Enunturi setul de subiecte numarul 1

I) Determinati multimea punctelor de convergenta ale seriei:

II) Determinati punctele de extrem local ale functiei:

III) Fie ,

a) Sa se afle astfel incat sa fie densitate de probabilitate pentru o variabila aleatoare de tip continuu.

b) Sa se calculeze media si dispersia variabilei aleatoare .c) Sa se determine functia de repartitie a variabilei aleatoare .

d) Sa se calculeze si

IV) Fie si doua variabile aleatoare discrete avand repartitiile, comuna si marginala (sau individuale) date in tabelul incomplet de mai jos, in care este un parametru real iar

1) Determinati repartitiile variabilelor si .2) Calculati dispersiile lui si lui .3) Determinati repartitia comuna a variabilelor si in functie de parametrul .4) Calculati coeficientul de corelatie al variabilelor si in functie de .5) Determinati valoarea lui pentru care si sunt independente.

Rezolvari pentru setul de subiecte numarul 1

YX

2 4

1

3

I) Seria este o serie de puteri.

Conform teoremei lui Abel, pentru orice serie de puteri de forma exista un

numar astfel incat:

1. seria este absolut convergenta pe intervalul ;

2. seria este divergenta pe multimea ;

3. pentru orice seria este uniform convergenta pe .

Numarul se numeste raza de convergenta a seriei de puteri, iar se numeste intervalul de convergenta al seriei.

Asadar trebuie sa determinam pe pentru a putea preciza care este multimea de convergenta a seriei de puteri date.

Pentru determinarea lui folosim teorema Cauchy-Hadamard care spune ca daca

este o serie de puteri avand raza de convergenta si daca notam

, atunci ( este simbolul grecesc “omega”)

In cazul nostru se observa ca

Deci pentru a-l determina pe trebuie sa calculam =

= = = = (cand si tind

catre 0).

Asadar . Deci, conform teoremei lui Abel, seria data este convergenta pe

intervalul .

Nu cunoastem insa comportamentul seriei in punctele si si de aceea tratam

separat cele doua cazuri (cand si cand )

Pentru seria devine = care este o

serie numerica alternanta deoarece produsul oricaror doi termini consecutivi este negativ. Pentru ca aceasta serie sa fie

convergenta ar trebui, conform criteriului lui Leibniz ca sirul sa fie

descrescator si ca sa fie 0.

Se observa ca sirul este descrescator ( , , ,

… ) si limita sa este 0 deoarece

Asadar punctul este si el punct de convergenta pentru seria de puteri data.

Pentru seria devine = care este o serie cu

termeni pozitivi.

Folosind criteriul radacinii (al lui Cauchy) stim ca daca avem o serie de termeni

pozitivi pentru care exista un numar natural si un numar astfel incat

sa aiba loc inegalitatea , pentru orice atunci seria este convergenta.

In cazul nostru si

Se vede ca daca luam si atunci pentru orice avem

. Deci seria este convergenta, deci si punctul

este punct de convergenta pentru seria de puteri data.

Valoarea pentru a fost aleasa cont ca sirul este descrescator si ca pentru

avem ; cu alte cuvinte puteam alege pentru orice valoare din

intervalul .

Asadar multimea de convergenta a seriei este

II) Pentru a determina punctele de extrem local ale functiei determinam mai intai punctele stationare ale acestei

functii.

Punctele stationare ale functiei sunt solutii ale sistemului

In cazul nostru (derivam functia considerand ca x

este variabila iar y este constanta) iar (derivam functia

considerand ca y este variabila si x este constanta). Am folosit faptul ca

unde este o constanta si faptul ca unde .

Deci pentru functia data, punctele stationare sunt solutii ale sistemului:

Din a doua relatie rezulta ca . De mentionat ca din relatia

rezulta ca atat cat si sunt diferite de 0.

Inlocuim in prima relatie si obtinem:

Notam si inlocuind in relatia de mai sus obtinem: care este o

ecuatie de gradul 2 cu solutiile

si .

Revenind in notatie rezulta ca sau adica sau

Deci avem 4 cazuri: , , si

Pentru rezulta punctul stationar

Pentru rezulta punctul stationar

Pentru rezulta punctul stationar

Pentru rezulta punctul stationar

Asadar am obtinut 4 puncte stationare pentru functia

Multimea punctelor de extrem local este o submultime a multimii punctelor stationare, cu alte cuvinte, punctele de extrem local (daca exista) se aleg dintre punctele stationare.

Pentru a vedea care dintre punctele stationare sunt si puncte de extrem local trebuie ca pentru fiecare punct stationar sa calculam expresia:

Daca , atunci este punct de extrem local pentru si anume punct de

minim daca si punct de maxim daca

Daca atunci punctual este punct şa.

Asadar avem nevoie si de derivatele de orinul 2 ale functiei

Deci in cazul nostru:

Pentru punctul avem:

rezulta ca punctul este punct de extrem local si cum

rezulta ca este punct de maxim local.

Pentru punctul avem: rezulta ca punctul este punct de

extrem local si cum rezulta ca este punct de minim local.

Pentru punctul avem: rezulta ca punctul

este punct şa.

Pentru punctul avem:rezulta ca punctul este punct şa.

III) a) Conditia ca functia sa fie densitate de probabilitate pentru o variabila aleatoare de tip continuu este ca functia sa fie integrabila pe astfel incat

si

Deci trebuie sa calculam , unde

Pe intervalele si , Pe intervalul ,

Deci

Deci

Se observa ca pentru este indeplinita si condtita ca

b) Media variabilei aleatoare de tip continuu pentru care functia este densitate de probabilitate este:

Dispersia variabilei aleatoare de tip continuu pentru care media este este:

unde

Am calculat la punctul a) si stim deja ca functia noastra

Calculam dispersia

Asadar

Calculam acum

Deci

Asadar

c) Functia de repartitie a variabilei aleatoare este:

Avem 3 cazuri posibile:

Cazul I - cand caz in care deci

Cazul II - cand caz in care deci

.

Deci pentru ,

Cazul III - cand caz in care deci

Asadar

d)

In cazul nostru

Deci

=

Deci

Am vazut mai sus ca

Asadar:

IV) 1) Pentru determinarea repartitiilor variabilelor si am notat valorile necunoscute din tabelul dat cu , repectiv :

Pentru corectitudinea redactarii am schimbat notatia care era initial data in enunt. Mai exact in loc de am pus si in loc de am pus (dealtfel acestea sunt si notatiile folosite in curs).

Semnificatia lui este: , si , unde

In plus pentru si pentru

Concret:

Din si

Din

Din

Din

Asadar repartitia variabilei este si repartitia variabilei este

2) Pentru a calcula dispersiile variabilelor si calculam mai intai mediile lor:

YX

2 4

1

3

1

Dispersiile variabilelor si sunt:

3) Repartitia comuna a variabilelor si in functie de parametrul real este data de tabelul de mai jos:

4) Coeficientul de corelatie al variabilelor si se calculeaza dupa relatia:

, unde iar

YX

2 4

1

3

1

Deci:

Asadar coeficientul de corelatie al variabilelor si este:

5) Conditia ca variabilele si sa fie independente este:

,

Concret:

Din

Verificam daca si celelalte 3 relatii sunt indeplinite pentru

Adevarat

Adevarat

Adevarat.

Asadar variabilele si sunt independente pentru

Enunturi setul de subiecte numarul 2

1 ) a) Sa se determine multimea de convergenta a seriei: ,

b) Enuntati si demonstrati criteriul radacinii pentru serii cu termini pozitivi.

2) Aflati punctele de extrem local ale functiei ,

3) Fie functia ,

a) Sa se afle constanta astfel incat sa fie densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare X.

b) Sa se determine M(X) si D(X).c) Sa se afle functia de repartitied) Sa se calculeze .

4) Intr-un magazin, la sfarsitul unei zile, stocul din produsul P1 se termina cu probabilitatea 0.3, stocul din produsul P2 se termina cu probabilitatea 0.4 iar stocul ambelor produse se termina cu probabilitatea de 0.1. Sa se determine probabilitatea ca:

a) sa se termine cel putin un stocb) sa se termine numai un stocc) sa nu se termine niciun stoc.

5) a) Sa se estimeze parametrul din legea de probabilitate:

b) Sa se defineasca estimatorul absolut corect.

Raspunsuri/rezolvari pentru setul de subiecte numarul 2

1) a) Se rezolva la fel ca subiectul I) de la setul de subiecte numarul 1.

b) Criteriul radacinii pentru serii cu termini pozitivi a fost deja folosit pentru rezolvarea

subiectului I) de la setul de subiecte numarul 1 (cand am demonstrat ca punctul este

punct de convergenta).

Enuntul:

Fie o serie cu termini pozitivi:

a) Daca exista un numar natural si un numar , astfel incat sa aiba loc

inegalitatea , pentru orice , atunci seria este convergenta.

b) Daca , pentru o infinitate de termini, atunci seria este divergenta.

Demonstratia ar trebui sa se gaseasca in curs (daca nu se gaseste atunci nu ar trebui sa fie data la examen). Cred ca pentru un economist este suficient sa stie enuntul si sa il aplice.

2) Se rezolva la fel ca subiectul II) de la setul de subiecte numarul 1.

3) Se rezolva la fel ca subiectul III) de la setul de subiecte numarul 1.

4) Conform definitiei evenimentelor independente, doua evenimente si sunt independente daca

In cazul nostru, notam cu evenimentul “stocul din produsul se termina” si cu evenimentul “stocul din produsul se termina”.

In enunt ni se dau , si Observam ca . De aici deducem ca evenimentele nu sunt independente (deci sunt dependente).

a) Probabilitatea sa se termine cel putin un stoc este:

b) Probabilitatea sa se termine numai un stoc este egala cu probabilitatea sa se termine cel putin un stoc minus probabilitatea sa se termine ambele stocuri:

c) Probabilitatea sa nu se termine niciun stoc este egala cu probabilitatea totala adica 1 minus probabilitatea sa se termine cel putin un stoc adica:

Acest subpunct este o aplicatie la prima din cele doua legi ale lui De Morgan:

Cum

5) a) Dorim sa estimam parametrul din legea de probabilitate :

Consideram ca avem o selectie si folosim metoda momentelor.

Avem de rezolvat ecuatia:

Deci

Pentru calculul acestei integrale folosim formula de calcul:

Asadar

Deci

Inlcuind pe in ecuatia obtinem:

b) Spunem ca este o estimare absolut corecta a parametrului daca:

si

Mult succes!