rezolvare completa varianta 1 subiect 3 m1 2009.pdf

Rezolvari complete Variante BAC 2009 - 1 - profil M 1

Rezolvare Varianta 1 - subiectul 3

Rezolvare subiectul 3 - Varianta 1 profil M1 BAC 2009 matematica

(1) Se considera numarul real si functia , ( ) .

a). Sa se determine asimptota oblica la graficul functiei catre . Rezolvare :

■ Observatii :

● recapitulare - notiunea de asimptota :

♦ vom intelege prin asimptota o dreapta ( orizontala , oblica sau verticala ) fata de care graficul

functiei se apropie oricat de mult

♦ se pune problema existentei unei asimptote la graficul unei functii , are sens doar pentru

functii avand ramuri spre infinit , adica functii al caror grafic nu este continut intr-un

dreptunghi

● recapitulare - asimptota oblica :

- fie functia unde este nemarginit la capete sau cel putin la unul dintre ele

- dreapta de ecuatie :

este asimptota oblica catre la

♦ exista si este finita limita :

( )

, ,

♦ exista si este finita limita :

[ ( ) ] ,

- daca conditiile de mai sus nu sunt indeplinite atunci spunem ca functia nu admite

asimptota oblica catre la

■ In cazul nostru :

● tinand cont de observatiile de mai sus , asimptota oblica la graficul functiei catre , este

dreapta de ecuatie :

● calculam :

(1)

( )

(

)

(

)

cu proprietatea {

deoarece {

(2)

[ ( ) ]

[( ) ( ) ]

[ ]

cu proprietatea , finit




● concluzie - tinand cont de cele de mai sus avem :

{

este ecuatia asimptotei oblice la graficul functiei catre

■ Solutie :

b). Sa se determine punctele de extrem local ale functiei .

Rezolvare :

■ Observatii :

● Teorema lui Fermat :

- fie functia , unde un interval iar un punct de extrem

- daca functia este derivabila in atunci : ( )

● Teorema lui Fermat afirma ca :

- punctele de extrem local ale unei functii derivabile se regasesc printre punctele critice

- se numesc puncte critice solutiile ecuatiei ( )

● Stabilim daca un punct critic este punct de extrem pentru o f-tie derivabila :

(1) cu ajutorul tabelului de monotonie :

♦ daca ( ) ( ) ( ) unde este o vecinatate a lui

punctul este punct de minim local

♦ daca ( ) ( ) ( ) unde este o vecinatate a lui

punctul este punct de maxim local

(2) daca functia este de doua ori derivabila pe si :

♦ daca ( ) atunci este punct de minim local pentru

♦ daca ( ) atunci este punct de maxim local pentru

♦ daca ( ) atunci nu este punct de extrem local pentru


● avem functia , ( ) care este o functie derivabila ( ) ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

● determinam punctele critice ale functiei :

♦ calculam prima derivata , respectiv ( ) :

( ) ( ) ( ) ( )

♦ determinam solutiile ecuatiei ( ) :

{ ( )

( ) unde logaritmand obtinem

solutie




♦ din cele de mai sus avem : punct critic ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Studiem daca punctul critic este punct de extrem local si natura lui :

● calculam limite la capetele intervalului functiei , ( ) :

♦

( )

( )

♦

( )

(

)

( )

■ Observatie - avem in vedere ca :

pentru

● calculam valoarea functiei in punctul critic :

{ ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) unde stim ca , _____________________________________________________________________________________________________________________________________________

● construim tabelul de variatie al functiei folosindu-ne de cele determinate anterior :

( )

( ) ( )

● din tabelul de variatie al functiei , de mai sus , concluzionam :

(1) pentru ( ] avem ( ) functia este monoton crescatoare

- acest lucru este demonstrat si de linia a doua a tabelului de variatie care ne indica ca

valorile functiei descresc de la la ( ) ( ) ( ]

( ) [ ( ) )

(2) pentru [ ) avem ( ) functia este monoton crescatoare

- acest lucru este demonstrat si de linia a doua a tabelului de variatie care ne indica ca

valorile functiei cresc de la ( ) la ( ) [ )

( ) [ ( ) )

● concluzie - tinand cont de tabelul de variatie al functiei si concluziile trase spunem ca :

punctul critic este punct de extrem si tinand cont de monotonia functiei

punct de minim

■ Solutie :

c). Sa se determine ( ) stiind ca ( ) , ( ) . Rezolvare :


● din enunt avem ( ) ( ) si observand ca ( ) atunci avem :




( ) ( ) adevarat ( ) punct de minim global

( ) conform Teoremei lui Fermat , punct de extrem

● stim din cele anterioare , respectiv :

(1) din punctul (b) : punct de extrem , de minim

(2) din : ( ) ( ) ( ) ( ) punct de minim

din (1) si (2) avem : solutie

■ Solutie :

(2) Se considera functia ( ) , ( )

√ .

a). Sa se arate ca functia ( ) , ( ) √ ( ) este o primitiva a f-tiei . Rezolvare :

■ Observatii :

● o functie admite primitive pe intervalul daca exista o functie :

♦ cu proprietatile :

(1) este derivabila pe intervalul

(2) ( ) ( ) , ( ) .

♦ functia se numeste , este o primitiva a functiei .

♦ multimea tuturor primitivelor functiei este :

∫ ( ) ( )

unde este multimea tuturor functiilor constante ,

● daca sunt doua functiii derivabile pe , atunci :

♦ si produsul lor este o functie derivabila pe ;

♦ derivata produsului este egala cu :

( )


● functia este o primitiva a functiei pe ( ) daca si numai daca :

(1) functia este derivabila pe

(2) derivata functiei este egala cu functia : ( ) ( ) .

● functia este o f-ctie derivabila pe ( ) fiind o compunere de functii elementare derivabile

pe ( ) .

● calculam derivata functiei ( ) √ ( ) :

( ) [ √ ( )] ( √ )

( ) √ ( )




( )

√ ( ) √ [( ) ]

√ ( ) √ (

)

( ) √

( )

√

√

( )

√

√ )

√

√

( )

● concluzie :

{ ( )

( )

( ) ( ) adevarat ( ) ( ) functia este o primitiva a

funtiei

■ Observatii - in rezolvarea acestui punct am tinut cont de urmatoarele :

● ( )

● (√ )

√ , ( )

, ;

● ( ) , =constanta .

■ Solutie : ( )

b). Sa se arate ca orice primitiva a functiei este crescatoare pe [ ) . Rezolvare :

■ Observatii :

● daca este functie derivabila pe , atunci avem discutia :

♦ daca ( ) , ( ) , atunci functia este crescatoare pe ;

♦ daca ( ) , ( ) , atunci functia este descrescatoare pe ;


● avem : ∫ ( ) ( ) multimea primitivelor functiei , ( ) ( ) ,

si consideram :

o primitiva a functiei pe ( ) atunci ( ) ( ) , ( ) ( )

● tinand cont de observatiile de mai sus spunem ca functia , unde :

( ) ( )

( ) ( ) este crescatoare pe [ )

( ) respectiv daca ( ) ( ) [ )

● determinam semnul functiei :

( )

√

√

√ ( ) ( )

√ adevarat ( ) [ )

● concluzie : { ( ) ( )

( )

√

( ) adevarat ( ) [ )

este crescatoare pe intervalul [ )




c). Sa se calculeze aria suprafetei plane cuprinse intre graficul functiei , axa si

dreptele de ecuatii

si .

Rezolvare :

■ Observatii :

● pentru a calcula aria suprafetei plane determinate de graficul functiei delimitata de axa si

dreptele de ecuatii si , , se utilizeaza formula :

( ) ∫ ( )

sau simplu ∫ ( )

unde purtam discutia :

(1) daca ( ) , ( ) [ ] atunci : ∫ ( )

;

(2) daca ( ) , ( ) [ ] atunci : ∫ ( )

.

- am notat cu subgraficul functiei , suprafata plana determinata de conditiile impuse

● recapitulare :

♦ formula lui Leibniz-Newton - fie [ ] o functie continua , iar [ ] o

primitiva a lui pe [ ] , , atunci :

∫ ( )

( )

( ) ( )

♦ formula integrarii prin parti - daca [ ] sunt doua functii derivabile , cu derivate

continue , atunci :

∫ ( ) ( )

( ) ( )

∫ ( ) ( )

♦ proprietatea de aditivitate la interval - fie [ ] continua si ( ) , atunci :

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )


● studiem semnul functiei ( ) , ( )

√ :

( ) solutie { ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ )

● tinand cont ca functia este continua pe ( ) , aria suprafetei plane cuprinse intre graficul

functiei , axa si dreptele de ecuatii

si , este :

∫ ( )

unde tinand cont de semnul functiei , respectiv : { ( ) ( ) [

)

( ) ( ) [ ]

aria ceruta este :

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

● calculam aria suprafetei plane :

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫

√

∫

√

♦ pentru a ne usura calculul ariei vom calcula separat fiecare integrala :




♦ tinem cont de punctul (a) unde am aratat ca :

( ) √ ( ) este o primitiva a functiei ( ) , ( )

♦ calculam si :

(1) ∫

√

( )

√ ( )

[√ ( ) √

(

)]

[ ( )

√ ( )] (

√ )

√

√

(2) ∫

√

( )

√ ( ) [√ ( ) √ ( )]

[√ ( ) ( )] ( √ ) √

√

♦ din cele de mai sus avem :

{

√

√

(

√ ) √

√ √

√ √ aria suprafetei plane cerute

■ Solutie :

√ √

rezolvare completa varianta 1 subiect 3 m1 2009.pdf

Documents

Transcript of rezolvare completa varianta 1 subiect 3 m1 2009.pdf