Probleme de Algebra Purdea- Pelea

IOAN PURDEA COSMIN PELEA

PROBLEME DE ALGEBRA

Editia a II-a revazuta si completata

2007

Cuprins

Prefata i

I ENUNTURI 1

1 Relatii. Functii 3

2 Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri 29

3 Inele si corpuri 55

4 Semigrupuri si inele de fractii 69

5 Divizibilitatea n monoizi comutativi cu simplificare si

n domenii de integritate 73

6 Spatii vectoriale 79

7 Corpuri comutative. Teoria lui Galois 99

II SOLUTII, INDICATII si RASPUNSURI 103

1 Relatii. Functii 105

2 Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri 149

3 Inele si corpuri 189

4 Semigrupuri si inele de fractii 223

5 Divizibilitatea n monoizi comutativi cu simplificare si

n domenii de integritate 229

6 Spatii vectoriale 243

7 Corpuri comutative. Teoria lui Galois 279

Bibliografie 293

CUPRINS

Index 297

Prefata

Aceasta culegere de probleme urmeaza structura cursului ,,Algebra de Ioan Pur-dea si Ioana Pop ([34]), aparut n 2003 la Editura GIL, Zalau, si are la baza activ-itatea si experienta celor doi autori, a unuia de peste 45 de ani, iar a celuilalt deaproape 10 ani, n predarea algebrei la Facultatea de Matematica si Informatica aUniversitatii ,,Babes-Bolyai din Cluj Napoca, precum si lectiile tinute de acestiapentru profesorii de matematica din gimnaziu si liceu la cursurile de perfectionaren specialitate.

Lucrarea de fata se adreseaza studentilor de la sectiile de matematica, infor-matica, matematica si informatica. matematica si fizica, fizica, precum si studentilordin nvatamantul tehnic si economic. De asemenea, se adreseaza profesorilor dematematica pentru pregatirea examenului de definitivat n nvatamant, a examenu-lui de gradul II si a concursului de ocupare a catedrelor vacante. In bogatul materialdin aceasta carte se gasesc probleme care pot fi abordate cu succes si de catre eleviide liceu.

Lucrarea are doua parti: prima cuprinde enunturile problemelor si, acolo undeeste necesar, unele precizari de natura teoretica, iar partea a doua cuprinde solutii,indicatii si raspunsuri. Cele peste 830 de probleme sunt distribuite n 7 capitole,aceleasi capitole ca cele din cursul mentionat, si este urmarita succesiunea para-grafelor din fiecare capitol al cursului. Pentru toate problemele cu grad mediu sausporit de dificultate am prezentat n cea de a doua parte fie solutia completa, fie amfurnizat indicatii amanuntite pentru rezolvarea lor.

Multumim colegilor Rodica Covaci, Septimiu Crivei si Simion Breaz pentru aju-torul acordat la pregatirea manuscrisului pentru tipar.

Autorii

i

ii PREFATA

Partea I

ENUNTURI

1

Capitolul 1

Relatii. Functii

1.1. Fie A o multime cu m elemente si B o multime cu n elemente. Sa se determinenumarul:a) elementelor lui AB;b) submultimilor lui A B;c) relatiilor ntre elementele lui A si B.

1.2. Fie multimile A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 2, 3, 4} si relatiile binare(A,B,R1), (B,C,R2), (B,C,R3) cu graficele R1 = {(1, 3), (2, 3), (1, 2)}, R2 ={(3, 1), (1, 4), (3, 4)} si R3 = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3)}. Sa se determine:a) relatia universala ntre elementele multimilor A si B, complementara ei si com-plementara relatiei (A,B,R1);b) reuniunea si intersectia relatiilor (B,C,R2) si (B,C,R3);c) relatiile (A,C,R2 R1) si (B,B,R1 R2);d) relatiile (B,A,

1R1), (C,B,

1R2), (C,A,

1R2 R1).

1.3. Fie relatia de inegalitate n R si inversa sa. Sa se reprezinte ntr-un sistemde coordonate ortogonal graficul:a) relatiei ;b) relatiei ;c) intersectiei relatiilor si ;d) reuniunii relatiilor si ;e) complementarei relatiei .1.4. Fie < relatia de inegalitate stricta n N. Sa se determine relatiile < .Daca A si B sunt multimi fixate atunci, adesea, o relatie (binara) = (A,B,R) ntre

elementele multimilor A si B se identifica cu graficul sau R.

1.5. Fie graficul unei relatii ntre numere reale. Sa se indice transformarea geo-

metrica ce ne conduce de la la1 . Sa se construiasca

10 n cazul n care

0 = {(x, y) R2 | y =3 x}.

1.6. Fie R1, R2 AB. Sa se arate ca

R1 = R2 1R1 =

1R2.

3

4 CAPITOLUL 1. RELATII. FUNCTII (ENUNTURI)

1.7. Fie ij Rn Rn (i, j = 1, . . . , n) relatiile definite astfel:

(a1, . . . , an)ij(b1, . . . , bn) a1 + + ai = b1 + + bj .

Sa se determine relatiile i =

nj=1

ij (i = 1, . . . , n), =

ni=1

ii si =

ni,j=1

ij .

1.8. Fie R, S, T si Rk (k N) relatiile definite n N astfel:

mRn m|n (m divide pe n);

mSn m < n;mRkn |m n| = k.

Sa se determine R2, S R, T 2, R Rk, Rk R, Rk S, S Rk, Rk R1.1.9. Fie C[a, b] = {f : [a, b] R | f este continua} si 1, 2, 3 relatiile definite peC[a, b] prin:

f1g x [a, b], f(x) g(x);f2g f(a) = g(a), f(b) = g(b);f3g x [a, b], f(x) 6= g(x).

Sa se determine 21, 22,

23, 2 1, 3 2, 2 3.

1.10. Fie A = {1, 2, 3, 4} si fie pe A relatiile R = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 4), (4, 3)},S = {(2, 4), (3, 4), (1, 1)}, S = {(4, 4), (1, 4)}. Sa se determine relatiile (S S ) R,(S R) (S R), R (S S ), (R S) (R S ).1.11. Fie multimile A = {a1, a2, a3, a4}, B = {b1, b2, b3, b4, b5}, X = {a2, a4}, Y ={b1, b2, b4, b5} si R = {(a1, b2), (a3, b5), (a1, b3), (a2, b4)} A B. Sa se determineR(X), Ra2,

1R(Y ),

1Rb5, pr1R, pr2R.

1.12. Fie relatia binara definita n N astfel:

mn m divide pe n.

Sa se determine 1, 1 ({4, 9}), pr1, pr2.1.13. Fie = {(x, y) R R | x2 + y2 1}. Sa se determine 1, 0, 1,2, ([0, 1]), pr1, pr2.1.14. Fie A,B R, X A, Y B, AB. Sa se dea interpretarea geometricapentru fiecare dintre multimile (X),

1 (Y ), pr1, pr2. Sa se analizeze cazurile

particulare X = {x}, Y = {y}.1.15. Fie A,B doua multimi, R A B si X A. Sa se arate ca

R(X) =xX

Rx.

51.16. Fie A,B multimi, R1, R2 A B. Sa se arate ca

R1 = R2 x A, R1x = R2x y B,1R1y =

1R2y.

1.17. Fie A,B multimi, R A B, a A si X A. Sa se arate ca:a) Ra 6= a pr1R;b) R(X) = R(X pr1R);c) R(X) = X pr1R = .

1.18. Fie = {(x, y) R R | x2 + y2 = 1}, X =[2, 1

2

]si Y =

[12, 1

]. Sa se

determine (X Y ) si (X) (Y ).1.19. Fie = {(x, y) R R | x2 + y2 = 1}, = {(x, y) R R | x > 2} siX = [0, 3]. Sa se determine ( )(X) si (X) (X).1.20. Fie X = {z C | |z| = 1} si 1, 2, 3 relatiile binare definite n C astfel:

z11z2 |z1| = |z2|;z12z2 arg z1 = arg z2 sau z1 = 0 = z2;

z13z2 z1 = z2,(unde arg zi si zi sunt argumentul redus, respectiv, conjugatul numarului complexzi (i = 1, 2)). Sa se determine k(R), k(X) si ki (k = 1, 2, 3).1.21. Fie A,B doua multimi, X,X A si Y B. Sa se arate ca:a)

1X Y = Y X;

b) Y 6= pr1(X Y ) = X;c) X 6= pr2(X Y ) = Y ;d) x X (X Y )x = Y ;e) x / X (X Y )x = ;f) X X 6= (X Y )(X ) = Y ;g) X X = (X Y )(X ) = .1.22. Fie A,B,C trei multimi, R A B, S B C, X A, Y, Y B siZ C. Sa se arate ca:a) S (X Y ) = X S(Y );b) (Y Z) R =

1R(Y ) Z;

c) Y Y 6= (Y Z) (X Y ) = X Z;d) Y Y = (Y Z) (X Y ) = .1.23. Fie A o multime. Sa se determine o relatie omogena pe A astfel ncat sa fiendeplinita conditia:a) (AA) = A A;b) (AA) = A A;c) (A A) = AA;d) (AA) (A A) = A A;e)

1 = AA.


1.24. Fie A,B,C trei multimi, R A B si S B C. Sa se arate ca:a) S R = {(a, c) A C | Ra

1S c 6= };

b) S R =bB

1Rb Sb.

1.25. Fie A,B,C multimi, R A B si S B C. Sa se arate ca:a) pr1(S R) =

1R(pr1S) pr1R;

b) pr2(S R) = S(pr2R) pr2S;c) S R = pr2R pr1S = ;d) S R pr1R pr2S.1.26. Fie A,B multimi si R A B. Sa se arate ca urmatoarele conditii suntechivalente:a) pentru orice x A, Rx 6= ;b) A

1R R;

c) pr1R = A;d) daca A este o multime si P1, P2 A A atunci

(R P1) (R P2) = P1 P2 = ;e) daca A este o multime si P A A atunci

R P = P = ;f) daca X1, X2 A atunci

R(X1) R(X2) = X1 X2 = ;g) daca X A atunci

R(X) = X = ;h) daca Y1, Y2 B atunci

Y1 Y2 = B 1R(Y1)

1R(Y2) = A;

i) daca Y B atunci1R(Y )

1R(CB(Y )) = A.

1.27. Fie A,B multimi si R A B. Sa se arate ca urmatoarele conditii suntechivalente:a) pentru orice x A, Rx contine cel mult un element;b) R

1R B;

c) daca B este o multime si S1, S2 B B atunci(S1 S2) R = (S1 R) (S2 R);

d) daca B este o multime si S1, S2 B B atunciS1 S2 = (S1 R) (S2 R) = ;

7e) daca B este o multime si S B B atunci(S R) (CBB(S) R) = ;

f) daca Y1, Y2 B atunci

Y1 Y2 = 1R(Y1)

1R(Y2) = ;

g) daca Y B atunci1R(Y )

1R(CB(Y )) = ;

h) daca Y B atunci1R(Y ) CA(

1R(Y )) =

1R(CB(Y )).

1.28. Fie A,B multimi, R AB si X,X A. Sa se arate ca daca pentru oricey B sectiunea

1Ry are cel mult un element atunci

R(CA(X)) = pr2R \R(X) si R(X X ) = R(X) R(X ).1.29. Fie A,B,C multimi, R1, R2 A B si S B C. Sa se arate ca dacapentru orice z C sectiunea

1S z are cel mult un element atunci

S (R1 R2) = (S R1) (S R2).1.30. Fie R B C. Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:a) X1, X2 B, X1 6= X2 R(X1) 6= R(X2) ;b) pentru orice multime A si orice relatii binare R1, R2 AB avem

R R1 = R R2 R1 = R2.1.31. Fie R AB. Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:a) Y1, Y2 B, Y1 6= Y2

1R(Y1) 6=

1R(Y2);

b) pentru orice multime C si orice relatii binare R1, R2 B C avemR1 R = R2 R R1 = R2.

1.32. Sa se arate ca daca f = (A,B, F ) este o functie atunci pr1F = A.

1.33. Sa se precizeze daca sunt sau nu egale functiile:a) f : R R, f(x) = x2 si g : R (0,), g(x) = x2;b) f : R R, f(x) = x2 si g : (, 0] R, g(x) = x2;c) f : R R, f(x) = x2 si g : R R, g(t) = t2.1.34. Fie f : R R, f(x) = x2 si X1 = (1, 0], X2 = [0, 1]. Sa se determinef(X1 X2) si f(X1) f(X2).1.35. a) Fie A,B R si F o multime de puncte din plan. Ce conditii trebuie sandeplineasca F pentru a fi graficul unei functii cu domeniul A si codomeniul B?b) Fie A = [1, 4], B = [1, 3]. Sunt multimile F si G indicate n figurile urmatoaregraficele unor functii cu domeniul A si codomeniul B?


1 4

1

3

O

y

x

F

y

O 1 4

1

3

G

1.36. Fie F,G A B graficul unor functii definite pe A cu valori n B. SuntF G, F G, CAB(F ) grafice de functii definite pe A cu valori n B? Dar

1F este

graficul unei functii cu domeniul B si codomeniul A?

1.37. Fie F siG cu semnificatia din problema precedenta. Sa se dea conditii necesaresi suficiente pentru ca F G (F G, respectiv CAB(F )) sa fie grafice de functiicu domeniul A si codomeniul B, iar

1F sa fie graficul unei functii cu domeniul B si

codomeniul A.

1.38. Fie f : A B o functie si F graficul sau. Sa se arate ca urmatoarele afirmatiisunt echivalente:a) f este injectiva;

b) pentru orice y B,1F y contine cel mult un element;

c) pentru orice y B, ecuatia f(x) = y (cu necunoscuta x) are cel mult o solutie nmultimea A.

1.39. Fie A,B R, f : A B o functie si F graficul sau.a) Sa se arate ca f este injectiva daca si numai daca orice paralela la Ox, dusaprintr-un punct din B, contine cel mult un punct din F .b) Sa se arate ca daca f este strict monotona atunci f este injectiva. Este adevaratareciproca acestei afirmatii?

1.40. Fie f : A B o functie si F graficul sau. Sa se arate ca urmatoarele afirmatiisunt echivalente:a) f este surjectiva;

b) pr2F = B;

c) pentru orice y B,1F y contine cel putin un element, adica

1F y 6= ;

d) pentru orice y B, ecuatia f(x) = y (cu necunoscuta x) are cel putin o solutien A.

1.41. Fie A,B R, f : A B o functie si F graficul sau. Sa se arate ca f estesurjectiva daca si numai daca orice paralela la Ox, dusa printr-un punct din B,contine cel putin un punct din F .

91.42. Sa se dea cate un exemplu de functie care are:a) exact doua retracte (diferite) ;b) o infinitate de retracte (diferite).

1.43. Sa se dea cate un exemplu de functie care are :a) exact doua sectiuni (diferite) ;b) o infinitate de sectiuni (diferite).

1.44. Sa se dea un exemplu de functie injectiva a carei inversa (considerata ca sirelatie) nu este o functie.

1.45. Sa se dea un exemplu de functie surjectiva a carei inversa (considerata ca sirelatie) nu este o functie.

1.46. Fie A si B multimi finite cu m, respectiv n elemente. Cum trebuie sa fie msi n pentru ca sa existe cel putina) o functie injectiva f : A B ;b) o functie surjectiva f : A B ;c) o functie bijectiva f : A B ?1.47. Fie A o multime finita si f : A A. Sa se arate ca urmatoarele afirmatiisunt echivalente:a) f este injectiva ;b) f este surjectiva ;c) f este bijectiva.

1.48. Fie n N, n 2 si f : R R, f(x) = xn. Este f bijectiva? In caz afirmativsa se determine f1.

1.49. Pentru o functie f : A B se considera functiile

f : P(A) P(B), f(X) = f(X) si f : P(B) P(A), f (Y ) =1f (Y )

(unde P(A) este multimea submultimilor lui A). Sa se arate ca sunt echivalenteafirmatiile:a) f este injectiva;b) f este injectiva;c) f f = 1P(A);d) f este surjectiva;e) f(X1 X2) = f(X1) f(X2), pentru orice X1, X2 A;f) f(C(X)) C(f(X)), pentru orice X A.1.50. Cu notatiile din problema anterioara, sa se arate ca urmatoarele afirmatii suntechivalente:a) f este surjectiva;b) f este surjectiva;c) f f = 1P(B);d) f este injectiva;e) C(f(X)) f(C(X)), pentru orice X A.


1.51. Fie f : A N. Cu ajutorul lui f , definim functia f de la multimeasubmultimilor finite X ale multimii A la N astfel:

f(X) =

xX

f(x) , daca X 6= 0 , daca X = .

a) Sa se arate ca daca Xi (i = 1, . . . , n) sunt multimi finite atunci

f

(ni=1

Xi

)=

ni=1

f(Xi)

1i

11

1.57. Sa se arate ca pentru orice functie f : A B cu A 6= exista o functieg : B A astfel ncat f g f = f. Esta g unica?1.58. Fie A si B doua multimi. Sa se arate ca exista o bijectie ntre multimearelatiilor cu domeniul A si codomeniul B si multimea functiilor cu domeniul A sicodomeniul P(B).1.59. Fie A si B doua multimi. Sa se arate ca exista o functie bijectiva ntremultimea R a relatiilor binare cu domeniul A si codomeniul B si multimea F afunctiilor F : P(A) P(B) care au proprietatea ca pentru orice familie (Xi)iI desubmultimi ale multimii A, F

(iIXi

)=iIF (Xi).

1.60. Fie f : R R, f(x) = cosx si g : R R+ = [0,+), g(x) = x2. Sa sedetermine o functie h : R+ R astfel ncat f = h g. Este functia h unica?1.61. Fie f : R R, f(x) = sin x si g : R R+, g(x) = x2. Exista o functieh : R+ R astfel ncat f = h g?1.62. Fie f : R R, f(x) = cosx, A = [2,+) si g : A R, g(x) = 2x+ 1. Sase determine o functie h : R A astfel ncat f = g h. Este functia h unica?1.63. Fie f : R R, f(x) = sin x, A = [0,+) si g : A R, g(x) = 2x+1. Existao functie h : R A astfel ncat f = g h?1.64. Sa se arate ca pentru orice doua multimi A si B exista o functie bijectivaA,B : A B B A cu proprietatea ca oricare ar fi functiile f : A A sig : B B urmatoarea diagrama este comutativa

A B A,B //fg

B Agf

A B A,B // B A.

1.65. Sa se arate ca pentru orice multimi A, B si C exista o functie bijectivaA,B,C : (A B) C A (B C) cu proprietate ca oricare ar fi functiilef : A A, g : B B si h : C C urmatoarea diagrama este comutativa

(AB) C A,B,C //(fg)h

A (B C)f(gh)

(A B) C A,B,C// A (B C ).

1.66. Fie f : A B, g : A B, X A, X A, Y B, Y B. Sa se arateca:

(f g)(X X ) = f(X) g(X ) si1

f g(Y Y ) =1f (Y ) 1g (Y ).

Sa se generalizeze aceste rezultate, luand n locul perechilor (f, g), (X,X ) si (Y, Y )familii indexate cu aceeasi multime de indici.


1.67. Fie f : A B, g : A B, Y B, Y B. Se considera functiah : A B B, h(x) = (f(x), g(x)). Sa se arate ca

1h (Y Y ) =

1f (Y ) 1g (Y ).

Sa se generalizeze acest rezultat, luand n locul perechilor (f, g) si (Y, Y ) familiiindexate cu aceeasi multime de indici.

1.68. Fie f : A B si g : A B cu A 6= 6= A. Sa se arate ca:a) f g este injectiva daca si numai daca f si g sunt injective;b) f g este surjectiva daca si numai daca f si g sunt surjective.1.69. Sa se arate ca exista functii F : A B A B care nu sunt de formaF = f g, unde f : A A si g : B B.1.70. Fie A1 si A2 doua multimi. Reuniunea a doua multimi disjuncte de acelasicardinal cu A1 si A2 se numeste reuniune disjuncta a lui A1 cu A2. De exemplu

A1 A2 = ({1} A1) ({2} A2)

este o reuniune disjuncta a lui A1 cu A2. Functiile

q1 : A1 A1A2, q1(a1) = (1, a1) si q2 : A2 A1

A2, q2(a2) = (2, a2)se numesc injectiile canonice. Sa se arate ca:

a) A1 A2 mpreuna cu injectiile sale canonice are urmatoarea proprietate de uni-

versalitate: pentru orice multime B si orice functii u1 : A1 B, u2 : A2 B existao singura functie u : A1

A2 B astfel ncat diagrama

B

A1q1 //

u1

;;wwwwwwwwww

A1A2

u

OO

A2q2oo

u2

ccGGGGGGGGGG

sa fie comutativa, adica u q1 = u1 si u q2 = u2.b) Pentru orice multime B si orice functii u, u : A1

A2 B avemu q1 = u q1 si u q2 = u q2 u = u.

c) Proprietatea de universalitate a reuniunii disjuncte determina reuniunea disjunctapana la o bijectie.

1.71. Fie multimile A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} si fie f : A B, g : B A functiiledefinite prin

x 1 2f(x) 2 3

x 1 2 3g(x) 1 1 2

Sa se determine functia f g : AA BB.1.72. Sa se arate ca functia f : A1 A2 este injectiva daca si numai daca pentruorice multime B functia f 1B : AB1 AB2 este injectiva.

13

1.73. Sa se arate ca functia g : B2 B1 este surjectiva daca si numai daca pentruorice multime A functia 1gA : A

B1 AB2 este injectiva.1.74. Fie f : A1 A2 si g : B2 B1 doua functii. Sa se arate ca:a) daca f este injectiva si g este surjectiva atunci f g este injectiva ;b) daca f este surjectiva si g este injectiva, iar B2 6= atunci f g este surjectiva.1.75. Sa se arate ca pentru orice multimi A1, A2, B functia

: (A1 A2)B AB1 AB2 , (u) = (p1 u, p2 u)

(unde p1, p2 sunt proiectiile canonice ale produsului) este bijectiva, iar daca

f1 : A1 A1, f2 : A2 A2 si g : B B

sunt functii atunci diagrama

(A1 A2)B //(f1f2)g

AB1 AB2fg1fg2

(A1 A2)B // A1

B A2B

(unde se defineste analog cu ) este comutativa.

1.76. Fie A,B1, B2 trei multimi. Daca f : B1 B2 A si y B2 atunci fiefy : B1 A functia definita prin fy(x) = f(x, y), iar F : B2 AB1 functia definitaprin F (y) = fy. Sa se arate ca functia

: AB1B2 (AB1)B2 , (f) = F

este bijectiva, iar daca h : A A, g1 : B1 B1, g2 : B2 B2 sunt functii atuncidiagrama

AB1B2 //

hg1g2

(AB1)B2

(hg1 )g2

AB

1B2 // (AB

1)B

2

(unde se defineste analog cu ) este comutativa.

1.77. Fie R AA. Sa se arate ca :a) R este reflexiva daca si numai daca pentru orice x A, x Rx;b) daca R este simetrica atunci pr1R = pr2R;c) daca R este simetrica si tranzitiva atunci pentru x pr1R avem xRx;d) R este o relatie de echivalenta daca si numai daca R este simetrica, tranzitiva sipr1R = A.

1.78. Sa se gaseasca greseala n urmatoarea ,,demonstratie a afirmatiei: o relatiesimetrica si tranzitiva este o relatie reflexiva (adica este o relatie de echivalenta):,,Daca R A A este simetrica atunci xRy implica yRx, iar din xRy si yRx(ntrucat R este tranzitiva) urmeaza xRx.


1.79. Sa se arate ca axiomele care definesc notiunea de relatie de echivalenta suntindependente, adica nici una dintre ele nu este o consecinta a celorlalte doua.

1.80. Sa se arate ca daca relatiile R, S AA sunt reflexive atunci R S si S Rsunt reflexive.

1.81. Fie R, S A A doua relatii simetrice. Sa se arate ca R S este simetricadaca si numai daca R S = S R.1.82. Fie R, S AA doua relatii binare omogene tranzitive. Sa se arate ca dacaR S = S R atunci R S este tranzitiva.1.83. O relatie R A A se numeste circulara daca

xRy si yRz zRx.Sa se arate ca R este o relatie de echivalenta daca si numai daca R este reflexiva sicirculara.

1.84. Fie R AA, A A si R restrictia lui R la A, adica R = R (A A).Sa se arate ca daca R este o relatie de echivalenta atunci R AA este o relatiede echivalenta.

1.85. Fie A = {1, 2, 3, 4}, 1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (1, 3),(3, 2), (3, 1)}, 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 4)}, pi1 = {{1, 2}, {3}, {4}} si pi2 ={{1, 2}, {1, 3, 4}}.a) Sunt 1 si 2 relatii de echivalenta pe A? In caz afirmativ, sa se determinemultimea cat corespunzatoare.b) Sunt pi1 si pi2 partitii ale lui A? In caz afirmativ, sa se determine relatia deechivalenta corespunzatoare.

1.86. Sa se determine partitiile si relatiile de echivalenta ale multimii A = {1, 2, 3}.1.87. Fie A o multime. Sa se arate ca diagonala A (relatia de egalitate pe A) sirelatia universala AA sunt relatii de echivalenta pe A si sa se determine multimilecat corespunzatoare.

1.88. Fie 1, 2 relatiile definite pe C astfel:

z11z2 |z1| = |z2|;z12z2 arg z1 = arg z2 sau z1 = 0 = z2.

Sa se arate ca 1 si 2 sunt relatii de echivalenta si sa se determine multimile catC/i (i = 1, 2). Sa se reprezinte geometric clasele de echivalenta determinate derelatiile i.

1.89. Fie 1, 2 relatiile definite pe C prin

z1t z si t au aceeasi parte reala;z2t z si t au aceeasi parte imaginara.

Sa se arate ca 1 si 2 sunt relatii de echivalenta si sa se determine multimile catC/i (i = 1, 2). Sa se reprezinte geometric clasele de echivalenta.

15

1.90. Fie 1, 2 relatiile definite pe R prin

x1y [x] = [y] (x si y au aceeasi parte ntreaga);x2y {x} = {y} (x si y au aceeasi parte fractionara).

Sa se arate ca 1 si 2 sunt relatii de echivalenta si ca exista o bijectie ntre R/1 siZ, precum si ntre R/2 si [0, 1).

1.91. Fie n N si Mn(R) multimea matricelor patrate de ordinul n cu elementedin R. Sa se arate ca relatia definita n Mn(R) prin

AB detA = detB

este o relatie de echivalenta si ca exista o bijectie ntre Mn(R)/ si R .

1.92. Fie A 6= si R A A. Sa se arate ca R este o relatie de echivalenta peA daca si numai daca pr1R = A si exista o familie (Ai)iI de submultimi nevidedisjuncte ale multimii A astfel ncat

R =iIAi Ai.

1.93. In raport cu care dintre operatiile de: reuniune, intersectie, inversare si com-plementare este nchisa multimea E(A) a relatiilor de echivalenta pe o multime A?

1.94. Fie Ri Ai Ai (i = 1, 2) relatii de echivalenta. Sa se arate ca relatiaR A1 A2, definita prin

(a1, a2)R(a1, a

2) a1R1a1 si a2R2a2

este o relatie de echivalenta si ca exista o bijectie ntre multimile (A1 A2)/R si(A1/R1) (A2/R2).1.95. Fie f, g : R R, f(x) = x2, g(x) = x4. Sa se arate ca ker f = ker g si sa sestabileasca o bijectie ntre R/ ker f si R+ = [0,+).1.96. Fie f, g : C C, f(z) = z2, g(z) = z4. Sa se arate ca ker f 6= ker g si caexista bijectii ntre multimile C/ ker f , C/ ker g si C.

1.97. Fie A o multime finita cu m elemente (m N) si E(A) multimea relatiilorde echivalenta ntre elementele multimii A. Sa se determine numarul elementelormultimii E(A).

1.98. O relatie R A B se numeste difunctionala daca R 1R R = R. Sa se

arate ca inversa unei relatii difunctionale este o relatie difunctionala.

1.99. Fie D multimea dreptelor din plan si

R = {(d1, d2) D D | d1 este perpendiculara pe d2}.

Sa se arate ca relatia (D,D,R) este difunctionala.


1.100. Fie f : A B o functie si F graficul sau. Sa se arate ca relatia f = (A,B, F )si inversa sa

1f = (B,A,

1F ) sunt relatii difunctionale.

1.101. Fie R A B. Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt echivalente:a) relatia (A,B,R) este difunctionala;b) daca a1, a2 A si Ra1 Ra2 6= atunci Ra1 = Ra2;c) daca b1, b2 A si

1Rb1

1Rb2 6= atunci

1Rb1 =

1Rb2;

d) exista familiile (Ai)iI , (Bi)iI de submultimi disjuncte ale multimii A, respectivale multimii B, astfel ncat

R =iIAi Bi.

1.102. Fie R AA. Sa se arate ca R este o relatie de echivalenta daca si numaidaca R este o relatie difunctionala reflexiva.

1.103. Sa se arate ca daca R AB este o relatie difunctionala atunci:a)

1R R este o relatie de echivalenta pe pr1R;

b) R 1R este o relatie de echivalenta pe pr2R;

c) exista o bijectie ntre multimile cat pr1R/1R R si pr2R/R

1R .

Sa se deduca de aici ca pentru orice functie f : A B exista o bijectie ntremultimile A/ ker f si f(A).

1.104. Fie A,B doua multimi, A A, B B, 1 o relatie de echivalenta pe Asi 2 o relatie de echivalenta pe B

. Sa se arate ca daca F este graficul unei bijectii

f : A/1 B/2 atunci R =1F2 F F1 A B (unde F1, F2 sunt graficele

functiilor canonice p1 : A A/1, respectiv p2 : B B/2) este o relatie

difunctionala pentru care pr1R = A si pr2R = B.

1.105. Sa se arate ca axiomele ce definesc notiunea de relatie de ordine (partiala)sunt independente, adica nici una dintre ele nu este o consecinta a celorlalte doua.

1.106. Fie A o multime. Sa se arate ca intersectia dintre multimea relatiilor deechivalenta pe A si multimea relatiilor de ordine pe A este formata numai din relatiade egalitate.

1.107. Sa se dea cate un exemplu de multime:a) ordonata care nu este total ordonata;b) total ordonata care nu este bine ordonata;c) bine ordonata;d) ordonata care nu este dirijata;e) dirijata care nu este total ordonata.

1.108. Fie A o multime, A A si A A. Sa se arate ca:a) daca este o relatie de ordine pe A atunci restrictia a lui la A, adica = (A A), este o relatie de ordine pe A;b) este o relatie de ordine (totala) pe A daca si numai daca

1 este o relatie de

ordine (totala) pe A.

17

1.109. Sa se arate ca relatia de divizibilitate n Z este o relatie de preordine, darnu este nici relatie de ordine si nici relatie de echivalenta. Sa se determine relatiade echivalenta indusa de aceasta preordine si relatia de ordine n multimea cat. Sase gaseasca o bijectie ntre multimea cat si N.

1.110. a) Sa se determine toate relatiile de ordine pe multimile A = {a}, B = {a, b}si C = {a, b, c}.b) Cate multimi ordonate neizomorfe cu 1, 2 si 3 elemente exista?c) Sa se determine relatiile de ordine totala de la punctul a).d) In fiecare multime ordonata de la punctul a) sa se determine elementele minimale,elementele maximale, cel mai mic element si cel mai mare element.

1.111. Fie (A,) o multime ordonata. Sa se arate ca (A,) este izomorfa cu osubmultime a multimii ordonate (P(A),).1.112. Fie A si B doua multimi. Sa se arate ca functia

f : P(AB) P(B A), f() = 1este un izomorfism de ordine pentru relatia de incluziune.

1.113. Sa se arate ca :a) daca ntr-o multime ordonata exista cel mai mic (cel mai mare) element atunciacesta este singurul element minimal (maximal);b) unicitatea elementului minimal (maximal) nu implica faptul ca acesta este celmai mic (cel mai mare) element.

1.114. Fie R multimea relatiilor de ordine pe o multime A. Sa se arate ca relatiilede ordine totala pe A coincid cu elementele maximale din (R,).1.115. Sa se arate ca daca este o relatie de ordine pe A atunci exista o relatie deordine totala pe A astfel ncat , adica orice ordonare poate fi extinsa la oordonare totala.

1.116. Sa se arate ca orice multime ordonata finita verifica conditia minimalitatiisi conditia maximalitatii.

1.117. Sa se arate ca orice multime total ordonata finita este bine ordonata.

1.118. Sa se arate ca orice multime total ordonata (A,) care verifica conditiaminimalitatii si conditia maximalitatii este finita.

1.119. Sa se arate ca daca (A,) este o multime bine ordonata si f : A A esteo functie injectiva crescatoare atunci nu exista nici un a A astfel ncat a > f(a).1.120. Sa se arate ca ntre doua multimi bine ordonate exista cel mult un izomorfism.

1.121. Sa se demonstreze ca o multime total ordonata A este bine ordonata dacasi numai daca A nu are nici o submultime izomorfa cu multimea ntregilor negativiordonata de relatia obisnuita.1.122. Sa se arate ca orice doua multimi finite total ordonate care au acelasi numarde elemente sunt izomorfe.


1.123. Fie (Ai, i) (i = 1, 2) doua multimi ordonate. Sa se arate ca :a) A1 A2 este ordonata de relatia definita astfel:

(a1, a2)(a1, a

2) a11a1 si a22a2.

Din faptul ca 1, 2 sunt ordonari totale rezulta ca este o ordonare totala?b) este cea mai mare relatie de ordine pe A1A2 pentru care proiectiile canonicesunt crescatoare.c) (A1 A2, ) are urmatoarea proprietate de universalitate: pentru orice multimeordonata (A,R) si orice functii crescatoare u1 : A A1, u2 : A A2 exista osingura functie crescatoare u : A A1 A2 astfel ncat triunghiurile urmatoareidiagrame sa fie comutative

Au2

zzuuuuuuuuuu

u

u1

%%KKK

KKKK

KKK

A1 A1 A2p1oo p2 // A2 .d) Proprietatea de universalitate a lui (A1 A2, ) determina pe (A1 A2, ) panala un izomorfism (de ordine).

1.124. Sa se generalizeze problema precedenta pentru o familie oarecare de multimiordonate. Sa se deduca din generalizarea punctului a) al problemei anterioare cadaca (A,) este o multime ordonata si I este o multime oarecare atunci relatia definita prin

f g i I, f(i) g(i)este o relatie de ordine pe multimea de functii AI . Sa se examineze cazul particularcand I = R = A.

1.125. Fie (A, 1), (B, 2), (C, 3) multimi ordonate, f : A B si g : B C. Sase arate ca:a) daca f si g sunt crescatoare atunci g f este crescatoare;b) daca f si g sunt descrescatoare atunci g f este crescatoare;c) daca una dintre functiile f si g este crescatoare si cealalta descrescatoare atuncig f este descrescatoare.1.126. Sa se dea un exemplu de functie bijectiva si crescatoare care nu este unizomorfism de ordine. Sa se arate ca orice functie bijectiva si crescatoare al careidomeniu este o multime total ordonata este un izomorfism de ordine.

1.127. Fie (A,) o multime ordonata si a, b B. Vom spune ca b este un succesorimediat sau un element imediat urmator al lui a daca a < b si nu exista nici un x Aastfel ncat a < x < b. Dual se defineste notiunea de predecesor imediat sau elementimediat anterior al lui a. Sa se arate ca ntr-o multime bine ordonata orice element,diferit de cel mai mare element (daca acesta exista), are un succesor imediat. Esteadevarata afirmatia duala?

1.128. Fie (A,) o multime ordonata si X B A. Sa se arate ca:a) daca exista infAX si infBX atunci infBX infAX;b) daca exista supAX si supBX atunci supBX supAX.

19

1.129. Cate latici se pot defini pe o multime formata dintr-un element, din douaelemente, din trei elemente?

1.130. Sa se arate ca:a) o multime ordonata (L,) este o latice daca si numai daca pentru orice submultimefinita nevida X L, exista infX si supX.b) orice latice finita (L,) este o latice completa si sa se determine inf si sup .1.131. Sa se arate, folosind teorema de caracterizare a laticilor complete ([34, Teo-rema 1.6.8]), ca (N,) nu este o latice completa.1.132. Sa se arate ca:a) orice lant (multime total ordonata) (A,) este o latice si orice submultime a luiA este o sublatice. Este (A,) o latice completa?b) o latice (A,) este un lant daca si numai daca orice submultime a lui A este osublatice.

1.133. Sa se dea cate un exemplu de latice:a) care are cel mai mic element, dar nu are cel mai mare element;b) care are cel mai mare element, dar nu are cel mai mic element;c) care nu are nici cel mai mic element si nici cel mai mare element;d) care are cel mai mic si cel mai mare element.

1.134. Sa se arate ca (N, |) (multimea N ordonata de relatia de divizibilitate) esteo latice si ca N si submultimea {2k | k N} sunt sublatici. Este (N, |) o laticecompleta? Dar (N, |)?1.135. Sa se arate ca orice sublatice completa L a unei latici complete (L,) continepe cel mai mic element al lui L si pe cel mai mare element al lui L.

1.136. Fie A o multime si B A. Sa se arate ca (P(A),) este o latice completasi ca P(B) este o sublatice a laticii (P(A),) care este sublatice completa daca sinumai daca A = B.

1.137. Sa se arate ca (RR,), unde este relatia definita astfel:f g x R, f(x) g(x),

este o latice, iar submultimea D(R,R) RR formata din functiile derivabile pe Reste o multime dirijata, dar nu este o sublatice a lui RR. Este D(R,R) o latice?

1.138. a) Fie (A1, 1) si (A2, 2) doua multimi ordonate. Sa se arate ca daca (A1, 1)si (A2, 2) sunt latici (complete) atunci A1 A2 este latice (completa) n raport curelatia definita prin

(a1, a2)(a1, a

2) a11a1 si a22a2.

b) Examinati cazul particular (A1, 1) = (N,), (A2, 2) = (N, |).c) Sa se generalizeze punctul a) pentru o familie oarecare de latici si sa se deducadin aceasta generalizare ca daca (L,) este o latice (completa) atunci pentru oricemultime I, multimea LI este o latice (completa) n raport cu relatia definita prin

f g i I, f(i) g(i).d) Sa se deduca din c) prima parte a problemei anterioare.


1.139. Sa se arate ca exista functii crescatoare ntre latici, care nu sunt omomorfismede latici.

1.140. Fie f : A B o functie. Sa se arate ca:a) functia f : P(B) P(A), f (Y ) =

1f (Y ) este un omomorfism de latici;

b) functia f : P(A) P(B), f(X) = f(X) este un omomorfism de latici daca sinumai daca f este injectiva.

1.141. Fie A = {1, 2, 3} si B = {n N | n|30}. Sa se gaseasca:a) un izomorfism ntre multimile ordonate (P(A),) si (B, |);b) toate izomorfismele lui (P(A),) pe (B, |).

1.142. Sa se arate ca n orice latice (L,) sunt verificate urmatoarele proprietati:

(a b) c (a c) (b c), a, b, c L (subdistributivitate);a, b, c L, a c a (b c) (a b) c (submodularitate).

1.143. O latice (L,) se numeste modulara daca pentru orice a, b, c L

a c a (b c) = (a b) c.

Sa se arate ca pentru o latice (L,) urmatoarele afirmatii sunt echivalente:a) L este modulara;

b) pentru orice a, b, c L avem

a [b (a c)] = (a b) (a c);

c) pentru orice a, b, c L,

a b, a c = b c, a c = b c a = b;

d) L nu contine nici o sublatice izomorfa cu laticea

numita (laticea) pentagon.

1.144. Fie L o latice modulara si a, b L. Sa se arate ca functiile:

a : [b, a b] [a b, a], a(x) = a x ,b : [a b, a] [b, a b], b(y) = y b

sunt izomorfisme de latici si 1a = b.

21

1.145. O latice (L,) se numeste distributiva daca pentru orice a, b, c L avem

(a b) c = (a c) (b c).

Sa se arate ca pentru o latice (L,) urmatoarele afirmatii sunt echivalente:a) L este distributiva;b) pentru orice a, b, c L avem

(a b) c = (a c) (b c);

c) pentru orice a, b, c L

a c = b c, a c = b c a = b;

d) L este modulara si nu contine nici o sublatice izomorfa cu laticea

numita (laticea) diamant.

1.146. Sa se arate ca orice lant este o latice distributiva.

1.147. Sa se arate ca laticea (N, |) este distributiva.

1.148. Sa se arate ca orice sublatice a unei latici modulare (respectiv distributive)este o latice modulara (respectiv distributiva) si ca orice imagine omomorfa a uneilatici modulare (respectiv distributive) este o latice modulara (respectiv distribu-tiva).

1.149. Sa se determine toate laticile neizomorfe cu cel mult 5 elemente. Care dintreacestea sunt modulare? Dar distributive?

1.150. O latice (L,) se numeste latice (algebra) Boole daca este distributiva, arecel mai mic si cel mai mare element (notate cu 0, respectiv 1) si pentru orice x Lexista x L astfel ncat x x = 0 si x x = 1 (numit complement al lui x). Sa searate ca ntr-o latice Boole fiecare element are complement unic.

1.151. Fie M o multime. Sa se arate ca multimea P(M) a submultimilor multimiiM , ordonata cu incluziunea, formeaza o latice Boole.

1.152. Fie P multimea formulelor (expresiilor) calculului propozitional si p, q P.Sa se arate ca relatia definita n P prin p q daca si numai daca p q este identicadevarata (tautologie) este o relatie de preordine. Fie echivalenta determinata de si relatia de ordine indusa de pe multimea cat P/ (vezi [34, Teorema 1.8.16]).Sa se arate ca (P/ ,) este o latice Boole.


1.153. Fie B o latice (algebra) Boole, ai B (i I) si ai complementul lui ai. Sase arate ca:a) daca unul dintre elementele

iI

ai,iI

ai exista atunci exista si celalalt si

(iI

ai

)=iI

ai ;

b) daca unul dintre elementeleiI

ai,iI

ai exista atunci exista si celalalt si

(iI

ai

)=iI

ai.

1.154. Fie A o multime si P(A) multimea partilor sale. O submultime C P(A)se numeste sistem de nchidere pe A daca pentru orice submultime D C avem

XDX C.

Sa se arate ca:a) orice sistem de nchidere pe A contine pe A;b) daca C este sistem de nchidere pe A atunci (C,) este latice completa.1.155. Fie A o multime infinita, Pf(A) multimea submultimilor finite si Pi(A)multimea submultimilor infinite ale lui A. Sunt Pf (A) si Pi(A) sisteme de nchiderepe A?

1.156. Fie A o multime. O functie J : P(A) P(A) se numeste operator denchidere pe A daca verifica urmatoarele conditii:i) pentru orice X A avem X J(X), adica J este extensiv;ii) pentru orice X, Y A cu X Y avem J(X) J(Y ), adica J este crescator;iii) pentru orice X A avem J(J(X)) = J(X) (ceea ce este echivalent cu faptul caJ J = J), adica J este idempotent.O submultime X A se numeste nchisa relativ la J daca J(X) = X, iar J(X) senumeste nchiderea lui X relativ la J . Sa se arate ca:a) X A este nchisa daca si numai daca exista X A astfel ncat X = J(X );b) conditia iii) din definitia operatorului de nchidere poate fi nlocuita cu

iii) J(J(X)) J(X), X A.1.157. Fie A multime si R A A o relatie de preordine. Sa se arate ca functia

J : P(A) P(A), J(X) = R(X)este un operator de nchidere pe A.

1.158. Fie A o multime si J, J doi operatori de nchidere pe A. Sa se arate ca:a) J J este un operator de nchidere daca si numai daca

J J J = J J ;b) daca J J = J J atunci J J este un operator de nchidere.

23

Fie A o multime. Spunem ca un operator de nchidere J este algebric daca pentru oriceX A si orice a J(X) exista o submultime finita X X astfel ncat a J(X ). Auloc urmatoarele afirmatii:i) Daca C este un sistem de nchidere pe A atunci

JC : P(A) P(A), JC(X) ={Y C | X Y }

este un operator de nchidere pe A (vezi [33, Teorema 1.5.6]).ii) Daca J este un operator de nchidere pe A atunci

CJ = {X A | J(X) = X}

este un sistem de nchidere pe A(vezi [33, Teorema 1.5.7]).iii) Corespondenta C 7 JC realizeaza o bijectie ntre multimea sistemelor de nchidere peA si multimea operatorilor de nchidere pe A si inversa sa este data de corespondentaJ 7 CJ (vezi [33, Teorema 1.5.8]).Spunem ca un sistem de nchidere C este algebric daca operatorul de nchidere JC estealgebric. Un sistem de nchidere C este algebric daca si numai daca pentru orice D Cnevida si dirijata superior avem

XD

X C (vezi [33, Teorema 1.5.13]).

1.159. Fie Rr multimea relatiilor reflexive ntre elementele unei multimi nevide A.Sa se arate ca:a) Rr este un sistem de nchidere algebric pe A A;b) Rr este o sublatice a laticii (P(A A),), dar nu este o sublatice completa;c) daca Fr este operatorul de nchidere definit de Rr si A A atunci

Fr() = A.

1.160. Fie Rt multimea relatiilor tranzitive ntre elementele unei multimi A. Sa searate ca :a) Rt este un sistem de nchidere algebric pe A A;b) Rt nu este, n general, o sublatice a laticii (P(A A),);c) daca Ft este operatorul de nchidere definit de Rt si AA atunci

Ft() =nN

n.

1.161. Fie Rs multimea relatiilor simetrice ntre elementele unei multimi A. Sa searate ca:a) Rs este o sublatice completa a laticii complete (P(AA),);b) daca Fs este operatorul de nchidere definit de Rs si AA atunci

Fs() = 1 .

1.162. Fie Ra multimea relatiilor antisimetrice ntre elementele unei multimi A. Sase arate ca daca i Ra, i I si I 6= atunci

iIi Ra, dar (n general) Ra nu

este un sistem de nchidere siiIi / Ra.


1.163. Fie Rp multimea relatiilor de preordine ntre elementele unei multimi A. Sase arate ca:a) Rp este un sistem de nchidere algebric pe A A, dar (n general) nu este osublatice a laticii (P(A A),);b) daca Fp este operatorul de nchidere definit de Rp si A A atunci

Fp() =

( nN

n

)A.

1.164. Fie A o multime si E(A) multimea relatiilor de echivalenta pe A. Sa se arateca:a) E(A) este un sistem de nchidere algebric pe A A, dar (n general) nu este osublatice a laticii (P(A A),);b) daca Fe este operatorul de nchidere definit de E(A) si A A atunci

Fe() =

[ nN

( 1

)n]A.

1.165. Fie Fr, Fs, Ft, Fp si Fe operatorii de nchidere din problemele 1.159, 1.160,1.161, 1.163 si 1.164. Sa se arate ca:a) Fr Ft, Ft Fs, Fr Fs si Fr (Ft Fs) sunt operatori de nchidere;b) Fr Ft = Fp si Fr (Ft Fs) = Fe.1.166. Sa se arate ca multimea sistemelor de nchidere pe o multime A este unsistem de nchidere pe P(A). Este acest sistem de nchidere algebric?1.167. Fie A o multime, O(A) multimea operatorilor de nchidere pe multimea Asi J, J O(A). Sa se arate ca:a) multimea O(A) este ordonata de relatia definita prin

J J X A, J (X) J(X);b) (O(A)),) este o latice completa;c) daca J J este un operator de nchidere atunci

sup(J , J) = J J.1.168. Fie O(A), respectiv S(A) multimea operatorilor, respectiv sistemelor denchidere pe o multime A. Sa se arate ca functia

: O(A) S(A), (J) = J(P(A))este un antiizomorfism ntre (O(A),) si (S(A),).1.169. Fie (A,) si (B ) doua multimi ordonate. Se spune ca o pereche de functii : A B, : B A este o corespondenta Galois daca verifica urmatoareleconditii: pentru x, x1, x2 A si y, y1, y2 B

x1 x2 (x1) (x2);y1 y2 (y1) (y2);x ((x)), y ((y)).

Sa se arate ca daca (, ) este o corespondenta Galois atunci

= si = .

25

1.170. Fie A si B doua multimi, iar : P(A) P(B), : P(B) P(A) ocorespondenta Galois ntre (P(A),) si (P(B),). Sa se arate ca:a) functia J : P(A) P(A), J(X) = ((X)) este operator de nchidere pe A;b) functia J : P(B) P(B), J (Y ) = ((Y )) este operator de nchidere pe B;c) egalitatea f(X) = (X) defineste o functie

f : {X A | J(X) = X} {Y B | J (Y ) = Y }

care este un antiizomorfism de ordine si f1(Y ) = (Y ).

1.171. Fie R A B o relatie binara, : P(A) P(B), : P(B) P(A)functiile definite prin

(X) = {y B | x X, xRy} si (Y ) = {x A | y Y, xRy},

pentru orice X A si Y B. Sa se arate ca:

(X) =xX

Rx si (Y ) =yY

1Ry,

iar si formeaza o corespondenta Galois ntre (P(A),) si (P(B),).1.172. Daca n problema anterioara se ia A = R = B si n locul lui R relatia , sase gaseasca sistemele de nchidere definite de operatorii de nchidere si (vezi problema 1.170).

1.173. Spunem ca doua multimi X si Y sunt echivalente (si scriem X Y ) dacaexista o functie bijectiva f : X Y . O multime echivalenta cu N se numestemultime numarabila. Sa se arate ca multimile N, Z, NN, Q+ = {x Q | x > 0}si Q sunt numarabile.

1.174. Sa se arate ca daca X este o multime infinita si x0 X atunci

X X \ {x0}.

1.175. Sa se arate ca multimile R, [a, b], (a, b], [a, b), (a, b) (a, b R, a < b), [0, 1]sunt echivalente.

1.176. Fie f : I J o functie bijectiva si fie (Ai)iI , (Bj)jJ doua familii demultimi astfel ncat Ai Bf(i) pentru orice i I. Sa se arate ca: a)

iIAi

jJBj ,

b)iI

Ai jJ

Bj .

1.177. Fie multimile A1, A2, B1, B2 astfel ncat A1 A2 si B1 B2. Sa se arate caAB11 AB22 .1.178. Fie (Xi)iN o familie de multimi numarabile indexata dupa multimea nu-

merelor naturale. Sa se arate ca multimea

iNXi este numarabila.


Relatia este reflexiva, simetrica si tranzitiva. Asociem fiecarei multimi X un simbol |X|numit cardinalul multimii X, caracterizat prin proprietatea

|X| = |Y | X Y.Cardinalul multimii se noteaza cu 0, cardinalul submultimii {0, 1, . . . , n 1} a multimiiN se noteaza cu n, iar cardinalul multimii N se noteaza cu 0. Din problemele anterioarerezulta ca egalitatile

iI

|Ai| =iIAi

, iI

|Ai| =iI

Ai

, |B||A| = BAnu depind de alegerea reprezentantilor Ai, A,B ai cardinalelor |Ai|, |A|, |B| (i I), faptcare permite definirea ca mai sus a sumei, produsului, respectiv, ridicarii la putere acardinalelor. Amintim aici faptul ca adunarea si nmultirea cardinalelor sunt asociative,comutative, nmultirea este distributiva fata de adunare (vezi [7, Cap.3]) si produsul adoua cardinale poate fi exprimat cu ajutorul sumei astfel:

m n = m + m + n

= n + n + m

.

De asemenea, amintim ca ridicarea la putere a cardinalelor satisface urmatoarele pro-prietati: daca m, n, p, (mi)iI , (mi)iI sunt cardinale atunci

(iI

mi

)n=iI

(mni ) ,iI

(mni) = m

0

B

iI

ni

1

C

A

, (mn)p = mnp.

1.179. Fie m = |X|, n = |Y | doua numere cardinale. Scriem m n daca exista ofunctie injectiva f : X Y . Sa se arate ca:a) relatia nu depinde de alegerea reprezentantilor;b) daca pentru cardinalele m1,m2, n1, n2 avem m1 n1 si m2 n2 atunci

m1 + m2 n1 + n2.1.180. Fie m si n doua cardinale. Scriem m < n daca m n si m 6= n. Sa se arateca:a) daca m < n atunci exista un cardinal p > 0 astfel ncat n = m + p;b) m n daca si numai daca exista un cardinal p astfel ncat n = m + p.1.181. Daca m si n sunt doua cardinale cu 1 < m, 1 < n atunci

m + n m n.1.182. Cardinalul 20 se noteaza cu c si se numeste puterea continuului. Sa se arateca au loc urmatoarele egalitati: 1) 0 + 0 = 0 ; 2) 0 + 0 +

0

= 0 0 = 0 ;

3) c2 = c ; 4) c0 = c ; 5) c + c = c ; 6) 00 = c ; 7) 0 c = c .1.183. Sa se arate ca multimile R, R2, . . . , Rn (n N) si C sunt de putereacontinuului.

27

1.184. Cardinalul unei multimi infinite se numeste cardinal infinit. Sa se arate cadaca m este un cardinal infinit atunci:a) m2 = m ;b) m + m = m ;c) pentru orice cardinal n cu proprietatea ca 1 n m avem

m + n = m si m n = m.Reamintim ca doua multimi bine ordonate (X,) si (Y,) sunt izomorfe daca existaf : X Y o functie bijectiva pentru care f si f1 sunt crescatoare. In acest cazscriem (X,) (Y,). Relatia astfel obtinuta este reflexiva, simetrica si tranzitiva.Asociem fiecarei multimi bine ordonate (X,) un simbol o(X,), numit ordinalul multimiibineordonate (X,), caracterizat de proprietatea

o(X,) = o(Y,) (X,) (Y,) .

Cardinalul unei multimi bine ordonate de ordinal se noteaza cu si se numeste cardinalul

ordinalului . Elementele multimii { | = m} se numesc ordinale corespunzatoarecardinalului m.

1.185. a) Sa se arate ca toate ordinalele corespunzatoare unui cardinal finit suntegale.b) Sa se arate ca (pentru cardinale infinite) exista mai multe ordinale corespunzatoareaceluiasi cardinal.

Ordinalul multimii vide se noteaza cu 0, ordinalul multimii {1, 2, . . . , n} (n N) senoteaza cu n, iar ordinalul lui (N,) se noteaza cu .1.186. Fie (A,), (B,) doua multimi bine ordonate de ordinale , respectiv sifie relatia definita pe produsul cartezian A B prin

(a1, b1) (a2, b2) a1 < a2 sau (a1 = a2 si b1 b2)(numita ordonare lexicografica). Sa se arate ca:a) multimea (A B,) este bine ordonata;b) daca multimile bine ordonate (A,) si (B,) sunt izomorfe cu (A,), respectiv(B,) atunci multimile bine ordonate (A B,) si (A B,) sunt izomorfe ceea ce permite definirea produsului al ordinalelor si astfel: esteordinalul multimii bine ordonate (A B,).1.187. Fie (I,) o multime bine ordonata, pentru fiecare i I, (Ai,) o multimebineordonata de ordinal i si relatia definita pe

iIAi prin

(i1, a) (i2, a) (i1 = i2 si a a n Ai1) sau i1 i2.

Sa se arate ca:

a) multimea

( iIAi ,

)este bine ordonata;

b) daca f este un izomorfism de ordine ntre multimile bine ordonate (J,) si (I,)si pentru fiecare i I multimile bine ordonate (Ai,) si (Bf(i),) sunt izomorfe


atunci multimile bine ordonate

( iIAi ,

)si

jIBj ,

au acelasi ordinal ceea ce permite definirea sumei

iI

i a familiei de ordinale (i)iI astfel:iI

i este

ordinalul multimii bine ordonate

( iIAi ,

);

c) daca si sunt doua ordinale atunci ordinalul + nu este ntotdeauna egalcu ordinalul + .

Capitolul 2

Grupoizi. Semigrupuri. Grupuri

2.1. Sa se dea doua exemple de grupoizi care nu sunt semigrupuri si sa se cercetezedaca au elemente neutre.

2.2. Sa se dea un exemplu de grupoid care are doua elemente neutre la stanga(dreapta). Exista grupoizi care au doua elemente neutre la stanga diferite si unelement neutru la dreapta? Exista grupoizi care au doua elemente neutre?

2.3. Sa se dea exemplu de grupoid cu element neutru n care exista un element cudoua simetrice diferite. Exista semigrupuri cu aceasta proprietate?

2.4. Sa se dea un exemplu de grupoid cu element neutru n care exista un elementsimetrizabil cu care nu se poate simplifica. Exista semigrupuri cu aceasta proprie-tate?

2.5. Fie operatia definita pe R prinx y = x+ y + xy.

Sa se arate ca (R, ) este un monoid comutativ si ca intervalul [1,+) este o partestabila a lui (R, ).2.6. Fie R si operatia definita pe R prin

x y = xy 2x 2y + .Sa se determine valorile parametrului real pentru care intervalul (2,+) este oparte stabila n (R, ).2.7. Pe R se defineste operatia astfel

x y = xy + 2ax+ by, x, y R.Sa se determine a, b R astfel ncat (R, ) sa fie un semigrup comutativ.2.8. Fie m,n, p trei numere ntregi si operatia definita n Z prin

x y = mxy + n(x+ y) + p.i) Sa se determine o conditie necesara si suficienta pentru ca operatia sa fie aso-ciativa.ii) Sa se determine conditii necesare si suficiente pentru existenta elementului neutrun (Z, ).iii) Sa se determine m,n si p astfel ncat (Z, ) sa fie grup.

29

30 CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMIGRUPURI. GRUPURI (ENUNTURI)

2.9. Fie M o multime si compunerea functiilor.i) Sa se determine n (MM , ) elementele inversabile la stanga (dreapta), elementeleinversabile, elementele cu care se poate simplifica la stanga (dreapta) si elementelecu care se poate simplifica.ii) Cum trebuie sa fie M pentru ca elementele inversabile la stanga sa coincida cucele inversabile la dreapta si cu cele inversabile?iii) Sa se ntocmeasca tabla operatiei n cazul M = {0, 1} si sa se gaseasca n acestcaz elementele cerute la punctul i).

2.10. Fie A o multime finita cu n elemente. Sa se determine:i) numarul operatiilor (binare) pe A;ii) numarul operatiilor (binare) comutative pe A;iii) numarul operatiilor (binare) pe A care admit element neutru;iv) numarul operatiilor comutative si cu element neutru ce se pot defini pe A.

2.11. Fie o operatie pe multimea A si B A o parte stabila n (A,). Operatia : B B B definita prin() (b1, b2) = (b1, b2), b1, b2 Bse numeste operatia indusa de pe B. Sa se arate ca:i) daca este asociativa, respectiv comutativa, atunci este asociativa, respectivcomutativa;ii) daca B nu este stabila atunci formula () nu defineste o operatie n B.2.12. Sa se dea un exemplu de submultime a lui Z care nu este stabila relativ la +si sa se arate ca + nu induce o operatie pe aceasta multime. Sa se determine partilestabile finite ale lui (Z,+).

2.13. Sa se determine partile stabile finite ale semigrupului (Z, ).2.14. Fie (A, ) un grupoid. Sa se arate ca multimile

B1 = {a A | (ax)y = a(xy), x, y A},B2 = {a A | (xa)y = x(ay), x, y A},B3 = {a A | (xy)a = x(ya), x, y A}

sunt parti stabile n (A, ) si ca (A, ) este un semigrup daca si numai daca A coincidecu una dintre multimile B1, B2, B3.

2.15. Sa se arate, folosind problema anterioara, ca operatia definita pe multimeaA = {a, b, c, d, f} prin tabla

a b c d fa a a a d d

b a b c d d

c a c b d d

d d d d a a

f a f f a a

este asociativa.

31

2.16. FieM o multime si P(M) multimea partilor sale. Sa se determine un izomor-fism ntre grupoizii (P(M),) si (P(M),). Sunt (P(M),) si (P(M),) grupuri?2.17. Fie (A, ) un grupoid si X, Y A. Definim X Y = {x y | x X, y Y }.Sa se arate ca:i) (P(A), ) are un subgrupoid izomorf cu (A, );ii) X Y = Y X daca si numai daca pentru orice x X si y Y exista x, x Xsi y, y Y astfel ncat xy = yx si yx = xy. Deduceti de aici ca (A, ) comutativimplica (P(A), ) comutativ.iii) B este un subgrupoid n (A, ) daca si numai daca B B B;iv) daca B1, B2 A sunt parti stabile si B1 B2 = B2 B1 atunci B1 B2 este partestabila;v) daca Y1, Y2 A atunci

X (Y1 Y2) = (X Y1) (X Y2), (Y1 Y2) X = (Y1 X) (Y2 X),X (Y1 Y2) (X Y1) (X Y2), (Y1 Y2) X (Y1 X) (Y2 X),

iar daca x A este un element cu care se poate simplifica si X = {x} atunci ultimeledoua incluziuni devin egalitati;vi) daca (A, ) este un semigrup, respectiv un monoid, atunci (P(A), ) este unsemigrup, respectiv un monoid;vii) daca A 6= atunci (P(A), ) nu este grup, chiar daca (A, ) este un grup.2.18. Sa se arate ca multimea S(N,+) a subgrupoizilor lui (N,+) formeaza, nraport cu incluziunea multimilor, o latice completa. Sa se verifice ca pentru oricen N, nN = {nk | k N} este parte stabila n (N,+) si sa se determine 2N 3N si2N 3N n laticea (S(N,+),). Este S(N,+) sublatice n (P(N),)?2.19. Fie (A, ) un grupoid. Un element x A se numeste idempotent daca x2 = x.Sa se arate ca daca (A, ) este un semigrup comutativ si orice element din A esteidempotent atunci functia f : A P(A), f(x) = xA (unde xA = {x} A) este unomomorfism al lui (A, ) n (P(A),) si n (P(A), ).2.20. O multime ordonata (L,) se numeste semilatice n raport cu daca pentruorice a, b L exista a b = sup(a, b).a) Daca (L,) este o semilatice n raport cu atunci (L,) este un semigrupcomutativ n care toate elementele sunt idempotente.b) Daca (L,) este un semigrup comutativ n care toate elementele sunt idempotenteatunci relatia definita pe L prin

a b a b = b

este o relatie de ordine si (L,) este o semilatice n care

sup(a, b) = a b, a, b L.

c) Corespondenta (A, ) 7 (A,) (unde x y xy = y) realizeaza o bijectie ntreclasa semigrupurilor comutative cu toate elementele idempotente si clasa semilati-cilor n raport cu .


2.21. O multime ordonata (L,) se numeste semilatice n raport cu daca pentruorice a, b L exista a b = inf(a, b).a) Daca (L,) este o semilatice n raport cu atunci (L,) este un semigrupcomutativ n care toate elementele sunt idempotente.b) Daca (L,) este un semigrup comutativ n care toate elementele sunt idempotenteatunci relatia definita pe L prin

a b a b = aeste o relatie de ordine si (L,) este o semilatice n care

inf(a, b) = a b, a, b L.

c) Corespondenta (A, ) 7 (A,) (unde x y xy = x) realizeaza o bijectie ntreclasa semigrupurilor comutative cu toate elementele idempotente si clasa semilati-cilor n raport cu .2.22. a) Daca (L,) este o latice atunci egalitatile

a b = sup(a, b), a b = inf(a, b)

definesc pe L doua operatii (binare) , care sunt asociative, comutative si verificalegile de absorbtie, adica

a (a b) = a, a (a b) = a.b) Daca (L,,) este o structura algebrica cu doua operatii (binare) asociative,comutative care verifica legile de absorbtie atunci

a b = b a b = a

pentru orice a, b L, relatia definita prin

a b a b = b a b = aeste o relatie de ordine si (L,) este o latice n care

sup(a, b) = a b, inf(a, b) = a b, a, b L.

c) Corespondenta (L,,) 7 (L,) (unde x y x y = y) realizeaza o bijectientre clasa structurilor algebrice cu doua operatii (binare) asociative, comutativecare verifica legile de absorbtie si clasa laticilor.

2.23. Fie a, b R si f : C R, f(z) = a|z| + b. Sa se determine a si b astfel ncatf sa fie un omomorfism al lui (C, ) n (R, ).2.24. Fie (A, ), (B, ) grupoizi si y0 B.i) Ce proprietate trebuie sa aiba y0 pentru ca functia constanta f : A B, f(x) = y0sa fie un omomorfism?ii) Ce conditii trebuie sa verifice B pentru ca oricare ar fi grupoidul (A, ) sa existeun omomorfism de la (A, ) la (B, )?

33

2.25. Fie (A, ), (B, ) grupoizi, 1 A element neutru n (A, ) si f : A B unomomorfism. Sa se arate ca:i) f(1) este un element neutru n (f(A), );ii) daca (B, ) are un element neutru si acesta apartine lui f(A) atunci f este unital(adica f(1) este unitatea lui (B, ));iii) daca f este surjectiv atunci (B, ) are element neutru si f este unital.2.26. Fie (A, ), (B, ) grupoizi si f : A B omomorfism. Sa se arate ca:i) daca A este un subgrupoid al lui (A, ) atunci f(A) este un subgrupoid al lui(B, ), iar daca grupoidul (A, ) este comutativ, respectiv semigrup, monoid, grupatunci grupoidul (f(A), ) este comutativ, respectiv semigrup, monoid, grup;ii) daca B este un subgrupoid al lui (B, ) atunci

1f (B) este un subgrupoid al lui

(A, ).2.27. Sa se arate ca exista grupoizi care nu sunt semigrupuri, dar se aplica omomorfpe semigrupuri si chiar pe grupuri.

2.28. Fie (A, ), (B, ) grupoizi si f : A B un omomorfism.i) Daca un element x A este regulat (adica cu x se poate simplifica) rezulta oareca f(x) este regulat?ii) Daca cei doi grupoizi au unitate si x A este inversabil atunci cum trebuie safie f pentru ca f(x1) = [f(x)]1?

2.29. Fie A =

(1 10 1

), B =

(1 00 2

), C =

(2 00 1

), D =

(2 00 0

).

Sa se determine subsemigrupurile A, A,D, B,C si B,D ale semigrupului(M2(Z), ).2.30. a) Fie (A, ) un grupoid si X A. Sa se arate ca subgrupoidul lui (A, )generat de X este reuniunea tuturor submultimilor Xk A (k N) obtinute astfel

X0 = X, Xk+1 = Xk {x1 x2 | x1, x2 Xk}.b) Fie (A, ), (B, ) doi grupoizi si X A. Sa se arate ca daca f : A B este unomomorfism atunci f(X) = f(X).2.31. Fie (A, ), (B, ) grupoizi si fie X un sistem de generatori pentru (A, ). Sa searate ca o functie a lui X n B se extinde cel mult ntr-un mod la un omomorfismal lui (A, ) n (B, ).2.32. a) Fie (A, ) un semigrup, respectiv un monoid. Sa se arate ca orice functief : {1} A se poate prelungi n mod unic la un omomorfism, respectiv omomorfismunital al lui (N,+), respectiv (N,+) n (A, ).b) Se poate prelungi functia g : {1, 2} N, g(1) = 1 = g(2) la un endomorfism allui (N,+)?c) Sa se determine subsemigrupul 2 generat de 2 n (N, ) si sa se gaseasca toateomomorfismele lui (N,+) n 2.2.33. Fie m,n Z, m < 1, n > 1. Sa se determine endomorfismele f : Q Qale lui (Q, ) pentru care avem f(Q) {m,m+ 1, . . . , n}.


2.34. Fie n N, Mn(C) multimea matricelor patrate de ordinul n cu elementedin C si A = (aij) Mn(C). Care dintre functiile fk : Mn(C) C (k = 1, 2, 3)definite prin f1(A) = detA, f2(A) =

ni=1

aii si f3(A) = 1 sunt omomorfisme ale lui

(Mn(C), ) n (C, )? Dar ale lui (Mn(C),+) n (C,+)?

2.35. Fie f, g : C C, f(z) = |z|, iar g(0) = 0 si g(z) = arg z pentru z 6= 0. Suntf si g endomorfisme ale lui (C,+)? Dar ale lui (C, )?

2.36. a) Fie (Ai , )iI o familie de grupoizi. Sa se arate ca pe produsul cartezianP =

iI

Ai exista o singura structura de grupoid (P, ) pentru care proiectiile ca-nonice pj : P Aj , pj((ai)iI) = aj sunt omomorfisme. Mai mult, daca fiecare(Ai, ) este semigrup, respectiv grupoid comutativ, monoid, grup, atunci (P, ) este,de asemenea, semigrup, respectiv grupoid comutativ, monoid, grup.

b) Sa se arate ca grupoidul (P, ) de mai sus are urmatoarea proprietate de univer-salitate: pentru orice grupoid (B, ) si orice familie de omomorfisme ui : B Ai,i I exista un singur omomorfism u : B P astfel ncat diagrama

B

u

uj

@@@

@@@@

Ppj // Aj

sa fie comutativa pentru orice j I.c) Daca grupoidul (P , ) si omomorfismele pi : P Ai, i I au aceeasi proprietatede universalitate ca si (P, ) si omomorfismele pi, i I atunci grupoizii (P, ) si(P , ) sunt izomorfi, adica proprietatea de universalitate a lui (P, ) determina pe(P, ) pana la un izomorfism.d) Fie (A, ) un grupoid si (Ai, ) = (A, ) pentru orice i I. Sa se arate ca grupoidul(P, ) = (AI , ) are un subgrupoid izomorf cu (A, ).

2.37. Fie A1, A2, A trei grupoizi, respectiv grupuri si f1 : A1 A, f2 : A2 Adoua omomorfisme. Sa se arate ca:

a) submultimea S = {(a1, a2) A1 A2 | f1(a1) = f2(a2)} este un subgrupoid,respectiv subgrup al produsului (A1 A2, ), functiile g1 : S A1, g1(a1, a2) = a1,g2 : S A2, g2(a1, a2) = a2 sunt omomorfisme si diagrama

S

g2

g1 // A1

f1

A2f2 // A

este comutativa;

b) tripletul (S, g1, g2) are urmatoarea proprietate de universalitate: pentru oricegrupoid S si orice omomorfisme g1 : S

A1, g2 : S A2 care fac comutativ

35

patratul diagramei

S

g2

g1 //

g

A1

f1

S

g2~~~~~~~~~~

g1

>>~~~~~~~~

A2f2 // A

exista un omomorfism unic g : S S astfel ncat g1 = g1 g si g2 = g2 g ;c) proprietatea de universalitate a tripletului (S, g1, g2) determina pe S pana la unizomorfism.

2.38. Fie (A, ), (B, ) grupoizi, respectiv grupuri si f, g : A B omomorfisme. Sase arate ca:a) submultimea E = {a A | f(a) = g(a)} este un subgrupoid, respectiv subgrupal lui (A, ) si f i = g i , unde i : E A este omomorfismul de incluziune;b) perechea (E, i) are urmatoarea proprietate de universalitate: pentru orice grupoid(C, ) si orice omomorfism h : C A care verifica egalitatea f h = g h exista unomomorfism unic : C E astfel ncat h = i ;c) proprietatea de universalitate a perechii (E, i) determina pe E pana la un izomor-fism.

2.39. Fie (A, ) un grupoid. Sa se arate ca A si AA sunt congruente pe (A, ) sigrupoidul cat (A/A, ) este izomorf cu (A, ). Cate elemente are multimea suporta grupoidului cat (A/AA, )?2.40. Fie 1 si 2 relatiile binare definite n C astfel:

z11z2 arg z1 = arg z2 sau z1 = 0 = z2 ;z12z2 |z1| = |z2|.

Sunt 1 si 2 congruente pe (C,+)? Dar pe (C, )? In caz afirmativ sa se determinegrupoidul cat.

2.41. a) Fie (G, ), (G, ) doi grupoizi si f : G G un omomorfism. Sa se arateca nucleul ker f al functiei f este o congruenta pe (G, ) si ca grupoizii (G/ ker f, )si (f(G), ) sunt izomorfi.b) Sa se arate ca functia f : C R, f(z) = |z| este un omomorfism de la (C, ) la(R, ) si sa se aplice punctul a) acestui omomorfism.c) Sa se arate ca f :Mn(C) C, f(A) = detA este un omomorfism de la (Mn(C), )la (C, ) si sa se aplice punctul a) acestui omomorfism.2.42. a) Fie (A, ) un grupoid, B un subgrupoid n (A, ) si o congruenta pe(A, ). Sa se arate ca (B) este subgrupoid n (A, ), ca relatiile = (B B) si = ((B) (B)) sunt congruente pe B, respectiv pe (B) si ca grupoizii catB/ si (B)/ sunt izomorfi.b) Sa se arate ca B = {x R | |x| > 1} este un subgrupoid al lui (C, ) si sa seaplice punctul a) lui A si congruentei 2 din problema 2.40.


2.43. Fie n N si n relatia binara definita n Z prin

xny k Z : x y = kn.

Mentionam ca n locul notatiei xny se foloseste, n general, notatia x y(modn),iar n se numeste congruenta modulo n. Sa se arate ca:a) n este o congruenta pe (Z,+) si sa se determine grupoidul cat (Z/n,+);b) m|n n m.

2.44. Este congruenta modulo n (n N) o congruenta pe (Z, )? In caz afirmativsa se determine grupoidul cat.

2.45. Fie (A, ) un grupoid si o congruenta pe (A, ). Sa se arate ca grupoidulcat (A/, ) nu este, n general, un subgrupoid al grupoidului (P(A), ) introdus nproblema 2.17.

2.46. a) Fie (A, ) un grupoid si 1 2 doua congruente pe (A, ). Sa se arate caexista un unic omomorfism de grupoizi f : A/1 A/2 astfel ncat p2 = f p1 ,iar daca notam nucleul lui f cu 2/1 atunci grupoizii cat (A/1)/(2/1) si A/2sunt izomorfi.b) Sa se aplice punctul a) lui (Z,+) si congruentelor modulo 2 si modulo 6.

2.47. Fie (A, ) un grupoid. Un element a A se numeste nongenerator al lui Adaca pentru orice X A,

X {a} = A X = A.

Un subgrupoidM 6= A al lui (A, ) se numeste maximal daca pentru orice subgrupoidB al lui (A, ),

M B B =M sau B = A.Sa se arate ca:

a) multimea F (A) a nongeneratorilor lui A formeaza un subgrupoid al lui (A, ),numit subgrupoidul lui Frattini;

b) pentru orice automorfism f : A A avem f(F (A)) F (A);c) F (A) coincide cu intersectia subgrupoizilor maximali ai lui (A, ) (daca nu existasubgrupoizi maximali atunci aceasta intersectie este A).

2.48. Fie (A, ) un semigrup ciclic (adica un semigrup generat de un element al luiA). Daca exista k1, k2 N diferite astfel ncat ak1 = ak2 si n este cel mai mic ntregpozitiv pentru care exista un m N, m < n astfel ncat am = an, atunci perechea(m,n) se numeste tipul lui (A, ). Sa se arate ca daca (A, ) este de tipul (m,n)atunci:

i) am+q(nm) = am pentru orice q N;ii) ak Knm = {am, am+1, . . . , an1} pentru k n; Knm se numeste parteaperiodica a lui A;iii) A = {a, a2, . . . , am, am+1, . . . , an1};iv) Knm este parte stabila n (A, ) si (Knm, ) este grup.

37

2.49. Sa se arate cai) pentru orice m,n N, m < n, exista un semigrup ciclic de tipul (m,n);ii) toate semigrupurile ciclice de tipul (m,n) sunt izomorfe;iii) orice semigrup ciclic infinit este izomorf cu (N,+).

2.50. Sa se ntocmeasca tabla de operatie a semigrupului ciclic de tipul (3, 7) si sase arate ca partea sa periodica este un grup.

2.51. Fie (A, ) un semigrup. Un element x A se numeste regular daca existax A astfel ncat xxx = x. Daca orice x A este regular atunci (A, ) se numestesemigrup regular. Sa se arate ca:i) daca x este regular atunci exista x A astfel ncat xxx = x si xxx = x;ii) un semigrup regular cu multimea suport nevida are elemente idempotente;iii) daca M este o multime atunci semigrupul (MM , ) al transformarilor lui M(adica al functiilor f :M M) este regular.2.52. Fie (A, ) un semigrup. Sa se arate ca:i) daca (A, ) este grup atunci exista n A un singur element idempotent;ii) daca (A, ) este regular si A 6= atunci A are un singur element idempotent dacasi numai daca (A, ) este grup.2.53. Fie G = (1, 1), x, y G si

(1) x y = x+ y1 + xy

.

Sa se arate ca:i) egalitatea (1) defineste o operatie pe G si (G, ) este un grup abelian;ii) ntre grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive (R+, ) si (G, ) exista unizomorfism f : R+ G de forma f(x) =

x 1x+ 1

.

2.54. Fie x, y R si x y = xy 5x 5y + 30. Este (R, ) grup? Dar (R \ {5}, )?2.55. Fie X o multime nevida si (G, ) un grup. Daca f, g GX atunci definimfunctia f g : X G prin (f g)(x) = f(x) g(x). Sa se arate ca (GX , ) este grupsi ca (GX , ) are un subgrup izomorf cu (G, ).2.56. Sa se arate ca un grupoid (G,+) este grup abelian daca si numai daca verificaconditiile:i) (x+ y) + z = x+ (z + y), x, y, z G ;ii) 0 G : x G, 0 + x = x ;iii) x G, x G : x + x = 0 .2.57. Sa se arate ca un semigrup (G, ) este grup daca si numai daca G 6= sia G = G = G a pentru orice a G.2.58. Fie (G, ) un grup si x, y G. Sa se arate ca:a) (x y)1 = x1 y1 x y = y x (x y)2 = x2 y2;b) x y = y x (x y)n = xn yn, n Z;c) x y = y x xm yn = yn xm, m,n Z.


2.59. Fie (G, ) un grup si f, g : G G, f(x) = x1, g(x) = x2. Sa se arate ca:i) f este o bijectie;ii) f este automorfism daca si numai daca (G, ) este abelian;iii) g este omomorfism daca si numai daca (G, ) este abelian.

2.60. Sa se arate ca un semigrup finit este grup daca si numai daca multimeasuport este nevida si toate elementele sale sunt regulate. Grupurile infinite se potcaracteriza analog?

2.61. Fie R+ = {x R | x > 0}. Sa se arate ca grupurile (R+, ) si (R,+) suntizomorfe.

2.62. Fie n > 1 ntreg impar si fie operatia definita pe R prin

x y = nxn + yn.

Sa se arate ca (R, ) este un grup izomorf cu (R,+).

2.63. Sa se arate ca grupul (C,+) este izomorf cu (R R,+), dar (C, ) nu esteizomorf cu (R R, ).

2.64. Fie (G, ), (G, ) si (G, ) trei grupuri. Sa se arate ca au loc urmatoareleizomorfisme de grupuri:

i) (GG, ) (G G, );ii) ((GG)G, ) (G (G G), ) (GG G, ).

2.65. Fie (G, ) un semigrup cu G 6= si fie ta, ta : G G, ta(x) = ax, ta(x) = xa(a G). Sa se arate ca:i) daca (G, ) este grup atunci pentru orice a G functiile ta, ta sunt bijectii;ii) daca pentru orice a G, ta si ta sunt surjectii atunci (G, ) este grup.

2.66. Fie (G, ) un semigrup, G 6= , g G si tg, tg : G G functiile definite printg(x) = gx, t

g(x) = xg, iar

T (G) = {tg | g G}, T (G) = {tg | g G}.

Sa se arate ca:

i) T (G) si T (G) sunt subsemigrupuri ale lui (GG, );ii) daca (G, ) este un monoid atunci (G, ) este izomorf cu (T (G), ), iar functiaf : G T (G), f(g) = tg este o bijectie si f(g1 g2) = f(g2) f(g1), adica f esteantiizomorfism;

iii) daca (G, ) este un grup atunci T (G) si T (G) sunt subgrupuri ale lui (SG, )izomorfe cu (G, ).

2.67. Fie (G, ) un grupoid, End(G, ) multimea endomorfismelor grupoidului (G, )si Aut(G, ) multimea automorfismelor lui (G, ). Sa se arate ca:a) End(G, ) este un subsemigrup al semigrupului (GG, );b) Aut(G, ) este un subgrup al grupului simetric (SG, ).

39

2.68. Fie (G,+) si (G,+) doi grupoizi si f, g : G G omomorfisme. Sa se arateca:a) functia f + g : G G, (f + g)(x) = f(x) + g(x) este un omomorfism daca sinumai daca f(x) + g(x) = g(x) + f(x) pentru orice x G;b) daca (G,+) este grup abelian atunci multimea Hom(G,G) a omomorfismelorlui (G,+) n (G,+) este un grup abelian n raport cu operatia definita mai sus.

2.69. Pe Q = {a1+a2i+a3j+a4k | a1, a2, a3, a4 R} se defineste nmultirea astfel:daca q = a1 + a2i+ a3j + a4k si q

= b1 + b2i+ b3j + b4k atunci

qq = (a1b1 a2b2 a3b3 a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 a4b3)i+ (a1b3 a2b4 + a3b1 + a4b2)j + (a1b4 + a2b3 a3b2 + a4b1)k.

Sa se arate ca:i) (Q, ) este un monoid necomutativ;ii) grupul elementelor inversabile din (Q, ) coincide cu Q = Q \ {0};iii) H = {1, 1,i, i,j, j,k, k} este un subgrup al lui (Q, ) (numit grupul cu-aternionilor);iv) (Q, ) are un subgrup izomorf cu (C, ).2.70. Sa se arate ca H = {z C | |z| = 1} este un subgrup al lui (C, ), dar nueste subgrup al lui (C,+) si sa se dea un exemplu de alt subgrup H al lui (C, )astfel ncat H H sa nu fie subgrup al lui (C, ).2.71. Fie (G, ) un grup, fie X G si X1 = {x1 | x X}. Sa se arate caI = {X G | X1 X} este o sublatice completa a laticii (P(G),) si camultimea S a subgrupurilor lui G este inclusa n I, dar I 6= S.2.72. Fie (G, ) un grup. Sa se arate ca:i) laticea subgrupurilor lui (G, ) este o sublatice a laticii subsemigrupurilor lui (G, )dar nu este sublatice completa;ii) pentru orice subgrup H al lui (G, ) exista o familie de subgrupuri ciclice Hi,i I, ale lui G astfel ncat H = sup(Hi)iI .2.73. Fie (G, ) un grup. Sa se arate ca reuniunea a doua subgrupuri ale lui (G, )este un subgrup al lui (G, ) daca si numai daca unul dintre ele este inclus n celalalt.Sa se deduca de aici caG nu poate fi scris G = H1H2 undeH1 siH2 sunt subgrupuriale lui G diferite de G.

2.74. Fie (G, ) un grup si H1, H2, H3 subgrupuri ale lui (G, ). Sa se arate caH3 H1 H2 daca si numai daca H3 H1 sau H3 H2.2.75. Fie (G, ) un grup si H , K subgrupuri ale lui G. Sa se arate ca are locegalitatea |H| |K| = |H K| |H K|.2.76. a) Sa se dea cate un exemplu de ciclu (permutare circulara) de lungime 4, detranspozitie si de permutare care nu e ciclu.b) Fie 1 = (1, 2, 3) (4, 5, 6, 7), 2 = (3, 4) (5, 2, 6, 1, 8), 3 = (1, 3, 4) (2, 3, 5, 7) (1, 8, 4, 6), 4 = (8, 2, 1, 4, 3) (1, 2) (1, 5) si 5 = (8, 7, 4, 3, 1, 2) (5, 6) permutaridin S8. Sa se gaseasca

31,

22 1, 3 4 5, 43 24 si 5 4 3.


2.77. FieM o multime. Sa se arate ca daca |M | 3 atunci centrul grupului (SM , )este format doar din functia identica.

2.78. Spunem ca doua permutari f, g SM ale unei multimi M sunt disjuncte dacapentru orice x M are loc cel putin una dintre egalitatile f(x) = x, g(x) = x. Sase arata ca daca f, g SM sunt permutari disjuncte atunci f g = g f .2.79. Sa se arate ca doua cicluri (i1, i2, . . . , il), (j1, j2, . . . , jk) din Sn sunt disjunctedaca si numai daca multimile {i1, i2, . . . , il}, {j1, j2, . . . , jk} sunt disjuncte.2.80. a) Sa se descompuna n produs de cicluri disjuncte permutarea

=

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129 12 8 11 6 7 5 3 2 4 10 1

).

b) Sa se scrie n doua moduri ca produs de transpozitii permutarea

=

(1 2 3 4 5 6 7 82 3 1 5 6 8 7 4

).

2.81. Fie n, l N, n l 2. Sa se determine:i) numarul transpozitiilor din Sn;ii) numarul ciclurilor de lungime n din Sn;iii) numarul ciclurilor de lungime l din Sn;iv) numarul tuturor ciclurilor (de lungime cel putin 2) din Sn.

2.82. Fie n N, n 2, 2 l n si = (i1, i2, . . . , il) Sn. Sa se arate ca:a) 1 = (il, il1, . . . , i1) = l1;b) l este cel mai mic numar natural nenul pentru care l este permutarea identica(adica ordinul lui este l);

c) m(ij) =

{ij+m , daca j +m < lij+ml , daca j +m > l

(m N).

2.83. a) Fie = (i1, i2, . . . , ik) Sn. Sa se arate ca pentru orice Sn avem 1 = ((i1), (i2), . . . , (ik)).b) Fie 1 = (1, 2, 3) (4, 5, 6, 7), 2 = (3, 4) (5, 2, 6, 1, 8), 3 = (1, 3, 4) (2, 3, 5, 7) (1, 8, 4, 6), 4 = (8, 2, 1, 4, 3) (1, 2) (1, 5) si 5 = (8, 7, 4, 3, 1, 2) (5, 6) permutaridin S8. Sa se determine 1 4 11 , 25 3 25, 52 4 52 .c) Fie 1 = (1, 2, 3) (4, 5, 6) (7, 8, 9), 2 = (1, 4, 7) (2, 5, 8) (3, 6, 9), 3 =(4, 5, 6) (7, 8, 9). Sa se arate ca 1 2 = 2 1 si 1 3 = 3 1.2.84. Sa se gaseasca elementele din grupul simetric (Sn, ) permutabile cu ciclul(i1, i2, . . . , in) Sn.2.85. Sa se arate ca fiecare din urmatoarele multimi constituie un sistem de gener-atori pentru grupul simetric (Sn, ):a) {(i, j) | i, j {1, . . . , n}, i 6= j} (multimea transpozitiilor din Sn);b) {(1, 2), (1, 3), . . . , (1, n)};c) {(1, 2), (2, 3), . . . , (n 1, n)};d) {(i1, i2), (i1, i2, . . . , in)}, unde {i1, i2, . . . , in} = {1, 2, . . . , n};e) {(i1, i2), (j1, j2, . . . , jn)}, unde {j1, j2, . . . , jn} = {1, 2, . . . , n}.

41

2.86. Sa se arate ca fiecare din urmatoarele multimi constituie un sistem de gener-atori pentru grupul altern An (grupul permutarilor pare de grad n):a) multimea tuturor ciclurilor de lungime 3;b) {(1, 2, 3), (1, 2, 4), . . . , (1, 2, n)}.2.87. Fie K {Q,R,C} si Mn(K) multimea matricelor patrate de ordinul n cuelemente din K, iar

GLn(K) = {A Mn(K) | detA 6= 0}, SLn(K) = {A Mn(K) | detA = 1}.Sa se arate ca:i) (Mn(K), ) este un monoid necomutativ pentru n > 1 si ca acest monoid areun submonoid izomorf cu (K, ) reamintim ca o parte stabila a unui monoidse numeste submonoid atunci cand contine elementul neutru al monoidului. Este(Mn(K), ) grup?ii) GLn(K) este o parte stabila a lui (Mn(K), ) si (GLn(K), ) este un grup numitgrupul general liniar de gradul n peste K.iii) (GLn(K), ) are (pentru n 1) un subgrup izomorf cu (K, ).iv) (GL2(R), ) are un subgrup izomorf cu (C, ).v) SLn(K) este un subgrup al lui GLn(K).

2.88. Fie n N, n 2, K {Q,R,C} si GLn(K) grupul general liniar de graduln peste K. Sa se arate ca Z(GLn(K)) = {aIn | a K}, unde Z(GLn(K)) estecentrul grupului GLn(K), iar In este matricea unitate.

2.89. Fie GLn(Z) = {A Mn(Z) | detA este inversabil n (Z, )} = {A Mn(Z) |detA {1, 1}} si SLn(Z) = {A Mn(Q) | detA = 1}. Sa se arate ca:i) GLn(Z) este un subgrup al lui (GLn(Q), );ii) grupul (GLn(Z), ) este infinit daca n > 1;iii) subgrupul lui (GL2(Z), ) generat de

(1 10 1

)este izomorf cu (Z,+);

iv) SLn(Z) este un subgrup al lui GLn(Z).

2.90. Fie

A =

(0 11 0

), B =

(0 11 1

).

Sa se arate ca n (GL2(Z), ) avem ordA = 4, ordB = 3 si ord(AB) =.2.91. Fie n N. Sa se arate ca grupul (GLn(Z), ) are un subgrup izomorf cugrupul (Sn, ) al permutarilor unei multimi cu n elemente, adica (Sn, ) se scufundaizomorf n (GLn(Z), ).2.92. Sa se arate ca orice grup finit de ordin n se scufunda izomorf n (GLn(Z), ).2.93. Sa se determine ordinele elementelor

x =

(1 00 1

), y =

( 1 10 1

), z =

(i 00 i

),

u =

( 2 + 3i 2 + 2i1 i 3 2i

), v =

(2 11 1

)n (GLn(C), ) si grupurile ciclice generate de acestea.


2.94. FieM o multime, P(M) multimea submultimilor sale si diferenta simetrica,adica pentru X, Y M avem XY = (X \Y ) (Y \X). Sa se arate ca (P(M),)este un grup n care orice element diferit de are ordinul 2.

2.95. Fie (L,,, ) o latice Boole. Definim n L operatia + prin

x+ y = (x y) (x x).

Sa se arate ca (L,+) este un grup n care orice element diferit de elementul neutruare ordinul 2.

2.96. Sa se arate ca daca (G, ) este un grup finit de ordin par atunci exista celputin un element x G \ {1} astfel ncat x1 = x (adica x are ordinul 2).

2.97. Fie (G, ) un grup si x, y G. Sa se arate ca ord(xy) =ord(yx).

2.98. Fie (G, ), (G, ) doua grupuri, x G si f : G G un omomorfism. Sa searate ca:i) daca x G si ordinul lui x este finit atunci ordinul lui f(x) este finit si ordf(x)divide ord(x);ii) daca f este injectiv si x G atunci ordf(x) = ord x;iii) daca ordf(x) = ord x pentru orice x G atunci omomorfismul f este injectiv.

2.99. Fie (G, ) un grup. Sa se arate ca:i) G are un singur element de ordin 1;ii) pentru orice x G avem ordx =ord x1;iii) daca x G, n =ord x si k N atunci ord(xk) = n

(k, n), unde (k, n) este

c.m.m.d.c. al lui k si n;iv) daca n =ordx si n = km atunci ord(xk) = m;v) daca (G, ) este un grup ciclic de ordin n N, generat de x, atunci xk este ungenerator pentru G daca si numai daca (k, n) = 1;vi) daca (G, ) este un grup ciclic de ordinul n si Dn = {d N | d|n} atunci laticeasubgrupurilor lui (G, ) este izomorfa cu (Dn, |).

2.100. Fie (G, ) un grup si x, y G elemente permutabile, adica xy = yx. Fiem =ord x, n =ord y, m,n N. Sa se arate ca:i) ord(xy) este finit si ord(xy) divide pe [m,n] (unde [m,n] este c.m.m.m.c. al luim si n);ii) daca x y = {1} atunci ord(xy) = [m,n];iii) daca (m,n) = 1 atunci ord(xy) = mn si x, y = xy;iv) exista n G (chiar si numai n ipoteza initiala) un element de ordinul [m,n].

2.101. Fie Sn. Sa se arate ca daca = 1 k este descompunerea lui n cicluri disjuncte si lungimea lui i este li (i = 1, . . . , k) atunci ordinul lui estec.m.m.m.c. al numerelor l1, . . . , lk.

2.102. Sa se arate ca daca (G, ) este un grup, x, y G, ord x < , ord y < sixy 6= yx atunci este posibil ca ord(xy) =.

43

2.103. Fie (G, ) un grup si t(G) = {x G | ordx


2.115. Care sunt grupurile n care pentru orice submultime nevida X subsemigrupulgenerat de X coincide cu subgrupul generat de X?

2.116. a) Sa se determine grupurile cat ale lui (Z,+) si sa se arate ca acestea suntciclice.b) Sa se arate ca orice grup ciclic este izomorf cu (Z,+) sau cu un grup cat al lui(Z,+).

2.117. Sa se arate ca produsul direct a doua grupuri ciclice, fiecare de ordin celputin 2, este un grup ciclic daca si numai daca grupurile sunt finite si ordinele lorsunt relativ prime.

2.118. Fie n N, n 2. Sa se arate ca produsul direct a n grupuri ciclice, fiecarede ordin cel putin 2, este un grup ciclic daca si numai daca grupurile sunt finite siordinele lor sunt doua cate doua relativ prime.

2.119. Sa se arate ca grupurile Zn1 Zn2 Znk si Zn1n2nk sunt izomorfe dacasi numai daca numerele n1, n2, . . . , nk sunt doua cate doua relativ prime.

2.120. Sa se arate ca produsul direct al unei familii infinite de grupuri ciclice, fiecarede ordin cel putin 2, nu este un grup ciclic.

2.121. Sa se arate ca, abstractie facand de un izomorfism, exista un singur grupneciclic de ordinul 4 (numit grupul lui Klein).

2.122. Sa se determine toate grupurile neizomorfe de ordinele 1, 2, 3, 4 si 5.

2.123. Sa se arate ca daca f : Z Z este un endomorfism al grupului (Z,+) atuncif(x) = f(1) x pentru orice x Z (adica f este o translatie a lui (Z, )) si ca oricetranslatie a lui (Z, ) este un endomorfism al lui (Z,+).2.124. Sa se arate ca endomorfismele grupului (Q,+) coincid cu translatiile lui(Q, ).2.125. Fie (G,+) un grup abelian. Sa se arate ca grupul (Hom(Z, G),+) esteizomorf cu (G,+).

2.126. Sa se determine omomorfismele lui (Z6,+) n (Z3,+) si ale lui (Z3,+) n(Z9,+).

2.127. Sa se arate ca grupurile (Hom(Zm,Zn),+) si (Z(m,n),+) (unde (m,n) estec.m.m.d.c. al lui m si n) sunt izomorfe.

2.128. Fie (G, ) un grup ciclic si G = a. Sa se arate ca un endomorfism f : G Geste automorfism daca si numai daca G = f(a).2.129. Sa se arate ca urmatoarele grupuri sunt izomorfe: i) (Aut(Z,+), ) si (Z2,+);ii) (Aut(Z5,+), ) si (Z4,+); iii) (Aut(Z6,+), ) si (Z2,+).2.130. Fie (G, ) un grup, H un subgrup, H relatia de echivalenta la stanga de-terminata de subgrupul H , fie S un sistem de reprezentanti pentru multimea catG/H , iar f : G G functia definita prin f(sh) = s (unde s S, h H). Sa searate ca pentru orice x G si orice h H au loc urmatoarele: i) f(f(x)) = f(x) ;ii) x1f(x) H ; iii) f(xh) = f(x) .

45

2.131. Fie (G, ) un grup, H un subgrup si f : G G o functie care verifica pentruorice x G si orice h H conditiile urmatoare: i) f(f(x)) = f(x); ii) x1f(x) H ;iii) f(xh) = f(x). Sa se arate ca f(G) este un sistem de reprezentanti pentrumultimea cat G/H .

2.132. Fie (G, ) un grup si 6= A G. Sa se arate ca exista un subgrup H al luiG astfel ncat A sa fie o clasa la stanga sau la dreapta a lui G n raport cu H dacasi numai daca xy1z A pentru orice x, y, z A.2.133. Fie (G, ) un grup si H1, H2 subgrupuri ale lui G. Sa se arate ca:i) H1 H2 este un subgrup daca si numai daca H1 H2 = H2 H1 ;ii) daca H1 H2 este un subgrup atunci sup(H1, H2) n laticea subgrupurilor lui Geste H1 H2 ;iii) daca H1 E G si H2 E G atunci H1 H2 E G.2.134. Fie (G, ) un grup si X G. Sa se arate ca:i) subgrupul X generat de X este comutativ daca si numai daca pentru oricex, y X avem xy = yx;ii) daca pentru orice x X si orice g G avem g1xg X atunci X E G;iii) daca X = X1 X2 si pentru orice x1 X1 si x2 X2 avem x1x2 = x2x1 atunciX = X1 X2;iv) daca X = X1 X2 si X1X2 = X2X1 atunci X = X1 X2.2.135. Fie G = Z Z {1, 1} si operatia definita n G astfel:

(m1, m2, m3) (n1, n2, n3) ={

(m1 + n1, m2 + n2, n3), daca m3 = 1 ;(m1 + n1, m2 + n2,n3), daca m3 = 1 .

Sa se arate ca:i) (G, ) este un grup;ii) subgrupul H1 = (1, 0, 1), (0, 1, 1) este normal n G;iii) subgrupul H2 = (1, 0, 1) este normal n H1, dar nu este normal n G.2.136. Sa se determine:i) ordinul fiecarui element din S3;ii) subgrupurile lui S3 si sa se arate ca laticea subgrupurilor lui S3 este modulara,dar nu este distributiva;iii) subgrupurile normale ale lui S3;iv) grupurile cat ale lui S3.

2.137. Sa se arate ca laticea subgrupurilor grupului altern A4 nu este modulara.

2.138. Fie (G, ) un grup, H,N subgrupuri n G si H,N GG relatia

xH,Ny h H, n N : y = hxn.

Sa se arate ca:i) H,N este o relatie de echivalenta pe G si G/H,N = {HxN | x G} (HxN senumeste clasa lui x dupa perechea de subgrupuri (H,N));ii) daca N E G atunci H,N coincide cu echivalenta la stanga definita de HN .


2.139. Sa se determine descompunerea lui S3 n clase dupa perechea de subgrupuri(H,N), unde H = N = (1, 2).2.140. Un grup necomutativ care are toate subgrupurile normale se numeste gruphamiltonian. Fie (H, ) grupul cuaternionilor (vezi problema 2.69). Sa se arate ca:i) (H, ) este grup hamiltonian;ii) laticea subgrupurilor lui (H, ) este modulara, dar nu este distributiva;iii) pentru orice x, y H avem x2y2 = y2x2, desi (H, ) nu este comutativ;iv) daca a, b {i, j, k}, a 6= b atunci H = a, b si a4 = 1 = b4, a2 = b2, aba = a iardin aceste egalitati sa se deduca egalitatile: aba = a, a3b = ba si b3a = ab.

2.141. Sa se arate ca laticea subgrupurilor normale ale unui grup este modulara.

2.142. Fie (G, ) un grup necomutativ si Z(G) centrul sau. Sa se arate ca grupulcat (G/Z(G), ) nu este ciclic.2.143. Sa se determine subgrupurile si grupurile cat ale lui: a) (Z12,+); b) (Z15,+).

2.144. Fie U6 mutimea radacinilor de ordinul 6 ale unitatii. Sa se determine sub-grupurile si grupurile cat ale lui (U6, ).2.145. Fie (G, ) un grup. Sa se arate ca:i) daca toate elementele din G \ {1} au ordinul 2 atunci G este abelian;ii) daca G este finit si orice element din G \ {1} are ordinul 2 atunci ordinul lui Geste de forma 2k, cu k N.2.146. Sa se arate ca orice grup de ordinul 6 este izomorf cu (Z6,+) sau cu grupulsimetric (S3, ).2.147. Sa se arate ca rotatiile si simetriile unui triunghi echilateral formeaza ungrup (3, ) izomorf cu grupul simetric (S3, ).2.148. Fie Pn un poligon regulat cu n laturi (n N, n 3). Sa se arate ca izometri-ile f ale planului care au proprietatea ca f(Pn) = Pn formeaza un grup (n, )(numit grupul diedral de grad n) si ca ordinul acestui grup este 2n. (Amintim ca otransformare geometrica f a planului se numeste izometrie daca pastreaza distanta dintre

orice doua puncte, adica pentru orice puncte M,N din plan avem MN = f(M)f(N).)

2.149. Fie p un numar prim impar. Sa se arate ca orice grup de ordinul 2p esteizomorf cu (Z2p,+) sau cu grupul diedral (p, ).2.150. Sa se determine toate grupurile neizomorfe de ordinul 10.

2.151. Sa se determine toate grupurile neizomorfe de ordinul 8.

2.152. Fie (G1, ), (G2, ) doua grupuri si e1, respectiv e2 elementele lor neutre. Sase arate ca grupurile cat (G1/G1, ) si (G2/G2, ) sunt izomorfe. Cand sunt izomorfegrupurile (G1/{e1}, ) si (G2/{e2}, )?2.153. Fie K {Q,R,C}. Sa se arate ca SLn(K) este un subgrup normal al lui(GLn(K), ) si ca grupul cat (GLn(K)/SLn(K), ) este izomorf cu (K, ). Ce sentampla pentru K = Z?

47

2.154. Fie U2 = {1, 1} grupul radacinilor de ordinul 2 ale unitatii. Sa se arate caau loc urmatoarele izomorfisme de grupuri: a) (C/R,+) (R,+); b) (Q/U2, ) (Q+, ); c) (R/U2, ) (R+, ).2.155. Fie H = {z C | |z| = 1}. Sa se arate ca H E (C, ) si ca au locizomorfismele: i) (R/Z,+) (H, ); ii) (C/H, ) (R+, ); iii) (C/R+, ) (H, ).2.156. Sa se arate ca:i) exista o functie bijectiva ntre multimea suport a grupului cat (Q/Z,+) si multimeaA = {x Q | 0 x < 1};ii) grupul (Q/Z,+) este cu torsiune si t(R/Z) = Q/Z;iii) pentru orice n N grupul (Q/Z,+) are un singur subgrup de ordin n, iar acestsubgrup este ciclic.

2.157. Fie U = {z C | n N : zn = 1}. Sa se arate ca U este subgrup n(C, ) si ca (Q/Z,+) (U, ).2.158. Fie functiile

fa,b : R R, fa,b(x) = ax+ b (a, b R),SR multimea permutarilor lui R si

G = {fa,b | a R, b R}, H = {fa,0 | a R}, N = {f1,b | b R}.i) Sa se arate ca G (SR, ). Este G subgrup normal n SR?ii) Sa se arate ca H (G, ). Este H subgrup normal n G?iii) Sa se arate ca N E (G, ) si (G/N, ) (R, ).iv) Este N subgrup normal si n (SR, )?2.159. Fie (G, ) un grup si N un subgrup al sau. Sa se arate ca daca descompunerealui G n raport cu N la stanga are un sistem de reprezentanti H care este subgrupatunci:i) H este un sistem de reprezentanti si pentru descompunerea la dreapta;ii) H N = {1}, HN = G = NH ;iii) orice g G are o reprezentare unica de forma g = hn cu h H , n N ;iv) N este normal n G si grupul (G/N, ) este izomorf cu (H, ).2.160. Fie K = {e, (1, 2) (3, 4), (1, 3) (2, 4), (1, 4)(2, 3)}, unde e este permutareaidentica din S4. Sa se arate ca:a) submultimea K formeaza un subgrup comutativ al lui S4 izomorf cu grupul luiKlein;b) K este un subgrup normal al lui S4 si (S4/K, ) (S3, );c) (A4/K, ) (Z3,+).2.161. Fie (G, ) un grup, H un subgrup al sau, H relatia de echivalenta la stangadefinita de H . Sa se arate ca:i) pentru orice a G functia ta : G/H G/H , ta(xH) = axH este o permutatea lui G/H ;ii) functia f : G SG/H , f(a) = ta este un omomorfism al lui G n grupulpermutarilor multimii cat G/H ;

48 CAPITOLUL 2. GRUPOIZI. SEMI

Probleme de Algebra Purdea- Pelea

Documents

Transcript of Probleme de Algebra Purdea- Pelea