Polinoame
-
Upload
neamtu-costel -
Category
Documents
-
view
66 -
download
0
Transcript of Polinoame
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 1/20
Referat la Matematică
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 2/20
Cuprins…
I.Mulţimea polinoamelor cucoeficineţi complecşi………………………………………………………3
I.1. Definirea polinoamelor…………………………………………3I.2. Adunarea şi înmulţirea………………………………………….3I.3. Forma algebrică…………………………………………………6I.4. Gradul unui polinom…………………………………………….6I.5 Val pol. într-un punct…………………………………………….7I.6. Împărţirea polinoamelor…………………………………………7I.7. Divizibilitatea polinoamelor……………………………………..9
I.8. Rădăcinile polinoamelor………………………………………..11II. Mulţimea polinoamelor cucoeficienţi reali…………………………………………………………….13III. Multţimea polinoamelor cucoeficienţi întregi şi raţionali………………………………………………14IV. Aplicaţii………………………………………………………………..15
IV.1. Probleme rezolvate……………………………………………15IV.2. Probleme propuse……………………………………………..19
2
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 3/20
Polinoame cu coeficienţi complecşi
I. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi
I.1.Definirea polinoamelor
Fie C[X] mulţimea şirurilor(infinite) de numere(complexe),...),...,,,( 210 naaaa f = , care au numai un număr finit de
termeni ai,nenuli, adică există un număr natural m , astfelîncât ai=0, pentru orice i>m.
De exemplu, şirurile ,...)0,0,2,1,0( −= f ; ,...)0,0,2,,1( i g −= ;,...)0,0,2,100,7,21( −+= ih sunt şiruri infinite care au un număr
finit de termeni nenuli. Şirul g are 3 termeni nenuli, iar hare 4 termeni nenuli. Deci aceste şiruri sunt elemente dinmulţimea C[X].
I.2. Adunarea şi înmulţirea polinoamelor
3
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 4/20
Definim pe mulţimea C[X] două operaţii algebrice:adunarea şi înmulţirea.
• Adunarea polinoamelor:
Fie ,...),...,,,( 210 k aaaa f = , ,...),...,.,( 210 k bbbb g = două elemente dinmulţimea C[X]; atunci definim:
,...),...,,,( 221100 k k babababa g f ++++=+ , N k ∈∀
• Proprietăţile adunării polinoamelor:(C[X],+) se numeşte grup abelian
1. Asociativitatea
)()( h g f h g f ++=++ ,∈∀ h g f ,,
C[X]
Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaa f = , ,...),,( 210 bbb g = şi
,...),,( 210 ccch = atunci avem ,...),,( 221100 bababa g f +++=+ şi deci
,...))(,)(,)(()( 222111000 cbacbacbah g f ++++++=++ .Analog, obţinem că
),...)(),(),(()( 222111000cbacbacbah g f ++++++=++ . Cum adunarea
numerelor este asociativă, avem )()( iiiiii cbacba ++=++ , pentru
orice 0≥i .
2. Comutativitatea
f g g f +=+ , ∈∀ g f , C[X]
Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaa f = şi ,...),,( 210 bbb g = , avem
,...),,( 221100 bababa g f +++=+ , ,...),,( 221100 ababab f g +++=+
Cum adunarea numerelor complexe este comutativă, avem
iiiiabba +=+ pentru orice 0≥i . Deci f g g f +=+ .
3. Element neutru
Polinomul constant 0=(0,0,0,…) este element neutru pentru
adunarea polinoamelor, în sensul că oricare ar fi ∈ f C[X],avem:
f f f =+=+ 00
4
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 5/20
4. Elemente inversabile
Orice polinom are un opus, adică oricare ar fi ∈ f C[X],
există un polinom, notat )( f − , astfel încât:0)()(
=+−=−+f f f f
De exemplu, dacă ,...)0,0,2,2,0,1(−= f este un polinom, atunciopusul său este ,...)0,0,2,2,0,1( −−=− f
• Înmulţirea polinoamelor:
Fie ,...),,( 210 aaa f = , ,...),,( 210 bbb g =
Atunci definim:...,...)...,...,,,( 110021120011000 ++++++=•
−k k babababababababa g f
ck
∑= −= k i ik ik bac
0
• Proprietăţile înmulţirii:
1. Asociativitatea
Oricare ar fi ∈h g f ,, C[X], avem:
)()( h g f h g f ••=••
2. Comutativitatea
Oricare ar fi ∈ g f , C[X],avem:
f g g f •=•
Într-adevăr, dacă ,...),,( 210 aaa f = , ,...),,( 210 bbb g = , atunci
notând ,...),,( 210 ccc fg = şi ,...),,( 210 d d d gf = , avem
022110 ... babababac r r r r r ++++=−− şi 0110 ... abababd r r r r +++=
− . Cumadunarea şi înmulţirea numerelor complexe sunt comutative şiasociative, avem cr=dr, pentru orice 0≥r . Deci gf fg = .
3. Element neutru
Polinomul 1=(1,0,0,…) este element neutru pentru
înmulţirea polinoamelor, adică oricare ar fi ∈ f C[X],avem:
f f f =•=• 11
5
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 6/20
4. Elemente inversabile
∈ f C[X] este inversabil dacă există 1− f ,a.î.:
111 =•=• −− f f f f
Singurele polinoame inversabile sunt cele constantenenule: ,...)0,0,0,(a f = , a≠ 0.
5. Distributivitatea
Oricare ar fi polinoamele ∈h g f ,, C[X],are loc relaţia:
fh fg h g f +=+ )(
1.3. Forma algebrică a polinoamelor
Notaţia ,...),,( 210aaa f = introdusă pentru polinoame nu este
prea comodă în operaţiile cu polinoame. De aceea vom folosialtă scriere.
Dacă considerăm ,...)0,0,,...,,( 10 naaa f = , atunci f se va scrie sub
forma: n
n X a X a X aa f ++++= ...2
210 . Au loc notaţiile: ,...)0,0,(aa =
,...)0,0,1,0(= X
,...)0,1,0,0(2= X
,...)0,1,0,...,0,0(=n
X
Exemplu: 2321,...)0,0,3,2,1( X X f ++==
324321,...)0,0,4,3,2,1( X X X g +++==
Atunci:
)43()3342()233241(
)132231(41)4321)(321(
543
2322
•+•+•+•+•+•+
•+•+•++=+++++=•
X X X
X X X X X X X g f
324)33()22(11 X X X g f ++++++=+
I.4. Gradul unui polinom
Fie nn X a X a X aa f ++++= ...2
210 . Se numeşte gradul lui f ,notat prin gradf , cel mai mare număr natural n astfel încât
0≠na .
Exemple: 1. Polinomul X f −=1 are gradul 1;2. Polinomul 53 X X X f −+= are gradul 5;3. Polinomul constant a f = , unde C a∈ ,are
gradul 0.
6
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 7/20
Referitor la gradul sumei şi produsului a două polinoame f şi g , au loc următoarele relaţii:
i) ),max()( gradg gradf g f grad ≤+ ;ii) gradg gradf fg grad +=)( .
I.5. Valoarea unui polinom într-un punct
Fie n
n X a X a X aa f ++++= ...2
210 , atunci funcţia polinomială
asociată polinomului f este:
R R F →: , n
n X a X a X aa X F ++++= ...)( 2
210 .
I.6. Împărţirea polinoamelor
* Teorema de împărţire cu rest:],[, X C g f ∈∀ ∃ ][, X C r q ∈ , r qg f += , cu gradg gradr <
Polinomul f se numeşte deîmpărţit, g împărţitor,q cât,iar rrest.
Vom efectua împărţirea polinomului n
n X a X a X aa f ++++= ...2
210 la
polinomul m
m X b X b X bb g ++++= ...2
210 .
f g
0
1
1 ... a X a X an
n
n
n+++ −
− 0
1
1 ... b X b X bm
m
m
m +++ −−
mn
m
nn
m
mnn
n X b
ba X
b
ba X a
−−− −−−− 011 ...
mn
m
nmn
m
nmn
m
n p p
X b
a X
b
a X
b
a −−− +++ ...11
q
0
1
11 ...1
1
1
1a X a X a f n
n
n
n +++=−
−
mn
m
bnn
m
mnn
n X b
a X
b
ba X a
−−− −−−− 101111
1...
11
0
1
12 ...2
2
2
2a X a X a f
n
n
n
n +++=−
−
…………………………………………………………………………………
0... a X a f p
p
n
n p++=
mn
m
nn
n
p p p
p X
b
ba X a
−−−−0
........
7
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 8/20
01 ...1
1a X a f p
p
n
n p ++= +
++
Acest tabel ne redă regula(algoritmul) de împărţire apolinoamelor, pe care o vom aplica în practică pentruobţinerea câtului şi restului împărţirii.
Exemplu: Fie polinoamele 1852 345 +−−+= X X X X f şi 32 −= X g .
Să determinăm câtul şi restul împărţirii lui f la g.
1852345 +−−+ X X X X 32 − X
52 X − 3
6 X + 3223 +++ X X X
1834 +−+ X X X q
4 X − 23 X +
18323 +−+ X X X
3 X − X 3+
1532 +− X X
23 X − 9+
105 +− X
rDeci câtul este 32 23 +++= X X X q , iar restul 105 +−= X r .Formula împărţirii cu rest se scrie,în acest caz astfel:
).105()32)(3(1852232345 +−++++−=+−−+ X X X X X X X X X
• Împărţirea prin X-a. Schema lui Horner.
Fie 01
1
1 ... a X a X a X a f n
n
n
n ++++= −− . În cele ce urmează ne vom
folosi de schema lui Horner pentru a împărţi polinomul f la
polinomul a X g −= .
n
n
a
X
1
1
−
−
n
n
a
X
2
2
−
−
n
n
a
X ………
1
1
a
X
0
0
a
X
na 1− + nn aba 22 −−+ nn aba ………
11 aba + 00 aba +
8
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 9/20
1−nb 2−nb 3−nb ………0b r
În rândul de sus al tabelului se scriu coeficienţiipolinomului f, iar în rândul de jos coeficienţii 021 ,...,, bbb nn −− ai câtului şi restul r.
Exemplu: Utilizând schema lui Horner, să se determinecâtul şi restul împărţirii polinomului 1852
34 +−−= X X X f şibinomul 2− X .
Deci câtul şi restul împărţirii sunt 122223 −−−= X X X q şi
23−=r .
I.7. Divizibilitatea polinoamelor
Def. ][, X C g f ∈∀ , ][, X C r q ∈∃ aşa încât r q g f +•= , cu gradg gradr < .Spunem că f se divide la g )( g f sau g divide pe f )/( f g ,
dacă 0=r .
• Proprietăţi
1. Reflexivitatea
][,/ X C f f f ∈∀
2. Simetria g f / şi C k f g ∈∃⇒/ , a.î. kg f =
În acest caz spunem că f este asociat cu g )( g f ≈
3. TranzitivitateaDacă g f / şi h f h g // ⇒
2
4 X
5
3
− X
0
2 X
8− X
1
0 X
2 122 5 −=•+− 2)1(20 −=−+ 12)2(28 −=−+− 23)12(21 −=−+
3b
2b
1b
0b r
9
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 10/20
4. Dacă g f / şi )(/ h g f h f +⇒ h g f 21̀/ λ λ +⇒
• Cel mai mare divizor comun
Def. ][, X C g f ∈∀ ),( g f d = = C.m.m.d.c
1. f d / şi g d /2. f d X C d /'],['∈∀ şi d d g d /'/' ⇒
Algoritmul lui Euclid:),(),(...),(),(),( 01211 r r r r r r r g g f nnn =====
−
Cel mai mare divizor comun a două polinoame este unicpână la înmulţirea cu o constantă(asociere).
Dacă 1),( = g f , atunci f şi g sunt prime între ele.
Exemplu: Să se găsească cel mai mare divizor comun alpolinoamelor:
442 234 +−−+= X X X X f şi 323 −++= X X X g .
Vom aplica algoritmul lui Euclid. Împărţim pe f la g.
X X X X
X X X X
3
442
234
234
+−−−
+−−+3
23 −++ X X X
X
432 +−− X X
Pentru a evita coeficienţii fracţionari, vom înmulţi înprealabil pe g cu 3 şi restul împărţirii cu –1. împărţimacum împărţitorul la rest:
X X X
X X X
43
9333
23
23
+−−
−++ 43
2 −+ X X
9722 −+ X X X
Acum, pentru a evita din nou coeficienţii fracţionari,vom înmulţi pe 43
2 −+ X X cu 2 şi continuăm operaţia.
27216
826
2
2
+−−
−+
X X
X X 972
2 −+ X X
3
1919 +− X
Am obţinut restul 1919 +− X . Pentru a evita din noucoeficienţii fracţionari, vom împărţi restul cu –19 şiîmpărţim împărţitorul la rest.
10
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 11/20
X X
X X
22
972
2
2
+−
−+ 1− X
92 + X
99
99
+−
−
X
X
-- -- Ultimul rest nenul este polinomul 1− X şideci 1),( −= X g f .
• Cel mai mic multiplu comun
Def. Fie f şi g două polinoame. Un polinom m se numeşte celmai mic multiplu comun al polinoamelor f şi g dacă verifică
următoarele condiţii:1. m f / şi m g /
2. 'm∀ , '/m f şi '/'/ mmm g ⇒
Dacă d este c.m.m.d.c al lui f şi g, atuncid
fg m = .
I.8. Rădăcinile polinoamelor.
• Teorema lui Bezout:
Fie 0≠ f un polinom. Atunci numărul C a∈ este rădăcină apolinomului f dacă şi numai dacă a X − divide f.
• Teorema fundamentală a algebrei
Orice ecuaţie algebrică 0... 01
1
1 =++++ −− a X a X a X a n
n
n
n de
grad mai mare sau egal cu 1 şi cu coeficienţi complecşiare cel puţin o rădăcină complexă.
• Rădăcini simple şi multiple
Def. Fie ][ X C f ∈ . C a∈ este rădăcină de ordin demultiplicitate m, dacă f a X
m/)( − şi 1
)(+
−m
a X nu divide pe f.Exemple:
f X /1−2
)1( − X nu divide f 1=⇒ X este rădăcină de ordin demultiplicitate 1(răd. simplă).
11
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 12/20
)1)(1()1(23++−= X X X f . Descompunând în factori
ireductibili vom obţine:
))()(1()1(3 i X i X X X f +−+−= , unde:
1= rădăcină de ordin de multiplicitate 3
i,-i,-1= rădăcini de ordin de multiplicitate 1
• Teorema de descompunere în factoriireductibili(primi)
Fie ][ X C f ∈ şi n x x x ,...,, 21 rădăcinile sale în C, nuneaparat distincte. Atunci: (în C[X])
pm
n
mm
nnn x X x X x X a x X x X x X a f )...()()())...()(( 21
2121 −−−=−−−= n gradf mmm p
==+++ ...21
Singurii factori ireductibili(primi) în C[X] suntpolinoamele de gradul I.
• Relaţiile lui Francois Viete
Fie 01
1
1 ... a X a X a X a f n
n
n
n ++++=−
− , un polinom de grad n. Dacăn x x x ,...,, 21 sunt rădăcinile lui f, atunci:
12
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 13/20
−
=
−=+++=
−=+++++=
−=+++=
−
+−+−+−
−
−
−
n
n
k
n
k nnk nk nk k k k
n
n
nnn
n
n
n
a
a P
a
aaaa x x x x x x xS
a
a x x x x x x x xS
a
a x x xS
)1(
.................................................................................
)1(.. ... ... ... .
.................................................................................
)1(.. ... .
)1(.. .
0
21112121
2
2
1131212
1
211
0)1(...)1(...)1()1(2
2
1
1 =+−++−++−+−+ −−− P S S S S X nk
k nnnn
II. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali
Fie ][ X R f ∈ şi ecuaţia 0)( = x f .
Dacă bia x +=1 RC −∈ este rădăcină pentru f, atunci
bia x −=2 este rădăcină pentru f, iar x1 şi xx au aceeaşimultiplicitate.
• Demonstraţie0)(0)( 1 =+⇔= bia f x f
011
1
11112 ...)()()( a xa xa xa x f bia f x f n
n
n
n ++++==−=−
−
0)(...1011
1
111==++++⇒=⇒∈ −
− x f a X a X a X a z z R z n
n
n
ne
13
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 14/20
)()()(
)()()(
'
22
11
X g x X x f
X g x X x f
m
m
•−=
•−= '
][
12 mm X R f
x x=⇒
∈
=.
• Teorema de descompunere în factori ireductibili
În R[X]:
!2 )()(mm x xbax f ∏∏ ++•+= γ β α
Singurele polinoame prime din R[X] sunt:1. polinoamele de gradul I2. polinoamele de gradul II cu 0<∆ .
III. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţiraţionali şi respectiv întregi
][][][][ X Z X Q X R X C ⊂⊂⊂
Fie ][ X Q f ∈ . Atunci dacă ba x +=1este rădăcină pentru
f, cu Q RbQbQa −∈∉∈ ,, , atunci ba x −=2este rădăcină pentru
f şi x1 şi x2 au aceeaşi multiplicitate.
Exemplu: 264 234 +++−= X X X X f
2121 21 +=⇒−= x x este rădăcină.
)12(
))(()21)(21(
2
2121
2
−−⇒
++−⇒−−+−⇒
X X f
x x X x x X f X X f
31)22)(12(4,3
22 ±=⇒−−−−= x X X X X f
------------------------
Fie ][ X Z f ∈ şi ecuaţia 0)( = x f
0... 011
1 =++++⇒ −− a X a X a X a nn
nn
Dacă f admite o rădăcină de formaq
p x =
1 , Z q p ∈, , atunci
0/ a p şi naq / . Dacă 1=na , atunci p x =1 .
Exemplu:
14
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 15/20
Fie 04852 234 =++−−= X X X X f admite soluţia
1/,4/1 q pq
p x ⇒= . Deci }4;2;1{
1 ±±±∈⇒ x
Împărţind succesiv polinomul la posibilele radacini,
obţinem: )12)(2)(2(2 −−+−= X X X X f Q R x x x −∈±=−==⇒ 21;2;2 4,321
IV. Aplicaţii
IV.1. Probleme rezolvate
1.Să se determine m şi n şi apoi să se rezolve ecuaţia022
234 =+++− X mX X X ştiind că admite rădăcina i+1 .
Dacă )1)(1(0)1(0)1( i X i X f i f i f +−−−⇒=−⇒=+
)22()11(22 +−⇔++−−+−+− X X f iiX i X iX X X f
234
234
22
2
X X X
n X mX X X
−+−
+++−222
+− X X
X X X
n X m X X
22
2)2(
23
23
−+−
++−+m X X ++2
mmX mX
nmX
222
2
−+−
+
nmmX +−22
=
=⇒=+−
0
0022
n
mnmm X
Dacă { }i x x x X X xqm ±−∈⇒−==⇒+=⇒= 1;1;01,0)(0 43
2 .
2.Să se arate că polinomul 3424144 +++ +++ d cba X X X X , cu
),,,( N d cba ∈ este divizibil prin 123+++ X X X
))()(1(123
i X i X X X X X −++=+++01111)1()1()1()1()1(
3424144=−+−=−+−+−+−=−
+++ d cba f
15
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 16/20
011
)()()()()()(1)()()()()(342443424144
=+−−=
−−+−−+−−+=−+−+−+−=−+++
ii
iiiiiiiiiii f d cbd cba
011)(3424144 =−−+=+++= +++
iiiiiii f d cba
Dacă )1(0)1(
0)(
0)(233424144
++++++⇒
=− =
=−+++
X X X X X X X f
i f
i f d cba
3. Fie 4332 45212223 −−++−= X X X X X f . Fie 2
23
2
2
2
1 ... x x xS +++= ,
unde i x este rădăcină a lui f. Atunci:1) =S a ; 2) =S b ; 2) −=S c ; 4) −=S d
264322)...(2)...(...2
232221
2
2321
2
23
2
2
2
1 −=−=•−=++−+++=+++ x x x x x x x x x x
R:c)
4.Restul împărţirii lui f la 12 − X este:0)a ; X b) ; 77) − X c ; 135149) + X d .
)1)(1(12
+−=− X X X
r xQ X X X X X X +−=−−++− )()1(4332245212223
Fie α o rădăcină a ecuaţiei 012 =− X 101 22
=⇔=−⇒ α α
77413324)(
)(3)(2)(4332)(
22
10211211245212223
−=−−++−=−−
•+−•=−−++−==
α α α α α
α α α α α α α α α α α f r
Deci restul împărţirii lui f la 12 − X este 77 − X . R:c).
5. Dacă 0,3,],[...2
210 ≠≥∈∈++++= n
n
n an N n X R X a X a X aa P şi
nk aa k k n ,0, ==−
. Atunci relaţia dintre
X
P 1
şi )( X P
este:
( ) *,1
) R x X
P X P a ∈∀
= ; *),(
1) 1 R x X P
X P X b n ∈∀=
−
;
*),(1
) R x X P
X
P X c n ∈∀=
; *),(
1) 1 R x X P
X
P X c n ∈∀=
+.
Dacă nk aa k k n ,0, ==−
atunci:
16
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 17/20
)(
1
0
0
11
0
X P
aank
aak
aak
n
n
n
⇒
=⇒=
=⇒=
=⇒=
−
se mai poate scrie, echivalent, sub
forma:
nnn
nnn a X a X a X a X a X a X P ++++++= −−−−
1
2
2
2
2
1
10 ...)(
n
n X a X
a X
aa X
P ++++=
...
1112210 n X •/
)(1
)(...1 2
2
1
10X P
X P X X P a X a X a X a
X P X n
n
nnnn =
•⇒=++++=
•⇒ −−
R:c).
6. Fie ecuaţia 03)1(23 =+−++ X m X mX , * Rm ∈ fiind
parametru. Mulţimea valorilor lui m pentru care
02
3
2
2
2
1 ≤++ x x x este:
a.
+∞
+∪
−∞−∈ ;
2
31
2
31;m ; b.
−∞−
2
31; ;
c.
+2
31;0 ; d. { }0\
2
31;
2
31
+−.
*,03)1(23 Rm X m X m X ∈=+−++ .
0)1(210)1(21
12
1)(2)(
2
2
323121
2
321
2
3
2
2
2
1
≤−−⇔≤−
−=
=
−
−
−=++−++=++
mmm
m
m
m
m
m x x x x x x x x x x x x
01222 ≥−−⇔ mm
2
31
4
322321284 1
+=
+=⇒=∆⇒=+=∆ m
2
31
2
3222
−=
−=⇒m .
Deci
+∞
+∪
−∞−∈ ;
2
31
2
31;m . R:a).
17
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 18/20
7. Valoarea expresiei:
3
21
2
31
1
32
x
x x
x
x x
x
x x E
++
++
+= ,unde 321 ,, x x x sunt rădăcinile
ecuaţiei 2623 ++− X X X este:
a. –3; b. –1; c. –6; d. 3.
−=
=++
=++
2
1
6
321
322131
321
x x x
x x x x x x
x x x
63332
1636
3111
616
16
16666
321
323121
3213213
3
2
2
1
1
−=−−=−
−
=−
++=
−
++=−+−+−=
−+
−+
−=
x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x
x
x
x
x E
R:c).
8. Fie 19921 ,...,, x x x rădăcinile ecuaţiei 0510199 =−+ X X .
Atunci suma 199
199
199
2
199
1 ... x x xS +++= are valoarea:
a. 1000=S ; b. 995=S ; c. 0=S ; d. 50−=S .
Dacă 19921 ,...,, x x x sunt rădăcini, atunci fiecare din eleverifică ecuaţia:
0510
0510
0510
199
199
199
2
199
2
1
199
1
=−+
=−+
=−+
x x
x x
x x
9959950101995)...(10... 19921
199
199
199
2
199
1 =+•−=•++++−=+++ x x x x x x
R:b).
9. Se consideră funcţia R R f →: , baX X x f ++= 2)( , Qba ∈,
.Suma modulelor radacinilor ecuaţiei 0)( = x f este:
a. a ; b. ba 42 − pentru 0<b ; c. ba 4
2+ pentru 0≥b
d. b .
18
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 19/20
=
−=+
b x x
a x x
21
21 ba x x x x x x 22)( 2
21
2
21
2
2
2
1 −=−+=+ .
( ) 21
2
21
2
2
2
1
22
2
2
1 22 x x x x x xba x x −+=+=−=+⇒
( ) bba x xbba x x 22222
21
22
21+−=+⇒+−=+⇒
Dacă ba x xb 402
21 −=+⇒< . R:b).
10. Restul împărţirii lui n X f = la 22 −−= X X g este:
a. 1+ X ; b. 1− X ; c. 2)14( ++ X n ; d.
3)1(22
3)1(2
nnnn
X −++−− .
)2)(1(22 −+=−− X X X X
baX X X xq X f n ++−+•== )2)(1()( , unde r baX =+ , gradg gradr < .
Pentru ba xn +−=−⇒−= )1(1
Pentru ba xn
+=⇒= 222
=+
−=+−⇒
n
n
ba
ba
22
)1((-)
3
)1(2)1(232)1(3
nnnnnn
aaa−−
=⇒−−=⇔−−=−
3
)1(22
3
)1(22
3
)1(2)1()1(
nnnnnnnn
bab−+=⇒−+=−−+−=+−= .
Deci3
)1(22
3
)1(2nnnn
X r −+
+−−
= . R:d).
IV.2. Probleme propuse
1. Fie 33 +−= X X f cu rădăcinile 321 ,, x x x şi 1
2 ++= X X g cu
rădăcinile 21 , y y .
)()( 21 y f y f + este:
19
5/9/2018 Polinoame - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/polinoame-559ca241ac5e5 20/20
a. 5; b. 7; c. 9; d. 1.
2. )()()( 321 x g x g x g ++ este:a. 1; b. 5; c. 7; d. 3.
3.Să se determine Rm∈ , ştiind că ecuaţia 0323
=−−+ X mX X are rădăcinile în progresie aritmetică.
4.Polinomul ][ X Q f ∈ are gradul 5 şi 1)21()1()0( =+=+= f i f f
. Atunci suma rădăcinilor lui f este:a. 0; b. –1; c. 3; d. 4.
5.Se consideră funcţia R R f →: , 9)(2 ++= X X x f . Suma
)50(...)2()1( f f f +++ este :a. 89300 b. 44650 c. 44600 d. 45000.
6.Se consideră funcţia R R f →: ,
2)1()1()(2 +−−+−= m X m X m x f cu { }1\ Rm ∈ . Soluţiile 1 x şi 2 x ale
ecuaţiei 1)( −= x f , pentru m=2 verifică relaţia α =+ 2004
2
2004
1x x .
Atunci α este:a. 1; b. i; c. 2; d. 1-i.
7.Se consideră polinoamele 33 +−= X X f , cu rădăcinile
321 ,, x x x şi 12 ++= X X g , cu răd. 21 , y y . Restul împărţirii lui)23( X g − la 2− X este:
a. 7; b. 5; c. 1; d. –1.
8. Rădăcina reală a lui f este situată în intervalul:a. )1,0( ; b. )1,2( −− c. )1,1(− ; d. )3,1( .
20