Rezolvari Bac 2009 a M2 - Subiectul III

8/3/2019 Rezolvari Bac 2009 a M2 - Subiectul III

1/100

- - - - - - - -inisterul EdueaPel. Cereetarii ~ InoviriiCentrul National Dentm CurriculuDI si Ev8Juare in~nvAtlimAntul Preuniversitar

SUBIECTUL ill(30p), 2

1. Se cons id er a f unc ti a f :R \ { - I} --+ 1R , f ( ) " " - = - - .z +ISp I a) S A se calculeze derivata functieij"

b) Sii se determine intervalele de monotonie ale funC{ieiJc) Sase demonstreze eli f(x):5 -4 pentm oricex < -1.2 . S e c on sid er li fu nc tia f: lR--+ J R , f (x) =0 {x2 + eX , x :5 0J X +1, x> Oa) S a se arate c a functiajadmite primitive pe I R .

ob) Sa se calculeze J xf(x)dx.

-1c) SA se determine volwnul corpului obtinut prin rotajia injurulaxei Ox a gmficului fuactieig:{O;I]--+lR, g(x)=f(x). l.. i Z

I) x,'< J . . 2 : 1 . . ~ 2./- x . 1 .. X +J.X . x : G - l I Z \ -4]. p ( . u ; _ ( _ '( + J . ) r " ' ~ / ( ~ ; : : _ . L/fCC)-=- z_ - (x+ tI./'L (x+ r< )

(x+ ,{) ) ; ( - = 04 - i x . ) - = - 0 -=? :< .+ 2 .K - ::::- 0 =-"") X ( X +


2/100

VaO:LMin1sterul Educatiei, Cercetiirii ~ Inoviirii

Centrul NaPonal pentru Curriculum si Evalnare in DVitimintul Preuniversitar, SUBIECTUL m (30p)

1.Se con sid e ra f unc ti a F: lR . ~ l R ., Ix ) " " e ; T : - e -I.Sp a) Sl se calculeze lim f(x) - 1(0) .

"'--Xl XSp b) Sa s e a ra te ca funetia f este crescatoare pe IR .Sp c) Sa se ealculeze S =g(O) + gel) + ...+g(2009), unde g: R . .." R, g(x) =['(x) - J"(x) .

2 . S e c on sid era fu nc tiile f,F: J R .."lR., f(x) = xe" ~iF(x) = (x _l)ex .Sp a) Sa se verifice ca functia F este 0primitive a funetiei f .Sp . b) Sa s e c alc ule ze a ria suprafetei pJane determinate degraficul functieiJ, axa Ox ~idreptele x = 0 ~i x = L

X1 f(t)f'(t)-(f'(t)2 x+l .Sp c) Sli se demonstreze ca } 2 ' dt = ~ - 2, pentru once x >1.i f (I) Xc D ~ ) ~ iLX) - i{ t V - = - . t i 0) z: e O_r ( !_ 0= - j + 1 . - = g _

;(-70 )(. _ p r j(-K+ CL}:::: - e +ee ) . _ ;( J( -,( fI K ER .._ = > . .jJ c.h.e-&ec:t - O ' 6 ? - k P f - R .- t'(X)::. . + - < 2 >0; +

I{ r: ~ -K ) ( X -.I(e..) : : ; f . e x : I:::._e .f- 42 ;:: < 2 - e .( : f I( f4 t -t ~- 1 C~ C x . . j ~ :I c x . l . _ . ex] = e + r . t 2 - +4 2 = . . z .a ( - 2...00 '} (I r { )S - 2 . . e + < . . e- + - - - -1 - : 2 e ~ 2 4 ._ + e .. + - _ _ - ( - e _ 2_oo?,

~ - 1 " . { n - - - r { t _ ~ 0- I, /l" ZOJ Fl'" I e..) ) e


3/100

Va03Ministernl EdueD "ei Cercetirii in o v a . mCentro) NatloualDentro Curriculum siEvaluan innvitimADtnl Preuniversitar

5p

, SUBmCTUL TIl (30p)1 . S e o on sid er a fu nc tia f: ( 0,+ 00 ) ~ J R . I(x) ""~ .

0) SA se ve ri fi ce c a J '( x) "" 2 - ~, p en tr u o ri ce x e (0;+00).2x"\Ixb) Sa se determine intervalele de monotonie ale ftmcpeijc) S a . se d em on stre ze c il. 3'/5 s5,[3 .

{e ex x S-12. Se considera functia t:R ~ J R , I() := ' 2+x, x>-l

a) Sa se arate ell ftmctiaJ admire primitive pe R. .b) Sa se ealculeze volumul corpului obtinut prin rotatia injurul axei Ox, a grafieului functieig:[O.2]~JR, g(x)=](x), xe [0,2].

5p5p

5p5p

o5p , c) Sa se ca lculeze J xI(x) dx .-2 e (- f _ 1 _ ~ " / I ! K - & Y 'C F ) -T U C J - . ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - ~)2- x x

~ I+- 0

BACALAUREAT 2009-MATEMA T1CA - Proba D, MT2,.programa M2e - ) s P ~ ) o A . -1 0 -s ()_ 'L e. x'::. I x . ~ ' i?x o 1 x o f . S > ( (2 +JC) o 1 K : : : .JX e / ( J _ ( +f e_ ~ -t-x. " o - l ( " =

-:2- -4 e -2- _i: . ) I - l G z ) 0 - {-f _2 . -2 { 1c;Jxc"-e- ' / + ~ _ + J ..L I - = -e. ..... - / : 2 . e . +.e -e + - -'(::_ -2.., e . - ; ( e J _I 3e2. 3 . { _ -be - + 9+ e-J.e _ -8e t-g- - - - + - f" .L . - '"2 e Z- 3 e 2 . . .- p p"L ~e I' J


4/100

Ministenl Educatiei. Cercetiriif InovArii 'Centrol National pentru Curriculum si Eva]uare In~DviitiimantulPrenniversitar~I 007

, SUBlECTVL ill(30p)1 . S e con sid e ra functia f: R . --i' m : , f (x) =x +e -~ .

5p a) Sa se calculeze f'(x), XE R 05p b) Sa se arate cil f es te descresca toare pc (.....,.,,0) ~i crescatoare pe [0 , - too ) 05p , c) Sa se determine ecuatia asimptotei oblice catre -j-ee la graficul funcpeiJ

2 . S e c on sid er a functia g: 1R--i' R, g(x) = = (x+ 1)3 - 3x2-1.I5p 0 ,) Sa se calculeze Jg(x)dx.o

a5p b) Sa se d ete rm in e n uma ru l re al a > 1 a st fe l incat J(g ( x ) - x3) 0 e o " ;dx = 6 e t! 0I

20(0


5/100

v cos:~Ministerul Edueatiei. Cereetirii f;_IU(Mirii --Centro. National peotro CurrIculum si Evaluarein ~vat!imiDtul Prenniversitar, . SUBIECTVL ill(30p)

1. Se eonsidera functia I: IR~ IR > I (x ) =x 2 O O 9 - 2009(x -1) -1 .5p a) S a se calculeze 1(0)+ /,(0) .

b) Sa se scrie ecuatia tangentei la grafieul functieij" in punctul A (0;1). :;,p


6/100

V C ) Q _ 6. . . . . .. Ministerul Educatiei, Cercetirii . In - ..c:entrul National pentru Cuniol.. ovaru.. . e um SI Evaluare in lovltlmintul Preuniversitar

5p b) Sa se verifiee e4 ['(x) = 1 + 1....(x+1)2 (x+2)2 ,oncarearfi x2:0.c) S 1 1 se demonstreze c1 l . ! . . < f( ) .2 - x! 2, pentru once XE [0,+00).2. Se consider! functia f :IR-)0 N . f() 2 x. , x=x +e +1.

Sp a) Sl1 se arate eli orice prim itivli a functiei f t. . t'. es e crescatoare pe Ii.b) Sa se calculeze JXf(x)dx.

o

, SUBIECTUL m(30p)1 . S e c on sid era fu nc tia f: [0 , + 0 0 ) -)0 1R , f( x ) = ~ + x +1 .

5p a) Sa se calculeze lim f(x). x +I x +2x-++-

5p

Sp

5p c) Sa se demonstreze cA jf(lnx) dx =e+.! . .

a . . . ) ~ ~ ( ~ : X+1 )3 = - ~ e~ B XA t,{ ;t +-2.._ )(-";> ex;, x . . { 1..+ b)j... -";> Qc:l r>x o + . : . 1 0


7/100

(j)

I/00'f-Ministerul Educatiei,CercetArii y Inoviiru ~

Centro) National peotrn Curriculum ! : I i Evaluare in nviitamllntul Preuniversitar

Sp

ea) Si i se calculeze Jf'(x) dx .Ib) Sa s e a ra te c Il :o ri ce p rim it ivA a f uncti ei f e ste c re se ato are p e [1,+0


8/100

v oogMlnisterul Educatiei, Cercetiril ji lnovllril ~Centrul National oontru Curriculum ,I Evaluare in .nvatiimantul PreumVer5ltar

, I SUBJECTUL ill(30p)1.Se considera functia f: (0, +00 ) \ {e} --7lR , f(x) " " 1+ In;f .l=-In x

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA. Proba D,MTI, programaM2


9/100

.Centrul Natl I Ministenll Educa .e.i Cetcetiirii. iInoviirii_ ODa pentro Curricula . E Id m 51 . vauare in..vAtimAntul Preoniversitar, SUBIECTUL m(30p)

1. Se considera funcpa f: R ~ R f( ) - x ( 25p) _. ,x - e ax +bx+c), unde a.b.c lR, a Pentru a-I, b = = c :;;:;, s a se calculeze lim I(x) ,5p b)Sheverificecaj'(O)-/(O)==b, X_5p c) Sa se determine a,b, C E lR astfelmciit 1(0) :;;:;, f'(O) '" I ~i /,,(0) ""4 .llJ2. Se considera integralele I ",.x +1 dx .' ..n X +I .,p ea tru o nc e n EN .

o5p a) Sa se calculeze II .

l I . 0053

( 0 )

b ) F olo sin d, e ve ntu al, fa ptu l c a x2 s x pentru .. [ Jonce x E 0,1 ,sa. se d em on stre ze c it I $Ic) Sa se demonstreze di I 1+I =_1_+21n2 . 2 I'n+ n n +1 ' pentru once n EN> .p f).' K ( l_ f)' eX 2_.~ 1- (XI = - -(..U..U.. e. A X -f 0 J C +0) .z : -(k..U.. ,)(. - + - CJo

J .. _ " ) ' f - - - O O . t < . .. - ) f-C= ;< _ -"? - 1 - . , : ; 0

5p5p

fr) t ~K / = e~(a I t : of- e x +,(!) + - e _Y Qa_J( - f - C } = e Y o - X '+ . 6 , ) ( - t c + 2 . f J .ki - 9e J( [ QX2+ (0 +2a) J( + (It +c)]tcoJ- : f { o ) - = : e O C C - t - c ) - e O , ~ -=.e.-H-C-=o~

- c ) : f - io t :0 : f : ' : < ' / " " " e fi'/_2 .+ ({ j f- 20.))( + - (g -+c [ j 1-e '


10/100

Miitisterul Educa ei Cercetirii i InoviiriiCentrul National pentru Curriculum W Evaluare in nvJtimintuJ Prennlversitar

, SUBIECTUL m (30p){x2_x X < = = !1. S e co nsid era fu netia f: IR ~ R, I(x) =. , ,_x2 +x, x c l

5p a) Sa se stu diez e c on tin uita te a fu nctiei 1in punctul Xo = = 1 ,5P. b) Sa se calculeze 1'(0)+ 1'(2),5p c) 8; 1 se demonstreze e a functia 1 este concava pe (--< >< >;1)

2 S 'd e -fun iil f T 11 l T l l l J( ) e2x+l , () e2x_l.e COMI ra i cti e ,g :!N . ~ n,. X =-;.:- ~l g X =-x-e e5p a) S a s e ver if ic e e ll f uncti a g este 0 primitiva a functieiJISp b) S!l.se calculeze f f ( x ) g ( x ) a x ,

o

~)1 I

c) S a se demons tr eze c a J J ' { x ) g l ( x ) d x = J f ( x ) g ( x ) d x ,o 0. I l t . L l . ! - .tCt-j-=: tu, . . . (-;(?-~.


11/100

\/0)4. Ministerul Educatiei .Cercetarii slInovliriI

Centrul National pentru Curriculum si Evaluare in tnvitamiintul PrenniveJ"sitar, SUBIECTUL m(30p)

1 . S e cons id e ra f unc ti a f :(O ,- too )- -7 lR , l(x)=~+ 1 2'X (x + 1)

5p a) Sa se verificeca f '():= - ~ - 2 3 ' o ric ar e a r fi x E (0,00) .x (x+l)5p b) Sa s e demoa st re ze c il :f unc ti a f e ste d es cr es ca to ar e p e in te rv alu l ( 0,+ 0 0) .5p c) Sa se ealeuleze lim x3 I'( )

X~

5p

2. Se cons id e rs f ua c tia f: (0,+00) - -7 lR , f(r):= In x +x.X

w eJ . lnxa) Sa se calculeze (f(x) - ---) fix .I xc 2

b ) S !!.se verifice di ff(x) dx:=:_ .I 2Sp5p

en+1c) Sa se arate di siru l c are a re te rm en nl g en era l III = J (j(x)-x) a x , n 2 ! : I este 0p rogres ie a ri tme t ica~

- r)I(t+{/-_ A [ j , < - O ) i ) _


12/100

Ministerul Educatiei. Cercetirli si InovariiCentro) Nation.a)pentnL Curriculum si Evaluare in tnvlitamintlll Preuniversitar

5p5p5p

5p

5p

5p

( 1 ) o . . _ )

SUBIECTUL ill(30p)I. S e c on sid era functia f: (0 , - t < > o ) -7 R., I(x) =x _ 2In x .a) S A se ca lcu leze 1'(x), XE (0,+00).b) S a se d em on streze ea fu nctia f e ste c on ve xa p e in te rv alu l ( 0,+ 00 ).

2c) Sase arate ca I(x) ~ I n ; ,oricare at fi XE (0.+00).2. Se consider ! func ti il e 1 m : [0,1] -7 R., 1 m (x) =m2x2 + (m2_ m + l)x+ 1 , unde mER. .a ) S a se c alc ule ze JJ i ( x ) dx ..

Ib) Sa se calculeze J e x 10 (x) fix .

o Ic ) S a se d ete rm in e me R '" astfel m eat J i m (x) dx ~o 2j ~X) ~ A _ .t, 1 . ~ , { - 2 .. j K _ G - C o/ f -Co}t ;(,I.._


13/100

Min],terul Edu aU C Va) :)Centrul National Dentm C -~- 0 1 - c - ~I, ercetarii y Inovariiurne urn 51 Evaluare in xv.timintu) Preuniversitar

5p

SUBIECTUL m(3Op) .1. Se con si de rs f un ct ia I: 1R\{-I}""",* Ill, f(x) =~.x+la) Sa se verifice ea . r e x ) xeI .(x+l)2' o nc are arfi x E IR \{ -l} .b) Sa se d ete rm in e e cu an a a simp to te i c atr e -0 la . . .c) S a : se d em on stre ze c a. I( ) '> I. ' graficul functiei fX < = . , pentru once z >-1.2. Pent ru f ie ca re n E N se eo nsid era II I = e j In 1 1 X a x .xa) Sa se ve ri fi ce c a 10 = 1. eb) sa . se calculeze II

5p5p

5p5p5p c) Folosind,eventual, faptul ca. 1 s; lnx:S: 2 .. .. oncare ar fi xe [ 2 J2 1 1 + 1 _ I .e,e . . ' 5 1 1 se demonstreze ca

1< < 2 11 - n+1 - ,pentm once neN.( (e.X \ I e J - . - t { ' I.t( .o a . , ) .f< '> l.}-;; ) H- e H)_e {u,!--e.,( - .X e { 1 f . > ( & i i Z . \ ) - ~ }Go):L - (:


14/100

reu . vers arSUBIECTUL m (30p)

Ce.otrul.. Nati I Ministerul Educa ei Cercetarii inovarli. . ooa. pentru Curti ul .Eun u C U J D II valuare tnvitimintuiP ni it

Sp5p5p

1. Seconsidera functia i:0,+0


15/100

Ministernl Ednea ei Cercetiirii iInoviriiCentrnl National pentrn Curriculum siEvaluare in nvitlmlntul Preuniversitar

SpSpSp

5pSp


16/100

vail,Ministerul Educapei. Cercetirii y InovirUCentrul Nationa.penn Curriculum si Evaluare in nvl'itimintul Preuniversitar.

SUBIECTIlL ill(30p){e x -1. x


17/100

VDAt - .Ministerul Educatiei, Cercedrii r Inovirli.

Centrol National pentm Curriculum si Evaluare inndtimintul Preumversitar

5p a) Sa secalculeze J'(x), XE J R . " .

x1 . S e c on sid era f un ctia J: JR . -7 J R . , Jex) = \.xSUBIECTUL ill(JOp)

5p b) s a se demonstreze c a functiaj'este descrescateare pe (0,2].Sp . c) Sa se arate c! 2e..J3 ~ 3eJi .

2. Seconsidera functia f: (0,+=) -7JR, I(x) = lnx-x.i

Sp a) Sa se calcu1eze J (x- f(x) +lnx)2dx.ISp b) Sa se demonstreze ca once primitiva F a functieij este concava pe intervalu1 (1,+00).Sp c) Sa secalculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei h : [I,e] -7 IR, hex) = f(x) + x ,

ax> ~ si d r e p t e ; ~ : ; : ~ X C ) ( _ / ' , e x , (~'-.ex)~ eY X --2), )(E-iK *-rJ) a) - ! } ~3 =>Vi. 03 if) l: = = - > 3 e ~ te -=-";> :2 e. :S. 3 B .

2 _ 2 . .. 2. X 3 { L 4 ( c f _ - ( ) . _ 2 < f()_.)C c - &-f. +x : - f: u t - X . ) e lK : : : . S c t x J Z J x - = ~ ~ ; . =. " 3 ~ - '3~ .A& - } 1 - ~ (?t ='> :Fx/ /+ (1-= ~~ -K _ oo'f (' -I =." ycou-caAJ


18/100

Ministerul Educatiei. Cercetirii si lnoviriiCentrul National pentruCurriculum 5 1.Evaluate in Invitargintul Preunivenitar

SVBIECTIJL ill(30p)1. Se consider! fimcp.a f: R . 4JR., f(x) = (x + 1)2 + (x - 1)2.

5p . a) Sa se verifice eli f'(x) =4x pentru orice XE R .b) Sa se calculeze lim f(;) .

x-"-t+OO X

c) S A se detemrine mtervalele de monotonic ale functiei g: R 4R, g( x ) = 1'( x ) .f ( x )2. Se considera functia j: (0;+=) 4lit f( x) =eX + lnx.a) Stiind ca g: (0;+00)4 IR, g ( x ) = f ( x ) -lnx, sA se verifice 'fa J g ( x ) d r = g ( x ) +C, x > o.

5p

5p

5p


19/100

\/ o A gMinisterul Educatiei, Cereetaril si InovariiCentru. National pentm Curriculum si Evaluare.n InvatamantuI Pteuniversitar

, SUBIECTUL III (30p)1. S e c on sid er s f un ctia f: (0 ,+00) ~ IR , f(x) = ln2x .xa) Sa se calculeze j'(x), XE (0,+ =) .b) Sa se ealculeze lim f(x).

x--rto

5p c) Sa se demonstreze ea 0 < f (x) S _ ! _ , pentru orice x E[ F e , + = ) .2 e2. Se considera functia .r:(O,+oo)~R, .r(x)=~- 1 2 .x (x+ 1)

5p a} ss se calculeze J X ( f C X ) + 1 2 ) dx .1 (x + 1)

c J

2-BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, programa M2


20/100

Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiCentrul,National pentru Curriculum si Evaluare in invatamantul PreuniversitarI SUBIECTVL III (30p)11. Se considera functia f: [0,1] -?lR, f(x) =~ ~x+2

5p I a)Saseealculezej'(x),xE[O,l].5p I b} Sa se a ra te e life st e f unct ie c re sc at oa re pe [0;1].5p I c) Sa se dernonstreze ca l : : ; : _1~ S 2, pentru orice x E [0,1].e f(x) .'

x2. Se considers functiile f,F: lR -') lR, f(x) =s= si F(x) = Jf(t)dt .

o5p 1 a) Sa se arate ca F(x) =- f(x) +1, pentru orice x E lR.5p I b) Sa se demonstreze ca functia h : J R -7R , hex ) = F(x) - f(x) este concava pe 1 F t .

BACALAUREA T 2009-MATEMA TIeA - Proba D, MT2, programa M2


21/100

v o .uMinisterul Educatiei,.cercetarii~llnovarii

Centrul National pentru Curriculum siEvaluare in nvitintbtul Preuniversitar


22/100

vo~zMinisternl Educatiei, Cercetirii si InovariiCentrul National pentru Curriculum ,iEvaluare intnvatamintul Preuniversitar

5p5p

SUBIECTUL m (30p)1. Se considera functia f: (0,+00) - - + li, I(x) "";C -elnx.a) Sa se caleuleze j'(x), XE ( O , - t o c ) .b) Sa se ca lcu leze lim J(x) .

x~e f'ex)c) Si i se determine intecvalele de monotonie ale funcf,ieij.2 . S e c on sid era f un ctia f:[2,+00)--+ J R , fex)=_!_+_l_.x x-laj Sa se calculeze j ( f ( X ) - X ~ l r

Sp

5pSp b)Sa se araze ca orice primitivs F a functieifeste concavii pe [2;+00).5P! c) SAse determine a real, a > 2 astfel ineat aria suprafetei plane, mArginite de grafieul functiei j, axa Oxi dreptele de ecuatii x =2 si x= a s a fie egala ell In3 .I x-e X.&{q+oo)(f) C L ) !t . - X - J - = - t. - e,ucj zz :1- - z - ~ =:: ~. 0.

. & - 1 ~ ~ ~ ~ x--e&" =~ x{x-e&a) -CJiUl 'J..x-e4.1-~X--7e I - L t - i x=> x --e x-:-e x- x - ; > Api( 2 .- -e . lue -e Le -e -e -= -o- c ) JiXJ-::;"o"C-"7 X- -'::"0 - = - > X . : . . e 4 //

>( t 0 e ~il~) f - - 0 -f- -(-_"f(J-) } =s.:"


23/100

C trul .. Ministe_!_ulEducatiei,Cercetirii t_Inovirll . V 023en . National oentru Curriculum 5 i Evaluare in v i i t i . r n i tiP . .n u reumversitarI SUBIECTUL m (30p)1. Se considera funejia f: 1 f t ~ IR , f(x) =( x 2 - 2x + 1l e x .

5p a) Sa secalculeze r e x ) , XE IR.Sp b) s a se determine punctele de extrem ale functieij"


24/100

Minis1erul Educatiei, Cercetllirii si InovAriiCentmlNational Dentm Curriculumi Evaluare inlnvitihniintui Preuniversitar! SUBIECTUL ill(30p)

5p5p5p

41. Se considers functia f: (0, +00 ) ~ R., !(x) = . : : : . =In X 4a) s a se calculeze f'(x), XE ( o ,f - o a ) .b) Sa se determine punctul de extrem al funcpeif

x2 -1c) Sa se demonstreze eli l n F x s : - - . . , pentru orice x E (0, fo ) 4

5p5p

22. Fie In '" Jxn exdx j pentm nEN .Ia) Sa se calculeze 1 0 .b) Sa se arate ca II = e2 .


25/100

" " V O :LS 'Mimsterul Educati" C -----Ceatrul National pentru Curricul. . ~IE,ercetiiru"."~LInovariium 51 vaIuare in mvAti Ant

5p

5p


26/100

Miniderul Educatiei, Cercetarii y InovarnCentrul.National pentru Curriculum~iEvaluare in nvlitilllintul Preuniversitar

5p

. SUBIECTUL m(30p)1 . S e c on sid er! fu nc tia f: R -7R ,. f( x) = e x - x-I.a) s a s e c alc ule ze d er iv ata f un etie i f.b) s a se determine intervalele de monotonie ale functiei f.

2c) S11se arate eli e X + e X ~ x 2 + X + 2, p en tr u o ri ce x E . l R .2. Se considerii functiile j,g :(0,+


27/100

(f)

SUBIECTUL ill reUDlvenitar(30p)

1. Se considera functia 1:(0,+>0) 4R. f(x)= lnx.5p a) Sa se calculeze f'(x), XE ( 0; +0 0) . xSp b) Sa se determi .me intervalele de monotonie ale functiei f5p c) Sl se detenmne ecuatia asimot tei < t

2 S~..pto ei onzontale la graficul fun . .

e considera functia f'lR ~ lR 1() 1004 . ctiei f.5p ., x =x + 2009X a) Sa se determine f f ( x ) d x .

Sp b) Sil se arate di orice primitiva a functiei f .este functie crescatoare pe R.Sp c) Sa se calculeze J x .f (x 2 ) dx .a . . . . ) f I (lux)! x _lAx, ()(J I 1,)(4__' ( - A~ & t X ' . . 1/'/. - ..oJeXI - = ~ - - "'-LL0,T~ /

. -2- ..., x2 - /X X~R t - J . f ~"-I~o =;> ~-&X-=oo = -; > .!kx= I=?,(- = - e ; Ice; ~ .~ - = - Jl _ ( ; _ , [ r + ~ -f-Oo 1Z~ye (o,e]

] _ ( X / I ( ,/'7J .~ T '-~ t f ' [ e , t o j~ . 6 (c) ~ - P ( X - / - = - t : : : : : : : --& x ;; J , \ _ - f N . . ,J I J , l_ - P"II'-_? to" t-,( - --lUu. - {)uA_ -V~?-)'fOO)C ;(_~? f-PO x : ( '_ x -?too ...-(o , _ _ ) c. d J J c ~).'y::=O~-~-J < ; f - 0 0; f / - ; < . _ E j i ( _ = :: >_ J. - - . L _ ( j _ , - _ '7)~ '? r: ~c__~ I I 2 - : A

' 1 - , . r ; . ' ./0 c 2 . } 7 f waC]> c ) J X IU - '- )Jx - J x l [ - < 1 . .D ~ ~ 009 " :/_) o l ; c - - : :_ X o l J { f-D I 2. ') 2.01.0 /. I { - ( .0. - J X J I a_+ J r , : Lao ' } "_ 01-;( = +J (!-2), 200 9 1 < - dx ::::t;) 20 A 0 o 2 - 0(

z.o co .1 . 2 . . ) I I 0.- x {...(..(}09 I I I _ 1 -t 1.. Z()oS ' - : lCXJer- Q.oI0 +Q' '&-Leoo9 '0 -QoIO : z . ~1...0o'J

- : : = - , . :L T .{ 2 _ o o J ?BACALAUREAT2009-MATEMATICA-P Q.O[0 . Q . , ' JJ. -obs D, MTI, programs M2 ~ Zoo9


28/100

Ministerul Eduea "ei Ce.rcetirli i[noviiriiCentrul National peDtru Curricnlum 51Evaluare in Dvitlimintnl Prenniversitar

{I x

1. Se considera functia f : lL t -7 J R , f ( x ) = ; e -I, x : : ; ;1 "lox, x>1

5p a) SI!.se studieze continuitatea functiei f in punctul X o = I.5p b) Sa se determine ecuatia asimptotei catre -00 la graficul funetiei f.5 p c) Sa se arate ca functia f este concava pe (1 ,+ < > 0 ) .

x2 +2x+ 12 . S e c on sid ers fu nc tia .f: R -tR, f (x) , .x- + 1

SUBIECTIJL m(JOp)

5p a) Sa se determine f ( x2 +1).f (x)dx .


29/100

V 02..9Ministerul Educatiei. Cercetirii si Inovirii

Centrul National pentrn Curriculum siEvaluare inlnvitiimintul PreuniversitarSUBIECTVL illlOp)1 . S e con sid ers functia [': (0,+00) ~ R , [(x) =" x= -In x ,

Sp a) Sa se arate c! /(1)- /,(1)=1.Sp b) Sa se determine punctu1 de extrem a1functiei f.5p c) Sa s e ca lcu leze lim f(x) - xx-++- X

1 x I x2 . S e c on sid e ra i nt eg ra le le 1= J .s.: dx ~i J = J ~ dx .ox+l ox+ l

Sp a) Sa se verifiee ea 1+J = e-1.5p b) Utilizand, eventual, inegalitatea e X 2: x +1, adevarata pentru oriee x E l R ' . , sa se arate ea J 2: _ ! _ .2

e-2 I e~Sp c) Sa se demonstreze cit J=-+ 2 dx .2 0 (x+l)(f) G < ) : f L . , 0= - ((-fu1'- ,(-j 'C- X ; _ I ) XH0t-~f - (.l) - ' # ~ 1) -; t f - ~ - I - ~ I ::= J.-0-0 -:::_. . #t) -I [ X . I = = - o =-.> X -1O =- '> X ~ ~ r> 1 - C tl/ = - '- .q - I.LI "~){ (0 .( - r o o X ..:.t! fru.,ccA. o : - e ~J J - X - I l f - - ~ 0 ~~ + cJ ~r f - U < f { I ~ A . :l.-),t_lu, !-o'J-~ ~ x '_ fu;( - . c - = . - , { , ; . u - e , _ r ; ; :

x ;(_")too /\ ;t:.:-) f-oO XX - ->1--00 o~ CRLLiC) ( /J \ -1: - 0- = = = - - { . , . < . . A .U ~ L -:;.(;,.tu..l.. _ c;....-o ;-) t - t > : : > A ( ~-) - r o o 4 4

--' -1.( .( A J( ,1 J X , J< {'( e 1 0 . ; j -t ,J - = J e +x : _ e ol: - = = - -S e ({ - t X _ _ l c i x . . = e oi): = e / 0 z: -'0 J( f..( 0 AT-A0 ) . e . X,? K.+A tf k(;[O, 1] ::;_") )( e. J ( >;( (-f ~ e [ & t D =r >

" 'C.J I )( -t;{ r- J 1 1 .{ ~ '2 .!.( . I-=-) S X - e< d. ] A g _ 0 1 ' ( > r ; _ 0 -= = - > J ~ 2,

XfL Xf~000- 1c) .1_ C ~olKj.. - - - 6 X+A-.j) (x.) - = - 1-;tL e I = - - r;.~ I 2 - -+ x -e ! 'C~lJ(9 LJG( ::.. e X ; 9 ()c( ~tr ,{

BA~~AUREAT2009-MATEr\:iATlC~(prObaD,MT2.pl'OgramaMl - 1 e . ,0 l'~ o I x - - z:r = _ d _ e x I , ( - J _.J_ eK o L x - = = ~ - - - + (;(+ I ) 2 . . -. ; . . . , A . fl 0 r x -rl) 2 . . - Q . . .. A 0 \:o x: ,{-\"_ 3 . . - f ( e -2_ J e - d- ~.-,( f"J _g__ z, c f _ K - ~ 2_ + - C +1) e:

:'L o ~f 1) 0 x


30/100

VO 30Ministerul Educatiei, Cercetiirii i Inovarii

Centnil National DentroCurriculum siEvaluarc ininvatimintul PnuniversitarI SUBIECTUL m (30p)1.S e e on sid era f un ctia f :R . ---? lR . f ( x ) = x 2 + e X .

5 p a) Sl i se ca leu leze lim f (x) - J (0) .X-l>O X

5 p b) Sa se arate caefun ctiaj'este con vex a p e lR .5p c) Sa.serezolve in mulpmea numerelor reale ecuatia j '(x)- j" (x) + j(x) = eX -3.

12. Pentru orice numar natural n se considera In = f X { l + xr dx .

oSp a) Sli se calculeze 1 L 5 p b) U tilizand fat> tul cae (1 + x ) " : ; (1 + X t+l , p en ttu o ric e 11E N si x E [ 0 ,1 ], s 1\ se a ra te c a

'2009 :? : 1008.Sp c) Folosind, eventual, identitatea x{l + x) " = (1 +x),,+l -( 1 + xr,adeva ra ti i p en tr u o ri ce nEN ~i

I'k. t-1f U _ Z - -t-{( t l A . . +1) ( fk +2.)


31/100

Minis te ru l Educ at ie i, C er ce ta riiy I no viir iiC en tr ul N at io na l p en tr u Cur ric ulum s l Eva lu ar e in n va tlim ft ntu l P re uD lv er sita rV031

SUBIECTUL m(JOp)1. Se considers functia f. : (0,+ O Q ) ~ R, f ( x) = x2ln x ,

Sp a) Sa se arate eli r (x) =x(2ln x +1), oricare ar fi XE (0, + D O ) ,5p b) S A se calculeze lim ['ex) ,

x-+t"" xlnx5p c) Sa se demonstreze ca f ( x ) ; ; . : _ . . . . ! : _ , pentru orice x > 0,

2e2. S e c on sid ers fu nc tia f: IR ~ J R , f (x) = xex ,


32/100

V03ZMinisterul Educatiei. Cercetarii r InoviirU

Centro INational pentru Curriculum si Evaluare in. nvitiimlintul Preuoiversitar

Sp

5pSp

SUBIECTVL ill(30p)1 . S e c on sid er s fu nc tia f: lR ~ lR , f (x ) = x - _ ! _ .e Xa) Sa se calculeze f (0 ) + F ' (0) ..

j(x)+ f'(x}b) Sa se calculeze lim . .x-t= Xc) Sa se arate cd functia J esteconcava pe J R : .

2. Se considera functiile J, g :[0,1] ~ J R , I(x) = l-x, g(x) = 1- x+ x2 - xl+...+ x2008 _ x2 009 ..a) Sa se determine multimea primitivelor functieijb) s a se determine volumul corpului obtinut prin rotatia injurul axei at, a graficului funetiei f .5pSp

BACALAUREAT 2009-MATEMATJCA - Proba D,MT2, programa M2


33/100

V033MinisterulEduca 'ei Cercetirii i Inovarii

Centrul National pentm Curriculum siEva.uare in nvitAmllntu. Preuniversitar

5p

SUBIECTUL ill(30p)1 . S e c on sid era f un ctia f:[O,+oo),R, j(x)=l- 2ex .x+ex

5p5p

j 2 ex(1-x) .a) S a se v er if ic e c a f ( x ) = . i' p en tr u o ric e XE [0.,+ 0 0 ) .(x+ex)

b) Sase determine ecuatia asimptotei orizontale catre +00 la graficul functiei f .c)Sa se arate c a -1:5f(x)5' l-e, orioare arfi x~O .l+e: I n2. P en tru o ric e n um ar n atu ra ] n en ul n se conside r a, In = S " ' : : _ _ t J x .ox+Ia) Sasecaleuleze I] .b)Sas e a ra te ca I n+! +In =_1_, o ric are a r fi liE N~.n+l

n nC) Ut il izand, eventual , i nega li ta tea ' : : " ' : : ; ; " ' : : _ _ : s : x" , a de va ra ta p en tr u o ric e XE [0 , I] ~i n E N* , s a se2 x+l

5p5p

5p


34/100

Vo3C ,Ministerul Educa iei Cel'cetiirii i Inoviirii

CentrulNational Denim Curriculum si Evaluan in viUlmilntul Pl'eunivel'Sital'SUBmCTUL III (30p)1.S e c on sid ers f un etia f: R -4lR I( x ) " " (x2 + 2 x + 3 ) e.t .

5 p a) SA se calculeze r ( x ) , X E lR .Sp b) SA se determine lim f(x) - 1(0)

.t~O X5p c) SA se d emons tr ez e e li f un ctia f' e ste c re sc ato are p e R. .

2 . S e c on sid era f un ctiile f g. (0 + 0 0 ) ~ R . I( ) 2 . . , . _ . , x "" X +xlnx ~l g(x)=2x+lnx+l.Sp a) Sa se arate ca f este 0 primitiva a functiei g.Sp

eb) Sa se ca lcu leze J f ( x ) g ( x ) a x .

1c) Sli se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul fun tiei f Of " 1 ; 1. .. c, e r ,axa x l dreptele deecuatu x= 1 x=e.

5p


35/100

Ministe.-ulEduea jei Cercetirii iJnoviriiCentrpl National pentmCnr.riculum siEvaluare in ndtimAntul Preuniversitar

SUBIECTVL m(30p)1. S e c on sid er a fu nc tie f: (0 , + ce ) , J R , f (x) = xJX - 3x ,

Sp a) sa se verifice el l f'(x) = 3~ - 6, pen tru o rice XE (O;+oc).5p b) s a se determine intervale Ie de monotonic al e functiei f,Sp c) Sit e demonstreze eli -4s'f(x) + /( x 2 ) sn, pentru orice xe (0;1J.

2. Se considers functiile I,F : R., J R , j ( x ) = e X + 3x 2 +2 ~i F (x)= ~ + x3 +2x-l,Sp a) Sa se arate c1!.unctia F este 0 primitiva a functiei f.ISp b) S1\se ca lcu le ze J f (x) F ( x) dx .

oSp

. f r J

BACALAUREAT 2009~MATEMATICA ~Froba D,MTl, programa Ml


36/100

) /03GMinlsterul Educa "ei Cerceti.rii InovArli

Centrol National pentru Curriculum 51Evaluare in nvitamintnl PreuniversitarSUBIECTVL ill(30p)1 . S e c on sid era fu nc pa f: lR ~ R, f( x ) = ( x 2 - 3 x - 3 ) e x"

5p a) Si\ se calculeze r (x), x E R .5p b) Sa s e d ete rm in e e cu atia a simp to te i o riz on ta le s pr e -oa la g ra fi eu l f une ti ei f "5p c) Sii se arate ell tangenta la graficul functiei j, dusa inpunetul de coordonate (-2,f{-2)), este

paralelii ell axa Ox .{X+ 2 , x< O2 . S e c on sid era f un ctia f: lR ~ R. datA prin f ( x ) = e > t " +1,. x ~ O

5p a) Sa se arate e a funcpa f admite primitive pe R. .

c)

o oBACALAUREAT 2009MATEMA TICA Prnba D,MT1, programa M2

" 2 - / I 2 . / , 1: : . i _ S " (e X J ~ + -J Koix:: : : j _ e" 0 +o o


37/100

Ministerul Educatiei,. Cercetarii !I i InovariiCentru' National pentruCurricuIum si Evaluare in iuvatamantul.Preuniversitar

I SUBIECTUL III (30p)I

x-~x1.Se considers functia .f: [1,+ cc) ~ l P I . , .f (x) x+In x5p 1 a) Sa se calculeze ~~.f (x) .

, 2(lnx-l)5p b) Sa se arate ca f (x ) = " ' oricare ar fi XE: fl,+ o o ) .(x+lnx t

c) Sa se determine ecuatia asimptotei catre += la graficul functiei g: [1,+ oo ) ~ J R , g ( x ) f'(x). 2 .(J(x)+l)5p

!2.seconsiderafunctiile f,g:lR~lPI. , f(x)=ln(x2+1) si g(x}= ;x .x +15p5p I5p

() 0 _ )t)' C ' )

1a) Sa se verifice ca f f' (x )dx = In2 .

ob) Sa se demonstreze ca fg (x)dx= j(x)+ C.


38/100

MinisterulEducatiei; Cercetarii si InovariiCentru. National pentru Curriculum si Evaluare in Invatamantul PreuniversitarSUBIECTUL III (30p)

21. Se considers functia f: lR - - -+ IR, f ( x ) = x 2 -1.x +1Sp a) Sa se arate ca I' (x) 4x, oricare ar fi x E R 0( x 2 +1 f5p I b) Sii se determine intervalele de monotonie ale functiei f 05p c) Stiind ca g: jR * - - -+ J R , g( x ) : = o f( x) + f ( ~ ) , sa se determine

. g ( x) + g ( x2) + g ( x3) + o . 0 + g ( x2009) +x2010lim 2009x~ o X

e22. Se considers In = f x Inn x dx , pentru orice n E N o

e

BACALAURE.T 20.09-MATEMAII.CA-PrObaD.MTl.pr~yama M2: f - [ ) - oX f f l,lt f) t 1A . - /( : J = ~ X ,. .. (x:; __ v:__.-{-u. x .)', )(,L

q lX) -:::.-.r: } 2 . _


39/100

V 039Ministerul Educatiei, cercetariiy InoviiriiCentrol National pentru Curriculum si Evaluare in nvatiimAntul Preuniversltar

SUBIECTUL III (JOp)1. Se considera functia .f: (o.+ 0 0 ) ~ R. , f(x) = lnx- x+ 1.

5p a) Sa se calculeze f'(x), XE (0;+00).5p b) Sa se determine punctul de extrem a1 functiei .f .5p c) Sa se arate cii 2-e~ [ (2 ):S :; O .

{x-I, x~l2. Se considera functia f: IR---)J R , f ( x ) = .-x+l, x


40/100

CentrulNaUonal p::':~~d~,"!I~I.ercetal'ii IIInoviti! t I . 0 I t 0urricnlum SIEvaJuare inIn a W ~SUBIECTVL ill(30p) - v !l'maojul Preunlversltar1. Se considers functia f; (0,+"") -? lIt, f ( x ) = x 2 - _ 1 2 .

SPa) Sa se calculeze f' ( x ) ,pentru x E (0 + . . . , ) x~. ~SI' ' .se determine eeuatia tangentei Ja graficul fun .. A .S.p ,. ctiei f in punctul A(l'O)

c) Sa secalculeze lim f(x) , ...

5p2. Se considera functiile f F' (0 ) I . ,+00 ~R. f(x)- l .- --~ , F (x)- Ia) S a se arate c a functia Fest ... , x - x-n x .2 . e 0 primitiva a functiei f,b) S4 se calculese JF (x), j(x) dx .Ic} Sa se determine aria suprafetei 1 .ecuatii x =1 si x = e f* ' p ane cupnnse intre grafieul functiei F . Ox '. l . , axa ~l dreptele de

.p r , / ~ .c 1. - A ~ 2 ) 1 . . _< " : < 1 - : ; . iX _ . .. t: 2 . . x +~ := - ! L x . o f " . e - f lK _ ~ 2 ,";( : - (0 ~JX c , ,~/3 -- 3 I t /{ ~ ~

' : J - - J 0~ f c ,,- ,J (;C -,,-./ /' X , " O - I ; ~ . ~0/' I~/_"-J -O - = - 7[K-J) r ~X - 7 -: 'r =v-~ k~ ( J L ! - : : - e , . ' u . , lx ~ < - ; ~ ;(_(2_f- ; A J - tX,-7t"OO ".... X-)f-Oo X - r X - )


41/100

MlnistentiEducatiei, Cercetirii si InoviiriiCentru' National pentrtl Curriculum si Evaluare inlnvalantintul PreuniversitarSUBIECTUL ill(JOp)1. Fie funetia J : ( 1 ,+ "" ') ~ R. , /(x) = 2 x- l .x-I

5p a) s a se calculezeJ'(x), XE (1;+00)Sp b) She verifies cli lim /(x}- /(2) =-1 .

. > : - - > 2 x-2Sp c) Sase arate ell functia f este descrescatoare pe intervalul (1,+ 0 0 ) .

2.Seconsiderafunctiile /,g:(O,+oo)-dt, ! ( x )= l+Fx ~i g (x )=L 1nx.x 4

5p4

a) S a se arate c a J!(x)dr=ln4+2.1

4 .b) Sa se verifice di I g(x)dx= In4-~.

1 4

I5p

a)


42/100

MinisteruJEduca 'ei Cercetarii iInovariiCentrul National DentroCurriculum siEvaluarein vitimllntul Preuniversitar

, SUBIECTVL ill(lOp)I, Se considera functia f: lR --?1R , f (x ) =: x10 10 + 20 lOx.

5p a) SA se determine f' (x), XE R . .5p b) Sii se demonstreze e1\ functia f este eonvexii pe lR.5p c) Sa S6 ealculeze lim f'(x)- 1'(0) .~-.(I x

2 . S e c on sid era fu ne tiile J, g :(0 , + < > Q ) - ) II 0 ' f ( x ) " " ' ( 1 ) ~ig ( x ) = 1 . .X x2 +1 x

5pe

a) Sa se verifice eli Jg( x ) dx = 1.I

5p

eb) Fo los ind identitatea f ( x ) =g( x ) - -i-, adev [r atA p en tr u o ric e x > 0 , sa se calcu leze J f ( x ) dx .x +1 Ic) Utilizand inegalitatea f ( x ): :; ; ~ , adeviratii pentru arlee x E [I, e ] , sa se arate eli 10 e 2 + 1;;::e +1 .2 x 2 e

. f J r 2 .009 . .( IJ 2 . . .0 , f 0 ,....~?t" c ct z: 2_o co x : '1 - 2.01.0 ..u.t. I x : ~ C1/ 2. a


43/100

V043Mlnlsterul Educapei. cercetarii, Inovarii

Centrol National pentru Curriculum 51Evaluare in DviitAmftntul Preuniversitar

Sp

21 . S ec on sid er a f un ctia f :R - R. f(x)""" \ - x+ l .x +x+la) Sa se determine ecuatia asimptotei catre --00 la graficul functiei f.

2 ( x 2 _ 1 )b) Sa se arate c1\ f'( x) = 2 > pentru orice XE lR .( x 2 +x+l)c) Sa se demonstreze ca oricare ar fi XE lR avem } s : f( X 4 ) + r( x2 ) : 5 : 2.

2 . S e c on sid er a f un etia f :o, + < X I ) --t J R , f ( x ) =: X - . . ! . .x

SUBlECTVL ill(30p)5p

5p

5p ea) Sa se calculeze J f ( x ) dx .1

b) Sa se arate cil orice primi.tiva a functiei J este convex! pe intervalul (0,+ < > 0 ) p


44/100

v a 4 1Minis te r"1 Educat ie i. Cercet li ri i si InoviiriiCentru l Nat ional pentruCurricu lum 5 i EvaJuare inlnvatami in tu l Pr eU iuve rs it ar

. SUlJIECTUL ill(30p)1.Se con si de ra f un cti a I: R -+ lR , f(x) =x2 +e".

5p a) Sa se verifice ca . r (0) = 1.5p b) Sa. s e a ra te e ll f un cti a f este coavex a p e R ..5pc) Sa se ca lcu leze Jim I'(x).

X-H-" eX

2. Se c on si de r! f un ct ia I: J R ~ 1R , f (x ) = e X - x .I . 3a) S a se verifice cll J f ( x ) d x =e - - .o 25p


45/100

Ministerul Educatiei, Cercetirii si InoviriiCentro. National pentru Curriculum~i Evaluare in invitamintul Preuniversitar

SUBIECTVL ill(JOp)1. Se considers functiile f, g:lR -7lR, j(x)= (x-l)eX ~i g(x)=xex.

5p a) S A se verifice cA f' (x) = g(x) pentru orice x E IR .5p b) Sa se determine ecuatia asimptotei spre --00 la graficul functiei g.5p c) D aca Ie IR este un interval, s A s e demons tr eze el l , funcjia g e ste c re sc ato are p e I dadi ~inumai

daca funcpa / este convexa pe I.2 . S e c on sid era f un ctiile j, g : { I , + < > o ) -7 R. , f(x)=lnx ~i g{x)= l-~x.x x

5p a) Sa s e a ra te e li f un cti a f este 0primitiva a func ti ei g.e

5p b) She calculeze J /(x) g (x)dx.1

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D,MT2, programa M2

~ /t- . -a__= + 2 "/1 tt -;;.._ = - / /'


46/100

v o ~ cMini st er ol Educapei . C e rc et al "ii s i Inova ri iCeatrul National pntruCurricuium ~iEvaluare in i n v a f a m i n t u l Preuniversitar

SUBIECTUL ill(30p)1. S e c on sid era f un ctia )" : ( 0;+ 00 ) - - + R, J( x) = { xl. - x + 1, XE (0 ; 1 ) I+Inx, x~l

Sp a) Sl i se studieze continuitatea functiei J in punctul X u =1.Sp b) Sa se calculeze lim Ix ) .Sp c) Sa se arate c3 I ( X ) ? ; ~ , pentru mice z >O.4

LSe considera functiile Ls: (1,+ 0 0 ) - -+ lR. j(x) =x2 + ~ ~i g(x) = x l nx.X

2 7a) Sa se verifies ca fj(x}dx =2ln2 +-.I 32 3b)S1!.searatedi Jg(x )dx=2 ln2 - - .I 4

.Sp

5p


47/100

Ministerul Educatiei, Cercetirii ~ Inoviil"iiCentru} National oentm Curriculum 81Evaluare in nvatimantul Preuniversitar

5pSp

SUBIECTVL ill(3Up)1. Se considers functia j": [1.+".,) - - + lR J (x) :: : x - 2In x .a) SA s e ca lcu leze J' (x ), X E {I ; +" ., )

2010 1b) Sa se demonstreze ca 10--- -:s;- .2009 2SP. c) Folosind faptul cil 1::;x::; x2 ::;2, oricare ar fi XE [1 . f 2 ] , sa se demonstreze inegalitatea

x 2 - x : : : ; ; 2Inx ,pentru orice x E [ 1 , . f 2 ] . .3 n

2. Pentru fiecare nE N se considera J11 = J - T - - dx,2x -1

5 .p I 3a) Siise arate di fo =-10-.2 25 p5 p

b) Sa s e ea lcu leze II.

0 - )?)


48/100

Ministerul Edues 'ei Cercetirii iInovariiCentro) National pentro Curriculum si Evaluare mnvatamantul PteuniversitarSUBIECTUL In (30p)1 . S e c on sid er a f un ctia f ;0, + c o ) --7 R., f ( x ) ~ . ! . ~ _!_ .x x+l

5p a) Sa se arste ca f'(x)~ I 2 - 12 ,pentruorice x>O .(x + 1 ) X5p b) Sa se dernonsrreze ca ~ - r _ _ I 2 ! : f ( x ) , oricare ar fi XE ( l ; + < > < ." X "x+l5p c) S A se calculeze x~~ ( X f ( x ) f ( ~ ) ) -

J3 1 ~2 . S e c on sid ers 1 /1 ::: J ( 2 ) dx , unde n E N .1 x" X +1) ss if W 1 I - J 3 -15p a a se ver Ic e c a 0 + 2 = J3 .

Sp b) Utilizilnd identitatea (1 ) = . . ! . - -i- adevarata pentru orice x 'F 0 sa se determine 11 .x x2 +1 x x + 1


49/100

Ministerul Educatiei. Cercetirily InoviiriiCentrol N ationalpentru Curriculum si EvaJoare in DvatiimiintulPreuniversitar

Sp

SUBIECTUL illPOp)1.S e c on sid ers f un ctia 1:(0,+ ""')--t 1R , I(x) =(x- 2)lnx.a) Sa s e c al cu le ze f' (x), X E (0 , OCI )b) Sa se ca leu leze lim f(x)- /(1) .

: 0 :- -4 [ x-1c) Sa se arate c a fu nctia f' este crescatoare pe (0, + cc ) 2. Seconsidera functiile I, g: (0,+ O Q ) --t R, f(x) =F x + lnx ~i g(x) =F x + 2 .2 x

SpSpSp

a) Sii se a ra te c ! 'if unc ti a 1 este 0prim itiva a functiei g .Sp

4b) Sa se calculeze J/(x). g (x)dx .

1

BACALAUREAT 2009~MATEMATlCA~Proba D, MTl. programa M2


50/100

Va S-oMinisterul Educatiei. Cercetitrii f;_Iliovariieentrul. National pentrD Curriculum si Evaluarein ..viitimintul Preuruversitar

SUBIECTUL III (JOp)

{l+Fx, x;; : :O1.S e c on sid er s f un ctia f: lR . -?R , f (x ) = = e " , x


51/100

.Ministerul Educatiei, Cercetiirii \ i InovariiCentru. National pentru CUrriculum si Evaluare in?vitimintul Preunivenitar

5p5 p

SUBIECTUL III (30p){2 X + 3 , x$; 11 . S e c on sid er a fu ne tia f: IR--7lR., f (x) "" .lnx,x>l

a) S a s e s tud ie ze cont inu it at ea f une ti ei f in punctul X o " " 1 .b) Sll se ca lcu leze lim f ( x ) .

5p32 . S e c on sid ers f un ctiile f ,F : lit - -7lR. , f(x) = e"~+ xl + 2 x si F(x} =~ +~+ x2 +1.3

a) Sa se arate ell functia F este 0 primitiva a functiei fp5p5p

Ib) Sa s e ca lcu leze J f( x ) dx .

oc) Sa s e c alc ule ze a ria s up ra fe te i p la ne marginite de grafieul functiei h : [ 0, I ] --7 I R ,

f(x) - x2 - 2 xIt ( x) = , sxa Ox ~idreptele de ecuatii x.= 0 ~i x'"" 1.eX + 1c.: . - P e x . ) = - c.: (2,( - - 3 .) -= J _ .+3 -=:.- s - } _ > ~')/_,.!'''p Ii--7{ + x. ._->/ -?~;-~ ,if (X I -=)1 - ~x< ..( x : -c: ..( /: A-> ;I

~ +CX j-:= . -&;..u._ l__~ J L ) = fu,( ~t) ~ ~ ;;_,_ ~ - = . J"x-:~ ~>'j I ~ C ) I 1~b= - ~ UcK ~ ~ 1 - U ; ~ e u : u . K = 0x K..-")f-CO )( j(_-)T= X )C-)"i-r;,>a A'2.003X

c)3e-f1;)


52/100

vos~ ? 7Min is te ru l Educa ti ei . C e rc et ar ii \ i; Inova ri i

C en tro . N atio na l D en tm Curricu lum si E va lu are in vAtimintul Preunivers itarSUBIECTUL ill(30p)

{ax-6,X


53/100

Ministerul Educatiei, Cercetirii si InovilriiCentruJ National oentru Curriculum si Evaluare in invitamantuJ PreunivenitarV053

SUBIECTUL ill(30p)3x2 -2x-15p 1. a) Sa se calculeze lim 2 .. ..x."l 3r - 4x +1

5p b) Sa se determine intervalele de convexitate , i intervalele de concavitate ale functiei f: IR ~ IR ,j(x)=x4 -6x2 +18x+12.

5p c) Seconsiders functia g :(0,+=)~ l R . g ( x ) = ( x 2 -1) Inx . She demonstreze e a g ( x ) ~ 0, oricarear fi XE (0;+00).

{X+l' x


54/100

---inisterul Educatiei. CercetarH si InoviiruCentru. National peniru Curriculum si Evaluare 'inlnviiUi.mantul Preuniversitar

SUBIECTUL ill(30p)2l.Seconsidemfunctiile f,g :lR~ lR_, f(x)= X -I ~i g(x)=X-I .x2+! eX

Sp ) S if I' g (x )- g (2 ) 0a A se ven Ice cit rm ="'-t2 x-25p b) Sit se determine coordonatele punctului de extrem al functieij"5p c) She demonstreze ea g (x) - f(x) :s ; 1+~, oricare at fi x E lR .e

2. Se considera functiile J,g :[ O;+ -)-7 R. ,/(x)= _ l_ ~j g(x)=l+...2_.x+1 x2+11

5p a) S a se ve ri fi ce ea f J(x)dx =102. ,o

15p b) S a se calculeze fg(x}dx.

o5p c) Sa searate di exista X o e (0;1) astfel incftt f( X o )


55/100

Ministerul Educa iei Cercetarii IInoviiriiCentrol National pentru Curriculum siEvaluare in viidmintul Preuniversitar

SUBIECTUL ill(JOp)1 . S e c on sid era fu nc tia f: R . --7Ii, ( x ) " " {3'" +1, x S; 1.ax+2, x >I

5p a) SAse determine valoarea parametrului real a astfel incat functia f sa fie continua. inpunctul X o "" 1 .5p b) Sa s e d ete rm in e e cu atia asimptotei orizontale eatre - la graficul functiei f.5p c)Sasecalculeze lim ( ( 1 ( x ) - I ) . x ) ._

2 . S e c on sid era fu nc tia F : [0 , +00 ) --7 IR , F ( x ) = _1_. __ 1_. .x+l x+25p a) Sa se determine functia f :0, - t o o ) --7 R astfel meat functia F s A fie 0 primitiva pentru functia fSp b) Sa se demonst reze ca. functie F este descrescatoare pe [0, +00 ) .

111Sp c) Sa se demonstreze eli -$F(x) dx'5.-.6 0 2_j) e~ .o:; ~ /I =v> ~T ,X--? I

)l!.--c:_)

f (Jcl ~ ~ :/0:.1 - = l ( t I / =?x->/X>A'

(f) a _ ) F-(T~ 1~t_ X Z~ cr.~ - i f +x .~ 2 . .x+ . (

c] ~(0) = ,{- 1=- 1.. ~( ,f ) - : = . - j _'1... . / 2. < - I 2-o 1 u J . . 6 - ) -= > ':F (0) > +(J t ) ; > 'j:(A j

414~J i oll( = = J ~(X)dx ~ J ~.l x : =->o D 0

J _ 1 . . .2 ; - 6

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, programa M2


56/100

v 0 S - GMillisteru) Edueatiei, Cercetarii inovarii

Centru) National pentru Curriculum 5 i Evaluate in nvitimAntul Preuniversitar

SpSp

SUBIECTUL ill(30p)1 . S e c on sid era fu nc tia f: lR ~ lit, I( x ) = e X - x -I ,a) Sa se calculeze f'ex), XE lR '

. I ' ( x )b ) S1 is e c alc ule ze lim ~( ).lH+oo 1 x

c) S a se a rate c1 i e ,hOO9 +.)2010 s e,j2010 + J2 009 .p3

2. Se considers functiile f, g: [O,+-) ~ IR , I ( x } = _ _ : : _ ~i g ( x ) = J " ( x ) .x+l2

Sp a) S6 se calcu1eze f ( x + l)f(x) dx .oI

Sp b) Sa se calculeze f g(x) dx .o

5p c) Sa se determine primitiva functiei g a carei asimptota spre 4> este dreapta de ecuatie y = 2x.( ( >( ,/:;;:'c D 0 . . ) 4 o.{ - : - ( e . -e(_,-=-O - = - > -K= . - t=>X~O j f _ { o ) : : : . . . 0f ~C-a-~ ro { + -= ) ~ )

=-) f ! - Ctc)OS) =::-f{2-0) '0) --=.>oo +-~o


57/100

V 05~Ministerul Educatiei, Cercetirii j;Inovirii

Centru) National pentru Curriculum siEyaluare in viltimiotul PreunivenitarSUBIECTUL m(30p)1.S e c on sid ers fu nc tia f: IR -+ J R , f () = e X - e x - 1.

Sp a) Sa se ca lcu leze f '(x}, XE IR.Sp b) Sil.se arate di functia f este convexa pe IR.5 p c) S a se determine c oo rd on ate le p un ctu lu i d e in te rs ec tie d in tr e tangenta la graficul functiei f in punctul

0(0 ,0) i dreapta de ecuatie x = 1.{2, x:S;O1.Seconsidedfuncpa f:R--+R, f(x)= I .x+ "x, x>O

Sp a) Sil.se arate cAfuncpa f admite primitive pe R .ISp b) Sa se ca lcu leze J j(x) fix.

- L

~)

I,


58/100

Ministerul Educatiei. CercetArii 5 i InovAriiCentrul National pentru Curriculum sl Evaluarein lnvitimAntul Preuniversitar

. SUBlECTVL ill(30p)1.Se considera functia f :0,+00) --t lR ,f ( x ) " " x -in~.

Sp a} She calculeze j'(x), XE (0,+00) .Sp b) SAse determine intervalele de monotonie ale fuactiei f.5p c) Sli se demonstreze eli . J X ~ 1+ In. J x , oricare arfx E(0, +00) .

,tJ { t 2 +t+l) dt5 p 2 . a} s a secalculeze l im . .! ! . . ,o-- ~

,t-++oo ;c3 +1b ) S e c on sid era fu nctia f: (0 , + ""')--) J R , f( x ) : : o : ~ . S1ise determine primitiva F: (0, + D O ) --t lR axSp .functiei f, care verifica relatia F(I) = O.

5p c) Sa se determine numarul real pozitiv a stiind ca volumul corpului obtinut prin rotatia injurul axei Ox,a graficului functiei f: [0,1] -4 lR, f (x) ::0: ax 2 este ega! ell 5a.

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D,MTI, programs M2- - 2 . . . L! ! - E = - ~ ~ =) .Gt ~ZS - = = - - ' ) .a - = - s - >0b


59/100

v c J S - ! 3Ministerul Educatiei, Cercet3rii~i Inovarii

Centru) National pentru Curriculum siEvaluate inInvitimantul Preuniversitar

5p a) Sa se ca lcu leze f'(x), x Ii\I} .f(x)- 1(-1)

b) She calculeze lim .. x-)o -I X + Ic) Sa se determine asimptota orizontala catre +00 la graficul functiei I.

SUBIECTUL ill(30p)L Se considera fuactia [ : R . \ { I } ~ I R . , i( x ) = x + 1 .x-I

5pSp

Ia ) S ll.se veri fi ce e ll . f e - ' < fi ( x ) d x = . ! . .(j 2

b) Sa se calculeze 11.c ) S a se de mo nstreze ell. I" +n I , , _1 =e, oricare at fi nE N , n ~ 2.

I. 2 . P en tru o rice n um ar n atural ne nu l n se consider s I " : [ 0, 1] ~ l R . , i" ( x ) = x " e '< si I" = J I " ( x ) dx .

o5pS pSp

~ - J

/ '.,~

,L ; f A t(\.L j_ ~tU ---.(


60/100

V060Ministerol Educatiei, Cercetiirii si Inoviirii

Centrol National pentru Curriculum si Evaluare in tnv.iUAmftntul PreuniversitarSUBIECTUL ill(30p)

5p l)S di .. f .. IT I l > IDJ .() {-X+l,X


61/100

c)

MinisterulEducatiei, CerceHiril si InovariiCentrul National pentru Curriculum si Evaluardn Invatamantul Preuniversitar

I SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia 1:lit ~ lit ,f ( x ) = 2X - x In 2 .5p a) Sa se calculeze j'(x), XE lR.5p b) Sa se calculeze lim j(x)- 1(3).

x-c>3 x-35p I c) Sa se determine punctul de extrem al functiei 1.5p I 2. a) Sa se determine primitiveie functiei 1:lit ~ lR ,j ( x ) = e X .5p b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei

g :[l,e ]--fJR ;, g (x)""~ l : x .5p 3 1c) Sa se calculeze f ( ) dx.

1 x x+2i ~ . ; c . J - = - t'l\ 1u:L --&_ .~ - ( ) ( / _ / ( _ 2 ) .~ if ~?) = - - 2 ? -& < - 2 ~ / t . . _ 2 _ - : : : ~e.z2x-~

)( I ,00 0 '{-oo i l L ! I 0 +il)G( ( ~ A /'7~.M . . . f

,;(~0 s = : J - t e (iA.M.A,~C

J + (k{c1~! t f a r f (CQ )( JE . _ .

~i/{ - - t u x o / _ , x : _ ~ .J x ..A

X (Xt-2) x (y+~)


62/100

V062Ministeru} Educatiei, Cercetarii si Inovarii

Centm) National pentm Curriculum si Evruuare in invatamantul PreuniversitarI SUBIECTUL H I (30p)11. Se considera functia J: l E t \ { 3} ~ 1R, J (x )= x + 1 .x- 3

5p I a) Sa se calculeze J'(x),xElEt\{3}.5p I b) Sa se calculeze lim J(x) - J( 4) .

x~4 x-45p I c) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale catre +00 la graficul functieij",12. Se considers functia J: [0, + " " ) ~ 1R, J ( x ) =_1_ .x+l

15p a) Sa se calculeze Jf(x)dx.

oSp b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurulaxei Ox, a graficului functiei h: [0,2] ~ f & ' ,

h(x) = J(x).

0.__{ - fot)( ~. J . _ _ j _ _ _ olf'a. f-4

Q_


63/100

V063. Ministerul Educatiei, Cercetarii si Inovarii

i, Centrul National pentm Curriculum si Evaluare in Inviitiimantul PreuniversitarI SmUECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia f :[1, + 0 0 ) ~ lR , f(x) = ex+ X : l .

5p I a) Sa secalculeze !'(x),xE[l,+,;,,) .5p I b) Sa se studieze monotonia functiei f pe [1, + 00) 5p I c) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul A (I,e) .

. ' {X+5, x


64/100

_ . Ministerul Educatiei. Cercetarii si Inovarii...'Centro) National pentm Curriculum si Evaluare in invatamantul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p)1. Se considera functiile f,h :[O ,+= )~ lR.,/(x)= ~ ~i h(x)=f2(x).x2 +1

5p a) Sa se verifice ca h' (x ) = 2x 2' oricare ar fi x ; : : : 0 .(x2+1) .

5p I b) Sa se determine ecuatia asimptotei catre += la graficul functiei f .5p c) Sa se demonstreze e a functia h este crescatoare pe intervalul [0; +00 )

12. Se considera functia f: [0,+=)~ Ilt ,f (x ) =_1_ - _1_ +l.x+l x+3

1 22 ' 7 75p a) Sa se arate ca f(x+ l)(x+ 2 )f(x)dx= -. .o 3

-U~ 2X - 2 x? -CXC +1) 2.-


65/100

Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiCentrulNational pentru Curriculum si Evaluare in invatamantul PreuniversitarSUBIECTUL III (30p)1. Se considera functia f: J R ~ J R , f ( x ) =~ .1+ x2

5p a) Sa se calculeze f' (x), X E llR.5p b) Sa se determine punctele de extrem ale functiei f.Sp c) Sa se demonstreze ca f ( x ) +f ( x 3) ~ -2, pentru orice XE lR .2. Se considera functia t.R~ J R , f ( ) = x + 2 .

15p a) Sa se calculeze J j(x) dx .o15p b) Sa se calculeze f e X f ( x ) dx .o5p I c) Sa se determine numarul real p astfel incat volumul corpului obtinut prin rotatia inj~l axei Ox, a

graficului functiei h: [0,1] ~ lR, h ( x ) =f ( p x ) , pentru orice x E [0, 1] s a fie minim.f:{l to ) . . J ( . . _ j_((-OCL)-;(x,2X _ ; Z+~K2_4 :x2_~ -;Z>C(f~-', s ~ ~lV C JC j _ . _ . ~ . X G{rf_-fXL)Z. ( , l+x?.J2- C ~ + X J 2 jP ) . . c . . z _ . - K --14' f-(4)~1- v L - ~ ~K{ -:::-0 = - : : > ~ CX -,I) -::-0 -= / X -l ~ 0 -;> ((2. - - / !-J-/.) -:::.(_ r I , . 00 - 1 ~. "I''''' ~r1;_)) ( J > L I A u . _ f o k aw . : ' l < i . " "t C X : J I . _ . 0 + V 0(;(.;()--:' ole f\.,0LOXU..L(

~()L) I 0 . ':J ~ i(/ f/{ ~ ~ 0~. .'J...U_QJ( e. < I ) /l

j: 'L jJ ... _ ~ Ji (X I -;::0 . f J . c t ~ --1 { j- x _ E - K (06..~{& )

. 0 . . . . - . ,{ / I . . .< . .A - ~ ~J _ + ) 'r '3 ) 3 'S>X-/-Cra . Y:_-)T= J : c . ' f . . ) ~ - , . ( J rix G1',, 1 , ~ .~_I -------rr> j - J) L X : - J f iex?) ~ -"l-'{ -c -1../ ( / - x : _ ( ; . , /


66/100

. . Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiCentro} National pentru Curriculum si Evaluare in iuvatamantul Preuniversitar

V066I SUBIECTUL III (30p)

{2X+3 x>O

1. Se considera functia f:ffi .~ ~ , f(x)= X+~.' - .x+-, x


67/100

Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiCentrulNational pentm Curriculum si Evaluare in Invatl'imantul Preuniversitar

Sp

SUBIECTVL III (30p)1. Se considera functiile f ,g : f f i . ~ f f i . , f (x ) =x3 ~ 3x 2 + 4 si g (x ) = x3 - 5x 2 + 8x - 4.a) Sa se caleuleze f'(x) - g'(x), XE J R : : .

f(x)b) Sa se calculeze lim ~( ).X--72 g X

c) Sa se demonstreze eli f(x ) 2 ': 0, oricare ar fi x E (0, + co).2. Se considers functiile f, F : (0, cc ) ~ J R , j (x ) = e X + x -1 si F (x) =e X + x - In x .xa) Sii se demonstreze cii functia F este 0primitiva pentru functia f.

2b) Sa se calculeze J x(F{x)-x+1nx) dx.!

5p5p5p

Sp

BACALAUREAT 2009-MATEMA TIcA - Proba D, MT2, programa MlJ ' - ' ' ( ~ q tt )~e~(\;~:0

< ' I A . \ . - ee ~L:: e ~Z = (lA,l. -.::.-e _


68/100

V06cfMinisterul Educatiei, Cercetarii si Inovarii

Centro. National pentro Curriculum si Evaluare iD iDva_amantul PreuniversitarI SUBIECTUL ill(30p)1 1 . Se considera functia f :R -7 lR , f (x ) = x3 + 3x .

5p I aj Sa se calculeze f '(X),xElR.5p I b) Sa se arate ca functia f este crescatoare pe lR.5p I c) Sa se calculeze x~~~ f : : ) .. ~ . { x + 1 , X E(-= ,1]2. Se considera functia f: lR~lR , f ( x ) = x - 2 . .

. Inx-2, xE(l,+=)5p I a) Sa se demonstreze ca functia f admire primitive pe lR.

15p b) Sa secalculeze J(x-2)f(x)dx.

o1 x5p c) Sa se calculeze lim - J (J ( t ) + 2 ) dt .x~+= Xlrfl r . 2

0; a) # ex} - = = - 3 x_ + 3) ) C E;f: / __.J ! . '( Q" b ! > c E : - ( 7 2 . . . - - = = - : : > c J c R . A - -ca1 E . YeJte. I~ R~- ) \( ex I .__..3 X +J > oJ' 3. (/5-)' I J - lJ . ('Y) o , ) ( ' +3k _k'u ! < - (It ; : i i . ) =A- c . . _..t{..~ ~:::: ~L.u .A- '3 - 3 -:;__X-~ _,::.'10 X'1 X-">-ao X X_?-J_)O X

@ ) &)1, OCAA~ rK \ l { Jk ;lCX)- rf+f-c-.Ly . : . _ ~ ) . A " A-z..y...c: - - 1. ~ : f (K J ~ ht 1(-2_ :=:--2~-~~ f (ti) ~-2_

e) i.:)l-~ -fOo

f} ,- - - { ! L I( A .. { . . .

X--)'j-o + , - - - r O

BACALAUREAT 2009-MATEMATlcA - Proba D, MT2, programa M2i ( i f ; i:t ' ~ ~ S K t r- _ i o it J ~ e:~ l If t: ) X-)t-cO_ i ( x AUI- x : + /l) - :::.- ( ~ _ xX A.-It-cO _ x : x


69/100

\/063Ministerul Educatiei,Cercetarii si Inovarii

Centru} National pentru Curriculum si Evaluare in Invatamintul PreuniversitarI SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considers functia f: (0, +cc) ~ lR, f (x ) = In x + x; .

5p I a) Sa se calcuJeze j'(x), x E (0; +=) .Sp I ~ . . f(x)~ 1(1)b) Sa se calculeze lim ",

x..-;.l x~l5p I c) Sa se determine intervalele de convexitate ~iintervalele de concavitate ale functiei f .!2.Seconsiderafunctia f:[ O,+ = )~ ffi., f(x)= {l+ xf, n E Z ' " " .

25p a) Pentru n =2 sa se calculeze f f(x) dx .

1a

5p b)Pentru n=-lsasedetermine aE[O;+=) astfel incat jf(x)dx=O.o1

Sp C ) Sa se calculeze f j'(x)f( x ) dx.o


70/100

V O' f -OMinisterul Educatiei. Cercetarii ~iInovarii

Centrul National pentru Curriculum si Evaluare 'inInvatamiintul Preuniversitar! SUBIECTUL III (30p)II. S e c on sid er s f un ctia f: (0 , +00) ~ lR , f ( x ) =x + F x .

5p I aj Sa se calculeze j ' (X),XE(O,+oo).5p I b) Sa se a ra te c a fu nc tia f este crescatoare pe (0, + co ) ,5p c) Sa s e d ete rm in e c oo rd on ate le p un ctu lu i g ra fic ulu i functiei f, In c are ta ng en ta la g ra fic

1- 3are panta ega a eu -.. 2

12 . Se co nsid era fu nctia f:[O;+oo)~IR, f(x)=_l_+_l_.x+l x+2

5p I a) S a se v erifice ca j (x+l)(x+2)f(x)d:t=x 2+ 3x+ C , x~O .1

Sp b) Sa se ca1culeze f f( x ) dx .o

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, programa M2 1 ' _ ? - j ) -.. ' .-2-# ' . 4 ~ c . --f ." ,--' ' . '~_ f +.l _~( , (+o,) I . = (I. 0-f-3) l '; IiEi; )1 0 = = /I (" :3 -

--L-t-A 0 -1 1 0 -_6~~


71/100

u! 0 f-.{Mipistexul Educapej,_CerceJarii .i blOVarii

Centru) Na~ional pentru Curriculum si Evaluare in inva.amantul PreuniversitarI SUBIECTUL OJ(30p)I I , Pentru orice n E N se considers functiile . f~ : (0, 00) ~ J R , f o ( x ) = Inx si .f ~ ( x ) = .f:~d) .

5p I a) Sa se determine functia 1 1 5p I b) Sa s e d ete rm i ne e cu at ia a simpto te i c atr e +00 la graf icu l funct ie i 1 2 .5p c) Sa s e a ra te ca f a ( x )< :: : : Ii( x ) -1, o ri ca re a r fi XE (0 ,+ 00 ).

12. Se considers functia f: I F t ~ lR ,f ( x ) = : 2 x 2 l + xM

5p aj Sa se calculeze f f ( x ) d x .o

5p I b) Sa se demonstreze ea orice primitiva a functiei f este functie crescatoare pe intervalul (0, + co ) .1 2 3 4

5p cjSa se demonstreze ca f f ( x ) d x + f f ( x ) d x > f f ( x ) d x + f f ( x ) d x .o 1 2 3


72/100

v 01-2idinisterul Educatiei, Cercetarii $i Inovarii

Centru} National pentru Curriculum ~iEvaluare in invatamantul PreuniversitarI SUBIECTUL III (30p)\ 1 . Se considera functia I: ffi." -+ ffi. , f ( ) = x 3 +~ .

5p I a) Sa se calculeze F(x), XE Ill,:'''.5p I b) Sa se calculeze lim Ix ) ~ f (l) .x~l x~l5p I c) Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f.

j2.seconsiderafunctia f:[O,l]-+R ,f(x)=x~2-x2.5p I a) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei f .

]5p b) Sa se calculeze f I(x) dx .

oxfl(t)dt

c) Sa se calculeze lim 0 2x~ o x(; f e x - I ~

5p


73/100

Ministerul Educatiei. Cercdarii si lnovariiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in invatamantul Preuniversitar

I SUBIECTUL III (30p)

lX :+ 3, x < ;1

1.Se considera functia f :n ; - - - + lR . , f (x) "" x + 1 , unde a E l R . .2x+a-2-' x>lx +25p I a) Sa se determine numarul real a astfel indit functia f sii fie continua in punctul X o " '" 1.

5p I b) Sii se determine ecuatia asimptotei orizontale catre -00 la graficului functiei f.5p Ie) Sa se determine numarul real a astfel incat panta tangentei la grafic in punctul (2;/ (2)) sa fie egala cu 1 .

1 2 . Se considers functia t.F t - - - + lIt, f ( x ) = e x2 I

5p a) Sa se verifice di J f (J x " ) a x " "e-1.a1

5p b) Sa se calculeze f x f ( x ) d x .o

5p

(_X {-3A_ '7_+


74/100

Vo+'1-Ministerul Educatiei, Cercetarii i InovariiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in Invatamantul Preuniversitar

I SUBIECTUL ill(30p)1.SeconsideriHunctiile f,h :~ \{1,2 }- -7~ , f(x)= (x- l)(x-2 ) \,i h(x)=j ' t?

5p I a) Sa se arate ca h(x)=_l~+~l~.x-I x-25p I b) Sa se demonstreze ca functia h este descrescatoare pe ( -00;1 ) .5p I cj S a se arate ca (f'(x))2~f(x)f"(x),pentruoricexE~\{1;2}.1 2 . Se considera functia f: ~ --7lR ,f ( x ) " " x 2009 + .x +1 .5p a) Sa se calculeze volumul eorpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei h: [1,3] --7~,

h (x)= f(x )_ x2009 -1.5p I b) Sa se determine primitiva F : llt--7llt a functiei j, care verifica conditia F(O) = 1.

BACALAUREAT 2009-MATEMATlCA -Proba D, M I 2 , ~rograma M2D< o Z .~ (o ( { . /( ~ - + )~ ~ X . ~ + 2X2.o0R ;(200'7. _ LX-"?~ X 2-.0 i0' 2 . . _ o , ( 0


75/100

Ministerul Educatiei, Cercetarii SiInovariiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare ininvafamantul Preuniversitar

I SUBIECTUL III (30p){_l_ x : S ; O1. Se consi de ra functia f: IR ~ lR , f ( x ) = x 2 + 1 ' .-2x+l, x> 0

5p I a) Sa se studieze continuitatea functiei f inpunetul X o = 0_5p I b) Sa se demonstreze di functia Ieste crescatoare pe intervalul (-00,0).5p I e ) S a se determine ecuatia tangentei la graficul functiei Iin punctul A ( - 1 ' ~ ) .

2. Pentru fiecare nE N * se considera functia I n : l R ~ f f i . , J ;1 ( x ) = 1 n( x 2 + 1 )e

5p a) Sa se verifice ca I i i ( . J x - l ) d x " "I_I5p b) Sa se determine primitiva G a functiei g :lR~ J R , g (x ) = 1 2 ~ x ) , care verifica relatia G (1) = ~~ .

Ic) Sase ca1culeze I x - I n ( x ) dX,unde nEN, n e Z :

o: + C l C I = / . 4 . u . .A-2'o5p

--------- ---------


76/100

Ministerul Edocatiei, Cercetarii si InoviriiCentral National pentru Curriculum si Evaluare in invatamantul Preuniversitar

I SUBIECTUL m(30p)1 1 . Se considera functia f: (O,~--7lR, f(x) = J-;l 0

5p I a) Sa se verifice ca f' ( x ) = x +~ ,pentru orice xe (0;+00) 0Tx-Jx5p I b) Sa se arate cil 2009.J20U:::; 2010-)2010 05p Ie) Sa se arate c a functia f nu are asimptota catre += 0

2 SO d f 0 1TiJ I T " f( ) { x 2 + x - 2 , x- c l. e consI era unctia j :lN. --7IN., X = 0(x+ l)hlX, x > 1Sp I a) Sa se arate ca functia f admite primitive pe lR 0ISp b) Sa se verifice ca f f ( X ) d X = - ~ .

o

j _ X ' -x -l-/ - - i(_ l . . k > 02_ x c I X : . 2 . . X r / X .


77/100

Vo'f-!f-Ministerul Educatiei, Cereetarf 51Inovarii

Centrol National pentru Curriculum si Evaluare in Invatamantul PreuniversitarI SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia I; (0,+00 ) ~ ~, j () := ( x - 3)In x .

5p I aj Sa se calculeze j ' ( X ) , X E . ( O , + = ) .5p I b) Sa se calculeze lim fex) - l(l) .

x~l x-I5p I c) Sa se demonstreze di functia Ieste convexa pe (0,+00).1 2 . Se considera functiile F,f:lR ~ lR, F ( x ) =X e X si j ( x ) = ( x + l ) e X 5p I a) S a se verifice ca functia F este 0primitiva a functiei f .5p I b) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei F, axa Ox si drepte1e de ecuatii

x = a ix= 1 .1 F ( ) f( )Sp c) Sa se calculeze f x - x dx .o e X + 1 ),.f a . X -3 X( . r ~) , t ; ; e ) . ( f7 j(+ e x - 3 ~ J._ :::. IM . X - + - _ _ i ?- 0(j) ()_) .t C )(..f ~ 0 - -3) f.fu_)( + LX(- '3 / \~i-LX =UL_ x X

/r) ~ +=CX-I-f(j -= ! ( , 1 J ~ - - - ! . u " + - = - - z;t...-?A x-{f(. ~.. X-3) r . ( . . x-X+3 ~ I+ 2_ > 01' bLKC-(q+


78/100

Ministerul Educatiei, Cercetarii si Inovati!Centrul National pentrn Curriculum si Evaluare inInvatamantul PreuniversitarI SUBIECTUL ffi(30p)

21.Se considera functia I: lR~ lR, I (x ) " " -4-.

x + 1Sp a) Sa se verifice eli I' (x ) - 2 x 2 0 pentru oriee x E I R . .( x 2 + 1 )5p I b) Sa se determine ecuatia asimptotei catre +0 0 la graficul functiei fSp I c) Sa se arate ca 1 (~ l2 o o8 ) : : ; 1 (~ 2 0 0 9 ) .

I 2. Se considera functiile f,g :[0,1] ~ lR, Ix) = 2 x ~i g (x) = x . e X 5p I a) S a se determine If (x) dx.5p I b) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei g , axa Ox ~idreptele de

ecuatii x ""0 si x =1.Xff(t)dt

5p c) Sa se calculeze lim - ,, - 0 - -X-70 X tr D ~ ) i.- 2 ._X (K:~ j _ l - x , : . z _ xe X . + J),p fY..l- 2. ' I : . '> = 21( ' 2 . - :L.X '2..- ~ O J & L ) C G--CK\J (J(?..+-J) '-- C x 2 -tJ) exe_+I)

. . f r I ~ i f (lei = 1 . . u : , _ , _ X 2 _ =j =/ c r y ~ , ( OJJ~:t;;,t-Q -x . - - , f-OO X - {1-0 )< . ' 7 _ ( A - r l z ) r;;/?J_"~ c._~ +- 00 G z G ; { -

c ] .j) i~,,~ .2)() 2- > 0( (Ix G-(rf)( +rx) ::::- Ik..QA.-~- / . . e (rO( 1-~* ' (x/-+1o G ~ s - ~ ~ / 4{~~) c.. !C(; ; ; ; ;_)r tJ O - - } 5 . # c < loIx z: JzJ(04=2 J( + y;

. /( Ec 2 . _ . I( , 1~o) .u.: ( ! J ) z: r Y ) L 1 "h: = J Ke~o1x ~1~ J ( ) ~ ) ( { : : e J(_ e - r ) / 0 1=:

e - e + e : : : _ d _:'( .C)k ~ , - f r ~ J d 1)(->0 X x.-o o A ;(_-?o

} _ : ( r 2, K _ _ - r = - _ j _ ~: : : : - e ~ - t~u._2_ &Z_ 1. .2- x-coX. -:>0 x : 10 X ~2.f.. c..:

A' ) K .< . . . . . . - {X,X ,g. : 2 ~\.t

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, programa M2 ~ 2 . . . X -?o A

o


79/100

o~)- 8 )

Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiCentru} National pentru Curriculum !I i Evaluare in invatamantul Preuniversitar

I SUBIECTUL HI (JOp)1 1 . Se considera functia f:lR -+ lR , f(x)= 2 x + 3x.Sp I aj Sa se calculeze f ' (X) ,xEIR.5p! b) Sa se determine asimptota spre --00 a functiei f .Sp I c) Sa se arate ca functia f este convexa pe lR.

12. Pentru fiecare n E N * se considera functiile in :[0,1] -+n , fn (x ) =~ -. .1 x+ l

1 '2 .2. 9' ? S '5p a) Sa se calculeze j(x+ l)f2 (x)dx. ( (Ktll.f"2-l,(_ldK,I 0

5p b) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei fi, axa Ox si dreptele de ecuatiix=O l ? i x=l.

15p c) Sa se arate ell. Jh009 ( x ) d x S; In2.

o

f r )

I (1 ..X3 L 2_ cf J lt:1. t- ,"3 3 z'f

14X 1 - 1 ) I =)eo

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - ProbaD, MT2, programa M2


80/100

, Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiCentrul National pentm-Curriculum si Evaluate in invatamantul Preuniversitar

Sp

I SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia I: R \ {I} ~ R, I (x) = x + 1+ x ~ 1 .2a) Sa se verifice c a I '(x) "" x - 2~ pentru orice XE R \{l} _(x-It

Sp I b) S a se determine ecuatia asimptotei oblice ditre += la grafieul functieij5p I c) Sa se demonstreze el l . f( x ) ? : 4, pentru oriee XE (1;+00).x2. Pentru fiecare nEN se consider a functiile I n : lR4lR ; I n - ( X ) =_e -_. . enx +1

5p . ! a) Sa se calculeze J lo (x ) dx , XE lR .5p b) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei fi,axa Ox si dreptele de ecuatii

x= G si x= l_5p

c)

- f _ + - I.z,(. ~~?

--7 .~> /., (XI>. /'A...l-

4C.> J - t eX) c)x s_

. /'V. ._+1oC ~ . f ' t / xt - f ; f

I{< S t t 4 -tc) e l K }


81/100

Ministerul Educatiei. Cercetiirii ~iInoviriiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in Inva1amantul Preuniversitar

I SUBIECTUL ITI (30p)1 1 . Se considera functia f: (0, +00 ) -'.> R, 1x ) = 2 F x - 3$ .5p a) Sa se verifiee ca 11 (x) = ~ - , ~ , pentru oriee x> 0 .- c x ~x25p b) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul functiei1npunctul A{l;-l).5p c) Sa se arate ca1x) ~ -1 , pentru orice x> 0 .

2. Se considera functia fa : lR -'.> R., /; ( X ) = ax + 1, unde a E R..5p a) Sa se determine ae R astfel incat functia F: R -'-"1 f t , F (x ) = x2 + X +1 s a fie 0primitiva a functiei fa.

15p b}Sa se calculeze f e x fi ( x ) d x .

o

~)

BACALAUREAT 2009-MA TEMA TICA - Proba D, MT2, programa M2


82/100

Ministerul Educatiei, Cercetiirii si InovariiCentrul National pentru Curriculum Si Evaluare in Invatamantul Preuniversitar

5p5p

I SUBIECTUL ill (30p)1 1 . Se considers functia f: (0;+00 ) --) R, Ix ) = (x - 3).) S~ ifi ~ f'() 3x - 3 . 0a a se yen ice ca x .::::.~, pentru once x> .2 . . . . ; xb) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul functiei Inpunctul A (1;-2) .

5p I c) Sa se demonstreze ca x + .1 ~3 pentru orice x > .1 2 . Pentru fiecare n E N* se considera functiile I n : [0,1J - - ) R, I n (x) = ex n .

5p I a) Sa se determine Ji i (x ) dx .5 p

1b) Sa se calculeze J x . ii ( x ) dx .

ac) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia injurul axei Ox, a graficului functieig : [0 ,1 ] - - ) R, g ( x ) : : : : X f3 ( x ) . r:

2 ._ 1 J ) ( . .

:/ ~!Ci= (k-,/cIK + (K.-3)(f(K/- rt: f -0-V. : / r / i : "=. ~~-3

K ! .e (X-I)o=' e(,(-J)-BACALAUREAT 2009-MA1'EMATIcA - Proba D, MT2,programa M2


83/100

Vo.fJMinistenli Educapei, Cereetarii ~i Inovarii

Centrul National pentru Curriculum si Evaluare in InviWimantul Preuniversitar! SUBIECTUL m (30p)1. Se considera functia f: lR -7lR, / ( x ) = 3x - ( r .

5p I a) Sa se calculeze /'( x ) , unde xE lR .5p I b) Sa se calculeze lim f(x) - /(0).

X--70 X5p I c) Sa se demonstreze ca functia / este crescatoare pe Itt.

1 2 . Se considera functia f:0,+00) -7lR, f ( x ) = x +~.Sp I a) Sa se determine If ( x ) dx , unde x > 0 .5p I b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia injurul axei Ox, a graficului functiei

g:[1,2]-7lR, definita prin g(x)=/(x), XE[1,2].

BACALAUREAT 20009-MATEMATlcA -Proba D, MI2, programa M2


84/100

Ministerul Educatiei ..Cereetarii si InovariiCeutrul National pentru Curriculum i EvaluaTe in Invatamantul Preuniversitar

SUBIECTUL HI (30p).. x2 -x+l1. Se considera functia f :III ~ IR, f ( x ) = x .e

~ ~ I _x2 +3x - 2 .a) Sase verifice ca f ( x ) = , pentru once x E III .e Xb) 'Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale spre +00 la graficul functiei f .

1c} Sa se arate eli f ( x ) 2: - pentru orice x ' : : ; 2 .e2. Se considera functia i:[,1] ~ R., f (x ) = .J x + 2 .

5p a) Sa se determine J f 2 ( x ) d x .

5p5p5p

5p b) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre grafieul functiei f ,axa Ox si dreptele de ecuatiix = 0 ~i x=l.

1 .J ~5p c) Folosind, eventual, faptul e a . J x + 2 s.J3 pentru oriee x E [0,1] , s a se arate dt f x2009 f ( ) d x :: = :; _ . _3_ .o 2010{.;til C L , J : f ( _ (tx-4)eK- ( x L _ } .C + /J - e X " _ _ (iX-,f-x?'_-tx.-)eK_ -X~3X-(_ XE- i i (V eX-j _. - 2. - /z.x .l( . ..)(e e eP _ } . J J ' " ' ) ( . ' - ~ ,I) 00~rz: ~~+{ =F:~ ~~-I ~~? t:d CC_ ~~~~.- . 0 < ; 1

c] j ) ! IF /_ 0 - = - '7 "-X~)X-2.7_0' L S : ~;-I r: X ( . . , . . .-3 'ct _ < K .~ - = ~ (t L /I.. ~ ) rtf:I (2.... ~ '::._' - . , / - ' ) < . . AL-:: : : "


85/100

Ministerul Educatiei. Cercetarii $1InovariiCentral National pentru Curriculum si Evaluare in invatamantul Preuniversitar

I SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia j: (0, + 0 0 ) -?~ j (x ) = x2 x+1 0

25 ) S- fi ~ j'() x -1 0 0p a a se ven Ice ca x =-2~,pentru once x > 0x5p b) Sa se determine ecuatia asimptotei oblice la graficul functiei f5p c) Sa se arate ca functia f este convexa pe (0,+=).

2. Se considera functiile j , g : [0,1] -?~,f (x ) = eX si g(x) = eX +e-x .5p a) Sa se determine Jj(x)dx.

BACAI.AUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, programa M2


86/100

Ministerul Educapei, Cercetarii si InovariiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in invatamantul Preuuiversitar

I SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia f: (0, + 0 0 ) -'7 R, f ( x ) = ~ x .I ~ if f'() I-lnx 0 05p a) Sa se yen lee ea x =~' pentru once x > .

5p I b) Sa se determine ecuatia tangentei 1a graficul functiei f inpunctul A ( e , ' ; ) 05p I c) Sa se arate ca lnx::;~, pentru orice x> 0 0

I 2. Se considera functia f: [0,1] -'7 J R , f ( x ) = 1- Fx .5p I a) Sa se determine multimea primitivelor functieiji5p I b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei f

1 15p c) Folosind, eventual, faptul ca F x ; ; : x, pentru once XE [0,1], sa se arate ca f f 2009 (x ) d x : :; -- .o ' 2010([!~) : f ~ ) (I c : o k c x : : ~ ; : x , ( J ~ ~ )( I VA ~ o. - P ( ~'r 1 . r _ I ~ _ p r 0 _ , ( ~-& e -0i'r) ~ -~o = - c r lK.o) ( ' -')(0 ) / K~ =- J " 0 - e _ ) 'T Cf!J- *,2-' ~Y _ - ~ ~o( x=e) ="/ ~- {=o -{'_".+r:":

C) ; f ~)(I""'-O = > ) - f ! u . . }(=0 => .~K - = - -f~ 7 X = e _ ; tee) = ~x . t ' o ,._ + , C > . o I-~_f::::___J.~:::'__~--o~~--- : f - (x) L ~. f l - x ; : : : . 0# L x , . ' - + - - 14.x { '


87/100

Ministerul Educatiei, Cercetiiru $i Inovari!Centrul National pentru Curriculum si Evaluare inlnvammantul Preuniversitar

I SUBIECTUL ill(30p)1 1 . Se considera functia f: f f i . -7 r n ; , f (x) = (x 2 + 2 x + 1 ) . e" ,5p I aj Sa se verifiee ca f ' (x)=(x+l)(x+3)e x,oricarearfi xER.5p I b) Sa se determine ecuatia asimptotei catre -DO la graficul functiei f.5p I C)SaSedemonstrezedif-2)+f(-4)::;;.

2. Se considers functia f: J R -7 J R , f ( ) = { x 2 - 3x + 2, X : : ; 1 .lnx, x> 15p I a) S a se arate c a functiaj admite primitive.5p I b) Sa se demonstreze ca orice primitiva a functieij este convex a pe (1;+co ) .

e5p c) S a se calculeze JJ(x)dx.

o(j) Q - ) : f L x : I= (f(_f.+2)eK - f C J(_ Z '+ 2 X - fA / e J("" ( 2Hz-. Z+ fiJ +4) e J(=~ C x - 1 . .+ c x .+3) e. :_ - = (x +)) (K + - 3 ) e>(i (/-K_G i 2 . . CJO

f) . J s : - P . ( " ' _ s: , x2+2 . .X+ l _C> 1U_.u tK.+2- = l w L 2 . . -=-o~ ;>~ ~ i~X;- ~ - -J( ....,;(_)(.->-00 )L--:>-(>o < f ! E . -A ;C -" " :> -< :;JO - e ,.,(.....;>-00 ef ".=-)CY-::::-O +-r":~:: ~-(:)Oc.) tL't. . .[--=:._O=-/J(L-o;;..-ltKz... .=-?:' d ~3 ~t(-,(J~O; f(-3J~5f!e = - e3

_ : ; , - < 'i-90 _f(-2): f - ( ~ ~ . )

BACAI,AUREAT 2009-MATEMA TIel - Proba n, MT2,programa M2IT ~ s ; - . / . e J f . . .! ~ I v '} ' ) y ' e .-.. ,,: : : : J - . - ~ +2 + x .~ ) ( _ - .L ~)( ol,J(:::: .2. +f -tLtX'-X ; : ; : - . 2 . - I- e -e +-I:.=.3 2. A X G ,( b1 ~f(-_r;


88/100

Minister"} Educatiei. Cercetarii si InovafnCentrul National pentra Curriculum'si Evaluare in InvatamantulPreuniversitarI SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia f: lR-7R, f (x) " " x3 - 3x + 1.

5p I a) Sa so caJculeze f '(l) .5p I b) Sa se determine intervalele de convexitate si intervalele de concavitate ale functiei f.5p I c) Sa se arate ca f ( x ) : S : 3, pentru orice x:s:2.

12.seconsiderilfunetiile f,F :(O ;+ = )-7R , f(x)" " l -~ ~i F(x )=x+ . ! . . .

x x5p I a) Sa se verifice ca functia F este 0 primitiva a functiei f.5p I b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei f, axa Ox ~idreptele de ecuatii

x =:: 1 si x = 2 .5p

(() 0-).~}

ee) Sa se calculeze f F ( x) . In x dx .. .p ( 3 ' I t . . 3 ~ ..p (,{ J '=:' 3~3 -= :_ 0~ (_x/~ )( - / T: f ~('Lj -=:. G J( ; . f ~(r-J~,O =) x _ - = = - 0 / tJ01=-(f~ ; -=__~--.~ +~~# ex ) ~ A , '- - . - / '

t Co1A-C~"_ r t->. 0)~, co~-tl~X_~ ~. (0, - t - " = j

f;f Cx. J - : : . 0 = - " >x : . ~ Ic)O

' ) C vL : : ; ) ~ 0 "=) X ( . + A r- (. ( .c] = = - . ( ; - t ( - r l J , - = . 3J "- '.. {:(2- /-1 -( f--'~

f ~ ec.] f ~ ( ) ( ) ~ ) ( olK = f 0f; ) &KoAl( -Jf ~~x +~ ~x)d.x~

~ e ' ~S G L} ' . e , . c K o P " + S C t...x/fw.x e l K = X 2 . . . ':'!_ . i ! _ I < ; - a L ~ / S : :A _,.{ : z . ( L r . I " " 2_ f A

BACALAUREAT Z009-MATEMA TIC.\. - Proba D, MT2, programa M2J--L e i. I 3 . = = - - L- e _ f '1 . + J . . ~ e +3- z = - z ; - - r " 4 :L T


89/100

VOJ3~'--Ministerul Educatiei. Cercetirii ~iJnoviriiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in Inviitimantul Preuniversitar

j SUBIECTUL III (30p)j 1 . Fie functia f: R -7R, f (x) :02x3 - 3x2 +1.5p I a) Sa se calculeze f' (1 ) .5p I b) Sa se determine intervalele de concavitate ~i intervalele de convexitate ale functieij. ,5p I c) Sa se arate ca f ( x ) ; : : : 0, pentru orice x ; : : : - .jZ.SeconSiderafuncti-ile f ,g:[O,l]-7R, f ( x ) : o e x si g(x)=:e1-x.5p a) Sa se determine multi-mea primitivelor funcpeij.5p b) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei h :[0,1] -7 R, h ( x ) =: x . f ( x ) ,

axa Ox si dreptele de ecuatii x = 0 ~i x = = 1 .5p

)( ~OO 2 . . . " .

c D a)J j )

c} i f ' ! J { I - = - O = -, GK( K _ ; J~~O =-? 1:,T"/ )(,_= - { ; f ' (o] =: ' , / -Ol-=c 0X~~_ :::oQO~~~ _ _)~ _ _ '.. f - 1 --r-_~'O( A - (1( 0) ~~c/f olQ lUL'l~U."'(_,c --_;>

~ x .. j - + - - 00 + (f (}C ) /' - 1 'J0 /7 =-? I - C " ' - ) ' 3 ' - 01 UK ~ - ;_f l . . tU . . t .M . -


90/100

V090Ministerul Educatiei, Cercetiirii si Inovarii

Centrul National pentm Curriculum si EvaluaTe in.Invitiimantul Preuniver:sitarI SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia f :(0, -j-oo ) -d~f ( x ) = 2 . J x -In x .

5p I a) Sase verifice ca t'( ) = . . /xx-1 , pentru orice x >0 .5p I b) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul functiei IInpunctul A (1;2) .5p I c) Sase arate ca 2 ~ 2+ lnx, pentru orice x> 0 .1 2 . Pentru fiecare n E N* se considera functiile I n : [0,1] -7R, I n (x )= x" +(1- xr.5p I a) Sa se determine multimea primitivelor functiei 1 2 '5p b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei g:[0,1] -7R, g ( x ) = e X . 1 2 ( x ) ,

axa O x si drepteJe de ecuatii x = 0 si x : : : : : 1 .

f ~l-=- -O .=-~X . o f

~ - ~ O = - ' _...:...-0~.___..",-(_.~t


91/100

V09./Ministerul Educatiel Cercetiirii siInoviirii

Centrul National pentm Curriculum si Evaluare in Invatimantul PreuniversitarI SUBIECTUL ill(30p)1 1 . Se considerafunct ia I: (O ,-t-= ~ R , I(x)::: x2 - x - In x.

5p I a) Sa se calculeze I'(x), XE ( 0 ,+ 0 0 ) .5p I b) Sa se arate ca functia f este convexa pe (0, +=).5p I c) Sa se arate ca I(x)::: 0, oricare ar fi x > 0 .

1 2 . Pentru fiecare n E N * se considera functiile I n : [0,2] ~ R, I n ( x ) = (2 - X r.5p 1 a) Sa se determine Jfi(x)dx,unde xE[O,2].5p b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei g :[0,2] ~ lR, g ( x ) : : : fi ( x ) e x ,

axa Ox si dreptele de ecuatii x ""0 i x = 2 .5p I c) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei ls-

0 -t. J:-_-. . . . . . . : . . ' ) 0 /7

'-=- )/. (xl> 0 (/ X > a\ ---./

. .

L< ' - ) i ! J C I f ( C t . , J . : - L i ' S (L-k/'d)(o

BACALAUREAT 2009-MATEMATICA - Proba D, MT2, programa M2


92/100

Ministerul Educatiei, Cercetiirii si InoviiriiCentral National pentm Curriculum si Evaluare in Invitiimantul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p)x

1. Se considera functia f: (0, -too ) ~ JR, f (x ) =~ .x5 ~ ifi ~ '() eX (x-I) ,p a) Sa se yen ce ca f x :; 2 ' pentru once x > 0 .xSp! b) Sa se determine asimptota verticala la graficul functiei f5p I c) Sa se demonstreze ca eX 2: ex, pentru orice x > 0 .

I 2. Fiefunctia f:(I,2]~JR, f(x)=x+~.5p I a) Sa se determine rnultimea primitivelor functieij"5p I b) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei .f5p

2c) Sa se calculeze If( x) -In x dx .

1 V. K , \ ,. - f , . [ ; . c ( ~ eKrK- e .~ __ E (1..'-1) I IIK,;?-OIf x ': X '2.-. K, . 1 Ct. J = - - f u A J - _ .!!_ -::_t=: = >t x= -> : XX >o

- 1 ; t ~ \ _)(-->0X>o

(j) C L )f j - J

x r ~ f (1)-= e

: f L x : , _ ' + - - 1 ' _ _ -i f ! ex) ( o _+ --" +~- r-- ' - ::::::.. .F (X j ~ / ( - f J ( >0 =v.>=? e f~ e )' U K >0 :.~> e.A;~K e ))( _, ,b ' - ' , x '> 0/'7


93/100

Va 93: Ministerul Educatiei. Cercetirii si Inovirii

.Centrol Naponal Dentm Curriculum si Evaluare in InvaFimantul PreuniversitarI SUBIECTUL m(30p)1 1 . Se considera functia I: R ~ R, I (x ) = = ( x2 +1)eX - 1 .

5p I a) Sa se verifiee ca If (X ) = = (x + 1)2 . eX , pentru orice x E lR .5p! b) Sase determine ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul 0 (0; 0) .5p Ie) Sa se determine ecuatia asimptotei catre -c-oo la grafieul funetiei f

'n )1) Cl-.'&)

n2. Pentru fiecare nE N * se considers functiile in :[0,1] -tR, 1 , 1 ( X ) = = . J X .x+l

Sp I aj Sa se determine JJi (x ) . . .) x+ ld x.5p b) Sa se calculeze volumul carpului obtinut prin rotatia injurul axei Ox,a graficului functiei fi .

"1 . .Sp c) Folosind, eventual, faptul di . J x +121 , oricare ar fi x E[0;1] , sa se arate ca J12009(x ) ::;;_1_ ". , 0 2010i / ' " bX :+ [ x:


94/100

Ministerul Educatiei, Cercetarii si Inoviirii. Centrul National pentru Curriculum siEvaluare in invaramintul PreuniversitarI SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia f: IR~ IR, I() =x . e X .

5p I aj Sa se verifice ca j ' (x)=(x+l)ex, pentruoriee xEIR.5p I b) Sa se determine intervalele de convexitate si intervalele de concavitate ale functiei f5p I c) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale catre -00 la graficul functiei f

1 2 . Pentru fiecare n E N * se considera functiile t; :[0,1] -7 IR, In ( X ) = xn : :1+ 2 .5p I a) Sa se determine J X ' i i (x ) dx ,5p

Ib) Sa se calculeze J / 2 ( x ) dx .oc) Sa se arate ca aria suprafetei plane, cuprinse intre graficul functiei 12008 si axa Ox si dreptelex =0 si x = = 1 , este mai mica sau egala eu 2.

c)

r . - - . J . o ~ ).~~ /

Lzx f {L - : : : . . >. 0


95/100

Ministerul Educatiei, Cetcetarii si InovariiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in Invatamantul Prenniversitar

5p

I SUBIECTUL III (30p)11. Se considera functia f :1, + 0 0 ) ~ lR , f (x ) = xx~ 1 .

2) S- if ~f'() x - 2x . 1a a se yen Ice ca x:= 2 ' pentru once x> "(x-l)5p I b) Sa se determine ecuatia asimptotei oblice catre +00 la graficul functiei fSp I c} Sa se arate ea J ( V2}~( - V 3 ) .

12.Seconsiderafunctiile f,g:[O,l]~lR, f (x)=l-x si g ( x}= , . .. -x .Sp j a) Sa se determine Jf{x) dx.5p I b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei g , axa ili~idreptele de ecuatii

x= o ~i x= l .1

5p c) Sa se calculeze Jf(x),lnx dx .Ie

z . 2 .X --)( +J(_- _/).: . . X I~ -_ --1

)( .+ '> f-.()q X -,( /

n.- - I,J + +.

c D = i8)


96/100

V09CMinisterul Educatiei, Cercetirii si Inovarii

Centrul National pentru Curriculum ! i i i Evaluare in invitiimantul PreuniversitarSUBIECTUL III (30p)1. Se considera functia f :(0, +00 ) ---+R ., f ( x ) = In x .x

5 I ) S- 'fj - j " ( ) I-ln x . 0p a a se vermce ca x =~,pentruonce x> .5p I b) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale catre += la graficul functiei f5p I c) Sa se arate di 1(2008):::: 1(2009) .! 2. Se considera functia 1:[0,1] ---+R ., f (x ) =F x .5 P ! a) Sa se determine f f ( x ) dx .5p b) Sa se determine aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei g: [0,1] ~ l R . , g (x ) : : : < ( x ) ,

x + 1axa Ox !? i dreptele de ecuatii x = 0 ~ix = = 1 .

5p c) Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox,a graficului functieix

h:[O,l]---+IR, h ( x } = e 2 f(x},unde xE[O,l].f_{. X - ltL!('J Cx ] '=:' ,(_ -XL-

~tv ._ t c x / =X--)fDo{-&(\( I fly> 0")X~

.)!_lk )(@o)

~ e - /

o+ +


97/100

MinisteTul Educatiei, Cercetarii si TineretuluiCentrol National peniru Curriculum si EvaluaTe in Invatamantul Preuniversitar

21. Se con si de ra f un ct ia f: IR ~ R , f (x ) = x - x +1 .x2 +x +15 ) S V if ~j " ( ) 2x2 - 2P a a se yen Ice ca x = 2 ' pentru orice x ER .( x 2 +x+ 1 )5p I b) Sa se determine ecuatia asimptotei orizontale catre +00 la graficul functiei f.5p I c) Sa s e a ra te e ll. f ( V 2 00 9 ) : : : ; f ( - V 2 01 0 ) .

I 2. Fie functia J:[l,e]---+lR, J(x)=lnx.5p I a) Sa se determine fJ'(x) dx .5p I b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei J , axa Ox si dreptele de ecuatii

x=l ;;i x=e.

SUBIECTUL ill(30p)

~ " ' J


98/100

5p5p

\109 r?Ministerul Educatiei, Cercetarii si InovariiCentrulNational pentru Curriculum si Evaluare in Invatamantul Preuniversitar

SUBIECTUL III (30p)x1. Se considera functia I: (1,+=) ~ R, I ( x ) =.!!_1 .x-

eX ( x- 2 )a) Sa se verifice ca f(x) =. 2 ., pentru orice x > 1.(x-I)b) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul functiei In punctul A ( 2;e2 )

5p I c) Sa se demonstreze ca f (x) 2 : e2 , pentru orice x > 1.1 2 . Pentru fie care nE N * se considers functiile in : [1,4] ~ J R , In (x) = ../xn +4x .5p a) Sa se verifice ca f . / i ( X ) d x : : : :14J5.

1 35p5p

4b) Sa se ealculeze J x2+ 2 dx.1 1 2 ( x )c) Sa se determine volumul corpului obtinut prin rotatia injurul axei Ox, a grafieului functiei

1g :[1,4 J ~ JR . , g ( x ) = 1 2 ( x ) .

4 . f .e .XCx- . i; - e.x , ) e x , (x-2) I' li 4(~)::::. . .. .. ..~ -::..- fit _ !JG /C y : _ -1.) '- LA! ? 2 ...p L I ' ' : ; ~ . - e ::0' ' I t - ~ 0 .:::_, f ~i . f J ) ( x . -K.) , 't.~7- ( 2)= e J~ . ts) = - 0 I .'J. V if , ) J' ~X_-+ - __ 1.:__ . .2 _ _ - _ _ + ~ o o _

,C} - J ~,(I-=-;;? ~7 eX ( ) (_ - 2J~V= - / X=z ._ - - Ge2.- - - - : : ~


99/100

Ministerul Educatiei, Cercetiirii si InovariiCentrul National pentru Curriculum si Evaluare in invatamantul PreuniversitarI SUBIECTUL III (30p)1 1 . Se considera functia I: (0, +=)~ R, I ( x ) = x +2 - 3V;; .

5p a) Sa se verifice ca 1'(x) ""1- 1~ , pentru oriee x> 0 .~x2

5p I b) Sa se determine ecuatia tangentei la graficul functiei In punctul A (1;0) .5p I c) Sa se arate ca x; 2 ~ V;; , pentru orice x> 0 .

12 0 Se considera functia I : [0,1] ~ J R , I(x) = x 3 x+ l

5p1

a) Sa se calculeze J(x+ 1) j(x) dx.o

b) Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre grafieul functiei j ,axa Ox ~idreptele de ecuatiix =0 si x=l .

5p c) Folosind faptul ca 1 : S ; (x+ 1 ) 2 : 5 : 4 pentru orieex E[0,1], sa se arate ca volumul corpului obtinut prinrotatia injurul axei Ox , a gra.ficului functiei I, este un numar din intervalul [ ! ! _ , t r ] .. .1 . . r f -( ~ ? , : _ _ 28 7 ;( I I -X > 0I~I~~n _- 3 X ') c c . . I -< - i x = j -:( 3~ J- :'" ~1-?j;2-)


100/100

v j_OO..Ministerul Educatiei, Cerceti'irii si Inovarii

Centrol National pentru CUFricuium siEvaluare in Invatamantul Preuniversitar

5p

I SUBIECTUL III (30p)I L Se considers functia f: (0,+00 ) -.0; lR, f ( x ) = x 2 x + 1 .

~ . ~; x2 -I ,a) Sa se verifice ca f ( x ) =-2- ,pentru once x > 0 .x

Rezolvari Bac 2009 a M2 - Subiectul III

Documents

Transcript of Rezolvari Bac 2009 a M2 - Subiectul III