ECUATII LINIARE SI INECUATII DE

GRADUL INTAI

Forma Generala a ecuatiei liniare este: ax+b=0(1) unde a si b sunt

numere reale.

Se numeste solutie sau radacina a ecuatiei (1) un numar real astfel încât

sa avem :

a +b=0

Sa vedem care pot fi solutiile ecuatiei liniare .Distingem cazurile :

1. Dca a 0 , ecuatia (1) are radacina - .In acest caz ecuatia liniara ax+b=0 ,

a 0, se numeste ecuatie de gradul întâi .

2. Dca a=0 si b=0 , ecuatia (1) are forma 0x+0=0.Aceasta egalitate este

adevarata pentru orice valoare data lui x .Deci in acest caz ecuatia are o

infinitate de radacini , orice numar real fiind radacina .

3. Dca a=0 si b 0, ecuatia (1) are forma 0x+b=0 cu b 0. O astfel de egalitate

nu este adevarata pentru nici o valoare data lui x .Deci in acest caz

ecuatia (1) nu are radacini .

EXEMPLU:

Sa se rezolve ecuatia in necunoscuta x ,

(2)

unde m este un numar real oarecare .Aceasta cutie devine :

Daca , adica m 1 si m -1 , atunci ecuatia (2) este de gradul

întâi ,având radacina :

1

, adica .

Dca m=1 , ecuatia (2) devine , care este adevarata pt orice numar

real x .

Daca , se obtine , care nu este verificata pentru nici o

valoarea a lui x .

Observatie. In practica vom considera si ecuatii a caror rezolvare se reduce

la rezolvarea unor ecuatii liniare .

In continuare , vom da câteva exemple care contin necunoscuta la

numitorul fractiei.

Inecuatii de forma , , sau , unde a si b sunt

numere date , iar se numesc inecuatii de gradul întâi .

Observatie . In practica vom considera orice inecuatie care se reduce ,

folosind proprietatile inegalitatilor , la o inecuatie de gradul întâi .

1.Sa consideram inecuatia de gradul întâi

Daca a>0 , atunci .

Daca , atunci .

Observam ca punctul parte din multimea solutiilor.

Ecuatii si inecuatii care contin necunoscuta in modul

Vom da in continuare exemple de ecuatii si inecuatii care contin necunoscuta in

modul .

Exemple

2

1) Sa se rezolve ecuatia :

(4)

Dupa definitia modulului avem

adica

Asadar , ecuatia (4) devine :

a) Daca avem x-3=4 , de unde x=7. Cum , rezulta

ca 7 este radacina a ecuatiei .

b) Daca x>3 avem –x+3+4 , de unde x+-1 .Cum –1<3 , rezulta ca –1 este o

radacina a ecuatiei . Deci radacinile ecuatiei (4) sunt

Observatie . O alta metoda de rezolvare se bazeaza pe urmatoarea proprietate

a modulului : daca si numai daca

Ecuatia devine ,adica sau , de unde

rezulta ca radacinile ecuatiei sunt si

ECUATII DE GRADUL AL DOILEA CU

RADACINI REALE

3

Rezolvarea ecuatiei de gradul al doilea cu radacini reale

Fie ecuatia :

, (1)

a,b,c fiind numere reale.

O astfel de ecuatie se numeste ecuatie de gradul al doilea cu coeficienti reali .

Se numeste solutie sau radacina reala a ecuatiei un numar real

astfel încât sa avem :

Prin rezolvarea ecuatiei se intelege determinarea tuturor solutiilor

(radacinilor) acestei ecuatii .

Ne propunem , in continuare , sa gasim radacinile reale ale ecuatii (1).

Transformam membrul stâng al acestei ecuatii in modul urmator :mai întâi

scoatem in fata parantezei coeficientul lui :

Apoi scriem termenul sub forma

La expresia din paranteza , adaugând si scazând pe , care este patratul lui

, se obtine :

4

Cum , avem

Asadar , ecuatia (1) devine :

sau

Existenta radacinilor reale ale ecuatiei de gradul al doilea (1) , precum si

numarul lor , depind de existenta lor , depind de expresia .Aceasta

expresie se numeste discriminantul ecuatiei de gradul al doilea si se noteaza

cu .

Fie deci , in continuare , Atunci , exista numarul real

si putem scrie:

Rezulta ca

5

de unde

Dca discriminatul ecuatiei de gradul al doilea este egal cu zero , atunci ecuatia

(1) are doua radacini reale egale:

ECUATII IRATIONALE

1)Se numeste ecuatii irationale , ecuatiile care contin necunoscuta sub

semnul radical . Asa , de exemplu , ecuatiile sunt irationale

Amintim ca radicali de ordin par sunt definiti numai pentru numere negative ,

acestia fiind de asemenea numere negative . Sa consideram , de exemplu

ecuatiile irationale :

. Cum radicali de ordinul doi sunt definiti numai patru numere

negative , rezulta ca solutiile ecuatiei trebuie sa verifice sistemul de inecuatii :

Se aici rezulta : si deci sistemul nu are solutii .Asadar ecuatia

data nu are solutii reale .

6

Observatie.Cele doua exemple precedente ne arata ca este necesar ca înainte

de a trece la gasirea ,prin diferite metode , a solutiilor unei ecuatii irationale ,

sa ne asiguram daca astfel de solutii pot sa existe .

2)Metode de rezolvare a ecuatiilor de irationale .Calea obisnuita de rezolvare a

ecuatiilor irationale consta in eliminarea radicalilor , prin diferite

transformari , reducându-le astfel la ecuatii deja studiate (de exemplu , e gradul

întâi sau al doilea ). Mai jos prezentam câteva ecuatii irationale a caror rezolvare

se pot efectua prin ridicare la putere sau inmultire cu expresii conjugate .

(2)

Pentru ca radicalul sa existe trebuie ca , de unde . Deci solutiile

ecuatiei trebuie sa verifice aceasta inegalitate .Ridicam ambii membrii ai

ecuatiei la patrat si obtinem : , sau . de unde si

Cu toate ca , nu putem trage inca concluzia ca acestea sunt

radacini ale ecuatiei (2).

FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA

Definitie :Fiind date numerele reale a,b,c cu , functia definita prin formula

se numeste functie de gradul al doilea cu coeficienti a,b,c

Observatii

1. Domeniul si codomeniul functiei de gradul al doilea este multimea

numerelor reale . Deci functia de gradul al doilea este o functie numerica.

2. Deoarece domeniul si codomeniul functiei de gradul al doilea este

vom indica aceasta functie astfel :

7

3. Ofunctie de gradul al doilea este perfect

determinata când se cunosc numerele reale

4. Trebuie sa observam ca in definitia functiei de grad al doilea conditia

este esentiala in sensul ca ipoteza a=0 conduce la functia de gradul întâi

5. Denumirea de functie de gradul al doilea provine din faptul ca este

definita prin intermediul trinomului de gradul al doilea

Exemple de functii de gradul al doilea

1.

2.

3.

Probleme care conduc la functia de gradul al doilea

Exista numeroase exemple concrete care a impus studiul sistematic al

functiei de gradul al doilea :

1. Aria A a unui patrat este de lungimea razei sale x ; aceasta

dependenta functionala este data de relatia

2. Aria A a unui cerc este functia de lungimea razei sale x ; aceasta

dependenta functionala se exprima astfel:

unde este o constanta aproximativ

egala 3,14.

3. In fizica se arata ca in caderea libera a unui corp in vid , sub

actiunea fortei gravitationale , spatiul s(t) parcurs de corp in

timpul t este dat de formula :

8

4. Dintr-un turn de inaltime se arunca o piatra pe verticala in sus

cu viteza initiala .Inaltimea h(t) la care ea ajunge la momentul t

este data de formula :

5. In miscarea uniform accelerata spatiul s(t) parcurs de un mobil in

timpul t este dat de formula

unde a este acceleratia mobilului .

VECTORI

Reamintim câteva notiuni si propietatii studiate in gimnaziu :

Planul este o multime de puncte care contine ca submultimi dreptele . In

cele ce urmeaza vom considera ca toate punctele si dreptele apartin unui

aceluiasi plan .Oricare doua puncte distincte determina o dreapta . Daca A si B

9

sunt doua puncte distincte atunci dreapta dreapta determinata de ele se va nota

AB .Doua drepte pot avea un punct in comun , nici un punct comun sau toate

punctele comune . Doua drepte AB si CD sau sunt paralele si se va nota

.Pentru a simplifica unele unele formulari se considera ca

doua drepte care coincid sunt paralele

Un punct care apartine unei drepte d determina pe aceste doua

semidrepte cu originea in acel punct . Fie punctele A,B,C trei puncte distincte

, coliniare (deci , situate pe dreapta d ).Punctul A determina pe d doua

semidrepte .Punctele B si C sunt de aceasi parte a punctului A daca ele

apartin aceleiasi semidrepte (fig. 1.1)si sunt de o parte si de alta a punctului

A daca apartin la semidrepte diferite (fig. 1.2);in acest caz se spune ca punctul

A este intree punctele B si C

fig1.1 fig1.2

O semidreapta este determinata de originea ei si inca un punct care ii apartine

. In notatia semidreapta AB se va intelege ca A este originea si B un alt

punct de al ei .Segmentul determinat de doua puncte distincte A si B , notat

AB , este multimea dreptei situate intre A si B . Se va face distinctie intre

10

segmentul inchis , care cxontine extremitatiile si segmentul deschis , care

nu le contine .

Distanta dintre punctele A si B se numeste lungimea segmentului AB .Pentru

simplitate , dreapta detrminata de punctele A si B , segmentul de ele si

lungimea acestuia , au aceasi notatie , AB, iar din context rezulta la care

notiuni se face referirea . Doua segmente care au aceasi

lungime se numesc congruente si se noteaza sau .

Deci simbolul este utilizat intre doua multimi iar simbolul ``=`` este utilizat

intre doua numere .Se va considera si segmentul nul , segmentul detrminat de

doua puncte care coincid .Lungimea segmentului nul este 0.

Relatii metrice in plan si in spatiu

1) Masura unui unghi inscris in cerc

Formulele care exprima masura unui unghi in functie de masura unui arc nu

sunt elatii metru=ive dar sunt necesare pentru demonstrarea unor relatii

metrice .

Unghiul <AMB se numeste unghi inscris in cercul C(O,r) daca A,M,B sunt

puncte ale cercului C(O,r).

11

Teorema 1 : Masura unui unghi inscris in cerc este din masura arcului

cuprins intre laturile sale

Terema 1 : Masura unui unghi cu varful pe cerc , una din laturi fiind secanta

cercului , iar celalta tangenta cercului este din masura rcului de cerc

inclus in interiorul unghiului

2)Patrulater inscriptibil

TEOREMA :

Daca un patrulater este inscriptibil atunci oricare doua unghiuri opuse sunt

suplementare si orice unghi format de o diagonala si o latura este congruent

cu unghiul format de cealalta diagonala cu latura opusa .

TEOREMA :

Daca intr-un patrulater convex doua unghiuri opuse sunt suplementare , sau

unghiul format de diagonala si o latura este congruent cu unghiul format de

cealalta diagonala cu latura opusa , atunci patrulaterul este inscriptibil .

3).Teorema cosinusului .

TEOREMA : In triunghiul ABC are loc relatia

4)Teorema sinusului . In triunghiul ABC se noteaza cu R raza cercului

circumscris .

12

TEOREMA : In triunghiul ABC au loc relatiile :

Formule trigonometrice ale sumei si diferentei de unghiuri

cos(x-y)=cos x cos y +sin x sin y

13

14