1

Matrice – aplicaţii: înmulţirea matricelor, ridicarea la putere.

Fişă de lucru, clasa a XI­a, 5h/săpt, an şcolar: 2007/2008.

Stil de învăţare vizual

1) Fie matricele: A =

−

−

0 1 1 1 1 0 2 1

, B =

−

− 4 2 1 0 3 1 0 2 1 1

;a) calculaţi A.B; b) verificaţi, că: ( ) AB t = B t . A t .

2)Fie A =

− 1 2 1 1

, B =

− 3 1

1 2 şi f(X) = X 2 – 2X +I2 .Calculaţi:a)f(A) + f(B); b) f(A 2 – B 2 ) – f(A – B).f(A +B).

3) Determinaţi X∈M3,4(Z), pentru care:

− −

−

1 2 2 1 4 1 2 3 1 2 1 2

­2X+3

− − − −

−

3 4 2 3 2 1 2 1 1 0 1 2

=4

− − −

−

1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

.

4) Fie A =

2 2 1 1

, B =

1

1 y

x ; a) calculaţi: AB, BA ; b) determinaţi x, y, astfel încât: AB = BA .

5) Aflaţi matricea X∈M3 (R), care verifică egalitatea:

0 0 1 0 1 1 1 1 1

+

1 0 0 1 1 0 1 1 1

.X =

1 1 1 0 3 2 2 2 3

.

6) Calculaţi: A, B∈M2 (Q), dacă: 3A + 2B =

− 9 4 3 7

şi A + B =

− 4 1 1 3

.

7) Verificaţi, egalităţile: A(B + C) = AB + AC, (AB)C = A(BC), unde:A =

−

− 4 2 3 1

,B =

− 3 1 2 0

,C =

− 2 0 1 1

.

Stil de învăţare auditiv

1) Determinaţi x, y ∈R, astfel încât:

− y

x 3

1 2

− 3 2

1 y

x =

− − 6 35 11 4

.

2) Fie A =

− −

−

1 1 1 1 1 1 1 1 1

, B =

1 0 1 0 1 0 1 0 1

; calculaţi: AB, BA, AB – BA, Tr(AB – BA) şi deduceţi, că:AB ­ BA≠ I3.

3) Determinaţi matricele X, Y∈M2 (R), astfel încât:

= +

=

+

1 1 1 1

5 4 3 0

3 1 2 0

3 2 0 1

Y X

Y X .

4) Rezolvaţi ecuaţia matriceală:a) X 2 =

− 1 4

12 1 , X ∈M2 (R);b) X

− − −

−

3 1 2 2 1 1 0 4 3

=

−

− 7 7 1 2 4 5

.

2

5) Determinaţi matricele X∈M2 (R), care comută cu matricele: A =

2 1 1 0

, B =

− 1 2 2 3

.

6) Să se arate, că orice matrice A∈M2 ( C), A =

d c b a

, verifică ecuaţia: Cayley – Hamilton:

X 2 – Tr ( A).X + det( A).I2 = O2 , unde: Tr( A) = a + d, det( A) = ad – bc.

7) Determinaţi matricele: X, Y∈M2 (R), care verifică relaţiile:

− = +

−

− = −

1 7 5 3

2 3

6 5 3 4

5 2

Y X

Y X .

8) Calculaţi: A n , ∈ ∀n N * şi Sn = ∑=

n

k

k A 1

, pentru: a) A =

1 0 3 1

; b) A =

1 1 0 1

; c) A =

1 0 0 0 1 0 1 0 1

.

Stil de învăţare practic

1) Determinaţi A∈M2 ( C), astfel încât: A + A t =

− − 4 6 5 4

.

2) Fie A =

− 1 3 3 1

; determinaţi A n , ∈ ∀n N * , utilizând funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus.

3) Fie mtricea: A =

− − 3 4 4 5

. Determinaţi a,b∈R, pentru care : A 2 =a A + b I2 şi apoi arătaţi că:

A n = n A + (1 ­ n)I2, ∈ ∀n N * .

4) Se consideră mulţimea de matrice: M =

∈

= Z n

n A n /

1 0 1

, în raport cu operaţia de înmulţire; atunci:

a) An = Am ⇔ n = m; b) ∀ An , Am ∈M, atunci: An . Am ∈M; c) înmulţirea pe M, este comutativă;

d) există : Ae ∈M, astfel încât: An . Ae = An , ∀ An ∈M; e) ∀ An ∈M, ∃ An’ ∈M, astfel încât: An . An’ = Ae ;

f) funcţia f: Z→ M, f(n) = An este bijectivă, şi în plus: f( n + m ) = f (n) . f(m), ∀ n, m∈Z.

5) Se consideră matricea: A =

1 0 0 1 1 0 0 1 1

; determinaţi: A n , ∈ ∀n N * , aplicând metoda şirurilor recurente.

6) Fie A =

− − 1 2 1 2

; se cere: a) calculaţi A 2 ; b) să se arate, că: A n = A, ∈ ∀n N * ;

c) demonstraţi, că:A + 2A 2 +3A 3 + …+ nA n = ( ) 2 1 + n n

A, ∈ ∀n N * .

Profesor: Mătrescu Maria