Matrici.Operati cu matrici.docx
-
Upload
andrey-andy -
Category
Documents
-
view
9 -
download
0
Transcript of Matrici.Operati cu matrici.docx
MINISTERUL EDUCAIEI,CERCETRII,TINERETULUI I SPORTULUICOLEGIUL TEHNIC MTSARI
ATESTAT PROFESIONAL
PROF. COORDONATOR: Sceanu Ion ELEV : Mndrui Vasile CLASA a XII-a B PROFIL: Matematic- Informatic
2015
MINISTERUL EDUCAIEI,CERCETRII,TINERETULUI I SPORTULUI COLEGIUL TEHNIC MTSARI
Matrice.Operaii cu matrice
PROF. COORDONATOR: Sceanu Ion
Elev :Mndrui Vasile CLASA a XII-a B PROFIL: Matematic- Informatic
CUPRINS2015
Capitolul 1.Matrici pg. 31.1. Despre matrici1.2. Operaii cu matrici1.2.1. Egalitatea a dou matrici1.2.2. Adunarea matricilor1.2.3. nmulirea cu scalari a matricilor1.2.4. nmulirea matricilor Capitolul 2. DETERMINANI . pg. 10
2.1. Definiia determinantului de ordin n42.2. Definiia determinantului de ordin n2.3. Proprietile determinanilor2.4. Calculul inversei unei matrici2.5. Ecuaii matricialeCapitolul 3.APLICAII pg. 17
MATRICI
Cap1. MATRICI
1.1. Despre matrici
Acest concept l-am ntalnit nca din primul an de liceu, atunci cnd s-a pus problema rexolvarii unui sistem de dou ecuaii cu dou necunoscute x, y, de forma .
Acestui sistem i-am asociat un tablou ptratic, care conine coeficienii necunoscutelor (n prima linie sunt coeficienii lui x, y din prima ecuaie, iar in a doua linie figureaz coeficienii lui x, y din ecuaia a doua): .
Am numit acest tablou matrice ptratic (sau matricea sistemului). Pe cele dou coloane ale matricei figureaz coeficienii lui x (pe prima coloan a,) i respectiv coeficienii lui y (pe a doua coloan b, ).
Definiie. Se numete matrice cu m linii i n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii i n coloane
ale crui elemente sunt numere complexe.
Uneori aceast matrice se noteaz i undei. Pentru elementul , indicele i arat linia pe care se afl elementul, iar al doilea indice j indic pe ce coloan este situat.
Mulimea matricilor de tip cu elemente numere reale se noteaz prin . Aceleai semnificaii au i mulimile ,,.
Cazuri particulare
1) O matrice de tipul (deci cu o linie i n coloane) se numete matrice linie i are forma
.
2) O matrice de tipul (cu m linii i o coloan) se numete matrice coloan i are forma
.
3) O matrice de tipse numete nul (zero) dac toate elementele ei sunt zero. Se noteaz cu O
.4) Dac numrul de linii este egal cu numrul de coloane, atunci matricea se numete ptratic.
Sistemul de elemente reprezint diagonala principal a matricii A, iar suma acestor elemente se numete urma matricii A notat Tr(A). Sistemul de elemente reprezint diagonala secundar a matricii A.
Mulimea acestor matrici se noteaz. Printre aceste matrici una este foarte important aceasta fiind
i se numete matricea unitate (pe diagonala principal are toate elementele egale cu 1, iar n rest sunt egale cu 0).
1.2. Operaii cu matrici1.2.1. Egalitatea a dou matrici
Definiie. Fie,. Spunem c matricile A, B sunt egale i scriem A = B dac =, ,.
Exemplu: S se determine numerele reale x, y astfel nct s avem egalitatea de matrici
.
R. Matricile sunt egale dac elementele corespunztoare sunt egale, adic: Rezolvnd acest sistem gsim soluia x = 1, y = -31.2.2. Adunarea matricilor
Definiie. Fie,,. Matricea C se numete suma matricilor A, B dac: =+, ,.Observaii
1) Dou matrici se pot aduna dac sunt de acelai tip, adic dac au acelai numr de linii i acelai numr de coloane, deci A, B .2) Explicit adunarea matricilor A, B nseamn:
+=. Exemplu: S se calculeze A + B pentru:
1. ;
2. R. 1. Avem
2. Avem
.
Proprieti ale adunrii matricilor
(Asociativitatea adunrii). Adunarea matricilor este asociativ, adic:
, A, B, C .
(Comutativitatea adunrii). Adunarea matricilor este comutativ, adic:
, A, B.
(Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nul ca element neutru, adic astfel nct A += A, A.
(Elemente opuse). Orice matrice A are un opus, notat, astfel nct:
.1.2.3. nmulirea cu scalari a matricilor
Definiie.Fie C i A =. Se numete produsul dintre scalarul C i matricea A, matricea notat definit prin =.Obs.: A nmuli o matrice cu un scalar revine la a nmuli toate elementele matricii cu acest scalar.
Deci =.
Exemplu Fie . Atunci 6A = .Proprieti ale nmulirii matricilor cu scalari
, C, A;
,C, A, B;
,C, A;
,1C, A;
1.2.4. nmulirea matricilor
Definiie. Fie A =, B =.Produsul dintre matricile A i B (n aceasta ordine), notat AB este matricea C = definit prin
, ,.
Observaii
1) Produsul AB a dou matrici nu se poate efectua ntotdeauna dect dac A, B, adic numrul de coloane ale lui A este egal cu numrul de linii ale lui B, cnd se obine o matrice C = AB.
2) Dac matricile sunt ptratice A, B atunci are sens ntotdeauna att AB ct i BA, iar, n general, ABBA adic nmulirea matricilor nu este comutativ. Proprieti ale nmulirii matricilor
(Asociativitatea nmulirii). nmulirea matricilor este asociativ, adic
,A,B,C.
(Distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea). nmulirea matricilor este distributiv n raport cu adunarea matricilor, adic
A, B, C matrici pentru care au sens operaiile de adunare i nmulire.
Dac este matricea unitate, atunci :
A.
Se spune c este element neutru n raport cu operaia de nmulire a matricilor.
1.2.5. Puterile unei matrici
Definiie. Fie A. Atunci, , , , , n. (Convenim ).
TEOREMA Cayley Hamilton. Orice matrice A i verific polinomul caracteristic . Pentru n = 2.
.
(polinom caracteristic
DETERMINANI
Cap2.Determinani
2.1. Definiia determinantului de ordin n4
Fie A= o matrice ptratic. Vom asocia acestei matrici un numr notat det(A) numit determinantul matricii A.
Definiie. Dac A= este o matrice ptratic de ordinul nti, atunci :
det(A) =.
Definiie. Determinantul matricii este numrul
i se numete determinant de ordin 2. Termenii , se numesc termenii dezvoltrii determinantului de ordin 2.
Definiie. Determinantul matricii
este numrul
i se numete determinant de ordin 3. Termenii care apar n formul se numesc termenii dezvoltrii determinantuluiPentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaz trei tehnici simple:Regula lui Sarrus
Fie determinantul de ordin 3, Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizeaz tabelul de mai jos.
(am scris sub determinant primele dou linii)
Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonal descendent este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: .
Produsul elementelor de pe o diagonal ascendent este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: .Suma celor ase produse d valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numete regula lui Sarrus.
Regula triunghiuluiAm vzut c determinantul de ordin trei are n dezvoltarea sa ase termeni, trei cu semnul plus i ali trei cu semnul minus.Primul termen cu plus se gsete nmulind elementele de pe diagonala principal, iar ceilali doi, nmulind elementele situate n vrfurile celor dou triunghiuri care au o latur paralel cu cu diagonala principal. Dup aceeai regul, referitoare la diagonala secundar, se obin termenii cu minus.Obs.: Att regula lui Sarrus ct i regula triunghiului se aplic numai determinanilor de ordin 3.Exemplu. S se calculeze prin cele dou metode de mai sus determinantul
R. Regula lui Sarrus.
Regula triunghiului
Recurent (sau dezvoltare dup o linie sau o coloan)Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilali cu semnul minus.Are loc urmtoarea proprietate:
, (1)
= . (2)Observaii1) Egalitatea (1) se mai numete dezvoltarea determinantului dup elementele liniei nti, iar egalitatea (2) se numete dezvoltarea determinantului dup elementele coloanei nti.2) Formulele (1) i (2) sunt relaii de recuren, deoarece determinantul de ordin 3 se exprim cu ajutorul unor deteminani de ordin inferior (2).
2.2. Definiia determinantului de ordin n
Voi defini n continuare determinantul de ordin n prin recuren cu ajutorul determinanilor de ordin n 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizri.
Fie A=.
Definiie1. Se numete minor asociat elementului determinantul matricii ptratice de ordin n 1 obinut prin suprimarea liniei i i coloanei j din matricea A. Se noteaz acest minor prin sau .
Definiie2. Se numete complement algebric al elementului numrul . Exponentul al lui (1) este suma dintre numrul liniei i i coloanei j pe care se afl .
Definiie. Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenii lor algebrici adic
.Observaii1) Elementelor, liniilor i coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile i coloanele determinantului
.2) Formula din definiie spunem c reprezint dezvoltarea determinantului de ordin n dup elementele primei linii.3) Definiia determinantului de mai sus este nc puin eficient (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprieti ale determinanilor care s fie comode att din punct de vedere al teoriei i din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprieti le prezint n paragraful urmtor.
4) Continund cu explicitarea determinanilor de ordin n 1 din definiie se obine pentru o sum de produse de elemente din determinant, fiecare produs coninnd elemente situate pe linii i coloane diferite.
5) Determinantul este o funcie .Exemplu S se calculeze determinantul de ordin 4:
.R. Aplicm definiia dat mai sus pentru n = 4 i dezvoltm determinantul dup elementele liniei nti. Avem:
=
=,unde determinanii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanii de ordin 3.
2.3. Proprietile determinanilor
Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adic dac A, atunci .
Demonstraie. Fie i .
Atunci , iar . Prin urmare .
Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.
Demonstraie. Avem i .
Dac ntr-o matrice schimbm dou linii (sau dou coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniiale.
Demonstraie. Prin schimbarea liniilor s art c avem egalitatea . Avem evident .
Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice, atunci determinantul su este nul.Demonstraie. Verific pentru linii (i tot odat pentru coloane). Avem:
.
Dac toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt nmulite cu un numr , obinem o matrice al crei determinant este egal cu nmulit cu determinantul matricii iniiale.Demonstraie. Verificm pentru linii proprietatea.
.
Dac elementele a dou linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporionale, atunci determinantul este nul.Demonstraie. Verificm pentru linii.
.
Dac linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinani corespunztori matricelor care au aceleai linii ca A, cu excepia liniei i unde au cte unul din cei doi vectori.
.Demonstraie. Am de artat c:
.
ntr-adevr membrul stng este egal cu . Membrul drept este i egalitatea se verific.Obs.: O proprietate analog are loc i pentru coloane.
Dac o linie (o coloan) a unei matrici ptratice este o combinaie liniar de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.
Dac la o linie (o coloan) a matricii A adunm elementele altei linii (coloane) nmulite cu acelai numr, atunci aceast matrice are acelai determinant ca i matricea A.
Demonstraie. Voi aduna la linia nti linia a doua nmulit cu . Vom nota acest fapt prin . Avem:
.
A.
Dac A= este o matrice triunghiular (sau diagonal), atunci . (Valoarea determinantului este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principal).
Dac A, B, atunci (Determinantul produsului a dou matrici ptratice este egal cu produsul determinanilor acelor matrici).
n particular n.
Teorem. Determinantul unei matrici A este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii i complemenii lor algebrici, adic
.
(Formula lui d dezvoltarea determinantului dup elementele liniei i).Aceast teorem permite s calculm determinantul unei matrici dup oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (ct mai uor) mai multe zerouri.
Observaie: innd seama de proprietatea teorema precedent are loc i pentru coloane sub forma:
.2.4. Calculul inversei unei matrici
Definiie. Fie A. Matricea A se numete inversabil dac exist matricea B cu proprietatea c , fiind matricea unitate.
Matricea B din definiie se numete inversa matricii A i se noteaz . Deci
.
Teorem. Matricea A este inversabil dac i numai dac O astfel de matrice se numete nesingular.
Construcia lui presupune urmtorii pai:Pasul 1. (Construcia transpusei)
Dac ,
atunci construim transpusa lui A .Pasul 2. (Construcia adjunctei)
Matricea
obinut din , inlocuin fiecare element cu complementul su algebric se numete adjuncta matricii A.
Pasul 3. (Construcia inversei) Se ine cont de teorema precedent i se gsete c:
iar de aici
Ultimele egaliti arat c
2.5. Ecuaii matriciale
Voi prezenta n continuare o tehnic de rezolvare a unor ecuaii de forma , , , unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuaii se numesc ecuaii matriciale.Astfel de ecuaii se pot rezolva numai atunci cnd A, B sunt matrici ptratice inversabile.
Pentru rezolvarea ecuaiei nmulim la stnga egalitatea cu i avem:
.
Deci soluia ecuaiei date este .
Pentru determinarea soluiei ecuaiei vom nmuli la dreapta cu i analog vom gsi , soluia ecuaiei matriciale.
Pentru gsirea soluiei ecuaiei nmulim egalitatea la stanga cu i la dreapta cu i obinem . APLICAII
Capitolul 3.Aplicaii 1.S se determine numerele reale x, y, z astfel nct s aib loc egalitatea de matrici, n cazurile
1)
2)
3)
I.
dac , atunci II.
dac , atunci
4)
2. S se calculeze n cazurile:
1) , .
2) ,
3. Se consider matricile
, , .
S se determine m, n, p astfel nct .
.
Deci
4. Se consider matricile .
, .
S se calculeze: , .
5. Calculai produsele de matrici , unde
a) i
b) i
c) i
d) i
e) i
6. S se calculeze , dac:
;
7. Fie . S se calculeze , .
Inducie matematic
(A)
Deci .
8. Calculai determinanii de ordinul doi:
1)
2)
3)
9. Calculai determinanii de ordinul trei:
1)
2)
3)
3. Calculai determinanii urmtori:
1)
2)
10. S se rezolve ecuaiile:
1)
Deci .
11. S se rezolve ecuaiile:
1)
12. Fie pentru care . S se arate c , .
Pentru x = 0 i y = 1
Pentru x = 1 i y = 0
Pentru x = 1 i y = 1
Pentru x = 1 i y
Deci
II. Bacalaureat
1. S se determine matricea X din ecuaia
2. a) Gsii matricea X astfel nct
b) S se determine m astfel nct sistemul urmtor s fie compatibil i apoi rezolvai-l:
a)
Deci .
b)
3. a) Fie matricea A; , . S se calculeze i i apoi s se determine, n funcie de n.
b) S se afle numere reale astfel nct
a)
Inducie matematic
(A)
Deci .
b)
Deci .
4. a) S se determine astfel nct:
b) S se detrmine matricea A astfel nct:
a)
b)
.
2. S se rezolve ecuaia:
2. Dac sunt rdcinile ecuaiei s se calculeze determinantul .
BIBLIOGRAFIE
1. Mircea Ganga, Manual de Matematic, Elemente de Algebr liniar, i geometrie analitic, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 20032. Gh. Andrei, D. Brbosu, Gh. Boroica, Admiterea n nvmntul superior, Editura Gil, 20013. Dan Brnzei, Sorin Ulmeanu, Matematica n concursurile colare, Editura Paralela 45, 20004. C. Nstsescu, C. Ni, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra, Editura Rotech Pro, 19995. Caiet de notie