NARCISA APREUTESEI DUMITRIUCULEGERE DE PROBLEME DEANALIZA MATEMATICACALCUL INTEGRAL1.2CUPRINSCAPITOLUL 1. SIRURI SI SERII DE FUNC TII1. Siruri de functii - 62. Serii de functii - 133. Serii de puteri - 244. Dezvolt ari n serie Taylor - 295. Probleme propuse - 37CAPITOLUL 2. PRIMITIVE. INTEGRALA NEDEFINITA1. Notiunea de primitiv a - 402. Metode de calcul pentru primitive - 463. Probleme propuse - 57CAPITOLUL 3. INTEGRALA DEFINITA (RIEMANN)1. Denitia integralei Riemann - 602. Teoreme de medie -643. Clase de functii integrabile -664. Integrale cu limite de integrare variabile - 715. Metode de calcul - 746. Probleme propuse - 80CAPITOLUL 4. INTEGRALE IMPROPRII1. Integrale improprii de speta I - 822. Integrale improprii de speta a II-a - 883. Integralele lui Euler ( si 1) - 933. Probleme propuse - 96CAPITOLUL 5. INTEGRALE CURBILINII1. Integrale curbilinii de speta I - 982. Integrale curbilinii de speta a II-a - 10733. Probleme propuse - 121CAPITOLUL 6. INTEGRALE MULTIPLE1. Integrale duble - 1242. Integrale triple - 1383. Probleme propuse -148CAPITOLUL 7. INTEGRALE DE SUPRAFA TA1. Integrale de suprafat a de speta I - 1502. Integrale de suprafat a de speta a II-a - 1573. Formule integrale - 1614. Probleme propuse - 177BIBLIOGRAFIE - 1794PREFA TAAceast a culegere de probleme se adreseaz a studentilor facult atilortehnice si contine probleme de Analiz a Matematic a, si anume de calculintegral. Ea urmeaz a programa analitic a pentru anul I de la Facultateade Automatic a si Calculatoare a Universit atii Tehnice "Gh.Asachi"din Iasi, dar poate utilizat a si de studentii altor facult ati tehnice,precum si de studentii din anii I si II ai facult atilor de Matematic a.Cele sapte capitole ale c artii se refer a la: siruri si serii de functii(un loc aparte acordndu-se seriilor de puteri si dezvolt arii unor functiin serie de puteri), primitive, integrala Riemann, integrale improprii,integrale curbilinii (de prima spet a si din forme diferentiale), integralemultiple si integrale de suprafat a. n nalul ultimului capitol suntprezentate aplicatii cu privire la formulele de leg atur a dintre diverseclase de integralele multiple (formula lui Green, formula lui Stokes siformula Gauss-Ostrogradski). Fiecare capitol este mp artit pe secti-uni, n functie de aspectele teoretice la care se refer a. La nceputulec arei sectiuni se amintesc pe scurt principalele notiuni si rezultateteoretice necesare pentru aplicatii. Sunt prezentate apoi probleme re-zolvate, utile celor ce doresc s a aprofundeze aceste aspecte. La nalulcapitolului se propune spre rezolvare un set de noi probleme, c arora lise indic a si r aspunsul.Chestiunile teoretice sunt prezentate n detaliu n cartea "Intro-ducere n teoria integrabilit atii", publicat a de autoare n colaborarecu Gabriela Apreutesei, la Editura Performantica, n 2005.Autoarea multumeste c aduros domnului profesor dr. AlexandruNeagu si domnului Silviu Nistor pentru lectura atent a a manuscrisu-lui si pentru observatiile si recomand arile f acute. De asemenea, eaeste recunosc atoare tuturor celor care, de-a lungul anilor, i-au acordatncredere si au sustinut-o n plan profesional si moral.Autoarea5Capitolul 1. Siruri si serii de functii1. Siruri de functiiDenitia 1. I) Fie ,a : R ( _ RI) un sir de func tii(: N), r0 . Spunem ca r0 este punct de convergenta al sirului (,a)a daca sirul (,a (r0))a este convergent n R.II) Totalitatea punctelor de convergen ta ale sirului (,a)a se nu-me ste multimeadeconvergenta(1) a sirului (,a)a. Evident,1 _ .Denitia 2. Spunem ca sirul ,a : R ( _ RI) convergesimplu (punctual) pe la func tia , : R daca \r ,,a (r) , (r), adica\r . \0. :0 (. r) Na.. [,a (r) , (r)[ < . \: _ :0 (. r) .Denitia 3. Spunem ca sirul ,a : R converge uniform pe la , : R daca: \0, :0 () ` a. . [,a (r) , (r)[ < ,\: _ :0 (), \r .Teorema 1 (Cauchy). Sirul,a : R ( _ RI, / _ 1)converge uniform pe la , : R daca si numai daca (,a)a esteun sir uniform Cauchy, adica\0. :0 () Na.. \:. : _ :0 () . [,a (r) ,n (r)[ < . \r .Teorema 2 (Criteriul major arii). Daca (ca)a sir, ca _ 0,cu lima!1ca = 0, a.. [,a (r) , (r)[ < ca, \: N, \r , atunci,a&, pe .Observatie. Ne punem urm atoarea ntrebare: Dac a ,a : R,, : R, ,a , pe si ,a posed a o proprietate 1 (m arginire,6continuitate, derivabilitate, integrabilitate), posed a si , proprietatea1? n general, nu. Dar dac a ,a&,?Propriet ati ale sirurilor uniform convergenteTeorema 3 (transfer de m arginire). Fie ,a. , : R ( _RI), ,a marginite, \: N si ,a&, pe . Atunci, , este marginitape .Teorema 4 (transfer de existent a a limitei). Fie r0 0 si,a. , : R. Daca ,a& , pe si lima!a0,a (r) = |a, \: N,atunci lima!a0, (r) = | si | = lima!1|a, adicalima!a0_lima!1,a (r)_ = lima!1_ lima!a0,a (r)_.Teorema 5 (transfer de continuitate).Daca ,a. , : R,r0 , ,a& , pe si ,a continue n r0, \: N, atunci , estecontinua n r0.Teorema 6 (transfer de derivabilitate). Fie ,a : 1 R,1 _ R interval marginit. Daca:1) ,a derivabile pe 1, \:;2) r0 1, (,a (r0))a convergent;3) ,0a&q pe 1,atunci:I) , : 1 R, ,a&,;II) , derivabila pe 1;III) ,0 = q = lima!1,0a pe 1.Teorema 60. Fie ,a. , : 1 R ( 1 interval marginit) cu propri-eta tile:1) ,a derivabile pe 1, \:;72) ,a&, pe 1;3) ,0a&q pe 1.Atunci, , este derivabila pe 1 si ,0 = q = lima!1,0a pe 1.Teorema 7 (transfer de integrabilitate). Fie ,a. , : [c. /] R,,a&, pe [c. /], ,a [c. /], \: N. Atunci, , [c. /] silima!1_bo ,a (r) dr = _bo , (r) dr.Probleme rezolvate1. c) Sa se arate ca sirul de func tii ,a : [0. 1] R, ,a (r) = raestesimplu convergent si sa se determine func tia limita ,./) Arata ti apoi ca (,a)a nu este si uniform convergent.R. c) Pentru r [0. 1), lima!1,a (r) = lima!1ra= 0. Pentru r = 1,lima!1,a (r) = 1. Deci, ,ac, pe [0. 1], unde , (r) = _ 0. r [0. 1)1. r = 1./) R. A. Presupunem c a ,a& ,. Atunci, \0, :0 () N,a. .[ra, (r)[< . \: _ :0 (), \r [0. 1]. Lund r [0. 1)(deci , (r) = 0) si= 120, avem: pentru= 12, :0 N a.. ra