7/24/2019 recurentaliniaraII
1/6
Recuren liniar de ordinul II
Defniie. Un ir( )
1n nx
defnit de relaia de recuren de orma
2 1 , 1n n nx x x n + += +
(*) cu1 2,x x
fxai(dai), iar,
se numete ir recurent
defnit printr-o recuren liniar de ordinul doi.
utm soluii de orma
( )1
, 0n
nr r
.!nlocuind "n (*) o#inem c
2 1n n nr r r + += +sau
2r r = +sau "nc
20r r =
, care se numete ecuaia caracteristicasociat recurenei.
$e distin% trei ca&uri'
I)ac
24 0 = + >
, atunci ecuaia caracteristic are dou rdcini reale distincte
1 2r r
.
Propoziie 1
)ac,c d
atunci irul( ) 1 2,
n n
n ny y cr dr= +
erifc recurena (*)
+)$ se ae
,c d
astel "nct
1 1 2 2,x y x y= =
)u alorile,c d
de la +) s se arate c, 1
n nx y n=
emonstraie'
)/re#uie pro#at c2 1
, 1n n ny y y n + += +
. !ntr-ader
( ) ( )2 2 1 12 1 1 2 1 2 1 2n n n n n n
n n ny y y cr dr cr dr cr dr + + + +
+ += + + = + + +
( ) ( )2 1 2 11 1 1 2 2 2 0n n n n n nc r r r d r r r + + + + + =
, ceea ce este aderat deoarece fecareparante& este 0.
7/24/2019 recurentaliniaraII
2/6
Recuren liniar de ordinul II
+)$e re&ol sistemul
( )
( )
1 2 2
1 2 11 1 21 1
2 22 2 1 1 22 1 2
2 2 1
...
x r xc
r r rx cr drx y
x y x r xx cr drd
r r r
= = +=
= += + =
)$e demonstrea& prin inducie matematic
( ) : n nP n x y=
$e erifc afrmaia pentru1, 2n n= =
, unde inem cont de alorile lui,c d
determinate la punctul anterior.
( ) ( )( )1 2 11 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 21 1 2 1 2 1
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
x r rx r x x r x x r x x r xy cr dr r r xr r r r r r r r r r r r
+ += + = + = + = =
( ) ( )
( )2 2 12 2 2 21 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 22 1 2 1 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
x r rx r x x r x x r r x r x r r x ry cr dr r r x
r r r r r r r r r r r r
+ += + = + = + = =
( ) ( ) ( ) ( )1 ,..., , 1 2 , 1P P n P n P n n+ +
. .
2 1 1 2
ip ind
n n n n n nx x x y y y + + + += + = + =
1.e.d.
2#seraie' 3ceast propo&iie tre#uie "neles "n sensul c dac ecuaiacaracteristic are dou rdcini reale distincte, atunci termenul %eneral al irului
( )nxeste e%al cu
1 2
n n
nx cr dr= +
, unde,c d
se determin din condiiile iniiale1 2,x x
.
II)ac
24 0 = + =
,atunci ecuaia caracteristic are dou rdcini reale e%ale
1 2r r r= =
.
Propoziie 2
)4irul( ), nn ny y nr=
erifc recurena (*)
+
7/24/2019 recurentaliniaraII
3/6
Recuren liniar de ordinul II
+)4irul( ), n nn nz z cr dnr= +
erifc recurena (*)5,c d
)$ se ae,c d
de la +) astel "nct1 1 2 2,x z x z= =
i apoi cu aceste alori s se arate
c, 1n nx z n=
emonstraie'
) !ntr-ader( ) ( )2 12 1 2 1
n n n
n n ny y y n r n r nr + +
+ += + + = + +
( ) ( ) ( )2 2 22 0 2 0n r r r r n r r r r + = + =, ceea ce este aderat
deoarece prima parante& este 0 (ecuaia caracteristic) iar a doua este tot 0 cci
2r
=
este rdcin a ecuaiei caracteristice.
+)
( ) ( )( ) ( )2 2 1 12 1 2 1n n n n n n
n n nz z z cr d n r cr d n r cr dnr + + + ++ += + + + = + + + +
( ) ( )2 1 2 1 0n n n
n n nc r r r d y y y + +
+ + + =
, ceea ce este aderat deoarece
( ) ( ),n nr yerifc (*).
) $e re&ol sistemul
1 2
211 1
2 22 2 2 12
2
2
...2
rx xc
x cr drx z r
x z x x rx cr drd
r
== +=
= = + =
$e demonstrea& prin inducie matematic
( ) : n nP n x z=
$e erifc afrmaia pentru1, 2n n= =
, unde inem cont de alorile lui,c d
determinate la punctul anterior.
7/24/2019 recurentaliniaraII
4/6
Recuren liniar de ordinul II
1 2 2 1 1 2 2 1 11 12 2
2 2rx x x x r rx x x x r x r z cr dr r r x
r r r r r
= + = + = + = =
2 2 2 21 2 2 1
2 1 2 2 1 22 2
22 2 2 2 2
x r x x x rz cr dr r r x r x x x r x
r r
= + = + = + =
( ) ( ) ( ) ( )1 ,..., , 1 2 , 1P P n P n P n n+ +
. .
2 1 1 2
ip ind
n n n n n nx x x z zy z + + + += + = + =
2#seraie' 3ceast propo&iie tre#uie "neles "n sensul c dac ecuaia
caracteristic are dou rdcini reale e%ale cur
, atunci termenul %eneral al irului
( )nxeste e%al cu
n n
nx cr dnr= +
, unde,c d
se determin din condiiile iniiale1 2,x x
.
III)ac
24 0 = +