Numere Naturale

An colar: 2015-2016 Profesor: Podar Augustin-Daniel

Clasa a 5-a

Pagina 1 din 19

Conform cu programa colar aprobat prin Ordinul Ministrului Educaiei, Cercetrii i Tineterului nr. 5097/09.09.2009

Podar Augustin Daniel Meditaii Matematica

Numerele naturale

Breviar teoretic

Numerele naturale sunt numerele 0,1,2,3, Proprieti ale adunrii:

1. Asociativitatea: + + = + + ,:2 + 5 + 1 = 2 + 5 + 1 = 8 2. Comutativitatea: + = + ,:5 + 9 = 9 + 5 = 14

Proprieti ale nmulirii:

1. Distributivitatea fa de adunare: + = + ,:2 4 + 5 = 2 4 + 2 5 2. Comutativitatea: = ,:4 5 = 5 4 = 20

Teorema mpririi cu rest:

Dac : = , , = + ,:10: 3 = 3, 1 10 = 3 3 + 1 Ridicarea la putere

Putere= de cte ori nmulim numarul cu el nsui. ! = ,:4" = 4 4 = 16 $ = ,:2% = 2 2 2 = 8 & = ' = (, )*+: "alaputereanalaputereanalaputereanalaputerean"""",,,,:5" &

556762896: , ; ?A > 5,:2C > 2%DE6;32 > 8 2. Dac avem aceeai putere: ? > FA? > G,:3H > 2HDE6;81 > 16

Proprieti ale puterilor

? ? = ?I,:3" 3H = 3"IH = 3J ?: ? = ?K,:2J: 2H = 2JKH = 2"

? = ? ? = ?I,:2%" = 2"% = 2J Ordinea efecturii operaiilor

Operaiile din parantez Ridicarea la putere nmuliri i mpriri Adunri i scderi Divizor, multiplu, divizibilitate

Definiie: b este divizorul lui a dac a se mparte exact la b.

Exemple: 27 : 9 = 3 , rezult c 9 este divizorul lui 27, dar i 3 este divizorul lui 27

35 : 5 = 7 , rezult c 5 i 7 sunt divizorii lui 35

Numerele naturale Pagina 2 din 19


Definiie: b este divizorul lui a este sinonim cu a spune c a este divizibil cu b. Notaia matematic pentru divizibil este "". Exemplu: 36 4;



Fia de lucru nr. 1

irul numerelor naturale; reprezentarea numerelor naturale

pe axa numerelor. Comparare numerelor naturale

1. Scriei cu cifre numerele date:

a) dou sute trei milioane; b) patruzeci i ase de milioane; c) o sut aptezeci de milioane;

d) aizeci i patru de milioane trei sute douzeci i unu de mii dou sute; e) optzeci de mii opt sute; f) treizeci de milioane patruzeci de mii patruzeci; g) dou sute de milioane o mie doi.

2. Se dau numerele: 337, 1703, 832 656, 223 979, 27 958 033.

a) Scriei n litere fiecare dintre numere de mai sus; b) Scriei predecesorul i succesorul fiecruia dintre numerele date; c) Numii numrul de mii, sute i zeci din fiecare dintre numere; d) Precizai valoarea cifrei 3 din fiecare numr.

3. Cte zerouri trebuie scrise la dreapta cifrei 2 pentru a obine numerele:

a) dou sute; b) douzeci de mii; c) dou milioane; d) dou sute de mii; e) douzeci de milioane ?

4. Ordonai cresctor i apoi descresctor numerele:

129; 1628; 43; 354; 1237; 293; 2578; 1751; 69; 53987; 182; 72802.

5. Reprezentai pe ax urmtoarele numere naturale: 0, 1,4,7,8

6. Scriei cu cifre romane numerele naturale 67 i 1497.

7. Se consider irul de numere naturale 2,5,8,11,14, a) Calculai diferena dintre al 2015-lea termen al irului si al 215-lea termen al irului b)Calculai suma primilor 2015 termeni ai sirului

8. Cte numere naturale de trei cifre ncep cu cifra 8 ?

9. Cte numere naturale sunt de la 29 pn la 138 ?

10. Se d irul: 1, 6, 11, 16, 21, ...

a) Scriei nc trei termeni ai irului; b) Cercetai dac 2014 face parte din ir; c) Care este al 2014 termen al irului; d) Calculai suma primilor 50 de termeni.

11. Fie irul de numere natural 1,8,15, 22, 29,.. a)Verificai dac 2014 este termen al irului.Dar 2013? b)Care este al 2014-lea termen al sirului? c)Calculai suma 1+8+15+......+2010



Fia de lucru nr.2

nmulirea numerelor naturale.

Proprieti. Factor comun

1. Efectuai urmtoarele nmuliri:

a) 17 15; b) 29 53; c) 24 18; d) 39 45; e) 46 27; f) 35 18; g) 405 87; h) 200 64;

i) 249 123; j) 153 35; k) 528 72; l) 7 19; m) 452 4; n) 65 34; o) 777 77; p) 55 189;

q) 137 29; r) 39 12; s) 31 3 121; ) 21 2 370 t) 149 5; ) 987 40; u) 25 27 29 1;

v) 67 25; w) 117 50; x) 43 28 17; y) 38 52; z) 1009 896 8 0.

2. Efectuai:

a) 0 10; b) 7 10; c) 36 10; d) 243 10; e) 1705 10; f) 28762 10; g) 1 100; h) 98 100;

i) 268 100; j) 5678 100; k) 45802 100; l) 8 1000; m) 70 1000; n) 348 1000; o) 7103 1000; p) 11011 1000; q) 130 10000; r) 900009 100000; s) 11011011 1000000.

3. Aflai numrul:

a) de 36 de ori mai mare dect 127; b) de 87 de ori mai mare dect 876; c) de 9 ori mai mare dect dublul lui 17; d) de apte ori mai mare dect triplul lui 70; e) de 111 ori mai mare dect suma numerelor 609 i 702; f) de 8 ori mai mare dect diferena numerelor 73 i 49.

4. Efectuai utiliznd factorul comun:

a) 43 57 + 57 88; b) 3 991 + 97 991; c) 11 111 11; d) 308 17 + 8 13 300 17; e) 2400 + 645 240 240 250; f) 12 + 5 12 + 12 17 + 12 12 25 12; g) 2013 2014 2012 2013 2 2012; h) 1961 2014 + 2013 1961 4026 1961; i) 2013 36 + 2013 64 2013 99; j) 2014 2013 2013 2012 2013; k) 167 432 + 167 68 167 400; l) 7 + 14 + 21 + 28 + + 364; m) 100 99 99 98 + 98 97 97 96 +...+ 4 3 3 2 + 2 1.



Fia de lucru nr.3

mprirea, cu rest zero, a numerelor naturale

cnd mpritorul are mai mult de o cifr

1. Efectuai mpririle de mai jos:

a)1230 : 3; b) 123 : 3; c) 124 : 4; d) 126 : 9; e) 1225 : 35; f) 19600 : 5; g) 928 : 32; h) 12975 : 15;

i) 14192 : 16; j) 9940 : 28; k) 93060 : 66; l) 7524 : 22; m) 22790 : 86; n) 358920 : 18; o) 7777 : 77; p) 972 : 36; q) 280 : 4; r) 6720 : 12; s) 7560 : 72; ) 69275 : 25; t) 12604 : 274; ) 53652 : 526;

u) 606606 : 101; v) 545724 : 837; x) 151782 : 1234.

2. Efectuai:

a) 0 : 10; b) 10 : 10; c) 70 : 10; d) 320 : 10; e) 4190 : 10; f) 26800 :10; g) 243690 : 10; h) 300 : 100;

i) 1200 : 100; j) 34800 : 100; k) 105000 : 100; l) 1000 : 1000; m) 13000 : 1000; n) 905000 : 1000; o) 111000 : 1000; p) 11230000 : 10000; q) 900000 : 10000; r) 107000000 : 1000000.

3. Aflai numrul:

a) de 7 ori mai mic dect 161; b) de opt ori mai mic dect treimea lui 168; c) de 27 de ori mai mic dect suma numerelor 149 i 67; d) de trei ori mai mic dect sfertul sumei numerelor 28 i 116.

4. Aflai ctul dintre suma i diferena numerelor 12354 i 12348.

5. De cte ori este mai mare produsul numerelor 144 i 16 dect ctul lor ?

6. Suma a dou numere naturale este de 6 ori mai mic dect 960. Unul dintre numere este de 3 ori mai mic dect cellalt. Care sunt cele dou numere ?

7. Un dicionar cost 100 lei, o culegere de matematic cost un sfert din preul dicionarului, un caiet cost a cincea parte din preul culegerii, iar un stilou cost o zecime din preul dicionarului. Ct cost mpreun toate obiectele ?

8. Pentru un gard din lemn, lung de 48 m, se pun stlpi din 4 n 4 metri. De ci stlpi are tmplarul nevoie ?

9. Aflai sfertul jumtii unei treimi din 72.

10. La o mprire cu rest 0, mpritorul este 156 i ctul este jumtate din mpritor.

a) Aflai dempritul; b) Aflai dempritul dac ctul este un sfert din mpritor; c) Aflai dempritul dac ctul este o treime din mpritor.



Fia de lucru nr.4

mprirea cu rest a numerelor naturale.

Teorema mpririi cu rest n N. Aplicaii

1. Precizai ctul i restul urmtoarelor mpriri:

a)1234 : 3; b) 112 : 13; c) 129 : 4; d) 125 : 9; e) 1225 : 15;

f) 1950 : 8; g) 61042 : 19; h) 3251 : 28; i) 1820 : 71; j) 70055 : 92;

k) 8375 : 18; l) 6123 : 85; m) 91103 : 49; n) 1500 : 11; o) 7980 : 37.

2. Se d n : 7 = 7 rest 5. S se afle n. Calculai-l pe n n cazurile:

a) n : 68 = 32 rest 7; b) n : 123 = 9 rest 5.

3. La o mprire cu restul 78, mpritorul este 1203, iar ctul este 17. Ct este dempritul ?

4. La o mprire cu restul 19, mpritorul este 126, iar ctul este jumtate din mpritor.

Ct este dempritul ?

5. La o mprire cu restul 11, dempritul este de 57 de ori mai mare dect ctul.

Ct este mpritorul ?

6. Aflai dempritul, tiind c mpritorul este 22, ctul este 23 iar restul este 21.

7. Aflai toate numerele naturale care mprite la 5 dau ctul egal cu restul.

8. tefan trebuie s vopseasc stlpii unui gard situai la o distan de 2 metri unul fa de altul, n alb i albastru. Gardul mprejmuiete un teren n form de dreptunghi avnd media aritmetic a dimensiunilor sale 105. tiind c tefan vopsete un stlp albastru-doi albi-unul albastru-doi albi .a.m.d. , aflai: a)n ce culoare va fi vopsit stlpul al 100-lea.Dar al 360-lea? b) Ci stlpi vor fi albi i ci albatri?

9. La mprirea a dou numere naturale se obine ctul 7 i restul 3. Care sunt numerele dac suma lor este 155 ?

10. Diferena a dou numere naturale este 222. Prin mprirea primului numr la al doilea se obine ctul 3 i restul 2. Aflai cele dou numere.

11. Aflai cel mai mic numr natural de patru cifre care mprit la un numr natural format din dou cifre d restul 76.

12. Suma a trei numere naturale este 183. Aflai numerele tiind c dac mprim pe primul la al doilea obinem ctul 4 i restul 3, iar dac l mprim pe al doilea la al treilea obinem ctul 3 i restul 4.

13. Dac un numr natural de dou cifre identice se mparte la un numr de o cifr i se obine restul 7, atunci aflai numrul.



Fia de lucru nr.5

Ridicarea la putere cu exponent natural

al unui numr natural

1. Precizai care este baza i care este exponentul pentru puterile urmtoare: a) 25 baz, exponent; b) 0100 baz, exponent; c) 717 baz, exponent; d) 20150 baz, exponent; e) ab baz, exponent;

2. Scriei ca o putere cu baza 2: a) 8 = ; b) 16 = ; c) 32 = ; d) 45 = ; e) 1 = ; f) 128 = g) 1024 = ; h) 16n = .

3. Calculai:

a) 52; b) 74; c) 28; d) 83; e) 210; f) 210; g) 101; h) 129; i) 02014; j) 43; k) 33; l) 3450; m) 6781; n) 12015.

4. Stabilii corespondena ntre cele dou coloane: a) 20150 1) 2015 b) 20151 2) 0 c) 101 3) 1 d) 02015 4) 13 e) 32 + 22 5) 10

5. Ordonai cresctor urmtorul ir de numere naturale: 20150; 522; 5202; 0202; 52; 52020; 52002; 51.

6. Calculai:

a) 12 + 24; b) 33 + 25;

c) 102 52; d) 22 + 32 23;

e) 43 + 24 42; f) 42 + 32 + 1109;

g) 23 221000; h) 62 + 42 + 02008+ 12013;

i) 26 + 25 + 24 + 23 + 22+ 2; j) (62 52) : 11 + (52 2 + 10) : 12;

k) (52 25 : 2) : 3 12015; l) 35 34 + 33 32 + 31 30;

m) 20151 20150 + 12015 02015; n) [(142 132) : 27 20] 2 + 20150;

o) (2220 + 0222 + 2221 2 102) 2 32 51; p) 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20.

7.Ioana primete n dar de la o prieten un pomior de mr. La fiecare doi ani toi pomii dau ali doi pomiori. tiind ca Ioana planteaz toi pomiorii pe care i obine n livada sa, aflai ci pomi va avea n livad peste 9 ani.

8. Calculai urmtoarele puteri i apoi reinei rezultatele:

a) 03; b) 13; c) 23; d) 33; e) 43; f) 53; g) 63; h) 73; i) 83; j) 93; k) 103.



Fia de lucru nr.6

Reguli de calcul cu puteri

1. Calculai:

a) 22 24; b) 22 25; c) 32 35; d) 52 530; e) 74 716; f) 45 48

h) 73 78; i) 22 21 23; j) 33 34 3; k) 22 52 3 2; l) (8 9)3; g) 111.

2. Efectuai:

a) 33 : 31; b) 56 : 52; c) 660 : 620; d) 98 : 93; e) (53)2; f) (1950)5; g) (799)0; h) 54 : 53 170;

i) 23 24 : 26; j) 54 : 53 170; k) 53 55 : 54; l) 45 42 : (42)3; m) (64)5 : 618; n) (32)4 : (34 )2;

o) 5 52 53 54 : 510; p) 3123 3455 : 3456 : 3120; q) 923 97 (92)10 : 949; r) (599995 + 344433)0;

s) (81 : 3)2; t) 5: 56] -3 : )[(352123 ; u) 202244 22005)13(2:)2(

4

.

3. Scriei sub form de putere:

a) 2 22 23 24 25 26 =; b) 315 (34)5 : (33)11 =;

c) ( )65432 ;

=

d) 330 + 330 =; e) 315 + 315 + 315 =.

4. Efectuai folosind regulile de calcul cu puteri:

a) 412 : 410 =; b) 923 97 : 928 =;

c) (133)10 : 1329 =; d) 103 105 : 107 =;

e) (22)13 : (210)2 : 24 =; f) 72 73 74 75 : 712 =.

5. Efectuai:

a) {92 + [62 (322 : 83 + 222 23) : 11] : 10} : 22 =; b) [(26)4 : 23 (26 + 26) 46 : 29] : (228 23) + 1 =; c) (2 + 2 3) {2 22 243 246 + [3148 : 343 (35)21] + 16} =. d) 103 : 52 + 10 {210 : 64 + 23 [1035 : (5 32) (237 737)2 : (436 4937) : 2]} =;

6. tiind c n este un numr natural, artai c:

a) 7 3n + 2 3n = 3n + 2; b) 7 5n 2 5n = 5n + 1.

7. Dac 4n = k, s se calculeze:

a) 22n; b) 22n+1; c) 24n.



Fia de lucru nr.7

Compararea puterilor care au acelai exponent sau

aceeai baz. Ptratul i cubul unui numr natural

1. Comparai numerele:

a) 05 i 50; b) 16 i 61; c) 32 i 23; d) 220 i 87; e) 3210 i 1625;

f) 915 i 2710; g) 834 i 451; h) 202303 i 303202; i) 231 i 321; j) 240 i 327.

2. Comparai:

a) 4212 i 4121; b) 92011 i 91211; c) 1501 i 1520; d) 9980 i 8890; e) 434 i 217;

f) 16733 i 17633; g) 02011 i 02012; h) 9333 i 27222; i) 259 i 5109; j) 20121 i 12012.

3. Comparai puterile:

a) 3677 3766 b) 82 43 c) 5641 4561

41021 41012 1345 0345 22 41

4552 5442 122122 123122 5533 5544

442030 442303 52 25 6434 6534

8823 8832 0670 0680 73003 73300

12345 12344 992002 992020 11999 11990

6890 7890 112 44 0544 1455

4. Calculai ptratele numerelor de mai jos i reinei rezultatele:

a) 02; b) 12; c) 22; d) 32; e) 42; f) 52; g) 62; h) 72; i) 82; j) 92; k) 102; l) 112; m) 122; n) 132; o) 142;

p) 152; q) 162; r) 172; s) 182; t) 192; u) 202.

5. Calculai cuburile numerelor de mai jos i reinei rezultatele:

a) 03; b) 13; c) 23; d) 33; e) 43; f) 53; g) 63; h) 73; i) 83; j) 93; k) 103.

6. Scriei toate ptratele perfecte cuprinse ntre 27 i 197.

7. Scriei toate cuburile perfecte cuprinse ntre 7 i 217.

8. Artai c numrul natural A = 2011 + (2 + 4 + 6 + 8 + + 4020) este ptrat perfect.

9. Precizai dac se obine ptratul sau cubul unui numr natural n urma efecturii calculului:

11 9 +11 21 +11 25 +11 66.

10. Fie numrul natural a = (1610)100 : (420)50 2. Determinai dac a este cub perfect. Justificai.

11. Fie numrul natural b = {[(15)403 + (2 32)2 : (2 3)2 23 ]67}30. Determinai dac b este ptrat perfect sau cub perfect. Justificai.



Fia de lucru nr.8

Noiunea de divizor. Noiunea de multiplu

Criterii de divizibilitate cu 2, 5, 10

1. tiind c Dn = mulimea divizorilor lui n, s se determine:

D2, D4, D6, D8, D9, D10, D12, D15, D18, D20, D24, D25, D30, D36.

2. tiind c Mn = mulimea multiplilor lui n, s se determine (scriei primele cinci elemente):

M2, M3, M4, M5, M6, M8, M10, M11, M15, M20, M24, M25, M30, M100..

3. Scriei numerele naturale divizibile cu 2, cele divizibile cu 5 i apoi pe cele divizibile cu 10 din irul de numere naturale urmtor:

1; 2; 3; 5; 10; 12; 15; 20; 39; 130; 39; 45; 50; 123; 2010.

4. Scriei numerele divizibile cu:

a) doi, cuprinse ntre 7 i 23; b) cinci, cuprinse ntre 24 i 54; c) zece, cuprinse ntre 89 i 141.

5. Aflai suma divizorilor numrului 24.

6. Aflai suma multiplilor numrului 5 cuprini ntre 50 i 105.

7. Determinai numerele de forma 2x7x divizibile cu 2.

8. Determinai numerele de forma x91x divizibile cu 5.

9. Determinai numerele de forma 34xx divizibile cu 10.

10. Folosind cifrele 4, 0 i 5, o singur dat, s se scrie:

a) numerele divizibile cu 2; b) numerele divizibile cu 5; c) numerele divizibile cu 10.

11. Care este cel mai mic numr natural de trei cifre distincte divizibil cu 5 ? Dar cel mai mare ?

12. Dai exemple de cinci numere naturale divizibile i cu 2 i cu 5.

13. Care dintre urmtoarele numere sunt divizibile cu 2, unde n este un numr natural nenul ?

a) 2n; b) 2n + 1; c) 3n + 2; d) (n + 1)(n + 2); e) n(n + 2).

14. Aflai numerele divizibile cu 5 de forma aabb , cu a + b = 9.



Fia de lucru nr.9

Numere prime.

C.m.m.d.c. i c.m.m.m.c.

1. Descompunei n factori primi urmtoarele numere: 8, 12, 25, 36, 40, 50, 72, 63, 144, 256, 480

2. Calculai c.m.m.d.c i c.m.m.m.c pentru numerele:

a)15 i 35; b)48 i 72; c)120 i 360 d)420, 490 i 350.

3. Aflai toate numerele de trei cifre care mprite la 18, 24 i 32 dau de fiecare dat restul 11.

4. Numerele 348, 790, 1180 mpriite la acelai numr natural dau resturile 12, 6 i 4. Aflai acel numr.

5. Dac a*b=192 i (a,b)=4 atunci calculai [a,b].

6. Determinai numerele a i b pentru care avem:

[a,b]=48 i a*b=288.

7. Enumerai cinci numere naturale prime i cinci numere naturale care nu sunt prime.

8. Calculai suma primelor 12 numere naturale prime.

9. Comparai suma numerelor prime cuprinse ntre 14 i 42 cu ([14,42], 36).

10. Stabilii valoarea de adevr a propoziiilor:

a) Numerele 15 i 29 sunt numere prime A F b) Numerele 16 i 27 sunt numere prime ntre ele A F c) [10,26]>ptratul numrului (24, 36) A F

d) Unul dintre numerele 8 i 18 mpreun cu numrul 27 formeaz o pereche de numere prime ntre ele

A F

e) (48, 72) este divizibil cu [2,3] A F f) Suma divizorilor numrului 18 este divizibil cu 3 A F

11. Aflai toi divizorii comuni ai numerelor 75 si 50. Precizai cel mai mare divizor comun al celor doua numere.

12. Ci divizori are fiecare din numerele:91, 92, 360,400? Ci dintre aceti divizori sunt numere prime?

13. Artai c numrul a+b+c este divizibil cu 63 unde a=1+3+5++41, b=10+30++410 i c=100+300++4100.

14. Scriei toi multiplii de dou cifre ai numerelor: 24,35, 17



Fia de lucru nr.10

Numere pare i numere impare

1. ncercuii numerele impare n fiecare din exerciiile de mai jos:

a) 56, 30, 45, 98, 62; b) 87, 58, 32, 26, 70; c) 76, 94, 12, 99, 4; d) 46, 90, 83, 22, 78.

2. ncercuii numerele pare n fiecare din exerciiile de mai jos:

a) 31, 27, 49, 1, 28; b) 90, 43, 85, 69, 3; c) 49, 57, 62, 33, 79; d) 91, 77, 35, 73, 4.

3. Scriei toate numerele pare de forma:

a) 3b, a0, 6b, a8;

b) 7b, a2, 4b, a6.

4. Scriei toate numerele impare de forma:

a) a1, 6b, a3, 1b;

b) 4b, a5, 7b, a9;

c) aa, bb, cc, dd.

5. Care este cel mai mare numr natural par scris cu dou cifre ? Dar cel mai mic ?

6. Care este cel mai mare numr natural impar scris cu trei cifre ? Dar cel mai mic ?

7. Determinai numerele naturale de trei cifre care verific simultan condiiile:

a) sunt numere pare; b) au suma cifrelor 16; c) au cifra sutelor de trei ori mai mare dect a zecilor.

8. Aflai numerele naturale de forma abcd care ndeplinesc condiiile urmtoare:

a) cd este cel mai mare numr natural par; b) b este de dou ori mai mic dect d; c) c este de trei ori mai mare dect a.

9. Aflai ce paritate are numrul (n + 1) + 17, unde nN*.



Fia de lucru nr.11

Media aritmetic a dou numere naturale,

cu rezultat numr natural. Aplicaii

1. Calculai media aritmetic a numerelor:

a) 24, 16, 8, 12; b) 25, 45, 23; c) 313 i 115; d) 5, 6, 2, 3, 8, 11, 13, 16.

2. Media aritmetic a dou numere este 75. Determinai numerele tiind c unul din ele este de patru ori mai mare decat cellalt.

3. Media aritmetic a trei numere pare consecutive este egal cu 210. S se afle cele trei numere.

4. Calculai media aritmetic a trei numere tiind c luate cte dou au media aritmetic egal cu 9, cu 17 i respectiv cu 13.

5. Iat notele lui Andrei de la matematic i limba romn. Completai coloana cu media.

Note la oral Nota la tez (t)

Media notelor la oral (ma)

Media semestrial m= (ma3+t):4

Limba Romn

8, 9,10, 9 9

Matematic 10, 6, 8, 9, 7, 8 8

6. Aflai dou numere naturale, nenule, care au media aritmetic egal cu 29 tiind c la mprirea numrului mai mare la numrul mai mic se obine ctul 4 i restul 13.

7. Calculai media aritmetic a numerelor n fiecare caz de mai jos:

a) x = (121 117) : 4 + 45 i y = (27 + 21) 120 : (205 125); b) x = 117 523; y = 112 + 144 : 12 1; z = (2325 1345) 12 : 10.

8. Suma numerelor a, b i c este 102, b este mai mare cu 2 dect a, iar c este mai mic cu 4 dect media aritmetic a numerelor a i b. Aflai numerele a, b i c.

9. n tabelul de mai jos sunt trecute rezultatele obinute de elevi la testul dat la matematic. Aflai media clasei.

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nr. elevi - - - 3 2 5 5 5 2 3

10. Reprezentai pe ax numerele 3 i 9, apoi media lor aritmetic.



Fia de lucru nr.12

Ordinea efecturii operaiilor

1. Calculai respectnd ordinea operaiilor:

a) (30 3 313 : 35 + 1) : [(32)3 27 +30] = k)6 21993 + 2 21993 (21997 21996) = b) 211 39 + 39 210 610 = l)(22 24)2 : 46 164 : 85 : 21 : 20 = c) (1010 109 ) : (109 108) = m)816 : (2 22 410)2 21 20 = d)20153 20152 2014 2015 2014 2015 = n)(23 + 23 )2 : (22 +22) : 2 + 20 0 = e)512 (3 + 2) : 511 = o)19901990 1989 19901989 = f)(22 3 53)100 : (2200 3100 5300) = p)19972 1995 1997 1997= g)(88 412 : 224) : (224 412 : 88) : (166 640)= q)(30 31 313 : 35 + 1) : [(32)3 27 + 1] h)2101 599 + 1099 299 5100= r)19973 19972 1996 1997 1996 1997 = i)[223 2u (15 )]2 : [2u (1996 ) (26)3]= s)[3u (3 ) 923 3u (3 )]2 : [276 : 2 : 3u (5 + 51 - 24 )]5= j)32016 32015 32014 5 91007= t)(5n + 2 3n + 1 72n) : (15n + 1 49n)=

2. Calculai respectnd ordinea operaiilor: a)[358 32 + 1530 : 1515 + 19950 (24 )15] : (315 515 + 225 : 232 + 364 : 34 - 224 236)= b)33 + 320 : 318 3 + 3 38 : 36 + 310 : (8 35 + 35) 4 3 3 = c)210 29 - 28 27 26 25 24 23 22 21 1= d)3 {2 32 + 52 : 50 + 69 [24 3 (616)2 : 230 : (36)5 + 4725 : 63]} = e)[(26)4 : 23 (26 + 26) 46 : 210] : ( 228 22 ) 9 = f)(22)2 : 24 (32 1) : [(29 103 + 56) : (23 53 92)] = g)[(368 59 7 217 317 58) : 68 : (68 57 19 + 29 158)] : 5= h)23 + [(23)7 (27)3 + 3 34 81] {32 [301 10 (24 + 21997 : 21996 3)]}= i)(723 + 724 + 725) : (712 + 713 + 714) : 710 + 710 : 79 0 3. Stabilii cte zerouri i cte cifre are numrul: A=22n + 1 52n + 3 , n N

4. Se dau numerele :

a = (25n : 5n + 34 43 - 17 5n) [(25 52 7) : 1993] + 1992; nN b = 32 19925 39845 + 23 3 83,

c = 103 + 9 102 + 9 10 + 1. Calculai : (2a b c)1907

5. Calculai produsul tuturor numerelor de forma xy yx, unde

x, y {1, 2, 3, , 100} cu x y. 6. Fie: a = 64 116 226 + 1; b = [(22)3 - 19950] : 321 (123 +412). Calculai: (b a)1995. 7. Fie: a = (1 + 2 + 3 +. + 1995) 2 : 1996; b = (217 : 48)1996 : 8665. Calculai: 2(a + b) 100.

8. a = 5; b c = 7; d = [2198 (23 5)202] : (8 25 2399 599)2 + 32 + 5 (1 + 2 +. + 1996)0.

Calculai: a2 + 2ab 2ac + d2

9. a = (1 + 2 +.. + 1994) : 1995; b = (217 48)1995 : 8665 . Calculai : 2(a + b) 1 . 10. Verificai dac: 21 22 23 .. 2100 (162)631 = 3 42524

11. [(32)2]2 : 34 (23 26) : [(37 100 3673) : (1000 9 111)] =

12. Dac: a b = {(25 86) : [(164)5 : (323)4]} : 9

a c = [(123 362) : 243] : 3 atunci a, b, c sunt egale cu?

b c = {(3 96) : [(39)4 : (38)3]} 24

13. S se afle suma cifrelor numrului: 101997 + 2 101995 1



Fia de lucru nr.13

Ecuaii n mulimea numerelor naturale.

Ecuaii reductibile la cele studiate. Aplicaii

1. Rezolvai urmtoarele ecuaii, unde x este numr natural:

a) x + 7 = 16; b) x 12 = 3; c) x + (8 6) = 12; d) (6 4 + x) 2 = 8; e) 3x 7 = 8;

f) 14 3x = 8; g) 84 : x 9 = 5; h) 20 121 : x = 9; i) 2(3x + 5) + 5 = 51; j) 5x + 7 = 272;

k) 23 3x = 8; l) 3x = 123; m) 75 : x + 6 = 11; n) 35 121 : x = 24; o) 2(3x + 2) + 5 = 45;

p) 13 + x = 24; q) x 5 =13; r) 18 x = 3; s) x + 3 = 78; t) 71 + x = 108; u) x 23 = 15.

2. Rezolvai n N urmtoarele ecuaii:

a) 176 + x = 300; b) 3x 1 = 14; c) 3x = 6; d) 5 + x = 8; e) 2x + 10 = x + 20; f) 2x = 10 + x;

g) 2x + 1 = 11; h) 2x + 4 = x + 5; i) 7 x = 3; j) 7 : x = 170; k) x4 = 1; l) 12x = 144; m) 2x = 1;

n) x : 6 = 1751; o) x : 19 = 57; p) x + 26 = 75; q) 102 x = 15; r) 3x+1 = 81; s) 7x + 7 = 350.

3. Rezolvai ecuaiile de mai jos n mulimea numerelor naturale:

a) 4(x + 3) + 2(2x 2) = 5x + 14; b) 4x 23 = 43 + 3x + 3 21 2;

c) (x + 192 : 2) 3 + 59 4 = 1988; d) 5 [8 (7x 16) 17] 16 = 99;

e) 5 {6 [7 (4x 19) 29] 29} 6 = 29; f) 5 [ 2 (3x + 2) 11] + 2 = 27;

g) 5 [2 (3x + 2) 11] + 108 = 128 + 5; h) {2 [20 (5 + x ) : 6] 5} : 9 + 17 = 20;

i) 10 {x 10 [362 + 10 (24 + 24 : 4)]} = 100; j) 2x + 4x + 6x + + 102x = 2652;

j) 2 + [104 : 26 + 2 (3 5 x ) 12 : 2] : 2 = 15; k) 1 + {2 [3 + (x 4) 5] : 6} 7 = 8.

4. S se rezolve ecuaiile:

a) 1 {2 [3 (x 4) 5] : 6} 7 8+ + = ; b) 7 {2 [14 (5 x) : 6] 5}: 9 10+ + + = ; c) 3 {2 [18 (7 x) : 4] 5}: 7 8+ + + = ; d) 2 {[78 13 (6 x)] : 26 3} 6 2006 + + + = ; e) 1 {2 [3 (x 4) : 5] : 6} 7 8+ + = ; f) 25 {4 [15 5 (8 2x) 23] : 4} 14 + + = ; g) {2 [20 (5 x) : 6] 5}: 9 17 20 + + = ; h) 2x 1 2x 2 2x 3 2x 100 5650;+ + + + + ++ + =

131 4 {36 32 :16 [15 (24 : x 20 : 5) 9] 7} 183.+ + + =



Fia de lucru nr.14

Inecuaii n mulimea numerelor naturale

1. Determinai numerele naturale care verific inegalitile:

a) 3(x 2) 3; b) 4x + 7 < 23; c) 3x + 7 2x < 10; d) 2x + 10 < 20; e) 182 153 x + 19;

f) 5x + 7 < 4x + 9; g) x + 3 < 4; h) x : 4 < 5; i) 7x + 12 > 19; j) 13x 2 > 132001; k) x + 5 17;

l) 5x < 35; m) 112x + 1 < 117; n) x : 57 6; o) x 5 < 295; p) x : 9 24; q) x 7 343; r) x : 52 8;

s) x 2 < 3874; t) x : 3 51; u) x 7 406; v) x 79 > 285.

2. S se rezolve n mulimea numerelor naturale, inecuaiile:

a) 2 (x 3) + 4 0; b) 5x + 3 (x 4) < 4; c) 7x + 6 (x + 1) 19; d) 2 (x + 3) + 5 < x +15; e) (x 3) + (7x 1) x + 3; f) 13x 12 2 (5 + 2x) 1 + 2x g) 2 (x + 5) + 6x 3 (x + 5); h) 2 (x + 1) + 3 (x + 2) x + 3 (x + 3).

3. Rezolvai n N, inecuaiile:

a) 2 (x + 3) 4 < x + 6 i x M 2; b) x 32 i (x + 3) M 5; c) 7 x < 27 i (x + 7) M 2; d) 4 (2x + 1) + 2 (x + 2) 7 3 i x M 10; e) x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x < 84.

4. Rezolvai n N inecuaiile cu numere scrise n baza 10:

a) ab ba 44+ a b ; b) abc acb bac bca cab cba 1332+ + + + + , a b c ; c) x5 3x 80+ < ; d) 7x x4 99+ < ; e) x31 3x1 31x 753+ + < .

5. Stabilii dac numrul 7 este soluie pentru inecuaiile: a) 5x 5 2x 2 < 4x + 4 3x + 3, xN; b) 5x 5 2x 2 4x + 4 3x + 3, xN.

6. Aflai cel mai mare i cel mai mic numr natural care este soluie pentru inecuaia: x 17 < 13.



Fia de lucru nr.15

Probleme care se rezolv cu

ajutorul ecuaiilor i inecuaiilor

1. Aflai:

a) Numrul de 137 ori mai mare dect 21; b) Numrul de 15 ori mai mic dect 225; c) Numrul cu 12 mai mare dect 43; d) Numrul cu 567 mai mic dect 2013.

2. mprind un numr natural la 13, obinem ctul 15 i restul 11. Aflai acel numr.

3. Suma a dou numere este 96. Determinai numerele tiind c primul este de trei ori mai mare dect al doilea.

4. Aflai un numr natural tiind c:

a) Dac adunm 19 la triplul su obinem 76; b) Dac scdem 27 din dublul su obinem 3; c) Dac din 100 scdem triplul su obinem 13.

5. M gndesc la un numr. l dublez, apoi rezultatul l adun cu 5 i noul rezultat l nmulesc cu 5 i obin 95. La ce numr m-am gndit ?

6. S se afle:

a) Trei numere naturale consecutive care au suma 2013; b) Patru numere naturale consecutive care au suma 2014.

7. Triplul unui numr natural necunoscut se adun cu 17 iar rezultatul se mparte la 7. Noul rezultat se adun cu 12 i se obine numrul 20. Aflai numrul necunoscut.

8. Diferena a dou numere naturale este 2013. mprind numrul mai mare la numrul mai mic obinem ctul 49 i restul 45. Aflai numerele.

9. Suma a dou numere naturale pare, consecutive, este cuprins ntre 16 i 32. Determinai cele dou numere.

10. Suma a doua numere este 25 iar diferena lor este 5. Aflai produsul lor.

11. Ct poate cntri o bil, n numr ntreg de kilograme ? (greutatea din stnga are 8 kg, iar cea din dreapta 50 kg).



Fia de lucru nr.16

Probleme care se rezolv cu

ajutorul ecuaiilor i inecuaiilor

1. Suma a patru numere naturale consecutive este 58. Aflati numerele.

2. Un numar natural se inmulteste cu 6, rezultatul se aduna cu 8, iar noul rezultat se imparte la 2. Daca rezultatul obtinut este 19 , sa se afle numarul initial.

3. Aflati un numar stiind ca daca la dublul sau adunam 7, iar rezultatul astfel obtinut il inmultim cu 4 obtinem 52.

4. Ana, Ionut si Corina au impreuna 22 de baloane. Aflati cate are fiecare stiind ca Ionut are cu 2 mai multe ca Ana, iar Corina are de doua ori mai multe ca Ana..

5.Un numar natural se inmulteste cu 9, din rezultat se scade 9, noul rezultat se imparte exact la 6 si se aduna cu 24, obtinand 39 .Aflati numarul initial.

6. Suma a doua numere este 27, iar diferenta lor este 7. Calculati produsul numerelor.

7. Doua numere au suma 405, iar unul din ele este de 4 ori mai mare decat celalalt. Aflati numerele.

8. Calculati latura unui patrat cu perimetrul 32m.

9. Calculati perimetrul si aria unui dreptunghi cu L=35m si l=20m..Aflai un numr tiind c dac la dublul su adunm 7 iar rezultatul astfel obinut l inmulim cu 3 obinem 39.

10. Aflai un numr tiind c dac din triplul su scdem 23 iar rezultatul astfel obinut l mprim la 2 obinem 2 .

11.Anamaria , Bogdan i Oana au mpreun 22 baloane .Aflai cte are fiecare tiind c Bogdan are cu 2 mai multe ca Anamaria iar Oana are de dou ori mai multe ca Anamaria.

12.Gabriela , Rzvan , Alexandra i Florica au mpreun 34 creioane colorate.Aflai cte are fiecare tiind c Rzvan are de dou ori mai multe ca Gabriela , Alexandra are de trei ori mai multe ca Gabriela , iar Florica are cu 6 mai multe ca Gabriela.

13.Suma a trei numere naturale consecutive este 66.Aflai numerele.

14.Suma a cinci numere naturale consecutive este 75.Aflai numerele.

15.Aflai toate numerele naturale care:

a) nmulite cu 6 dau un rezultat mai mic ca 24; b) mprite la 4 dau un rezultat mai mic sau egal cu 2; c) Adunate cu 122 dau un rezultat mai mic ca 130; 16. Aflai toate numerele naturale care ndeplinesc condiia:

a) Scznd 15 din triplul lor obinem un rezultat mai mare ca 3; b) Adunnd 56 la dublul lor obinem un rezultat mai mare ca 100; c) Scznd 12 din jumtatea lor obinem un rezultat mai mic ca 2;



Bibliografie

[1] Dan Brnzei (coord.), A.Crstoveanu , C.Chite , I.Galan,R.Diaconescu , Gh. Maiorescu , N.Miron, A.Pavel , C.Pop , G.Popa , C.Potaru , t.Smrndoiu ,I.erdean , C.Timofte,I.Trifon, D.Vlducu

Matematic ,olimpiade i concursuri colare , Editura Paralela 45, 2009

[2] Gazeta Matematic serie B, anii 2010-2012

[3]Leon Piu ,Gabriela Zanoschi , Matematic-aritmetic, algebr, geometrie ,clasa a V-a, standard, Editura Paralela 45 , 2012

[4] S.Peligrad , D.Zaharia ,M.Zaharia , Matematic-aritmetic, algebr, geometrie ,clasa a V-a, consolidare, partea I , Editura Paralela 45 , 2012

[5] Site-ul www.didactic.ro

Numere Naturale

Documents

Transcript of Numere Naturale