CUPRINS

Mullimi gi elemente de logicl matematici . . . . . 3

1.1 Mu[imea numerelor reale 31.1.1 Numerereale ... 3

I .l .2 Operalii algebrice cu numere reale . . . 3

I .l .3 Calcule cu numere reale reprezentate prinlitere . 41.1.4 Ordonareanumerelorreale ........... 61.1.5 Modulul unui numEr real . . . 71.1.6 Aproxim6ri, trunchieri, rotunjiri 8

1 . 1 .7 Partea intreagi qi partea fracfionari a

unui numir reall I .8 Operalii cu interuale de numere reale . . .

1.1.9 Inegalitdti ....1.2 Elemente de logicd matematicl

1.2.1 Propozifie, predicatcuantificatori . . . . .

1.2.2 Mul1imi. Corelarea elementelor de logiclmatematic[ cu operafiile Ei relaJiile cu mu[imi .

1.3 Condilii necesare, condilii suficiente

910

1lt4t4

t618

l9232323

1.4 Tipuri deFunclii defini2.1 Siruri

ra{ionamente logicete pe mul(imea numerelor naturale . .

2.2 Progresii aritmetice2.2.1 No{iunea deprogresie aritmetic5. . . . . . 232.2.2 Fornula termenului general a1 progresieiaritmetice 242.2.3 Suma primilor z termeni ai unei progresiiaritmetice 252.2.4 Alte proprieti(i ale progresiilor aritmetice 26

L21

2.3 Progresii geometrice2.3.1 Noliuneadeprogresie geometrici . . . . .

2.3.2 Formula termenului general al progresieigeometrice2.3.3 Suma primilor n termeni ai unei progresiigeometrice2.3.4 Alte proprieti(i ale progresiilor ,

geometrice

2727

28

29

29

343636364040424747474751

51

525555

Func{ii, lecturi grafice3.1 Nofiunea de func1ie

3.2 Funclii numerice3,3 Compunerea func{iilor

4 Funclia de gradul I4.1 Eataliade gradull ... ..4.2 Funclia afini ..Funclia de gradul al doilea5.1 Ecualia de gradul al doilea5.2 Funclia de gradul al doileaMullimi de numere6.1 Numerereale ..

6.1.1 Puteri cu exponent intreg .

6.1.2 Radicali6.1.3 Puteri cu exponent ralional6.1.4 Puteri cu exponent real . . .

LogaritmiMullimea numerelor complexe6.3.1 Numere complexe sub formd algebricl6.3.2 Reprezentarea geomehicd a numerelorcomplexe6.3.3 Rezolvarea de ecualii in C

Funclii qi ecualii .

7.1 Func{ii qi ecua(ii7. 1. 1 Injectivitate, su{ectivitate, bijectivitate.

31

31

32

58606262

6.26.3

L22

ia putere cu exponent natural . . .

ia radicalia exponen!ialdia logaritmic[

7.2 Ecualii7.2.1 Ecra,tiirationale

i, inecualii qi sisteme de ecualii

7.2.2 Ecragi|iexponen(iale

necua{ii qi sisteme de ecualii

7.2.3 Eatafli,logaritmice

inecuafii Ei sisteme de ecuafii

Metode de numdrare8.1 Mullimi finit ordonate8.2 Permutiri8.3 Aranjamente ....8.4 Combinlri .....8.5 Binomul lui NeMonElementedeprobabilit[li .. ..

9.1 Evenimente. Operalii cu evenimente . . . .

9.2 Probabilitateaunui eveniment .... .....9.3 Proprietilialeprobabilitililor ... . .. . .. .

9.4 Probabilit6!i condilionate9.5 Evenimenteindependente .....9.6 Schema lui Poisson9.7 Schema lui Bernoulli9.8 Variabile aleatoare

Elemente de calcul matriceal ;i sisteme de ecualiiliniare10.1 Permutdri .... .

10.2 Matrice10.3 Determinan(i ..10.4 Matrice inversabile

Funclii inve7.1.2 Func!7.1.3 Func{7.1.4 Func!7.1.5 Func{

62646465

6666

8282

8585

8689

9l

66

69

7l7474757575767878798080

81

81

10

123

10.5 Rangul unei matrice10.6 Sisteme de ecua{ii liniare

11 Structuri algebrice1.1 Legi de compozilie1.2 Grupuri

I 1.4 CorpuriI 1.5 Inele de polinoame cu coeficienli intr-un corpcomutativ ( Q, R, C, Z,p numdr prim )

Tiparul executat laEDITURA ITYPERION

CRAIOVAStr. impiratul Traian Nr. 30

92939797t02t07110

112

1. Mul(imi;i elemente de logici matematicl1.1 Mul{imea numerelor reale

L.l.l Numere reale

1) MulJimeanumerelornaturale: N = tO,l, 2,...,j.2) Mul{imea numerelorintregi: Z = t...,-2,-7,0, l, 2,...,}.3) Mullimea numerelor ralionale: a = # lm,n e Z,n + Oj.4) Mullimea numerelor irafionale, format[ din nurnerelereprezentate de o fraclie zecimald, infinit[, neperiodici qi pe care onotlm R - Q"5) Mullimea numerelorreale: R = e u (R - O.

Evident au loc relafiile:a)NcZcQcR b)R-ecR c) en(R-O=U.6) O fracfie ordinarl A este ireductibil[ dacl c.m.m.d.c. (m,n) ='n:1.

27 3Exemple: 5,G,g..

7) O fracfie ordinard a este reductibill dac[ existl cel pu(in unnumir prim prin care fraclia se poate simplifica.

2 15 .t72 3Exemple: ; = J, 10 = ,. i: ;

8) Fracliile ordinare care reprezintd numdrul rational a se

transformi in fraclie zecimald dup6 formula: T = ", a1a2a3 .,. .

1Exemple: I:0,(3) - fraclie zecimali periodicI simpli

5

A=0,41(6) - fraclie zecimali periodici mixt[.

1.I.2 Opera{ii algebrice cu numere reale

Operaliile algebrice pe mullimea numerelor reale sunt: adu_narea qi inmullirea. Ele se definesc ca extensii ale opera{iilor

3

de adunare qi inmullire din multimea numerelor ra{iona1e.

a) Proprietifileadunlrii

1) Asociativitatea: (x* !)+z: x+(1t*z)(V)x,y,z ePt;2) Comutativitatea: x + y = y * x (V)x,y e R;3) Elementneutru 0: x * 0 = 0 * r : x (V)x € R;4) Elementopus::x + (-x) = (-x) +x (V)x € R; numdrul -xse numeqte opusul lui x.

b) Proprietitile inmul(irii

1) Asociativitatea: (xy)z = x(yz) (v)x,y,z eR;2) Comutativitatea: xy = yx (V)x,y €. R;3) Elementneutru 1: x. 1 : 7..r = r (V)/ € R;

4) Element inversabil '.x.!=: -:t(v)x€R, z*0;1

num6ru1 - se numeste inversul lui x.

c) Proprietate de legituri intre inmulfire qi adunare

1) Distributivitatea inmullirii fali de adunare:x(Y + z) = xY + xz (Y)x,Y,z eR.

Observa(ie. Ca operalii derivate ale adundrii Ei inmullirii sepot defini operafiile de scidere qi impirlire.a) x - Y : x + (-y),(v)x,y e R;

1-bl x:Y=x'-,Y+O.1.1.3 Calcule cu numere reale reprezentate prin litere

a) Formule de calcul prescurtat

f) (a+b)2=a2*2ab*b2;2) (a- b)z = oz - 2ab * b2:3) a2-b2=(a+b)(a-b);4\ (a + b)3 = a3 + 3a.2b + 3ab2 + b3;

5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3;6\ (a+ b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2ac *Zbc;7\ (a - b -l c)2 : a2 + b2 + cz - 2ab -l 2ac - Zbc;8) a3 + b3 = (a + b)(az - ab + b2);9) a3 - b3 : (a - b)(az + ab + b2);l0) an - b" = (a - b)(q"-r + a"-zb I ...1 abn-2 + b"-t),n> 2,n €.N;ll) an -l b" = (a * b)(qn-r - a'-2b I ...- abn-z + b"-1),n2 2, n € N, impar.

b) AIte formule algebrice utile

l) a2+b2=(a+b)2-2ab;2) a3 + b3 : (a + b)3 - 3ab(a+ b);3\ a+ + ba : (a2 + b2)2 - 2a2b2 = l(a + b)2 - 2ab)2 --2azb2;4\ as + bs = (a + b)(a+ - a3b + azbz - ab3 + ba);5\ a6 + b6 : (az + bz)3 - 3azbz(az + b2);6\ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2ab - 2ac - 2bc;7. a2+b2+c2-ab-ac-bc=

1

= )l@ - b)2 + (b - c)2 + (c - a)21;

s) a3 +b3 + c3 -3abc : (a+b + c)(az +b2 + c2 - ab -* ar bc : 72 a*b*ca-b2*b-c2*c-a2.

9) (a + i + c)3 - a3 - b3 - c3 : 3(a+ b)(b + c)(c + a).

c) Proprietl{ile puterilor cu exponentintreg

l) a^ 'an = a^tn;2) am:a" = a^-n,a * 0;

3) (a^)" : amn i4) (ab)^ : a'n'b'';, (;)- : *{,b + o.

APlica(ii

1. Si se arate ci dac6 a,b e R, astfel inc6t a * b : 1, atunci:

a) a2+b2:7-2ab b) a3 + b3 : l-3abSolu{ie: Se aplicd formulele 1) qi 2) de 1a 1.1.3 b).

2. Sd se arute cA dacd a,b,cE R, astfet incat a + b * c = O,

atunci: a3 + b3 + c3 = 3abc.Solutie: Se aplic[ formula 8) de 1a 1.1.3 b).

3. Si se descompun6 in factori:a2 (b - c) + b2 (c - a) + c2 (a - b).

Solu{ie: az(b - c) + bz(c - a) + cz(a - b) = a2b - azc +tbz c - b2 a + c2 a - czb : ab(a - b) * c(a2 - b2) ++c2 (a - b) = (a - b)(ab ' ac - bc * cz) = (a - b)(b --c(a- c).

1.1.4 Ordonarea numerelor reale

Introducempe R relafiile < respectiv S astfel:

a) x<ydacdy-x)0;b) x<ydacdy-x>0.

a) Proprietatea de trihotomie. Oricare ar fi x,y € R este

adevdratd una qi numai una din relaliile x < y,x = )t,x ) !.b) Proprietllile rela(iei S :

l) x < x,(v)x e R(reflexivitate);2) x < y,y I x > x : y (antisimetrie);3) x < y,y < z = x 3 z (tranzitivrtate).

Relalia <, este reflexivi, antisimetrici qi tranzitiv5 qi deci este

o rela(ie de ordine pe mullimea R.Relafia ( este tranzitivd, dar nu este reflexivd 9i antisimetric[

qi deci nu este rela{ie de ordine pe mullimea R.c) Relajia < este o relafie de ordine total5 pe R, deoarece

(V)x,y e R avem x I y sau Y I x.