Valori si vectori proprii. Forme canonice ale matricelor si ...

Algebră liniară

157

CAPITOLUL 4

VALORI ŞI VECTORI PROPRII. FORME CANONICE ALE

MATRICELOR ŞI ENDOMORFISMELOR

4.1. Forma celular diagonală - definiţie

Fie K un corp comutativ şi V un spaţiu vectorial peste K de

dimensiune n. Notăm cu EndK(V) mulţimea endomorfismelor pe V, adică

mulţimea transformărilor liniare u: V→ V.

Definiţie4.1.1. Un subspaţiu vectorial L al spaţiului vectorial V se

numeşte subspaţiu invariant la aplicaţia liniară u : V→V

dacă u(x) ∈ L pentru orice x ∈L. Un subspaţiu L

invariant la aplicaţia liniară u : V→V se numeşte

indecompozabil (relativ la u) dacă nu poate fi reprezentat

ca suma directă a două subspaţii diferite de {0V}

invariante la u.

Fie L ⊂ V un subspaţiu de dimensiune p invariant la aplicaţia

liniară u : V→V. Fie B' = {e1, e2, …, ep} o bază a lui L şi B = {e1, e2, …,

ep, …, en} o bază a lui V obţinută prin completarea lui B'. Considerăm

aplicaţia liniară indusă de u pe L, adică aplicaţia u' : L →L, u'(x) = u(x)

pentru orice x ∈ L (u' este corect definită deoarece L este un subspaţiu

invariant). Notăm cu MB(u) = (aij)1≤i,j≤n matricea lui u în baza B. Deci

pentru orice i ∈{1,2, …, n}

u(ei) = ∑=

n

1ijijea .

Valori şi vectori proprii. Forme canonice ale matricelor şi endomorfismelor

158

Deoarece pentru orice i ∈{1,2, …, p} u(ei) ∈ L = Sp(B'), rezultă că

u(ei) = ∑=

p

1ijijea

şi deci aij = 0 pentru orice j>p. Ca urmare, matricea MB(u) este de forma:

a11 a12 … a1p 0 … 0

a21 a22 … a2p 0 … 0

MB(u) =

ap1 ap2 … app 0 … 0

ap+1,1 ap+1,2… ap+1, p ap+1, p+1… ap+1, n

an,1 an,2… an, p an, p+1 … an, n

MB(u) = MB'(u') O

A A'

Vom demonstra că V se reprezintă în mod unic (până la un

izomorfism între perechi de sumanzi) ca sumă directă de un număr finit

de subspaţii L1, L2, …, Lq indecompozabile relativ la u:

V = L1 ⊕L2 ⊕…⊕Lq, Li subspaţiu invariant la u pentru orice i.

Pentru fiecare i ∈{1, 2, ..q} notăm cu ui aplicaţia indusă de u pe Li şi

considerăm o bază Bi pentru Li. Este uşor de observat că B = Uq

1iiB

=

este o

bază a lui V. Notăm cu ( )iB uMi

matricea asociată lui ui în baza Bi pentru

fiecare i ∈{1,2, …, q}. Ţinând cont că pentru orice i ∈{1,2, …, q} şi

orice e∈Bi u(e) ∈ Li = Sp(Bi), rezultă că matricea lui u în baza B = Uq

1iiB

=

este de forma

Algebră liniară

159

( )1B uM1

( )2B uM2

MB(u) =

( )qB uMq

care se numeşte formă celular diagonală.

Astfel se reduce studiul lui u la studiul transformărilor liniare

ui :Li → Li, i ∈ {1, 2, …, q}.

4.2. Inele şi module

Definiţia 4.2.1. Se numeşte inel o mulţime nevidă R înzestrată cu două

operaţii, una notată aditiv +: R×R→R (numită adunare)

şi cealaltă notată multiplicativ ⋅: R×R→R (numită

înmulţire),care satisfac următoarele condiţii

1. R este grup abelian faţă de operaţia de adunare

2. operaţia de înmulţire este asociativă

3. oricare ar fi x,y,z∈R, avem

x (y + z) = xy + xz

(x + y )z = xz + yz.

Dacă R este un inel, grupul abelian R faţă de adunare se numeşte

grupul aditiv subiacent inelului. Elementul neutru faţă de adunare se

notează cu 0 şi se numeşte elementul zero al inelului, iar opusul faţă de

adunare al unui element oarecare x∈R se notează cu -x. Dacă, în plus,

operaţia de înmulţire admite element neutru, spunem că inelul este unitar.

Elementul neutru la înmulţire (dacă există) se notează cu 1 şi se numeşte


160

elementul unitate al inelului. Dacă înmulţirea este comutativă, inelul se

numeşte comutativ. Spunem că x∈R este divizor al lui zero la stânga

(respectiv la dreapta) dacă există y∈R, y≠0 astfel încât xy = 0 (respectiv

yx = 0). Un element care este în acelaşi timp divizor al lui zero la stânga

şi la dreapta se numeşte simplu, divizor la lui zero. Un inel unitar nenul

fără divizori ai lui zero la stânga şi la dreapta nenuli se numeşte inel

integru. Dacă, în plus, inelul este şi comutativ el se numeşte domeniu de

integritate. Elementele inversabile faţă de operaţia de înmulţire a unui

inel unitar R se numesc elemente inversabile ale inelului, iar mulţimea lor

se notează cu U(R) (este uşor de arătat că U(R) are o structură de grup

faţă de operaţia de înmulţire din R). Dacă U(R) = R-{0}, atunci R este

corp. Dacă a şi b sunt două elemente din domeniul de integritate R, se

spune că a divide b şi se scrie a|b dacă există c∈R astfel încât b =ac. Două

elemente a şi b din R se numesc asociate în divizibilitate dacă a|b şi b|a,

sau echivalent dacă există un element u ∈U(R) astfel încât b = ua. Dacă a

şi b sunt asociate în divizibilitate, atunci scriem a ~ b. Un element d ∈ R

se numeşte cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b din R dacă

are următoarele proprietăţi:

1. d|a şi d|b

2. dacă d'|a şi d'|b, atunci d'|d.

Orice două elemente d1 şi d2 din R (domeniu de integritate) care satisfac

condiţiile 1 şi 2 de mai sus sunt asociate în divizibilitate. De aceea vom

nota cu (a, b) orice element care este cel mai mare divizor comun al lui a

şi b (adică nu facem distincţie între elementele asociate în divizibilitate).

Două elemente a şi b din R se numesc prime între ele dacă 1 este cel mai

mare divizor comun al lui a şi b. Un element x dintr-un domeniu de

Algebră liniară

161

integritate R se numeşte ireductibil dacă x ≠ 0, x ∉U(R), şi în plus dacă

din x = ab rezultă a sau b inversabil. Un element p∈R se numeşte prim

dacă p ≠ 0, p ∉U(R), şi în plus, dacă din p|ab rezultă că p|a sau p|b. Într-

un domeniu de integritate orice element prim este ireductibil. Dacă în

plus, pentru orice două elemente există un cel mai mare divizor comun,

atunci orice element ireductibile este prim (teorema 1.8/pg. 212 [5]). Un

domeniu de integritate R se numeşte factorial dacă orice element nenul şi

neinversabil al lui R este produs de elemente prime ale lui R. Într-un inel

factorial pentru orice două elemente a şi b există un cel mai mare divizor

comun (este dat de produsul elementelor prime comune la puterea

minimă la care apar în descompunerile lui a şi b).

Exemplul 4.2.2. Fie R un inel comutativ şi unitar şi m şi n două numere

naturale nenule. Se numeşte matrice de tip (m,n) peste inelul R, orice

funcţie

A: {1,2,…,m} × {1,2,…,n} → R.

Oricărei matrice A de tipul (m,n) peste inelul R i se asociază un tablou cu

m linii şi n coloane

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

am1 am2 … amn

unde aij = A(i,j) pentru 1 ≤ i≤ m şi 1≤ j≤ n.

Reciproc, un astfel de tablou cu m linii şi n coloane de elemente

(coeficienţi) din inelul R, determină în mod unic o matrice A, dată prin

A(i,j) = aij pentru 1 ≤ i≤ m şi 1≤ j≤ n. În cele ce urmează vom scrie

matricea A sub forma unui astfel de tablou sau condensat, A =


162

( )nj1mi1ija

≤≤≤≤ (sau A = (aij)i,j dacă m şi n se subînţeleg). Vom nota cu Mm,n(R)

mulţimea matricelor cu m linii şi n coloane cu elemente din R. Vom defini

pe Mm,n(R) o operaţie algebrică internă, numită adunarea matricelor, în

felul următor:

dacă A = (aij)i,j∈ Mm,n(R),B=(bij)i,j∈ Mm,n(R), atunci A+B = C, unde

C=(cij)i,j ∈ Mm,n(R) şi cij = aij + bij pentru orice 1≤i≤m şi 1≤j≤n.

Produsul AB a două matrice A = (aij)i,j∈ Mm,n(R) şi B=(bij)i,j∈ Mn,p(R)

este o matrice C=(cij)i,j ∈ Mm,p(R) pentru care

cij = ∑=

n

1kkjik ba pentru orice 1≤ i≤ m şi 1≤ j≤ p.

Transpusa unei matrice A= ( )nj1mi1ija

≤≤≤≤ , este o matrice notată At = ( )

mj1ni1

tija

≤≤≤≤ ,

ale cărei elemente sunt: tija = aji pentru orice 1≤ i≤ n, 1≤ j≤ m. O matrice

pentru care m=n se numeşte pătratică. Matricele pătratice pentru care

A=At se numesc matrice simetrice. Mulţimea matricelor pătratice Mn,n(R)

cu elemente din inelul comutativ şi unitar R are o structură de inel unitar

în raport cu adunarea şi înmulţirea matricelor. Elementul neutru la

înmulţire în Mn,n(R) este matricea ale cărei elemente sunt egale cu

elementul zero al inelului R, cu excepţia celor de pe diagonala principală

care sunt egale cu 1 (elementul unitate al inelului R). Ea se notează cu

In:

1 0 0 … 0

0 1 0 … 0

0 0 0 … 1

Algebră liniară

163

Determinantul unei matrice A= (aij)ij ∈Mn,n(R) se notează cu det(A)

sau

a11 a1n

an1 ann

şi se defineşte ca ( ) ( ) ( )nn2211S

aaan

σσσ∈σ

σ∑ε ... ∈R (suma se face după toate

permutările σ ale mulţimii {1, 2, …,n}, iar εσ reprezintă signatura

permutării σ). În particular,

a11 a12 = a11a22 - a12a21.

a21 a22

Pentru orice matrice A= (aij)ij ∈Mn,n(R), elementul Γij = (-1)i+jdet(Aij)∈R

se numeşte complementul algebric al elementului aij, unde Aij este

matricea ce se obţine din A eliminând linia i şi coloana j. Se poate arăta

că

det(A) = ∑=

Γn

1jijija pentru orice 1 ≤ i ≤ n.

Determinanţii au următoarele proprietăţi (corolar 1.8/pg 162 [4],

propoziţia 1.10/pg 163 [4]):

1. det(A) = det(At) pentru orice matrice A∈Mn,n(R).

2. O matrice cu două coloane egale are determinantul zero.

3. Dacă permutăm două coloane, determinantul matricei îşi

schimbă semnul.

4. Dacă la o coloană a matricei se adună o altă coloană înmulţită

cu un element a∈R, determinantul matricei nu se schimbă.

5. Dacă toate elementele unei coloane sunt egale cu zero, atunci

determinantul matricei este zero.


164

6. det(AB) =det(A)det(B) pentru orice A,B∈Mn,n(R).

Datorită faptului că det(A) = det(At), este adevărată şi lista de

proprietăţi ce se obţine înlocuind în 2-5 cuvântul coloană cu cuvântul

linie.

Grupul unităţilor inelului Mn,n(R) (mulţimea elementelor

inversabile în inelul Mn,n(R)) se notează cu GLn(R) şi se numeşte grupul

liniar de grad n al inelului R. În particular, GL1(R)= U(R). Se

demonstrează că o matrice A∈ GLn(R) (adică este inversabilă) dacă şi

numai dacă det(A)∈U(R) (teorema 3.1/pg. 166 [4]). Demonstraţia este

constructivă: A-1(inversa matricei A) se obţine din matricea reciprocă a

lui A prin înmulţirea tuturor elementelor cu inversul determinantului lui

A. Reciproca matricei A =(aij)ij este transpusa matricei (Γij)ij, unde Γij

reprezintă complementul algebric al lui aij.

Se numeşte submatrice a matricei A∈Mm,n(R) o matrice obţinută

din A prin eliminarea unor linii şi unor coloane. Determinantul unei

submatrice cu p linii (şi p coloane) se numeşte minor de ordin p al

matricei A. Se spune că matricea A are rangul r, dacă A are un minor

nenul de ordin r şi toţi minorii lui A de ordin r+1 sunt nuli.

Exemplul 4.2.3. Fie R un inel comutativ şi unitar. Considerăm mulţimea

şirurilor (a0, a1, …an, …) de elemente din inelul R, cu condiţia ca în

fiecare şir, începând de la un anumit rang, componentele să fie 0

(elementul zero al inelului R). Un astfel de şir se numeşte polinom cu

coeficienţi în R (elementele a0, a1, …an, …se numesc coeficienţii

polinomului). Definim adunarea polinoamelor prin

(a0, a1, …an, …)+(b0, b1, …bn, …)

=(a0 + b0, a1 + bn, …an+ bn, …)

Algebră liniară

165

Dacă P = (a0, a1, …an, …) şi Q = (b0, b1, …bn, …) produsul PQ este

polinomul S =(c0, c1, …cn, …) cu proprietatea că ck = ∑=+ kji

jiba pentru

orice k ≥ 0. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi din inelul comutativ şi

unitar R are o structură de inel comutativ şi unitar în raport cu adunarea

şi înmulţirea definite mai sus. Elementele inelului R pot fi privite ca

polinoame cu coeficienţi în R prin identificarea unui element a∈R cu

polinomul (a, 0, …, 0, …). Dacă P= (a0, a1, …an, …) este un polinom

nenul, atunci n = max{i, ai ≠ 0} se numeşte gradul polinomului P, şi se

notează cu grad(P). Pentru polinomul nul (0, ..,0,…) convenim să

considerăm gradul său ca fiind -∞. Coeficientul an, unde n=grad(P) (P

nenul) se numeşte coeficientul dominant al polinomului P. Dacă acest

coeficient an este 1 (elementul unitate al inelului R) atunci P se numeşte

polinom unitar. Dacă P şi Q sunt două polinoame cu coeficienţi în R,

atunci grad(P+Q) ≤ max(grad(P), grad(Q)) şi grad(PQ) ≤ grad(P) +

grad(Q). Mai mult, dacă P şi Q sunt nenule şi coeficienţii dominanţi ai

lui P şi Q nu sunt divizori ai lui zero, atunci grad(PQ) ≤ grad(P) +

grad(Q).

Notăm prin X polinomul (0,1,0,…,0,…) care se numeşte

nedeterminata X. Înmulţirea polinoamelor ne dă

X2 = XX =(0, 0, 1, 0, …, 0,…)

şi, mai general, pentru orice număr natural i

Xi =(0, … 0, 1, 0, …, 0, …)

i ori

Folosind adunarea şi înmulţirea definite pe mulţimea polinoamelor cu

coeficienţi în R se obţine că orice polinom P= (a0, a1, …an, …) poate fi

scris sub forma


166

P = a0 + a1X +… + amXm, unde m =grad(P).

Elementele a0, a1, …am poartă denumirea de coeficienţi ai polinomului P.

Inelul polinoamelor cu coeficienţi în R se notează cu R[X]. Un element

a∈R este inversabil în R dacă şi numai dacă a (privit ca polinom) este

inversabil în R[X]. Dacă, în plus, R este domeniu de integritate, atunci

R[X] este domeniu de integritate şi U(R) = U(R[X]).

Definiţia 4.2.4. Fie R un inel şi I⊂R o submulţime nevidă a sa. Spunem

că I este un ideal la stânga (respectiv la dreapta) al

inelului B dacă:

1. oricare ar fi x, y ∈I, rezultă x - y∈I

2. oricare ar fi a∈R şi x∈I, rezultă ax∈I (respectiv

xa∈I).

Un ideal care este în acelaşi timp ideal la stânga şi la

dreapta se numeşte ideal bilateral.

Dacă inelul R este inel comutativ, atunci este clar că noţiunile de

ideal la stânga, ideal la dreapta şi ideal bilateral coincid. În acest caz vom

spune simplu ideal al inelului R.

Dacă R este un inel unitar şi a∈R, atunci

1. Ra = {xa, x∈R} este ideal la stânga în R

2. aR ={ax, x∈R} este ideal la dreapta în R

3. aRa ={∑=

n

1iiiayx , xi, yi ∈R, i =1,2, ..n} este ideal bilateral în R.

Dacă R este un inel unitar şi a∈R, atunci aR, Ra, aRa se numesc

ideale principale, respectiv, la stânga, la dreapta şi bilateral. Un inel se

numeşte principal dacă este un domeniu de integritate şi orice ideal al său

este principal. Dacă R este un inel principal, atunci R este factorial

Algebră liniară

167

(teorema 4.1/pg. 218 [5]). Dacă R este un inel principal, a, b∈R şi d este

un cel mai mare divizor comun al elementelor a şi b, atunci există u, v∈R

astfel încât d = ua + vb (este suficient să observăm că Ra + Rb este un

ideal în inelul principal R, deci există d1 ∈R astfel încât Rd1 = Ra + Rb;

este uşor de observat că d1 este cel mai mare divizor comun pentru a şi b,

deci este asociat în divizibilitate cu d). În particular, elementele a şi b sunt

prime între ele dacă şi numai dacă există elementele u şi v astfel încât ua

+ vb = 1.

Un domeniu de integritate R se numeşte inel euclidian dacă există

o funcţie ϕ : R- {0} → N având proprietatea că oricare ar fi a, b∈R, b≠0,

există q, r ∈ R astfel încât

a = bq + r, unde r = 0 sau ϕ(r) < ϕ(b) (formula împărţirii cu rest).

Dacă R este un inel euclidian, atunci R este un inel principal (teorema

4.4/pg. 219 [5]). În cazul unui inel euclidian se poate determina cel mai

mare divizor comun a două elemente prin aplicarea algoritmului lui

Euclid (se aplică de un număr finit de ori formula împărţirii cu rest).Un

exemplu de inel euclidian este inelul numerelor întregi Z. În acest inel

are loc formula împărţirii cu rest: dacă a, b∈Z, b≠0, atunci există q, r∈Z

unic determinate cu proprietatea

a =bq +r, unde 0≤r<|b|.

Evident, Z este un inel euclidian, considerând funcţia:

ϕ : Z-{0} → N, ϕ(n) = |n| (modulul lui n).

Un alt exemplu de inel euclidian este inelul K[X] al polinoamelor cu

coeficienţi în corpul comutativ K. În cadrul acestui inel se poate

demonstra teorema împărţirii cu rest: oricare ar fi polinoamele P1, P2∈

K[X] cu P2 ≠ 0, există două polinoame Q şi R astfel încât


168

P1 = P2Q + R, unde grad(R) < grad(P2).

Pentru a arăta că K[X] este inel euclidian, considerăm funcţia

ϕ: K[X] - {0} → N, ϕ(P) = grad(P).

Deci inelul K[X] (K corp comutativ) este euclidian, şi în consecinţă este

principal. De asemenea fiind principal este factorial.

Definiţie 4.2.5. Fie R şi S două inele. Se numeşte morfism de la R la S o

funcţie ϕ : R→ S, care îndeplineşte următoarele condiţii:

1. ϕ(x+y) = ϕ(x) +ϕ(y) oricare ar fi x, y∈R

2. ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) oricare ar fi x, y∈R.

Un morfism ϕ : R→ S, unde R şi S sunt inele unitare, care satisface

în plus condiţia ϕ(1) = 1 se numeşte morfism unitar de inele. Un morfism

de inele ϕ : R→ S care, în plus, este bijectiv se numeşte izomorfism de

inele. Se poate arăta că dacă ϕ : R→ S este izomorfism de inele, atunci şi

ϕ-1 : S→ R este izomorfism de inele. Dacă

ϕ : R→S

este un morfism de inele atunci

1. Ker ϕ = {x∈R: ϕ(x) = 0} este un ideal bilateral al lui R numit

nucleul morfismului ϕ.

2. Im ϕ = ϕ/R) = {ϕ(x), x∈R} este un subinel al lui S (împreună

cu operaţiile induse de cele două operaţii algebrice de pe S

formează un inel) numit imaginea morfismului ϕ.

Un modul se deosebeşte de un spaţiu vectorial doar prin faptul că

înmulţirea externă nu se face cu elementele unui corp (ca în cazul

spaţiilor vectoriale), ci cu elementele unui inel. Restul axiomelor pentru

Algebră liniară

169

operaţia de adunare, ca şi pentru cea de înmulţire cu elementele inelului,

rămân aceleaşi.

Definiţie 4.2.6. Fie R un inel unitar şi (M, +) un grup comutativ. Spunem

că M este un R-modul la stânga, sau modul la stânga

peste R, dacă este definită o operaţie externă

⋅ : R× M → M, (a,x) → ax

care satisface condiţiile:

1. 1x=x, oricare ar fi x∈M.

2. (ab)x = a(bx) oricare ar fi a,b∈R şi x∈M;

3. (a+b)x = ax + bx oricare ar fi a,b∈R şi x∈M;

4. a(x + y) = ax + ay oricare ar fi a∈R şi x, y∈M.

În mod analog se defineşte noţiunea duală de R-modul la dreapta

(operaţie externă ⋅:M × R→M) . Grupul comutativ (M, +) se numeşte

grupul aditiv subiacent R-modulului. Elementele lui R se vor numi

scalari iar operaţia externă înmulţire cu scalari. Faptul că M este un R-

modul la stânga, respectiv la dreapta se mai notează prin RM, respectiv

MR. În cele ce urmează, dacă nu menţionăm contrariul, prin R-modul

vom înţelege un R-modul la stânga, noţiunile şi rezultatele prezentate

transpunându-se direct şi pentru R-module la dreapta.

Exemplul 4.2.7. Un inel unitar R poate fi privit ca un R-modul la stânga,

considerând grupul aditiv subiacent inelului R, împreună cu operaţia

externă R× M → M, (a,x) → ax, unde ax este produsul (în R) al

elementelor a şi x din inelul R.

Exemplul 4.2.8. Fie R un inel comutativ şi unitar şi n ≥ 1 un număr

natural. Mulţimea


170

Rn[X] = {P∈R[X], grad(P) ≤ n}

este un R-modul dacă considerăm grupul aditiv subiacent determinat de

adunarea obişnuită a polinoamelor, şi drept operaţie externă, înmulţirea

polinoamelor cu elemente din R:

(a, a0 + a1X +… + anXn) → aa0 + aa1X +… + aanX

n.

Analog, mulţimea R[X] a tuturor polinoamelor cu coeficienţi în R poate fi

înzestrată cu o structură de R modul.

Exemplul 4.2.9. Fie R un inel comutativ şi unitar şi m şi n două numere

naturale. Mulţimea Mm,n(R) a matricelor cu m linii şi n coloane cu

elemente din R poate fi înzestrată cu o structură de R-modul luând drept

adunare adunarea obişnuită a matricelor, şi drept operaţie externă:

(a, ( )nj1mi1ija

≤≤≤≤ ) → ( )

nj1mi1ijaa

≤≤≤≤ .

Propoziţia 4.2.10. Fie M este un R-modul. Dacă a,b∈R şi x,y∈M, atunci:

1. a0 = 0x =0.

2. (-a)x = -ax, a(-x) = -ax, (-a)(-x) = ax.

3. a(x-y) = ax -ay.

4. (a - b)x = ax - bx.

5. Dacă, în plus, R este corp şi ax=0, atunci a=0 sau

x=0.

Demonstraţie. Se ţine seama de definiţia R-modului (vezi demonstraţia

propoziţiei 1.2/pg. 244 [5]).

Algebră liniară

171

Definiţia 4.2.11. Fie M un R-modul la stânga. O submulţime N ⊂ M se

numeşte submodul al lui M dacă sunt îndeplinite

următoarele condiţii:

1. oricare ar fi x, y ∈ N, atunci x-y∈N.

2. oricare ar fi a ∈R şi x ∈ M, atunci ax∈N.

Submodulul {0} se va numi submodulul nul al lui M.

Definiţia 4.2.12. Fie M un R-modul la stânga şi S o submulţime a lui M.

Intersecţia tuturor submodulelor la stânga ale lui R care

conţin mulţimea S se numeşte submodulul generat de S şi

se notează cu <S>. Se spune că S este un sistem de

generatori pentru <S>. Submodulul generat de mulţimea

vidă este submodulul nul. Submodulul <{x}> ={ax, a∈R}

se numeşte submodulul ciclic sau monogen al lui M

generat de x∈M, şi se notează Rx sau <x>. Dacă M =Rx,

atunci M se numeşte modul ciclic.

Dacă {Ni}i∈I este o familie de submodule ale lui M,

submodulul generat de UIi

iN∈

se numeşte suma familiei de

submodule {Ni}i∈I şi se notează ∑∈Ii

iN .

Se poate arăta că

<S> = {∑=

n

1iiixa , ai∈R, xi∈S, n∈N}

Dacă {Ni}i∈I este o familie de submodule ale lui M, atunci

∑∈Ii

iN =< UIi

iN∈

> = {∑=

n

1iji

x , ij

x ∈ij

N , ji ∈I, n∈N}


172

În particular, dacă N1, N2, …, Np sunt submodule ale unui R-modul M,

atunci

∑=

p

1iiN = {∑

=

p

1iix , xi∈Ni }

Dacă reprezentarea fiecărui element din ∑=

p

1iiN sub forma ∑

=

p

1iix , cu xi∈Ni

pentru orice i, este unică, atunci spunem că suma familiei de submodule

este directă şi folosim scrierea N1⊕N2⊕…⊕Np.

Definiţia 4.2.13. Fie M şi N două R-module. Se numeşte morfism de R-

module de la M la N o funcţie ϕ: M → N astfel încât să

fie satisfăcute următoarele condiţii:

1. ϕ(x+y) = ϕ(x) + ϕ(y) oricare ar fi x, y ∈ M.

2. ϕ(ax) = aϕ(x) oricare ar fi a∈R şi x ∈ M.

Dacă, în plus, ϕ este o funcţie bijectivă, atunci ϕ se

numeşte izomorfism de R-module.

Dacă

ϕ : M→N

este un morfism de R-module atunci

1. Ker ϕ = {x∈M: ϕ(x) = 0} este un submodul al lui M numit

nucleul morfismului ϕ.

2. Im ϕ = ϕ/M) = {ϕ(x), x∈M} este un submodul al lui N numit

imaginea morfismului ϕ.

Algebră liniară

173

Definiţie 4.2.14. Fie M un R- modul şi N⊂M un submodul al său.

Definim pe M următoarea relaţie de echivalenţă:

x ~ y dacă şi numai dacă x - y ∈ N.

Clasa de echivalenţă a lui x ∈N este x = {x + z, z ∈ N}.

Fie M/N ={ x , x∈M}. M/N are o structură de R-modul

relativ la următoarele operaţii:

adunare: x + y = yx + oricare ar fi x , y ∈M/N.

înmulţire cu scalari din R: a x =ax oricare ar fi a∈R

şi x ∈M/N.

Mulţimea M/N cu operaţiile definite mai sus se numeşte

modulul factor al lui M prin submodulul N. Nu este greu

de observat că funcţia surjectivă π: M→M/N, π(x) = x ,

este un morfism de R-module, numit morfismul canonic

de la M la M/N.

Teorema 4.2.15. (Teorema fundamentală de izomorfism) Fie f: M → N

un morfism de R module. Atunci există un unic

izomorfism de R-module

ϕ : M/Ker f → Im f

astfel încât f = ϕ oπ, unde π este morfismul canonic de

la M la M/Ker f.

Fie M un modul peste un inel unitar R. Noţiunile de sistem de

generatori şi mulţime liniar independentă se definesc la fel ca în cazul

spaţiilor vectoriale. Elementul x∈M este combinaţie liniară cu coeficienţi

în R a familiei de elemente ( )ieIix ale lui M, dacă x se poate scrie sub

forma x = ∑ieI

aixi, unde numai un număr finit dintre coeficienţii ai sunt


174

nenuli. Familia S = ( )ieIix de elemente din M este sistem de generatori

pentru M dacă pentru orice x ∈ M există familia finită I0 ⊂ I astfel încât

x =∑0ieI

iixa . Un modul care admite o mulţime finită de generatori se

numeşte modul finit generat sau de tip finit. Familia ( )ieIix de elemente

din M este liniar independentă dacă 0 se poate scrie ca o combinaţie

liniară (cu coeficienţi în R) de elemente din familie dacă şi numai dacă

toţi scalarii sunt nuli. Mai precis, pentru orice familie finită I0 ⊂ I avem

∑0ieI

aixi = 0 ⇔ ai = 0 oricare ar fi i∈I0 .

Evident orice submulţime a unei familii liniar independente este la rândul

ei o familie liniar independentă.

Definiţia 4.2.16. O familie B de elemente ale unui R-modul M se

numeşte bază dacă îndeplineşte condiţiile de mai jos:

a) B este liniar independentă;

b) B este sistem de generatori pentru M.

Un modul care admite o bază se numeşte modul liber.

Dacă R este un inel comutativ spunem că un R-modul

liber M are rang infinit dacă admite o bază infinită.

Dacă M are o bază finită spunem că este de rang finit iar

numărul de elemente al unei baze se numeşte rangul R-

modulului M şi se notează cu rangRM (se poate arăta că

rangRM nu depinde de baza aleasă pentru module libere

M peste inele comutative R).

Teorema 4.2.17. (teorema 3.4./pg. 257 [5]) Fie L un R-modul liber de

bază B = {ei}i∈I. Atunci oricare ar fi R-modulul M şi

Algebră liniară

175

oricare ar fi familia {xi}i∈I de elemente din M, există un

unic morfism de R-module ϕ : L → M astfel încât ϕ(ei) =

xi pentru orice i ∈ I. Mai mult, ϕ este injectivă (respectiv

surjectivă, bijectivă) dacă şi numai dacă {xi}i∈I este un

sistem liniar independent (respectiv sistem de generatori,

bază).

Teorema 4.2.18. (teorema 2.1./pg. 204 [5i]) Fie R un inel principal şi F

un R-modul liber de rang n. Dacă L este un submodul al

lui F, atunci:

1. L este liber de rang m ≤ n.

2. Există o bază {g1, g2, …,gm} a lui R şi o bază {f1, f2,

…,fn} a lui F astfel încât

gi =difi, 1 ≤ i≤m

unde di∈R, di≠0, 1≤i≤m şi d1 | d2 | ... | dm.

Notaţia 4.2.19. Fie M un modul peste un inel principal R şi x un element

din M. Se notează cu AnnR(x) idealul

AnnR(x) ={a ∈R, ax =0}

Deoarece R este inel principal rezultă că există µx ∈R

astfel încât AnnR(x) = Rµx. Elementul µx∈R se numeşte

ordinul lui x ∈M (µx este unic determinat mai puţin o

asociere în divizibilitate). Dacă R =K[X], K corp

comutativ, µx este unic determinat dacă cere să fie

polinom unitar. Elementul x se numeşte element de

torsiune (sau torsionat) dacă AnnR(x) ≠ {0}. Se notează

cu t(M) mulţimea elementelor de torsiune din M. t(M)


176

este un submodul numit submodulul de torsiune al lui

M. Dacă t(M) = M, spunem că M este modul de torsiune,

iar dacă t(M) = {0} spunem că M este modul fără

torsiune. Evident, t(M) = {x ∈M, µx ≠0}.

Funcţia

f : R → Rx, f(a) = ax oricare ar fi a ∈R

este un morfism surjectiv de R module al cărui nucleu

Ker f = AnnR(x). Aplicând teorema fundamentală de

izomorfism obţinem

Rx ≅ R/Ker f = R/AnnR(x) =R/ Rµx.

Teorema 4.2.20. (Teorema factorilor invarianţi) Fie M un modul de tip

finit peste un inel principal R. Atunci există două numere

naturale m şi n, m ≤ n şi elementele x1, x2, …, xn ∈M

astfel încât

1. M = Rx1⊕Rx2⊕…⊕Rxm⊕Rxm+1⊕…⊕Rxn

t(M)

şi, în plus,

ixµ ≠0 ixµ ∉U(R) pentru orice 1 ≤ i ≤m

1xµ |2xµ |…|

mxµ

ixµ = 0 pentru orice m<i≤n.

2. Numerele naturale m şi n precum şi elementele di

=ixµ ∈R , 1≤ i≤ m sunt unic determinate (până la o

asociere în divizibilitate) (teorema 2.7/pg. 209 [5i]).

Algebră liniară

177

Definiţia 4.2.21. Elementele di =ixµ 1 ≤ i≤ m a căror existenţă este

demonstrată în teorema precedentă se numesc factorii

invarianţi ai modulului M (sunt unici mai puţin o

asociere în divizibilitate). Divizorii elementari ai

modulului M reprezintă factorii ireductibili la puterea

maximă la care apar în descompunerea fiecăruia dintre

factorii invarianţi.

Teorema 4.2.22. (lema 3.1/pg. 212 [4i])Fie M un modul peste un inel

principal R şi µ1, µ2, …µr∈R astfel încât (µi, µj) =1

pentru orice i ≠ j. Atunci

1. Dacă x∈M şi µx =µ1µ2 …µr, atunci există x1, x2, …, xr

∈M astfel încât

Rx1⊕Rx2⊕…⊕Rxr =Rx

ixµ =µi pentru orice 1 ≤ i≤ r.

2. Dacă x1, x2, …, xr ∈M au proprietatea căixµ = µi

pentru orice 1 ≤ i≤ r, atunci există x∈M astfel încât

Rx = Rx1⊕Rx2⊕…⊕Rxr

µx = µ1µ2…µr.

Definiţia 4.2.23. Un R-modul M nenul se numeşte indecompozabil dacă

din M = X⊕Y, unde X ş Y sunt submodule ale lui M,

rezultă X = {0} sau X = M.

Teorema 4.2.24. (teorema 3.3/pg. 212 [4])Dacă M este un modul

indecompozabil de tip finit peste un inel principal R,

atunci M este izomorf cu R, sau M este izomorf cu R/Rπk,


178

unde π este un element ireductibil al lui R şi k un număr

întreg pozitiv.

Demonstraţie. Dacă M este indecompozabil, atunci M =Rx, unde fie µx

=0, fie µx ≠0. Dacă µx = 0, atunci M este izomorf cu R. Dacă µx ≠0,

atunci µx de forma πk (π ireductibil), altfel în descompunerea lui µx ar

există factori ireductibili primi între ei, şi conform teoremei 4.2.22,

M=Rx nu ar fi indecompozabil. În consecinţă, dacă µx ≠0, atunci M este

izomorf cu R/Rπk, unde π este un element ireductibil al lui R şi k un

număr întreg pozitiv.

Teorema 4.2.25. (teorema 3.6/pg. 214 [4])Fie M un modul de tip finit

peste un inel principal R şi

M = M1⊕M2⊕…⊕Mp = N1⊕N2⊕..Nq

două reprezentări ale lui M ca sumă directă de module

indecompozabile. Atunci p = q şi există o permutare σ

astfel încât Mi = Nσ(i) pentru orice 1 ≤ i ≤ p.

4.3. Polinomul minimal asociat unei transformări liniare


dimensiune n. Fie u: V→ V o transformare liniară şi A matricea asociată

lui u într-o bază fixată B.

Fie K[X] inelul polinoamelor cu coeficienţi în K (reamintim că

acest inel este principal). Fie Mn,n(K) inelul matricelor cu n linii şi n

coloane cu elemente din K. Considerăm următoarele morfisme de inele

η : K[X] → EndK(V)

Algebră liniară

179

η(P) = P(u) = α01V + α1u + … +αsus,

pentru P = α0 + α1X + … +αsXs.

ξ : K[X] → Mn,n(K)

ξ(P) = P(A) = α0In + α1A + … +αsAs,


Deoarece K[X] este inel principal şi Ker η = Ker ξ sunt ideale în

K[X] rezultă că există un polinom µ∈K[X] astfel încât

Ker η = Ker ξ =K[X]µ.

Polinomul µ se numeşte polinomul minimal al transformării liniare u

(respectiv al matricei A). Polinomul minimal este unic determinat de

proprietăţile:

1. este polinom unitar

2. µ(u) = 0 (respectiv µ(A) = 0)

3. dacă P ∈ K[X] şi P(u) = 0 (respectiv P(A) = 0), atunci µ|P.

Pe V definim o operaţie algebrică externă:

K[X] × V → V, (P, x) → P⋅x

P⋅x = η(P)(x) = α0x + α1u(x) + … +αsus(x),

pentru P = α0 + α1X + … +αsXs. V devine astfel un K[X]-modul la

stânga (adunarea este dată de adunarea vectorilor din V).

Lema 4.3.1. Fie L o submulţime a lui V. Următoarele afirmaţii sunt

echivalente:

1. L este subspaţiu invariant al lui u.

2. L este submodul al lui K[X]V.

Demonstraţie. 1 => 2. Fie P = α0 + α1X + … +asXs∈K[X] şi x ∈V.

Avem P⋅x = α0 + α1u(x) + … +αsus(x) ∈L.


180

2 =>1 Evident dacă L este submodul în K[X]V atunci L este subspaţiu

vectorial al lui V. Pe de altă parte pentru orice x∈L, avem u(x) = X⋅x ∈L,

şi deci L este invariant la u.

Lema 4.3.2. Modulul K[X]V este finit generat şi t(V) = V.

Demonstraţie. Fie B={e1, e2, …, en} baza fixată a lui a spaţiului vectorial

V peste K. Atunci

V = Ke1 + Ke2 + … +Ken ⊂ K[X]e1 + K[X]e2 + … +K[X]en ⊂ V.

Deci B este un sistem de generatori pentru K[X]V.

Fie x∈ V. Familia {x, u(x), …, un(x)} de elemente din spaţiu

vectorial n-dimensional V este liniar dependentă (are n+1 elemente). Ca

urmare, există scalarii α0, α1, …, αn ∈K, nu toţi nuli, astfel încât

α0x + α1u(x) + … +αnun(x) = 0

şi deci P⋅x = 0 pentru P = α0 + α1X + … +αnXn, P ≠ 0. În consecinţă,

x∈t(V).

Lema 4.3.3. Fie µ polinomul minimal al transformării liniare u.

1. Dacă d1| d2|…| dm sunt factorii invarianţi ai K[X]-

modulului K[X]V, atunci µ = dm.

2. Există x ∈ V astfel încât µ = µx.

Demonstraţie. Dacă d1| d2|…| dm sunt factorii invarianţi ai K[X]-

modulului K[X]V, ţinând seama că t(V) = V, rezultă că

V = K[X]x1⊕ K[X]x2⊕…⊕ K[X]xm

unde ixµ = di pentru orice 1≤ i≤ m (AnnK[X](xi) = diK[X]) . Deoarece di|dm

pentru orice 1≤ i≤ m, rezultă că există bi astfel încât dm =bidi, şi în

consecinţă

Algebră liniară

181

dm⋅xi = bidi⋅xi = bi ⋅(di⋅xi) =0

pentru orice 1≤ i≤ m.

Verificăm faptul că dm îndeplineşte condiţiile care caracterizează

un polinom minimal. Dacă

x∈ V = K[X]x1⊕ K[X]x2⊕…⊕ K[X]xm,

atunci există scalarii a1, a2, …am ∈ K[X] astfel încât x = ∑=

⋅m

1iii xa , şi deci

dm(u)(x) = dm(u)( ∑=

⋅m

1iii xa ) = ( )( )∑

=

⋅m

1iiim xaud = ( )∑

=

⋅⋅m

1iiim xad

= ( )∑=

⋅⋅m

1iimi xda = 0

Fie a un polinom din K[X] astfel încât a(u) = 0. Din faptul că

a⋅xm = a(u)(xm) =0

rezultă că a ∈AnnK[X](xm) = K[X] dm, de unde se obţine că dm|a.

Am demonstrat astfel că dm este polinom minimal al transformării

liniare u. Punctul 2 din lema se verifică pentru că dm = mxµ .

Pentru orice x∈V,

K[X]⋅x = { α0x + α1u(x) + … +αsus(x), s∈N, αi ∈K, 1≤ i ≤ s}

poate fi privit ca un subspaţiu vectorial al lui V peste K.

Lema 4.3.4. Pentru orice x∈V avem dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca un

subspaţiu vectorial al lui V peste K este egală cu gradul

polinomului µx.

Demonstraţie. Fie t = grad(µx). Arătăm că Bx ={x, u(x), …ut-1(x)} este o

bază a lui K[X]⋅x peste K. Pentru a arăta că Bx este liniar independentă să

considerăm scalarii α0, α2, …, αt-1∈K astfel încât


182

α0x + α1u(x) + … + αt-1ut-1(x) = 0.

Polinomul P =α0 + α1X + … + αt-1Xt-1 ∈ K[X] are deci proprietatea că

P⋅x = 0, ceea ce este echivalent cu P ∈ AnnK[X](x) = K[x]µx, de unde

rezultă că µx|P. Se obţine că P =0, fiindcă altfel

t = grad(µx) ≤ grad(P)≤ t-1.

Pentru a arăta că Bx este sistem de generatori, luăm un element oarecare y

din K[X]⋅x, adică un element de forma P⋅x cu P∈K[X]. Din teorema

împărţirii cu rest rezultă că există q ∈K[X] şi r ∈K[X] astfel încât

P = µxq + r, grad(r) < grad(µx).

Din faptul că grad(r) < grad(µx) deducem că r este de forma

r =α0 + α1X + … + αsXs cu s < t.

Avem

y = P⋅x = (µxq + r)⋅x = (µxq)⋅x + r⋅x =q⋅(µx⋅x) + r⋅x

= r⋅x = (α0 + α1X + … + αsXs)⋅x

= α0x + α1u(x) + … + αsus(x)

=α0x + α1u(x) + … + αsus(x) + 0us+1(x) +…+0 ut-1(x).

de unde rezultă că y este în spaţiu generat de Bx.

Definiţia 4.3.5. O transformare liniară u ∈EndK(V) se numeşte ciclică

dacă K[X]V este modul ciclic, i.e. dacă există x∈V astfel

încât V = K[X]⋅x.

Lema 4.3.6. O transformare liniară u ∈EndK(V) este ciclică dacă şi

numai dacă gradul polinomului minimal al lui u este egal

cu dimensiunea lui V peste K.

Demonstraţie. Dacă u este ciclică, adică dacă V = K[X]⋅x, atunci

dimensiunea lui V este egală cu gradul polinomului minimal al lui u,

Algebră liniară

183

deoarece acesta este egal cu dimensiunea lui K[X]⋅x conform lemei

precedente.

Reciproc, dacă gradul polinomului minimal al lui u este egal cu

dimensiunea lui V peste K, atunci aplicând lema precedentă, rezultă că

dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca subspaţiu vectorial al lui V este egală cu

dimensiunea lui V. În consecinţă se obţine V = K[X]⋅x.

Teorema 4.3.7. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste

corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V). Următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

1. V este indecompozabil relativ la u

2. Există x ∈ V astfel încât V = K[X]⋅x. şi µx = πk, unde k

este un număr natural nenul şi π este un polinom

ireductibil în K[X].

Demonstraţie. Rezultă aplicând lemele precedente şi teoremele 4.2.20.

4.2.22, 4.2.24.

Teorema 4.3.8 Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste

corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V). Atunci V poate fi

reprezentat ca o sumă directă de subspaţii

indecompozabile relativ la u. Asemenea descompuneri

sunt unice, mai puţin un izomorfism de perechi (de K[X] -

module) ale sumanzilor.

Demonstraţie. Se aplică teoremele 4.2.20 şi 4.2.25.

Definiţia 4.3.9. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste

corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V).Factorii invarianţi

(respectiv divizorii elementari) ai K[X]-modulului asociat


184

lui u se numesc factori invarianţi (respectiv divizori

elementari) ai lui u. Factorii invarianţi (respectiv

divizorii elementari) ai lui u sunt unic determinaţi dacă

impunem condiţia să fie polinoame unitare.

4.4. Matricea canonică Jordan a unei transformări liniare

Definiţie 4.4.1. Fie K un corp comutativ şi K[X] inelul polinoamelor cu

coeficienţi în K. Fie π = Xs - αs-1Xs-1 - … -α1X - α0 un

polinom unitar din K[X]. Matricea Cπ ∈ Ms,s(K)

0 1 0 … 0 0

0 0 1 … 0 0

Cπ =

0 0 0 … 0 1

α0 α1 α2 … αs-2 αs-1

se numeşte companionul matriceal al polinomului π.

Dacă P =πk, unde k este un număr natural nenul, atunci

definim matricea kJπ

∈Msk,sk(K)

Cπ N

Cπ N

kJπ

=

Cπ N

Cπ

unde matricea N∈Ms,s(K) este

Algebră liniară

185

0 0 … 0

0 0 … 0

N =

0 0 … 0

1 0 … 0

Dacă π este un polinom ireductibil peste K (deci un

element ireductibil în K[X] ) şi k este un număr natural

nenul atunci matricea kJπ

se numeşte celulă Jordan

(peste K) asociată polinomului πk.

O matrice de forma

1k1

Jπ

2k2

Jπ

pkp

Jπ

unde π1, π2, …πp sunt polinoame ireductibile peste K se

numeşte matrice canonică Jordan peste K.

Definiţia 4.4.2. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste

corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V). Dacă 1k1π , 2k

2π ,

…, pkpπ sunt divizorii elementari ai transformării liniare

u, atunci matricea Ju 1k

1J

π

2k2

Jπ

Ju = pk

p

Jπ

se numeşte matricea canonică Jordan a transformării

liniare u.


186

Propoziţia 4.4.3. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste

corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V) o transformare

liniară ciclică al cărei polinom minimal este de forma πk,

cu π = Xs + αs-1Xs-1 + … + α1X + α0 şi k ≥ 1. Atunci

există o bază B = {e1, e2, …, en} a lui V astfel încât

matricea asociată lui u în baza B să fie kJπ

.

Demonstraţie. Fie n dimensiunea lui V peste K. Deoarece u este

transformare liniară ciclică, rezultă că există x∈V astfel încât V = K[X]⋅x,

şi dimensiunea lui V peste K este egală cu gradul polinomului minimal al

lui u (care este egal cu µx = πk). În consecinţă, n =sk. Definim următorii

vectori din V:

e1 = x, e2 = X⋅x, …, es = Xs-1⋅x

es+1 = π⋅x, e2 = (Xπ)⋅x, …, es = (Xs-1π)⋅x

e(k-1)s+1 = πk-1⋅x, e(k-1)s +2 = (Xπk-1)⋅x, …, eks = (Xs-1πk-1)⋅x

Observăm că fiecare ei poate fi scris sub forma ei = Pi⋅x cu Pi∈K[X]

având proprietatea că grad(Pi) ≤ s-1 +s(k-1) = sk -1 =n-1<n. Mai mult,

grad(Pi) ≠grad(Pj) pentru orice i≠j. Demonstrăm că B = {e1, e2, …, en}

este o bază a lui V peste K. Pentru această este suficient să arătăm că B

este liniar independentă (deoarece numărul de vectori din B este egal cu

dimensiunea spaţiului vectorial V). Presupunem prin absurd că există

scalarii β1, β2, …, βn ∈K, nu toţi nuli, astfel încât

β1e1 + β2e2 + … + βnen =0.

Ţinând cont de definiţia vectorilor din B, obţinem

β1(P1⋅x) + β2(P2⋅x) + … + βn(Pn⋅x) =0 <=>

(β1P1)⋅x + (β2P2)⋅x + … + (βnPn)⋅x =0 <=>

Algebră liniară

187

(β1P1 + β2P2 + … + βnPn)⋅x =0.

Dacă notăm P =β1P1 + β2P2 + … + βnPn, atunci

P∈AnnK[X](x) = K[X]µx= K[X]πk.

De aici rezultă că πk | P şi deci

n =ks =grad(πk) ≤ grad(P) ≤ max{grad(Pi), 1 ≤ i ≤ n} < n.

Am obţinut o contradicţie. Deci presupunerea că nu toţi scalarii β1, β2, …,

βn ∈K sunt nuli este falsă.

Vom arăta în continuare că matricea asociată lui u în bază B este

kJπ

. Pentru aceasta este suficient să observăm că

u(e1) = u(x) = X⋅x = e1

u(e2) = u(X.x) = u(u(x))=u2(x) = X2⋅x = e3

……….

u(es-1) = u(Xs-2.x) = u(us-2(x))=us-1(x) = Xs-1⋅x = es

u(es) = u(Xs-1.x) = u(us-1(x))=us(x) = Xs⋅x = π⋅x + (Xs -π)⋅x

= es+1 + (-αs-1Xs-1 - … - α1X - α0)⋅x

= es+1 -αs-1Xs-1⋅x - … - α1X⋅x - α0⋅x

= es+1 -αs-1es - … - α1e2 - α0⋅e1

u(es+1) = u(π⋅x)

= u(us(x) + αs-1us-1(x) + … + α1u(x) + α0x)

=us+1(x) + αs-1us(x) + … + α1u

2(x) + α0u(x) =(Xπ)⋅x

= es+2

………

u(e2s-1) = u(Xs-2π.x)

= u(u2s-2(x) + αs-1u2s-3(x) + … + α1u

s-1(x) + α0us-2(x))

= u2s-1(x) + αs-1u2s-2(x) + … + α1u

s(x) + α0us-1(x) =(Xs-1π)⋅x

= e2s

u(e2s) = u(Xs-1π.x) =X⋅( Xs-1π.x) =(Xsπ)⋅x = π2⋅x + (Xs -π)π⋅x


188

= e2s+1 + (-αs-1Xs-1 - … - α1X - α0)π⋅x

= e2s+1 -αs-1e2s - … - α1es+2 - α0⋅es+1

… u(en) = -αs-1en - … - α1en - s+2 - α0⋅en-s+1

Teorema 4.4.4. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste

corpul comutativ K şi fie u∈EndK(V) o transformare

liniară. Atunci există o bază B = {e1, e2, …, en} a lui V

astfel încât matricea asociată lui u în baza B să fie Ju.

Demonstraţie. Fie 1k1π , 2k

2π , …, pkpπ divizorii elementari ai transformării

liniare u. Atunci există x1, x2, …, xp ∈V astfel încât

V = K[X]x1⊕ K[X]x2⊕…⊕ K[X]xp

şi ixµ = ik

iπ pentru orice 1≤ i≤ p. Fie Li = K[X]⋅xi, ui aplicaţia liniară

indusă de u pe Li şi µi polinomul minimal al lui ui∈EndK(Li). Atunci µi

=ixµ = ik

iπ şi ui este o transformare liniară ciclică. Din propoziţia

precedentă rezultă că există o bază Bi în Li astfel încât matricea ( )iB uMi

asociată lui ui în baza Bi să fie iki

Jπ

pentru orice 1 ≤ i ≤ p. Atunci

matricea lui u în baza B = Up

1iiB

=

este

( )1B uM1

( )2B uM2

MB(u) = ( )pBp uM

1k1

Jπ

2k2

Jπ

= pk

p

Jπ

Algebră liniară

189

Celule Jordan în cazul în care K =R sau K= C

Cazul K = C (corpul numerelor complexe)

Deoarece C este un corp algebric închis, orice polinom unitar

π∈C[X] este ireductibil dacă şi numai dacă este de forma π = X - α cu

α∈C. Aşadar celula Jordan asociată polinomului πk, k≥1 este

α 1 0 0 … 0 0

0 α 1 0 … 0 0

( ) kXJ

α− =

0 0 0 0 … α 1

0 0 0 0 … 0 α

Cazul K = R (corpul numerelor reale)

Dacă π∈R[X] este un polinom unitar şi ireductibil (peste R) atunci

π este fie de forma π = X - α cu α∈R, fie de forma π = X2- βX - γ cu

β,γ∈R şi β2 + 4γ < 0 .

Dacă π = X - α atunci companionul matriceal al polinomului π este

C(X-α) = (α) , iar celula Jordan asociată polinomului πk, k≥1 este

α 1 0 0 … 0 0

0 α 1 0 … 0 0

( ) kXJ

α− =

0 0 0 0 … α 1

0 0 0 0 … 0 α


190

Dacă π = π = X2- βX - γ (β,γ∈R şi β2 + 4γ < 0), atunci companionul

matriceal al polinomului π este

γ−β− XX2C =

iar celula Jordan asociată polinomului πk, k≥1 este

( ) k2 XXJ

γ−β−=

4.5. Forma diagonal canonică a unei matrice

Definiţia 4.5.1. Fie R un inel principal. Două matrice A,B ∈ Mm,n(R) se

numesc aritmetic echivalente dacă există două matrice

inversabile U∈Mm,m(R) şi V∈Mn,n(R) astfel încât

A = UBV.

Două matrice A,B ∈ Mn,n(R) se numesc asemenea dacă

există o matrice inversabilă P∈Mn,n(R) astfel încât

A = P-1BP.

0 1 γ β

0 1 γ β

0 1 γ β

0 0 1 0

0 0 1 0

0 1 γ β

0 0 1 0

0 1 γ β

Algebră liniară

191

Matricele care reprezintă aceeaşi transformare liniară (între spaţii

vectoriale de dimensiune finită) în perechi de baze diferite sunt matrice

aritmetic echivalente. Matricele corespunzătoare aceluiaşi endomorfism

în baze diferite sunt matrice asemenea (vezi teorema 4.3.7 şi corolarul

4.3.8) .

Definiţia 4.5.2. Fie R un inel principal. Matricea A∈ Mm,n(R) are forma

diagonal canonică dacă

A=

unde r ≤ min(m,n) şid1| d2| …| dr ≠ 0.

Vom arăta că orice matrice A este aritmetic echivalentă cu o

matrice D sub formă diagonal canonică. Pentru aceasta este necesară

noţiunea de transformare elementară.

Notaţii 4.5.2. Fie R un inel comutativ şi Mn,n(R) inelul matricelor pătrate

n-dimensionale cu elemente din R. Pentru orice 1≤ i, j≤ n

notăm

j

Eij = i

Pentru orice 1≤ i, j≤ n, i ≠ j şi orice a∈R notăm

d1 d2 dr 0 0

0 0 1 0 0


192

j

Tij(a)=

i

Pentru orice 1≤ i≤ n şi orice a∈U(R) notăm

i

Di(a) =

i

Pentru orice 1≤ i< j≤ n notăm

i j

i

Pij=

j

Ţinând cont de notaţiile precedente, se observă uşor că

1. EijEst =δjsEit

2. Tij =In + aEij

3. Tij(0) = In

4. Tij(a) Tij(b) = Tij(a+b)

1 0 1 a 0 1

1 1 0 1 1 1 1 0 1 1

1 0 1 a 1 0 1

Algebră liniară

193

5. Tij(- a) = Tij(a)-1

6. det(Tij(a)) = 1

7. Di(1) = In

8. Di(a) Di(b) = Di(ab)

9. Di(a-1) = Di(a)-1

10. det(Di(a)) = a

11. PijPij = In (Pij =Pij-1)

Dacă A∈Mm,n(R), atunci matricea

� ATij(a) se obţine din A adunând la coloana j coloana i înmulţită cu a

� ADi(a) se obţine din A înmulţind elementele coloanei i cu a

� APij se obţine din A permutând coloana i cu coloana j

Dacă A∈Mn,m(R), atunci matricea

� Tij(a)A se obţine din A adunând la linia i linia j înmulţită cu a

� Di(a)A se obţine din A înmulţind elementele liniei i cu a

� PijA se obţine din A permutând linia i cu linia j

Se poate arăta că dacă R este un inel euclidian, atunci orice matrice din

Mn,n(R) al cărei determinant este 1 se poate scrie ca un produs finit de

matrice de forma Tij(a), a∈R. De asemenea, dacă R este un inel euclidian,

atunci orice matrice inversabilă A din Mn,n(R) este egală cu un produs

finit de matrice de forma Tij(a) şi o matrice de forma Di(a) (unde a =

det(A)). Matricele de forma Tij(a), Di(a) şi Pij se numesc matrice

elementare, iar transformările liniare care le corespund se numesc

transformări elementare.

Teorema 4.5.4. Fie R un inel principal şi A o matrice din Mm,n(R). Atunci

există o matrice D sub forma diagonal canonică astfel

încât A ~ D (A este aritmetic echivalentă cu D).


194

Demonstraţie. Vom schiţa o demonstraţie constructivă. Trecerea de la A

la D se va face prin transformări succesive. Sunt posibile două cazuri:

1. există un element aij al matricei care divide toate elementele

matricei

2. ar fi i şi j există elemente ale matricei A care nu se divid cu aij.

2.a. există i şi j şi există pe linia i sau coloana j elemente

care nu se divid cu aij.

2.b. există un element aij al matricei care divide toate

elementele de pe linia i şi coloana j (dar nu divide toate

elementele matricei A)

Dacă ne plasăm în cazul 1, prin permutarea liniei i cu linia 1 şi

coloanei j cu coloana 1, elementul aij ajunge în locul lui a11. Deoarece

(noul) a11| a1k, rezultă că există dk astfel încât a1k = a11dk. Deci înmulţind

coloana 1 cu -dk şi adunând-o la coloana k elementul pe poziţia (1,k)

devine 0. Deci prin înmulţirea succesivă la dreapta a matricei A cu

matrice T1k(-dk) (k ≥ 2) elementele de pe prima linie, mai puţin a11, devin

0. Similar, a11| ak1, deci există ck astfel încât ak1 = a11ck. Deci înmulţind

linia 1 cu -ck şi adunând-o la linia k elementul pe poziţia (k, 1) devine 0.

Deci prin înmulţirea succesivă la stânga a matricei A cu matrice Tk1(-ck)

(k ≥ 2) elementele de pe prima coloană, mai puţin a11, devin 0. După

acesta se continuă diagonalizarea cu submatricea formată din ultimele m-

1 linii şi n-1 coloane.

Dacă ne plasăm în cazul 2.a, considerăm un element aij ≠0 cu

proprietatea că numărul de factori primi din descompunerea lui este cel

mai mic, şi permutăm linia i cu linia 1 şi coloana j cu coloana 1. Atunci

fie pe prima linie fie pe prima coloană există un element care nu se divide

cu a11. Dacă a1k este un element de pe prima linie care nu se divide cu a11,

Algebră liniară

195

permutăm coloana k cu coloana 2 şi considerăm că d∈R este cel mai

mare divizor comun al lui a12 şi a11. Atunci există u, v, a, b ∈R astfel

încât

d = ua11 + va12, a11 =da, a12 =db.

Matricea

V =

are determinantul egal cu 1, deci este inversabilă. Matricea AV se obţine

din matricea A prin înlocuirea primelor 2 coloane, după cum urmează

C1 ← uC1 + vC2

C2 ← (-b)C1 + aC2

Elementul de pe poziţia (1,1) al matricei AV este d. Numărul de factori

primi din descompunerea lui d este strict mai mic decât numărul de

factori primi din descompunerea lui a11. Se continuă algoritmul cu noua

matrice AV. Se procedează similar în cazul în care elementul care nu se

divide cu a11 se află pe prima coloană.

Dacă ne plasăm în cazul 2.b, procedând ca în cazul 1 obţinem o

matrice aritmetic echivalentă cu A ale cărei elemente de pe prima linie şi

prima coloană, cu excepţia lui a11, sunt egale cu zero. Dacă apq este un

element din noua matrice care nu se divide cu a11, atunci adunăm la linia

p linia 1 (sau la coloana q coloana 1). Matricea obţinută în urma acestei

transformări satisface condiţiile corespunzătoare cazului 2.a. În toate cele

trei cazuri s-a redus problema la matrice A' aritmetic echivalentă cu A, fie

cu număr de linii şi coloane mai mic decât pentru A, fie având

proprietatea că l(A') ≤ l(A),unde

u -b v a 0 1 0 1


196

l(A) = min{l(aij), 1≤i≤m, 1≤j≤n}

l(aij) = numărul de factori primi din descompunerea lui aij.

Formal demonstraţia acestei teoreme se face prin inducţie după

dimensiunea (m,n) a matricei A şi l(A).

Observaţia 4.4.5. Dacă (R, ϕ) este inel euclidian (ϕ fiind funcţia ce

intervine în definiţia acestuia), atunci în demonstraţia teoremei anterioare

putem face inducţia după dimensiunea (m,n) a matricei A şi

ϕ(A) = min{ϕ(aij), aij ≠ 0, 1≤i≤m, 1≤j≤n}.

De asemenea matricea V utilizată în cazul 2.a poate fi înlocuită cu

matricea elementară T12(-q), unde

a12 = a11q + r, ϕ(r) < ϕ(a11).

Deci în cazul unui inel euclidian putem găsi o matrice diagonal-canonică

D aritmetic echivalentă cu A prin aplicarea unui număr finit de

transformări elementare.

Observaţie 4.4.6. Calculele pentru obţinerea matricei diagonal canonice

D a unei matrice A pot fi organizate astfel încât să se obţină şi matricele

U şi V (D =UAV):

→ →…

Exemplul 4.5.7. Fie matricea din M2,3(Z):

A = 3 4 6

2 6 -4

A Im In

U0AV0 U0

V0

UAV U

V

Algebră liniară

197

→

1 = (-1)3 + 1⋅4

C1←(-1)C1+C2

C2← (-4)C1 +3C2

→ →

C3 ← C3 -6C1 L2 ←L2 -4L1

→

2 = 3⋅10 + 1⋅(-28)

C2←3C2 +C3

C3← 14C2+5C3

D = U= V =

Se verifică faptul că UAV = D.

Ţinând cont că Z este inel euclidian, putem obţine forma canonică

a lui A aplicând doar transformări elementare, după cum urmează:

→

L1 ↔L2

3 4 6 1 0 2 6 -4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 6 1 0 4 10 -4 0 1 -1 -4 0 1 3 0 0 0 1

1 0 0 1 0 4 10 -28 0 1 -1 -4 6 1 3 -6 0 0 1

1 0 0 1 0 0 10 -28 -4 1 -1 -4 6 1 3 -6 0 0 1

1 0 0 1 0 0 2 0 -4 1 -1 -6 -26 1 3 12 0 1 5

1 0 -4 1

-1 -6 -26 1 3 12 0 1 5

3 4 6 1 0 2 6 -4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 6 -4 0 1 3 4 6 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 2 0


198

→ →

3 =2⋅1+1 L1↔L2

L2←L2-L1

→

L2 ← L2 -2L1

→ →

C2 ← C2+2C1 -24 =10(-3) +6

C3 ← C3 -10C1 C3 ←C3+3C2

→

10 = 6⋅1 +4

C2←C2 -C3

→ →

6 =4⋅1 +2 C2↔C3

C3←C3 -C2

→

C3 ← C3 -2C2

1 -2 10 1 -1 0 10 -24 -2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1

2 6 -4 0 1 1 -2 10 1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 -1 0 10 -24 -2 3 1 2 -10 0 1 0 0 0 1

1 -2 10 1 -1 2 6 -4 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 -1 0 10 6 -2 3 1 2 -4 0 1 3 0 0 1

1 0 0 1 -1 0 4 6 -2 3 1 6 -4 0 -2 3 0 -1 1

1 0 0 1 -1 0 4 2 -2 3 1 6 -10 0 -2 5 0 -1 2

1 0 0 1 -1 0 2 4 -2 3 1 -10 6 0 5 -2 0 2 -1

1 0 0 1 -1 0 2 0 -2 3 1 -10 26 0 5 -12 0 2 -5

Algebră liniară

199

D = U = V =

Se verifică faptul că UAV = D.

Observaţia 4.5.8. Fie R un inel principal. Pentru orice matrice A ∈

Mm,n(R) notăm cu ∆k(A) cel mai mare divizor comun al minorilor de

ordin k ai lui A (1≤k≤min(m,n)). De asemenea dacă a,b∈R şi a| b, atunci

notăm b/a acel element c∈R astfel încât b =ca. Dacă A,B ∈ Mm,n(R) sunt

două matrice aritmetic echivalente, atunci ∆k(A) şi ∆k(B) sunt două

elemente ale inelului R asociate în divizibilitate pentru orice

1≤k≤min(m,n). (Într-adevăr, dacă pentru o matrice A notăm cu AjC ,

respectiv AjL , coloana j, respectiv linia j a matricei A, atunci

AVjC = A

1j1 Cv + A2j2 Cv +…+ A

nnjCv

UAjL = A

11j Lu + A22j Lu +…+ A

njnLu .

Ca urmare ∆k(A)|∆k(AV) şi ∆k(A)|∆k(AV) pentru orice k. Deoarece A,B ∈

Mm,n(R) sunt aritmetic echivalente, există două matrice inversabile

U∈Mm,m(R) şi V∈Mn,n(R) astfel încât UAV = B. Atunci ∆k(A)|∆k(AV)

∆k(U(AV)) =∆k(B). Cum U-1BV-1 = A, avem şi ∆k(B)|∆k(A), de unde

∆k(A) ~ ∆k(B))

Fie D o matrice sub formă diagonal canonică aritmetic echivalentă

cu A :

1 0 0 0 2 0

1 -1 -2 3

1 -10 26 0 5 -12 0 2 -5


200

Avem ∆1(D) = d1, ∆2(D) = d1d2 …, ∆r = d1 d2 … dr, ∆j(D) = 0 pentru

orice j ≥r+1.

Datorită faptului că A şi D sunt aritmetic echivalente

d1 ~ ∆1(A) (asociere în divizibilitate),

d2 ~ ∆2(A)/ d1 ~ ∆2(A)/ ∆1(A) (deoarece ∆2(A) ~d1d2)

dr ~ ∆r(A)/ d1d2..dr-1 ~ ∆r(A)/ ∆r-1(A)

dj = 0 <=> ∆j(A) = 0 (j ≥r+1).

În concluzie matricea sub formă diagonal canonică D cu care A este

aritmetic echivalentă este unic determinată mai puţin o asociere în

divizibilitate a elementelor de pe diagonală. Convenim să numim

matricea D formă diagonal canonică a matricei A.

Fie

A = 3 4 6 2 6 -4 matricea din exemplul 4.5.7. Atunci ∆1(A) = 1 (sau -1 ~ 1). Minorii de

ordinul 2 ai lui A sunt

= 10 = -24 =-52.

Deci ∆2(A) = 2 (sau -2 ~ 2). În consecinţă putem scrie forma diagonal

canonică a lui A:

d1 d2 dr 0 0

3 4 2 6

3 6 2 -4

4 6 6 -4

Algebră liniară

201

D =

4.6. Calculul factorilor invarianţi


dimensiune n. Fie B = {e1, e2, …, en} o bază a lui V şi fie u: V→ V o

transformare liniară. Notăm cu MB(u) = (aij)1≤i,j≤n matricea lui u în baza B.

Deci pentru orice i ∈{1,2, …, n}

u(ei) = ∑=

n

1ijijea .

Vom arăta că pentru calculul factorilor invarianţi ai transformării

liniare u, adică al factorilor invarianţi ai K[X]-modulului V asociat lui u,

se poate folosi matricea MB(u). Reamintim că V este K[X]-modul

înzestrat cu adunarea vectorilor (din V) şi operaţie algebrică externă:

K[X] × V → V, (P, x) → P⋅x

P⋅x = α0x + α1u(x) + … +αsus(x),

pentru P = α0 + α1X + … +αsXs ∈K[X].

Fie F un K[X]-modul liber de rang n, şi fie {ω1, ω2, …, ωn} o bază

a sa. Din teorema 4.2.17 rezultă că există un morfism de K[X]-module

ϕ : F → V astfel încât ϕ(ωi) = ei pentru orice 1 ≤ i ≤n.

Considerăm K[X] -modulul L = Ker ϕ şi notăm

yi = Xωi - ∑=

ωn

1jjija pentru orice 1 ≤ i ≤n.

Cu aceste notaţii putem scrie :

1 0 0 0 2 0


202

= (XIn - MB(u))

Demonstrăm că {y1, y2,…, yn} este o bază a K[X] - modulului L.

Arătăm că mai întâi că yi ∈ L ( adică ϕ(yi) = 0) pentru orice 1 ≤ i ≤ n:

ϕ(yi) = ϕ( Xωi - ∑=

ωn

1jjija ) =X⋅ϕ( ωi) - ( )∑

=

ωϕn

1jjija

= X⋅ei - ∑=

n

1jjijea = u(ei) - u(ei) =0.

Fie y ∈ F. Deoarece {ω1, ω2, …, ωn} este o bază a lui F, rezultă că

există P1, P2, …, Pn ∈ K[X] astfel încât

y = P1⋅ω1 + P2⋅ω2 + … + Pn⋅ωn .

Din yi = Xωi - ∑=

ωn

1jjija , rezultă că Xωi = yi - ∑

=

ωn

1jjija pentru orice 1≤ i ≤n.

Prin aplicarea repetată a acestor relaţii, rezultă că există polinoamele Q1,

Q2, …, Qn∈K[X] şi scalarii α1, α2, …, αn ∈ K astfel încât:

y = ∑=

n

1iii yQ + ∑

=

ωαn

1iii .

Deoarece ϕ(y) = 0 (y ∈L), avem

0 = ϕ(∑=

n

1iii yQ + ∑

=

ωαn

1iii ) = ( )∑

=

ϕ⋅n

1iii yQ + ( )∑

=

ωϕαn

1iii

= ( )∑=

ωϕαn

1iii = ∑

=

αn

1iiie

Cum {e1, e2, …, en} este liniar independentă (fiind bază a spaţiului

vectorial V peste K), obţinem α1 = α2 = … = αn = 0. În consecinţă,

y1 y2 yn

ω1 ω2 ωn

Algebră liniară

203

y = ∑=

n

1iii yQ ,

şi deci {y1, y2,…, yn} este sistem de generatori pentru K[X] - modulul L.

Rămâne să arătăm că {y1, y2,…, yn} este liniar independentă. Fie

polinoamele P1, P2, …, Pn∈K[X] astfel încât:

P1⋅y1 + P2⋅y2 + … + Pn⋅yn = 0.

Presupunem prin absurd că nu toate polinoamele P1, P2, …, Pn sunt nule.

Fie Ps unul dintre polinoamele de grad maxim dintre P1, P2, …, Pn. Avem

Psys = -∑≠=

n

si1i

ii yP < = >

Ps(Xωs - ∑=

ωn

1jjsja ) = -∑ ∑

≠= =

ω−ω

n

si1i

j

n

1jijii aXP < = >

(XPs)ωs - ∑=

ωn

1jjssjPa = - ( )∑

≠=

ωn

si1i

iiXP +∑∑≠= =

ωn

si1i

ji

n

1jijPa < = >

(XPs - assPs)ωs - ∑≠=

ωn

sj1j

jssjPa = - ( )∑≠=

ωn

si1i

iiXP +∑∑≠=

≠=

ωn

si1i

ji

n

sj1j

ijPa +∑≠=

ωn

si1i

siisPa < = >

(XPs - assPs -∑≠=

n

si1i

iisPa )ωs = ( )∑≠=

ωn

si1i

iiXP +∑∑≠=

≠=

ωn

si1i

ji

n

sj1j

ijPa + ∑≠=

ωn

sj1j

jssjPa < = >

Deoarece {ω1, ω2,…, ωn} este liniar independentă (fiind bază a K[X]-

modulului F), coeficientul lui ωs dintr-o combinaţie liniară nulă este nul:

XPs - assPs -∑≠=

n

si1i

iisPa =0 < = > XPs = assPs +∑≠=

n

si1i

iisPa < = > XPs = ∑=

n

1iiisPa

De aici, obţinem că

grad(XPs) ≤ max {grad(Pi), 1 ≤ i ≤ n},


204

ceea ce reprezintă a contradicţie cu alegerea polinomului Ps. În

consecinţă, {y1, y2,…, yn} este liniar independentă.

Teorema 4.6.1. Fie K un corp comutativ şi V un spaţiu vectorial peste K

de dimensiune n. Fie u: V→ V o transformare liniară.

Atunci factorii invarianţi ai transformării liniare u

coincid cu polinoamele de grad mai mare ca zero din

matricea diagonal canonică aritmetic echivalentă cu

matricea

XIn - A ∈ Mn,n(K[X]),

unde A= (aij)1≤i,j≤n este matricea lui u în bază oarecare B

a lui V.

Demonstraţie. Folosim notaţiile de la începutul acestei secţiuni.

Deoarece L este un K[X]-submodul liber al lui F, conform teoremei

4.2.18, există o bază {z1, z2, …, zn} a lui L şi o bază {w1, w2, …, wn} a lui

F astfel încât

zi = diwi, pentru orice 1 ≤ i ≤ n

unde di ∈K[X], di ≠ 0 pentru orice 1 ≤ i ≤ n şi d1 | d2 |… | dn. Factorii

invarianţi ai K[X]-modulului V = ϕ(F) (deci factorii invarianţi ai

transformării liniare u) coincid cu polinoamele di neinversabile în K[X],

deci cu polinoamele di de grad mai mare decât zero (vezi demonstraţiile

2.4/pg. 206 şi 2.7/p. 209 [4]). Să arătăm acum că matricea sub formă

diagonal canonică

D =

este aritmetice echivalentă cu matricea

d1 0 d2 0 dn

Algebră liniară

205

XIn - A = ∈Mn,n(K[X])

Deoarece zi = diwi, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, putem scrie

= D

Pe de altă parte, deoarece {z1, z2, …, zn} şi {y1, y2, …, yn} sunt baze ale

lui L, rezultă că există o matrice inversabilă U0 ∈ Mn,n(K[X]) astfel încât

= U0

(putem folosi un raţionament asemănător celui utilizat în secţiunea 1. 4.

pentru stabilirea matricei de trecere de la o bază la alta a unui spaţiu

vectorial). Analog, {w1, w2, …, wn} şi {ω1, ω2, …, ωn} fiind baze ale lui

F, rezultă că există o matrice inversabilă V0 ∈ Mn,n(K[X]) astfel încât

= V0

Deci

U0 (XIn-A) = DV0

= (y1, y2, …, yn)t

Cum {ω1, ω2, …, ωn} este liniar independentă, obţinem

X - a11 -a12 … -a1n -a21 X-a22 … -a2n -an1 -an2 … X - ann

z1 z2 zn

w1 w2 wn

z1 z2 zn

y1 y2 yn

w1 w2 wn

ω1 ω2 ωn

ω1 ω2 ωn

ω1 ω2 ωn


206

U0 (XIn-A) = DV0,

sau echivalent U0 (XIn-A) V0-1 = D, ceea ce însemnă că XIn -A şi D sunt

aritmetic echivalente.

Teorema 4.6.2. Fie K un corp comutativ şi A, B ∈ Mn,n(K). Următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

1. A şi B sunt matrice asemenea (adică, există o matrice

inversabilă T∈ Mn,n(K) astfel încât TAT-1 = B).

2. XIn - A şi XIn -B sunt matrice aritmetic echivalente

(adică, există două matrice inversabile U0, V0∈ Mn,n(K)

astfel încât U0AV0 = B).

Demonstraţie. 1 => 2. Dacă A şi B sunt matrice asemenea, atunci există

o matrice inversabilă T∈ Mn,n(K) astfel încât TAT-1 = B. Cum T, T-1 ∈

GLn(K), T, T-1 ∈ GLn(K[X]). Din faptul că,

T(XIn - A)T-1 = XIn - B,

rezultă că XIn - A şi XIn -B sunt matrice aritmetic echivalente.

2 => 1. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n peste K, B o bază a lui

V, şi u,v: V→ V două transformări liniare astfel încât A =MB(u)

(matricea lui u în baza B) şi B=MB(v) (matricea lui u în baza B).

Deoarece XIn - A şi XIn -B sunt matrice aritmetic echivalente, rezultă că u

şi v au aceeaşi factori invarianţi, şi deci aceeaşi divizori elementari. Ca

urmare, Ju = Jv (matricele canonice Jordan ale transformării liniare u şi v

coincid). Există bazele B' şi B" astfel încât MB'(u) = Ju şi MB"(v) = Jv.

Cum A şi Ju reprezintă matricele asociate aceleiaşi transformări liniare u

în baze diferite, rezultă că A şi Ju sunt matrice asemenea. La fel, B

=MB(v) şi MB"(v) =Jv sunt asemenea. Obţinem că A şi B sunt asemenea

(deoarece sunt asemenea cu Ju = Jv).

Algebră liniară

207

Definiţia 4.6.3. Fie K un corp comutativ şi A∈∈∈∈Mn,n(K). Matricea

XIn - A ∈ Mn,n(K[X])

se numeşte matricea caracteristică a lui A.

Fie D ∈ Mn,n(K[X]) o matrice sub formă diagonal canonică astfel încât D

şi A să fie aritmetic echivalente. Cum A poate fi privită ca matricea

asociată unei transformări liniare u: V → V (V spaţiu vectorial n-

dimensional peste corpul K), din demonstraţia teorema 4.6.1, deducem că

D =

unde di, 1 ≤ i ≤ m, sunt polinoame unitare de grad mai mare decât zero cu

proprietatea că d1 | d2 | … | dm. Polinoamele d1, d2, …, dm se numesc

factorii invarianţi ai matricei A, iar polinoamele kiπ , 1 ≤ i ≤ p, rezultate

din descompunerea polinoamelor d1, d2, …, dm în factori ireductibili

neasociaţi în divizibilitate se numesc divizori elementari ai matricei A.

Factorii invarianţi şi divizorii elementari ai lui A sunt unic determinaţi

dacă cerem să fie polinoame unitare.

Corolarul 4.6.4. Fie K un corp comutativ şi A, B∈Mn,n(K). Matricele A şi

B au aceiaşi factori invarianţi dacă şi numai dacă sunt

asemenea.

Demonstraţie. Se aplică teorema 4.6.2.

1 1 O 1 d1 d2 O dm


208

Corolarul 4.6.5. Fie K un corp comutativ şi Pentru orice matrice

A∈Mn,n(K) există o matrice canonică Jordan JA astfel

încât A şi JA să fie asemenea.

Demonstraţie. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n peste K, B o

bază a lui V, şi u: V→ V o transformare liniară astfel încât A =MB(u)

(matricea lui u în baza B). Există o baza B' astfel încât MB'(u) = Ju. Cum

A şi Ju reprezintă matricele asociate aceleiaşi transformări liniare u în

baze diferite, rezultă că A şi Ju sunt matrice asemenea. Luăm JA = Ju.

Definiţie 4.6.6. Fie K un corp comutativ. Se numeşte formă canonică

Jordan (peste K) a matricei A∈Mn,n(K) o matrice

canonică Jordam JA∈∈Mn,n(K) care este asemenea cu A.

Forma canonică Jordan JA a matricei A este unică, mai puţin ordinea

celulelor pe diagonală.

Algoritm pentru calculul formei canonice Jordan a unei

matrice A ∈∈∈∈ Mn,n(K), K corp comutativ

Pas 1. Se aduce matricea caracteristică XIn - A la forma diagonal

canonică

D =

Pas 2. Factorii invarianţi ai matricei A sunt polinoamele unde di, 1 ≤ i ≤

m, (de grad mai mare decât zero)

1 1 O 1 d1 d2 O dm

Algebră liniară

209

Pas 3. Se determină divizorii elementari ikiπ , 1 ≤ i ≤ p, prin

descompunerea polinoamelor d1, d2, …, dm în factori ireductibili

neasociaţi în divizibilitate.

Pas 4. Scrierea formei canonice Jordan: pentru fiecare divizor elementar

ikiπ se ataşează companionul

iCπ , şi cu acest companion se construieşte

celula Jordan iki

Jπ

corespunzătoare lui ikiπ . Matricea canonică Jordan se

obţine aşezând celulele Jordan pe diagonală

1k1

Jπ

2k2

Jπ

pkp

Jπ

Exemplul 4.6.7. Să se aducă la forma canonică Jordan (peste R)

matricea A din M3,3(R):

A =

Aducem matricea caracteristică XI3 - A la forma diagonal canonică

(utilizând transformări elementare):

XI3 - A = ~

C2 ←C2+2C3

~

C1 ↔ C2

X-4 1 -2 -5 X+1 -3 -6 2X+1 X- 4

4 -5 2 5 -7 3 6 -9 4

X-4 5 -2 -5 X+7 -3 -6 9 X- 4

1 X-4 -2 X+1 -5 -3 2X+1 -6 X- 4


210

~

C2 ← C2 - (X-4)C1, C3 ←C3 +2C1

~

L2 ← L2 - (X+1)L1, L3 ←L3 +(2X+1)L1

~

L3 ← L3 - 2L2

~

L2 ← L2 - 2L3

~

C2 ↔ C3

~

C3 ← C3 +(-X2 +X -1)C2

~

L3 ← L3 +XL1

Factorii invarianţi pentru A : X3 - X2 = X2(X-1)

Divizorii elementari: X2, X-1:

Celulele Jordan : JX2 = JX-1 = ( 1 )

1 0 0 X+1 -X2 +3X-1 2X-1 2X+1 -2X2 +7X-2 5X- 2

1 0 0 0 -X2 +3X-1 2X-1 0 -2X2 +7X-2 5X- 2

1 0 0 0 -X2 +3X-1 2X-1 0 X X

1 0 0 0 -X2 +X-1 -1 0 X X

1 0 0 0 -1 -X2 +X -1 0 X X

1 0 0 0 -1 0 0 X -X3 + X2

1 0 0 0 -1 0 0 0 -X3 + X2

0 1 0 0

Algebră liniară

211

Deci forma canonică Jordan a matricei A este:

Putem aduce matricea caracteristică XI3 - A la forma diagonal canonică

şi folosind minorii. Notăm cu ∆i cel mai mare divizor comun al minorilor

de ordin i ai matricei XI3 - A (1 ≤ i ≤ 3).

XI3 - A =

Evident ∆1 = 1. Cum

= -3X-2 = 2X-1

sunt minori de ordinul 2 ai matricei XI3 - A şi sunt primi între ei, rezultă

că ∆2 = 1.

∆3 = =X3 - X2

Deci d1 ~ ∆1 = 1, d2 ~∆2/∆1 =1, d3 ~ ∆3/∆2 = X3 - X2, şi în consecinţă

forma diagonal canonică a matricei XI3 - A este:

0 1 0 0 0 0 0 0 1

X-4 5 -2 -5 X+7 -3 -6 9 X- 4

X-4 -2 -5 -3

5 -2 X+7 -3

X-4 5 -2 -5 X+7 -3 -6 9 X- 4

1 0 0 0 1 0 0 0 X3 - X2


212

4.7. Valori şi vectori proprii

Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K, şi fie u : V →

V o transformare liniară.

Definiţia 4.7.1. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie (sau

caracteristică) a lui u dacă există un vector nenul x ∈ V

astfel încât u(x) = λx. Orice vector nenul x ∈ V astfel cu

proprietatea că u(x) = λx. se numeşte vector propriu (sau

caracteristic) al lui u corespunzător valorii proprii λ.

Considerăm pe V structura de K[X] - modul definită de adunarea

vectorilor din V şi de operaţia algebrică externă:

K[X] × V → V, (P, x) → P⋅x

P⋅x = α0x + α1u(x) + … +αsus(x),


Propoziţia 4.7.2. Fie x un vector din spaţiu vectorial finit dimensional V.

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. Dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca un subspaţiu vectorial

al lui V peste K este egală 1.

2. x≠0 şi există un scalar λ ∈ K astfel încât u(x) = λx

Demonstraţie. 1 => 2. Dacă dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca un

subspaţiu vectorial al lui V peste K este egală 1, atunci x ≠0 (altfel

K[X]⋅x = {0}). Pe de altă parte din lema 4.3.4, rezultă că dimensiunea lui

K[X]⋅x privit ca un subspaţiu vectorial al lui V peste K este egală cu

gradul polinomului µx. Deci µx este polinom unitar de grad 1, şi ca

urmare există λ∈K astfel încât µx = X - λ. Cum

Algebră liniară

213

0 = µx⋅x = u(x) - λx,

obţinem că u(x) =λx.

2 = > 1. Dacă există un scalar λ ∈ K astfel încât u(x) = λx, atunci u(x) -

λx = 0, şi deci (X - λ)⋅x = 0. De aici rezultă că µx | (X-λ), de unde

deducem că grad(µx) ≤ 1. Cum V este K[X] modul de torsiune (conform

lemei 4.3.2), AnnK[X]{x} ≠ 0, ceea ce implică grad(µx) ≥ 1. În consecinţă,

grad(µx) =1, şi deci dimensiunea lui K[X]⋅x privit ca un subspaţiu

vectorial al lui V peste K este egală 1 (conform lemei 4.3.4).

Definiţia 4.7.3. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie (sau

caracteristică) a unei matrice A∈Mn,n(K) dacă există un

vector nenul x = (x1, x2,…, xn) ∈ Kn astfel încât Axt = λxt.

Orice vector nenul x = (x1, x2,…, xn) ∈ Kn cu proprietatea

că Axt = λxt se numeşte vector propriu (sau caracteristic)

al lui A corespunzător valorii proprii λ.

Datorită corespondenţei biunivoce dintre endomorfismele unui

spaţiu vectorial V n-dimensional peste corpul comutativ K, u : V → V, şi

matricele A∈Mn,n(K), rezultă că un scalar λ ∈ K este valoare proprie

pentru u: V →V dacă şi numai dacă este valoare proprie pentru MB(u)t,

unde MB(u) este matricea lui u într-o bază oarecare B.

Definiţia 4.7.4. Fie A ∈Mn,n(K). Polinomul PA∈K[X]:

PA = det (XIn - A) =

= Xn - (a11 + a22 + … + ann)Xn-1 + … + (-1)ndet(A)

se numeşte polinomul caracteristic al matricei A.

X-a11 -a12 … -a1n -a21 X - a22 … -a2n -an1 -an2 … X-ann


214

În unele lucrări polinomul caracteristic al matricei A

este definit ca

det (A - XIn ) =

=(-1)n det (XIn - A)

Vom opta pentru prima variantă. Se observă că polinomul

caracteristic al matricei A şi cel al matricei At coincid.

Propoziţia 4.7.5. Orice două matrice asemenea A, B ∈Mn,n(K) au

polinoame caracteristice egale.

Demonstraţie. Dacă A, B ∈Mn,n(K) sunt asemenea, atunci există

T∈GLn(K) astfel încât TAT-1 = B. Avem

PA = det(XIn - A) = det(T(XIn - A)T-1)

= det(XIn - TAT-1) = det(XIn - B) = PB.

Definiţia 4.7.6. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp

comutativ K şi fie B o bază a lui V. Fie u: V→V o

transformare liniară. Se numeşte polinom caracteristic al

transformării liniare u polinomul caracteristic al

matricei MB(u) (unde MB(u) este matricea lui u în baza

B). Din propoziţia 4.8.5 rezultă că polinomul

caracteristic al lui u nu depinde de baza B.

Propoziţia 4.7.7. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul

comutativ K. Fie d1, d2, …, dm factorii invarianţi ai

transformării liniare u : V → V (respectiv ai matricei

a11 - X a12 … a1n a21 a22 - X … a2n an1 an2 … ann -X

Algebră liniară

215

A∈Mn,n(K)). Fie Pu (respectiv, PA) polinomul

caracteristic al transformării liniare u (respectiv,

polinomul caracteristic al matricei A) Atunci:

1. Pu = d1d2…dm (respectiv, PA = d1d2…dm)

2. Dacă µu (respectiv, µA) este polinomul minimal al lui u

(respectiv polinomul minimal al lui A), atunci µu = dm

(respectiv, µA = dm). În consecinţă, polinoamele

minimale divid polinoamele caracteristice.

Demonstraţie. 1. Fie B o bază în V şi fie MB(u) matricea lui u în baza B.

Fie D matricea sub formă diagonal canonică aritmetic echivalentă cu XIn

- MB(u) (respectiv, cu XIn - A) :

D =

Polinoamele unitare di, 1 ≤ i ≤ m, de grad mai mare decât zero cu

proprietatea că d1 | d2 | … | dm, sunt factorii invarianţi. Cum XIn - MB(u)

(respectiv cu XIn - A) şi D sunt aritmetic echivalente, det(XIn - MB(u))

(respectiv cu det(XIn - A)) şi det(D) sunt polinoame asociate în

divizibilitate. Fiindcă sunt polinoame unitare, rezultă de fapt că

det(XIn - MB(u)) =det (D) (respectiv, det(XIn - A) =det (D)).

În consecinţă, Pu = d1d2…dm (respectiv, PA = d1d2…dm).

2. Rezultatul se obţine din lema 4.3.3.

1 1 O 1 d1 d2 O dm


216

Teorema 4.7.8. (Teorema Hamilton-Cayley) Fie V un spaţiu vectorial

finit dimensional peste corpul comutativ K. Orice

transformare liniară u : V→V (respectiv matrice

A∈Mn,n(K)) este rădăcina a polinomului său

caracteristic.

Demonstraţie. Transformarea liniară u (respectiv matricea A) este

rădăcină a polinomului ei minimal (din definiţia polinomului minimal).

Din propoziţia precedentă rezultă că polinomul minimal divide polinomul

caracteristic. Deci, u (respectiv A) este şi rădăcină a polinomului

caracteristic.

Alternativ, putem demonstra această teoremă, utilizând doar

definiţia polinomului caracteristic. Pentru orice matrice C, notăm cu C+

matricea formată prin transpunerea lui C şi înlocuirea fiecărui element cu

complementul său algebric. Matricea C+ are proprietatea că CC+ = C+C =

det(C)In. Avem

(XIn - A)+ =Bn-1Xn-1 + Bn-2X

n-2 + … + B1X + B0,

unde Bk ∈ Mn,n(K) pentru orice 0 ≤ k ≤ n. Pe de altă parte,

(XIn - A)(XIn - A)+ = det(XIn - A)In = PA(X)In =

= (Xn + an-1Xn-1 + … +a1X + a0)In.

Înlocuind (XIn - A)+ obţinem,

Bn-1Xn + (Bn-2 - ABn-1)X

n-1 + … +(B0 -AB1)X - AB0 =

= (Xn + an-1Xn-1 + … +a1X + a0) In.

Identificând coeficienţii, avem

Bn-1 = In

Bn-2 - ABn-1 = an-1In

B0 -AB1 = a1In

- AB0 = a0In

Algebră liniară

217

Înmulţind la stânga prima egalitate cu An, a doua cu An-1, ş.a.m.d. şi

adunându-le obţinem:

O = An + an-1An-1 + … +a1A + a0 In.

Teorema 4.7.9. (Teorema lui Frobenius) Fie V un spaţiu vectorial finit

dimensional peste corpul comutativ K. Polinomul

minimal şi polinomul caracteristic ale unei transformări

liniare u:V→V (respectiv ale unei matrice A∈Mn,n(K)) au

aceiaşi factori ireductibili (peste K).

Demonstraţie. Fie Pu (respectiv µu) polinomul caracteristic (respectiv,

polinomul minimal) al transformării liniare u. Fie d1, d2, …, dm

(polinoame unitare cu proprietatea că d1 | d2 | … | dm) factorii invarianţi ai

transformării liniare u. Atunci din propoziţia 4.8.7 rezultă că Pu = d1d2,

…dm şi µu =dm. Cum di| dm pentru orice 1 ≤ i ≤ m, rezultă că Pu şi µu au

aceiaşi factori ireductibili. Analog, pentru polinomul caracteristic şi

polinomul minimal asociate unei matrice.

Teorema 4.7.10. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul

comutativ K. Fie Pu polinomul caracteristic al

transformării liniare u:V→V (respectiv, PA polinomul

caracteristic al matricei A∈Mn,n(K). Atunci λ∈K este o

valoare proprie a lui u (respectiv, a lui A) dacă şi numai

dacă Pu(λ) = 0 (respectiv, PA(λ) =0).

Demonstraţie. => Fie µu polinomul minimal al lui u. Presupunem că λ∈K

este o valoare proprie a lui u. Atunci există un vector nenul x∈V astfel

încât u(x) = λx, ceea ce este echivalent cu (X-λ)⋅x =0. Ţinând cont şi de

faptul că x≠0 rezultă că µx = X -λ. Dar µx | µu | Pu , de unde Pu(λ).


218

<= Fie λ∈K astfel încât Pu(λ) =0. Atunci (X - λ) | Pu şi în plus, (X - λ)

este ireductibil. De aici rezultă că (X - λ) | µu (din teorema lui Frobenius

Pu şi µu au aceeaşi factori ireductibili). Fie Q astfel încât µu =(X - λ) Q.

Din lema 4.3.3 rezultă că există y ∈ V astfel încât µu = µz. Dacă luăm x =

Q⋅y, atunci µx = X - λ. Deci u(x) = λx şi x ≠ 0.

Cum orice matrice A poate fi privită ca matricea asociată unei

transformări liniare u: V → V, rezultă că rezultatul demonstrat pentru

transformări liniare este valabil şi pentru matrice.

Alternativ, prezentăm o demonstraţie a acestei teoreme care nu

foloseşte noţiunea de polinom minimal şi teorema lui Frobenius. Scalarul

λ ∈K este valoare proprie pentru A = (aij)1≤i,j≤n dacă şi numai dacă există

un vector nenul x = (x1, x2,…, xn) ∈ Kn astfel încât Axt = λxt, sau

echivalent dacă şi numai dacă sistemul

admite soluţii nebanale. Condiţia necesară şi suficientă că sistemul (liniar

şi omogen) de mai sus să admită soluţii nebanale este

= 0,

adică PA(λ) = 0.

Observaţia 4.7.11. În cele ce urmează vom formula rezultatele doar

pentru transformări liniare u: v → V (V spaţiu vectorial peste un corp

comutativ K). Ele pot fi uşor transpuse şi pentru matrice pătrate cu

(λ-a11)x1 - a12x2 … - a1nxn = 0 -a21 x1 + (λ - a22) x2 … - a2nxn = 0 -an1 x1 - an2x2 … + (λ-ann) xn = 0

λ-a11 -a12 … -a1n -a21 λ - a22 … -a2n -an1 -an2 … λ-ann

Algebră liniară

219

elemente în corpul K, ţinând cont că orice matrice poate fi privită ca

matricea asociată unei transformări liniare.

Lema 4.7.12. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K şi u : V

→ V o transformare liniară. Dacă λ este o valoare

proprie a lui u, atunci mulţimea Vλ = {x ∈ V : u(x) = λx}

este un subspaţiu invariant faţă de u.

Demonstraţie. Fie x, y ∈Vλ şi fie α, β ∈K. Atunci

u(αx + βy) =αu(x) + βu(y) = α(λu(x)) + β(λu(y))

= λ(αu(x)) + λ(βu(y)) =λ(αu(x) + βu(y))

=λ(u(αx + βy) ,

de unde rezultă că αx + βy ∈Vλ, şi deci că Vλ este subspaţiu vectorial al

lui V. Pentru orice x ∈ Vλ, avem

u(u(x)) = u(λx) = λu(x),

ceea ce înseamnă că u(x) ∈ Vλ. Deci u(Vλ) ⊂ Vλ, sau echivalent Vλ este

subspaţiu invariant faţă u.

Definiţia 4.7.13. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K, u :

V → V o transformare liniară, şi λ o valoare proprie a

lui u. Mulţimea Vλ = {x ∈ V : u(x) = λx} se numeşte

subspaţiu propriu ataşat valorii proprii λ. Dimensiunea

subspaţiului propriu Vλ (ca subspaţiu vectorial a lui V

peste K) se numeşte multiplicitatea geometrică a valorii

proprii λ. Multiplicitate algebrică a valorii proprii λ este

multiplicitatea lui λ ca rădăcină a polinomului

caracteristic Pu (reamintim că r este multiplicitatea lui λ

ca rădăcină a polinomului Pu sau λ este rădăcină


220

multiplă de ordin r a lui Pu, dacă (x - λ)r | Pu iar (X - λ)r+1

nu divide Pu).

Lema 4.7.14. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K. Pentru

orice transformare liniară u : V → V, subspaţiile proprii

corespunzătoare la valori proprii distincte, sunt disjuncte

(adică intersecţia lor este subspaţiul vectorial {0}).

Demonstraţie. Fie λ1 şi λ2 două valori proprii distincte ale lui u.

Presupunem prin absurd că există x ∈ 1

Vλ ∩ 2

Vλ , x ≠ 0. Atunci u(x) =

λ1x şi u(x) = λ2x, de unde, obţinem că 0 = λ1x - λ2x = (λ1 - λ2)x, adică x

=0, ceea ce este absurd. Deci 1

Vλ ∩ 2

Vλ = {0}.

Lema 4.7.15. Fie V un spaţiu vectorial peste un corp comutativ K. Pentru

orice transformare liniară u : V → V, vectorii proprii

corespunzători la valori proprii distincte, sunt liniar

independenţi.

Demonstraţie. Fie S = {x1, x2, …, xm} un sistem de vectori poprii

corespunzători respectiv valorilor proprii distincte două câte două λ1, λ2,

…, λm. Demonstrăm că S este un sistem liniar independent prin inducţie

după m. Pentru m = 1 afirmaţia este evidentă deoarece orice vector

propriu este nenul. Presupunem afirmaţia adevărată pentru m -1 şi o

demonstrăm pentru m. Fie scalarii α1, α2, …, αm ∈ K astfel încât:

α1x1 + α2x2 + … + αmxm = 0. (1)

Aplicând u în relaţia (1) rezultă

α1λ1x1 + α2λ2x2 + … + αmλmxm = 0. (2)

Înmulţind relaţia (1) cu λm şi scăzând-o din (2), obţinem

Algebră liniară

221

α1(λ1 - λm)x1 + α2(λ2 - λm)x2 + … + αm-1(λm-1 - λm)xm-1 = 0.

Din ipoteza de inducţie rezultă că

α1(λ1 - λm) = α2(λ2 - λm) = … =αm-1(λm-1 - λm) = 0,

şi cum λm este diferită de λi pentru orice 1 ≤ i ≤m-1, obţinem

α1 = α2 = … =αm-1= 0.

Ţinând cont din nou de relaţia (1) rezultă că αmxm = 0, de unde αm = 0. În

consecinţă sistemul {x1, x2, …, xm} este liniar independent.

Propoziţia 4.7.16. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste

corpul comutativ K şi u : V → V o transformare liniară.

Multiplicitatea geometrică a oricărei valori proprii a lui

u este mai mică sau egală cu multiplicitatea ei algebrică.

Demonstraţie. Fie λ o valoare proprie a lui u şi fie Vλ subspaţiu propriu

corespunzător lui λ. Notăm cu p multiplicitatea geometrică a lui λ (adică

dimensiunea subspaţiului Vλ) şi cu m multiplicitatea algebrică a lui λ

(adică multiplicitatea lui λ ca rădăcină a polinomului caracteristic Pu).

Presupunem prin absurd că p > m. Considerăm o bază {x1, x2, …, xp} a

lui Vλ pe care o completăm până la o bază a lui V: B={x1, x2, …, xp xp+1,

…, xn } (n fiind dimensiunea spaţiului vectorial V). Deoarece u(xi) = λxi

pentru orice 1 ≤ i ≤ p, matricea lui u în baza B este de forma

MB(u) =

λ 0 … 0 0 … 0 0 λ … 0 0 … 0 0 0 … λ 0 … 0 αp+1,1 αp+1,2 …αp+1,p αp+1,p+1…αp+1,n αn1 αn2 … αnp αn,p+1 … αnn


222

unde αij∈ K oricare ar fi p+1 ≤ i ≤n şi 1 ≤ j ≤ n. Deci polinomul

caracteristic al lui u este Pu = det(XIn - MB(u)), adică

Pu =

De aici rezultă că există un polinom P1 ∈ K[X] astfel încât

Pu = (X - λ)p P1,

de unde deducem că multiplicitatea m a lui λ ca rădăcină a lui Pu este mai

mare sau egală decât p > m ceea ce este o contradicţie. În consecinţă,

presupunerea că p > m este falsă.

4.8. Forma diagonală

Definiţia 4.8.1. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul

comutativ K. O transformare liniară u : V → V se

numeşte diagonalizabilă dacă există o bază B a lui V

astfel încât matricea lui u în această bază să fie

diagonală:

MB(u) =

O matrice A ∈Mn,n(K) se numeşte diagonalizabilă dacă

este asemenea cu o matrice diagonală.

X-λ 0 … 0 0 … 0 0 X-λ … 0 0 … 0 0 0 … X-λ 0 … 0 -αp+1,1 -αp+1,2 …-αp+1,p X-αp+1,p+1…-αp+1,n -αn1 -αn2 … -αnp -αn,p+1 … X-αnn

d1 0 … 0 0 d2 … 0 0 0 … dn

Algebră liniară

223

Observaţia 4.8.2. Ca şi în secţiunea precedentă, vom formula rezultatele

legate de diagonalizare doar pentru transformări liniare u: v → V (V

spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp comutativ K). Ele pot fi

uşor transpuse şi pentru matrice pătrate cu elemente în corpul K, ţinând

cont că orice matrice poate fi privită ca matricea asociată unei

transformări liniare.

Teorema 4.8.3. Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul

comutativ K şi u : V → V o transformare liniară.

Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

1. u diagonalizabil

2. Rădăcinile polinomului caracteristic Pu sunt în K, şi

pentru fiecare valoare proprie a lui u multiplicitatea ei

algebrică este egală cu multiplicitatea ei geometrică.

Demonstraţie. Fie n dimensiunea spaţiului vectorial V peste K.

1 => 2. Dacă u este diagonalizabil, atunci există o bază B = {x1, x2, …,

xn} astfel încât matricea lui u în bază B să fie diagonală

MB(u) =

unde λi de pe diagonală se repetă de mi pentru orice 1 ≤ i ≤p, şi λi ≠ λj

pentru orice i ≠ j. Atunci polinomul caracteristic al lui u este

λ1 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 λ1 … 0 0 … 0 0 … 0 0 0 … λ1 0 … 0 0 … 0 0 0 … 0 0… 0 λp 0… 0 0 0 … 0 0… 0 0 λp…0 0 0 … 0 0… 0 0 0 … λp


224

Pu = det(XIn - MB(u)) = ( )∏=

λ−p

1i

mi

iX .

Cum MB(u) ∈ Mn,n(K), m1 + m2 + … +mp =n, şi ca urmare polinomul Pu

are n rădăcini (deci toate) în corpul K. Fie gi multiplicitatea geometrică a

valorii proprii λi, adică dimensiunea subspaţiului propriu i

Vλ . Din faptul

că matricea lui u în baza B are forma de mai sus, rezultă că

u(xj) = λi xj pentru orice ∑−

=

1i

1kkm + 1≤ j ≤∑

=

i

1kkm ,

şi deci xj ∈ iVλ pentru orice ∑

−

=

1i

1kkm + 1≤ j ≤∑

=

i

1kkm . De aici rezultă că

dimensiunea lui i

Vλ (adică gi) este mai mare decât mi. Din propoziţia

4.8.16 gi ≤ mi. Deci gi = mi pentru orice 1 ≤ i ≤ p.

2 => 1. Fie p numărul de rădăcini distincte ale polinomului

caracteristic Pu şi {λi : 1≤ i ≤ p} rădăcinile distincte. Fie mi multiplicitatea

rădăcinii λi pentru orice 1≤ i ≤ p. Fie Bi o bază pentru subspaţiu propriu

iVλ pentru orice 1≤ i ≤ p. Fie B = {x1, x2, …, xn} o mulţime de vectori

din V astfel încât primii m1 să fie vectorii din B1, următorii m2 să fie

vectorii din B2, şi aşa mai departe. Demonstrăm că B este o bază a lui V.

Deoarece numărul de vectori din B coincide cu dimensiunea lui V este

suficient să arătăm că B este liniar independentă. Fie scalarii α1, …, αn ∈

K astfel încât α1x1 + …+αnxn = 0. Notăm

fi = ∑−

=

+

α1n

njjj

1i

i

x , unde ni =∑−

=

1i

1kkm + 1, pentru orice 1 ≤ i ≤ p.

Avem fi ∈ iVλ pentru orice 1 ≤ i ≤ p şi f1 + f2 +…+fp = 0. Nu pot exista

vectori fi nenuli, deoarece vectorii proprii corespunzători la valori proprii

Algebră liniară

225

distincte sunt liniari independenţi. Deci ∑−

=

+

α1n

njjj

1i

i

x =0 pentru orice 1 ≤ i ≤

p. Dar {inx , 1ni

x + , …, 1mn iix −+ } este o bază în

iVλ , ceea ce implică αj =0

pentru orice ni ≤ j ≤ ni+1 -1. Deci B este o mulţime liniar independentă.

Matricea lui u în baza B este diagonală:

MB(u) =

Corolarul 4.8.4. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul

comutativ K şi u : V → V o transformare liniară. Dacă u

este diagonalizabil şi dacă λ1, λ2, …, λp sunt cele p valori

proprii distincte ale lui u, atunci

V = i

Vλ ⊕2

Vλ ⊕…⊕p

Vλ ,

unde i

Vλ este subspaţiul propriu corespunzător lui λi

pentru orice 1 ≤ i ≤ p.

Demonstraţie. Fie Bi o bază pentru subspaţiu propriu i

Vλ pentru orice

1≤ i ≤ p. Fie B = {x1, x2, …, xn} o mulţime de vectori din V astfel încât

primii m1 să fie vectorii din B1, următorii m2 să fie vectorii din B2, şi aşa

mai departe. Utilizând aceleaşi argumente ca în demonstraţia de la 2 => 1

din teorema precedentă, rezultă că B este o bază a lui V.

λ1 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 λ1 … 0 0 … 0 0 … 0 1 0 … λ1 0 … 0 0 … 0 0 0 … 0 0… 0 λp 0… 0 0 0 … 0 0… 0 0 λp…0 0 0 … 0 0… 0 0 0 … λp


226

Teorema 4.8.5. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste un corp

comutativ K având mai mult de n elemente. Fie u : V → V

o transformare liniară. Următoarele afirmaţii sunt

echivalente:

1. u este diagonalizabil

2. Există o bază a spaţiului vectorial V formată din

vectori proprii ai lui u

3. Polinomul minimal al u este de forma

(X - λ1) (X - λ2)… (X - λm)

cu λi ∈ K pentru orice 1 ≤ i ≤ m, şi λi ≠ λj pentru i ≠ j

(m≤ n).

4. Există o transformare liniară v: V → V cu n valori

proprii distincte astfel încât uo v = v ou.

Demonstraţie. 1 =>2. Fie B={x1, x2, …, xn} o bază în care matricea lui u

are forma :

MB(u) =

Atunci u(xi) = λixi şi xi ≠0 pentru orice 1 ≤ i ≤n. Deci baza este formată

din vectori proprii ai lui u.

2 => 1. Fie B={x1, x2, …, xn} o bază formată din vectori proprii ai

lui u. Atunci pentru orice 1 ≤ i ≤n, există λi astfel încât u(xi) = λixi. Cum

matricea lui u în această bază este

λ1 0 … 0 0 λ2 … 0 0 0 … λn

λ1 0 … 0 0 λ2 … 0 0 0 … λn

Algebră liniară

227

rezultă că u este diagonalizabil.

1 => 4. Fie B={x1, x2, …, xn} o bază în care matricea lui u este :

MB(u) =

Fie {β1, β2, …, βn} o submulţime a lui K cu proprietatea că βi ≠ βj pentru

orice i ≠ j. Definim v : V → V, prin v(xi) = βixi pentru orice 1 ≤ i ≤ n.

Atunci {β1, β2, …, βn} sunt valorile proprii ale lui v şi

uov (xi) = u(βixi) = βiλixi = λiβixi =

= λiv(xi) = v(λixi) = v(u(xi)) = v ou(xi)

pentru orice 1 ≤ i ≤n.

4 = > 1. Fie v: V → V o transformare liniară cu n valori proprii

distincte astfel încât uov = v ou. Fie {β1, β2, …, βn} valorile proprii

(distincte) ale lui v şi fie B baza lui V formată din vectori proprii ai lui v.

Atunci

MB(v) =

Deoarece uov = v ou, avem MB(u) MB(v) = MB(v) MB(u). Dacă MB(u)

=(αij)ij atunci din egalitatea precedentă rezultă că αijβj =βiαij pentru orice i

şi j. Cum βi ≠ βj pentru i ≠ j, αij = 0 dacă i ≠ j. Deci matricea lui u în baza

B este diagonală.

1 =>3. Fie B = {x1, x2, …, xn} o bază astfel încât matricea lui u în

bază B să fie

β1 0 … 0 0 β2 … 0 0 0 … βn

λ1 0 … 0 0 λ2 … 0 0 0 … λn


228

MB(u) =

unde λi de pe diagonală se repetă de mi pentru orice 1 ≤ i ≤p, şi λi ≠ λj

pentru orice i ≠ j. Arătăm că polinomul minimal al lui u este

µu =(X - λ1) (X - λ2)… (X - λm).

Pentru a arăta că µu(u) = 0 este suficient să arătăm că xi ⋅ µu = 0 pentru

orice 1 ≤ i ≤n. Avem

xi ⋅ µu = (u(xi) - λ1xi)… (u(xi) - λixi)… (u(xi) - λnxi)

=(u(xi) - λ1xi)… (λixi - λixi)… (u(xi) - λnxi)

= 0.

Fie P =α0 + α1X + … + αsXs ∈K[X] cu proprietatea că P⋅x = 0 pentru

orice x ∈ V. Pentru orice 1 ≤ i ≤ n, din

P⋅ei = α0ei + α1u(ei) + … + αsus(ei)

= α0ei + α1λiei + … + αsλisei

= (α0 + α1λi + … + αsλis)ei

rezultă că (α0 + α1λi + … + αsλis)ei = 0, şi ca urmare (α0 + α1λi + … +

αsλis) = 0. Am obţinut astfel că λi este rădăcina a lui P, ceea ce implică

(X-λi)| P pentru orice 1 ≤ i ≤ n. Cum λi ≠ λj pentru orice i ≠ j, rezultă

(X - λ1) (X - λ2)… (X - λm) | P, adică µu | P.

λ1 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 λ1 … 0 0 … 0 0 … 0 2 0 … λ1 0 … 0 0 … 0 0 0 … 0 0… 0 λp 0… 0 0 0 … 0 0… 0 0 λp…0 0 0 … 0 0… 0 0 0 … λp

Algebră liniară

229

3 =>1. Fie d1, d2, …, dm factorii invarianţi ai transformării liniare

u:V → V. Din propoziţia 4.8.7 rezultă că µu = dm (µu fiind polinomul

minimal al lui u). Deoarece dm =(X - λ1) (X - λ2)… (X - λm) cu λi ∈ K

pentru orice 1 ≤ i ≤m, m ≤n şi λi ≠ λj pentru i ≠ j, rezultă că pentru k < m

factorul invariant dk este fie 1 fie un produs de polinoame de forma jiλ cu

jiλ distincte. Deci divizorii elementari sunt de forma X -jiλ . Matricea

canonică Jordan este în acest caz o matrice diagonală:

Ju =

Fiecare valoare proprie λi se repetă pe diagonală de un număr de ori egal

cu numărul de divizori elementari ai lui u de forma X - λi.

4.9. Endomorfisme peste corpuri algebric închise

Scopul acestui subcapitol este prezentarea unei alte modalităţi de

aducere la forma canonică Jordan a unui endomorfism u : V → V, cu V

spaţiu vectorial peste corpul comutativ algebric închis K.

λ1 0 … 0 0 … 0 0 … 0 0 λ1 … 0 0 … 0 0 … 0 3 0 … λ1 0 … 0 0 … 0 0 0 … 0 0… 0 λm 0… 0 0 0 … 0 0… 0 0 λm…0 0 0 … 0 0… 0 0 0 … λm


230


comutativ K. Fie u : V → V un endomorfism al cărui

polinom caracteristic este

Pu(X) = ( ) 1n1X λ− ( ) 2n

2X λ− … ( ) mnmX λ− ,

unde λi ≠ λj pentru orice i ≠ j şi ∑=

m

1iin = n. Dacă Vi =

Ker ( ) iniIu λ− pentru orice 1 ≤ i ≤m, atunci

1. Vi este subspaţiu invariant la u pentru orice 1 ≤ i ≤ m

2. V = V1 ⊕V2⊕…⊕Vm

Demonstraţie. 1. Fie x ∈ Vi. Atunci ( ) iniIu λ− (x) = 0 şi deci

( ) iniIu λ− (u(x)) = u( ( ) in

iIu λ− (x)) = u(0) =0,

de unde rezultă că u(x) ∈ Vi.

2. Considerăm polinoamele Pi(X) = Pu(X)/ ( ) iniX λ− , 1 ≤ i ≤ m. Cum λi

≠ λj pentru orice i ≠ j, polinoamele Pi sunt prime între ele. Prin urmare,

există polinoamele Q1, .., Qm astfel încât Q1P1 + Q2P2 + …+QmPm = 1. De

aici rezultă că Q1(u)P1(u) + Q2(u)P2(u) + …+Qm(u)Pm(u) = I. Pentru orice

x ∈ V, notăm xi = (Qi(u)Pi(u))(x), 1 ≤ i ≤ m. Avem x = x1 + x2 + …+xm.

Pe de altă parte ( ) iniIu λ− (xi) = Qi(u) ( ) in

iIu λ− Pi(u)(x) = Qi(u)Pu(u)(x)

= 0, deoarece Pu(u) = 0 conform teoremei Hamilton-Cayley. Deci xi ∈Vi.

Am arătat astfel că V = V1 + V2 + …+ Vm Cum λi ≠ λj pentru i ≠ j, avem

Vi ∩ ∑≠ij

jV = φ (demonstraţie prin inducţiei după m) şi deci suma

subspaţiilor Vi este directă.

Algebră liniară

231


comutativ K algebric închis. Fie u : V → V un

endomorfism Atunci există o bază B = {e1, e2, …, en} a

lui V astfel încât matricea asociată lui u în baza B să fie

Ju (matricea canonică Jordan asociată lui u).

Demonstraţie. Fie Pu polinomul caracteristic. Deoarece K algebric

închis, rezultă că Pu poate fi scris sub forma

Pu(X) = ( ) 1n1X λ− ( ) 2n

2X λ− … ( ) mnmX λ− ,

unde λi ≠ λj pentru orice i ≠ j şi ∑=

m

1iin = n. Dacă Vi = Ker ( ) in

iIu λ− (1 ≤ i

≤m), atunci conform teoremei precedente, Vi este invariant la u. Notăm

cu ui endomorfismul indus de u pe Vi. Se observă uşor că ui -λiI este un

endomorfism nilpotent. Conform teoremei 3.5.18 există o bază Bi a lui Vi

astfel încât matricea lui ui în raport cu baza Bi să aibă forma

iBM (ui -λiI) =

unde ξi ∈ {0, 1} pentru orice 1 ≤ i ≤ ni-1. Prin urmare matricea lui ui în

raport cu baza Bi este

iBM (ui) =

unde ξi ∈ {0, 1} pentru orice 1 ≤ i ≤ ni-1. Deci matricea lui u în raport cu

baza B = B1∪B2∪…∪Bm are forma canonică Jordan.

0 ξ1 0 0 …0 0 0 0 ξ2 0 …0 0 0 0 0 0 …0 ξni-1 0 0 0 0 …0 0

λi ξ1 0 0 …0 0 0 λi ξ2 0 …0 0 0 0 0 0 …λi ξni-1 0 0 0 0 …0 λi


232

4. 10. Exerciţii

1. Să se scrie forma canonică Jordan peste corpul K (K = Q, R, C) a unei

matrice A care are proprietatea că factorii invarianţi (ai matricei XIn - A)

sunt

X2 + 4, (X2 - 5)( X2 + 4)2

R: Notăm cu DEK divizorii elementari ai matricei A (peste corpul K):

DEQ = { X2 + 4, (X2 - 5), ( X2 + 4)2 }

DER = { X2 + 4, X - 5 , X + 5 , ( X2 + 4)2}

DEC = { X - 2i, X + 2i, X - 5 , X + 5 , (X - 2i)2, (X + 2i)2}

Pentru K = Q,

( )4x2C+

= ( )5x2C−

=

( )22 4xJ

+ =

Forma canonică Jordan a lui A este

JA =

În cazul K = R forma canonică Jordan a lui A este

0 1 -4 0

0 1 5 0

0 1 0 0 -4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -4 0

0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0

Algebră liniară

233

JA =

În cazul K = C forma canonică Jordan a lui A este

JA =

2. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune finită peste corpul C şi fie

u:V→V un endomorfism. Să se arate că există două endomorfisme

v,w:V→V astfel încât u = v +w, v diagonalizabil şi w nilpotent.

R: Există o bază B în care matricea asociată lui u are forma canonică

Jordan. Deoarece celulele Jordan peste C sunt de forma

rezultă că

Ju =

unde ξi ∈ {0, 1} pentru orice 1 ≤ i ≤ n-1. Luăm v endomorfismul

corespunzător matricei

0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0

0 0 5 0 0 0 0 0

0 0 0 - 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -4 0

2i 0 0 0 0 0 0 0 0 -2i 0 0 0 0 0 0

0 0 5 0 0 0 0 0

0 0 0 - 5 0 0 0 0 0 0 0 0 2i 1 0 0 0 0 0 0 0 2i 0 0 0 0 0 0 0 0 -2i 1 0 0 0 0 0 0 0 -2i

λ 1 0 0 …0 0 0 λ 1 0 …0 0 0 0 0 0 …λ 1 0 0 0 0 …0 λ λ1 ξ1 0 0 …0 0 0 λ2 ξ2 0 … 0 0 0 0 0 0 …λn-1 ξn-1 0 0 0 0 … 0 λn

λ1 0 0 0 …0 0 0 λ2 0 0 … 0 0 0 0 0 0 …λn-1 0 0 0 0 0 … 0 λn


234

în baza B. Luăm w endomorfismul corespunzător matricei

în baza B. Avem u = v + w, v diagonalizabil şi w nilpotent.

3. Să se determine valorile proprii şi subspaţiile proprii ale matricei

A =

R: Valorile proprii sunt rădăcinile polinomului caracteristic PA(X) =

det(XI3-A). Avem

PA(λ) = =(λ-1)

=(λ-1)(λ2 -3λ -10 +12) = (λ-1) (λ-1) (λ-2)

Obţinem valorile proprii λ1 = 1 (cu multiplicitatea algebrică 2) şi λ2 =2.

Pentru o valoare proprie λ, vectorii proprii sunt daţi de soluţiile x =(x1, x2,

x3) ale sistemului (λI3 - A)xt =0. Pentru λ1 = 1 obţinem

0 ξ1 0 0 …0 0 0 0 ξ2 0 … 0 0 0 0 0 0 … 0 ξn-1 0 0 0 0 … 0 0

5 -2 -6 0 1 0 2 -1 -2

λ-5 2 6 0 λ-1 0 -2 1 λ+2

λ-5 6 -2 λ+2

-4x1 + 2 x2 + 6 x3 = 0 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 = 0 -2 x1 + x2 + 3 x3 = 0

Algebră liniară

235

Deci subspaţiul propriu asociat lui λ1 este

1Vλ = {(α, 2α-3β, β), α, β∈R}

O bază a acestui subspaţiu este B1 ={(1, 2, 0 ), (0, -3, 1)}

Similar, pentru λ2 = 2 obţinem


2Vλ = {(2α, 0, α), α∈R}

O bază a acestui subspaţiu este B2 ={(2, 0, 1 )}

4. Să se arate că matricea A este diagonalizabilă şi să se calculeze An, n∈

N.

A =

R: Conform teoremei 4.8.3 pentru a arăta ca A este diagonalizabilă este

necesar şi suficient să arătăm că multiplicitatea algebrică a fiecărei valori

proprii a lui A este egală cu multiplicitatea geometrică. Valorile proprii

sunt rădăcinile polinomului caracteristic PA(X) = det(XI3-A). Avem

PA(λ) = =(λ+1)

x1 = α x2 = 2α -3β x3 = β

-3x1 + 2 x2 + 6 x3 = 0 0 x1 + x2 + 0 x3 = 0 -2 x1 + x2 + 4 x3 = 0

x1 = 2α x2 = 0 x3 = α

15 -8 -24 0 -1 0 8 -4 -13

λ-15 8 24 0 λ+1 0 -8 4 λ+13

λ-15 24 -8 λ+13


236

=(λ+1)(λ2 -2λ -195 +192) = (λ+1) (λ+1) (λ-3)

Obţinem valorile proprii λ1 = -1 (cu multiplicitatea algebrică 2) şi λ2 =3.

Determinăm vectorii proprii asociaţi lui λ1 = -1 obţinem


1Vλ = {(α, 2α-3β, β), α, β∈R}

O bază a acestui subspaţiu este B1 ={(1, 2, 0 ), (0, -3, 1)}, în consecinţă

multiplicitatea geometrică a lui λ1 este 2. În cazul valorii proprii λ2

evident multiplicitatea algebrică = multiplicitatea geometrică =1. Deci

matricea A este diagonalizabilă şi are forma diagonală,

D =

Matricea A poate fi privită ca transpusa matricei unui endomorfism cărui

într-o bază B (formată din vectori proprii ai lui A) îi corespunde matricea

D. Determinăm matricea de trecere de la baza canonică la baza B. Mai

este necesar un vector propriu asociat lui λ2 = 3:

-16x1 + 8 x2 + 24 x3 = 0 0 x1 + 0x2 + 0 x3 = 0 -8 x1 + 4x2 + 12 x3 = 0

x1 = α x2 = 2α-3β x3 = β

x1 = 2α x2 = 0 x3 = α

-1 0 0 0 -1 0 0 0 3

-12x1 + 8 x2 + 24 x3 = 0 0 x1 + 4x2 + 0 x3 = 0 -8 x1 + 4x2 + 16 x3 = 0

Algebră liniară

237


2Vλ = {(2α, 0, α), α∈R}

O bază a acestui subspaţiu este B2 ={(2, 0, 1 )}. Matricea de trecere de la

baza canonică la baza B este

C =

Avem CAtC-1 = D, sau echivalent (Ct)-1ACt = D. Ţinând cont că A =

CtD(Ct)-1, rezultă că An = CtDn(Ct)-1,

-1

An =

=

=

5. Să se studieze posibilitatea reducerii la forma canonică a următoarei

matrice:

A =

R: Conform teoremei 4.8.3 pentru a arăta ca A este diagonalizabilă este

necesar şi suficient să arătăm că multiplicitatea algebrică a fiecărei valori

1 2 0 0 -3 1 2 0 1

1 0 2 2 -3 0 0 1 1

(-1)n 0 0 0 (-1)n 0 0 0 (-3)n

1 0 2 2 -3 0 0 1 1

1 0 2 2 -3 0 0 1 1

(-1)n 0 0 0 (-1)n 0 0 0 (-3)n

-3 2 6 -2 1 4 2 -1 -3

-3(-1)n +4(-3)n 2(-1)n - 2(-3)n 6(-1)n -6(-3)n 0 (-1)n 0 -2(-1)n+2(-3)n (-1)n-(-3)n 4(-1)n-3(-3)n

3 1 2 4 3 4 -4 -1 -2


238

proprii a lui A este egală cu multiplicitatea geometrică. Valorile proprii

sunt rădăcinile polinomului caracteristic PA(X) = det(XI3-A). Avem

PA(λ) = = λ3-4λ2+5λ-2 =(λ-1)2(λ-2)

Obţinem valorile proprii λ1 = 1 (cu multiplicitatea algebrică 2) şi λ2 =3.

Determinăm vectorii proprii asociaţi lui λ1 = 1 obţinem


1Vλ = {(5α, -14α, 2α), α∈R}

O bază a acestui subspaţiu este B1 ={(5, -14, 2 ) }, în consecinţă

multiplicitatea geometrică a lui λ1 este 1 mai mică strict decât

multiplicitatea algebrică. În consecinţă, matricea A nu este

diagonalizabilă.

6. Folosind teorema Hamilton-Cayley să se calculeze inversa matricei A

în funcţie de puterile sale:

A=

R: Polinomul caracteristic al matricei A este P(X) = (X+1)n. Conform

teoremei Hamilton-Cayley, (A+In)n = O, sau echivalent

λ-3 -1 -2 -4 λ-3 -4 -4 -1 λ+2

-2x1 - x2 - 2 x3 = 0 -4 x1 - 2x2 - 4 x3 = 0 -4 x1 - x2 + 3 x3 = 0

x1 = 5α x2 = -14α x3 = 2α

-1 2 -3 4 … (-1)nn 0 -1 2 -3 …(-1)n-1n-1 0 0 -1 2 …(-1)n-2n-2 0 0 0 … -1

Algebră liniară

239

An + 1nC An-1 + 2

nC An-2 +…+ 1nnC − A + In = O.

Înmulţind această egalitate cu A-1, obţinem A-1 = - An-1 - 1nC An-2 - 2

nC An-3

-…- 1nnC − In.

7. Să se calculeze eA pentru

A =

unde eA = ∑∞

=0k

kA!k

1.

R: Orice polinom de matrice A (A∈Mn,n(K)) poate fi exprimat printr-un

polinom de grad cel mult n-1. Într-adevăr, fie PA(X) = Xn + an-1Xn-1 + …

+a1X + a0 polinomul caracteristic al matricei A. Conform teoremei

Hamilton-Cayley, PA(A) = O, şi deci An = - an-1An-1 + … +a1A + a0In.

Puterile An+p se exprimă recursiv cu ajutorul puterilor An-1, An-2, .., A, In.

De asemenea seriile de matrice se reduc la polinom (de matrice) de grad

cel mult n-1 (dacă seria este convergentă, atunci şi coeficienţii

polinomului sunt serii convergente). Dacă f este o serie de matrice A şi

dacă valorile proprii (λ1, …, λ2) ale matricei A sunt distincte, atunci

polinomul de grad n-1 poate fi scris sub formă Lagrange: f(A) =

( )∑=

λn

1jjjfZ , unde Zj =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )nj1jj1jj1j

nnjn1jjn1jjn1

......

I...II...IA

λ−λλ−λλ−λλ−λ

λ−λλ−λλ−λλ−

+−

+−

nu depinde de f, şi deci poate fi aflat prin particularizarea lui f.

Să determinăm valorile proprii ale matricei. Avem

3 4 6 4 9 12 -4 -7 -10


240

PA(λ) = = λ3-2λ2-λ+2 =(λ-1) (λ+1) (λ-2)

Obţinem valorile proprii λ1 = 1, λ2 =-1, λ3 = 2. Deoarece sunt distincte

f(A) = Z1f(λ1) + Z2f(λ2) + Z3f(λ3) . Matricele Z1, Z2, Z3 nu depind de f, şi

de aceea pentru a le afla particularizăm pe f prin : f(z) = z-1, f(z) = z+1,

f(z) = z2. Obţinem

-2Z2 + Z3 = A-I3

2Z1 + 3Z3 = A+I3

Z1 + Z2 + 4Z2 = A2

de unde, Z1 = I3 - 2

1A2 +

2

1A, Z2 =

3

1I3 +

6

1A2 -

2

1A, Z3 =-

3

1I3 +

3

1A2.

Obţinem astfel

eA =( I3 - 2

1A2 +

2

1A)e +(

3

1I3 +

6

1A2 -

2

1A)e-1 +(-

3

1I3 +

3

1A2)e2.

8. Să se aducă la forma canonică Jordan endomorfismul u : C4 → C

4

căruia îi corespunde transpusa matricei:

A =

R: Determinăm valorile proprii ale lui A. Avem

PA(λ) = = (λ-1)2 (λ+1) (λ-3)

λ-3 -4 -6 -4 λ-9 -12 4 7 λ+10

-3 4 3 8 -4 5 -1 4 0 0 3 0 0 0 2 -1

λ+3 -4 -3 - 8 4 λ - 5 1 -4 0 0 λ -3 0 0 0 -2 λ +1

Algebră liniară

241

Obţinem valorile proprii λ1 = 1 (cu multiplicitatea algebrică 2) şi λ2 =-1 şi

λ3 =3. Fie matricea

A1 = A - λ1I3 =

21A =

N1 = Ker A1 = {(α, α, 0, 0), α ∈C}, dimCN1 = 1

N2 = Ker 21A = {(α, β, 0, 0), α, β ∈C}, dimCN2 = 2

F1 = N1, N2 = N1 ⊕ F2.

B1 = {(0,1,0,0) este o bază în F2}, e11 = (0,1,0,0)

e21t = A1e11

t =(4,4,0,0)

Deoarece dimCN1 = 1, B2 = {e21} este bază în N1.

Determinăm vectorii proprii asociaţi valorii proprii λ2:

2Vλ ={(-8α, -6α,0, α), α ∈ C}

Luăm e'1 = (-8,-6,0,1);

Determinăm subspaţiu propriu asociat lui λ3:

3

Vλ ={(5α, 11α,-2α, -α), α ∈ C}

Luăm e"1 = (5,11,-2,-1). În baza B={e11, e21, e'1, e"3} endomorfismul u are

forma canonică

-4 4 3 8 -4 4 -1 4 0 0 2 0 0 0 2 -2

0 0 6 -32 0 0 -10 -24 0 0 4 0 0 0 0 4


242

JA =

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 3

Valori si vectori proprii. Forme canonice ale matricelor si ...

Documents

Transcript of Valori si vectori proprii. Forme canonice ale matricelor si ...