SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ · 2014-04-11 · 12) Polinoame...
65
COLEGIUL NAȚIONAL “MIHAI VITEAZUL” SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI a XII-a A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ. PROF. COORDONATOR GH. COTFAS APRILIE 2014
Transcript of SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ · 2014-04-11 · 12) Polinoame...
COLEGIUL NAȚIONAL “MIHAI VITEAZUL”
SF. GHEORGHE, COVASNA
SĂ ȘTII MAI MULTE,
SĂ FII MAI BUN
LA MATEMATICĂ
LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI a XII-a A,
PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
PROF. COORDONATOR GH. COTFAS
APRILIE 2014
Polinoame 1) Forma algebrică a unui polinom Prin forma algebrică sau forma canonică înţelegem
11 1 0...n n
n nf a X a X a X a . Prescurtat putem scrie
0
.n
kk
k
f a X
0 1, ,..., na a a sunt coeficienţii polinomului cu 0na ,
na se numeşte coeficient dominant şi nna X termen dominant
1na atunci polinomul se numeşte monic sau unitar
0a termen liber .
0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi complecşi şi scriem f X
, unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi reali şi scriem f X ,
unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali.
0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi raţionali şi scriem f X ,
unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi raţionali .
0 1, ,..., na a a polinomul este cu coeficienţi întregi şi scriem f X ,
unde X este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi întregi .
X X X X .
2) Gradul unui polinom Dacă 1
1 1 0...n nn nf a X a X a X a
şi 0na atunci spunem că polinomul f are gradul n . Notaţie grad f sau gr f
Dacă 0f a atunci polinomul se numeşte constant şi 0grad f .
Dacă 0f atunci polinomul se numeşte nul şi grad f .
3) Egalitatea polinoamelor Fie 1
1 1 0...n nn nf a X a X a X a
şi 11 1 0...m m
m mg b X b X b X b . Polinoamele
f şi g sunt egale şi scriem f g dacă n m şi , 1,i ia b i n adică au grade egale iar coeficienţii corespunzători egali. 4) Valoarea unui polinom Fie 1
1 1 0...n nn nf a X a X a X a
şi . Numărul 1
1 1 0...n nn nf a a a a
se numeşte valoarea polinomului în α
şi se obţine din calculul înlocuirii nedeterminatei X cu α. Dacă 0f atunci numărul α se numeşte rădăcină a polinomului f
Suma coeficienţilor se obţine calculând valoarea polinomului în 1 adică 1 1 01 ...n nf a a a a
Termenul liber 0a se obţine calculând valoarea polinomului în 0 adică
00f a
5) Operaţii cu polinoame
Fie , [ ],f g X 0
ni
ii
f a X
şi 0
,m
jj
j
g b X n m
.
Suma polinoamelor f şi g este polinomul definit prin: 0
,n
kk
k
f g c X
unde
,
,k k
kk
a b k mc
a m k n
şi grad( ) max grad ,gradf g f g .
Suma se efectuează prin adunarea termenilor(monoamelor) asemenea Produsul polinoamelor f şi g este polinomul definit prin:
1 0... ,n mn mf g c X c X c unde
kji
jik bac , .,0 mnk şi
grad( ) grad gradf g f g .
produsul se efectuează prin desfacerea parantezelor şi apoi prin reducerea termenilor(monoamelor) asemenea
Împărţirea polinoamelor f şi g se efectuează aplicând algoritmul pentru aflarea câtului şi a restului.
Nu este indicat să aplicăm algoritmul la împărţirea cu binomul X Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X este egal cu valoarea
polinomului în adică ( )f deci reţinem că r f
Câtul şi restul împărţirii unui polinom f prin binomul X se pot afla cu schema lui Horner
Teorema împărţirii cu rest. Oricare ar fi polinoamele , [ ],f g X grad f grad g , ,0g există şi sunt
unice polinoamele , [ ]q r X care au proprietăţile: ;f g q r şi grad r grad g . Avem evident că grad q grad f grad g
Dacă efectiv nu putem aplica algoritmul la împărţirea cu X X
atunci determinarea restului se va face astfel: Aplicăm T.I.R şi obţinem f X X q mx n
Calculăm f şi f în două moduri şi obţinem un sistem în m şi
n Rezolvăm sistemul şi obţinem
, ,
f a f b af b bf am n a b
a b a b
6) Divizibilitatea polinoamelor Fie , [ ]f g X . Polinomul f este divizibil cu polinomul g dacă există un polinom [ ]q X astfel încât f g q . Notăm gf sau .| fg
gf dacă şi numai dacă f împărţit la g dă restul 0
f g dacă f împărţit la g nu dă restul 0 Dacă gf atunci grad f grad g
Dacă gf dacă şi numai dacă rădăcinile lui g sunt şi rădăcini pentru f. f g dacă o rădăcină a lui g nu este rădăcină şi pentru f.
7) Rădăcinile polinoamelor Numărul α este rădăcină pentru polinomului f dacă şi numai dacă 0f .
Teorema lui Bézout. Fie [ ]f X un polinom nenul şi . Polinomul f este divizibil cu binomul X dacă şi numai dacă 0f adică a
este rădăcină. Dacă α este rădăcină pentru polinomul f atunci ( )f X Dacă α şi β sunt rădăcini pentru polinomul f atunci ( )f X şi ( )f X Dacă ( )f X şi ( )f X atunci ( ) ( )f X X
Spunem că este rădăcină multiplă de ordin p pentru polinomul [ ]f X , dacă ( ) pf X şi f 1( ) pX . Dacă 2p atunci α se mai numeşte rădăcină dublă pentru polinom, iar dacă 3p atunci α se mai numeşte rădăcină triplă pentru polinom.
este rădăcină dublă pentru polinomul [ ]f X , dacă
0
0
0
l
ll
f
f
f
adică α este rădăcină pentru f, pentru f l şi nu e pentru f l l
este rădăcină triplă pentru polinomul [ ]f X , dacă
0
0
0
0
l
ll
lll
f
f
f
f
adică α este rădăcină pentru f, pentru f l , pentru f l l şi nu e pentru f l l l . Polinomul care are o infinitate de rădăcini este polinomul nul
8) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi reali Fie [ ]f X şi numerele , 0a bi b respectiv , ,a bi a b
Dacă f are rădăcina complexă , 0a bi b atunci şi a bi este rădăcină şi amândouă au acelaşi ordin de multiplicitate.
Dacă f are rădăcina complexă , 0a bi b atunci ( ) ( )f X X . Numărul rădăcinilor din \ adică pur complexe ale polinomului f este
par. Dacă gradul lui f este impar atunci polinomul are cel puţin o rădăcină
reală Dacă gradul lui f este impar atunci polinomul are un număr impar de
rădăcini reale.
Dacă gradul lui f este par atunci polinomul are un număr par de rădăcini reale sau deloc
Dacă 0f a f b atunci polinomul f are cel puţin o rădăcină reală în
intervalul , , , ,a b a b a b
9) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi raţionali Fie [ ]f X şi numerele , 0,a b d d d respectiv
, , ,a b d a b d Dacă f are rădăcina iraţională , 0,a b d d d atunci şi
a b d este rădăcină şi amândouă au acelaşi ordin de multiplicitate. Dacă f are rădăcina iraţională , 0,a b d d d atunci
( ) ( )f X X . 10) Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi întregi
Fie [ ]f X şi numărul p
q unde , , , 1p q p q
Dacă f are rădăcina fracţia ireductibilă p
q atunci p 0a şi q na adică
p divide termenul liber şi q divide coeficientul dominant. Rădăcinile întregi sunt divizori ai termenului liber Un polinom nu admite rădăcini întregi dacă valorile polinomului în
divizori întregi ai termenului liber sunt nenule. Dacă f este monic(unitar) atunci rădăcinile raţionale sunt numai întregi Un polinom monic nu admite rădăcini raţionale dacă nu are nici întregi. f x f y x y
11) Descompunerea în factori Fie f X , 1
1 1 0...n nn nf a X a X a X a
cu rădăcinile distincte 1 2, ,..., nx x x .
Formula de descompunere este : 1 2 ...n nf a X x X x X x
Dacă rădăcinile nu sunt distincte atunci:
1 2
1 2 ...kpp p
n kf a X x X x X x unde 1 2, ,..., kp p p sunt ordinele de
multiplicitate a rădăcinilor 1 2, ,..., kx x x
Orice polinom de grad 1n cu coeficienţi reali poate fi descompus într-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficienţi reali.
Pentru descompuneri căutăm rădăcini întregi printre divizorii termenului liber aplicând schema lui Horner.
Dacă cunoaştem rădăcinile 1 2, ,..., nx x x putem afla polinomul desfăcând parantezele 1 2 ...n na X x X x X x .
În formula de descompunere 1 2 ...n nf a X x X x X x putem da
valori particulare pentru nederminata X şi vom obţine diverse relaţii.
12) Polinoame reductibile-ireductibile Polinomul f cu , 1grad f n n se numeşte reductibil peste mulţimea de
numere M dacă există polinoamele g,h din M X de grade strict mai mici decât
gradul lui f, astfel încât f g h . În caz contrar polinomul f este ireductibil peste mulţimea M.
Orice polinom de grad 1 este ireductil Orice polinom de grad 2 este reductil peste Dacă un polinom f M X este ireductibil peste o mulţime de numere M
atunci nu are rădăcini în M dar invers nu adică dacă f M X nu are
rădăcini în M nu înseamnă că este ireductibil peste M( f M X este
reductibil peste M, dar nu are rădăcini în mulţimea de numere M) Polinoamele ireductibile peste sunt de forma f ax b sau
2 , 0f ax bx c unde , ,a b c Un polinom f poate fi ireductibil peste o mulţime dar reductibil peste altă
mulţime. 13) Relaţii între rădăcini şi coeficienţi-Relaţiile lui Viète. Fie f X , 1
1 1 0...n nn nf a X a X a X a
cu rădăcinile 1 2, ,..., nx x x . Relaţiile
lui Viète sunt : 1
1 1 2 ... nn
n
aV x x x
a
2
3
22 1 2 1 3 1
33 1 2 3 1 2 4 2 1
...
...
n
n
nn n
nC termeni
nn n n
nC termeni
aV x x x x x x
a
aV x x x x x x x x x
a
....; 0
1 2... ( 1) .nn n
n
aV x x x
a
Suma inverselor rădăcinilor 1
1 2
1 1 1... n
n n
V
x x x V
Suma pătratelor rădăcinilor 2 2 2 21 2 1 2... 2nx x x V V
Dacă 2 2 21 2 ... 0nx x x atunci polinomul nu are toate rădăcinile reale
Dacă aplicăm definiţia rădăcini pentru fiecare în parte atunci prin adunarea relaţiilor putem obţine informaţii despre alte sume de puteri de rădăcini
Dacă cunoaştem 1 2, ,..., nV V V atunci ecuaţia care are soluţiile 1 2, ,..., nx x x este : 1 2
1 2 ... ( 1) ... ( 1) 0.n n n k n k nk nx V x V x V x V
14) Teoremă. Orice ecuaţiei polinomială de grad n are exact n rădăcini complexe nu neapărat distincte.
15) Teorema fundamentală a algebrei (teorema D’Alembert – Gauss). Orice ecuaţie polinomială de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puţin o rădăcină complexă.
16) Teorema Abel-Ruffini . Orice ecuaţie polinomială de grad mai mare decât 4 nu este rezolvabilă prin radicali.
17) Rezolvarea ecuaţiilor polinomiale de forma 1
1 1 0... 0n nn na X a X a X a
Pentru ecuaţiile de gradul I şi II avem formule de rezolvare cunoscute. Pentru rezolvarea ecuaţiilor bipătrate de forma 4 2 0ax bx c se face
substituţia 2 x t Pentru ecuaţiile reciproce adică ecuaţiile cu coeficienţii termenilor egal
depărtaţi de extremi, egali aplicăm algoritmul : Dacă gradul este impar atunci -1 este rădăcină şi aplicând schema lui
Horner obţinem o altă ecuaţie reciprocă, dar de grad par
Dacă gradul este par atunci se face substituţia 1x , 0t x
x şi prin
calcul se observă că 2 22
1x + 2t
x
Ecuaţiile binome de grad impar de forma 2 1 , ,kx a a k au rădăcina reală 2 1kx a
Ecuaţiile binome de grad par de forma 2 *, 0,kx a a k au rădăcinile reale 2kx a
18) Studiul rădăcinilor unei ecuaţii se poate face şi cu teoremele Darboux , Rolle. Cu ajutorul acestor teoreme se pot determina numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei precum şi intervalele în care aceste rădăcini sunt situate, dacă asociem funcţia polinomială :f . Consecinţă a Teoremei lui Darboux. Dacă o funcţia este continuă pe un
interval I şi 0, , ,f a f b a b I I atunci ecuaţia 0f x are cel
puţin o soluţie în intervalul (a,b). Şirul lui Rolle. Între două rădăcini ale derivatei există cel mult o
rădăcină a funcţiei. Algoritmul este: Se rezolvă ecuaţia 0lf x şi obţinem rădăcinile 1 2, ,..., kx x x
Facem un tabel de forma. x 1x 2x ... kx
lf x 0 0 ... 0
f x limx
f x
1f x 2f x ... kf x limx
f x
analizăm variaţia semnului funcţiei f. Între două variaţii de semn consecutive ale funcţiei f(x) există o rădăcină a polinomului f.
Se consideră 7a şi polinomul 6
75̂ [ ].f X aX X
a) Să se verifice că pentru orice 7ˆ, 0,b b are loc relaţia .1̂6 b
b) Să se arate că 6 3 37
ˆ ˆ5̂ ( 4)( 4), .x x x x c) Să se demonstreze că pentru orice 7a , polinomul f este reductibil în 7[ ].X
Soluţie propusă şi redactată de Catinca Băjan, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Metoda 1. Teoremă Lagrange: Dacă ,G un grup finit şi n ord G atunci
,nx e x G adică orice element din grup ridicat la ordinul grupului ne dă elementul neutru
7 , grup finit cu 6 elemente cu elementul neutru 1e
671̂,
Lagrange
b b
Metoda 2. Calcul efectiv pentru fiecare
b) Desfacem parantezele 3 3 6 6ˆ ˆ ˆ4 4 16 5x x x x
6 3 3ˆ ˆ5̂ 4 4x x x
c)) Metoda 1. Pentru )
6 3 3ˆ ˆ ˆˆ0 5 4 4a
a f x x x
Pentru 0̂a știm că 7 , este grup și într-un grup orice element este simetrizabil
7
0̂aa
a
simetrizabil (inversabil ) 7
la astfel încât 1̂laa
)
6 5̂a
l lf a b aa
ˆ ˆ1 5l lf a aa
6̂l lf a aa dar 7a astfel încât 1̂laa
7̂lf a
0̂l lf a a rădăcină lx a f deci f reductibil în 7 x
Metoda 2. Calcul efectiv pentru fiecare 7a
7ˆ, 0,b b
T
Text introdus
T
Text introdus
T
Text introdus
1.
Se consideră ,a b şi polinomul 3 2f X X aX b .
a) Să se determine a şi b ştiind că 1 i este rădăcină a polinomului f . b) Să se determine a şi b ştiind că 1 2 este rădăcină a polinomului f . c) Să se determine a şi b ştiind că polinomul f are o rădăcină triplă.
Soluţie propusă şi redactată de Alexandra Ciocan, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) 1i rădăcină 1 0f i 21 2
3 21 1 1 0
i i
i i a i b
2 1 2 0i i i a ai b
22 2 2 0i i i a ai b
4 2 0 2 4 0i a ai b a b a i 4 0 4
2 0 6
a a
a b b
b) 1 2 rădăcină 1 2 0f
21 2 3 2 23 2
1 2 1 2 1 2 0a b
1 2 3 2 2 3 2 2 2 0a a b
3 2 2 3 2 4 3 2 2 2 0 10 7 2 0a a b a b a
7 0 7
10 0 3
a a
a b b
c) Fie rădăcină triplă
0
0
0
l
l l
f
f
f
Avem: 23 2lf x x x a și 6 2l lf x x
10 6 2 0
3l lf
1 1 2 10 0 3 0
3 9 3 3l lf f a a
1 1 1 1 1 10 0 0
3 27 9 3 3 27f f b b
Metoda 2. 1
3 rădăcină triplă
33 21 1 1 1
3 3 27 27f X X X X b
T
Text introdus
2.
Se consideră 1 2 3, , ,a x x x rădăcinile ecuaţiei 3 22 2 0x x x a şi determinantul
1 2 3
3 1 2
2 3 1
x x x
x x x
x x x
.
a) Pentru 1a , să se determine 1 2 3, ,x x x . b) Să se arate că, pentru orice a , ecuaţia are o singură rădăcină reală. c) Să se arate că valoarea determinantului nu depinde de a .
Soluţie propusă şi redactată de Andrea Cîrstea, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Metoda 1. Pentru 1a avem ecuaţia
3 2 3 2 2 22 2 1 0 1 2 2 0 ( 1)( 1) 2 ( 1) 0 ( 1)( 1) 0x x x x x x x x x x x x x x
232
1 2
. 1 0 11 3
1,1 3 2. 1 0 ,2
i
i x xi
Siii x x x
Metoda 2. 3 22 2 1f X X X
1 0 1f rădăcină 1x f . Din schema lui Horner avem
23 32
1,2
1 2 2 1
1 1 1 1 0
1 31 1 2
2
i iq x x x i
1 31,
2
iS
b) Scriem relaţiile lui Viete: 3 2 1 31, 2, 2,a a a a a
02 11 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 3 1 2
3 3 3
2, 2,aa a
V x x x V x x x x x x V x x x aa a a
Presupunem că polinomul 3 22 2 1f X X X are mai mult de o rădăcină reală f X
are toate rădăcinile reale. Știm că 2 2 2 21 2 3 1 22x x x V V
1 2 3, ,2 2 21 2 3 0
x x x
x x x
1 2 3 0x x x
fals (nu verifică a relaţia 1V ).În concluzie, ecuaţia are cel mult o rădăcină reală.
c) Metoda 1. 3
1 2 33 3 3 3 3 3
3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 1
3 3V a
x x x
x x x x x x x x x x x x a
x x x
relația *
Dacă 1 2 3, ,x x x sunt rădăcinile ecuaţiei date deci avem:
1
3 21 1 1
3 22 2 2
3 23 3 3
3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3
0 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
2( ) 2( ) 3 0V
x x x a
x x x a
x x x a
x x x x x x x x x a
3 3 3 3 3 31 2 3 1 2 34 3 0 3 4x x x a x x x a
*
4 nu depinde de a . Metoda 2.
1 2
1 2 3 2 3circular
2 2 23 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
02 22 3 1 3 1
1
1 4
1 V v
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
T
Text introdus
3.
Se consideră a şi ecuaţia 3 0x x a , cu rădăcinile complexe 1 2 3, , .x x x a) Să se calculeze 1 2 3( 1)( 1)( 1).x x x b) Să se determine 2x şi 3x ştiind că 1 2.x c) Să se determine a pentru care 1 2 3, ,x x x sunt numere întregi.
Soluţie propusă şi redactată de Mădălin Dermișek, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a) Metoda 1. Scriem relaţiile lui Viete
3 2 1 0
21 1 2 3
3
12 1 2 1 3 2 3
3
03 1 2 3
3
1 , 0 , 1 ,
0
1
a a a a a
aV x x x
a
aV x x x x x x
a
aV x x x a
a
3 2 1
1 2 3 1 2 3 2 3
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 3 2 1
( 1)( 1)( 1) ( 1) 1
1 1
1 0 1
V V V
E x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x V V V
E a a
Metoda 2. Scriem descompunerea polinomului
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1
1 1 1 1
( 1)( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)( 1)
f X X a
f X x X x X x f x x x
f x x x
x x x f x x x a
b) Metoda 1. Dacă 3
1 2 2 0 8 2 0 6 6x f a a f x x
Aplicăm schema lui Horner:
2
22,3
1 0 1 6
2 1 2 3 0
2 3
2 2 28 8 1 2
2
q x x
ii x i
Metoda 2. 2 3 2 3
12 3 2 3 2 3
2 22
2 2 1 3
x x x xx
x x x x x x
Ecuaţia de gradul 2 care are rădăcinile 2 3,x x este 2
2,32 3 0 1 2x x x i
c) Calculăm suma pătratelor rădăcinilor
2 2 21 2 3
1 2 3
32 2 2 2 , , 01 2 3 1 2
1 2 3
2 20 0 0 0
, ,
x x xx x xx x x V V
f ax x x
dacă
una din rădăcini este
T
Text introdus
4.
Se consideră , ,a b c şi polinomul ,23 cbXaXXf cu rădăcinile 1 2 3, , ,x x x astfel încât .1||,1||,1|| 321 xxx
a) Să se demonstreze că .3|| a b) Să se arate că, dacă 0c , polinomul are cel puţin o rădăcină reală în
intervalul ).;0( c) Să se arate că, dacă 1 , –1a c , atunci –1b .
Soluţie propusă şi redactată de Tibor Gocz, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
Scriem relaţiile lui Viete : 3 2 1 01 , , ,a a a a b a c
21 1 2 3
3
12 1 2 1 3 2 3
3
03 1 2 3
3
aV x x x a
a
aV x x x x x x b
a
aV x x x c
a
Avem 1 2 3 1 2 3
1 1 1
3 3a a
a x x x x x x a
b) Fie funcția 3 2: 0, ,f f x x ax bx c
00
lim 0
lim 0,
xx
x
f x c
f x x
f
continuă
astfel încât 0f x deci, polinomul f are cel
puţin o rădăcină reală în intervalul (0, )
c)
3 21 , –1 1f X bXa Xc
03 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3
1 1 1a
V x x x x x x x x xa
Dar 1 2 3 1 2 3| | 1, | | 1, | | 1 | | | | | | 1x x x x x x Deoarece polinomul f are cel puţin o rădăcină reală în intervalul
1(0, ) 1x rădăcină 1 0 1 1 1 0 1f b b
T
Text introdus
5.
Se consideră funcţia 5 5: ,f .4̂)( 4 xxxf
a) Să se calculeze )0̂(f şi ).1̂(f b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă. c) Să se descompună polinomul 4
54̂ [ ]X X X în factori ireductibili peste 5.
Soluţie propusă şi redactată de Remus Herciu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a) ˆ ˆ0 0f
ˆ ˆ ˆ ˆˆ1 1 4 5 0f
b) ˆ ˆ0 0f
ˆ ˆ1 0f
ˆ ˆ ˆ2 16 8 24 4f
ˆ ˆ3 81 12 93 3f
4̂ 256 16 272 2f , deci f nu ia toate valorile din codomeniu.
5x astfel încât 1̂f x f nu este surjectivă
c) 3 3ˆ ˆ4 1f x x x x
2ˆ ˆ1 1
q
x x x x
2 1̂q x x
ˆ ˆ0 1
ˆ ˆ1 3
ˆ ˆ2 2
ˆ ˆ3 3
ˆ ˆ4 1
q
q
q q
q
q
ireductibil 2ˆ ˆ4 1f x x x x
T
Text introdus
6.
Se consideră numărul 3a i și polinomul 4 2, 4 16f X f X X
a) Să se arate că 0f a .
b) Să se determine rădăcinile polinomului f . c) Să se arate că polinomul f este ireductibil în X .
Soluţie propusă şi redactată de Vlad Papancea, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
4 2 2
2
122 2 3
3 3 4 3 16 2 2 3 8 8 3 16 4 8 3 12 8 8 3 0
i
f a f i i i i i i i i
b)
24 2 )48 2
21,22
4 16 0 4 4 34 16 0 2 2 3 3
2
aix x it t t i i
x t
22
22
) 3 3
) 3 3
i x i x i
ii x i x i
c)
Polinomul f cu , 1grad f n n se numeşte reductibil peste mulţimea de
numere M dacă există polinoamele ,g h din M X de grade strict mai mici decât
gradul lui f , astfel încât f g h . În caz contrar polinomul f este ireductibil peste mulţimea M.
1 2 3 4
2 22 2
2 2
3 3 3 3
3 3
2 2 3 2 2 3
f X x X x X x X x
f X i X i X i X i
f X i X i
f X i X i
deci f este ireductibil în X .
T
Text introdus
7.
Se consideră polinomul [ ],f X ,55 24 XXf cu rădăcinile 1 2 3 4, , , .x x x x
a) Să se calculeze .1111
4321 xxxx
b) Să se arate că polinomul f are toate rădăcinile reale. c) Să se arate că, dacă g este un polinom cu coeficienţi reali care are proprietatea
că pentru orice x real |)(||)(| xfxg , atunci există ]1;1[a astfel încât .afg
Soluţie propusă şi redactată de Ramona Pătrînjel, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
Scriem relațiile lui Viete : 4 3 2 1 01 , 0 , 5 , 0 , 5a a a a a
13 1 2 3 2 3 4
4
... 0a
V x x x x x xa
04 1 2 3 4
4
5a
V x x x xa
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 3
1 2 3 4 1 2 3 4 4
1 1 1 1 00
5
x x x x x x x x x x x x V
x x x x x x x x V
b)
Rezolv ecuația bipătrată 4 25 5 0X X
52 2
1,2
5 55 5 0
2x t t t t
și observăm că 1,2 0t
Deci 21 2 3 4
5 5 5 5, , ,
2 2x x x x x x
c)
Din 1 1 1 1 1
0
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0g x f x x g x f x g x g x g x
adică 1x
rădăcină pentru polinomul g și analog 2 3 4, ,x x x rădăcini pentru polinomul g ,
deci toate rădăcinile lui f sunt și rădăcini pentru polinomul g
g f a X astfel încât g a f ( ) ( )
1 [ 1;1]g x f x
a f g a f f a a
T
Text introdus
8.
Se consideră , ,a b c şi polinomul .23 cbXaXXf
a) Să se determine a, b, c astfel încât polinomul f să aibă rădăcinile 121 xx şi .23 x
b) Să se arate că, dacă f are rădăcina 2 atunci f are o rădăcină raţională.
c) Să se arate că, dacă , , ,a b c iar numerele )0(f şi )1(f sunt impare, atunci polinomul f nu are rădăcini întregi.
Soluţie propusă şi redactată de Irina Petcu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Dacă f are rădăcinile 121 xx şi 2
3 2 1 2x f X X
2 32 1 2 3 2 0 , 3f X X X f X X a b și 2c
b)
2
1
22
rădăcinărădăcină
f Xx
x
Scriem relaţiile lui Viete
3 2 1 0
21 1 2 3
3
1 , , ,a a a a b a c
aV x x x a
a
și obținem 3 3 32 2 x a x a x
f are o rădăcină raţională
c)
Presupunem că polinomul f admite o rădăcină întreagă k k astfel încât 0f k X k ,f f X k h h X
Obținem:
0 0 0 0f k h k h impar k impar k impar
1 1 1 1 1f k h k h impar 1 k impar k par
deci contradicție polinomul f nu are nici o rădăcină întreagă.
T
Text introdus
9.
Se consideră polinoamele , [ ],f g X ,1234 XXXXf cu rădăcinile
1 2 3 4, , ,x x x x şi .12 Xg a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g. b) Să se calculeze ).1()1()1()1( 4321 xxxx c) Să se calculeze ).()()()( 4321 xgxgxgxg
Soluţie propusă şi redactată de Diana Pop, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
4 3 2 2
4 2 2
3 2
3
2
2
1 1
2
/ 2
/ 2 2
2 2
/ 2 3
X X X X X
X X X X
X X
X X
X X
X
X
2 3r X
b)
1 2 3 4, , ,x x x x rădăcini 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )f X x X x X x X x
1 2 3 41 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )f x x x x
Dar 1 1 1 1 1 1 5f 1 2 3 4(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 5x x x x
c)
2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1g x g x g x g x x x x x
2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1g x g x g x g x x x x x
*
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1
f
g x g x g x g x x x x x x x x x
1 2 3 4 1 2 3 4
5 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1
f
g x g x g x g x f x x x x
Dar 1 1 1 1 1 1 1f 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) 5g x g x g x g x
Justicare * 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )f X x X x X x X x
1 2 3 4 1 2 3 41 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1 1f x x x x x x x x
T
Text introdus
T
Text introdus
10.
Se consideră ,a b şi polinomul ,204 23 bXaXXf cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x .
a) Să se determine 321 ,, xxx în cazul 2, 0.a b . b) Să se demonstreze că ).154(8)()()( 22
322
312
21 axxxxxx c) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină dublă egală cu – a.
Soluţie propusă şi redactată de Viviana Popa, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
3 2 22, 0 8 20 8 20a b f x x x x x x
2 8 20 0 0x x x x sau 2 8 20 0x x
21,2
8 416 16 4 2
2
ii x i
deci rădăcinile sunt 1 2 34 2 , 4 2 , 0x i x i x
b) Scriem relațiile lui Viete : 3 2 1 0a 1,a 4 ,a 20,aa b
1 1 2 3 4V x x x a
2 1 2 1 3 2 3 20V x x x x x x
3 1 2 3V x x x b
2 2 2 2 2 21 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 2x x x x x x x x x x x x x x x
2 2 2 21 2 2 1 22 2 2 2 6 2 16 6 20 8 4 15V V V V V a a
c) Metoda 1. a rădăcină dublă
0
0l
f a
f a
3 2
2
4 20 0
3 8 20 0
a a a a b
a a a
3
2
3 20 02 16
5 20
a a ba b
a
Metoda 2. Fie 1
2 3 1 12 4 2V
x x a x a a x a
2
2 2 2 2 22 2 20 5 20 4 2V
a a a a a a
Caz i. 3
1 2 32 4, 2 16 16V
a x x x b b
Caz ii. 3
1 2 32 4, 2 16 16V
a x x x b b
T
Text introdus
11.
Fie polinomul 4 3 22 2 1 [ ]f X X aX X X şi 1 2 3 4, , ,x x x x rădăcinile sale.
a) Să se calculeze .1111
4321 xxxx
b) Să se arate că 2
2 *1 1( ) 2 2 , .f x x x x a x
x x
c) Să se determine a pentru care toate rădăcinile polinomului f sunt numere reale.
Soluţie propusă şi redactată de Cornelia Secelean, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Avem următorii coeficienți: 4 3 3 1 01 , 2 , , 2 , 1a a a a a a și
13 1 2 3 2 3 4
4
2... 2
1
aV x x x x x x
a
04 1 2 3 4
4
11
1
aV x x x x
a
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 3
1 2 3 4 1 2 3 4 4
1 1 1 1 22
1
x x x x x x x x x x x x V
x x x x x x x x V
b)
2 2 2f x x x 2
1 22 2x a
x x 4 3 2 4 3 21 2 2 2 2 1x x x ax x x ax x
c)
0 1 0f x nu este rădăcină, deci pot folosi forma de la punctual b) care are x la
numitor
2 2
2
0
1 1 1 10 2 2 0 2 2 0f x x x x a x x a
x x x x
Fie 1t x
x 2 2 2 0t t a . Ecuaţia în t are rădăcinile reale dacă
0 4 4 2 0a 4 4 0 4 4 4 4 1a a a a , deci polinomul f cu
nederminata t , are toate rădăcinile reale dacă 1a . Verificăm dacă ecuaţia 1
x tx
are rădăcinile reale:
2 242
1,2
41 0
2
t t tx tx x
deci, dacă , 1a atunci toate rădăcinile
polinomului f sunt numere reale.
T
Text introdus
12.
Se consideră şirul de numere real ( ) ,n na cu 00 a şi ,121 nn aa n şi
polinomul [ ],f X cu 0)0( f şi cu proprietatea că ,1))(()1( 22 xfxf .x a) Să se calculeze ).5(f b) Să se arate că n , .)( nn aaf c) Să se arate că f X .
Soluţie propusă şi redactată de Robert Veress, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
Calculăm valorile pentru 0, 1, 2x x x
2
0
2
1
2
2
0 1 0 1 1
1 2 1 1 2
2 5 2 1 5
x f f
x f f
x f f
b) Demonstrăm prin inducție propoziția: : ,n nP n f a a n
Verificare: 0 0(0) : 0 0P f a a f (A)
Presupunem P(n) adevărată şi demonstrăm că 1P n P n
Demonstraţie: 1 11 : n nP n f a a relaţie care trebuie demonstrată.
2 21 11 1n n n nf a f a a a
În concluzie P(n) este adevărată n .
c) Considerăm polinomul h f X Observăm că
0 0 0
1 1 1
0
0
...
0
polinomul are o infinitate de rădăcini
n n n
h a f a a
h a f a ah
h a f a a
Deci polinomul h este polinomul nul adică 0 0h f X f X
T
Text introdus
13.
Se consideră 3Za şi polinomul 3 2
32̂ [ ].f X X a X
a) Să se calculeze ).2̂()1̂()0̂( fff b) Pentru ,2̂a să se determine rădăcinile din 3 ale polinomului f. c) Să se determine 3a pentru care polinomul f este ireductibil în 3[ ].X
Soluţie propusă şi redactată de Cosmin Vezeteu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 1 2 8 8f f f a a a
ˆ ˆ3 19 3 1 1a a
b) 3 2ˆ ˆ ˆ2 2 2a f x x
0 1 2
2 2 0
x
f
ˆ ˆ ˆ2 18 0 2f rădăcină
c) 3 2 2ˆ ˆ ˆ0 2 2a f x x x x , deci reductibil
3 2ˆ ˆ ˆ1 2 1a f x x
3
ˆ ˆ0 1
ˆ ˆ ˆ1 4 1
ˆ ˆ2 17 2
grad f
f
f f
f
ireductibil
)
ˆ ˆ2 2b
a rădăcină 2̂x f , deci reductibil
f este ireductibil dacă 1̂a .
T
Text introdus
14.
Se consideră polinomul [ ],f X cu .45 24 XXf a) Să se determine rădăcinile polinomului f. b) Să se determine polinomul [ ],h X pentru care 1)0( h şi care are ca
rădăcini inversele rădăcinilor polinomului f. c) Ştiind că g este un polinom cu coeficienţi întregi, astfel încât
,2)2()1()1()2( gggg să se arate că ecuaţia 0g x nu are soluţii
întregi.
Soluţie propusă şi redactată de Andrei Vlad, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a) Ecuația este bipătrată deci
1 2
2
1 42 2
2
1 1
5 4 0
4 2
t tCaz i x x
x t t t
Caz ii x x
,)
)
b)
4 3
4 3 1 0
4
1 2 3 4
...1 1
1 11 1 2 21, 1, ,2 2
h a x a x a x ah a x x x x
x x x x
2 2 4 24 4
1 5 11
4 4 4h a x x h a x x
Dar 4 24 4
10 1 1 4 4 5 1
4h a a h x x
c)
Fie 2 2 1 1 2 0p g p p p p
2 2 1 1 2p g x x x x q , ,p q X
Presupunem că polinomul g are soluţii întregi
k astfel încât 0
2 2
0 2 2 1 1 2g k g k k k k k q k
2 4 fals ecuaţia g x nu are soluţii întregi.
T
Text introdus
15.
Se consideră a şi polinomul 4 3 23 2 1 [ ].f X X X aX X
a) Să se calculeze 4321
1111
xxxx , unde 1 2 3 4, , ,x x x x sunt rădăcinile polinomului f.
b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la .)1( 2X c) Să se demonstreze că f nu are toate rădăcinile reale.
Soluţie propusă şi redactată de Marius Borindel, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
Avem următorii coeficienți: 4 3 2 1 03 , 2 , 1, , 1a a a a a a și
31 1 4
4
2 2....
3 3
aV x x
a
22 1 2 3 4
4
1...
3
aV x x x x
a
13 1 2 3 2 3 4
4
...3
a aV x x x x x x
a
04 1 2 3 4
4
1
3
aV x x x x
a
2 3 4 1 3 4 1 2 3 3
1 2 3 4 1 2 3 4 4
1 1 1 1 313
ax x x x x x x x x V
ax x x x x x x x V
b)
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
3 2 1 2 1
3 6 3 3 4 6
/ 4 2 1
4 8 4
/ 6 4 1
6 12 6
/ 8 7 8 7
x x x ax x x
x x x x x
x x ax
x x x
x a x
x x
a x r a x
c)
2 2 2 2 21 2 3 4 1 2
4 2 22 0
9 3 9x x x x V V f nu are toate rădăcinile reale.
T
Text introdus
16.
Se consideră polinomul [ ],f X 100 100( ) ( ) ,f X i X i care are forma algebrică 100 99
100 99 1 0... .f a X a X a X a a) Să se calculeze 100 99.a a
b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la .12 X c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale.
Soluţie propusă şi redactată de Adrian Buftea, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
Aplicăm binomul lui Newton pentru fiecare paranteză 100 1 99 2 98 2 3 97 3 98 2 98 99 99 100
100 100 100 100 100
100 1 99 2 98 2 3 97 3 98 2 98 99 99 100100 100 100 100 100
10
100
100
2 980 2 98 98 2 100100 100
( )
2 2 2 2
( )
i
X C i C i C i C i C i i
X C i C i C i
X i X X X X X
X i X X X X X
f X
C i C i i
X C i XC i
adunând obţinem
de unde 100 992 , 0a a deci 100 99 2a a b)
Aplicăm teorema împărţirii cu rest
2
2
2
51100 100 50 50 50 50 50 50 51
1
51100 100 50 50 50 50 50 50 51
1
1 , 2
1 1
12
1 1 1 2 2 2 2 2
12
1 1 1 2 2 2 2 2
i
i
f x q r grad r
f x x q mx n
f m nm n
f i i i i i i
f m nm n
f i i i i i i
Rezolv sistemul: 51
515151
22
2
0
2
m nr
m n
m
n
c) Presupunem că polinomul nu are toate rădăcinile reale f admite o rădăcină complexă z a bi cu ,a b și 0b . Avem
0f z 100 100( ) ( ) 0z i z i
2 2
100 100
Re Im
2 22 1 2 1
100 100 100 100( ) ( ) ( ) ( )
2 22 21 1 1 1
2 21 1 0
z z z
b b
z i z i z i z i z i z i
z i z i a bi i a bi i
a i b a i b a b a b
b b b b b
contradicție deoarece 0b deci, polinomul f are toate rădăcinile reale.
T
Text introdus
17.
Se consideră polinomul ,92 24 XXf cu rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x , numărul ia 2 şi mulţimile ( ) | [ ]A g a g X şi ( ) | [ ], ( ) 3 .B h a h X grad h
a) Să se calculeze ).(af b) Să se calculeze .|||||||| 4321 xxxx c) Să se arate că A B .
Soluţie propusă şi redactată de Vlad Constantinescu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Ecuaţia este bipătrată deci facem substituţia 2x t
232 22
1,2
1,2,3,4
2 4 22 9 0 1 2 2 2
2
2
i it t t i i
x i
deci 2a i rădăcină ( ) 0f a .
b) Aplicăm formula modulului 2 2z x y şi obţinem
1 2 3 4 2 1 3x x x x deci
1 2 3 4| | | | | | | | 4 3x x x x
c) Arătăm că orice element din mulţimea A este şi în mulţimea B , dar şi reciproc . Fie elementul y A
( ) | [ ] ( ) , [ ]y g a g X y g a g X , 2a i rădăcină pentru f .
Din teorema împărţirii cu rest există polinoamele ,q r astfel încât ,y f q r grad r grad f
deci 3 23 2 1 04grad r r a X a X a X a
adică
3 23 2 1 0
3 23 2 1 0
0
3 23 2 1 0
y f q a X a X a X a
y a f a q a a a a a a a a
y a a a a a a a a
y h a y B
Fie elementul y B
( ) | [ ], ( ) 3 ( ) , [ ]y h a h X grad h y h a h X
Deoarece pentru orice polinom h de ( ) 3grad h cu coeficienţi raţionali există un polinom g A astfel încât h g atunci ( )y g a y A
T
Text introdus
18.
Se consideră polinomul [ ],f X ,23 rqXpXXf cu );0(,, rqp şi cu rădăcinile
1 2 3, ,x x x . a) Să se demonstreze că f nu are rădăcini în intervalul ).;0[ b) Să se calculeze 3
332
31 xxx în funcţie de , ,p q r .
c) Să se demonstreze că, dacă , ,a b c sunt trei numere reale astfel încât ,0 cba 0 cabcab şi 0abc atunci ).0;(,, cba
Soluţie propusă şi redactată de Alexandra Delne, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
Presupunem că rădăcinile 1 2 3, ,x x x sunt în intervalul ).;0[
Dacă kx rădăcină atunci 0kf x adică 3 2
00 00
0k k kx p x q x r
fals,
deci f nu are rădăcini în intervalul ).;0[
b) Scriem relaţiile lui Viete unde 3 2 1 01 , , ,a a p a q a r
21 1 2 3
3
12 1 2 1 3 2 3
3
03 1 2 3
3
aV x x x p
a
aV x x x x x x q
a
aV x x x r
a
2
1 2
3 21 1 1 1 1
3 22 2 2 2 2
3 23 3 3 3 3
3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3
2
0 0
0 0
0 0
3 0
rădăcină
rădăcină
rădăcină adunăm
pV V
x f x x px qx r
x f x x px qx r
x f x x px qx r
x x x p x x x q x x x r
2 2 2 2 21 2 3 1 22 2x x x V V p q deci 3 3 3 2 3
1 2 3 2 3 3 3x x x p p q pq r p pq r
c) Dacă cunoaştem 1 2, ,..., nV V V atunci polinomul care are rădăcinile 1 2, ,..., nx x x este : 1 2
1 2 ... ( 1) ... ( 1)n n n k n k nk nf X V X V X V X V
Fie polinomul g care admite rădăcinile , ,a b c
3
1 2
3 2
3 2
0,
0
0
unde
VV V
g X a X b X c
g X a b c X ab ac bc X abc
p a b c
g X pX qX r q ab ac bc
r abc
Conform punctului a) polinomul g nu are rădăcini în intervalul [0; ) deci va avea rădăcini în intervalul , 0 adică ).0;(,, cba
T
Text introdus
19.
Se consideră polinomul ,4 cbXaXf cu , , .a b c
a) Să se arate că numărul )1()3( ff este număr par. b) Să se arate că, pentru orice , ,x y numărul )()( yfxf este divizibil cu
x y . c) Să se determine coeficienţii polinomului f ştiind că (1) 4f şi 3.f b
Soluţie propusă şi redactată de Cristian Ghepeș, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
3 81 33 1 80 2 , , ,
1par
f a b cf f a b a b c
f a b c
b) 4 4 2 2 2 2f x f y a x y b x y a x y x y b x y
2 2 ( ) ( )
x y
a x y x y x y b x y f x f y x y
c) 1 1 1 1f x f y x y f b f b b
1 1,1 0,2b b
Caz i.
11 4 4
0 00 3 3
3
af a b c
b bf c
c
Caz ii.
1 4 4 2 2
22 3 16 2 3 16 1 16 1
115 3
5
f a b c a c a cb
f a b c a c a c
a a
T
Text introdus
20.
Se consideră polinomul 3 1 [ ]f X X şi numărul \ , astfel încât .0)( f
a) Să se demonstreze că .012
b) Să se rezolve în mulţimea numerelor complexe sistemul .
0
0
0
2
2
zyx
zyx
zyx
c) Să se arate că, dacă f divide 3 3 2 31 2 3( ) ( ) ( ),f X Xf X X f X unde 321 ,, fff sunt polinome cu
coeficienţi complecşi, atunci fiecare dintre polinoamele 321 ,, fff este divizibil cu .1X Soluţie propusă şi redactată de Ramona Ignat, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a) Metoda 1. Dacă ( ) 0f avem 3 31 0 1 adică rădăcină de ordin 3 a unități
deci 2 1 0 dacă \
Metoda 2. Dacă ( ) 0f avem 3 2 2
0
1 0 1 1 0 1 0
b) Determinantul asociat sistemului este
2 1
3 1
2 2
2 2
22 2 2 2
2
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 11 11 1 1 1 2 1
1 11 1
C C
C C
Evident 0 deoarece \ , deci sistemul este compatibil determinat (CRAMER) , dar sistemul este omogen adică soluția unică este 0,0,0S .
c) Dacă f divide 3 3 2 3
1 2 3( ) ( ) ( )f X Xf X X f X atunci rădăcinile lui f sunt și rădăcinile lui3 3 2 3
1 2 3( ) ( ) ( )g f X Xf X X f X
Știm că polinomul 3 1f X admite rădăcinile 2 21 2 1 1 1 11, , 1, , 1, , 1, ,k
deci
1 2 3 1 2 33 3 2 3 2
1 2 3 1 2 36 2 6 4 6 22
1 2 3 1 2 3
1 0 (1) (1) (1) 0 (1) (1) (1) 0
0 ( ) ( ) ( ) 0 (1) (1) (1) 0
( ) ( ) ( ) 0 (1) (1) (1) 00
g f f f f f f
g f f f f f f
f f f f f fg
Dacă notăm 1 2 3(1) , (1) , (1)f x f y f z obținem sistemul .
0
0
0
2
2
zyx
zyx
zyx
Conform punctului b) avem
1
2
2
1 00
0 1 0
0 1 0
fx
y f
z f
Adică polinoamele 321 ,, fff admit rădăcina 1 și din teorema lui Bezout rezultă că
321 ,, fff sunt divizibile cu .1X
T
Text introdus
21.
Se consideră polinomul [ ],f X .124 23 baXXXf
a) Să se determine ,a b astfel încât polinomul f să se dividă cu polinomul .12 X
b) Să se determine ,a b astfel încât ecuaţia 0)( xf să aibă soluţia .x i c) Să se determine ,a b astfel încât polinomul să aibă rădăcinile 321 ,, xxx în
progresie aritmetică şi, în plus, .1123
22
21 xxx
Soluţie propusă şi redactată de Andreea Mucha, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
2 1 1 1f X f X X
1 1 0
1 1 0
f X f
f X f
4 12 0 8 4
4 12 0 16 12
a b a b a
a b a b b
b)
x i rădăcină 3 20 4 12 0f i i i ai b
4
4 12 0 12 4 012
ai ai b b a i
b
c)
Avem următorii coeficienți: 3 2 1 04 , 12 , ,a a a a a b
21 1 2 3
3 2 2 2 21 2 3 1 2
12 1 2 1 3 2 3
3
3
2 92
4
aV x x x
a ax x x V V
a aV x x x x x x
a
9 11 42
aa
1 2 3, ,x x x în 1
1 32 1 3 2 2 22 3 3 1
2
Vx xx x x x x x
rădăcină
4
1 0 4 12 0 12a
f a b b
T
Text introdus
22.
Se consideră ecuaţia 4 3 28 8 0 , ,x x ax x b a b şi cu soluţiile 1 2 3 4, , ,x x x x .
a) Să se arate că 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 2 3 1 4 8x x x x x x x x x x x x x x x x a .
b) Să se determine a astfel încât 1 4 2 3x x x x . c) Să se determine ,a b , astfel încât 1 2 3 4, , ,x x x x să fie în progresie aritmetică.
Soluţie propusă şi redactată de Emanuel Nazare, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a) Scriem relaţiile lui Viete unde 4 3 2 1 01, 8 , , 8 ,a a a a a a b
31 1 4
4
22 1 2 3 4
4
13 1 2 3 2 3 4
4
04 1 2 3 4
4
... 8
...
... 8
aV x x
a
aV x x x x a
a
aV x x x x x x
a
aV x x x x b
a
Calculăm expresia
2 3
1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 2 3 1 4
1 2 1 3 2 4 3 4 1 4 2 3 1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 3 4
2 3
8
V V
E x x x x x x x x x x x x x x x x
E x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
E V V
E a
b) Dacă 1 4 2 3x x x x s atunci din relația 1V obținem 2 8 4s s și dacă înlocuim la punctul a) avem 1 4 2 3 2 3 1 4 1 4 2 316 4 4 8 5 24x x x x x x x x a x x x x a
Din relația 3V scrisă convenabil obținem
3 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 2 3 1 4 1 4 2 3
2 3 1 4 1 4 2 3 1 4 2 34 4 4 8 2
V x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
Rezolvăm ecuația
24 10 14a a
c) Avem
1 4 2 3 4x x x x și 14a
Dacă 1 2 3 4, , ,x x x x în progresie aritmetică atunci există numerele n și r astfel încât
1
21 4 2 3
3
4
3
2 2
3
x n r
x n rx x x x n n
x n r
x n r
Dar 2 2
1 4 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 8 10 2 1x x x x r r r r r r
Din 4 1 2 3 4V x x x x b avem
2 22 3 2 3 2 2 4 9 4 5 3 15b r r r r r r
T
Text introdus
23.
Se consideră polinomul 4 3 24 1 [ ]f X aX X X cu rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x .
a) Să se determine aastfel încât polinomul f să se dividă cu .1X
b) Să se arate că polinomul 4 24 1g X X aX are rădăcinile .1
.1
,1
,1
4321 xxxx
c) Să se arate că, pentru orice a polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
Soluţie propusă şi redactată de Păroiu Rareș, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
1 1 0 1 4 1 0 6f X f a a
b)
4/1
2 3 41 1 1
4 2 41 1 1 1 1
2 3/ /1 1 1 41 1 1 14 1
xx x x ax xg a
x x x x x
1
4 41 1 1
0 10
f x
x x x rădăcină pentru g .
Analog 2 3 4
1 1 1, ,
x x x rădăcini pentru g .
c)
Arăt că g nu are toate rădăcinile 1 4,...,y y reale.
Scriem relaţiile lui Viete pentru polinomul g
31 1 4
4
... 0a
V y ya
2 2 2 2 222 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2
4
... 4 2 8a
V y y y y y y y y V Va
rădăcinile 1 4,....,y y nu sunt toate reale
1 4
1 1,...,
x x nu sunt toate reale
1 4,...,x x nu sunt toate reale.
T
Text introdus
24.
Se consideră polinoamele , [ ],f g X ,23 aXaXf ,1223 XaaXg cu *a şi
1 2 3, ,x x x rădăcinile polinomului f. a) Să se calculeze .2
322
21 xxx
b) Să se arate că rădăcinile polinomului g sunt inversele rădăcinilor polinomului f. c) Să se arate că polinoamele f şi g nu au rădăcini reale comune.
Soluţie propusă şi redactată de Vlad Roman, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
21 1 2 3
3 2 2 2 2 21 2 3 1 2
212 1 2 1 3 2 3
3
0
2 2
aV x x x
ax x x V V a
aV x x x x x x a
a
b)
2 3 3 2
2 1 1 1 13 2 3 3
1 1 1 1 1
1 1 11
a a x x x a x ag a a
x x x x x
1
31 1
10
f x
x x rădăcină pentru g .
Analog 2 3
1 1,
x x rădăcină pentru g .
c)
Deoarece [ ],
2 2 2 2 * 2 2 21 2 3 1 2 32 , 0
f X
x x x a a x x x
polinomul nu are toate
rădăcinile reale polinomul f are o singură rădăcină reală și două complexe.
Fie 1x rădăcină reală pentru polinomul 1
1b
fx
este rădăcină reală pentru
polinomul g .
Presupunem că f şi g au rădăcini reale comune 21 1 1
1
11 1x x x
x fals
deoarece 21 1f a a şi 2 21 1 1f a a a a sunt diferite de 0, a
Justificare:
32
1,2
32
1,2
1 0
1 0
a a a
a a a
T
Text introdus
25.
Se consideră şirul ( ) ,n nF ,00 F ,11 F 1 1n n nF F F , 1n şi polinoamele
, [ ],nP Q X ,12 XXP ,1 nnn
n FXFXQ .2n a) Să se arate că polinomul 123 XX este divizibil cu P. b) Să se determine rădăcinile reale ale polinomului .3Q c) Să se arate că, pentru ,2n polinomul nQ este divizibil cu P.
Soluţie propusă şi redactată de Bianca Rusu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a) Avem :
3 2
3 2
2
2
3
2 1 1
1
1
1
/ / / 0 2 1
X X X X
X X X X
X X
X X
r X X P
b) Avem :
33 3 2
)3 22 1 0
3 3
3 2 0
12 1 1 1
1
a
Q X F X F
F F FQ X X Q X X X
F F F
Rezolv ecuația :
23
52
1,2
0 1 1 01 5
1 0 1 1,2
1 51 0
2
Q x x x
x x S
x x x
c) Demonstrăm prin inducție: : , , 2nP n Q P n n
Verificare: 2 2
2 2 1
1 1
2 : 1
P
P Q X F X F X X P
Presupunem P n adevărată și demonstrăm 1P n P n
Avem 11 : nP n Q P Metoda 1. Calculăm 1nQ
11 1
11 1
11 1
nn n n
nn n n n
nn n n n
Q X F X F
Q X F F X F
Q X F X F X F
Adăugăm și scădem 2nF X
T
Text introdus
26.
1 2 2
1 1
21 1
1
1
nn n n n n n
nn n n n
P P
n
Q X F X F X F X F X F
Q X X F X F F X X
Q P
Deci P n adevărată 2n .
Metoda 2. nQ P polinomul H astfel încât
1 1n n
n n n n nQ P H X F X F P H X P H F X F Calculăm 1nQ
11 1
1 1
1 1 1
21 1
nn n n
nn n n n
n n n n n n
n n n
Q X F X F
Q X X F F X F
Q P H F X F X F X F X F
Q P H X F X F X
1n nF X F X
21 1
n
n n n
P
F
Q P H X F X X P H X F
1nQ P
Se consideră corpul 11, ,
a) Să se arate că ecuaţia 2 8x nu are soluţii în 11 b) Să se determine numărul polinoamelor de grad doi din 11 X .
c) Să se arate că polinomul 2 1X X este ireductibil în 11 X
Soluţie propusă şi redactată de Emanuel Todor, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
x 0̂ 1̂ 2̂ 3̂ 4̂ 5̂ 6̂ 7̂ 8̂ 9̂ 102x 0̂ 1̂ 4̂ 9̂ 5̂ 3̂ 3̂ 5̂ 9̂ 4̂ 1̂
2 8̂x adică nu avem soluţii în 11
b) 211
ˆ, , , , 0f ax bx c a b c a
10
11
11
moduri
moduri
moduri
a
b
c
avem 10 11 11 1210 polinoame
c)
x 0̂ 1̂ 2̂ 3̂ 4̂ 5̂ 6̂ 7̂ 8̂ 9̂ 102 1̂x x 1̂ 3̂ 7̂ 2̂ 10 9̂ 10 2̂ 7̂ 3̂ 1̂
2 1̂f x x nu are rădăcini
f ireductibil în 11 x
T
Text introdus
27.
Se consideră polinoamele , [ ],f g X .1,1 64 XgXf
a) Să se arate că un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f şi g este .12 X
b) Să se determine numărul soluţiilor complexe distincte ale ecuaţiei ( ) ( ) 0f x g x c) Să se descompună polinomul f în factori ireductibili în [ ].X
Soluţie propusă şi redactată de Andrei Tudose, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
2 2 2
2
3 3 2 2
1 1 1 1 1, 1
1 1 1 1 1 1
f X X X X Xf g X
g X X X X X X X X
b)
2 2 2 2 20 1 1 1 1 1 0f x g x x x x x x x x
1 3 1 3 1 3 1 31, 1, , , , , ,
2 2 2 2
i i i iS i i
deci avem 8 soluţii distincte.
c)
21 1 1f X X X
T
Text introdus
28.
Se consideră polinoamele 3 22 3 45 [ ]f X X X X şi 3
2ˆ 1̂ [ ].f X X X
a) Să se arate că rădăcinile din ale polinomului f nu sunt toate reale. b) Să se arate că polinomul f̂ nu are rădăcini în 2. c) Să se demonstreze că polinomul f nu poate fi scris ca produs de două
polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.
Soluţie propusă şi redactată de Catinca Băjan, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
Avem următorii coeficienți: 3 2 1 01 , 2, 3 , 45a a a a și
21 1 2 3
3
2a
V x x xa
12 1 2 2 3
3
... 3a
V x x x xa
Deci 2 2 2 2 21 2 3 4 1 2
4 2 22 0
9 3 9x x x x V V f nu are toate rădăcinile reale.
b)
x 0̂ 1̂ 3 1̂x x 1̂ 1̂ 3 1̂f X X nu are rădăcini în
c) Presupunem că polinomul f poate fi scris ca produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi 2 , , ,f X k X aX b k a b deci k
astfel încât k rădăcină rădăcinile 1, 3, 5, 9, 15, 45 0k f numere impare
impar fals
deoarece 3 22 3 45 0f impar impar impar impar impar deci, polinomul
f nu poate fi scris ca produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.
2.
T
Text introdus
29.
Se consideră polinomul 5 4 3 23 2 [ ].f X X X X X
a) Să se determine o rădăcină întreagă a polinomului f. b) Să se calculeze ,2
524
23
22
21 xxxxx unde 521 ,...,, xxx sunt rădăcinile polinomului f.
c) Să se arate că f are o singură rădăcină reală.
Soluţie propusă şi redactată de Alexandra Ciocan, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
1 1 1 3 1 2 0 1f o rădăcină întreagă a polinomului f
b)
Avem următorii coeficienți: 4 3 2 1 01 , 1 , 3, 1, 2a a a a a și
31 1 4
4
1.... 1
1
aV x x
a
22 1 2 3 4
4
3... 3
1
aV x x x x
a
Deci 2 2 2 2 21 2 3 4 1 22 1 6 5x x x x V V
c)
Dacă 1 rădăcină 1X f . Aplicăm schema lui Horner
1 1 3 1 0 2
1 1 0 3 2 2 0
2 24 2 4 2 2 2
00
3 2 2 2 1 2 1 1 1 0q X X X X X X X X X
deci polinomul f are o singură rădăcină reală.
T
Text introdus
30.
Fie polinomul ,22 23 aXaXXf cu a şi cu rădăcinile complexe .,, 321 xxx
a) Să se calculeze 1f .
b) Să se determine a pentru care polinomul are trei rădăcini reale. c) Să se determine a astfel încât 1 2 3 3x x x .
Soluţie propusă şi redactată de Andrea Cîrstea, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
Avem :
3 21 2 1 1 1 2 2 2 0f a a a a adică 1 1x rădăcină reală.
b) Aplicăm schema lui Horner:
2
2 2
1 2 2 2 0
2 2 2
a a
a
q X a X
Polinomul 21 2 2 2f X X a X are trei rădăcini reale dacă
polinomul 22 2 2q X a X are două rădăcini reale adică
discriminantul trebuie să fie pozitiv 0 2
2 16 0a 22 16 2 4a a
2 , 4 4, , 6 2,a a
c) Din relaţiile lui Viete avem:
3 2 1 0
21 1 2 3
3
2 , , , 2
2
a a a a a a
a aV x x x
a
Dar de la punctul a) avem 1
1 2 3 2 31 1 12 2
V a ax x x x x și din relația
dată 1 2 3 2 33 | | 2x x x x x
Din inegalitatea modulului obținem:
2 3 2 3 1 2 2 4 2 4,4 6,22
ax x x x a a a
T
Text introdus
31.
Se consideră ecuaţia 3 0 , ,x px q p q şi cu soluţiile 1 2 3, ,x x x .
a) Ştiind că 1 , 0p q să se determine 1 2 3, ,x x x . b) Să se determine ,p q ştiind că 1 1x i .
c) Să se arate că 27 7 7 3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 312 7x x x x x x x x x .
Soluţie propusă şi redactată de Mădălin Dermișek, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
Dacă 1 , 0p q
3 2
2 2 2 2
0 1 0
00,
1 0 1
x x x x
xS i
x x x i x i
caz 1.
caz 2.
b)
1i rădăcină 21 2
31 1 0
i i
i p i q
2 1 0i i p pi q
2
1
2 2 0i i p pi q
2 2 0p q p i
2 0 2
2 0 4
p p
p q q
c) Din relaţiile lui Viete avem: 3 2 1 01 , 0 , ,a a a p a q
21 1 2 3
3
2 2 2 212 1 2 1 2 2 3 1 2 3 1 2
3
03 1 2 3
3
0
2 2
aV x x x
a
aV x x x x x x p x x x V V p
a
aV x x x q
a
T
Text introdus
32.
Dacă 1 2 3, ,x x x soluții obținem
31 1
32 2
33 3
3 3 3 3 3 31 2 3 1 2 3 1 2 3
0
0
0
0
3 0 3
x px q
x px q
x px q
x x x p x x x q x x x q
Deci membrul stâng al egalității de demonstrat devine
2 23 3 3 2 2 2 21 2 3 1 2 37 7 3 2 84x x x x x x q p p q
Dacă 1 2 3, ,x x x soluții obținem
4
2 1
3 7 5 41 1 1 1 1
3 7 5 42 2 2 2 2
3 7 5 43 3 3 3 3
7 7 7 5 5 5 4 4 4 7 7 71 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2
0 0
0 0
0 0
0
kx
S S
x px q x px qx
x px q x px qx
x px q x px qx
x x x p x x x q x x x x x x qS pS
Trebuie să calculăm 1 2,S S Dacă 1 2 3, ,x x x soluții obținem
3 4 21 1 1 1 1
3 4 22 2 2 2 2
3 4 23 3 3 3 3
4 4 4 2 2 2 4 4 4 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 0
0 0
0 0
0 0
0 2
kx
p
x px q x px qx
x px q x px qx
x px q x px qx
x x x p x x x q x x x x x x p
Dacă 1 2 3, ,x x x soluții obținem
2
3 5 3 21 1 1 1 1
3 5 3 22 2 2 2 2
3 5 3 23 3 3 3 3
5 5 5 3 3 3 2 2 2 5 5 51 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
0 0
0 0
0 0
0 5
kx
q p
x px q x px qx
x px q x px qx
x px q x px qx
x x x p x x x q x x x x x x pq
Obținem că 7 7 7 2 2 21 2 3 2 5 7x x x p q p q p q deci membrul drept al egalității
de demonstrat devine 7 7 7 2 21 2 312 12 7 84x x x p q p q deci am arătat că
27 7 7 3 3 3 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 312 7 84x x x x x x x x x p q .
Se consideră m şi polinomul 3 22 2 4 2 2f X m X m iX m m i X .
a) Arătaţi că polinomul f are rădăcina 2 b) Arătaţi că, dacă ,a b sunt numere complexe şi polinomul
2g X aX b X are două rădăcini distincte, complex conjugate,
atunci a şi b sunt numere reale şi 2 4a b . c) Determinaţi m pentru care polinomul f are două rădăcini distincte,
complex conjugate.
Soluţie propusă şi redactată de Tibor Gocz, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
3 22 2 2 2 2 2 4 2 2f m m i m m i
2 8 4 2 2 2f m m i 4 2 2m m i
2 8 8 4 4f m m 2 0 2f rădăcină
b)
Fie 1x u vi şi 2 , ,x u vi u v cele două rădăcini distincte, complex conjugate ale polinomului g . Din relaţiile lui Viète obţinem:
1 2S x x a şi 1 2P x x b
adică
u vi u vi a
u vi u vi b
deci 2 2
2a u
b u v
Dacă polinomul g are rădăcini complexe atunci discriminantul 0 , de
unde obţinem 2 4 0a b adică 2 4p q .
c) Aplicăm schema lui Horner
1 2 2 4 2 2
2 1 2 2 0
m m i m m i
m m m i
deci 22 2 2
h
f X X mX m m i
Fie polinomul 2 2 2a
b
h X m X m m i
.
Dacă polinomul f are două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci obligatoriu polinomul h admite două rădăcini distincte, complex conjugate
deci conform punctului b) coeficienţi 0
, 22 2
ma b mm m i
.
T
Text introdus
33.
Pentru *n se defineşte polinomul 1 [ ].n
nP X X a) Să se determine rădăcinile complexe ale polinomului .4P b) Să se descompună polinomul 3P în factori ireductibili în [ ].X c) Să se descompună polinomul 6P în factori ireductibili în [ ].X
Soluţie propusă şi redactată de Remus Herciu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
4 2 2 24 1 1 1 1 1 1P X X X X X X
42 2 2 2
1 0 1
0 1 0 1
1 0 1
x x
P x x
x x x i x i
caz1.
caz 2.
caz 3.
b)
2
3 23
3 3 32
1,2
1 1 11 3 1 3
11 3 2 2 2 21 02 2
i
P X X X X
P X X i X ix x x i
c) 2 312 6 6 3 212 1 1 1 1 1P X X X X X
3 3 2 4 21 1 1 1X X X X X
22 2 2 2 2
0 0
1 1 1 1 1 1 3X X X X X X X X X
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1 3 1 3 1X X X X X X X X X X
T
Text introdus
34.
Se consideră polinomul mXXp 3 cu m şi cu rădăcinile 1 2 3, , .x x x a) Ştiind că 6m , să se determine .,, 321 xxx b) Să se calculeze 4
342
41 xxx .
c) Să se determine m pentru care polinomul p are toate rădăcinile întregi.
Soluţie propusă şi redactată de Vlad Papancea, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Dacă 36 6m p x x Observăm că 2 0p adică 1 2 2x X p
Aplicăm schema lui Horner:
2
22,3
1 0 1 6
2 1 2 3 0
2 3
2 2 28 8 1 2
2
q x x
ii x i
b) Scriem relaţiile lui Viete
3 2 1 0
21 1 2 3
3 2 2 2 21 2 3 1 2
12 1 2 1 3 2 3
3
1 , 0 , 1 ,
0
2 2
1
a a a a m
aV x x x
ax x x V V
aV x x x x x x
a
3 4 21 1 1 1 1 1 1
3 4 22 2 2 2 2 2 2
3 4 23 3 3 3 3 3 3
4 4 4 2 2 2 4 4 41 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
02
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 2
x p x x x m x x mx
x p x x x m x x mx
x p x x x m x x mx
x x x x x x m x x x x x x
rădăcină
rădăcină
rădăcină adunăm
c) Deoarece
2 2 21 2 3
1 2 3
32 2 2 , , 01 2 3
1 2 3
20 0 0 0
, ,
x x xx x xx x x
p mx x x
dacă
una din rădăcini este
T
Text introdus
35.
Se consideră ,a b şi polinomul ,23 bXaXXp cu rădăcinile 1 2 3, , .x x x a) Ştiind că 1a b , să se afle rădăcinile polinomului p . b) Să se afle a şi b, ştiind că polinomul p are rădăcina dublă 1. c) În cazul 1b , să se determine valorile lui a pentru care polinomul p are o
rădăcină raţională.
Soluţie propusă şi redactată de Ramona Pătrînjel, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
Dacă
3 2 2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 1 0
. 1 0 1
. 1 0 1
1
caz
caz
a b p X X X X X X X X
x x
i x x
ii x x x i x i
b)
Dacă polinomul p are rădăcina dublă pe 1 atunci 1 0p și 1 0lp .
Obținem
2
2
3 2 13 2 1 0 2
1 0
1 0 1 1 0 0
l
l
a
p x X aXa a
p
p a b b
c)
Dacă 3 21 1b p X aX X
Deoarece polinomul p este monic(unitar) atunci rădăcinile raţionale pot fi numai numere întregi care se găsesc printre divizorii termenului liber, deci singurele radăcini posibile sunt 1 . 1 0 1 1 1 0 3
1 0 1 1 1 0 1
p a a
p a a
T
Text introdus
36.
Se consideră polinomul ,134 aXaXXp cu a şi cu rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x .
a) Să se verifice că .1111
43214321 xxxx
xxxx
b) Să se arate că polinomul p nu este divizibil cu 12 X pentru nicio valoare a lui a.
c) Să se arate că, dacă ,2
1a atunci toate rădăcinile polinomului p au modulul 1.
Soluţie propusă şi redactată de Irina Petcu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
31 1 2 3 4
4
13 1 2 3 4
4 1 2 3 43
0 1 2 3 4 44
4
1 1 1 1
1 1 1 1
1
aV x x x x a
a
aV a x x x x
a x x x xVa
a x x x x VV
a
b)
Presupunem că 2 1 1 1p X p X X
1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 0 1
p a a a
p a a a
contradicţie P 2 1X
c)
4 31 11
2 2p x x x . Evident 0x nu e soluţie
4 3 4 3 21 11 0 2 2 0 : 0
2 2x x x x x x x
2 22 2
1 2 1 12 0 2 0x x x x
x x x x
2 2 22
1 12 2 2 0x t x t t t
x x
2
21,2 1,2
2 4 0 1 33 34 2 334
4 1633
t tt t
2
2 2 24 0
4 4 22
1,2
1 41 0
2
tt i t t i t
x t x tx xx
2 2 2 2Re Im
1,2
41
4 4
z z z t tx
deoarece Re2
tx și
24Im
2
tx
T
Text introdus
37.
Se consideră ,a b şi polinomul ,64 234 baXXXXf care are rădăcinile
1 2 3 4, , ,x x x x a) Să se determine a şi b ştiind că f are rădăcina i. b) Să se calculeze .)1()1()1()1( 2
42
32
22
1 xxxx c) Să se determine valorile reale ale numerele a şi b ştiind că toate rădăcinile
polinomului f sunt reale.
Soluţie propusă şi redactată de Diana Pop, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
i rădăcină 4 3 20 4 6 0f i i i i ai b
4
1 4 6 0 5 4 05
ai ai b b i a
b
b)
2 2 2 2
1 2 3 41 1 1 1E x x x x
2 2 2 21 1 2 2 3 3 4 42 1 2 1 2 1 2 1E x x x x x x x x
2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 42 4E x x x x x x x x
21 2 1
231 1 4
4
22 1 2 3 4
4
2 2 4
... 4 4 2 6 2 4 4 0
... 6
E V V V
aV x x E
a
aV x x x x
a
c)
1
21 2 3 41 2 3 4
3
4
1 0
1 0, , ,1
1 00
1 0
x
xx x x xx x x x
xE
x
24 2 4 2 3 21 2 1 4 1 4 2 4f X X X X X X X X
4 3 24 6 4 1f X X X X
4
1
a
b
T
Text introdus
38.
Se consideră polinomul 4
ˆ ˆ2 1 [ ].f X X a) Să se determine gradul polinomului .2f b) Să se arate că polinomul f este element inversabil al inelului 4( [ ], , ).X c) Să se determine toate polinoamele 4[ ]g X de gradul 1 cu proprietatea că
2 1g .
Soluţie propusă şi redactată de Viviana Popa, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
2
2 2
0 0
2 1 4 4 1 1 0f X X X grad f
b)
2 11 1f f f f f deci polinomul f este element inversabil al inelului
c)
de gradul 1 2 2 2 24 g , , 2aX b a b g a X abX b
2
012
22
0 22 1
1 2 0 4 02 3
1 1,3
a
a ag X
g ab bg X
b b
4( [ ], , ).X
4[ ]g X
T
Text introdus
39.
Se consideră corpul 3, , şi polinoamele 3 3
3, , , 2 2f g f X X g X X .
a) Să se determine rădăcinile din 3 ale polinomului f . b) Să se arate că polinomul g este ireductibil în 3 X .
c) Să se determine toate polinoamele 3h X de gradul trei, astfel încât
3,h x g x x .
Soluţie propusă şi redactată de Secelean Cornelia, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
3
0 1 2
0 0 0
x
x x
deci rădăcinile lui f sunt 0 ,1 , 2
b)
3
0 1 2
2 3 2 2 2
x
x x
deci g nu are rădăcini
3grad g
g
este ireductibil
c)
3 3, 0 0 ,p
h g x h g p x
rădăcinile lui f sunt rădăcini
pentru polinomul p
33 3 3 3 0,1,2
grad h
p f p X X p X X q h g X X q h X X q g q
Caz. 1 30 2 2q h g X X
Caz. 2 3 3 31 2 2 2 2q h X X X X X X
Caz. 3 3 3 32 2 2 2 3 2 2q h X X X X X nu convine
T
Text introdus
40.
Fie polinomul 3 23 5 1 [ ]f X X X X şi 1 2 3, ,x x x rădăcinile sale.
a) Să se calculeze )1)(1)(1( 321 xxx . b) Să se arate că polinomul f nu are nici o rădăcină întreagă. c) Să se calculeze .2
231
233
221
223
212
21 xxxxxxxxxxxx
Soluţie propusă şi redactată de Robert Veress, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
Metoda 1.
1 2 3 1 3 2 2 31 1 1 1 1E x x x x x x x x
3 2 2 3 1 1 3 1 2 1 2 3 1 2 31 1x x x x x x x x x x x x V V V
21 1 2 3
3
12 1 2 1 3 2 3
3
03 1 2 3
3
3
5 1 3 5 1 4
1
aV x x x
a
aV x x x x x x E
a
aV x x x
a
Metoda 2.
1 2 3f x x x x x x
1 2 31 1 1 1 1 4f x x x E f
b)
Eventualele rădăcini întregi sunt printre divizorii termenului liber adică 1
1 4
1 8
f
f
polinomul f nu are rădăcini întregi
c)
2 2 2 2 2 21 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2x x x x x x x x x x x x
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 33x x x x x x x x x x x x
1 2 33 3 5 3 1 18V V V
T
Text introdus
41.
Fie , ,a b c şi polinomul 4 3 2 22 2 1 3f X a X a X bX c .
a) Să se determine , ,a b c ştiind că a b c , iar restul împărţirii lui f la 1X este 10.
b) Ştiind că 1 2 3 4, , ,x x x x sunt rădăcinile lui f , să se calculeze 2 2 2 21 2 3 4x x x x .
c) Să se determine , ,a b c şi rădăcinile lui f în cazul în care f are toate rădăcinile reale.
Soluţie propusă şi redactată de Cosmin Vezeteu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a) Dacă
4 3 2 22 2 1 3a b c f X a X a X aX a
Restul împărţirii polinomului f la 1X este 1f deci 1 10f . Obținem
2 22 2 1 3 10 2 3 0 1,3a a a a a a a
deci 1a b c sau 3a b c
b) Scriem relaţiile lui Viete
24 3 2 1 0
31 1 4
4
22
2 1 2 3 44
13 1 2 3 2 3 4
4
04 1 2 3 4
4
2 , 2 1 , 3 , ,
... 1
3...
2
...2
2
a a a a a a b a c
aV x x a
a
a aV x x x x
a
a bV x x x x x x
a
a cV x x x x
a
Știm că 2 2 2 2 21 2 3 4 1 22x x x x V V deci 22 2 2 2 2
1 2 3 4 1 3 2 2x x x x a a a
c) Fie expresia 2 2 2 2 2 2
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4E x x x x x x x x x x x x
Deoarece polinomul f are toate rădăcinile reale atunci evident 0E . Calculăm efectiv expresia și folosim relațiile lui Viete.
2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4
2 2 2
2
3 2 ...
3 2 2 3 6 9 6 9
3
E x x x x x x x x
E a a a a a a
E a
Dar 2 2 20 3 0 3 0 3 0 3E a a a a
Deci 31 444 1
1 2 3 4 1 2 3 40 1 8 2VV V
E x x x x x x x x b c
T
Text introdus
42.
Se consideră polinomul 4 3 26 18 30 25 [ ].f X X X X X
a) Să se arate că polinomul f se divide cu .522 XX b) Să se arate că polinomul f nu are nicio rădăcină reală. c) Să se arate că rădăcinile polinomului f au acelaşi modul
Soluţie propusă şi redactată de Andrei Vlad, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
6 18 30 25 2 5
2 5 4 5
/ 4 13
4 8 20
/ 5 10
5 10 25
/ / /
X X X X X X
X X X X X
X X
X X X
X X
X X
20 2 5 /r X X f
b)
2 22 5 4 5f X X X X
2 20 2 5 4 5 0f x x x x
21 1,2
1,2,3,42
2 3,4
2 416 16 1 2
24 2
4 4 22
ii x i
xi
i x i
c)
2 2
1 21 2 3 4
2 23 4
1 2 5
2 1 5
x xx x x x
x x
T
Text introdus
43.
Fie ,a b şi polinomul 30 20 10 53 3 [ ].f X X aX X aX b X a) Să se arate că restul împărţirii polinomului f la 1X nu depinde de a . b) Să se determine a şi b astfel încât restul împărţirii polinomului f la
XX 2 să fie X . c) Să se determine a şi b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu .)1( 2X
Soluţie propusă şi redactată de Marius Borindel, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Restul împărţirii polinomului f la 1X este 1f deci obținem
1 1 3 3 5r f a a b b adică restul nu depinde de a
b) Aplicăm teorema împărţirii cu rest
2
1
0 00
0
1 12 1 1 0
1 2 1
f X X q X
f X X q X
fb
f b
fa a
f a b
c) Dacă f este divizibil cu 2( 1)X atunci 1x este rădăcină dublă . Dacă polinomul f are rădăcina dublă pe 1 atunci 1 0f și 1 0lf . Obținem
29 19 9 4
15
11
30 60 10 15 1511 15 0
111 0
30 411 0 2 1 0 1
11 11
l
l
a
f x X X aX X aa a
f
f a b b
T
Text introdus
T
Text introdus
44.
Fie [ ]f X un polinom astfel încât 1)(3)()13( 22 XfXfXXf şi .0)0( f a) Să se determine – 1 . f
b) Să se determine restul împărţirii polinomului f la 5X c) Să se demonstreze că f X
Soluţie propusă şi redactată de Adrian Buftea, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Calculăm valoarea pentru 1x
2
2
22
1 1 1 3 1 1
1 2 1 1 0
2 1 0 1 0 1
deci 1 1
t
x f f f
f f
t t t t
f
b) Aplicăm teorema : Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X este egal cu valoarea polinomului în adică ( )f adică r f deci
5r f
2
2
0 1 0 3 0 1 1 1
1 5 1 3 1 1 5 5
x f f f f
x f f f f
Adică 5r c) Considerăm șirul 2
1 03 1 , 0n n nx x x x Demonstrăm prin inducție propoziția: : ,n nP n f x x n
Verificare: Pentru 0n avem 0 0(0) : 0 0P f x x f deci adevărat.
Presupunem P(n) adevărată şi demonstrăm că P(n+1) este adevărată adică 1P n P n
Demonstraţie: 1 11 : n nP n f x x relaţie care trebuie demonstrată.
22 21 1( 3 1) 3 1 3 1n n n n n n n nf x f x x f x f x x x x
În concluzie P(n) este adevărată n . Acum considerăm polinomul h f X
Observăm că
0 0 0
1 1 1
0
0
...
0
polinomul are o infinitate de rădăcini
n n n
h x f x x
h x f x xh
h x f x x
Deci polinomul h este polinomul nul adică 0 0h f X f X
T
Text introdus
45.
Fie , ,a b c şi polinomul 3 2 [ ]f X aX bX c X cu rădăcinile 1 2 3, ,x x x a) Să se determine , ,a b c pentru care 21 x şi .12 ix b) Să se arate că resturile împărţirii polinomului f la 2)1( X şi la 2)2( X
nu pot fi egale, pentru nici o valoare a parametrilor , ,a b c c) Să se arate că, dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale şi , ,a b c sunt
strict pozitive, atunci 321 ,, xxx sunt strict pozitive. Soluţie propusă şi redactată de Vlad Constantinescu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
Avem
1 3
2
2 2 2 3 2
[ ]
2 1 2 1 1
1
2 1 2 2 2 4 6 4
rădăcină
rădăcină
f X
x x i f x x i x i
x i
x x i x x x x x x
şi prin identificarea coeficienţílor obţinem 4, 6 , 4a b c
b)
c) Efectuăm împărţirile polinomului f la 2)1( X şi la 2)2( X
3 2 2
3 2
2
2
2 1
2 2
2 1
2 2 2 2
2 3 2
X aX bX c X X
X X X X a
X a X b c
X a a X a
X a b a c
3 2 2
3 2
2
2
4 4
4 4 4
4 4
4 4 4 4 4
4 12 4 16
X aX bX c X X
X X X X a
X a X b c
X a a X a
X a b a c
Dacă presupunem că resturile sunt egale vom avea: 9
2 3 4 12 2142 4 16
3
aa b a b
a c a ca
deci resturile nu pot fi egale.
c) Presupunem că toate
rădăcinile 321 ,, xxx sunt negative.
Dacă kx rădăcină atunci 0kf x adică 3 2
00 0 0
0k k kx ax bx c
fals, deoarece
, , 0a b c deci, dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale şi a, b, c sunt strict pozitive, atunci 321 ,, xxx sunt strict pozitive.
T
Text introdus
46.
Fie ,a b şi polinomul 4 3 26 13 [ ].f X X X aX b X a) Să se calculeze suma pătratelor celor 4 rădăcini complexe ale polinomului f. b) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să fie divizibil cu ).3)(1( XX c) Să se determine a, b astfel încât polinomul f să aibă două rădăcini duble.
Soluţie propusă şi redactată de Alexandra Delne, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Scriem relaţiile lui Viete
4 3 2 1 0
31 1 4
4
22 1 2 3 4
4
13 1 2 3 2 3 4
4
04 1 2 3 4
4
1, 6 , 13 , ,
... 6
... 13
...
a a a a a a b
aV x x
a
aV x x x x
a
aV x x x x x x a
a
aV x x x x b
a
Știm că 2 2 2 2 21 2 3 4 1 22x x x x V V deci 2 2 2 2
1 2 3 4 36 26 10x x x x
b) Dacă f este divizibil cu ( 1) 3X X atunci
1 1 0 8 0 8 14
3 3 0 81 162 117 3 0 3 36 6
f X f a b a b a
f X f a b a b b
c) Fie 1 2x x și 3 4x x cele două rădăcini duble . Din relațiile lui Viete obținem
1
22 22
2 2 6 3 3 1
2 24 13 2 13
V
V
Deci 1 2 1x x și 3 4 2x x Din relațiile lui Viete obținem
3 1 2 3 2 3 4
4 1 2 3 4
... 2 2 4 4 12
4
V x x x x x x a a a
V x x x x b b
T
Text introdus
47.
Se consideră corpul 7 , , .
a) Să se rezolve în 7 ecuaţia 2 3x .
b) Să se arate că polinomul 272 4p X X nu are rădăcini în 7 .
c) Să se demonstreze că funcţia 7 7: , 2f f x x este un
automorfism al grupului 7 ,
Soluţie propusă şi redactată de Cristian Ghepeș, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
x
x
5S
b)
2
0 1 2 3 4 5 6
2 4 4 6 5 1 1 5 6
x
X
2
72 4p X X nu are rădăcini în 7 .
c) Funcţia
7 7: , 2f f x x este un automorfism al grupului 7 ,
dacă f morfism și f bijecție 2 2 2f x y x y x y f x f y f morfism
2
2 2f x f y x y x y f simetrizabil
injectivă
)
7 7: , 2a
f f x x f ia toate valorile din codomeniu f surjecție
deci f bijecție adică f este un automorfism al grupului 7 ,
T
Text introdus
48.
Se consideră mulţimea de numere complexe cos sinG q i q q .
a) Să se arate că 1 3
2 2i G
b) Să se arate că G este partea stabilă a lui în raport cu înmulţirea numerelor complexe.
c) Să se arate că polinomul 6 1f X X are toate rădăcinile în G .
Soluţie propusă şi redactată de Ramona Ignat, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe a)
1 3 1 1 1 3cos sin cos sin
2 2 3 3 3 3 2 2i i i i G
unde 1
3q
b)
Fie 1 1 11 2 1 2
2 2 2
cos sin, , ,
cos sin
z q i qz z G q q
z q i q
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2cos sin cos sin cos sinz z q i q q i q q q i q q G , unde
1 2q q q G este partea stabilă a lui în raport cu înmulţirea
numerelor complexe.
c) 6 6
1 0
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
2 21 0 1 cos sin cos sin , 0,5
6 6 3 3cos0 sin 0 , 0
1cos sin ,
3 3 32 2 2
cos sin ,3 3 3
cos sin , 1
4 4 4cos sin ,
3 3 35 5
cos sin ,3 3
k
k k k kx x i i k
x i G q
x i G q
x i G q
x i G q
x i G q
x i G
5
3q
polinomul 6 1f X X are toate rădăcinile în G .
T
Text introdus
49.
T
Text introdus
Fie ,Nn ,3n 0 1, ,..., na a a şi polinomul 011
1 ... aXaXaXaf nn
nn
. a) Să se arate că )1()1( ff este număr par. b) Să se arate că, dacă )2(f şi )3(f sunt numere impare, atunci polinomul f
nu are nicio rădăcină întreagă. c) Să se arate că polinomul ,133 aXXg a , nu poate fi descompus în
produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi.
Soluţie propusă şi redactată de Andreea Mucha, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a)
1 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
1 ...
1 1 1 ... 1
1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2
n n
n n
n n
n n
n n
f a a a a
f a a a a
f f a a a a
Dar expresia
0, 2 1
1 1 , , 0, 1 12, 2
p pp kk p n
p k
par
1
1 1 01 1 1 1 1 1 ... 1 1 2n n
n n
parparpar par
f f a a a a
(1) ( 1)f f număr par.
b) Presupunem că polinomul f admite o rădăcină întreagă k k astfel încât 0f k X k ,f f X k h h X
Obținem:
2 2 2 2 2f k h k h impar 2 k impar k impar
3 3 3 3 3f k h k h impar 3 k impar k par
deci contradicție polinomul f nu are nici o rădăcină întreagă. c)
Presupunem că polinomul g poate fi descompus în produs de două polinoame neconstante, cu coeficienţi întregi 2g X m X nX p cu
, ,m n p . Obținem
3 2
0
3 1 1 3 1 1 1 3 1
1 1 3 1 0 1 33 3
produs de3 nr. consecutive
3
fals
g m
g m m m a m m a m m m a
m m m a
deci polinomul g nu poate fi descompus în produs de două polinoame
neconstante, cu coeficienţi întregi.
T
Text introdus
50.
T
Text introdus
Fie ,m n și polinomul 3 23f X X mX n , care are rădăcinile
1 2 3, ,x x x . a) Determinați valorile ,m n pentru care 1 2x i . b) Determinați valorile ,m n pentru care restul împărţirii polinomului f
la polinomul 21X este egal cu 0.
c) Arătați că dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale și 0 , 0m n atunci rădăcinile 1 2 3, ,x x x sunt strict pozitive.
Soluţie propusă şi redactată de Emanuel Nazare, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Dacă 1 2x i rădăcină atunci 2 0f i deci avem
3 2
3
2 3 2 2 0
8 6 2 3 4 4 1 2 0
8 12 6 9 12 2 0
2 7 1 0
1 0 1
2 7 0 5
i i m i n
i i i i m mi n
i i i m mi n
m n i m
m m
m n n
b)
Facem efectiv împărțirea la 2 2 1X X
3 2 2
3 2
2
2
00
3 2 1
2 1
1
2 1
3 1
X X mX n X X
X X X X
X X m n
X X
X m n
deci 3m și 1n
c) Presupunem că rădăcinile 1 2 3, ,x x x sunt negative.
Dacă kx rădăcină atunci 0kf x adică 3 2
00 0 0
3 0k k kx x m x n
fals,
deci dacă toate rădăcinile polinomului f sunt reale și 0 , 0m n atunci rădăcinile 1 2 3, ,x x x sunt strict pozitive.
T
Text introdus
51.
Fie p şi polinomul 4 4 [ ].f X X p X a) Să se determine p astfel încât polinomul f să fie divizibil cu .1X b) Să se determine p astfel încât polinomul f să aibă o rădăcină reală dublă. c) Să se arate că, pentru orice p , polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
Soluţie propusă şi redactată de Păroiu Rareș, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Polinomul f este divizibil cu 1X dacă 1 0f . Obținem
1 4 0 5p p
b)
Dacă polinomul f admite o rădăcina reală dublă atunci
0
0l
f
f
.
Calculăm derivata și obținem 34 4lf X deci avem
3 3
4 4
14 4 0 1
1 4 0 34 0 4 0 p pp p
c) Scriem relaţiile lui Viete
4 3 2 1 0
31 1 4
4
22 1 2 3 4
4
13 1 2 3 2 3 4
4
04 1 2 3 4
4
1, 0 , 0, 4,
... 0
... 0
... 4
a a a a a p
aV x x
a
aV x x x x
a
aV x x x x x x
a
aV x x x x p
a
Știm că 2 2 2 2 21 2 3 4 1 22x x x x V V deci 2 2 2 2
1 2 3 4 0x x x x Presupunem că polinomul f are toate rădăcinile reale. Deoarece 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 30 0 0x x x x x x x x V contradicție,
deci pentru orice p , polinomul f nu are toate rădăcinile reale
T
Text introdus
52.
Pentru fiecare *n considerăm polinomul 3 22 4 1n
nf X X X X
a) Să se arate că polinomul 1f nu este divizibil cu polinomul 2g X . b) Să se determine suma coeficienților câtului împărțirii polinomul 3f la 1X c) Să se arate că restul împărțirii polinomul nf la 2 1X X nu depinde de n .
Soluţie propusă şi redactată de Vlad Roman, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Evident 3 21 2 4 1f X X X . Trebuie să arătăm că 1 2 0f
3 21 2 2 2 2 4 2 1 7 0f f 2X
b) Evident 9 23 2 4 1f X X X .
Aplicăm schema lui Horner pentru aflarea câtului la împărțirea cu 1X
1 0 0 0 0 0 0 2 4 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 6
8 7 6 5 4 3 2 5c x x x x x x x x
Știm suma coeficenților este valoarea polinomului în 1 deci suma coeficienților câtului este 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1c
c) Dacă polinomului nf împărțit la polinomul 2 1X X
2 1 , 2
1 1
f X q r grad r
f X X q mx n
Dar dacă calculăm în două moduri 1f și 1f avem
10061006
1006 1006 1006
1006
13 13
1 3 3 1 3 122 23 11
1 21 1
f m nm n nf
r Xf m n
mm nf
T
Text introdus
53.
Se consideră polinomul 4 3 22 [ ],f X X aX bX c X cu rădăcinile .,,, 4321 xxxx a) Să se calculeze suma .4321 xxxx b) Să se determine rădăcinile polinomului f ştiind că 1 , 2a b şi 0c . c) Ştiind că rădăcinile polinomului f sunt în progresie aritmetică, să se
demonstreze că 1 ab .
Soluţie propusă şi redactată de Bianca Rusu, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Coeficienții sunt 4 3 2 1 0a 1 ,a 2 , a ,a ,aa b c
31 1 2 3 4
4
2a
V x x x xa
b) 1 , 2a b şi 0c 4 3 22 2f X X X X Dacă descompunem în factori obținem
3 2
2
2
2 2
2 22 1 1 0 0, 2,1, 1
2 1
2 1 1
f X X X X
f X X X Xx x x x x
f X X X
f X X X X
c) 3
1 1 2 3 44
22 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
4
13 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
4
04 1 2 3 4
4
2a
V x x x xa
aV x x x x x x x x x x x x a
a
aV x x x x x x x x x x x x b
a
aV x x x x c
a
Deoarece 1
1 2 3 4 1 4 2 3 1 4 2 3, , , 1V
x x x x x x x x x x x x
Vom scrie relaţiile 2V şi 3V în funcţie de sumele 1 4x x şi 2 3x x .
2 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3
1 1
3 1 4 2 3 2 3 1 4 1 4 2 3
1 1
1 4 2 3
1 4 2 3
1
1
V x x x x x x x x x x x x a
V x x x x x x x x x x x x b
x x x x a
x x x x b
Deci obţinem relaţia cerută adică 1 ab .
T
Text introdus
54.
T
Text introdus
T
Text introdus
Se consideră polinomul [ ],f X 10 10( ) ( ) ,f X i X i care are forma algebrică
10 910 9 1 0...f a X a X a X a unde 0 1 10, ,...,a a a
a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la .X i b) Arătaţi că toţi coeficienţi polinomului f sunt numere reale. c) Să se demonstreze că polinomul f are toate rădăcinile reale.
Soluţie propusă şi redactată de Emanuel Todor, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) Restul împărţirii unui polinom f prin binomul X este egal cu valoarea
polinomului în adică r f
10 10 10 10 102 2 1024 1 1024r f i i i i i i i b)
Aplicăm binomul lui Newton pentru fiecare 10 1 9 2 8 2 3 7 3 8 2 8 9 9 10
10 10 10 10 1010
10
2 8
10 1 9 2 8 2 3 7 3 8 2 8 9 9 1010 10 10 10 10
10 2 8 8 2 1010 102 2 2 2i
( )
( )
X i X X X X X
X i X
X C i C i C i C i C i i
X C i C i C i C i C i i
X C C
X X X X
f X i X i
adunând obţinem:
de unde 10 8 8 2 210 102 2 2 2f X XX C C deoarece 2 6 10 1i ii şi
84 1i i deci, toţi coeficienţi polinomului f sunt numere reale. c)
Presupunem că polinomul f nu are toate reale o rădăcină complexă z a bi cu ,a b și 0b astfel încât 0f z . Avem
0f z 10 10( ) ( ) 0z i z i
2 2
10 10
Re Im
2 22 1 2 1 0
10 10( ) ( )
10 10( ) ( )
1 1
2 22 21 1
2 21 1
z z z
b b b
z i z i
z i z i
z i z i
z i z i
a bi i a bi i
a i b a i b
a b a b
b b b b
contradicție deoarece 0b deci, polinomul f are toate rădăcinile reale.
T
Text introdus
55.
Se consideră şi polinomul 3 21 2 2f X X iX i X .
a) Arătaţi că polinomul f are rădăcina 1
b) Arătaţi că, dacă ,p q sunt numere complexe şi polinomul 2g X pX q X are
două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci p şi q sunt numere reale şi 2 4p q . c) Determinaţi pentru care polinomul f are două rădăcini distincte, complex
conjugate. Soluţie propusă şi redactată de Andrei Tudose, clasa a XII-a A,
C.N.”M. Viteazul”, Sf. Gheorghe
a) 3 21 1 1 1 2 1 2f i i
1 1 1 2 2f i i 1 1 1 2 2f i i i i 1 0 1f rădăcină
b) Fie 1x u vi şi 2 , , , 0x u vi u v v cele două rădăcini distincte, complex conjugate ale polinomului g . Din relaţiile lui Viète obţinem:
1 2x x p şi 1 2x x q
adică
p u vi u vi
q u vi u vi
deci 2 2
2p u
q u v
Dacă polinomul g are rădăcini complexe atunci discriminantul 0 , de unde
obţinem 2 4 0p q adică 2 4p q . c) Aplicăm schema lui Horner
1 1 2 2
1 1 2 0
i i
i
deci 21 2
h
f X X X i
. Fie polinomul 2 2
pq
h X X i
.
Metoda 1. Dacă polinomul f are două rădăcini distincte, complex conjugate, atunci obligatoriu polinomul h admite două rădăcini distincte, complex conjugate deci conform punctului
b) coeficienţi ,p q sunt reali 22 i
.
Metoda 2. Discriminantul asociat polinomul h este
22 24 2 4 4 2 2 2i i i
1,2
2 2
2
ix
1 1x i şi 2 1x i
Deoarece trebuie să avem două rădăcini distincte, complex conjugate 1 1 de unde 2 .
T
Text introdus
T
Text introdus
T
Text introdus
T
Text introdus
56.
![Cuprins… · 2015. 11. 3. · 2 Polinoame cu coeficienţi complecşi I. Mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi I.1.Definirea polinoamelor Fie C[X] mulţimea şirurilor(infinite)](https://static.fdocumente.com/doc/165x107/60c95dd53488b263fc30b199/cuprins-2015-11-3-2-polinoame-cu-coeficieni-compleci-i-mulimea-polinoamelor.jpg)
