Valori si vectori proprii. Forme canonice ale matricelor si ...
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de...
19
Investeşteîn oameni ! FONDUL SOCIAL EUROPEAN ProgramulOperaţionalSectorialpentru DezvoltareaResurselorUmane 2007 –2013 Axa prioritarănr. 1 „Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere” Domeniulmajor de intervenţie 1.2 „ Calitateînînvăţământulsuperior ” Numărulde identificareal contractului: POSDRU/156/1.2/G/138821 Beneficiar: UniversitateaPOLITEHNICA din Bucureşti Titlulproiectului : Calitate,inovare,comunicare-instrumenteeficienteutilizatepentrucreştereaaccesuluişipromovabilităţiiînînvăţământulsuperiortehnic Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale POSDRU/156/1.2/G/138821 1 MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA Curs: 3 Grupele: G4, G7 Formator: As. Univ. Dr. Bejenaru Andreea Octombrie / 2015
Transcript of Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de...
Investeşte în oameni !FONDUL SOCIAL EUROPEANProgramul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 –2013 Axa prioritară nr. 1 „Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere”Domeniul major de intervenţie 1.2 „Calitateînînvăţământulsuperior”
Numărulde identificareal contractului:POSDRU/156/1.2/G/138821 Beneficiar:UniversitateaPOLITEHNICA din BucureştiTitlulproiectului: Calitate, inovare, comunicare-instrumenteeficienteutilizatepentrucreştereaaccesuluişipromovabilităţiiînînvăţământulsuperior tehnic
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
1
MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA
Curs: 3
Grupele: G4, G7
Formator: As. Univ. Dr. BejenaruAndreea
Octombrie/ 2015
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
2
Reprezentarea matricelor
• Matrice cu m linii si n coloane si elemente numere reale
• Multimea matricilor cu m linii si n coloane se noteaza cu
𝑀𝑚,𝑛(𝑅). In particular, multimea matricilor patratice de ordin n se noteaza cu 𝑀𝑛(𝑅).
Tipuri particulare de matrice
• Matrice linie 𝐴 ∊ 𝑀1,𝑛 𝑅 , respectiv 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞 𝐜𝐨𝐥𝐨𝐚𝐧𝐚 𝐴 ∊ 𝑀𝑚,1(𝑅).
• Matrice patratica diagonala
• Matrice triunghiulara inferioara sau superioara
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
3
• Matricea unitate de ordinul n:
• Transpusa unei matrice 𝐴 ∈ 𝑀𝑚,𝑛 𝑅 → 𝐴𝑡 ∈ 𝑀𝑛,𝑚 𝑅
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
4
𝐴 =
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
→ 𝐴𝑡 =
𝑎11 ⋯ 𝑎𝑚1⋮ ⋱ ⋮𝑎1𝑛 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
Operatii cu matrice
• Adunarea se face pe componente.
• Inmultirea cu scalari se face pe componente.
• Inmultirea a doua matrice
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
5
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑝⋮ ⋱ ⋮𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑝
=
𝑐11 ⋯ 𝑐1𝑝⋮ ⋱ ⋮𝑐𝑚1 ⋯ 𝑐𝑚𝑝
,
unde 𝑐𝑖𝑗 = 𝑘=1𝑛 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 .
Determinanti
• Determinant de ordinul 2:
• Determinant de ordinul 3:
o Direct
o Regula lui Sarrus sau regula triunghiului
• Determinanti de ordin superior: dezvoltare dupa o linie sau o coloana (se aduna
complementii algebrici ai elementelor liniei/ coloanei)
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
6
• Problema rezolvata
Se dau matricile
• a) Stabiliti dimensiunea matricilor date
• b) Calculati: 2A, AB, AC, 3A - 4C.
• c) Calculati detA si detC si stabiliti daca matricile A si C sunt inversabile.
Solutie:
a) Matricele A si C au cate trei linii si trei coloane deci au dimensiunea . Mai putem
spune ca A si C sunt matrici patratice si notam . Matricea B are trei linii si
o singura coloana, deci are dimensiunea . Putem nota aceasta prin .
b)
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
7
3A – 4C = 3 -4 =
c) A nu este inversabila
C este inversabila
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
8
Inversarea matricelor patratice
• O matrice patratica este inversabila daca si numai daca determinantul ei este
nenul
• Inversa unei matrice patratice : 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 𝑅 → 𝐴−1 ∈ 𝑀𝑛 𝑅 si
• Metode de calcul:
Metoda 1: Algoritmul clasic de determinare
Metoda 2: Algoritmul Gauss-Jordan
Metoda 3: Teorema Cayley-Hamilton
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
9
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼𝑛.
Algoritmul clasic de determinare a inversei
Pasul 1. Se calculeaza determinantul matricei A.
Pasul 2. Se scrie matricea transpusa 𝐴𝑡.
Pasul 3. Se determina matricea adjuncta 𝐴∗; elementele matricii adjuncte sunt
complementii algebrici ai elementelor matricei transpuse.
Pasul4. Se determina matricea inversa cu formula
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
10
Metoda Gauss-Jordan (metoda eliminarii complete )
Pasul 1. Se alege ca pivot primul element al diagonalei principale; daca acesta este nul,
se schimba intre ele doua linii astfel incat primul element al diagonalei
principale sa fie nenul si apoi se fixeaza pivotul.
Pasul 2. Daca pivotul este diferit de 1, linia pivotului se imparte la pivot.
Pasul 3. Pe coloana pivotului se identifica elementele care vor fi transformate in zerouri.
Pasul 4. Se fac transformari pe linii dupa regula:
Pasul 5. Se repeta rationamentul, selectand ca pivoti celelalte elemente ale diagonalei
principale.
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
11
𝐿𝑖 − 𝑎𝑖1𝐿1 → 𝐿𝑖
Inversarea unei matrice folosind Teorema Cayley-Hamilton
Pasul 1. Calculam polinomul
Pasul 2. Substituim scalarul 𝜆 cu matricea A, obtinand ecuatia matriceala
Pasul 3. Daca termenul liber este nenul, inmultim ecuatia matriceala cu 𝐴−1 si
determinam inversa.
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
12
𝑝 𝐴 = 𝑂𝑛
• Probleme rezolvate
1. Se da matricea
a) Calculati detA
b) Construiti transpusa lui A,
c) Construiti matricea adjuncta,
d) Construiti inversa matricii A, cu algoritmul clasic, apoi verificati corectitudinea
rezultatului obtinut utilizand relatia
e) Calculati inversa matricii, folosind metoda Gauss-Jordan.
Solutie.
a) are sens inversa lui A.
b) Matricea transpusa lui A este matricea care are drept coloane, liniile lui A:
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
13
c) Matricea adjuncta are forma:
unde , reprezentand determinantul matricii care
ramane dupa ce in matricea au fost eliminate linia i si coloana j.
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
14
; ;
; ;
; ;
d)
d)
Verificarea prin calcul direct ca este imediata.
e)
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
15
Rangul unei matrice
Matricea nenula A are rangul r daca exista in A cel putin un minor de ordinul r diferit de
zero si toti minorii de ordin mai mare decat r, daca exista, sunt egali cu zero. Notam
rang(A) = r .
Determinarea rangului folosind metoda Gauss-Jordan: prin transformari liniare
similare celor de la metoda eliminarii complete utilizata la inversarea matricilor, se aduce
matricea initiala la forma trapezoidala. Rangul matricii initiale va fi numarul elementelor
nenule de pe diagonala principala a matricei trapezoidala.
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
16
• Problema rezolvata
1. Determinati rangul matricilor de mai jos, gasind minori principali:
Solutie.
Deoarece A este matrice patratica de dimensiune 2 si , rangul lui A
va fi egal cu dimensiunea matricii, deci .
Deoarece B este matrice patratica de dimensiune 3 si , rangul lui B va
fi mai mic decat dimensiunea matricii, deci
;
Deci .
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
17
Deoarece matricea C nu este patratica, nu mai are sens calculul detC.
2. Folosind metoda eliminarii complete, determinati rangul matricilor:
Solutie.
• Pornim cu primul element al matricii pe pozitia pivotului:
Deci, .
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
18
• Cu acelasi prim element pe post de pivot, transformam matricea B:
Deci, .
• Inainte de a incepe transformarile, permutam linia 1 cu linia 2 in matricea C pentru a
aduce pe pozitia pivotului elementul 1.
Calculele se opresc aici, deoarece urmatoarea alegere a pivotului ar trebui sa fie 0. Prin urmare, .
PO
SDR
U/1
56
/1.2
/G/1
38
82
1
19
