Ridicarea la putere a Ridicarea la putere a matricelormatricelor

“… “…construim,invatam,dezvoltam…”construim,invatam,dezvoltam…”

CuprinsCuprins - definitia ridicarii la putere a - definitia ridicarii la putere a

matricelormatricelor - proprietati - proprietati - metodele pentru a ridica la exponent - metodele pentru a ridica la exponent

natural a unei matrice de ordinul 2natural a unei matrice de ordinul 2

Definitie:Definitie:• Fie matricea pătratică A Fie matricea pătratică A €€ Mn Mn(C) , A≠On.(C) , A≠On.• Prin definiţie A0= In si An = A*A*A*...*A,Prin definiţie A0= In si An = A*A*A*...*A,Vn Vn €€ N* N*• Se observă că An+1 Se observă că An+1 = An= An A nA n

Proprietati:Proprietati:• Cu ajutorul proprietatii de asociativitate a inmultirii Cu ajutorul proprietatii de asociativitate a inmultirii

matrcelor se poate demonstra ca au loc urmatoarele matrcelor se poate demonstra ca au loc urmatoarele reguli de calcul :reguli de calcul :

a)a) AA k * k * AAp = p = A A k+p,k+p, k,p k,p € N*€ N* b) b) ( A( Ak k ))p = p = A A kp , kp , k,p € N*k,p € N* Daca A,B € MDaca A,B € Mn n (C) si AB = BA, atunci :(C) si AB = BA, atunci : c) c) AAk * k * BBp p = B= Bp * p * AAk ,k , k,p € N* k,p € N* d) d) (A+B)(A+B)K K = C= CkkA + CA + CkkAAk-1k-1B + …+CB + …+CkkA BA Bk-1 k-1 + C+ CkkBBk k (binomul lui (binomul lui

Newton)Newton)

• Pentru ridicarea la exponent natural nPentru ridicarea la exponent natural nℕ, nℕ, n a unei a unei matrice de ordinul 2 vom pune în evidenţă câteva matrice de ordinul 2 vom pune în evidenţă câteva metode :metode :

• Metoda 1Metoda 1 FieFie ttℝ prin ridicarea la exponentul nℝ prin ridicarea la exponentul nℕ* va avea ℕ* va avea formaforma

nnℕ*,rezultat ce se verifică prin inducţie. Folosind ℕ*,rezultat ce se verifică prin inducţie. Folosind

acest rezultat vom deduce forma puterii a-n-a pentru acest rezultat vom deduce forma puterii a-n-a pentru matricelematricele

0baR,ba,cu 22

abba

Bşiabba

A

,cossin

sincos

tttt

A

ntntntnt

Ancossin

sincos

1;1 ;sin;cosNotând

22222222 ba

b

ba

a

ba

btba

at

tttt

baBtttt

baABAcossin

sincosrespectiv

cossinsincos

forma laaducse, 2222

ntntntnt

baBntntntnt

baAn

nn

n

cossinsincos

cossinsincos

Rezultă 2222

ExempleExemple

1,, 22

baRbacu

abba

A Sa se arate ca puterile An,n≥1 sunt de formaSa se arate ca puterile An,n≥1 sunt de forma

nn

nnn

ab

baA .unde (an)n≥1, (bn)n≥1 sunt siruri convergente la .unde (an)n≥1, (bn)n≥1 sunt siruri convergente la

zero.zero.

Solutie :Solutie :Dacă a2+b2=0Dacă a2+b2=0aabb

zero.laeconvergentirurisuntdeci ,0 ,0 ,1 ,0000

la conduce 0000

şbanAA nnn

deducemsin ,cosnotând,10Dacă22222222

babtbaatba

0lim,0limasigurăsemajorariicriteriulPrin

.sin,cos 2222

nnnn

n

n

n

n

bantbabntbaa

Metoda 2Metoda 2Orice matriceOrice matrice verifică o ecuaţie de forma verifică o ecuaţie de forma

222 det OIAATrAA

RMdcba

A 2

(Numita ecuatie caracteristica asociata (Numita ecuatie caracteristica asociata matricei A)matricei A)

unde TrA = a+d(urma matricei A), det A = ad-bcunde TrA = a+d(urma matricei A), det A = ad-bcSe demonstrează prin inducţie că există două şiruri realeSe demonstrează prin inducţie că există două şiruri reale

,1,, , ,211 nNnIyAxAîncâtastfelyx nnn

nnnnunde X1 = 1, Y1 = 0, X2 = TrA,y2 = - det A.Pentru a evidentia relatia de recurenta unde X1 = 1, Y1 = 0, X2 = TrA,y2 = - det A.Pentru a evidentia relatia de recurenta constatamconstatam

AyAxAIyAxAAA nnnnnn 2

21

IxyAyxxAyIyAxx nnnn 222222 deci:deci:

Nnxyysiyxxx nnnn , 1 21221

Solutie :Solutie :

Ecuaţia caracteristică asociată relaţiei de recurenţă de ordinul 2 esteEcuaţia caracteristică asociată relaţiei de recurenţă de ordinul 2 este::

21212 deci 1,12 nccxrrcurr n

.2

,,2:1,2

0,1,1det,2,det

11

11,2

1122222

nnn

nnnnnnnn

xxx

sauxyyxxcuconformdecinIyAxA

yxyATrAxOIAATrAA

1 şi rezultă 0,1

unde de 22 obţbţin 2

1 obţbţin 1

12

212

211

nynxccccxn

ccxnPentru

nn

101

1001

11011 n

nnAn

• Au participat la realizarea acestui Au participat la realizarea acestui proiect urmatorii elevii ai grupei 4 din proiect urmatorii elevii ai grupei 4 din clasa a XI-a B: clasa a XI-a B:

- LUNG FLORIN- LUNG FLORIN - POP CLAUDIU- POP CLAUDIU - BORSAN PETRUTA- BORSAN PETRUTA

SFARSITSFARSIT