P'LOREHTI MSMARANDACHB ASUPRAUNORNOIFUNCTII N TEORIANUMERELOR C h i , i n u- 1999 UNIVERSITATEADESTATDINHQLDOVA CATEDRADE FLORENTINSMARANDACHE ASUPRAUNORNOIFUNCTII N TEORIANUMERELOR - 1999 Prof.FlorentinSmarandache UniversityofNewMexico Gallup,NM87301,USA Fax:(505)863-7532(Attn.Dr.Smarandache) E-mail:smarand@unm.edu URL:http://www/gallup.unm.edu/-smarandache/ DiagramadepecopertaI zetaaluiRiemann(p. 49). IartabeluldepecopertaIV Sca sumatoare(p.61). (m) un sistemredusderesturimodm fiecareesteprimcumodululoricare sunt necongruentemodfi. Seareloc 1.14.(i) ... ,amesteunsistemcompletde resturimodm a esteun ntreg,prim cum,atunci aal' ... , aam estetotunsistem complet deresturimodfi. (ii) ... ,aq>Cm)esteunsistemredusderesturimodm a este un ntreg prim cum,atunci aal' a... , aarl'nI>n.,.De asemenea,din(21.11.) n acest cazls tls p-1,deoarece a-1-rl t1$rJ;t-11) O pentrux 1. nplus,maximul se pentru Notnd deducem (In b /+ 4< In b + 2pentru2 de unde (2 - In b)(2 + In b)2 min(ah' este 69 foartemultedintrevalorileluiS 4 sunt egalecuunu. Deexemplu: S4(2n +1) =1 S /n) >1 numai neste par. 3.1.2. FiePI'P::!'...Pjnumerelorprime consecutiveCIIcx::!CIk(.tI(.t::!(.tr n=p.p... p.q"'.q '"... 0'" 1IkI::!,. descompunerea nEN*nfactoriprimiastfelnct primaparteadescompunerii (eventualele)numereprime consecutive fie { S(p.w) _1e.(S(p.w> a. t=1.pl1'. 1 .WW 1S(p.) + p.- 1e.(S(p.= a. lIpi 11 (3.1.3.) Atunci S4(n) = min{ti' t2,... Pk+l-1}(3.1.4.) e.(S(P.w> a.,din S .pili S(p.CIl)- 1estecelmaimarentregpozitivmcuproprietatea 1.. e.(m)a ..De asemenea, e.(S(p.w=a.,atunciS(p.w)+ p.- 1 pl1pili11 este celmai mare ntreg mcu proprietatea e.(m) =a .. pl1 min{tI't2,... ,tk, Pk+l-1}estecelmaimare ntreg pozitiv mpentru care e.(m!) =:;a.pentru i=1,2, ... , k. pl1 3.1.3. Ssatisface d4 S4(nl +n::!)AS/nI Vn::!)= SinI) A Sin::!) .N* pentru once n, n"E. I_ utilizndegalitatea(3.1.2),cont defaptul 10 naintedeaprelungiSla Qanumerelor vompunen unele demorfismpentru alte definiteprintriplete(a,b,c). 3.1.4.(i) S5:N*--7N*, S/n) = {m / m!::;dn} satisface S5(n11n2)= S5(n1)1S5(n2)= S5(n1)AS5(n2) (ii) S6:N*--7N*, S6(n) = {m/n::;d m!} satisface S6(n1 -e.n2)= SinI) -e.S6(n2) (iii) S7:N*--7N*, S/n) = {m / m!::;dn} satisface S7(n1 A n2)= S7(n1)A S7(n2) S/n1 V n2)= S/n1)V S/n2) (i) fie A = {ai / ai!::;d ni}; B = {bj /b/ ::;dn2} C = {Ck /Ck! ::; dni1- n2 } Atunci avem A cB sau BeA.fie A = {al' a2,... ,ah},B = {b1,b2,... ,b) astfelnct a.< a.1 b.< b.. 11+JJ+l (3.1.5.) (3.1.6.) (3.1.7.) (3.1.7.) Atunci ah::s;b, a.::s;bpentrui= 1,h,deci r1r a.! ::S;db! ::S;dn..,. 1r-PrinurmareA cB. 71 Analog, br :Sah'BeA. Desigur,avem C=AnB,deci A cB S5(n1 Adn2)===S/nI)=min{S5(n1),S/n2)}= S5(n1)1S/n2) ConsiderndS 5 pedin(2.7.5.) functieeste Dar nu estepelaticea deoarece mln estedivizibilcu idar nucum.+1 : 11II amaveam< m,atuncim+1 smSm,decim+ 1 divide 112 penI pen2,decim+ldividepen. m> mI'atuncim1+lsm, deci mI + 1 dividepen. DarndividepenI'decimI+ldividepenIeste onotnd to= max{ i / ji =>n este divizibil cu j } Atunciv in) sepoate rezolvndproblemadeprogramare to maxf(x):::IXiin P i = 1 to IXi in Pi in Ptaf"1 i = 1 fo estevaloareaaluif din atunci ro vin) = e De exemplu, v4 (23-32-5-11) = 6 Desigur vpoatefila numerelor prin procedeu ca S. 79 3.3. Smarandache de tipulunu, doi trei FieXo rcXxXode X claselorde (l,::s:) totalordonam. 3.3.1.g:X-t Iesteooarecare, atunci f:X -t l,f(x)= g(x)(3.3.1. ) sedestandardizare. Despre X vomspunenacestcaz este(r,CI,::S:),f) standardizam. 3.3.2.r1 r2 suntde pe X, r= r1 Ar2 estede x ryx r1 y x r2 y(3.3.2) Secu reste ode 3.33. f.:X -t I,i= 1,s,au monotonie I pentru orice x,Y EX fk(x)::s:fk(y)f/x) :Sk,j= 1,s 3.3.4.destandardizaref.:X-t I, _1 de r.,pentru i= 1,s,au I monotonie, atunci f= max.f.s II esteodestandardizare r= A r.i=1I este de monotoniecuf.. I acesteiteoremepenttu cazul s= 2 ncazul generalapoiprin80 cuX l'x., xclaselede aleluix rr_r respecti v de r,r r=rAr 1::;1::;' iar cu Xl' X."X ct rr_r Avem f.(x)=g.(x.), i=1,2,undeg.:X.1 sunt injective. lin1n g:X1pring(x) =max(g(x),g(x)este rr1rl::;r2 xl;::X 2 max(g(x\g(x1= rrIrl::;r2 .,., =max(gl(X 1-)'g.,(x., -)), atunci functiilor gr_r_1 g::;avem deexemplu max(gl(Xr11),g/Xr::;l=gl(xr2::;)=max(gl(xr1::;),g::;(Xr::;2 avem o deoarece f(x2)=g(x::;) 1 avem S(a) = a*>1 S(b) = b*>1 n o atunci(a*+b*)!(a*b*)! S(a+b) < S(a) + S(b) S(a) S(b) n nnnn ncontinuare ctevarezultatereferitoarelamonotonia Smarandachedeprimultip. 3.3.9. Pentrufiecarentregpozitivn Smarandache deprimultipSeste . o neste prim kl k.sunt puncte frxepentru Sk. ala2at Fiepun prim,m= PI.P2.Pc descompunerea n factoria lui m p > max( m.4).Atunci ai.-p.u.Sp.< p pentru 1 = 1,t III deciavem 91 Sk(mp) = Smpl) = max(S.(a.), S(k= S(k) = kp lsispiIPP Pentru m= k Sk(kp) = kp decikp estepunct fIxpentru Sk. 3.3.19. Skau (i) Sk= o(n1+E)pentruE > O ( ii)1slnk) lmsup--=k n Avem OsIim S = IimS(nk)sIims = k IimSIn)= o I+EI+EI+EI+E n-xnn-xn (i) este Deasemenea Iim sup = Iim supS(nk)= Iim = k nnPn 0-:10n-xn-::CI unde(p)CN estenumerelor prime. nn3.3.20. Smarandachedetipulaldoilea sunt n generaln sensul 'tin EN*3m maSk(m) Sk(n). Se [S J functiaSmarandache estengeneral ;:, 'titE N*3roEN*'tir roSer) Set)(3.3.15.) Fiet= nk roastfelnct pentru orice rroavemSer)S(nk). . k. Fiedeasemenea ma=1+1.Desigur ma .;::>maroSI 92 kk mmO mmO kk Deoarece mmo rorezul ta S(mk) S(nk) adica Sk(m) Sk(n) 'r/nE N* 3 mo =+ 1 'r/mmo Sk(m) Sk(n) unde ro=ro(nk)este dat de(3.3.15.) 33.21. Fiecare n=p!, cu pmax(3,k), prim este punct de minim relativ alluiSk. Fie ili2im p!= PI. P2..... Pm. p descompunerea luip! nfactoriprimi,astfel nct 2 = p< P?< .. , < P< p. 1_m Deoarece p! este divizibil cu p.ij, J S(p.ij) SP =S(p) pentru orice j=1,m. 1 Desigur kkk"k S(p!)=Sp!))=max(S(p ..IJ),S(p l:SjsnJ S(p.ij)Sk S(P.ij)< k S(p) =kp =S(pk) 11 pentru ksp.Prin urmare Sk(p!) =S(pk) =kp pentru ksp descompunerea lui p !-1 n factoriprimi este '1ili2it p.- = q!. q2.....atunci avem q.>ppentru j=1,t J 93 ! (3.3.16.) S(p!-l) =max(S(q.ij=S(oim) 1!:F;tJ.'In cup, deoarece > S(p) = S(p!) S(p !-l) > S(p!) Analogse S( p !) + 1 > S( p ! ) Desigur Sk(p!_l) =Sp!_l)k) S(qk.im)S(qk)> S(pk) =k.p m m (3.3.17.) Sk(p !+l) =Sp !+1 )k)> k.p (3.3.18. ) Din(3.3.16.),(3.3.17.) (3.3.18.) teoremei. n ncheierea acestuiparagraf vomprezenta Smarandache dealtreilea tip, cum aufosteledefInitede 1n[B/ arbitrare (a):1 =a, a2,.. ,a,'" 1 n (b):1 = b b.".. ,b,... [_n avnd a=aa,b=bb knknknkn ( 3.3.19.) Desigur, o infInitatede cuaceste deoarece alegndovaloarepentrua27 termenii din(a) sepunnd fIede Fie acum fb:N*_N*.fb(n) = S(b) a aann undeSesteSmarandache deprimultip. an 94 Se (i)a= 1 b= npentru orice nEN*, fb = S nna1 (i)a= n b= 1,pentru orice nEN*, fb =51. nna 3.3.22. SmararidachedetipulaItreileasunt SbdefIniteprin a Sb= fb aa ncazul cnd (a) (b)decele carefunc- 51 51. 3.3.23. fb auproprietatea L _-standardizea-a) StruCtura(N*, o)pestructura (N*, +,o)prin (L5):maxCfb(k), ffb(kon)bfb(k) = bkfben) aaanaa Fie fb(k) = S(b) = k*, fben)= S(b) = n* aakkaann fb(kon)= S(b)= t* aak'nk'n Atunci k*,n* t*sunt cei mai micintregipozitivipentru care k*!= M(akbk),n*!= M(anbn),t*!= M(ankbnk)= deci max(k*,n*) t* Mai mult, deoarece (bkon*)!= M( (n* !)bk),(bnok*)!= M( (k*! )bn) (3.3.20) (bkon*+ bnok*)!= M((bkon*) !(bnok*) !) = Mn* !)hx:o(k* !)bo)= = Ma bn)hx:o(a=Ma oa nkkn t*