Capitolul 1 Matrice. Determinant˘i.math.etc.tuiasi.ro/apletea/cursuri/ALGA_cap1.pdfCapitolul 1...

28
Capitolul 1 Matrice. Determinant i. 1.1 Structuri algebrice (recapitulare) 1.1.1 Grupuri Denit ia 1.1 Fie X o mult ime nevid a. O funct ie f denit a pe X X si cu valori ^ n X se nume ste lege de compozit ie intern a^ n X. Not am, pentru 8(x; y) 2 X 2 , f (x; y)= x y si se cite ste x compus cu y dup a legea : Legile de compozit ie interne pot avea urm atoarele propriet at i: Denit ia 1.1 O lege de compozit ie intern a " " ^ n X se nume ste lege asociativ a dac a 8(x; y; z ) 2 X 3 avem: (x y) z = x (y z ): Denit ia 1.2 O lege de compozit ie intern a " " ^ n X se nume ste lege cu element neutru dac a 9e 2 X astfel ^ nc^ at 8x 2 X avem: x e = e x = x: Elementul e se nume ste element neutru a legii "": Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o mult ime si " " o lege de compozit ie intern a^ n X. Dac a " " admite un element neutru atunci acesta este unic. Denit ia 1.3 Dac a o lege de compozit ie intern a " " ^ n X admite un element neutru e atunci spunem c a unui element x 2 X ^ i corespunde un element numit element simetric ^ n raport cu legea " " dac a exist a x 2 X astfel ^ nc^ at x x = x x = e: (1.1) Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o mult ime si " " o lege de compozit ie intern a^ n X asociativ a cu elementul neutru e. Dac a un element x 2 X are un element simetric ^ n raport cu legea " ", atunci acest element simetric este unic. 1

Transcript of Capitolul 1 Matrice. Determinant˘i.math.etc.tuiasi.ro/apletea/cursuri/ALGA_cap1.pdfCapitolul 1...

Capitolul 1

Matrice. Determinant�i.

1.1 Structuri algebrice

(recapitulare)

1.1.1 Grupuri

De�nit�ia 1.1 Fie X o mult�ime nevid�a. O funct�ie f de�nit�a pe X� X �si cu valori �n X senume�ste lege de compozit�ie intern�a �n X.

Not�am, pentru 8(x; y) 2 X2, f(x; y) = x � y �si se cite�ste x compus cu y dup�a legea �:Legile de compozit�ie interne pot avea urm�atoarele propriet�at�i:

De�nit�ia 1.1 O lege de compozit�ie intern�a " � " �n X se nume�ste lege asociativ�a dac�a8(x; y; z) 2 X3 avem:

(x � y) � z = x � (y � z):

De�nit�ia 1.2 O lege de compozit�ie intern�a "�" �n X se nume�ste lege cu element neutrudac�a 9e 2 X astfel �ncat 8x 2 X avem: x � e = e � x = x: Elementul e se nume�ste elementneutru a legii "�":

Teorema 1.1 (de unicitate a elementului neutru) Fie X o mult�ime �si " � " o lege decompozit�ie intern�a �n X. Dac�a " � " admite un element neutru atunci acesta este unic.

De�nit�ia 1.3 Dac�a o lege de compozit�ie intern�a " � " �n X admite un element neutru eatunci spunem c�a unui element x 2 X �i corespunde un element numit element simetric�n raport cu legea " � " dac�a exist�a x 2 X astfel �ncat

x � x = x � x = e: (1.1)

Teorema 1.2 (de unicitate a elementului simetric) Fie X o mult�ime �si " � " o legede compozit�ie intern�a �n X asociativ�a cu elementul neutru e. Dac�a un element x 2 X areun element simetric �n raport cu legea " � ", atunci acest element simetric este unic.

1

2 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

De�nit�ia 1.4 O lege de compozit�ie intern�a " � " �n X se nume�ste lege comutativ�a dac�a8(x; y) 2 X2 avem x � y = y � x:

De�nit�ia 1.5 Fie X o mult�ime �si "�" o lege de compozit�ie intern�a �n X. Perechea ordonat�a(X, �) se nume�ste semigrup dac�a legea " � " este asociativ�a.

De�nit�ia 1.6 Semigrupul (X, �) se nume�stemonoid dac�a legea "�" are �si element neutru.

De�nit�ia 1.7 Monoidul (X, �) se nume�ste grup dac�a legea "� " dac�a orice element din Xare simetric �n raport cu legea "�": Un grup (X, �) se nume�ste grup comutativ (abelian)dac�a legea " � " este comutativ�a.

Observat�ia 1.1 Dac�a (X, �) este un grup �si not�am legea " � " cu simbolul \ + "; atuncigrupul (X, +) se nume�ste grup aditiv, legea " + " se nume�ste adunarea elementelordin X, elementul s�au neutru se nume�ste zero �si se noteaz�a 0; iar simetricul unuielement x 2 X, se nume�ste opusul elementului x �n raport cu adunarea �n X, si senoteaz�a (�x): �n grupul aditiv (X, +) not�am x� y �n loc de x+ (�y):

Observat�ia 1.2 Dac�a (X, �) este un grup �si not�am legea "�" cu simbolul "�"; atunci grupul(X, �) se nume�ste grup multiplicativ, legea " � " se nume�ste �nmult�ire a elementelor dinX, elementul s�au neutru se nume�ste unitate �si se noteaz�a 1; iar simetricul unuielement x 2 X, se nume�ste inversul elementului x �n raport cu �nmult�irea �n X, si senoteaz�a x�1:

1.1.2 Inele �si corpuri

De�nit�ia 1.8 Dac�a " � " �si " � " sunt dou�a legi de compozit�ie interne �n X, spunem c�alegea "�" este distributiv�a la stanga (respectiv la dreapta) �n raport cu lugea "�" dac�a8(x; y; z) 2 X3 avem x � (y � z) = (x � y) � (x � z) (respectiv (x � y) � z = (x � z) � (y � z)):In cazul �n care legea " � " este distributiv�a la stanga �si la dreapta �n raport cu legea " � "spunem c�a legea " � " este dublu distributiv�a �n raport cu legea " � ":

De�nit�ia 1.9 Fie (X,+; �) o tern�a ordonat�a unde X este o mult�ime, "+ " este operat�ia deadunare �n X, iar " � " este operat�ia de �nmult�ire �n X. Terna ordonat�a (X,+; �) se nume�steinel dac�a (X,+) este grup comutativ aditiv, iar �nmult�irea este asociativ�a ((X,�)este semigrup) �si dublu distributiv�a �n raport cu adunarea.

De�nit�ia 1.10 Un inel (X,+; �) se nume�ste inel cu unitate dac�a �nmult�irea are unitate.Un inel (X,+; �) se nume�ste inel cu comutativ dac�a �nmult�irea este comutativ�a.

Exemplul 1.1 Mult�imea Z a numerelor �ntregi �nzestrat�a cu operat�iile de adunare �si�nmult�ire este un inel comutativ cu element unitate.

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 3

Intr-un inel (X,+; �) elementul neutru fat��a de legea + se noteaz�a cu 0X sau, cand nu suntposibile confuzii, se noteaz�a cu 0: De asemenea elementul neutru fat��a de legea multiplicativ�ase noteaz�a cu 1X sau, cand nu sunt posibile confuzii, se noteaz�a cu 1:Este u�sor de demonstrat c�a �n orice inel (X,+; �);a = 0) a � b = 0;8b 2 Xb = 0) a � b = 0;8a 2 X;

dar nu �ntotdeauna a � b = 0) a = 0 sau b = 0. De exemplu �n inelul (M2(Z);+; �) avem:�1 00 0

��0 01 2

�=

�0 00 0

�:

De�nit�ia 1.11 Dac�a �ntr-un inel exist�a a 6= 0; b 6= 0; astfel �ncat a � b = 0 se spune c�a a�si b sunt divizori ai lui zero �si c�a inelul admite divizori ai lui zero. Orice inel care nuadmite divizori ai lui zero se nume�ste inel integru. Dac�a un inel integru este comutativ�si cu element unitate, el se nume�ste domeniu de integritate.

De�nit�ia 1.12 Un inel (X,+; �) se nume�ste corp dac�a (X,+; �) este inel cu unitate �si oriceelement din X, diferit de zeroul adun�arii, are invers �n aport cu legea �.

De�nit�ia 1.13 Un corp (X,+; �) se nume�ste corp comutativ sau camp dac�a �nmult�ireaeste comutativ�a.

Observat�ia 1.3 Dac�a (X,+; �) este un corp, not�am xy�1 =x

y; x 2 X, y 2 X, y 6= 0:

Teorema 1.3 Corpurile nu au divizori ai lui zero. Orice corp comutativ este un domeniude integritate.

1.2 Matrice �si determinant�i

1.2.1 De�nit�ii �si notat�ii

De�nit�ia 1.14 Se nume�ste matrice cu m linii �si n coloane �si cu elemente din R, corpcomutativ (R sau C) funct�iaf : f1; 2; : : : ;mg � f1; 2; : : : ; ng ! R; f(i; j) = aij:Not�am matricea cu elementele (aij)i=1;m;j=1;n cu A = (aij)i=1;m;j=1;n �si cu Mm�n(R)

mult�imea acestor matrice.

Dac�a A 2Mm�n(R), vom nota matricea A sub forma

A =

0BBB@a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

...am1 am2 : : : amn

1CCCA ;

4 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

adic�a printr-un tablou cu m linii �si n coloane care cont�ine valorile funct�iei f:In cazul m = n, se obt�ine mult�imea matricelor p�atratice de ordinul n, notat�aMn(R).Dac�a m = 1 Atunci A se nume�ste matrice (vector) linie �si se noteaz�a A = (a1; :::; an):

Dac�a n = 1 Atunci A se nume�ste matrice (vector) coloan�a �si se noteaz�a A =

0B@ a1...an

1CA :De�nit�ia 1.15 Dou�a matrice A = (aij)i=1;m;j=1;n; B = (bij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R) (matricede acela�si tip); sunt egale dac�a aij = bij, pentru tot�i i = 1;m, j = 1; n.

1.2.2 Operat�ii cu matrice

Adunarea matricelor

De�nit�ia 1.16 Pentru oriceA = (aij)i=1;m;j=1;n; B = (bij)i=1;m;j=1;n (matrice de acela�si tip)de�nim suma matricei A cu matricea B astfel:

A+B = (aij + bij)i=1;m;j=1;n: (1.2)

Adunarea matricelor are propriet�at�ile:- asociativ�a, adic�a oricare ar � matricele A;B;C 2Mm�n(R) : (A+B)+C = A+(B+C);- admite element neutru care este matricea ale c�arei elemente sunt toate egale cu 0,

notat�a 0Mm�n(R) �si se nume�ste matricea nul�a. Pentru orice A 2 Mm�n(R) avem A +0Mm�n(R) = 0Mm�n(R) + A = A- orice element din Mm�n(R) are un simetric, adic�a oricare ar � A 2 Mm�n(R),A =

(aij)i=1;m;j=1;n exist�a o matrice notat�a �A = (�aij)i=1;m;j=1;n, numit�a opusa matricei A,A+ (�A) = (�A) + A = 0Mm�n(R):- comutativ�a, adic�a oricare ar � matricele A;B 2Mm�n(R) avem A+B = B + A:�

Teorema 1.4 Mult�imea (Mm�n(R);+) formeaz�a �n raport cu operat�ia de adunare un grupaditiv abelian.

Inmult�irea cu un num�ar a unei matriceFie A = (aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R) �si � 2 R.

De�nit�ia 1.17 Numim produs al matricei A cu num�arul real � matricea

�A = (�aij)i=1;m;j=1;n 2Mm�n(R):

Inmult�irea cu numere reale a unor matrice are urm�atoarele propriet�at�i:

1. (��)A = �(�A), 8�; � 2 R, 8A 2Mm�n(R); 8A;B 2Mm�n(R);

2. (�+ �)A = �A+ �A, 8�; � 2 R, 8A 2Mm�n(R);

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 5

3. �(A+B) = �A+ �B, 8� 2 R;

4. 1A = A, 8A 2Mm�n(R).

Inmult�irea a dou�a matriceFie A 2Mm�n(R) �si B 2Mn�p(R).

De�nit�ia 1.18 Numim produs al matricei A cu matricea B matricea

A �B =

nXj=1

aijbjk

!i=1;m;k=1;p

2Mm�p(R): (1.3)

Observat�ia 1.4 A � B = ABm� n n� p m� p:

Observ�am c�a putem �nmult�i dou�a matrice dac�a num�arul coloanelor primei matrice,este egal cu num�arul liniilor celei de a doua matrice.

Cosider�am mult�imea matricelor p�atratice (Mn(R); �) �si analiz�am propriet�at�ile �nmult�iriimatricelor p�atratice.-�nmult�irea este asociativ�a:8A;B,C 2Mn(R) ) (A �B) � C = A � (B � C):-�nmult�irea admite element neutru �si anume matricea

In =

0BB@1 0 : : : 00 1 : : : 0: : : : : : : : : : : :0 0 : : : 1

1CCA ;sau In = (�ij)i=1;n;j=1;n, unde

�ij =

�1; dac�a i = j;0; dac�a i 6= j;

sunt simbolurile lui Kronecker. Matricea In are proprietatea c�a oricare ar � A 2 Mn(R),A � In = In � A = A: In se nume�ste matricea unitate de ordinul n.S�a mai observ�am c�a dac�a A 2 Mn(R) �si B 2 Mn(R), de�si au sens produsele A � B �si

B � A, �n general, A �B 6= B � A, adic�a �nmult�irea matricelor nu este comutativ�a.Inmult�irea matricelor este distributiv�a �n raport cu adunarea lor, adic�a

8A;B;C 2 Mn(R) : A � (B + C) = A �B + A � C;8A;B;C 2 Mn(R) : (B + C) � A = B � A+ C � A:

6 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

Exemplul 1.2 Exemplu de �nmult�ire a dou�a matrice

A =

�1 0 �22 3 �1

�; B =

0@ 1 12 00 �1

1A ;AB =

�1 0 �22 3 �1

�0@ 1 12 00 �1

1A =

�1 38 3

�;

Exemplu de �nmult�ire a unei matrice cu un vector coloan�a

C =

0@ 123

1A ; AC = � 1 0 �22 3 �1

�0@ 123

1A =

��55

�;

Exemplu de �nmult�ire a unui vector linie cu un vector coloan�a D =�1 �3 4

�;

DC =�1 �3 4

�0@ 123

1A = 7:

Observat�ia 1.5 Este posibil s�a �nmult�im dou�a matrice nenule iar rezultatul s�a �e matriceanul�a:

A =

�0 10 2

�; B =

�3 70 0

�;

AB =

�0 10 2

��3 70 0

�=

�0 00 0

�:

Observat�ia 1.6 Fie matricele A =

�0 10 2

�;

B =

�1 13 4

�; C =

�2 53 4

�:

AB =

�0 10 2

��1 13 4

�=

�3 46 8

�;

AC =

�0 10 2

��2 53 4

�=

�3 46 8

�;

AB = AC =

�3 46 8

�:

De�si A 6= 02 obsev�am c�a nu avem o regul�a similar�a simpli�c�arii numerelor reale.

1.2.3 Tipuri speciale de matrice

De�nit�ia 1.19 Numim transpus�a a matricei A 2Mm�n(R) matricea notat�aAT = (aji)j=1;n;i=1;m 2Mn�m(R), care are drept linii, respectiv coloane, coloanele, respectivliniile matricei A.

Exemplul 1.3 A =

�1 0 �22 3 �1

�, AT =

0@ 1 20 3�2 �1

1A :

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 7

Operat�ia de transpunere a unei matrice are urm�atoarele propriet�at�i:

1. (A+B)T = AT +BT ; 8A;B 2Mm�n(R);

2. (AB)T = BTAT ; 8A 2Mm�n(R);8B 2Mn�p(R);

3. (�A)T = �AT ; 8� 2 R; 8A 2Mm�n(R);

4.�AT�T= A.

Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(R).

De�nit�ia 1.20 Spunem c�a matricea p�atratic�a A este simetric�a dac�a AT = A �si antisi-

metric�a dac�a AT = �A.

Not�am cuMsn(R) mult�imea matricelor p�atratice simetrice �si cuMa

n(R) mult�imea ma-tricelor p�atratice antisimetrice.

De�nit�ia 1.21 Orice matrice p�atratic�a de tipul0BBB@�1 0 : : : 00 �2 : : : 0...

... : : :...

0 0 : : : �n

1CCCAse nume�ste matrice diagonal�a.

De�nit�ia 1.22 Spunem c�a matricea p�atratic�a L este inferior triunghiular�a dac�a estede forma

L =

0BBBB@l11 0 0 � � � 0l21 l22 0 � � � 0l31 l32 l33 � � � 0� � � � � � � � � � � � � � �ln1 ln2 ln3 � � � lnn

1CCCCA :

De�nit�ia 1.23 Spunem c�a matricea p�atratic�a U este superior triunghiular�a dac�a estede forma

U =

0BBBB@u11 u12 u13 � � � u1n0 u22 u23 � � � u2n0 0 u33 � � � u3n� � � � � � � � � � � � � � �0 0 0 � � � unn

1CCCCA :

8 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

1.2.4 Determinantul unei matrice

Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(R) o matrice p�atratic�a.

De�nit�ia 1.24 1. Fie M = f1; 2; :::; ng : Orice biject�ie � : M ! M se nume�ste per-mutare. Mult�imea tuturor permut�arilor lui M formeaz�a un grup notat prin Sn:2. Spunem c�a permutarea � are o inversiune dac�a exist�a i < j pentru care avem

�(i) > �(j):3. O permutare se nume�ste par�a (respectiv impar�a) dac�a are un num�ar par (respectiv

impar) de inversiuni.

4. Aplicat�ia " : Sn ! f�1; 1g ; "(�) =�1 dac�a � este par�a,�1 dac�a � este impar�a

se nume�ste sig-

natur�a, iar "(�) este signatura permut�arii �.

Exemplul 1.4 Dac�a M = f1; 2; 3; 4; 5g atunci � :�1 2 3 4 5 62 3 1 6 5 4

�este o permutare

din S5:Un exemplu de inversiune este � (2) = 3 > � (3) = 1:Inversiunile sunt: � (1) = 2 > � (3) = 1; � (2) = 3 > � (3) = 1; � (4) = 6 > � (5) = 5;

� (4) = 6 > � (6) = 4; � (5) = 5 > � (6) = 4: Num�arul de inversiuni este 5. Permutareaeste impar�a, deci "(�) = �1:

De�nit�ia 1.25 Numim determinant al matricei A 2 Mn(R) elementul det(A) 2 R datde

det(A) =X�2Sn

"(�)a1�(1)a2�(2) : : : an�(n);

unde Sn este mult�imea permut�arilor mult�imii f1; 2; : : : ; ng; iar "(�) este signatura per-mut�arii �.

Determinantul matricei A se noteaz�a

detA =

���������a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

��������� :

Propriet�at�ile determinant�ilor

Fie A 2Mn(R):

1. Determinantul transpusei unei matrice este egal cu determinantul acelei matrice:

det(AT ) = det(A):

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 9

Rezult�a c�a orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adev�arat�a �sipentru coloane.

2. Dac�a elementele unei linii se �nmult�esc cu un scalar �, atunci determinantul se �nmul-t�e�ste cu �.

det(�A) = �n det(A)

3. Dac�a �ntr-un determinant se schimb�a �ntre ele dou�a linii, atunci se schimb�a semnuldeterminantului.

Consecint�e:

(i) Un determinant este nul dac�a:

- toate elementele unei linii sunt nule, sau

- are dou�a linii proport�ionale (deci �si dac�a are dou�a linii egale), sau

- una dintre linii este o combinat�ie liniar�a de dou�a linii.

(ii) Valoarea unui determinant nu se schimb�a dac�a la elementele unei linii ad�aug�amcombinat�ii liniare formate cu elementele altor dou�a sau mai multe linii.

Calculul determinant�ilor

In cazul determinant�ilor de ordin doi calculul se face conform relat�iei:���� a11 a12a21 a22

���� = a11a22 � a12a21:In cazul determinant�ilor de ordin trei calculul se face conform relat�iei:������a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

������ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 � a13a22a31 � a12a21a33 � a11a32a23:Exercit�iul 1.1 Folosind de�nitia s�a se calculeze determinantul������

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

������ :In acest caz sunt 3! permut�ari ale multimii (1; 2; 3) ; �

10 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

�i "(�i) a1�i(1)a2�i(2)a3�i(3)

�1 =

�1 2 31 2 3

�1 a11a22a33

�2 =

�1 2 32 3 1

�1 a12a23a31

�3 =

�1 2 33 1 2

�1 a13a21a32

�4 =

�1 2 33 2 1

��1 a13a22a31

�5 =

�1 2 32 1 3

��1 a12a21a33

�6 =

�1 2 31 3 2

��1 a11a23a32

Se reg�aseste formula de calcul

������a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

������ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 � a13a22a31 � a12a21a33 � a11a32a23:Pentru determinant�i de ordin mai mare sau egal cu patru aceste reguli nu sunt valabile

�si se aplic�a pentru calculul lor regula lui Laplace.Fie A = (aij)i=1;n;j=1;n 2Mn(R) o matrice p�atratic�a �si p � n, un num�ar natural.

De�nit�ia 1.26 Numim minor de ordinul p al matricei A determinantul matricei deordinul p format cu elementele situate la intersect�ia a p linii �si p coloane ale matricei A.

Dac�a i1 < i2 < : : : < ip �si j1 < j2 < : : : < jp sunt p linii �si respectiv p coloane alematricei A, atunci minorul corespunz�ator este

M =

��������ai1j1 ai1j2 : : : ai1jpai2j1 ai2j2 : : : ai2jp: : : : : : : : : : : :aipj1 aipj2 : : : aipjp

�������� :De�nit�ia 1.27 Numim minor complementar al minorului M de ordin p al matricei Adeterminantul Mc de ordinul n � p al matricei extrase din A prin prin suprimarea celor plinii �si p coloane corespunz�atoare lui M:

Minorii de ordinul 1 ai matricii A sunt elementele sale, aij. Minorii complementari aiacestora sunt determinant�i de ordinul n� 1.

De�nit�ia 1.28 Numim complement algebric al minorului M al matricei A elementuldin R de�nit de C = (�1)sMc; unde s = (i1 + i2 + : : : + ip) + ( j1 + j2 + : : : + jp), adic�asuma indicilor liniilor �si coloanelor matricei A utilizate �n M .

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 11

Determinantul matricei p�atratice de ordinul n� 1 care se obt�ine din A prin suprimarealiniei i �si coloanei j se nume�ste minorul complementar al elementului aij �si se noteaz�acu Mij. Num�arul Cij = (�1)i+jMij se nume�ste complementul algebric al elementuluiaij.

Teorema 1.5 (Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cu suma pro-duselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cu elementele a p linii (coloane) �xate alematricei A �si complement�ii lor algebrici.

In particular, pentru p = 1, rezult�a c�a oricare ar � i 2 f1; 2; : : : ; ng �xat, are locegalitatea

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + � � �+ ainCin; (1.4)

numit�a regula de dezvoltare a determinantului matricei A dup�a linia i. In modasem�an�ator, pentru orice j 2 f1; 2; : : : ; ng �xat, are loc egalitatea

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + � � �+ anjCnj; (1.5)

numit�a regula de dezvoltare a determinantului matricei A dup�a coloana j.

Exemplul 1.5 S�a se calculeze valoarea determinantului

D=

��������1 1 2 31 1 3 42 5 1 �1�1 �2 2 4

�������� :folosind regula lui Laplace si dezvoltandu-l dup�a primele dou�a linii.

D =

���� 1 11 1

���� � (�1)1+2+1+2 ���� 1 �12 4

����+ ���� 1 21 3

���� � (�1)1+3+1+2 ���� 5 �1�2 4

����+

���� 1 31 4

���� � (�1)1+1+2+4 ���� 5 1�2 2

����+ ���� 1 21 3

���� � (�1)1+2+2+3 ���� 2 �1�1 4

����+

���� 1 31 4

���� � (�1)2+1+2+4 ���� 2 1�1 2

����+ ���� 2 33 4

���� � (�1)1+2+3+4 ���� 2 5�1 �2

���� = �5Determinantul produsului a dou�a matrice

Teorema 1.6 Determinantul produsului a dou�a matrice A �si B p�atratice de acelasi ordineste egal cu produsul determinant�ilor celor dou�a matrice, adic�a det(AB) = det(A) det(B).

Observat�ia 1.7 Determinantul unei matrice triunghiulare inferior respectiv superior esteegal cu produsul elementelor de pe diagonala principal�a.

De�nit�ia 1.29 Spunem c�a matricea p�atratic�a A este ortogonal�a dac�a AT �A = A �AT =In:

12 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

Observat�ia 1.8 det�AT � A

�= det(A) det(AT ) = (det(A))2 = 1 ) det(A) = �1: Recip-

roca nu este adev�arat�a. De exemplu

det

0@ 1 1 10 1 10 0 1

1A = 1 dar0@ 1 1 10 1 10 0 1

1A0@ 1 0 01 1 01 1 1

1A =

0@ 3 2 12 2 11 1 1

1A :1.2.5 Transform�ari elementare

Orice matrice A 2Mm�n(R) se poate scrie �n una din formele:

A =

0B@ L1...Lm

1CA ; cu ajutorul liniilor Li = � ai1 : : : ain�; i = 1;m sau

A =�C1 : : : Cn

�; cu ajutorul coloanelor, unde Cj =

0B@ a1j...amj

1CA ; j = 1; n:De�nit�ia 1.30 Numim transform�ari elementare asupra liniilor matricei A:

(1) T1 transformarea prin care se �nmult�e�ste o linie cu un scalar nenul;

A =

[email protected]

1CCCCCA T1�!

0BBBBB@L1...�Li...Lm

1CCCCCA ; � 6= 0:

(2) T2 transformarea prin care se schimb�a dou�a linii �ntre ele;

A =

0BBBBBBBBBB@

L1...Li...Lj...Lm

1CCCCCCCCCCAT2�!

0BBBBBBBBBB@

L1...Lj...Li...Lm

1CCCCCCCCCCA:

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 13

(3) T3 transformarea prin care se adun�a la elementele unei linii elementele corespunz�atoarealtei linii �nmult�ite cu un scalar.

A =

0BBBBBBBBBB@

L1...Li...Lj...Lm

1CCCCCCCCCCAT3�!

0BBBBBBBBBB@

L1...Li + �Lj...Lj...Lm

1CCCCCCCCCCA:

De�nit�ia 1.31 Dou�a matrice de acela�si tip se numesc echivalente pe linii dac�a una seobt�ine din cealalt�a printr-un num�ar �nit de transform�ari elementare ale liniilor.

Observat�ia 1.9 Transform�arile elementare asupra liniilor se realizeaz�a �nmult�ind la stangamatricea A cu una din matricele:

T1. Transformarea prin care se �nmult�e�ste o linie a unei matrice cu un scalar � diferitde zero se realizeaz�a �nmult�ind la stanga matricea A 2 Mm�n(R) cu matricea p�atratic�ade ordin m; Mi(�);

Mi(�) =

2666641 0 : : 0 : 0: : : : : : :0 0 : : � : 0: : : : : : :0 0 : : 0 : 1

377775$ i

"i

T2. Transformarea prin care se schimb�a �ntre ele dou�a linii se realizeaz�a �nmult�ind lastanga matricea A cu matricea p�atratic�a de ordin m; Mij;

Mij =

2666666664

1 : 0 : 0 : 0: : : : : : :0 : 0 : 1 : 0: : : : : : :0 : 1 : 0 : 0: : : : : : :0 : 0 : 0 : 1

3777777775 i

j

" "i j

T3. Transformarea prin care se adun�a la o linie o alt�a linie �nmult�it�a cu un scalar � 6= 0se realizeaz�a �nmult�ind la stanga matricea A cu matricea p�atratic�a de ordin m; Mij(�);

14 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

Mij(�) =

2666666664

1 : 0 : 0 : 0: : : : : : :0 : 1 : � : 0: : : : : : :0 : 0 : 1 : 0: : : : : : :0 : 0 : 0 : 1

3777777775 i

j

" "i j

Observat�ia 1.10 Matricele introduse mai susMi(�);Mij;Mij(�) poart�a denumirea dema-trice elementare. Aplicand transform�arile elementare se obt�in sisteme echivalente (sis-teme care au acelea�si solut�ii).

Determinantul matricelor transform�arilor elementare �si efectul lor asupra val-orii determinantului matricei A

Fie B matricea obt�inut�a din matricea A 2Mn(R) asupra c�areia s-a aplicat o transformareelementar�a.1. T1 transformarea prin care se �nmult�e�ste o linie cu un scalar nenul �si se obt�ine

�nmult�ind la stanga matricea A cu Mi(�):B =Mi(�)A;Observ�am c�a det (Mi(�)) = �; det(B) = det (Mi(�)A) = det (Mi(�)) det (A) = � det(A):2. T2 transformarea prin care se schimb�a dou�a linii �ntre ele i �si j �si se obt�ine �nmult�ind

la stanga matricea A cu Mij:B =MijA;Observ�am c�a det (Mij) = �1; det(B) = � det(A):3. T3 transformarea prin care se adun�a la elementele unei linii i elementele core-

spunz�atoare altei linii j �nmult�ite cu un scalar � �si se obt�ine �nmult�ind la stanga matriceaA cu Mij (�) :B =Mij (�)A;Observ�am c�a det (Mij(�)) = 1; det(B) = det(A):

Matrice inversabil�a

De�nit�ia 1.32 O matrice p�atratic�a A al c�arei determinant este diferit de zero se nume�stenesingular�a, iar dac�a det(A) = 0 matricea se nume�ste singular�a.

De�nit�ia 1.33 Spunem c�a matricea A 2 Mn(R) este inversabil�a dac�a exist�a o matricenotat�a A�1 2Mn(R) astfel �ncat

A � A�1 = A�1 � A = In: (1.6)

Observat�ia 1.11 Matricea A 2 Mn(R) este inversabil�a dac�a �si numai dac�a este nesin-gular�a, adic�a det(A) 6= 0.

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 15

De�nit�ia 1.34 Matricea A�1 se nume�ste inversa matricei A.

Pentru calculul inversei matricei A se obt�ine mai �ntai matricea A� numit�a adjunctasau reciproca matricei A, �nlocuind �ecare element al matricei AT prin complementul s�aualgebric. Adic�a, A� =

�a�ij�i=1;n;j=1;n

, cu a�ij = Cji. Atunci

A�1 =1

det(A)A�:

Operat�ia de inversare a matricelor are urm�atoarele propriet�at�i

(AB)�1 = B�1A�1; 8A 2Mm�n(R);8B 2Mn�p(R);

(AT )�1 = (A�1)T ; (A�1)�1 = A;

(�A)�1 =1

�A�1; � 6= 0:

Rangul unei matrice

De�nit�ia 1.35 Matricea A 2 Mm�n(R) are rangul r � min fm;ng dac�a exist�a �n A celput�in un minor de ordinul r diferit de zero �si tot�i minorii de ordin mai mare decat r, dac�aexist�a, sunt egali cu zero. Not�am rangul matricei A cu rang(A):

rang(0n) = 0;rang(In) = n:

Teorema 1.7 Inegalitatea lui Sylvester. Dac�a A;B 2Mn(R) atuncirang(AB) � rang(A) + rang(B)� n:

Propozit�ia 1.1 Fie A 2Mm�n(R) si B 2Mn�p(R) atunci

rang(AB) � min frang(A); rang(B)g :

Consecint�a 1.1 Fie A 2 Mm�n(R) si B 2 Mn(R); rang(B) = n: Atunci rang(AB) =rang(A); adic�a prin �nmultirea unei matrice cu o matrice nesingular�a rangul matricei produseste acela�si cu al matricei init�iale.

1.2.6 Calculul rangului unei matrice

Rangul unei matrice se poate determina aplicand transform�ari elementare. Prin trans-form�ari elementare reducem matricea A la o matrice e�salon care are urm�atoarele pro-priet�at�i:1. pivot�ii sunt primele elemente diferite de zero de pe �ecare linie,2. sub �ecare pivot este o coloan�a de zerouri obt�inut�a prin eliminare,3. �ecare pivot se g�ase�ste la dreapta pivotului situat pe o linie mai sus.

16 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

ex:

0@ 1 3 3 20 0 3 10 0 0 0

1A numerele 1 �si 3 sunt pivot�i.

In general se obt�ine o matrice de forma0BBBB@� � � � � � � �0 � � � � � � �0 0 0 � � � � �0 0 0 0 0 0 0 �0 0 0 0 0 0 0 0

1CCCCA :Elementele notate � sunt pivot�i, elemente diferite de zero, iar elementele notate � sunt, �n

general, elemente diferite de zero. Putem continua �si aduce matricea la o form�a simpli�cat�a,�mp�art�ind �ecare linie prin pivotul ei a�sa �ncat s�a avem pe pozit�ia pivotului 1.0BBBB@

1 � � � � � � �0 1 � � � � � �0 0 0 1 � � � �0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

1CCCCAPutem folosi pivot�ii ca s�a obt�inem zero �si deasupra lor, adic�a s�a obt�inem coloane ale

matricei unitate de ordin mai mic sau egal cu num�arul liniilor matricei,0BBBB@1 0 � 0 � � � 00 1 � 0 � � � 00 0 0 1 � � � 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

1CCCCA :Am obt�inut patru coloane ale matricei unitate. Num�arul de coloane distincte ale matri-

cei unitate (care coincide cu num�arul pivot�ilor, care coincide �si cu num�arul liniilor nenuledin matricea e�salon) reprezint�a rangul matricei.

Exercit�iul 1.2 S�a se determine matricea e�salon �si rangul matricei

A =

0@ 1 2 0 10 1 1 01 2 0 1

1A :Matricea e�salon:

0@ 1 2 0 10 1 1 01 2 0 1

1A L3�L1!L3�

0@ 1 2 0 10 1 1 00 0 0 0

1A :Rangul:

0@ 1 2 0 10 1 1 00 0 0 0

1A L1�2L2!L1�

0@ 1 0 �2 10 1 1 00 0 0 0

1A ; rang(A) = 2:Exercit�iul 1.3 S�a se determine matricea e�salon �si rangul matricei

A =

0@ 1 3 3 22 6 9 7�1 �3 3 4

1A :

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 17

Matricea e�salon:0@ 1 3 3 22 6 9 7�1 �3 3 4

1A L2 � 2L1 ! L2L3 + L1 ! L3�

0@ 1 3 3 20 0 3 30 0 0 2

1A :Rangul:0@ 1 3 3 20 0 3 30 0 0 2

1A13L2 ! L212L3 ! L3�

0@ 1 3 3 20 0 1 10 0 0 1

1A L1 � 3L2 ! L1�

0@ 1 3 0 �10 0 1 10 0 0 1

1A L1 + L3 ! L1L2 � L3 ! L2�

0@ 1 3 0 00 0 1 00 0 0 1

1A ; rang(A) = 3:Aplicarea transform�arilor elementare pentru calculul inversei unei matrice

Teorema 1.8 Dac�a matricea B se obt�ine prin aplicarea a k transform�ari elementare lini-ilor lui A; atunci exist�a k matrici elementare E1; E2; :::; Ek astfel �ncat s�a avem

B = E1E2:::EkA: (1.7)

Observat�ia 1.12 Dac�a matricea A este inversabil�a �si consider�am �n (1.7) B = In atunciA�1 = E1E2:::Ek:

Ca o aplicat�ie a acestei observat�ii prezent�am de a calcula inversa unei matrice.

Exemplul 1.6 S�a se calculeze inversa matricei A =

0@ 1 1 11 2 21 2 3

1A :Deoarece det(A) = 1; matricea este inversabil�a.Scriem matricea A �si al�aturi matricea unitate �si aplic�am transform�arile elementare pan�a

ce obt�inem �n locul matricei A matricea unitate iar �n locul matricei unitate vom obt�ineinversa matricei A:0@ 1 1 1

1 2 21 2 3

������1 0 00 1 00 0 1

1A L2 � L1 ! L2L3 � L1 ! L3�����������!

0@ 1 1 10 1 10 1 2

������1 0 0�1 1 0�1 0 1

1A L1 � L2 ! L1L3 � L2 ! L3�����������!0@ 1 0 0

0 1 10 0 1

������2 �1 0�1 1 00 �1 1

1AL2 � L3 ! L2���������!

0@ 1 0 00 1 00 0 1

������2 �1 0�1 2 �10 �1 1

1A :Rezult�a c�a A�1 =

0@ 2 �1 0�1 2 �10 �1 1

1A :Veri�care:

18 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.0@ 2 �1 0�1 2 �10 �1 1

1A0@ 1 1 11 2 21 2 3

1A =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A,0@ 1 1 11 2 21 2 3

1A0@ 2 �1 0�1 2 �10 �1 1

1A =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A :

Exercit�iul 1.4 S�a se calculeze inversa matricei A =

0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A :Deoarece det(A) = �31; matricea este inversabil�a.Scriem matricea A �si al�aturi matricea unitate �si aplic�am transform�arile elementare pan�a

ce obt�inem �n locul matricei A matricea unitate iar �n locul matricei unitate vom obt�ineinversa matricei A:0@ 2 1 3

�2 3 45 1 1

������1 0 00 1 00 0 1

1A 12L1 ! L1������!

0@ 1 12

32

�2 3 45 1 1

������120 0

0 1 00 0 1

1A 2L1 + L2 ! L2�5L1 + L3 ! L3�������������!0@ 1 1

232

0 4 70 �3

2�13

2

������12

0 01 1 0�520 1

1A 14L2 ! L2������!

0@ 1 12

32

0 1 74

0 �32�13

2

������12

0 014

140

�520 1

1A�12L2 + L1 ! L1

32L2 + L3 ! L3�������������!

0@ 1 0 58

0 1 74

0 0 �318

������38

�180

14

14

0�17

838

1

1A�318L3 ! L3��������!0@ 1 0 5

8

0 1 74

0 0 1

������38�18

014

14

01731� 331� 831

1A �58L3 + L1 ! L1

�74L3 + L2 ! L2�������������!

0@ 1 0 00 1 00 0 1

������131

� 231

58

�2231

1331

1431

1731

� 331� 831

1A :Rezult�a c�a

A�1 =

0@ 131

� 231

531

�2231

1331

1431

1731

� 331� 831

1A :Veri�care:0@ 1

31� 231

531

�2231

1331

1431

1731

� 331� 831

1A0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A ;0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A0@ 131

� 231

531

�2231

1331

1431

1731

� 331� 831

1A =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A.Factorizarea LU

Factorizarea LU a unei matrice const�a �n aducerea matricei A 2 Mn(R) nesingular�a laformaA = LU;

1.2. MATRICE S�I DETERMINANT�I 19

L matrice triunghiular�a inferior cu 1 pe diagonala superioar�a, iar U matrice triunghiular�asuperior,

A =

0BBB@a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n...

......

...an1 an2 : : : ann

1CCCA =

0BBB@1 0 : : : 0l21 1 : : : 0...

......

...ln1 ln2 : : : 1

1CCCA0BBB@u11 u12 : : : u1n0 u22 : : : u2n...

......

...0 0 : : : umn

1CCCA :A =

�2 38 5

�=

�1 04 1

��2 30 �7

�= LU:

Transform�arile elementare pot � folosite �si pentru a realiza factorizarea LU iar algoritmulse nume�ste eliminarea lui Gauss. El const�a �n a transforma matricea A �ntr-o matricetriunghiular�a superior. Elementele de pe digonala principal�a nu vor mai � f�acute egale cu1.

Exemplul 1.7 S�a se transforme matricea A �ntr-o matrice triunghiular�a superior folosindtransform�arile elementare. S�a se obt�in�a factorizarea LU.

A =

0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A :Adun�am linia �ntaia la linia a doua0@ 1 0 01 1 00 0 1

1A0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A =

0@ 2 1 30 4 75 1 1

1AAdun�am linia �ntaia �nmult�it�a cu �5

2la linia a treia0@ 1 0 0

0 1 0�520 1

1A0@ 2 1 30 4 75 1 1

1A =

0@ 2 1 30 4 70 �3

2�13

2

1AAdun�am linia a doua �nmult�it�a cu 3

8la linia a treia0@ 1 0 0

0 1 00 3

81

1A0@ 2 1 30 4 70 �3

2�13

2

1A =

0@ 2 1 30 4 70 0 �31

8

1A :T� inand seama de relat�iile de mai sus avem0@ 1 0 00 1 00 3

81

1A0@ 1 0 00 1 0�520 1

1A0@ 1 0 01 1 00 0 1

1A0@ 2 1 3�2 3 45 1 1

1A =

0@ 2 1 30 4 70 0 �31

8

1A :Not�am C1 =

0@ 1 0 00 1 00 3

81

1A ; C2 =0@ 1 0 0

0 1 0�520 1

1A ; C3 =0@ 1 0 01 1 00 0 1

1A : Obt�inem:C1 (C2 (C3A)) = B , (C1C2C3)A = B:Observ�am c�a trecerea de la matricea A la B se face cu ajutorul produsului

C1C2C3 =

0@ 1 0 00 1 00 3

81

1A0@ 1 0 00 1 0�520 1

1A0@ 1 0 01 1 00 0 1

1A =

0@ 1 0 01 1 0�17

8381

1A

20 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

care este o matrice triunghiular�a inferior cu determinantul egal cu 1, L1 = C1C2C3:Obt�inemL1A = U ) A = L�11 U:Inversa unei matrice triungiulare inferior este o matrice triunghiular�a inferior,

L�11 =

0@ 1 0 01 1 0�17

8381

1A�1

=

0@ 1 0 0�1 1 052�381

1A = L:

Astfel A = LU este produsul dintre o matrice triughiular�a inferior �si o matrice tri-unghiular�a superior. In mod natural aceast�a descompunere se nume�ste factorizare LU(lower-upper). Aceast�a descompunere este unic�a.

Exercit�iul 1.5 S�a se realizeze factorizarea LU a matricei

A =

0@ 3 5 20 8 26 2 8

1A :Exercit�iul 1.6 S�a se factorizeze LU matricea sistemului urm�ator �si s�a se rezolve sistemultransformandu-l �n dou�a sisteme triunghiulare:8<:

2x+ y + 2z = 0�2x+ y + z = 6x+ 2y � 2z = 36

.

Adun�am linia �ntaia la linia a doua0@ 1 0 01 1 00 0 1

1A0@ 2 1 2�2 1 11 2 �2

1A =

0@ 2 1 20 2 31 2 �2

1AAdun�am linia �ntaia �nmult�it�a cu �1

2la linia a treia0@ 1 0 0

0 1 0�120 1

1A0@ 2 1 20 2 31 2 �2

1A =

0@ 2 1 20 2 30 3

2�3

1AAdun�am linia a doua �nmult�it�a cu �3

4la linia a treia0@ 1 0 0

0 1 00 �3

41

1A0@ 2 1 20 2 30 3

2�3

1A =

0@ 2 1 20 2 30 0 �21

4

1A = U;

L1 =

0@ 1 0 00 1 00 �3

41

1A0@ 1 0 00 1 0�120 1

1A0@ 1 0 01 1 00 0 1

1A =

0@ 1 0 01 1 0�54�341

1AL = L�11 =

0@ 1 0 0�1 1 012

341

1A ;0@ 1 0 0�1 1 012

341

1A0@ 2 1 20 2 30 0 �21

4

1A =

0@ 2 1 2�2 1 11 2 �2

1A :

1.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 21

Rezolvarea sistemului:0@ 2 1 2�2 1 11 2 �2

1A0@ xyz

1A =

0@ 0636

1A,0@ 1 0 0�1 1 012

341

1A0@ 2 1 20 2 30 0 �21

4

1A0@ xyz

1A =

0@ 0636

1A :Rezolv�am dou�a sisteme triunghiulare:0@ 1 0 0�1 1 012

341

1A0@ uvw

1A =

0@ 0636

1A ;0@ 2 1 20 2 30 0 �21

4

1A0@ xyz

1A =

0@ uvw

1A :0@ 1 0 0�1 1 012

341

1A0@ uvw

1A =

0@ 0636

1A)0@ u

v � u12u+ 3

4v + w

1A =

0@ 0636

1A)u = 0; v = 6; w = 63

2;0@ 2 1 2

0 2 30 0 �21

4

1A0@ xyz

1A =

0@ 06632

1A)0@ 2x+ y + 2z

2y + 3z�21

4z

1A =

0@ 06632

1A)z = �6; y = 12; x = 0:

1.3 Sisteme de ecuat�ii algebrice liniare

1.3.1 Sisteme de m ecuat�ii cu n necunoscute

De�nit�ia 1.36 Prin sistem algebric liniar de m ecuat�ii cu n necunoscute �nt�elegem unansamblu de m relat�ii de forma8>><>>:

a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1;a21x1 + a22x2 + � � �+ a2nxn = b2;� � � � � � � � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm;

(1.8)

saunXj=1

aijxj = bi; i = 1;m

�n care aij, bi 2 R, i = 1;m, j = 1; n, sunt date, iar xj, i = 1; n sunt necunoscutelesistemului.

De�nit�ia 1.37 Matricea A = (aij)i=1;m;j=1;n 2 Mm�n(R) se nume�ste matricea coe�ci-

22 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

ent�ilor, iar

B =

0BB@b1b2: : :bm

1CCA 2 Rmmatricea coloan�a a termenilor liberi.

Fie X = (x1; x2; : : : ; xn)T 2 Rn matricea coloan�a a necunoscutelor, atunci sistemul se

scrie sub forma matriceal�a

AX = B: (1.9)

Matricea (A;B) se nume�ste matricea extins�a a sistemului.

De�nit�ia 1.38 Prin solut�ie a sistemului (1.8) �nt�elegem orice n-uplu (�1; �2; : : : ; �n)T 2

Rn care veri�c�a toate cele m ecuat�ii ale sistemului, deci pentru care avem

nXj=1

aij�j = bi; i = 1;m:

De�nit�ia 1.39 Sistemul (1.8) se nume�ste compatibil dac�a are cel put�in o solut�ie �si in-compatibil �n caz contrar. Dac�a sistemul, compatibil �ind, are o singur�a solut�ie se nume�stecompatibil determinat, iar dac�a are o in�nitate de solut�ii se nume�ste compatibil nede-terminat.

De�nit�ia 1.40 Dou�a sisteme care au acelea�si solut�ii se numesc echivalente.

Reamintim teoremele:

Teorema 1.9 (Teorema lui Kronecker-Capelli) Sistemul (1.8) este compatibil dac�a �sinumai dac�a rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, adic�a

rangA = rang (A;B) :

Un minor nenul de ordinul r = rang(A) al matricei A se nume�ste minor principal.Ecuat�iile �si necunoscutele ale c�aror coe�cient�i intr�a �n formarea acestui minor se numescprincipale. Minorii de ordinul r + 1 obt�inut�i prin bordarea minorului principal cu ele-mentele corespunz�atoare ale coloanei termenilor liberi, precum �si cu cele ale uneia dintreliniile corespunz�atoare unei ecuat�ii secundare se numesc minori caracteristici. Pentruun sistem de m ecuat�ii, cu rangul matricei sistemului egal cu r, exist�a minori caracteristicinumai dac�a m > r, iar num�arul lor este m� r. Putem atunci formula teorema precedent�a�si astfel:

Teorema 1.10 (Teorema lui Rouch�e-Frobenius) Sistemul (1.8), cu r < m, este com-patibil dac�a �si numai dac�a tot�i minorii caracteristici sunt egali cu zero.

1.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 23

Teorema 1.11 Dac�a aplic�am transform�ari elementare liniilor matricei extinse a sistemului(1.8), se obt�in matrice extinse ale unor sisteme echivalente cu sistemul (1.8).

Demonstrat�ie.Ar�at�am c�a dac�a se aplic�a pe rand o transformare elementar�a Ti; i = 1; 2; 3 liniilor lui

(A;B) ; orice solut�ie a lui (1.8) este �si solut�ie a sistemului transformat.Prin transformarea T1 se �nmult�e�ste o linie a matricei (A;B) cu � 2 K;� 6= 0: Deci noul

sistem este de forma8>>>><>>>>:a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1� � ��ai1x1 + �ai2x2 + � � �+ �ainxn = �bi� � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm

care este evident veri�cat de o solut�ie (�1; �2; : : : ; �n) a sistemului (1.8).Prin transformarea T2 nu se face altceva decat se schimb�a dou�a ecuat�ii �ntre ele, deci

solut�iile celor dou�a sisteme coincid.Dac�a aplic�am transformarea T3 matricei (A;B) ; obt�inem sistemul8>>>><>>>>:

a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1� � �(ai1 + �aj1)x1 + (ai2 + �aj2)x2 + � � �+ (ain + �ajm)xn = bi + �bj� � �am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm

:(1.10)

Este u�sor de v�azut c�a orice solut�ie a lui (1.8) este �si solut�ie a sistemului (1.10).�Fie r = rang(A). Presupunem c�a det (aij)i;j=1;r 6= 0. Prin transform�ari elementare

asupra liniilor, matricea (A;B) poate � adus�a la forma

(P;Q) =

0BBBBBBBB@

1 0 : : : 0 p1;r+1 : : : p1;n j q10 1 : : : 0 p2;r+1 : : : p2;n j q2: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : j : : :0 0 : : : 1 pr;r+1 : : : pr;n j qr0 0 : : : 0 0 : : : 0 j qr+1: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : j : : :0 0 : : : 0 0 : : : 0 j qm

1CCCCCCCCA; (1.11)

Sistemul care are drept matrice extins�a matricea (P;Q) este echivalent cu sistemul (1.8).I. Dac�a r = m sistemul este compatibil. Este compatibil determinat dac�a r = n �si

compatibil nedeterminat dac�a r < n:II. Pentru r < m din (1.11) deducem urm�atoarea teorem�a de compatibilitate.

Teorema 1.12 Sistemul (1.8) este compatibil dac�a �si numai dac�a tot�i

qr+1 = qr+2 = : : : = qm = 0:

24 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

Dac�a sistemul este compatibil �si r = n el are o singur�a solut�ie, adic�a este compatibildeterminat, iar dac�a r < n el admite1n�r solut�ii, adic�a este compatibil nedeterminat.In caz de compatibilitate, rezolvarea sistemului se face plecand de la matricea extins�a

sub forma (1.11). Metoda aceasta se nume�ste metoda elimin�arii (Gauss-Jordan).

1.3.2 Sisteme Cramer

De�nit�ia 1.41 Un sistem liniar �n care r = m = n se nume�ste sistem Cramer. Unastfel de sistem se scrie:

nXj=1

aijxj = bi; i = 1; n;

cu det(A) 6= 0.

Un sistem Cramer este totdeauna compatibil determinat. Solut�ia sa se poate obt�ine cuformulele lui Cramer:

xj =det(Aj)

det(A); j = 1; n;

�n care matricea Aj se obt�ine din matricea A prin �nlocuirea coloanei j cu coloana termenilorliberi.Intr-adev�ar, deoarece detA 6= 0, matricea A este inversabil�a. Din (1.9), �nmult�ind la

stanga cu A�1, g�asim

X = A�1B =1

det(A)A�B:

Exercit�iul 1.7 S�a se rezolve sistemul8>><>>:x1 + x2 + x3 + x4 = 12x2 + 2x3 + x4 = 2�2x1 + 2x2 � x4 = 33x1 + x2 � x3 = 4

:

Matricea sistemului este: A =

0BB@1 1 1 10 2 2 1�2 2 0 �13 1 �1 0

1CCA, det(A) = 4; deci este sistem

Cramer.

A1 =

0BB@1 1 1 12 2 2 13 2 0 �14 1 �1 0

1CCA, det(A1) = 4) x1 =det(A1)

det(A)= 1;

A3 =

0BB@1 1 1 10 2 2 1�2 2 3 �13 1 4 0

1CCA, determinant: 2, det(A3) = 2) x3 =det(A3)

det(A)=1

2;

1.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 25

A4 =

0BB@1 1 1 10 2 2 2�2 2 0 33 1 �1 4

1CCA, det(A4) = �8) x4 =det(A4)

det(A)= �2:

Sisteme omogene

De�nit�ia 1.42 Un sistem liniar cu tot�i bi = 0, i = 1;m, se nume�ste omogen. El are deciforma

nXj=1

aijxj = 0; i = 1;m;

AX = 0m�1; A 2Mm�n(R); X 2Mn�1(R)

Un sistem liniar omogen este totdeauna compatibil. El admite cel put�in solut�ia banal�a:x1 = x2 = : : : = xn = 0:Dac�a m = n; num�arul ecuat�iilor coincide cu num�arul necunoscutelor, atunci1. dac�a rang(A) = n sau det(A) 6= 0; sistemul admite numai solut�ia banal�a,2. dac�a rang(A) < n sau det(A) = 0; sistemul admite �si alte solut�ii �n afar�a de solut�ia

banal�a.Dac�a m < n; adic�a num�arul ecuat�iilor este mai mic decat num�arul necunoscutelor,

sistemul admite �si alte solut�ii �n afar�a de solut�ia banal�a.Dac�a m > n; adic�a num�arul ecuat�iilor este mai mare decat num�arul necunoscutelor pot

� dou�a situat�ii:1. dac�a rang(A) = n, sistemul admite numai solut�ia banal�a (nu sunt necunoscute

secundare),2. dac�a rang(A) < n, sistemul admite �si alte solut�ii �n afar�a de solut�ia banal�a.

1.3.3 Rezolvarea sistemelor liniare folosind transform�arile ele-

mentare

Cazul matricei p�atratice nesingulare aplicand transform�arile elementare se obt�ine o matricetriunghiular�a superior. Pe diagonal�a vor � pivot�ii care sunt diferit�i de zero. Scopul principal�n acest caz este s�a aducem matricea la o matrice unitate �si pe coloana termenilor liberi s�aobt�inem solut�ia sistemului.

Exercit�iul 1.8 S�a se rezolve sistemul:8<:x+ y + z = 6x+ 2y + 2z = 112x+ 3y � 4z = 3

.

Scriem matricea extins�a a sistemului �si aplic�am transform�arile elementare

26 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.

0@ 1 1 1 j 61 2 2 j 112 3 �4 j 3

1A L2 � L1 ! L2L3 � 2L1 ! L3�

0@ 1 1 1 j 60 1 1 j 50 1 �6 j �9

1A L1 � L2 ! L1L3 � L2 ! L3�0@ 1 0 0 j 1

0 1 1 j 50 0 �7 j �14

1A � 17L3!L3�

0@ 1 0 0 j 10 1 1 j 50 0 1 j 2

1A L2�L3!L2�

0@ 1 0 0 j 10 1 0 j 30 0 1 j 2

1ARezult�a x = 1; y = 3; z = 2:Cazul �n care matricea sistemului este dreptunghiular�a.Aplicand transform�arile elementare putem ajunge, de exemplu, la o matrice extins�a de

forma0BBBB@1 0 � 0 � � � 0 b010 1 � 0 � � � 0 b020 0 0 1 � � � 0 b030 0 0 0 0 0 0 1 b040 0 0 0 0 0 0 0 b05

1CCCCA :Dac�a b05 = 0 atunci sistemul este compatibil nedeterminat, necunoscutele principale sunt

cele care corespund coloanelor matricei unitate (coloanelor cu pivot), variabile secundaresunt cele care corespund coloanelor f�ar�a pivot.Dac�a b05 6= 0 atunci sistemul este incompatibil.

Exercit�iul 1.9 S�a se studieze solut�iile sistemului:8>><>>:x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 3x5 = 52x1 + 4x2 + 4x4 + 4x5 = 6

x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 5x5 = 92x1 + 4x2 + 4x4 + 7x5 = 9

0BB@1 2 1 3 3 j 52 4 0 4 4 j 61 2 3 5 5 j 92 4 0 4 7 j 9

1CCAL2 � 2L1 ! L2L3 � L1 ! L3L4 � 2L1 ! L4�

0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 �2 �2 �2 j �40 0 2 2 2 j 40 0 �2 �2 1 j �1

1CCA�L2 ! L2L3 + L2 ! L3L4 � L2 ! L4�

0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 2 2 2 j 40 0 0 0 0 j 00 0 0 0 3 j 3

1CCA L3 $ L4�

0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 2 2 2 j 40 0 0 0 3 j 30 0 0 0 0 j 0

1CCA :Sistemul este compatibil nedeterminat. Form�am coloane ale matricei unitate pe coloanele

care cont�in pivot.0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 2 2 2 j 40 0 0 0 3 j 30 0 0 0 0 j 0

1CCA12L2 ! L213L3 ! L3�

0BB@1 2 1 3 3 j 50 0 1 1 1 j 20 0 0 0 1 j 10 0 0 0 0 j 0

1CCA L1 � L2 ! L1�

1.3. SISTEME DE ECUAT�II ALGEBRICE LINIARE 27

0BB@1 2 0 2 2 j 30 0 1 1 1 j 20 0 0 0 1 j 10 0 0 0 0 j 0

1CCAL1 � 2L3 ! L1L2 � L3 ! L2�

0BB@1 2 0 0 0 j �10 0 1 1 0 j 10 0 0 0 1 j 10 0 0 0 0 j 0

1CCANecunoscute principale: x1; x3; x5; necunoscute secundare x2; x4: Sistemul echivalent

obt�inut este:8<:x1 + 2x2 = �1x3 + x4 = 1x5 = 1

;

8>>>><>>>>:x2 = �x4 = �

x1 = �2�� 1x3 = 1� �x5 = 1

; �; � 2 R:

Exercit�iul 1.10 S�a se discute �si, �n caz de compatibilitate, s�a se rezolve sistemul:8<:mx+ y + z = 1x+my + z = mx+ y +mz = m2

; unde m 2 R:

Folosind transform�ari elementare, matricea extins�a a sistemului se transform�a astfel:

(A j B) =

0@ m 1 11 m 11 1 m

1mm2

1AL1 $ L2�����!

0@ 1 m 1m 1 11 1 m

m1m2

1AL2 ! L2 �mL1L3 ! L3 � L1������������!

0@ 1 m 10 1�m2 1�m0 1�m m� 1

m1�m2

m2 �m

1A :Consider�am dou�a cazuri:1. m = 1 �n acest caz obt�inem:0@ 1 1 10 0 00 0 0

100

1A ;adic�a sistemul este compatibil nedeterminat. Solut�iile sistemului sunt:

8<:x = 1� �� �y = �z = �

; �; � 2 R: (1.12)

2. m 6= 1 �n acest caz avem:0@ 1 m 10 1�m2 1�m0 1�m m� 1

m1�m2

m2 �m

1A L2 ! 11�mL2

L3 ! 11�mL3����������!

0@ 1 m 10 1 +m 10 1 �1

m1 +m�m

1AL2 $ L3�����!

0@ 1 m 10 1 �10 1 +m 1

m�m1 +m

1A L1 �mL2 ! L1L3 � (1 +m)L2 ! L3�����������������!

28 CAPITOLUL 1. MATRICE. DETERMINANT�I.0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 2 +m

m+m2

�m(m+ 1)2

1AAvem dou�a posibilit�at�i:2a) m = �2; deci0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 2 +m

m+m2

�m(m+ 1)2

1A!0@ 1 0 �10 1 �10 0 0

2�21

1A�n acest caz sistemul este incompatibil.2b) m 6= �2 �n acest caz continu�am aplicarea transform�arilor elementare �si obt�inem:0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 2 +m

m+m2

�m(m+ 1)2

1AL3 ! 12+m

L3��������!

0@ 1 0 1 +m0 1 �10 0 1

m+m2

�m(m+1)2

m+2

1AL1 ! L1 � (m+ 1)L3

L2 ! L2 + L3�����������������!

0@ 1 0 00 1 �10 0 1

�m+1m+21

m+2(m+1)2

m+2

1Aadic�a sisteml este compatibil determinat a c�arui solut�ie este:

8<:x = �m+1

m+2

y = 1m+2

z = (m+1)2

m+2

: (1.13)

�n concluzie pentru sistemul dat avem urm�atoarea discut�ie:a) dac�a m 2 R n f�2; 1g sistemul are solut�ie unic�a dat�a de (1.13),b) dac�a m = �2 sistemul este incompatibil,c) dac�a m = 1 sistemul este compatibil nedeterminat cu solut�iile date de (1.12).

Exercit�iul 1.11 S�a se stabileasc�a dac�a sistemul de ecuat�ii de mai jos admite solut�ii diferitede solut�ia banal�a �si �n caz a�rmativ s�a se a e aceste solut�ii:8<:

x+ y � 2z = 02x� y � z � 3u = 0x+ 2y � 3z + u = 0

:

Calcul�am matricea e�salon a matricei sistemului. Obt�inem:0@ 1 1 �2 02 �1 �1 �31 2 �3 1

1A L2 � 2L1 ! L2L3 � L1 ! L3������������!

0@ 1 1 �2 00 �3 3 �30 1 �1 1

1A�13L2 ! L2��������!0@ 1 1 �2 0

0 1 �1 10 1 �1 1

1A L1 � L2 ! L1L3 � L2 ! L3�����������!

0@ 1 0 �1 �10 1 �1 10 0 0 0

1ASistemul admite solut�ii diferite de solut�ia banal�a �si anume�x = z + uy = z � u :