I. a∈(0,1) ⇒ 2

0lim lim 01 1

n

n nn n

axa→∞ →∞

= = =+

II. a =1 12nx = şi 1lim

2nnx

→∞=

III. a > 1 ⇒ ( ) ( )2 2

2 1 1

11 1n n

n

n n na a

axa a

= =+ +

şi cum 21lim 0

n

n a→∞

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(a >1) ⇒

( ) (21

1 ; 11 1 2lim lim lim 0 lim1 0; 0,1 1,n

n nnn n n na

ax x

a a→∞ →∞ →∞ →∞

⎧ =⎪= ⋅ = ⇒ = ⎨+ ⎪ )∈ ∪ ∞⎩

.

4. Serii de numere reale

Conceptul de “serie numerică” este o generalizare naturală a

noţiunii de “suma finită de numere reale” cu observaţia că se aplică unei

mulţimi infinite ale cărei elemente sunt termenii unui şir. Din acest mod de

determinare a unei serii numerice, vom preciza legăturile cu şirurile

numerice şi sumele finite din R.

Dacă A = {a1, ..., ap} cu ai∈R pentru 1,i = p atunci mulţimii A i se

asociază un număr real S numit sumă şi calculat, astfel:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 1 1 1; ;...; ... ; ...p p p pa a a a a a a a a a a S− − −+ + + + + + + + + =

folosind proprietăţile adunării din R.

Teoria seriilor numerice a fost fundamentată de G. W. Leibnitz,

I. Newton şi alţi matematicieni. Până la o fundamentare riguroasă a teoriei

convergenţei seriilor numerice au fost multe probleme neclare. De

exemplu, pentru seria 1 – 1 + 1 – 1 + ...+ (-1)n + ... s-au asociat diverse

sume, ca:

109

(1 - 1) + (1 - 1) + ...+ (1 - 1) + ... s-a atribuit suma S = 0

1 - (1 - 1) + (1 - 1) + ...+ (1 - 1) + ... s-a atribuit suma S = 1

1 – 1 + 1 – 1 + ... folosind identitatea algebrică 1– x + x2 – x3 + ... =

= 11 x−

cu x∈(-1, 1) s-a atribuit pentru x → 1 suma 12

S = .

Teoria seriilor numerice va preciza în ce condiţii unui şir

numeric (an )n∈N ⊂ R, i se poate asocia un număr real numit "sumă" şi va

fi cadrul natural pentru studiul unor probleme "de aproximare" folosind

tehnicile moderne de calcul. De asemenea, se va preciza modul de

reprezentare a unui numar real într-o bază de numeraţie q∈N – {0, 1}.

Definiţia II.7. Fie (an )n∈N ⊂ R şi "şirul sumelor parţiale"

corespunzător:

(II.19) ⊂ R cu ( ) 0n nS

≥ 0 10

n

n k nak

S a a a=

= = + + +∑ K 1 1 0n n nS S a , n+ +; = + ∀ ≥

1] Se numeşte serie numerică de termen general an şi cu şirul de

sume parţiale (Sn) perechea de şiruri:

(II.20) ((an)n≥0; (Sn)n≥0) notat 0

nn

a∞

=∑ sau n

na

∈∑

Nsau a0+a1+...+an+...

2] O serie numerică 0

nn

a∞

=∑ se numeşte serie convergentă, notat

(C), dacă şirul sumelor parţiale (S0

nn

a∞

=∑ n) este convergent în R. Numărul

real S = Slimn→∞

n se numeşte "suma seriei convergente" notat prin acelaşi

simbol:

(II.21) 0

nn

S∞

=

= a∑ sau S = nn

a∈∑

N sau S = a0+a1+...+an+....

110

O serie numerică care nu este convergentă se numeşte serie divergentă,

notată (D) (0

nn

a∞

=∑

def

⇔ (Sn) este şir divergent din R).

3] Natura unei serii numerice 0

nn

a∞

=∑ este: fie serie convergentă,

fie serie divergentă. Seriile divergente nu au sumă în R.

Observaţii:

1. În studiul seriilor numerice, rolul principal îl are şirul sumelor parţiale şi

din acest motiv se poate spune că "teoria seriilor numerice" este o

combinaţie între teoria sumelor finite din R şi teoria şirurilor numerice.

2. Nu este corect a defini o serie numerică sau suma sa ca fiind "o sumă

infinită", deoarece în R se lucrează numai cu sume finite. Seriile numerice

nu au, în general, proprietăţile sumelor finite, ca: comutativitate,

asociativitate, produs etc.

3. Dacă într-o serie numerică 0

nn

a∞

=∑ se renunţă sau se adaugă un număr

finit de termeni, seria nou obţinută 0

nn

b∞

=∑ are aceeaşi natură cu seria

iniţială; se modifică numai suma în caz de convergenţă.

4. Se va face distincţia netă între o serie convergentă 0

nn

a∞

=∑ (C), care este

un "concept matematic nou" definit ca o pereche de şiruri numerice cu

anumite proprietăţi şi suma seriei S = 0

nn

a∞

=∑ (C), care este un număr real

( S = ∈R), deşi notaţia este aceeaşi. lim nnS

→∞

111

5. Studiul seriilor numerice cuprinde două mari probleme şi anume:

precizarea naturii unei serii: convergentă sau divergentă şi evaluarea

exactă sau aproximativă a sumei seriei numerice convergentă.

Exemple:

112

)1o

(1

11n n

∞

+∑ cu ( )

1 11na , n

n n= ∀ ≥

+ ( )1

11

n

nk

Sk k=

=+∑ ⇒ =

= 1

1 11

n

k k k=

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∑

( )1

1 11 şi lim 11 1n nS S

n n

∞

= − ∃ = ⇒n+ +∑ (C) cu S=1.

2o 1

11n n

∞

+ −∑ cu 1 1 1

1na n n , nn n

= = − − ≥ ⇒+ −

( )1 1

1 11n

k k

S kk k

∞ ∞

= =

⎛ ⎞= = − −k n⎜ ⎟+ −⎝ ⎠∑ ∑ nS= şi şir divergent în R

( Slimn→∞

n= + ∞) 1

11n n

∞

⇒+ +

∑

n

(D).

3o cu q∈R0

1nq q ... q ...∞

= + + + +∑ * seria geometrică de raţie q

1

0

1 11

1 1

nn

kn

k

q ; qS q q

n ;q

+

=

⎧ −≠⎪= = ⇒−⎨

⎪ + =⎩∑

1 ; 11

lim ; 1nx

qq

S q→∞

<−

= ∞ ≥

∃ ; 1q

⎧⎪⎪⎪ ⇒⎨⎪ ≤ −⎪⎪⎩

∑

(C) pentru |q|<1 cu 11

Sq

=−

; 0

nq∞

∑ = 11 q−

(|q|<1) 0

nq∞

⇒

0

nq∞

⇒∑ (D) pentru |q|≥1 .

Cazuri particulare: I) 0

12 2nq

∞

= ⇒1∑ (C) cu S = 2; deci

0

1 22n

∞

=∑ .

II) ( )

0

113 3

n

nq∞ −

= − ⇒∑ (C) cu S = 43

; deci ( )

0

13

n

n

∞ −∑ = 4

3.

4o ( )0

1n

n−∑ (D) cu 0 21 2n

; n kS

; n k1= +⎧

= ⎨ =⎩ şir divergent în R ( )1 0n

na ,n= − ≥ .

Observaţii:

1. În exemplele (1o) - (4o) s-a precizat natura seriei cu ajutorul şirului

sumelor parţiale (Sn) care avea o exprimare simplă. Când nu se poate

exprima convenabil (Sn) pentru a putea calcula în R, în acest caz,

vom indica numai criterii de convergenţă care ţin seama de forma

termenului general a

lim nnS

→∞

n.

2. Se poate construi o serie convergentă cu suma dată S considerînd un şir

(bn)n≥1, b0 = 0 convergent la S ( lim nnb S

→∞= ) şi şirul 1n n na b b −= − , n ≥1,

atunci seria este convergentă cu suma S (S( 11 1

n n na b b∞ ∞

−= −∑ ∑ ) n =

= bn S). Seria cu termenul general a⎯⎯→Rn = bn - bn -1, n ≥1 şi b0 = 0 se

numeşte serie telescopică.

3. Un alt exemplu care se poate rezolva numai cu ajutorul definiţiei date

este legat de reprezentarea q – adică a numerelor reale (q ≥ 2, q∈N).

Teorema II.15. Fie q ≥ 2 un număr natural fixat numit bază de

numeraţie. Pentru orice număr real x ≥ 0 exista un m∈N şi un şir unic

(an)n≥- m de cifre în baza q, adică an∈ {0, 1, ..., q-1} astfel încât seria

să fie convergentă cu suma x ([36], [41], [42]). nn

n m

a q∞

−

≥−∑

Demonstraţie: Considerăm m∈N cel mai mic număr astfel încât

x<qm+1 şi definim şirurile (yn)n≥- m şi (an)n≥- m prin:

(I.22) y- m = x⋅ q – m; a – m = [y- m] 113

Dacă n ≥ - m şi luăm şirurile yn, an = [yn] din (II.22), atunci punem:

(I.23) yn + 1= ( yn - an)q ; an +1 = [yn + 1]

Pentru orice n ≥ - m, avem yn ≥ 0 şi an ≥ 0, prin inducţie după n deducem

că:

(I.24) yn < q; an ≤ q – 1, ∀ n ≥ - m.

Pentru n = - m avem: y- m = x⋅ q – m < q deoarece x< qm + 1 şi atunci a – m =

=[y- m] ≤ q – 1; dacă n > - m, avem yn < q şi an ≤ q – 1, de unde deducem

că: yn - an = yn – [ yn ] < 1, deci yn + 1= ( yn - an)q <1. q = q şi atunci an +1 =

=[yn + 1] ≤ q – 1. Prin inducţie după n, are loc relaţia:

(II.25) ( )11

nn k

n kk m

y q x a q− + −+

=−

= − ∑ , ∀ n ≥ - m

deoarece pentru n = - m avem de dovedit că , dar din

(II.23) se obţine

11

m mm my q x a q−

− + −= −

( ) mm m my a q x a q− − −− = − m

11

n

care este adevărată după

(II.22). Presupunem ( II.25) adevărată după n şi o testăm pentru ( n +1):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( .23)

2 1 12 1 1 1

nIIn n nm k

n n n n n k nk m

y q y a q y q a q x a q a q− + − + − + − +−+ + + + + +

=−

= − = − = − −∑

care este consecinţă directă a inducţiei şi deci .

Din relaţiile (II.24) şi (II.25), avem:

( )22

nn k

n kk m

y q x a q− + −+

=−

= − ∑

( ) ( )1 11 10

nn nk n

k n nk m

x a q y q y q q− + − +− −+ +

=−

≤ − = = ≤∑ de unde pentru n → ∞

rezultă limn

kkn k m

x a q−

→∞=−

= ∑ , deci kk

k m

x a q∞

−

=−

= ∑ ([36]; [41]; [42]).

Observaţii:

1. În cazul q = 10 se regăseşte "scrierea zecimală" uzuală a numerelor

reale. Exemplu: x = 34, 527 ... este suma seriei 3 ⋅ 10 1 + 4 ⋅ 10 0 + 5⋅ 10 –1

+ 2 ⋅ 10 –2 + 7 ⋅ 10 –3 + ... 114

2. Pentru cazul q = 2 se regăseşte "scrierea binară sau diadică" a

numerelor reale folosită la calculatoare. Exemplu: x = π = 3,14159... ⇒

⇒π =1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 + 0 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2-2 + 1 ⋅ 2-3 + 0 ⋅ 2-4 + 0 ⋅ 2-5 + 1 ⋅ 2-6 + ...,

adică (π)2 = 11, 001001 ...

3. Se poate cu ajutorul teoremei precedente obţine pentru orice x real fixat

şi ∀ ε > 0 un alt număr real x% a. î. |x - x%| < ε şi atunci " x% este o ε -

aproximare a lui x" notat cu x ≅ x% cu aproximaţie mai mică decât ε.

În formula aproximativă x ≅ x% eroarea absolută este Ea = | x - x%| < ε şi

eroarea relativă rx xE

x−

=%

cu x ≠ 0. În unele cazuri este comod să

înlocuim x prin x% fără a ţine seama de eroare, dar rezultatele sunt incorecte

mai ales în calculele lungi unde apare fenomenul de propagare a erorilor

([42]).

4. În cazul calculelor folosind calculatorul, se va considera trunchierea

datelor numerice şi apoi evaluarea erorilor rezultate. Teorema II.15 permite

reprezentarea unui număr real x > 0 cu "virgulă fixă" şi cu "virgulă

mobilă" dat prin 0 1 2... , ... cu 0 1; 2nn m n

n m

x a q a a a a a q q−−

≥−

= = ≤ ≤∑ − ≥

printr-o ε - aproximare a sa x% (care este de fapt o trunchiere lui x).

Teorema II.16. (Criteriul necesar de convergenţă)

Fie o serie de numere reale, au loc afirmaţiile: 0

na∞

∑

(i) Dacă seria 0

na∞

∑ este convergentă, atunci lim 0nna

→∞= . Reciproca

este falsă.

115

(ii) Dacă lim an nu există sau lim an ≠ 0, atunci seria este

divergentă.

0na

∞

∑

Demonstraţie:

116

ka n(i) Fie după (II.19) avem: 0

n

nk

S=

= ∑ 1 1 1 1n n n n nS S a a S S+ + + += + ⇔ = − şi

(C) ⇔ 0

na∞

∑ lim nnS S

→∞∃ = ∈R şi ( )1 1lim lim 0n n nn n

a S S+ +→∞ →∞= − = . Reciproca

este falsă.

Considerăm exemplul:

( )0

11 cu 11n

n

n n a n nn n

∞

=

+ − = + − =+ +

∑ deci :

lim 0nna

→∞= ,

0

1n

n kk

S a n=

= = +∑ şi = + ∞ ⇒ (Slim nnS

→∞n) divergent şi

( )0

1n

n n∞

=

+ −∑ (D) cu lim 0nna

→∞= .(ii) Demonstraţia se face prin reducere

la absurd: ( (C)) ⇒ ( li0

na∞

∑ m 0nna

→∞= ) şi cum (p ⇒ q)⇔ ((⎤p)⇒(⎤q))

obţinem ( lim 0nna

→∞≠ ) ⇒ (

0na

∞

∑ (D)).

Observaţie: Condiţia (ii) este un criteriu pentru divergenţa unei

serii numerice.

Teorema II.17 (Operaţii algebrice cu serii convergente)

Fie şirurile de numere reale (an)n ≥0⊂ R, (bn)n ≥ 0⊂ R, seriile numerice

cu şirul sumelor parţiale (S0

na∞

∑ n) şi 0

nb∞

∑ cu şirul sumelor parţiale (σn),

atunci au loc afirmaţiile:

(I) Pentru ∀λ∈R* seria 0

na∞

λ∑ are aceeaşi natură cu seria . 0

na∞

∑

(II) Dacă 0

na∞

∑ (C) cu suma S şi 0

nb∞

∑ (C) cu suma σ, atunci

seriile şi sunt convergente cu suma S + σ şi

respectiv S - σ.

( )0

n na b∞

+∑ (0

n na b∞

−∑ )

Demonstraţie: (I) Seria 0

na∞

λ∑ are şirul sumelor parţiale

Tn = =λ S0

na∞

λ∑ n care are aceeaşi natură cu şirul (Sn).

(II) Şirurile Tn = Sn + σn şi Vn = Sn - σn, după ipoteză, au limitele S + σ şi

respectiv S - σ, deci seriile (C) şi (C). (0

n na b∞

+∑ ) ( )0

n na b∞

−∑

Teorema II.18 (Criteriul general al lui Cauchy pentru serii)

Seria de numere reale 0

na∞

∑ este convergentă, dacă şi numai dacă, satisface

condiţia lui Cauchy:

( )1 2

0, a.î. şi 1.26

n n n p

n n n pII

a a aε ε

+ + +

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒⎧⎪⎨⇒ + + + < ε⎪⎩

N

K

Demonstraţie: Avem Sn =0

n

kk

a=∑ , Sn+ p =

0

n p

kk

a+

=∑ şi atunci Sn+p -Sn =

.În aceste condiţii au loc şirul de echivalenţe logice: 11

...n p

k n nk n

a a a+

+= +

= + +∑ p+

117

118

n( ) ( )0

na C S∞

⇔∑ convergent în R şir fundamental ( )T. Cauchy pt. şiruri

nS⇔

def0, a.î. ş.i. 1 n p nn n n p S Sε ε +⇔ ∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒ − < εN ⇔ (II.26)

Exemple: 1o 1

1 cu nan n

∞ 1=∑ , n≥ 1 şi lim an = 0 are

1

1n

nk

Sk=

= ∑ şi

( )2

1 1 1 1 1 11 2 2 2n n

p nS S n n

n n n n n=− = + + + > = ∀ ≥

+ + +K ⇒ (Sn) nu este şir

fundamental. Avem: 212n nS S> + şi dacă presupunem că ∃

⇒

lim nnS S

→∞= ∈R

12

S S≥ + absurd ⇒1

1n

∞

∑ (D) cu li = m nnS

→∞ + ∞ . Seria

1

1n

∞

∑ divergentă

se numeşte seria armonică, deoarece avem:

1 1

2 , 21 1n

n n

a n

a a− +

= ∀ ≥+

.

2o 2 2

1 1

1 1cu , 1şin

n na n Sn n

∞

= ≥ =∑ ∑ 2

1k este convergentă:

21 1

1

1 1 1 1 1 11

n p n p

n p n n nk n k np

S Sk k k n n p n ε

+ +

+ ∀ >= + = +

∀ ≥

⎛ ⎞− = < − = − < < ε⎜ ⎟− +⎝ ⎠∑ ∑

cu 1 1nε⎡ ⎤= +⎢ ⎥ε⎣ ⎦

şi (Sn) este şir fundamental. Avem, în plus

2 2 2

1 1 1 1 111 1

n n n

nk k

Sk k k k n= =

⎛ ⎞< − < + − = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠∑ ∑ ∑ 2 2< , ∀ n≥ 1 şi deci

= S ≤ 2 ((Slim nnS

→∞n) este un şir crescător şi majorat, deci convergent în R).

3o ( ) ( )1 1

1

1 1cu , 1

n n

nan n

+ +∞ − −n= ≥∑ este seria armonică alternată.

Avem: ( ) ( )

11

1

1 1 2 1 11 12 3 4

nn

n n

+∞+−

= − + − + + − +∑ K K

Şirul ( ) 1

1

1 kn

nk

Sk

+

=

−=∑ este un şir fundamental:

( ) ( ) ( )1 1

1 1 1

1 1 1k kn p n pn

n p nk k k n

S Sk k k

+ ++ +

+= = = +

− − −− = − = =∑ ∑ ∑

( )

1k+

( ) 12 11 1 11

1 2 3

pn

n n n n p

−+ ⎛ ⎞−

= − − + + + <⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

K

1 1 2 , 11 1

pn n p n

< + < < ∀ ≥+ + +

ε dacă: 2 1n nε

− ε⎡ ⎤

119

∀ ≥ = +⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ⇒

⇒( ) 1

1

1 n

n

+∞ −∑ (C).

Teorema II.19. (Criteriul Dirichlet).Fie seria 0

na∞

∑ cu şirul

sumelor parţiale 0

n

nk

S=

= ka∑ mărginit în R şi (αn)n ≥ 0 ⊂ R un şir

descrescător cu lim nnα

→∞= 0, atunci seria

0n na

∞

α∑ este convergentă.

Demonstraţie Conform ipotezelor din teoremă avem: (Sn) mărginit

⇔∃ M ≥ 0 a. î. |Sn| ≤ M, ∀n∈N αn descrescător şi

1 0, şi 0 pentru

lim 0, a.î. ,

2M 2M

n n

nnn

n

n n

+

→∞

− ≤ ∀ ∈ ∀ >⎧⎪= ⇔ ⎨

∃ ≤ ∀ ≥⎪⎩

N

ε ε

α α εα ε εα n

.

Aplicăm seriei 0

n na∞

α∑ criteriul general al lui Cauchy:

( ) ( )1

1 1 11 1 1

n p n p n p

k k k k k n n k k k n p n pk n k n k n

a S S S S S+ + + −

− + − += + = + = +

α = − α = −α + α −α +α ≤∑ ∑ ∑ +

1 1

1 1 1 11 1

Mn p n p

n n k k k n p n p n k k n pk n k n

S S S+ − + −

+ + + + + += + = +

⎛ ⎞≤ + − + ≤ + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑α α α α α α α α + =

( )1 1 11

2M 0, 2M 2M2M

n p

n k k k k nk n

k a εα α α α α ε+

+ + += +

= − ≥ ∀ ∈ ⇒ ≤ <∑N = ,

∀ n ≥ nε ⇒ 0

n na∞

α∑ (C) după Criteriul Cauchy.

Consecinţa II.12.(Criteriul lui Abel) Fie seria 0

na∞

∑ (C) şi (αn)n≥0

⊂ R un şir monoton şi mărginit, atunci seria 0

n na∞

α∑ este convergentă.

Demonstraţia rezultă direct din criteriul Dirichlet.

Teorema II.20. (Criteriul lui Leibniz) Dacă şirul (αn)n≥0 ⊂ R+

este descrescător cu lim 0nn→∞α = , atunci seria alternată ( )

0

1 nn

∞

− α∑ este

convergentă.

Demonstraţie. Fie an = (-1)n şi seria ( )0

1n

n−∑ are :

un şir mărginit şi împreună cu ipoteza asupra lui (α1; 20 ; 2 1n

n kS

n k=⎧

= ⎨ = +⎩n)

după criteriul Dirichlet: ( )0

1 nn

∞

− α∑ (C).

120

Exemple: 1o (1

cos , 0, 2nx xn

∞

)∈ π∑ ; cu cosna nx= şi 1n n

α = satisface

condiţiile criteriului Dirichlet: 1 0n nα = ] şi avem:

( )

1

1sin cos

2 2cos cos cossin

2

n

nn

n xnx

S kx x nx x=

+

= = + + =∑ K cu

( )00

1 Msin

2

nS xx

≤ = pentru ∀ ( )0 0,2x ∈ π fixat1

cos nxn

∞

⇒∑ (C).

2o 21

sin nxn

∞

∑ , ( )0,2x∈ π cu sinna nx= şi 2

1n n

α = satisface condiţiile

criteriului Dirichlet: 2

1 0n nα = ] şi:

( )1sin sin

2 2sin sinsin

2

n

n xnx

S x nx x

+

= + + =K cu ( )00

1 Msin

2

nS xx

≤ =

fixat (0 0,2x ∈ π) 21

sin nxn

∞

⇒∑ (C)

3o ( ) 1

1

11

nn n

n

∞+ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ (D) pentru că 111

n n

n

α =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

este descrescător cu

. lim 0nn→∞α ≠

4o ( )

0

1 1 1 112 1 3 5 7

n

n

∞ −= − + − +

+∑ K cu ( )

0

11 02 1 2 1

n

n n n

∞ −α = ⇒

+ +∑] (C).

121

5o 1

nqn

∞

α∑ cu q∈R, α∈R şi luăm 1,nn na q

nα= α = . Şirul αn = 1nα este

descrescător pentru α > 0 cu lim 0nα = ⇒(αn) este convergent în R ⇒ (αn)

monoton şi mărginit pentru α > 0. Seria 1

nq∞

∑ este convergentă pentru

|q|<1. Conform cu criteriul lui Abel de mai sus, avem 1

nqn

∞

α∑ (C) pentru

α>0 şi |q|<1.

Definiţia II.8.

1] O serie cu (a0

na∞

∑ n)n≥0 ⊂ R se numeşte absolut convergentă, notat

, dacă şi numai dacă, seria modulelor (0

na AC∞

∑ )0

na∞

∑ (C).

2] O serie cu (a0

na∞

∑ n)n≥0 ⊂ R se numeşte semiconvergentă sau simplu

convergentă, notată , dacă şi numai dacă, este

convergentă şi nu este absolu convergentă

(0

na SC∞

∑ )0

na∞

∑

0

def

na∞

⇔∑ (C) şi 0

na∞

∑ (D).

3] O serie cu (a0

na∞

∑ n)n≥0 ⊂ R se numeşte necondiţionat convergentă

sau comutativ convergentă, dacă şi numai dacă, ∀σ∈σ(N) o premutare a

lui N (orice bijecţie σ : N→ N se numeşte permutare a lui N) seria

numerică este convergentă.(Avem: (C) pentru

a

( )0

nn

aσ≥∑ ( )

1 1n n

n n

a aσ∞ ∞

= =

=∑ ∑

n ≥0 ∀n∈N).

122

Teorema II.21.

(i) Orice serie de numere reale 0

na∞

∑ absolut convergentă este serie

convergentă.

(ii) Orice serie de numere reale 0

na∞

∑ absolut convergentă este

necondiţionat (comutativ) convergentă şi pentru orice permutare σ∈σ(N)

avem: ( )0 0

n nn n

a aσ∞ ∞

= =

=∑ ∑ .

(iii) (Teorema lui Riemann) Pentru orice serie de numere reale

semiconvergentă există permutări ale lui N, σ0

na∞

∑ 1, σ2∈σ(N) astfel încât

să obţinem: (D), fie (C) cu suma un număr real dat. ( )10

nn

aσ∞

=∑ ( )2

0n

n

aσ∞

=∑

Demonstraţie:

(i)0

na∞

∑ (C) T.Cauchy

1

0, a.î şi 1

n n p

n n n

a aε ε

+ +

p∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥⎧⎪⇔ ⎨⇒ + + < ε⎪⎩

N

K⇒

10, a.î şi 1 n nn n n p a aε ε +∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒ + + ≤N K p+

T.Cauchy

1 20

n n n pa a a∞

+ + +≤ + + + < ε ⇒ na∑K (C).

Demonstraţiile pentru afirmaţiile (ii) şi (iii) (Teorema lui Riemann) se pot

consulta din bibliografie ([30]; [36] pag. 98-100; [41]).

Exemple: 1o ( ) 1

1

1 n

n

+∞ −∑ (SC) dar nu este absolut convergentă

deoarece ( ) 1

1 1

1 1n

n n

+∞ ∞−=∑ ∑ (D).

123

2o ( ) (2

1

1 n

)ACn

∞ −∑ deoarece ( )

2 21 1

1 1n

n n

∞ ∞−=∑ ∑ (C) şi

( )1

1 n

n

∞ −∑ este

comutativ convergentă.

3o ( )

1

1 n

n n

∞ −∑ (D) ( )lim 1 0nn→∞

α = ≠ şi ( )1 1

1 1n

n n n

∞ ∞−=

n∑ ∑ (D)

1lim lim 0n nn na

n→∞ →∞

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

.

4o 2 2

1

sin 1cu sin 1nn a n∞

π + = π +∑ şi nu există 2lim limsin 1nn na n

→∞ →∞= π + .

Dacă scriem an sub formă echivalentă, vom putea preciza natura seriei

date. Avem:

( )2 2sin 1 sin 1na n n n n⎡ ⎤= π + = π + − + π ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2cos sin 1na n n n⎡ ⎤= π π + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( )2

1 sin 11

n nnb

n nπ

− =+ +

−

2sin 1

1nb n

n nπ

= ∀ ≥+ +

şir descrescător cu lim 0 lim 0n nn nb a

→∞ →∞= ⇒ = şi

( )2

21 1

sin 1 1 sin1

nnn n

∞ ∞ ππ + = −

+ +∑ ∑ este convergentă după criteriul

Leibniz ⇒ (SC) 1

na∞

∑

5o ( ) ( ) ( )

1

1 1 1 1 11cun n n

n n

n na b

n n n n

∞ + − + − −nc= = + = +∑ unde:

1 1

1nb

n

∞ ∞

=∑ ∑ (D) şi ( )

1 1

1 n

ncn

∞ ∞ −=∑ ∑ (SC)

1na

∞

⇒∑ (D)

( )1

1 1 n nn

∞ + −⇒∑ (D).

124

Observaţii:

1. Criteriul general al lui Cauchy, criteriul Dirichlet, criteriul Abel şi

criteriul Leibniz sunt teste de convergenţă pentru serii numerice cu termeni

oarecare şi anume pentru semiconvergenţă.

2. Dacă avem (an)n≥0⊂ R+, atunci seria 0

na∞

∑ este o serie cu termeni

pozitivi şi cum na an= ≥ 0, în acest caz convergenţa coincide cu

convergenţa absolută.

3. Vom preciza mai departe teste de convergenţă pentru serii cu termeni

pozitivi, adică criterii suficiente pentru a decide natura seriei respective.

Pentru cu avem: 0

na∞

∑ 0,na ≥0

0n

n kk

S a=

= ≥∑ şi, în plus, 1 1n n nS S a+ += + ⇒

1 ,n nS S n+⇒ ≥ ∀ ∈N .

5. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi

Fie cu şi 0

na∞

∑ 0,na n≥ ∀ ∈N0

0n

n kk

S a=

= ≥∑ de unde 1 1n n nS S a+ += + ⇒

deci (S1 ,n nS S n+⇒ ≥ ∀ ∈N n) este un şir de numere pozitive crescător şi

convergenţa este dată prin teorema lui Weierstrass.

Teorema II.22. O serie numerică cu termeni pozitivi, este

convergentă, dacă şi numai dacă, şirul sumelor parţiale este mărginit.

Demonstraţie: 0

na∞

∑ (C)( )( )

( ). .convergent

mărginit.şi crescăctor

def T Wnn

n

SS

S

⎧⎪⇔ ⇒⎨⎪⎩

(Sn) mărginit şi crescător (S. .T W⇒ n) convergent în R

0

def

na∞

⇔∑ (C).

125

126

)Exemplu:

( )(1

11 2n n n

∞

+ +∑ cu ( )( )

1 0, 11 2na n

n n n= > ∀ ≥

+ +;

1 1 1 1 12 1 2 2na

n n n= ⋅ − + ⋅

+ + ( )( );

1

11 2

n

nk

Sk k k=

= =+ +∑

( )( )1 1 14 2 1 2n n

= − ⋅+ +

şi (Sn) mărginit prin 10 ,4nS n 1< < ∀ ≥ ⇒

)

( )(1

11 2n n n

∞

+ +∑ (C) cu 1 1lim4 4nn

S S S→∞

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

= .

Teorema II.23. (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi de specia

a I-a). Fie cu şi 0

na∞

∑ 0na ≥0

nb∞

∑ cu . Dacă avem: 0nb ≥

(II.27) ,n na b n≤ ∀ ∈N (sau ∃n0 a. î.∀ n ≥ n0: n na b≤ )

atunci au loc afirmaţiile:

1] (C) ⇒ 0

nb∞

∑0

na∞

∑ (C) 2] (D) ⇒ 0

na∞

∑0

nb∞

∑ (D)

Demonstraţie: Presupunem (II.27) adevărată ∀n∈N⇒

(II.27') 0 0

,n n

n k n kk k

S a T b n= =

= ≤ = ∀ ∈∑ ∑ N .

1] Fie (C) 0

n

nb∑( ) mărginit

,n

n n

TS T n⎧⎪⇒ ⎨

≤ ∀ ∈⎪⎩ N( )( )

mărginit

crescătorn

n

S

S

⎧⎪⇒ ⎨⎪⎩

convergent în R ⇒

( )nS⇒

0na

∞

∑ (C).

2] Fie: (D) 0

na∞

∑( ) divergent

crescăctor

defn

n

SS⎧⎪⇒⎨⎪⎩

⇒ nemărginit superior

,n

n n

SS T n⎧

⇒⎨ ≤ ∈⎩ N

( )( )

nemărginit superior

crescătorn

n

T

T

⎧⎪⇒ ⎨⎪⎩

( )0

divergent n nT b∞

⇒ ⇒∑ (D).

Exemple:

1o 0

13n a

∞

+∑ cu ( ) 0

0

1 13 30

1C 13

n

n nn

n

n

a baa a

b q

∞

∞

⎧ ⎛ ⎞= < =⎪ ⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠> ⇒ ⇒⎨⎛ ⎞⎪ = <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑∑

(C)

2o 1

1n

∞

∑ cu ( )

( )1

1 1

1 1

D1 D

n n

n

n

b ann b

an

∞

∞ ∞

⎧ = > =⎪⎪ ⇒⎨⎪ =⎪⎩

∑∑ ∑

Teorema II.24 (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi de specia

a II-a) Fie cu şi 0

na∞

∑ 0na >0

nb∞

∑ cu . Dacă avem: 0nb >

(II.28) 1 1 ,n n

n n

a b na b+ +≤ ∀ ∈N (sau ∃n0 a. î. 1 1 ,n n

n n

a ba b+ +≤ ∀ n ≥ n0),

atunci:

1o] (C) ⇒ 0

nb∞

∑0

na∞

∑ (C) 2o] 0

na∞

∑ (D) ⇒ 0

nb∞

∑ (D)

Demonstraţie: Presupunem (II.28) adevărată pentru n∈N şi

înmulţim şirul de inegalităţi cu termeni pozitivi obţinut pentru n = 0, 1, ...,

n-1:

1 1

0 001 2 1 2

0 1 1 0 1 1 0 0 0

1 1

n n n nn n

n nn n

n n

a ba b

a b a ba a b b a ba a a b b b a b b

a ba b

− −

− −

⎧ ≤⎪⎪⎪ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤⎨⎪⎪ ≤⎪⎩

K K K K K a

0

0

0, ,n na a b nb

⇔ λ = > ≤ λ ∀ ∈N (II.28')

127

Fie (C) ⇒ 0

nb∞

∑ 0

( )

, (II.28')

ICn

n n

b C

a b n

∞⎧ λ⎪ ⇒⎨⎪ ≤ λ ∀ ∈⎩

∑N 0

na∞

∑ (C) .

Fie 0 0 0

( ) ( ) ( ).

,

IC

n n

n n

a D b D b D

a b n

∞ ∞ ∞⎧ ⇒ λ ⇒⎪⎨⎪ ≤ λ ∀ ∈⎩

∑ ∑ ∑N

n

Exemplu: 1 !

n

n

ne n

∞

∑ cu ( )( )

11

1

1:

! 1 !

nn nn

n n nn

nan nae n a e n e n

+

++

+!n= ⇒ =

+⇒

1

11n

n

n

a na e+

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = .

Avem: ( )1

1

1 1 11 11 1 1 11 11

n nn nee

n n n nn n

++

⎧ < < ∗⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+ < < +⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⇒⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪∀ ≥⎩ ⎪∀ ≥⎩ N

şi

înlocuind în raportul 1 ,n

n

aa+ avem:

( )

( ) ( )1 1

1

1 1

1 1

1 111 1 11 1111

!1

n

nn n

n nn n

n n

n

a bnn na n e n b na D Dn e nn

b Dn

+ ++ ∞ ∞

∞ ∞

⎧ ⎛ ⎞+⎪ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ +⎪ = + > = = =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇒ ⇒+⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪

⎪=⎪

⎩

∑ ∑

∑ ∑

Teorema II.25. (Criteriul de comparaţie cu limită). Fie 0

na∞

∑ cu

şi cu . Dacă există limita:

0na >

0nb

∞

∑ 0nb >

128

(II.29) lim ,n

nn

a l lb→∞

= ∈R ,

atunci avem:

1] pentru , seriile 0 l< < ∞0

na∞

∑ şi 0

nb∞

∑ au aceiaşi natură.

2] pentru l = 0 şi 0

nb∞

∑ (C) ⇒ 0

na∞

∑ (C)

3] pentru l = ∞ şi 0

nb∞

∑ (D) ⇒ 0

na∞

∑ (D)

Demonstraţie: 1] Din (II.29) lim 0, N n

nn

a l nb ε→∞

= ⇔ ∀ε > ∃ ∈

( ) ( )a.î. n n nn n b l a b lε∀ ≥ ⇒ −ε < < + ε (II.29'). Presupunem 0

nb∞

∑ (C) şi

avem: . Presupunem ( )

( )0

0

( )( )

;

ICn

n

n n

b l Ca C

a b l n n

∞∞

ε

⎧ + ε⎪ ⇒⎨⎪ < + ε ∀ ≥⎩

∑ ∑0

nb∞

∑ (D) şi

avem: . Presupunem ( )

( )0

0

( )( )

;

ICn

n

n n

b l Da D

b l a n n

∞∞

ε

⎧− ε⎪ ⇒⎨

⎪ − ε < ∀ ≥⎩

∑ ∑0

na∞

∑ (C) şi avem:

( ) ( )0

( )IC

n nn

b l ab l C

n n

∞

ε

− ε <⎧⎪ ⇒ −ε⎨∀ ≥⎪⎩

∑ , l - ε >0 prin alegerea convenabilă

a lui ε > 0 ⇒ 0

nb∞

∑ (C) . Presupunem 0

na∞

∑ (D) şi avem:

( ) ( )0

( )IC

n nn

a b lb l D

n n

∞

ε

< + ε⎧⎪ ⇒ + ε⎨∀ ≥⎪⎩

∑ ⇒ 0

nb∞

∑ (D) .

129

130

n2] Pentru l = 0 din (II.29) avem:, 0

n nb a bn nε

−ε < < ε⎧⎨∀ ≥ ∀ε >⎩

. Dacă 0

nb∞

∑ (C)⇒

. Se observă că, dacă considerăm l = 0 şi

(D) ⇒

00

( )( )

;

ICn

n

n n

b Ca C

a b n n

∞∞

ε

⎧ ε⎪ ⇒⎨⎪ < ε ∀ ≥⎩

∑ ∑

0na

∞

∑0

( )IC

nb D∞

⇒ ε∑0

nb∞

∑ (D) .

3] Pentru l = ∞ = lim n

nn

ab→∞

⇔ lim 0

,

n

nn

n n n

ba

a b a n n

→∞

ε

⎧ =⎪⎨⎪−ε < < ε ∀ ≥⎩

şi 0

nb∞

∑ (D) ⇒

(D) ⇒ 0

na∞

ε∑0

na∞

∑ (D). Se observă că, dacă presupunem 0

na∞

∑ (C) ⇒

0

( )

,

n

n n

a C

b a n n

∞

ε

⎧ ε⎪⎨⎪ < ε ∀ ≥⎩

∑ ⇒ 0

nb∞

∑ (C) .

Exemple: 1o 1

1 sinn n

∞

∑ 1 cu 1 sinnan n

=1 , n ≥1 şi luăm 2

1nb

n= şi

21

1 ( )Cn

∞

∑ . Avem: 2

1 1 1sinIC

n nban n n

= ≤ = ⇒1

1 sinn n

∞

∑ 1 (C).

Altă metodă:

1sinlim lim 11

n

n nn

a nlb

n→∞ →∞

= = = şi 21

1n

∞

∑ (C) IC

⇒1

1 sinn n

∞

∑ 1 (C).

2o 21

5 12 1

nn

∞ ++∑ cu 2

5 12 1n

nan+

=+

, n ≥ 0 şi 1

1 1, 1 cu (nb nn n

∞

= ≥ ∑ )D avem:

( )2

1

5 15 12 1lim lim şi 1 2

lCn

n nn

na n Db n

n

∞

→∞ →∞

++= = ⇒∑ 2

1

5 12 1

nn

∞ ++∑ (D).

3o 2

1ln n

∞

∑ cu 1 , 2lnna n

n= ≥ şi 1

nbn

= cu 1

1n

∞

∑ (D) ⇒

( )2

11lnlim lim lim şi 1 ln

lCn

n n nn

a nn Db n n

⇒

n

∞

→∞ →∞ →∞= = = ∞ ∑

2

1ln n

∞

∑ (D).

4o 2

1lnn n

∞

∑ cu 1 ,lnn n

an

= şi 1n n

bn

= cu 2

1n n

∞

∑ (D) ( )lim 0nnb

→∞≠ ⇒

( )2

1 1 1 şi ln ln

IC

n nn n nb a

n n n

∞

⇒ = < = ∑ D .

Consecinţa II.13. Fie 0

na∞

∑ cu (an)n ≥ 0⊂R şi 0

nb∞

∑ cu (bn)n ≥ 0⊂R.

Dacă avem: ,n na b n≤ ∈N şi atunci . (1

nb AC∞

∑ ) ( )1

na AC∞

∑

Demonstraţia este directă din criteriul de comparaţie cu inegalităţi

de specia a I-a.

Consecinţa II.14. Fie 0

na∞

∑ cu an>0 şi 0

nb∞

∑ cu bn >0, atunci au loc

afirmaţiile:

(i) Dacă 0 lim limn n

nn n n

a ab b→∞→∞

< ≤ < +∞ atunci 0

na∞

∑ şi au

aceeaşi natură.

0nb

∞

∑

(ii) Dacă lim n

nn

ab→∞

< +∞ şi 0

nb∞

∑ (C) ⇒ 0

na∞

∑ (C).

(iii) Dacă lim 0n

n n

ab→∞

> şi 0

nb∞

∑ (D) ⇒ 0

na∞

∑ (D).

131

Demonstraţia este directă din criteriul de comparaţie cu limită,

folosind definiţia limitelor extreme ale unui şir şi legăturile acestora cu

limita şirului dacă există.

Consecinţa II.15. Fie 0

na∞

∑ cu . Dacă există q cu 0 < q < 1

şi respectiv q ≥ 1 astfel încât

0na >

1 , Nn

n

a q na+ ≤ ∀ ∈ , respectiv 1 , Nn

n

a q na+ ≥ ∀ ∈ ,

sau pentru n ≥ n0, n0∈N, atunci seria 0

na∞

∑ este convergentă, respectiv

divergentă.

Demonstraţie: Se aplică criteriul de comparaţie de specia a II-a cu

bn = qn, q∈R* şi 0

nb∞

∑ = 0

nq∞

∑ (C) pentru 0 < q< 1 şi 0

nb∞

∑ = (D)

pentru q ≥1.

0

nq∞

∑

Teorema II.26 (Criteriul de condensare al lui Cauchy).

Fie (an)n ≥ 0 ⊂ un şir monoton descrescător, atunci seriile şi

au aceeaşi natură.

*+R

0na

∞

∑

20

2 nn a

∞

∑

Demonstraţie: Seria 0

na∞

∑ are aceeaşi natură cu seria obţinută

printr-o grupare convenabilă (care este o permutare σ : N→ N) a

termenilor: ( ) ( ) ( )1 1 2 11 1 1.... ... ... ... ...n n nk k k k k ka a a a a a a

++ ++ + + + + + + + + + +

unde k1 < k2< ....< kn < ... este un şir de numere naturale divergent

( lim nnk

→∞= +∞ ). Notăm 12 1 2 2 2

...n nnb a a a n++ += + + + şi cum (an) este

descrecător obţinem: (II.30) ( ) ( )11 1

2 22 2 2 2n n

n n n nna b a+

+ +− ≤ ≤ − ⇔

132

(II.30') 11

2

1 22 n

nna b a+

+ ≤ ≤2

2 nn şi după criteriul de comparaţie cu inegalităţi

de specia a I-a rezultă că seriile 0

na∞

∑ şi au aceeaşi natură ([30];

[36]; [41]).

20

2 nn a

∞

∑

Exemple: 1o 1

1 cun

∞

α α∈∑ R , seria armonică generalizată.

1

1n

∞

α∑ (D) pentru 0α ≤ , deoarece lim 0nna

→∞≠ . Pentru 0α > aplicăm

criteriul de condensare al lui Cauchy şi fie:

( ) 121 1 1 1

1 12 222

n

nn n n

na q

∞ ∞ ∞ ∞

α α−

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ cu 1

12

q >0. α−=

Dacă 1 21 1

10 1 12 n

n nq q 2∞ ∞

α−< = < ⇔ α > ⇒ =∑ ∑ a (C)⇒1

1n

∞

α∑ (C) pentru

α>1.

Dacă ( ) ( )1 21 1 1

1 11 1 22 n

n nq q a Dn

∞ ∞ ∞

α− α= ≥ ⇔ α ≤ ⇒ = ⇒∑ ∑ ∑ D pentru

α≤1.

2o

( ) ( ) ( )11 1

12 1 11 1 1

1 1şi 2 21 ln 1 2 1 ln 2

nn n

nn na b

n n +

∞ ∞ ∞+ +

++ +1

∞

= = =+ + +

∑ ∑ ∑ ∑

( )( ) ( )1

11

1 2ln 2 1 2 1

n

nD

n

+∞

+= ⇒

+ +∑ ( ) ( ) ( ) 1

1

1 lim 111 ln 11

n

n

bDn n

n

∞+

→∞

⎛ ⎞⎜ ⎟

=⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ .

Consecinţa II.16. Fie 0

na∞

∑ cu , atunci au loc afirmaţiile: 0na >

133

(i) Dacă există α > 1 a.î. lim nnn a lα

→∞= finit, atunci

0na

∞

∑ (C).

(ii) Dacă există α ≤ 1 a.î. lim nn

n a lα

→∞= nenul, atunci

0na

∞

∑ (D).

Demonstraţia este directă din criteriul de comparaţie cu limită cu

1nb

nα= şi consecinţa II.14 condiţiile (ii) şi (iii).

TeoremaII.27 (Criteriul raportului al lui D’Alembert). Fie

cu , dacă există limita: 0

na∞

∑ 0na >

(II.31) (1lim n

nn

a l la+

→∞= ∈R )

( )C D

atunci avem:

I pentru II pentru 0

1 nl a∞

< ⇒∑ ( )0

1 nl a∞

> ⇒∑

III pentru l = 1 nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu.

Demonstraţie:

Relaţia (II.31) ⇔ (II.31') 1

0, a.î.

n

n

n nal la

nε ε

+

∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥⎧⎪⎨⇒ −ε < < + ε⎪⎩

N

I Pentru l < 1 alegem ε > 0 a. î. 0 q l 1< = + ε < şi din (II.31') avem:

11 1

nn n

nn n

a bqqa q

++ +< = =

b cu ( ) ( )

. .

1 1

C IIn

nq C a C∞ ∞

⇒∑ ∑

II Pentru l > 1 alegem ε > 0 a. î. 1q l= − ε > şi din (II.31') avem:

11 1+

nn n

nn n

a bqqa q b

++ > = = ( )

1

nq D∞

cu ∑ pentru q > 1 . ( ). .

1

C II

na D∞

⇒∑

Consecinţa II.17. Fie 0

na∞

∑ cu an > 0, dacă nu există 1lim n

nn

aa+

→∞, dar

există α = 1lim n

n n

aa+

→∞ şi β = 1lim n

nn

aa+

→∞ atunci, avem:

134

I') pentru β < 1 ⇒ 0

na∞

∑ (C).

II') pentru α > 1 ⇒ 0

na∞

∑ (D).

Demonstraţia: este directă folosind definiţia limitelor extreme ale

unui şir numeric şi relaţia lor cu limita şirului.

Consecinţa II.18. Fie (an)n≥ 0⊂ R* şi seria cu termeni oarecare

. 0

na∞

∑

I) Dacă există (1lim n

nn

aa+

→∞= λ λ∈R ) atunci avem:

a) pentru ( )1

1 na AC∞

λ < ⇒∑

b) pentru ( )1

1 na D∞

λ > ⇒∑ .

II) Dacă nu există 1lim n

nn

aa+

→∞, dar există α1 = 1lim n

n n

aa+

→∞ şi β1 =

1lim n

nn

aa+

→∞ atunci avem:

a') pentru ( )11

1 na AC∞

β < ⇒∑

b') pentru ( )11

1 na D∞

α > ⇒∑ .

Demonstraţia este directă din consecinţa precedentă, definiţia

seriilor absolut convergente şi criteriul raportului.

Exemple: 1o 0

1!n

∞

∑ cu ( )

11 !, 0! 1

nn

n

a na nn a n

+= ≥ ⇒ = =1

! 1n+ + cu

135

( )1

0

1lim 0 1!

n

nn

a l Ca n

∞+

→∞= = < ⇒∑

2o 1 !

nnn

∞

∑ cu ( )( )

11 1 ! 1, 1

! ! 1 !

n nnn

nn

nan na nn a n n n n

+

+ + +⎛ ⎞n= ≥ ⇒ = = ⇒⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

( )1

1

1lim lim 1 1!

n nn

n nn

a ne Da n n

∞+

→∞ →∞

⎛ ⎞⇒ = + = > ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

3o ( )1

12

nn

n∞

−∑ cu ( ) 11

1 21 , 12 2

nn n

n n nn

an na na n+

+

+= − ≥ ⇒ = ⇒

( ) ( )1

1

1 1lim lim 1 12 2 2

nnnn n

n

a n n ACa n

∞+

→∞ →∞

+⇒ = = = λ < ⇒ −∑

Teorema II.28.(Criteriul rădăcinii al lui Cauchy). Fie cu

, daca există limita:

0na

∞

∑

0na ≥

(II.32) ( )lim Rnnn

a l l→∞

= ∈ atunci avem:

I) pentru II) pentru ( )1

1 nl a∞

< ⇒∑ C D( )1

1 nl a∞

> ⇒∑

III) pentru l = 1 nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu.

Demonstraţie: Egalitatea (II.32)⇔(II.32') 0, a.î.

nn

n n

l a l

nε ε∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥⎧⎪⎨⇒ −ε < < + ε⎪⎩

N

I) Pentru l < 1 alegem ε > 0 a.î. q = l + ε <1 şi din (II.32') avem:

( )( )

. .

11

pentru 0 < < 1

nnn C I

nnn

a qa q l

a Cq C qn n

∞∞

ε

⎧ <⎧ < = + ε⎪ ⎪⇔ ⇒⎨ ⎨≥⎪ ⎪⎩ ⎩

∑∑.

II) Pentru l > 1 alegem ε > 0 a.î. q = l - ε >1 şi din (II.32') avem:

136

( )( )

. .

11

1

pentru > 1

nnn C I

nnn

a qa q

a Dq D qn n

∞∞

ε

⎧ >⎧ > >⎪ ⎪⇔ ⇒⎨ ⎨≥⎪ ⎪⎩ ⎩

∑∑.

Consecinţa II.19. Fie 0

na∞

∑ cu an > 0, dacă nu există lim nnn

a→∞

, dar

există α2 = lim nn

na

→∞ şi β2 = lim n

nna

→∞ atunci, avem:

I') pentru β2 < 1 ⇒ 0

na∞

∑ (C).

II') pentru α2 > 1 ⇒ 0

na∞

∑ (D).

Demonstraţia: se obţine folosind definiţia limitelor extreme ale

unui şir şi legătura lor cu limita şirului.

Consecinţa II.20. Fie (an)n≥ 0⊂ R* şi seria cu termeni oarecare

. 0

na∞

∑

(I') Dacă există: ( )lim nnn

a→∞

= λ λ∈R atunci avem:

a) pentru b) pentru . ( )0

1 na AC∞

λ < ⇒∑ ( )0

1 na D∞

λ > ⇒∑

(II') Dacă nu există lim nnn

a→∞

dar există α' = lim nn

na

→∞ şi β'= lim n

nna

→∞

atunci avem:

a') pentru b') pentru . (0

1 na AC∞

′β < ⇒∑ ) ( )0

1 na D∞

′α > ⇒∑

Demonstraţia este directă din consecinţa precedentă, definiţia

seriilor absolut convergente şi criteriul rădăcinii.

137

Exemple 1o 1 2n

nα∞

∑ cu α ≥ 0 şi 0, 1 lim2

nn nn n

na nα

→∞a= > ∀ ≥ ⇒ =

( ) ( )21

1lim 1 02 2 2

nn

nn

nl Cα∞

→∞

α= = = < ⇒ α∑ ≥ .

2o ( )2

1

1

11

n

n

n

n

∞ −

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ cu ( ) ( )2 2

1 1, 1

1 11 1

n n

n nn n

n na n

n n

− −= ≥ ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11

n

n

n

n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

( ) ( )2

1

1lim 1 111

nnn nn

na Ae

n

∞

→∞= λ = < ⇒ −

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ C .

3o ( )1

1 cu , 1şin n

na aa a n an n

∞

≥ = ≥∑ 1≥ ⇒ lim lim 1n

n nnn n

al a an→∞ →∞

= = = >

⇒ (1

1na a

n

∞

>∑ ) (D) şi pentru a = 1⇒ 1na

n= şi ( )

1

1 Dn

∞

∑ .

Criteriul lui Krummer.

Fie (an), (αn) două şiruri strict pozitive astfel încât există

11

lim nn nn

n

aa

α α +→∞+

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠ρ atunci:

a) dacă ρ > 0 ⇒ 1

na∞

∑ (C)

b) dacă ρ < 0 şi 1

1

nα

∞

∑ (D) ⇒ 1

na∞

∑ (D).

Cazuri particulare:

I. pentru nα = 1 ⇒ criteriul raportului;

II. pentru nα = n ⇒ criteriul Raabe – Duhamel;

138

III. pentru nα = n ln n ⇒ criteriul Bertrand.

Teorema II.29. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie 0

na∞

∑ cu

şi dacă există limita:

0na >

(II.33) (1

lim 1n

nn

ana→∞

+

⎛ ⎞− = µ µ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠R) atunci avem:

1o pentru 2( )1

1 na C∞

µ > ⇒∑ o pentru ( )1

1 na D∞

µ < ⇒∑

3o pentru nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu. 1µ =

Demonstraţie: 1) dacă µ >1 (µ poate fi şi + ∞) atunci există L >1

şi nL∈ N a. î. 1

1n

n

ana +

⎛ ⎞−⎜

⎝ ⎠⎟

L

> L, ∀ n≥ nL (dacă µ ∈ R atunci L = µ - ε0 cu

ε0 > 0 şi a. î. L>1) care este echivalentă cu:

(II.33') 1 1. ,n n nL a na na n n+ +< − ∀ ≥ .

Presupunem că (II.33') are loc pentru n∈N şi obţinem şirul de

inegalităţi:

( ) ( )

2 1 2

3 2 3

1

LL 2.....................L 1 1n n

a a aa a a

a n a n a−

< −⎧⎪ < −⎪⎨⎪⎪ < − − −⎩ n

care prin adunare membru cu membru conduce la:

( ) ( )2 3 2 3 1L ... ... 1n na a a a a a n an

−+ + + < + + + − −⎧⎪ n ⇔⎨∈⎪⎩ N

139

( )1LNn n n nS a S na S

n− < − <⎧⎪ ⇔⎨

∈⎪⎩

1LL 1

N

naS

n

⎧ <⎪−⎨

⎪ ∈⎩

⇔ (Sn) este mărginit şi an>0 ⇒

(C). 0

na∞

∑

2) Dacă 1

lim 1n

nn

ana→∞

+

⎛ ⎞−⎜

⎝ ⎠⎟ = µ < 1 (µ poate fi - ∞), atunci există q< 1

şi nq ∈ N a. î. 1

1n

n

ana +

⎛ ⎞−⎜

⎝ ⎠⎟

1+

< q, ∀ n≥ nq (dacă µ ∈ R se ia q = µ + ε0 <1,

ε0>0).

⇔ 1 1

, 1n n n n

q

na na qa an n q

+ +− < <⎧⎪⎨∀ ≥ <⎪⎩

( ) 11n n

q

na n an n

+⎧ < +⎪⎨

≥⎪⎩ ⇔

⇔

( )

1 1. .

1

11

1

1 şi

n nC II

n n

0na

∞

q

a bna b

n

n n Dn

+ +

∞

⎧⎪ +> =⎪⎪ ⇒⎨⎪⎪ ≥⎪⎩

∑

∑ (D).

Consecinţa II.21. Fie 0

na∞

∑ cu an > 0, dacă nu există

1

lim 1n

nn

ana→∞

+

⎛ ⎞−⎜

⎝ ⎠⎟ , dar există α* =

1

lim 1n

n n

ana→∞ +

⎛ ⎞−⎜

⎝ ⎠⎟ şi β* =

1

lim 1n

nn

ana→∞

+

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

atunci, avem:

1) pentru β* >1 ⇒ 0

na∞

∑ (C).

2) pentru α* < 1 ⇒ 0

na∞

∑ (D).

140

Demonstraţia: este directă folosind definiţia limitelor extreme ale

unui şir numeric.

Consecinţa II.22. Fie (an)n≥ 0⊂ R* şi seria cu termeni oarecare

. Dacă există limita 0

na∞

∑ (1 11

lim 1 Rn

nn

an

a→∞+

⎛ ⎞− = µ µ ∈⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠)

)

atunci avem:

1o pentru 2(11

1 na AC∞

µ > ⇒∑ o pentru ( )11

1 na D∞

µ < ⇒∑

Demonstraţia este consecinţă direcă din criteriul Raabe –

Duhamel şi definiţia seriilor absolut convergente.

Teorema II.30. (Criteriul lui Bertrand). Fie 0

na∞

∑ cu .

Dacă există limita:

0na >

(II.34) 1

lim ln ( 1) ln( 1)n

nn

an n n na→∞

+

⎡ ⎤− + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦ρ

atunci avem:

1) pentru ρ > 0 ⇒ 0

na∞

∑ (C).

2) pentru ρ< 0 ⇒ 0

na∞

∑ (D).

Demonstraţia acestui criteriu din bibliografie ([36] pag. 85)

Consecinţa II.23. Fie 0

na∞

∑ cu an > 0, dacă nu există limita (II.34),

dar există α=1

lim ln ( 1) ln( 1)n

n n

an n n na→∞ +

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥

⎣ ⎦ şi

β = 1

lim ln ( 1) ln( 1)n

nn

an n n na→∞

+

⎡ ⎤− + +⎢ ⎥

⎣ ⎦ atunci, avem:

141

1) pentru α <0 ⇒ 0

na∞

∑ (D).

2) pentru β >0 ⇒ 0

na∞

∑ (C).

Demonstraţia: este directă folosind definiţia limitelor extreme şi

criteriul lui Bertrand.

Teorema II.31. (Criteriul lui Gauss). Fie 0

na∞

∑ cu . Dacă

raportul

0na >

1

n

n

aa +

se reprezintă sub forma:

(II.35) 11

, ; 0;cu

şir mărginit în n n

nn

a xxa n n +α

+

λ µ∈ α >⎧µ= λ + + ⎨

⎩

RR

atunci avem:

I) Pentru II) Pentru ( )0

1 na C∞

λ > ⇒∑ ( )0

1 na D∞

λ < ⇒∑

III) Pentru ( )0

1şi 1 na C∞

λ = µ > ⇒∑

IV) Pentru ( )0

1şi 1 na D∞

λ = µ ≤ ⇒∑

Demonstraţie: I) şi II). Aplicînd criteriul raportului obţinem:

1 1lim n

nn

a la+

→∞= =λ

şi:

I) pentru ( )1

1 1 1 nl a∞

= > ⇔ λ < ⇒λ ∑ D

II) pentru 1 1 1l = < ⇔ λ > ⇒λ

. ( )0

na C∞

∑

142

Dacă 1 1l = = ⇔ λ =1λ

, aplicăm criteriul Raabe-Duhamel

1

lim 1 limn n

n nn

a xna nα→∞ →∞

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = µ + = µ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

şi avem:

III) pentru , ( )0

1şi 1 na C∞

λ = µ > ⇒∑

IV) a) pentru . ( )0

1şi 1 na D∞

λ = µ < ⇒∑

b) pentru şi µ = 1, avem: 1λ = 11

11n

n

aa n n

nx+α

+

= + + şi aplicăm criteriul lui

Bertrand:

11

1ln ( 1) ln( 1) ln 1 ( 1) ln( 1)n nn

n

a xB n n n n n n n na n n +α

+

⎛ ⎞= − + + = + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

ln( 1) ln1 n

nn xn n

nα= + +

+ şi vom calcula lim nn

B→∞

ρ = . Cum (xn) este şir

mărginit şi 2 2

2

ln 2ln 2 2 1 ln0 l nn

n n n nxn n n nn

α α

αα α α α→∞im 0< = < = ⋅ ⇒ ⋅

α α α= ; termenul

( 1) ln1

nnn

++

are limită: 11lim( 1) ln lim ln 1

1

n

n n

nnn n

+

→∞ →∞

⎛ ⎞+ = − + =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

= . În aceste condiţii obţinem: ln 1e− = − lim nnB

→∞ρ = = -1 + 0 = -1 < 0 ⇒

([36]; [41]; [42]). ( )0

na D∞

∑

143

Observaţii:

1. Criteriul rădăcinii este mai tare decât criteriul raportului deoarece dacă

există 1lim n

nn

aa+

→∞λ = , atunci există şi lim n

nna

→∞= λ . Reciproca nu este în

general adevărată.

2. Există cazuri când putem preciza natura seriei cu criteriul rădăcinii, dar

nu şi cu criteriul raportului.

Exemplu:1.0

1 ; 23cu1 ; 25

n

n n

n

n ka a

n k

∞⎧ =⎪⎪= ⎨⎪ 1= +⎪⎩

∑ există :

( )1

1lim 13

nnn

a∞

→∞= < ⇒∑ na C . Aplicând criteriul raportului, avem:

2 11 2

22 1

2 11 2 1

22

5lim lim lim ; 131

5lim lim lim 0; 112

kn k

kn k kn k

kn k

kkn n kk

a aa a

a aa a

−+

→∞ →∞ →∞+

++ +

→∞→∞→∞

⎧β = = = = +∞ β >⎪⎪⎪⎨⎪α = = = α <⎪⎪⎩

şi nu putem preciza natura

seriei . 0

na∞

∑

3. Dacă criteriul rădăcinii al lui Cauchy nu dă informaţii asupra naturii unei

serii, atunci nici criteriul raportului nu poate preciza natura seriei

respective.

4. Dacă în criteriul raportului şi în criteriul rădăcinii avem l = 1, se aplică

criteriul Raabe-Duhamel.

5. Dacă în criteriul Raabe-Duhamel se obţine µ = 1, se aplică: criteriul

Bertrand şi în final criteriul lui Gauss care rezolvă toate cazurile.

144

Exemple:1o

( ) ( ) ( )1

! 01

n aa a n

∞

>+ +∑ L

⇒

1 1lim lim 11

n

n nn

a nla n a+

→∞ →∞

+= = =

+ +,

1

lim 1n

nn

ana→∞

+

⎛ ⎞µ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1lim 1 ( )1n

n an an→∞

+ +⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+⎝ ⎠R D−

( )

( )

( ) ( )

1

1

1

1 Pentru 1

2 Pentru 1

! 1 13 Pentru 11 ! 1 1

on

on

on

a a C

a a D

na an n n

∞

∞

∞

⎧µ = > ⇒⎪

⎪⎪⎪ µ = < ⇒⎨⎪⎪

µ = = ⇒ = = ⇒⎪+ + +⎪⎩

∑

∑

∑ D

2o ( )( )1

2 1 !!2 2 !!

nn

∞ −+∑ , ( )

( )( )( )

.2 1 !! 1 3 5 2 12 2 !! 2 4 6 2 2 2

rap

n

n nn n n− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= = ⇒+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

KK

a

1

1

2 1 2 4 3lim lim 1; lim 1 lim 1 12 4 2 1 2

n n

n n n nn n

a an nl n na n a n+

→∞ →∞ →∞ →∞+

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= = = µ = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

( )1

na C∞

∑

>

(R - D).

3o 1 11

2

na

n

∞

+ + +∑

K 1 , a>0; ( )1

1

1 11 divergent şi crescător cu2

1lim

11

n

nn

n n

Sn

S Dn

S Sn

∞

→∞

+

⎧ = + + +⎪⎪

⎛ ⎞⎪ = +∞⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪

⎪= +⎪

+⎩

∑

K

cu 1 112

n n

nn

a aaS

n

= =+ + +K

; 1

( )lim lim 1

1

n n n

rap n nn

n

a a Sl aa S

n

+

→∞ →∞= = =

++

I Dacă II Dacă ( )1

1 nl a a C∞

= < ⇒∑ ( )1

1 nl a a D∞

= > ⇒∑ 145

III Dacă 1

11 lim nn n

n n

al a a nS a→∞

+

⎛ ⎞= = ⇒ = ⇒µ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠1

( )1

111lim 1 lim 0 1

1

n

nn nn n

S nnn aS n S

∞

→∞ →∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ − = ⋅ = < ⇒⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ D

4o ( ) ( )1

1 11 c

!a a a n

an

∞ − − ++ ∈∑ R Z

Lu − , avem

( ) ( )0

1

11 1

!n n

aa a a n

an≥

=⎧⎪⎨ − − +

=⎪⎩L 1

( )lim lim 1

1n

rap n nn

a n aa n+

→∞ →∞

−; λ = = =

+ cu:

;;

0; ;

n a n an a a n n a

n a

− >⎧⎪− = − <⎨⎪ =⎩

1

1lim 1 lim 1n

n nn

a nn na n a→∞ →∞

+

⎛ ⎞ ⎛ + ⎞µ = − =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝

− =⎟⎟⎠

( )11lim 1 lim 1( )n n

n ann an a n a→∞ →∞

+⎛ ⎞+⎛ ⎞= − = = +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠R D−

(Axioma Arhimede: , a. R, Nn a n a a n n aî.− = − ∀ ∈ ∃ ∈ > )

I Dacă ( )1

1 1 0 1 na a a∞

µ = + > ⇔ > ⇒ +∑ AC

ACII Dacă µ = a + 1 = 1 ⇒a = 0 ∉R – Z şi ( )1

0 1n na a∞

= ⇒ +∑

III Dacă ( )1

1 1 0 1 na a a∞

µ = + < ⇔ < ⇒ +∑ D şi -a > 0 avem:

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 11 1

!n n

n

a a n an

∞ ∞− − − ++ − =∑ ∑

L1 1+ − α cu

( )( ) ( )1 10

!n

a a n an

− − − +α = >

L. Aplicăm criteriul lui Leibniz:

146

1 1 1 11

n

n

n a n a n a an

+α −= ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ ⇔ ≥ −

α +1

Pentru ( )1,0a∈ − şirul αn este descrescător şi cum αn > 0,

( ) ( )1

lim 0 1 1 nn nn S

∞

∀ ∈ ⇒ ∃ α = ⇒ + − α∑N C .

Pentru 1 21 1!n

nan

⋅ ⋅= − ⇒ α = =

K )m 0 1 1 nn n D

∞

α ≠ ⇒ + − α∑ şi li ( ) (1

Pentru ( ]1 , 1≤ − ⇔ ∈ −∞ − )lim 0 1 1 nn n D

∞

α ≠ ⇒ + − α∑a a avem . ( ) (1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

1 1 11

! 1 1Seria hipergeomtrica

nn n

∞⎧ α α + α + − 1nβ β+ β+ −+⎪ γ γ + γ + −⎨

⎪⎩

∑L L

L

( )( )( )( ) ( )1 1şi lim 1

1n n

nn n

n na a l rapa n n a+ +

→∞

+ α +β= =

+ + γ=

cu α,β,γ∈R *+

5o

Criteriul lui Gauss:

( )( )( )( )

( )( )

2

21

1 1n

n

n n n naa n n n n+

+ + γ + γ + + γ= =

+α +β + α +β +αβ⇒

( )2

1

11n n

n

a xa n+

γ + − α +β= + +

n

cu

( )( )( )

( )( )( )( )( )

( )

3 2

1; 1; 1

1 1

convergent în şir mărginitR

n

n n

n nx

n n n n n n

x x

λ = α = µ = γ + − α +β⎧⎪

γ −αβ− α +β γ + −α −β⎡ ⎤ αβ γ + −α −β⎪⎨

⎣ ⎦= −+ α +β +α +β⎪

⎪ ⇒⎩

)

(III) ( ) (1

1şi 1 1 1şi 1 na C∞

λ = µ = γ + − α +β > ⇔ λ = γ > α +β⇒ +∑

147

148

)(IV) . ( ) (1

1şi 1 1 1şi 1 na D∞

λ = µ = γ + − α +β ≤ ⇔ λ = γ ≤ α +β⇒ +∑

6o ( ) ( )ln ln

3

1 culn ln ln ln

nnn

an n

∞

=

=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ 1n şir descrescător pentru n ≥ 3.

Criteriul de condensare al lui Cauchy: are aceeaşi natură cu seria: 3

na∞

∑

( ) ( )2 ln 23 3 3

1 12 2ln 2 ln ln 2ln ln 2

n nn n

nn n n

an n

∞ ∞ ∞

= = =

= =+

=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

( ) ( )1

3 3

1 2 1 1 2 1cu = şi limln 2 ln ln 2 ln 2 ln ln 2

n nn

n n nn n n

bb b ln n n n b

∞ ∞+

→∞= =

= = =+ +∑ ∑

( )3

2 1 nn

b D∞

=

= > ⇒ ⇒∑ ( ) ( )23 3

2 nn

nn n

a D a D∞ ∞

= =

⇒∑ ∑

=

.

7o ( )1

1 10 lim lim2 2

n

nn

an ana l an n

∞ + +⎛ ⎞ > ⇒ = = =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ a

C D

I II ( )1

1 na a∞

λ = < ⇒∑ ( )1

1 na a∞

λ = > ⇒∑

III ( )1

1 11 şi lim 02

n

n nna a a an e

∞+⎛ ⎞λ = = ⇒ = = ≠ ⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ n D

Produsul seriilor numerice convergente

Definiţia II.9.

1] Fie ( ) ( )0şiRn nn n

a b≥ ≥⊂

0R⊂ . Se numeşte convoluţie sau produs

convolutiv al celor două şiruri (an) şi (bn), şirul numeric (cn) definit prin:

( ) 0 0 0 1 0 1 1 00

II.36 , , , ,n

n k n kk

c a b c a b a b c a b −=

= = + =∑K K

2] Se numeşte serie produs după Cauchy al seriilor 0 0

şin na b∞ ∞

∑ ∑

149

nb ⎞⎟⎠

seria notată: 0

nc∞

∑0 0 0

n nc a∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎛= ⎜ ⎟⎜

⎝ ⎠⎝∑ ∑ ∑ .

Observaţii:

1. Dacă şi , în general, seria produs Cauchy nu

este totdeauna convergentă.

( )0

na C∞

∑ ( )0

nb C∞

∑0

nc∞

∑

2. Exemplu: ( ) ( )

1

11

n

Cn

∞ −

+∑ după criteriul Leibniz şi luând:

( )11

n

n na bn−

= =+

, ∀n∈N, obţinem: ( ) ( )

0 0

1 11 1

k n kn n

n k n kk k

c a bk n k

−

−= =

− −= = =

+ − +∑ ∑

( )( )( )0

1

1 1

nn

k k n k=

−=

+ − +∑ .

Avem: ( )( ) ( )( )

2

21 11 1 1

2 1 11

2

nn k kn k k n

⎛ ⎞− + + ≤ + ⇔ ≥⎜ ⎟ − + +⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

şi

atunci ( )0

2 122 2

n

nk

nc

n n=

+> =

+ +∑ cu ( ) ( ) ( )0

2 1lim 2 0

2 n

nD a

n

∞ += ≠ ⇒

+∑

( ) ( )lim 00 0

lim 0 şin

n ncc D c c D

∞ ∞

≠

⇒ ⇒ ≠∑ ∑ n

3o În consecinţă, pentru convergenţa seriei produs Cauchy se impune

condiţia ca cel puţin una dintre cele două serii sa fie o serie absolut

convergentă.

Teorema II.32. (Teorema Mertens-Cauchy).Dacă seriile

şi sunt absolut convergente cu suma S şi respectiv T,

atunci seria produs Cauchy

( )0

na C∞

∑ ( )0

nb C∞

∑

0nc

∞

∑ este absolut convergentă cu suma ST.

Demonstraţia în bibliografie ([36] pag. 101 - 103).

Exemple 1o Seria 2

11nx x x

∞

= + + +∑ L este absolut convergentă

pentru 1x < cu suma 0

11

nSx

∞

= =−

x∑ atunci seria produs Cauchy:

( )20 0

11n na b

x

∞ ∞⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ unde:

( )2

21 1 2 3

1x x

x= + + +

−K .

( )1... cu 1,1nnx x−+ + ∈ −K este absolut convergentă.

2o Seria ( )0

n

n Cx

∞

∑ cu suma ( )2 pentru 11

xS xx

= >−

; notăm 1 ax= şi

(1)1

1 1 1

1 1, avem n

n nn

nx a na a nax

∞ ∞−> ⇔ < = = =∑ ∑ ∑ ( )2

11

aa−

cu |a| <1.

6. Calculul aproximativ al sumei unei serii convergente.

Fie o serie numerică convergentă cu suma S, 0

na∞

∑ lim ,nnS S

→∞= ∈R

. Pentru determinarea sumei S ∈ R a seriei 0

n

nk

S=

= ∑ ka0

na∞

∑ (C) avem două

posibilităţi:

150

I Calculăm lim , RnnS S S

→∞= ∈ dacă Sn are o exprimare care permite să se

calculeze direct . lim nnS

→∞

II Aproximăm RS∈ printr-o sumă parţială cu NnS n∈ convenabil ales;

şi evaluăm eroarea absolută nS S≅ nE S S= − n

)

respectând cerinţele

problemei date.

Vom indica două teoreme pentru calculul aproximativ al sumei unei

serii convergente.

Teorema II.33. Fie cu (0

na AC∞

∑ RS∈ . Dacă există n0∈N şi

astfel încât: (0,1q∈ )

( ) 10.37 ,n

n

aII q

a+ ≤ ∀ ≥n n atunci avem: ( ).38

1n n nqII E S S a

q= − ≤

−

Demonstraţie:

Relaţia (II.37) ⇔ ( )' 1 0.37 , , 0n n nII a q a n n a+ ≤ ∀ ≥ ≠ şi obţinem:

de unde: 1 2n n nS S a a+ +− = + +K

( ) ( )2 21 2 ... 1n n n n n nE S S a a a q q a q q q+ += − ≤ + + ≤ + + = + + + =K K

11na q

q=

− deci (II.38).

Observaţie: Dacă se cere să calculăm S cu aproximaţie ε cu ε > 0

dat, atunci se determină m∈N cu m ≥ n0 a. î. 11na q

q≤ ε

− pentru ∀n≥m şi

avem:

(II.39) . 0 00 1 1 ...m n nS S a a a a a+≅ = + + + + +K m

151

Teorema II.34. Fie seria alternată ( ) 1

11 n

n

∞+− α∑ cu (αn)n≥1 ⊂ R+ un

şir monoton descrescător şi lim 0nn→∞α = , atunci seria ( ) 1

11 n

n

∞+− α∑ (C) şi

suma sa S poate fi aproximată de suma parţială Sn cu o eroare mai mică

decât modulul primului termen neglijat, prin lipsă dacă n este par şi prin

adaos dacă n este impar, deci:

( ) 1II.40 n nE S S n+= − ≤ α .

Demonstraţie: Pentru orice n ≥ 1, avem: 2 2n nS S S −1≤ ≤ ⇒

şi 2 0nS S− ≥ 2 1 0, 1nS S n− − ≥ ∀ ≥ . Cum (αn) este monoton descrecător

avem:

( ) ( )( ) ( )

2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2

2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2

...

...n n n n n n

n n n n n n

S S

S S1n

n

+ + + + +

− + + + +

− = α − α −α − α −α ≤ α⎧⎪⎨

− = α − α −α − α −α ≤ α⎪⎩

+

0n n

n n

S S nS S

+

−

de unde rezultă: 2 2 1

2 1 2

0 , 1≤ − ≤ α ∀ ≥⎧⎨ ≤ − ≤ α⎩

1 1n n n nE S S + += − ≤ α = α ⇒

( )1 0, 1n n+α ≥ ∀ ≥ .

Exemple 1o ( )31

2 1!

n Cn n

∞ +∑ cu suma S. Să calculăm S cu aproximaţia de

. Avem: 310−ε =

( )( ) ( )

31

4

2 3 121 2 1

n

n

n naa nn n+ += ≤

++ + pentru avem: 04 şin n≥ =

( )13

11 2 60,1 16 1 1

6

nn n n

n

a q nq E S S aa q+ +≤ = ∈ ⇒ = − ≤ = =

− −

1!n n

152

3 3

2 1 1 1 pentru 5! 5 10

n nn n+

= < ≥ ⇒5

5 31

2 1 3,362!n

nS Sn n=

+≅ = =∑

2o ( )( )

( )4 4 40

1 1 113 52 1

n

Cn

∞ −= − +

+∑ L .Să calculăm S cu o aproximaţie de

. 410−ε =

Avem ( )4

12 1

nn

α =+

şi alegem minim a. î. 1n ≥

( )

( )4 41 44 4

1 1 1 2 3 1010 102 3

n nn

+α < ⇔ ≤ ⇔ + ≥+

pentru n0 = 4 ⇒

( )( )

4

4 40

10,98883

2 14

n

n

S Sn

n=

⎧ −≅ = =⎪

+⎨⎪

≥⎩

∑

3o ( )0

1!

Cn

∞

∑ cu S = e şi să calculăm S cu aproximaţia . Avem: 710−ε =

1 1( 1)! ( 2)!ne Sn n

− = + + =+ +

L 1 1 11( 1)! 2 ( 2)( 3)n n n n

⎡ ⎤+ + + <⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

L

2

1 1 1 1 1 11 1( 1)! 1 ( 1) ( 1)! !11

n n n n n nn

⎡ ⎤< + + + = =⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ −

+

L ⇒

7

1 1! 10n n nE S S e S

n n⇒ = − = − ≤ < pentru 0 10n n≥ = ⇒

10

100

1 2,718083!n

e Sn=

≅ = =∑ K

153

4o ( )0

( 1)!(3 1)

n

Cn n

∞ −+∑ şi să calculăm S cu o aproximaţie de . 310−ε =

( )11 1 3

1 1 ( 1)! 3 1 10( 1)!(3 1) 10

nn n n nE S S n

n+

+ += − ≤ α = < ⇔ + + >+ +

3 pentru

0 31 1 13 1 0,7904004

1!4 2!10 3!28n n S S≥ = ⇒ ≅ = − + − = ⇒

0,7904004S⇒ ≅ K

5o 11

1 ( )3n C

n

∞

−⋅∑ calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = . Avem:

1 2

1 301 3

6

6 11

1 1 1 1 1 11( 1)3 ( 2)3 1 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 2( 1)3 10 pentru şi11 3 1 3 2 1013

1 1,216083

n n n n n n

nn n

nn

E S S S Sn n n

n n nn n

S Sn

+

−−

−=

⎛ ⎞= − = − = + + < + + + =⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠

= = < ⇔ + > ≥+ +−

≅ = =⋅∑

L L

6o 0

( 1) ( )!

n

Cn

∞ −∑ calculăm S cu două zecimale exacte.

1n nE S S n+= − ≤ α cu 1!n n

α = şi ( ) 31 3

1 1 1 ! 10( 1)! 10n nn+α = < ⇔ + >+

0 5 51 1 16 = 0,3666 < 0,014 deci 0,3666n n S Se e e

≥ = ⇒ − − ≅ = K

7o 1

1 ( )2n C

n

∞

∑ cu suma S şi calculăm S cu o aproximaţie de . 310−ε =

154

( ) ( ) ( )1 2 1 2

301 3

7

71

1 1 1 1 111 2 2 2 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 2 ( 1) 10 pentru 711 2 1 2 1012

1 0,692242

n n n n n n

nn n

nn

E S S S Sn n n

n n nn n

S Sn

+ + +

+

=

⎛ ⎞= − = − = + + < + + + =⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠

= = < ⇔ + > ≥ = ⇒+ +−

≅ = =∑

L L

8o 0

( 1) ( )!(2 1)

n

Cn n

∞ −+∑ calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = .

1 03

1 1 pentru 5!(2 1) 10n nS S n n

n n−− ≤ α ≡ < ≥ =+

⇔

4

40

( 1) 0,7475!(2 1)

n

n

S Sn n=

−≅ = =

+∑

9o 1

2 ( )( 1)!

n

Cn

∞

+∑ calculăm S cu trei zecimale exacte. Avem:

10 1 2

1

02 3

9

91

2 1 pentru 4;2 3

1 1 2 1 1 2 1 pentru 913 3 ( 1)! 3 ( 1)! 1013

2( 1)!

nn n n

n

n n

n

n

a n n S S a aa n

a nn n

S Sn

++ +

−

= < ≥ = − = + + <+

⎛ ⎞< + + = = < ∀ ≥ =⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ −

≅ =+∑

L

L n ⇒

Să se precizeze natura următoarelor serii numerice:

1. cu a ≥ 0, a ≠ 1⇒ ln

1

na∞

∑1ln 01lim lim 1

nn n

n nn

a a aa

++

→∞ →∞= = = Criteriul Raabe –

Duhamel:

1ln1ln1 1lim 1 lim 1 lim ln1ln

1

nn n

n nn n n

n

a a nn n a nna nn

++

+

→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ −µ = − = − = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+

155

1 1ln lim ln ln ln ln ln1

n

n

na a en a

−

→∞

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟+⎝ ⎠a = .

I. Dacă µ = 1lna

>1= ln e ⇔ 1

1na a

e

∞

< ⇒∑ (C)

II. Dacă µ = 1lna

<1 ⇔ 1

1na a

e

∞

> ⇒∑ (D).

III. Dacă µ = 1lna

=1 ⇔ 1lnln1 1n na e e

e n−= = = = şi

1 1

1( )na Dn

∞ ∞

=∑ ∑ . Deci: ln

1

1( ) pentru 0,

1( ) pentru ,

n

C ae

aD a

e

∞

⎧ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎡ ⎞⎪ ∈ +∞⎟⎢⎪ ⎣ ⎠⎩

∑ .

2. 1

nan

∞

∑ cu a ∈ R; 1

şi n

n n

aa a

n

∞

= ∑ avem:

11lim lim

1

nn

nn nn

a a nl aa n a

++

→∞ →∞= = ⋅

+= .

I. l = |a| < 1 ⇔ a∈(-1, 1) avem 1

na∞

∑ (C) şi 1

na∞

∑ (AC).

II. l = |a| > 1 ⇔ a∈(- ∞, -1) ∪(1, + ∞) avem 1

na∞

∑ (D) şi lim nna

→∞≠0

⇒ ≠ 0 şi lim nna

→∞ 1na

∞

∑ (D).

III. l = |a| = 1 ( ) ( )

1

1

1 11 şi ( )

1 11 şi ( )

n

n n

n

a a Dn n

a a Sn n

∞

∞

⎧= ⇒ =⎪

⎪⎨

− −⎪ = − ⇒ =⎪⎩

∑

∑ C⇒

1

nan

∞

∑ este:

i) (AC) pentru a∈[-1, 1) şi ii) (D) pentru a∈(- ∞, -1) ∪[1, + ∞).

156

3. 1 !

nan

∞

∑ cu a ∈ R; 1

şi !

n

n n

aa a

n

∞

= ∑ avem:

11 !lim lim 0,

!( 1) 1R

nn

nn nn

a a anl aa n n na

++

→∞ →∞= = ⋅ = = ∀

+ +∈ ⇒ pentru l < 1⇒

1na

∞

∑ (C), ∀a∈R şi 1

na∞

∑ (AC), ∀a∈R.

4. ( )1

1 cu 1,n an a

∞

∈ − ∞+∑ .

I. Pentru a >1 ⇒ 1

1 1

1 11 10 şi ( )

1 ( )

n nn n

nn n n

n

a bn a a

a Cn a n a

b Ca

∞

∞ ∞

⎧ = < =⎪ +⎪= > ⇒⎨+ +⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑∑ ∑

.

II. Pentru a∈(-1, 1] avem:

1 1

0; 1 1 1lim lim 1 şi ( ) ( )11; 1nn

nn n

a aa D

a nn

∞ ∞

→∞ →∞

− < <⎧= ⇒ = ⇒⎨ =⎩

∑ ∑a D pentru

a∈(-1, 1] ( a = 1 ⇒ 1

1 1cu ( )1 1na D

n n

∞

=+ +∑ ).

157