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Metode numericepentru

rezolvarea ecuatiiloralgebrice

Octavian Cira

25 Octombrie 2005

Cuprins

Lista figurilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Lista tabelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

Prefata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII

Capitolul 1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Preliminarii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Polinoamele cu coeficienti complecsi . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Polinoamele cu coeficienti reali . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Capitolul 2. Marginile radacinilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Marginile radacinilor polinoamelor . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Polinoamelor cu coeficienti complecsi . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Polinoamelor cu coeficienti reali. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Capitolul 3. Metode clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1. Metoda Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Metoda Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3. Metoda Graffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4. Metoda Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5. Metoda bisectiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Capitolul 4. Metode de separare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1. Separarea radacinilor reale la polinoame cu coeficienti reali . . 36

4.2. Separarea radacinilor la polinoame cu coeficienti complecsi . . 40

4.3. Convergenta metodei Lehmer-Schur . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4. Evaluarea erorilor la metoda Lehmer-Schur . . . . . . . . . . 48

4.5. Noua metoda Lehmer-Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.6. Metoda Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.1. Simplificari ale testului de proximitate. . . . . . . . . . . 60

4.6.2. Testul de proximitate Turan . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.6.3. Testul de proximitate Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . 62

V

CUPRINS VI

Capitolul 5. Metode de factorizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1. Elemente de analiza n-dimensionala . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2. Metoda Lin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3. Metode de factorizare de ordinul 2 . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.1. Metoda Bairstow-Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.2. Convergenta metodei Bairstow-Newton . . . . . . . . . . 75

5.3.3. Metoda Bairstow-secanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3.4. Metoda Bairstow-Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.5. Convegenta metodelor Bairstow-secanta siBairstow-Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.6. Metoda Bairstow-Fridman . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.7. Convergenta metodei Bairstow-Fridman . . . . . . . . . . 86

5.3.8. Dimensiunea fractala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4. Metode de factorizare de ordinul 3 . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.1. Metoda Bairstow-Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.2. Metoda Bairstow-secanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.4.3. Metoda Bairstow-Fridman . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Capitolul 6. Metode de tip Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1. Convergenta locala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2. Metoda Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.3. Metoda parabolei tangenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.4. Metoda Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.5. Metoda parabolei osculatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.6. Metoda parabolei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.7. Metoda Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.8. Metoda Chebyshev de ordinul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.9. Metoda Chebyshev de ordinul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.10. Metoda Halley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.11. Familie de metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.12. Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Capitolul 7. Metode multipas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.1. Metoda coardei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.2. Metoda secantei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.3. Metoda Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.4. Metoda Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

VII CUPRINS

Capitolul 8. Metode simultane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.2. Metoda Durand-Kerner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.3. Metoda Ehrlich-Aberth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.4. Metoda Ehrlich-Aberth cu factori de corectie Newton . . . . . 159

8.5. Metoda Borsch-Supan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.6. Metoda Borsch-Supan cu factori de corectie Weierstrass . . . 162

8.7. Metoda Tanabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.8. Metoda radacinii patrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.9. Metoda Wang-Zheng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.10. Noua metoda Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8.11. Familie de metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Capitolul 9. Teoria estimarii punctului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.1. Estimari ale punctului pentru metoda Newton . . . . . . . . . 178

9.2. Estimari ale punctului pentru metode cu convergenta 2 . . . . 194

9.3. Estimari ale punctului pentru metode cu convergenta 3 . . . . 197

9.4. Dezvoltari ale estimarii punctului pentru metoda Newton. . . 201

9.5. Metode mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.5.1. Metoda Lehmer-Schur-Newton . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.5.2. Metoda Lehmer-Schur-Euler-Chebyshev . . . . . . . . . . 213

9.5.3. Metoda Lehmer-Schur-Halley. . . . . . . . . . . . . . . . 214

9.6. Estimarea punctului pentru metoda Durand-Kerner . . . . . . 214

Capitolul 10. Metode simultane de incluziune . . . . . . . . . . . . . . . 231

10.1. Elemente de algebra liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10.1.1. Polinom caracteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

10.1.2. Valori si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

10.1.3. Discuri de incluziune. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

10.1.4. Intervalul complex aritmetic . . . . . . . . . . . . . . . 244

10.2. Teorema generala de convergenta . . . . . . . . . . . . . . . 248

10.3. Metoda Durand-Kerner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

10.4. Metoda Borsch-Supan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

10.5. Metoda Tanabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

10.6. Familie de metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

10.7. Metoda Ehrlich-Aberth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

10.8. Metoda Ehrlich-Aberth cu corectii cu factori Newton . . . . 302

10.9. Metoda Borsch-Supan cu corectii cu factori Weierstrass . . . 312

CUPRINS VIII

10.10. Metoda Wang-Zheng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

10.11. Metode de tip Halley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

10.12. Conditia generala de convergenta. . . . . . . . . . . . . . . 361

Capitolul 11. Metode pentru polinoame cu zerouri multiple . . . . . . 365

11.1. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

11.2. Metode de incluziune ce au la baza polinoamele Bell . . . . . 368

11.3. Metoda de incluziune Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

11.4. Metoda de incluziune Wang-Zheng . . . . . . . . . . . . . . 386

11.5. Metoda simultana Ehrlich-Kjurkchiev . . . . . . . . . . . . . 400

Capitolul A. Bibliografia McNamee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A.1. Metodele Bernoulli si QD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A.2. Metoda Graeffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

A.3. Metoda Lehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

A.4. Metodele Lin si Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

A.5. Metoda Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

A.6. Metode simultane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

A.7. Metode de incluziune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

Capitolul B. Indexuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

B.1. Index de notatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

B.2. Index de subiecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

B.3. Index de nume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

Contents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .