Anton NEGRILAMaria NEGRILA

Solufllle testelor de autoevaluarepot fi consultate la adresa:

http://www.edituraparalela45.roldown load/sol utii_teste_de_a utoeva I uare

-consolidare_clasaS seml _201 7.rar

alXolrilg00m0ttl0

Ghml[lll-l[anGa Iedifia aY-a, revizuitd

milO 1000 - G0[t0llilur

Cuprins

T:+:#:i#'.1illfitffiH$#t1,-epentrupreg.tireatestrrii iniriare..i........,.f2. Modele de teste pertru evaluarea iniliaH.......,. """""""""'14

ALGEBRA

Capitolul I. Numere reale1'. Mulfimi de numere. Forme de scriere a unui numfu """""'18Test de autoevaluare """""""""""'252. Reoapitulare gi sistematizare prin teste ..'..,...... """""""""'273. Reprezentarea pe ax6. Ordsnarea numerelor reale. Valoarea absoluta.

Aproiimarea numerelor rea1e............ """""""""28Tist de autoevaluare .......:......,..... """""""""""'354. Intervale de numere reale '......,.... """"""""""37

4.1. Intervale in R. DefiniJie, reprezentare pe ax[......... """"""""""""'374,2. Operuliicu intervale """"""'40

Test de autoivaluare """""""""""'455, Reoapinrlare 9i sistematizare prin teste............ """""""""'476. Operafii ou numere reale .'......... """""""""""48Teside autoevaluare """""""""""'597. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ """""""""'618. Probieme de matematicl aplicat[ ln viafa cotidian[..... """'63

Capitolul II. Calcule cu numere reale reprezentate prin litere.i. Operalii cu numere reale reprezentate prin litere.'. """64t. Adunarea si sclderea.. """"""""'642. inmullirea. impe4irea. Ridicarea la putere...... """"""""""663. Ordinea efectubrii operafiilor algebrice..... """69Test de autoevaluare """""""""""'71

4.1. P[tratul sumeildiferentei) a doi termeni """""""""""734.2. Produsul sumei cu diferenfa...... """"""""754.3, P[fratul sumei a trei termeni. """"""""""77

5. Descompunerea in factori.......'.. """""""""""795.1. Metoda factorului comun..'...... """"""""'79s.z,lJtili:anrca formulelor de calcul prescurtat """"""""""815.3. Gruparea termenilor """""""83

5.5. Maxime 9i minime.Inegalit6li algebrice """""""""""86Test de autoqaiuare """""""""""'896. Recapitr,rlare 9i sistematizare prin teste ............ """""""""'91B. Rrpoarte dsnumere reale reprezentate prln litere """'93t. nmpUficarea. Simplificarea......'...... """""""'93Test dZ autaevaluare """""""""""'972. Operalii cu rapoarte.. ..""""""""'99

2.1. Adunarea qi scdderea ............992.2.inmi\irea. imp5rlirea. Ridicarea la putere...... ...........1012.3. Ordinea efectu[rii operaliilor gi folosirea parankzelor.. .................103

Test de autoevaluare .....................1093. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .................1114. Probleme de matematicd, aplicati in viafa cotidian5..... .....LLz

CEOMETRIE

Capitolul I. Relafii intre puncte, drepte gi plane1'Puncte,drepte,plane.Determinareadreptei...................2. Determinarea planului.... ...........1163. Piramida: descriere gi reprezentare. Tefiaedrul. ................1184. Prisma: descriere gi reprezentare. Paralelipipedul dreptunghic. Cubul.....................120Test de autoevaluare .....................1235. Poziliile relative a doud drepte in spaliu; rela[ia de paralelism in spa{iu...................1256. Unghiuri cu laturile respectiv paralele;unghiul a doud drepte in spaliu;drepte perpendiculare ....................1267 .Poziliile relative ale unei drepte fatfl de un pIan........ ........128Test de autoevaluare .....................1318. Dreapta perpendicular[ pe un plan. Distantp dela un punct la un plan.....................133Test de autoevaluare .....................1379. Poziliile relative a doud plane. Plane paralele. Distan{a dinte doud plane paralele.....13910. indl!imeaprismei........ .............14311. Secliuni paralele cubaza in corpurile studiate. Trunchiul de piramidS. ..................144Test de autoevaluare .....................14712. Probleme de matematicd aplicatd in viala cotidian5..... .......................14913. Rdcapitulare qi sistematizare prin teste..... .......................150

Capitolul II. Proiecfii ortogonale pe un plan1. Proieclii de puncte, de segmente de dreapt6 qi de drepte pe un plan.........................1532. Unghiul dintre o dreapti qi un plan. Lungimea proiecliei unui segmen1...................156Test de autoevaluare .....................1593. Teorema celor trei perpendiculare. Calculul distanfei de la un punct la o dreaptd.Calculul distanfei de la un punct la un plan. Calculul distanfei dinffe doul drepteparalele....... ............... 16lTest de autoevaluare .....................1654. Recapitulare gi sistematizare pin teste ............ .................1675. Unghi diedru. Unghi plan corespunzdtor diedrului. Unghiul dintre doud plane........1686. Plane perpendiculare .................. ...................171Test de autoevaluare .....................1757. Probleme de matematic5 aplicat6 in viafa cotidian6..... .....1778. Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .................178

Modele de tpce romsfftriale .............180Prohlemo psntru pragflt'lros ollmpladel;l a eonouruurllor ie0l0r0 ........185Indtsatil ql r[rpunrur1.................. .......................18e

Recapitulare gi evaluareinitiali

tr 1. Teste cu exercitii gi probleme recapitulative pentrupregitirea testtrrii inifiale

* rssrul r *{. Fie num6rul rational , = -r;. Calcula{i:

a11at:l; , l"-;1, ,l'.il'at

!"r -r;1, "rllr,r-+l-.12. Calculati media arihnetici qi media geometric6 a numerelor a qi b in fiecare dinfrecazurile:

a)a=2s qib=2.32;c\ a= 6Ji qi b = 8\6;

b) a=27 qi b = 48;a;a= 1f1-1 9ib= 16+1.

3. Determinafi mulfimea solutiilor penffu fiecare dintre ecuafiile urmitoare:

a)(x- 1)(x+ 1)-x(x+ 2)=x-10; A1 !!2-4= 5'13,3 2 6'c) (x + 2)2 = 16; d)lx-31=6.

4. Pretul unui obiect s-a redus cu l5o/o. $tiind c6 preful acestuia s-a mic$orat cu 30 lei,stabilifi pregul inilial al obiectului.5. Efectuafi calculele:

a).,8.:.,/is'-.#-8,

t) (J5 * z)' + +(s - Ji) - (rJl * z)(zJl -t) .6. Descompune{i urmitoarele expresii in produs de factori primi ireductibili:

a)3x3+ 6i+3x;0*+6r+8;

b) 4x(x + l) - 3(x + 1); c) (x + l)' -g;d* -Bx+ t2; 0r'+lf-qx-o.

EIHHl{oovtoGxi.9t-oEq,,tso

=T.Determina.tielementelemul{imiio={..^.1-'*'r:f *.r}

2. Ardtali cd a = b in fiecare dintre cazurile:

a\ a=21 *tl +l siD= 2l+t1*1t' 4 2 4', 3 2 6',b) a=3,(3)+0,(6) 9i b= 1.,(2)+2,(7).

3. Se considera mullime u e={-2,s, E, -3,5(6); ^El, ff, -zJi; Pr*t *lDeterminati multimile I n Q qi A a(R \ Q).C. Calculati media aritmetici gi media geometrici a numerelorx giy in fiecare din cazurile:

l. Compara{i numerele rafionale:. 13-14

a) *l_) u:d) -0,5 n- o,(s);

a) -0,(7) > 4,7;

a1 Jts' -s' : a;

* resrul 2 *

b) -in-1,e) 0,1(2) [ O,1tZ);

c) 0,2 n0,(2);

0 -0,3(4) n-{,(34).

a)x=2,4 giy- 15;

c) x = lz-zJil $i .y = 3 +zJ\ ;

C, Efectuali calculele:

u\ L,r1_1'l _zL.r?,'12\6 4) 3 7'

6. O persoanl constatl cE dupd ce a cheltuit 192 lei, a rdmas cu 40o/o din suma pe caxe aawt-o inilial. Care a fost suma initiali?7. Ardtali ci ecuafiile sunt echivalente:

a) x(x + 3) : (, + 1)2 qi 3(x + 5) :2(x + 8);b) 5-x - 2(x - 3): 2(x + 5) qi x(x + 5) : (x + 2)2;c) 3x + 2(x + l) : 4(x +2) qi x(x + 3) : (x + 1)2 + 5.

* rrsruL 3 *l. Determinafi valoarea de adev6r a propoziliilor:

b)x=zJ6 siy=3J6;l_1

d) x= Jz+t*-)- si y=Jz-l+-J-.- ./2-l' JZ+t

b\ Jn .2J12.J*o -q ,"'- ' J2o J4s'

rE'

oIHHHo(,t,loUti(J.FoEq)

o

=6

uy (z-JI)' +J4s e z; cy Jz.eo e x;ltl

e; 11-o,1tyr-zfl

e x; 0 G'+z e o.2, Determinafi mullimeal n Q, unde:

(-- t;,e: ),-l,l; 'b' +4'; Jo,G); -5,(2); -

v'.t ,,' Y-,\'/, -,\-,, 2, 'F4,-+',El

3. Rezolvati ecuafiile:

a) x(x + 5) - (x -2)(x + 3) : 3(x + l) - il; al ).lA -rl =t);c)(x+1)2-l=8; d) lx + sl-2=t .

4. int-o clasl sunt 30 de elevi. DacI din clasi pleacd 8 fete qi vin 8 bdieli, atunci numirulfetelor va fi egal cu jum6tate din numdrul blietilor. Cdte fete qi cdfi b6ieli erau in acea clasi?5. Fie a = (3x - 2)(x + l) - 3(x - l)2,x e IR.. Rezolvali in mullimea numerelor realeecuatiile:

a) a=2; b) a2 = 8l c) lal = l; d)a-16=0.

* resrul 4 *{. intr-o urnd sunt 15 bile albe,ZO de bile roqii qi 25 de bile albastre. Care este probabi-litatea ca extrigdnd la int6mplare o bil[, aceasta sd fie:

a) albd; b) rogie sau albastrS; c) albd sau roqie sau albastri.2. Determinali valorile reale ale lui x din proporfiile:

6. Efectua{i calculele:

u) a,r1_1'l _r?.1,'12\3 4) 3 s.c) Jso +Jsq (a-L)-mg.\.Jz .127 )

-2 xa) -*= r)

^,, (2x+3)' -4(x+l)2 -l .ar-

4'5, Aflafi solu{ia ecua}iilor:

a) (x + 112 -Z1x- 1) : (x + 4\(x - D - 5;

"1 1[r+ry:r;6. Efectuafi calculele:

a)rft.* (+-+).(J5-r)';q ,Et*tzJi. J(3 - zJl)' -(Ji +z)' .

o,ff.[* *) +'

b)'-l= 18 r c) -2-=*-J1: dtEJ =12' 2 x-l' x-^lZ 24 3 lxl3, DupE ce preful unui obiect s-a redus cu 20Yo qi apoi s-a mdrit ca 20o/o, el este acum288 lei. Care a fost preful ini,tial al obiectului?4. Ardtali cI oricare ar ft x e N-, fracliile urmdtoare reprezintdnumere naturale.

(x+5)2 -(x+l)2

b) (, - 5)(x + 5) - (* -3)' : x -9;a; (x-Jz)':r.

b) [(Jr-.6)'*Vz] (.m) "

b)

7. Determinafi elementele mu[imii A aB,wde:

oI

F{l-{Ho(,vloUrci(J{-oEq)F(,

=o={..*ll+l

*resrul s *l. Comparafi numerele a gi D in fiecare dinfe cazurile:

.1920Al A=- Sl ,=-.' 20' 2t'c') a=-1 u, u=-I,

b\ a= 0,2(5\ 9i D = 0,(2);

d\ a=4,1(25) Si 6 ={,(12).

2. Se consider[ numerele reale: a= (x + l)2 - x(x + 2) Si b = 1x - 3)2 - x(x - 6).a) Arntati cI a gi D sunt numere nahrale.b) Calculafi media aritmetic[ gi media geometricl a numerelor a gi D.

3. Ar6ta[i cd n e N in fiecare dintre cazurile:

a)n=W;b) r=lJ5-{. fi4-Feqc) n=lx+31*..[r-ff + lTlpentru-3

4!sefrq

Gapltolul IHumere reale

ffi Competen[e spccific*

Cr.

C+.

ldentificarea ?n exemple, tn exercifii sau in probleme a numerelor reale gi aformulelor de calcul prescurtat

Utilizarea in exercifii a definifiei intervalelor de numere realegi reprezentarea acestora pe axa numerelor

Alegerea formei de reprezentare a unui num5r real gi utilizareade algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere reale

Folosirea terminologiei aferente noliunii de numlr real (semn, modul, opus,invers, parte intreag5, parte fraclionard) in contexte variate

Deducerea gi aplicarea formulelor de calcul prescurtatpentru optimizarea unor calcule

ffiEffi I " Mulfimi de numere. Forme de scriere a unui numiriVlrrl{im** rrurnetr*ltr irr.tu!-fiI(r, notati cu N, este N: {0; l;Z;3; ,.. n; ...}.

a) Multimea notatd cu N* este N. : { 1; 2;3; ... n; ...) 9i N' c N.b) Avem, pentru orice x, y e N, c6:

i) x + y e N, x .y e N, gi consecinfele: x * y : 0 lnseamnd x = y = 0, iar x . y = |inseamndx=y=1.

ii) x-y e Nnumai dacdx>!,iarx:y e Nnumaidacrexisttrz e Nastfelinc6ty ' z : x. Dacd acest lucru nu are loc, se folosegte teorema impilrfirii cu restx : Yz * l, cul e N, 0 < t

Ohrcrvalll;a)V." =Z\ t}\;inplus, se definesc: V,-= {.,.;'n; ...;-4;4;-l\ 9iZ+= {l;2; ,,,;ni .,,),

cu r? € N*. Avem cd%* cZ qi,lnplus, N c Z.% = 7,*v {0\ v Z+

b) Avem, pentrr r, y, z, t e Z, cbt

i) r+y e V.,x-! e Z,x, y e Z,'ii) DaeE12 tf =O,atuncix=Y=0'iii)r:y e Z,,l * 0 dac[ gi numai dacl existd z e V, cux s y'2,ln caz contrar,

x = yz* t, unde t e Z SiO < lll < lyl.Mutflmen numerelor rsflond€, notattr eu Q, este:

Q = {* lexistdy, z eZ,z* 0, astfel fn.at , = {l| ,J'ObEervallh

a) Avem cd Z c Q, iar mullimea Q \ Z se numegte mullimea numerelor rafionalenelntregi. De asemenea, q- = Q \ {0}.

b) Un numtrr rafional este reprezentat de o fraclie de forma 1, ., x e Z Si y e V,* .vVom numi fracfie o pereche de nurnere intregi x) y) cvy * 0, scrisi sub forma I. Doua

v

^ ..x zfrac1ii .1- qi a, cu x,!,2,t eZ,y't*0, se numesc fractii echivalente dacilxt =yz.Datlyto fractie I, se oblin fractii echivalente cu ea prin:

v

i) ampliticar., "1 =!'t',cux,y,t ez,y't*o;y y't

ii) simptific"r., It' =Y, ctrx,y, t e Z, y' t + O; t lx Si t ly.y yitO fracfie L, *, y e Z, y+ 0, se numegte fracfie ireductibiltr dacd (x, y) = l.

v

Un numtrr rafional care are ca reprezentant o fraclie 1 , *,, e Z, ! # 0, se scrie subvformi zecimaltr lmpirfind num[r6torulx la numitoruly.

in frrncfie de factorii in care se descompune numitorul b alY

fracliei ireductibile :,v

fracfia zecimalI poate fi:i) fracfie zecimaltr finittr, daci numitorul contine in descompunerea sa numai factori

de 2 sau/gi numai factori de 5;

C'I

l{l{l{

octvtoCIxi.9oEq)

o

=t9

ii) fracfie zecimaltr periodictr simpll, dac5 descompunerea numitorului in produs defactori primi confine a[i factori decit 2 gi 5;, iii) fracfie zecimaltr periodictr mixttr, daci descompunerea numitorului in produs defactori primi confine factori de 2 sau/gi numai factori de 5, cdt gi un alt factor prim.

Reciproc: Daci un num[r rafional este reprezentat print-o fracfie zecimaltr, el poatefi hansformat sub form[ de fracfie ordinartr folosind reguli de transformare pentnrfiecare tip de fracfie zecimaltr:

i) fracfie zecimall finltl: iM = W,ii) fracfte zecimall perlodictr simplil: a,(bp2\.,b,) =ohbz\"h-,gn

iii) fracfle zeclmal[ perlodictr mlxttr: Mbr@rrr*) = o 44l 4 r9Fz" q - b,4" b r .Pe?...ee99...0/ciffe *oific

c)Pentruoricer,./ e Q, avemctr x + y e Q,r-y e Q,x..), € Q, x:y e Q.,y*0,f eeQ,r*0,peZ,

Itlulflmea numer8l0r lreflonelo, notati cu IR \ (!, este mugimea numerelor care sescriu zecimal cu o infinitate de zecimale care nu se repetl periodic.

Mulflmee num€rslOr re0l€, notati R, este mulfimea formattr din reuniunea mulfimii

numerelor rafionale cu mu[imea numerelor irafionale. in mod asemdntrtor, IR- = R \ {0}.Avem girul de incluziuni N c Z c Q c IR..

Exoreltil r€zolvet€t

{. Sedinumerul 13.t5

a) Soriefi numEnrl sub form[ zecimali.b) Stabilifi carc este a23-azecimal[ a fracfiei.c) Comparafi cifra miimilor cu cifra zecimilor.

Solu\ie:

F ,) #=2,1(3).E b) a23-azecimaltr este 3.(,

32,000: l5=2,133...30=20

15

=50

-E=50

45=J

$ ,. Fiemurlimear= {*,@; #, - Jnt Joa;+J4;r,E}E Determinafimulfimile:l nN, A aL,l ^e,l n(R-e),1 -Z,A-elil-R.E Solutie:€ uugmea,l se mai scrie:

;= n={-z; !; s; -z$; $; +2i3,i}, ^^

N = {2;3; s}; A az= te;2;3;5t;

,|j, ̂^

(R - *, = {rs, *}'r n e = {t, l, r,!, z;\; e -, = E, -ra, !r-e:

{-,*,+1,^-R:o

trd)NcN; e)NcR.\Z;i)QclR\Q; j)Q\zcQ;$A4Z\N.; o)NcN*.

oI

l{l{H

o(,r,(,\)rci.9{-oEq){-ct

:_2t

O O O octivitdti de ?nvdtore O O O

{. Stabilifi valoarea de adevdr a propozitiilor:a)NcZ; b)Ncq; c)NGR\Q;0 Z G N; gZsZ\Q; h)Q*z;k)R.CR\Q; l)R\QcR; m)ZcQ;

2. a) Ardtali cd:

G) Jr; (ii) .,6; liii) s+J5; Ql 3Ji; (v) s + tt".6sunt numere iralionale.

b) Stabilifi valoarea de adevdr a urm6toarelor propozifii:(i) Produsul oricdror dou6 numere irafionale este un numdr iralional.(ii) Suma oricdror doui numere iralionale este un numdr iralional.(iii) Suma dintre un numdr rafional gi un numdr iralional este un numir iralional.(iv) Produsul dinfie orice numlr ira{ional gi orice numdr ralional nenul este

irafional.(v) P[tratul oricdrui numir irafional este numdr rafional.(vi) orice num6r irafional ridicat la puterea zero este numdr natural.

3. Amplificafi fracfiite: *,X,itir#astfet incdt sd aibd acelaqi numdr[tor.

4. Se considerd fractiile: fr,#,# U, *,utde a+ 0. Determinali cea mai mici valoare

naturald a numlrului a,pentru care fracliile reprezintd simultan numere naturale.

g. Amplificali fracliile: lr?r\tlr] asttet incdt sd aibd acelaqi numitor, care sI fie15', 3' 6' 10. 5

egal cu c.m.m.m.c. al numitorilor lor.I 6 9 12 12 7 30 30 3-

g. a) Care dintre fracfiil"' 7; fr; G, t8, i, G, ;t ; sunt

echivalente cu frac[ia : ?

b) Amplificati cu4 fracliile, 1,11 1r: 8 ' s

2' 4' 6' gg' 13' ll'c) Simplifica{i cu 5 fracliil"' l, *, *r

20 ' 25 ' 30 .usvYurv' 20' 75' r7s' 45' 110' 85'

d) Determinali din qirul urmdtor de fracfii:161 2 55 4 3 8 14 85 3s 19 4'3'\,'i'i' ttzl' 2l' g' 15' 2.7' 15' 56' 72' 60

(i) ireductibile; (ii) subunitare; (iii) supraunitare; (iv) echiunitare.

7. Determinali valorile lui x, num6r natural, pentru care:

a) (i) { e N; (ii) }; e z; (iil) ;ft e N; (iv; -21- = ry,b) mullimile A= {4x;6x+2\ giB = {2x-l1-2x+ l;3x+2) au un singur element

comun;c)mulfimile A: {2x-3;3x- 1} ti 3= {4x-7;x+ 3} suntegale.

8. Scrieti sub formd zecimald: lt ?r 9, I, !, 1, 4, 9, L, 21.3'15' g' g'16'ls'zs' 6'1g'9. Scrieli sub form6 fraclionarE: 4,15; 2,(18); 0,3(54);0,35(4); 0,91(6); 1,8(6); 5,02(7'S;0,4(9); 0,41(16); 0, I 1 (36); 1,0025; 0,008.{O. A. Precizali valoarea de adev6r a propoziliilor:

a)8eN; b)8eZ; c)8eQ; d)8eR; e)4eZ;f)-6eN; s) -J=q; h)-8,3 elR; i)-3,9 eZ; j)4,(5)eQ;k) #'e R; l) fr. R-e; my .n@91-ay. x; n) t{-3)+(-2)t.z.

B. Stabiliti valoarea de adevtu a propoziliilor:

, lrtoe Q; p)rfi,@ e R-Q; q)^l* 4 ez; r) 0,(3)+1614 e IR \Q;s).m.x; t1 ,\ffi.2; u){o}e R;v) 0 e lR'; x) {0} c R; y)2 e Q\{-2,2}.

I {. Determina}i mulfimile:A= {x e N I 13

I 6. Determinafi elementele mulfimilor:

A={xeN.lx+3136}; B={xeN.l 2x+1145};

c= {xeNl x

24. Determinali valoarea de adevdr a propoziliilor:a).r e IR; b)r e Q; c)x e R\Q; d)x eZ,

.fis-oG *dT-r6* at+2Ji

under=@.25, Determinafi mulfimile:

(

a) A = l..r\ p)l #t]of .'6=G-' d;;E . rI .Llx-2)b) A = {.. rlfi:m . Jr;;1273 . [;W . zl.

ll2x+t)c)A={,.r1

2x -l.r|

26. Determinafi numerele naturale ab, qtiind cE indeplinesc condiliiler o-b este divizibilcu 5 9i tlab+ba e Q.27. a)Aritali ci a=rlg'.22'*t -4,.32" e epentruoricaren e N'.

b) Determina[i n e N astfel incdt a = 216.28. Determinati cifrax, inbaza 10, astfel inc6t:

op.a; b)F.a; "1 p-.r, d)

@29. a) Determinafi cate numere naturale x * l, x < 100 existi pentru care fractia

^'-2 este ireductibili.3x'+2x-5b) Determinafi numerele naturale x, x 1130, pentru care fractia =-4 .rr"' 2x'+4x-7

reductibilS.

c) G6sili forma generali a numerelor x e N', pentru care fractia =

se poateJx+)

simplifica.

3o. Fienumdrulrafionalr € Q.Dac61lr ez qi l3r e z,demonstalicdr ez.

l:-l18r,_

1l +e R\Q.

oIH

l-{t{c,ovto()xi(,{-EEq)

o

=24