8/9/2019 Olimpiada Republicana la Matematica ORM 2010 Cl.11

1/2

A 54-a OLIMPIADA DE MATEMATICA A REPUBLICII MOLDOVA

Chisinau, 27 - 28 februarie 2010

CLASA a XI-a

11.1 Fie x

0, 2

. Sa se demonstreze inegalitatea 2sin x + 2tg x 2x+1.

11.2 Fie z1, z2, z3 C, distincte doua cate doua, cu |z1| = |z2| = |z3| = 1. Sa se arate ca daca

z21

z2z3

+z22

z3z1

+z23

z1z2

= 3,

atunci z1, z2, z3 sunt afixele varfurilor unui triunghi echilateral.

11.3 Baza unui paralelipiped dreptunghic ABCDA1B1C1D1 este patratul ABCD. Sa se determinecea mai mare valoare posibila a masurii unghiului format de dreapta BD1 cu planul BDC1.

11.4 Fie sirul numeric (an)n1, an = 1 +122

+ 132

+ . . . + 1n2

.

a) Sa se demonstreze ca sirul este convergent;b) Sa se afle limita acestui sir.

11.5 Sa se determine toate tripletele de numere ntregi (x, y, z) care satisfac inecuatia

log2(2x + 3y 6z + 3) + log2(3x 5y + 2z 2) + log2(2y + 4z 5x + 2) > z2 9z + 17.

11.6 Fie z = cos 27

+ i sin 27

si S = z + z2 + z4, T = z3 + z5 + z6.

a) Sa se demonstreze ca S+ T = 1 si S T = 2.

b) Sa se arate ca sin 27

+ sin 47

+ sin 87

=72

.

11.7 Pot fi oare alese o sfera S, o piramida triunghiulara P si un plan , astfel, ncat orice plan paralella planul intersectteaza sfera S si piramida P cu sectiuni de aceeasi arie? Argumentati raspunsul.

11.8 Fie a R+ \ {1}. Sa se determine toate perechile de numere reale pozitive (x, y) care sunt solutii

ale ecuatiei x ay

+ y ax

= x + y.

8/9/2019 Olimpiada Republicana la Matematica ORM 2010 Cl.11

2/2

54-

Chisinau, 27 - 28 2010

XI-

11.1 x

0, 2

. 2sin x + 2tg x 2x+1.

11.2 z1, z2, z3 C, |z1| = |z2| = |z3| = 1.

z21

z2z3

+z22

z3z1

+z23

z1z2

= 3,

, z1, z2, z3 .

11.3 ABCDA1B1C1D1 ABCD. BD1 BDC1.

11.4 (an)n1, an = 1 +122

+ 132

+ . . . + 1n2

.

a) ;b) .

11.5 (x, y, z),

log2(2x + 3y 6z + 3) + log2(3x 5y + 2z 2) + log2(2y + 4z 5x + 2) > z2 9z + 17.

11.6 z = cos 27

+ i sin 27

S = z + z2 + z4, T = z3 + z5 + z6.

a) , S+ T = 1 S T = 2.

b) , sin 27

+ sin 47

+ sin 87

=72

.

11.7 S, P , -, , S P ? .

11.8 a R+ \ {1}. (x, y), - x ay + y ax = x + y.