Ecuatii diferentiale si sistemedinamice

Catalin-George Lefter

Editura Alexandru MyllerIasi, 2006

EDITURA ALEXANDRU MYLLERIasi, B-DUL CAROL I, nr.11,

tel. 0232-201061 / fax. 0232-201060http://www.math.uaic.ro/∼sm/

Descrierea CIP a Bibliotecii Nationale a RomanieiLEFTER, CATALIN-GEORGE

Ecuatii diferentiale si sisteme dinamice /Catalin-George Lefter. - Iasi : Editura Alexandru Myller, 2006Bibliogr.Index.ISBN (10) 973-86987-7-4 ; ISBN (13) 978-973-86987-7-4

517.9

Referent stiintificProf. Univ. Dr. Ioan I. VrabieFacultatea de MatematicaUniversitatea ”Alexandru Ioan Cuza” Iasi

c©Toate drepturile asupra acestei editii apartin autorului si Editurii Alexandru Myller

Cuprins

Prefata v

Capitolul 1. Introducere 11.1. Notiuni de baza si proprietati generale 11.2. Exemple de sisteme dinamice 41.3. Exercitii si probleme 9

Capitolul 2. Sisteme liniare 112.1. Sisteme liniare cu coeficienti periodici 112.2. Stabilitatea Liapunov a sistemelor liniare 122.3. Dihotomii ordinare si dihotomii exponentiale 142.4. Dihotomii exponentiale si sisteme neliniare 192.5. Exercitii si probleme 22

Capitolul 3. Studiul local al sistemelor dinamice 253.1. Sisteme ın dimensiune 2 253.2. Stabilitatea conditionala 323.3. Stabilitatea solutiilor periodice 353.4. Exercitii si probleme 39

Capitolul 4. Sisteme ın dimensiune 2. Studiu global 414.1. Aplicatia Poincare 414.2. Teorema Poincare-Bendixson 454.3. Ecuatii diferentiale pe tor 474.4. Indexul punctelor stationare izolate 504.5. Exercitii si probleme 53

Capitolul 5. Stabilitate structurala 555.1. Notiuni introductive 555.2. Teorema Hartman-Grobman 575.3. Sisteme dinamice ın dimensiune 1 si 2. 595.4. Exercitii si probleme 61

Capitolul 6. Sisteme hamiltoniene 636.1. Ecuatiile Euler-Lagrange si sisteme hamiltoniene 636.2. Integrabilitate 696.3. Exercitii si probleme 76

Capitolul 7. Elemente de teoria perturbatiilor 77

iii

7.1. Metoda medierii 777.2. Orbite homoclinice. Metoda lui Melnikov 807.3. Exercitii si probleme 85

Anexa A. Forma Jordan a unei matrici 87

Anexa B. Stabilitatea ın sens Liapunov 89

Anexa C. Ecuatii diferentiale pe varietati diferentiabile 91

Index 93

Bibliografie 95

Prefata

Aceasta lucrare are la baza cursul optional de Ecuatii diferentiale si sis-teme dinamice, predat de autor la Facultatea de Matematica, Universitatea”Al.I.Cuza”, la anul al II-lea de studiu. Scopul acesteia este de a face o intro-ducere ın teoria sistemelor dinamice, ın stransa legatura cu teoria calitativaa ecuatiilor diferentiale. Ea se adreseaza ın special studentilor Facultatii deMatematica, dar poate fi utila tuturor celor interesati de aceste ramuri alematematicii.

In primul capitol se prezinta notiunile introductive si se dau exemplede sisteme dinamice cu timp discret si cu timp continuu, acestea din urmaprovenind din ecuatii diferentiale. Dintre sistemele dinamice cu timp discreteste de mentionat shiftul Bernoulli, a carui dinamica descrie un mod deaparitie a haosului ıntr-o clasa larga de sisteme dinamice.

Capitolul 2 este dedicat studiului stabilitatii sistemelor liniare si intro-ducerii notiunilor de dihotomie ordinara si dihotomie exponentiala. Acesteasunt importante pentru studiul existentei solutiilor marginite pentru sis-temele neliniare, precum si pentru a arata existenta orbitelor umbra pentrupseudoorbite. Rezultatele prezentate ın acest capitol vor fi utile ın capitolul7, la studiul dinamicilor de tip shift Bernoulli ce apar la sistemele diferentialecu orbite periodice ale caror varietati stabila si instabila se intersecteazatransversal.

In capitolul 3 se face un studiu local al sistemelor diferentiale, mai precisse studiaza acestea ın vecinatatea punctelor stationare si comportarea lamici perturbatii, precum si stabilitatea conditionala a punctelor stationaresi a solutiilor periodice. Se arata existenta varietatilor stabila si instabilapentru punctele stationare sau pentru orbitele periodice hiperbolice. In cazulsistemelor autonome ce poseda solutii periodice se prezinta un rezultat destabilitate asimptotica orbitala.

Capitolul 4 este dedicat studiului global al sistemelor diferentiale ınplan si se prezinta teorema Poincare-Bendixson. De asemenea, sunt stu-diate sistemele dinamice pe tor. In cazul acestora se introduce numarul derotatie si se caracterizeaza cu ajutorul acestuia existenta orbitelor periodice.Studiul sistemelor pe tor, ın paralel cu sistemele ın plan, pune ın evidentaimportanta topologiei spatiului fazelor, precum si transferul de la compor-tamentul determinist catre cel ergodic. Este de asemenea definit indexulpunctelor stationare.

v

Notiunea de stabilitate structurala este prezentata ın capitolul 5, undese prezinta o caracterizare a sistemelor structural stabile ın dimensiune 1, peS1, si ın dimensiune 2, ın plan si pe torul T 2). Existenta sistemelor dinamiceinstabile structural, care nu au ıntr-o vecinatate niciun alt sistem structuralstabil, este un mod de a privi aparitia haosului.

Capitolul 6 este o introducere ın calculul variatiilor si se vor studia ın spe-cial sistemele hamiltoniene. Se prezinta formalismul hamiltonian, se deducecuatiile Euler-Lagrange, folosind principiul minimei actiuni al lui Mauper-tuis, si ecuatiile lui Hamilton, folosind transformata Legendre. Se demon-streaza teorema lui Liouville asupra integrabilitatii sistemelor hamiltonienecare poseda n integrale prime ın involutie. Pentru un astfel de sistem existacoordonate actiune-unghi ın care dinamica sistemului este superpozitia din-tre o translatie n dimensionala si o miscare conditional periodica pe torulTn.

Capitolul 7 prezinta cateva metode din teoria perturbatiilor. Se stu-diaza mai ıntai comportarea sistemelor integrabile perturbate si se prezintametoda medierii. In continuare sunt studiate sistemele ce poseda orbite ho-moclinice transversale si se arata ca ın dinamica acestora se poate scufundao dinamica haotica de tip shift Bernoulli. Se prezinta, de asemenea, metodafunctiei lui Melnikov de detectare a orbitelor homoclinice transversale pentrusisteme planare perturbate.

vi

CAPITOLUL 1

Introducere

Introducem ın acest capitol notiunile fundamentale ce vor fi studiate ınlucrare: sistem dinamic, spatiul fazelor, diverse tipuri de orbite, multimiinvariante, stabilitate etc. Sunt prezentate exemple de sisteme dinamice.In cazul sistemelor dinamice cu timp discret se considera shiftul Bernoullice prezinta un interes deosebit deoarece reprezinta un mod de aparitie ahaosului ıntr-o clasa larga de sisteme dinamice. In ce priveste sistemeledinamice cu timp continuu, se considera cele generate de sistemele de ecuatiidiferentiale. Se prezinta cateva exemple concrete, provenind din studiul unorfenomene fizice.

1.1. Notiuni de baza si proprietati generale

Definitia 1.1.1. Fie X un spatiu topologic, numit si spatiul fazelor,si (I,+) un semigrup topologic, spatiul timpului. Un sistem dinamic (au-tonom) pe X se defineste printr-o aplicatie continua

Φ : X × I → X

ce are proprietatile

(1) Φ(x, 0) = x(2) Φ(Φ(x, t), s) = Φ(x, t+ s) (proprietatea semigrupala)

Cele doua proprietati exprima faptul ca t → Φt := Φ(·, t) este morfismde semigrupuri de la I la semigrupul aplicatiilor continue pe X. Daca Ieste grup atunci sistemul dinamic va fi mai fi numit flux , ın caz contrarsemiflux .In exemplele considerate ın lucrarea de fata spatiul timpului I va fiunul dintre spatiile N,Z,IR+, IR iar X va fi un spatiu metric complet. DacaI ∈ N,Z avem un sistem dinamic cu timp discret ((semi)-flux discret)iar daca I ∈ IR+, IR atunci avem de-a face cu un sistem dinamic cu timpcontinuu ((semi)-flux continuu).

In cele ce urmeaza definim notiunea de orbita, precum si diferitele tipuride orbite de al caror studiu ne vom ocupa.

Definitia 1.1.2. Orbita ce trece prin x ∈ X este

γ = γx := Φ(x, t), t ∈ I.

Vom mai utiliza notatia γx(t) := Φ(x, t).

1

Pentru un flux definit pe Z sau IR, notam cu γ+ = γ+x := Φ(x, t), t ≥ 0

orbita pozitiva si, ın mod similar, cu γ− = γ−x := Φ(x, t), t ≤ 0 orbitanegativa.

Un punct x ∈ X care verifica Φ(x, t) = x pentru orice t ∈ I se numestepunct stationar sau punct de echilibru pentru sistem. In acest caz orbitace trece prin x se reduce la un punct: x = γx.

Daca exista T ∈ I astfel ıncat

γx(t+ T ) = γx(t) , t ∈ I,

atunci γx se numeste orbita periodica.Fie x0 un punct stationar pentru un sistem dinamic pentru care I ∈

Z,R. Vom spune ca γ este orbita homoclinica ın x0 daca

γ(t) → x0 , t→ ±∞.

Daca x1 este un al doilea punct stationar si

γ(t) → x0 , t→ −∞,

γ(t) → x1 , t→∞,

atunci γ se numeste orbita heteroclinica.Portretul fazelor este o reprezentare grafica a punctelor stationare si a

orbitelor generice ale sistemului.

In continuare introducem notiunile de invarianta si de stabilitate alemultimilor din spatiul fazelor.

Definitia 1.1.3. O multime Ω ⊂ X se numeste pozitiv (negativ) inva-rianta daca pentru orice t ≥ 0 (t ≤ 0),

Φ(Ω, t) ⊂ Ω.

Daca aceasta incluziune are loc pentru orice t ∈ I, atunci multimea senumeste invarianta. Observam aici ca orbitele sunt ıntotdeauna multimiinvariante.

Vom spune ca o multime invarianta Ω ⊂ X este stabila daca, pentruorice vecinatate U a sa, exista o alta vecinatate V astfel ıncat,

x ∈V =⇒ γx(t) ∈ U , t ≥ 0.

Daca, ın plus, exista o vecinatate U ′ a lui Ω astfel ıncat

x ∈U ′ =⇒ limt→∞

dist(γx(t),Ω) → 0,

atunci multimea Ω se numeste asimptotic stabila.In cazul ın care Ω este formata numai dintr-un punct (ın mod necesar

stationar) obtinem stabilitatea ın sens Liapunov (v.[5] pentru detalii sauAnexa B). Cazul ın care Ω este o orbita obtinem notiunile de stabilitateorbitala, respectiv stabilitate orbitala asimptotica.

2

Multimea invarianta Ω se numeste atractor pozitiv daca este asimptoticstabila. Multimea invarianta Ω se numeste atractor negativ daca este atrac-tor pozitiv pentru sistemul dinamic obtinut prin schimbarea sensului tim-pului: Φ(x, t) = Φ(x,−t) .

In studiul stabilitatii si al comportarii asimptotice pentru sistemele di-namice, un rol important ıl joaca multimea punctelor limita la ±∞:

Definitia 1.1.4. Fie x ∈ X. Definim multimea ω-limita a lui x astfel:

ω(x) = ω(γx) := y ∈ X, ∃ tn →∞,Φtn(x) → y.

In mod asemanator se defineste multimea α-limita a lui x:

α(x) = α(γx) := y ∈ X, ∃ tn → −∞,Φtn(x) → y.

Propozitia 1.1.1. Multimea ω-limita este multime invarianta si ınchisa.Daca sistemul dinamic este cu timp continuu si γ+

x este relativ compacta ınX, atunci ω(x) este multime compacta si conexa.

Demonstratie Daca y ∈ ω(x) si Φtn(x) → y atunci pentru orice t,Φt+tn(x) → Φt(y) deci Φt(y) ∈ ω(x). Pe de alta parte, fie yn ∈ ω(x) siyn → y. Exista tn ∈ I, tn > n astfel ıncat dist(Φtn(x),yn) < 1/n. Rezulta,folosind inegalitatea triunghiului, ca dist(Φtn(x),y) → 0, deci y ∈ω(x).

Consideram acum un sistem dinamic cu timp continuu, cu spatiul fazelorX si fie γ+

x o semiorbita relativ compacta ınX. Aratam ca ω(x) este multimecompacta si conexa. Compactitatea rezulta imediat din faptul ca aceastaeste marginita, ınchisa si continuta ın ınchiderea orbitei γ. Sa aratam acumca ω(x) este conexa. Presupunem ca nu ar fi adevarat, deci ar exista U1,U2

multimi deschise, disjuncte, Ui ∩ ω(x) 6= φ si ω(x) ⊂ U1 ∪ U2. Intrucateste vorba de multimea ω-limita, rezulta ca exista tn, sn → ∞ astfel ıncatΦtn(x) ∈ U1 si Φsn(x) ∈ U2. Deoarece sistemul dinamic considerat este cutimp continuu, rezulta ca exista τn ıntre sn si tn astfel ıncat Φτn(x) /∈ U1∪U2.Pe de alta parte, pentru un subsir, notat tot cu τn, Φτn(x) → y /∈ U1 ∪ U2,contradictie.

Observatia 1.1.1. Daca spatiul fazelor este IRn sau un spatiu metriccompact, atunci pentru orice orbita marginita γ a unui sistem dinamic cutimp continuu, multimea ω(γ) este compacta si conexa.

Definitia 1.1.5. Fie x ∈X un punct stationar. Varietatea stabila a luix este

W s(x) = y ∈X,Φt(y) → x, pentru t→∞.Varietatea instabila a lui x este

W u(x) = y ∈X,Φt(y) → x pentru t→ −∞ .

Observatia 1.1.2. Daca y ∈W s(x) ∩W u(x) atunci γy este orbita ho-moclinica ın x.

3

Definitia 1.1.6. Constanta de miscare, sau integrala prima, este ofunctie neconstanta U : X → IR care este constanta pe traiectoriile sis-temului dinamic: U(Φt(x)) = const = C(x).

Observatia 1.1.3. In cazul unui sistem dinamic ce provine dintr-unsistem de ecuatii diferentiale, cunoasterea unui numar suficient de integraleprime functional independente (n − 1 unde n este dimensiunea sistemului)este echivalenta cu integrarea acelui sistem de ecuatii (v.[5]).

Cazul sistemelor hamiltoniene este deosebit de interesant si se va vedeaın capitolul 6 cum cunoasterea a n integrale prime ın involutie este sufi-cienta pentru integrarea sistemului. Mai mult, ın acest caz se va arataexistenta coordonatelor actiune-unghi ın care dinamica sistemului respectiveste superpozitia dintre o translatie ıntr-un spatiu n dimensional si o miscareconditional periodica pe torul Tn.

Definitia 1.1.7. Un punct x ∈ X este punct ”nonwandering” (ın tra-ducere neratacitor) pentru fluxul Φt daca pentru orice vecinatate U a lui xsi pentru orice T > 0 exista t > T astfel ıncat Φt(U) ∩ U 6= φ. Un punctdin complementara multimii nonwandering se numeste punct wandering.(ratacitor)

1.2. Exemple de sisteme dinamice

Sisteme dinamice cu timp discret.

Fie (X,Φ) un sistem dinamic cu timp discret (I ∈ N,Z). Sa notamcu f(x) = Φ1(x). Proprietatea semigrupala ne spune ca

Φ(x, n) = fn(x).

Reciproc, data o functie continua f : X → X, putem defini un sistemdinamic pe X prin formula precedenta. Acesta este flux daca si numai dacaf este homeomorfism al lui X.

Asadar, un sistem dinamic cu timp discret este definit printr-un spatiutopologic si o aplicatie continua pe acesta. In primul exemplu considerat maijos prezentam un sistem dinamic, numit shift Bernoulli, care este interesantın mod special fiindca dinamica respectiva, model pentru dinamicile hao-tice, se regaseste ıntr-o clasa larga de sisteme dinamice, mai precis ın cazulacelor sisteme ce poseda traiectorii homoclinice ale caror varietati stabila siinstabila se intersecteaza transversal (v. §7.2).

Exemplul 1.2.1. Shiftul Bernoulli.Fie Σ multimea sirurilor bi-infinite a = (ai)i∈Z, ai ∈ A unde A este o

multime finita. Pe Σ introducem urmatoarea distanta

d(a,b) =∑i∈Z

δ(ai, bi)22|i|+1

,

unde δ(a, b) = 1 daca a 6= b si δ(a, a) = 0. Proprietatile distantei se verificaimediat. De asemenea, daca notam cu I0 = [12 ,∞), Ik = [4

−k

2 , 4−k+1

3 ], se

4

observa ca aceste intervale sunt disjuncte doua cate doua, iar daca ai = bipentru |i| < k, ak 6= bk atunci d(a,b) ∈Ik.

Sa aratam ın continuare ca (Σ, d) este o multime de tip Cantor adicaeste un spatiu metric compact, total neconex (singurele submultimi conexesunt punctele) si fara puncte izolate.

Pentru a arata compactitatea, fie (an)n∈N un sir ın Σ. Extragem maiıntai un subsir (ank,0)k care are prima componenta, ank,0

0 constanta. Repetamprocedeul si la pasul l obtinem un subsir al tuturor subsirurilor precedente(ank,l) care au aceleasi valori pe pozitiile i = 0,±1, ...,±l. Subsirul (ank,k)este un subsir ın Σ. Limita este sirul a care pe pozitia l are elementul ank,l ,|l| ≤ k, si pentru care are loc d(ank,k ,a) ∈ Ik+1.

Aratam ın continuare ca orice submultime M a lui Σ, ce contine macardoua elemente, nu este conexa. Acest lucru este o consecinta a faptului camultimea din IR+ unde ia valori distanta d nu este conexa. Fie a,b ∈M,d(a,b) ∈ Ik si fie multimile deschise U = c ∈ Σ|d(a, c) < 5

124−k, V =c ∈Σ|d(a, c) > 5

124−k. Se observa ca a ∈ U , b ∈V si M = (U ∩M)∪ (V ∩M).

Pentru a arata ca Σ nu contine puncte izolate este suficient sa observamca pentru a ∈ Σ sirul (an) definit prin an

i = ai pentru |i| ≤ n si ani oarecare

pentru |i| > n, satisface liman = a.Sistemul dinamic numit shift Bernoulli se defineste prin functia continua

σ : Σ → Σ,(σ(a))i = ai+1.

Propozitia 1.2.1. Pentru sistemul dinamic (Σ, σ) exista orbite peri-odice de orice perioada. Exista de asemenea orbite dense ın Σ.

Demonstratie Intr-adevar, daca elementul a este format prin repetareaunui bloc de lungime n, atunci σn(a) = a si exista deci un numar finitde orbite periodice de perioada n. Se observa ın plus ca orbitele periodiceformeaza o multime densa ın Σ.

Pentru a arata existenta unei orbite dense, fie a ∈ Σ ai = a−i construitprin concatenarea tuturor blocurilor de lungime 1, apoi a celor de lungime2, 3... etc. Orbita σn(a), n ∈ N este densa ın Σ.

Exemplul 1.2.2. Oscilatia unei bile elasticeIn acest exemplu consideram dinamica unei mingi osciland prin impact

repetat cu o suparafata ce vibreaza sinusoidal. Fie u, v respectiv w vitezaabsoluta de apropiere a bilei de suprafata, viteza dupa impact respectivviteza suprafetei ın momentul impactului. Daca 0 ≤ α < 1 este coeficientulde restituire, atunci la momentul ti al impactului are loc

v(ti)− w(ti) = −α(u(ti)− w(ti)).

Presupunand ca distanta parcursa de minge ıntre doua momente de impactsuccesive este mare ın raport cu amplitudinea de oscilatie a suprafetei putem

5

presupune ca

ti+1 = ti +2v(tj)g

,

u(tj+1) = −v(tj).g reprezinta acceleratia gravitationala. Oscilatia suprafetei vibrante este

w(t) = −β sinωt.

Notand vi = v(ti), φi = ωti, Ii = 2ωvi/g, γ = 2β(1 + α)ω/g dinamica estedescrisa de

φi+1 = φi + IiIi+1 = −γ sin(φi + Ii) + αIi

.

Se verifica usor ca functia ce descrie sistemul dinamic

f

(φI

)=

(φ+ I−γ sin(φ+ I) + αI

)este homeomorfism deci genereaza un flux. Punctele stationare sunt φ = nπ,I = 0.

Observatia 1.2.1. Se poate arata ca sistemul prezentat mai sus posedao multime compacta invarianta pe care dinamica este de tip aplicatie pot-coava (”Smale horseshoe”, v. [10]). Aceasta dinamica este o varianta geo-metrica a unui shift Bernoulli. De altfel are loc urmatorul rezultat:

Teorema 1.2.1. (Smale-Birkhoff, v.[10], p.252) Fie f : IRn → IRn undifeomorfism astfel ıncat x este un punct fix hiperbolic pentru care existay ∈W s(x)∩W u(x), punct de intersectie transversal, y 6= x. Atunci f posedao multime invarianta hiperbolica pe care o iteratie a lui f este topologicechivalenta cu un shift Bernoulli.

Observatia 1.2.2. Vom demonstra o varianta a acestei teoreme ın cazulsistemelor dinamice cu timp continuu, ın capitolul 7.

Ecuatii diferentiale si sisteme dinamice.

Fie Ω ⊂ IRn, f : Ω → IRn o functie local lipschitziana. Sa consideramsistemul diferential

x′ = f(x)si sa notam cu x(t, t0,x0) solutia ce verifica x(t0) = x0. Atunci pe Ω sedefineste un sistem dinamic prin

Φ(y, t) = x(t, 0,y).

Proprietatea semigrupala rezulta din unicitatea solutiei problemei Cauchyiar continuitatea din proprietatea de continuitate a solutiei problemei Cauchyın raport cu datele initiale (v. [5], [18])

Trebuiesc facute cateva observatii. In primul rand se poate ıntamplaca solutia problemei Cauchy x(t, 0,y) sa nu fie definita global ci numai peun interval maximal Iy = (T−, T+) cu T+ 6= ∞ sau T− 6= −∞. ın aceastasituatie nu putem vorbi de un sistem dinamic ın sensul strict al definitiei

6

date. Avem doua posibilitati de a trata aceasta situatie. Prima ar fi o usoaramodificare a definitiei unui sistem dinamic ın urmatorul sens: presupunemca pentru orice x ∈ X se da un interval deschis Ix = (T−(x), T+(x)) ⊂R, 0 ∈ Ix astfel ıncat, daca xn → x, atunci lim supT−(xn) ≤ T−(x) silim inf T+(xn) ≥ T+(x). Un sistem dinamic se defineste printr-o aplicatiecontinua Φ : D ⊂ X × T → X unde D = (x, t), t ∈ Ix cu proprietatile:

(1) Φ(x, 0) = x(2) Daca t ∈ Ix si s ∈ IΦ(x,t) atunci t + s ∈ Ix si are loc proprietatea

semigrupala Φ(Φ(x, t), s) = Φ(x, t+ s).Un astfel de sistem dinamic se mai numeste flux local .

Al doilea mod de a trata situatia ın care sistemul diferential nu aresolutii globale este sa consideram un sistem dinamic topologic echivalent cuacesta (v. capitolul 5). Sa presupunem ca Ω = IRn si sa consideram sistemuldiferential

x′ =f(x)

1 + |f(x)|.

Traiectoriile acestui sistem coincid cu traiectoriile primului sistem si solutiilesunt definite global pentru ca membrul drept al ecuatiei este marginit.Aceasta operatie de trecere la noul sistem dinamic corespunde la o schim-bare a parametrizarii traiectoriilor. A considera noul sistem dinamic esteavantajos numai daca se studiaza proprietati ale sistemului dinamic ce nudepind de parametrizare.

Conditia impusa lui f de a fi local lipschitziana asigura unicitatea solutieiproblemei Cauchy. Se pot considera, desigur, si alte conditii care sa asigurecel putin unicitatea la dreapta, cum ar fi de exemplu conditia de disipativi-tate:

(f(x)− f(y),x− y) ≤ 0.

In cazul ın care f este un camp vectorial de clasa C1 pe o varietatediferentiabila compacta M , solutia problemei Cauchy este definita global siavem un sistem dinamic pe aceasta varietate (v. Anexa C.)

Daca consideram sisteme diferentiale neautonome

x′ = f(t,x),

f : IR × Ω → IRn, introducand ca necunoscuta suplimentara pe t si ecuatiadt

dt= 1, obtinem un sistem dinamic pe IR×Ω. Daca ın plus f este periodica

ın t, sa zicem de perioada 2π, atunci obtinem un sistem dinamic pe S1×Ω.Un sistem diferential neautonom defineste un sistem dinamic (flux) neau-

tonom pe Ω si anume o functie continua Φ : Ω × T × T → IRn, Φt,s(y) =Φ(y, t, s) := x(t, s,y) care are proprietatile

(1) Φt,t(x) = x(2) Φt,r Φr,s = Φt,s (proprietatea semigrupala).

Exemplul 1.2.3. Ecuatii Lienard

7

Aceste ecuatii modeleaza fenomene fizice oscilatorii ın care energia estedisipata la amplitudini mari si generata la amplitudini mici. EcuatiileLienard sunt de forma

(1) x′′ + f(x)x′ + g(x) = p(t).

Ipotezele asupra functiilor ce intervin ın ecuatie sunt:• f functie para, f(0) < 0,• F (x) :=

∫ x0 f(t)dt→∞ pentru x→∞, F (x) are un singur zero pe

(0,∞) F (a) = 0, F monotona pe (a,∞),• xg(x) > 0 pentru x 6= 0.

Acesta ecuatie este echivalenta cu urmatorul sistem de ordinul ıntai:

(2)x′ = y − F (x)y′ = −g(x) + p(t)

Aceste ecuatii, ın ipotezele de mai sus poseda ın general cicluri limita. Uncaz particular este ecuatia van der Pol :

(3) x′′ + µ(x2 − 1)x′ + x = p(t) .

Exemplul 1.2.4. Ecuatia lui DuffingConsideram ecuatia

(4) x′′ + δx′ + x3 − x = γ cosωt .

Aceasta modeleaza de exemlu vibratia unei tije ıntr-un camp neuniformprodus de doi magneti (v. [10], p.82). Aceasta se tansforma ın mod uzualıntr-un sistem:

(5)x′ = yy′ = −δy − x3 + x+ γ cosωt .

Pentru acest sistem, vom arata ın capitolul 7 existenta unei dinamici haotice.Observam ca ecuatia lui Duffing este o ecuatie de tip Lienard, ınsa ipotezeleasupra lui f, g nu mai sunt satisfacute.

Exemplul 1.2.5. Sistemul lui Lorenz Sistemul este urmatorul x′ = σ(y − x)y′ = ρx− y − xzz′ = −βz + xy

unde σ, ρ, β > 0. Acest sistem reprezinta de fapt o trunchiere a unui sis-tem Boussinesq ce apare ın meteorologie si care modeleaza curgerea unuifluid ın prezenta unei surse de caldura. Acesta este unul din primele sis-teme diferentiale ın care a fost pusa ın evidenta aparitia haosului, ın sensulexistentei unui atractor global cu structura neregulata (v. [10], [15]).

8

1.3. Exercitii si probleme

1.1. Fie X = [0, 1] si f : X → X, f(x) = 2x(mod 1). Sa se arate capentru sistemul dinamic discret definit de f pe X exista orbite periodice deorice perioada si orbite dense ın X.

1.2. Fie X ⊂ IRn o multime marginita si f : X → X o functie continuasi surjectiva cu proprietatea ca pentru orice D ⊂ X, µ(f(D)) = µ(D). Sase arate ca pentru orice x ∈ X si orice vecinatate U a sa exista y ∈ U sin ∈ N∗ astfel ıncat fn(y) ∈ U. (Teorema de recurenta a lui Poincare).

1.3. Fie θ ∈ IR, f : S1 → S1, f(ϕ) = ϕ + θmod2π. Sa se arate caexista orbite periodice ale sistemului dinamic discret determinat de f dacasi numai daca θ/2π ∈ Q. Daca θ/2π /∈ Q atunci orice orbita este densa ınS1.

1.4. Fie f : IRn → IRn o functie continua cu propietatea ca

(f(x)− f(y),x− y) ≤0

(proprietatea de disipativitate). Sa se arate ca problema Cauchyx′ = f(x)x(0) = x0

are solutie unica la dreapta, globala, deci defineste un semiflux. Sa se demon-streze ca daca multimea punctelor stationare F = x, f(x) = 0 este nevida,atunci pentru orice x, ω(x) este nevida, compacta si pentru orice z ∈F existar > 0 astfel ıncat ω(x) ⊂∂Br(z).

1.5. Sa se rezolve sistemele urmatoare si sa se determine varietatile sta-bila si instabila ale punctului stationar 0.

(1)x′ = −xy′ = y + x2 ;

(2)

x′ = −xy′ = −y + x2

z′ = z + y2.

1.6. Sa se integreze ecuatia lui Duffing

x′′ − x+ x3 = 0

si sa se indice punctele stationare, orbitele periodice precum si orbitele ho-moclinice.Pentru sistemul

x′ = xyy′ = 1− y2

sa se determine punctele stationare si orbitele heteroclinice.

1.7. Pentru sistemul lui Lorenz prezentat ın exemplul 1.2.5 sa se arateca, daca ρ > 1, exista doua puncte stationare pentru sistem, iar origineaposeda o varietate instabila 1−dimensionala. Daca ρ ∈ (0, 1) sa se arate,folosind metoda functiei Liapunov, ca originea este global asimptotic stabila.

9

CAPITOLUL 2

Sisteme liniare

Pentru ınceput studiem ın acest capitol sistemele liniare cu coeficienti pe-riodici (teoria lui Floquet), definim multiplicatorii caracteristici si exponentiicaracteristici pentru aceste sisteme. Caracterizarea stabilitatii sistemelorliniare anticipeaza notiunile de dihotomie ordinara si exponentiala. Exem-ple de sisteme ce prezinta astfel de dihotomii sunt sistemele liniare cu matriceconstanta hiperbolica sau cu matrice periodica cu exponenti caracteristicicare nu sunt pur imaginari. Sunt prezentate proprietatile de baza ale di-hotomiilor, cum ar fi robustetea (invarianta la mici perturbatii ın anumiteclase de functii), existenta solutiilor marginite pentru sistemele neomogenesi pentru sistemele neliniare sau existenta orbitelor umbra pentru pseudoor-bite. Rezultatele privind stabilitatea sistemelor liniare vor fi folosite ın capi-tolul urmator la studiul stabilitatii conditionale si al stabilitatii orbitale,iar rezultatele asupra dihotomiilor vor fi utile §7.2 pentru a arata existentaunei dinamici haotice ın sistemele diferentiale ce poseda orbite homoclinicetransversale.

2.1. Sisteme liniare cu coeficienti periodici

Consideram sistemul liniar omogen

(6) x′ = A(t)x

unde A(t) este o functie periodica de perioada T cu valori ın Mn×n(R). Areloc urmatoarea teorema de caracterizare a matricilor fundamentale pentruaceste tipuri de sisteme liniare:

Teorema 2.1.1. Fie X(t) o matrice fundamentala pentru (6). Existaatunci P(t) ∈Mn×n, periodica de perioada T , si R ∈Mn×n(C) astfel ıncat

X(t) = P(t)etR.

Demonstratie Se observa ca X(t + T ) este matrice fundamentala pentruacelasi sistem, ıntrucat coeficientii sistemului sunt T -periodici. Rezulta caexista o matrice nesingulara C astfel ıncat X(t+T ) = X(t) ·C. Putem scrieC = eTR unde R ∈ Mn×n(C). Fie P(t) = X(t)e−tR. Se verifica printr-uncalcul imediat ca P este periodica de perioada T.

Observatia 2.1.1. Fie doua matrici fundamentale scrise ın aceastaforma, legate prin relatia

P1(t)etR1 = P2(t)etR2D

11

unde D este o matrice nesingulara. Rezulta de aici, trecand t ın t+ T ca

eTR1 = D−1eTR2D

deci valorile proprii ale lui eTR sunt bine determinate, nedepinzand de ma-tricea fundamentala aleasa. Acestea se numesc multiplicatori caracteristici.Valorile proprii ale lui R, care sunt unic determinate modulo 2kπi, se numescexponenti caracteristici.

Observatia 2.1.2. Exista solutii periodice de perioada T pentru (6)daca si numai daca sistemul are un multiplicator caracteristic egal cu 1.Sistemul are o solutie periodica de perioada nT daca si numai daca are unmultiplicator caracteristic care este radacina de ordinul n a unitatii. Unuiastfel de multiplicator caracteristic ıi corespunde un exponent caracteristic

de forma2kπin

.

Observatia 2.1.3. Exista o matrice fundamentala X(t) astfel ıncatdaca X(t + T ) = X(t)C atunci C sa fie ın forma canonica Jordan reala.Intr-adevar, fie Y(t) o matrice fundamentala, Y(t + T ) = Y(t)C1. FieC = S−1C1S forma Jordan reala a matricii C1. Atunci X(t) = Y(t)S estematricea fundamentala cautata.

Observatia 2.1.4. Daca X(t) = P(t)etR, facand schimbarea liniarade necunoscuta cu matrice periodica x(t) = P(t)y(t), si tinand seama caX

′(t) = A(t)X(t), ecuatia ın y este y′(t) = Ry(t) adica un sistem liniar cu

coeficienti constanti.

2.2. Stabilitatea Liapunov a sistemelor liniare

Pentru definitia stabilitatii ın sens Liapunov precum si a catorva pro-prietati de baza a se poate consulta [5] sau [18] (v. si anexa B). Asa cumse stie, stabilitatea Liapunov ın cazul sistemelor liniare este o caracteristicaa sistemului si nu a unei solutii particulare (v. [5]) si este echivalenta custabilitatea solutiei banale a sistemului liniar omogen

(7) x′ = A(t)x

cu t ∈ J = [0,∞). Fie X(t) o matrice fundamentala a sistemului. Urmatorulrezultat da o caracterizare a diferitelor tipuri de stabilitate:

Propozitia 2.2.1. 1. Sistemul liniar este stabil daca si numai dacaexista o constanta K > 0 astfel ıncat ‖ X(t) ‖≤ K, t ≥ 0

2. Sistemul liniar este asimptotic stabil daca si numai daca ‖ X(t) ‖→ 0pentru t→∞.

3. Sistemul liniar este uniform stabil daca si numai daca exista o con-stanta K > 0 astfel ıncat ‖ X(t)X−1(s) ‖≤ K pentru 0 ≤ s ≤ t.

4. Sistemul liniar este uniform asimptotic stabil daca si numai dacaexista constantele K,α > 0 astfel ıncat ‖ X(t)X−1(s) ‖≤ Ke−α(t−s) pentru0 ≤ s ≤ t.

12

Demonstratie Pentru primele doua afirmatii se poate consulta [5] sau [18].In ce priveste stabilitatea uniforma, afirmatia rezulta direct din definitie.

Studiem stabilitatea asimptotica uniforma si demonstram punctul 4 .Presupunem ca sistemul (7) este uniform asimptotic stabil. Tinand seamade definitie, aceasta are loc daca si numai daca pentru orice ε > 0 existaT (ε) > 0 astfel ıncat ‖ X(t)X−1(s) ‖≤ ε pentru t ≥ s + T (ε). Stabilitateauniforma ne asigura existenta unei constante pozitive K astfel ıncat pentru0 ≤ s ≤ t, ‖ X(t)X−1(s) ‖≤ K. Fie ε = e−1 si T = T (e−1). Rezulta, scriindX(t)X−1(s) = X(t)X−1(t1)X(t1)X−1(t2)...X(tn)X−1(s) cu t ≥ t1 > ... >tn = s, ti − ti+1 = T , n = [ t−s

T ], ca

‖ X(t)X−1(s) ‖≤ Ke−[ t−sT

] ≤ Ke−α(t−s),

unde α =1T. Reciproca rezulta imediat.

Urmatoarea propozitie ne arata ca stabilitatea uniforma si stabilitateaasimptotica uniforma se pastreaza la perturbatii mici ale matricii sistemului,ın sensuri precizate dupa caz. Este vorba deci de un rezultat de robustete.

Propozitia 2.2.2. Fie sistemul

(8) y′ = (A(t) + B(t))y

Fie Y(t) o matrice fundamentala a acesui sistem.

Daca ‖ X(t)X−1(s) ‖≤ K pentru s, t ∈ J , s ≤ t si∫

J‖ B(t) ‖ dt = δ <

∞ atunci ‖ Y(t)Y−1(s) ‖≤ KeδK .

Daca ‖ X(t)X−1(s) ‖≤ Ke−α(t−s) pentru s, t ∈ J , s ≤ t si ‖ B(t) ‖≤δ <∞, t ∈ J atunci ‖ Y(t)Y−1(s) ‖≤ Ke−β(t−s) cu β = α− δK.

Demonstratie Fie y(t) o solutie oarecare a ecuatiei (8). Formula variatieiconstantelor ne da

y(t) = X(t)X−1(s)y(s) +∫ t

sX(t)X−1(u)B(u)y(u)du.

Deci, pentru s ≤ t obtinem:

|y(t)| ≤ Ke−α(t−s)|y(s)|+∫ t

sKe−α(t−s) ‖ B(u) ‖ |y(u)|du,

unde α = 0 ın cazul stabilitatii uniforme. Notam w(t) = eαt|y(t)| si obtinem

w(t) ≤ Kw(s) +∫ t

sK ‖ B(u) ‖ w(u)du

de unde, folosind inegalitatea lui Gronwall, deducem:

w(t) ≤ Kw(s)eK∫ t

s ‖B(u)‖du,

deci|y(t)| ≤ K|y(s)|e−α(t−s)eK

∫ ts ‖B(u)‖du.

13

Intrucat y(t) = Y(t)Y−1(s)ξ cu ξ un vector constant, obtinem concluzia ınfiecare din cele doua situatii mentionate.

2.3. Dihotomii ordinare si dihotomii exponentiale

Sa consideram pentru ınceput sistemul liniar cu coeficienti constanti

(9) x′ = Ax,

unde A este o matrice ce nu are valori proprii cu parte reala 0. Atunci

IRn = Ws ⊕Wu,

unde Ws,Wu sunt subspatii liniare invariante ale lui A, corespunzatoarevalorilor proprii cu parte reala negativa, respectiv pozitiva. Ws se numestesubspatiul stabil, iar Wu se numeste subspatiul instabil , . Denumirile suntmotivate de faptul ca daca x0 ∈ Ws (respectiv x0 ∈ Wu), atunci solutiasistemului liniar

Φt(x0) = eAtx0 → 0,pentru t→∞ (respectiv t→ −∞).

Fie Q proiectia pe Ws corespunzatoare acestei descompuneri: kerQ =Wu, ImQ = Ws. Fie K :=‖ Q ‖= sup|x|=1 |Qx|. Atunci

(10)‖ Φt Q ‖≤ K ′e−αt, t ≥ 0

‖ Φt (I−Q) ‖≤ K ′eαt, t ≤ 0,

unde 0 < α < min |Re(λk)|, K ′ > 1 +K.

In continuare consideram un sistem liniar cu coeficienti periodici. De-ducem inegalitati similare cu (10) ın cazul hiperbolic. Mai precis, sa con-sideram sistemul liniar

(11) x′ = A(t)x

unde A(t) este T−periodica si toti multiplicatorii caracteristici au modululdiferit de 1. Fie X(t) o matrice fundamentala care admite reprezentareaX(t) = P(t)etR cu P matrice T−periodica. Aplicatia perioada definita prin

fT,s(x) = X(T + s)X−1(s)x

este un operator liniar, iar valorile proprii ale lui fT := fT,0 sunt exactmultiplicatorii caracteristici ai sistemului liniar.

Fie Ws,Wu subspatiile invariante ale lui fT corespunzatoare valorilorproprii de modul < 1 respectiv > 1 si fie Q proiectorul corespunzator peWs. Notam cu

Ws(t) = X(t)X−1(0)Ws, Wu(t) = X(t)X−1(0)Wu.

Are loc IRn = Ws(t)⊕Wu(t) si proiectorul corespunzator pe Ws(t) este

Q(t) = X(t)X−1(0)QX(0)X−1(t).

Acesta verifica:Φt,s Q(s) = Q(t) Φt,s.

14

Fie K =‖ Q ‖, K1 = maxt∈[0,T ]

‖ X(t)X(0)−1 ‖, K2 = maxt∈[0,T ]

‖ X(0)X(t)−1 ‖ .

Fie 0 < λ < 1, |λ| > |λi| daca |λi| < 1 si |λ−1| < |λi| daca |λi| > 1.Rezulta ca exista o constanta K ′ ≥ 1 +K suficient de mare astfel ıncat auloc inegalitatile:

‖ fmT Q ‖≤ K ′λm m ≥ 0

‖ fmT (I−Q) ‖≤ K ′λ−m m ≤ 0.

Asadar, exista o constanta K ′′ > 1 +K ′K1K2 astfel ıncat pentru m ≥ 0 areloc:

(12)‖ fm

T,s Q(s) ‖≤ K ′′λm m ≥ 0‖ fm

T,s (I−Q(s)) ‖≤ K ′′λ−m m ≤ 0.

Fie acum t, s oarecare. Exista m,n ıntregi astfel ıncat t−mT = t′ ∈ [0, T ],s− nT = s′ ∈ [0, T ] si, tinand seama ca Φt+T,s+T = Φt,s, obtinem ca:

Φt,s(Q(s)x) = Φt−nT,s′(Q(s′)x) =

= fm−nT,t′ (Φt′,s′(Q(s′)x)) = fm−n

T,t′ Q(t′)Φt′,s′(x).

Folosind (12) obtinem, cu o constanta K > 0 suficient de mare,

‖ Φt,s Q(s) ‖≤ Kλt−s = Ke(t−s) log λ, t ≥ s

‖ Φt,s (I−Q(s)) ‖≤ Kλs−t = Ke(s−t) log λ, t ≤ s.

Consideratiile de mai sus motiveaza urmatoarea definitie:

Definitia 2.3.1. Sa consideram acum sistemul (11) cu coeficienti con-tinui pe un interval J = (a, b) ⊂ IR. Vom spune ca acesta admite dihotomieexponentiala pe intervalul (a, b) daca, pentru X(t) matrice fundamentala,exista o proiectie Q : IRn → IRn, Q2 = Q si constantele K,α > 0 astfelıncat:

(13) ‖ X(t)QX−1(s) ‖≤ Ke−α(t−s) pentru t ≥ s,

‖ X(t)(I−Q)X−1(s) ‖≤ Ke−α(s−t) pentru s ≥ t.

Se spune ca sistemul poseda dihotomie ordinara daca inegalitatile demai sus sunt satisfacute pentru α = 0.

Observatia 2.3.1. Notam

Q(t) := X(t)QX−1(t)

si existenta unei dihotomii exponentiale este echivalenta cu existenta uneiproiectii Q(t) ce satisface

‖ Φt,s Q(s) ‖≤ Ke−α(t−s) , t ≥ s

‖ Φt,s (I−Q(s)) ‖≤ Ke−α(s−t) , t ≤ s

ımpreuna cu conditia de compatibilitate

Φt,s Q(s) = Q(t) Φt,s.

15

Am vazut deci, ın exemplele de mai sus, doua situatii ın care sistemeleliniare admit dihotomii exponentiale.

Cazurile interesante sunt J = IR+ si J = R. Pentru moment sa con-sideram J = IR+. In cele ce urmeaza vom prezenta cateva proprietati im-portante ale dihotomiilor. Pentru o expunere pe larg asupra subiectuluirecomandam [7].

Existenta dihotomiilor, ordinare sau exponentiale, sunt strans legate deexistenta solutiilor marginite pentru sistemul neautonom, ın anumite ipotezeasupra termenului liber. Fie ecuatia liniara neomogena

(14) y′ = A(t)y + f(t).

Sa consideram urmatoarele spatii de functii care sunt spatii Banach cunormele precizate:

B = f ∈ L1loc(IR+, IRn), ‖ f ‖B:= sup

t≥0

∫ t+1

t|f(s)|ds <∞,

L = L1(IR+, IRn), ‖ f ‖L=∫ ∞

0|f(s)|ds.

Are loc urmatorul rezultat:

Teorema 2.3.1. Ecuatia neomogena (14) are cel putin o solutie marginitapentru orice f ∈ L daca si numai daca ecuatia omogena (11) admite diho-tomie ordinara.

Ecuatia neomogena (14) are cel putin o solutie marginita pentru oricef ∈ B daca si numai daca ecuatia omogena (11) admite dihotomie exponentiala.

Demonstratie In cazul ın care ecuatia omogena admite o dihotomie ordi-nara (respectiv exponentiala) atunci aratam ca o solutie marginita pentruecuatia neautonoma cu f ∈ L (respectiv f ∈ B) este data de formula

y(t) =∫ t

0X(t)QX−1(s)f(s)ds−

∫ ∞

tX(t)(I−Q)X−1(s)f(s)ds

Faptul ca aceasta formula, analoga formulei variatiei constantelor, ne dao solutie a sistemului neautonom rezulta printr-un calcul elementar. Dacaf ∈ L si sistemul autonom admite o dihotomie ordinara rezulta imediat casup |y(t)| ≤ C ‖ f ‖L<∞.

Sa presupunem acum ca f ∈ B si sistemul omogen admite dihotomieexponentiala. Atunci∫ t

0e−α(t−s)|f(s)|ds ≤

[t]∑k=0

∫ k+1

ke−α(t−s)|f(s)|ds ≤

≤ (1 +[t]∑

k=0

e−α(t−k)) ‖ f ‖B=‖ f ‖B (1 + e−αt eα([t]+1) − 1eα − 1

) ≤ C ‖ f ‖B .

16

La fel se arata ca ∫ ∞

te−α(t−s)|f(s)|ds ≤ C ‖ f ‖B,

deci solutia y(t) a sistemului neautonom este marginita.In ce priveste demonstratia reciprocei, aceasta se bazeaza pe teorema

graficului ınchis si o omitem (v.[7], p.23).

Observatia 2.3.2. Daca sistemul (11) admite o dihotomie exponentialape J = IR atunci sistemul (14) admite pentru orice f ∈ B o unica solutiemarginita. Aceasta este data de formula

y(t) =∫ t

−∞X(t)QX−1(s)f(s)ds−

∫ ∞

tX(t)(I−Q)X−1(s)f(s)ds.

Intr-adevar, se verifica usor ca aceasta este solutie marginita si este unicadeoarece sistemul liniar omogen are ca solutie marginita numai pe 0. Pen-tru a vedea acest lucru este suficient sa observam ca proiectia ce ne dadihotomia exponentiala este unic. Pentru aceasta presupunem, fara a re-strange generalitatea, ca X(0) = I. Atunci proiectorul Q are proprietateaca solutiile lui (11) ce verifica x0 = x(0) ∈ Im Q sunt marginite pe [0,∞).Daca x0 ∈ Ker Q atunci solutia respectiva este marginita pe (−∞, 0] si ınplus pentru s ≥ 0

‖x0‖ = ‖X(0)(I−Q)x0‖ ≤ ‖X(0)(I−Q)X−1(s)‖‖X(s)x0‖ ≤ Ke−αs‖X(s)x0‖,de unde X(s)x0 → +∞, exponential pentru x0 6= 0. Asadar, unica solutiea sistemului omogen, marginita pe IR, este 0.

Observatia 2.3.3. Se arata de asemenea (v. [7], p.67) ca sistemul (11)admite o dihotomie exponentiala pe IR daca si numai daca admite dihotomiiexponentiale pe (−∞, 0] si pe [0,∞) cu proiectii Q1, respectiv Q2 iar IRn

este suma directa dintre subspatiul stabil pe [0,∞) si subspatiul instabil pe(−∞, 0]: IRn = Ker Q1 ⊕ Im Q2.

In continuare prezentam cateva proprietati fundmentale ale dihotomiilorordinare si exponentiale. Pentru demonstratii detaliate v. [7].

Proprietatea de robustete. Aceasta reprezinta o generalizare a propozitiei2.2.2. Consideram sistemul liniar

(15) y′ = (A(t) + B(t))y

Teorema 2.3.2. Daca sistemul liniar (11) admite dihotomie exponentialape IR+, cu constantele K > 1, α > 0, atunci sistemul liniar perturbat (15),cu

δ = supt∈IR+

‖ B(t) ‖< α/4K2,

admite dihotomie exponentiala pe IR+ cu constantele K ′ = 5K2/2, α′ =α− 2Kδ.

17

Teorema 2.3.3. Daca sistemul liniar (11) admite dihotomie ordinarape IR+, atunci sistemul liniar perturbat (15) cu∫ ∞

0‖ B(t) ‖ dt <∞

admite dihotomie ordinara pe IR+.

Proprietatea de prelungire. Exista dihotomie exponentiala pe orice in-terval (a′, b′), a′ ≤ a < b ≤ b′ cu a′ = −∞ numai daca a = −∞, b′ = ∞numai daca b = ∞. Aceasta rezulta imediat din faptul ca existenta uneidihotomii exponentiale pe interval compact este evidenta iar existenta aces-teia pe (a′, b′) rezulta prin eventuala modificare a constantelor ce intervinın inegalitati.

Daca ‖ B(t)−A(t) ‖→ 0 pentru t→ a si t→ b atunci sistemul

x′ = B(t)x

admite dihotomie exponentiala pe (a, b). Aceasta rezulta imediat din pro-prietatile de robustete si de prelungire.

Concatenarea. Fie (tk)k∈Z un sir strict monoton, tk → ±∞ cand k →±∞. Sa presupunem ca sistemul (11) admite dihotomie exponentiala petoate intervalele Ik = [tk−1, tk], cu constantele K ≥ 1, α > 0 si proiectiileQk(t), astfel ıncat

infk

(tk − tk−1) ≥ 2α−1 logK

si

(16) Qk(tk−1) = Qk−1(tk−1).

Atunci sistemul (11) admite dihotomie exponentiala pe R. Proiectia core-spunzatoare este Q(t) = Qk(t), t ∈ [tk−1, tk] iar constantele ce intervin suntK2 si α/2.

Observatia 2.3.4. Conditia de compatibilitate nu este necesara. Sepoate arata (v.[14], Lemma 3.2) ca daca A(t) este marginita pe R, ‖ A(t) ‖<C si

infk

(tk − tk−1) ≥ 2α−1 log 3K,

atunci exista δ = δ(K,C) > 0 astfel ıncat, daca

‖ Qk(tk−1)−Qk−1(tk−1) ‖≤ δ,

atunci sistemul (11) admite dihotomie exponentiala pe IR cu constante de-pinzand de K,α.

18

2.4. Dihotomii exponentiale si sisteme neliniare

Sa consideram sistemul neliniar :

(17) x′ = A(t)x + f(t,x) + h(t)

Teorema pe care o demonstram ın continuare se refera la existenta solutiilormarginite pe IR ale acestui sistem:

Teorema 2.4.1. Presupunem ca urmatoarele ipoteze sunt satisfacute:(1) Sistemul liniar

x′ = A(t)x

admite dihotomie exponentiala pe IR cu proiectie Q si constanteK,α > 0.

(2) f(t, 0) = 0.(3) Pentru |x|, |y| ≤ ρ este verificata conditia Lipschitz

|f(t,x)− f(t,y)| ≤ γ|x− y|

cu 2Kγ/α < 1.(4) |h(t)| ≤ ρ(α− 2Kγ)/2K, t ∈ R.

Atunci exista o unica solutie x(t) a sistemului (17) ce verifica |x(t)| ≤ ρ,t ∈ R.

Demonstratie Se observa ca x(t) este solutie marginita a sistemului (17)daca si numai daca este solutie a ecuatiei integrale

x(t) =∫ t

−∞X(t)QX−1(s)[f(s,x(s)) + h(s)]ds−

−∫ ∞

tX(t)(I−Q)X−1(s)[f(s,x(s)) + h(s)]ds.

Existenta rezulta imediat folosind teorema de punct fix a lui Banach aplicataoperatorului

(T x)(t) =∫ t

−∞X(t)QX−1(s)[f(s,x(s) + h(s)]ds−

−∫ ∞

tX(t)(I−Q)X−1(s)[f(s,x(s) + h(s)]ds,

definit pe spatiul M = x : R → R, continua, |x(t)| ≤ ρ. Se arata usor,folosind ipotezele, ca T (M) ⊂M si ca T este contractie si, deci, are un unicpunct fix.

Ca o prima aplicatie sa consideram o solutie z(t) a sistemului neliniar

(18) x′ = f(t,x)

astfel ıncat sistemul ın variatie

x′ = fx(t, z(t))x

19

sa admita dihotomie exponentiala pe R. Presupunem de asemenea ca fx esteuniform continua ın raport cu (t,x) si aratam ca ıntr-o vecinatate suficientde mica a lui z(t) nu exista alta solutie y(t). Fie x(t) := y(t)− z(t). Acestaverifica ecuatia

(19) x′ = fx(t, z(t))x + g(t,x),

undeg(t,x) = f(t, z(t) + x)− f(t, z(t))− fx(t, z(t))x.

Se observa ca g(t, 0) = 0 si

gx(t,x) = fx(t, z(t) + x)− fx(t, z(t)) = o(1) , x → 0.

Rezulta deci ca ıntr-o vecinatate suficient de mica a lui 0 exista o unicasolutie marginita pe IR a sistemului (19). Dar 0 este solutie deci x(t) = 0 siy(t) = z(t).

Urmatoarea aplicatie se refera la existenta orbitelor umbra. Sa con-sideram din nou sistemul neliniar (18). Fie de asemenea o partitie a lui IRın intervale Ik = [tk−1, tk] si fie yk un sir de solutii ale sistemului neliniar peaceste intervale astfel ıncat

|yk(tk−1)− yk−1(tk−1)| = |µk| < µ.

Vom numi acest sir de solutii µ-pseudoorbita.Orbita y(t) se numeste β−orbita umbra a lui yk(t) daca

supt∈Ik

|y(t)− yk(t)| < β.

Are loc urmatoarea teorema ([14]):

Teorema 2.4.2. Fie yk(t) o µ-pseudoorbita a sistemului (18) astfelıncat urmatoarele conditii sunt satisfacute

(1) fx(t,x) este marginita |fx(t,x)| < C, continua ın t si uniform con-tinua ın x uniform ın raport cu t.

(2) Sistemul ın variatie

x′ = fx(t,yk(t))x

admite dihotomie exponentiala pe [tk−1, tk] cu constante K,α siproiectie Qk(t).

(3) ‖ Qk−1(tk−1)−Qk(tk−1) ‖≤ µ.(4) tk − tk−1 ≥ τ.

Atunci exista β0, τ0 > 0 si o functie α0(β) astfel ıncat daca τ ≥ τ0, 0 <β ≤ β0 si µ ≤ µ0(β) atunci exista o unica β−orbita umbra a pseudoorbiteiyk(t).

Demonstratie Pentru µ suficient de mic si τ suficient de mare, din pro-prietatea de concatenare, rezulta ca sistemul

x′ = fx(t,y(t))x

20

admite dihotomie exponentiala pe IR cu constante depinzand de K,α (amnotat y(t) = yk(t) pentru t ∈ [tk−1, tk]).

Fie acum

z(t) = yk(t) +µk

2t− tk−1

tk − tk−1+µk−1

2t− tk

tk − tk−1, t ∈ [tk−1, tk].

Se observa ca avem estimarile:

|z(t)− y(t)| ≤ µ , t ∈ IR

|z′(t)− y′(t)| ≤ µτ−1 , t 6= tk.

Pe de alta parte

|fx(t, z(t))− fx(t,y(t))| = o(1) , µ→ 0

si proprietatea de robustete implica faptul ca sistemul

x′ = fx(t, z(t))x

admite dihotomie exponentiala pe R.Fie acum y1(t) o solutie oarecare a sistemului (18) si x(t) = y1(t)−z(t).

Atunci x(t) verifica

(20) x′ = fx(t, z(t))x + g(t,x),

undeg(t,x) = −z′(t) + f(t, z(t) + x)− fx(t, z(t))x.

Tinand seama ca |fx(t,x)| < C se observa ca g verifica urmatoarele estimari

gx(t,x) = fx(t, z(t) + x)− fx(t, z(t)) = o(1) , x → 0

|g(t, 0)| ≤ |f(t, z(t))− f(t,y(t)|+ |z′(t)− y′(t)| ≤ Cµ , t 6= tk.

Ipotezele teoremei 2.4.1 sunt satisfacute cu ρ = β/2, β < β0 (astfel ıncatγ = sup|x|<β |gx(t, x)| < α/2K), µ < ρ(α− 2Kγ)/(2KC). Rezulta existentaunei unice solutii marginite de β/2 a sistemului (20). Are loc

|y1(t)− y(t)| ≤ |x(t)|+ |z(t)− y(t)| ≤ β

2+ µ < β,

daca ın plus µ < β/2, ceea ce spune ca y1 este β-orbita umbra a µ pseu-doorbitei y = yk.

21

2.5. Exercitii si probleme

2.1. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii liniare si sa se studieze existentadihotomiilor:

(1) x′′ − kx′ = 0;(2) x′′ + 3x′ + 2x = 0;(3) x′′ − 2x′ + 10x = 0.

2.2. Sa se rezolve sistemele liniare, omogene, cu urmatoarele matrici, sisa se decida daca acestea admit dihotomii ordinare sau exponentiale:

(3 −21 1

),

0 −2 01 2 00 0 −2

,

1 0 00 2 −31 3 2

.

2.3. Sa se determine multiplicatorii si exponentii caracteristici ai sis-temului liniar omogen cu matricea A(t) = f(t)A cu f o functie continua, Tperiodica si A ∈Mn(R) o matrice constanta.

In ce conditii asupra lui f sistemul liniar are solutii periodice pentruorice matrice constanta A?

2.4. Sistemul x′ = −(sin 2t)x+ (cos 2t− 1)yy′ = (cos 2t+ 1)x+ (sin 2t)y

admite matricea fundamentala(et(cos t− sin t) e−t(cos t+ sin t)et(cos t+ sin t) e−t(− cos t+ sin t)

).

Sa se determine multiplicatorii caracteristici. Pe ce intervale admite sistemuldihotomii ordinare sau exponentiale?

2.5. Sa se determine o matrice fundamentala a sistemului liniar cu ma-tricea

A(t) =(−2 cos2 t −1− sin2 t1− sin 2t −2 sin2 t

)stiind ca acesta admite solutia γ(t) = (− sin t, cos t). Sa se determine multi-plicatorii si exponentii caracteristici. Studiati existenta dihotomiilor.

2.6. Sa se gaseasca o matrice fundamentala pentru sistemul liniar cucoeficienti periodici

x′ = x+ yy′ = h(t)y

unde h este o functie periodica de perioadaT. Sa se gaseasca multiplicatoriicaracteristici ın cazul particular h(t) = (sin t+ cos t)/(2 + sin t− cos t).

2.7. Consideram sistemul liniar cu coeficienti periodici de perioada T

x′= A(t)x.

22

Fie µ1, ..., µn multiplicatorii caracteristici. Sa se arate ca

µ1 · ... · µn = exp(∫ T

0TrA(s)ds

).

2.8. Sa se studieze stabilitatea sistemului liniar cu matricea

A(t) =(−1 + 3 cos2 t 1− sin t cos t−1 + sin t cos t −1 + 3 sin2 t

).

2.9. Fie sistemulx′ = 2x+ y + x cos t− y sin ty′ = −x+ 2y − x cos t+ y sin t.

Sa se arate ca (e2tsint, e2tcost) este solutie si sa se determine o matricefundamentala. Sa se gaseasca multiplicatorii caracteristici.

Exista solutii care verifica limt→∞(x(t), y(t)) = 0? Dar solutii periodice?

2.10. Fie sistemul liniar cu matricea A(t) =(a(t) −b(t)b(t) a(t)

), unde a, b

sunt functii T periodice. Sa se determine multiplicatorii caracteristici.

23

CAPITOLUL 3

Studiul local al sistemelor dinamice

In acest capitol se face un studiu calitativ, ın vecinatatea punctelorde echilibru sau a solutiilor periodice, pentru sistemele dinamice ce provindin sisteme diferentiale. In cazul sistemelor ın dimensiune 2 caracterizampunctele stationare nedegenerate si comportarea acestora la perturbari.

Se considera apoi metoda primei aproximatii si se demonstreaza, ıncazul pubctelor stationare nedegenerate hiperbolice, existenta varietatilorstabila si instabila. Cazul solutiilor periodice este de asemena considerat.Daca sistemul este autonom, metoda primei aproximatii nu furnizeaza nicio informatie. De altfel, stabilitatea asimptotica nici nu poate avea loc. Sedemonstreaza ın schimb ca daca numai un singur exponent caracteristic arepartea reala 0, iar ceilalti n − 1 au partea reala negativa, atunci solutiaperiodica este orbital asimptotic stabila.

3.1. Sisteme ın dimensiune 2

Coordonate polare.

Pentru studiul local al sistemelor ın dimensiune 2 este utila transformareaacestora din coordonate carteziene ın coordonate polare ın jurul punctelorde echilibru. Coordonatele polare se definesc astfel :

x1 = r cos θx2 = r sin θ ,

unde (r, θ) ∈ (0,∞) × [0, 2π) (sau (r, θ) ∈ (0,∞) × S1). Sistemul liniarperturbat

x′ = Ax + f(x),

cu A =(a bc d

)si f =

(f1

f2

), se scrie ın coordonate polare astfel:

r′ = r[a cos2 θ + (b+ c) cos θ sin θ + d sin2 θ] + F1 cos θ + F2 sin θ

rθ′ = r[c cos2 θ + (d− a) cos θ sin θ − b sin2 θ] + F2 cos θ − F1 sin θ,

unde Fi = Fi(r, θ) = fi(r cos θ, r sin θ).

25

Studiul local al sistemelor liniare.

Consideram sistemul liniar

(21) x′ = Ax

unde A =(a bc d

)este matrice nesingulara, detA 6= 0. Facand o schim-

bare de necunoscuta (daca forma Jordan reala este J = S−1AS, schimbareaeste y = Sx), putem presupune ca A este ın forma canonica Jordan reala.Cazurile posibile sunt:

I. A =(λ 00 µ

). In acest caz sistemul se rezolva imediat iar solutia este

x1 = x01e

λt, x2 = x02e

µt.

a) λ = µ. In acest caz curbele integrale au ecuatia x1 = Cx2 sau x2 = Cx1 sisunt semidrepte cu capatul ın origine. 0 se numeste ın acest caz nod propriu.b) λ 6= µ , λµ > 0. In acest caz curbele integrale au ecuatia x1 = C|x2|

λµ

sau x2 = C|x1|µλ . 0 se numeste nod impropriu pentru ca toate traiectoriile,

mai putin doua, au o unica directie limita ın origine.c)λµ < 0. Curbele integrale au ecuatia |x1|µ|x2|−λ = C pentru λ < 0 < µ.0 se numeste punct sa.

II. A =(λ 10 λ

). Rezolvand sistemul se obtin solutiile de forma x1 =

(x01+x0

2t)eλt, x2 = x0

2eλt. Avem asadar urmatoarea expresie pentru matricea

fundamentala:

etA =(eλt t0 eλt

).

Si ın acest caz 0 se numeste nod impropriu: toate traiectoriile au aceeasidirectie limita ın origine.

IV. A =(α −ββ α

), β 6= 0. In acest caz

eAt = eαt

(cosβt − sinβtsinβt cosβt

).

Sistemul se scrie ın coordonate polare astfel:r′ = αrθ′ = β

,

iar curbele integrale au, ın coordonate polare, ecuatia

(22)α

βθ + ln r = C.

a) Daca α 6= 0, (22) este ecuatia unei spirale logaritmice si ın acest caz 0 senumeste punct spiral.b) Daca α = 0, (22) este ecuatia unui cerc, traiectoriile sunt cercuri cucentrul ın origine iar 0 se numeste centru.

26

Studiul local al sistemelor liniare perturbate.

Consideram sistemul liniar perturbat

(23) x′= Ax + f(x),

unde A ∈ M2×2(R) este nesingulara , f este o functie de clasa C1 definitaıntr-o vecinatate a originii si

f(x) = o(r)

pentru r → 0. Ultima conditie implica, ın particular, ca 0 este solutie.Ne intereseaza ın ce masura proprietatile ıntalnite ın cazul liniar se

pastreaza la mici perturbatii.0 se numeste atractor stabil (instabil) pentru sistemul neliniar daca orice

solutie tinde la 0 pentru t→∞ (respectiv t→ −∞).O consecinta imediata a teoremei Poincare-Liapunov (v.[5],[18]) este:

Propozitia 3.1.1. Daca 0 este atractor pentru sistemul liniar (21),atunci acesta este atractor si pentru sistemul neliniar (23).

Noduri proprii si puncte spirale.

0 se numeste nod pentru sistemul (23) daca pentru t→∞ (sau pentrut→ −∞) orice solutie tinde la 0 (0 este atractor) ıntr-o directie limita binedefinita. Daca ın plus orice directie este o directie limita, atunci nodul senumeste nod propriu.

0 se numeste punct spiral daca este atractor si orice solutie, scrisa ıncoordonate polare, satisface |θ(t)| → ∞ cand r(t) → 0.

In ceea ce priveste punctele spirale, acestea se conserva la mici perturbatiisi ın acest sens are loc urmatorul rezultat:

Propozitia 3.1.2. Daca 0 este punct spiral pentru sistemul liniar (21),atunci este punct spiral si pentru sistemul perturbat (23).

Demonstratie Consideram A =(α −ββ α

), αβ 6= 0, α < 0. In coordo-

nate polare, a doua ecuatie are forma:

θ′ = β + o(1) , r → 0.

Are loc, de asemenea, r(t) → 0 daca t → ∞ si deci |θ(t)| → ∞ pentrut→∞. Deci 0 este punct spiral pentru sistemul neliniar.

Daca ın plus are loc

θ − β

αln r →

r→0C

atunci 0 se numeste punct spiral propriu. Exemplele urmatoare ne arataca, ın general, un nod propriu pentru sistemul liniar nu ramane un nodpropriu pentru sistemul perturbat si un punct spiral nu ramane un punctspiral propriu la perturbatii.

27

Exemplul 3.1.1. Fie sistemulx′1 = −x1 +

x2

ln r

x′2 = −x2 −x1

ln rAcesta se scrie ın coordonate polare

r′ = −r

θ′ = − 1ln r

,

si se obtine θ(r) → ∞ cand r → 0, desi pentru sistemul liniar 0 este nodpropriu.

Exemplul 3.1.2. Fie sistemulx′1 = −x1 − x2 +

x1

ln r

x′2 = x1 − x2 −x2

ln r

.

In coordonate polare acesta se scrier′ = −r +

r

ln r

θ′ = 1.

Integrand sistemul obtinem

θ + ln r = − ln(| ln r − 1|) + C → −∞

cand r → 0, deci pentru sistemul perturbat 0 nu mai este punct spiral propriuasa cum este pentu sistemul liniar.

In cazul ın care perturbarea este mica, ıntr-un sens care va fi precizat,punctele spirale proprii si nodurile proprii se pastreaza. In acest sens areloc urmatorul rezultat:

Teorema 3.1.1. Daca|f(x)| ≤ h(r)

cu h : [0, r0] → IR+ , h(r) = o(r) pentru r → 0 si∫ r0

0

h(r)r2

< +∞,

atunci, daca 0 este punct spiral propriu (nod propriu) pentru sistemul liniar,el este punct spiral propriu (respectiv nod propriu) pentru sistemul neliniar.In particular aceasta se ıntampla daca h(r) = r1+ε, ε > 0.

28

Demonstratie Presupunem A =(α −ββ α

), β ≥ 0, α < 0. Sistemul, ın

vecinatatea originii, se scrie ın coordonate polarer′ = αr + o(r)rθ′ = βr + f2 cos θ − f1 sin θ.

Intrucat r(t) → 0 pentru t → ∞, din prima ecuatie obtinem ca r′ < 0 ınvecinatatea originii si putem scrie ecuatia pentru θ = θ(r) :

dθ

dr= G(r, θ) :=

β +G1(r, θ)α(r +G2(r, θ))

unde G1 = (f2 cos θ−f1 sin θ)/r, G2 = (f1 cos θ+f2 sin θ)/α. Ecuatia se maipoate scrie

(24)dθ

dr− β

αr= F (r, θ) :=

−βF2 + rF1

αr(r + F2).

Un calcul simplu arata ca

|F (r, θ)| ≤ Ch(r)r2

.

Integrand (24) si tinand seama de ipoteza asupra lui h, obtinem ca urmatoarealimita exista si este finita

(25) l = limt→∞

[θ(t)− β

αln r(t)].

Ramane de aratat ca pentru orice l ∈ IR exista o solutie pentru sistemsau, echivalent, solutie pentru (24) care sa verifice (25). Acest lucru este

echivalent, notand ϕ(r) = θ(r)− β

αln r , cu a rezolva ecuatia integrala

ϕ(r) = l +∫ r

0F (s, ϕ(s) +

β

αln s)ds.

Pentru a arata existenta unei solutii fie

ϕδ(r) =

l

l +∫ r

0F (s, ϕδ(s− δ) +

β

αln s)ds

, −δ ≤ r ≤ 0, 0 ≤ r ≤ r0

Se arata usor ca ϕδ este o familie de functii continue, uniform marginitasi echiuniform continua pe [0, r0],. Deci ϕδ are un punct limita ϕ, solutiepentru ecuatia integrala.

29

Noduri improprii. Consideram pentru ınceput primul tip de nod impro-

priu si anume cazul ın care A =(λ 00 µ

)cu µ < λ < 0. Pentru sistemul

perturbat are loc urmatorul rezultat:

Teorema 3.1.2. Intr-o vecinatate a originii, orice orbita tinde la 0 siare o directie limita ce face cu axa Ox1 un unghi ce poate fi 0, π/2, π, 3π/2.

Exista o infinitate de orbite tinzand la origine cu un unghi limita 0 sauπ si cel putin cate o orbita corespunzand unghiurilor π/2, 3π/2.

Demonstratie Fie δ > 0 suficient de mic astfel ıncat daca r(0) < δ atuncipentru orice t r′ < 0 si r(t) → 0 pentru t → ∞. Acest lucru este posibilpentru ca originea este asimptotic stabila. Ecuatia ın θ este

θ′ =µ− λ

2sin 2θ + o(1) , r → 0.

Fie sectoarele discului de raza δ

Sε,δ1 = r < δ, |θ| < ε Sε,δ

2 = r < δ, |θ − π| < εSε,δ

3 = r < δ, |θ − π2 | < ε Sε,δ

4 = r < δ, |θ − 3π2 | < ε

Tinand cont de ecuatia ın θ, se observa ca pentru δ suficient de mic Sε,δ1 , Sε,δ

2sunt multimi pozitiv invariante. De asemenea, daca la un moment dat traiec-toria se afla ın Bδ \

⋃i S

ε,δi atunci aceasta intra ın Sε,δ

1 sau Sε,δ2 ın timp finit

fara posibilitate de a intra ın Sε,δ3 si Sε,δ

4 . Rezulta deci primul punct al teo-remei si existenta unei infinitati de traiectorii ce converg la origine cu ununghi limita de 0 sau π.

Ramane de aratat ca exista macar cate o solutie cu unghi limita de π/2sau 3π/2. Fie x0 ∈ Sε,δ

3 . Fie x0 ∈ Sε,δ3 , |x0| = δ. Exista doua posibilitati:

fie γ+x0⊂ Sε,δ

3 , fie la un moment t > 0 traiectoria intersecteaza unul dinsegmentele de frontiera θ = π

2 ± ε. Din teorema de continuitate ın raportcu datele initiale rezulta ca multimea acelor x, |x| = δ pentru care a douaposibilitate are loc este o multime deschisa a portiunii de frontiera a luiSε,δ

3 , |x| = δ , rezulta ca exista macar un x0 pentru care are loc primavarianta. Fie acum εn → 0, δn → 0 cu δn , corespunzator lui εn alessuficient de mic. Fie xn, |xn| = δn astfel ıncat γ+

xn⊂ Sεn,δn

3 . Fie de asemeneayn = γxn ∩ |x| = δ si fie y0 un punct limita al sirului yn. Rezulta, ınmod evident, ca γ+

y0tinde la origine cu un unghi limita egal cu π/2. Analog

se arata existenta unei orbite ce converge la origine cu ununghi limita de3π/2.

Observatia 3.1.1. (v.[6], p.384) Se poate arata ca exista exact cate oorbita ce are ın origine un unghi limita de π/2, respectiv 3π/2.

In cazul ın care pentru sistemul liniar avem un nod impropriu de tipul aldoilea, are loc urmatorul rezultat a carui demonstratie, asemanatoare celeianterioare, o omitem :

30

Teorema 3.1.3. Fie A =(λ 10 λ

), cu λ < 0 si sa presupunem

ca f(x) = O(r1+δ). Atunci solutiile sistemului neliniar, ce pleaca dintr-ovecinatate suficient de mica a originii, converg la origine pentru t → ∞ cuun unghi limita de 0 sau π, mai precis

limt→∞

x2(t)x1(t)

= 0.

Centri. Presupunem ca A =(

0 −ββ 0

), β 6= 0 deci pentru sistemul

liniar 0 este centru.0 se numeste centru pentru sistemul neliniar daca exista un sir de orbite

periodice ale acestuia OPn continand 0 ın interior, ce converg la origine candn→∞.

Teorema 3.1.4. In conditiile enuntate mai sus, originea este fie punctspiral, fie centru pentru sistemul neliniar.

Demonstratie Sa presupunem ca originea nu este nici punct spiral nicicentru pentru sistemul neliniar. Fie atunci o vecinatate a originii ce nucontine orbite periodice . Scriind sistemul ın coordonate polare observamca:

r′ = o(1), θ′ = β + o(1) .

Rezulta ca, daca r0 este suficient de mic, traiectoria intersecteaza ın macardoua puncte o semidreapta ce pleaca din origine, de exemplu Ox1. Fie acestepuncte de intersectie succesiva, P1,P2. Sa presupunem ca P2 < P1 (ın cazcontrar facem schimbarea de variabila t → −t). Rezulta atunci ca existaun sir de intersectii succesive ale traiectorii cu axa (Ox1), fie aceste puncteP1 > P2 > ... > Pn > ... (v. §4.1). Intrucat am presupus ca 0 nu este nicipunct spiral, putem presupune ca Pn → P > 0. Pe de alta parte, ecuatia sescrie ın vecinatatea lui 0 astfel:

dr

dθ= G(r, θ) :=

f1 cos θ + f2 sin θβ + (f2 cos θ − f1 sin θ)/r

si se observa ca G(r, θ + 2π) = G(r, θ). Intrucat solutia considerata maisus r = r(θ) este marginita pentru θ > 0, rezulta folosind un argument decompactitate ca, pe un subsir, r(theta+2nπ) converge uniform pe compactela o functie r = r(θ) care este o solutie periodica de perioada 2π (teoremalui Massera). Rezulta astfel ca punctul P apartine acestei traiectorii. Amgasit asadar o traiectorie periodica netriviala ın vecinatatea lui 0, ceea cecontrazice presupunerea facuta.

Urmatoarele exemple ne arata ca ambele situatii mentionate ın teoremasunt posibile:

31

Exemplul 3.1.3. Fie sistemulx′1 = −x2 +

x1

log r

x′2 = x1 +x2

log r

In coordonate polare acesta se scrie:r′ =

r

log rθ′ = 1

si obtinem r(t) = exp(−√

2t+ log2 r0), θ (t) = t + θ0, deci originea estepunct spiral pentru sistem.

Exemplul 3.1.4. Fie sistemulx′1 = −x2 + x1 sin rx′2 = x1 + x2 cos r

Pentru acesta exista un sir de orbite periodice ce tinde la origine, si anumeOPn : rn(t) = nπ, θn(t) = t, deci originea este centru.

Puncte sa. In cazul perturbarii sistemelor liniare ce au un punct sa areloc urmatorul rezultat :

Teorema 3.1.5. Fie A =(λ 00 µ

), λµ < 0. Exista atunci cate o unica

orbita ce tinde la 0 pentru t→ ∞ cu unghi limita 0, respectiv π. Exista, deasemenea, cate o unica orbita ce tinde la 0, pentru t → −∞, ın directiilelimita ce fac cu axa Ox1 unghiuri de π/2, respectiv 3π/2. Orice alta orbitadin vecinatatea originii nu poate tinde la 0 pentru t→ ±∞.

Demonstratia acestei teoreme o vom da ın cazul general al sistemelordiferentiale ın IRn, teorema 3.2.3.

3.2. Stabilitatea conditionala

In aceasta sectiune studiem stabilitatea solutiei banale a sistemului per-turbat

(26) x′= Ax + f(x)

unde A ∈ Mn×n(R), f ∈ C1, f(x) = o(|x|), fx = o(1) pentru x → 0.Amimtim urmatoarea varianta a teoremei Liapunov-Poincare (v. [5] sauanexa B):

Teorema 3.2.1. Daca A este matrice Hurwitz (are valorile proprii λi,i = 1, ..., n cu Reλi < 0) atunci solutia banala a ecuatiei (26) este asimptoticstabila.

Daca macar o autovaloare a matricii A are partea reala pozitiva, atunciare loc urmatorul rezultat de instabilitate:

32

Teorema 3.2.2. Daca exista macar o autovaloare λ cu Reλ > 0, atuncisolutia banala a ecuatiei (26) este instabila.

Aceasta teorema este o consecinta imediata a rezultatului urmator ce serefera la existenta varietatilor stabila, respectiv instabila. O demonstratieindependenta de acesta poate fi gasita ın [6] (Th.1.2, Ch.13).

In cele ce urmeaza ne propunem sa studiem mai atent cazul ın care Aeste o matrice ce are deopotriva valori proprii cu partile reale negative saupozitive. Are loc:

Teorema 3.2.3. Presupunem ca A are k valori proprii cu partea realanegativa si n − k valori proprii cu partea reala pozitiva. Exista atunci, ınspatiul fazelor, ıntr-o vecinatate suficient de mica a originii, o varietatediferentiabila k dimensionala W s, numita varietate stabila), ce contine orig-inea, astfel ıncat x0 ∈W s daca si numai daca x(t, 0, x0) → 0 pentru t→∞.Exista, de asemenea, o varietate diferentiabila n− k dimensionala W u, nu-mita varietate instabila, cu proprietatea ca x0 ∈ W u daca si numai dacax(t, 0, x0) → 0 pentru t→ −∞.

Demonstratie Exista S ∈Mn×n(IR), matrice nesingulara, astfel ıncat

B = SAS−1 =(

B1 00 B2

),

cu B1 avand k valori proprii cu partea reala negativa si B2 cu cele n − kvalori proprii cu partea reala pozitiva. Facand schimbarea de necunoscutay = Sx, ecuatia (26) se transforma ın ecuatia de aceeasi forma

(27) y′(t) = By(t) + g(y(t)),

unde g(y) = Sf(S−1y). Fie

X1(t) =(etB1 00 0

), X2(t) =

(0 00 etB2

).

Se observa ca X′j = BXj, e

tB = X1 + X2. Consideram ecuatia integrala

(28) ϕ(t,a) = X1(t)a+

t∫0

X1(t− s)g(ϕ(s,a))ds−∞∫t

X2(t− s)g(ϕ(s,a))ds

unde a ∈ IRn. Vom arata ca solutia acestei ecuatii integrale exista, estesolutie pentru (27) si satisface ϕ(t,a) → 0 pentru t→∞. Existenta o vomarata prin metoda aproximatiilor succesive. Fie ϕ0(t,a) = 0 si(29)

ϕk+1(t,a) = X1(t)a+

t∫0

X1(t− s)g(ϕk(s,a))ds−∞∫t

X2(t− s)g(ϕk(t,a))ds.

Tinand cont de estimarile

‖ X1(t) ‖≤ Ce−(α+σ)t t ≥ 0‖ X2(t) ‖≤ Ceσt t ≤ 0

33

si de faptul ca pentru orice ε > 0 exista δ > 0 astfel ıncat

|g(y1)− g(y2)| ≤ ε pentru |y1| < δ, |y2| < δ,

se obtine, prin inductie, alegand 2εC < σ/2 si 2C|a| < δ, ca

|ϕk+1(t,a)− ϕk(t,a)| ≤ C|a|e−αt

2k.

De aici se obtine ca sirul ϕk al aproximatiilor succesive converge uniformpe [0,∞). Asadar, putem trece la limita ın (29) si obtinem o solutie ϕ pentru(28), ce satisface

|ϕ(t, a)| < 2C|a|e−αt , t ≥ 0.

De aici ϕ(t,a) → 0 pentru t → ∞. Se deduce de asemenea, derivand (28),ca ϕ este solutie pentru (27).

In ce priveste unicitatea, sa aratam ca daca ϕ(t,a) si ϕ(t,a) sunt solutiipentru (28) care satisfac |ϕ(t,a)| < δ, |ϕ(t,a)| < δ, t ≥ 0, atunci ϕ(t,a) =ϕ(t,a). Intr-adevar, notand cu M = sup |ϕ(t,a)− ϕ(t,a)|, obtinem

|ϕ(t,a)− ϕ(t,a)| ≤ Cεe−σt

∫ t

0eσs|ϕ(s,a)− ϕ(s,a)|ds+

+Cεeσt

∫ ∞

te−σs|ϕ(s,a)− ϕ(s,a)|ds ≤ 2CεM/σ.

Alegand de la ınceput ε < σ/2C, din inegalitatea precedenta obtinem M =0, deci unicitatea.

Se observa din (28) ca ϕ(t,a) nu depinde de ak+1, ..., an, ci numai dea1, ..., ak, iar componenta j a lui ϕ verifica ϕj(0, a) = aj , j = 1, ..., k.Pentru celelalte componente avem

ϕj(0,a) = −(

∞∫0

X2(−s)g(ϕ(s,a))ds)j =: θj(a1, ..., ak) , j = k + 1, ..., n,

relatii care definesc o varietate diferentiabila k-dimensionala W s (varietateastabila). Solutiile cu data initiala pe aceasta varietate converg, pentru t →∞, la 0.

Ramane de aratat ca, daca data initiala nu apartine lui W s, solutiacorespunzatoare nu poate sa ramana ıntr-o vecinatate a lui 0. Fie deci y(t)o solutie pentru (27), cu y(0) suficient de mic, pentru care presupunem ca|y(t)| < δ, t ≥ 0. Intrucat g(y(t)) ramane marginit, putem scrie

(30)

y(t) = etBy(0) +∫ t

0e(t−s)Bg(y(t)) = X1(t)y(0)+

+∫ t

0X1(t− s)g(y(s))ds−

∞∫t

X2(t− s)g(y(s))ds+ X2(t)v,

34

unde

v =

∞∫0

X2(−s)g(y(s))ds+ y(0).

Se observa ca primii trei termenii din (30) sunt marginiti pentru t →∞. Ramane de studiat ultimul termen, si anume X2(t)v. Ori acesta estemarginit numai daca componentele vectorului v, vk+1 = .... = vn = 0, adicadaca y este solutie pentru (28) y(0) ∈ S.

Pentru a demonstra existenta varietatii instabile trecem t ın −t si va-rietatea stabila a sistemului obtinut este de fapt varietatea instabila a sis-temului initial.

Observatia 3.2.1. Regularitatea varietatii W s depinde de regularitatealui f. Mai precis, daca f ∈ Ck, atunci functiile θj ∈ Ck(v. [6], Teorema4.2).

Observatia 3.2.2. Se poate arata existenta varietatii stabile, de dimen-siune egala cu numarul valorilor proprii cu partea reala negativa, chiar dacarestul valorilor proprii nu au partea reala strict pozitiva. De altfel se poatearata ın plus existenta unei varietati centrale, invarianta la flux si care aredrept spatiu tangent ın 0 spatiul propriu corespunzator valorilor proprii cupartea reala nula. Aceasta varietate nu mai este unic determinata (v. [10]p.127, [15] p.115).

3.3. Stabilitatea solutiilor periodice

Consideram sistemul

(31) x′ = F(t,x)

unde F ∈ C1 este T -periodica ın t si presupunem existenta unei solutii T -periodice p(t). O solutie cu perioada minimala mT cu m > 1 , daca exista,se numeste subarmonica. Studiem stabilitatea solutiei T periodice p prinmetoda primei aproximatii. Fie q = q(t) o alta solutie si fie y = q− p. Areloc

(32) y′ = Fx(t,p(t))y + f(t,y)

unde

f(t,y) = F(t,y + p(t))− F(t,p(t))− Fx(t,p(t))y = o(|y|) , y → 0.

uniform ın raport cu t. De asemenea,

(33) fy(t,y) = o(1) , y → 0.

Sistemul liniarizat, sau sistemul ın variatie, este:

(34) y′ = Fx(t,p(t))y.

Teorema Poincare-Liapunov, ımpreuna cu remarca 2.1.4, ne conduc la urmatorulrezultat de stabilitate asimptotica a solutiilor periodice:

35

Teorema 3.3.1. Daca exponentii caracteristici asociati sistemului liniar(34) au toti partea reala negativa, atunci solutia periodica p(t) a sistemului(31) este asimptotic stabila.

Cazul autonom, cand F nu depinde explicit de t, nu se poate ıncadraın teorema precedenta. Intr-adevar, derivand ın raport cu t ecuatia p′(t) =F(p(t)), obtinem ca y(t) = p′(t) este solutie pentru (34) deci, tinand seamade observatia 2.1.2, macar un exponent caracteristic are partea reala 0.Pe de alta parte, nici stabilitatea asimptotica nu poate fi obtinuta pentruca, de exemplu, q(t) = p(t + µ) este solutie, |q(0) − p(0)| < δ pentru µsuficient de mic dar q(t)−p(t) 9 0 cand t→∞. Se obtine ınsa, ın ipoptezesuplimentare, urmatorul rezultat:

Teorema 3.3.2. Daca F(t,x) = F(x) nu depinde explicit de t si n− 1exponenti caracteristici ai sistemului (34) au partea reala negativa, atunciexista ε > 0 astfel ıncat daca q(t) este o solutie cu proprietatea ca existat0, t1 pentru care are loc

|q(t1)− p(t0)| < ε,

atunci exista o constanta t, numita faza limita, astfel ıncat are loc

limt→∞

|q(t)− p(t+ t)| = 0.

Vom spune ın aceasta situatie ca solutia p(t) este orbital asimptotic stabila.

Demonstratie Vom presupune, fara a restrange generalitatea, ca p(0) = 0si p′(0) = λe1, λ > 0. Aceasta se realizeaza printr-o schimbare ortogonalade reper. Ecuatia (32) devine

(35) y′ = Fx(t,p(t))y + f(t,y)

si notam cu X(t) o solutie fundamentala a sistemului liniarizat astfel ıncat(v. observatia 2.1.3):

X(t+ T ) = X(t)C = X(t)(

1 00 C1

).

Putem scrie C = eTR, unde:

R =(

0 00 R1

),

iar R1 ∈ Mn−1(C) are valorile proprii cu partea reala strict negativa. Areloc (v. §2.1):

X(t) = P(t)etR,unde P(t) este T -periodica. Fie

X1(t, s) = P(t)(

0 00 e(t−s)R1

)P−1(s),

X2(t, s) = P(t)(

1 00 0

)P−1(s).

36

Se observa caX(t)X(s)−1 = X1(t, s) + X2(t, s).

De asemenea, matricile X1,X2 sunt reale. Intr-adevar,

X2(t, s) = P(t)(

1 00 0

) (1 00 0

)P−1(s),

produsul primelor doua matrici este prima coloana a lui X(t) iar produsulultimelor doua matrici este prima linie a lui X−1(t), deci X2 este matricereala si, ın consecinta, X1 este matrice reala. Daca presupunem ca cei n− 1exponenti caracteristici au partea reala mai mica decat −σ atunci avemestimarile:

|X1(t, s)| ≤ Ce−σ(t−s) , t ≥ s,(36)

|X2(t, s)| ≤ C.

Consideram ecuatia integrala:

(37) ϕ(t) = X(t)a +

t∫0

X1(t, s)f(s, ϕ(s))ds−∞∫t

X2(t, s)f(s, ϕ(s))ds,

unde a = (0, a2, ..., an)T . Vom arata ca solutiile acestei ecuatii integraleexista, sunt solutii pentru (35) si satisfac ϕ(t) → 0 pentru t → ∞. Dacasolutia exista atunci, cu un calcul simplu, se poate vedea ca aceasta estesolutie si pentru (35).

Existenta o aratam prin metoda aproximatiilor succesive. Pentru t ≥ 0avem, ıntrucat prima componenta a lui a este a1 = 0,

(38) |X(t)a| ≤ C1|a|e−σt

si pentru |y1|, |y2| < δ,

(39) |f(t,y1)− f(t,y2)| <σ

8C|y1 − y2|.

Fie |a| < δ/2C1 si fie sirul aproximatiilor succesive, ϕ0(t) = 0

ϕk+1(t) = X(t)a +

t∫0

X1(t, s)f(s, ϕk(s))ds−∞∫t

X2(t, s)f(s, ϕk(s))ds.

Prin inductie se demonstreaza usor, folosind (38) si (39), ca

|ϕk+1(t)− ϕk(t)| ≤C1|a|e−σt/2

2k.

Obtinem astfel un sir de functii uniform convergent pe [0,∞) la o functie ϕce satisface

|ϕ(t)| ≤ 2C1|a|e−σt/2.

In plus ϕ este solutie pentru (37) si deci pentru (35). Aceasta tinde la 0,uniform ın raport cu a, pentru t→∞.

37

Ramane de studiat multimea formata din valorile initiale ale acestorsolutii. Facem t = 0 ın (37) si obtinem

(40) ϕ(0,a) = X(0)a−(

1 00 0

) ∫ ∞

0P−1(s)f(s, ϕ(s,a))ds.

Intrucat integrala nu are contributii la componentele 2, ..., n ale lui ϕ(0,a),rezulta ca, notand cu yj = ϕj(0, a) atunci (y2, ..., yn) = T(a2, ..., an), undeT este o aplicatie liniara bijectiva. Egalitatea (40) se poate scrie

(41) y1 +n∑

k=2

yk +G(y2, ..., yn) = 0,

unde G = o(|y)|) pentru y → 0. Aceasta este ecuatia unei suprafete S cecontine pe 0 = p(0), definita pentru |(y2, ...yn)| < δ si al carei plan tangentın 0 are ecuatia

y1 +n∑

k=2

yk = 0.

Deci p′(0) = λe1 nu este tangent la S. Fie acum solutia q astfel ıncat|q(t1) − p(t0)| < ε, unde ε este suficient de mic astfel ıncat solutia φ(t) =q(t − t0 + t1), care verifica inegalitatea |φ(t0) − p(t0)| < ε, sa satisfaca|φ(t)− p(t)| < δ pentru |t− t0| < 2T . Rezulta ca solutia φ(t) intersecteazasuprafata S pentru un t2, |t2 − t0| < 2T. Rezulta ca solutia ψ(t) = φ(t+ t2)satisface ψ(t)−p(t) → 0 si deci q(t− t0 + t1 + t2)−p(t) → 0. Teorema estedemonstrata cu t = t0 − t1 − t2.

Observatia 3.3.1. Aceasta teorema poate fi usor generalizata, tinandseama de rezultatele paragrafului precedent. Astfel, fie γ orbita periodica sisa presupunem ca exista k exponenti caracteristici cu partea reala negativasi n−k−1 au partea reala pozitiva. Exista atunci varietatile stabila W s(γ),respectiv instabila W u(γ) ın spatiul fazelor extins (x, t), de dimensiune k+1,respectiv n− k, caracterizate de proprietatea ca

dist (Φt (x) , γ) → 0

pentru t → ∞ daca (x, t) ∈ W s(γ) si pentru t → −∞ daca (x, t) ∈W u(γ). De altfel, daca W s, W u sunt varietatile stabila si instabila aleaplicatiei Poincare (v. paragraful 4.1) atunci W s(γ) = Φt (W s) , t ≥ 0,W u(γ) = Φt (W u) , t ≤ 0.

38

3.4. Exercitii si probleme

3.1. Pentru ecuatiile si sistemele din exercitiile 2.1,2.2 sa se schitezeportretul fazelor.

3.2. Pentru urmatoarele sisteme sa se determine punctele stationare,natura acestora si apoi sa se schiteze portretul fazelor:

(1)x′ = x2 − y2 − 1y′ = 2y ;

(2)x′ = x− xyy′ = y − x2 ;

(3)x′ = 2x− 2xyy′ = 2y − x2 + y2 .

Sa se studieze natura punctelor stationare pentru ecuatiile:(1) x′′ − xx′ + x = 0;(2) x′′ + xx′ + sinx = 0.

3.3. Consideram urmatorul sistem:x′ = x− ax2 − cxyy′ = y − by2 + dxy

cu a, b, c, d > 0, x, y ≥ 0.Acesta reprezinta un model pentru evolutia a douaspecii ın competitie. Sa se determine punctele stationare si sa se studiezenatura acestora.

3.4. Pentru urmatoarele sisteme sa se calculeze primele 3 iteratii pentruaproximarea varietatilor stabila, respectiv instabila ın origine:

(1)x′ = −x− y2

y′ = y + x2 ;

(2)

x′ = xy′ = y + x2

z′ = −z + y.

3.5. Consideram ecuatia lui Lienard

x′′ + f(x)x′ + g(x) = 0

unde f, g sunt functii netede. Presupunem ca exista o solutie T -periodicaϕ(t). Sa se gaseasca conditii pentru ca aceasta sa fie orbital asimptotic sta-bila.

3.6. Consideram ecuatia

x′′ − (1− x2 − y2)x′ + x = 0.

Sa se determine punctele stationare si sa se studieze stabilitatea. Sa se scrieın coordonate polare si sa se determine o solutie periodica. Sa se gaseascaexponentii caracteristici ai sistemului liniarizat si sa se studieze stabilitateasolutiei periodice.

39

3.7. Fie sistemul x′ = 1 + y − x2 − y2

y′ = 1− x− x2 − y2 .

Sa se determine punctele stationare si sa se studieze stabilitatea acestora.Sa se scrie sistemul ın coordonate polare si sa se gaseasca o solutie periodica.Determinati exponentii caracteristici ai sistemului liniarizat si stabilitateaacestei solutii.

3.8. Se considera sistemulx′ = µx+ y − xf(r)y′ = −x+ µy − yf(r) ,

unde r = (x2 +y2)1/2, f ∈ C1, f(r) > 0 pentru r > 0 si f(0) = 0. Sa se arateca pentru µ ≤ 0 originea este un punct spiral global asimptotic stabil, iarpentru µ > 0 originea este punct spiral instabil si, ın plus, sistemul posedao orbita periodica stabila. Sa se schiteze portretul fazelor.

3.9. Fie sistemulx′ = −∇V (x),

unde V ∈ C2(IRn). Sa se demonstreze ca daca un punct stationar esteminim local strict pentru V atunci el este asimptotic stabil. Daca n = 2si V este functie analitica, atunci orice punct stationar nedegenerat x0 (i.e.∇V (x0) = 0 si D2V (x0) nedegenerata) este fie punct sa, fie nod propriu.

40

CAPITOLUL 4

Sisteme ın dimensiune 2. Studiu global

Studiul global al sistemelor planare beneficiaza, ca ingredient esential,de teorema lui Jordan: o curba simpla ınchisa ımparte planul ın exactdoua parti conexe dintre care una este marginita. Rezultatul principalprivind sistemele planare este teorema Poincare-Bendixson de caracteri-zare a multimilor ω−limita ce nu contin puncte stationare. Acestea suntorbite periodice numite cicluri limita. Instrumentul de baza utilizat ındemonstratie este aplicatia Poincare, ale carei existenta si proprietati, utile siın studiul local al stabilitatii orbitelor periodice, sunt demonstrate ın primulparagraf.

In continuare studiem sistemele dinamice pe torul 2−dimensional. Sepune ın evidenta existenta solutiilor uniform distribuite ın cazuri particulare,simple. Este introdus numarul de rotatie si se caracterizeaza cu ajutorulacestuia existenta solutiilor periodice. Mentionam aici ca diferenta calitativasemnificativa fata de cazul planar provine din faptul ca topologia spatiuluifazelor este diferita. Pentru o trecere ın revista a teoriei sistemelor dinamicepe varietati 2-dimensionale se poate consulta [13].

In final se introduce indexul curbelor ın raport cu un camp vectorialprecum si indexul punctelor stationare.

4.1. Aplicatia Poincare

Aplicatia Poincare este instrumentul de baza ın studiul comportariitraiectoriilor ın vecinatatea unei solutii periodice. Se mai numeste si aplicatiadata de prima ıntoarcere.Fie sistemul

(42) x′ = f(x),

unde f ∈ C1(D), D ⊂ IRn si Γ este o orbita periodica a acestuia, imagine aunei solutii periodice Φt(x0), de perioada T . Fie, de asemenea, un hiperplanΠ perpendicular pe Γ in x0. Are loc urmatoarea teorema care si definesteaplicatia Poincare:

Teorema 4.1.1. In conditiile enuntate mai sus, exista o vecinatateNδ(x0) si o functie τ : Nδ(x0) → IR de clasa C1, τ(x0) = T , astfel ıncat

Φτ(x)(x) ∈ Π,

41

pentru oricare x ∈ Nδ(x0) . Aplicatia

P : Nδ(x0) ∩Π → Π, P (x) = Φτ(x)(x)

se numeste aplicatia Poincare.

Demonstratie Consideram functia G(t,x) = [Φt(x)−x0]·f(x0). Se observaca Φt(x) ∈ Π ⇐⇒ G(t,x) = 0. Lui G ıi aplicam teorema functiilor impliciteın (T,x0). G ∈ C1 si

∂G

∂t(T,x0) = |f(x0)|2 6= 0,

deci ipotezele din teorema functiilor implicite sunt satisfacute. Rezulta caexista τ : Nδ(x0) → IR de clasa C1 astfel ıncat τ(x0) = T si G(τ(x),x) = 0deci Φτ(x)(x) ∈ Π.

Observatia 4.1.1. Existenta aplicatiei Poincare este asigurata si ınsituatia mai generala ın care hiperplanul Π nu este perpendicular pe f(x0)ci este satisfacuta conditia de transversalitate f(x0) ∦ Π . Mai mult, facandschimbarea t→ −t, se observa ca aplicatia Poincare este difeomorfism local.

Observatia 4.1.2. In cazul n = 2 hiperplanul Π este o dreapta, pe careputem alege o orientare.

Se observa ca aplicatia Poincare P defineste ın vecinatatea lui x0 ofunctie monotona. Intr-adevar, ıntrucat f(x0) ∦ Π, rezulta ca f(x) estetransversal la Π ıntr-o vecinatate a lui x0 si deci campul vectorial f esteındreptat ınspre aceeasi parte a lui Π. Fie acum x1,x2,x3 ∈ Π, x2 = P (x1),x3 = P (x2). Trebuie aratat ca x3 nu se afla ıntre x1 si x2, presupuse dis-tincte, adica neapartinand unei traiectorii periodice. Aceasta rezulta imediatdin teorema lui Jordan aplicata curbei simple ınchise definite de traiecto-ria sistemului cuprinsa ıntre x1 si x2 si segmentul [x1,x2]. Tinem seamaca traiectoria Φt(x2), t > 0 nu poate intersecta portiunea de traiectoriecuprinsa intre x1 si x2 si nici segmentul deschis (x1,x2) care trebuie inter-sectat ın aceeasi directie ca ın capete.

Observatia 4.1.3. Sistemul liniarizat

x′ = fx(Φt (x0))x

este un sistem liniar cu coeficienti periodici, ai carui multiplicatori carac-teristici sunt λ1 = 1 iar restul λ2, ..., λn coincid cu valorile proprii ale luiDP (0) (v.[15], p.205).

O prima utilizare a aplicatiei Poincare este la studiul stabilitatii solutiilorperiodice ın cazul sistemelor planare. Pentru simplitatea scrierii, si fara arestrange generalitatea, consideram x0 = 0 si Π = IR . Functia de deplasarese defineste prin

d(x) = P (x)− x , x ∈ IR

cu |x| < ε si ε suficient de mic. Are loc:

42

Teorema 4.1.2. Daca d′(0) < 0 ciclul Γ este stabil (orbital asimptoticstabil), iar daca d′(0) > 0 ciclul Γ este instabil.

Demonstratie Daca d′(0) < 0, rezulta ca pentru x > 0 suficient de micd(x) < 0, adica P (x) < x si, ın plus, 0 < P (x) (traiectoria care trece prin xramane de aceeasi parte a traiectoriei periodice care trece prin 0). Pentrux < 0 are loc x < P (x) < 0. Fie x > 0 si construim sirul xn = Pn(x) careeste un sir de numere pozitive descrescator, deci convergent la un y ≥ 0.Intrucat xn+1 = P (xn), trecand la limita, obtinem y = P (y) si deci y = 0,ceea ce ınseamna ca ciclul Γ este orbital asimptotic stabil. Un rationamentanalog se face in cazul d′(0) > 0.

Urmatoarea teorema ne da o formula de calcul al derivatei aplicatieiPoincare:

Teorema 4.1.3. Pentru x0 ∈ Γ are loc

(43) P ′(x0) = e∫ T0 ∇·f(x(t))dt,

unde ∇ · f reprezinta divergenta campului vectorial f .

Demonstratie Fara a restrange generalitatea, presupunem x0 = 0 si f(x0)paralel cu axa Ox1, deci Π = Ox2. Are loc, pentru y ∈ Ox2,

P (y) = Φ2τ(y)((0, y)),

unde Φt(x1, x2) = (Φ1t (x1, x2),Φ2

t (x1, x2)). Derivand, obtinem :

(44)

P ′(y) =d

dtΦ2

τ(y)((0, y)) · τ′(y) +

∂

∂x2Φ2

τ(y)((0, y)) =

= f2(Φτ(y)((0, y))) · τ ′(y) +∂

∂x2Φ2

τ(y)((0, y)).

Pe de alta parte, tinand seama de alegerea transversalei, are loc

Φ1τ(y)((0, y)) = 0

si derivand aceasta egalitate obtinem:

d

dtΦ1

τ(y)((0, y)) · τ′(y) +

∂

∂x2Φ1

τ(y)((0, y)) = 0,

deci

(45) τ ′(y) = −∂

∂x2Φ1

τ(y)((0, y))

f1(Φτ(y)((0, y))).

Inlocuind (45) ın (44) obtinem:

43

(46)

P ′(y) =∂

∂x2Φ2

τ(y)((0, y)) · f1(Φτ(y)((0, y)))− f2(Φτ(y)((0, y))) · ∂∂x2

Φ1τ(y)((0, y))

f1(Φτ(y)((0, y))).

Tinand seama acum de proprietatea semigrupala a sistemelor dinamice, areloc:

Φt+T (x1, x2) = ΦT (Φ1t (x1, x2),Φ2

t (x1, x2))

si, prin derivare ın raport cu t ın t = 0, obtinem:

d

dtΦt |t=T =

∂

∂x1ΦT · f1(Φ0) +

∂

∂x2ΦT · f2(Φ0),

de unde avem ca:f1(ΦT ) =

∂

∂x1Φ1

T · f1(Φ0) +∂

∂x2Φ1

T · f2(Φ0)

f2(ΦT ) =∂

∂x1Φ2

T · f1(Φ0) +∂

∂x2Φ2

T · f2(Φ0)

.

Pentru simplitatea scrierii am omis argumentele functiilor, care se deducusor din ecuatia precedenta. Din acest sistem, obtinem ca

(47) f1(Φ0) =

∂

∂x2Φ2

T · f1(ΦT )− f2(ΦT ) · ∂

∂x2Φ1

T

∂

∂x1Φ1

T ·∂

∂x2Φ2

T −∂

∂x2Φ1

T ·∂

∂x1Φ2

T

.

In ecuatia (47) luam (x1, x2) = (0, 0) si ınlocuim ın egalitatea (46) pentruy = 0. Obtinem astfel

P ′(0) =∂

∂x1Φ1

T (0) · ∂

∂x2Φ2

T (0)− ∂

∂x2Φ1

T (0) · ∂

∂x1Φ2

T (0).

Dar acesta nu este altceva decat determinantul derivatei in raport cu dateleinitiale a lui Φt (v. [5],[18]). Putem deci aplica teorema lui Liouville (v.[5]) si obtinem (43).

Corolar 4.1.1. Solutia periodica x(t), de perioada T , este asimptoticstabila daca ∫ T

0∇ · f(x(t))dt < 0

si este instabila daca ∫ T

0∇ · f(x(t))dt > 0.

Daca are loc egalitatea, atunci situatia este indecisa, putand avea loc, dupacaz, atat stabilitatea cat si instabilitatea.

44

4.2. Teorema Poincare-Bendixson

In acest paragraf este studiata structura multimilor ω-limita ın cazulsolutiilor marginite la +∞, ale ecuatiei (42) ın dimensiune 2, adica f : D ⊂IR2 → IR2. Rezultatul central al acestui paragraf este teorema Poincare-Bendixson, care spune ın esenta ca multimile ω-limita, care nu contin punctestationare ale sistemului, sunt traiectorii periodice ale acestuia.Vom demon-stra pentru ınceput cateva rezultate preliminare.

Vom numi transversala la campul vectorial f un segment ınchis de dreaptal ce nu contine puncte ın care f ‖ l.

Observatia 4.2.1. Fiecare punct nestationar pentru sistem este continutıntr-o transversala.

Lema 4.2.1. a) O transversala este intersectata de traiectorii ın aceeasidirectie.b) Daca x0 ∈ l, atunci pentru orice ε > 0 exista o vecinatate Bδ a lui x0 ,astfel ıncat x(t, 0,x0) intersecteaza pe l la un moment t, |t| < ε.

Demonstratie a) Rezulta imediat din faptul ca l este transversala la campulvectorial f .b) Pentru simplitate, sa presupunem ca x0 = 0, iar l ⊂ Ox1. Pentru ademonstra afirmatia, trebuie rezolvata, ın raport cu t, ecuatia Φ2

t (x) = 0, ınvecinatatea punctului (t,x) = (0,0). Intrucat

d

dtΦ2

t (0)|t=0 = f2(0) 6= 0,

afirmatia rezulta prin aplicarea teoremei functiilor implicite.

Lema 4.2.2. Un arc finit A al unei orbite γ intersecteaza pe l ıntr-un numar finit de puncte ordonate. Daca γ este orbita periodica, atunciγ ∩ l = x0.

Demonstratie Faptul ca punctele de intersectie sunt ordonate pe l s-ademonstrat ın paragraful precedent (v. observatia 4.1.2). Ramane de aratatca punctele de intersectie sunt ın numar finit. Rationam prin reducere laabsurd si presupunem ca nu ar fi asa. Atunci acestea ar forma un sir pe l,x(tn), tn → t0 (arcul este finit). Exista atunci ξn ∈ (tn, tn+1) astfel ıncat

x′(ξn) =x(tn+1)− x(tn)

tn+1 − tn‖ l.

Trecand la limita, obtinem ca f(x(t0)) = x′(t0) ‖ l, ceea ce contrazice faptulca l este transversala.

In cazul unei orbite periodice, sa presupunem ca aceasta ar intersectal succesiv ın P1 si P2. Fie Γ curba Jordan formata din arcul de traiectoriecuprins ıntre cele doua puncte si segmentul [P1, P2]. Sa presupunem, pentrua face o alegere, ca γ+(P2) intra mai ıntai ın interiorul curbei Γ. Traiec-toria γ este ınsa periodica, deci γ+(P2) trebuie sa ajunga ın punctul P1.Aceasta nu se poate ıntampla ınainte ca γ+(P2) sa iasa din int Γ, pentru ca

45

segmentul [P1, P2] nu poate fi intersectat ın unicul mod posibil, fiind vorbade o transversala, decat din exteriorul curbei Γ. Aceasta trecere dintr-ocomponenta conexa a planului ın cealalta nu se poate face deci, decat inter-sectand arcul deschis de traiectorie cuprins ıntre punctele P1 si P2 ceea cenu se poate deoarece P1 nu ar mai apartine ın acest fel orbitei periodice. Unrationament analog se face ın situatia ın care γ+(P2) intersecteaza mai ıntaiexteriorul curbei Γ. Contradictia la care am ajuns ne arata ca o transversalaintersecteaza o traiectorie periodica ın cel mult un punct.

Lema 4.2.3. Daca γ+ ∩ ω(γ+) 6= ∅, atunci γ+ este orbita periodica.

Demonstratie Sa presupunem ca γ+ nu ar fi orbita periodica. Fie x0 ∈γ+ ∩ ω(γ+). Intrucat x0 este punct regulat, fie l o transversala la campulvectorial f ın x0. Cum x0 ∈ ω(γ+) rezulta ca γ+ intra ın vecinatati oricat demici ale lui x0. Aceasta implica, conform lemei 4.2.1, ca γ+ intersecteaza pel ıntr-o infinitate de puncte ın vecinatatea lui x0, iar aceste puncte formeazaun sir monoton x0,x1, ...,xn, ... pe l (observatia 4.1.2) care nu poate convergela x0.

Observatia 4.2.2. Analizand demonstratia lemei precedente, se observaca l ∩ ω(γ+) nu poate contine decat cel mult un punct.

Lema 4.2.4. Daca ω(γ+) contine o orbita periodica, atunci coincide cuaceasta.

Demonstratie Sa presupunem ca ω(γ+) ar contine o orbita periodica γxcu care nu coincide . Stim ca ω(γ+) este multime conexa si fie y ∈ γxpunct de acumulare pentru ω(γ+) \ γx. Fie, de asemenea, o transversala lın y. Pentru z ∈ ω(γ+) \ γx suficient de apropiat de y, γz intersecteaza pel ıntr-un punct diferit de y pentru ca γz ⊂ ω(γ+) \ γx, ceea ce contrazicelema 4.2.3 si observatia 4.2.2.

In acest moment putem demonstra rezultatul principal al acestui paragraf:

Teorema 4.2.1. (Poincare-Bendixson) Fie γ+ semiorbita marginita pen-tru care ω(γ+) nu contine decat puncte regulate ale lui f . Atunci ω(γ+) esteorbita periodica. Daca γ+ 6= ω(γ+) atunci ω(γ+) se numeste ciclu limita.

Demonstratie Fie x0 ∈ ω(γ+) si fie x ∈ ω(x0) ⊂ ω(γ+). Din ipoteza, xeste punct regulat Fie l o transversala ın x. Tinand seama de observatia4.2.2, avem ca l ∩ω(γ+) = x. Rezulta atunci ca γx0 este orbita periodica.Intr-adevar, aceasta trebuie sa intersecteze l ın x sau ın puncte oricat deapropiate de x, ori aceasta ultima situatie nu este posibila. Rezulta deci, cax ∈ γx0 si, conform lemei 4.2.3, γx0 este orbita periodica. Din lema 4.2.4obtinem ca ω(γ+) este orbita periodica.

46

4.3. Ecuatii diferentiale pe tor

Vom studia ecuatia (42) ın care f este un camp vectorial pe torul 2-dimensional T 2 = S1 × S1.Consideram mai ıntai cazul cel mai simplu, f(x1, x2) = (α, β), unde α, β ∈IR.

Teorema 4.3.1. Daca raportul λ =α

β∈ Q, atunci orice curba integrala

este ınchisa (solutiile ecuatiei sunt periodice). Daca λ ∈ IR \Q, atunci oricecurba integrala este densa peste tot ın tor.

Demonstratie Sa presupunem ca λ ∈ Q, ceea ce ınseamna ca λ = p/q,p, q ∈ Z. Rezolvand ecuatia, obtinem

x1 = x01 + αt, x2 = x0

2 + βt.

Se observa ca, pentru t =2pπα

=2qπβ

,

x1(t) = x01(mod 2π), x2(t) = x0

2(mod 2π),

deci solutia ecuatiei pe tor este periodica.Pentru a studia cazul λ ∈ IR \Q avem nevoie de cateva rezultate prelim-inare, ce prezinta un interes deosebit.

Fie M o varietate diferentiabila (subvarietate a unui spatiu euclidian) sif un camp vectorial pe M. Consideram ecuatia (42) ın aceasta situatie si fieϕ(t) o solutie a acesteia.

Se spune ca orbita ϕ este uniform distribuita ın D ⊂M , daca

limT→∞

µt ∈ [0, T ] : ϕ(t) ∈ DT

=µ(D)µ(M)

.

Fie g : M → R. Numim media temporala a lui g, de-a lungul traiectorieiΦt(x), t ≥ 0, limita (ın cazul ın care aceasta exista)

limT→∞

1T

T∫0

g(Φt(x))dx =: g(x).

In cele ce urmeaza ne plasam ın ipotezele teoremei 4.3.1.

Propozitia 4.3.1. Daca λ ∈ IR \Q, atunci pentru orice functie con-tinua (sau Riemann integrabila) g, definita pe M , are loc egalitatea ıntremedia ın raport cu timpul si media spatiala, mai precis:

(48) limT→∞

1T

T∫0

g(Φt(x))dx =1

4π2

2π∫0

2π∫0

gdx1dx2.

Demonstratie Demonstram mai ıntai (48) pentru functii de forma ei(k,x)

unde k = (k1, k2) ∈ Z2, (k, x) = k1x1 + k2x2. Fie ω = (α, β). Are loc, pentru

47

k 6= 0,

1T

T∫0

ei(k,x+ωt)dt =1Tei(k,x)

T∫0

ei(k,ω)tdt =ei(k,x)

i(k, ω)· 1T

[ei(k,ω)T − 1] −→T→∞

0.

Pe de alta parte,2π∫0

2π∫0

ei(k,x)dx1dx2 = 0,

deci (48) este satisfacuta ın aceasta situatie (cazul k = 0 este evident).Din liniaritate rezulta teorema pentru polinoame trigonometrice, complexesau reale. In cazul general, teorema rezulta din faptul ca orice functiecontinua pe tor poate fi aproximata ın topologia convergentei uniformeprin polinoame trigonometrice. Cazul functiilor integrabile poate fi tratatasemanator, tinand seama ca o functie integrabila poate fi aproximata uni-form, cu exceptia unei multimi de masura oricat de mica, cu functii continue.

In acest moment putem ıncheia demonstratia teoremei 4.3.1, folosindpropozitia 4.3.1 ın care luam pe g = χD, functia caracteristica a unei multimideschise D ⊂ T 2, si obtinand chiar ceva mai mult si anume ca solutiile suntuniform distribuite.

Observatia 4.3.1. Putem sa consideram ecuatii pe torul n-dimensionalTn, f(x) = ω = (ω1,...,ωn). Se demonstreaza analog ca, daca ω este nere-zonant (pentru orice k ∈ Zn, (k, ω) 6= 0), atunci traiectoriile sunt uniformdistribuite, deci dense peste tot.

Observatia 4.3.2. Propozitia 4.3.1 este de fapt un caz particular alunui rezultat central ın teoria ergodica si anume teorema Birkhoff-Khinchin(v.[8] p.11). Mentionam aici enuntul acestei teoreme.

Fie (M,Σ, µ) un spatiu cu masura de probabilitate, f ∈ L1(M) si T :M → M un endomorfism (T masurabila si pentru orice A ∈ Σ, µ(A) =µ(T−1(A))). Atunci a.p.t. x ∈M urmatoarea limita exista si este finita:

limn→∞

1n

n−1∑k=0

f(T k(x))def= f(x).

In cazul unui semiflux Φt de endomorfisme (se presupune ın plus ca pentruorice f masurabila pe M functia (t,x) →f(Φt(x)) este masurabila) existaa.p.t. x ∈M limita

limt→∞

1t

∫ t

0f(Φt(x))

def= f(x).

48

Mai mult, f este invarianta adica f(T (x)) = f(x), respectiv f(Φt(x)) =f(x). f ∈ L1(M) si ∫

Mf(x)dµ =

∫Mf(x)dµ.

Ramane de observat ca, ın cazul unui sistem dinamic ergodic (cu proprieta-tea ca daca A este multime invarianta atunci ın mod necesar µ(A) = 0 sau1) atunci o functie invarianta la flux este constanta a.p.t.

In cele ce urmeaza vom studia ecuatia (42) pe torul 2-dimensional, ıncazul general. Vom presupune ca f1 6= 0. Aceasta ınseamna ca orice traiec-torie a sistemului face o infinitate de turatii ın plan longitudinal. Aceasta nespune ca putem defini aplicatia Poincare care asociaza unui punct de pe unmeridian, de exemplu 0×S1, punctul urmator de intersectie al traiectorieicare trece prin punct, cu meridianul respectiv. Mai precis, tinand seama caecuatia (42) este echivalenta cu ecuatia

(49)dy

dx=f2(x, y)f1(x, y)

,

definimP (y0) = y(2π, 0, (0, y0)).

Se observa ca P are proprietatea ca P (y + 2π) = P (y) + 2π, deci putemprivi pe P si ca aplicatie de la S1 la S1. Evident, P este un difeomorfismcare pastreaza orientarea pe cerc si putem scrie:

P (y) = y + p(y),

unde p este o functie 2π periodica cu p′(y) > −1. Functia p se numestefunctie unghiulara.

Observatia 4.3.3. Studiul proprietatilor sistemului dinamic pe tor sereduce astfel la studiul proprietatilor unui difeomorfism al cercului. Astfel,de exemplu, punctele periodice ale lui P corespund orbitelor ınchise.

Definitia 4.3.1. Numarul de rotatie se defineste ca fiind limita (dacaaceasta exista)

(50) µ =12π

limn→∞

p(y) + p(Py) + ...+ p(Pn−1y)n

.

Teorema 4.3.2. Numarul de rotatie exista si definitia nu depinde dey. Acesta este rational daca si numai daca exista traiectorii ınchise (sau,echivalent, exista puncte periodice ale difeomorfismului P pe S1).

Demonstratie Fie

pn(y) = p(y) + p(Py) + ...+ p(Pn−1y) = Pny − y .

Sa aratam mai ıntai ca pentru orice y1, y2,

|pn(y1)− pn(y2)| < 2π.

49

Aceasta implica ın particular ca, daca limita ın (50) exista pentru un y1,atunci aceasta exista pentru orice y si acestea sunt egale.

Intr-adevar, cum Pn duce intervale de lungime 2π ın intervale de lungime2π si este o functie crescatoare, daca 0 ≤ y1 < y2 < 2π,

|pn(y1)− pn(y2)| = |(Pny2 − Pny1)− (y2 − y1)| < 2π.

Daca |y1− y2| ≥ 2π tinem seama de faptul ca pn este o functie 2π periodicasi ne putem raporta la cazul precedent.

Pe de alta parte,

pnm(0)mn

=m−1∑k=0

1npn(P kn0)

m

si, ıntrucat |pn(y)− pn(0)| < 2π pentru orice y, rezulta ca

|pnm(0)mn

− pn(0)n

| < 2πn,

deci

|pm(0)m

− pn(0)n

| < 2πn

+2πm

−→m,n→∞

0.

Rezulta ca limita ın (50) exista si este finita, deci numarul de rotatie estebine definit si nu depinde de y.

Sa aratam acum ca µ ∈ Q daca si numai daca exista traiectorii ınchise.Sa presupunem mai ıntai ca exista traiectorii ınchise, deci exista y ∈ S1 sin ∈ N+ astfel ıncat Pny = ymod2π deci pn(y) = 2mπ cu m ∈ Z. Un calculsimplu arata ca µ =

m

n.

Reciproc, sa presupunem ca µ =m

n∈ Q. Daca pentru orice y, pn(y) >

2πm, atunci pn(y) > 2πm + δ cu δ > 0 suficient de mic. Deci ar trebuica µ >

m

n, absurd. La fel, nu putem avea pn(y) < 2πm pentru orice y.

Rezulta existenta unui y, pn(y) = 2πm. Evident, traiectoria ce trece prin yeste ınchisa.

4.4. Indexul punctelor stationare izolate

Vom defini indexul unei curbe ın raport cu un camp vectorial si, tinandseama de proprietatile acestuia, vom defini indexul unui punct stationarizolat al unui camp vectorial.

Fie f : Ω ⊂ IR2 → IR2, continua si Γ o curba Jordan ın Ω, orientata, cenu contine puncte stationare ale lui f (x este stationar daca f(x) = 0).

Definitia 4.4.1. Indexul If (Γ) al curbei Γ ın raport cu campul vectorialf este dat de variatia unghiului Θ facut de f cu axa Ox1, cand curba Γ esteparcursa o data ın sens pozitiv ın raport cu orientarea data:

If (Γ) =∆Θ2π

.

50

Observatia 4.4.1. Indexul depinde numai de restrictia lui f la Γ. Dacape Γ are loc f(x) = λ(x)g(x), atunci If (Γ) = Ig(Γ).

Observatia 4.4.2. Se observa ca indexul este un numar ıntreg si de-pinde continuu de f . Daca F(s, ·) este o familie de campuri vectoriale astfelıncat, pentru orice 0 ≤ s ≤ 1, F(s, ·) nu are puncte stationare pe Γ, atunciIF(0,·)(Γ) = IF(1,·)(Γ). Indexul are deci proprietatea de invarianta la omo-topie.

Observatia 4.4.3. Daca If (Γ) = 0, atunci, privind pe f ca pe o functiecu valori complexe, pentru x ∈ Γ, f = ρ(x)eiϕ(x) unde ϕ : Γ → IR este ofunctie continua iar ρ(x) = |f(x)|.Γ este o curba Jordan deci este imaginea homeomorfa a unui cerc. Fieh : S1 → Γ acest homeomorfism. Fie g(x) = eidθ(h−1(x)) camp vectorialpe Γ. Se observa atunci ca Ig(Γ) = d. Reciproc, daca If (Γ) = d, ıntrucatfeidθ(h−1(x)) are index nul, rezulta ca f(x) = ρ(x)ei(ϕ(x)+dθ(h−1(x))).

Propozitia urmatoare da doua formule de calcul pentru index :

Propozitia 4.4.1. Sa presupunem ca Γ este o curba C1 si, de asemenea,f ∈ C1(Γ) cu |f | = 1. Atunci

(51) If (Γ) =12π

∫Γf ∧ fτds,

unde fτ este derivata lui f de-a lungul lui Γ, fτ = ∇f · τ, τ fiind campulvectorial unitar tangent la Γ, orientat pozitiv.

Daca, ın plus, interiorul curbei int Γ = D ⊂ Ω si u ∈ C1(D, IR2), u = fpe ∂D atunci

(52) If (Γ) =1π

∫D

ux1 ∧ ux2dx1dx2,

unde, pentru doua campuri vectoriale u = (u1, u2)T ,v = (v1, v2)T produsulexterior ∧ este definit prin u ∧ v = u1v2 − u2v1.

Demonstratie Campul vectorial f se scrie f(x) = eiΘ(x) unde Θ estedefinita pe Γ si este continua cu exceptia unui punct unde are un salt ∆Θ.ıntrucat fτ = iΘτe

iΘ rezulta ca f ∧ f τ = Θτ si prima expresie a indexuluirezulta din formula lui Leibniz.

Fie acum u cu proprietatile din enunt. Se observa ca

ux1 ∧ ux2 =12(∂

∂x1(u ∧ ux2) +

∂

∂x2(ux1∧u)).

Folosind formula lui Stokes si, tinand seama ca pe Γ u ∧ ux2 = Θx2 , ux1∧u =−Θx1 , ν1 = τ2, ν2 = −τ1, obtinem∫

Dux1 ∧ ux2dx1dx2 =

12

∫Γ(u ∧ ux2)ν1 + (ux1∧u)ν2ds =

=12

∫Γ

Θτds = πIf (Γ).

51

Corolar 4.4.1. Daca f(x) = λ(x)τ(x) pe Γ, cu λ(x) 6= 0 atunci If (Γ) =+1. Daca Γ este orbita periodica corespunzatoare lui f , atunci If (Γ) = ±1.

Teorema 4.4.1. Daca Γ este o curba Jordan astfel ıncat nu existapuncte stationare ale lui f pe Γ sau ın interiorul sau D, atunci If (Γ) = 0.

Demonstratie Vom face demonstratia ın cazul ın care atat Γ cat si f suntde clasa C1. Fie u = f/|f |. Tinand seama de Remarca 4.4.1, Iu(Γ) = If (Γ).Folosim formula de calcul dedusa mai sus si obtinem ca

If (Γ) =1π

∫D

ux1∧ux2dx1dx2.

Dar, ıntrucat |u|2 = 1, rezulta prin derivare u · ux1 = 0 si u · ux2 = 0 deciux1∧ux2 = 0 si If (Γ) = 0.

Corolar 4.4.2. O orbita periodica Γ contine cel putin un punct stationaral lui f ın interiorul sau.

Observatia 4.4.4. In acelasi mod rezulta ca, daca Γ1,Γ2 sunt douacurbe Jordan orientate pozitiv, cu Γ1 inclusa ın interiorul lui Γ2, astfel ıncatcampul vectorial f sa nu aiba puncte stationare ın domeniul ce are dreptfrontiera Γ1∪Γ2, atunci If (Γ1) = If (Γ2). Avand ın vedere acest lucru putemda urmatoarea definitie:

Definitia 4.4.2. Indexul unui punct stationar izolat x0 al campului vec-torial f este

If (x0) = If (Γ),unde Γ este o curba Jordan orientata pozitiv ce contine ın interiorul saunumai un punct stationar al lui f si anume x0.

Observatia 4.4.5. Daca interiorul curbei Γ, care este orientata pozitiv,contine un numar finit de puncte stationare ale lui f , x1, ...,xn, atunciIf (Γ) =

∑i If (xi). Aceasta rezulta imediat folosind a doua formula de calcul

pentru index.

Sa calculam acum indexul unui punct stationar izolat nedegenerat x0 al luif . In jurul lui x0 are loc

f(x) = A(x− x0) + o(|x− x0|),

cu A =(a bc d

), detA 6= 0. Rezulta ca, pentru r > 0 suficient de mic,

sf(x) + (1 − s)A(x− x0) 6= 0 pentru 0 ≤ s ≤ 1. Rezulta ca, pe ∂Br ,campurile vectoriale f(x) si g(x) = A(x− x0) sunt omotope si deci If (x0) =If (∂Br) = Ig(∂Br) = Ig(∂B1). Folosind (51) obtinem

Ig(∂B1) =(ad− bc)

2π

∫ 2π

0

dθ

(a cos θ + b sin θ)2 + (c cos θ + d sin θ)2.

52

Membrul drept ın formula de mai sus este continuu ca functie de (a, b, c, d)cu ad − bc 6= 0. Sa presupunem ca ad − bc > 0. Distingem doua situatii sianume ad > 0 sau ad ≤ 0. Daca ad > 0 facem b, c → 0 si d → a iar dacaad ≤ 0 facem a, d→ 0 si b→ c si obtinem:

Ig(∂B1) =12π

∫ 2π

0dθ = +1.

In acelasi fel se obtine Ig(∂B1) = −1 daca detA < 0.Am obtinut asadar urmatorul rezultat:

Propozitia 4.4.2. Indexul punctului stationar nedegenerat x0 al lui feste egal cu semnul determinantului Jacobian al lui f ın x0.

4.5. Exercitii si probleme

4.1. Fie sistemul x′ = −y + x(1− r2)y′ = x+ y(1− r2) .

Sa se arate ca γ(t) = (cos t, sin t)T este orbita periodica si sa se calculezeaplicatia Poincare. Studiati stabilitatea acestei orbite.

4.2. Sa se scrie ın coordonate polare sistemulx′ = µx+ y − x

√x2 + y2

y′ = −x+ µy − y√x2 + y2

.

Sa se arate ca acesta are o orbita periodica si sa se determine aplicatiaPoincare pentru aceasta. Ce se poate spune despre stabilitatea acesteia?

4.3. Sa se determine aplicatia perioada pentru ecuatia

x′′ + 3x′ + 2x = cos t.

Sa se gaseasca punctele periodice pentru aceasta si sa se studieze stabilitatea.

4.4. Sa se arate ca γ(t) = (2 cos 2t, sin 2t)T este orbita periodica pentrusistemul

x′ = −4y + x(1− x2

4 − y2)

y′ = x+ y(1− x2

4− y2)

si sa se studieze stabilitatea acesteia.

4.5. Sa se arate ca sistemele

(1)x′ = x− y − (x2 + 3y2/2)xy′ = x+ y − (x2 + y2/2)y ,

(2)x′ = 2x+ 2y − x(2x2 + y2)y′ = −2x+ y − y(2x2 + y2) ,

(3)x′ = −y − x3 + xy′ = x− y3 + y

,

53

(4)x′ = x+ y − x3 − 6xy2

y′ = 2y − 8y3 − x2y − x/2au cicluri limita.

4.6. Fie D ⊂ IR2 o multime deschisa, simplu conexa si f ∈ C1(D, IR2)un camp vectorial astfel ıncat ∇ · f pastreaza semn constant ın D si areun numar finit de zerouri. Sa se arate ca ın D nu exista orbite periodicecorespunzatoare lui f (Criteriul lui Bendixson)

4.7. Sa se arate ca sistemulx′ = x− y − x3

y′ = x+ y − y3

are o unica orbita periodica ın multimea A = x,1 < |x| <√

2

4.8. Fie sistemul x′ = −y + x(r4 − 3r2 + 1)y′ = x+ y(r4 − 3r2 + 1).

Sa se arate ca exista exact doua orbite periodice, una ın discul x,|x| < 1si una ın multimea A = x,1 < |x| < 3.

4.9. Sa se arate ca ecuatia

x′′ + ε(x2 + x′2 − 1

)x′ + x3 = 0

are cel putin o solutie periodica.

4.10. Consideram ecuatia lui Lienard ın ipotezele precizate ın exemplul1.2.3. Sa se arate ca ecuatia are un ciclu limita care este stabil.

4.11. Sa se determine indexul punctelor stationare pentru sistemele:

(1)x′ = −x2 + 3y2

y′ = 2xy ;

(2)x′ = xy3

y′ = x2 − y4 .

4.12. Sa se determine indexul punctelor stationare ale ecuatiei pendulu-lui cu frecare

x′′ = −kx′ −A sinx,unde A, k > 0.

54

CAPITOLUL 5

Stabilitate structurala

In acest capitol introducem notiunea de stabilitate stucturala. Demon-stram teorema lui Hartman-Grobman de stabilitate a punctelor hiperbolicesi studiem cazul difeomorfismelor cercului, ın stransa legatura cu sistemeledinamice pe tor, precum si campurile vectoriale pe varietati 2-dimensionale.In dimensiune 1 sau 2 proprietatea de stabilitate structurala este generica,ın sensul ca este caracteristica unei multimi deschise si dense de sistemedinamice. Unul din modurile de aparitie a haosului poate fi gandit ca fiindinstabilitatea structurala. Exista exemple de sisteme dinamice pe varietati3 -dimensionale ce sunt structural instabile, iar ın vecinatatea acestora nuexista sisteme dinamice structural stabile.

Clasificarea modurilor ın care un sistem dinamic, depinzand de un pa-rametru, ısi schimba structura topologica atunci cand parametrul variaza,face obiectul teoriei bifurcatiilor. Nu ne propunem sa facem o introducereın aceasta teorie, ci numai sa prezentam elementele ce influenteaza stabili-tatea structurala, deci, prezenta punctelor de bifurcatie. Bifurcatiile pot filocale, cele datorate schimbarii stabilitatii punctelor stationare sau orbitelorperiodice ale sistemului, sau globale, atunci cand schimbarea stabilitatii sedatoreaza aspectelor globale ale fluxului. Aspecte privind bifurcatiile localeau fost deja ıntalnite ın capitolul 2. Aspectele globale ale unui sistem di-namic, ce pot influenta stabilitatea structurala a acestuia, pot fi numarul derotatie, orbitele homoclince sau heteroclinice etc.

5.1. Notiuni introductive

Definitia 5.1.1. Fie doua sisteme dinamice (M1,Φt) si (M2,Ψt) douasisteme dinamice. Vom spune ca acestea sunt topologic echivalente dacaexista un homeomorfism h : M1 →M2 care transforma traiectoriile primuluisistem dinamic ın traiectoriile celui de-al doilea pastrand sensul, dar nuneaparat parametrizarea.

Observatia 5.1.1. Daca este vorba de sisteme dinamice discrete, atunciacestea sunt definite prin functii continue Fi : Mi →Mi. In aceasta situatievom spune ca F1 si F2 sunt topologic echivalente si aceasta se ıntampla dacaexista h, ca mai sus ,astfel ıncat F2 h = h F1.

Fie acum M o multime deschisa din IRn (sau o varietate diferentiabilaprivita ca subvarietate a lui IRn) si fie f un camp vectorial pe M. Definim‖ f ‖1= supM|f(x)|+ |Df(x)|.

55

Definitia 5.1.2. Dat campul vectorial f (sau sistemul dinamic generatde acesta), vom spune ca acesta este structural stabil daca exista ε > 0,astfel ıncat pentru orice camp vectorial g, g = f pe CK unde K ⊂ M esteun compact si ‖ f − g ‖1< ε, atunci sistemele dinamice generate de f ,g sunttopologic echivalente.

Definitia 5.1.3. O aplicatie continua F : M →M este structural stabiladaca exista ε > 0 astfel ıncat, daca F = G pe CK unde K ⊂ M compactsi ‖ F − G ‖0= supM |F (x) − G(x)| < ε, atunci F si G sunt topologicechivalente.

Observatia 5.1.2. Intre punctele stationare si orbitele periodice aleunor sisteme dinamice topologic echivalente exista o corespondenta biuni-voca. Remarcam totusi ca echivalenta topologica nu face distinctie ıntrenoduri proprii, improprii si puncte spirale. De exemplu, campurile vecto-riale liniare din IR2 date de aplicatiile liniare cu matricile(

2 00 1

),

(2 10 2

),

(2 1−1 2

)sunt topologic echivalente desi 0 este ın fiecare situatie punct stationar dealt tip. In mod evident, ınsa, echivalenta topologica face distinctie ıntrepuncte sa si atractori stabili sau instabili.

Fie un sistem dinamic (M1,Φµt ) depinzand de un parametru µ ∈ IRm.

Definitia 5.1.4. Se spune ca µ0 este un punct de bifurcatie pentru sistemdaca acesta, pentru µ = µ0, este structural instabil si ın orice vecinatate alui µ0 exista µ1, µ2 6= µ0, astfel ıncat sistemele corespunzatoare nu sunttopologic echivalente.

Mentionam ca, ın general, ın teoria bifurcatiilor se considera sistemediferentiale depinzand de un parametru :

x′ = f(x,µ).

In continuare prezentam, fara demonstratie, teorema lui Sard , foarteutila pentru a arata genericitatea anumitor proprietati. Fie M o varietatediferentiabila de dimensiune n. Fie A ⊂ M o submultime. Spunem ca Aeste de masura (n-dimensionala) nula daca pentru orice harta locala (D,ϕ),ϕ−1(A) este de masura nula.

Fie acum M1, M2 doua varietati de dimensiuni finite si fie o aplicatieneteda F : M1 → M2. Un punct x ∈M1 se numeste punct critic pentru Fdaca rangDF (x) < dimM2. Un punct c ∈M2 se numeste valoare critica alui F daca F−1(c) contine macar un punct critic.

Teorema 5.1.1. (Sard) Multimea valorilor critice ale lui F este demasura nula.

Pentru demonstratie se poate consulta de exemplu [1], p.94.

56

5.2. Teorema Hartman-Grobman

Pentru aplicatiile diferentiabile, deci pentru sistemele dinamice cu timpdiscret definite de aplicatii diferentiabile, teorema Hartman-Grobman areurmatorul enunt:

Teorema 5.2.1. Fie P : Bδ(0) ⊂ IRn → IRn difeomorfism local astfelıncat P(0) = 0 si DP(0) = A este o matrice fara valori proprii de modul 1.Atunci P este topologic echivalent, ın vecinatatea lui 0, cu aplicatia liniaracu matricea A.

Demonstratie Sa observam mai ıntai ca exista un difeomorfism F al luiIRn astfel ıncat F = P ıntr-o vecinatate suficient de mica a lui 0. Pentruaceasta fie ϕ ∈ C∞(IRn), ϕ = 1 pe B1(0), ϕ = 0 pe CB2(0). Atunci,pentru ε > 0 suficient de mic un astfel de difeomorfism este F(x) = Ax +ϕε(x)(P(x)−Ax) unde ϕε(x) = ϕ(x/ε).

Pentru a demonstra teorema e suficient sa aratam ca exista un homeo-morfism H al lui IRn astfel ıncat F(H(x)) = H(Ax) pentru orice x. Dacascriem H(x) = x + h(x) si F(x) = Ax + f(x), rezulta ca trebuie sa rezolvamecuatia functionala

(53) h(Ax)−Ah(x) = f(x + h(x))

ın C0(IRn). Notand cu

Lh(x) := h(Ax)−Ah(x),

Th(x) := f(x + h(x))− f(x),avem de rezolvat ecuatia

(54) Lh = Th + f .

Sa studiem pentru ınceput ecuatia liniara

(55) Lh = f .

Tinand seama ca A nu are valori proprii de modul 1, rezulta ca IRn se des-compune ın suma directa de subspatii invariante ale lui A, corespunzatoarevalorilor proprii de modul mai mare, respectiv mai mic decat 1. Facand

o schimbare de baza ın IRn, putem presupune ca A =(

A1 00 A2

)cu

|λi(A1)| > 1, |λi(A2)| < 1. Fie, de asemenea, f1, f2 si h1,h2 componen-tele lui f si h ın cele doua subspatii si

Kh(x) = h(Ax).

Evident,‖ K ‖=‖ K−1 ‖= 1,

unde ‖ · ‖ este norma uzuala din L(C0(IRn), C0(IRn)), spatiul operatorilorliniari continui din C0(IRn). Ecuatia (55) se rescrie ın forma

(K−A1)h1 = f1(K−A2)h2 = f2.

57

Este suficient sa demonstram ca cei doi operatori K − Ai sunt inversabili.Pentru aceasta sa observam ca ‖ A−1

1 ‖< 1, ‖ A2 ‖< 1 si deci seriileurmatoare sunt convergente si definesc operatorii inversi :

−A−11 (I + (KA−1

1 ) + (KA−11 )2+...) = (K−A1)

−1

K−1(I + (A2K−1) + (A2K

−1)2+...) = (K−A2)−1.

Exista deci operatorul L−1 ∈ L(C0(IRn), C0(IRn)). Sa studiem acum ecuatianeliniara (54), care este echivalenta cu

h = L−1Th + L−1f =: Θh.

Sa aratam ca membrul drept este o contractie pentru ‖ f ‖C1 suficient demica:

‖ Θh1−Θh2 ‖=‖ L−1Th1−L−1Th2 ‖≤ C ‖ Th1−Th2 ‖== C sup

x|f(x + h1(x))− f(x + h2(x)| ≤ C ‖ f ‖C1‖ h1−h2 ‖ .

Intr-adevar, pentru ‖ f ‖C1 < 1/C operatorul neliniar Θ este o contractieıntr-un spatiu Banach si are deci un unic punct fix h, ‖ h ‖C0 mica daca‖ f ‖C1 este mica.

Ramane de aratat ca H = I + h este homeomorfism. Cum H este con-tinua, este suficient de aratat saraatam ca H este bijectie.

Surjectivitatea rezulta printr-un argument topologic si anume din faptulca pentru orice y ∈ IRn, deg(I + h,y, ∂BR) = deg(I,y, ∂BR) pentru Rsuficient de mare.

Pentru a demonstra injectivitatea, sa observam ca daca H(x) = H(y),atunci H(Anx) = H(Any) deci Anx−Any = h(x)− h(y). Dar dacax 6= y, |Anx−Any| → ∞ pentru n → ∞ sau pentru n → −∞. Insa|h(x)− h(y)| ≤ 2 ‖ h ‖C0 , deci x = y.

Sa consideram acum sistemul diferential

x′= f(x),

f : Bδ ⊂ IRn → IRn ,f(0) = 0 si fie A =Df(0). In cazul sistemului dinamiccu timp continuu definit de sistemul diferential, teorema Hartman-Grobmanare urmatorul enunt :

Teorema 5.2.2. Daca A nu are valori proprii cu partea reala 0 atuncisistemul dinamic definit de f este topologic echivalent cu sistemul dinamicdeterminat de campul vectorial liniar Ax. Mai mult, homeomorfismul cedetermina echivalenta topologica poate fi ales sa pastreze si parametrizareatraiectoriilor.

Demonstratia acestei teoreme, ceva mai tehnica, o vom omite. Aceastase bazeaza pe teorema precedenta si pe teorema 3.2.3 (asupra stabilitatiiconditionale, existenta varietatilor stabila si instabila).

58

Mentionam ın continuare doua rezultate de persistenta la perturbatii apunctelor stationare si a orbitelor periodice hiperbolice la mici perturbatii.Fie f ∈ C1(Ω, IRn), Ω ⊂ IRn.

Teorema 5.2.3. Daca x0 este un punct stationar hiperbolic al lui f ,atunci, pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat daca ‖ f − g ‖C1< δ,atunci g are un punct stationar hiperbolic y0 ıntr-o ε−vecinatate a lui x0.Mai mult, Df(x0) si Dg(y0) au acelasi numar de valori proprii cu parteareala negativa, respectiv pozitiva.

Teorema 5.2.4. Daca Γ este o orbita periodica hiperbolica pentru campulvectorial f , atunci, pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat, daca‖ f − g ‖C1< δ, atunci g are ıntr-o ε−vecinatate a lui Γ o orbita pe-riodica hiperbolica. Varietatile stabile, respectiv instabile, corespunzatoarecelor doua orbite periodice, au aceeasi dimensiune.

5.3. Sisteme dinamice ın dimensiune 1 si 2.

In acest paragraf se prezinta cateva rezultate privind stabilitatea struc-turala a sistemelor dinamice pe cerc si a sistemelor dinamice pe torul bidi-mensional, cu referire la cazul general al varietatilor diferentiabile de dimen-siune 2.

Pentru ınceput sa consideram un camp vectorial f pe S1 . Acest campvectorial poate fi privit ca o functie f : R → R de perioada 2π. Are locurmatoarea teorema:

Teorema 5.3.1. Campul vectorial f defineste un sistem dinamic struc-tural stabil daca si numai daca are numai puncte stationare nedegenerate.

Doua campuri vectoriale structural stabile sunt topologic echivalente dacasi numai daca au acelasi numar de puncte stationare.

Campurile vectoriale structural stabile formeaza o multime deschisa sidensa ın multimea campurilor vectoriale pe cerc.

Demonstratie Fie campul vectorial f care are numai puncte stationarenedegenerate. Atunci acestea sunt ın numar finit si punctele stabile al-terneaza cu cele instabile. Mai precis, orice traiectorie converge pentru t→∞ la un punct stationar stabil si pentru t→ −∞ la un punct stationar insta-bil. Stabilitatea structurala ın aceasta situatie este evidenta, iar echivalentatopologica a doua campuri vectoriale ce au acelasi numar de puncte stationarenedegenerate si numai pe acestea, rezulta imediat.

Ramane de aratat ca un camp vectorial f ce are si puncte stationaredegenerate poate fi perturbat oricat de putin astfel ıncat sa obtinem uncamp vectorial numai cu puncte stationare nedegenerate. Pentru aceasta,tinand seama de lema lui Sard, multimea acelor ε care sunt valori criticepentru f este de masura 0. Deci exista ε > 0 oricat de mic astfel ıncatfε = f − ε nu are puncte stationare degenerate si fε → f cand ε→ 0.

Pentru sistemele dinamice cu timp discret, mai exact ın cazul difeomor-fismelor cercului ce pastreaza orientarea mentionam urmatorul rezultat:

59

Teorema 5.3.2. Un difeomorfism T : S1 → S1 al cercului ce pastreazaorientarea este structural stabil daca si numai daca numarul sau de rotatieeste rational si toate ciclurile sunt nedegenerate. Multimea difeomorfismelorstructural stabile formeaza o multime deschisa si densa ın multimea C2 difeo-morfismelor ce pastreaza orientarea.

Observatia 5.3.1. Amintim ca un difeomorfism al cercului T : S1 →S1, ce pastreaza orientarea, poate fi privit ca un difeomorfism T : IR → IR cuproprietatea ca T (y+ 2π) = T (y) + 2π. Putem deci scrie T (y) = y+ t(y) cut functie 2π periodica si t′(y) > −1. Numarul de rotatie al difeomorfismuluieste

µ =12π

limn→∞

t(y) + t(Ty) + ...+ t(Tn−1y)n

.

Un ciclu de ordin q , (y, Ty, ..., T q−1y, T qy = y) se numeste nedegeneratdaca 1 nu este valoare proprie pentru DT q(y).

Aceasta teorema este o consecinta a urmatorului rezultat al lui Denjoy(v.[1] p. 107):

Teorema 5.3.3. (Denjoy) Un difeomorfism al cercului, ce pastreazaorientarea si are numar de rotatie irational µ, este topologic echivalent curotatia cercului de unghi 2πµ.

In ce priveste stabilitatea campurilor vectoriale pe varietati 2-dimensionalegenerale, urmatoarea teorema a lui Peixoto da o caracterizare completa:

Teorema 5.3.4. Fie f un C1 camp vectorial pe o varietate 2-dimensionalacompacta. Atunci f este structural stabil daca si numai daca sistemul di-namic corespunzator are urmatoarele proprietati :

(1) are un numar finit de puncte stationare si de cicluri care sunt hiper-bolice,

(2) nu are orbite heteroclinice sau homoclinice,(3) multimea ”nonwandering” contine numai puncte stationare si ci-

cluri limita.In plus, daca varietatea M este orientabila, atunci multimea campurilorvectoriale structural stabile este deschisa si densa ın multimea campurilorvectoriale pe M.

Tinand cont de rezultatul asupra stabilitatii structurale a difeomorfis-melor cercului rezulta imediat urmatoarea teorema ın cazul campurilor vec-toriale f = (f1, f2)T : T 2 → T 2 , f1 6= 0 :

Teorema 5.3.5. Campul vectorial f pe tor este structural stabil daca sinumai daca numarul de rotatie (al aplicatiei Poincare) este rational si toateorbitele periodice sunt nedegenerate.

Observatia 5.3.2. Existenta sistemelor dinamice structural instabile,ın vecinatatea carora nu exista alte sisteme dinamice structural stabile, este

60

un mod de a justifica aparitia haosului. Astfel, ın 1965, Smale a construitun difeomorfism f : T 3 → T 3:

f(x, y, z)def=

(2x+ y, x+ y,

z

2

)(mod 2π)

si a aratat ca ın vecinatatea acestuia nu exista difeomorfisme structural sta-bile (v.[1], p.142). In consecinta, pe o varietate 4-dimensionala, de exempluT 4, exista un camp vectorial ce nu poate fi transformat ıntr-un camp vecto-rial structural stabil prin mici prturbatii.

5.4. Exercitii si probleme

5.1. Sa se studieze stabilitatea structurala a sistemelor dinamice date deurmatoarele ecuatii si sisteme

(1) x′ = cosx;(2) x′ = x4;(3) x′ = µ− x2;(4) x′ = µx− x2;(5) x′ = µx− x3;(6) x′′ + 4x′ + x = 0;(7) x′′ + µ(x2 − 1) + x = 0;(8) x′ = 2− cosx , y′ = 1, (x, y) ∈ T 2;(9) x′ = 1− 3 cosx , y′ = 1, (x, y) ∈ T 2.

5.2. Sa se gaseasca punctele de bifurcatie pentru sistemele liniare cuurmatoarele matrici(

1 −31 µ

),

(µ µ− 11 µ

),

(1 µ−2 1

)5.3. Sa se arate ca urmatoarele sisteme

(1)x′ = xy′ = y2 − µ

,

(2)x′ = −xy′ = µy − y2 ,

(3)x′ = −xy′ = µy − y3 ,

sunt structural instabile pentru µ = 0 si sa se schiteze portretul fazelorpentru µ < 0, µ = 0, µ > 0. Mentionam ca cele 3 exemple corespund latrei tipuri genrice de bifurcatii ın puncte stationare nehiperbolice : sea-nod,transcritic, respectiv furca.

5.4. Sa se arate ca µ = 1/2 este punct de bifurcatie pentru sistemulx′ = x− µy − x(x2 + y2)y′ = µx+ y − y(x2 + y2)− µ

.

61

5.5. Sa se discute stabilitatea punctelor de echilibru si sa se determinebifurcatiile pentru ecuatia

x′′ = −x3 + µ(x2 − 1).

5.6. Consideram sistemulx′ = µx+ y − x(x2 + y2)y′ = −x+ µy − y(x2 + y2) .

Sa se arate ca µ = 0 este punct de bifurcatie. Vezi si problema 3.8. O astfelde bifurcatie, ın care apar cicluri limita, se numeste bifurcatie Hopf.

5.7. Sa se arate ca ecuatia

x′′ + (x2 + x′2 − µ)x′ + x = 0

are ın µ = 0 o bifurcatie de tip Hopf.

5.8. Sa se arate ca sistemulx′ = y − y2

y′ = x+ µy

este structural instabil pentru µ = 0. Mai precis, sa se arate ca acesta areo orbita homoclinica pentru µ = 0, care dispare cand µ 6= 0. In aceastasituatie este vorba de o bifurcatie homoclinica. Sa se arate de asemenea casistemul

x′ = 1− x2

y′ = xy + µ

are o orbita heteroclinica pentru µ = 0 care dispare cand µ 6= 0. Sa seschiteze portretul fazelor pentru cele doua sisteme.

62

CAPITOLUL 6

Sisteme hamiltoniene

In acest capitol deducem ecuatiile lui Lagrange, folosind principiul min-imei actiuni, si apoi ecuatiile lui Hamilton, folosind transformata Legendre.Aceste ecuatii sunt fundamentale ın studiul fenomenelor mecanice. Scopulfinal al acestui capitol este introducerea notiunii de sistem integrabil siprezentarea teoremei de caracterizare a lui Liouville. In acest context seintroduc coordonatele actiune-unghi, ın care miscarea ıntr-un sistem hamil-tonian integrabil se descompune ıntr-o miscare de translatie uniforma si omiscare conditional periodica pe torul Tn.

6.1. Ecuatiile Euler-Lagrange si sisteme hamiltoniene

Calculul variatiilor. Fie L : R×Rn × IRn → R o functie de clasa C1.In mecanica clasica, principiul minimei actiuni al lui Maupertuisse exprimamatematic prin problema de calculul variatiilor:

(56) infx∈M

∫ t1

t0

L(t,q(t),q′(t))dt,

unde M = q : [t0, t1] → IRn,q(t0) = q0, q(t1) = q1,q continua si C1

pe portiuni. Sa presupunem ca q realizeaza infimul ın (56). Atunci, dacaϕ ∈ C1([t0, t1], IRn) cu ϕ(t0) = ϕ(t1) = 0, rezulta x + sϕ ∈M si

d

ds

∫ t1

t0

L(t,q(t) + sϕ(t),q′(t) + sϕ′(t))dt |s=0= 0.

Obtinem

0 =∫ t1

t0

∂L

∂q(t,q(t),q′(t))ϕ(t) +

∂L

∂q′(t,q(t),q′(t))ϕ′(t)dt =

=∫ t1

t0

[∂L

∂q(t,q(t),q′(t))− d

dt[∂L

∂q′(t,q(t),q′(t))]]ϕ(t)dt.

Intrucat ϕ este ales arbitrar cu proprietatile mentionate, rezulta ca

(57)d

dt[∂L

∂q′(t,q(t),q′(t))]− ∂L

∂q(t,q(t),q′(t)) = 0.

Acestea sunt ecuatiile Euler-Lagrange care formeaza un sistem de n ecuatiidiferentiale de ordinul al doilea. Studiul fenomenelor mecanice cu aju-torul ecuatiilor lui Lagrange formeaza mecanica lagrangeana. O curba care

63

verifica ecuatiile Euler-Lagrange se numeste extremala. Aceasta nu real-izeaza ın mod necesar infimul functionalei respective.

Sisteme hamiltoniene. Mentionam pentru ınceput, fara demonstratie,cateva rezultate de analiza convexa, de care avem nevoie. Demonstratiileacestora, precum si cadrul cel mai general ın care notiunile prezentate sedefinesc, pot fi gasite de exemplu ın [4].

Fie f : IRn → IR o functie convexa. Aceasta, fiind definita pe un spatiufinit dimensional, este si continua. Subdiferentiala sa ın punctul x se de-fineste prin

∂f(x) = x∗ ∈ IRn : (u− x,x∗) ≤ f(u)− f(x)∀u ∈ IRn.

Subdiferentiala exista ın orice punct si este multime ınchisa si convexa.Legatura dintre subdiferentiala si derivata Gateaux este urmatoarea:

Propozitia 6.1.1. Daca functia convexa f este Gateaux diferentiabilaın x0, atunci ∂f(x0) contine un singur element si anume ∇f(x0).

Reciproc, daca ∂f(x0) contine un singur element, atunci f este Gateauxdiferentiabila ın x0 si ∂f(x0) = ∇f(x0).

Transformata Legendre, sau conjugata functiei f , este functia

f∗ : IRn → IR, f∗(x∗) = supx∈IRn

(x∗,x)− f(x).

Are loc inegalitatea lui Young, care rezulta imediat din definitia conjugatei:

f∗(x∗) + f(x) ≥ (x∗,x).

Proprietatile fundamentale ale functiei conjugate sunt date de urmatoareapropozitie:

Propozitia 6.1.2. f∗ este convexa, continua si f∗∗ = f. Urmatoareleconditii sunt echivalente:

(1) x∗ ∈ ∂f(x),(2) x ∈ ∂f(x∗),(3) f(x) + f∗(x∗) = (x,x∗).

Cu aceste elemente de analiza convexa, deducem ın continuare ecuatiilelui Hamilton din ecuatiile Euler-Lagrange si aratam apoi echivalenta aces-tora. Scopul este de a transforma sistemul diferential de ordinul al doileaformat de ecuatiile Euler-Lagrange ıntr-un sistem diferential de ordinul ıntai.Sistemul obtinut este canonic, ın sensul urmator: ecuatiile Euler-Lagrangesunt bine formulate ın fibratul tangent al unei varietati diferentiabile TM(M este varietatea pe care coordonate locale sunt notate generic cu q iarlagrangeanul L este o functie neteda pe TM). Transformarea descrismaijos duce sistemul Euler-Lagrange ıntr-un sistem diferential de ordinul ıntaidefinit pe fibratul cotangent T ∗M , care are o structura naturala de vari-etate simplectica. Acest nou sistem, sistemul hamiltonian, este invariant laschimbari canonice de coordonate ın T ∗M .

64

Sa presupunem ın plus ca q∗ → L(t,q,q∗) este functie strict convexa.Fie transformata sa Legendre ın raport cu q∗ :

H(t,q,p) := supq∗∈IRn

(p,q∗)− L(t,q,q∗)

numita hamiltonian. Din stricta convexitate a lui L si faptul ca L ∈ C1,rezulta ca hamiltonianul este o functie de clasa C1. Aceste ipoteze de regu-laritate pe care le impunem sunt mai tari decat necesar, ınsa ne permit oprezentare simpla si rapida a ideilor principale.

Se noteaza cu

p(t) :=∂L

∂q′(t,q(t),q′(t)),

si se numeste vectorul impulsurilor generalizate. Din propozitia 6.1.2 rezultaca

(58) q′(t) =∂H

∂p(t,q,p).

Din ecuatiile Euler-Lagrange rezulta ca:

(59) p′(t) =∂L

∂q(t,q(t),q′(t)).

Pe de alta parte,

(60) H(t,q,p) = (p,q∗)− L(t,q,q∗)

unde∂L

∂q∗(t,q,q∗) = p deci, din propozitia 6.1.2, obtinem ca

(61) q∗ =∂H

∂p(t,q,p).

Derivand ın raport cu q egalitatea (60) si tinand seama de (61), obtinem

∂H

∂q(t,q,p) = −∂L

∂q(t,q,

∂H

∂p(t,q,p)).

Introducand ın (59) obtinem, ımpreuna cu (58),

(62)

q′(t) =

∂H

∂p(t,q,p)

p′(t) = −∂H∂q

(t,q,p)

.

Acestea sunt ecuatiile lui Hamilton sau sistemul hamiltonian.

Daca notam cu x = (q,p)T si cu J =(

0n In

−In 0n

), unde 0n, In sunt

matricile nula, respectiv identitate din Mn×n, atunci sistemul hamiltonianse poate rescrie ın forma:

(63) x′ = J∇H(t,x).

65

Observatia 6.1.1. Ecuatiile lui Hamilton nu apar ın mecanica nu-mai aplicand transformata Legendre ecuatiilor lui Lagrange. Aceasta mo-tiveaza si considerarea hamiltonienilor neconvecsi ın p. Pentru o deducerea ecuatiilor lui Hamilton, independenta de transformata Legendre, se poateconsulta [3], Ch.1,§3.4.

Fie acum doi hamiltonieni F (t,q,p), G(t,q,p). Paranteza Poisson aacestora se defineste ca fiind

F,G :=∂F

∂q· ∂G∂p

− ∂F

∂p· ∂G∂q

.

Un calcul simplu ne arata ca

(64) F,G,H+ G,H, F+ H,F, G = 0.

Aceasta se numeste identitatea lui Jacobi .Evolutia lui F de-a lungul fluxului hamiltonian generat de H este

(65)d

dtF =

∂F

∂q· q′ + ∂F

∂p· p′ + ∂F

∂t= F,H+

∂F

∂t.

Aceasta este forma Lax a unui sistem hamiltonian.Rezulta, ın cazul autonom (H nu depinde explicit de timp), ca H este

integrala prima. Din acest motiv este important sa observam ca un sis-tem hamiltonan se poate transforma ıntr-un sistem hamiltonian echivalentcare, ın plus, este autonom. Pentru a realiza acest lucru introducem pentruınceput, ca necunoscuta suplimentara, q0 = t si ecuatia care apare ın pluseste q′0 = 1. Pentru a pastra formularea canonica, hamiltoniana, trebuieintrodusa coordonata conjugata p0 si un nou hamiltonian

H(q,q0,p,p0) := H(q0,q,p)+p0.

Se verifica usor ca cele doua sisteme hamiltoniene sunt echivalente tinandseama ca

p′0 = −∂H∂q0

= −∂H∂t

= − d

dtH(q,p, t),

si considerandp0 = −H(q,p,t).

Exemple. Studiu local al sistemelor hamiltoniene.

Exemplul 6.1.1. Fie un sistem de n puncte materiale cu vectorii depozitie ri, ce se misca ıntr-un camp de forte potential conform ecuatiilor demiscare ale lui Newton:

(66)d

dt(mir′i) +

∂U

∂ri= 0,

unde U = U(r), r = (r1, ..., rn) este potentialul. Consideram lagrangeanul

L(r, r′) = T − U,

66

unde

T =n∑

i=1

mi|r′i|2

2

reprezinta energia cinetica a sistemului. Se observa ca∂L

∂r′i=∂T

∂r′i= mir′i,

∂L

∂ri= −∂U

∂ri,

deci evolutia ın sistemul (66) coincide cu miscarea data de ecuatiile lui Euler-Lagrange:

d

dt

∂L

∂r′− ∂L

∂r= 0

deci curbele integrale sunt extremale pentru functionala∫Ldt.

Exemplul 6.1.2. Consideram cazul, ceva mai general, al unui sistemmecanic pentru care lagrangianul asociat este

L(q,q′) = T (q′)− U(q)

, energia cinetica fiind data de o forma patratica:

T (q′) =12

∑aijq

′iq′j =

12(Aq′,q′).

Se observa ca hamiltonianul corespunzator este

H(q,p) = L∗(q,p) =T (q′) + U(q), p = Aq′.

Asadar, ın cazul sistemelor mecanice, hamiltonianul este dat de energia to-tala. Lasam ca exercitiu faptul ca, daca T este o forma patratica pozitivdefinita, atunci un punct stationar al sistemului hamiltonian, de forma (q,0)cu q punct de minim local al energiei potentiale, este stabil.

In cele ce urmeaza, vom considera sistemul hamiltonian autonom:

(67) x′ =(

q′

p′

)= J∇H(x) =

∂H

∂p(q,p)

−∂H∂q

(q,p)

,

cu hamiltonian de clasa C2, si vom caracteriza pentru ınceput punctelestationare nedegenerate.

Fie x un punct stationar. Sistemul liniarizat ın jurul acestuia este

y′= J∇2H(x)y,

unde ∇2H reprezinta matricea hessiana a lui H. Un sistem liniar de forma

x′= JSx,

unde S este o matrice simetrica, este un sistem hamiltonian cu hamiltonian12(Sx,x).

67

Fie A = J∇2H(x). Aratam ca daca λ este valoare proprie pentru A,atunci si −λ,±λ sunt valori proprii. Intrucat matricea este reala, rezultaimediat ca, daca λ este valoare proprie, atunci λ este de asemenea valoareproprie. Pe de alta parte, −J2 = JTJ = I si

JA + ATJ = 0.

Deci daca Av =λv rezulta ca ATJv = −λJv, deci −λ este valoare propriepentru AT si pentru A.

Obtinem asadar urmatorul rezultat:

Propozitia 6.1.3. Punctele stationare hiperbolice ale sistemelor hamil-toniene nu pot fi decat puncte sa. In cazul sistemelor hamiltoniene liniareın dimensiune 2, punctele stationare nedegenerate pot fi centri sau punctesa.

Motivul pentru care punctele stationare hiperbolice ale unui sistem hamil-tonian nu pot fi decat puncte sa rezulta si din faptul ca fluxul hamiltonianpastreaza volumele. Aceasta este o consecinta a urmatorului rezultat:

Teorema 6.1.1. Fluxul generat de sistemul diferential

x′ = f(x),

cu ∇ · f = 0, pastreaza volumele.

Demonstratie Fie Φt fluxul generat si fie D ⊂ IRn o multime marginita simasurabila. Notam volumul la momentul t cu v(t) = v(Φt(D)) si are loc

v(t) =∫

Ddet

∂Φt(x)∂x

dx

Pe de alta parte, din teorema de derivabilitate ın raport cu datele initiale,

X(t) :=∂Φt(x)∂x

este matrice fundamentala pentru sistemul differential liniar

y′ =∂f∂x

(Φt(x))y,

cu X(0) = I. Rezulta, din teorema lui Liouville (v.[5]), ca

detX(t) = e

∫ t

0Tr∂f∂x

(Φs(x))ds= e

∫ t

0∇·f(Φs(x))ds

= 1,

deci v(t) = v(0).

Fluxul hamiltonian pastreaza volumele deoarece ∇ · J∇H = 0.

68

6.2. Integrabilitate

Invarianti. Transformari canonice.

Consideram sistemul hamiltonian (67). Sa notam cu ΦHt fluxul hamil-

tonian generat de H. Notam XH := J∇H. Am vazut ca F este integralaprima pentru sistem daca si numai daca F,H = 0. In cele ce urmeaza vompune ın evidenta o semnificatie mai profunda a parantezelor Poisson, maiexact, vom vedea ca F,H = 0 daca si numai daca fluxurile hamiltonienecorespunzatoare celor doi hamiltonieni comuta.

Fie X un camp vectorial pe IRm si fie ΦXt fluxul generat de acesta (ΦH

t =ΦJ∇H

t ). Fie F multimea functiilor derivabile. Derivata Lie este operatorulLX : F → F definit prin:

(LXF )(x) =d

dt|t=0 F (ΦX

t (x)),

adica derivata functiilor de-a lungul curbelor integrale ale lui X. Pentru uncamp vectorial hamiltonian XG are loc

(LXGF )(q,p) =F,G(q,p)

si, tinand seama de identitatea lui Jacobi (64), obtinem

LXG,HF = (LXHLXG

− LXGLXH

)F

deci, daca [X,Y] este un camp vectorial astfel ıncat

(68) L[X,Y] = LYLX − LXLY,

rezulta caLXG,H = L

[XG,XH ].

Campul vectorial [X,Y] se numeste comutatorul campurilor vectoriale X,Y.Acesta exista si este unic determinat. Intr-adevar, daca tinem seama ca

LXF =∑

i

XiF,i,

(am notat cu F,i =∂F

∂xi) obtinem:

L[X,Y]F = (LYLX − LXLY)F =∑i,j

(YiXj,i −XiYj,i)F,j ,

deci comutatorul este campul vectorial cu componentele

[X,Y]j =∑

i

YiXj,i −XiYj,i.

Sa studiem acum comutativitatea fluxurilor generate de campurile vecto-riale X si Y,mai exact sa vedem cand ΦX

t ΦYs = ΦY

s ΦXt pentru t, s suficient

69

de mici. Pentru aceasta estimam diferenta F (ΦXt ΦY

s (x))− F (ΦYs ΦX

t ) :

∂2

∂s∂t|s=t=0 [F (ΦX

t ΦYs (x))− F (ΦY

s ΦXt (x))] =

= (LYLXF − LXLYF )(x) = L[X,Y]F (x).

Daca fluxurile comuta, are loc [X,Y] = 0.Reciproc, daca [X,Y] = 0, rezulta ca

F (ΦXt ΦY

s (x))− F (ΦYs ΦX

t (x)) = o(t2 + s2) , t, s→ 0

pentru orice functie F si ın orice punct x. Se poate arata (v. [2], p. 212),ca aceasta implica comutativitatea fluxurilor.

In continuare studiem schimbarile de coordonate care transforma sis-temul hamiltonian (67) ın alt sistem hamiltonian, posibil mai simplu, echiva-lent cu acesta. Fie deci schimbarea de coordonate

q = q(q,p)p = p(q,p) .

Pentru o functie F (q,p) notam F (q,p) = F(q(q,p),p(q,p)). Sistemul hamil-tonian asociat lui H se scrie, tinand seama de (65),

F′ = F ,Hq,p.

Pentru ca fluxul hamiltonian generat de H sa coincida cu cel generat de Htrebuie ca

F ,Hq,p = F,Hq,p.

Calculand parantezele Poisson, relatia de mai sus se rescrie

F ,Hq,p =∑j,k

(∂F

∂qj

∂H

∂qkqj , .qkq,p +

∂F

∂pj

∂H

∂pkpj , pkq,p)+

+∑j,k

(∂F

∂qj

∂H

∂pk− ∂F

∂pk

∂H

∂qj)qj , pkq,p.

Intrucat functia F este arbitrar aleasa (se ia de exemplu F = qi sau F = pi),rezulta ca egalitatea are loc daca si numai daca pentru orice j, k are loc

(69) qj , qkq,p = pj , pkq,p ≡ 0 , qj , pkq,p ≡ δjk.

Astfel de schimbari de coordonate se numesc transformari canonice.

Teorema lui Liouville. Sisteme integrabile.

Sa consideram sistemul hamiltonian (67). Dupa cum se stie, integrareaunui sistem autonom de 2n ecuatii diferentiale este echivalenta cu cunoastereaa 2n−1 integrale prime functional independente (v. [5]). In cazul sistemelorhamiltoniene, tinand seama de structura simplectica existenta, vom vedea

70

ın cele ce urmeaza ca este suficient sa cunoastem n integrale prime indepen-dente, care ın plus sa fie ın involutie doua cate doua. Dupa cum am vazut,F este integrala prima pentru sistem daca si numai daca

F,H = 0.

In aceasta situatie spunem ca cele doua functii sunt ın involutie. Teoremalui Liouville afirma urmatoarele:

Teorema 6.2.1. Sa presupunem ca exista n integrale prime ın involutie,F1 = H,F2, ..., Fn (Fi, Fj = 0, ∀i, j) si fie multimea de nivel

Mf = x, Fi(x) = fi, i = 1, ..., n

Sa presupunem ın plus ca Fi sunt functional independente pe Mf . Atunci:

(1) Mf este varietate diferentiabila neteda de dimensiune n, invariantala fluxul hamiltonian generat de H (deci si la fluxurile hamiltonienegenerate de oricare dintre Fi).

(2) Daca varietatea Mf este compacta si conexa, atunci ea este difeo-morfa cu torul n dimensional Tn = (ϕ1, ..., ϕn) mod 2π. In aceastasituatie, fluxul hamiltonian determina o miscare conditional peri-odica pe Mf :

dϕ

dt= ω(f)

(3) Ecuatiile lui Hamilton pot fi integrate prin cuadraturi.

Demonstratie Faptul ca Mf este varietate neteda de dimensiune n rezultadin teorema functiilor implicite, tinand cont ca F1, ..., Fn sunt functionalindependente. O baza ın spatiul tangent este formata de XFi := J∇Fi. Pede alta parte, deoarece Fi, Fj = 0 , Mf este multime invarianta la fluxurilegenerate de XFi care ın plus comuta:

ΦXFit Φ

XFjs = Φ

XFjs Φ

XFit .

Sa presupunem acum ca Mf este conexa si fie z ∈Mf un punct fixat. Con-sideram aplicatia Tz : IRn →Mf definita prin:

Tz(t1, ...tn) = ΦXF1t1

... ΦXFntn (z) =: Φt(z).

Comutativitatea fluxurilor implica faptul ca matricea derivatelor partialeale lui Tz ın 0 are drept coloane vectorii XFi(z), deci rangul acesteia este n.Rezulta ca Tz este un difeomorfism local, de la o vecinatate a lui 0 ∈ IRn

ıntr-o vecinatate a lui z ∈Mf .Intrucat Mf este conexa, rezulta ca oricare doua puncte din Mf pot

fi unite printr-o curba, care poate fi la randul sau acoperita cu multimideschise, difeomorfe prin aplicatii de tipul Tz cu o vecinatate a lui 0 ∈ IRn.Aceasta, ımpreuna cu proprietatea semigrupala a fluxului, implica faptulca, pentru un z fixat, aplicatia Tz este surjectiva si este difeomorfism local.

71

Scriind fluxul hamiltonian generat de H ın noile coordonate ΦHt (z) = Tz(t)

si derivand ın raport cu t, obtinem:

XH(Tz(t)) =∑

i

XFi(Tz(t))dtidt,

deci

(70)dtdt

= (1, 0, ..., 0)T .

Sa presupunem ın continuare ca Mf este si compacta. Tz nu poate fibijectie deoarece IRn nu este un spatiu compact. Fie

Γ := t ∈ Rn|Φt (z) = z.

0 ∈ Γ deoarece Tz(0) = z si Γ este subgrup discret al lui IRn. Prima teoremade izomorfism ne spune ca IRn/Γ este difeomorfa cu Mf .

Pe de alta parte, grupurile discrete ale lui IRn au urmatoarea structura:exista k ≤ n vectori liniar independenti ın IRn, e1, ..., ek, astfel ıncat oriceelement din Γ se scrie ca o combinatie liniara cu coeficienti ıntregi a acestora(v. [2] p. 276), deci Γ ' Zk.

Tinand cont de faptul ca IRn/Γ este compacta, obtinem ca n = k siIRn/Γ ' Tn, deci Mf ' Tn. Daca A este matricea schimbarii de baze dela baza canonica din IRn la noua baza e1, ..., en, atunci izomorfismul cu Tn

este stabilit cu ajutorul coordonatelor unghiulare

Tn 3 ϕ =2πAtmod2πZn.

Tinand seama de (70), obtinem ca fluxul hamiltonian generat de H verificaın noile coordonate ecuatia

dϕ

dt= ω(f),

unde ω(f) este prima coloana a matricii A.Asadar, sistemul hamiltonian (67) capata ın noile coordonate (F, ϕ)

forma simpla dFdt

= 0

dϕ

dt= ω(F)

.

Sistemul ın aceasta forma poate fi integrat imediat:

F(t) = F(0), ϕ(t) = ϕ(0) + ω(F(0))t.

Observatia 6.2.1. Transformarea (q,p) → (F, ϕ) nu este ın generalcanonica. Exista ınsa functiile I = I(F), I =(I1, ...In) astfel ıncat transfor-marea (q,p) → (I, ϕ) sa fie canonica iar sistemul hamiltonian (67) este

72

echivalent cu dϕ

dt= ω(I) =

∂H

∂I(I)

dIdt

= 0

(v.[2] p.271). (I, ϕ) se numesc coordonate actiune-unghi. In cazul ın caresunt satisfacute ipotezele teoremei lui Liouville se spune ca sistemul hamil-tonian este integrabil.

Exemplul 6.2.1. Consideram ecuatia oscilatorului liniar

mx′′ + kx = 0.

Aceasta se scrie ca sistem hamiltonian, cu hamiltonianul dat de energiatotala:

H(q, p) = T + U =p2

2m+kq2

2,

undeq = x , p = mx′.

Vom trece de la variabilele (q, p) la variabilele (I, ϕ) folosind transformareacanonica (se verifica usor, v. exercitiul 6.3)

q = (1/λ)√

2I sinϕ, p = λ√

2I cosϕ.

Hamiltonianul ın noile coordonate este

H(I, ϕ) = H(q, p) =λ2I

mcos2 ϕ+

kI

λ2sin2 ϕ.

Alegem λ astfel ıncat λ2I/m = kI/λ2 adica λ2 =√km. In acest fel

H(I, ϕ) = Iω

unde

ω =

√k

m

deci (I, ϕ) reprezinta ın acest caz coordonatele actiune-unghi.

Observatia 6.2.2. In cazul sistemelor hamiltoniene cu doua grade delibertate cunoasterea unei a doua integrale prime, care comuta cu hamilto-nianul si este independenta de acesta, implica integrabilitatea.

Observatia 6.2.3. O coordonata qi se numeste ciclica daca ∂H/∂qi =0. Rezulta ca pi este integrala prima si sistemul hamiltonian initial esteechivalent cu un sistem hamiltonian cu un grad de libertate mai putin, cuhamiltonian H(q2, ..., qn, p2, ..., pn, c), depinzand de parametrul c = p1.

73

Metoda lui Jacobi.

Ca metoda de integrare a sistemelor integrabile descriem ın continuaremetoda lui Jacobi sau metoda separarii variabilelor. Ideea acestei metodeeste de a gasi transformari canonice care sa simplifice forma sistemului.Functiile generatoare ale acestor transformari verifica o ecuatie cu derivatepartiale de ordinul ıntai, numita ecuatia Hamilton-Jacobi :

(71)∂S

∂t(t,q) +H(t,q,

∂S

∂q)(t,q) = 0.

Rezolvarea acestei ecuatii permite ın cele din urma integrarea prin cuadra-turi a sistemului hamiltonian (v. [2],[3]). Sistemul hamiltonian (67) estesistemul caracteristic pentru aceasta ecuatie cu derivate partiale. Curbeleintegrale ale sistemului hamiltonian sunt caracteristicile ecuatiei Hamilton-Jacobi (vezi [5],[18]). Metoda caracteristicilor se aplica pentru integrareaecuatiei cu derivate partiale folosind sistemul caracteristicilor. Metoda luiJacobi, care va fi prezentata ın continuare, se foloseste pentru a gasi curbeleintegrale pentru sistemul hamiltonian (67) folosind o solutie generala aecuatiei Hamilton-Jacobi (71), solutie care trebuie sa depinda de exact nparametri. Acest lucru se ıntampla, dupa cum se va vedea, ın cazul ın carevariabilele se pot separa.

Teorema 6.2.2. (Jacobi) . Presupunem ca S = S(t,q, C1, . . . , Cm) esteo solutie a ecuatiei (71), solutie ce depinde neted de m parametri C1, . . . , Cm

Atunci Dj =∂S

∂Cj, j = 1,m sunt integrale prime pentru sistemul hamiltonian

(67). Daca solutia depinde de n parametri C1, . . . , Cn astfel ıncat

(72) rang(

∂2S

∂qi∂Cj

)i,j=1,n

= n,

atunci o solutie generala a sistemului hamiltonian (67), depinzand de 2nconstante de integrare Ci, Di, i = 1, n, este data, prin intermediul teoremeifunctiilor implicite, de

(73)

Di =

∂S

∂Ci(t,q, C)

pi =∂S

∂qi(t,q, C)

.

Demonstratie Derivam ecuatia (71) ın raport cu Cj si obtinem:

∂2S

∂t∂Cj+

n∑i=1

∂H

∂pi

∂2S

∂qi∂Cj= 0.

74

Obtinem ca

d

dt

(∂S

∂Cj(t,q(t), C)

)=

∂2S

∂t∂Cj(t,q(t), C) +

n∑i=1

∂2S

∂qi∂Cj(t,q(t), C)q′i =

=n∑

i=1

∂2S

∂qi∂Cj(t,q(t), C)

(q′i −

∂H

∂pi

)= 0

si prima parte a teoremei este demonstrata.Cnsideram acum sistemul (73). Teorema functiilor implicite aplicata

ın (73), folosind conditia de nedegenerare (72), ne asigura existenta localaa functiilor q(t, C,D),p(t, C,D). Ceea ce ramane de demonstrat este cafunctiile q, p verifica sistemul hamiltonian (67). Derivand prima ecuatie ınraport cu t, cu un calcul similar cu cel anterior si folosind ecuatia (71),obtinem:

0 =d

dt

(∂S

∂Cj

)=

n∑i=1

∂2S

∂qi∂Cj

(q′i −

∂H

∂pi

).

Folosind din nou conditia de nedegenerare (72), avem ca q′i =∂H

∂pi, adica

primul grup de ecuatii din (67).Derivam acum a doua ecuatie din (73) si, folosind si ecuatia (71), obtinem

p′i =d

dt

∂S

∂qi(t,q, C) =

∂2S

∂qi∂t(t,q, C) +

n∑j=1

∂2S

∂qi∂qj(t,q, C)q′j =

= − ∂

∂qiH(t,q,

∂S

∂q(t,q, C)) +

n∑j=1

∂2S

∂qi∂qj(t,q, C)

∂H

∂pj=

= −∂H∂qi

(t,q,p) +n∑

j=1

(q′i −

∂H

∂pj

)∂2S

∂qi∂qj= −∂H

∂qi(t,q,p).

Observatia 6.2.4. Putem privi pe S ca functie generatoare, Pi = Ci

noile impulsuri generalizate, Qi = Di noile coordonate generalizate (pen-tru mai multe informatii despre functiile generatoare v. [2]). Schimbareacanonica de coordonate este data de:

(74)

H∗ = H +∂S

∂t(q,P)

p =∂S

∂q(q,P)

Q =∂S

∂P(q,P)

.

75

In noul sistem de coordonate (Q,P), hamiltonianul este H∗ = 0 iarcurbele integrale sunt Qi = cst, Pi = cst, adica exact (73).

Observatia 6.2.5. Presupunem ca ın hamiltonianul H una din variabilese separa, mai precis

H(q,p) = H1(q1, p1) + H(q, p),unde q = (q2, . . . , qn), p = (p2, . . . , pn). Atunci putem cauta solutia ecuatieiHamilton-Jacobi (71) de forma S(t,q) = S1(q1)+S(t, q), unde S1, S2 verificaecuatiile de tipul (71):

H1(q1, S′1(q1)) = C1

St + H(t, q, Sq) = −C1.

Prima este de fapt o ecuatie diferentiala care, daca poate fi adusa la formanormala prin teorema functiilor implicite, devine o ecuatie cu variabile sepa-rabile care poate fi integrata. Unei ecuatii Hamilton-Jacobi i se poate gasi osolutie generala depinzand de n constante daca toate variabilele se separa.

6.3. Exercitii si probleme

6.1. Se considera urmatorii lagrangieni(1) L(q, q′) = q2 + 2q′2;(2) L(q, q′) = sin q + q′4;(3) L(t, q, q′) = q sin t+ t2q′3.

Sa se scrie, ın fiecare dintre aceste cazuri, ecuatiile lui Lagrange si sase determine sistemele hamiltoniene corespunzatoare. Determinati apoipunctele stationare si tipul acestora.

6.2. Se considera urmatorii hamiltonieni(1) H(q, p) = p sin q;(2) H(q, p) = 2q2 − 2qp+ 5p2 + 4q + 4p+ 4;(3) H(q, p) = p3 − q2.

Sa se gaseasca punctele stationare, tipul lor si sa se deseneze portretulfazelor.

6.3. Sa se verifice daca urmatoarele transformari sunt canonice:(1) q = p sin q , p = p cos q;(2) q = (1/λ)

√2p sin q , p = λ

√2p cos q.

76

CAPITOLUL 7

Elemente de teoria perturbatiilor

Am studiat ın capitolul precedent sistemele hamiltoniene si, ın mod spe-cial, conditiile ın care un sistem este integrabil. Integrabilitatea nu esteınsa o situatie tipica ci una exceptionala. O prima abordare a studiuluisistemelor neintegrabile este studiul sistemelor apropiate de cele integrabile.Acesta este obiectul de studiu al teoriei perturbatiilor. Teoria consta dintr-o colectie de metode, deosebit de utile, aplicabile si ın cazul altor tipuri desisteme, nu neaparat hamiltoniene.

Prezentam mai ıntai metoda medierii, care ınlocuieste studiul unui sis-tem neautonom periodic cu studiul unui sistem autonom, sistemul mediat.In final este prezentata metoda lui Melnikov de stabilire a existentei punctelorhomoclinice transversale ale aplicatiei Poincare (aplicatia perioada) pentruo orbita periodica. Existenta unor astfel de orbite homoclinice transversaleindica existenta unei dinamici haotice de tip shift Bernoulli.

7.1. Metoda medierii

Perturbarea sistemelor hamiltoniene integrabile.

Sa consideram un sistem hamiltonian integrabil, scris ın coordonateactiune unghi :

dϕ

dt= ω(I) =

∂H0

∂I(I)(75)

dIdt

= 0

si sistemul perturbat

dϕ

dt= ω(I)+εf(ϕ, I)(76)

dIdt

= εg(ϕ, I)

unde g, f :Tn ×D → IRn, D ⊂ IRn. Principiul medierii consta ın ınlocuireasistemului de mai sus cu sistemul:

(77) J′ = εg(J),

unde

g(J) =1

(2π)n

∫ 2π

0...

∫ 2π

0g(ϕ,J)dϕ1...dϕn.

77

Faptul ca sistemul (77) aproximeaza bine sistemul (76) ın timp ındelungat(de ordinul lui 1/ε) nu este ın general adevarat. Cazul sistemelor cu ofrecventa ıl studiem ın continuare si precizam rezultatul ın aceasta situatie.

Metoda medierii. Sisteme cu o frecventa.

Fie sistemul de n+ 1 ecuatii

(78)ϕ′ = ω(I) + εf(ϕ, I)I′ = εg(ϕ, I) ,

cu f : S1 × D → IR, g :S1 × D → IRn functii netede. Fie, de asemenea,sistemul mediat

(79) J′ = εg(J),

unde

g(J) =12π

∫ 2π

0g(ϕ, I)dϕ.

Fie (ϕ(t), I(t)), respectiv J(t), solutii pentru sistemul (78), respectiv (79), cuconditiile initiale ϕ(0) = ϕ0, I(0) = J(0) = I0. Are loc urmatorul rezultat:

Teorema 7.1.1. Presupunem ca sunt verificate ipotezele:(1) Functiile ω, f,g sunt marginite ımpreuna cu derivatele lor pana la

ordinul al doilea.

‖ ω, f,g ‖C2(S1×D)≤C1.

(2) In D are loc ω > C2 > 0.(3) J(t) este definita pentru 0 ≤ t ≤ 1/ε si o δ vecinatate a traiectoriei

este continuta ın D.

Atunci exista ε0 > 0 si K = K(C1, C2) astfel ıncat daca 0 < ε < ε0 si0 ≤ t ≤ 1/ε,

|I(t)− J(t)| < Kε.

Demonstratie Constantele ce apar ın continuare depind numai de dateleproblemei si vor fi notate, pentru simplitate, cu C. Ideea de demonstratieeste de a face o schimbare de variabile convenabila care sa aduca sistemulperturbat la o forma mai simpla. Fie

(80) L = I+εl(ϕ, I).

Sistemul satisfacut de L este

L′ = I′+ε∂l∂ϕ

ϕ′+ε∂l∂I

I′ = ε

[∂l∂ϕ

ω(I) + g(ϕ, I)]+ε2

[∂l∂ϕ

f(ϕ, I) +∂l∂I

g(ϕ, I)].

Sa presupunem ca transformarea (80) ar fi inversabila:

(81) I = L+εk(ϕ,L,ε).

Daca

(82) ‖ l ‖C2(S1×D), ‖ k ‖C2(S1×D) <∞,

78

rezulta

(83) L′ = ε

[∂l∂ϕ

ω(L) + g(ϕ,L)]

+ R

cu R =O(ε2). Vom alege l astfel ıncat cantitatea dintre paranteze sa aiba ocontributie cat mai mica. Nu putem alege l astfel ıncat ∂l

∂ϕω(I)+g(ϕ, I) = 0decat daca g = 0. Vom alege l astfel ıncat partea ”oscilatorie” a parantezeisa se anuleze, mai precis

l(ϕ, I) = − 1ω(I)

∫ ϕ

0(g(τ, I)− g(I))dτ.

Sistemul se rescrie

(84) L′ = εg(L) + R.

Ramane de demonstrat existenta pentru (81), precum si estimarile (82).Faptul ca ‖ l ‖C2(S1×D) <∞ rezulta imediat din definitie.

Sa notam cu Dδ = x ∈D, d(x, ∂D) > δ. Aratam ca inversa trans-formarii (80) exista pe Dδ pentru ε > 0 suficient de mic. Local, trans-formarea este un difeomorfism si aceasta rezulta din teorema functiilor im-plicite. ıntrucat l este Lipschitz continua pe Dδ cu o constanta L rezulta capentru ε ales astfel ca εL < 1 transformarea (80) este si injectiva deci inversaexista. Estimarea ‖ k ‖C2(S1×Dδ) <∞ rezulta tot din teorema functiilor im-plicite.

Comparam acum solutia problemei Cauchy pentru sistemul (84) cu J(t),solutia sistemului (79). Daca notam cu z(t) = L(t) − J(t) si tinem seamade faptul ca g este functie Lipschitz iar R =O(ε2) obtinem, dupa ce folosimaceste estimari,

z′ = εA(t)z + R,

unde ‖ A(t) ‖≤ C si |IR| < Cε2. Notam w = |z|2 si obtinem din ecuatia demai sus ınmultita scalar cu z

w′ ≤ Cεw + Cε2w12 ≤ Cεw + Cε3,

inegalitate care, integrata de la 0 la t cu 0 ≤ t ≤ 1/ε, ne da

w(t) ≤ Cε3t+ Cε

∫ t

0wdt ≤ Cε2 + Cε

∫ t

0wdt.

Aplicand inegalitatea lui Gronwall obtinem pentru 0 ≤ t ≤ 1/ε

|J(t)− L(t)|2 = w(t) ≤ Cε2.

Intrucat|I(t)− L(t)| =ε|l(ϕ(t), I(t))| ≤Cε,

concluzia teoremei rezulta imediat.

79

Observatia 7.1.1. Facem observatia ca exista si alte informatii ce pot fiobtinute prin studiul sistemului mediat. Sa mentionam unul din rezultatelesuplimentare care pot fi obtinute astfel. Presupunem ca ın (78) f ≡ 0, ω(I) ≡1 deci sistemul se rescrie

(85) I′ = εg(t, I)

cu g functie 2π periodica ın t. Se poate atunci demonstra ca, daca sistemulmediat (79) are o solutie stationara hiperbolica I0, atunci exista un ε0 > 0si o constanta C > 0 astfel ıncat, daca 0 < ε < ε0, sistemul (85) are ounica solutie periodica hiperbolica Iε(t) care verifica |Iε(t) − I0| ≤ Cε. Inplus, Iε are acelasi tip de stabilitate ca si I0 (adica are aceleasi dimensiuniale varietatilor stabila si instabila). Demonstratia acestui fapt se bazeaza pestudiul aplicatiei perioada pentru sistemul (85) si sistemul (79) si comparareaacestora folosind teorema functiilor implicite (v.[10] Th. 4.1.1).

Exemplul 7.1.1. Consideram ecuatia oscilatorului armonic cu pertur-bare f(t, x, x′) periodica ın t:

x′′ + ω2x = εf(t, x, x′).

Aceasta ecuatie este echivalenta cu sistemul

x′ = Ax+εf(t,x),

unde A =(

0 1−ω2 0

), f(t,x) =

(0f(t, x1, x2)

). Pentru a reduce sistemul

la forma (85) facem schimbarea y(t) = e−tAx(t) si obtinem sistemul:

y′ = εf1(t,y),

unde f1(t,y) =e−tAf(t, etAy). Scris ın aceasta forma, sistemul poate fi stu-diat cu ajutorul metodei medierii. De aceast tip este si ecuatia lui Duffing

x′′ + ω2x = ε(γ cosω0t− δx′ − αx3).

7.2. Orbite homoclinice. Metoda lui Melnikov

Orbite homoclinice transversale. Dinamici haotice asociate.

Consideram ın acest paragraf sistemul diferential neautonom:

(86) x′ = f(t,x),

unde f este periodica ın t de perioada T . Presupunem ca acest sistemadmite o solutie periodica p = p(t) de perioada T , pentru care exponentiicaracteristici ai sistemului liniarizat ın jurul lui p nu au partea reala 0 iarvarietatile stabila si instabila ale lui p se intersecteaza transversal. Fie γ(t)orbita homoclinica la aceasta, γ(t)− p(t) → 0 pentru t→ ±∞.

Vom descrie ın cele ce urmeaza modul ın care ın dinamica acestui sis-tem se poate scufunda o dinamica de tip shift Bernoulli . Mai precis, fie PT

aplicatia perioada. Vom arata ca exista m > 0 si Ω ⊂ IRn multime compactasi invarianta fata de Pm

T (PmT (Ω) ⊂ Ω) astfel ıncat sistemul dinamic discret

(Ω, PmT ) este topologic echivalent cu shiftul Bernoulli. Constructia pe care o

80

prezentam se bazeaza pe notiunea de dihotomie exponentiala si rezultateledemonstrate ın §2.3,§2.4. Demonstratia acestui fapt o vom schita, fara ainsista pe detaliile tehnice. Pentru detalii se poate consulta articolul ın careaceasta constructie a fost introdusa [14](v. si [9]). Mentionam ca existentaunei dinamici de tip shift Bernoulli, ın cazul orbitelor homoclinice transver-sale, a fost pusa ın evidenta de S. Smale [17]. Constructia sa, geometrica,se bazeaza pe asa numita aplicatie potcoava. O prezentare a acestor ideipoate fi gasita ın [10], [12].

Faptul ca p(t) este orbita periodica hiperbolica implica existenta uneidihotomii exponentiale pe IR pentru sistemul ın variatie ın jurul lui p(t):

x′ = fx(t,p(t))x.

Fie P(t) proiectia data de dihotomie. Intrucat intersectia varietatilor stabilasi instabila este transversala rezulta ca si sistemul

x′ = fx(t, γ(t))x

admite dihotomie exponentiala pe IR.Fie acum a ∈ ΣA. Rezulta atunci ca, pentru γk(t) := γ(t+ ak), sistemul

x′ = fx(t, γk(t))x

admite dihotomie exponentiala pe R, cu proiectie Pk(t), astfel ıncat ‖ Pk(t)−P(t) ‖→ 0 uniform ın k pentru |t| → ∞.

Impartim acum dreapta reala ın intervale Ik := [tk−1, tk] cu tk = 2kmT ,m ıntreg ce va fi precizat. Fie γk(t) := γk(t − tk−1) : Ik → IRn si sirul deproiectii corespunzator Pk(t) = Pk(t− tk−1). Se obtin imediat estimarile

|γk(tk−1)− γk−1(tk−1)| ≤

≤ |γk(−mT )− p(−mT )|+ |p(mT )− γk−1(mT )| →m→∞

0,

‖ Pk(tk−1)−Pk−1(tk−1) ‖≤

≤‖ Pk(−mT )−P(−mT ) ‖ + ‖ P(mT )−Pk−1(mT ) ‖ →m→∞

0,

limitele avand loc uniform ın raport cu k. Rezulta ca ipotezele teoremei 2.4.2sunt satisfacute, deci exista o unica solutie γa(t) pentru sistemul (86), careeste β-orbita umbra pentru α-pseudoorbita γk(t):

supt∈Ik

|γa(t)− γk(t)| = supt∈(−mT,mT )

|γa(t+ tk−1)− γ(t+ akT )| ≤ β , k ∈ Z.

Precizam ca β este ales suficient de mic astfel ıncat

(87) 2β < supt∈(−mT,mT )

|γ(t+ T )− γ(t)|.

Fie acum h : ΣA → IRn definita prin

h(a) = γa(0).

81

Deoarece

supt∈(−mT,mT )

|γa(t+ 2mT + tk−1)− γ(t+ ak+1T )| ≤ β,

rezulta din unicitatea β-orbitei umbra ca γa(t+ 2mT ) = γσ(a)(t), deci

(88) h σ = P2mT h.

Ramane de aratat continuitatea si injectivitatea lui h.Pentru continuitate sa consideram un sir am → a si sa observam ca

h(ΣA) este multime marginita. Intr-adevar,

|h(a)| = |γa(0)| ≤ |γa(0)−γ(mT+akT )|+|γ(mT+akT )| ≤ β+supt|γ(t)| <∞.

Rezulta ca pentru un subsir, notat tot cu al, h(al) = γal(0) → x(0) deci, dinteorema de continuitate ın raport cu datele initiale, rezulta ca γal(t) → x(t)uniform pe compacte. Pe de alta parte,

|x(t+ tk−1)− γ(t+ akT )| ≤

≤ |x(t+ tk−1)− γal(t+ tk−1)|+ |γal(t+ tk−1)− γ(t+ akT )|.

Trecand la limita pentru l→∞ obtinem

supt∈(−mT,mT )

|x(t+ tk−1)− γ(t+ akT )| ≤ β.

Tinand seama de unicitatea β−orbitei umbra deducem ca x(t) = γa(t) decih este continua.

Pentru a arata injectivitatea, fie a1,a2 ∈ ΣA astfel ıncat h(a1) = h(a2).Rezulta γa1(t) = γa2(t) deci

supt∈(−mT,mT ) |γ(t+ a1kT )− γ(t+ a2

kT )| ≤≤ supt∈(−mT,mT )|γ(t+ a1

kT )− γa1(t+ tk−1T )|++|γa2(t+ tk−1T )| − γ(t+ a2

kT )| ≤ 2β.

Tinand cont de (87) obtinem a1 = a2 deci h este injectiva.Am aratat deci urmatoarea teorema:

Teorema 7.2.1. Exista o multime compacta Ω = h(ΣA) ⊂ IRn inva-rianta fata de o iteratie a aplicatiei perioada, P2m

T , astfel ıncat sistemeledinamice (Ω,P2m

T ) si (ΣA, σ) sunt topologic echivalente.

Ca o consecinta imediata rezulta ca exista ın vecinatatea unei orbitehomoclinice transversale orbite periodice de orice perioada minimala careeste multiplu ıntreg de 2mT.

82

Sisteme dinamice ın plan. Metoda lui Melnikov de determinare a or-bitelor homoclinice transversale.

In paragraful precedent am vazut ca existenta unei orbite homoclinicela o orbita periodica hiperbolica, pentru care varietatile stabila si insta-bila ale aplicatiei perioada se intersecteaza transversal, implica existentaunei dinamici haotice de tip shift Bernoulli. In acest paragraf prezentam ometoda analitica de determinare a existentei punctelor homoclinice transver-sale pentru aplicatia Poincare a unei orbite periodice pentru sistemul planarde forma:

(89) x′ = f(x) + εg(t,x),

unde x ∈ IR2, f ∈ C1(IR2), g ∈ C1(R×R2) este T− periodica ın t. Pentrusistemul neperturbat:

(90) x′ = f(x),

presupunem verificate urmatoarele ipoteze:(1) Exista o orbita homoclinica γ0(t), t ∈ IR la un punct stationar

hiperbolic x0.(2) Interiorul lui Γ0 := γ0(R)∪x0 este acoperit de o familie de orbite

periodice γs(t), s > 0 de perioada Ts si ın plusd

dsγs(0) 6= 0.

Se defineste functia lui Melnikov M : R → R,

M(u) =∫ +∞

−∞e−

∫ tu ∇·f(γ0(s))dsf(γ0(t)) ∧ g(t+u,γ0(t))dt.

Amintim ca pentru u,v ∈ R2, u ∧ v =u1v2−u2v1. Facem observatia aici caM este o functie periodica de perioada T.

Daca sistemul (90) este hamiltonian, f = J∇H si cum ∇·f =0, functialui Melnikov capata forma

M(u) =∫ +∞

−∞f(γ0(t)) ∧ g(t+u,γ0(t))dt.

Rezultatul principal este:

Teorema 7.2.2. Pentru ε > 0 suficient de mic, sistemul (89) are ounica orbita periodica hiperbolica de perioada T , pε(t) = x0 + O(ε) iaraplicatia Poincare (aplicatia perioada) corespunzatoare are un unic punctfix hiperbolic xε = x0 +O(ε).

Daca functia lui Melnikov M are un zerou simplu ın [0, T ], atunci, pentruε > 0 suficient de mic, varietatile stabila si instabila Ws(xε) si Wu(xε) aleaplicatiei Poincare (aplicatia perioada) Pε se intersecteaza transversal.

Daca M pastreaza semn constant pe [0, T ], atunci Ws(xε)∩Wu(xε) = φ.

Ideea de demonstratie este de a estima distanta d(t0) dintre punctele deintersectie ale lui Ws(xε), Wu(xε) cu o transversala la γ0 la momentul t0. Se

83

obtine o expresie de forma

d(t0) =εM(t0)|f(γ0(0))|

+O(ε2),

de unde rezulta ca dacaM schimba semnul atunci cele doua varietati, stabilasi instabila, se intersecteaza iar daca zeroul respectiv este simplu atunciintersectia este transversala (v. [10], Th. 4.5.3).

Exemplul 7.2.1. Consideram ecuatia lui Duffing scrisa ın forma desistem x′ = y

y′ = x− x3 + ε(γ cosωt− δy).Pentru ε = 0 acesta este un sistem hamiltonian cu hamiltonianul

H(x, y) =y2

2− x2

2+x4

4.

Acest sistem are doi centri (±1, 0) si un punct sa (0, 0). Multimea H = 0este formata din doua orbite homoclinice ın 0 :

γ0±(t) = (±

√2/ cosh t,∓

√2 sinh t/ cosh2 t).

Interiorul acestor orbite homoclinice este umplut cu orbitele periodice H =c, cu −1/4 ≤ c ≤ 0. Functia lui Melnikov este

M(u) =∫ ∞

−∞y0(t)[γ cosω(t+ u)− δy0(t)]dt =

= −√

2γ∫ ∞

−∞cosω(t+ u) sinh t/ cosh2 tdt−

−2δ∫ ∞

−∞sinh2 t/ cosh4 tdt.

Calculand cele doua integrale se obtine

M(u) = −4δ3

+√

2γπω sinωucosh(πω/2)

.

Rezulta ca, pentru ω suficient de mare, ω > ω0, M are numai zerouri simplepe [0, 2π/ω], deci exista pentru orice ε > 0, suficient de mic, orbite homoclin-ice ale caror varietati stabila si instabila se intersectaza transversal. Asadaro dinamica haotica de tip shift Bernoulli poate fi pusa ın evidenta.

84

7.3. Exercitii si probleme

7.1. Sa se studieze prin metoda medierii urmatoarele ecuatii scalare:(1) x′ = εx sin2 t;(2) x′ = ε(−x+ cos2 t);(3) x′ = ε(x sin2 t− x2/2).

7.2. Sa se studieze prin metoda medierii oscilatorul armonic cu pertur-bare neliniara:

x′′ + x = ε(−x′ + x2).

7.3. Sa se studieze prin metoda medierii ecuatia lui van der Pol:

x′′ + ε(x2 − 1)x′ + x = β cosωt.

7.4. Consideram ecuatia lui Duffing cu perturbare polinomiala scrisa subforma de sistem: x′ = y

y′ = ε(ay + bx2y) + x− x3.

Sa se calculeze functia lui Melnikov corespunzatoare orbitei homoclinice asistemului neperturbat, γ0 = (

√2 sech t,

√2 sech t tanh t)T si sa se discute

existenta orbitelor homoclinice transversale.

85

ANEXA A

Forma Jordan a unei matrici

Fie A ∈Mn×n(C). Fie λ o autovaloare a lui A de multiplicitate alge-brica m ≤ n: exista v ∈ Cn, v 6= 0, (λI−A)v = 0 si λ este radacina demultiplicitate m a polinomului caracteristic P (λ) = det(λI−A). Pentruk = 1, ...,m orice v 6= 0 care verifica

(λI−A)kv = 0

se numeste vector propriu generalizat al lui A. Are loc urmatorul rezultatde structura pentru matricea (operatorul) A (v. [11]):

Teorema A.0.1. Exista o baza a lui IRn formata din vectori propriigeneralizati pentru operatorul A. Operatorul liniar A admite descompunerea

A = D + N,

unde D este operator diagonalizabil iar operatorul N este nilpotent. In plus

DN = ND.

Demonstratia acestui rezultat conduce practic la un algoritm de aducerela forma canonica a unei matrici. Ideea este de a construi baza respectivapornind de la obsevatia ca, pentru λ valoare proprie,

ker(A− λI)k ⊂ ker(A− λI)k+1.

Daca m este dimensiunea maxima a subspatiilor de forma ker(A − λI)k 6=0, atunci baza ın subspatiul invariant corespunzator valorii proprii λ seconstruieste iterativ, de la 1 catre m ın felul urmator: odata construita bazaın ker(A− λI)k, atunci aceasta se completeaza la o baza ın ker(A− λI)k+1

cu vectori de forma w = (A− λI)v, cu v ∈ ker(A− λI)k.Acest algoritm conduce la urmatorul rezultat privind forma canonica

Jordan(v. [15]) :

Teorema A.0.2. Daca A ∈ Mn×n(IR) are valori proprii reale λj , j =1, ..., l si valori proprii complexe λj = aj + ibj, λj = aj − ibj , j = l +1, ..., n−l

2 , atunci exista o baza v1, ...,vl,wl+1,ul+1, ...,wn,un a lui IRn

unde vj sunt vectori proprii generalizati corespunzatori valorilor propriiλj, j = 1, ..., l iar vj := uj + iwj sunt vectori proprii generalizati core-spunzand la valorile proprii λj = aj + ibj , j = l + 1, ..., n+l

2 . Matricea

87

S =[v1, ...,vl,wl+1,ul+1, ...,wn,un] este inversabila si

(91) S−1AS =

B1

...

Br

unde B = Bj, j = 1, ..., r este bloc Jordan elementar ce poate avea una dinformele:

(92) B =

λ 1 0 ... 00 λ 1 ... 0...0 ... λ 10 ... 0 λ

,B =diag(λ),

daca λ este autovaloare reala, sau

B =

P I2

0 P...0 ... P I2

0 ... 0 P

,

B =

P 0 ... 00 P ... 0... ... ...0 0 ... P

,cu P =

[a −bb a

], I2 =

[1 00 1

]daca λ = a + ib este valoare proprie

complexa. Aceasta este forma canonica reala.In cazul ın care A ∈Mn×n(C), exista o baza formata din vectori pro-

prii generalizati v1, ...,vn corespunzand valorilor proprii λ1, ..., λn ast-fel ıncat, cu S =[v1, ...,vn] are loc (91) unde B poate fi de forma (92) saudiag(λ) cu λ valoare proprie.

88

ANEXA B

Stabilitatea ın sens Liapunov

In aceasta anexa prezentam, pe scurt, definitiile si rezultatele de bazaprivind stabilitaea ın sens Liapunov. Pentru demonstratii si detalii se potconsulta, de exemplu, [5],[16],[18].

Consideram sistemul diferential

x′ = f(t,x),

unde f :Ω ⊂ IRn+1 → IRn este o functie pentru care avem existenta siunicitatea solutiei locale a problemei Cauchy asociate (de exemplu f sa fielocal lipschitziana). Vom presupune ca Ω ⊃ (t,x) ∈ IR+ × IRn, ‖ x ‖< αsi fie de asemenea o solutie ϕ(t) definita pe semiaxa. Spunem ca solutia ϕeste stabila daca, pentru orice ε > 0 si pentru orice t0, exista δ(ε, t0) > 0,astfel ıncat, daca ‖ x0 ‖< α si

‖ x0 − ϕ(t0) ‖< δ(ε, t0),

atunci x(t, t0,x0) este definita pe [t0,+∞) si

‖ x(t, t0,x0)− ϕ(t) ‖< ε , t > t0.

Solutia ϕ este asimptotic stabila daca este stabila si exista µ(t0) > 0astfel ıncat, daca

(93) ‖ x0 − ϕ(t0) ‖< µ(t0),

atuncilimt→∞

‖ x(t, t0,x0)− ϕ(t) ‖= 0.

Daca ın definitia stabilitatii δ(ε, t0) poate fi ales independent de t0, atuncisolutia se numeste uniform stabila. Daca, ın plus, µ(t0) ın 93 poate fi alesindependent de t0 astfel ıncat

limt−t0→∞

‖ x(t, t0,x0)− ϕ(t) ‖= 0,

atunci solutia se numeste uniform asimptotic stabila.Facand substitutia y = x− ϕ, studiul stabilitatii se reduce la studiul

stabilitatii solutiei nule pentru sistemul

y′ = f(t,y + ϕ)− ϕ′.

De aceea, ın general, rezultatele privind stabilitatea se formuleaza pentrusolutiile stationare ale sistemelor.

89

Stabilitatea este o proprietate a solutiei si nu a sistemului. Exista sistemecare au deopotriva solutii stabile si solutii instabile. In ceea ce privestesistemele liniare

x′ = A(t)x+b(t),substitutia de mai sus conduce la studiul stabilitatii solutiei banale pentrusistemul liniar omogen asociat

x′ = A(t)x,

deci stabilitatea este o proprietate a sistemului. Caracterizarea stabilitatiisistemelor liniare a fost studiata ın §2.2. Amintim ca, daca sistemul este cucoeficienti constanti , A(t) ≡ A, atunci solutia banala a sistemului omogeneste asimptotic stabila daca si numai daca A este matrice Hurwitz adicavalorile proprii ale sale satisfac Reλi(A) < 0. Daca macar o valoare proprieare partea reala pozitiva sistemul este instabil.

Consideram acum sistemul liniar perturbat

(94) x′ = Ax + F(t,x)

unde F : IR+ × x ∈ Rn, ‖ x ‖< α → IRn este continua, local lipschitzianaın x si F(t,0) ≡ 0. Are loc urmatoarea teorema :

Teorema B.0.3. (Liapunov-Poincare) Daca A este matrice Hurwitz sipentru orice (t,x)

‖ F(t,x) ‖≤ K ‖ x ‖,cu K o constanta suficient de mica, atunci solutia banala a sistemului (94)este asimptotic stabila.

Aceasta teorema sta la baza studiului stabilitatii prin metoda primeiaproximatii. Mai precis, considerand sistemul neliniar

x′ = f(x),

cu f ∈C1, f(0) = 0, atunci, daca A = fx(0) este matrice Hurwitz, rezulta casolutia banala a sistemului neliniar este asimptotic stabila. Aceasta rezultaimediat rescriind sistemul sub forma

x′ = fx(0)x + o(‖ x ‖).

90

ANEXA C

Ecuatii diferentiale pe varietati diferentiabile

FieM un spatiu topologic considerat, pentru simplitate, ca o submultimea unui spatiu euclidian IRN cu topologia indusa. Urmatoarele afirmatii suntechivalente si definesc o structura de varietate diferentiabila (mai exact desubvarietate diferentiabila a spatiului euclidian) de clasa C1 si de dimensiunen pe M :

(1) Pentru orice x ∈ M exista o vecinatate U a lui x ın IRN si ofunctie F : U → IRN−n de clasa C1 astfel ıncat U ∩M = F−1(0) sirangDF (x) = N − n pentru x ∈U ∩M.

(2) Pentru orice x ∈M exista o vecinatate U a lui x ın IRN , o multimedeschisa D ⊂ IRn si o functie de clasa C1, ϕ : D → U, ϕ(D) =U ∩M , rangDϕ =n.

Echivalenta celor doua afirmatii rezulta usor din teorema functiilor im-plicite. Se observa de asemenea ca, daca ψ : D1 → U1, ψ(D1) = U1 ∩M,rangDψ =n, atunci ψ−1 ϕ : ϕ−1(U ∩ U1) → ψ−1(U ∩ U1) este un C1-difeomorfism. Perechile de tipul (D,ϕ) se numesc harti locale iar o multimede harti locale ce acopera M formeaza un atlas. In general, pentru a defini ovarietate diferentiabila fara a face apel la structura metrica indusa de spatiuleuclidian in care aceasta se scufunda, se definesc hartile locale iar conditiade rang din a doua afirmatie de mai sus se ınlocuieste cu conditia ca peintersectia a doua harti locale, ψ−1 ϕ sa fie difeomorfism. In orice caz,o varietate diferentiabila de dimensiune n se scufunda ıntotdeauna ıntr-unspatiu euclidian de dimensiune 2n+ 1 (teorema lui Witney).

Tinand seama de cele doua conditii ce definesc o subvarietate diferentiabilaa lui IRN si pastrand notatiile de mai sus, definim prin urmatoarele douaafirmatii echivalente un vector tangent v la M ın x :

(1) v este ın nucleul operatorului liniar DF (x) : DF (x)v = 0.

(2) v este ın subspatiul liniar generat de vectorii ∂ϕ∂zj

(ϕ−1(x))j=1,n.

(3) Exista o curba de clasa C1 γ : (−δ, δ) → IRN , γ(t) ∈ M, γ(0) = x

astfel ıncat v =d

dtγ(t) |t=0 .

Numim spatiu tangent la M ın x si notam TxM multimea vectorilortangenti la M ın x. Se observa ca TxM este un subspatiu liniar de di-mensiune n. Notam, de asemenea, cu TM = (x,v),x ∈M,v ∈TxMsi ıl numim fibratul tangent . TM are o structura naturala de varietate

91

diferentiala de dimensiune 2n. Unui atlas pe M , A = (Di, ϕi)i∈I ıi core-spunde ın mod natural un atlas pe TM : A = (Di, ϕi)i∈I , Di = Di × IRn,

ϕi(z,w) = (ϕi(z),∑n

j=1wj ∂ϕi

∂zj(z)).

Fie acum doua varietati de clasa Ck, M1,M2, de dimensiuni n1, n2. FieF : M1 → M2. Spunem ca F este de clasa Ck daca, date hartile locale(D1, ϕ1), (D2, ϕ2) pe M1 respectiv pe M2, atunci ϕ−1

2 F ϕ1 este de clasaCk de la D1 la D2.

O astfel de aplicatie induce o aplicatie de clasa Ck−1, F∗ : TM1 → TM2

astfel : daca (x1,v1) ∈ TM1, cu (x1,v1) = ϕ1(z1,w1), w1=d

dtγ1(t) |t=0,

(γ1: (−δ, δ) → D1 de clasa C1, γ1(0) = z1), atunci F∗(x1,v1) = (x2,v2)

unde x2 = F (x1), (x2,v2) =ϕ2(z2,w2), w2 =d

dt[ϕ−1

2 F ϕ1 γ1(t)] |t=0 .

Se verifica usor ca definitia nu depinde de hartile locale alese. F∗ este oaplicatie liniara de la TM1,x → TM2,F (x). Daca F : IRn1 → IRn2 , atunciF∗(x,v) =(F (x), DF (x)v). Din acest motiv notam ın general cu DF (x) :=F∗ |TM1,x .

Fie o sectiune de clasa C1 ın fibratul tangent, adica o C1-aplicatiev :M → TM , astfel ıncat v(x) ∈TMx pentru orice x. In cele ce urmeazadam o semnificatie problemei Cauchy

x′ = v(x)x(t0) = x0.

Astfel, daca (D,ϕ) este o harta locala si (x,v(x)) = ϕ(z,w(z)), x0 = ϕ(z0),rezolvam problema Cauchy ın aceasta harta locala :

z′ = w(z)z(t0) = z0

si definimx(t) = ϕ(z(t)).

Se verifica usor ca definitia solutiei problemei Cauchy nu depinde de hartalocala aleasa. Intrucat definitia este locala, existenta si unicitatea solutieiproblemei Cauchy rezulta imediat. De asemenea ramane valabila teoremade existenta a solutiei saturate. Daca varietatea M este compacta, atuncisolutia saturata este definita pe R.

92

Index

aplicatiaperioada, 14Poincare, 41

atractornegativ, 3pozitiv, 3

camp vectorialstructural stabil, 56

centru, 26, 31ciclu limita, 41, 46comutatorul, 69constanta de miscare, 4coordonata ciclica, 73coordonate actiune-unghi, 73

derivata Lie, 69dihotomie

exponentiala, 15ordinara, 15

ecuatieDuffing, 8, 84Euler-Lagrange, 63Hamilton, 65Hamilton-Jacobi, 74Lienard, 7van der Pol, 8

exponent caracteristic, 12extremala, 64

flux, 1local, 7neautonom, 7

forma canonica Jordan, 87forma Lax, 66functie

unghiulara, 49functie Melnikov, 83

hamiltonian, 65

identitatea lui Jacobi, 66impulsuri generalizate, 65index

al unei curbe ın raport cu un campvectorial, 50

al unui punct stationar izolat, 52integrala prima, 4

mediaspatiala, 47temporala, 47

multimeα-limita, 3ω-limita, 3asimptotic stabila, 2de tip Cantor, 5invarianta, 2negativ invarianta, 2pozitiv invarianta, 2stabila, 2

multiplicator caracteristic, 12

nod, 27impropriu, 26propriu, 26, 27

numar de rotatie, 49

orbita, 1µ-pseudo-, 20heteroclinica, 2homoclinica, 2negativa, 2periodica, 2pozitiva, 2umbra, 20uniform distribuita, 47

paranteza Poisson, 66principiul minimei actiuni, 63proprietate

prelungire, 18

93

robustete, 17punct

sa, 26critic, 56de bifurcatie, 56de echilibru, 2nonwandering, 4spiral, 26spiral propriu, 27stationar, 2wandering, 4

semiflux, 1shift Bernoulli, 1, 4, 5, 80sistem

hamiltonian, 65integrabil, 73Lorenz, 8

sistem dinamicautonom, 1cu timp continuu, 1cu timp discret, 1echivalenta topologica, 55ergodic, 49neautonom, 7

sistem liniarasimptotic stabil, 12stabil, 12uniform asimptotic stabil, 12uniform stabil, 12

spatiulfazelor, 1timpului, 1

stabilitateasimptotica, 89asimptotica uniforma, 89Liapunov, 2, 89orbitala, 2orbitala asimptotica, 2, 36structurala, 55uniforma, 89

subarmonica, 35subdiferentiala, 64subspatiu

instabil, 14stabil, 14

teoremaBirkhoff-Khinchin, 48Hartman-Grobman, 57Jacobi, 74Jordan, 41Poincare-Bendixson, 41, 45

Sard, 56transformari canonice, 70transformata Legendre, 64transversala, 45

valoare critica, 56varietate

centrala, 35instabila, 3, 33stabila, 3, 33

varietate diferentiabila, 91vector propriu, 87vector propriu generalizat, 87vector tangent, 91

94

Bibliografie

[1] V. I. Arnold. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations.Springer-Verlag, New York, 1983.

[2] V. I. Arnold. Mathematical methods of classical mechanics. Springer-Verlag, NewYork, 1978

[3] V. I. Arnold, V. V. Kozlov, A. I. Neishtadt. Mathematical aspects of classical andcelestial mechanics. Springer-Verlag, Berlin, 1997.

[4] V. Barbu, Th. Precupanu. Convexity and optimization in Banach spaces. D. ReidelPublishing Co., Dordrecht, romanian edition, 1986.

[5] Viorel Barbu. Ecuatii diferentiale. Editura Junimea, 1985.[6] Earl A. Coddington, Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations.

McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955.[7] W. A. Coppel. Dichotomies in stability theory. Springer-Verlag, Berlin, 1978. Lecture

Notes in Mathematics, Vol. 629.[8] I. P. Cornfeld, S. V. Fomin, Ya. G. Sinai. Ergodic theory. Springer-Verlag, New York,

1982.[9] Harry Dankowicz. Chaotic dynamics in Hamiltonian systems. World Scientific Pub-

lishing Co. Inc., River Edge, NJ, 1997. With applications to celestial mechanics.[10] John Guckenheimer, Philip Holmes. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and

bifurcations of vector fields. Springer-Verlag, New York, 1990.[11] Morris W. Hirsch, Stephen Smale. Differential equations, dynamical systems, and lin-

ear algebra. Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers],New York-London, 1974. Pure and Applied Mathematics, Vol. 60.

[12] Jurgen Moser. Stable and random motions in dynamical systems. Princeton UniversityPress, Princeton, N. J., 1973.

[13] Igor Nikolaev, Evgeny Zhuzhoma. Flows on 2-dimensional manifolds. Springer-Verlag, Berlin, 1999. An overview.

[14] Kenneth J. Palmer. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points. J.Differential Equations, 55(2):225–256, 1984.

[15] Lawrence Perko. Differential equations and dynamical systems. Springer-Verlag, NewYork, third edition, 2001.

[16] L. S. Pontryagin. Ordinary differential equations. Addison-Wesley Publishing Co.,Inc., Reading, Mass.-Palo Alto, Calif.-London, 1962.

[17] Stephen Smale. Diffeomorphisms with many periodic points. In Differential and Com-binatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse), pages 63–80. Prince-ton Univ. Press, Princeton, N.J., 1965.

[18] Ioan I. Vrabie. Ecuatii diferentiale. Editura MATRIXROM, Bucuresti, 2000.

95