7/24/2019 recurentaliniaraII

1/6

Recuren liniar de ordinul II

Defniie. Un ir( )

1n nx

defnit de relaia de recuren de orma

2 1 , 1n n nx x x n + += +

(*) cu1 2,x x

fxai(dai), iar,

se numete ir recurent

defnit printr-o recuren liniar de ordinul doi.

utm soluii de orma

( )1

, 0n

nr r

.!nlocuind "n (*) o#inem c

2 1n n nr r r + += +sau

2r r = +sau "nc

20r r =

, care se numete ecuaia caracteristicasociat recurenei.

$e distin% trei ca&uri'

I)ac

24 0 = + >

, atunci ecuaia caracteristic are dou rdcini reale distincte

1 2r r

.

Propoziie 1

)ac,c d

atunci irul( ) 1 2,

n n

n ny y cr dr= +

erifc recurena (*)

+)$ se ae

,c d

astel "nct

1 1 2 2,x y x y= =

)u alorile,c d

de la +) s se arate c, 1

n nx y n=

emonstraie'

)/re#uie pro#at c2 1

, 1n n ny y y n + += +

. !ntr-ader

( ) ( )2 2 1 12 1 1 2 1 2 1 2n n n n n n

n n ny y y cr dr cr dr cr dr + + + +

+ += + + = + + +

( ) ( )2 1 2 11 1 1 2 2 2 0n n n n n nc r r r d r r r + + + + + =

, ceea ce este aderat deoarece fecareparante& este 0.

7/24/2019 recurentaliniaraII

2/6

Recuren liniar de ordinul II

+)$e re&ol sistemul

( )

( )

1 2 2

1 2 11 1 21 1

2 22 2 1 1 22 1 2

2 2 1

...

x r xc

r r rx cr drx y

x y x r xx cr drd

r r r

= = +=

= += + =

)$e demonstrea& prin inducie matematic

( ) : n nP n x y=

$e erifc afrmaia pentru1, 2n n= =

, unde inem cont de alorile lui,c d

determinate la punctul anterior.

( ) ( )( )1 2 11 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 21 1 2 1 2 1

1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

x r rx r x x r x x r x x r xy cr dr r r xr r r r r r r r r r r r

+ += + = + = + = =

( ) ( )

( )2 2 12 2 2 21 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 22 1 2 1 2 2

1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

x r rx r x x r x x r r x r x r r x ry cr dr r r x

r r r r r r r r r r r r

+ += + = + = + = =

( ) ( ) ( ) ( )1 ,..., , 1 2 , 1P P n P n P n n+ +

. .

2 1 1 2

ip ind

n n n n n nx x x y y y + + + += + = + =

1.e.d.

2#seraie' 3ceast propo&iie tre#uie "neles "n sensul c dac ecuaiacaracteristic are dou rdcini reale distincte, atunci termenul %eneral al irului

( )nxeste e%al cu

1 2

n n

nx cr dr= +

, unde,c d

se determin din condiiile iniiale1 2,x x

.

II)ac

24 0 = + =

,atunci ecuaia caracteristic are dou rdcini reale e%ale

1 2r r r= =

.

Propoziie 2

)4irul( ), nn ny y nr=

erifc recurena (*)

+

7/24/2019 recurentaliniaraII

3/6

Recuren liniar de ordinul II

+)4irul( ), n nn nz z cr dnr= +

erifc recurena (*)5,c d

)$ se ae,c d

de la +) astel "nct1 1 2 2,x z x z= =

i apoi cu aceste alori s se arate

c, 1n nx z n=

emonstraie'

) !ntr-ader( ) ( )2 12 1 2 1

n n n

n n ny y y n r n r nr + +

+ += + + = + +

( ) ( ) ( )2 2 22 0 2 0n r r r r n r r r r + = + =, ceea ce este aderat

deoarece prima parante& este 0 (ecuaia caracteristic) iar a doua este tot 0 cci

2r

=

este rdcin a ecuaiei caracteristice.

+)

( ) ( )( ) ( )2 2 1 12 1 2 1n n n n n n

n n nz z z cr d n r cr d n r cr dnr + + + ++ += + + + = + + + +

( ) ( )2 1 2 1 0n n n

n n nc r r r d y y y + +

+ + + =

, ceea ce este aderat deoarece

( ) ( ),n nr yerifc (*).

) $e re&ol sistemul

1 2

211 1

2 22 2 2 12

2

2

...2

rx xc

x cr drx z r

x z x x rx cr drd

r

== +=

= = + =

$e demonstrea& prin inducie matematic

( ) : n nP n x z=

$e erifc afrmaia pentru1, 2n n= =

, unde inem cont de alorile lui,c d

determinate la punctul anterior.

7/24/2019 recurentaliniaraII

4/6

Recuren liniar de ordinul II

1 2 2 1 1 2 2 1 11 12 2

2 2rx x x x r rx x x x r x r z cr dr r r x

r r r r r

= + = + = + = =

2 2 2 21 2 2 1

2 1 2 2 1 22 2

22 2 2 2 2

x r x x x rz cr dr r r x r x x x r x

r r

= + = + = + =

( ) ( ) ( ) ( )1 ,..., , 1 2 , 1P P n P n P n n+ +

. .

2 1 1 2

ip ind

n n n n n nx x x z zy z + + + += + = + =

2#seraie' 3ceast propo&iie tre#uie "neles "n sensul c dac ecuaia

caracteristic are dou rdcini reale e%ale cur

, atunci termenul %eneral al irului

( )nxeste e%al cu

n n

nx cr dnr= +

, unde,c d

se determin din condiiile iniiale1 2,x x

.

III)ac

24 0 = +