Notiuni despre zgomot

asist. dr. ing. Arcadie Cracan

8 iunie 2012

1 Introducere

Fenomenele aleatorii care se manifesta n sistemele care proceseaza semnale si care

prin caracterul lor aleatoriu fac aceasta sarcina mai dificila poarta denumirea gene-

rica de zgomot. ntr-un sistem exista numeroase surse de zgomot, unele care repre-

zinta rezultatul interferentei care apare ntre doua cai prin care se propaga semnalul

procesat si care sunt de asemeni nedorite, altele care sunt rezultatul fenomenelor

microscopice care se manifesta n dispozitivele care alcatuiesc sistemul.

Noi vom considera zgomot doar fenomenele aleatorii care se manifesta si n ab-

senta semnalului de intrare (excluznd n acest fel fenomenele de interferenta men-

tionate anterior, care dispar n momentul n care se anuleaza semnalul de intrare).

Mai mult, vom neglija zgomotele care si au originea n afara sistemului (de exem-

plu zgomotul care provine din fluctuatiile atmosferice) si ne vom focaliza asupra

zgomotelor care se datoreaza fenomenelor microscopice care au loc n dispozitivele

electronice care alcatuiesc sistemul considerat.

Aparatul matematic utilizat pentru modelarea acestor fenomene este cel oferit

de teoria probabilitatilor. Zgomotul este modelat ca un proces aleator, care are pro-

prietati deosebite n functie de natura fenomenelor carora el se datoreaza.

n cadrul sistemelor electronice de procesare a semnalelor dispozitivele elec-

tronice joaca rolul de componente elementare care realizeaza anumite functii de

baza care, n ansamblul lor, implementeaza o operatie de procesare dorita. Deoa-

rece functionarea dispozitivelor are la baza anumite fenomene microscopice care

se petrec n interiorul lor (cum ar fi transportul electronilor prin difuzie, miscarea

ordonata a sarcinilor ntr-un cmp electric, efectul de tunelare printr-o bariera de

potential) si care sunt caracterizate de un grad de incertitudine, zgomotul este ine-

rent functionarii oricarui dispozitiv electronic.

O parte semnificativa de astfel de fenomene aleatorii pot fi modelate simplu

daca se tine cont de faptul ca functiile de baza ale dispozitivelor electronice (cum ar

fi conductia sarcinilor electrice) sunt efectul macroscopic al unor cauze microsco-

pice si care, datorita teoremei de limita centrala, este caracterizat de o distributie

normala. Zgomotele tipice din dispozitivele electronice, asociate fenomenelor de

transport de sarcina sau agitatiei termice, n care sunt implicati numerosi purtatori

de sarcina, sunt modelate de procese aleatoare gaussiene.

Binenteles exista si procese aleatoare care nu pot fi modelate n acest mod. Ast-

fel de zgomote sunt generate prin mecanisme care nu sunt nca pe deplin cunos-

cute sau ntelese (asa cum ar fi zgomotul de licarire sau zgomotul de floricele de

porumb).

Totusi, n cadrul unui sistem complex, alcatuit din numeroase componente elec-

tronice care, la rndul lor, sunt caracterizate de mai multe surse de zgomot, zgomo-

tul din iesire se datoreaza contributiilor unui numar foarte mare de surse de zgomot

1

si, ajutati de teorema de limita centrala, putem presupune ca acest zgomot poate

fi modelat aproximativ ca un proces gaussian. Chiar si un sistem electronic sim-

plu contine numeroase surse de zgomot (pna si o dioda este caracterizata de mai

multe surse de zgomot) astfel nct, n practica, zgomotul din iesirea sa sa poata fi

aproximat printr-un proces aleator gaussian.

2 Calitatea semnalului, raportul semnal-zgomot

Detectia reprezinta ansamblul de operatii efectuate pentru a separa semnalul util

de zgomot. Masura n care ea este ncunutata de succes depinde de caracteristicile

semnalului detectat si de caracteristicile zgomotului care l perturba. Sistemul care

efectueaza detectia poarta numele de detector. Este dificil sa realizam o separare

clara a detectorului n cadrul unui sistem deoarece ntregul lant pe care l parcurge

semnalul de la intrarea sistemului pna la iesirea acestuia este construit pentru a

mbunatati calitatile semnalului n detrimentul perturbatorilor sai.

Detectorul poate fi mai clar localizat atunci cnd n lantul de procesare se extrag

preferential una sau mai multe din caracteristicile semnalului, ignornd restul. n

acest sens un detector poate fi un comparator sau un convertor analog-numeric, un

circuit care determina faza unui semnal n raport cu un semnal de referinta sau un

circuit care masoara frecventa unui semnal. Dar un detector poate fi si un subiect

uman, care receptioneaza un mesaj auditiv care contine o informatie relevanta pen-

tru el. n acest caz definirea obiectiva a operatiei de detectie este dificila.

n functie de complexitatea mesajului care trebuie detectat, detectia poate sa fie

ntr-o masura mai mare sau mai mica reusita. De exemplu daca mesajul este consti-

tuit dintr-un singur bit, atunci detectia poate fi un succes total sau un esec total. n

cazul unei secvente de biti transmise o parte din biti pot fi detectati corect iar o parte

gresit si, prin urmare, detectia este numai partial reusita (sau partial nereusita). n

mod evident perturbatiile, care adauga calitati ne-intentionate mesajului transmis,

fac detectia dificila si cu ct perturbatiile sunt mai mari, cu att mai dificila devine

detectia.

Pentru a caracteriza masura n care un semnal util este afectat de zgomot s-a in-

trodus notiunea de raport semnal-zgomot (n engleza signal to noise ratio = SNR).

Intuitiv acest raport caracterizeaza cantitatea de semnal relativ la cantitatea de

zgomot. Desi n diferite aplicatii notiunea de cantitate de semnal are interpre-

tari diferite, o modalitate suficient de generala de a defini cantitatea de semnal

este raportndu-ne la continutul sau energetic. Justificarea acestei alegeri consta n

observatia ca orice fenomen natural, orice transfer de informatie are loc printr-un

transfer de energie.

Atunci cnd se considera intervale foarte lungi de timp (poate chiar infinit lungi)

cantitatea de energie vehiculata de un semnal nu este cea mai potrivita metrica de-

2

vs

vn,s ZS N

ZN

v n2

vn1 i n2

in1

(a) Schema generala a circuitului n care se pune n evidenta generatorul de semnal sipunctul N

vth

vn,th Zth N

ZN

(b) Circuitul echivalent obtinut prin mode-larea jumatatii stngi cu echivalentul Thve-nin, iar jumatatii drepte prin impedanta va-zuta din punctul N spre dreapta

Figura 2.1: Determinarea raportului semnal-zgomot ntr-un punct N al circuitului

oarece ea poate sa devina foarte mare (chiar infinita, n cazul unui interval de timp

infinit). De aceea s-a ales o marime derivata din energie si anume puterea medie.

Astfel raportul semnal-zgomot se defineste ca

SN R = puterea medie a semnaluluiputerea medie a zgomotului

Nivelul minim al semnalului acceptat ntr-o aplicatie depinde de rata de erori tole-

rata n acel context. De multe ori aceasta poate fi o marime subiectiva, de exemplu

pentru o auditie muzicala unele persoane pot sa tolereze mai mult zgomot dect

altele. n alte situatii aceasta poate fi o marime obiectiva, de exemplu n proiecta-

rea unei retele de comunicatii rata de erori tolerata, care depinde direct de raportul

semnal-zgomot, o sa aiba un impact direct asupra vitezei de transmisie a datelor,

impact care poate fi cuantificat n mod obiectiv.

Pentru a determina raportul semnal-zgomot ntr-un punct al unui circuit este

necesar sa calculam puterea medie a semnalului si puterea medie a zgomotului n

acel punct. n acest moment este important sa facem o precizare. Atunci cnd vor-

bim de raportul semnal-zgomot ntr-un punct al circuitului puterea medie a semna-

lului si a zgomotului trebuie determinata pe aceeasi sarcina, care poate fi impedanta

vazuta de sursa de semnal n acel punct sau o oarecare sarcina imaginara (care nu

exista propriu zis n acel punct n circuit) aleasa convenabil. Totusi nu putem alege

o sarcina nula (scurt-circuit) sau o sarcina infinita (gol), caci, n aceste situatii, nu

se disipa putere n sarcina si, prin urmare, att puterea medie a semnalului ct si

3

puterea medie a zgomotului ntr-o astfel de sarcina este nula, iar raportul semnal-

zgomot nu poate fi definit. n situatiile n care trebuie sa calculam raportul semnal-

zgomot pe o sarcina de impedanta zero sau infinita putem sa calculam acest raport

pe o sarcina imaginara finita si nenula, apoi sa luam la limita acest raport pentru

valoarea zero sau infinita a sarcinii.

Vom explica n continuare motivul pentru care putem alege liber impedanta de

sarcina pentru care sa calculam puterea semnalului si puterea zgomotului. Aceasta

explicatie va fi superficiala n ceea ce priveste puterea medie a zgomotului, notiune

care va fi detaliata mai trziu, nsa n esenta ea va fi corecta. Pentru moment zgo-

motul va fi considerat asemanator oricarui alt semnal determinist, iar n analiza pe

care o vom face vom considera un sistem liniar caracterizat n domeniul frecventa.

Sa presupunem ca dorim sa determinam raportul semnal-zgomot ntr-un punct

N al circuitului, asa cum se arata n figura 2.1a. n aceasta figura generatorul de

semnal este caracterizat de o sursa de tensiune, vs , care reprezinta semnalul util, o

sursa de tensiune de zgomot, vn,s , care modeleaza zgomotul care a corupt semnalul

si o impedanta interna a generatorului, ZS . Semnalul care apare n punctul N n care

dorim sa determinam raportul semnal-zgomot poate fi privit ca fiind cel generat de

echivalentul Thvenin al blocului care genereaza semnalul si care disipa putere pe

impedanta ZN care se vede din punctul N spre dreapta.

Puterea medie disipata ntr-o impedanta Z care are la borne o tensiune V ( f ) n

domeniul frecventa si care este parcursa de un curent I ( f ) n domeniul frecventa are

valoarea

P = 12

Re{V ( f )I( f )}= 12

Re

{V ( f )V ( f )

Z

}= |V ( f )|2d f

2Re{Z }(2.1)

n care V ( f ) = v(t )e j 2pi f t dt este transformata Fourier a tensiunii n domeniultimp v(t ) de la bornele impedantei Z , avnd ca variabila frecventa f , iar I ( f ) = i (t )e

j 2pi f t dt este transformata Fourier a curentului n domeniul timp i (t ) careparcurge impedanta Z , avnd ca variabila frecventa f .

n figura 2.1b tensiunea vth reprezinta tensiunea care apare n figura 2.1a la bor-

nele circuitului din stnga punctului N n gol (|ZN | ) atunci cnd este activanumai sursa de semnal vs , vn,th este tensiunea care apare la bornele circuitului din

stnga punctului N n gol atunci cnd sunt active numai sursele de zgomot (vn,s ,

vn1, vn2, . . . , in1, in2, . . . ), iar Zth reprezinta impedanta vazuta spre stnga punctului

N atunci cnd att sursa de semnal ct si sursele de zgomot sunt pasive.

Cu relatia (2.1) putem calcula puterea medie disipata n sarcina ZN datorita sem-

nalului vth , pe care o vom nota cu Ps si datorita zgomotului vn,th , pe care o vom

4

nota Pn

Ps = ZNZth+ZN vth( f )2 d f

2Re{ZN }=

ZNZth+ZN |vth( f )|2d f2Re{ZN }

Pn = ZNZth+ZN vn,th( f )d f

2Re{ZN }=

ZNZth+ZN |vn,th( f )|2d f2Re{ZN }

Cu aceste relatii raportul semnal-zgomot n punctul N se obtine

SN RN = PsPn=

|vth( f )|2d f |vn,th( f )|2d f

Se poate observa ca raportul semnal-zgomot n punctul N nu depinde de impe-

danta vazuta din punctul N spre dreapta si, prin urmare, impedanta pe care se de-

termina puterea medie a semnalului si a zgomotului poate fi aleasa liber. De multe

ori sarcina se alege ca fiind complex-conjugata impedantei interne a generatorului

(ZN = Zth) astfel ca, datorita teoremei transferului maxim de putere, puterea mediea semnalului sa fie chiar puterea maxima disponibila din generator, iar puterea me-

die a zgomotului sa fie chiar puterea maxima de zgomot disponibila din generatorul

de zgomot.

n continuare vor fi detaliate notiunile de putere medie a unui semnal determi-

nist si putere medie a unui semnal aleator (de zgomot).

3 Puterea medie a unui semnal determinist

Pentru un semnal determinist x(t ) puterea instantanee este considerata a fi patratul

amplitudinii, x2(t ). O explicatie posibila pentru aceasta este sugerata de efectul lui

Joule care descrie cantitatea de energie disipata de un rezistor parcurs de un curent

I ntr-un interval de timp t . n general, puterea absorbita dintr-o sursa de un circuit

la unul din porturile sale la momentul de timp t , la care se aplica tensiunea v(t ) si

n care intra curentul i (t ) este

P (t )= v(t ) i (t )

Daca acel port poate fi echivalat cu un rezistor (din punctul de vedere al sursei de

putere), atunci, datorita legii lui Ohm, puterea instantanee se scrie

P (t )= v2(t )

R= i 2(t )R

n cazul n care se considera un rezistor cu o rezistenta de 1 puterea instantanee

devine

P (t )= v2(t )= i 2(t )

5

n care unitatea de masura este watt-ul. Cu aceasta conventie puterea devine o cali-

tate a semnalului si nu o marime dependenta de sarcina n care aceasta se disipa. De

fiecare data cnd este nevoie de puterea instantanee disipata ntr-o sarcina, aceasta

pur si simplu se nmulteste cu o constanta (e.g. R sau 1/R).

Atunci cnd se considera efectul energetic al puterii disipate se vorbeste despre

puterea medie care se defineste ca energia disipata ntr-un interval de timp T . Rela-

tia puterii medii cu puterea instantanee este

PT =1

T

T0

P (t )dt

Intervalul de timp T pentru care se calculeaza puterea medie depinde de natura

semnalului.

Pentru un semnal periodic se alege un interval de timp egal cu perioada sem-

nalului. n acest caz puterea medie se poate exprima n functie de amplitudinile

armonicilor care compun semnalul periodic. Daca consideram ca semnalul xT (t )

este un semnal periodic cu perioada T , adica xT (t +T ) = xT (t ), atunci el se poatedezvolta n serie Fourier complexa [2], avnd urmatoarea forma

xT (t )=0+

n=1(ne j nt +ne j nt ),

unde = 2pi/T , iar i , i = ,, sunt coeficientii seriei Fourier complexe. Coefi-cientii seriei Fourier complexe se calculeaza dupa relatiile:

0 = 1T

T0

xT (t )dt ,

n = 1T

T0

xT (t )e j nt dt

Despre 0 spunem ca este componenta de curent continuu a semnalului xT (t ).

Seria Fourier reala, exprimata ca suma de cosinusuri, are forma:

xT (t )= A0+

n=1An cos(nt +n)

n care A0 =0, An = 22n +2n sin =arctan nn , iarn si n sunt dati de relatiile:

n = 1T

T0

xT (t )cos(nt )dt

n = 1T

T0

xT (t )sin(nt )dt

Puterea medie a semnalului periodic xT (t ) se scrie

6

PxT =1

T

T0

x2T (t )d t =1

T

T0

[A0+ A1 cos(t +1)+ A2 cos(2t +2)+ . . .

]2 dtTinnd cont de ortogonalitatea functiilor cos(nt +n) putem scrie

PxT =1

T

T0

x2T (t )d t = A20+

n=1

A2n2

n felul acesta am exprimat puterea medie a unui semnal periodic prin componen-

tele sale armonice. n aceasta relatie se observa ca pentru a determina puterea me-

die a unui semnal periodic se sumeaza patratul componentei de curent continuu cu

patratele pe jumatate ale amplitudinilor componentelor sinusoidale.

4 Puterea medie a zgomotului, densitatea spectrala de

putere

n cazul unui semnal aleator este firesc sa se aleaga ntreaga axa a timpului pentru

a calcula puterea medie. Daca X (t ) este un proces aleator, atunci puterea medie

asociata semnalului X (t ) se defineste ca

PX = limT

1

T

T0

X 2(t )dt

considernd ca masurarea ncepe de la momentul 0. Trebuie sa facem observatia ca

n acest caz PX este o variabila aleatoare. n cazul acestei definitii se poate aplicalegea numerelor mari [3]. Astfel, daca X 2(t ) este un semnal slab stationar, asimpto-

tic necorelat, cu momente de ordinul unu si doi finite atunci

limT

1

T

T0

X 2(t )dt = X 2(t )

n care X reprezinta valoarea medie a variabilei aleatoare X . Cum X 2(t )= E{X 2(t )}=RX (t , t )=RX (t t ,0)=RX (0) se deduce ca

PX =RX (0)

n care am dat o interpretare fizica, de putere medie, valorii n zero a functiei de

autocorelatie. Pe de alta parte, ntre functia de autocorelatie si transformata sa Fou-

rier SX ( j)=RX (t )e

jt dt [2] exista urmatoarea relatie

RX (t )= 12pi

SX ( j)ejt d

7

care este chiar relatia de definitie pentru transformata Fourier inversa. Pentru t = 0aceasta relatie devine

RX (0)= 12pi

SX ( j)d

Facnd schimbarea de variabile = 2pi f rezulta

RX (0)=

SX ( j 2pi f )d f

Vom nota cu SX ( f ) = SX ( j 2pi f ), preciznd ca daca argumentul este real ( f ), atuncivariabila este frecventa, iar daca argumentul este imaginar ( j, j 2pi f ), atunci varia-

bila este pulsatia. Cu aceasta notatie relatia se scrie

RX (0)=

SX ( f )d f

Prin urmare puterea medie este

PX =

SX ( f )d f

Asa cum masa unui obiect rezulta ca suma de mase elementare date de produsul

dintre densitate si volumele infinitezimale (m = V dV ), puterea medie rezulta casuma de puteri distribuite n intervale infinitezimale de frecvente. Deoarece SX ( f )

reprezinta o putere distribuita n frecventa ea a capatat numele de densitate spec-

trala de putere.

Cu aceasta explicatie, transformata Fourier a functiei de autocorelatie capata o

semnificatie fizica concreta ea reprezinta densitatea spectrala de putere a semna-

lului aleator. Desi, propriu zis, densitatea spectrala de putere a unui semnal aleator

X (t ) este SX ( f ), ne vom referi cu acelasi nume si la transformata Fourier a functiei

de autocorelatie, SX ( j), prima fiind versiunea scalata cu un factor de 2pi pe axa

frecventelor a celeilalte (SX ( j 2pi f )= SX ( f )).

5 Raspunsul sistemelor LIT

n aceasta sectiune vom urmari sa caracterizam prin prisma denstitatii spectrale de

putere raspunsul sistemelor liniare, invariante n timp, cauzale [2] atunci cnd la

intrarea lor se aplica un proces aleator din L2 [3]. n acest caz procesul de iesire Y (t )

are forma

Y (t )=

X ()h(t )d= X (t )h(t )

8

Media procesului aleator se determina

Y (t )= E{Y (t )}= E{

X ()h(t )d

}=

E{X ()}h(t )d=

=

X ()h(t )d=X (t )h(t )

Daca procesul de intrare este slab stationar, atunci X (t )=X si rezulta ca

Y (t )=X

h(t )d=X

h()d =X

h()d =Y (5.1)

n care s-a facut schimbarea de variabila = t .Functia de corelatie a procesului din iesire are forma (n cazul general)

RY (t , s)= E{Y (t )Y (s)}= E{

X (t )h()d

X (s)h()d}=

= E{

X (t )X (s)h()h()dd}=

=

E{X (t )X (s)}h(t )h(s)dd=

=

RX (t , s)h()h()dd

Pentru un proces X (t ) slab stationar RX (t , s)=RX (t s,0)=RX (t s), prin urmare

RY (t , s)=

RX (t , s)h()h()dd=

=

RX (t s ())h()h()dd=RY (t s,0)=RY (t s) (5.2)

Din relatiile (5.1), (5.2) rezulta ca Y (t ) este un proces slab stationar daca X (t ) este

un proces slab stationar. Asadar, pentru un proces aleator slab stationar n intrare,

un sistem LIT produce un proces aleator slab stationar n iesire.

Relatia (5.2) se poate rescrie sub forma de convolutii

RY (t s)=

RX (t s ())h()h()dd=

=

[

RX (t s+)h()d]

h()d=

=

[RX (t s+)h(t s+)]h()d =

=

[RX (t s)h(t s)]h()d=

=RX (t s)h(t s)h((t s))

9

O alta relatie care poate fi scrisa sub forma de convolutii este relatia pentru func-

tia de corelatie ncrucisata (termenul n engleza este cross-correlation) a unui pro-

ces aleator Z (t ) cu un alt proces aleator Y (t ) care rezulta n iesirea unui sistem LIT

la intrarea caruia se aplica procesul aleator X (t ) care este conjugat slab-stationar

cu procesul Z (t ) (n sensul ca ambele sunt slab-stationare, iar functiile de corela-

tie ncrucisata, RZ ,X (t , s) = E{Z (t )X (s)} si RX ,Z (t , s) = E{X (t )Z(s)}, depind numaide distanta dintre esantioane, RZ ,X (t , s) = RZ ,X (t s,0) = RZ ,X (t s), RX ,Z (t , s) =RX ,Z (t s,0)=RX ,Z (t s))

RZ ,Y (t , s)= E{Z (t )Y (s)}= E{

Z (t )

X ()h(s)d}=

= E{

Z (t )X ()h(s)d

}=

E{Z (t )X ()}h(s)d=

=

RZ ,X (t )h(s)d s+=

RZ ,X (t s)h()d=

=RZ ,X (t s)h((t s))=RZ ,Y (t s) (5.3)

RY ,Z (t , s)= E{Y (t )Z(s)}= E{[

X (t )h()d

]Z(s)

}=

=

E{X (t )Z(s)}h()d=

RX ,Z (t s)h()d=

=RX ,Z (t s)h(t s)=RY ,Z (t s) (5.4)

Din relatiile (5.2), (5.3) si (5.4) rezulta ca si procesele Y (t ) si Z (t ) sunt conjugat slab-

stationare.

Calculul convolutiilor se face mai simplu n domeniul frecventa [2]. Cu notatiile

MX ( j)=F {X (t )}, MY ( j)=F {Y (t )}, H( j)=F {h(t )} avem

MY ( j)=F {Y (t )}=F {X (t )h(t )}=F {X (t )}F {h(t )}=H( j)MX ( j)

n cazul n care X (t ) este slab stationar, media sa este constanta si procesul de iesire,

Y (t ), este tot slab-stationar, cu media constanta, rezultat care se scrie n domeniul

frecventa sub forma

Y ( j)=H( j)X( j)=H(0)X( j)

din care rezulta

Y =H(0)X

n cazul n care X (t ) este slab stationar functia de autocorelatie a iesirii depinde de

o singura variabila, iar transformata sa Fourier este densitatea spectrala de putere

10

care se poate determina dupa formula

SY ( j)=F {RY ()}=F {RX ()h()h()}=F {RX ()}F {h()}F {h()}== SX ( j)H( j)H( j)= SX ( j)|H( j)|2

n acelasi mod se pot calcula transformatele Fourier ale functiilor de corelatie ncru-

cisata RZ ,Y () si RY ,Z (), pe care, prin extensie, le vom numi densitati spectrale de

putere ncrucisate

SZ ,Y ( j)=F {RZ ,Y ()}=F {RZ ,X ()h()}=F {RZ ,X ()}F {h()}== SZ ,X ( j)H( j)

SY ,Z ( j)=F {RY ,Z ()}=F {RX ,Z ()h()}=F {RX ,Z ()}F {h()}== SX ,Z ( j)H( j)

Astfel, ca si n cazul calculul raspunsului la semnale deterministe, transformata

Fourier (ca si transformata Laplace) ofera o modalitate mai simpla de a calcula mo-

mentele de ordinul unu si doi ale proceselor aleatoare slab stationare care se aplica

la intrarea unor sisteme liniare, invariante n timp.

6 Zgomotul termic

n continuare vom formula un model care sa caracterizeze zgomotul termic prezent

n orice dispozitiv electronic aflat la o temperatura nenula. Acest zgomot, care se

manifesta ca un curent aleator, de medie zero, care parcurge, de exemplu, un rezis-

tor cu bornele n scurt-circuit sau care se manifesta ca o tensiune la bornele unui

rezistor n circuit deschis, se datoreaza agitatiei termice a electronilor liberi din dis-

pozitiv.

Sa presupunem ca avem o bara cilindrica la temperatura T , la capetele careia

am conectat un ampermetru. Miscarea aleatoare a electronilor va genera n aceasta

bara un curent I (t ) masurat de ampermetru. Parametrii fizici care au semnificatie

pentru modelul pe care l vom deduce sunt:

A =aria sectiunii transversale a barei

L =lungimea barei

q =sarcina electronului

n =numarul de electroni pe centimetru cub

11

=numarul mediu de ciocniri ale unui electron cu particule mai grele, ntr-uninterval de o secunda (n jur de 103)

m =masa electronului

=rezistivitatea barei= mnq2

R =rezistenta barei= LA k =constanta lui Boltzmann

Curentul masurat de ampermetru se datoreaza miscarii electronilor n directie lon-

gitudinala, pe care o vom nota cu x. Sa notam cu vx,l (t ) viteza n directia x a elec-

tronului l la momentul de timp t . Curentul total I (t ) este dat de suma curentilor

datorati fiecarui electron

I (t )=n ALl=1

il (t )=n ALl=1

q

L/vx,l (t )= q

L

n ALl=1

vx,l (t )

Vom face urmatoarele presupuneri:

1. valoarea medie a vitezei electronilor este zero, E{vx,l (t )}= 0 pentru l , t ,

2. vx,l (t ) si vx,m(t ) sunt variabile independente pentru l 6=m,

3. vx,l (t ) are aceeasi distributie pentru toti l .

Cu aceste presupuneri se arata simplu ca functia de corelatie a vitezelor a doi elec-

troni diferiti este nula pentru orice momente de timp.

Functia de autocorelatie pentru curentul total I (t ) se scrie ca

RI ()= E{I (t )I (t +)}= q2

L2

n ALl=1

E{vx,l (t )vx,l (t +)}=

= q2n A

LE{vx (t )vx (t +)}

n care s-a renuntat la indicile l pe motiv ca distributiile vitezei electronilor sunt

identice.

Urmatoarea presupunere este n legatura cu viteza electronului nainte si dupa

o ciocnire. Deoarece electronul se ciocneste cu particule mult mai grele dect el,

viteza lui este n totalitate data de corpul greu cu care se ciocneste (de exemplu

un atom care vibreaza n jurul punctul de echilibru din reteaua cristalina) si, prin

urmare, viteza electronului dupa ciocnire este independenta de viteza electronului

nainte de ciocnire. Daca notam cu Nt , numarul de coliziuni pe care le sufera un

12

electron n intervalul de timp [t ,), atunci aceasta se poate exprima n termeni de

corelatie n felul urmator

E{vx (t )vx (t +)|Nt , = 1}= E{vx (t )}E{vx (t +)}

n care am utilizat faptul ca pentru doua variabile aleatoare independente corelatia

este egala cu produsul mediilor. Deoarece viteza medie a unui electron este zero din

presupunerile anterioare putem scrie

E{vx (t )vx (t +)|Nt , = 1}= 0

Acelasi rezultat se obtine si n cazul unui numar mai mare de ciocniri, deoarece si

dupa mai multe coliziuni viteza electronului este independenta de viteza initiala,

prin urmare

E{vx (t )vx (t +)|Nt , 6= 0}= 0

Daca electronul nu a suferit nici o coliziune, atunci viteza lui ramne neschimbata

si, prin urmare

E{vx (t )vx (t +)|Nt , = 0}= E{vx (t )vx (t )}= E{v2x (t )}

Pentru a calcula corelatia E{vx (t )vx (t +)} vom utiliza legea sperantei totale

E{vx (t )vx (t +)}= E{E{vx (t )vx (t +)|Nt ,}}== E{vx (t )vx (t +)|Nt , = 0}PNt , (Nt , = 0)++E{vx (t )vx (t +)|Nt , 6= 0}PNt , (Nt , 6= 0)== E{v2x (t )}PNt , (Nt , = 0)

Variabila aleatoare care da numarul de coliziuni ale unui electron n intervalul de

timp [t , t +) urmeaza o distributie de tip Poisson dupa expresia

PNt , (Nt , = c)= e()c

c !, c = 0,1,2, . . .

astfel corelatia Rvx () devine

Rvx ()= E{vx (t )vx (t +)}= E{v2x (t )}e||

Energia electronului, despre care vom presupune ca este n principal energie cine-

tica, se determina din termodinamica gazului de electroni [1]

1

2mE{v2x (t )}=

1

2kT

13

iar de aici rezulta

E{v2x (t )}=kT

m

Prin urmare

Rvx ()=kT

me||

Corelatia curentului total rezulta

RI ()= q2n A

L kT

me|| = nq

2

m A

LkTe|| =

= AL

kTe|| = kTRe||

Rezistorul zgomotos poate fi modelat printr-un rezistor ideal n paralel cu o sursa

de curent de zgomot datorat miscarii haotice a electronilor liberi, avnd o corelatie

descrisa de relatia de mai sus. Acestui rezistor i se poate determina echivalentul

Thvenin pentru a modela sursa de zgomot ca o sursa de tensiune serie cu rezistorul

ideal

E(t )=RI (t )

Aceasta sursa de tensiune are corelatia

RE ()= E{E(t )E(t +)}= E{RI (t )RI (t +)}==R2E{I (t )I (t +)}=RkTe||

Densitatea spectrala de putere se obtine prin transformarea Fourier a functiei de

autocorelatie. Notnd cu Sv t densitatea spectrala de putere a tensiunii de zgomot

termic, aceasta se obtine

Sv t ( j)= kT R 22

2+2iar pentru aceasta devine

Sv t ( j) 2kT R

ceea ce nseamna ca pentru spectrul zgomotului termic este plat si n acestcaz spunem ca zgomotul este alb. n cazul n care functia de autocorelatietinde spre functia Dirac, ceea ce nseamna ca pentru un proces de tip zgomot alb

orice doua esantioane diferite nu sunt corelate.

Zgomotul termic, ca efect al agitatiei termice a purtatorilor de sarcina dintr-un

dispozitiv aflat la o temperatura nenula, este prezent n toate dispozitivele electro-

nice. Acesta poate fi redus prin scaderea temperaturii nsa nu poate fi eliminat (de-

ct daca se lucreaza la temperatura zero absolut).

14

7 Zgomotul de alice

Zgomotul de alice (n engleza shot noise) se datoreaza naturii discrete a purtatori-

lor de sarcina. Particularitatea principala a zgomotului de alice este ca el apare n

fenomene de transport de particule ntr-o singura directie pe lnga un punct (o sec-

tiune). Aceasta miscare este similara cu trecerea alergatorilor unei curse pe lnga

punctul de finis: odata trecuti de acest punct, ei nu se mai ntorc napoi (adica

nu executa o miscare oscilatorie n jurul acestui punct). De fapt denumirea aces-

tuia vine din asemanarea miscarii particulelor cu trecerea gloantelor prin teava unei

pusti.

Zgomotul de alice este, prin urmare, ntotdeauna asociat unui curent continuu,

astfel, daca ntr-un dispozitiv componenta medie a curentului este zero, atunci nu

exista zgomot de alice. Spre deosebire de zgomotul termic, care se datoreaza agita-

tiei purtatorilor de sarcina, zgomotul de alice nu poate fi redus prin scaderea tem-

peraturii dispozitivului n care acesta apare deoarece, prin natura sa, acesta nu este

dependent de temperatura.

Se poate arata ca densitatea spectrala de putere de curent de zgomot de alice are

expresia

Si s ( j)= q ID

n care ID este curentul continuu care trece prin dispozitiv, iar q este sarcina ele-

mentara. Aceasta expresie este valabila pentru comparabil cu 1/, unde este

timpul de tranzitie a purtatorilor prin acea zona din dispozitiv n care trecerea unui

purtator este un eveniment aleator si independent de trecerea altor purtatori (asa

cum este, de exemplu, trecerea electronilor prin regiunea de sarcina spatiala a unei

diode).

Deoarece acest timp este foarte mic pentru majoritatea dispozitivelor care pre-

zinta zgomot de alice n practica se poate considera, cu o buna precizie, ca zgomotul

de alice este zgomot alb. Acest tip de zgomot este prezent n diode, tranzistoare MOS

si tranzistoare bipolare. Distributia zgomotului de alice este gaussiana deoarece re-

zulta prin sumarea unui mare numar de variabile aleatoare cu o distributie de tip

Poisson.

8 Zgomotul de licarire

Acest tip de zgomot este prezent n toate dispozitivele active, dar si n unele dispozi-

tive pasive, cum ar fi rezistoarele din carbon. Zgomotul de licarire are cauze diverse,

nsa, dintre acestea, cea mai importanta este n legatura cu defectele si impuritatile

structurii cristaline care fac sa apara capcane pentru purtatorii de sarcina. Aceste

capcane retin si apoi pun n libertate purtatorii de sarcina ntr-un mod aleator, iar

15

constantele de timp asociate acestor procese dau nastere unui semnal de zgomot

care are energia concentrata la frecvente joase.

n cazul tranzistoarelor MOS aceste defecte se gasesc la interfata dintre substra-

tul de siliciu si stratul de oxid de siliciu depus pentru a forma poarta tranzistoru-

lui. Fiind dependent de calitatea procesului tehnologic, zgomotul de licarire variaza

foarte mult de la o tehnologie la alta, de la un proces la altul si chiar de la un dispo-

zitiv la altul n cadrul aceluiasi cip.

Zgomotul de licarire, asociat ntotdeauna unui curent continuu prin dispozitiv,

are densitatea spectrala de putere de forma

Si f ( f )=K1I aDf b

n care K1 este o constanta dependenta de proces, ID este curentul continuu care

strabate dispozitivul, b este o constanta apropiata de unitate, iar a este o constanta

dependenta de dispozitiv si de tehnologie, cu valori cuprinse ntre 0.5 (pentru tranzis-

toarele MOS de exemplu) si 2 (n cazul rezistoarelor), avnd valori apropiate de unu

n cazul diodelor.

Este interesant de remarcat ca functia de autocorelatie avnd o densitate spec-

trala de putere de forma 1/ f b are, prin transformare Fourier inversa, forma

R()= ||b1

astfel ca, pentru b = 1, aceasta devine constanta, ceea ce nseamna ca un esantionde la un moment dat de timp al unui zgomot de licarire este corelat cu toate celelalte

valori ale acestui semnal de zgomot. Pe aceasta observatie se bazeaza tehnicile de

reducere a zgomotului de licarire prin auto-anulare (n engleza auto-zeroing) sau

esantionare dubla, corelata (n engleza correlated double sampling).

9 Modelul de zgomot al tranzistorului MOS

Un tranzistor MOS functioneaza prin modularea canalului rezistiv de sub grila prin

intermediul tensiunii grila-sursa, astfel nct curentul de drena este controlat prin

tensiunea grila-sursa aplicata. Datorita naturii rezistive a canalului, acesta prezinta

zgomot termic, care este o sursa considerabila de zgomot n tranzistoarele MOS.

Acest zgomot poate fi reprezentat prin sursa de curent de zgomot in,d conectata

ntre drena si sursa tranzistorului n modelul de semnal mic al acestuia (figura 9.1).

O alta sursa de zgomot n tranzistoarele MOS l reprezinta zgomotul de licarire.

Deoarece conductia are loc aproape de interfata dintre canal si oxidul de poarta,

purtatorii pot fi capturati si apoi pusi n libertate de capcanele care apar la aceasta

interfata, astfel ca zgomotul de licarire poate fi o componenta semnificativa a zgo-

16

in,gCg s

g

gm vg sin,d

vg s

s

d

Figura 9.1: Model de zgomot pentru tranzistorul MOS

motului total ntr-un tranzistor MOS. Rezultatele experimentale arata ca zgomotul

de licarire este cel mai bine modelat tot de o sursa de curent de zgomot plasata n-

tre drena si sursa tranzistorului, astfel ca aceasta componenta poate fi nglobata n

generatorul de zgomot in,d .

O sursa de zgomot care poate fi neglijata de cele mai multe ori se datoreaza zgo-

motului de alice produs de curentul de fuga din poarta tranzistorului. n mod uzual

acest curent are ordinul de marime de 1015 A, nsa el poate fi cu mult mai mare ntehnologiile moderne, n care lungimea minima a canalului este sub 100nm. Acest

zgomot este modelat de sursa de curent in,g plasata ntre grila si sursa tranzistorului

(figura 9.1).

Expresiile densitatilor spectrale de putere ale acestor surse de zgomot sunt

Si d ( f ) = 2kT cgm +KI aDf

Si g ( f ) = q IG

n care gm este transconductanta de semnal mic a tranzistorului, K este o constanta

de dispozitiv, ID este curentul de punct static al tranzistorului, a este o constanta

n intervalul [0,5 2], iar c este o constanta care depinde de dimensiunea, tipul sitehnologia n care a fost implementat tranzistorul. Ea are valoarea minima de 2/3,

nsa n procesele moderne poate avea si valori mult mai mari. IG reprezinta curentul

mediu de fuga prin grila tranzistorului. Componenta de zgomot de licarire, K I aD / f ,

poate fi pusa n forma convenabila 2kT cgm fc / f n care fc este frecventa de colt

sau, cu alte cuvinte, frecventa la care componenta de zgomot de licarire este egala

cu componenta de zgomot termic. Trebuie sa facem observatia ca aceasta frecventa

nu este constanta, ea fiind dependenta att de temperatura, ct si de curentul de

drena de polarizare al tranzistorului si de dimensiunile acestuia. Cu aceasta con-

ventie densitatea spectrala de putere a sursei de curent de zgomot din drena se scrie

Si d ( f )= 2kT cgm(1+ fc

f

)

17

vS RL

RS

Figura 10.1: Un sistem n care sarcina este conectata direct la sursa de semnal

10 Factorul de zgomot

Asa cum am vazut anterior, calitatea unui semnal poate fi apreciata prin raportul

semnal-zgomot. Datorita numeroaselor surse de zgomot care exista n interiorul

dispozitivelor calitatea semnalului se degradeaza iar raportul semnal-zgomot scade.

Unele sisteme degradeaza calitatea semnalului mai mult dect altele. Pentru a ma-

sura gradul n care un sistem deterioreaza calitatea semnalului care l parcurge s-a

introdus notiunea de factor de zgomot. Factorul de zgomot se defineste ca raportul

dintre calitatea semnalului la intrarea sistemului si calitatea semnalului la iesirea

sistemului si arata masura n care acest sistem deterioreaza calitatea semnalului.

Pentru un sistem ideal, care nu introduce zgomot suplimentar, factorul de zgo-

mot este unitar deoarece calitatea semnalului ramne aceeasi. Expresia factorului

de zgomot, notat cu N F , este

N F = SN Ri nSN Rout

n care SN Ri n este raportul semnal-zgomot la intrarea sistemului, iar SN Rout este

raportul semnal-zgomot la iesirea din sistem. Sa analizam n continuare factorul de

zgomot n cazul n care conectam sarcina direct la sursa de semnal, asa cum se arata

n figura 10.1. Sursele de zgomot din acest sistem sunt cele de zgomot termic asoci-

ate rezistoarelor RS si RL . Rezistorul RS este cel care modeleaza rezistenta interna a

sursei, astfel ca zgomotul generat de acest rezistor este propriu sursei de semnal si

va determina raportul semnal-zgomot la intrare. Zgomotul generat de rezistorul RL

se adauga peste zgomotul generat de rezistorul RS , degradnd astfel calitatea sem-

nalului. Acest zgomot va influenta raportul semnal-zgomot de la iesire.

Pentru calculul raportului semnal-zgomot la intrare vom considera un rezistor

de sarcina imaginar avnd o rezistenta egala cu rezistenta interna a sursei. n aceste

conditii puterea medie debitata de sursa n sarcina este chiar puterea disponibila

din sursa. Vom mai considera ca sursa genereaza un semnal sinusoidal de forma

vS (t )=Vs sint

18

n aceste conditii puterea disponibila din sursa de semnal, debitata n sarcina, este

Pav,s =(

Vs2

)22RS

= V2

s

8RS

n care indicile av arata ca este vorba de puterea disponibila (termenul n engleza

este available power, de aici si prescurtarea av). n aceasta relatie Vs /2 este am-

plitudinea tensiunii sinusoidale de la bornele sarcinii, care, datorita adaptarii, este

chiar jumatate din amplitudinea tensiunii generatorului de semnal, RS este sarcina

pe care se disipa puterea, iar factorul de 1/2 apare din relatia puterii medii pentru

un semnal sinusoidal.

Avnd o densitate spectrala de putere constanta, modelul zgomotului alb se uti-

lizeaza n contextul unei benzi de frecventa limitata, altfel puterea medie a zgomo-

tului alb ar fi infinita. Zgomotul termic, care este modelat ca zgomot alb, nu are, asa

cum s-a vazut, o putere medie infinita deoarece de la o anumita frecventa densita-

tea spectrala de putere ncepe sa scada spre zero. n practica nsa, datorita faptului

ca frecventa de la care densitatea spectrala de putere a zgomotului termic ncepe sa

scada este foarte mare, iar circuitele au, datorita elementelor parazite, o banda mult

mai mica, modelul zgomotului alb este foarte potrivit.

n exemplul nostru nu exista elemente parazite care sa limiteze banda circuitu-

lui, nsa noi vom considera ca semnalul procesat are o banda limitata si ca la un

moment dat exista un filtru pe lantul de procesare a semnalului astfel nct zgo-

motul din afara benzii semnalului va fi eliminat. Din acest motiv vom considera ca

zgomotul este nenul doar ntr-o banda [B , B ]. n aceste conditii puterea medie azgomotului va fi integrala din densitatea spectrala de putere n domeniul [B , B ].Puterea disponibila de zgomot va fi

Pav,n =( 1

2

)2 BB 2kT RS d f

RS= kT RS B

RS= kT B

n aceasta expresie factorul (1/2)2 reprezinta patratul modulului functiei de transfer

de la sursa de tensiune de zgomot la tensiunea la bornele sarcinii.

Prin urmare raportul semnal-zgomot la intrare va avea expresia

SN Ri n =Pav,sPav,n

=V 2s8RS

kT B= V

2s

8kT RS B

Se poate observa ca raportul semnal-zgomot poate fi crescut prin cresterea ampli-

tudinii semnalului, micsorarea rezistentei interne a sursei sau micsorarea benzii de

frecventa.

n calculul raportului semnal-zgomot la intrare ne-am raportat la o sarcina ima-

ginara egala cu rezistenta interna a sursei. Totusi am fi putut alege orice alta valoare

19

vS

RI N

av v

v vOU Tin,a

vn,avn,RS RS

i n out

Figura 10.2: Amplificator ideal de tensiune cu rezistenta de intrare RI N , cstig ntensiune av si surse de tensiune si curent de zgomot raportate la intrare vn,a si in,acomandat de o sursa de tensiune vS cu rezistenta interna RS si sursa de tensiune dezgomot termic asociata rezistentei interne vn,RS

pentru sarcina la care sa ne raportam. O valoare convenabila pe care putem sa o

alegem este valoarea de 1 deoarece mpartirea sau nmultirea cu rezistenta sarci-

nii pentru calculul puterii este triviala. n calculul raportului semnal-zgomot din

iesire ne vom raporta la o sarcina de 1.

Puterea medie a semnalului din iesire, disipata ntr-o sarcina imaginara de 1

de tensiunea din iesire, este

Pout ,1,s =(

RLRS+RL Vs

)22

=(

RLRS +RL

)2 V 2s2

Puterea medie a semnalului de zgomot din iesire, disipata ntr-o sarcina imaginara

de 1 de tensiunea de zgomot din iesire care se datoreaza surselor de tensiune zgo-

mot termic necorelate asociate rezistoarelor RS si RL , este

Pout ,1,n =(

RLRS +RL

)2 BB

2kT RS d f +(

RSRS +RL

)2 BB

2kT RLd f =

= R2LRS

(RS +RL)24kT B + R

2S RL

(RS +RL)24kT B = 4kT BRS RL

(RS +RL)2(RS +RL)=

= RS RLRS +RL

4kT B

Raportul semnal-zgomot din iesire rezulta

SN Rout =Pout ,1,sPout ,1,n

=(

RLRS+RL

)2 V 2s2

RS RLRS+RL 4kT B

= V2

s

8kT RS B RL

RS +RL

Raportul semnal-zgomot din iesire se poate creste prin cresterea amplitudinii sem-

nalului, micsorarea benzii de frecventa, micsorarea rezistentei interne a sursei sau

cresterea rezistentei sarcinii.

20

Factorul de zgomot al acestui sistem simplu rezulta

N F = SN Ri nSN Rout

=V 2s

8kT RS B

V 2s8kT RS B

RLRS+RL= RS +RL

RL= 1+ RS

RL

Din aceasta relatie se poate observa imediat ca pentru optimizarea factorului de

zgomot trebuie sa alegem o rezistenta de sarcina ct mai mare sau, pentru o sarcina

fixata, un generator de semnal cu o rezistenta interna ct mai mica.

Vom mai calcula factorul de zgomot pentru circuitul din figura 10.2. n acest cir-

cuit s-a considerat un model simplificat de amplificator de tensiune, nsa din punc-

tul de vedere al factorului de zgomot el este destul de interesant. Vom urmari sa

determinam degradarea calitatii semnalului ntre nodurile de intrare (notat cu in)

si de iesire (notat cu out).

Deoarece n interiorul amplificatorului nu mai avem alte surse de zgomot, rapor-

tul semnal-zgomot al tensiunii de la intrarea amplificatorului (la bornele rezistentei

RI N ) este acelasi cu raportul semnal-zgomot din iesire. Din acest motiv n calcu-

lul factorului de zgomot vom mparti raportul semnal-zgomot al sursei la raportul

semnal-zgomot al tensiunii de la intrarea amplificatorului.

Raportul semnal-zgomot al sursei a fost determinat n exemplul anterior si este

SN Ri n =V 2s

8kT RS B

n care am considerat ca semnalul este limitat ntr-o banda B de frecventa. Raportul

semnal-zgomot al tensiunii de la intrarea amplificatorului rezulta

SN Rout =

(RI N

RS+RI N Vs)2

2(RI N

RS+RI N)2 B

B 2kT RS d f + (RI NRS )2 BB Si ad f +

(RI N

RS+RI N)2 B

B Svad f

n care am considerat ca toate sursele de zgomot sunt necorelate. Considernd n

plus ca sursele de zgomot in,a si vn,a sunt de tip zgomot alb, asociate unor rezistente

echivalente de zgomot Rechi a si Rechva obtinem relatia

SN Rout =(

RI NRS+RI N

)2 V 2s2(

RI NRS+RI N

)24kT RS B +

(RI N

RS+RI N)2 R2S

Rechi a4kT B+

+(

RI NRS+RI N

)24kT RechvaB

= V2

s

8kT B

(RS + R

2S

Rechi a+Rechva

)

21

Factorul de zgomot al acestui circuit rezulta

N F = SN Ri nSN Rout

=V 2s

8kT RS B

V 2s

8kT B

(RS+

R2SRechi a

+Rechva) =

RS + R2S

Rechi a+Rechva

RS=

= 1+ RSRechi a

+ RechvaRS

Am obtinut un rezultat foarte interesant n ceea ce priveste rezistenta interna a sur-

sei de semnal. Att n cazul n care rezistenta interna este zero (comandam cu o

sursa ideala de tensiune) ct si n cazul n care rezistenta interna este infinita (co-

mandam cu o sursa ideala de curent) factorul de zgomot rezulta infinit, cu alte cu-

vinte calitatea semnalului scade infinit de mult. Cu siguranta ca ntre cele doua ex-

treme exista un punct de optim pentru rezistenta RS a sursei, dependenta de rezis-

tentele echivalente de zgomot Rechi a si Rechva . Ceea ce trebuie sa retinem din acest

exemplu este ca nu putem comanda un amplificator cu orice fel de sursa ca sa obti-

nem un factor de zgomot optim (ct mai mic). Pentru a obtine un factor de zgomot

optim sunt necesare masuri suplimentare (adaptare ntre generatorul de semnal si

amplificator) despre care vom discuta ntr-o sectiune urmatoare.

Un alt aspect interesant al rezultatului pe care l-am obtinut este ca factorul de

zgomot depinde numai de marimi care caracterizeaza sursele de zgomot si nu de-

pinde de amplitudinea semnalului de intrare sau de rezistenta de intrare n ampli-

ficator. n cele ce urmeaza vom arata ca aceasta observatie este valabila n general.

Vom pleca de la definitia factorului de zgomot

N F = SN Ri nSN Rout

=Pi n,s Pi n,n,g Pout ,s

Pout ,n,g+a= Pi n,sPout ,s

Pout ,n,g+aPi n,n,g

n care Pi n,s, Pout ,s sunt puterile medii ale semnalului n intrare si iesire, respec-tiv, Pi n,n,g reprezinta puterea medie a surselor de zgomot proprii generatorului desemnal disipata n intrare, Pout ,n,g+a este puterea medie a surselor de zgomot alegeneratorului de semnal si din interiorul amplificatorului disipata n iesire.

Daca notam cu G cstigul n putere al amplificatorului si vom presupune ca zgo-

motul generatorului de semnal nu este corelat cu zgomotul generat intern de am-

plificator (ceea ce este firesc) atunci putem scrie

Pi n,sPout ,s

= 1G

si

Pout ,n,g+a = Pout ,n|datorata generatorului+Pout ,n|datorata surselor interne de zgomot

22

Vom nota puterea medie disipata n iesire de sursele de zgomot proprii generatoru-

lui de semnal cu Pout ,n,g , iar puterea medie disipata n iesire de sursele de zgomotdin interiorul amplificatorului cu Pout ,n,a. Puterea medie a zgomotului n iesiredatorata generatorului este egala cu puterea medie a zgomotului n intrare datorata

generatorului nmultita cu cstigul n putere al amplificatorului

Pout ,n,g =GPi n,n,g

Cu aceasta expresia factorului de zgomot devine

N F = 1G GPi n,n,g +Pout ,n,aPi n,n,g

= 1+Pout ,n,a

G

Pi n,n,g

Daca sursele de zgomot din interiorul amplificatorului se gasesc numai la intra-

rea amplificatorului atunci putem spune ca puterea medie disipata n iesire de sur-

sele de zgomot din interiorul amplificatorului este egala cu puterea medie disipata

n intrare de sursele de zgomot de la intrarea amplificatorului (proprii amplificato-

rului) nmultita cu cstigul n putere al amplificatorului. Daca notam cu Pi n,n,aputerea medie disipata n intrare de sursele de zgomot de la intrarea amplificatoru-

lui, atunci aceasta observatie se scrie

Pout ,n,a =GPi n,n,a

iar expresia factorului de zgomot se scrie simplu

N F = 1+ Pi n,n,aPi n,n,g

Expresia factorului de zgomot este simpla numai atunci cnd amplificatorul are

surse de zgomot numai la intrarea sa, de aceea n sectiunea urmatoare vom prezenta

tehnici prin care sursele de zgomot din interiorul amplificatorului pot fi aduse la

intrarea sa fara a modifica comportamentul amplificatorului.

11 Circuitele echivalente cu surse de zgomot n intrare

n continuare vom arata modul n care se pot aduce sursele de zgomot din interiorul

unui diport sau de la iesirea lui spre intrare. Avnd toate sursele de zgomot raportate

la intrare factorul de zgomot se determina relativ usor.

Vom ncepe cu tehnicile care ne permit transformarea surselor de zgomot din

cadrul circuitului echivalent al unui diport n surse de zgomot de tensiune sau de

curent n serie sau n paralel cu porturile de intrare sau de iesire [4]. n afara de

bine-cunoscutele transformari Norton-Thvenin, aceste tehnici sunt:

23

vn

1

2 3

1

2 3vn

vn

Figura 11.1: Deplasarea surselor de tensiune

in1

2 3

1

2 3

in

in

Figura 11.2: Separarea surselor de curent

Deplasarea surselor de tensiune. O sursa de tensiune vn poate traversa un nod

ajungnd n celelalte ramuri conectate la acel nod, asa cum se arata n figura

11.1 pentru un cazul unui nod cu trei ramuri. Evident, sursele din circuitul

echivalent sunt complet corelate.

Separarea surselor de curent. O sursa de curent in poate fi separata n doua

surse de curent egale asa cum se arata n figura 11.2. Ca si n cazul precedent,

sursele din circuitul echivalent sunt complet corelate.

n sfrsit, pentru a transforma sursele de zgomot din iesire n surse echivalente

de zgomot din intrare, sau vice-versa, folosim parametrii de transmisie ai diportului,

care sunt definiti n felul urmator (vezi figura 11.3):

(vi

ii

)=(

A B

C D

)(vo

io

)(11.1)

Sa consideram circuitul din figura 11.4a. Cu ajutorul parametrilor de transmisie

ai diportulului, putem scrie

vi = Avo +Bio Avn Bin

(A BC D

)vi vo

ii io

Figura 11.3: Diport reprezentat prin parametrii sai de transmisie

24

(A BC D

)vi vo

ii io

in

vn

(a) Diport reprezentat prin parametri de transmisie cu surse dezgomot n iesire

(A BC D

)vi vo

ii io

Din

Bin

C vn

Avn

(b) Diport reprezentat prin parametri de transmisie cu surse de zgomot transfe-rate la intrare

Figura 11.4: Diport reprezentat prin parametri de transmisie cu (a) surse de zgomotn iesire (b) surse de zgomot transferate n intrare

IB

RS

Mv I NiOU T

Figura 11.5: Etaj sursa comuna cu degenerare

in,gCg s

vi n

gm vg sin,d

iout

vn,RS

RS

vg s

Diport format numai din tranzistor

Figura 11.6: Transformarea surselor de zgomot ale etajului sursa comuna cu dege-nerare din figura 11.5 n surse echivalente de zgomot din intrare (primul pas)

25

vi niout

vn,RS

RS

vg s

in,d /gm

jCg sgm

in,d gm vg sCg sin,g

Figura 11.7: Transformarea surselor de zgomot ale etajului sursa comuna cu dege-nerare din figura 11.5 n surse echivalente de zgomot din intrare (al doilea pas)

vi niout

vn,RS

RS

vg s

in,d /gm

jCg sgm

in,dgm vg sCg sin,g

jCg sgm

in,d in,g

Figura 11.8: Transformarea surselor de zgomot ale etajului sursa comuna cu dege-nerare din figura 11.5 n surse echivalente de zgomot din intrare (al treilea pas)

vi niout

RS

vg s

in,d /gm

jCg sgm

in,dgm vg sCg sin,g

vn,RS

RS in,g

jCg s RSgm

in,d

Figura 11.9: Transformarea surselor de zgomot ale etajului sursa comuna cu dege-nerare din figura 11.5 n surse echivalente de zgomot din intrare (al patrulea pas)

26

vi niout

RS

vg s

in,dgm

jCg sgm

in,dgm vg sCg sin,g

jCg s RSgm

in,d vn,RS RS in,g

Figura 11.10: Transformarea surselor de zgomot ale etajului sursa comuna cu dege-nerare din figura 11.5 n surse echivalente de zgomot din intrare (ultimul pas)

in,dgm

jCg sgm

in,d in,g

jCg s RSgm

in,d vn,RS RS in,g

v I N

vn,RIRI

sursa de tensiune curezistenta interna RI

etaj sursa comuna cu degenerare cusurse echivalente de zgomot n intrare

IB

RS

MiOU T

Figura 11.11: Circuitul din figura 11.5 cu surse echivalente de zgomot din intrare,comandat de o sursa de tensiune

[1

gm+ jCg s (RS+RI )gm

]in,d vn,RS (RS +RI )in,g

v I N

vn,RIRI

IB

RS

MiOU T

Figura 11.12: Circuit echivalent al celui din figura 11.11 cu sursele de zgomot trans-formate n patru surse de tensiune de zgomot necorelate

v I N

vn,eq RI

IB

RS

MiOU T

Figura 11.13: Circuit echivalent al celui din figura 11.11 cu sursele de zgomot trans-formate ntr-o sursa echivalenta de tensiune de zgomot n intrare

27

ii =C vo +Dio C vn Din

Sursele echivalente de zgomot din intrare pot fi obtinute rescriind aceste ecuatii

n felul urmator

vi + Avn +Bin = Avo +Bio

ii +C vn +Din =C vo +Dio

asa cum rezulta din circuitul echivalent din figura 11.4b. Se ajunge simplu la con-

cluzia ca parametrii de transmisie ai diportului pot fi la fel folositi n transformarea

surselor de zgomot din intrare n surse echivalente de zgomot din iesire.

Ca exemplu de aplicatie, vom deduce sursele echivalente de zgomot din intrare

ale etajului sursa comuna cu degenerare din figura 11.5. Vom considera modelul

simplificat de semnal mic al circuitului, cu sursele de zgomot corespunzatoare, ca

n figura 11.6. Densitatile spectrale ale surselor de zgomot sunt:

Si g = q IG

Si d = 2kT cgm(1+ 2pi fc

)SvRS = 2kT RS

Folosind parametrii de transfer ai diportului format doar din tranzistor, care are

matricea T a parametrilor de transmisie

T =(

0 1gm jCg sgm 0

)

vom reflecta n intrare sursa de curent de zgomot din drena in,d n cele doua surse

echivalente in,d /gm sijCg s

gmin,d din figura 11.7.

Sursele de curent de zgomotjCg s

gmin,d si in,g sunt separate n doua, asa cum se

arata n figura 11.8. Sursele de curent de zgomot rezultate n paralel cu rezistenta

de degenerare din sursa sunt transformate prin echivalentul Thvenin n sursele de

tensiune de zgomotjCg s RS

gmin,d si RS in,g din figura 11.9.

Deplasnd de doua ori sursele de tensiune de zgomotjCg s RS

gmin,d , RS in,g si vn,RS

si tinnd cont de faptul ca sursele de tensiune n serie cu surse de curent nu au nici

un efect, obtinem circuitul echivalent din figura 11.10.

Sa presupunem acum ca circuitul din figura 11.5 este comandat de o sursa de

tensiune vi n cu rezistenta interna RI , asa cum este aratat n figura 11.11, unde vn,RI

este zgomotul termic produs de RI si are densitatea spectrala

SvRI = 2kT RI

28

Diportin,d

vn,d

Figura 12.1: Diport echivalent cu surse de zgomot numai n intrare

Transformnd sursele de curent de zgomotjCg s

gmin,d si in,g din grila tranzisto-

rului n surse echivalente de tensiune (printr-o transformare Thvenin), si tinnd

cont de faptul ca sursele de zgomot cu aceiasi indici sunt complet corelate, obtinem

circuitul din figura 11.12.

n sfrsit, combinam sursele de tensiune de zgomot (toate necorelate) ntr-o sin-

gura sursa echivalenta de tensiune de zgomot din intrare vn,eq n serie cu sursa de

tensiune de semnal v I N , asa cum este aratat n figura 11.13. Densitatea spectrala a

acestei surse de zgomot este

Sveq = SvRI +SvRS + (RI +RS )2Si g + 1gm + jCg s (RI +RS )gm

2 Si d == SvRI +SvRS + (RI +RS )2Si g +

(1

g 2m+[Cg s (RI +RS )

gm

]2)Si d =

= SvRI +SvRS + (RI +RS )2Si g +1+ [Cg s (RI +RS )]2

g 2mSi d

12 Adaptarea pentru zgomot minim

Asa cum am aratat anterior, sursele de zgomot din interiorul unui diport sau de la

iesirea lui pot fi aduse la intrarea diportului. n sectiunea 10 am vazut ca este mult

mai simplu de calculat factorul de zgomot atunci cnd diportul are surse de zgomot

numai n intrare. Din acest motiv vom considera ca am facut transformarile nece-

sare astfel nct am obtinut diportul echivalent care are surse de zgomot numai n

intrare, asa cum se arata n figura 12.1. n exemplul din sectiunea anterioara n care

s-a aratat modul n care se determina sursele echivalente de zgomot din intrare s-a

putut vedea ca sursa echivalenta de tensiune din intrare poate fi partial corelata cu

sursa echivalenta de zgomot din intrare (ambele au avut termeni comuni) de aceea

nu putem presupune, n cazul general, ca aceste surse sunt necorelate.

n cele ce urmeaza vom determina factorul de zgomot pentru circuitul din figura

12.2, n care diportul din figura 12.1 este comandat de sursa vs ce are impedanta in-

terna ZS si sursa de tensiune de zgomot asociata acesteia vn,s . Mai nti vom deter-

mina puterea medie a sursei de zgomot din generator si puterea medie a surselor de

zgomot din intrarea diportului disipata n impedanta de intrare n diport, pe care o

vom nota ZI N . n calculul care urmeaza vom folosi, alternativ, notatia S{X ,Y } pen-

29

Diport

in,d

vn,d

vs ZI N

ZSvn,s

Figura 12.2: Determinarea factorului de zgomot n cazul general al unui diport cuimpedanta de intrare ZI N comandat de un generator de semnal cu impedanta in-terna ZS

tru densitatea spectrala ncrucisata de putere a proceselor aleatoare X (t ) si Y (t ) n

locul notatiei obisnuite SX ,Y , iar pentru densitatea spectrala de putere vom folosi

S{X }= S{X , X } n locul notatiei SX pentru lizibilitatea calculelor.Densitatea spectrala de putere disipata de sursa de tensiune de zgomot vn,s n

impedanta de intrare a diportului este

S{vi n}|vn,s = ZI NZS +ZI N

2 S{vn,s }Densitatea spectrala de putere disipata de toate sursele de zgomot din circuit n im-

pedanta de intrare a diportului este

S{vi n}|vn,s ,vn,d ,in,d = S{

ZI NZS +ZI N

vn,s + ZI NZS +ZI N

vn,d +ZS ZI N

ZS +ZI Nin,d

}Datorita faptului ca operatorul speranta matematica este liniar are loc

S{X +Y }= S{X +Y , X +Y }= S{X , X +Y }+S{Y , X +Y }== S{X , X }+S{X ,Y }+S{Y , X }+S{Y ,Y }=

= SX +SX ,Y +SY ,X +SY

Cu aceasta observatie densitatea spectrala de putere disipata de toate sursele de

zgomot din circuit n impedanta de intrare a diportului se scrie

S{vi n}|vn,s ,vn,d ,in,d = S{

ZI NZS +ZI N

vn,s

}+S{

ZI NZS +ZI N

vn,d

}+S{

ZS ZI NZS +ZI N

in,d

}+

+S{

ZI NZS +ZI N

vn,s ,ZI N

ZS +ZI Nvn,d

}+S{

ZI NZS +ZI N

vn,s ,ZS ZI N

ZS +ZI Nin,d

}+

+S{

ZI NZS +ZI N

vn,d ,ZI N

ZS +ZI Nvn,s

}+S{

ZI NZS +ZI N

vn,d ,ZS ZI N

ZS +ZI Nin,d

}+

+S{

ZS ZI NZS +ZI N

in,d ,ZI N

ZS +ZI Nvn,s

}+S{

ZS ZI NZS +ZI N

in,d ,ZI N

ZS +ZI Nvn,d

}Tinnd cont de faptul ca sursa vn,s nu este corelata nici cu vn,d , nici cu in,d si apli-

cnd relatiile care exista pentru densitatile spectrale de putere n sisteme LIT obti-

30

nem

S{vi n}|vn,s ,vn,d ,in,d = ZI NZS +ZI N

2 S{vn,s }+ ZI NZS +ZI N2 S{vn,d }+ ZS ZI NZS +ZI N

2 S{in,d }++ ZI N

ZS +ZI N Z

S Z

I N

ZS +ZI NS{vn,d , in,d }+

ZS ZI NZS +ZI N

ZI N

ZS +ZI NS{in,d , vn,d }

Dar S{X ,Y }= S{Y , X }, iar a a = |a|2, astfel ca

ZI NZS +ZI N

ZS Z

I N

ZS +ZI NS{vn,d , in,d }+

ZS ZI NZS +ZI N

ZI N

ZS +ZI NS{in,d , vn,d }=

= ZI NZS +ZI N

2 ZS S{in,d , vn,d }+ ZI NZS +ZI N2 ZS S{in,d , vn,d }=

= 2 ZI NZS +ZI N

2 Re{ZS S{in,d , vn,d }}Densitatea spectrala de putere disipata de toate sursele de zgomot din circuit n

impedanta de intrare a diportului devine

S{vi n}|vn,s ,vn,d ,in,d = ZI NZS +ZI N

2 S{vn,s }+ ZI NZS +ZI N2 S{vn,d }+ ZS ZI NZS +ZI N

2 S{in,d }++2 ZI NZS +ZI N

2 Re{ZS S{in,d , vn,d }}== ZI NZS +ZI N

2 (S{vn,s }+S{vn,d }+|ZS |2 S{in,d }+2Re{ZS S{in,d , vn,d }})Vom nota cu S{vi n}|vn,d ,in,d densitatea spectrala de putere disipata de sursele de zgo-mot de la intrarea diportului n impedanta de intrare. Cu aceasta notatie

S{vi n}|vn,d ,in,d = ZI NZS +ZI N

2 (S{vn,d }+|ZS |2 S{in,d }+2Re{ZS S{in,d , vn,d }})Conform observatiilor din sectiunea 10 factorul de zgomot se obtine

N F = S{vi n}|vn,s ,vn,d ,in,d d f

S{vi n}|vn,s d f= S{vi n}|vn,s d f +

S{vi n}|vn,d ,in,d d f

S{vi n}|vn,s d f=

= 1+ S{vi n}|vn,d ,in,d d f S{vi n}|vn,s d f

Vom urmari acum sa minimizam expresia pe care am obtinut-o pentru factorul de

zgomot. Minimizarea expresiei propriu-zise depaseste cadrul matematic de care

dispunem si, deocamdata, aceasta problema ramne deschisa. Noi vom da o de-

monstratie simplificata, n care vom considera ca puterea de zgomot este nesemni-

ficativa n afara unei benzi [B ,B ] (datorita unor filtre selective care permit trecerea

31

numai a semnalelor din aceasta banda de frecventa) si vom considera ca n aceasta

banda de frecvente att ZS ct si ZI N nu depind de frecventa.

Cu aceste ipoteze expresia factorului de zgomot devine

N F = 1+ BB S{vi n}|vn,d ,in,d d f BB S{vi n}|vn,s d f

= 1+

+ BB ZI NZS+ZI N 2 (S{vn,d }+|ZS |2 S{in,d }+2Re{ZS S{in,d , vn,d }})d f B

B ZI NZS+ZI N 2 S{vn,s }d f =

= 1+

ZI NZS+ZI N 2 BB (S{vn,d }+|ZS |2 S{in,d }+2Re{ZS S{in,d , vn,d }})d f ZI NZS+ZI N 2 BB S{vn,s }d f == 1+

BB S{vn,d }d f +|ZS |2

BB S{in,d }d f +2

BB Re

{ZS S{in,d , vn,d }

}d f B

B S{vn,s }d f

Considernd ca ZS = RS + j XS si ca S{vn,s } = 2kT RS (zgomotul generatorului estedat de zgomotul termic al partii rezistive a impedantei generatorului) obtinem

N F = 1+ BB S{vn,d }d f + (R2S +X 2S )

BB S{in,d }d f

4kT RS B+

+ 2RS BB Re

{S{in,d , vn,d }

}d f +2XS

BB Im

{S{in,d , vn,d }

}d f

4kT RS B

Pentru a minimiza factorul de zgomot vom impune

{N FRS

= 0N FXS

= 0

n expresia factorului de zgomot densitatile spectrale de putere ale surselor de zgo-

mot de la intrarea diportului nu depind de RS sau XS , astfel ca integralele vor aparea

ca niste constante n operatia de derivare. Avnd n vedere ca att pentru RS 0 ctsi pentru RS , N F , cu siguranta factorul de zgomot are un punct de minim,care se gaseste printre solutiile sistemului de mai sus.

32

Cu aceste observatii sistemul de mai sus devine

2R2S

BB S{in,d }d f +2RS

BB Re{S{in,d ,vn,d }}d f

BB S{vn,d }d f (R2S+X 2S )

BB S{in,d }d f

4kT RS B

2RS BB Re{S{in,d ,vn,d }}d f +2XS

BB Im{S{in,d ,vn,d }}d f

4kT RS B= 0

2XS BB S{in,d }d f +2

BB Im{S{in,d ,vn,d }}d f

4kT RS B= 0

(R2S X 2S )

BB S{in,d }d f 2XS

BB Im

{S{in,d , vn,d }

}d f

BB S{vn,d }d f = 0XS

BB S{in,d }d f +

BB Im

{S{in,d , vn,d }

}d f = 0

RS =

XS(

XS BB S{in,d }d f +2

BB Im{S{in,d ,vn,d }}d f

)+ BB S{vn,d }d f B

B S{in,d }d f

XS = BB Im{S{in,d ,vn,d }}d f B

B S{in,d }d f

RS =

BB S{vn,d }d f BB S{in,d }d f

( B

B Im{S{in,d ,vn,d }}d f BB S{in,d }d f

)2XS =

BB Im{S{in,d ,vn,d }}d f B

B S{in,d }d f

Am obtinut astfel expresia impedantei generatorului care minimizeaza factorul de

zgomot

ZSopt =RSopt + j XSopt

n care RSopt =

BB S{vn,d }d f BB S{in,d }d f

( B

B Im{S{in,d ,vn,d }}d f BB S{in,d }d f

)2XSopt =

BB Im{S{in,d ,vn,d }}d f B

B S{in,d }d f

33

Bibliografie

[1] Richard Feynman, Robert Leighton, and Matthew Sands. The Feynman Lectures

on Physics: Volume 1, volume 1 of The Feynman Lectures on Physics. Addison-

Wesley, Boston, 2nd edition edition, 1963.

[2] Liviu Goras. Semnale, circuite si sisteme. Editura Gheorghe Asachi, Iasi, 1994.

[3] R.M. Gray and L.D. Davisson. An introduction to statistical signal processing.

Cambridge University Press, 2004.

[4] E.H. Nordholt. Design of high-performance negative feedback amplifiers. Delft

University Press, 2000.

34

IntroducereCalitatea semnalului, raportul semnal-zgomotPuterea medie a unui semnal deterministPuterea medie a zgomotului, densitatea spectral de putereRspunsul sistemelor LITZgomotul termicZgomotul de aliceZgomotul de licrireModelul de zgomot al tranzistorului MOSFactorul de zgomotCircuitele echivalente cu surse de zgomot n intrareAdaptarea pentru zgomot minim