Ex1. Consumul unei familii n funcie de Venitul Disponibil (16-18 oct.2012) (continuare Exemplul de la Seminarul 2) c) S se verifice dac modelul de regresie identificat este valid statistic (valoare tabelar: 5,32 pentru un nivel de semnificaie de 0,05). Pentru testarea validitii modelului se formuleaz 2 ipoteze: H0: modelul nu este valid statistic (MSR=MSE) H1: modelul este valid statistic (MSR>MSE) Se completeaz tabelul de analiz a varianei (ANOVA)

Sursa variaiei

Nr grade libertate

(df)

Suma ptratelor abaterilor

(SS)

Media ptratelor (MS)

Statistica F

Regresia Eroarea Total

1 n-2=8 n-1=9

SSR=8552,73 SSE=337,27 SST=8890,0

MSR=SSR/1=8552,73 MSE=SSE/(n-2)=42,159

F=MSR/MSE=202,87

== 22)( yi yySST =8890,0 este suma ptratelor abaterilor valorilor reale ale variabilei Y de la media lor de selecie, y . Suma SST reprezint variaia total a valorilor variabilei Y.

2|

2)( xyi yySSR == =8552,73 reprezint variaia explicat prin factorul de regresie.

222)( eiii eyySSE === =337,27 reprezint variaia rezidual sau variaia neexplicat . Msoar aciunea factorilor nenregistrai. Avem SST=SSR+SSE

2)2/( esnSSEMSE == =337,27/8=42,159 Testul statistic folosit este:

)2/(

1/

=nSSE

SSRF care urmeaz o distribuie 2,1; nF .

Regula de decizie este: Dac criticcalculat FF > respingem H0 i acceptm H1 Modelul este valid statistic.

87,202159,42/73,8552calculat ==F

32,58,1;05,02,1;critictabelat ==== FFFF n

Deoarece criticcalculat FF > (202,87 > 5,32) respingem H0 i acceptm H1 Modelul este valid statistic. Observaie: n tabelul din Excel apare i o probabilitate (Significance F) d) S se testeze semnificaia statistic a parametrilor modelului i s se determine intervalele de ncredere pentru parametrii modelului (valoare tabelar: 2,306 pentru un nivel de semnificaie de 0,05). Calculm abaterile medii ptratice ale estimatorilor parametrilor modelului

Varianele estimatorilor b i a (sau i ) sunt date de urmtoarele relaii:

==

2

2

)()()(

xxbVarVar

i

=

+==

2

22

2

22

)()(

1)()(

xxn

x

xx

x

naVarVar

i

i

i

Variana erorilor aleatoare este 2 , dar este necunoscut i trebuie estimat. Un estimator nedeplasat pentru 2 este variana erorilor estimate:

2

222

== n

es

i

e = 42,159.

Abaterea medie ptratic a erorilor estimate este:

493,6159,42 ==es Estimaiile abaterilor medii ptratice ale estimatorilor parametrilor modelului sunt:

==

2)(

1)(

xxsbses

i

eb =0,0357

+=

==

2

2

2

2

)(

1

)()(

xx

x

ns

xxn

xsases

i

e

i

i

ea =6,4138

Testarea semnificaiei parametrului

0:0 =H , (parametrul nu este semnificativ statistic; modelul nu este valid) 0:0 H , (parametrul este semnificativ statistic; modelul este valid).

Sub ipoteza nul avem statistica:

)(bse

bt = care urmeaz o distribuie Student cu (n-2) grade de libertate dac H0 este

adevrat. Dac

2;2

criticcalc ||

=>n

ttt atunci respingem 0H la un nivel de semnificaie de % .

2432,140357,0/5091,0calc ==t

306,28;025,0tabelacritic === ttt t

Deoarece 14,2432>2,306 respingem H0 i acceptm H1 parametrul este semnificativ statistic. (Spunem c o statistic este semnificativ dac valoarea testului statistic se gsete n regiunea critic. n acest caz se respinge H0.) Interval de ncredere pentru parametrul pant Determinm un interval de ncredere care are o anumit probabilitate de a include valoarea real, dar necunoscut, a lui .

=+ 1))()(( bsetbbsetbP crtcrt =+ 1))()(( 2;2/2;2/ bsetbbsetbP nn

Un interval de ncredere )%1(100 pentru parametrul este: ))()(( bsetbbsetb crtcrt +

))()(( 2;2/2;2/ bsetbbsetb nn + ))0357,0(306,25901,0)0357,0)(306,2(5091,0( +

)5914,04268,0( Interpretare: Dat fiind un coeficient de ncredere de 95%, pe termen lung, n 95 din 100 de cazuri, intervale precum intervalul )5914,04268,0( , vor include valoarea real a lui .

Se poate testa dac 0= privind la intervalul de ncredere pentru i observnd dac acesta conine valoarea zero. Intervalul construit nu conine valoarea 0, deci suntem ncreztori c 0 . Spunem c: Factorul X are putere explicativ semnificativ pentru Y sau este semnificativ diferit de zero sau este semnificativ statistic. Testarea semnificaiei parametrului de interceptare Obs: A nu se confunda parametrul de interceptare cu nivelul de semnificaie!

0:0 =H , (parametrul de interceptare nu este semnificativ statistic) 0:0 H , (parametrul este semnificativ statistic).

Sub ipoteza nul avem statistica:

)(ase

at = care urmeaz o distribuie Student cu (n-2) grade de libertate

Dac 2;

2

criticcalc ||

=>n

ttt atunci respingem 0H la un nivel de semnificaie de % .

8128,34138,6/4545,24calc ==t

306,28;025,0tabelacritic === ttt t

Deoarece 8128,3 >2,306 respingem H0 i acceptm H1 parametrul de interceptare este semnificativ statistic. Interval de ncredere pentru parametrul de interceptare

95,0))()(( =+ asetaasetaP crtcrt Un interval de ncredere 95% pentru parametrul de interceptare este:

))();(( asetaaseta crtcrt + ))4138,6(306,24545,24);4138,6)(306,2(4545,24( +

)2448,39;6643,9( Mrimea celor dou intervale de ncredere este proporional cu eroarea standard a estimatorului respectiv. Cu ct eroarea standard a estimatorului este mai mare, cu att este mai mic precizia cu care este estimat valoarea real a parametrului necunoscut. Raportarea rezultatelor analizei de regresie

iy = 4545,24 + ix5091,0

se = (6,4138) (0,0357) 9621,02 =R t = (3,8128) (14,2432) 8=df p = (0,0051) (0,0000) 8679,202=F Estimarea parametrilor modelului n Eviews Clic pe Eviews4.1.exe Ferestra Eviews iniial conine: -opiunile meniului principal (File, Edit, Object, View,...) -zona alb, de sub MainMenu, este fereastra pentru comenzi -aria de lucru, unde Eviews afieaz ferestrele obiect pe care le creaz. Pas1. Crearea unui fiier de tip Workfile Din meniul principal selectm File/New/Workfile. Bifm Undated ca tip de structur dac datele sunt de tip profil sau seciune. Introducem apoi nr.de observaii (10 n ex1). Clic OK.

EViews va crea un fiier fr nume i va afia o fereastr cu domeniul observaiilor i selecia curent (putem selecta doar o parte din date). Nu avem date , dar EViews va anticipa necesitatea de a avea Vectorul c Seria resid EViews poate importa date dintr-o pagin Excel. Pentru aceasta selectm: Procs/Import/Read...Excel Va fi deschis fereastra de dialog pentru import din Excel. Introducem numrul de serii din fiier (2) i csua de nceput a seriilor (B2 este valoarea implicit). Fiierul trebuie s fie compatibil Excel 97-2003, s fie nchis, iar informaiile s se gseasc pe prima pagin a fiierului. Pas2.Verificarea datelor Vom crea un grup care ne permite s examinm ambele variabile. ine apsat CTRL i selecteaz nti variabila Y, apoi variabila X. Plasezi cursorul n zona albastr i dai dublu clic. EViews deschide un meniu i selectezi OPEN GROUP. Dac datele sunt corecte se poate salva fiierul (SAVE). Bara de titlu se schimb pentru a aprea noul nume. Noul fiier poate fi deschis cu File/Open/Workfile. Pas3. Formularea modelului i estimarea parametrilor Dorim o regresie a var.dependente Y n raport cu X, folosind datele din fiier. Selectm Procs/Make equation Apare o fereastr de dialog pentru estimare : Y spaiu C spaiu X (sau: yi c xi sau yi xi c) Method LS, OK. n loc de Procs/Make equation putem selecta Quick/Estimate Equation... Se obin rezultatele. Le vom compara cu cele din Excel. Apar coeficienii de regresie estimai, erorile standard ale estimatorilor parametrilor, statisticile t i p-value. Apar, de asemenea, media i abaterea standard a variabilei dependente, eroarea standard a estimaiei, coeficientul de determinare R-Squared, statistica F i p-value asociat. Exist i alte statistici despre care vom discuta n curnd. Vizualizarea valorilor reziduurilor din regresie Selectm variabila resid, apoi clic pe View, Show i OK; sau dublu clic pe resid.