Capitolul 1 Matrice. Determinantثکi.math.etc. Capitolul 1 Matrice. Determinantثکi. 1.1 Structuri...

download Capitolul 1 Matrice. Determinantثکi.math.etc. Capitolul 1 Matrice. Determinantثکi. 1.1 Structuri algebrice

of 28

  • date post

    01-Jan-2020
  • Category

    Documents

  • view

    2
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Capitolul 1 Matrice. Determinantثکi.math.etc. Capitolul 1 Matrice. Determinantثکi. 1.1 Structuri...

  • Capitolul 1

    Matrice. Determinant�i.

    1.1 Structuri algebrice

    (recapitulare)

    1.1.1 Grupuri

    De�nit�ia 1.1 Fie X o mult�ime nevid�a. O funct�ie f de�nit�a pe X� X �si cu valori �̂n X se nume�ste lege de compozit�ie intern�a �̂n X.

    Not�am, pentru 8(x; y) 2 X2, f(x; y) = x � y �si se cite�ste x compus cu y dup�a legea �: Legile de compozit�ie interne pot avea urm�atoarele propriet�at�i:

    De�nit�ia 1.1 O lege de compozit�ie intern�a " � " �̂n X se nume�ste lege asociativ�a dac�a 8(x; y; z) 2 X3 avem:

    (x � y) � z = x � (y � z):

    De�nit�ia 1.2 O lege de compozit�ie intern�a "�" �̂n X se nume�ste lege cu element neutru dac�a 9e 2 X astfel �̂ncât 8x 2 X avem: x � e = e � x = x: Elementul e se nume�ste element neutru a legii "�":

    Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o mult�ime �si " � " o lege de compozit�ie intern�a �̂n X. Dac�a " � " admite un element neutru atunci acesta este unic.

    De�nit�ia 1.3 Dac�a o lege de compozit�ie intern�a " � " �̂n X admite un element neutru e atunci spunem c�a unui element x 2 X �̂i corespunde un element numit element simetric �̂n raport cu legea " � " dac�a exist�a x 2 X astfel �̂ncât

    x � x = x � x = e: (1.1)

    Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o mult�ime �si " � " o lege de compozit�ie intern�a �̂n X asociativ�a cu elementul neutru e. Dac�a un element x 2 X are un element simetric �̂n raport cu legea " � ", atunci acest element simetric este unic.

    1

  • 2 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

    De�nit�ia 1.4 O lege de compozit�ie intern�a " � " �̂n X se nume�ste lege comutativ�a dac�a 8(x; y) 2 X2 avem x � y = y � x:

    De�nit�ia 1.5 Fie X o mult�ime �si "�" o lege de compozit�ie intern�a �̂n X. Perechea ordonat�a (X, �) se nume�ste semigrup dac�a legea " � " este asociativ�a.

    De�nit�ia 1.6 Semigrupul (X, �) se nume�stemonoid dac�a legea "�" are �si element neutru.

    De�nit�ia 1.7 Monoidul (X, �) se nume�ste grup dac�a legea "� " dac�a orice element din X are simetric �̂n raport cu legea "�": Un grup (X, �) se nume�ste grup comutativ (abelian) dac�a legea " � " este comutativ�a.

    Observat�ia 1.1 Dac�a (X, �) este un grup �si not�am legea " � " cu simbolul \ + "; atunci grupul (X, +) se nume�ste grup aditiv, legea " + " se nume�ste adunarea elementelor din X, elementul s�au neutru se nume�ste zero �si se noteaz�a 0; iar simetricul unui element x 2 X, se nume�ste opusul elementului x �̂n raport cu adunarea �̂n X, si se noteaz�a (�x): �̂n grupul aditiv (X, +) not�am x� y �̂n loc de x+ (�y):

    Observat�ia 1.2 Dac�a (X, �) este un grup �si not�am legea "�" cu simbolul "�"; atunci grupul (X, �) se nume�ste grup multiplicativ, legea " � " se nume�ste �̂nmult�ire a elementelor din X, elementul s�au neutru se nume�ste unitate �si se noteaz�a 1; iar simetricul unui element x 2 X, se nume�ste inversul elementului x �̂n raport cu �̂nmult�irea �̂n X, si se noteaz�a x�1:

    1.1.2 Inele �si corpuri

    De�nit�ia 1.8 Dac�a " � " �si " � " sunt dou�a legi de compozit�ie interne �̂n X, spunem c�a legea "�" este distributiv�a la stânga (respectiv la dreapta) �̂n raport cu lugea "�" dac�a 8(x; y; z) 2 X3 avem x � (y � z) = (x � y) � (x � z) (respectiv (x � y) � z = (x � z) � (y � z)): În cazul �̂n care legea " � " este distributiv�a la stânga �si la dreapta �̂n raport cu legea " � " spunem c�a legea " � " este dublu distributiv�a �̂n raport cu legea " � ":

    De�nit�ia 1.9 Fie (X,+; �) o tern�a ordonat�a unde X este o mult�ime, "+ " este operat�ia de adunare �̂n X, iar " � " este operat�ia de �̂nmult�ire �̂n X. Terna ordonat�a (X,+; �) se nume�ste inel dac�a (X,+) este grup comutativ aditiv, iar �̂nmult�irea este asociativ�a ((X,�) este semigrup) �si dublu distributiv�a �̂n raport cu adunarea.

    De�nit�ia 1.10 Un inel (X,+; �) se nume�ste inel cu unitate dac�a �̂nmult�irea are unitate. Un inel (X,+; �) se nume�ste inel cu comutativ dac�a �̂nmult�irea este comutativ�a.

    Exemplul 1.1 Mult�imea Z a numerelor �̂ntregi �̂nzestrat�a cu operat�iile de adunare �si �̂nmult�ire este un inel comutativ cu element unitate.

  • 1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 3

    Într-un inel (X,+; �) elementul neutru fat��a de legea + se noteaz�a cu 0X sau, când nu sunt posibile confuzii, se noteaz�a cu 0: De asemenea elementul neutru fat��a de legea multiplicativ�a se noteaz�a cu 1X sau, când nu sunt posibile confuzii, se noteaz�a cu 1: Este u�sor de demonstrat c�a �̂n orice inel (X,+; �); a = 0) a � b = 0;8b 2 X b = 0) a � b = 0;8a 2 X;

    dar nu �̂ntotdeauna a � b = 0) a = 0 sau b = 0. De exemplu �̂n inelul (M2(Z);+; �) avem:� 1 0 0 0

    �� 0 0 1 2

    � =

    � 0 0 0 0

    � :

    De�nit�ia 1.11 Dac�a �̂ntr-un inel exist�a a 6= 0; b 6= 0; astfel �̂ncât a � b = 0 se spune c�a a �si b sunt divizori ai lui zero �si c�a inelul admite divizori ai lui zero. Orice inel care nu admite divizori ai lui zero se nume�ste inel integru. Dac�a un inel integru este comutativ �si cu element unitate, el se nume�ste domeniu de integritate.

    De�nit�ia 1.12 Un inel (X,+; �) se nume�ste corp dac�a (X,+; �) este inel cu unitate �si orice element din X, diferit de zeroul adun�arii, are invers �̂n aport cu legea �.

    De�nit�ia 1.13 Un corp (X,+; �) se nume�ste corp comutativ sau câmp dac�a �̂nmult�irea este comutativ�a.

    Observat�ia 1.3 Dac�a (X,+; �) este un corp, not�am xy�1 = x y ; x 2 X, y 2 X, y 6= 0:

    Teorema 1.3 Corpurile nu au divizori ai lui zero. Orice corp comutativ este un domeniu de integritate.

    1.2 Matrice �si determinant�i

    1.2.1 De�nit�ii �si notat�ii

    De�nit�ia 1.14 Se nume�ste matrice cu m linii �si n coloane �si cu elemente din R, corp comutativ (R sau C) funct�ia f : f1; 2; : : : ;mg � f1; 2; : : : ; ng ! R; f(i; j) = aij: Not�am matricea cu elementele (aij)i=1;m;j=1;n cu A = (aij)i=1;m;j=1;n �si cu Mm�n(R)

    mult�imea acestor matrice.

    Dac�a A 2Mm�n(R), vom nota matricea A sub forma

    A =

    0BBB@ a11 a12 : : : a1n a21 a22 : : : a2n ...

    ... ...

    ... am1 am2 : : : amn

    1CCCA ;

  • 4 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

    adic�a printr-un tablou cu m linii �si n coloane care cont�ine valorile funct�iei f: În cazul m = n, se obt�ine mult�imea matricelor p�atratice de ordinul n, notat�aMn(R). Dac�a m = 1 Atunci A se nume�ste matrice (vector) linie �si se noteaz�a A = (a1; :::; an):

    Dac�a n = 1 Atunci A se nume�ste matrice (vector) coloan�a �si se noteaz�a A =

    0B@ a1... an

    1CA : De�nit�ia 1.15 Dou�a matrice A = (aij)i=1;m;j=1;n; B = (bij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R) (matrice de acela�si tip); sunt egale dac�a aij = bij, pentru tot�i i = 1;m, j = 1; n.

    1.2.2 Operat�ii cu matrice

    Adunarea matricelor

    De�nit�ia 1.16 Pentru oriceA = (aij)i=1;m;j=1;n; B = (bij)i=1;m;j=1;n (matrice de acela�si tip) de�nim suma matricei A cu matricea B astfel:

    A+B = (aij + bij)i=1;m;j=1;n: (1.2)

    Adunarea matricelor are propriet�at�ile: - asociativ�a, adic�a oricare ar � matricele A;B;C 2Mm�n(R) : (A+B)+C = A+(B+C); - admite element neutru care este matricea ale c�arei elemente sunt toate egale cu 0,

    notat�a 0Mm�n(R) �si se nume�ste matricea nul�a. Pentru orice A 2 Mm�n(R) avem A + 0Mm�n(R) = 0Mm�n(R) + A = A - orice element din Mm�n(R) are un simetric, adic�a oricare ar � A 2 Mm�n(R),A =

    (aij)i=1;m;j=1;n exist�a o matrice notat�a �A = (�aij)i=1;m;j=1;n, numit�a opusa matricei A, A+ (�A) = (�A) + A = 0Mm�n(R): - comutativ�a, adic�a oricare ar � matricele A;B 2Mm�n(R) avem A+B = B + A:�

    Teorema 1.4 Mult�imea (Mm�n(R);+) formeaz�a �̂n raport cu operat�ia de adunare un grup aditiv abelian.

    Înmult�irea cu un num�ar a unei matrice Fie A = (aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R) �si � 2 R.

    De�nit�ia 1.17 Numim produs al matricei A cu num�arul real � matricea

    �A = (�aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R):

    Înmult�irea cu numere reale a unor matrice are urm�atoarele propriet�at�i:

    1. (��)A = �(�A), 8�; � 2 R, 8A 2Mm�n(R); 8A;B 2Mm�n(R);

    2. (�+ �)A = �A+ �A, 8�; � 2 R, 8A 2Mm�n(R);

  • 1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 5

    3. �(A+B) = �A+ �B, 8� 2 R;

    4. 1A = A, 8A 2Mm�n(R).

    Înmult�irea a dou�a matrice Fie A 2Mm�n(R) �si B 2Mn�p(R).

    De�nit�ia 1.18 Numim produs al matricei A cu matricea B matricea

    A �B =

    nX j=1

    aijbjk

    ! i=1;m;k=1;p

    2Mm�p(R): (1.3)

    Observat�ia 1.4 A � B = AB m� n n� p m� p:

    Observ�am c�a putem �̂nmult�i dou�a matrice dac�a num�arul coloanelor primei matrice, este egal cu num�arul liniilor celei de a doua matrice.

    Cosider�am mult�imea matricelor p�atratice (Mn(R); �) �si analiz�am propriet�at�ile �̂nmult�irii matricelor p