radum.webnode.com · Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016
Transcript of radum.webnode.com · Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
Capitolul IV. Statica solidului rigid
IV.1. Echilibrul solidului rigid liber
Un solid rigid liber este un solid rigid care poate ocupa orice poziţie în spaţiu, nefiind supus la nicio restricţie de natură geometrică. Dacă un solid rigid liber se află în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe active (efectiv aplicate), poziţia lui de echilibru este determinată exclusiv de sistemul de forţe ce acţionează asupra lui.
După cum se cunoaşte, un plan aparţinând unui rigid defineşte univoc poziţia şi orientarea acestuia, iar trei puncte necoliniare definesc un plan. Rezultă că acestea pot fi utilizate pentru definirea poziţiei şi orientării rigidului.
Se consideră trei puncte necoliniare în masa rigidului, iA de coordonate ),,( iii zyx , unde )31( i . Între aceste
coordonate există relaţii de legătură de forma : jijijiji AAzzyyxx 222 )()()( unde )31( ji .
Ele exprimă invariabilitatea distanţei dintre perechile de câte două puncte. Deoarece între cele nouă coordonate carteziene ale punctelor există trei relaţii de legătură, rezultă că mai rămân independente şase, deci solidul rigid liber prezintă şase g.d.l. Acestea sunt translaţiile şi rotaţiile în lungul şi în jurul axelor unui sistem cartezian de referinţă.
Condiţia necesară şi suficientă ca un solid rigid liber supus acţiunii unui sistem de forţe
oarecare )1( niFi să fie în echilibru este ca, într-un punct arbitrar din spaţiu, torsorul
sistemului de forţe să fie nul:
0
0
OM
R.
Prin scalarizare se obţine un sistem de şase ecuaţii cu şase necunoscute cu ajutorul căruia poate fi studiat echilibrul solidului rigid liber:
n
i
ixiiyiz
n
i
iziixiy
n
i
iyiizix
n
i
izz
n
i
iyy
n
i
ixx
FyFxM
FxFzM
FzFyM
FR
FR
FR
1
1
1
1
1
1
0)(
0)(
0)(
0
0
0
.
Problemele staticii solidului rigid liber pot fi de natură: - directă – în care se cunoaşte sistemul de forţe ce solicită rigidul şi se urmăreşte determinarea poziţiei sale de echilibru; - inversă – în care se cunoaşte poziţia de echilibru a rigidului şi se urmăreşte determinarea sistemului de forţe ce acţionează
asupra lui pentru a-l menţine în această poziţie; - mixtă – în care se conosc parţial caracteristici legate atât de sistemul de forţe cât şi de poziţia de echilibru şi se urmăreşte
determinarea celorlalte necunoscute privind atât sistemul de forţe cât şi poziţia de echilibru. Aceste probleme în general sunt static determinate (deci pot fi rezolvate) dacă numărul necunoscutelor scalare ce
intervin nu depăşeşte: şase – în cazul unui sistem spaţial de forţe, respectiv trei – în cazul unui sistem plan de forţe (conform celor prezentate la reducerea unui sistem de forţe coplanare).
Dacă planul forţelor este, de ex., xOy atunci sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru se reduce la
0
0
0
z
y
x
M
R
R
adică pentru studiul echilibrului rigidelor bidimensionale solicitate de forţe situate în planul acestora sunt disponibile două ecuaţii de proiecţii şi una de momente în raport cu axa perpendiculară pe planul forţelor.
y
x
xvvy
vz
x
y
z
O
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
IV.2. Echilibrul solidului rigid supus la legături ideale În realitate poziţia şi orientarea unui rigid este determinată de:
- sistemul de forţe active (date) ce acţionează asupra lui; - caracteristicile geometrice şi mecanice ale corpului; - existenţa anumitor restricţii numite legături, existente independent de sistemul de forţe dat.
Ca şi în cazul punctului material şi în cazul rigidului legătura reprezintă o restricţie de natură geometrică ce limitează libertatea de mişcare a acestuia şi care prezintă două aspecte:
- unul geometric constând în reducerea numărului g.d.l.; - unul fizic manifestat prin interacţiunea mecanică între corpurile în contact. Cu toate că în realitate zona de contact între corpuri este bidimensională în general, pentru simplificarea modelării
contactul se aproximează cu unul punctiform numit punct teoretic de contact. La el se raportează toate elementele torsorului forţelor de legătură.
În urma acestor aproximări, în mecanică există următoarele tipuri de legături ale rigidului:
• simpla rezemare într-un punct;
• articulaţia sferică (spaţială);
• articulaţia cilindrică (plană);
• încastrarea spaţială şi plană;
• legătura prin fir. Studiul echilibrului solidului rigid supus la legături are la bază aceeaşi axiomă a legăturilor, astfel că rigidul devine liber,
asupra lui acţionând două sisteme de forţe: - un sistem al forţelor active (date); - un sistem al forţelor de legătură introduse ca echivalent mecanic al legăturilor suprimate. Reducând cele două sisteme de forţe în raport cu un punct arbitrar ales, rezultă:
- un torsor al forţelor date format din vectorii 0,MR ;
- un torsor al forţelor de legătură format din vectorii LML 0, .
Astfel ecuaţiile vectoriale de echilibru sunt:
0
0
00LMM
LR.
Prin scalarizare se obţine un sistem de şase ecuaţii cu şase necunoscute cu ajutorul căruia poate fi studiat echilibrul solidului rigid supus la legături:
0
0
0
0)(
0)(
0)(
Lzz
Lyy
Lxx
zz
yy
xx
MM
MM
MM
WLR
VLR
HLR
.
Observaţie : Problemele de acest tip sunt static determinate dacă numărul necunoscutelor scalare ce intervin în rezolvare este: - ≤ 6 – pentru un rigid tridimensional solicitat de un sistem spaţial de forţe; - ≤ 3 – pentru un rigid bidimensional solicitat de un sistem de forţe situate în planul său. Dacă acest plan este, de ex., planul xOy, atunci sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru se reduce la
0
0
0
Lzz
y
x
MM
VR
HR
.
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
IV.3. Legăturile rigidului
a) Simpla rezemare într-un punct (reazemul simplu) Se consideră o sferă rigidă (S) obligată să rămană permanent
pe suprafaţa )( ideală, fixă si indeformabilă în timp. În punctul
teoretic de contact se consideră un sistem de referinţă Oxyz cu axa Oz normală la suprafaţă.
Asupra rigidului acţionează un sistem de forţe active
)1( niFi care în raport cu punctul teoretic de contact se reduc
la un torsor de componente zyxzyx MMMRRR ,,,,, . Ţinând
seama de legătura impusă, acest sistem al forţelor date imprimă
rigidului următoarele mobilităţi: pe axa Ox: 0,0 xxv ; pe axa
Oy: 0,0 yyv ; pe axa Oz: 0,0 zzv .
Rezultă că echivalentul mecanic al legăturii este o forţă de legătură NW , situată după normala la suprafaţă în punctul
O care împiedică translaţia rigidului în lungul acestei axe. D.p.d.v. mecanic această legătură introduce o singură necunoscută şi anume modulul forţei de legătură.
Reazemul simplu suprimând rigidului o singură mobilitate, rezultă că acesta prezintă cinci g.d.l. Acestea sunt cele două translaţii după axele care definesc planul tangent la suprafaţă în punctul teoretic de contact şi rotatiile după cele trei axe ale sistemului de referinţă considerat. Simbolizarea în aplicaţii şi echivalentul mecanic al legăturii sunt prezentate în figură. b) Articulaţia sferică (spaţială)
Conform acestui tip de legătură, un punct O al unui rigid (S) se află permanent fix într-o poziţie bine definită în spaţiu. Acest punct reprezintă centrul articulaţiei sferice. Ca şi în cazul anterior, se consideră că asupra rigidului acţionează un sistem de forţe date care se reduce în raport cu centrul O al articulaţiei la un torsor de componente zyxzyx MMMRRR ,,,,,
Legătura permite ca mobilităţi simple rotaţiile zyx ,, după
axele sistemului de referinţă considerat, deci rigidul prezintă trei g.d.l. Necunoscutele introduse sunt trei, reprezentate de componentele WVH ,,
ale forţei de legătură.
c) Articulaţia cilindrică (plană) Conform acestui tip de legătură un punct O al rigidului se consideră
permanent fix în planul de acţiune al forţelor date. Sistemul de forţe active fiind deci un sistem de forţe coplanare, situate de exemplu în planul xOy, reducerea lui în raport cu centrul articulaţiei conduce la un torsor format din trei componente zyx MRR ,, .
Legătura permite rigidului o singură mobilitate simplă z , celelalte fiind
anulate. Rigidul prezintă deci un singur g.d.l. Necunoscutele introduse sunt două, reprezentate de componentele VH , ale forţei
de legătură.
d) Încastrarea Conform acestui tip de legătură, un mare număr de puncte ale unui rigid
sunt imobilizate într-o poziţie bine definită în spaţiu. Legătura suprimă rigidului toate mobilităţile simple, deci rigidul nu prezintă nici
un g.d.l. În cazul general al încastrării spaţiale, necunoscutele introduse sunt şase şi anume toate elementele torsorului forţelor de legătură. Dacă rigidul este o placă solicitată de un sistem de forţe situate în planul său (de ex. xOy), încastrarea este plană şi necunoscutele introduse sunt trei: componentele H şi V ale reacţiunii precum
şi un moment de legătură. Simbolizarea în aplicaţii şi echivalentul mecanic al legăturii sunt prezentate în figură.
M M
x
x
Rx
x
yy
Ry
y
z
O
RMz
z
z
iF
F1
W- echivalent
mecanic:x
O y
- simbolizare
Fn
z
Nxv vy
W N
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
IV.4. Echilibrul cu frecare al solidului rigid Experimental se constată că oricărei mişcări sau tendinţe de mişcare relativă între două corpuri în contact se opune o
forţă de rezistenţă numită forţă de frecare. Se consideră un solid rigid (S), simplu rezemat în O şi supus
acţiunii unui sistem de forţe exterioare )1( pjF j . Datorită
deformaţiei şi rugozităţii corpurilor în zona de contact, în realitate contactul se realizează într-o infinitate de puncte ale unei mici suprafeţe create în jurul punctului teoretic de contact O. Aplicând axioma legăturilor, fiecare legătură geometrică punctiformă se suprimă şi se înlocuieşte cu o forţă de legătură )1( nini , de
modul şi direcţie necunoscute.
Reducând sistemul forţelor exterioare jF şi a forţelor de legătură in în raport cu punctul teoretic de contact O, rezultă:
- un torsor al forţelor exterioare 0,MR ;
- un torsor al forţelor de legătură LML 0, .
Prin descompunerea acestora după normala la suprafaţă şi după o direcţie din planul tangent la suprafaţă în O se obţin componentele:
- pentru sistemul forţelor active tntn MMRR ,,, ;
- pentru sistemul forţelor de legătură rp MMTN ,,, .
Ecuaţiile vectoriale pentru echilibrul rigidului sunt:
0
0
00LMM
RL.
Scalar se pot scrie relaţiile:
rt
pn
t
n
MM
MM
TR
NR
.
Interpretarea acestora este următoarea: - componenta nR a sistemului de forţe active tinde să deplaseze solidul rigid în direcţia normalei la suprafaţa de contact,
deplasare împiedicată de componenta N a sistemului forţelor de legătură numită reacţiunea normală. Aceasta are direcţia
normală la suprafaţă şi sensul contrar mişcării simple suprimate;
- componenta tR a sistemului de forţe active are tendinţa de a deplasa corpul în planul tangent la suprafaţă, deplasare
care se numeşte alunecare şi care este împiedicată de componenta T a sistemului forţelor de legătură numită forţa de frecare de alunecare;
- componenta nM a sistemului forţelor active reprezintă un cuplu ce are tendinţa de a roti rigidul în jurul normalei la
suprafaţă în punctul de contact, rotaţie care se numeşte pivotare şi care este împiedicată de componenta pM a sistemului
forţelor de legătură numită moment al frecării de pivotare;
- componenta tM a sistemului forţelor active reprezintă un cuplu ce are tendinţa de a roti rigidul în jurul unei axe cuprinse
în planul tangent la suprafaţă, rotaţie care poartă numele de rostogolire şi care este împiedicată de componenta rM a sistemului
forţelor de legătură numită moment al frecării de rostogolire.
O O
O
S
L
M
N
O
Mn
Rt
nR
Mt
T M
Mp
r
R
MO
L
ML
O
RMO
L
SS
in
F1
jFFp
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
IV.4.1. Frecarea de rostogolire (cazul roţii trase) Frecarea de rostogolire
reprezintă un fenomen fizic real ce se manifestă printr-un moment rezistent numit moment al frecării de rostogolire. Roata se poate rostogoli în două situaţii: - sub acţiunea unei forţe orizontale F ce acţionează asupra axului roţii – cazul roţii trase;
- sub acţiunea unui moment M având ca suport axul roţii – cazul roţii motoare.
Se consideră un disc de rază r ce se rostogoleşte pe un plan orizontal aspru caracterizat de un coeficient al frecării de
alunecare . Asupra lui acţionează un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa motoare F .
Datorită deformaţiei şi rugozităţii suprafeţei, în realitate contactul are loc pe o mică suprafaţă situată în jurul punctului teoretic de contact A. În baza axiomei legăturilor, fiecare legătură geometrică punctiformă se suprimă şi se înlocuieşte cu o reacţiune normală in ni 1 şi o forţă de frecare it ni 1 , ale căror rezultante sunt:
- reacţiunea normală N acţionând la o distanţă e de punctul A. Suntem obligaţi să admitem existenţa distanţei e
deoarece în caz contrar roata s-ar rostogoli la o valoare oricât de mică a forţei F , lucru contrazis de practică;
- o forţă de frecare T al cărui suport se poate considera că trece tangent la suprafaţă prin punctul A. Introducând în A două forţe egale şi direct opuse de modul N, se observă că sistemul forţelor de legătură este mecanic
echivalent cu:
- forţele N şi T aplicate în A;
- un moment al frecării de rostogolire eNMr .
Ecuaţiile scalare de echilibru vor fi deci:
NT
rFM
GN
TF
r
0
0
0
.
Interpretarea lor este următoarea:
- forţa motoare F are tendinţa de a deplasa roata prin alunecare pe planul orizontal, deplasare anulată de forţa de
frecare de alunecare T ;
- greutatea G are tendinţa de a deplasa roata după direcţia normală la suprafaţă în A, deplasare anulată de reacţiunea
normală N ;
- cuplul de mărime rF are tendinţa de a roti roata în jurul axei normale la planul său în A, rotaţie numită rostogolire şi
care este anulată de momentul frecării de rostogolire rM .
Deoarece echilibrul nu are loc decât pentru valori limitate ale forţei F (crescând forţa motoare echilibrul se rupe la un moment dat), rezultă că momentul frecării de rostolire rM este limitat. Conform ecuaţiilor scalare de echilibru se poate scrie:
eGeNMr
Având în vedere că greutate G este bine definită, rezultă că de fapt distanţa e este limitată. Valoarea maximă a acestei distanţe se notează
se max
şi poartă numele de coeficient al frecării de rostogolire. Expresia momentului frecării de rostogolire va fi deci:
NsMr
Între coefificientul frecării de rostogolire s şi coeficientul frecării de alunecare există o relaţie de legătură ce poate fi stabilită
plecând de la cea de a treia ecuaţie din sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru, după cum urmează:
rFMr
rNrTNs
rs .
Pentru ca roata să rămână în echilibru este necesar ca rMrF .
r
O
ti
ni
A
F
G
T
Ne
r
O
A
F
G
TN
eN
-N
r
O
A
F
G
T MrN
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
Problemă rezolvată : Se consideră sistemul format dintr-un disc de greutate Q şi rază r şi o bară de lungime l, având greutatea G. Cilindrul este rezemat cu frecare pe o suprafaţă orizontală (în punctul A), iar bara este articulată în punctul O cu cilindrul şi este rezemată fără frecare în punctul B, de un perete vertical, faţă de care se află la unghiul α. Se cere să se determine coeficientul de frecare la alunecare μ, respectiv coeficientul de frecare la rostogolire s, din punctul B, astfel încât sistemul să fie în echilibru. Se neglijează frecarea din articulaţia O.
r
O
AQ
H0
Mr
G
C
B
ar
O
AQ
G
C
B
aV0
NA
TA
O H0
V0
NB
a) b) c)
Soluție: Se separă corpurile şi se înlocuiesc legăturile cu forţele de legătură. În punctul A se introduc forţa de frecare la alunecare
T şi momentul frecării de rostogolire Mr care se opun tendinţelor de alunecare şi rostogolire (fig.37b). În punctul O se introduc reacţiunile H0, respectiv V0, iar în punctul B se introduce reacţiunea normală NB (fig.37c).Se
scriu ecuaţiile de echilibru pentru fiecare corp în parte, astfel:
- pentru disc:
Ar
AA
r
A
A
NsM
NT
rHM
VQN
HT
0
0
0
0
0
0
pentru bară:
0cossin2
0
0
0
0
aa lNl
G
GV
NH
B
B
Din ecuaţia de momente scrisă pentru bară rezultă: atgGNB 2
1. Din primele două ecuaţii scrise pentru bară, rezultă:
atgGNHGV B 2
1, 00 . Înlocuind expresia lui V0 în a doua ecuaţie scrisă pentru disc, rezultă: GQNA
Înlocuind expresia lui H0 în ecuaţia de momente scrisă pentru disc şi înlocuind în ultima relaţie termenii, rezultă:
02
1 rtgGGQs a sau
r
GQ
tgGs
a
2
1
În mod asemănător, înlocuind termenii în a patra ecuaţie scrisă pentru disc, rezultă:
GQtgG a2
1 sau
GQ
tgG
a
2
1
Relaţiile deduse pentru s şi μ respectă relaţia de legătură între coeficientul frecării de rostogolire şi coeficientul frecării de alunecare:
rs
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7
IV.4.2. Frecarea de pivotare Frecarea de pivotare reprezintă un fenomen fizic real manifestat printr-un
moment rezistent numit moment al frecării de pivotare. Se consideră un arbore vertical, de secţiune transversală inelară, care se
reazemă într-un lagăr. Suprafaţa inelară de contact poartă numele de suprafaţă de pivotare. Asupra arborelui acţionează un sistem de forţe exterioare care, în raport cu
punctele axei de simetrie se reduce la un torsor minimal nn MR , . În baza axiomei
legăturilor, fiecare contact (legătură) punctiform al suprafeţei de pivotare se suprimă şi
se înlocuieşte cu o reacţiune normală in ni 1 şi o forţă de frecare de alunecare
it ni 1 . Acest sistem al forţelor de legătură se reduce în raport cu punctele axei
de simetrie la un torsor format din:
- reacţiunea normală N care anulează efectul componentei nR a torsorului forţelor
active;
- momentul frecării de pivotare pM care anulează efectul componentei nM a
torsorului forţelor active. Cu notaţiile din figură, reacţiunea normală pe elementul de arie dA va fi:
dApdN
unde: - p reprezintă presiunea creată de forţele exterioare pe unitatea de suprafaţă
22 rR
N
A
Rp n
;
- dA reprezintă elementul de arie
dddA .
Forţa de frecare elementară, tangentă la cercul de rază şi dirijată în sens contrar tendinţei de rotaţie imprimate de
momentul forţelor active nM va avea valoarea (considerând un coeficient de frecare de alunecare constant în toate punctele
de contact): dApdNdT .
Momentul de frecare elementar datorat forţei de frecare elementară va fi: dTdM p .
Momentul frecării de pivotare pentru întreaga suprafaţă de contact se obţine prin integrare:
23
332
0
22 rRpddpddpdApdMM
A A
R
r
pp .
Înlocuind p rezultă:
NrR
rRM p
22
33
3
2 ,
unde se introduce notaţia :
22
33
3
2
rR
rRk
.
Acest coeficient k poartă numele de coeficient al frecării de pivotare şi se observă că depinde atât de forma pivotului (prin cele două raze) cât şi de natura suprafeţelor în contact (prin coeficientul frecării de alunecare .
Expresia momentului frecării de pivotare va fi deci: NkM p .
Pentru ca arborele să rămână în echilibru este necesar ca pn MM .
p
R
Mn
N
Mp
Mp
r
R
dd
dT
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8
Problemă rezolvată: Se cere să se deducă expresia momentului frecării de pivotare în cazul unui disc de frână, asupra căruia acţionează de două plăcuţe de frână. Plăcuţele de frână acţionează cu o forţă P asupra discului, datorită presiunii uniforme p cu care se acţionează asupra plăcuţelor.
Soluție:
Se deduce expresia forţei de apăsare, astfel:
22
0
22
0 22ieie
R
RRR
pdRR
pddrrpApP
e
i
Se deduce expresia momentului frecării de pivotare, astfel:
0
332
3
222
e
i
R
Rie RR
pddrrpdArpM
33
22
2
3
2ie
ie
RRRR
PM
22
33
3
4
ie
ie
RR
RRPM
Se observă că momentul frecării de pivotare nu depinde de unghiul β, ci doar de dimensiunile plăcuţei (prin razele Re, respectiv Ri) şi de valoarea forţei P cu care plăcuţele acţionează asupra discului.
IV.4.3. Frecarea în articulaţii Frecarea în articulaţii reprezintă un fenomen fizic complex, caracterizat în acelaşi
timp prin rostogolire şi alunecare (cazul lagărului cu joc) sau numai prin alunecare (cazul lagărului fără joc). Se va prezenta în continuare cazul lagărului cu joc.
Se consideră un fus (1) de rază r introdus într-un lagăr radial (2). Teoretic, contactul are loc în toate punctele aparţinând generatoarei ce trece prin A. Pentru simplificare s-a considerat cazul unei articulaţii cilindrice plane. Asupra fusului acţionează un sistem de forţe exterioare situat întegral în planul discului, având ca echivalent mecanic un torsor format din:
- rezultanta R situată în planul discului sub unghiul a faţă de normala principală ;
- momentul rezultant OM orientat după axa perpendiculară în O pe planul discului. Acţiunii
momentului OM se opune momentul de frecare din lagăr fM . Suprimând legătura din A, elementele mecanic echivalente sunt
N , T şi rM . Ecuaţiile scalare de echilibru în raport cu sistemul de referinţă ( , ) considerat, sunt:
NsM
NT
rRMM
RT
RN
r
Or
a
a
a
0sin
0sin
0cos
.
Conform acestora rezultă: a tg
şi
NsrRMO asin ,
sau
aa cossin
r
srRMO .
O
A
M0
2
1
r
R
a
Mr
N
T
RiRe
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9
Având în vedere că 21
sin
a
şi
21
1cos
a
, se obţine: rRr
s
MO
21
,
unde se introduce notaţia : 21
r
s
Coeficientul .poartă numele coeficient complex al frecării din articulaţie şi se observă că ţine seama atât de
dimensiunea fusului (prin raza r) cât şi de cele două tipuri de frecări (prin coeficienţii şi s).
Conform principiului acţiunii şi reacţiunii momentul de frecare din articulaţie fM este egal şi direct opus lui OM .
Expresia lui va fi deci:
RrM f
Analog, în cazul echilibrului, rezultanta forţelor exterioare R este anulată de forţa de legătură L a cărei expresie este:
- 22 VHL în cazul articulaţiei cilindrice;
- 222 WVHL în cazul articulaţiei sferice.
Astfel, momentul de frecare din articulaţie poate fi pus sub forma:
- 22 VHrM f - pentru articulaţia cilindrică,
- 222 WVHrM f - pentru articulaţia sferică.
Pentru ca fusul să rămână în echilibru este necesar ca fO MM .
Observaţie : Se precizează faptul că fenomenele de frecare ce se produc într-un lagăr sunt mult mai complexe. Cele prezentate mai sus se referă doar la frecarea uscată. Cazul în care între fus şi lagăr se introduce un lubrifiant poate fi tratat numai cu ecuaţiile de mişcare ale fluidelor vâscoase.
Problemă rezolvată: Se consideră un corp cu masa de 50 kg, suspendat de un capăt al unui cablu trecut peste o roată de diametru D = 120 mm. Roata este sprijină pe două lagăre prin intermediul unui ax cu diametrul d = 15 mm. Coeficientul de frecare
statică între arbore şi lagăr este 4,0s (fig.41a). Să se determine valorile minime ale tensiunii din capătul liber al cablului
pentru cazul în care se doreşte ridicarea corpului, respectiv coborârea acestuia. Se consideră că nu există alunecare între cablu şi roată.
50 kg T 50 kg T
P1P2
rf
fs
R50 kg T
P1P2
rf
fs
R
62,77 57,23 62,7757,23
a) b) c)
Rezolvare: Forţa de greutate a corpului se notează cu G şi are valoarea: NsmkgG 490/8,950 2 .
Când corpul se află în echilibru, valoarea forţei aplicate în capătul liber al cablului va fi egală cu cea a forţei de greutate,
adică NT 490 , punctul de contact dintre arbore şi lagăr fiind P1. Creşterea forţei aplicate în capătul liber al cablului, va face
ca roata să se rotească (în sensul acelor de ceasornic), astfel că punctul de contact se deplasează în jurul arborelui, deven ind P2 (fig.41b).
Valoarea unghiului de frecare se determină astfel: 8,214,0tantan 11ss f
Distanţa 𝑟𝑓 măsurată pe orizontală va avea valoarea:
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10
mmdd
r sf 77,237,05,78,21sin2
sin2
f
Scriind ecuaţia de momente în raport cu punctul 𝑃2 se obţine:
077,26077,260 mmTmmG
de unde rezultă că: Nmm
mmGT 43,537
23,57
77,62490
77,260
77,260
Când corpul coboară, discul se deplasează în sens invers acelor de ceasornic, punctul de contact se deplasează spre stânga.
În acest caz, ecuaţia de mom. în raport cu puntul P2 este:
077,26077,260 mmTmmG
de unde rezultă că:
Nmm
mmGT 75,446
77,62
23,57490
77,260
77,260
Diferenţa dintre valoarea forţei necesare ridicării corpului şi cea necesară coborârii este de 90,68 N.
IV.4.4. Frecarea firelor
Un caz des întâlnit în practică îl reprezintă situaţia în care un fir este trecut peste un tambur (disc fix), fiind în contact cu
acesta sub un unghi β. Asupra firului acţionează la capetele acestuia forţele 1T , respectiv 2T , de valori diferite. Diferenţa dintre
cele două forţe se datorează frecării dintre fir şi disc, coeficientul de frecare la alunecare fiind μ.
Când tendinţa de mişcare este în sensul acelor de ceasornic (fig.32a), 12 TT , respectiv dacă tendinţa de mişcare
este în sens invers acelor de ceasornic 21 TT .
Studiul forţelor se realizează în ipoteza că firul este perfect flexibil, inextensibil, iar greutatea acestuia este neglijabilă.
T2T1
d2
d2
dN
dS
x
y
dF = dN
T
T + dT
d2
d2
a) b)
În figura a este ilustrat un fir trecut peste un tambur şi se notează cu β unghiul sub care se află în contact cureaua şi roata. Forţa de frecare dintre curea şi roată are o variază atât ca valoare, cât şi ca direcţie. Din acest motiv, în studiul forţelor se consideră un element de curea, de lungime 𝑑𝑠 (figura b).
Valoarea forţei de frecare este: dNdF
Această forţă se opune mişcării de alunecare a curelei şi creşte valoarea tensiunii din curea dT .
Aplicând ecuaţiile de echilibru corespunzătoare celor două direcţii Ox, respectiv Oy (fig.32b), rezultă:
02
sin2
sin:
02
cos2
cos:
dT
ddTTdNOy
ddTTdN
dTOx
Ţinând cont de faptul că pentru valori infinitezimale ale unghiului d sunt valabile relaţiile: 12
cos,22
sin
ddd
, iar produsul a doi termeni cu valori infinitezimale dT şi 2
d poate fi neglijat, rezultă că ecuaţiile de mai sus pot fi scrise astfel:
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11
dTTdN
dTdN
Eliminând dN din cele două relaţii, rezultă: dT
dT
Integrând această ecuaţie între limitele )0(2 T și )(1 T , se obţine:
0
1
2
dT
dTT
T
adică: 2
1lnT
T de unde rezultă: eTT 21
unde: 21, TT reprezintă tensiunile din ramurile curelei, μ reprezintă coeficientul de frecare dintre curea şi roata de curea, β
reprezintă unghiul de contact dintre curea şi roata de curea (în radiani).
Trebuie remarcat faptul că 1T nu depinde de diametrul tamburului, ci de unghiul β de contact dintre fir şi tambur.
Dacă se consideră ambele sensuri de mişcare, rezultă: eTT 12 relaţii care reprezintă relaţiile lui Euler pentru
frecarea firelor.
Firul va rămâne în echilibru dacă se îndeplinesc condiţiile: eT
Te
1
2
Problemă rezolvată: În figură, un corp cu masa de 50 kg este suspendat prin intermediul unei curele late, trecute peste un tambur fix. Se cere să se determine valorile limită (minimă şi maximă) ale forţei P cu care trebuie să se acţioneze asupra celuilalt
capăt al curelei, astfel încât corpul să nu se deplaseze pe verticală. Coeficientul de frecare dintre curea şi tambur este: 25,0
.
P
50 kg
Soluție: Forţa de greutate a corpului se notează cu G şi are valoarea:
NsmkgG 490/8,950 2 .
Relaţia de legătură între forţele din ramurile curelei este eTT 21 . Baza logaritmului natural este 718,2e .
Unghiul de contact dintre curea şi tambur este de 90° ( 2/ ).
Pentru deplasarea iminentă în sus a corpului, se consideră max1 PT şi GT 2 .
Aplicând relaţia rezultă:
NeGP 2,725480,1490718,2490 2/25,0max
Pentru deplasarea iminentă în jos a corpului, se consideră GT 1 şi min2 PT .
Aplicând relaţia rezultă:
NeGP 1,331480,1/490718,2/490/ 2/25,0min
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12
IV.4.5. Rigiditatea firelor Se consideră un disc de rază R articulat cilindric în centrul său de masă O,
având raza r a fusului din articulaţie şi coeficientul complex al frecării din articulaţie .
Pe periferia discului este înfăşurat un cablu care în realitate nu este perfect flexibil. Datorită acestui fapt el opune o rezistenţă la încovoiere numită rigiditate funiculară, manifestată prin aceea că în zonele si unde cablul se înfăşoară şi se
desfăsoară de pe scripete, curbura variază continuu până la valoarea zero şi nu
brusc cum ar fi posibil în cazul unei flexibilităţi perfecte. Ca urmare, cablul se apropie de axa de rotaţie cu distanta în zona unde se aplică forţa motoare şi se departează
cu distanta în zona unde acţionează forţa rezistentă .
Ecuaţiile scalare de echilibru ale scripetelui sunt:
,
de unde rezultă forţa motoare
.
Deoarece sunt foarte mici, se poate scrie:
.
Introducând notaţiile şi , rezultă:
.
Această relaţie se utilizează în studiul echilibrului sistemelor de scripeţi. Coeficientul pune în evidenţă atât
rigiditatea funiculară cât şi frecarea din articulaţie şi se determină mai precis pe cale experimentală. Valorile lui se pot lua în funcţie de diametrul d al cablului:
- pentru funii de cânepă;
- pentru cabluri de oţel.
1BB 1AA
R1
1e 1T
2e 2T
0
0
2211
21
rNeRTeRT
TTN
21
21 T
reR
reRT
ree ,, 21
221
21
211
21
21 T
R
r
R
eeT
reR
reeT
R
ee 21 R
rk
21
21 TkT
1k
206,002,0 d
209,006,0 d
2r
R
e1e2
T1T2
A1
A
B1
B
N
O
M f
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13
IV.6. Echilibrul solidului rigid În cazul solidului rigid, deoarece forţele care acţionează asupra lui nu sunt, în general, concurente, condiţia pentru echilibrul acestuia este torsorul sistemului de forţe ceacţionează asupra lui să fie nul. Etapele care se pargurg pentru rezolvarea problemelor de echilibru al solidului rigid sunt următoarele:
a) se întocmeşte schema mecanică în care se marchează forţele exterioare (dacă s.r. este liber) şi de legătură (dacă s.r. este supus la legături);
b) se alege convenabil sistemul de referinţă; c) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru; d) se identifică necunoscutele problemei; e) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate.
Exemplul nr. 1 : Într-un vas semisferic luciu, de rază R, este aşezată o bară omogenă AB de lungime 2l şi greutate G. Să se determine unghiul şi reacţiunile din A şi D în poziţia de echilibru.
Asupra barei acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale în punctele A şi D.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:
0coscos2
0cossin
0sincos
lGRN
NGN
GN
D
DA
A
.
Din ecuaţiile (1) şi (3) se obţin
tgGNA ; R
lGN D
2
care, introduse în ecuaţia (2), conduc la
02
coscos
sin 2
R
lGGG
.
Deoarece 2
0 , se obţine ecuaţia de gradul doi
02
1cos
4cos 2
R
l
cu soluţiile
2
1
88cos
2
2,1
R
l
R
l
Convine numai soluţia cu (+)
2
1
88arccos
2
R
l
R
l .
Condiţia 2
0 conduce la
RlR 2 .
G
2R
A
BO
G
2
R
A
BO
2 R cos
cos
C
NA
ND
D
G
2
R
A
BO
2 R cos
cos
C
NA
ND
D
DG
2R
A
BO
G
2
R
A
BO
2 R cos
cos
C
NA
ND
D
G
2
R
A
BO
2 R cos
cos
C
NA
ND
D
D
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14
Exemplul nr. 2 : Ce forţă orizontală F trebuie aplicată tangent cilindrului din figură pentru a putea fi rostogolit peste pragul de înălţime h? Care este valoarea minimă a coeficientului de frecare necesar pentru ca rostogolirea să fie posibilă? Cilindrul are greutatea G şi raza R.
Asupra cilindrului acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa orizontală F ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din forţa de
frecare de alunecare T , în punctul de contact cu pragul. Obs.1 Trebuie observat faptul că reazemul cilindrului pe planul orizontal este o legătură falsă,
deoarece în momentul în care se produce rostogolirea, deci forţa de frecare cu pragul îşi produce efectul, contactul cu planul orizontal încetează.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de contact cu pragul:
NT
RFRT
NGF
TGF
aaaa
0
0cossin
0sincos
În acest sistem de patru ecuaţii necunoscutele sunt mărimea forţei orizontale F şi a coeficientului de frecare de alunecare , care fac posibilă rostogolirea peste prag. Din a treia ecuaţie rezultă
FT care introdusă în prima conduce la
a
a
sin
cos1TG .
Înlocuind în a doua ecuaţie se oţine relaţia
NT
a
a
cos1
sin ,
de unde
a
a
cos1
sin
sau
2
a tg .
Conform figurii
R
hhR
R
hRR 2222
sin
a ; R
hRacos
şi rezultă condiţia pentru a fi posibilă rostogolirea peste prag sub forma
hR
h
2 sau
2
a tg .
Forţa F care face posibilă rostogolitea este :
hR
hGGTF
2cos1
sin
a
a.
Obs.2 Coeficientul frecării de alunecare poate fi obţinut direct observând că,
pentru echilibru, rezultanta forţelor de legătură L trebuie să treacă prin B (cele trei forţe
GLF ,, să fie concurente):
2
a tgtg
N
T .
hR
B
N
G
F
T
L
a
O
A
D
h
B
N
G
F
T
a
O
A
D
h
B
G
F
O
A
D
R
hR
B
N
G
F
T
L
a
O
A
D
R-h
R
h
B
N
G
F
T
a
O
A
D
R-h
R
hR
B
N
G
F
T
L
a
O
A
D
h
B
N
G
F
T
a
O
A
D
h
B
G
F
O
A
D
R
hR
B
N
G
F
T
L
a
O
A
D
R-h
R
h
B
N
G
F
T
a
O
A
D
R-h
R
hR
B
N
G
F
T
L
a
O
A
D
hB
N
G
F
T
a
O
A
D
h
B
G
F
O
A
D
R
hR
B
N
G
F
T
L
a
O
A
D
R-h
R
h
B
N
G
F
T
a
O
A
D
R-h
R
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
Exemplul nr. 3: Ce forţă orizontală F trebuie aplicată tangent cilindrului din figură pentru a putea fi rostogolit peste pragul de înălţime h? Care este valoarea minimă a coeficientului de frecare necesar pentru ca rostogolirea să fie posibilă? Cilindrul are greutatea G şi raza
R. Asupra cilindrului acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa orizontală F ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din forţa de
frecare de alunecare T , în punctual de contact cu pragul. Obs.1 Trebuie observat faptul că reazemul cilindrului pe planul orizontal este o legătură falsă,
deoarece în momentul în care se produce rostogolirea, deci forţa de frecare cu pragul îşi produce efectul, contactul cu planul orizontal încetează.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de contact cu pragul:
NT
RFRT
TNG
TNF
aaaa
0
0sincos
0cossin
În acest sistem de patru ecuaţii necunoscutele sunt mărimea forţei orizontale F şi a coeficientului de frecare de alunecare , care fac posibilă rostogolirea peste prag. Din a treia ecuaţie rezultă
FT care introdusă în prima şi în ultima conduce la
NNF aa cossin ,
de unde aa cossin
adică
2cos1
sin a
a
a tg
.
Conform figurii
R
hhR
R
hRR 2222
sin
a ; R
hRacos
şi rezultă condiţia pentru a fi posibilă rostogolirea peste prag sub forma
2
a tg sau
hR
h
2 .
Din a doua ecuaţie rezultă mărimea forţei F:
aa
cossin GTF
Obs.2 Coeficientul frecării de alunecare poate fi obţinut direct observând că, pentru
echilibru, rezultanta forţelor de legătură L trebuie să treacă prin A (cele trei forţe
GLF ,, să fie concurente):
2
a tgtg
N
T .
hR
hR
hR
A
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
Exemplul nr. 4: Bara cotită OAB, articulată plan în O şi simplu rezemată în C, este încărcată ca în figură. Să se determine reacţiunile în O şi C. Asupra barei acţioneză:
1) un sistem de forţe şi momente exterioare format din forţele P
şi P2 şi din momentul aPM D ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală
N şi din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia O.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:
0322
02
0
aPaNaPaPM
NPPV
PH
D
.
Rezultă
PH ; PV 3
2; PN
3
7.
Obs. Semnul (-) al componentei orizontale a reacţiunii din O arată faptul că, în realitate, orientarea acesteia este opusă celei considerate iniţial. Reacţiunea din O este:
22 VHR lO ; PR lO 3
13.
Exemplul nr. 5 : Un corp omogen de greutate P, format dintr-o semisferă de rază R şi un con de înălţime h, având baza comună cu semisfera, se reazemă fără frecare pe un perete vertical şi este legat printr-un fir de lungime l de un punct D al planului. Punctul A de fixare a firului pe corp se găseşte pe cercul de bază comun al semisferei şi conului. Să se determine:
a) poziţia centrului de greutate al corpului; b) relaţia dintre unghiul a format de axa de simetrie a corpului cu orizontala şi unghiul
format de fir cu planul vertical;
c) ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului corespunzător poziţiei de
echilibru; d) reacţiunea peretelui şi tensiunea din fir.
a) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu Oxyz şi se utilizează relaţia corespunzătoare unui mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,
2
1
2
1
ii
iii
C
V
Vz
z ,
în care:
hz C 4
11
; hRV 21
3
1 ; Rz C
8
32
; 32
3
2RV .
a
a
N
P
S
C
D
P
A
R
h
C
R
h
z1
z2
z
C
a
a
N
P
S
C
1C
2C
a
a
N
P
S
C
D
P
A
R
h
C
R
h
z1
z2
z
C
a
a
N
P
S
C
1C
2C
MD
P 2PP
a a a a
a
O
B
D E C
AMD
P 2PP
a a a a
a
B
D E C
A
H
N
V
MD
P 2PP
a a a a
a
B
D E C
A
H
N
V
P 2PP
a a a a
a
O
B
D E C
AMD
P 2PP
a a a a
a
B
D E C
A
H
N
V
MD
P 2PP
a a a a
a
B
D E C
A
H
N
V
M =p aD
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
17
Rezultă : 32
32
3
2
3
1
3
2
8
3
3
1
4
1
RhR
RRhRh
z C
Rh
Rhz C
2
3
4
122
.
b) Se consideră o secţiune după planul definit de fir şi de axa corpului. Conform figurii, se poate scrie relaţia:
a sinsin RlR .
Rezultă relaţia căutată
a sin1sin R
l.
c), d) Asupra corpului acţioneză:
1) forţa exterioară (de greutate) P ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din tensiunea
din fir S .
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:
0sincos
0cos
0sin
aa
RSzP
SP
SN
C
.
Rezultă din primele două ecuaţii:
cos
PS ; tgPN .
Din a treia ecuaţie se obţine
0cossincossincos
cos aaa
a RP
zP C
în care de înlocuiesc
a sin1sin R
l şi
2
sin11cos
a
R
l
şi rezultă ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului corespunzător poziţiei de echilibru
sin2sin
sin
lRl
lR
R
ztg
C.
Exemplul nr. 6 : Se dă o placă compusă omogenă, de greutate G, situată într-un plan vertical, ale cărei dimensiuni sunt prezentate în figură. Placa este articulată plan în colţul A şi suspendată în colţul O de un arc cu constanta elastică k. Placa se află în echilibru cu faţa OA orizontală, când lungimea arcului în stare deformată este l. Să se determine:
a) coordonatele centrului de greutate al plăcii; b) reacţiunile din legături;
c) lungimea 0l a arcului nedeformat;
d) valorile reacţiunilor din legături şi lungimea iniţială 0l a arcului, dacă: NG 1000 , mNk /5000 , ml 20,0 .
a) Pentru calculul coordonatelor centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă Oxy şi se utilizează relaţiile corespunzătoare unui mediu discontinuu, bidimensional şi omogen:
a
a
N
P
S
C
D
P
A
R
h
C
R
h
z1
z2
zC
a
a
N
P
S
C
1C
2C
a
a
N
P
S
C
D
P
A
R
h
C
R
h
z1
z2
zC
a
a
N
P
S
C
1C
2C
A A
aa
R
O
A
k4r
2r
rAO
4r
2r
r
A
O4r
2r
rA
O
0
V
H
S
G
C
x
4r
2r
rA
O
V
H
S
G
C
x
1C
2C3C
C
2r
r
2r
4r
y
2r
r
2r
4r
x
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
18
3
1
3
1
ii
iii
C
A
Ax
x ;
3
1
3
1
ii
iii
C
A
Ay
y ,
unde iii Ayx ,, reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice
simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi tabelul centralizator cu mărimile de calcul:
ix iy iA
3
242
rr
3
24 r 4
22
r
rr 43
12 r2
3
1 2
24 rr
r2
3
4 r 2
2r
Rezultă:
24
224
3
42
3
82
222
222
321
332211
rrr
rrrrrr
rr
AAA
AxAxAxxC
;
24
23
44
3
2
3
8
222
222
321
332211
rrr
rrrrr
r
AAA
AyAyAyy C
;
rxC
83
162
;
ry C
83
28
.
b) Asupra corpului acţioneză:
1) un sistem al forţelor exterioare G (de greutate) şi S (elastică);
2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:
06
0
0
rVxG
GSV
H
C
.
Rezultă:
0H ;
GGr
xV
C
89
8
3
1
6 ;
GS
89
8
3
2
.
c) Alungirea arcului este
89
8
3
2
k
G
k
Sl ,
iar lungimea arcului nedeformat era:
89
8
3
20
k
gllll .
d) Se obţin valorile: NGV 413413,0 ; NGS 587587,0 ; ml 117,05000
587 ; ml 083,0117,020,00 .
k4r
2r
rAO
4r
2r
r
A
O4r
2r
rA
O
0
V
H
S
G
C
x
4r
2r
rA
O
V
H
S
G
C
x
1C
2C3C
C
2r
r
2r
4r
y
2r
r
2r
4r
x
k4r
2r
rAO
4r2r
r
A
O4r
2r
rA
O
0
V
H
S
G
C
x
4r2r
rA
O
V
H
S
G
C
x
1C
2C3C
C
2r
r
2r
4r
y
2r
r
2r
4r
x
k4r
2r
rAO
4r
2r
r
A
O4r
2r
rA
O
0
V
H
S
G
C
x
4r
2r
rA
O
V
H
S
G
C
x
1C
2C3C
C
2r
r
2r
4r
y
2r
r
2r
4r
x
k4r
2r
rAO
4r
2r
r
A
O4r
2r
rA
O
0
V
H
S
G
C
x
4r
2r
rA
O
V
H
S
G
C
x
1C
2C3C
C
2r
r
2r
4r
y
2r
r
2r
4r
x
k4r
2r
rAO
4r
2r
r
A
O4r
2r
rA
O
0
V
H
S
G
C
x
4r
2r
rA
O
V
H
S
G
C
x
1C
2C3C
C
2r
r
2r
4r
y
2r
r
2r
4r
x
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
19
Exemplul nr. 7: O bară omogenă AB de lungime 2a şi greutate G se sprijină pe un plan orizontal şi pe un semicilindru de rază R, coeficientul frecării de alunecare fiind în ambele puncte de contact.
Să se determine valoarea maximă a unghiului a pentru care bara mai este
în echilibru. Asupra barei acţioneză:
1) forţa exterioară de greutate G ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale AN , CN şi
din forţele de frecare de alunecare AT , CT în punctele de contact A şi C.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente, la care se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare de alunecare:
CC
AA
C
ACC
ACC
NT
NT
ctgRNaG
NGTN
TTN
aa
aa
aa
0cos
0sincos
0cossin
.
Rezultă din a treia ecuaţie
asinR
aGNC .
Adunând primele două ecuaţii se obţine: GNC a sin1 2 , de unde : 21
sin
a
a
R
Exemplul nr. 8: O masă simetrică şi omogenă, de greutate G, este formată dintr-un disc de rază R aşezat pe un suport cu trei picioare ale căror capete formează un triunghi echilateral de latură a. Pe marginea mesei, în punctul D, se află greutatea Q. Să se determine:
a) presiunea picioarelor mesei pe podea; b) valoarea greutăţii Q la care aceasta va răsturna masa.
Asupra mesei acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea mesei G şi din greutatea Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale AN ,
BN şi CN din punctele de contact cu podeaua.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Datorită particularităţii sistemului spaţial de forţe ce acţionează asupra rigidului, ecuaţiile scalare de echilibru sunt: ➢ o ecuaţie de proiecţii pe axa Oz; ➢ două ecuaţii de momente în jurul axelor Ox şi Oy.
02
3
3
1
2
3
2
3
3
1
022
0
aGaNaRQ
aN
aN
QGNNN
B
CA
CBA
.
Rezultă: a)
AB
C
D
Q
G
A
B
C
D
Q
a/2 a/2
NC
NB
NA
a
G
A
B
C
D
Q
a/2 a/2
NC
NB
NA
R
RR
B
a
R
)
A
C2a
)
A
C
a
R
G
TA
NA
TC
NC
a
A
C
a
R
G
TA
NA
TC
NC
a
B
a
R
)
A
C2a
)
A
C
a
R
G
TA
NA
TC
NC
a
A
Ca
R
G
TA
NA
TC
NC
a
AB
C
D
Q
a
G
A
B
C
D
Q
a/2 a/2
NC
NB
NA
R
R
R
a3/2
a/2 a/2
A C
B
D
a3/
2
G
A
B
C
D
Q
a/2 a/2
NC
NB
NA
R
a3/
2
1/3
a3/2
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20
a
RQQGNN CA
23;
a
RQQGN B
3.
b) Dacă 0BN masa se răstoarnă, deci evenimentul se produce dacă
aR
aGQ
3
.
Exemplul nr. 9: O grindă cu consolă, articulată cilindric în A şi simplu rezemată în B, are dimensiunile şi încărcăturile prezentate în figură. Neglijând greutatea proprie a grinzii şi frecările, să se determine:
a) reacţiunile din legături; b) valoarea încărcăturii uniform repartizate p pentru care poziţia reazemului
din B trebuie inversată. a) Asupra grinzii acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare format din F , F3 şi sarcina uniform
repartizată p pe care, pentru simplificare, o înlocuim cu sarcina
concentrată P presupusă aplicată la mijlocul distanţei a. Evident că
apP ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din NVH ,, .
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente, după cum urmează:
032
5sin3
0sin3
0cos3
aNaPaFaF
NPFFV
FH
a
aa
.
În acest sistem de trei ecuaţii necunoscutele sunt componentele reacţiunilor din legături NVH ,, . Rezultă, în ordine
acos3 FH ; apFN
6
5sin
3
1a ; apFV
6
1sin4
3
2a
b) În momentul de cumpănă în care apare nevoia de inversare a reazemului din B, reacţiunea normală N se anulează şi schema
mecanică se modifică corespunzător. Ecuaţia de monente din sistemul de mai sus devine:
02
5sin3 aPaFaF a ,
de unde rezultă: Faa
Pp
5
)1sin3(2 a.
Obs.
✓ Sensul componentelor VH , ale reacţiunii din articulaţie,
adoptat în schema mecanică este indiferent, acesta rezultând din ecuaţiile scalare de echilibru;
✓ Sensul reacţiunii normale N este bine definit, el fiind contrar mişcării simple suprimate.
Exemplul nr. 10: O placă omogenă de greutate G având forma şi dimensiunile prezentate în figură, este articulată cilindric în A şi suspendată în B prin intermediul unui resort de constantă elastică k având înălţimea h în stare deformată. Pentru poziţia de echilibru din figură, să se determine:
a) reacţiunile din legături; b) lungimea arcului nedeformat l.
AB
a a a a
A
a a a a
B
A
a a a a
B
2a
a
h3a
O A
k
a
A
O
1C
2C 3C
C
2a
a
2a
3a
x
2a3a
y
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
2a
a
2a
3a
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21
Asupra plăcii acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutatea G şi
forţa elastică eF ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele
VH , ale articulaţiei din O.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una
de momente, după cum urmează:
05
0
0
aFxG
FVG
H
eC
e .
În acest sistem de trei ecuaţii necunoscutele sunt componentele VH , ale reacţiunii din articulaţie şi lungimea arcului
nedeformat l. Aceasta din urmă poate fi evidenţiată cunoscând că forţa elastică este proporţională cu deformaţia, factorul de proporţionalitate find constanta elastică. Prin urmare, notând mărimea deformaţiei arcului cu
lhy ,
forţa elastică va fi lhkykFe .
După înlocuiri, rezultă în ordine:
0H ; ka
xGhl
C
5;
a
xGV
C
51 .
Pentru calculul abscisei Cx a centrului de greutate se apelează la cunoştinţele privind determinarea coordonatelor
centrului de greutate. Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, bidimensional şi omogen, se utilizează formula
În continuare, se va întocmi tabelul centralizator cu mărimile de calcul care intervin:
ix iA
3
243
aa
4
22
a
a2 2
23 aa
a3 2
2a
42
23
4
)2(
23
2
232
4
2
3
243
22
22
321
332211
aaaa
aa
aaa
aaa
AAA
AxAxAxxC
6
952
3
axC .
n
ii
n
iii
C
A
Ax
x
1
1
.
2a
a
h3a
O A
k
a
A
O
1C
2C 3C
C
2a
a
2a
3a
x
2a3a
y
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
2a
a
2a
3a
2a
a
h3a
O A
k
a
A
O
1C
2C 3C
C
2a
a
2a
3a
x
2a3a
y
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
2a
a
2a
3a
2a
a
h3a
O A
k
a
A
O
1C
2C 3C
C
2a
a
2a
3a
x
2a3a
y
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
2a
a
2a
3a
2a
a
h3a
O A
k
a
A
O
1C
2C 3C
C
2a
a
2a
3a
x
2a3a
y
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
2a
a
2a
3a
2a
a
h3a
O A
k
a
A
O
1C
2C 3C
C
2a
a
2a
3a
x
2a3a
y
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
3a
A
V
H
G
C
x
2a
aO
h
k
Fe
2a
a
2a
3a
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22
Exemplul nr. 11: O scară simetrică şi omogenă de lungime l şi greutate G se reazemă în A pe
un perete vertical cu coeficient de frecare 1 şi în B pe o podea orizontală cu coeficient de frecare
2 . Pe scară urcă un om de greutate Q.
Să se determine unghiul a pentru echilibru în funcţie de deplasarea d a omului pe scară.
Asupra scării acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea scării G şi din greutatea omului Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale în punctele de reazem
BA NN , şi din forţele de frecare de alunecare BA TT , .
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctele de contact:
BB
AA
AB
AB
BA
NT
NT
dlQl
GlNlN
QGTN
TN
2
1
0coscos2
sincos
0
0
aaaa
În acest sistem de cinci ecuaţii necunoscuta este una singură şi anume mărimea unghiului a pentru poziţia de echilibru. Din a treia ecuaţie, împărţin cu acos , rezultă
lN
dlQl
GlN
tgA
B
2a .
În continuare, prin substituţii succesive, se obţine:
dlQ
lGl
QG
lQGtg
21
1
212
21
a .
Exemplul nr. 12: Supapa de siguranţă a unui cazan cu abur are diametrul d şi este acţionată prin intermediul pârghiei omogene de lungime l şi greutate G. Să se determine valoarea greutăţii Q necesară pentru menţinerea unei presiuni p în interiorul cazanului şi reacţiunea din articulaţia A. Asupra pârghiei acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare (date) F , G , Q unde 2
2
dpF ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele H şi V ale reacţiunii din artculaţia A.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0 LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:
02
0
0
lQl
GaF
QGFV
H
.
Rezultă
24
2 lGp
l
daQ
; 0H ;
21
4
2 lGp
l
daV
.
A
d/2
G
NB
Q
TB
TA
NA
B
C
a
O
A
d
Q
Ba
)1
)2
A
d/2
G
NB
Q
TB
TA
NA
B
C
a
O
A
d/2
G
NB
Q
TB
TA
NA
B
C
a
O
A
d
Q
Ba
)1
)2
A
d/2
G
NB
Q
TB
TA
NA
B
C
a
O
B
d
a
Q
AC
G Q
a /2
F
A C B
H
V G Q
a /2
F
A C B
H
V
B
d
a
Q
AC
GP Q
a /2
F GP Q
a /2
F
A C B A C B
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
23
Exemplul nr. 13: Pe grinda de lungime l, simplu rezemată la capetele A şi B acţionează
cuplurile 1M şi
2M .
Neglijând greutatea proprie a grinzii, să se determine reacţiunile din reazeme. Asupra grinzii acţioneză:
1) un sistem de momente exterioare (date) 1M şi
2M ;
2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale în punctele de
reazem 21 , VV .
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0 LR ; 0 L
OO MM .
Datorită particularităţii sistemului de forţe şi momente, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu două ecuaţii scalare:
0
0
122
21
MMlV
VV.
Rezultă : l
MMVV 12
21
dacă 12 MM ,
Respectiv : l
MMVV 21
12
dacă 21 MM .
Obs. Dacă 21 MM , reacţiunile în reazeme sunt nule. Este cazul grinzii
din figura alăturată. Exemplul nr. 14 : Arborele unei cutii de viteze este încărcat cu sistemul de forţe şi are dimensiunile prezentate în figură. Neglijând greutatea proprie a elementelor componente şi frecările, să se determine reacţiunile din lagărele A şi B. Asupra arborelui acţioneză:
1) un sistem de forţe exterioare
format din componentele 1rF , 1tF ,
1aF , 2rF , 2tF ale forţelor din
angrenaje;
2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele AH ,
AV , AW
, BH ,
BV ale reacţiunilor din cele două lagăre.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Arborele fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu şase ecuaţii scalare:
0cossin
0
0sincos
0sincos
0
0cossin
2211
21
221
221
1
221
cbaHbaFbaFrFaF
RFrF
cbaWbaFbaFaF
WWFFF
VF
HHFFF
Btrar
tt
Btrt
BAtrt
Aa
BAtrr
aa
aa
aa
aa
.
Rezultă, în ordine:
cba
baFbaFrFaFH trar
B
aa cossin 2211 ;
B
M1 M2
A
B
M1 M2
A
V1 V2
a a
FF
a a
FF
B
M1 M2
A
V1 V2
B
M1 M2
A
B
M1 M2
A
V1 V2
a a
FF
a a
FF
B
M1 M2
A
V1 V2
B
M1 M2
A
B
M1 M2
A
V1 V2
a a
FF
a a
FF
B
M1 M2
A
V1 V2
V
H
A
ab
c
W
R
r
HB
A
A
A
WB
Fr1Ft1
Fa1
Fr2
Ft2
B
A
ab
c
R
r
Fr1Ft1
Fa1
Fr2Ft2
B
V
H
A
ab
c
W
R
r
HB
A
A
A
WB
Fr1Ft1
Fa1
Fr2
Ft2
B
a
a a
V
H
A
ab
c
W
R
r
HB
A
A
A
WB
Fr1Ft1
Fa1
Fr2
Ft2
B
A
ab
c
R
r
Fr1Ft1
Fa1
Fr2Ft2
B
V
H
A
ab
c
W
R
r
HB
A
A
A
WB
Fr1Ft1
Fa1
Fr2
Ft2
B
a
a a
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
24
BtrrA HFFFH aa cossin 221 ; 1aA FV ;
cba
baFbaFaFW trt
B
aa sincos 221 ;
BtrtA WFFFW aa sincos 221 ;
Reacţiunile din cele două lagăre sunt
222AAAA WVHR ;
22BBB VHR .
Exemplul nr. 15: Axul cu dimensiunile din figură este lăgăruit cilindric în punctele A şi B. Să se determine forţa P necesară ridicării sarcinii Q şi reacţiunile din lagăre, pentru poziţia din figură. Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Axul fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, ecuaţiile scalare de echilibru sunt:
0
0
0
0
0
dcH
aPRQ
dcWcQbP
PWW
HH
B
B
BA
BA
.
Rezultă: a
RQP
;
0 AB HH ; dc
cQbPWB
; P
dc
cQbPWA
.
Exemplul nr. 16: Grinda încastrată având dimensiunile din figură, este încărcată cu forţa P.
Să se determine reacţiunile din legătură.
Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Rigidul fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu şase ecuaţii scalare:
0
0
02
0
0
0
zL
yL
xL
M
aPM
bPM
PW
V
H
.
Rezultă reacţiunile:
0H ; 0V ; PW ; bPM xL 2 ; aPM yL .
R
A
BWA
HA
WB
HB
P
bc
d
a
R
A
B
Q
P
bc
d
a
Q
R
A
BWA
HA
WB
HB
P
bc
d
a
Q
R
A
BWA
HA
WB
HB
P
bc
d
a
RA
B
Q
P
bc
d
a
Q
R
A
BWA
HA
WB
HB
P
bc
d
a
Q
2a
2b
P
2a
2b
P
a
a
V
H
W
Mx
My
Mz
LL
L
2a
2b
P
aV
H
W
Mx
My
Mz
LL
L
2a
2b
P
2a
2b
P
a
a
V
H
W
Mx
My
Mz
LL
L
2a
2b
P
aV
H
W
Mx
My
Mz
LL
L
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
25
Exemplul nr. 17: Grinda încastrată având dimensiunile din figură, este încărcată cu forţele P şi F. Să se determine reacţiunile din legătură. Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Rigidul fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu şase ecuaţii scalare:
0
0
0
0
0
0
aFM
aPM
cFbPM
PW
FV
H
zL
yL
xL
.
Rezultă reacţiunile:
0H ; FV ; PW ; bPcFM xL ; aPM yL ; aFM zL .
Exemplul nr. 18: Cuţitul unui strung este solicitat de forţele xF , yF ,
zF care acţionează ca în figură.
Să se determine forţele de legătură din încastrarea în portcuţit. -------------------------------------------------------- Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:
0LR ; 0 LOO MM .
Cuţitul fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu şase ecuaţii scalare:
02
022
02
0
0
0
lFcb
FM
dh
Fcb
FM
dh
FlFM
FW
FV
FH
xyzL
xzyL
yzxL
z
y
x
.
Rezultă reacţiunile:
xFH ; yFV ; zFW ;
d
hFlFM yzxL
2;
d
hFc
bFM xzyL
22; lFc
bFM xyzL
2.
a
2b
a
2b
b
P
cF
V
H
W
Mx
My
Mz
L
L
L
P
cF
a
2b
b
P
cF
V
H
W
Mx
My
Mz
L
L
L
b
a
2b
a
2b
b
P
cF
V
H
W
Mx
My
Mz
L
L
L
P
cF
a
2b
b
P
cF
V
H
W
Mx
My
Mz
L
L
L
b
h
bFy
Fz
Fx
c
d
h
b
Fy
Fz
Fx
c
d V
H
W
Mx
My
Mz
L
L
L
h
b
Fy
Fz
Fx
c
d V
H
W
Mx
My
Mz
L
L
L
h
bFy
Fz
Fx
c
d
h
b
Fy
Fz
Fx
cd V
H
W
Mx
My
Mz
L
L
L
h
b
Fy
Fz
Fx
c
d V
H
W
Mx
My
Mz
L
L
L
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
26
IV.7. Echilibrul sistemelor de solide rigide În cazul sistemelor, asupra rigidelor acţionează trei categorii de forţe:
o un sistem al forţelor exterioare; o un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri; o un sistem al forţelor de legătură interioară, între elementele sistemului, care, conform principiului acţiunii şi reacţiunii,
sunt egale şi direct opuse. Pentru rezolvarea problemelor de echilibru a sistemelor de corpuri se utilizează, de regulă, teorema echilibrului părţilor, etapele care se pargurg fiind următoarele:
a) se izolează corpurile după care procedura continuă ca la echilibrul rigidului, adică se impune condiţia de torsor nul pentru fiecare parte componentă a sistemului;
b) se întocmesc schemele mecanice în care se marchează forţele exterioare, de legătură exterioară şi de legătură interioară;
c) se alege convenabil sistemul de referinţă, independent pentru fiecare; d) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru pentru fiecare corp; e) se identifică necunoscutele problemei; f) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate.
Exemplul nr. 1 : Se consideră sistemul de corpuri din figură alcătuit din discul (1) de greutate P şi rază R, articulat plan cu bara (2) de greutate P şi lungime l, simplu rezemată pe un perete vertical luciu. Neglijând frecările din O şi B, să se determine coeficienţii frecării de alunecare şi de
rostogolire s dintre discul (1) şi planul orizontal, astfel încât echilibrul să se producă în configuraţia din schiţă. Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile P şi G ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de
corpuri, format din componentele ,T N şi rM
reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare de alunecare şi de rostogolire dintre disc şi planul orizontal,
precum şi din reacţiunea normală BN reprezentând
echivalentul mecanic al reazemului fără frecare din B; 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele
sistemului, format din componentele H şi V ale reacţiunii
din articulaţia O. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile:
- pentru disc:
NsM
NT
MRT
PVN
HT
r
r
0
0
0
- pentru bară:
0sin2
cos
0
0
aal
GlN
GV
NH
B
B
;
Rezultă succesiv necunoscutele problemei şi s:
atgGNHT B 2
1 ; GV ; GPN ; atgGR
M r 2
;
a tgGP
G
2;
atg
GP
GRs
2.
Obs. : Sensul componentelor VH , ale reacţiunii din articulaţie, adoptat în schema mecanică este indiferent, acesta rezultând
din ecuaţiile scalare de echilibru; Sensul reacţiunii normale N este bine definit, el fiind contrar mişcării simple suprimate.
G
PR
s)
a
B
A
2
1
GP R
a
B
A2
1
N
TM r
HV
C
NB
V
H
cosa
/2 sina
GP R
a
B
A2
1
N
TM r
HV
NB
V
H
cosa
/2 sina
G
PR
s)
a
B
A
2
1
GP R
a
B
A2
1
N
TM r
HV
C
NB
V
H
cosa
/2 sina
GP R
a
B
A2
1
N
TM r
HV
NB
V
H
cosa
/2 sina
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
27
Exemplul nr. 2 : Se consideră sistemul mecanic din figură la cere se cunosc dimensiunile geometrice şi greutăţile G şi Q. Există frecare de alunecare între troliu şi sabot, de coeficient . Se neglijează greutăţile
sabotului şi a barei OC de lungime l, precum şi frecarea dintre fir şi scripetele mic din D. Să se determine forţa P care menţine sistemul în echilibru, reacţiunile din punctele A, B, E, O, C şi tensiunea din fir. Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare
P şi din greutăţile G şi Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din reacţiunile normale AN şi
BN şi din
componentele CH , CV şi CM reprezentând echivalentul mecanic al încastrării plane din C;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele H , V ale reacţiunii
din articulaţia O precum şi din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca echivalent
mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de
mişcare (în cazul de faţă pe troliu). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii
scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: - pentru troliu: - pentru bară:
NT
aNbaT
TNN
NP
B
BA
0
0
0
;
0
0sin
0cos
rQRT
GTQV
QHN
a
a
;
0
0
0
CC
C
C
MlV
VV
HH
.
Rezultă succesiv necunoscutele problemei AN ,
BN , N , ,T H , V , CH , CV , CM :
R
rQT ; PN ;
R
rQP
; a
ba
R
rQN B
; G
R
rQVV C
asin ;
R
rQHH C
acos ;
G
R
rQlM C asin .
22 VHR lO ; 22CClC VHR .
Obs.2 Deoarece, conform enunţului, se neglijează fenomenele mai profunde (frecarea şi rigiditatea firului) care au loc în scripetele mic din D, tensiunea în ambele ramuri ale firului este egală cu greutatea atârnată la capătul lui.
A B
OP
a b
R
r
) G
D
Q
a2
31
CE
A
B
P
a b
r G
a
RT
NNB
NA
N
T
H
V
H
VQ
VC
MC
HC
3
21
A
B
P
a br G
a
RT
NNB
NA
N
T
H
V
H
VQ
VC
MC
HC
3
21
C
C
E E
E E
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
28
Exemplul nr. 3 : Se consideră sistemul din figură, format din bara AB de greutate neglijabilă, prevăzută cu un sabot de frână şi un troliu de greutate G articulat în O. Asupra barei acţionează în B o forţă verticală P, iar asupra troliului acţionează, prin intermediul unui fir trecut peste un scripete mic, greutatea Q. Coeficientul de frecare dintre sabot şi troliu este .
Să se determine: a) valoarea minimă a forţei P, necesară pentru păstrarea echilibrului sistemului; b) reacţiunile din O şi A;
Aplicaţie numerică: ma 1,0 , mb 4,0 , me 06,0 , kNG 8,1 ,
kNQ 15 , 25,0
Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din
greutăţile G şi Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format
din AH , AV şi H , V reprezentând componentele reacţiunilor din A şi O;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului,
format din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca
echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul
C. Se obţin astfel ecuaţiile:
- pentru sabot:
NT
baPeTaN
PNV
HT
A
A
0
0
0
min
min - pentru troliu:
02
0
0
RQRT
GNV
QTH
; .
Rezultă succesiv
QT 2
1; QN
2
1;
kNe
a
ba
QP 9,6
2min
;
kNQTH A 5,72
1 ; kNkNNPV A 1,2315
25,02
19,6min
;
kNTQH 5,22 ; kNGNV 8,31 .
Q
O
2R
G
2
R
e
Pa b
1
AB
C
O
2R
G
2
R
e
Pa b
1
A
B
H
V
A
A
N
TC
N
T C
Q
V
HO
2R
G
2
R
e
Pa b
1
A
B
H
V
A
A
N
TC
N
T C
Q
V
H
Q
O
2R
G
2
R
e
Pa b
1
AB
C
O
2R
G
2
R
e
Pa b
1
A
B
H
V
A
A
N
TC
N
T C
Q
V
HO
2R
G
2
R
e
Pa b
1
A
B
H
V
A
A
N
TC
N
T C
Q
V
H
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29
Exemplul nr. 4 : Se consideră frâna cu sabot din schiţă la care se cunoaşte coeficientul frecării de alunecare dintre sabot şi şaiba de frânare a troliului, precum şi dimensiunile
geometrice. Se neglijează greutăţile troliului şi pârghiei şi frecarea din articulaţiile O şi 1O
Se cere determinarea forţei minime P cu care trebuie acţionată pârghia OA pentru blocarea căderii greutăţii Q şi reacţiunile din articulaţii. Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare
(date) format din forţa de apăsare P şi din
greutatea Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format
din H , V şi 1H , 1V reprezentând componentele reacţiunilor din O şi 1O ;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului,
format din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca
echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul
C. Se obţin astfel ecuaţiile:
- pentru sabot:
NT
baPhTaN
PNV
HT
0
0
0
min
min - pentru troliu:
0
0
0
1
1
RTrQ
QNV
TH
.
Rezultă succesiv
R
rQT ;
R
rQN
;
h
a
R
r
ba
QP
min ;
TH ; NPV min ; 22 VHR lO ;
TH 1 ; QNV 1 ; 21
211
VHR lO .
Q
O
R
2
r
h
Pa b
1
OA
B
O
R
2
r
h
Pa b
1
O
A
H
V
N
T B
N
TB
Q
VH
1
11
1
O
R
2
r
h
Pa b
1
O
A
H
V
N
T B
N
TB
Q
VH
1
11
Q
O
R
2
r
h
Pa b
1
OA
B
O
R
2
r
h
Pa b
1
O
A
H
V
N
T B
N
TB
Q
VH
1
11
1
O
R
2
r
h
Pa b
1
O
A
H
V
N
T B
N
TB
Q
VH
1
11
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
30
Exemplul nr. 5 : Se consideră sistemul de bare omogene din figură de lungimi OA=2l, DE=l şi greutăţi 2G, respectivG. Bara DE este articulată fără frecare în E cu bara OA, iar în D cu culisa de greutate Q, care se poate deplasa fără frecare pe o tijă aşezată pe verticala articulaţiei O. De culisă este legat un
arc cu constanta elastică k, care este nedeformat în poziţia sistemului cu 0a . La capătul A al barei
OA acţionează forţa orizontală P. Să se determine:
a) ecuaţia pentru calculul unghiului a care corespunde poziţiei de echilibru a sistemului;
b) forţele de legătură în poziţia de echilibru, considerând unghiul a cunoscut.
În absenţa forţei orizontale P, capătul A coincide cu 0D iar unghiul 0a .
Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P , din greutatăţile Q , G
şi G2 , precum şi din forţa elastică eF ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din reacţiunea
normală N şi din componentele H şi V ale reacţiunii din O;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din
componentele DH , DV , respectiv EH , EV ale reacţiunilor din D şi E.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Se obţin astfel ecuaţiile:
- pentru culisa din D:
0
0
De
D
VQF
NH - pentru bara DE:
0sinsin2
cos
0
0
aaa lVl
GlH
VGV
HH
ED
ED
DE
- pentru bara OA:
0cos2sin2cos
02
0
aaa lPlGVlH
GVV
HHP
EE
E
E
.
Rezultă succesiv necunoscutele problemei: - ecuaţia pentru calculul unghiului a
022
72cos14
PtgGQlk aa ;
- reacţiunile din legături în poziţia de echilibru H , V , EH , N , DH , EV , DV
PtgG
QlkH
aa
2cos12 ; acos123 lkQGV ;
aa tgG
QlkHNH DE
2cos12 ;
GQlkVE acos12 ; acos12 lkQVD .
P
1
2
3
O
AD
E
k
3
D
P
2
O
A
E
VE
HE
HE
VE V
H
N
HD
VD
HD
VD
a
a
GQ
Fe
2G
1
3
D
P
2
O
A
E
VE
HE
HE
VE V
H
N
HD
VD
HD
VD
a
GQ
Fe
2G
1
P
O
A
D
E
k
a2 c
osa2
D0
P
1
2
3
O
AD
E
k
3
D
P
2
O
A
E
VE
HE
HE
VE V
H
N
HD
VD
HD
VD
a
a
GQ
Fe
2G
1
3
D
P
2
O
A
E
VE
HE
HE
VE V
H
N
HD
VD
HD
VD
a
GQ
Fe
2G
1
P
O
A
D
E
k
a2 c
osa2
D0
P
1
2
3
O
AD
E
k
3
D
P
2
O
A
E
VE
HE
HE
VE V
H
N
HD
VD
HD
VD
a
a
GQ
Fe
2G
1
3
D
P
2
O
A
E
VE
HE
HE
VE V
H
N
HD
VD
HD
VD
a
GQ
Fe
2G
1
P
O
A
D
E
k
a2 c
osa2
D0
a
a
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
31
Exemplul nr. 6 : Se consideră sistemul de corpuri omogene (1), (2) şi resortul elestic din figură, situat în planul vertical. Corpul (1) este o camă de greutate G, articulată plan în punctul fix O şi compusă dintr-o placă semicirculară de rază r şi o placă dreptunghiulară de dimensiuni 2rx4r. Corpul (2) este o placă semicirculară de rază R şi greutate Q. Corpul (1) se sprijină fără frecare în punctul A pe corpul(2). Placa (2) este aşezată pe un plan orizontal fix şi aspru, coeficientul frecării de alunecare fiind . În centrul de masă al plăcii (2) este fixat capătul unui resort elastic orizontal, de
constantă elastică k. În configuraţia iniţială a sistemului mecanic, definită de distanţa
0d , resortul este nedeformat. Parametrul geometric ce defineşte configuraţia de
echilibru este unghiul a pe care axa de simetrie a plăcii (1) îl formează cu orizontala.
Să se determine:
a) expresia deformaţiei d a resortului elastic în funcţie de
unghiul a ;
b) centrele de masă 1C şi
2C ale corpurilor (1) şi (2);
c) ecuaţia din care se poate calcula unghiul a din condiţia de
echilibru static a sistemului mecanic; d) reacţiunile din legăturile O şi A, respective dintre placa (2)
şi planul orizontal; e) Distanţa dintre suportul greutăţii Q şi suportul reacţiunii
normale cu care planul orizontal acţionează asupra plăcii (2).
a) Cu notaţiile din figură se poate scrie relaţia
asin0 ddRrR
din care rezultă
0sin
dRrR
d
a
.
b) Se ataşează corpului(1) sistemul de referinţă Oxy, convenabil ales şi se utilizează relaţia
pentru calculul coordonatelor centrului de greutate în cazul mediului discontinuu, plan, bidimensional şi omogen, care admite o axă de simetrie
în care:
rxC 211
; 211 8 rA ;
3
412
rxC ;
2
2
12r
A
.
Rezultă
28
23
482
22
22
1r
r
rrrr
xC
;
rxC
163
92
.
Pentru corpul (2) se alege sistemul de referinţă ca în figură şi se utilizează relaţia de calcul pentru sectorul de cerc
a
asin
3
2 Ry C .
Rezultă
2
2sin
3
22 a
Ry C ;
3
42
Ry C .
c) Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa elastică eF şi din greutatăţile Q , şi G ;
1C 2Ck
r
4r
A
G
21
d0d
aR
Q
)
4r A
dd+
a
A
R
O
1OO 1O
r
R
1C 2C
r2r
R2r
11C
12C
1OO
y2
x11
x12
x1
2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe
1C 2Ck
r
4r
A
G
21
d0d
a
R
Q
)
4r A
dd+
a
A
R
O
1OO 1O
r
R
1C 2C
r
2r
R
2r
11C
12C
1OO
y2
x11
x12
x1
2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe
1C 2Ck
r
4r
A
G
21
d0d
a
R
Q
)
4r A
dd+
a
A
R
O
1OO 1O
r
R
1C 2C
r
2r
R
2r
11C
12C
1OO
y2
x11
x12
x1
2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe
1C 2Ck
r
4r
A
G
21
d0d
a
R
Q
)
4r A
dd+
a
A
R
O
1OO 1O
r
R
1C 2C
r
2r
R
2r
11C
12C
1OO
y2
x11
x12
x1
2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe
2
1
2
1
ii
iii
C
A
Ax
x
1C 2Ck
r
4r
A
G
21
d0d
a
R
Q
)
4r A
dd +
a
A
R
O
1OO 1O
r
R
1C 2C
r
2r
R
2r
11C
12C
1OO
y2
x11
x12
x1
2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe2CA
2
Q
1C
4r
G
1
a
A
A
1OOH
VN
T
a
RNA
NA
Fe
0
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
32
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele H şi V ale reacţiunii din
O, din reacţiunea normală N şi din forţa de frecare de alunecare T dintre corpul (2) şi planul orizontal;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală AN dintre cele
două corpuri. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, dintre corpul (2) şi planul orizontal. Se obţin astfel ecuaţiile:
- pentru corpul (1):
0
0cos
0sin
1OCGctgrRN
NGV
NH
A
A
A
a
a
a
- pentru corpul (2):
NT
aNR
F
NQN
FTN
e
A
eA
a
a
03
4
0cos
0sin
Din a treia ecuaţie
a
a ctgrR
rG
ctgrR
OCGN A
163
92
1.
Pe de altă parte,
a
aa
a
a
a sin
sincos
sin
sin
sin
00
dRrR
kNQdRrR
kNFT
N
Ae
A ,
de unde
aa
a
cossin
sin0
dRrR
kQ
N A .
Egalând cele două expresii obţinute pentru AN , se găseşte ecuaţia pentru determinarea unghiului a :
aa
a
a
cossin
sin163
920
dRrR
kQ
ctgrR
rG
.
d) După determinarea unghiului a se calculează reacţiunea AN cu una din cele două relaţii de mai sus şi apoi:
asin ANH ; acos ANGV ; acos ANQN ; NT .
e) Din penultima ecuaţie rezultă
N
Rdk
a
3
4
;
a
a
cos
3
4
sin0
ANQ
RdR
rRk
a .
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
33
Exemplul nr. 7 : Se consideră frâna cu bandă din schiţă. În condiţiile neglijării greutăţilor elementelor din sistem şi a frecărilor din articulaţii, să se determine forţa minimă P necesară blocării greutăţii Q. Se dau: R, r, AC=BC=a, CD=b şi coeficientul frecării de alunecare dintre
bandă şi troliu. Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din
greutatea Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din H , V şi CH , CV reprezentând
componentele reacţiunilor din O şi C; 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre
elementele sistemului, format din tensiunile 1S şi 2S din
ramurile curelei. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare dintre bandă şi troliu. Se obţin
astfel ecuaţiile:
- pentru troliu:
2
3
21
12
2
1
0
0
0
eSS
RSRSrQ
QSV
SH
- pentru pârghie:
0
0
0
21
2
1
bPaSaS
PSV
SH
C
C
Rezultă succesiv:
1
1
2
32
eR
rQS ; ;
12
3
2
3
1
e
e
R
rQS ;
1
1
2
3
2
3
e
e
b
a
R
rQP ;
1SH ; QV ; 22 VHR lO ;
1SH C ; 2SPVC ; 22CClC VHR .
O
R
2
r
1
A
Q
B C
P
D
M1
M2
O
R
2
r
1
A
BC
P
D
M1
M2
Q
S1
S2
S1
S2
H
V
C
C
V
H
a b
a
O
R
2
r
1
A
BC
P
D
M1
M2
Q
S1
S2
S1
S2
H
V
C
C
V
H
a b
a
O
R
2
r
1
A
Q
B C
P
D
M1
M2
O
R
2
r
1
A
BC
P
D
M1
M2
Q
S1
S2
S1
S2
H
V
C
C
V
H
a b
aO
R
2
r
1
A
BC
P
D
M1
M2
Q
S1
S2
S1
S2
H
V
C
C
V
H
a b
a
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
34
Exemplul nr. 8 : Să se determine forţa minimă de întindere aplicată unei benzi
transportoare având rolele de rază r şi acţionată de un cuplu de moment OM .
Coeficientul frecării de alunecare dintre bandă şi role este . Se neglijează
greutate benzii şi frecările din cele două lagăre. Se izolează rola condusă. Asupra acesteia acţionează:
1) un sistem de forţe şi momente exterioare (date) format din forţa de
întindere F şi din momentul rezistent OM , egal şi de sens contrar cu momentul motor aplicat
roţii conducătoare; 2) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din tensiunile
1S şi 2S din ramurile curelei.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru roata condusă:
0LR ; 0 LOO MM .
Luând în considerare frecarea dintre bandă şi rolă, ecuaţiile scalare de echilibru sunt:
0
0
21
21
21
OM
eSS
rSrS
SSF
.
Rezultă
1
12
er
MS
O;
11
e
e
r
MS
O;
1
1
e
e
r
MF
O
Exemplul nr. 9 : Se dă palanul diferenţial din figură alcătuit din doi scripeţi, unul fix şi altul mobil. Sripetele fix este format din două roţi de lanţ de raze R şi r, solidare pe acelaşi ax.
Scripetele mobil este o roată de lanţ de rază 1R . În acest caz firul este un lanţ înfăşurat
continuu ca în figură.
Se cere relaţia dintre forţa motoare mF şi forţa rezistentă rF , în condiţiile
neglijării frecărilor. Din ecuaţiile de momente în raport cu centrele celor doi scripeţi şi din ecuaţia de
proiecţii pe verticală pentru scripetele mobil
0
0
0
21
1112
21
r
m
FSS
RSRS
RSrSRF
rezultă
rFSS 2
121 ;
rm FR
rRF
2.
FMOO1O
rolaconducatoare
rolacondusa
FO1
rolacondusa
MO
S2
S1
r
FO1
rolacondusa
MO
S2
S1
r
FMOO1O
rolaconducatoare
rolacondusa
FO1
rolacondusa
MO
S2
S1
r
FO1
rolacondusa
MO
S2
S1
r
O
R
r
Fr
R
r
Fr
Fm
Fm
S1
S2
R 1R 1
R
r
Fr
Fm
S1
S2
R 1
O
R
r
Fr
R
r
Fr
Fm
Fm
S1
S2
R 1R 1
R
r
Fr
Fm
S1
S2
R 1
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
35
Exemplul nr. 10 : Să se determine relaţia dintre forţa motoare mF şi forţa rezistentă rF în cazul
palanului exponenţial din figură, dacă se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor. Izolând fiecare scripete, se pot scrie relaţiile:
1SkFm ; 11 SkS ; 112 SSS ; 22 SkS ;
223 SSS ; 33 SkS ;
33 SSFr ;
mr F
k
kS
k
kS
k
kS
k
kF
4
3
13
3
22
2
3
1111.
Generalizând pentru n scripeţi mobili rezultă
rn
n
m Fk
kF
1
1
.
Dacă se neglijează frecările şi rigiditatea firelor, 1k şi relaţia devine
rnm FF 2
10.
Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul m
m
F
F 0
.
Exemplul nr. 11 : Să se determine
relaţia dintre forţa motoare mF şi forţa
rezistentă rF în cazul palanului factorial din
figură, când se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor. Considerând că în fiecare muflă se află câte n scripeţi, se pot scrie relaţiile:
1SkFm ; 21 SkS ;............ nn SkS 212 .
Rezultă
k
FS
m1 ;
22k
FS
m ;............
n
mn
k
FS
22 .
Presupunând tensiunile din fire aproximativ verticale,
nmnrkkk
FSSSF222211
...........11
.......... .
Paranteza reprezintă o progresie geometrică şi, însumând după formula cunoscută
n
n
q
qa
1
11 , unde 1a şi q reprezintă
primul termen, respectiv raţia progresiei, rezultă
m
n
r F
k
k
kF
1
1
11
12
;
rn
n
m Fk
kkF
1
1
2
2
.
Pentru 1k (frecări şi rigidităţi nule) se aplică regula lui l’Hospital
rn
nn
km F
kn
kkknF
12
212
1 2
12lim ; rm F
nF
2
10.
Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul m
m
F
F 0
.
SAU
Fm
Fr
Fr
Fm
Fm
Fr
mufl
a in
feri
oar
am
ufl
a su
per
ioar
a
S1
S3
S4
S6
S2
S5
S3
S1
S4
S2
Fm
Fr
S1
S3
S4
S6
S2
S5
S3
S1
S4
S2
SAU
Fm
Fr
Fr
Fm
Fm
Fr
mufl
a in
feri
oar
am
ufl
a su
per
ioar
a
S1
S3
S4
S6
S2
S5
S3
S1
S4
S2
Fm
Fr
S1
S3
S4
S6
S2
S5
S3
S1
S4
S2
Fr
Fm
Fr
Fm
S3
S1
S2
S1
S2
S3
Fr
Fm
S3
S1
S2
S1
S2
S3
Fr
Fm
Fr
Fm
S3
S1
S2
S1
S2
S3
Fr
Fm
S3
S1
S2
S1
S2
S3
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
36
Exemplul nr. 12 : Se consideră sistemul de corpuri plane omogene alcătuit din manivela OA de lungime r şi greutate G, biela AB de lungime l şi greutate P şi din discul de rază R şi greutate Q. Discul se sprijină pe o cale de rulare aspră nerigidă, paralelă cu direcţia orizontală OB. Articulaţiile plane din O, A şi B sunt fără frecare. Se notează unghiurile şi ca în figură.
Să se determine: a) relaţia dintre unghiurile şi , ţinând seama că sistemul mecanic are un
singur grad de libertate; b) expresiile reacţiunilor din legăturile O,A,B şi D corespunzătoare unei configuraţii de echilibru definită de unghiurile şi
(discul nu alunecă şi nu se rostogoleşte). Se presupune că ,0 ;
c) valorile minime ale coeficienţilor de frecare la alunecare şi la rostogolire s pentru ca sistemul să rămână în echilibru
în condiţiile: PQ , 2
PG , 3 rl , 90 , mR 05,0 .
a) Din relaţiile
sinsin lrAA ;
sinsin l
r.
b) Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P şi Q ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele H şi V ale reacţiunii din
O, precum şi reacţiunea normală N , forţa de frecare de alunecare T şi momentul frecării de rostogolire rM
reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare din D;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele AH , AV şi BH ,
BV ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare de alunecare şi de rostogolire din D. Se obţin astfel ecuaţiile:
3
2
!
;
0cos2
cossin
0
0
r
GrVrH
GVV
HH
AA
A
A
6
5
4
;
0cos2
sincos
0
0
l
PlHlV
PVV
HH
AB
AB
BA
O
1
N
T
2
3
R
B
A
C2
B
D
r
s)
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
N
T
C2
B
D
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VAr
V
H
C1
G
P
1
2
3
O
B
A
r
A
O B
A =r 3
r
D
O
1
N
T
2
3
R
B
A
C2
B
D
r
s)
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
N
T
C2
B
D
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
O
B
A
r
A
O B
A =r 3
r
D
O
1
N
T
2
3
R
B
A
C2
B
D
r
s)
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
N
T
C2
B
D
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
O
B
A
r
A
O B
A =r 3
r
D
O
1
N
T
2
3
R
B
A
C2
B
D
r
s)
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
N
T
C2
B
D
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
O
B
A
r
A
O B
A =r 3
r
D
O
1
N
T
2
3
R
B
A
C2
B
D
r
s)
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
N
T
C2
B
D
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
O
B
A
r
A
O B
A =r 3
r
D
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
37
NsM
NT
rTM
VQN
TH
r
r
B
B
0
0
0
.
11
10
9
8
7
Din (5) se obţine PVV BA
cu care (3) şi (6) devin
cos
cos
sin
sin
cos2
cossin
cos2
coscossin
PVH
GPVH
BA
BA
.
Rezultă
sin
sincos
22
GPPV B ;
sin
sincos
22
GPPV A ;
sin
coscos
2
GPHHTH BA ;
sin
sincos
22
GPPGV ;
sin
sincos
22
GPPQN ;
sin
coscos
2
GPRM r ;
sincossin2
coscos
GPPQ
GP;
coscossin2
coscos
GPPQ
GPRs ;
22 VHR lO ; 22AAlA VHR ;
22BBlB VHR ;
22 NTR lD .
c) Dacă
2OAAB şi 90OAB ,
rezultă că 60 şi 30
pentru care
9
3
2
1
2
1
2
33
2
3
2
1
2
3
min
PP
P
; 192,0min ;
9
305,0min s ; mmms 6,90096.0min .
O
1
N
T
2
3
R
B
A
C2
B
D
r
s)
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
N
T
C2
B
D
B M r
Q R
VB
HB
VB
HB
HA
VA
A
O
AHA
VA
r
V
H
C1
G
P
1
2
3
O
B
A
r
A
O B
A =r 3
r
D
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
38
Exemplul nr. 13 : Se consideră mecanismul bielă-manivelă OAB din figură,
alcătuit din bare omogene. Se cunosc: rOA , lAB şi excentricitarea
e. Greutăţile elementelor mecanismului sunt G – pentru manivelă, P – pentru bielă şi Q – pentru culisor. Se neglijează frecările din cuple. Pentru o configuraţie a mecanismului dată de unghiul , să se
determine: a) relaţia dintre unghiurile şi ;
b) expresia forţei F care echilibrează momentul motor 0M , în funcţie
de unghiurile şi ;
c) reacţiunile din O, A, B şi reacţiunea ghidajului asupra culisorului. Din relaţia
erl sinsin l
e
l
r sinsin .
Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P , Q şi forţa F ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele OH şi OV ale reacţiunii
din O, precum şi reacţiunea normală N ;
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele AH , AV şi BH ,
BV ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente.
Se obţin astfel ecuaţiile:
0sincoscos2
0
0
rHrVr
GM
GVV
HH
AAO
AO
OA
;
3
2
1
0coscos2
sin
0
0
lVl
PlH
PVV
HH
AA
BA
AB
;
6
5
4
0
0
QVN
HF
B
B .
8
7
Din (1), (4) şi (7) rezultă : FHHH BOA ,
iar din (6)
tgFP
V A 2
.
Înlocuind în (3), rezultă
O
B
A
r
e
MO
3
21
B
A
2
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G
HA
VA
PVB
F
HBVB
HB
N
Q
F
3
B
B
A
2
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G
HA
VA
PVB
F
HB
VB
HB
N
Q
F
3
B
O
B
A
r
e
MO
3
21
B
A
2
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G
HA
VA
PVB
F
HBVB
HB
N
Q
F
3
B
B
A
2
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G
HA
VA
PVB
F
HB
VB
HB
N
Q
F
3
B
O
B
A
r
e
MO
3
21
B
A
2
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G
HA
VA
PVB
F
HBVB
HB
N
Q
F
3
B
B
A
2
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G
HA
VA
PVB
F
HB
VB
HB
N
Q
F
3
B
O
B
A
r
e
MO
3
21
B
A
2
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G
HA
VA
PVB
F
HBVB
HB
N
Q
F
3
B
B
A
2
Ar
MO
1
HO
VOHA
VA
G
HA
VA
PVB
F
HB
VB
HB
N
Q
F
3
B
F
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
39
cossin
cos2
tg
PG
r
M
F
O
.
Din (5) şi (2) se găsesc
tgFP
V B 2
; tgFP
GVO 2
.
Astfel,
22OOlO VHR ;
22AAlA VHR ;
22BBlB VHR .
Din (8) rezultă
QtgFP
N 2
.
Exemplul nr. 14 : Sistemul mecanic din figură, situat în planul vertical, este compus din corpul (1), bara (2), culisa (3) şi resortul elastic (4). Corpul (1), articulat cilindric în punctul fix O, este un corp omogen de greutate 3G, constituit din semisfera plină de rază R şi din conul circular drept, plin, de înălţime 4R. Bara omogenă (2), de lungime 4R şi greutate G, este articulată cilindric în punctele A şi B. Culisa (3), de greutate Q, se poate deplasa pe ghidajul vertical Oy, contactul fiind cu frecare de alunecare de coeficient . Arcul elastic (4) are constanta de
elasticitate k şi, în poziţia iniţială a sistemului mecanic definită prin unghiul 0a , este nedeformat.
Poziţia de echilibru a sistemului mecanic este dată de unghiul a , necunoscut.
Se cer:
a) relaţia dintre unghiul a şi deformaţia y a resortului elastic;
b) centrul de masă pentru corpul volumetric (1); c) ecuaţia din care se poate determina unghiul a în configuraţia de echilibru;
d) reacţiunile din legăturile O, A şi B. a) aa cos8cos8 0 RRBBOy ;
aa coscos8 0 Ry .
b) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu 111 zyOx şi se
utilizează relaţia corespunzătoare unui mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,
2
1
2
1
ii
iii
C
V
Vz
z ,
în care:
RRz C 44
111 ; 32
13
44
3
1RRRV ;
Rz C 8
321 ; 3
23
2RV .
Rezultă
33
33
1
3
2
3
4
3
2
8
3
3
4
RR
RRRR
OCz C
Rz C 24
131 .
c) Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , G3 , Q şi forţa elastică eF ;
2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele OH şi OV ale reacţiunii
din O, precum şi reacţiunea normală BN respectiv forţa de frecare de alunecare BT , introduse ca echivalent mecanic
al reazemului cu frecare de alunecare din B;
R
4R
z1
z2
z
C
1C
2C
3
B
k
4R
4R
R
y
a
a0
2
1
0B
11
1
4
0A A
R
a
4R
3G
a
HO
VO
C
HA
VA
HA
VAHB
VB
G
VB
HBNB
Q
Fe
TB
R
a
4R
3G
a
HO
VO
C
HA
VA
HA
VAHB
VB
G
VB
HBNB
Q
Fe
TB
1
3
2
1
3
2
A
B
A
B
A
B
A
B
R
4R
z1
z2
z
C
1C
2C
3
B
k
4R
4R
R
y
a
a0
2
1
0B
11
1
4
0A A
R
a
4R
3G
a
HO
VO
C
HA
VA
HA
VAHB
VB
G
VB
HBNB
Q
Fe
TB
R
a
4R
3G
a
HO
VO
C
HA
VA
HA
VAHB
VB
G
VB
HBNB
Q
Fe
TB
1
3
2
1
3
2
A
B
A
B
A
B
A
B
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
40
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele AH , AV şi BH ,
BV ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B.
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, al culisorului din B. Se obţin astfel ecuaţiile:
0sin3sin4cos4
03
0
aaa OCGRVRH
GVV
HH
AA
AO
AO
;
3
2
1
0cos4sin4sin2
4
0
0
aaa RHRVR
G
GVV
HH
BB
BA
BA
;
6
5
4
BB
BBe
BB
NT
QTVF
NH
0
0
.
9
8
7
Forţa elastică este
aa coscos8 0 RkykFe .
Din (8), tinând seama de (9) şi (7), se obţine
BeB HFQV
care, înlocuită în (6), conduce la
eB FQ
GN
2cossin
sin
aa
a.
Exprimând BN şi din ecuaţia (3), având în vedere (4), (7) şi (5), se obţine
e
Ce FQ
G
R
zGFQG
2cossin
sin
4
3
cossin
sin 1
aa
a
aa
a,
e
Ce FQ
G
R
zGFQG
24
3
cossin
cossin 1
aa
aa.
Urmează, din (1), (4), (7) şi din (8), (5), (2) ţinând seama de (9),
BBAO NHHH ;
eeB FQ
GFQV
2cossin
sin
aa
a;
eeA FQ
GFQGV
2cossin
sin
aa
a;
eeO FQ
GFQGV
2cossin
sin4
aa
a.
22OOlO VHR ;
22AAlA VHR ;
22BBlB VHR ; BB NT .
R
4R
z1
z2
z
C
1C
2C
3
B
k
4R
4R
R
y
a
a0
2
1
0B
11
1
4
0A A
R
a
4R
3G
a
HO
VO
C
HA
VA
HA
VAHB
VB
G
VB
HBNB
Q
Fe
TB
1
3
2
A
B
A
B
R
a
4R
3G
a
HO
VO
C
HA
VA
HA
VAHB
VB
G
VB
HBNB
Q
Fe
TB
1
3
2
A
B
A
B
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
41
Exemplul nr. 15 : O bară de lungime l şi greutate G, articulată cilindric în A, se reazemă în B pe un semicilindru orizontal de rază R şi greutate neglijabilă, cu coeficient de frecare . Semicilindrul se reazemă, la rândul său, pe planul orizontal
cu coeficient de frecare 1 .
Să se determine unghiul a pentru echilibrul sistemului.
Asupra corpurilor izolate acţionează:
1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G a
barei; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară sistemului
de corpuri format din componentele H , V ale articulaţiei din A,
precum şi din echivalentul mecanic al reazemului cu frecare dintre
semicilindru şi planul orizontal ,T N ;
Obs.1 În situaţiile în care legătura de tip reazem simplu nu defineşte un punct teoretic de contact, poziţia reacţiunii normale nu este cunoscută iniţial. În astfel de cazuri ea va fi poziţionată undeva, de exemplu la o distanţă oarecare x, care va rezulta din ecuaţiile scalare de echilibru. De regulă, se vor evita poziţiile particulare (de exemplu centrul semicilindrului) deoarece acestea conduc la erori de rezultat.
3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din BT şi
BN reprezentând echivalentul
mecanic al reazemului cu frecare din B. Obs.2 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de
mişcare (în cazul de faţă pe semicilindru). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctele sau în zonele de contact. Rezultă astfel ecuaţiile: - pentru bară: - pentru semicilindru:
BB
B
BB
BB
NT
ctgRNl
G
NTGV
NTH
aa
aa
aa
0cos2
0cossin
0sincos
;
NT
xNRT
NTN
NTT
B
BB
BB
1
0
0cossin
0sincos
aa
aa
.
Împreună, ele formează un sistem de opt ecuaţii cu o singură necunoscută, mărimea unghiului a pentru echilibrul sistemului.
Rezultă, după substituţii succesive:
1
1
1
a
tg .
Obs.3 Penultima ecuaţie adevereşte faptul că distanţa 0x , în cazul de faţă fiind negativă.
Exemplul nr. 16: Se consideră sistemul de corpuri din figură la care se cunosc :greutăţile P şi
G, razele a, r, R, lungimea l şi coeficientul frecării de alunecare .
Pentru poziţia de echilibru din figură să se determine:
a) reacţiunile din 21 ,, OOO ;
b) valoarea minimă a forţei Q necesară pentru echilibrul sistemului.
Asupra corpurilor izolate acţionează:
A
B
1
R
r
R
a
O
O
O1
2
A
B B
x
R
R
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
42
3) un sistem de forţe exterioare format din greutăţile P , G şi din
forţa de apăsare Q ;
4) un sistem al forţelor de legătură exterioară sistemului de corpuri
format din componentele H , V , 1H , 1V , 2H ,
2V ale reacţiunilor
din articulaţiile 21 ,, OOO ;
5) un sistem al forţelor de legătură interioară, între elementele sistemului, format din echivalentul mecanic al reazemului cu frecare
dintre troliu şi bară ,T N , precum şi din tensiunea în fir S .
Obs. În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu).
În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:
0LR ; 0 LOO MM .
Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de reazem. Rezultă astfel ecuaţiile: - pentru placă: - pentru troliu: - pentru bară:
0
0
0
CxPaS
PSV
H
;
NT
RTrS
TSGV
NH
0
0
0
1
1
;
02
0
0
2
2
lNlQ
TV
NHQ
.
Împreună, ele formează un sistem de zece ecuaţii cu şapte necunoscute: H , V , 1H , 1V , 2H ,
2V şi forţa de apăsare Q .
Aparent necunocuta Cx se obţine apelând cunoştinţele de la capitolul privind
determinarea coordonatelor centrului de greutate, cu relaţia:
ix iA
2
a 2a
3
4 aa 2
4
1a
22
22
21
2211
4
1
4
1
3
4
2
aa
aa
aaa
AA
AxAxxC
4
310
3
axC
Din cele zece ecuaţii rezultă în ordine, după substituţii succesive:
0H ; a
xPS
C ;
a
xPV
C1 ;
R
r
a
xPT
C
;
R
r
a
xPH
C
11 ;
R
r
a
xPGV
C11 ;
R
r
a
xPQ
C
2
1;
R
r
a
xPH
C
2
32 ;
R
r
a
xPV
C
2
a
O
r
R
O1
O2
1
1
2
2
xC
2
1
2
1
i
i
i
ii
C
A
Ax
x
a
a
a
a
a
a
Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
43
Exerciţiul nr. 17 : Să se arate ce cuplu se aplică pe axa 2O a roţii unei
biciclete, când se apasă pedala cu forţa P.
Se presupun cunoscute razele 1R şi 2R ale roţilor, precum şi
lungimea l a pedalei. Se izolează corpurile şi se introduc forţele şi momentele exterioare
(date) şi de legătură interioară sistemului. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul.
Forţa P aplicată pedalei crează în ramura activă din lanţ forţa
1P care poate fi calculată din ecuaţia de momente în raport cu 1O :
011 lPRP .
Rezultă
11
R
lPP .
Cuplul aplicat pe axa 2O a roţii va fi
212 RPM ,
adică
lR
RPM
1
22 .
Exemplul nr. 18 : O greutate G este ridicată cu ajutorul unui cablu înfăşurat pe un scripete de
rază 1R Coaxial cu scripetele şi solidar cu el este fixată o roată dinţată de rază 2R care
angrenează cu pinionul de rază 3R , acţionat de un motor.
Să se determine cuplul M pe care trebuie să-l dezvolte motorul la axul pinionului pentru a pune în mişcare greutatea G, dacă se neglijează frecările. Se izolează corpurile şi se introduc forţele şi momentele exterioare (date) şi de
legătură interioară sistemului. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: - pentru troliu:
021 RFRG ; 2
1
R
RGF ;
- pentru pinion:
03 RFM 32
1 RR
RGM .
RR
P1 P1
R2R1
O1 O2
O1 O2
P
P
21RR
P1 P1
O1 O2
P
21
RR
P1 P1
R2R1
O1 O2
O1 O2
P
P
21RR
P1 P1
O1 O2
P
21
O
M
G
R3
R1R2
MR3
R1R2
FF
G
MR3
R1R2
FF
G
O
M
G
R3
R1R2
MR3
R1R2
FF
G
MR3
R1R2
FF
G