Operații cu numere reale

Adunarea:

a+b=b+a (comutativitate)

(a+b)+c=a+ (b+c ) (asociativitate)

a+0=0+a=a (0 este element neutru)

a+(−a)=(−a)+a=0 (orice numar a are un opus, -a)

Inmultirea:

a ∙b=b ∙a (comutativitate)

(a ∙b ) ∙ c=a ∙(b ∙ c ) (asociativitate)

a ∙1=1 ∙ a=a (1 este element neutru)

a ∙1a=1

a∙a=1 (orice numar a≠0 are un invers,1

a)

a ∙ (b+c )=a ∙b+a ∙ c (distributivitate a inmultirii fata de adunare)

Regula semnelor:

(−a ) ∙ b=a ∙ (−b )=−a ∙b

(−a ) ∙ (−b )=ab

Alte reguli de calcul:

a0=1; a−n= 1

an

am∙ an=am+n; am

an =am−n; (a¿¿m)n=amn ¿; am∙ bm=(ab )m

√a ∙√b=√a ∙b; √a√b

=√ ab

; (√a)n=√an;

x √b={ √ x2∙ b , x≥0 , b≥0

−√ (−x )2 ∙ b , x<0 ,b≥0

Formule de calcul prescurtat:

(a+b )2=a2+2ab+b2

(a−b )2=a2−2ab+b2

a2−b2= (a−b ) (a+b )

(a+b )3=a3+b3+3ab ( a+b )

(a−b )3=a3−b3−3 ab (a−b )

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

Modulul unui numar real

|a|={ a ,daca a>0−a ,daca a<0

Proprietăți:

|a|≥0

|a|=0 daca si numai daca a=0

|a|=max (−a ,a)

|−a|=|a|

|a|≤c daca si numai daca −c ≤a≤c

|a|≥cdaca si numai daca a≤−c sau a≥c

Partea intreaga. Partea fractionara a unui numar real

[ x ]-partea intreaga= numarul intreg n cu proprietatea ca x∈ [n ,n+1¿

{x }=x− [x ]

Proprietăți:

[ x ]≤ x< [x ]+1

x−1< [ x ]≤ x

x=[ x ]+ {x }

{x }∈ [0 ,1¿

[ x+n ]=[ x ]+n

{x+n }= {x }

Tiputi de șiruri

Progresii aritmetice:

an=an−1+an+1

2

an=an−1+r

an=a1+(n−1 ) r

Sn=(a¿¿1+an)

2¿

Progresii geometrice:

bn=bn−1 ∙ q

bn=√bn−1 ∙bn+1

bn=b1 ∙ qn−1

Sn=b1∙1−qn

1−q

Funcții

Intersecția cu axele de coordonate:

Intersecția Gf cu axa OX

fie M(x,0) ¿> f ( x )=0

Intersecția Gf cu axa Oy

fie N(0,y) ¿>N (0 , f (0 ))

Proprietăți ale funcțiilor:

funtie mărginită: |f ( x )|≤ M

functie:o pară: f (−x )=f (x )

o impară: f (−x )=−f ( x )

simetria graficului față de drepte de forma x=mo x=m –axă de simetrie dacă f ( x )=f (2m−x )

simetria graficului față de puncte oarecare în plan:o P(a,b)- punct de simetrie daca f ( x )+ f (2a−x )=2b

funcții periodice:o f ( x+T )=f (x) T-perioada funcției

funcții monotone:o f-crescătoare : x1< x2=¿ f (x1 )≤ f ( x2 )o f-strict crescătoare: x1< x2=¿ f (x1 )<f (x2 )o f-descrescătoare: x1< x2=¿ f (x1 )≥ f ( x2 )o f-strict descrescătoare: x1< x2=¿ f (x1 )>f (x2 )o f-monotonă dacă este crescătoare sau descrescătoareo f-strict monotonă dacă este strict crescătoare sau strict

descrescătoare.

o R=f ( x1 )−f (x2)

x1−x2 ; dacă R≥0=¿ f-crescătoare

dacă R≤0=¿f-descrescătoare

Funcția de gradul I

f ( x )=ax+b , a≠0 , b∈R

Intersecția graficului Gf cu axele de coordonate:

a. intersecția cu graficul Ox A(x,0); ¿> y=f ( x )=¿ f ( x )=0

x=−ba

¿>G f ∩Ox={A (−ba

,0)}b. intersecția cu graficul Oy

B(x,y); ¿> y=f ( x )=¿ f (0 )= y

y=b

¿>G f ∩Oy={B (0 , f (0 ))}

Monotonia funcției de gradul I:

a>0=¿ funcție crescătoare pe R

a<0=¿ funcție descrescătoare pe R

Semnul funcției de gradul I:

x −∞ −ba ∞

f (x)=ax+b semn contrar lui a 0 semnul lui a

Funcția de gradul al II-lea

f ( x )=ax2+bx+c ,a≠0

Forma canonică a funcției de gradul al doilea:

f ( x )=a(x+ b2a )

2

+−∆4a

∆=b2−4 ac

Maximul sau minimul funcției de gradul al II-lea:

a. dacă a>0, funcția are o valoare minimă ymin=−∆4a , care se obține pentru

x=−b2a

(punctul de minim al funcției).

b. dacă a<0 , funcția are o valoare maximă ymax=−∆4a care se obține pentru

x=−b2a

(punctul de maxim al funcției).

Punctul V (−b2a

,−∆4 a ) se numește punct de extreme al graficului funcției.

Simetria funcției de gradul al II-lea față de drepte de forma x=m:

x=−b2a –axă de simetrie pentru graficul funcției

Intersecția graficului funcției de gradul al doilea cu axele de coordonate:

1. Intersecția graficului cu axa Ox:o A ( x , y )∈G f ∩Ox

o y=f ( x )=¿ f ( x )=0=¿a x2+bx+c=0

I. ∆>0=¿{x1=−b+√∆2a

x2=−b−√∆2a

⇒G f ∩0 x={A (x1 ,0 ) ,B(x2 ,0)}

II. ∆=0=¿ x1=x2=−b2a ¿>G f ∩Ox={A (−b

2a,0)}

III. ∆<0=¿G f ∩Ox=∅

2. Intersecția graficului cu axa Oy:

o P ( x , y )∈Gf ∩Oy=¿ x=0=¿ y=f (0 )=c o Gf ∩Oy= {P (0 , f (0 ))}

Relațiile lui Vi è te:

ax2+bx+c=0 , a ,b , c∈R ,a≠0

S= x1+x2=−ba

P=x1 ∙ x2=ca

Forma ecuației de gradul II când se cunosc soluțiile este:

x2−Sx+P=0

Monotonia funcției de gradul al doilea:

a. dacă a>0funcția este strict descrescătoare pe intervalul (−∞,−b2a ] și strict

crescătoare pe intervalul [−b2a

, +∞ );

b. dacă a<0 funcția este strict crescătoare pe intervalul (−∞,−b2a ] și strict

descrescătoare pe intervalul [−b2a

, +∞ ).

Semnul funcției de gradul II:

x −∞ +∞

f (x)∆<0 semnul lui a

x −∞ −b2a +∞

f (x)∆=0 semnul lui a 0 semnul lui a

x −∞ x1 x2 +∞

f (x)∆>0 semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

Vectori

Regula triunghiului:

A⃗B+ B⃗C= A⃗C

Regula paralelogramului:

A⃗B+ A⃗D= A⃗B+B⃗C= A⃗C

Regula poligonului:

B

A

C

A

B C

D

O

A

B

C

D

O⃗A+ A⃗B+ B⃗C+C⃗D=O⃗D

Condiții de coliniaritate a doi vectori:

v⃗=m∙ u⃗

α u⃗+ β v⃗=0⃗

a⃗=a1 i⃗+a2 j⃗ ; b⃗=b1 i⃗+b2 j⃗ a ,b−coliniari=¿a1b1

=a2b2

Vectorul de poziție al unui punct:

VectorulO⃗A , care determină poziția punctului A în plan, se numește vector de poziție

a punctului A și se notea ză r⃗ A .

Vectorul de poziție al mijlocului unui segment:

A ,B∈Ƥ

M∈ [ AB ]

AM=M B

O⃗M=O⃗A+ A⃗MO⃗M=O⃗B+ B⃗M }=¿ O⃗M=O⃗A+O⃗B

2

Vectorul de poziție al centrului de greutate al unui triunghi:

O⃗G=O⃗ A1+O⃗A2+O⃗A3

3

B

O

G

A1

A3A2

Funcții trigonometrice

Semnul funcțiilor trigonometrice:

Cadranul I

t∈(0 ,π2 )

Cadranul I I

t∈( π2 , π)Cadranul I II

t∈(π ,3 π2 )

Cadranul I V

t∈( 3π2 ,2π )cos t + - - +sin t + + - -tg t + - + -ctg t + - + -

Formule de reducere la primul cadran:

II →I III→I IV →I

sin x=sin ( π−x ) sin x=−sin ( x−π ) sin x=−sin (2 π−x )

cos x=−cos ( π−x ) cos x=−cos ( x−π ) cos x=cos (2π−x )

tg x=−tg ( π−x ) tg x=tg ( x−π ) tg x=−tg (2 π−x )

ctg x=−ctg(π−x) ctg x=ctg ( x−π ) ctg x=−ctg(2 π−x )

Paritatea şi imparitatea:

sin (−x )=−sin x arcsin (−x )=−arcsin x

cos (−x )=cos x arccos (−x )=π−arccos x

tg (−x )=−tg x arctg (−x )=−arctg x

ctg (−x )=−ctg x arcc tg (−x )=π−arcctg x

Identități fundamentale:

sin( π2−x)=cos x

cos (¿ π2−x )=sin x ¿

tg( π2−x)=ctgx

ctg( π2−x)=tg x

sin2 x+cos2 x=1

tg x ∙ ctg x=1

arcsin x+arccos x= π2

arctg x+arcctg x=π2

Formule pentru sume şi diferențe de unghiuri:

cos (x+ y )=cos x ∙cos y−sin x ∙ sin y

cos (x− y )=cos x ∙cos y+sin x ∙ sin y

sin ( x+ y )=sin x ∙cos y+sin y ∙cos x

sin ( x− y )=sin x ∙cos y−sin y ∙cos x

tg (x+ y )= tg x+tg y1−tg x ∙ tg y

t g ( x− y )= tg x−tg y1+tg x ∙ tg y

ctg ( x+ y )= ctg x ∙ ctg y−1ctg y+ctg x

ctg ( x− y )= ctg x ∙ ctg y+1ctg y−ctg x

Formule pentru unghiuri duble:

sin 2 x=2sin x ∙cos x

cos2 x=cos2 x−sin2 x=2cos2 x−1=1−2sin2 x

tg 2x= 2 tg x

1−tg2 x

ctg 2x= ctg2 x−12ctg x

Formule pentru unghiuri triple:

Aplicații ale trigonometriei în geometria plană

Formula distanței:

AB=√(x2−x1)2+( y2− y1 )2

Teorema cosinusului:

a2=b2+c2−2bc cos A

b2=c2+a2−2ac cosB

c2=a2+b2−2abcosC

Teorema sinusurilor:

asin A

= bsinB

= csinC

=2 R

Teorema medianei:

AM2=2 (b2+c2 )−a2

4

Raza cercului înscris:

r=Sp

S- aria triunghiului

p-semiperimetrul triunghiului

Formule pentru aria triunghiului:

S=ab sinC2

=ac sin B2

=bc sin A2

S=a2sin B sinC2sin A

S=abc4 R

S=√ p( p−a)( p−b)( p−c)