Relaii constitutive specifice teoriilor de rezisten moderne Capitolul 1 1.1 Necesitatea teoriilor de rezistenTeoriilederezisten(derupere)-suntipotezeiprezumiicaresefacn legtur cu comportarea unui corp alctuit dintr-un anumit material, supus la diferite solicitri. Pe baza acestor teorii i pe baza unui numr mic de ncercri statice simple asupraunorepruvete,-esteposibilsseverificerezistenacorpuluisausse dimensioneze corespunztor elementul de construcie. Criteriul de rezisten folosit ofer combinaia periculoas de tensiuni normale tipitangenialetipdintr-unpunct,combinaiecarenupoatedepioanumit valoare limitpentru ca rezistena materialului s fie atins. Uncriteriugeneralasupraruperiituturormaterialelornuesteposibilde elaborat,datoritfactorilordiferiicareintervinndefinireacomportriicorpului respectivsuboanumitsolicitare.Astfel,ndefinireacriteriuluiaparmaimuli parametrii: -proprietilediferitealematerialelor(elastice,plastice,tenace,casante, policristaline, amorfe, conglomerate .a.); -moduldeaciunealncrcrilorstaticesaudinamice(vitezadeaplicare, direcia de ncrcare n raport cu axa barei .a.); -influenatemperaturii(acelaimaterialpoateaveaproprieticasantesau ductile, funcie de temperatur);-factoriidebazcareinflueneazrspunsulmaterialuluisubsarcin (eforturileunitarei,deformaiilespecificei,energiapotenial specificdedeformaieacumulatdecorp, 1W ,sauenergiapotenial specific de deviaie nmagazinat de corp pentru modificarea formei dW1). Fiecare dintre aceti factori este hotrtor ntr-o anumit teorie de rupere. ns nu se poate s se urmreasc aciunea izolat a unuia dintre aceti factori, pentru c n general toi apar mpreun ntr-o solicitare compusa real a corpului. Necesitatea unei teorii de rezisten se impune i din faptul c nu se pot efectua experieneprincaressesolicitetridimensionaluncorp,ntr-unpunct,simultanla maimultetensiuniprincipale(1,2,3),dectncondiiidificileinumain laboratoarespecialamenajate.nurmaunorastfeldeexperienesepoatedetermina formarelaieiconstitutivecareleagtensiunilededeformaii.ncondiiilepractice aleunorlaboratoareobinuite,sepotorganizaexperienesuficientdeexacte supunndepruvetelelasolicitrisimple,nspeciallasolicitareauni-axialde ntinderesaucompresiune.Binenelescpentrucazulunorastfeldesolicitriide ntindere/compresiune,nuestenevoiedeniciunfeldeteoriederezistenieste suficientssecunoascteoriamatematicaerorilorpentrucapebazaunuinumr limitatdencercrissepoatgsicuajutorulcurbeideinterpolarealuiGauss, rezistena minim probabil a piesei solicitate. nconsecin,prinapelarealateoriilederezistensepoaterenunalaamai ncercaefectivpnlarupere,elementuldeconstrucieproiectatsolicitatoarecum. Valabilitateauneiteoriiderezistenseapreciazcomparndrezultateleteoriei respective (exprimate de cele mai multe ori n tensiuni) cu rezultatele unor experiene simple de laborator.1.2. Principiul teoriilor de rezisten Ipotezele simplificatoare care se adopt ntr-o teorie de rezisten trebuie s fie generale, valabile pentru orice tip de solicitare compus. n principal se presupune c ocaracteristicaunuimaterialsepoatedeterminaprintr-osolicitaresimplde ntinderesaucompresiune.ncazulacesteisolicitri,verificareaelementuluise reduce la determinarea unui efort unitar ( sau ), care este comparat cu o rezisten limit amaterialului (lim = k); aceast rezisten reprezint o valoare caracteristic obinut n momentul ruperii (r) sau atingerii limitei de curgere (c). ncazuluneisolicitricompuse,secautsseechivalezeaceaststarecu solicitarea simpl de baz. n primul rnd trebuie s se determine prin calcultensorul eforturilorunitareprincipale(1,2,3)noricepunctdincorpulsolicitat.Acest tensor reprezint complet starea de tensiune din punctul considerat. Apoi va trebui s se gseasc relaia matematic global de forma: (1, 2, 3, lim)=0,care semnific osuprafalimitnspaiusauocurblimitnplan.Aceastrelaiepermitesse apreciezeproducerearuperii(saucurgereaplastic)nacelpunct.Echivalenaprin cares-aredussolicitareacompusreallaosolicitaresimplde ntindere/compresiune este valabil numai n punctul considerat.Teoriilesimple(clasice)derezistensebazeazpeipotezeleluiGalileu (secolul XVII), Mariotte (1682) i respectiv Coulumb (1773), care admiteau influena predominataunuianumitfactor(tensiunilenormale,deformaiilespecifi ce, respectiv tensiunile tangeniale ) n definirea unei stri limit de rezisten (starea de proporionalitate, de elasticitate, de curgere sau de rupere). Criteriile moderne bazate pe considerente energetice sunt superioare pentru c admitinfluenapreponderentauneicombinaiidefactori( ,,,, 1W , dW1)n definirea strii limit; n plus, prezint avantajul c se stabilete o singur condiie de rezisten (fa de trei sau ase condiii n teoriile clasice). 1.3 Teorii clasice de rezisten 1.3.1 Teoria efortului unitar normal maxim. A fost propus de Galileo Galilei nc din secolul XVII i se enun astfel: Un corprezistntr-unpunctattatimpcttensiunenormalmaxim(max )dinacel punctrmneinferioaruneirezistenelimit(k ),indiferentdetipuldesolicitare din acel punct. Ca urmare, condiia de rezisten devine: k kk kk k 321(1) Exprimndperndcondiiilederezistenlalimitseobintreiperechide planuri paralele care includ ntre ele un cub cu latura (k 2 ).kkxx = == =11 kkyy = == =22

kkzz = == =33 (2) Fig.1 Cubuleul de rezisten specific teoriei tensiunilor normaleSuprafaalimitacubuluiesteosuprafanchisdatdefuncia ( ) 0 , , ,3 2 1=kS .Dacunpunct( )3 2 1, , M carereprezintstareadetensiune,se gsete n interiorul cubului, atunci aceasta reprezint o stare de solicitare posibil i putemconcluzionaccorpulrezistnacelpunct.DacpunctulM segsetepe suprafaa limitS , atunci aceasta este o stare de solicitare limit. Dac punctulM s-argsinafarasuprafeeiS ,aceastaarreprezentaostaredetensiuneimposibil pentrucmaterialulacedat.Pentrusolicitareadentinderepeunasaumaimulte direcii cnd ruperea se face prin smulgere, teoria este acceptabil; pentru solicitarea decompresiunepetreidireciiundenuaparefenomenuldesmulgere,teoriaeste inaplicabil. Teoria a fost infirmat de experienele lui Fppl pe cuburi de gresie supuse la presiunihidrostaticefoartemari.Seconstatcuncubrezistlacompresiuniegale dupceletreidireciiinupoatefidistrusprincompresiunehidrostatic.Aceast teorieestencazuldefaacoperitoareiexplicnumaidistrugereamaterialuluila ntindere prin smulgere. 1.3.2 Teoria deformaiei specifice liniare maxime. A fost propus de Mariotte n 1682 i se enun astfel: Un corp rezist ntr-un punctattatimpctdeformaiamaximspecific(max )dinacelpunctrmne inferioaruneideformaiispecificelimit(k ),indiferentdetipuldesolicitaredin acel punct.Pentru o stare de tensiune spaial, condiia de rezisten devine: k kk kk k 321(3) Admindclalimitaderezistenmaterialulsegsetenstadiulde comportare elastic, se pot utiliza relaiile constitutive conform legii lui Hooke. ( ) | |( ) | |( ) | |+ =+ =+ =2 1 3 31 3 2 23 2 1 1111 u u u EEE(4) Similar, n cazul solicitrii simple de ntindere, se obine:k kE 1= . Caurmare,condiiaderezisten(3)exprimatntensiunisetransform conform relaiei (5). ( )( )( ) + + + k kk kk k u u u 2 1 31 3 23 2 1(5) Aceste condiii exprimate la limit conf. (6), reprezint trei perechi de cte dou planuriparalele.Acesteplanenchidunparalelipipedobliclungitdupdirecia diagonalei(primatrisectoare: 3 2 1 = = ),careconstituiesuprafaalimit( ) 0 , , ,3 2 1=kS - vezi fig.2. ( )( )( ) = + = + = + kkky x zx z yz y x u u u(6) Fig.2 Paralelipipedul oblic de rezisten specific teoriei deformaiilor liniare Pentru starea de tensiune plan ntr-un punct ( 03 = ), relaiile (5) privind condiia de rezisten, devin:

k kk k u u 2 21 1(7) Condiiile(7)scriselalimitdaucurbalimit,( ) 0 , ,2 1=kC ,carereprezint un romb cu diagonal mare dirijat dup prima bisectoare, paralelogram ce definete zona limit de rezisten. kky xy x u u = = kkx yx y u u = = (8) Fig.3 Curba limit de rezisten - romb Niciaceastteoriedesmulgerenuesteconfirmatdeexperienacucuburile solicitateuniformlacompresiune,cciartrebuicamaterialulssedistrugcnd presiunea hidrostatic devine egal cu: u2 1=k. Verificareapebazaacesteiteoriiestefolositmaialespentrumateriale casante, pentru careeste important ca deformaia limit ( ) s nu fie depit.1.3.3 Teoria efortului unitar tangenial maxim. A fost propus de Coulomb n 1773 i se enun astfel: Un corp rezist ntr-un punctattatimpcttensiuneatangenialmaxim(max )dinacelpunctrmne inferioaruneivalorilimit(k ),indiferentdetipuldesolicitaredinacelpunct. Tensiunea limit kse poate obine printr-o experien simpl de ntindere uniaxial. Pentru oepruvetastfel solicitat, tensiuneatangenialmaximnplane la 45faa de axa barei, devine: 2kk= (9) Coulomb a emis ipoteza c rezistena total la forfecare apare odat cu apariia rezistenei totale la ntindere.Condiia de rezisten este dat de relaiile (10). k kk kk k 321(10) Seexprimtensiuniletangenialeextremale(3 2 1, , )funciedetensiunile normale principale (3 2 1, , ): 23 21 = ; 21 32 = ; 22 13 = .(11) Rezult condiiile de rezisten conf. relaiilor (12). k kk kk k 2 11 33 2 (12) Reprezentndgrafic acesterelaiiscriselalimit,seobintreiperechidecte douplaneparalelecaredefinescoprismcuseciuneahexagonal,acreiax coincidecuprimatrisectoare(3 2 1 = = ),fig.4.Unplandeviatorperpendicular cuaxaprismeiosecioneazdupunhexagonregulat.Razacerculuicircumscris hexagonului este : kR 32= . Fig.4 Prisma hexagonal - suprafaa limit( ) 0 , , ,3 2 1=kS Pentrustareadetensiuneplanntr-unpunct(2 1, ),reprezentareagrafica zonei de rezisten este un hexagon alungit dup prima bisectoare (fig.5), obinut prin secionarea prismei cu un plan03 = . n acest fel, condiia de rezisten se obine ca n expresiile (13). k kk kk k 212 1(13) PrismaluiCoulombexplicfaptulcorictdemarivorficeletreieforturi unitarenormaleprincipaleegale(decompresiune)caresolicitfiecareelement infinitezimaldincorp,materialulnusevadistruge,deoarecepunctulM sevagsi mereu n zona de rezisten (pe axa prismei). Din pcate, aceeai interpretare se poate daipentrusolicitareadentindereuniform3D,carearconducelaideeac materialul nu se poate distruge, ceea ce este fals. Fig.5 Hexagon neregulat curba limit( ) 0 , ,2 1=kC Aceastteorieesteoteoriedelunecaredeoarececedareaseproduceprin fenomenuldelunecaredupceletreidirecii,tensiuniletangenialeavndunrol esenial n procesul ruperii. n consecin, teoria se aplic mai ales pentru materialele ductile, cu proprieti plastice i care rezist la fel la ntindere compresiune; nu este indicat s se aplice materialelor casante (fonta, betonul), care au o rezisten mai mic la ntindere dect la forfecare/compresiune. 1.3.4 Teoria de rezisten Davidenkov Fridman Teoriilederezistenexpuselaparagrafeleanterioareseaplicselectiv,fie materialelorcuproprietiplastice(Coulomb),fiematerialelorcasante(Mariotte), pornindu-sedelaideeacunsingurfactor( sau sau ),estedeterminantn stabilireacapacitiiderezistenntr-unpunctacorpului.Darunacelaimaterial (ex. metalul) poate avea comportri diferite n funcie de tratamentele termice suferite pe parcursul exploatrii sau de modul de ncrcare: -comportareplasticlancrcristatice(materialulserupedatorit lunecrilor), -comportarecasantlancrcridinamice(materialulserupedatorit smulgerii).Teoria lui Davidenkov Fridman (1946) are avantajul c d o imagine direct asupra modului n care se va produce ruperea, la solicitarea respectiv. Astfel,pentruastabilidinaintedacmaterialulsevarupedatoritlunecrilor sau smulgerilor, se construiete o abac ca n fig.6. Sereprezintpeabscisefortulunitarnormal ,corespunztordeformaiei specifice liniare maxime, iar pe axa ordonatelor efortul unitar tangenial maxim , conform teoriei de rupere Coulomb. Fig.6 Abaca constitutiv - privind modul de rupere Abaca este limitat de valorile limit, stabilite experimental: c - efortul unitar tangenial, corespunztor curgerii de fibr (dac exist); r - limita de rupere la forfecare; r - rezistena limit de rupere la ntindere. Pentru o anumit stare de tensiune ntr-un punct, se determin coordonatelei .SegsetepeabacpunctulreprezentativM ( , ).SeducedreaptaOM de coeficientunghiularm,pnntlnetelimiteleabacei(dreptele c = , r = sau r = ). DacOM ntlnete mai nti dreapta c = , materialul se rupe prin lunecri; dacOM ntlnetemaintidreapta r = ,materialulserupeprinsmulgere;dac OM ntlnete mai nti dreapta c =i apoi dreapta r = , materialul se deformeaz plastic i apoi se rupe prin smulgere. 1.4 Teorii energetice de rezistenCriteriilebazatepeconsiderenteenergeticesuntsuperioarepentrucadmit influena preponderent a unei combinaii de factori (, , , ,W ) n definirea strii limit; n plus se obine o singur condiie de rezisten. Pe baza acestor teorii se pot definicriteriiledecurgereplasticamaterialului,carestaulabazaTeoriei Plasticitii. 1.4.1 Teoria energiei poteniale de deformaie AfostpropusdeBeltraminanul1885iseenunastfel:Uncorprezist ntr-unpunctattatimpctenergiapotenialspecificdedeformaie(1W )rmne inferioaruneienergiipotenialespecificededeformaielimit(kW1),indiferentde tipul de solicitare din punctul respectiv. Condiia de rezisten este: kW W1 1 (14) Unde,energiapotenialspecificdedeformaiendomeniulelasticsecalculeaz dup formula (15). ( ) | |1 3 3 2 2 1232221 1221 u + + + + =EW (15) Energiapotenialdedeformaiesemaipoateexprimainfunciede invarianii liniar (1I ) i ptratic (2I ), care caracterizeaz o stare de tensiune spaial n jurul unui punct ( ) | |221 11 221I IEW u + = (16) kW1-energiapotenialspecificlimit,sedeterminprinexperienede ntindere monoaxial. 2121kkEW = (17) Comparndceledouexpresiialeenergiei,rezultcondiiaderezistenla limit, raportat la tensiunile principale, respectiv la invariani. ( )21 3 3 2 2 12322212k u + + + + (18) ( )22211 2kI I u + (18) ngeneral,relaiafuncional:( ) 0 , , ,3 2 1=kS ,carereprezintsuprafaa limit, poate s conduc analitic la ruperea materialului n punctul respectiv.Reprezentareagraficazoneiderezisten(suprafaalimit)nspaiul tridimensionalesteunelipsoidderotaiedeecuaie(19),avndcaaxprincipalde rotaieprimatrisectoare(3 2 1 = = ).Axaelipsoiduluifaceunghiuriegalecuaxele de coordonate (axele principale): 31cos cos cos = = = - fig.7. ( ) k zx yz xy z y x = + + + + u 22 2 2(19) Coordonatele de intersecie ale suprafeei limit S(1 , 2 , 3 , k ) = 0 cu prima trisectoare, sunt: ( ) u 2 1 33 2 1= = =k(20) Aceste mrimi au valori distincte pentru diverse materiale. Astfel,-pentru oel ( u= 0,3), k 9 , 03 2 1 = = ; -pentru beton ( u= 0,15), k 7 , 03 2 1 = = . Pentru o stare de tensiune plan ( 03 = ), condiia de rezisten devine: 22 12322212k u + +,(21) Aceastcondiielalimitestereprezentatgraficdeecuaia(21),care reprezint curba limit C(1 , 2 , k ) = 0, care este o elips - vezi fig.8. k xy y x = + u 22 2(21) xM Fig.7 Elipsoidul de rotaie suprafaa limit Orice punct din interiorul elipsei definete o stare de tensiune admisibil pentru material,iardacpunctulreprezentativM(1 , 2 )aluneistridetensiunecaden interiorul elipsei, rezult c materialul rezist n acel punct. Dacseraporteazelipsalanoileaxe o rotitecuununghide45(care reprezint direciile axelor principale ale elipsei), se obine expresia (22). ( ) ( ) | | ( ) k = + + 2 2 2 221 u (22) Desfcndparantezele,ordonndinotndsemiaxeleelipseicuaib,conf. (23), se obine n final ecuaia clasic a elipsei (24), raportat la semiaxele sale. u =1ka , u +=1kb,(23) 12222= +b a (24) Semiaxeleaibrezultdininterseciaelipseicuaxele(fig.8),constantak avnd semnificaia rezistenei limit la ntindere uniaxial - k . Pentruoelmoaledeconstrucie( u =0,3),expresiile(23)setransform corespunztor n (23). ka 19 , 1 =,kb 875 , 0 = (23) Pentru o starea de forfecare pur n jurul unui punct ( + =1, =2), condiia de rezisten limit (21) devine: ( )k u + 1 2 (25) Fig.8 Elipsa de rezisten curba limit Pentru oel ( u= 0,3), tensiunea tangenial are la limit expresia (26). kk 62 , 06 , 2= = (26) Acest rezultat corespunde de experienele lui Bauschinger pe bare rotunde din oel,supuselatorsiune.S-aconstatatclimitaderezistenlarsucireseatinge pentru urmtoarea valoare a tensiunii tangeniale: ( )k 55 , 0 50 , 0 = (27) n cazul verificrii de rezisten a unei grinzi metalice supuse la o solicitare de ncovoiere (x ) cu fora tietoare (xy ), se pune problema determinrii unei rezistene echivalentenpunctulrespectiv,conf.criteriuluiBeltramiicomparareaacestei tensiuni cu rezistena limit (admisibil). Rezult, 2 26 , 2xy x ech + = (28) Deoarecesuprafaa limitesteosuprafanchis,rezultcteoriaenergetic Beltrami este o teorie de smulgere.Critica teoriei: Aceast teoria folosete legea generalizat a lui Hooke valabil ndomeniuldeproporionalitate(elasticitate)nstabilireaexpresiei(16)aenergiei specificepotenialeacorpului,orilimitaderezistenamaterialuluipoatefiatins dincolodestadiul elastic.n plus, teoria nuine seamadeposibilitile derezisten diferitelantindereicompresiune,pentrumaterialulrespectiv.Aceastteorienu poateexplicarezistenapracticnelimitatacorpurilorsupuselacompresiune uniformdupceletreidirecii(presiunehidrostatic)veziexperieneleluiFppl cu cuburile de gresie introduse pe fundul oceanului. 1.4.2 Teoria energiei poteniale de deviaie AfostpropusadeM.Huber(1905)iapoiperfecionatdeHenckyivon Mises (1913) pentru materialele tenace, cu proprieti de ductilitate. Teoria admite c un corp rezist ntr-un punct atta timp ct energia potenial specific de deviaie - DW1,pentruschimbareaformei(frschimbareavolumului),rmneinferioarunei energii poteniale specifice de deviaie limit(k DW,1),indiferentde tipuldesolicitare din punctul respectiv. n acest fel,condiia de rezisten devine: k D DW W,1 1 (29) Energia potenial specific de deviaie n stadiul elastic se exprim n funcie de invarianii strii de tensiune sau de tensiunile principale, conf. expresiei (30). () () | | ( ) | |1 3 3 2 2 12322212221 131331 u u+ + + ++= +=EI IEW D(30) Pentrudefinireaenergieipotenialespecificededeviaielimit,sealegeca solicitare de baz starea de ntindere/compresiune pur (k =1,03 2= = ) i ca urmare: 2 ,131kk DEW u += (31) nacestfelseobinecondiiaderezistendeforma(32),pentruntrire izotropic i condiii izotermale. () ()2 2221 kI I (32) Sau,( )21 3 3 2 2 1232221 k + + + + (32) ( ) ( ) ( )2 21 323 222 12k + + Condiialimitderezistensemaipoateexprimaifunciedeeforturile unitare tangeniale maxime. 2 2322212k + + (32) Se observ c n condiia de rezisten au disprut constantele elasticeEiu , ceeaceconstituieoindicaiecteoriapoatefivalabilidincolodelimitade elasticitate. Fig.9 Suprafaa limit de rezisten cilindru circular La limit, condiia de rezisten devine suprafaa limit( ) 0 , , ,3 2 1=kS :( )21 3 3 2 2 1232221 k = + + + + ,(33) care reprezint un cilindru circular deschis la ambele capere, ce are axa sa( ) z y x = =egalnclinatfadeaxeledecoordonate,conf.fig.9.Razacilindruluidinplanul deviator,arevaloarea kR 32= .Astfel,elipsoiduldinprimateorieenergeticde rezisten se transform ntr-un cilindru circular.OricepunctM(1 , 2 , 3 ),caresegseteninteriorulcilindruluicircular reprezint o stare de tensiune posibil i corpul nu se distruge n acel punct. Acest cilindru circumscrie prisma hexagonal a lui Coulumb, fig.10. Pentruostaredetensiunebidimensionalntr-unpunct( 03 = ),condiiade rezisten limit (33) devine (34). 22 12221 k = + (34) Aceastareprezintoelipscircumscrishexagonuluidinteoriaderezistena tensiunilor tangeniale a lui Coulomb. Fig.10 Cilindrul circular Huber circumscrie prisma hexagonal Coulomb Pentru o stare de forfecare pur ( + =1, =2), relaia (33) devine (35). k 3 (35) La limit, kk 58 , 03 = = (36) Teoria se apropie mai mult de rezultatele experimentale ale lui Bauschinger, n comparaie cuprima teorie energetic. Demenionatcipotezelecarestaulabazateoriilorenergeticederezisten sunt valabile atunci cnd corpul se plastific n toate punctele sale (teoria lui Huber) i corpul se dezagreg n ntregime; teoriile nu se aplic materialelor casante, care la limitcrap,frasedezagregantregulcorp.Astfel,lacalcululconstruciilor metalice supuse la solicitri la care cedarea se face prin curgere plastic, se folosete cu precdere teoria energetic de deviaie. Se calculeaz o rezisten echivalent care nu trebuie s depeasc rezistena limit la curgere. ( )c k echI I = =2 12213 (37) Relaiadeverificarederezistenntr-unpunctauneigrinzincovoiate solicitat la ncovoiere cu for tietoare, devine (38).( )sechR + =2 12 23 (38) Unde, sR - rezistena de calcul dat de normativ, funcie de modul de solicitare i de tipul de mbinare (de exemplu, pentru calculul mbinrilor sudate). Adouateorieenergeticderezistenseapliccubunerezultatepentrua modelacomportareacorpurilorsupuselacompresiunetriaxial.nschimb,conform teorieiseconsidercuncorpnusepoatedistrugelaosolicitaredentindere triaxial, ceea ce nu este real. DeoareceattteorialuiCoulomb( ),ctsiteoriaenergieipotenialede deviaie(DW1),suntteoriidelunecareprincaresepoateexplicafenomenul deformaiilorplasticedecurgerelasolicitricompuse,ambeleteoriisuntfolosite dreptcriteriideplasticitatenTeoriaPlasticitii.Mareleavantajalteorieienergiei potenialede deviaieconstnfaptulcseexprimosingur condiiederezisten detip(32)iaceastasepoatescrienfunciedeinvarianiistriidetensiune(1I , 2Irespectiv 2J ),framaifinevoiesserezolveecuaiacaracteristicdegradul3 pentru a afla rdcinile valorile tensiunilor principale. 1.4.3 Teoria lui Mohr pentru materiale granulare i pmnturi Din punct de vedere formal,teorialuiMohr(1900) pornete dela condiiade rezistenaefortuluiunitartangenialmaxim: k max,nsvaloarealimitalui knu este considerat numai o caracteristic a materialului, ci este funcie i de tipul de solicitare.Modulcelmaiconvenabildeapunenevidenacestpunctdevederel reprezint cercurile lui Mohr (fig.11). Cercul exterior are raza cea mai mare, egal cu max , conf. (39). 21 3max = (39) Fig.11 Cercurile de rezisten ale lui Mohr Dacse presupunec tensiunileprincipale 3 2 1 > > reprezint starea limit de rezisten pentru acest tip de solicitare, rezult c k =max, iar cercurile interioare nu joac nici un rol n aceast condiie limit. S-ar deduce c tensiunea principal, 2 , n-arjucaunrolndefinirearezisteneimaterialului.nplus,seconstatcntoate teoriile de mai sus s-a inut seama numai de diferena tensiunilor normale (1 3 ), nu idesumalor(3 1 + ).Experieneleefectuatecumaterialecarerezistdiferitla ntindereilacompresiunearatnsciaceastsumjoacunrolimportantn definirea rezistenei corpului solicitat. ntructsemi-sumatensiunilordeterminpoziia(C)acentruluicerculuilui Mohr,sepoatespunecngeneralrezistenaunuimaterialestefuncieattde mrimea cercului mare, ct i de poziia acestuia pe epura grafic - a lui Mohr. -Pentrumaterialeleductilemrimeacerculuimareesteaceeailalimitade curgere,attlasolicitareadentindere(1 )ctilaceadecompresiune(3 )pur; deci,pentruacestematerialelepoziiacerculuimareesteindiferentnceeace privete stabilirea rezistenei materialului. Fig.12 Cercurile limit pentru materiale ductile -Pentrumaterialelecuproprietidefragilitate,carerezistnesatisfctorla ntindere i bine la compresiune, mrimea cercurilor la limitele de rupere la ntindere i la compresiune fiind mult diferit, rezult c pentru astfel de materiale nu mai este indiferent poziia cercului care reprezint limita de rezisten. Dacseefectueazmaimulteexperiene conduse pnla limita derezisten, lasolicitricutensiuni 1 , 3 diferite,seobineofamiliedecercurimaximeMohr careadmitevidentonfurtoare,saucumisemaispunecurbaintrinsec; aceast curb este deschis ctre tensiunea negativ.TeorialuiMohrconcluzioneazcmaterialulvacedaatuncicndcercul reprezentativalstriidetensiunegsite(1 , 3 )npunctulMconsideratvatia aceast nfurtoare. S-au efectuat experiene de laborator aspra unor carote (epruvete cilindrice) de beton, de roca sau pmnt dispuse n cilindrii de oel (avnd perei groi) i supuse la compresiune axial, 3 . n felul acesta se exercit, ca o reaciune din partea pereilor deoel,iocompresiuneradialasupracaroteidencercat.S-auefectuati experiene la ntindere ( 01 ;03 2= = ), compresiunepur ( 02 1= = ;03 ) i forfecare pur ( =2; =3). Fig.13 Cercurile limit pentru materiale fragile Deremarcatcpentrubetoaneaceastmetodsimplificatoareesteprea acoperitoare,deoarececerculluiMohrpentrusolicitareadentindereestepreamic fadeceldelacompresiuneinfurtoarearealtrecedestuldemultpeste tangentalaceledoucercuri;deaceeapentrubetoanecurbanfurtoaretrebuie determinat mai exact pe baza experienelor la solicitare plan: 1i 3diferite. Leon (1935) recomand o ecuaie parabolic de gradul doi. Fig.14 Curba intrinsec nfurtoare La pmnturi, pentru care se determin experimental cu suficient aproximare rezistena la ntindere i la compresiune pur, nfurtoarea lui Mohr se va construi inndseamaccerculcucentrulnorigineaaxelor( , )definetelimitade forfecarepur,iarcellaltcercseconstruietesupunndprobadesollasolicitarea triaxial. Curbanfurtoaredinfig.14sedeterminpentrufiecarematerialcu comportarediferitlantindere/compresiunecentric.Deoarececurbaestegreude obinut, s-a propus o variant simplificat n care nfurtoarea se aproximeaz cu o dreapt tangent la cercurile ntinderii i compresiunii centrice, conf. fig.15. n fig.15 s-au folosit urmtoarele notaii: -cercul cu centrul n O1 este cercul ntinderii centrice; -cercul cu centrul n O2 este cercul compresiunii centrice; -cercul cu centrul n O3 este cercul ce reprezint starea de tensiune limit ntr-un punct al corpului; -din asemnarea de triunghiuri rezult relaiile (40). Fig.15 Dreapta intrinsec nfurtoare 2 13 123O OO OD OE O= ,2 13 11 21 3OO OOOO OOC O A OC O B O=(40) Urmrind notaiile i nlocuind, se obine: ( )2 22 22 22 23 1 3 1ocotototocot ++=(41) Reducnd termenii asemenea i notndkocot=, se obine n final: 0 3 1 = kech(42) Pentru t c 0 0 = , rezult1 = k , de unde se deduce c relaia (41) reprezint chiar criteriul de plasticitate alui Tresca. Dac se construiete suprafaa limit dat de relaia (42) se obine o piramid cu ase muchii avnd axa egal nclinat faa de sistemul axelor principale, fig.16a. Dac tensiunea03 = ,deciapareostareplandetensiune,atuncisuprafaalimiteste reprezentat de un hexagon, conf. fig.16b. Fig.16 Piramida i hexagonul lui Mohr TeorialuiMohr,caredefaptesteogeneralizareateorieiefortuluiunitar tangenialmaxim,amprumutatdefecteleacesteia;nplusmaiareiundefect esenial, anume acela de a neglija efectul efortului unitar intermediar, 2 . Rezultatele testelorexperimentalelasolicitrispaialearatcabaterilefadeteorialuiMohr sunt de ordinul a (1015)%. De aceea se caut n continuare mereu noi teorii, adesea prea complicate, pentru a fi folosite relativ simplu n practica inginereasc. 1.5 Teorii atomiste de rezisten Odatcu dezvoltarea tiinei privind structuramateriei,s-a pusproblema de a se gsi o cale pentru a ine seam n calcul de caracteristicile intrinseci de rezisten alematerialelor.nacestscops-adefinitnoiuneaderezistenaunuimaterialpe bazastructuriisalediscrete,considerndu-seaciunileinteratomicesaucoeziunea molecular.Astfel,s-aconstatatcmaterialeletrasenfirefoartesubiri(firemetalice, fibredesticl)manifestorezistenlantinderemultmaimarefaderezistena elementelor de dimensiuni obinuite, confecionate din acelai material. De menionat c firele metalice sunt n prealabil prelucrate printr-un tratament termic de recoacere (nclzirepnlarou,urmatdeorcirelent)pentruaseeliminaefectulde ecruisaj. Griffith a fcut n anul 1921, experiene cu sticl de quarz tras n fire din ce ncemaisubiriiaobinutosporireapreciabilarezisteneilaruperea materialului, conf. Tabelul 1.Tabel 1 Diametrul[mm]1,020,01780,0033 Rezistena [daN/mm2]17115346 nacestsens,vatadesticlsetragenfirefoartesubiri(de30deorimai subiri dect grosimea unui fir de pr), care prezint o rezisten la ntindere mai mare dectrezistenaoeluluiiareoelasticitatecomparabilcuafiruluidinvatde bumbac. Greutatea specific a firelor de sticl este mult mai mic dect cea a oelului. Datorit acestor proprieti fizico-mecanice, se confecioneaz funii din astfel de fibre desticlcucaresefreteazcilindriipentrupstrareagazelorlamarepresiune, cilindriifolosiintehnicaaerospaialpentrurealizarearachetelor.Brciledemare rezistenivitezseconfecioneazdinriniarmatecufibredesticl;funiile pentru alpinism se realizeaz din fire din fibre de sticl. Merit s fie menionat faptul cnantichitateotgoanelecelemairezistentepentruvaselecupnzesefceaudin fire de pr de femeie. DinstudiulFiziciilanivelmolecular/atomicsecunoatefaptulcforelede atracie i de respingere interatomice se afl n echilibru; pentru a le scoate din acest echilibru(prinntindereasaucompresiuneamaterialului)suntnecesarefore exterioare deosebit de mari. Variaia acestei fore interatomice F n funcie de distana r dintre nucleele atomilor se prezint n fig. 17. F Fc 0 r0r

Fig.17 Diagrama forei interatomice S-aconstatatexperimentaldectreFilonenko-Borodicicmaterialelecuo structurcristalincubobulmarerezistmaiprostlasolicitri,fadecelecu structur mrunt. Acest fapt se datoreaz proprietilor defavorabile la clivaj pe care le au cristalele din cauza tensiunilor care iau natere odat cu formarea cristalelor. De altfel,prezenacristalelormaricarecliveazexplicdeceobardeoelserupela ntindere prin formarea unui crater de smulgere. Pieselecareprezintosuprafaafinprelucratrezistmaibinelasolicitri dectpieseleprelucratebrut;deaiciitehnologialustruiriipieselormecanice importantesauaacopeririiacestorpiesefinprelucratecuunstratdeproteciedin cromsaunichel.Ozgrieturfinpesuprafaacorpuluisolicitatatrageconcentrri marideeforturiicorpulcrapndreptulzgrieturii.nplus,incluziuniextremde mici de corpuri strine scad simitor rezistena materialelor n zona respectiv. Drept consecin,seimpuneutilizareaoelurilorsuperioarepentrurealizareaunorpiese importante de maini/avioane.S-aobservatdeasemeneacmaterialelerezistmaibinelasolicitricnd cristalelesuntorientatedupoanumitdirecieisolicitareaarelocdupacea direcie; de aici s-a impus tehnologia tanrii la rece a buloanelor de nalt rezisten. Teoriile de rezisten atomiste caut s explice asemenea fenomene. Astfel, au aprut pe rnd n literatura de specialitate: -teoriamicrofisuriloremisdeGriffith(1921)iIoff(1932),careatribuie fenomenulscderiirezisteneimaterialelor,-existeneidefisurimicroscopicen structuracristalelor,fisurinvrfulcroraseproducconcentrrimarideeforturi (teorianuexplicnsdeceunelematerialerezistdiferitlantindereirespectiv compresiune); -teoria insuficienei compactiti n aezarea atomilor sau moleculelor, emis de Kitaigorodski (1945) i Mott (1956); -teoriatransmiteriidiscontinueondulatorii(nundestatice),aenergieide solicitare, existnd plane de concentrare a energiei (n care se produce fenomenul de lunecare) i plane unde aceast energie este practic nensemnat. 1.6 Teoriacatastrofelor iMecanica ruperii Teoriacatastrofelor,cares-aemisnanii'80dectrePoston,Ghilmor, Marcovev,.a.studiazmodificrilebrute,nsalturi,alestrilorunuisistem, provocatedeaciunileexterioarecaresemodificlin.Acestemodificribruteale strilorsistemelorprovocatedemodificrilentealeexcitaiei,senumesccatastrofe. Teoriacatastrofelorfaceparte din teoriagenerala sistemelor dinamice.Teoriaeste cel mai bine aplicat la sistemele n care, pe fondul situaiei schimbtoare produs de aciunileexterioarecaredirijeazfenomenul,seextremeazofuncieoarecare,care adeseareprezintenergiasauentropiasistemului.Uneleminimelocalepotdisprea icaurmarenacelemomenteseproducemodificareansalturiastriisistemului, deci se produce catastrofa. nliteraturadespecialitateseanalizeazaptecatastrofeelementare:plierea, asamblarea, coada de rndunic, fluturele i trei curbe ombilice (eliptic, hiperbolic si parabolic). Ceamaimarensemntateacptatcatastrofaasamblrii(mbinrii).Pentru acesttipdecatastrof,formacanonicafuncieidepotenialasistemului,are expresia (43). c bz az z V + + + =2 42141(43) Suprafaapunctelorcriticealefuncieidepotenial,estedeterminatde condiia de extremum (44). 03= + + = b az zdzdV, (44) unde, z - este variabila strii; a i b - sunt parametrii de intrare (de control). Mulimea punctelorcriticez,corespunztoareparametriloraib,seconcretizeazprinmarea varietate a catastrofei asamblrii i are forma suprafeei din fig.18. PentrudeterminantulD=4a3+27b20 - numai una este real i pentru D = 0,a' 0,b' 0 rezult treirdcinireale,dintrecaredoucoincid.LiniileB1iB2dinfig.17, corespunztoare ecuaiei (45), D = 0 27 42 3= + b a,(45) mpart suprafaa parametrilor de control n domenii din interior I i exterior E. Fig.18 Reflectarea catastrofei canonice a asamblrii Dac ncrcarea corespunde traiectoriei punctului (a, b), la care se va produce intersecia liniilor B1 i B2, atunci cea de a doua intersecie a traiectoriei va conduce la modificareaprinsaltaparametruluidestarez,ntructpuncteledepesuprafaa interioarapliuluicorespundstriiinstabileasistemului.Saltulseproducecnd traiectoriaprsetedomeniulI.Aceastacorespundeprincipiuluidestagnare maxim, conform cruia sistemul face un salt rapid n alt stare. Catastrofa asamblrii descrie fenomenul cunoscut de histerezis (drumul 1-2-3-3'-2'-1'-1) i fenomenul de divergen, cnd deosebirile mici n traseu de la punctul 4 lapunctul2,potatragedupsine,frniciunfeldesalturi,omarediferenntre strile din 2 i 2'. n plus, se poate trece dintr-o stare oarecare 2', n starea 1, att lin, cticusalt.Ultimasituaieareomareimportanpentruasigurareasiguranein exploatare a construciei. ReferitorlaMecanicaruperiimaterialelor,saltulparametruluizsepoate interpretaicaoinstabilitateplastic(detipbandaCernov-Lders)icao distrugerecasant(saltulfisurii)iposibil,caunactseparatdeacumularea deteriorrilor. Pentru cea mai simpl catastrof - catastrofa pliului (a cutei), a crei variaie se arat n fig.19, ecuaiile canonice (43) i (44) iau forma (46) i (47). az z V + =331 ;(46) 02= + a z .(47) Teoria catastrofelor i-a gsit o larg aplicare n cercetarea pierderii stabilitii sistemelorelastice,nrezolvareaproblemelordeconstruciinavale,n termodinamic,opticsauecologie.Dar,paradoxal,teorianuafostutilizatpentru analizaproceselordedistrugerecatastrofal.Teoriacatastrofelorpoateintroduceo clasificare suplimentar n problema Mecanicii ruperii, pentru ca apoi s devin unul din instrumentele ei de lucru. stabilitateinstabilitatea B0 Fig.19 Varietatea plierii i proiectarea catastrofei canonice a plierii Problema Griffits pentru placa foarte lung, care conine o fisur strpuns de lungime 2l, i ncrcat la capete cu forele elementare din tensiunile ,- se reduce la problema catastrofei pliului. Lungimea fisurii servete ca variabil a strii sistemului, parametrul de control, a, al acestei catastrofe este dat de relaia (48).

222|.|

\|=TEa,(48) unde, T - este energia superficial i E - modulul de elasticitate al materialului. Rolul raportului 2TE/2, n Mecanica ruperii este n general cunoscut. Teoria catastrofelor arat rolul predominant al ptratului raportului menionat. Folosireateorieicatastrofelornrezolvareaproblemeiruperii,seexemplific pecazulcorpuluiinfinitcufisuranformadedisc,curazal,nconjuratdeozon plastic toroidal de raz r. Pentru acest caz, funcia de potenial are forma (49). 2 34232029834Tl l lEV Vcc +||.|

\|+ = ,(49) unde, - este deformaia plastic remanent; V0 - energia corpului fr fisur; c- limita de curgere a materialului. Ecuaia(49) s-aobinutcu considerarearezolvriielasticepentrudeterminarea coeficientuluideintensitateatensiunilor l K 2 = iaprecierearazeizoneide plasticitate 261||.|

\|=cKr . Prin nlocuirea variabilei de stare,z , cu variabilax , DTl x32 =; 4229834||.|

\| =ccED ,(50) se transform ecuaia (49) n forma standard (51) a catastrofei plierii.

( )xDTDx V V32231+ =, (51) unde, V1 - este o constant independent de parametrul x. De aici rezult varietatea catastrofei plierii n conformitate cu relaia (47). 02= a x; 2422342

||.|

\|=ccETa .(52) ntructcatastrofeianalizateicorespunde0 = x ,atuncilungimeacritica fisurii lc, este dat de expresia (53).

1322321 2

||.|

\|||.|

\| =ccETE l .(53) Dinecuaia(53)rezultclungimeacriticafisuriivafimultmaimaren condiiile n care rezerva de plasticitate ndeplinete condiia (54). 3223|.|

\| cE (54) Pentruunmaterialavndlimitadecurgere400 =c MPa,pentrucazul c 75 , 0 = , propagarea fisurii este posibil pentru deformaia plastic% 7 < .Dacprinanalogiecusoluiandomeniulelastic,seexprimcoeficientul elasto-plastic al intensitii tensiunilorepK , cu valoarea (55), TE Kep22= ,(55) atunci, cu considerarea relaiei: 2 24K l = , se obine coeficientul elasto-plastic.

2 122321||.|

\|||.|

\| =c cepEK K. (56) Structuraacesteirelaiicoincidecuexpresiacunoscutpentrulimitade rezisten a fisurii, I. 2 121||.|

\|||.|

\| =cK I (57) Coeficientulelasto-plastic(56)poateficonsideratcaolimitmodernizata rezistenei la fisurare. Mrimea semicoreazncazuluneincrcriciclice,deaceeasepoate apreciapropagareafisurilordeoboseal,caosuccesiunedesalturialefisurii,lao distan care nu depete r, n urma scderii lui * pn la zeronurmancrcriidinamice,mrirearezisteneidecurgere . c ,ducela creterea valorii coeficientului epK ; are loc o cretere mai puternic n comparaie cu micorarealui ,ntructvaloarealui c ,careintran(56),esteluatlacub. Propagareafisuriindomeniuldeformaiilorplastice mari,esteposibilnumai dacvafinsoitdecretereacorespunztoarealui c .Laorezervdatde rezistena c / ,aceastcretereesteechivalentcamicorareadeformaiei ,n aceeai proporie. Sevaanalizancontinuarencunexempludefolosireateorieicatastrofelor nconsiderareainflueneireciproceapreseicareproducencrcarea(excitaia)ia rspunsuluiprobeidencercat.Sepresupunecoepruvetsolicitatsedeformeaz caunarcavndrigiditateaM(vezifig.20)icrspunsul(rezistena)epruveteila deformare este descris de funcia (58). ( )3Cx Ax x P =,(58) unde, P ncrcarea; x lungirea absolut a probei; A,C constante de material. Deplasarea captului activ al arcului se noteaz cu z. Adoptnd deformarea probei x, cavariabildestare,sepoatescrieurmtoareafunciedepotenialpentrusistemul main epruvet, prezentat n fig.20. 2 2 422 4MzMzx xM AxCV + ++ =.(59) PzP(x)xM Fig.20 Schema sistemului main epruvet Funciadepotenialcorespundecatastrofeiasamblriiprezentatenfig.18, ec.(43),iarpentruvarietateacatastrofei(suprafaapunctelorcritice),sepoatescrie relaia (44). Rezult :03= + + b ax x CM Aa+ =; CMzb = (60) Valorileparametruluidereglajaib,lacareaparecatastrofa,trebuies satisfac relaia (45) i ecuaia lucrului mecanic, conf. Poston. 23x a = (61) n final pentru valorile critice z, x i P, se obin expresiile (62). ( )CM AMM Az3 32 + +=;(62) CM Ax3+=;(62) ( )CM AM A P3231 + = (62) ntruct maximul funciei (58) are loc pentru valoarea CAx3= , din relaia (62) rezultcpentrucazulcndmaterialulestesolicitatndomeniulplastic,catastrofa arelocperamuradescendentadiagrameidedeformare.Numaincazulunei ncrcriflexibilendomeniulelastic(M=0),catastrofasevaproducelavaloarea CAA P3 32max = .Aceastcatastrofcorespundecazuluidedistrugereprinfractur ductil,analizatdeOrowan.Ambiiparametriidereglajaib,depindattde proprietile materialului, ct i de caracteristicile sistemului de ncrcare, confirmnd prin aceasta ipoteza Fridman privind imposibilitatea stabilirii proprietilor critice ale materialuluinformacuratinecesitndconsiderareainflueneireciprocea excitaiei mainii de ncercare i a rspunsului probei de ncercat.Ideilecarestaulabazateorieicatastrofelors-aufolositntentativeledea explicaadecvatfenomenulruperii.Astfel,criticndteoriaderuperealuiGriffits, Frenkelelaboreazoecuaiecaracteristicpentruteoriacatastrofelor,careexprim energia total a sistemului i a crei analiz grafic conduce la o familie de curbe cu minimumul care se pierde. Prin transformarea relaiei lui Frenkel, s-a obinut ecuaia care definete o catastrof tip coad de rndunic.Teoriacatastrofeloratrageatenia cercettorilorlasuprafaa(spaiul)parametrilordecontrolilaproblemagsiriipe aceastasuprafaadomeniuluincareseobservfenomenuldeinstabilitate.Acest domeniu este definitde Druker pe suprafaa parametrilor "gradul ncovoierii iniiale - temperaturancovoieriiiniiale".Searatcmrireatemperaturiidinzonacurburii barei,pentruunaiaceeaimrimeacurburii,estensoitdetrecereadela distrugereaplasticlaceacasant,iapoidinnoulaceaplastic.Micorarea temperaturii pe parcursul ncercrilor, schimb domeniul de fragilitate al materialului. Este posibil ca intervalul critic de casan determinat la ncercrile la oc, s se poatanalizacaoseciuneadomeniuluiI,dinfig.18.ntructinfluenainversa probeiasuprapendulului,nacestinterval,estemic,sepoateconsiderac ncercrileseefectueazcuomaremaleabilitateadispozitivuluidencrcare. Adugareauneinoivariabile(dimensiuneaepruvetei,ascuimeaincizieiiniialea epruvetei,regimuldeprelucraretermic,compoziiachimicetc.)vaconducela apariiasuprafeeiparametriloriadomeniuluicriticdefragilitate.Estedeobservat crezultatelegraficeprezentatenlucrarealuiPoston,suntapropiatedecele prezentate n fig.18. Planificarea i monitorizarea experimentrii, innd seama de influena fiecrui factor, prevede de asemenea studierea suprafeei strilor de rspuns, pentru domeniul factoriloranalizai.Deregul,seconcepeconstruireauneisuprafeederspuns netede.Dupcumcertificteoriacatastrofelor,nuesteexclus,casuprafaade rspunsspoataveapliuri(cute),ncreiri,buzunareialiindicideinstabilitatea fenomenului cercetat. n afar de aceasta, teoria catastrofelor conine metodologia de analiz/prelucrare a datelor obinute. 1.7 Verificarea de rezisten a barelor din materiale ductile n baza teoriei energeticeMetodcurentde verificarearezisteneielementelordeconstruciiconstn comparareaintensitiieforturilorunitarenormale(i )culimitaderezistenla solicitareauniaxial,aceastadinurmfiindrelativuordedeterminatpecale experimental. ( ) ( ) ( )21 323 322 122 + + =i(63) Pentruaevitacutareaanaliticatensiunilorprincipale(1 , 2 , 3 ),sevor folosi relaiile invariante dintre eforturile unitare. z y x + + = + +3 2 1 (64) 2 2 21 1 3 3 2 2 1 zx yz xy z z y y x + + = + + (65) Expresia de sub radical din formula (63) se mai poate scrie sub forma : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 2 2 123222121 323 322 12 2 + + + + = + + (66) i deoarece: ( ) ( )1 3 3 2 2 123 2 12322212 + + + + = + + ,(67) rezult c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 2 2 1 3 2 121 323 322 16 2 + + + + = + + (68) Se obine n final expresia intensitii eforturilor unitare normale n funcie de starea curent de tensiune din jurul unui punct din corpul solicitat. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2622zx yz xy x z z y y x i + + + + + = ,(69) n mod asemntor pentru expresia intensitii eforturilor unitare tangeniale.( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2631zx yz xy x z z y y x i + + + + + = (70) A.Determinndeforturileunitareduptreiseciuniortogonale,leintroducemn expresia(69)iseverificdactensiunea( i)nudepeterezistenadecalculla solicitareauniaxial:Ri .Acelaiprocedeuipentrutensiunea(i )carenu trebuie s depeasc rezistena de calcul la forfecare sau la rsucire. B. n cazul unei stri de tensiune plan( ) 0 =z , precum i n teoria plcilor, formula de verificare de rezisten are forma (71).Rxy y y x x + + 32 2. (71)C.Pentrucalcululbarelorncovoiatesepoateneglijaefortulunitarnormal y (din cauza valorii mici faa de x ); rmne condiia (72). R +2 23 (72) Sereamintetecncazulaplicriiteorieiefortuluiunitartangenialmaxim(alui Coulomb) s-a obinut relaia de verificare (73). R +2 24 (73) D.ncazuluneistride deformaieplan( 0 =z ),specificcorpurilormasive,care produceostaredetensiunespaial-( )y x z u + = ,rezultrelaiade verificarede forma: ( ) Rxy y x + 2 2423 (74) Se menioneaz faptul c n cazul deformaiei plane a corpului, nu se mai pot neglija tensiunilenormale y ,ntructnacestcaztensiunile x i y suntcomparabile. Dac se aleg drept axe de coordonate axele principale, atunci din relaia (74) rezult: R R 15 , 133 22 1= ,(75) deci n cazul unei stri de deformaie plan se poate considera o rezisten de calcul sporit cu circa (10 15)% . 1.8 Criterii de curgere 1.8.1 Criteriul de curgere von Mises pentru materiale tenaceAcest criteriu se aplic n special la modelarea comportrii materialelor tenace, cuproprietideductilitate,cumesteoelulmoaledeconstrucii(materialcu structurapolicristalin).CondiiadeplasticitatevonMises(1913)sebazeazpe teoriaderezistenaenergieipotenialededeviaiealuiM.Huber(1905), perfecionat de Hencky. Condiia de rezisten ntr-un punct, exprimat n funcie de tensiunile principale, are forma (76). ( )21 3 3 2 2 1232221 k + + + + (76) Rezistenalimit- k ,seobinedintr-oexperiensimpldentindere monoaxial.Seobservcncondiiaderezisten(76)audisprutconstantele elasticealematerialului(E,),ceeaceconstituieoindicaiecexpresiapoatefi utilizatidincolodelimitadeelasticitateamaterialuluiideciteoriapoatefi folosit drept criteriu de plasticitate von Mises. Laatingerealimiteidecurgereamaterialului(c k = ),obinutdinncercri experimentaledentindereuniaxial,-condiiadecurgeredevineosuprafalimit de curgere F(1 , 2 , 3 , c ) = 0, de forma (77). { } ( ) ( ) 0 ,21 3 3 2 2 1232221= + + + + =c cF (77) sau, ( ) ( ) ( ) 0 22 21 323 222 1= + + c ,(78) condiiecarereprezintecuaiaunuicilindrucircular,deschislacapete,cuaxa orientat dup prima trisectoare (3 2 1 = = )iavnd raza cR 32= . Cilindruleste circumscrisprismeihexagonaledatdeteoriaderezistenatensiunilortangeniale maximealuiCoulomb(1773).nplan,cerculvonMisescircumscriehexagonul Coulomb. FunciadecurgereFmaiestedenumitifunciancrcrii,deoareceea depinde de starea de tensiune i de deformaie din jurul punctului respectiv, dar i de istoria ncrcrii n timp a corpului. Avantajulacesteiteoriienergeticederezisten,respectivacriteriuluide curgere von Mises, este c se poate exprima o singur condiie limit la curgere (79) n funciedeinvarianiistriidetensiune;numaiestenevoiessecalculezeexplicit valorile tensiunilor principale. Deci, ( )cI I = 2 12213 ,(79) sau: ( )cJ = 2 123.(80) I1 primul invariant al tensorului de tensiune de ordinul II, Cauchy,| | ( )ijT =( )ijI =1(81) I2 invariantul ptratic al tensorului de tensiune Cauchy,| | ( )ijT =( )( )ij ijI 212 = (82) J2 invariantulptraticaltensoruluideviatoricdetensiune| | ( )ijs T =,care caracterizeazmodificrileformeielementuluiinfinitezimaldinjurulunui punct. ( ) ( ) ( ) | | ( )( )ij ijs s J216122 122 122 1 2= + + = (83) Tensiunile deviatorice se definesc cu vectorul{ } s . { }zx yz xy z y xTs s s s =(84) n notaie tensorial, ( ) ( ) ( )ij ij ijs 0 =, (85) unde, 0 - tensiunea normal medie;( )1 03131Iij = = . Pentrucazulgeneraltri-dimensionaldesolicitare,criteriuldecurgerevon Mises, devine: c c eS F = = 3 (86) e -tensiuneaefectiv(echivalentsaugeneralizat)careaparenjurulpunctului respectiv, unde se calculeaz starea de tensiune. ( ) ( ) ( ) ( ) | |2 12 2 2 2 2 2621zx yz xy x z z y y x e + + + + + = (87) ( )2 12 2 2 2 2 2213

+ + + + + =zx yz xy z y x es s s (87) ( ) { } | |{ } ( ) { } { } ( ) ( )( ) | |2 1 2 12 12 1223:23233ij ijTes s s s s L s J = = = = (87) S - intensitatea tensiunilor tangeniale din jurul punctului respectiv. ( ) ( )( ) | | { } { } ( )2 1 2 1 2 12:212131s s s s J Sij ij e= = = = (88) ( )2 123222132 + + = S (88) Simbolul:implic un produs scalar, n care fiecare termen al unei matrici se inmulete cu termenul corespunztor al celeilalte matrici. | |

=2 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 2 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1L (89) Criteriul de curgere von Mises este reprezentat n spaiul tensiunilor principale, conf.fig.21. Vectorultensiunii se descompunencomponentamedievolumetric 0 , care caracterizeaz schimbrile de volum, i componenta deviatoric s, situat n planul deviatoric (normal pe ax), care caracterizeaz schimbrile de form pe care le suport corpul. Fig.21 Criteriul de curgere von Mises n spaiul tridimensional de tensiune FunciadepotenialplasticvonMises(86)pentruostareplandetensiunen jurul unui punct, se exprim prin formula (90). ( )c xy y x y xF + + =2 12 2 23 (90) ExperieneleefectuatedeBridgmanaurelevatcadeformaiileplasticeale materialelorsuntindependentedepresiuneahidrostatic,depinznddoarde componenta deviatoric a tensiunii (ijs ). Rata deformaiei plastice echivalente strii de tensiune c , este : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | |2 12 2 2 2 2 22132)`+ + + + + =pzxpyzpxypzpypxpe (91) { } { } ( ) ( )( ) | |2 1 2 132:32pijpijp p pee e e e = = (91)Unde, (pe ) - reprezint deformaiile plastice deviatorice; dtdpp ; t pseudo-timpul variabil.Demulteoriseprefersseoperezecuincrementeinfinitezimalei atunci:p pd .VonMisesa sugerat cstareade curgere plasticseobinedacinvariantul ptratic de tensiune deviatoric atinge o valoare critic constant, conf. (92). ( ) () k J = 2 12,(92) unde,k este parametrul de material ce trebuie determinat experimental; esteparametruldeecruisare,cedepindededeformaiaplastica materialului,( )pij = . innd seama de expresia tensiunii echivalente (87), criteriul de curgere (92) mai poate fi scris ca (92).ke3 = (92) S-au dat mai multe interpretri fizice condiiei de curgere von Mises. Astfel,Nadai(1937)aconsideratcplasticizareamaterialuluincepecnd intensitatea tensiunilor tangeniale octaedrice 8 , atinge o valoare critic. () 1 8k = (93) ( ) ( ) ( ) | |e 32312 121 323 222 1 8= + + = (94) Seconstatcdeformaiileplasticealematerialuluincepnmomentulcnd tensiunea tangenial octaedric atinge valoarea constant 0.471c . Pornind delacondiiadecurgereTrescaSt.Venant(1871),Huber(1904)i apoivonMises(1913)aunlocuitprismahexagonalcucilindrulcircularica urmare, condiia de curgere se poate exprima n funcie de S, - intensitatea tensiunilor tangeniale.Stareaplasticseatingecndintensitateatensiunilortangenialeajunge la o valoare constant. () 2k S = (95) AvndnvedereexpresialuiSdin(88),valoareaconstanteiestede0.577cpentru solicitarea de forfecare pur n jurul unui punct. S-a constatat experimental c principiul de plasticitate von Mises satisface mai exactstareadecurgereamaterialelorpolicristaline,nraportcucondiiaCoulomb-Tresca(1864)a tensiunilor tangenialemaximeconstante(0.5c ).Aceastadinurm este ns mai simplu de folosit n aplicaiile teoretice. ReprezentareageometricasuprafeelordecurgereCoulomb-Trescai respectiv von Mises, n spaiul tensiunilor principale, bi- i respectiv tri-dimensional, se prezint n fig.22 i respectiv fig.23. Fig.22 Criteriile de curgere Tresca si Von Mises n spaiul bi-dimensional Hencky(1924)ademonstratcalegeadeplasticizarevonMisesconducela constatareacfenomenuldecurgerencepecndenergiapotenialelasticde deviaie necesar pentru modificarea formei corpului, atinge o valoare critic. () 3k Wd = ,(96) unde, ( ) | |( )dVEWVd+ + + ++=1 3 3 2 2 123222131 u(97) Fig.23 Reprezentarea geometric a suprafeelor de curgere Tresca iVon Mises n spaiul tensiunilor principale 1.8.2 Formularea general a criteriului de curgere elasto-plasticCondiiilecarecaracterizeazcomportareamaterialuluisolicitatndomeniul elasto-plastic, sunt: -criteriuldecurgere,princaresespecificstareadetensiunemultiaxial(ij ), corespunztoare nceputului curgerii plastice; -legeadecurgere,caredescrientimpincrementeledeformaiilorplastice, p pd = ,depinznddetensiunilecurente,precumideincrementele tensiunilor (ijd ), care succed curgerii plastice; -legeadeconsolidare(ecruisare),princaresespecificmodulncarese modific condiia de curgere pe parcursul deformrii plastice. ncondiiiisotermiceideecruisareoarecare,condiiadecurgere(77)dela timpul t, se poate scrie sub forma general (98). ( ) | | 0 , = tijt tF (98) Aceastcondiiedecurgerepoatefivizualizatcaosuprafanspaiultri dimensionalaltensiunii,cupoziiasuprafeeidependentdevaloareainstantaneea parametrului de ecruisare . Laoecruisareisotropic,parametruldeecruisaredepindededeformaia plastic,( )pijt t = , iar la o ntrire cinematic, parametrul de stare este o constant, K = .Sepoateastfeldaoformularegenerallegilordeecruisare,independentde criteriuldecurgere luatnconsiderare. nacest scop,criteriile decurgeremaipotfi scrise, n mod general, sub forma urmtoare: { } ( ) 0 ,2 1= = = F F c f Fnc c c (99) Unde, cc- constanta de material a funciei de curgere; n - gradul funciei de curgere. Rezistenalacurgere c variazntretensiuneainiialdecurgere, co ,i tensiunea maxim de curgere, cm . n cazul ecruisrii prin lucru mecanic, funcia F1 va trebui s fie omogen i de acelaigrad,n,cutensiuneadecurgere c dinexpresiafuncieiF2.Existdou posibiliti: -Dacfunciadepotenialplastic,F,estenegativ(F1F2),materialulsecomportduplegile plasticitii.nacestdomeniuplasticserestrngeanalizalaocurgereasociativiatunciestevalabilpostulatulluiDruckerlegeanormalitii: incrementul deformaiilor plastice este perpendicular pe suprafaa de curgere, pijd dF, ca urmare se poate scrie: ( )||.|

\|=ijttpijtFd d (100) De aici rezult legea de curgere Prandtl-Reuss: viteza deformaiilor plastice la unmomentdetimpt,corespundenspaiultensiunilor(deformaiilor),cudirecia normal la suprafaa de curgere, vezi relaia (101). { } { } aFp =)`= (101) - este o mrime scalar pozitiv care trebuie determinat; - definete rata de multiplicare a deformaiei plastice; { } a- vector de curgere, normal pe suprafaa de curgere, F = 0, vezi fig.24. Astfel,pentruostaredetensiuneplan,pentrucareestevalabilfunciade curgere (90), se obine: )`=)`xyc yc xc pxypypx 6222(102) Laatingereacurgeriiplastice,tensiuniletrebuiesrmnpesuprafaade curgere, ca urmare: { } { } { } { } { } 0 : = = =)`= a aFFTT(103) Fig.24 Criteriul de curgere von Mises pentru o stare de tensiune plan Pentru o stare de tensiune plan, caracterizat prin vectorul (104), { }xy y xT = , (104) se obine: { } || { } { } ( ) a DT =(105) unde, ||

=210 00 10 112uuuuED (106) || D -matriceaconstitutivdeelasticitate(rigiditate),pentruunmaterial omogen i isotrop; E - modulul de elasticitate Young; u-coeficientul de contracie transversal Poisson. Sepremultiplicec.(105)cuvectorul{ }Ta ifolosindec.(104),seobine, conf. expresiei (107). { } ||{ }{ } ||{ }{ } ||{ } ( ){ } ||{ } ( ) a D aD aa D aD aTT:: = = (107) Sesubstituieparametruldin(107)nexpresia(105)iseobinevariaia(incrementul) tensiunii, . { } | |{ } TD = (108) { } || | |{ }{ } ||{ } ||{ } { } ||{ } ||{ } ( ) ||{ } ( ) ||{ } ( ) | | { } ::1)` =||.|

\| = a D a Da D aDa D aD a aI DTT(109) | |TD -matriceaconstitutivtangenialstandard,simetric,esteuntensorde ordinul4,caredepindeattdeconstantelefizicefundamentalealematerialului(E, u ), ct i de starea curent de tensiune{ } , prin intermediul vectorului{ } a ; TD =. Semnulimplic un produs tensorial. Aceast matrice constitutiv se va folosi n expresia (110)pentruadefinimatriceaderigiditatetangentastructurii| |TK ,ncalcululcu MEF. | | | | | || |( )| | ( )0K dV B D B KVTTT+ = (110) | |0K -matriceaderigiditateiniial,careaparenumaidacexistio neliniaritate geometric (pe lng cea de material); | | B- matricea care leag deformaiile de deplasri. Dac postulatul lui Drucker nu mai este valabil (apare o curgere neasociativ), atunci se poate stabili o funcie Q pentru care s fie aplicabil principiul normalitii. { })`= Qd dP(101) Setiecndomeniulelasto-plastic,vectoruldeformaieitotale{ } crete incremental la momentul t cu vectorul{ } d , compus dintr-o parte elastic i plastic. { } { } { }p ed d d + = (111) Relaiaconstitutiv incrementaldindomeniileelasticirespectivplastic,are forma: { } ||{ } d D d = (112) { } | |{ } d D dep= (112) Pentrugsireamatriceiconstitutiveelasto-plastice| |epD seexprimcreterile deformaiilor (111) folosind expresiile (112) pentru componenta elastic i ecuaia (101) pentru componenta plastic. { } || { })`+ = Qd d D d1(111) Se premultiplic ambii membri ai ec. (111) cu|| DFT)`. ||{ } { } ||)`)`+)`=)` FDFd dFd DFT T T(111) Dac materialul a ajuns la starea de curgere, atunci0 = F , i dac pe parcursul deformaiilor plastice nu mai are loc nici o descrcare, atunci0 = dF . Avnd n vedere c02 1= = dF dF dF , rezult: { } 0 =+)`ccTdFdF(113) SeintroducecantitateaauxiliarA,conf.NayakiZienkiewicz,careconine influenele care determin gradul de ecruisare al materialului. ccdFdA =1(114) Pentruunmaterialidealelasto-plastic,cuocomportareconstitutivconf. diagramei tehnice a lui Prandtl, rezult c0 = A .nlocuind notaia (114) n relaia (113), se obine parametrul d , la momentul t. ||{ }||)`)`+)`= QDFAd DFdTT(107) Secalculeazrelaiaconstitutiv(112)iseobinenfinal,expresiamatricei constitutivederigiditateelasto-plastic,latimpult,pentrucazulgeneralalunei curgeri neasociative. | | |||| ||||)`)`+)`)` = QDFADF FDD DTep(115) ncazuluneicurgeriasociative( F Q = )iaplicriicriteriuluidecurgerevon Mises, -pentruostaredetensiunecaracterizatprintensorul:{ }z xy y xT = , matricea constitutiv elaso-plastic (115) capt forma (116); | |

+=ztztxytztytztxtztxytztxytxytytxytxtxytytztytxytytytxtytxtztxtxytxtytxtxteps s s s s s s ss s s s s s s ss s s s s s s ss s s s s s s sEDuu uuuu uu uuuuuu uuuuu2 112 1 2 1212 1 2 112 12 1 2 1 2 111 (116) -pentruostarespaialdetensiune,caracterizatprintensorul: { }zy yz xy z y xT = , matricea elasto-plastic are forma (117). | | +=u 1EDep (117)

zxtzxtzxtyztzxtxytztzxtytzxtxtzxtyztzxtyztyztyztxytztyztytyztxtyztxytzxtxytyztxytxytztxytytxytxtxytztzxtztyztxytxytztztytztxtztytzxtytyztytxytytztytytxtytxtzxtxtyztxtxytxtztxtytxtxts s s s s s s s s s s ss s s s s s s s s s s ss s s s s s s s s s s ss s s s s s s s s s s ss s s s s s s s s s s ss s s s s s s s s s s s uuuuuu uuuuuu uuuuuu2121212 112 1 2 12 1 2 112 12 1 2 1 2 11 S-a folosit notaia: E E EE ETtTtcu + + =13211232(118) TtE- modulul tangent de plasticitate la timpul t; ddET =. S-aexprimatcondiiadecurgerevonMiseslamomentult,inndseamade ecruisarea isoterm, clasic isotrop (sau cinematic), dat de relaia: ( )( ) tijtijtijtijts s F =21(119) Unde , ijt- tensorul translaiei suprafeei de curgere. Pentruoecruisareizotrop,careincludecondiiadeplasticitateperfect,sepot considera condiiile (120). 0 =ij; 231ct = (120) 1.8.3 Criteriul de curgere Buyukozturk Acestcriteriudecurgereplasticpunenevidenefectulecruisrii materialuluincazuluneincrcriciclice,asupradefiniriifuncieidepotenial plastic.ntrireamaterialuluiprinncrcri/descrcrirepetateseevideniazn calculul plastic prin determinarea parametrilor pcdiA. a)Consolidarea prin lucru mecanic Funcia de curgere este o funcie omogen de gradul1 = n , n timp ce 1 =cc . 0593 3 328 821= + + = =c c cS F F (121) n continuare, pentru cF 1 se obine relaia (122). cccSF 227593 3 29828 828 1=+ +=(122) Variaia deformaiei plastice echivalente, este:||.|

\| =cnc cpcFnc d d 1 1(123) Efectul consolidrii asupra deformaiei elasto-plastice, este: 21 1||.|

\| =cnc cFnc H A ,(124) unde, H - modulul de consolidare. nfinal se obin urmtoarelerelaiipentruceidoiparametriicareevideniaz efectul ecruisrii. ||.|

\| =cpcd d 22718(125) 282271||.|

\| =cH A (126) Formularea funciei de potenial plastic se mai poate exprima astfel : 058127 272 28 82 21= + + = =c c cS F F (121) Dac funcia F este de grad2 = n , n timp ce1 =cc , pentru cF 1 se obine: 8127=cF(122) Dinecuaiile(125)i (126)rezultexprimareageneralavariaieideformaiilor plastice i a efectului ecruisrii, vezi i datele din Tabel 2. ( )827 2 =cpcd d (127) ( )2827 2 =cH A (128) b)Consolidarea prin deformaii Se consider o funcie de curgere omogen de forma (121) sau (121).n continuare, pentru cF 1 se obine relaia (122). Din pcate, nu este posibil s se simplifice ijF 1; acest termen va trebui s fie determinat numeric. Variaiadeformaieiplasticeechivalenteiefectulecruisriiasupra deformaiei plastice, rezult de forma: ij ijpcF Fd d =1 132(129) ij ij ijF FH A ||.|

\| =1 1 8322271 (130) FunciadepotenialplasticFestedegrad2 = n ,ntimpceparametriiau valoarea:1 =cc i01=cF.Seobinenfinalincrementuldeformaieiplasticeconf. relaiei (129) i efectul ecruisrii conf. relaiei (130). ( )ij ijcF FH A =1 183227 2 (130) Observaii. -Aufostconsideratedouformulrialecriteriuluidecurgerealui Buyukozturk,careianconsiderarentrireamaterialuluiprinefectuldeecruisare. Mrimile parametrilor A i pc , care definesc acest efect, depind de modul concret n care criteriul respectiv este formulat.- n ecuaia (121), se are n vedere termenul 8 c n care tensiunea octaedric 8poate fi negativ i poate avea un efect dominant; ca urmare ntreaga expresie de sub radical poate deveni negativ. Din punct de vedere fizic aceast situaie nu constituie o problem, deoarece starea de tensiune din punctul respectiv este situat n interiorul suprafeei de cedare, astfel nct materialul este nc solicitat n domeniul elastic i n fapt nu este atins suprafaa de curgere. Practic, probleme numerice sunt susceptibile s apar.Unmod dea evitaaceste problemeeste ssefaccalculeleconsidernd o funcie ptratic ca suprafa de curgere. -ExpresiileparametrilorAi pc ,caredefinescfenomenuldeecruisarea materialuluincadruldiferitelorcriteriidecurgereplastic,cufunciidepotenial plastic specifice, se prezint n Tabelul 2. Tabel 2 Cr i t er i ulde curger e Funcia de potenial plastic 1ddH A =1 2 d dpc =2 Tresca 0 cos 2 = =cS F 1 332 Von Mises 0 3 = =cS F 11 Buyukozt urk 0593 3 328 82= + + =c cS F c22718ij ijF F 1 132 Drucker-Prager ( )( )0sin 33 sin 13 sin 3sin 68= += cS F ( )sin 33 sin 1 ( )31sin 3 3sin 822+ Mohr-Coulomb ( ) sin 121sin sin 3 cos sin8 + =cS S F2sin 1 3sin 12 + 1.8.4 Criteriul de curgere Mohr-Coulomb Criteriul Mohr-Coulomb este o generalizare a criteriului tensiunilor tangeniale al lui Coulomb i este definit de relaia (131). tg cn+ =,(131) unde, -amplitudineatensiuniitangeniale; n -estetensiuneanormalde compresiune; c - coeziunea materialului; - unghiul de frecare intern a materialului. Conform acestei teorii, criteriul de rupere/curgere are expresia (132).( ) tg c |.|

\| ++ = sin2 2cos213 1 3 12 1 ,(132) sau, dac redactm, rezult: ( ) sin cos 23 1 2 1+ = c (133) Fig.25 Reprezentarea geometric a suprafetelor de curgere (1- Piramida hexagonal Mohr-Coulomb; 2 - Prisma hexagonal Coulomb-Tresca) Loculgeometricdatderelaia(133)reprezintopiramidhexagonal, caracterizatprindistanadelavrflacentrulaxelorprincipaleegalcu ctg c .n interiorulacesteipiramideraportatlaaxeleoctaedrice(8 , 8 )senscrieprisma hexagonalaluiCoulomb(vezifig.25).Corespunztoruneistriplanedetensiune 02 1 i03 = ,reprezentareagraficastriilimitseobineprinintersecia unuiplan( 03 = )cupiramidahexagonal,careconducelaunhexagonneregulat; dacplanul de intersecie este un plandeviatoric,pe rpendicular peaxa piramidei, se obine un hexagon regulat. Diagramaconstitutiv pentrucriteriiledecurgereMohr-Coulombi respectiv von Mises, se prezint comparativ n fig.26. Fig.26 Dreapt intrinsec conf. teoriilor Mohr i Mises 1.8.5 Criteriul de curgere Drucker-Prager Criteriulseapliclamodelareacomportriisubsarcinarocilorstncoase,a pmnturilor, a betonului, .a.; a fost elaborat n anul 1952. Reprezint o extindere a teorieiderupereatensiunilortangenialemaximealuiCoulombioaproximarea criteriului Mohr Coulomb, ca o modificare a condiiei de curgere von Mises, pentru a permite o mai bun desfurare a calculelor. Influenatensoruluisfericdetensiune(acomponenteitensiuniihidrostatice) asupracurgerii,afostintrodusprinincludereaunuitermenadiionalnexpresia condiieidecurgerepropusdevonMises(1913).Stareadecurgereplasticapare cnd urmtoarea combinaie liniar a invarianilor strii de tensiune atinge o valoare critic: ( ) () k J I = +2 12 1(134) -parametrudeconsolidare(ecruisare)esteovariabildestarecedepindede deformaia plastic de la momentul de timp t; ( )pijt t = (135) k- parametrul de material, ce urmeaz a fi determinat; ijs- componenta tensorului de tensiune deviator; ijtijtijts 0 = (136) 0- tensiunea normal medie;1 03131Iii = = (137) ( ) , , c f k =- parametrii spacifici unui material; ( ) sin 3 3sin 2=;( ) sin 3 3cos 6=ck (138) c- coeziunea materialului; -unghiuldefrecareinterioaramaterialului;pentruunmaterialperfectplastic, coeficieniici sunt constani. Criteriul general de curgere (139) pentru modelele elasto-plastice, { } ( ) 0 ,2 1= = =nc c cc f F F F (139)se particularizeaz la un moment de timp t (de ncrcare), sub forma: 0 30= + =ct tS F ,(140) fiind o form extins a condiiei Coulomb: 0230= + = ksFij 3 , 2 , 1 , = j i (141) Unde, F- funcia de potenial plastic sau funcia de curgere (funcia de ncrcare). c- rezistena de curgere la ntindere uniaxial;cC- constanta de material a funciei de curgere; n- gradul funciei de curgere;S- intensitatea tensiunilor tangeniale, care se poate exprima funcie de invariani, de tensiunileprincipalesaudetensiunileoctaedrice;pentrulcalcululdeverificarese exprim n funcie de rezistena echivalent e . ( ) ( ) ( ) | | ( )2 122 121 323 222 12 123336121J s s Soct e ij ij = = =)` + + =|.|

\|= (142) CriteriulDrucker-Pragerestedepreferatdatoritformeicompactede exprimareicontinuitiiderivatelorsale.nacestecondiii,criteriuldecurgere devine: ( ) ( )0sin 3 3cos 6sin 3 3sin 601=)`+= = cS F F F (143) Dac: 2 1F F >- comportarea materialului n domeniul plastic ( 0 > F ); 2 1F F