Algebra - Culegere de Probleme Pentru Liceu, Clasele IX-XII - C. NASTASESCU & C. NITA & M....

C. Ntistiisescu C. NiJa M. Bran{/iburu D. JoiJa

eulegere de oroDI pealru 1 1

EDITURA ROTECH PRO

Prof. Univ. Dr. C. NasHisescu (membru CQrespondent al Academiei Romane)

Prof. Univ. Dr. C. Nita

Prof. M. Brandiburu Prof. D. Joita

\J

ALGEBRA CULEGEREDEPROBLEME

PENTRU LICEU clasele IX - XII

w EDITURA ROTECH PRO

- 1997-

NOTA Prezenta lucrare este o versiune imbunatatita

a culegerii de probleme ,,Exercitii ~i proble-me de algebra, clasele IX - XII" de aceea~i autori, tipa-rita pentru prima oara in 1981.

Culegerea a constituit lucrarea de baza pentru algebra de liceu, bucurandu-se de un deosebit succes in randul profesorilor ~i elevilor.

ISBN 973-97010-6-x

Tehnoredactare computerizata i coperta: ROTECH PRO Tel. (01) 642.85.54 TeL/Fax (01) 250.68.07

CUPRINS

Partea I Enunturi

Pag. Cap. I. Elemente de logidi matematidi ............................................. 5 Cap. II. Multimi ................................................................................ 6 Cap. III. Functii .............................................................................. 10 Cap. IV. Numere reale (structura algebridi ~i de ordine

a multimii numerelor reale) ......... ..................................... 14 Cap. V. Functia de gradul al doilea. Inecuatii. Sis.teme de ecuatii ... 27 Cap. VI. Puteri i radicali ............................................................... 45 Cap. VII. Numere complexe ........................................................... 61 Cap. VIII. Functia exponentiala i functia logaritmica .................... 66 Cap. IX. lnductia matematica ......................................................... 75 Cap. X. Elemente de combinatorica. Binomullui Newton .............. 80 Cap. XI. Progresii aritmetice i progresii geometrice ...................... 88 Cap. XII. Notiuni de aritmetica numerelor intregi ........................... 96 Cap. XIII. Polinoame cu coeficienti compleci. Ecuatii algebrice .. 101 Cap. XIV. Permutari . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 112 Cap. 'XV. Matrice . . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . .. .. . . . . . . . . . . .. . .. . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . ~ 15 Cap. 'XVI. Determinanti ...................... .......................................... 119 Cap. 'XVII. Rangul unei matrice .. Matrice inversabile .................... 125 Cap. 'XVIII. Sisteme de ecuatii liniare .................. :. . .. . . .. . .. . . .. ... . . .. .. 130 Cap. XIX. Legi de compozitie. Grupuri ........................................ 134 Cap. XX. Inele ~i corpuri .............................................................. 1-1-5 Cap. XXI. Probleme pentru concurs uri de matematidi .................. 153

Partea a II -a Indicatii. Solutii. Raspunsuri

Cap. I. Elemente de logidi matematidi .. . .. . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 161 Cap. II. Multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Cap. III. Functii . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Cap. IV. Numere reale (structura algebrica i de ordine

a multimii numerelor reale) ............................................ 166 Cap. V. Functia de gradul al doilea. Inecuatii. Sisteme de ecuatii .. 179

( ap. VI. Puteri ~i radicali ............................................ \ ................ 195 ( ~ap. VII. Numere complexe ......................................................... 204 Cap. VIII. Functia exponentiaHi i funct~a logaritmidi .................. 208 Cap. IX. lnductia matematica ....................................................... 214 Cap. X. Elemente de combinatorica. Binomullui Newton ............ 221 Cap. XL Progresii aritmetice ~i progresii geometrice .................... 226 Cap. XII. Notiuni de aritmetica numerelor intregi ......................... 233 Cap. XIII. Polinoame cu coeficienti complec~i. Ecuatii algebrice .. 238 Cap. XIV. Permutari ..................... ................................................. 249 Cap. XV. Matrice ......................................................................... 251 Cap. XVI. Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Cap. XVII. Rangul unei matrice. Matrice inversabile .................... 257 Cap. XVIII. Sisteme de ecuatii liniare .......................................... 260 Cap. XIX. Legi de compozitie. Grupu,ri .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. . 264 Cap. XX. Inele ~i corp uri .............................................................. 271 Cap. XXI. Probleme pentru concurs uri de matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Bibliografie .................................................................................. 287

Partea I ENUNTURI

Capitolul I ELEMENTE DE LOGICA MATEMATICA

1. Sa se determine valoarea de adevar a urmatoarelor propozi!ii: a) 2 + 3 . 5; b) 2 3 < 6; c) 4 4 = 16; d) 4 + 3 < 1 + 5; e) 4 5 - 6 = 2 7;

1 1 t) 4- 2(5- 3) = 1; g) 2-3 < 1.

2. Sa se determine valoarea de adevar a unnatoarelor propozitii: ')

a) exista un numar intreg x, astfel indit x - 2x- 3 = 0; b) exista un numar real x, astfel indit I x - 1 I + I x - 21 = 0; c) exista un numar real x, astfel incat x2 - x + 1 ~ 0; d) exista un numar real x, astfel incat I x- 1 I + I x2 - 3x + 21 = 0; e) exista un numar real x, astfel incat I x - 1 I - I x - 21 < 0; t) oricare ar fi numarul real x, a vern x2 + (x- 1)2 > 0; g) oricare ar fi numarul real x, a vern (x + 1)2 + I x2 - 2x + 31 > 0; h) oricare ar fi numarul real x, a vern I x - 1 I + I x - 3 I ~~ 0; .) . fi I I . fl 2 2 1 0 1 oncare ar 1 numere e rea ex~~ y, a vern x + y + > ; j) oricare ar fi numerele reale x ~i y, a vern x2 + y2 > 0; k) exista numerele reale x ~i y astfel incat I x - 1 I + y 2 + y + 1 = 0;

3. Folosind tabele de adevar, sa se verifice: a) p v q = q v p; b) p 1\ q = q 1\ p; c) (p V q) V r = p V (q V r); d) (p 1\ q) 1\ r = p 1\ ( q 1\ r ); e) p ~ l q = l (p 1\ q); t) lp ~ q = p V q; g) (p ~ q) ~ q = p v q; h) p v p = p; i) p 1\ p = p; j) p 1\ q = l(lp v lq); k) p V q = l (lp 1\ l q); I) p V (q 1\ r) = (p V q) 1\ (p V r); m) p 1\ (q V r) = (p 1\ q) V (p 1\ r).

4. Sa se arate ca urmatoarele formule sunt tautologii (sau identic a-devarate): a) l(p V q) ~ (lp 1\ lq); b) l(p 1\ q) ~ (lp V lq); c) (p 1\ (p ~ q)) ~ q; d) (lq 1\ (lp ~ q)) ~ p; e) (lq 1\ (p ~ q)) ~ lp; t) ((p ~ q) 1\ (lp ~

~ q)) ~ q; g) ((p ~ q) 1\ (q ~ r)) ~ (p ~ r); h) (p V (p 1\ q) ~ p; i) (p 1\ (p v q) ~ p.

5. Sa se determine valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii: a) (3x) ( x2 - 5x + 6 = 0) unde x desemneaza un numar intreg;

') .

b) (3x) ( 2x- x- 3 = 0) unde x desemneaza un numar intreg pozitiv;

5

c) (3x) ( ~~ x - 61 + I x + 1 I= 0) unde x desemneaza un numar real; d) (3x) ( 2x- 6 < 0) unde X desemneaza UD numar intreg pozitiv; e) ('v'x) (3x- 1 < 0) unde x desemneaza un numar real pozitiv; f) ('v'x) (I x- 21 + lx + 31 > 0) unde x desemneaza un numar real; g) ('v' x) ( I x - 21 + l2x2 - 3x + 21 > 0 unde x desemneaza un numar real; h) ('v'x) ('v'y) (x2 + y2 - y + 1 > 0) unde x i y desemneaza numere reale; i) (3x) (3y) (x2 + xy + y 2 + 1 = 0) unde X i y desemneaza numere reale;

6. Fie predicatul p(x, y): ,,x- y - 3", unde x i y descmneaza numere reale. Sa se arate ca propozitia

('v'y) (3x) p(x, y) -~ (3x) ('v'y) p(x, y) este falsa. 7. Fie predicatul p(x, y): ,,x + y < 1 '\ unde x i y desemneaza numere

reale. Sa se arate ca propozitia ('v'y) (3.x) p(x, y) ~ (3x) ('v'y) p(x, y) este falsa.

8. Fie predicatul p(x, y): ,,x < y", unde x, y desemneaza numere intregi. a) Sa se determine valorile de adevar pentru propozitiile: p(1, 5); p(3, -1 ); p(3, 4); p(3, 1); p(45, 11); p(-2, -10). b) Sa se determine valorile de adevar ale propozitiilor: ('v'x) ('v'y) p(x, y), ('v'x) (3y) p(x, y), ('v'y.) (3x) p(x, y), (3x) (3y) p(x, y).

9. Sa se determine valoarea C\e adevar a propozitiilor: a) ('v'x) [(x > 0) ~ (x2 > 0)], unde x desemneaza un numar real~ b) (V'x) ('v'y) [(x < y) ~ (x2 < y2)], unde x, y sunt numere reale; c) ('v'x) [(x < -2) ~ (I x- 1 I -2 > 0)], unde x desemneaza un numar real~ d) ('v'x) ('v'y) [(x2 = y2) ~ (x = y)], unde x, y desemneaza numere reale pozitive; e) ('v'x) ('v'y) [(x2 = y2) ~ (x = y)], unde x i y desemneaza numere reale oarecare.

Capitolul II MULTIMI

1. Sa se determine multimile: a) {x e N 1 x2 - 6x- 7 = 0}; b) {x e N I 2x2 - 5x + 2 = 0}; c) { x e Z I x2 - i - 2 = 0}; d) { x e Z I 3x2 + 2x - 1 = 0}; e){xeQ l6x2 -5x+1=0}; f)(xeQ I x2 -(l+.J2)x+.J2 =0}; g){xeR llx-11 +1=0}; h)(xeR llx-11-lx-31 =1}; i) {x E R I I x2 - 41 -2x + 1 = 0} ;j) (x E R I x2 - 21 X I + 3 = 0};

6

k) {x E R lx3 - 2x2 - 5x+6=0}; I) {x E R l3x3 +x2 +3x+ 1 =0}; m) {x E Q lx3 - 5x + 1 = 0}~ . n) {x E Q llx- 11 + lx- 21 = 3}; p) {x E R I I X- 1 I + I X+ 21 = 3} fl {x E R I x2 - 5x + 4 = 0}; q) { x E R I I x - 1 I - I x - 4 I = 3 } n { .x E R I I x - 2l - : x - 3 I = 1 } .

2. Sa se dete~ine multimile A ~i B astfel incat sa fie indeplinite si-multan conditiile: a) A u B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7~ 8, 9, 10, 11 }, b) A 0 B = {7, 8, 9, 10}, c) B- A= {4, 5, 6, 11 }.

3. Sa se determine multimea E in urmatoarele cazuri: a) { 1, 2, 3, 4} c E, { 3, 4, 5, 6} c E, E c { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

~i {7, 8} n E = 0; b) E c { 1, 2, 3, 4, 7}, E c { 3, 4, 5, 6, 7}, { 3, 4} c E i 7 ~ E.

4. Sa se determine multimile A ,~i B astfel incat sa fie indeplinite si-multan conditiile:

a)AuB= {1,2,3,4,5,6, 7}~ b)AnB= {3,4}~ c)An{5,6,7}=0; d){1,2}"nB=0.

5. Sa se determine multimile A i B astfel indit sa fie indeplinite si-multan conditiile: a) A u B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b) B - A = ( 4, 5, 6, 7_, 8}; c) { 3, 9} n B = 0, d) An B = { 1}.

6. Fie multimea A = { 1, 2, 3, 4, 5}. Sa se determine submultimile B ale lui A astfel incat B n ( 1, 2, 3} * 0.

7 . __ Fie multimea A = {a, b, c, d, e}. Sa se determine multimea formata din toate submultimile lui A care au proprietatea ca nu contin

elementele a i c. 8. Fie mqltimea X = { 1, 2, 3, 4}. Sa se determine multimea submul-

timilor lui X care au eel mult doua elemente .. 9. Sa se determine multimea E i submultimile A ~i B ale lui E,

tiind ca: a) E- A= {7, 8, 9, 10, 11, 12}; b) E- B = (5, 6, 11, 12}; c) An B = = { 1' 2, 3, 4}.

10. Fie multimile A= ( 1, 3, 5, 7}, B = {5~ 7, 8, 9}. Sa se determine multimea X astfel in cat si a.iba Joe relatia (A - X) u (X - B) = { 1, 3}, X sa aiba patru elemente i {3, 9} c X.

11. Fie multimile A= (1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8}. Sa se determfne multimea X astfel incat sa aiba Joe relatia A - X= { 1, 2, 3 }, X c B i X sa aiba 3 elemente.

7

12. Sa se determine multimile A i B a~tfel incat sa fie indeplinite si-multan conditiile: a) Au B c {1, 2, 3, 4}~ b) A f1 B ~ {1, 2}~ c) 3 (2; B; d) Numarul de elemente ale lui A sa fie mai mic decat numarul elementelor lui B.

13. Sa se arate ca daca A i B sunt doua multimi, atunci: a) Au B =(A -_B) u (B- A) u (A f1 B); b) A= B ::)A- B = 0 i B- A= =0.

14. Fie A i B doua submultimi ale lui E. Daca notam A l:l B = (A --B) u (B- A), sa se arate ca: (A l:l B) l:l c = (A fl CE B fl CE _C) u ( CE A fl B fl c c C) u ( CE A fl f1 CE B n C) u (A f1 B f1 C), oricare ar fi submultimile A, B, C ale lui E.

15. Fie Eo multime care contine doua elemente. Sa se determine so-lutiile (X, Y) ale ecuatiei X u Y = E.

16. Fie Eo multime care contine doua elemente. Sa se determine so-lutiile (X, Y) ale ecuatiei X f1 Y = -0, (X, Y sunt submultimi ale lui E)~

17. Sa se determine multimile: - I 6n-7

a) A = {x E Z x = , n E Z}; 2n+1

I 3n2

-2n+1 b)B={xEN x= 2 ,nEN}. n -1

18. Sa se determine multimea A= {x E Z I x = 6 n2 + 7 , n E Z}. 3n +1

19. Sa se determine multimea ...

{ x E R I 3 a E R astfel in cat x = a2 - a + 1 } . a+1

20. Sa se determine multimea

I 3n2 +6n + 1

A = {x E N 3 n E N, x = , } . n- +1

2 3 +? 21. Sa se determine multimea {x E Z I x - x - E Z}.

2x+l 22. Sa se determine multimea

A = { (x. y) E R x R I x + y = 2 i I xI -21 y I =. -1}. 23. Sa se determine m ultimea

A= {(a, b) EN x N I ab = 2160 i c.m.m.d.c. (a_, b)= 12}. 24. Sa se determine multimea {(x, y) EN x N I 9y2 - (x + 1)2 = 32} 25. Sa se determine multimea { x E R I 1 < I x + 1 I - I x - 21 < 3}. 26. Sa se determine multimea { (x, y) E Z x _Z I x2 - 2xy + 3y2 = 8}.

8

27. Sa se arate di mul!imea {(a, b) eN x N I x2 - abx +a+ b = 0} are radacini intregi .

28. Sa se determine numarul de elemente din multimea {(x, y) eN x N I x + 3y = i980}.

29. Sa se determine numarul de elemente din multimea { (x, y) EN x N I 4x + 3y = 1980}.

30. Sa se determine multimea .

{(x, y) eN x N I .[; +JY = ../1976 }. 31. Sa se determine multimile A ~i B ~i numerele m, n, p ~tiind ca: A = { x E R I x2 - 3x + m = 0}, B = { x E R I x2 + nx + p = 0},

A u B = { -1 , 1 , 2, 4) . 32. Sa se detennine valorile reale ale lui a, astfel incat multimea

{x E R I x- ; = 2j2lxl- a2 j } sa aiba trei elemente. Sa se gaseasca elementele multimii .

33. Fie m E R. Consideram multimea ~

A = {x E R I ~a E R astfel incat x = a2 ~a +m }. Sa se arate di: m a+1 .

a) A0 =R - { -1} ~ b) Am = R. ('v') m < 0~ c) Multimile Am, cand m pare urge mutimea R, nu au nici un element comun.

34. Fie a, b, c e Z, numere impare. Sa se arate ca: { x E Q I ax2 + bx + c = 0} = 0.

35. Fie mu~timile A = {x I :3 n E N, x = 3n + 1}. B = {x I :3 m E N, x.:... 7m - 1}.

Sa se arate ca A n B = { x I 3 t e N, x = 21 t + 13}. 36. Sa se arate ca, oricare ar fi m E R, are loc egalitatea: .

{x E R I x2 -4x+m2 =0} n {x E R I x2 -mx+ 1 =0}=0. 37. Fie a, b doua numere reale. Sa se arate ca, daca a + b + 1 = 0,

2

a +- b, a, b * 1 sau b = !!:._ ~i a > 4, multimea 4 .

A= {x E R I x2 +ax+ b = 0} u {x E. R I x2 + bx +a= 0} are trei elemente.

38. Sa se arate ca multimea {x e R I x2 + mx + 2 = 0} u {x e R I .l + + 8x + 2m2 = 0} are exact doua elemente, oricare ar fi m . e R.

39. Sa se arate ca multimea A={xeR 1-x2 +mx+1=0}u{xeR l4x2 +8x+m2 =0}

9

are unul sau dou~ elemente. Sa se determine m pentru care A are un sio-gur element.

40. Sa se determine numarul de elemente din multimea: {xER I x2 -m.x+m-1=0}u-{xER I x 2 -(m+ 1)x+m=O}.

41. Sa se arate ca, oricare ar fi m E R, multimea: {x E R I x2 + 2(m + 1)x + m = 0} u {x E R I x2 + 2mx + m- 1 = 0} are exact patru elemente.

42 .. Sa se determine numarul real m, astfel incat multimea: {x E R I mx2 + (m- 1)x + m + 2 = 0} n { -1, 1} :t:- 0.

43. Sa se determine numarul de elemente din multimea: {x E R I x2 + x + m = _0} n [0, +oo). Discutie.

44. Sa se determine numarul de elemente din multimea: {x E R I x2 + 2x + m = 0}. Discutie. ~5. Sa se determine numarul de elemente din multimea:_

{x E R I x2 + mx + 1 = 0} n (-oo, 0]. Discutie. , 46. Sa se determine numarul de elemente din multimea:

{x E R I mx2 + 2(m + 1)x + m- 2 = 0} n [0, +oo). Discutie. 47. Sa se determine a ~i b astfel incat sa a vern: {x E R I x2 + 2ax + b = 0} \ {x E R I x2+ 2bx +a= 0} = 0.

48. Fie A i B doua submultimi ale lui E. Folosind problema 14, sa se determine submultimea X a lui E, astfel ilicat sa a vern egalitatea

(A -X) u (X- A) = B. 49. Sa se arate ca nu exista un numar finit de numere rationale ql'

q2, .... , qo astfel incat oricare x E Q sa se poata scric sub forma

under. E Z. I .

Capitolul III FUNCTII

1. Fie A = { 0, 1 } ~i B = (a, b, c}. Sa se determine toate functiile de Ia multimea A in multimea B. Sa se precizeze cate din acestea sunt in-jective.

2. Fie A = { 1, 2~ 3} ~i B = (a, b, c}. Sa se determine toate functiile f: A~ B astfel incat.f(1) =c.

3. Fie A= {1, 2, 3} ~i B = (5, 7, 9}. Sa se determine toate functiile f: A -4 B astfel incat.f(1):;:. 5 ~i.f(2):;:. 9.

10

4. Sa se determine functia f: R --) R astfel in cat: 2f(x) + 3/(1 - x) = 4x- 1 oricare ar fi x E R.

5. Sa se determine functiaf: R--) R avand proprietatea: .f(x + y) - f(x- y) = 4.xy, (\7') x, y e R.

6. Sa se determine functia f: R --) R astfel in cat f(1) * 0 i .f(x) f(y) = .f(x + y- xy), (\7') x, y E R.

7. Sa se demonstr~ze ca nu exista nici o functie f : R --) R care sa verifice relatia: f(x) + f(n - x) = x, (\7') x e R, unde n E N*.

8. Exista functiif: R--) R astfel incatf(x)- f(- x) = x2, (\7') x e R? 9. Fie functia f: R --) R satistacand conditia:

mf(x - 1) + nf( -x) = 21 x I + 1. Sa se determine m i n astfel incat functia f sa indeplineasca conditiile f(-2) = 5 i/(1) = 1.

10. Exista functiif: R--) R care satisfac proprietatea: f(x-1)-f(l-x)=x, (V')x e R?

11. Sa se determine functiaf care verifica relatia: 4/(x) + 3f( -x) = c I xI, c E R.

Sa se traseze graficul functiei astfel determinate. 12. Sa se determinrlunctiile f de gradul tntai, astfel in cat f o f = 1 R. 13: Fie functiaf: R--) R,f(x) =ax+ b. Sa se determine

Jn = Jo Jo ... o J n ori

14. Sa se reprezinte grafic functiile: a)f: R--) R,f(x) =max (2x- 1, x + 1), b) g : R--) R, g(x) =min (3x- 1, x + 3).

15. Fie functiile f: R --) R, f(x) = ~ - II + 2 i g : R -).R, g(x) = lx- 21 + 1. Sa se determine/ o g i g of

16. Fie ~ctiilef: N--) N,f(n) = 2n i g: N--) N;

( ) { !!:_ , ~ daca n este par S... d . f . f g n = 2 . a se etemune o g I g o . 0, daca n e~te impar

17. Fie funcpile:

{3x+l, daca x < -1 f: R~R, J(x)= -2, daca x > -1

g:R-)R,g(x)= ' {-3 dacax < -2 x-1, dacax>-2

11

Sa se determine f o g ~i g o f ~ 18. Fie functiile:

f: R ~ R, J( X) :._ 2 {2x+3, daca x < 0 x + 3, daca x > o-

g : R ~ R, g(x) = x + 1. Sa se determine f o g i g o j

19. Fie functia f: R ~ R definita prin egalitatea:

{2x-1 dadix < 2 f(x) = ' x + 1, daca x > 2

Sa se arate ca f este bijecti va i sa se calculeze f- 1 20. Fie functia f: R ~ R, definita prin egalitatea:

dacax > 2, f(x) = {x2' 3x - 2 daca x < 2.

'

Sa se arate caf este bijectiva i sa se calculeze in versa sa.

( ) {x- 3, daca x < 4,

21. Fie functia f: R ~ R, f x = ., . Sa se arate 2x - 7, daca x > 4.

ca f este in versa bila i sa se calculeze f- 1 22. Sa se arate ca urmatoarele functii nu sunt injective:

a)f: R 4 R,.f(x) = x3 - 5x2 + 2; b)f: R 4 R,.f(x) = x5 - 7x4 + 1; c)f: R 4 R,fix) = x3 - 3x2 + 2x- 4; d)f: R ~ R,fix) = x 1981 ..----4x1979 + 1.

23. Fie fuilctia f: (0, +oo) 4 (0, +oo) definita prin ~galitatea: J( x) = x + _!_. Sa se arate ca pe intervalul (0. 1 ], f este strict descresca-

x

toare iar pe tnrervalul [ 1, +oo) este strict crescatoare. 24. Fie functiile f ~i g, definite pe R cu valori in R, un~e

f(x) = 2x4 + 3x3 + 4 i g(x) = x3 + x + 2. Sa se arate cafnu este injectiva, iar g egte injectiva.

25. Fie functiaf: R 4 R de forma: f( X) = { X+ 1, daca X E ( -oo, 2)

mx - 3, daca x E ( 2, .; oo ). a) Sa se determine m astfel incat graficul functiei sa treaca prin punctul A(3, 3). b) Sa se cerceteze daca functiaf este injectiva.

26. Pentru orice m, n E R se considera functia

12

{x- m, pentru x < 0, f : R ~ R, !, n (x) =

"' n fl'l, nx + m, pentru X > 0. Sa se determine valorile lui m i n pentru care f. este:

m.n

a) injectiva~ b) surjectiva; c) bijectiva. 27. Fie a un numar natural. Definim functia: fa : N ~ N astfel incat

fa(n) este ultima cifra a numarului an. a) Sa se arate ca 3 b, 0 < b < 9 astfel incatfa = h b) Sa se arate ca oricare ar fi a, fa este o functie periodlca (adica exista un numar naturat"n0 astfel incatfa(n + n0) = fa(n), (V) n E N ~i n * 0).

28. Fie A o multi me care are eel putin trei elemente. Notam cu SA = = {f: A~ A I fbijectie}. Dacaf e SA if o g =go f, (V) g e SA, atunci f= 1A. ,

29. Fief: A ~ B o functie oarecare. Daca A' c A este o submul-time a lui A, multi mea f(A 1 = {f(x) I x e A 1} care este o submultime a_ lui B se nume~te imaginea submultimii A 1 prin functia f Daca A' = A, atunci mul\intea.f{A) se numete imagineafunctieifi se noteaza Imf

a) Fie fu.nctiaf: R ~ R,f(x) = 2x + 1. Sa se deterrnine:f([-1. 1]);/([-2, O]);.f((-2, 1])~/((1, 2)). b) Fie functiaf: R ~ R,f(x) = lx- 21 + 1. Sa se determine:/([1, 3]);/([-1, 3]);!([1, +oo)). c) Fie functiaf: R ~ R,f(x) = lx- II+~+ 21- 1. Sa se determine:.f([O, 1]);!([-2, 1])~!([-3, 2]). 30. Fief: A ~ B o functie. Sa se arate ca:

a) Daca X i Y sunt doua submultimi ale lui A, atunci: f(X u Y) = f(X) u f( Y) i f(X n Y) c .f(X) n f( Y).

b) f este injecti va daca i numai daca .f(X n Y) = .f(X) n f( Y), oricare ar fi submultimile X i Yale lui A.

31. Fief: A ~ B o functie. Sa se arate ca: a) f este injectiva f(CA 1 c Cf(A '), (V) A I e P(A)~ b)feste surjectiva f(CA ') :::> Cf(A '), (V) A' e P(A); c)feste bijectiva J(CA 1 = Cf(A 1, (V) A' e P(A). (P(A) este multimea pa'qilor lui A). .

~2. Fief: A ~ B o functie. Fie P(A) i P(B) multimea paqilor lui A i respectiv ale lui B. Definim functia f* : P(A) ~ P(B), f*(A ') = = f(A '), (V) A' E P(A). Sa se arate ca: a) J este injccti va !* este injectiva; b)f este surjecLiva f .. este surjectiva~

13

c)feste bijectiva ~f. este bijectiva. 33. Fie functia semn, sgn : R ~ R,

-1, dacax < 0, sgn x = 0, dadix = 0,

1, dacax > 0. Sa se reprezinte grafic functiile: a)f: R ~ R,f(x) = (2x- 1) sgn x; b)f: R ~ R,f(x) = lx- II sgn x; c)f: R ~ R,f(x) = sgn (x- 1) + x sgn (x- 2).

34. sa'se reprezinte grafic functiaf: [-a, a]~ R,a >tO, f(x) = min t 2 .

-a~t~.:r:

35. Sa se construiasca o functie h : Q ~ Q care sa fie surjectiva i astfel iricat h(n) = 0 pentru orice n E N. _

36. Sa se demonstreze-ca oricare ar fi doua functii bijective: f, g: Z ~ Z, functia h: Z ~ Z, h(x) = f(x) g(x) oricar~ ar ~ x E Z nu este bijectiva.

37. Fie a, b, c E R ~i functia f: R ~ R, f(x) = axz + bx + c, astfel i'ndit.f(-1) < l,f(l) > -1,/(3) < -4. Sa se arate ca a este negativ.

38. Fie A o multime finita avand n ~lemente, a E A, iar f., / 2, ... ,In functii bijective de Ia A-la A. Sa se arate ca exista k

a4 b4 c4 4 (a - b)( a -c) + ( b- c)( b -a) + { c - a X c- b) =

= a 2 +b2 +c2 +bc+ca +ab. 1 1 1 1

S. a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) =abc. 1 1 1 6

a2 (a - b)( a - c) + b2 ( b- a)( b - c) + c2 ( c - a)( c - b) = bc+ca+ab

-----

a2b2c2 Daca a, b, c, dE R, sa se demonstreze egalitatile:

1 1 7 (a-b)(a-c)(a-d) + (b-a)(b-c)(b-d) +

+ ( )( 1 )( ) + ( )( 1 )( ) = 0; a, b, c, d fiind diferite c-a c-b c-d d-a d-b d-e

intre ele.

8 . b c d ----:-----:- + + - a( a + b) (a+ b)( a + b +c) (a + b +c)( a + b + c +d) -b+c+d

- a(a+b+c+d)' Generalizare. 9. Fie a, b, c numere reale nenule, astfel incat oricare doua sunt di-

ferite intre ele. Sa se arate ca produsul

( b- c + c - a + a - b J( a + b + c J este egal cu: a b c b-e c-a a-b I) 9, daca a + b + c = 0;

II) 1, daca I c I = Ia - bl. 10. Daca a, b, c E R, sa' se arate ca

(a +.b + c)3 - (a3 + b3 + c3)'= 3(b + c)(c + a)(a +b). Sa se deduca de aici ca, daca

(a + b + cl = a 3 + b3 + c3, atunci (a + b + c)2n + 1 = a2n + 1 + b2n +I + c2n +I, unde n e N.

11. I) Daca a, b, c E R, sa se arate ca a' +b' +c3 -_3abc ~ (a+b+c}[(b-S +(c-a)2 +(a -b)2 ];

15

II) Dadi a3 + b3 + c3 = 3abc, atunci a + b + c = 0 sau a = h = c. 12. Dadi a, b, c sunt numere reale pozitive, sa se arate ca: I) (a + b)(b + c)(c + a)> 8abc~

., 2. 2, '2 2 II) (a+ b )c + (b + c')a + (c +a )b > 6abc~ _ III) 2(a3 + b3 + c3) >(a + b)ab + (b + c)bc + (c + a)ca. 13. Sa se demonstreze ca, daca a. b, c sunt numere reale politi\:c.

a_stfel in cat a + b + c = 1, at unci 1 1 1 -+-+->9. a b c

In ce condi!ii are loc egalitatea? 14. Fie a,~b, c numere reale poziti vc S~ se demonstreze inegalitatea

ab hf' ra a + b + c --+--+ 2.

16. Sa se demonstreze ca din segmentele de lungime a, b. c se poa-te construi un triunghi daca ~i numai daca

a2b2 +b2c2 +c2a2 > !(a4 +b4 +c4). 2

17. Fie a, h, c E R. Sa se arate ca, daca 1 1 1 1 -+-+-=---a b c a+b+c'.

atunci pentru n. numar natural, a vern 1 I . I 1

2n+l + b2n+l + 2n+l. = 2n+l + b2n+l + 2n+l a c a . c

I X. l) Fie a, b E R. Sa se arate di. dadi m ~i n sunt numere n~turale de acc~a~i paritate, atunci

--- --- < -----2 2 2

II) Sa se deduca. de aici. ca. daca a. b E R, atunci a+ b a2 + b2 a3 + b3 ab + b6 -- --- --- < ---

2 2 2 2 ' 19. Daca a, b, c sunt numere reale pozitive. atunci

a4 +h4 +c4 a+b+c ~-----

abc 20. Fie a, b, c, d numere reale pozitive. Sa se demonstreze ca

16

~(a+c)(b+d) >J;ili+~. In ce conditii are loc egalitatea? 21. Dadi a, b E R astfel indit l a I < 1, I b I~ 1, sa se arate di

~l-a2 +~l-iJ' 2 1-( a;b J in ce conditii are loc egalitatea? 22. Sa se demonstreze ca

? 2 2 b R I) ab + ac + be < a- + b + c . unde a, , c E ; II) ab + ac +ad+ be+ bd + cd ~ ~(a2 +b2 +c2 +d2 ), unde

2 c. dE R;

a, b,

23. Fie numerele rationale ~, a2 , bl b2

.... ' an ' unde b. > 0, pentru b I . n

i = 1, 2, ... , n. Sa se demonstreze ca . a; a1 +a2 + ... +an a. rmn-<

Si se arate ca nl al + a2 + .... an V ata2 .. . an < .

n (media geometrica a n numere reale pozitive este mai mica sau egala cu media aritmeticli a lor).

In ce conditii are loc egalitatea? 27. Sa se arate ca pentru orice numere reale pozitive a,,b, c, a', b',

c', are loc inegalitatea: V,.-( a_+_a_'_)(_b_+_b_' )(_c_+_c_') > V abc + V a' b' c'.

28. Fie nun numir natural. Atunci.. I) nn > 1 3 5 , .. (2n- 1); II) 2n > 1 + n.J2n-l. 29. Sa se arate ca suma a n numere reale poziti ve, al caror produs

este constant, este niinimi in cazul in care numerele sunt egale intre ele. 30. Fie al' a2, ... , an numere reale pozitive. Sa se ara.te ca

a a a a a _1 +__1_+_3 + .... +.....!cl.+_n > n. a2 a3 a4 an a1

31. Fie a 1, a2, ... , an numere reale pozitive. Si se arate ca (a; +a1 + l){ai +a2 + l) ... (a; +a.+ 1) > 3 . a1a2 ... an

32. Fie al' a2, ... ,an numere reale pozitive. Sa se arate ca

( a~ +~+l)(a~ + a2 +1)(a;;t +an-t +1)(a; +~+ 1)> 3n_ a2 a2 a3 a3 an an at al 33. Fie al' a2, ... ,an numere reale pozitive. Sa se arate ca

1 1 n 1 < ~ata2 ... an -+-+ .... +-. a1 a2 an

(media armonica a n numere reale poziti ve este mai mica sau egala cu media geometricli a lor).

In ce conditii are loc egalitatea? (vezi ex. 26). 34. Fie kl' k2, ... , kn numere naturale i al' a 2, .. , an numere reale

pozitive. Si se demonstreze ca produsul a:1 a~2 a!", unde a 1 + a 2 + ... + + an este constanta, este maxim atunci cand numerele al' a2, ... , an sunt proportionate, resp(fctiv, cu k1, k2, ... , kn.

35. Sa se demonstreze ca suma patratelor an numere reale pozitive, a caror suma este constanta, este minima in cazul in care numerele sunt egale.

18

36. Fie at, a2, ... , a.n numere reale pozitive. Sa se demonstreze ca (at +a2:+a.r n2' . a1 a2 .. an

unde al' a2, ... , an sunt numere reale pozitive. 39. Daca al' a2, ... , an; bl' b2, ... , bn sunt numere reale pozitive, sa se

demonstreze ca ~a1b1 +~a2b2 + ... +~anbn < ~a1 +a2+ ... +an ~b1 +b2+ .. :+bn.

40. Fie al'- a2, ... , an; bl' b2, ... , bn numere reale pozitive. Sa se arate

ca ~(al +b1)2 +(a2 +b2)2 + ... +(an +bn)2 < Ja; +a~+. .. +a~ + +J b; +hi + ... +b;. (inegalitatea lui Minkovski).

41. Daca av a2, ... , an E R, atunci

i=1 i= 1

42. Daca a], a2, ... , an E R, atunci ~a~ +a;+ ... +a;

( ) _ a + b +I a - bl . ( ) _ a + b -Ia - bl max a, b - , nun a, b - , 2 2

unde max (a, b), respectiv min (a, b), reprezinta eel mai mare, respectiv eel mai mic, dintre numerele a ~i b.

46. Daca a, b, c e R, atunci I a - b I + I b - c I + I c -a I = 2(max (a, b, c) - min (a, b, c)).

unde max (a, b, c), respectiv min (a, b, c), reprezinta eel mai mare, respecti v eel mai mic, dintre numerele a. b, c.

x+lxl -x+lxl 47. Fie x e R ~i se noteaza x+ = 2

~i x_ = 2

. Sa se arate

ca x = x+- x_ ~i I xI= x+ + x_. Sa se reprezinte graficul functiilor: f, g : R ---)> R, definite prinftx) = x+ ~i g(x) = x_.

48. Fie a, b, c e R. Sa se arate ca ecuatia 3x2 + 2(a + b + c)x + a2 + + b2 + c2 = 0 are radacini reale daca ~i numai daca a = I;= c.

49. Fie a ~i b numere reale pozitive. Sa se scfie in ordine crescatoa-re numerele

a+b .J 2 2 a, b, , a + b .

2 50. Sa se rezolve in.multimea R ecuatiile:

I) I 3x + 2 I = 5; II) I x + 1 I = I x - 2 I; III) I x - 1 I + I x I + I x + 1 I = x + 2 ~ IV) II X I - 2 I = 10; V) II X I - I X+ 1 II= I X+ 2 I; VI) I X+ 1 1- I X I+ + 31 X - 1 I - 21 X- 2 I =X+ 2.

51. Sa se rezolve in multimea R a numerelor reale inecuatiile~ n 1 x - 2 1 < 1; m 1 x + 2 1 > 1; 1m 1 x - 1 1 + 1 x 1 < 2; IV) 1 x + 1 1 + 1 :x 1 > 2; V) I X - 1 I + I X - 2 I < 0; VI) I X + 1 I + I X - 2 I > 0; VII) I X - 1 I + I X + 1 I < X+ 1; IX) I X + 1 I < I X - 1 I; X) I X + 2 I > >I X- 11.

52. Sa se scrie sub forma de fractie zecimala infinita numerele: 17 3 27 523 201

a) -5; b) 6 ; c) - 4 ; d) 0; e) 0 ; f) -21; g) -19. 53. Pentru fractiile zecimale periodice urmatoare sa se determine

numarul rational pe care-} reprezinta ~i sa se verifice apoi, prin algo-ritmul de impaqire, case obtine fractia zecimala initiala: a) 3,{6); b) 1,i2(32); c) -3,(12)~ d) Q,01(25); e) -4,3(042); f) -0,001(3); g) 0,01 (02).

54. Sa se arate care dintre numerele urmatoare sunt rationale ~i care irationale:

20

' . ~ 3 a) -1,56; b) 1,(560); c) -2,53(9); d) J2; e) J3; f) ./6; g) -;h) if2~ 3 . i) V};j) V6; k) ~-

. 55. Fie 1 < a < 9. Sa se arate ca fractia O,aOaOOaOOOaOOOOa ...

(dupa primul a urmeaza un 0, dupa al doilea sunt doi de 0 etc.) repre-zinHi un numar irational.

56. Sa se arate ca fractia zecimala infinita 0,123456789101112 ... , in care dupa virgula sunt scrise, consecuti.v, toate numerele naturale ne-nule in ordine crescatoare, reprezinta un numar irational.

57. Sa se arate ca in reprezentarea zecimala a oricarui numar ira-tiona! exista eel putin o cifra care se repeta de o infinitate de ori.

58. Sa se dea exemple de numere irationale pentru care numai doua cifre. respectiv numai trei cifre, se repeta de o infinitate de ori.

59. Sa se dea un exemplu de un numar rational a ~i de un numar irational b, astfel incat

I

J3- al < 1 ~i I J3- bl < 1 . 1000 ~ 1000

60. Fie a, b E R, a -:;:.b. Sa se arate ca exista intre a ~i b eel putin un numar rational i eel putin un numar irational.

61. Sa se arate c~ pentru once numar rational pozitiv a, astfel incat a

2 < 2 (respectiv a2 > 2), exista un numar rational pozitiv b, astfel incat

2 , 2 2 ~ a < b~ < 2 (respectiv a > b > 2).

62. Sa se arate ca numerele .J3 + .J5 i .J3- .J5 sunt irationale. 63. Fie m ~i n numere naturale. Sa se gaseasca conditii in care nu-

merele .J;; + J;; ~i .J;;- .[;; sunt irationale. Dar daca m ~i n sunt nu-mere rationale pozitive?

64. Sa se arate ca, daca a este un numar irational pozitiv, atunci ra este un numar irational.

65. Sa se demonstreze ca: I) Suma dintre un numar rational i unul irational este un numar

irational. Analog, pentru diferenta.

II) Daca a este irational, atunci .!_ este irational. a

66. Fie a ~i b numere irationale astfel incat .a + b este rational. Sa se demonstreze ca numerele: a - b, a + 2b sunt irationale.

21

67. Fie a, b, a', b' e Q, astfel incat-~Jb E: Q. Atunci I) a +Jb = a'+.[i; dadi i numai daca a= a' i b = b'; II) a+.Jb *a'-.[i;, pentru orice numere rational~ a, b, a', b' iar

.Jb sa fie irational. 68. Sa se determine numerele naturale n astfel incat ~ n 2 + 1 sa fie

rational. 69. Sa se determine cele mai mici numere naturale n, pentru care

este adevarata inegalitatea - 1- < & , daca IOn I) & = 0,001725 ... ; II) & = 0,0003254 .... 70. Sa se spuna care dintre numerele, din perechile de numere ur-

matoare, este mai mare:

a) 5,34297 ... i 5,34298 ... ; b) -6,2739 ... i -6,2736 ... ; c) 7 i 2,(42); 3

d) -~ i -0,7(32); e) -2,2 i -2,1(9); f) n ~i 3,14. 7 71. Sa se gaseasdi aproximarile zecimale, cu o eroare mai mica de-

cat 10-2, prin lipsa i prin adaos, pentru numerele: _ a) .J5; b) - .J5; c)~; d) - ~; e) .Jli; f) - .Jli; g) 7

5 5 13 h) _2; i) .!2; ') -~.

- 13 11 J 11 72. Sa se gaseasca primele trei cifre, dupa virgula, ale sumei x + y,-

daca a) x = 3,2745 ... i y = 2,3478 ... ; b) X= 10,7373 ... i y = -11,0354 .... 73. Sa se gaseasca primele doua cifre, dupa virgula, ate produsului

xy, daca: a) x = 1,3426 ... ~i y = 1,1243 ... ; b) X= 2J357 ... i y = 3,2153 ... . 74. Sa se gaseasca primele patru cifre, dupa virgula, ale sumelor:

a) J3 +J6; b) J2 +.J7; c) '}_+../2; d) ~+.J5; e) .J7 -/5; 4 3

f) ..[3- .!.! ; g) J2 + J3 + .J5. 9

75. Sa se gaseasci primele trei cifre, dupa virgula, ale produselor:

22

a) J2.J3; b) -/3-.JS; c) :!__.J7; d)- 2 .JS; e) -J7 . .J5; 4 3 '

t) _.!.!.JS; g) -0,710710071. .. X .J6. 9 76. Sa se gaseasdi aproximarile zecimale, cu o eroare mai mica

0. Sa se arate ca, 'b 1 .

oricare ar fi numarul natural n > 1, avem

a+n_l 0, un numar real arbi-trar, exists n0 astfel incat

a +no 1 _ ___;;_ - < ~ . b+n0

80. Sa se determine numerele intregi k, astfel incat radacinile ecu-atiei b? + (2k - 1 )x + k - 2 = 0 sa lie rationale.

81. Sa se demonstreze ca, daca a, b, c, ~ + Jb + ~ sunt numere rationale, atunci .,{;;, .Jb, ....{; sunt, de asemenea, numere rationale.

Generalizare. 82. Fie a un numar real i notam cu {a} = a - [a] partea fractionara

a sa, iar n > 2 un numar natural. Sa se demonstreze ca functia f: R -4- R, definita prin f(a) = {an .J2} nu este injecti va.

23

83. Sa se determine partea intreaga a numarului 3J3. 84. Sa se rezolve ecuatiile:

a) [ x;3] = x;2; b) [ x2 -~x+l] = x;l; c)[2x _ J] = (x + l]. 85. a) Fief:> O~i a 1, a2, ... , a" numere reate astfel incat I a 1 I < f:,

I I < . - 1 " 1 S"' "' . "' "' ai + 1 - ai _ f:, pentru z - ..... , ... , n - . a se arate ca eXJsta un numar natural k < n, astfel incat

/ 1 1 a --a < -f:.

k 2 n 2 b) Sa se deduca, de aici, ca exista un numar natural p, astfel in cat

86. Fie a, b numere rationale pozitive ~i .Jb ~ Q. Sa se gaseasca, presupunand ca exista, numerele rationale X ~i y astfel incat

~a+Jb =..Jx +JY. In ce conditii astfel de numere exista?

...

Aceea~i problema pentru egalitatea ~a-Jb = j; -JY.

87._Fie a. b, c, m E R astfel incat m > 0, ac < 0 ~i a b c

--+ +-=0. m+2 m+l m

.,

Defi~m functiaf: R ~ R, prinf(x) =ax-+ bx +c. Sa se demonstreze ca

f(m:l)I(l) 2, a vern

1 1 1 1 3 a)-< +- + .... +-

90. Sa se arate ca ifi (l{p+qj,:"lp, q, r EQ}.

91. Sa se determine multimea {a E Q I exista bE Q astfel indit 5a2 - 3a + 16 = b2 }.

Generalizare. 92. Sa se rezolve ecuatia:

x3

- [x] = 3, unde [x] este partea intreaga a lui x ..

. 1 1 1 1 93.Ftes=-2 +-2 +-2 + .... + ,. 1 o 11 12 1 ooo-sa se arate ca 1 s- 0,105 1 < o,oo6. 94. Fie a un numar real care are o reprezentare zecimala de forma

0,999 ... , unde dupa virgula sunt 100 de 9 consecutivi. Sij se arate ca ra ~re o reprezentare zecimala in care dupa virgula sunt, de asemenea, 100 de 9 consecuti vi.

95. a) Fie a. > ~ > 0 numere re~le. Sa se afle care dintre numerele l+cx. . 1+~

----2 ~ 2 . l+a.+cx. 1+~+~ este mai mare.

b) Generalizare. Daca n este un numar natural~ sa se afle care dintre numerele

este mai mare. 96. Fie a, b, c E Q, iar p E Nun numar prim. Sa se arate ca:

a + bifP + cifiJ = 0 daca ~i nu~ai daca a = b = c = 0. 97. Fie [a] partea intreaga a nuniatului a. Sa se demonstreze ca: a) [x] + [y] < [x + y];

b) [[ ~ J] = [ = l not 0 fiind-Un numar intreg; c) [ x] + [ x +.~] = [ 2x ]; d) [X l + [X + ~ ] + [X + ~]+ .... +[X + n: l] = [ nx].

25

98. Fie numarul n2 +

5, unde n este un numar par.

2100 a) Sa se arate ca fractia zecimala sub care se reprezinta acest numar

rational este mixta. b) Sa se gaseasca cea mai mica valoare a lui n pentru care acest

numar se reprezinta sub forma unei fractii zecimale finite.

) D .... .... s: 1 A A fr . n2 + 5 .

c aca presupunem ca n este ashe tncat actta este ue-2100

ductibila, sa se determine numarul cifrelor din perioada i al celor care nu sunt in perioada. .

99. Sa se arate ca oricare ar fi numarul intreg n (n * 0, -1, -2), nu-.... I 1 1 1 . .... . f . . d. .... . .... L

maru - + se repreztnta pnntr-o ractte peno tea mtxta. a n n+1 n+2

3n2 +6n+2 fel, pentru ( ) (n * 0, + 1 ).

n n 2 -1

100. a) Fie a un numar rational, dat de fracti~ ireductibiHi m, n

(m, n) = 1, care se reprezinta sub forma de fractie zecimala periodica simpla. Sa se arate ca numarul k al cifrelor perioadei este eel mai mic numar natural astfel incat 10k- 1 sa fie divizibil prin n. '

b) Sa se determine numitorii fractiilor ireductibile care dau numere rationale ce se reprezinta sub forma de fractie zecimala periodica simpla, a carei perioada sa aiba 1' 2, 3 sau 4 cifre.

c) Daca n i n' sunt numitorii fractiilor ireductibile, care dau no-mere rationale, care se reprezinHi sub forma de fractii zecimale peri-odice simple avand perioadele formate din k, respectiv k' cifre, sa se ara-te ca orice fractie ireductibiHi cu numitorul nn' da un numar rational care se reprezinta sub forma unei fractii periodice simple. Mai mult, daca n i n' sunt prime intre ele, numarul cifrelor din perioada fractiei zecimale periodice care reprezinta numarul rational dat J:le o fractie ireductibila de numitor nn' este c.m.m.m.c. al numerelor k i k'.

101. Sa se determine numerele rationale care se reprezinta sub for-ma de fractii zecimale mixte, avand o cifra Ia partea neperiodica i doua ci fre in peri oada.

102. Fie m i !!!... fractii ireductibile i p, respectiv p', numerele 7 13 dat~. de perioadele fractiilor zecimale periodice sub care se reprezinta

26

I . 1 m . m S"' " p 13 numere e rattona e - 1 -. a se arate ca - = -. . 7 13 p' 7

103. Fie m o fractie ireductibil~ care da un numar rational ce sere-n

prezinta sub forma unei fractii zecimale periodice simple cu perioada formata din n - 1 cifre; fie aceasta (a 1a2 an_1). Sa se arate ca orice alta fractie cu acelai numitor da un numar rational care se reprezinta sub forma de fractie zecimala periodica simpHi cu perioada de forma (a pi +1 ... an. I' a 1a2 ai_ 1), pentru un anumit i, 1 < i < n - 1.

I

104. a) Se dau numerele m i m , care au aceleai aproximari zeci-n n'

male prin lipsa i prin adaos, cu o eroare mai mica d~cat 10-P. Sa se arate .., .., 1 mk + m' k' A k . k' A 1 . ca numaru , In care ~~ sunt numere tntregt, are ace ea~1 a-

nk+n'k' proximan zecimale prin lipsa i prin adaos cu o eroare mai mica decat 10-p.

b) Cunoscand resturile r i r' ale impaqirii lui 1 (f m prin n ~i res-pectiv Hf m' prin n', sa se determine restul imp3.rtirii lui (mk + m'k') 1Cf prin nk + n'k'.

_. Capitolul V FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA INECUATII. SISTEME DE ECUATII

1. Sa se adpca Ia forma canonica urmatoarele functii de gradul II: . '

a) f(x)=x 2 -2x+6; b) f(x)=-x 2 +7x+2; 2 2

c) f(x)=-x -4x+1; 3

e) f(x) = -0,4x2 +x +0,1; 2 1 f) f(x)=5x --x+l. 2

2. Sa se determine axa de simetrie i varful parabolei asociat fun-ctiilor:

a) f(x)=-2x 2 +x+1; c) f(x) = -x2 +3x -12;.

b) f(x)=x 2 +x+1; d) f(x)=x 2 -2x-1;

27

e) f(x) = 0,5x2 - O,lx + 0,4 ~ 1 2 1 1 f) f(x)=-x --x+-. . 2 3 4

3. Sa se stabileasca maximul sau minimul unnatoarelor functii: a) f(x) = -x2 + 2x -1 ~ b) f(x) = 0,5x2 + x + 1; c) f(x)=x2 +3x+2~ e) f(x) = 5x2 - 2x + 3 ~

d) f(x)=-2x 2 +4x+5; f) f ( x) = x 2 - 4.

4. Sa se ~tabileasca semnul urmatoarelor functii: - 2 2 1

a) f(x)=x -6x+5; d) f(x)=x -x+-; 4

b) f(x) = -x2 - 5x- 6; e) f(x) = -0,2x2 + x- 0,8; c) f(x) = x 2 + 3x + 13; f) f(x) = 0.4x2 - 5x. 5. Sa se faca tabloul de variatie ~i sa se traseze graficul urmatoarelor

functii: a) f(x) = x 2 ;_ 6x + 8; b) f(x) = -2x2 + 7x- 5; c) f(x) = -x2 + 6x- 9; e) f ( x) = - x 2 + 25 ;

d) f(x) = 2x2 - 3x + 1 ~ 0 f(x)=-x 2 +lOx.

6. Sa se lraseze graficul functiilor: a)f: R ~ R, f(x)=lx 2 -2x+ll; b) g: R ~ R, g(x) = ~~x 2 +_lx + tl; c) h: R~R,h(x)=lx2 -5xl+l; d) k: R ~ R. k(x) = 12x2 - 3xl-t;

-X + 2, X E ( -00, - 2 ), e) f: R ~ R, f(x) = x 2 , x E[-2, 2],

X+ 2, X E (2, + 00 );

f) f: R ~ R, f(x) = lx 2 -91 +lx 2 -161 ~ g) f: R ~ R, f(x) = min(x, ~); h) f: R~R,f(x)=max(x,x 2 ); i) f: R ~ R, f(x) = min(l, x, x 2 );

28

j). f: R ~ R, f(x) = max(l, x, x 2 ); k) f: R ~ R, f(x) = max{2x, x 2 ) ~

{2x + 1, x < 0 ~

I) I: R ~ R, f (X) = 2 X + 1, X> 0.

7. Fie f: R ~ R, f(x) = jax 2 - 3x +cj. Dadi 0 0 ~

{x, daca x < 1,

b) f(x) = 2 x - 2x + 2, daca x > 1 .

..

13. Sa se arate ca unnatoarelc functii sunt strict descrescatoare: ..

{- 2x + 1, daca x < 0,

a) f(x) = , - x- + 1, dadi x > 0 ~

b) f(x) = {:! 4 6d..., 2 .

14. Sa se arate ca functiile de Ia problemele 12 i 13 sunt bijective ~i sa se determine inversele lor.

29

15. Sa se determine functia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c ~d c3. admite un maxim egal cu Q. ~ trece prin punctele A(l, -7) i B(-1; -27).

16. Sa se determine parametrul mER astfel indit intre radacinile ecuatiilor urmatoare sa existe relatia scrisa in dreptul fiecareia:

a) (m + l)x2 + 2mx + 5 = 0, x1 - x2 = 2; b) ( m - 2 )x2 + (3m - 5)x + ~ = 0, x 1 = x 2 ~ c) ( m + 3 )x2 + mx + m + 1 == 0 ,

d) 3x2 + (m- 3)x + m + 5 = 0, e) (m+5)x2 -(m+7)x-m,+3=0, f) mx2 - ( m -l)x - m + 1 = 0 ,

g) mx2 +(m 2 -2}x+2(m+l) =0,

h) (m+2)x2+(1n-3)x+nz=O,

i) x 2+mx+2m+8=0,

j) x2 +2(3m+2}x+3(2m+l)=O,

k) x 2 - ( m + 1 )x + 1n = 0 ,

x1 = 3x2 ;

2 2 8 xt +x2 =-;

3-

1 1 -+-=2

' xt x2 3

xt + x2 + 2xtx2 = 2 ~ x 1 = 2x2 ;

2 2 _10m . xt +x2 - --xtx2'

3 lxt- x21 = 1.

17. Sa se calculeze, in functie de m E R, expresiile: a) x1 + x2 ~ b) x1x2; c) x; + x;; d) x1 - x2; e) x~ + x;; t) 4 4 ) s s I ) -t -t . ) -~ --2 x 1 +x2 ; g x 1 +x2 ; 1 x1 +x2 ; 1 x1 +x2 ; j) x~3 + x~3 cu xl' x 2 -:t; 0, unde x 1 ~i x 2 sunt radacinilc ecua\iei

x2

- mx + m + 1 = 0 . 18. Sa se calculeze, in functie de m, expresiile: a) F, + .j;; ; b) Vx: + v;;_ , unde x1 ~i x2 sunt radacinile ecu-

. . 2 2 2 1 0 avel X - m X + m + = . 19. Sa se formeze ecuatia de gradul al doilea care are ca radacini:

5 3 a) x 1 =7,x2 =-7; b) x 1 =0,x2 =-5; c) x1 =-,x2 =-. 3 5

30

1 5 1+J2 1-J2 d) XI = -, X 2 = - ; e) XI :::; , X 2 = 2 7 3 3 20. Se da ecuatia 2x2 + ( m + 1 )x + 5m - 2 = 0 . Sa se formeze ecuatia

in yale carei radacini indeplinesc conditiile: . 1 1 1 1

a) YI = -, Y2 =-; b) YI =xi+-, Y2 = X2 +-; ~] x 2 : xA ~2

xi +x2 xi +x2 c) Yt = xt + X2, Y2 = X1X2; d) Yt = , Y2 = ;

g) Yt = xi' Y2 = x; ; ') ~ ~ 1 Yt = xt , Y2 = x2 21. Sa se rezolve inecuatiile:

xt x2

f) 2 y 2, Yt =xi' 2 = x2 '

a) 3x2 + 5x + 3 > 1 ; b) - 2x2 + 6x- 3 < 5; c) 6x2 + 2x - 3 > 0 ; d) 5x2 + 3x + 1 > 0; e) - 8x2 + 2x + 6 < 0; f) 7x2 + 3x- 4 < 0; g)\ x: +2x - 2 > 3 ; h) 5x + 7 _ 2x + 21 > 2 ;

X - 3x + 4 X - 2 X + 7 3

. I 2 I I 2 I x2 + 2x + 2 1) X -9 + X -16 < 47 ; j) 2 > 2 ; X -1 lx 2 + 4xl + 3 2; + 1

2 3x -1 _I

k) >X2 +lx-51 > 1 ; _I) 2x2 +3x-2 < ; m) x 2 -7x+12J < 1 " 22." Sa se rezolve sistemele de inecuatii:

{7 x 2 + 13x > 2,

a) - 5x2 +6x-1_< 0;

31

3x -1 < 0, b) 3x2 -,7 x + 2 < 0,

-x2 +2x- 5 4(x + 1),

d) x2 +4x > 0;

lx- 31 +13-xl 2 < 1,

16-x e) jx-31+13-xl

..:....____.:_____:_ _ _.:... > -1 2 - . 16-x

23. Sa se determine m astfel incat: x

2 + y 2 - 4x - 4 y + m > 0, ('v') x, y E R .

24. Sa se determine -tn astfel in cat: x

2 + y 2 - 2x - y + m > 0, ('v') x, y E R . -

25. Sa se rezolve inecuatia 5x2 - 20x + 26 > 2 4

.

x -4x+5 26. Fie functia f: R ~ R,f(x) = x 2 -2x. Sa se calculeze: a).f([O, 2]); b).f([-2, 4]); ,.c).f([l, 6]); d).f([-10, 0]) (a se vedea ex.

29, cap. III). 27. Fie-- functia de gradul al doilea f(x) = x 2 - 4x + 3. Sa se calcu-

leze: a).f([-4, 0]); b).f([l, 6]); c).f([3, 5]); d).f([3, +oo)); e).f((-oo, -1]); f).f((-oo, 3]). 28. Sa se determine 1m f (a se vedea ex. 29, cap. III) pen.tru unna-

toarele functii: a) f: R~R,f(x)=x2 +5x-6; b) f: R~R,f(x)=x2 -x+I;

2 "" .., . I 2 I ' X - L.X - _,

c) J: R ~ R, f (x) = x - 4 + 3 ; d) J: R ~ R, f (x) = ., ~ x- + x + 1

x2

-4x+3 e) f: R ~ R, f ( x )' = 2 ;

x -2x+3 2x

f) f : R \ { 1 ' 3 } ~ R,. f (X) = 2 x -4x+3

~

g)f: R \{a +b} ~ R, f(x) = x 2 - ab , unde a, he R. 2 2x-a-h

x2 +I mx + 3m - 2

29. Fie fractia E ; . Sa se determine tn astfel x +2x+m

incat fractia E sa aiba sens ~i sa fie pozitiva pentru Ori{;e'X. E R.

32

2 1 - x + (m + l)x--

30. Fie fractia E = 2 2 2

.

x +2mx+m +1 I) Sa se arate ca oricare ar fi m E R, fractia E are sens oricare ar fi

X E R. II) Sa se determine m E R, astfel indit E sa fie negativa, oricare ar

fixeR. , x 2 +ax+1 ....

31. Fie functia f: R ---). R, f(x) = t (a E R). Sa se deter-x -x+l

mine valorile lui a, astfel incat bnf c [-3, 2].

3 f R R,/ ) 3x2

+mx+n. S"' d . -2. Fie functia : ---). (x = 2 a se eteroune m X +1 ~in astfel incat Imf = [-3. 5].

33. Pentru , ce valori ale lui a, intre radacinile ecuatiei .., ,( 0 . .... I . xt x2 1 1

x - L a - 1 )x - 2a + 1 = , extsta re atta - 2 + - 2 > - +- r x2 xt xt x2

34. Sa se formeze ecuatia de gradul al doilea care are coeficientul lui x 2 egal cu 1' ~tiind ca discriminantul ~i produsul radacinilor sale

2 3( 2 ) sunt, respecttv, A= -2m + m + 1, p = 4 2m + m . . Sa se determine m astfel incat radacinile x1 ~~ x2 sa verifice inega-

3 3

litatea x~ + x; > m . xt +x2

35. Se da ecuatia mx2 - 2(1n + l)x + 8 = 0 ~i se cer-e: a) Sa se discute radacinile ecuatiei dupa valoarea parametrului 1n.

') ') xj +x; b) Sa se determine m astfel incat sa avem > x 1 + x2 ,_ x 1 ~i x2 - xtx2

fiind radacinile ecuatiei date. 36. Se dau ecuatiile: x 2 - ( m + 1 )x + m 2 = 0 cu r~dacinile x1 ~i x2 ~i

y2 - (1n + 3)y +12m+ 11 = 0 cu radacinile y1 ~i Y2 . Sa se determine m astfel ca intre radacinile ecuatiilor sa a vern:

. 2{xt + x2) {Yt + Y2) < X1X2 + Y1Y2~ 37. Se considera ecuatia de gradul al doilea:

33

(1+a 2)x2 -(1+a)x+a(1-a) =0. Sa se determine parametrul a pentru care are Joe inegalitatea:

1 1 1 -1 0

'

{4x -2, x < 0,

g : R ~ R, g(x) = 2 3x -2, x > 0.

Sa se determine g of ~i fog. 41. Consideram functiile f, g (0, 1) ~ (0, 1) definite in modul

urmator:

f(x)= 2d "0 1 x , aca < x < -,

2 . 1 .

X, dad\ - < X < 1; 2

Sa se calculeze g of ~i fog.

g(x) = 1 1 , daca - < x < 1~

2 4

2x, dadi 0 < x ~ .!._, 4

42. Fie familia de functii de gradul al doilea: fm(x)=mx 2 +2(m-1}x+m-~:m*O

I) Sa se arate ca varfurile parabolelor asociate acestor functii se ga-s~sc pe dreapta x + y = Q .

II) Ce poqi une. lltn aceastl dreaptl cuprinde virful parabolelor cu ramurile in sus (respectiv in jos)?

34

43. Fie familia de functii de gradul al doilea: fm(x)=x 2 +7(m-l)x+m-1.

Pentru ce valori ale lui m parabolele asociate functiilor fm au varful deasupra axei Ox ?

44. Fie familia de functii de gradul al doilea: fm(x)=x 2 -2(m-2)x+m=-2,

unde m este un parametru real. I) Sa se arate di varfurile parabolelor asociate acestor functii se ga-

sesc pe o parabola. II) Pentru ce valori ale lui m, parabola asociata functiei fm are var-

ful sub axa Ox ? 45. Sa se arate ca oricare ar fi m E R , .parabola asociata functiei de

gradul al doilea f(x) = x2 - 2(m -l)x- m taie axa Ox in doua puncte distincte.

46. Fie familia de functii de gradul al doilea: fm (x) = x 2 - 2( m -l )x + m, unde m E R.

I) Sa se arate ca varfurile parabolelor asociate acestor functii se ga-sesc pe o parabola.

II) Sa se arate ca varfurile parabolelor asociate functiilor !,, se ga-5

sese sub dreapta v __:_-. ~ 4

47. Fie funqia de gradul al doilea: fm(x) = mx2 - (2m -l)x + m -1, m :t= 0.

Sa se detennine m astfel i'ndit varful parabolei aso~iate acestei func-tii sa se gaseasca pe pritna hisectoare.

48. Sa se determine m astfcl i'ndit parabola asociaHi functiei f(x) = x 2 - 2(m + 3)x + m 2 sa taie axa Ox in doua puncte ..

49. Sa se arate ca oricare ar fi in :t= 0 . graficul functiei de gradul al doilea JC',:) = nu 2 - 2(m- 3)x + m- 6 taie axa Ox in doua puncte dis-tincte.

50. Fie familia de functii de gradul al doilea: fm(x)=x 2 -2mx+1,m eR.

Sa se arate ca exista doua parabole asociate acestor furictii care sunt tangente axei Ox. Sa se arate apoi ca aces.te doua parabole au varfurile

simetrice fata de origine. 51. Sa se determine m astfel indit graficele functiilor

f(x) = x 2 - 2x- 4 i g(x) = -x2 - 2mx- 6 sa aiba acelai varf. 52. Sa se arate ca graficele functiilor f(x) = 2x2 - 2x + 2 1

g(x) = x 2 + 2x -1 au dona puncte comune. 53. Fie functia de gradul al doilea f(x) = x 2 - 4x + 3. Sa notam cu S

aria cuprinsa intre axa Ox i graficul acestei functii. Sa se arate ca 1 < S < 2. 54. Sa se determine . m E R astfel in cat graficele functiilor

f(x) = x 2 + mx + 1 i g(x) = x 2 +X+ m sa se intersecteze pe axa Ox. 55. Fie pun numar prim. Sa se arate ca intersectia graficului functiei

f(x) = x 2 - 3x- p cu axa Ox este formata din dona puncte care nu au coordonate rationale.

56. Fie functia f(x) = x 2 - 6x + 5. Notam cu S aria cuprinsii intre graficul acestei functii i axa Ox. S~ se arate ca 10 < S < 16.

!n. Fie functia de gradul al doilea fm(x) = x 2 - (m + 3)x + 4m. Pentru ce valori ale lui m graficul fm este situat deasupra dreptei . y = -7?

58. Fie m E Z . Sa se determine m astfel in cat varful parabolei func-tiei f(x) = mx2 - 2(m + 7)x + m sa aib~ coordonatele numere intregi.

~9. Fie functia de gradul al doilea: fm(x) = (m -1)x2 + 2(m + 2)x +m + 1, (m-:;; 1).

Sa se determine m astfel incat graficul functiei fm sa fie situat sub axa Ox.

60. {:onsideram functia fm(x) = x 2 - 2( m -1)x + m(m- 3) . I) Pentru ce valori ale lui m varfOI parabolei functiei fm se afla sub

axa Ox? II) Pentru ce valori ale lui m, parabola functiei fm eGte tangenta axei

Ox? Ill) Sa se arate ca varfurile parabolelor functiilor fm ' cand m E R

se afla pe o dreapta. . 6t.lfie functia f(x) = (m + 1)x2 + 2(m + 2)x + m + 3.

36

I) Sa se arate ca graficul acestei functii taie axa Ox in doua puncte distincte.

II) Sa se determine m astfel incat radacinile ecuatiei: ( m + 1 )x2 + 2{ m + 2 )x + m + 3 = 0 sa fie mai mici decat 1.

62. Pentru ce valori ale lui m, { m -1 )x2 + mx + m + 1 > 0 , on care ar fixER?

63. Pentru ce valori ale lui m, { m -l)x2 + 2mx + m + 1 > 0 , oricare ar fix>O?

64. Pentru ce valori ale lui m, x 2 - 2mx + m + 1 > 0 , (\7') x > 0 '! 65. Pentru ce valori ale lui m, ( m -l)x2 + 2mx + 1 > 0 , (\7') x > 0? 66. Pentru ce valori ale lui m, ( m + l)x2 + 2mx + 1 < 0 , (\7') x E R ? 67. Pentru ce valori ale lui m. (m- 2)x2 + 2(2m- 3)x + m- 2 > 0,

oqcare ar fi X < 0? 68. Pentru ce valori ale lui m, (m- 2)x2 + 2(2m- 3)x + m- 2 < 0,

oricare ar fi x E R? 69. Pentru ce valori ale lui m, inecuatia:

{ m - 1 )x2 +' m + 1 )x + m + 1 > 0 , nu are nici o solutie?

70. Fie functiafm : R ~ R. definita prin

f. (x} = {-x 2 +mx+1, daca x < 0, m x+l, daca X> 0,

unde m este un parametru real. Sa se determine valorile lui m pentru care functiafm este surjectiva, injectiva, respectiv inversabila. In cazul in care/. este inversabila, sa se determine inversa functieif. .

m ~ m

71. Sa se determine numerele m ~i n astfel incat multimea: { x E R I mx 2 - (3m - 4 )x - 6( m - 1} = 0 } n { x E R I { n -1 }x 2 -

- ( n - 1) x + 6( n - 2) _: 0} sa aiba doua elemente.

72. Sa se determine numerele m ~i n astfel indit multimea: f x E R I {m -l}x2 - (3m- 7}x- 6(m- 2} = 0 } n {x E R I nx 2 +

37

+ nx + 3( 2n - 2) = 0} sa aiba doua elemente.

73. Sa se determinem astfel incat:

{x E R 1,3x2 +mx- 22 = ,o}." {x ER I x2 -(m+4}x+ 14 = o} * 0. 7 4. Sa se determine m astfel in cat multimea:

{ x e R I {3m+ 1 )x2 + (3m + 2 )x +2m + 5 = 0} u {; e R I {2m+ 5)x 2 + + (3m + 2 )x +3m + 1 , b}

sa ai ba trei elemente. 75. Sa se determine m astfel incat multimea:

{x eRI x2 +~-4 = o} u {x eR I x2 +2x-2m = o} sa aiba exact doua elemente.

76. Sa se determine valorile reate ale lui a astfel incat ecuatia: xlx +2al + 1 -:::a = 0

sa aiba 0 unica solutie. 77. Sa se determine m e R astfel in cat:

{ x e R I x 2 + mx t 1 = 0} r-'1 [ 1, + oo) * 0 . 78. Sa se determine m e R astfel in cat multimea:

{x E R I x 2 + mx + 2 = o} (I [ 1, + oo) sa aiba doua elemente. 79. Sa se determine m e R astfel in cat:

{ x e R I x2 + mx + 1 = 0} " [ 1, + oo) = 0 . 80. Sa se determine me R astfel incat multimea

{x E R I x 2 + mx + 2 = o} (I (-oo, -1] sa aiba doua elemente: 81. Sa se determine m astfel incat { x e R j x 2 - 2mx + m - 1 = 0} " { -oo, -1] ;t: 0 . 82. Sa se determine m astfel incat:

{ x e R I x 2 - 2mx + m - 1 = 0} " ( -oo~ - 1] = 0 . a2 +b2 .

83. Fie a, b e R, 0 < a < b . Daca b < m < , atunci multimea 2a

38

{x ER I x2 -2m(m -a)x+m2 (m 2 - b2 ) = o}n [o. +oo) are doua elemente.

84~ Dadi a, b, c E R, sa se arate ca:

{x ERI x2 -(a2 +b2 +c2)x+b2c2 =0} *0. 85. Sa se determine m E R astfel in cat multi mea

{x eRI (m-5)x2 -4mx+m-2=0}n[2,+oo) sa ai ba un singur element.

86. Sa se determine m astfel incat multimea:

{x ER I (m2 -l)x2 -(2m-l)x+ l = o} n (- oo,l] sa ai ba un singur element.

87. Sa se determine m astfel in cat: { x E R I ( m - 1 )x2 - 2( m + 1 )x + m + 1 = 0} n [ .J 1, 1] :t:- 0 .

88. Sa se determine m astfel incat multimea: {x E R I (m + 2)x2 - 2(m + 1),x + m + 1 = o} n [-1, 1]

sa aiba doua elemente. 89. Sa se determine m astfel incat multimea:

{x eRj (m-1)x2 -2(m+1)x+m=O}n[-1, 1] sa ai ba un singur element.

90. Sa se determine m astfel incat: { x E R I ( m + 1)x2 - 2( m -1)x - m = 0} n [ 0, 1] = 0 .

91. Fie numerele reale a, b, c, a', b', c' astfel incat a :t:- 0, a':t:- 0 ~i ac+a'c'> 0.

Daca {x eR I ax2 + bx +c = o} ;f:. 0 ~i . {x eR I a'x2 +b'x +c'= o} :;t 0 atunci {x ER I aa' x2 +bb'x +cc'= o} ~ 0.

92. Sa se determine m astfel incat multimea: {x eRI x2 -2mx+m+2=.o}rt(-ao,~] saaibadouaetemente.

93. Sa se determine m astfel incat multimea:

39

{x E R I x2 - 2mx + 4m- 5 = o} n (o, 3) sa aiba doua elemente. ~4. Sa se determine m astfel incat:

{ x E R I x 2 -2m;+~+ 2 = 0} n [ 0, 1] = 0 . 95. Sa se determine m astfel incat multimea:

{ x E R I x 2 - 2mx + 4m + 5 = 0} n [ 5, 7 J :;t: 0 . 96. Pentru ce valori ale lui m, functia de gradul al doilea

f: R--)- R, f(x) =5m 2 x 2 ~ (5m + 1)x + 1, are semn constant pe inter-valul (-1, 1)?

97. Fie polinomul P(x) =.x2 + bx + c, cub, c E R. Sa se arate ca: [) J:?aca radacinile polinomului sunt reale, atunci I x 1 I < 1, I x2 I < 1, :laca ~i numai daca 1 + b + c > 0, 1 - b + c > 0 ~i I c I < 1. IT) Daca radacinile polinomului nu sunt reale, atunci I x1 ] < 1 ~i I x2 I

{4x2 - 5.xy + 4y2 = 118,. d) . 2 2 41 . X -.xy-y =- ;

{x3 + YJ = 2,

f) 2 2 X -X}'+ y = 1;

h) ~+H=~. 1 1 5 -+-=-~ X y 16

X+ y + 2 = 9,

j) _!_+_!_+_!_=1. X y 2 .xy + x2 + y2 = 27~

103. Sa se arate ca sistemul de ecuatii

{

3 2 2 X +X y +X}' = p, e)

x2y + .xy2 + YJ = q;

{x3- YJ = 7,

g) 2 2 X +.xy+ y = 7;

X+ y = -3, i) X+ 2 = -2,

.xy + x2 + y2 = 2;

.xy +x2 = -8, k) .xy + y2 = 1,

y2 +x2 = -3 .

x3 - x 4 = b, (a, b E R) x 1 + x2 + x3 + x4 = 1,

are o solutie pozitiva dadi ~i numai dadi Ia! + lbl < 1 . 104. Sa se rezolve sistemul de ecuatii: ,

x2

=a+(y.-2) 2 , y 2 =b+(~-x)2 , (abc>O). 2 2 = c+(x- yr.

{x2 + y2 = 2 -

105. Pentru ce valori ale lui a, sistemul are o unica x+ y+2 =a,

solutie reala ? 106. ~a se determine numerele reale x, y, 2 astfel incat

{x + y +2 = 1,

2.xy- 2 2 = 1. 107. Fie sistemul:

{x

2 + y 2 = 2(1 +a),

(x+ y)2 = 14. Pentru ce valori ale lui a sistem~l are.doua solutii ? 108. Fie sistemul de ecuatii:

{x2- Y2 = 0 (x+~)2 + ;2 = 1.

Pentru ce valori ale lui a sistemul are doua, respecti v trei, solutii ? 109. Sa se rezolve, in multimea numerelor reale, urmatoarele siste-

me simetrice:

{2x + xy + 2y = 59,

a) 3x- 2xy +3y = -34;

c)

3 3 133 X +y =--

1000' 7

x+y=- 10'

{X

3 - y 3 = 3( X - y ),

e) 3 3 X + y =X+ y;

{(x- y)(x2 - y2) = 3,

h) r 2 (x + y)(x + y ) = 15;

{X + y + 2xy = -11,

b) 2 2x y + 2xy 2 = -12~

{2xy + 5(x + y) =55,

d) 6xy + 3( X + y) = 81~

X+ y= 3, f) x2_ y2 9

-+-=- y X 2'

{X+ y = 2,

g) 4 4 X + y = 2;

x+y+z=a, i) xy + xz + yz = 0,

X)'Z = 0. 110. Sa se determine toate solutiile sistemului:

{y 2 : 4xy+ 4y-1 = 0, 3x - 2xy - 1 = 0,

care indeplinesc conditia xy > 0. 111. Sa se determine toate solutiile sistemului:

(2- .X)(3x- 2z) = 3- z, y 3 + 3 y 2 = x 2 - 3x + 2,

z2 +y2 = 6z, '

care indeplinesc conditia z < 3. 112. Sa se determine valorile lui a real, astfel incat sistemul de

42

inecuatii: 2 2 1-a

X +2xy-7y > , a+1

3x2 + lOxy- 5y2 < -2, sa aiba solutie.

x3y3z4 = 1,

113. Sa se rezolve sistemul: x2y 4z4 = 2, x2y3z5 = 3.

114. Sa se rezolve sistemul a1 a2 an p p + p- bP xt + x2 +... xn .- .

115. Sa se rezolve sistemele:

a) l2x+ ~ = 3, 4x -1 + 2x + y = 4; 2x+ y 3x- 2

116. sa se rezolve sistemul: x1 - x 2 + x 3 = 1, x 2 - x 3 + x 4 = 1, x 3 - x4 + x5 = 1,

x8 - x9 + x 10 = 1, x9 - x 10 + x1 = 1, xtO - xt + x2 = 1.

117. Sa se rezolve sistemul:

43

118. Sa se determine numerele reale x1, x2 , ... , xn astfel in cat:

~x1 -I+ 2~x2 - 22 + ... +n~x. -n2 = ~ (x, +x2 + ... +x.). 119. Fie a1,a2 , . ,an(n>2)numere reale pozitive. Sa se rezolve

sistemul:

xtx2 =at, ..

x2x3 = a2,

120. Pe o dreapta (A) se considera IIAB!I =a, iar pe segmentul IABI se ia punctul M. Triunghiurile echilaterale avand date bazele IAMI ~1 IMBI, sa se gaseasca minimul ariei sumei celor dona triunghiuri.

121. Fie AD mediana unui triunghi oarecare ABC. Sa se determine M eiADI astfel indit IMAI 2 +1MBI 2 +IMCf sa fie minima.

122. Se dau dona surse de lumina A ~i B de intensitate, respectiv, 100 A ~i 81 A. Sa se determine pe dreapta AB un punct M egalluminat de ambele surse. Distanta dintre A ~i B este egala cu 20 m.

123. Se da un cere de raza R = 10 m. Pe un diametru I ABI al cercului se alege un punct M ~i se construiesc cercurile de diametre !AMI ~i IMBI. Sa se determine pozitia punctului M astfel ca aria cuprinsa intre cele dona cercuri sa fie maxima.

124. Sa se determine pe un segment I ABI de 20 em un punct M astfel ca suma ariilor cercurilor construite pe !AMI ~i IBM! ca diametre sa fie minima.

125. Sa se imprejmuiasca un loc in forma de dreptunghi cu un gard a carui lungime este de 120 m. Cat trebuie sa fie laturile acestui drept-unghi astfel incat aria locului sa fie maxima ?

126. Din bucati de materiale triunghiulare,. o croitorcasa vrea sa coa-sa fete de masa dreptunghiulare. Cum trebuie croite fetele de masa astfel incat sa se piarda cat mai putin material ?

127. Aria unui dreptunghi este egala cu 81 dm2. Sa se afle dimensiu-nile-sale astfel incat perimetrul sa fie minim.

44

128. Doua ma~ini pot transporta o cantitate de materiale timp de 5 zile. Prima ma~ina merge 200 Jan pe zi ~i consuma 12 litri Ia suta de kilometri. A doua ~a~ina merge 300 Jan pe zi ~i consuma 18 litri Ia suta de kilometri. Cate zile trebuie sa transporte materiale fiecare ma~ina ast-fellncat cantitatea de benzina sa fie minima ?

129. Fie triunghiul ABC In care se cunoa~te IIABII = 5 em, iar suma IIBCII ~i IIACII este egala cu 7 em. Sa se afle lnaltimea triunghiului astfel ca atia sa fie maxima.

130. Dintre toate triunghiurile dreptunghice cu acela~i perimetru, sa se gaseasca acelea care au raza cercului lnscris maxima.

131. Sa se determine x, y, z E R, astfellncat: 2 2x = y+-, y

2 2y=z+-,

z 2

2z = x+-. X

132. Sa se determine numerele reale x, y, z care satisfac egaliHitile:

x(: + J =y(> ~r =z(~ + :r = ~~ 133. Sa se determine toate solutiile reale ale sistemelor de ecuatii:

~ ~

y3 -9x 2 +27x-27 = 0, 2y3 +2x 2 +3x+3 = 0, a) z3 - 9y2 + 27y- 27 = 0, b) 2z3 + 2y2 + 3y + 3 = 0,

x3

- 9z 2 + 27z- 27 = 0.

1. Sa se calculeze:

Capitolul VI PUTERI SI RADICAL!

~

45

(2)-4( 3)-2 3-2 + 3 -4 c)-------

(:)" -1s-r' 2. Sa se efectueze:

4x-2 - 9y-2 a-2 - b-2 a) .

a-b 2x-1 +3y-1 '

c) (x + y)-3(x- y)-2(x + y)2 x-y x+y x-y

a-'-b-3 x+y b) x-1 + y-1 a-2 +.a-1b-1 +b-2 ;

d) [-(1-af1rt[a(a2- 2) +a" ]-1 a -a+l

-2b-1 -1b-2 e) a ~2 +:-2 +a3(a2 -2ab+b2r2 .

a -

3. Sa se calculeze: 1 -1

a) 4 = (;r L-2(~ +a) _ 2a-l -1 J ~sa i se atle valoarea pentru a=_~ ;

b) l a + [ l + (~:~)-I J ~~- 1 ~i sa i se afl~ valoarea pentru a = - : . 4. Sa se efectueze: (x+y+z) 5 -(~x+y+z) 5 -(x-y+zr -(x+y-zf, unde x, y. z

sunt numere reale. 5. Dadi a~ b E R . sa sc demonstrczc ca:

(a+b) 5 -a 5 -b5 =5au(a+b)(a 2 +ab+i/). 6. Dadi a. b E R . cu a+ b 1:- 0. sa se demonstrcze ca:

a 3 - b 3 = (a a 3 - 2b3) 3 + (b 2a 3 - h3) 3 a3 +b3 a3 +b3

7. I) Dadi a. h, c, d E R' sa se demonstreze ca: a

3 + b3 +c3 +d3 - 3(bcd +cda +dab+abc) =

46

= (a + ~ + c + d )(a 2 + b2 + c2 + d 2 - ab - ac - ad - be - bd - cd) . II) Generalizare. Dadi a}' a2, ... ,an E R' atunci:

n n n n n "a~- 3 "a.a.ak ="a. "a~-" a.a . ...J I ...J I J ...J I ...J I ...J I J i=J i,j,k=J i=J i=J i,j=J

i

b) /2 : R \ { 0} ~ R. /2 (X) = X -3 + 1 ; c) / 3 : R\{1}~R/3 (x)= 1 ;

x-1

d) /4 : R \ { -1} ~ R, /4 (X) = 1 2 ' . (x +1)

15. Sa se aduca Ia o forma mai simpla:

a) ~(2 + x) 2 ; b) ~(lxl- 3)' ; c) ~ (- 2x2 + 3x - 1 r ; 16. Sa se efectueze sumele:

a) ~(x +2) 2 +~(x- 2) 2 ; c) ~(2x2 -3x+lr +~(x2 +x+2r. 17. Sa se construiasdi graficele functiilor:

a) it : R ~ R, it (X) = ~ (X + 2 r + ~ (X - 2 )2 ; b) / 2 : R ~ R, h (x) = ~ ( x + 3 )2 - ~ ( x - 2 )2 ;

..----

c) f 3 : R __. R, _h(x) = J(2x2 -3x+ lr +J(x2 +x+2r . 18. Sa se gaseasca valorile lui x pentru care sunt definiti radicalii

sau sumele de radicali: a) .J x - 1 ; b) ?.J 1 - 4x ; c) .J- 5 - 3x ; d) V 7 x - 2 ; e) Vx 2 - sx +4; o J(x 2 - 3x+2r ; g) Vx 2 - sx +4; h) V{J2-x')x; i) ~(x-l)(x-2)(x-3}; j) .Jx-4-.Jx-5; k) V7 x 2 - 3 + V x 2 -2 ~ m) 3V1~x +Jix+2l-7.

I) .J4 +X- .J X+ 2 + V15- X ~

19. Para a calcula radicalii, sa se gaseasca care dintre numerele ur-matoare este mai mare:

a) 3.J2 sau .J27; b) 3v;;;; sau ifl62m3 (m > 0); 48

c) 2a.J"; sau ~4a 3 (a> 0); d) 3/isau H; e) /4 sau 3~ 25 ; v75 243 . f) - 3V54 sau - 2V12s ~ g) 2Jl sau ~ 8 . V54 375 20. Sa se scrie in ordine crescatoare numerele: a) ?/4, W, .1i/280; b) .J8, if54. ifi5; c) .JJ, ?/4, 1175. 21. Sa se determine semnul fiecaruia dintre numetele: J2- VJ; if4- if]; Vfi- JfO; if6j- 2/2; Vm- Vn'

m ~i n fiind numerele reale poziti ve. 22. Sa se determine care dintre numerele urmatoare este mai mare:

a) .J1l- J5 sau .Jl9- .J1l; b) 2~8- .[15 san .J30 + VJ: 23. Sa se calculeze:

a) (2../8 + 3J5 -7J2)(/7i.- 5../W- 2J2); b) ~2+.fi )2+~2+.fi .J2+J2+~2+.fi .J2-J2+~2+.fi 24. Sa se demonstreze ca:

a) ~10 + J24 + J40 + ../60 = .fi + .J3 + .[5; b) 'fl-~ ~&+~-{. 25. Sa se scri.e numarul V9.J3 ~ 11.J2 sub forma a/2 + b.J3, cu a ~i b numere rationale.

26. Para a utiliza formula radicalilor compu~i sa se transforme radi-calul ~ 9 + J56 intr-o suma de doi radicali.

27. Daca a. b, c sunt numere reale, astfel in cat a + b +,c = 1 , at unci: .J 4a + 1 + .J 4b + 1 + .J 4c + I < 5 .

28. Sa se simplifice: x 3 - 3x + (x 2 -1}~,--x-2 -4-2.

a) ----~--~==~-x3 - 3x + ( x 2 -1 }~ x 2 - 4 + 2 '

49

x3 -12x+(x2 -4)Jx2 -16 +16 b) 3 ( 2 ).J 2 ;

X -12x + X - 4 X -16 -16

x2 +2x+2x/Y + y+2/Y

c) 2 C C (x, y E R). Discutie. x -x+xvY-vY

29. Sa se demonstreze ca, daca a > b > 0 sunt numere reale ~~ mEN, atunci:

m bm m-1 a - bm-1

rna > >m ; a-b

Si se deduca de aici ca: 'lJ n + 1 > n+~ n + 2' n > 2 fiind un numar natural.

_ 30. Utilizind formula radicalilor compu~i sa se aduca Ia o forma mai simpla radicalii:

a) ~4.J2 +2/6; 'b) ~17+J288; c) ~28-16J3 ~ d) ~17- 4~9+4..{5 ; e) 2J3+~5-~13+J48 ; t) Jl3+ 3o.J2+~9+4.J2 . 31. Sa se arate ca:

~~26_+_61J 1==3==-==4~~8-=+=2~~6~-~2~/5~ + +~26-6J13+4~8-2~6+2..{5 E Q.

32. Sa se rationalizeze numitorii fractiilor: 2 5 1

a) b) c) ~2+J2+.fi ' V2 -J3' l+V2 +v-4' 1 2

d) e) 1-V2 +v:i' ,fi -JJ +.J5' f) 1

J8+Jl2-J6-J3-.fi. 33. Sa se demonstreze ca:

50

34. Sa se arate ca:

este numar intreg. 35. Sa se demonstreze ca:

V3+V3 +V3-V3

1 1 1 f) J r;; r;; ; g) 4 ~ 4 r;: 4 r;:;;::; ; h) 3 r;: 3 r;; .

v 3 - ""3 ~ 3 + ~ 9 + ~ 27 + 3 9~ 9 - 3v 3 - 27 41. Sa se rationalizeze numitorul fractiei:

1 v-;+ifb+Vc'

a, b, c fiind numere rationale. 42. Sa se rationalizeze numitorul fractiei:

1

a +bl/k +cifi?' unde a, b, c, k sunt numere intregi.

43. Sa se rationalizeze numitorii fractiilor: 1 1

I) nlr; II) 1 31 . a fiind un numar intreg. a-vo va -va 44. Sa se calculeze:

1 1

J X + 2J X - 1 + J X- 2J X -1 unde x e ( 1, 2) .

45. Fie ft(x) = Jx +.J2x -1 +Jx- J2x -1 . / 2(x) = J2x +J4x -1 +J2x- J4x -1 ,

1 unde x >-.

2

a) Sa se simplifice ft(x) ; h(x)

b) Sa se rezolve ecuatia ft(x) + / 2 (x) = 2.J2. 46. Sa se arate ca ecuatia: .

.Jx+l +~l-x2 =Vr-x-2 _+_7 -2 are unica solutie x = -1 .

47. Sa se gaseasca solutiile reale ale ecuatiilor:

a) J X + 3 - 4.J X - 1 + J X + 8 - 6.J X - 1 = 1 ; 52

b) ~X + 2 + 4J X - 2 +~X - 1 + 2.J X - 2 ~ 5 ; C) ~X + 1- 4J X - 3 + J X + 1 + 4.J X - 3 = 4 . 48. Sa se rezolve ecuatiile: a) .J X+ 9 +X+ 8 = 0; c) 1- ~13 + 3x 2 = 2x;

b) .J 24- 1 Ox = 3 - 4x ;

d) ~1- ~ X 4 - X =X -1; e) x 3 +x+Vx3 +x-2=12; f) J X + 6 + J X + 1 = 2X _ 1 ;

Jx+6 -.Jx+1 .Jx+1-.Jx-2 1

g) Jx+1 +2Jx+2- 4 49. Sa se rezolve ecuatia:

~,.....a_+_x +.Ja -x a Ja+x-.Ja-x

-

X

a fiind un numar real. 50. Sa se rezolve ecuatia:

~ra-~r.a=+=x= = x , unde a e R . Discutie.

51. Sa se rezolve ecuatiile: __

a).[; +Jx-Jt-x =1; b) ~2x2 -4x =~x2 +1 +Jx2 -1; c) ~ x2 - 6x + 5 + ~ x 2 - 4x + 3 - ~ x2 - 8x + 7 = 0 . 52. Sa se rezolve ecuatia:

~ x 2 -a + 2~ x 2 -1 = x unde a e R.

53. Sa se rezolve ~i sa se discute ecuatia: .J x +a + .J x + b = .../.-4x_+_c ,

a, b, c fiind numere reale. 54. Sa se rezolve ecuatiile: a) .Jx +2 +.Jx~2 = ~.-4-x ___ 6_+_2_J5_5; b) .J X+ 9 + .J X+ 1 = .J4x + 16 '; c) .Jx+3 +Jx-2 =J4x-9+4.J6. 55. Sa se rezolve ~i sa se discute ecuatia:

53

a fiind un numir real. 56. Sa se rezolve i sa se discute ecuatia:

.Jx+a -.Jx+b =c, a, b, c fiind numere reale.

57. Sa se rezolve ecuatiile: a) .Jx+1+.Jx+6=5; b) .Jx-6+.Jx-13=~11+.J72. 58. Sa se rezolve ecuatia:

.J ax + b + .J.--a-' x_+_b_' = .J ax + c + .J a' x + c' , unde a, a', b, b ', c, c' sunt numere reale, astfel indit b + b' = c + c' .

59. Sa se rezolve i sa se discute ecuatia:

~x+./x -~x-./x =a~, unde a E R. v-;;rx 60. Sa se rezolve ecuatia:

'-Va+x Va+x Vx ---+ =-,

x a b unde a i b sunt numere reale, iar n este un numar natural. Discutie.

61. I) Sa se demonstreze ca orice solutie a ecuatiei: VE(x)+?JF(x)=VG(x) (1)

-

este o solutie a ecuatiei: (E(x)+F(x)-G(x)) 3 +27 E(x)F(x)G(x)=O. (2)

II) Reciproc, sa se demonstreze ca orice solutie a ecuatiei (2) este o solutie a ecuatiei (1), mai putin aceea care da pentru E(x), F(x),- G(x) valori numerice egale.

62. Sa se rezol ve ecuatia: Vr--a_+_x +Va-x = Vb,

unde a, b sunt numere ~eale. Discuti~. 63. Sa se rezolve ecuatia:

Vx+a +Vx+b +Vx+c =0, unde a, b, c sunt numere reale. Discutie.

64. Sa se rezolve ecuatiile:

a) V ( 2 - x) 2 + V ( 7 + x) 2 = V( 7 + x )( 2 - x) + 3 ;

b) ~(x-2r +~(4-x)2 =V(x-2)(4-x) +1; c) lJ x + 2 + lJ 2x + 2 + V3x + 2 = 0 ~ d) v X + 5 + v X + 6 = v 2x + 11 . 65. I) Sa se demonstre'fe ca orice solutie a ecuatiei: E(x) + F(x)lJ H(x) + G(x)~( H(x)) 2 = o (1)

este solutie a ecua{iei: ( E(x)) 3 + ( F(x)) 3 H(x) + ( G(x)) 3 ( H(x)) 2 - 3E(x)F(x)G(x)H(x) = 0. (2)

II) Reciproc, sa se demonstreze ca orice solutie a ecuatiei (2) este o solutie a ecuatiei (1), mai putin aceea care da pentru E(x), F(x)'?J H(x),

G(x)~( H(x)) 2 valori numerice egale. 66. Sa se rezolve ecuatia:

Jx + 1 + v X + 1 + ~ (X + 1) 2 = 0 . 67. I) Fie a, b, c numere reale nenule ~i notam: -

a. = ab + ac- be, ~ = be+ ba- ca, y = ca + cb- ab . Sa se arate ca sunt echi valente urmatoarele doua propozi tii:

1) abc > 0 ~i a.. ~. y sunt de acela~i semn~ 2) a. b, c. a., ~' y > 0. II) Cu notatiile de mai inainte, sa se rezolve ecuatia:

x = .Jb -x.Jc-x +.Jc- x.Ja- x +.Ja- x.J~b-x. Sa se arate ca pentru ca ecuatia sa aiba solutie diferita de a, b, c este

necesar i suficient sa fie indeplinita una din conditiile echivalente pre-cedente.

68. Sa se rezolve ~i sa se discute ecuatia: ,-----

2 1 J 2 1 x +2ax+-=-a+ a +x--- 16 16 '

a fiind un numir real, 0 < a < _!_ . 4

69. Sa se rezolve ecuatiile: a) vrx+3+V13-J; =4;

55

c) "if2x+Vx-4=2; d) v X- 1 + v X + 18 = 5 . Vx+18 -Vx-1

70. S~ se rezolve ecuatiile:

a) x2 + 3- bx2 - 3x +2 = ~ ( x + 1) ; b) (x- 2) 2 +4(x- 2) +J;(4- J~)_= 0; c) (x-4) 2 +4x"""727=2~x2 -4x+4. 71. Sa se rezolve ecuatia:

3 "X + 2 + .Jr--x-+-7 = 1 O "X + 7 + "X + 2 . .J x + 7 .Jx + 2

72. Sa se rezolve ecuatiile: .

a) ~x2 -2x+1 =x2 -3; b) ~(x-2) 2 +~(x+l) 2 =~(x+2) 2 ; c) ~ x 2 - 4x + 4 - ~ x 2 - 2x + 1 = ~ x 2 - 6x + 9 ; d) ~x4 -18x2 +81-2~x4 -2x2 +1 +.[;2 +x+7 =0. 73. Sa se rezolve ecuatia:

.Jx -a +.J,_..x-b +.Jx- c +d =0, unde- a, b, c, dE R ~i d > 0.

74. Sa se rezolve ecuatiile: a) ~ 4x 2 + 9x + 5 - ~ x 2 - 1 = ~ 2x 2 + x - 1 ;

1 1 4 b) + = I . ; .J3x-2 .Jx+2 .J3x2 +4x-4

C) /X - 8 = .J 2x - 5 - .J X + 3 ; -v3x- 4 I 1 12x- 8 d) -v 2x + 4- 'V 8- 4x = 1 ;

-v6x + 20

( 1) 2 9 e) x + 2 + .J2x + 6 - 4 =. x + 1 . 7 5. Sa se determine m E R astfel in cat ecuatia:

~2lxl-2x =5m-x 56

sa aiba trei radacini reale. 76. Sa se rezolve ecuatiile: a) V x 2 - 7 x + .J x - 5 + V~4---x = 7 ~ b) .Jx-6 +Vx~2 +V6-x =2. 77. Sa se rezolve ecuatiile: a) V2-x +.Jx-1 = 1; b) .Jx-2 +V4-x = 2; C) v X - 9 - v X + 2 = -1 ; d) V X - 2 + V 3 -X = 1 . 78. Sa se rezolve ecuatia:

(39- x)Vr--x -6- (x- 6)?J39- x ...!....--~==----'-:-r=====--- = 30 .

?J39-x-?Jx-6 79. Sa se rezolve ecuatiile:

a) Vx+~x2 -1 +Vx-~x2 -1 =2; -,

c) R+~a;x =~; 2x + 1 v 2x + 1 2x -1 ~ 2x 1 d) -- 3 + + 1 = 0 ~ 2x - 1 2x - 1 2x + 1 2x + 1

e) Vx+a -Vx-a =ifh; t) V.-a-+_f;_x +Va-f; =ifh. a, b, c fiind numere reale.

80. Sa se rezolve ecuatiile:

a) V(x+1) 2 +n/(x-1) 2 =~Vx2 -1 ~ v - 2 b)~ -~(1-x+x2)' =Vl+x3 ; c) V(x+a) 2 +2~(a-x)2 = 3~a 2 -x2 -; d) ~1+../x -2J1-.f; =Vt-x;

~) ~1+Vx -2J1-Vx =V1-V7; n v1 +rx- 21/1-rx = 2~1-if.;l.

57

81. Sa se rezolve inecuatia: ~ x 2 - a 2 > x - ~ 2ax - a 2 ,

a fiind un numar real. 82. Sa se rezolve inecuatiile: a) ~x2 -55x+250 2 - x ~ d) V x 3 - 3x2 + 5x - 6 > x - 2 . 83. Sa se rezolve inecuatiile: a) .J 2x + 1 - .J x + 8 > 3 ; ,

~24- 2x- x2 I ,.--c) < 1 ; d) 'J 2 - ..J 3 + X. < .J 4 + X .

X

84. Sa se rezolve inecuatiile: a).Jx-1~x-3>J~2(_x __ 3_)_2 +--2x---2;

R / )2 x+1 (x +1 b) + < 2x -1 + 4 8 ' C) .J X + 7 - 1 < .J- X - 5 + ~ (X + 7)(- X - 5) ; d) 2.J X+ 1 < 1; e) .J X -1-v X- 2 > 1 (pentru X> 2 );

1- 2.J3- X

f) ~(X + 4 )(X - 3) < 6x - 3 ; 1 1

g) + > 2. ~x+2.Jx-1 Jx-2.Jx-1 85. Sa se calculeze:

2112 + 2 . s-l 2 a) 2-113 - 2-1165-213 - V5 ;

27/3- 28/3.22/3 + 2ifJ4 b) :V2.

2 513 - if48- 2\3213 + 3. 2213 86. Sa se efectueze:

2b112 -t[aJ"; + b/b r.-] I) 112 112 + (a - b) 112 112 - 11 ab , pentru a, b > 0 , a +b a +b

58

3 -]

[ ]

- 1

( 2) 1 - a 312 112 1 + a 2 -

II) 1-a 1-a1'2 +a --1 -a2 1+a 2

numere reale. 87. Sa se efectueze:

I 1 / s 4d 2 I 2 6 6d 4 2gd d b d ) - 2- 'V 3a c + - 2 'V 1 a c -a c 4 2 , un e a, , c, sunt a c ac a c

numere reale pozitive~ aceeai' problema, daca a. b. c, d, cu d > 0, sunt numere reale oarecare;

24a'b2 ~a2b1 (4a2 va4b1 J II) 2 2 -- 5 , unde a, b. c. d sunt numere reale d c b cd

pozitive. 88. Sa se calculeze:

I) a.Jb - bf; : Va - b ' entru a = 6 ' b = ~ ~ (a 2 -abt3 "4/:1(a 312 +bm) p 5 5 II) ( 1 + ~)( 1 + tta)( 1 + Va){ 1 + 1ra)( 1 - ~) , pentru ~ = 2 ~

1/2 -1/2 ( 1- x2 r112 + 1 - ( 1- x2 rl/2 -1

Ill) -1/2 + -1/2 ( 1 - x 2 ) - 1 ( 1 - x 2 ) + 1

pentru X= 2a 112 (1 + ar1, a> 1;

2b.Jx2

-1 1 (J ~J IV) 1 2 , pentru x = - - + -. , unde a, b > 0 . x--vx -1 2 b a Aceeai problema pentru cazul in care a, b < 0 . 89. Sa se scrie aproximarile zecimale prin lipsa i adaos, cu eroarea

indicata, pentru numerele: a) V72351 cu o eroare mai mica decit 1;

59

b) .J25 cu o eroare mai midi decat 10-1 ~ 1

c) J5 .J2 cu o eroare mai midi decat 10-3 . 5 + 2

90. I) Daca n este un numar natural, sa se demonstreze ca: z,Jn + 1 - z..[,;

x+Jx2 -y2 x-~x2 -y2 17 --~====~+ -

d) x-Jx2- y2 x+~x2- y2 4 x(x+ y) +Jx2 +xy+4 =52;

~+~=2, e) v~ vh=2Y

x2

-4xy+6x=8;

f) {~ x + y * ~2x + y + 2 = 5, X +20y = 23.

Capitolul VII NUMERE COMPLEXE

1. Sa se gaseasdi numerele reale x ~i y daca: a) (1 - 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i~ b) (2 + i)x- (2 - i)y = x- y + 2i;

c) (4- 3i}x2 + (3 + 2i)xy = 4y2 - _!_x2 + (3xy- 2y2)i; d) x- 3 + y- 3 = i 2 3+i 3-i '

e) 3~x2 -2y +(1-i)x2 = 2(1+2i)y+4-19i~ f) (x- a)(x +a - 2 + 2i) + (Y- b)(Y + b- i) = 0.

2. Sa se calculeze: a) (2 - i)2; (2 + i)2 ~ (2 - i)3; (2 + i)3 ~ b) (2- 4i)(5 + 2i); (4 + 5i)(1 - 2i);

(3 - r;:;2 ")2(3, '? ") ) i- 6 . 1 + i 3- i. i- 6 2- i. 3 + 7i '\/L.1 +'\/L.l, c ' + ' + ' + ' - 2+5i 3-i 1+i 2+5i 2+i 2+3i

5-8 i . (1 + i )2 ( 1- i )3 . ( 1 + i ) 32 .-+ . ' d) . + 2 ' -.

2-31 1-1 (1+i) 1-1 3. Sa se.arate ca 1 + 3i ~i 1 - 3i sunt solutii ale ecuatiei:

~ - x2 + 8x + 10 = 0. 4 S... ... I I 1 . ..fj . 1 . J3 . a se arate ca numere e comp exe .--+ 1- ~1 ---1- sunt

' 2 2 2 2 solutii ale ecuatiei x4 + r + 1 = 0.

5 D ... . d. , I 1 . .J3 1 . .J3 ... . aca 8 este oncare 1ntre numere e ---1-, --+ 1-, sa se 2 2 2 2

61

calcu1eze: 1+8 1-8 83 -1

a) 82 + 8 + 1, 8n, unde n e N, b) ~ + ( ) 2 ( )2 1 2 ' 1-8 1+8 -8

c) (a+ b)(a + b8)(a + b82); (a8 + b82)(a82 + b8), unde a, b e R. d) (a + b + c)(a + b8 + cc;2)(a + b82 + cc;), unde a, b, c e R.

6. Sa se verifice egalitatile:

a) ( -1 +2i J3 J + ( -1-

2i J3 J = 2 ; b) ( -1 +

2i J3 J + ( -1-

2i J3 J _

=-1; c) ( J32c-iJ {-~+iJ =-2.

7. Fie numere1e comp1exe .fi+i . i z - ~1 7_ - --=--

1 - J2- i "'2 - --2J2 + 2i Sv 1 1 , Z1 2 2 3 3 4 4 5 -3 a se ca cu eze. z1 + z2, z1z2, -, z1 + z2, z1 + z2, z1 + z2, z2z1

z2 8. Sa se determine numere1e comp1exe z, astfe1 indit numarul

(z- 1 )(z + i) sa fie real. 9. Sa se aduca Ia forma a1gebrica simpla. numerele:

( 1 + i J3 ( a + bi J2 ( a - bi J2 (a + i r -(a - i r a) -. , b) . - . , c) 2 2 \ 1 - 1 a - bt a + bt (a + i) - (a - i) 10. Sa sc calculeze:

a) ( 1 + i )200 ; b) -. + -. ~ c) . + . ~ ( 1 + i J" ( 1- i )" ( 5 -17i )" ( 5 + 13i )'l 1 - 1 1 + 1 1 1 - 61 4) + 4 1 ( 19+7i)

11

(20+5i)n _( N ) + unuc n e; . 9- i 7 + 6i

11. Dadi u .. ~ sunt radacinilc ccuatici x2 + x + 1 = 0. sa se calculezc: a) a.1980 + ~1980; b) a.1981 + ~198\ c) a.1982 + ~1982~ d) (l + a.)11J&o +

+ ( 1 + ~) 1980. 12. Daca a, ~ sunt radacinile ecuatiei x2 + x + 1 = 0. sa se calculeze: a) a.n + ~,.;b) (1 +a.)"+ (1 + a.2r +(a.+ a2)"; c) (1 + ~)" + (1 + ~2)" +

+ (~ + ~ 2f, unde n este un numar natural. 13. Sa se calculeze:

62

" " s1 = L,ik, s2 = L,(-1lik ,undenesteunnumarnatural. k=O kO -

14. Sa se demonstreze ca, pentru orice n e N, avem (1 + i)" + (1 - i)" E R.

ts. sa se calculeze I zl daca z = ( Jz + ,fi + i Jz- ,fir. 16. Sa se determine, in fiecare caz in parte, numarul complex z ast-

fel incat: z-12 5 z-4

a) . = - i = 1; b) I z I = 11 - z I = I z2 1 ; ZI+8 3 z-8

c) I z - i I = I z - 11 = I z + iz 1. 17. Fie z, z' e C astfel in cat I z I = I z' I = 1. Sa se arate ca z + z' e R.

1 + zz'

18. Fie A e R. Sa se arate ca modulul numarului 1 + Ai este 1. Reci-1-Ai

proc, sa se arate ca orice numar complex diferit de -1. de modul 1, poate fi scris in mod unic sub forma precedenta.

19. Sa se reprezinte in planul complex numerele: a) z1 = (z + 3i)(3- 5i); b) z2 = 3 + 2~ .' 1+ 3t 20. Sa se determine punctele din planul complex, care au ca afix nu-

merele complexe z, pentru care: _ a) lz + il < 2; b) lz- 2il > 3; c) lzl < 2; d) 1 < l2z + 3- 2il < 3; e) I i - z I > 4; 0 I z - 21 - I z + 21 < 2; g) I z + 11 < 11 - z 1. 21. Sa se rezolve ecuatiile:

a)~- 1 = 0; b)~+ 8 = 0; c) 64~ + 1 = 0; d) 64r- 27 = 0; e) x4 + 16 . 0; 0 x4 - 81 = 0; g) x6 + 2,il + 1 = 0; h) x6 - 27 r + 27 = 0.

22. Sa se demonstreze ca, oricare ar fi z, z' E C, are loc egalitatea: lz + z'l 2 + lz- z'l 2 = 2(lzl 2 + lz'l 2).

Sa se dea o interpretare in planul complex acestei relatii. 23. Fie Z, z' E C. Sa se demonstreze ca:

I z + z' I < I z I + I z' 1. Mai mult, sa se arate ca are loc egalitatea daca ~i numai daca existi

un numar real poziti v A astfel in cat z' = Az. 24. Sa se arate ca dadi z e C, cu I z I < .!_, atunci

3

j(J2 -ik-izl

25. a) Fie m e Q. Sa se arat~ ca daca z =(4m2 - 1) + 4mi atunci lzl e Q. b) Sa se determine toate numerele complexe z =a + hi, cu a, b e Z, al caror modul sa fie numar intreg.

26. Fie a. b numere reale pozitive. Sa se arate ca numarul: z = (Va +iifb)(Va +i2ifb) ... (iJa +i4kifb) este real.

Daca P este planul complex, sa se determine urmatoarele multimi: 27. A = { (x, y) e PI I z - 2i I = 6, unde z = x + i y}. 28. B={(x, y)eP RI z-2.)=1m(z- 2 ), undez=x+iy}.

1_z-6 z-6

29. C={(x,y)eP 1+z d . } -- e R, un e z = x + ty . z

30. D = { ( x, y )e P R{ : = n = 0, unde z = x + iy}. 31. E = {(x, y) E P lmcz~:i). unde z = x+ iy } 32. Sa se arate ca daca ecuatia ax2 + bx + c = 0 are radacini reale ~i

distincte, atunci ecuatia 2tir + 2abx + b2 - 'lac = 0 are radacini complexe. 33. Sa se determine a e R astfel in cat ecuatia (2a + 1 )x2 + 2ax - a +

+ 2 = 0 sa aiba radacini complexe. 34. Sa se descompuna in produs de polinoame de gradul intai poli-

noamele: x4 + x, x3 - t,' x4 + 16. 35. Sa se determine numerele complexe z. astfel incat:

a) I z I - 2z = 3 - 4 i; b) I z I + z = 3 + 4i. 36. Fie u E R, u * 1. Sa se gaseasca conditii in care produsul

(1 + ui)(l + ui 2)(1 + ui3) (1 + uin). n e N. sa fie: a) real; b) imaginar. 37. Fie numarul a.= (u + ivf + (v + iuf, unde u, v E R ~in E N. Sa

se determine n astfel incat numarul a. sa fie: a) real; b) imaginar. 38. Sa se gaseasdi relatia dintre x ~i y astfel incat numarul (x + iy2) 3,

sa fie: a) real; b) imaginar. 39. Sa se gaseasca conditia in care numarul (x + iy)3 este: a) un numar real mai mare decat 64~ b) un numar imaginar cu modulul mai mare decat 64. 40. Fie u, v. z e C astfel in cat I u I < 1 . ~i I vI = 1 ~i fie w = v z -~ .

1-uz Sa se arate ca lwl < 1 d~ca ~i numai daca ~zl < 1.

64

A 1 SOW d 41. Fie .a E R+ ~i z. E C, astfel inc at z +- = a. a se eterm1ne cea z

mai mare ~i cea mai midi valoare posibiHi a lui lzl. 42. Sa se determine numerele complexe z astfel incat

4i + s I z 1 2 - 3 = o. 43. Sa se determine multimea punctelor din plan, de afix z, astfel

incat imaginile 'in plan ale numerelor z, z2, z3 sa fie varfurile unui triunghi dreptunghic cu unghiuf drept in punctul de a fix z2 .

44~ Fie a e C ~i z = a + i .. Sa se determine multimea punctelor a -1 +21

A din plan~l complex, de afix a, astfel incat z sa fie real. . 2_ -2

45. Fie functiaf: C \ { 1} ~ C, definita prin f(z) = z z ." z-1

Sa se determine multimea A a punctelor din planul complex care au ca a fixe numerele complexe z cu .f(z) e R.

46. Fie functiaf: C \ { 1 J ~ C, definita prin f ( z) = z + 1. z-1

Sa se determine: . a) Multimea A a punctelor din planul complex ~are au ca afixe nu-

merele complexe z cu 1m .f(z) = 0. b) Multim.ea B a puhctelor din planul complex care au ca afixe nu-

merele complexe z cuRe .f(z) = 0. 47. Sa se rezolve ecuatiile in z:

a) 2z + 6i = ~z + 5i- 7~ b) (1 + 3i)z + 1- ~ = (3- 2i)z + 5; 21 1 + 1'

( (;;3 . ) J3 + i 21 . 3 d) ( ) 2 ( 2 )2 c) "-' + 1 z + r;; . = -1z + ; 5 + 3i z + -. = E +E , "3 -1 4 1-1

1-i/3 unde E = .

2 48. Daca a+ bi este un numar complex dat, sa se gaseasca numerele

complexe z = x + iy astfel incat z2 =a+ bi. Aplicatie. pentru numerele: 1 ~ i, 1 + i, 5- 12i, 5 + 12i, 1- i../3, 1 + i-/3.

49. Sa se arate ca pentru ecuatia de gradnl al doilea az2 + ~z + y = 0. cu coeficienti complec~i, radacinile sunt date de aceea~i formula ca ~i in cazul eeuatiei de gradul al doilea cu coeficienti reali.

50. Sa se rezol ve ecuatiile in z: a) z2 - 2J2 z + 5 = 0; b) z2 - 3iz- 3 + i = 0; c) z2 + 2z ~ 7- 6i = 0;

65

d)z2 -2i/3z-5=0; e)z2 -(5+2i)z+3(3+i) _0. 51. Sa se rezolve ecuatiile in z: a) iz2 - 2( 1 + i )z + 3 (2 + i) = o; b) ( 1 + i )z2 - ( 5 + 2i )z + 5 = 0;

c) (4 + 3i)z2 + 2(2- i)z + 2- i = 0; d) (2- i)z2 - (3 + i)z- 2 + 6i = 0. 52. Sa se rezolve ecuatiile in z: a) z2 - 2(1 + icx.2)z + 1 - a.4 = 0; b) z2 - 2z + 1 + a 2 = 0, ex. fiind un parametru real. 53. Sa se rezol ve ecuatia f = z3.

{z +2, daca z e R, 54. Fie functiaf: C 4 C,f(z) = .. 3z - 1, daca z e R. a) Sa se arate caf este bijectiva i sa se determine in versa functieif. b) Sa se rezolve ecuatiaf(z) = 3z. 55. Sa se simplifice fractiile: a) X 2 -.J2X+1. b) X2 -ix-(1+i). c) X3 -3X2 +7X-5.

X 4 + 1 ' X 2 - 2 x + 2 ' X 3 - 5 X 2 - 9 x - 5 ' X 2 - 2aX + a 2 + b2

d) iX2 . X b( b') (a, b e R). -1a + a+ 1

56. Sa se rezolve sistemele de ecuatii:

a) ~ b) ' {x6

- y 3 ='98 {x6 + y 6 = -16 x

4 +x2y+ y"" = 49; x2 + y2 = -4; 57. Sa se rezolve sistemele.de ecuatii:

{2x3 - 3y4 = -19,

c)-xy2 = --6.

{(1 + 3i)x- 2(1- 2i)y + 2(3- i) = 0,

a) 2(2 + i)x- (2 + 3i)y- (5 +4i) = 0; {(2 + 3i)x +(2- 3i)y = 7,

b) (l+i)x+(l-i)y=3;

{5x+(3-2i)y= -1+i,

c) ( 2' ) 2 3+ 1 x+3y= +1.

Capitolul VIII FUNCTIA EXPONENTIALA ~I FUNCTIA LOGt\.RITMICA 1. Fie a un numar real pozitiv. Sa se decida care dintre perechile de

- numere urmatoare este mai mare: a) a 1+J6 ~i a-.fi+J3; b) a-.fi-JS i a13-2 2. Sa se gaseasca valorile lui x, pentru care sunt definiti radicalii:

66

a fiind un numar real pozitiv. 3. Fie functiile: a)ft : [-1, 1] -4 R,ft(x) = 3Jt-~ ~

( ).[xe4

b)J;: (-oo, ~21 U [2, ..:oo)----) R, J;(x) = ~ ; c)/3 : [3, +OO) -4 R,J;(x) = ../3x- 27 ~

1 d)h: R 4 R,~(x) = ]tf~ e)/5 : R -4 R,fs(x) = 22.t- 2x+J + 18. Sa se determine imaginea fiecarei functii. 4. Sa se afle multimea valorilor lui x pentru care sunt adevarate ine-

galitatile:

a) 5(x-3Y -lx-~-2 < 1;

d) lxl~-x-2 < 1. 5. Sa se traseze graficele functiilor: a)/1 : R ~ R,f/x) = 3lxl~ b)/2 : R -4 R:.J;(x) = 3.x + 3-x;

. 3.%- 3-.% c).!;: R -4 R,.f;(x) = ---

. 3 6. Sa se gaseasca valorile lui x, pentru ca urmatorii logaritmi sa aiba

sens:

a) loga lxl ~ h) loga(5- x2)~ c) loga(x4 - 5x2 + 4)~ d) loga V x 2 - x- 6: e) loga(loga.x)~ f) loga(logbx).

unde a ~i b sunt numere reale pozitive. diferite de 1. 7. Fie a ~i b numere reale pozitive, diferite de 1. Sa se decida care

dintre numerele logab ~i logba este mai mare. 8. Sa se detennine valorile lui x, pentru care au lot inegalitatile: a) log x < 3log x; b) log lxl > 3log lxl.

a a .t . a

9. Pomind de Ia graficul functiei logaritmice sa 'se traseze graficele urmatoarelor functii:

...

a)ft : (1, +oo) -4 R, ft(x) = log3(x- 1); b)J;: (0, +oo) -4 R, f 2(x) = llog3xl; c)J;: (0, +oo) ~ R, .f;(x) = log3 lxl;

67

d)h: (0, +oo) ~ R, h(x) = Iog3r; e)fs: (0. +oo) ~ R, fs(x) = log3..{;;

X f)/6 : (0, +oo) ~ R,_ fix)= log3-. 3 10. Sa se determine x astfel incat sa a' vern

2[ 3" ] 1 a) loga x =- loga m+-loga(m+n}-2Ioga(m-n) --logan; 3 4 2

b) loga X = - -loga u +- loga v- -loga u + -loga ( u + v)- -loga ( u- v) 1 1[ 2 2 1 ] 3 4 3 3 2

11. Sa se demonstreze ca, daca 2 logbx = logax + logex, atunci c2 = (ac)logab.

12. Sa se calculeze log616 in functie de a= log1227. 13. Daca a= log303 i b = log305, sa se calculeze in functie de a i b

numarullog3016.

i4. Daca a. b e (0, 1). atunci log a 2ab + Iogb 2ab >. 2. a+b a+b

15. Sa se demonstreze ca: 1 log x = -----------

aiD.2 ... a,. 1 1 1 --+ + ... +---logal X loga2 X loga,. X

16. Sa se demonstreze ca log n log n log n loga n Iogb n + Iogb n loge n + loge n loga n = a b e

logabe n

17. Daca 2loga(x- 2y) = logax + logaY, sa se calculeze X. y

18. Daca log603 = m i log605 = n, sa se calculeze in func!ie de m i n, numarullog34 + log122.

19. Sa se demonstreze ca numerele: log23, log510, log 1125 sunt ira!io-nale.

20. Fie a i b numere rationale pozitive, diferite de 1. Sa se gaseasca conditii necesare i suficiente pentru ca logab sa fie un numar rational.

21. Sa se demonstreze ca daca ntimerele reale a ~i b sunt astfel incat a > 0, b > 0, a :t:. b, atunci are lac inegalitatea

/ . 1 log2 (a+ b)> 1 + -( log2 a+ log2 b). 2 .

22. Fie functiaf: [1, 64] ~ R, 68

J(x) = (log2 x )' + l2(log2 x )2 log2(:

Algebra - Culegere de Probleme Pentru Liceu, Clasele IX-XII - C. NASTASESCU & C. NITA & M....

Documents

Transcript of Algebra - Culegere de Probleme Pentru Liceu, Clasele IX-XII - C. NASTASESCU & C. NITA & M....