GIIEORGITE. ADALBERT SCHNEIDER

sa txvAfartnnamncartcA

rAni PRoFESoRCLASA A V. A

EDITURA HYPERIONCRAIOVA 2017

CUPRINS

l. Numere naturalel.l Operalii cu numere naturalel.l.l Scrierea pi citirea numerelor naturale

1.1.2 Reprezentarea numerelor naturale pe axl.Compararea gi ordonarea nurnerelor naturale. Aproxi-marea qi rotunjirea numerelor naturale.

l,1.3 Adunarea numerelor naturale. Proprietafi"'1. 1.4 Sc6tlerea numerelor naturale

1.1.5 inmullirea numerelor naturale. Proprietiii.Factor comun

1.1.6 impirlirea cu rest zero a numerelor natru'ale'

L1.? tmpErlirea cu rest a uuroerelor naturale. - . '

1.1.8 Puterea cu exponent natural a unui numir

natural. P[tratul si cubul unui num[r natural. Reguli de

calcul cu puteri. Cornpararea puterilor. Scrierea in

baza l0 qi in baza 2.

L1.9 Ordinea efectuirii opera{iilor1.1.10. Metode aritrnetice de rezolvare a proble-

melor. Metoda reducerii la utitate. I\ltetoda figurativi'

Metoda falsei ipoteze. Metoda comparaliei. Metoda

mersului invers.1.1.10.1 Metoda reducerii la unitate

I .l .10.2 Metoda figurativi1.1.10.3 Metoda falsei ipoteze - . ' 'l. l. 10.4 Metoda comparaliei1.1.10.5 Metoda mersului invers

1.2 Divizibilitatea numerelor naturale

1.2.1 Divizor, multiplu. Divizori comuni. Multiplicomunl.

1.2.2 Criterii de divizibilitate cu 2, 5, l0n, 3 ci 9.

Numere prime. Numere compuse"

Enun{. Rezolr.

8l 22881 22883 22988 23293 23397 236102 238

102 238

106 240

s 208

5 208

5 208

13 2102t 2t232 2t6

39 21850 22r58 223

6s 22s78 228

263

2. Fracfii ordinare. Frac$i zecimale. . ' .

2.1 Fraclii ordinare

dintr-o fraclie-2.1.3 Cel mai mare divizor comun a doui ilunere

naturale. Amplifi carea qi simplificare fracfiilor- Frac]iiireductibile.

2.1.4 Cel mai mic multiplu comun a doud numere

naturale. Aducerea fracfiilor la un numitor comun ' - . "

2.1.5 Adunarea qi sciderea fracliilor ordinare-

Proorietlti.i.t.O' inmullirea fracliitor. Puteri' impi4irea

frac[iilor. Proprietifi.2.1.7 Fracfii / procent dinu-un mm[r natural sau

dintr-o fracfie ordinarl2.2 Yracllizecimale

2.?.1 Fracgii zecimale. Scrierea fracliilor ordinare

cu numitori puteri ale lui l0 sub formi de fracfiizecimale. Procent€. Transformarea unei &ac{ii

zecimale cu un numdr finit de zecimale in fracgie

ordinar[.2.2.2 Aproxim[ri. Compararea, ordonarea qi

reprezentarea pe axa numerelor a unor frac1ii zecimale

cu un nundr finit de zecimale nenule'

?.2.3 Adunarea qi sciderea fracliilor zecimale cu

un numdr finit de zecimale nenule

2.2.4 inmulgirea fracliilor zecimale cu rm numlrfinit de zecirnale nenule

2.?.5 imp[rlirea a doul numere naturale cu

rezultat frac1ie zecimali. Transformarea unei frac1ii

ordinare intr-o fracfie zecimali. Periodicitate-

Transformarea unei fractii zecimale periodice in

l13r13

tz4 248

r30 249

136 254

t40 250

rM 251

148 252153 252

2442M

2.1.1 Fraclii ordinare. Fraclii subunitare, echiuni-

tare, supraunitare. Procente. Fracfii echivalente. . . . . 113 244

2.1.2 Compararea fracliilor cu acelaqii numitor /numlritor. Repre^zentarea pe axa numerelor a unei

fraclii ordinare. introducerea $i scoaterea intregilor

ts3 252

156 253

159 2s3

162 2s3

766

fraclie ordinar[.2.7.6 impbrlirea unei fraclii zecimale cu un numir

finit de zecirnale nenule la un nurnir natural nenul.

trnpa4irea a doud fractii zecimale cu un num[r finit de

zecimale nenule. Media aritrneticd a doul sau mai

multor numere nafurale sau frac{ionare- . .

2.2.7 Num6r ra{ional pozitiv. Ordinea efecruirii

operaliilor cu numere ra{ionaie pozitive.

2.2.8 Metode aritmetice umir ralional pozitiv.

Ordinea efectudrii operaliilor cu numere ralionale

pozitive.2.2-9 Probleme de organizarea datelor. Frecven|[,

date statistice organizate in tabele. Crafice cu bare qi /sau cu linii. Media unui set de date statistice.

3 Elemente de geometrie ;i unitilti de

masura3-l Punct, dreaptl, plan, semiplan, semidreapti' seg-

ment de dreaptl. Poziliile relative ale unui punct fa,ti

de o dreapt6. Puncte coliniare. Poziliile relative a doui

drepte.3.2 Distanla dintre doui puncte. Lungirnea unui

sexagesimale.3.4 Figuri

simetrie (prin3.5 Unitifi

perimetre. Uni6fipitratului/dreptun

suprapunere). Axd de

165 254

170 25s

175 256

178 257

183 257

lE5 258

185 258

189 258

192 2s9

195 264

segment. Segmente congruente. Mijlocul unui seg-

ment. Simefficul unui prmct fali de un punct

3.3 Uughi: definilie, notalii, elemente. Interiorul

unui unghi, exteriorul.unui unghi. M[sura unui unghi'

Unghiuri congruente. Clasifi carea unghiurilor. Calcule

cu mlsuri de unghiuri exprimate in grade qi minute

voltrm, aplicali

267

lg9 260

1. Numere naturale1.1 Opera{ii cu numere naturale

1.1.1 Scrierea qi citirea numerelor naturalea) No{iuni teoretice 9i exemPle

l. Nurnerele naturale se scriu cu ajutorul cifrelor arabe care sunto.1,2,3,4,5,6,7,8,9.

2. $irul numerelor naturale este:

0, 1,2,...,11, 12,13,.". 101, 102, 103,...,1001, 1002, 1003,..-

Acest qir incepe deci cu 0 9i nu se termiri, fiind infinit.Oricare dou[ numere alaturate ale girului numerelor naturale

diferl tnke ele prin I qi se numesc numere naturale consecutive"

Exemple: 5 qi 6; 12 gi 13; 105 qi 106; 1568 ;i 1569.

3. in viala de zi cu zi folosim sistemul de nrrmerafie zecima:

care utilizeaz[ in scrierea numerelor naturale cifrele arabe prezentati

la 1.

Sistemul se numeqte zecirnal deoarece:

- zece unitf,li formeazl o zece;

- zece zeci formeaz[ c suttr;- zece sute lbrmeazd o mie.

Conform acestui sistem avem:

a) un num[r natural de 2 cifre se scrie 66 , unde 4, b sunt cifre,

a+Aqiffi=104*0.b) un numlr natural de 3 cifre se scrie 16I, unde o,b,c sunt ci&r,

a+0 $iAm=1004*10b*c.c) un numlrnatural de 4 cifre se scrie oEA, unde a,b,c,d sunt

cifre, a + 0 Eiilm= 1 000o + 100b * LDc * d.

d) un num6r natural de 5 cifre se scrie 6V& , unde &,b,c,d, e suni

cifre, a + 0 qi6m = l-0 0004 + 1 000b * L00c * *10d * e'

in mod analog acest proces de scriere poate continua.

Fiind dat num6rul natural aTcAAf g, atunci cifra unitl]ilor este

e. cifra zecilor este / cifra sutelor este e, cifra miilor este d, cifra

zecilor de mii este c, cifra sutelor de mii este & qi cifra milioanelor

este a.

Exemple: a) 27 = 2'1-0 + 7;

5

b) 195 = L' 100 * 9" 10 * 5;

c) 5729 = 5'1000 + 7'100 +2'10 *9'1;d) 32549 = 3' 10000 +2' 1000 +5' 100 +4' t0 *9' 1;

e) 128 357 = 1' 100 000 + 2' 10 000 + 8' 1 000 + 3' 100 +

+5-10+7'L.4. Pentru a citi un numir natural pnrcedim asffel:

a) separlm cifrele num5rului in grupe de c6te trei cifre de la dreapta

la stinga, grupe pe care le vom numi clase.

b) de la dreapta la stAnga vorn numi clasele astfel: clasa

unit[1ilor, clasa rniilor, clasa milioanelor, clasa miliardelor, etc.

Observa{ie. DacS toate cifrele unei clase smt egaie cu 0, atunci

acesti clasd nu se citeqte.

Exemple: a) Numlru] 127 se citeqte o sutl douizeci qi ;apte.b) Numirul 25 378 se citeqte douizeci ;i cinci de mii trei sute

qaptezeci gi opt, deoarece 25 reprezinti clasa miilor, iar 378

reprezinti clasa unitElilor.c) Numarul 65 290 774 se citeEte qaizeci qi cinci milioane dou[ sute

nou6 zeci mii doui sute $aptezeci qi patru, deoarece 65 reprezintS

clasa milioanelor, 290 clasa miilor gi274 clasa unitElilor.

5. Pentru a scrie un nurn[r natural identificim clasele qi le scriem

de la stinga la dreapta"

Exemple: a) Nurnirul cinci sute Fizeci qi doui mii qapte sute

trerzeci Ei doi se scrie 562 732, deaarcce 562 este clasa miilor qi737este clasa unitililor.b) Num[ru] trei sute dou[zeci Ei cinci milioane patru sute Eaptezeci 9iuna mii cinci sute qaizeci gi nou6 se scrie 325 471 569, deoarece clasa

milioanelor este 325, clasa miilor este 471, iar clasa unitililor este

569.

c) Num6rul doul miliarde trei sute milioane $ase sute trei zeci Ei

cinci se scrie 2 300 000 635, deoarece clasa miliardelor este 2, clasa

milioanelor este 300, clasa miilor nu s-a citit dar s-a scris 000, iarclasa unit[{ilor este 635.

b) Exercitii Ei probleme rezolva{e

l. Scriefi cel mai mic qi cel mai mare numdr natural de formr

a,6.Solu$e. Cel mai mic num6r se obline pentru cifra sutelor egall

cn l, adicl a = L. Clutlm acum cel mai mic numir de forma J6-D-

Acest numf,r se obline pentru b = A Ei este 100.

Cel mai mare numlr se obline pentru cifra sutelor egald cu 9"

adici c = 9. C6utlm acum cel mai mare numhr de forma 9bb. Acest

numir se obline pentru b = 9;i este 999.

2. Scrieli toate numerele narurale de forma 7ffi2 penffu care

a*b=3.Sotu$e.Avem: a* b =3 =ac = 0,b = 3;a = \,b =2i a =

= ?,b: 1 $i a = 3,b = 0. Atunci numerele naturale sunt: ? 032,

7 l?2,7 212,7 302.

3. Scrieli toate numerele naturale de forma 6e cucifrelecmsecutive.

Solu$e. Deoarece o * 0 numerele sunt 123, 234,345,456,567,67t, 789. 987, 876, 7 65, 654, 543, 432, 321, Zl0.

4. Scrieli toate numerele nafi:rale de forma aSfr6 pentru care

axb=24.Solufie. Deoarece a x b = ?4, iat a qi b sunt cifre rezultS:

a = 3,b = 8; a. = 4,b = 6;Q. = 6,b = 4;a = 8,b = 3' Numereleglat: 35 278, 45 27 6: 65 274; 85 273

5. Scrie{i toate numerele naturale de forma Taam care au

podusul cifrelor egal cu 960'Solu{ie. Avem ax a.xa x 4 x 5 x 6 = 960 + "' =r

a x a x a = 8 = 2 x 2 x 2 * a = Z.Numflru] este 222 456-

6. Scrie{i roate numerele naturale de fonna Am- care au trei

cifreegaleqia*b=6.Solufie. Deoarece a * b = 6 ren:/rti a = 6,b = 0ia = 5,b ='

= 1; a * 4,h a Z;a = 3,b = 3ia = 7,b = 4;g: 1,b : 5.

Numerele sunt: 62 011,52 111,47211,32311,22 411, 12 511'

Dintre acestea numerele cu trei cifre egale sunt: 52 I I 1. 12 5l 1'

7" Fie toate numerele de forma Am cu suma cifrelor egal6 cu

19. Ar1ta{i c[ nu existi nici un numlr dintre acestea, ca{e si aibidoui cifre egale.

Solu{ie. Avem: a+ b + 1+? +3 = 19 * a * b = 13- Cum a

qi&suntcifreavern: a<9 gib S g,deuncle L3 = a+b <a*ii =+

=+ 4 < a gi analog 4 < b- Atunci cifrele 1,2,3 nu pot apare de douh

ori in cadrul uumlrului, deoarece nu pot fi egale cu 4 sau b care sunt

mai mari sau egale cu 4. Singura posibilitate de a avea doul cifre

egale este ea a = b, ceea ce nu se poate deoarece a + b = t3 =r

=+ c * a = L3. Deci nu existi Eumere care si aibl douh cifre egale.

S. Detenninafi toate numerele de forma AilTA care sI aibl trei

cifre egale.

Solufie. Numerele cu trei cifie egale sunt:

a) Numerele de forma #Tfi,b + 3 care sunt la num6r 9 qi anume:

30 334, 31 334,32 334,34 334,35 334,36 334,37 334,38 334 Ei

39 334.b) Numerele de forma7F?F4,a + 0 gi a * 3 care sunt la num[r 8 qi

anume: 13 334, 23 334,43 334,53 334, 63 334,73 334,83 334 qi

93 334.c) NumErul 44334.

9. Determinali toate numerele impare mai mari decit 541 000 qi

mai mici decdt 542 000 care sI aibl suma cifrelor egali cu 16.

Solufie. Numerele mai mari decit 541 000 qi mai mici dec6t

542 000 se scriu sub formaT{Tffi. Atunci avem: 5 + 4 + 1* a *+b+c=16=+a*b*c=6.

Deoarece numerele sunt impare trebuie ca c sI fie impar, deci

c = 1,3,5.Dacdc = 1=+ a*b * 5;inumerelesunt:541 501, 541411,

54t 321,541 231, 541 l4l, 541 051.

Dacic = 3 + a*b = 3 qinumerelesunt:541 303,541213,541 121,541 033.

Dacic = 5.+ a*b = l ginumerelesunt:541 105,541 015.

c) Exerei$i Ei probleme propuse spre rezolvare

t. Cel mai mic numlr uatural de trei cifre este:

99 100 101 s25 e98

2. Celmai mare num6r natural par de trei cifre este:

98 100 l0z 524 998

3. Cel mai mic numlr natural de patru cifre este:

999 1000 100I Il00 1120

4. Cel mai rnare numir nafural de patru cifre este:

997 I 001 I 998 I 999 trt) 000

5. Cel mai mic num[r natural impar de patru cifie este:

999 1000 1001 1100 1120

6. Cel mai mare num6r natural par de patru ci{ie este:

997 I 001 9 998 9 999 10 000

7. Cel mai mic numir natural inrpar de cinci cif,rs este:

9999 10 000 10 001 10 100 10 120

8. Cel mai mare numir natural par de cinci cifre este:

99 997 10 001 99 998 99 999 100 (}00

9. Num[ru] natural o sutl doi se scrie:

120 102 ztl 210 zlt10" Num[rul natural cinci sute qaptezeci qi gase se scrie:

6s7 756 576 561 765

ll. NurnIrul natural dou[ mii Eapte sute treizeci gi gase se scrie:

7 362 2631 3276 2136 2376

12. Numirul natural qase mii trei sute se scrie:

3060 6300 3 600 6 030 6 003

13, Numarul natural doulspreze mii gapte sute optzeci qi nou6 se

scrie:

12159 12879 ?1 789 12978 12897

14. Numirul natural $apte sute douizeci mii cinci sute optzeci 9idoi se scrie:

722238 712852 720 852 720 582 7t2528

15. Scrie toate numerele naturale de forma ab ,u cifrele conse-

cutive qi crescitoare. Cel mai mare dintre ele este:

24 89 87 61 78

16. Scrie toate nurnerele naturale de forma ffi cu cifrele conse-

cutive qi descresc6toare. Cel mai mic dinse ele este:

32 89 81 2l l0

1?. Scrie toate numerele naturale de forma ai cu cifrele conse-

cutive. Cel mai rnare dintre ele este:

s6 89 87 78 98

18. Scrie toate nilnercle naturale de fonna ffi cu cifrele conse-

cutive ;i cresc6toare. Cel mai mare dintre ele este:

798 897 876 678 789

19. Scrie toate numerele naturale de forma aii cu cifrele conse-

cutive. Diferenla dinire cel mai mare ;i cel mai mic dintre ele este:

55s 777 864 978 679

20. Scrie toate numerele naturale de 3 cifre distincte care se

formeaz[ cu cifrele 2, 3 rgi 4. Cel mai mare dintre aceste numere este

egal cu:

234 243 324 342 432

?1. Scrie toate nun:erele naturale de 3 ci*e distincte care se

formeazi cu cifrele 1,3 Ei 5. Diferenla dinhe cel mai mare Ei cel mai

mic dintre acesde numere este egall cu:

234 243 324 396 432,

10

22. Scrie toats numerele nafurale de 3 cifre distincte care se

formeazi cu cifrele 0, 2 gi 4. Numirul lor este egal cu:

3456123. Scrie toate numerele naturale de 4 cifre distincte care se

formeazl cu cifrele 1, 2, 5 qi 7. Num6ru1 lor este egal cu:

6 17, 18 24 30

24. Scrie toate numerele nahrrale de 4 cifre distincte care se

fomreazl cu cifrele 0,2,3 9i 8. Nurndrul lor este egal cu:

61218243025. Diferenp dintre cel mai mare qi cel mai mic numir de fomra

il, unde a * b = 6 este egal6 cu:

25 30 35 40 4s

26. Numere de forma76, care verifici relalia I& = 6E sunt:

cinci Ease gaPte opt noul

27. Numere de forma ab' cu a-b=5 sunt mai multe decit

t234528. Diferenla dintre cel mai mare qi cel mai mic num6r de forma

19 15 57 85 47

29. Diferenla dintre cel rnai mare qi cel mai mic num6r de forma

ffi,a * b este egal6 cu:

1r9 8?6 857 888 947

30. Cel mai mic numlr de forma at$ +fiI,a * b este egal cu:

177 211 321 2s2 431

31. Cel mai mare numf,r de fonna E6 + 65d,a * & este egal

cu:

4217 2315 t9t2 1647 2351

ll