Analiza Mate

7/23/2019 Analiza Mate

http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 1/218



I

Radu

GOLO

ANALI'



Andrei

HALAI\AY

Radu

GOLOGAN

Dan

TIMOTIN

ELEMEI{TE

DE

ANALIZAMATEMATICA

VOLUMUL

I

Edilia

a V_a

MATRIX

ROM

BUCURE$TI1998



O

M,A.TRIX

ROM

c.

P. 16

-

t62

77500

-

BUCURE$TI

tel.

0114113617

rsBN

973-9254-78-0

€L€M€NN

MRT(

in

Coperta:

Alfted

Faltiska



#L€tv-q€FlT#

*€

ffiNfqLgAfi

JL4ffiT€foqffiT Cffi

'irc.

u.wi*rnrea

tatdkai

#Ee$.

Awdrei

E{a\*aa*3t

(

irii;iins

Ilt:L'f/l\.lt,liuN(.r'['il,

NUN

T0 ltx.{,l,jj

$t

N[-\{ERE

C]()t\,tpl}lxit

)

gl.

fitullirni

ri

lirnctij

C

$2.

\'lril{irni

ordolaic

t3

fj3

Nurrrt:rc

nal,rrralc.

nurneri.inl,fr:ll-i.

nrrnlr:r(,r:rLiorale

X,iultimi

nrrrr,i,rabilo.

$

ilrr Li

4

(brpul

ntinxrrr:lor

rc;rlc.

$ilur.i

rJc

lnitrerr:

rcalc,

$1.

llurnerr:

ccmplexe

ttj.

iixcrr:i1ii

()apirolul

li

sPA'f Il vl r,t't'lt.i(j

Ii

{l. Spa ii

mct,ricc:

conieigoit'\i:

topologi.i

.ojnpl.+,ituilir.

2.

Spalii

norrnatei

convcrgcntra

uli{brmi

$11

Spa{ii

crr

produs

scalar;

polirroarne

ortogonale

$4.

fulultinri

conlpa(:l,e

in

spalii

mel,rice

$5.

Exer.crlii

ijapiroiui

l-I I

(JoNTINI]ITATE

,

\l

(,,r,trnrr'tr

"

1,:l,a(1

rr..

rfJ.,

2.

li:or:tita

rojtttaL:ii.j

ii

l,iioc{iorraic

li

opcrato i

jitriar

coltiliri

ru

spalii

norrnate

4.

Cr'1,r:r'a proprietiti

alr:

spa{irrlrri

normal

R',

It

r

j^-,....i,

^+..

$6.

$irLrlt

11c

f.rltclti

corLliriuc

. i.

Excrci{ii

Capiiolui

iV

IN'T

'GIi,AI,A

RI}]i\{ANN

[1.

Funclii

integralrilt:

Iiir:rnann

pe

intetvaie

rornpar:l,r:

clin

R

$2.

Crilcliul

dr: int.egrabilit

ate

ll.icliirnn

al

lui

Lerbesgrre

$3.

Tnicgraia

Riernann pc

jntervale

a dimeusionaie

compacte

<jin

R" .

lj4

,.oi) .1.:1.ii le

llr.egraler

irlr:.lrl:i

ale

ltlc+riilor

ilteglabl e

Rietltul

ne

inlclvalc

l-d

imeosion

a le

f.jt tpac1..

$5.

l.lnele

mirimi

dclinitc prin

int.egrale

Rienaln

$

5.1.

Volun

5.2.

i\{

asi

i)

l{

lr

JC

li3

i]5

:l{t

.1J

i1.

;,i

iii

\(:,

d:l

6,r

(li

?:i

i6

7

78

84

86

9,1

9i

98

9E

5

J

r',

n' r'r lc

g-qrtt;rre

$l'.r.4.

Nlorrrentul

de iner{ie

in raporl

cu o

axi

{i6.

lnt,Jtral"

'

rr

pirirln^rrrl

\7

lrrrogral"

:'e

rrrerrdl- nnnrargit'it"

$8.

in:egrail

peniru

rurele

frlic'1ii

oeiiiSiginiie

9.

(lc'nvergella.

uniformii

a

unor integrale

cu

parametru

$

ln

l.x^r.iqii

Oapitolul

V

DERIV

\

tJl

br

Pl-tl\il

llfr

jl

.

Derivabiliiate

pentru

furclii

dc o

variabild

reali" sau compicxX

$2.

D,

rrvar"

part,ral"

i;1.

l'rimitive

qi

calcuiui integralelor Riernanl

$4

[

ormula

laylor

$i.

I

unrl.ii

eul,:riene

$6.

Cit,eva

tipuri de ecualii di{erentrialc

Ji6.l.

Iicrai,ii

tu

varia.hile

seoarabilc

$6.2.

Dcua(ii diferenliale

a{ine dc ordin

unu

$6.i1.

Ocualii

diterenliale

de

ordin

doi

cu coeflcienti

constanti,

('MOg^nF

$6.4.

Ecualii

reductibile

la ecuatii de ordii

doi cu coeficienti

constanli:

ecualii Uuler

qi

ecualii Cebigev

.

$7. Convergcnla

unifornri

qi

operaliile

de

pritnitiva,rc

Qi

dcrivare

$,r.

Exer.r1,i

Oapitolul

Vl

SENII

i1.

Scrii

in

sJralii lSanaclr: definitii

Ei

propr;ctdli

gererale

$2.

Serii

de numele

rcale

qi

serii

de numete co[rpiexc

ld.

rtrrr

rI

i,",i (r'

$4.

'l-corema

de

exisienlri

qi

unicital,e

locali

a solrrtici

problemti

Caucliy

p'

nilr

'\'uaii,

,Jii.i,

i'iiai'

31.

Serri d"

prr',

ri

|]6.

Serii

buricr trigorrornel

rice

$

6.1.

Considerente

generale

[6.2.

PropnctS.li

lcaate de coeficientj

$6.i3.

'Icoremc

de

convergen{i

$6.4.

Consecrntc

ale Tcoremei

lui

l"ejer

iii.ii.

lkc;iri,lul

hii

'J-,tiersi

r;;; J. lur

',it

11:"1i1,11

rl'ri'- 1h11

1

af

i,

r

plln(t

$7.

ivir:toda

scparblrii variabiieior

$?.1.

I'roblema micilor oscilalii

libere

pentru

ecua ia

corzii

vibrante

fixat'

$7.2.

Problerna

oropa{5rii

ci.ldurii

in flre

q,J.

h:\"r,-itii

-\olL,

.

I}]BI,IOG

R,A

FIE

I],TD

I('L

98

9{)

1C0

t01

1 0:-r

109

111

114

i 1.1

121

i33

135

138

r39

140

1,4')

141

1,15

147

150

150

157

-thn

169

182

182

185

188

194

196

i98

200

206

208

210

\'Ianrralul

d<:,\lalizi

rczult,iit

atrt

al

acti\'itiili

din

llu(ur('{lr

cil

qi

al for

l)irrt

rr

ar elt ia sc disiinge

ln

sr:lcclia rrraierialu

pr'czc:nt

iiri

r:art'

si rcspecl

acc,plririi

unui

crl,

lrai

rr;

aparatul nrateil:il

ic servc

,,\stlcl

s-a

urnririt

d,

ar:esl lucrLr

xu

a

{ost

Poi

dcrnonstra{ii.

Ordinea-

in

carc sc it

dc

obliga\iir

unci

preg.i.ljri

cit nrai rt:perlc rle noIittli

a cair:ulului dilcren{ial

qi

:

Drpd

Lir

capitol dedical.

(

paleior

proprietili

alc

ru

struclrrrilor

abstracte

dc s

cu

relirirt:

inrcdialii lir R"

cstr, ficul il cirdrul

{.n.ra

contrac i.i

;i

r:chilalcrr\a

i-rrrroazi

ir

(lapit.olu

(n-duronsronai) cornpa(t

lale

a

criieriului

lui l,obei

ini.rvaie

n.(oiriDactc.

\o{iu rrilc

tlc

dcni a(ii

,..,".i"1,it;

q^,t^fi.."r".

r:alcu)rrl ini

egi;r,iclor plirr

Sirrt definrte fitnr:1iil,

accstota.

rrrrlluL rdtIui Jr ]

-.paiii

ilararh i,sie

folosii

Sint

prczentalc qi

proprie

seriilc

l'ourier trigor)orlel

'fr:orerrr:i

Cauchl

Lipschit

Irttroritr<'crc

l{arttalul

cl.

i\rralizii

tirat.rrrirtia:i

pc care

il

propttlr:tIr

i)rtli

ir'esl

print

\'c'lltrr

istc

rczultal.

attt

;rl ar:trvitiitrii

drsfirqltralc

de

iirttori

in

cadrrri

I nivorslt;lL1

I'''irttIt'i';I

rlirr L|r<:tt|t:qti

crt

qi

al

li:rtrrirli

Ia nlalorrratir:it'ni

srllr

tnllliIn1ir

ltnc'r

profcsori ilu\tri

l) inl

t,

ace iia

sc

Lli-stirige

Nlirrl.in

ltrlrlrest:tr.

rrrrrrorici

ciiruia ti

tlcdicirrr

a(r'asi;i

carli'

irr

sr lrclia

rrtai"rialnllrt

I

a

(:'tlilill

l)eslrirrea

rtttrri clllilibrtt

i'rir'

rr3"f

i'

lll"

Ir.r,zcIt,iii;

c;rrc

s,i

i,

spcctr,

s

i

a

rl

r

I

I

I

r L I

, ,

I

.

lt/.udlr

llr

tL

alL rrr,r{iL

'

;r,

tLr;rlii

qi

rlcc('si it1(:ii

ac()p,.rirrr

Ltnui

t:rt rrrai

rr|rLr, rolrrrrL

rliIi

c|r'a.

cc

r:ste

lttilizai

dc

tirrrncltiil.

lr{' r1rll

(

ill('

ilparalLrL

Inal(tttlalir

sfivr\1.{r

la

lllotleldrr'a

le ltottrctlelt-rt

realilii{ii

,\st{i:1. s

a tlrtltiril

(lclllonstrilr€ra

iulllror

r:trun urilor

rlal'r:

ltt

rarelc

(azltri

cliid

accsl,

lrtclrt

lu

a

{ir-1

p,rsibil

sir l

irldi.al(:11111i1ile

ln

carc

s1)

pot

giisi

rtspr:ttircic

rlcinolsl

rir ii.

()lrlileairr.at.s(,illtro(lu.rlivt:rseleobieclcrnatcniai,icecsl.d.l(]llllinlrl:riLIii

rlc

obh.ralil

utiri

prcgi.liri

prcalabile

<lcfinirii

a<r:stora

cit

qi dt:

iritrn{ia

dl

ir beur:ticia

crl nrai't,'perlr'

,lc n,,lirrrri

cn o

lrrgii

lolosirt:

S-a

inccrcat

asllel

d'r\oLtar'a

in

ir:rralei

a caLr:ulrlui

rliir:rcrrlial

1i

a

i:r:lui inlcgril

r{rrllLrtlindli

se

la

''rcpalar'4

l"r

tiiidilion;rli

Llupii

urI

capitol

.ledical

ciiorva

elerr'l.r1e

(ic

t,eo|i;r nrrrl\llrrriL:'r

ii lrrezi'nliirii

lrirri:i-

pale:lor'

proprit:ti1i

Dlc ulrlllar'lor

r'e;rlc

5i

alc

nlllllrJclt)r

(''nrpl'x'

rrlrrrta;:l-r

rl'iir:ircir

.t,r,t.1,'ril,rl

ai)slfacte

(lc

spa\itl

olelll(r.

de

splr'1itr

tloItrlal

dc spa irt

ctt

ptoriLt::

srirlar

cu

rc{i:rilt:

inrr:rlial;i

la

i'l".

Srrrrlirrl

c

,

I

t t t

i

t

r t t

i

t

ir

1

i i

qi

al

lr

nrlr

r irri'iit,

i

it-'l legirtc

11c

act:ir:rta

.st(, 1i.ur.

irr

irrrlltrl

qi.rrcral

ei s1;a{iiiol

lrtt.lic

lr

({)tll(:ri,

st.

rli'trrotlslrcarlil

I)ritlcilr;ril

.i)lll,r'aa i.i

il

c.hiIrll{'llta

rr,;rrrrr'1or

p,r

fi''

('rrteazi

tti

(

af

it,,lrrl

l\

,leliriir|a

tlLrllitirii

rlc

itltt'g|ala

Rit:ttlrurrr

l'"

rrr' ilrr''t

r''rl

(ri i1 .rrst,rrrlrlj.orllf);r(t

.iitl

iii''

crL ricrrroDslia.rt:a

ua

pliucilr:ri

.Iitc.iu

.ie

lui,r:giiii,iii

tate

;r

crireliuiui

lrri

,t'Lesgtt,.r. Sini

riclirrilc

ittttrglal' l

'il

iraiaii'i'r'rl

rl

li

i

6ial'

ll

l't

irt

t

r'vale tr

cco

rtt

pi'rcl,c

\r-,lirrnilc

<1r:,1r'riraiiqi

ptitrritlln

sirrt rrltr()dus.

rn

(lalril'rlLrl

\

i'

rLlrLr

ilr:I'

I

I ll

o

lirri:,Liii.

(,'

rl.lilr;1r' i

lorr,rrrrt'a

,lr'

,l:'riv.rli

1r;rlialir

PrirrriLivlL'

srtrt

rliilizalc

i;r

calculrrl

irrlr,gia|rlor

Plrrr

irtterrrrr'lirrl

l''rlrrulci

i'r'tbniz

Nlutotr

Sirri

tli'iirit.r

lrtrrcliiL

crrL:rictt''

1x

i0,

o:,)

1i

dirlrrs"

lrrinr:ipaLrlc

prol)riu1i i

llc

iiliir,,ti

i,,1,ii'i. ai

','i

ir:a,

iil iojuri,iiliii

i

t.ii(r

rtjir;'ttiiii:;r'lllioi

'li:oli::iriilci

jl:

,.1'."iii

iiaiiaih

i,sir

folosiii

j).iifiii

;iirili.i.a

:r('l.iilor ljrjlreli.{'

;i

a scriilor

rle

furc1,ii.

Sirr

prczelrtalc

.i

prol)rieiitri

l.galc

tiI

srriilc

duble

Srni

sltldiat'r

s'riiltr

tlc

prrl'eIi

5i

seriij,, ,r,ilri,rr

tIlgo

oi ,ttri(,. se

ilcrrrorslrcazi

in

cdclr:rl

studu.rii

seriilor

dc

iir[ciii

,lcoretnl(,aur.h1-Lii)s.ltiiz(le{txisierilali

'Uricilltr:

a

sc,luliei

piohlirrtci c'atil:h}

iae

c;r

exempiu

de

ll+,ilizare a seriilor

Fourier Lrigolometrice

este

prezentatd

rncloda

separirii

variabilelor

pentru

ccua(iile

uridimensionale

a undelor

qi

a cdidurii.

Apreciem c;i, acesl,

ma.nual esl,e

folositor

tuluror

celor

care utilizeazi

maiematica,

in

speciai stucientiior

qi

speciaiiqtilor

<iin

riorncniui

tehnic.

NIul{imi, func{ii,

Mullinn;

f

amilii

d,'

pdr[ilor.

MulJimi

subgir, mullime

nt

lui

Arhimed,e;

ari.or

propri,elalea

margit

leria

lui

Cauchy.

lard;

qiruri

de num

$1.

MULTIMI

$I

FUNCTX

in

cele

ce urmeazi vom

Definitiile

gi

axiomele

preze

calculului

cu multrimi

qi prol

aminun{iti recomandim

[21]

Nu vom

deflni noliunile

,

r

poate

apartine

unei mullim

DoFrNrtrE.

FieX

omul

X

dacE orice

€

Y

este elerr

a

lrri

X

se noteazi

prin

Y

g

-

ci

incluziunea este

slrictd.

A

se folosi un

semn special.

Axronre

uur,lrurr r,inr

P(,Y)

numitl

r"utlirnea

pd,rl

Axloh,la og ExrENstoN,

dacS.XCYqiYCX.

AxIoMA

MULTIMII

VIDE

mentuir,a(6.

Rezulti c[ oricare ar li

Not5,m

{a}

mullimea

cu



CAPITOLUL I

Nlu1trimi,

funclii, nulnere reale

$i

numere complexe

Multinti;

fanr.tlii

de

elemente.

Functii;

erliuderea

la

mullimea

pd4ilor.

Multtmi

ordonate. Multirnea

num.erelor

nalurale;

gir,

subgir, mullime numd.rabr.ld..

Corpul

nurnerelor

reale;

axioma

lui

Arhimed,e; ari,oma Cetutor- Ded,ektntl,

nenumdrabililalea lui,

R,

propri,elqlea rnarginzi

superioare. Lema Bolzano-Cesaro

9i

cri-

tertul lui

Cauchy. Corpul

numerelor complexe; reprezentare

po-

lard,;

sirun.

de numere comTtleze.

$1,

MULTIMI

SI

FUNCTII

in

cele ce

urmeaz[ vom

prezenta pe

scurt

citeva elemente

de teoria multirnilor.

Definiliile

qi

a-xiomele

prezentate

sint menite

si,

introducd.

obiectele

esentiale

ale

ca,lculului

cu multimi

qi proprieii,lile

esenliale

ale acestuia. Pentru

o

tratare

mai

amd.nuntitl

recomandd.m

[21],

[16].

Nu

vom

defini

noliunile

de element

qi

de multrime

(noliuni primare).

Elementul

e

poate

apar{ine

unei

multimi

X

gi

acest

lapt

se

noteazS"

e

€

X.

DEFINITIE.

Fie

X

o

mullime.

O multime

Y

se numeqte

parte

(subnul[ime)

a)ui

X

daci

orice

g

€

y

cste element

al

lui

X

(Vy

e

Y

.+

y

€

X).

Faptul

cd

Y este

parte

alrri X

se

noteaziprin Y

C

X

(Y

este

inclusinX).

DacXl'

C X

Si

Y

I

X

sespune

ci incluziunea esLe stricld,. Acest

lucru

va

fi

rnenliorrat

explicit,

cind

este

cazul firi a

se folosi un semn

special.

AxIoul

uur,lrnall

piRTILoR.

Pentru orice

mullime

X existd, o

mullirne

notati

,/

v

\ .,,-ir

4

,-.lt;^""

^n.t;l^,

1,,;

v

AxroMA

DE

EXTENSToNAL|rarr.

DouS

mul{imi

X

qi

Y sint

e4cle dacd

qi

numai

daciXcYsiYcX.

AxroMA

MULTIMII

vrDE.

Existi o

rnuilime

{i

cu

propnetaiea:

oricare

ar

fi cie-

meni,ulr,c(0.

Rezult;

c5 oricare ar Ii

mullimea

X

,

A

C

X.

Not5m

{r}

mullimea

cu elementul

r.

Fic

p

o

propdetate.

Nolilr

{:r

I

r

art:

p}

rruilil]}ca

clementelor

r

r:are

;.ru

prol;ri

elateir

p

dit{ri

o

aseltenea rDultimc

oxisti}.

Din alte

a-tir;rne ale i.orici

rnrrllirnilor

al c:dror clunt,

mai

telrlic.

lx)ate

fi

gasjt

irr

121.

Ca.p.

l.

$1],

reztltl

exisienla

iiiul{iiriloi

.liii

riefi;iiiiie

.aiij

i irred/-,.1.

Di.:i.ilrl'iil.

Sc

ririmt:;itt

t

eu Li:uritl tnulititrriirrr

-'i

qi

i'rnuiiicrca

-YUl'=ir

ze

Isauz€l'].

Sc nurneqte

in,tet

setlta

rnullimilor

)(

qi

1, rnullirnca

-Ynf-

=

{ir l:r:

e

-{

qi

r

e

r"}.

-

Fie

1'

C

,r.

Se nunrcE|e

r:ornplemenrara

mullirnii

)/

in

raport

cu

_I

mullimea

C_1

1-

=

{r;

€

X

lt

/

Ij}.

Daci

mullimea

J

este

subirlelcasi

se r,a iblosi

notalia

C},.

Dac:i

A.B

e

P(-X) definim A-

B

-

{x ln

e

,,1

qi

r

/

B}

=,{flCB,

numitd

u//rrrlr{rr

rjrulrrnrt]rrjr

d

tr

D.

Operalia.

de

trecere la

compiementard

are umetoarclc proprieldii,

aie

cdror

deuronstralii

le

propunem

ca exerciliu.

PRoPozr'frA

1.1.

Fie A-

B

e

P(X).

a)

c(l

u

B)

=

c:t

n

ca.

b)

C(A0B)

=CAUCB.

DITI,INITIE.

Fie

z,

g,

elemente.

Se numeqte

cuplu

(pereche

ordonata) multimea

..lel

'.

-,

-.

:

=

{.r..r)

=

llri,ir,U}}.

Rezulrb ugor cd

pentru

doui

perechi

ordonate z

=

(r,9)

qi

z'

-

(.;t:'

,u').

7.

=

z,

.:+

t=t:'Ery=g'.

DEFINITIE. Fie

{. )' mullimi- Se numeqte

prod,us

car-tezian,

(rJzreci)

mrrllinea

-lg

x

I"

=

{(",y)

l

x

€

-Y

qi

s

€

f}.

Aqadar

produsul

cariezian constd diu

toate

perechile

de

eiemente.

primul

din,{

iar

ceiiiait

dirr i'. Accasi,ir, loiiul*

esu"

i"gara ,-ie

lea

ri.'

reia1i,.

iu iiili;i1jui 11bi;lrri|

o reltilie inscarnrri o legaturd, intre

anumitc

clcncnte.

Este dcci rraturald

uri]rdtoarea

cicfiligie.

DEFINIITn.

Se

numeqte

rclotic

o

submullime

Rc

I x

l-.

O relalie ??

C

)l x

X

se nurneQte t elati.e de echhnlenlii,

1te

X daLrii are

propricl.i{ile:

i

)

(r.

r)

e B Vr

e

-t

(rcflexivitate):

2'1

Q:.u)

e E

<+

(y.

r)

€

E

(siuretrie):

3)

("r,

g)

e

,t

qi

(y,

z)

€

-R

+

(r,

r)

€

1l

(rrarzitivitate).

i-

t"

tr

o

rclaqio,io

o|iri|ajen(a

pt'

\

. Ppnlru

-r

E

.\

rir

iinitn ci,1rn

q|

r

ittntir.ttlo

o

ftrz

r:

in rifport

cu

fi

prirr

i

-

ly

e

X

I

(2.9)

e

ni.

Multimea

claselor dc rr:hivalcntii

iri

raport cu R sc nurncQtc ntu,lfi,rte.a

lactor

a

lui

X relatfu

la

R.

Aceasta

sc va rotil

cu

Jl

sau

,\/fi.

Obsen.S,In c , doul c]asc

dc cchir.alcnlii diferite

au

irtersectia

vid5.

Excrnplele cele

mai

crrnoscute

de rl}u]triuri iactor

sint

mullimile

2",, n

)

1.

oblinute

,,:. ',,,,

.-l

,.^t...:-.

r.

.,..,..r;,.

^o,,

_

"

_

".

,_^ I

-,

,rilr

li,"

'll/dr\d

,\ .i.

rrri ('r ri.li -1 r

-

tr iriiiru

i/i.

Tot

de noqiurca rlc

produs

cartezlan se

lcagi

gi

urmitoarea

defiliqic.

DEL iNtTTF. -ie 1

qi

-{

mullirni.

Se numc6te

farn,rlie

de elem,ente din X indenatd,

d.v.pri

I

c

submullime

f

C

I

x

-{

cu

proprietatea

V?

€

1l

:i,.r

€

-Y

astfel

incir

(i.t:,';

€

f.

O farnilie

se

\.'a nota

("i,)r€r

sau uneori

i:r,)161.

10

Cu

clctrLtrrtellel

tLrtei

fi

ulnril

oiifa.

I)r-FI\tl:iE.

l-ic

(.\;

)ie

l-.1

.1,

-

{.r

,

e

1

as,

{l

-1,

--

1..

ir

€

-Ii

V

taI

fl

.1i,

-

ii.riJi,

/

i.|,

(

I)riint

lt'ikru;t

llittlt it:ti

ca rrLrrllirne

rrc iild

atlttlci

r

-\

\Io\lr

nl.l'(iElill.

f

.t;'

1

0.

iir

rLdiliqia

ttltllil

r)ai(

diiilit

ri

dr:

t

,:ra

folo-.itii

itt I

rrai

lrilc

itr eiirLt'ttlit

lrli,pr

Ll]]fl\l

ittt.

Fie

,\

li

' tripletul

/

.-

(.r.

t.

a;)

l

i (it

(r.

t/)

e

G.

'\rtsr

1

I

rTtutftiie

donrcni

d.

t.(rlot

Clrr

rLtc

crrvirtlc. o

firr

i)f

ilrt1---o

rlr{,to([A

l)a]

('citl

c

In

ccle

cc tuureazi.

fit'

',n-,rri

.; r'.,,

-fii,

\ : , F'

ExFr\11't.t..

)

F-i{'.laE.

tiuxlit

s.

nlrriarsra

.f

tnr:1it

r

nrtlt

2l

'il

tl rr relaiic

rl<l

e

lui

-\

r't'latil

lr ll. fiuru

aiirfii)lia

ar

i:r il:r

\,

ire

l:

Fiinrl dat

ii o lrurcqit'

,

.lac:i {

€'fi

f).,ll-1)

trnag:tn.cu

lti )

ptit

,f

.

Darri

6

€

2(l

).

dcfir

E

pr

ir

i.

E;rr i\iPi.i..

r.riC)

=

{1}.

VC c.'

i.r{D)

=

{0.

i}.

vl)

\

lrilrlr-Lr;\

t

1i

il

Cu

i'lr:itu'rteie

rurei

farrrilii dc

rtrrtllirli

I'om

coltsirui

loi

rnul{inti

iri defini{ia

lrft)1ii1.oaril.

l)t FIN1'l.lE.

Fic

(.Ii);51

o

i;ruilic

Cc

lrul 1rli.

Delitirrr

-f'

- {.r lir:

e.I

artlii irr:it

.r

e

-{;}

(r'eurizur't'o'1;

|

.f;

= {.r' :r

€

-\1

Vr

€

Ii

{.inkt

srL:litz):

iel

fl

- '

- {(.r1);-.1

i:r;

€

-\;

Vi e

ii

lprotusul

dinr:ti'

I)rirnr:1c

rk[Li

rttullittri

exrittcl

rxrlittni]c

clotirrir,e

arlerr-ior'

Erist'r:r a

celci

clc-:r

lteii'r

ca

nurilitnr'

l c\,idi

atrulci

r:iril

-Y,

f

{tr

Vi

este

(1ati1

(10

ulnit'oaretl

aliLinra

,\

\1()\l

\ A t.li(iF-lt

l

.

n'

i,{;),.

r

o larlrilie

de

rntilirni.

Dat:i

-Y;

l

0

Vi

e

I at'unci

.Ii

+

{i).

irr iLcliniliil

urr]riiioare

1)rlriel1l

iln

o

rllanierii

r.lc

a

intr-odut:c

notiuuea

dc

fullclic

tlilllitii

de

cea lirlositi

irt

trr;rrtualele

t1e litt'1.

il sperauta

ci

itt accsl

tirotl \1)r

ii

pu're

ua.i

bilc

irt

er-jdt:rrtti

Irr

r,irr

ict.itilc

e.rcr1lia1e.

Dri't\filll.

I'ie

,Y

ti

}' rrrul{irni.

Sc

mrroeiitc

/?r?rcl,e

dr:Jinitri

pe X cu uaktri

t)n

)'tr:ipletul

/

--

(-Y.

1,4'')

unrleCic-{

xY are

pr-opliel atea:

V:'t

e

I

ll

U

€

l- astf(

i

irrc'it

(J.

)

a

G.

Acost

y

st' troictrzi

/(rl.

I sc trurteSte

dttmerirt

de tle'Jintlic

l'

st:

nllmeqte

il.)i7iclr;?r

tlt:

t'alrni

tt'r

C

se

rtulte5Le

ora

Ji

cul,

.funr:[iei

f'

Crt

altc ctrr,iltc.

o liln(:lie

se oblintr

cinrl

liecdmi

eienient

a din

{

i

se

asociaz5'

lrrirrtr'-o

rrctotli oiir{)care

uri

ttnic

eloirrent

/(r)

dh

f' Gra{icul

tiirrclici

;'estc

G'

G

r

d

{(r,

./(r))

n:

e

-{i.

in

ccle

i:e

r1r'rleazi.

tuncliile

(-{, }',

G)

vor

fi

rrotate

pril

/

:

-t

+

}',

lokrsiirrlt

sc

..rlcori

5i

lot.alia

.t

:

r

'+

,f(z)

e

)'-

ExRIutpt-t.

lr t.,

t

f.

l,r,rr,i;,

i r:

I

'rr.

I,

rllrrr'r

1'

rr,

,.,i')=il

lr'1

(l .1r

se

l

urrir'.<1

e

./rnr:trin

(tintctt:r'istiti

a

nuiilinrii

.-1.

2)

|io ii

o

relirlie

rk:

eflii\?1erl:i

pc.Y

qi

{ic

-\

-

1-t

i.r:

€ -{}'.lrrilitn'a

iatr",

a

lui

-\

rr.lativ

1:r

,R. lunclia

7.,

: ,\

+

-f

dr:firritii

piin p(.i:i

=

i sc

nume\ic

opli.:rriirr,

.,.,.-^^;-;. i,'i l_

^a

\'_

Fiind

(lali

o

{rrlr:1ir

"l

:

I

-+

l'.

,Jafiiirrt

ertitiderea

sa la

rruiliuerii

pirlilor

pril:

daci..i

€

"(,{).

/{.1)

-

{g

€

}'

j

i:r;

e

-{

astfel inr:ii

l(r) =

g}.

,ti-{)

sc rrrrln,'\iF

inag

r.e,t, hti

1

priu

J.

Dacd,B €

2(l'),

dcfiuini./

t(B)

=

ir

e

-Y

I

/(:r,)

€

B)

mirniti

pre'inrughrca

lti

tJ

lrrin

i.

LXt.\lrt_L.

YrfC)

=

{

1}. VC

c.r.

.r.i(t)

-

i0.1], VL

€

P(,{).

c'r

proprietarc:r

DOA+$

Dnt,t

+$.

r;'({oil -

Cr,

r.,'({i}i

=

.+.

11

Extinderea

unei

functii

Ia

mullimea

p;xlilor

are u-rmetoarele

proprietlli

a c5ror

demonstralie

constituie

un

exerciliu

util.

PRoPozrTrA

t.2. Fie

J

:

X

-+

Y

a)

Fi,ind,

datd,

(Ai1;61

iamile

de submulli,rni

aie

lui

X

au ioc:

t(l)ao1

:l)f

{.+,);

(

1.2)

(1

3)

(1.4)

(

1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

,eI

r(fr/''cfff{,t,);

'i€I

i€I

Ar, A2ep(X),

Arc

Az+

f(At)

c

(Az)"

b) Fiind

datd,

(81);a1

o

fam,ili.e

de

submullimd

ale

luiy

au loc:

t

-'

(l)

nu1

=

l.J

r-'(4,);

id

iel

Demonstralie.

Fie:

J:I

lho(so

[(hos)o

qi

asociativitatea compunerii

Se

observd cd

/

o

idl

-

drept

elemente

neuire la

con

Sint

numeroase

exemple

punere.

Astfel

sin

(r2)

I

(sin

qi

iau

valori in aceeaqi

multi

sin(r2) are atit valori

pozitir

DEFINTTIE.

Fie

,4

c

X

aplicalia

de incluziune.

Fiinddaii/:X"-i/,fl

Rezult5

/la(r)

=

f(iA(c))

=

DacLu:A-Yesteofi

se

numest€

prelungire

a lui u

$2-

MULTIMI

ORDONATI

DEFINITIE-

Se numeqte

r

cu

propriet;lile:

1)

(x,x)

e

r?

Vr

e

X

(re

2)

(x,y)

e

n

qi

(y,

a)

e

,

3)

(r,y)

e

Rsi

(y,z)

e

t

NorATrE-

Condilia

(c,3

de ordine

prin

r

( g (c

rnai

;

DEFINITTE,

Se spune

ci

stx*y.

DEFTNTTTE.

O

multime

mu\ime

ordonald,.

Se va folos

ExEMPLE.

1)

Q,

multrimea

numerel<

2)

Fie

E

o mullime.

Rel

DEFTNTTIE.

O mullime

nume$te

lordl

ordonatd (relat

Oesonvllto.

Daci

E

ioial

ordonatd..

/-'(fla,;

=

|/-'(a;);

iel

ael

Bt. Bz

€P(Y).

Bt

c82=

J-l(Bt\c

f

\(82).

vB

eP(Y),

"f-'(CyB)

=Cxl-,@).

DDFINITIE. Fie/;X-+),

/

se numeqte

injectiud

H

Yq.rz,

xt

*

rz

+

f

(r)

I J@2);

J

se nrrmeqte

surjectiud

€ Yy

€

Y

)s

e

X

astfel incit

f(d

=

U:

/

se numeqte

bijectiud

I

f

este

injectivi

qi

surjectivS,.

OBSBRvATIE.

Condilia

ca

J

sd fie injectivi

este echivalentS.

cu

Yr1,12

€

X,

J@1)

=

f

(r2)

++

nr

=

x:2.

DEFINITIE.

Fie

I

: X

-+

Yy, g

;

Y2

-+

Z,

f(X)

C

Yr.

Se numeqte

cornpunerea

funclii,lor

J

qi

g

funclia

s

o

J

: X

-+

Z,

(s

o

f)(r)

=

slJ@)1,

a

e

X.

DEFINTTIE.

Se numeqie

/zncfi

e

i,ilenticd

(sau

identitate

pe

X)

funcqia

id;

:

X +

X,

ida(r)

=

a,

Ys

E

Y

Se

mai

noteazl

qi

11.

Oeseavalre.

Qro*

=

{(x,x)l

n

e

X}.

PRopozITrA

L.3.

Compunerea

funcliilor

este

asociatiad,

(tn

condilii

de bund,

def.rfire), are element

neutru

la

sttnga,

element

neutra

la

dreapta

qi,

nu

este

cotnuto,-

ti,ud.

1)

-4.

i).r rr

)rrsl

ra

{re

lic:

I

:-1

--

i.i.,t :

Il It

('

-

l):

Ino(coJ)iia)

-

tt,,ilt a.f

),.'):

-

i,iai..fit')jl.

i(ri

o

r)c.7"11(rr)

.

it

o

r)i.i

(all

-

it:,L1iji3

i,i.

qi

as<x

ia1

ir ii

iiir:it

lotr

lr,trrr't

ir r'slr'

r[,tnonstraii

ge

obscrvii

ci

j

o

i,l;-

,-

./

;i

irl1

o

.i

-

.l

\,1f :

.\"

-

i.'.

r|rri irJa

qi

irlr,

:icr'"est:

clt'el)1 a (rrlrlrltc

llilil i lii

(ourl)ulerc

li\

1 t1nll1:t

ii

r.si)a.ti\

la

sll,gil

Sil+"

urlrrolsr.eretnlrlci,'rarr

evidrll{ilzi

leL:ollLlllitlivitaLea

opr:raItei rlr, rorrr

puncr. ?\s1{llsirr

(.r:)

I

(5ir.r)?.

(lcl.

rloui

lirrclii iru a<:e1aqr

clorrrenirr

rIt

rIr:iil1,ir..

iR.

;i

ii:u r.llor

rf

ir..i,:rli

triLtltirLt.. R.

dlf

l]l

Iill l)

1"

(sirr)l

rLre

r-rrrrl]aivaiori

rr<rrii,i|r,

sitt

1.rr)

rtt lltt \alcii

Iozilir,r'

ctt gi rr:galivr,.

t

DEFtNiltl,..

Iie

,1

C

I.

l'uricqia i_1 :

,1

.

X. i1(,o)

-

.j

Vrr

e

I sr

nrjlr(.\te

rTtltut"ltt

tlr

t

n

tlr.l

ln(.

'ii,'r,l

r.iaii

.i

.

-\

--

l'.

[riri'1ia./'],1

-

i.oi

1

.,.

;iiiiiir r1e iirtliiiiiij

lrrr

I

la ..1

a

].

Itr:zLrlti

.fi-1(.r)

=

./(/

i(.r))

,

.,i(.r.)

Vr

e

.1.

ilacii

u:.1

-

l

r.stco

lirrrclrt'11aiir.

o fLr:rclii.

r.:/J

-

i'L.u

itol)rierat.a

rl_1

-

u

s0 Jrrrrr' te

1ft.i

.ljtr(

;r

lLij r;

la

/i

I -,1.

i2.

Mlrl,'ll

\,1 I

OII DON.\

i'ij

Dt,il

t-\lf1li.

5e

rrrrrrtr'q1c

trla(tt

lt

crdtn,

1rr.rrtriJltrtrca,Yosubirilllir..lr/l(, x,V

cll

proprietitil,r:

) (r.

r)

e

P V,r

5

.r;

(r11+:r..

ir:rt.r):

2)

(r

9)

e

1i

iii

(1.,r)

€

Il.,:+

.t

=

(aniisinr(.rrie).

:i)

(x. g)

€

/i

{i

(r. .')

€

li

=

(.r.:)

€

/i

(irrnzii;v1laii.).

Not,\1rE.

tlondi(ia

(r.,

r)

€

/l

(nor.ari

rLncori

;r.ltl) se va

nota

irr

r:azul

relaliiior

tlr:

orclire

prin

t

{t1

(.:t

trtLtt

nx(: sl.u tttl.l

.)t

j).

I)EFlNl

il.l.

$r, ,sgr1illn 1i.

r .slc

\ht .1

tDqi ttr

tlt,c.it

u r('tat

i < l laci

:t :. l

,t

t

+ 1.

I)ttl.'tNt

fut.

O

rrrLrilillc

-Y

lrr:resirill.ii

rr]

o

rclatie

rle

orclitrc

.-_<.. sl. rlnt 1.$i,i.

mullznrt:

.rde'rtairi.

Se

va

fok'si

roralia (- .

-{)

pcnttr

i

ll.s(:lnril

o rrrrllirrre

or(i(,ri i;'l

ExIrltpi,I,_

l)

Cl.

muilirrr,:a

ilutncreior

ra{r,rnalc, r'sic

o rrrul\irne

c,rdoriat,i..

2) |ic

/i o riirrltirne

Fela(ia,.C'(j- 1r,o

lcla{ic.

de

oldino

in

?1E).

IJtFtNl tt;.

O

ntullirrrc

of(lorzrlir

T

irr

r:aro

Vz,.V

f

I. r

-l

l

sarr r7

(

.r sc

nriln. i1c

1r)ldl

ortl.arolii

(relaliit

rlc

ordia,

.stt

t(){irla

pc

aera

rlrrllirne)

OBSERvATIti.

i)aci Ii

arr.cci

lrrr in

cioui.lrnrorl..

alrrn(i

(Z{1i).C)

lu

lst.

Lo1,ilI

oidotal

ii

t3

DEFINTTTE.

Fie

(X, ()

o

mullime

ordonat[

qi

A

C

X.

A

se numelie

maJorotd'

H

:

llZ

g

X astfel

lncii

x{MVr€A.

M

senumelte

un

majorant alluiA.

,4 se

uumegte

minorald

E

3rn

e

X astfel

incit

rn

(

o

Vc

€

-4.

m

se numeqte

un minoronl

al hi A.

O

mullime

simultar majoratl

qi

minorat5

se numeqle

md,rginitd,

DEFTNTTTE. (X, ()

se nurneqte izdrcliud

(indactia

ord.onald;

oS

X

+

0

qi

oricare

arfiACX,A*0,dac{

A

este

total

ordonat5.

atunci,{

este majoratS,

in

X.

DEFINITIE. Fie

(X,

<)

o

multime

ordonatS..

u

e

X

se

numeqte

element

maximal

al

lui X

H Y:r

e

X,u(

a

:+

u

=

r.

TEoREMA

2.1.

(Lema

lui

Zorn)

Orice

mullime

inductia

ord,onald

are elemenle

narimale.

O

demonsiralie

a

acestei teoreme (echivalenla

enunlului

cu axioma

alegerii)

se

poate

gXsi

in

[21,

Cap. I,

$8,3].

-

DEFTNTTTE. Fie

(X,

()

o mullime

ordonatS.

Ei

A

C

X o

submullime

majorati..

Cel

mai mic majotant

al

lui,4,

daci

exist6,

se numegte

margine

superioo,rd

a

lui A

qi

se

noteazd sup,4

(supremumul

lui.4).

Dac5. sup,4

€

A vom

nota sup,4

=

ma;r;

(maximumul

lui

,4).

Prin

urmare,

elementul

6

e

X

satisface 6

=

sup,4 dac5.

qi

numai

daci:

1)b>-a,YreAqt

2)

dacd

M

€

X

qi

M

)

xYr

€

A, atunci

M

)

b.

Expupr,p.

rie

(Q,()

qi

mullimile

A7=

{r

e

Q

l"

(

2}

9i.A2

= {r

e

e

lr,

(

3}.

Atunci,

Vr

€Q,

r

>

2 este majorant

al lui ,41

iar sup,4,1

=

max-4r

=

2. in

acela{i

timp,

,42

este

majoratd,,

dar

nu are

margine superioard

in

Q

(deoarece

.rg

e

S)

DEFINITTE.

Fie

(X,

()

o

mullime ordonatd

qi

A

C

X

o

submullime

minoratd..

Cel

nrai

mare

minorant

al

lui

,4,

daci

existd,, se numeqte

margine

inferioard,

a lui

A

gi

se

noteazi

inf ,4

(inflmumul

lui

4). Daci,

inf

,4

€

,4 vom nota

inf ,4

=

min ,4

(minimul

lui,4).

Aqadar,

o

=

inf

.4

€

X

daci

qi

numai

daci:

1)

agc,

Vee

,4qi

2)

dacl m

€

X

qi

rn

-(

r

Vr

6

A,

atunci

rn (

o.

$3.

NUMERE

NATURALE,

NUMERE

iUTROCT,

NUMERE

RATIONALE.

MULTIMI

NUM.IRABILE.

$IRURI

ExistE, o bunX

bazi, intuitivS. pentnr

a

opera

cu

numere

na,turale,

cl mrmere

intregi

sa,u cu

numere

ralionale.

Proprietd,lile

esenliale

ale

numerelor naturale

vor

fi

enuntate

sub

forma sistemului

de axiome

ale lui

Peano.

T4

Delrnrltr.

(Pea.no,

I

N inzestrati

cu un elemen

1)

s este

injectivi.;

2) 0

d

s(N);

3)

Dac5. ,4

C

N,

are

pr

a)0e.4q

b)VneA

atunci,4=N(axiomr

Mullimea

N

{0}

va

Pentru

detalii

privinr

relaliei

de ordine

binecunr

se afli

prezentati

constru,

mullimii

numerelor ralion

Pe

Z

qi pe

Q

se

inir<

inel

comutativ, iar

(Q,

+,

.

initial

pe

N, se extinde la ,

submullime nevidd. a lui

N

DrrrNrltr.

Se

numeq

exist5.9 :

|L,...

,nj--

Al

Numirul n

se

numeqt

care nu este

finiii se numt

Din

axiomele

lui

Pear

DEFINITTE.

O

multirn

Vom spune cd o rnultime r

O multime care este

r

PRoPozrTrA

3.1.

.Fi

9

:

N

--

A

stricl crescdtor

Demonstralie. ([2],

P(1)

=

Inin(,A

-

ie(0))),

.

g

este asigurat5, de

existe

din

l\.

t

in cele ce urmeazi,

qr

ale

aplica{iei

construite an

A

=

{k ,k1

PRoPozrTrA

3.2. ,a,

Demonstralie.

Obsen

iar

din ipoteza de

surjectiv

din

fiecare submu\ime g-

aceasta

construim o biject

L)i.tt

I).'l{t[.

{ll:alo,

Lr] )l) Sr: rLLrrrreql,e ttullttnc

a

ntrterr:lctr

rralrrral:

o

rnrrllirrrc

N

rrr.-a ra1ai cu un

cbriicnl

l)

qt

rrt

r';r1rlrral,ir'.\

\*

,

N

(rirrcc-.orj

(u

ltt(,priet;trile:

1

)

s

rstr,

inlr:r tir';1r

2)

tl

7

"11i,,

r)

0

e

.1

1i

[)V,

r

.1+

rirr)r

.],

airirrri

-.1

=

N (uxicrli'.

inrl

rr

\rri)

\irrl' irr,a

\ l{)ira

fi

n<,r.atli

N'.

i)r'ttllrr

rir.lrlrr privrld

oirl,irirrrca

lrrolrrict,iililol

aigebrict'alc

lui

N;r

,li.lirur.a

relalier

dl

orrlirLr bintcrrrroscrrlr..

r'ccomardiinr

[-);]...'o1

ll.

l2

(la1r.

l.

tr2l

llr rici

s, allir

rr.zrrrt;rt;i

(:tiltsirlt(\ta.

lror'irind

rlr la

N

a rrrtrll,irriii

lL t11.r.,lor

jltt..ei

Z.

qi

lr

rrrrr l1irr rir

trLtrtrer,'lor ra\ionlrlo.

Q

l'r'Z

1i

rr.Q

-.r'irrlrorlrc

op,:r'aliilc

d', rrrlLroarc

\j

ilnullir..

(/.+.

)

,l.rrrrrnrl

in.L

.onli1;rlir',

ia,r

i,Q.

+.

j

.()tl)

f,rinltirti,,

l)r.irsr.rrrr.rr,';,.

icl;L1ia

rlr

q1lir1.

riciirril.:i

rrrili;r1

lrc

N

sr',..{llr(ll i.r

Z'<i iu

Q.

iL,iar,ra

dc

olrljrrc

csi,.r(,i.1

i

lr(.N

Z

51 Q;i

orilr.

sLrlr:rirliurrc

l,,rirli r

lur N arr

lLtr

crl

rrar nric rlemrnt

l)ftfr\tftP,.

$c

rrrrrrelle nr.lltnt.t

ltttli

o

rlrLllirrre

I

petrrnr

car. t.xisri

r

€

N

li

'\-ri.

{

/,

I

.ll.,

r'..r.

\rrrrirrrl

a

s.

lllltali{r tnrdintlul

.ntull)ntu

filtLt'

..1, noiar

car.rl _. .

O

rrtlriltrrrr:

calc

rlu esti, finiti

se rlull.-ite

?ilfirrlri

I)il

ariornele

lri l,r.ano

rezrrlti ra

N

esre

jnfirriii

i2l,

(lap.

i.

2.61).

l)El1\t1rIt

Olltrrllrlir-1

s|

iluJn('lit nuriritubtlu

dar.ecxjsti;:l\

..1lrrjectir.i

\,'orr._l.rrr,'r: rri

o rrrrLqinrL,rrirrrriir':rlrila

art

cartlinairrl

Nx

(;rlel

;cro)

O

rrrtLlrirr<r

care ejle

sail

liritir

-rau

lurrrirairilil

se ta rrrrrLi

Lti ttLtil ntt:ttrtnthtlti

PR{)r.)Zr.i.\

:l

I l|

.{

t,;yl,ntltrtrtt

ttji.';t i

u lut

N.

,ll,rrrl

,.tt:tti

o

Lt.j,r:iit

,p

rN

-

-1

tltt(1.

ittstilaott.

I)drorsLr,rfic

(12i.

('ar,.

l.

\S,21)

f

sr: va

dclili irrlrrrrrv

lrrin

t{0)

-

rnil_,r.

ti1)

rrrirri,i

ir(il)l),

.;(rr

i

l)-

nrilr(.1-

{pi{tj,

..

,p(,r)}).

i;.rrstrr a

lLri

.:,

islr'lsjqrtr';r1a

dc,.\is1.nta

{lnltj

Iel

ltjiii

rrrit

elenrelit

iti

oricc

sublrrLri{irrrr.

trr:t.tri

j

rlirr

N.

n

lrL colr:

ee urlr.ilzii.

snl)r

ltl{inrilr infinitl

ale

lLli Nl s vor

rel)r, r. r,l

1 r

tL llrrigriil

eir:

aIiir:;li,r.i .ol)stniit,i'

atri erior.

rlrrr:i

.1

1i'

,1,.

.. 1.,,....

].rrrrle

1..:.kt<....

<

1,,.<...

lrrtol,()zi

f

t,\ l\

'2

I)ut,i

rlrld

;

l\

t].

',,.

,.-

',-.,,.

iar

drn irrotez;r.

rle

-.Luit

r

1ir

il

irrl

p

jiilrI)

riir

liecarr:

subnrLilllrrc

t

r({9}).

r/

(.

.1

i:r(cirsla

(rrrrstrtiint

o Lijeclit

cle la

,1 lii o

'

,\

ttnlLtltlu.

,\

t.lr t,.

rt,tll

utttttirah d.

j

r-..

jr

l,j

l',

,:.r:,,-::

I

tl.

Vy c

,1.

'\lc ,:rrr

alilrl

i .rir rl

clclncni

(<lr:

cxcntplrr

cel

lr;ri

irrir el:rncnt)

;i

plin

parir'

;r

1ui

N E

t;

TooREMA

3.3.

Iie

(,4")"sq

o

fami.Iie

d.e

mulJimi numdrabile.

Alunci

A

= l)

nA*

esfe

numd.rabild.

in

particular,

o

reuniune

finitd

de

nullimi

nur4drabile

esle

nrmd,rabtld,.

Demonstratrie.

Pentru

orice n

€Nexistd.obijeclie

p":

Fd

+

ln,

V,,(k)=

om,

,t

)

0.

Regula

din

figura

urmitoare

permite

construirea

unei

surjeclii p

,

tnl

-

a.

at6--->aa

aa-ra[-.'

',,

,,

'/

ah dn

dt

oD_'

l.r,/

an

,,4

ttt

at

"'

oP

a

a'2 ots...

t

o

func{ie

/

16

Dacri

(n

+

ft)

ecte

par,

indicele

lui

^

(n

-

h\(n

-

k

'

It

oka

va

n

- -,-'

*t

-

l. iar

dacd.

(n+t)

este

impar,

indicelelui

ap

^

frr

l/c){n+}+ll

."

uon

.__,:___,_,:

_n+L

l

ConoleR

3.3.1. V

esle

numdrabild.

Demonstra\ie.

I

=NiU{-6-

1

|

&€N}.

I

Conorln

3.3.2.

Q

esie nuntdrabild.

Dcmorlstratie.

a=

U

{ lrez}.

-

4€N'

'

DEFTNITTE.

Fie

X

o mullirne.

Se

numeqte gir

de elemente

din

X

definitd, pe

o

parte

infinit5.

1fr

C

I\,

cu valori

in

X.

Elementele

qirului

vor

fi

notate

r.

= f

(n),

n

€

Nr

iar

sirul

se va

nota

(,r),"er,,

uneori

{r,},.r,

sau

simplu

(t")",

{r"}".

OBSERVATTE.

Compunind

cu aplica{ia

g

din

propozilia

3-1

qirurile

pot

fi

consi_

derate

de forma

(r,)..r,

dar apar

frecvent qiruri

cu

mullimea

indlcilor

diferiti

de N.

DEFiiirTrE.

Fie

/

: i.-

-

X

un

qii,

ir'r

C

N.

Se numeqie

su69ir

resiric{ia

iiii

/

la

o submul{ime

infini',i

4

6l/1.

Nor^TlE.

Fie

(.r")na",

un

qir.

ln conlormital,e

cu

Propozilia

3.1,

vom

nota

un

sublrr

prin

(rr-,)o,

unde

io

( lr (

...

<

kn

<

...

$4.

CORPUL NUMORELO

in acest

paragraf

vor

fi

rizeazS, numerele

reale

qi

v<

supunem curroscute

axiomele

ta.tiv,

corp comutativ

qi

de a

a

submullimilor

N,

Z

9i Q.

Construclii

riguroase

al

[22],

[30].

DEFINITIE.

Se numeqte

ordine

,,

..{

"

cu

proprietilile

01)r(y<+r-pzgy

02)dacir)0qi

y)0

DEFINITTE.

Se numeqte

urmS,toa,re:

(I)

R esie

corp comuta

(II)

Existi

o relalie

de

o

(adici

(R, ()

esie c

Definim

interyalele

din

I

(a,b)={o€Rjo<c<

[o,0]

={c€Rlc(a(

la,b)=$€Rlo{r<

(o,b|={x€Rlo<ag

.

Pentru

intervalele

I

de

lungimea

lui f.

ContiluS,m cu

enuniare

(III)

AxroMA

LUr ARr

ordonate

care au

aceast

prr

(IV)

AxtoMA

DE

coMp

de intervale

inchise

din

R

cu

Existi

firodalitl[i

diferi

streazi (de

cxemplu

p,

Cap.

reale

sint

izomorfe.

in

contin

Observim

in

primul

rint

in

R.

O

alti

conseciali,

a

prc

PRopozrTrA

4.\.

Fie t

nr(y<(n+1)a.

Demonslragie.

Existd p

superior

de

1)

gi

existd

q

e

T

Dinq<g<prezultrici{r

cirui

cap?t

sting va

fi

nuni5"r

t,

rr

r.

a

()riii

I

:.i

'

ii,t.i,;r;

i,;..\:;

.:ti-lt

iliiji

\l

ril:...iil

llL-\i

i,

;,

,ir'r:i

,;r'., r;tr

r,j

i rir

LiiL,

s,ll.i

rr'.

t'lr,liri,llt

.,r,.

..1trl

r,'i,r:ii

jiit:it: j,l

i.tiLi

.tj

.,

1i i,,llt.r r.,r,,.tri

i,r..,itr,rtt

iili

[ri.ii)rii

ir:.,

'lll)iiii,

lr allrlrrsilil('j;L1.Lirr)r

,.i,.]| ltrr'

,1,

.i

r,

t

,jr.l'

rr,,,r.t;rLrllt,r :lci

,r,|tLt

li ]]\.('t):|]i:1rll:L]1i1]]i;,1.).l.llll..Lll

i,

sirj,jrnrilrJ) ;i(

r \

j

rr

4

I

ottslr'Lr".ri

|rluir::,sr ;ri,

l|Lliitij,j,

itLrJ|(

i.i.,,r

r I I

l)()t

ji

gailt,,

rj

r;1.

i 11

;1..

2:2

isit'

Itt

rr1111;

:li rrt,j,Lit,

rr,rtt,i, |n,,1

lir

,,,-i,

i,l\

I

]lrZf ,j

l.iii

,..1

0

r(,Lirrt1

,11,

or,lir,i

:

.u

l,r'( l)iLt

trli

r

r,r',riri:

.r

;i

11

riil

ir

1.ilt

'

a,rr

r-.:r

il

.\i

ti

::

ir

;rl

r,1

i

i

r-

.l

llt r

r):il.

t-

:ri.

rrll|,.ir,

',,,t /

it,

,

,:,;, ,)

.: ,::;,

,.

tr,irliirrtr

,e

r,t

I

;

I. L

r r

,

r

,

r

.

;

; I

;

:,

ill

1.1

r'-1,'

r,.i;, ,

irir iri;1

:

r

.'"

i

;r

i

rll

1li)

l'.rr--r,'rr'lriitrir.,,r,l

|,-.::

,1,,r,1;i;r,ri.i;,sll',.1

r|iri

rll

.

i,st..r)ft,

i,r..l,,jj.il

(irrl

rrr

ilil..:.Jesi'-

rlr ii

tlit:ll

()i(l,rir;rtl

i)Liirirr

r:1, r'ra,.J, ,lirr

.R

1)lti,:

irt.it' 1, =,{

,,

--.

i

':.

ll

rrrt,

rr,rl ,ils,lri.

crr

,r1rL,tr.

,r

a,

t,r

L

-

),,

i: ll

.

ri

-

r... li

li,.rirr

r

r

r

r

i

r

t

,: ,

;

t

,

.

r

i i

,

r

i

,

i;. /,,

tj.i)t

i.r

i.

lt

,r ::.

.r

: r'i

,r,ri',r,r

,i.i"

i,,.',1,.,,,r

,ir,:,irs

I,L

or.r,rrlll:

:r.l,l

1.)

(i

'r':.r:

lr':

itl,t';il ,jf.,,rlrr::,i.;:,,ir,,..

;rri,t-

lr,,1r.. I,r1l

i,,,;,rr.r

,;,t,.',.:i

,

I .t

t,

lrllri

r,r.,,

I

,r

,,

i,r

i,,

,r

l,_.,,r

r,,.,i:r

r,r

,,

.

1,

lLLi.qlrrrra

l,:

.l

(

.,rljjj

t.)jrt

..t

(,rti:,)lirir

r

I,jL,i).I'iaL.IL

r

,i"lr

trt

,iti

ri,,

lrtl

R

(Iili

'.rlr.r \ i.t,t

,:1Rlti\iutJjt

\

jrir

rt(

rir;rrrrLjritl sr

l tsr {ri

lri

li

(i,ll.litltr

I'rr]41:ttr..:rtL

irLl

rt,-i,,\ii,

i,rrrl,rir,l

,t-,

:r iti;i,it.:a

,:i ,11,i ,

tt,:

ii\') ,\\lorl

\ tri_ t

(r-\Ii)l.L1ijiljItL,

\..

(rit

:),:)l rLt, )

l)i]trt

r

,rrr\,

tlr \;

,

,i in irr,l'

r, .,',

lr, r.:

,

Lr

r'.

a

,r

,ir

rii

,

i-l

i.

7.

i;)

i.lis'r.ir

rrrrrriiriirari

riiiirr'rie

ile

a

( ir,-rr

r

a(,jir

rl

iririir,'rai0r

rcJic. liirI

s{.

(l

ir,)rl

fltiir:'l

iri.,.rr,rltitlri li.

(ll1;

. fi

ffr,

i

;,tj

i.

f,ij

l

r;r

l;li,

iti)ij,i L.

i,.,,.,

.1.

, ,,

.,,

r.tlf,jini

izr)rJir)r{.

irr

|olijrrit;,ri

1.'(jr

tj

,lr(lrr;,,,.,_,|:j(..j,ri,.,ri,

l,ri)iri.r:,1lit,.i

trt

lt'

i)i,sr'rr:,,rr

t:l

[)r]tJ'ir.riill

i;1

,lill

fiiirr,,t.

i:

r,l 1i., r,frr.ri:-lr. ., iil

lt

ti rii:.i,.r

rrr

R

O

rritl

ors.,

irllii ir')ror)r',,1:11

ili l r,.t.

r

r,

t):,7.:i;r,

rirjiiirr)i|..

l'liOl'cllf

l

\

1i it'.:i

t

tl

.,r

r tr

.r1_,/,i

t )t 11;tit:

jt

i

L

0,ili.i

ItLti

rr,r::.{<{n*l).r.

j,),trrl:-'trlil..

i,-r: rlt

,r,

i .r r:s,ttl

rrtr I

:.r.

>

,: t)

,.:tt

.ll

.l'

ll tl

l)r

/

,

i .

..

..

.,

r

.tir'irfl|l

(]ir[)il1.

-a]l]l t

va

i lilllr,tr

l

illiJ.cA

aii:tlii1

g:j

,:.Irrr'.ri

t/

:.r

tt

ril:rrr']l

l:

l

-"

li ,,,:,,,,,,,,i:.

i,,r,.,.: ., l

i,i.q

I

lr.-

i;,

l./,j

il

Conolea

4.1-7- Pentru

orice

g

€R'

eri,std

un

uni'c

n

€Z

astfel inctt

n

{y

<

n+l

DcFl\iTiE.

Se

numeEle

piir'ft

intr?aad a lui

g

C

P-

numdrul

intrcg

n

r'rr

proirri

ctatea n

<

y

<

n

*

l. Partea

intreag[

a

lui

g

se noteazS.

[g].

CoRoLAR

4-I.2.

Yr

>

0, Vg

>

0 ln

€

N*

astfcl incit

I

<

r.

CoRoi,aR

4.1.3.

Vy

>

0,

ini

{t

r

e

N-}

=

0.

(n

J

CoeolAR

4.f

.4.

Yy

>

0,

Va

€

R

n

(0.#l

=o

n

l,-

a,o)

=a,

)

h'o+lot'

a.

16l\' n€ N'

ne\"

TEoREMA

4.2.

(densitatea

lui

Q

in lR)

Oricare

ar

fi

a, b

€

IR, o

I

b,

are loc

(o,a)0Q10.

Demonstatie.

Fie

h

-

b-a

>

0-

Din

Corolarul

4.i.2,3n

€

i'r-* a.stiei

incit

l

an.

Uto

Corolarul

4.1.1

1m

eV'

astfelincit

m

(

na<m+1.

Atunci

n

rn m+7

m

1 m

';

<"

<;

-;*;.

-j+ h(c *h=a

t

b-n=b

-rl

6pg;

1l-'

e

(a,b)

ne.

I

Pe?aza

axiomei

Cantor-Dedekind

vom demonstra

acum

c5,

mullimea

numerelor

reale

este

ma,i

bogati

decit

cea a

numerelor

raliona,le.

TEoRDMA

4.3.

(Cantor, 1874)

R nz

este nurndrabild.

Demonstratie.

Demonstrim

cii.

l0,tl

nu

este numd,rabiiS

Presupunem

cX a.r

fi,

deci

[0,1]

=

{r^lrz

)

1}. imp5.rlim

10,1]

ln

trei subiltervale

de

lungimi

ega[e.

Fie

1r un

hterval

care

nuJ

conlir:e

pe

rri deci

11

d

1r

'

impdrlim

4

in trei

intervale

de

lungimi

egale.

Fie

1r

C

Ir

un subhterva,l

care nu-l

contine

pe

22,

12

(

12. impd.r{im

12

in trei

subinterrale

de

lungimi egale.

Fie

I:

C

I:

un subinterval

care

nu-1

conline

pe

ca,

,03

f

13.

Continuind,

se

obline

qirul

descendent

(1.).21

de

interva,le inchise cu

u

4

I^Yn

)

1. Axiorra

Crmtor-Dedekrnd

lmplicS existenla

unui

€

€

n

1"

f

A.

Deoarece6

f.

I*Yn

>

1qi

€

€

I"Yn)

7

+

tl

"^

Vn

)

1qi

n>L

i

€

i0,

1], in con'r,radiciie

cu

ipcicza

ficiriS.

Pdn

urmare

[0,1],

deci

9i

P5 mr este o

mullime

numdrabilS.

I

CoRoLAR4.3.1.

R-Q

nu

este

nurndrabild,-

DEFINITIE.

Se

numeqte

modul

tunc\ia

|

'

|

:1R +

10,

oo) definitd

prin

PRoPozITIA

4

4'

Fl,

(4.1)

lr

+

Yl

(

lrl

+

lt

(+

z)

llrl

-

lsll

(

lr

-

(a.3)

lr

Yl

= lrl

lsl

(a.a)

|

-

ri

=lrl;

(4.5)

lr-sl

<e<+z

Denronstra{ie.

(4

1),

rty,x+Aqie-9,iar(4

lrl

=

lr+s-sl(lr

Doi.iNiltr.

I'ie

r,g

DEI.INrltE.

\{ultim{

(r-e,r+e)cG

ExE\'tPLLJ

Intenal(

DEFINITIE.

Se

nutr

propriet

atea

3G

c

JR,

G

NoTATIE.

I\4ultimer

PRoPozITIA

4.5.

Demonstratie.

,,+'

lle

G

mul\ln

€,ro+€)cGqiProPoz

,,s"@={r€R

roeGcV.

-

DEFIT.'ITIE

Eirul

dr

lirrrita

a)

Ve

>

0,

I n. €

NoTATIE.

f -

0n

Observiim

cd

un

qir

in cele

ce

urmeazd,,

q

seqiincazul

n

gNr

cI

PR.oPozlTIA

4.6.

r,L€V.

Demonstl"t,ie.

,.+

re

l'

e

/(oi

definilia

limitei.

Atrrnci

e" Fie V

=

(a-

limitei.

I

Jinird

cort

de

defi

I )l: l]iT(at

at;

.t

v

Irl

=1

18



r

--

ri;r

i

ri

jr

E}

:t

I

e'

i,:i

ti

i)1i|t|)tt,jait

1)tt)lt

tt itli.

,

1.

ll

i1..-,

.,

:.

t.

:)

,:1

,

/-1,.;,,

.ii:rr.

i.l

ri;

r

ll,

.

l:',i1,

il-r,i

rrli.

i.'rr,,1.,'

rr,,

r ,rr

l'

.t.:l .t |

:rr

i

i

n'lf

i.rt,l lL

1.,l

.r

- ,

't

,t

,

tl

j)

:...i rillr:i. ir

':.

.r ir

.i

F

li

.: , ii .,.r,

-r

:,,

iiiili.:::.

tl:r

t:ttit:'t)i) .r';i

l,'r'llrl-

"rl

.

li

r"

t

\ ,

i.

'lr:llirrr,';,

r',

J

:r r:lirli'ir

irlri11,t,,

:,:

t,.r

=C

l'

'

::''riil

i'

'r

'|,

l-..:

'.,i

I iir

.

:r

,

r,

r

.'

:irrr

r, iririllll

rl,-r

l,i*

l) l'.r:

:.',

rli,:i,

t't

ttt,ti

ii i 1 I 1 i

i

I I

i

j

i 1 1

i

j

:

i l(

i-

_-

Lj lli.'

,'i,,i)r'

'i

rrr

i

r

-,

lrl:lLtil::;'ll,:r

li'rl.

"'lil

lrriji.r.'

'.:1.'a

l_

\,,

\

I

-,,tLtlt

t,,r,|

,,el

i, ri;t\jl,|

,Lt

.r

.r

.,,r

il(jlti

t)ti

I

r

r'

I

I

i,'i

t,r,,

ii.,,

r, ,1

L

lr',q i,, til

:

r'. -'r.

i

;jr

jrlrj

.,

l:i:'r

..

ii

i,'ii,ir

.,rL

l,':rlllin .i1

:;

i,'(

l_.

.iilllrii r''_'il

.1:lr'.i

'ii(li

ili

..r'

,I

:-,

.j

i,r.'t,

,.'tit: r,

''tiill

1l

l.ri:Lri

l.ll.

t,

'.

.r':i.,

I.

G

i) :]..).j].,]..'.',l....'.'l...lli..].,,,,':.'i\/'l)L]]]i']ll,.,l]],.']i.

iii,

i

,r

i.

-

i: ir

,.

l.

... l,l r:

t

ir,,'

I' rr

i \

;'

t.,

,

:t-).i -rti:

).i.

i;1,s,'llllir. iil;ill::il

.r'..),r

ill r', , ,r'' i

/r

r l

ii(,' ijiliirirr':lli

Ll,

rir

,

r,,;irrLi'riza. r,i,rrriI, Irr: il i',llsi,i,,

,ia, ii,r

,-i .

iii:r:".'irl..'

rr.

i,l:r

,

ij:1 |

j.ii

i,,

i

lil,

;,,

,.

ir

j=

i.

I

. i.t,,j

r,t

r.

:r.1i,'i

rri(

rl

,ai

i:.rl

l-jr,.r I il

rir

r;

i:r

i:',

._. i.i.

I ir

i..i,r

.il

.i'

ll,l:ir, llrrj.r'1.

rlrl:ri:

r-:r

'-

',

...=, Frri=,t,i :r

l:i.

;,,.:t-, ri,,tr

li:

:.it+:ii

i-

iia'rr

:

.i:l:

ri{

r', /r

.:

:.

,icri.r',.

i

iri

,.,

+:r

a

i

Per,lr'r

r;

j

rii

.'tii'

\_erilli

:L;ii ritrrl;ir:i,hr,ii'iLrri rir

:

i,t,Lr,ii

r,

lr

r.r'rlr

i:rLrl.ia

- ,r'ti,r:i

rrrit':: ,' 11.,1:rr

{'lr'' l:,lrrl i I I

lr'1:rlii:r

l:l-i'

l

[.Irmitoiuelc

proprietS i

se deduc

aplicind direct

dcfini1ia.

Derrronstralia

lor se

giseqte

in

nranualul

dc

-r\nalizi

matematici,

clasa

a XI a

[13].

l-Rorozt

lrA

4.;.

1) Dut:d

lr"

-

ol

<

6,, Yrt

)-

n6

9i

lin b^

=

0

al.uncz

jg

r",

=

o-

'))

Dacd.

iun

x"

=

x

aiunci

jg1

i.r"i

=

irl.

'3)

Duci.t"

{

y",

Vt

}ns

4i

\rn

z,

=

d,

iim

An-b

aiuntie<h.

llrnrltorul

rezultat

este u

qi

Cantor-Dedekind.

TEoRDMA

4.9.

(Propriett

hti R

are

margine saperioard.

Demonstralie.

Fie ,4

C

R

natural

al

lui

,4

(acesla

exist

submullime

nevld6

din

N

are

este

denonstratS.

Presupunem ci,

N

nu

estr

existi

rr

€

[N

-

1, Ai]nA. C

1-

Daci

lN :,

N

I n,t

+

1,

=

tN

l.N-

l

')'

Renc,tim

11

- [c1,11].

I

demonstratS,.

in

caz contrar,

--

or*6r

^

-

Ie

ct

=

---.

ljaca

fie 12

=

la1,c1l.

Renotdm

12

,

In

caz

contrat,

a2

nu

este

mi

intervalele 1,,

--

la",b"]

C

h-

Daci,

pentru

orice

n

)

l,

inchise

qi,

din axioma Canior.

rie

{{}

=

fl

1". Ardtin

n>r

Deoarece

[a",

6"]

fl,4

I

'

2n-

|

Deoarece Vn

)

l,

b"

)

r:

este majorant

al

lui

,4

qi

deoar

COROLAR

4.9.1.

Orice s

Demonstraiie.FieBcf

maiorat5.

gi

sup,4

=

inf B.

O

prinri

aplcatic

a

Tcore

Rep

re z enlarea nurnerelo

r

real

Este

clar

ci

este suficier

c

E

R,

r

> 0.

Presupunem

cr

Fie

nq

=

la].

Dac[

no,r

naturai

astlel

incit

nr

no*m*

(agadar

n; =

[10rc

-

10]n6

-

4) Docd

li"ll

x,

=

a,

lirn

yn

=

b

olunu lirn(r^

-f y")=

a+b

pi

lim ;r,g,

=

o6,

,i',.

(l

5)

Dn.ri

,llm

r" -

n

rr

nlim

^

=

b.

b

/

U.

otunLt

-hn

I

;

_6 g4

o

in

urrnitoarea

propozilie

reformulirm

proprietatea

de

rlensitai,e a

lui

Q

in

R

(Propozi ia

4.2) in

limbalul

qirurilor

qi

demonstrim

de asemenea densitatea

lui R

-

Q

in

R.

PRopozrTr^

4.8.

Penlru

.r:

€

R e"islri (*',),,

Eir

din

Q

aslfel

incit

li'r xt.

=

r

9t

eristd

(.x )^

;ir

din

R

-

Q

ast.fel

inctl

_ 1

rl

=

x.

$irurile:rt";i

r "

scpot

alege

m

o

nolon

cre

s c

d,7 o

arc s a7t m o n ol,o

tt d, e

s cre s c dloare.

Demonslralie.

Alegem

11

t'^e(t-;

'

,+r)nS

,;r

r.r'-,

'--1

.ttlrilt

e;

n n+t

Dxistenta

lrri

,r,f,

este

demonstratd

irr

Propozilia 4.2, iar existen{a

lui

rl

rezulti

din

'I'eorema.4.3

qi

din

faptul

ci

mullimea

Q

este nrrmirabili

(Corolarul

3.3.2

).

Dt

oarect

1t

,r--<.rl<.r

n

,,

rrrl

tt

"

nr I

tim

x',

=

lim

rf

=

g

rl

x',

1x-

.,1x'n+,.,"1

(J"-

,<.r;+r.Vnll.

n+ |

n

I

I

Simiiar,

considcrinci

x;€(-rr

l''

')nq

i

L

n

qi

""'j

e

1',.

+

_

''

'

fl

nt* -

e'

fr+

I

n

se

oblirr

qirLrri

morioton

descrescitoare cu

limita

r. I

Ql

rezultX

iii

20

se

UrmS,torul

rezultat

este

uneori considerat

axiomS, inlocuind

axiomele

Arhimede

qi

Cantor-Dedekind.

TEoREMA 4.9.

(Proprietatea

marginii

superioare\

Orice submullime

majotatd

a

h,i R are margrne

superioard.

Demonstra\ie.

Fie,4

C

R o submullime

majoratd,

qi

fie

1f

cel

mai

mic rnajorant

natural

al Iui

.4

(acesLa

existi conforur

axiomei

lui Arhimede qi

faplului

cE.

orice

submultime nevidS.

din

N are

un

cel

mai

mic element).

DacE

N

=

sup,4,

teorema

este demonstra[5.

Presupunem

ci

-ly'

nu

esie

supA.

Deoarece

(N

*

1)

nu

este

majorant pentru,4,

existd.

rr

e[//

- 1.,ryi

n,4.

Considerim

intervale].

[N

-

t,ff

-11

u,

It

Llvt

. r

2'-

|

Daci

fr'r

i:r]

n"

*

0,fie

h

=

tr -

],rl

Dacn

[N

-

],ll

1e

=

o,

n"

_l

L=lN r M-l

F,erotErn

11

=

[.-r1,6y].

l)ac o1

=

sup:{

(gi

aturci

a1

-

l{

-

1)

i"o."mu

".i"

'

"--'-'--"

"-"

demoastratS.

in

caz contrar,

dt nu

este

majorant

al

lui,4.

a.*h,

Fie c1

=

:--:---:

Dacn

[c1,b1]flu{

10,fre

12

=

[cr,Dr].

Dacd

[c1,61]

[l,4

=

0,

fie 12

=

[41,c1].

RenotS,m

12

=

la2,b2j.

Dac6,

a2

=

sup,4,

teorema este

demonstratX.

In

caz

contrar,

02

nu

este

ma,jorant

qi

procedSm ca

mai

inainte.

Se

oblin

recurent

interyalele

I"

=

la",b"]

C

l^-r

=

[o"-r,6,,_rl.

Dacd,

pentru

otice

n

)

1,

o*

nu

este sup

,4,

rezultd,

un

qir

descendent

de intervale

inchise

qi,

din

axioma

Cantor-Dedekind,

rezulti

fl

I"

I

fl.

Fie

{{}

=

(-l

1,.

Ariid.m

ci

{

=

sup,4.

tl>r

n>r

,

Deoarece

la",b"lltA I

AVn

21,

I an

€

Anb",b"l

Vn

)

l,

deci

lr"

-

tl

<

a

2*f-

Vn

>

L

rezult

rnd

"lTJ

"'

-

e

.

Deoarece

Vrr

>

I, b">

xYr

€

A

iariirn

i.

=(,

rezuit,5. c6

{

}-

rVa€ A,deciI

este majorant

al

lui

,4

qi

deoarece

(

-

,$

r", rn€AYn

)

l,rezult5{=supr4.

t

Conolln

4.9.I.

Orice submutlime

d,in R rninoratd

are margine

inferioard.

Demonstrafie.

Fie

B

C

R, B

minoratS,

Si

fie

/

-

{-c I

a

e

_tsi.

Atunci A

este

majorati

qi

-sup

A

=

inf

8. I

O

prinid.

aplcalic

:r

Tcoremei

4.9

este

Eeprezenlarea

numerelor

reale

ca

Jrac ,ii

zecimale

Este

clar

cd

este

suficient

s[

gisirn

reprezentarea

numerelor

pozitive,

deci

fie

r

€

R, c

>

0.

Presupunem

cunoscuti

scrierea numerelor

intregi

in

baza 10.

Fie

n6

=

[c].

DacA

n0,n1,...

,n]-t

sint

construi{i,

fien4

cel

mai

mare

numir

naturai

astfei

incit

Ilt

nk

n1

nr+l

no+r0

1 +l*(r(nor

t0

I +ti

(aqadar

n;

=

110ir

-

10rns

-

10*-In1

-

...

-

1Ons_1]).

21

(4.6)

Atnnci nl este

unic

qi

lLk

€

{0,1,...,9}.

Coniinuind

recurent,

se

oblinc

repre-

zerrl,area

lui r sub forma

n0) nt

j

71

2,

...

n:umit6,

fraclte

zccimald,,

n6, n1,

n2, .

_.

fiind

unic

deterrnirrali

("r

e

{0,

f,...

,9}

Vl

)

1),

S5,

observirn

c;

nu

este

posrbil

ca

n;

=

I Vf

2

ko

>-

l.

iutr-adcv{r,

in

caz

co4tlar

ar

rezulta

^r

i

I r r

.r{ fi l,r-_

_

^_r

I

ti

-

,lr'n

l

-

t0r"-

t

10"

r"

-

t0r,

.

/

",rnfor-

Cn"olarulrri 4.

i.4,

liac{rrle n6

+

}

+...

+

*

ain

(4.6)

se

numesc

aproximd.ri

zeumate

prin

lipsd

I0

10r

al. nunttirulut

rra/r.

Se ararb

usor ca

""-sup{no,

xi

-

f

fttl

u

O}

Reciproc,

fie

fraclia

zecimaid

nO)nLn2...

(4

7)

unde

(n;)0,

este

un

qir

din

{0,

1,...,9}astfelincitnuexistS.}o€N'cunk=gvk>k0.

Vom

ard,ta

ca existi

r

€

R a

cirui

reprezentare

ca

fraclie

zecimalE

descrisi, anterior

conduce

la

(4.7).

l-iedeci

n0,ar.n?...da(i

de(4.i.1

;i

,l

-{no1i]

r

- -ij.

f

f

)

ca ,4

esLc

maj.rata dcoa"ece

l"'

'

tn

'

IOi

r"

)

0)

observzim

n1

nr 9

/ I

i I I

r'0

+

t0

+..

+

d

.

no

+

r-

(

t

*

t0*

*

+

10;J

-

"o

+

1

-

T*

<

no

*

I Vl

)

1.

Atunci

existi c

=

sup,4

€

R

qi

aretl,rn c5.

c are

reprezentarea (4.7)

ca

fraclie

zecimali.

P6e61s66

1,^ -F

l-L

r r

l

I

-

iij

10"

(

r

V,l

2

l

qi

deoar"""

"o

I

l-;

esrp

maiorant

al

lur,4

iar e

=

sup,4,

rezultl

c

(

no*1,

deci

[*]

=

no. Apoi,

deo-*"

ro+

fr

+

]- $

este

majorant

al

lui

,4,

10ns

+

nl

\<

l0r

<

I

0n6,

|

zr

*

1,

deci

",

=

110"

-'tOz,i1

in

g.n.ral.

observlm

ca

no

|

+...

+

,*

+;1,

,^l=

"","

malorant

al lui

,4

"

-

10 l0r tol l0r

r

4

""-'

pcntru

oricc,t

)

0

qr

oric"

m

)

l

qi

razulri-

n;

=

[10]r

-

10]no

-...

-l0n1_1].

DDTrNITTE.

Fie

(2"),.*

un

qir

de

numere reale.

(r,),

se numeqte

rnonolon

trestilor

daci

r,,

)

r^

Vn

):

nt. (a").

se n.rmeqte

monatan

destrescd,lar

dac1,

x"

{^r^

Yn

}

rn.

In cazrrl

in care

inegalit;,iile

precedente

sint

stricte

se vorbeqte

de

monolonie

sl.rield.

rnullimea

terrnenilor

qirului

girul

g"

=

asinf

nu

estc

TEORDMA

4.10.

Un

6i

genl.

Dacd.

girul

(x,), esle

iar d,acd

(x")^

esle

monolo

Demonstra{ie.

Fie

(r''

Deoarece

(c,),

este mirgin

Deoarece

{

-

e nu

este maj<

$irul

(2")" fiind oescS,ior,

lr"

-

{l

<

eYn)

n,.

Cum

Cazrrl

(c"

)"

descrescitr

care

esie

cresciior.

i

O

apJica{ie importantd

PRoPozrrrA 4.11.

lr'

a)

g'irul

o"

-

(l

+

;J

1

b)

$rrzl

6"=1+

it

+

6i

mdrgintl.

..-dr

.) Irm a-

=

llm b-

=

d)eqR-Q.

e)

Vr

>

0,

giruriie

rn

rnd,r_oinite

gi

au

aceeaqi

lim

Demonstralie.

a),

b).

Observim

cd,

O"=DC

l=0

pentrun>2.Atunci

a"+r

=

2l

DEr.rNrTro.

$irul

(r")"

sc

numeqte

mdrginit

daci.

este

rnirginiti.

IlxEMpLE.

girul

(r,,)

=

(-l)'

esre mirginir,

dar

mirginit.

22



i

l

] |,i

\

.. r,,.,.,,

j:j;t

t

t)ti..,1,

r/i,:r,,

.i,

lr,

l

llr

.,.i\.,ir,

/

l

rl l

i

liiltrt

,r

..1

r:ttr:t

i

't,i

t.

t,

obseryind.

c6

1-

1<

t-

1",1

<

j

<

r-

r,vk

>

2. Din

(4.7)

rezulti

n

n+ |

fll

2(c"('t+ U.=bivn>I

Observi,m

c5.

pentru

k>2,k\=2'3"'k>

2i-1,

deci

t r-t: I

-

\- t .. \-

l-tt-

Z-,E-L-

2

I

2"-r

--'

k-2.- k-2

r-

t

rezultind

2

{

o'

(

6"

<

3

Vn

)

I

gi

am

demoostrat ci

(on),,

-este

monoion

crescStor

1

qi

mS.rginit;

(6")"

este

m5.rginit

qi,

deoarece

D'11

-

,"

=

t"

+

II

> 0,

rezulti.

(b")'

monoton

cresci,tor.

Prin urma.re,

existd

limitele

a--

lim

an

( D

=

Iim

b".

c)

Fiep

€

N,

p)

2,pfixat

qi

fie

n

)

p

Atunci

a--z+irr-ir

rr-l-- rl>z+irr-lr,,-*'rl

,zr\.

n,

,_

n

,kl--,H,.

,r.,...,-

n

,kl.

k=2

Pentru

n

+

oo oblinem

",

i+ =

6p Deoarece

p

a fost

ales

arbitrar,

'

ilz

hl

rezulti6

(

aqi rnfinal

a=b=e-

d) Observim

Ia incePut

ci

SlIrrrl lr

L.

L

-

\-

j:.-

---]:rl

-

---1

- ...r-'-

on-p

-

un:

Z-

11

-

(,

+

l)t

t'-

"+2-

'

{n

+

z1o-'1

-

ii=t1+1

t 1

\p

1l1l

1

'-\nl-2i

<t

ni2.Iyr;1.

(n*l)l

,

I

-n (nll)

n'nl

"

n+z

Pentru

p

-

oo rezulti e

-

6''

fr

v"

)

i' estimare

utili

qi

pentru

calcularea

aproximativi

a

lui

e cu o

precizie

datr'

.0^

Prin

urrnare,

e

=

D"

*

;h,

u"

€

(0,

1).

Presupunem

c5'

e

=

c.m.m.d.c.

(P, q)

=

l

Atunci

9=5-l+

d",.d.€(0,r)

0 -kl n

nl

4,

p,q

e

N.,

c

deci,pentrun>q

p.n.1.2. (q-l)

si

rezult5. O-

e

Z

1-110,

r1

=

X

e) Analog cazului a

=

I

?n

=

1+a

qi

r'

<

r,'.1-1 rczultd, ca ma

Fie rn

=

[a].

Pentru

t

deci

pentru

n

>

rn,

tinind

t

n^km-r

\-._\."+

z--

kt

z-

h\

'

k=2 k=2

$.ur

,

(m

+

1)'

?-kl'

ml

0

Deci

(gr")"

rezulti

r

,l 1'"

=

"ljgr"

r

TEoREMA

4.12.

Fie

(

dac6.

pentru

ori,ce

(rp.)^,

Demonstra$ie,

,,+"Ye>0fn"eN

Yn

)

nt" cr

k^

)

n, Yn2 r,

qi

nemErginit de numere n:

,,€"

Presupunem cA

I

Vne

N I h-.),n

k^c

oblinem

un subqir (a;"),,.S

in urmitoarea teoremi

compacitatea submullimilo

TEoREMA 4.13.

(Lem

un svhqir conuergenl.

Demonstralie. Iie

(an

Daci

multimea

valorilor

qir

mul{ime

infinitd

de

indici

g

qi

teorema

este

demonstrat

Presupunem

mullimea

egale.

Fie

1t

un

subinter

24



'.

1,

',,,t,

:,;rrl:

rL

';r

I

l

:-:-

|

:'.'

irrr

l'

:

;

:

ltr,,

ir,t

iti

:i, , t

t,,t

t

l

accQtia rl,,,rii1,,...

,x:k ^,....

IrrrpS,rlim 11

in doui. subintervale

egalc.

l'ie

12 un

subinterval

al

lui

1r

care

conline

o infinita.te

de termeni

din (r1,.),.

l"ie

accqtia

tkt,,tkzz,...

,rk.,^,... ,

unde t22

)

kri.

Continuind,

rezulti urt

qir

descendent

de

intervirlc

inchise It'- Iz)...

l1-->1-1r)

.,

cu

l1-l

=f

t0.

Axiontt

Canior-Deciekind

impiiti

existenla unui

(unic)

€

€

n

l-.

h>1

Fie subEirul

(r1""), extrix

din

(r"),".

Rezultizs^.

€

I^Vn>- 1, deci

1r1."-{l

-<

1 :'

yn)

1

Rczultir

lim

r1""

={qiteoremaeste

demonstrate.

I

'2

DEFINITIE.

$irul

(r"),

din

R

se

numeqte

gir

Cauchy

(sat

6ir fundamenlal)

8

V"

>

0

ln.

e

N astfel

incit Vn,rn) n,,

lr.

r*l

<

€

sau,

intr o formulare

echivalentd,, Ve

> 0

ln"

€

N

astlel

incit,

Vn

)

n,,Yp). 1,

lr"+r-

rnl

< e

(dac5,2,,

este

definit

pentru

n

€

Nr

se impune

Si

n

*

p

€

Nr

).

Dxelrpr-o.

a coslft.})

It r,

-

| #.

n

)

0. erl,e

Eir

Cauchy.

-n

intr-adev[r,

n+p

1

1.,+p-'"1.

t,*-,f,,-

r ,t,

j,,

h=^+1

vn)n,-

1rog,f]

+r.

Vp)

r

2)

girul

5,

=

i

]

r"

"r,"

5i.

Cuu"nyj

ilt

f,

Aritim

ci

ls

>

0

astfel

incit

Vn

€

N lt",m"

)

n

astfel

incit,

15r"

-

S-)>- e.

Luam

ln

=

2n,

mn

=

n

qi

rezulti

sz,-s.-#-

**,

*=l=,v,>i

PRopozITlA

4.14.

Orice

sir

conuergenl

ile

numere reale

esle qir

Cauehq.

Demowtta\ie.

Fie limz"

=

e

qi

fie e

> 0.

Existi

"

=

"

(;)

asrfel

urcitr

6

,,

Yn.

>

n,,

jr"-*l

<

i.

L'entru

n,m> n.,

ir,,-

x*]

= lr"

r+r-t-i

S

lr.

-

rl+

lx",

-

x)

< e.

I

LtrMA

4.15.

Orice

Eir

Cuuchg

de

nume.re

reale

esle

mdrginil.

Demonstratie. Fie

(r")"

qir

Cauchy

qi

fie e

> 0.

Fiind

qir

Cauchy, exist5.

nE

€

N

asr

ioi

rncrt

Vn.;

'r..

Vp-> i

ir ri

ril< ..jrrt

r,

€

{".n.

...r,,,-a)

Vr

r>

r:.-

Luind

a

=

lrrin{ci,rz,...,r,.,r,.

-

e}

9i

6

=

max{c1,

22,

.

,.8^.,

s^.

+

€}

rezult5.

c,,

€

[a,b]

Vn. I

flna

dintre

consecintele

r

rema

urmS,toare,

in

care

dem

Tcontu-t

4.16.

(Criter

Cauchy

d,e

tuulrrcre

reale

esle

Demonstralie.

Fie

(c'),

acesta

este mbrgilit,

deci

are

(r1.),

qi

r

=

limci".

Aritbr

Fie

e

>

0.

Dxisti

n.

€

N

l

le

f,n

>

ne

cu

l.rtr

-

nemS.rginit

iai

limcs"

=

r).

Rezult[

ci Vn

].

n,,

I

,I*,.

=

'.

r

NorA

ItE

're o

€

R. Vo

(o,m)-iceRl

[o,oo)={ceRl

(-oo,

o)

= tf,

e

h

(-oo,

ol

-

{c

e

R

DEFINITII.

Se

numegtt

I

a

€

R asifel

incit

(4, oo)

C

Se numeEte

aecind.lale

r

astfel

incit

(-oo,

a)

c

V.

DEFINITIE.

$irul

de nu

astfel

incii

Vn

)

n74,

ro

)

.

$irul

de

numere

reale

(l

Yn

l

ny, tn1M.

NolATrE.

(r")"

are

lir

pentru

(-oo)

sint

similare.

Urmitoa,-ea

propozilie

t

PRoPozrTrA

4.1?.

a)

limr"

=

co

e

Vl'

N,

t"e Y

b)

hmo"

= -co

<+

\

ny,r}€N,

aa€Y.

Urmitorul

criteriu

qi

cc

la

cazuri

mai simple.

PRoPozrTrA

4.18.

(C

proprield.lrle:

l)

(b,),

estc

stricl

mot

26

Una

dintre

consecin{ele cele

mai importante ale Lemei Bolzano-Cesaro este teo-

rema urmi,toare,

in

care demonstri.m completitudinea

lui

R (vezi

Cap. II,

$1

).

TEoREMA

4.16.

(Criteriril

lui

Cauchy

pcrtru

qiruri

de

numere reale)

Orice

gir

Cauchy

d,e numere rcale este covltcr7enl.

Demonsfta\ie. Fie

(c").

un

qir

Cauchy

de nurnere

reale.

Conlorm

Lemei 4.15

acesta este

mErginit, deci are un subqir convergent

conform Teoremei 4.13.

Fie

acesta

(r1")"

qi

r

=

Iimz1.. Ariti.m cX

limr,

=

r.

Fie

e

>

0.

Dxisil

n.

C

N

astfel

incit

Vn,

m

2 n",

lx^-c*lai

2'

Fie ft,"

>

n"

cu

lr1.

-

rl

<

t

(acesta

existd deoarcce

(ft")"

este crescil,or

qi

nenld.rginit

iar limrl.

=

z).

Rezult;

ci

Yn

)

n",

lr,

-

"l

(

l*,

-

**.1*

lrs.

-

rl

.

i+l

=

6,

deci

22

,j3'"

=

'.

.

NOTATIE . 'ie a

€

R.

Vom

nota:

(a,oo)

=

{r

€

R

lc

>

a};

fo,oo) =

{r

€

R

lr

)

a};

(-oo,a)

=

{c

e

R

lc

<

o};

(-oo,ol

-

{r

€

R

lr

(

a}.

DEFINITIc.

Se

numeEte

wcindtale a

lui

cn o

mullime

V

C

R

cu

proprietatea:

3 o

€

R astfel incit (a, oc)

C

Y.

Se numeqte

wcirti,tale a lrri

(-oo)

o

mullime

V

C

R

cu

proprietatea:

1a

6

R

asifel incii,

(-co.

a)

c

V.

DEFINITIE.

$irul

de numere reale (2.)"

are

lirnrla co

dg

VM

€

R, I ny

6

\

astfel

incit

Vn

)

ny. x.

>

M .

$irul

de

numere reale

(r,)"

are

limila

(-oo)

g

VM

€

R, 3 ny

€

N

astfel

incit

Yn)ny,rn<i,f.

NoTaltn.

(2")"

are limita

co se va

nota limr,,

=

oo sau

e"

--+

oo.

Notaliile

pentru

(-oo)

sint

sirnilare.

Urrni,ioaiea

propozilie

se demoostrtazE ia

fri

cu

Prupozi ia.i.6.

PRopozrTrA

4,17.

"\

li-"

-.-

AVI/ ,L,..

-l-

-toI

..rcr.--:r w- \

-rrJtt .t.'.1 t t.

a

lLy

I

tL

c

N't"eY-

b) limr.

=

-co

<+

VV

uecindlale a

ny,

rr€N, tn€Y.

UrmS,torul criteriu

qi

consecinlele

sale

permit

calculul

rrnor limif,e

prin

reducerea

la cazuri

mai simple.

Pnoroztlle

4.18.

(Cesaro-Stolz)

Fie

(a")",(b")n

Siruri

de

numere reale

cu

proprieldtile:

I)

(b")*

eslc

slricl

Tnonolon

gi

nent d,rginil;

lui

(-co),

I

rv

€

N

astt'el

fncil Vn

)

27

2)..ttstd

tin

i"*'-?

_

;.

n

.d

0

^+t

-

btt

Aluntt

Pr:tslo

.liy

I

=

e

I)emonstratje.

Considerim

la

inceput

cazul

irr

care

,4

este

filitd.

plesupunern

ci

(6",),

tind_e.*escitor

cdtre

oo

(cazul

in

care

(0")"

.";;;;;""cle.c;tor

.erre

l__)

se

trateazd,

la {el,

cu

rrodifici.ri

ovidente).

.etu"ii,

in

purti'i.ulur,

O,,

O'Vn-}'r,'o

',

Fie

V

=

(4,

ii) e

V1

ai

(at,

)')

=_

/, asrfet

incii

I

e

il'

c'

/.

Din

2),

exisrd

nr

=

n(V')

€

f{,

nl

;:

n0,

astfel

rncrr

?it

-

?"

€

V,

Vn

2

nt

.

adic6.

hn+t

-

bn

"'

<

i:Jl-::

<

o'

yn

z

,t

Deoarecc

(6,),

cste

strict

cresci,tor.

deduccrrr

a'(b,,,4

-

b,)

.L^*,

-

o,

<

B,(b,11

-

h.)

Vn

>

,,,.

Scriind

rela{iile

precedente

pentru

?i1,

rr1

*

1,...

,

n

_

I

qi

adunintJ,

oblinem:

, '(b"

-

b",)

l

an

_

an,

<

p,(b^

_

b^,)

vn>

nt

+

1

deci

o'(i

-

6,:-.1

r

1"

?

.

n,

lt

-h,,,-)

vrt

.,

n,

1 1

b"

,

b,,

b,.

b,,

,

qi,

deoarece

6n

*m,existd

n2)n1

1

a,stfel

rncrt

ep,p1

Vr2nr.

Dac5,,4

=

oo,

fie

clin

nou

nlinL

6n

=

)o, (b,),,

.l3s.aro,

t,,r0

Vr)n6.

_F,ie

V

-(o.

nt.

o'>

o

qi

rr,

CNastl;l

rn,rt

lntt-

a,

,-,r,

Vrr

z t,

ca

rrrai

rnarrrle,

r,"zulta

a"lt

-

l"'

>

o't t

-

L

i

6"

b'

'"

''-7;l

dcci

o,,

b'>a

Yn>at

Cazul

A

=

-oo

se

trateazd

a^semiiniilor,

considerlnd

vecind,ti{ile

(_m,

B).

I

Ii,entarcirr

cE

exisienta

unei

linite

pentru

(#),

t,

antreneazd

in

general

exis

tenla

limitei pcntru

(3:11-3"

)

.,

rb"+t-bn./,,

,

un exemplu

fiind

firrnizat

de qirurile

a,,

=

(_1)"

,

In

continuare

vor

li

definite

purici,eie

iirnitd

aie

qiruriior

cie

nuncre

reaie,

im;ror

tantc

iu

sl,udiui

qiruriior

care

nu

au

iirnir.;.

,.

..?":t*ttl"

I.

(""1"

Drr qrr

de

numere

reale.

Nurnirul

a

€

R

se

nume$te

pzn.cl

lrmtl'i al

gtru.lui

(r"

),

daci

.xisti

un

subqir

t"r"l"

.f

s,rrl"ilr;j,

",,,

,f*

,0.

=

o.

OBSERvATIL

l)

Daci

r,,

€

lm,

MlYt

2) Lema Bolzano-Cesar,

3)

'Ieorema

4.12 se

poa

dacl

multimea

punctelor

lin

Jinind

cont de

observi

multimea

punctelor

limitS.

n

DEFINITIE.

Fie

(c,')^

u

NumSlul

o/

=

inf{o

I

o

a

Eirului

(x^)^ gi

se noteazd

Numirul

o/'

=

sup{a

I

o

a

Etrului

(r")^

gi

se noieazi

PRopozlTJA

4.19.

Iie

sint

pxncie

ltmild

ale lui (x,

De-monstraJie.

Demonr

pentru

l 4q

c,

fiind

asemd,nd.t

Deoarece

a"

=

sup{a

/1

1

at

e

\a"

-

i,

o")

,

o*

punr

punctelor

limiti).

Atunci a;

aqadar

a"

=

ulll3

rr".

I

ProprietX,tile

esenliale

in

teorema

urmd,toare.

TEoREMA

4.20.

Fie

(x,

r)

ot

=

ljgv^ dacd'

6i

nt

(i/)

Ve

>0Irv(r

(ii')

Ve

>0

3(a1

2)

o,tt

=

hma,

.

dacd

gi

n

(i//)

Ve

>0IrV(e

(ii")

Ve

>0 J(e1,

(cu

alte

cuvinte,

toli

termenii

qi

mai

mari

decit

(c/

-

e

)

qi

r

(a'

*

e),

respectiv

mai

mari

Dernonstra{ie.

Vom

da

deducindu-se

uqor,

'tinind

sea

,,+

"

Presupunem

prin

al

(r")"

cu

xr-

)

a"

+eY

la a,

punct

limit5

pentru

(c,

28



?s

tr

j.

ilr,,ri,

r'r

''r'

=

srlr

irr

r;

r,si,.

i;ir,r

t

lir:r1;r ;ri

'.

I

,

,i

.

;

irrl.,ri''..

r

irl.r,r'i.,,.

]l

\i

,ir

rjli,-r'i.LlL

I

tlLir:r

r,l

i,lr

i.r,.i-,.;rltllriii,

a;/r,

,L/

lti,lt rtj, rr

:

i

, 1

.

-

,.

,

.

:

:

,

'

1

:i;ir

,r,l

.;,,,r

r,

-i

ri

,,r,

,r riri

fi ;rl..,tLrr

IJuil,.l

l il

,lt

ii,'t,ii.ir

1.12.r'1.,,.t

tr

ia,tiiriijll

.,-,ir

I

t.:

j

isra

irjlt\(,fgi,rl

ti;if11

lr

ltirrti.Ll

Ii:,..

Jrrr ,i

,:r,rt

i,

r.,'.r.r';Lli

rr

i,'.,,

,j..tr:,

.

iLti

:,1:

iitirir.,i

lt

,1,.

iitr,

,,rr.

lr:r1,.

;

--

iurLiilirii|;)L f,lri,,: irLti;r

1,.\ rrli

:

lliriLltii:r.1l,.ai

llfj]rli()ll{,ir.rlr,lir,ti

t. rt

.,,t.,1

ijt.t,,t'iltr,. l ,1.,.L

lilj

.-il

rlr

r II I,_rr.i,nIr.

,|:jrg;rri1.

lir,,'jrir i;'- lllti ti.sir i)ir,r'r lilrri

irl

i.r.,), l i. x..irr.rlr' lt,ttlrt ,tlrt),t,tt'

ir

iirrlli/r

.i'r,

l-

i,

sl,iriii(r:/il;rrrr

irirrr,

:atr

lti

itLl .r.,

\| ti|tlr,'

s,r:,1,;

I,,,-5i/

|,iL,II

IIIiir

ILI

l.r.).,f

sr

tr: :t,,;tr.Ir:.:

:.rt; :

,

'''''',.''

lt

l ,,')

) t,

'.tj

t)t it itrtl

lt tti|:i t ririlr

i ,,,,,

.,

.r ,

t

-)

'

r

r

,

i,

i

I

j

i

,

i :

i

I 1

,

i)r

L;s1,

111, , ,

iii

r,.r

I

r;r. .1,.t|,.,r,.-i-i

l,l

t,i

tiir' r

lrlr.',.

liir.l l:,

I L

r

.

I

r

I

I

i t

I

r

I

I

i

,

(t.,i,

I

1'l'rtltt,

irrir

l.

:

ri

rr

'

sl, rr.r.ir,r

l

lt

,:

i :i

.l:

\

i.rl

l)rrri'

f,

if,t

lLrrLliii

,\,i rrtr,,r;

I,|,.r',.,

t,,ct

i,:iiltil

.i,.r,

,

f-

i,,,t)'-,

i

i

t;:

,

lilr lf , E

i.]],1

i)lt

lrri.l;llil.

er,r'iilriil_;,1,

l;rrL,rr'r

lrr1,,t,;rr':l

irrrrtr,l

iir:rr.i.,i|.

(trt1

t)f.

l. :ll

il1

1r'i)ii.iliit iti l;titlt)liir.

'l

t,()Ri.ir,\

ll(J l,r

i.r,,i,,

,r.rr,/,

rtiittttt

trriii..

trtrtrtjirri

l) r'

=

It,rr.r'

'irtt

'i

:r

,,Lrt',t

rit'

l

ri,:

i'

.:

tl

.

i

1:1

1, 1 t.,iiri tr rt .t,

.

i,

:

r,, .:

\

i

L

,

-

i/,1rr ,ii

lr1

Lt

,,

),

tt:ti,

i

t,:r,i

.t

;.

.-

t

-

,.

.'

1.

t

ri

ii/'l

n.

t.

il

-l

'\i,.1

a

\

t r

.

I

i

t,

i i ,

)

,

;

| .,

,

,

.:

it'

+,

ri,.:

\

,..

r.

tri")

V'.>{t I

i."r,,),

,t ,i t

il

lui

t.r,.)..

rr; f,ljr.il

.(t,>t/

:.

Vrr

ll u n

l., \

ir,i,

.

i,rl

l,'r

lr

rfri.

r'Lr r"'r

r

i,1lrr

ulri

ril*iiilr

iilrt. ilr

r,

lliiti

i]ri.L

(1,:art

ilr'//

r

:)

:i

,i,.,;

n, .i

i,.,.

I

r,,r

.\ .j ,,.,i.r.i

.-t ,.,,i

-,,,.

.,,.

, i.,:"

,r..

_.r

rr,i(r

r., rri

rirr

?tt

irt

irr/

t

ti. r'es,lr,.,tty

rir'r.i

rr|lr,rlr.ctL

iu"

.ll

f)t..t|,.:it.ii;t.Ij,

r.ri|,i::

,1,|,,rr

-

,rt

llt ,,-,,

,i

,,,,

r.tr

rlia

l).rjrfll

iiit.i.

tl

'r\Lrr

.Lirrr l]li)i

ar

l

..:+

'r'r.

jirrLtr:.1

l,ill]

.ri,srtrrl cir

,.tri:Lii

:-

..,

lt r.|r

i iIi.rl

r,tiir:,i

r.l.r

.,:,

_r

r -,,.

ri

l;r,.;.

"t,.r,

a,,.'

--.

\./rr

llt:tri

rjrii ri

ii

.-..

r.

,,il

t.irt,.

ltr s,j,.

rr - (:lt

ir'.

rt

Prririi

illrtiii;;r

rrlrir

ir.,l, ii,:,i.:r'r

:.ri

i

isl..t,IrL,i

iir.rlt,r .t .,,,j..11

:ll

contradiclie

cu defini{ia

lirne',

deci

(i//)

este demonstrati,.

Pentru

(ii")

presupurem

ci

existi

e > 0

astlel incit

r,,

<

a't

-e

Vn:.

N(e).

Aiunci,

orice

punct

limil,i

a

al

(.r,.\",

ar

satisface

a

{

a"

-

a.

deci

(o"

-

e)

ar Ii

majorant

al

mullirnii

punctelor

limitX., o contradiclie.

,,+"

i"ie

e > 0

Si

fie

(r1")"

subqir

ai

(r"),

cu

xr-

>

a"

-

e

Vn,

dat

de

(ii")

qi

,k-

<

o"

i

e'ln

).N(e),

coniorrl (i").

Aiunci iim:r1"

=

tr", decl

"",

dcfiti',

pril

(i")

qi

(i1')

este

purct

limiti al

(c"),,. Fie tr

-

sup{a o

punct'

lirnili

"l

(".)"}

qi presupunern

o"

<

/-. Atunci existS, e

>

0

aslfel

incit att+e

<

I'

-e

(

tr. Din

prima parte

a

demonstraliei,

-L

satisface

(ii"),

deci

existS,

un

subqir

(r;.")-

al

(r")"

cu.irj. >

L-e

Yn

prin

urmare

tj,) o"

+e

Vn,

in

contradiclie cu

(ii").

Rezulti

at'=L. I

in

cazul

qirurilor

nemS.rginiic,

vom

puoe prin

definilre

li.t"

=.o

daci

(.r.)"

nu

esl,e mS,rginit

superior,

j.g4

c,

=

-oo

daci,

(z').

nu este

m6rginit

inferior. Alie

proprieteli

leqate de

li41

qi

lirn sint

prezentate

in exerciliile 14

qi

15.

$5.

NUM}'RE COMPI,EXE

Prin defiri{ie,

nulJimea

numerelor

rnmplerrc,

notati

C, este

mullimea

R2

=

R x R

inzestratd,

cu legile de compozitie

intcrni.:

adunarea:

(rt,At)

+

(xz,y")

=

(r1

t2,9t

*

gr) qi

inmullirea:

(rr,llt)

(rr.ar)

=

(a1

12

-

A1

. 2,

xt

.A2

+:r2

y1).

Acestea

deterrni05.

pe

C

o

structuri

de corp comutaliv.

Ident,illc5,m. oertr,-r

orice.r

€ R.

perechea.

(r.0)

e

R

x

R cu numErul:r

€

R.

RezrltS.

atunci din

dcfinilia inmullirii cA

(r,

0)(o, 0)

=

(ta,

rb)

=

e(a, 6), ob{inindu-se

l-"-. .l-.^mh^'it,^ awl^rn.

'.-"li''.' ".";

.-.r^. Ji" F[2 erl,n

-.rlar

raAl' d-

devenind

in acest

mod

spaliu

vec+,orial real.

Notind i

-

(0,

1)

observim c[ i'?

=

(-1,0)

=

-1,

ceea

ce face ca

uneori i si

fie

notat

/-1.

'inind

cont de definilia operaliilor de

adunare

qi

inmullire

qi

de

identificarea

s

=

(r,0)

Vc

€

R, orice

numd,r

complcx

(r,9)

se

scric

in

mod

unic

sub

forma

(",

s)

=

'(o'

1)

+

c(1,

o)

-

"

a

1r'

Numereie cornpiexe se

vor

noia

z

=

r

*iy.

Vom

nota

n

=

iie z

(pattea

realS a

lui

z),

y

=

Ima

(part'ea

imaginari

a

lui

z).

VomnotaA.

=A-{0}.

DEFINITIE. F\ez

=

r*ig

€C.

Nurn5rult=

c-iyse

numeqte conjugal al lui z.

u^^-:,.r i- ,,--ir,.,.^,.1^

^-^^..^r

i i

^l^ ^-^-^'

i^i .l^

-^-i.,^-.^

,l^-^^-r.-r i- l^"

PtvPrrcrd\t

dt( uytrd\-{r uUvrtiuBqrr'

v t I I v I I r

I

u I t rvr

{iind

un exerci{iu

rrqor.

PRoPozrTrA 5.1.

h) 2r

+

22

=

2t

+

22:

c)

'/\

.

22

=

Zr

Z2;

d)

z

=

7<+

z

€

R.

DEFh-ITIE.

Fiez-c

PrezentS.m

in

continua

tuind

un

exerciliu

util.

PROPozrTlA

5.2.

a)

lzl

=0<ir--6t

b)

lz1

{2,15lzll+lz

")

ll''l

lalj

<

1,,

-

d)

lzr

.z2l

-

lztl.lz2l

e)

l.zl= lrlat

z

2=12

Din

punci

de vedere

ge

un reper

cadezian ortogon

corespunzind

lui z cu origil

punctele planuhti

corespun

D,(zr)

qJ

\z

e

cllz

-

D,[zs] I

{z

eCllz-

C.QI\Y

lz

e

Cllz-

PRoPozrTrA 5.3.

a)

Penlru

orice

z

€

t

e

l-r,r))

aslfel

inctl

b) Orice z

€

C'

se n

t

e

[0,2:r)

(saute

[-r,r

al lur.

z).

Demonstratie.

a)

Pentru

z

=

a*tg

I

=

2z

-

arccos

c satisfacc

b)

z

l0

++

lzl

l0

punctul

a). I

OBSERVATTE.

{z

€

C

pornegie

din originea sisie

De

lrNrlrn. Fie

(z^)"

oergenL Iu nuuLd,r'ul

uurpl

1""

-

rl

<

e.

Acest

fapt

se

Oasnnvalte.

Confor

incit

Vn

)

1/(e), z"

e D"(

30

N

(t).

ar

fi

qi

priii

)"

)

Din

(c")"

lr-

)

Alte

RxR

t

fi.

C

i

sd

qi

de

a

lui

z.

lor

d)z=z<+zeR.

DEFTNITIE. Fie z

-

r ig

€

C. Se numegte

modul al

lui

z

numirul

real

pozitiv

l"l=j,"+u"

(5 1)

PrezentS,m in

continuare

proprieti ilc

modulului,

demonstra{iile

acestora

consti-

tuind

un exerci iu

util.

PRoPozrTrA 5.2.

a)

lzl

=0ez=

0-

b)

lz1

+

z2i (

iz1 |

+

lzrl

Yzt,

zz

€

C:

c)

ll4l

-

lzr)l

{

l"r

-

"zl

Vzt, zz

e

C;

d)

lz1

.z2l=lal

lz2l

Vzt,zz€E;

e)

lzl

=lzl

yz.z=lzl2

Yz(C.

Din

punci

de vedere

geometric,

daci identificim

R2

cu

un

plan

in

care se

consider6

un reper cartezian

ortogonal,

lzl

misoar5,

lungimea segmentului

care unegte

punctul

corespunzind

lui

z cu

originea

axelor,

deci

lz1-

z2

mdsoa.ri distan{a

euclidianS,

dintre

punctele

planului

corespunzind

numerelor z1

qi

22.

Atunci

D.(.zq)er

k eCllr-

z6l<

r]

este

drscul

dcschts

d.e

razdr

centrat

in

zg,

D,lznl+J

{"

€

c

I lz

-

zsl

<

r} este d.iscul

i.nchis de razd

r central i.n zn,

iar

C,(zr)

d:i

lzeCllz-z6l=rleste

cercal

d.e

razd r central

tn

zs.

Pnorozrlr.n

5.3.

a)

Penlru orice

z

€

C

t

e

l-r,r))

aslfel

tnciL

cu

lzl

=

1 eristd,

un

z=t:oslfisili.

1

e

l0,2tr)

(saa

un unzc

b)

Orice

z

€

C* se reprezinld

in mod

wtic

suh

forma

z

=

lzl(cost

*

isint) cz

te

[0,2r)

(saut,el,-r,r))

Arest unic

t

e

l0,2tr)

tc

1'0.

nola

prin

arg,z

(argu.n

en.t

al lui z).

Demonstra\ie.

a) Pentru

z

=

x

ly

cv

>

0,

/

=

a.rccosz

sa.l.isface

(5.2), rar clac|

y <

0,

1=

2n- arccos

r satisfacc (5.2) (respectiv

I

=

arccos

a

€

(-r,r]).

bt,*0++ltl+}i.tl+l

-

t.

Arunci

t,

-.o"/

tisint,.u

r dcdus

la

ll:il

:l

punctul

a).

I

OasonvnlIc.

{z€C.

latgz

=a

e

[0,2r)]

este o

semidreapti

deschisE care

porneEte

din originea

sistemului

de

axe ortogonale.

DEFINI'{IE.

Fie

(2")"

un

qir

de numere

complexe.

$irul

(2")-

se numeQte

corr-

aergent

lu nurntirui

annplet

z

<iaci

Vi

>

0 3

rv(r)

€

h a"rtfel

',ucii

Vn

2

^(e),

lr"

zl

<

e.

Acesi,

fapt

se va

-rota

prin

zn

+

z

salu',irn zn

-

7.

OBSERVATIE.

Conform celor

precedente,

zn

+

z

#

Ve

> 0I

N(e)

e

N astfel

incit

Va

)

N(e),

z^

e

D"(z).

31

TDoREMA

l;.4.

Fie

2,,

=

r:n1-tUn.

n€ldangrrdinC.

Atunci\imz"=z=rlig

rlacd

5i

numaz

dacd

\m

x,,

=

r

9i

lirn

g,

=

9.

I )^,

-^--,

--

r i.

,+" 1".

-

4

-

[..;

-,)'

<

,r[,-,-,1'*.

,,,

-

lr,

fel,

lv,

-

vl

{

lr.

-

rl

conduc la

rezultatul

dorit.

,,€"

ObservEm <:alz^-zl

g

lr"

-el+

ifl.

r/1.

[,iee

>

0

qi

lie nl(e)

€

fd

ast{.el

{..

Ir"rr lJ, -

"l.

<

VD

>

rrr(-).

fi

he

t2(r)

t

Ni

asrfel rrrcrt ,yn

-

.u,

<

€UVn

2

nr(e).

Atunci

z.

-

zl

<

eYn.)

N(e)

=

max(n1(e),

nr(e)).

I

Din'I'eorerLra

5.4 se deduc

urmitoareie

propriei,Eli

legatc de

legintlu

le de

proprietilile

corespunzdtoare

din lt.

colvergen{a

in

C,

PRoPozlTrA

5.5.

a)

Lzmifu

urtut

:itr

de ntnn.e-re

cornple.xt

csle unic

delcrmmatd.

b)zn-2<+t,-z-0

c)

lirn;,,

-

.:

<+ V(-?r"),,

subgtr

al

(2,,),,,litr-21,"

=

z.

d)

Darli

)tmu,,

-

u, Iimu,

=

t), atunci

lim(u,+u,)

=

u+u

lxlirn(u"1,,)

=

1

,-

zu dacd,

in plus,

tt,"

t'

\Yn

9t

y

f

g

o1r.nri

lrrrrlL

=

tt

Un

l)

l)E 'rNrIIL.

Mullirrrea

-4

C

C

sc numeEte

rndrgznfld

daci

t:xisti

M

>

0 astlll

incit ,4

C

D,y(0).

Un

qir

din C

se

nvuteEL.

mdrttinxl

daci

mullimea

tcrrrrenjlor

si.i

esLc mS,rginitir.

PRopozrTIA

5.6.

Orice

6ir

dtn

C, mdrginit,

at.e

un

suhqzr

cctnrergent.

.

DemoLt

tratie.

Fic

zn

=

(.r",y.),

lz,.l

(

,lr'

Vn.

i\tunci

]r,l {

M Vrt

Ci

]y"l{

M,

Vn.

Lema

I}olzalo-Ccsaro

($4,

Teorema

4.13)

irnplici

existcnga

unui.

subqir

("r1")"

al

lui

(r"),,

cu

limrl.

-

r

€

R.

Dcoarece

(ys_),

csie

nrirginit,

are

qi

cl

un

slbqir

.olvergcnt

i,,*_.)",

1itl1i7^^

-

y

(J:im

iilll;r;,."

=

t:

rez,.iiF"

iittrzy.^,

-

z-rii j.

-

DE -rNr lE.

(2,),,

qir

'in

C,

se

nunre5te

str ()auchg

5

V,

>

O

3

tf(e)

e

ld

astfel

incit

Vr,nr

>-

N(e),

lz"-

2,,,1

<t

<+V€

> 0l,V(e)

e

N

astfr:l

incii

Vn

),y(c),

Vp>.-1,lz^+p-z^l<e.

AserninS.tor

cu

Teorema

5.4

se

demcrrstreazi

urrnitoruj

rr:zultat

PnoPozl'lrA

5.i. Fie z,=

xn iy^,

n

€

N. ,4lancr

(2,).

este gtz.

Cauchy

in

C

dacd.

gt.

num.ai

d,atd (r:,),

Et

(y,,).

sint

jiruri

Cawhy

tn

R.

Demonslr

a[ie.

l,

^

+,

-

r.1,

ly,+e

-

y.

|

(

lz,+o

-

2,,

|

{

lr,1u

-

r.,

i

+

]

an+p

-

?1,

I.

I

De

aici reziili;

inredia.i

qiiitr.iuj

jui

Cauchv

peninr

qiruri

riin

C.

'i

u<.inlivil

ir.8. (corrrp

ieii'r,

u<j

inea

iui (C.

]

.

')) iht

qtr

de

n,unterr:.

cornplece

csie

9ir

Cauchy

tlacd

Si

nutnai

dacd,

csle

utntcrqelt.

irr

afara

idenlilicirii

cu punctele

unui

plan

in

care

avern

un

reper

cartcziaD,

nurrrerele complexe

se

pot

retr

proiectiei

stereografi

ce.

Se consideri, o sfer5. tangr

R2. Fie

N

extremitatea

opusd

ptnct

z din

plan

pulctul

P de

I

zeazi astfel o corespondenli

bt

de 1y'.

Puactelor

P

care

sint i

dule

mari.

Se

poaic

deci

addu

(notat z

=

oo)

carc

poate

fi

completat

cu

punctul

de la inl

Aceixta

jus1,ific5,

urrndtoarele

,

DEFINTTTE.

Se numeqte u

o submultime

dc forma

{z

€

(

disc de

razi r

)

0

cu centrul

i

ObservS.m c5. transforma.r

DDFINITTE.

$irul

de num

daci.

gi

numai

dacd.lim

lz"l

=

Remarcim

diferen a dintr

distingem

qiruriie

care converg

h

=

(-l)"

.n

nu are

limit5,

i

Atit

in

R

cit

qi

in

C,

daci z,

$6

ExERCtTrr

1.

Demonstra{i

relaliile

din Pr

32



flurnerele cornplcxe se

pot

reprezella

ii

proiectiei

stereografi ce.

ca

puncte

ale

unct

slerc.

prln

interrnediul

Se

consideri

o sler .

t,angcnti in

lunclul

O

(z

=

0)

]a

planul

rOv

identifical

cu

R2. ie

N exl,rcmiiatca

opusir

ILri O a diamertrului ca.re t'rccc prir

O.

;\socicrn

lir:r:iru

punct

? din

plan

pulctui

P de

pe

sfer'5 afiat la intersec{ia

sferei cu

cireapta

,\'; ,Se reali

zeazi

astlcl

o ctircspondcn{.1

bijectivE" intre

pulctele

plariu}ui

gi purrctclc

s&rlri

dilerJlr:

de /{. Punctclor P cate

sint in

apropierea

lui

N le corespund

puncte

din

plal

cu

mo-

dule

mari.

St:

poaic

,Jcr:i adiiuga

planului

un

punct

{icliv

uirnril

prrnrlrrl

dc la iniilit

(nolat

z

-

\o)

.nrF

I,,,al'

h

"nrr.r,l^rar

corospond,ntrrl

lrrr V

d.

p".t,n

Pl.',,"1

co[rpiclat

cu

punrl,ul

de ]a infinit se va

numi

plon

com,plet sau sferd a

lui

Riemann.

AceasLa

justifici

rrrrnitoart*:

defini ii.

DEttNlTIt.

Se ourneqte uecintitale

a

punclulut

z

-

co o

mullime

y

care

co0lite

o submullime

dr:

lorrna

{z

€

A

Jlzl

>

r}

pcntru

un

r

>

0

(V

conline

extr:rionri

urrui

disc

de raz5.

r

)

0 cu centrul

in

O).

(Jbservdrn

ci trans{ormarea

.l(

z

I

-

l6u."

rr-,n,

10}

r

>

0

or: o

vi:cini,t;rte

a

DnfINIltli.

$irul

de numere complexe

(zn)n

ure linnlo rx,,

nolat

litrr

z,

=

ixr

daci

si numai dac6.

lim

lr"] =

*.

Remarcim diferenla

dintre defini{iile

date

limitei

co in

C

qi

R.

In

Lirip ce in R

disttngem

5icurrie.arc

"onrr'rB

i:'

ro.i"

ccic care

.onverg

ia

1-a,)

qi.a

urmare

Errui

h

-

(-l)"

n

nu are

lirniti,

in C

limita

infiniti este dat5. nurnai

de

qirul

modulelor.

Atit ir

R

cii

qi

in

C,

daci

z^

l|Yrt

qi

hm

lz"l

=

co, atunci ii,,,

.l

'

0.

n*@

ztL

$6.

EXERCITII

1.

Demonstra{i relatiile

din Propoziliilc

1.1iii

1.2.

astfel

in

C.

x

sii

unui

in C

r

(.sic

2.

Oonst,r'uiii

ul

cxcrnplu rn

care

/(0,r,)

I l/('r,)

ral

tEl

i1 Fi,:/:X-Yqi

1:\'-Z

Sn

se ara.t. c;.

dari'

{

11

sint

hijective. alrrnr:i gol

'\1,

L,U,'rrvi

ir

(4oil

=

I

aA

.

,1.

Aritali ci

dar:5

,J

$i

t silri.

rnultirrti

nuiniirabiic,

atrnci

-4

x

B

cstc

trurniirabilil.

lntlicalie:

A\

B

=

U [email protected],,)ln

>Aj.

k>a

i.

-A'iiiia{i

ci

lrul{intr:a.

QI-Y1r

a

i;oliloiiiiieloi

cii

cocficien i

ra{ioniili rs'"i

tii.i.tiiiaLtii.

hdrca{ic:

AlXl

-

U

{/'€

QIX]

jgradP

(

a};i se denrorslreaz{

prin

induclic

n>t)

cn

1l,

€

QlXl

I

grad

l']

(

n.) cslq nurndrabil;

perrhu

ori{:e ri

E

N.

ij.

l'ojosrnci

(Oi)

cieciuccii cchivaicnla

in (R,

{)

a

urftr;ioareior aiirrralir.

a) ,r<v;

b)

0(s/-r;

c)

Y(

z;

d)

r-r(0.

7. Iblosrnd (O2) arnta{i

ci

in

(R.

1)

au

lor::

d)r

3

-

b)

z(0qi

s(0+r.y){):

c)

r(0qig>0+r

y<{l;

u.;

r?

-

u

vr

c

R

r) I

>il

I

*iLe

rnonoton dr:scresciitor.

(Pnrpozilia 4.18)

dr:duccli

ci daci

lim

c, =

c

cr

+

+.'

a) llnl

tl

t,)

,1a'

i

r"

'

tJ Va

qi

,

-

U,

rlu1"i

lint

;7r"1

,

,

r

10. Aritati ci da<:6 c,.

)

0 Vrr

qi

lrr;r

llr

-

,.

I

0, al unri

lirn

16,

=

c. Oolstnrili

un

cxcmplu

carc

sii

aratc ci

inrplicatia

inversE

nrr esl,c

in

generai

valaliili

Lrl

I L

Sd

se calculeze

lirnita

qirului

u,,

-

J .

fT

12. Folosirrri

criteriul

lui

Cauchy,

aritaqi

,;

q,,ut

f

tt",(ft'

"",.

convergent.

13.

'ie

a1

>

0

V,t

e

N,

fie

sc aratc c; dac5.

(r"),

este

Iadica{ie:

Sc ulilizeazd

14.

Si

se arate

c.1 liminf

rn+r,

.

)

penLru

(r,)n

Eir

15.

Si

se arate ci dacX

(r

lirrr(.r,

+

u" )

<

iirnr"

+

lin

16. Dcmonstrati relatiile

di

17.

Reprezcntati

gralic

urm

a)

D11,l0l;

b)

{z

Inrz

=

l;

c)

{z

i

R,ez

e

[1.

d)

{z ll"+tl

<

1l

e)

l?

largz

=

t

18.

Si,

se calculeze

S,

qi

Lir

^r

c

-

r- I

'

s)rn-/,t.

t=0

\r-

^,.

-3t,

i=0

19.

S5,

se calculeze

r1

Lrm

I

I

l10 t

g<'>tl

\

lJ

|

'+'

S. Su sL.

a|att

cd sir,rl fl

+

1)

'

\ n/

9.

Folosind

criteriul

Cjcsaro-Stolz

atunci:



lli i

r,,

,rr

r

r;,l.

a

\ I

,,

.r

r_ r,

ir

l

:.t

iir,i;r

e1i' S, iiti

t:,i

i,l.l

I

I

,

t; rl

,t:

(

rr

r'

i

r

li. li,r

r,, irlll

r:_r

1tr.Lr,l.;.

,l;,,ri1..,.

r,-

,,,+,.

I

t)r'lrtr

r

1.1

..

1..

-ilt

,lrir

il

l

5ii.r'

:Lr;rie

tn

,i;t,it

1_,i,,i,,

..j

1q,,

1,,

:|tl

il,,tiir

siruri t iir.t,riirr,,l,.

lll,tr,,ri:

t,.,,.

lirrr(.r',

.q.,

j:.

ir.rir.r',

I

ii,rr1,,

;i

l1rrl

r.,

r,

i

:-

ir, .r,,

iii ri,.

1(j. I)r

rrrrrrrtrrr:.i

J.l.rr.lle

riirr

1,r,1;r,zir.ill

:t./

li. ll,'t,r,z i,iitl

iti;rli.

r:;rrritlrr,,lr.

sll,lJrijli,l

tj

,jil

{-':

;ri

l)

1,lii

:

l,t

1.;

irrr:

-

l]

cl

t: T1,,.

a

rl.2 ifir:

I. iti

iil

1:

',ail

-

l:

,

rrq

1;l

1l

Sir.r'cal'

rrlrzr:

,\',.

lj

.,iirtr

\',,

1rr:irrr.u:

t.

i.

_,

1II

',1

l

s

.

,1.

.

:,

i

-

:"i

l.I

:r

1rr,

1,,

-

)-l

rr1./i.r'.1

5i

I .

,': i

iJtli

lA,'lli

i

r.r

i,:l

sLt;, r.,

,

ir

1

.-ll

i

i.,



CJAPITOI,UL

II

Spa{ii

rnetricc

Noliunea

de

spolit.

rnelrzc;

conuergehld;

mulltmt

deschtse,

mu[limi

inch.isc.

Spalii

norntat-e:.

,9palii cu

prarLus

scalar.

Compac'tlale

in

spattr melrtce

$1.

SPATX

NlEl'RlCIl;

CIONVEn.CDNTA;

TOPOLOCiIITI;

COMPi,E'll1'UDINL

in

capitolul

precedent

s a v5,zul,

r:unr.

in

mod

natural,

noliunea de convergenli

in

R sau

in C

poatc

{i exprimati

folosind

functia

modul.

Geometric.

este

ugor

de

observat

ct

pentru

z,to

€

C,

lz

u,| exprimi drstanqa

in

planui

complex

dintre

afixcle

numcrclor z

qi

ta. Existcnla unci

,,distan c"

per-

mite

definiren corvergen{ei.

ln

defini ia

urmitoare sint

prezeutate proprietS,lile

care

caracterizeazi. distanla.

DEI'tNt'f

tc.

Irie X o

mul{imc.

Sc

numcqte dlslanld

pe

X c> funclie d

:

Xx X*10,

oo)

cu

proprietE ilc:

(Dt)

pcr'tru

r,y

€

X,

d(r,y)

=0(+r=y;

(D2)

d(r,

s)

=

d(u, r)

Vr,3/

€

X;

(Il3)

d(r,

9)

tr

d(r,

z)

+

d(2,

g)

Yx,y,

z

E

X

(inegaliiaiea

triunghiului).

Perechea

(X,

d),

cu

d definit6

mai

sus, se numcqtc

spafiu

rnclruc.

OBsERVATII. Folosind

indur:1ia,

din

(DJ)

se

deduce

ci

dac.la

xt,xz,...

x,,

e

X,

d(e1,r,,)

(

d(r1,12)

1d(r2.13)

+... +d(r"

1,",,)

36

5e

arati uqor

este

spaliu

meiric,

metric.

Vor

fi

prezentate

Ei

al

Noliunea

de converge

DrrrNrgro.

Fie

(X,

d,

lan€X,sunotatia; ]L

OBSERVATIE.

Rationj

Eir

convergent este unic[..

Pentru

gcneralizarea

r

citeva noi

defini{ii.

Acester

Vorn

colsidera in

con

DEFINITIE.

l)

O

mullime

,F

C

.

convergent,

,jlg

t"

9t

,

2) O mul{imeDcX

Prin definitie, multin

Pentru o caracterizar

de

cea cunoscutS, din ana

interval

deschis

gi

interval

DEFTNTTTE.

Fie

c

€

numeEte 6ili deschtsd

de

se

numeqte

bild

inchisd

dt

Recomandim

ca

pe

r

deschisS.

iar

B"lo] este

o r

(exercit

iar

da,



'

,\ccste

defini{ii

srnl

naturale:

in

cazril uullimri

R

cu

(listanle

dirtii

iic modul,

B"(o)

-

(o

-

r,

a

-l-

r).

intcrval

deschis c('rrtra1,

in

r

de

luogirnc

2r.

iar in (C,d2).

il.(?f)esie discrrl

dr:sr:his

de cenl r'rr 11,

qi

razi

r,lil

plalLri

ror Pler

r\\adirf

irterv:rlele

(a )'.

.r

+

r)

sinl

rnLrl{irrri

deschisr',

la

M cLr discurile lleschisc

din C.

l)r.oPozrTrA LI

a)

D

C

I

estt

d.esch''rii d.atd

it,.(.a)

c

D.

l'1

t

r

\

'

'tP

;,,r

tt',,t

'la,

a

B,(,.r)Tl

I

=

0.

st.

n.unt.nt

datd. Va

€

ll. I

r

>

A

aslfel

itt:it

lL

n.unax

dt.td

Ya

Q

1".

1r

>

0

aslfi[inctl

/)ernorsl ra.(ic. Se

obsr:rvi,

cir

Jrrirn:r

afirrnir{ie

se

deduce

din a

dorta, deoattc,:

o

rnuiirirrrc

rieschisii eskr t:ornpicnreritiua

unci

multrrrnr

inchisc.

Vorn dernon-.lra deci

a

dou a aiirnra(ic

Fie t

C

X

inclrisii. Sd

presupun('rn prirr

absurd cicxisti o

I

lj

astli:l incrt

pentru

oricc r"

>

0.

ll,(o)f-l

I

f

0.

,{trrrr,r,

lurn,l

p.'tir',[

",,

-

,t

c

N*

putcm

alegr:

pentru

olice

ri

€

N', r,,

e

flr(a)flJ". Aqadar.

din r,,

e

-llr(a)

avern d(r",,o)

<

l

Yn

2

L

ceea cr:

irnplic6

Iirrr

r,,

=

.t,

iar

curn

/i cste

inchisi.

rczultS, o

€

/",

//

r

-'

r:ontradtc ie.

li.cr:iproc,

daci

pcntru

ortu'

a

f

I existi.

r

> 0

crr

B.(a)f11"

=

0

i

tiaci i' nu

cslc

inclrisi.

[i,-:

r,,

E

]:,rr

€ N

astfel

ircit

r:xistd,

=,,t:t].,r,.

qi

al l'. ]'icr>0qi

7),.

e

ld

r:u cl(a,:r:,,,)

<

r'(din

dr:lirri1ia convergert('i

tlirn

c;

eliista rrr lsl,lel cle ri.).

A<:erasia irlplir:ir.r',,

e

B.(rr)|

1r

in coutrac{ic{ir: cu se s-a

prcsupus

mai inaintc I

Vorn

nota

pnn

rx

nrLri inoa

submullinrilor deschisc ale

spal,iului

nietric

(X.

d).

I-rrnriitoarca

propozil,ie, :r cirei

dernolstralie,

rezuidilrl

u5or

dln Propozilia

1.1,

estr: lisalir ca

exerciliu.

prczinte

riteva

proprieteti

alc

nultimii

zy.

PR.opozl

lI.\

1.2.

I'ie

(X,

d) ut

spaliu ntelric.

1,1 2 l) I)ot:ii

l)i

e

rx.

i

e

L.

trtu\t

U

lt,

e

"x.

eI

(.1.2.'))

Ducd Dt... . D,,

e

rx

al.rnr:i

)

D,

€rx.

A6aclar.

o

rcuniune

arl)ii,rar:r.

de

rrrultilui

desr:hise

esie

o

mrrllirne

tleschisir

qi

o

irierseclic liniti

de rliritinri

tleschisc

rstc

o

mullimc tlcschis5..

Irin

trccere

la

complenrerl,arir se obl,inc

cE, o

interseclic

arbitrarir dc

nullimi

-i-.1,i:

:i. , rl:ll'il;n rl.hl;i

i,

.:

r;rii,iiic fir,iii

ric

iiulii:iri iiir:liisi::sic

o

iiiui'iiiiii:

inchi-si.

IixEMPr,r,r.

1) lntervaleic dcschise clin lR sint niultimi cleschisc. Ia leJ

qi

rcuniunile arbitrare

dr:

ill.r-rvale

cir:schisc.

li

irr"rrai'

i'

,r,hrs"

,ii,,

n

-

nr nrriti'rr

rn

hi* \

rt:rmrio

i,"^

-."'

,::rritrnrr

inchise.

S{ul[irnilc N

qi

Z

sint

rlu]tinri inchise avild comDlo,nnnlarcle

deschist:.

i3)

0 irrtcrsectie arbil,rari

de rrrull,imi

deschisc

poatc

fi

o

rrrullirle

inchisd:

t1

n

(-:

-)

-

101.

D Dl'lNrf

IE.

O

subnnrll

ir)nlirlc

tr)t'0

gi

Pe.I

dolineEi

r)

(Fl)

Urmitoalele

dellrilii

irl

D]],FINITI[.

Fica€.t.

astfel

incit

d

€,

C

I'.

sc

r

pr-in

)',,

rrrullirllca

ve.lnirdli

O

gcleralizare

naturald

caracterizarea

convergcnlei

PRoPozrll\

1 3.

Lr'n

t

alura

oriuitci

wcinatd'Ii

a

I

DIif

lNI'f

lE

O

mullime

aslfcl

incit

'l

c

B,lal.

OusEn\nTIE.

-{

c

-1:

e

,lun

d(r",

r)

-

cr:'

DEFINITID.

Fie.,{c-X

a)

hfieriorul

multirni

t

=

, rg

".

"

(reuniunea

t

b)

Aderenla

(inchideret

(iritersectria

ilchiqilor

ce

con

t)) FlonLiera

rLultimii

A

d)

o€I

sc

rriimeite

Pl

astlei

incit

r"

I

a

Vn.

5i

lin

va ]lota -4].

e)

o €

I

se [ulne$tc

Pl,

Urrndtorul

rezultat

siII

PRoPoTlI

iiA

1

4.

Iie

.

n)

-i

cste

cea

mai

hta

onlinn

dat d. rle

incluztune).

b)

-'I

eule

caa

mui

nict

.\ i).t Ir i lir-i

lim

r',

-

lim

9'

=

r).

d)

o

e

.Y

cste

Punct

I)ecindto,te

Ir,, a

ht'i a

auerrt

Demonstralie.

SI

obse

corrlplencrttarei.

iar

c)

rczu

mrrllirrilor

indrisc,

resPr:ct

distan 6

a

notiunii

de

Punr

punctul b).

3ll

d

r),

inril.

incil.

o

a

alcgr:

a)

<

.f

,

nu

n,).

I

d).

1.1,

qi

o

DElrNl'ltE.

0

subrrnllirne

ciiti P(X)

trr

proprietilile

(1-2 i)

gi

(1

2

2)

5i

ca"-c

conlinc

pc

0

5i

pe

I

defileg1,c

o topoloq'ie

pc

,Y

(sau

o sttllctrta

drt spaliu

tapologic

pe

-r)

(t4l)

Urmdtoarele

deiidlii

irll')oduc

notiulli

des

tilizat€,

lcfltrl,c de

cele

anterioare'

DDFrNrTtli.

Fic a e

,{.

O

mullimc

l,'

<;ri

proPriel,atea il5 existf, un

deschis

D

r'

'\

a,stfel

incit

(r

€

D

C

I' se

numclte

ttecindtcle

a

lui o

Ca

li

in

cazul

rcali

vonl

nota

prin

V,,

nrul inrca

lec:ind.tirlilor

p\rnctiului .r.

O gcneralizare

naturald

a

cazrilui

rea.l

(inlocuirrcl

lr',

rl

crr

d(r,.' ii))

o

collstituie

caracterizarea

con\:ergcllei

iruri]or

irl

tcrneni de

veciniiSti.

PRoPozf{r^

1.3.

ltrt

9i".

(q,),,

tlin

X

cortuc:ry1r: Io, r e

X

dacii

si

rttttrt'o'i dacii trt'

tfara

oricdrei

uecind'tii{i

a

llh r. se

gdsesc

uIL

nundl

rtnft

tle

tenne'ni

oi

pintlui'

DEFINI

IiE.

C)

mulliure

-4

C

-Y

se numeqte

mdrginttd

dac[

existd

a

€

'\,

r

>

0

asifcl

inc'it

-'1

c

A"lo].

Oesrnr.tltr:.

-''l

C.Y

crste

ncniifginiti

dacdVz

€

Aexistduniil

(/,,),,

riin

I(rr

,Jin

d(r.,

r)

-

m.

DriFINtTln.

Fie I

c

X

c.r

sulrrrtultine

oarecare.

a)

Inter"iorul

mt

lirrtr,i

A,

notat

:i

(sau uneori

int'4)

este

(lcfirir'

plirl

;= [.J

D

(reuniunea

tutrrror nrultimilor

deschise

<rrrrlinute

in

l)'

,,"".:i,,"

ie,4

_

[]

F

b)

Ad,n enl,a

(tnchulerr:a

rnttllirnii)

A1

riotat[

'4

este,

prin

dcfinit

"

l;i.^

(interseclia inchiqilor

cc <xrnlin

,4).

c) F)ontiero,

m,ul[in

iil,

rlota.1d.

Fr'4

(uncori

d,4) estc'

prin

defini1ie,

Fr

'1

:'{

i.

.t

...^,^.",t.,"..

^t

1.,, a

A...

^-i.r.,

,'n

.ir

I

. \

'l:'

I

oJue

^

\r'liurL

f

irF

/,uri'

astfel

incit :r,,

I

aYn,.i

,,qt

t,

=

n Nlultirrrea

punctclor

de

acumularc

pentrrr

"l

sc

va

trota,4'.

c)

a

€

'1

sc

rntmeEtc

p?rnct

izolat

pentru,4

dacd. n e

.4

1'

UruEtorul

rczultal.

sirnplu e.xplici

irrtuitiv

accste

definilii

a')

i

e.ste cea

mai

rnare rnul[inte

tlcst:Ltisii con(inutri

in

A

(trt

sensul

relo'li

r"i tle

onl,ine datd. de inclu,ziun.e)

.

b\ A este

r:ea mai

micd

m,ullirne' trtchisd

ce

conlin'e A

(in

acelagi

tens)'

c) 0-4

-

{:r

|

-l

(t,,),,.1t,

(1,,),,.5,',,

e

A,

). /

A

perftru

orice

n €

t:t

$I

iirn

z"

=

|i1n

g,,

=

a] .

d) a

e

,{ este

pltnct

d'e acu'mulare

pentru A d'acri'

si

num'ai

dacd

pen'trtL

orica

ueci,nd,tate

1r'o

alui,u auen

(\',,

\

{a})

f

.+IO.

Demonstrutie. Si,

observdm

cb a)

qi h)

s-

obtin

rtua din

cealaita

prin

consrticrarca

complemcntarei.

iar c)

rezulti

dir d"firri1ia

lionti'

rci

iar'rnrl ap'l

ia a)

$i

b)

$i

definiiia

mullimilor

inchise,

respcctiv <leschise.

Punctui

d) cste

o

transcricre

in

termr:ni

dt:

distanld

a

Iroliunii

de

punct

t1e

acumularc

pe dreapta

reali.

Vom denionstra

a5adar

punctul

b).

39

Sli

arirtiin

nrai intii

ci

J esle inchisi.

Fie deci r,

€

,,1

cu

linr 2",

=

;r..

(.tum

,4

= fl

1'' rczulli

din dclinil,ia

rnui{imilor r-nchise

ci deoaiece .r,,

€

1f

Vn.

r

€

a

p,

nlllr

orl.' F

trr,

hr:j

,

u

t

)

.1

illi' ir

./

(

l

*i inirnaliLaLr:a

in

sensui

incluziunii a rnuir,rrrrr

-i

rsrl

rrrr"cjrari:

;rltici.

riaci ar

existzr

B

inchisi.

ct A

C

B

CA,

l)

+

/, mrrllinrea.

B ar

iace

parte

rlill

fa.rrilizL

rlc

ini:hiqi a cXror inl,crscclie

este A, absurd.

a

C.la

o

consecin i.

irncdiatb,

a

propozitiei

preccclcntc

avorrr

urrndtoarele

rczult,ate.

considerate

ca

excrcitiu

util

cit,itorului.

(loRor,AR

1.4.1. Penlru

AC X aue.nt

'{=

{r

E

X

|

3 (r',),,.*,

:t:,

('4

t:tt

lirnz.

=

r:}

(altfel

sTttts,

o.derenla rrTl(:x

mul ,uttt cslc.forntal,d

dtn

lirnilclc

StrtLrtlot-

cu. Lerncn.t

din

acea

m,ulltme).

{-loRoi,^

R

1.4.2.

jr)

.1 C \

,

,lt

tn, hts,J

<=

.1

-

t.

Ll

-l

L

l

''t'

Ll',rhtqn <>

|

-i

S-a

vizui ci

in

cazul

corpului

uumcrclor

re:rie

verjficarea

convergenlei

se

poaLt:

facc

fhri

a cunoaqte

apriori

posibila

lirnitd,,

loiosind

oiteriul

lui

Cauclry. in

lapt

cchiva

lerrl,

cu ir,xioma

Canlor.

Exeniplul

spaliului

nrc|rir:

aJ

nurnerelor

ralionale,

cu disian[a

naturali.,

ara.tE ci, accasti propriol,ate

nu este

valabilS. il

orice spa{iu

rrclric

(un

iiir

de

lumere

ralionalc convergent

la un

numir

ira{iont

cstr:

C)aricby, dar nu este

convergent

in

spa{,itrl

numerelor

ra[ionalc).

I,lstc naturalS.

urmEtoarea

dcfi nitric.

DErtNiTiu.

a)

l)n

$ir

(/"

),,

din

X

se nume5tc gr,r

Cawhg daci

penl.ru

or.ice

e

>

0 exisli l,

a:ti,

i

ir.rt ofl/ar^

ar

h n. tr,

,

u

iv,.m

r-t(.r,

.rnl

.

.

b)

lipaliul

(X.

d)

se

ntimcqto comltlet

<Iacd orice

qir

Oauchy cljl.

conv.rgelrl,.

Cla

qi

il

cazul

rcal

(Propozilia

1.1,1,

Cap.

T), se

arald

ulor

c5.

oric.

Srr

cinrvertenI

es1,e qir

Cauchy.

Ilstc

momentul

de

a

lacc

c'iteva

preciziiri

rclat.iv

la

spa(iile

metrlcc.

pcnlru

intr:lt'gerea

accstora

estc

util

a face apel

la str.ucturile

de

spaliu

mctrjc pe

e

qi

respcctiv

^^

tD

Dacn

(X,

t/) csie

un spaliu

rnctric

atunci,

pell,ru

orir:e

y

q

X,

perechea

(y,

d) esie

Lrn spaliu

n.retric, dar

siruciuriie

cie

convcrgenli

ciiieri.

istfel, riacd

y

nu estc inchisi,

in (X,d).

existi

giruri

(;r"),

convergente,

rn

ey

Vn

€

N

cu lim

r.,

=.r

€.{

_

y.

aqadar

nr:convergenl,c

in

stnrctura

(Y,

d).

Ca un exercitiu

sirnplu,

folosind

l,ropozilia

Ll

si

Propoziiia

1.2. sc

aral,i

cI

o mullirre

/J

a

y

este

deschisi

in

siruclura.

(l/.nl)

<iacd qr

rlurnar

ciacii Lz

-

Y

[^l.r)',

cu lir

descirisi

in (X,

ri), o

proprietale

alaioga lirncj

vaiabiiri

peniru

nrLrilimiie

inchise

ciin

('r',

rl).

in

condi\iiie

cie mai srrs,

o subnruiqrrnc

inchisX

sari dcschisii

in

(Y,

d)

se

va

nu:.:.ri

relet.n

inchisd,

(dt:sr:histi)

tn

y

.

i)EFTNI'frE.

Fie (.X,

D)

irn spa{iu

metric.

-4

C

X se nitnieqte

neconera-

dar:ir

qi

nu_

mai

daci exisi,i

Dl,

D2,

mult

A

c

Dtl)

I)2

qi

,,1n

D1

fl,

,4 se

nurncqtc ortctd

<la

EXEMeLU.

in

orir,c

spal

a

I

b,

ta,'O'1

este ncconexa.

l\'1e i n,,,1rn.",-,,1.

"'

urrnitor,

ij5.

l)uflNrTrn.

F ir: (X,d)

r.

(,4,

d)

estc

spaliu netric

corr

PRoPoztTtA

7

.lt.

Cu

nr

A esle

inchisd.

Dacd

(X,d)

A estc:

cornpleki.

Dorn<.rrslra{,ie.

l)ac5,

(r,

Cauchy

in

(,1,d),

deci

conve

dcfinil,ici.

Pentru

partea

a

doua, fi

metric

complel,.

cxistS"

limz,

I)DFrNrTrn.

Fic

(X,

d1),

a

€

,4/.

llearr:rtui

i

€

]" se n

ditt

.4 cu

,lirn

r",

-

a are

lor

Renrarcdrn

c5.

defilritria

cunoscuti

din

cazul

real.

i

cara.cterizarea

liniitci

in

lirnb

i

r

rrvr

r,/,r

{

11

Lri

pcntru

orrce

e

>

0 e:rzltii

6,

loc

d2(f(r),l)

< e.

Demonsftalie.

.,

=+

"

l)resupuncrn

c5.

exis

d2(i@t),

i)

)

e.

LnYan

6,

=

dar

d2( (x"),1)

)

e, iiqaclar

(

,,c"

-ie

(r,,)"

rrn

5 r

dir

I)eoarece

lim,z,

=

a

existi

dr(f(x"),l)

< e Vn

)

n.,

deci

Pentru

firnclii

cu valori

ir

de e...ist€r 5

a

limitei.

PRopc)zrTlA

1.7.

(Crite

rnclric

complet.

I'te

A

C

X,

a

maz

d,at:d

penlru

orzce

€

>

{J e,

d.2(JQ'),.f(x't))<e.

40



rl

,sr-

ali ii.;j

l

;

,

i

t t't' tt,i::,t,)

1.

1;1

1,,_.';

' ';,.

i.

,rr.

It,t

I

I,:

lr', i

,,:\

i

.

..:.]::

: ,

i

1ir

i,

;

rrL

ljl,,,rllr ii,i:il

lj r

.'I

l. i

.,, ,

r\1,

,,i,,.,,:.

l,i ::

i,it,t

,j

::

I'

i i r,,,,:j,t

: .-

I

.:..

r.,r, ,.

t,,r

i..,

.

,r

i

,l.r

tr

|r:

,r

ii.r.r

,r r

,

r

l,rL ,:

i

,1,.,iri,i I;..1,f,i,.

;i

;17

1

r;,i.iir,.,.r" , ,.l,.jjr

r,,i

L

lrlr

s

lllr,

irri i;..rii

:i

rtL

,.i

,i

r

,

,lrrlrii

'1

:,

,

t1r

:,:

ri':rutir. ... ,

rt

r,,

.

'rLrrrrLrII:II'

l

Lrl,

i

lr,l,,r.

,

.:

I

Itt

t,:ttt

t)tt:l.

I

r,1,'

It',

I

tit.r

t

.

r

';'Jll(41:

i

I.r

li

.

i't.,,.

i,|r'i

,ir,:t. ,.:

rl,r- :j

,l,

L

:,.:

l,L,r

r

,i,,-.

::

ir

.li

,/"lil.,

)

'

I

_

,. . . .

,

.-

i

,

r

I i

.i

,,

ir.

1,,

rli.,..fi;

l,t

r'

Ll

..)

tiir.,iir

ir,,

i I

ii.:.rf.:r l

::

i..tj.t

r

.:..r

,

I

)rrirtr.r_r,

l;rir r,

-

ri

r:-r\tii,,i

jr,,

r:i:11.,ll(it

i

i,

.ri.:

t-,Jn :

it

.\tt,,t

I

,l.iltr, ji:.' tji).:

t) ,1,'

:,rir;,t.-,

':-l

I'r

tItIri Itttr,

;I

a rll,, i

rir

:

ti.rrj

ir,

1,

',

i1,it

i,i,

l,

I

rtr,i.,I

Ii,;r iirtr i

,,i.rl

,

r:l, ti l

,1, ,

r:t:l,

rli1

,t i,,,1,,,

i]irr-ir,r,,i:r

\ i ;

1r r',r'

l.

r,

1,,ii't

It';ti :i ]{

ii .'.. ,..::.l.

,1.,

i,)

).ii "

.,

I)r'tnorrsl

ralie.

..=

'

l'resirfrune[t

ci]

exrsti : :'

{l

a:'jilil

rncr'u Vtr

,.t{ /:., )

<

i ,i:rr

,1:1./i,r',)../(r'ill

'-:

t\|l'grrIr

J',

-

-.'

il

',

.L',,t'i

e

,1. ri

'(r'i,

a)

.:

I

iioliiii

i .ir,

I

ii,,,ar','

,i

i.r,

'r

;

r,,

'

,

lezuila,iirt

rr;.

'

rr

1r

ia

lfl

-lir'r

'r;i

'=

o

raL

dt(.f

(.,,',,j.f(.r'|.|>.

,rliin

cI

qirrrriie

(.it,r'i,il,,

si

ii(;rli

i),

rrir

l'ri1

;tvei l'ee'r[r

lriril

ir

..3"

Iie.r.,'

g.1

n

€

l'J

"i

,,irtrr;'-,

=

a |ir':

>

il

;rt

>

{)

rl;rt rle

lrropozr{i<r

li-rist:i

rr.

a-c1Ii'l

irt(lL

r,, I -lfl

1i1.{rr).

Vrr

,: rr''

r1r'r'i

Vti'ttt

a tt''

,1r17tt,,

1

1f.,,,1t

<

,'

aladar

i.f(.r'")),'

"tii.

1rr

(lairlhr

i'r

)

sp

rirrr

ir'

rtir

'r'in-

1,i.,i.,i,,.i

existi

1-,,irrrr.i(r")

lttc

rt,

€

.'1,

Vrr

cLr

lrrl li'

-

r; lir':' > 0

ir

I

=

nl

].

;\r\iii

/rr

/r1{:)

altllrl

inr:it

r,'.rt',,

;

'\lt,til.fu)

V;t

''.

tt,

'2

;i

existi-i.

r1

-,

n1i.'.)

asllirl

rntrr

d2{/(;:,,)./)

<

'

'itt

); tt2

'\lrrtici

pr:nlrtt

rry rnirx(n ,rr2),

.{.rit(/,,). )'

t 2t,.l(

r:',

)../(

r,l)

i

l:i./i'r',,).1)

<.

-

1-

=

'l'

r

,,1rrrL

,t(.r',

)

-

I E

In

c;rzrrl

parlrcttlar

al

-"pl{irrllri

I{

cu disiall,a

d:rti ilc lrodlti

ptirt d

,'1

'

-ii'

A1

$.

o.

<,

.1.

J

.

.i )

cu

().d)

sfalilr

rrelric

se

l)i-rt

d'rlioi

ltt

o

lrtrriic

l;r1r'rale

plntru

f

l) :l.tlil

f-t)i

l

ic

.f

ca

;rar

srrs

l.

€

sc lrLrt t-ii.

lintlrt

l t trt i

t

t s inqt'

t ltLt

1

in

i

E

V{.r'',),,

qrI

rlin,1.

r,

1

rr

Vl.

riaeri,.111rr,

"

{r atrlilri

,rlrrtr

.l'l.r'))

-

/s

,\ccastii

lirritir

va

li rr'.;l,at;r

1.

=./(o

)

lne

)'s(

nrrrrlrlte

lnrttlc

ltt drrupl,;

t;

lu

itt

n'UV(

."1,,

lillirl

i

r',

>aVrr'

rlar:-r

iirr t',,

r

riutrr:i

lirrr

-l{.r',)

l, .\rr';r:lir

lil;ilii

i;

iri-'lr':rzii

l1-

i

(ri+)'

l)io|i;zi'qitle

f.ii

;i

i

7

rrlrtiiiira'Lr'({)rcipirilzirlor

citrr

i;r

crltlrii

rir

c-':isit'tt1a

a

lii,,ii,'i'i

i"i,:r

aic.

in cazttl

in c;rr.

irrnr'lra.f

ar.

vri.,r

*i1l'

"

1l'

lr

r')l'

i

11"i'lrrrlFir

4r'Lrlrriti

inliniti

iril

I

rlll

pLrll(

L

i)ur'{Ntltr...

i'ir'(,Y.r/)

urr

sfalirr

trrflilc,

/1

C

-t,

.'1'I

0.

o

+.

'\'

./

:

I

-

R

I

arc

[intrLatnli,nl'irta'HY(t,,),,;irclin-' .claci,lirrr

r:,,

--

a atirn(i

,1rrl

l(r'',)

-

x

\rorn

nolr

accsl

lapl

plirr

lrrll

i(r)

-

*-

ljinrjlat

r,rnr tL:lini

1r

linriir

(-ri') 1n o

irr cazrij

lir]ritci

.l:.

IrroPozilia

I il

t:apirlir Ltrr|it0a|r:a

lirrrla,

,1r:ll

onstrirlia

fiind

aae rrir1a1

1):l

1r

llr'I

i

dl1,'

11.

e

r,i

io;ll;'.ii

ilillil

ilil

c;r

rii'L

lli iitil

Pttorlrzllt,r

i l.

irt r:otttitlttit.

titn tlrjirtilrrt

ltrtrttitnlti.

lirn

f(r')

=

*-

doti

rt

tlutrat.

ltL(ii

ptnlra

nrtt:r l1

>

0

r:rrislri I'tt

---

\':

aslJil intil

orrtart

at

li

r:

a

\'

daci'

d(.r.

c)

<

i,11 ttl.tt;ti:t

f(r)

>

\1

.

,1),

{2.

SP-\TII

NOtl\l-{1E: C'

O

<

lasa

irnporiarlta

rlc

:

Dri.t\tlt[.

Fic

I urt

si

norvri

tIL\r,)

,

ilil)

lii,ii -0'+.r

-0i

iN2)

lio'r'll

= lo

il

v

(N3l

.r+vl(

i.r

-l'

Pelechea

(I',

ll

]l)

sr:

rlrr

EliuxlPlt

L

1.

(lR.

1)

5l

PIroPozlf

tA

2.1.

l.td

(

d,t:JinJ,l.a

prin

d(r.

l)

=

l;ir

DetroJrslra{ie.

\rlrifi

.liil

iiiil

iiile',,ii,

d(:r.1)

'-

|

t .(y.r)

=

x

.r

=

i( 1){

rl(z.s)

= llrf -

q

|

-

f,rl

Jinilcl

cotrt

rle

dr:fini(

rerile in

cazul

spaliiloi

nol

lsenrerlea.

(.i:,,),,

este

qit

C

llr"

r,,

il

<

.

DEI.I\rl'tit.

lin

spiitirr

spatiu

Rttn,a:h.

\iorn

plczcnta

irl

contir

E:i

j-t'1t'L'..

L

2.

Spaiiul

r(r'torial

:)c-q[c

]R.

Strtrcturil

c|lc

rrriil

irrroortartte

fiind:

{2 1)

ll;l

,

-

Jfil:

]:r

1-11t

a

lrLl-

=

nur

];

t(,(r

(r

-

(:r1......r,,)e

R").

\irnr

r.erifii

a

proplietli

fiirrC

propuse

ra exelcitill

Fie.,

-

(u1......r,,)

€

ll,ll,=0<+:i:_

t..L

lll;i

;

=.,,/c'1;l

*

*iri.

l.ri3il

:

=

\,ra;'+ ii'

-

tl, li:

+

i1.,rll.:.

rrlt

ima

inegalitat.e

fiind

ecl

(xi+.

+r,r,)(ri

r

"rrl

a)

<

d,

o

tut

iimitS.

da1.

cle

)

n,,

com-

2

rty

pcntru

C

Ii,

lal,erale

a

lui

-

/"

a

ilfinitS.

)

-

oo.

fiind

d.ac'i.

gi

A, dacd

$2.

SPATII

NOR\IATE;

CONVEN,GENTA

UNIFOR\,IA

O clrxl

importaniil

de

spalii

metrice

estc cea a

spaliilor

normate.

DEFINITIE.

Fie V un spatiu vectodal

pcste

lR

sau

C.

O aplir:alie

ll

.

I

se rrumegte

norrLii dac:dl

(_\ij

ii"rl

-

U

d.r

lj

(r

€

i

i,

(NZ)

llarll

=

lo

llzll

Vr

€

L/. Va

€

IR

sau

C;

(Ns)

llz

+

sil

<

il"ll

+

llsllvr,y

e

\'.

Perechea

(V,ll jl)

sc

numeqte

spatiu

rLorrnat.

ExEMILUL

t. (R,

I

l)

qi (C,

I

l)

sint spalii

normate.

PRopozITIA 2.L

Fie

(1,',ll

l))

spaliu

normat.

Atunci,

dacd, d :

y

x

y

-+

lR+

err€

d,efinitii

prin

dft,y)

= lp

yl1,

r,' )

€

V

,

perechea

(V,

d)

este

spatiu metric.

Demonstn\ie. Verificdm ci

tl

este o

distant[

pc

y.

i-,-

^:^-.:-

:,-

-.'

l^r'rl

init-a,ipviir-,

d(-r.Jj

=

i/

gl=0

<-,

t-

=

09i-g.

d(y,r)=lly,r)l=

ll(

r)('

-

y)ll

'Y',

l-

rl

ll,-yl=l)"-all=,](r,ti.

d(c,e)

=

Jlr-zll

=l(o-z)+(z-y)l(ll"-rll

+

l"-all=d(x,z)+d(z,a).

.

Jinind

cont

de definilia

convcrgenlei

qirurilor

intr-un

spatiu metric, a.cca,sta

revine

in

"azr:l

spaliilor

norrnare

la

echiralen(a,Jinr

-.n

+r

"111g

l;",

rl

-

0. Dp

asemenea,

(r")"

este

gir

Cauchy

in

V

<+

Ve

> 0ln. e

N astfel incit

Yn,m)nu,

llr"

*

c-ll <e.

DEFNTTIE.

Un

spatiu normat

complet in

metrica datd

de norml se

numeqre

spatiu Banach.

Vom

prezenta

in

coniinuarc

alic

cxcmple

importante

de

spalii

normate.

Ew.r,D,t"

q

C^^,i,,| lD,-l-- \,^ r lD ; - 1

-l

^.'^,^-'i"

rird\:ui u

-

i'

-

ul "

1n/

vectoda,l

pestc

lR.

Structura

dc spaliu normai

poatc

fi

definitd

prin

rnai

multe norme,

cele lnai importante fiind:

(2.t)

ilzll,

=

\RT :ie

(norma

euclidianS);

llul

I

=

l0rl

+....+lr,l;

llrll-

=

max

lr11

{norma

maximum).

r<i<n

(r

=

(ar,...,r,)

e

R").

Vom vedfica

proprieti

ile normei

pentnr

norma

eucJldianS.,

celelalte

verificiri

fiind

propuse

ca exerciliu.

pisT-

(r1,...,r^)

e

m',

u

=

(yr,...,y^)

€

lR"'.

a €

lR.

llrllr=0<+ri

+'.

+x'),

=0<+rr

=

-:rn=0<+:r=0.

rr^-r tli

-.t

,

=t^:

-

^t

/J--7-l--lI

-,

IJ

2:VdriT

.-r.i.r;

-.uivii- r;n-lG,r,.

ll,

'sl

,

=

'lF

l4

-rT;

r-il<

vti-

--;

',

ulF'

-

n

-

=

llellr

+

llyllz,

ultima iregalitate

fiind

echivalentl,

pril

ridica,re

la pdtrat,

cu incgalitatea

Cauc]ry:

(r'zL

+

.

.

+

r'z")(y?

+

. .

+

al)

)

@tu

i

.

.

*

t

na,)2

.

43

I.ri()r'o7Jlr\

:.1

lR".]

t

))

t:.\ ,.

sIxLtiu.

iJ4no.h

l)t.ut'.tt:r*i,tt'.

f-ie

ir1.

-

{rr.;...

.,r".1')

e

ll"'

(rllil

csri'llil

lir

C'irlrlilr''+

V:

>

l)

lri.

€

Iii

astfel

incit

V rr..i

)

l, e

N.

lluL

rr,ill

{

r'

-\

urri

.i:'.1

i;',']':

l?li

irr

i

,,t

.i.'n:

)

tt.

. dr:,i:i

qirurilc

i.r:,.l.Jr.eN

s[r1

lifui]

Cnucirl"

in

(l{.

)

.afi'

csli'

:rlitlirl

rlr'r:ii.

,,u,,,'l-r.

-tra.],,r

,-.:is,-.r.,,

-

iip

t;,r'

1{i{r

Fir'

't

i:ri

:t

")

i)eoallct

.tr1

1,,^

rr--ri.^

r,

r' +

r',,

l-r;r:ia.'ersiilslrrl;rlirl(ii'l;l

7'r'o

JJellir-ll

k )&

'ralrir'lll,.

l.t'

r1 l'.jt

I

I

l

-:{

faIirrl

cit pc-.ti"

sc

pot- lLciini

IIlai

II|111c

strucLtrli

dc spaliu

lroni al

ou

iIe

irll-,ortarqii

rilrr

liuttctt,l

cie'

votlere

iil

strncturilor

de

coll 'rP,enlii

\i)rYr ;ir-^ta

ili

C'air.

iil.

li-1.

ca

t,

crtltsecinl:i

a

critelt

ittiui cie

cnttlpacilatc

itl

R"

r:i uii

lil

conlcr-

gcrrr

iu

it'."

iltt

tttla

riitrtlc'llorlll('451.e

(r1l\1r1_il_c1ll

irr otitrrl

alta

cl'eci

coltlbru

rr'lor

,l,rrrottattute

irr

ptopozilia

pr

el:ecir:t

l

t

i't

a('asta

revlilc

la

(I)nvclBelltI

i'lr

Ir''lLPilt"irrl

ErLuPLL

L

il. Fie,1

o

ttruilittr:

oaie(rarc

Ei

{ie 6(-{l

-{./:

-1

-

i{.-\1 >

i)

astfi'l

ilrir

i/{.r)

{,11Yr

c

.1} lrluilim{ra

furrr:liiloi

rtt:'ilginitl

pe

-l

6i--{)

a,le

u

.t.,r.,,r.i.,

cle

spaiiLr

\ei.rolial

pcstc

11..

oper.a5iili,fiinrl

rltliritc

rL;rturai

irrir:

(./

|q)(,r:)

-.f(rtrq(.r):

io/)(r')'-a,l1:rl),

r

€.{

n''tr''

p,

..

,

rr

,,

li

lr

l..l-r.rrr

r, ..

,n.

12.2)

,fj

'

:

sut'

l/i'ri

De'lirrriiar'stet'oirsistt.]tti.l.rir'i/r'stcnarginir,ii'siiar.rtii]r]|.i](l,itsia(le1i]]l':li,

,,

',,, 'n;

r,,, Hi

rr

1,,rr.,,1"",,,.,1.r,,.

i/1

.

-

{)

-

sui)ll(r')

l-(:zult;i

/l:r)

tl)

Vr

€

-{

tlcci

f

-

{1.

Prrrtru

o

e

R.

c/i

--

-

supro"l(x)1

-i"::l

/1;r')

=

lrrl

l./

-

iar

pcrittrt

j.g

r.

6(-ll

il'errr

l./

+,

-

=

::l

l/(r')

+a(r)

{

sutr(l.l(e) +

rr{rli){

srlil

/(r)l+

+

sup

q{.r)

-1./i.

-

gi-

"

c.,,,,,pl,,i

it.riii,,,.i

hri

F.

iirii;lir.a

ii;ir[iioii|a

propril]tlte

irn|.ut:lrtir

i1

si]irlill|r

nonrar iij(-ii.

ii

it- ).

l

ttl)RPrlA

'2.2.

Spa{iul

rtonrtat

(E(''\1.1

l-)

c'rlr

sp't[Lu

BetLLu:lt'

Derirr.:lsrrzitio.

Fie

i/,'),,

rtn

iir

Cauchr-

clin

li(-

l).

Fic

:

>

l)'

I)ir

propriel'atca

dc

qir

f

irrclii

e\istarr

€

i\

astfcl

irit:lt

Ytt,

rrt

2n.. f',

"f-]-

<

:

\hrrrrri

deoart'ce

u,,,,irlu

rri,".r

€

J.

ll,,(r)

/-(..)l<ll/,

/,,'l-

rezulti

cii

pcrrrnr c.'ricc

r clin

'i

-i ,rir,

',;.

1

, ;r

i,,

;:r

P

,l,

"i

i:

\utiLl

f(l'J

=

litt

J',,(/),

'lcfil]intl

asrlel

o

firriclier

f

:

'l

-+

R

Ar:iiiirlt

cii

/

cste

'r'i,..llrlli

r

,.4:

J

-J

Fi.r

11

€

l\

;i,t

ri.

pr.)lrrielalea

iie.sii Cau.Sv

aslfel

i'clt

i/,'

-.1',,1

-

<

l

Yn

)rt1

-lLulrrr

/,i

,,..

a1-F

"r,,

i -

=

rr1. dcci

1.f,,(rr)

(-1Vr:

€-{

lllccinri

la

iirniii

pcrrtru

I-

,,

r1

1,/

t\

Fic. >

Ll

5i

rr. c

N asiiei

ilcii

'irt.rn'4rt,

i.i',

/',,1- ..:

il rrL'i

.t. J ., , - lii v/'./// , l'r'r r"ln '

'l

r"'l :t I'r

:

')

V.r

€ -1

ir

Vrr

)

ir..

rlcri

iji,,

I)F.r'tNtLll,

llrr

liI

rl,'

/

: .1

--

R

(laf

r lrrr

.rlf

.i,,

ir+r..r._1

r\qaJar'.

Lrri

1rr

Llirt

Ii1.11

(

a)livarg.ni,

Sir

lrtlrarciliir

ci

[r']

irrcrl

Vrr

':

rr,. srrP

t/,{r')

tre'1

r al,r iir:

./,,

(

r

)

r'ol

ii trr

ri r irt

rru est.

rilriiorntii.

r angrrl,i,'

,.,i

dr'

.r.

rrrtrrrdii

su

rl,

alilcl

l\L\l

P r-;..

l) ll,

./,,

: [t ii

./

[t

-

R,

.I(.r)

=.r

i ,'zi

i

2)

Iric

a

€

(0.

1)

ri

l,

convergerr a

cs1rr

ituiforrrrii

,

V.r

€,4

qi

Vn)n.

drci

ll/,,

/11

1-.

rVn

>r,.

'2'

DEFINITIE. Un

qir

de lunctii

/,

:

,J

-

R se nume{l,e

uniform

r:on.uergent

la

/

:,4

---

R

dacii hm

sup

jJ,(.,1

/1")l

(r

4a,:c

a

€,4

Aqadar, uu

qir din

6(,4)

eslc convergent

io

ll

ll-

dacl

Qi

nurnai

daci

esle

unilbrm

convergent.

SI

remarcim

ci

dcfinilia

precedcntd,

ecbivaleazi

cu Ve

>

0 I n6

€

N ast

fel

incitVn

>

nrJ sup

lk@)-

I@)l

<

e

decj

ace)agi rang

n.

a^sigurE

ciVn>

tu,,Iodl,c

,€A

valorile

/,(r)

vor

fi

in

vecinS.tatea (f@)

-

e.

.f@)

+

e).

in

cazul in

care conyergenta

nu este

uniformi,

rangul

de lar care

/"(r)

e

(/(r)

e,

/(r)

+

e) depinde

atit de

e

c'it

qi

de

r.

notrndu

'e

dc

altlcl i,(r.,r).

ExEMPLril

1)

[ie

/, :R .

R.

t(r) = r+

1.

girul

(/,)",

colvcrgc

unrlbrrr

pe

R

la

/:

R

*

R,

/(r)

=

r

(vezi

l'ig.

2).

I

Va

>

"il)",

neidc

-+

co,

are

in

celor

>

0

de

/

este

n1.

\

2

2)

Fie

a

E

(0,

1)

qi

f,

:

10,

ol

converge[la

este

uniformi

deoarece

Fig.2

,,

R,

/"(r)

=

rn

Arunci

j11/.(z)

=

o

oi

sup

:r"

=

a"

*

0

pentru

n'-,

oo (vezi

Fig.

3).

€[0,

d]

'+5

il)

glrul

/"

:

10,

i)

sup

zn

=

1.

,€lo,

1)

"

\l:'n

r.veiri

asupra

corrceptrlui

de

convergen{i,

u'iforrni

in r:ontexr,ur

stutiicriiIuncIrilor

continue

rn C,ap.

lll.

[3.

SPATII

CU

P&ODUS

SCALAR:

I,OI,INOA]\{E

ORTOC]ONAT,F,

Vbm

introcitcc

acum

o

ciasd

speciaii

cie

spatir

norurate

lrt

care

uorma

cstc

,_j,

itnit6

u

ajutorul

unui

produs

scalar.

.

l)rir^li,lrr,.

.Fic

H

un

spaliu

v.,.r,oriai

reai.

;ic

11xp11nsp

prorju,

sr\lar

in

il

o

L/ncfreP

Hxll

_

R.r

,ropri.ra(il,

(Pl)u

P(a,

r)

)

0Vx

e

II

qi

p(2,

r)

=

0

<+;z

=

0.

(P2)n

P(2,

y)

=

F(y,

r)

yr,s

€

ii.

(PJ)n

P(oa,

i/)

=

aP(a,

y)

Vr, y

€

r/,

V.y

€

R.

{P4ju

i,{r

I

:,

y)

-

I,(r,.\

+

?(z,a)ye,.J,z

q

lJ.

ln.,.ot:,.

tn ca.re

7

{:

lr

rpi(iu

- .e-lorial

cr6p .1

n.,.rrr

p

x

,g -

C.

i.)ro

3i[ ]ltl']l.ll,1l?"u1,'"n'"

se

rormureazi';l"iG;;;;

o

e

L

in

cazur

(e:)o),

Fig.

3

*

[t,

,f"

(r)

=

e"

tinde

la

zero

neunifbrm.

EXEMPLE.

1)

Dacdz=

(xr,..

.

,r,

defineqte

un

produs

scalar

r

2)

Dacit i

=

(2t,...,

zo'

defineqte

ua

produs

scalar

cr

3)

Fie

cp

([a,

b])

=

{/

:

b

<f,o>Y

lf@)o@)a,.s

Cp([a,

i]).

In

cele

ce

urmea

se va

nota

C([a,

b]).

1)

Fie

p

:

[a,b]

-+

tR

o

Pentru

f,9

e

C([a,

b])

definir

scalar pe

C([o,

b])

numit pror

PRopoziTlA

8.1.

(inega

compler

1

,

>. Atunci,

pent

(3.2)J<z,y>l(fE

Demonstraiie.

Pentru

<

Presupunem

< z,g

>10.

At

0(

<

r

-

.\y,c

-.\z

y=

=<

r,0

>

Fie

)

=

rL1

s,q

:_1.

.,,

<x,y>

ObservS.m

cd,

l,\1, =

p

61

<

r,x

>

_2i

prin

urmare

discriminantul

tr

rezult5'

I

Inegalitatea

este evident

stratria

simpiificindu-se:

0S

<

O

corsecinli

impoitanti

cu

ajutorul

unui

produs

scala,r

PRopozrTrA

3.2.

Fie

(H,

(8.3)

llu ll

ds

v<r,';

d.efineqte

o normd, pe

E

.

D

emonstr

atie. (Nl)

rezult

llarll

=

y'<

0.r,or

>

=

v

Pentiu

a verifica

(N3)

folc

V<

x

+ U,r

+y

>

(

i/<.r

+2^/1f

r

><

y4-y

<

y,y

adevdratd

conform (3.2)

deoar,

deoatece

(P2)o

P(r,

g)

-

F( iE

(.,,njugarc

complex{),

yx,

y

e

H .

Prodrrsul

scalar

P(r,

y)

va

mai

fi

lotat prin

p(2,

9)

=

< r,

y>

sau

l,(c,

y)

i.pri::rt"

sirnplu

de

observat

cd

ln

cazul

spaliilor

vcctoriale

complexe,

(p2)o

(3.i)

P(e,riy)

-

dp(r,y)

Va

€

C,

Vr,y

e

11.

=

{a,

y).

qi

(P:l).

46

ExEMPLE.

1) Dacd

z

:

(rt,..-,r")

Ei

=

(Ar...,y")

€

lRn,

<

t,t

)=

srgr

+

..+r,1 tn

defineqte

un

produs

scalar

real

pe

R".

o\n-^.< -'

,-

^\,^t

a- . c

tL(-a,';i.-,,r t...-,r

) u&d.

- l-1.

.,.D/

\\r''...5n,

\

\

:.\

/-

.i\l

|

-

, a

defineqte

un

produs

scalar

complex

pe

C'.

3) Fie C6([o,

b])

- {f

:

la,bl

-+

1R,

/

continui}. Pcntru

J

qi

e

in C6(la,

bl), fie

b

<

f,

s

>ej

I f

Q)n@Ar.

Se

veriticl

usor

cd

<

l,

g

>

este

un

produs

scalar real

pe

.t'

CR(la,

b]).

ir..lu..

urmeizX, cind

nu existi

posibilitatea

unor confuzii,

C6(lrl,b])

se va

nota C(lo, b]).

4)

Fie

p:

[a,b]

+

lR

o

funclie continuibcu

proprietatea

p(t)

>

0Vr

e

(a,b).

Penrru

f,9

e

C([a,b)) definin

<

f

,s

>

o'E:

I

l@ln,rrolior.

Se

obline

un

produs

scalar

pe

C([a, bl)

numit

produsul

scala,

.,t

ffnndere

p.

PRopoziTrA

3.1.

(inegalitatea

lui

Schwarz) Fi.e H un spatiu cu

protiusul

scalar

compler

<

,

>.

Atunci,

pentru

orice r,y

€

H

(3.2)

I

<

r,s

>

I<{<rirt{<yiu

>.

Demonstratie.

Pentru

<

r,g

>-

0,

(3.2)

estc

evident adevdratd conform

(P1).

Presupunem

<

r,g

>+

0.

Atunci, pentru

)

€

C arbitrar

are

loc

0(

<

:r-)y,:r

-

\y

>--<r,y

>

-\<y,r> -\<r,11

>

+l\12

<

a,y

>=

=<

ir,r

>

-2Re()

<

r,u

>)

+

l\1"

<

y,a

>

.

.--",.']

fiq

|= 1r-:-:jl-:-r. cu

t

C

[t

oarecare.

<r.u>

Obsen'dm

c:

1,I12

-

/2

iar

inegal.itat"a

pr"ece.lenla

.nnrlr:cp

Ia

<r,r>

2tl<r,y

>

4t2

<g,y>

>0Vt€R,

prin

urmare discriminantul

trinomului trebuie

sX fie

negaiiv

(< y,

g

>

>

0)

q; (3.2)

rezultd-

I

Inegalitatea

este

evident adcvdrate

qi

in

cazul produselor

scalare

reale,

demon-

stralia

simpiificindu-se:

0{

<

a-ty,r

iy

>

Vt

€

R

conduce direct

ia

rezultat.

O

consecin{d

impoitantd

a

inegalii5{ii

lui

Schwerrz este

posibilitatea

de a defini

cu

ajutorul

unui

produs

scalar

o normd

qi

deci o distantS.

PRopozITIA

3.2. Fie

(H,<,

>)

un

spaliu cu

prod,us

scalar. Pentra

x

€

H

(a.e)

llrll

dg

J<r,r>

d,efineqte o normd.

pe

H

.

Demonstratie.

(N1)

rezulti

direct

din

(P1).

,i_

lloJli

=

V<

al.u

>r

Viul

<

-f."i

>-.o

F

iii

i-\..;/

csie vtsirniraia.

Pentru a verifica

(N3)

folosim

(3.2)

'/<

tf

a:r

I

y>

<

/<

cl

>

+,r<t,i-

<+<

r

+

y,:t

+

I

>

<

<

r,

r

>

+

+2\R

r,r

><

aiu

>+

<

a,y

>c

Re

<

r,

g

>

<

\Fiit<t,n>,

inegalitate

adeviratd conform

(3.2)

deoa.rece

Re

<

e,y

>

(

|

<

",g

>

l.

I

17

0

pro-

c)

47

iar

lllll,

=

ftxDMPLE.

1)

llcl

,

=

\R-.

T7,provine

diu

produsul

scalar .

",

rt

=

f

trr,.

2)

l1/ll,

-

^

i 7

tft'lt'u*

esle norma

definiti

de

produsul

scalar

<,>

pe

C(la,

0l)

\;

I

v{')r'r\,)0,

d aci.

I

€

-'('-;)+j

d'cn"e

Fie

/

:

[0,1]

-+@

t

Deoa.rece

ll/,,

-

flli

<;

apa,rline

lui C(10,

1l).

Degi

nu sint

spa{ii Hi

subspalii

(neinchise)

ale

u

L2o(@,b))

vor

fi

definite int

O

noliune

importanti

DEFTNTTTE.

ru

(tl,

61

se

numesc ortogonak

dac\

oftogonal

dacla

(qi,po)

:

este

ortogonal

gi,

in

plus,

I

EXEMPLU.

Sistemul

(C[-r,

r]),

<, >).

(exercili

PRoPozITh

3.4. Do

a

ectori

liniar

independenli.

Demonstra$ie.

Fie a1y

"rllW,ll',

deci c1

=

I

qi

sir

Vom demonstra

acum

obline

un

qir

ortogonal.

TEoREMA

3.5.

(Proc

gir

d,e

uutori

liniar indepet

tn

H

astJel tnctt:

l)p"=anht..-+

l)

f.=baw+...+

II

spatii

vecto

ale

ier

pini

la un semn.

Deannstra$ie.

Fie

91

,

Fie

gz

= 7,

-

17r'*r1

independenti.

Definim

tp2

1) este

indeplinitS,.

De asemenea,

/2

=

ll9

este

norrna

definiii

de

produsul scalar

<,>,

pe C:([o, 6]).

DEFTNITIE.

Un

spatiu

vectorial cu

produs

scalar, cornplel

in

norma definiti de

produsul

scalar se numeqte s?atrxu

llilbert.

Confbrm

ProprietXtii

2.2

qi

exempluhri

I

precedent,

(R",

<,>)

cstc spaliu

Hilbert.

pRoprlzrrrA

3 :l /a/10 ll\

-

>\ n"

est,

'nnttn

llilhert

Demonstralrie. Este suficieoi si

gXsinr

un

qir

din C([0,1])

care si fie Cauchy dar

care si nu conveargl. in

ll

ll,

la

un

elenent din

C([0,

1]).

Acest

lir

este

n21.

daca J e

Fig. 4

L

Este usor

de

observat cd

ll/"+p

-

/,

13

<

,,"-

Vn

)

1,

Vp

)

1 deci

(/,)"

qir Cauchy

in

ll

llz.

/"(') -

{i

r I 1l

fo

,

t")

rl I I lr

lrl

lz z z'zl'

11 1 r

lr+r'tl

48

C'([a, i])

C(lo,

6l)

.

de

H

ilbert.

dar

Fie

/

:

f0,

1l

-+

R,

dacl

z

€

dacd r

=

dacl r

€

)

Dmarece

ll/, -

flli <

^*V,

>

r"

rczulrd

ca

tim

/^

=

/

rn

ll Lz

$i

evidcnt

/

nu

z"

aparline

lui

C(10,11). I

Degi

nu sint spalii Hilbert,

(C([a,b]),<,>) qi

in

general (C([o,b]),<,>r)

sint

subspa{ii

(neinchise)

ale unor spa{ii Hilbert.

Acestea,

notate tr2([a.b]),

respectiv

L]((a,b)) vor

fi

definite

intr-un

capitol

viiior.

O

noliune importantd, legatd de

produsul

scalar este cea de ortogonalitate.

DEFINITIE. Fie

(,lI, (,

))

un

spaliu

cu

produs

scalar.

Vectorii

renuii

/

qi

9

din

ll

se rumesc ortogonali

dacl

(/,9)

=

0. Sistemul de vectori

nenuli

(rp1);67

se numeqte

ortogonal dac6

(pi,pt)

:

0

Vk

+

j.

Sistemul

(9;);67

se

numeqte

ortononnal

dace

este

odogonal

qi,

in

plus,

l]91]l

=7Vi€L

EXEMPLU. Sistemul

1,sinc,cosr,...,sinnr,cosnc,...

este

ortogoDal

in

(Cl-r,

rl, <, >).

(exerciliu)

PRoPozITTA

3.4.

Dacd,

(pi)id

este un si,stem

ortogonal,

atunci el constd, din

uectori

liniar i.ndependenli.

Demonstratie. Fie o1,p;,

*.

.

,*n6p1o

=

0.

Atunci

0

=

(a1pi1+...+akg1*,pt)

=

arllpall',

deci o1

=Q

qi

similar rezultd oz:...=ok=0. I

Vom demonsiia acum

.a

din oiicc

iii

d|

vectori

liniirr

indcpcndcnli

5e

pcotc

obtine un

qfu

ortogonal-

TEoREMA

3.5.

(Procedeul

de ortogonaliza.re Gramm-Sctrmidt)

Fie

(1.\,,>t

un

gir

de aectori li.niar independ.enli. d,l.n

(H,(,)).

Atu.nci

eri.std.

(p").

""

€ir

ortonormal

in

II astfel tnctt:

1)

p.

:

a"rft

+'..

+

annfn,

Yn,

2

l,

cu

a^.

I

0;

?)

f"=o"trr+...+b..Lp.,Vn2I,

cu

b""

7

0.

Irr

spa{ii

vectoriale reale,

9,

in condiliile

precedente

este

definit, Vn

)

1, urric

pini

la un

semn.

'i

DeutttusLrat ie. Fie91

-

-1'.

(ll/,i

/0V,i

)

i

,Jin

conJilia

J.

indcpcndenl;i).

I

ltl ll

Fie

gz

=

7"-17r,r1)p1.

Atunci

(lz,pt)

=

0

qi

Sz I

0 deoarece

/i

gi

12

sint

Iiniar

I

.

1

tJz,p

\

independenii.

Definim

p2

=

,r^n,

.{tunci

.p2

=

;1,J,

-

,ffii,llf

t

5i

condilia

t) esLe

indepti ita.

De

asemenea,

fz= llszllqz

+

(fz,pt)q

dcci

qi

2)

este

satisfiruti.

[:

Ilr):

l;

I'

f 1\

I

t

/1

I

t-.1t

\2 I

este

49

Presupunem

corsiruili

9t,...,tP.

satisfdcind

1)

$i

2)

qi

{9r,"

,'/"}

sistem

ortonormal.

Fie

gn+1

=

f,.+t

-

l$.+r,vi)tp7.

Atunci

(s.+i,p*)

=

0,

1

<

,4

(

n,

9,+r I

0

din

coldilia

1)

qi

din

liniar

independcrrla

girului

(l',)'

Definim

i

9"11

=;j

uo"+r'

Atunci

llg'+rl

=

7'

(9"+t,9r')

-0,

1(

'b

(

nEi

llgn+r

I

1,,+r

=

llg'+'llp'+r

+

t(./"+r'pi)Pj,

deci

2) este satisfecut5"

j=\

,t

'

t

f---1

,t,f.-r.st\Lat,ir.

rezultind

I).

,,,

'-

lls,_,1,','-'

hl""

,,

,

,

Aqatlar,

girul

(rp,),

se construiestc

rccurent

cu

proprietSlile dorite

DemolstrS;n

unicitatea

pini

la

un

semn.

Fie

(1")" un

qir

ortonormal

llqr,,

|

=

t,

rezult5

all

=

*llril,

alegere.

Atunci

ql2

=

alth +

a ""f2

=

alxllflg1

a\2(b2191 *

bzzqz)

=

"'r'tllf,llPt+

I

al2rh2ytltl

*

at22b2292-

-b"nu."."

(,l,r,rii

-

0

si

llr/'tll

=

1

rezultS'

olrli/'il

+

a 22b21

-

0'

deci

rl:

-

=

aLzlnzgz

Ei

dnr 1

=

llN)21

=

lei2b22l11qrll

=

lat22hzzl

reniLd

n 22b22

=

*1,

dcci

R"aiionlnd

in

continuare

in

acelaqi

fcl oblinem

rczultatul

anunlat'

E

DEFTNITIE.

Polinoamclc

oblinute

prin

ortogonalizarea

qirului

1,r,n2,

-'r','''

fu

(C(la,b)\,

<.>

r)

se

nurnesc

polinoame ortlgonale'

Exsiv'tpru

Dacii

[4,

b]

=

[-1'

1]

qi p(t)

=

1

v:r

e

[

1'

11 se

obli]r

polinoame

ortogonale

numi'r'e

poii,noame Leg

enrJ

re

(i7

85)

PRoPozr'flA

3.6.

Polinoamele

Le"oendte

au

forma

P"1.r1

=

-i,

L:it"

-

',f'.

nn

Dernonstlatie.

Se

aratS

(excrci(iu)

ca

/.(r) =

:-l'-lt'"

-

1)"1

slnt

polinoame dc

. _

11

grao

r,

\r

ca

J-r

Jn\L)Jk\ttut

-

i)Yn

I

k'

r

"

oil

teoiJra 3.5

rczult5

uEor

urmitoiuelc

propriet'i{i

ale

polinoamelor

ortogo-

nale.

PRoPozITIA

3.7

Fie'

(Q;"

un

6ir

d'e

polinoame

oblinut

pri'n

ot

togonali'zarea

giruluii,r,r2,....:t:",...

i','o

(C([a,b]),<,>)

conform

Teore,mci

S

S

Aturt'ci:

t)

Q,Q) -

annr"

+

...

+

anrr +

ano,

a,,n

f

0 deci

gtNl

Q,,

=

n;

z;

r"

=

b,,sgs1r)

+

..

+

b".Q"Q).

b""

I

0' ri

e

N;

S.\<"j.Q,:

r=-O

V.i

=

0,1,.

.

.,

n-1,

d,ecitn

general<

P,Q->p=

0VP €

RlXl'

graci P

<

n.

Dcmonstra[ie.

1)

qi

2)

sint

sirnp]e

adaptS,ri

ale

proprietf,lilor

1)

qi

2) enunlate

in

cu

proprietdlile 1)

qi

2). Deoarece

ti1

-

a\1f1,

deci

/r

=

:l91.

Sd

ludm

4ir

-

V,l

peniru

a face o

Teorema

3.5

iar

3)

rezulti

fol<

$4,

MULTIMI

COMPACTE

in cazul

numerelor

reale,

este

lema Bolzano-Cesaro.

In

rezultai este

cea

de compacita

DEFINITIE.

Fie

(X,

d) un

din

orice

qir

(e")"

din,4

se

pc

O

consecinli

imediaii

a

<

PRoPoztTIA

4.7. Dacd A

Demonstra{.ie.

Daci,

prl

rn

e

A,

n

€

N

cu

"lim

d(c,r

cu limita a

€

,4 am

avea oo

=

Pentru a

demonsira

c5, .4

Dar

(a")"

a,te

un subqir conver

Lema

Bolzano-Cesaro

afi

t

din R

este compactd.

daci

gi

urmiiorul

rezultat

general-

TEoREMA

4.2.

(Bolzano

pacld,

dacd

gi

namai

dacd

es

Demonstratie.

,,+"

este demonstrati

in

,,+"

Fie

u;

=

(r1,s,..

-

,

incit

llurll,

<

M Vt

>

0. I

Vft

)

0

si

lema Bolzano-Cesz

convcrgPnt

Fie

rl1

=

1im

.r1,

J_OO

Extragem

apoi un

sirbq

pini

cind obiinem

un subQir

xr,r2,...

r,. In acela{i

fel

"lllg

"*-

=

(c1,

. .

.

r,,)

Bt

rl

Urmitoa,rea

teoremS,

pre

toate spaliile metrice.

-

TEoREMA

4.3.

(Hausd

cornpacli e

ljAe

e cornpleld

gi

2)Ve>03x1,...,xp.

50

o

i

g

It

\1U,

lllil

(

o\il'A(_ i

1.-

,a

ti':.t

lll

\'1i.'i ir

l(

l:

lrr

razrrl

lrrrr,

r'r'iol

rcal..

rinil

rlirrtrc

proqrriltiililc

deciirsl

rlin ariiorra ilri

(

iurt.ir'

cstc

lrrra

Ilo[zal]o Li-'sirto.

ll

(azlrls])aliil(Jr

lrretlicc

noliLrnt,a

catc

cotcspurrde

accsLur

r'/llllal

est.

rra

rl,:' lr,,irrlriicilaii'. iulrorlusa

irr

urrriitoarr..a dcfinilie.

l)LiilNiltL

fii,

(-Y.rl)

un

si)a ir

rrltricl;i .1

C,Y

-i

se nunrr)i1(' r-or;rl;arli rlar:i

riin

oricc

5ir

i;r',,

i,,

riin

-i

si

l)oa1e

e\iriU.

rrr

-suLr:{ir

(r)rlcrAcni.

cu

iiniiia

Lil

-i.

(,t.

r'-

.

r,

trLrrr

,., l

.tir

-,

1r,.

,..:r,.jfir,.vi.,l

l)lopo2tjft,\

1

|.

l)ui:ti

-1

a

,\, .r/.

tLtuLpLtr:li. nlun t.\

(:sl{

inrhrsi

1t

tnit'uir 1.i.

I)errorrslra1r'

l)ari prirr

al)sur(i,

tr

n r

ar li rr; Airriti. ar

o.isl;r

r

a

,1.

\r

r,,

€.'1.

r

€

N cLr,,lirl d{o..r,,)

-

:..

i,rtriiBird

dir

(.r,,.1,,

.iirLtl

r

on','r'rglrtl

(.r;,,1,,

crr

linrila,r

e,1

anr

avt:a,,:.

-,,11'].

(l(d.r'r.-)

-

dia..r). absLrrd

Penttrr a denrorrsira cir ,1 estr tnrhisri.

1ie

1.r',,),,

irrr

iir

(lin

-,1

cn,,]il-r,;r'"

.

.r'9,1

l)ar

(.1,,)n are

rrn

srrLlrl

convergt:iri

cr

lirrit;r;n

{.

deii

;r

€

.1

qi

-4

rezrrllii

rnclrisir

S

l,r'nr;r

l}rlz;rn,r

(

les;iro

aliltrrzi

cii rrr

R

r:'ste aale\:irall

si

lcciplora. dt:ct

,r

rtrLrlllrrr,'

riiri

[t

esr.e cornpactn

dacii

1i

nuririii

dac;i,:rslc irrchisl

qr

nrilrgiriti.

Arl

lL;r'clri;rl

rrrrrrAtoruI r',rzr

lL a t

qeneral

l

h.oRi.,v,\

i.2

ilirlzatrir

\\'t,I,rslr'rrss)

(,]

srrlr,rrlflrir

-i

d;n

iR''.,

j1;

rrlr r4l

pnriit

rlat

i

1r

auntut dat

ti

eslr inrltrri

1t

ntrir'(til).t i

I)rrrrorsl ra

Irl

..+

.str

(lonrcnstralir

ln Propozilia

'll

..+

, ii til

-

(.i,

,

"",,

,.)

e

-1.

i

i

ll

-l

liirrd

marginilr'i

,'xi,:li".

l'1 r: ll it:1fi

l

ru.it

rlLl

2 <

,i/ Vi

>

{l L}in

rlerrrorrst

r:r(ia

i'r'opozi(iei

2) trtulti

r:ri

.r,

^l

:-

.i/

V[

;

1)

1i

lrnra l],rlzauo

(

esa(r

ircInri1c

sii

{

xlrlAerrr

rlrr

(.r

1.)r.

tti

sttbqir

(,;1

r-,1.

.(,rvrrl1r,'r1 I. e.r:r

=

lirrr

r',.'-,.

t.r

Fi

tra4ein

api,i itit sribS'i

.{)ii (iiA(-Dl rlir (,r2;,)1 iit

liiiiila

;i:

:

r

,'rrt

iL,'l

prli

cild oblircrrr

un suir:iir

iut."),,,

al

(rir)ten

alc

cinri

corlrpi-rnr:r1e

cl)l11tg

.il,r1

irt..r'?,... .r),. ln

ar:r-le5i

fil

cu

r

rlertlorrsft:r(ia Progrozi{ici

2.2 ft:zult:i atrnci

.r

ri,y,

,,,

-

/r.

"

l'{l' ,,;,, I 1...i

I

li;.,t ,."1.;.i ,,.

.1

t

,,:ti,'^-

l,'rrrriroarea ter,renri

irrezillii

o

(ara(

L(:'rilall

a rrrLrllirnilol

con)i)act{r v:rlal;riir

rrr

loat. spatiilf i .1

ri(..

i-t

tr.t.tlt 1

.,

rii;.r,-

i

'r"7

i. ,'-

1tt

-,.t|.

ltt 1.t.

\,

I

r. 1

..

'i(1)r'erra:1

;

r;ri

;JJ

rpllrlti l"oioslrrJ

lJ

1i

ptolrricLatr

l iil r-'r'l

ogorrali'"alc

entpa(ii

t)

1)

,1, csLc

tttrrtyk: o

gt

2)

V. >

0

i r1..

..t,,.

€

.\

tulJci

incil

:\

C

B.

{

rr.)

(ia'

s

il

iir

|).

U

(Proprietatca dc

la

2) senumcqtclolalrndrginirc;rr,...rp"sespuneciforrneazi

o

e-re[ea).

Itt ItrLtbLt d\tc

,,+"

['ie

(r.).

ua

qir

C)auc]ry

in,,1. ,4

fiind

comt:act6, existi

(r:r.-).

subsir al

(.',,),,

.r

,JTr.

.tt,"

-

)'. A.

Ar5.ti.m cX, Lt"

=

r.

'ie

e

>

0

qi

n. astlel incil d(r,,r",) <

1Yn,m2

u,.

Fie

l; )

n.

astfel

irlcit d(r1,.2)

<

f.

etun.i,

dacd

n)

n,-,

d(.r",r) < d(r,,,x1,)+

2'',

*d(r;,,

r)

<

€

(se

tenarci

similitudinea

cu demonstraiia

criteriului

dc convergenlE,

al lui

(,'auchy

pentru

qiruri

din R). Prin

urmarc.

-4

rezulti compief,e.

l)euronslr6,m acum

proprielatea

2).

tie e

> 0

qi

r:1

€

A.

Daci

d(c1,r.)

<

e

Vr

€

,4,

proprietatea

este

dernonstrati.

Dac

nu. fre

rz

€

A

astfel

incit

d(x1,x2)

)

e.

Dac5,

Vr

€

A,

d(r,11)

<

e sau d(;r:,12)

<

E

proprietatea

este

demonstrat5.

I)ac[

nu, fie 13

€,4

astlel

incit d(r1,13)

)

e

qi

d(r:,ra)

)

e. Reluim

ra{ionarrrentrrl.

Deer

""^,..',1

,lrni,,n nrmrr 6nit,-1.

^""i ", ^l't;.. ',',.,r

ir \ ni^

,l

\i

\r

t/n

vrri ri

carc

nu

poate

contine

nici

utr subqir convergcnt, deoarece

d(r.,r-)

].

eVn,m) 7.

Aceasta

contrazice

fapiul

c5,1 este

compactS.

,,e"

l'ic (r"),,

un

qir

din

,4.

\rom

deduce c5,

are un

subqir convcrgcnt

con

struind

un

subqir

Cauchy

pe

baza

proprietd,lii

2).

subgir

convcrgcnt in ,,{

datoritit

proprietiliJ

1).

Fic

e

-

1. Acoperim

1ic

I cu un nurn;r

linit

dc bilc

de razl 1.

Una

dintre

elc,

Ut,

contiire o submul{irne

inlinitd

z1

de

termeni

ai

qirului.

Fie c",

€

,1i1. Fie

I'

.

-

Acol,crim

pe,4

cu

r)n nrrmir

lrnit

dc

bile de raza

I

Una

din

cle,

U2.

r'un(inc

2

2-

o

subrnultime infiliti i-lz de

trermcni

din

z-1. Fie

a^-,

€

Ez,

n2

)

a1.

Continuim

procedcrrl

oblinind

qirul

dc mullimi

Et

)

Ez

..

)

8,"

1

..

Ibrmate

din

ternreni

ai

sirulrrj

li

subqirul (o"*)1.*, o,,.

e

Er

C

Q,

unde

Lir

=

Il1(r:s)

Deoarece

.)

tt,,r*,

€

E4.,0

C

Et

1yu,

avem

d{u,,,*n,on.)<

d(xr,d,*)

<

i

<

e, V}

},t(e)qi

Yp)

1.

I

in

continuare

pre?ertirn

o

nouir, defini{ie

ir compaciti(ii

care,

clcqi coincide

cu

cca

dati anlerior

in

cazul

spaliilor metricc,

tr)ermite

puncrca

in

eviden 6 a

unor

noi

proprietili

legai,e

de compacitai,e.

I)EFINTTIE. 'a"miJia

(Gr),i6r

de

p5.r i

ale

mulqimii

S se

numcqte

aco?erire

a

lul.

nrcl{F..ttc.

ieI

O

acoperirc

se nulleqte

fi.nrtd,

d,acE"

famiiia

(G1);67

consti dintr

un

numir

finit

de

su

brnu

ltirni.

l)EFlNflrE.

Fie

(X.d)

un spaliu

rnei,ric.

.4

C

X se

numclte

cornpactd

prin

acopertre claci,

din

orice

acoperire cu mullimi

deschise

a

lui

,4 se

poate

cxtra.ge

o

suba.coperirc 6lit5,.

ExRMeLU.

Oricc

mullime linitE din

R este compactd

prin

acoperire.

Dr:oarece R

=

U

(i-1,

k+i)

qi

orice subacoporire

finitd

cste

mirgiliti.

deducern

ltaZ

,

i R nrt eSr,

,

ornpa(ls

I'rtn

a.op.flr(.

PRoPozITIA

4.4

A eele

Jarntle

d.e

mullimi

rc'lalia

inchi

n4,-o

Demonstlalie

,,+"nr'=0€c(nF,

i€i

iel

F1

este

mullime

rclativ

inchis

,,1

c U

C4. CE

este

o multime

ieI

acopcrirc,

rezultS,

existenta

4

P,P

=,4nnI{,=flFi,

,,e"

Fie

,4

c

U

G; <+

0

;eI

i€.,

relativ

inchisi

in

-4

Pentru

ori

atunci,4

C

G;,

U

UG;"

CoRoLAR

4.4.L.

Fie

A t

un

gir

d,escrescdlor

de

mulim

cu Fno

=

fl.

Demonstralie,

Dac6'

Fn

deci

I

F"10.

n>o

TEoREMA

4.5.

Fie

(X,'

acopertre

dacd.

gi

numai

dacd

Demonstra$ie

.

,,+"

Fie

(r")"

un

qir

dit

Atunci

F.11

C

F"

Vn

)

0

€

n(F"

n,{)

<+

o

€

F"

n,4

1

Lu5,me"=1qifiet")nas

n

,,€"

Fie A

c

U

Gi,

Gi

j€r

Vc

€

,4 I

i(r) astfel

incit

B.(

intr-adevlr,

daci

nu

ar

orice

i,

B:(an)

I

Gi.

Sirul

[J

G;,

deci

3

i6 astfel

incit

c

ieI

rezult;.

B- (ol")

C

B.(o)

C

B"(r)

c

Gi".'Dirr

Teorema

4.3

52

al

)t;

tt.

I

i

< :

):

i)

|

(,i

i]l

;.

1

1,n

i

iie

aLi

1lnit

1r

in

rr

rr

rr

r

i'tot,r)zl

il.r

Irtttl,

ii

rntrilt;i'r

ar /',

,il

I l.

-i

r';' tirliti.;() iti

t'tttt

,t,t,t',

r'tir lt'i

1i

,trtttt;tt rittr';

lt.l t,r1

t,lnltt it)ti)t-,

,;,

.\,

t',t',i

,\

i

til:

rt,ir , i,

a;ll,iitt,ti

I)i,lir,/jsr r,rIi

'r

|

'

I

-

i

J

l.,.

,,.r,1,1, rr',

i;ri'

lr

llirrrl iri .i lJ(olircf.

.tl

,(l

ti

a

/,

esrr llr r.ir,Ll

rpj;rlrl ri,iiri:i

i l.

r',tiiir,r' t;;r-tiir::

rrr

'

l:

-

1|- 1,. . 'trrrrrl

.1

a

l,.l

C/,

f,ti,,r:i,

'rr),,rlLir],

(|:schr:;r;i rirrrlrirri,:ir'rrr:r';riLri

.l,lr';,

,rr1

, i

t,r

rL

i

.,

).1'rli'.

,r

.,.;

rii

.i

ali

ij'illr'r

l

<

1,,'.i(

-l

(i,.)

ili-li-lC(,',) l),

,a.,t,

f

nia;..,

/,

i'srr o,rrrri',':r,'

,at

,t_i

r'rllllr

riJ(irisi

tii

.l

li,,i

Ll,r

lr

(t

r.

-\r.r

i

r

1

,1^1[',

'- 1^1Cf

,-.

,.

1l

.:

rl

,rr'

-,'

|

L\,,

'

i€

('oRoLAit

i I i

':r

1,

,,,t:ti't,iir

t,t;it

u(r't,,rlrr

ft

11.

)

I

I

-)

1,,

)

lnt

ti

ilt:;tri:,rii,t

,lt

,,

lti1,rtt

r,i,trt

ttt,ltt't

,irtr

-1

r r,

il

I

.,

lt.

'iu't,,

,.',:':,,

r',

,r)rrloirsirair'.

i)'rlll

/,

I

fl

lrrr:"zrr ,'r..i,,i1,(

lr

i{rsr' lir lrrlriii

el il

rtlrrrli.

,1,-L

l-1

1,,

*

i,

Si

'l

lloti.li,

i i a|

i\

rii ;r;

'r;irr;

rrr,i.lJ

fi

.-i

(

-\.

1

t'i.

tt),):r':tlti

:)iit)

tttuljtttr'(

tlttij

1t

nttttt ltrr,t

.1,

rslt

,t,nittati11.

ii, rrrrisrl,

i:i'

)

i

i(,

i.r.,

j.

11

i;r

ilr'

.i

l

-

--

L,,r

-

, ,,

ii

,i

ir,,trirl..rlrl

.\tLrLct

1,,11

C

L

it'

.

\1

,;:

i,

f'y

i

f

ti

Irr L:,rr

ilii

,

i-1.1i

;,

ii

ir,

,,

i:

e

nl

f,,fl-1r

;:

ii

t-

i

:,l'

1

,',r

.:. r

i:

r,: Y.

.,.r

ll,iali-]1,,,

r,,r, i;

r/V,,

[.rriirr.,,

]

..

li,

t',,

j:

r

,rsii,

ir.ii

r

:

li:1ol

'\,1

LLr

li.

r'virlr':ri

,rr

r

t.

...

lit

- a

tj

(;,.

l;

ir,1 r ,

-",

IiIjIitII-'rliaiI1r

iit r'\r-{l:r:

i

L-llrlr

l

i€

I

lrtlr arl,.lai

Ll;rrii rtrr

:Li

lr

:r.'1.

i'r.t

i|| r,iirr. r: I

'r,

i

.l

ii:t

I(l rlllrl

Irfrrlirr

ori|r' i. ils(o,.r

(

{i;

tlrLr:

i,r.,l, rir i

rL;r

,r'r

si

l,ri,i

(,ir\'rrA.rrl

rr',

-

i/

€

i

(

i:

u

J,.

('i.,

j

it

t,, I

rLrultji

lJ

|ldr

,,

H.1.r) t',.

.o]1lrariiil,f

. :\s:rirr'. :

-:'

l)

lsllei

]ll{t1

E-r

a.l

rl.i..rr

r;,.

1)iir

1.o||rl]ai:i

rrisrar.rr.

..r,3 rlrl

rir(,1

iaaii,i.r') iJai.,

e

'

,j-l

:r:l

'l'eoremele

4.2

qi

4.6 au drepl, consecin{5 urmitorul

rezultat,

care va

Ii

folosit in

r

iitor

'l'EoREM^

4.7.

(Heine-Borel)

O

submugim.e

-4

C

(R".

ll

llz)

este

compacld

pnn

acopertre dacd,:1i uumat.

datd

este tnchisd.

Si

md,rgintld.

$5.

nxEri.(xTrr

i l'ie X

=

{o,6,c}

qi

aplica{iad

XxX

-

R1

definiti

prin:

d(c,a)

=

d(D,r)

=

=

d(c, c)

=

0,

d(6, o)

=

d(o.

D)

=

t,

d(c,6)

=

d(b,4

=2,

d(a,c.)

=

rl(c,o)

=

3.

Ilste d o distan{5.

pe

X?

2.

Verificall

proprietLlile

distan(ei

pentru:

a.)

d1

:

Ri

x

Ri

-

[0,e),

d1(t,s)-

ilnc

*

insl.

l,),lz

t

Lcn)x

(

Loo)

.[0."o).

.ir1".e;

-

l,

'

,- - I

l1+.r

I

t

al

3.

(le

proprietate

trebuie si

aibl

o

functie

I

:

X

-

R

pentru

ca

d :

X x X

-R1,

Ll(t.u)

=

l/(r)

*

f(C)l

si delineasci o

distan{i

pe

X?

4.

r\ritati

cd

r;irul

r,

=

n.t

n

2

I

cst.c

qir Cauchy dar nu

are

limiti

in

((

t,

c,o).

dz),

dz

,l^A-ii i .., ..-.."-.ii i,,l t l-

5. l'ie

(X,

d)

spatiu

metric

Si

'4

C

X. Ar[tali

ci. multrimea

punctelor

care

sint

limite

de

qiruri

din

,4 coincide cu 7.

6.

Demonstrali ci B,(a)

este

rnullirnc

dcschis6

in

(X,

d)

pcntru

orice

o

€

X

gi

r

>

0.

7. Fie

(X,

d)

un spaliu metric

gi

(D;)161

o familie

de

mullimi

deschise

din

X.

Aritali

c5,:

a)

[J

D,

"sr.

nrrrit,rnr.

. r.s,

lri:;r:

i€l

b)

Dr,

n

.

flD1"

este

rrrull,inre deschisS.

Vzr

)

1.

8. Si

se

arate

cX

aplicalia

ll

llr

:

C([0,

1])

*

R+ definit5

prin

l/ll1

=

defiiieqie o

n.Jrrli:

p.

C([0,1])

iar

(C(iC,1]j.

ii

li,)

,tu

,

't"

spai,ii-i

Banach.

Inclica\ie:

lblosi{i

qirul

din

den:onstra{ia Propoziliei

3.3.

9. Verifical,i

proprietililc

normei

penlru

Jl

ll,

'

R"

*

R+

dc{iniii

llrl

1-lr1l+.

+lr",l,

z=(21,...,r")

€R".

i0.

Si se siuriieze

riaci

urmi.ioarelc

giruri

converg

unifotm:

a)

;.

:

i0,

ii

-

R,

r.(a)

=

ffi,

",

o,

b)

f":Io,;l--

R,

/,(c)

=,,o" ,

,)

\

c)

/,

:

[0,

1]

-

R,

/',(r)

-

x(1

-

x), n

)

0;

d)

J"

:

[0,1]

-]

R,

"f"(r

e)

/"

:

io,al

-+

lR,

.f"(r

11-

Verificati

propdeiitr

e

(

12. 'erifi cali oriogonalitate

.lt

gI

a s$temulru Srn

T0'...,s

cel din

C([a, b]).

1.3.

Folosind

procedeul

de or

ortonorma,le

Qo, Qr, Qr, Qa

a)

(c([-1,

1]),

<,

>);

b)

(c([-1,1]),

<, >,),

14. Verificati

ortogonalitat€

15.

FieX=Qcudistanla

,4 este

inchisb

qi

mXrginitX

r

16. Fie

(X,

d) utr spatiu m(

prin

d(c,,4)

=

infd(r,

g).

a)

Ar5tati

c5 dac6 ,4 eI

b) Arltali cL

dar

A e

17. Fie

(X,

d)

un spatiu met

A,B

c

x,d(.a,.a)d9

61 61

dpp,

numitl

distanla

Hausr

comparte

a,le

lui

X.

18.

Fie

(X,d)

un

spatiu n

6(,'4)

=

sup

(Poeibil

oo)'

r,9e

A

compacte

din

X

cu .4oa1

(

un

punct

(extirderea

ProPI

oaxecaxe).

jvatto"

0

plrn

54

1ll,):,ii

rIl

,l

I.

:

,'.

I

-

.

|

.

tl

,I..'

.l,.

..

Ll

11.

\Grificaii

proplri(.iiiiile

dc

prochr:

scaiar

ali

llnriiilor

delilrre

la

1raq.

i7.

12. \irriiicaqi

orrogoiraiilar.r'rrsisrerrLrhril.,irr;r.r:o,.,:r:...._:,irrrrr..rosrir,.....i,i.i

;.,,1

..;tln

:i

ir:i.r'rrrul

ri

'ir-,.r'.

..'ir,

l,.r....1rriil.ll.pri(1us11ls(itlrrrhirirl

in runlrrl.

cazrrr.r

cel

ilirr

Clla.lll.

13- Firlosirtrl

plrcr:<.leul

(io

lrrf

i)l)ornlit

lizar-.

C

ra

r

ulr-Schnt

iclt

g;r.\ili ptiI]ral(,

.l

tr.tijlii)il nc

ot1 ouor'r1lirl.

()

n.

Q.,.

Q 2. Q

j

in:

,.r

/a',f r rl, , .,.

.i

I

b)

(C(l

J. 1l).

<. >r),

.o(r

I

,-

1

r:)

J|\'ir,,ri,,,.,r

,1.r,.'.,,.:

r,ir.P

',:

t,

,,

.(

I

tl.ttt

'

15.

fic

-Y

- Q

r:u disr,ar{a d.(,t.1;1=

i.t:

yl

.si

.{

=

i;r

€

{Q2

<.?r:

<:l}.

.\1.iru i

l

.{ esr,c irrchisti

qi

rnirginir:i

clar rrccompao

i.

16. Fic

(-I,

d)

un

rpatiu

rrrer,rir:.

fic:r:

e

{

qi

.J

C

-I.

Dcfini

.listeurt:r

il1,

l.r .r'i;r

-l

prirr

d(.r,

--1)

-

nrfd(:r',

ri).

a)

,\rdiii{i

cd claci

-l

esll,'

ilchis

Si

,

f

,'1.

alu

ci

d(r. J) > 0.

b) Arltaqi

ci

riaci

-1

.)str.

corrpacr.ii erxisLi

17

€.1,

aslfr:l ca

d(r.-1)

.=

6li1;.u)

17.

Fic

(-I.

/)

rtn

spittiu

nctric.

Rtlosind

notatiiic

dirr

exr:rciliul

plccerlerrit.

fie.

l:liirr

.l

,B

a

\.

,11.1.8t '

iill

(11.r.6,

rj

clrr,(-1.B)d1rlar(d(-1.R),rl(n.-1]).

Ar.;iraii r.:r

:1

11g7.

rrLtmitii

disiarrla Ililusdorfl Ponipeiri.

cstc o

disl.arlti

pc

rrtrillinrce strlrutLl

r

it

rl

ilot

i orrpa.tc

ah lui

-{.

18.

Fii:

(-l.d)

un

spaliu

rn.'tric. Pentrrr

-.1 C

d(-,i)

=

-.1rp

iirosibil

r).

Aritati cit

ciacd ,.1,,

r )la1

'urlt,:,'i"lr

\'..-1

.

,

L rr'

.

ir.; I

=

"

r,..'.,

O.t

.,,

I

,i_'

riii

piincl

(c-rtild,-:fl

proi)rjcrartii

<lil

:rriua

Ca 1l}r

Der oltirll

i:r

rrr sDi;f

ili

rrr..r

I

.

oareaare).

l.

ri:,

lirilitr'

'l-iit a1i

lrlt

ir

I clefinirri clianrc,lru1

lrr

-1

ra

filtrl

-

T. r,,-

..

-r'

tr.

1,

.l

,

:

.

/1,r),1.r

CAPI'IOLI]T,

III

Continrritate

Conlznuxlate

in

spaJii

melnce;

cr,'nlinuilale

tnr'forrnd.

Teorema

conlracliet.

I'uncltonale

tx

operalorz

linzari in spalii

norrnate.

Spaltul

R" .

Concrtlale.

$iruri

de

functzi

continue

Noliunea

de continuitate

este una

dintre

no{iunile fundamentale

aic

matematicii

Avindu-qi

originile

in

speculaliile

filozofilor

artichitilii

privind

noliunea

de inlilil,

definilia

sa riguroa^si

este

relativ

recetrtS,

In mod

rntuitiv,

conlirruitatea

exprim5.,

in

acord cu scmnificalia

termenului

lingvistic,

lipsa

salturilor,

a

'intreruperilor

in

cadrul

unui

proccs.

Primele

Cefirrilii

ale ccnceptului

Inaiematic

de

continuitate

se

gisesc

in

lucX.rile

intemeietorilor

calculului diferenlial

qi

integral,

Newton

qi

Leibniz,

dar

defini ia

abstracti

s-a cristalizat abia

Ia sfirqitul secolului

trccut

qi

inceputul

acestuia,

odati,

cu dezvoltarea

topologiei

generalc.

Deqi

notiunile

ce

vor

fi

prezentate

pot

li definite

intr

un cadru

mai larg,

ne

vom

restringe

la

cazul

spatiilor metrice,

mai

^^-^^;^+

i-r.,iri^i

,rP,uyia, ,,,vq, ,\,.

$I.

CON'TINUNAI'E

IN

SPATII

MEI'RICE

Vom

descrie conceptul

de corttinuitale

a unei

functii

in topologia

dati

de distant5,

in

spa ii

mctrice

qi

proprieti. ile

fundamentale

ce decurg

din

continuitate.

Fie

(X,ti1),

(i',

ci2) <ioun spaiii

meiricc.

Reamintim

ca

ry,

ty

<ieserrineazl

multimile

deschiqilor

din

ccle

doui

spa{ii iar

pentru

r

€

X,

y

€

Y,

Vx(x),

W

(a)

rnullimile vecinil,dlibr lui

r,

respectiv

9,

in cele doui

spalii.

DDFTNTTTE.

1)

O funclie

f:X-Y

se rumeEie continud.

in

o€XdaciVWeyy(/(o)),

4-11a.r..\

-

)

-,1--

\

J

\rrl

L

'",(\ /.

o\ /\ r,.--ri^ a v v .^-ri.,.;

,.1"..;

I

-"{-.^.ri,,,,;

,,,

^"i.-

n'rn.r

dil

X.

Prczcnti.m

in

propozilia

urmitoa,re o

catactetjzare

a continuitetii

mai

ugor de

in{eles

intuitiv.

PRoPozrTrA

1.1. Fie

f

:

l)

Urmdtoarele afrmalii

t

(i)

f

esle conlinud

in

a,

(ii)

Penhu

orice

1ir

(x^),

(iii)

Ve

> 0,

ld=,

d2(f(c),

f(a))

<

e.

2)

f

esle conlinud pe

X d

3)

f

esle conlinad

pe

X

d,

esle

mullime

tnchicd

in X

.

Demonstrutie.

1) Demonstrim

mai iniii

(i

a lui

n.

Prin

detinilie,

existi

e

este

acela5i lucru

cu a

E

X, d1

deci

dr(/(o),

/(z))

<

6, ceea

ce

Aritim

ci

(iii)

implici

(ii

dat.

Alegem conform

(iii)

6"

Atunci

exist6

n.

=

n(6.)

6

N

dr(J@"),

f

(a))

<

e Yn

)

n,.

A

(it

Peutru

a demonstra

c5,

(ii)

;

presupun€m

ci

f

nu este

cont

f

'W)

4

Vy

(c).

Aceasta

in

3

r,

e

X

cu

d1(e,,o)

<

r

qi.1

Oblinem

un

gir

(2"),

din

X cr

Vn

)

1,

ceea ce

face ca

evident

ipoteza

(ii).

2)

Presupunem

I

continud

Atunci

/(c)

€

G, mullime d<

l-'(v)

=

t/

€

vx(o), deci

I

multime

deschisS.

Implicalia

inversi.

este

qi

mullime

deschisi.

in

Y asifel ir

deschisi

in

X

qi

o

e

/-1(G),

re

3)

rezulti

dia

2)

si

/-l(Cy

OBSERVATIE.

Se observi,

cr

deschiqilor

diu

cele doui

spalii,

de Propozilia

1.2

din

Cap.

II

de

la

punctul

l)

din Propozilir

indeplinite

in

cazul

puncielor

ir

Urmitoarea propoziiie

est

stratia

este

l6sat;.

ca

exerciliu.

PRopozrTrA

I.2.

Fie X,'

conlinue.

Atuncigo

f

esle

fun

56



.,]]]i..

'.

::i

,)

t,

t:rit,l,:1,.,

']

.:l

i,: ,

,

,.

.

ill::

,

:

,l i

i , i l

.:

)

.-i

,:,tit )

t:

:',

i

I

I

\,t.

:

,

,

''

,,,

i ,;,, t

)

,., ,.

.

i;.

,,t

,,,.

i

,,,

i

.J

l

,lr

i,

Iii

i

I

ttr,l:,;i

ii, r

,'

.irri

i,'-:i

I

I

i

(lr,

i',,r..,

I

.:i

I

'/r -tL,|r

I ,

.

::

]l

i)l,i

r,l,L

j

t,',;,2.r

1:r

t,

,.

il,,i,.

i

l,tr,ri1.iri.,.r

t,-r,ir,,/

:,r ..

.r,tL.r

,\l

i:iriri:r

I

.:

L I

Proprietalea

1)(ii)

din

Propozi{ia

11

serveqte

la demonstrarea

continuit'itii

t

rrr"liit,,.

,1"

,rrtu

"uu'rrtui

rnulte

variabile

rcale

definite

prin expresii

algebricc

(r'

1),/(r,y)

=

i

"iA

("''v)

I

(0'0)

este

continul

pc

R:

Continuiialea

este

I

u

ir' Pl

-

(u

ri)

banali,

conform

iservaliei

unt"rlour"

rn

(o,6)

I(00)

Daci'

lim(r"'v")

=

(0'0)'

rritl

a""r".*

l;{71

<

lrl

t'

,"

-

0

iezuiii

limf(x"'v")

=

0'

deci

.f

este

continui'

r;i

in

(0,0).

(

: -,

(r,v)I(u,o)

2)

Funci,ia

l:

R2

-

R,

/(e,v)

-

\I'*n .

,..

^.

"tt"

continui

pc

t;

(r'Y)

-

(o'ot

R2

-

t(0,0)].

ir

timp

ce

coniiuiitatea

in

punctele'^

diieritc

de

origine

se

verificS'

uqor'

.,nrr',

uieio

"a

ftrnclia

I

nu

are

iirtriti

in

(il,il)

intr

adevdr'

<iaca

'r*

--

U

atunci

(2",0)

*

(0,0)

ri

/(r",0) =

0

'

[]

iar

f(r^'x")

=

1' ,

3)

lunclia

iI,C

-.

[0,4:)

liind

continui"

rezu]ti

ci

dacS

f:X

*

C

este

contrnuA.

tr-rnci

qr

l/l

: X

-

[0.

\J

Fslp

'onlinuX

O

consccirr i

importanta

a

proprietS'{ii

i)

(ii)

este

rtrtni't'oarea

propozi{ie'

PRoPozITll

1.3. l"ie

X

un spatrxu

melric,

a

(

X

l)

Daci

J:

X

+C

esle

t:ontinud

tna

9i (a)10

alunct

erisld

6>Q

aslfcl

inttl

pcnhu

orict:

z

€

85(a),

f(x) I

tl.

2) Dacd

f:X

*R

csle

conlinud

itt

o

9if(o)

>

0

alunci

existd6>D

asltt:l

incil

penk'u

ari.e

r

€

B5(o),

,t(t)

>

0-

Demanstra(ie.

1)

Presrrpurem

ci Vf >

0

I

r,i

€

I],r(a)

astfcl

inclt

('o). =

rl

Eie

d"

-'

0

qr

rn'-

15.

L

nr^(o)

=+

linr

e",

=

o

qi

J(r") =

0

Vt

=+

limf(c")

=

a

=

/(o)'

o

contradic ie.

2)

in acelaqi

mod

ca

mai

sus,

daci

am

piesupiile

cd

VJ

>

0

I

r'r

'

Bo(c)

aslfcl

incit

i(r5)

-(

0,

rczulti

o <rcntradiclie

cu

/(a)

>

0

l

O nc'ilure

-,:lili

per'"lu

caiac'uerizalea

coatinillt'i'iii

uaei

fuac ii

inire

Ccui

spalil

rrreirice

esle

aceea

dc osciial,ic

a func{iei

in

jurul

unui

pulci

Pentru

a descric

aceirsti

Inirimc'

Iie

(X,

d1),

(Y,

d2)

spalii

metric'c,

J

X

'

Y

'

o€XEip>0.

Clonsiderbm

rndrirnea

o1(o,p)

=

sup{d:(f(e)'

"f(v))

lz've

Bo(o)}

(poate

fi

evenl,ual

qi

m).

Estc

iiiior

iie

obscilat

c[

daci,

p

-i

p/,

al,unci

-,r(rr,p)

<

nt(o,p')'

deci

fiinciia

.rj(o.

)

are

llrruta

Pe[lru

P

-

u

DEFINTIIE.

Valoarea

r.r(a)

=

limu:;(a,p)

t''0

ftnclier

f

in

a.

=

)9fo"t(o,p)

se nunreEte

osciloiin

Faptul

ci

c,r(c)

m5soar6.

,,

de urmitoarea

propozi{ie.

PRoPozrTlA

1-4.

f:'

i.,(o)

=

A.

Demonstra$ie.

,,+"

Fie

/

contiuui

in

dz(/(o),

/(c))

<

t.

ltun"i,

ra(o)

=

l.

,,+"

r.r(o)

=

0

imPlic6:

\

cu d1(c,

o)

<

p.

satisface d2(,

Reamintim

urm5,toarea

<

DEFINTTIE.

Fie X

un

s1

ftn

,4

numirul

real

pozitiv

6(

Pentru

funclii mirginite

PRoPozITIA

1.5.

Fie

X

ede mallime

mdrginild

tn

Y'

o(,

DemonstraJie.

Notlm

1

o,(c)

=

inf{6[/(,B,(c))]

lp>

Fie

,4

€

Y(a).

Atunci

l

a4adar

r.r(a)

<

6[/(A)]

VA

€

'

PRoPozITIA

L6. Docd

o(a)

=

lim(

suP

J(c)

-

pio

'€Be(d)

'e

Demonstragie-

Fie

M(p

este

clescitoare.

lJ(t)

-,

Ji

Dacie>0esteastfeliu

f

(ay)>

M(p)-e,

az

E

Bp(a),

>

m(p)+t

>

/(or),

deci

l/(r

,,),(a, p)

>

M

(p)

-

n(p)

-

2'

Vom

folosi

formula

(1.1

capitolul

urmitor.

Pnolozrltl

1.7.

Fie )

lui

f

. Atunci,

Yrt

>

0,

multr

Demonstrafie.

Ar[iEm

,(o) <

n,

deci

3

p

>

0

58

|or

L,

ii

iti

;jj

ri

I

I

r,

t

,_;,

,.sr

,

tr,

r,::

lr

t

l

rr)r,i,ir:,.

r,

toirl

tr.

|,j

i,'

li

rt,r.

.

r..//i

Irr

r, i

:.i

it i

|.)

|

j1

r

.li,rl.

rir:i:.lji

l,r;r

,.;.:,lrj

\ 1"

irrrr''

-

i

;liriLrl,l

-irli

lr:l:(,:,1,r

.{iit,lltl.l,,,,lrllrl,rtr,.

iti

,1,.

rrrr,it,rl,.ri

Ir'.,1r',zi11r

l)rri)r'ijTilr

I

: i

_\

-

\' t. r

tr;tlilltj

tit

I

),'

n

n

1 1,.

i 1'

1'',,i,

.

lirrir' iel

i

rri r

estr

r.r;ricllirt

.-)

I.rp

j

ci)|Li'lili

rtr

I

lir.

:

t:

it

:r

li.

''.1

-

1,,

'

\r.,,

-

,..I

'I

-(rr) =

(l

,.+

"

-(d)

=

(l

lrrrplrci:

V:.

-'-.

i.t

1,.

,:

i) asl1il

l]r(.rr

,;i7l.r.

)

-

.

rlrL.L

trr.g

,\

rLr

rlil-".rrl.--.

ir.

s:rlrsilrr,rlt{./(.r1.

/{ rl

<

:

ij

(r,l11r,rir;,.ji,i

lLr

.r,'

..7r

t,r

gg

licrririrrt

rrrr trlruitoarr.tr

rir'1ilr,1tr

l)i:t.t\l\J[.

1.i,.

'i

rl:;p;rqrLr

rrre]r'ii.

_1

(

_\.

rnirginjri

S,.nlilr.,.le

ltrttt,

i::ti

lur

,-l lrrrrrilLrl

ie,ti pozr1i.,

i)i.1)

-

sul)1ri(r.

4)

il.

f

a

-ll

ii:ntrtr

lrtnr'1ri

rUirgrrritr

oscilalta

s{,

l,i]tle

rjrl)

riril

1i

srrlr

IrIrr it

lr,;a;rL,-jilti

Pltopo:ttlt,\

Ii

/.rr

-\'.

\'

syaltt nLrlttrr

/:i

,)

JInt

tttirpnilrt

t,il',

t

tsl(

itu trlnir

nti1Qt .tl(i

irr

)

).

a

f

X. .1lun.ct

,{r/l

I rilf(./i-i)r

1

.,

t(,ri}

il

l)

I)r.r r;|-.1ia(rr.

\ol:i|r

i)r'1)\'izoriir;(rl

-

ini{,ti/i_1ji

.i

a

i,.ir)}.

llr.,,ir,r,

*(a)

r

ilJl(\:J(lir(a)\))

|

|

t.

t)|

rlzlirri

-(n)

;

_lo)

I.'jr'.1

e

lu

(at

,\rulti

I

p

_,0lstlil

rr|j1

lJ.,1ui

t

.1.,jeri tf.fi

t,,(i,ll]

..

,ri.i{

i)

.

aqa,iar;(u)

{

lil{,1)l

vl

€

v(o)1r

r;bi,l]rcrlr

r{nl

.-:;i.,1

F

iltirrozrlt.r

i i)

i)tti

i

: .\'

-

ft

r::ir

rttirqtnriit

i.,i

\i,,i,,,,

/,/, i

7ii,l

rr

,,

ir

,i

i'r"'

..

,t

t ,

,'

r

r'.tt

.,

eil,lr

I

t€tr,'l'rr'

/)rrrolslla1ir,.

ir,,l1(1) srrl'.lt )

i)\.,,t

= rr /Lr) -

n

t)=

11{rrl

_ rrrilt

.s1..

.r,,s(itoare

l./i.r'j

.it,li)1

.a..\lit,\

|1il)\\t,t.rj

€

6,.{rrl

=.,i(ri

ti ,/i.

trl

I)acir:

-:.

{) este

as1lii

lr.it :).

<.

tl(l)

ut(p).

{te r.1

i

lJ.,(rzr

rr1i,,i

r.,i

j

i

.;

1

1

>

,li

ii:,)

-

: .

.,

r

i

ijr,ii'iii-riLi

iij,ii

j'i,t.2i-;t;i

1;)

.

,,rturLj

ji.,,;.

.i,'1,,,

.

>

trtlp)1;

>

l(r1,).

rllli

l(.,t),

J\.tr'))

=

j(t1)

l(t.)>

IIt.p')-n(/\

2:..

Rezirli:r

-

l,r

/

ll't

u.

1.1

-

,r

t).

€

\btn

lol,si

Irr'nirlu (i

l)

lrr.q;11

;1

rl,.rrrorrsl.ra

(r

l),')l)rir.i.(1

1.ti

t.i

l1rl,(,ri,Lr

I

,l

eaprloiul

urtrr:itor..

l'nor,q)71

q]1

]

i

Frr

I,\.

:,pnltr

nttrtLt,l:,\

_

f _ ..i

0

.t,,s,r,,./,.,

lLtt.f

,ilunr.t'./t1

>

r,)

ttullintrrt

I--I.ra,y

j-(..1

'>rl

r:lt

irlht,tt

/)r'rIolrtrairr

,\r;itirrrr

ril l'

.

_l:

Itr,:srr1r,rIerl

rii

r:xist;r

rr

(

I I

_\rir .,

-(a\

< ti

(l(rr

l

t

t:

{,)

i'.stli'i

r::( ,

allill,

(/rJji

.<

1.

f

ir ,,,t

=

Bt.io)fll

i

l,

o.

._' ,,

rir/l

i-

11

,.

-\,

,lrr

a;

rt

t)rtitti

titr.tl

.,.sli;ri

r(

1

rl

1.r

rrl

.:

f.

.r

-.

: tijr(l

;Lrl;r1r'ar.

<L.;lrrlnL

,11

Atunci

l3p(a)

-.

V(rO)

Ei

din dl/(Bo(o))] <

4

rczult6,

contbrm

(i.1),

r"'(16)

<

4,

iu

cortraliclie

cu rs €

l.

Noliunea dc^

continuitate

anirerreaz;

proprictdli

remarcabile

in legatur[

cu r:ca

de

c,ompacitatc.

il acelaqi

contcxt,

al spaliilor

metrice, acestca

si}.It date

in reztt]tatele

iirruitoai-c.

'lEoRFrN.I^

1.8.

I'te

(X,

dr

),

(y,

d2)

spalii

metrice,

K

C

X corn'pact

5i .f

: X

*

Y

o

fiLnc{ie

t:ontinuit.

Atunci

f

(KJ

este conqtoct

(o

lunclic

continui

duce compac{ii

in

compacti).

Detnot:tstra\ie'.

tblosinr

definilia

cornpaciidlii

prin

acoperiri

dcschise.

Fie

(Dr).el

o

acoperire

tleschisd

pentru

/(1(),

i.r:.

f

(K)

C

U.Di.

Din coni,inuitatea

iui

/

rezulti

J'

1(rr)

esi,e

rnulliD.re deschisd

in

-{.

Vi e

1.

Ei

l(

c

U,f

-t

(Dl)- X

ti-

ind corrpact,

existri

./

r(D1,),..

..1

t(Dr-)

o

subacoperirc

finiti

a

hii

K

Ei

aturci

.f(Ii).Di1U"

UD,,,.

I

-

TlroRElut^

1.9.

(\\iciersi,ra^ss)

lie

(X,rJ)

un sytaliu metric

Ai

f

: X

-"

R. o

Junclie

conlinud,.

Fie

A

a

X t:ompactii.

Atunci

f

este

mdrginitd

pe

A

6i

eristd.tM'r.,

e

A

'

'"',tt.

/rr-.)

-

min

i

{r)

n"l

m.

tt.JLl

ttt,tl

J(-.r/)-

r'rr.lJl.rl

Jc,r.

Detr)onstra\ie.

/(,1)

este

r:ompacti iu

lR,

dcci

este

rrtdrginitd

(Cap.

Il'

I'rop.

4.1).

Fro 11/:

srp/(..).

,rr

:

int

.f(r).

t' )

rerr

Din

clefinilia

suprernumtrlui,

existi

(z')'

qir

din,4

cu

lim/(r")

:

M. A fr-

ind

cornpacti.,

exl.ragem

un

subgir

(rr.)"

diri

(r',),,

cu lirrr,rr-

:

r,v

€,4

$i

din

conti

rjtatea

lLri

f

vom

obtnre,lin

/(zl,)

=

f(rv):

II.

[Jn

raliorrament

analog

se l'acc

peDtru

m.

I

C

aplicalie

siinpl;

a acestui

reziiital,

este aiiirgeiea

distaniej

dc

Ja un

pur'ct

li'

o

muiiirrre

compaci,i.

Re:uliniirtr

c[

pcniru

A

C

X

li

z

€

X s-a

deiinil

d(r.,4)

:

=

irf

d(r,

r)

(Cap.

tl.

Exercitii).

t,.€

A

pRopozrlll 1.10.

Fte

(X.d)

un

spofin

metric,

A C

X

comytactd

t;

:L

€

X.

Eristd

atunci.

y

€

A

ast.fel

'incil

d(x,

A)

:

d(r.A).

Dcnlonstralic.

Peniru

r

€

,4

afirmairia este

evidentS: r1(r,.a)

:

0

:

d(:.

r).

Prcsupunen

r

(

Aqi fre

lunclia

I:

X'-

l0,co),

/(z)

:

d(,2,2). Deoarcce

id(r,;)

-

ri(r,y)

{d(:.u)

Vr, J,z

e

,{,

/

rezuii;,

coniinul

qi

aiunci,

din

Propozilia

Lb.

-pTllla

dr.r.Al

-

i'rl

/1:l

este

nlins inlr-rtn

prrncr

?i

c

A.

I

za

4

Tot

ca o

corsecin 5

a

'Ieoremr:i

1.8. C([o,

b])

c

6(lo,

bl).

Von demonstra

in

6

cd

(C(ia,

rl).

ii"-.)estc

spaliu

Banacb.

Dar:5,

j:.rtuitir',

cortiotrit.atea

irttr-ulr

Punct

.l

illsearrirri. c5'

peutr':

valori a1e

ar-

gurnentului

apropiale

de

a valorile fun<:liei

sint

apropiate

de

/(o).

este

firesc sd con-

sidcrdrn

qi

sit,ualia

in care,

pentru

orice

valori

apropiate ale

argunlentului

vaiorile

funcliei

sint

apropiate.

DorrNrlm.

Fie (X,

dl),

(Y, ,

conlinud

pe

.A

c

X

dacd. Ve

>

0

are loc dr(f(r'),

/(r/'))

<

e.

Evident, o

funclie uniform

o

ExEMPLE.

1) Funclia sin este uniform

deci este suficient s6 luim J"

=

e

2)

Funcliile

pr1

: R"

-*

R

(n",

ll llr),

deoarece

lct

-

rfl

(

nou

luim

6"

=

e.

3)

Funclia

/(r)

=

c2

nu

r,"

=-ln+1,

xi

=

Jn,

]yL@'"

OBSERVATTE.

Esie evident

este uniform continui

pe

B,

deci

uniform

continui,

atutrci

/

nu es

Pentru caracterizarea contin

lalie.

Pentru caracterizarea conti

DErrNrTrE. Fie

(X,

d1),

(Y,

r

conlintilate

al

funcliei f

pe

X

tt

d1({,r")

(

6}

(posibil sd.

aibi

q

deci

existi

lim

r,,,16)

=

inf ur(6).

0-0

"

6>0

'

PRoPozITIA 1.11. h condi

pe

X dacd.

gi

ntmai

d,acd

limu(,

rlo

Demonstralie,

,,+"

Fie I

=

h-mo(6) Din

r

iao

astlel

incit

d1(r',c")

<

6s

=)

d

rezulti

o contradictie cu I

=

inf

'

6>0

,,

e"

I

=

0

inseamni

c5,

Ve

d1(r',x't)

<

d

<

6e

+

dz(f(o'),

J

OBSERvATIE.

in

caaul fun,

normate

este util sd

observim

ci

uniform

contimri

pe

X daci

qi

lim

c..'(d)

=

0 astfet incit

ll/(a')

-

rio

Proprietatea de

continuitat,

care

ulmeazd,.

TDoRDMA

1.72.

Fie

(X,<

J

: A

-Y

este conlinud atunci

Demonstmtie.

Presupuner

60

il. riir

lrr

I

/.),

r,.

;

lr: i

./

I h-

ariL:rr i

.l111,t1,tr

r;1,.

l.I

i.

I

.'i

rlir

I)t.ti I\tl:t..

fir

i\'.ri.r.1i.(l:l

sl,'rljlr,

rrl,,

/

-\'

.l

l

sc

jtilrir,:si.

lrrlj.,riil

rtnlinuii

l,r

.l

a

-Y

rlrr|ii

Va

>

il

I

f

:

1l

r:ii"i

l rili V.r'..r/ra I

,r

(lr1r/..rrll

.:.

f.

ar, lor rllili.r't.

l(.r.")l

..

.

Iivirlctrl.

r, frrrrciir rr:tilorrir

arirl,rrrrir

ir

I rrLillri,r'iri,1,

.() iirrui

[,

rL'ir

rr,r\tr

L

L\1,\lPt,l,

IIILrrrciiasirr

cslr

Lrrrilirlr

i r'(,irlinui

i

[1

r]r.rla:r.r',r

I.liri.r'i

sirr.r"

{

i,r.'

,",

drcr r.st.

sLrliriIft

::r

irriirrr

ur,

,

rr,

rli,finiltc

2) FurcliL[:

prl :li"

-

[i

l';t"f, ,r,) - ,,

srll

ulilLlrrr

urlTrr

r-

re

lR".l

:,).

rlcoart(

1rl.

-

ril

:-tr'1

r , r

J--,-1,;-

,'

=,.r'-

,:"

l1

;irLin

ilorl lrriirn

lr

-

i

ill

frrrr'1i;;

.it

r't

-

t:

'rr:

rsr,

rrili,rrrr

ror,t rr:i r1, I1l.

-\

I {1, );tr(.,,

r,i r1r,r

.r',,

1|

+ L

t',1,

=.77

.,1irrr

i.r'1,

,,ll=tl

,ln'

lt.rl.)-

ii.r1l),-

I

Oi st.,t{\.\

itt..

Lstr-

erirlert

,

r

rlrrr';i

J

r.ilc rrrrrlorrrr {r)

rrilLii

l).

.l

li

/,

a

i

l-

rste

lirrli) l

.{)uliJlu;

l)i'

ll dr'ii

ilar,l

r'-rjsLii

o sLrhrrrrrlt,jrrrr. /l

C

1

trc

rr'.

./

si)'i|

1l(

ufi[;r

r

r)r]riJlua.

rlLlnci

.i

rttr csre irrliortl

c, Lii rli

tricr

fr:

-i.

l)r:ntru caiactlrizlr'l.a.r)liinril;i\ii intr'-rrrr prrnct ant

inti,rdLrs noqirttrr'e

ile

irsr:i

lrllir' l'cntrtt

catact.rjriuea

aotrliniritiilrir rrili)nrr(.r,orrirlclii,i

rrrorlLrlrl rlc

ronturriia'.c

Dt.tLrr\r'l1ti. I.'ir

(,r. .(lrl.il-.(i:l

spa\rL

11ri,uic.../

:

\

-

S, rirrrrcil., rrrllrl

iir

.ont1ntt1lal( nl

Jrntlrtt

l2r.-\trrr

lr

r-

fr.r-R -'r)

.r1

i

i

r

(

1

(

.r

r

)

.

l

i

r

"

)

)

(lr(..'..r'")

:.1

l|

(;rosilri

s;i rrilre

;r

vai.,rfi

l \

l.

[).rci

,\1

1

t,

rr:zrltii

*lfr)

:

,ril,].

l

\.r

,l: ,-,r,

'1

-

,t,

t

>tl

I)ltot,oztftr

f .i1 ln ttnltlirlt

dtt

lriittit,t

lrtrrdtnii

.[

t:lt: uniji:trut

rattltrt'ii

vL

X

lutt

t1

nlLnat

,let.i

iinr-'(.\l

-

ll

r-1

,

I)errrorrsr ra

1ie

l

>

Iie

/

-

lurr*(,i)

Dir

c{rrliruitalr.ir lrrilornr:i

(l)r.}r111l

,'

=

i

.,i,r

)

i

irslli,l

r1rcr1 d1(.r'

.r"')

.:

4,

=

11"iJi.;'').

/i;r"))

..

.

.

(1,'(i

-lfrj

a:

''iJ

rrrlll

o

corlfrdi,rlrr

(u

1 irl rlnl. .i( r

/

-

0

..f. 1-

i)

rrrstirrrrrr:r

cir

Vt

>

l) I l. .'

l)

lsil,rl

llll

,)

..r

.r;

:t.*i,\ ,ir

r

rll(r''..r'"1

< d

-<,1.

;

rl.:{11.r'1.

l(.1"\)

<

.1i

rolLtrrrrrtalla

rrirlirillti

t(ztiltit.

E

OBSER\,,\

llt,t

Ir

cazrrl

lunctiilor rlrlirrii,r'

irr.

-.lirLii

ltonnate

(Li

al()ri

rt

sl):t.lti

roflnlllersll. lrlil

sri

r,l)s.r\iirlr

{ii

lr.J)r)zi] i;i

i

llse

l)oitle

lla.ns{rri.:l]lt lornta:

f

,stI

rrniforrr

rorrtirrri

lrc

I rlrcii

l

ltllltiri

,.1; {;'l

r,,r

ltl

rl

-

ltl

\

I

',/.r,;i,i:,;rr,..

, ,

lirr *itr)

-

it asrlel irrt r1

i]./l.r/) .f(

r,"r

1.

{

*(

l.r''

.r"l

x

).

V.r'.

r"

e

.Y

,r

l-

rr

I'toptictalr'a

rjr

r:oltinLLrtat:

ullili)r raL

.sL.

lcp,eta dc rorrpacrlal

l,rLr

i',,ii rr

'If,otii.\{,\

112. ltt

{J,,i

).(i'.ritl

\j)r(ti

iiltlt'ut. .\

a

,\

(oinlr.tii.

l)ti.i

./..1

-

l'

Ltl(

an ltll ii

0iintt

.

ttlt.

tirtjnttt ...tlitrtiti.

Dttnotstralfu. Prc-sLlpurL,rr:r a;i.

.I

rjr

ar

ir

r;i

rl,rrr;r

ri)rlrlrLll.

\1.liri.i

"xisii

iii

r,

l1r

lrii

(

il

,,

i,,

,l

rrirrrile

erist

i,

Ilr ..

ii

s

)

0

asilirl inr:it

Vo->

0-

/o,x'i

g

.'1

cu d1(;r. ,.rf)



t,i

'

n

'

lI

dlf(/,,),l(xil,))

>

€,Vn

>

l.

A

{iild compacli,

qinti

(r,,)'

are

ttn subqir convergeri,

(e'1.),,,

lirra,i.,,

=

tr

€ -4.

Deoarece

d1txl.,.. J'i

)

.

"

Vn. rpzultii 1iyr.t'1.

=

a.

l)coarece

/

cslc coutinui,

Iiml(2f,,.)

=

/(a) fi

lim/(ri,,)=

f(o)

in cc,ltradiclir: cu

d2r,f

(r'0..),

f

(r'i,,)'1

)

e

,vn

I

O

altE

proprictale

a

f\rncliilor

continuo

cstc corlseLvarcii

conexitilil.

TrioRErvrA

1.13.

.Fie

X,Y spalii

m.clrice.

f

:

X

-

'

corLlinud.

Daci

A

a

X

tsle conetii,

al:unct

f(.A)

es[.e c:anerii

tn.\'.

-Demonrlra{ic.

Presupuncrn

ci

f(,4)

este

necortcxd.

Atunci

I

I'it,Uz

€

rv,

r'rnLin/(l)

1

0.

rr1nJ(-'l)

+

(i'

{-tr^tf(A)

+

$.

f(A)

c

UtUUz

b'ie

D1

=

-./-r(aI1),

D.r=I-t(.t.i2).

Dt,

D:

€

rx co:rforn

Propoziliei

1.12)

qi .4

c

l-t(/(A))c

c

j-'(L:,

fJt,':)

=

/-r(ur)U

f-t(uz)

=

DtuD2, A)Dt)D.,

=

a,

A)t)\

+

0,

A)D,

*

0,

a$acial

ar

rezuila

ti

neconexi)

in

conlraciiclie

cu ipoteza.

-

incheiem

paragraful cu doui. noliuni

implicind continuitatea:

prclungil:a

prin

"onr,r,Liial^

1i

lun"lrt

cortinu"

pe

lucliuni.

Drr.txtlrr.

Fie

(x,d1).(Y.dr)

spalii

mctrice. A

C

X, At

10,

f

:

A

'

v

continuS.

Presupunem

r:i

Va

€,4/

I

/.

= iir:/(r)

€

l'.

Atunci

funcgia/:

'4

-Y

,.l

lrn

ir a

prin

,, { 1t1

,eA

'-

Ii,

t€.4-Al

jr

rlrLmctr,

pr,lunqtteu

prl4,anltartlule

o

lut

I

l6

7.

()hserrrm

i

/

e'r'"

fun"i,e

contintrii.

FxLMp-r'.

/

R'

-

R.

J,.,

l

=

"it'

.L

lr,

lurrgFnl.

l

nr,'

onrinuirar- l,,

J::

R

-

R

L)DrtluTio.

Fie

){, Y

spalii

melricc

5i,-{

=

,1a

-y.

p1u,

lra /

: ,l

-

}'

se

rurlreqte

conttnud

pe

potjiunt

tlacia

extsli

/)i'

.

,

/),,

muiiinri dcschise

tn i

it,1^1DP

-

til

Yj

I

k,

asl,l'r) incit

I

=DrU

.

UD,'9i

existd

gl,

..,

1,:X

-

l' lunclii

contirue

ast{el

incit

f(r'1

=

glQ:)Yr

e

D1,1(i

(

".

Dac5.

s;(r)

=

t:i

Yr

€.{,

1

(

j

(n,

'ur.,

ria

J

s,

Ltlt^'

\lc

[un

JtP

in s

,r]

d.

llxnMPLE.

1)

Daci

G

C

X

estc

o mullime

deschisX,

x6

:

X

-

-t

estc contrtu

pe porlruni

(chiar

in scari).

Lui.ni 1)1

=

G,

Dz

=

CG,

g1(c)

=

r

Vr

€

-{,

gz(r)

-

u

vi

e

'\

2)

Ftnclia

parte

intrcagi

ciefinitX

pc

irrtervaie

compacte

dil R este o

lirnctie

iti

scari.

-

fl

.r-0

f

-

,,, sLn.f

J-l_.,

10

$2.

TlrORll\,tA

CONTr

IlEFrNrTrE.

'ie

(X,

conlracTrc

(iaca

cxtsli q

(

Estc

inrctliat

cii o co

I)EFINlf

,l.

Sc

sp

r

f(x)

=

r.

l)cmonst

r;ilr

in

urnr

lal privird

conlrac{iile in

'I'roe.r:,rl,r.

2.

1.

(Bar

/:X

*X

(onlra.trx(

lx

I)euolsl,ra{ie. l

ie r:

Presupunen-r:r1

=

/l

ciutat.

Observlrrr

la inccpu

*d(x"a1,r,,)

(

q"(1

+q

Vp) L

Deoarccc

,lin

o"

. .

=j--J

.,

'1.ci

d

o(x

|

,

l"{'.)

Cauchy. X fiind

coniplc

deci

r

este

punct

fix

al lr

Urricitatea

rez

u lLi. c

=

d(/(',).

/(c"))

<

d(r,,

OBSERVAJTE. 1.';cin

-

d(r1, r1)

qix,,r)\u

*o.a

sare

aproxirnirii

punctulr

Rernarcirn ci

qirpl

(

APLICATII

2.1.1.

'l'eorerna

2.1

Urrur

l,uIrrudrLrF.

n:- D/-\ ,3 , E,

Ic

,

la./

r,

-r

,r.r.

-

Considerind

pe

10,11

disl

Ecuatia

13+5r

-

1=

0

e

62

-:

:

_:.

I

sl

ir

l:r.r'rri

I

-\

€

-J.

t' l.)

::

ti

/'t

ttja

i;

;

[1.

rr

irir

rr

1r2

Iil(rililIl,\

(

{)\'i

i.i,\(

iii.l

)f.ir\rirr,r

fr. i.\.,1,t

il

ii.. .,:,rr,i

:.r r.i,.

i.rir:1i, ;i

./

.\

.

)

s|

lIrrrr.;,1,:

'' .t.t.

i

,J

.11

-,.

;1

llsi,'rrtr,iir:ti

(iil,

t(Jittlr1ti,,

,.r,

o

il tL.ii,,,:'

rr r

r

I

r r

,

I

,

r r

I I

r

I

i r

ir

1rr,.\'(rIriii,irlili

l)l.il

l\Lll Sr

rlil,

i

r

a .\

,,:1,

ittt:trl .ji,

t:,\

rirll.iili

l

\ _\ rirr,;:

I)crrri,Lt:ir;;irr

tI

r:r'Ilteioi:i.,r

t,, r'r'r:ri.

i,.,rr,.ri,;L

rr]|lr;,. ir,j.

r.tLtlle

il lL

I

i

r

,

I

.

r

r

r

r ,

.

i

i

1;ri

Irririrrri

rirrrirIiliii|,

IIi

:.i,IiijI

iIL IIi(1'

,.{)Iji|)I,

ii.

lit(tii'.tt."

i

tillr:r_1.(l r.

,,,,.,,1,rlr,

i\-.111

lt:), ,trt\ )

l t .1

,r:t:L,l ..

t,

/

,\

-,1

r,tiitrtitt

.tii

t)lrlullti,or(,i)ttt.tiit,ti t

I u,t,.t

i

a;r

utr

Lt:;tr

ttttttllii

L)twutn-i

rtilit

ir

.r'.,

i -\

l)tL.,r

lir:,rj

.r(,

tr.,)rriltrt

rr1r.(ji,|11)

sL|it .ir

l'rtsrilrrl'.rrL.i

:11.,.,)/.r,

I1,..r.1,

-

l{r'1)..

..r,.+j

-.1,.r,

I l)r,rrlrr

sii;riii

ii

i.,,i,,

'iit

\'ir

l', j.irr

.1,iiii(i \n

r;

. )I\rti,tri.

liiiti.r ra

"ri:,,1

j)i

j.,ril

. :

(itulat

Olrscniurr

la

rrLlr.lrrii

r:r1

Lll;r',.

ir.

r.,,)

-

i(fi.r',,),

i

1.t,. r))

l,

((ii.r,,.;.,

,i

.:.

:.

i

./''ii1

.r..ril

V/r

,t

i

.r-trr,rr',,1i.r.,,1r,..r',,)

:.

,li.r,,-.,r.,,,.,

I

I

r..t ...

,

,tt , L ,

/..,

V1t

,-:

I

Dloarr'"r'

,,iinr

tr''

-

i)

1.

-'

Li

,,-.i.r,,

1,.

.:'*

,r.,,t,

,r,"rr'Vr,

lr.,

'1,.

il

,t

.,,_

'

. T.'r

'lq,

/,

)

.-

. V??

,.:

a.

li

Vr.,

)

l.

ii;a,lrLr

q.;.,,

1,,

,,.,1,,

;ir

(

iLu,h1 .\

iiilri

iorrlrl,:i.

Lr

-

lrrrr.t,,.

,\liir.r

.ll.rl

=

iirrr/(.r.,,

t=

lrrrt.,-

-.r-

rler

r

.r

c-.rr'

1,l,rrci

ir.r

iii iri

I

Lrriiitirr|a

r.urrlrrl

'r[rsr.r rirri

c:, rirri

li.r';

:

)t

fl.r:tj

:

.r,1

,:i.i.

.r.,,

-,lt,ll.tJ).

lt..t")){

r

I

(

.

.

'

.

.

.

/ /

)

I

r

1i

ii).

il

+

Liir, .r

,,l

t)

ir,:t

.rt

:...i,

E

()usl,it\f

iit;.

iacrrr<i

r,

,

\ lr

(siultarr',

r1ir.,,.....r',

=

,f.

,l

|

,..,, .,,.

I

,1i.,,

l

-,r

I

r.

lr'

.11

1i;,,siLt trrrtr.as:iislitr;jrrrnlttitLLl

rLr.rii,;r1r

iirr.

:||

salr'apr',,rirnirii

llrrriltlrrr

lir

ru

r

irr,r;:lr

rlt;iit

ll.lrrrrc:lrrr

<e;irrrl

(.i,,1,,

,:or,rllgr

ori,-;tr.r'rrr

i

.r'r

i

f

(rJir:iLl,rx,

rr:,i,-r.

APLJf.\'til

2 i i. lc,rrinr;r

2.1

sr.poltt,

liili,ra

r),

nlrri

ailil

,rlrli

i,l,nl\jni;liri

ll

ra,lar:lriirrr

ir;'

,"i.i

j-

.,r

,

l.r

j

(

,ir:

l,iit)

-

i

i

i, il

:i

l',rr,.(,

j.tri.lrii:.r

rrr

iil

i

l,orsi<lclrrrrj

1:r'

ill,1i

distarrla

rllttr

r|,

inoLlLrl

rc;.si:t

ik., irrr. sl)irliLt

lle l.i(

i:o nj)li.i

l,rualie.r'ir

l

iir

I =

ll

csre.-.r'itiral,rrrii,',

r

.

-,

1-

rlr.L.i

o

rirlalirra

r

si,.

riil

10.

l]

t:

+

.)

ai:J

1-t'

't -\'

i r-p

xulli

ttll

-

ilj

:,.iui

irr

rii.

i

:.- n,

i)r,r liLrn

i

r,,-,.i.

iu

1

ar'fi

l)unct

fir

1>cntrrt

litnclia

/(:r)

=

.",

+i

si:rrirti1m

cii

.l

estc

o ccurtraclk.

-Foiosim

Tcorcma

lui

Lag'ange:

ll(r) -

/

(r)l

=

2

,

.,

q"

.

_

.n

rt .ioarr"rn.

trr.

l. _l-;.,lr,r

,

1/'r(111r

r''

,q.i

t

l<

2air

Jt

tJ

:t

'

-

a..

^l

l.i /' ,,

n 1l

esrr

d

Li'ii;ll'

l'|i.rr'

'r.\

i

/ 2 \.,

:t

Pornirltl

cti

es

=

0,

cjeci

rr

-

l.

''b ilt'nt

tir'r'''

t r{

(att)

*t

ii

dcci:r3

apror:-

irrreazi.

riirliicina

lui

P dnr

i0,1]

cu

4 zetitnzrlc

exacte'

2.1.2

Rczolvar-ea

unol

sistcmc dc

eoralii

liniare

p1",1

- lo1;]

€

.\,1(R).

b.t

€

1R"

qi considcrirn

sisterrnul

.\i.

-

h.

DacE

u,1

l

0

Yj

=

\,

rt1(2

1)

se rescrie

sub

forma:

(2.1)

-r"

*

otr

t"

l

alz

A, t

br

.tr11

Observim

c[

pentru

(2.i

S3.

FUNCTIONALE

SJ

OPI

ln

cazul

tun.ilrlor

tlma

urS.rginire.

in

celc

ce

urmeazi

a face o

alegere.

DEFTNTTTE.

rie

(r,ll

ll)

81

- {r€x

lllrJl

Et}

r

Si-{zexlllzll

=ti

DEFINITIE.

1) Fie

(X,

ll

l

)

rrn soali

tiniardg\

J@+ri=f@)

2)

J

@r)

=

c 71Y1

2) Fie

(x,

ll

ll'),

(Y.ll

ll'

operator

liniar E

l)

A(r

+

g

2)

A(ar)

.

DEFTNTTIE.

i)

Fie

(-t,

ll ll)

un

spalir

fM>0astfclincit

2)

Opcratorul

lili;l'

,4

numeqte

rndrgi.ni.t I

1M

>

(

EXEMPLE.

t)

rie

(c(la,ll),

ll

ll-),

evident liniar[

qi

este

i

m5r

9t Fia

'

. /'(tn h1\

<i

It

.

propriet5lile integralei

qi

liull

'.,

''

'

l,

lf

iui

l v

lri("i;l

j

e-\lltur

\

3)

In cazul spaliilor

fin

trici prin

considerarea

unor

b

Orrl

(l

rn

I

-

-.t

l

ttttn

aon

Fir:

.--

a12

.. -

d\n.

all

all

"

O,.

-

0

.

-1

422

otP

.t

": k

+tt

Atunci

(2.1)

capif

ii

forna

rieci

o

problcnLi

dt:

prrnct lix

penlru

/

: lR"

-+ LR"'

JG)

-

ll

+

t''

Cl,rl,"ide.:irn

pe

1R'distarrtri

clefinitri

de

norma

cu(rlidiirnS

-{m

tlemonst'rat

irt

Cap.

ii

cii

(R",li

l.r)

este

spaiiu

rnetri(:

complet'

observim

cti

d(/(:)'/(s))

-

.ll ,.,.1

= iIF)

./

(y)

i:

<

I

L

a;

)

"

lr

t112.

Yr,v

t

rr(

i

oe(1

utrci,

i'i'=t

+b"

r*\

,=l

,

I

I

,,,

I

\"-

/

0

_.,21

.t22

:

_

{rnl

i.;-1

\,2

.3

)

/

uslc

connuctic

i

(2.21

ilre ttri

utric

punct

fix'

ilQadar

(2 1) are o

unic[

solulie

oblinutd

lrin

ol,rox'rrcrii

srr(.r':iip

ltr

f2 21.



t,:

fj

.i'\(

jii)'i.1,1.i.:jiiit'l.l ..Li)jiILjl.i_.,r-lj

i

i.r.r

al..,

ii\ ii.ilil

'.i]ir \ir'i i.

i

lL;liiltitr

ir,

r'r,ir,rr.

t

lr-rir

:rz:r

ri,;,i.rrli

',i

i

rii'rri

.,Lr

r

ir,ri:irii'riiLr,rr,rlr

rtrrr,rirl

l.r:r

lr

,. irrtr,

,r

ir-elr

t,,.

: i.

ilr

l.r

:

.l

.r

--.

i

I

:ir

,r

iiii.

ir

l,'trt

'

t'ltt;t

ri.,ir

\i.

li i

,

.

.;'

.=

i]

:ll'

I lllre:lli :jt ti irtit.t.:.

iiit

1r.

iii.t

L.:

i

rrt.

I ir i\.

r rlr,

sl)ilrr:

rrlr'lrlr

I'r:lr:',.;r

i

I

\

)

:

sl'lrrilrli':lr'

j

t

'

t

t

i

,

'

,

:

,

; t

i

,

2i

.irrr.r'i

....ii.r iri

.:

F.

r

a

'.

'll

t'i,

i\.

l'1.

il.

'r

rii,rt,,

:rrri,ir

rroirtr;rr{'.

i'ur,r'l;:r

i

:

.-'

,

I

-ii

rril

,' ::Lii

lr.

''t"

'1

:

ll

-1i/l.rr

-.i

it

| ;| : rl

.i a .\.

l)r.i \llit

ir lril

l-

lilirt

iJ)ai,iiL

i 'ttlt;rr.

ftLa.fi.iil

,I:

-

t

I

j,' iliMts:

I1/

:-.il

risrl,'l

rri

rr

-srLi.,

i.r

1ii.

2l

Ol.,,rrrLorLri

ii:,i,rr

-1

.1:

-

]-.

,ri

r\.

,

rl.

I

,

J

r,i;:r'r,

l-'//1'''

irLi)

-l.r'lir

:: lr

'

.;

:.1

l-\l

\

iP,.l.

iri"i.,il/r.i, l.

.1.,,

i-

i'.,'

r,

i:

l-i:,r.I,'

-"

.ii',,:

r.1.r

r l'i'

'r'irlrrrr

ljniiriir

si

erli'ri Jrilrgirrilii

(li ,:rii'i"

tr

'.-:i

I

,ri/i

r',1

:.

I

-;'

lt t:"

:

,,ii,,,,.

r't1,,

it

.,,

i

i'itt,

lt't

t

.

:

lir'Il

-

|

,,it ,:,.

tii.t.I -.1r

litriui:

rir.r

l,rLrlrrrr'1;r:.i1t

i,ri,'qratei

.'i

it

,

::

1..- i ., l

:.

i r.'

:

1,.1r

,i(,

i

,i

i

'

jl

itt

rirz,rl

:lritiiiiill

iirlir

rlillttll'li'rr,, i. i)i1:l:.iirilir)i

l'li.rli .i :r :

r'.

rl .

r: i

it)rirr

(,)r,:r]lit-1rrl1':l

rrtl,)

t).i:,rr"

,l

,,.r Lt

i.

/r. ..l i

r':i'-'

|:]

'l

bazi

in

Y

si

,4

:

X

-

Y este

opcrator

liniar,

'4ei

=L"oift'

I

(

j

(

"

conduce

la

i=1

nrat

ri,

ea

lo;r]

.

.,

-

€

.ll^

,'

(R)

Proroztltr

3.1

ltie

A

|

(R",ll

llr)

*

(y.

l] ll)

an' operator

liniar'

Atunci

A

*te

rnd,rginit.

Demolstra\ie

Fie

{e1,

,en}

baza

canonicbl

a lui

R"

si

fic

r

€

R"'

c- r;e;.

Atulci,4r

=lrtAet

qi,

folosind

inegaliiatea

Caudry-Schwarz'

rezuliS

t=t

n

i-1

,,J-

-.

j

"

1l,4rll

<

il',lll.

elll

=

<(lr;l),=r.',(ll1",ll),=,,">

<

(It''t')

'(Elt'.ntt';'=

i=t

,J

='

=

Mllellz;

<leci,

tlacs

ll"l1,

{

1,

rezults

ll.4rll

g

M

=

(Ill/",11')'

t

i=l

Mireinirea

este

caracterizati.

prin

urmdtoarea

proprietate'

e*J"ort1,n

3.2.

Iie

(X,

ll

llx),

(V,

ll

llv)

spalit

normate

A

:

X

'Y

'

operaror

litnar,

esle

mirgtnit

dacd

st

nunmi

tlucd

ettsld

M

>

0

aslfel

incit

existd6>0astlel

llrll;

(

1

deoarecc

DEFTNITTE.

Spatiul

\

numeqte spoJiul dual al

lui

NorATlE.

Spaliul

v

noteaai .C(X, Y). In cazul

Demonstralia urmdto

PRoPozrTrA 3.4.

1)

este o normd

pe

X/.

2)

este

o norm5.

pe

,C(X,

Y).

$4.

CiTEVA

PROPRIETJ

Demonstri,m in acest

I

demonstr5.m cd spaliile

f,(i

in

cele

ce

urmeaai,

e1

=

(1,0,...,0),

...,r"

Dorrrrgre.

Fie X

u

Normele

p1 gi p2

se numes,

(4.1)

p1(c) (

Crp:(s)

@.2)

a@)

(

Czpr(')

Noulto.

p1

-

pr.

Este

u5or

de

aritat

ci

Observdm

ci

in

cazul

definiti

de

p1

daci

qi

num

TEoREMA 4.1. Pe R"

Demonstra.\ie. Fie

p

:

Pentru

inceput

demor

intr-adev6.r, fle

r

=

(cr,..

=

p( 1rr

-

c,)",) <

)

;=1

i:

unde

am

folosit

inegalitate

ll,4cllv

(

Mllrll;1,

vc

€

x.

in

particrrlar,

o

funclionald

lintard

.f

:

X

+

R

csle

mdrginitd

dacd St nurnai

extstdM)0aslfelinctl

lf(r)l

(

Mllrll,

vr

e

x

Dcmonstra$ie.

,,

+

'

(3.3)

este

evidenti

pentru

r

=

0

Fie

r

l0

qi

g

=

(3

3)

dacd.

(3

4)

1

ll'11"

Atunci

ll3.,ll=

r

qi

din

(:r.z)

ll.as [.

(

M

adici

llr(#,)ll"

=

11fi6"'lt.

-

-

|

rl,4."ll"

< M

sr 13.3)

razulrh.

ll'llx'

..e

Llaca

llrllx

(

r

rnzrrlrA

,iri"rli

t

ii.

ci"ci

ii

2)

.

Demonstrim

acum

rezultatul

care,

in

cazul aplica{iilor

liniare,

leagS'

continuitatea

de

mirginire.

'IEoREMA

3.3

eie

(X,ll

llx),

(v'

ll llv

)

spalii

normate,

A

:

X

'^Y,

operator

lzniar.

A

esle

mdrgmit

dacd

si

numai

dacd esle

uniform

conttnuu'

In

parltcular'

o

lunclionald

[tnzard

f

:,

+

R esle

margtniid

dacd

Si

numai

dlcd

LiL"

untiut'til

conlinud.

Dentonstra[ie.

Se

va folosi

criteriul

de

mirginire

din

Propoziqia

3.2'

,,=+"l-iee>0.

llAx'

-

Al'llv

=

llA(xt-

c')llv

(

Mlla'-

c"llx <

e

daci

i."'-

""li'-

.

j..

i",i

I

rsiP

urtrlurr"

ci'i'iinriii

''

,,+;'a

""'tY

in

particular

continuu

in

0.

deci

pentlu

e

I

ill,rr

llxllr

tr

o

>

ltlrllv

(

15i atrrnci

ll

4r'llv

s

-

Vr

E

ll6rily

(

6 in

acest

caz.

I

X,

66

1

rr

clrrrlrrrr:

ia

Al

tt

t

t

.\

r

:lt

ilc .r

e

[i".

rrz

ril

t

ii.

I

,.

\-

,-

",

)

r

-\'.

alttrolot

(;r.it)

;i

nurnat

,laca

(ij

i)

,-]r.

r,.t'l

=

it

r

,\

t;.

r o]ttinurt

;rt,r:a

.

apr:r,tlot

IrL ptLt

I

ic

u.lti

r

,

t.sit

rtn

tjui.iit

I

>

il

as1{el

1

rlc .rrrr

,

a"il'-:

o

lrotirlri

l)e

.\''.

'2)

e-rlP

o

iro|rri

Ir:

{ii-\'.

}

l

lJ,,r1\r1rL.

slrer,rirl

r',.cir,rial

r'..a1

;rl

i

iircliorrrl.jor

Lirirrrr.

;]

,.or,uriLrc

1,,.

,

,.

rL

]lJrrslc

Jlrdl?ul

luLtl

tl

tLi_\-

:i

se

tirir,tit

t-t

r.lr

Ii

-r'9'-t. i,t.

Si-raltrli

rrcior.ir,i

irl

..i...rrL ,t

l.ri

ltrrirr

rrr:[.gturlt

rl.-

la

_\,

]a

i_s,,

,rj.

4..

r

I

r..

..,.

,

..

l,

',

.

-

,

Ii,

r.j

.....

..r

....

i,it0toztlr,\

ij..l

1i

ll./

l=

'r:r,

ti;,

t

l

li,Ili

=

.Lrir

li,]r,

lr

l.I r

S

i.l

.r

l

i:i

i.i

l

1

(rl

i

l-\'A

P

ROi,n

IE

i,\J

i

.{

L

it

Sp,\.1.T

i.

Lii

i

r-

Oil.\.t...ii

R,,

.

lJentonslr.iii

il1;tc-.st

p:,rr.l,,r;rl

cclriva]rrrLa

iur,Ltror

[.]rrljelai

Ir.

Fi,,.

L)r: asot,:,:,.,.r,

dinronsrr:rr)r

':i

sirrtjilr

a(icl.l-{;)

rj

{lll,,.[{jsrri

c;rni:ric

izorr]r,"i:,

"

-l

"

'

ltt

cclr.

,:,.

ullteazii.

rrr R''

ra

ft

colst,Lrr.ritti

l,az;L

carL<,itici-l

]i1

.

i

r-il.(1..

0),

..

r...

=ift.0....il

t).

f)[.ir\1f]L

]ic

,1 uu

spa\iir

r(lor;al

\\

t)1,j|.:

:

-\

.

ill. \t

,l.ir:i

jr.rr.Jil

\oirrr.iel,

;i

7r,

r.

riirrler,:

r.int)rit)Li.

S: i,,,

,i,,,_ ir,rtii.i

,,r,,i

I

lt

.

\r.'llltt

,'

',,.

l-sle

usor

rle lrririat

la

..-. cs{e

o

icl:i.li..

rir:

erhi.,a|:rLlii

(cxr:r.,:r r,,r

Ohs,:rvilt

ci

rn

cirzLrl

ii al.jlti

tlofmc

t,citi.alenrc

lr

::i

/:.

lirnr:,

_:r

lt

Cjsrarr;r

I

i..r

i

,

,t

.

:. ..t:

L,

.,

,t...

,.1.t

.(

r

l.t

:.

.

'l't;olu.\1.\

4.1.

,,,.R"

1 )nlt

itotntle

;tt r,tkit:rilrdtr.

Dct)lorb.tlttt,r:

Lie

2:p,'

-

lll.

r)o rr,.ltli.

Irirr

fri.arii.;i

tr_i

.l

l)crrrLrL

irLrelrrrr

d,..rrr |,iiiir

cri

p

.

fR,,,

il

,.r)

-_

:Lt

:_-t,_1.

,niii,rr,,

r.,,,i,t

tii:r:i.

irrlr-ad.'v;ir

1t.

.r

-

,l

r

r

.

.,,.

.

r

,

)

,

u

=

ilr

.

.r,,)t

li',,..1i:,:l

,,iri

a.,

r,.,,

lii

-

lL

.u,.r

I

:.t

.\-,

i:l

i=

'=

/

rnrl,:

alr

folosil

inegallirii:a

lrri

Cu.u,:ir1,.ia.r,11

-

i

Ir(i,,

t:

)

:

D

.r,

v.

>

(r,

dr,ri

\* )

li;

itr

ll*-yll:<.

+

ip("t

-

pla)l

<

e

qi

continuitatea

uniformd estc

dcmonstratd

ObservXin

ci, 51,

sfera

unitate

din

(m",1]

llr),

este

comptrcti.. fiind

inchisl

9i

mdrginiti.

p

fiind

continrrS,

din

'l'eorema,

1.1|.

-

m,M

>

0 astfel

incii rrr

-(

p(r)

<

M

Vc

€

51. Dar

daci;u

€

R"

-

{0}, *

,,

€

Sr.

dcci

m

lll:

( p(r) (

ltr'llLcll:,

ll'li:

inrgelit{lile

fiind

e ident

vcrifiLitre

qi

pertru

z

=

0.

Atadar,

se oblin (4.1) cu

C1

=

M

l

r1i

(4.2) cu

C2

=

-

qi

teorema

cste

denionsttati.

I

Un

corolar inredia{

al

acestei

tcorcrle qi

al

dcrnoLrstraliei

Propoziliei

2

2

din

Cap.

II este cel

prezental

il continuare.

Conot,,tn

I.I.L

Contergenla

nui

$r

dtnR

tn otice norrnd rer.tine

la

conaer-

qe.n[a

cornpon

cn l,elor.

TEoRDM.a.

4.?.

4(R,

R")

esle izomorf

cu

R

prin

I

:

4(R,

R")

*

R",

eQ)=L(r)-(1y,

..,

,L") si

le(r.)li,

=

lLz

I

(4.3)

unrte

llLll =

sup

llI(r)ll:.

l'l<1

Dcmon.sir:r.{ie.

eU'

+

T)

-

(1,

+

7)(1)

=

r(1)

+"(l) =

'p(1,)

+

e(7')

qi

9@L)

=

aL(\)

--

o9(L)

ataLva ci

9

cste liriar'5.

rp

este injectivd:

intr-adevtr.

v(L\

=

0

e

r(1)

=

0

<+

I(r)

=

tL(I)

=

A

Va€R<+l=0.

g

estc

surjectivS.

fie

g

=

(3,r'...

,g")

(y",...,y,,*).

Atunci

-L

€

,(R,

R")

qi

I(1)

=

y'

Demonslrim

acum

(4.3).

Fie

9(,1)

=

I(1)

=

=

($t/1,...

.ry.)

si

pentru

ll"li

<

t,

llL(r)ll,

=

<

llyll:

=

llr(1)11,,

deci

llrll

=

llvll,

=

llp(r)l

z

e

R".

Definim

tr

prin

1,(r)

=

deci

9(1.)

-

y.

A

=

l. t,...

,

y,,).

Aturrci

I(r)

'.F4

+

+

t\,:'"

=

l'lllvll:

I

=

sup

llr.lQ

+.

+

h":f"l

llnll, <

I

1

h

=

lPryryS(tL'

'4')

atu

=

llt(r)ll:

<

ll"ll,

deci

ll"ll

=

Aceste

doui

tcoreme pe

l(R",R) cu

R"

Ei

iqi vor

dovt

multe

variabile

reale.

$5.

CONEXITATE

Vom incepe

acesl

paragral

{iilor

continue

de

o

variabili

re

UrmEioarea propozilie

est,

PRopozrTrA

5.1.

(Bolza

I@)

f(tt)

<O

o.iunci

edsrd

c(

Demonstratie.

Dac.e

f

(- "\

r(".\.r("*ll\. n

".,,

+la*t

""'\

2 /

--"-*,\

r

I("rl

fftr)

<

0

qi

reluim

ral(rc

vale

inchise

incluse

unul

intr-all

implic;

ffI, l

0

qi

deoarec

n>r

uoi".

e

fr

In,

c=limo"=li

^=L

=

limf(6")

qi

din

f(o")

./(0,

propozitia

este

detrorstrati.

TEoREMA

5.2.

(Darboux

af

b. Atunci,

penlru

oricc xr,

eoistd,

rs

q

[a,b]

cu

i(xl)

=

)

Demonstralie.

Fie

g:

A-

c(tr)

c(az)

< 0, dcoarece

.,\

estt

existi

c1 intre

ri

qi

12, deci

in

O aplicalie

interesanth.

a

ac

unei

funclii

continue

strict

mon

PRopozrTrA

5.11.

Fie I

ut

conlinud gi

slrict

monotonii,

ft

monolond).

Dbmonsttalie.

Existenla

qi

strlm

continuitatea

lui

f-r

folos

'1'EoRDMA

4.:J. 1;(R",R)

esle

izornorf ut

F&"

prin t : I(R",R)

-

l,(T)=('t'e1,..

, ,"e,,)91r',..

,r,) ti

ll{,(")ll, = ll"ll

und.e

ll;t'll =

sup

l"(z)1.

ll"ll:(t

Dcmonstra\re.

Se

aratd,

uqor ci

r2 este

iiniari,

iy' este

injectivi:

dacn

l(7')

=

0 <+

?er

=

"

=Ten

=

0,

deci

I(hr'

=

r/ t

h'',)

=5--

r5;7";=0Vir€R"adicb

I={J.

'\22

"j z2

(4 4)

t=1

i=i

"l'este

suriectivd:

fie

(r1,...

,r,)

€

Rn

qi

lI'

I

R"

*

R definii

prin

fi'(h)

=

=lr;h;,h=(.U,...

,h").

Aiuuci'1'este

liniar

qi

7'e1

=:ri,...

,'1e,,=xn'

l)emonslrim

(a.a).

Fie

"

€,(R",R),

il(r')

=

(ft,.

.,7")

+

0.

Folosind

inega'

litatca

lui

Cauchy-bchwarz

oblinem

]l?l

=

sup

l?'Al=

su;'

li1?e1

+

+h.Te"l=

l/,

,<1

llhll"

<

1

N

I

68

ir

-',r

i

,i

1,

tl

.i.

1

r

..r

.,

it

/

i

r

: Lir'l

iil

'

i

,l

-

srrl,

/r

/

;

rrr

<

i

'.li

l,r

ll

.

,

ri'i1lr..:-

r r1,,.

/

-

,ii) ':i

1,.,,i.,,,,..r,,,:lrl,,i,.rl;,1i

ffi

,\ir,:t,,

rlr,ti

litjrl

r1r iri.l.ltll

Llr';ririir:ri"tr

r.l:';;rii,r

tL ;1,;r1iiJ,rr.

{iLrl.hi'

;

:,r

liR'.R) cr

iX"

1t

tit

,"irr

Llr,rr.li rt,jiilri,;t

ja,j,,.ir.;,'r.a,lrrirarl

irritiitrlr;i

ilt

lr::t

rrrrllr,rlIiltl,rlr:

r'r'lr l,

.

t.)

(Ol\il{ii,\ii,

Vottt lirr:r'1r. aresi

l)iriligiiii

|li

,r,'rirairsl|iirrl

rtll.t

liJ{ri)lierii i

irrrprrl,lItL' ;i

iiilL

llilor

(1)II'LiILLlr',Ir.

l rarralilii

rrirl.t.

:\i

tiiltjtil(

't,:r',

I .lI

a rltir.c

ini,.rval.

r,\ t 11 L .1.r.

irrn;Llo,rti,a

lri,1.,,zri,ir

r.'r,

(.s(j1tr.rir

i)1.rLtrLr

lirlrrrtr.,a

lrcsir:r

Ir,r1,rie;,,.j.

l)RoPoz ft.r

.-)

i

i.ll''tr.,,,',,, '

.

,

l,'l,l

[i o

jutL[t;

tt,rtit;t;:rl

i),,tLt

./L,r)

I(r)

<l

alriirt

trniti

,

i .Lt.l:r,

ri.:llti

inril

jl,tt

-t)

..

.

i

ll

1l,. rJ

,rr'r' I'" t -.

i

, .t,

t

, .r. .,. ,,. ,. L l,

,

. /tL-

/)\ /rl

/(,,1./l

_

]

lr.r

,./

{

,,

J.i(rl{(l

l\ior;'ir ill1,/r

]a,rcil

jrrrrrilr;rti,rl.rrrrr.rrri

Lrr

.''

llrt) llt,).:11 \r

l,,jriuli

;a ior11n',

rtrrl Olr{rrrrltiicri

rn

ir./,,

,r,,.1,,] ,1,

irrl,,t.-

val.rr.lls(

irLlItr:;r'LrriLII

irtr alir {r,.1

Iir,,)

/i4,,)<.

t) Vrr

A_";ionra

i

iLtrlor l},-ri':kriri}

ll;'..

/

-.

t,i

I

.r'r..t::r

r

'

,.i

)'

rrtrtc

r

6

il

l,.i

.iri

i./,,

r

iitJ r,.

ijc,latr.rr'.l

cstr' crrlrrnli.

tirt-

irrrrr

',

:

irrl'1f..

11i

,lrr..fi,i

) .l\l' )

,

li Vr,

-: I r.rzirlrjr

,/r"t:

,:

rl ,je.i

li,.r

|.,

l,i,rpl/i'tir

lsi',

ri"-rrroLrri-lr

i.;i

6

lr'.oitIli,\

i2

iiirrri,r,l:i]

f;, i

i

Fi.

.l:

i--

1{

ro 1tt.ntt;

tt

ii.,

ir.i,

L:.

rtlh .\lrn,t

li

itltii oit .rr rr a

io.r].

ltliittt ,t/tt \

r.llrtl

utltL

/li r/ i,..,

t)t;iti

)\

1..

irr.0j

rri

l1.r'11=)

i,'t

Iiit rrli,a'r.

llir.rl)

,tti

tiii rr,,ti).

,.rlrorrsi rr

l;r,.

.ir'4'.

-1

-i:l ,Ji.Ll

i{il i.

,\t.r nrj{

{,-sre

r)

iirrr(t

ir.,.orjrir,ij;.

j

: :i

'-

j

,. i

i

rr-\isti-r

rr

rtir'f .r'1

1i

.r'.3.i]rri

rir

lrr.

/

,1tL,L/-t

,lr i

it.r^1= \ 6

OalrliIa1t'

iltt(r.silli.t r

il(.sl,.1

t1-)ri.ijie

lrrii..qtr,i,riti

rIiintt,il

jul,\\lr

L .,.. t..

rtrrlr

lrrrLriir

rorililtri. sl'i1i

rj () t\i1 |ji.

l)[()r,()Zit,l\

il\ it,

t

,tt

1lttttl

ji

/j/,]

F................

i i

-

I.

,i

=

.li t

l)rti

i

.\ .

(rttltrt|

:it

tltL(l1t).rt,loni.

iL|t.iltit t;tt;i,,i

i ,j

--

I t: t

tt,ititnr;ti

i;t;i;tti

[)t'ttrntslr:tltt

i.rislr,it'",t

si

rit.' .i1,] ir i,tll':.j

itL.,errr.:r

rr'.iiiii tr:r,r'

J)i: rr,I

slriirlr.orllllL]iii 1i,ii111,/llorL,:,r

itrir,liitit,,r

\',Ilt

lrt.s it)|ir.

I

siItrr

"r'rsr',Lr,,a

r-

i,.r

litl

ii:.,

:-

:.1

,

il,

't:.

l,

::

iru afa.e

o

alegerc.

Fie

gs

=

/(cq)

€./,

dcci:rs

-f

l(yo)

Fie

U

=

('r,B)

€y('to)

Conform

Tcoleinei

5

2

/({,r)

estc

int'erval

gi,

linird

cottt

dc ipoleza

ci

/

este mono-

..'"t"".;,,...",

.fV)

=if ),f(t))

e

V(vu),

deci V {'r e

v(/-t(vo)),

(/'

1)

1('/)

€

€

V(g6),

ceoa

ce

piob,:azd conijnuitalea

lui

"I-'

in

yu

l

Reamintim

ci

am

dcfinil

mullimile

conexc

'4

dintr-un

spaliu

metnt

X ta

firnd

aceie

nrui{irrLi

periiru

care

nu

cxistS

doiii

mul{imi

ileschise

ir X,

Dr

Qt

l)2,

carc

si

ina"plin"*"e

en'O

t

*

0,

An

Dz

+

A,

A

C

Dl

ull2

qi'4

nD1 n'Dz

=

0

Prin

trecere

la

complementari

putem inlocui

il cele

de

mai sus

mullimilc

deschise

cu

mullinri

inchise

Accasta

perrnite

urmdtoarea caracterizale

a

mullirnilor

conexe,

valabilX pcnl'ru

orice

spa iu

lopologic.

PRoPozIfIA

5.4.

Fie

X

tn

spalitr'

melric

A

C

X

este

conexd

dacd

ii

numai

d.acd

A

9i

0

sint

singurele

sttbmullimi

ale

lut

A

simdlon

(relatn)

deschise

St

inchise

i.n

A.

Demonstra\ie.

DacI

B

c

A'

R

+

A,

B

16

ar fi

deschisi

in

'4

ar exisia

D1

mul'rimc

dcschisi

in,Y

a^stfel

incii

B

=.4nDl

DaciB

ar

fi inchisi

itr A,

A-

B at

ii

dcschisi,

deci ar exista

D2

mullime

deschisi

in

X

astfel

incii

'4

-

B

=

AA

Dz

Ar

A

rezulti

neconexi-

I

Cel

mai

sirnplu

exernplu

de mullime

neconexS

este

{o,

b}

C

X, cr

a

f

6,

pentru

X

spa{iu

metric

cu

mai

mult

de un element.

Teorema

urmitoare

srrbliniazl

valoarea

acestui

exentplu

pentru

studiul

conexiiStii.

I'DoREMA

i>.5.

Fie

X

un

spaliu

melric

A

C

X

este

netonerd

dacd

Si

tunai

ducd.

exi.std

/

:,4

t

R continud,

astfel

incit

f(A)

=

{0'l}'

Demonstralie.

,,+"

Fie

Di

qi

D2

mulliui

deschiseh

X

,

AtLDl

+

0.

AnD2

+

0'

AnDfiD2

--

A,

A

c

DtuD2.

t)cfinim.

penrru r

€

t.l(t1=

il

iru

"2ii3i,

Arunci

/

esre

bine

deflrit[

pe

4

9r

rdmine

sL

ar

tim

cI este

continui"

Fie

c

€

'4oDi,

deci

/(s) =

0

Fie

(r' '

un

gir

din

A'

lirr'e"

=

a Deoarece

D1 este

o

mullime

deschisi,

existd.

r

)

0

astlel

incii'

B,(a)

C

Dr

qi

cum lim

c'

=

o,

existii

no

€

N

astfel

incit

r'

€

E,(a)

Yn

>

n0.

Atunci

t:-€ Dtf'A

Vn

)

ns,

deci

i@.)

=}Yr,)

rls

1i

iezuliE,

lim

f(r') =O=i(")

Sirailar

se

aratd

cd'

',r

este

conr'tnua

in

Punctel"

din

/

n

D2

,

€

Ll-i.

si;fi,i"i,i

;i

cbstiii.m

re

Di

-

'((

I i))

,,

",

=

,t-'((;

;))

siot mullimi

deschise,

satisfS,cind

proprietilile

cerute

de

neconexitatea

iui

'4

I

Slnicm

acum.in

mXsuri

si

precizirn

mullimile

conexe

din

R'

PRoPozITIA

5.6.

I

C

R

esle

cone-xd

dacd

9i

numai

'lacd

A este

tnlerual

(po'sibil

re,ltts

Ia up

puncl).

Demolstratic.

,,+"

Presupunind

c5,

A

nu

ar

fi

interval,

ar exista

o,b

€

,,€"

Dac5. A,

interval,

ar fi

contrinui,

cu

/(,4)

=

{0,

i}, ccca

c,

Piopozilia

uim5,toaie

cxtinde

Po^D^?r.nI^ \7 Fip A eont

existd

a,b

€

A

cu

f(a) f(6)

<

0,

Demonstra\ie.

I)in'I'eorema

care,

conlinind

doud.

numere

de se

Utilitatea

l'eoremei

5.5

est'e

p:

rea

proprietS.[ii de conexitate

in

u

PRoPozTTIA

5.8.

Fte

X un t

(1)

DacdACX

esle

coner:d,,

(Z) Fie

(A.)"

un

qir

de subm

Alunci

A

=

l)

A^ eslc

o

mullim

n-o

Demonstra(ie.

(1)

Presupunind

c5,4

nu

ar

{0.1}.

Atunci

/(,a)

c

{0,

1}

si

ct

rezultind

/

constantS,

pe toate

qir

coniradic ie.

(2)

Presupunern

din

rou

cd.

i

este

conexi,

dec.i

/(-40) =

{0}

s

/(0)

=

0 Vr

€

46

[1.41

qi

cum

J

obtinem

/(.4')

=

{0}

Vn

)

0,

det

OnsoRv,r.1tt.

1) 7

poate

fi conex5,

fir5.

,4

=

[0,

1]nA.

2)

,4

poaie

fi

conexi f5.rd

ca

3)

Dacn

A

qi

B srnt conexe,

,4

qi

c

e

(a,6)

-,4.

Definind

llr

=

(-co,

c),

D2=(c,a)

oblinem doui'

rnullimi

deschise

c'r

a€

DtnA+0'

b

€

D2)A

+

A,

A

C

DtU

Dz, deci

I

este neconexd'

70

)ri.r,

)

l,iir.ti

ir cirisr:.

.)t

i

(i.

/)1

?.r

1i

.1

;rcnt;-u

t t rntt

=

0.

7

estt.

,.

-

11,

rieci

;i

+$,

.

<._ l)rrlr .i utr'rr:rl.

-,r

i,

r ,r1,,rr.i;il.

,.lt,i

i.,,iirrr;t

._r

r

tii

,,.i:t:r

I

1

'

R

r,riiLirllii..

rr,

lt.1i-

;il.

i1.

r,,rr

r..,ir I'r'1,',r,

ir'.,irii;: ;;

B

I'r,'1,,,ii1i;r

(irillii

ir:i

.

tiiiir,l. i,

r'i

iit.:

:,

:l

,tfopo:,llt\

:'l

'

.::

.,t,,,tr

ltt

-',

r,ritit

::j.irt ]..]

-

ii .r1i

'ttt

i)4.ii

rtrli

tt,l,i

-1

rrr.iirri

jli)'t:

t).

tllti)|,

)rrr'/rii:

I

Irr

lr|r

rii

l)rttutt:it:tly l'rrir

'lrr,r',':rrlt

I1r. lr-il

i'si1

a1ril1

r:.i

rlr

|tr.,i,ri.ili

L, irli r

'

.nr..

rillirrrrr,ll

tio'r,-i itirtrt"i,'

,ir

s.iilrr,

riti,

rlii. rr',rlirrr

I,e

.)

*

i Lilit:t,,r

j.,;lrnr,r:

;f ii r)ii)i,;ir:,:.i

,i:

r

r

r

'

r

ir

1

r

,

i

rI

l

lr

ro1r,r:

ii i"

irr(il.illri

i.'isi,-r

',1"1

,

'

ii

t,"",'.

l,

lt'

l.lrlrri

1.. I, tti,

ttl

ii ::iilrtillut it)1t,.1t

.ltt

\

t,l[r ittt ij.1.

il

1,,i

'r

11

r'-i'

tt.,,,

-l

. r"r"'

l)ut1t)jitli iltj,

.l

lr

....

r'

:

'

I

,'

?

,r',

1"

{0

l}

,rtrrrrri

li.lla

i{r.

1}\i cunr

/i-il

,'.t,'r',rrrerri,

1.i,11

iil

js;ur

lill

lri

r'z.r,,l/ I. ' I ir 'r"'i rlr "ir'rJ' - Ir: l,

l

a

I

)

I I

1

I

il

d

I

a

'\

r

c

.

l?]

f'r,,sLtl'rlu,,'

r{iir rrr,rr

rr ir r.\r:rl./ i l{ rirrriLlu:r.

ii

I:-..1f].

Li

lr

i

l

eslr'

r'r,i,r'-ri.

rlr',i

71-t,1

ir)l

sar

/i.l

t

{1i

lrrl':nprrirLrrr

Ii

i',)

-.

rrjl

r1.,,

l1/]-

l)

/.r

€

LrTl-lj

.:i

irrirr

-li.11i

:,rr-..n, 1-.. Lczirlri./{-lr).-

irll

ii:,i:rrrl

rirlirrlrr

/1.i.

)

,

{llVr];

(i

rtel

l(

ii-

lLl}.,r,rrtradir'li,r

g

OB:ri. R\,

lll

l)

-i

p,'lrr'

1i

(orie\i

iii.i

.

a 1

.eir

li. ..rrre,\ii.

(lliiri'l

ilrrir ai.rri

i''.,

rrrl)l

i

.l

-

lir

rlnq

l) .1

pr';r',r

1i

lonlr;i

lirii

lri

.,1

s;i lie.rtir

j'.ai

lFrA

j

ll

.f

|

I

\ l

2/,

E

:Ji

I)l(

i-r

'l

ti

/i.lrrrt.

cor:,,-'.t.

Fir

-,

.

riir.t/r:lrr-

if

11,

irIili

'lil

i;;,olie-';{

iii:ll

ri

-

-1

Fig. 5.2

lmportan{a

no{iunii

de

conexilale legatd,

de exenlplu,

de

proprictatca

din

['ropo-

zi ia

l'1.7

carc

nermito

demonslra.rea

existcntei

solrrliilor

lrnor

ccrralrii

implir:ind

func{ii

continur:,

face

ncccsari.

cxisten a

unor

critctii

nrai

simple de

stabilire

a colexitilii

DIFINITIE.

'ie

X

un

sp.rtiu tnetric. Se

numegte

drurn

tn X o

funclie

,p:

la.bl

*

X

continu5,

o

<

D.

cu

proprietatea

g

(o,,)

este

injectiv5.

DacSg(a)

=

9(l),

drunrul

sc numegte

fnr:ies.

Daci

9(a)

=

z

qi

9(0)

=

?

vollr

spunc

ci drumui

g

une;le

purLclele

t

9z

y

Dr tNrTIE. Fie .{

un spa{iu

tnctric.

,4

C

X se nurneqlr:

/ilrar

cclrgd daci

oricc

douir

puncte

din,4

sc

pot

uli

printr-utr

drum

conlinut

tn.'1.

PRoPozlTtA

5.9.

O

mu[lim.e

A

C

X linrar

conerd

esle conexd.

Demonstntie.

Presupuncrn -4

ncconexS.. dcci

cxisi,i 1lr,

D:

multimi

deschise in

v

^- 4..r

,-,,,

ra-\

tt

r ]i

tan J a

1r_\ n n ,-l

rl I /l ll,l

.i

;i5liji

ir:jii

-t,it't

i

a.

.'itu

I

t.

.tiiu

ii":

-

v

t

,

uiwu2

tt-

.r

e

,4flD1.

€

A)D2

Ei

,p:

la,6]

---X

drumcu,p(o)

=

x,9(b)

-

y

Atunci

,'

=

p([ri.

r])

C

.l cs'Le

core;i

qi

,'fl,D1

li]z

c

AlrDr)D"

=

0,

:t

€

i

11D1,

lt

€

,i

il

I)2,

,i

C

A

a

D1i.-j Dr,

deci ar

rezuiia

"/

neconr:x,

conlrariii:iie i

il

cr:Lzui

spaliilor

normate,

caracterizarca

couexit;iii

sc

poate

face considerilrd

drumuri

de

o

Ibrmi. particulari,.

l)ElrrNt'ltE.

Fie

l"

un spa{iu

norrrial,

is,

I

€

V. Se

numeqte

segrierl

de cupele t

9r

y

mullimea

[e,g]

=

{u

€

l/

lu

=

ly+

(i

-l)r,

i

€

10,1]}.

Se tLutrreqie

[Lntc

poiiut'nuii

1v

rap,ir

te

gr

r, ,

truiiirttc

;

=

irr,ztjij

ij

Ulr"--r,""1,

x6.lr1,...,xn

€

V.

C)usltRv.r1tt.

1)

Un

segment

este imaginea

unui drunr

p :

10,

l]

*

V,

9(l) -

ly

+

(1

-

l)r,

deci

esl,c

o

mul{ime

conexi. O

linie

poJigonali

est'e de asetnenea

imaginea

unui drum.

2) Dar:i;,

t.1q

e

S'(u),

aiurrci

ir',

r7j

C

6.ir).

j".arere

lli;i

(1

-

i)r ti]

=

-

rr/(ir

r')

{l

l){""

:

)l

.

ttlr'

'1,

t

rt

t)l'r

i

|

:

r

Tsonrnr.

5.10.

r''ie

(y. ll

ll)

zn

spaliu tuormal,

A

C

V

m.tllime

deschisd,

neaidd.

A este couerd

dacd,

st.

ntLmai dacii,

oricare ar

fi.

r,y

€

A, extsld

o linie

polzgonald

continutd

in

A

cu capele

t:

y

y

(u:11

Dcmonslla[ic.

Deoarecc

,,

€,,

r

Fie

r

€

,4

qi

fic

D

nrul{imea

pur

poligonali

con{inuti

in

,,1.

lbrn

<jer

inchisi

in

,4 deci,

conli-,nli

cii

prop

y

€

D.

Atunci

g

€

l. care

este

o

B,

(v)

C

A.

Fic z

€

B.(y)

Daci

Z

cu

y,

L1

=

ir,

r,lU.

.

U['*,

y]U[v,

aqadar

6"(y)

C

D

qi

,I)

rezulti

desch

Fie

acum

a

eD||A. Existi

r:

z

t

B,(g)llD

qr

L

linic

porrgolald

.

esle

o

linie

poligonalri.orrlinulA

rn

DnA

c

n

c

Dn,1.

dp,i

D

=

Dl

este

demonstratE.

I

Intuitiv,

este

clar

ci

intre

mulli

intre

mullimile

conexe

din

l.ig.

b.3;

gi

M2

au

un

numir

diferit

de

elerle

dintr-un

element

sint

conexe.

in

c

considerarea

complementarelor

celor

a)

DEFTNTTTE.

Fie

X un

spa{iu

m

dacd

exist5,

A

C

X, A

conexi qi

r,9

t

PRopozlTr,t

5.71.

Itelaiia

t cot

Demonst

ralie.

Reflexivrtatea qi

i

folosind

Propozrlia

5.2(2):

-r

con y

(>

At)Az

*

0

icorriirre

?t

-;,

ij{ ,

DEFINITTE.

Cio""l"

,1,':

".hiuut",

conponenle

conere.

PRopozrTrA

b.12.

Fie

X spali

72

./...::./..:'/:\

:.t'/..:.,.'\

'/.'.'t/:',//t :':r'.

./,/,/,./,/,

.,,)/,

',./:'.,

: :..t".,:./

clntrinutd

in A cu.

capeLc:r:

St

u

(a6adu

A estt

Immr

conctd).

DemonstrtL{i<:.

Deoarccc

.,€"

rezult;

din

propozi ia

5.g

rirnile

si derrionstrim

l'ie

r

6,4

qi

fie 1) nrullimea

punci,olor

din

.,1 care

pol

fi

unite cLr

r

printr_o

linie

poligonali

conlilulii

in

,,1.

Vom dernorrstr.a

cai 1f esi,.

sirnultan (reiativ)

deschisd qi

inchisi

in

,4

deii.

conf(:rrlr

cii

F.-oirozi,qia

1,.:i, D

-

ri (r

f

D,

deci

i

I

0).

t.ie

y€

D.

Atunci

9

€,4,

care

este

o

mrltirnc

dcschisi..

<leci

cxisti,

r

>

0

astfel

incit

B,(y)

c

A

F)e

z e

B,(u)

Daci

L

-

[,r,21]

1r1,-rrllJ

.

Ulrr.,ql

c I

unc$i,e

r

cu

v_,

L1

=

l",trlU

Ulrr,l]U[v,r]

c

,4

qi

uncqte y.u

,. d"ii

z

e

Dyz

€

E,( ),

a4adar

6"(9)

C

D

ii

D

rcl,\ILi,

dcschisl (<1eci

qi

reiativ

cleschisii

in ,,1).

.li:l.llno€tn,4.

Existd r)

0

asttet

ircir

6.(r)

c

t

9i

6.(e)fl D+$.

tn.

z

€

B,(y)llD qi

/,

Iinic

poiigonali

clin,1

caro

uresto

i: cu

,.

Aturr.i.l,,

--

l.l)[r.9]

este

o

linie poJfuonald

conlinut.i

il

,4 carc

rrneQt(,

r

cu

u,

deci

y

€

l).

Rezull,d.

DllA

c

D

c

tn,4,

deci

D

=D^lA,

D

fiind

deci

relaiiv

inchis,lr

in

A

'i.eor<rnia

e-ste

clemonsl,rati.

I

Intuitiv,

este

ciar

ci irtrc

mullirnile

neconexe

M1

-

{a,6}

qi

i.12

- {o,6.c}

sau

intre

mul{imile

conexe

din

}'ig.

5.1} a

qi

b r:xistd

o d)lerenli

structurali.

Asilel,

Mi

qi

M2 au

un

numir

diferit

dc elemerite

iar

irrlr

un

spatiu rnetric

mullimile

forrriate

dintr-un

element

sint conexe.

in cazul

din

l.ig.

5.3

diferenqa

este evidcnliati

do

considerarea

complementareior

cclor

doui

rrrul{imi.

ropo

func ii

,r(D),

oricc

in

I

lu1,

t

U

deci

b)

Fig.5.3

DEIINITIE.

liie X un

spatiu

metric.

IJlemenl,cle

r

Qi

?

se

vor

nrrri

@net: ul.

ciac;.

existi,,4

C

X,

,4

conexi.

Ei

r.

g

€

,{. _Arcst

l;rl,t

." ,.,,

,,otu prirr

r con

v.

DD^D^-.-

iiiijr'orr

t,.i

o.i

i.

ii,i,titu

|,tttg t\it

u

IiLt(.

j,

,rhtroienia

le

\

Demonsl,ra$ie.

Ileflexivitatea

qJ

sirrrr:lria

sirtt evidcnte

iar

t,ranzitivitatoa

rezuiti

lolosind

Propozilia

5.7(2): .r con g

<)

,r,.q

€

,4t conexlJ

V.on

z

e

g,

z

€

12

concxi

li

A,ltAt

l0

(."1 iue

-u\

.>

itti-)

At conexi iar

:

.

,-

a

A1i

j

A,.

DELr^-tTit.

Ciirseje

de ecirivaien{E

tiin

X reiaiiv

ia

reiagia rcony

se

numesc

compo.nenle

ene,re-

PRopoztTl,t

5.12.

Ftt:

X

spaltu

n.cLric.

Dati

r

€

X,

t:omponcnla

conct:d

a

7l

B

/':..:

:

/.. .. .,"'

:/,.a.a;/

lut, X

eslt

cea

,mai

m'are

trnljlme

ulncxd

care

unJine

pe :r; cotttpotenlele

un€f

e

sil

mullimi

trch.ise

itt X

.

DelrlonsftaLie

Fie

C"

=

{v€X

iy

con

t}

qi

fle

-A

c

X'

'4

conexi

t

€

4 Atuur

Vll

e

A,

g.on

t.

d".i

I

€

C'",

rezuhind

A

c

C'

Se

arati

l1 or

ci

C.

cste

corexi

Uii.iiro

airt,alie'rezulti

dir

plima

5i

'Jil

faplul

ci

'4

conexi

iniptici

'4

colexi

l

DliFINiTit.

Irie

X

spaliii

ir.ie"ric

O

miillime

roirrgini'ui'

ri

C

X

se

trurrreqie

srrlli

r:r.nret;ti d,ac6.

[,4

nre o

singurI

componenti

couexi"

in

Fig. 5.3

mullimea,4

esl,e

simplu

conexe

iar

rnulliimea

IJ

nu

este

simplu

conexi

Pentrit

rnullimile

a

ciror

complertrcntare

are

un

uuur5t

lirtit

de

componen

concxe

se loloseqte

<lelumirca

de

mullimi

nrultiplu

conexe

iturtr;-

in

Fig

5.4.a)

o

ptuptiet'ate

rem:rrcabill

a

nullirli1or

simplu

corexe

di

R':

orice

drum

inclris

se

poate delorma

continuu

pini'

laun

punci in

l-ig'

5

4'b)l

,,"au

"X

u

rnullime

czrre

nu

esie

sinrplu

cone-{6

tru

poserli

aceasti

proprietaie

u)

b)

Fig.

5.4

DEFINITIE.

I'ie

-{,

Y

spalii

metrice

Funclia

: X "+

Y

se numeqte

ioac''?no

1,r,n

aJ

1i.t"

br;cctivi

gi

aiit'

,,t

cil

qi

"f-1

sint

cottiiiue

Spa'qiile

me'"iice

iirtie

ta

,:risti

un

homeomo.fism

se

rlulnesc

homeomorfe'

Existenla

urrui

}romeorrrorl]sn.r

semnifici,

echiva,}errla

spaliilor din

prnct

dc

veder

Pe

baza

ProPrietililor

legate

de conexitate

se

demonstrearzi

urmll'oarele

rezl

tate.

TEoRitMA

5.13.

1)

R

nn

esie

honeomori

ct

R2

'

2)

tlrt

irieruuL

la

6]

c

R,

a 

0.

esle

homeo'morf

cu

utu ceTL

tlin

FX2

de

ttt

zp

dirr

R2).

I

$6.

STRURI

DE

FriNOTn Col

Reamintim

cd

un

qir

de

fu

dacd.

este

colvcrgent

in raport

sup

l/(c)l

- ll/ll-

cstefinit].

seA

uniform

pe,4

<)

oricare

ar fi

e

ll/, -

/ll-

-

s,rp

lf,,(r)

-

/(u

)l

xEA

Nornra

ll

jl-

sc

mai

numeqt

S-a

demonstrat in Capitolul

1.4

asiguri

ci

pentru

A

cornpact

^^,^.,,,l.-..-r,,.

;- t?/ .1\ n^-^-"r

Tnonor'rr.

6.1.

Iie

A

C

X

lim

fn

uniform

pe

A. Dacd

f"

alunci

f

eslc

conltnud

in rs.

Demonstra\ie.

Argumentu

de aruurnent

.

":t

Fies>06ilicns=n(el

Vn

)

n6,

V;r

€

,4. Deoarece

Vr

e

,4, d(r,

16)

<

6.

+

lt"(

+

l"f(r)

-

f(ro)l

<

l.f

(r)

-

"f,,,,

rezulti continu5

in

z. I

Trottrme. 6.2.

lrie

(X,

<i)

spalilt Banach.

Cu

aile

cuainie,

orice e

> 0

erisld

a(e)

e

N

as{

Yn,nt

)

aluncx

erisld

f

e

C(A)

astfe.t

tn

Demonstra\ie.

Am

demon

A;-

I R(

A\ [ \

""-

lim*i

,in,

ll ll /

___

""_r

-

conform Teoremei 6.1,

este

in

(

in

particular,

(C(ir,6l),ll

ll

n}..-.-;-

";

,.

""",,1

f,,.

rSmine

neschimbati

(se schirnb^i

spaliu

Banach

qi

in acest caz. It

se

arat5

ci

spa{iul

funcliilor

co

spaliu metric,

cu

llJll-

=

suP

I

xeA

D"mnn,trttie

it

r:i"

tro,gol

€

R:.

lrr

tiruP

ce R-{r."}

este

o

mullime

neconexS"

R-{(16'g1l

esr,e

lliniar

)

c.rnexi",

fapt

inc,ornpaiibil

cu

existenla

itnui

llorrreoflrodisnl

'"- ;j ;;:;

;;-u,ncnt

folosii

mai sus: claci

a0

€ (a b)'

io'

bl

-

{zni

este

necore

a,r.

C]l'"t

-

t]

""i,"

.no"r,,

V:

e

C'(zo)

(s-a

notat

cu C'

(26) cercul

de razi

r

1i

certt

i4

tr

t

l)e

sinl

.l.

.\t rci

ront,ti

---;

52?/r1fu

l

orexi

",,,,..

,ii,

5.

1.ir)

se

zn

dirr R )

$it.

$iRlrlli

r

aiii\i(li;i

(,Oi'i

Li\irt

Rearriirrlirn

ci.

rrn qir

tle lrrrrc ii

se nurrcqle

ulifi)rrn.qll\lrrgenl

pr:

o lnullirrrr:

-'1

daci

csle couv,.:r{orrt

il

raporl

cLt

nrclrica

ctati dr

|

1i...

pt)

Il(-4)

- {/

:

/1

-

R

i

sup

/(r)]

- ./]*

cstc finil

|

,\qacLar,

d;rlir

(.1,')" cstc un

'.ir

din

6(,{). lnn.l,

=

.l

J

€,4

uniform

pc

..1

<+

oricarc

ar

fi

.-

>

0

oristi

ri.

€

N astfcl

irrcit

peirlr'r-i

oticc

rt

)

n.-.

l

t- f .r.r, li ,.r

'

/ rl

t(

4

\orrna

|

],..

sc rnai nrrnrt'qir'

\i

nattnu'un.tfotntii

S

a dcnrolstral iu

(lalritolul

ll c;

(fi('1),

I

l-,)

""t,,

urr

spaliu

ilanach. l)ropozilia

1.4 a.siguri.i

pentnr

/l

(onll)act

C('1),

spatlrrl

lun(liilrlt

contiluo

1-'c

-4

cu

valori realt.

^"r^.,,1,,..."1,,.,.

t?/.i

r r\,-,-^,,..r.,,,,

":l

/r/1\ 1

I \ a.i.c,\ilii, ll""".h

14

romnrci\

'f

Eolirixlr

6.'L

ltir:

.\

a

,\.

(.f

.

(l)

sValit

mtlric

tl .fn

f,,

.,4

.

R.

n

c

N.

/

=

)trn

f,,

unilinn

pc

A

Dot:i

J,,

t:s t:

r:anhnud

i2

r0

€

A Yrt

(tL:c:nlual

Vn

)

n(.rn),)

nhLnci

J

r;lc

&nlin

i

i

..t:t.

DenonsLnlle. Argunrcrrtul

lirlosil

lrcnlru

i1

(ierlronstrit toort-lna

poattll

rlrtnlelc

dr: argurlent

].

Ilic:

) 0

5i

fir'rr1

=

n(:)

e

N

(n1

>

r(tx)) aslfel

rncit

iJ',(.,)-l(,)

.r

Vn

)

nq.

Y.t

€

'1.

l)r'oar','rc

./,n

eslc i:ontinui

irt r0

exisli i.

>

0

astfel inr:11.

Ve

€.4,

d(.r:.t6) <

t.

+

lt"(;)

J""(rn)

.

I

.,\tuncr.

Vr

E

1.

rl(:r,.tr)

<

1..+

.i

+

./(:r)

-

/('r,tl

<

l/(') .1,,,

(i)

+

./,,,,(.,.) 1,.(;16)l+

J""(",,;-./(r:1)

-<

r

1i J

rezulti

rcnlilu?i

il

r'.

Turtttrna

6.2.

I'rr'('i,ci)

un syujtu rtteirir', .r\

C

X

tuittperi.

(C(.a).

j

i,-)

rstc

spnfit

Banarh.

(;u

tLi7e, t:ntttttr.

ritL:ri un.

ii.r(i,,)"

tin

C('i)

suiist'ac,: condii)t:

Txniru

orite>0 erisld

rr(:)

€

N

asl/r/

iarll

V?r,

rr

t r(:).

sup

jl,{,r)

.f.,

(r)i

<

c

uluno

ettslti.l

€C{..1)

asiJel iirrfl

lirrr

sup

l],,(.r'l

-.

.f(r)

=0.

'_',

l

l)errorsl,ra{re.

Anr dr:rrolsl,rat

in

(lapilolul

ll.

'fcoretlia

2.2, i:ir rrrr

5ir

()aui:iry

A;n

(R(

A\

I

ll \ ,ra

limif;

.1,'.i ,,n

cir

al,,r.hw

din

/r,lf

4\

I 1l--)

rro

o

lirniti f

c;ro

conlonn

Teorenrei

i).I,

cs1r. rrr

C(-l). I

in

particrrl;rr. (l(k.l,

). lil-)r:s1c

spaliu

f:ianach.

nh."..;,-,.; r .A"rl

lrlrrl iiid.r^nrirrrrr

f I

-

d-

ir.rrrm<rrriia rrrrrr.tlenri

1;1

111,1

11,5

\.r1r\;1,a,s

-,lrrrr'L-a

I'Iirr;,r. rrrrr.li

r\ta

irrndrrlr,lr,rt.

o.'r

rCt

.f

i

I

.

r

sr

spa\iu Banach,si

in

acesl

qaz.

Irlocuind

rrodul{l cit o

noruri,

cu accr:a$i

,iLrlrunstratir

se arati ci

spa(irrl lurctiilor

coniirirc

/

',l.-

1., )'spa{iu tsanach

/i

coinpaci

irr

X.

spa(iu

rnetri(.

crr

ll/Jl-

=

sup

l]l

(r)

]r

.

cste

spalirr i}urach.

I€,1

i2

l,.,.^., ,,,-"

d.

vridere

i

ezul

(ri

L

)

if-

,t.

)tt2t

r'

;i

iertru

Prczcnllm

in

continuare

o teoremd io

carc

conLinuitatca

limilei antreneaz5,

convergentra

unifouni.

DEFINI{IL.

$irul

/",

: I

-

R,

n

€

N

se numeqie

mtnolon

ttcsciilor

(dcs'

crescd.Lor')

ci.rcii

1"(r) S

"r,+r(r)

Vn

€

Nj

qi

Vz

€

ri

(rcspcctiv

i"(r) ) f"+'fr)

Vn

€

N

:i

V/

e

d).

t.lrr

qir

de

funclii

cu

va.lori reale se ntrrrleQl,e

nanolon

daci asle

monotol crescltor

sau monotor descrescilor.

T[oRr]\l.a 6.3

(Dini)

Fic

A

compacl tnclus

in X

spuliu

m

clric

1r lc /'

: .4

*

R

conlinud,

rt

€

N.

Dacri

ginil

(f,')"

csle motuolon,

extsld

,Iim

f"(x)

=

J'(r)

V;r

e

'4

ii

f

esle conhnud

pe

A,

aluncz

lrn

f"

=

f

untfrtrm

pc

A.

Detnonstra[ie. Este

suficicnl s , cousiderinr

qirul (/.)', rrronoton

crescdtor

(dacd

(fi)"

e"t"

descrescftot,

(-/')"

cstc cresci,ior).

Fjee>{).VreA

1t4

=

n(x,e)

asllel

incit

0

<

/(r)

-/,(.r)

<'rV">,,,.

Deoarccc

/

-

t.

cste

continui

in

z.

I

d"

=

6(a,r,) astfel

incil,

Vl

€

6r"(r),

lr/

-L

)(rr

-

(/-.1".)(1r

I.

d""i

g.

.1,,' [",1t

1<

ir.rt

-/..r'.t

+

I

.

e

,'2

Vl

e

60,(r).

Atuuci

0 <

l(l) /',(l)

<

€,

Yn

)

rt,,

Vl

e

{i1.(r).

Dvicierit,

,4

C

Aa.(r)

qi

deoarecc

,4

esie compactir.

putem

exlrage,

confornr

Cap.

ll,

$4,

r€A

o

subacoperire

finit5..

'ie

deci 11,...

,er

€

I

astfel

incit

t

C

rU,6r,,{ti)

si

n"

.rv

=

nax{n,,,

..

,n,"}

Iien),\

qi

ficl6A.

tlxistd

j€

{1,...

.}}

astlel

toctt

I

(

Bt,, ,r;l

r

alunci

{l-

/{/r-

f,

(/)

.

.-..l.oap.o

rr)

\ )rr,..\;ad:r.

Ve

> 0

3 n(e)

e

N

aslfol

incit

Vn

),'V(e)

supl/(t)-

f"(t)l

<

.

qi

convcrgr:nla

uniformir este

demonstrati.

I

(

br

f :R-R lrrt

-

I

arclq

[0.

c)

f

:R-R,

f(r)

=

sgn (r)

=

4.

SE

se calcuieze

modulul

de conti

a)

.f(r)

-

t:

b)

f

g1=

,ti.

5.

Si

se

studieze

continuilalea

uni

a)

/(r)

=

sin2 r; b)

/(z)

=

s

6.

Si

se arate

ci {unclia

/

:

(-1,

r

dar

fl1e,-1

este

uniform continu[.

7.

Fie,4

C

X

spa{iu meiric,

/

: A

-

/

este

uniform continui

pe

,4, atur

8. Si

se

calculeze

aproximativ o

ra

u)"3+4.-I

-0.

b)

,,/t-

e. Fie X

=

{/

€

6([-1.1])

l/(c)

in

distanla dale de

ll

ll-.

Folosrr

unic5,

funclie

/

€

X

asifel

incit

/t

10.

Fie X un

spatiu metric.

g

,4

compactd.]. Fie

Q

:

K(X)

-

Kl

in

(,((X),

dTrp)

(vezi

ex.

17,

Cap.

11. Folosind demonstralia

tcoren

qiruri:

.7f-

a) r"

=

-

s1n

4"-,.

n> I,

ro

12.

Veritica{i

ci

expresiile (J.5) i

13.

Ard.tali c5 dacd ,4

€

L(X,Y)

<

llEllll.4ll

14.

Fie

A

:

R"

-

R'opcraror

linia

din R'

qi

R-.

Si

se arate cn

ll,4ll

15. Pie

qirul p"

:

[-1,

1]

---+

R

c

I

=

1ll"lr)2

+tl

-.'211.

n

;0.

sa,

convergenta

uniformi

a

qirului (p,

Indicalie.

Aritali

cd (p,,),,

est

qi

aplicati

Teorema

lui Dini.

y'.

i .^

r,rr,L,r

{

rr

l.

StrrJralr.unrriuratp,l

0rn,

1i"i

/

R

-R.

J{rr

{t, ::3,."

"

-'"

Q'

2.

Studiali

conl,inuitatea

func{iilor

/

:R?

-

R:

(rJ

.,

r,

"

,,j ) *, lr.x)

I

(o.rt\

-

\

r''

-

I

t

0.

(r.

s)

=

(0.0j

(

,"

"

I

=--:-.

{i.

y)

/

({r

0)

6)

I\,, )

=

{

1"+v"

l l

{r

s)

-

(o.ol

\

.,

3. Si

se calculeze r.,,,(0)

pentru

{irnc[iile:

(1

aiJ it-R.

/("")=

{

cos:

rl0

1.0,

r

-

0

/t)

or

(dt:s-

7,,,'11r:)

dar:ii

csl,e

-R

6

-,1

qa

(daci

)

nx.

BtQ),

<

livirlcnt.

Il,

{4.

si

fin

astfel

.

,10;

r:=0

( 1,

..

> 0

ct

/:ft-

R.

/rJ)-,.*nr",

-

I

o

,

/

-:

4.

Sl

sc caiculeze

nrociuiui

cie corlinuiiatc

pr:ni,ru

iuncliiic

/

i

[0.

jj

*

R:

a)

/(r)

=

r; b)

l(x)

=

rE

5.

St.

se

studicze

continuitatrea

unilbrrnii

pentru

func[iilc

/

:

R

-

R:

a)

/(c)

=

5i1 a; lr)

./'(r)

-

rl,nt:2;

c),f(r)

-

1.iu

",.

6.

Si

se aratc cii

funclia

/

: (-l,oo)

*

R,

/(z)

= i+

lu

estc

unilorrn

cortinu|.

cJar

/j16,-1

csle

uniform

continuii.

r

J-rl

7. Fie,4

CXspatiumelric,

f:

A

-.Y,

y

spatiu

metric

complct.

Sd. se arate cX

d

aci,

J

este uniforrl

continui

pc

,,1.

atunci

peltru

orice a

€

-r:l/

exisli lrrn

/(r)

8.

S5

sc calcuieze

aproximativ

o

riidicinX

a ecualiilor:

a1

t3+4r

-

l-

0.

l,r

,/-u-r-.t. r

LIl.2..

9. Fie

X

=

{/

€

6([-1.

i])

|

/(r)

€

[-

1, i]

Vr

€

l-1,11].

Verif

cali

c

X

esie

comptet

in

distanta datd

de

ll

ll-.

fblosind

reorema

contracliei.

ardtal,i

c;

V,L

)

2

cxisti.

o

unic;. func{ie

/

e

X

astfel

incit

/'

-

(A

+

1)/

-

id.

10.

Fie X

un spatiu

metric.

q,

:

X

-

X

o

contraciie qi

/L(X)

=

{ut

q

X

1

,{ compactd.}.

Fle

9:

lf(X)

-

[(X),

p@)

=

pU)

Aritali

ci

rp

este o

contraclie

in

(f(X),d;rp)

(vezi

ex.

17,

Cap.

ll).

11. Folosind

demonstra, ia

l,coremci

conlrac{ici

studiali

convergenta

urmdtoarclor

qiru

ri:

a)

.rn

=

15117,,,.

n)l,.ts=I;

b) r",=

l

ar.'tg,r,,

-1,

n)1,

rn=

\.

47

12.

Verilica{i ci

expresiile

(3.5)

qi

(3.6)

dcfincs<:

norrrre.

13

Aritali

ci,

dac5"

.4

€

a(x,

y)

qi

B

e

L(Y.

Z), ai,unci

Bl

€

L(X,

Z)

ri

l[r/ll

<

<

llBllll'4ll

14.

Iie,4

:

R"

-

R-

opcre.r"or

iiuiar

qJ

fclr],;

Lralri-,

i.;taqati

lui,1

in bazt:lc

canonice

din

R"

5i

R""

Si sn

ararF

^

|

,rl

.1

(t,;):

i5..

Fie

qirul

p.

:

l-1,1l

*

R

delinjt

prin

po(z)

=

i

Vr

€

[-1,1],

p,+r(z)

=

I

=

ih"{rt'?+tt

.r21).

n

2rt

S[

sn

arate ci

pn

este

un

polilorn

qi

se se dcnonstreze

convergenla

urilbrmi

a

girului

(p")"

pc

l-1,1].

lnrlir:al,ie.

A-ril-:r i

c{

(p,,

),,

es1.r: r

r

lrr

Lcr.

ot

rl

g;1

j

(.s,J

itor

Qi

c

d lirn}i,r,,

..ta este

coul,ilu;,

qi

aplica{i

'feorema

lui Dini.

b)

f:

R

-.

R,

rt,r

=

{;'"*

}

77

-

AI,l'i'o1,tll,

iv

Integraia

Ricmann

lnlcgrala

Riernu'nn

pc tnlerttale

compur:le

din

W.

Cnlenul

Le-

besgtrc

dc

tkl.eqralxlaL. R.icmartn.

lnteqrala

pe inlerualt:

n-iLtmen-

szonale

contpacle

d'tn

R".

Proprtetdlt,

ale

i.nteqralet

Rzt:mann;

teoremo.

luz Fuhint.

trIdrint

deliuite

pnn

integralc

]ltenann.

InIe-

graie cu

parumetru.

integraie

pe

ntlet-uale

nerndrgintte

inTeqraie

penlrtL

unele

funclit

netndrginzle.

ConttergenJa

tnzformd a

unor

inlegrule

cu

paranletru.

Nor"iunee,

tle intcglali

Ricmann

l"lc

la

criginr:

ciularca

ulei

rneiod{r

perltru Cetcr

rninarea

ariilor,

vohunclor,

certtrului

dc

greutate

lncepind

chiar

cu

primele

lucriri in

aceasi,ii

direclie,

rlatorate

lrri

Arhimede,

s-a, degajat ideea

aproximirii

crl ceea ce

a'i

lumim

,,suntc

R.icniann".

f)eqi

convergcnla

acestora

in

cazuri

parficulare era cunos-

cutl

inc5.

din

secolul

al

XVII-lea

(l'ermat,

Pascal. Barrow. Gregory),

conccptul de

inicgraiS,

R.iemann

in

iorma

in

r:are va

fi

prezenial

in

ceie

cc

utttteazi

s-a'

crisralizal

in

secolul

al XIX-lea

prin

lui:riri

lundir'trtcntalo

ah lui Cauchy,

R.iemann.

Darbortx

icieiic

cart:

stau ia iiaza

unei

aite

constrtlc{ii

a lntegralei,

rr:aiizallr

dc li Lcbesguc

ia

incellrtul

secolttlui

al XX

1cll, constrttc{ie

ce

va

fi

prezentald inir-un

capilnl

viitor'

vor fi

prezente

prin

intcrrnediul

critcriului

ltri

Lebesgue de

irrtegrabililate

Ricrnarin

O

corecti

inlelegere

a

conceptului

larg

{blosit

de

integralS Riemann

qi a

critcriilor

pe

care

',.re'oiiie

si

lc saiisfaci

fulcliile

peritru

a fi

inicgral'ile

ilier"a'rr'

este t:u i'riii

rrai

importantS.

in condjtiilc

universalizXrii

utiliz .rii

calculatoarelor.

a

unor

prcgrame

din

ce

in

cc rnai

performanie

penlru

calculrtl

integralclor'

Ii.

'UN(]'llt INTEGRABILE

R.lt'l\l

ANN

Pli

INTERT'ALE

CON'IPACITE

l)lN

R

l'ie

[o.6]

c

R.

o

<

0

qi

fie

-i

:

[o.6]

-

R. lliegrala Riemann

a lui

f

pe

lc.D]

se

colstrruieqte

pornind

de

Ja <rii,cva noliuni

preliminare

a cdror

extindere

in cazul

mai

multor

,ljmensiuni

constituie premisa

rnnstrucliei

integralei Riemann

pentru

func{ii

dc

mai

rlultc

varinbile.

Aceste

no{iuni

sint

daic

in urntitoarca

definr(ln

l)EFtNt'l

lE.

Se

nunrcqrr

= {r0.rr,....r,,,}

C'

fa,l]

lldll

=

rrrax lr, r, ) sc lruri

Sc

nrrt:,tr'1t.c alcger..:

lt:

pt

sLri-.muilinie

{

=

iio,tr.

,{,

;.iFr,ni At.,,.", .^ ,,,

11,t,,",

.,

Se riuincqLc sutn.i

lltenun

lurnirul

o

1l.

l:',,,1

-,,

-*,-ri

',..'.

^l

,l-

"^'

iljerrraln.

Obsurvirrn

,:I

a1(d,

{ )

are

pesl,e

R.

I^C'.::-r..--

DEllNl rE.

Fie

/

:

la.b]

-

h

T

f

pe

lo.bl,

noiats

/

=

i ./

=

i

J.l

orica.re

ar

ti

.

>

tt

"tlit;

,1.

i

]dll

<

6.

qi

orice

alegere

{

de

p

lienarcirrri

cir

l

cstc uriic

t

>

0.

pcritru

o

diviziunc

si

r

<

lr

-

,(d,

{)J

-

l//

-

i,(d,€)l

.

b

I

i)-.-i,.-i-,i I r

ti,,,,,1,,

/'

'""''"

Von

prLnc

prin

dclini(ie

/

,

IJxr'tMpi.rl

|ic

/

:

[a.

]]

-

t

t

divtztune.

.c alesere. dr.r:i

/ ,:d.

in cazul

funclii1or.f cu va

l- Al ,l^-i

satisfacc

r-n

1oc

de

(l.l):

Direct

Llin rk:lini1ie rezulti

mann

qi

anunre ririrginlrea.

78

-

.

D .tl-\l

ttu

St

rlrlrr.srr

:ln

i.iti t

,

il,rr:r.r.alrlLiL

lir.l,

i, srilrrniil,tjrrrl

rl

=

1:'r,,r

L,

..r,,i

a

f,r,/r]

,r,.,

-

,

i

\lrrlrri-rj

r'l

.,.,

lt

.r

:

,.J,

So

rurir'\1.

tltlltt

tit

i;Lt,tr:lL

t::t,.irii.:

r.ii

Ljtrj,ri:l.ar

r1

.

].r.11

.r.,

,t,.io

srrirrrruilinre

i

-

if,l.;,

.

,(,,]r

i"

i,;.

i;ri,j,.i,

i:

i.r.

,11 ;=1

i)

,,.,.tiLi

ir

ri*ertre

aie".rr

sr, r':r

i,riosi

ij

rj,rir l :r

i 1t, i:._

5.

rrrrirrr:i1r

,:',nt:,t

li.t,rtto:tt

I

llrrrcitrr

f

r,

l::ii.,r:

il illi.iziLltr:a

rl

1i

l:r

air.qrrca

{

,.ir(i

ii-Iiil,ti r:.

.t.

I

,)

(lrtid

rLr eri,.ill-

perirol

rlc

a.liti ir.r.

\r)rr

r..irLjirj_ir

lit

r:r,litr,l,,,

.;,

iI]

tr,tr:rr.rl

:,irr r-1,.r.

il icrna

rr n

Obsr:rv;lnr.r

all<1.{)

aJri

scils

i)ertILl

lrtnclti

rir

i.alr)n

iillr

Ui1

sl; ,rlLr

\i,(l.rii.ii

l)eslr

ii

,\ii;tit

iJiii.ii:

.lifiiii

i:rt;.gi;ilit

ii,

iitiir;l

ii irr

./

ir,.

il.l]

Dt-tltilflt

'r'te

|

:ic.i;l

r

rr{ f.rirnirrrri

r.ciij

/:(,,ruJrjciLi.

i:tlt,Jtt t

Rrt:tnrot

u it;t

,.

t

fy'

tl

r.^i

r./-

Jt

i,..,:,..,.,.

r.,.i,r,..., ,r

r.,,.1,

,,,.t

.

I]

.;

r)ri(itr(

ar fj

.-

>

(l

erjsii I.

:,

{_t

rsilri

iitcn

iJcirtrLi

orilr

rlirrz:Lrrre

rl :

ili

fa

ll

rit

l{i]l

.i

,1.

{i

orire ;rlegcrr,{

do

1;rtrcic

,rs()crit1.

cir ,i,

air

loc:

rill

li.crrri:r'rii.lrr

irii

l

rstc

ri]lia

ti,'ii 1li

rlrcr

1/sirr.rsl:rli

rtc.hrrlra.

rirr:r,r.

r){.rLriir

,Jr.'(.

:

>

0.

1)('rltrrl:r

ciiirziutrr. i

o;t|:tc1r,,rorL..r,rr1irilr,

il\e't

roril(rrnt

/i

,1.

r'

i,

.::

<

l/

-

..r(d,{lr-

l/' -

a(rl,€t -i

:. dcr

r

I

-

i/

l

t,

tt111111

i1

l,',5'',

a1]]ii

a-i

e;r::riii

rliJ] rll

ririi

,,risr

):

,\tLirrr:i

oirl

1)

,

rqr

,,;iri

,

ltr cazrrl

iurtr rilor.l

lrr

laioli

ir s1,a{ii

norniaie.li.

irre rala

Iirc:riirirrr

,r

lrri

/-pr.

fr;.11.

rlar;-t

r:xiSiii.

i.ir,,{j

itil

.jciijarji

I rrl

lrrr

,}.i ai.,r.r.tii

i:i;ti:1j. i 1.

iliilir.t;,.t

i;ir.r.r

i:r ;ii,.

satisfacc

ir

ioc

rJe

ILl):

laid.r,t

/rr.:

illf,

l)iLr:r'l

rlin

rk

liriltc

rr.zujiz:,,r

1rfol.ll.:..rr

itrt,Lrrcliriil

a:u1,,

r,l,Jr

irtcgt..riril.

ll:t

rr rillr

tr

qi

arruitr.r:t;trgrnir:.a

rjifI

alt'l.ir

lucriri

rn

reoa

ce

:rzi

cLlros-

tir.:

oislaiizar

Darboltx.

ia

iitor.

crit,r:riiior

l)fl)J1f;|tle

l)lN

[t

ic lrl

s,,

caz

rr

I rlai

Lj

ii|j.trii

PltoPozrflA

1.1 Drd

/

:

lo.6l

-

E\ esie

tnlegrabtld

llttnann' oluntt

f

esLt

nr,rirgi.ntl.d

1te

la

,

b). ,4cua5i

propri.lll(

o.rc

loc

{

in cazul

uuet

funclti

r:u

t'aloti

inlr'-utt

,f'ul'u

nnrtt,tl.

i)

I

n-,.,,.--,.",;. Ii-

/ I

I

L.

l,

'

1,"

, A'" 1.1

,'

Ja i;.rIt::t

li.j

i

t".

alegere de

putLcte

asociatc'cu

tl.

]o(d,O

1l

<

I Atrrnci

i,?(,1

{)l

<

l1l

+

I

pentm

orice

alegel:

{

rclat ivf la

ci

Presupunern

cii

/

nu cslc nirgiriti

pe

io,l']

Atunci

i:xisti

l;r';,,,er"1r]

in

tervai

delinit

<.r<lai.i

r:u

ri

pe

i:ale

/

ru

estc

rrrirrgirrit,i.

fi,,

ii

=

I.i(Q)(,r,

-

-r;-r),

dcci

o(d.{)

-

$

-p

/((;")(rr"*,

:rro).

Alcrgonr

er"

a

tr,",trii,i

asifel incil

i,5

+

l/l

+2

/t1,,;

'

l,

qr

atulri

o(d,{)l

>

l/((i")l(';"+r

-

ti")-

iSl

>

iSl

+ l1l

+

+2

-

l5l

=

l/l

+

2,

in

conLradiclic

crr

(1.2).

in

cazul lunc{iilor

crt

vaiori irir-ur spa iu

norrnal,

este

suficient

ca

in

relaliilc

antr:rioarc

sii

inlocuun

rnodulul

t:u

nortra.

I

lirr

prirrr

cril,eriu

de

integrabiiitatc

care

va

pettrrite, via

coll,inuilalca

ullilornli

pe

corrlpac{i, d{]rnonsirarca

inlcgrabilitetii

frtncliilor

contiriue,

esl,tr

critcriul lui

(

iauch]

'l'LoR.F,Nl,\

i.2.

(Crileriul

dc

integrabilitale

ai

lui

Clarrchv) F'uncfua

f

:

[o'

6l

*

R

este,

inlegrabild

lltttnann

pc

[a,b)

dacd

nr.n.rt

datd

penlru

oriu:

t

>

0

c.ri.s/ti

6.

>

0

aslJc

int:it.

t,r'rcare

o.r

Ji

,.1'.r1"

dntiziuni ale

lui

[a,b]

cr

lld'll

<

.,

]l,l"li

< t

gt

orir.ure

ar

fr

t',{"

alcgert de

punc\t: asoctalr:

relaltttt

la d'. respertttt

d",

att:

lor,

l"(a',{')

-'(d",6/')l

<

€

(1

3)

Fic.

pentru

n

)

1.

A"

=

ll-iemanr

rel:rrivii la

di

r:Lr

t..,,,

r/5\

\')

/

lo"

t:

l

--

-.

'')

ded

lol,

Il

(1

4)

,l

-. ,l-

/ r

'r\

",

A,

Deoarcrr:

iino,

.

aa

<;F

=:Pcn

OBsnRV-{

frt.

Tcorema

1.2

nach.

I)crnc;ristra' ia

se',ransari(

surnek:

R.iomann.

Pe

baza

cril,criului

lLri

Ltau,

continuo,

rczultat

ce

v;r

fi

exi,ilr

iuiit:iii.

TEoRouA

1.3.

I'te

f

:

la,b

pe

[a,

b].

Dernonstr

a\ie.

Fiind

collinL

$-[,

'Ieorcma

1

12).

\rerific5.m

inc

Eie

e

) 0.

Din

continuit

Yr', r."

q

fa,l,]

cu

lr'

-

/'l

<

6, t

f(.

F ie

d,

=

{.16.

. . .

,r;,},

d,

ll,l"ll

<

6.

qi

Iie

{/.{//

alcgeri

d

d

=

di

U

d//

qi

iie

i

o aiegcrr:

de

p;

cu

m.'

{

n, rnl/

1

n.

dcci unel

(r'1-1,xj)

rezuJtind

jidil

<

a.

qi

deci

/({;)(ri

-,'i-) =

f['i)(

n,

t,

lo(d,,{,)

o(d,{)l <

f f

trtc

€j

li {;

aparlin

accluiaqi

iuterval

are

loc (1.5) perrtru

I

{

j

(

m/.

ln

aceiagi

rnod sr:

arati

c

l"tG',t')

o;(d.",(11)l<t

L

1

l1

(l

2)

l)c;iiorstia{ic.

t

I

..J

Fr"

I

-

II

idl,t',.')

-

a(d",{")l <

i"(d',{')

-11

+lo(d".i")

I

<

.t

a^"; rlt'rr . al"I

i

,1tt

z,;( \

.,,

i

i

'

i

,

r

'rr

.t,

cahnir;'

i"r,,,retn'

I

Z

'

"

i

\)

j i'

'

\2'

t'21

"

..e'

fie

(d,,)" un

qir

dc divizirrui

,

Lr

lJ,,l

<

:

Vn

)

I

5J

lie

4,,

o

slLnti lticrnann

Ir,.

1,,i

d.

Irr

'lrrl.;{)ti

lrc,ryr,) asrlil

',,,'1

-|-

n.

,\,(i

)

1o,,.

-

o,,'l

<

e

j

o.

-l

.

a

,i.,;

lJ"

.

r.

1

Prin urrnare

(dn)i

cstc

qir

Clauchy

b

Arildar

cii, I

=

lt.

I)resupunem

ci nu ar fi

aqa. Atunciexistirg>0astfelincit

.)

Vd

>

0

I

d diviziune

a lui

fo.D]

cu

lld

l<

6

Ei

{

alcgere de

pittict,e

asociate

relativi

la d :rstfcl

incit

lo(d,{)

IJ)

t.

rclal,ivi la

cl,

.

Yn.rn

)

N

(e'1.

Atunci,

irrrplici

1imo,.

<

6., iar ( 1.3)

deci existi

1=

'2)

irr

-

+

pe

t)

3)

<

fic,

pentru

n

)

i, 6,

-

llienrarrr

relativi

ia

di,

cu

l'. dtrr.r.r

,'

,r

..ri

Iu.ri

.,r

l,ll,

i

.

t1a.

1,,

r(;)

l'.'

,1,

(l

.tr

:r

\'(-)

as,.t.,l

,',.;,.

- <

':(U).

1".,

, in

(i

r)

r,,,,,tti

o.-o'

it

l,'oo,

irrrrr

/.

"xr:-{a

\ r )

,Lrr'r

rr,rt

ic,,

lj

.

'v,,

\

1

,

tj

dc,rld;,

-ll .2 Ft =:

p*rrtrrr

orice

n )

]liax(N1(:),N(e)).

in

coltradic(ic

crr

(14)

OBSERv,\'flE.

'I'r:orerna

1.2

cste

\.i lill)il;

qt pr:nlru

furt:1ii

cu

vaiori

in spalii

13a

nach.

Dctrrolsfralia

sr

i"t;

lscrie

illor:rrirlri

Inorlr:l,.rl

cu

norna

il

csttr]r:irile

lrivinrl

sunrr:lc

Rienr:rnl

Pc Laza r:ritr:riului

lrri

Oauchl

vorrr

denrotrslra

acurn

integrabilitar

<ra

conl,inu..

rczuliat

cc va

fi extins

in

capitolul

urrnltor

la o rlasi,

mLr]t

Irai

l

urcllL

TEoRET'IA

1.:1.

l"ie

.f

:

la,6l

-

FX

rorttirtud.

pe

[a,hl.

Alunt:i

f

r:sle

ittlcqrabtlii.

RrcmarLn.

Denonstragie.

t'iinrJ

coritilui pc

un

conlpact,

/

estc

uriilorm

contilLri.

((iap.

Ill.

$1,'1eon:rrra

1.12)

Verifici.m

indcplirrirea

corrdiiiei

din

.I.corena

1.2.

l'ie

s > ti. i)in

continuiratcir

unilorrrii pe

la,t]

existi

6.

)

0

astlel

irrr:rr,

\t' i'

p.l,',

;

t,,

t

"

,,.

,\

',i,

ii.

l

(.,'

) J(r")

1.-

z\a

a)

(r

5)

...

frc d/=

{r'0,.

.nii",},

tl,,

=

l:..t,...

.rjl,,}

rtiviziuni

ale

lo

6]

crr

l]rl,i]

<

6,,

i]d//i

<

6.

qi

Iie

{'.{"

alcgeri

de punctc

asociate

rr,:lativc

la

d,.

tcspectiv

ti,i.

Fiir

d

=

cl'Uri".ii

iie

q

o aicgcr,-

<je prncr,c

asot:iar,e

reia.r,iv

ia ri.

Arunci

ci

= i.16,

,

rn

j.

cu m'(

n. nl'l

{

n.

dcci

unele

intcrvalc

(r;_.1,.r1)

sint

incluse

in

at:lari

interr,al

Gj-r,ti.)

'"zuitinct

li,iii

<

,t.

5i

e;

-

:ri_r

-

(r,,

-

:r1,_1)

+

...

+

i.rr.,

Lt,

t)

deci

/({j)(;rj

-

r'1

1)

-

J({j)("r,

-

r,,

r)*

:

+

fl{;)\*1,

-

r:1,-1j qr

atu'cr

",,

L'

'dl'l,€,lrr''l{l|'I,J.{{,,./lt.,|l'rlJl

ltu 4l

{j li

{,

aparlln

acr:luiaqi

ilt,-,rval

al rliliziurij

ci,

pertnr

ril

(

/

(

t,

(vezi

F.ig. i).

ricci

are

loc

(1.5)

penl,ru

I

{

j

-(

rrrl.

ln

aceiali

rlotl

sc aratzi

ci

lot(.t,,,€,,)

-

a/(J ()l

:

-,

rrzrrltirrrj

in

iinai

.:,)'. 't_..t.t1'ctt

-

f I

)

Fig.

I

8t

I

t1,

qi

a], surn

ir.

(1

.,1)

lirrclii)or

largi

de

I)emonstrEm

in continuare

inci un criteriu

Ce inl,egrabilit

ate R.iertrann

pentru

furrclii

reale

mS,rginile

pe

lo,

]]. Acesta

se bazeazt

pe

surnelc Darboux

DE 'lNtTirl.

Iie

/

:

[a.5]

-

R

mirei itS.

si

lie

d

=

{7,,..

,r.}

o divizirrne a

lui

[o,6].

I)cltru

i

6

{

1, . . .

,

n}

{ie

- -

'rL)i

ntllr,

t.r,lf

i

r,,,

=

inl{/1.r)

lr

r

Ir,-1..r''j]rr

,t/1[r,-1..r,1;

"-' M,

-

sut{/rr)

lr

e

ir,-

..r'j}

Atunci

",=f

rn,

(r,

-,rl

r)senurrreQle

suma

Darbour

infe.rtttard

alui.f

relativiad

]ar

Sd

=

L

lvf,

V"

rr

i)se

numeltc

suma Datboux superzoard

a lui

f

reiativ

ia ci.

llvident,

,d

<

5i.

Propozilia

urmitoarcr

prczidti

citeva

propricteti

ale sumelor

I)arboux

pentru

o

-, -,:--r-_

--

I- rl

l|1Ilr

r{rE udLil, llr. 'allllLd

tjc tu,

ut

PRoPozTTIA

1.4.

a) Pcntru ortce d

dixzziune

a luz

fa,bl

qi

orice

(

alege.re.

d.e

purLcle

asociale,

s3(o(d,{)(56.

b)

sd

-

inf{o(d,{)

l{

alegere

de

punctc

r:^sociate

cu

d};

53

=,sup{o(d,

()

| {

alegcrc de

puncte

asocial,e

cu d}.

c)

d

c

d

=+

sa

(

s;

(,9; (

5,r.

cI)

1te,nl.nL

orice dztizzunz d1,d2,

s6,

(

,93,.

I)emonstra[ie.

a)

ltezult[

din

m1

(

/({;)(

M;, V€r

€

lr;

1,

rl, Vi= 1,...,1..

h1 Frn420. Al.g,.rrr

{,6

r.

1..r';l

asl

fel rncrt

f(t,t-n,a

U'' o,--l..

.n.

Atuncr

ald.f )

-

",

=

)_1"({,i

-nLi)(ri-

x:i

r)

<

4,

deci

"(d,t)

-n

< sa

-<

o(d,4).

i.'- l

Similar

putem gisi

o alegere

4

pcntru

care

5i <

r(d,4)

+

t.

c)

Fie

fz;

r,r;]--

[Co,yr]

U.

Ulyo-',yo]

cu

ri-r

=

ao<Ar<

,7yp=

rr,

|uo,ut,

.

,yp\

C

d.

Atunci

m([r;-1,2;])

<

ra(ly;-L,v;l)

Vj =

1,

..

,p,

deci

m(lx;,1.t11)(ri

r;-1)

-

|

rn([e;-1,

rr]Xyj

-9j-r)

(

I

-([3/;-r,

yi])

(ai

-yi-t)

j=1

j-i

'vr

:

l. .. . n. cie"r

sa

<

s;.

5irniiar

se

<i"lnutrsireaza

qi

a treia irr.gaitiare.

d) l'ie d

=

d1

[J

d2.

Atunci ra,

(

sa

(

&

(

Sa,, confortn c).

Conoren

7.4.1.

j'entru

orice

funclie

|

:

la,b]

-

R mdrginild. existd numetele

reale:

1=

sup{s6

ld

diviziune a

lui

lo,6l}

pr

-

t... f- rl

,

-,,,'i.

i

4 ru'

Lu.tji.

Acum

putem prezenla

criteriul

de

integrabilitate

anunlat.

TEoREMA

1.5.

(criteriul

lui

l)arboux

de

integrabilitate

Rienrann)

l'ie

[u.n

clia

J

:

la,bl

-

R

m.drginild..

f

este inl.egrabilii Rie.otann tlqcd

qt

numar dacd

penlru

orxce

e

>

0 etzsld

,J,

dzuiziune

a t

Denorstral,ie.

,

€'Fie/= /

t,qi

D,r

I

;

diviziurre

cii

i]dji

<

.i.

q;

Vi

r1.

o asticl

de

diviziune.

D

inf

qi

sup

qi

obtinem, corrfo

.-a

)d" s;.(l*i

/+i.

,,+"

['ic

lJ(z)]

g

1i

vr

0<7-I<54"-s3.<e.

Dcmonstrirl

ci

V;

>

0

['ie

d1

diviziurc

a

lui

lo

punctelor

din d1

qi

fie 6,

=

Fiedocliviziunealui

5a

-

,5 ,

(

2ii

I

(r,

-

k'-'

r'lnd,r(,

56

qi

511,

au lelnreni

diferili

Atunci

S,r

< 5^^+1

<

-""

2

qi

ci 1- .sd

<

6i

dac5, 6dt

>I

€

-l-1-

t4uro

-')2-

Ioc

(1

6)

r.:u

r lnlocrrit,

,le

2

l"(d,{)

-

/l

4

5,1

-

s3

<

e.

O

aplica{ie

dirccii

a ac

I'niiPozi

llr'

1.6.

0

t'it

[o,

b]-

Denonstra\ie.

Fia

f

integrabilitatca

este

irnc<liar

m;

=

.,f(r;_1),

L{;

=

l(r;)

-/(a)lsup

{(e;

-c;.-,

)

l1(

oblinem

5'6

-

sd

<

E,

prin

rezult,5.

integrabili

corlbrm

82

la

d

la

d.

o

r(d,

f).

.

P.

deci

-

v;-')

fun.clia

orice

e >

0

etrstd

d,

dniziune

a lut

io.b]

asLlel

incil 56"

sd.

<

t'

Demortrtra{ie.

n

.='Fie

i

=

/'1ql

p",,tru

'

>

C

lic 6.

<lat de

tiofirrilia

iltegralei,

astfel

incit Vcl

'I

;

.,.

...^-i..,,

,.,,

^

l- ^ Ft ll . Ii,

dlvlZlUlle

.ii

iiur

<

t)€

ir

d,

o astiel de

diviziunc.

I)coarer-c

l-

i

<

"(..1.,{)

< i

+;

V{

alegere,

trecetrt

ia

,i-,,

infgisup

qi

oblincin,

conlorm

Propozitiei

1.4

b).

f- l {

"0.

<

5i.

( 1*

sa..

deci

a._

S;.

16.:/11

/i1',

,,+"

Fie

l/(r)l

<

1i

Vu

€

lo,6l.

l)eoarece

6d

<

1<

J

<

'5;

v'i

drvrzrune,

tezulta

0

<7-l<

5'a.

-

",r.

<

€. Ounr

6

>

0 este

arbilrar,

rczulti

{

=

7

Er

1'

DemonstrirriciVe>016,>0ast,lel

incit Vd

diviziuneaIui

fa,6]

cu

]idll

<6.,

5a

l<e

qi?-s6<e.

lr.0/

Fie cl1

diviziune

alui[o,6]

cu 5';,

-/

<

|

(exista. /

fiind

sup5 1

Fiem1

numi'rul

")

a

punctelor din

dr

qi

lie

6.

-

4f{*,

Fie

d o cliviziune

a

lui la,i;l

it

11,111

<

l.

\i

fie-d2

-

dUdr'

Atunci

ldrl]

<

a.

qi

Sa-5 "

(

2Ii

I

(rr-ri-r)<

h

'2nn

--

=

1,

und"

s a folosit

faptul

ci'

l'-'''l0a'ru

Sa

qi

5'a"

au lernreni

diferili

numai

cvcntual

p-e

inlervale

din

d2 cu

capi't

itl

tl1'

Atunci S.r <,5i-+1

<

sn.

+1

<

l+1+l

=

1+€

Ascminarorse

clemonstteazi

) 2

',2 '2

-zt,-ta

qi

c5, I-sa <e:

daci.sa,

)

1-

t,"0,

-

"o

(

r,,lect

*a

)

'sa.

-

t'

"o,.

^

r'

s1- -'--

t-

'.iarir

lldlr

'Z

r.

s;l ,1,

-

d[-Jdl Alu'rci.

dLrc;,ldl<

o( .)

"t'

"

t 2

-

\2r

loc

(1.6)

cu . tnlocttit

de

;

qr

;rtunci,

pentru

orice

{

alcgere

dc

puncte asociatc

cu d,

lb

la(d.€)-

/l

.5J-s,r

-".d"rit-

Jf.

I

O

aplicalie dirccti

a accstui

criteriu

cste intcgrabiiita+.ca

functiilor

morotone'

'

r

l^ 1 Ln .-. .-...--*.:

-. -

,at. t'r:t

l'ROtOZili^

ii, i;jr,l,irr.i

i..r'_

r;rr

rrr;rrru'rru

itlt

t:'tttt

i .

lo,

Dl.

Demonstra(ie.

Fie

/

cicscStoare

cu

J(c)

<

/(6)

(altlel,

f

este

constanti'

qi

iniegrabilitatea

este

imediai,[).

Atunr:i

/(r1-1)

(

/(r)

(

/(r;)Vz

e

[r;-1,11],

de':i

i=l

-/(c)lsup{(r;-c;.-')11(t(ni=t/(i')-/(o)llldll,decidac6lldll<'

=h'

f(b)-

f(")

obqinem

5a

s6

<

s,

prin ttrrnare

oticc

astlel de

divizirrne

se

poate

lua

ta d.

9i

/

rezultd, iutegrabilir

conlbrm

Teoremei

1.5. I

utilii.alea

cdteriuiui

iui

Darboux

in

forma

eriunlatS

va

fi evidcnliata

atunci

cirrtl

pe

baza

lui

r,orn

demonstra

critcriul

deosebit

dc

putcrnic

de

integr:

)ilitat'c

Riernann

al

hii

Lebesgue.

liopiiei[lilc

iniegialci

Riemann

per

intcrvalul

la']]

vor

fi

prczc"rlr-'r

in

lJ

ir

cadrul

general

al

iltegralei

pe

intervale

n-dintensicnale'

52,

CRITERIUL

DE

INTEGR,{BILITATE

NDMANN AL LUI

LEBOSGUE

Cour:ept.ul

esen{ial

in

dcterninarea

unei

clasc

foarie

largi

dc

funclii

iritcgrabile

Riemann

este

ccl

de

mtlltine

de

miisuri'

zero'

DnFINI

fltr-

E

C

R

se

Ilumelle

multinLe

de tniisurd'

zero

(riul'i)'

nurnitd

9i

rnzftirze

tLeatijabi,ld,,

daci

pcntru

odcc

6->

0 existe

U,

I

i

)

t]

inullime

cel

rnult

numarabili

de

irircrvale

deschise

qi

mdrginite

astlel

irrcit

E

c

[J

/i

ii

t

i/tl

<.eYrt]7

(ill

notcazd

J=r

j=1

lungirnea

lrri

I),

\-

'

lini 5-

i/,1,

ol'se-vLnd

ca

oxi:ler(;r iirnitci

e'te

ln

u.r'ir

cilr vi'ul

nolc

L

lr,

j=r

i=1

a-iBrrata.

fiirrd

vnrba

de

i.n

tir

clPsralor

5i

mrrgirrir'

P

lroPozrllA

2.1.

a)

Orir:c

ut'btnullime

a unei

multrimi

tle

mdsurd'

zero

este de

ndntrd

zero'

b\

Ortce

mullinte

cel

rmtlt

nurnarabild

tlin

R

cste de

m'asurd

ntrld

'

c)

Beurtturtea

ttrt ui

6ir

rle rtul[imi

rrcglijabile

este

tt

mul{irnc'

neghl'tbila

Dcnton"-tra{ie.

a)

Evirlcnt

b)

Fic E

-

{tr,

. .

.

.

t,,

.

}

C

R

o

rrullime

mrm[rabilf,

(este srrficieni'

si dcrnon-

strim'ci

il u""ri

*,

E estc

Ireglija'bili,

cazul

E

finiti

rezultind

dirr

a))'

| ( . \ .., ,.ii,ri

f:taJl,"i

Fie.>ri

;i

fir'i,

(.,

-

,

.

,-

.

",

-

J

-

2,

.

t

)

J

z

t

'ttt

r

r

VI

(vezi

Ei

121,

CaP.

V,

$2.51).

I

DTiFINI'IIE.

Vom

spune

ci,

o

proprietatc

ate

loc

aproape

peste

tot

(a

p

t

)

rclat \

la

o

mulli"rc

A

c

R

dacl

mullirnea

punctclor

din

-4

pcntru

care

proprietatca

u este

indepiiniri

esie

negiijabiii

TEoRJIMA

2.2.

(criteriul

cle

integralrilitaie

Ricmaan

al hri

Lebesgue)

'Pic

/:

fa.

0l

-+

R

matyrnita.

I

este

irltegrabild

Riemann

qte

la,b]

dacd

9i

uunai

rktcd

J

este

,,,ntirrn

oP,uo\"

PPIIP

lot

P'

o.bl'

L

t.-izt:

i I

-

:i,.,

..

-:

-

<

F

'rt

-,:\'l

l-:\.2j

3

j=1

c)

Dcnronstratia

va

fi data

in

CaP

Denonstra(ic

,,

+

"

Con

fornr

cu Prol

discont

inuitate

ale

unei firn

Atunci

O

=

(J

Q;,

undc

o

k>1

neglijabili pcntru

orice

t

)

['icA)lfixat.Fiee

$l)

astfel

ircir

5'd

-

,d

<

deschise

corcspu

rizitoare lri

intervalele

cleschise

din

d'

Observim

ci

5i

-s6

=

Pentru

r;

e

dt

,

Mi

-

rnt

)

<

\)(.M-m,.\(x,

ci-l

acopcrS.

i)p es1,e mai

mici

rit

fl

acoJrerite

de

rculiunea

ut

e

5,

deci

Or se

acopcri

cu

o

mai

mic5,

decii e.

Aqadar

Q

..+"

I'ie

l/(r)l

(

/i

Vr

va

fi

demonstratd, pe

haza'l

Fiee)0rii

lic O,

=

odatL

cu rnullimea

punctelc

pacti.

(Cap.

II I, Propozilia

Vj

=

1,.

..

,

nr

asllcl incit

Q

'iedodiviziurreah

j

=

1,...

,m,

aflate

in

[o,

lx;-1,x;l

C

1;],

.Jeci

daci r,

I,

-'

r....--

*

--

'4iJI

Deoarece

M([r;_1,

r,])

84

- -

circl

ti.1 i,.

mt.ltirlt

de

rotcazi

eslrel

clcrnon

relativ

mi esle

Du

onsftaltc

.,+"

Clonforni crr

Propozilia

J.2

din

Cap

ITI

$1,

rnul{irnea

f} a

punct,clor

clt:

discontinrilatc

aie unei

functii

rndigirritc

cste

(aracLcrizat:r

prin

condiliu..,,7(e)

> 0.

Atrrnci Q-

[J

O6,

urdc

O;

- {r

€

lo.ll l-r(r)

,-

ll.

O,> 1. Vom

ariita c5.

Os

eslc

I

reglijabili

pcatru

oricr: I

)

1.

fic,f

)

1

[ixir,t. Fie

s

>

0

qi

d

=

d,

dat

clc crii,uriul

]ui l)arboux

(Tcorcma

1.5.

lil)

astl.1 Lrrcrt,{1 ,;

<

i

l,r. tl

= {16.r1

,

.

,r,}

=

d'lJd//unde

irrtervalele

/L

deschise

rcresprrrrzitoarc lu:

d'

coJtlilr

puncie

din 01

iar

cele

din d/' nu.

I)rin

ulrnare,

intervalele cleschisc

din d'

acopcrii

r,

1r,Lrt,,

ip a 1ui

Q1

Q1

C

Q*

C

Qr

U

rt.

()n-r\

j,r,,

j,..

-{.-

\-'

rr,

-,,,

rl.-r..1,

r

f

rrf,

pr.\x.

.t

,t/.:t.

r:,

€d,

r.edtl

ll-

P4'ru.r

t

d'. .\1,

-

,n,

I'l,rr

,1,'inrria

os"rlal'. i,

Jeq

r.:zulra;

5- r.r'--.,,-r).

A

k

"",

.

L

(,i/,

/r,,llr'

.r,

)

<

5lr sl

(

*.

dcci suma

lunsirnilor

ilLervalelor

care

a, op"r,'.

Q1

esle

mar

nrrc clccrr

^.

Punclr:lc dirr cl'. forminrl o mullime neglijabili, pot

2

fi aropcritc dc

rcuriunea

unor intervale

cleschisc

ctr

srrna

lrrngimilor rtriri

mici

rlccil

" ,

a"cr

Q;

sc

a(oprr:r

ru

o

rnulltnre

liniti de inter',ale

rleschise

cu sunra

lulgirrrilor

')

mai

mici. rlecit

e.

Aqadar

Q1.

r'czrilti

n<:glijabilii,

dcci

O estc

ncglijabili.

..+" l ie

iI(r)l



0si

tje

Q.

=

{r

e

f,r

i,l

l

rr\,)

Z

}

1}.

este

neglijabili

z\n-o)

odalX

cu rnultrinrea

punctelor

clc disr:oniirrrit,ate qi

cstc

inchisi

1r r:ornpacl,, dcci co:rr-

-,,^r:

/a^- r.r\

r,.,.-.:

--.:-.:

t

,.,7.

.,tuiir:i

cxisti

J1,...

,

-1o,,

iiitei'vale diii

R.

i:ii

,'rf

0

vr

=

1....

,,D

asrtct incir tt,

c

ijl;

o;

f 1r,1

.

j

1-l,. ',"'4li

Fie

d o dirjziunr: a

lui

lo.6]

corrl,inind

acele exlrcmitlli

alc intervalelor

/y.

j=

1,.

,/r.

aflate

]n

fa,bl.

Fio d'

- {ri

e

d

I

j

e

{1.... ,nrJ,

asl

fcl incit

', , t't t,,ra.i ,,,,i ", d A, r

,

rnt

i

r

?

r

-

n

,

,

,

.,,

r

;"

./

,

_

L_

-

ll\r\J. tl

-"

-

-

:

cu

.

sirf mffcaie

1z

PUnCTA

Orn

lle

i

-+-,.

Fi,

)

IA-L

Deoarecc

,il.f

(l:r;

-

1,

r;])

-

rn([r;,1

z;])

{

2/i

pcnf,ru

orice

ri-ij:rt

€

d, rczulti

.F?e

/

:

f

este

t

(M(l:t;-1,r11)

rn([r;-

1 ,

r1))(r;

-

ri,r)

-(

2liL

Ijl

<

i.

I),:oarece,1(r) <

j=l

,

t

Vre

[a.

bl-Q..

daca.r;€d-ci/are ]oc.rr(r)

<

-i

.,

Vz€f.ri

r,

r;l

C

'2\h-n)

"

2lb o'

Cto..hl-Q,5i

din

Oap.III.

$l.

Propozrlia

l.6, rezrriti

cirVr

€ k,,

r,ti.l

C

lo,

t]-

Q.

I6"

>

0

ast{cl

incit

sup{/(r)

lt

e

lz-6".

r+f,l}-inl{l(t)

ll

e

lr-f",

"

+

6,1}

<

-

2(6

-

a)

lnicrvalcle(r-6'.r+6').,N

€

[r;-1,r1]

realizeazi

o acoperire

deschisl

acornpac-

tului

[r;-1,rJ,deci

l,rr:r:ittdlaosubacoperirefiniiioblinemdiviziuni:a{ge,..,up,}a

t,

lui

[r1

1..r;]

astfcl

incir

lt

wt

(luo

r,vrl)-rn(1r76-r,srj))(yr-lr

')

<

o,i;(',-

r;-r)

Adrugrrid

la

d

prrn"t,

ic

ustlr lrez rlt;.r"..,,Lt,irredtltztunno

i

, rui

..r.b]

cud

i

i.

Propozilia

1.4c) implicS.

S;

-so-=

(,lz(lrt-r,

rrJ)

rn([e;-

1,

rl))(z.i

-

ri-r)

+

+

I

t(,\,1(13/r

r,yfrl)

n.(lyr-t,yi))@r

-

ro-i

.

|.+

,1,14.,I,,,1''

-rr-

r

)

<

€. I

Conor-rn

2.2.1.

O

funclie

.f

:

lo..

bl

-

FI

diferild

de zero

narnai

inlt-Ln

rLumdr

linil

de

punch

d.zn

la,b)

esle

integrabtld

Rtemann

pe

la,b),

znlcgrala

tz

f.tnd

erid,ent

2,ero.

lltilii

atca

dcoscbiti a criteriului

lui

Lebesgue

va

fi

cvidenliai5

in

$4,

cind

vor

{i studiate

proprietitrle

integralei

Riemanr

qi

alc

rnul irnii functiilor

integrabiie R,ie'

man

n.

|j3.

INTII(;RALA

R.TEN'IANN PE

INTER\ALE

n-Dl[.lI]N

SIONALI

CON{PACjTE

DIN R"

Constructiile

qi

criteriile din

$1

qi

2

se extind

la

funclii

de mai

multe

variabile.

DEFINITIE.

'ie

a.7,6i

€

R,

j=

1,...

,n.

Multimea

/) l^- A-l-

-l^

Al-[rn

sc numeste inl.ertal n.-d,imenszonal

compacT.

irr ceie ce irrrrreazi,

priit

iiitervai

n'-tiiirit

risioii ai sc

va

inieieAe un

iiiiervai

l-dirueir-

5LvIdr

(uruPd('

.EXEN{PLE. ).) n

=

2. Inl,crv;rlele

bidirnerrsiolak: conlpad,e

lot.6,l

x

krz.6:]

.int

drepturghiurile

cu

laluri

paraleb cu

axclc

(irig.

3, (a)).

/a\

2)

n

-

.1.

lntervalcle

i

paralelipipcdc

clrepl

unghice

(Fis.

:j, (u))

DEFINI'I'IE.

I'ic D",

=

|

al

lui

D" nurnirul

vol(-iJ"

)

=

OasEnvlltn.

in

cazul

cazul

n=3

dcfinilia

volumulL

Introduccn

acum

lolil

n-dimensional.

DEFINT'qID.

Ifie

D,

=

l

fie

d;

o diviziune

a

lui

lor.d,

t(

j-<-,

1(i(mr.

I

n-dimensionaie

ri

=

/i,r,

x

.

Pentruoparti{iePdcfi

(=

max

6{l))

Convclirrr

ca

pentnt

D,

VA

EP.

'ie

7z

o

parti(ic

a

lui _i

€={(AlA€p}.

Acum

putem

defini

sum

DEFrNrTrn.

Fie

D,,

un i

Fie

2 o

part,ilic

a

lui D"

qi

{

a

lui

f

relatiud

la

P

Si

ta

(

n

in

caziii

in

care

nu

esic

sumclor

Rieilann.

FhEMpLo.

1)Fien=2qifie1)2

86

l

<

c

).

<

a

c

il.

)

-F

.".

vor

Ric-

ta,'

ft)

Fig. 3

2)

n

-

i

lutr:rvait:lc

trrrlimcnsir.,niile

compa(le

p

,61]

x

fo2,brj

x

ftr3,D;1]

srrrt

paraielipipr:dc dreplunghicc

drepte

cu

lr:{ele

paraiclt:

cu

plarlr:lc

cleternrirrate.lt:ixt:

I)EFINlfrti

lit'D,,

- lc1.b1]

x.

x

io,,.1,,].

Sr

nLrnr.Et{r lolan

(sau

zrri'rtrrri)

al

lui D,

lLrrriirui

vol(I).)

-

(|1 ar)

(b''

-

o'.)

OIIsERV-L

lFt.

in

cazul

n

=

2 sc rcgise,sl,r'

r1r:lini1ia zrrici clreptrrnghiLrlLii

iar

in

cazul

n=il dr:linilia voluinului

prisrnei

drcplulghiularc

clrcpte

Introduqrrr

[(:Llnr

noiillnil{]

pretnergitoarr:

clelinirii

srinlclor

R,ilrrnillL11

rn

(i11rri

n dinrcnsional.

t)trlrNr'frt,.

l"ie

D,

=

lol,br]

x

x

la,,,b"),

vol(D")

>

0.

I'entnr l{i{n

fie d;

odiviziune

a 1ui

lor.6r],

d,

=

{,r'r.0.;r7,r.

.,r1.,,}

qilie

-Ir;

-

l;r,

".-r.,r'1

r]

l{

j(nr,

1{ l{

m,

Sc

rrLLnre5tc

Tn.rltlt(

a lui

l)n mrrliirrrr:a

2

a inlr:rvaLt'ior

n,dinrclsiolaic'.1

-

/r

l,

x

x

in.h,,,

iil',

l

rrr;..i-

i. ..,r.

PenlrrropartilicPdcllnirrrnottnLrl,t)n]ll-n,;trlLrrrx{lr,-r'il,.Jrrie,{f)

l=

rnax il,,1J

)

'

n€t

' "

si nt

(irnverrirrr

aa

pentrlr

/lr,

cir

V,]

€P

I

ie

P

o

partrl

ic

a

lui

D.,

.

{=

{€,1

.1

e

"}

Acurrr

Irulenr

rlellni

sunrr'lc ll.ir:rriarrrt il

(razrtl

tr-dimonsional.

DEFiNITttt

[ic

/)",

rrrr irterral n-dimensional

r:u

vol(l)',)

>

0.

ie

/:/),,

-'R

[ie?

o

par1,i1ic a

lrri /),,

5i

{

o illr:gere

de

puDclc

asor:ia1c.

Sc trumeqle sut}d l

ctllii]?r

u

Iu,

I

r,lot,,,t

lr

P

.>, lu

r

rr..,rr;n..

r;tP

{r

J,t+''.'

t'

A€P

vol(D")

>

0

si

formirnr

parti{ii

?

crr

vc'l(,'l)

>

0

Se

rrurrrcrqtt'

altatre

dt

purt.t'.|.e osctctal.r:

()

rlrliltime

sriiri:loi

ltieliar,ii.

[,]xr,\rPr,E.

l)

Fie

n

-:2

1i

lit

|'.

i

'.

-l

l,',.],.

ri-\ri

P1

"LLr

r\11r11'\drrr

J

rtr

rruL.rr .r

I),

-

la,b1

xft',d1.a=r'r<.rr

c-Ao<lJr1

1 h,=rl..\1r-

lr;-1.rr]

x

lvr-r.tlt]'

1-(

j(rru'

I

(l(p'

(€,u,'li*)

i-.arr.

v

-

{11r.

I

I

(

j

.{

zn. I

{

I

{

p},

11

a; - {({,r,

air) |

1

1

j

(

m'

l:

t pJ l"

1'

/r,-R

frP

o1(P,([,r11=

f

f

f(€;r,'rrr)(';

r;

r)(itr vi-r)

t-r

f

=1

))Irir:n=3,

D:=

lnr,6r]

x

f4'.621

x

lor,6:1,

ar

-

ino <;tr

(

{

r;1

-61'

a2=

o<

91

<

< uo,=bz.

at=zo<zr{

1zr=h3

-

Ilri"ru"l"

Ai11"

=

lt:i-1.x)t

x

[y,-r,.qr]

t

[-*

,,.t]

d"lrncs.

r'

l"Irtilie2

Puncrele

(€iir,r);it,(ti*)

6.4;i6

d,,nn"",t

o a1,'g*r,

dl

puncli

asociale

cu

P,((,11,()

l)ac '

este

datir/:I)3-R,

lnl

o

t

(. (t.,1,

()\

=

)-

f

l(';r,

rttrr,

ctj*)(r'

-

cr-r)(v-;

-

)1

-

t\l

zt ?

r-1)

i=1

j=t

k=I

Pentru

o

lunclie

miirgiriLi

pr:

un

interval

n-dirncnsionai

pulr:m

rJcfini sumele

I)irrboux

lclativt:

la o

partilic

T-altll,

D,,-

R iiiirgiriiii

pe

uIi

iilierval

,i-ditlrrrrsi,,rtai

2

dcfinim

ml(A)

=

inf{/(e)

|

ar

e

,4},

-

R,

/(r)

=

c Ve

€

/),,,

atunci

/

este integrabild

pc

un

ilicrvei

lu,

i] qi pc

r:n

i

alil

cnutr{arca

r:ritcriilor

dc

aserrlerrea

ci

itlotrrild

rrrodr,

i

:

D,,

-

ji.

uncle

_\

esre

un

,\ ri.t.i.rn

acurn

ci

;i

in

Iliernann

atr;rgc

rrrii.rgin

irea.

PRopozr. r-,\

B.l _

Fie

.i

pe

l)",.

Aceeagi

pnprrtl.olc

a

I)errionstra{ie.

l,,ir:

i >

0

lrr(P.{)-

Il

<

.

,Jeri

lo(p.

An

C

I irslI,

l rrL,

rt

/

rrrr

este

rric

^9

-

|

16ry""r1,,

A

+'A.

Atunci

lo('/:,

{)l

>

I.f({o)lvol(

in

caie

{_a"

=

(6)

E

Tcontlr,r

3.2.

(Criteriu

esle

znlegrabtld

llrcnann

d ac

inril

ortrare

or

fi

p,. p"

pa.

{',

{"

okqcrt

relatte

,t

p'

r

I

inlocuind

in

(3

2)

rno<iulL

mann

pentru

funclii

cu

valori

DentottsLtaiic.

,..*"

La fcl

r:a

in

cazul

urr

,.c"

OolsiderEnr

un qir

(

mann

(a,)"

asociate

acostora

Banach

X,

deci

existi.

/

-

Ii

und

inrerrsi,..,ira

l,

,i

I

=

f

.l

DN

Peiii,ru

apiicarea

accsi,iii

I

boux,

introducern

noliunea

dc

DeFIrul,1rc.

pie

p

o

oari,

lui

D,

se rrulrreQte

o

,ofin.or."

^

n-dimensiolale

care

compurt

P

ctli

= {r',,r,,

,r).r,},1{i

TEoRDMA

3.i1.

Dacd

f

:

mann pe

Dn.

Acelast

rezultal.

r

Demonstralie.

Aplicim

.li

i)EFiNiTiE

Fie

'iulc(ia

i

D"

-

5i

2

o

partilic a

lui D',

Pentru

I

€

MrG)=

sup{/(e)

|

.r

e

,4}.

"i(2)

=

t

rnf(,l)voJ('1)

se

numcEle

suma Durboux:

inlctioarii

rclalivl la

2

,teP

5i(2)

= t

,l'ly(,1)vol(,4)

se

numeslc

suma

l)arbour sLperioati rr:lalivir

la

?

AeP

Au lost

aqadar

introduse

toate

noliulile

prclitrrinarc nccesatc

delinirii

collceptu-

lut

de irLtegrals Riernatrn

pe

un

intcfva]

n-dirnensional

qi

domorrst,ririi

cliteriilor

de

rnr,

Bral'rlrr,rt,

(

archl

Et

Darbc,u.r.

Dtl 'lNt'f]D.

Iie

D,,

un

iirtervai

zl-dirnertsiona]

cu

vol(D.) >

0

qi

tie

/

: D,r'R

Se nrrrneqte

irtlegrala

llicmann

a

lui

/

pe

.D'

nuniiruJ

real

,l

noiat

'

-

.l

I

=

Lt,.

'

i l',.r,,... ,.r,)tl.rr"

4.r,.

.rl

lrnfrrelal-a:

V.

U

JD

allt r

rrr'll

V/'1'arlt\te

D"

u

lrii

D,.o

liPll

<6.qi

V(

alegere

de

puricte asocialc

(,

?

are

loc

lo(?,{)-

Il<e

llarii

rul(

/),,

I

o,

.l^nnrm

/r /

-

0

.l

D,.

Se

zrrati

la

lel

ca il cazu

a

-

1

c .

tlacX

existi,

1 estr:

unic.

I

IJacd

.xrsta

/

"f,

ft,n.\,o

/

sc nrtnreqte

xntegtll)xld Riernaun

pe

D,'

;"

ExrirMPr,u.

DacE

f

:

D,,

Riemann

pc

1),,

qi

(3 r)

Analogia

cvidcnti

dintre

forrnulrlrilc dtn

definilia

noliunii

dc

intcgralS.

R.iemanr

i

f

=c

t,tlll),,\.

t"

D.

ti ii

=lt,

Punctcle

este

rr-.).

surnele

,,1),

la

2.

Ia

?.

de

D,,

partitic

-

rl<

t

(3

1)

R.icnranl

pe

un irl.erval

[a.

t]

qi

pc

un

inlcrval

n-dimensional D,

va

colriinua

ir

ceca ce

privcqtc

aiit

enuntarca

criteriilol

dr:

irtr:grabilital

c cit

gi

dcmonstrarea

lor. Observim

de

asemenea ci

inlocuild

rrtodulul

cu norrt:a

oblincrn

definil,ia

intcgra|:i

pentru

lulctii

i

. D, -

\ rrnc' ,\

,.rp

irl

.fauu

nnflr,al

Ariti.rn

acurn t:i.

Ei

in

t:;rzul

frrrrc iilor

dr: rnai

mrrltc

va.riallilc

irriegra.bilitatca

Rieriann

atrage

rrtirginirea.

PRoPozt'ftA

3.\.

Fie

.i:

D"

-

R

tnlcgrabtlil

llternann.

Alunct

f

cstc

rniirgtnild

pe

Dn.

Ateeali

pxtltrtctale

urc

loc

Ez

pr:nlru

funcliz

c:n r:alorz

intr-un

spaltu

norrnal.

Denonstua\ie.

l'ie;

>

0

gi lic

l.

astle| inc'it VP

pariilie

ctt

llPll

<

6.

qi

V{

aiegere,

o(P.il

Il

<

e, deci

l"(P

{)l

<l1l*e.

t)acn

/

nu

esto

mirginit5.

pc

/)", existi

,40

C

p

asl,fel

incit

I

rru

este

mirginiri

pe

.,10.

tn r

qt

-

,).

ln:.9

=

I

/(4,r)\'ol(,{).

Aiegerrr

{6

€

,4r; astfcl incit

i/((u)i

t

tffi,

Ala.

Alunci

la(2.{)l

>

1/((0)lvol(,10)

-

lSl

>

1i} 2e, o

coltradiclic

(aici

{

cste alegcrca

rLr

Ldrr

(4n

-

i,0i

TIToREMA 3.2.

(Critcriul

dc

iutegrabilitate

Riemann

al

lti

C'auchy)

/:

D,'

'.

6

esle

tnlegrabtld

lTtemann

dacd

gt

numai

dacd,

penlru

orir:e e'> 0,

cnski

5,

>

0

asl'fd

tncit oricare

o.r

fi

?'

,

T"

partilii

ale D" u

llP'll

<

,5.,

]l2"ll

<

6,

st

oriure

ar

li

t'

, t"

alcqeri

relalzue lu

Pt

,

respectit

P't

,

are

loc:

o(P',("')

o{P".e".)l

<..

(.3.2.\

inlocurnd

in

(IJ.2) rnodulul cu norma,

oblincrn

un r:ril.criu de

integrabilitatc

Rir:

mann

pcntru

funclii

cu

valori

illr

un

spaliu

Banach.

Denunstt.L[le.

,.+"

La

fi:l

r:a

in

r:azul unidirnensional.

,.+"

Considerinr

un

qir

(2"),,

de

partitii

cu

ll2'll

*

0

qi

un

qir

de sume Rie-

marrrr

(a,),,

asociate acestora.

Din

(3.2). (o,,)",

rezulti

Cauchy,

irr

R sau

in

spa{iul

Banach

X. deci exislii

I

=

Iimo,,

qi

foioslnd

din

nou (3.2)

aritdm.

ca

qi

in

cazrrl

.

t"

inoiLni'rrsioilt1i,

r" t

=

.l

t

r

D"

Pcii'i,iu a;;iicaiea

accsiiii ciiieriu,

i:a

;i

peniru

cirtrl.,lsita.Lea c,iiir,tiiiiui

iui Dar--

boux,

introducem

lolrunea

dc tafinare a

ulei

partilii.

DtrFtNllnr.

Fie

2

o

partilie

a unuj lnterval

rr dimcnsional

Dn.

Parli\ia

Pt

a

lui D,, se

lurnelitc

o raJinare

a

lui

?

daci

P'

esle formal5,

prirt

divizarea

intervalelor

n-dimensionalc

care coltpun 2.

Observirn

cd.

in

accst caz,

d,

= {e,i,o,

...

'r1,,,t}

C

C,'tr

-)t 'r,

,r,rl

r

'.

i

.

t'

'I

lonov,q

'.l.il.

Dacd

f

: D,.

-'

Fl esle continrLd,

alwm

f

este inlegrabild Rte-

nann

pe

D,,.

Acelast rezuHal

cstc xalabzl

gi

dar:ii

I

are naLori

inlr'un

spaliu Banach

De.monstra{ic.

Aplicdm Teorr:ma 3.2.

fie

e

>

0

qi

fie

du

dat

de

propric'tatea

de

it9

conlrnLrilatc

unilorrllii

a

llli

J

p{r

/)n

astlll

rnclt

Vu't

e

D"'

a

i1,,,,i.,\

=

/idl ft,ll<-

z'

-I

(r

3)

ttj,:..

'P'

. T"

partilii

irir:

lui

/),,

cu

112'li

<

6.,

li""il

<

6.

Ei

lic

{'

{//

alegcri

relativc

la ?',

r'cspecliv

ll"

(lonstruiin

o

ralinarc

?

a

parli{iilor

7'

1i

?r'

prtn

,",,r,i.*r

Jrrli"irr,ior

intcrvalr:lor

lcr.bri,

I{i-:irn

folosir

la

fornrarca

l'rii

P"

si

fic

i

o

irlegcrc

relalivi

la

2

ln

srrr-na

I'i.icnranrt

t(?'

,{')

apar

lermeni

lclal,iv

la

int'ervalc

rt-dinrerrsion:rltr

cait:

se

tl".,,nru

1r,rrt

in

reurtitttti

cie

rltervale

ri-tlilttettsion

ale clirl 2'

decri

lo(P'

€')-

"(2

€)l

<

<

;

iilel

,l

f((-1)ivoi(r)

untlc

'1

c

;1'

rler:i

(3

3)

i''plici

-ll€1")

-

/(i'r)l

<

,

i

-

r,

rr'lr

r'r'i

rorf'

t't

-

"

/'

€

;

2

',1(

/

'

)

Cu

acclaqi

ra ic-,;r

anrcnt,

VO"

'e")-

"(P

i)l

<

i'

deci

(:i

2)

esle

rclilicttd

si

/

rezrrlt

s.

integraLili

R.ietlilnlt.

a

PRoPOZIfl.\

'.\'4ltit:Pt

o

patlxlij,

a

ltn l),",P"

o

raJin'Irc

o

sa

gi

jit(

u

ohqere

,claltuii

[a?".

Pt:nInt

J

:

D,"

*Fi

nuirgtntli

art

lot:

s(t')

(.-(2")

5

a(2".{)

<

s("")

<

'5(7t)

(3

4)

l)ett;torrstra(ie.

l)acd

l"

e

?/'

existi

A'

€

Pt

cu

'1"

C

'4'

gi atunci

ir;(,4')

(,,r.r(,1")

{

J({.r")

(

n'/j('1")

<

'1i,'('1')

l

rr.\

\q,l

Iiic

|r

o

parti(ie

(ir

inci1, VP

parti(ie

a

lui

1)

B

n}A

+

0},

arc 1,.:.

f

LJE

Fie

2

cu

llPl

<

,.

tt

e

P

(rA.

4(b))

,\t

.9(P)

-

s("r)

<

21i

)

<.S(n,) +

-

..

1+

-

1

'2)

I

-

slP)

.

i

vl

.,

Lll

'2

10(,

€)

-

1l< s(P)

-s

Fentnr

crunt,ui

qi

d

rnilc

rle masur6

zcro

din

DErINl

Iru.

l'ie

-.1

(

r

>

0

cxistd

(ai').>o tnL

o

--:

in, rl

,-1

C

[Jr'^

;r

I

v,

k>n

r:o

l,lstc

erident

ci rrir

arali:

e,*-act

ca ir

";rzul

L

este negli.jabili.

cii

rnu

nurrrirabilc

dc

mullirni

'l'd^DDr{

^

1ri /(:r

tnlcruo I n -

d.rrncnston ul

I

dacd

5i

rtt.rnai dacd

rrtu

I)lrnol,stralie.

Dcr

de

o

variabilir

rcal ..

'['tottlil,l,l

:].5

(Cnterirrl

tle illegrabililate

al

lui

Darbou-<)

t"it

I

D"

rrtirgmzla.

J'

cslt:

tn*:orabtla

jlttmunn

dttcd

st

ttuntat

dtcd'

ttrtcare

ut

lie

>

l)

P,

pattrlit:

tt

lttt

D,,

tu

'5'(P.

)

s{2.)

<

e

'

90

l).

itrL,rr

s/

ra

irt

..+

ltr,-

)

U1r

l.

-o(t]

t

0

clat de

condilia

(:t

2)

|ic?opartiliealui

D"

cu

li2l

.-

r .

i)r:ntru

/.

€'P

fi.-{'a €

I

asl'[')]

incit

f({i)

<

mr("1)-

a;/l

ai

{,1

€

-'1

asilel

illcit

f

lt';)

<

ltrl.])

:*,,

.rr

,\t,'n'r

o(f

,{')

<

s(P)+f

li

orl.{'1>-'f

r

-:,

r'

/,rlr''',1

'r,l-r-.rll

otl

t"t

;

-'

It''-

-'

J"

(3 5)

Iir:

J,f(r)l

<

l: Vr e

i),,

;i

tie

f

sLr2{s(lD)

|

?

prrtilie

a

lui

1)"}'

I

=

ntlt,SQJ

I

?

partilic

a lrri D,

I.

a

ciror

cxistt:trlii

rezull6

clin

lll

4)'

l)in

(3

il

avcrn

0

(7-I< S'(2,)

s(P.)

<

EV; >

0,

ctcci

{=7'4'l

At,,".i.V"

>

0

lb"

>

0

asr'lii

lnr:it

V"

cti

]l"ll

<

b.

't(P)*I

<;lii

1-s{?) <t'

\io]}]

(l(xilollstra

prima

relalit:.

tlcrrronsiralia

ce]ei de.a

rloua

fiintl

irnalogir.

-R,

cusld

(3t

t__

lli:i..rl..i-l1l

i

I

t--i--i--l

-t

+-j

_l

I

r

I

t_t

I

I I

I

(3

3)

{//

alegeri

Prt

prin

qi

P"

si

care

se

<

/(€o)l

<

qi

f

o

alegere

(3

4)

i

atunci

extstd

(3

5)

(a)

B€P

(b)

Fig.

4

Fie

P1 o

partilie

cu

S(p1)

-

I.

f.

D"ou,"."

vol(

U

A,4)=

0,

16"

>

0 asifet

':i,^ol

oi:r't"

a

lui

D,,

cu

|z|lt.

,,notrnd

i

= $2,

l

r.n€

?i a^strel

incir

B]AA*0j,

are

toc

5_-

vo(B)

<

n}

(vezi

Fig.

a(a)).

BEP

Fie

?

cu

llPll

<

re'P

ct

llPll

4

6,

9i

?2

rafinarea

oblinutd.

Iolosind

d,4,

0B

penLru

A

€

?y,

B

€ P

(fil.4(b)).

Atunci

llp,ll <

b.

"i.

a,u a"-"""

"-l-;^i,^

,,

,

tunci

llPrll

("6.

9i,

tlac6

i2

are

semnificaii.

d" ,rrui

"u",

(P)

-

s(p,)

< 2/i

t

vol(B)

<

f,,

deci

conf<,rm

(2.4),

s(;).

lt",f

_

:"i

',

a

lui

'

.3r

ol(-4)

+

si

6, decl

D,,),

(3.5)

<

e.

<

s(21)

+'U.

t

+

",

+

|

=

t

1-

u.

Dac5,

6.

cste

ales

asifel

incii

.9(p)

-

I

<

I

ci

€

-

rtrl

.

':

r,

*1rnl

lll

<

6,,

atunci,

Vp

cu

llpli

<

6.

qi

V{

ategere

retativi

la

?.

2

91

lo(P,il-

tl<

s(p)

-

s(p)

<€.

d*i

t

-

[I

t

i"

Pentru

enultuj

Qi

ciemonsrratia

criieriuiui

iui

Lebcsgue

tiefiniin

rnai

iniij

inu]ti_

mile

de

m5suri

zero

din

R"

DEFINTTTE.

Fie,4

C

R".

A are

mdsnrd

zero

(este

negtrjab

d)

daci, pentru

orice

e

>

0 existi

(U")";e

mul{ime

cel

mult numdrabili

de

intervale

n-dimensronale astfel

incit

Ac

.l)Ur

1i

f

vot1ul)<

r.

Vn

)

0.

l>o

-

k=lj

Este

evident

c5

un

interval

n_djmeusional

cu

volum

zero

are

misurX

zero qi

se

arati

exact

ca

il

cazul

unidirnensional

ci.

.,r;""

",rf,rnui1irn" ^

,rJ"m,rltrimi

,regliialite

este.neglijabili,

ci

multrimile

cel

niult

numirabrf"

"irt

""giij"'ili;

qi

cd

reuniunile

numdrabile

de

multimi

neglijabile

au

mdsura

zero.

..

Tlop"lM^

3.6, (Criteriul

lui

Lebesgue

de

integrabiliiaie

Riemann).

Fie-D,,cR,

T]:?:"'::. ::'"""at

61.[te

f

D,

-

w,

^d,s,nai.

t

""i"'t"i"g*'tlia

nremann

pe

t')n

tttq

tt

numat

dacd

mullimea

punctelor

de

thscontmuitale

ale

lut,

f

este

neqti.labiid.

Dimonstra,lie.

Demonstratia.

o

urmeazd,

indeaproape

pe

cea

din

cazul

func{iilor

de

o

varrabrla rcal ,.

,,+"

Q

= {xeD^l/nu

este

continuS'

in t1

=

|

ero,

rrnde

f}1

=

{t

e

l"

I

,,r@)>I), k>

r

'ie

ngadar

,b

)

1-

€

Pr

qi

rezulra

] |

'.11,11

s

t

LMI(A)-

rrrr(l)lvol('4)

(

k,u

'

lEPr

Ae?t

€t

<

S{Pl

stP)

<

l=.

de

und.

rezulti

)

vol(A)

<

.

-'"

-

2k

F",

z

S

ar

mai

pulea gdsi

puncte din Q1

pe

frontiera

anumitot

interval'?

n

dimcnsionale'

Acea.sta

este

o

mullime

negliiabi)5.,

deci considerind

pe

lingi

,41

,

At

e

Pt,

tn-

I

tervalele

n-dimensionale

deschise

A,*r,

'A,

care

acoperd

[J

d'47

qi peltru

care

j=l

Aritim

ci

O1

este

neglijabili

Vfr

)

1.

16xat.

Fie e

>

0qi

?

=?"

dat|

de Teorema

35

astfel

incit

Fie?

=PtlJP2,

unde

AePl<+

AllArl0.

Atunci

Mj(A)-

$4.

PROPRIETATIE

IN

GRABILE

RIEMANN

Foiosind criteriile dem(

prinr:ipalele

proprietiti lega

pacte.

Observim

cd

dar:X

/

folosind

un

qir

particular

dt

PRoPozrTrA

4.1.

1)

Fie

f

:

D,

-+

R

in,

compact.

Atuncd

J

este intt

2)

Fie. 4", Bn interua

D.

:

A.U

8,, interual

n'

Riernann

pe

An

6i

pe

B"

at

Caz

particular:

n=1t

Demonstratje.

1)

Se

aplicd

Teorcma

3

mul{imi

neglijabiie

este neg

2)

Integrabilitatea

pc

.l

fu nc{ie

integrabilS Riernanr

(4.1)

se obline

conside

Pl

este o

partilie

a

lui

y'",

la

partiliile

21,

respectiv F

PfuoPozrTrl'

4.2.

Dac

ar

f,

cr,

A

€

R,

e/

+

B9

estr

I

Demonsf.ratie-

Integr€

o"J+Be(P,

t)

=

aot(?,0

t

CoRoLAR 4.2.I.

Fie

f

(x)

:

s(r)j.

Dacd.

existd

k€N

gz

orice

A€Pk

?. ti'sl

sQ)-s(r)<

*.

,mt(h

> +

vA

\-

L-

P

vol{-/.;)

<

€

rczul'"I no

c

,1,

cu

Irol(

1r)< r'

L

t-t

i=l

,,e"Fiel/(r)|

(IiVs€D"

Aplicim

criteriul

de

integrabilitate

al lui Darboux'

Fie e >

0qia"

=

{r

€

D^

| -r(.r)

,

*("J}

Q"

este

neglijabilS

odat5,

cu

mul{imea

punctelor de discontimritate

qi este

compactS',

couform

Cap

III,

$1,

Propozilia

1.6.

Prin

urmare,

existi

Ar,.

.

,A^

intervale

n-dimensionale,

cu

3.,

f).c

U/j

qi

)-vol(,4j)<; ,.'

J_] j=\

Fie

P

=

Ptl)Pz

o

partilie a, lui

D",

cu P1

= {Ai

I

i

=

1'

,m}

qi

Pz=

IA

€"

|

/no.

=

fl].

Alunci,

Mt@)

-

",r(.4)

<

2K

YA

e

P,

dec;L

liutt;l

-

mr(.'1)1voii.4)

<

i

.€

lleoatece

arr{r}

(

::-----::=

--r

Vr

€

D"

-

Q.'

daci

,'{

€ 2z

existi

o

partilie

a Iui

'2voll

I

)^l

A,

A

=

l)

&

ast'fel

incit

Mt(Bo)

-

m1(B;\ <

ilifu;

(un

argoment

care loloseqte

compacitatea

lui.4,

intrutotul

asemini,ior celui

din

cazul

unei

singure variabile)

Atunci

t[Mr(Br)

-

rny(B;)]vol(Br)

<

ffivor(a)

F-eunind

in'uervalele

a'dimensicrnale

Cin

?1

cu

iiitervaiele

ir-<iitieisioriale

in

care

se

partilioneaz5. elernentele

lui

?z

se

obline

o

partilie

P',

rafiiare

a

lui

?,

cu

s(p'j-s(P'1=

i)lu1{a)-^r(A)lvol('4)+

f

tultrt

*m.f(B)lvol(B)

<

A€PT

A€Pz

BEP]

.

1+

\-

i

uol(/)

... f

2

-

)' voli,D")

Ca

gi

in

cazul

undimensional,

o

funclie

diferiti

de zero

numai intr-un

numXr

finit

de

puncte

dintr-un

interval

n-dimensional

este

integrabili Riemann,

cu iniegrala

evident

zero.

ot

I

incit

-

(

$4.

PROPR,IET.{TII,E

INTEGRAI,EI

RIEI,{ANN

SI

.{LE

FTINCTIILOR

INTE-

GRABILE

N]ET,TANN

PE

INTEN\ALE

n OTITONSIONAiN'iOI,IPACrg

Foiosjn<i

r:riteriile

ciemolstrate

antcrior

qi

cielinilia,

\,or[

dr]inorsll'a

it

c(Jittiiirtare

prilcipalelo

ploDr eriti

ie.sa.tr:

tle

integrala

Rj.rriann

,"

i"a".,ri"'"_al_crsionaie

ctirn_

pacte.

".

OLrservarn

ra

tl;i,.ir

/

est,,

integi.abili

Rieuraua.

intcgrala

sa

se

poatc

calcrria

folo.ind

ur'

\ir

p;rrir

rrJar

d,

.,.rrp

Ilinr,.ann.

PRopozrTrA.i.l.

I)

Fie

.f

:

D"

-+

R,

integraltild

Rir:rnant.t

Si.

B^

C

Dn,

8,,

i.nterual

n_dimensional

compa,ct.

Atu.nci

f

e.gte

intt:orubild,

Ri"rrrann

pe

8,,

.

2'1

Fie

.1,,

.

8,,

rnientuie

rt

-riirnerr:

-

A t

t t2

;iorto.le

colt-par:ic.

11e

t)(.A-

ll8,,)

=

0

ai

rte

i:":"*9","

x:t::I,:tn

limc:L:ionnt

Fte

f

,

b"

-

fi ;;;;;,i,:il^rinilui,,E

Riemann

pe.1.

6i

pe

8,,

atltru.,i

f

este

**orit

A

il*"*rr"

i-ii

i,

(4.1)

Caz

parricuiar:

r,

=

1

i

la:

c]

=

kj,b]ulb,c]

in-

care

III,

cu

si

dec:i

a lui

care

cu

<

DernoLstntrie.

_.,,_ll.^lL*,1"]fil,'.

B;g

(,criteriut

tui

Lebesgrre).

Deoarece

o

subrnuilime

a unci

rnur\lml

r,eBlUabrl'

esre

r,,glijalrjl".

/

-ezrilra

lnrngrrbit:,

Ricrrr;urn

r,c 1J,..

.

2'lnngrabilirarca

1'o

,,

prTulla3plirrlirrir_erirri

iui

Lnh^,qlf.'

11,,

,nci conr rL.,

func1ie

inrcgrabila

Ri,ruann

r,sre

mdrAinila.

(4.i)

se ob{ine

r:orrsidcrilld

un

qir

dr:

partilii

pt

=

piUp,i

cu

llpali

-+

l_1,

urrde

{

cste o.1r31iqin

a hi

.{,,.

11

estF

o

partilie

alrri

.B,,,

qi

cite

un

girde

alegeri

rclativ

la

partiliile

Pi. respottiv

pi'.

I

"Pn1n_o3rf

r..r"

+

Z,

Dari.

f

.

u,

?ll

-

R

s;int

intelrabile

Iliernann,

atun,c,i,

ot.i.:are

ar

Jt

a.

)

t

R.

o,f

.

tg

t

rtp

intuurabilo

Rt,

ma11a

O1

f

r=[r'

Ir

,

.r"

E,

.b

Ir=

lr.lr

/'^f-',ri-"

fr-t

[,

,,

D,,

D"

(4:)

Denonstralie.

In1;egrabilitatca

rezuiti,

t]in

Teorcma

J.6

iar

(,1.2)

observind

cb

o"t+s'(P,€)

=

ao

t(P.

€J

+

Boy(p,

{).

,.

.ar1nl.)t

4.2.1.

Fie

J.q

:

D,,

-

t tnteqrnhtic

iti,,1,t)nr.

Fit"

L

=

lr. I

L). i

Jtr')=atxtl.

uotacr'tstd

rrn

5,r

(p1r,

1

dp

pot.ttlti

ul"

D.

ustlci

int

ii,

p"r;,u

o)r,

A€N,y;nrire

.)

t

Pr.1,510

tl

€

En;,

ot,,n";

I t= [o.

LI

"

D.

D"

Demonstralie.

l'unclia

(/

-

9)

esle integrabild.

Riemann

qr

din

conditria datd

exisi5

un

qir

de sume

Riemann

oy-r(?7.,€r)

=

0

Vf

>

O. I

PRoPozJllA 4.3.

a) I'ic

f

: D"

-

R inlegrahild.

Rie.mann.

Dacd

l@)

>-

0

V?.

e

D,., atunci

lt>o

;"

b)

Fie

f, s,

h

Aluncz

:

D,.

+

ft

tnte,grabile

Riemann

Ez,f(r)

( g(r) ( A(r)

Vr

g

D,.

l

r<

l'<

lo

(4r)

l)- D,,

D-

Demonstra.tie.

a) o1(P,O

)

0 V7'

partitie,

V{

alegere.

b) Din a)

gi

din

Propozi(ia-4.2.

I

PRoPozITIA

4.4. Fie

|

:

D"

-

R-

Dacd.

f

esle inlegrabild

Riemann

pe

Dn

aluncz

lfl

esle

integrabild. Riernartn

pe

D,,

9i

tlrt<

lvt

D"

D"

Demonstra[ie.

Integrabilitai,ea

lui

l/l

rezult[

din l.eorema

3.6

iar

(4.4)

din

l/(")l

<

/(r)

1

lf(z)lva

6

D",

qi

din

(4.3).

t

TEoREMA

15.

a) l'ie

f:

D"

-

R

integro,hili,

Riemo.n.n..

Docd. m

{ (*)

(

M

penl.ra

orice

t

e

Dn,

atunc;

rnvot(D,1<

/

I <,u'"rta").

(a

5l

;"

b) Dacd

f

:

D"

-

R

este conlinud., exisld

(

6

Dn

astfel

incit

t.

.l

I= IG)vottD")

(4

6)

D-

c) Dacd

f:

D,

-

R eslecontinudgig:D,*[0,co)

este intcgrabtld

ru

[

010,

.t"'

alunci

f

.g

este inlegrabild. pe

Dn

qi

eristd

(

e

D. cu

D"

I

-.

. t

.l

t s=I\c)

l

c

D-

Dernonstra\ie.

a)

Rezuli5

din

(3.1) qi

(z

b)

/

fiind

continui

pe

<

.f(z-)

(

"f(")

E /(riy1)

Vr

6

(4.:i),

iar (4.6)

se

obline

din I

c)

lntegrabilitaiea

lui

.

ll

.f("-)

(

, lJ s{fl

t.l

.l

n

n"

D-

f(r")

in

R.

TEORDMA 4.6. (Fubini

m

+

p

=

n,

D* inlerual

m-

Fie

f

: D"

-

R

inlegrabild.

V

*

f@, )

esle iniegrabiid

inlegrabild

pe

D^.

Alunci

funclra f1(z)

=

I)

funclia f2(y)

=

,

I

=l

D.

Dernonstralie.

ViePt o

y

=

t

r'({A)'"r(/)=

t(

D.

I

r,oto,

=

AeP'

t

Nord,m

cu

/

=

lf

qi

fi(

.J

D^

n"

cu

llPll

<

6.

qi

v(€,4)

ak

Fiep={AxBlAel

=

vol(-4)vol(B)

vA

€Pt,

B t

Fie rna(B)

=

inft/(€a,l

M^(B\

=

supl

"i

(€,r,

definiie pentru

B

e

?t'

qi

fie

*r""(DJ'fLo"t'il>MA

AeP'

94

dati

alunci,

e

D^.

(4

3)

pe

Dn

din

(4

6)

Demonstratie.

a)

Rezulti din

(3.1) qi (a.3).

b)

/

fiind continuS. pe

compactul

D,",

existi

x^,€

Dn:

rM

€

Dn

astfel

incit

l(,,,) </(")

(

"f(cv)vr

€

Dn.

Atunci

/(,,,)

<

#D/

f

{ f(xv)din

(8.1)

qi

(a.3),

iar

(4.6)

se obline

din

faptul

cd,

f(D,)este

conexi.

in

ft,

deci intervai.

c)

lntegrabilitatea

lui

/ 9

rezult5

din

Teorema

3.6

qi,

la

fel ca mai

sus,

1t

/k-) <

-1

I

f

n

<

f(xM).

(4.7)

se

obline

folosincl

din

nou

conexitatea

lui

Jo

d"

D"

/(r'

)

in

R.

TEoREMA

4.6.

(Pubini)

Fie

Dn interual

n-dimensional,

D^

=

D* x

Do,

cu

mI

p

=

n,

D^ interaal

m-d.imensional

iar

Do inleraal

p-d,imensional

(compacle).

Fie

f

: D"

*

R inlegrabild,

Riemann,

Presupuncm

cd,

pentru

orice

p

e

D^

funclia

y4

f(a,y')

este inieqrabiid, pe

Dp

pentru

ortce,

e

Do

iunclia

r

i-

i(c.y)

esie

integrabild.

pe

D^.

f

ALuncr

luntlta

JtG\

= I

llt. a),la

este ntcarabild

pe

D^.

J

D,

I

lune[to

l2(y)

= .l

[(t,U)d.r

e,te

integrobild

pe

Do gi

D^

tttt

J

l,v)a,

=

J

(J

I\,.a\aa)d.r

-

/

/r.r.,u)drdr

=

D^

D^ DI

D.

=

l{.1

x,,o;*.)dy=

|

ho)da.

Do

D-

(4

8)

DP

t

I

o,

Demonltratie.

Fie

P/

o

parti(ie

a

lui D-

9i

{

o alegere

reiativE la

?,

.

o1,(p'

,f)

=

I

=

\

I{ee)vot(A)

=

Lf

I

lGA.

a)da)vot(At.

AeP,

aeP'

f

Nordmcu

I--

iltifiee

>0

Exjsr,d

6.

=

6i':)

asrf,.l

incir, Vp

parti{ie

a tui

.t

-

\2)

D-

D" cu

llzll

<

6.

qi

V((,a) alegere,

{

e

D^,

ne

Do,lot(,(t,\))-

/l

.

;

FreP

=

{Ax

R

I

A

€

?t,

B

e?",

?t/

partilie

a Dr}.

Evident,

"oii.a

x f)

=

=

vol(,4)vol(B)

YA

. ?'

,

B

e

P"

.

Fie

rn1(B)

=

inr{/({a,s)

|

y

€

B},

MA(B)

=

sup{"f({e,

y)

iy

e

ai

definite

pentru

B

e

?"

Eifie

r7'"

e

B,

\'LeB

cu

proprieiilile

f(t*rt

ama(B)+

+J*X,J.

flte,q'b\>

Me\B)-

tfo

(4

7)

Atunci

ma(B)vol(B)vot(,zt)

<

(/

rte

,

,

uiav)vol('1)

( Ma

(B)vol(a)vol('4)

BC

pentru

orice

A

eP''

B

€

?tt

ftenirrl"

l,l,

tt't^''k)vo1(B)vol(A)

-

=

<

-\-

{ t / r(t,,u)as)vot(l,="r,iz',CltI

t

/(€A'4';)vol(B)vol('+)+

'

-

/-\

t_a

.l

"

/

AQr-'

BtP,t

-

Vj

=

1,...,m,

deci dacn

lloy(l

?,

acelirsi

lucm

rezultS.

Peniru

T

Riemann

p.

D,,

$

|

[;

=

Ii

J

D"

,,€"

Fie,I-(/r,...,1n),

AAP'BCP"h

Drr

B

t

2t

I)eci: oy

(P'€)

-

I

<

otlP'((

n"\)

-

Ir

i

<

,-\l

2€

or,("',t)

-

t

>

ot(P,(t,ttt)l

-'

-

Z'

-?'

D

emotstra\ic

,,+"

Fic

I

=

(/r,

'/-)

reiativi

la

P

llc;\"

'r-)

-

lllz

=

-1r,

.

.

,I

/-(co)'o(,q)

-

t-)li,

=

,li(",''n't' -

t')'

'

\o1'Q'1'1-

t)

-Iil

<

"

V2

parti{ic

cu

ll?l

6r

-

mrrr

A;(a)

,,nd.,

p"

1<j<m

"

\m/

llell

.6t(*)

atunci

i'r,(2,r

Cottolr'n

4.7.1.

l'ie

I

Riemunn,

pe

Dn d,acd

Ei,

numa

2e

de

unde

loy,(?'.€l-

/l

'

T

<

t

D"toon"truliu

celuilalt

"caz

fiind

analogi''

t'eorema

rezuitS"

I

,1

-

l(l

rc'o

'v'1ooo"

"'"or.o"^o

4.6.1

Fie,

itL

conditriile

'feo.remei

46

f

: D^

-

R

conttnu,"

Arunci

lr^"lri"-i,

E,

f2

sinl

i'nlegrabile

9i'

are

loc

(4

8)'

'

"

n

-*il"

it

qi

/,

t"

mai

numesc

9i

inlerale

cu

paranlelru

Vom

revenr

asupra

accstui

cortccPt

tn

$6

Relativ

la

luncliile

cu

valori

in

R-

avem

urmS'toarea

teorema:

TEoRDMA4'T.FieDnuninjertlaln-dirnensional,.fp"--n-'"f(r)=

=

(.fr(r),

"'

,

f^(x))'

J

""t"

'nt,.g'.,oi;ft

Ale,r"ann

pe

Dn

dad

v

,numai

dacd

fi

esle

intesrabitd

Riemann

pe'^,"";:;:';';

=1'

"m'

t

=

tl

f'''

I

f^)

n,,

D,"

D"

Pentru funclii

de o

varial

Pnoeozr1r,r.4.8.

Fie

t

F :la,bl

*

R,

r'(r)-

/ l(1),

J

Demonstra\ie.

f

iitA

*t,

pe

fo,

cl, Vr

€

[a,

d],

,ieci

F

M

> 0

asl,fel

incit

l/(1)l

(

M

rt

lr.(.E)

-

r(ro)l

=

l/

f(

1J

l"-"ol

<5=r,

*r'i,u

UNELE

M;.RIMI DEFI

in

acest

paragraf

vor fi

p

din

spaiiui

inconjur

bi

gr

triciimensior

EEte de

retinut

urmf,toar

are

ca

definilie

o

in

ACP

-

/ I Pentru

orice

parrilie

2

a

D'

ii

(

alcgere

I'

D^

lli lis^i',ot(a)

ril.

li(tir((,r)';cr('l)-

aep

<

+

;.

b]x

=

}i:^],, ,1"',

dcci

fa-ci

ll'/(P,{)

Ill2<e

ypcullpll

<

6.

qi

V{

alegere

rerarivd,

la

/,

acerasr

rucru

rezulti

pentru

lot,Q,€)-

lilvj

=

i,..

,m,

deci

l

este

integrabili

Riemann p.

D"

i

I

fj

-

IJ

D^

,,+"

rie,I=(11,.

..,

r^),

tj

=

r,

j

=

t, .

n".

ii.lr(",{)-ril,

<i

lot,(,

t)*

D-

j=I

.'-1,

<

e VP prartiiie

cu

lllt

<

il,

V{

alegere

relativi

la

?,

6.

fiin<i

definit

prin

n =

,S,_{=

4

(:)

unde,

pentru

j

=

1,.

.

^,

6r(:)

este

ates

asrfet

incit

daci

ttpll

.

,,

(*)

aLunct

lo1,(? ,

{)

-

Ll

.

*p",,t.u

ori."

.t"s",e

{

re}arivi

la

p.

r

Conor,.sR

4.7.\.

Fie.

f

:,D.

-

(:,

J(r)

-

u(x)

+

ia(r),

f

este

znte.srabitd.

iemann

pe

D^

dacd,

qi

numai

d.acd,

u

9r

u sinl

tntesrabrle

Iliemann

e,

O^

q,

I

y

=

--

l"

rt

| ,

o'

D"

D"

Pentru

func{ii

de

o

variabild.

reald,

cu valori

reale

are

loc

urmbtoarea

propozltie.

Pnoroztlt,r

4.8.

,Fie

f

:

la,bl

-

R

integrabild.

Riemann

pe

la,bl 9i Jie

P:

fa,0l

*

R,

a(r)

=

|

fAn,

Atunci

F

este

conttnud

pe

la,bf.

Demonsrrali".

Fiind

inresrabild

pe.[o-.6].

propozilia

4.1.1

irnplicd

/

integrabil6

pe

[0..r].

Vr

€

[o.61.

deci

F

."r"

trno

d"finnn.

cum

f

.";;;;;;;;r,,

pe

fa.6].

iie

M

>

0 asr

rel

rncir t/{/)1

<

.M

V/

(

lo,6l.

Fre

,.

€

i;;l

ii

n.,

,

0""

lr("r)

-

f{rn}l

=

lIr,r,a,.l

,'f

,J"

'

<

l.l

l/(t)ldll

(

Mr-

)l

< e

vr6

ia,bl

qu

lt-

rol

<

#

=d..

Rezulti

f'

conrinud,

in

a0. f

$5.

UNELE

Mi.RIMI

DEFINITE

PRIN

IN

EGRALE

R,IEMANN

In,acest

paragraf

vor

fi

prezentate

citeva

exemple

<.le

mirimi

care

c.arac1erizeazf

;tele

din.

spatriui.

inconjurltor

si

in

a cd.ror

defi;ilie

int;;;i;;

inr"g,'fu

rf*'ouno

=

este

-

ril

intervale

bi

qi

triciimensionale.

Dsie

de

retinut

urmitoarea

resrrl6:

orice

tnirime

descrisd

aproximativ

prin

sume

Riemann

are ca

definilie

o

rnieg.aia Ilremann.

5.1.

Volurn

intermediare-

Suma

Riemann

Fie

D2

= fu.t]

x

lc,r

ur

interval

bidimensional,

f

:

D2

-+ lR+ integ

Riemann.

ilc 2o

pa.tlii"

u

lui

'o,5i

€

-

{€,r

I

e

A'A €2}

oalegqre

dep

p({a)vol(,a), acesta

ate cootdona

Atunci,

cenl,rul dc

greutate

i

t:G.

AG:

zG

ot(P,€)

=

I

/({.4)aria(,4)

A.?

mdsoari volumul unui

corp

format

din

paralelipipede

dreptunghice

drepte

de bazi

'rit

i"ertirt"

l(€-e).

Deoaiece

acest

cori

apro"imea'5'

cotptl

i1.

--

{'(z-"1'

z)

1

m3

(r,'y)

e

i2,

z"e

lOi,7@,fi1j

<lentmit'

subgrafiat'l

luf

/,

este

natural

si

definim

lai

fy

prin

,,tln=

|

I

f

D2

Obqirr"r'r

asllel

o d'

finiiip

i'niJi'a8'

cplei

a

arici

rubgrrficului

unei

functii

'lefitite

p"

un

int,".,rol.

Definilia

se

extinde

pentru

funclii

definite

pe

intenale

n-dimensionale

/ /

rnurulnd

rolumul

subgraficul'ri

lui

/

r'a

rrtullime

din

Rn

I

D,,

5.2.

Masd

Fie D3

un

interval

iridimensional

descriind

un

corp

neomogen

de

densil

p :

D3 |

1Ra,

integrabilS

Riemann

(de exernplu

continu5')'

-

Fie 2

o

partilie a

'Dz,

A e

P,

€

A.

Aproxirnlm

masa

lui

,4

considerind

densitatea

coilstar

"galii.

cu

lr.louioa

plffi, rn(A)

-

p(6'1)voi(-4), deci

urasa

iui

D3

se

aprr'xirneazd'

o"(,€)

=

t

p(€,{)vol(A).

A€1>

Definim

masa

corpului

neomogcn

de

forna

unui

paralelipiped dreptunghic

,

u dFnsilalpa

irrregrabild

Ricnrann.

pr'tn

5.3.

Centru

de

greutate

Fie t3

un

iniervai

fidirnensionai

ciescriin<i

un

corp

neornogeii ile

p

:

.D11

--t

R1 iuiegra'uiia

Riemarln.

Fie

2

o

parti{ie

a

lui

D3,

A

€

P'

tll

(a

=

(r,1,

y.a,

zn). Consiclerind

sistemul

de

puncte materiale

(,a,

A

e P

de

\-

.rc

=

S

/-

Ae

\-

12

.

AEP

Yc= \-

,1_

AE

\-

zo=-t

/

AE

f

Masa(D3)

=

/

p.

D3

$5.4.

Mourentul

de

iaertie

in

Reaminiim

ci

rnomentul

d,

definit

ca

piodusul

dintre

a-,a^sa

la

ax5,.

Momentul

de

inerlie

al

momentelor

de

inerlie ale

punct

Fie

D3

un interval

tridim

p :

D3

---+

R

integrabild

RieI

98



irtegrabil5

de

puncte

de bazd

e

m3

|

uolumul

(5.1)

densitate

cor$tant5,

cu

drept,

ii0:1si'r,ate

-

/

p({1)vol(,4),

acesta

are

coordonatele

centrului

de greutate:

T

x

a

p({

a)vol(

A)

,,(1a)"ot(,,r)

AEP

D

A€P

u

e

tG..+)vol(A)

lJG

=

I

r({,r

)""1(A)

A(P

-

on

,\P

't)

.

"o(P

't)

'

.l

r

p(r,

y,

z)drdyd

z

D3

JG = --_7+;

Jo

luo@,u,")d,da,t"

D\

j

"p1,,y,,;a,aya.

zt:

=D

t

I

lt

DX

[5.4.

Momentul

de

iner{ie

in

raport

cu

o

a:rX

Reamintim

ci

momentul

de

inerlic

al

unui

punct

material

relafiv

la o

axi

este

definit

ca

piodusul

dintre

ma^sa

corrceirirat5

irr

punci,

qi

odi,raiul

disiantei

cie ia.

punci

la

axi.

Momentul

dc

iner{ie

al

unui

sistem

de

puncte

materiale

este

cleflnit

ca

suma

momentelor

de iner{ie

ale

punctelor

componelte.

Fie

D3

un

inl,erval

tridimensional

descriind

un

corp

neomogen

de

dcnsitate

p:

D3

-

R

integrabili

Riemann,

p

o

partilie

a lui D3,

A"€ ?,

t.,t e

A.

99

I

z

a

p((a)vot(A)

:-

_

^(P

o,

r(P,()

f

n{(a

)volt'4

)

d/'l?

t')

AEP

Atunci,

centrul

dc greutate

al

corpului

descris

de

Dr

are

coordonatele:

(5

3)

(4

=

@a,y,1,

z1).

Considerim

sistemul

de

puncte

materiale

t,r,

,4

€

P

de ntase

(avol(,

).

Acest

sistem

are momentele

de

inerlie

relative la axe:

ia"

=

Lripiiq

ivol(l)

-

o,'p(P.{).

AlP

1r,

-

t

p?op\ q\vol(

Al

-

oo,o(T',(i.

AEP

t,

=

I

z2op((lJvolr

A)

= o",o\P.t).

A(P

deci momentrele de iner{ie

ale corpului de densiiate

p

descris dc D3 se vor defini

prin:

ro,

=

|

x2

p(x,y,

z)tudyd",

-

D.

h'

--

|

y2p(x,y,z)d'xdydz,

D3

In,

=

|

z2

p(x,s,

z)d.xdyd.z.

D3

$6.

INTEGRALE

CU

PARAMETRII

DEFINITIE. Fie

D,,

un interval

n-dimensiota.I,

Dn

-

D^ x Do cu

D^, Do

intervale

m

$i

respectiv

p

dirnensionale. Fie

f

: D"

"

R continuS.

l\ncliile

I

ft:

D^

-

R,

/r(x)

=

I IQ,v)dv.

J

DP

T

Iz

:

Do

-

R,

"/z(s)

-

|

lQ,

s\d.t

J

D-

se numesc inle-orale cu

parametru.

in cazul

lui

-f1

Darametrul

ssls ,r

=

(o1.

. . .

,

r,n)

iar in

cazul lui

fi

este

a

=

(h,...

, lp).

Rernarcd.m

c5., datoritS,

continuitilii lui

/,

funcliile

y

*

f@,y)

qi

r

F-'

J(r,g)

sint

continue, deci integralele

din

(6.1)

existi.

ExEMPLU. in

cazul n

=

2. daci

1:

la.b]

x

l",a]

-

n este continuS,,

/1(o)

=

db

tt

= /

/(r,

y)dy

Er

h@

= I

/(r,

y)dc

sint integralele cu

parametru

definit'e

prin

(6.1).

t.t

(5

4)

(6

1)

Observdm

ci

pentru

definirea

presupunern

cd,

pentru

orice

ri

€

nuitS(ilor

negli.labrlS

rn

rp.

respe,

mullirnea rjiscontiiruiiililor

neglijai

Demolshem

in

ccrltinuare

un

urmind

sd rFvellitn

asupra

a(cstor.

TEoR|..MA

6.1

.

Fie

I:D^xl

prtn

(6.1)

sinl

funclri

untform

cont

Demonst

ra\i".

\'om

demonstr;

Deoarece

/

este continui pe

cor

6.'-

b(--.

-

)

>

0

astfel

rlcirVr

\

vol(re

J

/

llu'

-

u"t1,

<

a. >

1/(u')

-

/(u,')l

.

lie

i/

=

yt'

Pe

g

€

Do. Atiinci

llx'

-

tr'llz <

b,

-+

,Jyt'

.

y)

-

1.r"

t

Aiunci

lfi(r/)

-

Jl(r")l

<

/

.t

D,

uniform

continuitatea

hii

fi

este

dr

Demonst

ralia

p^nl

ru

/2

este ;i

$7.

INTEGRALD

PE

INTERVAL

7^

tn accsl.

paragral

llo tunaa

de

definite

pe

iutervale

nemdrginite.

A

geneTalitate

lrr caprlolul consacral

r

DEFINITIE,

l)

Fie

o

e

R.

/.

[o.oo)

*

I

t.

exlsta

lrm

i l,

aceasia se

noieazd

numeqte

conrrergealri.

Vom

vorbi

d

limita precedentS.

fie

ru

existi,

fie

r

2)Fie6e

R,

.f

:

(-co,

bl

*R

I

T

este finiti

tim

/

f,

acea.sta

s(

"--@

J

100

de rnase

prin:

Observim

cX

penlru

definirea

integralelor

cu

parametru

(6.1)

este

suficient

s;

presupunen

c5,

pentru

orice

r

€

D-,

fuuclia

y

*

f(x,y)

are

mullimea

disconti-

nuititilor

negliiabilS

in

Do,

respectiv,

oricare

ar

fi

y

€

Dr,

funclia r

+

(x,y)

arc

multimea

,liscoirtinuit

i. iior

lcgiijabili

in

D-.

Denolstrim

in continuare

un rezultat

bazat pe

ipoteza de

corrtinuitate a

lui

/,

urmind

s5.

revenim

asupra acestor

integrale

in capitolul

urmitor.

TE0REMA

6.7.

Fie

f

:

D^xDo

-R

conlinud.

Atunci,

funcliile

fi

Si fz

d.ef,nite

pnn

(6.1\

sint

l

nclii

uniJorn

continue.

Demonstratie.

lbm demonstra

continuitatea uniformd

in

cazul

lui

f1.

Deoarece

.f

cste

continu;

pe

compactul

D,,

ea este

uniforrn continu5.

Eie

e

>

0

qi

f,

=

6(---'

)

>

0

astfel incrt

Vu/=

(r',y')

e

D^

x

Do= Dn,11t'

=

(ttt

,ytt)

€

Dn,

r

vol(l)p)

i

llu'

-

u"llz

<

6,

.+

ll(u')

-

J@")1

.

€

'

vol(Do)'

lieljt=ytt

'et3,e

Dp. Atunci

ll(r',3i)-

(*",dllz

-li*'-

l'lizin R-,

deci,lac5.

llr'-,"11,

<

6"

,+

l (c',y)

-

f

(,",il].

-=j=-.

ol(Do)

I

Atunci

1/1(.r')-,r,(,")l

.

I

ltt,'.v\

Ilt".dlda.

.r;-

.votlDr)

=

r

ei

J

Tot\up)

DP

uniform

continuitatea

lui

fi

este

demonstratrd.

Demonstralia

pentru

fi

este similard.

acesteia.

07,

INTDGRALE

PE

IN'TERVALE

NEMARGINITD

1

in

acest

paragrai

noliunea

de iniegraid,

va

fi extinsS,

in

mod

natural la funclii

definite

pe

irltervaie nemd,rginite.

Acest

subiect, va fi

reluat

intr-un

grad

mai mare de

generalitate

in

capitolul

consacrat

integralei

Lebesgue.

Df,pINITIE.

1)

Fie

o

e

R,

/:

[a,

co)

-

R integrabili

Riemann

pe

[o.6]

V6

>

a.

Daci

Dor@

l. t t

t

xrsta lrm

i

j.

aceasla

se norcazd

i

i.

Dace.iim

f

1'esre

tinlta. rnlegraia

f J

se

t.-J-

J"

t,_*J"

.1

"

t

numeqte coauergeztri.

Vom

vorbi

despre o

integralX

I f

d,iuerqentd

in c.azul in care

.t

limita

precedenti

fie

nu

exist ,

fie nu

es+,e finiti.

2)

Fie66R,

/:(

oo,0l

-

R

integrabili

Riemann

pe

[o,

D]

Vo<6, Daci existS.

b6

-ff

qi este"

finitd lim / f.

aceasla

sF

rroteazi

cu / /,

intograla

rrumindu-se

conoer-

"--@

J .l

-

(5

4)

D^,

D,

(6

1)

f(x,y)

l(c)

=

n

(b.1).

101



gentd,. Al|Jrci cind

nu este convergert5,

vorbim

despre

o irtegrald

/

I

divergentt

3)

Fie

/

:

R

-+

R,

/

integrabili

Riemann

pe

fo,

b]

V[rz,

A]

c

R

Dac[

exisid

qi

boo

ft

esrc

finita

l',m

I i,

acFcs',a.5.

rroleazd

/

/,

ilrl,'6rala numindu

rr'

rcnt'ergenla.

h

".---

.l

J

?

cazul

in carc limita

precedenti

nu

exlsti

sau

nu

este

finiti. se spune ca

/ /

este

.t

diuergentd.

in

conformitate

cu caractedzarpa

limitei

datd

inCap.

II,I

=

I

cV(a,),,(

b-*

siruri

din

R, limn,

=

-oo,

Iinrh,

oo. Lim

/ /

- 1-

".t'

Aplicind

criteriul

lui

Cau,

de convergcnlS,

a inlegralelor

r

Tnonou.q

7.1. (Criteriul

convergc

daci

gt

numci

dacd,,

orice

(a,

B)

C

(M.,

m)

l/(,)l

ttp

tt

Demonstrutie.

lJ=

I

I

J.J

^

Daci,

I

""t"

ir,'t"gruu,le

Intr-adevir,

fa,

6l

=

lJ

lo,

o

n>r

neglijabili

de

puncte

de discor

bild.

pe [o,

D]

VD

>

a

qi are

sens

DEFrNrrrE.

/,

""

n,,-,

'.t"

Similar

se

d"fir,"qt'"

.onu"rguotr

Apiicind

Teorema

7.i

rezu

PnoPozr.lr,r

7.2.

O

inte

esle

contergentd,.

BB

Demonshatie.ll

4"

I

I lft

r

Propozi{ia

urmitoare

indi,

convergenta

absolutX

a unor

in

FRopozrTrA

7.J.

I)Fie

f,

g:

la,

oo)

*R

ia

Sintetizind,

s-au

definit

urmd.toaxele

integrale

pe

intervale nemdrgiuite,

numite

Ei

i.mproprii,

d,e

tip

L,

€6bbcl.b

Ir

-;,^

lr

I

t=

"y-lt

I

r

"li:/t

Reamintim

c5, am demonstrat

in

$4

c5. dacX

J

:

fa,b]

-+

lR

este integrabilS.

rnann,

func1ia

F :

fa,bl

-+

R, f,(r)

=

/,t(t)Ot.rr"

conlinud..

in

aceste condilii,

intcgraiele

definite

in

(7.1)

se

mai scriu:

o

/

/=

Iim

F(c),

.t

r+6

,

/

f

:

lim

Flr).

.t

t

/

/

=

.\qL

rrr,

Yt,

F(r)=

lf'

b

f(

r.

r\

-

[ f.

t"

;

ExEMPru.

..rtl

it , lt,- Ji.;

(,1i11-D'

'

l,

u""=,'jl/

F"'=ijt*;;:

^

\

-t),

alt

J_j,.

ort

/

) a-l

a=7

t

oo,

a(l

702

existE

qi

in

f

/

este

(u.

numite

7.7\

Rie-

conditii,

o)1

c(1.

Aplicind

criteriul

lui

Cauchy

de existen d

a

limitelor

ob{inem

urmi,torrrl

criteriu

de convergenlE

a integralelor

de{inite

in

(2.1).

T

TEoREMA

?.1.

(Criteriul

lui

Cauchy)

I'ie

f

:la,

a) integrah,ild.

Riemann.

I f

J'

conaergc

dacd.

6i

tumci

d,aci,,

cricare

ar

fi

e

>

A,

czistd,

M"

>

A

astfe. tnc

peLtlryt

orice

(a,

B)

c

(M,,

cn)

_tfl

Demonsrragre.

lf= lf

-

/,f

o,

""

aplicd

propoziqia

1.7.

(ap.

TI.

gl

I

JJ.I

^

Daci

/

""t"

irr't"gr.ui;i

o"

p,

11

OU

>

a

/

este continui

a.p.t.

pe

ia,

oo).

Intr-adevir,

lr,6] -

U

1",

"+

nl

qi

in fiecare

interval

fo,

a

*

n]

i

are o mul{ime

tu>r

neglijabili

de

puncte

de discontinurtal,e.

In

aceste

condi[ii.

rezultd

cE

/

este

integra_

bili

pe

[0,

6]

Vb

>

a

qi

ur.

sen"

.on"i.l"rureu

/

l1l.

t"

09@

DEFt\lTr -.

//

."

nu-.1r"

absolut

rcnvergent,i

dace

Il/l

es[e

convergenrd.

.t

'

.l

'"'

Si^ilu,

""

d"fin"gtl

convergenta

absoluti

a

i ,, i ,

_,-

j*

Apiicind

Teorema

7. i rezujid

imeciiat

urmi,toarea propozigie.

PRoPozITIA

7.2.

O

integrald,

pc

urL

i,nterual

nerndrginil,

absolul

conaergenld,

esle conrergenTd,.

,u,

,

i

Demonstra[ie.

l/

/l <

/

lJl<e

V(a,B)c(M",,x)

cu

M" datde(?.2) pentru

IJ

I

J

Propozitia

ulmftoarc

indic5

modul

in

care,

bazali

pe

Teorema

2.1, demonstri.m

convergenta

absolut5,

a unor

integrale

folosind

integrale

mai

uqor de

studiat.

PRopozrTrA

7.3.

I)Fie

f,

g:

[a,oo)

*

W, integrabile

Riemann

pe

[o,

b]

Vb

>

a.

pt.esupunem

I lfl. I

p

lIr1.,

t.l

'l

l/(r)l

(

s(r)

Vr

e

[a1,

oo)

c

lc,

co)

103

(7

2)

(7

3)

no"a I

s

(sie

conuerqcntd,

oLu"'

|

1

esle

obsolul

cotuuerg(nll'

"""".t

"

J"

2)

Presupunem

9(o)

>

0

Ye

€

fc,

oc)

;a

lil.r)i

^

.

Iim

$l{

=

l,

finitlL.

(7 4)

I

-6

c(xl

ir

Alunrt.

daco

|9

esle

connergentd,

tczullti

ra

JI

este

ab"olul

tonutqenld

Docd

J

conaergentd

tn

sensul ualorii

ptir

T

Aceasti

linriia se notcazE

v.p

/ ;

.t

Observim

ci. orice

iniegrali

p

tt

principa)e

ci

v.p./

f = /

/,

dar

JJ

considerind

f(r)

=

r

pentru

car

impari

J(r)

-

r fiind integratl

p

t€(0.

",ot.

/

o

,, [ 1s1

,o,"urro

sou

diwrg

stmullan'

'.t

-'J'

Demonstragie.

Observim

lir.

lnceput

ta

/

/

"st"

convergenti

(absolui)

daci'

Ei

t

numai

dacd

/ /

esl,e

conv"rgenti

(absolut)

pettlru

orice

o1 )

o

,'T

1) Fie

e

>

0 qi

M"

dat

de

(?

2) pentru

/ I

convers"ntS

Atunci' din

(7.3)'

pp

fl

V(o,

f)

c

(M,. oo),

/

111'11a,

(

/

o(r)dr

<

e'

JJ

2)

Fie

6

>

0ui;

>,

*tra

i*rt

l+#-'l

.6Yx)x5'deci

1-r.

i'f(i)

<l+6vr>'r''

(?

5)

s(r)

qi

aiunci

l/(c) |

<

(l+6)9(r)

Vo >

16, demonstralia

reducindu-se

la cea

de

Ia cazul

1)

r

Observim

c5.

din

(7.3)

rcntlt'F"cL

jlll

divergentS'

im

plici

;l

c

diversentS

Acelali

rezrritat

se obtine

1i

tlacX

in

(7 4)

presup'uem

I

>

0:

este

suficieot

-ci

luEm

f

>

0

cu

l-6>0in(7.5).

I

1

in

aplicarea

Propoziliei

?.3

sint

des

folosrte

fun

c

{ii

le

g

(

r

)

=

I

,

studiate

anterior'

in

incheierea

ircestui

paragraf introducem

o

noliune

utile

atit

pentru

calculul

unor

intdgrale

col'/elgente

cit

gi

pentru

operar€a

cu

funclii

penl"nI

care acestea

sint

diverAente.

DEFINITIE-

Fie

/

:

R

'-+

R integrabild.

pe

[o,

b],V[o,

b]

CR

/

/

se

numeqte

J

$8.

INTEGRALE

PENTRU

UN

in acest

paragraf

vor

fi

cons

respeciiv

funclii

/:

(o,6]

*

R

n

nemirginite

spre e.

DEFTNTTTE.

Fie

o,

b

€

R,

V7

e

(0, 6

--

o),

nemirginitb

spre

L-,

b-

IT

Daci

lim

/

/

este

finitri,

/Jsr

nao

J

J

daci

limita

precedentS,

nu

existI

Fie

/

: (a,6]

*

R integrabild

spre

o. I)ac;

existi.

qi

este

I'initl

I

t'

genld,-

in

caz

contrar. vorbim

de

In

sintezS, au fost

definite

b-

T

I f

=li

I

"a1

Pentnr

/:

fo,il

-{c}

*

tc

+

ry;,

bl,

V?ir

e

(0,

c

-

a),

\z

i04



.

(7 4)

Dacd

9i

(7.3),

(7

5)

R

conu(rgpntd in scnsul

t'olorit prnc'pole

o lut

Cou,h

Jaci

nxisrS.

J1x

/

l.

n"ltt

_,R

T

Aceastl

lrrniii

se

noteazi

v.p

/ I

.l

Observi,ur

ci orice integralS

pe

R convergentS, este

convergcntX

qi

in

sensul

valorii

ll

principale

qi

v

p.l f = / /,

dar reciproca nu

este

a.deviratS,

dupd

cum

se

observd.

JJ

considerind

i(x)

-

x

pentru

care

/

r,ir

n,,

exisi,5,

dar

u.p.[ ,,i,

=

0,

furclia

.t

,t

imparS.

/(c)

=

r

liind integratl

pe

intervale sirnelrice

[-.1i,

.l?].

$8.

INTEGRALE

PENTRTT

UNELE

FUNCTII NEM.IRGINITE

in

acest

paragra{

vor

fi

considerate

{unclii

f

:

[a,

6)

--

R

nemirginite

spre 6,

respectiv

funclii

f :(a,bl*

R

nemS.rginite spre

a

sau

funclii

/:

la,

D]

-{c} *R,

nemi.rginite spre c.

DEFINITIE. Fie c,6

€

R,

/:

[o,6)

-

R iniegrabilE

Ridmann

pe

[a,D-4]

I'-rt

b

tt

Vl

€

(0,

D

-

n),

nemdrginith spre

6.

Dard

c\isla

lrm

/ /

aceasta

se

nolea?e

I I

oZo

J"

I

i,,,

b

b_

Itt

Dacb

lim

/

/

csl."

finit5.

/

/

"e

nurneite tonuetgenld.

/

/

""

nu."qr" diuergentri

,t'.0

r J J

daci

limita

precedentd,

nu existX

sau nu

este

finiti.

Fie

/:

(a,6]

-

R int'egrabil5,

Riemann

pe

la+\,b]vn

e

(0,6

a), nemdrgirriti

bbb

spre a.

l)aci

cxrsti

Ei

este linit5 finr

/

1

E

/;,

;nt.g.ulu

/ 1

""

n,rn''"q''.

.o,rrr"-

n

lo.{n

, ,

genld.

in caz

contrar. vorbim

de o integralS, d,iuergenld,.

In

sintezi,

au

fosi

definite

b-b-qbb

[,=uy lt,It-t'^ [r

n1o

r J

n+o

r

u+

a+\

Penl.rr

f:1,, h1

-

{rI

-R

r:r ta 6l

inr.cnrahrli

Rienrann

ne

1".-",1

,

.t

lcl\2,b1,

Yry

€

(0,c-o),

4z

e

(0,6-c)

ncm5,rginiti

spre c,

/

f

se numeqte

t"

(8 1)

105

,;b

conaergetltd.

dacd

9i

numai

dac5

|

t

t,

I

f

sini

convergente,

deci

daci

qi

numai

dac[

c-rtr

D

l(l

,.

l,t

+n.

existS,

qi

cstc

firril,i'

Integralele

definile

prin

(8.i)

9i

(8.2)

se

mai

numesc

qi

inlegrale

improprii

de

lip

2.

Si

observim

ci. in

cazul

funcliilor

mirginite

pe

[o,

b], integrabile Riemann,

ar-

t

gumentele care

au

probal

continuitatea

funclrei F(.r)

=

J

f,

ta

e

[4,6],

fac limiiele

din

(8.1) sl. existe

qi

si fie

finite.

ExblMPLU.

oo,

a2L

1

o<

1

1

-

o'

situalia

prezentindu-se

invers

din

punctul

de

vedere

al

convergenlei

decit

in

cazul

integralei

pe

11,

oo).

Convergen a

integralelor

fiind

echivalenti

cu existen a

unor

limite

laterale

finite,

aplicarea

criteriului lui

Cauchy

de

existen 5, a limitelor

laterale

conduce la urmitoarea

teorem5,,

'IEoREMA

8.1.

(Criteriul lui Cauchy)

Fie

f

:la,b)

-+R

inlegrabtld

Riemann

pe

b-

I

[",b-n ,

Va

€

(0,b-")

I

f

este

conuergenld

dacd

gi

numai

dacd, oricare arf

-.t

e

>

0,

exisld

6"

>

0

astfel

inl"

,

p"otru

orice

(a,

B)

c

(b

-

6",

t),

IJ

l/.

lll <e-

I

tj

"

I

Demonstralie. Se

aplic6

Propozrlia

1.7, Cap.

II,

$1,

funcliei

fAl

=

i

f,

pp

ttl

servLnd

cd

lf

--lI-lf

=F(0)

FG)

I

JJ.)

Ca

qi

in

paragraful

precedent,

observim

c5, daci.

-l

este

integrabili.

pe

[4,

b

-

i-

ar,unci

l/l

este

integrabrld pe

[c.6-el.

de.i

are sens

cons]derarea

/

l/l

J

,

(

I 1

It

i

r-n,-_li-l

l-^

;;='n'

o/ I

-

J

x"

,:o

[tn,lj.

o

-

I

DEFINTTTE.

Fie

f

:

L-

t

con,-lPrgenli

clacn

)fl

et

.t

UrmH,touel"

iopori

aseminS,toare.

PRopozrTrA

g.2.

O

conuergenld

este

conterge

PRopozlTrA

g.

J.

fr

€(0,6-4).

1)

Dacd

If

b-

gi

I

g

esle

comerqenld,.

a

.t"

2)

Dacd.

s(t)

>

0 Vt

,

6-

I

atunct,

d,acd,

I

g

esle

cou

.t

D-

t

tlacdte(A,c<),

llJ

.J

Afirmalii

similare

sin

DemoasfraJie.

Singuir

Propozi[iei

7.3 este

cazul

l

Din

(8.4),

Ve

>0ld

.

<

(I

+

e)s(c)

qi

se

aplicS.

1

APLICA?IE,

I

,l

cr-r

11

_

s.;r-

r4s

.,

o

(8

2)

Intr-adevir,

pentru

str

106

-

2)

2.

aI-

pe

ar

fi

2)

DEFINITIE. Fie

f

:

[o,6)

-

R

nemirginitl

spre b.

i-

r^n

.raPntn

^^.,

I

r

r,F{rF .n,,rFru,'nr;

-"-.t'"

Urmitoarele

p'r,rpozilii

"ilt

analoge Propoziliilor 7.2

qi

7.3, avind

o demonstralie

as"rnandtoare.

PRoPozr'{rA

8.2.

O inlegrald, improprie d.ef.nttd.

przn (8.1)

sau

prin

(8.2)

absolut

conu ergent'd, esTe conuergenTd,"

PRoPozITIA

8.3.

Fie

[,g:ia,b)

-

W

inlegrabile

Riemannpeia,b-r

Vq

e

€(0,d-d).

1)

Dacd

,J

se

numeqte

obsolul

(8

3)

l/(r)l

(

c(c)

Vr

€

[or,

6), a

(

or

<

6

,,

D-

TI

y

lg

csle

ronuergenld,

alun,i

I f

esle absolul rcnDerg?nld.

.t .t

2)

Docd

glt;r

>

0

V{

e

lo.

6)

fi

b-

nt

tnti.

,la,:i I n

'.t"

,,,n

l"f(etl

/

<

oo r8.4)

"5t

9(t)

b-

I

eslp

ront)prg"nLi.

rezullo

.l

I

abr'olul

t

ontergenl(i.

"b-

bb-

Da, ri t

€

(0,

oo),

I lIl ii I

E

rcniffg sau diuerg simultun.

'It

t

Afrnnlti

similare sinl

odLutirole

penln

I f.

,

Demonstralie. Singurul

loc

in

care

iniervin

mici modificiri fa 5. rie

demonstra{ia

Propoziliei

7..1

este cazul 2).

Din(8.4),Ve

>0

f6"

>

0

astfel

incit

Vr

€

(6

-

6., b),

(l-e)e(r)

<

l/(')l

<

<

(i

-

e)g(r)

Ei

sc

aplicd.

l),

ca

rn dcmonctraqra Propozi{ici

8.3.

APLICATID.

I

/

rp-r(1

-.r;e-ldr

es+"e con..,ergenti

daci

qi

nurnai

Cac[

p

> 0

qi q

>

0.

n,

iirtr-adevi"r, pentru

studierea

convergculei

in

0

a

integralei

[ ,c- 11.

710

r4,

,J

0

107

-p-l

11

-\q

I

i

considerS.m

g(;r)

:

rp-r

Ei

atunci lim

a__}=-:

r,

a""i

/re

r(1

-r)s-rdr

t+n

OT

./.

rtre d((casi rrardre clr i ,r-, ,i.,,

)'rll,

o

/

o

u^.,

^^-,.-.,

.t

-1,'

+

^

deci convergepentrup>0qi

I th'

^_n

["'"

o,

''-"

diverge

pentru p(0.

1

Un

r&liorament

analog

se aplicd

pentru

[

,o-'|t

,y

rdr,

considerlnd

fuurc{ia

tt

9(r)

:(1

-z)q-1.

$i

in

cazul integralelor

definite

prin

(8.2)

introducem

noliunea

de convergenli in

sensul valorii

principale

Cauc[y.

DEFINITIE.

Fie

/:

la,bl

-

{c}

-

R, cela,b],

f

nemdrginitd

spre

c, integrabild

Riemann

pe

[o,r-nt], [c

+

r:72,b],

Vrlr

e

(0,c-

o), Yq2

e

(0,b-

c).

b

/

/

se nunreqte

conuergentd,

in,

sensul ualorii,

principale

a lui, Coucby dacd existd

b

rl /r

Qi

esre

finitd

llm

(

/

"f

I

/

/).

Aceasta

se noleazd.

v.p.

.:-o

J

,

Integrala deliniti

prin

(8.2) coincide

cu

u.p.

/

,f

atuncj cind existS,

dar

v.p.

-t

poate

exirjta

qi

cind

integrala definitd

prin (8.2)

rL existd..

t1-41l

EKEMeLT

.

u.p.

/1a.

:o,du,

[1dr:

tim

(

[

ar-

/10,)

nu

"'irte.

J

r

J

r

"..,^,

J

r

J

r

/

-l -l

"-t"

-t

t12

Se

defineqte,

continuind definiliite

precedente, qi

convergenla integralelor

unor

Iuc{ii

cu domeniul de

defnilie nem[rginit

qi

nemdrginite

spre unul din

capete.

DEFTNTTTE.

Fie

/:(a,,oo)

-+IR,

integrabil6

pe +q,b],

Vb>

o

EiV?

e

(0,b-a),

nemd;ginit5, spre a.

Fie6> aoarecare. Definim

/

t:

lt+ /

/,

prima

integratd

.l .l .l

iiir u.

J

o+

b

I f .

Intr adevir.

[

,"-to-r4,

-

.t

0+

Siudiem

separat

r:ele

doui

luind

q(l)

=

i.-r,4q6i

1;-L

rfot"

1

J

t"-

I&,

care converge

daci

qi

0+

Pentru

cea

de-a

doua

intr

,t*

e'

>

,

Vt

>

0,

Vn

f

N.

Aiunc:

n-a47

)

2, rezulti

l"-re*t

1

t

convergenta

/

e-rlo

rdl.

Va >

.l

1

Rema"rclm

in

incheiere

ci,

nemirginitS.

intr-un

numir finit

b-

",-

b

Jt=

Ir+

|

r+

+

f

CONVERGENTA

UNIFOF

in

cazul

in care

ir

defirilie

la

existen i

a

integralelor

(c

propriei,Sli

cum

ar

fi

cea

verificate

in

cazul

convergen

:.

DEFINITIE.

1)

Fie

7"

:

[c,

l]

x

fc,

ar)

*

|

pe

[a,

6]

dac5, pentr

4,

F)

c

(M(e),

<n),

t)

)[',

l.r'

'

t

)

ni.

I

'

;",

6l

x

[c,

d)

cont

b

t"

IJ

Z

108

dc

^7tt

intr-adeuAr.

I

I''1e-'dL'

I

to'te-'dt+

/

t"-'e'dt.

JJJ

0+0+1

Siudiem

separat ceie

doui

iniegraie.

Pentru

prima

aplicim

Fropozilia

8.3

2),

,n

l- I

i

luinds(f)- l"-r,

dcci

lim-.-i,

-

I

qi

atuncj

I

to

1c-tdt

arp accea{i naturd cu

tZn

t."-'

J*

I

I

/

to-

'dl,

care convcrge

daci

qi nurrrai

daci

o

)

0.

J

0+

Pentru cea de-a doua

integrali

folosirn

fapiul

demonstrat

in

Cap.

I,

$4,

ci

.

ln

n

nt.

e'>

.Vt>l),Vn<

N.

Atunri

e'(

--Vl

)

0,

deci

0<

/o-

re-'

<

---;.

DacS

n

Jn

tn-otl

n-o+l

>2,

rezr-rlti

/d-rc-l

<

i'"1

u,

/ |ar:

I

arragc,

conlorm Propoziliei 7.3.

1).

Lz-J tz

I

convergenta

/

e-'1"

'dl,

V@

>

0.

I

Remarc5.m

in

incbeiere

ce

putem

extinde definilia

(8.2)

la

cazul

in care

/

este

nemi.rginit6

intr-un

numir

flnit

de

puncte

cr,c2,...

1cn

€ [o,6],

c1

<c2<... <ci:

bcr-,

Ir= |

r*

lr*

*

|

r.

.'

+

.-+

$9.

CONVERGENTA UNIFORMX

A I]NON,

INTEGRALE CU PARAMETRU

in cazul in care in

defini{ia

(6.1)

Comeniul de integrare

nu mai

este compact,

simpla

existenld, a integralelor (convergentd.) in sensul

defini{iilor

din

$7

qi

$8

nu mai

asigurl

proprieti,li

cum ar fi cea de continuitate

pentru

f1

sau

/2.

Aceste

proprietili

sint

verificate

in

cazul

convergen[ei

uniforme.

DDIrNrTro.

l) Fic

/

.

[a,

l] x

lr".

x-) S

irru,

i,ie

.,rrriirru[.

/

/(r.

y)dy

sL

i,u,'r'iie

ii,J'?iir.

'.t""'"

pe

[o,

6]

dac[,

pentru

orice s

> 0

existi M(e)

>

c a.stiel

incir,

oricare ar

(o,

P)

c

(M(e),

oo),

p

t I

t".,1ayl< e,

Vx

€

[o,6].

r/

"-

'

2)

Fie

/

:

[o,6]

x

[c,

d)

continud,,

nem[rginiti

spre fc,

b]

x

{di.

in

(e

1)

d-

I

/

/(r,

y)dy

se

109

nume$le rrndorrn

conuergenld

pe

[o,

,] dacd,

pentru

orice

e

)

0

existd

6.

> 0

aslfel

incit

oricare ar

fi

(a,

B)

c

(d

-

6,

,

d),

Un

criteriu

simplu de

co

Pnorozrlrt

9.2.

l)

Fie

:

[a,6]

x

[c,

Dacd.

il@,y)i

(

fr(v) v(r,y'

I

f

G,il,lU

esle uniform

rct

2)

Fie

J

:

[o,b]

x

[c,

h:

fc,

d)

-R

continud,

nem

d-

gi

I

h(y)dy

esle

conuergenli

Demonstra\ie.

l)

I

h(u)dy

es[e conv

Ve

>0 f

M.

l

c astfel

incit'

PB

tt

^"i,ll

f@,u)drl<

/t,

demonstri.tS.

Cazul 2) se demonstreaz

r/om

rel'eli

asupia

iateg

$10.

EXERCITII

1.

Si

se studieze

integrabilii:

a)

f

:

la,

bl

--'

R,

/k)

=

b)J:[0,

1]

-R,

/(r)=

")

r,

fo,

h],

,or=

2.

Si

se

studieze

integrabiliit

'j

1';0,

11

xfo,

tl

*R,

I

I

I tt,

,'ta,'l <

r

Vr

€

ln

h1

t.J

"

"

"l

Remarcim

cn

in

(9.1), (9.2)

coldiliile

de colvergerrti din

'I'eoremele

7.1

gi

8.1

trebuie indeplinite uniform

pc

[o,

i].

TEoREMA 9.1.

t

l)

Fic

f

:

fa,

b] x

[c,

oc,)

-

R

cozfinuri. Datd

J

fk,g)dA

esle uniforrn con-

uergentd

pe

la,bl,

funcliafi

:-[a,

D]

-

R

d.efinitd

Or*

frrrl

=

j

71r,r10,

**

(*ntifNo"*;t*:"u,fi"J"i:tr

-

R

continuii,

nemdrsinitd

"0,"1o,",u1

x

{d}.

Dacd

I

fG

,

a)dU

esle untt'orm conaergenld

pe

la,

bl,

funcli,a fi

:

la,

hl

-

R

d.efinild.

pnn

,fr(rl

.

/

Ilr.C)dy

esle

(ant[orn)

continud

pe

lo.

b).

D"lnun"trutri".

Vom da demonstralia

in

cazul

1), in cazul

2)

procedindu-se

ascmdndtor.

Fie

(3y")"

qir

din

fc.

oo), monoton

crescltor,

lim

gr,.

=

co. Fie

9"

:

[a,

b]

--+

R

|

.,

g"Q)

=

i

,f(r,

y)dy.

n

€

N. Arunci, conforrn Teoremei

6.1,

funcliile

g,

sini

coniinue

pe

[a,

6]

Vn

e

Nl

qi

lim

g^(x)

=

f1(x)

Vz

e

[o,

6]. Vom

demonstra

ci

aceasti

{9.2 )

convcrgen[X. este

uniform5

qi

atunci,

conform

cu Cap.

IlI,

$6,

Teorema 6.1,

fi

rezulti

Pentru

a

demonstra convergenla uniformi

a

girului

(9")" pe

la,

D]

la

fi

este

suficient si aritdm

ci

(g")" este

qir

Cauchy

ln

(C([o,

b]),

ll

ll-),

d"tpt"

care

qtim

ci

estc

spaliu

Banach.

Fie e

>

0

gi

M"

dat

de

(9.1).

Fie

N(e) astfei incit

Vn

)

N(e),

y"

>

M,.

,q

L

tl

Ar,un,-i, Vn

)

N{r1,

"up

I i /tr,.u),.lyl

. .,

Vp

>

0.

Areasta echivaleazi

cu

,ei..all

|

' " 'l

'

a^

sup

i9"10(c)

-

r"(r)1

< e

Yn

)

in

(.6),

Vp

)

0,

rieci (g.)"

".r"

gir

Cauchy ir

(c(i',6l),1l

il-

)

I

Func{iile

fi

definite

in

cazurile 1)

qi

2)

ale teoremei

se

mai

numesc

improprti cu

parametri.

110

0

asifel

(e 2)

7.1

qi

8.1

con'

este

uaca

Prtn

coniinue

c5, aceastS,

fl

rezultS.

la

fi

este

qtim

cx

s"

>

M..

cu

CauchY

in

inlegrale

Un

criteriu simplu

de

convergenli

uniformi este

cel

aI

majordrii

PRoPozrTlA

9.2.

)

Fie

:

fa,

b]

x

[c,

cn)

-

R

cttntimLd-

Dacd

il@,y)l

(

h(s)

v(r,y)

e

[o,

6] x

[c,

oo)

e,

Fieh:

I

h\a)d,J

fc,

co)

*

R conlinud.

esle conuergenld, alunci

I

I

IU,ilrlc

este

un{orm

conrergenld.

pe

la.

bf.

2)

Fie

f

:

la,b]xfc,d)

"+

R

conlinud,

nemdrginitd

sprela,blx

{c}

-

Fie

n:

[c,

d)'*R continud,

nemdrsinild

spre d. Dacd'

lf(x,g)l

g

h(y)

V(r,y)

e

fo,6]

d-d

tt

9i

I

h61ay

esle conDergenla.

atunu

I

I(r,u)du

esle

uniform conuergentd

pelo.b].

.tJ

"

D"

on"tr^tri".

I)

I

h(a)d

este

convergentS, daci

gi

numai dac5,

conform

Teoremei

7.1,

PB

,t

'

t.,,,^,^

Ye>0

3 M,

>caslfel

incirV(o.F)

c

(M.,oo).

"<A.llh(y)dvl

=

Jh(g\dy

<t.

,t"

ppp

tl t r I

Atunci,

l/.1'(r,.u)d.ul

< / l-f(r.y)ldv

(

/

/t(v)dc

<

6

Ei

convergenla

uniformd

est"

t.l

" "'

"'

'J

''

J

-

"

demonst ri,td..

Cazul

2) se demonstreazd,

la

fel. I

Vom

reveni asupia

iategralelor

impropiii

cu

paiainetru

in capitolul

uimi.tor.

$10,

EXERCITII

1. S5,

se studieze

integrabilitatea

Riemann

pentru

urmltoa.rele funclii:

rr

r(

[a,6]

n(R-q)

a)/:[o,6]

-R,

/(r)=

i:

iz

r

€

[4.

blflQ

b)f:lo.rl

-R.

i(r)

={'"

'

€[o'l]nQ

'1

.r'? oe

L0

iln(R-Q)

r r 1 fl.i.

I r I t

.)/,10,,-1./(r)={

""

"'e(o'51

\/41t'

[r

r-u

Sd se s+,uCieze

in+"egrabilitatea Riemann

pentru functiile:

(

0

daci

(.r,

v)

c

([0,

t] x

[0,

t])

fl(Q

x

Q)

uj 1

,

10,

q

x

r0,

rl

__

R,

r(,,

y)

=

{

r

a*a

;

E

13:

llllH

_

3l

.,"

111



br

/

:

[0.1]

x

[o.I]

-R

f{c's)

=\f#

l*,

;::

9. S5,

se

studicze convergen

L

a)

/

c-'d.r,

0

I

T

d)

/

in(sin r

)d.r;

0

10.

Si

se

arate

c5.

urnritoar

cate:

a)

/

e-1"

srn

.rdr,

t

6 |

.t

0

b) /e

rzo-ldr

ocl"

0

3.

S[

se

arate

ci'

dacl

f

'

g :

la'b]

--+

R

sini

integrabiie

Riemann'

b)r"=

T

arcte{nr)dr, Y"

=

/

nrcsin(nr)dr'

"J

1-

tr+1

f

5.

Sise

calculeze

/ fr]dr'

.t

6.

Verificind

t

,*ttOU

existenla

iniegralei'

s5'

se

a)

Dz

=

10,o1

x

fo,ol,

l(r,Y)

=

z2

+ 2''

b)

D2

=

[0.

i]

x

[0'

2],

f(a'

Y)

=

rs;

c)

D,

= 11.21

x

[1'a]

'f(r,Y)

=

i.;

?.

Fi.rX.

a calcula

lntegralele'

verificati:

a

llf

,) / e-""""dr(

-:

'J

z

0

0

t ..

-

l,

4

b)

0(

/rln(l-

r')dr(;tn5'

.l

-+

8.

S[

se

calculeze

pornind

de

ia

tieiinilie:

ai /

e-'d.c;

'J

0

/1

b)

/ ltFd';

--

't,

b

, t \2

(/t

0.1

1

bb

a

( i t'\( /

q'),

u"rln.tna in

prealabil existenla integralelor

din

cei doi

membri'

-

\./

'

/

\J

r^

4.

Folosjnd

torema

4

5

calcuLali

'l

i

unde:

t

ti-

f

sinr

'

^r'.=

/

eAr'n"dr.s"=

J;d':'

_.r-

"h

;

I

c\ I

ln

rd.r'

'.1

0+

9.

Si

se studieze convergenla:

L

a)

/

e-' dc;

0

ur

/

-La',

J

tr/1

1.

az

1

a

t1

c)

/

-do;

J

Vsr

n r

0+

,

eJ

<

membri.

1r

d) / ln(sinr)dr:

",

/

t'ntdr.

'J

i

r

01

10. Si se arate

ci

urmitoarele

integrale

sint uniform

convergente

pe

domeniile

indi

cate:

a)

/

e-t'sin

rd-c.

I

€

[/q.

tr]

C

(0. oo)i

.t-

0

I

b)

/

.-'l"

rdt,

o

c

[a.6]

c

(0.

oo).

0

113



CAPITOLUL

V

Derivate

gi

primitive

Deriuabililale

pe.ntru

functti

de

o

uariabild

reald.

sau

complerd.

D ert

u

ale

parliale.

;

d.eriu area i,ntegralelor cu

p

aramelru.

Primitiae

ule

fwcliilor

de

o uariabild reald

gi

calculul inlegralelor Riemann.

Funclii

euleriene.

Fofunula Taylor

penlru

futuclii

de

o

wriabild

tlput L ut

(Lu4ttt

urlft.

'rttut..

Avind

la

origine

studii

de mecanici

Ei

geometrie,

noliunile

fundamentale

ale cal-

culului diferen{ial

s-au

cristalizat

pe parcursul secolului

al

XVII-lea,

gdsindu-qi

con-

sacarea

in

luod.rile

lui

Newton

qi

Leibniz.

Unitatea

dintre operatiile de derivare

qi

de

primitivare,

ca

operatii

inverse una alteia, e clar

evidenliati

inci de

Leibniz.

Calculul

integralelor

functiilor

care

admit

primitivX

cu

vestita

formuld.

Leibniz-Newton rS,mine

o

sursi

de rezultate

impodanie chiar daci

utilizarea sa s-a

diminuat

in conditiile

in

care

calculul

numeric

aproximativ

al integralelor l,inde

iot

mai mult

sd,-l inlocuiascS

pe

cel bazat

pe

formule exacte.

Odat;,

cu dezvoltarea

calculului diferential

qi

inte-

gral,

s-a dezvoltat studiul ecuatiilor diferenliale, acest domeniu ajungind in

prezent

unul dinire cele mai importante

puncte

de contact, mutual benefic, dintre cerc€tarea

matematici,

qi

cercetarea experimentalS,.

$1.

DERIVABILITATE PENTRU FUNCTN

DE

O

VARIABILA

REALA SAU

COMPLEX,4.

incepem

prin

a reaminti

defini{ia derivabilitilii

in

cazul

funcliilor

de o

variabili

real5,.

Unele rezultate

cunoscute

din manualul de AnalizS, MatematicS, utilizat, in

liceu

in clasa a XI-a

[13]

vor

fi

apoi

enun{ate

qi

demonstrate

in

cazul variabilei complexe.

DErtNtTlE. Fie 1 un interval

deschis

din

R,

/

:

1

-*

R, co

€

1.

Functia

/

se

-..-.....-+.,

;--:-- .,1:

;-,

--

).-i

//(re)

se numeqte

deriur

existi.

Daci,

in

(1.1)

se consid

deriaaieie io sliaga,

respectir

Prin

(

1.1)

se definette

pe

d.-riaata lrt

f.

Oese

nv,r1it.

1)

(

1.1)

este echivalenti.

f('o

VheRcuro+lr€lunde

,

^( ".,

h\

f( r,

Intr-adevir,

-';'

'=

"

2)

//(ee)

este

panta

tar

secantelor

prin

puncie

apro;

)l Je

(ullsl,.Ll,il

.i

f t'ij{

linia.r5.

in

h a

varialiei func

Tot

prin (1.1)

se define

plexX.

DEFTNITIo.

Fie ,4 o

ml

uumegte

C-deri?alili in

zs

Piin

aceasti limit[

se

r

/'

numitS. derivaia

lui

/.

I

I

/erl,*-

l

,.

.f(,)

-

/(*6)

'.t

.,,

,

rlln-=Ilrnj (1

l)

existd

gi este

lirriti,.

lt4



//(r:6)

sc nunieqtc

d.tttual.a

lui

J

in

xnin

toaLe

situiiliile in

care limil,a

din

(1.1)

exist5,.

Dacd, in

(1.1)

se

corrsideri

lirnila

Ia

stirrga

sau

lirlila Ia

drcapta

se

vor

defini

dertuaieie

Ia slia4a,

rcspcciiv

iu irtupia.

Prin

(1.1)

se

defineQte

pe

llruliimea

punctelor

de

derivabilitate

o funclie

/'

numiti

derwala

hi

f

.

Onsol|,rltt.

l)

(i.l)

cste

echivalenti

ur

/'(;r1)

-

lim

(1

2)

(l

3)

f(ro

+

l,)

-

"f(ro)

=

l'(rq)i

+

a(26, A)

V[€Rcurq-fi.€1unde

i,,.n

^('o

l')

=

o

iLr

n

.l(ro

+

A)

l(',0)

ceea

u:

revinc ia

cal-

con-

qi

de

in

inie-

liceu

/

se

(1

1)

. ,'(... h\ f(.^ t- h\

-

f(.r^\

Inir-adevXr',

"-''

i

''-"'-l'(ro).

2)

/'(.rn)

este

l)anta

tangentci la

G-i

in

(r0,

/(26))

obtinuti

ca

limlt[

a

pantelor

secanlelor

prin puncte

apropiate

(vezi lig. 1).

Fig. 1

^

----n

-:,1

-,,

J) J.

cuirsi,itt;r Ld

j

(,r.rlii

cd tut.ili

u. ar- a

PoiLt-

liniar5

in

/r

a

variatici functiei

in

jurul

lui

16.

'lbt

prin

(1.1)

se delineqtc

dcrivabilitatea

in

cazui

funcliilor

de o

variahilri com-

plex5.

DEFTNI'III.

trie

A o multime

deschisi

din C.

-f

:

I

--C

i

zo

€

,4.

Functia

f

se

numc$lc

C tiettu'tbtlo

rn z0

dala

Fxisld

il

cslc

[nrt

lim

ir:

j

i(:0'

?'-l'(,0)

';'"

z

-

za

Prin

accastX.

liniti

se

definegte

pe

rnul{imea

pulctelor

dc

dr:rivabilitatc,

lunclia

//

numiti

derivata

lui

/.

115

Relaliile

(1.2) qi (1.3)

devin

f(za

+

h)

-

l(,0)

=

f'("0)h+

u(ze,

h)

Yh

€

c

cu zo

+

lz

€

A (1

4)

(1

5)

derivaia

VreC,

Yn

)-

1.

Asupra

acestei

derivate vom

reveni

in

capitolul

consacrat

derivatei Fr6chet,

studierea

sa

amEnuulit6 constiluind

obiectul tcoriei

funcliilor

de o variabil5,

com-

plexi.

Valabile

atit

pentru

funclii

de variabilS

realE cit

qi

pertru

functii

de

variabiii

complex5,

urmitoarele propozifii

vor

fi

demonstrate

pentru

cazul

complex

pentru

a

eviia

repeiarea

unor ltcruri

deja curroscute.

Aqadar .4 va

fi o mullirne deschisi

din A.,

A

+

0,

dacl

nu

se

menlioneazi

altceva.

PRopozrTrA

l.I.

Dacd.f

:A-C.

este d,eriaabild. in

zo

€

A atunci

J

esfu

conlznr,d

tn

zrJ.

Demonstrajie.

Fiee

>0.

Conform (1.5) 36.

>

0

astfel

incit

V[

€

C.

cu

zo

+h

€

A

gilhl

<

15.

avemla(2p,ft)l

<eli.j

qi

atunci

din

(1.4)cufr

=

z

zo,z

e

A,lz-zsl<

6e)

+

lf(.")

-

f(zs)l

<

lf'(zo)llz

-

z0l+

€lz

-

z6l

<

e dacd

,

cr(zo, h)

l'5

n

="

Aplicind

direct defini(ia

deducem

ci

gi

in cazul

variabilei

complexe

funcliei

constante

este

func(ia

identic

zero

(G)'

=

O) i.a.r

(2")t

=

nz"-r,

R

soz

fa C

gi

f

:A-

B,

g:B

--C.

Dacd

f

e deriaabild

tnto

€

A

pis

e

in

zo

=

f(tx)

alunci g o

f

e d,erirabild,

tnts

gi

(g

"

/)'(ro)

=

s'

lf(to)1.

f'

(to)

116

Demonstralie.

Fie

G," : B

G'"(r)

Atunci

G,"

e coniinu5

in

z6

6i

da

de unde

pentru

I

---+

t{r oblinem

(

PRopozrTtA

1.4.

(derivare

sau

inC

Si f

:

A

--+

B

o

funclie

derioabild

tn

zo

Ei

ft(zo)

*

0

atl

(f

Dernonslralie.

Din ipctezl

din

B,

limur,

=

ua\

un

f

uo'

li'm

zn

=

zo, zn

f

zs

Yn.

Re.,

..

1

1

= llltt

-

n lQ t-IQo)

f,Qo\

zn-zo

Ne

ocupim

in contiaua,re

de

DEFTNTTTE.

Fie

X

un spalir

Jo€DseBumeqte:

puncl

de

marim

local

al

l:u

(

/(so)

Vc

e

-/.

puncl

d,e

minim

local

al

Lu

>-

f

(cs)

Va

€

V.

Punctele

de maxim

sau mint

Rezultatul

principal

privind

Teorema

lui

Fermat.

TEoREMA

1.5.

(Fermat)

Fi

un

puncl

de extrem

local

penlru

.

Demonsfualie.

Vom

da

o

d

f'(*o)

*

0. Fier>0asifelin,

f'(xn)ho

s

0.

Pentru

lll

suficient

-"f(co) =

tft(Eo)ho

+

d(ao,tho)

Fie

6

>

0

astfel

incit

pentru

aqadar"

-1''/'('ro)l

"t

4

l"

-

"ol

<-in

{u.,

=.-l

--

}

.

(

"l/'(.0)l+eJ

PRopozITrA

L2.

Ilie

f,g

:

A

-

C

d,eriuabile

in

zs.

Atunci

1)Vcr,,0

e

C, ai+9s

e deriitabiid

in

z0

;i

(af

r

Bs)t(ro)

=

af,("a)+

Bc,("0).

2)

f

.g

e derioabild,

in

zo

pi

(f

.g),("0)

=

f'(za)s(zo)

+

I(zo)s,(zo).

t

t\'

\

Docd

g(zo)

10.'

etistti

in uprtn(ilaLel

lui

zo, c denaab

dt

g

,,

rut

zo. c ocrtaaDtro

ln

z0

11

\- )

\za)

=

_

ft(zo)s(zo)

-

f(zo)s (zo)

g("0)2

Dcn"iai;€traiic.

Derrro*siralia

esie

ideatici,

eelei din

razul

friiicliilor

de, variabili

reali.

Vom exemplifica

demonstrind

2).

(i

s\('\

-

\i

.s)(,0)

=

/(.)

it,o)

^,-,

.

,,. ,g(z)-

g(.,0)

z

*

zo

"

-'f

01")

+

Jko)"t

,t1

qi

daci

z

*

26,

folosind

5i

Propoziqia

l.l

se obl,ine

r"ezulratul

anunlat.

I

'

PRoPoziTiA

1.3.

(cierivarea

iunc{iilor

compuse)

Fie

A, ts mullimi

de.schise.

(1.4)

Dertonsba\ie. Fic

G,"

:

B

-

C definii,i.

prin

(

sG\

e(:,' )

G,"r.r_{*;

"

,,l,,oo

^r__";

.t

-..^-1r,...:

,._

=

-:

r^-x

, ,. ,

slf(t))

-

glf(to)l

,,

,,,,u

f(t)

-

I(to)

r, .0

a,

udld

"

t-,o,

-

t

_

tf,-

-

iJzoi.l\r.,j

-

deunde

pentru

t-lp

obtincm

(1.6).

I

I

PRopozlTr^

1.4.

(derivarea

functiei

irrverse) lic A,

B

nullimi deschise

tnR

sorfnCqrf:A-Bofunclicconlrnud,bijeclfud,,cuinuersacontinud.Dacd.feste

dernabild in

z6

9i ft(zs)

f

0

atunci

f-|

este d.eriuabild

in

us

=

f(211)

gi

tr-')'t,o)=

iTi+a,

(1

7)

Demcllsli'll{ p.

)in ipor"zi

/-r

pxi"ti

1i

t

cr.;nrinud

pr

B

l-re

(u,.), un

tir

din

-8,

lrmLu,,

=

u)at utn

f

u,oYn.

Atunci

32,

e

,4

astlel

incit ur,

=

/(2")

Vn

qi

lim.zn

=

zo

zn

/

z6yn.

o"ru,r^ ,r-"/-'("t-

"I-

('ol

un_ug

"

f(,")

JQ")

(1

5)

derivata

I,

Yz

€

C.,

com-

dc

variabild

pentru

a

altceva.

I

esie

znl

<

5"

+

.._:

-r.:r:

z

*

26,

desr:hise.

in

(1

6)

-r.^.

I

-

1

',l"lG;-/(,0) *

/'(,0)

,"- t,

Ne ocupbm

in

continuare de

func{ii

derivabile cu valori

reaie.

DEFTNTTTE.

Fie X un spaliu

metric,

D

C

X,

b

lA.

Fie

f

:

D

*

R.

punctul

xo€Dsenumeqte:

puncl

d,c manm

local

al

Inri

f

dacd

lV

€

)/(ro),

lz

C

D,

astfel incit

/(a)

(

\

J(foJ

v.r

e

Y

.

puncl

d.e rninin

local

al

lui

/

daci

lL'

€

V(ro),I,z

C

D, astfel

incit

f(x) )

2

f(xe)

Yx

€

V.

Punctele de

maxim sau

minim

local

se numesc

pilncie

de extrem local.

Rezultatul

principal privind

punctele

de extrern

local

ale

funcliilor

derivabile

este

Teorema

lui

Fermat.

TEoREMA

1.5.

(Fermai)

Fie

A

o mulJime ,finF",

),

+

0.

Fie

f

:,4rfficiao

e

-i

un

puncl

de

erlrem. local

pentru

[.

Dacd,J

e deriuabild,

tn us

atunct

/,(cr)

=

0.

Demorslra{ie.

Vom

da

o demonstratie

diferitd de

cea din

113].

Presupunem

J'("0)

l0

F,e

r >

tt

astlpl

rnrrt

1-{r0)

=

(r'e

y..rs*

r)

C

I

qi

fie

hu; R crr

J'(co)/ro

> 0.

Pentru

lll

suficient

de rlic, eo

*

ti.o

e

1,(16)

qi

din

(1.a)

/(c6

-1-

ih6)-

-Jbr1)=tf'(xs)hs*a(r0,1h6)

cu

a(r0,

th0)

€

R

qi

lim

a(x.o

'

1fi0)

-

0.

tha

Fie 6

>

0

asifcl

incil

pentru

lll

<

6,

agadar

-rtf'

ft:)no

<

a(re,

rh6)

.

v{-(+ e.

(l

8)

1

=

("f-t)'(?ro).

I

f

/,y

\-0

./

\s./

117

qi

aiunci,

pentru

I

> 0,

lll

<

,, are loc conform

(1.8)

f

(ro

+tho)-

"f("0)

-

t

ft(zo)ho

a(ts,tho

)

>

1/J'{r'0}h0>.0

iar

pentru

,

<

0,

ltl

<

6, (1.8) conduce

la

f(ca

+tho)-

/('o)

=

tf'(q\ha+ a(r0,zA0)

<

lll'1rs)fto

<

0

rezultind

c5.

in

vecind.tatea

lui re

/

are a.tit valori

mai mari

cit

qi

mai

mici decit

/(c6),

deci

rp

nu

ar

fi

extrem local, o contradiclie. I

Aceasli

demonstralic func ioneaz5.9i

in

cazul

funcliilor

dcfinitc

pe

o submullime

dintr-un spaliu normat

cind derivata

este definiti

in

sensul

lui

Fr6chet.

O

primi

aplicatie

a Teoremei lui

Fermat este demonstrarea

proprietitii

lui

Darboux

pentru

derivatele

func{iilor

de o variabdE realX.

TEoREMA

i.6. Fie n

-

bcR,

f

:

D

-

R deriuabiid,.

Aiunci lia,bl

C

C

D,

f'(la,bl)

este

inlerual.

Demonstragie.

Fie

[o,b]

C

D. Presupunem

f'(")

*

f'(t)

qi

fie

I intre

//(o)

gi

//(b).

Ar5tdm

c5, )

e

valoare

a

lui

/'

qi

atunci, cum

ia,6]

e arbitrar, teorema

e

demonsirati.

Fie

f':

D

*

R,

le(r)

- f(r) - )r. Fe

derivabilS

pe

[o,6],

in

particular

e

continu5.

Ciutim c

€

fa,6]

cu ,F'(c)

-

0.

Conform

Teoremei

lui

Fermat, un

punct

de

extrem

local satisface

aceasti condi{ie.

Fie

r*, c14

punctele

in care se ating extremele

absolute ale

lui

F

pe

[o,

D] (existi

conform Teoremei

lui

Weierstrass:

Cap.

III

$1,

Teorema

1.9) deci

1r(c-)

=

inf{.F(r)

lr

e

ia.6l},F(zw)

=

sup{F(r)

le

e

[a,b]]

Dar:[ r-

-

ry

rezultd. .F constantS.

pe

[a,

i],

deci 1/(r)

=

0

Vc

E

[a,

b]

qi

deci

ft(t)

-

^

Vr

e

[o,6]

situalie exclusi

de ipcteza

f'(")* f'Q)

AEadar

r-

f

ry

gi

ar5.t5,m ci r-

qi

c1e1 nu

pot

fi simultan capeie ale

lui

fa,

D].

Daci

presupunem

rn

=

o

$i

rM

-

b

obtinem

ry

2

0vr

e[o,6]

de unde

rezultS,

F/(a)

)

0 deci

/'(a)

t

^

"

AJ#

)

0

Vc

e

[o,0]

de unde

rezutti

f'(b)

>-

^.

e

obline

o contradiclie

cu

ipoteza.\ intre

/'(o)

qi

//(b),

deci cel

pulin

unul

din

c-

qi

e1.4

se aflE

in

(a.6)

deci

e

exirem

local

qi

atunci

c

=

rm

sdu c

=

ov

satisface

ft(c)

-

),.

I

TEoREMA

1.7.

(Rolle)

Fie a,b

6

R

9i /

:

fo,

d]

--+

R conlinui.,

deriaabtld.

pe

(a,b),

cu

f(a)

=

"f(b).

Atunci 1c

a

(a,b)

asrfel

inctt,f/(c)

=

0.

Demonstralic.

Daci

/

e consianti

derivata

e identic nul5.

qi puiem

lua

orice

c

e

(4,

b).

Presupuuem

/

neconstanti..

Fie

z-,ry

€

[a,0]

cu

f(c-)

=

inf{f(r)

lr

e

[a,b]]

ei f(ey)

=

sup{/(r)

lr

e

€

[a,

D]]. Unul dintre

ele

nu

coincide

nici

cu a

nici

cu

6

deoarece

/(o)

= f(b)

qi

/

nu

e

118

constant5,, deci r,' sau rg

sau

/'(2r,1)

=

0. t

TEoREMA

1.8.

(Cau,

a

I

b.

Exisld

c

e

(a,b) astJ

Demonstralie. Aplici,n

h(r)

=

Conor,rn 1.8.1.

[Te

conhnud., deriaabild.

pe

(a,

=

ft(c)(b

-

a).

Demonstralie.

Lud,m

g

Conoun

1.8.2. Fie

f'(r) 2

0 V:r

e

lo,

bl,

alun,

alunci

f

e dcscrescdloare

O alii aplicatie impori

lor de o

variabilS

realE, de

Paorozrlr-r. 1.9.

(Re1

1.)

I'ie

|,

s

:

fo,

Dl

--

fi,

a64;

f

si

g

sint

driuabilc

tn

(a

rt /-\

Atunu

dacd.I

lim

*,

2)

Fie

J,s:

la,re)

-

R, d

d,acd 1r

=

1i*

).

,,,,

'?"

e'(r

)

3)

Fie

j,s

:

ia,

oo)

*

R,

I

,tgl

o(t)

=

0.

At'unci daci

Demonstra\ie.

1)

Aplic5.rn Teorema.

lim

cn

=

rs

2) Fie la inceput

I finit

deci

g

e

rnoloion

qi

tieoar

>

0

Vr

€

la,cs).

Fie

e

>

<

I

+

,,

dccl,

deoarece

+

f(y)- (t-i)o't'i.

[-(t+i)o]

(r)<ov't

-

decit

/(rls),

ubmul{ime

O

primi

pentru

lia,'n]

C

intre

//(a)

teorema,

e

e

punct

de

extremele

III

91,

oJ

+

dec

lui

[o,6].

D]

de

unde

rezultd

unul

din

sal,isface

pe

(a

,

b)

,

lua

orice

lr

e

constanti, deci e- sau

rM

e exl,rem local

qi

Teorema

lui

Fermat

implicb

//(c*)

=

Q

sau//(r1a)=Q

I

TDoRoMA

1.8. (Cauchv)

lie

f,q

:

ld,6l

,-+

R

continue,

d,erilabile

pe

(a,b),

aIb. E

stdc€\a,b)

aslfet

inctt

lf(b)

-

f

(u)l.qt(c)

=

[s(b)

-

s(c)]l/(c).

Demonstra\ie.

Aplicdm

Tcorema

lui

ll,ollc

Iunclici

h(n)

-

s(4lf

(b)

-

/(,)l,

/(r)le(b)

_

e(o)l

CoRoLAR

1.8.1.

[Teorema

lui

Lagrange

(oegteri

finite)]

Fie

/

:

[a,lr]

-

R

conlinud, d.crirabild

pe

(a,b), a

I

b. Eristd

c

€

(a,b)

astfel tncit

f(b)

-

f(a)

-

=

l(c)(b

o).

Demonstralie.

Luim

9(e)

=

a

in

Teorema 1.8.

ConouR

1.8.2.

Fie

[d,b]

C

R,

alb

Ei

fie f

:

la,b).-

R

d.eriaabrld..

Dacd,

/'(a))0Ve€l,a,bl,atuncifemescd .oare?el.o.,b],iardacdft(,x)50Vzelo,0].

atunci

f

e desc:rescdtoare pe

la,b].

O

alti

aplicalie

irnportanti.

a Teorernei 1.8

priveqte posibilitatea,

in

cazul

func i

lor

de

o variabilS,

reali, de

a calcula anumite

limite

folosind derivatele.

PRopozITIA

1.9.

(Regulile

lui l'Il6spital)

Fie

a,b,xo e

EX.

l) I'ie

l,g:

[o,b]

-R,

continue-

Fie

rs

(

[a,6].

Presupunem

cd:

f(x6)

=g(r0)=0i

J

Ai

g

stnt dcriuabilc

tn

(a,b)

-

{ro};

s(r}

I

0

+i

g'{x)

f

0

in

uecindtate.a lui

xs.

Atuncr,

d.ato I

Iirn

/'("]

.

rezu|d

td, tr-

"f(t)

=

li-

/'(")

',-,"

s'lt)

"-""

o(.r)

,-..

s'O\

2) Fie

f,g

:

la,x6)

-

FR, deriuabile,

c'@)

I

0 Ve

e

[a,rg),

.Lry"

g(')

=

<n.

Atunci

doedTt:

trm

I'9).

uru116ra:

ti^

j(*l

-

t,.,'

/'{*)

'-.'"

9'(f)

"

<,.

slx)

,:'"

g,(/)

3) Fie

i,

g

:

[4,

oo)

-

R,

deriaabiie,

S'@)

*

0 ir

)

A

2

a.

Presupunem

a

>

A

si

lrm

s(x)=

0. A-rttnrr darri

T

lim

'1.').

nrulro,d:

li-

/ 'l

=

l,n,

l1ti.

,

.-

9.(r)

r_a

g(r) ,

._

S,(r)

Denronsl

ra(ie.

1)

Aplicim

lborerna

1.8.

Fie

rn

-6s.

lim c,

=

re.

I

9'(c"

l

2)

'ie

la

inceput I finii.

g/(co)

I

0

Vr

E

[o,

so)

=+

g,

are semn

constant

pe

[a,

r0)

deci g

e rm.rnoiooi, gi

deoarece

Ji+t"

V(r)

=

q)

+

9

ctesciioare pe

lt.r,

rq) deci

g,(z)

>

>0Vr€

fa,rs).

Fie

e

>

0qi6.

astfel

incit

Vr

€

[r{i-6.,oe),

l-;.

Hr.

t

< i+

i.a".i,

tieoarece

s'ir;

t 0,

(t- )o',',

.

J'(ri

<

(j+l)nr-l

=

+

l(9*(-i)rc

=

k-(,-i)rl',',

>

0V-r

6

[16-d.,rp)

si

simirar

[t

-

(,

.

i)

o]'

t')

<

o

vz e

[16

-

6.,

eo).

119

eru'cr

[/-

(,-i)ol

("r=/t.rt-(r-'1)

n,,t,1,'6

a.

I

(i-

)o'.

-r.'

V.rE[r1-5...rn)-/(-r)

-(i

-.re(r)

>

-f(ro-a.)--(r-

i)0r.,

a.

l

v(r)

--

da.i.r-ro

Srmriar, V.r

€

ixo-b,.xn).

fix)-

(,

*i)dr't-€rotrl

/ir)-itr

/\

-Fe)g(r)

</(.0

-6.)-

(*;)

s{,0-6")-iuk)-

-codacd.r-co.

ASadar

361(e)

>

0 astfel incit

Vr

e

(16

-

61(e),

zs),

J(r\

- (t

e)o(r)

>

0

ei

./(e)

-

(l

+

e)s({) <

0.

Deoarece

th

9(c)

-

oo trebuie

si

avem

9(z)

>

0

in

vccinitatea

lui

ze

qi

atunci,

din cele de

rnai sus

rezulti

1_.

a

I"\

g(u.t

t

I-t vr

e

fro

-

r'(r)'rn)

pcnrru

un

t?(s)

>

0suficrenr

d.

mrc.

de"j

-116

/(r)

-

1.

"

...

o(r)

Dac5, /

=

oo demonstratia se

simplifici,

fblosindu-se

numai estimS,rile care

au

condus la

f(t)

-

(l

-

e)g(.r)

> 0,

uude in

loc de

(l

-

e)

vorn

pune

M, cr

M

> D

3)

Folosim

I). I'ie

a"

*

co. Atunci

u,

=

,-'(;)

"

['(j)]'

_,'(j)

(-;)

_

,,

r,,r,

tT

a,T

l:;-i

,,,i;

-

i,];r

l

=

rt'L y'(r)

' ll\;)

.

L,(.;/]

"\ut\

u2/

Dac.X

dcrivatele rrnei

frrnclii

sili la. rindd

lor

clerivabile se

defilesc

dcriva-tele

de

ordin

superior

ale

funcliei.

DITINITIo.

Fie,4 multrime

deschisS

in

R

sau

in

C,

/:,4,--+

C derivabili

deci

ft - L,f- n..i f/

^-r-

r^.i,,^Lll; r,,^^t.^, rt n9t rtt

n

i

.-r

' .

udLd

J

r's'c

,u,,

\,u

rJ

)

J

^

--

".

nuinr{i.

,1, i;rrla

a doua

a

lui

/.

Recurent se

pot

delini derivatele

de

ordin

n, Vn

)

2.

/

"e

r,',-^"r"

l"

"1"-;

('n

n6

4 d'.;

r i16 h-

4 l-ri\.r-,1-

^..t;-

\

-

-^-r,-,,^

r:Jl

ii,

.r

Notalic.

J

e

C"

(A).

/

se

numeqte de clasd.

C*

pe

,4

dar:[

I

e

C"(A) Vn

2

t.

In

incheierea

acestui

paragraf

demonstrlrn

o

proprietate

care, pcntru

func{ii

corr-

tinue

de

variabili

real5,,

leagi

integrala

Riernann

Qi

derivarca.

,TEoREMA

1.10.

Fie

f

:

la,b.l

-R

funclte

continud.

Fte tr' :

l-a,bl

-

R,

I(r)

=

=

/

f(l)dt.

Alunct

F

este denuuhild pc

la,bl

Ei

F,(r)

=

/(r),

Vc

€

la,

bl.

I

--t)

'

slx")

/

rr)

/tfr

'"'

Demonstralie.

l'ie ro

€

[4,

g4,

oblinem

r(';)

-

#")

=

qi

atunci

"f(€')

*

/(so)

rezult

stinga, fie

r,

*"0.

Atunci

ry

Ir(r-\

-

F(

€

lr.,

.rol

dcci

si

lin*-

r

.ln

-x0

=

/(ro).

I

$2,

DERIVA'TE

PARTIALE

Fie

G

o

mullime

deschisi

d

DETTNITIE.

/

are

derivati

exisiS.

qi

este

finiti

lim

f(a1,a2,...,ap

1

Alte

notalii intilnite

pentrL

Caz

Ttarttcular.

Fie

n

=

2,

(

(ro,

yo)

e

G.

Atunci

ol

J(.r,yo,-Jt

-l7^

?r.

I

J-.rn

af

, f?o,il-

f(

-(r0,.t/0,

-

llfil

-

OA e*YD

Y-Yo

tll

Se

obs"rvd.

cd derrval,a

5i

ft

: It

-

fl,

/1(r)

=

/(r,

yq

variabilX

/z

: 1,

t

R,

/r(c)

=,1

conform

reguliior

,ie

derivare

a

ExDMPLU. Fie

f:

R

x

R

A'

9(r,.v)

=

2rcos(12

+

y3),

+l

"'

o

Deqi

au

o stiinsE

legituri.

de ma multe

variabile,

existent

de

derivabilitate

care

sd,

asigure

de

o singuri

variabilX.

Acest

120



)

o"

(i+

ral

Demonstratie.

Fie

ro

e

[o,6],

t"

i

co.

Aplicind

Teorema

4.5,

b) din

Cap.

IV,

F(r"

)

F(ro)

I

?.

$4.

obt inem

qi

aiunci

/({")

*

J(cq)

Dt

"\

-

F(

-^\

rezultind

lim

T"

it-xn

Pentru

limita

la

=

f

(tt^) dt

rt"

e

=

f(co).

(-li

de

eci

=

121

..

F(r";

-

F(re)

i

slrnga.

hc

ra

-iro

A[uncl

a"

_.r,

-

",

_

",

.

F(.r.\

-

F(tt,t

, ,,-

F{r)-

F('o)

.

e

l"r.,.rql

deci

q;

t,;t*v;

_;;v=

hm/(1.)

=

/(rq),

a"Qadar

,$ff

-

=

f(co).

I

$2.

DERIVATE

PARTIALE

Fie Go

mullime

deschis5

din R'si

/:G*R

Fie o'--(at,...,a")eG'

DEFINITIE-

f

are

derivaii.

par{ial5,

in raport

cu argumentul

t in

punctul

o

daci

exisl,6

qi cste

finiti

,. Ilot,az,...,or

r.rr.drFr,..

.o")*-f(or,. ,o')

19r

af

,-,

xh ak

uf,h

Alte

noialii

intilnite

pentru

derivate

par{iale

sint

(Dsl)(c) sau

/i*(a)

Caz

ltariicular.

Fie

n

=

2, G

=

I

r

x

Iz

cu

{,

12

(

R inieivale

deschise,

/

:

G

-

R'

(ao, go)

€

G'

Atunci

0l

.f(r.yo)

-

.f('0,

co)

-tro,

?,/o )

dr

r-r0

dJ

,

"f(ro.

s)

-

/(.o

go)

-(ro,

ro)

0A Y-Yo

Y-Ao

af

.

Se

observS.

c5.

dertvata

'f;lro'

Uo)

este derivata

in

cs

a

funcliei

de

o

variabil5'

variabili

/z

: 12

*

R,

/r(o)

=

f(ro,y).

Prin

urmare,

derivaiele

parliale

se calculeazE'

conform regulilor

de derivare

a

funcliiloi

de o variabilS,.

ExEMpLU.

l'ief

:

RxR

-R,

l(c,g) =sin(r'+g3).

AtunciV(r,g) eR

x R,

-

Af

{h, a)

=

2r

cos(.r2

+

y3

),

il(r,

y)

=

3y2

cos1"r'2

+

y3.1.

ol

Deqi

au

o stiinsi"

leg[turi,

cu lo+liunea

de derivati

intr-un

punct

a

unei

functii

de ma multe

variabiie, existenla

derivatelor

parliale

nu este

echivalenti

cu

o condilie

de

derivabiliiate

care sd

asigure

funcliei

proprietS.lile

pe

care le

au

funcliile

derivabile

de o singurd

variabili.

Acesi

aspect

va

fi

detaliat

in

Capitolul

VII.

Ne

mirginim

deocamdati

si

prezentdm

un

exernplu

de

funclie

care

are

derivate

parliale

,intr_un

anurne

punct

flri

sd

fie

continui in

acel

puncL.

ExLMpLU.

Fie./:R

x

m

-

R.

/(.r'.

j,)

=

{;+

{r'v)

/r0

0).

s.^o.,.^

aic

ir

zeio

lirnite

diGrire

<ie-a lung,rt

unor

Ji.pi:

llif.,ir.,

7

lt,

"'l;r(,0;"0J

,n

,"".

(ju,

s.

.,cJ"

urui *

$10.

o1

-

$ri;,

o;

rr.

ut

oa

Prin

iterarca

derivatelor

parliale

de

ordin

unu

se definesc

dcrivatele partriale

de

ordin

superior.

DEFINITIE.

Fie

G mullime

deschisS,

in

R",

/:

G

-,-+

R.

Daci. derivatcle parliale

exrsl,d rn

once

punct

riin

C

se

de^

At

af

al

€

{r.

.nr eu.,

l

.,..".,:;,;r,,,

l'"*nk-"",1,,-,ilj:

rt

d

€

C

aceasta

se

numcite

deriiatd, porpold

de

orfun

2gi sF noleaz6

a

/0f\.

a2

a

(.a*

J

tu)

-

u*",(o)

=

Ii"'to)

Dacd

derivatele

par{iale

existi

in orice

punct

din

G

ele

definesc

functriile

^{

.

OxidJ:k

:C

.-R.

l(r.f

(n

Sd observdm

cd se definesc

ur,,t

=

1o1

,,r";

,o,

qi

o

problemii

nar.urati

e

r' c"

condi(ii

a{.esrc

derivare

illfl:;,"";';.31:3;1""

parqiale

mixr.e)

corncid

daca

j

f

,i.

Se

aratd

imediat,

ci

pentru

f(r,ll)

=

sin(ir2

+

y3)

=

:?':''

,n R

* R

ouot

comideratd

unr".io"

31L

=

dx09

0f

.^

A2

t ;(U,

/l

-

il

to,

ot

=

tim

:.

OIJOI

y-n

A

I)emonsirim

acum

o ieot

derivatele

parliale

dc ordin

2 r

TEoRDMA

2.1.

(Schrvar

a

e

G

ei

j,k

€

{1,.

.., n}.

il

sint

d,cf.nile pe

V

gi

continuc

Dem crrtsl,ra{,ic.

Vom den

stra{ia il

cazul gereral

sd fic

bazati

pe

accea4i

idee

se

g5s,

Cap. ll,

$3j.

fie

o

=

(ze,ys)

E

Y

=

l

=

if

k,y)

-

j(',

yo)l

-

ff(,p,

Fie

2,,

-

16,

r,n

f

ro, x

Definirn

p,

:

11

*

R,

rp,

r "

:

12

-

R.,

{"

E('"'a")

l)eoarece

/

are

derivaic par

dt 0f

=

;

(..'v')-

;1(r,y6),

vr

ut

Ltu

Teorema

lui

Lagrange

(Coroli

qi

4",

intre y, qi

96

astfel

incit

e"@")-e"Ga)=r'"G")l

t"Q")

-,1,"fu0)

=,1,"01")(

Dcoarece

x.,

+

sq

9i

y-

+

y6

lui

Lagrange

in

raport

cu.\'ari

lntre

y.

qi

96,

deci

1l

-

ys

qi

0t.-

^

{t".u")-

ot

af

^

{r",

n")-

0?t

,Jtn

\

z. |

)

1

\2,

z

)

\

\2,J )

|

\z

gi

din

ipoteza

de continuitate

egaiitatea

doritS.

I

Cd, iucrurile

nu stau

intotdcauna

a5a

o dovedeqte

urmEtorul

exemplu.

(

,srt

Exrvplu.

Fie

/

:

R2

-

R.

.f(*.

y)

=

| 7;7

(r'

v)

/

(0,0)

Arunci

I

o,

(r,

s)

=

(o,

o)

^

(

12

t1,,2

-2\

di

i

"-

'

,

'

"

'

a,

=

1"

@2

'YYz1z

'

(

,"(r'

-

v')

t,r-rt

iiezuiii

UI dT

Az t ;(r.0)

-

f(0.0)

{*to,

ot

=

tim

d

d

-

r

OxdU' i-0 ,

af

0a

(",

e)

I

(0,0)

(-,

s)

=

(0,

0)

(c,

v)

I

(0,

o).

(r, y)

=

(0,0)

122



jntr-un

ero

oal

de

partialc

r

e

punclul

,)t

,rt

Ai t ;{0

y)

i

l0

t,)

#tU,,,,

-

li^

o'

os

oUOx ,t-r

A

Dernonsi.ritn

acurl

o icoreurd

irr carc csio

cnunlatS

o condi ie sitficienta

penrru

ca

derivatele

par{iale

dt:

ordirr 2 si

ait;5 aceeagi

valoaic.

indiferent de

ordinca de derivare.

TEoF,gt'1A

2.1.

{Schwar:u)

'

(;

"

u l nL

Jrsr/rr:,r

:r R',

;r

j

:

G

-

R_

/rrr

o€

a;

ti

j.i€

11,...,??).

Dacdllt

€V(a),

I

C

C

ustlrl

inctt

#^

t,

#r,

sint

dcfnzle

pe

lr

6i

conltt"rue.

ttt. n,

alunci

-*t.,

=

- l-

"Al,

Ox.nxt

O"rk,J

t

Dettonstralic.

Vorri dcrnonst,ra teorenta

Dcntru cazul I

-

2

urmind

ca dorrron-

stralia

in

cazul

general

sii

Iic

dal,ir" iotr,un

capit,ol

ulterior.

O

denronsi,ralie

complcti

bazat6 pe

accca.qi

irlee sc

gi.seq1,e

in

130.

Cap. lV,

$5] Ei,

intr-o

1brrn6.

gcncrali,

in

12

Cap. Il.

$31.

irir:

o

=

(r6,y6)

€

l'

=

/r x

1z

C

G. ,-

dai,

in e1u1 ul

teoremei

Si

tic

_D(z,u)

=

= ilt

"

ljt

-

.ll

r gatl

-

llx'

.

u) ,f

tr,,.

s,

jl

Fie

e,

-

xt),

,r:n

+

Lo. t.,

€

ltVn.

lln

+

/o:

ln

L,ln, lln

€

I.r.

Vr.

Definirn

p,

:

/1

+

R,

p/,(r)

=

f(x,a")

f(r,aa)

ti,,,:

Iz

*

m,

d'.(s)

-

f('",v)

-"f(ro,y)ciseobsr:rvi,cE

E{r",s.)

=

eQ,,'1

-,p(.rn)

=

t"(y")

-,/,,,(vo)

(2

i)

Deoa-rece

1l

ate

rlerivatc

parliak:

i;i

t'

iez-.ilii

g"

ai

il"

derir.abile

iar

g,n(.:t)

-

i't ,)t

,.

dl

J/

- -,^("

,

)-

.'-(r

r,') Vr(/;.c,,ttJ)=;

\.r,

j/.t

-;

(/,

)

iltC./7

,\plicirrti

olt

O

at

u

Teorema luj

Lagraoge

(Clorolarul

1.8.1)

funcliilor p,

Ei

dJ,,

ob{inem

{,,

intre

r"

qi

;16

qi

4,

iltre y,

qi ge

astfcl

llcit

p^(,^)

-

p,,(ro)

=

p'.G^)@.,"r

=

fflic,

r,,r

-

olc,,.*l@,,

-

ra)

(2.2't

rt'"( t^)

-

\,,(yo)

-,l,iJ.q^)fu^ v"l

-

f$1.",,7";

-

3,'..

r,,']

@^

-

ua)

12

3)

LU

oa

I

f)eoarece 1,,

+ r

qi

'l/r

+

uo

rezulta ,,tr

-

xir

r

r1,,

-

gr9

Aplrrlls]

,lin

1,,-,:'l.corema

lui

Lagrangc

in

raport

cu variabila

a

2-a in (2.2) qi

cu

prirna

in

(2.J) qi

rezultd ci

3ry1

intre yn

5i

ys,

de.i

\l

-

y6 qi

l{| intrc r,

qi

re,

deci

{1.

-

r0

astfel incrt

;)f At A2t

|

(t,.

.

a"\

-

.'

(t"

.

tt"l

--

-L(

.

n: tt

u-

-

u. I

o,t J.t

,l xtJ.r

(

2.4\

dI

;tl

it) f

6",,(''

n'\

l'rtxt"1,,1--

fi,rte" 'l"

rl

r'

-

""

'l

{2

5)

DirL

(2.i),

(2.2),

(2.;i),

(z

a)

qi

'-

-'

02

f i)2 t

qi

din

rpotcza

de continui,.ar

e

^

."] i

jlJ:'::l,.:R::

ff

]

;"m

tl

J

fi

":)

galit

atea

doritS.

E

a,

f

,

dt

p

I

la,

tOl

l

derivaie

a2f

n

continue

Pe

G.

/

se numeqte

de

b)

Dacd

J

are

primrtiad

inleraale

pe

inleruale).

Demonstratie.

a)

Rezulti

direct din

defir

b)

Rezulti

dirr

Teorema

1

Remarcim

ci

opera iile

d,

,f€Pd

Aceasta

permite

sE

oblin

mulelor

folosite

la calcularea

d

PRopoztTrA

3.2.

(1)Fief,s:1*R

Atunci

Prim(af

4

l3g)

=

{al

t

-rPPrrm(s1

(

lbf

+{rsl=a

J

(2)

Fie

f

:1..+R

contina

(3\

Fie

f ,o:1--+

R de

clr

Pim(fts)

=

{Js

Demonstralie.

(1)

flr

e

Prim(o/

+

+BPrim(r,)

++

Hz

=

qF

*

l3G

:

fBg

aqadar

H2

e

Primltf

+B

€

aPrirn(/)

*

BPrim(s)

deoar

€

Prim(/),

iar

daci

B

I

0

qi

o

(2)

Am

<iemonstrat

in

Tec

alui/pe1.

(3)

I'

e

Prim(/'e)

<+ F,

€xistenta

primitivelor

fiind

esil

EXEMPLU.

Prim(lnc)

=

I

A3r*dar,

Teorema

1.10

aral

lul

unei

primitive

a

acesteia

pe

pe

care am

dat-o

integralei,

de

tinu5.,-este

derivata

funcliei

de

de la a.

124

de

ordin

n.

DEFINITTE.

f

se

numegte

d'e

clasd'

C"

pe

G

daci

f

are

derivate

parliale

de

ordin

clasd

C*

pe

G

daci

f

este

de

clas5

C"

pe

G,Yn2l'

/

de

clas5.

Cn

pe

G

se

va

nota

prin

f

€

Cn(G)

iar

/

de

clasS'

C*

pe

G

prirr

f

€

c-{G).

'

'i,""JJ""""t

asupra

funcltilor

de

clasi

C'

in

capitolul

consacrat

derivabilitS'tii

func6iilor

de mai

multe

variabile

reale'

$3.

PRIMI:IIVE

$I

CALCULUL

INTEGRALELOR

RIEMANN

DEFTNITIE.

Fie

/

interval'

1c

R,

I

l0

Fr9

/,1-;.R

l)t:tit

F:1'-+

R

se

*'.ril"-inl*tttro

lui

/

pe

1

dacX'?

este

'lerivabili'

5r

F'(r)

=

/(r)

Yr

€

I

'

in

cazul

in

care

I

nu

este

deschis,

derivata

in

capete

se

va

considera

derivata

lateralS

coreePunzltoare

-"-^Oi"""tOi"

a"nnilie

se

obseivS'

ci

primitiva

unei

func ii

nu

e

unici:

dou6'

primitive

di[er

printr-o

constant6

'

{olaJie.

Mullimea

primitrvelor func[iei

I

va

fi

notatd'

"t^tf)

= j f

=

=

|

ilr4r.

Dacd.

se

cunoa5te

o

primitivi

'F

a

lui

/

vom

nota

Prim(f)

=

fl*C'

EXEMPLE,

1)

Prirn(c)

=

C

este

nultimea

primiiivelor

fur'c'liei

1'(r)

=

c'

Vr €

R

'd+1

2)

Prim(r")

-

:-

'= 1a,

o

I

-l'

(t+

r

/r\

i) PLimii

j-

in;+C,.r'e

(0's:)

'

\r/

PRoPozlTlA

3.1.

a)

Dacd

f

:I

-'+

R

e

derittabild alunci Prim(f

')=

f

*C'

(/

lt,lo,=rt,l

*

t)

-

ilri.'

qi

ordin

prin

b)

Dacd.

f

o.re prirnittud.

pe

I atunci

f

are

proprietale.a

lui

Darboux

pe

I

(d,uce

inleruale

pe

inleraale).

Demonstralie

.

a)

RezultX

direct din

definilie.

b)

Rezultd

din'I'eorema

1.6. I

Remarcim

cE

opcra iile

de derivare qi

primitivare

sint

inverse

una alteia

in

sensul

,f

€

Prim(/')

{i

F e

Prim(//

e

f'

-_

I

(3

1)

Aceasta

permite

si, obtrinem

forrnule

pentru

calculul

primitivelor

pe

baza

for_

rnulelor

folosite

la

calcuiarea

derivatelor.

PRoPozlTrA

3.2.

(1)

ltre

f

,g

:

I

-

R

admiltnd primztiue

qi

fie

a,lj

€

R,

a2

+

132

> 0.

Atunct

Pnm(af

-

0S\

=

loF

+

pC

I

F

€

primlf).

C

e

prxzltg)|"

ahmII)I

-dPnm\s)

r

Jbt

+att="

j

t

+

i

j

tt.

(2)

Fie

f

: I

+ffi

6n1inu6.

Atunci

f

are.

prinitiue

pe

I.

(3)

Fie

f,

g

: 1

*

R

de clas6.

Cr.

Atunci

Prim(/'e)

=

1 g

-

H

ln

€

prim(/e,)] B'

f

s

-

prim(f

s')

(

,'-n-

|

n,)

(3

2)

Demonstralie

.

-(1)

Ilr

€

Prim(a/

+

0c)

<+

HI

=

af

*

ljs

iar

f1z

e

aprim(/)*

+,4Prim(g) 1JH2=a1I'a66.+

Hi=

af

+/]g

deci

IJ1

qi

]I2

au a.ceeaqi

rlerivati

n,i"a

*B9

aqadar

H2€Ptim(df

+13g).

Atunci

3c

e

Rastfelincitfll=f12+c=aF+0c+ce

e

aPrirn(/)

+

l3Prnn(s)

deoarece

daci

a

10,

aF

"

=.(f

+

)

,

-,

i1

1e

€Prim(/).

iar daci

B

I

0

si

a

=

0,

gG

+

c

-

O

(c

+

fi),

^,

c

+f e

r,i-1e;.

+

c).

(2)

Am

demonstrat

rn Teorema

1.10

c6 dac5

a

e

1.

alui/pe1.

hlr)

= I

/

estc o

prinritivd

(3)

1

€

Prim(/'s)

++ F'

=

f,s

e

(fs

-

F)'

=

fs'

e

fs

_

F

eprim(/s,),

existenla primiti.relor

fiind

a"sigurati

de ipoteza

clasei

Cr.

ExEMpLU.

Prim(tnr)

=

Prim((r)/tn"r)

-

rlnr

-

f.,-

("1)

-

t:tnt:

*

x

I

C.

\

",/

A'eadar,

Te.:lema

1.10 aratE

cum integrala

unei furclii

continue

ser.",eqte

la calcu_

lul

r.rnei

prirrritive

a accsteia

pe

ul ilterval

Jinind

seama

de interpretarea

geometrici

pe

care am

dal-o

integralci,

de

rnisurd

a ariei,

rezulti,

cE

o

funclie

/

:

ia,

b]

---+

ft,

s6n_

tinui,'este

derivata

func{iei

definite

de

aria subgraluiui

lui

/

m6suraii,

je

exernplu,

de

la

a.

125



Integrabilitatea

Riemann

nu antreneazd

in

general existen a

primitivei:

de exem-

plu,

lunclia

sgn

nu

are

proprieiatea lui

l)arboux,

deci

nu are

primitivl,

pe

intervale

[-o,

a],

dar

e

iniegrabil6

Riemann

De asemenea,

existd

func{ii

care au

primilive

pe

anumiie

intervale

Id'rd' a

fr inle-

-."

hil- R i.-,. n

De exemplu

f

:

[-1,1]

---'

R,

/(u

)

=

tive, fiind

derivata

funcliei

,F :

[-1,1]

-*

R

F(r)

=

,+0

x-0

dar nu

esie md.rginiti

in

r

=

0

d9ci nu este

iniegrabild

pe

[-1,1].

in cazul

in care

o funclie

integrabili

Riemann

pe

[a,b]

are

primitive

pe

[4,6]

b

aceslea

pot

fi folosit"

la

calculul integralei

;l

/

TEoREMA

3.3.

(Formula

t"ibnl,

w"iuton)

Fie

J

:

la,bl

"+

R

inregrabild Rie'

munn.

Dacd)F:la,b)-R,

continud,

cu

F'(x)

--

f(r)

Vr e

(4.b),

(3

3)

Demonsiralie,

pis

l=

{2s,11,...,r*}

o diviziune

a

lui

[a,D],

(rp

=a,

x"=b)'

Apliclm li:orema

lui

Lagrange

(Corolar 1.8.1)

funcliei

I

pe

inter"'alele

[r;

1,:,],

d

=

=

1, . . .

,

n

qi

oblinem

(1

€

(r;,1,;1)

astfel

incit,a(r;)-lr(e;-1)

=

F'({;)(r;

r;-1)

=

=

/(€;Xr;

-

r;-1). Atunci

ot@,C)

=

r(D)

-

-r'(o).

Alegind

un

qir

de diviziuni

(d.)", cu

lld"ll

-

0

qi

construind

alegeri

ca mai

I

inainte,

girul

sumelor Riemann

va converse

la;l

f 5i

va avea aceeaqi

valoare constanti

I

t''tb)- F(a). Rezulri

/

|

=

F(b)-

F(a).

I

I

Un

corolar

care

rezulti

imediat

din

(3.1)

Ei

(3.3) este

a'^D^r

^D

'r

Q I

a) Fie

f

:

[o,

t]

---

R

deriuabild.

cu d'ermala

inlegrabild Riemann-

Atunci

=

f(b)

-

f(a).

(121

{

2r sin

;, ,

.o"

,,

t

I

U

ar"

primi-

|.0,

r-0

b) Fre

f

:

[a,6]

x

[c,

d]

-

b

ta

I-

.l

tr

oo

la

la

I

"'"r.r

1,

\0,

rt

I

t

=

tol-

r(o)'rsl r'(r)l:

Folosind (3.2)

qi

(3.3)

ob

Conornn

3.3.2.

Fie

J,1

tr

T

It'G)g(

.t

lformula

integrdrii

prin

pd,rl,i

Folosind

regula

de deriv

lbrmule

pentru

calculul

primi

TEoRcM^

3.4.

I'ie

I,J

/

:

-I

*

R

admilind,

primiti

Sinlelic

Ptirn((/

c

Dacd.

9

e

bijeclie

de

clusd. Cr

peI

atunci

G

o g-t

e o

prim

Demonstnlie.

(F

o

g)t

=

=

(f

aoo,tI)

lr'o r-I l.

-

"L

Ccnor,ap"

3.4.7.

Fie.p :

Alunci

b

I

I

.t

Dacd,

9

e

ttlrclle

cu

p:(a

B

T

lt

.t

Demonstralie.

Fie

ir

o

p

Atunci

-F

o

p

esie o

piiiniiivX

l

lr=

i

I

il'p(t)l'ptlt)dt

=

t26



---

exem

inte-

primi

b)

Fie

f

:

fo,6l

x

[c,d]

*'[X

d.e

clasdC\.

Fie (ro,ys)

ela,b]x[c,d].

Alunci

I Af

| ;(t. "\dt

=

l(b.v.)

-

/{a.ir,)

a

t0f

'-

""

i

*(r0.,)il

- f

(rn.rl)

-

-f{ru.

ci

Folosind

13.2)

5;

1f.fl

oU1in",n

urm;it.orul

corolar.

Conor,ea

3.3.2.

I'ie

Lg:fa,b)-R

d.e clasd

Cr.

Atunct

bb

TT

I

I't,tttr)a"

--

[(r)gtt

t,2

-

I

I(,Js'k)a.,

(J

s)

J".t

-

I

Jormul

a

integr driiirin

p

artl

)

Folosind

regula de

derivare

a funcliilor

compuse

(propozilia

1.8) ob{inem

noi

formule

pentru

calculul

primitivelor

gi

al integralelor

Riemann.

TEoREMA

3.4. I'ie

I,J interaale

din

R

girp:1

-

J

o

functie

deriuubild..

Fie

/:"I *

R adniltnd

prirni.liaa

F

pe

J.

Alunci

(f

o

g)gt

are

primitiua

F

o9

pe

I.

Sinlelic

Prim((/o9)e/)

=

F

o

e

+

C\e:(ptim(/))

o rp

(3

6)

(.3.4)

[o,

6]

Rie-

(3

3)

=

b).

;-

mai

Dacd,p

e

bijeclie

d,e clasd

Ct

cu

9,@)

l0Yx

e

I

AiG

e o

primitiod.

a

lui(J

o9).9t

pe

I

atunci

Gog-) e o

primitiud

a

lui

f

pe

J.

Demonstra\ie.

(F

o'p)'

=

(F',.

p). p,

=

(f

"

p). p'

;

(G"

9-r)

-

(G, o

9-

t

)@-

1

1'

-

-(,ropor-r)

(r-'".r-l)

-]_-

--f

a

p ov

ConcL.sR

3.4.1.

I'ie

p

:

[c,

]l

*

fa,Bl

de

clasd

C

9i fie

f

:la,Bl

..+

R cantinud.

Alur"ci

o

v(b)

It

IfIe@lp'@&-

/;1.1,r,

JJ

Dacd

s

e

hijeclie

cu

,i(r)

+

O

V,

,1o,Oi(

)

p

e-'(B)

TI

J

Ieta,

_

1

flpU)le'\t)dt

a

e_1la)

Demonstrartie.

Fie

I'

o

primitivi

a

lui

/

pe

[n,

B]

(existi

datoriti

contiluit

d, ii).

Atunci

-I

o

g

esie

o

prin:ii-iv5.

a

lui (/

c

')9/

pe

[o,

]]

qi

D

I

ILe\tJlp'0)dt

=

(Fo

pXl)l:

=

Fl,p(h)l-

rtp(')l

=

J

(3

7)

(3

8)

e(b)

I

(o)

f

(r)dc

1,27



DacS.Ge

o

primitivb

alu

(f

o g)pt

pe

la,bl,

G

o

9-1

e definiti

qi

continui

pe

fcr,

dl

si

(G

o,p-r)'(n)

=

f(r)'

Vr

€

(a,

B),

deci

of

[fl"rl,=

ic.;-r11.r)ll

-

Gh-ri6)'

-

ci;-'{c)1

-

j

Ltttl]c'r

l'

t

" ;_,(o)

Toonnur

3.5.

Fie

I

:

lo, B]

-

la,bl

bijeclie

de

clasd

Cr

cu

9'@)

I

0

Yx

e

(u,B). Fic

J:la'Bl-*R

continud'

Atunci

B

at \

.[

ilcvt]d"-

./

/t,ttr-'t't,,0,

"

e(")

(3

e)

128

=

(

-1\n

It

t

---

2\I= I t/a2

-

t2dr-

'

t'

6

Folosim (3.8)

cu

^z

/r ,

";nzr115

\2'

4

)1,

2

3)1= /

2sinc-coss*

q(t)

=

a'

-^2

4

Dentonstra\ie.

Fie G

€

Prim(/op)

Atutrci Go

g-t

"

tontinui

pe

[c'b]'

(Go

"e-;i,"=14;

"

;-i;

.

1r'-r;i =

(f

o

e

o Lp

\)

(p-'

)'

=

f

\e-')'

pe

(o,6)

qi

diD

(3'3)

rezulti

t)

/11

"ey1"1a"

=

G(P)

-c(o)

=

(Go

e-1)[e@\

-

(G o

e-t)le@\

-

,?@)

=(c"e-')(t)l;:i7"\=

lrclrr-'l'av'

I

ExEMPLE.

t

'

'

v"

11'1

{'

11."2

-

l)-ldr

=

o'

l)

Fie

n

>

rrr.

A.ri.rlrn

.,

.l

ar".,

,

.

dr_.

-1

1

i

a"

..

" _

11n1

a1,,,

_

1-jdr

=

d^-'

l(r,

-

1)'1.

A1licarn

(3.5).

./

a""

1,.' -

,'

,

dr-

Li" ')

t^-

-

d;rr

Ltr

-

,i

j'

-1

An

'r

| ,1"-'

.r'rlr

#tt"'

-

1)'ll_,

-

/

*"-,

t,

"'-

1)"1;^+,

t("'-

I)-ldr

I

Observim

c5. deoarece

-1

5i

1

sint

rid5.cini

multiple

de

ordin

n ale

(f,2

-

1)n,

l-r[(r'-

l)"]

se anuleazd.

Pentru

r

=

1qi

pentru

r

-

1,Vl€{0,i,.

,n-1}'

L{un.i,

,i,,pa

trr

apliriiri

ale

13

5)'

obtinem

11

j#u*-ul#("-l)*lde

=eY

I#ra'

1)"1

(2m)rda=

_1

-1

Folosim

(3.9).

Fie

p(r)

=

t

2

-

l+12

"'

lt

I= I

_

.l

4tl

'I+12

1

=

arctg(2t

1

i)ll

Formula

(3.3) poate

fi apli

sau

in

cazul

in

care

functia

nu

,

limitl

finiti in

acel

capit.

in ar

-(lim

F(r)1.

EXEMPLE.

t1

1)

J

1+ rrtu

=

arctgcli"

0

'"

11 I

nr /'-.r---'^-l

I

I

JlJ

.

o

lo

o

Cu

convenlia

precedent5,

I



Pe

I

€

(3

e)

b],

(Go

dnr

(3.3)

-

I

i"l.

-

1)",

-

1)

=

d'-n

I

rI

{

-

1

r-

i2m) :_l{,"'?

-

l)"ll

-

0.

d{n,ft-r

'

,1.

,

2tI= I

Jaz

-i2d,r.

't'

6

Folosim

(3.8)

cu

e(l)

=

osinl

(=

c),

,

.

[0,;]

^/1.

sin2t\li

ta2

=,'(r+

n

)1"=

n

a

t

RezultS.

1= I

a2

cosztdl

=

J

0

fttt

JtI=

I :,

'

:;ox=

|

--'

,

-----

---;7-

J

2tn,t

-cosr

lJ

J

At.p: I

Lpzl

_

-^"

_

___

^x

tJ

1+tpz-

1+ts"^

"2

"Z

tlx

Folosim

(3.9).

Fie

9(r)

=

tC:

(=

,) Atunci

(c

=)

p-1(t)

=

2arctgt

'

(9-')'(,)

=

-2

2

-

1+t2

"'

11

rr2fd/

I- I

-.-Al-

I

-

-

'-l

41 1-12

.

L t2"'

l2t2

t2t+1

-t

I+t2

l+T-"

-r

=

arcrg(zt

+

1)llr

=

arctgS

-

arctg(-i)

=

ar.tg3

*

1.

Formuta

(3.3)

poate

fi

aplicati

qi

in

cazul

unor integrale

pe

interval

nemdrginit

sau

in

cazul

in

care

funclia-nu

este definiti intr-un

caplt

al

intervalului,

dar exist5

o

Iimiti

finitd.

in

acel

capit. in

aceste

cazuri,

.F'(o)ll

va avea

semnilicatia (lim

I'(r))-

-(lmr1';1

EXEMPLE.

?,

l)

/ .

^dr

=

arctgrli

=

lim

arctgr-

..

.l

l+r'

"

2

0

r

11

i

n, /,--,r"-.'-.1 [^"

-'-/"rhrr-l--l

"-

_

,":.;

\"

.,,

-

/

t,

l.i

Cu

conventia

precedentS., putem

aplica

qi

formulele

(f.Z),

(f.a)

6i

(3.9).

-

Deoarece

g

este

descrer

e

[0,

oo).

Atunci

rq L

tt

I

l//sl

<li'(

tj

I

p

I

<1ie(B)

+/ie(o){

/

|

.l

-

onft

Fie

a

>

C. Deoarccc

ol

>

M.

si

alunci

V[o,

B]

c

(,[

ur=

115ftfid,

Fie

(r

=)

9(i)

=

o cos2

t+6

s*'i'

r

e

[o' ]l'

e/(t) =

2(b-o)

sin

t

cos

t'

e(t)

-o

=

-

rA-

4tsin2

l.

b-plt)'-

(6-o)cos"i

''i

Aplicem

(3

8)

qi

oblinem

t

:

J

2dl

=

tr'

0

Teorerrrele

precedente

permrt

deducerea

a

noi

criterii

de

coavergen{i

a

integralelor

,"

'"iil:i:"i:#;'";til"

-i'"i

au*

'""stea

va

fi

demonstrat

in

continuare'

PRoPoZITIA3'6.(Abel-Dirich|et).Fief,g:[o,co)tE4.Presttpunemcd.

(r)

f

e

C([o,

oo))

9i

3K >

0

aslfel

inctt

rb

I

l/rl<^

o'>'

ilt

(2)

s

e

cr([o,

co)),

s'(')

(

0

vr

e

[o'

oo)

et

"l]lg

c(')

=

o-

Aron"i

I

@)g(L)dx

este

conaergenrd'

Demonstra\ie.AplicX,mcriteriuldeconvergcnlS,aintegralelorimpropriidatde

Teorema

?

1,

CaP'

lV,

$7'

f

Fie.ir(r)

=

|J.

Atunct'

J

0

>

a

2

a.

Confoim

(3

5)

f

fiind

continuS.,

F'(x)

=

f

(t)

Vr e

[o'oo).

Fie

(

K

Va

€

[4,

oo),

deci

lr(B)l'll'(o)l

( fi'

Vc'/

€

(3.10)

ExEMPLU.

In1;egralele

convergente.

Aplicirn

(3.9)

cu

,p(t)

1 7 cos I

h=

_

I

-dt

-

2J

'/t

Punind

/(l)

=

sin

I

(re

ipotezele Teorcmei

3.6.

intr

It

l/sin

lt

t;

l'-l

(3

10)+

lF(r)l

=

l/

irtF'l

l:'

I

e

[o,

oo).

c'

Incheiem

acest

paragrr

maiS

cie uneie

apiicagii

ia

c

IEoREMA

3.7.

Fie

I

:

:

la,bl

x

fc,

d)

-

R

conlinui

dertaqbild,

pe

ia,

bl

9i

fI

130

Deoarece

g

este desmescStoare

pe

lo,

oo)

oi

, g

c(r)

=

0

rezulti,

g(z)

)

0 Vr

€

e

10,

oo). Atunci

lr i rB I

|

[

1nl

<

pwllntar

I

l/'{o}ls{o)-i

|

/.r',n't.r',.1

<

l1 I ij

r

PB

tl

<

Kqla) +

^ t\"ta

.l

lt1""rlle't.,.')1d""

s

Ke{ri)

|

lr.g(ot

I

A

/

[-a'(rtl.l*

-

=

xs(0

+

xs1o1

iisW)

+

Iis(o)

-

2Ks@):

=

de

Fie

B

€

Pie

e

>

C.

Deoarccc

oling

g(o)

=

0

exisri

M.

>

c

astfel

incit

9(a)

<

tq I

>

M.

qi

ar.unci V[o. A]

c

(M..co)

.J

I

f

n\

.,

I

Hl

*r",

ExEMILU. Integralele lui Fresnel 1r

convergenie.

t^t..

-

/

sin(r')dr

q

lz

-

lcos(.r')dr

srnt

.lJ

ll

d,,

in

t

\/t

1t

-t

1

Aplicam

(3.9) cu

r(l)

=

y4

-

r.p'\t)'|A

u,

rezulti 11

=

r,=l

/"""ta,

'

2J

,h

1

Punind

/(l)

=

sint (respectiv

/(/)

=

cost)

si 91t)

=

.-1.,

funcliile

/

qi

9

satislac

\/l

ipotezele Teorcnr, i

3.tj.

intr-adcvar,

ii {

lf

l/

sin/l<

2.

l/

cos/l<

2.

Vn.ge

il.oo)

t lr" I

n,o-, ..n5i

rim

j=n.

2,h

'

t_*

lr

incheiem acest

paragraf

cu teorema de derivare a integralelor cu

paramettu,

ttt

mala

rie

uneie

apiicaiii

ia

caicuiul

unor

irrl"graie

friernarrn.

'|EoREMA

3.7. i'ie

f:

[o,

D]

x

[c,

ci]

*R

coniinud

cI1

proprieieiea

cd.

erisid.

A]:

:

[a,6]

x

[c,{

...+

W,

continud,.

Atunci

funclialr

:

[o,b]

-

R,

l(r)

=

|

f@,ilas

,"t"

;

deriuahild

pe

ia,

bl

pi

€

[a,

6].

d

. f

Af

/i(.) =

/

;:(r,g)dy,

Vr

.J

Ar

i31

Asemdndlor,

d.ord

ff

est"

continud

pe

la'b]x

fc,{1,

are

ioc

, /

u,

\

'.

""

a

f/

lt.,oia'j

--

I

6f",Oa,'

Yvelc'dl

Demonstralie.

Iie

rg

6

[c,

d],

h

€

R

-

{0}

astfel

incit

r0

+,1

€

[o,

b]

l.f

("n

+

t't

/,t,0)

-

i {r,,.rool

-

l-------

l'"'""'"'""1-

_

lf flt,,+r,.vl

rr,.,yl_

flr,,,r,lorl,,:,

l/t

h ox

=

I l

L

'i

q,",

,^ , , ,,,n,

-

g ,,^,J

o,l

=

ll lo I

a,'

,"'

"'"'.J

"l

-li

(l

iluJ,,"

+

t,u\

-

ko,s)

u,\

o,]

.

l/1rt14."

"'

d'""'l

)"l

i

'

litor

ro

r,s)

-flr,o,yr

a,lav

<

/

InrU

la,(

ox

|

|

Fiind continui

pe

compactul

[o,6]

x

fc,

d],

ff

""t"

,lniform

coniinu6,

rieci

VE

>

/F\

> 016.

=

,

(t-)

>

0

ast{el incit V(o',

e'),

(r/',

v")

e

la,blx

Lc'dl'

ll(x',a')-

-(,",v")ll,

.

o,

*lffo',0')

-

ale',0"t

.

ti

.*

lhl

<

d.

Atunci

ll(16+

+t,

s)

-

(zs,

s)ll,

=

ll(/,0)ll,

=

Itl

<hl

<

6.

pentru

orice

I

irrtre 0

qi

h

qi

Vs

€

[c,d].

tt"rutta

l1('o

t

r,at

-}Jka,yl]

.

,'

vs

e

lc,A,v/

tntre

0

Ei

h

qi

se obline

l.rx

ox

I

a-c

I

r,(ro +

A)

-

-f,

{rn)

i

uf

.

I

-/

,';t"'ulav1

<FVhe

R-iui

ii,l

<dE'

r0+he

[.'

6]'

d

Dacx.h

+0ob{inem

flf,,f

=

j6}@o,u)aa.

I

ExsMpLs.

t

1) Caiciiiiir.r

,fr{r)

=

/

1o1.o"z

y

1

e2 sin2

-,r).iv,

r

>

0.

Verilici.rl

proprietiiiie

.i

0

cerute de

Teorema

3.?

pentru

funclia

/(r,

g)

=

ln(cos2

9

*

a2 sin2

y)

pe

,4

=

[o,6]

x

[0,

]1,

u"a"

fo, bl

c

(0,

oo),

Evident,

f

este

continui

pe.4,

^,

O]

=

;ffffi

este

qi

ea

coniinud. pe

,4.

Deoar

=

2*

|

--2 -3=:

=

z,

J

cos.

v

+

r" sln'y

i

I

7r\

e

,

L0,t)

-

10,

oo),

deci

,p-r(l)

7i

=

zJ

164'111*,1dr=

I r'\ f

-;t

)

=

;'

+l'

rezultind

i(r

valabil

qi

pentru

c

-

1.

t

2\

frlr)

=

/

arctg('r

sin

v),

J

srn.q

0

y

=

0

prin

f(r,01

-

1i-

arctS(s

v-o sin

f

arcrg(s

sinv)

fG,v)

- i-

"ir,"

'Ye

(..

"

,=

Af

r

"

D;

=

1;zP;

este continui

5

J1@)--

I

0

1+

dy

c2s

utilizind

forrnula

(3.9),

ca

in

exe

Deoarece

./r

(0)

=

0,

oblinen

$4.

FORMULA

TAYLOR

DEFTNTTTE.

Fie f

un intervi

Taylor

<ieflnil,

de

/,

de

graii

n

qi

T^(x;c1

este

Ei

ea

continua

pe,4.

Deoarece

fi(1)

=

0, are

loc

l(r)

=

|

tlAVr,

iat

fi@)

=

+21

'

rp2,

=

2,

|

___)). - __

=

2, I

J

cos-v

+x-srn-u

J

l;;{'

gd

Folosim(39)

lurndo(g;

=leu=/'

l-

7r\

I

pt

L0.

r)-

10.o").deci

p-'(/)

-arcrg/.

(,,

)'(/)_

-

f

+rz

qi

dara

"r

I

t.

t,t.r\

"i i . 2r lT r , T , \

2r,jt

=

2"1

6*,zp41q1zrd'-

,i-

\/

utt.,-l

,.Fo*)=

fr(;

lr\ , i ? ,ar

-rr)

=

-.

rezttltind

LGi=

.l

,1,at

=

'rlrr:f

. rczulrarut

fiind

evidcnr

valabil

qi

pentru

c

=

1.

t

tl arctEfc

sin rr)

z)

/i

(r)

-

J

ft;3dr,

unde

funclia

de sub

iutegrali

este

definit5 pentru

0

J

=

0

prin

/(x.0)

=

lim

I13q'ini4dy

-

.r.

Arunci

y-.

o

srn

J/

[o,i],0p,,1.*u'

Y

=

#;R

,esre

continuh

pe

lo,bl

x

[o

1

n*"rr,a

utilizind

formula

(3.9),

ca

in

exemplul precedent.

Deoarece

/1(0)

.

0,

oblinem

t,t,t

-.i

fiUWt=

I

tnr"

r

rtt ,rl.

JZ

0

$4,

FORMULA

TAYLOR

DEFINITTE.

Fie

I

un interval

deschis,

/

e

C"(I), xn

€

1.

Se

numeqte polinom

Taylor

iiefinit

de

.7t,

de

gra<i

n

qi

ceniiai

in r0,

polinoij=ruj

r,(r;rs)

=I

t"|t"li,

-

',,*

_0

4..

IdyId tr

ttr"t-

J

r

rrfi

J

tTPfi;\=

/l=t

"-n

133



TEoREMA

4.1. Fie

f

eC"+t(I),

n)0, l=I irtlerual,

lEo

Q

I.

Arunci

IT

.f(x)

7"(r."rq)-

i

JQ

-

t)n/i"ir:(/)d/

(4.11

(formula

Taylor

cu

resl sub

formi.

inlegrald)

Denonstrutie

Vom

demonstra

(4.1)

prin

induclie

dupi n.

Dac[

n

=

0,

Ts(r;xn)

=/(rs)

qi

(4.1) devine

/(r)

-

-f(ro)

=

[

7p]at,

rezultat

oblinut

ir

Coro-

.t

larul

3.3.1,

a).

Presupunem

(4.1)

adevS,ratE.

pentru

n

qi

o

demonstrd.m

pentru (n

+

1), deci

ariremci

IG)-'l^r

r('.ro)

-;:- [1r

-

,1"r',.'"

"'(1]dt

dacd

f

eC"+2U)

'

(n

+

l)

J

'

Aplicind Corolarul

3.3.2

qi

(4.1)

p"nil'.

n

,"roltd

).,, IO

-

r)n+r/{n+2)(/)dr

-

-]-,-

[("-,,'*, ,t^*tt1r

t"

(n1r),

J

(4+r)

L

)1""+(ll+1)

ft

/{,

-,,"y'"*,,,r),rr

l

-

+

/1"

,

,;"1,""1,.10,

(",-

1']',*

r'|'+'|}(ru)

-

.

'l

''y'"'

{n*r):

r--

"

\n+l

--

f(t)

-T,\r:to)

-

t':::.. -y'"t

')(ro)

-

_f(r)-In+r(.r:16;

I

(t'

t

l

'':

CoRoLAR

4.1.1.

in

condiliile

Teoremei

1.1,

dacdx

>

rs existd

c,

€lxt),xl

aslfel

tncil

r{i r,

),

-

\

f(c)-'t-.(x;rs)

-

l;f(,

-

'o)'+'

(4.2)

(formula

Taylor

cu rest sub

formd

Lagrange)

Demonstragie

Aplicim

Teorema

4-5c),

Cap.

IV,

$4

qi

ob{inem

din (4.1)

f(n

+1.)/.

) ;

/(.r)

-

?,

(.r:

.ro)

J

k

-

t)"

dt

-

-

-/1"+11(c,)

(r

-r)l*'l'

=

1*,;1"-,i.

-.0i**'

t

ut. nf 1

1,.

.'

(n*t\r

Vom

reveni

asupra formulelor

(4.1)-(4.2)

cu

preciziri

asupra

condiliilor

in

care

polinoamele

Taylor

pot

fi

folosite

pentru

aproximarea

funcliilor

pe

iniervale.

ExoMPLE.

I

1)

Fie

/(.r)-

-r,r€(-

T.(r;0)

=

i+r+. .

.+c"

ais

2)

in

exemplul urmitor

prer

grad, relative la

un anumit

punc

in vecini.tatea acelui

punct.

(

_.

Fie

/

R-R,

l(r)={:'

t

u,

(

1

-L

-e

'.

.rl

ft(tJ

-

|

rt

l.o

xi

qi

se oblin recurent derivate de c

T"(r;0)

=

0, Yr

e

R,

Yr

)

0.

$5. FUNCTT]

EULERIEND

DEFINITIE.

Se

numesc fur

prin

t

l(o)

=

/

e-'1

.l

0

t

T

Blp,q)

=

I

f-rl

.l

0

Am

demonstrat

in Cap. IV

dacia

>

0,

deci

l: (0,oo)-R

p

>

0

Si

C

>

0, deci

I

: (0,oo)

x

Pnorozrqr,l

5.1.

FuncJiile

1) r(1)

=

t

2) I(a

+

1)

=

ol(a),

V0

)

o)

t

\n) -

(?r

-

r./rr

v

r

r\

4

B(p,q)

=

B(q.p),

p>a

.

^t

,"_.

Dl

I'D.01=

7 r

sln-. rr

.t

c

7 ..p-r

6)

Btp,c)=

J

o+run,

0

DxEMPLD.

I

l) Fie

/t"r')

-

l-..

e

(-L

l)

Ei

fie

re

-

0.

2)

in

exemplul

urmdtor

prezent[m o

funclie

ale cSrei

poiinoarnc'fulor

de orice

grad,

rclative

Ia

un anumit

punct,

sitt

ideutic nule iiri ca

lunctia

sa tre Irientic nuiiL

in

vecini.l,atea

acelui

punct.

IL

Fie/

R-R./(rr=t;,'

;i

nr,",i

f l"-i *>o Ii-],'\"-+.

/'("r;=

{

rr

./"(r)-(

\

x' r'/

[o .r

<.0

[u,

qi

se

oblin

recurcnt derivate

de orice

ordin

pentru

/

cu

/(")(0)

=

0,

?-/- fi\-n V-.lEl V-\fl

$5.

FUNCTII

EULERINN}'

DEFINITIE.

Se

numesc func(ii

euleriene

(inlegrale

euleriene)

funcliile

definiie

prin

T

I'(o)

=

/

.

'1"-1dt

(funclia

gamrna

a

lui

Euler)

(5

1)

.t

0

I

f

Bqp,q)

-

|

tr-rg

J)q-1di

(functia

beta.

a

lui Eulcr)

(5

2)

J

0

Am

demonstrrat

in

Ca.p.

IV,

$8,

ci iniegrala

din

(5.1)

converge dacb.

qi

numai

daci

a

)

0, deci

I

:

(0,

oo)

*

R,

iar

integrala

din

(5.2)

convergc

daci

9i

numai

daci

p>

0

ci

q

>

0,

deci

8:

(0,oo) x(0,oo)-R.

PRorozIltl 5-7.

Funcliile

I

EiB

au

urmd.Toarele

proprield;li:

1) r(1)

=

I

2) I'(a

+

1)

=

ol(o),

Vo

>

0

)l

I

(7rl

=

l/r

-

t./:r

v?t

tr

\

a)

B(p,s)= B(q,p),

p>0, q>0

^

t

.,"-

i) -fr{t.0)= /

srn-r

-

x.os-

ror.p>v.q2|

.t

c

L,P

1

6t

Blp.tr)

=

|

Ui

r*oo.

p>0.

q

:

0

0

t

2)

z)0

r(0

Vn

)

0. Agadar,

t

cate

135



t)

B(p,q)=HH

P>

o'

q

>

o

Denonstr

a\ie

'

T

1)

fi1)

=

l

'-'dl

=

I'

0

l0) Se

demonstreazi,

folosir

(vezi

[6,

Cap.

III,

$6]

sau

119,

C

Propozi{ia

ir.I

permite

calcr

euleriene-

EXEMPLE.

L

l) I

=

/

e-'

da,

cu

,p(l)

0

1 /1\

,G

-_t.t

l-]:

2-

\2.l

2

t

2) L= /sin2"+rrds.

c

.t

0

1

ob{inemp=nf1,q=;,iar

-'dt

=

0f(tt),

conforrn

(3

5)

-

[0,1],

9(r)

=sin2r=r'9t(x)--

2sinrcosr'

2)

l(a+r)

=

.f

'""-'u'=

-1'"-'lf

+o

0-

a

. [

-,-zp-2

"r

t

-

"in2

r

)q-

I

Hlr dl

=

I

u

0

11."-te

0

ta

ii

''1g

J

-

i'i.

vu

c

r

'--rir,''

r

l1-.nl'[n)--

n(tr

-

])t(ll-l)--

nrftl)

--

rrl

i

a)

B(p,q)

--

j

tn-tqt-t1t-10'

=

-

/r'-'to-'"'-'d'=

/(1-s)r-15r-1d5=

0

=

BlS.p\

unde

am

aPlicat

(3

E)

o,

5)

APlrcdm

(3 8)

cu

r:

[t)

11

R.ezuli5.

11

-t

'^1r,,\=

--1--

APli"ina

6)

Fic

p

[0.'-o)

I0

1l

2(v]

=

ilr

-''

.*

'''

.

. 1,1.,]

cu

convenlia

anterioari pentru

int"g"l"gpl

int"'nale

nem6rginite'

ob{inem

a

^"F-1

7

Yo-t

--ar.

atv,

t' =

|

-,

..u-lit;W'n;,l.rv

=

J

r---.--.-ivr*

"'

o

f0

fl

2n

'2n

h=;"("*r,;)

=

.+1

.i

ll"

J'

0

Daci

not

irn

2

4'

precedent

se

scric

1'

=

t

I

"-

i2c-l

rdl

.

2

sin

.r

cos

.rd.r

=

2

./

stn"

-

r

co

0

t,

z

t_

3)1=

I r/tsrd.x

=

J

0

obtin"-p-l,e=

I u'

nr^

.^/-.'

'"

-

I

t*rn

"""'

0

':ii

n*=1"()

Utilizind

Teorcma

de cont

pe

intervale

nemirginite

sau ca

putem

arita

ci

functiile

euleri

PRoPozTTIA

5.2.

t)

Funclia

I este conlinu

2) Funclia B

csle conlim

t1

irir=:



l0)

Se

demonstreazi folosind metode ale ieoriei

func{iilor

de o

variabil5

complexl

(vezi

[6,

Cap.

III,

$6]

sau

[19,

Cap.

VII,

$89]).

Propozrlia 5.1

permite

calculul rapid a numeroase integrale

reductibile la

funcliile

euleriene.

ExEMPLE,

ir-

l)l-

/

e ' dr'.

cu

p(,J

=

1/t

1=

11.p'tt)--

t-

devtne

/

=

/]"

":at=

"

2\/t

J2

00

1 /r\

,G

2

\21

2

i

21

h

=

[si\2"+r

rdr. Observdm

ci

punind

2p-1= 2n+1tr

2q-1=

0

.t

0

1

oblinenr

p

=

n

*

1,

q

=

t,

iar

(3.5)

xdx.

(3.8)

rr"

-

nf

11\

,"=t,r("'',1)-l

,

ti{=

z

\

Ll

't("+trU)

nl^/i Z"

_

2"

.nl

1.3..(2n+I)\ft-

1.3.

(2t+

1)

l)ac5. noilrn

2.4...(2n)

=

(2n)

qi

1

3...(2n+I)

=

(2n

11) ,

rezultatul

.

(2n\ll

orecedenl, se scrre

l-

'

(2n

11)ll

at

f

-

t , , I I

3)1=

/

y/igrdr

=

/

(sin

r)

i

(cos

r)

-

:'dr

.

Din2p-t=

nli

2C-1=

;

t .)

00

3 r

-

/3

r\

'(;) '(;)

btrnFmp-_

r.

q

-_

rst

1

=

rB

[z

z]

_

r

_nD

-

=

4'

./d,rL

n),

=

j-u*o

Fie

e:(e')

-yi (-r).

?'(a\

=

-u-i.

Alrnci

0

t- [a

i

a,,= nr],__ \llrrl\r(r_1)

)t

r

-r\/2

tJ

I

r

""

-

1"

\a

'-

4)- 4'

\a/' \'-

4)

-

4:--

4

4

Utilizind

Teorema

de

continuitate

in

raport

cu

parametrii

o iniegralelor definite

pe

inter.,'ale

nemlrginite

sa':

care conlin funclii

nemirginite

pe

domeniul de inteErare,

putern

aril,a

c5.

Iuncliile

euleriene

sint

continue

pe

tot domeniui cie

definiiie.

PRoPozrTrA 5.2.

l)

Funclia

I este conlinud

pe (0,oo).

2)

FuncJia

B

este conlinud

pe (0,

oo) x (0, oo).

13?

Demonstrat\ie.

Conform

7) din

Propozilia

5.1,

2)

rezulti

din l).

Demonstrlm

continuitatea

lui I-

in

a

€

(0, oo). Pentru

aceasta, fie

rr

€

[rl,

b]

C

(0,

oo).

Vom

arita

I

cd

integrala

care

defineqte

pe

I converge

uniform

pe

Ja,dl.

f(a)

-

Je-'t4-'dt+

0

+

I

"-t

t'

rdl

=

1r1o1

+

,Iz(o)

iii

dernonstr6m

cn 11(cr)

li

,/2(a)

converg

uniforrn

pe

,J

l

la,D]

construind

majorante

cu integrale

convergenNe.

a

€

[d,6]

<+

o- 1€

[o-

1,b*

1

-.1]

+0<e-ilo-l

<

1,"-1

,Vt

€

fo,r]

qi

/r'-ror

converge

penttu

a

>

0.

DacX

(

?

I

)

1, atunci

1a-r

1

1a-1,

deci

e

rt"-r

(

e

llo-r

li

;l

e

1tD-1dl

converge.

I

OBSDRVATTD.

Dacd,

itr

o ecuatie vectodal5

de ord

ExEMPT-E.

1)

Dezilte$area radi(

n^^:

-/,\

dLd L\r

I

t,

iar r'

(t)

este viteza de

dr

datd

de ecuaiia

Este uEor

de obsenat

Dacd se consider[

t6

=

._

.To

r0

a lamas

tr

ceea ce IaC

2)

Modele

pentru

dini

Dacd

p(r)

este

popula

diversele

modele ale dinan

neglijd.rii

interacliunii

cu a

Astfel modelul

Malihr:

la ecuatia

care

irnplicd.

o

lege de cret

model esie

cel

propus

de

b

Compararea

soluliilor

marea

parametrilor

r,

resp

evolulia

populaliei respect

3)

Model

epidemiolo$

Fie,

intr-o

populatie

d

nellllecLallr

ri, rrrurrreluur

L

+

(-r:'),

vileza

de infectare,

q^

^L+i-6

.i.r^-,,t J

?

-'-"-----

lg

Evolu{ia este

descrisS.

(desigur

r(t6)

+

y(to)

=

n

$6.1.

Ecua{ii

cu

rar

Tie

fy

lz:

(a,

b) -+

IR

91,92

: (c,

d) -+

R

1

$6.

CITEVA

TIPURI DE

ECUATII DI}'ERENTIALE

DDTINITID.

[ie

I,I1,I2

intervale

din

R qi

F1

:,I

x

L

x

12'-

R

de ciasi.

Cr'

Se

numegte

solulie a

ecualiei

diferentiale

F

(1,

x,

xt)

=

0

(6

1)

o

funclie

rp :

J

-

L,

./

C

/,,/

interval,

astfel

incit

9'

:

J

*

I2qi

,F(t,9(t),9'(l))

=

=0Vte"/.

in cele ce urmeaaE

vor

fi

siudiate

ecua{ii

de

tip

(6.1)

de o

formi

particulari.

DEFINITIE.

Fie D o

muliime

deschisi

din

RxRqi

/:

D

-+R

o

funclie

continud.

Se

numegte

soiulie

a ccuaJiei riiferenliale scalare

rie ordinul inlii sub forma

normali

,t

-

f(t,

x)

,

cu

1

interval

din

R, astfel

incit

(t,

ro\))

€

D'

vt

e

I

(6 2)

o

funclie

g

: I

*

R de

clasi Cr

(1)

qi

(2)

e'(t)=f(t,e(\,vr€r

tr'i- //J-

,^\

c D

r)^-.lit;"

r(ls)

=

sr

(6

3)

se

nurneEte cond.ilie

initiald..

O

ecua{ie

difererliali.

(6.2)

qi

o

condilie

initiali

(6.3)

formeazd o

problemd

Cauchg.

138



Se

1)

=

3)

OnsoRvalro.

DacI

in

(6.2)

D

c

IRx lR',

I

:

D

-+

JR" se

obline

ceea ce se

nume$te

o ecuatie

vectorialS

de

ordin

1 sau

un sistem

de

n

ecua{ii

diferenliale

de ordin

1.

EXEMPLE.

1)

Dezintegraxea

radioactiv5-

DacX

r(l)

este cantitatea

dintr-',in element

fisicnabil

nedezintegrat5

la

rnomentr:l

t,

iar

r'(t)

este viteza

de dezintegrare,

o aproximare

a

procesului

de dezintegrare

este

datX de

ecualia

r'=-q

rcttcl>0

(6.4)

Este

uqor

de

observat

ci

din

(6.4)

rezultla

n(t\

=

soe-alt-ta).

Dacd

se

consideri

to

=

0, atunci

dupi

urr

timp

f

=

lrtno,din

ca,ntitatea

inilialb,

-

Jlo

cu a rd.mas

;i,

ceea ce tace

ca

7

sd se numeasci

timp

de injumxtdtire.

2)

Modele

pentru

dina.rnica

populaliei

unei

specii.

Dacd

p(t)

este

populatia

unei specii,

adic5. numd,rul

de

indivizi

Ia un

moment

t,

diversele

modele

ale

dinamicii

lui

p(t)

conduc

la ecualii

diferenliale

care,

in

ipoteza

neglij6xii

interactiunii

cu

alte specii,

Ieagl

p'

de

p.

Astfel modelul

Malthus,

presupunind

o rati

de

creqtere

constantd

r

) 0, conduce

la ecua{ia

r'=rr

(0.5)

care implici

o

lege

de

cre$tere

exponenlialX

a

populaliei

n(i)

=

roe'(l-ro).

Un alt

model

este cel

propus

de biologul

Verhulst

in

1837, conforrn

cS,ruia

z'=rr-br2,

r,b>0

(6

6)

Comparar:ea

soluliilor ecualiilor

(6.5), (6.6)

cu dateie

experimentaie

permiie

esti,

maxea

pararnetrilor

r, respectiv

r, b

pentru

specia consideratl qi

astfel se

poate prezice

evolulia

poprrla(iei

respecr,ivei

specii.

3)

Model epidemiologic.

Fie,

intr-o

popula{ie

de rl

persoane

atinsi

de o epidernie,

r(l)

numlrul

indivizilor

neiliecta{i

ia momeniui

t

qi

9,(t)

nunXrul

indivizilor infectali

care

circulS

liber.

Atunci

(-r'),

itcza

de

infectarc, este

proporlional5.

cu

a

.

g,

uumirul

contactelor

posibile.

(

-,

-

-/?,

e

obtine

sistcnul

{

r,=-Pry

6.r

>

0.

l

=ptv-'y

y

Erolutia

este descris5

pornind

de

la un moment

t0 cind

z(ts),

y(16)

sint cunoscute

(desigur

:r(16)

+

a(to)

-

n

-

no cu

n0 numSrul

indivizilor

infectati izolali).

$6.1.

Ecua{ii cu variabile

separabile

Tie

Jt,

fz

:

(a,b)

-+

R

funclii

continue.

q,

92:

(r,d)

-+

R

functii

continue.

139

DEFINITIE. Se

numeqte

solulie a

ecualiei cu

variabile separabile

hft\ h(x)a'

-

f2ft)92(x)

=

o

o

funclie

rp

:

(a,

p)

-

(c,ri),

(a,0)

C

(o,

b), asliel

incit

g

esie

rierivabil5

qi

h Q) s

rl,p

(t)le' (t)

-

f

z

(t)

s

zlp

(t)l

=

0

vt

e

(c,

B)

(6

7)

arc loc

(6

8)

Rezolvarea

ecualiilor

cu variabile

separabile se face

in

condiliile

/r(t) I

0

qj

s2(r)

+

0

prin

aducerea

(6.8)

la

forma echivalentS.

ffiaat-t

)

PRoPozITIA

6.7.

Solaliile

unde 11 este solutie a ecua{iei

ecualie

liniari, numitd.

gi

ecualr

particulari

a ecua iei

(6.11).

Detnonstratie.

Se

verifici

r

peniru

(6.11).

Daci i(l) esie

+P(t)li(t)

*

rp(r)l

=

0,

deci

(6

AIgortlm

pen

ln rezoharea

I

Se

rezolvi

ecuatia

(6.13)

ca

a(l)l0soluliaedatide

ts

dat

de conditria

Cauchy,

daci

II

Se

determinE o funclie c(t)

solu{ie a ecualiei (6.11)

.'(r)

-

"0)

III c(l)

=

rn(l)+cp(t), iar c di

r(ls)

=

e6

L-vFniDr ti n;- hi^lil.-,

I

tt9

Itct-2t

=0+ =:+ln

rr

re(r)

=

c(t)12,

tlct(t)t2

+2

+

tp(t)

=

2t3

.

Fie

lunc iei

gr

g2

,io

P)-

R,'

prirrrii,ivd

a f,inclrei

i;iC:

(r.d)

R o

prirnili"i

e

lI

Atunci

(6.9)

implicd

(6

e)

(6

11)

(G

o

$(t)

=

F(t)

+

c,

t

e

(a,

B)

(6.10)

DacL

gJ

10,

rezulti

G

strict

monoioni,

deci inversabild.

pe

imaginea sa

qi

din

g2

(6.10)

se

obline

p(t)

=

G-|lF(t)

+

c].

Se spune

c6

(6.10)

definegte

in

mod

implicit

solulia

generali

a ecualiei

(6.6).

Aqadar, rezolva"rea

unei

ecualii

diferenliale

cu variabile separabile revine

la

de-

terminarea

a doud

pimitive

qi

la rezolvarea

unei ecuatii de

naturt

,,algebrici,".

EXEMPLU.

T(1

+

r'?)

+

(1+

t'?)ac'

-

0.

.rt"c

I

r

*,

"'

=

-

|

1

1:

. d".i

t+x(/)'=.1

r,

t2

c>

0'

de un<ie se

pot

dcletmina

explicit solulii

ale ecua iei

in funclie

de

conditiile iniliale

date.

$6.2.

Ecuatii

diferen{iale

afflre de

ordin

unu

DEFINITTE. Fie

a,8,1

:

(a,

b)

-*

R funclii continue. Ecualiile

a(t)rt+B(t)r+7(t)=r)

se

nuryresc

ecrolii

diferenliaie afne.

de, ordtn unu.

Soiuliiic

ecualiei

(6.ii)

vor

ii

ciutate

pe

intervale

pe

care

rr(i)

I

0.

situa{ie

(6.11)

are forma

echivalentl

rt+p(t)r=q(1).

740



(6.r2)

(6

13)

PRoPozITIA

6.1.

SoluJiile ecualrei

(6.11)

au

forma

x(t)=r1(t)+ro(t)

a(t)r' B(t)x=t

unde rr

este

solulie

a ecualiei

ecualie liniari,

numiii

qi

ecualia

omogeni,.ataqati ecualiei (6.1

1), iar

ro

este o solulie

particulari

a

ecuatiei

(6.11).

Demonstralie.

Se

verificl

uqor cX orice

func{ie dati

prin

(6.12), (6.13)

este

solulie

pentru

(6.11).

Daci

d(1)

este o

solulie a

(6.11), z

-

co

verific;.

ot(t)li,(tJ

-

si(t)l+

+P(t)lb(t)

-

sp(t)l

=

0, deci

(6.13).

Rezult6, i

-

ao

=

ch

qi

i are forma

(6.12).

I

Algorilm

peutru

rezolaarea

ecualiei

(6.I1):

metoda va,rialiei

constantei.

I

Se

rezolvi ecua{ia

(6.i3)

cale

este

cu

variabile

separabile.

Pe

intervale

pe

care

a(l)

l0

solulia

e

dati

de

(6.14)

ts

dat

de

condilia

Cauchy, daci,

exist5,,

sau

arbitrar intr-un

interval

pe care

a(l)

10.

-

/4(ila"

J

"(s)

r

h(t)

=

ss

t"

I

l('\

""

/

"14o"

C1, astfel

incit

ro(l)

-

c(t)e

r"

este

I

+

l3(L)c(t)e

+

7(t)

--

0

I

PG)4,

[

4:)

d"

1rrr

J

o(sl

)",r-r J

o(s)

deci

c'(r)

=

-+/e'"

,

de unde

r(r)

=

/

"6O"

dr.

l.

III

r(t)

=

rr(r)+rp(r),

iar

c

din 11 se

determini

cind

este a^sociat6 o condilie

Cauchy

c(/6)

=

os.

EXEMPLU.

Fie

prcblema

Cau

chy trt

-

2x

-

2t3

-

0, r(1)

-

1.

tt9

lLr'-2r

=0-+-

=

:

+ ln

lr(/)1

=

ln

lctt2.

deci

"ri,{t)=

c/2.

II

tre(l)

=

c(t)t2

,

tlc'(t)t2

+

2tc(t)l

-

2c(t)t2

=

2r3,

deci c/(t)

=

2

+

c(t)

=

2t

=>

+

xp(t)

=

2t3

.

-

[420,

./

o( 5l

r3(4

,

-OS

a(f)

clasX

4e

t'

dec

l:

(i(i

)

1I

Se determini

o

funclie

c(i)

solu{ie

a ecualiei (6.1I

)

i

/ffi."

a(t)

lc'(t)e

to

-

c(t

I

r41



III r(f)

=

cl2

+2t3,

z(i)

=

c+ 2= L +

c

=

-1

9i

solutia

problemei

Cauchy

este

t(t)=-t2+2t3.

Algoritmul

prezentat

mai

sus este sintetizat

in

urrnil-oarea

teorernd

TDoREMA

6.2.

(exis',en i

qi

unicitatc) l'ie

p, q

:

la,b\

"'+

R

lunciii

cttnlinue

;i

fie

to

e

(a,b.).

Oricare

ar

f

ro

e

R,

problemu

CauchlJ

r'

+

p(t)r

=

e(1),

r(t6)

=

ro

(6

15)

are

solulia

unicd,

(6

16)

-/n,,ru,

|

,

/rr'ra"

.r{r)

-

e

to

l"o

*

/

o,

.)u'"

dr

1'1.

se numes[e

ecuatrie caracteristic

polinour

caracteristic.

PRoPoztTlA

6.3.

a)

Dacd. ecualia

(6.19\

are

au

fot

ma

c(t)

=

c1'

b) Dacd. ecualra

(6.19)

are

(6.L7)

au

forma

r(t)

=

cr

c)

Dacd.

ecuaJia

(6.19)

are

ecualiei

(6.17) at

forma

c(1)

=

sts"l

g'

Demonstralie.

Observim

(6.17).

Fie

c

o solulie a

(6.1'

necunoscutS.

Atunci

z/'(l)

=

+a:EU'+bry+e-0+ay't

t

y'

()dt

a

J

"0111*64tn,=-'+

Totul

revine la

a calcula

o

a)

ay2

tby

a

c

=

a(y

-

r1)(g

-t

ai

{:i"1

-

tr"(r:-'r)r

",r

17

Y12

_

rte"'i

-

rzAe"r

=

lln 1e.,1

ettt

_

Aer

21

Se

obtine

r(1)

=

c1e"'r -

b)

ag2

+by4c=

a(a

-

ro)2

de

r'I

-

=

ro

* _

decr ln

lr(l)l

r t-1\

c(i)

=

(

I

nG)a'

lnroa"

Demonstra(ie.

Fie

p(l)

=

er"

.

Atunci

p(r6)

=

1

$i

p/(l)=p(t)eio

=

=

p(t)p(t).

Deoarece

p(l)

I

0

Vl,

prin

inmul{irea

(6.15)

cu

p(t)

se

obtine

ecuatia

dl

echivalenth

fi(l

"t

-

p. q.

dnci

/(t)xl1)

-

J

ul"ltl"l

I

.r(fo).

Tinrtrd

cont

ci

to

f

-

/

p(s

)ds

1J

---;--

-

e

,o

qi

ci.r(ts)

=.rs.

oblilcm

16.t6).

I

p$)

$6.3.

Ecuatii diferen{iale

de

ordin doi cu coeficienti constan{i,

omogene

DEF:i.iiTiii.

Fi':

o,

i.

'

€ R.

c

I

0.

Se

numcqt. soluii+

a

Fcua(iii

,lifricnliale

axt'+br'+cr-0

(6.17)

o

funclie

g:

R

*

R de clasi. C2 cu

proprietatea

aq"(t)

+

bq'(t)

+

ca(l)

=

0 Vt

€

R.

Ecuatiei

(6.17)

i

se asociazX

condiliile

iniliale

l(to)

=

00, a'(lo)

=

3t, 1o

6

q

(6.17)

qi

(6.18)

forrneazi o

problemS.

Cauchy.

Der tr

t1r

r. Ecualia

algebrici

(6

18)

ar2

+br+c=0

742

(6

re)

c) as2

+

by

r"

=

'

[(,

*

"^1'

\

"-

)

c5,

17)

R.

e)

se

numeqte ecualie

caracteristicS, a ecualiei

(6.i7), iar

polinomul

P(r)

-

a7z

I

6,

*

".

polinorl]

caracteristic.

DD^n^?,6rr A e

a) Dacd

ecualr.a

(.6.19)

are

rdd.dcinilc reale

rr1r2,'t'

f

12,

soluliile

ecualiei

(6.17)

au

forma

r(t)

=

c1e"'

+

cze"t,

Yt

€R,

cr,cz€R

(6.20)

b)

Dacd, ecualia

(6.19)

are rdd.d.cinile reale egale

rt

=

12

=

r's,

soluliile

ecualie'i

(6.17)

au

forma

c(i)

=

s,s""1

+

c2te'ot,

cl,c?

€

R,

t€R

(6.21)

c) Dacd, ecualia

(6.19) are

rdddcini

compleze

11

=a rp,

rz= <t-i13,

soluliiie

ecuo.liei

(6.17) au

forma

x(I)

=

c1e't

cos

{ti

c2e't

sin

pt,

I

€

R,

cr, cz

€

R

(6.22)

Demonstralie. Observlm

ci funcliile

din

(6.20),

(6.21)

qi

(6.22)

sint solu{ii

ale

(6.17).

Fie

r

o

solulie

a

(6.17)

neidentic nul5,. Fie

{(t)

=

t(t)y(l.)

cu

y

func{ie

necunoscutl. Atunci

r//(i)

=

{ (t)a(t)

+

r(t)srl(t)

=

x(t)u2

(t)

a

ry'(t),

deci

acy2+

lary'lbrglcc

=0

+

ag'+ay2

lbalc-0,

uqudu,

--+4=-

=

-1,

<le

unde

o\z

+bY

I

r

t

ta\il

'1affiffi;"-

t+/(.l,'eR

Totrrl

revine la

a

calcula

o

primilird pentru

funclia

"-+

aa'

+

bv

+.

a)

u112

t

by+c=

a(y-r)ly-12) Aiun.,

/--j+ .

=1

t

'"ll'rl+c

aAz+b )+

c

eri rz

-rzl

qi

q-

r

=

/e(rr-r,)i cu

l,4l

-

eKi

-r2\,I{

€

R.

y

=

*

(lnlci)'

=

_rtP'

r2de'

_

(lnle.,,

.,4e".rl),.

eftt

-

Aer2r

Se

ob{ine

r(t)

=

c&'n

-

clAs'zt

=

cte',r

+

c2e'.t

,

cr,

cz

€

R.

b\oyz+bv

rc=

a(u

ro\zd..i

i

----=-

I

-li-t.

/icR. Rezultar

J

lC

ro)r

-

a(t)

- ro

|

=

^*j7

a""i

lnlr(r)l

=

r0,+,4+lnll

-ff|,

A

€

R

qi

aiunci

-t1\

-

t+ ,r'l-4+.or

-

-,-rol

) .^t^rol

lr

b\2

qac-b2f

()

oa"

+b

+

c

=

ollv+

u)

|

--tfl

qi

ca mai irrairle. ri

-

r=

143

.arctg

de unde

.t

$6.4

Ecuatii

reductribile

la

ecua{ii

de

ordin

doi

cu

coeffcienli

constan{i:

ecualii

Euler

gi

ecuatii

Cebigev

Anumite

ecualii

diferenliale

de ordin

doi

cu coeficienli

variabili

se

pot

aduce

prin

schimbiri

de

va.ririilA

la

forma

discutatd

in

paragraful

anterior.

Doud.

astfel de

cazuri

vor

fi

discutate

in

acest

paragraf: ecualiile

b

Y+;-

:@'

Y 4o2

al

'ax2y"

(x)

*

br/

(x)

+

cv(x)

=

0

cu a,

b, c

€

R

numite

ecuatii

de tip Euler

qi

ecualiile

g(t)

=

c1 cos

nt

+

c2

sinnt,

c7, c2

e

R'

Deoarece

t

=

arccosr

rezultS,

g(r)

=

c1(narccosr) +

cz

sin(tarccosr).

'

PRoPozITIA

6.4

cos(narccosr)

este

un

polinom

de

grad

n

tn

t

(6.23)

(6.24)

Dent

onst

nli e.

Folosind

fr

[cos(a.rccosc)

+

isin(

Si

notim

provizoriu

n

=

egalitdtii precedente

qi

separir

t3l

cos(narccosc)

= Cli

(-

I

);

(,

&=0

Notalie.

T"(r)

=

cos(nar<

DEFTNTTTE.

Polinoamele

Cebiqev.

PRcpozrTrA

6.5.

r) T"(c)

=

ZcT,,_lx)

-

1

I

D I

r;t,v^t,t

-L:

,

\/l

-

t2

Demonstr

alie.

1) cos(narccoso)+cos((n-

=

2z

cos((n

-

i)arccosc)

=

lzj

2)Prinl=arccosr=p(c

$7.

CCNI\,/FTF"GENTA

UNIF(

DERIVAR,E

in

acest

paragrafvom

demr

caaul

unui

qir

uniform

colrverger

apoi

condiliile

care permit

deri

TnOR-EMA Z

.I.

Fie

f^

:

I

}g/"

=

f

uniform

pela,bl.

(r

-

x2)v''

@)

-

xa'

@)

+

n2a@)

=

o

numite

ecualii

Cebiqev.

Dac5.,

in

ipot"za

c

>

0, efectudm

in

(6.23) schimbarea

de

variabili

c

=

e', functia

(r)

=

y(ei)

verificb

o ecua{ie

cu

coeficienli

consianqi'

i/

(

t

\

..,",

1.",

_

l1(l)"'

:_411)d

4""i,,1",,

-

/'(t)

-

e'(t)

intr-adevr4r

y'(er

) =

:-11

gi

9",

,

e2t

tl=ff

,qi

deoa.rece

(6.23) deuio""a"2'

vtt

(et)

+

bet

(et)

+

ca(e')

-

0

se obline

a/'(t)

+(b-

-r .\i'lt\

+

cift\

=

0

ecrratie

ale c .rei

solulii

sint

desoise

de

Propozilia

6

3

La sfirqii,

'.J

'

\'1

|

-J\-]

-";l-"r

-

t.

"

"^

^x.;""

,,I r\

-

illn

r:)

solutie a ecuatiei

(6.23).

vt

LLt

t

-

tLLq

in

cazul

t

<

0

schimbarea

de

variabild,

c

=

-e'

conduce

la

o ecualie

cu coefi

consIantri.

io

""uu."

priveqte

ecualia

(6.24) presupunem

a

€

(-1,1)

qi efectuim

scl

U-"r

a"

-o*irUiU

a

=

co"t,

E(*i=

gGl"tt Aiunci

(6.24) <ievine

(sin2l)g/'(cos

tl

,

coslnf

)

cosiml

l{il

=

-

J2

0

-{

cos

t

)u/{

cos,

)+n'rlt)

=

O.

Observind

c5.

f'(t)

=

-(sin;)g'(cos

i)

rezulti

g'(cost)

'

;/i1\

il'tt)sinl

-

i'(/)cosl

=-#9iy',(cosl)-_ffi.rIln.uIil'ale5coUl[ic9l'

+"'g1tj

-

0 a

c5.rei

solulie,

conform

Propoziliei

6.3

este de

forma

144

prin

cazuri

(6

23)

(6.24)

s'(t)

+

(.b-

sfirqit,

schim-

1r-

l)

=

v"(t)+

Dcnonsftatie. fblosind

fornrula lui Moivre oblinem

lcos(arccosr)

+

isin(arccose)]"

=

cos(narccosr)

-l isin(narccosc).

S . notirn

provizoriu

.

=

arccosr clcci

cos

rr

=

r.

I)ezvoltind

in

membrul stinA al

egalitSlii

precedente

qi

separind

partea

rea"li

rezulti

l+l

t+l

cos(narccosc)

-|Cfl*(-t)#(cos

o)"'?t(sirt

o;2i

=)}lt (t)k

r"-2k

11

- *zlzt t

k=O &=n

Nolalie.

J'"(r)

=

cos(narccosz).

DEFIN-ITIE.

Poljrroamele de forma

cTn cu

c

e

R,

n

€

N,

se

nuuresc

polinoamc

Cebigev-

r rauruar

{

rrr u.t

1) at"(x)

=

2rT"-

1(r)

'I"-2(r)

Vn

)

2.

1

T1

2)

I

l',,tr11^(x)-i:--..6d.r

-0Vn

/

m.

J

yr

;f"

-l

Detnonstralie.

I

l

ros{narc"osr)+c^b((a

,2)arccosxJ

2 cos(arccns.r)

cos

(t2n

-

2tarccosr

)

=

2.rcos((a

-

l)ar.cos.r;

=

2r7',

r(r)

\

2

)

2)

Prin

i

-

arccosr

=

p(x),

p'(.r)

=

-#=

integrala

devin<:

t .

..

,

cos(nr.I tos(tri

j"r

-

"o

$?.

coN\,/ERCElt'l'A

UNIFOR I..,IA

SI

OPERATIILE

DD

pR..rN.,JIT'lv,

4 F-E

-qI

DERIVARE

in

acest

paragraf

vom

demonstra

convergen{a

uniformi, a

qirului

unor

primitive

in

cazul unui qir

uniforrn

convergelt

de funclii

continue pe

un

interval compact,

deducind

apoi

coadiliilc

ca.re

permit

deriva.rea

tcrmen

cu

termen-

TFoREMA

7 . .

t'ip-

"

:

[o.,

6]

-

F4.

funclte

conlinud.,n

€

N. Preszpunem

cri

lim

f,= |

unifotm

pt

lo.bl.

Fr re6lo.b]

ft

F,,(r)

= [ i,,,pr, n€N, f(x) -

.t'

tf 1f

; I

curirr

-

riiiit

,

; /

c,_rs(n

-

m)r.ii

=

0.

00

-

145

=

[ ttl

Ar,

primitiuele

funcliitor

f^,

r'

€

N,

respeciiv

/,

date

de

Teorema

1'10

(qtim

c[']

".t"

continu5

din

Teoreura

6'1,

Cap'

III,

$6)'

Atunci

li;Lr

^fi'

=

F uniform

pe

l"'b).

Demonstragie.

Fie

r

>

0

ir

n"

=

n

(rJ

^)

'tt

u-

\D

-

o/

Yn)n,.

Atunci,

Yn)

n,

,slpbrii(r)

-

PY.

t'-,

(7.1)

Prin

urmare lirn/.(c)

=

r

Deoarece

g

es're con,uiaui

1

deci

(7.2)

este

verilicatd,.

I

Oesonvllre.

girul

f,

:

vergent

la zero

pe

[0,

1], dar

convergenta

nu

este

uniformi

verificirii

condiliei

2) din

Teor

$8.

EXERCITN

1.

Si. se

demonstreze

relalia (l

(c2e'\@),

n,

t.

2.

Si

se demonstreze

inegalitdl

a)x"-ax*a-12}Yt

ra-ac*a-1(0V;

2r

b)

-.r

(

sine

(

c Vr

e

[(

3.

Si

se

determine

extremele

l<

a) F :

l0,2rj

'

R, i.(r)

=

li I t{

I

lF,(r)-

F{r)r

-l

I

V"rr-

/{rtlarl

.

If

I'tt'-

/(tilrlil

(

lj-

I l/"

I

<

=al,

-

r"l<

{:o)

'

r,

Vr e

lo'bl

-

b-a

o-&

deci

sup

l-F''(c)

-f(r)l

<

eVn)n,<+limF'

=

Funiform

pe

io'bl'

I

c€[4,6]

Demonstratia

precedeni5

serveEte

qi

la oblinerea

urmitorului

rezultat'

PRoPozITIA

7.2.

Fie

f^: [a,b]

-+

lR

integrabile.

Rie.mann

Vn €N

Presupunem

;^

i^:"i""ii"r

pe

la'bl'.-Atunci

este integrabild'

Riemann

pe

la'bl

gi'

Demonstratie.

Integrabilitatea

Riemann

a

lui

I

rezultS'

folosind

Cap

III'

$6'

TeorLra

6.f

qi

criteriuide

integrabilitate

al

lui

Lcbesgue'

(7'1)

se

obline

ca

in

demonstraliaPrecedente.

I

TEoREMA

7.5.

(derivarea

iermen

cu

rermen)

Fie

i*:

la,li1+'

IR'

J'"

€

Cr

(ia'

b])'

n

€

N.

Presuqunem

cd':

7)

eristi

ts

ela,bl

astfel

inci'

liry,

'f"(ro)

=

c

€

R;

2)

lim

l'^

= g

unilorm

Pe

la'bl'

Atulci

exislti

f

e

Cr([a.b't

u<tJel

incit

hnrl,

=

/

unilorm

pe

la'bi

si

ft

=

Q

4ec1

riml;:

(1rr1,)'

peia,bl

b)r':R-R,

F(r)=

/(

.t

0

c)

.lr :

[0,

oo)

-

ffi,

l'(r)

=

4.

Fie

l(r,

y)

=

{

u'linl"

+

r'

I

u,

Demonstratie.

S-a

observat

in

Corola'rul

331c5'Vn

e

N'

/"(z)

-

l"@o)

=

=

[

,:,,,n,

deci

/,(r)

=

/-rJ,n)

-

/,il.lrtat

vn

e

u

.t

-'

.t

.0,

-l

I

Din

Teorema

7.I,

lim

/

/

'i.)'\t

=

/ 9{l)dt

uni{orm

pe'a'b]'

'

4-':.J"' J"

^2

Sd se arate .;

j*(0.

O)

OrOlJ

(Teorema

2.1)

nu

este

satisfdo

t

/ d.r

C.

ba se calculeze

,

-

.l

1-2atos

-0

6.

Si

se

calculeze integralele

dr

t46

a'

pe

l\

deci

I

:

Prirr

rtrnrar,

lrm./n1r1-

"+

I

a(l)/'l

-

/(r1.

rrnirbrm

p"

[o,61.

,I

;,

D,,,i-,,

e

,

siF iuitii

u;

p.

l.r

lj

r'

zuli,a

/

c

r'r1lc 6];

ii ,t'1"'1

-

g1r1 V.r

,.

lc.6r

deci

(7.2)

este vcrificatX.

I

"n+l

(JBSERVA|TD.

lirui J":10,

l]

-

R,

f,tr]

=

i-,

n

€

N

esic

uniforrn

con-

n+1

vergcnt la

zero

pe

10,11,

<lar <leoarccc

ft^k) -

r'

qi

lixr/i(z)

=

{1,

lllt

t'

convergenla

nu

tste

uniformi

qi

lrm/i I

(lrrn/n)'.

r\ceasta

arat5.

irnportan{a

verificErii condi{iei 2)

din

Teorenra 7.3.

$6,

in

$8.

EXERC|IU

1.

Si

se dentonstreze

relalia

11

,1{")

-

{r2c'){")

,

,,

t.

2.

S5.

se dcnronstreze

inegaliti{ile

a)

r"

-

<re*o

-

1

)

0

Vr

>

0,

Va

e

(-oo,0]u[1,m)

xia-(\?+Lt-1(0Vu

>0,

Vce

(0,i)

Lrr

l.l)

at

"tn

t

<

J Vr'€

0,:

l

n

L

2)

3. Sir

se determine extrerncle iocale ale

functiilor

I

4

T

.i\).2r1

R.

f(r1

=

/.-""iniii

.l

0

t^

b)

F:R-R. l'(r)

l,"tL'-

I ,lt

'.t

0

.'rn,

r)

I:10.o-)-l.{.

i'1r)

. /

^

.,1t

lt./tl

l

4 Fie t(.r,/r

-

lv'Llr'(/

ly)

tnu'J

u/\)

[o

slo

A2t A2 l

Si

.e

aralr.

.a

----l(0.0)

-

+(0,0)

d"p1

rrit,

riul

din

Teorema

Iui

S, lrwarz

tJxlg

OgOt

('Ieorema

2.1) nu este

satisficut.

t

if

d'r

b 5a

ce

.atcltlFzc

t

-

",

o

e

(U,

l).

I

| 2arosr

r

a2

-0

6.

SX

se

calculeze

integralele

dublc

r47

I

LI/,r'9rr-l)

Qj

sA

se,alrulezn

{r.'1l',1

1i



"

//

-#*drrrs'

r

=

it

;]

"

lt';]

A

,)

[

6+ip

rxdy,

A

=[8,4]

x

[1,2]

A

c1

| ltloEdrd.y.D=[0,4]

r[l.e]

D

II fr1 r 7r'l

d)

./

./

(co#

r

+

sin's)

dr ds.

D

=

10.

Aj

x

|'0.

al

D

. f t lr .,

"t

| | ,;f

*

,,'1''

dt dY'

D

'

ro'

1l

x

[o

Il'

D

7.

Sase

calculeze:

a)

/sinn-csin,t"rdr.

b1

/"osnr"oskrdr.

c;

/cosh.zsinnrd.r.

J

'J 'J

l>)

xzy"

+

ry'

9y

=

0,

x

c)r2y''+ry'+y=0,c:

15. Si,

se arate

ci

penl,ru

/,

:

converge

uniform

la zero

qi

lin

8, S[

se studieze

convergent]a

integralelor

.

lr

sin c

ai ,

-dr".

a

>

{J:

.l

r"

I

b)

/

c-sinr;dr,o>0.

'.1

r'+a'

0

I

9.

S5 se calculeze

/

ln(sinr)dc.

.t

0

10. S5

se calculeze

reducind

Ia I

. I _ t

^,.

a)

I

r"e--"

dx,o>U:b)

/

P'

dr,P>U.

.tJ

0o

11. SX

se calculeze

reducind

la

B

rZ

tfa-

4l'l

.r21n d"c;

b)

/

sinTrcos'r

rdt:

c)

l-',d",

.t r

J

r*t"

-1 0

0

I

/d.rfI11

d)/

(rft,e)

/

I I

16dx:

t)

J

lT-Fdx

000

12.

Si

se arate c5, urmStoarele

integrale sint

uniform

convergente

pe

intervalele indi-

cate

L"

a)

le

t"

dr,t2to>0;b)

|e

t'x'cost'dr.t)to

>0.cuc>0.

J

J

00

15.

Sii

se rezolve

problemele

Cauchy

a)

x'+ r

=t3,

t(0)

:0'

b) trt

+

u=

ia,

o

€

IR,

c(1)

=

i.

14. Sd,

se rezolve ecuatiile diferen{iale de tip

Euler

a) n2y"

-

ry'

+

y:

0,

r:

>

0

148



b)

"'y"

+

ry'

9y-0,

z>0

c1.r2g"

r

rg'+q

-tt

r

>0.

j5.

S5.

se arate

cL

Dentm

f,

:

10.

L1

-

R,

_fn(r)

=

rc(i ,.)",

I

.- t

.onv,

rAA untiorr:r

ta

z"r._'

ri

lim

/

/,.

rl

0

149

n

€

N-

qinrl

(/u),,

dr.



CAPITOLUL

VI

Serii

se

mlmeEte

lir

dzblz

qi

se nt

.r", r rx \-

-

Proprietatea

tundamenr

Seriile

urindtoarc

sint consid

DEFIN]TIL.

a) Serla

L

r,,

sc

nume

n=0

Drln )

Jr,

=s.

b) Seria

f

z,,

se num

n=n

I

llr"ll

o.t"

convergenta

ir

n=O

c)

S€na

L

J,.

se num(

n=O

qirul mediilor

Cesa.ro-

d) Seria

dubl6

f

r-

m,n=0

astfel

incit

Vrn

)

nr.,

Va

)

n

OBsER\A' n.

1)

O

serie

convergent'f

lr

u este

a.devSratx

2)Prirro c'+Bf

n=0

duce

in

mod

natural

o siru(

seriilor

cu elemente

dintr-ul

gente formeaze

un

subspalir

Este

ciar

cd riefiniliile

neaperat

complete.

ComPle

aI

lui

Cauchv

cu

impofiant(

TEoRE\4A.

J.,1,

(Crite:

cowrergentd,

d,acd

gi

numai

lle"+t

Demonstlra{ie.

Teoreml

pentiu

girul

sumelor

Pa.rlial

cX

X

este

spaliu

Banach.

Seria

I

r,

$1.

SERII

iN

STAITI BANACII: DEFINITII

SI

PROPRIET'I'TI

GENERALD

cadrul

in

care

vor

fi

definite

noliunile

principale

este

acela

al

spatiilor

normate

c"rrrol"J

1.-o4ii

nanuch).

i,t

parogrtfele

rrrmitoare

vor

fi

prezenlate

proprietS' i

speci-

n""

it

""j*i

ptrti.ula""

importante:

serii

numerice

(reale

sau

complexe)

qi

serii

de

funclii

cu

un

rol

important

rezervat

siudierii

seriilor

de

pu1'eri

Qi

a seriilor

'ourier

trigonometfice.

DEFINITIE.

Fre

(-X,

il ii)

un

spaliu

Banach

Fie

(r")"

un

qir

tiin

X Se

numeqte

asocigl,d

tirului

(r,)"

qirul

(e")' ceflnit'

prin

s'

=

f

zr

(sau

""

=

|

ti

l=0

;=no

daci

r,,

este

defiuit pentru n

>

n0)

Seria

asociat5'

lui

(r')"

se

va

nota

prin

I

rn'

rn

se numeqte

lermen

generalti

s"'iei

i'"

5n

se numeQte

sumd

parNiald

'a'

setiei

De,fi.nitrii

Si

proprietdli

generale

relatiue

la serii

in spalti

Banach'

;;;;;;"r;";""'.

Serii

ie

funclii

Teorema

de

existenld

5i

unici-

i"i,

t",

rta

a

solultei

problcmei

(ouchg

pentu ecualt

dtferenlia.k

'

Sertt

de

pulert

seru

Fourier

lrigonomelrtce

Melodo

sPparartt

rariabilelor.

Remarca,m

ci

prin

definilia

prer^edentS

asocierrl

unui

qir

(r')" un

ali'

qir

(s"1,

"pr'."t,u-

i",j,,

'-

(s')'

fiini

liniard

qi

bij('ciivb

(r"

-

(""

-

r'-1)

r

(r''-t--

;;-rJ;.1 ;i''

-

"oi

+

'o).

r'ui

(r"L

i

se

pot

asocia

qi

alte

qiruri.

De

exernplu'

,r-

--

s0

+

J

s",

numild

rnedrc

Ce"nro

a

'eriei

|

"r''

n+l

'

o=o

DEFINITIE.

Un

Eir

din

X

indexat

dupX

N

x N

(sau

rtupi

o

pa"rte

infinitd

a

sa)

150

t

-/.,

/./^ \-

-

Proprictatea

c^-r:r^,.-,..^r^-..^

se rrirlelte

liir

dublrl

Ei

se

roteazb

(-l-.").,".

)rrrrl

sr,

,r

=

2,

".j

ft

dphnrste

j=o'-

l=c-

llnciarnentaiA

iegatd

rie

sruciiui

scriiior csie

cca

<ie

(urvergel' ;.

sint

considerate

intr-ul spa{iu Baracb

,{.

DEI.']|irTrri.

^

\-

,l^r

al S.ria

L

-r,.

sn

rumclr{-

ronuergrnli

lo."

€)

lilnrs,,

s

c

X.

\om

n(,ra

tre,rbLa

n=O

prirr

)-

.c,,

:

s.

Spria

)-

r"

sc nrrmcqte

dfuergentd

dar.E

nu este

convelgenL.i,.

D=o

-

"=o

b)

Seria

I

z, se r)umcste

absolut

r:onuergentd,

(sau

normal

conue,rgentri)

d.lci'

*

to

f

11",,ll

.rt" convergentd ln

(R,

|

.

l).

=o

c)

Seria 2,. sc rumclte

surnabi.lii Cesara

lo o S limo,,

=

o

€

-{,

(o,),

fiinrl

'::l)

qilul

mcdiilor

Ccsaro.

d)Seriatluhla

f

.-

,

sc rLumelte

conrerg entd Ia s

€

X

dS

Ve

>0 ziu,l.€N

nL.n:o

astfei ircit

Vrn.)

m..

Yn)

n,.

lls^,"

-

sll

<

€.

0BSER\,,{Tr.

1)

O

selie

convergenti

la

s este

qi

sumabill

Cesaro la s dar vom vedca

cI

reciproczr

orr

qste

ade '5.raJii.

2)

Prirr

af

z,

+|Ly"= ("r,,

+i3y^),c,,9

€

R

(sau

rr.

B

€

C),

se infro

n=0 n=l)

n=0

duce

in

moci laiurai o

stru(i,uri

de spa{iu

vccioriai

real

(sau

coinpl;r)

i-re

ntuliinLea

seriilor cu elenente

dintr-un

spaliu

Banach real

(respectiv

complex). Seriile

conver-

gentc

formeazi un

;ubspaqiu vectorial al

spatiului definit

atrt,erior.

Este

ciar

cd <icfini{iiic

preccdenie

iurrc{ioreazi

6i

il cazul

spaiiilor noritiaie

rru

ncapd,rat complete.

Cornplctitudinca

permite

insi si

demonstrdn urmltorul r:riterin

al

hri

Cauchr*

cu

importante

consecinle.

TEoF-E\,IA 1.1.

(Criterirrl

lui

Cauchv)

S"r;oir-

tli.n

spaliul Banar:h X esle

cnnl)ergentd rlacd.

Ei

numai

dacii

pentru

orlr"

, > tillrtd ,,

e

N

astlel

incft

lle,,+r

* *

r'+p)l

<

sYn>..n,,

Vp>-|.

(1

l)

De,nonstratie.

Teorema rezultd. din simpla

rescriere a

proprietelii

de

gir

Cauchv

pentiu

linrl

sunelor

pa.rtiale

(r")".

linind

cont

cd

s,1o

.$n

=

rn+1

*

-'

*

r11p

qi

cl

-Y

este spaliu

Barrach.

t

\- ,,u

I

r*.

speci-

de

a

scriei

(s')",

-

a

sa)

151

Cocolnn

7.7.I.

Dacdlr^

este

conttergenld,,

atunci

lrm:tn=0.

n=0

Demonstratie.

xtt"

=

8n

-

s'-r,

Vn

)

15i dacip

=

1in(1

1)

oblinem

llc"ll

<e

Vn>n,+1.

I

Conor,en

7.1.2.

O serie

absolul

conrtergenld

inlr-un

spaliu Baaach

esle conuer'

genl'd.

Demonstragie.

t

llt"ll ".t"

convergent5

daci

gi numai

dacS'

5irul

sumelor

sale

'

n=O

parliale

satisface

(

1.1).

Fie

deci

e >

0

qi

n"

€

Nl astfel

incit

I

ttt"tt

<

€ vn

>

n",

vP

>

1.

Aiunci

(1

2)

Ynln,, nlns,

Vp)

1qi

te

EXEMPLE.

i)

In

C. seria

I

aq", r

n=0

I

q'+1

-

n

=

a-.

l1ste

Oecl

(

r-q

_1

s

= )

/ta"

= o-

ql

dlvl

zJ' l-o'

n=0

2)

in

spaliul Banach

(B

f2"

+r+1

Jn

(r)

=

--;;-. Atun(

z'"

exemplului

f;

rerultd,

i,f,

n=0

3)

Fie

r^

=

(-1)".

Atr

deci

t(-1)"

este diverger

.b

Intr-adev5.r,

a21

=

;;:-

gi

zK+ I

4\ \-

'

-r.in

z-,,n(n*I)

5t Scria

J-

I

este dir

un,

n=l

""-

,

Vr>0

tinductiel)

-2

afirmaliei

ciin Corolarui

i.i.

O

noliune

legati de

uti

nr6,rNr'r.rF Eian>I

C

PRoPozrTrA 1.4. s'er

n+F

n+p

i=a+l

ll t

"-ll



n.,Yp)

7, deci

(1.1)

esie

satisflcutd.6i

f

c"

"l-r*t

"

t-^|r

L=n

rezultd convergenti.

I

DEFINITIE.

Doui

serii

in

spaliul

Banach

(X,

ll ll),

i

t'

ai

f

a.

o,

o"""osi

nalurd

dacvasint

simultan

convergente

sau divergente.

n=0

d=0

O

consecinli

imediati

a

definiliei

este

urmitoarea

leir[

LEMA

1.2.

Seriile

la^

ei

la.

din X

pentru

care exisld

no aslfcl

incit

d=0 n=0

rn

=

ynYn):

ns

au

aceeagi

nalurd

(modificind

un

numdr

finil

de lermcni,

naiura

senet

nu

sP

schimbh).

Demonstraiie.

Fie

si

=

16

qi

sf

=

f

uu,

""

=

f('*

-

gr).

Atunci

*-0

r=0

l=0

5n

=

sno Vn

)

nq

qi

s/"

=

s.+51i

Vn, deci

cirurile

(sl)"

qi

(sf)'

au aceeaqi naturi

l

TEoREMA 1.3.

(Weierstrass

)

O*

2t^

o serie

in

spallul

Banach

X.

Pre-

sapunem

cd,

erisld.

o

serie

diz R,

I

a",

an

)

0

Yn,

conuergenld,

fr'

no

€

l\ ostlel

tnct

lir,ll

(

o' Vz

2

nq.

Alunci

seria

I

xn

este absolul conuergenld,.

t=0

\-

Z2

s1

Demonstralie. Coniorm Lemei

i.2,

I

a"

are aceea,sl

natura

cu ) o-. decr

a=0

r.+p

tu+p

zp+n

stnt

conUergente

pt

2P+n

'

aiunri

Demonstra(.ie. Fie

s,,

lim

-R-

-

este

convergenti,

qi

din

(1.1),

Ve

>

0

l

nu

€ N

astfel

incit

llroll

(

o6<e

i=n+1

t=n+r

1.52

uer'

sale

incil

nalura

I

.

Pre-

asfel

(1 2)

decr

o,

<

e

Ytt

2n,,

rt)ns,

Vp)

1

9i

teorema rezultd..

1-gn*t

-

n

-

o

-L

.

hstc

deci

con.,,ergenti,

pettrlr

q

€

C

cu

lgl

<

l

cu suma

1q

s=

>

.aq'' o, I

ti

,livorgcnra

l,enrrurgl

)

l.t--o

n-0

2)

in

spa{ul Banach

(6([0,

ij).ll

ll-)

(Cap

II,

g2)

r:onsideri.m

,u.iu

i

/,,

unao

"2n.tac'o'U

f.t.t)

-

---l

-

'

Arrrnci

'llll.

1 I

Vn

qirrrm

|

-1

nrto

",r,uo,gnrrl;,.

conlorrrr

'" "

-

-

24

z-^

2.

rxcmi.;lului

lr

rozulti

f,f,

ulrotu,

.'Jn,,er3.n e.

n':0

3) Fie 2,,

=

(-1)2.

Atunci sn

=

1

daci ?r estc

par

ii

sp

=

0

daci

n

este impar,

deci

t(-1)"

este divergcnti ca serie din

lR.

Ea este

insi

sutraL,ili

C"so.o

lo

].

,':

l

2

kkl

Intr

ader irr,

^z*

-

^.:-

ii

azr-r

.

.i

.

au anrbelp linrrra.

=.

2k, t

-"

2k\2 2

: r

-l-/r

r \ 1

4))

'-_

l. Trrrradcvdr.s.

=

) {--- I I

-*1.

,n(n

-

1)

'

*.,"\fr

k+l,l

n.1

5r

5)

Snria

)

:

esfe

dilelgentS,:

qirul

(s"),,

este

evident

crescd,tor

r;i, deoarece

-n

,r" t

I

Vn>O

(induclie ),

rezulti

nemdxginit.

Acest exemplu

arate ci

reciproca

'2

afirmalier ciin

Coroiarui

i.1.i nu este

in

generai

a<ievararS.

O

noliurre legatbi de

utilizarea

seriilc-,r convergente este accea de rest,.

DsFII':tlts.

Fn

p)1.

S.ria

:,*o

se

nrlme,ste

restul

d.a

ord.i,n

1t

a.l seriei

f

zn

J-

n=0

PRoPozITII 7.4.

Seria

lz.

este

conuergentd.

dacii

6i,

numai

tiacii

seriiLe

-

t=o

lzo',n

stnt conuptqente

pentru

orice

yt)7.

Dacd notd,m,'ln a,ce&std, situatie,

Re

=

';'

)

:

^ r

nt1|It.fl

llm

ftn

=

rr,

r=0

Demonstralie.

Fie

s",

= |

27".

/.:0

Atunci

20..6

=

sn+p

s,

Vn)1.

<leci

153

Ex

r,tN4PT.F,.

I

I

in

C. scria ag' .

nrrnriri

sprtp

gp()lt,rlrLCo.

arr-

pcntru

q

I

l.

sumcio

l,artraie

rl={l

j.,-,

5r.

(otrlprg.nrr

'=

tt,

cr'

r'urrv'rA'trt;1

1'i'

'

t'

\trrtri

: n:0

;-.

[,

.

lrnr\t',.p-

ip)-

'

ne

ir

'ulrr

,ltnr

o'

-

'

r'zulr;r

olirrr

/?'

-0

1

Vom

stabili

in

corrtillta're

o

propiictut'

import'anli

a scriilor

absolrtt

'onv''rqcntc

in

spalii

llanach.

T)r,r'lNr

ro

Scria

|

.r"

n=0

din

X,

spa{,iLi

l}anach,

se

numqte

lecondiflonal

tort'

1)Dacdle(0.:r:),

strnulLarL).

')\

Don

l= 0 s, \- o-

''L.

n=A

l\\ Doci l

=

o.

.,,

f

n

' 'Z)'

l=0

I)r:rnorsrlra ie.

1)Fiee>0ast{el

incil

de<:i o"(i

e)

<

llr",ii

<

(l

+

2)Pentrul=0putenr

3)DacLl=oo.VM>(

OBSERVA'lrr,. I)cmonsj

la

urmd.torul

rezultal dc con

i:

gent6

atunci

I

r,,

cstc

abs

n=0

PRoPozrrrA

18 Frr

I

1)

Dor,d

li,r,"up

iflj

2)

.Dac,i lim sup

i;ffi

Dncri

limsup

i,4ii"

|

=

Detrolsl,ralre.

Fie /

=

I

l)

Daci/

<

1,fiee

>(6-l-t1

^

-

Nl

^-rf^l

,--,r

"/

)

fl +

€)" fiilld conVcrueni)

a scrir:i

\-

r^.

2) Daci I

)

1, Teorema

cu

'/l]r1"1

>

/+s

Vn, de

nu

trnde

la

{J sr }

J., rezul

a=0

Atit in cazul seriei divt

din

exemplul

4)

j1g

i,4t

)

N

-

N.

I'r.ip.\re.

se'ra

I

r'"',

,

"""

'onrcrgP'1ta

n=0

qi

are

aceee"qi

srtrni"

s

Altlel

spus,

o

sene

este

ncconclilionat

convergentl

daci

este

convelgen[i

5i

oricurn

arn

schimba

ordinea

tcrmcnilor

seriei.

nattlra

qi

suma

acesteia

ou

se

schimbi

-A

rr:

loc urm6,toarea

Leorcnle

S

IEoREMA

I'5.

L)

sclrc

2-x.

ahstlltlt

conuergeuld'

in

spa|iul

Banach

l'X,|]

|])

esle

n cca

n

d

itri

on al

cont

erg

enl d

Derttnstratie

Con{orm

(lorolamlui

112,

seria

"=t,"

lel

ini:iL

I

Fiea>0.

ll,rll

.

i

5- r-

este

exisii

nu

-

Alegcnr

p.

convergcnti,.

'ic

ull) e

N

art-

\'2 /

€

N

astfel

incit

k>^.+l

{0,1,.

,n.}c {o(0)

.

.

*xo6)=;ro*

"

*

r:".

*

+.

.

Conform

ProPozi{ici

1.4,

Fieo:N-Nbijeclie

,

"(p.)]

9

1..

Observirrr

\-

'.+

\- rr. Atunct

1-"lJ

r€

?rc

reia( t,

.

,4(')i

kc A.,

L>nc

cA

dacA

r'.

>

1t,

,

r

oixi

*

*

llfr"lpy

+

.

*'"i")l

-('o*

t

>n.+

ll', Ll

<

<

e Yn.

)

p,

Ei

tcorema

rezullS

l

Vom

vedea

in

paragraful unlritor

cf,

in cazul

convergcnlei

neabsolttie

proprietatca

pr"."a.,n|a n,,

t'oi

,rr""lo"

(lritctirri

cel

r'ai

imuortan1

dc

stabilire

a

conrergenlej

absolute

cstc

cel allui

Weierstrass,

dai'

inl'eorctra13

Pe baza

lui

deducerr

noi criterii

utile

cind

estc necesari

testarea.

convergenlei

absolule

in

cazltti

concrcte

llrtiitorul

rezulta,t

poa,rli

nurrtelc

de

criteriul

comparatiei'

PF,oPozrTIA

7

7

Fit:1r,,

o

stie

in

epali"t

Ilanach

X

f

ie

(a")" an

9ir

dtn

t=0

(o,c<)

cr

I

- ,'-

ll""ll

ft-\

o,r

154

cort.-

gi,

ll

ll)

-ie

a.st-

incil

.

+

('o

+

1)

Dacd

I

e

(0.

cx,),

sirnullan).

uu

aceeaqi

nalurd

(conuerg

satt

diterq

il,"irr

f

""

=0

n=0

2\Dacdt=01,J-o,

7,:0

3)

Dacd

I

=

co.rt

lor

=

h-a

Denonstratie.

e

st

e r:o

nxerq

entd..

ot""

"l

l)

l r.ll,

n=O

Jirn

Ia1

=

d),

alun(t

cslc

conlergenld,.

, Lf

ll,oli=

*.

1)Fiee>0astfel

incit

/-e

> 0

qi

fie

n.

a^stfel

incit

Vn

),.

lll*"ll ),^

deci

o.(

e)

<

ll",-il

<

(t

+

e)o^

vr,)

n.

Ei

afirmalia

rezutri

din

*lr.1l*;;i

'

'

2)

Pentru

l

=

0

purem

irc[

scrie

l@,1]

<

ea,V;

>

i,

"

"

3)Daci/-@,vM)0

)n7,1€Na;rfel

incit

ll;,il

> M.anVn):

n11

.

r

(JgsDtavlTtE.

Dr:morstralia

preccdentl

gi

T.eorema

4.20

din

Cap.

l,

{4

conduc

la

urnrdlorul

rezulrat

rle

..,.,nverA.n i

du,i

ti,-..

bdr

esre

lirririi

si

i

tt

oh

zr

o'

eslP

'

onvcr

gent5,

atunci

I

r,

estc

absolut

convergentd.

n=0

PR.opozrTlA

1.8.

Fie\x,

o

serie

in

spaliul

Banac:h

X.

I

eorema

4

20 cilar,a

mai

sus

implicf, nrisren(a

unur

subsir

t/,

i-

€

vn.

dpct'l/r,ll

>

lVn.

aqadar

(.ca"),

rru

tindc

la

0.

a".i

1,i,j"

x,,

rc.zulla

divergentd,.

155

1) Dacri

lim"sup

firil

a I,

seria

lx,

esre

a.bsohrt

conuergenld,.

2\

Dacii

lirrtsup

{,

,\kd

>

t. r".,o

ir.

este

dioergentd.

Docri

lim,sup

ifritr, -

t

""t"

o"""iolt

studierea

conuergenlei

cu

alte

metode.

Demonstralie.

pie

I

=

limsup

i/4lr;1.

1)

Dac5.

I

<

1,

fie

e

>

O

ultf'ot

incit

/+€

<

1. Din

Teorema

4.20.2),

Cap.

1,

g4.

exrsr;?2.cNas*"felincit

iq.*,ll

. t

e

yr,>

".,aJ'[,"1i='i,*l),,v,2,,,.

s"r;u

I(r*r)"

fiind

convergentd

(exemplul

1), l.eorema

1.8

asigurd

convogenla

absoluti

a

seriei

)-

a,,.

2)Dac5/>1,

cu

^X/ljc6.ll

>

/+

nu tincie

ia

0

qi

i

n=I)

Atrt

rn

cazul

siFrici

diverscniF

dirr

cx,mplul

3)

crr

5r

in,-azul

seriei

convergente

din

exenrplul

al.

"r,-

ilr,|"=

l,

deci

calculul

.L","i

ii",;iJ,-

'concluce

la

nici

o

concluzie

Privind

convergenta

l

CoRoLAR

1.8.1

('I'estul radica'lului)

F*L'^

o

serie

in

spaliul

Banach

X'

n=rJ

Dacd

lim

\,ry;Jl

<|

seria

esle

absolul

conuerqentd

iar

d'acd

lim

{//ilr"ll

>

I

seria

esle

diaergentd'.

PRoPozTTIA

7.9-

Fielt^

o

serie

in

spaliul

Banach

X'

cu a:n

f

0

peniru

n=0

orice

n.

ll'"+,ll

-

1)

zaca

rrm,suP

li?,ll-

\

t'

serialx^

este

absolul

conaerge'nld'

r- t,

-

2)

Do''i

lim

inf

ll,-a{

>

l'

sena

r" e'ie

diuergenti'

llr"

ll

n=o

in

celelalle

situalii,

pentru'a

decide

asupra

naturii

seriez

esle

neceslr

un

studiu

supitmenl

ar

'

Demonstuatie

l)

Fie

I

=

ti^rup

]]*ltll

<

1.

Fie e >

0

astfel

incit

l*e <

1qi

fie

n'

a^stfel

incii

llxn ll

llr"+rll

.

t+evn>

n..

Atunci

llo,+rll

<

(l+€)llr"ll

Yn).

n,.

Iterirrd,

oblinem

1lr" ll

tlr

ll

ll".ll

<

tf

+6)'4,

cu

o

=

t] Jl[,

rf*

Vn

)

n'

5i

coovergenla

absoluri

rezultd

din

\..r

aplicareareoremei

1

3,linindconihe

*1"":r*ni':,"t,:::"::'ii,;ii-':f;lr:;

2)

Din

Teorema

4.20,

Cap.

I.

$4.

existd

nq

€

N

astfel

'ntt'

'llr"ll

qi

atunci

(r.),"

nu

conYerge

tu' O,

d""i

i

r"

este

divergenti

f

Din

nou

exemplele

3)

9i

4)

aratd

c;

lim

q-+

-

1 sc

rntilne$te

atit

in

cazul

"

lls"

ll

seriilor

divergente

cit

qi

al

celor

convergente

CoRoLAR

1.9.1.

(Testul

raportului)

fl"

it'

o

serie

in

spalzul

Banach

X'

"-ollr-,,ll

..

x,,

f

0

pentru oricen€N.

,ocd-

errstti

t

=

Jfj1

l;il

Eii

<

|

alunci

seria

csle

absolu

canuergenld

iar

d'acd

I

>

(sau I

=

a)

seria

esle

ditetgen"'d

'

'

-

\-

z

rverge

absolut

pentru orice

z

€

(:

deoarcce

EXEMPLUL

6.

Sena

L;

"ot

,=0

I,n+rl t

....

I

,lfiLffi

,,;

=

l'l"r*[7nr

i

din

Corolarul

1.9.1.

Suma

seriei

este

e'

Cap..

1,

$7.

0

Vz

e

C*,

deci

sint

indeplinite

conditiile

/ z

\n

=

Jl*(t

P

''

)

.

duPa

cum

s-a

aritat

in

Are

loc

un rezultat genera

PRoPozrTr.4,

1.70. Fie

X

conaerge

absoluT,

suma ei

fiind

Demonstra\ie.

l(X)

esie

r

$1.2)

qi

lblosind

ExerciliuJ

13

aplicind testul raportului

serie

eenta absolut6 6

ss1;6; I

a

Z-t

nl

n=0

$2.

SDitri

DE

NUI,{ERE

RDI

in

acest

paragraf

vor

fi

st

de

corp

din

R

qi

din

C

qi

de

st

qi

de

Propozi{ia

1.7 acestea

pol

spalii

Banach.

Incepem

cu urmitoarea

pr

PRoPozrTrA

2.1.

Fie

(c

Seria

I

r, este

crtnuergenld

J=o

s:t',=sup{,",

11€N}.

Demonsira\ie.

i)eoarece

r,

qi

mlrginii,

rezultA convergetrt,

Reciproc,

orice

gir

converg

Itn

rezultat

similar

are loc

PRoPozrTtA

2.2.

Fib n^,,

esle

conaergenTd

d,acd

gi

numai

Demonstralie.

Fie

s-,,

:

m,

n)

€

N x

N)

care existi.,

co

4.9):

Fie

e > 0.

Exis

>

ma,

n

)

no.

Deoarece

*

sm,^

{ eYn)ms,n)nn,

Faptul

c5.

din

convergen 5,

dupi

N. I

156

x

.

incit

<

1.

rur

X

,

Are

loc

un

rezultat

general,

concretizat

in

plopozilia

urmS,toare.

PRoPozTTIA

1.10.

Fie X un

spaliu

Banach

9i

A

e

L(X). Atunci

seria

I

;O"

conuerge absoluT, suma ei

liind,

prin

dcf,ntlie eA.

Demonstualie. 4(X) este

suatiu

Banach

(pentru

demonstralie

vezi

i9],

Cap.

IV,

$1.2)

qi

lblosind

Exerciliul

13

din

Cap.

III,

ll,4"ll

(

fl,all"

Vn

€

N. Pentru,4

10,

aplicind testul

raportului

""ri"i

f

114-ll1

oblrnem

convergenta sa

qi

atunci

conver-

-nl

a=0

aenLa

absoluta a seriei

5-

a

lczultii din'leorema

1.3.

I

4J

nl

n=0

$2.

S[1'II

DE I{UMERE

REALE

$I

SERII DE

}JU}IERE

COMPLEXE

in

acest

paragraf

vor fi

studiate

proprietili

de convergen 5 legate de

structura

de corp

din

R

qi

din

C

qi

de

structura

de

ordine

din

R.

linind

cont de Teorema 1.3

qi

de

Propozitia

1.7 acestea

pot

conduce la rezultate

privind

convergenta

absolutt in

spalii

Banach,

Incepem cu urmS,toarea

propozi{ie.

PRopozITrA 2.1.

Fie

(x")"

un

qir

d.in R,

cu

xn

)

0

penlru

orice n

)

ns.

^

\_-

Sena

\

r,

esle conuergenld. dacd,

9i

numai dacd,

girul

(s^)^ eslc

rndrginil,

9i

alunci

"-\-"

-

"..I.

r.cNl

1J""

Demonstnlie.

Deoarece r.

),

0 Vn

).

n6

qirul (s"

),2,"

es'ue ctesci.tor.

Daci

esie

qi

mirginit,

rezuiti

convergefli,

coniorm Teoremei 4.10 riil

Cap.

i,$4.

Reciproc,

orice

gir

convergent

este mirginii. I

LIn

rezultat

simila,r are

loc

gi

in

cazul

seriilor

duble.

PRopozrTIA

2.2.

Fie

r^,,

)

0

perrlru

orice

(rt,

n)

€

N

x

N. S"rlo

j

,^.^

esle

conl)ergenld, d,acd

qi,

numai dacd (s^.")-,"

esle md,rginil.

Demonstratie. Fie

s-,"

(

M

Y(m,n)

€

N

x

N

Qi

fie atunci

s

=

sup{s-,"

j

(m,

n)

e

N

x

N) care existd,, conform cu

proprieiatea

marginii

superioare

(Cap.

I,

$4,

Teorema 4.9): Fiee

>0.

ExistS.

(rns,ns)

€

l\

x

N astfel incit s-o,,o

>

s-

e.

Fie

m> rqc

)

n

)

ns. Deoarece

r^,"

>

0,

s-,,

)

s*0,*o

>

s-e,

deci

ls-,"

-

sl

=

r

-

sm,n

< cYm)

mt).

n

)

nn.

agadar t

-

I

"-.".

m,f,=a

Fl.ptul cX din convergenli

rezultd

mirginirea

se ara.tri. exact ca

in

cazul

qirurilor

indexate

dupX.

N. I

157

Aceasta

propozilie

perrnite

sd, demonstrErn

urmitoarea

teorema

privitoare

la

corn''ergcnla

seriillor

duble.

TEoREMA

2.3. Fie

(a^,")*,,'

un

gir

dublu di'n

R,

cu

r*,

)

0

pentru

orice

(?,l?,n)

€

N

x

N.

1) Seria

dubld,

L

,^," e6te car"uergentd'

Qi'

are suma

s daci,

ii

numai

dacd este

m,n=O

, / 6 \ 6 /@ \

-

1i

r","1,

)- lf

'-"1,

('uind

Lut su'mas.

conuergpnld

tla

d,inlre

senxle

L

|

_

rr_0

\m=0 ,/

nr=o

\n-o /

*2.

Fie

gs,g1,...,yr,... terrnenii'

ai,rului

(r^,.)*,"

ind,erati, dupd

N.

Seria dubld

L

,^."

conuerge

6i

are

sutna

s

d,aci

11

nunot

da.a

ser?a

LlJp

conuerge

€t

are

m,n:o

P:o

'tlfiLA

S,

Demonsftafie.

1.

Evident, s-,',

(

s Vpn,n)

e

Nx

N

Ei

totodati

z;,'

(

s"','

(

s

Vm

e

\

*

'=o

*

Vn€

N,

deci

seria.

I

c-,,"

converge,

Vn

e

N.

Fie

"",

=

t

rn,n, n€

N'

Atunci,

m:O

n:o

6

/d. \

Ito

Lior

f

s-.r

(

s.

a5arlar,eI

(

t'-.,,

)

<'

n-0

\n-o

/

Similar

se

probeazl

qi

convergenta

celeilalte

serii.

Fi" ,

=

i (E*

")

o**n,"u

conversentx.

"^,"

-

2(*,,-)

,

a

1*

a

t

V(m,n)

€

N

x

N

gi

atunci

convergenp

f

,-,'

=

s

rezultSdin

*=0

n,n=a

Propozitria

2.2

qi

de asemenea

s

<

,.

Priii

urmare,

s

=

I

qi

aceiagi

lucru se

demonstrea'z5

peniiu

a doua

serie

iteratS"

2.

,,

+

',

Fie

p

e

N. Alegem

rz

qi

n

astfel

incit

s-,' si

con{ind

Duury}"'r'

t=O

Atunci si

{

s-,,

(

s

Vp,

deci

seria

lvr

converge

gi

t'

=

lu,

(

s Cum

p:o

P=o

pentru

m,t,

€

N clali

putem

alege

p

€

N

astfel

incit

o1.1 si

figureze

in

s

peniru

b

<

j

<

-

qi

0

(

ft

(

n,

rcntll'ds-,,

(

si

(

s'

(conform

Propoziliei

2.1), deci

s

.

srp

{s,..nl{m..

n) € N

x NJ

(s'.

rezuhipd

in

fnal

s=s'

,,

*

"

Se demonstreazi

schimbind

ordinea

raliouamentelor

precedente'

I

Acum

putem

dernonstra

afumatia

fr,cutd,

irr

Cap.

IV

relativ la

rerrnirinile

numdrabile

de

mullimi

de rndstrr5

nuld.-

PRoPozITtA

2.4.

O reurfiune

numd'rabi'ld

tie muiir'mi

de mdsurii

zero

dtnR

este

o mufti,me,

de

mdsurd'

zero.

Dentonstrafie.

Fie,4

=

U

A-,

cu

An

de

m5sur6 zero

pentru

orice

rl

€

N.

Fie

n:o

e

>

0

si

ft,,"

interval

n-dime

vol(11,')

<

,,fo

v"

e

Y'

un

gir

cu aceia,€i

termcni

ca

r'o1(1r)

<

e. I

Prezentim

in

continua're

zitivi,

descrescitori,

care

redr

interval

lemdrginit

Pnoeoztlt,l

2-5.

(CriteI

o

funcli

e

mon'oton

d

escrescd'l

I

x^ este

conaergentd

dac'

cd

aceasta

echiualeazd'

ctt

con

Demonstra{ie.

Funclia

f

Yr€lj,j

+il

c

[ru6,co)

De

dup5.

i

€

{tie,.

-'n}

ob{in'

(a,"(s,

Vn>no.

Au

loc

md.rginii

<+

(o,")"

este

mdrgi

Exo\,{PLtrL

1

Fie

seri

Considerdm

in

ProPozigia

P

rezultd

c[

seria

armonicl

ge:

este

convergent6,

adic6

Pent

Definilia

urm5toare

a

nt

c€ Ya;fi

Pus

mai

clar

in evidr

DDFINITIE.

Fie

(o")"

qi

158

-

la

orice

s.

d,ubld

$i

are

I

<

din

Cum

pentru

deci

I

iR este

Fie

e

>

t1 si

16.,.,

interval

n-rlimensional,

(&,n)

€

N

x

N,

astfel

incit

't'

c

l-J

4,'

si

f

"ol(16,';

.

iu

r, €

N.

Atunci

I^

(E""rf

l-

'

f)

<

e

qi,

dacs'

(ro)".ry este

[=0

n=0 &=0

un

qir

cu

aceia€i

termeri

ca

(4,')*,', avem

,{

C

[-J

1,

qi,

conform

Teoremei

2'3,

P=O

I

rol(/r)

<

r. I

PrezentSm

in

continuare

un criteriu

de

convergen [

a

unei

serii cn

termeni

po-

zitivi,

descresc[tori,

ca,re

reduce

convergenla

seriei

la

convergenla

unei

integrale

pe

irterval

nenSrginit.

Pnoeozrqrl

2.5.

(Criteriul

iniegral)

Fie

/:

[26,

oo)

-+,10,

m),

cu

rl0

€

N

f'o',

t

o

funcli,e

monoton

tlesffescdtoare,

fie

r*

=

J(n\

$i

"^

=

J

f

\x\dr,

n)-no

Seri'a

i

"-

""t"

conuertentd

d'acd'

ai

num&i

d,acd

$rul

1",7^

")'"

mdrgini't

(se

uede

u6or

12'

ca aceosla

echiaaleoza

,u

ronu"rg"ntro

[

1)

1"

Demonstragie.

Funclia

/

fiind

descrescdtoa.re,

putem

scrie

J(j

*

t)

<

l(z)

<

l(j)

jI;

Vr

e

lj,j

+

1l

c

[n6,m).

Deci

/(j

+

1)

<

/

/{t)dr</(j)

pentru

j)ri6

Sumind

^

t"

dupd.

j

e

irq,...,r:j

oblinem

t;<

/.f(t)at<

f,

r,, adici

s,"

-

r'o(

i

no

)

{"

;-no

I

1--

-

^L:-/alentele:

I

z.

este

conl€rgentd

<+

(s,,,),,

este

<04<Si

VnrflO.

Au Ior

e(llrr

miirginit

<+

(dn),,

este

marginit

(<+

/

/

esLe

convergentd).

I

ExEMPLITL

1 Fie

seriile

:

*

"

>

0.

numite serii

armonice

generalizate'

1

Consider6m

in

propoziiia

precedentS,

/(r)

=

F,

a >

C;

I

este

descrescitoare

qi

rezultd cd

seria

armonici

generalizat[

este convergent5.

dacS'

qi

"o*ui

aate

i]

a"

Jr"

este

convergent5,

a.dic5

pentru

o

>

1.

Definilia

urmitoare

a

noliunii

de

produs

a

doui

serii numerice

este

naturai5,

fapt

ce va-fi

pus

mai

clar

in

evlden 5

in

paragraful consacrat

seriilor de

puteri-

DETTNITTD.

Fie

(a")'

gi

(b,)'

qiruri

din

C

Se

numeqte conuolulie

a

aceslor

dotsd

159

160

qiruri

qirul

(c")"

din

C

deinit

prirr

c^

=lo*b^-x

=

ol"oobn'

n

€

N'

Serio

c'=f (

L

t"lr)

se

rui-nei'ue

serie

vtrodus

a

se.;lrcr

a"'

9i

b"

lu"tid""*".

dJ"="o-$It;;

""'iu

produs

este

dai6

cle

ProPozilra

urm6'toare'

PRoeozIlt,r

2 6

Dacd

serttle

i

t'

u'

f

t'

ttnt

obsolul

conuergenle

in

3,

'

c,

aiunct

9t.

seria

produs

E

(rP"*u')

esre

absolut

cctnuergenid

in

plus'

dacd

"=i,.

sib=l.t',

alunci\ll

ootn)

="t

-

?-

7^

n=o

Plq=n

Dernonstr

a\ie

Converge-n a

absolutS'

rezultS'

dil

inegalitatea

ellidenii

t I t

*6,1

<

(i

r"-t)

(i

lu-t)v^

'

w

f,-^toif,-r

I

'r=o

*-o

Pentru

a

demonstra cea de-a

doua

afirmalie'

fie

Observ6m

ci.

rSr r

",b,)

-(t.*)(iu)i.

t--)

\

u

,

.t=a

k=O

'k=a

P+c=n

<o'(t'

ito,l)*'"("'-Lr'''l)

-n

pentru

n--c(

'

*-o

J-u

Treoarece

tim

io,,

=

o,

-,*it,,

=

6'

rezults'

i,t1i

(

E

a'bn)

=

ab

r

n-oo

i-^ ?a^

"

*

t=o P+s=n

e

de

scrii

care convetg

neabsolut

Ne

vom

ocuPa

in

continuar'

PRoPozllrA

2

7

(Crileriui

lrri

Dirichlei)

Fir

(o")'

un

git

de

n'tmere

reale'

ctt

dnr

r

<

an

petulru

ottcet

g

rt'

l)

'uJ.,'

--

-o

r'"

i"r"

un

sir

de

numcre

complcte

-l**rio*"i"""

cd

etistd

M

>

o

XiJfr

nat

lus*

*u'l

(MVn€N'

(2 1)

-

'o

ergentd

(otn

general

neabsolul)'

Alunci,

serialanun

e"l"

cot'

n=o

Demonstra\ie.

Fi"

""

=

f

o-uo

qi r"

=

t,,;.

.a.tun"i'

contbrm

(2

1)'

lt"l

<

M

r-"

t=o

ergenla

girului

(sn)n

V?, €

N

qi,

evidcut,

u.

-

t^

-

t,-i-'

Vn

)

L

Vom demonsl'ra

conv

'.ettnO

i:t

esle

gir CarrchY

Ln

C

o,=

f

lo,l,6'= tl6"l

n=0

n=u

['iee>0qip)1.

1""+o-""1

= ld'+run+r

-t"+r)*

..

+

an+p(tn+p

-t,,

-a^+3)+...

{l'1p-1(oo1p-1

*lt^+zl(a-+z-

a,,+3)

+ +ll

-rrr+2

+

&n+2

4n+:]

*

*

Deoarece

a'11

*

0,

Yn

)

n",

Vp

)-

\,

1s"7,

-

s"

convergent,

in

C. I

EXFIMPLU

L 2.

Seria

f'

n-1

^1

Inir-adev[r,an=-l

n

,1

lz+22+ r

z"l

=

lz'-

3r

)

1,

conrergenla

este

neabr

Conor-ln

2.7.1.

(Crite

lim

o,

=

0.

Atunci

sena\

Demotstralie.

Se

ia

z.

,

Seriile

de formu

l(-1)

n=0

o estimare

a rest"ului,

ulili.

at

PRoPozrTrA

2.8.

fie

(t

3

s

=

L(-1)"o,.

Rn=

s st

Demonsl;alie.

sn,,2y

=

*(a.+zr-t

-

en+zt

)1,

deci

ls"

-atu+2k

=

an4

-

(a^12-an|

Similar,

ls,.'26-11-s"l

=

deci

js"1,"

-s"

j

(

o"11 Vm

)

O

teoremi

important5

paragra{ul

anterior,

este

cea

la

colvergerila

absoluiE

rezt

^'

--

^l

-l

,'.m i+nr

FIxEMPLUL

3.

Fie s

=

\-

Lr

lo;

llbil

(

-

Fiee>0qip>1.

lsn+e

-

s,l

- la,41un1t

1'

+

an+Fun+pl

=

lo"+r(t"+r

-

tn)

4

a^.,2(ta2

-

-1"+

t)

*

. . .

+

a/r+p(th+p

-

lr,+p-r

)l

=

I

-

d"+r

rn

*1,11

(a,11

a^*2)

1

t^',2(ana2

-

-a,+B)+.

.

ltn+p-r(an+p-

-

an+p)+tn+pa^+oi

{

a"..111"

j1i;"1r

l(a"+r

a"+z)+

*11"12l(4";2

-

a',1:.r)

+ +lt"*o-t;1o^4

;

-

an:,)

+ll,+p

lo,+p

{

M(a.4}an'1

-atu+z+

an+2 an+3*

"

*an+p

r

-

atu+p

+

{ln+p)

-

2M

a,+t.

Deoarece a'11

*

0, I n.

€

N

astfel

incit,

Vn

)

net o.n

<

,fr;

Si

atunci,

Yn

)

n.", Yp

)

l,

ls^',,

s",l

<

e,

ceea

ce inseamnd c5.

(s")"

este

qir

Cauchy,

deci

convergent, in

C. I

dacd

I

clL

(2.1)

<

r\4

(s.)"

ExEMpI-ul

2.

Seria

)

'

:

converge

pentru

orice z

€

C,

lzl

-

1,

-

It.

a=1

^l

Intr-adevir,

an

=

:-

cste

descrescitor

gi

are

limita

0,

iar

n

, r rl,l

t

'

2' nr l'

'

l<

--:11

Vn>1 Deoarece scria

.'f

.

1

-r-.

t-

l. t': l.-

lr_,1

'.,2

'

u,vc,,L' r,'

S.r

)

,

convergenta

este ncabsoluld.

d.acla z

I

l,

rnodulelor

este

CoRoLAR

2.7.1.

(Criteriul

lui

Leibniz) Fie

a,

)

dn+1

penlru

o?-ice

n

€

Nl

Oi

Irm

o,

-

0.

Alunc,."",o

)-{

l\"an

esle rcnuprgcnld.

1r'

a=0

Demonstralie.

Se

ia

u,

-

(

1)n

in Propozilia 2.7. I

Seriile de

torma

(-1)"o,

se

numesc

senz

alTernale.

in

cazul

lor

funclioneaz5.

n=0

o

est"imare a

restului,

util5 a+"unci

cind

tlebuie

calculati suna

seriei cu

o eloare daii.

PnonozrlLl

2.8.

Fie

(a.\"

un

gir

d.in

(O,co)

cu

an.)

an+t,

limon=0.

Fie

:

s

=

)_{-t

I'o,.

R,

-

s

-

"n.

Alunci

lRnl1

o.a, Vn

)

t.

Demonstratie.

str+2/.

=

sz

+

(-1)"+1(o.1r

-

an+2.)

+

(o,+e

-

a.*+)

*

..

+

(an

a21,

-

1

-

an421")],

deci.

ls",.2p

-

s,

l

=

an11

-

a^y2

I

an+3

-

a

+4

+.

.

*

an

+zx

-

r

-

-an+zk

=

a^11

-

(an12

-

an1r)

-

(o"+a

-o"+s)

-

. . .

(on+zt"-z

-

on+zt-r)

*a,*2.

tr

(

o"+i.

Similar,

1s,a2141-

s^l

=

.t^+1,

-

(a.+2

-

a"+s)

-

. . .

-

(an+2h

-

an+2k+r

)

(

c"+r,

<ieci

js.1-*s"i

( a,,..1

Vrn

)

I,

Vn.

Pentru

rn

*

oo

oblinem

|s-s"j

g

a"11

Vn. t

O

teoremi

irnportantS,

relatrivi

la

seriile

absolutr convergente,

demonslratS,

in

paragraful

anterior,

este cea

privind

convergerrlra

necondi{ionat5,.

Prin

renun{area

la

ccn.,'er5enta

a,bsoiuti

lezuliatul ince'leaz5

si, mai fie valabil,

dupi

cum araii

qi

exemplul

urmEtor.

ExEMpLUt

3.

Fie

s

=

it-tl"-t ]

(convergentS.

conform

Corolarului

2.?.1).

n=l

16i

Vn,

'ezurti

">

|.

eu"','

%:1'z-J:{:

-2-

t

+?-'i,_?-

3*

?-

3-

2

2

-2

-2

t .

Daci

schimbi.n

crdinea

*"^melilcr'

Cil

s'tma

prrrceclcnf i

st:

q

r{r

'

11

12

'

rul

"r\'-l.)

t\

1

12

lt,

,

_,

1,1..1

|

,,b1ine(r-;)r(.

,,) i

(;

;J

a'

='-r'i

i'.r-o'

="

"'

'l;

laiilecgii

N

-rN

ar

rczulra

2s=

"

tleci

s-0

qi

drca

suma

ar

rdmilc

Ircsclrlrnb

fal",,lupri

cum

aln

()hser\ai

anl{liul'

Cornportarea

seriilor

de

muncrc

rcalc

convergcntc

neabsolut

la schimbarea

ordittii

de

srrmarc

este

desc

si

de

o

te()remi

a

lui Riemanu

Vorr

introduce

in

prealabil

urrlliitoareie

n{)ta ii.

Fie

|z,'

o serie

din

R

Not;rn

,

r'

+

iir,,l

,'

-

l{rrl-ja

xn---

^-\

Lr-

,

12

2)

t.viCenr. r'n

>0.

ri'>UV,,

ii

,'n

-.r'n

rlaca

t,,20

Ji,

=

rn

daca

r' t

0

Ohsen

i'r'

t

s-

rrterg''

rtlrrnri

l

'i'

=

.c

ri

I

ri

=

r

'

ca,laca

\

lr,,l

=

.o

lr

LIn

co

r,_n

n_x

n-0

n=D

Ac.r-

pute-

tlerqorlstra

teorcma

anunlai5-

TEoRElvlA

2.9

(Ricrnamr)

l'"

i'"

o

serie

d'in

R'

conttr:rgttntd

neo'bsolut

Afuuri:

__

1.

Erist6'

o

bijerlie'

o:

N

-+

N

astlrl

incit

\r'ot

eslP

(LilrcrQPnld'

t=0

2.

Oricarcor

f

o

e

R

eristd'

o

bi'jec[ieo:

N

-+ N astJel'

inctt

i

'"'''

=

o'

^

,:"

Denonstrat'ie

Fie

r'n,

r'ndali

pdn

(2 2), tl=ItL'

"i=l''i'

Dirr

ipoteza

/t=0

k=

de convergella

neabsolut'd,

sl

-+

co,

s'L

-+

cr:''

Totodati'

deoarccc

convergentd.

avem

lim

r'n

=

0,

lim

zi

=

0

l.Construinro:N_+Nastfelincitunsubqiralqiruluisumelorpa,{ialealo

i

t-,.,

.e

iinrlii

Ia

oo

llie

l'{'

€

R'

liiir

,'{"

=

cc

Aduiriiii

ieitn€iiii

a::

=

rn

liii''

";"a

s- >

-/iL

si

acirina.ur

apoi

termenii

negar'ivi

orniqi

AriunEm

in

cont'irluare

iJii'"l"ti*,1,i,tt'.i I'r"j.1'J

ob1i"""'

"',

>

M2;

adunirn

iermenii

'egativi

oriqi'

;;;i;;"';.rf"l

. t"'rr".o

t,"

'

t'to

vn>t''

deci

Iims"u

=

co

Ei

seria

este

divergcntd'

2.

Fie

rz1, ftr

€

N

t

.lF

I

I2

=

x't+-

+r;,

-ri

-'

^-r.^r

,-.,+ ,-d ,^

,

,,

I

r

_

,2

|

"mt+r

tinuind

in acest

mod,

obtiner

iar

din

conditria

de minimali

r|+

.

+x;^,

iSo(f;'L

lim

t"

=

11.

'ie

s,

sumcie parliale

+

+r'^"-

t'|,+t-

-

din

seria

dati

prin

schimba

o

:

N

-

l\l

bijcclie.

Daci

m1

t27

(

.s.

(

12i-.1 iar

daci

m1

atunci

121;111

<

5n

<

l2j+1

(

$3.

SERII

DE FUNCTTI

Seriiie

de functii

consi

(6(,4),ll

ll-),

cu A

c

R,

,

uniformi

a

Eirurilor

sumel

convergcntei

un iforme

a un

Weierstrass).

tln

exemplu a

Rezultaiele

obtinute in

uniforrne

qi

iq

cazul seriilor

ExEN,TPLUL

i. Seria

'

cos

rlr

,

o >

1.

Deoarccrs2,

-

r,rr+..

*,)-,

*=;.(i

-

i)-

.

(":

-

-L)

1

,t

ria

I

r,

este

r i sin zri

sup

l/"(r)l(=

sup

-

t

\

x€R

Il.-

"^" ".,"-r

E?

Fvcmnirrl 1

in cazul

seriilor convet

in

capiroleie

iii, IV, V

pen

urmitoarele

proprietSli

ale

PRoPozrTrA

ll.l.

a)

Dacd

.1"

:

[4,6]

-

fr

con.teroenld.

aluttct

I

=

t

t62

t-

I

,

?-

8'

2.

Fie

m1,

fr1

€

N

minime

astfel

incit

t1

9r

c

+

+

r'-.

>

o

qi

tr

9r

r'r+..

.+x;,-t\'-"

r'1,

< o.Fiem2>.

m1,

k2)

k1curn2,

&2

€

N minime

astfel

inci+,

13

9rtz+el,+r

+

+t'^.

> <r

qi

la'4t3-rf

,+t-

-r'1,'1:

C"l-

tinuind

in

acest mod,

obiinem

m',

l"

€

N

qi

sumele

I'

cut2p-1

)

a,

t2o

l

aVp

)

I'

iar

din condilia

de

minimalitate

ltzo-t

-

ol

4

rk,,

ltro

-

al

<

til, (de

exemplu,

a'r+..+cl,-rSo

lrl-1

"

+

t;t=h,

<ieci o

<

i1

<

o*c'-'

eic) Al'unci

liml"

=

o.

l'ie

s.

sumele

parliale

ale

seriei

.r',

*

+

t;, - {i - -

x'1,

+

t'^,*r

t

+-

.

+

xi,-

r'1,+r-

'-ri"*

Serra

cu sumele

parlra'te

(s,.)"

este

oblinuiE

din

seria

dati

prin

schimbarea

ordinii

de

sumare,

deci

este

de

forma

f

t,1";

"u

o:N*l\l

bijeclie.

DacS

mt]

ktl "

*rQ*1(n(rn1

{fr1

{

+il';+t

atuoti

12i

(

s2

(

l2-i

41iat

dacd

mllkla

lmiallk5+1

<

n

<

rzr*&r*

{mi11}'Lilr

ut,,,r"i

f4iarj

(

s'

( t:j+r deci

lims'

=

d

qi

teorema

este demonstrat5

l

$3.

SERII

DE FUNCTII

Seriile

de

funclii

considerate

ir

acest

paragraf

sint

serii

din

spaliul

Banach

(6(,4),ll

ll-),

cu

A

c

R,

.4

f

0.

Convergenla

lor

va insemna

aqadar

conYergenla

urrifoi^;

u

qirurilor sumelor

parliale (s')'.

Un

oiteriu

practic

de

constatare

a

convergenlei

uniforme

a unei

serii

de

funclii

este

furnizat

de Teorema

13

(criterirrl

Weierstrass).

Un

exemplu

a fost

dat

in

$1,

Exemplul

2.

Rezultatele

oblinute

in

paragraful

precedeni

permit

demonsl'rarea

convergentei

uniforme

qi

in

cazul

serlilor

din

enernpl':l

urmitor.

EXEMPLUL

1- Seria

>

i,

convetge

uniiorm

Pe

R

La

fei

se-

-

2-

, d > 1.

Este

suficient

si,

observ5m

ci

pentru

amindouX

seriile

se

t)

este

a.le

cos

nr

sln

n,'

"io

sup

tr(c)t(=

::B

+9

.*

::g

qP)

=

*

,' p

{

.o.,n",g"

pentru a

>

1,

corforn

$?,

Exeeplul

1.

in

cazul

seriilor

convergente

ain

(C([o,O]),ll

ll-),

pe

baza

rezultaielor

oblinute

in capitolcie

IlI,

IV, V

pentru

Eiruri

uniform

convergente

de

funclii

continue,

avem

u

rmbtoarele

proprierdti

ale sumei

PRoPozITIA

3.1.

a)

Dacd

f^:

[a,

b]

-'

R

sint

conlinue

penlru

orice

n

e

N

9i

I

I'

esle

uniform

conteigenld, alanci

f

=L r.

*r"

conlinud,

pc

la,b .

n=0

n=D

163

b)

Dacl"

J.;

[o,

b]

-+

[0,

oc)

sint

continue

pentru

orice n

e

N si

/(z) =

I

f"ftl

este

definite

qi

continud

pe

[a,

b],

atunci

i

/,

.onunrr"

uniform

la

f

pe

[tt,b].

Demonstra{ie.

a) P"ezultd

din

Teorema 6.1, Cap.

III,

96.

b) RezuItX din

lborema

6.3,

Cap.

III,

$6'

linind

cont c5

in

ipoteza

fd,cutd

qirul

(s,,)" este crescS,tor. I

PRoPozITIA 3.2.

Fie

J =

lfn

cono"re"ntii

tn

(c(la,bl,ll

ll-), [a,

b]

c

R,

i64

Din condilia

2), Ve

>

atunci

Vn

)

n., Vp

)

1 sup

'€I

ExoMPLUL

2.

Seria

f

de

forma

l2kr

+

p,2(k

+

1)

uniform la

zero

Ei

este mo.

1

(n*1)r:

nrl

isln

-

srn

-l

2

',z

1

$4.

TEOREMA

DE

EXIS

BLEMEI

CA1ICHY

P]

O

primi

aplicalie

impc

stitui

demonstrarea

existen

tru

ecualii

di{erenlia}e

ordi

incepem

cu definiliile

definitie

a fost dai6, sub

o

DEFTNTTTE.

FieDcR

Funcliag:1*R"declasi

diferen iale

dact

(i)

(t,

e(t))

e

D

Yr

€

l

Fie

(ls,rs)

€

D.

Se

n

determinirii

unei

solulii

d

ini iali

NorATrE.

Problema C

Corrforiii

riefini{iei din

I)FErNr.rrF {e <nnnp

r

soluliilor in

(ro,

ro)

e

D

dr:

Cauchy

(/,

ts,

xs),

9:

Io

-

in

'rederea

stabilirii

p

urmS,toare-

PRoPoztTlA

4.1.

9:

i

hh

f

a*b. Atunci

f I

f"=

I t.

-t

.t

Delrrcnstratie.

Se

aplici

Propozitria7.2,

Cap.

V,

7

qirului

(s')'.

I

PR.opozrTIA

3.3.

Fie

f-:

la,

b]

-+

R,

n €

N,

/'

de clasd' Ct

trtentru

orice n

€ld.

Dacd,

---

l;;rl-

2i

\r r,

1

Exi,std

xs

€

la,bl

astfel

tncft

L

f*@o)

conuerge

6i

n:o

L

t":

s,

corutergenla

fiind

urfit'orznd

pe

fa,bl,

atunci

":o

:

f

unit'onn

pc

la,bl

qi

J'

=

s.

Demonstragie.

Se

aplici

qirului (s,.,),"

Teorema

7.3, Cap.

V,

$7.

I

DemonstrS,m acum

incd

un criteriu

de convergenld

uniform[.

TEoRDvA

3.4.

(Abel-Dirichle+-)

Fie I

C

R

4i funeliile

a,,

: I -+

[0,co),

/^

: /

-

R.

n

2

i

tu

propnctd.lilc:

1)

a"(r)

)

a."+r(r)

Yr

e

I

;

2) lim o,,

=

0 uniform

Pe

I;

3,) ecistd,

M

> 0

astfel

tnctt

swlh@)

+

..-+

,"(r)l{M

Yn>7.

Atunci. seri.a a"(lr)/,(r)

conuerge unit'orm

pe

I.

n=1

DenansEatie. Aplici.m criteriul

de convergenlX

uniform5

al

lui

Cauchy.

Fie

s"@)

=Lfk@),n>1.

a'11(r)/'11(r)

+"

+

a,aoQ)f"+p(t)

:

r'.+t(r)lS"+r

(")

-

S"(r)l

+ '+

+a"ar@)lS6r@)

-

^9"10-r(r)l

=

-a"+rS"(r)

+

S"

4@)1a41(r)

-

a"+r(r)j+

..+

+5"+e

r(r)lan+e

1(r)

-

a6o@)]

+

a"ao@)S"ar@).

Atunci

1o"11

(r)/"*r (r)

+'..+

a"ar@)J6r@)l

(Ma"11(z)

+

Ila"n@)-

-

o"+r@)l

*

. . .

*

M

[an1,,*

1(n)

-

a,,p(x)]

*

M

a4,@)

-

2

M

a"+t(r).

Din condilia

2),

Ve

>

0I"r"

€

N

astfel

incit

yn)

n", supaoll(r)

.

hUt

atunci

Vn

)

n",

Yp21

sup

Ja,,11(r)l,ar(z)+

..

+

o^*o1r1y'^llo1r11

<

r. I

,EI

-

3

"in,

xEMrLUL

2.

Seria

)

-

""'?"

"u

0

<

o

(

i conveige

unifoim

pe

orice

interval

"'"

de

forma

l2kr

9,2(k

+

1)r

-

p\,

k

€t,

I€(0,r)

deoarece

a,(")-

]

coouerge

uniform

la

zero

Qi

este

monoton

descresci,tor

iar

lsinz+sin2o+... 'isinnel

=

$4.

TEOREMA

DE

EXIS'T'EN'I',{

gI

UNIC]TATE

LOCALi

A

SOLUTIEI

PRO.

BLEMEi

CAUCHY

PEN'fRU

ECUATII

DIFERENTIALE

O

primd

aplicalie

importanti

a

propriet5 ilor

din

paragraful

precedent

o va con_

stitui

demonstrarea

existenlei

qi

unicitllii

soluliilor

locale

ai"

protlem"i

Cauchy

pen-

tru

e^cualii

diferenliale

ordinare

folosind

metoda

lui

picard.

Incepem

cu definiliile

necesare

qi

cu

unele

rezultate preliminare.

Urmdtoarea

definitie

a

fosi,

datd.,

sub o formi. particularl,

in

Cap.

V,

g6.

DEFTNITTE.

Fie

D

C

RxR"

o

mullime

deschisE. qi

/:

D

*

R"

o funclie

continui.

Fu-nc ia.g-:

1

-

R"

de

clasi

Ci

(1

interval

deschis

din

R) se numegte

solztrie

a

ecualiei

diferen iale

(4

1)

dacs (i) (r,e(i))

€

Dvt

€

r

5i

(ii)

e,(r)

=

f(r,elDvt

e

r.

_

Fie (f6.oe)

€

D.

Se numeqte problemd

Cauchy

atapti

ecua{iei

(4.1) problema

determindrii

unei

solulii

definite pe

1

6

i{o

astfel

incii

si fie

indepiiniij

conAilia

ini{ial6

I

\n+

r)x

nx

lsln-

srn

-

')t

(n*l\r

nxt

2

"tn

rl

l"i"

I

I

I

2t

I Jl--

--6

lsrn

-l

srn:-

t

2t 2

I

Vn

>-

1.

p(to)

=

xo.

(4

2)

No'r'ATrE.

Problema

Cauchy

(4.1),

(4.2)

se

va

nota

(f,

ta,

co).

Corrf<rrm

deffniliei

dirr

Cap. ViI,

peniru

A : i

*

R*,

n/(t)

=

(h'Ji),..

.

h',(t)).

-

DTFINITIE.

Se spune ci

f

ad,mil.e proprtetutea

d,e edslenld.

,i

ttnicilate

locald.

a

soluliilor.

in

(ro,.oo)

e

D

daci

exist;,

1o

e

B"

si

existi

o unicj

soiulie

g

a

problemei

Cauchy

(/,

to,

co),

p:

1q

-+

R"

in.rederea

stabilirii proprietX{ii

de existenli

local5

esie

foarte

utili

propozitia

urmitoare.

PRopozrTrA

4.1_

9

:

I

*

R"

este

solulie

a

problemei

Cauchg

(f,

ts,

us)

dacd gi

165

vlu

Lai d.aed.

tp

este

contimfi,

(t,9(r))

e

D Vt

€

I

ii

llf

(t,,)

-

/(t,v)ll

<

Lll"

-ul)

,

se numeEte

constantd

de

li,pschitzianitate-

fli,r)

-

ii(i,s)

=

unde

(1(i)

e

(a,

y)

c

B.[re].

Din

inegaiitatca

CauchY-Schwa,rz

Urmitorul

rcz uiial,

irltere

PRoPozITIA

4.3.

(Lcma

l

Fte In

€

i-a,

bl

:,

M

€

R.

Dacd

u (r')

(

atuncr

ult

in

parhcular,

rlacd in

(4.1

l)ema

stra|lc.

Vom

detn

i6

(4.5) dcvin

dcci

s/(f)

-

u(l)1r(l).

Deoare(

se

obline

s'(t)

<

M ,(1)

+

{0

inmullim

aceasti

rr:lalie

|'r'ta-

,l

<

I/r/'(r)c

'"

,

adr.;

frll{t,

colt cL

y(ls)

=

0,

obiincm

y(l

ceea,

ce revine

la

(4.6)

peltru

Putem dcrrtottstra

acul

locali.

'I

EOREMA 4.4.

Fte

D

r

continrd,,

local hp schrl

zianit

c sli6>09ietisldotntc

("f, t

r,,

to).

Dernonstra$ie.

lbnrder

aproxirlaiiiior

succesive

a iut

-.

-..not.

t le /oLrnl

- llo

4,

ro

xB.[c6]

cD.

lieM=

sut:

(t,,)(

A.

tt

gltt

=

Ls

I

/

,f

ls.

r(s)ld'

Vi

c,1.

(.1

3)

(4 4)

Dcmonstraq;e.

it ,.t

,,

=

Dirr

(4.'l).

p(r)

-

pttor

I

p'lttd,

=

/

flt.t.,r*r'a".

Ju

Jt,

,,

€

',

p

coutinul

qi

/

continui.

implici

p

dai'

de

(4.3)

cste de clasS

Cr,

iar

din

(4.3)

oblinem

direct

(4.2) r;i

(4.1),

prin

derivare.

I

DDFINITTE.

Fie

1

o multrilre

deschisi

din

lR,

G

o

mullime

dcschis5.

din

lRn'

Elementele

lui

I

vor

fi

nolate

cu

i

qi

cele

aie

lrri

G

cu

(r1,. .,.r') Funclia

/

:

I

x

G

-+

lRn se mrmcEte

local

lipschitziand

in

uari'abi'la

a

doua

daci

oricare

ar

{i

'4

compact,

-4

C

I,

gi

oricare

ar

fi

x6 €

G,

dat'

r

>

0 este

astfel

incif

B'ko] c

G'

atunci

exisil

-L

>

0

astfel

incit

oricare

ar

h x,u

c

B,Wol

-

f

q

1,1a.

--

MI.'"

ll=11

-

\./

t.rt(t,t\

*

rt(t,a\t.

1l(3r',.,0)

]l

11,-rlt,.

ll

\u:,.j

t

i=T:;llz

166

PRopozITIA

4.2.

Fie

I

gi

C

ca

in

de.frfilia

precedentd"

I

:

IxG

-+W

continuii,

at.

cu Dt-olrxeteteu, :

sa651;

ti

s'int

corttirlue

pe

I

x

G,

ori'care

ar

fr

O,x

i

i,j

e

{1,...,n}.

Atu;ci

f

este local

li,pschi'tziand

tn

uariahila

a

d'oua

pe

I

x

G'

Demonstralie.

Fic

,4 compact

inclus in

1,

:xo

€

G,

r

>

0

asifel

irrcit

B'[re]

c

G

Fie

,

e

-,1

qi

r,

?

€

8'

[co].

Aplicind

Teorcrna

cregierilor

fiuite, teorcm5'

ce ra

fi

demon-

stratd

in

iapitohrl

consicrat

derivabilitS.lii

Fr6chet,

firncliilor

h(t''),"',f,'(t'

)

pe

intervalul

in,9l(=

{(1

-

s)z

+

ss

I

o

€

[0,

1]])

obtinent

2-

t

(,,.;in"

.",1,(#.,

''),-,'ll,)".

''''

deci,

<iaci

i

--

y'ri

sup

sup

li{p,,

a,)

|

1.,<n

ri.('c

a'a

,'s.

ll

\o/r

/

'-t.,,112

rezulti

lll(t,a)

"f(t,y)lb

(

Llir-vllt,Yte

A.Yt:'v

e

B,lrn)

l

-

Urmiiorul

rczuiial,.

iriteresaDt irr sine, va

lblosi

peniru

dcmonstrarea

unlcit6lii.

PI.oPozifIA

4.3.

(Leuaiui

Gronwall)

rc

u,

{

.la.

l,]

*

l0,co)

faz

r:lii

conlin.ue.

ltre tn

e

ia,

b)

5i

&1

€

R.

Dacd

(4

5)

atunax

[".,,i

u(i)

<

Me''"

'vt

e

1o.11

(4

6)

:

uti)

<

\4

1

,i

u/.)t

t.)J.l:Vr

i

in.6]

t.t

I

to

.

I

In

parttr,u,lar',

do.cd

in

(4.5)

M

{

0,

atttnci

u(t)

=

0

V,

€

[d,

r]

L)emonstra\ic.

Vom ricmonstra

propozilia.'irr

ta

tl

t

)

10,

demonsira{ia

in

cazul

I

(

16

fiin<j

sirnilarX.

Pentnr

I

>

ti (4.5)

dcvine

a(r)

(M+

/

u(s)r/(s),ts.

Fie

y{r)

=

/z(s)q)(s)ds.

J.t

ricci y'(l)

=

u(t)q,(t).

Deoarcce

v,(r)

>

0 vr

:

k,rl,

ctil

(a.5), prin

;oJlt1irc,,u

,2(l).

sc

obtrine

. t

(r)

<

M

1t(t)

+

d(t)u(t)

Vr

€

[r0,

6].

inrnrrl{irn

aceasri,

relalie

..

"-'l'i''i'irr,,,,

,,1r1"-

;['(

lot1,1r(t)"-;{

'(')o'

<

f.,,,r

,1

_1,.,..

J,,,

(

M1i,(r)c

"'

,

adLca

; ly(t).

,"

]

1

,,rf+1t;"

'"

Integri[cl

de la t0

ia

I

gl

inin(]

l'

,onr(iy,/0,.

n

oL(in,

,n

r,,r--

J

''a

't

/r,,,.

,'

",-,1"'

-tt

It"] la.

-

i"

,

_-/.".r-

1..,0.

t _l

..,r.

.

-.1/{c

.

l)=

11

- ,4/"

"

.

aqadar yltt -.

juplt-,l.,1,tr<

i1",

-

li.

I

ceea.

cc

rt:vine

la

(4.6)

pcntru

I

) ls. I

t"

Putem

dcrrrolstra

acum tcorema

Cauchy Lipschit,z

de

existenli

qi

unicitate

localS.

'l'noRcMA

4.4.

lize

D o

muilntc

deschisii

in

RxR".1i

i:

D

--+ti;i',

o

juncitc

conhnud,,

Iocal

ltptchttziand

in

aar"icbila

a

dou.a.

Atu,ntt,

penlrll

o,-ice

(t6. r:s)

e

l)

cltstd.

b

>

0

9i

crzsld

o

:nLir:d

solulze,p:

(16

-

d,

lo+6)

-

R, a

problernei

Cauchy

(/, to,'c).

DernonsLra{ie.

\bnr

denonstra

la inceput

existenla

solu{iilor

{blosjnd

metor.la

aproxiiitaiiiior

s[cc.rsive

a iui

lii:arri.

-

-.

, ol, .

lre_idiigj

=

iiu

-,.,

/0

+

/rj.

rliegen

o

>

0

qi

r

>

0

asiiei

irrcit

A

=i

i"it6]

x

x8'[zs]

6

D. l'ie

iuI

=

sup

ll.f(t,r)ll

qi

L

constanta,

dc

lipschitzianitate

relativi la

(r,,

)€

a

A,

167

Daci

li

-

0.

plobierna

L-a

uch.v

are solulia

constan

td

gfti

:

4

77

=-

[h' -

ti

'

/

s+ri

'

Plcsrrllr:rorn

{,/

>

0

l:i fie'd

:

rrrirr

(".

f)

C'"ururrl

;

: 16ilpl

t

Rn'

r:orttjnud'

,

ar'

ji,ri-li

'

"

/l.;t).

Fie

.po(t)

:

;r:oVl

€

lrlrol,

tt

'i:,

oLr,rvcr'

,^

;,,-..t'

.,,,1

=

l,

I

I

'.,',r.),d"ll

,1tt,r.

r,is)

,t,1.

Di,,,

io

io

presupuDem c:i

]Ilp,,(/)

.rol]

(r

Vl

e

.I5[le],

ipotozd verificatd

pcntru

rr:

0, rozuil.i

iip,+r(t)

;roil

-<

'\.Ili

-

lol{ x1d(r Vt €

15lf6l, aqadar arn

denonstrat

prirr

irduclie

cir

ll,p,,(/)-16ll

<,

Vl

€

l,rlt6l

sivn

)0.

Atunci,

jLp,+,

(i)-p,(t)l

a

1/

ift"'o"f"ll-

t

/i".,;,,

'(")lli

,r.l.rl

/

",f.)

-

p,,

r(s)ll

<lsVte

4[ro],

Vz)1.

obscrvilm

ca

'J

0

I

p2rt)

s,rr.

t

Ior"t

r',,11

,].<l

I

f

t,,.,""1u,'*1'.

.t ,t

J

la

t0 t0

I

.,r,1 t- ttA.l- trrrt

lnr-

''"l'l "

'u"-l

2

La

Atunci

1p,,

.

1(t)

-

.p,(t)l

<n12"]l:

t'1'{

vf

€

/d[/n].

v,r

)0.

liliu

urmare

\n

+

i.)

,.,, ,.\l

L"+15"+t

, ,.

,;)"Ifi",

""*''t'

r"i//

i

..;i,j1)r

'

rieci'

ci

r

Tcorema

4

3'

-"cria

l(p'+r

p')

<rori-;r'rBc

al:;olrrt

iii (C(16ils]),

l] i-)

".ir.l

.u

s.,iL

,iiii,j.r-nlitu

,

f,y

t"'']::

,

t,

-,^.---+'i.^-l^"'-{'r'.n1r.,,1,'iIol

ir:l

Fie

rp

:

9,r

+

(rr'+r

-

q:,,)

definiti

pe

15[t6].

Atunci

ir

:

l11n

9"

irr

,l:0

,a,t-t ,ll ,.'^.i ,

^

-.

,

-

^

^

-

, i

-

, .

,

.

-

/.

+

n.-"",,,. l /l-

-,

,l r"

.,,-

ir l,or

t,,r

rl

r

z'

ur'

<

Lllq,,.(")

-

9(s)llvs

e

-1;[le]

rc'zulti lim/is,9"(s)l

:

f[",p(.")l

uniibrtr

pe

15it0]

gi

alunci.

f6cind

rz

-

n

oo iri

(a.7),

oblinem(4.3);

deci

g

este solutie

peni.ru

(/,

ro,

ro).

S5.

dcnronstrim

unicitatea.

Fie

r,

:

4lt0l

+

lRa

sohr{ic

a

(/,ix,16).

Atunci

?l

satislace

(3.3).

t

p,,

tlt,

.,0

-

/

/b.

p,,{s7lJs.

n

0.

(r.;r

.t

to

Fie

0

<

d'

tr

ri

asrlel

incir

:

il

/

Il{-.u,t,t]

/ls.

L'(,

,,,,

-ii(s)ll

drl.

Apiii:ircl

Propi

,r"1

-

0 oblinr:m

e(t):

ri(t)

irrchisd,

dmarece

rp

d,

este

dinairte

arati

ci

esr-e

5i

rela

rezulti

cd

]l

: 4[to]. I

Aceastd

teorelnd,

pcrmit

(lauchy

penl,rti

mrlte

ccualiJ

diriul

1 unidimcnsionale.

Sist

cortinui,

b:1+ Ift"

6q1fi1

zolvarea

ccualiilor

de ordil

(

[1j),

teorerna

Cauchy-Lipsch

i.5.

SERII

DD PUTERI

DlFt^-t1tu.

Se

mrrneEte

=

a"(.2

-

zo)",

cu

an € C

Qi i

A$adar,

o serie

de

putcri

Seriiie de

l)ui,eri

ir

care

a" (r

-

ir3)''.

Nurnerele

&n se ltumcsc

r

'l'eorerna

runri,toarc,

cot

studiul

convergenlei

seriilor

d

IEORDT\,rA

5.1.

(Cauc.h,

prirt,:

,A.t,Jnii

1 11.,.; 12 A

".,"..,

.,.,-

2.

Dacti,

R

>

0.

se

riia

(5.1

r

e

RJ

cu

lz

-

41

<

R.

(x

z

-

211

)

R

(sau

pentru

oric

\-

1)

l1

{

''

t_

t

ti,t'-.

168

(4

7)

Dacd,

ci

9^)

in

qi

q/

Fie

0

<

d/(d astfel

incit

l(1',{t6l)

c

B,bs|

Atunci,

V,

€

Id,ft01,

lle(r)_?l,(r)li

:

ttt

f

, rt

-

l/i

LfL"..,,"rt

-

lfs.ursrllasll.l/

r1".u,",1

-

,r[s,,,,(s)l,tdsl

<tl

llct",

ro

to

io

-dG)ii

drl.

Apliciircl

Propozilia

4.il

cu

u(t)

:

lle(ti

-

\t,(t)ii,

,l)

intoci.iii

cu

tr

si

,if{:0

obtincm

p(t):

{(t)

V,

e

Ir[h]. FicE:

{,

€

rdlr0l

l(,,(r)

: y'(r)}.

E

este

inchisl

deoarece

p

I

este

continud,,

nevid5,,

iar un

rationament

asemin[lor

celui

dinainte

arate ci

este

Ei

relativ

deschisd,

in

/5ltsl.

Din

propozi{ia

5.4, Cap.

III,

Qb,

rez-tlta

ta

E

.-

Ialtol. I

Aceastd

teoremS,

permite

s5. afirrn5m

existenla

qi

unicitatea

soluliei

problemei

Cauchy

perrtru

multe ccualii

diferenliale

des

intilnite,

incepind

de

la ecualii

de or-

dinul 1

unidimensionale.

Sistemele

de

ordin

1afine

z/

:

A(t)r+b(t),,4

: I

--+

Mn(R)

continue,

b

:

I

-

R"

corltinu5,

se incadreazS,

in

condiliile

teoremei.

Deoarece

re-

zolvarea

ecualiilor

de

ordin

superior

se

reduce Ia rezolvarea

unor sisteme

de

ordin 1

([1]),

teorema

Cauchy-Lipschitz

este a.plicabilS.

qi

pentru

asemenea

ecualii.

iJ5.

SERII DE PUTERI

DolrNtqIe.

Se numeqte serie

d,e

puterio

serie

de funclii

i,f,

unde

/,(z)

=

:

an(z

-

zo),

c\

o.n

e

C

qi

z,z6

e

C.

Aqadar,

o serie de

puteri

a'e

forma

i,iJlr

la.(z

-

zo)"

(5

1)

(5

2)

_

Seriile de

iruteri

il

ca.r'e

ao

e

iR

Vz,

z

=

r

€

lRr

z0:

ro

€ IR se vor

nota

\-" r.-.^r"

l)

-"

''

Numerele az

se numesc

coefici,enli

ai seriei de

puteri.

'l'eorema

urmdtoare,

consecinld

a

Propoziliei

1.8,

este

fundamentali,

pentru

studiul

convergenlei

seriilor

de

puteri-

TEoREMA

5.1.

(Cauchy-Hadamard)

lCe

seria

de

puteri

(b.1)

qz

7te

R

definit

prin:

d.acd. Ei*i,Ql:

o<>

dacd,

Lim."/EJ-o

dacd.

lim^i/E.l:trO.

Attt.n.ei

l.

Dqcn

R

-0.

seria

rcnuerg

nunal

pentnt:

-

20.

2. Dacd,

R

>

0,

seria

(5.1)

este

absolut

conaergentd,

pentru

orice z

€ C

(respectil)

u

€ R)

cu

)Z-

"ol

<

R

(lr-rol ,'-R)

gi.

este

d.i,uergentd

pentru

orice

z

e

(:

cu

l"

-

"ol>

R

(sau

pentru

ori.ce x

€ R cu

lx

-

rsl

> R).

169

3.

Dacd. R)

0, seria

(5.1\

este uni,forrn

conuergentd

in

d,iscurile

D,lzol,

pentru

orice

r

<

R

(respectiu

pe

interaalele

[16

-

r,

;r;6

+

r]

pentru

orir:e' r < R

).

Delaonstratie.

Dcoarecre

VE6-;J\

=

P

-

z,)

\Ia.),Yn2 ,

dacn

(

iftJ)"

rrlr

osrc

rna-rginir.

rezr

ra

lim

:

-'-,JlJ

o"l

>

lv:

/

20.

cipci.

corf.rm

crt

Propozitia

1.8,

scria

este

divcrgentl

Vz

f

zo

gi

esle

evidert

convergentd

pentru

a

-

ex.

Daci

I

daii

il

(5-2)

este

fiiiii;

qi

nenrrii,,

a'r,r.trrci iirtr

X

t"CG

-;,fi

=

liz

-

zo .

$i

corrform

acciciasi

Propozilii

1-8,

seria convergn dacd

lz

-.

|

.

i -

R

5i

diverge rlacd

l

l? -

z0r

>

j.

tn carul

I=0avemryl/6,.,-r"L=0VzFC.der-i"criaconrp"Sc

Vz e

C

qi

pentru

l?

-

oo 2) este

satisfacutd.

Agadar, 1)

qi

2) sint demonstrate.

Pertru

puuctul

3)

observxm

ci, dacd

iz

-

zol

<

r, atunci

ia"(z

zo)"1(

la"lr'

qi

r

<

-r?

irlplicd.

a,r' con.'erge.

Teorema

1.3 asigurd

atunci

convergcnta

uniformi

n=0

a sa.riei

-rn:-nI-r

un\.z

.n) tr ufI.ol.

DoFINrfrFr.

fi, definit

in

Teorema

5.1, se nume$te

razd d'e conl)ergentd

a seriei

de

puteri

(5.1).

Conot,eR

5.1.1. Fic

seria

d.e

puteri

(5.I)

cu

R

> 0.

Atunc'o

f

(7\

=

l

a,^(z-

211)' este

definitd

qi.

continud tn

D

E(zs)

(respectiu tn

(rt)-

R. rs+RJ,

7-u

d.ucd.

z

=

r

e

lR, a"

e

IR Vn).

Demonstratie. Convergenla

uniform'a

in D,lzn] asiguri

continuitatea

lui

f

in 21,

izt

C

Da\zo|. t

-^

-,.^,..

^^t^,,1"

'...i

,,....

ir|ui i i a;d uc

{

uiii

i

i

B(

ii\o 5r

PUar

(q'\

ura @r uier

.

. ..

lo,_,

I

^

Roi'oziTir

i.2.

Fie

u^

lA

peniru

utie t)

t4

qi

i

=

liirr

l-;:i.

,nca i

i

t.

n

tl

1

ntunei,

R

-

1.,

iar daca

/

0,

R=oo.

L

Demonstntie.

Rezultd

uqor,

pe

baza

Propoziliei

4.18

din

Cap.

I,

$4,

cd,

dacd

t^i

o,

llr i

cxi:.la iin,l""

rl=/.atunci

exisrS

8i

lim

d6"

=t

I

r

lan

ExENTPLE.

r

q^"i"

\-

ar

^

^..1n

rro

R

=

x.

unt

z=0

:

2.

Seria

I

n"(2

-

zD\" are

F

=

0.

r,-0

3.

S'tiiie

)-

'

.",,

€

t dii

razd,lr

r.rri'crgerria

li

i.

z--2

n,o

n=0

Dirr

Tcorema 5.1

rczultd

cd

mullimea

pe care seda

(5.1)

convcrge

poate

conliner

in afara

discuhri Dp(26),

qi

puncte

din

fiontiera acestuia.

In

exornphrl 3) de

rnai

/-

sus. tla,ci

a

>

1,

01Jr

(0)

cs

convr:rgen 6

este

D1l0]-

{.

esl.c /)r

f

0).

(-tpcraliiie

cu serii abr

PRoPozrlr,\

5.:1.

I'i(

l) - Ll',,(

:,r)"

cu

??-mirr(R1.Br),

af

(z)

+

iJ

f(z')

e(:

.llaLlar

ruza rle unuerllen

Denrorstralie.

(5.3)

rr

\_

t".t,

-

-"t"

ocrrnr : €

dacd :

e

/)6,(zo),

seriile

)

i,rr

\--

a,.l:

-:nr^-b.,

r.l:-

z-

,-.r,1^i

^h

=

c 1 /1

()

propdetate

ilnporta

lcgatd de comportarea

seri

PRoPozrTr,\

5.4.

Fr.

11.

>

0.

Atunci, saia

deri.u

Dernonstratrie-

f)eoare

Ei

(

i,/iC)'

ar,ind aceleaqi

TnoREr,r^

5.5.

Fie

\

7t

€

N.

?:,

zo

€

lR. Dac

170

pentru

-

zol,

qi

dacd

la"lr'

si

seriei de

in

21,

cd,

daca

contine,

de

mai

sus,

dacX. a

>

1, Art

(0)

este

in

mullimea

de

convergenld,

dacl a

e

(0,

1] mul{imea

de

convergenti

este

,r

tOl

-

{

1}

($2,

o<emp}ul

2),

iar

dace

a

<

0

mullimea de convergenli

esle

Dr(0).

Operaliiie

cu serii

absolui

convergenie

se regS,sesc

iu

cazul

seriilor

de

Duiui'

PRoPozITI^

5.3.

Fie

f

(z)

=

i,".tt -

zs)n

cu raza

d,e

conaergenlri

'Rr

>

0

si

gQ)

:

Lb,,(z

-

z1)n

cu raza

de

conaergentrii

n2

> 0.

Atunci"

dacd

lz

-

zol

<

R,

ft

=

mh(Rr,Itz),

af

(z)

+

1oQ)

-

l{a""

+

Ib.)(z

-

zo)"

Ya,0

e

c

(5.3)

(5.4)

AEadar,

raza

d'e conuergenld'

&

seriilor

(5.3)

Ed

(5.a)

este

mai

mare

sau egald

cu

R'

Demonsttagie.

(5.3) rezult5

linind

cont

de

convergenla

seriilor

i

a'(z

zs)'

qi

lA,("

-

z6)"

pentru

z

€

D

s1(zs)

iax

(5.4)

rezulii

dln

Propozilia

2'6,

linind

cont

c5',

7r=0

dacd,

z

€

tn(20),

seriile

a"(z

-

zs)"'qilb,(z

-

z6)" stut

absolut

convergente,

n:0

n=0

iarf n1(:

-

znJkb.- .lz

-

zq\"-k

=(z-z$"laeb.-h.=cn'G-zo)n'

t

ii=0

*=0

/-^D^,\L

i?I

/1

-

\ \-

-

'

-

1

v- .

D /n\

t-

t

- c

r

l"l

<

llj

llJt1(Jr.chuu

'

\r

-'1,-'

n=0

O

proprietate importanti

a

ieriilor de

puteri

cu

raza de convergent[

nenuli

este

legatd

de comportarea

seriilor

dedvate.

PRopozITLA.

5.4.

Fie

la.(z

-

z(J)n

o

serie

de

puteri

cu

raza

de

conaergentd'

'=o-

R

>

0.

Atunci,

seria

deriuatd'

lna.(z

-

zs)"

I

are aceeagi'

razd

de contergenld'

fu:l

Demonstratric.

ps6alsqe

linr

m -

l,ffiVFiA:

$

ilil,

oit"'lte

(

(lni"l)"

n=O

f

(.2)

.

s(z)

=lc,1z

-

zs)n cu cn

=l

a1,b-

1,.

r=0

r=0

Fe \-

Dacd.

171

$

(

t"Ila"D

"

avind

aceleaqi

prrncte limiti. I

TEoREMA

5.5.

n €

N,

r,c6 €

1R.

an(x

-

rd"

o serie

de

puteri

cu

dn e

R.

pentru

orice

seria

are

raza de

conuergenld

R

>

0,

atunci

functia

JQ)

-

la"@

-

r0)" estc

de

clasi

C-

irr

(re

-

-R,

ao

l

Ii)

gi'

pcntru

orice

&

)

0'

a*-

H

(5.5

)

Dentctnsttaqie.

Conform

Propoziliei

5.4,

scria derivatelor

de

ordin

ft arc raza

<le

corrvergen6i -E

pentru

oricc

fr

)

0,

deci

cotrverge

uniform

pe

lz6-r,zs+r]

V0

<

r. <

E

Ei

atuniri,

conform

Propozilici

3'3,

/

este

derivabili

de

l; ori

pe

(16

-

r',211

+

r) In

phrs.

/{r)(r'1

=

"1"-r1

."(a-&+1)4,(r

rr0

)"-},

deci

/(r)(ro)

=

Alnl

qi (55)

n=*

rczrrltii. I

6.

f

(r)

/?^ l

DEIIN]

lE.

Seria

)

---;-:-

(r

-

to)"

se

nume$te serxa

l alJlor

a

Jun(:IxeL

I

{:u

ul

D=O

rcnh

ul in

z6

(dcsigur,

f

t""buie

si fie

tierivabil{

de

n ori

in

zo

pentru

orice

n

€

N)'

Aqadar,

Teorctrra

5.5

afirrli

c5.

daci o funciie

I

este

defirriti

de o

seric de

puteri

.u

,uri

,.1"

con

ergr:n [

nenuli,

seria

respcctivi

este scria

Taylor a

lui

l

Se

naqte

fircsc:

intrebarea

dacl

pcntru

/

e

C-

(r:6

-

l?, :16

+

i?), R

>

0,

seria

sa

Taylor

defineqtc

pc

.1.

Ci

luclurile

nu

stau irlioxdcauna

aqa o

dovedeqte

cxemplrrl

dat

in

Cap

V'

$4,

(^

-p1i3

filvlor

a

iun,gici

,lrrr ={o

''

t'^u

in rs

=

Q

funrl

iderrtic

nttl

--\ceast

a

-

t0.

r{u

iust

ificir

dcliniqia

urrrltoare.

DIFINITIE-

Fic I

un

interval

cleschis

din lR

qi

I

: /

-+

R

o

frinclie

de clasd

C-

/

sn numcqtc

lltol-tanahl:ra

in

rq

€

I

dar.a:

1.

Seria

Taylor

a

funcliei

1

in

ra are

raza

de convergen 5

-R

>

0

qi

2. ftt\- \-

J

'o/(,

ro)"

pentru

orice

z

€

(16

-

Ii.zo

+fi)111.

1'

nl.

n=0

Frrnclia ./

se

numeqte analitici'

pe

I

rlaci,

este

arralitici

in

z'

odcate ar

fi

t

e

I'

Din

Teorema

5.5

r'ezrritl

ci

o

funclie

defirritd

printr-o

snrie

de

puteri

f ., f'

-

j:^\n

ct raza de

con\.e.rqentd

pozitivi

este

analitici

ln

re-

DDFINITIE.

Fic

I) o

mullimc

deschtsa

dtn C

gi

7:

D J

(C

f

se

nuneEte

analiti.cri

in z0

€

,

dac6

existir

rq

>

0

astfcl

inclt

/(z)

=

|

a,(z

-

zfi"

'

pcniru

orire

n=O

;

e

l)n(iu)

ll

r)

,::

^:-r

r..,: ,^ {^"-,,1.

/-, <1

rv6,i

i6ll

ULIDa

(

Liltl

alll

lliell(1 rrrdr

uFJd.

t

("

"

Prirmrl

rezultat

pe

care-l

vom

demonstra

este

Teorema

lui

Taylor,

care

arati

ca

furrcliile

clclinite

prin

serii

de

puteri sint

analilice pe discul

(respectiv interva]ul)

dcschis

de

convergen 5.

TtroitEM-{

5.6. (Taylor)

pulerr.

l(,)

=

conrerq

uin,d

razo

de

r

T.c^1,-"1",

?enIt1,

/)ernonstra[ic.

I@-L,

n=0

iri.,,

-

"r

-

Z-

12-

(;dn(rr-ro)

^](2

t=0

n=l

Pentru

a

arita

ci

inlr_ar

ar5,tirn

cii

seria

dubld

f Dl

n=0

i_0

revirre

la convergenla

seriei

'

lz-ol+lzo-ol <

1i.

a

O

proprictatc

importalti

prin

cipiul

idertitdtii

analitice.

'Ioor.r.M^

b.7.

I,ie

f(z)

.

sctit

.o

uprgcnl(

in

Dp(zn),

,

A'llDplzs)

10,

otunrt

flz).

Demonsth\ie.

Fie

i(z)

=

'ie

B

=

Do(7u)

4,.

Atunci

'.inui

puiict

b

e

B

s-ar

afla

un

p

esie

riiui{in.ie,leschisi.

0ic

zr

e

,4/0

Dn(ao).

Dir

l"-rrl<

R-l'.,

-

zrl,

-..

e

L

Atunci

i(z)

=

(z-z1)

u(z)yz

Aqadar

z

este

continui

in

zr

{

u(z)

I

AYz

e

.D.(;1),

dc

unde

al

lui

A,

in

contradic{ie

cu

z1

6

Atunci

6,

=

0

Vn

€

N,

(le

si

rezrrlti

{z

€

Dn.(zo\

I

k

-

uriria.c

.,

irriiiiitiie

rieschisi.

At

conex5.

D6(;6),

ije,.i

B

=

0, deo,

Rezult;

,4/

-

1)4(ze).

Deoarece

Oasr:nvelrr.

Din

(5.5).

va

172

_

TEoREMA

5.6.

(Taylor)

Fie

f(z)

-

Lr"Q

-

zn)" defnild

printr-o

serie

de

putcrt,

attnd

raza rle r:onte.rgettrd

R>

0.

Alunci,

oricare

ar

fia

€

Dp(zn),

are

loc

lk)

=rC"Q

-o.)n.2te.n,tru

orice z culz-a

<

R-lzo

ol.

I)emonstratrc.

f(4=La"Q

-

a+ a za)"

=Lo"rC::("

-

ru)"-k('

a)k

-

=)

l)'Cj,r"(o-:o)"-ft1{z-o)},dac5,schir,rbarcaordiniidesurnareestepermisi.

zr

L/- "

"

-

l'

Pentru a

arlta

c

inlr-adevir aqa este folosim

Teorema

2.3. Flstc suficient

s5,

arS.tEm

c[

seria club]f

ttla"C.j(a-2,))"

k(z*a)rleste

convergenti. Dar aceasta

n-0

t=0

_

revine

la converllenia

seriei

I

la^l(la

*

zsl

+

z

-

al)",

care

converge,

deoarccc

n=0

lz-ol+lzs-al<R.

I

O

proprictatc

importantS,

a functiilor

alalilicc cstc cca cunoscutS, sub numele de

principiul

identitSlii aralilice.

I FoREMA

5.7.

fit

lle)

=

la"Q

-

zs,)

sr

g(z)

=1t

"1"

-

z())- d.elinite de

n=0 n=ar

serir

conuerqe.nlc.

tn Dp(zn).

R

> 0.

Fie

A

=

{z

e

Da('o)

|

f(")

=

g(z)}.

Dacd

A'l1DR(zo)

f

0,

alunci

f

(z)

-

l(z)

penlru

orice. z

e

Dp(26).

Demonltra\ie.

Fieh(z)=

f

(")-g(,)

=lc^Q-zo)".

Atunci, i.(z)

=0Vz€A.

'ie

B

-

Dn(zo)

-

,,1'.

Atunci

B esie

deschisS

in DR(zs)

(dac5,

in

orice

vecin;tate

a

uaui

punci

l

C

B s-ar afla un

purict

diii

,4' ar rezulia

D

6

,4').

AritS,m cb A')Dn(zo)

I

rr,

||tu|{ll

e

uFs(

,t

t(a

Fie zr

e

,4'lDn(ze).

Din

teorcma

precedentS..

h\z)

=

r,i"(,

z1)"

pentru

t,

".1

.-

R-1,.

-,^t

,.:

n,-t"..\

.i^

-

""r

-",

-r"

-.,iii-"r.,..r "..;

+n

Atrrnci

A(z)

=(z

z)"'u(z)Yz

,.;ulz-41

IR

z1 zol,crru(z)=lt^*r1z-2.)P

a=

Aqadar u cste continuS.

ia z1

gi

u(21)

=a^

+0,

rezultind

cX f

a >

0

astfel incit

,,/'\ J lrv,

-

t\

(,.\

A-,,-l--i a,,\ / rrv.. /) /, \ I. l-i ,

^"

a

-^"^,.

i-^,^t

t.lf t,

rl

al

lui

i,

Ln cont radic{ie

cu

:1

(

,4'

Atunci

f,

=

0Vn

€

l\, deci h(z)=0Vz€D6(20)cul"-"rl<R-lz1

-

znl

qi

rezultS,

{t

e

DnOo)

I

l"-

"tl

<

R-lrr-

zol)

C

A'nDR(ze)

carer

este

prin

ur||r.1rl

r)

fi|ll|lt,

e

uPs( t\d. 11ru

rt

/r

{srP

Stjlluttall ]

(

t\a

lt

uesi lba t rllut(tI

La

AJ

(urc^d

,Irtz0t. u'1r D

j

v.r.

u(ud.rcL(

pr

,

rpoLrz.r

n

I lrp(_0, f

v,

[ FZr

\

dP.

rrr.

3 r./.

Rezult.I A'

=

Dn(zo).

Deoarece

I

este

continui,

A'

c

A

gi

at:ur'ci

A

=

Dp(zt)). I

C)nsrwllrl.

Dnr (5.5).

valabili dupi

cum am

nrenlionat

qi

in

cazul complex,

se

)

irr

cu

$4,

ca

obtire

si

o,

=

b,,Yrt

e

N dacd

are

loc ipoteza

Teoremei

5 7

In

particular'

truilirnea

rildcrinilor

unei

fitlclii

aualitice

ncidentic

nulc nu

poale

avca

prrncte

de acumulare

in

dorr.nrriul

Jn

anrlit icit

at

r'.

Propi-ic'ui'i;le

iruporiairtt'pe

care

ie au

iurlcliilc

anaiitice

fac

rrtiiS

cxisienta

unor

criterii

t::rre sd

asigure

itceasta

proprietate

lrontru

lirnc{ii1e

de

variabili

rcalii'

ulul

dirllle

a.cesl,ea

este

dat

in

propozilia urmitoare'

PRoPozITI^

5.8.

Fie

I

:

@,b)

-

R,

de

ct'asd C-

pe (a'h)'

;i he

t:o

e

(.a'b)'

Prtsupu,nr:nL

id'

eri.stri

r

>

0

9i.44

>0

ostlel

inciL

aricare

ar

f'x

€(rn

r,:r0*r) C

(o.b),

l/(")(,r)l

{LIn

1tentru'

or?:ce'n

€

N.

Ahtnci

J

este

Qnaliticd

in

h'

Demonstratie.

Vom

ardta

ci

seria

'Ihylor

a

funcliei

.f

crr

cent'rul

in

jrg

este

corivcrgenti

la

J

pe

(16

-r.r0+r)

r/(,,)lrn)(z

ro\n

| ,

L,Inr,,

Fic'i'Fl'ra/.r"Ul/'l.dc(i'rr6,.lliiatunci|tr|.<,,r

3 t,tl.t^

Vn e

N.

Din Coroiarul

1 8.1

rezulia

I

#

este

convergerta

qi

al'unci'

couform

Tcor, rrrci

'.3.5e115 Jsvlol

i

/'j,t"',,

Jnr'

eslc

ab.'-'lut

)i

unilorm

cr'nvcrqpnta

n:0

pe

[r0

1.ro+r),

aqadar

raza sa

de convergenld

este

>r'

rr

rik) i

-

,

Fie

S"(r) - | J 11 11;6 zo)l

suna

parlialf a

seriei

Taylor.

Deoarece

' z-

/'l

l:0

5,.(r)

-

7,,1r',

,'n1

:lolinomul

T'aylor

a1

lui

/

in

16.

conform

Teorcmei

4

1'

Cap

V'

4

pentrlr

:r

e

(rs

-

r, a9

-1-

r).

1

L

i

-,-

,,. ..

.,",

..t

-

.11n+rr"+1

lltlt

S,t,

r1

--

;,)

J

I''-

'Utt.r

-

i

)''

dllt

-;

'

tr:

I i\ /rV

Crm

,tim

+

:

0.

rcznlti

,lI -

S"

=

/

uniform

pe

lrs

r,16

*rl

qi propozitia

este

dcmolrstratd.

I

ExTjMPLUL

I.

Funclia

eixporlentialo

de

bazic

f

:

R

-

IR

/(r).=

e''

/

e

C*(R);

aacd

"o:0.

/(")(0)

-l',Vn.eN

-si

dara

r >

0

iar

lrl

<,r

av'm

l,rr')(r)J

:er(e'-

Taylor

a

lui

"

t";

.

cunvirge

a

o'

unil'rrm

pp

I-r,

rl

Vr

>

0

deci.

unde

dedui:etn

aproximativ

e'.

Perltru

calculul

lui

c

I

iiinrr\:a

c t .t-

<

-1

2

1;\

11

tL

lL=0

-aq

R-tnl

<. -

-iri'+'(-

'

''-(/,+l)l (i

ExFr\lPLtrl

2. hntcltile

sin:lR

+lRgi

cos:R

I

cost'lQ)i

(

I

Vr

€

R,

Vn

(

i

a

luncliei

cos.

are

riua

d'

cos0

-

l

c}.r{incm:

Calculul

aProxintativ

Cap.

\i.

(4.

deci

Pentru

sir

iar

pclltru

co-q

.1-

(/ir,-i(.r)

-.,irLr

)

(-

t=0

Aceste

estim;ri

Pcrmi

este

recesar

ca

Prin

fornu

sin r

$i

ccs

r:

la calct

ul un<

f\rnr:1iilc

sin

qi

cos

sin"

Pcr

=

si

r.,

cos(zr

- r)

=

-

Desigur,

la

lci

ca

ir toate

rr

prirntrtii

in radiani,

aceasta

sul I

lim

-

=

1.

calc

amlcl

.r l0 .,

precedente.

ExEMPl,uL

3.

Funt:{i'

"f(z)

=

iri(1

+

z)

este

r,r,r-

1

=\-

\_/

-

,i

-\

/,

\rrrl

n_(

Aiuiici,

i:riiifoiil

ProPozili

Lrlr+r)=f(-t)"

n=0

+r"

-

/-.

,'\

Pcntnt

a

calcula

aproximativ

valorilc

lui

e"' folosirtd

seria

Tavlor,

evahiarea

restu-

iui

ciin

aproxitnarca

cu

polinomtrl

Taykrl

datd

in

Cap.

V,

$a'

n,(:r)

:

,.-.r"

t'

r >

0,

nu

cste

convenabili

cind

:r

este

mare

Dace

considtrrdrn

'r

:

m

+

q

.u l,

<

l

(aladiir

rn

: frl

s.rrun

=

lz

]'

11)

qi catcul[m

aproximativ

pe e

(de

''

2

T7J

(5

6)

_l

multimea

in

unor

rur-rl

e

(o.,

b).

C

ee

este

,

AI"

r',',

z

conform

Cap.

V,

c-(lR):

pe

(5

6)

rcstu-

-.,.,

-

e

(<1e

t,,i

",r

=

\-

L

+

R-

lo)

folosim

Lr

k\

unde

deducera

aprrlximativ

pe

en)

qi po

cq,

e"-

Pcrrtru

calculul

lrri

e

s-a

dcnolstrat

in

iar

pe

tru co-.

pute

] deduce

o aProximarc

Pentru

Cap.

I.

$4.

Propozi{ia

4.t1(d),

cs-

ExEttPLUL

2.

Frut

r:liile

trigornmetrice

sin

:

R

+

1l{

gi

cos:

R

-r

lR

satisfar:

ipotczele

Propozilici

S8:

lsin(')(r)

11,

jcos("](.r;)i(

I

V:r

€

R, Vn e

N.

Atunci,

seria

Taylor

in r

-

0,

atit a

funcliei

sin

cit

qi

a

lurcliei

cos. arc

raza

r1e convcrgenli

l?

=

co

qi,

avind

in

vcrlere c5

sil0

-

0

Ei

^--n-

I

^i.ri.,.nn

,;,,

=

f1-r)t'

rosr=fr-lrt

Caicrrlul

aproximaf,iv

al

valorilor

se

face

Cap.

\'.

.1.

deci

pentru

sin avern

t-

2n+3

.R2,111r)1.

d;t

i- L2

rril

lirr,,(r)l

(

&.fr

_ - r'2t.

t

,:

L

r.:L

{/i:.,-r{rl

=,lr'r-

Ir-Ilr#

--respccliv

r?zn{.rr=

cosr

-

ll-i)";-\'

-r_,

'r^

l)l

I-o

t'^

t'

Accste

,:stimdri

pcimit

aproximhri

bu'e

cinci

vaioriie

irii ,'

Si't

siit'iiiii'raie,

(lc.i

cste

[ecesar

ca

prirr

formulclc

culroscute

din

irigonometric

s5, reducem

ca]culul

Iui

sin

z

qi

cos

r. la t:alcuhtl

unorvalori

pentnr

"

a

10,

;l

Rearnintim

irr

acest

context

ca

funr:liilc

sin

li

cos sin'L

pcrioriice

cle

pcrioadi

2r' ch sin(a

-

r)

=

sine.

sin(r +

r)

-

- -sinr,

<ls(r

--

r) - -tosl',

cos(?i+r)

:

-cosu

ai

c; sil(|

-.) = "o"

n^-;d,,- r f^l .., ,1, +^qro rnlalrlio mnilnie alo

enalizei matemaii(:e.

r

arc

1.?loarea

ex_

prirrutll

in

radiani,

ar:easia

permilind

cleducerea

din considerenl,e

geometrico a

valorii

lin,

ttn"

-

1.

care anircleazd,

sit'

=

cos'

cos'

=

-sin

qi

nai departe

dezvo]tdrik:

preccdentc.

ExE\,tPt,uL 3.

finr:lia logaritm

rttthtral

(in

baza e).

/(e)

-

ln(1

+

ir)

este

definiti

pentru

;l

€

f-1,

cQ)

r'l'\

-

r

=

Vt-l)"r" conversenld

uniforrn

Dentru

r

€

f-r,rl

c

(-1,1).

,r ,

-\

/,

\r

r.ri

D-_o

D-^^-.-:.i^l'l I

11|LrrrL|.'( r ]IrLr

€

-r+l

il(t

+.r)

-

5-(-r)"

''

,

,

Vr e

(

1,1),

uniform

pe

l-r.rl

c

(-1,1).

t-z r+1

n=0

775

r-"'

Ah,

+

1)l

(5

7)

(5

8)

dr:dusi in

12k

lz,kI

folosind

formLrla

restuiui

(5

e)

&

-,

+

Rrmar'

hrn

ca

s, rid

t(

-

11'I-

,

"unu"rg"

ii

p^nt

ru

'r

-

I

fapr'ul

cd'

surtta

sa

n-O

pertru

z

=

i est'"

ln'il

cd seria

couverge

ttriform

pe

[0'

1]

la

ln(l

-F

r)

va

reieqi

din

urrnltorul

rezultat,

ai

lui

Abc]

TEcRnl''lA

5.9

(-^-bel)

r''"

J'(t)

-

i

o'("

so)''

o"

€

R Va

e

N'

:r'

r:e

Q

R'

seria

autnd raza

rle

conuergr:nJit

ll

>

0

Dacdla^R"

esle

tonuergclLld

Ei

are

suma

l'

n=0

,""rolo^p

-

xn)'"

conurgc

unzforrn

pe

116,,

eq

*

El

:i.tim

J(r)

=

l'

.=

€-

I)emonstralie

Fic

s",,0

=

I

uoRn

Convergenla

serrei

f

o"fr"

implicl'

pe

baza

crir,eriuiui

iui

Cauchy,.eV"'.>

O

3

n.

€

ii

asci'l

tlrri

Yn

)

tt" Yp)

i'

l"''.0I

<

u

Fie

r:

€

fto,

:ro

*

R),

n

)- rt,

P )

I'

lr,,+,(r-ra)'rr.r'

+

on-p{''

"ro)'+Pl

-

ln"

"n^t'({:jt)'1-i

'

. /r-.1.^\',-pt |

/.r-

,r,'\"+

/x

J0\"

:'

-o.,.pt"+e(1-

jr')

'l-1""

(-"

)

-(s,,,-"".,11.

-

I

+

'{I'p

./r'-,r0\'+'l

,^

',."

-',.i'*'-

/'-',\'-'l

-,,

r111-:';'*'-

-'.'-,)\

n,)

l=l"'i\

n

/

-\

11

t

l'

rr

-.r'r,

rn+31 l';

-

i',

rino- 1'

-

16

1"'r' .

/*

-

il\"oi

.

-("-"

) l-

',"0-

r( F

)

-l

r

.l

.l*"P\

n

/

:

'-;1T

-',,

,':- i

r

r0\'

j:

1r1

'"u1

"

/1:jo\"-1

-

(l-1'1"-o-1

.'l{,

ft.

1

\

n

i

i-l-TI

\

A'/

-

_t

it

)

/r-r0\n'f /r-'r0\"''

-.1":-gl''

<

e

.

aiadar

seria

f

o.(r-

rurn

con-

(

,'

J

'\

H

)

l- |

n

i

i-u

verge

uniforrn

pe

lca,

rq

4

E]

qirul

sumeior

par{iale

liind

Eir

Cauchy

in

spa(iul

tsanach

(c(ir6.

craltl),ll

ll-).

Rezulti

cE'

Iunclia

f

: 116'

so*'?l

*

R'

/(r)

=

a"(c-to)"

estc

corrtittul

qi

atunci

lir.

f(t)

=,f(r1

+

n)

=

io"f

=

l

t

"=o

r...olB

n-0

lrxltlt't.ur

;t

{conllnrlarc)

Dtn

Lpor{nra

pr,cedcntb

rerulla

irr2

-

It-tt'';

n-\

lbrnrula

(5.9)

pernitc

calc-ulul

valorilor

lny

pentru

I

=

t

+"'

"

e

1-,1,i1)

folosindu

se

pentru

estimarea

eiorii

najorarea

restului

datS'

ac

ln"(c)l

<

"

,.,

2

Pentru

lrl

=

1.

aceasta

irnplicX

un nurnS'r

foa'rte

mare

de calcule

pentru

a

se obtine

.pt"""tt"tii

care

sint relafiv

cleparte

de

vaioarea

adevi'raf

i"

Este

preferabili

o

alti

rnetodd.

l

)cr )jr rPr

c

ll t

(

I

1

.t):

L

l.

lrr-

i,

llrf

-

:

'2

Pclltru

J

=

l-:r

.,

\-

'

'

-_

-'

1-

3)k+r

2A+1

-

ln

lnrrle exacle trebuie

lual n

=

/1 I 1 \

ln

2,l 2l

+

-

+

-

l.

\d

o

'

r

/

i,,

-.--,"t

.-r,,.;,,

-,

o

(r

gi

aturci 1n

y

-

nzln2

*

lnQ,

Pentru

culculul

lui lnq

rl r I

q€

-.11

-.,,,€ L-' t2 )

t

x

t_

2l+1

^

\- 1r,r

h al1-

_

k=n+l

Observin

cd

prin

a"

:

calcrrlul

aproxirrativ

al

putel

ExeATPLUL

,1.

Funclia

I

Dexrart:ce

/(e)

:

s"l"(

:ala Il l,,-,+I\asi

Fblosind Clorolaml

1.9.1 dcd

Restul,

coulorm Cap.

V,

$,1.

ala

It"

(rJ

:

--].

f itr-\,,

I

n.

l - l- r-\

lr

dr

Atrurci

(1

+

t)"

I

(

h"

(e)Vt

r76

l,

tl

5

-ntl

Deoarece

lr,(I.t..)

-ft

tf

"

,,lnr]-r)-

-\-

{"''

-

It]-l

z-n+l

r'=u

n=0

-

-t +

"r

.]

rz"+r

lnl

-: 2)

:_

V;e (

1.1).

:-O

rI

-r

L

r x

r.

de"i

ln2

_

,i_:=

iar rn2

_

s"

_

l_a:2oentru-f

_

_

z_t32ntt2n

t

1

"S

I 1 2

r I

I

:'

rk.,Ft+r

r1r*1<

,r+33-+i-:4t+O3,,rr'

deci

pentru

3 zeci

male

exacte trebuie luar

n

:

2 (in

comparaqi&u

n

:

1000

in varianta

seriei

altemate):

lr 1 r \

tnz'=2(j*y*l+/

in

general,

dacd

y

>

0, scriem

9,

:

2-

.q,

unde nr

e

Z.

|

<

U

<

1

(zn

:

[log,

g/]+

1)

qi

atunci ln

y

:

mIn2

+Inq,ln

2

calculindu-se

ca mai inainte.

lenrrrr

calculul

lui lnq

folo"im

rol

(5.t0).

S-:-',

<.a.ro

-

1

-2

,i

I

r.s

I+q

rl I r l l I

"2"-t

.

Lt

1l

">

t, .

|

- ;.01

Atunci

Inq

,L,

"f*,

iar

llnq

-

s,r(

.,

q1

ltr''o-'

.o $

,

1

l

"

r?,,

2A

I

I

*'

oL-,,}2tt,

zk

--l

-

tt;+B)it*l

Observdm cd,

prin

oo

:

eol"a

metodele

prezentate

mai sus

se

pot

folosi

pentru

calculul

aproximativ

al

puterilor.

ExENipLUL 4.

Funclia

"f(")

:(i+u)d.a€lR,ze

{-1,oo).

Deoarece

/(c)

:

s't"1t+"1,

/

este de

clasd C6

pe

(-1,oo)

qi

/(n)(0)

:

:

cr(c 1)

..(a

-

z

+

I) aqadar

seria Ta.vlor

a

irri

/

in

0 esie

(5.11)

Folosind

Corolarul

1.9.1.deducem

convergenla

absolut5

a

acesteia

pentru

ul

< 1.

Restul, conform

Cap. V,

$4,

este

-

o{o

11...t,r-nr i

Ii'(/r

:

-

(n

-

t)

j

it

-

L)"

(i

-

/)o-r- 7.

0

1.i."

A

/-\

1{l

+r)"-t

daca

z

e

10,1)

cind o)1qi

dacir

e

(-1,0]

cindc<

1

l1

dac5.

r

e

[0,

1)

cind o <

1qi darcd.

c

e

(-f,b]

cind

a2t

Atunci

(1

+r)"

r(h.(u)Vt

e

[0,r],

Vr

€

(

1,1),

Va

e

lR.

t77

(5.10)



Oblinem

lli"(r)l

E

tle

variabiid

t

=

rp(s)

=

sr

ob[inem

la(a-1)..(n-l)l

ilr-"""

1n"r"r'

.

ffiho(t:,tl+'

/(,-)

o'"

o(,r

-

loio-1)

(a

n)1

,

(n

{

1)l

(z)

lr 1"+t

*

O

Prin

schimbarea

(5

12)

(5.13)

(5.14)

c'

-

e-"

prin

shz

=

--

2

qt

z

€

C'.

(5.15)

Din

Propozitia

2.6

e'

.e'-

=

e-

'-'

Er

oe(I

I

Au ioc

qi

urmii,toare

PRoPoziTl^

5.10.

i

Pentnroricez€C:

dcti,:

cc

A

s

em dn

d,t o

r,

pentru

oric

l)cnonstralie.

Dcdr

schimbdrii

ordinii

de

sur

care de roeficien{i.

Forrr

Deoarecc

pentru

z

(resper:tiv sh

qi

ch) toat

rdmin

valabile

pentru

or

asemerrea deduse din

(5.1

cosz

z

+

sirrz

z

-

1,

ch2:

Observd.rn

totodatd

ci

d

Funcliile siri

qi

cos i

pe

care

lc

au cind

varial

a areia

acei$ta

sint

nec

propunem

ca excrciliu.

PRoPozrlr^

5.11.

a)

sh

iz

-

i sin

z; sirt

b)

chiz

=

cosz;

cos

PRoPozrTrA 5.12.

Dcrronsrratie.

Fie

+

sinig

mszl

=

lsinrch,

".

;-^"".,.. li'n

('r,

-

''

'""

';;'"r

Jinind

coni de

(5.i'

explimS,

prin:

pentru

ori

Un

rezultat

general

€ste

pentru

t

+

@.

-o{a-lt

.

1o-nF1).r",,c€(

t.

l)

Aqatlar.

{l+

r)"

=

l-rL

n

n=I

-

Seria

(5.11) se

rumeqte

serie

binomiald

deoarece

in

cazul

a

=

m

€

N se

obtine

lormula

binornului

lui

Nelr'ton.

Seriile

Taylor

servcsc

qi pentru calcularea

primitivelor

unor

funclii

real-analitice'

IIxEMPLUL

5.

Fie

/

:

R

t

R,

f(t)

=

e-]

/

esle

dc

clasS'

C-

qi

nu

are

o prirnitivi

exprimate

prin funclii elementare

Deoarece

seria

i

iT4

:=o

converge

uniform

la

/

pe orice interval

compact,

pentru F(r)

=

/l[r)ar

uo"'n

0

r(,)=i##v,€R

Observi.m

cd. scriile

(5.6),

(5

?),

(5.8) avind

raza

de

convcrgenti

R

=

oo

sint

convergente

absolut,

gi pentru z

inlocuit

cu

z

€

C.

deci este

natural

si definim'

pcntru

z

c-

C:

"'

=

5-

1=;

unl

n=U

sm?

-

L(-r)"

(,2e

+

1)l;

rc

-2i

.o"'

-

I(-t)**^

--^

\zE t:

in

ptus,

daci

pentru

r

€

R

definirn

sinusul

hiperbolic

t'

t o-t

cosinusul

hiperbolic

prin

ch r

-

+

vom defini

pentru

f

^2*+l

sr:= ,r^.*";

178

_

obline

6i

nu

1irrzn

avem

pentru

(5.12)

(5

13)

(5.14)

2'

,.h,

=\.-

"

k:z1n

lzk)l

Din

Propozi{ia

2.6

qi

Propozilia

5.3,

relalia

(5.4),

rezultS

uqor

ez1

.ez

-

":r+:r

qi

deci

ez

.

e-z

-

€0

=

1,

a$adar ez

l0y

z€C,.

Au ior

Ei

urmat.rrareie

egaliraqi.

PRopozlTr^

5.10.

(Formulele

lui

Euler)

Pcnl.ntorirezCT:

oi-'=

gg52

1

jsin2,

deci:

(5.16)

(exerciliu )

ci

(5.17)

(5.18)

(5.1e)

erz

+

e-'z

cos .

--

-l-

ll

Sln

2

=

Asemd,ndtor,

perr,tru

orice

z

€

C:

2,t

.

er e-z

-

e'+e-'

sh:

-

--

$Lchz=-

Dunonsftagie.

Deducerea

formulelor

(5.17) qi

(5.19)

este

bazatd

pe

posibilitatea

schimbirii ordinii

<le

sumare

datoriti

convergentei absolute

Ei

apoi

o simplX

idcrtifi-

care d€ coeficienti. Formulele

(5.18)

se

deduc

din

(5.17).

I

Deoarece

penlxu

;

-

r

€

lR se

regdsesc seriil€ Taylor ale

iuncliiior

sin

qi

cos

(respectiv

sh

qi

ch)

toate

forrnulele

care leagd aceste funclii

intre

cle

pentru

r

€

lR

rbrnin

valabile

pentru

orice

z

€

C

pe

baza Teoremei 5.7. Aceste formule

pot

fi

de

asemenca

deduse din

(5.18),

(5.19)

{inind

cont

de

propriet[lile

exponentialei. Aqadar,

cos2;+sin2z

=l,ch2z-sb2z=

1,

cos(21

*

zz)

=

coszrcoszz

-sinzrsinz2

etc.

Observ5m

totodat5 cX din

(5.17)

rezultl

ez"i= 1qi ez+ht

=ez

V z€q:,V

k

e

L.

Funcliile

sin

qi

cos au,

pentru

Imz

10,

qi

proprietflli

siructural diferite

de

cele

p'c

care le

au

ciird

variabila aparline

lui

J?.

De

exemplu,

nu

sint

md.lginite.

Pentru

a

ar;ia

aceasta sint necesarc

urmdtoarele egalit[li a

cbror

demonstratrie,

sinple,

o

propunem

ca exercitiu.

PRoPozrfi^

5.11.

a)

sh

iz

=

i sin

z;

siq

iz

-

ish z,

pentnt,

orice

z € C.

b)

chiz

=

cosz;

cosi"

=

chz,

pentru

orice z

€(:.

ilui,cin

iieirioiis'ura

acuil

uriiiitoai-ea

piopozii;e.

PRoFozrTrA

5.12.

,-lim_

lsinzl =

m.

Dcr

onstatie.

Fie

z

=

r*iy.z

=Rez,y

=

Imz,

jsinz]

=

lsinccosig*

*

sin

iy

cos

rl

=

|

sin rch

g*ish

g

"o"r1

=

,/sT

uh2y

+

"h\ "os\

= $&;iiirfr

qi,

decat-e.:e

iirn

shu

:

co.

propozir-,ia

rezllrS-

i

' t-+@

Tinind

coni, <ie

(5.17),

rezdiiai',il

,iin

Cap.

I,

95,

Propozilia

5.2,

relalia

(5.?),

se

exprimS,

priu:

pentru

orice

z

e

C,

]zl

=

1,

existi

un unic t

€

[0,27r)

astfel

incit

eit

-

z.

(5.15)

Un rezultat

general este

propozilia

caxe

urmeaza.

t79

l)RoPOZTfIA:r.13.

1.

lrerttru

orict.

11

a

C'

eaistd

z

e

C

astfel

irtcil'

'Lu

:

e"

'

2.

Dacde':c'.

atlr'nci

c

sttike

Z

astfel

inr:'it z'-::2ktri'

Derrrorisir'at-ie.

t1)

1.

Fir

r':

j"',.

-\trtnil

,

]

-

i

ci,

pe

baza

reziiliatului

ciiiit

an"eiioi

exist5.

'rr

ur'i,

i-iU.7-

rir

l,iir',rr

|--crr1t-artlu

'ttci

't

tc''

'i

'l

rqatlar

:

-

lnr

*

il.

2.

I''ie;

-

t:irlt,

zt:.r1l'l

igi

clre::e''

At'unci

e'i

: le''lo"r -"t'

'"+L::;r''

l'\e

k €-

|1'

astfel

incit

2kr

{

v t'<2(k+1)tt,d'cciyt:g 2kr 0,0e10'2r)

qi

atur.i

eir'

:

e2Lnieia

-

oiv

irrlticii

ci'

:

1,

Ei

cun

d

e

10,2r)

r-ezulti

0:

l)

'si

yt-y 2kir.

I

Aceasta

jrrslifici qi

rrlrlil,oarea

definilie'

llEFlNITlLl.

Fic

rir e

C..

-Un

iltrmdr

.z

c

C

cu

proprict'alea

e:

:

1, se

rlumesto

logaritnr

nahtral

rnm.ltle:t:

aI

lru-miilrrlrri

rl

Prin ul'tnare

orit:e

numiir

de forrna

Lr

uj

:

ln

lul

I

\ atg'u

'l

2ktri'

A:

e

Z

(5.2o)

cslrc

logiuitn

nrt|ttral

ccrttiple;i

al

lui ir'. Sc

sptrnc

uneori

c5

astfel

cstc

deliniti'

o

nruLl,ifu,Tt

clit

.

Do.i-."r",r,

ca Im

?,

€ kr.

a

l

2rr)

peritru

url

o

€

lR

flxa't,

deterrnirti'm

o unicli

va-

loa.re a

l,n

ur.

\'alorile

unjce

asttel

cictiniir:

fo|mcazir

o ro'nraz

ri

a

logarittnului

complex'

I'iecarc

rauur[

tste

o

lirnclie

Jt(u')

cu

proprietatea

cJf(u)

:

r'

Unor

va'lori

dileritr'

ak'lui

,{

ic corespnrr.l

astfel

funclii

diferilc'

A

clt'ternrira

o

ratnttri

ii

logaritmului

rcvino

la

a

fixa

A

in

(5

20) Rarlura

lo-

gar-itnrrrlui

irt

care

ft

:

0

se

ttunegte

rurrtura

principttld

a

logaritmului

complex

5i

se

l-rotea.zi

hr t/r.

Pentr-rl

u €

C"

(5.21)

za

cdln

z

de.i:,,

_

e,,(LirL:

)tr s:

2L.i)

perriru ficcare

i:

nurnalabilzi

dc

ratnuri

aie

pltterii.

ExE\'ll'Ll,l.

(5

22)

€

Z

Ei

a,vern

<iil

nou

o

rrruiqirrrc'

(5.23)

Daci

a1(t)

qi

02(l)

se

dezvolt

punct ordinar

al ecualiei

(5.

ExEMPLD.

l Dacd

ecualia

(5.23)

r

..

sin

) flcual.ra x" +

-

t

t

,2k

sII - \-t-rrt '

"

t

- /-'

''

l2k+l)

'

t=0

1r

3.

Ecuatia.r"+-r'*ll

't\

punctc

{iild

ordinare.

in

vecinilatea

punctelo

Seria

se substituie

in

(5.23)

ExEMPLU. Fie

ecualia

Cum

r"(t)

=

"i"

-

i

n-2

lleindcx .m

termenii

din

p

n

=

k+:t, *

)

0. Oblin

Renotam

I

prin n

Ei

rezulti

Aleqind

oo

+

0,

or

=

0

qi

a

,1r;="0(r-fr+

ln

u,

:

ln

l'u]

*

i arg ur'

(-lu

aiul;orui

logalitmuhri

complcx

dclinim

pttterlea

coraplexii'

I)I*rNr;,trr.

Fie

:

e

C'.

o'€

C.

Delluim

2o.

l. Ln(

I

)

:

ir

'2k:r), kt:

€

Z

It\-7)

-i1t'

i. I':

"'i,1,'

.:.ei(iir2i-.i)

"

i

it",'7,

€2.

Ramlua

principal[

cste

dcci

e

i.

\t;:i

i-lilieia

paragr;rlul

cu

iil

e:i.iniilli

pii.'iiid litiiizaii:i

seiiilcl

ile

puteii

peiitrll

glsilen

sohr{iilor

u']ol

ecr-lartii'Jiferelliale'

Fie ccualia

'at'

I-

a1('l)xt

+

d2(t)r:0

I)-eoarece

o2

=

0,

toa

marcS.m

cX

din

(5.24) serii

1b0



o

Daci o1(l)

qi

a2(l) se

dezvolti

in serie

Taylor in

jurul

unui

punct

t0,

acesta se numeqte

punct

ordinar

al ecuatiei

(5.23), in

caz contrar

lp

frind

numit

punct

singular.

ExnMPLE.

1. Daci

ecualia (5.23)

are

coeficienli constanli, orice

,

e

R este

punct

ordinar.

2.

Ecualia

,"

+

"illr'+

rr

=

0 are

toate

punctele

ordinare

deoarece

t

sin

t *a. ,

tzk

. - ) (

l)"

-.

est,. conver8cntd pentru

orice

I

€

R.

t

u-'

(2[

+

1)l

1 r ,,?t

3.

Ecualia

r"

r;{'+(l-

,r),

-O

a^repunctult

=

0ca

punct

singular,

celetalte

puncte

liind

ordinare.

in

veciuS,latea punctelor

ordinare se

cauti solulii

de forma

r(r)

=

i

.-(,

-

rr)".

Seria se substituie

in

(5.23)

9i

se

incearcl

determinarea

coefi"i"n1ilor.

'=o

ExEMPLU.

Fie

ecua{ia

xtt

+

tc

=

0.

Ci.utim solulii

de

forma

c(t)

=

i",*

Cum

r"(t)

=

f

"1"

*

I)a.t"-2,

rezult5.

f

n(n

-

t)a^t"-2

*

f

o"r"+1

n-2

n=2

n=0

ReindexEm

termenii

din

prima

sumiastfel

incit n

2

=

k+ 1,_Vi

>

0,

n

=

kl.J,

k

>

0. oblinem 2a2+I(&+

g)(k

+2)aklath+1

+la^t'+1

;-0 a=0

L

[(n

+

2)(n

+

3)4"1s

+

a^Jt"+t

=

0, de unde se

=

0.

deci

=

0.

Renot5m &

prin

n

qi

rczulLi"

2az

-l

2a2

=

0

qi

o,

n3

=

---j'

(n

I

2)(4

-

3)

(5.24)

Aleaind

ao

I

0,

ol

-

0.

at

10.

oblinem

forma

generali

a solur.rei:

r(')=oo(1-*.j}-

)*o,('-rra*

#*- I

l)'eoarece

a2

=

0,

toate puterile

de forma

t3'*2

vor

avea

coeficienli

nuli.

Re-

marc5m

c5, din

(5.24)

seriile din

paranteze

au raza de convergenld

infinitd.

=

0

qi

apoi

oo

181

1j6.

SERII

f'oliRIDR

TnIGONONIIII

RICE

$6.l.

Considerente

generale

LlEllNlTlE.

Fie

/

:

l-;r,

n]

-

R

intcilairili

Hienarrn

Definirn,

peni

rtr

rr

6

N,

Prima

observatie

Pe

aale

converg.

suma

lor

e

context

si

introducem

u

DDFiNITIE.

Fie

f

:

1trin

ptrtodzciIaLc

a

-fu:rc

-/(r,)

VeeR)ri/1",

in

cele

r:e

urnreazi.

inie6rabilitalea

inscnlnir

tatea

pe intervaleie

corr

pe R

vor

1i

inlocuite

ctl

ExE\tPLE

L

t'relungirea

Prir

din

{igura

1

-3it

2

Prelurgirea

Pr

din

fiArrra

2.

linind

cont

ci

considerale

Pe

orit

,t^='

l

J(,r)cosrrrdr

n.l

It

b.=-

I

f(r)srnnrrlr

(6

1)

Numcrelc

a'

qi b",

n

€

N

""

ttu"u-"t

coeficieu[ti

I'ourier

lrigonomelrici

ai

funcliei

f,

notali

uncori

qi

prin o',(/)'

i'"(J')

R'cmarc5,m

cX in

conlbrmrl;r,tc

cu criteriu]

lui

l,ebesgue

de

inteSlabilitatc

R,ic

,r^"^,'iO.il

qi (0.2)

sinl

dctinjte

ca integrale

Riemarn

Forniulele

(6 1)

qi (6

2)

v:

"r-"a.'t-"rf")"

Euler-Fourter'

Se

nurieqte

serte

Fortrier

lrigonomclrzctd

scria

'Je

[unc ii

9t

+ 5-(o,,

cor

rrr

*

b.

sin

nr

).

O

serie

de

lbrma

(6.3)

cu o,,

qi 6.

arbjlra'ri

sc

nurncqtr:

serie

Lrigonorrretrici'

dar

studiul

acestor

serii

ca

atare

nu

face

obiectul

acestui

capitol-

in

c"lc

.e

urrneazi

vom

folosi

<lenutnirile

de

serie

fourier

qi

coe{icienli

lrourier

penlru

seriiie

Iburir:r

trigonomctrice

qi

coeiicien ii

Fourier

trigonometrici

NorATIr.

Faptul

r:

seria

(ri

3)

cste

rclafi'''i

Ia

funcr'i:r

/

('Jeci

au

lcc

(6

1)

qi

(6.2))

se

"a

n<;ta

f

-:9-) (r,,o.,,r

I-

L'.-rrr

ar').

J

,)

182

Seriiie

Fourier

(6

3)

au

inceput

s5'

fie

sludjatc

la inceputul

secoluhti

al

XVIIl-k:a'

liind

dcscoperiti

leqitura

lor

cu

problcma

corzii

vibranle

ir

lucriri

daiorate

lui

,i;,tl""rr"r,',

Daniel

Bernorrlli,

Euler'

Lucririle

lui

Fourier'

incepind

din

1807'

ex-

nr,""'

i;-,,;t.iu;tt,,

analytiqrte

de

lzr

':hal':qt"

(1822)

a'-r

imp'-rs

dorrcrir

aienliei

lumii

rnal,emalice.

teoria

seriilor

fourier

beneficiind

<le

contribu iilc

a numeroqi

rrlaterlraii-

",""t't.""i"t"i;.

'i;i;l";"t".

dezvolti'rilor

'in

serie

l'ourier

trigonorr:etrici

a

pcrmis

;;.;;;;;;;

qi

u

alt.,,

s"isl

erne rle

funclii

cu

proprietili

asemS'nitoare

qi

degajarea

..i1,'fui

t"r.rt.,

il

taie

(6.'1) .tpt"'inii

pe

ls

liiiiizarea

iii-toi

t'ipr'j7'inliii

de

iiP

(6.+)

cu

fun4iilc

6in

nr, cos

iirir

itlocui"e

ct

elene

ritc

din

al"e

sisi'eme

de

fuiiclii

i'e

i""-ptu

ltuu"t"t",

continui

si

conslituie

un

subiect

<ie

cetcetare

aiit

perllru rnate nati

:;;'l

;Jn;

;";il'specialiqti

din <lonreniul

tchnic

avind

in

vcdere numeroasele

aplicalii

practicc

alc

acesl,ora

(6 2)

(6 3)

(6 4)

I

\

-3n



.

€

Nl,

(6.1)

(6.2)

funcliei

Rie

(6.2)

se

(6

3)

dar

(6

4)

lui

ex-

lurnir

permis

de

iip

de

aplicalii

2.

Prelungirea

din

fieura

2.

Prima

observalie

pe

care o facem

relativ

la seriile (6.3) este aceea ci,

in

cazul

ln

care convergJ suma

lor

este

o funclie

periodici

de

perioad5

2n.

Dste

natural in

acesl,

context,

se introducem

urmitoarea noliune.

DEFINTTIo.

Fie

/

:

l-r,

a]

_-

R.

_Funclia

1

m

-*

m

se numeqte

7relragirea

prin period.icilate

a-funcliei

/

ia R

daci

/

este

periodici

de

perioadi

hr

(f(r

12tr)

=

=

J\xlu,L

t

u$,$r

Jl(_4,r1

=./

in

cele

c.

urrneazi.,

funcliile vot

fi

considerate preluugite prin periodicitate

la

R,

iniegrabilitatea

insemnind

integrabilitatea

pe

o

perioadd.,

rezultind

deci

integrabili,

tatea

pe

intervalele

compacte

din

R.

De exemplu,

funcliile

elementare

deja definite

pe

R vor

fi

inlocuite

cu

prelungirea

prin

periodicitate

a

restricliilor lor

la

(-n,

r].

EXEMPr,n.

1.

Prelungirea

prin periodicitate

a

funclici

f(r)

=

a, r

e

(-T,

z]

are

graficul

din figura l

Fig.

1

prin

periodicitate

a

funcliei

f(r)

=

s2,

x

e

(-n,

rl are

graficul

Fig.2

Jinind

cont ci.

vom Iucra cu

prelungirile

prin

periodicitate,

funcliile

vor

putea

fi

considerate pe

orice

interval

de lungime egald, cu

perioada,

de exemplu

pe

[0,22r],

183

avaotajul

intervalului

imparitaie

a

funcliei.

PRoPoziTrA

6.1.

I

r,

a] fiind

acela dc

a valorifica

proprietitile

de

paritate

sau

Fie

f

:

l-r.

rl

-

R

inleorabild.

Riemann.

Dad

f

esle

pard,

2 | 2r

sinnr

7 t t

-

1

/

rc,.rsrrrdr

-

-(r"''"'"

L

-

'

/

sin n.rcdLr)

-

.l ?\ n

lo nJ

/

00

1l

o,,

:

_

/

9(r)cosn

lTJ

.

rt

Dn

:

-

rl

9(r)

srD n

1T

.l

in

cazul

particular

a:

-1,

b

=

b

qi

"ao

l-t1

Forma

(6.6)

cu ipoteza

d

utiiizati pearru

descrierea

soh

propagarea

cildurii

in

fire

(ve

Folosild

formulele

lui

Eulr

atunci bn

=

0,

oricare

ar

t'i

n.

si

an

=

?

|

iit)

ro"

nrcia

Vn

€

N. Dacd

i

esie nnpard,

;

)l

o-

'

0

orrarr.

ar

Jt

n

gi

bn

.-

'

/

/1"r;

sin

rrrdl Va

€

N.

ltJ

0

Denonsirulie.

Fie

/

par5,.

I'ie

diviziuriile

lui

[-z',

z'] do

=

{ro,

. . .

,

x2r},

xa=r, Ek=

-lt2p-kt

k)0, tp,1

,x=L,

p

)

I

qi

fie

4r

=

tt

e

[tr,tt+t],

p

k=0....,2p-L

Aiunci,

/({1)sinnlo

=

-f(Qr-y)srr'nf2p.-p

Yk

=

0,...,2p

-

i.

Vp

)

1, deci

sumele Riernann ale

funcliei

/(r)

sin

ne,

o(d.p,{)

-

0

Vp

)

1,

agadar

b"

=

0

Vn

2

0.

Similar,

prin

exa[rinarea

surnelor

Riemann

cotespunzitoare,

rezulti

{i

ce]elalte

afirmalii.

I

ExEMPLE.

1.

Fie

f

:[-zr,

r]---r

R,

/(r)

=

r.

Atunci

an=|Yn)

0 qi

6"

=

(-l]'*t

vn

>

-

R,

f(r)

= lrl.

Atunci,

pentru

n

>

I,

b"

=

0

1.

qi

. Fie

/:

l-r,r)

a"

=

'

l/(r)cosn.rd;r:

ltJ

0

-

?(-l)'

-

I

rrcci

a,,

=

ovrt

)

1

tr

n2

-

I' azt+:

-;EFTIF

Ei

os

=

7r'

Propozilia 6.1

justifici,

introducerea

unor serii

(0.3)

de forma speciali

f

+

3 9

*f

a,cosnr

"ro

lb,"innr,

numite

serii

de

cosinusurt, respectiv serii de

sf-

nzsari

qi reprezentind seriile

lburier

ale

prelungirilor

pare qi

respeciiv impare

ale

lui

"f

de la

[0.

rl

Ia

f-r,

z'1.

Cele

prezentate

mai

sus

pentru

funclii

definitc

pc

intervale

l-r,r]

sc

forrnula

penl,ru

func{ii

definite

pe

intervale

[a,

6].

Astfel, daci

/

:

lo,

Dl

*

R

tegrabild,,

fie

p'.1-,,o)*la,bl,eltl='#,*'#

Fie

s

=

f

oe:l-r,

-rlt-a

a*ir I

r

l

c(4 I\;,

*

i)

fitunci

/(y)

=

olu

o(2u

,

")l

a

-

+

iA^.os

nr

{

b^ sin nr), rezultS.:

/

-

?

I

1""

-'

ff;eo

-

6

-

o1

+

a^sir,

{212v

-

o

-

o)].

slnz0:

-

pot

re-

este

in

rl

-R,

qi

dacX

c",ei"",

unde

"q:

f

,

(r1.1),

(6.2)

oblinem

c.

184

si

atunci

f

+ (o,, cosnr*6,

4sr

\-

L'

n<0.

Din

il

Cap. iV.

$4.

in

ceic

ce urmet

$6.2.

ProprietSgi

legate

,

incepem

prin

a

observa

ci

- t

+

L

(oD

cos

nx

+

[Jn

silLn

7b

I l .

) t .a

o,,

-

:

I s(rlcosn.rdt

--

,'

I

llg\cos:

t2g b-

o)dyr

'

r.l

"

b

o,l

"

b a'

1 I

t

f

ttn

b.:-

I

grrlsinnrd.r

=

,

^

I

flgtqir.;^l2s-

b- o\<Jv.

tT

J

'-ui

in

cazul

particnlar

a-

-1,

b:

l, I

>

0

obliuem:

I

I

I

",

nry

.

an

:;

I /(y)cos ,

oY

t.l

t

-l

?

1 t rLTu

b":;

/

l(y)sirr-;j

dy

L.J

,t

t

-

T

,f

1',..,

i'

+

b".,'

?)

(6

5)

(6

6)

Forma

(6.6)

cu ipoteza

d"ir"totgl."

impa.r5.

a

lui

I

de

la

[0,

l]

Ia

[-l,l]

este

utilizatd

pentru

descrierea

soluliilor

problei'aelor

privind

oscilaliile

corzii

vibrante

qi

propagarea

cS.ldurii

in fire

(vezi

$7).

Folosind formulele

lui Euler

(5.18),

seria

(6.3)

se

poaie

scrie

in

formX

complexS..

.

eina_e

jnr

SLnTLat:

----

-,

COSr}Z

:

z1

qi

arunci

f

rlro,,,.o'nr+b"si'n.)

- * i,"-"t.,"

-t'')

1-"

i"(c'

I

ib't1

a-r

2

t-,

L' 2

2

|

nr 3 - ao a^-lb-

a-. ib-.

' L

.,,C"'.

unde.0:;

^-

- 2-

pontrun

>0Sr

rn ---

penrru

n,<0.

D;n

(6.1), (6.2)

oblinem

,--

i. .f(r)e

'""de,

n

€2,

integrala

fiind

definitd

2"

^"

'

iu

Cap-

iV,

,tr.

in ceie ce urmeazd.

va fi folosii; fol'nra

(6.3)

a

seiiilor

Four.ier.

6.2.

Proprietiti

legate de coeffcienti

incepem

prin

a observa cd.

daca

/

-

f;

+

t"".osnr

+

b,"sinnr)

qi

9

-

'

n-l

-

f;-,

f

to,

"o"

nr

-

B'

sin

nr)

atunci.

pe

baza

proprietdlilor

inregralei

,f

-'+-

185

+ii.o."o"nr

.r

c6,,sinn;r:)

si .f

+

I

-

tjg

*

it,"'

*

o.)cosnr

+

(b"

+

t,

-]

-

J' i.,n

,

"l

PRoPozTTIA

62.

I'ie

l:

[-n.

r]

-'-'[l

pertodtc:d

nL

[':i-t'r)-ENtnlegrabtld

Riemann.

Atuncr''

penlru

arice

n

)

I

a,(f')

-

nb,,(f).

b^(.f')--

-na"(f

).

(67)

Demonsfta\ie.

1T

a"\f'l=

-

/ /'(z).osrr'rdt=

,, I

r

--

.'

l1in1",,.nt-

I(-r'i.osnr-

r'

/

/(

"r"in

urdtl

-

nb'([\'

n'"

1

r

deoarecc

/(zr)

=

J(-t),

Ei

t"(f')

=

r,

|

'

-

f

l/,o).,n,'+J{-n)sin

ntJ

n

J

I\xt.rtn,'drl

-

no'

(f)

penr.ru

a <ied,:ce

alre

proprietltri

u,"

,,n"t,""1 iro.

.[ourier

incepen

pr n a obscr.ra

urori,,.rur"u

proprietate

a sistcmului

trigonornctric

{1,

slnnc,

coszr

|

ru

€

Fd'}'

LEMA

6.3.

Sisternul

de

fimclii

1,

sitr

nr'", cosnr

I

n

€

N-]

esle ortogonal

in

C:(l

r,

rl)

in

raporl

cn

protlusul

scalar

('tezi

Cap

lI,

$a)

i;r

acrasla consl iirrie

Drrnrrlrn.

Se

nr

Ast{el,

r

t

.,.

- ,

J'(r) srr,'xdr

=

ltJ

, /

cos

n'rdr

-

u

surna

Jrar ial:i

a scrici

PROPOZIIIA 6 4

caefictenitz 'ourier

ct

'n

de

fctrrna

(6.11)

are

lll-t"1t,= llttt

.t

'

-,

,'

*,ri.

L

Dcmorslra{ic.

ll

=

/

sirr'irrrl.t

=

rV

:"

(6.10) rezuiti

llf

r,,ll'

=i1fl'-2

deci scdzind

qi

adunir

CoRoLAi

6.4.1

ll/-",,i13=nin{ll/

<.f, t>

=

f{,)nt,}o,

Dertons,1a\ie.

Avem

de

arltai

c5,

pentru

orice

n

f

k'

^1 r

/

srn nr'i'krdr

u

/

"o'nr.""slrd'

0

l.l

(6 8)

si

(.1,

pontru

orice

n,

tt

€

Nt

/

'in

,,r

cos

[r,lr'

- 0, /

sir,

rrrl"r

tr

.l

J

(6 e)

(6

10)

186

(bn

+

(6

7)

i,n

(6.8)

(6

e)

(6.10)

iar

aceasta constituie

un exerci'liu uqor.

t

DEFINTTIE.

Se numeqte

polinom.

trigonometric

d,e ord,in n o funclie de

forma

.}^

,nrr

r:

-'f

,

\(tttt)nJr

-f

u1 :rtttJr'),

ui.

/J,

t:

[n.

(6.11)

Astfel,

suma

partialX

a

seriei

llourier

(6.3),

esie

un

polinom

trigonomeiric.

PRoPozITtA

6.4.

Fie

f

:

l-r,

rl

-

R

inlegrabild.

Ricmann.

j?ie

o,,

b,,

rr

€

N

coeficienlii Fourier ai lui

f.

Alunci,

pteniru

orice

tn

polinom

tngonomelric

d,e

ord,in

n

de

forma

(6.11)

are loc

tf

-1"|i

(6

r3)

On

s^(.r)

-

;

r

l(ut

cos

jt

1

b; sin

jr).

j=r

deci scdzind

si

ra,rnina

,,

it'

+

CoROLAR 6.4.1.

in

t

r,2 IoB,$., ,r.l

tlJ

Jrll2

=

ll./ 12

-

"lT

n

/_,\4t*tttt1.

ll/ -

""i13

=

min{ll/

-

t"ll3

|

i"

polinom

trigonometric

de

ordin

n}.

=

lvo

t^(r)t2dx=

J

la'o'-"1$*it";+a;i]+

(6.12)

(o.

r+,

I

_,

-1(ao

-

oo)2

-

-..

^

".)

,-t

2

Llt"o-ok)'

|

(h

bn')J

Demonstralie.ll

ll2

esie

dat6. de

produsul

scalar

(6.8).

Obr"ruern

.afo.2 trdr

=

=

/

sin'zftrdr

=

r

V,t

€

N*. Foiosind

(6.1), (6.?) qi

relaliile

de

ortogonaliiate

(6.9),

J

(6.10)

rezulti

llf

t"ll"

=<f

-t",,

f

-t,>

=llfll'-2

<f

,t">

+llt.12 =

h

-2

n

=

Vll'

-2ln(oaa6

r

a1,b1\ ,asbs

+

r\

+

"lt"?

+

hi).

1"1

+

til'1oblinem (6.13).

I

187

Defttotlltra\je

Daci in

(6.i3)

crl

=

o1

V&

=

0,

,n'

Pt'

=

bkVk

=

0'

11

oblinelr

(6.14)

iar

a doua

afirmalie

estc

evidenti

l

PRoPozrTiA

6.5.

(lnegalitateir

lui

Bessel)

'te

f

:

l-r,tl

*

R'

n

egrabild

lhe'

nlanl-

ti

(In.bttr

n

€l\

coet'it:iettlii

l'ourier

at

sdi

Alunct

uniform

pe

[-2,

r],

cu

,s,

de

,.

i

/

rln-I

iA

++L(a;+b;)<

-

|

-

\r

)dx.

(6.15)

Delronsl'rz\ie.

Observi,m,

ca

mai inainte,

c5'

din

criieriul

lui Lebesgue'

/?

esie

inlcgrabilir.

Rrcnrann

Pe

[-n,

n].

t6tt

Drr

{b.lli.

f

li"i

+

6?)

-:.

r

J

Itt,ft"

Vn

)

I

1i

{6 151

rezr'lta

I

"

*=

Coaol,en

6.5.1.

Dacit

frtncJia

f

:

l-r,r]

*

R

esle

tttlcgrub

i

lltcnnun

5i

an,b,,,

n.

€

N

sirl

coeTSciealzr

ei

[ourier,

alunci

iir:tan

=

lirnD"

=

0'

$5.3.

Teoreme

de

convergen{i

Problema

lundarneltzlld

in

leoria

seriilor

Fourier

estc rnodul

in

care

acestea

."1ra*,uri'

lunclia

din c.rre

provilli saiu,

cu

irlLe

cuvinle^,

modul

in care

cltnoscind

""riu

Fouai".

a.

unei

{unclii

se

poaic

recoustitui

funclia

in acesi

sens

vom

menliona

urmdtoarele

rezultate

negaLive

(conform

l:li]

)

:

1' t]xisii

ftrnctii

contintte

cu

seria

i.burier

divergentd

pe

o

mulgime

dc

putero:r,

con Lirruumr

lu

i.

2.

Er:isti

lurt ii

coutinuc

cu seria

Fourier

convergetrtS'

peste

tot

dar convergen a

,ii- niuir;f-:tri

e

ii(.a1"

inre:val

lStcinLarts)

13.

lristi

funclii

integrab

ile

in sens

ul

lui

Lebesgue

(tr

oliunr:a

r a

fi defi niti

intr-

un

capitol

ulterior)

o.i.ot

""ri"

Fouriet

diverge

pestrr

tot

(Kohnogorov)

Ca

prinr

rezultat

poziliv,

observim

ci

pe baza

Teorcrnei

13

din

$1

are

loc

uLrnEtoarea

ProPozilie.

PRoPozlTlA

6.6.-

I're

.f

:

l-r,r)

*

R

continud

$

an,b",

rt

€

N

coeirieliii

Fourier

ar siii.

Dac(t

)]{lt"l+

la"l)

csle

cottuergenld'

serza

Foutzer

(b

31

esTe

absoh'I

i=l

st

uniform

.ontterlerLld

la

f

pe

l-t'r)'

'feorema

-[.3,

seria

An

At,uutr

u(r

7

=;t

+T-

(,..r",

cos

nr

+

l,'

sn

n.r

)

esle o

funclie

coniinu5' pe

l-

zr,

r]

deoarece

lilr

s"

(r)

=

s(r)

'

/2'

(6.3

)

Derra,nstra\ie.

Convergen a

absolul[

qi

uniformS'

rezultI

dir

tl_::

. Ji

\

avrni

5"ria

malorantd

-;

-

L(lo"l

r

rb.l)

otri"rg"tt'a'

tt=1

1l

6r.

=

lim

-

/

n*N r

J

deci

s

qi

/

au aceia,qi

coelicie

o

consecin 5

imediati

a Teor

Pe baza acestei

propozi

de converger d a seriilor For

TEoREMA

6.7.

Fie

f

:

bild

Rtentann

pe

l-r,rl.

A1

Demonsi.ralie.

$tim

dir

qi

atunci, Vn

)

I

l'"(f)

lr"(/)

qi,

cum

) I

converge

($l

conform

(6.15), rezultd c5

Propozitia

6.6.

Aplicati derivalelor

ur

Propoziliei

3.3

un

criteriu

ci

fiind

asifel utili. cind seriile

I

cu

derivate

paririale.

Sd,

reli

preiungirca

aceasta trebuie

f(t)

=

e.

O

formi

generali

a Te<

pentru

funciii

periodice

de

Von demonstra

in

cont:

a seriei Fouricr iu cazul

un

st,udiLrl coovcrgcn ei

seriilot

Pcntru aceasta

sint ne(

I

-

D.EFINITIB.

D"(r)

=

-

dc

ordin

ri, n

)

1. Prin defi

188

n

gi

SI

uniform

pe

l-r,

r],

cu

s,,

delinit

1n (6.12)

qi

atunci,

conforrn

(6 9),

(6 10)'

"

|

|

r

co"

{.,

,'li

=

I

,/

r1";

..'

t* dt

lI'

;

g

,*

-

n,'%

;

.l

""rr,

n

J

deci s

qi

J

au aceia.gi

cocficien(i

liburier.

'aptul

ci

iII

accste

r:onditrii

r

9i

I

coincid

esie

o corsecinlS.

imediatS.

a Teoremei

lui Fejer,

cat"

va

fi

demoristrati

in

continuare.

Pc

baza

acestei

propozilii

qi

a Propoziliei

6

2

putem

demr:nstra

primul critcriu

de

convergerli

a

seriilol

Fouriet

TEoRDMA

6.7.

Itre

J':l-r,fl*R'

o

func:Jie

periodicd,

d

erit'abil'd,

cu

ft

'tnlegra-

hild

Rientann

pe

l-r,r).

Alunci

ieria

sa

I'ourier

conuerge

uniiorm

ia

i

pe

I-t't)'

Demonsrratre

gtim

din

i6.7)

ri.

Vrr

)

L

u,',11

-

- tt,ll'I

b

111

-

, ,""r'l

1

qi

atunci,

Vn

)

I

1".(f )t

=

1t,,rr,;

<

j

[1*

iu,,lr;r,],

p"01

=

:1""()i

.

;

l;.r

i"'(r')l']

$r.

cum

)

-;

convergc

conform

(6.15),

rezulte

c[

ltt""tflt

+

lD"(l)l)

converge

qi

ieor'ma

rezulta

ciin

n=1

Propozilia

6.6.

I

Aplicat6

derivatelor

unei

funclii

de

clasi

Ci,

l'eoretna

6'7

furrtizeazi

pe baza

Propozili"i

3.3

un

critcriu

care

permite derjvarca

termen

cu telmen

a

seriilor

Foruicr'

fiind

astiel

utili

cind

seriiie

Fourier

sint

folosite

peltru

descrierea

soluliilor

Lrnor

ecua(ii

cu derivate

parliale.

S5.

re inem

ins5,

cd'

pentru

funcliile

prelungite

prin

perioriicitate'

prelungirca

acelta

trebuie

si

fie

derivabild,

ceea

ce

exciude

lunclii

cum

ar

fi chir:'r

O

formi

generald a Teoremei

6.7

afirm5'

convergenla

uniformS'

a

seriilor

Fourier

pentru

fun"r.ii

porir.ii". cle

p.rici.d6 2;

;nlit

ue

1i

ri:

"arie-1i"

n:irginitir

(\ezr

lSll)

Vont demonsirir.

in continuare

Teoreura

lui Fcjer,

care

afirmI

sumabilitatea

Cesaro

a

scriei

Fourier

itr

caztrl

unei

funclii

continue

pe

por{iuni, irrmind

a rcveni

apoi

Ia

.rr,lili .nrvncgcntni

s"riilor

rl

uli,

r'

Pcntru a.ceasta

sini

necesare

rezulLa'r,e

preiiiriiiiare

1

DoFtNITlu.

D.(r)

=

-

+

cos

c

+

-

+

cos

??'t,'

€

R se

numeste

nucleu

Dtrichlel

2,

o,

orJin

r,.

n

2

L Prin

d,

finir.ic

Dnrrl=

I'ent'Iu

o|ice

r'€

R'

( 2,

Propozilia

2.5)

iar

t(]d"(l')l:

+

lb'(/')|'?)

converge

n=l

lnl

-'

189

b1

=

lim

I

/

""1";"i,,Ara'

=

I

f

"1*,"inr,a

tV|

20

n_^ r J 1

J

Lrul.6.8.

Demonstratje.

(1),

obtine

direct

din

definiti

Pentru

a demonstra

0<d-<lcl

(n.

I

Nucleele Dirichlet

st

scrierea

mediilor

Cesaro

PRoPozrTrA

6.11.

ao

3,

s"(rl

=

t

+

L\o,tcos,

-

j=t

pentru

orice nlA:

qr

Demonstratie.

Est(

din

(6.19).

Pentru

(6.19)

+(/

rrtl,*itar),i.i

'\

=

I tolt=+5-cosr

1t

.l

-

12

-

LEMA

6.12.

Fie

I

interuale

compacte.

Atun

I

I

I

:,r

f

J

n^*,^--+--+;- n;-

,l

uttt lutrouL 49t.. D ttt r

stra

(6.21), obselv;m

d

p

"i"('+

])"

D"(r)-

#

rI2kn.

kLI

n>i

2sn,

t: / l\ r It

f)emonstralie.

Ilezultd

uqor.

folosind

2sin:cos

j.r=sin(j*

7)t

stn\j

-

,).'

j

= 1,...

,n. I

-t

."

DEFINITTE.

,lr"(x)

=

=t

D1@) a

eR,

n

e

N se

rumeqte

nucleu

ltejer

de

n+ r:

j=o

ordin

n.

LEMA 6.9.

11,(r)=#D

Vr

(

R,

o

l2kr;k

e

Z,

Vz

e

Nl.

(6.17)

(=#)

4 sin'

'2

(b.

-t

b)

(6 18)

Demonstr

a(ie. Din

(6.

16),

'

-1)'"rnl

bin

(.j

+

2/ 2

/);(r')

=

--

r

'=7

=

4stn.

2

deci

5-D,,(t)-

i

'os(nl

i'r'

I

fi

"'

4sin2".

2

Concentrirn

in

propozilia

urmdtoare

proprietilile

esenliale ale

nucleelor Dirichlet

qi

Feier.

PRoFoziTrA

6.i0.

(l)

o"(-r)

=

D^(c), Kn(

x)=

I{"(o)Vr

e

R,

Vn

e

N.

(2) D,,(x

+2kr)

=

D,,(r),

Pi,,@

+2kr)

=

'Fj"(a)

Ve

€

R, Yn

€

N.

(3)

r<"(r)

)

0

Vr

e

R,

Vn

e

f{.

t4):-

lD"

=1Vn€N.

,r,\i,r,.=rvn€N

r.J

(Al

Va>0,

tim

sup

4"1.r)

-0.

nr@

d<trt<

r

190

cos

jr

-

cos(j

*

1)r

16)

l.r

de

T

(6.1e)

(6.20)

(6.21)

(6.22)

Demonstratie.

(1),

(2),

(3)

sinr evidenre

din

definitrie,

(6.16) qi

(6.17). (4)

se

obline direct

din

defini{ie

iar

(5)

rezultl din

(4).

Pentru

a demonstra

(6)

folosirn

r',1r1

=

-,

l-

(;;

.f;;

daci

Lttt l ttstrt

t

z{,l

-1-

t,.illr

.2

0<d(lrl

(zr.

I

Nucleele

Dirichlct

servesc

la

descrierea sumelor

parliale

iar

nuclecle Fejer

la

de-

scrierea

mediilor

Cesaro

pentru

seriile Fouricr.

PRopozrTIA 6.77.

Fie

f

:

I

r,rl + R integrabihi

Bietnann,.

Fie

ss1t1

:

? .

ao

. 3,

so{.rl

+

...

-

s"{/)

sn(-r)

=

-

)-

l(o1co:;1r

r-

bJ

sinJ"r).

n>1, o"lr)

Afunri.

pentru

orice

n>0:

qr

1r

7tJ

1t

on@)=:

I f

(t)K^(r

*t)dt

tT

.l

Demonstratie.

Este

evident

ci

(620) rezulti,Otl

.U:Ultt*

nucleului

Fejer

Ei

din

(6.1e).

Penrru

(6.te),

-"1';

=

I [

11rSar

+f

lf(

[

rc,*sjrdt),r,s

jr+

,,

J,

;-i

r

L\J"

I

/'i \

"l

ri

rr

-a

I

-(

/

.fttt'iniiar

)sin

jrl

-

=

|

tttll:

-

l(cosjrcosjr

r

sirrj/sinjrlldr

=

\J /

)

7tJ

Lz

-

I

.t'i,,,,11

,

)--.;r.-,rla,=

i

n,to,t,-r)dr.

r

1t.l

12

-

I

ltJ

LEMA

6.12, Fi.e

f

:

R

--+

R

period,icd

de

peri,odd

hr.

i,ntegrabild Ri.emo.nn

pe

i,nten)ale

umeacte, Atunci,

pentru

orice

r

€R

Ei

ori,ce

n)0,

tt

I

f(t)D.tr-r\ctr =

I

I\x-ttDntt)dt

,JJ

ft

I I(t)K"Q

f) d/

I

Ik

t)K.(t)dt

.t .l

n^-.

.--+--+.^ rr:-

r^4-:r:^

rui

K,,

(6.22)

ue obline

<1in (6.21).

Pentru I den.on_r'uL'trllror

^

r+lt

,t..

(6.21;,

obruruim c[

pentru

s

=

z-.i

ontinem

ft(t)p,

(

r+)

dt=

[ f

@-s)D.(s)

ds

=

JJ

191

rttr

i

=

/ f

(r-s

tD.

(s

)ds-

ftit-"

1o"

1" 1a"

-

//ir-s

)o'

rs

lds

Dar'

ctt

s=

rl2r'

li

folosind

J'

J

J"

+n

periodiciiai"alr-ri

1'qi

a

lui

D".

;l

,ff

r-srD"istas

=

.j

lt"-'

'2rlDalar2r'\dr

=

= [

n,

- rlD^lr\dr.

f

.t-

Acum

putem

demonstra

Teorema

lui

Fejer'

TEoREMA

6.13

(Fejer,

1904)

Ire

funclta

I

conTinud.

pe

porJruni

(vezi

Cap

lll'

$1) e;i-;,

rl,

prelunsii'd

prin

pinodtcitate

la

R

9r

're

el-r'

r) Arunci:

1f

)

',no.t"o)=&| @

,

deei

da,dl

esle

rcnlinud

iD.r0.

limo'('r0)=

=

i(ro).

(2) Dacd

J

esle

coniinud

pe[o,

D]

c

l-r',

rl'

lirr.o'(c)

=

f(t)'

uniform

pe

la'

bl'

Demonstra\ie.

Folosind

(6

18),

(6'20)

qi

(6 22)

/{ro+)+/(ro-)

-t}

I lllx^+)-

/('o-)6"11;41

=

o^(,i-'Y

=

-,J

Iko

r)x"0)d1

-

;J

--t

tl

- '

lIrt,^-

t)-

f(rn-)l/i"i,)d/

+

^

/ [ft'o -

r)-

/("r0+)]^"(t)d/

-

Zo1v'""

21t

J

-

in urrima

inregrali.

efectus.m

schimbarea

ae

valafitl

,

=lt;J;iT".rtt#_j

tl

t

6i,

linind

cont

cd.

funclia

K

este

pari,

oblinem

o'(cs)

"

,x

=

|

/

iii',

+tl +

f

(co

-

r)

-

/(ro-)

-

f

('o+)lli"(t)dt

=

)

J

ttt-'

*'1

-

f(so+)

+

0

''

de

arn

folosii

din

nou

periodicitatea'

+/(ro

-

t)

-

/(c6-)l/i"

(l)dl,

un

Fie M

=

ltlf(*o+r)

-

f(ro+)l+

l/(c6

-r)

-f(co-)l)dr>0(dac5M=0

.t'

0

ieorerna

rezul'r,5,

riin

foinruia

precedcnti)

E

Fiee>0.Exist ,6.>0ast{elincit,dacat€(0,6.),

l/(tu

+

t)

-

'f

(ro+)l

<-

a

ei

l/(ro

-

l)

-

l("0

)l

<

z

5.

r

.,,

/(rc

r)*

f(.ro-)

.IIif

r,"^+ri_l_,.+

ji+

riiilnti'folosiiiiji6'l8),i"'tr")_#i\:liti',i,0-r,/_jLJr|r'|

'

u'

2

|

-rLJ'"

n

i

.t

+l,f(.ro-r)-/(ro-)l)ri"(r)dt+

f

(l/(o0

Fl)-ftr0+)l+lf(ro-t)-/(co-)l)1i"(i)drl<

6,

<

lr

/

n.(r)ar*[sup

1t

J

6.<r<tr

0

Din

Propozilia

6.10

(6

tf

drci,

Vn

)

n.,

lr'"(rs)

-

:-

Daci

J

esle

continui

1

1

avem

lo"(.r)

-

l(r)l

<;J

Fiee>0qiO">0""-t

r-t€fo,6l.

t

p1",11

=

sup

/

lf(

1€ta'bl

J

Art

+1

sup

h"(l)

<

e

Vn

.,r

d.<lrl<"

Conolln

6.13.1

fz

i

tonuergenii,

tn

xs

e

l-r,t

Demonstralie.

Am

ob

Prezeniim

acum

un

.

TEOREMA

6.14.

(Di

porJiuni

arind

deriauld

Pt

Fourier

a

fui

J

conaerge

i

^

--

-- -r

--

i^ D^-+,-

r,c'rIrurDo

aPc r

culr

valoarea

sumei

rezuliind

c

Fie

c

e

(-2,

r].

Conl

sn+e

({)

-

.F

slnl

NotEm

o(l)

=

-:

I

cu derivata

mirginite:

=

lim

t-o

(1

-

o2)sin

ot

sint

2sini cos

I

t92

Dl

sin

?

I aJ

l\oiam

gtr]

=

----

\

L

f

slrl

"

2

Lt

'n.l

0

llin

t(.{/)dt-lsu1

n,1r;llv

*

n*lut

sup

i("rt;l

't.<,k"itrid.<r<r

Propozilia

6.10

(6),

existi

n.

€N

asifel

'rncit

,max

K'(t) <ffiv">""'

n^^i

vo

> .-

l,_t,^l_

/(ro+)

1/(to-) I

< e

si

(1)

este

de'onsrrai6.

-

-

luoi1

"rJ"

"."i*"u

o"

la,b] ,

J

este

'tltiforrrt

continu5'

pe

[a'

b]

9i'

ca

rrai

inainie'

1l

avem

,oni.r') -

/(rt

1

;

.l

ltt"

-

tr

-

/i'r)lli'(t)dt

lie

e >

0

qi

6"

>

0

asifel

incil

l/(c

-

t)

-

/(t)i

<

€

14,01,

Vl

cu

lll

<

6.

cu

-

/(c)idt

>

0.

Atunci

,;;r,,

1""(,)

-

l(')l

qi

teoroma

este demonstrat5'.

I

coRoLAR

6.13.i

fn.

zpotezele

Teoremei

6. f,,

dacd

serza^Fourier

a

funcliei

f

esle

towcrgenLi

n

uD

l_l-r'rl

alunrt

,unIa'o

"'"

/(to+)

I l('o-)

Demonstra\ie.

Am

observat

in

1

ci

dac6

s

=

lims'

atunci

s

=

limon

l

PrezentX,m

acum

un

criteriu

ciasic

de

convergeuli"

TEoREMA

6.14.

(Dirichlet,

1829)

Fie

f

:

l-r,ttl

*

R

o

funclie

continud'

pe

ponfu";. ort"i

deriuati

pe porliltni,

mlegrabi,li

Rtema"nn

in

acesie

cond'ili't'

seria

Fouricr

6lur

f

ronacrqe

m

f(tutr

trunt' '

Ii:o+)'+

I\to-l

n---^^'--'j D^"r'"

'.iam^nctr:1ro^

rnnteroentei vom aolica

..ritcriul

luiCauchy'

t/- ltutttttay(.

vaioarea

sumei

rezuiiil,i

din

' 'eoieraa

5

13'

Fie

r

e

(-r,

rl.

Conform

(6.i9)

9i

(6 2i)

Vr

2

e-r€[a,6].

t

FieM=

t"p

i 111'-11

*

el.,bl

J

+-

sup

l\nlt)

< i

\n

a

n.

,r

r"<lil<tr

€

tt+

(6.23)

0,

g(0)

=

p

qi

observim

ci

g

este

derivabild

9i

/ sin oi \/

si li.m l

-.-

I

=

' ?*0 \ slnt

/

r sin cvi r'

crr derivata

mi,rginilS

l

--,--;

I

=

,

-

\

srnT

/

sIl1"

1

o

cos

ai sin

I

-

cos

I

sin

ct

t1-

(}2

)

sin

dl

sin

f

;-o 7 srn I cos i

193

Fic

h(t)

=

f(r'-tjg(t).

Atunci i

este

derivabili

pe por{iuni

5i

cu

derivata

nrirginiti..

l'ie re

-

-11

<

rt

<

1t^=

r;:r.stfcl

incit

A este

derivabili

pc (r7-1.

r;),

I

(

j

(

n.

Notind

pentru

corrorlitate

d

=

n+

ijf

qi

lbtosind inl.egrart:ir

prin

pirli,

,

lO.z,t,

ua)vlIre:

5n+r(r.l

_

5n\ll

-

I

[,.

l5-,.-inni'

-

,

/r('

J

.os

olor

=

)

n\t

)

I,l t4 o

t,

J-)

i:''i

A/(t)sinoldr,

deci cxisi,E ar

=

(,;

>

0

asifcl incit

ls,,1o(r)

-.s"(r)l

(

(;

cc

<-

-ia-<'tln)

\

Iti

r

n

tt+-

2

qi

tcorcrna

este

demonstra(;.

I

n,

,

Vp

2

1

,

aEadar

Sirui

(s"

(r))"

cstc

qir

Clauchy

[6.,1.

Consecin[e ale Teorernei lui Fejer

O

prirrri

consecintS., enuo{al5 deja

in

demonstratia

I'ropozitiei

6.6,

priveqte

uni

.itat.a

seriilor

I-r,rrrir.r

pentrr

{irn.qri

continuo

I)rtopozl'frA

6.15.

Fie

IuncJia f

:l-r, rl

+Fl

conltnrd.

l)acd

a,"(f)--b,,(f)

=

0

pentru

ot'icc r,

€

r\- dftrzci

f(x)

=

a

penira

orice

x

€

l-r,

r11.

Demonstta\ie.

Daci.

/(-;r')

-

/(z),

Teorcma 6.1Ij

afirrni

c[ linr

o",

=

/

uniform

pe

I

r, r].

Dar

o",('t)

=

0Vr

€

l-n,

rl,

deci

/(;r)

=

0Vr

e

l-;r,

rl.

il ca.z,rl

gencra.l,6c

F

o

prinrtivii

a lrri

f

a-.tlel ,,,.,t

/

i.lr),1.

-

n

/d.

cvA'nl,)

l'

r( j/1\f)' f' o

priririiivi

oarecare a

irii

y").

A'r,unci. F(n)

-

-Fl-7rl-

I ftrfit

-

U,

dcoarp,p

oi(

IJ

-0rrrn

rporezj

si

.t'

t t /i i i

/

F(.t

)cos

rr.r',1.r

-

[-F(r).irr

nr]l

--

/

f(r)srnn""d.r'-

1l

J

\D]I

tl

a

n?r.l

/.,,

rli:ci.

corrfornt

prirnei

V,-

e

f-r.

rl.

r

COROLAH

ti. t5.

a,,(

f

)

-

a,,(.e).

b,(f)

Propozilia

6.15

s

ia proprieta.tca

de

cor

Pentru

urrliitozrr

rezultal

elemoltar.

LE\-IA

6.16. ,,i./c/i

Deno6tmlie.

o.

1.\--- = ) (,?_i+l

DcDtonstr;.nl

acul

Doatne

a

lui

Weielstrat

'I'EORr\'rA

6.1i.

o

funl:lie

continud,.

(

sup.

lA("r)

P(r)l

<

DernoErt'ra(ie.

F(

reduce

la

cazul

o

-

-

defirritb

prin

./(l)

:

[1

furic{io

par ,.

cleci

,/

-

Conforrn

cu (6.24),

qi,

conforrn

Tcoremei

I

orice

s

>

ii

oxis,Lii

n.

€

ceea

ce

dcr'_ile

sup

,.1

I tl

cos(,i

arccos:r')

-

f(;r)

Clap.,

V.

\6.4).

Rezuttd

demorstr-ild

tcoreura.

1l

-

i

.[(.i

)d.t

..i

'2r

.J

ii

-

I

/'/r)

sin

nrd

r

=

rJ

l

=--b,(I)-0VncN',

n

'".

(-1n(,'),,or,")1"

+l

I

f(r)cosnu:t

=

\

riz

"

)1

. wr.l

"'

=

l-.,,tn=

0

Vn

€

N',

n

194

x

1),

(

uui-

-

0

-

cieci.

corfolln

prirnci

pdrli

a demonstra,lici.

I(r)

=

g

y2

€

[

r, n]

qi

atunci

/(r)

:

0

Vr

el

r.n).

I

CoRor,,\n 6.15.1.

Dut:d

J.g:

I

r,rl

s,int.

func[i:i

conti,nuel;i,, perLtru.

orice

n

€\1.

a".(f)

-

a"(. J),

b"(.f)

-

b"(s\ atunci

f

(r)

:

s(x)

oricnre

ar

fi

r

e

l*n.n).

Propozi{ia

6.15

se

va

gcneraliza

cind va

fi

definit

spa\iLrl

12(,r.

r)

qi

va

conduce

la

proprietatea

de cornpletitucirne

a

qirului

trigonomctric

in

12(--r,

r).

Pentru

rrmitoarclc

aplicaqii

ale Teorcraei

lui

Fejer

dcmonstrd,m

mai

intii

urmitorril

rnzrrlt

r

r

elemerrter.

LE,tA 6.16.

MerJi.ile

Cesaro ale

aerfel,

i

a^ au erpresia

",,-tlr--a-)uu.

-\

n+l/

(6.24)

Demonstra[ie.

o,,

-

|

.l-

.1

/ t

\

: , ) (r,.1, l),r^ ) ll-

lcr,..

I

|t+t-

ntlJ

I-=0

A:tr

Demonstr[rn aorm

rln rezu]1,a,t

fundamental,

teorema

de

aproxiroarc

cu

poli-

noame a

lui

\\icierstrass.

TEoR0\{A

6.17.

(Teorerna

de aproximare a lui

\^reierstrass)

Fie

h

:

la,b]

-

R.

o

fun,r:l,ie

continu,d.

Oricare ar

t',

e

>

0,

eri.std.

un

polinom

P

€ R[X]

astfel in,cil

sup

lh(z)-P(r)l

<e.

De,monstra\ie.

Folosirrd

o translormare

afind

r,:(t)

:

mt

*

n

demonshalia se

reducr: la

ce"zul a:

-1.

b: 1.

Fie

a5ada.r

, :

[-1,1]

*

lR continu5 qi

/

: IR

-

R

definiti

pril

,f(l)

:

h.(t,tist).

Aturrci

,/

este

continui

pc

lR, are

perioada

27r

Ei

es1e

Irrnclin oar .. Jr.ci

/ - - lni

rcs1t.

'

j=l

o0.+/.

i \

..

Cr,rrformcrr

(6.14).

nr,diileCcsaroau

lbrmaon{/r

t*L

(,

-

-a=)",

.,,.r,

qi,

conlorm

Teoremei lui

Fcjer.

converg

uniform Ia

/

pe

l0,rl.

Rezultii c6

perrtrrr

oricee

) 0

cxisi;r

r?6

€

N asilel

incit,

perri,ru

once nln,, sup

i/(l)-a"(i)]

<

e,

l€10'tr]

| .,1

J-1, .l \

eea ,r'rlprirre

.up

lh{r)

-a-

-t

tr--to..oj{

/arcc

.,,t,t

2

=\

n'r/-

-

o'x)]

'

Dcr

txx(j

arccose)

:

l(r)

este

un

polinom

de

grad

j

(mrnrit

polinomul

Ccbiqcv, vezi

,'/

{

jrp.

V. gc

1,.

Rczulra

'up

ilrr)

-

99-

f

(t

J.

,\o;7,g1

<

., ai-ei,srl

,. -t.tlt , 7\ nllt

demonstriud

teorerna.

'.t',:'-ii"--

Lr-/r",t

=

n I4

J

n_lz-z- tt_lz_\z-'l

J

0

J=01

.0

'

,:o

/=A

195

Si,

mai

observiur

ci

ai

=

"tI

I

I

n1t1t'i1r1-)==d'.

t

lt.l

\/

l,-

r"

-1

lbrmula

(ti.24) facc

imediatd.

qi

urmEtoarea

consecinlir

a Teoremei

lui

Fejcr, nu-

miii,

uneori

qi

a doua

teorerrld,

cie aProxirnare

a lui W-cicrsirass

PRoPozITIA

6.18.

lie

f:

R

-

R

o

funclie

conlinud

de

perioadd 2n Alunci,

oricare

ar

fi

e > 0.

e:tisld

un

poliuotrt lrigonometric

t(x)

as{cl incil

srrp

l/(r)

-

r€l

tr,rl

-t(r)l

<

e.

-

uo

I)emonslra{te.

Fre/-

}

*f(oi.o"

jr+

6isin

jz)

Conlbrm

(ti

24),

o'(r)

-

--

1q-)-(t- 1

)1or.osjr+6;srnir)srnl

pohnoam" trtgonomerrice

carc

'on\'rA

)

/J\

n+ll

"

j-t

uniforrr

la

f

pe

I-4,

zl. I

Obscrvirn

c5 in

cazul

funcliilor

de clasi C1,

daci

in

Teorema 6

17

alcgem

un

gir

de

polinoame

care

converg uniform

la

f'

pe

la,

bl,

se

poate

ob{itre

un

qir

de

polinoame

(P,).

cu lim P"

=

/

qi

hmPi

=

/'

uniform

pe

fa,

b].

$6.5.

Exemplul

lui

Weierstrass

de

funclie

continui

nederivabili

in

orice

prrnct

in

acest

paragraf

prezentim dupn

133]

o

funclie

construiti

de

Weiersirass

in

1861,

iucrarea

fiind

publicatX in

1{372, care

est'e continuX'

in

c'rice

z

€

R

qi

care nu

-"^,1-.i-.r;

a"."r

evar,rnlrr A

nr<.^nir rnor

rcnlalivF nrFllt,telle mai mult

<1.50

<je ani

de

a

demonstta

dcrivabilitatea

luncliilor

continue

(cu

exceplia

unci multimi

.r.

6,,h..^

;"^1.'. na

14ma.4r'

.:

^.i-,,,1

."^-nl',

,1"

""".r

fpl

a losl COnsrrr rt

dr-

ri;

ij,ii,,(

tzt't,tt. j

u-

roe4

J^.

-.,

-

r^.r

^., r:-.r

/..r'

r.rrl\

tilr.r ^r,," {Otl

cOnslTUil.

mai

iJoizaiiu

iii ioJu

trdr

r'u d

rusr

Puurr\4'

multc

alte

exemple de

functii

firi

derivatS

Arn

ales insi.

exemplul

dat de Weierstrass

cleoarece

furrclia

construiti

dc cl este

dati

printr-o

serie de

tip

,,

trigonometric

"

tr"66(U.

l).

oe

N.

a

impar

qi

ori>

i

I

"i.

n.finim

r,-r

-

\- An

^^-/^n-,\

i'\i

t

r6.25)

Deoarecc

b

t

(0, i),

seria

<iin

(6.25) esie urriltrrtn

coltvcrgel'r,i

pe orice

intervzr'i

c':'m-

pacl,, deci

f

esle

continuS,

pe

R.

Rimine

si

ariti.m

cii, Vr

e

R,

/

uu

este derivabilX

in r'

tl.r+ht- f(tt

$,

,

"sJ.a"'r(.r

'

h)'-,u;{u

nr)

".

:

_

\

h

?n"

h

Fien)1.

m-1

.s-.

-

5_

/,ncoslonnlx+

h)]

*"osfonTrr)

-"'

,/-r

"

h

=A

I

I

y1t1c"'

1,tr

=

0

n^

Observim cL, ciin Teorer

incit

icoslo"r(ri

*

h)l

-

t

l5_

I

Fre

anx

=

k^4q,,,

qi,

Vn

)

m,

a"r(x+h)

=

contcSo€Nesteimpar

cos[o"r

De

asemcnea,

Vn

)

r

cos(a"

rz)

=

cos(o"_-

Prin urnrare,

n-

qi

atunci

t,

seria

avind

terrncni pozi

(n

=

m)

qi

{inind

cont

dt

qi

atunci

J/-, L \

|\&

-rtln)

h-

Evident,

lim

A-

=

aqadar

f

nu are

derivatd

196

D \

.

,,

"oslo"

r(a

+

/r)]

-

cos(a" rr)

''--l-'h

Observim

.x,

aio i..,'.r,ru"tllru*rorl*"

(Cap.

v,

g1),

exisii.

gr,

€

(c, r

+

h)

astlel

incit

lcoslanzr(n

{

n)j

-

cos(a"rh)l

=

a" rlhll

si(a'" r07,

)

|

(

o"zlhl,

deci

ls-l <'i''

bnon

-

tra^b-'

-

t

<

o{b-

/r

ob-l ab

-I

=

Fi.e

a^ x

=

h^

+

\^

c\\

k^

e

v

)i

r^,

I

;,

|]

ui

n"

r,*

=

6

=

1

-J-.

41uo";

g.63-3

nu-

-

6ir

in

nu

50

de

25)

(6

26)

(6

27)

9i,Vn):

m,

a"

r(x

I

h)

=

a"-^ a"'r(x

*

h)

=

a"-^r(k^

+

t),

de unde

rezulti,

{inind

conr

cd

a

€

N

cste

impar

Ei

cosna

=

(-l)'Vn.

cos[o"r(r

*

h)]

=1

1;{*-+tt"

=

(-l)t-+t

De

asemenea,

Vn

)

m

cos(a"ra)

=

cos(a"-^

r

a-

r)

=

cosla"-^ r(-k^

+

n^)l

=

=

cos(an-^rk^) cos(a"-^

m1^)

=

(-1)n-

cos(a"-^

rq^).

Prin

urmare,

'

. 1--L e

u

-'

";

I

a'1r

+

cos(o"-^rr1^11

gi

atunci

lR^1=,

f

A"1t

tcos{o"--n4-11.

l'u=^

seria

avind terrneni

poziiivi.

Rezultl, neglijind

toli terrnenii cu

exceplia

primului

("

=

m)

ci

linind

cont

de

(6.27),

tn*i'frr-

,tr"^r

qi

atunci

.'J

-

,mlz

n

\

r'

tttnt-

trm)

>

u 0

\5

-.6

.ll

Evident.

lim

i*

=

0Ei,

deoarece a6

>

I

+

T,

-li*"-r-(3-;:)

=."

aqadar

J

nu

a.re derivatS,

finit5

in r.

tf(r+h^\t-fG)

I

/,-

t97

7.

Ir{E't'OD.,\

s

tjPAR.i

RlI

VA

R

IABILIILOR'

Vorn

ilusl,ra

in

acesi

paragraf utilizarea

sr:riilor

bli:me

rnixte

pentru

ccuatia

corzii

vibrarite

qi

pent'rtt

rneiorici

separirii

varizrbiieior'

lr:urier

la

tezolvarca

llnor

P o-

ecuaita

cildurii

prin inlermtxliul

Din

(7.3),

T(t)-Y(o)

-

Jf(l)

=

O,

s4u4*

-{

,t"O

Este clar

cd numai

solrrlii

nenule.

inlr-adc

=

Cre'f

r

C2e-"6

4

.l

=

0,

-{(r)

-

Cr

*

Czt

Rd,rnirre

cazul ,\

<

0

+C2

sio r\/:1.

Din

(7.(

OsinlrA-=0$iXn

n2 rn

a4adar

)

=

^"--

p

D^-r-,, \ /t

(\

,li

qi

ohlinem

u"(lt

solulii

ale

(7.i)

penrru

r

u(t,

x)

-

LIh,\

n=l

i,,

-,.-,]:Iii

/.n,^ n^rmi+

r,' LUxul\Li

astfel oblinutc-

In

acesl

rerifice

(7.2) trcbuie

sd

ql

du'

-10.

r

A,'

Aqadar,

linind

cont

trcbuie

s5, avem,

peltrl

t

2t

l= I

1I

j

0

in

conciuzie,

z dat

in

m6sura irr

ca"re

(7.7)

obtioem

urmdtoarea co

7.1.

Problerna

micilor

oscila{ii libtrre

1>entru

ecualia

corzii

vibrante

fixate

fie

o coardi

vibralli

rle

luogime

l'

{ixati

la

capete

Micile

oscilalii

liberc

ale

u"r*"iri

,

i

10.

11

tu rrlot

t"ntui

I

iint

tlate

dc

solulia

u(l'

r) a

urm6ioarei

prt'blcme:

I al'1t

U'u

-=ll

2 Al2

kr2

(7

1)

o

fiind

o

constant

Pozitivi

Pentlu

r

€

[0,

l],

sc

cunosc:

u(0.

r)

=

/(r),

pozilia

1a

momcnlul

inilial

'i,tn.tl

-

9{.r).

\rlcza

la

t'ntr*ntul

ttti{i'l

(7

2)

cu

.f,

9

:

f0.

l]

-

R

coniintte,

neiclentic

lrrle,

iar'

<icoatece

c-oarda

esie

fixate

la

capete'

?r(1,0)=u(l,l)=0Vl>0

(7 3)

(vezi

'ig.

l).

u(t,x)

u(0

Fig.

I

i)rczeri a

aLii

a

ui',,r

c,.,ii.iilii

ili i'aie

((? 2))

cii

;i

;"

'iiior

cordilii

la iroriieri

((?

3lt

f;;";"

problenra

(7.1)+(?

2)+(?

3)

s6'

se ;iuneasc5'

Trrtble.md

mixtii

(P

M

)

'

"

vo*

giisi

soirrlii

rtenuie

peniru

P ivf.

(?

i)+(7

2)+(7,ii)

ric.

ibrma

u(i'z)

=

=

7'(l)X(;)

cu

?

ie clasl

C2

pe

l0,

co)

qi

X

dc.r:las[

C2

pc

[0,

i] Deoarccc

I

nu

""ii

id",tti.

nrrlX..

nici

7'nici

X

nu

sinf

idcntic

nule

injorrrin,i

',

ri ir

,,hr.inFl'

1.,"',,t'",

-

i-ili

\'"irr

-

0

rieri

I#,

-

-

1-ll

E

,\

peniru

/

.'{,r.

r

<=

10.

1]

crr

Trt)Xtr)

/

0

Atun,

r

\

lrJ

x't

lX=0

198

(7

4)

pro-

i e

(7

i)

(7

2)

(

/

JJ

M.).

x)

:

u

(t)

=

(t)

(7

4)

T"

-

tt2^T

=B.

(7

5)

Din

(7.3),

T(t)X(0)

-

f

OX(l\ =

0,

Vt)0

qi,

deoarece

"(t)

*

0

rezult[

x(0)

-

X(l)

=

0, a4adar

X

trebuie

sA

fie solulic

neidentic nuli

a ecuaiiei

(7

4) cu

conditiile

(7.6)

qi

oblinem

x(0)=-{o=0.

Este

clar

cd

numai

pentru

anumite

valori

)

e

lR

problema

(7.4)+(7.6)

admite

solulii

nenule.

inlr-adev5r,

conform

cu

Cap.

V,

$6.3,

dacd,

).

>

0

aven

X(r)

=

=

Cre"6

't

Cze

'5

qi

(7.6)

implicS, C1

=

Q2

=

0,

X(z)

-

0

Vz

e

[0,1]

iar

daci

,f

=

0,

X(z)

=

Ct

*

Czr

qi

dil nou

(7.6)

imp

cn Cv

=

Q2

=

Q'

R6roin".urrl

l < 0,

;ind

solutiile

ecuatiei

(7.4)

au forma

X(r)

=

ft

cos rr,A+

-lC2

sin

nt/J. Din

(7.6)

rcl.;ltltd Ct:

0

Atunci X(r)

=

6"

"in,rr-l,

deci

X(l)

=

C,riint./

X=0qif

nu este identic

zero

numai

darc|'Cz

*

0.

Rezrrlti

sinly'l)

=

0,

n2tn

n

[J'

a5arlar

.\

-

^,

-

-;,

n

€

N*

pentru

car:e

vom avea

soluliile

X"(r)

=

sin

,

'

T)^-*-.. \ /t <\ li

T,(t)

=

A^ cosY

+

e.

sin

/ onrt anrl\

nrx

ir,(r)

=

(,4"cos

j- B,sin

,

)"tn

t

solu[ii

ale

(7.i)

peniru

n]1.

C:um

ecualia

(7

1) este

liliare,

va

putea

avea ca

soliilie

(7

8)

,f r."r

=

i

un\t.x)

=i

(r,

-.

on

1s"sin9',oi)

.in

no{

=

'

\

(7

7)

i.,

^^-.li+il

rc.a

navmii

ripr;r:rraa

tel.me4

cu

termen

qi

evident

COnvergentra

seriilol

iI

LUrrur9]r

astfel

oblinute.

in acest

caz, evident

ci

u dat

de

(7.7)

verificn

(7'3)

Pentru

ca

u si

rr"r(s

I

r

.-/

,{0.") -

i

A,sinlr

=

/tr)

vr

e

lo,ll

n=\

gi

il

't

AnI\

n

T

i:(0.r)

=

)

8.--.

sin

.-r

=

glr)

v"r

€

lu.rl.

i]TIT

lL:1

Aqadar,

tinind

cout

de

(6.5)

qi

de

observa{iile

anterioa,re

privind

seriile de

sinusuri,

irebuie

sX avem,

PeIrtru

n

>

1,

II

A

=2

[Itr]sinLird-c. B-=

2

[

,i@)si,,'+tfu.

'"-

j

nnrJ".

oO

in

conciuzie,

u dat de

(7.7)

cu

A'

gi

B' dali de

(7.8)

va fi solulia

(7'1)+(7'2)+(7 3)

in

mbsura

iu

care (7.7)

clefirreqte

o

funclie

de

clasi C2.

Tinind

cont

de Teorema 6

7

obtinem

urmd.toarea

condilie

sufi

cient5..

199

PRopozrTr^

7.7.

Fie

f,g:[0,1]

-+

R,

satisldctnd

(i)

f

€

c3(f0,4);

l(0)

=

/(l) =0,

/'(0) =

f'(I)'

f"(.0)

=

t'

(t);

(2)

g

e

Cr([0,r]);

s(0)

:

{t(t)

=

0.

e'(0)

=

q'(t)

'

, .

'17t

t7 2t

pip

'nlttun

P \l

{7

l\ I

l;.2r-1;.1)

in

lermirologia

utilizate

in aplicalii,

vibratiiie

nrt t anT \

.Y"r-r)I,,ft)

=

t'-,,sin

,

sin('1i

-o",)

PRoPozTTIA

7.2.

orice r

€[0,1].

Atunci

t

u

=

un.I up,

unde ub

e

Demon.5tratie.

Es1

Reciproc,

daci u

este

r

satisface

(7.10),

(7.11),

Cautim

din

nou sol

I

(IJ.\ttr)

cul

tL

([u,

sirt

identic

nule.

se

numesc

unde

sta[ionare

sau u'ibra[ii

armonice

(Cn

=

J4

+4,,

titto"

=

f

,

c(rirl"

:

2"

, e

,,5;n

lII

..

nllruetrte

omplilulin"o

li

ff

lrorucnlo

proprit

;t

'

t"

L

vibraliei

arincnicc.

XiTl se

u)me1tc

ton

Jund&me'ntal

O

solulie

(?'7),

(7

8) formatd

prin

suprapunerea

tomrlui

furrdamental

i

a armonicelor

forrneaz5

timbrul sunctu\ii

emis

de coard5-

lbm

reverri

intr-u

capitol

ulr'erior

asupra

acestei

probieme

mixte,

considerind

qi

r:azul

in

carc

oscilaliile

sunt

fo4atc,

aceasta

inserrnind

c[

in

loc

dc

(7

1)

avem

I Dru }ru

-'"

-

-

=

Flr.rl.

r-u

F:

l0.m)

r

10./

i R.

continui.

tt-

(lt-

O.t-

$7.2-

Problema

propagdrii

cildurii

in

ffre

Fic un

fir

metalic

omogen

de

lungime

I cu

capet'ele

la

tempcratura

de 0o

C

Problema,

studial5,

chiar

de

Fourier,

este

de a

determirla

distribulia

de

temperatur?i

irr

{ir

la

momentul

/.

>

0,

cunoscind

distribtrlia

de

temperaiuri

Ia

monentul

i

-

0

in

prczenla iruci

surse

exterioare

de

cSldurS-

Se

prcsupune

r:i firul

este destul

de sublirc

asifei

incii

ioaic

lluriciele

cu airecagi

abscisi

aii

aceea'qi

temperaiuri

Fie

rr,(1, r) temperatura

la momentul

t

a

punctului

r de

pe

fir'

Aceasta satisface

ecualiur

ciiiriurii:

(7.12)

devine

+?/

Ca

nai

inainte,

X

X0)

=

0.

Rczuit{

.\

=

o'4,

?.(t)

=

c,e

,2

'

q

(7.12) fiind linia,rd,,

avea

qi

solulia

Pentru

a

avea

(7.1

PRoPozTTIA

7.3.

i,n,t

egr

ab il d, Ri,

en ann.

(0,oo)

x

[0,1],

core

est

Delnonstra{je.

Fi€

irr

(7.11) nr

raport

cu

cu

c" dat de

(7.15). Atr

i

lLlT

1:

I

$t

i ,ur

I i<i

vr

I0u E2u

o'ai

-

at1

-',"

"',

-...

r .l^

^

\

-

ln il-lP,l."lrte fl

'J

'

.tw.*/

-

Lv.

l'emperatura

la

momentu]

initial

este

datd,

prin

//-\

{,i,\t,t1l

I\it

... r.

^

/l

rD

-.,- in

i .r

qp r acrar

mnctplor a 0'C relinc la

i

u

J

:

u.,l

,,,

,,r1

ii,1 4 14 r v

(7.e)

(7.11)

u(r, 0)

=

?(t.l)

-

0.

-^.. ^ ^-^l-l^,-^

6ivr^

\'^m

^a',ci'l-"n

-i

o., ali:'.ald rii rn

al'\enta

ii'e;n iilil iiuu u iJiuui,

sursclor

exteri0u['e

|

't:

ou

-n

t7

t2l

o Dt dr2

-

''

i,,""pn,n,'t

urmatuilrca

ohs|rralir'

generali.

200

PRoPoztTIA

7.2.

Fie.

uo o

soluti.e a

P.N'L

(7.9)+(7.11)

cu

u(O,x)

=

0

pentru

orice

r

e

[0,1].

Atunci

u

este solulie aP.M.

(7.9)+(7.10)+

(7.11)

d.ocd.

Si

numai

d.acd,

tr.= uh*upt u'nd,e u6 este

o solulie

a P.M.

(7.12)+(7.10)+(7.11).

Demonstratie.

Este

clar

cia u,y,

+

uo

cste solutie a

P.M.

(7.9)+(7.10)+(7.11).

Iteciproc,

daci.

?,

esie

solulie a

(7.9).

atunci

?,

-

?i.p este

solulie

a

(7.12)

gi

dacd u

satisface

(7.10),

(7.1I\,tt,-uo

satisfacc

(7.10), (7.11).

a

Cautirrr din

nou

sohrlii

nemrle

pentru

P.M.

(7.9)+(7.10)+(7.11)

dc forma u(1,

r)

=

"(t)r(r)

cu

I

e

Cl(iC, co))

9i

X

e

C'?(i0,

il),

u

neideniic nuli,

deci

nii:i

I, nici

-Y

iiu

a,

e)

sin+"

identic

nule.

1

(7.12)

devine

-T'(t)YIx)

-

f

(ll,\

"(-"1

=

0.

(leci

19

=

'Ii1(1)

e'

^,

i

2

0,

r

e

10

11.

z(r)xtr)

1

0.

a2T(t) x(")

Ca mai inairte,

X

este

solulie neidentic nul5 a

problemei

X"

-

I,\

=

0,

X(0)

=

(7.13)

(7.15)

X(Z)

=O

Rezultl )

a2 n2 12

_1

T^lt)

=

c^e

12

'

n2n2 ,,-t

-

l"=-

-,n)lri

X,(r)

:

sin---, n)1.

(7.13)

r15

"tz'l

a"n"T'

--;; I

rt

tr

E

ob(lnem

u

4U

.

x)

-

cnc

,'

rln

-fl.

(7.12)

fiind

liniari, dar:X seriile converg

Ei

se

poate

deriva termen cu termen, vom

avea

qi

solutia

*

u2n2t2,

u(r,z;

-

f

c"e-

P

"sinffr

(7,i4)

Fentru

a a'/ea

(7.10)

indepliniti

trcbrde

ca

f

",

rin

$

= /(:r)

gi

atunci

i-'

I

PRoPozITTA 7.3. Fi.e

J

:

10,

ll

-+

R r:u

J

({t)

=

/(l)

=

0, deri.uabild,

cu

deriuata

iriegrab'ild.

Ri.emann.

Formulele,

(7.14),

(7.15)

dn,finesc

o

funclie

de.

clasd,

C-

pe

(0,

cc)

x

[0,l],

care este

solulie oP.M.

(7.12)+

(7.10)+(7.11).

Denrcnstratie.

Fie

[a,B]

c

(0,co).

Considerdm seria

obtinute

derivirrd

de

& ori

in

(7.1,1)

in raport

cu

t

r I

"t

I

o2n2r2

'

?^

(- -n'"'

\

---,o

t

nzr

:,"-

t--i )

"

,'

5in

-i-'

(7.16)

I

a2 n2

n2

a2n2 12

cu c,. dat de

(7.15).

Atunci,vn>1,

WS<21

lVAllarY

c,e-Tt

<

<u--lro

0

-

ttttt

I

.nr

f

j {

i i-", ,-

[C.l'.

iieci

(i.io;

?ij. tu

bFii., ,nrjurdnii

pr

I

2l nrr

; /

J(x)sin

,

dr.

tJ

l

0

201



.22-td

a2n2r2

^

"(+)-

t

n2te-

12

*,

convergent5. conform

Corolarului

1.8.1. Rezult5

c5,

rt/Z

V,t

)

1, seria

(7.16),

(7.i5)

defilegie o funclie

de clase Ci

in rapoii

cu

j.

,Dentru

derivatele in

raport

cu,"

Qi

pentru

cele

mixie

au

loc major6ri

asemEnitoare, iar

in

condi\iilc

pur".

i

rin

T*

=

,r*runilorm

pe

[0.

1].

I

=l

Pentru

a

gdsi o solu{ie a P.M.

(7.9), (7.11)

cr

"$,t) =

0

Vc

e

f0,

/l

qi

F

€

C1((0,

oo)

x

[0,

l])

considerd.m dezvoltarea F

(1, r)

=

|

""p;.i"

f

,

x

€

[0.4,

a=l

I

)lntr

I

Z

0.

cu

cnll)

=

;

/

F(r.

r)sin

;dr,

convergcn\a

fiind

asigurald in ipoteza fdcuti

0

asupra lui

F.

Cdutdnr

solulii

de forrna u1r.r1

=

f

u"1l)sin

n,trr.

'=t

9,r

,2

t2 I

n,

Din

(7.9)

obtrnem

I

I

iri,tr)

-

-

u,(/)

-

c"(1)l srn

jr

-

0.

a-qadar

4taz"JI

n=l

d2 n2 T2

ut"(t)

+

-+u"(t)

=

a'z

c"(r).

Conditia

z(0,

c)

=

0 antreneaz6

u"(0)

=

0,

n

>

1,

qi

aiunci.

conform cu

Cap.

V,

$6.2,

t

a2n2 i2

-t

u,lt\

.

a?

/

c"(s)e

12

"

''d,,n21.

.t

oblinindu-se solulia

o

a2 n2 12

,rr.

-)

=

"'i

(/

c,(s)e--?:('

-

")a")

.,^

1n"

n=

1

0

8.

EXERCTTTT

1. Si,

se

studieze

convergenla

seriilor

.s-u

a)

) .-^,

ocL. o>u;

rl=1

c)

\- ---i--.

o

c

R:

/2

n( In n\o

n.=2

e)

i)

o"1, oe

n

.1

sln

-.

n'

1

t/2n

+

I'

2.

Si

se

calculeze

suma

serie

3. S5,

se

demonstreze

converl

.S.

1

a)

)

---------':-.

"-{n*r)ln'n'

h\ \-

slntnn.,l

-.

'l)

it

u=1

.3 2x

c)

LNctE-

i--:---,

4.

S5. se arate

.5,

."riu

f..

5. Fie seria

i

"-",

'

a

*.

tl= I

a)

55.

se

determine

mu(

b)

Si se

arate

c5. pe

clasX

C-.

3r

c)

Si

se calculeze

)

i1

--

lt

Ind.icaJie.

La

punctul

c)

r

6. Calculali

irei aproximalii

r

a)

st=t

-

x2,

x(0)=0

b)

st=t2

+12,40)=t

c)

z/

-

12

+

sinl,

s(0)

.

7. Deduceti

solu{ia

exacti

c

r(0)

=

i.

8.

Sd. se

afle

raza

de convergr

a)

J-

('z

+-1)"

n:I

-

4

i'*'

=1

r

\'

L

c)

/7

17\

O

demonstralie asemd.nd.toare celei

din Propozilia

7.3

asigur5.

ci

(7.17)

este de

clas6

C-

pe

(0, oo) x

10,

/1, solu{ie a

(7.9), (2.11)

qi

u(0,

r)

-

0

Vc

€

l0.ll.

2u2



c5,

qi

l],

. 7)

e)

c)

i)

an -i-.

a

6

fl

.1

stn

-,

4

1

,/2n

+

I'

f) )

-.

o€R:

.--t

hr \

-

-

Jn' +

il

.r \.-,

',rln

n

.t) ) \-L)

-

=2

2.

Si

se calculeze

suma seriei dubl"

i I

o" bnru Teoremei 2.3.

^u,k=,

^*

'

3. S5.

se demonstreze convergentra

uniformi.

pe

muliimile

indicate

.=. l

a))

---.

.".--.-_.re

[0.oo):

'

z-J^

(n

+ r\lf n'

-'

or

i4 P,,.o,

ft=l

cl

5-

arcts

,"-.

.

s 6

Y1.

"

*

+n4

4.

Si

se

aratc

c,i

s.rla

i

urctg

{

defineqte o

funclie

de clasii

Cr

pe

R.

*-t

n

5. Fie seria

i"-"',

,

e

m.

n-I

a)

SX

se

determine multimea

din

R

pe

care

seria

converge.

b)

SX

se

arate c5

pe

multimea

de convergenli seria

defineqte

o func{ie

de

clas5.

C-.

:l

c)

S5.

se calculeze

)

':1e-"

-

e-2";.

n=l

Indica\ie. La

punctul

c) se

poate

folosi dezvoltarea

in serie Taylor

pentru

ln(

I

*

e

).

6 Calcula.lri

l,rei

aproximalii

srrccesive pentru

soluliile urm5,toarelor

probleme

Cauchy

a)xt=t-s2,r(0)=0;

b) xt

=

12

*

r'?,

r(0)

=

0;

c) r'

=

x2

*

sint,

o(0)

=

z'.

7.

Deduce{i solutia

exacti ca limitS.

a

aproximaliitor

succesive

pentru

xt

=

t

{

x,

r(0)

=

1.

8. Si

se

afle raza de

convergenli

a

seriilor

de

puteri

.s-(z*I)"

a,

)

--__'---

i

nr

E'

c)lnz";

61

r-f$1,+ir"r

o)i*,"

\-

12

\-

/r

2.-

203



9.

Si

str

aflr'rnult,ilttcrit

rlin

f'

pc

cart'crlnl'erg

'st't-iiltl

,,\., r,

:.

,

r'r

)

L-

",1,,,,

li.1'

'

,

,rt'

,rf.r'tII':

"'L't'

.t,

7,

:z"

iU.

S;,.'

;:8,

i:rrrlii:::';r

'1in

11""r'

r"n1"1a'scri:'

|

;

'

I L.

S',

'

,,'1,

',1,

2"

{,,1"-in'l

I r'r(

.i;'n

rl

r'rr

nrrr.

,.Jr,:r

",

t'-t

rr,..,1

,,:

b

L

-,,:

'

r=r

'

=(l

12. Si.

sc

dczvoitc

itr

neritt

i

a,,t"

n

'\l

,t

'"-.,.,'

3:

h

,

,:

':

I:

- -,61l-3

\-'

3"

(21

+

1)

c.\

f(r)

=

r'?.

18.

iblosind

seria Fourit

deduca

valoarea su mer \

L

l 1.

Si

se

dcz.,'olte

r^r seri

a)

/(.r)

=

r;

20.

Si

sc dezvr.:lte

in

seri

21.

Si

se

rezolve problen

. I dt

[)2

u

rt

__

__t

a'

(1t

ox.

.

1

du

02u

'

a2 0l

dr:

: .,,

13.

Sf,

se

4r,z'riltc

in

serie

o,,r",

p.ccizilciu-se

ciunerriui

cle

cr.'

erg"ii-',zr

n=0

f

rirr/

ar

ft.r't

lttr

I'r::

b).tlx)'

J

;

dl:

0

I

tt I L: I

,'

"lt,

d)

/t:)

nrcre i:

'1

ir

e, /r., r /

1't':''',

i;

,/1r,

fi

t'

It

0

11. Sii

.'se

rilr:rrk:zc

aproxilnativ

cu

trei

zecimalc

exactc

a)

1nI.L

ir)

hr8:

c)

lrr3

15.

Sd sc

tlalr:rLlcze

a)

Ln(1

-

j);

b)

(1 i)';

c)

r5'

16.

Si

se

giiseast:ii

solulii

sub

forrna

seriilor

i

a'"r"

n-0

a)

tl'

-

Ix'

i

2r'=

0;

b)

,r."

+

rtu

-

0;

c)

:r"

l-

lr

=

0l

rl\:r"'+tu=0.

17.

Si

sc calculcze

coeficitrrilii

Foririer

Ei

s6

se

studieze

convergr:l1a

seriilor

Fouricr

t)errtru

./

:

I

r, r]

+

R

fo.

r(r(o

r l:.f

l

. [.r. u'.rs.

bl

./

(:r')

=

sgnr:



c)

f(c)

=

x2.

18. -olosind

seria

Fourier

a funcliei

de

la

punctul

a)

din exerciliul

precedent

si se

deducd

valoarea

sumei

)

---

*_L-"

Qr

r

t1z

'

19.

Si

se

dezvolte

in

serie Fcurier

funclia

I

:

[*1,

4

--+

R

a)

/(r)

=

0;

b)

/(0)

=

lrl.

20.

Sd.

se

dezvolte

in

serie

de

sinusuri pe

[0,

f]

functia

J(r)

=

o(l

-

r)_

21.

S5.

se

rezolve

problemele

mixte

.10u 32u

^l

ot a- a-rr-0

u(0'r)=

2(l-r),

u(i,0)

=

u(t,[)

-

0;

..

1

du

02u

5r

b)

-;

-

-o

"

-

sio:, r.

a(0,r).

0,

u(t,0)

=

u(l,l)

-

0.

a'

ot ot. I

205

pro-

Am

l8l.

[2:].

J,

Pro-

Rie-

in

parte

dintr-un

minim

de elemenie

de analizE lunc{ionalE

necesar

exprinrdrii

unor rezultate

privind

calculul diferential

htr-un

lirnbaj

modern.

Pentru

o tralare

mai

ampl5, vezi

de exemplu

[18].

Conceptul

de

conexitate esl,e

prezentat pe

larg in

[4].

Proprietilile

legate de

mullimile conexe

din

spalii

normate in

cazul

partrcular

al

spa,liiior

R"

se

pot

glsi

in

[14]

qr

[30].

'leorema

6.3 este

prcluat6

<trip5

131]

unde este ur.ilizati. pentnr

deducerea unei demonstralii

a Teoremei de

aproximare a

lui

Weierstrass.

CAPITOLUL

IV

Criteriul

de

integrabilitate

al

lui Lebesgue

este demonstrat

in

[2]

qi

[21].

Definilia

integralei

pe

intervale n

dimensionale

generalizeazi

defini{ii ca.re

in

cazurile n

=

2

qi

n

=

3

se

gisesc

in

[11]

9i

[14].

Aici

qi

de

asemenca in

[25]

qi

[30]

se

gisesc

ai

diverse

aplicalii

ale integralelor

la definirea

qi

calculul

unor mXrimi

utilizate

in tehnic5..

Integralele

pe

intervale necompacte

prezentate

in

cadrul integrabilitilii

in

scnsul

lui

Lebesgue se glsesc

in

[18], [21],

[30], [31], [33].

O

abordare a corceptului

de integra.li.

bazatX

pe

noliunca

de

primitivi

generalizati

este

prezentat5,

in

[5].

CAPITOLUL

V

Partea legatX de

derivabilitatea funcl

iilor

de o

variabili

este

realizatS. din

perspec,

tiva derivabiliti{ii

in

sensul

lui

Fr6chei. Demonstralia

Teoremei

1.5 se

reia inlocuind

modulul cu

norma in cazul

func{iilor

definite

pe

spalii normate.

Demonstralia dali

'feoremei

lui

Schwarz este din

[14].

Pentru

o variantd.

pulin

dileriti vezi

130]

iar

o

formi

generali

se

gdseqte

in

[2].

Exemple

privitoare

la

calculul

integralelor cu

parametru

qi

a numeroase

prirnitive

qi

integrale

se afl5 in

[11].

Un

capitol

amplu

consacral

in-

tegralelor

euleriene

din

perspectiva

analizei complexe

esie

conlinut

in

i191.

Penlru

detalii

privind

ecualiile

diferenliale reconrandim

l1],

[1?], 128].

CAPITOLUL

VI

Seriile

in

spa{ii

normate au

o

prezentare

amplS

irr

[28].

O

tratare aminunlit5,

a

seriilor

duble

se afla

in

[11]

qi

in

123].

Demonstralia

'I'eoremei

Cauchy-Lipschitz

este

adaptai;

dupi

[1].

Teoria

seiiiloi

de

puteii

din C

este

dezvcltat5

in

cadrul aralisci

complexe

in

16],

[19],

133].

Numeroa"se

aplicalii

ale formu]ei

Taylor

se

pot

gXsi

in

[1i].

Seriile

Fourier

trigonomettice

sini

prezefli,aie

intr-o

rnanier5,

apropiatd

cle cea

din

acest

manual in

[18], [2?]

qi

[31].

in

t3i]

qi

in

[14]

se

pot

g5si

demonstra{ii

ale

Teoremei

lui

Dirichlet

care

nu

folosesc

teorema

lui

Fejer.

tatarea

seriiior

Fourier

trigonometrice

in

cadrul teoriei sistemelor

ortonormale

complete

in spalii Hilbcrt se

giseEie

in

[18],

130],

[31].

O

ciemonstralie

a Teoremei

<ie

aproximare

a iui

-'vVeierstrass

care

nu

utilizeazi

Teorema

iui

Fejer

se

gS,seqte

in

[27].

Exempiul de funclie continuS.

care nu este dcrivabil5,

in nici

un

punct

este

preluat

dup5,

[33].

Prezentarea metodei

separ5rii variabilelor

este

adaptatS dupn

132],

207

Bibliografie

1.

V. BARBU, Ecualii d.iferenliale, Dd.

Junimea, Iaqi, 1985

2. N.

BoBoc, Analizd

malemalicd,

Univ. Bucureqti, 1988

3.

N. BoBoc,

I.

CoLoJoAR;,

Elemenle d.e

Analizd

matentaticd.,

(Manual

pcntru

clasa a

XIi-a),

Ed. DidaciicS,

qi

Pedagogici

R.A.,

Bucureqti, 1997

4. N.

BoIJRBAXI, Topologie

generalc,Iletmann,

Paris, 1961

5. N. BoURBAKI,

Fonclions d.'une variahlc rl.ele

(Th6.orie

il6.mentaire),

I{ermann,

Paris,

1949

6. H.

CARTAN, Th4orte 6ldmenlaire d,es

fonclions

analyliques

d'une

ou

plusieurs

rariables complexe.s,

Hermann, Paris,

1961

7.

G.

Cnrr,ov, Analgse

mathdmalique.

I'onclions d'une

uariablc

d

Mir,

Moscou,

i973

8.

I.

CoLoJoARX,

Analizd

rnaiematicd,

Dd.

Didactici

qi

Pedagogici, Bucureqti,

r oa.l

9.

R.

Crusrescu,

Anali.z6.

funclionald.,

Ed. Didaciici

qi

Pedagogic5,

Bucuresti,

1979

10. C.

DR;cUqIN, L.

DR;cuqrN,

C.

R-Lou, Calcul

integral

Ei

ecualii diferenliale;

erercilii

gi probleme,

Dd.

DuStyle, Bucureqti,

1997

1I.

G.

M.

'tHTENcoLT,

Calcul

d.iferenJial

gi

integral,

Ed.

TehnicS,

Bucureqti, 1963

12. P.

FLoNDoR,

O.

Sritviqrl,i, Leclii d,e

analizd matematicd,

Ed.

All, Bucureqti,

l1 .lu C'rcct A Cmirricrr;

'r

qT^r^^

EI-^-^t^ )^

,t

0

t.Lu

I

tu-

nual

pentra

clasa a

XI-a),

Ed. Didactici

qi

PedagogicS.

R.A.,

Bucureqti,

19g7

14. ARTSTTDE

HALANAv,

V.

Or,,rmu, S. TuRBATU,

Analizd. maternalicd,

Ed.

Di-

uorLr d

t|

cudxuts'Ld,t

rruculeiLl.

Lyo.J

ru

(tlrt

uL

o

uu|tuouu,

tontptelu,

u.r.D.r

lyvo

16.

P.

HALMos,

lnlrod.uclion

d,

la

lh{orie

des ensembles (Nai.ue

sel

theorfl,

Ga

hi-

ers-Villars,

Paris, 1967

18.

19.

20.

21.

22.

17.

M.

HuMr,

W.

MTLLER,

enlisls and

engineers,

S

A. KolMocoRov.

S.

I' analg se

fonclionnelle,

M.

A.

Llvnoxrrrv,

B

nepeueaxozo,

Gos. Izd.

G.

MARrNEscu,

,{r}aliz

C.

Mtefirl,

Bazele ar,

cureqii,

1977

C. Ntcur,cscu,

.Fandcr

1996

M.

NrcolDscu,

lroliz

1958

M.

NrcolBscu,

C.

DI}

ool.

1,

11, Ed.

Didaciici

V.

Or,entu, Analizd

rn

O.

Or,ro,qlru,

,

aalizd

I

W.

RuDtN,

Principlcs

<

L.

Scuwtnrz,

Analysc

Gn.

Srnolcnr,

Calcul

24.

26.

27.

28.

?o

Bucureqti,

1985

30.

O. SrixiEri,

,4noliz,

1981

31. B. Sz.-Nlcv,

ialroa'zci

miai

Kiad6,

Budapesta,

32. A.

N.

TrHoNov,

A. A

Bucuregti,

1956

33.

E.

C.

TrrcHMARsH,

fl

208

penlru

1963

(ma-

1997

Di-

17.

M.

HIIMI,

W.

MILLUR, Seconil cor.r'se

xn ordxnar dtfferenliaL equations

for

sci-

enlisls

and, enginccrs,

Springcr,

Berlin, 1988

18.

A.

Kol-ivtocoRov. S. FoMrNo,

illenenls

d,c

la

lhiorie

tl.es

fonclt,ons

eI d,e

I'analuse

foncti,onnelle,

Mir,

Moscou, 1974

i9. M. A. LAvRITN'uEv, B.

V.

$la,lr,

Memolu

meopuil,

$ynn4ui

xoun,tcxcnozo

nepeMeNNo?o,

(los.

Izd. Fiz.

Mat.,

Moscova,

1958

20.

G.

MARINESCU, Analizd mal.m.atxcd., uol. II,Ed. Academiei, Bucureqti, 1984

21. C. MEGHEA,

Bazele anahzei malemalice, Ed.

$tiintifici

qi

Enciclopedici,

Bu-

cureEti,

197?

22.

C.

NICULnscu,

Fundamcnlele Analizei

matemalicc, Ed. Academiei,

Bucureqti,

1996

23 M. Nrcol,oscu,

Analizd.

malemalicd,

uol. I, II,

Ed. l'ehuic5., Bucureqti, 1957;

1958

24.

M. NTCoLESCU,

C.

DINCUTEANU,

S.

N{Ancus, Manual

de Analizd

matemalicd,

aol. I,

II,

Ed. Didacticl

qi

PedagogicS, Bucuregti, 1962;1964

25.

V. OLARIU, Analizd matemo.ticri,

Ed. Didaciici

qi

Pedagogic5, Bucureqti, 1981

26,

O.

OLTEANU,

Analizd. malernqlicd,

parte.a

I,

U.P.B.,

1991

27. W.

R.uDIN,

Principles

of malhemal.ical analgsis, McGraw-Hill, New York, 1964

28.

L. ScJ{wARTz

,

Analyse rnalhdrnatique,

IIermann,

Paris, 1967

?9. GH. SIRETCHT,

Calcul diferenlial

9i

inlegral, Ed.

$tiinlificd

qi

llnciclopedicd,

Bucureqli, 1985

lJO.

O.

Sr,{NiqILX,

Analizd

matematicd,

Ed.

Didactici

qi

PedagogicX, Bucure$ti,

1981

3i. B. Sz. iitcu, inlrotiuciion

io iieai Funclions and,

Arihoqonai

Ezpansions,

i.^ka<i6-

miai

KiadrS, Buriapesta,

i964

32.

A. N. TrHoNov,

A. A. SAMARSKI,

Ecualiile

fizicii

matemalice, Ed.

Tehnici,

Bucureql,i,

1956

33.

E.

C.

TITCHMARsH,

I'he

lheory

of

funclions,

Oxford:

Clarendon

Prcss, 1932

209



A-

Abel

V

93,

VI

93,

VI

gI

acoperire

II

$4

aderen 5.

II

g1

alcgere

IV

1,IV

3

aproape

peste

tot

IV

$2

argument

I

$5

Arhimede,

axioma

lui

I

$4

axioma

alegerii

I

$1

Cantor-Dedekind

I

g4

de

extensionalitate

I

$1

mullimii

pirlilor

I

g1

mul{imii

vide

I

gl

B

6(.4)

rr

$2

Banach,

spaliu

II

g2

teorema

Banach

Caccioppoli

rrr

$2

bil;,

II

$1,

rII

g3

Bessel

VI

$6

Boizano

i

g,i,

ii

94,

iil

g5

c

C,

I$5

c",

c- v

$1,

V

$2

c([a.6])

rr

g3

Caccioppoli

III

g2

Cantor

I

g4

cardinal

I

g3

Cauchy,

criteriu

I

94,

n

91,

IV

91,

rv

13,

rv

97,

rv

98,

vr

g1

problerni

V

96,

Vt

g4

qir

I

94,

I95,

Ir

gl

teorema

V

91,

VI

g4

valoare principald.

IV

$Z

C-derivabilitate

V

gl

Cebiqev

V

g6

centru

de greutaie

IV

$5

cercinCl$5

Cesaro,

criteriu

I

$4

medie

VI

gl

coeficienti

fourier

VI

$6

compaci

Il

4

complet

II

g1

complementarl

I

$

1

componenti

conexi

III

$5

condilie

ini{ial6

V

g6

corexi

ii

1

conjugat

I

g5

contractie

iII

g2

centru

de greutate

IV

[5

convergentS,

absolutd

a

integralelor

IV

$7,

rv

$8

seriilor

VI

gl

uniformi

lI

g2

a integrajelor

rv

$9

convolu[ie

a

qirurilor

VI

$2

corp

ordonat

I

$4

criteriul

Abel-Dirichlet

Cesaro-Stolz

I

$4

inte_gral

VI

g2

D

Darboux,

critmiu

IV

$1,

proprietate

III

J,

sume

IV

$i,

IV

g3

teorema

III

g3

derivatX

V

$1

partiald

V

92

dianetru

unei

mullimi

I

Dini

III

gO

Dirichlet

V

93,

VI

92,

Vl

nucleu

VI

$6

discinClg5

distan 5

II

g1

inlRig4

diviziune

IV

g1

drum

III

g5

dual,

spaqiu

III

g3

E

eIg4

ecua{ia

cd,ldurii

VI

$7

ecua{ie

ca.racteristicd

V

I

Euler

V

g6

eiement

ma-rimal

i

$2

cjemFrrre

conectate

Iii

[S

Eulcr,

{61-u1"

Y1

qt

funcliile

V

g5

Euler-Fourier,

formule

VI

Exemplul

lui

Weierstrass

F

familic

I

g1

Fejer,

nucleu

VI

$6

teorerna

'I

$6

Fertllai,'ueoierrra

\'

$i

formula

Leibniz-Newton

\

Taylor

V

g4

Indice

210



criteriul

Abel-Dirichlei V

$3

Cesaro-Stolz

I

$4

integra.l

1rI

$2

D

Darborrx,

criteriu

IV

$1,

IV

$3

proprietate

nI

3,

V

$1

sume

IV

$1,

IV

$3

tcorema III

$3

derivati

V

$1

parliali

V

S2

diametru

unei

mullimi III

$1

Dini III

6

Dirichlet

V

$3,

VI

$2,

VI

53

-.

.

^r

^-.

rn

c4

,ruLruu

r

3u

rliscinCl$5

distanld II

$i

inRI$4

diviziune

IV

$1

drum

III

$5

dual,

spaqiu

III

$3

D

eI$4

ecualia

ci.ldurii

VI

$7

ecuatic caxacteristic.i V

$6

Euler

V

$6

eiernent ma-ximal I

2

eiemenie coneci.ate iii

$3

Euler, formule VI

5

functiilc

V

$5

Euler-Fourier, formule

VI

$6

Exemplul

lui

Weierstrass

VI

$6

F

familie I

$1

Fejer, nucleu VI

$6

teorema

VI

$6

Fermat, ieoiema V

q1

formula Leibniz-Newton

V

$3

Tavlor

V

Q4

formulele Euler-Fourier VI

$6

Fresnel V

$3

front ier5" II

$1

Fourier, coeficienli VI,

$6

serie VI,

$6

Flbini, teorema

iV

$4

functie

analiiic[

VI

$5

bcra

V

$5

bijectivii

I

$1

caracleristicd

I

$1

continuS. III

$1

pe

portiuni

III

$1

de tlasi

C',

C-

V

$i,

V

$2

derivabili

V

$1

gamma V

5

identicd I

$1

injectivd

I

1

integrabild. Rierrann

IV

$

1, IV

$3

in

scarl

III

$1

local

lipschitzianl

in variabi]a

a doua VI

94

real-analitica VI

$5

surjeclivi

I

$1

uniform

continui

III

1

func{ionald

liniard

md,rgirritd

III

83

Grarnm-Schmidt

Il

$3

r.]rnnwqll

lpmr

\/T

td

H

Hadamard

VI

$5

Hausdorff, teorema II

$4

Hilbert,

spaliu

II

$3

homeornorfism Iii

5

I'H6spital

V

Q1

211



I

incluziune

I

1

incgalitatca lui

Bcsscl

VI

fj6

Lr;

q.hsi.i,

rr li?

integrala

Ricrnann

po

[a,

]]

IV

$1

pe

inlervaln-dimcn-

sional IV

gil

pe

intervale

nemir,

ginite

lV

$7

pentru

func{ii

ne-

mirginite

IV

git

intcgrale r:u parametru

lV

$6

itttegralele

lui Fresnel

V

$3

interior

1I

$1

interscc[ie

I

$l

intervaldinRl$4

n

dinrensional

IV

$3

L

La1;range,

teorelra

V

$1

rest

V

g4

l,ebesgue,

criteriu I\r

[2,

lV

$3

Lcgcndre,

polinoame

II

$3

Lr:ibniz

V, criteriu

Vl

$2

-Ncwton,

formula

V

$3

lema

lui

Gronwall VI

g4

1.n," l"i 7^.- I It

ll-,,r,,

i^a^-:^^

-:

T

c/

supcrioari.

I

$4

unr:i

lunctii

Il

$1

iinie

poligonalS

I

II

5

Lipschil.z

VI

$4

logaritm

nalural

complex

VI

$5

rrl Y

Y\

TTT

tc

M

ir{aliirus,

rrc,dci

V

g6

nargine

inferioari

I

$2

supcrioari

I

$2

ma.sir

IV

$5

medie

Cesaro

Vl

$1

nrodul

al

unui num5,r

real

I

$4

corriplex [

$5

de continuit,al,c

III

$l

lnetri'r

r

r

\,r

rnullirnc a numerelor

na,turirlc

I

$3

a

numerelor reale

I

$4

cornpact

d, ii

34

complctd il

$

I

conexd

II

$1

de mS,suri

zero

(ncglijabiln)

din

R IV

[2

din

R"

IV

g3

deschisi

I

$4,

ll

$1

factor I

$

1

finit n I

g3

inchisi

II

gl

rnajoiat; I

$2

mdrginiiS

I

$2,

I

$5,

II

jl

Iiniar concx5. lII

$5

numS,rabilE I

$3

ordonatd

I

g2

relativ

deschisi

II

$1

inchisi II

$

I

. .1-

-

t,,

-^-^.,:

r1 rE

orrrryru rurrl^d 1,r

I,,

total

ordonaiS I

$2

m.rl[im"a nx6plel,rr

complex"

I

\5

N

Ncwton

V

formrrla

Leibniz-Newton

V

$ll

norrni

II

$2

a

unei

diviziuni

IV

gi

a unci

partilii

IV

g3

uliformi

III

g6

norme

echivalenle

III

$4

nucleu

Dirichlet

VI

$6

Fcjer

VI

g6

numiru)

e

I

$4

operator

liniar

mirginit

III

$3

oscilalie

III

$1

P

pa"rte

I

$1

inireagl

I

g4

parritie

IV

E3

Picard,

metoda

'I

$4

polinom

caracteristic

V

$(

Cebigev

V

g6

Legendre

II

$3

prelungire

I

$1

prin

cortinuitate

III

pdn periodicitatc

Vl

prinitivi

V

3

problcnril

mixtii, \rl

$5

pror:edeui

de ortogonalizal

produs

cartezian

I

$1

scalar.r

II

$3

proiectie

stereograficd

I

$5

proprietatea de

cxistentl

tate

locald

VI

g4

prilrct

de

acumulare

II

$1

dc extrem

local

V

$1

de

maxim

V

g1

de

minim

V

g1

lix

III

g2

izolat

Il

{1

linit[

I

$4

ordinax

VI

E5

sinsular

VI

85

puterea

complexS,

VI

5

p

rafinare

IV

$3

raniiira priiicipaii

\,ri

5

raza

de

convergenli

\rI

$5

rr:guiile

iui

i'H6spiial

V

$1

relatie

I

$1

de ordine

I

1

reprezcntarea

zecirrrald

a n

re:.io

I 14

lest

VI

81

restlic{ie

i

$1

reuniune

I

$1

212

$5

$3

$3

intreagd

I

$4

pa"rtilie I\'.

$3

Picard, metoda

VI

$4

polinom

caracteristic

V

$6

Cebiqev

V

$6

Legendre

II

13

prehrngire

I

1

prin

continuitate

III

$1

prin

periodicitatc

VI

$6

primitivi

V

$3

problemii mixti

VI

E5

pro<:edeul

de ortogonalizare

II

|j3

produs

cartezian

I

1

scalar

II

$3

proieclie

stereograficd

I

$5

proprietatea

de

existentii

qi

urici

tate

locali

VI

$,1

punct

de

acunulare

II

$1

de extrem

loca,l V

$1

de

maxim

V

$1

de

minim

V

$i

fix III

$2

izolat

II

1

limiti

I

$4

ordinar

VI

{5

singular

VI

$5

puterea

complexl

VI

$5

p

rafinarc

IV

$3

. :. -

r'r

a

rar uLd

prlrLrydro

vr

Yo

raza de convergen 5.

VI

$5

lcBurllc

rltl

L nusPrLdr

I jr

relalie

I

$1

de ordine

i

$1

reprezc[tarea

zecimal5 a

numerelor

reaie

I

4

rest

Vt

81

restriclie

I

$1

reunirrrre

I

$1

Riemann.

integra.la

IV

$1.

IV

53

^,-_-i

Trr c1 T\r

(a

teorcma

VI

2

Rollc, teorema

V

$1

$1

$5

S

Schmidi

II

$3

Schwarz,

irregalitatea

II

3

teorema

V

$2

segment

III

$4

seria absolut

convergenti

VI

g1

altemate

VI

2

armonicd

VI

$2

binomiali

VI

$5

convergentl

VI

$

l

necondilionat

VI

$1

de cosinusuri

YI

{j6

de sinusrrri

VI

$6

Fourier

lrigonometrica

Yl

{0

geometrici

VI

$1

sumabilS

Cesalo

VI

$1

Taylor

VI

$5

sferar

urritate

III

$3

sgn

IiI

$7

sisten

ortogonal

II

$3

ortonormai

ii

$3

solulie

a

r:cualiei ciiicrenliaie

v

$6,

vr

$1

spaliu

Banac.h

II

92

dual

III

$3

Hilbert II

$3

metric

II

$1

complet

II

$1

normat

lI

$2

subqir

I

$.3

sumi

Darboux

lV

$1,

IV

$3

parliald. VI

$2

Riemann

IV

$1,

IV

$3

srf

r

r

CauchYinRI$'l

inCI$5

in

spatiu

mehic

II

$l

V

$3

112



cu

limita

oo

din

R

I

$4

crg5

monoton

1$4

do frr

lrfi i

TIT 66

T

Taylor

V

$4,

VI

g4

tcorema

Abel

VI

$5

Abel Dirichlet

VI

[3

Banach

Caccioppoli

III

$2

Bolzano-Weierstrass

lI

$4

Cantor

T

$4

Cauchy V

g1

.

Caurhy-Hadamard

Vl

$5

Cauchy-Lipschitz

VI

g4

Darboux

III

g5

Dini

III

$6

Dirichlet

VI

$6

de aproximare

a

lui

Weier-

strass

VI

$6

Fejer

VI

g6

Fermat

V

g1

t'ubini

IV

$4

Hausdorff II

g4

Lagrauge

V

g1

Rolle V

$1

Riernann Vl

g2

Schwarz

V

$2

Taylor Vi

$5

Weierstrass

lI

$4,

III

$1,

VI

$1

testul

radicalului

VI

$1

raportului

VI

$1

r

^^ ^l ^.,;

-

rr f1

v

valoare principali

Cauchy IV

$7

varialia

constantei

V

$6

vecinS,tate

Ii

$

1

lrt

r,{

r

s+

aiuiooinRig4

crg5

vectori ortogonali

II

3

Verhulst, model

V

$6

volum IV

$3,

lV

5

w

Weierstrass,

exemplul

VI

$6

teorema

II

$4,

In

$1,

Vl

gi

z

Zorn,

lema

I

$2



Acest

manual

de

analizd

matematicd

este

rezultatul

experienlei

dobAndite

de

autcri

prin

activitatea

desf5guratd

in

cadrul

U

niversiHtii

Pol

iteh

nica

Br"lcureqti.

Analiza Mate

Documents

Transcript of Analiza Mate