Daniela Marinescu, Ioana Manafi, 2014-2015 1

Proprietile funciei de cheltuial minim Teorem. Dac ( )U x este continu, strict cresctoare i strict q-concav, atunci funcia de cheltuial minim satisface:

1. ( )upC , este cresctoare n u. 2. ( )upC , este concav n p. 3. ( )upC , este omogen de gradul nti n raport cu preurile. 4. ( )upC , este difereniabil n preuri i n plus,

( ) ( ) niupp

upCi

i

,...,2,1,,,

==

Aceast proprietate mai este cunoscut i sub denumirea de lema lui Shepard i are o interpretare economic imediat: dac preul bunului i crete cu o unitate, cheltuiala minim crete exact cu componenta de rang i a soluiei optime. 5. ( )upC , este cresctoare n preuri.

6. ( )* ,C p uu

=

Demonstraie

1. Avem ( ) pxupCuxU

x

=

)(0

min,

Fie 'uu . Atunci cum uxU )( implic ')( uxU , avem urmtoarea incluziune ntre mulimile soluiilor

admisibile pentru cele dou probleme duale:

( ){ } ( ){ }0 0 'x U x u x U x u Comparm valorile funciilor obiectiv ale problemelor de optimizare corespunztoare

nivelurilor de utilitate u i u: min min

')(0

)(0

pxpx

uxUx

uxUx

sau ( ) ( )upCupC ,,

Rezult c ( )upC , este cresctoare n u. Evident, aceast proprietate poate fi demonstrat uor i din relaia:

* ( , ) 0C p u

u

= >

2. Fie ', pp doi vectori de preuri i ( )1,0 . Considerm vectorul de preuri ( ) '1 ppp += .

Pentru vectorul de preuri p, cererea compensat satisface condiia: ( ) ( ) ( )uppuppupC ,,, =

Pentru vectorul de preuri p, cererea compensat satisface condiia: ( ) ( ) ( )uppuppupC ,','',' = nmulim prima relaie cu , iar a doua cu ( )1 i adunm relaiile obinute:

( ) ),(,),'()1(),( upCuppupCupC =+ sau

Daniela Marinescu, Ioana Manafi, 2014-2015 2

),')1((),'()1(),( uppCupCupC ++ de unde rezult c ( )upC , este concav n p. 3. S analizm valoarea funciei ( )upC , : ( ) ( ) ),(minmin,

0)(0

)(0

upCpxxpupC

xUx

uxUx

===

Am obinut astfel proprietatea de omogenitate de gradul nti n raport cu preurile.

4. Difereniabilitatea funciei de cheltuial minim (Lema lui Shepard) Fie 0h un vector linie reprezentnd o variaie a preurilor astfel nct 0+ hp . Evalum funcia de cheltuial minim pentru sistemul de preuri hp + :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )uphuppuphpuhphpuhpC ,,,,, +=+++=+ sau

( ) ( ) ( )uphupCuhpC ,,, ++ de unde obinem:

( ) ( ) ),(,, uphupCuhpC + (1) Evalum funcia de cheltuial minim pentru sistemul de preuri p:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )uhphhpuhppuppupC ,,,, ++=+= sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )uhphuhpCuhphuhphpupC ,,,,, ++=+++ de unde obinem: ( ) ( ) ),(,, uhphupCuhpC ++ (2)

Din (1) i (2) rezult c: ( ) ( ) ( ) ( )uphupCuhpCuhph ,,,, ++

n relaia anterioar adunm n fiecare membru al inegalitii ( )( )uph , . Rezult atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,, ++ uphupCuhpCuphuhph (3) mprim fiecare membru al inegalitii (3) la |||| h (care este diferit de 0, deoarece 0h ). De

unde rezult:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0||||

,,,,,

||||

++

h

uphupCuhpCupuhp

h

h (4)

Termenul |||| h

h este mrginit, deoarece 1||||

||||

1

||||== h

hh

h.

Cnd 0h primul termen al inegalitii anterioare este zero, de unde rezult, conform teoremei cletelui, c i membrul din mijloc tinde la zero. Atunci:

( ) ( ) ( )

0||||

,,,lim

0=

+ h

uphupCuhpC

h

(5)

ceea ce corespunde definiiei difereniabilitii funciei ( )upC , .

Fie ( )0,...,0,,0,...,0,0 th = , unde t se afl pe poziia i, iar i este arbitrar ales. Atunci:

Daniela Marinescu, Ioana Manafi, 2014-2015 3

( ) ( ) ( )upttuph i

n

,...

0,...,0,,0,...,0,0, 2

1

=

=

n cazul n care 0>t , avem tthhhh n =++++++=++=2222222

22

1 0...00...0...|||| , iar 0h

este echivalent cu 0t . Atunci, din (4) rezult c:

( ) ( ) ( )uph

upCuhpCi

h,

||||

,,lim

0=

+

Exprimarea este echivalent cu: ( ) ( ) ( )up

t

ppppCupptpppCi

ninii

t,

,...,,...,,,,...,,,...,,lim 21121

0=

+

Relaia anterioar este chiar definiia derivatei pariale a lui ( )upC , n raport cu ip .

Deci, ( ) ( )upp

upCi

i

,,

=

, pentru orice ni ,...,1= . Ceea ce nseamn c la o modificare mic a

preului ip are loc o modificare a funciei de cheltuial minim egal cu ( )upi , . 5. Monotonia funciei de cheltuial minim n raport cu preurile rezult imediat din Lema lui Shepard:

Avem ( ) ( ) 0,, =

up

p

upCi

i

, de unde rezult c ( )upC , este cresctoare n raport cu pi.

6. Considerm derivata funciei de cheltuial n raport cu nivelul de utilitate:

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 21 2

1

,, , ... ,

, , , ,...

n n

nn i

n i

i

C p up p u p p u p p u

u u

p u p u p u p up p p p

u u u u

=

= + + + =

= + + + =

Folosind condiiile de optim ale problemei duale, avem:

* , 1,2,...,img

i

pi n

U = = sau *i

i

Up

x

=

, 1, 2,...,i n=

Atunci putem scrie:

( ) ( ) ( )* *

1 1

, , ,n ni i

i ii i

C p u p u p uU U

u x u x u

= =

= =

La optim, restricia problemei duale se verific cu egalitate, astfel nct putem scrie: ( ) ( ) ( )( )1 2, , , ,..., ,nU p u p u p u u = Prin diferenierea relaiei de mai sus n raport cu u obinem:

( ) ( ) ( )1 2

1 2

, , ,... 1n

n

p u p u p uU U U

x u x u x u

+ + + =

sau

( )1

,1

ni

i i

p uU

x u

=

=

nlocuind n expresia derivata funciei de cheltuial n raport cu nivelul de utilitate rezult:

( ) ( )* * *

1

, ,1

ni

i i

C p u p uU

u x u

=

= = =