = loga x, a ∈ (0, 1)
Figura 10.10: Functia logaritmica f(x) = loga x, a ∈ (0, 1)
Pagina 92
CAPITOLUL 11. INTEGRALE
Primitive. Integrale nedefiniteLista integralelor nedefinite uzuale∫
xndx =xn+1
n+ 1+ C, n ∈ Z\{−1} (11.1)∫
1
xdx =
∫x−1dx = ln |x|+ C (11.2)∫
1
x2dx =
∫x−2dx = −1
x+ C, a 6= 0 (11.3)∫
xαdx =xα+1
α + 1+ C, α ∈ R\{−1} (11.4)∫
1√xdx = 2
√x+ C, α ∈ R\{−1} (11.5)∫
1
x+ adx = ln |x+ a|+ C (11.6)∫
1
x2 + a2dx =
1
aarctg
(xa
)+ C, a 6= 0 (11.7)∫
1
x2 − a2dx =
1
2aln
∣∣∣∣x− ax+ a
∣∣∣∣+ C, a 6= 0 (11.8)∫1√
x2 + a2dx = ln
(x+√x2 + a2
)+ C, a 6= 0 (11.9)∫
1√x2 − a2
dx = ln∣∣∣x+
√x2 − a2
∣∣∣+ C, a 6= 0 (11.10)∫1√
a2 − x2dx = arcsin
(xa
)+ C, a 6= 0 (11.11)∫
axdx =ax
ln (a)+ C, a > 0 (11.12)∫
exdx = ex + C (11.13)∫sin (x) dx = − cos (x) + C (11.14)∫cos (x) dx = sin (x) + C (11.15)∫
tg (x) dx = − ln |cos (x)|+ C (11.16)∫ctg (x) dx = ln |sin (x)|+ C (11.17)
Pagina 94
CAPITOLUL 11. INTEGRALE
∫1
cos2 xdx = tg(x) + C (11.18)∫
1
sin2 xdx = −ctg(x) + C (11.19)
Metode de calcul pentru integrale nedefinite1) Metoda directa (conform definitiei)
Daca f : I → R este continua pe I ⊂ R, I interval, si F : I → R este o primitiva a luif , atunci ∫
f(x)dx = F (x) + C (11.20)
Altfel scris, daca F : I → R este o functie derivabila pe intervalul I ⊂ R, atunci∫F ′(x)dx = F (x) + C (11.21)
2) Metoda integrarii prin partiDaca f : I → R si g : I → R sunt functii derivabile pe I ⊂ R, I interval, atunci∫
f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx (11.22)
3) Metoda schimbarii de variabilaDaca f : J → R este continua pe intervalul J ⊂ R, F : J → R este o primitiva a lui fsi u : I → J este functie derivabila pe intervalul I ⊂ R, atunci∫
f(u(x))u′(x)dx =
∫f(t)dt = F (t) + C = F (u(x)) + C (11.23)
Practic notam t = u(x), apoi dt = u′(x)dx, inlocuim in integrala nedefinita, continuamcalculele si ın final revenim la variabila x.
(11.24)
(11.25)
(11.26)
(11.27)
(11.28)
Pagina 95
CAPITOLUL 11. INTEGRALE
Integrale definite
Metode de calcul pentru integrale definite1) Metoda directa (Formula Leibniz-Newton)
Daca f : [a, b] → R este continua pe [a, b] si F : [a, b] → R este o primitiva a lui f ,atunci ∫ b
a
f(x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) (11.29)
2) Metoda integrarii prin partiDaca f : [a, b]→ R si g : [a, b]→ R sunt functii derivabile pe [a, b], atunci∫ b
a
f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)|ba −∫ b
a
f(x)g′(x)dx (11.30)
Pagina 96
CAPITOLUL 11. INTEGRALE
3) Metoda schimbarii de variabilaDaca f : [α, β] → R este continua pe intervalul [α, β], F : [α, β] → R este o primitivaa lui f si u : [a, b]→ [α, β] este functie derivabila pe intervalul [a, b], atunci∫ b
a
f(u(x))u′(x)dx =
∫ β
α
f(t)dt = F (t)|βα = F (β)− F (α) (11.31)
Practic notam t = u(x), apoi dt = u′(x)dx, calculam α = u(a) si β = u(b), inlocuim inintegrala definita si continuam calculele.
Aplicatii1. Sa se studieze derivabilitatea functiei f : R→ R, f(x) = |2x− 3|.2. Calculati derivata functiei f(x) = (x2 + 1)
√x+ 1 si specificati domeniul maxim
de definitie al lui f si f ′.3. Rezolvati ecuatia f ′(x) = 0 pentru functia f(x) = e−x sinx definita pe R.4. Calculati derivata de ordin 3 a functiei f : R\{2} → R, f(x) = 1
x−2 . Generalizatipentru derivata de ordin n.
5. Aflati punctele de extrem local ale functiei f(x) = x2−8 lnx definita pe domeniulmaxim de definitie. Sunt acestea si puncte de extrem absolut?
6. Aflati punctele critice ale functiei f(x) = (x2−3)√x definita pe intervalul [0,∞).
7. Fie a un numar strict pozitiv. Definim f : R → R, f(x) = xx2+a
. Studiatimonotonia functiei.
8. Fie f : (−1, 1)→ R, f(x) = ln 1−x1+x
. Aflati punctele de inflexiune ale lui f .9. Care sunt intervalele de convexitate si de concavitate pentru functia f : [0, 2π]→
R, f(x) = x+ 2 cosx ?10. Aflati asimptotele la graficul functiei f(x) = 4x+1
3x−2 .
11. Aflati limita limx→0
2x−sin(2x)x3
.
12. Sa se arate ca f(x) = x+ 2arctg(x) este strict crescatoare pe R.13. Pe ce intervale functia f : R→ R, f(x) = x4 − 9x2 este descrescatoare?14. Este f(x) = x+1
x+2strict crescatoare pe domeniul maxim de definitie? Specificati
un interval maxim pe care este crescatoare.15. Sa se determine cea mai mare si cea mai mica valoare a functiei
f : [0, 7]→ R, f(x) = x+18
+ 2x+1
.16. Aflati punctele de minim si maxim local ale functiei
f(x) = (x2 − 2x)ex definita pe R.17. Aflati maximul functiei f : [0, 2]→ R, f(x) =
√x(2− x).
18. Determinati multimea valorilor lui f(x) = 3xx2+9
definita pe R.19. Aflati valorile functiei f : (−1,∞) → R, f(x) = ln(x + 1) − x
x+1. Deduceti ca
xx+1≤ ln(1 + x), ∀x > −1.
20. Folosind regula lui l’Hospital, calculati limita la dreapta ın 0 a lui f(x) = x2 lnx.
21. Calculati
π∫0
x cosxdx.
Pagina 97
CAPITOLUL 11. INTEGRALE
22. Aratati ca
4∫1
1√xdx = 2.
23. Calculati
π∫0
(e3x + cos(2x))dx.
24. Calculati
2∫0
(√x+ 2− 2
x2 + 4)dx.
25. Aflati integralele definite
1∫0
1
x2 − 4dx si
1∫0
1
x2 + 4x+ 3dx, folosind eventual
aceeasi metoda.
26. Aflati integralele definite
2∫1
x
x2 + 2dx si
2∫0
x+ 1
x2 + 2x+ 4dx, folosind aceeasi
metoda.
27. Aflati integralele definite
π2∫
0
cos2 x sinxdx si
π2∫
0
cos3 xdx, folosind aceeasi metoda.
28. Calculati
1∫−1
x2√
1 + x3dx.
29. Calculati
2∫1
(x2 + 5) lnxdx.
30. Fie f(x) = x2+1x2(x−1) . Aflati constantele a, b, c astfel ıncıt
f(x) = ax
+ bx2
+ cx−1 . Calculati
4∫2
f(x)dx.
Pagina 98