Manual Mate XII
-
Upload
popavasilicadragos -
Category
Documents
-
view
238 -
download
0
Transcript of Manual Mate XII
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 1/324
o
1
ELEMENTE
DE
ATGEBRA
Legi
de
compozilie
pe
o
mullime
.1.
Deflntfii qi
exemple
Din
studiul
diferitelor
operafii
intdlnite
pdnn
acum
(adunarea
gi
inmulfirea
numerelor,
compunerea
funcfiilor,
adunarea
El
inmulfirea
matricelor
etc.)
se pot
desprinde
concluzille:
existd.
o
mare
diversitate
atdt
in
ceea
ce
priveqte
natura
mulflmllor pe
care
sunt
dellnite
aceste
opera{tt
(numere,
funcfii,
matrice,
vectorl,
girurl,
perechl
ordonate,..),
cat
pi
in
ceea
ce
priveqte
regullle
speciflce
dupa
care
se
opereaza
cu
elementele
acestor
multimi;
*
opera{iile
algebrtce
intalnlte
au
c serte
de
proprletfi.{.i
comune,
indlferent
de
natura
elementelor
asupra
carora
opereaza
(comutativi-
tate, asociativitate
etc.).
,
Refinand
aspectele
esenfiale
ale
operaflilor,
in
acest
capitol
se
va
face
o
prezentare
a acestora
lntr-o
forma
generald.
prin
intermediul
conceptulul
de
lege
de compozifie,
concept
care
dA
posibilitatea
folosirii
metodei
axiomatice
in
algebrd..
{.
DEFtl{tTil
FieMomultimenevidd.
.O
aplicatre g:MxM+M,(r,y)-+q(x,y)
s"
numeste
lege
de compo-
zifie
(operatie algebricd)
pe
mulfimea
M.
'Elementul
g(x,
y)e
M,
care
corespunde prin
aplicafia
cp
perechii
ordonate
(*,
y)
e M
x
M se
numeste
compusul
lui x
cu
y
prin
legea
de
compozifie g.
@
Exemple
de
legi
de compozilie
o
operafia
de
adunare
.
+
"
$i
operafia
de
inmulfire
,,
.
"
pe
mul(imile
de
numere
N,
Z,
Q,
A,
C:
,,
+
":
NxN+ ir,
(x,
y)
-+
x+y,
,,
.
"i
Nx
N
+
N,
(x,
y)
-+
x,y,
,,+":
zxl-+l,
(x,y) -+x+v,
,,
.
"i
lxl
-+ t, (*,
y)
-
x,y, etc.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 2/324
.
Operatia
de
adunare
,,+"
pe mulfimea'/'avectorilor
din
plan:
,,+":
'/
x'/'
->
'/
,
(a,
U)
+
a
+
t'
.
Operatiile
de
reuniune
,,t-,1..,
intersec|ie
,,n..,
diferen|i,,\..,
diferenti
simetricd
''^..'
pe
mul.timea
t/(M)
ap5.r{ilor
(submultimilor)
unei
mulfimi
M:
,,
Q
"i
t/(M)x
r(M)
-+
e
(M)'
(A'
B)
-+
Av
B'
,,
rl
":
r/
(NI)
x
,/
(M)
-+
'/
(M)
'
(e'
n)
-+
A
r-r B'
etc'
.
operatia
de
compunere
,,"*
afunc .iilorpemulfimea
,,:(M)={r
lr:u-+u}
'
,,
"
":
./
(M)
x.'r-(M)
-+ /
(M)'
(f'
g)
-
f
"
g'
Legile
de
compozifie
sunt
date
in
diferite
nota{ii:
r
in
notatie
aditiva
se
scrie
tp(",V)=x+Yl
elernentul
x
+
y
e
M
se
nume$te
suma
lui
x
cu
y, iar
operatia
Q
se
nume$te
adunare'
r
in
notatie
multiplicative
se
scrle
q(x'
V)
=
x'Yi
elementul
x'y
€
M
se
numeste
produsul
lui
x
cu
y, iar
operatia
q
se
numeqte
inmulflre'
Deseori,
dac6
*
'
*.
M
*rM
este
o
lege
de
compozitle
(operatie
algebrice)
pe multimea
M,
in
loc
de
notafia
q(x'y)
se
folosesc
notatiile
x
(p
y,
1o
J/,
x
*
y,
xTy,
x
Iy
etc'
Sxz,*dtila
.pr/atna,0
BPemulfimealQsedeflneqteoperatlaalgebrice"T"'astfel:
T :
lQxlD
*+
lQ, ("'
V)
-+
x
T
Y
=
W*x-Y'
a)
Sa
se
calculeze
2T
3,
5
T
(-3)'
(-O)T(-8)'
b)
Pentru
care
elemente
x
e
lQ'
avem
xI
2
=
8?
c) Sa
se
rezolve
ecualia
x
T
(x
+
1)
=
1'
SoLutie
.1
ry
rffi=.ffi
ffi-ffi-W=
r; 5
T
(-3)
=
5'(-3)
-
5
-(-3)
= -r7'
iar
(-6)T
(-8)
=
(-6)
(-8)
-
(-6)
-
(-8)
=
62'
b)
Avem:
xI
2
=
x' 2-
x
-
2
=
x
-
2'
obtine
x
=
lO.
c)
Avem:
x
r
(x+l)=
x(x+1)-*-("*1)
="2
-x-l'
Reanltdecualia
x2
-x-2=o
cu
soluliile
X1
=*1,
X2
=2'
Asadar'
(-1)
T
o=+1
qi
2
T
3
=
+1'
1.2.
Adunarea
9i
inrnulfirea
modulo
n
n(
al
Fie
n
e
N*
un
numdr
natural
9i
a
e
Z'
Din
rest a
numerelor intregi
rezr'lltd
cf,
exist6
qi
sunt
;i
r
e
{0,
1,
2,,..,
n-1}
cu
proprietatea
a=
nq
+
r'
Dinegalitateax-2=8se
teorema
imPdrlirii
cu
unicenumerele
qeil
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 3/324
Numd"rul
naturar
r
care
reprezintd
restul
impartirii
lui
a
la
n'
se
noteazd.a
mod
,,
t"I^"it""t"
".
*oaUo
tri
qi
se
numeqte
redusul
modulo
n
al
numdrului
a.
*^^-ni"a*'ffiffi**
Astfel,
dacA
n
=
6,
atunci:
15mod6
=
3,
5mod6
=
5,
(-10)mod6
=
2'
Pe
mulfimea
Z
definim
urmdtoarele
legi
de
compozilie:
a)
@
:
il-xL-
->
A,
u
A
A=
(a
+
b)
modn'
numita
adunarea
modulo
n'
a
0
b
se
numeste
suma
modulo
n
a lui
a
cu
b'
b)
o
:
il.xil-
-+il-,
a
O5
=
(ab)modn'
numitA
inmu$irea
modulo
n'
a
O
b
se
numeqte
Produsul
modulo
n
aI
lui
a
cu
b.
Astfel,
Pentru
fl
=
8'
avem:
6
o
10
=
(6;
l0)mod8
=
16mod8 =
0;
7
@
LZ
=
(7
+12)mod8
=
19
modS
=
3;
4
O
3
=
(+'
g)mod8
=
12mod8
=
4;
(-2) o
5
=
[(-2)'
5]mod8
=
(-10)mod8
=
6'
1.S.
Adunarea
qi
inmulfirea
claselor
de
resturi
modulo
n
Fie
n
e
Nu
un
numar
natural
fixat'
Pentru
a
e
T
notdm
a
=
{;+"nkl
r.
.
z1
s,i
r"
=
a
mod
n
restul
impf,rlirii
lui
a
Ia
n'
DinteoremaimpArlirilcurest,rezu|td'c6existdqetastfelincAt
a=nq+r'
"klk
'v\=lr'
{r+nhlhe
z}
=i'
-
^'lt,rnci,
i
=
{a
+
nkl
k
eL-\=
{r
+
nq
*
iol
k
eL\
=
Agadar,
in
determinarea
mu$imii
i
"Stt
esen{ial
sd
cunoaqtem
Algehri
r
l.
restul
imPar-tirii
lui
a
la
n'
#i;;;;
"";*eqte
crasa
1"
i:lT: T::":"*i'l;t3;
Xlil#:3'1"ii'XiJl?iii"ff
1;;d"l':l-::1,"i:[':i'l'Ji::ff;
n".f
;:T:;i::'5':"{Ti**,i:i"Tl1*Uf
i'"."il""i,1"fr:H,:
L"iJl3',1'
i,"u'"tJ
of
it';;l;;t";i
acestea
pot
n
considerate
6,i,2,,
.,
r:1.
MultimeaclaselorderesturimodulonsenoteaztrcuZ'''giputem
""rr"ffi
7
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 4/324
Pe
mulfimea
L,n se
definesc
ur-rnS"toarele
legi
de
compozitie:
a)
,,
+
";7In
xLn
+ Ln,io
6
=
.-O-.-6,
numitd.
adunarea
claselor
de
resturi
modulo
n,
iar
i
o
6
""
nurnegte
suma claselor
i
si
6;
b)
,,."'.LnxLn
+L^,;'6
=
t6E,
numitd
inmulfirea
claselor
de
resturi
modulo
n, iar i.6
u" numeste
produsul
claselor
i
qi
6.
W
Exem.ole
oFie
Za
={0.i,2,a}.
at.r.t"iavem:
2*i=s:i*3
=i:2*2=0
etc.
)
De asemene^t
2'2
=
6; ).s
=
i;
3 3
=
i.
rin
zs
={0,i,
,,3,a\..,.m, i*i=3,2*3=
6,2*2=4,4.3=0
etc.
De
asemene
^,
2.),=A,2s=
i,
s
3-4, 4
3=2
etc.
Ere*r&r, @gohtalrt
E
1.
SA se
calculeze\n
T-r:
,^'3
a)
(z)
:
Solufie
/^\J
Avem:
a)
(2,)
t^14 ,^t3
c)
t3,)
*(5)
=3
3
b)
(3
a)
6;
tr 2.
Sa se rezolve
in 7In
ecuatia
2x2 *2*
=
6.
Solutte
Soluliile ecuatiei pot
fi
doar elemente
ale
mulfimii
{O,
i, t,
3}
Fie
f
(x)
=2x2
+2x.
Avem:
.
ff0)
=2.6*2.o=6*6=6;
\/
.
f(i)
=2.i*2.i=2+2=6:
.
f(i)
=2.6*2.2=0-6=6;
"
f(t)
=2'i*2.3=2n2=6.
in
concluzie,
solufiile ecua{iei
date sunt
6, 1,
t,
3.
Dupd
cum
se
observ5",
ecuafiile
de
gradui
2,
pe
rnul{imi
diferite
de
cele uzuale,
pot
avea
mai mult
de doui solutii"
t^t4 r^r3
c)
(3)
*(5)
=i.i.A,=a.2=i;
b) (B
a)
u-E.6=2;
3.3*8
E E
=2.3.5n4.E=6"3*6=i+6=3.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 5/324
1.4.
Parte
stablli.
Lege
de
compozifie
lndusi
FIe
M
o
multime
nevidd
Sl,u,,: M
x
M
-+ M
o lege
de
compozifie
pe
M.
.I.
DEFIilITIE
l'
o submultime
s
c
M
se
nume'te
parte
stabil*
a
rui
M
in
raport
cu
I
l*g"rdecomporit*"",,J";;;;,
y
c
simplica
soye
s.
Pentru
cazul
s
=
M
se
spune
cd.
M
este
parte
stab'd
in
raport
cu
egea
de
compozilie
,,u,,.
u$Euencple
o
Mulfimile
de
n'mere.
N,
u,
Q
sunt
p,.rfi
stabire
ale
lui
D
in
raport
cu
operafiile
de
dunare
qi
de
inmulfire
a
numeretoi
ieafe.
rMulfimile
pN={pxlxeN}
,
cu p
c
N
sunt
parti
stabile
ale
rui
N
in
raport
cu
operafiile
de
adunare
qi
de
inmulfire
a
numerelor
naturale.
'
Fie
'//n(c)
multimea
matricelor
pd"trate
cu
elemente
din
multirnea
r[.
submultimea
s
c.,//n(D)
a
matricelor
inversabiie
este
parte
stabila
a
lui
.//n(,t)
in
raport
cu
inmultirea
matricelor.
8ne4ilrUr 'ra7ahlalz,
tr
1.
Fie
H
c,//2(,C),
parte
stabild
a
mul
Solutie
a2
+b2
=
r].
sa
se
arate
ca
H
este
)
H={(
"
b)
l[-n
a
)
l:mii
,,//2(A)
in
raport
cu
inniul{irea
matricelor.
FieA,
B
e
H,
"=f
i :J,"=[:,
]l
u,
a2+b2=r,x2.ty2=r.
se
f-b
a)
[_V
*)
='"
'v
obfine:AB=ft
o)
[t v)-fax-bv
av+bx)
'--[-n
"J{.-v
".,l
=[-"v-bx.-uy*"*J.
(1)
Folosind
proprietatea
det(AB)
=
Oet(A).det(B),
rezultd.
cd:
det(eB)
=(a2
+o')("'
*y')=l
piastfel
(*-by)r+(ay+bx)2
=1.
(2)
Din
relafiile
(1)
si
(2)
rezurtd
ci
AB
e
H,
deci
H
este
parte
stabird
a
mulfimii
,nr(A)
in
raport
cu
inmultirea.
tr
2'
Sa
se
arate
cd
mullimea
.4n=
{0,
1,
2,...,
n-1}
este
parte
stabild
alui
7r
in
raport
cu adunarea
moduro
n
si
inmurfirea
modulo
n.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 6/324
Satufte
DacA
a,be:'ln,
atunci,
din
definitie,
a@b
qi
aob
reprezint6
restul
irnpartirii
numerelor
a+
b
pi
a,b
lan.
in
concluzie,
a@b
pi
aob
sunt
elemente
ale
lul
"'/ln.
Dacd
H este parte
stalril5'
a
lui
M
in
raport
cu
legea
de
compozlfie
g
:
M
x
M
*+
M,
atunci
pe
mulfimea
H
se
poate
defini
o rege
de
compozilie
y
:
H
x
H
*+
H,
consider6.nd
y(*,
V)
=
q(x,
y),
V
x,
y
e
H.
Legea
de
compozifie
ry
se
numeqte
regea
de
compozifle
lndusE
pe
mullimea
H de
c6tre
legea
de
compozilie
q.
Pentm
simplificarea
scrierii,
se
obignuieste
s6
se
foloseascd.
aceeasi
notafie
pentru
legea
de
compozilie
pe
M
qi
legea
de
compozifie
indusd.
pe H.
1.5.
Tabla
unei
legi
de
compozifie
FieM
o
mulfimefinita,
].4={ar,a2,...,
a.}
si g:M
x
M_+
Molege
de
compozitie
pe
M.
Legea
de
compozitie
g poate
fi
descrisA
printr-un
tablou
cu
n linii
si
n
coloane
corespunz*tor
elementelor
dt.,
a2,...,
dn.
La
intersectia
liniei
i
cu
coloana
j
se
aJla
elementul
O(ai,
ar).
Acest
tablou
se
numeqte
tabla
legii
de
compozifie
sau
tabla
lui
Cayley.
Tabla
unei
legi
de
compozitie
are
un
rol
deosebit
in
perfec(ionarea
calcu-
lelor
algebrice,
precum
si
in
verificarea
compozi .ie.
&r,proi&,
@go/itala,
E
1.
Fie
*={.*
c
I
za
=r}.
sd.
se
arate
ca
H
este
parte
stabild
a
mullimii'c
in
raport
cu
inmulfirea
numerelor
complexe.
Solufie
Ecuatia
z4
=L
se
scrie
(r'z
..t)(22
+r)=0,
de
unde
se
obfine
ze{-I,I,
i,
-i}
=H.
Alcdtuim
tabla operaliei
de
inmul{ire
pe H.
ol
Cl
ts
(
unor proprietAti
ale
-1
I
-i
i
I
-l
-l
I
i-i
-ii
i-i
-ii
-l
I
I
-1
t0
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 7/324
Dupd
cum
se
observa
din
tabla
operafiei,
toate
rezultatele
obfinute
in
urma
compunerii
elementeloi
aparfin
mulfimii
H,
in
concluzie,
mulfimea
H
este
parLe
stabild
a
lui,c
in
raport
cu
inmulfirea.
E
2.
se
se
alcdtuiascd
tablele
operafiilor
de
adunare
qi
de
inmulfire
modulo
4
pe
:/ln
pi
de adunare qi
de
inmulfire
pe
mul{imea
claselor
de
resturi
Zn.
Solutie
Avand
in vedere
modul
in
care
s-au
definit
operadiile pe
multimile
frs
qi
il-4,
avem:
o
1
2
3
o
I
2
3
o
2
o
2
o
3
2
1
tr
3.
Pe
mu[imea
lQ se
considerd.
legea
de
compozitie
Xoy
=xy+x+y,
v
x,
y
e
lQ.
sd
se
arate
cd mulfimea
M
=l-2,
ol
este
parte
stabild
a
lui lQ
in raport
cu
legea
Ce
compozifie
,,
o
".
Solutie
Trebuie
aritat
ca dacd
x,
y
€
[-2,
0],
atunci
x
o
y
€
[-2,
0].
Deoa_
rece
x,
yef-2,0],
rezultdcd-2<x<
O,-2
<ys0sau-1
<x+
1<
L,
-l
sy+
1<
l
qi
se
obfininegalitdfile
lx+11
<t,
ly+tl<1.
prininmultire,
.
avem
inegalitatea
l(x
+
t)(y
+ r)l
<
r,
care
se
scrie
sub
forma
-1<("*t)(V+t)<1.
Dupd.
reduceri
se
obfine
-2<xy+x+y<0,
deci
xoy€[-2,0].
I
2
3
o
o
1
2
3
o
o
0
o
o
1
2
3
o
i
2
3
oooo
oi23
o2oi
i^
0321
or23
i23o2soi
30it
o
i
2
3
3
0
1
2
2
3
o
I
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 8/324
EXEBCtIil
$t
PBoBtEME
El.
Pe
mulfimea
Z
se
deflneite
opera-
fla
algebrlcl
,o,,
astfel:
x
o
y
=
2x
+
+y-3,Vr,yeZ.
a)
S[
ee
calculeze
4
o
Z,
(-8)"s
rt
s"(-B).
b)
Si
se
alle
vatorile
x
care
x"(gx-f)=0.
c)
Si
se
rezolve
ecuatia
=s"(*r-8).
E2.
Pe
multimea
&
=[(r
[("
deflnim
operatia
algebricn
=3A-2Il, V
A,BeJ(.
a)
Sri
se
arate
cA
12
e
J/,
b)
si
se
carcureze
[l
t)
,
(t
2)
c)
si
se
au..r-ir,"\3"
.t'r,
" ?r":{.
r
a)
(t
"2'\
[.
'i'[..,
,
)=','
83.
SA
se
calculeze:
t8
mod
E;
2g
mod
6;
lZ
mor{
g;
kil:sed*;
jr
i
"
;
?,ffi3
"
=
J;ll-.-"t'
(-4)
o
el
l,9-. :-s
o
e;
(-e)
o
rz;
(-5)
o
o(-rl),
daci
n
=
1d"-
"'
(e+.,sese
calquleze:
\--'
a)
fr,
fi,6,
A,
i
in
Z3;
u)
2.+F**6
+?,6+O
in
za;
d
2.i,,
a
6,
(6)3,.(B)o
i,,
zu;
a)
(0+6)
(il6) (6.6)
in
17.
se
rezolve
ecuafiile:
ix+i=6,
in
zs;
8
"
(-r),
e
Z
pentru
(x+t)"3=
a
I
Jl'
.
,]
Al-B=
EXERSARE
flo:.
'{;-
)
*'+
i
=
0,
in
Zsi
tQ6*'-6x+0=0,
in
zr;
fltl,
*8
+ 0x
+
0
=
6,
in
Zs.
E6.
Pe
mulfimea
p
se
deflnegc
opera,
fllle
algebrlce
x
o
y
=
x
+
y
-
xy
gl
xTy_=x-y+
Zxy,V
r,
y
e
p.
Strse
'rezolve:
a)ecuatlaxox=;f1;
b)
slstemul
1(x
+
sr)
o
I
=
-19
[(*-zy)
T
z=_22'
E7.
Pe
multimea
M
=
{O,
l,
Z,
g,
a}
se
consideri
legea
de
compozltie
xoY=1"-yl,
v
x,
ye
M.
si
se
alci-
"
tuiasci
tabla
operatiei
gi
sA
se
arate
ci
M
este
parte
stabila'in
,aport
cu
aceaste
lege
de
compozifie.
88.
Sd
se
alcdtuiasci
tabla
operafiei
,o" pe
mulfimea
M gi si
se
studieze
daci
multlmea
este
parte
stabili
in
raport
cu
,,o..,
dac6:
a)
M
=
{x
e
Nlx
divide
l2},
xoy=c.m.m.d.c.(",y);
b)
M
=
lz,
s,
+,
sl,
x.o
y
=
min
(x,
y);
c)
M
=
{e,
l,
2,9,
4}
,
xoy=max(x,
y).
E9.
Sn
se
arate
ci
mulfimea
M
este
parte
stablli
in
raport
cu
legea
de
compozifie
specifi
cati:
da)
U=f2,+-),xoy=xY-
-2(x+x)+6;
',
*
=
{[i
?)1",
b.
al,
in
raport
cu
adunarea
matricelor;
T2
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 9/324
Algebri
o
l.
Grupuri
lra
zt\l
^
-
I
t'
c)M=.{l
:
--
lia,
teQ, a2
-
zu2
=tl.
Nb
")l'
)
in
raport
cu
inmultirea
rnatricelor.
ElO.Pe
multimea
nf
=
{r,
2, 3, 4\
se con-
siderS,
operatia algebricn
,,o"
a cirei
tabli
este
dati
mai
jos:
a)
Si
se
determine
x=1o(2"3),
y
=
4
"
(g
"
2),
z
=
(L
.2)
"
(g
"
4).
b)
$i
se
rezolve ecuafiile x
a
2
=
4,
4oX=?qix.2ox=L.
c)
Si se
rezolve sistemele
de ecuatil:
lx.2=y fx"y=1
< sr<
Ly"z=*
''
l(*+1)"y=1'
(
rt a\l
l
Ell.Fie
-ll=1A=l
-
-
lia.Cf
qilegea
|.
\o
L)l
__J
_
de
compozifie
X
lY=
X+Y-Iz,
V X, Y
e.,il2(C)
definiti
pe
mulflmea
,,ltz$),
Si
se arate
ci
rnultirnea
,,,// este
parte
stabili a
mugimii
nz@)
in
raport
eu
operafia
de
inmu$ire
a
matricelor
qi
in
raport
cu
operafia
t..
APROFUNDARE
A,1. Se
se
determine mulfimile
M
c I4,,
eare sunt
p:4.$i
stabile nXe lwi
&a
in
raport
cu opera{ia
de adunare.
A?. 56 se arete
e{L
nntrlfirnee.
M
este
parte
stabild
in report cu opera{ia
speeificatd:
a),
M=(a,
+*),
xoy=xy-a(x+y)-r
+ag
+
a;
b)
M=
[+,
oj, xoy
=
xy*5(x+y)
+
30;
l-\
X+y
rc)lM=(-1,1),
xoy=ffi
A3. Pe rnulflmea
M
=
{2,
+
-)
se consi-
deri
legea
de compozifie:
w-2
xoy=*,
Vx,yeM.
x+y-l'
Si
se arate cd M este
parte
stabili
in
raport
GU
,,
o
",
A4.
Se
considerd
rnultimea
z[J5]={a+uv5l",
u=r}.
Si
se
arate
c6:
a)
mulfirnea
Z
["r5]
este
parte
sta-
bild. in raport cu adunarea
gi
inmul-
firea;
h,)
nautrtiruea lt{
=
{a
+
U{5
la,
b
e Z,
a2
-
3b2
=
ti
este
parte
stabila a
mul-
)
timii
li;3-l
in
raport
cu
inmuliirea.
'
L.' _l
A5.
Se considerd funcfiile
fr,
f2, fs, fa
:
Q\
{O}
+ n
r{o},
fr
(*)
=
x, f2
(x)
=
],
t"
(x)
=
*x,
f,
(x\
=
--l
. su se
arate
ci
multi-
-\
/
x
rnea
M
=
{f1,
fz, fa,
fa}
este
parte
stabili in raport cu
compunerea
funefiilor"
n'6. Fie M
=
(2, +
o)
+i
legea de compo-
zifie
pe
M:
x
o
Y
=
xY
-
2x
-
2y
+
a,
Vx,yeM.
a)
SA se determine
valoarea
minimi
a
lui
a
e Q,
astfel incdt
M
sd
fie
parte
stabili in
raport
cu
,,o",
b)
Si
se
rezolve ecuatia 4
o
x
=
8.
I
2 3
4
1 I 3 4 I
2
I
3 4 2
Jt
z
1
3
4
4
3
2
I
i3
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 10/324
c)
Si
se
rezolve
slstemul:
J(x+z)
"(y-3)
=
6
. o"rt* a=
Eo.
l(zx+r)"(r+r)=5e''
A7.
Sn
se
studieze
daci
mullimea
M
'este
parte
stabili
a lui
,C
in
raport
cu
inmulfirea:
a)
nr=[r.Olt3=r];
b)
M={zeOl
z=Z\:
c) M
=
{r.
ol
"'
=z\,
d)
M={zeclne(z)=o}.
A8,
S[
se
determine
mulfimile
flnlte
M
c
D,
care
sunt
pflrfi
stablle
ale
lui Q
in
raport
cu oPerafla
de
inmulfire.
Aceeagl
problemi
pentru
mulfimea C.
A9.
Fie
M
o mulfime
cu
3 elemente.
Si
se
determine
numlrul
legilor
de
compozifie
care
se
Pot
detinl
Pe
mullimea
M. GeneralTzate,
a\
(
1.
2
E
O
Proprietdli
ale
legilor
de
compozilie
2.
1.
Proprietatea
de
comutativitate
FieMomultimenevid5'.
{.
usFilultE
I
.
I*g"r
cle compozifie
,,
.
":
Mx
M
**
M,
(*,y)
*
;
o
I
s€ numeqte
comuta-
I
Uoadacd
x,y
=
y"x,
Vx,
YeM.
@
ExempLe
de
legi
de
eompozi*ie
comutstiae
o
Adunarea
Fi
inmultirea
pe
mulfimile
de numere
N, Z,
Q,
lQ,
'C.
Avem:
x+y=y+x
$i
x.y=y
x,vx,y.
r
Reuniunea,
intersec(ia
qi
diferenfa
simetrici
pe
mullimea
:l'(M)
a
submul{.imilor
multimii
M:
AvB
=
Bt-,A,
AnB
=
BnA,
AAB
=
BAA,
V A, B e
:'l'(Wt).
r
Adunarea
matricelor
pe
mullimea
',//^,
nlD):
A
+B
=
B+ A,
A,
B
e,.//*.,(,C).
@
Exemple
de legi
de compozilie
necomutative
r
Sciderea
pe
mulfimile
Z,
,Q,
lQ,
,C.
e
ScAderea
pe
multimea
matricelor
.//^,
n('t).
r
Diferenta
multimilor
pe
mulfimea
'/(A).
r
Compunerea
functiilor
pe
multimea
/;(M)
=
{f
I
f
:
U
*
M},
daca
M
are
cel
pufin
doud
elemente.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 11/324
3
OBSERVATII
1.
Dacd
g:
Mx
M
-+
M
este
lege
de
compozifie
comutativi
pe
mu$imea
M
si
H c
M
este
parte stabila
a
lui
M in
raport
cu
q, atunci
operafia
indusd
pe
H
de legea
q
este
comutativa.
Se
spune
cA
proprietatea
de
comutativitate
este
ereditard..
2.
Dacd.
mul{imea
M
este
finita,
comutativitatea
unei
opera(ii
tp
pe
M
poate fi
verificati
pe
tabla
operafiei.
Legea
de compozilie
este
comutativd
dacA
tabla
legii
este
simetrici
fafe
de
diagonala
principald
a
acesteia.
Efftd{iil,
tzgnhta,
tr
Pe
mu$imea
il
a numerelor
intregi
se
defineste
legea
de
compozifie
xoy=x1r+2x+ay.
Sa
se
determine
aeil-
pentru
care
legea
de
compozi{ie
este
comutativd.
Solufie
Avem:
Y
o
x
=
y'
x
+2y+
ax. Din
egalitatea
x"y
=
yox se obtine
x.y+2x+ay=y.x+2y+ax,Vx,yeZ.
Din
faptu
cd
inmulfirea
qi
adunarea
numerelor
intregi
sunt
legi
de
compozi{ie
comutative
se obtine
("*Z)(**V)
=
O,
V
x,Y
€
t'
deunde
a=2'
3
qBSEnV{TlE
r
Multe
legi
de
compozifie
se
definesc
cu
ajutorul
altor
legi
de
compozilfu.
in
aseminea
cazuri,
in
demonstrarea
proprietdlilor
legii
de
compozifie
considerate,
intervin
in
mod
esenfial
proprietAfile
legilor
de
compozifi.e
folosite
in
definirea
acestora'
2.2.
Proprietatea
de
asociativitate
FieMomultimenevidd.
*
pEFll{ITIE
l.O
lege
de compozi{ie
M
x
M
+
M, (*,y)-)
xoy
se numeqte
asociativd
I
0"""
(*
"
y)
a
z:
x"(y
"
z),
Vx,
y,
z eM
.
@
Exemple
de
legi
lrsocig,tive
r
Adunarea
$i
inmultirea
pe
mul{imile
de
numere
N,
Z,
Q,
lD,
'C:
(**y) +z=x+(y+z)
ci
(x'y)'z: x'(y'"),
pentru
cricare
x'y'z'
15
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 12/324
r
Reuniunea,
intersec{ia
qi
diferen{a
simetricS..
pe
mulfimea
pdrtilor
unei
murfimi
M:
a
u
B)u,
c
=
A
u(Bvc),
(A
n
B)n
a
:
;
^(Bnc)
ei
A
A(B^c)
= (AAB)AC,
vA,
B,
c
e:/(M).
o
Compunerea
funcfiilor
pe
mulfimea
,$
(M)
=
{f
I
f
:
ira
-+
U}:
f
"(g.h)=(f
"g)"h,vf,
g,:ne,I(M).
r
Adunarea
pi
inmulfirea
matricelor
pe
mulfimea
.,//n(,C):
A+(B+c)
=
(e+B)+C,
v
A,
B,
C
e.,//n(,c)
pi
A.(B.C)
=
(A
B).c,
VA,
B,
C
e.,//n(C).
@
Exemple
d.e
legi
neasociortfoe
r
Scd.derea
pe
muldimile
de
nurnere
Z,
e, e.
C.
De
exemplu:
2
*
(3
_
l)
=
O,
iar
(2-3)_t
= _2.
o
Sc6.derea
matricelor
pe
multimea
.//n,
n(C).
c
Diferenfa
multimilor
pe
mulfimea
:?(M).
Atunci
cand
este
valabild
proprietatea
de
asociativitate,
nu
este
::::ii
P_to:o.i
parantezeloi
pentru
a
indica
compusut
n
rrer
:f::::.: 11
1".:,
caz
este
_"nffirt,:.Tffisffi]i,.,".J$
elementsepoatedeterminafiecu'ffin*",].ffi',.,aceSI
n"
,^*l"i'l
Rentl:
o
operarie
'xffi;n,
;;ffira
elemente
e
forma
dt
o
d2o..,
o3n,
acesrea
#;;;;ih;,i3iffiffT:
gruparea
termeniror
cu
aj
utorur
parantezelor.
*l.R.J,.rl:,
:.?.l._::
i
.,,
se
defineste
recursiv
astfel:
Pentru
o
lege
de
compo
zitie
,,",.asociativ'
sunt
valabile
egalitd[ile:
t
3l
o
d2
"...o2n
:
ai
"(aZ
o...
oan)i
t
3l
od2"...oo.,
=("r.",
o...o€Lk_l).(.u
""..oar),unde
2
<k
<n.
C
(lBSERVATII
1.
Proprietatea
de
asociativitate
este
ereditard.,
adicd
daca
g
este
lege
e
compozi{ie
asociativd
pe
M
9i
H
c
M
este
parte
stabila
a
lui
M
in
aport
cu
Q,
atunci
si
legea
indusd
pe
H
de
caire
rp
este
asociativa.
2'
Dacd'
g
este
lege
neasociativS
pe
M
si
H
c
M
estet
p*"
stabila
a
rui
ff:1:ii"*.,1?"1;ll
rezurtl.in
moc
necesar
""
r"g."
indusa
de
o
pe
i6
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 13/324
GF
Exemptu
r
Operalia
de
scidere
pe
Z
nu
este
asociativA,
dar
este
asociative
pe
mullimea
H={0}
cz.
go&/prr.pr.raga/ntalz
El
L.
Pe
multimea
,//2(a)
se
considera
legea
de
compozitje,,"",
datd
derelatia
AoB=A+B+AB.
a)
Sa se
arite
ca
legea
de
compozifie
,,"..
este
asociativi.
b)
sa
se
determirr"
It
")
.
[,t
o)
.
f
t
c'j
.
(o
r)
(0 r)
(c r)
c)
sa
se determi.,.
It t)"ft')"ft
"j"ft
4)
(o
1)
(o
r)
[o
1)
(o
1)
Solufre
a) Folosind
comutativitatea
adunaiii
gi
asociativitatea
inrnultirii
matricelor,
avem
(e,n),C
=(A+B+AE|)oC
=
A+B+AB+C+
+(a
+B+AB).C
=A+B+C+
AB +AC+BC+AEIC.
Analog,
A,(B"c)=
=
A
+
(n
"
c)
+
A'
(B
.
c)
=
A +
B + C +
BC
+
A(B
+
C
+
BC)
=
A +
ts +
C +
AB +
+AC+BC+ABC.
Asadar,
pentru
oricare
A,
B,
C
e,//2(E),
(A.B)oC
:
A.(B"C),
deci
legea
de
compozifie
,,""
este
asociativd.
b) l,egea
,,""
fiind
asociativd,
folosind
a),
rezultd:
((,
^)"ft
o)l"fr
c)
(t
a)
(r
b)
(t
c)
(t
")fl
b),
[[o
'j"[o
'jJ"[o
'J=[o
'J.[o
iJ.[;
iJ.[o
r,[o
r)'
.(;
i)[;
;).(;
i)t;
;).(:
i)t;
i)t;
;)=[:
".:.").
.[;
";').[;'i").(;'i").(;
"*1"")=(;
n"*7.n")
l(r
L['
(z
rl
Io
c)
Folosind punctul
b)
rezultd:
l)"[:
?)
.(;
i)]
"[;
i)
:
(;
':)"(:
i)
:
t;
24\
(
I
4)
(e
28)
(z
52\
(ts
80\
zJ[o
'J=[o
eJ.[o
'J:Io
rc|
24\
(t
4\
r
.,l.
[o
,)*
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 14/324
Algsbrt
.
L
tr
?.
p"
mulitmea
e
se
deflnepte
(*,y)
-+
x
o
y
= xy
+
ax
+
ay
+
b.
legi€a
de
compozitie
e
x
R
*>
le,
a)
Se
se
determine
a,
b
e
e,
astfel
inc6.t
legea
de
compozifie
,,o,.
s5
Iie
asociativd.
b)
sa
se
determir"
q5r-lJ,
pentru
?,
b
e
e
determinafi
la
a).
.sorufte
n termeni
a)
Folosind
proprietifile
adunirii
sj
inmu$irii
numerelor
reale,
pentru
x,y,
zelR,
avem
(".y)
"u=(*y+ax+ay+b)
"z:(,W+ax+
ay+b).2+
*
t'
("y
+
ax
+
ay
+
b)
+
az
+
b
=
wz+
axy
+
ayz
+
bz
+
axz
+
a2
x
+a2y
+
ab
+
+az+b
=
xyz+axy
+aw+aru,+a2x+a2y
+(a+b)z+ab+
b.
Analog
se
obfine:
*
.
(y
"
z)
=
xyz+
ilry
+
ayz
+
axz+
(a
+
b)x +
a2y
+
a2z
+ab
+ b.
Din
egalitatea
(*"y)oz=x"(y.z),Vx,y,zeR
se
obtine
ca
(t'
**-r)(x
*z)=0,
v
x,
zee.
Aqadar,
a2
-a-b=o
pi
astfer
xoy=
=
xy+a(x
+ y)*
u,
_a
sau,
astfei
scris,
*
"y
=
(x+
a)(y+
a)+a"
b)
Vom
folosi
metoda
furductiei
matematice.
Fle
tr,
=x
o
x
o...
ox,
compunerea
avdnd
in
total
n
termeni.
Rezulta
tl
=
x,
k
=
*
ux
=
x2
+2tx+
a2
-a,
=
(**
rS
_",
k
=
te
ols
=
(x
+
a)(t2
+a)-a
=
(x*.;ffi
*..
Presupunem
c6
k
=
(*
+a)ffi
_a.
Atuncitg
-
tk
o*
=
(*
+
a)(tp
+a)-"
=
(*
+
aW
*a.
Din
principiul
inductiei
matematice
rezultd
cd:
k
=(**.)ffi-a
pentruoricaren
e
N,
n>
l.
E
3.
intr-un
circuit
electric
sunt
legate
in paraler
doud
rezistoare
cu
ezistenfele
R1
$i
Rz,
mdsurate
in
ohmi.
nezistenta
echivalenti
R
a
grupdrii
rezistenfelor R,, R2
este
dati
de
relatia:
111
'-
R
Rr'Rr'
56
se
arate
ci
circuitele
din
figurile
totald
pentru
oricare
valori
Rt,
R2,
R3
Soluhe
I
qi
2
au
aceea$i
rezistentd
e
(0,
+
"o).
Fie
M
=
(0,
+
oo)
mulfimea
valorilor
rezistenfelor
dintr_un
circuit.
T
I
i
I
8
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 15/324
Relafia
(1)
defineqte
pe
mu$imea
M
urmAtoarea
lege
de compozifie:
R,
"R,
=R=
RrRz
R1
+R2
Rezisten{a
totald
a
circuitului
din
figura
I
este
R'
=
(Rr
'
Rz)
"
R3,
iar
a circuitului
din
figura
2
este
R"=Rl
.(Rr"na).
Egalitatea
R'=
Ro
este
echivalenti
cu
egali-
tatea
(Rr
"
Rr)o
R3
-
R,
.
(R,
"
Rs),
Rr,
Rz'
R3 e
M.
R1R2R3
RrRz
+R,R3
+R2R3
Analog,
Rr
"
(Rz
"
Rs)
=
*,
.*d-
=
,-
=
*'t*t
=
=
^-z
^
-r
/
-
-r
R2
+
R3
RrRz
+
RtR3
+
R2R3
Agadar
R'=
R".
Mai
mult,
se ob .ine
ca
legea
de
compunere
a
rezistenfelor
legate
in
paralel
este
asociativA.
Pe o
mulfime
M
se
pot defini
mai
multe
legi
de compozi{ie'
O
multime
nevide
inzestrati
cu
una
sall
mai
multe
legi
de
compozi.fie,
care
satisfac
un
set
de
axiome
date
sub
form&
de identitAfi
sau
alte
conditii,
fr:rmeazA
o
structure
algebric&'
*
pEFll{lTl
.
Se numeqte
semignrp
o
perech"
(S,
")
formatf
dintr-o
mul{ime
nevidd
S
9i
o lege
de
compozifie
pe
S
care
indeplineqte
axinmn
de
asaciattuttate:
51
:x"(y.r)=(x.Y)"2,
V
x,
Y,ze
S.
.
Un
semigrup
(S,
")
se
numeste
sernigrup
comutativ
sau
abelian
dacd
legea
de
compozifie
verificd
axioma
de
comutatiuitate:
52:xoY=Y"x,VX,YeS'
B
Exemple
de
semigrwPuri
c
perechile
(N,
+)
$i
(N,
.)
sunt
semigrupuri
comutative.
Ele
reprezintA
semigrupul
aditiv
Qi
semigmpul
multlplicativ
al numerelor
naturale'
.
Fie
A
o multime
ei
z(n)
mulfimea
pirfilor
lui
A.
Perechile
(e(A)'
,),
(;/(A)'
.)'
(:/
(A),
a) sunt
semigrupuri
comutative'
rFieAomulfimenevidiqi
IZ(A)={f
If
:A+A}.
Perechea (,f
(e)'")
estesemigrup'
Dacd
multimea
A
are
cel
pu{in
doua
elemente,
semigmpul
(il-
(n),
")
este
necomutativ'
,,irl...
B
xm/
Figura
1
/m\
w
igura
2
Avem
(R,
Rr)
R,
=
=*t?
"R3
=
"
R1
+R2
I
i
L-
19
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 16/324
Algehrd
r
L
Grupuri
EXEftCtIH
gt
PRoBTEME
-
%
EXERSARE
-:..
Efi
sa
se
srud.ieze
comutativitatea
si
ll
'il
r
asociativitatea
legilor
de
cornpozltie
ll.
,l
l\
l.
I
::11T:".i1
llrP1,)
Pe
mulflmea
z
se
consideri
tegire
cornpozifiell
'-
de comnozltle
y^r,:v,--
A
-,
definite
pe
mulgimea
lt{,
in
cazuriie:
compozlfie
xoy=x+y-4
pi
lqinn=ii;;t,;:;:il-r.-r"fil'
lli
i
1
]
"
='<v
-
4x-
4v
+2o.
$}u
=
to,
gl,
x
o
v
=
zry
-2x-zy
+6;
i
SIM=tr,
xoy=x+y+xy;
'
t'd)
M=
I, x'y
:
?xy-2x-2y+
g;
e)I1l=Q,.x"y:xy*x-y.
82"
Se
se
gtudieze
comutativitatea
si
aso-
b)
Si
se
verifice
ci
dac{
x,
y"
z
e A
glxoz=yoZ,atuncix=y.
,
c)
Se
se
determine
x
€
A
care
verifici
ecuafia
x
o
x
o
x
=
0.
9::"_.-
BabeS-Botgai,
Ctuj-Napoca,
2oo0)
a)
Si
se
arate
cil
(2,
")
+i
(2,
T)
sunt
semigrupuri
comutative.
b)Sasearatecd
x T(f.z)=(x
Ty)"
"
(x T z)
(legea
de
compozitie
T
este
distributivi
fati
de
,,.,,).
ciativitatea
legii
de
cornpozilie
,,." ll
-_
definitrrpemulfimeaM,in";;*",
ll
"u'
::
TS1T::.2
se
consid,er&
legtle
rr,,'-:__ ,-_
:_=..--*^']';;"*qrur;
ll
de
compozifie
xoy=x+y_3
qt
r
F.a)
nn
=
(-r,
r),
x
o
y:
ffi, ll
-
r;:;;;-
?.
):b]M=o,xoy=x+y+ixy; ll
alSresearateci
(2,")
9i
(z,e
l^,'p
${
=
(r,
+
oo),
ll
sunt
semlgrupuri
comutatlve.
t,
*.
-
-.f5;t:;3:E;"
ll
b)
sn
se
determtne
a,
b
e
H*, astfel
i
r-x--- : .-.
r
'11"
ll
incAtfunctiaf:t-+z,
f(x)=ax*b
1
[S)
er
=
{o,
(o)
\
{t}:
x
o
y
=
*ror;
ll
"u
vertftee
egalitatea:
,\oB
-q-E*A-E+Z[2,
86.
Fe
rnerXlirnea
&s
ss
deflmeryt*
opera-
\
ms"
$&
se
determine
eonstnntere
reale
fl
*j-"uuebried
xoy*xy+0x+fo+a,
pentnr
*are
tesire
;;;;ilil
lf
vx'
Yers.
,,o'-
sunt
cornutative
pi
asociative
ff
a)
Fentru
care
valorl
ale
lui
a
e
Z5
pe
multimile
M
dare:
li
exstA
egalitatea
(i
"
u)"
u2
=
\3M=l,x.o;n*cx+ay+b;
ll
^
6tna={J,
xoy=xy+e*oly*n;
ll
=1"("""2)t
clM=4f,
xoJr:
ixy+ax+by;
ll
o,
Si
se
determine
aeZ5
pentru
d)vr=(o,
+o),
xoy=
T*b". ff
care
operafia.o"
este
asociativi.
1+
xy
APROFI,NDARE
A.1.
Fie
a
=
[O,
e) .
fe
rnugimea
A
se.defi_
neste
legea
de
compozitie
,,o,.
prin:
xov=
4x+4Y
4oY=;;"y,x,yeA.
a)
S&
se
arate
ci
legea
este
asocia_
tivi
pi
eomutativd.
xoy
=
J*'y,
-x2
-yz
+z;
@
nx
=
{o,
*)
\
{r};
*
o
y
=
shr.
20
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 17/324
A2.
Pe multlmaa
P
sc
deflnegte
legea
de
compozlflc
x
o
y
*
xy
+
zax
+
by,
V
x,
y
e
D.
Legea
esto
asoclaflvi
gl
comutatlvi
daei:
e)
a=*,0=*'
b)a=o=*,
c)a2+b2=2i
d)a*l,b=2;
e)a=b=Osau"=1,b=1.
(Univ,
Marltflmd.,
Cplnstanfo,,
2OOO)
A3.
Sn se
arate
ci
urmAtoarele
legt
de
compozifle
deflnlte pe
A
sunt
comutative
gl
asoclative:
a)
x
1y
=
max(x,
y);
b)
xJ-Y=mln(r,
y).
44.
St se
determlne
a,
b
e
e
pentru
care
urmitoarele
operafii
algebrice
deflnite
pe
mulfimea
Mc
-ez(p),
sunt
comutative
gi
asociative:
.,
"={[;
:)l-,.n],
a.n=
=A+aB+blzi
o,
"={[X
,1,)l*,,.o],
AoB*aAB+bBA;
")
M={fo
o)l*.p},
e"a*
L\x
z)l
)
=""'.[l
l)r"."1.
Fie
M
o
mulflmc
nevidi
ql
operatla
elgebrlci
asoclatlvA,
o
"
definlti
pe
M.
St
se
gAseasci
condlfll
sufl-
clente
asupra
elementulul
a
e
M
pentru
care
operafle
,,
f "
definiti
pe
M
cste
asoclatlvi:
a)xIy=toxoyi
b)xJ-y=f,oroli
c)xJ-Y=aoxoyoa;
d)xJ-y-xoyoa.
Sl
se
determine
numirul
legilor
de
compozilie
comutative
definlte
pe
o
mulflme
cu
n
€
N*
elemente.
(*,
y)
-+
Xoy
admite
element
astfel
inCAt
X
o
e
=
e
o
X
=
X,
se numeste
element
neutnr
A5.
.t6.
2.3.
Element
neutru
FieMomul{imenevida.
*
pEFtl{tTil
o
kgea
de
compozifie
M
x
M
-+
M,
ncutru
dacA
existd
un
element
e e
M,
Vxe M.
(1)
r
Elementul
e
e
M
cu
proprietatea
(l)
pentm
legea
de
compozilie
,,"".
D9.Exemple
r
Numenrl
o
este
element
neutru
pentru
adunarea
numerelor pe
multimile
N,
Z,
e,
e,
,c:
x+ffi=ffi+x=x,Vx.
o
Matricea
O-,
,r
este
elernent
nbutru penbr-r
adunarea
matricelor pe
mulFmea
,l/,G"(C)t
e*ffiffi
=
ffi
+A
=
A,
y
A
e.,//^,
n(D).
2l
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 18/324
r
Llg$rt
r
t.Orupuri
'If):,ilttate
I"
este
element
neutru
pentru
inmultlrea
matriceror
pe
multi-
A'm
=m'A
=
A,
v
A
e,/,/n(t),
'
f"",T#,
?:r,lr:*
":fTiJffi,T,*
pentru
adunarea
vector'or
pe
murpmea
n+ffi=ffi1
i=tr,yrteL.
sd
presupunem
c5
e, qi
e,
sunt
elemente
neutre
pentru
regea de
ompozifie,,o".
Atunci
au
loc
rela{iile:
xo€t=xqie2oy=y.
Ludnd
x
-
e2
si
y
=
er,
se
obfine
cd:
.,,'"i;?;s;:i*ffi;:,;.?
rerafie
din
care
rezuus
c5
e1
= e2 qi
Erp'r?iliirtzga/uralp,
tr
1'
pe
mulfimea
Q
se
define3te^regea
de
compozifie
rp
x
rQ
+
Q,
"'v)-)xoy=xy+ax+ay+b.
sa
se
a"t".mi.r"
a,
b
e
D
pentru
care
legea
de
compozifle
Jata
admite
erement
neutru
e
=
2.
olutie
Numdrur
E=2
este
erementneutru
dac6
x
"2=20X=X,
vx
e
R.
in
acesterelafiiseob{ine
2x+2a+ax+U=*,tr*
e-
le,
de
unde
a+2=
I
T"?"=;l-;3r5'"lta
a
=
-i"i
b
=
2,'*
i+;
de
compozifie
este
(
tr
2.
Fie
M=)(^
b\
I
I
-'
r
rE
'"'
=
1lo
o'l
I
t'o
'
,oi'
a)
Se
se
arate
cd
existA
A
e
M,
astfel
inc6.t
AX
=
X,
V
X
e
M.
)
Extsta
matricea
B
e
M,
."ti"f
incAt
XB
=
X,
V
X
e
M?
olutile
eMsi
A=(u
b').
E
rvr
Dr
^
=
[.0
0,,|
*
M.
Din
egalitatea
AX
=
X
se
obfine:
a)
*"
*
=[;
;)
(a
b)
l"
v)-["
(o
o/
[o
o,/
-
lo
aY)
(x-N\
I=l
o)
[o
o)'
lj,
o"
""0.
[T
Aceast{
relatie
se
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 19/324
verificd
pentr:tr
oricare
x,
y
e
Q
dac[
a
=
1,
b e
IQ, deci
o=fl
ll,
o * *.
[0
0)
Rezulti
cd
existA o
inflnitate
de
matrice
A cu
proprietatea cerutA.
(a b\ (x v) (a
b)
b)
Fi. B
=
[;
;j
.
nn.
Din egalitatea
XEI
=
X se
outure
[o
i,j
[o
o)=
--(*
{)
""'
[T
o]'l=
[i
Il,
o"
unde
a
=
r,
bx
=
y.
[o
o./
---(o
o)(o
o)
A
doua
egalitate
nu
poate
avea
loc
pentru
oricare
x,
y e D.
A$adar,
^lu
existd
B e
M
cu
proprietatea ceruti.
3
OBSERVATII
1.
Fie
M
o
mulf.ime nevidd
Si,,o" o
lege
de
compozifle
pe M.
Daciexistd
e"eM,
astfelincdt
€"oX=x'Vxe
M'
elementul
es
se
numeqte
element
neutru
la
stinga.
Dacdexist[
€6€M,
astfelincat
xo€d=x'vxeM'
elementul
e6 s€
numeqte
element
neutnr
la
dreapta.
Din
problema
rezolvat6
rezultd
cA
existd
legi
de compozilie
care
au
element
neutm
la
stAnga,
dar
nu
au
element
neutru
la
dreapta.
2.
Opera .ia
de scS.dere
pe
Q
are
elementul
neutru
la
dreapta
ea
=
o,
dar
nu
are
element
neutru
la stdnga.
intr-adevar,
x
*
O
=
x,
V
x
e
lQ,
si
nu
existd
e e D
astfel incAt
€
-X=x,
V
x
e
lQ.
*
pEFll{lTll
.
Perechea
(tvt,
")
se
numegte
monoid
daci'
verilicd
urmAtoarele
axiome:
M
)
axioma
asociatiuitdfti:
(*"y)
oz=x.(y"z),
V
x,y,zeMJ
(A[)
axiams
elemenhttui
neutru:
3
e e
M,
astfel
incAt
xo€
=
eox
=
x,
Vx
e M.
o
Daci,
in
plus,
legea
de
COmpOZ\ie
,,o"
eSte
COmutativi,
mOnOidul
se
nume$te
monold
comutatlv
sau abellan
Se
observA
c6
perechea
(M,
")
este
monoid
daca
este
sbmi$rup
cu
element
neutru
(semi$rup
rrnitar)'
Ft
Exemple
r
perechile
(1,
*),
(N,
.),(2,+),(2,
,),(n,*),(D,
.)
sunt
monoizi
comutativi'
.
Perechile
('wr('c),
)'
(,rtol'
")
sunt
monoizi
necomutatlvi'
23
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 20/324
Algebri
r
l"
Grupuri
2.4.
D,lernente
sknetrizabile
t
DEfrlilT[
Fle
M
o
mulfime
nevid6,
i:rzestratd
cu
o lege de
compozttte
M
x
M
-+
M,
(",
y)
=
X
o
I,
care
admlte
elementul
neutru
e.
.
Elementul
x e M
se numeqte
simetrizabll
in
raport
cu
legea de
compozifig
,,o1'
dacd
existA
x'G
M, astfel incdt
x
o
Xf
=
x'o x
=
e"
(l)
r
Elementul
x'e M
se
numegte
slmetricul
elementulul
x in
raport cu
legea de
compozille
,,o".
$8
Exemple
o
Orice numAr
real
x
este simetrizabil
in
raport
cu adunarea
numerelor
reale.
in
acest caz,
x'=
*x
qi
se
numegte opusul
numdrului
x.
c
Orice
numi"r real
nenul x este
simetrizabil
in raport
cu inmulfirea
pe
Q. Simetricul
elernentului
x e Q\{o}
este *'
=f
si
se
numeqte
lnversul
lui x. Numdrul
x
=
o
x
nu este simetrizabil
in
raport
cu inmulfirea
numerelor
rea]e.
+
Fie
Z
multimea
numerelor
intregi.
Singurele elemente
simetrizabile
in raport
cu
inmultirea
sunt
1
qi
-1.
Dac5.
legea
de
compozifie pe
multimea
M
are
element
neutru,
se
noteazd.
cu ''1t (M) multimea
elementelor
simetrizabile
in
raport
cu
legea
de
compozi{ie.
Deoarece
elementul
neutru
are
proprietatea
e
o
e
=
e,
rezulta
cd.
e e
At
(M),
deci
,//
(M) este
mulfime
nevidA.
Mulfimea
,f/
(M)
se numeste
mulfimea
uniti.filor
iui
M.
Demonstratie
Fresupunem
cd
x'
gi
x"
sunt
elemente
simetrice
are
elementului
x.
Din
asociativitatea
legii
de
compozifie
,,o"
se
obfine:
X'
oX o*"
=
("'
"X)
"Xo
=
e
oXtt
=
Xt',
Si
X'
o
X
o
Xtt
=
Xt
"(X.
Xtt)
=
{t
oe
=
;/.
RezultS.
cA
x'=
x"
gi
unicitatea
este
demonstratd.
I
24
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 21/324
__{lgq ry.
t.
Grupuri
3
()BSERVATIE
)aca
o
lege
de compozi{ie
,,."
pe
nu
este
asociativd,
este
posibii
:rulte elemente
simetrice.
€
Exemplu
Fie
M
=
{e,
a,
b)
9i
legea de
compozitie
dat5. cu
ajutorul
tablei
lui
Cayley:
Legea
nu
este as:ciativA
deoarece:
(b.b)oa=aoa=e,
iar
b.(b"a)
=f"s=5.
Elementul
a
e
M are simetricele
a si b, deoarece
aoa=e
si
aob=e=ltoa.
eab
Demonstratie
a) Deoarece
x
o
x'=
x'o X
=
€, se
observS. cA simetricul
lui x'
este
chiar x,
deci
(t')'
=
*.
b)
Se
consideram
z
=
y'o
xn e
M. Avern:
(*"y)
"7=(x"y).(y'o*')
=
*"(yoy')
ox'=
xoe.x'=Xox'=
I
gi
z.
(x.y)
=
(y'
o
x')
"
(*.
y)
-
y'
"
(x''
x)
"
y
=
y'
o
e
o
y
=
y'
o
y
=
e.
c)
Se
foloseste
induc{ia
matematicA.
Pentru
n
=
1
gi
n
=
2,
proprietatea
este
adevd.ratS"
avAnd
i:e vecere
Lr).
Sd.
presupunem
proprietatea
adevdratA
pentm
k e N*.
Avem:
(*r
"*,
o.."oxk
"*k*r)'
=
((*,
ox2
o
..oxk)"tu*r)'
=
"t*r'
.(xr
"
Xzo..."*U)'
=
xt+r'(rr[
"....Xi)=
Xi.+r
.5f, .....71'r,
deci
proprietatea
are loc
pi
pentru
k
+
1.
in
concluzie, proprietatea
are
loc
pentru
oricar:e
n
e
R*.
o
multime
M
are element
neutru,
dar
ca un
element
x
e M
s5.
admit5
mai
25
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 22/324
g-llp-rr.t.?'ta/rtalz,
tr
1.
Pe
mulfimea
re
se considerd
legea
de
compozi{ie
re
x
re
-+
re,
(*,
V)
-+
x
o
y
=
V+
ax +
by+
c.
a)
se
se
determine
a,
b,
c e le pentru
care
legea
este
comutativd,,
asociativi
gi
admite
element
neutru.
b)
Pentru
valorile
a,
b,
c
gesite,
sd
se
determine
,,1/(p).
Solufie
a)
Dinrelafia
xoy=
/ox
sededuce
a=b,
deci
xoy=]ry+a(x+y)+c.
Irgea
de compr:z,gle estb
asociativd
lacd
x
"
(y
"
r)-
(x
"
y)
"
z,V x,
y,
z
e
le.
se
obfine
egalitatea
nyz+a(qy+
yz+
zx)
-',-
^2x+
a2y+(a
+
c)z
+
ac+c
=
=
xyz+
a
(xy
+
yz
+zx)
+
(a +
c) x +
a2y
+
a2
z+ ac
+
c,
d
+.
y,
z e
D.
RezultA
cA
a+c
=
a2
gi
xuy
=
xy+a(x+y)+a2
*a.
Legea
de
eompozifre
dat&'
admite
elementul
neutru
,,€,,
dacd
xoeEeox=x,
V
xelQ.
Se
obfine
egalitatea
xe+a(x+e)
+az
*a€x,
vxelQ,
deunde
(x+a)e=(x+a).(t-a),
vxere qr,
astfer,
e=
r
-a.
inconcluzie,b=g.,
c=
a2*a,ae
R.
b)
Fie
x
un
element
simetrlzabil
qi
x'
simetricul
s6u.
se
ob{ine
x'nx
=
e
qi
:or'+a(x+x,)+a2
-a=l-a,
de
unde
x,(x+a)
=
l*a2
_ax.
Se
observd
ugor
cd.
dacd
x *
-a
rezultA
x,
-
l-a2
-ax.
Aqadar,,l/(A)
=
=n\{-a}
x+a
tr
2.
Fie
,,""
le€e
de
compozifie
asociativa
si
cu
element
neutru
pe
mulfimea
M.
SA
se
arate
cd
dac6
xeult(M),y
e,,t/(M),
atunci
x"y
Si
yox
nusuntsimetrizabile.
Soluhe
s61'resupunem
prin
absurd
ci
xo
y
e,,tr(M).
Atunci
exista
s
e
aiz(M),
astfel
inc6t
(*"y)os=e=s"(x.y).
De
Y
o
s
=
x'.
Se
obfine
y
=
x'o
s'=
(s.
x)'
gi
lpoteza.
Aqadar,
xoy€,'l/(M).
Analog
se
aratd
cd yo xe,j)t(M).
aici
rezultd
*.
(y
"
s)
=
e
y
e
ull
(M),
in
contradictie
qi
cu
26
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 23/324
Algebri
r
l.
Grupuri
rxERcllll
$l
PB0BtEME
EXERSARP
41.
Si
se
veriflee
daci
operafia
al$e-
brici
,,o"
defLriti
pe
mulflmea
M
admlte
element
neutru:
a)M=Q,xoY=2xY+x+Y;
b)
M
=
C,
x
o
y
=
:rX
+
2x
+
2Y +
2i
c) M
=
A,
x.
o
y
*
xY
-
8x
-
3Y +
12;
d)
M=(-r,r),xoY=r*tY,
1+ xy'
e) M = 27,
x.
oY =
:(Y +
8x +8Y
+
6.
Hl.
SA
se
determlne
clementul
ncutru
pentru
operafla
,,o"
deflnltl
Pe
M:
a)
M-(-'3,
+o),
xoy*rry+3x+3Y+6;
b) M=h
+o),
roY=rqr*7x-7Y+66i
c) M=(O,
1),xoY=
=
{
:;
'2ry-x-y+1'
d)
M=(o,
+o)\{r},
xoYaxelog'Y.
E3. Sn
se
determine
elementul
slmetric
al
elementulul
s
e
M,
daci:
a)
M=Q,
xoy=ry+x+y,
".{-e
ZJ[l
b) M=l,xoy
=x*Y-13,
s e
{-L
o,
3,
11};
c) M=0,
xoy*x+Y+t,
se{L
*t,
l+t};
d)
M=(-s,g),xoY=*i3,
9+xY
".{o,
-r,,,i}.
D4.
Pc
multtmea
D
se
conslder6
legca
v
de
eompozlfle
xoY=tEF*Jf,
x,
yeD.
al S[
se
arate
cl (Q,
")
este monold
comutatlv.
b)
3[
ec
arate
cd 4/(P)
*
n.
Af
.
Sn
se
determlne
parametrll
pentru
care
operafttle
date
au
elementul
neutru
lndicat:
a) M=
R
x
oY
-
ry+ar(+ay
+2,
e
=2;
b)
M=Q,
xoY=x+Y*8,
G=-5;
5t<Y-Lk-LZY+a
c)
M=(2
3),*"y=
,#=F_6;ld
b
2
42.
Pe mu$imea Q
se
consideri
legile
de
:
compozigie
r
n
y
=g-
.
2x-2Y
+24,
4
xIy=x+Y+2,
V
x,
YeQ.
Dac[
e1
qi
es
sunt
elementele
neutre
in
raport
cu
legile
,,o",
resPectlv
,,I''
larp=o1I€2,
atuncl:
a)p=4;
b)P*-6;
clP=lO;
d)p=t2;
e)P=t6.
(ASE,
Eucureltil,
7998)
lI3.
Pe
mulflmea
O
se
deflneqte
legea
de
compoz$ie
21
o
z2
=
a.
r'2
+
1(a+
a)
-
-1
-
i,
21t
22
e C.
Daci
m
esle
mo-
dulul
elementulrri
neutru
el
legii
,,o",
atuncl:
a)m=l;
b)
c)
m=J2;
d)
el m=2J2.
(ASE,
Bucure$-i,
7998)
Pe
mulflmea
P
se
deflnegte
legea
de
compozifle
x
o
Y
=
:(Y
-
ax
+
bY.
Si
se
determlne
a, b e
D,
astfel
incit
(D,
")
si
fle
monold.
Pentru
flecare
monold
obtinut
si
se
deter'
mrne 4z(n).
(Unlu.
Bucureqtl,
7 9gG)
APROFUNDARP
A4,
#
m=JB;
m='F;
27
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 24/324
gq ti
r
L
G,upuri
(.,
b)"
(c,
d)
= (ac-_
ba,
ad
+
bc).
a)
Si
se
arate
ci
(tU,
")
este
monoid
comutativ.
b)
Sn
se
determine
U(M),
l(t-*
o
x\l )
46.Fieon=.ll
o
o
o
ll*.o1.
ttx
or_*)l
J
a)'Si
se
arate
ci
(_1,
.)
""t"
-orrota
comutatlv.
r
-
S.
T"
multimea
M
=
D x
e
se
consi_
deri
legea
de
compozltle:
b)
Si
se
determine
ql
@).
A7.
Fie
Z[fJ
=
{a
+
bi
I
a,
b
e
Z},
u={a2+u2fa,bezliil.
a)
Si
se
arate
ci
(z l,
+),
(z[t],
,).
(-1,
.)
sunt
monoizi
comutativl.
b).Si
se
determlne
elementele
elme-
trlzablle
ale
flecirul
monoid.
arate
c{
(_lt,
.)
formeaa[
un
mo:rold
comutatlv
ln
care
flccare
clement
eete
slmetrlzabll.
84.
Se
se
arate
ci
mulflmea:
"={(;
l),(;
l,[:;J,(_:
;),
(l;),(-',;)'(;
l'(;
T
ormeazi
un
monoid
comutatlv
in
raport
cu
inmultlrea
matrlcelor.
Si
se
determtne
A(M).
E5.
Se
consideri
matricele:
"
=
(-;
I
"=(:
:l
o
mu,ri-
mea
uil=
{"e*a
|
..
d}.
*
se
stu_
dieze
dac6
(,,1t,
.)
este
monoid
comu-
tattv
9i
si
se
determine
A (&),
83.
Se
consideri
matricea
si
mnlfimea
o
=t^"
(oor\
A=lr
o
ol
[o'o)
nez].
sise
EXERCtIil
$t
pnoBt
EME
REGAptTurATtvr
EXERSARE
,,.
:"",
{(;
l}g;),6:j,(:
;)
Si
ae
alc6tulagc6
tabla
inmulttlt
pe
mulflmea
M
gl
st
se
"t"al"""
roprlctt ile
accstela.
82.
Se
conslderl
multtmee
e
*
{L
e,
O}.
a)
Si
se
alcitutasci
tabla
dtfereniet
slmetrice
pe
mulfimea
g(A),
b)
se
se
arate
ci
(.f
1a1,
u),
(e@),
n),(*1ey,a)
sunt
_orrotrr
comutativi.
c)
56
se
determine
elementele
simetrizabile
?n
monoizif
ae
fa
l).
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 25/324
Algebrf,
r
L
Grupuri
A. S&
se dea exemplu
de
o
lege de
compozifie
care este
comutativi
s,i
Eu
este asociativi.
Si
se
dea exemplu
de o lege de
eompozifie
neasociativi
s,i care
adrnite element neutru.
Fie
M o
mu$ime
nevidi
9i
(.fr.(M),
,
monoidul
funcfiilor definite
pe
M.
a)
Si
se determine care sunt elemen-
tele
simetriaabile
ira raport
cu cornpu-
Derea
funcfiilor,
daci
elementul
neutru
este funclia
identici.
b)
in ce caz
monoidrd
(g
(rtt)
,
")
este
comutativ?
Fieae(O,*)qif":D-+D,
lax. x>O
f.(x)={o,
*=o.
a)
Si
se
arate
cA
f"
o
f6
=
f"o.
b)
Si
se arate ce mulflmea
g=lf"
lae(o,
o))
formeazamonoid
in raport cu
operafia
de
compunere
a
funcflilor
c) S[ se determlne
ql
(g),
Pe mulllmea R*
se deflnosc
legtle
de compozifle:
x
T
y
=
c.m.m.d.c.(x,y)
St
xJ.Y=c.m.m.m.c.(*'Y).
a)
Pcrechlle
("-,t)
ut
(*-,J)
sunt
monolzl?
APROFUNDARE
46.
b) Sd se
deterrnine
yaloarea
de aderidr
a
propoziflei:
V
x,
y,
z
e
N*o
x T
(r
Lr)= (*
r
y)r,(x
T
z).
Pe mulfirnea
Z
se definegte
legea
de
compozi .ie
,,.",
astfel:
x
o
Y
=
arcy
+bx
t
by+ c, ltnde a,
b, e
e Z.
Si
se
arate ed:
a)
legea de compozifie
,,."
este
aso-
ciativi daci
9i
numai
dacd
b2-b=ac;
b)
legea
de
compozi .ie
,,""
admite
element
neutru
dacd
gi
numai
daci
b
+
ac
=
b2
9i
b divide c.
Se
consideri mullimea
M nevid[
9i
,,o"
o
lege
de compozifie
pe
rnul,ti-
mea
M care este
asociativi
;i
admite
elernent neutru"
Daei
M'
este o mullime
nevidi
gi
f
:
M
-r
M'
o
funcfle
bijectlvi,
si
se
studleze
proprietifile legii
de
compozlgle
,,T"
definite
pe
M':
x
T
y
=
r(r-r
(x)
"
r-o(y)).
Fie
f"
:
Q
-+Q,
f.(*)={*'
*t
3.
lax,xeA\Q
qts={r"lae0}.
a)
$[
se verlflce dae6,
I
este
perte
stabilA
in raport cu
compunere&
funcflllor.
b)
S{
se studleze
aactr
(,f,
")"
este
monold
pl
si
se afle
U(fi\.
E.
ts.
a*.
A5.
47.
29
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 26/324
k
TESTEDEEUATUARE-
Testul
I
O
1.
Pe
mulflmee
G=(f,
+o)
se
conslderl
legea
de
compoztfle
x
ty=Ztry_
-7(x+y)+4.
Mulfrmea
G este parte
atabilr
a
lur
e
in
raport
cu
regea
de
compozlfle
,,I..?
(3
puncte)
O
2,
Pe
mulflmea
E
=
{o,
l,
2,8,
4}
se
deflnegte
legea
de
compozitle
notati
,,o..,
astfel:
x
o
y
reprezinti
reetul
imptrfirti
numdrulul
xr*y
la
b.
a)
Sri se
alcitulasci
tabla
legit
de
compozlgie
,,o...
b)
st
se
arate
ci
regea
de
compozrfie
nu
este
comutativi
gi
asocrativi.
(3 puncte)
O
3.
Pe
mulftmea
c
=
(1,
+
o)
deftntm
legea
de compozlfie
xoy=f
+(x_r)Ic(y-l).
a)
Si se
determine
2"2
ql.eise
rezolve
ecuagia
3ox
=
B.
b)
Si se
arate
ci
pentru
orlcare
x,
y
e
G, x
o
Jr
=
l
+
l0lg(r-r).8(y-r).
c)
Si
ee
gtudieze
proprtetiflle
legtt
de
compozlfle
,,o,,.
(g
punctc)
Testul
2
o 1.
Flcmugtmea
M=
{**vJV
l*,r.2}
d
u,={*+vJ7
l*,r.1,a2-zyz
=tl,
a)
si
sc
arate
ci
murfrmea
M'
egte parte
stabill
a
tut
M
rn
raport
cu
inmulflrea.
b)
St
se
dea
exemplu
de
cel
pufln
trcl
elcmente
x
+
yrlV
e
M,,
cu
y
>
O.
(3
puncte)
O
2,
Pc
multlmca
M
=
{o,
L
2,
B, 4}
sc
deflncate
legea
de
compoalfle
,,o..
prln;
f*
*
t,
daci y
e (x,
2]
I
xoy=1*-y,
dac6
y<r
Ly-*,dacl xsB
Qt
y>2
a)
Sl
se
alcltulagci
tabla
lcglt
dc
compozlfle.
b)
si
se
arate
ce
reg.ea
de
co-mpoztfte
nu
este
comutatrvi
gr
asocratrvi.
c)
st
se
arate
cr
regea
de
compoztfre
admrte
erement
neutru
gr
flecare
element
x
e M
este
slmetrizabll.
(6
puncte)
Testul
3
b)
Si
se
calculeze
in
26
suma
i+
0
+ 6+
i+6.
30
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 27/324
-
de
,,o",
=
r).
cu
c) Ctte
solutll
are in
Z6
ccuatle
gx
=
O?
d)
Care
este
cel
mal
mlc
numlr
natural
nenul
cu
proprletatea
cl
2+2+..'+?=
O
in
26?
n orl
(3 puncte)
(Bac
q.loure
ot,
iunie,
2 OO
3)
?2.
se
consideri
funcfiile
f.:
P+4,
f.(x)
=logz[(t*r-)"'],">o
gt
mul$imea
s=lf^lae(o,+-)).
a) Si
se
arate
ce
f.
este
funcfie
inversabill
+i
f;l
=
f;'
b)
sn
se
demonstreze
cL
mulfimea
I
este
parte stabiti
in
raport
cu
compunerea
funcfiilor.
c) si
se
arate c6 (gl,
")
este
monoid
comutativ
9i
si
se
determine
ry
(g).
(2
Puncte)
3
3.
Pe
mulflmea
numerelor
complexe
se
consideri
legea
de
compozlfle
',o"
deftnlti
prln:
x
o
y
=
xy +
ix
+
iy
-
I
-
l, V
x,
y
e C.
e) Si
se arate
cl
x
o
Y
=
(x
+
f)(y+
f)
-
t.
b)
Si
se
arate
cl
legea
,,
o
"
este
asoclativi.
c) sn
se determlne
mulflmea
valorllor
lul
n
€
F'*,
pentru
care
are
loc
egirlitatea:
xl
ox2o...oxn
=(x1
+i)(x2+t)...(*"+t)-t'
V
x1,
x2,.",
xn eC'
d)
si
se
calculcze
p
=
(-roor)
"
(-99r)
"
...
"
(-t)
o
o
o
I
o
(2t)
"
...
"
(99t)
"
(lOOr).
(4
puncb)
e)
S[
se
rezolve
ln
C
ecuafla
x
o
x
o
x
o
r
=
1
-
l'
(Bacg,lo;ureat,
fiunle,
2
O O
3)
O
Noliunea
de
grup.
Exemple
not
=xoy, o
lege
de
Fie
G
o
mulfime
nevida
qi
(*,
y)
-+
q(x'y)
compozitie
pe
G.
€.
DEFllllTll
r
Perechea
(G,
.)
se
numeste
gnrp
dacd
sunt.indeplinite
axiome:
(G
1
)
Axioma
asociatiuitdfti:
(*.Y)
oz=x"(Y"r),
V x,Y,zeG.
(G2)
Axiama
elenentului
neutru:
I
e e
G, astfel
incAt xoe
=
eox
=x,
V
x
e
G.
urmatoarele
31
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 28/324
(G3)
Axioma
eLementelor
s
imetrizabile
:
Vxe
G,
x'e
G, astfelincAtxox'=xf
ox=e.
r
un
grup
(G,
")
se
nume$te
grup
comutafiv
sau
abelian
daca
este
veriff
catd
axioma
de
comutatiuitate
:
(G4):xoy=yox,
Vx,ye
G.
>
COMEII|TARII
d
se
orserva
c5.
perechea
(c,
")
este
grup
dacd.
este
monoid
cu
proprie-
tatea
ci. ftecare
element
este
sirnetrwab:I.
intr-un
grup,
,a
(G)
=
c.
b)
Elementul
e e
G, a
cirui
existenfd.
este
asigurati
de
axioma
c2,
este
unic
determinat
si
se
numeqte
elementul
neutm
al
grupului.
c) ETernentui
x'e
c, d
cdnti
existenfd.
o
asigurd
axiomi
GS
pentru
fie-
care
x
e
G,
este
unic
determinat
deoarece
legea
de
compozilie
a
grupului
este
asociativd.
'
un
gmp
(G,.) se
numegte grup
finit
daca
multimea
G
este
finita.
un
grup
(G,
')
este
grup
infinit
dacd
murfimea
G nu
este
finita.
'
Fie
(G")
un
grup.
se
numegte
ordinul gnrpurui
G,
cardinalul
mulfimii
G
gi
se
noteazi
ord(G).
@ Exemple
de grtputl.
1. Din
proprietn ,ile
adund.rii
9i
inmulfirii
numerelor
rezulta.:
e)
(z'
+),(O'
+)'(p'+)'(c,+)
sunt
grupuri
abeltene,
numtte gruput
adtttv
al
numerelor
intregi,
rafionale,
reale,
respectiv
al
numerelor
complexe.
b)
(o',')'(o.,
),(o-,')
sunt grupuri
aberiene,
numite
grupur
muldplrcadv
al
numerelor
raflonale,
_reale,
respecttv
al
numerelor
complexe
nenule.
Grupurlle
de
la a)
qt
b) sunt
denumlte grupurl
numerl'ce.
2.
Multtmile
de
matrtce
J/"(2.),,,//,(o),",//,(p)
Fl
"rn(a)
impreund.
cu
adunarea
matrlcelor
formeazd.
gmpurt
comutative.
Etu
ailrt
'
torilntal
tr
Pe
mugimea
G
=
(2,
+
m)
se deffneqte legea
de compozgle
G
x
G
_+
G,
(*,y)-+xoy=xy
-2x-2y+6,
V
x,yeG.
SA
se
arate
c6
perechea
(G,
")
este
grup
abelian.
Solutle
Deoarece
x
oy
=
(*
-Z)(V
-Z)
*2,
V
x,
y
e
(2,
+oo)
se
obflne
c6
xoy)2,
deci;soy€G.
Perechea
(c,
.)
este
grup
abelia'
daca
sunt
verificate
axiomere
grupului
(ct)-19a1.
32
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 29/324
este
este
fte-
a
al
al
ca
i'
G
1
)
Axiama
as ociatiuitd{ii:
.{r'em:
(
*
"
y)
o
s
=
(W
-
2x
-
2y
+ 6)
"
z
=
(xy
-
2x
-
2y
+ 6)'
z
-
-J
q-
-
2x
-2y
+
6)
-
2z
+
6
=
KYz' 2(*V
+
xz
+
yz)
+
a("
*
y
+
z\
-
6'
Analog
se
obfine:
r
y, z)
=
x
"
(yz
*
2y
-
2z+ 6)
=
*'
(y"
-
2y
-
2z*
6)
-
2x
-
2(yz
-
2y
-
2z
+
6)
+
-
4
=
yz
-2(*V
+ xz +
yz)
+
4(t
*
y
+ z)
-
6.
in concluzie,
axioma
asociativitaili
(Gl)
este
verificatS..
(G2)
Axioma
elemenhtLui
neutnt:
Fie
e e G,
astfel
incAt xoe
=eox
=x,
V
x e
G.
Se
ob{ine
xe
2x
-
2e
+
6
=
X,
V x €
G,
echivalentd
cu
:..i-2)=3(x*2),VxeG.
Elementul
neutru
este
e
=
3
e
G.
(G
3)
Axioma
eLeme
ntelor
sirnetrizabile
:
Dacd.
x
e
G,
not5.m
cu
x'
simetricul
lui
r.
S€
obfine
X
o
X'
=
3
=
x'o X,
relafie
care
:cnduce
la x'.
x
-2x -2x'
+6
=
3.
Rezulta
*,
='*-
=2*J=e
(2,
+"o).
x-2
x-2
\
Asadar,
(G,
Deoarece
:icarex,YeG,
")
este
grup.
x oy
=
Ky
-2x-2y
+
6
=
YX
-2y -2x+6
=
Y
"x,
pentru
grupul
(G,
.)
este
grup
comutativ
3.1.
Grupul
aditiv
al
resturilor
modulo
n
Fie
n e
N*
qi
lt4n
=
{O,1,
2,
..., tt
-
1} mu$imea
resturilor
obfinute
la
:rnpar-tjrea
numerelor
intregi
prin n.
Pe
mu{imea
}n s-au
definit
operaliile
de
adunare
gi
i:amu$.ire
modulo
n:
(frnx
inn
-+ ifrn,
prln:
a
@
b
=
(a
+
b)modn,
respectiv
aOb
=
(a'b)modn.
Elementul
a @
b reprezintd.
restul
impSrtirii
sumel
a
+
b
prin n.
Rezulta
cA existA
numdrul
q.e
L, astfel
incdt
a+b
=
nq+(a@b)'
(l)
33
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 30/324
Algebri
r
l. Grupuri
Demonstratie
a) Veriffcim
axiomele
grupului:
(G
1
)
Axioma
as
o
ciatiuttdfii:
Folosind
rela{ia
(1)
se
obline
succesiv:
("ov)
@z=
(("*y)modn)@z
=
((x+y)+z)mod
n.
(2)
De
asemenea:
"@(y
@z)=
"@((v+z)mod
r)=(**(y*z))modn.
(B)
Deoarece
adunarea
numerelor
intregi
este
asociativa,
din
relafiile
(2)
qi
(3)
rezultd,cd
(x@y)@
z=x@(VAt),
V
x,y,
ze{,A,,.
Aqadar,
adunarea
modulo
n
este
asociativA.
(G2)
Numaml
O
este
element
neutru,
deoarece
se verifica
imediat
ca
0@x=x@O=x,Yxe 'dn.
(G3)
Fie
x
e
i,,/?n
\
{O}
Atunci
x'=
n
*x
e
i'An.
Rezultd.cA:
x@x'=O
gi
x'Ox=0.
AvAnd
si
o @
o
=
o,
rezultd
ca oricare
x
e ,'/ln
este
simetrizabil
in
raporL
cu
adunarea
modulo
n.
Aqadar,
(*",*)
este
gmp.
Mai mult, pentru
orice
x,
y
e
frn,
avem:
x@y
=(x+y)modr,
=(y+x)modn
=y@x,
deci
grupul
(:tn,,
A) este
grup
cornutativ.
b)
Analog
se
aratd.
ca
(n^,
O)
este
monoid
comutativ.
I
3.2.
Grupul
claselor
de resturi
modulo
n
Fie
n
e
N*
9i
O^
=
{6,i,
2,
...,
"
-l}
mul{imea
claselor
de
resturi
modulo
n. Pe
mullimea
2,,
s-au
definit
operafiile:
.
Ln
xLn
+
o., (;,
b)
-
a
*
n
Y;6-E,
numitd
adunarea
claselor
de
resturi
nnodulo
n;
n
LnxLn)r^,(;,b)_+a
6o:ttoE,
numitd
inmultirea
clasetor
de
resturi
modulo
n.
OA
dt
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 31/324
cA
in
Algebri
r
l.
Grupuri
a)
Verificdm
axiomele
grupului.
(G
1
)
Axtoma
as
ocintiuitdti{:
Avem
succesiv:
/^
^\
(t.
t)
*
2
=
(f@
i)
* 2
=G@t@;
^/^^\
x +(y
+
z)
=x
+
y@
z
=
x@
(V
A.)
Avand
in
vedere
asociativitatea
adunirii
modulo
n,
din
si
(2)
rezurta
(i
*
i)
*
2
=
?
+(i
.A),v
i
i,
2
e
L.n.
Asadar,
adunarea
claselor
de
resturi
modulo
n
este
asociativd..
(G2)
Axioma
elementului
neutru:
Pentruoricare
*-eil.n,
avem:
i*6=i@b=i
pi
6*i=06-r=i.
Asadar,
0 este
element
neutru
al
adunarii
claseior
de
resturi
modulo
n.
(G
3) Axioma
elementelor
simetrizabile
:
Avem:
6
*
6
=
6,
deci
6
este
propriul
sdu simetric.
Dacd
*..Ai,
atunci
existd.
q,r
€
L.,
astfelincAt
x
=
<
n
-
].
Rezultd
cd.
r,
=
n*r
€
{t,
2, ...,
n_l}
+i
avem:
x
+
r'
=
i
+
i''
=
r
o
1n:;1
=
6 si
i
*
i
=
i
+
i
=
(.n
_
r)6
r
=
6.
in
concluzie,
*. este
element
simetrtzabil,
iar
sirnetricul
sau
este
elementuli.Simetriculclaseideresturiisenoteazacu_i.
Aqadar,
(i)'
=
n-,
pentru
i
*
6
s.u
-i
=
frli.
Rezultd
cd.
(T.n,
+)
este
grup. Mai
mult, el
este
grup
comutativ
r
-
---=---
oeoarece
x+y
=x@y
=
y@x
=
y+x,
V
x,
y
eL-^.
b)
Verificd.m
axiomele
monoidului
comutativ.
(M1)
Asociatiuitatea".
pentru
oricare
;,
,,,
;e
Z,r,
se
obfine:
l^ ^\
^
tx.y/.2=xoy.z=(xoy)oz,
(3)
^
/^
^\.
*'(y.")=*'yoz=XO(Vo.1.
W)
Deoarece
inmulfirea
modulo
n
este
asociativa,
rezultd
cd:
l^ ^\ ^
^\
(" y/.2=x.\ .").
V
*,y.
zenn.
Asadar,
inmulfirea
claselor
de
resturi
modulo
n
este
asociativd.
(1)
(2)
relatiile
(i)
nq+r,0<r<
35
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 32/324
Algebri
.
l.
Grupuri
(M2)
Bvisy"nf,a
erementuruineutnt
pentru
oricare
*.
eL.n
se
obtine:
x.i
=
fo-t
=
i
qi
i.i
=
fo;
=
i.
Astfel'
i
este
element
neutru
pentru
iremul{irea
claselor
de
resturi
modulo
n.
in
concluzie,
(A^,.)
este
monoid.
Deoarece
i. y
=
xOy
=
yO_}
=
i.i,
V
*.,
ir
eLn,
monoidul
este
monoid
comutativ.
e)
Pentru
r
=
1,
avem
O,
=
{61
$i
(0,
l)
=
t.
Rezultd
,,U
(Lt)
=
{O}
(n",')
Fie
n
>
2.
Atunci,
$
e at
(Ar)
dacd
si
numai
astfel
incAt
i
a
=
i.
Aceasta
relafie
se
scrie
fr
=
i
Rezultd
cd"
existi
s
e
L_,
astfel
incAt
pe
+
sn
=
"r
(p,
n)
=
1.
dacd
existA
Qe
L.n,
sau
pq: I
(mod
n).
1,
relatie
echivalentd
Asadar,W.
9
OBSEBVATII
l.
Daci
n
e
N* este
numdr
prim,
murlimea
erementeror
inversabile
in
monoidul
(L^,.)
este
utr(L,)=Ai.
2'
Pentru
n
e
N*
numdrur
numerelor
naturale
mai
mici decat
n
Ei
relativ
prime
cu
n
se
noteazd.
.p(r).
Func{ia
g:
N*
-+
N
se
numeste
indicatorul
lui
Euler.
Rezultd
cd
grupul
,4/
(Z,,)
are
<p(n)
elemente.
IEF
Exemplu
r
sd
se
determine
'u
(lt)
pentru
monoidul
(Lrz,
.)
qi
sd.
se
alcatuiasca
tabla
inmultirii
gn_rpului
(u
(urr),
.)"
Sohttie:
Conform teoremei
b
elementele
inversabile
in
212
sunt
clasele
i,S,?,il,
d.o...c"
numerele
1,
5,7,
]l
sunt
relativ
prime
cu
12.
Tabla
inmultirii
este
datd
alA"turat.
Din
tabla
inmul{irii
""
ot".*a
ce pentru
y
xe'/t(tp),
existd
relafia
i,i
=
i,
deci
fiecare
element
este
propriul
s6.u
simetric
(invers).
De
asemenea,
6?=il,
6il=?
si
?
il
=
8,
adica
produsul
a
doua
erern:nte
distincte
diferite
de
i
diferit
de
i.
is?tr
a^
c
I
tl 7
a^
/tlt5
il?si
I
5
?
il
36
este
al
treilea
element
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 33/324
Algebri
.
l.
Grupuri
Ln,
n).
in
>
C(lMEIIITABII
a)
Un
gmp
(K,
.),
K
=
{e,
a,
b,
c}
a
cirui
tabla
a
aliturat
se
numeste
grupul
lui
Klein.
b)
Un
grup
(K,
.)
",
un
numdr
finit
de
elemente
este grup
de
tip
Klein
dacd
oricare
element
al
grupului
este
propriul
sdu
simetric
(invers).
c)
Gnrpul
(,U
(nrr),.)
este
un
grup
de
tip
Klein
cu
4
elemente.
operafiei
este
redatdr
eab
3.3.
Grupul
permutirilor
unei
mulfimi
Fie
M
o
muldime
nevidd".
o
funcfie
bijectiva
f :
M
+
M
se
nume;te
permutare
a
mulfimii
M.
Mul(imea
s(M)
a
permutdrilor
mulfimii
M
este
o
submulfime
a
mulfimii
,/(M)
a
tuturor
funcfiilor
f
:
M
-+
M.
considerand
operafia
de
compunere
a
funcfiilor,
se
sue
cd
daca
f,g€S(M),
atunci
f
.g€S(M)
$i
g,f
e
S(M).
Agadar,
mulfimea
S(M)
este parte
stabili
a
multimii
raport
cu
compunerea
funcfiilor.
./(M)
in
Demonstratie
Verilicdm
axiomele
grupului.
(G1)
Axioma
osociatiuitdfii.
operafia
de
compunere
a
pennutarilor
pe
s(M)
este
asociativd.
ca
fiind
indusd
de
compunerea
funcflilor
pe
,'i
(M),
care
este
asociativi
(G2)
Axiama elementului neutru.
Funcfia
identicd
l*
:
I.{ -+
M;
lr
(*)=
x,
este
bijectivi,
deci
este
o
permutare
a
mullimii
M,
numitd
permutare
identica
a
lui
M.
Deoarece
lru.f
=folM=f,Vf
.=S(M),
rezultS.
cd
permutarea
identicd
a
multimii
M
este
element
neutru
pentru
compunerea
permutd.rilor.
eab
aec
bce
cba
e
a
b
c
(GS)
Axioma
elementelor
simetrizabite.
Se
gtie
ci
atunci
f-t
e
S(M).
RezuitA
cd.
orice
permutare
f
e
S(M)
simetric
qi
anume
permutarea
f-1.
in
concluzie,
(s(vr),
.)
este
grup.
r
dacd
f
€
S(M),
a-re
un
element
37
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 34/324
3 OBSEHVATII
1'
Dacd
mullimea
M
are
unur,
sau
doud
eremente,
gmpul
s(M)
este
grup
comutativ.
2,
Dacd
mu$imea
M
are cel
pufin
B
elemente,
s(M)
este
grup
necomutativ.
3.4.
Grupul
simetric
S,,
in
cazul
in
care
M={1,2,g,...,n},
grupul
S(M)
al permutarilor
lui
M
se
noteazd
S'
Si
se
nume$te
grup
simetric
de
grad
n.
O
permutare
o.e
S*
se
noteazd
astfel:
(t
2
B
n)
6=r
I
(l)
\o'(1)
a(2)
o'(3)
"(n)j'
in
linia
a
doua
sunt
trecute
valorile
funcfiei
o.
Deoarece
o
este
o permutare
a
mul{imii
M,
rezultd
cA
{"(t)'
o(:2),.
.,"(t)}
={1,2,..-
"},
deci
a
doua
linie
a
tabelului (1)
este
format6
tot
din
elementele
mulfimii
M.
Dacii
o', t e
sr., compunerea
(produsul)
cel0r
dou5 permutSri
se
scrie:
o..=[t
2
3
n)f
t
2
B
(o(1)
o(2)
o'(3)
o'(n)J
It
(t)
r(2)
r
(3)
n)
t
(n)J
ll9.Dxemlrlu
rFieo,r.sn,o=rl
2
3
+\
(r
2
g
+)
[s42,J''=lrti;)
Avem:
o.,=(,
2
3
4)
ft
2
B
4)
(
t
2
3
4
)
l.3 4
2
t)lz
s
4
rJ-[o(r(r))
o(r(z))
o(r(s))
"1.1+y;J=
=(t
2
s
4.)fr234)
l"(z)
o.(B)
"(4)
o1r)J=l+
2
r
,),
..,,.:lr
2
s
4).l,r
2
3
4)
(r
2
s
4)
t.2
3
4
r/(.3
4
2
rJ-[+
I
3
z)
Ordinul
grupului
simetric
S,,
este
egal
cu
n .
in
grupul
sn
elementur
,reut.'
este
permutarea
identicd
1
I
=[
2
3
n)
2
3
n)
3B
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 35/324
Algebrd
.
l.
Grupuri
este
ce
t*
orice
permutare
"
=
["ir,
,1o,
"lr,
mruj
simetric
o-r
=
["(t)
"(2)
"(3)
"(r))
r
I
r
2
;'
.r'J'tt'"ntaPermutare
hersa
sau
inversa permutArii
o.
8
&emple
.
pentm
"=f'
2 3\
rtarea
inverqA esfe
--r-f3
t
2')
\3
r
zJ.
Ss, permutarea
inversa
este
"-'
=
[;
;
;l
sau
ordondndprimalinie,
"-t=fl
?
:'l
[2
3
t)
.rnversapermutariio=[]
? ? 1
u'
\3
5 I 2
o,J
t"t
estePermutarea:
.-r=(3
5 I 2
4\_(r 2
s
4
5)
-
[l
234s)
[34ts2)'
.
Transpozitie
Fie
i,
j
*
{1,
2,3,
...,
n}
=
M,
i
*
j.
Permutarea:
-
(t z i-r
i i+r ...
j-l
j j+r
...
n)
t..-r
'
I
se
numeste
u (t 2 i-r j i+1 ... j-l i j+t ...
n)
transpozifie.
Pentm
transpozifia
tU se
folosegte
pi
notalia tij
=
(i,
j).
}anspozi{ia (i,
j)
este o
permutare particulari
care schimbd
intre ele
:umai
elementele i
pi
j.
Se aratd uqor
cd
t5t
=
ti;,
tii
=
t,r
$i
tg
.ti,
=
e.
.
Siglnatura
unei
perrnutiri
Fie oeS,,
qi
i,jeM={1,2,...,n},i<j.
Perechea
ordonatd
i.
j)€MxM
se
numeqte
inversiune
a
permutdrii
o
dacd
o(i) >o(;).
Numdrul
tuturor
inversiunilor unei permutAri
o
e
S,,
se
noteazd
*(").
O
permutare
poate
avea
cel mult
C7 inversiuni,
deci
^
,,
n(n-l)
'J
<
m(o)<
'
/2
Numdrul
e(o)
=
(-f;-("1
se numeqte
signatura
(semnul)
permutd.rii
o.
Permutarea
o se numeqte
permutare
pari
dacd
e(o)= +l si
permu-
tare
impari
dacd"
e(o)=
*1.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 36/324
llS.Exemale
'
Pentru
p..-ut"r""
,r.=[l
2
g
4)_
-
-
l+
t
2
sJ
"n'
inversiunile
sunt:
(1,
2),
(i,
g),
(L
4),
deci
m(o)=
3,
iar
e(o)=
(-r)3
=
-1.
Aqadar
o.
este perrnu-tare
impari.
o
Pentru
transpozitia
t^.
-(1
2
3
4
5)
sunt
(2,
s),
(2,*t
r,1l :",-,,;.;=:l'*:.:,
_",,.*:
zilia
t24
este
permutare
imparA.
3
OBSERVATII
f.
in general,
se
poate
ardta
cd.
orir
tare
impard.
vuctLs
arala
ca
orice
transpozifie
t1,
e
sr.
este
o
pefinu-
2.Dacaoe
S,,,
atuncie(o)=
n
"(i)-g(:)
3.
Dacd
o,
r
€
S,,,
atunci
e(o,l-;t::?")
j;;
3.5.
Grupuri
de
matrice
Fie
n
e
N.
si
,//^(c)
mulfimea
matricelor
pdtratice
de
ordinul
n
u
elemente
numere
complexe.
Dupa
cum
se
stie,
mulfimea
,,/y'n(,c)
impreund
cu
adunarea
matri_
:1Tfrtrffi?.Hrf#1.
comutativ,
iar
cu
inmultirea
matricelor
rorrneazd.
In
continuare
se
vor
pune
in
evidenfd
cdteva
submultimi
ale
mul_
imii
'//n(o),
care
impreuna
cu
inmulfirea
matric"t*
ro.-"aza
grupuri.
Grupul
liniar
general
de grad
n
:: i
''iln(o)'
se
stie
cd matricea
A
este
inversabila
in
monoidur
ffi;#;_
"
,^' \
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 37/324
pennu-
n
mul-
Algebri
r
l.
Grupuri
tsnqrc-.rstrafie
Fie
A,
B
e
GL.
(,C).
Rezultd
ca
det(A'B)
=
clet(A).det(B)
e
,C.,
dhn
AB
e
GLr,
(rC).
Agadar,
mullimea
GL,
(,C)
este
parte
stabila
a
nrmr.-:i:mii ,
//"(A) in raport
cu inmul{irea matricelor.
inmultirea matricelor este asociativA
qi
admite elementul
neutru
-r
:
rr.
(C).
Deoarece
det(Ir)
=
1€
,C*
rezultdca I.
e
GL,
(D).
in consecin{a,
inmul{irea
matricelor
pe
mulfimea
GLr, (,D)
admite
is:ent
neutru
gi
anume
matricea
Ir..
Daca Ae
GL,'('C),
atunci
det(a-I)=-1-. g-
9i
se
obfine
ca
\ /
det(A)
A--
: cL"
(,D).
ln
concluzie,
(GL,,
(D),
)
este
grup.
I
Gnrpul
matricelor
ortogonale
Fie A e,,//n(C).
+
DEFINITIE
I
.
Matricea
A
e,'//^
(,C)
se numegte
matrice
ortogonali.
dacd.
t
A' A
=
I,r.
Mu$imea matricelor
ortogonale
de
ordinul n
se
noteazl.
O,'
(,D).
3 0BSERVATII
L.
Daca
A e
O,, (,D),
atunci
det(A)
=
{-t,
t}.
intr-adevAr,
din A
e
O,
(,C)
se obfine
ce
tA.
A
=
Ir,.
(1)
Din relafia
(l)
se
ob{ine
succesiv:
1
=
det(r,)
=
det(tA. A)
=
aet(te).
det(A)
=
(aet(e))2.
Asadar, det(a) e
{-t,
t}.
2.
ExistA
incluziunea
O,
(,D)
c GLr,
(,C).
3),
(1,
4),
41
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 38/324
Dermonstratie
Fie
A,
B
e
O,,
(o);
rezultd
cd
tA.A
=
I.,
Fi
tB.B
=
I,r.
Avem:
'(ae).(AB)=(,"
.o)
(AB)=,"
(m).8=
tB.B=r,,.
Aqadar'
AB
e
o'
(o),
iar
mulfimea
o"
iffi"te
parte
stabila
a
multimii
,,ttr(,C)
in
raporl
cu
inmulfirea
matricelor.
Sa
verificam
axiomele
grupului.
(G1)
Axtoma
asocatuttd;u.
inmultirea
matriceror
pe
mulfimea
o"
('c)
este
asociativd,
fiind
opera{ie
indusd
de
inmurfirea
matricelor
pe
,,//"(,C)
(proprietatea
de
ereditate
a
asociativitafli).
(G2)
Axiornrt
erementutui
neutru.
Deoarece
,I.,
=
I'
se
obline
cd
I"'I"
=I,''
deci
I'eo.r('g).
Rezurtd
ca
I'
este
elementur
neutru
ar
inmultirii
matricelor
pe
mulfimea
On
(0).
(G3)
Axiomo
elementelor
simetrizabile.
Fie
A
e Or,
(,C).
Din
observatia
I
rezultd
cd
det(A)
=
t1,
deci
matricea
A
este
inversabild
in
mono
idur
,//n(a).
oin
rerafia
tA
.A
=
I,,
::,
_i:t:_",.
,.,7
A-1
=
tA.
Folosind
aceastd
relafie
se
obfine
(A-')
'
A-t
-
'('o).
A-r
-
A
.A-r
=
I,,,
deci
A-r
e
o,,
(o),
iar
elementut
simetric
al
matricei
A
in
O"
(,C)
este
matricea
A*1.
I
8w'tnr&z
u7alnal
"t"
).
-coso]
tr
Fie
A
e
02
(a).
arate
cd
existd
cr
e
incat
A
=(
coscr
[_sinc
SA
lQ,
as
sincr
cos
c)(
o
=
r":""
\
srn
o(
see
tfel
)
]
sau
Solutre
Fie
A=ra
Ic
l)'o,1'o1
42
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 39/324
'nrrncondiriatA.A=rz
seootrne:
[]
")
[,"
o)
=f
t
fl
"",,
Lr
oJ
["
aJ-[o
t)"--
la2
+c2
=r
'rr
-c2
ab+cd)
-[r
o).
n"rrrttasistemul'
]t'*
d2
--r.
r-cd
b2+d2,1
(o
r)
labocd:o
t
lr---
ecuatiu
a2
+-c2
=I
se
deduce
cd
exista
cr
e
lQ,
astfel incAt
3-
=
cos
cL.
fu:liA
c=*sincr,
iar
din
a
treia
ecuafie
se obline
bcosa=tdsincr.
3::srituinddinecua .ia
b2
+d2
=1
seob{ine
b=+sing
9i
d=tcosct.
/ coscr sina) fcoscr
sincr
)
ts::ar.
A=l
lsauA=l
l.
1-
sin
c
cos
ct
/
\
stn
c{.
-
cos
cx.
/
a
pe
cd
al
deci
3.6.
Grupul
ridicinilor
de
ordinul
n
ale
unitAfii
Fie
n
e
N*.
Se
gtie
c5.
ecua{ia
zn
=I
are
exact
n
solufii
numere
:amplexe.
Solutiite
acestei
ecuafii
se
numesc
rddicini
de ordinul
n ale
-",itatii
gi
au
forma:
zr
=cosSEn
*i"ir-r? n,k
={0,
L,2,...,
,t-1}.
Notand
r
=
cos
27r
+
isin
21,
conform
formulei
lui
Moiwe
se
obfine:
nn
zk
=
tk,
k
=
{0,
l,
2,
...,
n
-
i}.
Multimea
r5.dd.cinilor de
ordinul n
ale
unitdtii
se
noteazd
U.,
$i
avem:
k
e
{0,
r,2,...,"
-
t}i
=
{r,
,, ,2,
...,e"-1}
{t)
U^
={,
e'Dl
z^
=
1}
*t,t
I
zt<n
2ktt
Un
={cos-+lsln-
43
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 40/324
f\omonstratie
Sd"
arAtd.m
cd
U,,
este
parte
stabild
a
lui
O in
numerelor
complexe.
Fie
21,
22
elJn.
Rezultd cA
zl
=
I
Fi zt
=I,
(r,
'
t")"
-
zi
.
zt
=
L,
deci
zrz2
€
U.,.
Verificim
axiomele
gmpului.
{G
I
)
exUma
as
o ciniuttdtti:
inmulfirea
numerelor
complexe
este
asociativii
qi
rezultd
cd
inmul{irea
indusa
pe
multimea
U,,
este,
de
asemenea,
asociativa
(proprietatea
de
ereditate
a
asociativitafii).
(G2)
Axtoma_
elementului
neutru:
se
observ'
ugor c5'
zo
=r
este
erement
neutru
in
raport
cu
inmulfirea
pe
U*
(G
3)
Axioma
elementelor
simetrizabile
:
Fie
z
€
U.r.
RezultA
cd,
zn
=I
si
deci
l€Ur,.
Din
se
obfine
ca
f
este
elementul
sirnetric
at
rui
z,
deci
z
este
inversabil
h
U.,.
in
cazul
irr
care
z
=
tP
€
U.r, sirnetricul
lui
z
este
z, =
e^-p
.
(G4)
Axioma
comutatiuitdtii:
Din
proprietatea
de
ereditate
a
comutativitafii
se
obfine
cd
inmulfirea
Pe
u'
este
comutativd,
fiind
indusd
de
inmultirea
numerelor
complexe.
in
concl,zi"'
(ur',
')
este
grup
comutativ.
ordinur
grupurui
u,
este
egal
cu
n.
raport
cu
inmulfirea
qi
astfel:
ft)"
I
i_l
=__l
\") zn-''
I
Z.-
=l
z
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 41/324
i
ffiEBClill
$l
PRoBIEME
lI.
Pe
mulfimea
O
se
deflne;te
oPe-
ralia
atgebrici
O
x'C
-+
'C,
(*'
Y)
-
-+xoY=x+Y+5i'
Si
se
arate
ca
(O,
o)
este
gruP
comu-
tativ.
@.
Pe
rnulfimea
Z
se
consideri
legile
de
comPozifie
Zx
l-+A,
("'Y)-
-)xoY=x+Y+6
9i
(}(,
V)-+xfY=
=x*Y-5.
Sesearateca
(2,')
;i
(2,
f)
sunt
gruPuri
comutative'
Ui.
p"
mu$imea
M
se
consideri
legea
de
compozifie
MxM+M
(r
V)
+*"Y"
Si
se
studieze
daci
(M,
")
este
gruP'
in
cazurile:
a)
M=tr,
xoY=x+Y+3;
b)
M=9,?.,xuY=x+Y+4;
ci
M=
&,
xoY
=
ry*l'0x*10Y+11t):
d)
M=O,
xoY=ilsy'
e) M=rC,
xoY=r(+Y+iKY;
fl
M={*1,
oo},
xoY
*
x+Y+
try;
g)
M=(o,r)"xov=
rry#-fi;
ifi'
u
='D
\
{-4,
xoY
=
xlr *
+i(x+Y)-1-t
84.
Pe
mullimea
Q se
consider[
leglle
decomPozl"tieGxG-+G'
(",y)-".'vYff.l
+i
def
^T;-----
(",
y)
-
x
J-
Y
=
i/x"
+
Y"'
Care
dintre
Perechile
(G'
C
'
(G' I)
este
un
gruP?
85.
P.'
mu$imea
G=(-A
2)
-t"gitu
de
comPozilie
se
consideri
GxG+G,
Algebri
'
l. GruPuti
EXERSARE
def
1 4 'g
der
4y
L,
4y
XoV
=
--L
Sl
X*Y
=
-.
"-
r
4+KY
4+xY
Care
dintre
Perechile
(G,
")'
(C'
f)
este
gruP comutativ?
(oor
se
consideri:
\-'
c,
=
{**
yJE
x,Y
ea,
x2
'sYz
=ti
qi
G,
=
{**tGl*v.o,
"'
-31
=q'
Care
dintre
mulfimile
G1
qi
C2
este
grup
abelian
in
raPort
cu
inmulfirea
nurnerelor
reale?
87.
Se
consideri
mulfimea:
"={"=[;
T)1"'
en'
aet(a)
*
o]'
S[
se
arate
ci
G
este
un
gruP in
rap@rt
cu
inunullirea
rnatrlcelor'
[f"
o
')"
EB"
Fie
,,/t=|it
a
ol
i.(o
I
oJ
c,"us($\.
*.u,""rj.
89.
a)
$6
se
arate
cA
("r1,')
este
gruP
comutativ.
b)
Sn
se
studieze
daci
oPeralla
algebrice
A
J-
B
=
.{4'
84,
definttn
pe
mulfimea
Jl,
determini
Pe
aceasta
o
structur[
de
gruP'
Fie
A'
=
{o
e
Sr,
I
o
este
Permu-
tare
Pard).
a)
Si
se
arate
ci (eo,
')
este
gruP'
(gruput
o.ltern
de
ordinul
n)'
il)
Pintru
ce
valori
ale
lui
n
gruPul
A.
este
comutativ?
45
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 42/324
.
l.
Grupuri
APROFU
Ar.
Fie
c=[(2*
il.v
4x2
-gv2
=rl
'
'J',
ev)
I
,")
l*'Y
e
Q,
grup
comutativ
in
raport
cu
inmul_
firea
matricelor.
Si
se
arate
ci
G
este
1-agi
arate
ci
a)
Sr[
se
determine
cdte
elemente
are
naulfimea
G.
b)
56
se
arate
ci
{G,. )
este
grup.
ff'
lu
multimea
E
=
e*
x
e
se
consideri
Iegea
decompozitie
E
*
E
;;:'*"'-
(*,
P)
.
(c,
d)
=
(ac,
ad
i
oi.
- u
".
rate
ci
(E,
o)
este
grup.
:e
co:side,n
"
=
i[;
,)1".
r]o
legea
de
compozlfie
G
x
G._+
G,
:Tli-
"=(l
l;*(i
;l
erechea
(G, ol
este
grup?
Pe
multimea
G
=
p
\
{a}
se
deflnes_
j"^13e".
de
_compoziiJ
J_E-"d,
x
o
y
=
W
-
2x
-
2y
+U.
Se
se
aetJ.l
mine
a,
b
e
D, astfel
inc{t
(e
.)
"a
ie
un
grup
comutativ.
A5.
.A6.
AB.
ef.:F-p,f"(x)=ax+
/={f^l
aee*}.sise
(9,
.)
este
grup.
47,
Fie a
e
D
s,i
funcgiile
f.:
e
*+
e,
{
(x)
=
x.ch(a)
*
.6F"1(.).
?:'
.o
=
{f"
I
a
e
P},
sri
se
arate
cd
('Y,
o)
este
grup
abelian.
Fie
f"
:
[],
+co)
+
Il,
+o),
d
(*)
=
(".
G;-
t)".
("-
,F-)"
si
s={r.f
ae
(o,*il'.
NDARE
=
a)
Si
se
arate
ci
atunci
fo
.Ib
=ul"u
a'
B
e
(o,
+o),
b)
Si
se
arate
cd
(,9,
.)
este
un grup
abelian.
A'9.
Se
se
determine
a,
b
e
2,,
astfel
incit
legea
de
r
(x,v)-
*
o
o'oil'oozifiezxl-+l'
if,
.J,J'i"l
;"
L
:.ffi
;,li".rln"."
Alo'Fie
(Gr,
"),
(Gr,
*)
douri
gtupuri
si
E
=
_=
G,
x
G".
pe
mulgime.;
J;il;;
legea
de
compoziite
e "
e
_,
ffi:;jT
ef
J(c'
d)
-
(a
o
c,
b
*
d).
s6seara_
te
cd
(E,
J_)
este
,rn
g*p,
;-";;
rodusut
dtrect
.t
g*plriiirtji;
c".
All.Sd
se
alcdtuiasc{
tabla
grupulul:
a)
(7e
x
1",
+);
b)
(1,
x
1",
+l:
c)
(Ie
x
t",
+1,
Al2.
F-entru
un
punct
oarecare
M
din
tanut
*
rapon*r"
r.p"J"*l""illi
xOy
se
noteazr
sirnetricele
"..:r"::
,h
T:
X;
y,
respectiv
punctul
O.
Fie
funcftile
a1i
g
_+ g,
I
=I:i ;r"
;;
relafiite:
se
(M)
=
wt,
sr
(M)
=
14r,
",
(Y)
=
tr&,
so
(M)
=
nrg
qt
mulfimea
g
=
{so,
s1,
s2,
s"}.
sa
se
arate
ci:
al
9este
parte
stabild
in
raport
eu
operatia
,
o..
de
compunere
a
funcfiiilor;
b)
(,E,
")
este
grup
comutativ,
(grupul
lui
Klein).
46
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 43/324
Algehri
n
l.
ffrupuri
(O,
+o),
grup
astfel
E,
grup.
gi
E
=
ara-
nurnit
G,
si
din
lvls
Ox,
Fie
ae
Mr,
ci:
cu
O
Reguli
de
calcu
[mtr"un
gNrup
4.1.
Futerea
umu'i
e$emlemt
?latr-um
grup
,re
(G,)
uri
grup
in
notatie
mul'tipli'cativS'
9i
at'az"'"'a"e
G'
rr
-
,
in
gr-r-rpui
(G'
)
se
defineste
prodtlsul
dr'az
'
"
"'
an
in
rnod
--:--.'.
aslfetr:
",."r,''ll,ith$1
ltd*=t
a"'
-*^A.r.
-r
caz,ul
pa:ticuiar-
cand
a,
*
a2
'
"
'
=
a"
='
a'
produsul
:
t.
.,.,2
se
noteaed
at'
Frin
convenfie'
pentnr
n
=
# =
e.
e
fiind
etrementul
neutru
al
grurpului'
&l'
32'
"..'
2n
'=
O
se
considera
rrr+n
a-
:
:=-''
=(a*
u*
..-fl
'(a'a"',
a)
{13;3
I
"..
d
=H";-4-a*''
M
--X_.---
m
m
3
OBSERVATEE
[-I
".
:,
rotatie
aditivA,
proprieffitiie
anterioare
se
scriu:
1
-
a+.".+
a)=
*"*,
ma+
na
=
(rn+
n)a
qi
(m"n)'3'
=
1rl"(t'")'
i--;*
_
:rini
cazur'n
care
n
e
r|si
n
<
0,
puterea
at
se
defineste
ast'fel:
-:-
-
I
o-I
\-'
=
{r-'\-t ,
.r11d*
a-l
este
elementul
sirnetric
atr
eXementului
a'
.
=ld
I
_\*
l
E
TEERENNN
iI
Fie
(G,
)
*t
grlrp
$i
a
e
G'
Atunci:
.
_r
,*_,)o
,
v
ri
e
e;
")h'),
:i
,
47
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 44/324
a)pentrun<Orezultd:
("")-'
=(1"-,)-")-'
=
(("-,)-')-
=a_.
=("_,),.
b)
pentnr
-,
1
.
N
se
aplicd
teorema
lO.
entm
m
<
O,
n
<
O,
putem
;;;;
""
a*
.a'
=
a*
.("-"]
=
(u--)-t
("-")-t
=
(.-,
.
u--)-,
=
(._,__;-r
=
q**,.
Fiem>opin<o'
Daca
-
tl-r,
atunciexistd
r€N*,
astfellnc6tm=*n+r.
;:::
_.r,
":;;":__(:;:;f
::
-?r
'-n+n:.,=a-+n
Rezult6:
a*
'a'
=
(a
'a
....
.a).(r-t)-"
=
("
.
.
.:.
.=).(a-r
.a-r
.
...
.
"*r)
=
r
-l
-r
m
=
ta*'
'a-'t
...
1-_t)=
(a-t;-*-n
=
srr+n.
.-rn--n
N
proprietatea
este
adevdratd.
Dacd
m
<
0,
n
>
O,
=
(a-m)-n
=
"(-mX-n)
=
a^r.
Analog
se
analizeazdr
e)
Dacd
m,
n
€
atunci
avem:
("*)"
celelalte
situatii.
I
4.2,
Legi
de
simplificare
a)
Fie
x
o
y
-
x
o
z.
Compunem
la
stAnga
cu
simetricul
x_l
al
lui
x
:t":]lT
=*r-,.'
o(*
"v)
=
x-r
o
(*"')=
("-'
.";.u
=
i"-r
.")
o
t
)eoy
=
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 45/324
x
rl.
hil
Fre
x.
z
-
y
c
z. Compunem
la
dreapta
cu
simetricul
lui
z
9i
:r
,
z)
.
t-'
=
(y
o
z)
"
z-r
=
x
o
(t
"
"-')
=
t
"
("
"
"-') =
*
o
e
-
y
o
e
+
r=I
I
A
,[ftm
:*:tarrie
aditivi
relafiile
anterioare
se
scriu:
[
*
_;
=
s.
-
z
]
y
=
z
qix
+ z
=y
+
z ]
x
=
Y,
reprezentAnd
legile
reducerii.
Sr
:arricutar,
x + x
=
x
*
x
=
0.
t"Itri
rG.
.)
este
un
grup
finit,
atunci
in
tabla
lui Cayley
a
grupului,
iecare
linie
(coloanA)
toate
elementele
sunt
distincte.
-'der-ar,
daca, de
exemplu
pe
linia
i
ar
fi
doud elemente
egale,
ele
ar
grlf,F-:
r-
l-rna
ai.&k
=&i.?m.
Din
legile
de
simplificare
Se Obtine
oL-
&6,
Ha
ce
nu
se
poate.
&,of
brnpt.p7ol"ralet
m
1.
Fie
a)
A"
Ae,//2(o),"=[:
(
un
an*t)
-tl,
\.a.r*t
an*2
)
l)
t"
se
arate
cd:
unde
an
eL-,
n
e
N*
b) Pentru
oricare
m, n
€
N*
are
loc
relafia
or.r*n
=
&m+I
'&n+1
*
o-
'd.r'
49
M4,@7okai
m
Fie
multimea
M
=
{a,
b, c,
d}
9i
iegea
de
compozitie
M
x
M
-+
M,
,t^
v
)
-_)
x
.y.
astfel
incAt (M,
.)
este
un
grup.
Sd
se
alcS.tuia.sca
--abla
grupului, stiind
cab'
a
=
b si
b'
b
=
c.
in:=-
Tabla incornpletA a
grupului,
conform
enu.n-
:mru-u:
aratd
ca
in
figura
alaturata.
Deoarece
b
a
=
b, rezultd
tr'
a
=
b'
e
9i
dfllir-
-re{ea
simplific6rii
la
stAnga
se
obfine
a
=
e'
gs"-.r'ia
a doua
a tablei
grupuiui
trebuie
s5.
aparA
w.
+e*mentele
a
gi
d.
Dacd
b
.
d
=
d, ar
rezulta
b
=
e
=
0
$i
nu
se
poate'
#-:ine
numai
posibilitatea
b'
d
=
a
9i
Lr'
c
=
d.
-{stfel,
a
doua
linie
este
b,
c,
d,
a.
Analog,
a
doua
coloand'
este
b'
c,
d,
a.
Produsul
c
.d
nu
poate fi egal
cr-r
c
sau
d,
deoarece
acestea
apar
9i
nr
na
a
treia si
nici
cu
a,
deoarece
acesta apare deja pe coloana
a
patra'
fuita
ca
c'
d
=
b
qi,
analog,
d'
c
=b.
ft,-n-dnd
elementele
de
pe
liniile
3
gi
4 se obfine
c
.
c
=
a
qi
d'
d
=
3.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 46/324
"Sotude
a)
Muitimea
,,//2(IA)
este
parte
stabild
a
lui
inmultirea
matricelor.
Rezuitd
cd
A'
e,//r(Ie)
pentn-r
oricare
n
e
N*"
n)1.
,,h(,D)
in
raporL
cu
Fie
An
neN*:
Din
egalitatea
A'*l
=
At
.A
-
A.A'
se
obtine
b")
fo
r)
(o
t).(u"
b.)
^^._
fn"
",_t"
.J
[,
rJ--[,
,J[.";
;:J*"
i;
c,,
i.d,,
Asadar,
b,
=
c,
si
d.
=
?,.
*
b,r.
Rezulta
cd
n
€ n.\*,
iar din
egatritatea
4n+l
-
A' .A
se
obtine
(ul,*t
-(
bn
a,,
+
b,.,
)
lbr"*r
-
[an
-r
b,.,
a,
+
Zbn
)'
Rezultd
b,-,
=
&,ro1
si
astfel
Au,
=
[
tr
an+r
)
{.*',.-,
an
*
an,lJ
_
Din
egalitatea
,1n'i2
-
A"
.42
se
ol:tine:
l:",
3n*3
l=[""
?n,r
)
f
i
]l
{
an
ra
[u".,
&n,2*a,.,.sJ
r,..,.,_,
,,-,
_or,,i
lu
;)-.,,i'.
J*',
si, prin
urmare,
a,nq
=
&,
*
&,r+r.
Asadar.
o'
,.l-t*
1""' l.
\'*nr.1
dn+2
)
,
O)
Folosirn
egalitatea
Am+n
=
A*
"A,
Si
rezuitd:
I
o*."
?nr.n*r
)=
[
"*
a**r
) f
a,,
an.r
)
\&m*n
.r
om-r*2
I
Ia*_r
a*_z
)'Io.
,,
an*z
)
=(
^n",
'fln
+
26*1 '?n,
I
am.an,l
*?rn
,r.an_2
)
\an
'am-l
l-?n-l
.Z.m_2
?m_1
.?n_I
J-Anr.2
.
an,Z)"
Din
aceastA
egalitate
matriceald
se
obrline
relafia
&m+n
=
&m
*'&m+1
'a,-,*,
pentru
Oricare
lTl,
n
E
n.q*.
E
2.
Fie
(G,
)
un
grLlp.
SA
se
arate
cA
pentru
oricare
a,
b,
c
e
G.
ecuatiile
ax
=
b,
]ra
=
b
gi
azb
=
c
au
solutie
unicA.
pentr
ll
1l^
./
\dn
^n
=
(u'
[."
b
cL_
n+
n
.+
Ic'
a_
TI
ltr-
n
n
n
u
Ln
+
(a
In
(u,
b,"
)
-
|
""
.1.,
,l'
an,
+Za,_r,i
)
2a,,
r
3a"
1./
d'r
)
l.
,Jl
n
runz'
bn)
,
+
br,l'
rl
D,,*t
)
a-+
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 47/324
b.,'
dn,
dn)
+
d,.,7'
bn)
+
b,-rl'
)
*
Algebri
r
l.
3E
rezoivAm
prima
ecuafie.
A'--ern succesiv:
ax
=
b
<=' ax
=
eb
<)rrr
=
(".
t)o
o
"*
=
"("-tu).
ialosind legea
de
simptificare
la
stAnga
se
obfine
x
=
a-lb.
l:alog
1'a
=
b
<)
ya
=
be
<>
ya
=
b(a*l")
e
y.
=
(n"-t)r.
f:losind
regula
de
simplificare
la
dreapta
v
=
ba-I.
?entru
ecuafia
azb
=
C,
avem
suCCesiv:
=
c
:=
a(zb)=
c
€ zb
=
a'rc
e
z
=a-lcb-l
EXERSARE
f[.
FE uultlmea
G
=
C
\
{1}
se
deflnegte
hgca de compozl ,ie
G x
G
-+ G,
def
ty)+xoY
=
x'iy-IKy.
,ri
St
se arate
cf,
(G,
")
este
grup
eomutatlv.
U
Se
se
calculeze
in
grupul
G:
1-t)',
(r-l)2
er
i5.
b)
Si se
determlne
4n
gl
tn,
n
> l,
xeG.
Pe
mu$imea
G
=
(4
+.o)
se
deffnegte
legea
de
compozifie
G
x 0
-+
G,
dcf
(x,
f)-+roy
=
xy-a(x+y)+2t).
a)
56
se arate
c[
(G,
"]
este
un
grup
cornutatlv,
b)
in
grupul
(c,
.)
si
se
determlne
Snglxn,n)lgtxeG.
fte
(G,
.)
un
grup ql
a,
b
e
G
astf,el
incit
ab
=
ba.
S[
se
arate
ci:
a)
a2b
=
ba2; b)
a2b3
= b3a2;
c)anb=ban,VneH.
Fle
(G,
.)
un
grup,
a,
b
e
G
gi
x
=
aba-r.
Si
se
calculeze:
a) x2;
b)
x6;
c) xn.
n
e
N*.
a)anb=bao,VneZ;
b)
a*bn=bta-,
Vm,neZ.
E,4.
85.
86.
APROFUNDARE
"
ff,"1?;"1,:;
=';:J:J;,:,"'J'
ll
5r
mHTil
$r
PR0BTEME
lrt
2a\
r&
'e
"
=
ti;
":)
,.
zi.
r.l
Si
se
arate
ci
G
eete
grup
comu-
tetiv
in raport
crr
inrnulflrea
matrl-
celor.
bJ Dact
A
e
G,
s&
se
calculeze
An,
neN'.
S5,
S€ coadder{
muglmea
C=(O
+.o)\{f}
ri legea
de
compozitie
G
x
G
-+
G,
d:"f
{.'
y)
-+
x
'y
l-
1lo8,Y.
a)
Si'
se
arate
ci
(G,
")
este
grup
eomutativ.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 48/324
-}--.
(SJ"i"
(c,
.)
un grup
si
a,
b
e G,
astfel
incdt
a
=
b2
qi
b
=
a2.
SA
se
^
arate
cd:
\--.
ihj.dacn
x
=
aba,
atunci
xs
=
e;
: b"
$\daca
x
=
aba-I,
atunci
x3
=
e.
in grupul
(C,
.)
se
consideri
ele-
mentele
a
gi
b,
astfel
inc6t
ab
=
e.
Sa
se
arate
ci
ba
=
e.
i.>-'
,:1.4,,
Fie
(C,
.)
*
grup
gi
a,
b
e G,
astfel
inedt
ab2
=
e.
Si se
arate
cd
ab
=
ba"
,{5.
Fie
(C,
.) un
grup
sj
x,
y
e G
astfel
incdt
x5
=
e gi
y2
=
xyx-l.
S{
se
arate
cd ysr
=
6"
.{6.
in gruput
(G,
.)
se
considerd.
e e_
rnentele
a,
b,
c
astfel
ine6t
abc
=
e.
Sdt
se
arate
cf:
a)
b,ea
=
ei
b)
eeb
=
e.
"A?.
Se
corasfd*r#
gnarptd
{G,
.)
qi
a,
b
e
&,
astfe$
r**dt
aba =
bab. 56 se
arate
aS
e5
=
e,
dasd qi
nuslai
dae&
b5=e,
48.
S'ie
(e,
.)
un grup
si
a,
b
e &.
$d
se
arate
cd:
fi;.-,
ai
dacd
x=
aba*r,
atunci
x"
*ab*a-l
l Y:|vnEx;
.,1,
{k"'
DEZ'$TOLTARE
El.
Fie
(C,
.)
un
grup
cu
proprietatea
xl
=
sa
=+
y
=
z,
Sd
se
arate
ci
grupul
G este
connutativ.
D2.
Fte
(C,
.)
un
grup
-si
a
e G.
Si
se
arate
ci
dacd
Nag
=
ax3,
V
x
e
G,
atunci
G este
cornutativ.
I)3.
Se
considerd
un grup
(c,.),
eu
proprietatea
ci
existi
rn"
n
e N*,
b)
dacd
in
e
2."
astfel
ca
(aUa-r)"=
e,
atunci
bn
=
e.
A'9.
Fie
(e,
.)
"tr
grup,
A
=
{",
b,
c,
d,
e}.
Dacd
ab
=
d"
ca
=
e,
de
=
b,
si
se
alcituiasci
tabla
grupului"
A10.
Fie
(C,
.)
un
grup.
Si
se
arate
ed
G este
cornutativ
dacd
are
loc
una
dintre
situatiile:
a)
x2=e,
VxeG;
ut
("y)'
=
xzyz,v
x,
y
e G;
c)
(xy)-r
=
x-ry-r,
v
x,y
e G;
d)
xy-l
=
5'x-1,
V x,y
e
c
\
{e};
e)
xB
=
e
si
x2y2
=y2x2,
V x,y
e G;
fj
x3
=
e
qi
{"ry)z
=
(r)",
v
x,y
e
G;
g)
xy*r
=
**ty,
vx,y
e
c \
{e}.
Atl.
F're
*,,
t,
0
e
s4,
"
=
i']
2
3
i3 14
,=l'l
i :
1'l.r=[u
2
3
(? 1
4
3J'"-l\2
4
r
${ se
reaolve
ecuagiile:
s.)x$=r;
b)qx=U
c)
oxt
=
0;
d)
xo
=
ox;
e)
xs=6;
fJ
x2=0;
g)
tzot
"x
=
0407'
(*,
")=
L
astfel
incat
(4y)m
=
(yr,)^
9i
(w)"
=
(y*)",
V
x,
y
e G.
Si
se
arate
ed
G
este
grup
comutativ.
D4.
Fie
(C,
.)
un
grup.
Si
se
arate
ci
dacd
exist[
n
e
N*,
astfel
inc6t pen_
tru
orlcare
x,
y
e G,
(*y)t
=
*tyr,
ie{n,
n+t,
n+2},
atunci
grupul
G
este
comutativ"
4r\
2)'
4.1
3)"
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 49/324
e
G;
2)'
d,
e].
ce
una
se
cd
Algebri
r
l.
t/lorfisme
de
grupuri
i:e
G^.
')
si
(G2.
x)
doudgrupuri.
.a
I :
G,-+
G,
se
nl'rmegte
morfism
(omomorfism)
de
grupuri
mftmr.:
j
x
-
)')
=f(*)-f(V),
V
x,
ye
G1.
:a f :Gt
+
G2 se
numegte
izomorfism
de
grupuri
dacA f
este
m:srn
de
grupuri
si este
functie
bijectivd.
:;r-rriJe (G,,
.)
9i
(Gr,*)
se
numesc
1pryrri
izomorfe
si
se scrie
Gr
=
Gz,
dacd
dnm:=
ele existd
cel
putin
un
izomorfism
de
4r::"i.
tlqqple
- F
rc:a
f
:
I
-+
{-t,
t},
f (n)
=
(-t)"
este
morfism
intre
g:q:::le
(2,
+)
Fi
({-t,i},.)
-n:ir-"der.ar,
avem:
f
(m+n)=(-t)-*'=(-t)'
(-t)"
=
f
(m) f
(n),
v
m, n e
f,.
.i':-::ra
f
:Q-+(0,-),f(x)
=2x
este
izomorfism
intre
grupurile
(p,*)
qi
-
rl.
).
intr-adevar,
funcfia
exponentiali
f este
bijectivd
si:
f
(x
+y)=2x+v
=
=
-'
2y
=
f
(") r(v),
v x,
y
e
rQ.
riiii:-.
grupurile
(tO,
+)
si
((0,*),.)
suntizomorfe.
*1.:
-. 1C)
cM"(C)
rnultimea
matricelor
de
ordinul
n, inversabile.
Functia
:'--,f)-+o.,f(A)=det(A)
este
morfism
intre
grupurire
(r"(c),.)
qi
(,c.,.),
:r:.rece f(A B)=det(A
n)=det(a).det(n)=f(A)
f(B),
v A, Bet"(D).
:W&fsnA,
,.aga/ntae
W
Fe
multimea
Z
se
considerd
legile
de
compozitie:
t
-
I
-->
ft,
{x,y)
+
x
"yYx
+y+
1;
I
',.
t
-+
L,
(x,y)
--)
x ,
roj'x
+
y
+
5.
a) Sa
se arate
ca
(8,
")
ot
(2, I) sunt
grupuri.
b)
SA
se
determine
a,
b e
Z,
pentru
care
funcfia
f :
L
-+
il.,
::
x
=ax+b,
este
izomorfism
intre
grupurile
(/l,
")
+i
(2,
f).
f
(x).
f
(y)
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 50/324
r
l.
Grupuri
a)
Se verificS"
axiomele
grupului.
b)
Funcfia
f
este
morfism
de
grupuri
dacd.
f(""y)=f(t)f
f(V)
Vx,ye7I.(ll
Dinrelatia
(l)
se
obfine: a(x+y+1)+b=oX+b+ay+b+b,
y
x,y
eL.
relafie
din
care
rezultS.
a
=
b
+
5"
Aqadar,
f(x)=ax+a*5.
Pentru
ca f
sa
fie bijectivd.
este
necesar
ca f sd fie
injectiva
si
s'.rUectiv6.
Din surjectivitatea
funcdiei f,
pentru
y
=
a
-
4 trebuie
sd
existe
x e L-
asl,fel
incAt
f(x)
=
a-
4.
Rezulta ca ax
=
1,
de
unde
se
obfine a
e
{l
-
t}.
Funcliile
f
sunt:
f
(*)=
x-4
qi
f
(*)
=
-x-6,
care se
constat6
sunt
bijective.
Demonstratte
a) Avem:
f
(e,)
=
f
(e,
.er)t*oln"-r(.,),f
(",).
Simplificdnd
cu
f
(er)
in
grupr-rl
G2
se
obtine
f
(e,)
=er.
b)Avem:
r(")
t("-t)=t(*.o-t)=f(e,)=
r'2,
y
x e
G.
Din
aceasta
reta{ie rezultd:
f
(")
(f
(")-t
=
f
(")
f
(x-t)
+i,
legea
de
simplificare
la stAnga
cu
f(*),
se
obtine
rela{ia
t("-t)
=
(r('))-',
V N
e
G1.
c]
Pentru
n
=
O
rezultd
f
("r)
=
e2,
adicd.
relafia
a).
Pentru
n
e
Ni,
avern
succesiv:
aplicAnd
cen:ta.
o("")
=
t(".>r"-')
=
f(').t(r"-')
=...
=
r(")
r
(r)....
_f
(g
--(r("))"
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 51/324
r(v).
e
l.
ci
Algebrd
.
l.
<
0,
avem
succesiv:
,("-')-")
=
(r("-'))-"
=
(r(*))-t
(-')
=
(r1x;)"
.
r
_--UATIE
lF-,.,,-r,'.r
frm.
:mere
aditivA,
relatiile
anterioare
se
scriu:
d:
-r=0:
li:
-sr=-f(x),vxe
G1;
d:
rrt=nf("),vxeG1
gine
Z.
f,lkmnur--srarte
r)
Avem succesiv:
ffiil1:s
=
g{l(ry))
=
S(r(x;'r(v))
=
S(r1x;;
g(r(v))
=
tr(x)'h(v)'
V
x,
v
e
G'.
h)
Functia
f-l
:
Gz
+
G1
este
bijectivA.
ae
)-r
,
yz
€G2.
Deoarece
f
:
G1
+ G2
este
funcfie
bijectivd.,
rezultd
omss--a
xr,X2
e
G1,
astfelincdt
f(*r)=Yr
Fi
f
(x2)=Yz.
-rJ.:etrn:
f-t (y,.yz)
=
r-1(r(xt)
f
(xr))=
r-1(r(x,'*r))=
XlX2
=
=:*"
:-rf-l(yz).
-{-.a.dar,
f-t
este
izomorfism
de
grupuri.
I
+EilTII
Ff
=;#;To"
*
*
se numegte
endomorfism
al
grupului
G.
,'
-=
zomorfism
f :
G
-+
G
se numepte
automorfism
al
grupului
G'
]*[--:-lnmea
endomorfismelor
unui
grup
G
se
ttoteazd'
nnd(G)'
iar
='-:fdmea
automorfismelor
lui
G
se noteazd
Aut(G).
knu
n
^l
: I-J=Ii
55
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 52/324
a)
Din
teorema
14
rezttltd.
c5-
dacd
f, g.
End(G),
atunci
pi
f
"9
e
end(G)'
compunerea
funcfiilor
este
asociativi,
deci
qi
compunerea
endomorfismelor
lui
G
este
asociativd.
Funcfia
identica
ro
este
ndomorfism
al
lui
G.
in
concluzi.,
1ono1c),
.i;";onoid.
b)
Dacd
f'guAut(G)'
din
teorema
14
rezult.
cd
f
.g€Aut(G).
compunerea
funcfiilor
pe
aut(G)
este
asociativd
qi
admite
pe
1.
e
Aut(G)
element
neutru.
Dacd
f
e
Aut(G),
atunci
$i
f-r
e
Aut(G),
av6nd
'n
vedere
teorema
14.
Agadar,
(aut(c),
.;
"*,"
grup.
Se
observd
ca
(Aut(c),
.)
."t"
grupul
unitdfilor
monoidului
(End(G),
").
I
@
DxemBlu
.
Fie
(2,
+) grupul
aditiv
al
numerelor
intregi.
a)
Sa
se
determine
monoidul
(ena(Z),
").
b)
Sa
se
determine
aut(Z)
qi
sd"
se
ar
izomorfe.
rv rruL\r.,
Fr
sa
se
arate
cA
grupurile
(aut1z),
")
si
(2,r,+)
sunt
Solutie
;i"':j;::iltl^l:^rta.ce
r(n)
=
r(,
r)
=
nr(r),
v
n
e
z,(teorema
rB).
ma
lSJ.
ffi:,:l: il:;:: ,.,"1"*.:1"*
ar
rui
z
este
funcria
r^
:L
_+2,
f"
(x)
=
a;q.
n
concluzie,
End(Z)
=
{f^
|
a
e
U}
.
b)
Deoarece
Aut(Z)
c
End(Z),
rezultd
cd.
automorffsmele
lui
Z
e
Z
astfel
incdt
Asadar,
Aut(Z)
=
{fi,
f_r
}
Definim
s:
L2
_+
Aut(z),
astfel:
q(O)
=
r,,
o(i)
=
r-,.
Evide-t,
firnctir
deoarece:
----.''
'*"usd
g
este
bijectiva'
De
asemenea,
rp
este
$i
morfism
de
grupuri,
,r(o.
o)
=
*(0)
=
4
pi
e(0)"
a(o)
=
fi
o
fi
=
fi;
,r(o.
i)
=
r(i)
=
r-,
ci
q(6)"
r(i)
=
ri
.
r_r
=
r_
r;
'r(i.
i;
=
*(o)
=
ri
pi
e(i)",e(i)
=
r-r
.
r_r
=
ri.
Asadar,
are
loc
izomorlismul
de
grupuri
:
(Ur,
+)=
(aut(Z),
").
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 53/324
Si
este
pe
sunt
.
l.
Grupuri
nnflt
d
Cde
douA
table
ale
operafiilor
grupurilor
anaturat.
.*
obsen'a
ca
aceste
table
au
aceeasi
l.lb
tC,
+)
un
gnrp,
unde
G
=
Z,
e,
D,
('
i
r
e
G. Si se
arate
ci
f
:
G
-+
G,
f,{r}
=
ar
este
un
endomorflsm
de
1rryi.
in ce
caz
f este
automor-
h
de
grupuri?
$t
{G
+)
gruput
aditiv
al
numerelor
rryflFie.
Si
se
arate
ci f
:
C
-+
1;,
r{"}
=
i este
automorfism
de
lrryi.
o
(O',
.)
Sr"n"r
multlplicattv
at
rmoerelor
complexe.
Si.
se
arate
ci
f :C'+C-,f(z)=Z
este
auto-
rsfism
de
grupuri.
fl
f_r
ft f-I,
f*r
ft
ea
cu
urmdtoarea
tabla:
e
a
n
nm
{eneral,
doua grupuri
cu
un
numar
finit
de
elemente
sunt
dl^acA
tablele
operafiilor
lor
sunt
la fel
structurate.
SI PROBTEME
EXERSARE
e
a.
ae
roLrm
0(i7):{"+uJ?
la,r.0}.
.
Si
ee
arate ci:
O
(O(" ,+)este
grup comutativ;
;
I
I
57
tl
r :
o(J-z)
-+o(fi),
r(a
+
tJ-z)
=
a
*
bJ-Z
este
automorfism
de
grupuri.
,.{1
(85.
lse
consideri
mulfimea:
v
*
=
I^,*,
I
"t.r:
[l
;),
..
ri
LI
Si
se
arate
ci:
a) (M,
+)
este grup;
b)
f
:
A
-+
nn,
f
(x)
=
e(*)
este
izo-
rnorflsm
de
grupuri
intre
(D,
+)
+t
(nn,
*).
86.
Pe
rnulfimea
e
se
definesc
leg;ile
de
compozifie
xoy:x+y+a,
xfy:x+ay-L.
Si
se determine
a,
b
e
Q
pentru
care
f
:
e
-+
e,
f
(")
=
x
+
b,
si
fie izomorllsm
intre
grupurile
(n,
.)
+i
(p,r).
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 54/324
Algebri
r
l.
,.
87.
Fie
c
=
(-9,
3)
9t
legea
de
compo_
\-/
zifie
pe
G,
x
o
,
=
"J;.:".
si
se
arate
ce:
a)
(C,
o) este
grup
comutativ;
b)f
:G-+4,
f(x)=togzffi
""r"
lzomorflsm
lntre
grupurile
(C,
")
,
et
(D,
+).
f\l
e8,
ne
F={f1,
h,fs,f4}
unde
{:d_+d,
-J
t
=
I-
9t
f1(x)
=
x,
f2
(x)
=
_3,
fs(r)=f
,
,.(*)=-*.
Si
se
arate
c6;
a)
(F,
")
este grup
comutafiv;
este
izomorf
cu
gnrpul
Fie
F
=
{fr,
fr,
f3}
unde
f1 :
n\{A
f}
-+n\{O
r},
i=fi 9i
f1(x)
=
f2(x)=*,f3(x)=r-1.
se
arate
ci:
a)
(F,
")
este grup
comutativ;
b)
(F,
")
=
(Zs,
*).
ElO.Fte
(C,
.)
un
grup
Ft
a
e G.
pe
se
deflnegte
legea
de
G
x
G
+
G,
(x,
y)
-+
xoy=xay.
se
arate
c[
(G,
o)
este
un
gtup
(c,
")
=
(G,
,).
APROFUNDARE
il/"
j
comutativ;
[
('
"
42.
Fte
c=Ja(a)=l*
r
\_,
I
l"o
Si
se
arate
ci:
a)
(c,
')
este
un
grup
b)
(e,
.)
=
(n,
+).
Jlj"
o={"t'r=(i
l)
aen].
se
se
arate
cE:
a)
(G,
.)
este
un
grup
comutaflv;
b)
(c,
.)
=
(n,
+).
(o
r
o)
Att.Fie
A=lo
o
I
|
_l
|
+i
multimea
(_r
o
o)
u=
{e"
I
"
=
t} .
sd.
se
arate
ce
(r4
.)
este
un
girup
comutativ
izomorf
cu
un grup
multiplicativ
de
numere
complexe.
.{4.
Pe
mu$imea
G
=
(8,
+
o)
se
consi
f--Aera
tegea
de
compozlfie
x
o
y
=
=:ry-3x-gy+12.
a)
S{
se
arate
ci
(G,
")
este
un
comutativ.
b)
Si
se
determlne
a,
b
e
p,
care
f
:n|+G,
f(x)=a:K*b
este
izomorllsm
inhe
((o,
+
o),
.)
+i
(c,
";.
A5.
Fre
.,
=
{(_"":1:
::::)
I
".
"}
gi
G,
=
{z
e
a,l
lrl
=
r}.
56
se
arate
ci
(ct,
.)
ti
(cr,
.)
sunt
grupurt
izomorfe.
46.
Fie
*={(;
*)j*o.*
u-*,=l
ei
cr={"
+yJzl
*,r.e,x2-
-2y2
=
r).
Sa
se
arate
ci
grupurile
(ct,
')
pi
(Gz,
.)
sunt
tzomorfe.
5B
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 55/324
gnrpul
r}
(x)
=
sd
x
xay.
gtup
xoy
aratc
GxG-+G,
(x,y)-+x"y:
{tg
=
* tgy).
Sn se
arate ci:
f&.
")
este un
grup
comutativ;
[rG.,
"]
=
(p,
*).
6
=
{1,
+
o)
li
legea
de
compo-
G
x
G
-+
G,
(x,
y)
-+xoy=
-**l
-22
-y2
+2,
I
sc
arate
ca
(G,
")
este
un
rl coEutativ.
tI,
* determlne
a, b
e
R,
pentru
fr@cfla
f
:
(O
.o)-+G
f(x)
=JilTE
*
iaonor8sm
intre
grupurlle
t$q-
-'),
:) ri
(c,
").
tc-)ungrupqiaeG.Sise
Ir
ce
f
:
G
-+
G, fo
(x)
=
axa-l
"= "-;,;);i
legea
de compo-
Algehri
r
L
Grupuri
este
automorfism
al
grupului
G
(
f,u
se
numeqte
automorfism
interior
al
grupului
G).
AlO.Fie
(C,
.)
un
grup.
Si se arate
ci
f :
G
-+
G, f
(x)
=
x-r
este auto-
morfism
al
grupului
G dacfl
si
numai
daci
G este comutativ.
All.Se
consideri
funcgia
f,"
:
G
-+
G,
f"(x)=ir'xll
o
F
=
{f"
la
e
(o,
+
*)}
.
sa se arate
ci:
a)
(F,
")
este
grup
comutativ;
b)
(F,
")
=
(1o,
+
*),
.).
AI"2.Si se
arate
c[
grupurile
(G,
.)
cu trei
elemente
sunt
izomorfe cu
(Zr, +).
DEZVOLTARE
l*
arate
ci:
r
{8.*),/(n.,');
u
rc',
)z(ol,
).
E
{G1,.)
Fi
(Gr,.)
doui
grupuri
leliene
gi
Hom(Gn,
G")
=
{f
:
G,
-+
+
G"
f
morflsm
de
grupuri).
Sd
se
:
cf,€
cji
(Horn(G'
Gr),
+)
este un
jrql
abelian.
Fie
(G,.)
un
grup
abelian. 56
se
arate
ci
grupurile (2,
+)
qi
(Hom(2,
G), +)
sunt
izomorfe.
Si se determine; a)
IIom(2,
Z);
b)
Hom(Q,
Q)l
c)
[Iom(Q,
Z).
Si se arate cd.:
a)
grupul
ll,
x
Zr,
+) este
izomorf
cu
grupul
lui
Klein
(K,');
b)
grupul
(1,
x
Zs,
+) este
izomorf
cu
grupul
(Z*,
+);
c)
(Lx
l-,
+)
=
(2,*,
+)
<+
(m,
n)
=
1.
D5.
Subgrupuri
rie
(G,
.)
m
grup
in
notatie multiplicativa
si
H
c
G o
submultime
EnlTlE
Muntimea
H
se
numeste
subgrup
al
lui
G,
dacd
perechea (H,
)
fur-rnea2
grup.
59
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 56/324
Algebri
o
l.
ll9
Exernple
o
Mutfimea
n
=
{O,
ii
este
un
subgrup
al
grupului
(Lq,+).
"e.
DEFlillU
UerypnsfuW
a)
Folosind
proprietatea
elementului
neutru
rezuitd
e.e,=
e,,
in
3ffi1i"?.Li;."r*
J;"il,,,"o;
"e"i;;;;;-l",
",,
",,
i.g..
d.
.
b)
in
grupul
G,
avem
o,.*
=
X".x
=
..
nlr,rita
X,.x
=
x,,.x.
Folo
'
iar
in
$rupul
H
exista
egalitatea
se
:btine
*':*ll
r
sind
legea
de
simplifi"*.
r"i..rpi"
","*jl
j::1ff1j'":ltd
cd
etementul
neutru
al
unui
grup
(G,.)
este
erement
*.
*i**r,'10:xf,,J"1i:r:lii",:,,T
Jd
i*
"i*"td;ur
'u;;
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 57/324
'
)
.
l.
Grupuri
d
=
b) Dacd
H
este
subgrup
al lui G,
atunci (H.
')
este
grup.
Fie x,
Ehn
teorema
16 rezultd
cd
y-l
.
H. Deoarece
H
este
parte
stabi.l
_
-l
s
obtine
ca
4g-'
e
H.
-l
yr
-.i
rr,- r-r
------r1:
-- ---l
-
rr r^^i
f
=
c)
Fie
x
e
H.
Atunci
x-'
e
H
qi
din b)
rezultS.
x'x-' e H,
deci
trfuind
b)
pentru
x=€
Si
y=x-l se ob 1'e cd
x-l
=e.x-l
e
H"
H
conEne
odatd cu
un
element
qi
simetricul
acestui element.
&
r
l-
€ H.
Atunci
y-l
. H,
iar
din b) rezurtta
cA
x'Y
=
x'(V-t)-t
.
H.
F{
este
parte
stabild
a
lui
G.
rf
=
a)
Sa
ardtim
ce
(H,
') este
grup.
Din
ipotezl"
rezwltd' cd H
ng,rc
stabila
a lui G
in
raport
cu
operafia
indusd..
Proprietatea
de
te a
operafiei
grupului
G
este moqtenitS'
qi
de
operafia
pe
H.
DacA
x
e H, din
ipoteza
ce
x-l
e H
rezultd
cd
e
=
x'x-l e
h
conch:zie,
(H,
'
)
este
grup,
deci
este
subgmp
al lui G.
I
t-
me
(Gr,
.)
qi
(Gz,
')
doua
grupuri cu
elementele
neutre
e1
9i
€2,
L'
f
:
Gr
+
G2
un morfism
de
grupuri.
Sd
se
arate cA
multimile:
c
G1,
cGz
smt
subgn-rpuri
ale
grupurilor
G1,
respe'ctiv
G2.
5e aratam
cd
Kerf
este
subgrup
al
grupului
G1.
Fie
x,
y
e
Kerf.
i
f
tx)
=
€z
ei
f
(y)=
e2
ei
se
obfine:
t(*'t-t)
=
t(")
t(t-t)=
t(*)
,l-r
=e2'ei|
=e2,
deci >qy-l
e Kerf.
Conform
teoremei
17
rez:ultir
f
este
subgmp
ai
gmpului
G1.
5d
aratam
ci
Im
f
este
subgrup
al
grupului
G2.
Fle
x.
y
e
Imf. Atunci
existd
xr,
Yr
e G1,
astfel
incAt
f
(tt)
=
x
Qi
ri
=
1-.
61
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 58/324
Din
x1
.yr
€
Gr
se
obfine
ca
x.y-l
=f
fx-
i lf rr-"
-=r,,lf(vit)=
=
t(*,
.vir)e
rmr,
Subgrupurile
morlismului
f.
deci
Im
f
este
subgrup
al
eru
::;"*
Ker
f
qi Im
f
se
numesc
nucletolil.
:=sEN:t:rr-
imaginea
E
2'
Fie
(G'
')
un
grup
gi
H
o
submultinae
fs*.,ai
*
:=-
a
lui
G.
sd
e
arate
cd
urmAtoarele
afirmatii
sunt
ech:*=h.::
a)
H
este
subgrup
at
grupuiui
C;
*d
H
este
parti
stabilE.
irriC
in
raport
c::
::0::::::-:.
;-_:::-r-lui
G.
a)
=+
b)
Se
aplied
teorema
17.
b)
=+
a)
Fie
H
=
{xr,
x2,
...,
xr,}
parte
s.'hil.a
=
-:::
l
Vom
ardta
cd
dac6
x
e
H,
atunci
x_t
=
Ff..
I,,
stabild
a
lui
G
rezulti
ci
elementere
>o<,.
E:.
ff:ttrJ:
trril:
)o(2,
...,
:or.,)c
H.
Deoarece
elementele
>o<r.
Ifr:.
r_r_
s--::
distincte
dou6
cdte
douA,
rezultd
cd
{:or1,
a.2,
...,>o<,.,
j
=
FI_
;tr
s
=
H
rezulta
cd
existd
i
e
{1,
2,
...,
n},
astfel
incAt
x
=
X.Xi.
Folosrr-,c
.g€_a
ie
simplifi-
care
la
stAnga
in grupul
G
se
obfine
cA
x1
=
e.
deci
e:
ii
Arr:lci
existd
j'
{L
''
""
n}
altfel
inc6.t
e =
x'x,,
de
unde
rea:lta
ca .s-:
=
it
conformeoremei
17
se
obfine
ci
H
este
subgrup
al
grupr-riru
G
tr
3.
Fie
(G,
.)
ungrup
si
Hr,Hz,
subgrupuri
a-le
rur
G
sa
se
arate
cd
,
n
H2
este
subgrup
al
lui
G.
Solufre
l-ie
x,
y
e
Hr
^Hz.
Rezultd.
c6
x, y
e
Hr
gi
x,
]-
=
t_i;
Deoarece
H
I
i
Hz
sunt
subgnrpuri,
conform
teoremei
17
rea,,ta
.6
x
r--i
e
H1
qi
J"Jffi?;*rXlj,"
se
obfine
ci
x'v-r
e
Hr
^Hz.Asadar
H
^
Hz
este
C
OBSERVATII
'
Dacd
Hr,
Hz,
...,
H.
sunt
subgrupuri
ale
lui
G,
atunci
H,
^
Hz
....
n
H'
este
subgrup
al
lui
G.
'
Dacd
Hr'
Hz
sunt
subgrupuri
proprii
ale
lui
G,
atunci
G
=
H,
u
Hz.
ntr-adevdr'
dacd
presupun"-
""
G
=
Hr
uHz,
fie
x, y
€
G,
astfel
incat
e
G\H2
si
ye
G\H,.
Deoarece
x,y€
G,
rezultaca
xye
H,
sau
62
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 59/324
Algebri
.
l.
Grupuri
G.
Sa
G.
parte
{ro<r,
cd
existA
cA
H,
qi
este
sau
xy e
Hz.
DacA,
de exemplu,
ry
e
Hr,
atunci
existd
h1 e H1,
astfel
ca
W=hr.Atunci
y=x*l
'h1 e
H1, incontradicfiecu
yeG\H1.
Anatog
se
arati
ca
xyeH2.
Aqadar,
G*HruHz.
Rezultd
ci
orice
gn"rp
nu
se
poate
scrie
ca
reuniune
de
doui
subgrupuri proprii.
Subgnrpurile
gnrpului
aditiv
(2,
*)
Fie
(2,
+)
grupul
aditiv al
numerelor intregi.
Demonstratie
,,e"
Sd.ard.ttrmcipentm
Vne
N, mulfimea
H=nZ estesubgrup
al lui
Z.
.
Pentru
n
=
O
rezultd
O.T-
=
{O}
Oi
se
obline subgmpul nul.
.
Pentru
n
=
1
rezulta
1'il-
=L,
si
se
obfine
subgrupul
total.
Fie
n >
2
qi
H=rtT..
Dac5.
x,
y
€
nZ,
existS.
p,
qen,
astfel
incAt
x=rrp
qi
y=nq.
Atunci
x-y=np-nq=n(p-q)€
nL.=H,
Conform teoremei
17, H este
subgrup.
,,9"
S5.
ar5.td.m
ca dacd.
H
este subgn:p,
astfel
incdt
H
=
nL.
Dacd
H este subgrup
H
=
{0}
=
OZ
sau H
=L- =lT-.
Fie
H subgrup
propriu
al lui Z
gi
x
e
H.
RezultS.
cd
-x
e
H,
deci
mulfimea
H
confine
qi
numere
strict
pozitive.
Notim cu
n
cel
mai
mic
numdr
pozitiv
nenul din
H.
Deoarece
H
este
subgrup,
rezuLtd.
cd
O
e
H,
iar
din
faptul
c[
n
e H
se obfine cd. n.p
€
H,
pentru
oricare
p
eL. in concluzie, nL c,H.
Sd.
arAtAm
incluziunea
reciproch HcnT-.
Fie x
e
H. Din
teorema
impdr,tirii cu rest, rezultA cd existA
p,
r
eL.
astfelinc6t
x=flp+r,O<r<n-1.
Daci
rtO,
dinrelafia
r=x-npe
H,
rezultd,
cd r
e
H. Deoarece r
<
n,
se
contrazice faptul
cd n
este
cel mai
mic numdr
pozitiv
din
H. A$adar, r
=
O
gi
x
=
np
e nT-, de unde se
obtine H c, nL.
in
concluzie,
H
=rtL-
ei teorema
este
demonstratS..
f
atunci
existA
ne
N*,
impropriu,
atunci
63
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 60/324
en6*znrn&Zohtala/
tr
Fie
(2, +)
grupul
aditiv
al numerelor
rrir:eg:
*.
w
rm==:rf,e
inter-
sec{ia
subgrupurlor
2L
gi
SL..
Solufie
Fie
x
e
27lr-t3l;
rezultd
cd.
x
e2L
si s=:,t
ls
astfel
incAt
x
=2m
si
x
=
3n.
I
Rezultd
cA 2m
=
3n si
se
obtine
cA ;:
:s:
::rr:&r-
E
n=2k.
Asadar,
x
=
6k
e
6L'
deci
2llr-t37t
c
6il.
Sd. aritAm
si incluziunea
reciprocd..
Fie
x
=
6,I"
:r:r:
u
=
i;
rt p
eT_.
Atunci
x
=
6p
=Z'
(,3p)
e2.,L
si
x
=
3.(2p
i
=
JZ
.ry.
r
=
tr
^
32.
in
concluzie,
2L
aSL-
=
GL.
EXERCITII
SI PBOBTEME
EXERSARE
"-
i
,ij",
:
.
r
D1.
Fietu={z'1,
)
(
|
I
e
Z|.
sa
se
arate
ci
(wl,
)
este
subgrup
al
grupului
("1,
).
82.
Se
consideri
multimea
- ={;
i)
I
",'.
o.}.
si
se
arate
cA
(uil,.)
este
subgrup
al
gruputui
(u(*,(c)),.).
b) $E' se
nuruc od
tuFi
A
=
Z5
este
parte
strfoffi
h
qf--"c'
ga
rdunarea
qi
le
A,
emli
l.
=
Ie
Gcueralizare.
*t91
*"
(c"
t
^
Eru*
5a ce
rrete
ei:
a)
multim,crf
G=1:6
qr=xa,
V
a
e
G
?.crr
ldgrry
rn
hi
G,
nu-
mit
centm.ll
grryulhrc[
G;
b) e e"ste
daci.
G=frG
I
rr.
"*
-*
=[("
o)
I
1
L(o
b)l
lra o\ I
"4,
=
{[o
.J
I
".
a)
Si'
se
arate
cA
sunt
grupuri.
al
(*r,.)
este
subgrup
al
grupului
(,t(,.).
f+.
fie
M
c 26,
*
=
{6,
,,,
A\.
a)
S[
se
arate
ci
(tU,
*)
este
sub-
grup
al
lui
(26,
+).
DO_rr
Sn se
detcrutu
d6fuprile
gru-
pului
tui
Klprim
E"
,
K
=
{e,
a, b,
t,b.
d)
d]
('a,
;)
ci
9i
(*r'')
c)
qi
si
sc
rcMG
c{
grrpul
K
se
poate
scric
ct
relclli
nea
a
trei
subgrupuri goprii
E7.,fieMcLil=
iI.
-l
este
lubgrup
i
se
arate
ci
al
lui
(2,
-i.
Si
se arate
ed
uuttillile:
Ira
2b
r4t=1i
-
a.b=E'
^
ltoo
64
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 61/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 62/324
Algebri
r
l.
Grupuri
O
Grupurr
frnrte
Fie
(G,
')
*
grup.
Grupul
(G,')
se
numeqte
grup
finit
dacd
mur-
timea
G
este
finita.
Dacd.
G={"r,a2,...,ar,},
numdrul
neN.
se
nu_
meqte
ordinul
grupului
qi
se
noteaze
ord(G).
Deoarece
ord(z,r)
=
n
r€zurti.
ca
existi
grupuri
finite
de
orice
ordin.
7.L.
Subgrupul
generat
de
un
element
Fie
(C,
.)
un grup
qi
a
e
G.
Se
noteaza
(")=
{""
|
,.
"}
mullimea
puterilor
intregi
ale
elementului
a.
Mullimea
(a)
este parte
stabild
a
lui
G.
Daci
X,
y€(a),
atunciexistd.
p,q€2,
astfelirecAt
x=ap
$i
y=ae:
Atunci
ry-r
-
.n
.
(ao)-t
=
.o
.a-e
=
ap-q
.
(a).
conform
teoremei
16
rezultd"
ca
(a)
este
subgrup
al
grupului
G,
numit
subgrupul
ciclic
generat
de
elementul
a
e G.
@
Exemple
.
(")
=
{e}
qi
este
subgrupul
nul
al
grupului
G.
.
in
grupul
(2, +)
avem,
(2)
=
zt,
(S)
=
3Z
qi,
in general,
(n)
=
nz.
.
in
gmpul
(,c',
)
"""*:
(i)
=
{-r,
r,
i,
_
i}
=
un.
.
in
gmpur
(zs,
*)
"".-,
(z)
=
{o,t,
a,
6},
(a)
=
{0,
a},
(i)
=
nr.
3
OBSERVATIE
.
in
oricare
grup
(G,
.)
avem,
(*)
=
("
,)
7.2.
Ordinul
unui
element
intr_un
grup
Fie
(G,
.)
m
grup
Si
a
e
G.
*
pEFtiilTt
l'".
numeste
ordin
ar
elementurui
a
si
se
noteazd.
ord(a)
ordinur
I
subSrupului
(a).
l.U"-..t"-t":,- "e
G se
numegte
de
ordin
finit
dacd
ord(a)eN.
9i
de
I
ordin
infinit
in
caz
contrar.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 63/324
,
dacA
ord(a)
=
p
<
n,
atunci
mulfimea
I
este
subgrup al
lui
G qi
este
chiar
grupul
(a).
r
l.
Grupuri
gup
(G,
.),
ord(e)
=
].
Elementul
neutru
al
grupului
este
sinElurul
element
1.
Klein
(K,
.),
oricare
element
x + e
are
ordinul
2.
(za,
+)
avem:
ord(O)
=
z,
"'a(s)=
e, ora(i)=
a"
a
=
G
se
observd.
ugor
cA
ord(a)
este
cel
mai
mic
numAr
"
=
{",
a,
a2, ...,
Se
obfine
astfel
nenul n
pentm
care
an
=
e.
,
deoarece
ora((a))=
n
*
p.
?h
aP
=
e.
Din
teorema
imper,tirii
cu rest
rezultd.
cA
existd
q
e Z
gi
I*2....,.t-U,
astfelincAt
p=nq+r.
Dacd
r*O
rezllti
e=aP=
=an9."t =("")o.ar
=e.ar
=ar,
in contradicfie
cu definifia
ordi-
nmri
element.
,{tsadar,
r=0
Si
p=nq.
Rezult6ca
nlp.
I
fi.
(G,
.)
rt
grup
Si
a,
b e
G. Se se arate
cA
ord(ab)
=
ord(ba).
Fre
n:
ord(ab). Rezulti
ca
(ab)n
=
e.
A;rem
35
=
(ab)'.t
=
("r).("u).....("u)
=
a.(ba)
(ba) ...(ba)
b.
n+l
n
F"olo.sind legea
de
simplificare
la
stAnga
cu
a
gi
la
dreapta
cu b
se
6
=
(ba)',
(t).
55
aritS.m
cd
n este
ordinul
tui
(ba). Fie
ord(b.)= p.
Din
teo-
19
rezultd.
ca
p
I
n.
Din relafia
(b")o
=
e, se
ob{ine
succesiv:
ba
=
(ba)e.'
=
gg_(o")
_Qg
=
u
gu)
(au.)__gg
a,
Qt.
p+I
p
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 64/324
Folosind
legea
de
simplificare,
din
relafia
(2)
se
obfine
s
=
(ab)p.
Deoarece
n
=
ord(ab),
din
teorema
1g
se
obfine
,
I
p.
Asadar, o
=
p
pi elementele ab
gi
ba
au
acelasi
ordin.
7'3'
Teoreme
remarcabile
in
teoria
grupur'or
finite
Fie
(G,
.)
rtr.grup
;i
H
un
subgrup
al
lui
G.
pentm
x
e
G
notdm:
"H={*lne
H}.
a)
Aratam
ca
H
$i
xH
au
acelagi
numd.r
de
elemente.
Definim
uncfia
f
:
H
-+
xH,
f
(h)
=
xh
qi
aratdm
cd
f
este
bijectivd.
o
lEectiuttatea.
Fie
h1,
h2
e
H
cu
proprietatea
ca
f(hr)=f(hr).
Rezultd
cd"
xh1
=
xh2
si
forosind
regula
de
simplificare
la
stdnga
se
obfine
cA
h,
=
h2.
Asadar
f
este
injectivA.
o
surjecttuitatea.
Fie
y
e
xH.
Rezultd
ci
existd
h
e
H
astfer
incat
=
xh.
Atunci
avem
ca
f
(h)
=
xh
=
y,
deci
f
este
surjectivd.
Aqadar
f
este
bijectivd
qi
astfel
card(H)
=
cardfxU).
b)
Deosebim
cazurile:
\
/
--
-\-
"
y
e
xH.
Vom
ardta
ca
xH
=
yH.
Fie
z
€
yH.
Rezultd
ca
exista
hl,he
H
astfel
incAt
y
=
xh
si
=
yht"
Se
obfine
cd.:
z
=
yhr
=
x(1h1)
"
*H
deci
yH
c
xH.
Reciproc'
fie
z
e
xH,
deci
existi
h1
e
H
cu
z=
xh1.
Rezultd
cd
z
=
xhl
=
(vn-t)nr
=
v(n-rn,)
.
yu
deci xH
c
yH. Asadar
xH
=
yH.
'
y
e xH.
Vom
ardta
cd
xH
n
yH
=
O.
presupunem
cd
exista
ex,^yH'Atunci
z
exHqiz
e yH,
deciedstd
hr,hz
e
H
astfelincat
z=x.t1,z=yhz.Aqadar,
yhz
=xh, sau
y=x(hr
hrrt.*
,,
"";;;;
ictie
cu
ipoteza.
In
concluzie
xH
n
yH
=
A.
J
68
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 65/324
t
ri
.
l.
Grupuri
nnE
:ul
anterior ne
aratd"
ca
craca
H
este
un
subgrup
ai grupului
nultimea
G
poate
fi
partilionata
in
submurtlrni
cu
acelasi
re
elemente
de
forma
xH,
cu
x
e
G.
Asadar
existd.
elernenteie
-r-
e
G astfel
incdt
G
=
(x,H)
u
(x2H) r,
"..
,.-/
("or),
unde
,e
x.H,
xzH,
...,xpH
sunt
disjuncte
doud
cAte
doud.
*
Gn:pul
G, avd"nd
ordinul
n,
poate
fi
\_v(
*-
-r:,.\2,...,
^nJ.
G;rnsiderarn
mulfimea
,il=lxrHl
l=f"
C]
:
=
card(M).
Se
observA
usor
ca
G
w:riunea
multilnilor
xrl{,
care
sunt
ale
lui
,.,//.
Cum
card(H)=card(x,H),
"-L,,
se
obtine
card(G)
=
r'
card(i{),
adica
n
=
r.
ord(H).
Asadar
ord(H)
divide
n
=
ord(G).
U
faca
a
e
G, iar
k=ord(a),
considerdm
(")={",
^,u2...,.u-t}
ar-ea
ca
orO((a))
divide
ord(G).
Dar
cum
orO((a))=
ord(a),
se
ca
ord(a)
divide
ord(c).
n
n. Fie
(G'
') un
grup
finit
cu
ord(G)=
p.
sd se
arate
ca
daca p
esre numd.r
prirn,
atunci
G
nu
are
subgrupuri
proprii"
3ie H
c
G un
subgrup
al
lui
G. Din
teorema
:r:rFI)
divide
numdrul p, deci
ord(H).{t,p}.
=
3
rieci
H
este
subgrup
impropriL_r"
lui
Lagrange
rezultd
Asadar,
H={e}
sau
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 66/324
C
OBSERVATIE
o
Grupurile
aditive
(Lr,*),(Lr,*),
...,(ro,
+),
...
cu
p
numar
prim,
nu
au
subgrupuri proprii.
tr
3;ii,ij"1#lj.
cd
toate
grupurile
care
au
ordinul
un
numd.r
prim
p
Solufte
Fie
(G,
.)
rn
grup
de
ordin
p.
Deoarece
p
este
numdr
prim,
grupul
G
are
doar
subgrupuri
improprii.
-
I
-----'
o-
-r
Dac[
xe
G\{e},
atunci
ord((x))=p,
deci
C=(*).
Asadar,
grupul
G este
grup
generat
de
un singur
element
x
e
G,
(grup
ciclic).
Fie
o={.,
x,
x2,...,
*o-i}.
Atunci
funcfia
f
:
G_rio,
f(*u)=t,
este
un
izomorfism
de grupuri,
fiind
funcfie
bijectiv',
iar
f(xk.*u,)=
=f(*n*n')
=
ilE
oi
r(xk)+f(xk,)
=
f,
*G
=
F;E.
Rezulta
cd
grup,I
(G,
.)
este
iz.omorfcu
gruptrl
(Or,
*).
A*sadar,
toate
grupurile
cu
p
elemente
sunt
izomorfe
cu
L.o,
deci
izomorfe
intre
ere.
tr
3.
Fie
(G,
.)
un
gmp
de
ordinul
4.
Sa
se
arate
c6,
G
=
ls
sau
G
=
K+,
unde
Kn
este
grup
de
tip
Klein
cu patru
elemente.
Solutie
Fie
ae
G\{e}.
Deosebimsituatiile:
.
ord(a)=4.
Atunci
G=(")={.,a,a2,a3}
ti
rezuttd.ca
f
:
G-+t_a,
t("u)
=
Q
este
izomorfism
de
grupuri,
(verificati).
Aqadar
(c,
.)
=
(Ln,
*).
.
ord(a)
<4.
Din
teorema
lui
I-agrang e
rezultd.ce
ord(a)
eAn
={t,
2
+}.
Cum
a
*
e
qi
ord(a)
*
4
se
obfine
ca
ord(a)
=
2.
A$adar
orice
element
a
e
G
\
{e}
are
ordinul
2,
deci
G este
grup
de
tip
Klein.
3
OBSERVATIE
o
Din
problemele
anterioare
rezurtd
cd
grupurile
cu
2,
B,
4,
b
elemente
sunt
comutative,
deoarece
ele
sunt
izomorfe
cu
L.2,
A3,
il,4,
A.s
sau
Ka
care
sunt
comutative.
PO
70
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 67/324
=
nu
p
B
4. Fie n e
N*.
SA
se
arate
cd.
dacd
aeil.,
astfel
incat
ffiffi
nr-::r{*i
ffi
(Teorema
rui
Euler)
ConsiderAm
monoidul
(2,,,
.)
si
fie
(,U(A^),.)
gruput
elementelor
lnm,
sabile ale
acestui
monoid.
Deoarece
ord(,\t(t*))=
q(r),
pentru
(., r)
=
l, vom
avea
cd.
&*
=
=
i,
ceea
ce este echivalent
"r,
"o(t)
=
I
(mod
n).
3
MSERVATIE
.
lacA
p
€
N
este
numdr prim, atunci
pentru
a
eil.,
ffi
se
ob{ine
.a
u(p)=p-1
9i
(Teorema
lui
Fermat)
ffiFncrilr
$r
PRoBLEME
EXERSARE
D: .
Si
se determine
subgrupul
generat
de
elementul
x in
grupul
speclficat:
e)r=2in(2,+);
b)
xe{-L
4
in
(e-,');
c)
x.
{2,
i} i" (2", +);
d) x e
{6,
6}
in (zrs, +);
(t2B\
"r
==[,
;
i.J
i"
1"r,.'.
Si
se
determine
elementele
de
or-
dlnul
m in
grupul
speciflcat:
.)
(e-,
.),
*=z;
b)(Ze, +),
m=2;
cl
(tzt,
+),
m=
3;
d)(c',
.),
*
=
n.
Si se
determlne
ordinul
elementelor:
a) i, 8,
6
in
gruput
(2r2,
+);
b)
i, a, 6, 6
in
grupul
(ry(ttr'),
'\.
(oo1\
tl
n"e=lo
r
ole*s(n)ar
lroo)
't
={t"
I
n.r.}.
r-t
a)
Si
se
arate
ci
('/1,
.\
este
grup
comutativ.
b) Si
se determine
ordinul
flecirui
element
A
e
Jl.
EE.
Fie .={(;
I
I
".eP*
F
o.r].
a) Si
se
arate
cA
(G,
.)
este
gruP.
b) Sn
se
determlne
elementele
lul
G de
ordlnul
2.
c) Sl
se
arate
ci matrlcele
(t 2\ (t 3\
A=l-
-l
st B=1,
I
auin
[o
-L)
\.o
-r)
grupul
G ordinul
2, dat
AB
are
ordlnul
lnflnlt.
/pO.
se se
determlne
ordlnul
permutlrll
o e
S'
in
cazurile:
(t2s\
a)"=[.s
2
r),
(t2s\
r)o=[s
,
r),
.
71
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 68/324
Algebrd
o
l.
Grupuri
I,
I'
-
(tz
s4
cl
o=l
[4312
-.
(tzs4
dJ
o=l
[3t42
-
(t2s4
el
o=l
(541
3
".1
lfo
o
o
r)"
/EZ.Fie"=llt
o
o
ol
'
llo
I
o
ol
Lt-o
o
L
o)
xeG,xn=e.
"'"
"=(l
I
[;
i)
t?
i){:
-J
u'].
2)
a)
Si se
arate
ci
(G,
.)
este
un
grup
finit.
b)
Si
se
determine
ordinul
fiecirui
element
al
acestui
grup.
E8.Fie*=lo=l'b\l
I
l'
(c aJ
i
a"ttet=t1'
a)
Si se
arate
ci
(G,
.)
este
grup.
b)Dac6A-fo
-r\
(r
r\
(.r
o)"i
n=[i
;),
si
se
arate
ca
ord(e)=4
ord(B)=e
iar
AB
are
ordinul
infinit.
APROFUNDARE
-*"(::)
(i;)
(;
lt;:)i
'
*)
56
se
arate
ca
(C,
.)
este grup.
K
KT
_il
g
::"::H?ilil'"':liflTru:::*,
?
iSi/fi1
element
din
G'
AB.
Fie
"
=
J[t
o\
/r
o
\
/-r
o)
lto
'j'[o
-'.j'Io
,),
(-t
o\l
'
Io
,)]''ft2@)'
A'f
.
F.ie
(c,
.)
un
grup
finit
necomu_
tativ
de
ordin
n.
a)
Si se
arate
cd
nu
existi
x
e G,
astfel
incdt
ord(x)
=
n.
b)
Se
se
arate
ce
pentru
oricare
I A"2.
a)
Si
se arare
cn
(G,
.)
este
grup
necomutativ
gi
si
se
alcituiasci
tabla grupului.
b)
Si
se
determine
elementele
de
ordinul
2
din
grupul
G.
t
A4.
Fie
(C,
.)
*
grup
sj
x,
y€c
cu
propri_
etatea
cn
ord(x)
=9,
yn
=e,
xy=y3x.
Si
se
arate
c[
dacd
yeG
\
{e},
atunci
ord(y)=Z
Fi
fx-xy.
.A5.
Fie
(C,
.)
un
grup
gi
x,
y
e
G
\
{e}
astfel
inc6t
ord
(=)
=
Z,
yo
=
e
s,i
>ry
=
yax.
Sd
se
arate
ce
ord(y)
=
=3
qi
{r=yx.
A6.
Fie
(C,
.)
un
grup
finit
gi
a,
b
e G
astfel
incdt
ab
=
6s,
iar
ord(a)
=
m,
ord(b)
=
n.
Si
se
arate
ei.
daci
(m
")
=
I
atunci
ora(al)
=
m.
rL
DEZVOT,TiRE
D1.
Si
se
arate
ci:
"l
(t,
+)
y'
(z[i], +);
b)
(zlil,
+)y'(o1i1,
+).
Fie
(Gr,.)
qi (Gr,.)
doui
grupuri
abe_
liene gi
Horn(G,
c/
=
{f
:
G1
_+
G2l
f
morfism
de
grupuri].
Si
se
arate
D3.
ca
(nom(cr, cz),
+) este
un grup
abelian.
Fte
(G,.)
un
grup
abelian.
Si
se
arate
ci
grupurile
(2,
+)
qi (Hom(Z,
G),
+)
sunt
izomorfe.
Si
se
deternnine:
a)
Hom(Z,
Z);
b)
Horn(Q,
e);
c)
Hom(e,
Z).
D2.
Pa@L
#
72
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 69/324
I
0'
tr
dr
"
S{
Algehrd
'
l.
Gruputi
TESTE BE
EUALUAME
Testul
1
lb
G=C
\
{1}
gilegeadecompozilie GxG-+G,
(*'y)-xoY=x+y-xy'
d
Si
se
determine:
&rye
I
ll
GruPa
2
t=
t-i)"(r+i);
ll
x=ioioioi.
t
5d
se
rezolve
in G ecuafiile:
rrr,x=i'x"i;
[l
xoi=i"(i"*)'
il
3i
se
rezolve
in G
sistemul:
:r=i:f j ll [2"x=Y.2
,rr-t)=y=1'
ll
l(e*)"Y=1'
(6
punete)
Testutr
2
rhG=i^..ftzv)
I"=[;
?)]
"*={e.c
(c
O\l
A=l l|.
t0
c)l
$
rc
arate
ci:
rr
rG"
')
este
monoid comutatlv;
U
E
-)
este
subgrup
al
grupului
(d,
+);
q
rmcria
r:
H
-+
",
t[[;
l))=
f-t1",
este
nnorfism
intre
grupurile
(H,
+)
.
{',
).
t5
Puncte)
lh
cmsideri
funclia
f
z
&6
-+
&sx
frs
datdprur
f
(a)
=
(a
mod
3; a
rnod
5)'
l
Se.
se
arate
ci
f
este funcfie
bijectivi.
u
xDace
o={t-t((o,v)) lvtns\,
s[
se
arate
c&
G
este
subgrup
al grupului
qi
3).
{4
punete)
/Testul
3
FG
nutfimea
G
=
(1,
2)
u (2,
+
o) se
definegte
legea
de
connpozilie
G.G_+G,
(",y)_rxoy=(x-r;I"(v-r)*t.
s6
se
stabileasca
valoarea
de
desEr
a
propozifiilor:
e.
G nu
este
parte
stabili
in
raport
eu
legea
dat6.
bi
Legea
de
compozifie
,,
o
"
este
asociativd.
73
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 70/324
r
l.
Grupuri
:l Tg.i
de
compozifie
,,
"
"
admite
elementul
neutru
numirul
e
+
2.
)
(c,
.)
este
grup
abelian.
(6
puncte)
02,
Pe
multimea
p
se
conslderi legile
de
compozlfie
xoX=ax+by_l
gi
1y
=
2xy
_2x_2y
+ c.
a)
Si
se
determine
a,
b
e
e
pentru
care
(e,
o)
este
grup
abelian.
b)
Si
se
determine
a,
b,
c
€
p
pentru
care
(e,
.)
este
grup
abelian
9i
(o"y)
Lz=(xLr).(y
rz),v
x,
y,
zeD.
c)
in
conditiile.
gisite
la
b),
si
se
aetermine
erementele
simetrizabile
in
onoidul
(p,f).
(g
puncte)
Testul
4
Or.
Fie
G
=
(o,
r)
+i
legea
de
compozifie
GxG_+G,
(*,
y)
_*.rY_____
=g._.
bxy-cx-dy+l'
a)
si
se
determine
a,
b,
c,
d
e
D, astfer
inc6t
(c,
")
si
fte grup
in
care
sime-
tricut
lui
1
es.
2
s
__re
f
ri
simetricul
rut
i
"n
n"
i.
b)
Si
se
determlne
m,
n
€
D, astfel
incit
funcfia
f :
(O,
+
o)
_+
(O,
f),
f
(x)
=
x+n
=
,nx
+
I
,
si
fie
izomorflsm
intre
g,upurite
((O, * .),
.)
9i
(c,
"),
pentru
valorlle
a,
b,
c,
d
gestte
anterior.
02.
Se
consideri
mulfimea
a
=
{tr
+
i)k
I
k
eZ}
c
O.
a)
Si
se
arate
c{
(A,
.)
este
subgrup
al
grupului
(".,
).
b)
Si
se
arate
ci
(e,
.)
=
(2,+).
Testul
E
Of.
Se
consideri
mulglmea
E
=exe
gl
funcfia:
f.
:
E -+
E,
f"
(x,
r)
=[-+
ay+*,
r-.j.
a)
Si
se
arate
cd
fa
o
fr
=
fa+r,
V
a,
b
e
e.
(5
puncte)
(4
puncte)
-&__
b]
nace
c
=
{fa
I
a
e
a}, st
se
arate
ce
(c,
.)
este
grup.
I-<*
c,
Aritati
ca
(c,
.)
=
(n,
+).
74
(5
puncte)
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 71/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 72/324
Testul
Z
OX"
Pe
mulfimea
mrmerelor
reane
& se
definepte
legea
de
compozitie:
-L
y
=
3xy_
6x_
6y+
r+,
p""i*.r1rice
x,
y
E lp"
a)
Si
se
arate
ci
legea este
asoclatlvd si cornutativ{"
b)
Si
se
derermine"ek*;;;;;:;;".
c)
si
se
demonstreze
cd pentru
orieare
n
e
H*
are
loc
identitatea:
f
1_1*...f
x=gn-I.(*-z)"+z,
xee.
xdenori
02,
pe
multimea
G
=
(f,
+
o)
se
definegte
legea
vx,yeG"
a)
Sd
se
erate
c6
{C,
*)
este
grup
abelian.
b)
$r[
se
rezolve
sisternul:
fx
-
(zy)
=
e
[(zx;*r=16'
c)
si
se
arare
c5
intr€
grupurile
((o,
+
*),
"i
9i
(G,
,*)
existi
un
izomorlism
de
f,ormaa
f(x)
=
ax"
03.
Fie
rnurfinn*
*
=
(l
*u*
r)
I
_.
o.].
wniv'
craioua,
*o,"r*3{l:"t3
a)
Sfr
se
determine
a,
b
e
eu,
astfei
inc6t
(M,
.)
si
fie grup.
b)
sd
se
arate
c[
toate
grupurile
obfinute
la
punctul
a)
sunt
izomorfe.
(2
puncte)
Testu
g
Gl.
pe
multirnea
nurnerelor
intregl
definirn
legea
de
eompozifie:
o
y
=
6xy
-
2x
*
2y
+ r'
Elernintut
neutru
al
r.*"t.i-iugi
u"t",
ele_9,
b)e=f,
ele=_1,
d)e=1,
elnuexistd.
C)2'
Fe
mulgirnea
numerelor
eornplexe
definim
regea
de
cornpozigie
,,
o..
dati
rin
relatia:
x
o
y
=
x+
y-xy.
Erernentul
sime;ic
aI
numirului
i
e
e
este:
als=',
b)s=t_i,
eis=1,
d)s=ljj,
e)s*?.-
'-
O3.
Pe
rnutfirnea
numerelor
reale
se
deflnese
operafiile
x,*y=x+y_Z
gi
oy-x+y-5,
V
x,
yee.
Functia
f,:e*rD,
Ot")=ax+l
este
izomorfism
nrre
grupurile
(A"
.)
+i
(n,
.)
pentno,
a)a=9,
bla=1,
ela=2,
dla=s,
e)a=4.
{B
ac
ar
qur
"r,
rrI1{Wil,
de
compozifie
x
*
y
-
xlog2y"
76
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 73/324
r
si
Algebri
o
ll. lnele
gi
corPuri
Befinilii
gi
exemPle
A
:
multime
nevidd'
9i
legile
de
compozi{ie:
-q'A-+A,(x,Y)-+xl-Y;
A.A--+A,(x,Y)+xTY"
tul
(A, l-,
T)
se
numeqte
inel
dacS'
sunt
verificate
axiomele:
;
-{.rumo
gruPuLuI:
k:-echea
(A,
f)
este
grup
comutativ.
-4xiorna
monotdutui:
F,sechea
(A,
T)
este
monoid.
-J.:crlri.ele
di"stributiuitd{ii:
r
.\'
-z)=("TY)I(xl
z).Vx.
Y.zeA:
o _
i-'t-
z
=(xT
z\-L(v
r
z),
V
x,
y.
z
e A"
.
.
.
-
-t
-'-
-^---J^^*')
e-^i
^^*"*a*irv
r:ln
-
i't-
z
=(xT
z)r(Y
r
z).
Y
x,
Y.
z
€
+"
E- -f.
_
-;
"b
n,-tni*fte
ixrel
comutativ
dacA
le€ea
de
cc'ipozif.ie
I*
se
comutative.
.
Gru.prd
(A,
f)
se
nurnegte
gmp,ul
subiacent
a.l
inelului
(A,
l' l)'
F..pi
simpiificarea
scrierii,
aluncl
cand
este
posibil,
pentm
cele
hS.
de
compozi{ie
,,l"
$i
,,T"
se
folosesc
nota{iitre
"+"
Si
"
"'
Astfe}'
Ei
A.
-,
T)
cap6td
scrierea
(A'
*'
').
r
h.ma
operatie
a inetrului
se
nume$te
adunarea
inelului,
iar
a
:ne:aie
se
numeqte
inmulfirea
ineXutrtli'
r
{ernentul
neutru
al
adunarii
inelului
se
nume$te
element
nul
ao
si
se
noteazft
06
sau,
mai
simPlu,
O'
r
S
metricul
unui
element
x
e A
in
grupul
subiacent
(R'
")
se
e
opusul
lui
x
;i
se
noteaz&
,,*x".
'
l,ac5.
a.
b e
A,
elementul
a
*
(-b)
se
noteazx
a
*b
9i
se
numeste
eiementelor
a
$i
b.
.
iiementul
neutru
al
monoidului
(A,')
se
numeqte
elementul
a-l
lneiului
qi
se
noteazf,
16
sau,
mai
simplu,
1'
.
rl-:
notatiile
,,+"
5i
,,."
pentru
opera{i.iie
inelului,
axiomele
distri-
::: se scriu:
r
l'-
z)-x'Y+x'2,
Vx,Y,
zeAi
n-
]-l
.
z
=
x' z+Y'
z,Y
x,
Y, z
e
A.
7V
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 74/324
Algebri
r
ll.
lnele
c0rpuri
:#r,nfiil?*:,:,s,:,:*.::l:tire
a
unui
erement
cu
o
sume,
"o
"."
T,
:jl:llu"i
un
ei
s
rime
""
;;
;;;;;
:i
ffif,T;
.:j:::-l,:l:
"]:.:yable
are
monoidurui
(A,
.)
se numesc
ere-
n:ffi
l";5,:1i1"^i"-'::ll1lo:i:,""il;;"';;.1"i;;:';"j,il::
:TTl1ff
lT:i,T-:-"j:T1,;21^r9s"l;;;;;#;i,,lll
j
:*:,::,,:::;
::T:
_sTp"1
rrnitir'or
inerurui
"
;;;:J"
[i]
abil,
inversul
sd.u
se
noteazd.
x-t
@
Exemole
de
inele
o
Din
proprietafile
adun'rii
9i
inmulfirii
numerelor
rezulti
ci
tripletele:
2,*,.),
(0,
*,
),
(p,
*,
.),tc,
.,
jl""t
i.r.t.
comutative.r.r-,"
inele
numerice.
Avd'nd
in
vedere
proprietS'tile
adunarii
s,i
inmullirii
matricelor,
rezurti
cd
tripletele:
n"@),
+,
),
(,u^(o),
*,
)
(
,;i;t,
;
)
";
Ai;;;
i:
>
2,
sunt
ine,e
neco.
ilH*f''?iH:lt:1,?JL1:.aceste
inere
este
matricea
,,.,,,
o",
iar
erementur
uni-
E
TEMA
l.
Activitate
ind.lviduo.ld.
Si
se
determlne
grupul
unltifilor
inelelor
numerlce
Z,
e,
p,
0.
2,,Actiuitate
pe
grupe
Pe
mutfimea
2 eI
"d,
fi*iffiss*ffiw**s
nstd.9li
Ie_ElIe
-de
compozitle
:
a)
si
ge
studleze
daca
(2,
t,
T)
este
lnel
comutailv.
b)
Se
se
determlne
Ae,).
1.1.
Inelul
claselor
de
resturi
modulo
n
Fie
n
e
N'
si
Zr,
=
{6,
i,
0,...,
modulo
n.
Se
gtie
cd
(2,r,
+)
este
noid
comutativ.
?"
;^"t1;t
totodati.
st
axiomele
distrib
utivitd.fii
:
x'(v+
")='i
y6i.=f
olyo-i)=
("oy)@Gor)
=
xol,**62
=
-
x
.y
+
x.z,
V
x,
y,
i
et_n.
Anarog,
(i.i)
.2=2
2*
j
2.v
Q,
j,2=L^.
Asadar'
inmurfirea
claselor
de
resturi
modulo
n
este
distributivd
n
raport
cu
adunarea
claselo.
OL
r."turi
modulo
n.
n
-
tj
mulfimea
claselor
de
resturi
grup
comutativ,
Iar
(/.n,.)
este
mo_
m]
78
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 75/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 76/324
Algebri
r
ll.
lnele
gi
corpuri
trie
Ae
'//"(K)
.,
rnatrice
inversab'a"
Atunci
exista Be
.//,.,(K),
astfel
incat
A'B
=
B'A
=,rn.
For*sind
proprieffitile
determinanfilor
se
oLrtine
ca
tler{A,B)
=
det(I,,)
=
I
9i
det(A)
Oet(n)
=
1,
deci
clet(A)
e
r/r(K).
Reciproc'
fre
det(A)e
a(K)"
ca
pi
in
cazur
inereror
nurnerice,
ma-
tricea
'4"*1,
in'ersa
matricei
A,
se
construieste
dupa
acerasi
argoritm:
o
constructia
rnatricei
transpuse
tA;
BO
a)
se
verificd
axiomele
inelurui,
avand
in
vedere
proprietatile
,.ffi";'1il.:i",,:]f,j:..u1.*entui
neulru
"ui*-_"o,cea
nuld
o,,
cu
oate
erernentele
egare
cu
04
-
erementul
nur
o*,r"-
^,
,lill"J;,ll
nitate
este
matricea
I'
cu
toate
erementele
de
pe
diagonala
principa-la
gale
cu
lp
si
in
rest
egale
cu
Op.
b)
Inelul
est.e
necornutativ,
deoarece,
rudnd matricele:
(r o 0.) (o I
o
o)
A=lo
o
oi.,-
io
o
o
ol
I
..i
"^
_
=i
.
.
..
...i
".
obtine:
io
o
o)
[o
o
o
a)
A.B=B
sr
ts"A=0r'
deci
A.B*ts.A.
m
{Jrmatorur
rezurtat-
precizeaza
care
sunt
elernenter"
irr.r".**"bire
in
neir"r
.
4
{K}
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 77/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 78/324
r
ll.Jnele
9i
corpuri
1.3.
fnele
de
funcfii
reale
Fie
(D,
+,')
inelul
numerelor
reale,
M
c
Q
o
mulfime
nevidd
gi
I(Nr)={rlr:M+D}.
Pe
multimea
:,V
(M)
se
delinesc
operafiile
de
adu
funcfiilor:
vrvrq -r'.s
uc
aqunare
pi
inmul{ire
a
,,
+,,
:
:/;
(Nr)
x
:t;
(M)
_+
a;
(M),
(f,
S).-+
f
+
g,
(f
+
S)
(*)
=
f
(*)
+
e
(x),
x
c
M
,.,,:,t;
(M)
",t;
(M)
_+
.t;
(M),(f,
e)
_,
f
s,
(f
;ji_i
=
f(x)
s(x),
x
e
M.
,""
"ffff|*i
jlr:?fi1fiile
de
adunare
si
inmul{ire
a
funcfiilor
reale
are
Demonstratie
veriffcarea
axiomelor
structurii
de
inel
se
face
avand
in
vedere
roprietifile
adundrii
qi
inrnulu;
numerelor
reale.
ace
av6'nd
in
ved
A:rioma
grupului:
(;f
@\,
+)
este
grup
comutativ.
c
Asociatiuitatea.
Fie
f, g,h
e
,I(NI).
Atunci,
pentru
x
e
M,
avem:
(r*s)+rr)(x)
=
(r+g)(x)+tr(xj
=
(r(x)
+g(x))+rr(x)
=
r1"1+(s(")
+h(x))=
=
r(x)*(g*rrX")
=
(f
+(g+h)Xx).
eqaaar:
(r*e)
+
h
_
f
+(g+
h).
""*
.,#ffi::fiffiff#::T:#:'cd
tuncna-nuta,
r:M-+,D,
r(x)
=6,
**
",#ffi':fi:ffiHhT::i;"(M),
atunci
funcfia
-f
e,r
(M)
t
Comutatiuitatea.
Fie
f,
g
e .z;(M).
Atunci,
pentru
x
e
M
avem:
r
+ gxx)
=
r(x)
+
S(x)
=
g(*)
*
(*)
=
(g
*
r)(*),
deci
f
+
g
=
g
+
f.
A:rloma
monolduluf:
(.2_(Vf),
.)
."t"
monoid
comutativ.
o
Asociatiuitatea.
Fie
f,
S,
h
e
,I
(M).pentru
x
e
M,
avem:
((r
e).r,X*)
=
(r
s)(*).n(*)
=
(ri*i
*("t.o(;)
=r(*),(e(").h(*))
=
r(*)
(st'X")
=
(f
(sh))(x),
deci
(rs)
h
_
r.(gh).
.
Elementulneuht;.-
Funcfia
f
e,t_(Nt),f
:M_+fO,
f(x)=1,
xe
ie,
este
lement
neutru
in
raport
cu
inmulfirea
functiilor.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 79/324
o
Comutatiuitatea.
Daca
f,g.
J;(M)
9i
x
e
M,
avem:
(r.e)(")
=
f
(")
s(*)
=
g(*).f
(*)
=
(g
r)(x),
deci
f
.g
=
g.f.
A:riomele
de
distributivitate
Fie
f,
€,
h
e
J;
(M)
qi
x
e
M.
Se
obtine
succesiv:
(r.(s
+
n))(x)
=
r(x)
.
(g +
rr)(x)
=
r(x)
(g(") +
rr(x))
=
r(x).s(x)
+
+f(x).h(")=(f
.g)(")+(f
.h)(")=(f
.g+f
.r,)(*),deci
f
,(enh)=f
.g+f
.h.
Analog
se
aratd"
ca
(f
*
g).h
=
f
.h
+
g.h.
Asadar
(,t;(tW),
+,
.)
este
inel
comutativ.
3 OBSERVATII
l.
in
cazul
in
care
funcfiile
din
multim
ea
,r
(M)
au
anumite
proprietati,
se
obtin
inele
remarcabile
de
functii
reale.
'
Dacd
v$",
b])={f
:[a,
b]*,"
lf
continu'],
se
obtine
inelul
comu_
tativ
(ru
([a, b]),
*,
.)
ai
funcliiior
continue.
o
Dacd
"([",
b])
=
{f
:
[a,
b]-,
m
I
f
<trerivabti6.],
se
obgir:e
inelul
comutariv
i.:'([a,
b]),
*,
.)
at
functiilon
cterivabile.
r
Fentru
,'//={f:M-+in|trmarginita},
se
ob{ine
inerul
cornutativ
(,ft,
+,.)
at
funcfiiior
mflrginite.
n
Pentm
pr={f
:rQ-+&lf
periodicadeperioacl&T>0},
se
obxine
inelul
comutativ
(p",
o,
.).
2.
$dstd
inele
de
functii
reale
nu
numai
in
raport
cu
adunarea
gi inmultirea
functiilor.
Dac&
(C,*)
este
un
sub-
grup
al grupului
aditiv
(n,
+),
atunci
tripletul
(ena(C),
+,,)
este
inet
ne_
cornutativ
(inelul
endo_
morfisrnelor
lui
G).
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 80/324
4 grbr
r
ll.
lnele gi
corpuri
TXEHCITII
SI
PROBITME
EXERSARE
81.
Si
se
stu.dieze
distributivitatea
legii
de
compozifie
,,
T., in
raport
cu
legea
de
compozifie
,,
J_,,,
pe
mulfimea
M, in
cazurile:
a)
M=e,xrr=t*,
xIY=2x+2y;
b)
ltl=Q,xTy=xy,
xIY=x+y+l;
c)
M=Q,
N
T
y=2:cy+4x+4y+6,
xJ-Y=x+y+2;
d)
M=[),
x
T
y=-r<y+3x+By-6,
x1Y=x+y-3"
D2.
Pe
mulfimea
Z
se
consideri
opera-
tiile
algebrice
x
-L
ytt*
+
y
+
2
si
xTy=xy+2x+Zy+2,
al
Si
se
arete
cd
(2,
f,
r)
este
un
inel
eonoutativ"
t"r)
S*
se
deterrnine
elemaentene
inver-
sa *iLe
atre
inelutui"
eS.
S&
se srud.iezc
dae*
(i{, 1,
T)
este
ine qi
s&
se
d,eternrlne
elementele
imversabfle,
in
saaurile;
a)
x"Iy=:{+y-3,
xTy=xy-3x-3y'12;
b)
x-L =x+ +2,
xTy=Zt<y+42+4y:6;
c)
x1y=x+y-5,
xTy=xy-5x-5y+3O.
84.
Sn
se
studieze
dacA
adunarea
sl
inmulfirea
matricelor
determini
pe
mulflmea
M
o structura
de
inil,
pentru:
a)
b)
e)
d,l
e)
"={[;
I
M=Jr.
b
L(.-u
a
l("
o
*=1io
b
ll.o
o
f{"
2b
nn={lu
a
[["
0
iIa+n
toI
=.{t
[[
-b
",1
.
n];
|
",0.
o],
.,O
-
Oi,
o)
ol
a+b)
I
a,beQf;
j
*,
b.
oi.
O\I
|l
nli
L)
I
nlo
l
^
-b)
Af
.
t9
rnutflmea
e
se
defln€sc
opera-
tllle
algebrtce:
QxQ+R
(a
r)-+xryYrnrax{x,
y};
QND*rP,
(*,
y)-+*
ryYrntn{*,
y}.
S&
sr,
studieze
dlstributlvltatea
ope_
rtplei
,,
i,.
in
raport
"r,
op""rli,
,,
T
"
qi
a
operaflei
,,
T.,
in
raport
cu
operafia
,,
J..,.
.A2,
Pe
mullimea
Z
se
definesc
legile
de
compozitie:
lx
Z
-+2,
(*,
V)
-+*
t
yY;,+y-3;
def
xTy
=
xy+Irn(x)"1*(y).
a)
$i
se
arate
ci
tripletul
(C,
f, f)
este
lnel
comutativ.
b)
Sn
se
determine
elementele
inversabile
ale
acestui inel.
APTI.OFUNDARE
43.
(*,
y)
*
*
-r.
yuJt*.
y
-
gx
+ ay
+
b.
$5.
se
deterrnlne
a,
b
e
Z,
astfel
inc6t
legea
de
compoztlte
,,
J-,,
si
fle
dfstributlv{
in
raport
cu
,,
T
,..
Pe
multimea
O
raflile
algebrice
se
conslderi
ope-
def
xJ-y
=
x+y
9l
B4
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 81/324
.{4.
Pe
mulfimea
M
=
(O, +
o)
se
defi-
nesc
operatiile
algebrice:
def
def
xIy
=
x.y
Fi
xTy
=
xlnY.
a)
Si
se
arate
cA
(U,
f,
f)
este
inel
comutativ.
b) SE
se
determine
U (M).
Fie
aeD
gimulfimea:
a=l*.,d.rl"I
l=(;
l4
a)
Si se
arate
cd.
(*^,
*,,)
este
inel.
b)
Si
se
determine
U
(Mr),
Pe
mulfinnea
A
=
QxQ
se
deflnesc
operagiile
algebrlce:
def
(*,y)*(a,
b)
=
(x+a,
y+b),
(*,
y)'(a,
b)
=
(xa,
xb
+
ya)
a)
Si se
arate
cd
(4, *,
.)
este un
ineI.
b)
Si
se
determlne
q
(A).
Se
consideri
mulfimea:
*
=
lt"
zt
-+t
I
fr(*)
=
e..
xr
a
e
z).
Si
se
studieze
daci
urmitoarele
triplete f,ormeazi
inel
gl
si se afle
W (9)
in
fiecare caz:
al
(9, +,
');
b)
(9,
+,
,i1;
Si
se
arate
ci
mulflmea:
l(^ b\l
I
"=tlu
",J
l"'t'cezz]'
impreuni
cu
adunarea
gi
inmul-
lirea
matricelor
formeazi.
un inel.
Sd
se
determine
numirul
elemen-
telor
acestui
inel
pi
A
(M).
fofS"
consideri
multimea
M
=
{a,
b, c}.
[Q-"u
se
arate
cn
(s(M),
A,
n)
este
uri
inel comutativ.
r$"u
se
determin
e
ql(s(M)).
\
Alo.Fte
(A,
*,
.)
;t
(n,
+,
.)
doui tnele.
Pe mulfimea
M
=
AxB
se
deflnesc
operafiile algebrice:
("r,
br)+
(a2,
lr)Y(a,
+
a2,
b1+
b2)
qi
(ar,
h).
(.r,
tr;Y1ar.
az,
h.bz).
a)
Si se
arate
ci
(M, *,
.)
este un
inel, numlt
produsul
inelelor A
gl
B.
b)
Si
se
arate ci
u(4=q@).q(B).
All. Sn se d.etermine
produsul
inelelor:
al
(zz, +,
')
+r
(zr,
+,
.)t
,
b)
(z.2,
+,
')
ei
(zr' +'').
47.
O
Reguli
de calcul
intr-un
inel
Calculul
algebric cu
elementele
unui
inel
(A,
+,.) respectd
toate
regulile de calcul date
pentru grrp
Si
monoid, cAnd sunt.implicate
separat
adunarea, respectiv inmu{irea inelului. in afari
de acestea,
intr-un
inel existA
gi
alte reguli de calcul specifi.ce, care
fac legdtura
intre
cele
doud.
operafli
algebrice
ale
inelului.
Fie
(A,
+,
.)
un inel cu elementul nul
O
qi
elementul unitate
1.
Din
definilia
acestora se
ob(ine c5.: O+O
=
0
gi
1.O
=
O.l
=
O.
85
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 82/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 83/324
3 OBSERVATII
1.
inelele
numerice
Z,
,Q,
e,
'C
sunt
domenii
de
integritate.
L Fie
(A,
*,
T)
un
domeniu
de integritate.
Atunci
x T
y
=
Oa
(?
X
=
OA
sau
Y
=
OA.
c"
Fie
n )
2
un numir
natural
compus.
Atunci
inerur
(Ln,
*,.)
nu
este
domeniu
de
integritate.
intr-adevdr,
dacd.
n
=
p.e,
cu
p,
q
>
2,
se
cbrine:
6
=
i
=
i.a,
deci
fr
qi
Q
sunt
divizori
ai lui
zero.
,1"
orice
divizor
al
lui
zero
aJ
inelului
(A,
*,
.)
ru
este
element
inver-
sabil.
intr-adevd.r,
fie
a e
A, divizor
aI
lui
zero.
Daca
a e,ttt
(A), existd.
be'l/(A),
astfel
inc6.t
a.b=I
qi
b.€t=r.
Deoarece
a
este
divizor
al
lui zero
rezulta
ci
existA
c e
A
\
{0},
astfel
incd.t
c.d
=
o. Din
relalia
a.b=l
seobfine
c.(ab)=c
Fi
(ca),b=c,
deci
O=c,
incontradicf.ie
cu
c
*
O.
Asadar,
a*,,?t(A).
Urmitoarea
teorema
da
o
caracterizare
a
divizorilor
lui
zero
in
:nelul
claselor
de
resturi
modulo
n.
"\emonstratie
Sa
presupunem
ca
(x,
n)
=
d >
1.
Rezulti
cd.
existi p,
q
€
{2,9,
...,
n
-
1) astfel
incAt
X
=
p.d
qi
n
=
g,d.
Se
obfine:
i.a
=
(;On
=
plqI;
=
t;
=
6, deci
i
este
divvnr
al
lui
zero.
Reciproc,
s5'
presupunem
ca i
existi i./.nt
{0}
,
astfel
incdt
i.i
=
0.
Dacd
am
avea
(x, n)
=
1,
ar
exista
r,
s
eT-,
astfel
irrcAt
IX
i-
SI1
=
1.
Din
aceastd
relafie
se
obfine:
i=ff;;n=fr*fr=;.in6=
=;.i,
deci
i
e,tt(il.),
ceea
ce
nu
se
poate.
Asadar,
(*,r)
>
l. I
87
este
divizor
al
lui
zero.
Rezulti. cA
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 84/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 85/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 86/324
Mulfimea
solufiilor
ecuafiei
este
S
=
{i,
U}
b)
Ecuatia
poate
fi
adusd
la
forma:
(*
-
i)'
(*
*
2)
= o.
Mulfimea
solu{iilor
ecuafiei
este
S
=
{i,
E}
EXEnCTIil
$t
PRoBTEME
El.
Se
se
determlne
elementele
x
e Z'
care
sunt
divizorl
al
lul
zero,
in
cazurile:
a) n
=
4;
b)
n
=
6;
c)
n
=
B;
d) n=
6O.
82.
Si se
arate
c[
urmdtoarele
inele
nu sunt
inele integre:
al
(s(z),
+,
.);
b)
('ar1a7,
+,.).
E3. Pe
mulf,imea
E=QxQ
se
deflnesc
operafiile
algebrice
(a, b)
+ (*,
y)
=
=
(a + x, 6
+
y)
9i
(a,
t).(*,
y)
=
=(ax+
2by,
ty
+bx).
a)
Si se arate
ci.
(p,
*,
.)
este
inel.
b)
Si
se determine
divizorii
lui
zero
g
w(e).
E4.
Fie
(A,
+,
.)
un lnel.
Si'
se arate
ci:
a)
-(-a-b)="+b;
t)
(-a)'(-b
-
c)
=
ab
+
ac;
")
(-"
+
b).(a
+
b)
=
6z
-
a2,
daci
ab =
ba.
85.
Sn se
arate
cl intr-un
inel
comu-
tativ
(A, +,
.)
are
loc
egalitatea:
(a+b+
c)2
=rz
+b2
+c2
+
+2(ab+bc+ca).
Ce
devlne
aceastl
egalltate
fu
Az?
Dar
in
Zs?
E6.
Si se arate
ci
in
inelul
22
au
loc
egalittfile:
87.
a)
(a+b)'="*U;
b)(a+b)t=.+b,VneN*.
Si se
arate
ci in
inehrl
24
au
loc
retra-
fiile:
a)
(a
+
b)"
=
^'-
2at
+
U2;
b)
(a-b)'=r'
+|ab+b2;
c)
(a+o)n
=(.'
*o,)'=(r,
-or)'.
Si se
rezolve
ecuafiile:
a) x2+0=6
in
zs
Fi
z6;
b)
xa+x2+i=6in
zs?itzi
c)
x6+6=6
in
zz.
fie
(.+,
*,
.)
*
inel
comutativ
qi
a,
b
e A,
astfel
incdt
a2
=
d,
b2
=
b
gl
M
=
{ab,
1-a,
l-b}.
Si
se
arate
ci
daci
x
e
M, atunci
z2
=
z.
EXERSART
88.
APROFUNDARE
($
t*
se
rezotve
in
Zl2ststemele:
42.
Se
se
rezolve
in
Zs
sistemele:
')
{?"+6v=?,
o,
{:
+6v=a^.
[3x+7y=6
[3x+7y=e
i,,-
n
{i.
+av
=1,
o,
{i.
.?
=i.
, ..*' l4x+Sy=z
l3x+3y=1
'ri
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 87/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 88/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 89/324
iar
dacd
X
=
E
*bfi
e
o(fi)'
atunci
*x
=
(*a)+
(*n)JE
.
a({u)
este
opusul
lui
x.
Perechea
(n(n)
\
{o},
.)
este
grup
comutativ.
intr-adevar,
inmurfirea
este
asociativd
pi
cornutativa,
elementul
1
=
1+
oJd
e
Q(fi)
\
{o}
este
element
neutru.
Fiex=a+bJd.a(fi)
\{o}.
Sd
determinam
x'
.
O(Ja) \
{O},
astfel
ca
)o(,
=
L.
Avem:
*,=]=
I
-a-b.,fr
a
b
x
a+uffi=ffi=;{brd
-J*%Jo.'o(fi)
t
to}
se
observi
ce
a2
-
b2d
*
o,
deoarece
din
a2
*b2d
=
a
ar
rez,rta
a
=
+bJd,
in
contradicfie
cu
a
e
,e'.
in
concluzie,
(O(Jd)
\
{o},
.)
este
grup
comutativ.
Deoarece
inmurfirea
este
distributiva
in
raport
cu
adunarea,
se
obtine
"a
(O(Jd),
+,
.)
este
un
co{p
cornutativ.
Analog
se
aratd.
ca
(O(iJO),
*,
)
este
corp
comutativ.
in
acest
corp:
;'
=
--l--
=
^-3-^
*
=
*bi.
a +
biJd
a2
+
b2J
u2
+nra
€
=
o(iJa).
Fie
n
numdr
prirn.
Atunci
pentru
orice
i eL.n,
xelt,Z,...,
,r_l)
avem
(r,
")
=
l,
deci
i
e,'tt
(Un).
Asadar,
L,,
este
corp
comutativ.
Reciproc,
fie
ca
z',
este
corp.
Dacd,
prin
absurd,
n
nu
este
numar
prim,
rezultd
c6
existd
p,
q
€
N. \
{r},
astfel
incrit
n
=
p.q.
se
obtine
i
A
=
fr
=
6,
deci
zo
are
divizori
ai
1ui
zero,
imcontradic{ie
cu
faptul
ca
Z'
este
co{p.
Aqadar,
n
este
numdr
prim.
t
C OBSERVATII
1.
Dacd
p
€
N
este
un
numd.r
prim,
atunci
existd
corpuri
cu
p
elemente.
Un astfel
de
corp este
Zo.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 90/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 91/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 92/324
r
ll. lnele
gi
corpuri
O
Morfisme
de
inele
gi
corpuri
Fie
(A,
.,
'r)
Fi (8,
t,
T")
doua inele.
*
pEFiltTil
.
O
functie
f
:
A
-+
B se
numepte
morfism
de inele,
dacd:
a)
f(x.y)
=
f(x)
r f(y),
v
x,
y
e
A;
b) f(x*y)
=f(x)
rr(v),
v
x,
y
e A;
c)
f(lo)=ln.
r
Functia
f :
A
-+
B se
numegte
izomorfism
de
inele
daci
este
mor-
fism
de
inele
si
este
funcfie
bijectivd..
.
Inelele
A
qi
B
se
numesc
inele
izomorfe
daci
existd.
un izornorfism
f:A+8.
PS.strAnd
notafiile
uz.uad'e
,,
+
"
$i
,,."
pentru
legile
de
compozilie
ale
unui
inel,
funcfla
f :
A
-+
B
este
morfism
de inele
daci.:
.
f(x+y)
=f(x)+f(v),
v
x,
y
e
A;
'
f(x'v)
=f(*)
r(v)'
v x,
veA.
'f(lo)=t".
un morfism
de
inele
f
:
A +
B este
in
particurar
un
morfism
de
grupuri.
RezultS.
c5.
f are
proprietd,file:
a)
f(O")=Osi
b)
f(-x)=-r(x),vxe
A;
c)
f(nx)=n.f(x),V
xe
A si
ne
Z.
@
Exemple
de marjisme
d.e
inele
I
Fie
(A, +,
.)
un inel.
Funcfia
identicd.
f
:
A
-+
a,
f
(x)
=
x
este
morfism
(izomorfism)
de
inele.
Un
morJism
de inele
f
:
A
-+
A
se numepte
endomorfism
al inelului
A.
Multimea
endomorfismelor
inelului
A
se noteaza
End(A).
un izomorffsm
de inele
f : A
+
A
se numeqte
automorflsm
al
inelului
A.
Mulfimea
automorfismelor
inelului
A se
noteazd.
Aut(A).
rFunctia
f
:l-+2",
f(x)=i
estemorfismdelainerul
(2,*,)
lainelul
(2",+,.),
numit
morflsm
canonic.
96
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 93/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 94/324
Algebri
.
ll.
lnele
9i
corpuri
Analog
se
obtine:
...,qqds#,q\
/
, r=\
(ax-3by
W)=
f
(ax
+
3by
+
(ay
+
bx)V3)
=
[
ry
n
n*
3av
+
3bx\
l=A'B:
ax+3by
j
Avand
f
(r
-
oJd)=
[;
corpuri.
Se
verificd
uqor
cd
izomorfism
de corpuri.
30)
|
=
I.. rezultA
ca
L)
f
este funcfie
bijectiva.
f
este morfisrn
de
in concluzie,
f este
#li
s:
*li
r r; irir
r lii
ItJSti*ii::=
Demonstratie
Deoarece
(K,
*),
(ff:,
+),
(t<",
*) sunt
gmpuri,
atunci
funcfiile
f
pi
g
sunt
morfisme
de
grupuri,
deci
si
I
"
f
este
morfism
de
grupuri.
Rezultd
ca:
(g.f)("+y)=(S"f)(")*(S"f)(v),
v x,
y€K.
in mod
analog,
rezult6.
cd
g
"
f
este morfism
(izomorfism)
intre
gmpurile
(^.,
)
qi (K"
\
{o},
).
Rezults.
ca:
(g
"
f)(w)
=
(g
"
f)(")
(S.
r)(v),
V
x,
y
e K.
De
asemenea,
(g
"
f)(1)
=
g(f
(t))
=
g(t)
=
t.
in
concluzie,
g
.
f,
este
morfism
(izomorfism)
de
inele
(corpuri).
I
DemonstretLe
Fie
(X,
*,
),
(K',
*,
.)
doua
corpuri, f
:
K
+
K'
un
rnorfism
de
corpuri,
qi
x,
ye
K,
astfei
incAt f(x)=f(y).
Dac5"
presupunem prin
reducere la absurd cA
x*y,
rezulta
cA x-y*0.
Atunci
x-y€
N(K)
qi
existA a
€')//(K)
astfel incdt a(*-Y)
=
f .
Se
obtine
succesiv: I
=
f(1)
=
=f(a(x-y))
=f(a).f(r-v)
=r(a)
[r(")-r(y)]
=o,
in
contradictie
cu
1*
O.
Aceastd contradictie
aratd
cd
x
=
y
qi
astfel
f
este func{ie
injectivd.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 95/324
o
ll.
lnele
gi
corpuri
'7ro4lprrr?n,
?e/ilk
4zfp,
E
1"
Sa
se
determine automorfismele
corpurilolQ,
lp,
Zp.
SoLutie-
a)
Fie f
'rQ
-+
iQ
un autornorfism
de corpuri.
Rezulta ca
f
este
automorfism
al
grupului
('4,*),
deci f(")=x
f(t),Vxe
't).
Deoarece
i(1)=I
se obline cA
f
(*)=x,
Vxe
,Q,
este singurul
automorfism
al
corpului,Q.
b)
Fie f :
lQ
+
lQ un
automorl]"sm
al
corpului
lD. Vom
arata
ca
f (x)
=
x,
V
x
e Q.
Pentru
aceasta
vom
parcurge urmdtoarele
etape:
I.
Se
aratA
ca
f
(N)
=
x,
V
x
e
'Q'
2. Se
aratd
cA
f
este mclnoton
crescdtoare
pe lQ.
3.
Se
arata
cA
f
este
functia
identica.
1.
Funcfia
f fiind
automorfism
al
$rupului
(m,
+),
este
automor-
fism
si al
grr-rpului
(e,
+)si
rezulti
imediat ca
f
(x)
=
x, Vx
€'Q.
2.
Aratam
mai intAi
c5.
pentru
x
> O rezulta
f (x)
>
O.
intr-adevar,
dinrelatia
f(^'V)=f(x)
f(V),Vx,
ye1f2, pentru
x>0
se
obtine:
r(*)
=
t(Ji
J")=
(r(v?))'
'
o.
Fie
acumx<y.
Rezultd.
ca
z=Y^x>O,
qi
avem O<f
(z)=f
(y*x)=
=f
(y)*r("),deci
f
(").r(v).
Agadar,
f
este
functie
strict crescdtoare
pe
lQ"
3.
Sa
aratam
cd
f
(*)=
x, Vx
e
Q'
Sa
presupunem
ca
exista
x6 e
lQ, astfel
inc6.t
f
(x6)*
xs.
Fie,
de
exemplu,
f
(x6)<
xe.
Considerdm
r
e
'Q,
astfel
incAt
f
("0)<
r
(
Xs.
(1)
Din monotonia
funcfiei f
rezultA
ca
f
(r)
"
f
(*o
).
Dar
f
(r):.
qi
se
obfine
r
< f
(xo),
in
contradic{ie
cu
relatia(i).
Anaiog
se
aratA
ca
nu
putem avea f
("0)
t
*0.
in conciuzie,
f
(x)=
x, Vx
e
lQ.
c)
Fle
f
:7to
-+/lo
un
autornorfism.
Rezuita
c5.
f
(x+y)=f
(*)+f(V)'
Y
x,
y
eLr.
99
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 96/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 97/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 98/324
Dt. Fie
(e,
*,
.)
un inel
in
care
x2
=
1,
ll
or.
"i"
(e,
*,
')
un
inel
in
eare xa
=
1,
VxeA\{O}. Si
se
arate
ce
All VxeA\{O}. Si
se
arate
ci
A
este
izomorf
cu
inelul
Z2
sau
23.
ll
este
izomorf
cu unul
dintre
inelele
il
tr,23
sau
25.
DEZVOLTARE
TESTE
DE
EVATUARE
Testul
1
O1.
Pe
mulfinnea
Q
se consideri
operaliile
algebrice:
Grupa
1
ll
xly=x+y-s
ll
x T
y=3xy-l5x-15y+8o,
ll
Vx,yelQ.
ll
Si
se
studieze:
Grupa
2
xIY=x+Y+2,
xTy
=
xy
+2x+2y+2,
Vx,yelQ.
a)
ce structuri
algebrice
reprezinti
(p'
J-)
9i
(n'
T);
b)
dacn
operafia
,,
I
"
este
distributivi
in
raport
cu
,,
T
";
c)
daci
(p,
i-, T)
este
inel
firi
divizori
ai
lui zero.
(5
punete)
02.
Se
se rezolve
in
la:
Grupa
I
a) 0x3+0x=6;
12**S"=i
b)
{^
l3x
+
2y:
z
(4
puncte)
Testul
2
01.
Pe
mulfimea Z
se
consideri
operafiile:
xIy=x+y+a,
x
T
y=xy+bx+3y+c'
x'
yeZ.
a) Si
se determine
a,
b, c
e Z
pentru
care
au
loc relafiilet
(Z t
3) T
1= 41,
(2r1)
T
3=5r
qi
1T (2l-3)=(1
T
2)l(1
T
3).
b)
pentru
valorile
lui
a,
b,
c
gesite,
si
se
precizeze
daci (2, f,
f)
este
inel, si
se
afle
U (A")
ql
mulfimea
divizorilor
lui
zero.
(5
Puncte)
02.
al
Sd
se determine
n
e
N,
n
2
8,
astfel
incit
in inelul
(Zrr,
*,
')
inversul
elementului
S
sa
fie ?'
b) Pentru
valorile
lui
n
gisite
si
se determine
W
(Zn\
'
(4 puncte)
Grupa
2
a)
gx2+3*=6;
fi**n=s
b){^
:
-.
l3x+3y=2
ilt
ilfr
lJl
rll
:l
,:i
r02
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 99/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 100/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 101/324
r
lll.
lnele de
polinoame
.l
DEFII{ T|l
Fie
f,
g
e
KN,
f
=
(ao,
at,v2,...,
dn,
.),
g
=
(bo,
br,
bz,
.'.,
b")
doud
siruri.
.
Sirul
he
KR,
h
=(ao
+b6,
a1
+br,...,ar,
+brr,...)
siruril.or
f
qi g.
Se
noteaze
h
=
f
+
€.
.
Sirgi
h e KN,
h
=
(co,
c1,
..., c,.',
...),
unde
pentru
c*
=
asb-
+
arb*-r
+
'..
+ a*bo
=
t
"u
'b*-i.
se
k=o
sirurilor
f
qi g.
Se
noteaza
h
=
f
'S.
se numeste
suma
oricare
meN
avem
numeste
produsul
@
eEetwfu
rFie
K=O
si
f
={1,1,2,3,-1,0,0,..),g=(0,1.1,0,0'
1,0'O,
.)
Atunci
f
+g
=
{\,
2. 3,3,
*1,
1, O,
0, .),
f
g
=
(o,
r,2, 3,5, 3,
O,
2' 3,
-1'
0' O"..)"
Dernonstrati.e
Fie f,
g e
x(s),
f
=
(ao, dr,a2,...,
dm, o, o, ...),
g
=
(bo,
bl,
..., b.,,
O,
O,
...)
astfel
incAt
a*,
b.
e
f \
{O}.
a)
DacA
p > max(m,
n),
an'em
ao
+ bo
=
0
$i
astfel:
f
+g=(*o
nbo,ar
+br,..",an
i
*bo-r,
o,0'...)€K(hr).
blFie
p>rn+n
qi
f
'g=("0,"r,cz,cs,ca,.'.).
Rezulta
oo
=
i
a6.bo-r
+
i
ar.br-r
"
in
fiecare
suma
factorii
k=0
k=m+l
sublinia{i
sunt
n'rli,
deoarece
&m+t
=
&m+2
='""=
3p
=
O Si
bp--
=
bp-m-l
=
=...
=
bp
=
O.
Rezulta
ci
elementuL
co
=
0.
Apadar,
f
.g
=
("0,
"r,
...,
co-l,
o, 0,
. .)u
K(N).
tr
E
OBSERVATIE
.
Dacd
p=m+n
qi
a-,brreK",
atunci
cm+n=?..r'b.eK'.
Aqadar,
m
+
n este
rangul
cei
rnai
mare
pentn-l
care
elementul
co
este
nenul.
105
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 102/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 103/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 104/324
Algebrd
r
lll. lnele de
polinoame
Definim
puterile
nedeterminatei
X in
mod recurent:
X2
=
X.X,
X'
:
Xn-r
.X,
n
) 2.
Se
obtine:
x2
=
(0, o,S
o, o, ...)
x3
=
(0, o,
o,ffi
o,
o, ...)
X"
=
(O,
0,
...,
0,ffi O,
0,
...)
L_J
.
n zerouri
Se observd
c5. X2,
X3,
...,
Xt, ...
reprezinti.
monoarne.
Pentm
monomul
fk
=
(0,
O, ..., O,$j$,
O,
...),
ar
e
K*,
avem scrierea:
r--+
i\$$uil
fk
-
ar
.(9,
O,
.
,
0, l,
O,
...)
=mX$Xk.
L__J
k zerouri
Asadar
relatie
care
reprezintL
forma
algebrici
a
f1.
DouA
monoame
monomului
f6.
Numdrul
k
e
N
reprezintd"
gradul
monomului
se numesc
asemenea
dacA
au
acelagi
grad.
2.3.
Forma
algebrici
a
unui
polinom
Fie
f
.
K(N),
f
=
(ro,
a1,
...,
an,
O, 0,
...),
a'
e
K*
un polinom
de
gradul
n.
Folosind
operafiile
cu
polinoame
avem:
f
:
(ao, o,
o, ...) +
(o, ar,
O, O, ...)
+
(O,
O,
az,
O,
O, ...)
+ ...
+
r)
i
9,
O,
,9,
a,,,
O, O.
... |
= do
*
a,X
+
azXz
+...
+
?.,X'.
l- I
\
n zerouri
)
Asadar,
scriere
care
reprezintd
forma
algebricd
a
polinoametoi
de
gradut
n
in
nedeterminata
X.
Rezultd
cd
polinomul
f
este
o sum6
de
monoame.
Monomul
..r,Xt"
se
numeqte
monomul
dominant
al pori-
nomului
f.
scrienea
unui polinom
sub
formd.
argebrici
este
unici,
abstracfie
facdnd
de
ordinea
de
scriere
a
monoameloi.
+
q
i$
f
108
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 105/324
Algebrd
,
lll.
lnele
de
polinoame
Fie
f,
ge
K(u),
f
=&0
+arX
+a2X2
+,...+arrX*,S=bo
+brX
+b2X2
+
-...
+
tr-X*,
grad(f)
=
n
Fi
grad(g)
=
m.
polinoa,mele
f
+i g
sunt
egale
si
scriem
f
=
€,
da-cd
a'
acelasi
grad
si
coeficienlii
respectiv
egari:
1nl#W
si
ffi$l*.,:'\"$
{ffifl-i,.
.
L.ffii$#$
in particutar,
polinomul
f este
egal
cu
polinomur
nul
daca
tou
co*iiiciuniil
"ai
sunt
nuli.
Pentm
multimea
K(N)
se
va
adopta
notatia
K[x]
pentru
a
pune
in
evidenta
nedeterminata
X.
In
particular,
avem
multimile
de
Zo[X],
adic6
rmrltimile
de
potrinoame
in
in
corpuriie
,Q,
lP,
,C,
respectiv
1lo.
polinoame
,O[x],
la[X],
D[x],
nedeterminata
X
cu
coeficienti
Se
observa
ca exista
incluziunit"
iS$
,i
2.4.
valoarea
unui
polinom.
Functii
polinomiale
Fie
f
e
K[X],f
=
oo
r-arX+"..
+a,rXt,
Dr,
€
K*'n polin'm
cle gradul
n.
{.
ffiffirtMTtE
l"Daca
xe
K.
etrementul
f(*)=a0+atx+.".+,arrx'e
K
se
nr11negte
f
valoaree
polinonrului
f
in
x.
nF
Exerrqp&e
oFie
f e iO[X],f
=t+X+X2
si
xe
{_-r,O,t}.
Atunci
f
(*t)
=
1-t+1=
t, f
(0)= 1+o+02
=
t, f
(1)=
1+1+1=
3.
r
Fie
f e
c[x], f
=Z+X2
+Xa
;i
*
=
{i,
iJ5}.
Atunci
f(i)
=
2-t+r
=
z, r(iJs)
=2_s+e
:
8.
oFie
f
ezulxl"f
=)+x+3x3
+l
".{i,o,i}"
Atunci
r(i)=
2*i*3
=i,
r(o)
=
i+d
*O
=i.r{O)=0,
i*i
s
:
4*4
=
3.
o
0BsERrfATlE
Dacd"
f,
g.
K[X],
atrlnci
au
ioc
egalitd{ile:
'
(f +C)(")=f(r)"g(*),vxe
K;
"
(f
-e)(")=f
(*)*C("),v
xe
K;
.
(f
.C)(")=f(') g('),vxe
K.
l09
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 106/324
+
pEFtNtTil
r
lll.
lnele
de
polinoame
e
Dacd.
f
e
KIX],
atunci
functia
Reciproca
acestei
afirmafii
nu
Mai
general,
dacd
respectiv
m:
polinomiald
i
atasatA
este
adevdratd.
r
Fie
f
e
r[x]
un
polinom
nenul.
se
numeste
funcfie
polinomiala
atasatd
polinomutui
f,
funclia
f
:
K
-+
K,
i(*)
=
f(x),
x
e
K.
'Funcfia
f
:
K
+
K
se
numeste
functie
polinomiald
dacd
existd
un
polinom
ge
K[X],
astfelincAt
f
=8.
@
ExempLe
oFunctia
i:'c-+
t,r{z)=az+b,ae'c'
este
functie
polinomiaia
atasata
polino.
muiuidegradul
1,
f
€O[X],f
=b+aX.
IFunctia
i:rf,,,->a5,f(x)=Qx2+3x+o
este
functie
poiinomiara
atasati
polino-
muiui f
e
zr[X], f
=
i
+3x*ix2"
C
{lBSENUATIE
lui
f
este
unicA.
u€
.Exemp,lrr
*Fie
n*N.
ui
fne*2[x]'f'-x''
Atun"i
i"(n)=6
pi
,"{i)=i.
Aqadar"
pentru
ffi.ff:: l-.t"
{::/.2-.+Lz'tta)'=0,r{1)=i
esre
func{ia
atasata
pentru
in
cazul
*
"r:
nu
elistl
posibititatea
unei
confuzii,
se
va
nota
cu
funcdia
atasat5
polinornului
f
e
KIXJ.
S
0perafii
cu
p'rin'ame
$Grise
sub
forrn6
argehricd
3.L.
Adunarea qi
inmulfirea
polinoamelor
scrise
sub
f,ormi
algebriti
Fie
p
e
N
si
f,
g.
KiX]
monoame
de
gradul
p,
f
=ffi\Xo,
g
=*W"o
Avand
in
vedere
modui
de
definire
a
adundrii
polinoamelor
obtinem:
(roe)=-$$
xp,
(i)
f, g.
KiX]
sunt
polinoame
de
gradul
n,
f
=
&o
+
a1X
+
a2X2
+...
+
?.rXt
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 107/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 108/324
r
ll. lnele
de
polinoame
Eff'rri$iw,
,.pgohta*
tr
sd se determine poiinoamele
f,
g
e
,c[x]
de
gradul
1,
care
verifica
egalitdtile
(x+t)f n(x-r)g=zx2
-2
qi
fQ)=e(o).
Soluf,e
Fie f
=
aX +
b,
g
=
cX+d, a,
c c
C..
Egalitatea
datd
se
scrie:
(x
+ t)(ax
+ b)+
(x
-
t)(cx
+
d)
=
2x2
-2"
Dupd
efectuarea
inmul{irilor
si adunirii
se
obtine:
,W..
}i"'
.
Wffi
*
ffiWm=W'
*l.
xW
Egalitatea
de
polinoame
conduce
ia egalitdtile:
a+c
=
2,
a+b+
d-c
-
O, b
-d
=
-2.
RezultdcA
c=2-a,
b=-d",
d=2-d,a"=cre
,D.
Asadar,
f
=
uX
_cr,
g
=
(2
_c)X
+
Z
-
a.
Dincondifla
f(2)=g(O)
seobfine
cr=1
Si
f
=X-I,g=X+1.
EXEHCTTil
$t
PAoBLEME
EXERSATIE
EX.
S* se scrie
sub forrnd
algebrici
pol .nomul
f
qi
s[ se
specifice
gradul
acestuia:
ai
f
=(1,0,
1,2,3n
-1,
O,0,...)e
e
a[x];
b) f
=
(0, o,
0,
1,
2,
- ,
O, O, ...)
e
e n[x];
c)
f
=(o,
1,0,
1,
O,
i,
-i,
O,0,...)e
e
e[x];
d)
f
= (i,
t,
-
i,
6,
i,
6,
0,
.".).
e
z5
[x].
Se
se
determine
in funcfie
de
parametrul
m
e
Q,
gradul
polino-
mulul
f
e
n[x]:
a) f
=m+(m-L)x;
b)
f
=z+(n2
-r)x*(*2-om+
+z)x2.
Sn se
determine
gradul
polino-
mului
f, in cazurlle:
a)
f
ea[x],f
=2+(rn-r)x2+
*
(e*'
-
ann
+
r)xs;
b)
f
eZs[x],f
=i+nnX+
o(-'-
*)x2;
c)
f
e 15
[x],
f
=
(*'+
i)xs
+
o('"*3)x+O;
a)
f
eO[x],f
=trn2-t+2X+
*(*'
-
am
+
z)x2
+
(m2
-
a)x3;
e)
f
eo[x],f
=r+(m2+r)x+
+
mx2
*
(*t
*
*)x3.
E4.
Se
consider[
f
eC[X],f
=t+X+
+X2
+
x3.
se
se
calculeze:
a)
f(r+i),
f(r-i),
r(r+iJd),
t12
83.
r(r
-
iJe);
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 109/324
Algebrd
r
lll.
lnele de
polinoame
b) r(r+J-),
r(r-Jz),
r(s+zJ'),
r@
+
Je)l
"'(ii).'(i_.-t)
S[
se determine
f
e
C[x],
astfel
incit:
a)
f
=a+bx,
f
(t)=1,
f
(1-i)=1;
b)
f
=a+bx+cx2,
f
(r)=f
(i)=
=f(-i)+1=o.
Si
se efectueze
suma
Polinoamelor
f,
g
e
c[x]:
a)
f=1+X+X2+x3,
g=l-X2-
-x3
+
Xa;
b)
f=r+(1+i)x+(r-t)x3,
8=l+
+(r-r)x+(r+t)x3;
c)
f
=
1+
21X+3Ir2,9
= -l+ix2
+
+(r
+
i)x3"
87.
Si
se
efectueze
suma
pollnoamelor
f,gezn[x]:
a)
f=i+6x+4x',g=6+0x+
+X2+X",P=5;
b)f=2+2x+x3,g=6+ix+
+6x3-x4,p=7i
c)
f
=i+x+x2-x3,g=i+X-
-x2
+Xa
-xa,
P=2.
88.
Se
se efectueze
produsul
polinoa-
melor
f,
g
e
C[x]:
a)
f
=/r2+X+1,€-X2-X+l;
b)
f
=X-1,
g
=X2
+iX-1;
c)
f
=1+X+X2+X3,g=1-X;
d)
f
=(r+x)(z+x)(r-x),
s=(1-x)(2-x).
89.
SA
se
efeetueze
produsul
polinoa-
melor
f,
g
e
Z,
[X]:
a)
f
=i+X,
I=i+X+X2,P-2l
b)
f
=D+x+x2,
I=2+i'x-x2,
P=3'
c)
f
=(i+0x).x+x2,
e=(i+6x+x2)x,
F=5.
ElO.Sn
se
determine polinoamele
f,
g
e
en[X],
f
=aX+b,
g=eX+d,
in
cazurile:
a)x2.r+(x2+r)S=x3+1;
b)
(x +
r)2 (x +
f)
+ (x
+
g)x
=
x3 +
l.
APROFUNDARE
.A1"
Si
se determine Parametrii
Pentru
care
polinoamele f
gi
g
sunt
egale:
a)
f,
geO[x], f
=2+3X+(m+t)x2,
g
=
(2m
+
a)
+
sx
+
(m2
*
r)x3;
U)
f,geC[X],
f
=m+nX*(m+n)x2,
g
=
m2 +
nzx
+2x2i
*,
f,
gez"[x],
f
=m+i+(m*D)x*
+2X2,8=n+m2X+m5x2.
A2"
gae
f eC[x], f
=n2-1+(m+n)2x1
+(*2
-r)xz.
Pentru
ce valori
m,
n
e
C
Polinomul
f
este
Polinom
nul?
A3.
Se
conslderi
pollnoamele
f,
g
e
C[x],
f
=
("-b)x3
+
(2a+
b +
1)X
+
a+
1
ei
g=(2a-b-1)xs
+(a2
+t2)x+
+1-b.
Pentru
ce
valori
a,
be0
polinoamele au acelagi
grad?
113
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 110/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 111/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 112/324
6
o
lll.
lnele
de
polinoame
Consider5m
polinomul:
€r
=
a. 'bfilt*-
.€
=
arrXt
+
anbm-l
.bt'
.5"-t
+...
+
boarrb*jxr*-.
Rezult5
cd
polinornul
fi
=
f
-
€
are gradul
strict mai mic
decAt
gradui
polinornului
f.
Fie
f,
=
c0
4-
crX
+ c2X2
+...
1
cnr
X.t
,
n1 <
n.
e
Dacd
ni
<tn,
avem
fi
=f
-arrll_X*-*g
sau
f
=arrbJX"
*g*f,
si
se
ia
q
=.
a.bfiXn-m qi
n
=
fi.
"
Dacd
ni
2
rn
repetdm
procedeul
anteior
de
rnicsorare
a
gradului
printr-cr
noui
scddere,
luAnd:
92=c^,.hl"X''-''.g
qi
fz=\_Ez.
Evident
n2
:
gracl
(f,
)
.
ili
(
n.
se
repeta procedeul
pentru
perechixe
de
poiinoame
(fr,
gz)
qi
se
nbtin
succesiv
relatiile:
fi
=f
-8r
fz=\-82
{il
=fz
-Se
('{4
-tr'i1
-.'
t'Pil
AdunAi:d
relatiile
ant_eioare,
se
obtine:
f"
-
f
-Sr
*Sz
*"".*g.,
grad{f")
-
nn <
rn.
r's \
Asadar,
t=i,X.€r.J'tfu=€
e+f",
deoarece
fiecare
poiinorn
gr.
\K=t
/
ven{ica
egalitatea
€t
=
g.tx,.X'u-*,
cu
cx,
e K.
Lud.nctr
r
.=
fu,
teonemra
este
denaonstnata.
ffi
*
q8gEjyaM
o
Teorema
impartirii
cu
rest
of,er6
un algoritm
conce^et
de
deteprninare
a
cAtului
si
a restului
irnpdrtirii
a
doud polinoame.
[€
EaenaBlu
r
Fie
f e
C[X],
f
-
X3
+X2
+X+2, g
=
X2-X+1.
Construim
polinoamele
gr
=
X3-2
€
=
X.g
=
X3
-
X2 +-X"
Se ob{ine
fi
=
f
-
gt
=2)r2
+2,
g2
=2g=2I,2
--2X+2 qi
fz
=
{i
_
Ez
=2X.
Cum
f2
are gradul
rnai
mic decAt gradul
lui
g,
restul
va
fi
r
=
2X.
Avem
f
={z+Et+Ez=fz+Xg=(X+Z)
.g+ZX
giastfel
e=X+2
sir=2X.
Deoarece
intre gradele
polinoarnelor
f
,fL,f2,
,
fp, .."
existd
rela{.iile:
Fr )
I11 >
r-r2
).".
>
np
>
"."
qi
m
e
{t,
2, ..",n\,
atunci
exisL*
u.n
nurndrr
s e
N',
astfel
inc6.t
s <
11"
116
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 113/324
Algebri
.
lll.
lnele de
Polinoame
Algoritmul
sugelat
in
demonstraiia
teorernei
poate
fi.
arasriat
Sub
0
formA
ionvenabila,
urmAnd
o
cale
analoagd
impar,tirii
cu
rest
a
numerelor intregi.
Se
procedeazd
astfel:
.
Se
imparte
monomul
dominant
al
deimpS"r,titului
la
monomul
dominant
al
impffitorului.
se
obfine
astfel
monomul
dominant
al
catului.
.
Se
inmulteqte
monomul
ob{inut
la
cAt
cu
impdr,titorul
g
qi
produsul
obfinut
se
scade
din
deimpS.rfitul
f.
Se
ob[ine
polinomul
f1'
r
Se
continua
imperfirea
lu6.nd
ca
deimpdr,tit
polinomul
f1
gi
se
imparte
monomul
dominant
al
lui
f1
la
monornul
dominant
al
iui
g
rezultAnd
al
doilea
monom
al cAtului.
o
Se
repetd procedeul
anterior
pAnd
cdnd
polinomul
f"
are $radul
inferior
gradului
Polinomului
g.
poilnomul
f"
va
fi
restulimperfirii.
Schema
de
calcul
arattr
astfel:
(f):
arrX"
*a'rr-1Xn-l
+...+a1X+ao
I
b*X*
+b*-tXt-l
+"'+bo
(g)
-&r,Xt
-
ar.,b*-tbrritX"-t
-
a-bix"-*
+
--Il
-
lll
'mrF
$.31;.5:,
a
(rt),
(rr)'
Restul
(f"):
Et<r;rnptu
r
Sa
se imparte
polinomul
f
e
C[x],
f
=
Xa
Secvenlele
imPnrlirii
Monomul
dominant
al
cdtului
este
X4-l
=
X3.
Se
obtine:
.
fi=f
-x3g=f
-x3(x-1)=x3+X2+1'
.
Al
doilea
monom
al
cAtului
este:
x3-1
_
x2.
Se
obfine:
fz=\-Xzg=2I.2
+l'
.
Al
treilea
monom
al c6.tuiui
este
2x2-r
=
2X,
iar fs
=
fz
-
2x'
g
=
2X
+
1'
.
Al
patrulea
monom
al c6Ltului
este
2xr-t
=2,
iar
fa=fs-29=
3
=restul'
(cAtul)
+X2+1
lapolinomul
ge
C[X],9=X-f
'
Schema
irnPirfirii
deimpdrfitul
(')ffi
-Xa
+ X3
(E)
X3+X2+l
-X3
+
X2
$)
2x2
+r
-2X2
+2X
(fs)
2x+r
-2X+2
{f,}
3
impArfitorul
-.-a=f,,
ffi
(e)
tL7
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 114/324
Algebri
r
lll.
lnele de
polinoame
3
gEgElv4r
1.
trn
cadrul algoritmului
anterior,
asupra
coeficientilor
ceior
doua
polinoame
f
qi
€
se
efectuea'5.
numai
operafii de adunare
si
inmultire
in
corpul K.
Astfel,
va
rezulta
c5.
polinoamele
cAt
qi
rest
vor
avea
coeficienfi in
corpul K.
2.
Fie
f,
g.
K[X]
qi
f
=
€e
+
impA(irii
lui f la
g.
Dacd impi1tim f
la
gt
=
ag,
Dar f
=99+r-ag(a-tn)n
restului
rezultS.
I
=
r
gi
qr
Sd
se efeetueze
impir,tirile de
poll-
noame
in
C[x]:
a) f
=X3+X+1,
g=X-1;
b)
f=Xa+2X3
+X+2,
E=X2+X+1;
c)
f
=(xtr)(x+2)+x3,
s=(x-r)(x+r);
d)
f
=
x5
+
xa
+X2 +
1,
g
=
X2
+
1;
e) f
=
Xa
+lI(2 +
X+i,
g
=
X+1;
0
f
=
x4
+(r+i)xs
-i+1,
g=x2
+i.
Si se efectueze
impir.tirile
de
poli-
noame
in
Zn
[X]:
a)
f
=
Xs
+X2
+i,
g=*+0,
p
=
3;
b)
f= 2xa
+3x+2,
g=x+0, p=5;
c)
f
=
X5
-xa
+x-i,
g=
X2
+i,
P=2;
d)
f
=(x'*i)'+z(x3+i),
'
^\2
g=(x+1)
+1,p=9.
Si
se determine
polinomul
g
e
CI[X]
stiind ci
f
=
Xs
-
x2
+ X+
t5
e
C[x],
r, unde
q
este
cdtul, iar r este
restul
a e
K,
putem
scrie
f,
=
agqt
+
t.
r
=
agql +
r
qi
din unicitatea
cAtului
si
l
-a'q.
EXERSARE
impirfit la
g
dn cdtul
q
=X+2
qi
restul
r
=
1.
84.
Sn
se efectueze impirfirile
de
poli-
noame
in
,C[x]
:
a) f=(x-r)"*(x+r)3,
g=(x-r)'*(x+1)2;
b)
f
=
(x- t)"1x*21
+ (x+
r)2
(x+
z),
E=Xz+X+t;
c)
f
=
(x
-
r)(x+
z)(x
+
3)+
x,
g=x(x+1);
d)
f
=
x(x
-
i)(x
-
2i)(x
*
3i),
s=(x+i)(x-i).
E5. Se se efectueze
in
Zo[X]
,
irnper-
irile:
"r
r=
(x*
i)",
e
=
(**i)2,
n
=
s;
b)
r=(x+e)(x.6)(x+a),
e=(zx*i)',n=s;
"l
r
= (x3
+
x*i)2,
c
=(x"
+i)',
9=7.
81.
EXERCTI r
$r
PB0BTEME
E3.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 115/324
Algebri
o
lll.
lnele de
polinoame
A1.
Se
se
determine
citul 9i
restul
impirfirii
polinornului
f la
g:
a)
f
=x6+6xa
+2,g=x2+6,
in
zu
[x];
b) f
=)iP
+M
+x2
+i
g=Xa+X+1,
in
z3
[x];
c)
f
=
ixlo
+
3x8 +
i.x+2,
I
=
x5
+
+
xa +
0, in
zs
[x].
A2.
Se se
determine
parametrii pentru
care restul
impirfirii
polinomului
fer[x]
la
gex[x]
este
eel
speciflcat:
a) f
=Xa+X-a,
g=2lK+l,r=O,
K=tC;
b)
f
=
ax3
+
bx2
+
2,
g=x2
-1,
r=2X,K=Q;
c)
f
=x3+ax2-bX+1,
g=x2-
-3X+2,r=X-1,
K=Q;
d)
f
=xs+ax2+ix+i,g=x-
-2,r=i,r=a";
e) f
=xa+2x3+aX+b,
g=2x2-
-i,
r=x+i,
K=Zs.
A3.
Fie
r
restul
imp[rfirii
polinornului
f
eC[x],
f
=Xa+x2+l
trapolirnomul
E=x2,r
zx
e
O[x].
sd
se
arate
ci
girril
(r
(n))"*
este o
progresie aritme-
tici.
44.
S[
se
afle restul
impnrftrii
pollno-
mului
f
e
x[x]
la
polinomul
(x
-
a)
(x
-
b),
in cazurile:
a)
a=r,b=2,
K=Q,
f
(1)=3,
r(z\=z;
b)
a=i,
b=1+i,
K='C, f
(i)=i,
f(r+i)=-i;
c)a=i
t=3,
r=rt,r(i)=A
r(-e)=i
APROFUNDARE
A5. Se
se
determine
polinoamele
de
gradul
al treilea,
f
e n
[x],
gtiind
ci f impirfit
la
X2
+
X
d[ restul
r=X+l
giimpirfitla
X2-x
dn
restul
rr
=
3X
+
1.
(IJnio.
Craiovo,
1994
A6. Fie
f
e0[x],
f
=X3-BX2+aX+b.
Si
se determine
a, b e
Q
pentru
care f
impnr-tit
la
X
-
2 di
restul
O
qi
impirlit
la
X
-
I
di
restul
4.
(Univ.
Transilvania,
Braqov,
2OO2l
A7.
Polinomul
f
e
n[X]
are
coefl-
cientul
dominant
L. Si
se deter-
minef
gi
a,beQ
gtiindcif
im-
pnrfit
la
X
-
a dn
citul
x2
-
-
3X +
4,
iar
cdtul
imPirfirit
lui
f
la X-b
este
X2
-4X+2.
A8. Un
polinom
f
e
n[x]
Prin imPir-
fireala
X-a,
X-b,
X-c
d[citu-
rile
9r,92,
9s.
Sn
se
arate'
c6.
(b
-
")q,
(u)
+ (c
-
b)qz (c)
+
+(a-c)le(")=o.
A9.
Un
polinom
f
e
D[x]
imPnrlit
la
X-1,
X+l
9i
X+rt
di
resturile
15,7,
respectiv
-8O.
a) Si
se
afle
restul
r
al
imPirlirii
lui
f
la (x
-r)(x
+
r)(x
+
a).
b) Se
se
determine:
ri-
t(1) *
t(2Elj.GL.
iI'?
r. 2 +2
.3
+
...
+
n(n +
1)'
A1O.Si
se
determine
f
e
C[X],
f
=
Xa
+
+
aXs +
bX2 +
cX +
3,
qtiind
ci
impirfit
la
x2
-
I di
restul R.1,
imp[rfit
la X2 +
I
di restul Rz
9i
Ry
Rz
=
5X2
-
28X
+
15"
fAS"E,
Bucureiti,2OOO)
itlll
r19
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 116/324
Algebrd
r
lll.
lnele
de
polinoame
l,l
gi
iin
a*,,:
D-enonsfusfre
Atr"L.
Se considerd
polinornul
f
e
C[X]
,
f
=
(X
*
1)t"
,
avdnd
f,orrna
aXgebrie&
f
=
ao
+
a1X
+
a2X2
+,."
+
a1sx10.
a)
56
se
calculeze
f(O).
b)
Sd se
caleuleze
sulrra
coefieiem-
tilor
polinorrarelui
f"
c)
Si se
arate
ed.
ao
+ ez
+
"."
+ a1g
=
29"
{Eaca.lo,ut'err't,
awgwst,
2
0 82}
Al^2" F'ie
ur
e
N*,
p,
g,
T
€ a[N],
p
=
Xn
+
+
X2n+t"
O
y;3n+2
+
...
+
X"'*"-1,
Q=
gn-r+Xn-z+...+X+L
qi
T
restul
fmrpSrtirii
lu,i
F Ia
Q.
Daci
s
este
surna
pdtratelor
coefieientilor
nlolinornului
T,
aturnci:
a)
s=ra3+2;
b)
s=I-fu])'
2
e) s=O;
cl)
s=n+5;
e) s=L6.
fA'SS,
Eueureqti,2OOS)
3.3. irnpfrrt$rea
la
X
-
a. Sahema
lui
tr{orraer
Fie
f
e
K[X],f,=ao+alx
+azxz
+.."+anxn
unpolinorndegraduln
$i
8=X-ae
K[X].
Din
teorema
irnp5rt-irii
cu
rest se
obtine:
f
=
(X
*
")q
+
r,
grad(")
"
t, deci r
e
K.
Rezultd
ca.
f
(a)
=
O.q(*)+
r,
de
unde
r
=
f
(a)"
ffi
Teorema
restului
este
eficientA pentru
determinarea
restului
imparlirii
unui poiinorn
pnin
X
-
a,
f5rh
a efectLea
inapartirea.
Swnni$i^z
,tpr7p{4wt
tr
se
considerd.
polinomul
f
e
,c[x],
f
=
x2'
+
bx'*l
+
z.
sa se
deter-
mine
restul irnparfirii
potrinomului
f
la
x
-
i
stiind
c6 irnpd"4it
la
)(-2
dA restui
151"
So&r&e
Din
teorerna
restuiui
se
obtine
ca
lbl
=
r
=
f
(2)
=
Z2n
+5.2n+L
+T
"
Se obline
ecuatia
exponeritia\*
22"
+
l0.Zn
_
L44
=
C).
Se
noteaze
2n
=
a
qi
rezulta
ecuatia
a2
+loa
* 44=a,
cr-:
soiutiile
ae
{g,
-}g}.
Avem
2n
=8
cu solutia
n=3.
Asaelar
f
=x6+FXa+?"
Restur
?mpar,tiii
lui f
la
X-i
este
r=,f(i,}=tl,
t2$
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 117/324
o
lll. lnele de
polinoame
Schersla
nui l{orner
Fie
f
en[X],
f,
=a0+a1X
+a2X2+'.'+a'Xt,
polinom
nenul
de
gradulngi
g-X-ae nlxl"
Not6m
e
=
bo +
brX +tsrpz
+...
+
b.,-tX'-l
c6tui
impd.rfirii
polino-
mului
f
la
g.
Din
teorema
impAr,tirii
cu rest
se
obfine:
f
=(X-")(uo
+b1X+.."+b,,-rX'
t)*o
=
r-ab'
n(iro
-abr)X+
-(b,
-
ab2)xz
+...+(b,-,-n
-"b,)x",
{xi.
trdentificand
coeficientii
ceior
doui
polinoame
in reladia
(1)
se
obtine:
&.,
=
bt-1
?n-l
=
bn
Z-
ab,-r-t
Vn-2
=
brr-g
-
Abn
Z
&2
=bt
-ab2
at
=
bo
-abt
30
=r-ailo
b6=a1
*anf1
r=&0+aLr6
in rnod
practic,
pentru determinarea
coelicientilor
b.'-r,b.,*2,
"',
br,
bo
ai catului
qi
a
restuiui
r se
alcdtuieste
urmatoarea
schemd:
Aceasti
schernA
de
lucrrr
in care
se Opereaza
numai
cu
elementul
a e K
Si
coeficien{ii
poiinornuiu"i f
se nurneste
eenaema
lui
}Iorner.
Scherna
lui Horner
are
la bazd
relatia
de
recurenta:
$;i$.:ift$
"$''r-''
k
e
{r',
2.
"',
n*1}'
Aceste
relafii
perrnit
deducerea
in
mod
recursiv
a
coeficienfilor
c6.tuiui
br'-1,
b'-e,
..., bi,
Lr6
+i
a
restului
r.
Avem:
b.r-l
=
?,',
brr,2
-&n-1
*abr"r-t
bn-B
=0r-r-2*abr.-Z
t2r
Coeficie*tii
tt
l f
in ordine
descrescdtoare
a
gradeior
ryq4gggiglol
b.,,-Z&
*
3n-2
bra
+ at
.r-ia
* an_l
.,-
l
=
3n
Coeficientii
cAtului
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 118/324
Algebrd
.
lll. lnele de
polinoame
ffinil€tte"t.z7a'{ntalet
tr 1.
Sa
se
efectueze
impe(irea
polinomuiui
f la
g,
dac6:
a)
f,ge
afx]
,f
=Xa
-3X3
+4x2
-3X+1,€=X-2:
b) f,
ge
rn[X], f
=
3X5
-4X3
+3X2
-X-5,
g
=X+1;
c) f,ge rafx],f
=BX3
-2x2
+X+2,g=2x_I.
Solulte
a)
Folosim schema
lui Horner
pentru
a
=2.
Avem:
CAtul
impdr.tirii este
q
=
1'X3
o
(-1)
'X2 +2X
+ 1,
iar
restul r
=
3.
b) in
acest
caz
avemg
=
X
-
(*f),
deci a
=
-1.
Schema lui Horner:
se obfine
q
:i$ixn
oif,,I,,$
"t
*
ffix'
+
4 X
*
(]5]
ri
c)
Scriem
g=z(*-l'l
,r.-
impdrli mai intai
polinomul
f
prin
\
2)
X
*
I
.
Alcittlim
schema
lui
Horner cu a
=
].
Se
obtine
c6.tul
Qr
=8X2
+2X+2
qi
restul rr
=3.
CAtul
imp5rtirii
I
luiflageste
q:;et
=4X2+X+1,
iarrestul
r=rt
=3
(veziobservatia2,
2
s3.2")
tr
2.
Fie f.ge/tr[x],f
=2x5-Xa+),x2
+mX+i,g="+2.
sasedeter-
mine rn
e/ls,
stiind
ca
restul
imparlirii
iui
f la
g
este
,
-=2.
I
-3
4
-3
I
a=2
I
t.2-3
=$,t$l
*I.2+4=t
2'2
*
3
=''X
1.2 + 1
=#=i
.t
J 0
-4
3
-1
-5
i5
3'(-1)
+
O
=
E*
(-3)'(-1)-4=
-l
(-1)'(-r)
+
3
=
&
4.(-1)-
1
=
;.i)
(-5).(-l)
-
5
=
#
8
-z
1 2
I
d--
2
8 2 2
o
i-,
r22
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 119/324
Algebri
.
lll.
lnele
de
2
-1
0
2
m
I
a:1
2
I
I
o
m
..-ra r-"i ..d
ffir*ftf,
Sotutie
Aflam
restul
Avem
a=-2=i.
imparlirii
polinomului
f la
g
schema
lui
Horner.
rln
EXERSARE
El.
Se
se determine
restul
impirlirii
polinomului feK[x]
la
X-ae
e
r
[x]
,
in
cazurile:
a)
f=X3
-zoozxz
+2OO6,
a=1,
K=Q;
b)
f
=
2l{s
-3X7
+X+1,
a=
-1,
K=Q;
c)
f
=xro
+2Xa
t3,
a=i,
K:O;
d)
f
=ixz
*ix6+6l-*2,^=2,
K=Zs.
E2.
Se
se determine
m
e
K
eu
ProPri-
etatea
ci
polinomul
f
e
X[X]'
im-
perFt
la
g
=
x-aeK[x]
dn
restul
specifieat:
a) f
=
Xs +
mX2 +
3X-
rrt,
L
=2,
K
=,C,
r
=l7l
b)
f
=Xa+mx2
+2,a=-i,K=C,
r=3+i;
cl
f
=ixa
+lxs
-mx
+
i,
a
=
2,
K=lz,
r
=t.
E3.
Se
se determine
citul
9i
restul
impirfirii
polinornului
f
en[x]
la
polinomul
g
e
D[x]:
a) f
=x5
+4Xa
+3X2+x-2,
g=X_2i
b)
f
=
-2xa
+3Xs
+
5x2
-6x-1,
g=X-3;
c)
f=3XG
+2Xa
+2X2
+X+2,
B=X+1;
d)
f
=x8+xa
+*2+1,9=X+2;
e)
f
=6X3+2X+2,9=2X-1;
fl
f
=
X4 +3X2
+X-6,
g
=
2X+1.
E4.
Se
se
imparti
Polinomul
f eX[X]
la
polinomul
g
e
f
[x]
Prin
schema
lui
Horner:
a) f
=X3+X2+X+1,g=X-i,
K=C;
b) f
=
Xa
-x3
+
x2
-x+2,
g
=
;.'1,
K=C;
c)
f
=2X3
+
x-1,
€
=
X+2i,
K=
C;
d)
f
=
xa +2x3
+6x+i,
g
=
x*
e,
K=Zsi
e) f
=
2x5
-
3xs
+
4x
-i',
g
=ex
-
-i,
K
=
25.
iriE
;:ttl
4#
tr
+#l
4t:
#,
:
'rdff'
': 4iii
]#ii
iliiit'
rlli,
riri::
tlr,
"l
li
:tl
:]
Restul
impdr,tirii
este
r
=rul
9i
se
obfine
ecuatia
m + i
=
2,
deci
m=i.
EXERCITII
SI
PROBTEME
L23
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 120/324
Algebri
r
lll. lnele
de
polinoame
APR,OFUNDARE
-
Al.
SA
se
determine
m
e
D,
astfel
incf;t
restul
impr[rfirti
polinomului
f
e
C[x], la
X
+
I
s6.
fie
numir
reat,
daci:
a)
f
=X3+tnx2+mX+3;
b)
f
=*n-(*"-r)x-ei.
.A2.
Sn
se
determine
rn
e
D
astfel
incit
restul
irnpnrfirii
polinomului
f
e
en[X],
f
=
2Xs
-
mxz
+ X-
?
la
X-2
s[
fie 3.
(Univ.
Tlro;rtsiluqnio,,
Bra.*ts,
ZAOZ)
A,3.
Se considerd polinomul
f
en[X], t=
=
X4
+ Xs
+ aX
+ 6a.
S[
se deter-
mine parametrul
a
e
R, astfel
incAt
restul
imp[rtirii polinomulul
f(X+Z)
la
X+t
sd.
fie
egal
cu
-t2.
(Uniu.
Tr.anta;ilvania,
Brapou,
2
OOZ)
A4. impnrfind
polinomul
f
e
C[X],
f
=
=2X3-mX2+nX-6 ta X-3
qt
X
+
I
se
obfin
resturi
egale
cu
_2.
Si se
atle
restul
impir_tirit
polino-
rnuluif
la
X-2.
A5.
Sn se
determine
cdtul
gi
restul
impir-
firii
polinomului
f
=
BXs
+
mXz
+
+15
e
n[X]
la
polinomul
g
=
X
-
-2
e
n[X],
gtiind
ci
restul
irnpnrfirii
acestuia
la
2I--
I
este
,
=225
.
I
46.
SA
se
determlne
a, b
e
f5
[X]
+ti-
lnd
ci
impirtind
polinomul
f
e
e
zs[x],
f
=
X3
+ax2
+ix+b,
la
po-
linoarnele
€t,
€z
e zs
[x],
gr
=
X
_
-i,
g"=6x+i
se
obtin
resturlte
\=2,
b=6,
A7.
Se
se
determine
restul
impirtirtt
poli-
nornulul
f
e
C[X],
f
=
1n+l
-BXn
+
4
la
X+2eC[X], qtiind
ci.
resttrl
impar-
ftriilutf
la
X-2
este
-12.
A8.
impirtlnd
polinomul
f
eC[X],
f
=
=
Xm
+
Xn
+
I la
potinomul
X
-
-ZeC[X]
se obfine
resrul
tB
qi
impirfindu-l
la
X-
+
e
C[X]
se ob-
fine
restul
81.
Se
se
determine
restul
impirtirii
lui
f Ia
X
-
i.
.$'9.
Pollnomul
f
€
K[X]
irnpnr,tit
ta
x-aer[x]
ei
x-bex[x]
dn
citurile
gr
gl
gz"
Si
se
arate
ci
qr
(b)
=
qz
(a).
AL0.
SE
se
determlne
pollnomul f
e
e
23
[x],
f
=
X8
+
aX7
+
2X3
+
X
+
b,
stilnd
ci
impirfit
la
g-X-O
ae
cAtut
q
gi
restul
r
=
2,
iar
q
irr-
pnrgt
la
gr
-
X
+
0
aa
restul
rr
=
6.
All.Se
consideri
polinornul
f
e
C[X],
f
=
Xa
+X3
+X2
+X+2.
Sd
se
deter-
mine
c6tul
impirgirii
polinornulul
f
la
polinomul
g=X-cosa+islmoe
ec[x],
o.(o,l),
u.urru
ci
restut
impnrtirii
este
r
=
1
+ i(t
*
J5).
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 121/324
Algehri
r
lll.
lnele
de
polinoame
O
Bivlzlbilitatea
pnllmoamnelor
4. ".
Relafia
de
divizibiXitate
pe
xnuX$imea
K[X]
ffia.6k'srut,@freenilfr,
tr
Fie
f,ge
rn[x],f
=2Xs+3X2+3X+2,g=X+1"
sd
se
determine
catul
qi
restr-1l
impar.tirii
polinomului
f
Ia
g.
Solufie
Aplicdm
schema
lui
Horner
9i
rezult5:
Seob .inecatul
Q=2x2
+X+2
girestul
r=0'
Asadar
f
=
g.
(ZX2
*X
+ Z).
Se
observd
cd
la
aceastd
irnpar-tire
restul
este
polinomul
nul'
Ca
qi
in
cazul
imp6r{.irii
numerelor
intregi,
in-rpir.tirea
cu
rest
zero
constituie
un
caz
speciai.
*
pEFll{lTlE
I.
Fi. (K,
*,
')
tt
corp
cornutativ
qi polinoameie
f,
g
e
K[X]'
I
spnn"m
ca
polinornul
g
divide
polinomul
f
daca
exista
un
polinom
I
h
.
K[X]
astfel
incAt
f
=
€'h,
(1)'
Dacd
potrinomul
g
divide
polinomui
f
vom
scrie
g
I
f
tse
citeqte
,,g
divide
f')
sau
f :
g
ise-
citeqte,,f
este
divizibil
cu
g")'
Polinornul
g
se
nurnegte
divizor
al
polinornului
f, iar
polinomul
f
se numeqte
multiptru
al
polinomului
g.
3
OBSERVATIE
.
Polinomul
f e
K[X]
se
divide
cu
polinomul
g
e n[X],
g
* O,
dacA
s,i
nurnai
clacd
restul
imperfirii
lui
f
la
gi
este
polinomul
nul"
4.2.
Propriet&fi
ale
Relatia
de divizibilitate
proprietd{i aserndndtoare
cu.
numerelor
intregi.
retafiei
de
divizibilitate
pe
mulfimea
de
polinoame K[X]
are
rela{ia
de
divizibilitate
pe
mu$imea
L, a
t25
2
J
3 2
-l
=
2
I
2
o
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 122/324
Algebrd
r
lll.
lnete
de
polinoame
pl.
Relatia
de
divizibilitate
pe
multinnea
K[x]
este
reflexiva
.fif,vfeK[x].
intr-adevdr
f=1'f,
deci
f
I
f.
F2.
Relatia
de
divizibilitat€
pe
mullimea
K
[x]
este
tranzitivi
eDacd
f,
g,
h€K[x],
f
I
g
qi gl
h' atunci
f
I
h'
intr-adevar,
din
ipotezd
rezultd
c5.
I
u,
v e tr.<
[X],
astfel
incAt
B=f
.u
qi
h=g.v.seobfinecd
h=€'v=(f
'r-r)'v=f
"(t")'
deci
f
lh'
FS.
Folinornul
nul
f
=
o
e
K[x],
este
divizibil
cu
oricare
poli-
nom
geX[X],
deoarece
O=0.g.Sespuneci
f
=0
estecelmaimare
element
in
raport
cu
divizibilitatea
pe
t<[X]'
F4.
Polinoamele
constante
f
=
8,
a
€
K*,
sunt
divizori
pentru
orice
polinom
din
I(
[x].
P5.
Dacd
f,
g,hex[X],
astfel
incit
t
I
g
9i
f
I
h,
atunci
ri ("g+vh),
V
u,
veK[x].
intr-adevar,
fie
cx,
B
e
t<[X],
astfei inc6.t S
= crf,
h
=
Ff'
Rezultd
cA
ug+vh
=
u.(crf)+v'Bf
=f
'(ou+0v),
deci
f
|
(ug+vh)'
*
pEFrlllTlE
I
.
polinoamele
f,
g.
K[X]
se
numesc
asociate
in
divizibilitate
9i
se
|
,ro..ura
f
-g.daca
f
iS
si
91r.
.iiii1i.fi.i.::',
iiri Iiiilir'
+itii+$L:,W
Derpnsfuoib
DacA
f
=ag,
atunci
glf
9i
cum
€=a-l
.f,
rezultd
f
lg,
deci
f-9.
Reciproc,
fie
f
-g.
Atunci
f
lg
si
Slf,
deci
exists
u,ve
n[X],
astfelincat
f
=ug
$i
€=r,{.
seobfineca
f
=ur,f
gicumf estenenul,
rezult5
cd
uv
=
1.
Aqaclar
u, v
e
K
\
{O}
+i
teorema
est.e
demonstrat6"
I
126
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 123/324
Algebri
.
lll.
lnele
de
polinoame
@
Exernole
cPolinoamele
f,geC[X],f
=2X2+X+1
Ei
E=4X2+2X+2
sunt
asociate
divizibilitate, deoarece
g
=
2f
.
rPolinoamele
f,g€t-s[X],f
=DX2+x+3
Ei
g=X2+3X+4
sunt
asociate
divizibiiitate
deoarece
g
=
ef.
gn6/cn
et@Zo/ilalz,
B 1" Fie f
e
t<[X]"
Sd se
arate
ca f
e /z(K[X])
daca si
numai
dacd
f
-
1.
SoLutie
Presupunem
ce
f
-
1.
Atunci
existS.
a
e
K*,
astfel
incAt
f
=
a'1
=
? e
K*,
deci
f
este
un
element
inversabil
in
inelul
K[X].
Reciproc,
fie f e
,iz(K[X]).
Rezulta
ca
existd
g
€
K[X], astfel
incAt
f
'g=1.
Atunci
grad(f)+grad(g)
=0,
deci
grad(f)=o,
Fi
cum f
este
nenul
se
obfine cd.
f
e
K..
Asadar
f
-
1.
tr 2.
Se se
arate
ca
polinomul
f
=
1x
+
t;6'*1
*;16n+2
e
ra[X]
se divide
cu
polinomul
g
=
X2
+
X
+
I
e
Q[X].
Solufie
Avem
E=X2
+X+I
gi
X+l:g-X2. FolosindbinornulluiNewton
rezultd cd:
1x+
l;6'*1
=
(s
-*')u"
=
c3,.,*r€6'*1
+
cl,,*rgon
'(-x2)*...*
+c3fi*rg
(-",)u"
*
"3lll
(-*r)u"*t
=
g.h
-
x12'*2,
(1).
Aqadar,
r
=
(X
*
l)u'*'
*
y6n+2
=
g.h
*;16n+2
-yr2n+2
=
g.h
-;q6n+2
.
.(*u"
-
r)
=
g.h
-
v6n+2
("t"
-
r)("t"
+
r),
tz).
Dar,
X3'
*
t
=
("u)"
-
t
=
(*t
-
r)(xs"-s
n
;13n-6 +... + X3
* t)
=
=
("t
-
t)
n,, iar din relatia
(2)
se
obtine ci
f
=
g.h
-;6n+2
(X
-
f)ghr,
Jeci f
este
divizibil
cu
g.
r27
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 124/324
r
lll. lnele de
polinoame
4.3.
Cel
mai
rnare
divizor
comun al
polinoamelor
.:.
OEFlt{lTlE
.
Fie f,
g.
K[X].
Un
polinom d
e
t<[X]
se
numeste
un
cel mai
mare
dlvizor
comun
al
polinoamelor f
Si
g
daca:
1.
d
este
divizor
comun
al lui fqi
g,
adic5.
O
I
f
qi
d
I
g'
2. oricare
ar
fi alt divizor
comun
d1 al
polinoamelor f
qi g,
atunci
dtld.
Daci d
este un cel
mai
mare
divZor
comun
pentm
f
9i
g,
el se
noteazd.
c.m.m.d.c.(f,
g)
sau, mai
simplu
(f,g).
*
pEFrl{rTrE
l.
Dorra
polinoame
f,guK[X]
se
numesc
relativ
prime
(sau
prime
I
intt"
ele)
daca
(r.
g)-
i.
Demonstratie
Deoarece
d,1, d,2
e 9, atunci dr
I
d,
,
dar
9i
d,
I
dr
,
conform
condifiei
2 din
definilia c.m.m.d.c.(f,
g).
Aqadar
dr
-
d2. I
Teorema
6
ne
asigurd cd
fiind
date
doui
polinoame f,g. K[X],
polinomul
(f,
g)
este unic, atrstracfie
fdcAnd
de un factor multiplicativ
aeK*.
in continuare
vom
considera
ca
polinom
care sA desemnez"
(f,g)
polinomul unitar, iar
pentru polinoamele constante,
polinomul
constant
1.
Rezultd
cd
doud
polinoame
f,
g
"
K[X] sunt
prime
intre ele
dacd
(f,
g)=
t.
re
m
ffi
tu
c
I
fo
E
r
E
t
D
(r
128
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 125/324
Algebri
r
lll.
lnele
de
Polinoame
Demonstratie
Din
teorema
impd,(irii
cu
rest,
existi
q
e
K[X]
astfel
incat
f
=
€.q
+
r,
grad(r)
<
grad(g).
o
DacA
r=O,
arelocrelafia
f
=g.q
Si
(f,g)=g=(g,O)=(g,r)'
.
Fie
r*0
qi
d=(f,
g),
dr
=(g,
t).
Deoarece
alf
qi
dlg
rezulti
ci
dl(f
-gq),
deci
dlt
qi
astfel
dl(e,r)=dr.
Din
relalid
dl
=(g,t)
8i
f
=gq+r
se
obflne
cd
dt
I
f
'
deci
d1
este
divizor
comun
pentru
f
qi g.
RezultA
ci
d1
I
a
qi'
astfel
di
-
d'
I
Aceastd.
teoremd
ofer5.
posibilitatea
calculA'rii
polinomului
(f,
g)'
folosind
polinoame
de
grad mai
mic'
o€F.ExemPlu
Fie
f,gen[x],
f
=Xa-3X2+2'g=xs-x'
Avem:f=g'X-ffiRezult[ca(f,g)=WA9adarprob1emas-a
redus
la
a
calcula
c.m.m'a.c'(x3
-x,
-2x2
+z)'
avem
g
=
X3
-x
=
x(x-lxx+r) si
r
= -2(x-1)(x+l).
se
obtine
cd
c.m.m'd'c'(r,g)
=
(x-1Xx+l)
=
12
-1'
nemonstati"e
a)
in
.caz:ul
f,
=
€l=
0,
noamelor
f
Pi
$.
b)
DacA
f
*0
ql
S=0,
(f,
g)
=
g'
polinornul
nul
este
un
c'm.m.d'c'
al
poli-
avem
(f,
g)
-
f,
iar
daca
f
=
o'
g
* 0'
avem
c)
Sa
considerS'm
f
9i
$
polinoarne
nenule'
Din
cu
rest,
existi
polinoamele
qr,
rt
e
K[X],
astfel
incAt:
f
=
ger
+
rr,
grad(rr)
<
grad(g).
129
teorema
imPd.rf.irii
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 126/324
Algebrl
.
lll. lnele
de
polinoame
Conform
teoremei
7
avem
ca (f,
g)=
(g,
rr).
.
Daci
rr
=
0,
atunci
(f,
g)=
(g,
O)
=
g
pi
teorema
este
demon-
strati.
.
Daca
r,
*
O,
existd
polinoamele
\z,rz
e
K[x],
astfel incAt
g
=
rtg.z+
12,
grad(tr)
.
grad(rr)
9i
astfel
(g,
.t)
=
(rr,
rz).
Pentru
f2
=
A,
(g,
tt
)
=
fi
9i
astfel
(f
,'g)
=
tr.
in cazul
in
care
12 * O
se continua
procedeul obfinAnd
pirul
de
relatii:
f=$q1
+q,
$;f1Q2*12,
f1
=f2Q3*fg'
grad(rr)<
grad(q1)
grad(r2)<
grad(q)
grad(r3)<
grad(r2)
fn-l=fnQn+I*ft'ta1,
grad(r,,*r)<
grad(ro)
Deoarece
grad(q)
>
grad(rt)
>
grad(rr)
meazh
un
gir
descresc6tor
de nuxuere
naturale.
Rezultd
cA
e:dstd
p
e
\
astfel
inc6.t
ro
*
0
gi
ro*1
=
0.
in
acest
caz
se
obtine:
(f,
g)=
(g,
tr)= (rr,
rz)=...
=
(.o-,,
to)=
(t'
O)=.0.
A;adar,
polinomul
ro
este
un
c.ur.m.d.c.(f,
g).
r
Din
demonstrafia
teoremei
rezulta
qi
un
algoritm
de determinare
pentru
c.m.m.d.c.(f,g).
Acesta
este
ultimul
rest
nenul
in
girrl
de
polinoame:
f,
g,rr,
t2,,..,ffi,
O.
Acest
algoritm
poarli numele
de
algoritmul
lui Euclid
de
determinare
a
c.m.m.d.c.
pentru
doud
polinoame"
&a.6lpzn
n,iafhtaln,
tr Sa
se determine
c.m.m.d.c.(f,
g)
pentru:
f,
g.
n[x],
f =xa
-3xs
+x2
_3X+4,
g
=
X3
-1.
130
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 127/324
Algebri
.
lll.
lnole do
polinoame
Solu&e
Alcituim
qirul
de
polinoame,
prin
impdrfiiri
succesive:
f,g,r,
=X2
-2X+1,
r,
=WffiWrb
=0.
Rezultd.
cd
(f,g)-3(X-1).
Conform convenfiei
de
a
desemna
c.m.m.d.c.
prin
polinoame
unitare,
avem
(f,
S)
=
X
-
1.
3
(lBSERVATIE
r
Pentru
obfinerea
qirului
de
polinoame
f,
$,
11, 12,
"..,
ro,
0 conteazi
doar
restul
impnrfirilor efectuate.
Acest fapt
permite
simplificarea
sau
inmulfirea
acestora
cu
elemente
din
corpul
K
pentm
ca
impAr,tirile
sA fie mai
comode.
Astfel,
girul
anterior
poate
fi
scris:
f,g,rr
=x2
-2X+1,
12
=ffi,fg =0.
Demonstratie
AplicAnd algoritmul
lui Euclid se obtine
sirul
de egalit6"fi:
f=g.gr*rr
(1)
g= e2+r2
(2)
f1
=
f2Q3
* 13
(3)
rl
=f
-SQr
=cr1f
+Btg,
(1')
(l')
rz
=
E-rtq.z
=
a.2f
+929,
(2')
{z',)
13
=
rt
-
rzQs
=
cr3f
+
FsS'
(3')
fk
=
fk+rgk
+2
*
fk+z
(k)
tn.2= fn-tQn *fn
=rrr*tqr,
+d
(n-2)
Prin inlocuire
din aproape
in aproape
se
obtin€ 1L
-
crs +
B1g,
(k'),
qi
in
final
d
=
fn
-
crn f
+
Fr,
.9.
LuAnd 1r
=
ctn,
v
=
Fr'
teorema
este
demonstratd. I
131
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 128/324
Alcebrd
r
lll.
lnele
de
polinoame
ll9
.Exernlrlu
.pentru
f,
g
e,C[X],
f
=
Xa
*3X3
+X2
-3X+4,
g
=
X3
*1,
din
problema
rezolvata,
rezulta ca
d
=
3(x-1)
=
f (-x-2)*g (t' -"-
5)
*
pEFrr{rTrE
r
Fie f,
g
e
K[X].
Un
polinorn m e n[X]
se
nurneqte
un
cel mai
mic
multiplu
comun
al
poiinoarnelor f
si
$
daca:
1.
f
lm
qi glm
(mestemultiplucorrlunpentmf
qig);
2.
oricare
ar
fi
mt
e
K[X],
multiplu
comun
pentru
f
ei
g
rezultd
-l*t'
Pentru
un cel
mai
mic
rnultiplu
comu"n
al
poiinoamelor
f
qi
g
se
foloseqte
notafia c.m.rn.m.c(f,
g)
sau
[f,g].
Dac5"
f,
g
e
X[X]
sunt
polinoarne nenule
si
m este
un
c.m'm.m'c.(f'
g)'
atunci
oricare
polinom mi
-
fl
este
un c.m.m.m.c.(f'
g).
Se
va
considera
cle
reguli
c5.
poiinomul
[f,g]
este
polinomul
unitar.
Pentru
deterrninarea
[f,
g]
".
foloseqte
relafia:
ttr.
c
0BSERVATIE
.
Se
poate
defini c.m.m.d.c.
multe
polinoame.
Astfel:
(r,
e,
1')
=
((f,
g),
h)
&D6/zrn&r"z'/frete#,
E
Sasedetermine[f,g]
pentn-r
f
=x4-3x3
+x2-3X+4
Qi
g=X3-1.
Solutie
Dinrelafia(11,
f
g-(f,g)
[f,gj,
avAndtu:vedereca
(f,9)
=X-l
se
obfine:
[r,e]
-
("n
*BXB
+x2
-3x++)(x3
-l):(x*1)
=(*n
-3XB
+
+X2
-3X++)(x'z+X+
t)= *u
_
2x5
-X4 -5X3
+ 2X2
+X+4.
si c.m.m"m.c.
pentru trei,
patru
sau
mai
si
[f,
s,
h]=
[[f,
g],
h] etc.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 129/324
EXERCtIil
St
PRoBLEME
EXERSARE
81.
Se
se
arate
ci
polinomul
f
eC[X]
se
dtvtde
cu polinomul
g
e
C[X]
9f
si
se
determtne
citul
impergiiii
lui
flag:
(E
r=x4-xe+x2-
x-4,
g=x+t;
8=X-l;
€)t
=
x7
-
x4
-
BX
+
s,
g
=
(x -
r)z
;
G)
r
=
(zxz
+
x
+ z)2
+
(zx2
-
x
+ z)2
_
.
-2X2,8
=
X2
+
li
Q
r
=
x6 +
(x
*r)o,
g
=
x2
-
x
+r.
/7,
(?.'
tn
rc
aratc
ci
poltnomut
f
e
Zo
[X]
ao
dtvldc
cu
poltnomul
geZn[XJ,
in cazurllc;
6)t=
xa
+x2
+
i,
g
=
x2
+x-
2,
P=9i
b)
f
=
xa
+ 6:12
+ 4x-i,
g
=
x+
6,
P=5;
c)
f
=
Xo
+ X6
*
6Xa
-
iXs
+ Xa
-
-ix+2,g=x'+x-S,p*6.
ES.
Sn
se
detcrmlne
c.m.rn.d.c.
al
poll-
noamelor
f,
gef
[X]:
a)
f
=X2-2x,g=Xe-zx-4,
K=C;
b)
f
=
XG
-1,
8=Xs
+X2
+X+1,
K=Q;
APROFUNDARE
Al.
SA
se
determine
a,
b
e K
pentru
care polinomul
f
eK[X]
se
divide
cu
pollnomut
g
e
K[X],
in
cazurile:
a)
f
=iX2
+aX+
2,
g=*+a,
K=Zsi
Q5r
=
xa
+ xs
+
ax
+
i,
g
=
2x
*
i,
K=Zsi
Gl
t
=xa
+ 4x3
+
3x2
-:
4x
-
4,
?=xs
-2x2
-sx+o,
r=p;
,d)
f=
X4
-6112
+Q,
g=X2
+4,
K=Zsi
e)
f
=X6+X5+0X+i,g=X"
-y.2+
+x+i,
K=Is.
84,
SA
se
determlne
parametrul
m
e K
pontru
care pollnomul
f
eK[X]
se
dtvtde
cu
poltnomul
gle
n[XJ:
a)
f
=xs
+ mxz
+ 4,
g
=
X-2,K=q;
b)
f
=
x4
+ mxe
+(m-t), g
=
2x+
3,
K*P;
c)
f
=Xa+Xs+mX+m,
g=X+0,
K*Zsi
d)
f
*x{+(rn*i)x+6m+6,
g=x-6,K*zs.
85.
Sd
se
determine
c.m"m.m.c.
pentru
pollnoarnele
f,
g
e
K[X]
:
a)
f
=X2*l,S=X2*X,K=e;
b)
f
=X2+1,
€=X?*lX,
K=e;
c)
f
*
Xa
+X2
+1,
6*
Xs
+X2
+X,
Kee;
d)
f=X2+X+i,
g=Xa+0,
K=1r.
'51)t=xa+x3+aX2+x+b.
g=x2+i,K=2r;
d)
f
=
X5
+ Xs
+aX2
+
i,
E =Xz
+
a,
K=Zsi
e)
f
=
Xa
+aX2
+
i,
g
=
X,
+ bX
+i,
K=Zg.
_\s\s
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 130/324
r
lll. lnele
da
polinoame
A2. Fie
f
e in[X],
f
=
X2
+
2X
+
m.
Si
se
determine
m
e
Q
pentru
care
poll-
nomul
e€n[x],
g=f(x2+2x)
se
divide
cu f.
(IJniu.
Tehnicd.
Cluj-N
opoca,
20
OO)
A3. Pentru
n
e
N'
se consideri polinoa-
mele
f
=
x(x
*
t)t'*t
+ (m
-
t)xn
e
e
n[x],
E
=X2
+X+1ea[x].
DaeA
nn*{memlf
flviztbficug}
pt
s*
* I **,
ntuncl:
meM
a)6*l;
blS=21
c)9*Si
d)
8*4; e)
8*5.
[{SE
Bucureptl,
2006)
44.
g[
ce
determlne
m
e R
gtllnd
ci
pollnomul
f
en[x],f
*Xe*SmXa+
+q(mz
+r'lx-ms
-B
se divldc
eu
\/
6*x-r€n[x].
S6
se deternulne
a,
b, c
e
O,
ngtfel
lneit
polinomul
f
e A
[X]
sA se
divtdd
cu
g
e
,e
[X]
:
*'a)
f
*
X4
*3Xo
+ bX2
+ aX
+ b,
g=x2-1:
'*
b)
f
=
ax3
+
bx2
-
z}x+tez,
8=x2-bx+6;
c) f
=ax3+bXz
-BZX+l4,
€
=
X2
+X- 2;
d)
f
=Xa+aX?+iXz+b,
g=X2-i;
'
e)
f
=
Xa
+
axa
-bxz -cX+
g,
e=(x-t)(x
-bx+e);
0
f
=
x5
*ax4
-
zxs
-bx2
-
gx+
*Q1$=X3+1.
A6.
Sn
se
determlne pollnoamele
f
e
e
,C
[x]
de
gradul
3,
gtiind
ci se
divld
cu
X
+
1,
iar
la
impirfirea
cu
]l-2,
)(-3,
X-4 resturile
sunt
egale.
A?. Fie
f,
g
e
R[X],
f
=
aXs
+
bX2
+
cX
+
+d,
B-3aX2+2bX+c,
aeei.
Se
se demonstreze
ci dacl
pollnomul
f
ee dlvlde
cu
g,
atuncl
f
gt g
eunt
puterl
ale unui
pollnom
de
grad
l.
A8.
Fte f,
gen[x],
f
=Xs*4X8+X+
+m,
I
*
Xt
:7X
+ m.
$fl ac dctcr.
mine
m
e
R
qtltnd
c&
(f,
g)
eate
pollnom
de
grndul
l.
A9,
9e deu
pollnoamelE
f,
BeO[X],
f
=
*X$*x2+ax+b,
B=x9+xP+
+X+1. 9&
Ee
determine
a. beC
pentru
care
pollnomul
(f,
g)
ere
gradul
2
ql
Ef, ae
afle
npot
[f,
g].
AtO.Fte
f,
$eZc[Xl,f
*X$+x2+a,
I
*
Xs + x +
0.
sA se
deternrine:
a) valorile
lui
a
e Zs
pentru
carc
polinomul
(f,
g)
are
gradul
1;
b) c.m"nn.rn.".(f,
g)
pentru,,a,,
deter.
mlnat.
Al
1.SA
se arate
cd
polinomul
r=
(r+
x+
x2 +...
+x")2
-xn
e
e
O[X]
se
divide
cu
g
=
t+
X+
+X2
+...
+
X'-1
e
O[x].
Al2.S[
se arate
ci
polinomut
f
e,C[X]
se
divide
cu
g
€
CI
[X]
,
in
cazurile:
a)
r=(x2+x+r)4"*r+
*(o'
-
x
+
r)4'*r"
€
=
x2
+
1;
$:
134
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 131/324
Algebri
r
lll. lnele
de
polinoame
c)
f
=
(x
-
1)2n+r
-
(-x)"*',
E=xz-x+l;
d) f=1x+t;s"*2+x+2,
8=X2+3X+3.
A19.Se
conslderi
polinomul
f
=
Xm
+
+(x
-
r)-
+
I
e
a[x].
Pentru
ee va-
lorl
m
e
H*
pollnomul
f
oste
dlvl-
zlbll cu
I
=
Xz
-
X
+
I
e
P[x]?
A14. Sn
se determlne
a, b
e
O
gl
pro-
dusul
pollnoamelor
f,
g
e
O[X]
qtt-
ind
ca
(r,g)=
Xz
+2X
it
[f,g]=
=X4+ax3+8X+b.
Al6.Pentru
care
valori
ale
lui n
e
N*
polinoamele
f,8eO[X], f
=X+1,
I =
1+ X
+
X2
+...
+
Xn
sunt
prlme
lntre ele?
A16.9f,
se determlne f,
geP[X],
qti-
lnd ci
f
(-l)- s,
g(O)=
1
9t
(f,
g)=
=
x2
+1,
[f,
g]
=
x4
-gxt
+
gxz
-
-3X
+ 2.
b)
f
=(x-r)"*'+x2'*1,
g=xz
-
x+ l;
O
Descompunerea
polinoamelor
in faetori
ireductihili
6.L.
RldAclnl ale
polinoamelor
Fie
f
e
K[X]
un
polinom nenul.
.8.
DEFIt{lTlF
IoElementul
cxeK
se
numegte
rtdlclni
I
,1o;
=
o.
@
Exetnple
r
Polinomul de
gradul
r, f e
c[x],
W$.W]{are
rtrdicina reprezentati
de numf,rul
comptexW
lPentnrpolinomuldegradulz,feD[X],Nffir5'dlcinilesuntdatede
rormurere:
ffiffi dacd A
=b2
-4ac2
o. respect,"
ffi;ffi$ffi
0"".
Sffiffi*SN
.W
t{
}#ffis'\Y
a<0.
Urmitoarea
teoremi
pune
in
evidenfA o
leg5.tur5.
intre rAdAcinile
unui
polinom
f
e
t<[X]
qi
divizibilitatea
polinoamelor
pe
mulfimea
K[X].
r35
a
polinomului
f
e
K[X]
daca
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 132/324
Algebri
o
lll. lnele
de
polinoame
Dercnsifrilie
a)
Fie
cr e
K
si
x
-
er e
K[xj.
nm
teorema
impdr{irii
cu
rest
rezulta
cA
existd.
h
gi
r
e K[Xj
astfel
incdt
f
*
h'(X
*
")+
r, r
c
K,
(l).
Din
teorerna
restr.rlui trezulta
ca
r
= f
(u)
Si
relatia
(1)
se
scrie
f
=
(X
*
0t.).h +
f
(n),
(2).
Din
relatia
(?)
rezult.A
cA
dac6"
s
este
rAdf,cin&
pentru
f,
atunci
f
(o)
=
g
*i
f
=
(X
*
").h,
deci
f
se
divJde
cu X.:
q.
Recipr-oc,
riacA
f
se
divide
cu
X
*
er,
din
relalia
(2)
se
obtine
eA f
(u)
,=
0.
b)
Dacd.
f
se
divide
cu
g,
atLtnci
existA
h e
K[X],
astfel
incAt
f
=
S,]r.
Rezulta
c&
este
rAdd.cinA
a pclinomului
f.
F
e4d/p*nfrrt4,ga/rlafa/
tr
Fie
f,
ge
'C[X],f
=X3+BX2+aX+b,
g*X2-BX+2.
Sd
se
deter_
mine
a,
b e
,C
pentru
care
poiino-
mul
f
se
divicle
cu
g.
Sd
se
afle
apoi
riddcinile
lui
f.
Solufie
RAdS.cinile
polinomutrui
g
sunt
date
de
ecuatia
x2
*-Bx
+2
=
O.
Se
obtine
xt
=
2,
Xz
=
l-.
Se
impun
conditiile
f
(2)
=
O
qi
f(1)=0.
cu
solutia
p(
rt
b
g
E
Ja+b=-4
[2a+b
=-2O
fa=-16
ln=rz
&
()
+r
m
pi
Se
cu
cu
l-
I
f
{n)
=
e(")
h{cl)=
0,
deci
u
Rezulta
sistemul
136
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 133/324
Algebri
o
lll.
lnele
de
polinoame
se obfine f
=X3+3x2-16x
+r2=("'-sx+z)(x+6),
iar
rida-
cinile
lui f sunt
xL
=
2,
xz
=
L, Xg
=
-6.
5.2.
Redicini
multiple ale
unui
polinom
*
pEFrr{rTil
.Fie
f eK[X]
un
polinom
nenul
si me N*. Elementul
ge
K se
numeqte
ridicini
multipli de ordinul
m
dacd
polinomul
f se divide
cu (x
-
o)-
,
dar nu
se
divide
cu
(x
*
o)**t
.
oNumdrul
m
se numeqte
ordinul
de
multiplicitate
al
rdddcinii
o.
oDacA
m
=
1, rddS"cina
o
se
numeqte
rddAcind.
simpli.
Daci
m
=
2,
3,
... rS"dicina
cr
se nume$te
ridd.cind
dubli,
tripli,
... .
Agadar,
daci
cr
e
K
este rS"ddcind
multipld
de
ordinul
ffi
polinomul
f
se
poate
scrie sub
forma
f
=
(X
-"ff'g,
unde
g
e
K[X]
;i
g(cr)
e K-.
%o6lerun,ryoluald,
tr
Fie fem[X],f=X3+aX+b.
Sdsedetermine
a,belQ,
qtiindcd'
cr
=
I
este rS.ddcin6
dubl5.
pentru
f.
Solutia
I
(metoda
coefi
cienf
ilor
nedetermina .i)
:
Deoarece
c[
=
1
este
raddcina
dub15,
polinomul f
se
divide
cu
(x*o)'.
Avem
f
=(X-1)'(x+c)
=x3
+x2("-z)+x(l
-2c)+c
=X3
+
+aX+b.
Folosind
egalitatea
polinoamelor,
prin identificarea
coeficienfilor
monoamelor
asemenea,
rezultd.:
c=
2,a=L-2c,
b=c,
deci
a
=-3,b=2
si
f
=(X-l)'(x+2).
Rdddcinileiuif
sunt
ctl
=cr2
=1
si ds=-2.
Solutia
2
Dacd.
cr
=
1
este raddcina
dubl5.
a
polinomului
f,
atunci f
se divide
cu (X
-\"
.
EfectuS"m
prin
schema
lui Horner
impdr,tirea
polinomului
f
cu X-1 siacAtuluirezultatcu X-1.
Avem:
t37
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 134/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 135/324
Algobrt
r
lll" lnele de
polinoama
Aceast6
teorernd. a fost
datA
de cdtre
matematicienii
J. L.
DAlembert
':
C. Gauss.
Problema
3
a fost
rezolvatd.. de
matematicienii N. Abel si
A. Ruffini.
3
()BSERVATII
.
Din
teorema fundamentald
a
algebrei
rezultS.
c6. o ecuafie algebrici de
gradul
n
e
F *
cu
coeficien[i
complecpi are exact
n
solulii
complexe.
.
Deoarece
polinomul
f
e
,C[X],
de
gradul
n
€
N*,
are
exact n rddd.cini complexe,
rezulte cd
el nu
poate
lua
valoarea zero
decAt
de n ori.
Astfei, daci
polinomul
se
anuleazd,
de
mai mult
de
n ori,
atunci
el
este
polinom
nul.
&a6/entn,ryoetah,
tr
Fie f
e
,C[X],
cu
proprietatea
cd f(o)=f(a+1),Vcte
,D.
S5.
se
arate cA f este
polinom
constant.
SoLutie
Pentru cx,
=
O,
I,2,
.,., se
ob{ine ca
f
(O)
=
f
(1)
=
f
(2)
=...
.
Notdm a=f(o)=f(1)=... valoarea comund
qi
fie
g=f
-cre
,C[x].
Atunci
0
=
g(O)= g(1)
=
g(2)
=...,
deci
polinomul
g
are
o
infinitate
de
raddcini.
RezultA
cd
el este
polinom
nul
gi
astfel
f
=
s
e
rD.
r39
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 136/324
Algebri
r
lll.
lnele
de
polinoame
5.4. Polinoame ireductibile
in K
[X]
Fie
(K,
+,
')
un
corp comutativ.
{.
DEFmtTtl
.Polinomul
nenul
f e
n[X]
se numeqte
reductibil peste
corpul
K
dacA
existd polinoamele
g,
h
e
X[X]
de
grad
cel
pufin
l,
astfel
incAt
f
=
S.h.
.Un
polinom
f e
n[X]
cu
grad(f)
t
1,
""r"
nu.
este
recluctibil
peste
K,
se
numegte
ireductibil
peste
K.
9
0BSERVATil
L.
orice
polinom
de
gradul
I
din
K[x]
este
polinom
ireductibil peste
K.
2,Dac5"
un
polinom
f
e
K[x],
de
grad
cel
pufin
2
este ireductibil
peste
K,
atunci
el
nu are
rdddcini
in K.
intr-adevar,
dac5.
f ar
avea
erementul
s
e
K
rd.dacin6,
atunci
f
se divi-
de
cu X-o
qi
am
putea
scrie
f
=
(x*").g,
deci
fnu
ar
fi
ireductibii.
3.
Daca
polinomul
f
e
K[xj
are
gradul
2 sau
3
9i
nu admite
rd.dAcini
in
K,
atunci
eI este
polinorn
ireductibil peste
K.
intr-adev5.r, dacd
f
ar
fi
reductibil
peste
K,
atunci el s-ar
scrie
sub
forma
f
=9.h,
unde
g
sau
h ar avea
gradul
l. Dacd
€=aX+b,
atunci
S(-n"-t)=
O
ut
se
contrazice
ipoteza
ca f nu
are rS.cld.cini
in K.
@ Exernole
rPolinomul
f
=X2
-Ze0[X]
esteireductibilpeste
Q.
Dacif
arfireductibilpeste
e,
atunci
eI
ar avea
o rd.dd.cini
cre
Q.
Dar
f(a)=O
conduce
la
s.2
=2,
deci
"
.
{-Jr,Jr}
"er"
ce
nu se
poate.
+
Poiinomul
f
=
x2
-2
e
a[x]
este
reductibil peste
rD
deoarece
r
=
(x-JD)(x+JD).
rPolinomul
f ez.[x],f
=X3-2
e"te
reductibil peste
az
deoarece
f(t)=0
9i
f
=("-i)3,
a"resteireductibilpeste
27,
deoarece
f(a)
+6,V
aez7.
Dupd
cum s-a
obserwat
din exemplele
anterioare,
descompunerea
in
factori
ireductibili
depinde
de
corpui
K in
care
polinomul
are
coeficientii.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 137/324
Algebri
r
lll. lnele de
polinoame
Cazul
K
=
O
Fie
f
e
,C[x] un
polinom nenul
de
grad
n,
11€
N*. Dace
n
>
2,
din
teorema fundamentalS,
a algebrei
rezulti cd
f are
cel
pufin
o rS.d6cinA
cr
e,C, iar din
teorema
lui
Bezout se obfine
cd f se
divide cu
polinomul
9
=
X
-
u e
,D[X].
Aqadar
f nu
este
ireductibil
pentru
n> 2.
in concluzie,
un
polinom
nenul f e
,C[X]
este ireductibit
peste
,D
dacA
si numai
dacd are
gradul
1.
Cazul
K
=
P
Dacd f e Q[X]
este un
polinom
nenul,
el este ireductibil
numai
in
urm6toarele
douA
cazuri:
.
fare
gradul
l;
.
fare
gradul
2
qi
nu are radicini
reale.
RezultA cd orice
polinom
f e
tn[X]
de
grad
n,
n
)
3,
este
polinom
reductibil
peste lQ,
deci
el se
poate
scrie ca
produs de
polinoame de
grad
cel
pu{in
1.
Cazul
K
=
e
Si
K
=
lp,
p
prim
in
ineleie
de
polinoame
,n[X]
gi
Zp[X]
exisffi
polinoame ireductlbile
de orice
grad
n, ne
N*.
De exemplu
f
=X'-2e
rQ[X]
este
ireductibil
peste
tQ.
5.5.
Deseompturere&
polinoamelor in faetori
ireductibili
frernonstrstie
a) Folosim
inducfia
matematicS..
Daci.
n
=
1,
atunci
f
este
ireductibil
peste
adevdratd.
Presupunem
n
>
I gi
cA
afirma{ia
este
polinoame
de
grad
mai rnic
decdt n.
Daci
f
este
K
gi
afirmafia
este
adevd.ratS"
pentru
ireductibil
peste
K,
i4i
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 138/324
Denwstrdre
a) Dacd
u,i
e
,C
este
r6ddcind
a lui f,
atunci
f
se
divide
cu
X-crr,
Algebrd
r
lll. lnele
de
polinoame
atunci
demonstraf.ia
este
incheiatd.
in
caz contnar,
existd
g,
h
e
K[x]
astfel
incat
f
=
S.h
9i
grad(g)
"
tr,
grad(h)
<
n. Din
ipoteza
de
inductie,
poiinoarnele
g
si
h
se
scriu
ca produs
finit
de polinoame ireductibile
peste
K,
deci
f
=
g.h
este produs
de
polinoame
ireductibile
peste
K.
b)
Demonstrafia
r5.m6.ne
temd.
t
Teorerna
anterioarS.
dernonstreazd.
numai
existenta
si
unicitatea
descompunerii
in
produs
de
polinoarne
ireductibile,
dar
nu
oferd.
si
o
modalitate
concretd
de
gdsire
a acesteia.
in
cazul
inelului
D[X]
existA
o
legiturA
directi. intre
descom-
punerea
in
factori
ireductibili
si
rddAcinile
polinornului.
deci
existi
g
e
,O
[Xj
astfel
inc6t
tr
=
(X
-
or
)g.
Deoarece
cr2 este
rAddcind
a
polinomului
f, se
observA uqor
cd
trebuie
sA fie rd.dd.cinh pentnl
g.
Agadar
g
se divide
cu
X
*
cr2.
Rezulti
cd existA
€i
€,0[X]
cu
proprietatea
cA
g=(X*cr2)g1,
iar
f=(X-"r)(X-az)gr.
Se continuS"
rafionamentul
pentru
oe
Si
gr,cra
$i
Sz
etc.,
si
se
obfine
in final
descompunerea
doritd.
b) Dernonstra{ia
rdrndne
ternd.
I
Dacd.
f
e n[X],
atunci
f
poate
f"i
privit
si
ca element
al
inelului
D[X], deci
el
va
avea
rdddcinile
cornplexe
d,1,
crs, ...,
o', e
rC.
pI
rn
cA
da
ht
ne
LIT
cir
rd
g
ffi
St
Pr
Lll
d,
142
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 139/324
Fie
cr1, d.2t ...,
crl
e lQ
rAdAcinile
reale ale
lui f.
Atunci
f se
divide
in
a
[X]
cu
polinomul
g
=
(X
-
or
)*,
(X
-
o,
)-,
...
(X
-
or
)-u
,
unde
rn1,
trr2, ...,
rrlk
€ N*
sunt
multiplicitd{ile
rdd5cinilor
Cr1,
cr2,
...,
cr1.
Rezultd
c6 f se
scrie
sub
forna
f
=€.h,
unde
he
D[x]
gi
h
nu are
rdddcini
reale,
ci
numai
rddS.cini
zk
=
dk + b6i
e
,C
\
lD.
Dar,
se
observA
uqor
ci
dacd
h(tu)=O,
atunci
+i
ft(rr.)=O
Fi
astfel
polinomul
h se
divide
cu
hk
=(x-ru)(*-a)=
x2
-2asx+.fl
+bfl
e
rn[x]"
in concluzie, polinomul
f
e
rn[x]
va
avea
urmdtoarea
descompu-
me
ireductibile:
unde
rilt, m2,
..., 1116,
fI1,
rr2,
...,
np e
N.
qi
a1,
c12,...,
cr1 e
ie
sunt
rddd.-
cinile reale ale
lui
f, iar
polinoamele
X2
+
a"X
+
b",
s
=
{I,2,...,
p}
nu au
rdddcini
reale.
gadhnt?rtzgohta&,
E
..
SA se descornpunA
in factori
ireductibili peste
corpurile
,e,
le,
,C,
potrinoarnele:
a) f
=Xa+X2+1;
b)
f
=
xb
+Xa
-x3
-
x2
-zx*2.
Solufie
a)
Avem f
=
Xa
+2* +t-X2
=(x2
+ t)2
*xz
=(*'+x+r)(x2
-x+r).
Aceasta
este descompunerea
lui f in
factori ireductibili peste
Q
qi
lD.
Peste
corpul
,D
f are
descompunerea
r=(X*r)(*-r')(x-ur)(x-ez),
unde
e
este
o
r6dicind
a
polinomului
X2+X+1,
iar
61,12 sunt
rd-
ddcinile
polinomului
X2
-X+1.
b) Se
observ6
ca
f
(-
t)
=
0,
deci
f se divide
cu X
+
I
.
Folosind
schema
lui Horner
se
ob{ine:
r
=
(X
+ r)(xa
-x2
-2)
=
(x +
r)(x2
+
r)(x,
-
z).
Rezult5
c5.
f
are
urmitoarele
descornpuneri:
.
f
=
(x
+
r)(x2 + r)(x'z
-
2)
neste
e;
.
f
=
(x
+
r)(x2
+
r)(x
-
JZX"
*
Jr)
peste
re;
.
f
=
(x
+r)(x-i)(x+i)(x-JZX". Jt)
peste,D.
143
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 140/324
Algebri
r
lll.
lnele de
polinoame
E
2.
SA
se
determine
c.m.m.d.c.
si c.m.m.m.c. pentru
polinoamele:
f,g.,a[x],f
=
(X-r)("'-r)tx
*z)'
,
g
=
(x,
-BX+
z)(x,
-+).
Solufre
Vom
descompune
in
factori
ireductibili
cele
doud
polinoame.
Avem f
=(x-1)'(x+r)(x
+2)2
ai
g=(x-t)(x-2)(x-2)(x
+2)=
=(x*r)(x-z)2(x+z).
Folosind
descompunerile
in
factori
ireductibili
se
ob{ine:
(f,
g)
=
(X
-
1)(X
+
2)
(se
aleg
factorii
ireductibili
comuni
la
puterea
cea
mai
mici),
iar
[f,
C]
=
(X
-
1)'(x
+
r)(x
_
2)'
(x+
z)2
(se
aleg
factorii
comuni
qi
necomuni la
puterea
cea mai rnare).
RETINEM
Daci
polinoarnele
f,
g
e
n[X]
sunt descornpuse
in
produse
de
factori
ireductibiii, atunci:
'
(f,S)
este
produsul
factorilor
ireductibili
comuni,
luafi la
pu-
terea
cea mai micA;
.
[f,g]
este
prodtlsul
factorilor
ireductibili
comuni
sau
necom.uni,
lua{i la
puterea
cea
mai
mare.
EXEfiCITII
SI
PHOBI.EME
EXERSARE
Dl"
S&
se
determine
care dintre
ele-
mentele
specificate
sunt ri.dicini
ale
polinornului
f:
a)
f
=x3-sxz+ze0[x],
o.{r,i,r+J5};
b)
f=xs-x4+Xs+xs-x+Le
e
c[x],
".
{-t,
,.*}'
c)
f
=X6+6e27[X],
r *
ii,
A,
6" A, A, 61"
Si se determine
pentru
pollnomul
f
e
n[X] ridicinile
gi
ordlnul
de
multiplicltate
al
acestora;
a]
f
=
x2
(x
-
r)u
{zx
-
r)a;
b)
r
=
*'(o'-
x;"
(x'-
r)',
c)
r
= (x2
-*-r)'
("*,
-sx
+
r)s
.
'(*'
-
')'
.
83.
Sn
se
determine
a,
b
e
In
astfel
incit
pollnomul
f
e
Zn
[X]
si
admt-
te
redeelnlle
lndlcate
pl
sd
se afle
apol
celelalte
rd.diclnl
ale lul
f:
a) f=X3+x2+a,p=3,o=A;
b) f
=
Xa
+aX2
+i,
p
=
5,
a=
6;
c)
f*Xa
+dxz
+aX+b,p=8,
".
{i,
i}.
E2.
144
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 141/324
Algebri
e
lll.
lnele de
polinorme
E4.
Se
se
arate
ci
Pollnomul
f
e
K[X]
admite
rldicina
dubli
tndlcati
9t
apol
sl
se
alle
celelalte
ridicinl
ale
lul f:
a) f
=
Xg
-3X+
2, K
=Q,
cr
=
l;
b) f
=
x4
-
6x3
+
13x2
-L2x+
4,
t(=Q,61,=2;
c)
f
=
Xa
-2ixs
-6x2
+
8ix+
4,
K=C,
q=i;
d)
f
=x4-x3+3xs
-Ox+?,
fi
=lg,
a
=4.
Si
se
descomPuni
in
factori
lre-
ducttbili
polinoamele:
a)
f
=Xa-sxs
+2X2
en[x];
b)
f
=x6-1ee[x];
c)
f
=x6-xee[x];
d)
f
=Xa+3X2+aeO[x];
e)
f
=X2+iez2[x];
0
f
=
xs +4x2
+2
ezTlxft
€)
f
=x3+X2+X+iezs[x].
Fie
f eC[x],
f
=
X4
+(m+r.)xs
-
-X2
+
mX
+
n
-
1.
Sn
se
determlne
ridicinile
polinomulul
f'
gtllnd ci
o1=-l
9i
dz=-2
sunt
ridicinl
ale
acestuia.
Se
se
determlne
c.m.m.d.c.
9l
c.m.m.m.c.
al
Polinoamelor:
a) f
=
(x-
1)"
(x+
r)4
(x
-z)(x+
s),
s
=
(xt
-
r)'{x
+
r)5
(x2
-
e),
f,
g
e
a[x];
b)
f
=
(x
-
i)"
1x
+
i;2 (x
+
1)2,
g
=
(*'
+r)2
(x2
-t),
t,
g
€
o[x];
c)
f
=
xG
-1,
g=xe
*L
f,
gea[x].
E6.
D7,
APROFT'NDARE
A1.
Sn
se
determine
ridiclnile
polino-
mutui
f in
condi$iile
date:
a)
f
e
n[x],
r
=
(z+
Jd)*"
+
3x2
+
*
(r
*
zJd)x
+
3.F,
gtitnd
ci
are
o
ridicini
rafionali;
b)
f eC[x],
f
=ars
+(i+5)x2
-2lx+
+3(-1-i),
s,tiind
c[
are
o ridiclni
reali;
c)
f
ee[X],f
=(1+zt)xz+
+(Zm
-
f)x
-
(3
+
mi),
daci
m
e
D
gl
f
are
o
rldiclni
reali;
d) f eO[x],f
=x3+(o+r)x'-
-3X-m-i,
daci
meP
9lf
areo
rldicint
reali.
A2.
SA
se
determine
a
e e
gtflnd
ci
polinomul f €C[X]
admlte
ridi'
clni
reale duble:
'
a)
f
=
(x
-1)(x
+
z)(x
-a);
b)
f
=
(x+
r)(x
-
3)(x-
a)(x-
ea);
c) r
=
(x2
-
t)'
-
(x'
o.)'
.
Alt.
Si
se
rezolve
ecuafiile
in
O
gtilnd
ci
au
soluflile
indicate:
-
a) xg
-3x2
+
x+2=
0, x1
=2;
b)
xa
-
zxs
+4x2
-2x+3=o,
Xl=lrXZ--i;
c) za-\za+22
+4=O,zr=2
solu'
fte
dubli;
dl z6
-24
-
422 +72
-9
=
o, 2l
=l
solufle
triPlt.
A4.
St
se
deibrmlne
rtr
e
Q
Pentru
care
polinomul
f ee[x],f
=X4-
-mxs
+
X2 +m
+l
are
ridlcint
r45
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 142/324
dubli
a
-
2.
S[
se
afle
apol cele-
lalte r$diclnl ale
pollnornulul.
A5.
Sn
se alle ridrlclnlle
pollnomulul
f
eO[x], f
=X6-xa+axs+bX+c
gttind
ci are
ridicina tripli
a
=
1.
A6. Se se determlne
a
e Q
qtiind
ci
polinomul
f
e n[X]
are
ridlclni
reali dubli:
a)
f=X3-bX2+8X+a;
b) f= xs
-2x2
+aX+8;
c)
f
=X3+aX2+7X-3,,
A?.
Sn
se determlne pararnetrii gtiind
c[
polinomul
f
eA[X]
are
o
ridi-
clni
trlpli.
Si
se descompuni
apoi
in
factori
iredr.lctibtlt
polinornul
f:
a)
f
=X3-ox2+aX+b;
b)
f=X3+aX2+3X+b;
c)
f
=
Xa
-5X3
+
9X2
+bX+
a"
lfA.
Sn
se deterrrrine a
e Zs
Xrcntru
care
pollnomul f
e
z3
[x],
f
=
Xs +aXz
+
*/"*2iX+a are trel rddiclni in
l,
ls.
A9.
Se
consideri
polinomul
f
=
X2o
-
-4xn+r
+ Exn
-
4x
+
a
e D[x].
Daci
cl,
=
2
este ridicini a lul f, sE
se determine ordlnul s&u de
mul-
ttplicttate.
A1O.
Si
se
determlne
f
e
Zn
[X]
ae
gra-
dul 4,
gtitnd
ci x
=
A
este
ridi-
ctni
tripli
in cazurlle
p
e
{2,
S}.
A .L.Si
se determine
pollnoamele
lre-
duetibile
L
eZs[X],
f
=
aXs
+bX+
+2.
A12.
S[ se determlne
pollnoarnele
de
gradul
4 lreductlblle in
Z2
[X].
A13.Se se alle valoarea
parametrului,,a"
pentru
care
polinomul
f
e Zn
[X]
este ireductibil:
a) r
=
Dxs
+
(a
+
0)x+ i,
p
=
s;
b)
f=X6+aX+6,p=7;
c)
f
=
xa
+ax2
+(" +i)x+0,
p
=
5.
A14. S[
se
descompuni
in faetori ireduc-
tibllt
polinoarnele:
a)
f
=X8+X4+rea[X];
b)
f
=x8-i,ez2[xl;
c)
f
=xe-iez"[x].
AlS.Fte
f
=
Xs
+bXz
+cX+a e
Q[X],
astfel
incit
a, b, c
e
Z
qi
ab
+
ac
este numir
irnpar.
Si
se
arate ci f
este ireductibil
peste
Z.
A16"Se se
arate ci
polinomul:
f
=
(x
-
t)(x
-
2)(x
-
3)
-
r
e
0[x]
este
polinom
lreductibil
peste
Z.
AlT.Fle
p
numir
prlm"
Si
se descom-
puni
in
factori
lreductibili
poll-
nomul
f
=XP+aern[x]"
At8.Sn se arate
ci
polinomul
f
e
a[X],
f
=
(x
-
1)'(x
-2)'
.... .(x
*
n)n
+
1
este ireductlbll
peste
Z.
A19.Se
conslderi
pollnornul
f
en[X]
astfel
incer
f
(r)
+
i(z)
+...
+
i1n;
=
=
n3,
V
n
e
N*. S[
ae
deterrnlne
rid[cinlle
polinomului
f
ql
si
se
descompun6
in factori lreductibili
peste
Q.
A2O. Se
se
determine
f
e
A
[X]
qi
si
se
descompuni in factori,
gtiind
ci
(x+ s)i(x)
=
(x-r)i(x+
1),
v
x
e
Q.
L46
Algebr&
r
lll, lnsla
da
polinoamo
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 143/324
Algobrl
r
lll, lnele ds
polinoame
A2l.Fte
f
e
z6
[X],
f
=
Xa
+
mxo
+ix?
+
+ix+i.
Pacl
A={me26
|
fare
doui r[diclnl distlncte in
Zs]
;t
r={me
zr
lE=f
+3x+ia""
ridlcini tripli in
Z6]
atunci:
i) a)
e.
{0,
i}r b) A.
{i,
4};
c)
Ac{i,
D}; d)
Ac{0,6};
e)
Ac{6,8}.
it)
a)
B
=
{i};
u) n
=
{i,
4};
c)
B
=
{2,
6};
d) B
=
{i,
0};
e)
a
=
{i}.
(ASE,
Bucureqti,
iulie,
2OOO)
O
Relaliitetui
vidre
Fie f e,D[x],
f
=
aoX2
+
a1X
+
a2 un
polinom
de
gradul
al
doilea.
Dac6"
zy,
z2
etD
sunt rS"dicinile
polinomului
f,
atunci
acesta are
descompunerea
in factori ireductibili:
f
=40(x-2,)(x
-22),
$).
EfectuS.nd
produsul
in
relafia
(1)
obtinem c5:
f
=
aoX2
*ao(zt
+ r-r)x+ aszp2,
t?l.
Din identificarea cetror
d.ouA
exprimAri
ale
polinornului
f
otltinem
rela .iile
intre
rSdAcinile
qi
coeficienfii
acestuia:
Iar
lz1
+22=--
Ito
I'
lrr't,
=uz
lao
(relatiile
lui
Vi€te
pentru
polinomul
de
gradul
2).
. in
mod
analog,
pentru
un
polinom
de
gradul
trei,
f
e,D[X],
f
=
aoX3 +a1X2
+a2X*o3,
€lv€rn
descompunerea in
factori
ireductibili
f
=
ao
(X
-
z1)
(X
*
,z)(X
-
zs),
unde 21, 22,
zs elC
sunt rd.dicinile
poiinomului.
Din egalitatea
aeX3
+a1X2
+a2X*a'B
=
ao(X-rt)(X
-zr)(X-zt)
se ob{ine
cA
asXs
+a1X2
+a2X*o.3
=aoX3
*ao(zr*22*2")X2
+
+as(zp2
+
zrzs
+
zzzy\x-aozrzrzs,
(31.
t47
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 144/324
Din
identificarea
coeficien{ilor
se
obtin
relafiile:
3.t
Zt+zZ+ZS----r-
ao
Ztz2+2123*z2zg
3.o
Z1Z2Z.4
=
--:l
a6
lui
Vi0te pentru
polinomul
de
gradul
B.
Mai
general,
procedand
in
mod
analog
pentrlt
un
polinom
f
e
,C[X],
f
=
aoXt
+
alx^*l
+...
+ an-lx
+
ar'
a6
e
rC*,
cu
rdd6cinile
z:.,
22,
..., zn
I
tC,
se
obtin
relafiile
lui
Viete:
r
lSt
=Zl
+22+...*Zn=-Ol
lao
I
ls2
=
zrz2
*
z1z3
+...
+
zlzn
*
z2zg *
I
I
=^2
a6
,
numite
relatiile
do
...+Zn-lzn=----2
ao
{s)
3y
=
2,12p"..7"y
+
Zp.g...fk*t
4'
...
*.Zri*k*l
"
""..Ln_]
.Zri
: (*l)"
g-L
d.o
sn
=
2122...r"
=
(-1)"
3
o
Dupa
cum
se
obserua,
suma
sk
este
slrma
tuturor
produselor
a k
dintre
rd.ddcinile
polinomului
f.
Rezultd
cd
suma
sk
are
c| termeni.
3
OBSERVATII
1.
Pentm
ecuatia algebricd
i1x;= O soiufiile
zt,
22,
...,
zn
sunt
reda_
,
:ii:l-:-p.linomului
f
si,
astfel,
ele
verificd.
acelaqi
sistem
de
relafii
ale
.
..
,lni
Viete.
'
L.
Relatiile
lui
vi6te
se
pot
scrie
pentru
un
polinom
f
e K[x],
de
gradul
n
e R*,
care
are
toate
cele
n rddicini
o(1,
*2,
...,
on
in
corpul
K. in
caz
contrar,
nu
se
pot
scrie
relatiile
lui
Vi6te.
Astfei,
polinomul
f
e
,a[x],
f
=
Xn
-2,
n>
2,
nu
are
nici
o radacini
in
'Q,
deci
nu
putem
scrie
sistemul
(s)
de
relafii
ale
lui
viete.
t48
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 145/324
o
lll.
lnele
de
polinoame
,il//reer,
a,h,
u,ta,fill,h,
tui,
"//dila,
L.
Relafiile
lui
Viete
se
dovedesc
polinom
f e
,C[X],
in
cazul
cAnd
suplimentare.
%&lzrn&,&rohtald,
tr
Sa
se
rezolve
in
o
ecuafi
a
z3
-
z2
-
z
*2
=
o,
gtiind
cd
dou6.
dintre
solufiile
sale
verificd
relatia
21*
22
=
* .
Salrqfre
Din prima
rela{ie
a
lui
Viete,
zr*22*zs=
se
obfine
zs
=L_21_22
=
=I-(zr
+
zr)
=
2.
Consider6nd
polinornul
f
e
A[X],
f
=
X3
_X2
_X_2,
care
are
rd.dacina
2,
ob{inem
cu ajutoml
schemei
lui
Homer
descompunerea:
r=(X
-2)(x,
+x+t).
Rezulta
c6 ecuafia
algebricd
atasata
se
scrie
sub
forma:
(t
-Z)(tz
+
,+
t)
=
O
gi
are
solufiile
zs
=
2,
zL,z
=-l
tjlF
.
2
2.
Dac6
sunt
cunoscute
solutiile
unei
ecua{ii
algebrice
de
gradul
n
€
N*,
21,
,-2,
...,
zn,atunci
se
cunosc
"rr*.t.:;,
;;,
.
,
s,,
si
ecuafia
se
poate
scrie
sub
forma:
zn
-
slzn-r
*
s2zn-2
-...
+
(-r)"
sr,
=
o,
(l).
gaihm?t.ogalwlz
tr
1.
sa
se scrie
ecuaf.ia
de
gradur
3 cu
coeficienfi
complecqi,
are
solufiile
z1
-
l,
,z
=
i,
zg
=
I
-
i.
Solufte
Avem
st
=
zt
*22
*23
=2,
s2
=
z1z2
* z2zg
+ztzs
=2+i,
sg
=
z1z2zg
=
=
I
+
i.
AvAnd
in
vedere
relafia
(1),
oblinem
ecuatia:
z3
*zz2
+
(z +
i)z
*
(t+
i)
=
6.
tr
2.
Fie
f
e,D[X],f
=X3+X+l
cu
rdddcinile
x1,x2,x3e
().
Si
se
scrie
polinomul
unitar
de
gradul
B care
are
radicinile:
Yt
=1*Xt,
yz
=1+x2,
y3
=l+x3.
utile
in
aflarea
r5dAcinilor
unui
aceste
rddAcini
verificd
relatii
t49
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 146/324
r
lll"
lnela
do
polinoame
Solufis
J
Polinomul
cAutat
este g
=
X3
_
ur'X2
+
s2'X
_
sg,,
unde:
$l'
=
yl
+yr
+
ys
=
3+(x1
+x2
+xs)
=
B+s1
s2'
=
YtVz+
YrYs
+
yzye
=
(1+*,)(I**r)+(i+xr)(r+x3)+(1+x2
i
.(i+xu)
=3+2(xr
+x2
+x3)+x1x2
*x1x3
*X2X3
=3+2s1+s2
ss'
=
yryzys
=
(1+x,)(t+xr)(t**r)=
I+(xi
+x2
+xs)+
+(xrx2
+xrx3
+x2x3)+xrx2x3
=I+s1
+s2
+s3,
unde
51,
s2,
s3
sunt
da--:
de
rela{iile
lui
Vi€te
pentru
polinomul
f.
Rezult6
sr
=
0,
s2
=
1,
53
=
-l
qi
se
obtine
sr'
=
3, s2,
=
4, sa'
=
1.
Polinomul
cdutat
este
g
=
X3
_
SX2
+
4X
_
1.
Solufia
2
Din
relatiile
date
se
obfine:
Xt
=
Yt -L,
XZ
=yZ
-1,
X3
=
yg
-1.
Cu
substitutia
x
-
y*1,
ecua(ia
f(x)
=
O ata$at6
polinomului
f s:
transforma
astfel:
(v
-
i)t
*
(y
-
r)
+
I
=
o,
care
adusa
ia
forrna
cea
ma:
sirnpla
devine:
ys
-
By2
+
4y
-1 =
o.
Rezult6
ca
polinomur
g
care
arr
ataqatd
aceastA
ecuafie
este
g
=
X3
*
SXz +
4X
_
1.
E
3"
Sa
se
rezolve
in
,C
sistemele
de
ecuafii:
f"*n
*z=r
f**uy
*a2z=a3
a)
J*2
+y2
+22
=3:
U)
j"+by+
b2z=b3,
a,
b,
ce
,D
distincte.
f*t
*
ys
+zs
=r
l*n"y
+c2z=c3
Solutie
a)
considerdm
numerele
x,
y,
ze
,c
ca
ridd.cini
ale
unui
polinom
f
de
gradul 3.
Rezultd
cd
f =X3-srX2+s2X_s3,
uflde
s1 =
x+jrrz=I,
s2
=
)qF
+
ttz
+
zx
si
sg
=
xyz.
Din
relatia
x2
+y2
+""
=(*+y+z)2
-2(*v+yz+zx)
se
ob{ine
ca
3=1-2sr,
adicd
s2
=-1.
Deoarece
x,y,
z
sunt
rdd'cini
ale
polinomului
f,
obtinem:
,n3*srx2+s2x-s3
=o
y3
-
"ryz
-f
szy
-
53
=
C)
u3
-sr"z
+s2z-sg
=
o
150
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 147/324
Prin
adunarea
acestor
egalitA{i
se
obfine:
*3
*
yB
+
ze
-*,
(*'
+y2
+
t2)+r2("
*
y
+
z)-3su
=
g,
Av6nd
in
vedere
sistemul
dat
rezult6
cd
su
=
-1.
Apadar,
f
=
X3
-X2 -X+t
=
X'(X-1)*(X-t)=(X-1)(*,
-t)
qi
are
r6.dAcinile
x,
=
1, X2
=
1,
xg
=
*1.
Obfinem
cA
x=1,
y
=I,z=-l
sau
x=1,
y
=-I,z=I
5111
X=-1,
Y
=I,
z=L
b)
Considerd.m
polinomul
f
e
,C[X],
f
=
X3
-rX2
-
yX
-x.
Avem
f
(a)=
O,
f
(b)=
0,
f
(c)=
O,
deci
a,
b,
c sunt
rddicinile
poli-
nomului
f.
Din relafiile
lui
Viete
pentru
f, obtinem:
a+b+
c=2,
ab+bc*?.c=_y,
abc=x
$i
astfel
sistemul
are
solutia
x
=
abc,
y
=
-(ab+
bc+
ac),
z= a
+b+
c.
EXERCtIil
$t
PBoBLEME
EXERSARE
@r
=
3xo
+
zxz
-t8x
+
8,
21
+
*z'2e-$i
=58.3
-27x2
+7x+15,
z1
.zz=5i
f
=
X8
-Z){z
+
4X
+ 12,
z1
=
gzzi
f
=
X9
-
lOX2
+ZZI--
lg, zs
=
=
2zrzzi
@r
=
x4
-x2
+
l2X
-316,,
z1z2
+
+ zgz4
=
O.
84.
Se consideri
polinomul
f
eC[X],
f=X3-BXz+X+B gi
z1t
z2t zs
€
e
O
ridicinile
sale.
Sise calculeze:
@
ri
+zf+zl;
@"i
+"1+zl;
./\l 1 f
(.cy
-
Zt22zg
_. I I r
"'
t*e*et
el
zlr22-"3.
I+ z1
l+
z2
L+
zs
El.
S& se
scrle
relafllle
lul
Vt€te
pentru
polinoamele
f
e
C[X]:
Ql,r=xs-3x2+4x-lo;
ff/,
=x4
-
sx
+ r:
c)
f
=X5-t;
d).f
=
gxs
-
Xa
+2;
$t
=(x
-
r)(x
-
z)(x
-
s);
d)
f
=(*r-*+r)(x+z).
E2.
Si
se
arate
ei
polinomul
f
e Zn
[X]
are
toate
r&dicinile
in
Zn
gl
si
se
scrie
relagiile
lui
Vr6te
pentru
aqesta:
@x=xa+i
et.2[x]:
fft=x3+iez3[x]:
'c)
f
=X5+iezs[x];
d)
f
=x3-x2+X+iezs[x].
83.
St
se
determlne
ridicinile
potino-
mului
f
eO[X],
gtiind
ci
are
loc
relafia
specifleatd:
15I
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 148/324
Algebri
r
lll.
lnele
de
polinoame
ljo.
E6.
S[
se rezolve
in
,C
ecuafille,
gtttnd
cf,
au
loc
relafiile
datel
al
zg
*fii22
-az*12=O,
z1+22=zgi
b)
zs
-
I-l:z2
+
az
-
36
=
O,
zr
=
zzzal
cl
zs
-1222
+az-6O
=O,
zt+zs=
*
2zs,
Se eonsideri
pollnomul
f
eO[X],
f
=
1+
X
-
2X2
+
X3
eu
ridisinite
z1r
z2t
23.
Si
se forrneze polinoa-
mele care
au ridicinile:
a)
Yr
=
L- z.1,
Yz
=L-
z.2,
yg
=
l- zg;
G)
yl
=
22*
zg;
YZ =
2r#
zgt
lg
=
=
zt
-t
zZi
C)
yf
=
z2zg,
yZ
=
z1Zgt
y"
=
z1z2i
..
111
<U
Yr=
,Yz
=-,Ys=
2122-2s
S7.
Fte
f
e Z6
[X],
f
=
X4
+
X2
+ i. oace
G,1r
o2,031tr4
€
Zg
sunt
ridicinile
polinomului
f,
sn se
calcuteze:
ffi
"?
+a22+a +cr2a;
b)
cir
+
o,lt +
cr;r
+
cll:
c)
af
+
"fl*ol+of;:
d)
ql
+
cr$
+
o$
+
u,f, n
e N*.
E8.
Se sonsideri
ecuafia
xa*B*-6x-
^2
=
O in
rll,
cu
solufiile
x1t
r.2,
x3, x4
erC
gi
S=--1-*-f-+
1+x1
1+x2
11 + -
.
Atunci:
l+xg
1+x4
a)
S=2;
b)
s=-2;
c)
S=O;
d)
S=1..
fUniu.
Ttcnsiluonia,
Brrrsrrw,
ZOOO)
41.
Daci
x1,
xa,
&
€O
sunt
rAdicinile
poli-
nomului
f
=
X3
-ZXz
+
ZX
+LZ
e
1",
x.2
xal
e
C
[x]
9i
A
=
lx,
xs
x1l, atunct;
l*"
x1
*rl
a)
A=0;
b)
A=4;
c)
A=l;
d)
A=2"
(Univ.
Tyo;nsilu
o;nia,
Bra.son,
Z O
A
O)
A2.
SA
se
determine
ridd.cinile
polino-
rnului
f
e
A
[X],
qtiind
c6
ridd.ci,
nile
sale
verilici
relafia
datd,:
a)
f
=X3+mx2
-4X+/*,21+zz=O;
b)
f
=X3
+2X2
+aX+2, 21
+z,2=-g;
c)
f
=X3
-zJ(z
+aX+6,zyz2=3;
d)
f
=
xs
-
Bx2
-
4X
+
d,
Zz1
=
Bzzi
e)
f
=
xs
-(a
+
z)xz
+
(za+
r)x-a,
322
z\
22
zg
A3.
56
se
rezolve
ecuagiile
in
O,
gtllnd
ci au
solufiile
in
progresie
aritme-
tic6,pentrumeD:
al
x3-6x2+mx-2=O;
b)
z3-3lm22+62-4=0;
cl za
-102s
+ mzz
-doz+24=o:
d)
z5
-
20,za
+
azL
+bz*
c
=
o.
SE
se
rezolve
in
mullimea
O
ecua-
fiile
stiind
ci
au
solutiile
in
progresie
geometrici,
pentru
mel):
a) x3-nrx2-6x+2?=O;
Elju""
-
Boxs
+
3Ex2
+
mx
+ 2
=
o;
c) xa
*
l4xo
+ s6x
+ m_=
0.
Se considerd
polinomul
f
eO[X],
f
=
aX3
+
bXz'+
cX
+ d, astfe
nc6t
a, b,
c, d
e
Q*
sunt
in
progresie
geometric[
cu
rafia
e
e (O, +
-)
.
Sd. se
calculeze
Sr,
=
xl
+
x|
+
x$.
APROFUNDART
I
il
l
i$
.tr1k
h+.
A5.
fJ
f
=
Xa
-
8Xs
+
12l{+
a,z1z2
=
zsz4.
fr
\)"\E.
L52
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 149/324
'-.jw
Algebri
c
lll. lnele
de
polinoame
l\6.
Fie
f
=X3+aX+beO[x]
cur6di-
cinile
x1q
x2r x3
e
rC"
Si
se
arate
ci
dacd
a,
b
e I,
atunci:
xf
+xfi
et.,V
neN*.
A7"
9e consideri polinomul
f
=
X3
-
-
rnXz
+ aX
+ m
e CI
[X].
Si se
deter-
mine
a,
rn
e
lQ
qtilnd
ci
rid&clnlle
lui
f veriflci
retatia
of +
af, +
+ufi
=
111s.
S4 se rezolve
in
mulfimea
nurne-
relor
reale
sistemele:
x+ +z*2
*2
+g,2 +22
2< 2
=
-2
$1
(x+y+z=2
t*-
I
\?Ij*'+v2
+22
=6i
[*u*y"+23=B
[x+y*-z=8
oi
i**+y3+z$*8.
l*tnyn+25=B
O
Hezolvarea
scuntiilor
algebrlee
cu
coeficienli
V
i"""*'
-"*r-*-
..-'-.--t-
in
/1,
't),
rQ,
'D
Teorema
lui
Abel-Rufrini
afirma
cd.
pentru
ecua{ia
algebrica
de
grad
n e
N*,
n b
5,
nu
exista
lbrmule
generale
de rezolvare.
Aceasta
face
ca
rezolvarea
unor astfel
cle
ecuafii
sd {ie
<lificilA
in
lipsa
uRor
inforrnafii
suplimentare
asupra
ecuatiei.
De
asemenea,
corpul
in care
ecuatia
are
coeficienfi
poate
conduce
la
ob{inerea
unor
soiufii particulare
si
astfel,
rezolvarea
ecuatiei
s6
fie
redusa
la ecua{ii
algebrice
de
grad
inferior.
7.1,
Ecua{ii
algebrice
cu
coeficienfi
inTL
Fie
aoxn
+
arxt*l +
... +
an_tx
* ar,
=
0,
(l),
ecuafie
algebric6
de
gradul
n
€
N*, cu
coeficien{ii
a6,
ff-1
,
. .
.,
an
e T-,
Pentm
ecuafia
de tipul
{tr)
se
pot
determina
solufiile
din
z
si,e pe
baza
urmdtorului
rezultat:
:=:
=
=
:..
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 150/324
Al0ebrl
r
lll.
lnelo de
polinoame
Demonstratie
a)
Daci
u
e Z
este
solu{ie
pentru
ecua{ie,
rezultA
cA: a6on
*
b)
Daci cr
=
u rn-l
lol
+arl*
|
+.,.+a
\qi
formele:
W'
(*op":t
+
ar
'
po-2q
+ ,.,
't'
&o*rQ*-.l)
*
*#}'
'
O"
P
e
,e
este
q
"_,1".]*
""cl/
r/
/ \n
"oIll
*
\qi
scrie
sub
respectiv,
ffi$'
(*,p"-t
+
azp'*3q
+
"'
+
u'qo)
*
#'
p"'
-F?1cx,n-l*...*or.-1a,*arr=O
sau,altfelscris,,W("oo"-t*..'n".-r)=ffi,
(2)"
Din
relafia
(2)
rezultd.
c5. cr
divid€
4.,.
solutie
a ecuatiei,
rezultA
cA
=
Q,
egalitate
care
se
poate
Deoarece
(p,
q)=
1,
se
eibtine ed
p
divlde
a,,
Ei
q
divide
ao. I
Teorema
oferA
o modalltate
simplA
de
a
detennina
soltlfiile
a e
Z,
respectiv
s
=
P
6,p
ale unei
eeuatii
algebriee eu
eoeficien{i
numere
q
intregi.
Astfel:
r
solutiile
a
e
t-
ale eeua{iei se cautA
printre divizorii
ter:rnenului
liber
ao;
r
solutiile o
=
P
e
,Q,
(p,
Q)
=
1, se caut&
printre
numerele
rationale
q
de forma
,
unde
p
este un
divizor
al
termenului liber
a,r,
iar
q
este
q
un divizor
al
coeficientului
dominant
as.
&aile,n
A,
ir4ahtaln,
Sd
se rezolve
in
mulfimea,C
ecuatiile:
a) xa
-x3
-
5x2
*x-6
=
o;
b) 2x3
+x2
+x-l=O.
Solufie
a)
Cautam
soltrd.iile
intregi
ale ecua{iei
printre
divizorii
lui
6.
Avem:
0u={+1,+2,*3,
t6}.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 151/324
r
lll.
lnele
de
polinoame
AicAtuim
schema
lui
Horner pentru
acesti
divizori:
t
-l
-5 -l
-6
cr=
I
L
O
-5
-6
-Lt
I
c{,
=
I
nu
este
uot,rti.
c{,
--
-l
1
-2
-3
2
-8
T
cr
=
*l
nu
este
*otrrti.
a=-2
1
-3
I
--q
$W'ffif
s.
=
-2
""t"
"or,rti*
.=2
I
-1
-1
-5
,l
cr=2nueste"oi,riie
g=3
I
0
I
ffiffiruW
cr
=
S
este
solutie
Agadar
s-au
gesit
dou6
solutii
intreg
dr
=
-2,02 =
3. RezultA
cA
ecuatia
se
scrle:
(x +
2)(x
*
g)(*'
+ 1)
=
6,
sr
va
avea
solutitle
er1
=
*2,
e"z
=
3, og,
4
=
*1.
b)
ge
ob{ine
uqor
eA
eeuatla
nu
are
rAdAclni
intregi,
Termenul
liber
al
ecuatlei
este
-1
$i
are
multimea
dirrlzorilor
Q-t
=
{*t,
t},
lar
termenul
dominant
este
Z
cu es
*
\^L,
L,
^Z,
Z\,
Numerele
rationale,
eare
nu
$unt
in
z,
ce
pot
fi
solufll,
aparfin
mulfimit
^ ( r
1l
5=(--"-1.
I
2'2)
Se alc6tuie$te
schema
lui
Horner:
2
I
I
-l
I
Cl,
=
--
o
Zl
2
0
i
_g
2
"
=
-
nur
este
solufie
I
C[=-
2
2
2
2
lW
o=] estesolutie
2
Asadar
(*- )b*,
\
2r\
I
C[=-
2
este
solu{ie,
iar
ecuafia
+2x+r)
=
O.
Se
gdsesc
solufiile
poate
fi
scrisd
sub
forma
_
I
11iJ5
CX,r
=*
Sl
Oto
o
=---
2
--
--t'o
2
In
cazul
in
care
termenii
d6,
3r,
eT- au
mulfi
divizori,
apar
prea
multe
fraclii
l.,O
care
trebuie
incercate
dacd
sunt
solulii.
vom
ar5ta
q
unele
modalitdfi practice
de
indepirtare
a LLnora
dintre
aceste
fractii.
155
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 152/324
Algebrl
r
lll.
lnele
de
polinonme
o
Fie f e
O[X],
un
polinom
de
gradul
n e N* cu
coeficienfi
intre$
gi
cr= e
,Q,
(p,q)=l
o
rddAcind asa. Rezultd
cdpolinomul
f este divi-
q
zibilcu 1-P
qi
f
=("
t)
c(x)
sau f
-(qx*p)cr(x),
unde
c1
este
un
polinom
cu
coeficienfi in Z.
Atunci
vom
ob{ine
f (l)
=
(q
-
p)Cr
(t)
si
f
(-
r)
=
(-q
-
p)cr
(-
t).
Deoarece Ct (1), Cr
(*1)
e
f,,
este necesar
ca
p
-
q
sA divida
f (1)
si
p+qsadtvidd
f(*1).
Agadar,
dac6
p
-
q
nu
divide f(1) sau
p
+
q
nu
divide f(*1),
atunci
3
e
Q
nu
este
solutie
a
ecuatiei.
q
ffiillamn,
*galuah,
E
S[
se
rezolve ecuatia 4xa
-Bxs
-
11x2 +
13x
*
3
=
o,
SoIufle
o
CdutAm
solutii
intregi
printre
divizorii lui
3"
Va
rezulta
c€
ecuafia
nu
are
solutii
in
Z.
r
CAutdm
solutii rationale.
Acestea
pot
fi:
p_fl
I
I
I 3 B B
sl
a
"
i5'
-i'V'-Z'
z'-
z'
4'- 4l'
Avem f
=AXa
-BX3 -11X2
+t3X-3
polinomul
asociat
s.
f
(t)
=
-5
si
f
(-l)
=
-15.
inlAtur6m
fracfiile
care
nu
pot
fi solufii:
r(-l)
=
-15
f
(1)=
-5
Se observi cd
au
mai rAmas
de
probat
dac5.
sunt
solu{ii nurn-a.
fractiile
P.
{1.
-1.
q.
-3}.
'
q
12
4 2 2)
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 153/324
Algebr{
r
lll. lnele
de
polinoamo
FAcAnd
proba prin
schema lui
Homer
se
constatA
cA
sunt solutii
o,
=
L,
o"
=
-t
si
se
obline
ecuatia:
("
-;X,.
.
;)(,.'
-
3x
+
,)
=
o.
Rezultd c5.
cr3,4
=
3rJ5
7.2. E,caafii algebrice cu coeficienfi rafionali
Fie
a,
b,
ce
,Q,
astfelincAtb*0, c> O$i
Ge
lF\,Q.
Numerele
reale
de
forma
rl
=
a +
bJc se
numesc
nurnere
irafionale
pitratice.
Numirul irational
patratic
il
=
a
-
bJ; se
numeste
conJugatul
numirulul rl=a+bJc.
Se observ5.
usor
c5.
oricare numir irafionai
pitratic
1l
=
a
+ bJc
se
poate
scrie sub
una
din formele cr +
JB
sal-r
"
-
Jpl,
unde cr,
p
e
,Q,
p
>
O,
JB
e R \,Q, avAnd
in
vedere introducerea
sau
scoaterea
factorilor
de
sub radicali.
Folosind
formutra
binomului
lui Newton, rezultA
c5.
dacd
u
=
a +
J6
este numdr irafional
patratic,
atunci
,r"
=(.*JO)" =a,,
+Jb,,,
unde
a,.,, b,,
e
,Q,
qi
br,
>O,Jb"
"lQ\,Q.
Aqadar u'
este
numar irational
pitratic.
De asemenea se
observd
ca u"
-
an
JU"
=
(,r").
Demonstra,lie
a) Avem succesiv:
f
(;)=
a6 *ai
("-JE)+...+',("-Jb)"
=
&0
*.,
(o,
-JB,
).
*
^2
(o2-
JF;)
+ ..
.
+ .,,
(o,,
-
JB;)
=
do
*
r,
(o,
*
.,.Fi)
*
^r(or.
JB,
)
+ .. . +
-t,,(*".JP")=f
(,4
=0,
deci u
este
radacind. a
polinomului
f.
r57
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 154/324
Algehrf,
"
lll.
lnele
de
h)
Fie
m,
ffit
e
R
ordinele
de
Polinomul
f
se
scrie'
f
=(X*n)*
g(u)* 0, c(rr)*
o.
SA
presupunem
cd m
<
ffi1.
Atunci,
din relafia
(l),
se
ob{ine:
t=(*'-zax
+a2
-o)*.("-u)*'-*.g=(*,
-zax+a2
-n)*.n,
1z).
Folinomul
tr
=
(*
-,r)*'--
.g
e
,A[x]
si
h(u)
=
0. Din
punctul
a) al
teoremei
se
ob{ine
c6 h(u)
=
6, deci
("
*
r)-'"*
.g(r)
=
O. Dar
u
-,1
*
O,
deei este
necesar
ca
g(r)
=
0, in
contradicfie
cr:
g
(u) +
0.
Apadar
nu
se poate
ca
rn <
rn1.
Analog
se arata
cd nu
are
loc inega-
litatea
ffir <
rr . in
concluzie
m
=
mr
si
teorema
este
dernonstrata.
tr
gdadlwr?A,
wga.lm,&A,
H
SA
se rezolve
in
lQ ecuat
a
x3 +2x?
+ax+b=0,
Stiind
cA a,
b e
C
pi
cA adrnite
solu{ia
xr
=
1+
0"
Sotwtie
considenf,m
f e
,Q[x],
f
=
X3
+2x2
+aX+b"
polinomul
f
admite
rdda-
cina
x,
=I+Jd,
deci
conform
teoremei
anterioare
admite
gi
radd.cind
x2=I-Jr.
Din relafiile
lui
Vi€te
se
obfine:
xl +x2
*xs
-
-2
pi
X3
-
-4.
Asadar:
r
=
(*
-
r
+
Jz)(x
-
r
-
Jz)(x
+ 4)
=
=
X3
+
2Ii2
-gX
-
4
qi
se
obfine
cd
a=-9,b=-4.
E
TEMA
pE
STUrltU
Fie
f
e
0[X]
un
pollnom
de
gradul
n
€
N*,
cu
rddiclna
x1
=
Ja
*,8
a,beQi
Fi
J;,JbeD\e.
a)
Si
se
studieze
dac6
numerele
Ja-Jb,
Jb-J;,
-G_Jb
sunt
rEdieisr
ale
polinomului
f.
b)
Care
este
gradul
minlm
al
polinomului
f?
multiplicitate
/
-\m'
(x
-')
'
e,
ale
r6ddcinilor
u
_si
(1),
unde ge
,Q[X]
158
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 155/324
7.3.
EeuaSii
atgebrice
cu
coeficienfi
reali
Demonstratie
(Terna)
c 08sEnvATil
Fie
f
e
'D[x],
un porinom
cu
coeficienti
reali
de
gradur
n
e
R*"
r
Polinomul
f
are
un
num{r
par
de
rfld5cini
z
e
,C
\ lD.
o
Daca
n este
irnpar,
atunci
polinomul
f
are
cel
pufin
o raddcind
real6.
Mai
mult,
nurnfrrul
de
ra.dacini
reale
este
irnpai.
%'d*z,.a'
.wrgp/ntafe,
E
1.
sa
se
rezolve
in
,c
ecualra
z3
*
z2
+z = o,
qtiind
cd. admite
solutia
zt=I+i.
Soluffe
Fie
f
e
,C[X],
f
=
XB
-X2
+2,
polinomul
cu
coeficienfi
reaii
ataqat
ecuatiei
date.
RezultA
cA
f
are
r6ddcina
zL=I+i,
deci
va
avea
qi
ridf,cind
22
=
tr-i.
Din
rela{iile
lui
Vi€te
rezultA
cd,
z,
*
22
*
zs
=
L,
deci
z.
=
*1.
tr
2.
se
se
determine
numerele
reale
a,
b
si
si
se
rezoive
ecuatia
z5
+zza
+223
+
422
+
az
+b
=
o,
gtiind
ca
admite
soiufia
dubli
zr
=
i.
Soluhe
Deoarece
ecuafia
admite
solufia
zr
=
i,
ea
va
adrnite
qi
solu{ia
zs
=
E
=
-i,
solutie
dubta.
Agadar
sunt
cunoscute
sorufiile:
21
=
22
=
i,
23
=
24
=
-i.
Din
rela{ia
lui
Viete
zt
+ 22
+
zs
+
z4.t
z5
=
_2
se
obfine
cd
zs,=
-2.
Asadar
f
=
(X
-i)"
.(x+l)2
.(xor)
=
(x,
*r)2
(x+z).
159
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 156/324
impa(ind
polinomul
f
prin
X2
+
I
(sau
folosind
rela .iile
lui
Viete)
seobtinecAa=
l
sib=2.
tr
3.
Sa
se
rezolve
ecuafia
*5-3x4**3+ax2+bx+c=O'
a'b'ce'Q'
gtiind
cA
admite
soluliile
Xl
=
I
+
i
qi
xz
=l-Ji'
Solufie
Fie
f
e,D[X],f
=X5
-3X4
+X3
+
aX2
+bX+c,
polinomul
ataqat
ecuatiei.
Deoarece
a,
b,
c
E
rQ,
rezultdcAf
admite
9i
soluliile
X3
=1+Jd'
x+=l-i.
Din
rela[ia
lui
Viete:
xl+x2*X3*X4*X5=3
se obfine
xs
=
-1.
Rezunf,
ca
f
are
forma
f
=(X-1-iXX-l+i)(x-r.JtX"-t-€)
.(X+t)=(*r-2X+rX*r-2x-r) (x+t).
lmpar$nd polinomul
f
la
X2
-ZX+2
9i
X+1,
sau
folosind
relafiile
luiViete
corespunzS.toare,
se
obtine
a=3,b=*4,c=-2.
EXERCITII
$l
PH0BLEME
EXERSARE
E,2,
84.
Sn
se rezolve
ecuaflile,
gtiind
ci
au
solufia
indicati:
.ej
xa
-
4xs
-4x2
+
16x +
12
=
o,
xr=r-J3;
,r3)
*n
-2xs
-
2x
-
1=
o,
xt
=t+
J2;
,-9)
z4
-zzs
+t422
-22-12=o,
21=
r
-
J5;
dl
za
-lozs
+
3lrz2
-342+12=o,
zt=3-J6;
el
za
-zt
*222
-32-1=o,
zr=L+Jdi
f,
2za
-729
+5zz
+
z
*
1=
o,
zr
=L-
Jd'
E5.
Sn
se rezolve
ecuaflile
sJtind
solufia
lndlcatS:
al
za
+
6zs
+L5i22
+
182
+
1O
=
o,
z1
=-1
-i;
fifl
sa
se
determine
solufiile
intregi
"l ale
ecuaflllor:
G;l*t-x3-x2+x
-2=Qi
b)
xa-2x8-3lx2
+8x-4=o;
c) x5 +
3x4
-
sxs
*
15x2
+
+4x+12=O.
83.
Si
se
deterrnine
soluliile
rafionale
ale
ecuafillor:
a)
2x3
tBx2+6x-4=O;
b) 4xa +
8xs
+
7xz
+8x+
3
=
O;
cl
12x5
-23lxa
+loxs+2x-l=o.
Sn
se
determine
Polinoamele
f
€
O[X]
de
gradul
4,
care
au
r6d[-
cinile:
a) 1,2,
Z+J3;
b)
-2
dubli,
t-Jd;
e)
r-J3
dubli;
al
2-J5
ryr
s*J2.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 157/324
r
lll.
Inele
de
polinoame
bl
za
-2zs
+3zz
-22+2=o,
zr=ii
el
za
+
z9
+
422 +
z
+
3=
O,
zl
=
i;
dl
\za
-5123
+322
+42-2=0,
zr
=1+i;
el
2zg
-322
+
2z +
2
=
O,
zt= l+
i;
ft
,a
-
8zs +26.22
-
4oz
+
25
=
o,
zt=2-i.
APROFUNDARE
A1.
Se
se
determine
a
e
I
ql
riddclnile
polinomului feO[X]
,
f=x3-ax2+
+
3X
+
2,
qtiind
c6
acesta
admite
ridiclni
numere
intregi.
42. Fle
f
eQ[x],f
=X3+aX2+bx-2,
a, b
e
Z.
Se
se
rezolve
ecualia
f (x)=o
qtiind
ci
are
cel
Pufin
doui
solufli
in Z.
A3.
S[
se
determine
a
€
Z
qtiind
ci
polinomul
f
e
O[X]
admite
ridiclni
rafionale:
a) f
=X3+aX2+3X-3;
b)
f
=xa+ax2-3;
c)
f
=2Xs
+4X2
+aX-6;
d)
f
=
4x4-12X3+7X2+ax-2,
A4.
Sn
se determine
m
e
Q
9i
aPol
sd
se
rezolve
ecuafiile
obfinute
gtiind
ci
admit
qi
solufiile
indicate:
a)x3+5x+m=o,xr=Jd-tl
b) xa
+
z*
-@rz+m=
o, xr
=2+J5;
c)
xs
+mx2
+2m+8
=
o, xr
=G
+f.
A5.
Se
se
rezolve
ecuafiile
date'
daei
a, b e
Q
qi
admit
solu$ia
indicati:
a) zs +
222 +
az+
b
=
0,
zr=
JE
-
l.:i
b) zs
-
422
+az+b
=
o,
z1=2-J6;
cl
za
+zzs
-2a22
+Zbz+ =0,
z*
=
'13
-2i
dl
za
+4zs
+rzz
+bz+4=o,
zt=3-J5'
A6.
Sn
se determine
a,
b
e
Q'
gtiind
ci
ecua .ia
x3
-4x2
-5x+a=o
admite
solufiaxr=b+J5.
A7.
Se
se
rezolve
ecuafiile
qi
si
se
determine
a, b
€
D,
in cazurlle:
al
za
-
zs
+
az2
-
z
+l=
O,
z1
=
-i;
bl
za
+\za
+az2
+2t:z+b=O,
zr
=l
-
2i:
cl
za
+229
+az2
+bz+39=o,
zt
=3
-2ii
d) zg +
azz
+bz+2=Q,
zt=l-1.
A8.
S[
se
rezolve
ecuafiile
qtiind
ci
a'
b e Z
ql
ci admit
o solufie
dubli
numir
intreg:
a) x3+ax2+bx+l=o;
b) xa+ax3+bxz
+2x+2=oi
A9.
Se
se rezolve
ecuafiile
urmitoare,
in condifitle
date:
al
z6
-5,24
+9zs
-722
+2=o,
zt=L+JZ,
r,
=1.+l;
b)
zG
-
425 +
4za
-Bzs
+422
+
+3i22
+ 16
=
0, 2t
=
22
=
I
+
J5;
c)
z6
-
525
+lgza
-392s
+3;822
-342
+2O
=
O, 2L
=
7,
zz
=
L
+
3ii
d)
z5-429+422+42-8=o,
z1
=
Ji,
zz
= -1.
161
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 158/324
Algebri
r
lll.
lnele de
polinoanne
AlO.Fie a,
b,
c, d
e
Q.
Si
se
rezolve
ecua .iile
in
condiftile
speciflcate:
a) xo
+
ax5
+
bx4
+
4x3
+ 23xz
+
+cx+
d
=
o,
dac6.
xt
=
3
-Jil,
xz=2-J5;
b)
2xo
+
a*5
+
bx4
+
cx3
-
x2
+
dx
+
+8
=
o, xr
=
5
-
iJ3, xz
= +
J2"
A11"
Se
di
ecuafla
x6
+
3x5
-1r2xa
-
-42xs
-
.9x2
+
ax
+
b
=
O, a, b
e
Q.
Si se
rezolve ecuatla,
gtilnd
c[
admite solufia xr
=
JD
+
J5.
A12. 55,
se scrie ecuafia
cu
coeflclenfl
rafionati de
gradul
cel mai
rnic n
e
S,
care adrrrlte
solu$ia
x1
in
cazurile:
a)
x1
=
JD+J5;
b)
x1
=
Jz
+Js;
c)
xr=JB*J3.
A13.
SA
se rezolve ecuafiite
s,ti[pd
ci
admit solufit independente
de
para-
metrul
m
e
C:
a) xs
+(*-3,*2.
(3m+4)x-
-4m
=
O;
b)
x3-*'-(*"+m+z)x+
+2rm2+Zrn=o.
A14.Se
consideri
ecuafia:
(n"-r)"0 -
-(r'*
t)*'
-
(tn'
*
r)x2
+
*(uo'+
o)x
-
,(n'
-t)
=
o,
unde
p
e
O
\
D,
lpl
>
[
cu soluflile
x1,
x2,
x3,
x4. Daci
x1, x2 sunt solufiile
reale
independente
de p
qi
s
=
Re(x3)
+
Re(xa), atunci:
a)
Se[O,+o];
b)
Se(-co,-25);
Se(-+,
-s);
d) Se(-2,
-1);
s
e
(-r,
o).
(ASE,
Bucureeti,2OO2)
e)
e)
forma
Rezolvarea
unor
ecuafli algebrice
de
grad
superior
cu coeficienli
in
rD
8.1.
Ecuafii
bipntrate
O
ecua
lNin igrw;illl
ts
sswi{
rezolvare
se
numitd
ecuatia
rezolventd.
a
ecualiei
bip6trate;
c
se
rezolvd ecua{ia
rezolvent6
in
mulfirnea
r[
obfinAndu-se
solu{iile
yr,
yz
€'Cl
o
se
scriu
gi
se rezoivd
ecuafiiie
z2
=
yr
ei
z2
=
y,
obtinAndu-se
solu{iile
zL,22,zs,
24 ale
ecuafiei
bipS.trate.
cu coeficien{i in
.D
este
o ecuafie algebricd
de
a,b,ce,C,a*0,
Pentru
.se
rezolvare
"ge
parcurg
urmdtorii
pagi:
woteazd
kfiim:$. t
qi
se
obfine ecuafia
de
gradul
doi:
162
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 159/324
II9.Exemplu
.
SA
se
rezohe
ecuafiile
in
rC:
al
za
-gz2
-4
=
o;
b)
za
+(t-t)22
-i=o.
Solutie
Ecuafiile
sunt
bip|.trate.
a)
Fie
W
Se
obfine
ecuafia
rezolventf,
cu
solu{iileyr
=
*1,
Yz=4.
RezultA
z2
=-L
ei
z2
=4
cu solufiile
zr=i,22=*i,
respectiv
zs=2,2+=
^2.
b)
Notand
W
se obfine
ecuafia
rezolventa
Wffiffiffi
cu
sorufiile
Yr
=
-1
si
yz
=
i. Rezultd"
ecuafiile:
z2
=
-1
qi
z2
=
i. Din prima
ecuatie
se
obtine
z1
=i,22
=*i.
Pentm
arezolvaadouaecuafieconsideram
z=a+bie
c,a,be
ie
sise
obfine:
(a
+
bi)2
=
i
sau
^2
-b2
+
2abi
=
i.
Din
egalitatea
de
numere
cornplexe
se
obtine
sistemul
{:'
.-O'-=
O.
S.rb"titrind
b
=
;
t,
prima
ecuafie
a
sistemului
se
obtine
ecuafia
lzab=r
-
-
2a'
4aa
=
I
cu
solutiile
reale
a
=
J'
.
Rezulta
J'
't;
2
.
--__^-_*
cd
b
=
r;,
iar
zs.4
=
rf
(t +
ii.
%dlz,ruA
'n7olotalfr,
tr
Sd se
arate
cA
Solufie
r
JB+t
cos-
=
-i
54
s.timca
o= sinn
="irr(4.+l
=gn\.cos91**in&."o"?I.
(*).
\5
5)
5
---5
--'5
--"b'\/'
Notand
x=cos+
s-
av6nd
in
vedere
ci
sin3cr=3sincr-4sin3*,
5
cos
30,
=
4 cos3
cr
-
3 cos;
c,, din
relafia
(*)
""
obfine
ecuafia:
(ro"n
-r2x2
+ r)
,x
=
o.
RezuJta
cd.
x
e
Io,
*
€*
t.
*
J5 -11.
t-
4
4J
se
obfin,..
solufia
convenabili
x
=
JE
*
t.
4
8.2.
Ecuagii
binome
O
ecuafie
binomA
cu
coeficien{i
in
mulfirnea
algebricd
de
fonna
$W
unde
n
e
N*, a
e
D.
(tr)
'i.rcffiffi--'=-ti.-
,D
este
o
ecuatie
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 160/324
Algehri
o
lll. lnele
de
Scriind
ecuatia
binomA
(l)
sub
forma
zn
=
a,
rezolvarea
ei
se
reduce
la
deternrinarea
radicinilor
de
ordinul
n
e
N*
ale
numdmlui
complex
a.
Dacd
a
=
r(cost
+
isint)
este
scri-
erea
sub
formA
trigonometricd
a num6-
rului
a,
atunci
se
obfine:
-/
t+2kn,:^:_t+2Er)
zy
=\r
i
cos-
+
isin
-
-'
\nn)'
k e
{0,
1,2, ...,
n
-
1},
(2),
(rdddcinile
complexe
ale
lui
z
e
tDl.
09
Exemolu
.
Sd
se
rezolve
ecua .ia
binomd.
za
-
i
=
O.
Solufie
Forma
trigonometricd"
a
m-lmd'n:lui
a
=
i
este:
i=cosl+isin3.
Av6nd
in vedelr
+2V'n
+2Wr
relafia
(21
rentltA
soluliile:
zy
=
cos2---.
i5in2--,
k
e
{0,
l,
2,
3}
.
8.3.
Eeuafii
reciproce
*
DEFrl{rTtE
f
.Polinomul
f
eK[X],f
=a0+arX
+a2X2
+...+&rX',
de
gradul
ne
\'
I
".
numeste
polinom
reciproc
dacd
intre
coeficienfii
sai
exista
I
relafiiler
a.tr
=
an-k,
k
e
{0,
I,2,
...,
n}"
(l)
@ Exemple
Polinoamele
reciproce
f e
K[X]
de
gradul
I,2,
g
qi
4
au formele:
.
fi
=aX
+a,fr=
aX2
+bX+a,
f3
=aX3+bX2
+bX+a,
respectiv
f+
=axa
+bX3-
+cX2+bX+a,
unde
a,b,ceK
qi
ae
K*.
*
DEFFilTJE
l.
t.
numeste
ecuafie
algebrici
reciproci
de
gradul
n
e N*
o
ecuatie
I
d"
forma
f
(*)
=
o,
unde
f
e
t<[x]
este
un
polinom
reciproc
de
gradul
n.
Forma particulari
a
polinoamelor (ecualiilor)
reciproce
de
gradul
n
conduce
la
cAteva
observafii
generale:
#
s
*
I
rn
I64
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 161/324
l.
orice
ecuafie
algebricd.
reciprocd.
de grad
impar
admite
solufia
Xl
=
-1'
intr-adevdr, polinomul
f
se poate
scrie
sub forma
f
=
&o
(i
*
x")*
*u,
(x+
X'-l
)*ur(",
*
X"-r)+...
$i
se
obfine
f
(_1)
=
o.
2'
Prin
impartirea
porinomului
reciproc
f
de grad
impar
n
la
X
+
1
se
obfine
un
cAt
care
este
polinom
reciproc
de
grad
n
_
l.
9' Daci
ecua(ia
reciproc.
are
sorufia
*,
atunci
are qi
solutia
f
.
cx,
Rezolvarea
ecuafiei
reciproce
de gradutr
3
Ecuafia
reciproci
de
gradul
s
cu
coeficienti
in
corpul
,c
are
forma:
ffiW
u",l"o--*
poate
scrie
succesiv:
a(x3+r)*
+bx(x+t)
=
o
sau
(x+t)(ax2
+(b_a)x+")
=0.
(r)
Forma
de
scriere
(r)
arata
ca
ecuafla
are
solulia
W
si
alte
doud
solufii
date
de
ecuafia
reciprocd
de
gradul
,,W
€.Exemirlu
.
Sd.
se
rezolve
in
rC
ecuatia
2xs
+
Bx2
+
3x
+
2
=
O.
Solufie
Ecuatia
se
scrie:
(x+f)(Zx2+x+Z)=O
qi
are
solufiile:
xr=*l
si
--
-lti.,G
oo=
4
Rezolvarea
ecuaglei
reciproce
de
gradul
4
Forma
intregi
este:
ng-{?Le
a
ecuafiei
reci
de gradul
4
cu
coeficienti
Se
observd.
cd
ecuafia,r"
"O*itJtolu{ia
x
=
O.
Pentru
rezolvare
se parcurg
urmdtorii
pasi:
.
Se
imparte
prin
z2
Fi
se
obfine:
az2
+bz
+
c*
*
\
=
O.
.
Se grupeazd
termenii
care
au
coeficienfi
egali:
^(
"'*+'1-'-
a(
,*L\
\ z"/
\
z)+c=o'
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 162/324
_
;:f+p:.f"j
o I
o
o
Se noteaza
.ffi*;5y_
qi
rezulta
ca
""
+i=y'-2.
Se obijne
#trtrW?#t
zo
ecuafia de
gradul
2 in
y:
"(t'
*z)+
by
+
c
=
O
sau
Algebri
r
lll. lnele
de
polinoame
numitA
ecuafia
rezolventi a ecua{iei reciproce
de
gradul4.
.
Se
rezolv6 ecuafia rezolventA obtin6nd solu{iile
yt,yz
€'D.
.
Se rezolvd ecuatiile ,* =yr
$i
z*1=
y,
care
se
aduc la
forrna:
zz
z2
-yp+1=0
;i
z2
-yzz+l
=0.
RezultA astfei
solu{iile
zr,22,zs,
z4
e{
ale ecuafiei reciproce.
Asadar, rezolvarea
ecuatiei
reciproce
de
gradul
4 se reduce
la
rezolvarea a
trei ecuafii
de
gradul
2.
lF
Exemnlu
.
Sa
se rezolve ecuafia reciproca t4
*
,3
-
422
+
z
+L
=
O.
SoLttie
Dupe impartirea
cu
z2 se
obtine
t .'
* *
+ *
1.r
+
=
0
sau
zzz"
z+ =z
z
Se obfin
(
"
l\
(
r
l''
.7
)+ lz+-
-
-4
=
0.
Cu nota{ia
ffi
obgnem
,' *b
=
y2
*z
qi
ecuaiia
rezotventa
$i{lW
cu
soltrtiile
yr
=
-3,
yz
=
2.
Avem ecua{.iile:
z+f *-3
ci
z
uuu
z2+32+I=0
$i
z2*22+1=0^
solufiile zr.z
*I
Si
zs,
+
=
ag$
2
C
OBSERVATII
L,
DacA
f
e
,C[X],
este
polinom
reciproc
de
graclul
n €
N*,
n numar
impar, atunci
rezolvarea
ecua{iei reciproce
de
gradul
n
se
reduce
ia
rezolvarea
ecua{iei z +
L
=
0
qi
a
unei ecualii
reciproce
de
gradul
n
-
1.
l€.Exemplu
o
S5'
se rezolve
ecuafia x5
-3x4
+2x3 +2x2
-3x+1
=
0.
Solutie
Deoarece x
=
-1
este
solufie a ecuafiei,
prin
impAr,tirea
polinomulu.i
f
=X5-3Xa+2x3+2X2-3X+l
la
g=X+l
obfinem
descompunerea
f
=(x+l).
(*n
-
4xs +ox2
-+x+t).
Rezulta
ecuafia
(x+r)(xa
-4x3
+
6x2
-4x+t)
=0.
nvem
xr
=
-1,
iarcelelalte 4
solufii suntdate de er:uatiareciproca
x4
*4x3
+6x2
-4x+1=
0.
Se obtine
xz,
g,
+, s
-
1.
166
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 163/324
-.**
Algebrd
o
lll.
lnele
de
polinoarne
2.Dacd f
e
,D[X],
este
un
poiinom
reciproc
de
gradul
n, n
=
2k,
rezolvarea
ecualiei
reciproce
ataqate se
poate
reduce ia
rezolvarea
unei
ecuafii
de
gradtll
k
cu
necunoscuta
y=
"* ,
gi
a
k
ecua{ii
de
L
I
graciul
2 date de
ecuafiile z+
Bg
.Eeenlplu
r
Str
se rezalve
ecuafia
reciprocS.
de
gradul
6
in mulfimea
D:
"6
-5t5
+424
+422
-52+1=
o.
p€il,2,...,k).
se
obfine:
* *4-s(t'.*'1. 4("* )=0.
Daca
zu
\
z'l \
z)
',
ffi=(,.))(*.#-,)=ffiffiWfi
se ourine
rezoivent5"
de
gradul
3 in
y: y3-5y2+y+10=0
care
se
descornpune
astfel:
(y-z)(v'
--3y-5)
=
0. Se
oblin solufiile:
y,
=
2.
yz
="#
r.
=
a#
si
se
obfin
ecuafiileinzdeforma:
t* =v,
sau z2-yz+l=0,
uncle
y
.{rt-
Jn
s*"EgJ
z'
t'
2
'
I
3.
in
cazul unei
ecuafii
reciproce
cu coeficien{i
intr-un
corp K
se
procedeaza,
in rnod
analog.
EXER0TTil
$r
pnoB .EME
EXERSAR"P
Solutie
impdrfind
cu
atunci
81.
Se se
rezolve in mulgimea
C
ecua-
glile
bipltrate:
al
za
-222
+L=ai
bl
za +2zz +L=Qi
clza-1022+9=o;
dlgza-'.oz2+l=o;
el za
-LZz2
+
16
=
o;
f) 25za
-2622
+1=0;
gl
za
+22 +2=0i
hl
za
+2922
+
loo
=
O;
1l
za
-2zz
-\5=a,
D2,
Se
se rezolve
ecuatiile
binorne
in
mulgimea
O:
alzs-125=o;
hlza-625=o;
cJ
z3+8=O;
dlzs+125=O;
elza+16=O;
f-1
za
+
1=
al
g;
z6-t=o;
hl z5
-i3
=
o.
r67
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 164/324
Algebri
r
lll.
Inele de
polinoame
Si
se rezolve
in
C
ecuatiile reci-
proce
de
gradul
3:
a)
xs
+
x2
+x+1=o;
b)
x3-5x2-5x+1=o;
c)
2x3
-?x2
-7x+2=o:
d)4x3-x2-x+4=O;
e)
JDx3
+*2
+x+JD=o;
9
2xs
-5x2
-5x+2=o.
Si
se rezolve
in
O
ecuatiile
reci-
proce
de
gradul
4:
a) 6xa+x3-14x2+x+6=o;
b)
xa+2x3-6'x2 +2x+1=o;
cl2xa-x3-2x2-x+2=oi
dl 7xa
-x3 -
',2x2
-x+7
=o;
e) xa
-
7xs
+L2xz
-
7x+1
=
o;
f) 2xa
-
5xs
+
1ox2
-
5x+
2
=
o.
85. Si
se
rezolve
in
C
ecuafiile
reei-
proce:
a) x5+x4+x3 +*2+x+1=o;
b)
2x5 +
x4
-
3xs
-
3x2 +
x+2
=
G
c)
3x6
+2x4
-5xs-5x2+2x+3=Q
d)
xo
+
x5
+
x4
-Gxs
+
x2
+
x+1=
(I
E6. Si
se
rezolve in
C:
")
(x-r)a+(x+l)a=s2;
b)(x-i)a+(x+i)a=16.
41.
A2.
Si
se rezolve
ecuafiile
bipitrate in
mulfimea C:
a) xa+x2+1=o;
b)
xa+LZx2+16=O;
c) x2
+
(*)'
=
^o'
I
^;2
at x2
-[9]
=
s.
'
\x/
Si
se rezolve
in
25,
ecuafiile:
a)
xa-x2+i=6;
il
Axa + x2 +2
=6;
c)
6xa+ixz+3=6;
dlixa+3x2+i=6.
Sd
se determine
a,
b
e
Q
pentru
care ecuafia
xa
+
("2
+b2
-zab
+
+2b
-
23)xs
-
(sa
+
3b
-
2)x2
-
-(a
+
b
-
7)x
+3(ab
+
a
-
b
-
1)
=
o,
este
ecuatie
bipitrati
gi
si
se
rezolve in
acest caz.
APROFUNDARE
A4. Si
se rezolve
ecuafiile in
rnulfimee
numerelor
complexe:
a)
x3+ix2+ x+1=o;
b) ixs +
(r
+
i)x2
+ (r
+
l)x +
I
=
o;
cl
zg
-ez2
-e"+l
=
0,
eo
=
l.
A5.
Pentru
care
valorl
ale
lui a
e
G"
ecuatia
x9
+ax2
+
ax+1= O
admite
solufii multiple?
l\6. Sn
se rezolve in
C
ecuafia x4 +
+(a
+
f)xo +
bx2 + 6x +
I
-
Q,
gtllnd
ci este ecuafie reclproci
gi
admlte
o solufie dubl[.
A7. Si
se
arate ci
daci
o
ecuafie
recl'
procl
de
gradul
4
cu coeflcien .t in
corpul
K admite solufia
cr,elC,
atunci
ea
admite
gi
solufia
s-l
e
K. Gene-
ralizare.
A8.
Si se rezolve ecualiile
reciproce
in
C:
a)x6-x4-x2+1=o;
b) x6-x5+gx4-6x3+Bx2-
-x+l=O.
168
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 165/324
Algebri
r
lll. lnele
de
polinoame
49.
Sn
se determine
a
c
D
gtiind
ci
ecua .ia
z3
+ azz
+ az
+
I
=
O
are
numai
solufii
reale.
A1O.
Pentru
ce
valori
ale
lui a
e
e
ecuafia
reciproci
x4
+x2
+ax+x+1=
O
are
toate
solugiile
reale?
Af
l.Se
se
rezolve
in
mu$imea
O
ecua ,iile
de
grad
superior:
a)
xa+
x3
+2x2
+2x+4=0:
b) xa
+
xs
-24*2
-
6x+
36
=
o;
c)
xa
+
x9
-
4a2x2
+
ax+
a2
=
o.
A12.
SA se
rezolve
ecuafiile
in
rnu$i-
mea
C:
a)
(x
-
l)a
+ (x +
t)a
=
s2;
o1.
(m=-4
u'
1,,
=,
;
b)
(x+a)a
+(x-")n
=
b, a,
b
e
D;
c)
(x+
a)a
+(x+b)a
=c,
a, b,
c
e D;
a)
(*'+x+r)2+l=o;
e)
(x
+
a)(xs
+
"")
=
*',
r.
p.
Af3"
Se
se
rezolve
eeuafia:
rog
o
+
rog
(.).
"r*
(*).
+logu6**f,=o.
(Admitere,
.#8,
Bucuregti)
414.
Sn
se
ealculeze:
.2n.nn
SlJl
----:-,
Sln
-.
. 10'
10
TE$TE
DE
EUATUARE
Testul
I
polinomul f
=
X4
-
4xs
+ 4x2
+
rnx
+
n
e
a[x]
se
dtvide
cu
polinomul
g
=
x2
-
4X
+ 3
e
Q[x],
pentru:
03. Si
se
rezolve
ecuafia
x4
-Zxi
-x2 -2x-2=A
admite
ea
ridd.cini
numirul
xr
=
l
-
J3.
(n=2
d)
{r,
=
-r'
(4
puncte)
in
mulfimea
C,
gtiind
ci
(Uniu.
de
Nord.,
Baia-Mare,2OO2)
(3
puncte)
[m=-4
b)
{r,=a
;
lrn=+
')
t'=
-t'
(Uniu.
Maritimd,
Calnsto;n ,a,
2OO2)
(3
puncte)
c2.
se consideri polinomul
f
=x3
+mx2+2x+m-rea[x]
,
avdnd
rc.dielnlle
X1r
X2r
X3.
a)
Si
se
arate
ce
xf
+
x
+
x$
=
-m3
+ Brn +
B.
b) Si se
determine
m
pentru
care
xf
+
xl
+
xA
>
g
(x1x2xs)2
.
c)
Si se determlne
m
pentru
care
polinomul
f se
divide
cu
x
-
I
qi,
in
acest
caz,
si
se
glseasci
ridieinile
sale.
(Uniu.
Bucuregti,
Fo,aultqtea
de
Motematicri
gi
InJormatictdL,
2OO2)
+
'ti
.l
:l
::i
:::
,,0;l
i:+
..+
.8
:ai;l
,r+
:-+
:i-:i:
'r-
.=.
::i n
,,ii:,
.
=::t::
=.:.
....
69
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 166/324
Alqebrd
.
lll. lnele
de
polinoame
Testul 2
0L.
Seionsideripolinomul
f
=#-f
+X2-x+1,
curddicinll€ x1, x2,
x9, x4
€C.
a) Si
se
calculeze
f(r)
qi
f(-1).
b) Sn
se
determine
a
e C,
astfel
incdt si
avem identitatea
f
=
a(x
-
"r)(x
-
"z)(x
*
*s)(x
-
*n).
c) Si
se arate
ci.
(r
-
xr)(r
-
*z)(r
-
"s)(1
-
x+)
=
l.
d)
Si
se
arate
c[
(r +
x1)(r
+
x2)(r+
x3)(r+
xn)
=
5.
(Ba,calo;ureat,
iulie 20
O
2t
(4
puncte)
Oz.
Fie
f
=
x4
-zxs
+
(m+
r3)x2
-
(+*
+
3)x
+
m
e
O[x].
Si
se rezolve
ecuafia
i1x;
=
o,
gtiind
ci
m
e
Q,
admite
solufia
xt=2+J5,
iar
xs
=Zxq,,
(Ilniv.
Lucio;n Blago, Sibiu'
7998)
(3
puncte)
P, C
Pollnomul
r
.J5
__+t-,
22
03.
Sd se
descompunfl
in factori
ireductiblli
peste
O,
f
=
xa
+
xs
-
x2
-
2x-
2,
qtiind
ci admite
ridicina z1
=
O1.
Si
se
determlne
r[dicinile
dacn
xf
+xl+xe
=o.
'
(Uniu.
BabeE
Bolgai, Cluj-Napoca,
7996)
(8
Punctr/
Testul 3
X1, x2r x3
ale
polinomului
f
=
X3
-
mX2
-
z
e
C[X] ,
(uniu.
Lucio;n Blo.ga, Sibiu,
2OO2)
(3
punctc)
02,
Ecuafia x4-r.3+tnx2 +2x+n=O,
rr], neQ
admitesolufia xr
=l+i
pentru:
a)m=2,n=-3;
b)m=O,n=2;
c)m=-1,n=O;
d)m=1,n=4;
elm=rr=O.
(Ilniv.
Mqritimd, @nsto;nto,,
2OOO)
(3 puncte)
03. Se
consideri ecuafla
*n
-(*-r)*"
+mx2
-(m-t)x+1=
O.
Fie
M
=
{-.
Q
I
eeuafia
are doui ridicini reale,
distincte
ql
negative}.
Atunci:
a)
M=(-oo,
O);
b)
M=[o,
+.o);
e) M=(-oo,
-r];
d) ttt=(-t, 1);
ell0rl=A.
(ASE,
Ciberneticd,
7
99n
(3
puncte)
t7a
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 167/324
Analizi matematici
r
l. Primitive
ETEMENTE
DE
ANALHA
MATEMATICA
in
cLc.sa
axl-a
s-a
vazllt
cd. nofiunea
de
derivata
a
unei
funcfii
a
fost introdusa
pornind
de la
cateva
considerente practice.
Astfel,
in
domeniul
fizicii,
viteza instantanee
a unui
mobil
este
descrisi
de
o
funcfie
care reprezintd,
derivata
funcliei
,,spatiu".
Fizica
experimentald.
ridicd.
insd
qi
problema
oarecum
inversa
celei
de
derivatS.,
in sensul
cd. impune
determinarea proprietdtilor
unei
func{ii
care
modeleazd"
un fenomen,
folosind
valori
ale derivatei
rezul-
tate
dintr-un
experiment.
Relativ
la
astfel
de
situatii
practice
a apdrut
conceptul
de
,,integral6".
Denumirea
de
,,integrald."
rezultd
din ideea
deducerii
unei
concluzii
asupra
intregului,
idee
formulatd.
avand
in vedere
concluzii
asupra
pirtilor
intregului,
(integer
=
intr€g,
in limba
latind.).
O
Prohtenne
eare
conduc la nofiunea
de
integrald
Froblerna spagiului parcurs
de
un rnobil
in
mipcarea nectilinie
Se
considerd
un
punct
mobil
M
care
se deplaseazd.
rectiliniu,
in
acelasi
sens,
pe
o
axd,
cu
viteza
instantanee
ia momentul
x egald
cu
"(*).
Dac5.
S(r) este
distanfa
parcursA
de mobii
de
la
mornentul
inifial
t
=
o la
momentul
t
=
x,
atunci,
conform definitiei
vitezei
instantanee,
are loc
egalitatea
v(x)
=
S'(x).
Froblema
se
poate
pune
ins6
qi
invers:
dacd.
se
cunoaqte
viteza
instantanee
"(*)
in fiecare
moment
x, atunci
se
poate
determina
distanta
parcursd
de
mobil in intervalutr
de
timp
[0,
x]?
Din punct
de vedere
matematic, problema
revine la
a studia
dacd
existi
o funcfie
S
care
verificd
egalitatea
S'(o)
=
r(*).
Cu alte
cuvinte,
problerna
revine
la
a determina
frlnc{ia
cand se
cunoagte
derivata
sa,
determinar-e
care
face
obiectivul capitolelor
urmAtoare.
:
F
;
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 168/324
Analizi
matematici
.
l.
primitive
Problema
ariei
unei
suprafete
plane
se
considerd"
f
:
[a,
b]+
e
o
funcfie
continud
gi
pozitiva.
Se
noteazd
cu
S
funcfia
care
asociazA
fiecAnli
x
e
[",
U]
a
suprafetei
plane
marginite
de
curLa
y=f
(x), axa
Ox
pe
[","]
si
segmentete
[AA,],
[Vrrur']
urrde
A(a,
O),
A,(",f
(")),
M'(*,
r(")),
(figura
1).
aria
S(x)
intervalul
lvt(x,0),
B(b,
o)
a(a,
0)
ru(x,
o)
xM
N(x
+
h,
0)
x
Figura
1
Funcfia
s, numitA
funclia,,arie",
este
derivabild
pe
intervalul
[",
*].
intr-adevdr,
fte
Ne
O:q N(x+kr,0),h>0
qi
X,r'
X14
e
[x
x+h] puncte
in
care
f
ia
valoare
minimd,
respectiv
valoare
maximi pe
intervalul
[x,
x
+ h].
Deoarece
aria
suprafi:tei
curbilinii
[navi'w'N]
este
cuprinsd
intre
ariile
dreptunghiurilor,cu
baza
[tvtl]
qi
cu indlfimile
egale
cu
f
(x_),
respectiv
f
(**),
au loc relafiile:
h.f
(x*)
<
S(*
+
h)
-
S(*)
<
h.f
(xr).
De
aici
se
obfine:
r(**)=q-+S<r(xy).
(r)
Pentru
h
-+
o avem:
* 1t("*)
=
f(*)
=
#Sr(**).
Prin
trecere
la limitd.
dupd.
h
+
o
in
relafia
(l)
si
folosind
definitia
derivatei
se
obfine:
172
G
r(
tr
n
fi
i1
I
$t
Hil
d
Cl
c
d
"l
ol
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 169/324
Analizd
matematici
r
l. Frimitive
Asadar,
funcfia
S
este
relatie care
exprirnd.
derivata
".arie"
cu
ajutorul
functiei
f.
-si
S'(")
=
f
(*), x
e
[a,
b],
(zl,
erivabil6
functiei
O
problemd
care
se
pune
in
tegd-
turd.
cu
relatia
(2)
este:
,,Sd
se
deter-
mine
aria
suprafelei
plane
asociate
funcfiei
f
p"
un
interval
lr,b],
in
ipoteza
cA
se
cunoaste
derivata
sa.".
Gottfried
Wilhelm
I-eibniz
(1646-
1716)
a
notat
aceastd
arie
cu simbolul
-gti
"*i',.$
,_1ffi
citit
'integraid
de
la
a
la
b
din
f
(x)dx
".
Rezolvarea
deplind.
a
probiemelor
care
cetr determinarea
funcfiei
cdnd
se
cunoagte
derivata
sa
se
va
face
intro-
ducAnd
noile
concepte
matematice:
,,primitivd"
qi,,integralS.
definitd.".
6fu
Prlnuitiqrele
unei
fuurcEii
V
lmtegrala
sredefinritfr
a
ur,rei
fumatli
Fie
tr c
lQ
un
interval
de numere
reale
si functia
f
;
I-+ le.
*
uenlul$t
'
Functia
f
:
I
-+
lQ
admite
primitive
pe
imtervalur
I
dacd.
existi
o
func{ie
F:I
-+
lP
astfel
lncAt:
a)
F este
func{.ie
derivabiid
pe
intervalul
I;
b)
F'(x)
=
f
(*), Vx
e L
.
Functia
F
cu
proprietd.{ile
de
mai
sus
se nurneste
{sau
antiderivat&)
a
funcfiei
f
pe
intervalul
i.
f,unctia
primitiv5.
o
Dacd.
func{ia
F
exist6,
se spune
cd
functia
f este
primitivabild
pe
intervaiul
l.
09.Exemnle
e
Functia
nuld.
f
:
Q
+ Q, f
(*)
=
0,
admite pr:irnitive
pe
e.
intr-adev5.r,
pentru
orice
numd.r
real
c, f'uncfia
tr:& -+
m,
n(x)
=
c
este
functie
derivabils
pe
Q
qi
F'(*)
=
0
=
f(x),
Vx
e
e.
173
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 170/324
Analizi
rnatematici
r
l. Primitive
_.3
o
Fie
functia
f
:lD+n,f(x)=x2.
Funcfiile
F:D+n,n(x)=Il
qi
G:e+e,
vJ
G
(x)
=
^
+ k.
k
e
e,
sunt
primitive
ale
funcf.iei
f
pe
e.
3
intr-adev5"r,
funcfiile
F
ei
G sunt
derivabile
pe
e
9i
n,(x)
=x2
=c'(x)=f(x),
Vx
e lQ.
rFunctia
F:(O,+oo)
-+A,F(x)=lnx
este
o
primitivd.
a
funcfiei
f
:(0,+m)
+A,
I
f
(x)
=:'
x
Deasemenea
G:(0,
+oo)-+n,
C(x)
=lnx+l
esteoprimitivAafunctieifpe
(O,
+o).
Din
exemplele
de
mai
sus
se
observd
cd
runcliile
alese
admit
mai
multe
primitive
pe
intervalul
de
definifie. Relafia
dintre
diferitele
primitive
ale
unei
functii
pe
un
interval
este
datd
de
urmdtorul
rezultat:
Dernanstrcr#e
Functiile
4,Fz
fiind prirnitive
ale
funcfiei
f
pe
intervalul
I,
sunt
clerivabile
pe
I
qi
Fi
(")=
f
(*)
=
Fi
(N),
Vx
e
I.
Folosincl
operafiile
cu funclii
derivabiie,
rezultd
cd
funcfia
e
-
Fz
este
derivabiia
$i
(Fi
-Fr)'(")
=pi(")-ri(*)
=O,
Vx
e
L
Deoarece
f,unctia
Fr
-
Fz
are
derivata
nuld pe
intervalul
I,
din
consecinta
teorernei
lui
Lagrange
rezulta
ce
existd
c e le
astfel
incdt
(r,
-
r'r)(")
=
c, vx
e
r.
Asadar
4(")*fr(")=c,
Vxe
i.
I
Teorerna
afirrnd
c[
doud
primitive
ale
unei
functii
primiti-
vabile
pe
Lrn
intervai
difer5 printr-o
constantd..
Dacd
F
este
o
primi-
tiv6
a
func{iei
f :I-+le,
atunci
orice
altd
primitivd
G a
lui
f
este
de
forma
G=F+c,
unde
c este
funcfie constantd
pe
I.
174
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 171/324
Analizi
matematici
o
l.
Primitiue
se
deduce
astfel
cd
dacd
funcfia
f
admite
o
prirnitivd,
atunci
adrnite
o infinitate
de
primitive.
*
0EF illTfi
Fie
I
c
lP
un
interual
si f
:
I
-+
lQ
o func{ie
care admite
prirnitive
pe
I.
.
Multimea
tuturor
primitivelor
funcliei
f
pe
intervalul
I se
numeste
integrala
nedefiniti
a
functiei
f
si se
noteazd.
jf
1x)Ax.
r
Operafia
prin
care se determind
multimea
prirnitivelor
unei
funcfii
se
nurnepte
operafia
de integrare.
E
OBSEHT'AT I
Fie
f
:
I
-+
lQ
o funcfie
primitivabilS"
qi
F o
prirnitivd.
a
funcfiei
f
pe.tr.
1. Din
teorema
1
se
deduce
cd
mulfimea primitivelor
f,unctiei
f
pe
intervalul
I satisface
egalitatea:
Jt
(r)Or
=
{r
+
c
I
c
este
funcfie
constanta} .
2.
Dacd
se noteazd.
'tr|
=
{c:
I
-+
tQ
I
c
este
funclje
constantd},
atunci
Wffi$ffi
Prectzdri
o
DacE
,/;(I)={f
lf
:I-+ru}
qi;, ,9
c.t(I),
sedefir:esc
operafiiie:
a.j
;'t;
+,{J
={f
+g
f
e
;:i"
ge tg\;
b)
I"y;
=
{lr
I
t e,y;\, ?,
e
tF;
e)
f
+
g
={f
+h
lh
e'.a\,f
€,'rtx).
"
Fentrr-r
multirnea
(/
a funclilior
constante
pe
intervalul
tr
au
egalitdtile:
W
+V/
-'(/;
')u'€
='(/,
pentru
l.
e lQ".
3. Cu ajutorul
notafiilor
utiiizate
pentru
integrala nedefinitd,
cele
exernple
conduc la urrndtoarele
egalitAfi:
Jt*
='€,xelDi
__3
[*2dn
=)*-+'/',xe
iD;
la
J
Par
=
lnx +'(',
xe
(o.
+
"o).
x
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 172/324
Analizd
matematici
r
l. Primitive
O
Proprietdli ale
integralei nedefinite
D
e
mo ns tr
atie
(
extinder
e)
Fie
F,
G:
I
-+
D
primitive
ale
funcliilor
f,
S
pe
intervalul I.
Functiile
F
pi
G
sunt derivabile
pe
I
qi
F'= f
$i
G'=
g.
Folosind operafiile cu
funcfii derivabile
pe
un
interval,
rezultd.
cd func{ia F
+
G
este funcfie
derivabilS.
pe
I
9i
are loc
egalitatea
(n
+ C)'
=
F'+
G'
=
f +
€.
Agadar, funcfia
f +
g
admite
primitive pe
interwalul I
9i
funcfia
F +
G
este o
primitivA
a
acesteia
pe
intervalul I.
Totodatd
au ioc urmdtoarele egalit6{i:
jf
lxlax
=F
+,€,
(Ll
fg(")d"-G+Yt"(2)'
J[r(*)
+
g(x)]ax
=
(F
-r-c)+
z.
{3)
Folosind retratia
'€
+V
='€
qi
egalitA{ile
(1),
(2),
(3}
se obfine:
jr1";4"+
Js(x)ax
=
(F
+'€)+(G
+'€)=(n+c)
+('(/
+'€\=(T +G)+'tt
=
=
I[r(")+g(x)]dx.
r
Demonstratie
Fie F
o
primitivd
a funcfiei f
pe
intervalul I.
RezultA
cd F
este
funcfie
derivabild
pe
I
qr
F'=
f.
Conform operafiilor cu
funcfii
derivabile
se obfine
cA
functia l.F
este
derivabild
pe
I
9i
(lf;'
=
fuF'= fuf. Agadar, funcfia l.f
admite
primitive
pe
intervalul
I
qi
funcfia
fuF
este o
primitivd
a
ei.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 173/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 174/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 175/324
Analizd
matematicd
r
L
Primitive
tr 3.
Se
se
studieze
dac5.
funcfia
admite
primitive
pe
le,
unde
m
e le.
Solufie
O
primitivd
a funcfiei
f, :
[0,
+
oo)-+
R,
fi (x)
=
ex
este
func{ia:
F,
:
[0,
+
oo)
-+
ru,
f,
(x)= ex *
cl.
O
primitivd
a funcfiei
f2 :
(-.o, 0)-+
m, f,
(")
=2x+
rn,
este
functia:
fz
t(-*,
O)
-+
n,
F,
(")
=
x2
+
ffrx
+
c2.
Rezultd
cd
o
prirnitivd
a
functiei
f
pe
le
va
avea
forrna:
^,,
[e*+cr,
xe[0,+"o)
F(x)
=i
^
r
L
l*'+mx+cz,
xe
(-.o,0)
Constantele
c1
qi
c2 vor
fi
determinate
astfel
incAt
fi-lnctia
F
sd fie
derivabild
pe
lP,
in
particular
sd fie
continua pe
le.
Astfetr,
condi{ia
de
con-
tinuitatein
x=O,
l"rlF(x)=F(O),
conducelaegalitagle
1+c,
=c2
=c.
Rezutrtacd
Ff"x)=l*"
+c-L'
x>Q
1^/
-
Ixz
+
ffi"lx +
c. x
.:
{j
condifia
de derivahrilitate
a
f"unctiei
F
in
x
=
o condu.ce
ia
egali-
tdtite
Fa'
(0)
=
I
=
Fu'
(O)
=
*.
Asadar,
existenfa
prirnitiveXor
pentru
funcfia
f
depinde
de
valcritre
parametrului
m:
r
pentru
rD
=
1,
func{ia
f adrnite primitive
pe
ie
si
o
primitivA
este
funcfia
F
:
te + ra,
F(x)
=
{-:
-1
-rc'
*
t
o,
[x"+x+c,x<O
o
pentru
m
e lD
\
{1},
func{ia
f
nu admite prirnitive
pe
te.
>
COMENTARIU
METIIDIC
Din
problema
rezolvatd
anterior
se
contureazd"
cdteva
idei
care
vizeazd'
existen{a
sau
neexistenfa
prirnitivelor
unei
func{ii.
a)
Pentru
rl
=
l,
funclia
f
este
continud
pe
le
si
admite
prirnitive
pe
lQ.
Mai
general,
are loc
urrndtorul
rezultat:
orice funcfie
continud.
f, :
r -+
rp
adsrite
nlrimitive
pe
intenraltil
r.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 176/324
Analizi
matematici
.
l. Primitive
b)Pentru
meR\{1}
funcfiaf
aredis-
continuitAti
de
spefa
I
si
nu
are
primitive
pe
le.
Mai
general,
are
loc
urmAtorul
rezultat:
Orice
funcfie
f
:
I
-+
le
care are
discon-
tinuit5li
de
speta
I
nu
admite
primitlve
pe
intervalul
I.
c)
Deoarece
funcfia
f are
discontinuitd.fl
de
spela
I
pe
lp,
nu
are
proprietatea
lui
Darbor"rx
pe
lQ.
Mai
general,
dac6.
o funcfie
f
:
I
-+
e
nu
are
proprietatea
lui
Darboux
pe
inter-
valul
I,
atunci
nu
are
primltive
pe
I.
EXEnCtIil
St PRoBtEME
EXERSARE
Et.
Sn se
determlne
funcfia
f
: D
-+ D
'
pentru
eare
o
prlmitivd
a
sa
este
de
f,orma;
VasS
S'{x}
*
*ss
*
4x'*
Sx
+
9,
x
e
&;
t'b)
'$
(x)
=
qlt
+
4x2",&,
x
e
(6,
+
e,);
e)
f
(x)=xslnx,
xeP;
d) r(x)
=
x(tnx-t),
x
e (0,
+o);
e)
r(x)={ff,xe(o,
+o):
-n0
f(x)
=
e*(x-l)
+
4,
x
e
Q;
s)
n(x)
=tgzx+tgx,
-.(",i).
E2.
SA
se verlffce
daci
functia
F
:
p
+
D,
fz"
2
l_
=*x--.
x<l
r'(")=.{112
ln2'----
este
lxo^g
lV+zx-
r,
x>l
primitivd
a
funcflei
f:e-+D,
f(x)={z**r'*<r.
[x+2,
x>1
E3.
Se
consideri
funcfiile
Fr,Fz:A+e
l"d-{
Fr(x)=i""
*
z
n*+ ''
xso,
t.-
ie*+10
x>0
i*e
x2
,_-_;+x,
xSO
n'r(x)=i
s
L
l-
|.e^-1,
x>O
Sunt
aceste
funcfil prlmitlve
ale
funcgiei
f :e-+D,
(^=
r(*)=.1"^'
*'o,
lx'+x+1,
x<O
84.
Folosind
allrmafia
ci
o
funcfle
con-
tinr.li
pe
un
interval
admlte
prtmt-
tive
pe
acest
interval,
si
se
arate
ci
urmitoarele
funefit
admit primt-
tive
pe
domeniul
de
deflnifie:
a)
f(x)
=
x3
-
4x2
+ x+
3,
x
e
e;
lsin x
I
x*O
b)f(x)=.{
x'
;
It,
x=o
c)
r(x)-{*'"i"1'
"*o,
Lo,
x=O
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 177/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 178/324
Analizi
matematici
c
l. Prirnitive
A4. Se
consideri
funcfia
f :
Q
-+
Q'
f(x)
=
I""*t,
x
<
-1
. si
se
arate
\ /
lz+x,x>-1
cf,
f admite
Primitive
Pe
Q
9i
s[
se
determine
o
Primltivi
F
cu
Pro-
prietatea ae
f(z)
=
9.
,2
A5.
Se
consideri
frrncfta
f
:
a-+R
f (x)
=
=
ttt"{L
*}.
sa
se
arate
ci
f
admite
prirnitive
Pe
Q
gi
si
se
determlne
o
prlmitlvi
F
care
verlflci
relafla:
4Ff
-ql -
srfll
=
sr(2).
-\.
2)
-
\2)
\ /
A6. SA
se
determlne
constant€tre
a, b e
Q
astfel
incflt
funcfia
F: (O,
+
o)
-+
A'
F(x)=itt'*,
xe(o,e]
si fle
-\--l
lax+b,xe(e,+o)
primitlvi
a unei
funcfii.
A7. Se
consideri
funcfia
F:
P
-+
Q'
f*2+"*+3,x31
r(*)=jex+u
l-,
x>l
lx'+2
Existi
valori
Pentru
a, b
e
D
astfel
incit
funcfia
F
sd fie
antiderlvata
unei
funcfii?
A8. Se
consideri
firncfia
f
:
(O,
+.o)
-+
R
f(*)=#
Si
se
determlne
constantele
a,
beD
astfel
incdt
funcfia
f : (O, +
co)
-+
D,
F(x)
=
(ax
+
b)Ji
sE
fie
o
antideri-
vati
a funcfiei
f.
A9.
Fie
functiile
f,
g:
(O,
+
o)
-+
Q,
f
(*)
=
=+= -
h(x
+
1)
si
g(x)
=
x+.1
=
Il"
+
bx
+
aln(x
+
1)].
xL
Existi
valorl
ale
constantelor
a,
b,
c
e
D
astfel
incet
functia
g
si
fle
o
Prlnnitiv&
a
funcfiei
h:
(o,
+
-)
-+
n,
h(x)
=
It
@O.Se
consideri
funcfia
f
:
[O,
3]-+
n'
[*2*t*+b,
xe[o,r]
f
(*)=lzx+r,
xe(r,2).sa
se
i.x+sa,
xe[2,
e]
determine
a,
beQ
astfelincitf
si
adrniti
prlmitive
pe
[O,
e].
gf
.Se
se
afle
constantele
a, b
e Q
astfel
inc6t
funcfia
f
:
(O,
+
o)
-+
Q,
f"=-t+inx,
xe(o,r)
f(")=.{ax+u,
xe[r,
z]
l-
l..6i_z
-2,{711,
xe
(2,
+
o)
sd
admiti
primitive
Pe
(O,
+.o).
A12.Se
se
arate
ci
urmitoarele
funcfil
f :
Q
-+
I
nu
admit
Primitive
Pe
Q,
daci:
a)
f
(x)
=
[x];
@t(*)
=
[x]-
zx;
O
t(*)
=
s€nxi
d)
e)
lx+1.x<O
f(*)={*r*,x>oi
llxl. x e
Q
r(*)=t_;,
_eD
\
e.
182
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 179/324
Analizi
matematici
.
L
Primitive
DEZVOLTAR.E
D1.
Se
conslderi
tunalia
f
:
[a,
b]+ e
qi
c
e
(a,
b).
Daci
f admite
primitive
pe
intervalele
[a,
c]
+f
[c,
b],
si
se
arate
ci
f admite
prirnltive
pe
["'b].
Si se
arate
ci
urmitoarele
funcfii
admit
primitlve
gi
s6'
se
determine
o
primitivi
dac6:
a)
f(x)
=l*-zl,
xee;
O
Primitive
uzuate
O
problemd.
esenfial5"
care se
pune
relativ
la
noul
concept de
,,primitivd
a
unei funcfii"
este
aceea
a
determinSrii
mulfimii
primitivelor
pentm
o
clasd
cdt mai
largd"
de
fi-rnctii.
Fie I un
interval
de numere
reale
s,i
f :I
+
iQ
o functie
care
admite
primitive
pe
I.
Dacd.
F: I
-+
lQ
este
o
primitiva
a ei,
atunci
F este
o
funcfie
derivabils.
pi F'(x)
=
f(x),
V
x
e
I.
Astfel,
definifia primitivei
dI
posibiiitatea
determinS"rii
acesteia
in
stransd
legaturd.
cu iolosirea
formuleloi:'ie
derivare
invatate
in
clasa
a
)il-a.
Ca
urmare,
apar urmdtoarele posibilitd[i:
4.1. Primitive
deduse
din
derivatele
funcfiilor
elementare
IlustrS.m acest procedeu
prin
cAteva exernple:
a)
Fie f :lQ -+
Q, f (x)=
sinx.
Avem
(sinx)'
=
"o"",
x
e D,
qi
astfel
se
obfine
b)
Fie
f :(O,+oo)+D,f(x)=lnx.
c) Fie
r ,(-or,;)-+
o,
r(x)
=
tgx.
Avem
(tgx)'
=
-+
si
se
ouli''"
frl
cos-
x
".4
u)
f
(x)=1"-rl+lx+ ,
xee"
D3.
Fie
f :I+Q
ofuncfiecareadmite
primitive
p€
I. Daci
a
e
I
gi
g:r-+P,
e(x)=it(*)'
xeI
\
i")
si
se
arate
"u
,il;rT"=;:'"t;*?"
primitive
pe
I.
r83
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 180/324
Analizi
matematici
r
l.
Primitive
Proceddnd
analog
pentru
alte
functii,
se
obfine
urmdtorul
tabei
de
integrale
nedefinite.
Nr.
crt.
Funcfia
Mulfimea
primitivelor
(inteqrala
nedefiniti)
1.
f:18-+n,f(x)-x',neN
--n+1
[x"dx
=n
-+?
N+I
2.
f : I
-+
n,
f(x)
=
xr,
I
c
(0,
+o),
rea\{-1}
lx'dx
=*'n'
*?
J
r+1
3.
f
: lD -+
D,
f(x)
=
ax,
a>
O,
a
* I
fa*dx
=
u*
*'(
J
lna
4.
1r
f
: I
+
P'
f
(x)
=
l'
I c
lP
x
Po*
x-
=tnlxl+'a
b.
f:I-+rn,f(x)=-+:
*-
-a2'
IclQ\{ta},a*,O
iTie*=;r"lt"l.r'
6.
f
:lD-+rn,
f
(x)
=nL-,a+O
x'+a-
t--l----d"
=
J-
als1gx
a
v
Jxo
+ao
a
a
I.
f:lQ+iA,f(x)=sinx
Jsinxdx
=
-cosx*(/
8.
f:Q+n,f(x)=cosx
Jcosxdx=sinx+Zl
9.
f:I+lD,f(x)=tgix,
rce\{tro.rlflr.z}
Jtg"ar
=
-lnlcosxl+
?
10.
f:I-+n,f(x)=ctgx,
IclD\{tcrlt<ez}
Jctgxdx
=
h:lsin
xl+'€
11.
f
:I+D,f(x)
=+*,
cos"
x
IcD\ {rro*rtI lr..z}
i.'
'21
)
i-4-
o"
=
t1x
+
?
'cos"
x
L2.
f:I+rn,f(x)=. -
srrr?
x'
IclQ\{t<"ltez}
[-j'a"
=
--ct1x+?
J
sin" x
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 181/324
Analizi
matematici
r
l.
primitive
f:I+n,f(x)
=+,
Va
-
-a.
trc(-a,a),
a>O
f :
tr
-+ rn,f
(x)
vxil-
a3
'
Ic(-oo,
-a)
sau
Ic(a,
+"o)
f:lQ+D,f(x)=
a*O
Snerafrrrr&gaetal
Sd
se
determine
integraXele
nedelinite
pentru
folosind
proprietd, ile
integralei
nedefinite
si
nedefinite:
a)
f(x)
=
x3
-3x2
+r/i,
x
>
O;
b)r(x)-
c9s2x-Q
,*.[0.
I),
sin'x.cosox \
Z)'
c)
r(x)=
4?+fT,
xe(
r,
r);
("'
*
o)(r
-
"z)
'
a)
f(x)
-
xa.+9x2
+
17,
x
e
ie.
xo
+4
Sotrufue
a)
Avem
J("u
-sxz
+.*&)a"
=
Jxsdx
*
fsxro*
+
fJiox
=+_
4
tl
-sJx2ox*
J'ia*
=+-s
+.9
n,,
={
-xB
+
?.*Ji*,r.
3
).r
4
'g
b)
Se
prelucreazd
expresia
de
ia
numd.ritor;i
rezult6:
cos2x
-3
=
cos2
x
-
sin2
x
-
S(sln2
x
+
cos2
*)
=
-2cos2
x
-4sin2
x.
Multimea
de
primitive
va
fi:
Idry*o*
=
i
ffe'?
;
ax
+
J.$t{-
dx
=
-2i.{-a"
-
-
n
[];dx
=
2ct€lx
-
4tgx
+,(/.
'cos'x
urmdtoarele
funcfii
tabelul
de
integrale
185
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 182/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 183/324
Nr.
crt.
Integrala
nedefiniti
1.
It"
(").u'(x)dx
=
ut*I
(x)
, ,
+46.
n+l
neN
6
a.
Ir'
(").
u'(x)dx
=u'.'
(:)
*
t"
r+l
r
e
lQ
\
{-1},
u(I)
c
(o,
+.o)
r'.
Ja'(*)
..r'(x)o*
=
"'9
+G,
ae
(0, +
"o)
\
{1}
4"
i#0"
=
lnlu(x)l
+G,
u(x)*
o,
x
e
r
5.
t'(*)
u(x)*+a,VxeI,a*o
u2
trx)*
a2
j
d*
=
+t"[e)-'1.
r,
2a
ju(x)
+
al
6.
J.,,#?o.
=
1.o"tg3-0')
*
6,,
o
"
7.
Jsin
u(x).
u'(x)dx
=
*cos
u(x).r
G
8.
J
cos u
(x)
,
u'(x)
dx
=
sin
u(x)
+
G
9.
u(x)x(zrr+r)f,,keZ,xe
tgu(x).u'(x)dx
=
-hlcosu
(x)l+C,
I
10"
f
ctgu(x)
u'(x)clx
=
hlsinu(x)l+
G,
u(x)*
kn
,
k
a
Z,
x e
I
11.
"
u'(x\
J;;
dx
=
tS
u(x)+G,
cos-
u(x)
u(x)x
(zt<
+
t;I,
G
X
.,
T
L2.
€
I
. u'(x)
J::ZY.
dx
=
-ctgu(x)
+
G,
u(x)
*
kn
,
k
e
X-,
x
sln-
u
(xJ
13.
dx
=
arcsinlq)-
6, a>0,
u(i)
c
(-a,
a)
a
14.
f
J
sau.
u(i)c
(a, +
"o)
dx=hlu(x). f,z(")-"3lne,
u>
0,
u(r)c(*oo,
-a)
t5.
j
u'(x)
filt;;,
ax
=
rn[u(")
+
uG{"y.
",3
f+v,
a
*
a
Analizii
matematici
o
l.
Primitive
Astfel,
daca
u :I
-+
J
este
funclie
derivabila
pe
intervalul
i,
se
obtine
urmiton-ll
tabel
de
integrale
nedefinite.
.
i
T87
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 184/324
Analizi
matematici
r
l.
primitive
ln general
are
loc
unnatorul
rezultat:
E*'nil/2.rz,talrtalp,
tr
1.
Se
se
calculeze
i--4q-dx,
x
e
e.
uxo
+3x+4
Solufie
Alegem
tunclia
u : rD
-+
11,
.*),,1*y
=
x2
+Sx+4,
derivabili
pe
e.
Seobtine
r'(*)
=2x+s
si
j"*r
=
t'I"J,
xeD.
x' +3x+
4
u(x)
Rezurta
"t
I;ffi
*
=
Iffi
dx
=
tniu(x
)l
+,a
=r(*'
+
3x
+
4)
+ e.
E
z.
sa
se calcule
z.
+*s
(*n -
r)t
*,
x
e
e.
Solufre
Alegem
funcfia
u:A+[-Z
+oo),
u(x)
=x4
_Z
x
e
D.
Rezulta
c6
+x3
(xa
-r)" =r'(").rrs
(*)
=
Ju'(x)..rs
(x)*
=
"-na(*)
+n
=*.("-
*z)a
+,e.
tr
g.
Sa
se
calculeze
[zx.tf,,
*
r
a",
x
e D.
Solu{ie
Alegem
funcfia
u:
D+[L
+.o),
u(x)
=*
+]u
derivabild
=2&
xe
e.
Reztrtta
ca
J2x
tf,,
.
r
a*
=
Ju,(x)
[,
(x)]ia,
=
a4o
=
i
["
(*)]i
+ ?
=i
(",
*
r)1ft,
*
r)
*
z.
188
derivabili,
cu
u(x)
=a'f,
qi
f+x3
(x4
*
z)3
a*
=
I
Iu(x)]5.'
pe
lP,
cu
u'(x)=
l+t
3
+?=
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 185/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 186/324
Analizi
matenaticd
r
l.
primitive
EXEHC|TI|$t
Pn0BHME
El.
S[
se
determine mulftmea
prirni-
tlvelor
urmitoarelor
functll:
@t(")=x4,xee;
St(")=Bx7,xee;
./r'. t
tDr(")=x5,
x>o;
(Dt(")=VIF,
xep;
a
/4
1$r(*)=x
3,
x>o;
\Dt(*l=rlx.tfiE,
x>o;
d
f(x)=#,
x>o;
n)
f(x)=ex,
x€Q;
t)
f(x)=2x,
xet);
$
f(x)=S,*>r,
k)
f(r)=;5*,xe(-e,
s);
r)
f(x)=*hu,xeD;
m)
f(x)=+,xe(-o,
-2);
,Jxo
-
4
n)
f(x)=*r,
xe(-z,z)t
o)
f(x)=#,
*.n,
Vx- + 25
E2.
Se
se
calculeze
integralele
nede_
flnlte:
Q
I(u*"
-
4x8
+ sx2
-
6x
+
llax,
xeD;
190
EXERSARE
1@
J(*'-
z*)s
a*,
x
e
D;
ruI(#
4-s)*,*.o,
{E
l(t-'Ji*
z"tGE)dx,
x
> o;
€t[*-zr*ov*Ja*,
x>o;
6iJ#-ax,
x>|;
tt f ."o
d*.x'9,
'9x'-26
3'
r,j;l;ft;dx,xee;
t
t*:tdx,
xee;
&
J(u"
lns
-
4x
hr6)dx,
x
e
e;
rnr
[-*-dx,
xeD;
'rl6,x2
+24
t)
t+-dx,
x>3;
rl2x2
-',g
,,,)
Igdx,
xe
(-z,z).
"l4g-g*2
83.
SAse
calculeze
integralele
nedeffnite:
{OJtt
sin
x
+ 4cos
x)dx,
a
6
p;
\)
I(,
sin2
x
-
V-6
cos2
x)ax,
x
e
n;
FD lrsmf
cos{ax,
x
e
D;
\J' 2
2
}Jr"o"'Id*,
xee;
id
J,
snz
f,dx,
x
e
e.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 187/324
Analizi
matematicl
r
l. Primitive
41.
Sn
se
determine
lntegralele
nede-
flnite:
6f13x6+{**-rdx,x>o;
t)
J#dx,
x>
o;
J(-W-V-'-*V")dx,
x>o;
rxVi +
zxztl*z
l---'n--d*'
x>o;
J(z=
rnQ4
-
ros.
e")dx,
x
e
p;
I[#"
m#)*,xe..;
l$#u"'
x>r;
,{i*a-y,
l- ,-dx,
xeE;
'
x'+4
,r[*z-4*a,
l___;_dx,
x
> 2;
'
x-
-4
-.^,J,lffi"Eiu*,
-'rr
tl
q
-xa
*.
(-JD, JD);
t 2x+l
J
kj
l-:dx,
x
> 4..
nJxz-16
42.
Se se'ealuulcze:
',
I;;u*;;u;dx,
x
e
(t,
*)'
J
o,
I;ff*";dx,
xe(o,f)'
.r(x*\2
c)
J[stn:
-
""":J
dx,
x
e
e;
6;
Jsinsx-
gdx,
x
e
lo.1),
'I-cos"x
\
2I
,",
Jffff#dx,xe(r,;)'
-.r
n
J(r
+ tgsxlcx,
".
(o,
f)'
ud)
e)
*?
g)
h)
_l
iy
APTTOFUNDART
sr
J(r
+
ctg2x)dx,
x
e
(",
;).
.d3"
Sn
se
calculeze
mulflmile
de
priml-
tive:
rr=;x1+x2+rdx,xeD;
'x--x+L
r"=
Ji:r-dx,xee;
'x'+x+l
r,
=
1G-{$"$- r6
dx,
x
e
Q.
Si se
calculeze:
al
Jox(sxz
+
r)t
ax,
x
e
e;
o)
.[*n
(t
-
*u)u
dx,
x
e
e;
c)
J*a
V*uia*, x
e
e;
*
I#dx,
x>o;
t)
I*nu
xdx,
x >
o;
^
? 2x-5
tJ
.l
-=------dx,
xeQ;
r
xo
-5x+7
gl
i
"*,1
dx,xee;
'3x"-6x+11
rrr
J$:a*,
x
e
(-t,
t);
u
J#;"dx,x>z;
+J
t-+-dx,xee;
'xo+9
x
k)
f
"I-dx,
xeQ;
v*x*+1
y"rl
J#dx,
x>E;
*1
;-Sa*;
'Vr
-
9=
"
I#S*,
xee.
191
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 188/324
Analizi
matematici
.
l. Primitive
A5.
Se se
calculeze:
?I
f"1"gl*dr,
xee:
'
l+xn
lrb)
[-"1"*
dx,xee;
uginox-4
1
c)
[:
"it
",
drr,
x
e
ei
'9
-
coso
x
-.
r COSx
t
dJ
l----dx,
x
e
Q;
Jslnox+4
{*
Jz""i"(x2
+
r)cos(x2
+
r)ax,
riXGP;
{g
J+xsin
z(xz
+r)dx,
x
e
a;
xe)
J(tgsx
+
tgx)dx,
x
e
(" i)'
i)
J"rns
x. cos2
;rr:,
x
e
D.
46.
Se
se
calculeze
integralele
nede,
finite,
folosind
formula
de
lnte-
grare
prin
plrti:
d
*2lnxdx,x
>
o;
b)
Jxe-"dx,
Xloi
c)
Jsin2
x,lr,
x
e
Q;
d)
I(x+l)cosxdx,
xeQ;
")
JJx2.r5dx,xee;
o
J"G'z-sdx,x>3:
*d
J-+-dx,xe(o,f)'
Sh)
Jxarctgxdx,
xee.
(3
puncte)
or.
02.
o3.
#
\h)
[-gr{x,
xeD;
'J4
-
sin2 x
D
J#dx,
xeD;
J
VSln-x+l
TESTE
DE
EUATUARE
Testul
1
Fie
funcgiile
f,
€
:
Q +
e,
f(x)
=
ex
sinx,
g(x)
=
ea
cosx.
56 se
arate
c[:
a)f
esteprfunitiviafuncftei
f
+g;
b)
g
este
prlmltivi
a
funcfiei
g
_
f.
(B
puncte)
Se consideri
funcfiile
f,
F
:(O,
+o)-+
D,
f(x)=(*2
_f)frr*
9i
F(x)=
=*(ax3
-r)rnx
-=[+
-
r)
si.
se
determine
constantele
a, b
e
e
aStfel
incit
F
si
fie
o
primitivi a
lul
f
pe
(O,
+
o).
(3
puncte)
Si se
determine
mulfimea
primltivelor
ppntru
f
:
D
+
D,
daci:
a)
f(x)
=
(x
-r)2
(x
+ t),
x
e
e;
ut
f(x)=r"h-xrE,x>l;
c)
f(x)=x2ex,
xeQ.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 189/324
Analizi
matemathi
o
l. Primitive
Testul
2
r:.
(2x+3,
x>O
Cf. Sisearatecd.funclia
f
:Q-+4,
f(x)=l
,
"--
admiteprimitive
[Vx'+6x+9,
x<O
pe
D
gi
si
se determine
primitiva
F care
verifici
rel,alia
f
(O)
+
F
(*g)
=
_4,5.
(3
puncte)
02.
Si se
demonstreze
in
dou6
moduri
c[
funcgia
f
:
(L +
o)
_+
A,
f
(x)
=
ln(t+
lnx)
este
o
primitivi
a
funcliei
g:
(t,
+m)+e,
g(x)
=;dC,
(3
puncte)
03.
Si
se
determine
integralele
nedefinite:
n
Jffidx,xee;
b)
I(x+
2)exdx,
x
e
Q;
c)
Jsinxcosxdx,
xee.
(3
puncte)
Testul
3
9z.i
':
b+
Fie
f,g:p-+A,f(x)=x2+ax,g(x)=tgt(x).
Si
se
determine
a,bee
pentru
care funcfla
g
este
o
primltlvi
a
functlel
f.
(3
puncte)
l(t
-
*)'
.e- ,
x
e
(-o,
t]
Sii
se
arate
cE
f :D-+Q,
f(*)=
jUrr*
admite
prlmitlve
L-=,
xe(r,
+o)
pe
Q
qi
s[
se determine
primitiva
F care
verificd.
relafia
F(e)+ F(O)
=
CI3.
S[ se
calculeze;
')
l(
*b)
J
sin x
+
cos
r)2
dx,
tfa-2g*2
a1
-
_______:_
dx,
4
-
25xo
,xeD;
(22\
*t[-u'u.,lt
nl
a)'
3e
(3
puncte)
+ct
[-J--a*,
**[o,
'cos'x
L
193
(8
puncte)
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 190/324
Analizi matematicl
r
ll. lntegrala
definitd
o
Fi
pact).
Diviziuni
ale
unui interval
Iu,b]
e
[a,
b] un interval
de numere
reale, inchis
si marginit
(com-
* 0EFrl{rTil
.
Se
numeqte diviziune
a intervalului
[a,
b] un sistem
finit
de
puncte
A=(*0,X1,
x2,..., Xn-l,x,r)
astfelincAt
&=Xo <xt <...(Xn*l
(Xr,
=[.
r
Punctele
X6, x1,
...,
Xn se numesc
puncte
de dlviziune
sau nodurlle
diviziunii
A, iar intervalele
[*0,
*r],
[*r,
xz],
...,[*r,_r,
xr,]
se numesc
intenrale
de dlviziune.
oSlstemul
de
puncte
€
=(€r,
82,...,€r,),
€,
*
[x,*r,
*,],
i
=f
r
se
numegte sistem
de
puncte
lntermedlare
asociat
diviziunii
A.
uS
Exerntrrlu
o
Se
considerd.
intervalul
[0,
1].
Sistemele
finite
de
puncte:
Ar
-
(0,
t),
Az
=
[0, *,
t],
o.
=
lO,
].z
\-'
z'
-
)'-" [-'
s'
llzs_\
-.,
^,
-,
:,
I
I
sunt diviziuni
ale intervalului
[0,
t].
3234
)
sistemere
,=(;,;)
-
,,=(*,#
i;
i)
",,,,t
sisteme
de
puncte
intermediare
asociate
diviziunilor
A2, respectiv
43.
3
llBSERVATII
1. ca
mulfimi
de
puncte,
diviziunile
din exemplul
dat
au
proprietatea
A1c42cA3cAa.
2.Dac'a
L',L"
suntdou5"diviziunialeintervalului
[",n]
qi
A'cA",
se
spune
ca
A"
este
mai fini
decat
A'. in
acest
sens,
pentru
exemplul
de
mai sus
se
poate
spune
ca
A1 este
mai
find"
decdt
Ar,As este
mai
find.
decAt
A,
si
decAt
A2,
iar
Aa este
mai fin6
dec6.t
A1,
A2, A3.
;'3
')
o-
=
(o,i'
r94
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 191/324
Analizl matematicl
.
::.
lntegrala
definiti
*
pEFrl{rTtE
l.
Rt"
A =
(xo,
Xr,
Xz,
...,
Xn-I,
xr,)
o
diviziune
a
intervalului
[a,
b].
I
s"
numeste
nonna
divlziunil
a cea
mai
mare
dintre
lungimile
intervalelor
de
diviziune
[*0,
*r],
["r,
xz], ...,
[*',*r,
*,r].
se
noteaza
ll{lY
pff
(*,
-
xi-r
).
Pentru
diviziunile
din
exemplul
anterior
avem:
lla,ll
=
r,
llnr ll
=
j,
ilou ll
=
|,
ilon il
=
+
se
observd
cd.
prin
trecere
la
o
diviziune mai
fin6,
norma
diviziunii
se
micporeazS..
. .
DEFIl{lTlE
l.
Dirriri
rnea
A
=
(xo,
X1,
X2,
...,
Xrr_1,
Xr)
a
intervalului
[a,
b]
se
nu-
I
mepte
dlvlzlune
echldlstanti
dacA toate
intervalele
de diviziune
|
[*0,
xr],
[*r,
xz],
...,
[*r,-r,
x,r] au
aceeapi
lungime.
in
acest
caz,
il{l
b-a
KF
Exemple
o
Slstemul de
puncte
A
=
(0, 1,2,
...,
n
-
1,
n) este diviziune
echidistantd"
a
intervalului
[0,
n]
cu
norma
L
r
Diviziunile
Ar
=
[0,1,
?,9,
.
.,
"
-
t
,
,),
o,
=(o,
+, +,
4=
4l
sunt
\
n n n
n
)
-
( 2" 2"
Zn 2")
diviziuni
echidistante
ale intervalului
[0,
r]
cu
llllll=
*
ur
iloril=
#
O
sume Riemann
Fie
[a,
b]c
iA
un interval
inchis si mdrginit
gi
urm6toarele
obiecte
matematree:
a) furictia
f :
[a,
b]-+
D;
b)
diviziunea
A
=
(xg,
x1, x.2,
...,
xrr*r,
x*)
a intervalului
[a,
b];
c)
sistemul
de
puncte
intermediare
E
=
(Er,
\2,
...,
(,r)
asociat
divi-
ziunii
A.
195
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 192/324
Analizi
matematici
r
ll. lntegrala
definiti
*
pEFrl{rTtE
I.
S"
numegte sumd
Riemann
sau
sumi integrald.
asrciatd.
func{iei
f,
I
diviziunii
A
si sistemului
de
puncte
intermediare (,
numirul
real
I
"o(f,€)
=
It(r,).(*,
-xi-r).
B Exernole
1.
Dacd. f :
[a,
b]-+
a,
f
(x)=
c,
atunci
orice sumd
Rjemann asociatS. este
ega15.
cu
c(b
-
a).
2.
Fie
f
:
[o,
2]
-+4,
f(x)
=
x+1,
a
=
fo.
1.
r
'2'
r,9,
z') si
e
=
l.o.
r,I.
z).
2)\4)
Atunci
o^
(f
,
€)
=
i
r (r,
)
.(x1
-
x,-1)
=
i=1
=
r(o)
(;-')+
r(r)
('
-;).'(;)
(;-').
+f
e\ |.r-g)=r,f
*2.1*9.1*e.I
=
39.
"\
2) 2
2 42 2
I
Interpretarea
geometrici
a sumei Riemann
Fie
funcfia
continui
f
:
[a,
o] -+
[0,
+
*),
4
=
(xo,
X1,
...,
xrr_r,
x,r)
o
diviziune
a
intervalului
[.,
b], iar
€
=
(Er,
F,z,
...,
€r,)
un sistem
de
puncte
intermediare
asoclat diviziunii
A.
196
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 193/324
Analizl
matematicil
'
Il.
lntegrah
delinitl
Multimea
de
puncte
din
plan
delimitatA de
curba
y
=
f
(x),
axa
Ox
gi
dreptele
x
=
a,
x
=
b
se
numeste
subgralicul func{iei f
Bi se
noteazd:
Se
observ6
cd
suma
Riemann
sistemului
de
puncte
intermediare
fefelor
dreptunghiulare
cu baza
(x,
figura
1.
Aqadar,
ol(f,E)
realizeaza
f1 al
functiei
f.
De asemenea, se
poate
observa
intuitiv
cA
dacd. di'riziunea
A
este
mai find.,
atunci
aproximarea ariei
subgraficului
este
,,mai
bun6".
asociatA
funcfiei f,
diviziur.ii
A
Si
(
reprezint6
suma
ariilor
supra-
-xi_r)
pi
indlfimea f
([,),
1< i
<
n,
o aproximare a ariei
subgraficului
o
lli'Jilill;:;i
;nei
funclii
Fiea,belQsia<b.
*
pEFrr{rTil
.
Functia f :
[a,
b]-+
Q
se
numeste
funcfie
integrabili Riemann
pe
intervalul
[",b]
sau funcfie integrabild
pe
intervalul
[",U],
dacd
existd. un numir
real I astfel inc6t
pentru
orice
gir
(A,,)
de
diviziuni
ale
intervalului
[a,
b], a,,
=
(*["),
*{"), ...,
"L?-,, "{*
),
cu
lim
lln,'ll
=
o
qi
orice
qir
de
puncte
intermediare
E(")
=
(e{"), et"),
...,
€lLl,,
et.?),
*1:l
.E{")
.*{"),t(i(kn,ne
N, girul
de
sume integrale
corespun-
ziltor
este convergent
c5.tre I.
r
NumArul I se numeqte integrala definttA sau lntegrala
funcfiei f
pe
intervalul
[*,b],
se noteaza
""
Jjf
(x)dx
gi
se citepte
,,integrald
de
Ia
a
la
b
din
f
(x)dx
".
A$adar,
r
Simbolul
J
se
numeqte
gemnul
de
lntegrare
sau semnul lntegralel,
t97
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 194/324
Analizil matematici
r
ll. lntegrala
deliniti
.
Numerele a
qi
b
se
numesc
limite
sau capete de integrarc; a
este
limita
de
integrare
inferioard,
iar
b este limita
de integrare supe-
rioarA.
.Intervalut
[a,
b]
se
numegte
interval
de
integrare.
o
Functia
f
se numeste funcfia
de integrat,
iar
x se
numeste
variabila
de integrare.
Variabila
de
integrare
poate
fi notatd cu
orice liter5..
Astfel, jjtl"l6*
=
Jtrlr)du
=
Jorit;ot
.t".
\iariabila
de integrare este independentd
de capetele de integrare.
Este
incorect
sd.
se scrie
jor1";a.
""r-r
J'f
1U;ou.
C
OBSERVATII
1.
Numd.ruf
Jtf
1";dx
este
unic
determinat, limita unui
gir
convergent
de numere reale
fiind
unic5.
2. Integrala
deiinitd
a
unei
funcfii integrabile
pe
un interval
[a,
b] este
un
num5.r
real, in timp ce
integrala nedefinitd
a
func{iei
f
pe
intervalul
[",U]
este o mullime de
funcfii
(mulfimea
primitivelor
funcfiei
f
pe
intervalul
[a,
b]).
3.
Dacd f
:
[a,
b]-+ D este
o
functie integrabilA, atunci,
prin
definilie
4.
Orice
func{ie integrabili
pe
intervalul
[a,
b]
este m5"rginit6.
Aqadar,
existd
m, Me
lQ
astfel inc6"t
m <f
(x)<M,
V
x
e
[a,
b].
in consecin .d, daci
funcfia f
:
[a,
b]
-+
A
nu este
mirginiti,
atunci
nu
este integrabili
pe
[",
b].
[8 Erernolu
ll
o
Functia
f :
[0,
r]-+
a,
f
(x)=
];'
*
e
(0'
i]
este funcfie nemarginite
deoarece
li,
x=o
lim f
(x)=
Ii*
f
=
+oo, Rezulti c[ functia
f
nu este integrabilfl
pe
[0,
f].
x-rO
' '
x+0x
x>0 x>0
W
nxemplu
d.e
tuncgl,el.ntsgra.bild
rFle
f ;[a,b]+R,f(x)=c
ofunctieconstantA.Functiaf
estelntegrabitepe
[a,b]
qr
frlx)ax=c(b-a),
lillN\$lllliliil
$lli
198
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 195/324
intr-adevar,
ffe
(a"),
o"
=
(*F',
*1"), ...,
"[")-,,
*1"1; un
sir
oarecare
de diviziuni
ale intervalului
[a,
b], cu
lla"ll-
O
si
(e{"))
un
Eir
oarecare de
puncte
interrnediare,
cu
proprietatea
* lJ s
6(")
=
*1"), i
=
r,
k".
Atunci
'o"
(r,
e(")) =
t(e{")X*{")
-
"{lJ)
=
=
"
l(-t"'
-.{ll)
=
c(b
-
a). Rezulta ce
qin:l
"o.
(r,
e("))
este
convergent
ei
;31oo"(r,
Et"l;=
c(b-.;=
f
r1*;a",
in
concluzie,
orice func(.ie constanti
pe
intervalul
[L,
b]
este integrabilf,
pe
intervalul
[a,
b]
si
jb
"
a"
=
c (b
-
a).
@ Exemplu
defunctie
care
nu este
integrobila
e
Fie
r:[o.
r]-+ a, r(x)=
{:
::tf,
li:[ ,
p;,
(r,ncu,
rui
Dirichrer)
Ard.tAm c5.
funclia
f
nu
este integrabile
pe
[0,
t].
Fie A,,=(t
* : +
r)
o
diviziune aintervalului
[o,r]
cu
lla"ll=*"Lo
Alegem
douf,
sistem" O:.
O1"",,:
intermediare
astfel:
'-ti i " \.€i.l'-'. 'l^O,pentrucrr. f(€i)=t.i=t,rr:
_
\:1.
:2, ...,9n/.=r
_
1
a,
.
,rli
i
q, r\
e'
=(e''.
4z',....e"'), e,'
=[+,'
].rn
\
Q,
pentru
".r.
t(€,')= o. i
=
L
n.
Avem o6"
(f,
€)
=
Ir(a,)(*i
-*,-rl
=
l[f
-rrf....tl
=,
u,
i=l
^'\
n ori
)
Analizi
matematici
r
ll.
lntegrala
deliniti
Deoarece
cele doud limite sunt diferite, rezultA
cA
func[ia f nu
este integrabilf,
pe
[O,
t].
Un
rezultat important
pentru
a
construi
sau a
demonstra
cd o
funcfle este integrabild
pornind
de
la
o functie integrabild cunoscutd
este
urmAtorul:
199
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 196/324
03F
Exemplu
r
Fie
funcfia
g:
[0,
r]-+
ra,
g(x)
=
{:,i:li
t)
sa
analizd.m
integrabilitatea
funcfiei
g
pe
intervalul
[0,
l].
pentru
aceasta
considerim
tuncfia
f
:
[0,
t]
-+
e,
f(x)
=
l, V
x e
[0,
f].
Func{ia
f
este
integrabila
pe
[0,
1],
fiind
funcfie
constantA
si
fif1*)A*=
jjfa*=l(l-O)=t
(vezi
exemplul
de
funcfie
integrabiln).
'
Se observ5.
totodatd"
-A
funcfia
g
se
obtine
din
f
modificAnd
valoarea
acesteia
in
punctul
x
=
l.
Pnn
unnare,
aplicdnd
teorema
1,
funclia
g
este
integrabila
pe
[0,
r]
si
Ijs(*)a"=
ljrl*;a"=r.
3 OBSERVATII
1.
ExistS.
funcfii
integrabile
care
nu
au
primitive.
ll€
Exemolu
o
Fie
functia
g
:[o,
r]-+
a,
g(x)
=
{l
::t:
1).
F,rr,"1i" g
este
functie
integrabirs.
pe
intervalul
[0,
l] aqa
cum
s-a
ardtat
mai sus,
dar
nu
posedd.
primitive
pe
[o,
r],
deoarece
g([0,
l])
=
{0,
l} * interval,
(g
nu
are
proprietatea
lui
Darboux
pe
[0,
r]).
2.
Existd
funcfii
neintegrabile
care
au
primitive.
IKF
Exemnlu
t-
| 2
I
o
Fie
funcfia
r:
[_r,
r]+
a,
f
(x)_
]2xsin
,
-:cos--z-,
x e
[-1.
1]\
{0}
.
lo,
x=o
se constatd.
ctr
funcfia
f
este
nemerginite pe
[-t,rj,
deoarece
lu6"nd
girr.l
lr
(*,,),*,,
=#---r-o,
atunci
qirul
(f
(x,)),r(*")
=#.sinn-
zJznn*n.
.cos
r
=
2Jzffit
+
Tt are
limita
egalA
cu +co.
in
consecinlA,
funcfia
f
nu
este integrabild
pe
intervalul
[-1,
1].
t,
ll +
n,
F(x)
-
{*'"t"{'
x
e
[-t'
I]
\
{o}
lo,
x=O
este
funcfte
derlvablld pe
[-1,
1]
sr
F,(x)=
f
(x),
V
x
e
[-1,
t],
Aqadar,
funcfia
f
admtte primtttve
pe
tnterualul
[-t,l],
dar
nu
este
lntegrabll[
pe
lntervalul
[-i,t].
200
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 197/324
Analizi
matrmaticl
r
ll.
lntegrala
definiti
EXERCtIil
St
PB0BLEME
EXERSARE
El.
Se
se
calculeze gl
s[
se
lnterpre-
teze
graflc
sumele
Riemann
asocl-
ate
funcflllor
f
in
urmitoarele
ca-
zurll
a)
f
:
[o,
2]-+
D, f (x)
=
x,
o
=
(o,*,t,3,r),
*
=
(o,t, ,r),
b)
f :[-r,
l]-+p,f(x)=2x+3,
o
=
(-t,-*,o,*,t),
"
(
1
I
r
2\
g
=[.-t,-
s
,Z,s1t
c)
f
:
[*r,
z]
-+ n,
f(x)
=
x2
+1,
t=(-r,o,1,g,r),
\
22
)'
e
=
(-]'|'t,z)'
d)
f
:
[o,
z]-r
a,
f
(x)
=
Ja,
A
=
(O,
1,2,3,5,7)
,
'=
(i
'''i'.'T)'
E2.
F'ie tuncfia
f
:
[o,
r]+R
-sirut
de divi-
ziuni
(a")
afe
intervahfui
[o,
r]
l,
=[o,
|
,?,
\nnn)
temele
de
puncte intermediare
g(').
Si
se
calcr:leze
Sr,
=
oo"
(t,
6h))
+f
"
=
l 1s.,,
in
cazurile:
a) f(x)
=
3,
6(n) =(
o, ,?,...,
t-t)'
\
nn
n)
'b)
f(x)=2x+1,
{4
=(L,2,...,t-t,r),\nn n
)
c)
f(x)
=
x2
+x,
E(")
=
[o,1,',...,
t
-
t'],
\
nn
n
)
d) f
(x)
=
13,
E(o)
=( ,2,...,
t-t,r'.|.
\nn
n
)
E3.
Se
considerl
funcfla
f :
[O,
t]-r
n,
r(*)
=
{l
::
lo'
t'.
si se
arate
ci:
a)
f
nu
are
primitlve
pe
[O,
l];
b)
f este
integrabilA
pe
[O,
tl
9i
sn
se
calculeze
Jlrt*)c".
84.
Se consideri
funcfia
f
:
[O,
f]-+
A,
f
(x)
=
I-t,
"
e
[o,
r]n
e
\-"
lr,
xe[o,r]na\a'
Sii
se
arate c5.:
a)
f
nu
are
prirnitive
pe
[O,
ll;
b)
f nu
este
integrabili
pe
[O,
U.
APROFTJNDARE
Al.
Si
se
calculeze
sumele
R.iemann
oa"
(f,
€)
in
cazurile:
a)
f
:
[o,
n]-+
a,
f
(x)
=
s63,
o=l,o,
t',
t'.
qt'
)
\
4
2
4'")'
-
(n
n
2n
5n\
.=la'3'T'
6J'
f
,'),
r)
w)'
''[*,r]-n,
(t
t
z
g
=t_
_
_
_
(ro's'E's'
:(t
t
1
I
[e'
+'
z'
Jz'
b)
A
F
f
(x)
=
log2
x,
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 198/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 199/324
Analizi rnatematici
r
ll. lntegrala
delinlti
O
astfel
de
posibilitate
o ofera
urmdtorul
criteriu
de
integrabilitate.
Acest
rezultat
este un
caz
parti-
cular al
unui
criteriu de
integra-
bilitate rnai
general
numit
criteriul
lui
Lebesgue.
&ffAiltiilr@ga/,oiai
tr
Fie
funcfia
f
:
[-t,
3]-+
Sd se arate
cA
functia
f
lz*.
a,f(x)=]t-*.
[4,
este integrabil
x e
[-t,
t]
xe(t,s)
.
x=3
5
pe
intervalul
[*t,
3].
Solutie
Func{ia
f este
discontinuA
in
punctele
x1
-
I,xz
=
2
gi
continud in
rest. Multimea
valorilor
func{iei
este
Imf
=
[-2,2], {4}.
Conform
teoremei lui Lebesgue,
functia f
este
integrabild
pe
intervalut
[-t,
3].
Demonstratie
Funcfia
f
este
continud
pe
un
interval
inchis
qi
marginit
[a,
b].
Conform teoremei
lui Weierstrass
func{ia
f este
marginitA.
Multimea punctelor
de
discontinuitate
pentru
o
func .ie
continud
este
mul{imea
vidd.,
deci este
o mul{ime
finitd.
AplicS,nd
teorema
lui
Lebesgue
rezultd.
c6
funcfia
continud
f
este
integrabil5
pe
intervalul
[a,
b].
203
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 200/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 201/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 202/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 203/324
Analizi matematici
r
ll. lntegrala
definiti
Rezultr
"r
i:
(t"'
*
2x + 1)dx
=
b) Functia f :[-1,
1]+ n,
f
(x)=
+-^
este
xo
-9
intervalul
[-f,
f] deoarece
este
functie
continud.
func{ie
integrabild
pe
nl
^
Multimea
primitivelor
funcriei
f
este
I7\o"
=
fr*[.*i-
t.
Alegdnd
primitiva
F(")=*t"l=I,
rezults
cd:
f'
-: -a*
=
ffhlx-31)l
I
=l(,r,1-hz)
=-Lr,f.
r-Ixz-9
(6
lx+31/l_,
6\ 2
)
6
4
c) Functia
r
'
[0,
;]-rn,
f
(x)*
sin2
]
este
integrabild
o"
[0,
deoarece este
funcfie
continuS.
Foiosind formula
trigonometrici
sin2l=L; I,
rezulta
ca
i.i.'*a"
-
f
-
J9 x
dr
=
+(
fr
o*
- ["o"*dx)
=
lt"
sinx)+
zz.
.'---
2
-
J
2
2\J
J t
2'
AJegAnd
primitiva
F(")
=
jt-
-
sinx),
atunci:
7t
'-
r, .6
t(n
-)
lDsin2adr=-tx-srnxl
=-l
--I
l.
J0
Z----
Z\--
-
-
/lo
2\2
)
d) Functia
f
:
[O,
2]-+ D,
f
(x)=$
este
funcfie
integrabild.
pe
Jro
-
*2
'-0.2)
deoarece este
functie continuA.
Multimea
primitivelor ei este:
- x+l - r. x . r I f:
t
':-Iv-l-.{vrl:
-r16-x2
,Jt6-*,
,Jro-?d"=-fi;*"3
+arcsinL+'('
AlegAnd
primitiva
F(x)=
-.filrP
+
arcsinl,
avem:
-
-.'T6
+
arcsino)
=
-2J5+fr
+ +.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 204/324
Analizi
matematici
r
ll. lntagrala
definittr
EXEBCTIil
$t
PnoBTEME
EXERSARE
81.
Se se
calculeze tntegralele
deflnite
foloslnrd
formula
lui
leibnlz-Newton:
$
d
J-",
(t'2
-
4x+
z)ax;
S
ul
J_j(z=s
+ sx2
-
ox)ax;
I
ec)
Jo,
(l
-
zx)s
ax;
+al
Jj
s
("v;
-
V"t
)a*,
"",
I,"'[*.#)*,
so
IfF**'
t
*r
Jo'6;*"
*,
*
r,r
Ji-;-l
-
a*.
82.
Si
se
calcrdeze
unnAtoarele
intqEEle:
-{,
t}
Jot
to"
* a*;
.ra
{
ot
f-slnxdx;
6
i
u)
I,"(.osz
3x
+
sin2
sx)ax;
,
n l'"(t-2sin2r)a=,
,n
\
2)
s)
Iot;Sz;a*,
tr)
J;atg2xa..
E3.
Se se
calculeze
urmitoalele
lnteg5ale:
.'Ja 1
r"'
Jfffia*;
; ur
J"3;;l;ax;
.'
"r
Jonl;ft;a*;
ar
Jo"ffia*.
oiz'r^f,"""f,a*;
L
fl
t
a='
'f
sin2
|""r2
|
rtd)
APROFUNDARE
*.1
Al.
Se se
calculeze
integralele
folosind
formula
lui Leibniz-Newton:
oI;'#;*,
u
Jj$;a*;
J5
"r
I;ffiax;
ar
t-i-Au*.
to
J4*'*r
,42:
Sn se
verfflce
egeltt[ ile:
Cj;t=dx=h€;
"of'fft;i*=*,
6l[ffi-dx=r;
'.tr"if#dx=r;
"mff#*=#,
ri;;f#u*=#.
208
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 205/324
Analizd matematici
r
ll.
lntegrala
deliniti
A3. Sn se
veriflce
egalitifile:
d
ifz*Gnra*=f,;
b)
i;*Je-*,dx
=
e;
,^\
-L
o
O
JS
cosxJsinxax
=
f
;
d)
)["--:g-dx=l:
:'
Jr
"J4
-
1rr\
*^
6'
et l"lVtrr*dx
=
3.
'Jlx'
4
Viteza
unul
punct
material variaz[
in funcfie de
timp dupi
legea
"(t)
=
=
o,olt3(*/"). ce drum
parcurge
punctrrl
in
10 secunde?
44.
-{-,:s;-,6
in
vedere
de{inifia
funcfiei integrabile
pe
un interval
[",
b]
w
:ge:ar:ijJe
cu
giruri
com/ergente,
se
pot
deduce cAteva
proprietd{i
ale
trurr::-cr
integrabile
pi
ale
integralei definite.
? t-
koprietatea
de liniaritate
a
integralei
O
Proprietf,li
ale
integralei
definite
De mo ns
tr
atie
(e
xtinde r e)
a) Fie girul
(A,,), A,
ar
--::esalului
[a,
b] cu
r-i:r'-ediale.
I
fr*
=
("["t'
'1"1
hm
lla"ll
=
o
(,
*
*,
q("))
=
H,r
-,
s)(eld
)/*{"r
',{tl)
=
lr(e["r
)("{t
-
"l:?)
=
oo"
(t,
Ei"))+
on,
(s, e(")).
{n}
{n)
\
,
...,*i,"'_,,
";':',|
un
sir
de
diviziuni
qi
e ')
.
[*l:1,
-lt],
i
=
t,
t
,.,,
puncte
-{.r'em:
o,
n
-
"ltl)
.
{_
*S-
r
t
g=-
"i)(x(")
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 206/324
Analizf
matematicd
r
ll.
lntegrala
definiti
Deoarece
functiile
f
qi
g
sunt
integrabile
pe
[",
b]
,lgx*"
(r,
6t"11=
J'r1*;o*
ei
l*oo"
(e,€;,)=
ij*f"l*.
Folosind
operafiile
",r"l.r.i
convergente
se
j'*oo"
(t
*
n,
€("))
=
IJrf"la,
*
f
s(x)u*,
ceea
ce
aratd
f
+
g
este
integrabild
pe
[a,
b]
si
are
loc
egalitatea:
f
ft
"
g)(x)dx
=
Jtrl*)o,.
*
Jts(*)0,0.
[a,
b]
+i
intervalul
sunt
rezultd
cA
deduce
cd
ce
functia
kr,
k2
e lD,
[",b]
si
n
functii
b)
Analog
se
deduce
c5
funcfia
kf
este
integrabila
pe
[a,
b]
qi
jj
{r.r)
1"10X
=
k
f
t
t"l
dx.
r
C
OBSERVATII
l.
Afirmaliile
teoremei
pot
fi
restructurate
astfel:
Dacd
f, g:
[a,
b]-+
R
sunt
funclii
integrabile
pe
atunci
func{ia
krf
+
krg
este
integrabilA
pe
ff(u,t
+
krg)(x)dx
=
kr
J"r1*;o*.
r.,
1"g1*1d*.
2.
Daca
n
e
N'
si
ki,
kz,
...,
kr.
e
D,
ian
f,
:
[a,
b]*+
iD
ffiffi,*?kkf*":*_"*_rur
[a,
b],
atunci:
E*n+nfr,awVoAad,
E
t.
se
se
calcule
".
I:r(r",
_
+x
+
2)dx.
Solufie
Avem:
J_',(r",
*4x+z)ax
=
J1s*ra"
*
|rn*d".
I_:,
2dx
=
=
tJ_'
x2dx
-
n
1",
+
2x
11,
=
(s
+L)
-2(4
*
1)
+
2(2+
t)
=
e.
2x212
f
l-r
rt
l),
a
,lt
210
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 207/324
Analiz6
mstematicl
.
ll. lntEgrala
definitl
B
2.
Sa
se
determine
a
e
lQ astfel
incAt
J,
tU"
-
S)dx
=
2.
Solufie
Avem:
J.
lu*
-
5)d*
=
6
I;
x
dx
-
s
Jo
ax
=
3x2
|
;
-
u-
|
3
=
3"
-
r''
Din
condi
,tia
3a2
-
5a
=
2 se obfin"
".
{-*,
,}
'
1.3
)
P2.
Proprletatea
de
aditivitate
la
interval
a
integralei
Punerea
problemei:
f+x*
1, x
e
[-3,
o]
Se
considera
functia f
:
[-3,
1]+
Q, f
(x)
=
j t
func-
[*'
* i'
*'(o'
t]
lie
continuA
pe
intervalul
[-3,
t].
Se
ridicd
urmdtoarea
Problemi:
,,Cum
se
calculeaza
integr.t.
Jtrf
(x)d*?"'
r
Un
procedeu
de
calcul
ar
fi sd
se
determine
o
primitivA
a functiei
f
pe interv"t.rt
1-S,
1]
Si
apoi
sd
se
aplice
formula
lribniz-Newton
(tema).
r
Alt
procedeu
de
calcul
va
fi dat
de
urrndtoarea
proprietate
a
inte-
gralei clefinite
a
unei
functii
integrabile.
Func .ia
f
considerati
mai
sus
este
continud,
pe intervalele
[-S,
0]
s,i
[0,
1],
deci este
integrabili
pe
aceste
intervale. AplicAnd
teorema
6
se
obfine
Jtrrl*;a*
=
Io"r(*)0"*
fir1";a".
Rezuttd.
ca
Jtrrl*1a*
=
I-ou(n*
+ 1)dx
-
fi*6*
=
(zx2
*
")l:,
-
+arctgxlf
= -rS+{.
t
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 208/324
Analizl
matematici
r
ll.
ln
Erp/w{rn
,rafalntalp,
SA
se arate
cd
funcfia
f
este
integrabiia
pe
[-
L
r]
si
se
se
carculeze
f
,
r
1";
0".
Solufie
Restrictia
funcfiei
f
la
intervalul
[-L
o]
este
integrabild
fiind
o
funcfie
continud
si
lo
r(*)o*
=
f
o
r* +
r\rrx
=(t*
-)lo
-
t
Pentru
a
demonstra
integrabilitatea
funcfiei
f
pe intervalul
definim
funcfia
g:
[0,
1]+
D,
g(x)
=
*,
_..8.
Deoarece
g
este
functie
continud
pe
[o,r],
ea
este
integrabild
pe
[o,
r]
si
jje(*)d,
=
fi(*,
-
.tr)a*
=
[+
-3"*
jl
=
*
_;
=
_*
\
/lo
Se
*hserv6
ca
f
(x)
=
g(*),
V
x
e
(0,
1]"
AplicAnd
teorema
I pentru
fu*c{.iile
f
+i
s,
se
deduce
ca func{ia
f
este
integrabiid
pe
intervalul
[0,
r]
qi
firi")o"
=
Jjs(";o*
=
-*
Aptcancr
proprietatea
de
aditivitate
ra
interval,
rezultd
ci
funcfia
f este
integrabird.
pe
intervalul
[_r,r]
qi
integrala
sa
este:
J',r1*;a*
=
Jo,
r1";0"
*
ljrl*yo*
=;_*
=
*
tr
2.
Fie
functia
f :[-t,2]-+D,f(x)=l*'-rl.
si
se
arate
ci
f
este
funcfie
integrabili
pe
intervalur
[-r,
2]
si
se
se
carcule
r"
I:rr
(x)dx.
Solulre
Funcfia
f
este
funcfie
continuA
pe
intervalul
[-L
2]
(operatii
cu
func_
lii
continue)
pi
prin
unnare
este
funcfie
integtabild
pe
intervarul
[-r,
z].
Legea
de
coresponden[d
a
funcfiei
f
se
scrie
sub
forma:
lu2 *r
f(x)
=
]x-
-:'
*
t
[-t'
o]u[t'
z]
l*-*t,xe(o,t)
[0,r]
2t2
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 209/324
Analizi
matematicd
r
ll.
lntegrala deliniti
}ln
proprietatea de ereditate rezultd cA funcfia f este integrabilA
gr
-:en-alele
[-1,
o],
[o,
t]
+i
[t,
z].
S,plicend
proprietatea
de
aditivitate la interval
a
integralei se obdine:
l_'.ut"ld"
=
I:,r(x)dx- Jjt(x)dx. J,"(x)dx
=
jl,("'**)a**
--.
:r-*,)d*.
i,,(*,-*)d*
=[*
*)i_,.[f
f)|,.[*
f)|,
=#
llL
hoprietatea
de
monotonle a
lntegralel
a)
Fte
qirul
(A,,),
A,,
=
(rf),
*t.'),
...,
"[,)-,,
*P) m
qir
de
diviziuni
ale
intervalului
[a,
b],
cu
rim
ll4ll
=
o,
iar
E(")
=
(el"),
ef).
,
eli)-,,
efl),
i='
=
["fl],
*{"'],
i
=
l,
k,,,
un
sistern
de
puncte
interrnediare. Atunci
k"/
'-_
{r,
q("))
=
ir(e{"))
("1"'
-
' :l)t
o,
V
n
e
N'
(s-a
rolosit ca
r(x)
> 0,
'
i=I
;
xe
[a,
b]).
Deoarece
tofi terrnenii
qirului
("^"
(t,
q(")))
sunt
pozitivi,
iar
qirr.l
este
convergent,
atunci
qi
trimita
sa
este
pozitivd,
adicA
J"f
1t;,ft
>
O.
b) D;finim
funclia
auxiliari
h:[a,b]+Q,h=€-f.
Din
proprie-
tatea
de liniaritate
a integralei rezulta
cd
functia h
este integrabild
pe
[",
O], iar din
proprietatea
de
pozitivitate
rezultA
""
J:h(x)dx
>
O.
'b-
rb
Apadar, j"[g(*)-f(x)]dx>0,
reiafie
din
care
se
obtine
J"r(x;ox<
=
J"og(x)dx
qi
proprietatea
c1e
monotonie
a integralei este demons-
tratd.
I
tw ns tr
atie
(
e
xtinde
re)
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 210/324
ea6/znuA'
.a/a/,naln,
E
Sd se
demonstreze
inegalitatea
Jo"trrl*+l)dx>
Jo'-:-6*,
fara
a
calcula
integralele.
So-lufqe
Fie
f,
g,[0,
e]+
Q, f
(x)=
ln(x
+
r)
si
g(*)
=
t'_
r
Vom
demonstra
ca
f
(x)>
g(x),
V
x
e
[0,
"].
Definim
funcfia
h:[0,
e]-+
e,
h(*)=
f (*)-g(x),
funcfie
derivabila
pe
[0,
e].
cu h'(x)
=
-
>(.-:.
'
(**1)2
se
observe
ce
h'(x)>
o, v
x e
[0,
e],
ceea
ce
arata
cd
func{ia
h
este
crescatoare
pe
intervalul
[0,
"]
;i
0
=
h(0)<
h(")<
h(.),
V
x
e
[0,
*].
Apadar,
h(*)
>0,
V
xe[0,
e],
adica
tr(x+1)
=*,
V
xe[0,
"].
AplicAnd
proprietatea
de
monotonie
a
integralei,
se
obfine
cd
fo'tn1x+l)dx>
feX
>
I
-cLK.
Jox+l
Intr-adevdr,
aplicind
proprietatea
de
monotonie
a
integralei
pentru
functia
f
si
functiile
constante
nr
si M
pe
intervalul
[",U]
se
ob{ine:
ij**=
fr1";0"=
frurorr
retafii
din
care
rezulti
inegalitdfile
din enun{.
Demonstratie
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 211/324
,ul
:
frallemB
te/ohtald,
E
Sd se
demonstreze
inegalitatea
t
=
fie*'dx
<
e.
Soiufte
Func{ia
f
:
[0,
1]-+
R,
f
(x)
=
ex'este
integrabila.
pe
[0,
l]
fihd
runcfie
continud.
s6 determind.m
m, M
e le,
valorile
extreme
ale
funcflei
i
pe
intervalul
[0,
l].
Deoarece
f,(x)
=2xe*'>0,
y
xe[O,
I],
rezultd.
c6
funetiaf
estecrescAtoarepe
[0,
l].A*adar
m=f(0)=I
Si
M=f(1)=e.
Aplicand proprietatea
de medie
se
obfine
t(t-o)
s
fir1*ydx
s
e(t
*o)
ei
problema
este
rezolvati.
Demonstratie
Din
ipoteza
cd f
este
funcfie
continue
pe
[a,
b],
rezulta
ca
lfl
este
funcfie
continud
pe
[a,
b],
deci
integrabild
pe
[a,b].
Din
proprietifite
modulului,
avem
c6
-lr(")l
< f
(")<
irr:,1,
v
x
e
[",
n]
qi
apticand
monotonia
integralei
se
obfine
-f
Ft"llr*
<
Jbr1")dr
<
J";r1"1ar.
Asadar,
llitt,.ld'l
=
i:lr(x)lox
r
ea.61pmn,
.e'rohtala/
Fie
f
:
[a,
b]-+
D
o
funcfie
integrabild
pe
intervalul
[",
b].
Daci
lrl
=
vr,
atunci
I
Ii
r
f
-l
*l
=
oo
1u
-
"y.
Soluhe
Din
consecinfa
3
qi
proprietatea
de
monotonie
a integralei
se
obfine:
lf
tt*yo*l=
f
;r1*yla*
=
f
**
=
M(b
-a).
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 212/324
Analizi
matematici
r
ll.
lntegrala
deliniti
C
OBSENVATI
l'
consecinta
B este
varabila
-si
pentm
funcfii
integrabile
oarecare.
2.
Reciproca
acestei
consecinte
este
falsd,.
ru's
u'lrsuar-c.
Dacd
funcfia
ffl
este
integrabild
pe
[a,b]
nu
rezurtd
intotdeauna
cd
funcfia
f
este
integrabila
pe
[a,
b].
u9.Exemplu
r
Fie
f :
[a,
b]+
a, f (x)=
{1'-
x
e
Q
x'rtA/=1-t,"e
R\e'
Functia
f
nu
este
integrabtlf,
pe
[a,b].
Avem
insd
lr(*)l
=
l, v
x e
[a,
b]
ei
ca
urrnare
lfl
este
integrabild.
pe
intervarur
[a,
b]
fiind
funcfie
continuA.
EXERCtIil
$t
PBoBTEME
Ef.
Si
se
arate
ci
urmitoarele
funcfil
sunt
integrabile
si
si
se
calculeze
integralele
lor:
a)
f
:
[-r,
2]+
p,
f
(x)
=
(zx
+
S,
x
e
[-r,
r].
\
/
l-sr2+1,
xe(r,z]
'
b)
f
:
[o,
B]+
D,
(r
|
_
xe[o,z)
f(x)=
)x2++
tl
[;u='
xe[z'
s]
l-:-'l-;';]-
o' r(*)
=
lstnxl;
i
I
f
:[-2,
z]-+
a,
r(x)
=
l*,
_
rl.
E2,.
Firi a
calcula integralele,
si
se
-'"r' arate
ci:
d
g#f,}dx>o;
b)
lo'(r*
-
x2)e-"dx
> o;
3-_-*_
t)
Irt
t/*3
-
3x
dx
<
o;
d)
J-t,
(*3
-
a*2
-
ex
-
s)a"
s o.
Folosind
proprietatea
de
monotonle
a integralei,
si
se
arate
ce:
.l
Ji(*,
-
sx)ax
=
l,p-
2x)dx;
o)
li:f
a*>zf#*,
q
[3Ji+td"=
Jr"(x-r)dx;
uttji-'ln(r+
x)cx
<
JJ-'=*.
Firi
a
calcula
integralele,
si
se
arate
ci:
a)
-rtr
,
[""{rt+
r)
dx
< 3E;
b)o<
cl-zs
Jo'(t*
zx-sxz)ax<f,;
10
x+2
-
I
J-r
xJc=
-t'
l-',ff*=n'
IilFEr*sJo.
a
3
Js<
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 213/324
Analizi matematici
r
ll. lntegrala
deliniti
-d-i
SA se arate ci
urmltoarele funcfil
sunt
lntegrabile
;i si
se calculeze
iutegralele
ace$tora:
a) f
:[-r,3]+A r(x)=max(f,
x+z);
u) r:
[o,
"]-
n,
.
fo,
x=o
rt=)=l-i"(*-u,
n9), *.(o,
"'];
c)
f
:
[o,
3]
-+
R
f (x)
=
lx
-
rl
+lz;x- 4,t
d)
f
:
[-3,
1]
-+
a,
r
(x)
=
ix2
+
zxl.
Ai
Sa se
arate ci urmitoarele
funcfii
sunt integrabile
gi
sd se
calculeze
iltegralele acestora:
a)
f
:
[-r,
2]-+
n,
f
(*)
=
[x
+ 2];
b)
f :
[o,
r]-+
a,
f
(x)
=
["Jz];
c)
f :
[r,
4]
-+ Q,
f
(*)
=
[x]-
2x;
d)
r
:
[o,
2]
+
n,
r(x)
=#tE,
e)
f
:[o,3]-+n,
f(")=*[*]-[*-z].
i3,
Folosind
proprietatea
de monoto-
nie a integralei,
s[
se arate
ci:
a)
J_2
e"*rdx
>
J',
""
a"t
u)
J2e""dx
r
Ji("'
+
r)dx;
c)
Jj
e-*'dx.
Jo'
;fua*;
ar
Ji
rnx
dx
s
I;
#*'
"r
jjt*
+
r)h(x
+
1)dx
>
fi
arctsxax;
ft fs ln(x+l)ax> [s
-?
_
a*.
'Jl
x
Jl
2x+1
A4, Se
se
arate c&:
a)
2G
s
fie*'dx
+
Jlel*'ud:r
{
I +
ei
u
f
-$#dxsJa,
APROTUNDARE
n-1il
a
Flc
girul (Io),
Io
"
J*
etnn
xdx.
a)
$A
sc
calculeze Io, I,
ql
Ir.
b)
g*
Fe
aratc e[
qlrul
(I")
eate
monoton
ql
m$rglntt.
-2
rl I
-
1
cl
-<
I
:dx<::
3
'o Jz
+
x-x2
J2'
d)r<ffi
"ou*
62g<4.
I
Jo
l+cosx
6
A5.
Se se demonstreze
inegalltdfile:
o<flx21 a*=
t
sisisecal-
rol+x
2n+1
culeze
um
[t
*2t
d*.
n-r*Jo1+x
A6.
Se consideri integralele:
t"
=
Ij;$u*
ui
,
il
r"=l;"$"*
,n,,
:,
i,:
S[ se
arate
cd:
a
Io)Jo,VneN;
t
b)
O<I"a
rr*r,VneN;
c)
lim Jn
=
O.
n-)6
47.
Sn se compare:
"at
Jfrnxdxqili+*'
',
,'
, ;.,'.
.'
\l
b)
[1
cosxdx si f
(r-4)*,
'Jo
,ol\
2)
")
If
xarctgxdx
si
ff
r"(r + x2)ax.
,3',
A8.
Fie
girul
(Io),
r"
*
f;
rn
(r
+
x")ax
.
a)
Si
se arate
ci
sirul
(I"
este mo-
noton
qi
mlrgtnlt.
b)
Si
se
arate
cE
t
s
--L,
V
n
e
N,
n+r
ql
ad
se
calculeue
llm lrr.
2r7
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 214/324
Analiztr matematicl
.
ll. lntegrala delinitl
AlO.
Se
consideri
funcfiile
continue
f,
g:
[a,
b]
+
A.
Si
se
arate cl
(ll
tt.l'e(*)*)'
=
r
J:fr(')a*.f
e,(x)dx.
frnegalitatea
fui Crrrchy&nialowki-
*lutan).
A11. Fie
f
:
[O,
f]+
D
tunc.tle
tntegrablli
pe
[o,
1]
lt
In
=
Jjx"r(x)dx.
Dacr
",,
=
Jrful
-
JF;,
n
e
N',
si se
calculeze
,l*""t".
(Admitere
ASE Bucureqti, 2OA
3l
DEZVOLTARE
D2.
Fle
f,
g:
[a,
b]*rQ,
func]il
contlnue.
Sl
se
arate
ci:
a)
funcfltle
ntn(f,
g)
+r
max(f,
g)
sunt lntegrablle
pe
[a,
b];
t)
jtmm(r(x),
g(x))dx
s
.
-r"
(
ll
r(x)
ax,
I.o
e
(")
a");
.)
Jnrnax(f
(x),
g(x))dx>
t
-*(
Jt
r1*1a*,
I.o
c
(*)a*).
Daci
funclitle
f,
g
:
[a,
b]
-r
Q
sunt
continue, sl
se
arate ci:
Jlttt*l
+
g(x)12
ax
<
J"o
12
1*;
ar.
.
JJl.'(*)a*.
(Inegalitate a
lui
Minkoutski)
D3.
Fte f,
g:
[a
b]
-+4,
funcftt
monotone.
a)
Dac[
f
qi g
au aceeagi monotonie,
atunct
I"o
t (r)
g
(*),1*
>
'
*
(
I:
r
1.y
a")(
Il
s
t"r
*).
b)
Daci
f
gi g
au monotonli
dlferlte,
atunci
Jltt*la(x)dx
<
=
*(
Il
r1*y
a')(
I""
e
(")
e).
(Ine
galitdfile
lui
Cebd+eu)
Ol.
Fle funcfia
f
:[o,
r]+D,
f
(x)
=N2
+22
qt
4,,
=[o,
+,?,...,t= t,r)
o
\
nn n
)
dlvlzlune
a
lntenralulut
[O,
r].
a) Si se calculeze
gumele
Rlemann Sn
=
6an
(f,
€) St
S'o
=
oa.
(f,
g'),
dac6
-
(t
z n\
(t
g
2k-r 2n-1\
q
=
f;'
i""'
nJ
n
e
=
[.il'
E r-""'
-F""'
z"
)'
b) 9A eo
calculczo llm
Sr,
6l
llm
Srr'.
(4
puncte)
TESTE DE EVALUARE
Testul
I
/1
218
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 215/324
Analizd
matematici
o
ll. lntegrala definiti
:c
*r
r:r-+D,
r(*)={:t
",
-r1,
".".
a
Si
se determine
a
e
Q
pentru
care funefla
admite
primitive pe
Q.
:
3F
se
calculeze
Jl[*"(x)
+
f'(x)]ax
pentru
,,a"
determinat
anterior.
(3
punete)
$-
sc
consideri
funcgia
f
:Q-ra,f(x)=l*'*l*'-"1-rl. oaca
t=
j;f(x)ax,
ero-eci:
49
a
I=-'
6
(Admit-,re
ASE Bucuregti,
7999,
Facultatea. de Comerg)
,CiJdura
specifici
a
unui
eorp
la
temperatura
t
este
egal6
cu
c(t)=q,2*
-
O,OOft.
Ce
cilduri
este necesafd
pentru
a incilzi un
gram
din acest corp de
la
O'Cla
IOO'C?
Testul
2
Se
se determine
funcfia
f
:
Q
-r
n,
f(x)
=
axz
+
bx+
c,a, b, c
e F,
care
satisface
condi$iile
f'(1)
=
8,
f
(2)
+
I'(2)
=
33
9i
Ji
t
t*l
u"
=n.
(3
punete)
sasedetermine
ae(r,
+o)
astfelincat
*
Ii[iJx.t-*)dx=4.
("
punct)
folimp{edd,
.fffi
e
loealdl
ut
r=f,;
ct
r=|;
d)
I=;.
(2
puncte]
(2
puncte)
l'P,
x=o
f
13,
Se
difuncgia
f :[o,
+o)-;n,
f (x)=]-,
i
t
l v\n.
Daci
I=
jf
tq*tra*,
t^
L*'l'
2
atunci:
a) r=1;
b)
r=*(-L.#)- ;
"r
'=#-t;
ar'=#.*.
(spuncte)
(Ad.mitere
ASE, Bucuresti,
I
998, SEI*S,
lr-x,
xeQ
t4,
Seconslderifuncfla
f :Q-+n,
f
(x)=ll,
xeD
\
e.
Lx
a) S[ se arate
c[
f nrr
este
tntegrabtlfl
pe
nlel un intenral
[n,
b]
c n.
b) S[
se
arate
el
f
o
f
are
primltive
ql
este integrabil6
pentru
orlcare
[a,
b]c
P.
319
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 216/324
Anterior
s-a
stabirit
ca
orice
funcfie
continud
pe
un
intervar
este
ntegrabild
pe acel
interval.
*r"rll"ililxluare
vor
fi prezentate
cateva
rezuitate
proprii
clasei
de
Funcfia
f,
fiina
func{ie
continud
pe
intervaiur
[a,
b],
este funcfiemdrginitA si
isi
atinge
marginile
{teorema lui
Weierstrass).
Fie
rn
=
inf
{f
(x)ix
e
t",
nj}
qi
M
=
sup{r1x;lx
e
[a,
b]],
marginile
funcfiei
f
pe
intervatur
[a,
b],
ia*n
v
€
i",
n],
astfel
incat
m
=
f
(u)
qi
nn=f(v)'
Deoarece
m<f(")=rvr
pentru
oricare
xe
[a,b],
apricdnd
proprietatea
de
medie
a
integralei,
se
obfin
relafiile
m(b
-
";
<
Jirl*)ox
<
<
M(b
-
a),
care
se
mai
scriu
sub
forma
f
(r)
=
*
=
*
J"f
1*;0,
<
<u=f(v).
Functia
f
este
continud
pe
intervarur
[a,
b],
deci
are
proprietatea
l,i
Darboux
pe
[u,
u]'
Rezultd
cd
existd
t
e
[a,
b]
astfel
incdt
f
(€)
=
*
Iitt"ldx
qi
demonstrafia
teoremei
este
incheiatd.
r
>
c0MEfrtTARil
l'
Numar",l
f
(6)=*J"r1*;oo
se
nurneste
valoarea
lntegral.
medie
a
funcfiei
f
pe
intervalul
[a,
bJ.
2._
lnterpretarea
geometricd"
a
teo-
rernei
de
medie
Pentru
o fi:nefie
f pozitivA.
pe
intervalul
[u,
b],
in
conditiile
teoremei
de
medie,
existA
q
*
[u,
bJ
astful
iircAt
aria
subgralicului
f1
sA
fie
egalA
cu
aria
suprafefei
dreptung]riulare
cu
dimensiunile
(U**)
$i
f
(€),
figura
tr.
220
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 217/324
Analizi matematici
r
ll. lntegrala
deliniti
W&lerr?n,
to7alnaln,
ffi
Sa
se
determine valoarea integralS medie
qi
punctul
{
in care
se
obtine
valoarea
integrald
medie
pentru
func .iile:
a)
f :
[r,
./5]-+
in,
f
(x)
t) r:
[0,
*l-
ia.
f
(x)
=
cosx.
\
/
J+-*'
L
2)
ifrr-ae
a) Se
aplici teorema de medie
funcfiei continue f
pe
intervalul
--
..l_.
Aqadar, exists.
E.
[L
J2]
astfel incdt:
IrJzIt*lEl
'l
=-
|
-?--dx-
-
arCsin-l
-_F--.-=--lVZrIl.
r
2
-
r
Jr
"l+
-*,
Jz
-t 2lt
Jz
-1
+=
fr(JZ
-r)
qr-'narul
I
se
poate
calcula din ecuali"
f(€)
=#(Jr+r) si
se obtine
qi
<
s
.
=?;7na1s
-zJZ1.
[r,
..8].
b)
Aplicand
teorema
de
t-ftn
:-cAt
f (q
=
ij;
co"
**
=
1,.
-
obtine
g
=
arccos?.
[t,
;]
medie
rezulta ci
existd
e
.
[0,
L
Din ecuatia
f
(t)
=
?,
respectiv
-l
I
astfel
2)
,.2
COSq
=
-,
TE
I
Demonstratie
Pentru a demonstra
cA F este
primitiv5
a
[",
n] se vor verilica urmf,toarele
proprietifi:
a)
F este
funcfie
derivabild
pe
[a,
b];
b)
F'(x)
=f(x),
V
x e
[",
b].
Funcfia
F este derivabilA intr-un
punct
limita
6
I(").:IGo)
=
F'(xo)
e
D.
x-)xo
X
-
XO
funcfiei
f
pe
intervalul
22L
xp
e
[a,
b] dacA
existA
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 218/324
Pentru
a
ardta
acest
lucru,
fie
x, x6
e
[a,
b],
x
*
X6,
xs
fixat,
dar
oarecare.
Avem:
n(')
-
n(*o)
=
l"
r(,)dt
-
i*.
f
(t)dt
=
J-
r1t;a..
l"
f
(t)dt
=
=
J'
f
1t;Ot
(proprietatea
de
aditivitate
la intervat),
(t).
AplicAnd
teorema
de
medie
funcfiei
f
pe
[x6,
x]
sau
[*,*o],
re-
zultd
ca
existd
l*
intre
x
qi
xe
astfel
incat
f
r
1tlat
=
f
(€*
)(x
-
x6
),
(2).
Din
rela{iile
(1)
pi
(2)
se
obfine
ry*d
=
f
(€").
Rezr-rtta
ca F'(xe)=
gT.ryjP
=
J*.f
(q,.)=
f
(xo)
(q*
."t.
intre
x
Fi
Xo,
iar funcfia
f este
continud)
qi
astfel,
F este
derivabila
in
punctul
xs
e
[a,
b].
Aqadar,
funcfia
F
este
derivabild.
pe
intervalul
[",
b]
9i
F'= f,
deci
F este
o
primitivd
a
funcfiei
f
pe
intervalul
[",
b].
Avem
totodat6.,
F(a)
=
f'f
1t;at
=
0.
I
Enodrf,
tegototaln
E
1.
Fie F:
e-+D,
F(x)=
ff**
56 se
calcuteze
F,(O),
F,(t),
F,(-2).
Solufie
Funcfia
f
: D -+
p,
f
(t)
=
*
este
continuA pe
te,
deci
are
primitive
pe
Ip.
Fie
G: D
+
tD
o
primitiv6
a funcfiei
f.
Apticand
formula
lui
kibniz-Newton
se
ob{ine
F(x)
=
c(*)
-c(O).
Rezult[ ca
F'(x)=G(x)=f(x)=
E*
-,
V
xete.
x- +l
L
Se
gdsegte
F'(O)
=
i,
F'(1)
=
9,
F'(-2)
=
?
2.
Fie
funcfia
F
: te
-+
D,
F(x)=
I,.'.tfr0,.
a)
Sa se
calculeze
F'(x),
x
e D.
b)
Sa se
studieze
monotonia
functiei
F.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 219/324
Analizi
matonatici
.
ll.
aJ
iu.nctia
g
,[t,
x2
+
t]
+
iA, g(t)
=
#_
,
este
continud
pe
interva_
t"+l
_*
r-
-1_.
deci
admite
primitive
pe
acestinterval.
Fie
G
o
primitiva
ffimcsrer
€
pe
intervaful
[r,
x2
+t].
Rezultd
cd.
F(x)
=
C(x2
+t)_c(l)
(x'+1,)
+t
bil
Srudiind
semnul
funcfiei
derivate
F,
a
funcfiei
iuiln
:escrescd.toare
pe
intervalul
(_*,
0]
Ei
este
umm:nr*ul
[0,
+.o).
F,
rezultA
c6
F
crescAtoare
pe
EHCfTil
gt
PR0B|EME
EXERSARE
ff"f,|Tffitlf"frfiIa
integrari
ll 4
si
se
calcureze
ri"(x),
r(-2),
F,(z)
ic
pentru
funcfllle:
ffil
Se
se
studieze
jronotonia
func
fiet
F.
[s,
+]-+
a, r(x)
=
;5A,
m1
9
t. f :[-2,
O]
-+
e, f
(x)
=
---+--
x-
+ 4x+6
9l ec
determlne
punctul
I
in
care
se
lelti2sE2i
valoarea
integral[
uedie pentru
functiile:
rJ
f
:[r,+]+n,f(x)=Jx;
bir
f
:
[o,
r]-+
a,
f
(x)
=
xz
+2.
Se
consideri
funcfia
F :
e
_+
e,
P
{:) =
Ii
"r'
(t,
-
+)at.
@(lo"*"'[-
*u.;'=
=
-
sln
x
.lstn
xl;
")
(1o*'*n".trJT
ur)
=
=
2
(x
+ 2)"
"grr(x
+
Z);
.,
[ry"
n
(z
+ 3
cos,
.)a,)'
=
=#hs.+t'
*
t'_;
,
;l-D,
f
(x)
=
srnx;
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 220/324
A1.
Fie
funcfia
f
:
[a,
b]-r
e,
continui
gi
strict
monotoni.
Si. se
arate
c6
existi un
singur
punct
(
e
[a,
U],
astfel
incat
Jnr(x)dx
=
(b
-
r)f
(€).
A2.
s6
se carculeze
,$nzll.t$j*
I
Daci
Io
=
f,
arctg(nx)dx,
ne
N'
n+1
Fi
L
=
l*r(r
+
t)t,,,
atunci:
a)
L=O;
AIU=f,;
c)
L=1;
q
L=9.
2
(Admiterc
ASrE,
Buctnesti,
2AO2)
Si
se
calculeze:
d
I35#
Jo"r,,(rrt2)dt;
b)
nq;*a,
J"'*"ir,"
tdt;
c)
,.*
Ii'
r"
(r
*
t
*
t')at
x-+o
Jj
n
(r
+
t3)at
Si. se
determine
funcfiile
contlnue
f
:P-+Q
astfelincit:
t)
IJr(t)at
=x2,
x
e
e;
rt
Jo"r1t;at=
I:*r(t)dt,
xee;
c)
z
Jo"
etr (t)
a.
=
Io'"
f
(t)
dt,
x
e
D.
Fie
f
:
A
-+
A,
f(x)
=
"Eo(").
Si.
se
stu-
dieze
derlvabilitatea
funcfiei
e
(x)
=
Jr'lJ
r
t.l
dt, x
e
e.
47.
SA se
determine
func ,iile
contlnue
f,
g:
D +'D
care
indepllnesc
simul-
tan
condiflile:
J,or1*;a*
=
I
(b)
-
g(")
si
J.b
x
r
(x) ax
=
bg
(b)
-
ag
(a),
Va,beR.
APROFUNDARE
DEZVOLTART
Dl. Fle
f,
g:
[a,
b]-+
e,
funcftt
lntegra-
bile.
Daci
g(x)
> O,
V x
e
[a,
b]
+t
m
=
lnff
gl
M
=
supf,
s[ se
arate
sA exlsti
c
e
[m,
M]
astfel
incdt:
Jlttrl
g(t)dt
=
"
.
Jl*
(t)dt.
D2.
Fle
f,
g
:
[a,
b]-+
A.
Si
se
arate
cl
daci
f este
funcfle
integrabiln
pi
€ste
funcfle
monoton[,
exlsti
c
e
[a,
b]
cu
proprietatea
cA:
J.ot(*).
g(x)ax
=
g(")
J'
r1x;ax +
+
s
(b)
Jt
r
1";
a*.
224
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 221/324
Analizi
matematici
r
ll.
lntegrala
deliniti
tetode
de calcul
pentru
integrale
definite
i..l.
Metoda integririi
prin
perti
F-:ffLia
f
.g
este
funclie
derivabilA
pe
intervalui
[a,
b],
fiind
un
(fg)'
=
f'g +
fg'.
Rezultd"
cd
funcfia
fg
este
o
"e
fi-rnctii
derivabile
si
a
fr:nctiei
f'g +
fg'.
-$p{}cand
formula lui
kibniz-Newton,
se
obfine:
j__t
r')e(')
+ f(x)g'(")]e
=
f1";g1'11
i,
trf.
ftn
proprietatea
de
liniaritate
a
integralei
si rela{ia
(l)
rezulta
cd:
i-'r
r')g(")o*.
f
t(")g'(")dx
=
f
(x)
g(")
ll,
egalitate
din
care
Geftf:m€
relatia din enunt:
'
rr.*1s'(')d'
=
f(x)g(xlll
-
ft'fx)g(x)dx.
r
Mt
&/n/ntalz
m
1.
Sa se calculeze
urmS.toarele
integrale,
utilizAnd
metoda
inte-
Fdi
prin
pdrfi:
d
i.t
xe*dx;
o
i,jr.*0";
:tndnr
r"rq
d
AlegAnd f
(x)
=
x,
g'(x)
*
ex
se
obfine f'(x)
=
1,
g(x)
=
e*.
{fmd,.m formulei
integrdrii
prin
pdr,ti
rezultS:
l;xe*dx =
X€x
ll-
I,'""*
=
xex
l;--"17
=(r.,
--)-(.2
-")=.2
b)
I,
fn"a"'
e)
Ifx+f=dx;
c)
J"xcosxdx;
I
f)
[s
--
r-a;.
';
cos' x
225
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 222/324
b)
Se atege
f
(x)
=
tnx
si
g'(x)
=
1.
Se
obflne
f,(x)
=
|,
S(*)
=
*.
AplicAnd
metoda
integrArii
prin
pAr,ti
avem:
lirnxox
=
xlnxli-
f
1dx
=
(e-0)-*li
=
e-(e*t)=
r.
c)
Fie
f(x)=x
Fi
g'(*)="o"*.
Avem
f'(x)=t
qi
S(x)=sinx.
Cu
aceastd
alegere,
aplicand
metoda
integrlrii
prin
pe(i,
se
obtine:
Jj"co**dx
=
xsinxl[
-
Jo
sinxdx
=
O+cosxl;
=
-t
-L=-2.
>
co_MEtllTARtu
Dacd.
s-ar
face
alegerea
f
(x)
=
cosx,
g'(x)
=
x,
atunci
metoda
inte_
grarii
prin
p6rti
ar
conduce
la
egalitatea
Jj*"o**O*=$"o"*1"
*
2
lo
1 rl
o
*t
Jox'sinxdx'
Se
observd
cd
integrala
rezultata
in
membrul
al
doilea
este
mai
complicatd
decAt
integrala
inifiali.
in
astfel
de
situafii
se
face
o noud
alegere
pentru
functiile
f
Si
g,.
d)Alegem
f(x)=r[+*
qi
d(x)=1.
Rezurticd
f'(x)=ffi;
si
g(x)=x.
AplicAnd integrarea
prin
perfi
se
obfine:
J'Jr.
":a'
=
fi{r)'
Jr
*,pa*
=*.[;,Pl,
Ij*,;ft;a"
=
-
l; fl
x2
. t= .r(t*"2\-t
=J2
-
f.fto*=J2
fi\fr|l
dx=J2_
1'Jr**ro.*
.fi#crx
=
J2
-
ii.fi7dx*m(*-,Jt.*,)l'
=
=
J,
-;'Jr.7a"
+
n(r
*
J2).
Asadar,
fi.,fi?."
=
J,
-
fiJr."30"
+
rn(r
*
Jr),
relafie
din
care
se
obtine
z["tt+x2dx
=Ji*rn(r+J')
+i
fi.[-"3d"
=iln+m(r.Jt)]
>
CtlMENTARIU
calculul
acestei
integrale
putea
fi
pornit
amplificand
radicalul
cu
el
insusi,
ob inandu-".,
ljJr
*
"ra"
=
fi#a*
=
fi;ft;o*.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 223/324
Analizi matematici
r
ll. lntegmla
deliniti
face
.
-{.c*
.
jj
*,
(di":
)'a*.
rcrcsi m.oment,
prima
integral&
se
calculea-;A
foloslnd formula
-l*,en--on
pentru
primitiva
r(x)=m("*.,ilp)
i"1.
cealalt&
\/
m
-:lau-leazd
prin
metoda
integrdrii
prin
pAr,ti,
alegAnd
f
(x)=
s,
T
-:
sr ca
urrnare,
f'(x)=
I
Fi
g(*)
=1ffiF
qi
*
-q-
m
:bcne:
ij.(6;p)'0"
=
*r[**p
|
'
-
fi.n**
=Je
-jjfr.*
a,.
&**r-::-
j"
r
*
*a*
=
n(t-'
€)
*
Ji
-
jjfr;70",
deci
f
.[***.
=
==.
.J
-
rr,(t
-
€)]
e]l
Sa
amplificam funclia
de
integrat
cu
r/*2
-
4.
'G
7--+*x=
*#d"= [f-={-
dx-
lf3a"=
:-":m
J"g
xv>
,ru
l*"
_4
,r"
,lr?
_+
,tu
l*,
_4
=:
-
4J?\il"l
=
,,
-
4,
(rt.
l{5
Pentru
calculul integralei
11 se foloseste metoda integrdrii
prin
par,ti,
nmri::rd
f
(x)
=x2
si
g'(*)
=+=(Jr*
-+;'
4x"
-4
Se obdne:
t,
=
f"
tr*
=
f"'(..F;i'6*-*zffllc
-
-:1.;
*^[*2
4dx=11*zjf
x.',F;dx.
''S.
oU".rvd
cA
I,
con(ine integrala
de
Ia care s-a
pornit.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 224/324
Inlocuind
pe
I,
in
relafia
(1)
se
obfine
in
final
if
".AU;dx
=
I
f)
pentru
ir:ceput,
se
scrie
I
=
sin2
x
+
cos2
x
ui""oo,
*
oo*olu.
urnitorul
comun
ra
liecare
termen al
""*"oi-Jrirrir.
L"
obfine
succesiv:
i-,
-l-
a*
=
pf
sin2
x
+
cos2
-
rr
'
2.
IE
rr
"olr*
*
=
Jr"ffio"
=
li#+o".
I_;;$;a"
=
=
ftu'*
;h*
+tgx,';=
Ii*'x.
(tgx)'
ox+
(J5
-
r)
= (J5
-
r)
+r,.
(2)
u,
u.
f,JillT
calculul
integralei
I,
se
aplicd
metoda
integrdrii
prin
pdrrl
It
=
jitg'*.
(tg*)'
dx
=tgsx
li
-".[f
,ur*.
(tgx),ax
=
BJs
_L
_2\.
4
'i
-4
Rezultd
cd
I,
=
{'l'
'',
=
ior*
="lB
=t.
Din
relafiile
(2)
pi
(B)
se
obtine
in
final
cd lf
I
.,_ _
6Jd
-
+
tr
2.
sa
se
gaseas"a
o
ro.*rta
a
J|
cosa
*
*
-
-
3
-1t
vqevq
v
r.,rrrrrrla
ae
recurenfd
pentru
qirul
de integrale
(I"
)'
I,',
=
Jo'"ir"'xdx'
n
e
N.
{Bacalaureat
2oo2,sesiunea
speciard)
Solutie
Pentru
n=O=I9
Pentru
n=l:)11
=
folsinxdx=_cosxl#
=r.
Pentru
n>2
vom
aplica
metoda
integrSrii
prin
pdr,ti
alegdnc
(x)
=
sin'*rx
qi
g'(x)
="i"x.
Rezulti
ca
f,(x)
=(n-r)sinn-zx.cosx-
€(x)
=
-cosx,
iar
integrala
I,,
devine:
In
=
-sinn*rx.cosxif
.
pf"-1).sinn*z
x.co"2
xdx
=
IL
=
(t
-
l)
lor
"t.t"-2
x
.
co"2
x
dx
=
(,
*
r)
loi
"irr"-,
"
.
(,
*
sin2
x)
dx
=
=
(n
-r)
ff
sin"-2
xdx
*
(n
*
r)
Io#**"
xdx
=
(n
-r)r,_,
-(n
- r)r""
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 225/324
Analizi
matematici
.
ll. lntegrala
delinitil
rhdz-
I.
=
(n
-
i)Ir,-,
-
(n
-
1)I,r,
relatie
din care
se ob .ine
urmi-
ftm":la
de recuren .d:
SI
PROBTEME
e
l
co-Iculeze
folosind
integrarea
ru
ldrti:
il
r
celculcze
foloslnd
lntegrarea
ne
N,
n>2
$iIo=t,r,=r.
Si
se calculeze
folosind
integrarea
prin
pirfi:
WS
r,*o*'
EJ;tr--r)e"dx;
A
-;'b
x
dx
@Ii
*'
rn
x dx;
A.:,'ardx;'01;T*
6, f:.Fls
a*'
'-{+J
O
Gr,l
t;*.f'*ro*.
SA se
verlflce
egalltAflle:
fr
pfr.tir
t
?
irt
t.
=
1)
sin x
dx;
_
l,t
x eln
r
dx;
-
.l
,e'r6ein"xdrr:
-,o
.;X-
(
t_.
---;-dX.
-
':
sin- x
{
li-
Sa
c€
calcuteze
integralele:
rj
J-r,
xse=*ldx;
br
i;
x Inz
x dx;
"i
j"'['+
rn(r *
"')]4";
ar
jlr"(**J*"
*)u*'
e)
Ji
sin
(tn
x)
ax;l
APROTUNDARE
a)
Jjxe'-2*r
=
4;
jf
xrogs
xax;
J;
(-
.
xs)
e="dx;
Jix"mxax,
neN;
,sxln(-..[.-')
it
Jl".--r-:---rax.
ur
J$
e"
srn x dx
=
*["t
.
t),
")
j;(.
+
arcslnx)ax
=
$;
a)
Jix'zlnxdx*z{Jr.
f,
g)
h)
,["
-3
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 226/324
Analiz_C
matematici
r
ll. lntegrala
delinitt
A2.
Sn
se
calculeze
integrelele:
tt
*
t)
JoE
coss
x dx;
tl
ffxsh2Idx;
QDJot*arcsinxdx;
d)
Jj
*"tg
*
a*;
")
I]^xsinl..o"f,a*;
t0
Jlu-'"t'*d*;
rd
Jr
r
+;is
fi
dx;
ur't
J;ffia".
43,
SA
se
calculeze
lntegralele:
*aJjffia*r
urJjffia",
")
ffi*""*tgrfillia*;
.6
a)
Joz
m"rcgtnxdx;
.It
")
Jg
*""i"
(z.d-
*
)*-,
Jo'
0
[a-_j$%a,.,
'#(o-
x2)fr-:;t
*'
t
S)
J;(arcsinx)2cx.
44.
Se
se
calculeze:
u)
Jo'o*1"i"*la*;
b)
13,lx'z
-
xle"dx;
o
l.i'
(lr"
*l
o
]lr"
"l)a*.
45,
Sn
se
determine
a
> O
astfel
inc$,t:
*)
Jr'*t
(g*
*
2)
ex-edx
-
B;
tl
1oi1*'
-
*)
stnxdx
*
n + 8-
Bas.
.A'6.
Se
se
calculeze
integralele:
";
J'*21f,u6*,
tt
Jj*3.[2+rax.
47.
Se
se
calculeze
urmitoarele
inte-
grale:
af
f
rrnx.
g(x,pdxunde
g
:
[r,
2]
-+a
g(x)=max(x+r,
x2-r);
b)
11*"r(*)dx,
unde
f I
[-t,
2]-r
p,
f (x)
=
mtn(x,
x2),
3
rrc
t"
*
J;xnerdx,
n
e
N. sr
rc
areto
c[:
a)
In+nfn-1=o,VneN'i
b)
llm
In
=
O.
3.
tu
constderA
gtrut
(r,r),
.r
Itr
=
Jo2
cogo
xdx,
n
e
N.
a)
Si
se
calculeze
Ig,
11,
12.
b)
Sn
se
studleze
monotonia
glnrlut
(r").
c)
S&
se giseasci
o
formuli
de
recu_
renti
pentru
In
folosind
metoda
tntegr[ril
prin
pirgi.
Alo.Fie
sirul
(r,,)
,
r"
=
fi(r
_
x3)"
a* ,,
.
r,
a)
Si
se
arate
ci
Ir,
.(2n
+
l)
=
=2n.Ir"_1,
V
neN'.
b)
Sd'
se
determine
formula
terme-
nrrlui
In.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 227/324
Analizi
matcmaticd
r
ll.
lntegrala definit6
dilrrrateci
{n
*4
-
i.l
.
*"3
-...
*.(: "
s3.
rcridera
qitor
(I"),
ro
=
Jre-*dn
flL=11"-'="a*,neN'.
d
|5
*
calculeze
Ig, 11
gi
12.
b)
Folosind
intcgrarea
prin
p[rfi,
si
se
arate
c6:
1
L=-:+n.I,r-1,neN'.
c)
Si
se
arate ci
t-
=
$["
-rr
e\ o
l nt)'
(BacrllaureaL
2AO2)
&2.
Metoda
schimbirii
de
variabili
&2.1.
Pl:ima
metodd.
de schimbare
de
vorio;bild
S\lnctia
f
este
eontinud
pe
J,
deci
admite
primitive
pe
J"
a
ei, Atunei
functia
F
o
u
este o
funcfie
derivabilA
pe
FieFo
[a,
b]
si
,
E
x =
F'("("))'.t'(x)=f
(u(x))'tt'(x),x
e
[a,
b]'
.arrlrilra
cd
F
u
u este o
primitivA
pentru functia
(f
"
t)'u'"
AplicAnd
Ja
lui
l,eibnia-Newton,
avem:
Jof1"1";;'t'(*)ax
=
(F.")(")ll
=
:
brl-F("(a)),
(1)"
k
de
alta
parte,
aplicAnd
formula
kibniz-Newton
pentru integrala
n:'r,rhrul
drept
al egalitaf.ii
din concluzie,
rezultd:
t_
.
r(t)dt
=
F(t)l:[:]
=
n(u(n))-
n(u(a)),
(z).
h
relatiiie
(1)
Ai
(2)
rezult6 cd
mrlr:sna
este
demonstratd..
I
23r
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 228/324
Analizi
matsmatici
r
ll.
>
C(IMENTA,BIU
METODIC
Prima
rormuta?e
schimbare
de
variabild
se
aptcd
in
mod
practic
_uf
se
identificd
functiile
[a,
U]3;lrn;
.
se
determind
noile
limite
de
integrare
u(a)
qi
u(b);
.
se
calcuteazd.
f.i,f)r1,;ot.
Funcf.ia
u
se
numeqte
funcfia
care
schimb6.
variabila.
E&rrer&r,
u7ahral,e,
tr
l.
Se
se
calculeze:
")
f$"irru
xcosxdx;
o)
li
(z*
*
t)
ex'-x*.
Solufib
rr
fi$.a";
d)
i^'$a"
'u
Vxa
+l
a)Seconsiderdfuncfiao,[o,;]*[0,1],ffiderivabild,
pe
[0,
t].
in
aceste
conditii
integrala
se
scrie:
ffu*uxcosxdx
=
lo#,r'(x)u'(x)dx
=
1,, {)rlryat
=
frtsot
=*/.
=*
..rJ:M::,o
il,
T";j;'l.
ffi
runcrre
derivab'a
cu
Rezulti
cd
u(O)=O
u(t)=1.
Funcfia
f:[0,
t]_+rp,
f(t)__l_
este
func{ie
continud-
Aplic,nd
prima
formuld
de
schimb*"
;"
"*5';
".
"oi'"''
*,1.T:*
=
I
fiffi*
=
*
Iiaiil,
=
j
l;^*
=
=farct*tl"
=;
;
232
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 229/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 230/324
-"("))0"
=
IJ(:;)t(-,)0,
=
fi
,
(2t.
ri
rdnd:
f(
rpar
per
u'(*)
'
.e
pard
;te
imp
tine,
p
f-a
lu
r0
este
f
estr
obti.
k=
[-
JO
rcd.
fel
lacd"
f r
2)seo
(*),
x,d
dx,
)si
f(
dx
)d
1)
{
_l;"
I.
tt*l
-j,
tt"
Din
(
*
u'(
ste p
este
rbtinr
dx=
lacd.
dac
(21
r
f
(-x)Ox
=
a)
b)
tr
Si
se
calculeze:
^)
I;.e*o
sinxdx;
b)
Jf"
"ou*o*.
,
--T
solufie
r r
a)
Functta
t,L-;,il-rP,
f
(x)=
exo
sinx
este
funcfie
impard,
Rezultd
"n
r*f
(x)ax
=
o.
-2
b)
Functia
t,[-?,?]*
R,
f
(x)=
cosx
este
funcfie
para,
Rezutta
o-
"^
F^cos
x
dx
=
2
lff
"o*
*
a*
=
2 sin
x
1
p
=
z
*irrf;t
=
..lS.
3
tr
g.
sa
se
catcule
ze
r
=
13.,F;;0".
Solutie
2
Expresia
de
sub radical
se
scrie
sub
forma
canonici
astfer:
x2
-
4x+
6
=
(x
-2)2
+2.
_
Pentru
integrarea
prin
metoda
schimbirii
de
variabilA,
alegem
frrncfia
"'[;'z]-[-]'
o],
ffi
derivabla
qi
cu
derivata
ffi
funcfle
continuA.
Noile
limite
de
integrare
sunt
"fg)=
-1
\2)
2
*.
[9. ,l
L2J
u(z)
=
9.
234
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 231/324
Analizil
matematici
.
ll.
lntegrala
deliniti
=
Funcfia t'[-;,
o]
+
rn, f
(t)
=
Jrz
.z
este
continud
pe
[
;
.]
in aceste
condifii
avern: t
=
J.'fil-)-t'u'(x)dx
=
J-1.['
*
z
at
=
2
=
rrrJI
*f,
I
-t'
=
rJF
*i+
zrn(t..'[?]
I
_.
2
z
4. sa
se
calcule
ze
rntegrara I
=
[**o"
-i:lune
setoda
1.
Avem
t
=
J$ffia*
=
1**:9:4-a"
=
,l
=
-
i;J-dt
=
-f
hlljilu
=
,,-,..8.
totz*t
2
lt+tllo
lfietoda
2. ExprimAm
cosx
in
functie
de te]
s:
a\rem:
.11+tg2
f .o
[r*il'
=
I6
4dt<=-2l6- --:l-r1:(-
-
J0-
oX
J0
cX
L-tg';
re'
2
=
-:
''-6
^l--a,
=
-rrrll:-lll'
o
=
ln..E"
-.:
(_L
lt+tlio
m
5,
sa
se
calculeze
integrala
I
=
Li
r
u?tg"
,
u *.
'u 4cos"x+sin"x
f,:,:.Lie
Exprimdrn
sinx
si cosx
in funcfie
de
tgx
si
avem:
=
,#o'
=
fig#dt
=
m(t2
.*)l:
=''l
t6-.G''{o*
=
'lo
l-sinzx
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 232/324
Analizd
matematici
.
ll. lntegralo
deliniti
EXERCtIil
gt
PRoBTEME
EXERSARE
Y"l
f("-3)ta*;
r'
tl
J_',
o*'
(r*"
* r)a
ax;
/o
l,'d;r*'
V
ar
Ji
1ft
-
4a*;
'/
")
J-"re*"GTn
ra*;
vull,ffi*'
{
er
Jf*a*
"/
rr)
I-rrffi*,
d
rr
ff-fl=a"'
*r
Jft'$*,,
0
/u
l;r;f;a*;
il
u
fi$a".
82.
Si
se
calculeze
foloslnd
schimbarea
de
varlabili:
")
fi*"-'a*;
ul
fi".s-2"'d";
1
.r
li$a"'
El.
Folosind
metoda
schimbirii
de vari_
abili,
si
se
calculeze
integralele:
u)
Ir'.'*
'
m4
(x
-
r)
dx;
e;
['---
]-6*.
,vex,lnox
o
Io.
z7=u:
-16
Vl
-
x*
. ,Vg
x2
et
JEEffidx;
r'r1i#a*
83.
SA
se
verlflce
dacA
urm[toarele
egalitift
sunt
adevirate:
'
a) jg
cos
sx
rtx
=
|;
b)
J#
"ir,
+x
ax
*
*
f,:
4
")
Jrijm*=f,
d
J:rFharcte2xax
=
$:
B
"
l#*.*nla*=*;
J5
nfT
I
, 63
^,
Jr
-_________d.*=_.
t
{1
-
xo
.arcsina
x
no
84.
Si
se
arate
cd:
d
J:""x2+1.
sins
xdx
=
o;
uJ_"gdx-0.
vx-+x-+tr
236
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 233/324
Analizi
matematicd
r
ll.
lntegrala
definitd
APR.OFUNDARE
I
rrltrbnleze
utilizflnd
metoda
ar
Jij;a";
"l
f.t
-
'=
*,
,rln2ex
_1
ot*;Fd".
43"
S[ se
calculeze
lntegralele:
'y
1;3-$s-a*;
b)
Jo;-+i
^
dx;
*)
[i "1"
*
-
"lt*
d*;
.to
slnx+cosx
tr
d)
jJa
x' sln x2
'
eos
x2dx;
,ry
et
jf
(tg3x
+
ts
x) dx;
6
N
f)
.$f
cryBxax;
6
de
variabili:
.3at;
*sr:
-
r
:-@
'r
X.
L
S-2r
-
--d.:ri
ra-1
-rl-li
,ffi;,.
*'
&-1
:dr:
'tJ-g
m
m
-
r)2ax;
1
-----:--
43;
fir-zt3
-1ax;
rfr r'-1
--;L--dx;
rrr-
-
1
. r-- COS I(
$ 13___::clx;
"
./4
-
sinz
x
-aax;
r r{-1
It
dx;
11
Ji$?a:a*:
'u Jsin4x+l
*-12-r
rl afcslnx
I r
-;--
dx;
x-
2
,n
sln
x
l4:dx.
Jo
cosxJcos2x
ud-6-+1odx;
l*ql-?x-6dx.
iategralele;
Si
se
calculeze
integralele:
a)
f
sin
x
'
cos
3x dx;
JO
1t
b)
jf
"i"
2x
.
sin 4x
dx:
6
c)
j"zn
cos a*
.
cos
bx
dx,
a, b
e N;
r.n.I-
-(lXi
firsl
-
rorl
-..5ax;
a,[-h2r
T
237
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 234/324
Analizi
matematici
r
ll. lr'lugrala
deliniti
d)
[F
sin x
.
sin
3x
.
cos
2x
dx;
JO
")
JJ
"f"
x'
cos
x
.
cos 2x
.
cos
4x
.
,...
,
cos
2n*1x
dx.
ft
I
f,o
6
fi
JT
fi
IE
4
fn
Jfi
a
3.
o
o
3
8e
,r
IE
I
f,o
6
fi
JJ
fi
IE
4
fn
Jfi
a
se
fd
J:,
L
It
JO
fi
fg
JJ
fi
IE
4
fn
Jfi
a
se
fd
J:,
L
It
JO
fi
Ir
si
a)
b)
c)
d)
e)
s6
a)
b)
c)
d)
e)
.A"6.
46.
calculeze
lntegralele:
1-
_--
tlxi
gln
x
t
*4-dx;
6ln- x
t-
----rdx;
coB-x
l-
-dX
slno x
cos
x
_F.--dX.
r/7
+ cos 2x
calculeze
integralele:
-
dx:
tr-+slnx
sln x
-_-
ox:
1+sinx
dx;
l+sinx+cosx
2tgx
+
tgf,
dx;
o
gcoszx+sin2x
Ji#*'
238
,,.
4
oI
dx;
fr
cosa x. sinz
x
cT dx
I a-.
'lo
slna
x + cog4
x'
11
2-etnxdx.
Jo
2
+ cogx
47.
Si
se
calculeze
lntegralele:
r,
=
fi
,
llr
-6*.
'
Jo
glnx
+
cosx
to
=
1f;
gosx
&K.
'
Jo
slnx+cosx
A8.
Se
dau urmltoarele
tnteg[de:
n
t= lz
JO
fr
g)
h)
gln
x
1+slnx+eosx
_,cqlx
dx.
[-J, r,J.
dx,
"=
J,?
1+slnx+cosx
S[ se
calculeze
I
+
.f,
A'9.
CalculAnd
in
dou&
moduri
integrala
Jl{r**)"
dx, n
e
N',
s[ se arate
ci
c3,cl.
cl
2n+r-1
r-
z
-"'-[ll=
"+r'
A1O.
CalculAnd
in doui
modurt integrala
fi
*1r* *)t
d*,
n
G
N',
si
se arate
ci
cl
,
cl
,
cil
n.2n+1
+
I
z
-
s
'"'*;lE=(n+1)(n+4'
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 235/324
I,
J.
ce
c6
iifilie
*
k:.-. :
---l
:
Analizi
matematici
r
ll. lntegrala
definiti
8.2.2. A
doua
metod.d.
de
schimbare
de
uariabild.
Fr.rnctiile
f
pi
u
fifu:d
contlnue,
rezultd.
c6
f
n
u
este
functie
continua
Ereffalul
[*,b],
deci
admite primitive
pe
[a,
b].
Fie
G o
prtmitivA
a
f
"
u
pe
intervalul
[*,
b].
Conform
formulei
lui
Leibniz-Newton
se poate
scrle:
i'r1u1x;)dx
=
G(b)
-
c(a),
(I).
?e de
alti. parte,
(c
",r-t)'{t)
=
G,(r
,
(.)Xr-t)'{t)
*
r{*("-t1ty))
,r
|
=
r(1).("-t)'(t).
i.ezurta
"a ffi)r1t)("
)'(,)0,
=
(c.,.,-')(t)
i:l:l
=
G(b)
-
c(a),
(2).
l,rn relafiile
{f)
pi
(2)
se
ob{ine
relafia
din enunt.
E
{rn
@ra/ntelp,
l.
Sa
se
calculeze
it
G
a*.
Jl
x+l
J;
=f(u(x)),xe[t,S].
iem
.E'=
x+L
(Ji)'*r
.\tegem
funcfiile
u:[t,3]*[r,
J5_l,NWffi
func{ie
bijectiva
si
:ila
si
r:
[r,
.6]-,o,
Wfunclie
continua.
lunctia
inversa
,t-t
,[t,
J5]-
[r,
S],
nndnrre
c".r
derivata
funclie
continuA.
239
este
funcfie
deri-
; :;rtlq:wr**r
ffi
fr,j
q
il"q,--*=*';;;*ffi
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 236/324
Analizi
matemarici
.
j .
l tegrata
definiti
Aplicand
a
doua
formurd
de
schimb
H
f
3
.5:
-,
..
^,
-_
--.*^-
*'
":::.mbare
de
variabild
se
ob{ine:
j)
t*:Jf
r(u(x)ax
=
I"[])r1.1
(,-')'(t)at
=
[€_l-__.,
Jr
x+r
*'
-Jr
I
(u(x//crx
=
J"ij'r1t)
("-t)'(t)at
=
[JB-L
.2t&
='1,*[t-$jo,
=2(t*arctgt)lf
=r[€
,
*)
Ji
t'J
,Lu'
E
z.
Sa
se
catculez.
l,nrrr(r
*
r&)ax.
Solutie
Se
definesc
functiile:
l*f
*:; l^t "li=
qf'ro
(u-,)'(t)ot=
t,e1t
i),n,c
$'tt*t)lnrdr
=
,[r'[(,-r)rj
krtrit
*
(t-r)2.i*tf
.
;rr(1: 160
=
=4rns-rn
r-
t:(r-z*_l).r*
=4
rnB
rn2
t*
_zt
+,".jl,
_sr,,s_*
)lz
2
Apadar,
l,'rrr(r
n
"&)o*
=
alnS
_f
.
EXEBCtIil
st
PRoEIEME
u
r
:
[2,
3]-+
[r,
+],
Er.
yjgTu
metoda
a
doua
de
schim_
oare_de
variabile,
sd
se
calculeze:
d
Ii('*G)u
4
b)
J,'(r
*
vi)n
a*;
.t
1,n-:&
u*;
al
lj;frro*.
82.
Se
se
calculeze
integralele:
o
fi;foa_;
b)
Iu"-&a*,
"l
1rn€ u*.
EXERSARE
240
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 237/324
Analizd
matematicf,
.
ll.
lntegrala
definiti
:
J-
hrd
nsleda a
doua de schlm-
fu
rariabilA,
sA
se
verifice
daci
qEE-htetile:
APROFUNDATTE
rlFgv$rTanE
b)
[27-
Ji-dx'
JL
1+
Vx
r4
c)
J,
cos"
Vxdx;
,3
d)
Jo
sinr/x
+
trdx.
43.
S& se
verlflce
egalit&ftler
el Y?1
a} l-
-i-dx =
-:
J_lex+tr
g.
b)
fr
=:l--dx=3r
-t'-t
1xz
+
l)ie"
*
t)
4'
.] j;m(r+tgxldx=arnz.
o
-:-l:dx
=
ll + Gh3:
{
r-{x
3'
< r
-
-\-
256
-
:-
-rr
i1-
e'ldx
=
ln"::::
-'
-Li I
ZZe'
:dx=B;
i-3r
3I-It
:
_
______T:itx=;
fr i-x.1.,x2+2 I
qilrryi
s29
integralelel
"t
-
ror,
It
li
r
,r-
:'
+
f ft:nctie {:Elrrtinud.
Fr.:e
ca
iu
r
i*;
*r*
=
fn-:-s dx.
i
r
=f
1a+b-x),
i
ra se arate e&
r
-
h
-h
5=*
-
l-fix)dx.
2
Ja
\
/
2i zi-3f(a+b-x)=S,
i"
si
se calculeze
f
"0
1]
-+
A
o
funcgie
eon-
5A se
arate cA:
ar
fj
x f
{sin
x)
dx
=
,,
jj
r
1*m
x;
u*:
u;
fjt(sin*)d*
=
PJ**r{uirr*)**.
I)3.
Fie
l'
;
[a,
b]-r
A,
o
fr.snctie
conti-
nud.
$& se ealeutreue:
. 1b
f{x-ai
a'
j'f(x-a)+f(b-4*'
b)I=[;
sin"x
dx.neN..
Jo
sinn
x
+
cosn x
, ._ 12
arctg
x
.l
=
Jr---r-dx.
ar.ctg._-*__
-rro-3x+3
24t
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 238/324
Analizd
matematici
c
ll.
lntegrala
definiti
Ol.
Sn
ge
calculeze:
Grupa
l:
al
Jj(zx
+
B)srnxdx;
.1r
b)
JoecosxvffiIT-rax;
"l
f.n$..a*.
'r
Vx+l
TESTE
DE
ET'ALUANE
Testul
I
Og.
SA
se
determlne
valoarea
tntegraH
medle
pentru
functla:
rupa
r:
-----
"'-v..qr.
n
fl
Grupa
2:
''f',
+]-ra,
r(x)=ffi**.
ll
il::
i1-a,
r(x)=#
Testul
Z
O1.
Fie
funcfla
f
:
[O,
+ o)
+
D,
dertvabild
gl cu
proprletatea:
"n
Jjrtrt;at
=
(x+
r)f(x),
v
x
e
[o,
+
o).
Daci
cr,
=
f
(3)
_
f
(f),
atunct:
a)
c=tn2;
b)
o=l_ln3;
c)
q,=ln3;
d)
o=2.
Grupa
2:
at
Jj
(sx
-
t)
coa
x
dx;
.ft
b)
jos
.ttr
*.,ffi-frffiJ
da;
",
lx8#d:r.
(Admitere
asn,
aucur Ji:;f:?,
oa.
sd
se
catcutez"
Jf
+*.
ffi
Vl-xo
02.
Se
se
calculeze
integralelet
d
i;("-*").s-"'dx;
o,ffG;,)h;*.
(3
punctcJ
(aniu.
d,ln
Oradeo.,
Iggg)
(8
puncte)
242
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 239/324
Testul
3
&
sc
considerifuncgia
f
:Q-rn'
f
(x)=
.[o*ut
(ts
*at+e)at'
Decn
A
=
{x
e P
I
x
este
punct
de
extrem
al
luf
f}'
atuncl:
et
A={-z};
u)
A={-2,
1};
c)
A={r};
d)
A*@'
(3
punate)
(Admltere ASE,
Bucureq
tt,
2 O
A
3l
M.Flca,beRqtfuncftacontlnuff:D-+QcareverlflsArelafla:
f
la-x)+f
(a+x)*2b,
V
xeR'
Dac[
I
-
Jn'"f
(t)ct'
atuncl:
rJ
I=a+b;
b)
I=3eb;
c1
l=$;
d)
I=*'
,3n,
Fte
elrul
de
lntcgrale
(ln),
rr,
*
Jr"(t"x)t
dx'
n e
ltl*'
r,l
9t
se
calculeze
11
9t
12'
bl
SA
ee
arate
cA
gkul
(Irr)
este
monoton
El
mirginlt'
cl
St
ee
gEseasc&
o
relafle
de
recurenfl
pentru
(I")
'
(
SA
se
arate
eA
lim
Ir,
*
61"
fS
pasla*fe.l
(3 puncte)
End.acums-arealDatca]crrlulunuinumArsuficientdeintegraiede
*J
r
:[a,
b]-+
R,
utilizAnd
formula
lui
LeibY*:*oo,*::11"^::::
@pin
parti
sau
metoda
schimbarii
o:
"iT1o-il-1'-tl::lffi,1;',i:tJtt
ffi*'=i"rie
tehnici
de
calcul
pentru
integralele
unor
functii
integrabile'
ilultie-Problemi:
Se
considerA
funclia
f
:l-2'1]-+
Q'
f
(*)=
:3::"
.-
xt
+x-6
e}
Este
functia
f integrabili
pe
l-Z'
tlZ
b)Dacifesteinte$rabilApe[_2,1],cumsecalculeazSintegralasa?
SuiLtr€
eJFunctiafestefuncliecontinuf,peintervalul[_2,r]fiindrezlu]-
11m;-:peratiilorcufuncfiicontinuepeintervalul[_2,t].Caurrnaref
rm
:::crie
integrabilA
pe
intervalul
[-2'
1]"
Calculul
integralelor
funcliilor
nalionalm
243
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 240/324
b)
in
ceea
ce
priveste
calculul
integralei
funcfiei
f
se
obsen?
c€ :
una
din
rnetodele
fol:site
pana
acum
nu
se
poate
aprica
in
mod
dire.*
De
aceea
va
fi
nevoie
de
parcurgerea
unr.i
argoritm
in
care
se
intAlni
in
inulte
cazuri
si
metodele
de-carcur
J-j*
ir-Jo""rrt".
*
nfiFtiltTl
Al11 lqaternaticd
r
ll.
nregrala
definitd
Fie
I
c
lQ
un
interval
de
numere
reale.
"
Fhnc{ia
l' :
I
*+
le
se
numeqte
funcfie
rafionali
dacd.
functii
polinomiale
p,
g,
astfel
incdt
pentru
orlcare
x
e I,
r{x)=gg
8(x)
244
'o
func :ie
rationald
f
se
numepte
funcfre
rafronali
simpli
daca
una
din
formele:
l.
f(x)=ar.,x,t
*fl'r'_1xrl*l
+...+atx*fl6,
&1
eie,
k
=b]i;
il.
f(x)
=;
A,",
ne
N",x*a,Ae
le;
tx-aj
uI.
r(x)
=;*T9
,",
n
e
N',
bz
-
4ac<
o,
B,
c
e
re.
(***hx+c,)
$3'x..
frelera1u3
$n**grale$
unef
funegi*
rat$srsale
simple
In
acest
paragraf
se
va
da
pruceetreur
de
carcu]
aI
integralei
defir*n*
unei
fi-rnctii
rationale
simple
cle
ilpui
I,
II
gi
IIX.
fi"
xnregrare
de
forma
ljr*6*1crr,
t
funcgie
*olinomiali
dr
gradu[
n
-
Daca
fr,
r[o,
F]
-+
m,
f.
(*)
=
arXn
*
o,r_1Xn-r
+...
+
arx
+
ao
este
fr:nct,*
polinorniali
de
gradur
n,
atunci,
cu
aiutoml
formulei
lui
r,eibniz_Newtsn-
se
obtine
lj("r""
+
a.,__rx'-r
+...
+
ur:<
*.0)a*
=
(
orol
--n
l r l0
=la-.x-
+a_,.x',
x2
ll'
[*'
no]-atr-r'--+"'*ar
2
n"0"jl
(t)
lfl
[€
,&kerrlpls
2
J(u*u
*8x3
-3x2
+
4x
-r)a"
=
lu.d_s
{_
-i
,
|
6
-4
a
^
tl4
-x"
+2x" _*)l_,
=
26
_2.24
*23
+2.22_r*l(*r)u
_2(*r)n
o
*3
,
*2
)l'
"
T*"
,-*l_,
-(*i)t
+z(-i)2
-(-r)
existA
8(x)
=
;
=
(x6
-zxa
-
]=so-s=zz
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 241/324
cd
se
doui
s
arr
de
.;] l&ri,i}.-+,.,,.,.,,,*jls,
+J
Analizil
matematics
r
ll. lntegrala
definiti
fl" lntegrale
de
forsma
n€N*na*[cr,
schimbdrii
de
variaLrilA
-"
(")^r'(*)d:r
=
Affir-"d,
=
(3)
*;o/zoa&
:a'cuieze
urxr&toarele
integrate
ile
firnctii
ralionale
simple:
-
r
e-l
5
---j-dx;
b)
l^t
"-':---ri*'
c)
i,?-**l_=A".
2
'
Jo
Bx
+
j
"'-'
-,
Jl
(ex
_6js
*^'
I
x-:.*:E::d
formula
{2)
se
oLrf,ine:
:
;-dx
=
inl"
*sll:-t
=
lne-.ln1*
J..
b
:-:
-:.:'
a
se sc:ric:
srtCCesiV
aStfei:
|
,r
I
,r
r
f;
I
,
:,,-:ar=
Jc't
:7*
t\cix=rJot
-
r
fu
3t
x*-1
u
x"{--
\
3/
3
r,rl
I
=
-l[r"s
- rr-Ll
=
-r-ure
=
f
"
Jl 3\ 3 3) 3
3
pot
fi
organizate
sj
astf'el:
pl
t
l
I
i
ti
li
i
.
i
'3'
l,'-,1,u
.I l?
=
s
1
sllo
_
1
it"l
S
,.- _
I
,.*(s*+t)' I
r*
u'(x)
.
=5iot'
s".r*=AJrt
g**1
dx=iJot
ffid"=
I'r
='
1{lne
-
lnl)
=
j
/,t
Lr
.f
245
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 242/324
Analizd
matemoticd
r
il. ln
c)
Metoda
t.
5
g6id'*
=
ryF*;f
o*
=
*
[f
r"
-
s)
3
ox
t'*
l*i"-.,.,
2
Metoda
2.
Aceast'
i"Tgl*a
se
poate
calcula
aplicand
mai
intdi
metod
chimbrrii
de
variibila
qi
apiiroLrr,
tsf
.
cir""r"iJ
decurg astfel:
ry*b'o*
=
*
ry6:f
dx
=
I
tfffi
*
=
;
t ?J..
=
=*I
l,-'0,=;(-#)l_
=
+(
*.,*)
=_Z
rlr.
Integrate
de
forma
f
_#:Fdn,
ha
_4ac
(
o, n
e
{r,
e}
giB,CeR
(*'*b:r+cJ--
in
functie
de
valorlre
numdrului
natural
n
gr
a
eoeflclenf'or
B,
c,
,
b,
c
apar
urrnatoarele-tipil;;tnt.grale:
-
--
.-
J
t.
rntegrate
de
forma
fiffi$,
a
*
o
Se
deosebesc
urmitoarele
situa{ii:
a)
Daca B
=
0
si
C
=
f
*"
otU"e
integrala cunoscutd:
ffpbox=j"rc,r;l:
b)
Daca
B
=
l,
C
=
O
se
obtine
integrala:
ro x
._1ro
2x
_lrB(*,-r^r\
"
;z;po*
=
t
l:;F;;o*
=
i
l;\=ulo*
=
*
1;ffi."
=
=
i
l"$i.t
=
jr.,1t1
I
":'l
lu(c)
."fq)
,
I
I
u'(x)dx
=
Iri;/,*o,
=
*l?t-3dt
=
+f_+)l-u
=
_4
(
n_3)=
_?
"l;j
-
2
8(
ztr)l_.--G["-gJ=-e
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 243/324
Analizi matematici
r
ll. lntegrala deliniti
c) Dacd'
B *
0,
C * O,
atunci
se obfine
integrala:
rB Bx+C
-
iiff;.x
=
Bijei;r*.
"fix.,+;udx
si
caicurur
se conti-
:ira
ca
la
punctele
a)
Si
b).
2
9
=
zi
C
fu*tfttu
"n7ohtaj
Sa
se calculeze
integralele
de funcfii
rafionale:
.)
jon#**,o)
J,'p;dx;
c)
I:'85;d"
E
a)
Avem:
ff#G
=
larct€f l.
=
+,*"tsl
-
arctso)
=
*
b)
i:Flo"
=
*
I:#;.*
=|
f$*
=*
I,'ffi*
=
-
-':
-'lat
=lrrltlltt
=f(rrr32-ln8) =Ik
4
=tnz.
;-j:i
t
2--'
'la
2'
'
2
c)
Integrala
se scrie
succesiv
astfel:
:'"
##a*
=
f6$;
dx
-2i;"*
=|
ff"
ffi*
-
-;
=.=,s;
|
:"
=
t
t"ryldx
-
arctgrm
+
arctg,
=|
E*{P*
-
r
-:
-
3
pu(zv3)lat--L
=gmltlltu
-lL
= (nru-ln8)-
n
=9r,"2-4.
l-{=2l"py
t"'-12*2"'l'llu
lt-Z\-"-
uret
LC-2^'-
IZ'
2.
Integrale
de forma
fl . t.
Lu
dx,
a *
o
'"
(*' *^')"
5e
deosebesc
urmdtoarele
situatii:
aJ
Dacd
A
=
1
si
B
=
O
se
obtine
integrala
de
forma
[ ----
>(-;d,(
'"
(*'
* u')"
rffim
* calculeazS"
cu
ajutorul
metodei
de
schimbare
de
variabili.
Se
obtine
succesiv:
i;
("=*f
u'
=
),:E+o*
=
|
Ilffi
*
:
247
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 244/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 245/324
I
dx.
urmd_
fu"c&a,
.rrahtai
I
sd
se
calculeze urmdtoarere
integrale
de
funcfii
rationale
simpre:
a)
I,
=
1,"*=dx
b)
r,
=
1u5--l-
^;,
";,;
=
i'*=-g1-i*
x.
+r)
lt
(x2
+t)"
{x,
+
t}_
i-.--::e
\
/
a)
Integrala
I,
este
de
tipul
III.2.a)
si
ca
urmare
se
va
carcula
apli_
rp*':
metoda
schimbdrii
de
variabild.
Se
obtine:
l.
=
;,6---
"--.r*
=
I
iJs-
2*
u-_
1
r.E
(x2
*
t)'
rt
(*r*r)'*-iJ,
ffi*=iJ,
ffid"=
=;
"3
{-(*)
o*=*I,i(,f,i.
t=-
ii;
=
*(*
*j=*
b)
Integrala
Iz
este
de
tipul
III.2.b)"
pentru
a
calcula
aceasta
''nmnrg-ala
se
va
aprica
algorltrnul
descris
la
aceet
tip
de
integrala"
-i.r'em
succeslv:
:,
=
i€-*l*-.*d*
=
/50"
li.l:1^-
-
rldf
]
xz
l.
rt
(x2or)2*-rr
-(*,f-qx=ir
l=t l*fj*=
-
-':+-a**
i6--"1-=dx
=
arctg*llG
*J
=
arcLgJS*arcrgr
_J
=
x,_1
rr
(*,nr),*.^**.
Analizi
matemalicd
r
ll.
htegrala
definiti
-n'uegrala
J se
calculeazA
foiosind
metoda
integrdrii
prin
pAr{i
ob{i-
=
pArU
=
la
-:-se
succesiv:
--=
1'5--"1-d*=
l#
(x2
+t\"
J1
\l
,,'6
I
l;v3
J-ar=
t=-il,
-2J,
*"nt
.i
r)
r tJd
r
-t)*rtt"'€"J,
i=-:ltA
cA
I, =
n
-J
=
't2
x.
--
i--=d*
=
1.6*
f
-
+.*J__l'o*
=
(x2
+
r)'
'r1
-'
i-
2
*'oi)
z-Js
Tt
=- _
B
'24'
"
(z-"ts
_+
L2
[
B
249
\_
n
) n
Js-z
24)
24'
B
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 246/324
a
Allli4
qatemeficd
r
il,
definitd
: :'f
iX
jL-"
scrte
ca
o
sumd
o-,;frl;*
13
=
f
"dff
*
=
u.[u/*fu
u* -
at'a*J=a*
1x'+l/
Fy
"_(*r+r)z*^-',
p.ryd"
l_::o**.
cd
r,
_
srt
-2r2.
/
rnrocuind
cu
rezultatele
oilinute
la
a)
si
b)
se
obfine:
rs
=5
-"(l__1)_
2r-2n
B
\z+
8)--
24
.
3.
Integrale
de
form"
#;ry;i&r,
a
=
b2
_4ac
<
o,
a.c
*
a)
Daca
A
-
O,
B
*
l,
se
obfine
integrala
de
tipul
pF
1
A
=
b2
-
4ac
<
O.
sv
LrYL'
J"
F;ii;
::*
calculul
acestei
integrale,
se
scrie
expresia
zu<2
+
bx
_
sub
forma
canonica,
anume
ax2
+bx
+ e
=
o(*
uil--
]o
*
r
ux
lflt""il,f.toda
de
htegrare
prrn
schi*;;(;?;H
LT;:
(s-a
notat
r,
-(
E-)'?
'-
=
l\/;p]
si
u(x)
=
*
*
#,
x
e
[a,
B]. )
Ewu&,a,
rya/lraf
tr
SA
se
calculeze
integralele:
t
=
[I----l-
*Jo;t;;dx;
,=lir-f.-*.
Solutre
2+x_
_4x+2
^^^^.:
pentru
trinomul
x2
+x+1
se
observd
cd
A
_
_S<0,
caz
in
care
acestase
scrie
sub
forma
canonicd
x2
+x*r
=[*r-]')'*
B
--
^rr
u4t
\ 2)
4'
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 247/324
dJ(
se
=
Anrlizi
matcmatici
r
ll.
lntegrala
deliniti
ixtegrala se
scrie:
-
pl
I
.
=
q-
---;--Ga
=
'u
x"
+
x
+
I
1
n"=li
. *
;
lfir
1
rfii
lii
I
i
dx.
I
=X+-.
2
r2
l
I
)
x)
.6
2
u(
)23I
+--
.)
4
(r
IX+-
(z
.,
_ ll
tt'(*)
_ lu(l)
-""1-)*[ff
-J"101
at
=
J,3-fuu
at
=
lg
:
2tl2
2(n n\
rrJS
=:arct$u6l
,
=.v6'[5-6J=
e
le
r
Numitorul functiei
de lntegrat are
A
= -16
gt
forma canontc6
+i
-
4x
+2
=
+(*-
+.l'
+
f
.
in acest
caz
integrala
se
scrle succesiv:
\
2)
.l=
[l
--l -d*= [l =1[l--*.-a".
ri4x2
-4x+2*',in(*_*)'.,
n'u(*_;)'
_
l
"'-
Alegand
u(x)
=.
-*,
"
-
[*,
r],
"*
u'(x)
=
r,
x .
[*,
t]
er
apucand
moda
schirnbdrli
de
varlabilA,
integrala
devine:
o(
t\2
(
lx+- I
+l
\2it
AplicAnd
metoda
schimbS,rii de variabili,
notAnd
,u:
---,
tr]
se
obfine:
b) Dacd A
=
I
Fi
B
-
0 se
ob,ine
integrala
de
Upul
J0
:=b2-4ac<0.
ax2
+bx+c
Pentm calculul
integralei se foloseste metoda schimbS.rii de
varia-
::*i.
luAnd u(x)
=
u.2
+
bx +
c,
cu u'(x)
=2ax+
b,
x .
[o,
F].
Caiculele decurg astfel:
,'.I
-x2
./3
l
----l
2)
fi
I
1.p
=
x
dx=
I
1.p
=2-,
-dx-
I
;o(zo-<+b)-b*-
Jcraxz+bx+c
2aJoaxz+bx+c 2aJo
axz+bx+c
251
'i'.'
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 248/324
Analizi
matematicil
.
ll.
lntegrala
detinig_
I
ppu'(x)
.
Lft
I
r.._
I
1-*(p)1..
b
r0 I
zaJ,'
"(")
*
-
zaJ";G;;d"
=
t:
J.;;iio'-#l,i;u;,"."u,
=
*,rrl''u'
-
3
lo-
.
-1-o"
a
i"{")
2"t'u
ax"
-bx
+
c
ultima
integralS'
obtinuta
este
cle
tipul
III.
3.
a)
tratat
anterior.
e)
Dacd
A x
o,
B
*
0,
atunci
integrara
se
desparte
rn
surna
de
do:
integrale
de
tipul
ceLor
intAlnite
anterior.
Astfel'
ff
. ff]"
-dx =
A
iia.-+--_*crx*
n
i - .
-r--a-,
a
ax/-
+bx+c
-J*axz
n-bx+"*"''
-u
axo+trx+c
Ere*i&&,
w#oke,
H
Fie
fi:nctia
f
:
[0,
lj-+
R,
f (x)
*
**,ith;
a)
SA
se
serie
sub
forma
cancnics
expresia
Bx?
*
$x
_r-
4.
b)
sa
se
calcu.te"*
fir1";a*,
Solutre
a)
Pentru
expresia
3xz
*
6x
+
4,
A
=
BS
*.
4g
=_
...I2.
Rezulraca
sxa
-6.xr
+.=
u(*-
*]t
-
Al,
J{x
-
r)r,
t.
b)
Avem:
fi
rr"ld"
=
fi
*{fu.rx
=
fi
*F
k;*.
fj#*J*=
=*
tl--sl--_o"*
i.l*'1-----dx
-
l
r,F::gln) ,,.
J0gxz
*6x+4*=
J03J;x_4crX
-
*ir-Frt"
-.6_rq.i.r"
-,l.au:k;o*
=*fiffi*.fij*#;iu*
=
*
*,i_
,.
2
r:
,Jdlt=*l
1n4+?#,,.^-1r
ls
+g.VS
arctg("
_
t,
lo
6
9
252
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 249/324
Analizd
rnatematicd
o
ll.
lntegrala
definitd
4.
Integrale
de
forma:
f;#.l-odx,
a
=
b2
-4ac
<
o,
&.c
*
o
(o-*bx+c)
Daca
ax2
+bx+c="[[".*)'.#]
pi
u(x)
=**r?,xe[u,p].
ntegrala
se
transformd.
astfel:
iu
JN
Ax+
B
_d*=1l.,lh:*j$jl
^zl(** )'*.A
l'
a2
r.,[r..*_p_)'_
o_l'
'
L[^
*T^)
"iA
)
i[".
Al
-
o"u
)
dx=
*[-4 -' u)
a'\
2a
)
,:(cu(x)+D)u'(x)*=
i:,,,j]#*dt.
unde
"=*,o
=
J'
1'1*1;;1*=
J"1*r1.2*62
)
^
.t
-A
4a2'
Agadar,
caiculul
acestei
gale
de
tipul
III.
2"
Ano{rz,
taTohtil
=
sa se
calculeze
irrtegrala
Io";
;r**3 ,a*r.
(x"+4x+8J
Srtune
Numitoml
se
scrie
sub
forma
x2 +4x+g=(x
+2)2
+4,
iar
inte-
::a-la
se scrie
succesiv
sub
forrna:
integrale
s-a redus
la
calculul
unei
inte-
'=f_r-
4:--z*.=
;0
-
2(*+2)-t--or=
fl3(")-l;
u,(x)dx=
'-'16*z)'*+l
'-'[{'n
z)2
+a]'
'-'[,r'(x)++]'
\--'
--
.
-r{o)
2t
-l
c2 2t e2
I
=l
-dt=
I
_-_
:dt-Jn,.
12dt=Ir-iz.
',r'-2)
(t2
+
4)'
'o
(,,
* n)t
-
-
'"
(*
*
4)'
Integralele
11
si
12
sunt
de
tipul
IIi.2.
Se
obtine:
253
,il
l
ffi
tJwj:.rx{e-..#'ffi-'E-
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 250/324
=-llt=-l-l-t
t,.. o \
-
-ti-
=
-5*a
=
B'
(v(t)
=
t'
+
4)'
ro=lt
7
,z
=
s(,,ryd'
=
i
tlfiry*
=
*
iJffi
.-
=
=
*
t:;r*-*
tr#*
=*
*****1.
*
ff,
[ntrb.J'.,
=
Analizf,
matenlaticl
.
ll,
lntegrala
definitt
in
final
se
obfine
cd"
I
=
11
+
I,
=
EXEBCtIil
st
PR0BTEME
EXERSARE
6-n
Si
se
ealculeze
urmitoarele
inte_
grale
de
funcfit
rationale
sfmptei--
81.
a)
J-',
(u""
-
6x2
+
ex
-
s)ax;
o,
J-',[(-'-
")'*
e*a]ax;
ct
Jj(+mxs
+ zpx
+
r)dx;
af
f1e"-r)(+x+3)dx.
E2'
a)
I."."'*.*'
@,[,';u"'
@['*]r,
u*'
b
ar
f,1;[a*;
4
"r
J_iu-*''r*;
I
n
J_a.
u{;
a",
d
I_',c+E*.
E3'
a)
I-',oi*'
sf-it'y*'
el"'*|y*'
at
J_',ffia",
",
L",*#rpe
u
J-',(vu.**f'".
254
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 251/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 252/324
o functie
rafionala
oarecare
se
poate
scrie
ca
o sumd
algebrica
de
funltii
ra{ionale
simple
pentru
care
dalcuiul
integialelor
acestora
a
fost
studiat
anterior.
pentm
a
realiza
aceastd.
scrieie
se
va utiiiza
urm6_
toanea
teorem6:
4nalizi
m4ematici
.
ll.
lntegrala
definiti
Mod
practic
de
aplicare
a
teoremei
Pentm
descompunerea
unei
f'nc{ii
rafionale
in
sumd
finit&
de
funcfii
rationale
simple
se
procedeaz6
astfel:
a)
se
efectueazi
impd.rtirea
cu
rest
a polinoamelor
p,
e,
dacd
gradP
>
gradQ,
rezultAnd
relatia
p
=
L.eo
n,
O <
gradR
.
grrag
qi
r(x)=
L(x)+ffi
b)
pentru
Rfx)
t(x;
se
foloseste
forn^ula
de
descornpunere
in
sumd.
finitA
de
funcfii
ra{ionale
sirnple
conform
teoremei
anterioare,
unde
coeficienfii
af),
Bf),
C(')
urmeaza
a
fi determinati.
256
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 253/324
Analizi
matematici
r
ll.
lntegrala
deliniti
de
c)
in
egalitatea
obfinutd
la
punctul
b)
se
elimina
nurnitor-ul
comun
l(x)
si
se
ajunge
la
o
egalitate
de
funcfii
polinorniale.
d)
Din
egalitatea
func{iilor
polinomiale
se
obfine
rrn
sistem
de
ruafii
in
care
necunoscutele
sunt
coeficienfii
af),
6ft.
"ti.
Metoda
de
determinare
a
coeficienfilor
Af),
e{l),
C;t
se
numegte
netoda
coeficienfilor
nedeterminafi.
Vom
exemplifica
utilizarea
acestei
teoreme
in
calculul
integralei
"-:nei
funcfii
rafionale
pentru
diferite
funcfii
rafionale
f
:
[a,
b]-+
D,
:{x)=ffi
g(x)*0,
pentru
xe[a,b],p,eern[X]
qi
grade<4,
listingand
intre
diferite
moduri
de descompunere
a
numitorului
e(x)
n
produs
de
factori
ireductibili.
1. Numitorul
are
ridi.cini
reale
simple.
W Exernolu
r
S5.
se
ca-lculeze
urmAtoarele
integrale:
rl
9x+2
a)l=J_r
r-
^clx:
Solufie
b).r=li*# ^-
a)
Considerdm
funcfia
rafionald.
f
:[-2,1]-+
A, f (*)=
#*
Expresia
x2
+
x-
6
are
urmd"toarea
descompunere
in
produs
de
factori
ireduc-
:bili
peste
lP
x2 + x-G
=
(x-2)(x+3).
Conform teoremei
14,
funcfia
f
are
urmitoarea
scriere
ca
sumd
de functii
=rionale
simple:
r(x1
=
ii
a1
=Wffi
'
x el-2'rl,
t)'
Se
elimind.
numitorul
comun
Ei
se obfine
egalitatea
de funcfii:
9x+2
=
x(A
+
B)
+
3A
-2b,
x
el-2.
tl,
(z).
Identific6.nd
coeficienfii
expresiilor polinomiale
din egalitatea
{2)
se
obtine
::stemul de
ecuatii:
A+B
=
9,
3A-28
=2
cu solutia
A
=
4,
B
=
S.
Aqadar,
relalia
(1)
devine:
f (*)=:_2+*,x
e
[-2,
r].
'.
Rezurta
*
t
=
Jlr(;1.*)0"
=
(+rnlx
-21
+
srnlx +sl)l
r,
=
rn+.
3
0BSERVATTE
Cu
aceastl
rezolvare s-a
inceputul
paragrafului
g.
rispuns la
situafia-problemi
formulatd
la
257
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 254/324
::,*J:fr:::nT:::':::"ff
f
:r'l
zt.+a'
f(x)=d##*e
se
.bs
i:t:T*91i;f,pf
fu1yit:,lxx'"rft
'rf;
ini*i:,"r:.1fl,*
Rezultd
ca
f
(x)
-Qx-t)(x2
+-2x)+(2x+2)
Ram6.ne
de
scris
ca
sumd".J;::;-
=2x='.#.
g
:
[t,
zl-
o,
*
t-i
=
ffi
t
unclii
rationa]e
simple
funcfia:
Avem:
_2x+2
_
_2x+2
x2
+2x
-;G;t
conform
teoremei
14
se
obfine
+6=Wffi,
x
e
[i,
z].
:i:f:i6Tfjti:
;,j':;,4,',at."
o.
r';1fr?o,inomia,e:
."'",'1Ti'$"::j
ffi
:$'jflt'j*l1
.Jif
l:i"inomia,e
se
obrine
sistemu,
c
Aqadar,
sk)=j
*
vxe
[Lz]
pi
r(x)=2x_rrl_+,xe[rz].
Rezuui
cd
J
=
f
?:-
r
.
]
-
_
*)*
=
(*,
_
".,i,,.i_
u,,,lx
*
zl)12
=
=2+tn2+e
h
=z+mff.
2.
Numitorul
are
rid{cini
reale
multiple.
9
Exemplu
o
SA
se
calculeze
integrala
,
_
,-)
s-z*
sorufde
r^..q'-
t-t"po:yft'
se
considera
funcua
,
,[_r,
;]
.,
n,
f
(x)
=
+:+3
Aplicand
teoreyl
ja,:xpresia
funcfiei,
*
";t]Jl;
dffu=W..t-;
-*l
""
Erimin'
nd
",r*,ffi
ffi
ffi
.
"*i,,,",.ur,,
-2x
=
A*("-r)2
+e(x
-r),
*cx2(x-r)+ox2,
".
l_r.
_rr
.-.
B-2x
=
(A+c)x3
+(-2A+B-c+D)x2..o
;:."::;_,
:ll.t]:.-"
'
L
-'
il'tzt'
Analizi
matematici
r
ll.
lntegrala
definiti
258
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 255/324
Analizi
matematicd
r
ll.
lnt
observa
obtine
ca
de
dentificdnd
coeficienfii
aceloragi
puteri
ale
lui
x
din
cei
doi
membri
ai
e,galitetii (2),
t.
'-r-i.e
sistemul
de
ecuatii:
A+c=o,
-2A+B-C+D=0,
A-
2i-=_2.
B=3,
cu
nr
--:a
A=4,8=3,C=_4,
D=1.
-rsadar,
=t
-'L
=
1.+
--3-*-L
^
,
*.
[_r.
_1'l.
x21*-t)2
x'
x2
*-i-(*-t)''^=L-''-tI
tt'
\
i
Rezutra
ca:
r
=
[il1.+
-
4
*--1
"
l*
=
for,li_g
_4hlx
,r___]-]i-i
_
-fi.*
*z
*-i-1*-r1,J
\
,,
*-4lnlx
tl
*jl
:=
-3
.2
3
[]BSERVATIE
lonstantele
A, B,
c,
D
din
egalitatea
(1)
se
mai
pot
determina
astfer:
,
l:ntrr.x
=
O
se
obtine
B
=
3
qi
pentrux=
I
se
oltirr.
D
=1.
'
?entru
determinarea
constantelor
A
si
c
se
deriveaza
egalitatea
(1)
qi
re
obtine:
-2
=
A(r",
-
ax
+
1)+
2B(x
-
r)
+
c(sx,
_r*)+
2Dx.
-:raceastdegalitate,
pentru
X=o
seobtine
A:4,
iarpentru
x=1
i=
obtine
C=-4.
3.
Numitorul
are
ridicini
complexe
simple.
ffi
Exernplu
.
S: se
determine
integrala
functiei
:),1
-:i
f :[-r,
O]-+
D,
f
(x)-
16
x4
+4
)escompunerea
in
factori
ireductibiii
peste
e
a numitomlui
conduce
ia
urmd-
'-:'
scriere
x4
+4
=
x4
+ 4x2
+4-4x2
*-(^2
*z)2
*e4,
=
(*,
-
zx+z)(x2
+2x+2).
--plicam
teorema
r
s,i
obtinem
urrnitoarea
descompunere
tn
suma
finita
de
L:: ::-
rationale:
-tr'plicand
metoda
coefi
cienfiror
nedeterminafi
se
obfine
egalitatea:
16
=
(A
+C)x3
+(za+
B-2C+D)x2
+(2A+
28+2C-2D)x+28+2D,
xe
[-i,
o]
'dentificdnd
coeficienfii
acelorasi
puteri
ale
lui
x
din
cei
doi
membri
se
obtine
;:* .::::ul
de
ecuatil:
A+C=
O'2A+B-2C;D=0,
24
+28+2C-2D=O,
2B+2D=
16,
cu
sorufia
A=-2
l-=
c=2,D=4.
'{sadar'
r(4=#.##**
J.,r1x;ax
=
frffi;*.
-
-2x-4
dx=-
to(-4:z-*-2
-),--,
r0
(
2x+2
..i.2
_2x+2
J_r(;z:2x+2
-F_2_.2,J"**
J_,[-z-=
^
*
259
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 256/324
Analizd
matematicd
r
ll.
lntegrala
definitd
.-r-='l
*
=
- f
Fr,,
?r- ?
o"
*
z
J0
--
--_
*
f,
(
*',
*
r"
*
r)'
*
o
"+2x+2)
J-t
x2
-2x+2
*-"Lr("_l)-+l
r_,
x"+2x+2
.'J-"(".F;
=
i;+
."f:*.1'+.rfip*
=
rntl
+2arctgtl-l
+
+htl
|
+
2arctgtlf
=
hb
+
2arctg1.
4.
Numitorul
are
rd.dicini
complexe
multiple.
@
Exemplu
.
Sa
se
ca-lcuteze
integrala
I]r{= x$0"
sorufre
(x'+
IJ
Considerim
functia
rafionale
f :
[_1,
AplicAnd
teorema
14
se
obtine:
f(x.;=x?-3x+z-i
(x2
+
r)"
,
Metoda
coefi
cientilor
n.aete#itit'ffia,r""
la
urmatoarea
egalitate:
x2
-sx+z
=
(ax+n)(x2+l)+cx+D,
x
er-r
ii,
il;;;;e
sistemul
de
ecuatii:
A=O,
B=1,
A+C=-S,
B+D=2
cusolufiileA=0,
B=I,C=_3,D=1.
Re2u,,""",
e
scrie ca sumA
de
funcfii
rafionale
simple astfel:
I
3x-1
f
(*)
=
;'
-
o*
-
'r,
x
e
[-t,
l],
iar
integrala
se
scrie
sub
forma:
-+r
(x2+r)
J-',r1*1a*
=
j],Jh
-
Jl,- I-l=
crx
=
arctsx
ll,
-
i,
=
t-rr,
,r,
(x'
+
lJ
Calculim
11 in
felul
urm5tor:
=o-ft,9",*[t_
x2
-
r
6r I
-,
-]'
-
"-
r-r1xz
+r).
J_,1",.
rf
dx
=
-arcr€rxll,
*;,*14ftj
.,,
=
=-7r-
"
lt
r
rr
dx
n
l I rr
-
,
--t-
{;il)l
,
*;J-'ffi
=-;-;+aarctg*l_,
=
-}-},
er
Din
relafiile
{t)
qi
(2)
se
ob{ine
ca
frrlx;0"=t"*
"
=
i
ti,6ft
o"
-
Il,
(r
h*
=
;
I|$o,
lf,tff
=
260
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 257/324
Analizi
matematici
r
ll.
lntegrala
definiti
,#licafub,ftufrgrd,
Concentrafia
unei solufii
apoase
a
unei
suLrstante, variazd
urmdnd
':i:a:
ctt)=
#
(SU
*t;,
x
fiind grosimea
stratului
de
solu .ie.
care
este
cantitatea
g
de
substanta
confinutd
intr-o
coroan5
'::t-icala
de
solutie
a
cdrei
sectiune
dreapta
este
s
=
I
m2
gi
grosimea
:--rnd
intre
O
si
2OO
m?
i--,:ire
ConsiderArn
un
strat
foarte
mic
al
coloanei
:: solufie
apoasi
cu
sectiunea
S
si
grosimea
dx,
i-:rat
la
ad6ncimea
x
(figura
l).Cantitatea
de
substanfA
confinutA
in
acest
--::r
este:
dO
=
C.Sdx
=
i?I
*
Integrand
de
la
x+1
.=
200
se
obflne:
g
=
to
foo
I,
*
=
rg
1'2oo(x+1)-t*
-
U
x+l
Jo
x+l
=
-
J-x
-
ln(x.
t)]
I;oo
=
to(2oo
-
ln2ol).
iXEBCllll
gl
PROBIEME
Figura
1
cd
f
E1 SA
se
calculeze
integralele
de
funcftt
rafionale
(numitorti
au
ridiclni
reale
slmple):
.e2 d;
8'
Jr
1*14;
Il6;fu4u.,
74 6x+l
JoG+zx2x+1)dx;
u,
L'G-,lt#6G;t*'
ro
x3-3x2+5x
J-2-;r-;;;*dx;
riffi*
S& se
calculeze
lntegralele
de
functll
rallonale
(nurnitorii
au
rtdiclnt
reale
multiple):
d
I:;Gfu*,
tt
Jo'O$a*;
"-1
r
.)J_,,fflpax;
EXERSARE
g)
b)
c)
o
ril*:;ifu:;l*,
261
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 258/324
Analizi
matemqtici
o
ll.
lntegrala
definiti
o
r,'dfi#*
")
1"iE"' rgd*.
(""
-
t)
uriffi*
83.
Se
se
calculeze
integralele
de
functti
rationale
(numitorii
iu
ridncini
cor[
plexe
simple):
"t fG
dx
' Jr
x(xz
+
r)'
o,IfF;fr+;1u*
o
r56rfftrq*,
o
1"*j1a,..
84.
Sn
se
calculeze
integralele
de
raflonale
(numitoiti
au
complexe
multiple):
n
I;^Uif*'
"r_",cfr*,
ct
1f
zt-::12*.
(x"
+ 6)
"
tie;;f*
APROFUNDARE
Al.
Sn
se
calculeze
integralele
de
funcfit
rationale:
r)
f -2*';6
a*
t2
*"
+zx2
-gx
r1
1i4:_"
-"."2:I*.
"
J",ffF*.
(Untv,
Ouidius,
Crrnstanfa,
Iggg)
A2.
Se
se
calculeze
lntegralele:
'l
fi#=a*;
(Uniu.
Bucuregtl,
I
ggg)
bl lE
*2
-2**2
"t
JL
(zx
-
4(={;yax;
(Uniu.
Babeg
Botgai,
Cluj_Napoca,
lggg)
"r
Jo';u;#;*,
*.
(uniu.
^x:f;:.r#a
A3.
Fle
t"
=
Ii_rpi#;dx,
n
e H'.
Dac6
a
=
}*("
+../i
+
").
r,,,
atunci:
a)
q=
o;
c)
o=e;
b)
a=l;
d)
o=Je.
(ASE,
Srtsyrefti,
2
OA0l
44.
St
se
calculeze
lntegralelc:
n
l,'(:f)'*,
rr
f;$i{:ea",
"r
ft
"t
---.r+-"
-ro"l.
+-
-
gda
af
fi
-t
..t.r-t
:g",
.
-*l,rr.
262
**$ut-
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 259/324
functt
rddicirr
Analizi
matematici
r
ll.
lntegrala
definiti
.$ffi"
p€:rru
n
e
N se
consideri
integrala:
-
_,5
2x_3
-:-.4@dx.
e
Si
se
calculeze
Is,
11
gi
12.
3
Se
se
calculeze
limitele
jr*r",
:espectiv
l*"r".
A6.
Se
consideri
funcfia
f
:
[O,
f]-+
A,
f(x)=(x+l)"+(x-r)"^(a,,=--?;-_,
neN.
se
se
determine
n
astfel
incit
Jot
t
(*)
dx
e
e.
SE
se
calculeze:
Grupa
I:
")
Iot
"
ln
(x
+
t)
dx;
b)
i,J5$-d,.;
"l
4-xo
-,
12
x2
+x+2
cr
Jr
4pJ;rax.
TESTE
DE
EUALUARE
Testul
L
Grupa
II:
d
JJ"sin(x+r)dx;
o,
i;'u-pa*,
Vx-+4
,i
cl fa_-
x+4
',
J'
1**
,){""
_;14".
Testul
2
Fie
f,:(o,.)-+D,
f
(x)=
rrr(r-*)
o
r"
=
Jr"f
(x)dx,
n>r.
a)
Si
ee
calculeze
fr'
n
> l.
b)
Si
se
determine
,r,
=
|
,o.
k=r
(3
puncte)
Se
considerifuncfta
f
:e-+A,
f
(x)=x3
+mx2
++nx+p.
a)
s{
se
determine
rr],
rr,
p
e
le s,tltnd
c6
funcfia
f
admite
extreme
locale
in
x
=
-1,
x
=
I
gi
"u
J-trf
(x)dx
=
+.
b)
Pentru
valorile
determrnate
ale parametrrlor
si
se
calcur"""
jjrfoa*.
si.
se
carcu
rutu
l'
-u2
Puncte)
.,_r
u=J&.
)2,
(ASE,
Bucurelti,
2OO2)
(2
puncte)
f,3.
263
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 260/324
Analizi
matematicd r
ll. ln
Testul
Or.
Se
considerri
funcgia
,
,[_;,;J_
r,
Dac6
r
=
Jr"
Ot*l.cosxdx,
o,
1l'
2l
(ASE,
BucureEti, Iggg)
(3
puncte)
(Uniu.
de
Nord,
Boia
Mare,
Iggg)
(4
puncte]
(Uniu.
Luciqn
Blaga,
Sibiu,
2OOA|
(2
punct$
3
r(x)
=
I""'"*'
"'[-;'
")
i"""*-2sin*,
*.i
2
a)
I=e-
n.
4
c)r=l+3-1,
e4
atunci:
-
e+7r-l
I
=
-.
4e
r-T
I
'-
4-;'
b)
d)
Q2,
Si
se
calculeze:
a)
ro=
jJ;u;h;dx,keN';
b)
limltrrrf
*
3 )
n--+o(
,'Et*J'
os.
si
se
carcul"""
J$
rr,
(r
+
Jetg
x)
ax.
264
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 261/324
Analizd
matematicd
r
lll.
Aplicalii ale
integralei definite
Punctul
de
plecare
al
Calculului integral
il
reprezintA
calculul
mior
unor
suprafefe
plane
gi
calculul volumelor
unor corpuri
de rota{ie.
inca
din Antichitate,
Arhimede
(287-212
i.Hr.) a dat
metode de
qsraul
pentru
aria
segmentului
de
parabola
folosind
aproximarea
prin
w:
ale
unor
supra{bfe
particulare.
Johannes
Kepler
(1561-1630)
a
*sbilit
reguli de
deterrninare
a
volumului
butoaielor
prin
descom-
T :i:lerea
corpurilor
in
pArli
foarte
mici.
Saltul
deosebit in
problema
calcuiului
ariilor
gi
volumelor s-a
li"-':t
cu
precadere
in secolele al XVtrI-lea,
respectiv al
XV{II-lea,
cAnd
ls;:ag
l\s\Mton
(1642-LV27\
si
Gottfried
Wilhelm
Leibniz
(f646-1716)
au
ffr
-rt
prima
fundamentare teoreticd
a
domeniului
calculului
integral,
mFrofundatd.
apoi
de
matematicienii
Augustin
l,ouis
Cauchy
(1789-
::57)
si
Bernhard Riemann
(1826-1866).
Henri
l,eon Lebesgue
(1875-f941)
inif,iazFt teoria modern6
a
::junilor
de integrald,
lungime,
arie.
O
Aria
unei
suprafele
plane
in
acest
paragraf
se va defini nofiunea
de
,,mul{ime
care are
arie"
s.
se va
ard"ta cA
dac5.
f
:
[a,
b]*>
iQ*
este
o
funcfie
continui,
atunci
sub-
g:icul
ei
f1
={(*,y)
enxn
ia<x<b,
o<y<f
(x)}
este o
multime
t;:e
are arie,
iar aria sa
se va
calcula cu
ajutorul
integralei
definite.
+
oEFmrTrE
r
Q
multime
E
c lD
x
lQ se
numeste
mulfime
elementari
dacd
"
=
0o,,
(1),
unde
D,
sunt
suprafe{e
dreptunghiulare
cu
laturile
i=l
respectiv
paraleie
cu
axele de coordonate,
iar
oricare
doui
suprafe{e
ijferite
Di,
Dj au interioarele
disjuncte.
Prin
definitie,
3
()BSERVATII
X..
Reprezentarea
unei
mulf.irni
elementare sub forma
(1)
nu este unicA.
265
u
tF.
.I
$
l
.E
i
l
l
i
llr
r
l
:
:tl
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 262/324
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 263/324
de
Analizi
matematici
r
lll.
Aplicalii
ale
267
definite
:le
(A"),
A,'
=
(.
=
*f)
.
*{")
a]e
intervalului
[a'
b]
cu
tim lln"ll=
o
'
Functia f
fiind
continua
pe
:-
este
continud
pe
fiecare
subintervd
["1i],
"1"']
conform
teore-
lui
weierstrass,
f
este
mdrginitd
9i
i$i
atinge
marginile
pe
fiecare
hffi,,'al
["[:],"1")]'
i
=
1,
k,'.
in
consecinf',
exista
u['),
r{")
.
[" :], " "1]
astfel
incAt
t(r{"')=
=
-:
a'
=
inr
{r
(x)1"
.
[*{:1,
" "'
]},
t
("1"'
)
=
M[")
-
sup
{i
1"11"'
["11]'
"1"']]'
fi.
=
l-
k.r. a
Ftgura
7
Se
considerd
dreptunghiurile
cu
M1')l--
m*"o
x ")
-"[:)
ei
indgim.u
*{'),
,""-
urccdl.
nn{")
lng,tra
1):
D ")
=
["1:],
*1",]"
[0,
*[")]
'
c[")
=
["1:],
" t].
[0,
t1"'].
Se
constituie
mulfimile
elementare
E,'
def
,
respectiv
Fr.
=
v
G(')
.
care
verificf,
relafiile
E.
c
r,
c
\,
(1), pi
aria(E')
=
i*1')
'
=
i*1",
(*1",
-- ll)=Et("["')
("1"'
--t:l)-
oo"(t," "').
Fiind
continu6
pe
[a,
b],
f
este
integrabile
pe
[a'
b]
Oi
astfel:
f
r
1'y
a"
:
1i5
oo"
(t,
"{t
)
=
**
oo"
(t,
"1"'
)
=
"ri.
(E,,
)
=
aria (F.
)'
(2)
Din
relafiile
(i)
qi
(2)
qi
aplicand
definifia
mul .imii
care
are
arie,
se
btine
cd
mul .imea
f1
are
arie
9i
aria
(rr)
=
ff
l"tat
'
'
cl"'
*1ll
'01''
def
k,,
=
Uol")
*-i',
=u
t=I
rn)
\,
i=1
aria(n") -
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 264/324
Exp'.ol&?to/nhtalp,
tr
1.
Se
se
determine
ariile
su,tgraficelor
funcfiilor:
a)
[:[O,t]-+D,
l(x)
=x2
+x;
b]
f,
:[O,n]-+A,
fr(x)
=sinx;
c)
f,
:
[f,
e]-+
e, f,
(x)
=
lnx;
d)
fn
:
[t,
+]-+
e,
fn
(x)
=
Jx.
Solufre
Subgraficele
functiilor
vor
fi
reprezentate
ire
,lo-------:in"'"
t
desenele
aldturate
(figurile
2-b).
a)
Avem:
aria(rr,
)
=
fit,
(*)0"
=fi(r,
**)0":
(*"*')ltllb
=i-+-
ii
=_+_=_
[3
z)lo 3
2
6'
b)
aria(rr,)=
J.U(")0"=losinx
d.=-o"*
['
=
=1+1=2.
c)
aria
(r1.
)
=
I
t,
(x) ax
=
J'h
x
cx
=
=
l,
"'.Lex
dx=
xrr:x
l;
-
f"
+
dX
=
€-"1
i=
r.
a)
aria(rr.
)=
tt*(x)ax
=JiJ*.S
=
f*io"
=
=Z
*zl,
=;""
l,
=3,'-')=
+
tr
2.
Sa
se
determine
aria
mulfimii
f1
in
cazurile:
a)
f :[L
e]-+D,
f(x)=xlnx;
b) f
:[-r,z]_+a,
f(x)=l"r_*1.
Solufte
a)
Funcfia
f
este
continud qi
pozitivd
p.
[l,e].
Rezult6
c6
mulfi-
mea
11
are
arie
qi
aria(rr)
=
li*rnxdx
=
{[rr*
-+]l
'
=
.',*,
.
2\.
z)lr
4
l*'
-x,
x
€
[-r,
o]
b)
f
(x)
=
jx
-
x2,
xe
(o,
r) .
Funcfia
f
este
continud
qi
pozitivd
pe
[*'-x,xe[t,2]
intervalul
[-t,
Z].
Rezultd. cd
mulfimea
fs
are
arie
si:
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 265/324
Analizd matematici
r
lll.
ale
integralei
delinite
ro
aria(r,)=
J',r1"10'
=
jl("'-")d".
jj("-*')d".
I,'("'-")d"
=
,.3
"')l
o
(*'
"t)lt
(*3
*')l '
1t
=
-
-- ll
I
l--- li +i- =-.
3 2/,[2
3Jlo
[3
z)1,
6
Aria elipsei
Fie
elipsa
(d)
caracterwatl.
r:tata
grafic
in
figura
6.
Problema
care
se
pune
este:
r::erminarea
ariei
suprafefei
deli-
L-:ate
de
elipsa
(d
)
folosind
inte-
graia
definita.
Funcfiile
ale c5"ror
grafice
s*.criu
curba
(d)
sunt
urmdtoarele:
:
f2
:[-","]-+D,
f,(t)= G'*"3,
9C
de
ecuafia
:-
*
J=
-
I
=
O,
repre
ao b'
Deoarece
func{iile
tr,
f2
sunt
fi:nc 1i
'e--:r
delimitate
de
elipsa
(d')
este egal6
cu
::ia
suprafefei
has,i-lrat-e
din
figura
6.
pare,
rezutrt5.
cd
aria supra-
aria{dr)
=
4Ar,
unde
A1
este
Foiosind
tema
de
proiect de
la
pagina 227
,
se otl{ine
Aqadar,
ffi*$
Daci
&
=
b,
elipsa
(d)
devine
cercul
cu centrul
in
ori$ine
si
raza
R
=
a
=
b.
Rezultd
cd.
aria('€(O,
R))=
nR2.
Aria
suprafetelor
plane
cuprinse
intre
doui
curbe
Problemi-suport
Se
considerAfuncfiite
f,
g:[-2,
t]*+
D,
f
(x)="'+t'
g(x)=-x*3.
o)
a(a. o)
. b/q ,
r)
=
--{a-
--
x-
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 266/324
Analizi
matematici
r
lll.
ale
integralei
definite
a)
Se
se
ilustreze
domeniul
plan
tative
ale
funcfiilor
f
si
g
si
de
dreptele
deecuatii
x=-2,x=1.
b)
Sa
se
calculeze
aria
acestui
domeniu.
Rezoluare
-
al
Imaginea
geometricd
a
grafi_
cului
funcfiei
f
este
arcul
de
paribola
AVB
inclus
in parabola
de
ecua[ie
y=x2
+1,
cu
vdrful
V(O,
l)
si
care
trece
prin
punctele
A(-2,b)
qi
B
(t,Z),
(figura
7). Imaginea geometricd
a grafi_
cului
func{iei
g
este
segmentull
de
dreapti
[an],
reprezentat
in
figura
7.
Rezultd.
cd
domeniul
plan
D
este
regiunea
hasuratd.
b)
Se
observd
cd"
D
=fe
\fr.
Rezulta
ce
aria(D)
=
aria(r*)
_
aria(r,)
=
i_',
g(*)a*
_
J,
f
1";O*
=
=
J,(s(*)-r(*))o*
=
"[,(-*'
*x+2)dx
=
f-{-
*'
*r*]l'
=
'
|.
3
2''^)l_,-
=(
-
-- *r)-tg-1_o)
=
e
I
s
2'')-t,5-t-*)=E'
Aceastd"
problemd
sugereaza
rnodul
general
de
determinare
a
ariei
nei
suprafefe
plane
md.rginite
de
graficele
"
d;;;
n
""t"
"""Ui;;'.
n
interval
[a,b].
D
mdrginit
de
curbele
reprezen_
A(-2.5)
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 267/324
Analizi
matematici
r
lll.
Aplicalii
ri€ integralei delinite
reprezer
Frswar
n
ffiodhrnpr@Tohraip'
F
1. Se
se determine
aria suprafefei
plane
md.rginite de
graficele
funcliilor
f,g
:
[-t,
1]
+
Q,
f
(x)
=
2-,
g(x)
=
4
-x'.
tr-::ne
Reprezentirile
geometrice
ale
graficelor
celor
u:ua
func{ii sunt redate in figura
9.
Astfel:
aria
(r,,*
)
=
jl,[e
(")
-
r
(x)]
ax
=
D
esre
=
arie:
pe
=
-14-x,
-2.)dx=
(n
-*-+'ll'
=??
\
3
rn2
)l_,
3
x
ln4
E
2.
Sa
se
determine
aria
suprafefei
plane
ecuafii
Y=x2
-3x
qi
Y=2x-4.
5:,i^ne
Se
determind.
mai
intA{
punctele
de inter-
wie
ale celor doud curbe rezolvdnd
sistemul
[v=xt-3x
:': rUatii
i
"
[v
=2x-4
Se obfin
solufiile (t,
*
z)
qi
(4,
4)
care
s-:::
coordonatele
punctelor
de intersectie
ale
:r:::
doue curtre,
figura
10. Asociem
acestor
:-:re
func{iile
f"
g:
[1,4]-+
n,
f
(x)=
x'-3x,
g(t)=
2x*4.
Din lectura
graficd
se
observi ca
g(x)>
f (r),
V
x
e
[L
4].
Rezultd
ca
aria(r1,r)=
l,-[g(x)-r(x)]ox
=
f
(-x2
+5x-+)ax
=
-r3
sx2 )ln
9
+__4xll
=_.
3
z
)rz
F
3.
Se
considerd
funcfia
f
:
(0,
+
co)
+
Q,
f
(x)
=
Iog, x.
a) Sa
se reprezinte
grafic
functia
f.
b)
Sa
se determine
aria domeniului
plan
mArginit
de axa
Ox,
graficui
::rcriei
gi
dreptele
de
ecuafii x
=
l, x
=
2.
--n-.i:
-ife
a) Functia
f
este strict
descresc[toare
pe
(0,
+"o), liir^lf(x)=+"o;
=f
,x)=-.o.
Intersecfia curbei
logaritrnice cu
axa
O*
;;.
punctul
-1-
l.
I
). Curba logaritmicA
este
redatd
in
figura
I
1.
27L
mdrginite
de curbele
de
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 268/324
Analizi
matematici
r
lll.
Aplicalii
ale
integralei
definite
b)
Considerdm
funcfia
g:
[t,
2]+
D,
a
g(x)
=
O.
Rezultd
cd
aria
domeniului
plan
cuprins
intre
curbele
gr,
{4,
si
dreptele
de
ecuatii
x=1,
x=2
este:
Imaginea
geometrica
a
graficului
frrnctiei
f
este
reolta
*
ou;
ir.
*'
Aria
suprafefei
plani
has-riate
este:
a
=
ff
6)dx
*
I'to
_
r("));;jii"l*
=
=
f
(",
- sx
+
z)
a**
I,(_*,
*
s*
_
z)d"
*
*
Il ,-sx
+
z)0"
=
:.
+
*
g
=
lr.
6
6
6
6'
tr
5.
O
suprafafd
inlinitd
Oxi{a
stpfffet-e
ptane
nemdrginite
cantitate
finitd
de
vbpsea?
--"
,Solufre
Rdspunsul
este
afirmativ.
Intr-adevdr,
fie
-f,inctia
aria
(rs,r)
=
l,'tg(")
-
r(x)]dx
=
Figura
1L
ol
A
vopsite
cu
o
Ftgura
13
a-x
=
l,'[-t(*)]ax
=
-li^u;* *
=#
f
r,,*o*
=
Tnza/
=
#.
J'x,rnxdx
=
#
["r,,*1;
_
,,
*
**)
=
#
.(zmz_
"li)
=
_
2ln2
-L
ln2
tr
4'
se
se
determine
aria
suprafefei
prane
cuprinse
intre
axa
ox
s,i
ima_
"'#t*
geometricd
a
graficului
funcfiei
f
:
[0,
S]
_+
rp,
f
(x)
=
x2
_
Sx
+2.
ff
a.re
pot
at
f:D-+e,
f(x)=
t
grafic
este
rerrat
,*#"
i:.
"*"t
subgraficului
funcfiei
f pe
intervalufi:;i;_:
i.3:.:a.
""i*ptota
orizontald
spre
+oo
si
*oo.
Pentru
a>0,
aria
."t(")=
["
-fa-axo
+l
x=arctgxlu"
=2"rctga.
***i$ri
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 269/324
i
Xri
Analizi matematici
r
lll. Aplicalii ale integralei delinite
Aria
suprafefei
nemaiginite
limitate de
graficul
funcfiei
gi
axa
Ox
este
egald. cu:
../
=
lim
.,/
(a)
=
n.
a-++@
Aqadar,
aceastd
suprafa .a
nemf,rginiti
are
arie
finitd..
EXERGTIil
$r
PBoBLEME
EXERSARE
El.
Si se calculeze aria
mulfimii
ls
in
cazurile:
a) f(x)=3x-4,xe[z,S];
t) f(x)=1617,xe[o,r];
c)
f
(x)
=*,
x
e
[e,
e];
d)
f(x)=cosx,
".lo,f]t
e) f
(x)=*;jx+8,
xe[-2"
o];
O
r(x)=,2js*,xe[r, z];
E)
f(x)
=
x€x, x
e
[o,
r];
h)
r(x)
=
-.r+,
*.
[Jro,
s].
vx"-9
Sd' se determine aria
mulfimi fs,a
in cazurile:
a) f(x)=*2,
g(")
=4x-1
xe[t,3];
b)
f(x)
=2x-s,
g(x)=x2+1,
xe
'["3]'
c)
f(x)=4,g(*)=x*1,
xe[r,
e].
d) f
(x)
=
€-x,
g(x)
=
e-,
x
€
[O,
r];
e)
f
(x)
=
-IEJJ,
g(x)
=
Jx
+
1, x
.
x
e
[o,
e];
O
f(x)=O,
g(x)=2slnx,
xe[O,
n];
g)
r(x)
-
arctgx,
g(x)
=
o, x
e
.
[-J5,
-
r].
83.
Sn
se
deterrnine
aria suprafefei din
plan,
delimitati
de
axa
Ox
gl
ima-
ginea geometrlci
a
graficului
func-
$iei:
a)
f(x)
=4-x2,
xe[-2, z];
b) f(x)
=
x2
+ 3,
x
€
[-r,
r];
c) f
(x)
=9-x2,
x
e
[-c,
a];
d)
f(x)
=2x-x2,
x.[-r,
A];
e)
f
(x)
=
sin x,
x
e
[O,
Zn];
Ir
-
t2
,*
e
[-r,
o]
fl
f
(x)=
i
'
"
'
lt-*,xe(O,2]
E2,
APROg'UNDARE
A1. Sn
se
deterrnine
aria
mulfimii
11
pentru:
a) f(x)
=
x2arctg",
*.
[o,
J5];
b)
f (x)
=
xln2
*,
".
[",
.2];
c)
f
(x)
=,t4*-*',
x
e
[r,
s];
a)
f(x)=1"-zl,
xe[-t,
+];
e)
f
(x)=l*'-el,
xe[-+,
s];
nrlr)=l*X"l'..,,,n,
42.
Si
se
determine aria
mulfimii
cu-
prinse
intre curbele:
a)
y=
*2,y=8-x2;
273
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 270/324
b)
y=
x2
-4x,
y=x-4;
cly2=16-x2,y2=6x:
"
al
y2
=lox,
y=Ex;
e)
x2
+
y2
=
4,y="6.x,
x>
O.
Afl.
Si
se
determine
arla
suprafefel
plnne
mirgJinite
de graficul
i""r1i"i
r,
fo,?]
-+
p,
r(x)
=ffi
,,*.
Ox
gt
dreptele
de
ecuafil
x
=
O,
3n
x__.
4
A4.
Se
consideri
funcfiile
f
:
e
_+
D,
f(x)=
-x2
+E
9i
g
:
e.
+p, g(x)=
I
=
;5.
"u
se
determine
aria
supra_
fefel
cuprlnse
intre
graflcele
celor
doui
funclii
gi
drepteie
x
=
l,
x
=
2,
AE.
Fie
r:[o
e)+e
f(x)=?*__
$i
se
caleuleze
aria
suprafefei
mfu-
gtntte
de
grallcul
fundliei,'"**
&
_sldrepterc
x=4, x=8.
46.
Se
di
tunctia
f
:
e
\
{z}
_+
A, f
(x)
=
x2+Gx
=
-----=_.
SiL
se
determine
aria
a.-2
suprafefei
deUmitate
de
graffcul
funcfiei,
axa
Ox
gi
dreptele
;
=
_61
X=O.
.A7.
Se
di
funcfia
f
:
e
\
{r}
_+
A, f
(x)
=
x2
+ x+2
.
Si
se determlne arla
x-l
euprafegei
mirglntte
de
graflcul
funcflet,
asirnptota
obtici
CT
di"p:
tele
x=2,
x=3.
A8.
Interlorul
ellpsel
x2
+ 4yz
_
4
=
O
este
desp{.r,tit
de
hiperbola
de
ecu_
afie
x2
-4y2
-2=O
in
trei
regi-
uni.
S{
se
afle
arla
fiecirei
regiunl.
Analizi
matematici
r
lll.
Aplica;ii
ale
integralei
definite
A9.
Se
consideri
funcfia
f :
[O,
+
o)
+
A,
fe,
x=o
f(*)={
[(x+r)',
x>o
Si
se
arate
ci
aria
suprafetei
deli-
mitate
de
graflcul
funcliei,
axele
Oy
gt
Ox
qi
dreapta
x
=
I
este
mai
mic6
decit
,,e...
AlO.
Fie
f,
g:
p
+
A, f
(x)
=
xarctgx
ql
g
(*)
=
fn
(r
+
x2).
Si
se
calculeze
aria
suprafefei
cuprinse
intre
grnfi_
cele
funcliilor
fgi
g
9i
dreptele
x=O,
x=1.
All.
Se
constderi
funcfta
f
:
[O,
2]_+
n,
f
(x)
=
2x-x2,
Sn
se
determine
meQ,
astfel
incdt
dreapta
de
ecu-
afie
y
=
rnx
si
imparti
subgraficul
firncriei
in
doud
ffiffil,"r'*?,
Al2.
Fie
functia
f ,I
u al
L-a'al-+
a' r(x)
=
=
Gt;t
-
x,
a
€
ni.
se
se
deter-
mine
parametrul
,,a..
astfel
inc6t
aria
subgralicului
funcffei
f
se
fie
egalicu
(eJ5+zn).
Al3.
Fie
funcfla
f
:
D
_+
p,
f
(x)
=
*+t
=-'-_-
_,aeQ.
x-
+2x+B
a)
Si
se
determlne
valorile
lui
,,a,,
astfel inc&t aria subgrallcului
func_
fiei
f
pe
lntenralul
[a,
a
+ t]
si
ia
valoare
maximi,
respecfiv
valoare
mlnim[.
b)
Si
se
calculeze
Hm
ffi,
unde
S(r)
reprezlnti
arla
suprafefei
cuprinse
intre
graficul
functlei
si
aslmptota
acestuia
pe
intenralul
[-r,
.].
274
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 271/324
t
fie
,,a"
la
qi
fr
fmctiile
f
,
g:
[2,
+
o) -+
Q,
t
l1
.
.,fn;)
f r,=------
Fi
Vx-+l
=3-x2-x+5
trll=
-----
-,2
-
(x-r)
Analizi
matematici
e
lll.
Aplicalii
ale
integralei
delinite
a) Si
se calculeze
aria
e(b)
a
supra-
felei
plane
delimitate
de
graficele
celor
doui
func$ii
Pe
intervalul
[2,b],b>2.
u) se
se
calculeze
l x"tol.
fin
studiul
geometriei
in
spa{iu
sunt
cunoscute
o serie
de
corpuri
gpic.e.rice
pentru
care
se
qtiu
formulele
de
caicul
ale
volumului:
ffir=".".
pirJmida,
trunchiul
de
piramidS., cilindrul'
conul,
trunchiul
de
lrnrrr sl
sfera.
in
acest
paragraf
se
va
indica
o
cale
de a
determina
volumul
acelor
1gr:"-.l-i
obtinute
prin rotirea
subgraficului
unei
funclii
continue
qi
o=t"
in
jurui
axei
Ox
folosind
calculul
integrai,
care
pentru
func{ii
a:i'Fpr-tnzator
alese
sA
conduci
la
formulele
deja
cunr:scute
pentru
sr:urile
geometrice
enumerate
mai
sus'
Fie
f
:
[",
U]
-*
[0,
+.o],
o func{.ie
continte5'
+
pEFlHlT €
l.
Se
numeste
corp
de
rotafie
detenninat
de
funafia
f, corpul
*b{inut
I
p.- rotirea
subgraficuiui
acestela
in
jurul
axei Ox,
figura
1"
corputr
de
rota{ie
determinat
de
func .ia
f
se
noteaeS"
c19i
c,
=
{(*,
v,
z)=
rn3
|
<f("),.<*<u).
v
(^
\--.-_
l,-_
,:\
::-',--i----'--
\
i
,t-----
b
x
$'
z
Cel
mai
simplu
corp
de
rotafie
se
obfine
prin rotirea
subgraficului
funcfiei
constante
poziuve,
f
(x)=
r'
x
€
["'
b]'
in
jurul
axei ox'
figura
2'
Acest
corp
reprezintS.
un
cilindru
cu
taza
bazei
egald
cl-l
r
si
generatoarea
(inaltimea)
egal5
cu
b
-
a.
Volumul
corpurilor
de
rota[ie
Figura
275
1.
l
?r
d
4
ii
1.
I
i
i
t
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 272/324
Se
noteazd
C.
=
{f*,
U,
,).
rOr
f
<r,a."=o].
::
T::-T"":::::
:tTo:*i
c.
este:
vor
(c,
)
=
n
,2) b
-
^)
X#Ti:::::l:j;1":r*,:.ut
u=(.=;':*,:_
I".'
,
i",'
=or
;,1';;;1
"
:":I:1"rui
[a,
b],
.
astrer,,"j,',
;"
;:;";;
iJ
i:"jl
nten'ar
[:::*'l{:t::
v
*u[*,-''
*,),i
e
{t,2,.
,
n}.
se
spune
cd
func{ia
f
este
;";;#o"
oi"*",
*
DEF|IITIE
l'r:j$1#tri1#::;'t;:l'f"ffi
i;':trl:il,?.::ff
ilT'ilTil:;;
Volurnul
""Tr:*
mul{imi
e}ernentare
este
dat
de
formula:
Vot{C1)
-
nf
",'(",
*xi_r).
i=1
cu
ajutonrl
rnultim'or
c'indrice
erementare
se
va
de{ini
volumul
nui
corp
de
rotafie
determmaf
aJo
n
.r" ie
pozitivd.
*
0EFtl{tTtE
'
Fie
f
:
[a,
b]+
D* qi
cf
corpur
de
rota{ie
determinat
de
functra
f.
orpul
Cf
are
volum
dacd
exis
;:t*
;it*
::*H"-J"'l.
t::,;'J;*?*,.1.
$*,::
a)
G'cC1
cHr'Vne
N;
o)
j'*
vol
(G,'
)
=
l1x
vot
(H,,
)
=
z.
In
acest
caz,
volumui
corpului
Cl
este:
vot(Cr)trr.
cu
aceste
elernente-
pregdtitoare,
vom
descrie
o
metodd
oferitd
de
alculul
integral
pentru
o"t".illrJ..a
vorumulri;;;
corp
de
rotafie.
Analizi
matematicii
r
lll.
Aplicafii
ale
i
definite
276
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 273/324
f.
Analizi
matematici
r
lll. Aplicalii
ale
integralei
definite
'e'nonstrcit'
Fie
(r,,),A.,
=
("
=
*t",.
"{")
rn:ri
ale
intervalului
[a,
b],
cu
tirn
lln"ll
=
O. Notdm
..r{"),
respectiv
M{')
ma-rginea
inferioard, respectiv marginea superioard
a
funcfiei
f
pe
.n--ervaiut
[d:l,t{d],
i
=
r,
r,'.
Atunci
existd
,fd,rfd
.
[*{:i,
,.{",],
""tlr
:n:at
f
(uf",)=
*{",,
t("f",)
-
M{''),
i
=
r,
r.'.
Pentru
fiecare
n e
N se
de{inesc
funcfiile
constante
pe
por,tiuni:
a /_\_ f-f",
=r("{",),
*=
("fl?,*{",),
1
<
i<kn
9"(x)=i
,
,
\\
.\'
lr(*f",),"="{"),
o<i<kn
L
,_-\
lr{",=
r(.t,{"r),*.
(-fll,"f",),r
<
i
<
kn
h"(x)=i
,
\'
lr(*1"1),
"=*f"),
o<i.k.,
corpurile
de
rotafie
Gr,
gi
H'
geneiete
de
funcflile
gr'
respectiv
.:- sunt
multimi
cilindrice
elementare
c.r
proprietdfile:
(1)
G"
cCl
cHr'
ne
N;
(2)
vol(G,,)=
"Ir,'('{")X*J")
--{l})=
o6"
(nr2,.rf")),
vor
(H,,
)
=
"l
rt
("[",;1"1t
-
"{l})
=
o6.
(nr2,
"[",).
Funcfia
f fiind
continui,
rezult6,
cd
s,i
funcfia
nf2
este
continua,
mi
este
integrabild
pe
intervalul
[a,
b]
+i
prin
urrnare:
"l:f'
(x)dx
=
l31oo"(nf2,'{",)
=
l11vol(G,)
=
lgoo"(nr;,.,r1"11
=
=
3.
vol(H").
(3)
Din relafiile
(l)-{3)
qi
defini{ia
corpurilor
care
au
volum,
rezultd
cd
L
are
volum
qi vol(C1)
=
"l:t'
(x)ax.l
277
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 274/324
Analizi
matematici .
lll.
Aplicagii
ale
definite
e"-r.rt;">rcgt"r.t*
El
l; ?i,,;';1".":.r:,"*,rTrl
corpului
de
rora{ie
determinat
de
*rd,
f
:[2,
a]-+
a,
f
(x)
=2x_3;
b)
f
:
[o,
Bj];,"r44ff:i'ri:il:
a)
Corpul
de
rotafie
C1
determi_
nat
de
funcfia
f
este
un
trunchi
de
con
(Iigura
4).
Votumul
acestui-i.r"Ini
o.
con
se
calculeazi
astfel:
vol(c1)
=
n
If,r'
*la*
=
*
$(+x2
-
r2x
+
+e),rx
="(n*-t2{*erll
n
-G2n
( 3 2
"'-)lr--s'
u)
r(x)
=
{t"'
x
e
[0,
t]
i^-
\
,
lx+2,
xe(1,31'
t.t
tr
,1 i,1::_:li:l:r_.
*1y1ur
corpului
de
rotatie
obfinut
prin
rotirea
L
P.(rrl
roure€
:j[ru|.,T::l::
tlfimii
mirginite
de
parabo
tu
y,
=
2px
pentru
x
e
[0,
a]
(paraboloidul
de
rotafle
_
figura
5).
Solutie
Funcfia
care
determind
corpul
de
rota{ie
este
f
:
[0,
a]+
D,
f
(x)
=
€p;.
Rezulti
ci:
vol(c1)
=
nJjzp*
dx
:;r
^+l
=
npa2.
z
lo
.eolufie
Semicercul
din
enunf
este
caracterizat
de
ecuafia
*'*y,
=12,
yrO.
F"rncfia
asociatA
este:
f
(x)
=
V7=,
x
e
[-r,
r].
o'or(cr)
=
^1.(r,
-"r)o*
=
n.(
rr*_{Jl.
=4*t
[
3)-,
3
*"?U'"
i:ffi;:,I:'
l,T*
::T:r^li
*qut
prin
rotirea
in
j
umJ
ffi:"titillfd:*"t'i"upe'io;il:;#il:ruilJ'"'[3#',:#
278
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 275/324
Analizi matematici
.
lll. Aplicalii
ale
integralei definite
E
4. Sa se
calculeze volumul corpului obfinut
prin
rotirea in
jurul
axei
Ox
a suprafetei
plane
delimitate de
arcele de
parabolA
y
=
4
-
-x2
si
Y=2x-x2,
cu
y>o
siaxaOx.
Solufre
Suprafafa
plana
din enun{ este redatd in
igura
7. Volumul corpului
de
rotafie C1
generat
lrin
rotirea
acestei
suprafefe
este egal
cu:
'/
(c,)
=
,l:r$
-
*')'dx
-
n
I\P*-
"
)'
d"
=
6
--n['r(ta-Bx2
*"4)a'
-" l(*' -4xs
+xn)d'
=
=
n( ru,_
8x3
.4ll'
_n(
n*t_x4
+{)l'
-4e6n
.
[
3
5)l_,
[3
5)lo
15
EXERCITII
SI PROBTEME
EXERSARE
El.
Si
se calculeze volumele
eorpurilor
de rotagie determinate
de
funcfiile:
a)
f
:[o, z]-+8, f(")= 4x-x2i
b)
f
:
[o,
n]+
a,
f
(x)
=
5i111'
"r
t'
[-1,3]'
4,
r(x)
-
cosx;
d)
f :
[-r,
z]-+
Q,
f
(*)
=
J*'tr,
e)
f
:
[t,
z]-+
Q,
f
(*)
=
m'
f) f :[-2,3]+4,
f
(*)=lx-rl;
g)
f
:
[o,
s]-+
n,
f (*)
=
JE
-Jx;
h) f
:[a, a+1]-rQ,
r(*)=ut-1--a'
i) f
:
[1,
3]-+ D,
279
r(*)
=
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 276/324
82.
Se
se
calculeze
volumul
corlrului
obSinut
prin
rotlrea
in
jurul
axel
Ox
a
curbei
definlte
prin:
,"4}r(")='=fi,
*.[Jd,e];
x
(r)=-m,
xe[o,
1];
Vx-+l
c)
r(x)
=
rE,
x
e
[a,
s];
d)
r(x)
=
#;,
x
e
[o,
r].
APROFUNDARE
A1.
Sn
se
calculeze
volumr.ll
corpului
de
rotalie
determlnat
de
funcfia:
l- r'l
G;}
r
'
lo,*
l-r
a,
f
(x)
=
arcainx;
L2)
A5.
Sn
se
calculeze
volumul
corpuftai
obtinut
prin
rotirea
pottgonuftd
ABCD
in
jurul
exei
Ox,
dacn
A{I,
Q,
B(2,
s),
c(4,6),
D(ro,
o).
A6.
Fie
funcfiile
f,
g:
[O,
1]-+
D,
f
(")
=
=
arGcosx,
g(x)
=
J;=.
Si
se
determine
volumul
corpului
de
rotafie
generat
prin
rotirea
-rn
jurul
axei
Ox
a
mulflmii
dellmitatc
de
gralicele
celor
doui
funegii.
A7.
Se
consideri
curbele
de
ecuafil:
Y=-x2
+3x+
4,y=3x-x2,
unde
y>o.
a)
Si
se
reprezinte
gralic
aceste
curbe
pe
acelagi
sistem
de
axe
de
coordonate.
b)
Si
se
calculeze
aria
suprafefei
plane
mirginite
de
aeeste
curbe
si
axa
Ox.
c)
Si
se
calculeze
volumul
corpului
de
rotafie
obflnut
rotind
in
Juruf
axei
Ox
suprafafa
plani
cuprlnsa
intre
cele
doui
curbe
Si
axa
Ox.
calculul
limitei
se
dovedeste
largd
de
nofiuni
si
tehnici
c)
dl
t'[o,i]-+
a,
r(x)
=
x€xr
f
:
[r,
e]-+
a, f
(x)
=
Jf
h*;
f :[L
+]-+4,
f(x)=lsx+4-l*-sl.
,t3.
A4.
-
I I rl
Fie
f
:
l-;,;l-+
a,f
(x)
=
fr=-
-
x.
Si se
determine
volumul
cor_
pului
de
rotatie
deternrinat
de
func_
gia
f.
Se
consideri funcfia
r:
[r,
G]-+
a,
r(x)
=+
hVx.
Si
se
determine
volumul
corpului
de
rotafie
determinat
de
funcfla
f.
Si
se
determine
volumul
corpului
obfinut
prin
rotirea
in
jurul
axei
Ox
a
curbei
de
ecuatie
(x
_
C)y2
=
=
x(x
-
3),
*
e
[o,
e].
A
Calculul
unor
limite
de
giruri
Y
folosind
integrala
definitf,
In
clasa
a )il-a
s-au
studiat
diferite
metode
de
determinare
a
limitei
unui gir
de
numere
reale.
Pentru
anumite
Fimri
de
numere
reale
uneori
destul
de
laborios,
antren6.nd
o
arie
de
lucru.
280
Analizi
matematicd
o
lll.
Aplicalii
ale integralei
definite
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 277/324
in
gi
irl'':.9"-
Analizi matematici
.
lll.
ale i
delinite
>O,Vne
N*,
rezultd
Exemplu
J.asedetermine
lim( ' * 1 *...* t
',].
n-*\n+I
n+2
n+n/
l.:nsiderAm
sirul
(a.,),
."
=
-+
*
-+
*
...
*
I
n+l
n+z
n+n
n
Studiul
convergentei
pirului
(arr).
rl
Sirul (arr) este
gir
de
termeni
pozitivi qi
O
<
a, .
r
-
<
1,
V
n e N*.
Rezultd. ca
n+l
ro--
a.)
este sir marginit.
hl
Deoarece
&n+l-dn==f-*=-l
^-
1
=
2n+1
2n+2
n+l
c:
.l
(folosind
elemente
de analizS.
matematicd.
de clasa a
XI-a):
28r
2(n+1)(2n+1)
:s .-'l
este
sir strict crescd-tor.
in
concluzie
girul
(ar) este
qir
convergent.
.
)eterminarea
limitei
qirului
(ar)
?entru determinarea
limitei
qimlui
(arr) se r.'a folosi
sirul:
.tll 1
-xr),
x,
=
j*r*d*...+--lnn,
n e
N
.
?entru
studiul convergenf.ei
Eirului
(x.r) se folosepte inegalitatea
-
.
h(k +
ii-
k+1
'1
"
-
-c'
s.
<
i,
k e N
.
(1),
obfinutd.
prin
aplicarea teoremei
lui
Lagrange func{iei
11,
i
-k.
k
+
l]-r a, f
(*)=
lnx
(tema).
r(U
-*em
xrr*1
-Xn
=
"_
-ln(n+I)+lnn
<0,
V
n
e
N'.
RezultA
cd.
girul
(xrr)
este
monoton descresc6"tor, deci este
mArginit superior
de
lerrenul
xr
=
1.
lnsumind relafiile
(1)
pentru
k=l,n
se ob{ine:
l*l*...o
1,<ln(n+t)<
'
2
3
n+l
\ /
.
:-**
.
*
1,
inegaliteti
din care
se obtine xr, >
ln(n+l)-lnn
>
0, V ne N*.
2n"
RezultA cA
Sirul
(x,r)
este monoton
$i
m6.rginit, deci
este
qir
convergent.
X.€gatura
intre
qirurile
("")
Ci
(xrr)
este datA de
relafia
&n =
X2n
*
xr,
+
ln2"
Trecdnd la limitA
in
aceasttr relatie se obfine c5.
lim ar,
=
ln2.
SoLutia2
(folosind
elemente
de
calcul integral):
Termenul
general
al
qirului
(a,r)
se
poate
scrie sub forma:
""
=
i
-+
=
1
i
-L
=
1i
r[,E).
tzl
unde
r:
[o.
r]-+
a,
r(x)=
+
n
fi,n+k
t
rfir*
"ft'("/'
"'r-"''r '
*"\'-'f
1+x'
Se
observd
c5. relatia
(2)leprezintd.
suma Riemann asociata.
f'uncfiei
f
pe
intervalul
: 1].
diviziunii
o"
=[0,
.2 E,
.l)
si
sistemului
de
puncte
inrermediare
\nnnn)
(t 2 k
n\
-t_
_ _
I
:-
-l
l.
-
\n n n n)
::
ii
,:ii
:
1:
i1-
I
:.
,
l
t,
:i
ii
:'
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 278/324
Funcfia
f
este
continuS.
pe
intervalul
[o,
1],
deci
este
functie
integrabir'
pe
[o,
t]
s
astrer
lim
f
3,t[*J=
fir1*;o"
=
lj*l*
=
rn(x
+
r)ll
=
rnz.
Asadar,
s,irul
(a.)
este
convergent
pi
lim
an
=
In2.
>
COMENTARIU
solufia
2
arat6,
cd
pentru
anumite
siruri
de
numere
reare
ar
c.ro:
ermen
general
se
scrie
ca
o
sumd
Riemann
aiapata
unei
functii
ntegrabile
pe
un
intervar
[",u],
calculul
rimitei
se
poate
face
folosinc
ntegrala
definiti
a
acesteia.
gra&/p-".*
llj
1.
Se
se
calculeze
limitele
de
siruri:
a)
lim
lP
+2P
+...+nP
,
(
t
z
n+o
"rr-'
p
e
r:
b)
_lim
*i
";
+
2ei
solulfe
n+o
nz
I
a)
Fie girul
(a^),
&,,
=
lP
+
2P
+...
+
nP
rermenur
-.;J;-*
"J:f
.l:,'
o
Analizi
matematici
r
lll.
ale
integralei
delinite
n\
-l
+...
+
nen
l.
)
In
acest
sens,
refinem
urmdtorul
rezultat
general:
282
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 279/324
s
$r
t4
*,;.4i1
*
=r-[])o
*[?)o.....1,l'j'.]=
t
ifr)o
=l
ir(E).
unde
*
-
.,:
[.)
[,rJ
-"'-[;J
]-
;6t;
)
-
n#,'[']'
:
-f.
1]-+
D, f
(x)
=
xP
este o
funcfie
integra-
irmi.-;
pe
[0,
1]. Conforrn
teoremei
anterioare,
nm-ilta
ca:
, rl
{r-
a-
=
ltf
(")ar
=
frxpdx
=
*o*l
| =--l-
:l-"
J0-\
'
Jo
p+tlo
p+l
Deoarece
f
este
funcfie
integrabilS
pe
intervalul
[0,
1] se
ob .ine
cA
_1e-
u.
=
fif
1";O*,
ceea
ce
trebuia
demonstrat.
b)
Fie
pirul
(b"),b,.,
=+[."*
*2.?+...+t.;l
Il
l'
,,
n, l. ,
Atunci
u"
=1[]"i
*?.?*
*r"ll=
I
if:1":
=
t
irf ),
unde
"
rL"
n
n
_l
nfi\n
)
nrj'
\nl'
:
-r.
1]-+lD,
f
(x)=xex.
Deoarece
f
este
funcfie
continud
pe
[0,
1],
deci
mregrabila
pe
[0,
1],
aplicAnd
teorema
4 rezultd'ce
[31b,,
=
jjf
1";a"
=
=
i-xe"dx
=
fi*("-)'d*
="."1:-
jje-4"
=e*(x-t)l:
=t
E
2. Fie f
:[0,
t]+D
o
func{ie
integrabils pe
[0,
1]
si
+irul
(.,,),u,-,
=
=
I
*ffzk-t).ne
N*.
nfi
\
2n
I
a)
Sa
se
arate ca
HXa,,
=
fif
1";a".
b) sa
se calcule
ze
rim(=+.=l=
+."
+.+)
----
;-;;[2n+I
2n+3
4n-L)
qpi-une
a)
Consideram
diviziunea
1,., =
[0,
,
? ,...,
+,
'1,
...,
" \. nn n
n
gstemul
de
puncte intermediare
|
=
(6r,
Ez,
...,
€k,
...,
Er,),
n
e N
':-
-2k-r.
[o-t,5-.l,
o
=
t, n
(miilocul
intervalului).
:"
2n
-L
n'nl'--
r
Rezulta
cd
a,,
=
*Et,rk)=
oo. (f,
E).
rl
I
n)
-l'
Fl
n)
t,
unde
/
-F
Tti-Flri.rTr.--
- r]]]:rl::lr:]:]:
dd.e-i#]Fd :@s@"f
a:i
11
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 280/324
b)
considerdm
""
=t;*-u,*+...+*=
t=--L
-
I + I r r n ;^,- ,:"-"
+n-r
F-,2n+(2k-t)
=
*p,t5
=;
*p,r[+#)
unde
r
:
[o,
r]+
a,
r(x)
=*
este
funcfie
integrabili
pe
intervalul
[0,
tJ.
Aplicand
punctul
a)
se
obtine
ta:
u*[
I
*--l--
I
;31(tn+r
*
2,,1T+...
+Z;-)
=*
firt*ldx
=
I
IJfr*
=
I
r'(*
.
r)
l;
=
tnJi.
EI
3'
Fie
f :[o'
r]-+(t'
+m)
o
funcfie
continuipe
[0,
1] qi
qirul
(a,).
""=mneN'.
a)
sa
se
arate
"t
jg",,
=
"1J,"{*)*.
"'Js6secarcureze
#gm
Analizi
matematici
r
lll.
Aplicalii
ale
a)
Termenul
general
al
qirului
(a")
se
scrie
sub
forma:
ln
An
=€
?)...r(l)
n)
\n/
(
)
;)
(
i
r"r[ )
{=l
\n/
"*l'"'[*)*r"r(?)*.
*r"'(*)J
=
"*;
u
:
)
:
il:li;:T"Ti'l
j
;Jj;il"j
bil6
pe
intervalul
[0,
f].
Rezurte
ce
l
ri-f *
"[]')
't$
",.,
=
""-i;
"
6'(
n
j
=
.j
o
s{")a*
=
.iJ,"
r{*)*.
".
"oll:ili,::t
punctul
a)
pentru
runcria
r:
[0,
r]-+
a,
r(x)
=
r
+
x
pi
fg
m
=
"lJh(**4a*
=
"xrn(x+g
1r
-r,ifi o-
=
.,,j
4
e
284
-:r{ir'
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 281/324
EXEBCTIil
$t
PRoBLEME
91.
Si
se
caleul€ze
limitele
(.")
folosind
integrala
daci:
.12n
EJ
8o
=
--; *
--;
+...
* --;i
ll' n' lto
EXERSARE
sirurilor
definiti,
APR.OFUNDARE
285
V.
*
dF
*...
*
dF
n
11
il-
=:r-:+.,.+
^
vnz
+
1
Jnz
+22
I
---.
Jn2 + n2
.11
€r
a'
=
W--;E;;:=;
+'..r
I
I--
J4o^2
-"^2
8n=
)
f)
""
=*[(*)..(:)..
.(;).],
,
r+Jz+Js+...+v[
dn
=
-_______,
nVn
d)
ao
=
*:p
+
2+r
+...
+
n
f,-.
'
tt2
+ n2'
A1. Folosind
integrala
definiti,
s[ se
calculeze
limttele girurilor
(""),
daci:
-(rI
a)
atr
=
"
[p*,;z
+
,4
"nz
+
...
+
,
I
).
'n2+gn2)'
b)
ao=+*-=-- -*...*4,
./n(n
+
r)
./n(n
+
z)
Jzn,
'
.
1(
t
2 n\
c) ao=;5[ffi*15;+...+76)t
-.
t(r
2
t')
dr
ar
=;u[t6*u5;.....o6;J.
A2.
Si
se
calculije
fimitele
girurilor
(.")
folosind
lntegrala deflniti,
qtiind
cd:
.nn
8J n''=l_dt+V_*+...+
n
-.
'
n2
-4n2'
t( r2
22
b)
a,,
=;[#;+
r;i;+
32 ttz )
-+
r-1.
'
gnz
-9
an')'
.
n+l n+2
c, an
=
V;p
+
^1rz
+
...
+
n+n
f-.
'
n2
+'^2'
d)
a,
=
1[r"[t
*
3992)*
n[
\
n
)
*
m
(,r
+
2oo8)
+
...
+
rn
[t
.
l).l.
\
n/
\
n))
lI3. Folosind
integrala
definiti,
sd se
calculeze:
g
2k-r
a,
um
) --_----_'
- ;;
#1
"1@r.
-
ry
.
a",
'
b)
lime*i-^
l--,
'
;;;
'#urrr.r
1zr
_
r;2'
u*[
-l
*
1
*...*
-t
),
n-*\3n+2
3n+5
6n-1/'
-.
(
1
1
I
llml-t-*-*...*
nx\n+l
n+v'3
n+J7
e)
d)
il
fr
aE4*i r':.::::&
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 282/324
ul
rim
*.
-+o
Vn
A5.
Sd
se
verifice
egalititile:
a)
timl[.o"3-.
-
2n
n+on\
n
l-cosj+"'+
*
"o"
"n)
=
0,,
n)
b)
lim
I
i"inkt=2.
n-_ronff,
n
n,
"
fg#ea
*"tg{=-#,
'nkz
u)lg*P,eisinrl"o"fi=
=*(t+sin1-cosl);
")
iT*F,"'*=*-''
et4.
S{
se
arate
c&:
a)
rim
4.
_+o
n-
.t6,
Se
consideri
funcfia
f
:
D
+
e,
cu
T:r:,::r"a
c{
f
(n
+
r)
e
[n,
n
+ r),
Si
se
calculeze:
a)lim(
r
-
I
-
;Ji[;;(r)
*;;;1ry
*...
*
r)
+_
t.
n
+ f
(n)J'
b)
rim
[----t-
2
n__+-[n
+r_f
(r)
-t;;Z:i(2)
+
n)
+...+-l
znz
_r@))'
47.
Si
se
calculeze
limit
dac{:
ta qirulut
(ar),
a)
a.
=-\-
+--1-
*...
*_a
^
,
"*;
,*T
,r*
tr'='
b)a-=
I
'.
I
"
n+l_sinz-rr*r_;**
.r2
t...*-
2n
-
sin
n
Testul
f
(pe
doud
grupe)
Of
.
Si
se
calculeze
aria
suprafetei
plane
cuprinse
intre
curbele;
Grupa
l:
y-xo,
y=
4x;
Grupa
2:
y
=
2xs,,
=i;
a2'
si
se
calculeze,
volumul
corpulur
de
rotafie
generat
de
rotrrea
unctiet
r
:
[o,
z]
_+
p,
in
iuruiJ"li
"*,
rupa
f:
f
(x)=sin2x;
TESTE
DE
EUATUARE
Grupa
z;
f
(x)
=
2sin2
x.
286
(3
puncte)
graflculul
(3
puncte)
stRt'
Analizd
matematicd
r
lll.
Aplicalii
ale
in
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 283/324
Analizi matematici
.
lll.
ct
]I,.
3d se calculeze limitele:
Jn+1
+Jtt+z
+...+JDn
GruPa
l: t]lm-,
"^,.;
,J1,
.j..-r-i.
n-+-\n+l
n+3
3n-f/
Testul 2
Se consideri
funcfla f :(O,+o)+D,f(*)=2x+axlnx.
Si se
a
e Q
gtiind
ci
aria suprafefei
mirglnite
de
graflcul
funcgiei
f,
dreptele
x=1,
x=e esteegalicu
#
Si
se determine
volurnul
corpului de
rotafie
C;
determinat
f
:
[O,
r]-+
P,
f
(x)
l+
x2
le,
(3
puncte)
deterrnine
axa
Ox
qi
(3
puncte)
de
funcfia
(3
puncte)
13.
Si
se
calculeze
intelrafa
Jj
f"
(r
+
*2)a"
qt
limita
girului
(a,,),
""
=
*litn(r2
+
,^'\-r('
-
r)nnl,
n
.
r'.
nlr? \ /
J
(3
puncte)
(Boco,lq:ureo,t,
iunie,
7 998)
Testul
$
31.
Seconsidericurbeledeecuafii
y=x2
+mx
gi
y=x+m,
meQ.
a)
SE se determine aria
.id(m)
a suprafef,ei
plane
cuprinse intre cele doui
curbe.
b) Sn.s1 determine
m
e
Q
astfel
incflt
./(m)
=
3O.
(4
pwrcte)
02.
Se
consideri
neN'
qifuncfia
f
:[-f, 1]+4, f
(x)=cos(narccosx).
Si se
determine:
a)
volumul
corpulul
de rotafie
Cs;
b) n
e
N'
pentru
care
vol(C
)
=+,
(3
puncte)
c3.
FtekeN..sisearatecilim(
I
*
I
*...*
1
')-ln(k+r).
n-+*\n+k
n+2k n+nk/
k
(2
puncte)
287
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 284/324
Teme
de
sintezi
TEME
DE
SIIITEZA
TEIT4A
1
-
Mutftmi
de
numere:
e,
SETITL
I
op
pnonr,pun
(MULTTMEA
e
)
Ol.
Se
dau
numerele
reale:
.
=
(ri)-'
+
r[,"@.
o,o(e
ei
(
z
\2 r^
---
.t-2
r=
IraJ
.Lo,r25
_
o,25*(_r)*J
a)
Si
se
determine
medil
aritmetici,
med.ia
geo-
metrici
gl media
armonici
a
numerelor x,
yl
b)
Si
se
calculeze
[*
*
y],
{y
_
x}
si
togi
('y),.
4
C,2,
se
di
numirul
rear
x
=
m,
n
€
Z*.
a)
pentru
n
=
r
si
se
calculeze
produsur
primelor
3
zecimale
ale
lui
x.
b)
Si
se
determtne
mutfimea
A
=
{n
e
N
l-x
.
N}.
- --'
03.
Si
se
determlne
m
e
e
astfel
incit si
existe:
d
@
pentruorieare
xee;
b)
rosz#
04.
Si
se
ragionalizeze
erpresiile:
-t
t
-.
t r
ar
161;5.;
t)
q6,;
")5-*;.f=.
05.
Si
se
demonstreze
ci:
a)
-:--l-
.
I
-'
t
tz
+
z,ti-
-d-_*E
-...
=
;ffi;f
=,
-';=,
v
n
e
N';
b)
i+#.**...*#>..6,
v
neN*.
06.
Se
dau
lntenralele
de
numere
K=(r-x,
B).
rvalele
de
numere
reale
t=(-o'
*')'
t=(*'-r'
+o)
Sl
se
detcrmlne
x
e
e
pentru
care:
a)
K
este
lntenral
etmetitc;
9t
.*4d[r
288
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 285/324
Teme
de sintezi
b) K este
interval
centrat
in
a
=
-1;
c)
J este
veciniitate
a
punctului
a
=
3;
d) KcInJ.
Si se
aduci
la
forma
cea
mai
simpli
expresiile:
a) rogs,s,
(?t)+
tog
,
;
b)
lo€z
(m"n)
-
loga
884
+ log"
s
-
*St/ffi.
s
Fie mulfimea
A(a,
o)
=
{*
I
*.,o,
+.o), b
>
a}.
a)
si
se
arate
ci
A
(r,
2)
este
mulfime
mirginiti
gi
si
se
afle
inf
A,
sup
A.
b)
si
se arate
cd.
A
(1,
1)
este
nemdrginiti
superior
qi
si
se
determine
mulflmea
minoranfllor.
fg.
Se considerifuncfia
f :e-+n,
f
(x)=
o**1 :.
Si
se
determlne
Imf.
x"+x+l
:n0,
Sn se
determlne
mulflmea
de
adevir
a
predicatelor:
r)
p(x),
"(*'
-
3x+ t)(*,
-
sx-
e)
=
5,
x
e
N,,;
b)
p(x,v):,,(zx
+y+2)Jz
+(cx+y+b).F=o,
x,
yce.,.
Sprur,2
np
pnonr,pnan
(Mul1ruEA
C
)
f
1, Si
se
determine
x,
y
€
le
pentru
care
are
loc egalltatea:
"
(++syt).(+-o")=
=2(y-x)+r;
3+xl x+v
lrl
-r_---_-1.
(3
-
2t)
(e
+ zt)
)2.
c)
(x+ 2y+
i)(y
-
i)
=
(r+x+
i)(s
-+i).
si se calculeze
opusul,
inversul,
conjugatul
gl
modulul
numd.rului
complex
(r-i)(Js+i)
z=
,
,.
1+i
Si
se
determine
numirul
complex
z
in
-
r
-2+4i
J
z-
=
-:------:-i
bl
2z+z.z=4+2ii
2+7
33.
cazurile:
c)
ilzl+lz- =1+i.
289
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 286/324
05.
Fie
A={*.
cl
,;=r,lr="*l=r}.
o""u
s=
I
z,
atunci:
I
I
-.
lz_sil--J
"_h,-,^
a)
S=r-Zi;
b)
S=3;
c)
S=l+2i;
d)
S=
_ _2i.
55
(Admitere
ASE,
Bucuregti,
06.
valoarea expresiei
t =
i'i'
'i: ""
'72oo7
ErEr
&
=
iP
*1";;70.t
""t"t
Teme
de
sintezi
04'
Fie
s
suma
varor'or
distincte
pe
care
Ie
ia
""
=
l*"
.
*1,
x2
+
x+
l
=
O, n
e
N*.
Atunci:
a)S=4; b)S=3;
e)S=E:
d)
S=s;
e)
S=tz.
(Admitere
ASE,
Bucure$ti,
I
a)
-i;
bl
2oO7;
c)
O;
d)
d=1.
2-i'
07.
a)
Se
consideri
ecuafia
x2
_4x+E=O
cu
solufiile
x1,
x2.
Si se
x?1+x/,
xf
+x ,
xf
+x|,44 *
*1*u.
x?
_L
xZ_r'
b)
si
se
formeze
ecuafia
de
gradul
2 cu
coeficienfi
reali
care
are
o
sol@
dati
de
,,
=
I:
{.
08.
Se
conslderi
ecuafia
bipitrati
x4
_2mx2
+
(m
+
l)2
=
O,
m
e
e. Si
se
detcry_
mine
m
astfel
incdt
ecuafia
si
aibi:
a)
toate
solufille
in
O
\
D;
b)
doud
solutii
reale.
09.
Se
dau
numerele
complexe
zt
=L+iJd
si
zz
=l_i.
a)
Se
se
scrie
sub
formi
trigonometrici
z,
qI
zz.
b)
si
se
calculeze
("r"")'o
,(t)t'
si
ridicinile
de
ordinur
4
are
numirur'i
21.
ClO.
Se
consideripuncteleA,
B,
Ccu
afixele
ze.=6+Si,
z6
=Z
_Bi,
zc=_2+4L
a)
Si
se
calculeze
perimetrul
triunghiului
ABC.
b)
si
se
determine
distanfa
dintie
centrul
de greutate
al
triunghiului
si
entrul
cercului
circumscris
acestuia.
c)
si
se
deterrnine
punct'r
o
(+
+
bi)
stiind
ci
este
coriniar
cu
punctere
A
si B.
r-"-*y,
290
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 287/324
7
+1#;:1id
*i-
Teme
de
sintezi
TEIT4A 2
-
Funcfii. Propriet[fi
-
SETUL
1 DE
PRoBLEME
Fie func .ia
f
:
Q--+n,
f(x)
=
ax2
+bx+2,
a, b
e Q"
a) Pentru
a
=
O, si
se dea
exemplu
de o
funclie
f
care sd fle strict
crescfltoare
pe
A
qi
de alta
eare
s[
fie
strict descrescitoare
pe
D.
b)
Dacd
b
=
O, si
se
precizeze
paritatea
(impa-
ritatea)
funcfiei
oblinute.
c) Daci
a
=
1, b
=
-3,
si se arate
c[ funcfia f
este mirginitd
inferior
qi
si se
precizeze
dacril
este
funcfle convexi
sau
concavi pe
P.
[x+m,
x>1
Sedifuncfia
f:P-+lF,
f{")=l
q
^
L-*"*2x,x<L
a)
Pentru
$r
=
O
s{
se arate c[
funcfia
f
este
inversablli
si
sd se
deterrrine
f-1.
b) si
se
rezolve ecuafia
4[f
(x)
-
r-t
(*)]
=
7
-7x.
c)
Si
se
arate ci
funcfia f-r
este strict
crescitoare
pe
p.
Si
se
studieze
injectivitatea
gi
surjectivitatea
func$ieil
e)
f:C-+0,f(z)=22+1Zt
b) f
:C-ro,
f (z) +zt(i\=22+32,v
ze'C:
c)
f :
Q
\
{-2}
-r
Q\{e},
r(x)=T#
Fie
funcfia
f
:
Q
-rn'
f(x)=3x+4.
se
se
determine
funcfia
g
:p-tlQ
cu
sroprietatea
ca
(r.
g
"
r-1)(x)
=
f,*
+
r.
Si
se
studieae
periodicitatea
funcfiei:
l'nl
lnl
ti
f :z-+a,
f (n)=t;j.t;j'
bl
f :Q-+4,
f(x)=2sin3x.
5i
se
arate
c[:
rl
turctia
f.
:
-,/12(p)
--n
'Ar(n\,f
(X)
=
X2 nu
este surjectivi;
bl
functia
f,:Sr,
-+S'
f
(x)=oxd-l,
unde
oeS'
este funcfie
inversablli
qi
ri
se caleuleze
f-Ll
e;
fuacfia
f
:Zr,
+Zr
f (x)
=x2
+x+i
tt,testebijectivipentru
ne{2,3,4,5}
.
29r
+l
*r
&
I
t
t
i
L
L
E
jj
rt,i
,I
:
Jt
+
n
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 288/324
Teme
de
sintezd
+)
-+
{r,
z,
g,
4}
inJective,
veriflci
egalitatea:
b)
f(r)+f(2)=s2
or.
Fiefuncfla
f :e-+e,
f(x)=/to-4.34x+l+12,
x<t
a)
si
se
arate
ce pentTu
"
=
rt;ffr;ilLlri"t"..
b)
si
se
studieze
continurtatea
iuicgiei
fdrscutind
dupi
a
e
D.
(_
oz.
se
consideri
functia
f :
[o,
z]_+
a, f
(x)
=
.|li'J='r,o'
t,
Fie
A={(n,
*,
s)en3
lf
derrvab'-r"
,"|;i,nr=',t'i,
(p+m+q).
Atunci:a)
s=Z;
b)
S=_l;
c)
S=o;
d)
"=ro,
u)
"=(n;:;)."'-
"
(Admitere,
ASt,
Bucureg
tt,
t
d
os.
Seconstderifunctra
f
:e_+D,
f(x)=1_r1t.l["."
EJ*o).8,
a,
bee.
Dac6
A
=
{{",
t).
o',
I
f
este
periodici
cu perioada
2
qi
continu.
in
x
=
r}
r
)=,
I
(a+b),
atunci:
-J'
(a, b)eA
a)
S=2;
b)
S=_t;
c)
S=O;
d)
S__S;
e)
S=4.
(Admitere,
Economie
generald.,
Bucureqti,
2OO D
04.
se
consideri
runcria
r:
D
-+
a, r(x)
=
[
lx1:l:;i
e[2,
+].
a)
si
se
determine
parametrii
a,
b
e
p
"h;ff
n*Ii;r"
prrmitive
pe
e.
)
Si
se
determlne
prlmitivele
funr
c)
si
se arate
ci
pentru
.',."
"ltl.t;::::T"'iTrll,lJ;.
pe
intenrar'r
[-r,s].
d)Sisedetermtne
a,
bee
astfelincat
ff(x)dx=14
Fi
ff(x)dr=39.
05.
Se
consideri
functla
polinomlali
f
a)
Si
se
determine
a
e
D
stiind.,
;,1_:;
;j-,
=
x5
a
o*3
+
8Ex-
2.
:iffJ"H,.:
i"
rrl;
j,1
jr"rl
t eciz
ze
tnt
ervar
ete
de
m on
otoni
e
si
c
onvexitat
e
_
07.
Cdte
functii
f
:
{1,
2,
B,
a)
f(r)
.t(2)=
+;
SETUL
2
op
pnosr,sMr
292
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 289/324
Teme
de sintezi
f,6. a)
si
se
demonstreze
ci
suma
a doui
funcfil
convexe
f,
g
r
-r
D
(I
interval
deschis)
este
funcfie
convex6.
b)
Si se
arate
ce urmitoarele
functii
sunt
convexe:
f
:
Q
-+
A,
f
(x)
=
ax4
+
bx2
+
cx
+
d,a,
b, c,
d
e
e
qi
a, b
>
o;
h:
(O,
+o)
-+n,
n(x)
=
4x4
+gx2
-Ex+Z+logl
x.
E
@acolaureo't,
799g)
)7.
Seconsiderifuncf.ia
f :D-+e
continuiqi
a>O
astfelincet:
J'*"r1t;at=3,
v
xee.
Si se
stabileasci
valoarea
de
adevlr
a
propoziflilor:
a)
f este
periodici;
b)
f
este
injectivi.;
c)
f este surJectivi;
d) f
este
mirglniti.
-
Ecuafii,
inecuafii,
Sgrw
I
os
pRonr.nup
TETUA
3
sisteme
de ecuatii
si
inecuatii
-
31. Si
se determine
x
e
Q
in
cazurile:
.2x-l
(x-l
2x+1\
€
t_.
_
I,
s
-[
2
'
s
)'
b)
3x+re[zx,x2+r].
)2.
Fie
funclia
f
:
Q
-+
D,
f
(*)
=
(zm
+ 3)*,
-
2(t
+ 3m)x
+
z,
meQ.
a)
Pentru
ce valori
ale
lui
m
graficul
funcliei
f intersecteazi
axa
Ox
in
doui
puncte
distincte?
b)
Se se
determine
m
e
p
pentru
care
gralicul
funcfiei
este
situat sub
n:a
Ox.
c)
Sn
se
determine
m
e
e
astfel
incit
ecuafia
f
(x)
=
O si aibi
solutiile
negative.
d)
Sn
se
determine
m
e
e
astfel
incit
solufiile
x1t 2t2 ale
ecuafiei
f
(x)
=
O
si
verifice
relafia
x1
+ 2x2
=
g.
I
C3. Se
consideri
ecuatia
*'
-
l*l
=
mx
(x
+
t),
m
e
e.
Daci
M
=
{-.
D
I
ecua}ia
are
exact
trei
ridicini
reale
distincte},
atunci:
a)
M=(-.o,-11;b)
M=(-r,r);
c)
M=(2,*.o);
d)
M=e;
e) M=e.
(Ad,mitere
AS.E,
Bucuresti,
IggZ)
293
-:?€a-
* 5t€
-E-+4
::rt**--
=5*
:
=
i :
_
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 290/324
Teme
de
sintezd
04.
Fie
A={{*,
")
ezxzl
l1llj_*_3,
l=ll=y+3}.
DaciM-
S
x
-.vq
rv':
6, .^-'
atunci:
ff;
ur
*=3,
c)
M=
f;:
al
M=z;")
M=#.
07.
pe
D
se
definegte
legea
de
compozitie
a)
Si
se
rezolve
ecuafia
2z
o
4x
=d,
b)
Si
se
rezolve
in
N*
ecuatia
Cg
"
Cl
"
Ci
=
44
+
n.
c)
Si
se
rezolve
in
e lnecuafia
x
o
t2
s
l.
08.
Si
se
rezolve
sistemul
de
ecuafii:
AI
=
roAI-',
cI
=
3"1-.
OfO.
Si
se
rezolve
sistemele
de
ecuafii:
.,{*'.:"-="
;
br [x2+vz=g
[z+2v*r
=
19'
",
lroar*_ro-go"
=rt
")
(z
-
o6)""
+
(z
+
+"6)"*
=
ro.
06.
Se
di
functia
f
:
D
_+
e, f
(x)
=
tE:
tg
rx.
a)
Si
se
determlne
D.
b)
se
se
determine
x
e
D,
astfel
inc6t
termenul
al
crncilea
din
dezvoltarer
binomulut
(r
+
*rt-))6
sln
fle
tE.
05.
S{
se
rezolve:
",ffi.rffi=f,
b)
G;t>r-x;
(Admitere
ASE,
Bucuregti,
(Bolco,laureat,
(Simulqre
Bolcalaureqt,
2OOO,
,,o"
prin
xoy=x+y_1,
V
x,
yee.
(Bqcc,llrurest,
2OO2)
(Admitere
uniuersitq.tea
Tfqnsiluqnis.,
Bra?ou,
2OOZ)
09.
Si
se
rezolve
ecuatiile:
a)
Zsin2x+Ecosx_4=e;
b)
sinx
+
2sin3x
+ sinEx
=
g;
c)
Jdsin
2x+cos2x=2.
.l
{3"-Jilr
=s
[-x+zg}le=5'
294
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 291/324
SETUL
2
oP
PnosLP[{P
11.
Si
se
rezolve
ecuafiile:
I x i I lx+i l+il
")
lr**
i**l=lr-i
**il'
lx+1
ut
l*-r
lz*+o
x+3
x
2x+
3
x.l
xr
I
stii
*rl
*51
+tl=o.
rl
za.
),
2x-
x
2
2
ind
C8 X1'
X2'
J2.
l*t
x2
Si
se
calculeze
determinantut
D
=
lxz
xg
l*s
x1
x3
surlt
solufiile
ecuafiei
xs
-2x2
+2x+L7
=O.
(Adrnitere
llniuersitotea
Bra;ort,
2OOO)
S[
se
determine
a
e
P
astfel
incit
ecuafia:
|
2-a
a-x
*-ti
i
t
-
*'
x2
-1
|
=
o
si
aibri
o rldicini
dubli
numir
intreg'
lz-a-zx
x+a
*-21
Si
se
rezolve
ecuafiile
matriceale:
13.
"
[;
;)
-=(l
I
l)'
b)
A"
=[?
l)'
""u"
Ae't(2(a)
r5
Fiecr,p.se,"=[l;:
t::)
r=[l',i:
: :)
""sedetermine
signatura
permutiritor cr,
9i
p qi
sn
se
rezolve
ecuafiile:
a)
alox
=
p16;
b)
a-zoorp-ror -
1ap)5o.
f6.
2x+y+32=l
x-y+z=-l
x+2y+mz=m
(Admitere
llniuersitate
a
Craiau
o,
2 O
O
4)
)7,
Se
di
sistemul
de
ecuafii
liniare:
(z*-v+z-t=l
,1"*"
+az+t=-1,
a,
beD'
I
fx+Y+
z-t=b
a) si
se
determine
a
gi
b
astfel
incdt
matricea
sistemulul
si
fie
de ran$
2 si
sistemul
si
fie
comPatibil.
b)
Pentru
a
=
-l
9i
b
=
I
si
se
rezolve
sistemul'
(Brrcg,laureo't, 1999)
295
(z
I
3.1
Fiematriceae=lr
-1
r
le.a3(n).
l.r
2
m)
a)
Si
se
determlne
rangul
lui
A
in
funcfie
de rn'
b) Pentru
m
=
I
si
se
calculeze
A-1.
c)
Si
se
rezolve
discutflnd
sistemul
de
ecuafii
liniare
t-i
,:{:
-1:
:;
ll
I
,t
Teme
de
sintezi
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 292/324
Teme
de
sintezi
08,
Si
se
rezolve
ecuafiile:
a)
x1-l5x2-16=o;
b)
c)
xa-gx3+14x2_gx+r=e;
d)
3x3+zx2+Zx+3=e;
zx4
+xs
-4x2
-lox_4=g.
09.
Si
se rezolve,
ecuafia
in
condifiile
date:
a)
4x3
-
r2x2
+
I'
rx
+ 3a
=
g,
daci
soJugiile
sunt
in progresie
aritmetic{;
)
2x3
-
(x
+
a)x2
+zx
-z--ol?"u
solufiile
suntin
progresie
geometrica:
)
xa
-
ois
+
ir,
_;;'.r;,;
."o
u,
xr
=
B
_
2Jr.
d)
xa-
4xs
+x2
+ax_
20=;',".-o
ur
xr
=2+i.
OtO.
Fiepolinomul
f
eZs[x],f
=X4.f
aX2+OX+b.
a)
Si
se
determine
a,
b
e
Z5
stiind
ca
f
;
(x
+
a)(x
+ a).
:iffiT
I
=
b
=
i
si
se
descompun.
porinomul
f
in
produs
de
factori
rre-
c)
Daci
dezs[x]
este
c.m.m.d.c.
al
polinoamelor
g=Xs+6x+i
st
f
pentru
I
=
b
=
i,
sri
se
rezolve
ecuatia
d
(x)
=
6.
:Hffi.
alte
posib'itatea
ca polinoamele
f
gi
g
si
aibi
cel
pufin
o
ridicini
Qll.
Si
se
arate
c6:
a)
daci
A
=
ft
b\
(c u)..r6(c),
atunci
:_,
_(^+d)A+(ad_
bc)t"=gr;
b)
extsti
o
matrtce
*
.
4r "),
pentru
c-a11
rurS
(rvr;
*
rang
(rU2
)
;
:l$il:tr:|l:'
B
E
'il2(6)u"tu
riou""abili,
atrirtr
matricei
Br
este
inver-
d)
daci
matricea
D
e,,//2(C)
veriflci
relafla
rang(o)
=
trng(D"),
vrrl'li.
rang
(D)
=
""ng
(o2),
atunci
(Bdco,lqureat,
2OO6)
Ol.
Fte
trtunghtuf
fnC
qi
M,
N,
p
miJloacele
Iaturilor
[BcJ,
[cA],
[AB].
sa
se
demon-
.streze
ci
pentru
orlce
punct
O
dtn plan
au
loc
relaglile:
a)
OA+dE=2[p.
b)
OT+dE+oe
=otlf
+6N+6F.
02.
Se
consideri
c(8,
8),D(3,
;:""t'*
A(3'
2)'
B(8,
4),
a)
Si
se
arate
ci
vectorii
dE
Ci
eD
sunt
vectorl
coliniari.
b)
Si
se
determine
coordonatele
punctului
Mdaci
Allyl=E_eD.
TEII4A
4
-
Elemente
de
geometrle
plan6
_
296
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 293/324
Teme
de sintezi
f,3.
c)56sedeterminecoordonatelepunctululNastfelincitBCNDesteparale-
logram.
Jt"Se
".
arate
ci
punctele
C,
M,
N
sunt
coliniare'
Fie
D,
E,
F
miJloacele
laturilor
[aC]'
[CA]'
[AB]
ele
triung[riului
ABC'
S[
se
arate
ci:
a)
6'nd+nE'6+cF'E=o;
b)
d6.Ee+6E.6+6F'ffi
=
o,
v
o e
3'
s[
se
veriflce
daci
au
loc
egalttiftle
pe domenlul
de existenfi:
sln2x
sinx+cosx
al
----
-
-
;
=slnX+cosx;
'sinx-cosx
tg'x-l
b)
2(sin6
x +
cos6
")l
r("rrrn
r+
cos4
x) +
r
=
o;
cos(-48o')
tg5?oo.sin675o
Jo
-
r
---:-
,
et
cos66oo
cosgo0o
6
)4.
35.
Si
se
calculeze
sin(a+b)
qi
cos(a-b)
daci
(n
\ /
s7r\
".
[;,n),
o.
[",
tJ.
35-
Sl
se
aduci
la o
formi
mai
simpli
expresiile:
.
s7n27x +
sinl3x
4l
-r
'
cog41x-
cosx
sln2
3x
-
sinz
7x
9t-
'
"o"2
gx
-
cos2
7x'
c)
sln2
x +
2cosacoaxcos(a
+
x)
-
cos2
(a
+
x);
a)
tef,+
tgx *rei,.
:I.jlr
Sl
se
demonstreze
c[
pentru oricare
8,
x
e
l)
au
loc
rela$iile:
")
(r
-
stna)x2
-
2xcosa
+
I
+
slna
)
O;
b)
sinax+cos4"t].
2
36
Se
di
triun$hiul
ABC
in
care
se
cunosc
a'
=L2,
B
=
1O5o'
C
=
15o'
a) Si
se
rezolve
triunghiul
ABC.
b) Si
se caleuleze
arla
suprafetei
[ABC]'
c)
Si
se
determine
lungimea
medianel
din
A'
d) Si
se
determine
R
qi
r.
m
se
dau
punctele
A(a+
l,2a.1),
B(sa
-2,8-
:-),
c(4,6),
D(1,
O),
dls'
tlrcte.
Si
se determine
a
e
P
in cazurile:
a)
c'entrul
de
greutate al triunghiutui
ABC
este
situat
pe
prlma
bisectoare
a
sha
=
q.
sint
= -|.
qi
5'
13
r{
:l
il
:i-jl
..;1
ai
:i
1i
*i',
a
i,
trti
"i'
t
i
ii
i
li
';li
axelor
de coordonate;
I
297
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 294/324
Teme
de
sintezi
b)
a1nc1=f,:
c)
A,
B,
D
sunt
puncte
coliniare;
d)
dreptele
eA
qi
Cp "rrrrt
p"oi"f",
e)
dreptere
AD.ei
BC
""";;;;;;;iio,rrrr";
punctele
A
9t
B
"""t
uiai
JJperi.ru
u"
d,reapta
CD.
TEIIIA
5
_
giruri
de
numere
reale.
Limite
de
funcfii
_
01.
Fie
(a")
o
progresie
aritmetici.
a)
Sri
se
determine
&1
qi
ralia
r
daci
2ag
-3a2
* 81s
=
42
qr
a2.tg
=
ll2.
b)
Si
se
calculeze
suma
Sr,
=
i
"a"
=r
c)
Si
se
calculeze
lim
S,
.
n-+@
n}"n
02.
Fie
(ar)
o progresle
geometrlci
in
care
a3
gl
as
sunt
respectiv
cea
mai
mici
gl
cea
mai
mare
solufie
a
ecuatiei
1.
;
Lr
+
log+
(sx
*
z)]
=
log4
(r
+
Jrox
-
r
r)
.
Si
se
caluulezr
e
)suma
S=
I.o"
k=r
(Admitere
ASE,
Bucurerti,
2OOZ)
o3'
?H,"rT;eIe
pozitive
x,
y,
z
sunt
in
progresie
aritmetici
cu
ratia
r,
iar
r
este:
unt
in
progresie
geometrici
""
,al.
-,
n
l,
atunci
x
+
y
+ I
a)
t2;
b)
_12;
c)
9;
dl
T;
e)
lS.
(Admitere
ASE,
Bucure,
ti,
2
OO2
b)
Iim
n
'-cos
n
.
n-+@
n-
+
I
o)
j1i(Ct.
&,
-
J;{;),
05.
Si
se
determlne
constantele
reale
astfel
incAtl
a)
Iim
(n2
+ an-
bt'
)
-
..
n-+.[
n+2
n+rJ-",
04.
Sn
se
calculeze
limitele:
n
i'*(F;.;u;.....;-),
c)timlft*l,
t
r)
';;rr[^-5*b'*"'*FJt
e)
Iim[n+r
*
3t
']o*'
n_+.\2n+l
6n+1J
298
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 295/324
"
f-*(
( n+P
12n+r
1
q
tim 8+-=;-t
=-,
r+=\
bn'+5n+4)
e
L
se
determine
a
€
p
pentru
care funcfia
qrcc1ficat:
(3x-4.x2-l
I
f(r)
=
ttr"
-
1)x
+
r,
x
<
-r,
xo
=
-l;
$
se
calculeze:
x2+x+3
d
fim
----
^
-i
z+*d3n-5X+l
x-4
ai
llrn
4--i
x+
J2x+1-3
cos 4x
-
cos x
Elu--..----.-._.---:--1-_l
"
r+o
gitl
2x
.
sin 3x
3t-g
3
Yrz
x-21
i$
H'
tg (L+
ex)
.
z+o
2xo
+x
(
dx-2 1x+2
E
limrl+-;-i
i
r+o\
xo +x+L)
Teme de sintezi
f
:
Q
-+
Q
are limiti
in
Punctul
r,
x+y
lli
se
determine
asimptotele
funcfiilor
f
: D
-+
Q:
o,
"'tdffi36'
d)lim4- Z**l
x--+9
./x
-
3
fl ltm
x2+x-6..
'
x-+-3
arctg
(x
+
3)
ax ox
hl ltmu
-'
i
'x-+o4x-3x'
u)f(x)=#'
d)
r(x)=**.
ln
(l
+
sin 2x)
lim_=#:
x-+o
ln
(1
+ 2 sin 3x)
'
._---x3-22
,.,oIJx2+zx-sl
r-rl
x+2
I
\,/
_2
r,
f
(x)
=fp,
xlxl
6i
f
(x)
=;ri'
5t
se
calculeze
limitele
de
giruri:
"
l**("
*
.h-*.....;*;)'
2nz +5n+2
-
N
*m
l(-:-*
-J-
*...
*
-J-],
+on[R/e+1
\iez+1
t/e"+f/
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 296/324
Teme
de
sintezd
-
Derivate.
n, p"*
I
DE
PRoBLEME
vr.
sa
se studieze
continuitatea
litatea
funcfiei
f
:
D
_r
il--
a)
f
(r)
=
xfxf
;
b)
ffx)-1x2sinx,
x<o
\,
[n(r+*2),*ro;
c)
r(x)-{G:r,
x>r
larcsinx,
xe[_1,
l).
02'
si
se
determine
parametrii
reari
astfel
ncdt
functia
f
:
D
_
o
"ii"
u"iiij.orru,
a)
f
(x)
=[*"
*ax-2,xe[r,
z)
[u*r-2x+c,
*.(2,
+.);
b)
f(x)
=
{t"".tg*
+
b,
x
<
o
[2ax+l,x>O
TEMA
6
Primitive.
Integrate
_
gi
derivabi-
03.
Ele
funcfia
f:D
\
{_ei
_D,
f(x)_
m:(+n
n
astfel
incat
,,rr.^
,,'u lr,-'tl-;;;'
rD'
D
e
D'
incrinatila
4doffi::#]".
2)es1'
rar
tansenta
Fiefuncgia
f
:D+D,
f(r)={t"lt-x),
x<2
ar
ex
^-
-
-
Lax"-x(za-b)
a)
si
se
determine
8,
b,
c.
fi";1r,il;ll:';t:
t
f
s{
fie
de
doui
orl
derivabild
il
Si
se
determine
m
J
in
punctul
A si ft
x=2.
o5.
b)
Pentru
"=-1
pt
b=c=O
sd
se
scrie
functiel
in
punctul
A
care
are
absclsa
egali
cu
ecuafla
tangentei
la
graflcul
rgf,,(o).
f:D-+p:
u)f(x)=.*(H),
O
f(x)
=tn(zx2
+2x+r)_+arctg_x=
Si
se
caleuleze
derivata
functiei
ar
f(x)=*?-s**2.
xo
+2x+2'
c)r(x)=iF,
Fiq
f
:(r,
+o)*(8,
*o),
f(x)=Bx+
x2
_x.
si
se
arate
c6
f
este
functle
inversabiri
st
si
se
calculeze
(r_r),{rr)
si
(r_r),(se).
06.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 297/324
Teme de sinteztr
J7.
Se
consideri
funcfla
f :Q-+
n,
f (x)
=22
+
ar
-5x -6",
a > O.
a)
Si
se
calculeze
f(o)
9i
f'(O).
b) SE se
determlne
a
astfel incnt
f (x)
)
O, V
x
e
Q.
fo'
-
4x
+
b
-2,
xe
[-2,
o)
f,8.
Se
d[ funcgta
f
:
[-2,
4]-+
D,
f
(x)
=
)
|*2+(c
-2)x+r,
xe[o,
+]
a)
Si
se determine
a,
b,
c
e Q
astfel
incit
pentru
func ,ia
f si fle
apllcabili
teorema
lui
Rolle.
b)
Si
se
aplice
teorema lui
Rolle funcfiet
f.
trg.
Si
se determlne
numirul
solufiilor reale
ale
ecuafillor
algebrice:
a) 3xa
-
8xs
+
9x2
*
36x+
1
=
o;
b)
8x5*loxa*3oxs
+45x2
-m=o,meQ.
310.
Folosind
teorema lui
Lagrange,
8i
se rezolve:
a)
3x +
Loz
=22x
+
32=;
b) 7x+4x>5t+6x.
2x
c)
arcsin---
+
2arcttx
=
zr.
x"+1
Sprur,z
DE
PRoBLEMD
31.
Foloslnd
re$ula
lui I'Ilospital,
sd
se calculeze:
h
(t
+
ea")
at
l :;UL.
"z=f
;
loo.xlo2-lolxror+x
b)
lim
x+l
(r
-
*)'
I
c) lim(x-g)eE:
'r--r3t
t
-
x>3
"
;-tl-."
"dtt
]
)2.
Fle
Io
=
3*3{#9,
n
€
N,
9i
p
cel
mai
mlc
numir
natural
pentru care
este
numlr
real
nenul'
Daci
M
=
;r31(t.
*t") '
atunci:
p
a) M
=
eVC;
b)M=-"Ve;
c)M=3e;
d)M=2VE.
(Admitere
ASE,
Bucureg
ti, 2 O O
4)
33.
Fle
f :
D
-+
Q
o funcfia
polinomiali
de
gradul
trel.
a)
Si
se
determine
funcfia
ptiind
ci
are un maxim
local
egal
cu
-l
in x
=
I
gi
mintm
local
egal
cu
-2
in
x
=
2.
b) Si
se
determine
lntenralele
de monotonie
ale funcfiei
f.
c)
Si
se
arate
c[
punctele
de
extrem
local
gi
punctul de inflexiune
ale
graffcului funcliei
f
sunt colinlare.
di Si se
reprezinte
grallc
funcfia
g:
D
-+
p'
g(x)
=
f
(x)
+
1.
e)
Si
se
calculeze
aria
suprafefei plane
merginite
de
graflcului
funcfiei
g
qi
axa Ox.
301
t
,
, ,i',
in
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 298/324
Teme
de sintezd
04.
Fle
funcfla
f
:
Q
-+
A,
f
(x)
=2a
+Z-x.
a)
S[ se
verlflce
c[
f (x)
*
f(-x),
V
x
e D.
b)
Si
se
calculeze
f,(x),
x
e
D.
c)
Si
se
arate
ce
f
este
strlct
descrescitoare
pe
(--,
O]
gi
strtct
cressltoare
pe
[o,
+
o).
d) 56' se
arate
ci
functia
feste
convex[
pe
e.
f'
r /t) at
e)
Si
se
calculeze
tim
'o
I i
x-+@
f
(")
@ocalaureat,
2QO4)
05.
Seconsider[funcfia
f :D-+n,
f
(x)=a)(*Jb-t.-.-1,
a>O,
b>O.
a)
Si
se determine
parametrii
a,
b,
c
e
le,
astfel
incit
dreapta y
=
2x
+ I
si
fie asimptote
obnci
spre
+co, iar
y
=
-l
s{
fle asimptoti
orizontali
spre
_o.
b)
sise
determine
aria subgrariculuituncgi"i
e'[:,i]-"
e(*)
=(x+r)f
(x).
oo.
se
consideri
funcfia
f
:
[-r,
2]
-+
n,
r
(*)
=
[:',
*,*: c'
x
(
I
'-\'-''
lm("2
_3x+B),
x
>
r'
a)
si.
se
determine
a,
b,
c
e
e
astfel
incit
funcfiel
f s[ i
se
poati
aplica
teorema
lui
Rolle.
b)
Pentru
I
=
-c =
-1
pi
b
=
O
si
se
calculeze:
2
H"'
1[rfr).
rfA)
*
...
*
r(r)1,
n-+6
ll
L
\n/
\n/
\n/l
ri-
I
fr|.r
*
l)*
rl,r
*
3)
*
...
*
rfr.
t').l.
n-+on[
\
n)
\
n/
\
n/J
c)
si
se
carcureze
ti
"(r.r
*)*.
O7. Fiefuncfiite
f,
g:e-+e,
f
(x)=x2-ax
qi
g(x)=aax_
x2,
te[O, +o).
a)
si
se
studieze
pozifia
paralelelor
corespunzitoare
funcflilor
f
si
g.
b)
Si
se
calculeze
aria
suprafefei
plane
S, cuprinsi
intre
cele
dou6
farabole.
c)
Daci
A
este
punctul
de
intersecfie
a
celor
doui paralele,
dlferit
de
origine,
si
se
arate
ci
dreapta
oA imparte
suprafafa
s in
doue
suprafefe
echivalente.
08.
Se consider[
funcfia
fr, :
(O,
+
o)
-+
n,
f"
(x)
=
C1+.
a)
Si se
rezolve
lnecuafia
fr
(*)
-
f2
(x)
> O.
b)
sri
se
calculeze
aria
suprafefei
plane
mirginite
de
graflcele
funcfiilor
f1
si
f2 gidreptele
x=1, x=e.
r{As\:
302
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 299/324
i
c)
S[
se
calculeze
volumul
corpului
de
rota]le
g
:
[r,
e]-+
a, g(x)
=
xJi[r1(x)
-
12
(x)]'
3'9,
Se
consideri
funcfia
f
:
D
-+
n,
f (x)
=
x2oo6
+
l'
a)
Si
se
calculeze
f'(x),
x e
Q'
b)
Si
se
calculeze
f,f1*;c*.
c) Si
se
arate
c[
funcfia
feste
convexfl
pe
Q'
d)
si
se
calculeze
ti* (I)J-(9)'
x-+O
X
e)
si
se
calculeze
}r**
f,sinxdx'
TEttIA
7.
-
Structuri
algebrice
-
compuneril
permutirilor
pe
mulfimea
G2'
b) Si
se
arate
ci (Gr,')
este
grup comutativ
Ci
(G2'
")
grupului
(sn,").
c)
Si
se
arate
ci
(Ct,
')
=
(Gr,
")
'
303
deterninat
de
funclla
(Bolcotaureo't,
2OOG)
este
subgruP
al
11,
Pe Q
se
consideri
legile
de
compozifie
,
o
"
Qi
,,
l-
"
definite
astfel:
x
o
Y
=
x +
Y
+
2,
x
)-Y
=
:'Y
+
x +
Y
+
a'
Vx,yeQ.
a)
Si
se
studieze
proprietfllile
legii
"
o "'
b)
S[
se
determine
a
e Q
astfel
incit
legea
,,
J
"
s[
fle
asociatlvi'
c) Pentru
a
=
O
si
se
rezolve
ecuafiile:
(*'
-t).
(z*-
3)
=
6,
z*
r
(2"
-r)
=
zr'
d)
Se
se
rezolve
sistemul
de
ecuafii
pentru
a
=
O:
[(x+r)"(y+1)=o
l(x+r)r(v-r)=2'
e)
gtiind
ca
(-z)
l-
3
=
-5,
si
se
arate
"e
? 2 +)2=',
5"[(-')
''o]'
v
n
e
n.'
Se
consideri
mulfimile:
",={[;
:),[:
l),(;
:)
(",
;)]-
'a.(n\t
((t
2
3
4\
fl
2
s
4)
fl
2
3
4)
fl
2
s
+)l
.,=t[l
;;
;,)'t;
;
;
;,J,[;
;
;
;,l'[;
;
4'J]""
a)
si
se
stabileascd
tabla
inmulfirii
matricelor
pe
mulfimea
G1
9i
tabla
Teme
de sintezi
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 300/324
Teme
de
sintezi
oB.
se
di
matricea
A(a)
=
[t f:
t'
')
a)
si
se.,","
*
;;, ;gj;:1""".*,
or"",u
ar
ri
a
e
D.
]|ff
::ilj;;.
e(.)
A(b)=
e(a+
b),
v
a,
b
en.
r
ecuafia
A
(x
+
r)
A
(2)
=
A
(r
_
*)
Aa.
d)
si
se
rezolve
sistemul
de
ecuatii
{^'
@+
By)
=
A
(-8)
e)
Daci
c
=
{e(a)
|
a
e
n}
"n "".".,i:i
;l;,:lli;if]j*;;]
)
Si
se
stabileasci
un
izomorflsm
intre
gtupurile
(C,
.)
*i
((O,
+ o),
.),
04.
::*Tn
o,t""
.,".
". se
conetderi mulftmea
de
numere
trtr
=
t*
I
tr'
et-j.
a)
Si
se
arate
ci
daci
r,
y
e
Hrr,
atunci
x
+
y
e
Ho.
b)
S{
se
verlflce
c6
daci
".
ff",
atuncl
_x
e
Ho.
c)
Si
se
arate
c6
daci
x.
Ho,
at.rrr"i
Ilo
c
Hn.
:'.T":"
arate
ci
pentru
orlce
numir
rafional
r,
exlsti
n
€
N*,
astfel
itrc*
"l
t:
se
arate
ci
dar:i
(c,*)
este
subgrup
ar grupurur
(e,
+)
t
;J.
G,
n
e
N-,
atunci
H'
c
G.
0
Sa
se
demor
i*Ll
:
=
"*;:
:::;:;,1"
;;;T:?#":
lf;::Xil,il:H
(Brrcrrlq;ureqt,
2OO2l
05.
pe
multlme"
A:
lxl
sedeflnesc
operafiile
algebrice:
(a,
u)
+
(c,
a)
=
(a
*
",
t
*
a),--"---
(",
b)
'(c,
d)
=
(ad
+
bc
+
2atc,
bd
_
ac).
a)
si
se
arate
ci
(A'
')
este
monoid
gi
si
se
determine
murgrmea
ql
@).
)
Si
se
arate
ci
(a,
*,
.)
este
inel.
c)
Inelul
(e,
*,
.)
are
divizori
ai
lui
zero?
06.
in
mulfimea
,,U2(A)
mulfimea
o=[(
1
Il-;
complex
z.
se
consideri
matricele
o)
o)
er
=[;
l),*
=(l
,1"'*."],
*db'
304
unde
t
este
conJugatul
numirului
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 301/324
lsl
€;,,-
Teme
de
sintezi
a) Si
se
veriflce
cd 12
e
G
9i
02
e
G'
b)
Sise
arate
ci
daci
z,
w
eO
9i
lzl2
+lwl2
=
o'
atuncl
Z=w=O'
c)
Si
se
arate
ei
daci
P,
Q
e
G'
atunci
P'$
e
G'
d) Si
se
arate
ci
daci
D e
G,
D
*
02,
atuncl
D
este
matrice
inversabill
9i
D-r
e
G.
e)
Si
se
giseasci
o
(-1
0\
"=[o
t).
f)
Si
se
arate
ci
daci
A,
B e
G
9i
A'B
=
02'
atunci
A
=
Oz
sau
B
=
Oz.
g)
Sn
se
arate
ci
(c
f
{Or},
')
este
gnrP
necomutativ'
h)
Si
se
arate
ci
(C,
*,
')
este grup
necomutativ'
(Bqcq,lo:ureo;t,
2OO4)
Se
consideri
polinomul
f eC[x],f
=(r+***')to
cu
forma
sa
algebrlci
f=azoX2o+...*a1X+a6'
a)
Si
se
determine
as
fi
41.
b)
Si
se
calculeze
f(r)'
f(-1)'
f(t)'
c)
Si
se
calculeze
suma
coeflclenfilor
pollnomului
f'
d)
si
se
arate
ci
a6
*
a4
*...
*
a15
=
|[ttt)
+
f
(-r)
+
f
(i)
+
f (-t)]'
(Borcqlo;ureo,t,
2OOO)
Fle
f e
C[X]
un
pollnom
de
$radul
n
e
N*'
a)Sisedeterminefgtiindcifuncllapolinomialiatas'atlverificiegalltatea
f(*)-
f'(x)
=
{,
o
x
e
Q,
(1).
b)
Si
se
arate
ci
daci
f
verifici
relatia
(1)
atunci
nu
poate
avea
ridiclni
reale
multiPle.
c)
Daci
fverifici
relafia
(1)
si
se
calculeze
f*ttt)'
d)
56
se
rezolve
in mullimea O
ecuatia
f
(x) +12
=
o
pentru
r
=
4'
Pe
mu$imea
p
se
consider[
operafiile
algebrice
x-L
y
=
x +
y
-
I'
xTy
=zxy
-
-2(x+
Y)+a,
V
x,
YeQ.
a) S[
se
determine
a
e
Q
pentru
care
(P'
1'
T)
este
inel'
b)
Pentru
a e
Q
determinat
si
se
stabileasel
Ol(A)'
c)
S[
se
alle
tn,
n€p
Pentru
care
f
:Q-+n'
f(x)=3x+n
este
izornorflsm
intre
corpurile
(n,
+,
')
+i
(n'
f'
f)
'
305
-9=+,#-+=G==-:=affitf
3*a-:'
: :,'i
_
matrlce
X e
G
cu
proprietatea
ci
XC
+
CX'
unde
J7.
ii
E
t
G
E
,{
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 302/324
respunsuri
INDICATII
SI
RASPUNSURI
-
ALGEBRA
-
CAPITOLUL
I.
Grupuri
l.]"_gi-q"
compozifie
pe
o
mulfime
1.5.
Tabla
unei
tegi
de
compoziiijlpag.
rZ1
.82.
a)
a=o,
a=1,5.
.
EE.
c)
x.{i,
2};
a)
*.{0,
4}.
.
eo.
rt
".{0.
i
b)
x
=
2,
y
=S.
.
89.
a)
Avem
x,
y€[2,
.o)=
x_220,
y_2)0+("_tr,,l-_
)O=xy
-2x-2y
+4>O=xoy)2.
c)
Se
are
in
vedere
cA
det(A)
=
a2
_Z*
Ei
det(A'B)
=
det(e)'det(e).
o
Etl.
al
card(,//)
=
6;
b)
se
aratd
ca
A=
_
a
_
Am+n
.A2.
b)
Din
x,
ye[4,6J
se
obfine
cd
x_5,
y_be[_L
r]
sau
l*_SI<1.
J_
S1.
As,adar
i("-s)(y-s)lsr si
-1<ry-5x*by+
2s<1,
de
unde
rennil
41xoys6. r
A3.
Avem
x,
y>2-a(x
_2)(V-2)r0+xy
_2(x+y)_+rili
=+xy-2-2(x+y-S)>O*
xy
_2>2(x+y_g)=+xoy>2.
o
"{6.
a)
r,I
=(x-z)(V-2)+2+("-
2)rz,
pentru
aef2,+m);
c)
x=fZ,
y=b.
rA8.
Fie
MclD
partestabilaalui
lD
qi
xeM.
Atunci
xreM,
v
ne\,
-
rece
M
este
ffnitd
existi
m,
n€N',
cu
xm
=xn
sau
x-
_xr
=O.
Se
x=O
sau
x--.
=1.
Se
obfin
mul{imile
{O},
{U,
{0,
U,
{_1,
i},
{_1,
O.
I
.
Mc,D
avemcA
x=0
sau
xp=1,
deciMpoatefi
{O}
,%._ei,,l/nwlO"
'un
este
mul{imea
radacinilor
de
ordinul
n ale
unitdtii.
.
A9.
3e,
respectr
legi
de
compozitie.
2.2.
Proprietatea
de
asociativitate
(pag.
20)
rE3.a)
?=c=l,beL:
b)
a=2,b=2;-d)
a=b=1.
€
{(s,
o),(0,
r)}
rAl.c)
x=0..A4.a)
a=b=O
sau
A.B=(a+b)AB
si
a,
bete.
c)
ae
te.
c)
ax=xa,
V
xeM;
d)
ax=xa,
V
xeM.
.eO.
n9.
2.4.
Elemente
simetri
zabile (pag.
2Zl
oEl.
a)
e=O;
b)
e=-1;
c)
e=B;
d)
e=O;
e)
e=3.
.
Fj2.al
e=_2:
b)
e=*
ll
c)
e=::
d)
e=2s.
.E5.b)
a+3b=3=:,a
a
=
1,
b
e
lD.
b)
Deoarece
AB
=
BA
.A5.
a)
ax
=xa,
V
xeM;
b)
a
=11
.r&.tt
-
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 303/324
1
*-=-=-
card(A")=
|nl,
nentru
n
>
2'
Grupul
j
J.::tru
n>
4,
avem
o.6
*
6o'
unde
"
=
f 1
l4
:
=-l:
b)
a=5;
c)
a=30.
'A4.
a=b=O
sau
a=-1'
b=1'
r
,.
=
tlil,
a(.,il)={-1,
1\e't/r'
I
si
probleme
recapitulative
(pag'
28)
-r-t
f
e,z;(M)
s,i
f'el(M)
cu
f
'f'=1r,,t
=f'"f
atuncif
estesurjectivi
r
:-
-i
respectiv
f
'
este
surjectivA
qi
f
injectivd"
AQadar
f
este
bijectivf,'
:=
:
este
funcfie
bijectiva'
'
A4'
c)
U('t;)='i'
c
A8'
Se
aratd
cd
f"
an
de
gruP.
ExemPle
(Pag' a5)
.
eo._1c,,.).
.
pe.
b)
Se
aratd
c5
A3=Is,VAe
M
qi
AIB=A+
.
89,
a)
Avem
e(o6)=e(o)'e(a)=r'1=1'
deci
o6
este
permutare
*
lndicalii
.si
risPunsuri
este
comutativ
Pentru
2 3
4 5
n)
L
3215
n)
:
1
,t
i
t
-\
.I'
i
+
r
...
nl
t.
rT--J...n)
dc
calcul
intr-un
gruP
(Pag'
51)
-
,.=2,(r-
i)'=2,is=b-4i..82.
A"=[:
T")
'E3'b)
x'=
.
E-1.
b)
x,
=(x
_+)"
*4.
.
Eb.
c)
Inductie
matematica.
.86.
c)
x"
=
-rr:
:rrrrernatica'
3
A2.
a)
Rezultd
succesiv
a=b2
=("')'=a4
9i
cu
r.:
-
ii
se
obtine
ca
a3
=
e
qi
analog
bs
=
e'
Aqadar
x2
=
(aba)(aba)
=
t,:1.
=al
gi
x3
=
aba'a2
=ab=
a'u2
=e'
"
A3'
Avem
ab=e=.a=
I .::
.A1o.
al
x2
=e-x-x-I'
Atunci
xy="-t'y-t
=(vt)-t
=r"'
,t=.:l'.-l-x ''xY-)o{yysidup6simplificAriseoblineyx=xy'
z
.,-
-t-,
-
\,-1x-1
=*-,y-t
=)
x-l
=yx-ly-I
-
x-ly
=),x"i
*
)D(=xy'
,
=
-"-
I
se
obtine
ca
xx-2
-
x-2x-l
=)
[
=
x-l
"au
x2
=
e'
=
:q-l
-':l<-2
=
x-rx-2
=*
xG
=
e,
iar
pentru
Y
=
x--l
se
obline
X4
=
e'
'
tl
=e
etc.
lr:.
::
:..
=1
se
obline
ci
existEt
p'qeL
astfel
incAt
1=mP-FnQ"
ry
=
.
---: =i(ry')-)'
(t"vi")-
=({*)*)'
({w)"1'=iv-^)*o.nq
=rx'
307
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 304/324
'45'
f:Gz
-+Gr,
f(cosc+isino)-[
cosa
sinc)
.Ag.a=b=1..A
'[-sina
"o"oJ''47'f(x)=tg-x-
'Arr.
r:
D
-+
",
ri;'=t;ry)
=
r(x)'r(v)
o
(ry)-'
=
*-'u-'
c)
xy
=
)x
6.
Subgrupuri
(pag.
64)
'
tt;:i;1":;:';"=2'=)
x'=2-n'
Dale
x,
".*,
atunci
x=2m.
r=r:
(-s)*
s.2=o.
Fie';.T','j;j'
l*i
i="
i.a'
';;:';;:*;;
(-s)*3.2=o.
Fie
"nrur
,-_-)i1'-:""'x=x'leA'
r
E'7.
oeM,
deoa:=:r
a,
beM,
atunci
^_,".M,2=2x+sy.
opusul
este
*z*
f**l+3.(_-r-
--r
r
Ar.
Fie
H
=Hr
"":'Ij::.::?13.",-",,+s-(-v,;
=
rl
x,)+3(y
-r
€
::"lT:
jy:trili:,:,lfiJ;.*iIJ;,:'#JjJ:1Tfii::T#
::.1=:;T:
=
G'
A2'
e2='1"'il
i(")
";"":::":iiil:::"ili#'
=f/xv-r) do^i
^-
:t
:,:-:(*)'b=f(v)
$i
ab-r
=f(")'(r(v))-'=f(x).frr,---
=
r('v-'),
deci
ab-r
e
r(H).
.
e+.
..;,;;r.""
:'=tt
(v)l
'
=
r(*)'rrln--'
=
;,::;fi":
u(.,trr(a)),H={o."1
o,
=rrJ.
A,r"_,
*=[9
,).
,,r=f_,
2)
,_ _
\.\.,
(
o
r)
--
.,
(--r
,\
(t
o/'
'
=lo
,)'x'
YeFl
a-
o=l-"t
'j
ut
1ol'=.(-;
3)-"
rAE.
Fie
xe
H
si
aeG
\
H
fixar.
Ar,:r,-
:."
\
H
qi
r(*)=g("*).
nezurta
ficare,
f(x)=g("j,*.u,
deci
f
=u
"t
r(a)'r(x)=8(.).g(")
eidupdsirn;u-
ceruta. pentru
xEG.
;;:::^:*,
o:,G.'46.
Fie
(G,+)
cu
o-on.*.*
obfine
".
",,,
(r"
*li
-T
;5J
(-"))
=
f (o)
=
L
0""'
r1";
r1-";
=
,
Ei
s*
2
'Dur-____-___-___i_
=
l.
De
aici
rezultd
cd
deci
GcZ,
oe
unoe
G=nz.
r
A8.
^.,":.*:;:r*:""t
cos2nx=r
si
x=Z
xeKerr,
atunci
r(x)=6
si
de
",",
o(i"=^;
;:It":l
r(x)=*r(r).
Dace
gi
astfel
Kerf
=
z,
deoarece
f
(x)
=
d(l).
0
se
obtine
f
(r)
=
r:
308
-F*i
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 305/324
*j
{,4
a..i:"r
{T
'ri i
I
i
?.
Grupuri
flnite
(Pag.
71)
.
Al.
a)
DacA
existd.
x e
G
cu
x'
=e,
atunci
G
=
(")
9i
G
este
comutativ'
b)
Fie
:=ord(x);
atunci
p
I
n
qi
avem
n=pq,
x"
=;Pa
-("o)o
=:.
o
A4.
Rezulti
ca
t'
)t
=
x6
=
e
qi
(y)2
=
fqrx
=
V(V3")"
=y4x2
=
x2'
Aqada.
(yt)'
are
ordinul
3,
.i:j.
)x
ordinul
6.
Dar
(y")t
=y"(Vr)'=yx.x2
=y<s
=y
qi
de
aici
y2
=e.
Din
=latia
datd.
>Y
=
Y3x
=
ry
=
ly'x.
CAPITOLUT
il. Inele
gi
corPuri
1.
Definifit
gi
exemPle
(Pag.
84)
.
E2.
b)u1/(L)={-1,
-3}.'
eZ.
b=3-3a.'
A4.''t/(M)=(0,
+'o)
\
{l}'
2.
Reguli
de
calcul
intr-un
tnel
(pag"
9O)
It.x<o l.o,x<o
.
E2.
r(x)=t;,
",;
e(x)=ti'";;'
Avem
r'g=o'
Y
xet'
respectiv
xerQ'
'
E3.
b)
a
(E)
=E
\
{(o,
o)}'
'
E7'
Se
are in
vedere
ca
-2
=2'
.
AS.
Din
relafiile
(f
-aU)x-l
=l
gi
"-t(1-ab)=1
se
obfine
x-r
-l=abx-r
=
=
x-rab.
Avem
(f
-Ua)(f
+bx-Ia)=1+bx-ra-ba-babx-ra
=
b("-t
-1)a+1
-
-babx-ra
=b.(abx-l)a+l-babx-la=babx-ra+1-babx-ra
=1'
n
A5'
Avem
I=1-".
=(t-")(t
+a+a2
+...+a""-r).
r
116.
a) Ohrfinem
(-*)'=-x
Qi
x2
=x,
deci
x=-x,vxeA,
sau
x*X=o.
b)
(x+Y)'="+yex2+xy+yx+y2=x+
-y(e)iry+yx=0€xy=-yx-fx'
o
A7'
a)
Avem
x6=x
Ei
(-x)u=-x'
deci
x=-x
sau
x*x=O,Vxe
A'
Rezulti
ce
(x*1)u=x+1*x6+6x5+15x4+
*2Ox3+15x2
+6x+1
sau
x6
+x4
+x2
+1
=x+1=xa
+X2
=O-+xa
--:I(2
+
t
X6
=
-Xn
=
-X2.
Dar
X6
=
X:)
)(
=
-x2
) X=
x2,
deci
inelul
A
este
bOolean
qi
este
comutativ.
r
A8.
Din
problema
A3
proprietatea
are
loc
pentru
n=1'
Presupunem
ci I-("b)"
e
a(A)'
Atunci
l-(ba)"
€
z(A)'
Aritam
ca
P(n+1)
este
adevirat'.
Avem:
1
-(ab)"*r
e,lt
(A).
LuAnd
x
=
b(ab)"
=
I
-(ab)"*l
=
1
--
-ax€
,a(A),
deci
1-xa
e,il(A).
Dar
1-XEr=l-b(ab)"&=l-(b")"*t
9i
astfel
t
-(ba)"*t
e
a(e)'
o
D2.
Se
are
invedere
c[
din
I+1=O
rezultd
&*a=o'
v
aeA''
D3'
Din
ega-
litatea(r+r)(r+1)=1+1+l+l=orezulticil+lestedivizoralluizero.Dar
1
+ 1 +
o,
altfel
ar
rezulta
ca
inelul
A
are
caracteristica
2.
'
D4'
Daci
n
nu
este
prim,
atunci
n
=
p'q
s'i
avem
p'Q
=
n'1=
0'
deci
inelul
are
divizori
ai
lui
zero'
in
contradic{ie
cu
iPoteza'
{
309
.cffirf#
]*#@ q+r'*-q
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 306/324
9i
rdspunsuri
3.
Corpuri
(pag.
9a)
r
44.
a)
Se
aratd
ul
=(ab)-,=b,
"' ;':::'",j-rf:;Lr]'
deci
ab=r'
a=b-t,
b=a-r.
Ar.s:
:: "1 ;-'^ T::"i.i'"""
=',
:"
='
o,.,
."li,,l'lTl;
1
;;
ll_,
-T:
;:,"=
'>a3
*l
=0+(a-r)(a,
+a+i)=0.
cum
a
_r
*0,
rezuitd
";:"
;:'_l'=:
;
H,HIJ:;?=?
Tl,i=,r..,r=;,,,,,",
x2
-r+r+1+r
=0.
Dar
K
es,.
:r
4.
Morfisme
de
ine
'":',,_::
i+;FJ
i,"
$:T,#,#:l
r(ry)
=
r(x)
r(y),
y
x, yE
Z,E
ezultdca
f(nx)=nf(x),v
xenlJ2],r.z,
pi
f(n)=nf(r),
v
neil..
Atunci
r(x
+
y€)
=
r(*)*
f(v)
r
(Jr)=
x
+yf(.D).
asaoar
izomorr.ismir
',";;::";T:":':'.
:i' ::t)
Dar
2=r(2)=r(r,
rr)=(r(o1r,
t(J")=
+Jd.
Dar
tJd
*ufJsl:t,
o."r
.,,,
existd
;
:
*;
;;;
rr,lq,,l
-^,
_l,Ji[?,"i,,"i::
::",:,"^::
sunt
izcmorfe.
b)
q;
si
Q
nu
sunt
ca::nn
chivalente.e)
Se
aratS nr f1-\__,
-
^-','
-'
v
Pr
r?
nu
sunt
ca:=
:
j ;,;".;
{
:iT[.
i
lF
I
J,
"l
;,
l];;
J
i
ffi,
"":]iH,:"
::,.:
eci
are
forrna
f
{m)
=
mr(r).
Deoarece
f
(l)
=
i,
rezutt'
";t'rdl;,
::1;
)
Fie
f
:t^
_+2r,,
morlism
de
inele.
p.T
r^.,1ni+x
^-
.,
f)in
relafia
f(x+y)=f(")+f(1,1.3,
,.
E^,
rez,rta
cd
r(px)=pr(x),
v
".2,",
",
;(rj=;air:.;:,
+r(y)
::
i
e
9{PII LUL
&r.
rnele
de
potinoanne
3.1.
Adunar""
ut
llpyt3ie-anffi1'r*"ro,
scrise
_^
".rl
formi
algerriciipa;;;;-
.
EP.
a)
pentru
m
=,+gracr(f)=o,
;i:iin;i:i
TlilT,lo,i:j*,:;:.j:,='
b)
:
=
"
83.
b)
m=i+gr"d(f)=1,
m*6=rgrad(f)=0,
m=i+grad(f)=2.
e)
;=
"
ffi.T:?;j;
-:l
-',+
grad(r)
=2,
me,c
\
{-i,
0,
i}.+
grad(r)
=
3
'
lu'
o*i
t(o)-s( '
r(i),s(i)'
r(o)-s(i)
Rezurtd
cd
a
=i,
b+
c=i,
2b-
:
=
0,
cu
solutiile
a=i,
b=0,
"=i.
.
ag.
S=a+bX+cX2
+dXB.
Din
con,:_:i
e
egalitate
se
obfine
a
=i,
a+b+c+d
= ,
^
+ib*
4"n3a
=0,
a
+su+4c
_
i:
=
3,
a*b+c
*d=2.
Se
obfine
a=i,
b=3,
c=i,
o=e
l^rn.
a)
Daca
f
es::
3io
*rd#
'
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 307/324
1=
=
s,
este
dec-
rj
Fi:
V.
-uncfie
polinomiali'
atunci
si
f2
=
lxl2
este
funcfie
polinomiald'
Rezulta
cd
i2
=x2,
deci
f
are
gradul
l'
Dacd'
f
(")=ax+b*ax+b=l*l'
V
xe
lQ'
Pentru
r=O=b=O
sipentru
x=I3a=1'
Dar
f(x)=x*lxl'
b)Avemca
ld=f(x)*x2'
]eci|x|arfifuncliepolinomiald'c)Dacd"farfifuncfiepolinomialS',atunciqi
z1=f
@)
-22
ar
fi
funcfie
polinomialS.
Dar
dace
g(z)
=
lzl,
atunci
pentru
x
e
Q'
ar
rezulta
ca
g(x)=lxl
este
funclie
potrinomiali,
Fais'
d)
Dac6
(K'
+")
este
:orp
finit
at.unci
orice
funcfie
f
:
K
*+
K
este
polinomiala'
intr-adevir'
fie
1J1",,
"r,
...,
x")'
Lu6.nd
f
:K-rK'
atunci
alegem
polinomui
g
de
gradul
r-l'
astfelincat
g(x')=f("')'ie{1'
2""'n}'
sistemulverificatdecoeficienlii
:olinomuluig,estesistemdetipCramer,deoarecedeterminantulsiuestede
::
\randermonde.
3.2,
tmpArfirca
polinoamelor
(pag'
118)
'
ez.
a)
"=
-#tb)
a=
2,b
=-2;
cl
a=
-2'
6=O;
d).=0;
e)
"=6,U=2"
.
A3.
RestuL
este
de
forma
r=aX+b'
iar
t(")=an+b
r:meticd..'AS.
a
=trl,
Lr=tr'
c=
2-m'
d=1'
rne
lQ'
r
A?'
*lX2
+22X+m'
t-3.
impir{ .rea
la
X
*
a'
gcherna
lui
Horner {pag'
123}
.Al.Sepurreconditiaf(*i)elB]'Seobtine:a)m=1;b}nre{*3'3}'eA4'in=
=i.n=-2.
n
lL6.
o=6'A=)'
a
617'
Din
f
(2)
=_12
se
oblirre
n=4'
apoi
-=-76.'A8.Avern
2^
+2n+1=13
9i
4*
+4'+-I=81'
Seoht'ine
m=3'
n-2
:.:i
m
=2,n=3
qi
f
=X3+X2+1"
"AI'O'
t=0'n-i'
'All"
Folosindformuia
*:
\loiwe
se
obline
cf,
sin
cx
+ sin
2cx
+ sin
3cr
+
sin
4ry
=
t
+
J7
si
cos
cr
-l-
cos
2u
+
_
::s3cr_r-
cos4u =
*i.
A
doua
rela{ie
se
scrie
cos2cr
+
2cos2
2a
-l+
2cos2a'
::,scr
=
-1
sau
cos2s(1+2cos2cr
+2coscr)
=O
cu
solulia
"
=fr'
"d.
Divizibilitatea
polinoamelor
(pa$'
133)
'E4.a)
rn*-3;
b)
m=*;
"l
*=2;
d)
m=3'
38
,A1.a)
'u{i,i};u)
3=6;
c} (a,b)e{(i'O)',(2'i)',(0'2)};
d)
a=i;
e)
a+b2=
=
i.
.
A3.
se
pune
conditia
ca
f (e)=
0,
unde
es
=
r,
0
*
1.
se
obtine
nl=
2'
'A4.
me
{0'
1,3}.
'aO"
f
=a(X3
*9X2
+26X+SO)'
'A?'
Se
obtine
aXs
+
-
:x2
+
cX
t
d
=(sux2'r
2hrX+.")[*-,,)
+i
apoi
b
=
3act'
c
-
9aa2'
d=
27act3'
care
este
Progresie
a=6,b=5.f=X3-
.:'
r.:..1i:/i;.: i4...44:::;'i:::.
=
|
:
)
*-#€;.G;+-**ffif:'1
1=
f
-
311
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 308/324
.3
-:-
rA8.
me
{o,2}.
.Alt.Avem
f
=(g+x")r_X,=g,
+2g;.n+x2,_X,
s:s
arats'
cd
x2"
-x'-x'(x-l)g.
o
At2.
a)
f
-(g*x)n,*r
*(g*x)n,*,
=(g_rr-+g-X)'Q
=2g'8. b)
Deoarece
X-l
=X,
-g
se
obfine:
f
=(x2
*g)"*,
+X2.-
=
=
g.
h
+
(X2)n+2 *
;E2n+l
=
g
.
h *
72n+4
*
;12n+t
=
g
.
h
*
;12n+r
(*.
*
r)
=
g.
h +
XL_
'(x+t)g'
d)
f
=("t*sX2+BX+1)".(x+r)2
+x+2=(xg*l)".(*r*
2x--
-
+X+2=9'h+(X2
+2x+l)
+X+2=g.h+g.
.
Atg.
f
=X-
*(Xr_S)-
*t=X=
*
+x2-
+g'h+l'
seconsiderS.apoi
m=3k,
m=3k+1,
m=3k+2
etc.
5'
Descompunerea
polinoameror
in
factori
ireductib'i
(pag.
r44)
E3.a)a=6;
b)
a=2;cl
a=6,b__6.
r
Al.
a)
DacA
x e,e,
atunci
f
(x)
=(Z*
+
Sx2
+
x)+
(x3
+2x
+g)JE
.
e,
irnr_.,:*
x3+2x+3=O
gi
x=-l
etc.
b)
Daca
xete+f(x)=2x3+5x2_3+i(x2
-2x_:
.
^=O;
O*t
x2-2x-3=0,
deci
xe{-f,S}
etc.c)Rezultd
cexz+2mx_6=-
n
zx-
_x_IIl=0,
de
unde
4x3
_x2_3=o,
x=lelD,
iar
fn=1.
.j{2.
a)
ae{_2
-
bl
aeJo,-t.s.--l
tl
'--t-'
r'u'--",;|
'A4.
m=s.
"A5.
a=-f,b=s,c==*
o46.
t_
schema
lui
Homer
se
obfin
relafiile
q,3
-sa2
+Bs+a=o
si
3sz
_locr-g=
_
cu
solufii
dt=2,"r=t,
etc.
o
AZ.
al
a=12,b=-g.
o
Ag.
Avern
f(O)=a__
t(i)=i
*o,t(2)=a+i.
seobfineca
a+i=6,
oeci
r=_i.
rAg.
n
_2.
oAtt.
u
pune
conditia
ca
f(i)*O,
f
(t)#6.
Se
obfine
a+b=6,
oeci
a=i,
b=
=,,*,
"=2,
b=i.
.
ArB.
a)
a=i;
b)
pentru
u.{0,
,,s,A,S,6,
?i,
poiinomri
:*
solufii
in
Zo'
R.mane
de
analizat
cazur,=i.
.
ArE.
Dacd
f
ar
fi
reduc:$
peste
Z
atunci am
avea
cd
f
=(X+m)(X2+pX+O),
cu
p,
q,
meZ,
de
r:::r:r
identificand
coericienfii
se
obfine
b=p+m,
c=q+mp,
a=Qfr
pi
ab+bc
=
c*
(p*q+
m
+mp).
Dar
ab+
bc
=i*p", conduce
la
q
pi
",
;;J;
;;;::
mp
=par
gi
egalitatea
nu
poate
avea
loc.
r
416.
presupunem
ca
f
este
reducsl
este
Z.
Atunci
avem
cd.
f
=
g.h
cu
g,
h
cu
coelieienfi
in
Z
de
gradul
cel
pu::
'
obfinem:
g(t)'h(l)
=
-L
g(2).h(2)=
-r
g(g).h(s)
=
-l
Fi
de
aici
rezurta
$
uncfiile
polinomiale
g
sau
h
au
cel
pu{in
doui
valori
egale
cu
I
sau
cu
_-
ar
unul
dintre
polin"oamer.-;;";;";re
gradul
t,
9i
atinci
er
ar
fi
consm:r:
3i2
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 309/324
r: nu
se
poate..
A19.
Vom avea
c5
i1n;=nt-(.t-l)t-3n2-3n+1,
l'
deci
polinomul
€=f -3X2+3X-1
are
ca
ridicini
orice
numdr
i
-+sadar
el este
polinomul
nul,
deci
f
=
3X2
-
3X
+
L.
Itri Vi€te
(pag.
r5r)
*
:
=ix*i)*;
b) r=(**i)';
.)
r=("+i)5;
d)
t=(*-i)(x,
-a).
d
3
t,-n)'
or
{+,t,ti'
c)
{6,2,-r\;
d)
{r,s,6}.
.
Eb. a}
se
rt
=
6 si se folosegte
schema
lui Horner.
a
=
-5.
bl
Din
zrz2zs
=
6 se
:
=
-6,6)
etc. cl
z"=4,7=37.
oA2.al
z"=-m.
Apoi
m=-1,
4=2,
{..
Ll
a=-b; c)
a=-b..A3.a)
m=9,"={z-JS,z,z*.J5}.
b)Dinrela-
&
*r":-xs=3m
9i
xr+x3=2xz
se obfine
Xz=m.
Prin
schema
lui
*
I.r
z2
=?-r,
ZS=a+r,
24
=a+3r.
Se
obfine
CA lO
=Zr*22+Zg*7'4=
m
=
1.5
si
x e
{t,
Z,
S,
a}.
.
ee. a)
Avem XrX3
=
x
9i
xrxrxe
=
-27.
Se
rr
=
-3.
apoi
m
=
4
si
solu{iile
-t,'*y.
b} Fie
a, aq, aq2,
aqg
rs:;.:.:ei-
Din
relatiile
lui Viete
se obfine ca
aaq6
=*
qi
"'(q*q'+2q3
+
'
4
\'
*
==
sau a2q3=tj
si
(t+q+2q"*q3*qn)=*Tot"
Rezulti
cd
:
-
)'
35'
sau
[.f.t.nl[,l*ql=t$.
c,rnota{ia
q*1=t
--;-l==4q-
\q /\q
_)
4 q
:
:-- =+
cusolufiile
t.{-I,f},
.."p""tiv
t(t+t)=--i
cusolu-
4
122)
r \ -'
4
--
:-:1J+,
etc.
.
A8. a)
Consideram
x,
y,
zelD solu{ii ale
ecuafiei
de
7
I
r
: t3
-2t2
+ mt+2=0.
Din
relatia *"
ny2 +22
=G
se obfine
ci
=
14
si cu
notafia r2
=
t
se obfine
ecuafia
(4-
-9t)f
?q
-
t')
=
24.
Re-
'
\4 )\q
)
a,*
-:
q-
-Y+w,)=6
si
)ry +
yz
+ zx=
L
A$adar
x,
y,
z
verificd
ecua{ia
-:-i=c
sau
(t-2)(t'z-t)=0.
Se obfine
x=2,y=r,z=-l
sau
&"e
:cestora.
313
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 310/324
rispunsuri
7.
Rezolvarea
ecuafiilor
algebrice
cu
coeficienfi
in
Z,
e,
te,
,C
(pag.
f
60)
'
E4.
a)
Ecuatia
are
si
solutia
Xz
=I+J5.
Rezultd
cd
polinomul
f
=X4
_4X.
_
-4x2
+16X+12
se
divide
cu
g-("-t-Jg)("_r_Jr)=X2_
2X_2.Se
:,:_
tine
catul
s=X2
-2x-6"
u)
r=(rr_zx_r)(x,
+r).
at
Xr,2
=3tJB,
x.
=*
X,
=3.
r
AL.
Solutiile
intregi
pot
fi
_1,
I,2,
*2.
Se
obfine
cd
a
e
lA,_2,
4,*g|.
r
A2'
Dacd.
cele
doua
solufii
sunt
simple
ele pot
fi
doi
dintre
divizorii
lui
2
s,
anume:
{",,
"r}
*
{(_r,
t),
(_l
2),
(-1,
_z),
(r,lr),
(r,
rli
"_
asemenea
pu::n
avea:
xr
=
x2
G{-t't'
-
2,
2}.
.A3.
c}
solufiile
rafionare
apar{in
murtimii
__
*
-2,2,-s,a-6,6,
* * 3;I
Rezuud
cd
ae
{-q,a,_s,_1a,
_12,_4e,_
j:
"AG.
a=14,b=B
sau
^=238.b=_l
_
1
si
Xl
=
X2
=
_,:;:;n
;=
;:
;
::':
::':"::::l=,
=.'._
onvine
deoarece
se
obfine
solu{ia
triple
X=_1"
r
AlO"
a)
polinomu]
a:_-*,1-
ecua{iei
se
divide
cu
g-x4
-10x3
+2rx2
+74X+2.
Se
gaseste
a
=-10,
b
=
--
e=14,d.=2. .
Al1.
Ecuafia
admite
gi
sclufiile
xz=J|*VE,*.
=_J2*JB
-.--
=
=
-Jz
-JS si
se
scrie
(x*x,)(x-"r)("_or)("._xa)
_0.
Altfe},
fie
x
=1V
_
",
,{turrci
x2
=5
+2J6
s.r,
(x2_t)'=
(rrlu}r,
cteuncle
xa*10x2+l=0.
8.
Rezolvarea
unor
ecuafii
algebrice
de
grad
superior
cu
coeflclenti
in
,c
(pag.
16z)
.43.
Conditia
ab+a-b-l=O
conducela
(a_f)(b+l)=O. pentru
b=_-_
:)
'=8'
iarpentru
a=1=)b2=22.
'.d5.
a.{3,-l}
.nerr.seimparteci;
r-
s,isefacnota{iile:a}
y=**3,
b) y="-3,
c) y=r.*3.
oAt2.c)Seno:e=-:r
a-rb
z'
x
x
Y-x+*2
Siseob{ineecuafia
(y*o)n*(y_o)n=c,
unde
"=+.
e)
D-.:E
efectuarea
produsului
se
imparte
cu
x2
qi
se
noteaz6
y=**{.
r
AlB.
}
X
noteazA
lo96
x
=
y
Sj
se
ob{ine
ecua{ia
reclprocA.
314
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 311/324
sl
PnniCve
doot"gtarei
nedefintte
(pag'
18o)
;_l"n;ix)=f
(x),
xe
o.
n
8,2.
Se
verifics
faptui
c5.
F
este
=-
:
s)
=
f(x)'
xelQ'
"
E3'
Fz
este
primitivd
a
functiei
f'
:--;,--
continue"'Es.
J(s"'*zx)ax=x3
+
x2
+n('
Dace
F(x)=
:
f
:ste
o
primitiva,
din
conrli{ia
F(-1)
=2'
rezulta
c=2
9i
-
AI.IALIZA
zuIATEIIIATICA
-
315
t
fi
ucbi.il
*:
t-
il
.
-{3, r'-nc.'iile
sunt
continue'
e}
f
(*)-
{[:
j'
:::
"
A4.
f
este
-
-t-c'-.x.-<-1
W
r
=
:^t
Din
conclifia
ci
F
este
continui
in
-c..
x>-1
1.
5
ffi--i
.,
1
=
-) -
c2
si
clin
F(2)
=;
rezulla
t'
=
-Z'
cr
=
-7
'
I
:
=
--
.A7.
Dincontinuitatea?n
x-l
rezultd
3a-b=-9
sidin
-
1l
'
t'l
lsf
r*
ri - :e
obfine
Sa
+ ?b
=
*'l
5'
ilezultii
a
'=
"- -E--' t-
"
-A
I
ri
:
-
'A9.
a=1,
be
lil,
c=0'
u
'4"1O'
3'=$=1"
o
'&^3L'
a=-3'
b='1'
**',,'n :':
..'
=
:].
c)
nu
au
proprietatea
lui
l)arboux
cleoarece:
a)
f
iin)
=
rr:
:r
:-.-=.7
speta;
e)
f ([Z'
3])
nu
este
int'erval'
LrL;
-::::
::::r
absurd
ci
g
admite
piT*i"t.
:-11*-:1'j::::i:
ts'{"n-'
*
--*'
:'
r /r\
(n
r.- a/^\\.* interval.
contradic ,ie
--+.-ir-o
nA
nrrrf,.r":
-
t-I'Dar'
h(I)={O'n-f(")}
*interval'
ct
umnle
Pag.
19O)
^
s
X
=sinx
s,i
integrala
este
jsmxdx=-cosx+'('
r".'r.t-
I
=:--cOSt
=
:1.-:*"-
:
:i
lt"='|=I+cosx'
respectiv
2sin2
\'"1'cosx'
-
sin2
x
+
co{
x
-
I
*
-1=_
etc.
b)
Se
folo-
.:..ar:
-------
2
_
=-=7--------:;-
-
*",
*
Sin:
X
<:--
\
cos'
x
sin'
x'cos-x
i:
a
4.
l:
a:
.J-'
l,
I
{.
t
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 312/324
ln4lcagii
gi
rdspunsuri
[x3
+
r)'
segte
formula
cos
2x
=
cos2
x
*
sin2
x.
d)
fg".Lq,o*
-
;sin3
r
_
i
,( R \
J1=cos2o*--J-;J;l
{ A \
l-cos-x
J
sinzf_
=
ll
smx______
ldr
"irrr"J*
=*cosx+8ctgx
+".n
J(t+tgrx)d"=
fiag"),dx=Er*
.
A,t|.
a)
xa+x2+t:tt-"+r)(x'z+x+t)
o
'
x2
-x+l
-F=xz+x+l
etc.
b)
Se
fo.
x3-l=(x-r)(x'z+x+r).
.
A4.
a)
Jox(sx,
+r)?ox=
I(r",
+r),(sx,
_i
:u=
=
Ju,(x).u7
(x)ox
=
#
*
n,=
(u11_*4'
+?.
ct
Jxn6u
*,
rox
=f
Js".flr-
*
.
=*(*'.r)'fi'4.k=f
I''(*)
(u(x))*d-=*.(u(x))'.i
*r.,
.
?r
;l-
+(etc'
d)
iJi-3
=
J
=
iffio*
=
1-$90"
=
zf(1ff"))'
ffi'"=ffi
"
("))
ctx
=
z./u
(x;
*
r
=
z,[*"i
*.r.
"l
J}r"*
xdx
=
fit,r*)'
.
kra
xrJx
=
Ju,(x).ua
(x)ox
=
g]
f.
-)l:l.-*.
dx
*f
g- il
-_€|-^_
I
su'{x)
_
,iJx*
_6x
+
tl
-^
6
J";r
*6;;Jo"
=
e
J;gofrr*
{1
n?
=ffx-.,
5s
* *,0,
ju
(x)l+
z:
=
=f,'(sf
-6x+rr)
+vt.
tt' i**=#*=
I#ox=
ji,,
o^i',,f4'G
k)
I**=*I6hdx=;i#**=j
"."€u(x
-
+r:=
jarcte
x2 +
?.
tl l',$uo:<
l n {"t)'
=:J-$ax
I
I
u'(x)
v(o-J
-25
-5tfr5*=
=
j.
r,,1,r1'1
*
fit*y
-
zsl
*
zr
etc.
n)
ffiu-=l;}o*nffi*=
=
*
I#f
*.
*
I#*
=
*
I#*
+r
I++*
=
jarctgx2
+
nlr"(r+xa)+
?.
..&8..)
s*g'r
+,t:
bt*"I##l
+,(i;
c)*rlff#I."
316
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 313/324
lndica ii
9i
ff
-
-
.,
2
=*'
(x2
+t)+'€:
f)
-cos2(xz
+t)+'a;
I
ts'**w;
r&
=-o-N
-.ru--d"=-X€-x
-e-*
+'6.
c)
Jsin2xdx=
Jsinx.(-cosx)'dx=
m
*
.i*:r.
u
ir
=
-
sinx
.
cosx
+
J(f
-
"in,
x)
*
=
-sinx
.
cosx
+
x
-
Jsin2
x
dr.
\
I
J
qM
n
:r
=
-srrx.cosx
+x+,(/,
etc.
e)
JGt-
z5
a*
=
J*'rFlEa*
=
il
m.'
*fsr
*-J7 *zs).
Rezuua
jlF.zsa-
=
j[*Gt*zs
*zs
2
'-
--a--
2
IM"
Iategrala
delinlti
ee
u.nei
firncftt
pe
un lnterval
[",
b]
(pag.
2Of)
r
"
o.
=,
d
#;
d) 12.
o
E2.
al
s,
=1
E+=
"g;1.
r=).
==
-
=2:
ct."
=81;# ,
,
=3,
dt
s"
=g-.1):-,
t-=|.
.tr
I
.t
-
:m. :
=
2.3|
+
interval.
Rezultd
ci
f
nu
are
proprletatea
lui
Darboux,
wr:::nitive pe
[0,
t].
U
f
difera
de
funcfia
integrabila
g:[O,
1]_+A,
$,
--
:unctul
xe
=
1.
Atunci
f bste
integrabilA
pe
[O,
f1
;i
ljf
l*;a"
=
:r.
5
=
3.
.
E4.
a)
Imf
={-f,
1}*interval;
b)
exista
dou6
qiruri
de
sume
:-* Lrnite distincte.
:i tr
nu
este
marginiti,
deci
nu
este
integrabila
pe
[-L
r].
tt
F
este
::pe
[-1,
1]
si
F'(x)=f(x). .A5. a4+B=10a2-t:+ae{tt,
tS}.
317
ffiffiss.=.. :|-.::-.'..-:.-..4'.
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 314/324
o
A6. Din condilia cd f este
integrabili
pe
[a,
b]
rezultA cA
pentru
orict
sr
diviziuni
(1"),lln"ll-+O
ale
intervalului
[a,
b] ;i
pentru
orice
qir
de
:'
intermediare
(E1"')
corespunzator, s-irul sumelor Riemann este con'"=:
Alegand
q{")
astfet
incat
f
(€1"))=
c, at,rnci oo,
(t,
g1"')=
"(o
*
a). Rer-:-::
1g
oo,
(t,
E1",)
=
"
(b
-
";
=
Jb
r
1";ar.
o
A7. Se
construiesc
doua
s::---
sume Riemann
cu limite distincte.
4. Integrabilitatea functiilor
contlnue
(pag.
2O4)
o
El. Funcfiile sunt
mArginite
qi
au
un
numdr finit
de
puncte
de
:"s:
nuitate.
.
E.2.
a),
b), c),
e)
-
funcfiile
sunt
continue, deci integrab:-: m
d)
f este
marginita
gi
are
un
punct
de discontinuitate,
deci
este
integ--:Lltis
[-
1, 1]
o
Al. a), b),
c)
funcfiile sunt
continue.
.
AIl. a), b) functiile sunt marg::**:*
un num6r
finit
de
puncte
de discontinuitate.
r
A3. al f este continua:
bJ
g
mArginita, cu doud.
puncte
de discontinuitate; c)
h
este nemArginitA,
dec:---
integrabil&; d)
j
este
continuA.
o
A4. a)
f nu
este integrabiia
pe
[-1,
1]
:*:;
existA s,iruri de
sume Riemann
cu
limite diferite; (f
.
f)(x)
=
1,
V x e
l-:
--
este
integrabild
pe
[-1,
1].
b)
(f
"f)(")=JS,
v
xe[0,2], deci
este in:t{:
pe
[0,
2].
.
A5.
f
este
integrabilA
pe
[-1,
I]
conform teoremei
lui
Lebes;
este
neintegrabil6
pe
[2,3]
deoarece
se
gAsesc
giruri
de sume
Rier-:-nr
limite distincte.
5. Formula lul Leibniz-Newton
(pag.
2Og)
rEr.a)
s:U\:
"l
$;
d)
-r;
e)
23;
U
*'
sf
S;
1-
_ln
T2
r,t
]r'I.
.
E2.
r,,
h)
J5-;
r
6-I
'2
3ll
"
-;ll
^il
"*9ll
|
i
a'
lur"tgz"l"
=;'
o,
;c)
l: d)
4(J5-1);
e) n;
fl
o;
g)
1;
o
E3. a) AICS::
*
--dut
-
t:
=
i
trl
-
'
ul
jr,''(x'z+r)i"'t,
]r'("^.r)l:
"r*nqi
-
=f
,
o,
r',1**FIll,'
"
r.,(*+"G'+e)1"
=tt'
d)
rn2
n
Al..
I
a)
urn
(r
+
Jz).
.
A^z.
318
=
iLn5;
c)
f
arcsin3x
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 315/324
------
-
rG
'
.""i,-,
"11'
,
u
arcsin
",.1
:f
.
'
A3.
a)
-'.3
-x2
lo
:
e)
-a
a
ln
-
q
13
-'
,n
-');l
,"r
f,
t","",;l::
d)
arcsintf)I,'",i
tt'",i1,
J
ro
ru
Fmprietnfi
ale
integralei
deflnite
(pag'
216)
il,"
"1,
b)
Functiile:f
sunt
marginite
qi
u,r,
un
numar
finit
de
puncte
de
:::inuitate.
RezultA
cA
sunt
integrabile
pe
[-1'2]'
respectiv
[0'3]
9i
r::"
dx=
Il,{r"+3)dx*
ji(-s*'+r)ax=0,
respecti"
jjf
(x)dx=
f
r(";a"*
* j ' *=:(^*.*;),
c)
reste
continud
* [{';]
tt
t=
ij(-sinx)dx+
;
jT=rx
dx=2.
d)
f
este
continui
pe
[-2,2]
si
I=
J-j(*'-r)a".
J],(t-x2)ax+
JflL
i
,t
_
l)d*
=
4.
.82.
Se
aplica
proprietatea
de
pozitivitate
a
integralei'
t[.
Se
folosegte
proprietatea
de
medie
a
integralei'
a)
m
=
-3'
M
=7;
b)
m
=
O'
=:
c)
m=
-2,M=-f,,d)
m=f;,n'r=2;
e)
m=;fu.
M=+'
eJ
:
este
continua
si
Jlr(")ax
=
ii(*
+2)dx*
Jru"'dt
=?
o'se
aplica
'z
e
-"2
*2e
"ry-:'
:i
lebesque
ai
I=
J;("-e)dx+
J"'tt'9at
--e':2e '
c)
f
este
con-
rud-
- =
i-i-s*+s)dx-r
j,'t-"+3)dx*
Jits"-5)d"
=f
u'
f
este
continua
.
=
--.
rr
-
zx)*.
J-"r(-"z
-zx)ax.
ii("'
+
zx)dx
=
+'
..-:
/
r-z \
/
.sl.
r,L
:
=te
majginitd
qi
are
un
numAr
finit
de
puncte
de
discontinuitate'
-
tr
:r-
=
i-,t**
Jtza"*
J'sat=6'
e)
f
este
integrabild
p"
[o'3]
(teorema
ru*m,.,:rci
=r
Jjr1"1a"=
fi('-2)d'
.
[itz"-2)M.
f
t"
+2)dx=4'
, x2t 9.n , , rn
r
r
-^
:-+^d,^^ d^
^c
r
.N&
S":
:.rjoseste
inegalitatea
0
;l;;F=*+#**=*.:"G
lndicatii
-
s
=:,::
se
trece
lalimitd,
dupa
n-+co'
Se
obline
limita
zero'
'
A6'
a)
Se
319
E
o IVJ
Z
F'.')t
l"
'
;mrnffi
I
"
i.,
=r"
=fr
9i
se
aplicd
teorema
cleqtelui'
'
A7'
a)
lnxz?
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 316/324
lndicalii
9i
rispunsuri
V
x
e
[1,
4].
Rezulta
ca
lif"*o"
-
.l',"?*.
b)
Se
arata
cd
are
loc
-x2
cosx>I-;,
V
xe[O,
I].
.
A8.
a)
x"
>*n+r.
V
xe[O.t],neN=ln{l_r=
=
>tn(r**"*t),V
xe[0,
l], neN=I,.,2I.,*r,neN,
deci
(1")
este
monoton..
o'I"Ir,
v
neN',
deci
(I")
este
mirginit.
b)
se arat6
ca
h(r*"")=x=
-
,r
e[O,f],neN.
Rezultici
I,,<Jjx"dx=*
9i
hml'=O.
.A9.b)
s-.n
>sin'*r
x,
x€[t
;],
neN3I.,
>I,.,*,.
Din
0
<sinx<1,
V
*.f0,
*-1,
""
c,=@
L2)
ca
s,irul
(I")
este
mdrginit.
r
Alo.
Din
[f(x).t-g(x)]z>o,
tere,
xe[a,'c,
prin
integrare
se
obfine:
ft'
(")dx
.
t2
-rlor(*)e(x)dx
..
J:g,
(*)dx )
o.
v telQ.
Pun6.nd
condifia
A<o
se
obfine
concluzia.
o
Atl.
Irg."
=
j.
otn
condifia
ca
f
este
integrabild
pe
[0,
1] rezulti
ci
f
este
merginita,
adica
r I\'I>0,
astfer
incat
lr(x)l=
M,
v
x
e
[0,
11*
llJx"r(x)axl=
fi*"lr1x;lax
<
=
[]
*"
.M
dx
=
Yri
l'
=
t
-+
o.
Rezuua
ca
o
n+l
lo
fl*ln'*.-''
7.
Integrarea
funcfiilor
continue
(pag.
223)
r
Er.
a)
f (€)=
#,
f",'xdx
=
$,
ol
g;
.)
t-6
b
foloseste
semnul
functiei
F'.
o
Al.
Din
teorema
de
medie,
existi
q
.
[r,
b]
astfel
incat
Jt
r
(x)
dx
=
(n
-
a)
r
(i)
.
Presupunem
ci
edsta
€r,
€r
+(,
astfel
incAt
J"f1";a"=(b-")f(€,).
Atunci
f
(q)
=
f
(6r),
relafie
care
contrazice
strict
monotonia.
Rezulti
ca
(
este
unic.
o
A2.
Din
teorerna
de
medie,
f
€.,
€(n,
n+l)
astfel
incAt
I,,
=f(q").
Deoarece
ItIl*=t,
se
obline
lian2r"
=]iT*"83'f(€")=r.
.
A3.
Din
teorema
de
+-
5n
n+@
"
n_+@
6:
medie,
rezuud
cd
3 c,,
=[*
]],
""rr"r
incat
r,-,
=(*
,l)rr"")=;r;
o
E2.
a)
*=#'
b)
€=*
.
EB.
a)
F'(")=
.*'(*'-+);n'(-z)=F,(2)=o.
b)
se
lim
arrlr,
=
Q,
n-)@
lm9'
d)
-.4
4
3'
12
320
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 317/324
-
arctg(nc,r).
Deoarece
l*.""
=1,
se
obfine
L=
rimarctg(nc") =Ln.
'
A4.
se
aplica
regula
lui
I'Hospital'
a),
b)
O;
c) 2'
'
A'5'
a)
f
este
continua
pe
lQ'
deci
admite
primitive
pe
tQ. Pentru
o
primitivA
F
avem:
Jo
f
1q
at
=
f'(x)
-
F(O)
=
x2,
x e
lQ'
Derivand
ultima
egalitate
se
obfine
f
(")
=
2x'
x
e
lQ'
b)
Daci
F
este
o
primitiva
a
func{iei
f,
atunci
r(*)
-
F(o)=
F(2x)
-
r(")'
x
e
lQ'
Derivdnd
aceastd
egalitate
se
obtinein
final
cef
este
fr-rnctie
constantA'
c) f
(x)
=
c'ex'
c
elQ'
l-Z'"e(-'o,
-t]
.
4,6.
g(x)
=
1r*,
x
e
(-1,
1)
9i
se
studiazA
derivabilitatea'
l.z,x.[1'+*)
r
AZ.
Dac6
a=o
si
b=XelD,
atunci
fir1t;at=g(x)-g(o)
+i
jjtrlt;at=
=xg(x).
Rezultd.
cA
$
este
functie
derivabili
pe lQ'
Se
deduce
f
(x)=g'(x)
Si
d(")=g(x)+xg'(x),xeQ.
Substituind
g' se
obline
xf
(x)-g(x)+xf
(x)'
de
unde
g(x)=o,
xeD
si
f (x)=o'
xelQ'
i_
1
="';'
.
ur
jj(z*-1)e*dx
=
fi(r*-r)(".)'6q
=(2x-1).*
li-
ii'".*=e+l-
-2".1'.=3-e.
c)
Jixrnxax=
ff[+)hxdx
=*
t"l,
f+
o*
=+-
f
,
="';'.a)
Jix'zrnxdx=f[+Jhxdx=t'"'*|"
J:+
i*=*-
*\,
='On*t.")
J,
h2xdx=
Jd*'t"'xdx=xln2xtt'-
f'x'2lnx
a*=
=4e2
-zJ"'hxdx
=4e2
-2J"x'lnxdx
=4e2
-zfxrnxli'-
f
t*)=z(e'z-r)'
U
f
Y*
=
Ji(rr,*)'lnxdx
=
lr,'"1"
-
i:Y*'
Rezulttr
ca
z
jiEx
6"
=
=ln2xl"
=t
ci
J:Y*
=L''82.
a)
f
(**l)"i"xdx-
ff(**r)(-"osx)'dx=
L:.
it'
,:l.
I
L:
,t
{_,
L
32t
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 318/324
* la
T
n
=-(x+l)cosxlS.
ficosxdx
=2.
bl
{.#
")
Ioi"ir,rxdx=
ffsinx(_cosx
:l=
1\.nRr
= -sinxcosxls
.
l..cos2
xd"
=
-9.
jr.(t
-sin2
*)ax
=
-+.,.;
ffsin2
r::r
-r
r(
fi
,T\
Rezurta
ca
Joosinzxdx=;[-ti.aj
d)
ry#"."=
ryx.(_ctgX
_
=
=
-xc€x
li-
ft.r1"dx
=1+
ln(sinx)
lur=;+
hJD.
.
E3.
a)
r
=
/5JF-
=
=
444
=
I,*"'.
=
zJs
-r.
ni"
1;|;
dx
=
2{E
-
r
+
a
h(x
.
J7;4)
I
:=
""
obtine
r
=
Js
*
zr'1J
d)
t=
fi*JF.ra'=
fi
"(=)d"=
il+dx+
l]+dx=rr
*J*,
-
o
J"2+I
,oJ*r*r*^
'oJ*r*t
/p
rls,-
=
=
J2
-2L
Rezulti
ci
I
=
Ji
*
zl *
J2
-1, deci
o
=rEu-J
rAl'
a)
16-2e2;
o)
{F,
"r
f
;
a)
h(r
+Jz)+t*J2;
e)
e(sinr-cos-
o
ak'
g)
rntegrala
se
scrie
*
z*.*
(r
+
'r)0"
=;
j(""')'(i
+
x2)ax
=
=
.
"
fiF.
i)
zrn(Js+z)-JE.
.
A2.
at
f
,
or
#,",
%-,
ar
f
-rn,:
/_\
e)
n;
0
+["t-'j,
'r
*(t.,"+),h)
r=;ry"
(
#)'*=
=;
T
.A3.
a)
*-*(t.JD);
r)
{,
"t
#-&},u,?+n(z-J3),
e)
fi+.6_r
t
tf[t=)'
.,""o"xdx=..
s)
*.*-],
rA4.
a)
J'xsinxdx-I,.n
.sinx
=4n.
bl
r=
i:(",
-")e*dx+
fi("-x2)e*dx.
J,r(",
-x)e*dx,
c)
i
=
=
Ij(-*"-*)**
lir,'"o"*
f'(r,'**J-Ja*=
"1*?"-2.
.
AE.
,r
,?;
ur
".i-f
,
322
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 319/324
=
x dx.
=
=
'
46.
a)
t
=
fi#)d.
=
fi+dx.4fi+dx =r,
+
4r2
t,
=
lj"'
({t-
+
)'
o"
=
*sJ"z
*
a
l.
-
,,
=
fr;
_
sr.
12
=
fi
_
(JF;;)'
o*
=
r--rl
=
xJx2
.
nl;
-
iiGt;d"
=
s;
-
fiffi*=
JB
_
r,
_
4tn(_.
ne;;;1'
Se
inlocuieste
11
qi
I,
in
I.
t
AZ.
a)
qh2-f,,
U
e2
+e
+2e-r
_g.
r
Ag.
a)
Se
integreazi
prin
pirti.
b)
(I")
este
m'rginit,
monoton
qi
Il+t"_,
=*.
se
trece
la
limitd
in
aceastd
egalitate
si
se
ob{ine
limita
zera..Ag.
a)
,o=t,lr=t,1r= .
b)
Avem
O<cosx<1,
V
x.fo,*l
Rezultd
inegalitatea
cos.x>cos,*rx,
V
xe
L,l
I
2)
'Lo';J
eideci
I,
)I,,*r,neN.
c)
I,,
=+
I,,-2,
n
,2,ro=t,rr=r.
'
Aro'
ul
I"
=E*#ffi.
c)
r.,
=
I.'(r-"')"*
=
fi|":
-cl,*,
+cf,(x,)'
-
-":
("')'
*
.*(-r)"
cl
(",)']*
=
":
-*ci
.*cfl
_....**"*
rAlr.
a)
Io=t-*.,r,=i*?,
rz=2-i
o,
r,,=fx,.(_"-.)'dx=*e-x
""1;*
+fn:<"-ie-*dx=*1+nlr.-r.
c)
se
demonstreaza
prin
induc[ie.
pentru
n-1,
rezultd
t,
=t-:,
egatitate
adevdrati
din
a)
Daca
r,_,
=g]f.
[r.+.
,hJ]
dinb)
rezultdr,=-l
-
1
',t["-(r* *f*...*
I
)l_"'
r r
.-+nrn-I
=-t_"1"
['
rr
'2;-
-G:,),]]="
l"-lt*f
*a
*
r
).1
L ( I 2t
("
_
t)r
nrJ_]'
8.2.f
.
Prima
metodi
de
schimbare
de
variabili
(pag.
236)
.
El.
b)
f,u",
(z*t
*
r)n
*
=
1_',(2".
+
r)'
(zx3
*
r;-
L
=
I_',r,1*;.
ua
(x;ox
=
=
Jqll,t-ot=*l:
=T
c)
,=|f''(*)
u-31x)ax=il,u.-.o,,
etc.
d)
r-
=
I-l,
r'(*)
"
,*
1";*
=
1*.'t*at,
etc.
e)
(t
-zJz),
u
*,g
j;
h)
rns;
-
1I
=
to
=
l);
e
2
,ii
[,
t,
rti
Li
323
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 320/324
:1' :lltri1 Prqtr, l= F:
0
hF.
I
f
r',s;
H
f5;
,t
X.
.
ez.
at
e
Ul;
tr
6fu;
c)
e-G;
a)
f;
.Ar.
a)
fr"f'
rl
f
')
i;
rr
-f,;
d
*tu#:
hl
2rn(t+
J2)-'E4.
a),blFuncriaesteimpara
;"tffi;
o-F,
n,lr.f*ff,
o
A2.
at
t+zh :
ur
fi'
c
r=
fj;il*=
fi{$*=r,,;ft,
d)
hsji:
o
r=
ffi#o*=h(e*.Gn;;l]}
l,'16
r.
e^
=
*=;
ei
se
al'ege
u(x)
=
e-''
'
A3.
al
-f
k
s, t)
-L;
c)
4
e)
f;
0
r-tnJ2:
d
fr;
rD
h(r+.,tr);
r)
-fr+rn(2./3.);
j)
f,.
o
A4.
Se transformd"
produsul
de
funcfii
trigonometrice
in
sumA.
")
_*;
t)
O;
c)
o;
d)
*[;
f]
"
t=
l.#.sin2'xdx,
etc.
rAb.a]
rnr6;
rl
2.6,
.t
f
,
d)
-1*]9r
.l
--L
r
AA
ql
rrl
nr e^ *^+
r^r^^, r-
ztg*
-'
+-
ts'
''
-#''
A6'
a)'
b)'
c)
se
pot
folosi
formulele
sinx
=
#
2
l
-
tg'*
cosx
=:.
_"i
d)
Se
pot
folosi
formulele:
sinx=-$,
cosx
=_+.
'*8t l{l+tg'x
t,/t+tg2x
sr
f;
scrie
-i-
=
J"2*
-
t
rnJz;
a)
j;
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 321/324
*
un
*'
tt
.i.
=,
a--
r:
:. :
; .:
.d*:;
t:.
*2.2,
A
doua
metodi
de
schimbare
de
variabili
(pag.
24O)
r
81. a)
Se
alege
"'[+, r]- [;
z],
,1*1=
I
+
Ji,
bijectiva,
derivabild,
,-',
[;'
r]
*[*'
t]'
"-'
(t)
=
(t
-
r)2
si (,,-')'
(t)
=
2(t
-
1); r'
[;,
z]
-
rn,
r(x)
=
=
xi
se
obfine
r
=
Jj
,u
.2(t
-1)
dt
=
,(+
-*)
I
;
,
etc.
c)
2
-
r
++atcts :
"2
e
2
r*zrr,1)
.
or;2."l
sff
om9),
b)
h9.
\
5i
'
-
(z
---
2
)'
-'
'^'2'
*Al.
a)
u(x)=Vi;
b)
u(x)=e*;
c)
u(x)=JGS1;
a)
u(x)=+
-
x"+l
.A2.
a)
u(x)=J"'J'
t)
u(x)={/i;
c)
u(x)=Ji:
d)
u(x)=.8+1.
.43.
a)
u(x)
=
-x;
b)
u(x)
=
*x;
c)
u(x)
=
;-
*
GIIFTTOLUL
ffI.
APLICATII
ALE
TNTEGRALEI
DEFINITE
L
Arin unel
suprafefe plane (pag.2Z3l
.Gr"
a)
f,t
al
Ji+9"rcsi'*'
.l
]r"f,;
d)
1;
e)
*,
u
**3
nf,
ulS;
"f'
u,(';t).rEB.a)T,
o,T
-2x+xz)dx
+
fi(2x
-*,)dr
*
lrt(-2"
+x2)dx
=
+.
;.lf;
dl
,,/
=
rtL
d:
.*-
t
-Jla.
-f
r)
se
aleg
t,
g:[-2,2]-+ra,
f(x)=xr,g(x)=8-x2,
aria(rr,r)=
Ii[(t-"r)_
A4 /-
==T'
c)
A,
=z(fiJ0"0".
f
Jro-*o*),o,
=
nr2
-Ar,r=4.
ceg.
;-
-"-E+
.oo.*.
.AE.
A=
Jn'-r1x;a".
rAe.
t=
)g*r;*a".
J'edx=e.
325
'.;
'::.
1.-:-=-=
=
== -- --=
-
r-s
=
=
-- = =
j
=
r
trr.
aria(ri)=f,,
*ir(rr,r)=g#d,
r11=
2-W.
r
At2.
aria(rr)=az.
--;
i,
a2
=12.
r
Al3.
46
/
il1.
^2,
aria(f1)
=
i
-rlnui
*2=u
*
6^.
a
=
-3,
respectiv
a
=
0.
a'
+
4a+6
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 322/324
2. Volumul
corpurilor
de
rotafie
(pag.
279)
o
Er.
a)
Tf
'
at,
q
*:
d) 6n;
"t
,,[r.
r"fi)'
u
?'
sr
ff;
r,l
t
(++no)',.
,82.
a)
$,
or ,'(t-t)'
"r
f
r"f
;
u,
;(";
"
aa.
{{rs-l6ln2);
.45.
117x.
'
A6.
nJj("t""o"x)2dx
=
-(Gn-
13).
6t
I
3.
Catculut
unor
limite
de
Eirurl foloslnd
integrala
deliniti
(pag.
285)
.
pf
"
H."
=
Jtf
1")dx,
unde:
a) f
(x)= x;
b)
f
(x)= xa;
c) f
(x)=
fi'
at
f(x)=g u,
e) f(x)'=e";
0
f(x)=rft;,
g)
f(x)
-#
.A'-.
|ga"=
jjrl',;,
unde:
a)
f(x)=?*'
u) f(x)=#'
c)
f(x)=J#'
a)
f (x)
=
xe-x.
o
A2. Funcfiile
care
se
integreazi
pe
intervalul
[0,
1]
sunt:
a) f
(x)=-j-,
b)
f
(x)
=
-x
;i
c)
f
(x)=++;
d)
f (x)=ln(x+1).
-
\' x"-4 9-x" x"+l
.
A3.
Se considera
f
:
[0.
1]-+
Q,A,,
=
[t
* ?
;),
-t
punctele
intermediare
(p
astrel:
a)
6r.
=T,f(x)=;ft4
b)
€r
=T,r(x)=J*''
c)
€r
=
3k-1
-(k-r
k\
I
-r,
-G'-r.*r-
f(x)=
=?'[-f
';,J'tt'l=
s1.^*4'
d)
4r'
==-;-'rt^r
x+r
aplica
exerci{iul
rezolvat3.
.
"4,6.
a) lima,
=
ij;ft
=ln2i
b) a,,
=*P,#*
(a+l)s (s-a)+aa
12
-It
')
Jj("
-
x2)ax
=
,-
=I+9=[?,*],-=r,,'.
.AZ.
a)
""
=*_i,*u,6o
=*[--"'"*).
[t<-t kl :-
e
l:---:,
:
I.
k
=
I, n.
b) a,.
Lnnl
ig I
nffl+Eg
326
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 323/324
CIJITTTINS
Prefa16
i
:1.':l"ff;li
=
Se
l.legide-compozilie
pe
o
mullime
.. .................
b
l.l.
Detjnitii
si
exemple
..........
s
1.2.
Adunarea
si
inmultirea
modulo
"
....:....;
1.3.
Adunarea
si
inmultirea
claselor
de
resturi
modulo
n
.................
.................
7
1.4.
Parte
stabild.
Lege
de
compozitie
indusd
1.5.
rabta
un.i
r.gi
Je
i;p;;jii;
.........."..
2.?roprietSliale
legilor
de
compozilie
............
L4
z.
t.
proprietatea
de
comutativjtate
............14
2.2.
Proprietatea
de
asociativitate
.
..
i;
2.3.
Element
neutru
.............2I
2.4.
Elemente
simetr2abile
......................;;
3.Jlloliunea
de
grup.
Exemple
.........,...............
3 i
3.1.
Grupul
aditiv
al
resturilor
moduio
"
..
3t
3.2.
Grupul
claselor
de
resturi
modulo
n
..
S
3.3.
Grupul
permutArilor.,n.i
muliimi
.....;;
3.4.
Grupul simetric
Sn
............................
Sg
3.5.
Grupuri
de
matrice
.......40
3.6.
Grupui
rAddcinilor
de
ordinul
n
ale
unitAfii
....................43
4.
Reguli
de
calcul
intr.un
grup
.......................47
4. 1.
Puterea
unui
element
intr_un
g.r,p
....
aZ
4.2.
I-e,gi
de
simplificare
.................
..
"........
48
5.
Morfisme
de
grupuri
.............
s3
Capitolull.
GRUpURt
6.
Subgrupuri
..............
59
3.
Corpuri
.,.,.'.'...'..'..'....',
9t
4.
Morfisme
de
inele
gi
corpuri
...."..................
96
7.
Grupuri
finite
............
..........".66
7.
l
Subgrupul
generat
de
un
element
......
a;
7.2.
Ordinul
unui
elernent
intr-un
g."p
....
OO
7.3.
Teoreme
remarcabile
in
teoria-
grupurilor
finite
..................................
6g
Capitolul
ll.
INEtE
gt
C0RpUFt
.....
.............27
l.Itefinifii
gi
exempte
...............77
l.l.
Inelul
claselor
de
resturi
moclulo
n
.....Tg
1.2.
lnele
de
matrice
pdtralice
..............
....79
r.o.
rnele
de
lunctii
reale
............
...............
g2
-2.
Beguli
de
calcul
intr.un
inel
."......................8s
le
Itltfffl*
i
;ii
o
io
Capitolul
llt.
tNELE
DE
POUN0AME
.........
ro+
1.
Mullimea
polinoamelor
cu
eoeficienti
intr.un
corp
comutativ
.........
....................
i
04
Ll.
Siruri
de
elemente
din
corpul
K ........
i0;
1.2.
Operatii
cu
siruri
cle
elemente
din corpul
K
..................................... t04
z.^Fr1qa
algebrici
a
polinoamelor
.................
IoZ
z.
[.
rot]noame
constante
.......,................
f07
2.2.
Forma
algebricA
a
unui
monom
........
107
?
9.
I.y"
atgebrica
a
unui
potinom
.......
tOB
2.4.
valoarea
unui
polinom.
Functii
polinomiale
..................
I09
3.
Operalii
cu
p0linoame
scrise
sub
forrnd
algebricd
.......
r
lo
3.
l.
Adunarea
gi
inmulfirea
poLinoamelor
-
-
-
scrise
sub
formA
algebricd
...."...........
l
l0
l.?.
l*pr*t"a
polinoameio.
................,..
i
i;
3"3.
implrtirea
la
X-a Schema
f"i
fforrr", iiO
4.
Itivizibilitatea
polinoamelor
........".".....
......
r2s
4.
I.
Relatia
de
divizibilitate
_
-
pe
mulfirnea
KlXl
......"..
t2b
4.2.
Proprietdti
aie
relatiei
de
divizibilitate
.................
l2b
4.3.
Cci
mai
mare
divizor
comun
al
polinoameior
...............12a
5.
Descompunerea
polinoamelor
in
factori
ireduetibili
.....
rgb
5.
l.
RAddcini
ale polinoameto.
................
iSs
5.2.
Radacini
multiple
ale
unui
poli"o;
..
i5;
9.9.
Ecuatii
algebrice
..........
I3g
5.4. Polinoame
ireductibile
in K[X]
........."
i;0
5.5.
Descompunerea
polinoameioi
in
factori
ireductibili
.........................
l4
I
6.
Relaliile
lui
Vidte
................t42
7.
Rezolvarea
ecualiil0r
atgebrice
cu
_c0eficienli
in
Z,
e,
[),
O
...........................
rbB
7.
1.
Ecuatii
algebrice
cu
coeficienti
inZ
..tii
7.2.
Ecualii
algebrice
cu
coeficienti
rationali
.......................
tSZ
7.3.
Ecuatii
algebrice
cu
coeficienti
reati
.
iSS
L Rezolvarea
unor
ecualii
algebrice
de
grad
^superior cu
coeficienli
in
C ............._........
8.1.
Ecuatii
bipatrate
8.2-
Ecr-ratii
binome
...,
't
ii
6',
';i
i
i-
it
:
j.;
i
i:
j:
1.
.i
.il
.-:t
':
).-
,
'1..
:L
''.
I
l'.
t
t
L'
,d
rg:
',.L:'
162
162
163
164
.>ory
JZI
8.3.
Ecuatii
reciproce
;:=EF
E€&a4=-==Z-==--
7/21/2019 Manual Mate XII
http://slidepdf.com/reader/full/manual-mate-xii 324/324
Capitotut
t.
pRtMtTtvE
.........
rzt
1. Problemri'care
conduc
la
noliunea
de
integrald
.........................
rzl
2. Primitivele
unei
funclii
lntegrala
nedefiniti
a
unei
lunclii
.............
LTB
3. Proprietdli
ale
integralei
nedefinite
...........
176
4.
Primitive
uzuale
..........
........
r8s
4.
l.
Primitive
deduse
din
derivatele
funcfiilor
elementare
........................
l
g3
"4.2.
Primitive
deduse
din
derivarea
funcfiilor
compuse
......
lg6
4.3. Primitive
deduse
din
formula
de
deri_
vare
a
produsului
a
doud
functii
......
Ig9
Capitolul
ll.
lt{TEGBALA
DEFTNlT4
...........
re4
l. Diviziuni
ale
unui
interval
la,
bl .................
194
2.
Sume
Riemann
....................
lgs
3. lntegrabilitatea
unei
func;ii
pe un
interval
la,
bl
.................................. re7
4.
lntegrabilitatea
luncfiilor
continue
...........
2oz
5. Formula
lui
leibniz-Newton
..............
........
zos
E.
Proprietili
ale
integralei
definite
..............
209
7.
lntegrarea
funcliilor
continue
...................
220
8. Metode
de
calcul
pentru
integrale
definite
.........22s
8. I.
Metoda
integrarii
prin
pdrfi
..............225
8.2.
Metoda
schimbaTii
de variabila
.........231
8.2.1.
Prima
metod6.
de
schimbare
'
devariabild
.............,..............231
4.2.2. A doua
metodi
de
schimbare
de variabilA
........299
9.Galculul
integralelor
funcliilor
ralionale
....
248
9.
l.
Calculul
integralei
unei
functii
ra{ionale
simple
...........244
9.2.
Calculul
integralei
unei
functii
ra{.ionale
oarecare
.......25s
Capitolul
lll.
APtlcAIil
AtE
tNTEcRAtEt
DEF|N|TE
.........26s
l.
Aria
unei
suprafele plane
..........................
26s
2.
Volumuf
corprrilor
de
rotalie
....................22s
3.
Calculul
unor
limite
de
girurifolosind
integrala
definitd
................280
TEME
DE
SilItTEZA
........
rrrDtcAlil
gt
RASPUNSURT
II
328