1

Transformata Fourier

Introducere

Sistemele liniare invariante n timp sunt de departe cele mai studiate i utilizate sisteme n

prelucrarea semnalelor. Un sistem se numete liniar dac rspunsul acestuia la suma a dou semnale

este identic cu suma rspunsurilor la ecare semnal n parte. Un sistem se numete invariant n timp

dac rspunsul su la un semnal este acelai indiferent de momentul cnd este aplicat semnalul

respectiv la intrarea sistemului. Din teoria sistemelor, se tie c funciile proprii ale sistemelor liniare

invariante n timp (pe scurt, SLIT) sunt (co)sinusoidele. Altfel spus, dac la intrarea unui SLIT aplicm

o cosinusoid pur de frecven 0, atunci la ieire vom avea tot o cosinusoid pur 0 (bineneles,

avnd alt amplitudine i faz). Acest fapt permite studierea comportamentului sistemului la un

semnal de intrare oarecare, cu condiia s putem scrie semnalul respectiv ca o sum (e i innit) de

cosinusoide.

Semnalele periodice pot scrise ca o sum numrabil de componente sinusoidale ale cror

amplitudini i faze pot calculate cu uurin din semnalul respectiv, acestea fiind seriile Fourier.

Transformata Fourier generalizeaz aceasta descompunere de semnal ntr-o sum de sinusoide i

pentru semnalele neperiodice.

S ncepem prin a studia forma spectrului semnalului periodic n funcie de perioada sa . Se observ

c pe msur ce crete, componentele din spectrul semnalului se ndesesc. Acest lucru este

natural, ntruct creterea lui este echivalent cu scderea frecvenei fundamentale

i

deci, cu scderea intervalului de frecven ntre dou componente succesive. Figura 1. ilustreaz un

exemplu. Evident, la limit, cnd T , componentele frecveniale se contopesc, iar spectrul

semnalului devine de natur continu.

Ajungem, deci, la definiia transformatei Fourier.

Fie un semnal de modul integrabil:

Atunci, se denete transformata Fourier a semnalului

Semnalul original x(t) poate recuperat din transformata

Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic n func

perioada T. (b) Modulul coeficien

perioada T1>T. (d) Modulul coeficien

Este important, pentru nelegerea noiunilor, s

relaiile (2) i (3) i cele care descriu descompunerea

periodic:

ia transformatei Fourier.

un semnal de modul integrabil:

nete transformata Fourier a semnalului ca ind semnalul obinut dup

recuperat din transformata sa prin aplicarea operatorului invers:

Figura 1: Forma spectrului unui semnal periodic n funcie de perioad: (a) Semnal periodic de

perioada T. (b) Modulul coeficienilor Anc pentru semnalul din figura (c) Semnal periodic de

T. (d) Modulul coeficienilor Anc pentru semnalul din figura (c).

elegerea noiunilor, s observm similitudinile i diferenele ntre

iile (2) i (3) i cele care descriu descompunerea n serie Fourier complex a unui semnal

2

(1)

inut dup:

(2)

lui invers:

(3)

: (a) Semnal periodic de

(c) Semnal periodic de

pentru semnalul din figura (c).

i diferenele ntre

plex a unui semnal

3

Se observ c semnicaia valorilor X() este similar cu cea a coecienilor Anc, cu singura diferen

c, n cazul transformatei Fourier, numrul de cosinusoide n care se descompune semnalul devine

innit nenumrabil. Modulul |X()| si faza () ale cantitii complexe X()= |X()| exp(j())

sunt amplitudinea, respectiv faza cosinusoidei de frecven ce intr n descompunerea spectral a

semnalului x(t). ntr-adevr, observnd c, n ipoteza unui semnal x(t) cu valori reale, valorile

transformatei Fourier situate simetric fa de 0 sunt complex conjugate:

(4)

Atunci (3) poate fi rescris ca:

(5)

n continuare, folosind faptul c , avem z+z* =2 {z} si c

{X() exp(jt)} = {|X()| exp(j(t + ()))} = |X()| cos(t + ()), (5) devine:

, (6)

relaie ce justific afirmaia despre semnificaia modulului i fazei lui .

4

Proprietile transformatei Fourier

Transformata Fourier este liniar.

Fie x(t) si y(t) dou semnale de modul integrabil i e a i b dou constante complexe.

Liniaritatea transformatei Fourier se traduce prin faptul c aceasta comut

(7)

Deplasarea n timp cu o cantitate constant t0 a unui semnal corespunde unei deviaii induse n faza

spectrului:

(8)

(9)

Deplasarea spectrului unui semnal cu o frecven constant 0 corespunde nmulirii semnalului n

timp cu o cosinusoid complex:

(10)

5

(11)

O contracie a semnalului cu o constant corespunde unei relaxri a spectrului cu aceeai

constant i vice-versa.

(12)

(13)

unde

(14)

(15)

(16)

Se aplic relaia precedent.

6

Transformata Fourier conserv energia semnalului.

(17)

(18)

(19)

Se folosete simetria ntre relaiile care dau transformata Fourier direct i invers.

Spectrul semnalului obinut prin convoluia temporal a dou semnale se obine ca produsul

spectrelor celor dou semnale. Fie x(t) i y(t) dou semnale de modul integrabil, i e z(t) produsul lor

de convoluie:

(20)

Atunci, ntre transformatele Fourier ale celor trei semnale ale loc relaia:

(21)

7

(22)

Spectrul semnalului obinut prin produsul a dou semnale se obine prin convoluia spectrelor celor

dou semnale. Fie x(t) si y(t) dou semnale de modul integrabil, i e z(t) semnalul obinut prin

produsul lor:

, (23)

Atunci, ntre transformatele Fourier ale celor trei semnale are loc relaia:

(24)

Transformatele Fourier ale ctorva semnale de interes

n relaia de mai sus s-a folosit proprietatea impulsului Dirac:

Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier

Transformatele Fourier ale ctorva semnale de interes

a folosit proprietatea impulsului Dirac:

Figura 2: Impulsul Dirac si transformata sa Fourier

8

(25)

(26)

(27)

Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate

imposibilitii calculului limitei

rezultatul anterior (conform cruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este func

se aplic proprietatea simetriei transformatei Fourier, care a

unei operaii de simetrizare, dou func

timp i care n frecven. Rezultatul anterior poate

de unde, aplicnd relaia (19), avem:

Intr-adevr, calculnd transformata Fourier invers a semnalului

ceea ce completeaz demonstraia noastr

Figura 3: Semnalul constant

Avnd n vedere semnicaia transformatei Fourier a unui semnal, era normal s

rezultat, care se interpreteaz n sensul c n descompunerea unui semnal constant ca o sum de

sinusoide intr numai componenta de frecven

La fel ca i n cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funciei

poate abordat n mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate

transformatei Fourier.

Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t)=1 nu poate fcut direct, datorit

. Pentru rezolvarea problemei, se folose

rezultatul anterior (conform cruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este funcia constant

se aplic proprietatea simetriei transformatei Fourier, care arm c, cu excepia unor constante i a

funcii fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimat

. Rezultatul anterior poate scris compact ca:

adevr, calculnd transformata Fourier invers a semnalului , avem

ia noastr.

Semnalul constant i transformata sa Fourier

caia transformatei Fourier a unui semnal, era normal s ne atept

rezultat, care se interpreteaz n sensul c n descompunerea unui semnal constant ca o sum de

componenta de frecven zero, adic semnalul constant!

i n cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funciei x(t) = cos(n mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate i proprieti ale

9

cut direct, datorit

rezolvarea problemei, se folosete

ia constant) i

ia unor constante i a

ii fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimat n

(28)

(29)

, avem

(30)

teptm la acest

rezultat, care se interpreteaz n sensul c n descompunerea unui semnal constant ca o sum de

) = cos( 0t) nu ale

Pornind de la forma complex a descompunerii unui semnal periodic n serii Fourier:

i folosind rezultatul anterior i teorema deplas

Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur

Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(

pornind de la:

La fel ca n cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul ob

ntruct arat faptul c descompunerea unui semnal co

cosinusoide este compus dintr-o singur

Pornind de la forma complex a descompunerii unui semnal periodic n serii Fourier:

i teorema deplasrii n frecven, avem succesiv:

Figura 4: Semnalul cosinusoidal pur i transformata sa Fourier

Transformata Fourier a semnalului x(t) = sin(0t) se poate deduce n mod absolut similar

La fel ca n cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul obinut mai sus este intuitiv,

ntruct arat faptul c descompunerea unui semnal cosinusoidal pur de frecven 0 ca o sum de

singur cosinusoid, i anume cea pe frecvena respectiv

10

(31)

t) se poate deduce n mod absolut similar

(32)

inut mai sus este intuitiv,

ca o sum de

i anume cea pe frecvena respectiv!

Fie semnalul:

Transformata Fourier a lui x(t) se calculeaz direct precum:

Unde cu sinc(x) am notat funcia sinus cardinal:

Figura 5: Semnalul de tip box si transformata

Aplicnd rezultatului anterior teorema simetriei

transformata Fourier a unei funcii de tip sinc este o funcie box:

Rezultatul de mai sus este extrem de util n studiul fil

Transformata Fourier a lui x(t) se calculeaz direct precum:

ia sinus cardinal:

Figura 5: Semnalul de tip box si transformata Fourier

teorema simetriei i folosind faptul c funcia box e par

ii de tip sinc este o funcie box:

Rezultatul de mai sus este extrem de util n studiul filtrelor lineare.

11

(33)

(34)

(35)

ia box e par, rezult c

(36)

Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal

Aplicaii ale transformrilor

Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului n raport cu frecven

extrem de important n studiul ulterior al modului n care semnalul se

Transformata Fourier Discret (TFD) i Transformata Fourie

care permit calculul facil al spectrului de frecven

date realizat pe baza relaiei

reprezint un alter ego al acesteia, putnd fi folosit la identificare, clasificare, comparare

s vedem acum dac spectrul secven

s-a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se refer

discret, trebuie menionat c, similar n cazul TFD, dac dispunem de un spectru discret, nseamn c

secvena de date de la care acesta provine este periodic. Deci secven

TFD, este privit ca provenind dintr-un semnal periodic, avnd perioada egal cu N Te unde Te

reprezint perioada de eantionare. Reciproc, dac

cruia i va corespunde spectrul rezultat se ob

Cele menionate au consecine importante. S analizm exemplul urmtor n care TFD este aplicat

iniial unei secvene ce conine un numr

reflectat fidel n spectrul su.

Figura 6: Semnalul de tip sinus cardinal i transformata sa Fourier

transformrilor Fourier

Transformarea Fourier a unui semnal permite analiza semnalului n raport cu frecvena, analiz

extrem de important n studiul ulterior al modului n care semnalul se propag prin diverse sisteme.

i Transformata Fourier Discret Rapida (TFDR) sunt instrumente

care permit calculul facil al spectrului de frecven al unei secvene de date. Spectrul secvenei de

,

pentru n=0,1,2,...,N-1

un alter ego al acesteia, putnd fi folosit la identificare, clasificare, comparare

s vedem acum dac spectrul secvenei de date este acelai cu spectrul semnalului din care aceasta

a prelevat. Prin analogie cu teorema Fourier, care se refer la semnale periodice care au un spectru

, similar n cazul TFD, dac dispunem de un spectru discret, nseamn c

de date de la care acesta provine este periodic. Deci secvena de N date creia i se aplic

un semnal periodic, avnd perioada egal cu N Te unde Te

antionare. Reciproc, dac aplicm TFD unei secvene de N date, semnalul

cruia i va corespunde spectrul rezultat se obine multiplicnd prin periodicitate aceast secven

importante. S analizm exemplul urmtor n care TFD este aplicat

numr ntreg de perioade, dintr-un semnal sinusoidal, situa

12

a, analiz

prin diverse sisteme.

Discret Rapida (TFDR) sunt instrumente

e de date. Spectrul secvenei de

(37)

un alter ego al acesteia, putnd fi folosit la identificare, clasificare, comparare. Trebuie

ei de date este acelai cu spectrul semnalului din care aceasta

la semnale periodice care au un spectru

, similar n cazul TFD, dac dispunem de un spectru discret, nseamn c

reia i se aplic

un semnal periodic, avnd perioada egal cu N Te unde Te

e de N date, semnalul

dicitate aceast secven.

importante. S analizm exemplul urmtor n care TFD este aplicat

un semnal sinusoidal, situaie

Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secven

Se observ c n al doilea caz, atunci cnd secven

rezultat nu este cel corect fiindc el este n fapt spectrul semnalului rezultat prin multipl

periodicitate a secvenei , reprezentat n figura 7.b, care nu este sinusoid

determinat spectrul unui semnal folosind TFD, atunci n cazul n care

de N eantioane prelevat din sem

Atunci cnd se preia o poriune din N eantioane dintr

c se preia o

dac semnalul analizat este periodic i numai prelund o

numr ntreg de perioade.

Figura 7: Spectrul dat de TFD pentru secvenele de date

Se observ c n al doilea caz, atunci cnd secvena nu conine un numr ntreg de perioade, spectrul

rezultat nu este cel corect fiindc el este n fapt spectrul semnalului rezultat prin multipl

ei , reprezentat n figura 7.b, care nu este sinusoid. n concluzie, dac trebuie

unui semnal folosind TFD, atunci n cazul n care semnalul este periodic, secven

din semnal trebuie s conin un numr ntreg de perioade.

iune din N eantioane dintr-un semnal, fr a le schimba valoarea, se zice

. Am vzut ca prin TFD putem obine spectrul corect numai

i numai prelund o fereastr dreptunghiular care con

13

r ntreg de perioade, spectrul

rezultat nu este cel corect fiindc el este n fapt spectrul semnalului rezultat prin multiplicarea prin

. n concluzie, dac trebuie

este periodic, secvena

un numr ntreg de perioade.

un semnal, fr a le schimba valoarea, se zice

ine spectrul corect numai

dreptunghiular care conine un

Figura 8: Poriune

n caz contrar, alterarea spectrului de frecven

ferestrei. Acestea sunt privite ca fcnd parte din semna, ori este evident c semnalul original nu

are astfel de salturi, precum zonele ncercuite din figura 8.a.

Soluia de nlturare a variaiilor mari

aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ferestruire. Algoritmul este

relaia

iune de semnal preluat cu i fr ferestruire

rar, alterarea spectrului de frecven se datoreaz cu prioritate zonelor de margine ale

ferestrei. Acestea sunt privite ca fcnd parte din semna, ori este evident c semnalul original nu

are astfel de salturi, precum zonele ncercuite din figura 8.a.

iilor mari din zona de margine a unei poriuni de semnal, o constituie

aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ferestruire. Algoritmul este

14

se datoreaz cu prioritate zonelor de margine ale

ferestrei. Acestea sunt privite ca fcnd parte din semna, ori este evident c semnalul original nu

iuni de semnal, o constituie

aplatizarea acestora. Acesta este obiectivul metodelor de ferestruire. Algoritmul este cel descris de

(38)

15

Se observ c poriunea prelevat se nmulete cu funcia , numit funcie fereastr. Aa cum

este artat n figura 8, funcia fereastr trebuie s aib amplitudinea unitar pe toat lungimea

poriunii de semnal prelevate, mai puin n zonele de capete unde ea trebuie s descreasc uniform

ctre zero. Exist mai multe funcii care au aceast proprietate, unele dintre ele consacrate deja n

literatura de specialitate, ca de exemplu: fereastra triunghiular (relaia 39), fereastra Welch (relaia

40), fereastra Hanning (relaia 41).

(39)

(40)

(41)

n exemplele date, M poate fi egal cu lungimea secvenei prelevate (N), sau poate fi mai mic dect N,

i atunci algoritmii 39, 40, 41 se mpart n dou, cte o jumtate pentru fiecare capt al secvenei,

aa cum este ilustrat n figura 8.

n concluzie, procedeul numeric de ferestruire se aplic secvenei numerice creia urmeaz s-i fie

aplicat transformarea TFD sau alt transformare. Ferestruirea are rolul de a reduce contribuia

nefast a poriunilor de capt ale secvenei prelevate, n spectrul de frecven al semnalului. Tehnica

de ferestruire mai este folosit pentru a ajusta i ali algoritmi de procesare numeric i anume pe cei

cu rolul de filtru numeric.

Spectrul unui semnal nu ofer o informaie intuitiv, sub aspectul energetic, a contribuiei fiecrei

armonici la alctuirea semnalului. Pentru aceasta se folosete o alt mrime denumit

, care arat contribuia energetic a fiecrei armonici. Prin analogie cu energia

semnalelor analogice, energia total a unei secvene de N eantioane se exprim ca fiind suma

ptratelor eantioanelor. Energia semnalului n transformata Fourier se regsete cu ajutorul

teoremei Parseval:

(42)

Contribuia la energia total a semnalului, corespunztoare fiecrei armonici rezultate prin

transformarea Fourier a semnalului, este urmtoarea:

(43)

Unde sunt coneficienii compleci rezultai din transformarea Fourier a semnalului .