8/11/2019 Rezolvare Subiecte Bac Mate August 2012 m2

1/7

Soluii

Subiectul1

1. Se folosesc formule de la logaritmi astfel:

3 3 3 3 3log 6 log 2 3 log 2 log 3 log 2 1 1 a .

2.Punctul 0,1A se afl pe graficul funciei f dac i numai dac 0 1f

20 0 2 0 3 3

3 1

4

f m m

m

m

3.Punem condiii de existen:

1 0

1,3 0

xx

x

Pentru rezolvare procedm astfel:

121 1 1 1

log 1 2 2 1 3 2 2 3 13 3 3 2

x x xx x x x x

x x x

care se afl in intervalul 1, din condiia de existen.

4.Formula de calcul pentru probabilitate este

. .

. .

nr cazuri favorabile

P nr cazuri posibile

.

In mulimea 1,2,3,...,30 sunt 30 de numere deci avem 30 de cazuri posibile.Numerele divizibile cu 7 din mulimea dat sunt 7,14,21,28 deci avem 4 cazuri posibile.

4 2

30 15P .

5. Mijlocul unui segment se afl astfel 1 2 1 2,2 2

x x y yM

.

In cazul nostru O este mijlocul segmentului AB deci avem4 1

, ,2 2 2 2

A B A B B Bx x y y x yO O

http://variante-mat

8/11/2019 Rezolvare Subiecte Bac Mate August 2012 m2

2/7

Dar 0,0O i identificand coordonatele lui O obinem:

40 4 0 4

2

BB B

xx x

10 1 0 1

2

BB B

yy y

In concluzie 4,1B .6.Folosim teorema cosinusului:

2 2 2

2 2 2

2 cos

7 5 6 2 5 6 cos

49 25 36 60 cos

49 61 60 cos

60 cos 61 49

60 cos 12

12 1cos

60 5

BC AB AC AB AC A

A

A

A

A

A

A

Subiectul 2

1.a) 2 2 2

2

1 1 1

det 2 3 9 2 12 4 3 18 5 6

4 9

A a a a a a a a

a

.

b)Matricea A este inversabil dac i numai dac det 0A .

Ecuaia 2 5 6 0a a are rdcinile 1 2a i 2 3a .

In final matricea A este inversabil pentru \ 2,3a R .c)Pentru 1a sistemul devine:

1

2 3 1

4 9 1

x y z

x y z

x y z

Determinantul su este 2det 1 5 1 6 1 5 6 2 0A deci sistemul este compatibil determinat i serezolv cu formulele lui Cramer.

http://variante-mat

8/11/2019 Rezolvare Subiecte Bac Mate August 2012 m2

3/7

1

1 1 1

1 1 3 0

1 1 9

d deoarece are dou coloane egale.

2

1 1 1

2 1 3 9 2 12 4 3 18 23 25 2

4 1 9

d

3

1 1 12 1 1 0

4 1 1

d deoarece are dou coloane egale.

1

2

3

00

det 2

21

det 2

00

det 2

dx

A

dy

A

dz

A

2.a) 5

1 1 1f m n m n

0m n m n .

b) Pentru 1m i 4n avem 5 4f X X

5

5

5

5

5

0 0 4 0 0

1 1 4 1 1 4 0

2 2 4 2 2 3 0

3 3 4 3 3 2 0

4 4 4 4 4 1 0

f

f

f

f

f

deci rdcinilepolinomului f sunt 0 ,1 , 2 , 3 i 4 .

c) 5 1 1 1f m n m n

5 2 2 2 2 2 2f m n m n m n

Din ipotez avem 1 2 2 0f f m n m n m n .

5

5

3 3 3 3 3 3 0 3 4

4 4 4 4 4 4 0

f m n m n m nf f

f m n m n m n

http://variante-mat

8/11/2019 Rezolvare Subiecte Bac Mate August 2012 m2

4/7

http://variante-mat

Subiectul 3

1.a)

2 2 22

2 2

1 1 1 1 2 1 1 11

1 1 1

x x x x x x x x x xx xf x

x x x

2 2 2

2 2

2 2 1 1 2, \ 1

1 1

x x x x x x xx R

x x

.

b)

2

2

22 2

1lnln 1 1 ln1lim lim lim ln lim ...11 1 1 1

1

x x x x

x xxf x x x x xx x

x xx x x x x x

se folosete regula lui lHospital i obinem:

1ln 1 1

... lim lim lim 011

x x x

x x

xx

.

c)Ecuaia asimptotei oblice este y mx n .

Calculm m i n:

2

22

22

11 2 11 2 11lim lim lim lim lim lim 1

2 1 2 11

x x x x x x

x xx xf x xx x xxm

xx x x x xx x

2 2 2 2 11 1 2 1lim lim lim lim lim 21 1 1 1

x x x x x

xx x x x x x xn f x mx xx x x x

Ecuaia asimptotei oblicespre este 2y x .

2.a) 1

, 01 1

xxf x e x

g x e xx x

Primitivele funciei g sunt:

x xg x dx e dx e C

b) 2 2 2

1 1 11 1 1 1 ...

x xx f x dx x e x dx x e dx

8/11/2019 Rezolvare Subiecte Bac Mate August 2012 m2

5/7

http://variante-matSe folosete metoda integrrii prin pri pentru integrale definite:

22 2 2 2

2 2 2 2

11 1 11

2 2 2

... 1 1 1 3 2 3 2 3 2

3 2 2

x x x x xx e dx x e x e dx e e e dx e e e e e e e

e e e e e e

c) 1 1, 0x x xh x e f x e e x x x

3 3

1 31 3

1 2 23 3 3 32

2 2 2 2

2 2

1 1 2 16 21 1 1 2 3 8 3 3

1 3 3 3 312 2

x xAria h x dx x dx x dx x

8/11/2019 Rezolvare Subiecte Bac Mate August 2012 m2

6/7

8/11/2019 Rezolvare Subiecte Bac Mate August 2012 m2

7/7