PROBLEME DE ALGEBRA

REZOLVATE

GEOMETRIC

• Calculul unor sume de numere• Calculul produsului, câtului a două numere • Puterile unui număr• Extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr real pozitiv• Calculul mediei geometrice a două numere reale şi pozitive• Inegalitatea mediilor• Împărţirea unui număr în părţi direct proporţionale cu numere date• Rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

Desenul următor vă sugerează un mod de

a construi un segment de lungime ab.

1

EXERCIŢII

a. Justificaţi metoda anterioară.

b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a produsului dintre 4,3 şi 2,7. Verificaţi rezultatul găsit.

Iată un mod de a efectua o împărţire

printr- un desen.

2

EXERCIŢII

a. Justificaţi metoda anterioară.

b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a câtului dintre 11,2 şi 3,8. Verificaţi rezultatul găsit.

Un procedeu pentru a construi pătratul

unui număr pozitiv n.

3

EXERCIŢII

a. Justificaţi metoda anterioară.

b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a lui 2,82. Verificaţi rezultatul găsit.

Iată cum putem „măsura” puterile unui

număr h folosind un reper ortogonal.

4

Demonstraţi că:

- OC este h2

- OD este h3

- OE este h4

Şi puteţi continua ...

Verificaţi pentru h=1,2.

Aşa „construia” Descartes rădăcina

pătrată dintr- un număr real şi pozitiv a

5

EXERCIŢII

a. Justificaţi metoda lui Descartes.

b. Utilizaţi construcţia lui Descartes pentru a găsi o valoare aproximativă a lui , , ... şi apoi comparaţi cu numerele dintr-un tabel de radicali.

Un mod de a calcula media geometrică

a două numere reale, pozitive a şi b

6

EXERCIŢII

a. Justificaţi metoda anterioară.

b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a mediei geometrice dintre numerele 3 şi 5. Verificaţi rezultatul găsit astfel într-un tabel de radicali.

O demonstraţie geometrică pentru

inegalitatea mediilor

7

EXERCIŢII

a. Justificaţi metoda anterioară.

b. Utilizaţi construcţia pentru numerele 2 şi 4. Verificaţi rezultatele găsite.

Să împărţim un segment AB de lungime s

în părţi proporţionale cu numerele m, n, p.

8

EXERCIŢII

a. Justificaţi metoda anterioară.

b. Împărţiţi un segment cu lungimea de 6 cm în părţi proporţionale cu numerele 3, 4, 5. Procedaţi în două moduri:

- efectuând o construcţie geometrică;- prin calcul.

©2005 Prof. Silvia Doandeş

x+y = 50

y+z = 70

z+x = 60

Soluţie algebrică

Găsiţi trei numere, primele două cu suma 50, altele două cu suma 70 şi ultimele două cu suma 60.

9

Soluţie geometrică

Soluţie algebrică

x+y = 50

y+z = 70

z+x = 60

x = 90 – 70 = 20

y = 90 – 60 = 30

z = 90 – 50 = 40

2(x+y+z) = 50+70+60

x+y+z = 90

AB = 50

BC = 70

CA = 60

Soluţie geometrică

Soluţie inedită dată în secolul al XVI-lea

de către un matematician italian

• a construit un triunghi ABC, cu laturileAB=50, BC=70, CA=60;

• a trasat două bisectoare ale triunghiului şi a aflat punctul O=centrul cercului inscris;• a desenat cercul înscris în triunghi şi a notat punctele de tangenţă cu D, E şi F;• a măsurat AD=20, BD=30, BE=40;

Numerele căutate sunt: 20, 30, 40.

Ce inegalitate remarcabilă se poate

deduce din figura de mai jos?

10

Soluţie

Aria pătratuluimare

suma ariilor celor patrudreptunghiuri

media aritmetică media geometrică

EXERCIŢII

Calculaţimedia aritmetică şi media geometricăpentru următoarele perechi de numere:

a. 4 şi 9;

b. 3 şi 27;

c. 5 şi ;

d. 7 - 3 şi 7 + 3 .

O demonstraţie geometrică pentru

inegalitatea celor trei medii

11

Inegalitatea mediilor

EXERCIŢII

Folosiţi inegalitatea mediilor pentrua demonstra inegalităţile:

Să calculăm numărul dreptunghiurilor

verzi folosind aria dreptunghiului mare

12

Acelaşi calcul pentru figura de mai jos

13

Ce egalitate remarcabilă se poate

deduce din figura următoare?

14

Soluţie

Suma primelor n numere naturale nenule

EXERCIŢII

Calculaţi următoarele sume:

a. 1+2+3+...+100=

b. 1+2+3+...+2004=

c. 5+10+15+...+185=

d. 0,3+0,6+0,9+...+21=

e. 2+ 8+ 18+...+ 162=

f.

Verificaţi calculele pentru figurile:

15

EXERCIŢII

Calculaţi, după modelul anterior,următoarele sume:

a. 1+3+5+7+9 =

b. 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =

c. 1+3+5+7+ ... + 101 =

Ai ajuns la sfârşit.

IEŞIRE

ÎNAPOI

ALEGE !