1. PRINCIPII DE BAZĂ PRIVIND IDENTIFICAREA PROCESELOR

1.1Aspecte generale

Identificarea este un ansamblu de metode prin care se urmăreşte obţinerea unor modele cât mai reprezentative pentru procesele prezentate. Având în vedere faptul că performanţele sistemelor automate trebuie satisfăcute atât în regim staţionar cât şi în regim tranzitoriu, este necesar ca prin identificare să se determine atât caracteristicile statice, cât şi cele dinamice ale procesului investigat.

Caracteristicile statice reprezintă dependenţa mărimilor de ieşire ale proceselor de mărimile care acţionează la intrarea acestora în regim staţionar, adică în regimul în care derivatele în raport cu timpul ale acestor mărimi sunt nule.

Caracteristicile dinamice ale proceselor automatizate reprezintă dependenţa mărimilor de ieşire în raport cu timpul şi cu mărimile de intrare. În funcţie de diversitatea proceselor tehnologice supuse automatizării, de tipul identificării şi de gradul de precizie impus modelului, sunt cunoscute mai multe tipuri de metode de identificare experimentale. Metodele experimentale reprezintă partea de bază a identificării proceselor. Ele permit, prin măsurători asupra mărimilor de intrare şi de ieşire ale proceselor (figura 1.1), obţinerea unor modele matematice care descriu cât mai aproape de realitate comportarea proceselor investigate. În lucrare se va utiliza pentru modelele matematice ale proceselor funcţii de transfer H(s).

Fig. 1.1 Structura sistemului de identificatAstfel, pentru a se putea estima care este cea mai potrivită formă a funcţiei de transfer se prezintă

tipuri de răspunsuri indiciale (la un semnal de intrare treaptă) ale principalelor tipuri de procese automatizate, precum şi relaţiile de calcul pentru determinarea coeficienţilor modelelor matematice.Modelele dinamice de comandă, care dau relaţia între variaţiile mărimilor de intrare ale unui proces şi variaţiile mărimilor de ieşire, sunt tipuri de modele necesare pentru proiectarea şi ajustarea sistemelor de comandă/reglare. Deşi indicaţii asupra structurii acestor modele de comandă se pot obţine pornind de la structura modelului de cunoaştere, în general, este foarte dificil să se determine valorile parametrilor semnificativi pornind de la aceste modele. De aceea, în majoritatea situaţiilor practice, este pusă în aplicare o metodologie de identificare directă a acestor modele dinamice (de comandă). De amintit că, modelele de comandă sunt de două tipuri:

1. Modele neparametrice (ca de exemplu: răspuns în frecvenţă, răspuns la treaptă, etc.). 2. Modele parametrice (ca de exemplu: funcţie de transfer, ecuaţie diferenţială sau cu diferenţe)

În continuare, se prezintă identificarea modelelor dinamice parametrice discretizate adecvate proiectării şi ajustării sistemelor numerice de comandă şi reglare.

Identificarea este o tehnică experimentală pentru determinarea modelului dinamic ai sistemului; ea cuprinde patru etape :

1. Achiziţia intrărilor/ieşirilor cu un protocol de experimentare.2. Alegerea structurii modelului (determinarea complexităţii sale).

3. Estimarea parametrilor modelului.4.Validarea modelului identificat (validarea structurii şi a valorilor parametrilor).O operaţie de identificare completă trebuie să conţină cele patru etape enumerate anterior. Metodele

specificate utilizate în fiecare etapă depind de tipul modelului studiat (parametric sau neparametric, continuu sau discret). Metoda de identificare clasică utilizată pentru obţinerea modelelor parametrice pornind de la modele neparametrice este de tip răspuns la treaptă (fig. 2.2). Metoda a fost utilizată iniţial pentru a obţine modele parametrice continue, apoi a fost extinsă pentru identificarea modelelor discrete.

Fig. 1.2 Explicativă privind utilizarea metodei clasice de identificare.

Pornind de la forma răspunsului procesului la treaptă, se alege un tip de model şi se determină grafic parametrii modelului. Cunoscând frecvenţa de eşantionare, se poate obţine cu ajutorul tabelelor modelul discret corespunzător.

Dezavantajele acestei metode sunt multiple:- semnalele de test au amplitudine mare (fiind rareori tolerate de instalaţiile industriale);

- precizia modelului obţinut este redusă; - influenţa perturbaţiilor este semnificativă, ele conducând cu uşurinţă la necesitatea schimbării modelului ales; - nu există posibilitatea modelării perturbaţiilor; - timpul de calcul este mare; - nu există posibilitatea validării modelului.

Utilizarea unui calculator numeric permite implementarea algoritmilor de estimare automată a parametrilor modelelor discrete ale proceselor. Este important de subliniat că identificarea modelelor parametrice discrete permite (prin simulare) obţinerea unor modele neparametrice de tip răspuns la treaptă sau răspuns în frecvenţă, cu o precizie mai mare decât în cazul unei abordări directe şi utilizând semnale de excitaţie extrem de slabe. Identificarea modelelor parametrice discrete conduce la modele de utilizare foarte generală şi oferă numeroase avantaje în raport cu celelalte abordări.

Au fost dezvoltaţi algoritmi de identificare performanţi având o formulare recursivă adaptată problemelor de identificare în timp real şi implementării lor pe calculatoare [35]. Faptul că aceste metode de identificare pot lucra cu semnale de excitaţie extrem de slabe constituie o calitate apreciată în practică.

2

Fig. 1.3 Principiul estimării parametrilor modelelor discrete.

Un model discret cu parametri ajustabili poate implementat pe calculator (fig. 2.3). Eroarea între ieşirea procesului la momentul t, y(t), şi ieşirea predictivă de model, , numită eroare de predicţie, este utilizată de algoritmul de adaptare parametrică. Acesta va modifica parametrii modelului la fiecare moment de eşantionare, astfel încât să fie minimizată această eroare. Mărimea de intrarea este, în general, o secvenţă pseudo-aleatoare binară de un nivel foarte slab, generată de calculator (succesiune de impulsuri dreptunghiulare cu durată aleator variabilă – în Matalab există astfel de blocuri). Odată modelul obţinut, o validare obiectivă poate fi făcută prin teste statistice asupra erorii de predicţie şi ieşirii predictate . Testul de validare permite pentru un proces dat să se aleagă cel mai bun model, respectiv cea mai bună structura şi cel mai bun algoritm pentru estimarea parametrilor. Calculând şi reprezentând grafic răspunsul la o treaptă şi răspunsul în frecvenţă al modelului identificat, se poate determina modelul continuu (răspuns la o treaptă sau răspuns în frecvenţă). Această abordare pentru identificare modelelor procesului elimină dezavantajele metodelor clasice menţionate anterior şi oferă, şi alte posibilităţi, cum ar fi:

- urmărirea variaţiilor parametrilor procesului în timp real, permiţând o reacordarea regulatoarelor în timpul funcţionării;

- identificarea modelelor de perturbaţie; - modelarea zgomotelor din traductoare în vederea eliminării lor;

- detecţia şi măsurarea frecvenţelor de vibraţie; - analiza spectrală a semnalelor.

Unul din elementele cheie pentru aplicarea acestei abordări pentru identificarea modelului procesului este algoritmul de adaptare parametrică (AAP), ce ajustează parametrii modelului de predicţie plecând de la informaţiile culese de la sistem la fiecare pas de eşantionare. Acest algoritm are o structură recursivă, adică noua valoare a parametrilor este egală valorii precedente plus un termen de corecţie ce va depinde de ultimele măsurători.

Există algoritmi nerecursivi de identificare parametrică (ce prelucrează în bloc fişierele cu date de intrare/ieşire obţinute pe un orizont de timp). În comparaţie cu aceste tehnici, identificarea recursivă oferă avantajele următoare:

- obţinerea unei estimaţii a modelului pe măsură ce procesul evoluează;

3

u(t)

Parametrii modelului

Model eşantionat adaptiv

Algoritm de adaptare

parametrică

+-_

y(t)

CANCAN+EO

Z

PROCES

PROCES DISCRETIZAT

(t)

ty

- compresia datelor, pentru că algoritmii recursivi nu prelucrează la un moment dat decât o pereche de date intrare/ieşire, spre deosebire de ceilalţi algoritmi ce utilizează o mulţime de date;

- necesarul de memorie şi puterea de calcul sensibil diminuate;- implementarea uşoară pe calculator;- posibilitatea de a realiza sisteme de identificare în timp real;- posibilitatea de a urmări parametrii sistemelor variabile în timp.

1.2 ALGORITMI RECURSIVI PENTRU IDENTIFICAREA PARAMETRICĂ

1.2.1 Abordarea euristicăSe consideră modelul discret al procesului descris prin:

y(t + l) = -al y(t) + bl u(t) , tN , (1.1)

unde a1 este un parametru cunoscut şi b1 este un parametru având o valoarea pozitivă, dar necunoscută.Scopul este de a estima valoarea parametrului b1. Modelul identificat va avea aceeaşi structură cu cel

de mai sus. Pentru a identifica b1, va trebui construit un model ajustabil dat de o ecuaţiei de forma (1.1), în care b1 va fi înlocuit prin estimaţia sa , şi care va fi modificat cu ajutorul unui algoritm de adaptare parametrică. Efectul algoritmului va trebui să se concretizeze printr-o reducere/ minimizare a distanţei dintre mărimea de ieşire reală şi mărimea de ieşire predictivă printr-un model ajustabil.

Modelul ajustabil de predicţie (a priori) va fi deci descris de ecuaţia:

ŷ0(t+l) = -a1 y(t) + u(t), tN , (1.2)

în care este o estimaţie a lui b1 la momentul t. Se defineşte eroarea de predicţie (a priori):

ε0(t+1) = y(t+1) - ŷ0(t+1) , t N, (1.3)

În funcţie de valorile lui b1 şi apar câteva situaţii:

1. Cazul parametrului subestimat: u(t)>0 de tip treaptă; >b1. Răspunsurileprocesului şi modelului sunt reprezentate în fig. 1.4.a, caz în care, ε0(t) > 0.

a) b)Fig. 1.4 Evoluţia lui y(t) şi în cazul:

a) subestimării parametrului; b) supraestimării parametrului.

2. Cazul parametrului supraestimat: u(t)>0 de tip treaptă; >b1. Răspunsurile procesului şi modelului

sunt reprezentate în fig. 1.4.b. În acest caz, <0. Analizând cele două situaţii, se poate propune un algoritm de adaptare parametrică de forma:

= + k ε0 (t+1), tN , (1.4)

4

unde k > 0 este amplificarea de adaptare. Această ecuaţie are forma unui integrator numeric, ceea ce garantează memoria algoritmului (dacă ε0(t+1)=0, atunci = . În cele ce urmează se vor studia

evoluţiile lui cu acest algoritm (prin convenţie, va indica o creştere, iar va indica o descreştere):

u (t) > 0 ; < b1 ; k ε0 (t) > 0 ; u (t) > 0 ; > b1 ; k ε0 (t) < 0 ;

Fig. 1.5 Explicativă privind evoluţia lui (t) utilizând algoritmul dat de ecuaţia(1.4) pentru u(t) < 0.

Se observă că, pentru u(t) > 0, acţiunea algoritmului de adaptare parametrică este bună. Din contră, dacă se

schimbă semnul lui u(t) (u(t) < 0), algoritmul de adaptare parametrică face ca să evolueze într-un sens nedorit (lucru ilustrat în fig. 1.5). Trebuie deci modificat algoritmul dat prin ecuaţia (1.4) pentru a ţine cont de semnul lui u(t) (trebuie inversată acţiunea atunci când u(t) este negativ). Dar:

sign u = , (1.5)

şi algoritmul de adaptare parametrică devine:

= + u(t)ε0(t+1) , t N , (1.6)

Acest nou algoritm acţionează într-un sens bun asupra lui , oricare ar fi semnul lui u(t). Se obţine:

u (t) > 0 ; < b1 ; u(t)ε0 (t) > 0 ; u (t) < 0 ; < b1 ; u(t)ε0 (t) > 0 ; u (t) > 0 ; > b1 ; u(t) ε0 (t) < 0 ; u (t) < 0 ; > b1 ; u(t) ε0 (t) < 0 ;

Se pot aduce o serie de ameliorări la algoritmul de adaptare parametrică (AAP) dat de ecuaţia (1.6) . O primă îmbunătăţire se poate face prin reducerea sensibilităţii algoritmului în raport cu amplitudinea lui u(t) şi a valorii amplificării k. Din ecuaţiile (1.1), (1.2) şi (1.3) se obţine:

kε0(t+1) = (b1(t) - )ku(t), tN , (1.7)

Astfel spus, termenul de corecţie este proporţional cu produsul ku(t). Este convenabil ca termenul de corecţie să fie normalizat, împărţindu-l cu ku(t). În această situaţia algoritmul de adaptare va devine:

5

= + u(t)ε0 (t+1) , t N , (1.8)

A doua îmbunătăţire se referă la situaţiile când u(t)0, ceea ce conduce la o împărţire cu 0. Pentru a o evita, algoritmul din ecuaţia (2.8) se modifică astfel:

= +ε0 (t+1), tN . (1.9)

În ecuaţia (2.9) se poate pune în evidenţă un termen de forma ε0 (t+1)/(1+ ku(t)2) ce are o interpretare foarte interesantă. Pentru aceasta, în ecuaţia (1.2) se înlocuieşte cu şi se notează noua ieşire a modelului ŷ(t+1) (model de predicţie a posteriori):

ŷ(t+1) = -a1y(t) + u(t), tN. (1.10)

Utilizând ecuaţia (2.9), ecuaţia (2.10) se poate rescrie sub forma:

ŷ(t+1) = -a1y(t) + u(t) =

= ŷ0(t+1) + ε0 (t+1) , tN . (1.11)

Se defineşte:

ε (t) = y(t) - ŷ(t) , t N . (1.12)

Utilizând relaţiile (2.11) şi (2.3) în această definiţie, se obţine:

ε (t+1) = ε0 (t+1) - ε0 (t+1) = , t N . (1.13)

În acest context, ε0(t+l) este numita eroare de prediceţie a priori, pentru că depinde de parametrii estimaţi la momentul t. Analog, ε(t+1) este numită eroare de predicţie a posteriori, deoarece ea depinde de parametrii estimaţi la momentul t+1, adică după ce algoritmul de adaptare parametrică a acţionat. Ecuaţia (2.13) dă relaţia dintre eroare, de predicţie a priori şi eroarea de predicţie a posteriori. Se constată că ε(t+1)ε0(t+1) (egalitatea având loc pentru valori nule ale lui k sau u). De asemenea, ecuaţia (2.13) permite să se rescrie algoritmul de adaptare parametrică dat de ecuaţia (2.9) sub forma:

= +k u(t)ε(t+1), tN, (1.14)

unde (t+1) este dat de ecuaţia (1.13), depinzând astfel numai de parametrii estimaţi la momentul t .

1.2.2 Algoritmul gradientului

6

Algoritmul de adaptare parametrică al gradientului are ca obiectiv minimizarea unui criteriu pătratic în funcţie de eroarea de predicţie [9]. Se va considera acelaşi exemplu ca în paragraful precedent, dar, de această dată, cei doi parametri ai modelului procesului, a1 şi b1, sunt necunoscuţi.

Modelul discretizat al procesului este descris de relaţia:

y(t+1) = -a1y(t) + b1u(t) = T(t), t N , (1.15)

unde:

T = [a1, b1], (1.16)

este vectorul parametrilor (necunoscuţi) şi

T(t) = [-y(t) , u(t)] , t N, (1.17)

este vectorul măsurilor (sau al observaţiilor).Modelul de predicţie ajustabil (a priori) va fi descris de ecuaţia:

ŷ0(t+1) = ŷ(t+1) (t) = -â1(t)y(t) + (t)u(t) = T(t)(t), tN, (1.18)

unde ŷ0(t+1) reprezintă predicţia a priori ce depinde de valorile parametrilor estimaţi la momentul t şi

T(t) = [â1(t), ] , tN, (1.19)

este vectorul parametrilor estimaţi.Ieşirea a posteriori a predictorului va fi dată de ecuaţia:

ŷ(t+1)=ŷ(t+l (t+1))=-â1(t+1)y(t)+ u(t)= T(t+1)(t), tN (2.20)

Se defineşte o eroare de predicţie a priori prin:

ε0(t) = y(t) - ŷ0(t), tN, (1.21)

şi o eroare de predicţie a posteriori prin:

ε(t) = y(t) - ŷ(t), tN. (1.22)

şi se caută un algoritm de adaptare parametrică recursiv şi cu memorie. Structura unui astfel de algoritm este:

(t+1)= (t)+ (t+1)= (t)+k( (t)(t)ε0(t+1)), tN. (1.23)

7

Termenul de corecţie k(•) trebuie să depindă numai de informaţiile disponibile la momentul t+1 (ultima măsurare y(t+l), parametrii (t)) şi eventual un număr finit de informaţii la momentele (t, t-1, t-2, . . . , t-n). Termenul de corecţie permite minimizarea la fiecare pas a criteriului:

J(t+1) = [ε0(t+l)]2 , tN, (1.24)

minimizarea efectuându-se în raport cu (t) la momentul (t+1). Soluţia se obţine utilizând metoda gradientului. Dacă se reprezintă curbele de izocriteriu (pentru care J este constant) în planul parametrilor a1 şi b1 , se obţin curbe închise concentrice în jurul valorii minimale a criteriului corespunzătoare punctului a 1 , respectiv b 1 (parametrii modelului procesului). Curbele de izocriteriu se depărtează de minim pe măsură ce valoarea lui J creşte (fig. 1.6).

Fig. 1.6 Principiul metodei gradientului.

Pentru a minimiza valoarea criteriului, se va efectua o deplasare în direcţia inversă gradientului curbei de izocriteriu corespunzătoare. Aceasta va conduce la o curbă corespunzătoare lui J constant de valoare mai mică (precum este ilustrat în fig. 1.7). Algoritmul de adaptare parametrică corespunzător va avea forma:

(t+1) = (t) - K , tN , (1.25)

unde K=I cu > 0, este amplificarea de adaptare matricială, I este o matrice diagonală unitară, şi

este gradientul criteriului ecuaţiei (1.24) în raport cu (t). Din ecuaţia (1.24), rezultă:

= ε0(t+1) , tN. (1.26) Cum:

ε0(t+1)=y(t+1)-ŷ0(t+1)= y(t+1)- (t)(t), tN, (1.27)

rezultă că:

= -(t), tN. (1.28)

Introducând ecuaţia (1.28) în ecuaţia (1.26), algoritmul de adaptare parametrică din ecuaţia (1.25) devine:

(t+1)= (t)+K(t)ε0(t+1), tN , (1.29)

unde K este amplificarea matricială de adaptare. În acaestă situaţie sunt posibile două alegeri [17]:

8

1. K = I , > 0;

2. K > 0 (matrice pozitiv definită - este caracterizaţii prin faptul că: toate elementele de pe diagonală sunt pozitive, este simetrică iar determinanţii tuturor minorilor principali sunt pozitivi).

Interpretarea geometrică a algoritmului de adaptare parametrică din ecuaţia (1.29) este ilustrată în fig. 1.7. Algoritmul de adaptare parametrică dat de ecuaţia (1.29) prezintă riscuri de instabilitate dacă amplificarea de adaptare (respectiv ) este mare (aceast lucru se poate înţelege cu ajutorul fig. 1.6).

Fig. 1.7 Interpretarea geometrică a algoritmului de adaptare al gradientului.

Pentru a evita această problemă de instabilitate, se utilizează aceeaşi abordare a gradientului dar se consideră un alt criteriu:

J(t+1) = [ε(t+1)]2 , tN, (1.30)

de unde se obţine:

= ε(t+1) , tN. (1.31)

Din ecuaţiile (1.20) şi (1.22) se obţine:

ε(t+1)=y(t+1) ŷ(t+1)=y(t+1)-T(t+1) (t), tN, (1.32)

respectiv:

= -(t)’, tN. (1.33)

Introducând ecuaţia (1.33) în ecuaţia (1.31), algoritmul de adaptare parametrică din ecuaţia (1.25) devine:

(t+1)= (t) + K(t)ε(t+1) , tN. (1.34)

Acest algoritm depinde de ε(t+1), care este o funcţie de (t+1). Pentru a se putea implementa acest algoritm, trebuie exprimat ε(t+1), în funcţie de ε0(t+1), (adică: ε(t+1)=f( (t), (t), ε0(t+1)). Ecuaţia (1.32) se poate rescrie sub forma:

9

ε(t+1) = y(t+1)- (t)(t) -[ (t+1)- (t)]T(t), t N. (1.35)

Primii doi termeni ai membrului drept corespund lui (t+1), şi, din ecuaţia (1.4),rezultă:

(t+1) - (t) = K (t) ε(t+1), tN. (1.36)

ceea ce permite scrierea ecuaţiei (2.25) sub forma:

ε(t+1) = ε0(t+1) T(t) K (t) ε(t+1), tN. (1.37)

de unde se obţine relaţia între ε(t+1) şi ε0(t+1) :

ε(t+1) = , t N . (1.38)

Algoritmul din ecuaţia (1.34) devine:

(t+1) = (t) , tN . (1.39)

Acesta este un algoritm stabil oricare ar fi amplificarea K (pozitivă). Împărţirea prin 1+T(t)K(t) introduce o normalizare (ca în paragraful anterior), care reduce sensi-bilitatea algoritmului în raport cu K şi (t). Dacă parametrul a1 este cunoscut, acest algoritm este identic celui dat de ecuaţia (1.9), obţinut prin consideraţii euristice.

1.2.3 Algoritmul celor mai mici pătrate recursiv

Utilizând algoritmul gradientului, se minimizează la fiecare pas ε2(t+1) sau deplasarea se efectuează în direcţia de descreştere cea mai rapidă a criteriului, cu un pas ce depinde de K. Minimizarea lui ε2(t+1) la fiecare pas nu implică în mod necesar minimizarea sumei:

, tN .

pe un orizont de t paşi (fig. 1.8). De fapt, în apropierea optimului, dacă amplificarea nu este destul de slabă, pot exista oscilaţii în jurul minimului. Pe de altă parte, pentru a avea o viteză de convergenţă bună de la început, când diferenţa faţă de optim este mare, ar fi de preferat o amplificare de adaptare mare. Algoritmul celor mai mici pătrate recursiv oferă un astfel de profil de variaţie a amplificării de adaptare.

10

Fig. 1.8 Explicativă privind evoluţia unui algoritm de adaptare de tip gradient.

Se consideră aceleaşi ecuaţii pentru proces, modelul de predicţie şi erorile de predicţie utilizate în algoritmul gradientului, şi anume ecuaţiile (1.15), ... , (1.22). Scopul este de a găsi un algoritm recursiv având forma ecuaţiei (1.23) care să minimizeze criteriul celor mai mici pătrate [23, 43]:

J(t) = - (t) (i-1)]2 , tN *. (1.40)

Termenul (t) (i-1) corespunde lui:

(t) (i-1) = -â1(t)y(i-1) + u(i-1) = ŷ(i (t)) , tN . (1.41)

Astfel, predicţia ieşirii la momentul i (i t) este bazată pe estimarea parametrilor la momentul t obţinută cu ajutorul a t măsurări.

Se pune problema estimării unui parametru la momentul t ce minimizează suma pătratelor distanţelor dintre proces şi modelul de predicţie pe un orizont de t măsurări. Valoarea lui (t) care minimizează criteriul (2.40) se obţine căutând valoarea care anulează J(t)/ (t):

= -2 - (t) (i-1)] T(i-1) = 0 , t N *. (1.42)

După aplicarea operatorului de transpunere rezultă imediat ecuaţia liniară în :

(t) = , t N*.

Multiplicând la stânga cei doi termeni ai acestei ecuaţii cu termenul:

,

va rezulta:

(t)= =K(t) , tN*, (1.43)

unde:

[K(t)]-1 = , t N*. (1.44)

Acest algoritm de estimare nu este recursiv, şi ca urmare, pentru a obţine un algoritm recursiv, se consideră estimaţia lui :

11

(t+1) = K(t+1) , tN*. (1.45)

[K(t+1)]-1 = = [K(t)]-1 + (t) T(t) , tN*. (1.46)

Se urmăreşte exprimarea lui în funcţie de :

(t+1) = (t) + (t+1) , tN*. (1.47)

Din ecuaţia (1.45) se obţine:

= + (t)y(t+1)= [K(t)]-1 (t) + (t)y(t+1), tN*.

(1.48)

Ţinând cont de relaţia de recurenţă (2.46), ecuaţia (2.48) se poate rescrie sub forma:

= [K(t+1)]-1 (t+1) =

= [K(t+1)]-1 (t) + (t) [y(t+1) - T(t) (t)] =

= [K(t+1)]-1 (t) + (t)ε0(t+1), tN*. (1.49)

Înmulţind la stânga cu K, rezultă:

(t+1) = (t) + K(t+1)(t)ε0(t+1), tN*. (1.50)

Algoritmul de adaptare din ecuaţia (1.50) are o formă recursivă similară algoritmului gradientului dat de ecuaţia (1.29), cu deosebirea că matricea de amplificare K(t+1) este variabilă în timp, întrucât depinde de măsurări (aceasta corectează automat direcţia gradientului şi lungimea pasului). Acum, se urmăreşte o formulă recursivă pentru K(t+1) plecând de la formula recursivă pentru K-1(t+1) dată de ecuaţia (1.46). Aceasta se obţine utilizând o lemă a inversării matriciale (dată mai jos într-o formă simplificată), rezultat preluat din Teoria calculului matricial:

Lemă. Fie K o matrice pătrată de dimensiune (nxn) şi un vector de dimensiune n, atunci:

(K-1 + T )-1 = K - . (1.51)

Aplicând această lemă, din ecuaţiile (1.46) şi (1.51) se obţine:

K(t+1 ) = K(t) - , tN*. (1.52)

Regrupând ecuaţiile, o primă formă a algoritmului de adaptare parametrică (AAP) a celor mai mici pătrate recursiv (CMMPR) este dată mai jos:

12

(t+1) = (t) + K(t+1)(t)ε0(t+1), tN. (1.53)

K(t+1 )=K(t)- , t N. (1.54)

ε0(t+1) = y(t+1) - T(t )(t) , tN. (1.55)

Argumentul t din aceste relaţii, pleacă de la 0, mărimile K(0) şi (0) constituind iniţializarea predefinită a algoritmului.

O formă echivalentă a acestui algoritm se obţine introducând expresia lui K(t+1)dată de ecuaţia (1.54) în ecuaţia (1.53):

(t+1)- (t)=K(t+1)(t)ε0(t+1)=K(t)(t) , t N. (1.56)

Dar, din ecuaţiile (1.21) şi (1.22) rezultă sucesiv:

ε(t+1)=y(t+1)-T(t) (t+1)=y(t+1) - T(t) (t) - T(t)[ (t+1)- (t)]=

= ε0(t+1) -T(t)K(t)(t) =

= , tN*, (1.57).

care exprimă relaţia între eroarea de predicţie a posteriori şi eroarea de predicţie a priori. Utilizând relaţia în ecuaţia (1.56), se obţine o formă echivalentă a algoritmului de adaptare parametrică a celor mai mici pătrate, recursiv:

(t+1) = (t) + K(t+1)(t)ε(t+1), tN ; (1.58)

K(t+1)-1 = K(t)-1 + (t)T(t) , tN ; (1.59)

K(t+1) = K(t) - , tN ; (1.60)

ε(t+1) = , tN. (1.61)

Şi aici rămâne valabilă observaţia anterioară privind iniţializarea algoritmului. Pentru ca algoritmul celor mai mici pătrate recursiv să fie riguros echivalent cu algoritmul nerecursiv al celor mai mici pătrate ar trebui demarat la momentul t0=dim , pentru ca inversa lui K(t0) (dată prin ecuaţia (1.44) pentru t=t0) să fie bine definită. În practică, algoritmul este iniţiat de la momentul t=0, considerând:

K(0) = = (GI)I , 0 < << 1 , (1.62)

13

o valoare tipică fiind 0,001 (GI=1000). Se poate vedea din expresia lui [K(t+l)]-1 dată prin ecuaţia (1.46) că influenţa acestei erori iniţiale descreşte în timp. O analiză riguroasă (pornind de la teoria stabilităţii) arată

totuşi că pentru orice K(0) pozitiv definită (K(0) > 0), are loc proprietatea asimptotică: .

Algoritmul celor mai mici pătrate recursiv este un algoritm cu amplificare de adaptare descrescătoare, lucru evident dacă se consideră estimaţia unui singur parametru. În acest caz K(t) şi (t) sunt scalari şi ecuaţia (1.60) devine:

K(t+1) = K(t) , tN*.

De fapt, algoritmul celor mai mici pătrate recursiv alocă ponderi din ce în ce mai mici noilor erori de predicţie, deci noilor măsurări. Aşadar, acest tip de variaţie al amplificării de adaptare nu este indicat pentru estimarea parametrilor variabili în timp. Va trebui, să se considere alte profile de variaţie a amplificării de adaptare.

Algoritmul celor mai mici pătrate care a fost prezentat pentru (t) şi (t) de dimensiune 2 se generalizează pentru orice dimensiune rezultând din descrierea sistemelor discrete de forma:

y(t) = , t N, (1.63)

unde:

A(q-1) = 1 + a1q-1 +...+ anAq-nA , (1.64)

B(q-1) = 1 + b1q-1 +...+ bnBq-nB . (1.65)

Acesta se scrie în forma detaliată care urmează:

, tN . (1.66)

unde:T = [a1,...,anA,b1,...,bnB], (1.67)

T(t) = [-y(t), ..., -y(t-nA+1), u(t-d),..., u(t-d-i+1)] , tN. (1.68) Predictorul ajustabil a priori este dat, în cazul general, de ecuaţia:

, tN, (1.69)

unde:

T = [ 1,..., nA, 1,..., nB]. (1.70)

Pentru estimarea lui (t), se utilizează algoritmul dat de ecuaţiile (1.58), (1.59), (1.60), (1.61) cu o dimensiune adecvată pentru (t), (t) şi K(t).

14

1.3 ALEGEREA INTRĂRILOR PENTRU IDENTIFICARE

1.3.1 Formularea problemei

Convergenţa către zero a erorii de predicţie ε(t) nu implică în majoritatea cazurilor convergenţa parametrilor estimaţi ai modelului spre parametrii reali ai modelului. Se va prezenta situaţia pe un exemplu. Fie modelul discret al procesului descris prin:

y(t+1) = -a1y(t) + b1u(t) , tN. (1.71)

şi un model estimat descris prin:

ŷ(t+1) = - y(t) + u(t), tN. (1.72)

unde ŷ(t+1) este ieşirea predictivă prin modelul estimat.Se presupune că u(t) este constant şi că parametrii a1, b1, â 1 , verifică relaţia următoare:

, (1.73)

adică amplificările statice ale procesului şi ale modelului estimat sunt egale, fără ca în mod necesar = b1 şi â 1 = a1.

Sub efectul intrării constante u(t) =u, ieşirea procesului va fi dată de relaţia:

y(t+1) = y(t) = u , tN, (1.74)

iar ieşirea modelului estimat de predicţie va fi dată de relaţia:

ŷ(t+1) = ŷ(t) = u , tN. (1.75)

Dar, ţinând cont de relaţia (2.89), rezultă:

ε(t+1) = y(t+1) - ŷ(t+1) = 0 , pentru u(t) = u, â 1 a 1 , b1 (1.76)

Pentru acest exemplu, aplicarea unei intrări constante nu permite să se distingă cele două modele, pentru că au aceeaşi amplificare statică.

15

Fig. 1.9 Caracteristicile in frecvenţă a două sisteme avâned aceeaşi amplificare statică.

Dacă se reprezintă caracteristica de frecvenţă a celor două sisteme, se vor obţine curbele reprezentate în fig. 1.9. Din figură se observă că, pentru a pune în evidenţă diferenţa dintre cele două modele (adică între parametri), trebuie aplicat un semnal u(t)=sin(t) ( 0) şi nu un semnal u(t) constant. Analizând acest fenomen mai în detaliu, se observă că, atunci când eroarea de predicţie este nulă, din ecuaţiile (1.71) şi (1.72) se obţine:

ε(t+1) = y(t+1)- ŷ(t+1) = -[a 1 - â 1 ] y ( t ) + [b1- ]u(t)=0 , tN. (1.77)

Plecând de la ecuaţia (1.71), se poate exprima y(t) în funcţie de u(t)

y(t) = u(t) , t N. (1.78)

Introducând expresia lui y(t) dată prin ecuaţia (1.75) în ecuaţia (1.74), se obţine relaţia echivalentă:

[(â 1 - a 1 )b1q-1 + ( b1- ) (1 + a1q-1)] u(t) = 0

[( b1- ) + q -1( b1â 1 - a 1 )] u(t) = 0 , tN. (1.79)

Se urmăreşte găsirea unei structuri a lui u(t) pentru ca verificarea ecuaţiei (1.79) săconducă la erori parametrice nule. Se notează:

b1- = 0 ; b1â 1 - a 1 = 1 . (1.80)

Ecuaţia (1.79) se rescrie sub forma:

(0 + 1q-1) u(t) = 0 , tN. (1.81)

care este o ecuaţia recurentă având o soluţie de tip exponenţială discretă.Fie:

u(t) = zt = , tN. (1.82)

unde Te este perioada de eşantionare. Ecuaţia (1.81) se scrie sub forma:

16

(0 + z-1) zt = (z0 + ) zt-1 = 0 , tN. (1.83)

şi va fi verificată pentru z, soluţie a ecuaţiei caracteristice:

z0 + 1 = 0. (1.84)

Se obţine:

= , (σ ) (1.85)

şi soluţia neperiodică:

u(t) = , tN. (1.86)

conduce la verificarea ecuaţiei (2.97) şi, respectiv, a ecuaţiei (2.93) fără ca =b1 şi â 1 = a 1 . De fapt, semnalul u(t) constant, considerat anterior, corespunde la σ=0, adică -1=0. Dar -1=0 b1-

=a 1 -b1â 1 . Altfel spus, dacă u(t) este constant, nu se va identifica decât

amplificarea statică. Ca urmare, trebuie găsit u(t), astfel încât â 1 = a 1 ş i = b1. Acesta va fi obţinut dacă u(t) nu este o soluţie posibilă a ecuaţiei (2.97). Fie:

u(t) = , tN. (1.87)

Ecuaţia (1.81) devine (pentru u(t) = ):

[ 0 + 1] = 0 , tN. (1.88)

Cum 0 şi 1 sunt variabile reale, nu poate fi o rădăcină a ecuaţiei caracteristice şi rezultă că ε(t)=0 va fi obţinut numai dacă:

0 = 1 = 0 â 1 = a 1 , = b1 . (1.89)

Aceste observaţii conduc la tipul de intrare care a fost propus anterior, examinând caracteristicile frecvenţiale. Aşadar, este necesară o sinusoidă de frecvenţă nenulă pentru a identifica cei doi parametri din exemplul prezentat. Această abordare pentru determinarea intrării u(t) (permite o bună identificare a parametrilor modelului) se aplică şi pentru sisteme de forma generală:

y(t) = - + , tN. (1.90)

pentru care numărul total al parametrilor de identificat este: . În acest caz, se poate alege u(t) ca o sumă de p sinusoide de frecvenţe distincte:

17

u(t) = , tN. (1.91)

iar o valoarea lui p ce permite o bună identificare a tuturor parametrilor este dată de condiţia (1.92) prin care

se asigură că (i-1) (i-1) este o matrice ireversibilă şi pozitiv definită pentru t nA +nB =dim :

. (1.92)

Altfel spus, pentru o bună identificare trebuie aplicată o intrare bogată în frecvenţe. Soluţia standard în practică este furnizată priit utilizarea secvenţelor pseudo-aleatoare SPAB).

1.4 EFECTUL PERTURBAŢIILOR ALEATOARE ASUPRA IDENTIFICĂRII PROCESELOR

Ieşirea măsurată a proceselor este în general afectată de zgomot, f ie din cauza efectului perturbaţiilor aleatoare care acţionează asupra procesului, fie din cauza zgomotelor de măsură. Aceste perturbaţii cu caracter aleator sunt modelate adeseori prin modele ARMAX (descriu procese cu perturbaţiilor aleatoare). Perturbaţiile introduc erori în identificarea parametrilor modelelor procesului atunci când se utilizează algoritmul celor mai mici pătrate recursiv (sau nerecursiv). Acest tip de eroare se numeşte deviaţie a parametrilor.

Înainte de a se prezenta algoritmii care permit eliminarea deviaţiei parametrilor estimaţi, se analizează mai întâi efectul perturbaţiilor aleatoare asupra algoritmului celor mai mici pătrate. În acest caz, se consideră un model de proces şi perturbaţia de tip ARMAX (model utilizat pentru a reprezenta simultan efectul comenzii şi al perturbaţiilor asupra ieşirii procesului):

y(t+1) = -a1y(t) + b1u(t) +c1e(t) + e(t+1) , t N. (1.93)

unde termenul e(t+1)+c1e(t) modelează perturbaţia.Predictorul ajustabil a priori pentru metoda celor mai nud pătrate recursivă se scrie în acest caz:

ŷ(t+1) = -â1y(t+1) + u(t +1)u(t) , t N. (1.94)

Perturbaţia nu este modelată în modelul ajustabil al procesului. Eroarea de predicţie a posteriori este dată prin:

ε(t+1) = y(t+1) - ŷ(t+1) = , t N. (1.95)

unde:

; , t N. (1.96)

Algoritmul de adaptare parametrică este următorul:

(t+1) = (t) +K(t)(t)ε(t+1) , t N. (1.97)

18

În absenţa perturbaţiilor, pentru (t)=0, eroarea de predicţie a posteriori este nulă (ε(t+1)=0) iar algoritmul (1.97) lasă neschimbată valoarea parametrilor estimaţi. Însă, în prezenţa perturbaţiilor, chiar dacă

(t)=0, se obţine:

ε(t+1) = c1e(t) +e(t+1) , t N. (1.98)

Pe de altă parte, (t) dat de ecuaţia (1.96) conţine y(t), care potrivit ecuaţiei (1.94) (rescrisă la momentul t) depinde de e(t) şi e(t -1), de unde rezultă:

(t) = f(e(t), e(t+1)...) , t N. (1.99)

În consecinţă, corelaţia dintre (t) şi ε(t+1) este nenulă:

E{(t)ε(t+1)} 0. (1.100)

Chiar dacă se iniţializează algoritmul celor mai mici pătrate recursiv cu (0)= , aceasta implică faptul că termenul de corecţie al ecuaţiei (1.97) va introduce o eroare (deviaţie) proporţională cu E{(t)ε(t+1)}. De fapt, din ecuaţia (1.97) se obţine:

(t+N)= (t) + (t+i)ε(t+i+1) , t N. (1.101)

Pentru N suficient de mare, rezultă :

(t+i)ε(t+i+1) E{(t)ε(t+1)} , (1.102)

şi ca urmare termenul de corecţie din ecuaţia (1.97) va introduce o derivaţie. Pentru a elimina derivaţia,vor trebui aleşi vectori de observaţie, alţi predictori şi alte erori de adaptare astfel încât:

E{(t)ε(t+1)} = 0 (1.103)

Pentru a genera algoritmii care să satisfacă condiţia (1.103) şi care să conducă asimptotic la estimaţii nedeviate ale parametrilor sunt reţinute două criterii.

1. ε(t+1) (sau υ(t+1) = eroarea de adaptare ) este un zgomot alb pentru .

2. (t) şi ε(t+1) (sau υ(t+1)) sunt necorelate (sau independente) pentru .

Eliminarea derivaţiei asupra parametrilor estimaţi în prezenţa perturbaţiilor este la originea dezvoltării majorităţii metodelor de identificare.

1.5 STRUCTURA METODELOR DE IDENTIFICARE RECURSIVĂ

Toate metodele de identificare recursivă corespund schemei de principiu ilustrate în fig. 2.12. Acestea utilizează aceeaşi structură pentru alogoritmul de adaptare parametrică, dar cu diferite alegeri posibile pentru amplificarea de adaptare şi se diferenţiază prin [25, 39]:

- structura predictorului şi natura componentelor vectorului de observaţie (); - dimensiunea vectorului parametrilor ajustabili (t) şi a vectorului observaţiilor

19

(t);- modul de generare al erorilor de predicţie, respectiv, al erorilor de adaptare.

Fig. 1.10 Structura generală a metodelor de identificare recursive.

Proprietăţile de convergenţă în prezenţa perturbaţiilor aleatoare vor depinde de alegerile indicate mai sus. Se disting trei tipuri de metode:

1. Metode de ecuaţie de eroare (MCMMP recursivă şi diferitele variante aleacesteia: MCMMP extinsă, MCMMP generalizată, metoda maximului de verosimilitate recursivă). Fiecare metodă are ca obiectiv obţinerea unei erori de predicţie albe (zgomot alb) pentru o clasă de modele de perturbaţie ce modelează perturbaţia.

2. Metode de variabilă instrumentală (cu observaţii întârziate sau cu model auxiliar). Obiectivul fiecărei metode este obţinerea anulării lui E{(t)ε(t+1)}, prin modificarea vectorului de observaţie (t) al algoritmului CMMP.

3. Metode de eroare de ieşire (cu compensator fix, cu compensator ajustabil, cu model de predicţie extins). Aceste metode au ca obiectiv obţinerea în mod asimptotic fie a anulării lui E{(t)ε(t+1)}, fie a albirii erorii de adaptare, prin modificarea predictorului şi a metodei de obţinere a erorii de adaptare.

Există în total 9 metode de identificare fundamentale, cu numeroase variante în funcţie de amplificarea de adaptare aleasă. Se disting patru structuri de modele de reprezentare a ansamblului „proces+perturbaţie". În aceste figuri, s-au utilizat notaţiile obişnuite:

A(q-1) = 1 + a1q-1 + ... + anAq-nA ,

B(q-1) = 1 + b1q-1 +...+ bnBq-nB ,

C(q-1) = 1 + c1q-1 +...+ cnCq-nC.

Cele patru structuri sunt următoarele:

S1. A(q-1)y(t) = q-d B(q-1)u(t) + e(t), t N .

Metodele ce pot fi utilizate pentru această structură sunt:

- cele mai mici pătrate recursivă (MCMMPR);- variabile instrumentale cu model auxiliar;- variabile instrumentale cu observaţii întârziate;- eroare de ieşire cu compensator fix;

20

u(t)

Predictor adaptiv

Algoritm de adaptare parametrică

+-_

y(t)

q-1

PROCES

Perturbaţie

(t)

ty

t 1 t

- eroare de ieşire cu compensator ajustabil.

Fig. 1.11 Structura modelului „proces+perturbaţie” de tip S1.

S2. A(q-1)y(t) = q-d B(q-1)u(t) + A(q-1)w(t), t N.

Structura corespunde unui model de forma (fig. 1.11):

y(t) = u(t) + w(t) , tN .

unde w(t) este o perturbaţie nemodelată asupra căreia se fac doar ipotezele: este de medie nulă, putere finită şi independentă de intrare.

Fig. 1.12 Structura modelului „proces+perturbaţie” de tip S2.

Metodele ce pot fi utlizate pentru această structură sunt:

- metoda celor mai mici pătrate recursivă (dacă A(q-1)w(t) = e(t));- metoda variabilelor instrumentale cu model auxiliar;- metoda variabilelor instrumentale cu observaţii întârziate;- metoda cu eroare de ieşire cu compensator fix (MEICF);- metoda cu eroare de ieşire cu compensator ajustabil (MEICA).

S3. A(q-1)y(t) = q-d B(q-1)u(t) + C(q-1)e(t) , tN.

Metodele ce pot fi utilizate pentru această structură sunt (fig. 1.12):

- metoda celor mai mici pătrate extinsă (MCMMPE);- metoda maximului de verosimilitate recursivă (MMVR);

21

+ --

A

Bq d ty tu

te

A

1

+ --

A

Bq d ty tu

tw

- metoda cu eroare de ieşire cu model de predicţie extins (MEIMPE).

Fig. 1.13 Structura modelului „proces+perturbaţie” de tip S3.

S4. A(q-1)y(t) = q-d B(q-1)u(t) + e(t), tN.

Fig. 1.14 Structura modelului „proces+perturbaţie” de tip S4.

Metoda care poate fi utilizată pentru această structură este (fig. 1.14 ):

- metoda celor mai mici pătrate generalizată (MCMMPG).

Nu există o structura unică „proces + perturbaţie" pentru a descrie toate situaţiile întâlnite în practică. De asemenea, nici o metodă de identificare nu poate fi utilizată cu toate structurile posibile „proces+perturbaţie" pentru a obţine întotdeauna estimaţii nedeviate. Aşa cum s-a văzut, toate aceste metode de identificare se clasifică în două categorii, după criteriul considerat pentru dezvoltarea lor (cu scopul de a se obţine parametri estimaţi nedeviaţi).

I Metode de identificare bazate pe albirea erorii de predicţie (ε).II Metode de identificare bazate pe decorelarea vectorului de observaţie şi a erorii de predicţie

(ε) (E{ (t)ε(t+1)} 0).Cum diferitele metode au fost dezvoltate cu scopul de a verifica cele două criterii menţionate,

modelul identificat printr-o metodă trebuie să fie validat utilizând criteriul ce a fost folosit pentru a defini obiectivul metodei. Rezultă că există două tehnici de validare ce permit verificarea, după caz, a celor două criterii.

22

+ --

A

Bq d ty tu

te

A

C

+ --

A

Bq d ty tu

te

CA

1

Cum nu există o structură unică „model+perturbaţie" care să descrie toate situaţiile ce pot fi întâlnite în practică, şi pentru că nu există o metodă de identificare unică pentru a se obţine întotdeauna estimaţii nedeviate ale parametilor, rezultă că, pentru a efectua o bună identificare a unui proces, este necesar un sistem interactiv de identificare. Un astfel de sistem trebuie să furnizeze: - diferite structuri tip „model + perturbaţie"; - diferite metode de identificare şi AAP; - metode de validare a modelelor identificate; - un sistem de achiziţie şi prelucrare de date de intrare-ieşire (capabil să genereze şi secvenţe

SPAB); - analiza modelelor; - un sistem de vizualizare grafică.

Un program interactiv de identificare a modelelor parametrice ale sistemelor şi semnalelor ce răspunde criteriilor indicate mai sus este PIM - Adaptech [ ], care conţine: - 4 structuri de model „proces + perturbaţie"; - 9 metode de identificare (cu preselecţie în funcţie de structura aleasă); - 7 tipuri de amplificare de adaptare;

- 2 tehnici de validare (în funcţie de structură şi de metoda de identificare) ce au fost menţionate; - achiziţia fi prelucrarea datelor de intrare-ieşire plus facilităţi de generare de SPAB; - analiza modelelor (răspunsuri în frecvenţă şi în timp, poli şi zerouri); - sistem grafic.

2. Regulatoare automate

2.1. Noţiuni generale.Locul şi rolul regulatorului automat în sistemul de reglare automată

Regulatorul automat (RA) are rolul de a prelucra operaţional semnalul de eroare ε (obţinut in urma comparaţiei liniar – aditive a mărimii de intrare xi şi a mărimii de reacţie xr în elementul de comparaţie) şi de a da la ieşire un semnal de comandă xc pentru elementul de execuţie. Este plasat pe calea directă, între elementul de comparaţie şi elementul de execuţie, conform schemei bloc a sistemului de reglare automată reprezentată în figura 1.

23

p

xexcε

-xr

xi +EC

RA EE+IT

TR

fig. 1. 15 Schema bloc a sistemului de reglare automată

Informaţiile curente asupra procesului automatizat se obţin cu ajutorul traductorului de reacţie TR şi sunt prelucrate de regulatorul automat RA în conformitate cu o anumită lege care defineşte algoritmul de reglare automată (legea de reglare).

Implementarea unei anumite legi de reglare se poate realiza printr-o varietate destul de largă a construcţiei regulatorului, ca regulator electronic, pneumatic, hidraulic sau mixt. Alegerea unei anumite soluţii constructive se face luând în considerare factori tehnico-economici.

Cu toate că există o mare varietate de regulatoare, orice regulator va conţine următoarele elemente componente (figura 2.):

- amplificatorul (A)- elementul de reacţie secundară (ERS) - elementul de comparare secundară (ECS)

Amplificatorul (A) este elementul de bază. El amplifică mărimea ε1 cu un factor KR, deci realizează o relaţie de tipul:

,unde KR reprezintă factorul de amplificare al regulatorului.

Elementul de reacţie secundară ERS primeşte la intrare mărimea de comandă x c (de la ieşirea amplificatorului) şi elaborează la ieşire un semnal xrs denumit mărime de reacţie secundară. ERS este de obicei un element care determină o dependenţă proporţională între xrs şi xc.

Elementul de comparare secundară (ECS) efectuează continuu compararea valorilor abaterii ε  şi a lui xrs dupa relatia:

24

xcε

ECS

ERS

A

ε1

1

xrs

+

-

fig.1.16. Schema bloc a unui regulator automat

Din punct de vedere constructiv regulatorul automat include de obicei şi elementul de comparaţie EC al sistemului de reglare automată. În cazul sistemelor de reglare unificate, electronice sau pneumatice, el poate include şi dispozitivul de prescriere a referinţei.

Regulatorul poate avea o structură mai complicată. De exemplu, la unele regulatoare există mai multe etaje de amplificare, la altele există mai multe reacţii secundare necesare obţinerii unor legi de reglare mai complexe.

2.2 Clasificarea regulatoarelor automate

Se poate face după mai multe criterii.

1. În funcţie de sursa de energie exterioară folosită, acestea se clasifică în:

regulatoare automate directe – funcţionează fără o sursă de energie exterioară, transmiterea semnalului realizându-se pe seama energiei interne preluată direct din proces prin intermediul traductorului de reacţie;

regulatoare automate indirecte – necesită o sursă de energie exterioară pentru acţionarea elementului de execuţie. Sunt cele mai utilizate regulatoare care permit obţinerea unor caracteristici funcţionale mai complexe şi performanţe superioare regulatoarelor directe.

2. După viteza de răspuns există:

regulatoare automate pentru procese rapide folosite pentru reglarea automată a parametrilor proceselor cu răspuns rapid, caracterizate de constante de timp mici (mai mici de 10 s), ca de exemplu procesele de tip acţionări electrice.

regulatoare automate pentru procese lente folosite atunci când constantele de timp ale instalaţiei sunt mari (depăşesc 10 sec), situaţie frecvent întâlnită în cazul proceselor având ca parametri temperaturi, presiuni, debite, nivele etc.

3. După tipul acţiunii regulatoarele pot fi:

regulatoare automate cu acţiune continuă - sunt cele in care mărimile ε(t) şi xc(t) variaza continuu in timp;

regulatoare automate cu acţiune discontinuă sau discretă, la care cel puţin una din mărimile ε(t) şi xc(t) variază discontinuu în timp, de exemplu ca trenuri de impulsuri (modulate în amplitudine sau durată). În această categorie intră regulatoarele bi sau tripoziţionale, la care ε(t) variază continuu dar xc(t) poate lua un număr limitat de valori în raport cu eroarea.

Regulatoarele cu acţiune continuă la rândul lor pot fi:o regulatoare automate liniare dacă dependenţa dintre cele două mărimi este liniară;o regulatoare automate neliniare dacă dependenţa dintre cele două mărimi este neliniară.

4.După caracteristicile constructive există:

regulatoare automate unificate, utilizate pentru reglarea a diferiţi parametri (temperatură, presiune, etc.). Regulatoarele unificate funcţionează cu un anumit tip de semnal ce variază în limite fixate, atât la intrare cât şi la ieşire. Semnalele cu care funcţionează aceste regulatoare sunt semnale unificate şi au aceleaşi valori ca la sistemele de măsurare şi control unificate,

25

respectiv 2...10mA sau 4...20mA pentru regulatoarele electronice unificate şi 0,2...1bar pentru cele pneumatice.

regulatoare automate specializate, utilizate numai pentru un anumit parametru tehnologic, au structura constructivă şi semnalele de lucru special concepute pentru parametrul considerat.

5.După agentul purtător de semnal există: regulatoare automate electronice, la care atât mărimea de intrare cât şi mărimea de ieşire sunt

de natură electrică (intensitatea curentului electric sau tensiunea electrică) şi care au în componenţa lor blocuri electronice;

regulatoare automate hidraulice (ulei sub presiune); regulatoare automate pneumatice (aer comprimat); regulatoare automate mixte (electropneumatice sau electrohidraulice).

6. După numărul mărimilor de ieşire ale instalaţiei tehnologice: regulatoare automate monovariabile (pentru o singură mărime reglată) regulatoare automate multivariabile (pentru mai multe mărimi reglate).

2.3. Răspunsul regulatoarelor cu acţiune proporţional integrală derivativă (de tip PID) la semnal treaptă-unitate

Aceste regulatoare sunt cele mai complexe regulatoare cu acţiune continuă, care asigură performanţe de reglare superioare, atât în regim staţionar cât şi în regim tranzitoriu. Ele înglobează efectele proportional P, integral I şi derivativ D expuse mai sus, conform legii de reglare:

+ .

Dacă se ţine seama de realizarea constructivă a regulatorului, relaţia poate fi scrisă:

.

Răspunsul la intrare treaptă al unui regulator de tip PID este reprezentat în figura 7. în care se observă prezenţa celor trei componente P, I şi D:

26

0

ε

t 0 t

xc

KR I

R

T

Karctg

Fig.1.17. Răspunsul la intrare treaptă al unui regulator PID

Regulatoarele PID au trei parametri ajustabili KR, TI, TD, ceea ce asigură posibilităţi mult mai largi în asigurarea legilor de reglare decât la oricare din regulatoarele descrise anterior şi explică performanţele superioare ale sistemelor de reglare automată prevăzute cu aceste regulatoare. Evident că regulatoarele PID au construcţii mai complexe şi necesită o acordare atentă a valorilor celor trei parametri.

2.4.Legea de reglare PID

Legile de reglare tipizate sunt des utilizate în aplicaţiile industriale datorită buneicunoaşteri a acestora, implementării uşoare şi posibilităţilor de reglare şi acordare prin metode clasice, precum şi gradului ridicat de robusteţe conferit buclei de reglare. În plus, legile de reglare tipizate au structură fixă, lucru care permite standardizarea constructivă a echipamentului de reglare. Obţinerea unor performanţe satisfăcătoare necesită însă o reacordare periodică a regulatoarelor PID.

Algoritmul de reglare PID folosit în aplicaţiile industriale prezintă următoarele forme:- forma standard, denumită şi forma ISA sau PID fără interinfluenţă:

unde: U(s) = transformata Laplace a mărimii de comandă (mărimea de ieşire din regulator), E(s) = transformata Laplace a erorii (mărimea de intrare în regulator), KR = factorul de proporţionalitate al regulatorului (introduce componenta proporţională P), Ti = constanta de timp de integrare (introduce componenta integrală I), Td = constanta de timp de derivare (introduce componenta derivativă D);

- forma PID serie, denumită şi PID cu interinfluenţă:

unde parametrii regulatorului pot fi calculaţi cu ajutorul formulelor:

- forma PID paralel, utilizată şi în simulările din mediul MATLAB:

unde parametrii regulatorului pot fi calculaţi cu ajutorul formulelor:KR = K , Ti = K / Ki , Td = Kd / K .

condiţia de realizabilitate fizică şi pentru a limita amplificarea frecvenţelor înalte (zgomote) de către componenta derivativă, se introduce un element de filtrare de ordinul I, având constanta de timp αTd ,

27

termenul derivativ devenind Pentru α = 0.1 elementul de filtrare are o influenţă neglijabilă asupra

performanţelor sistemului de reglare automată.Regulatoarele comerciale PID diferă de cele prezentate mai sus prin structura legii de

comandă, parametrizări, proprietăţi de filtrare sau modul în care este introdusă referinţa. O structură mai flexibilă a regulatorului PID se obţine tratând separat referinţa R şi mărimea reglată Y considerându-se pentru cele trei componente ale regulatorului următoarele erori:Y considerându-se pentru cele trei componente ale regulatorului următoarele erori:P : Ep (s) = bR(s) − Y(s) ,I : Ei (s) = R(s) − Y(s) ,D : Ed (s) = cR(s) − Y(s) .

Regulatoarele obţinute pentru diferite valori ale lui b şi c vor răspunde la fel pentruvariaţii treaptă ale perturbaţiilor, dar diferit pentru modificări ale referinţei.Pentru a putea acorda un regulator PID este necesară cunoaşterea structurii şi a parametrizării algoritmului de control. Din păcate, de cele mai multe ori, aceste informaţii nu apar în documentaţiile ce însoţesc regulatoarele. In continuare sunt prezentate structuri ale unor regulatoare comerciale.

- forma standard, ISA:

,

- forma serie:

-forma paralel:

unde: Y(s) = transformata Laplace a mărimii reglate, R(s) = transformata Laplace a referinţei, b, c = factori de ponderare ai referinţei (uzual 0 sau 1), aleşi de firmele constructoare, α = factor de valoare subunitară.

Perioada de eşantionare, parametru important pentru regulatoarele PID digitale, influenţează alegerea regulatorului comercial pentru procesul în cauză, datorită dinamicii acestuia. Valorile utilizate în regulatoarele comerciale sunt situate într-o gamă foarte largă şi depind de firma constructoare.

Acordarea regulatorului presupune determinarea parametrilor legii de reglare. Aceastăoperaţie se realizează în funcţie de performanţele specifice pentru bucla de reglare (usual suprareglare şi timp de răspuns impuse), respectiv funcţie de modelul matematic al procesuluireglat. Dificultăţile legate de identificarea cu precizie a procesului limitează considerabil aplicabilitateametodelor analitice de acordare. Din acest motiv, în practica inginerească se preferă utilizarea unor metode experimentale, euristice, de acordare.

Un număr mare de regulatoare comerciale utilizează drept parametru de acord banda de proporţionalitate (BP) în loc de factorul de proporţionalitate KR . Această schimbare este naturală, deoarece, deseori în utilizarea regulatoarelor de tip proporţional P, variaţii mici ale erorii e produc variaţii mari ale mărimi de comandă u, uneori peste limita admisă. Caracteristica u = f(e) a regulatorului proporţional este prezentată în figura 1.

28

Gama de valori acceptată pentru mărimea de comandă poate fi specificată prin furnizarea valorii factorului de proporţionalitate KR (panta caracteristicii liniare u = f(e)) sau a benzii de proporţionalitate BP, cei doi parametrii aflându-se în relaţia:

umax − umin = KR ⋅BP .De obicei, diferenţa umax − umin = 100%, ceea ce implică BP = 100 /KR.Pentru regulatorul proporţional având caracteristica statică din figura 1, legea de reglareeste:

U(s) = KR E(s) + u0 ,unde u0 reprezintă valoarea de offset („reset”) a comenzii. De obicei valoarea lui u0 este fixată la (umax − umin ) / 2 , dar poate fi modificată manual astfel încât eroarea staţionară să fie nulă pentru o anumită valoare a referinţei.

2.5. Criterii experimentale de acordare

2.5.1. Criteriul Ziegler-Nichols bazat pe răspunsul la semnal treaptă

Una din metodele Ziegler-Nichols de acordare a regulatoarelor PID este bazată pe observarea răspunsului la un semnal treaptă de amplitudine Δu a părţii fixate şi aproximarea pe perioada regimului tranzitoriu cu răspunsul unui element integrator cu timp mort. Astfel procesul este caracterizat de doi parametrii prin funcţia de transfer:

Aceşti parametrii pot fi uşor determinaţi graphic de pe reprezentarea răspunsului la semnal treaptă ca în figura de mai jos. Astfel, se trasează tangenta în punctul de inflexiune (de pantă maximă) al răspunsului, iar punctele de intersecţie ale acesteia cu cele două axe determină valorile parametrilor a şi L.Valorile parametrilor de acord ai regulatorului PID se determină direct funcţie de parametrii a şi L din tabelul 1.

Tipul algoritmului

Banda de proporţionalitate

Timpul de integrare Timpul de derivare

P (a / Δu)*100 - -PI ((a / Δu) / 0.9)*100 3*L -

29

PID ((a / Δu) / 1.2)*100 2*L 0.5*L

2.5.2. Criteriul Ziegler-Nichols bazat pe răspunsul la frecvenţă

O altă metodă Ziegler-Nichols propune calcularea parametrilor de acord a iregulatoarelor tipizate pe baza caracterizării dinamicii procesului (utilizând răspunsul la frecvenţă) şi a determinării caracteristicilor sistemului de reglare, aflat la limita de stabilitate.Implicit metoda este aplicabilă în cazul unor sisteme stabile care au exces poli - zerouri cel puţin 3 sau au timp mort (proceselor stabile pentru care locul de transfer asociat parcurge minimum 3 cadrane). Pentru obţinerea caracteristicilor sistemului automat aflat la limita de stabilitate se configurează mai întâi regulatorul de tip proporţional (P) având factorul de amplificare KR = 1 (BP = 100). Se creşte treptat factorul de amplificare (se micşorează banda de proporţionalitate) până în momentul când în sistem apar oscilaţii ale mărimii măsurate. Când acestea ajung la o amplitudine constantă se reţine perioada oscilaţiilor T0 şi factorul de amplificare al regulatorului Kc (sau banda de proporţionalitate BPc) care a condus sistemul automat la limita de stabilitate. Cu aceşti doi parametri se pot calcula parametrii de acord ai regulatorului PID conform tabelului de mai jos.

Tipul algoritmului

Banda de proporţionalitate Timpul de integrare Timpul de derivare

P 2*BPc - -PI 2.2*BPc 0.8*T0 -

PID 1.6*BPc 0.5*T0 0.12*T0

2.5.3 Metoda Kaya-Scheib

În afara utilizării unor indicatori de performanţă impuşi comportării sistemului de reglare automată în domeniu timp (suprareglare, timp de răspuns, erori staţionare), în practica acordării regulatoarelor se folosesc anumite criterii de performanţă dintre care cele mai utilizate sunt criteriile integrale. Acestea permit asigurarea unui optim privind regimul tranzitoriu, bazându-se pe minimizarea unor integrale ale pătratului erorii (ISE), modulului erorii (IAE) şi modulului erorii cu timpul (ITAE), integrale ce se pot exprima prin relaţiile:

(*)

Imposibilitatea identificării complete a modelului matematic al procesului conduce la utilizarea în practica acordării regulatoarelor a unor modele aproximative. Astfel, procesele, de obicei de ordin superior, dar care au un răspuns indicial aperiodic, se pot aproxima prin funcţii de transfer de tipul:

(**)

care pune în evidenţă un element de întârziere cu timp mort τ având factorul de amplificare Kf şi constanta de timp Tf.Această aproximare este făcută pe baza răspunsului indicial reprezentat în figura de mai jos.

30

Considerând răspunsul indicial al elementului de ordin I ca fiind:

rezultă că valoarea de regim staţionar este Kf şi pe baza construirii tangentei la răspunsul indicial in punctul de pantă maximă se determină τ şi respectiv Tf cunoscând că y(T f ) = 0.632K f .

Metoda Kaya-Scheib determină parametrii optimi de acord considerând partea fixată notată cu (**), funcţia de transfer a regulatorului dependentă de structură şi de parametrii KR, Ti, Td, prin minimizarea criteriilor integrale (*). Pe baza raportului τ/Tf şi a factorului de amplificare Kf caracteristice aproximării funcţiei de transfer a procesului, metoda determină parametrii de acord ai legii de reglare PID cu ajutorul relaţiilor:

= factorul de proportionalitate

= constanta de integrare,(***)

= constanta de derivare;

unde coeficienţii a, b, c, d, e, şi f sunt daţi în tabelul de mai jos în funcţie de condiţiile de operare, forma regulatorului şi criteriul de performanţă adoptat, pentru 0 ≤ τ / Tf ≤ 1.

PID serie PID paralelISE IAE ITAE ISE IAE ITAE

a 0.71959 0.65 1.12762 1.1427 0.81699 0.8326b -1.03092 -1.04432 -0.80368 -0.9365 -1.004 -0.7607c 1.12666 0.9895 0.99783 0.99223 1.09112 1.00268d -0.18145 0.09539 0.02860 -0.35269 -0.22387 0.00854e 0.54568 0.50814 0.42844 0.35308 0.44278 0.44243f 0.86411 1.08433 1.0081 0.78088 0.97186 1.11499

Bibliografie:

1. Eykhoff P., System Identification: Parameter and State Estimation, John Wiley, London, 1974.

2. Goodwin G. C., Payene R. L., Dynamic System Identification: Experiment Design and Data Analysis, Academic Press, New-York, 1977.

31

3. Ljung L., Soderstroom T., Theory and Practice of Recursive Identification, MIT Press, Cambridge,Massashusetts, 1983.

4. Soderstroom T., Stoica P., System Identification, Prentice Hall, New-York, 1989.

5. Landau I. D., Identification et Commande des Systemes, Hermes, Paris, 1995.

6. Van den Hof P., Identification in Closed Loop, Ecole d’Ete, Grenoble, 1998.

7. Bitmead B., Identification for Control, Ecole d’Ete, Grenoble, 1998.

8. Călin, Sergiu. (1976). Regulatoare automate, Bucureşti:Editura Didactică şi Pedagogică

9. Călin, Sergiu. ş.a. (1979). Bazele funcţionării echipamentelor electrice şi electronice din industria

chimică, Bucureşti:Editura Didactică şi Pedagogică

10. Călin, Sergiu. ş.a. (1980). Bazele automatizării în industria chimică, Bucureşti:Editura Didactică şi

Pedagogică

11. Călin, Sergiu. ş.a. (1983). Echipamente electronice pentru automatizări, Bucureşti:Editura

Didactică şi Pedagogică

12. Chivu, Aurelian. ş.a. (2005). Electronică analogică, electronică digitală, Craiova:Editura Arves

13. Dumitrache, Ioan. (2005). Ingineria reglării automate, Bucureşti: Editura Politehnica Press

Concluzii

În concluzie, identificarea sistemelor se desfăşoară în 4 etape:

1. Achiziţia intrărilor/ieşirilor printr-un protocol de experimentare.2. Alegerea structurii modelului (stabilirea complexităţii acestuia).3. Estimarea parametrilor modelului.4. Validarea modelului identificat (ca structură şi ca valori ale parametrilor).

Algoritmii de identificare recursivi sau nerecursivi pot fi utilizaţi pentru estimare parametrilor unui model pornind de la datele de intrare-ieşire. Algoritmii recursivi sunt preferaţi pentru că:

- estimarea parametrilor modelului se efectuează în timpul evoluţiei procesului - diferite structuri „model + perturbaţie";

32

- diferite metode de identificare şi AAP; - metode de validare a modelelor identificate;

- un sistem de achiziţie şi prelucrare de date intrare-ieşire (care să permită inclusiv generarea secvenţelor SPAB); - un modul de analiză a modelelor; - un sistem de vizualizare

33