Cuprins

Algebră

Capitolul 1 Permutări............................................................................................................ 4

Capitolul 2 Matrice................................................................................................................ 6

Capitolul 3 Determinanţi..................................................................................................... 13

Capitolul 4 Matrice şi determinanţi, matrice inversabile, ecuaţii matriceale, rangul unei matrice. Polinom caracteristic al unei matrice ......................... 22

Capitolul 5 Sisteme de ecuaţii liniare ................................................................................ 31 I. Sisteme de tip Cramer. Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor:

proprietatea Kronecker− Capelli, proprietatea Rouché.............................. 31 II. Transformări elementare ale matricelor. Metoda Gauss şi metoda

Gauss − Jordan de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare. Alte aplicaţii ale acestor metode ................................................................ 37

Capitolul 6 Exerciţii recapitulative .................................................................................... 43

Capitolul 7 Probleme date la examenele de bacalaureat din anii anteriori................... 49

Capitolul 8 Exerciţii şi probleme în vederea pregătirii concursurilor şi olimpiadelor de matematică ........................................................................ 53

Soluţii – Algebră................................................................................................. 59

CuprinsCuprinsCuprinsCuprins

470

Analiză matematică

Capitolul 1 Inegalităţi clasice. Mulţimi. Funcţii. Ecuaţii. Inecuaţii .............................. 162 I. Numere reale. Inegalităţi clasice (forma discretă) ................................... 162

II. A. Mulţimi ............................................................................................... 164 B. Funcţia caracteristică unei mulţimi...................................................... 165 C. Funcţii. Proprietăţi algebrice ............................................................... 166

D. Mulţimi mărginite ............................................................................... 174 E. Operaţii cu intervale de numere reale. Vecinătăţi................................ 176

F. Principii de numărare........................................................................... 177 G. Transportul operaţiilor cu mulţimi printr-o funcţie ............................. 178 H. Ecuaţii. Inecuaţii (cu module şi parte întreagă)................................... 179

Capitolul 2 Şiruri ............................................................................................................... 181

I. Termenul general al unui şir de numere reale ...................................... 181

II. Monotonie şi mărginire ........................................................................ 183 III. Limita unui şir ...................................................................................... 185

IV. Şiruri convergente şi şiruri divergente. Criterii privind calculul limitelor de şiruri .................................................................... 189

V. Şiruri recurente. Studiul convergenţei şi determinarea limitei ............. 197

Capitolul 3 Limite de funcţii ............................................................................................. 200

Capitolul 4 Continuitatea funcţiilor ................................................................................. 206

Capitolul 5 Derivabilitatea funcţiilor ............................................................................... 216

I. Derivata unei funcţii într-un punct. Probleme ce conduc la noţiunea de derivată ........................................................................ 216

II. Funcţii derivabile. Operaţii cu funcţii derivabile ................................ 217

III. Derivata de ordinul întâi şi ordinul al doilea. Derivata de ordin n...... 219 IV. Puncte critice, puncte de extrem ale unei funcţii, teorema

lui Fermat ............................................................................................ 225 V. Teoremele lui Rolle, Lagrange şi Cauchy. Consecinţe ....................... 226

VI. Regulile lui l′Hôspital. Calculul limitelor de funcţii........................... 232

VII. Monotonia şi convexitatea (concavitatea) funcţiilor. Aplicaţii în geometrie şi mecanică..................................................................... 235

Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a

471

Capitolul 6 Grafice de funcţii ........................................................................................... 241

Capitolul 7 Teste recapitulative. Exerciţii şi probleme pentru pregătirea examenului de bacalaureat ........................................................................... 243

Probleme date la examenele de bacalaureat din anii anteriori .................... 247

Capitolul 8 Exerciţii şi probleme în sprijinul pregătirii concursurilor şi olimpiadelor de matematică ...................................................................... 251

A. Şiruri ...................................................................................................... 251

B. Limite de funcţii..................................................................................... 252 C. Funcţii continue...................................................................................... 253

D. Funcţii derivabile ................................................................................... 254

Soluţii – Analiză matematică............................................................................ 257

Bibliografie ...................................................................................................... 467

Algebră

· Permutări

· Matrice

· Determinanţi

· Matrice şi determinanţi, matrice inversabile,

ecuaţii matriceale, rangul unei matrice.

Polinom caracteristic al unei matrice

· Sisteme de ecuaţii liniare

· Exerciţii recapitulative

· Probleme date la examenele de bacalaureat

din anii anteriori

· Exerciţii şi probleme în vederea pregătirii concursurilor

şi olimpiadelor de matematică

EEEEnunţurinunţurinunţurinunţuri –––– Algebra Algebra Algebra Algebra

4

Capitolul 1

PermutăriPermutăriPermutăriPermutări

1. Să se determine numărul de inversiuni şi semnul pentru următoarele permutări:

a) ϕ =

42314321 , ϕ ∈ S4;

b) τ =

1254354321 , τ ∈ S5;

c) σ =

426531654321 , σ ∈ S6;

d) ϕ =

35612747654321 , ϕ ∈ S7;

e) θ =

−…−…−…++…

nnnnnnnn

22242127531212214321 , θ ∈ S2n;

f) σ =

…−−…−…++…

13321228642212214321

nnnnnnnn , σ ∈ S2n.

2. Să se determine i şi j astfel încât:

a) σ =

26758387654321

jisă fie o permutare impară, σ ∈ S 8;

b) θ =

7894321987654321

ji să fie o permutare pară, θ ∈ S9.

3. Fie permutările σ, τ, θ ∈ S6, σ =

123456654321 ;

τ =

563412654321 ; θ =

463125654321 .

Să se calculeze: a) τ � σ � θ; b) (σ τ) θ; c) σ (τ θ); d) σ2; e) τ3. 4. Să se scrie inversele următoarelor permutări:

a) ϕ =

3521454321 , ϕ ∈ S5;

b) σ =

7564321887654321 , σ ∈ S 8.

Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a

5

5. Fie permutările σ, τ, θ ∈ S4.

σ =

24314321 , τ =

21434321 şi θ =

12344321 .

a) Să se verifice egalitatea (σ τ) θ = σ (τ θ). b) Să se scrie σ−1, τ−1, θ−1, (τθ)−1 şi să se arate că (τ θ)− 1 = θ − 1 · τ − 1. c) Să se verifice dacă σ · τ · θ = θ · τ · 5.

6. Fie permutările σ =

2345154321 şi τ =

4215354321 .

Să se rezolve ecuaţiile: a) τ x = σ; b) σ2 x = τ; c) x τ3 = σ; d) τ x σ = σ τ. 7. Să se rezolve în S4 ecuaţiile x

2 = σ, dacă:

a) σ =

12434321 ; b) σ =

12344321 .

8. Să se arate că ∀ σ ∈ Sn, există p ∈ n* astfel încât σ p = e. Aplicaţie pentru

σ ∈ S4, σ =

31424321 .

9. Fie H ∈ Sn, H ≠ Φ şi având proprietatea că ∀ σ, τ ∈ H, rezultă că σ τ ∈ H. Să se arate că e ∈ H şi că dacă τ ∈ H, atunci τ−1 ∈ H.

10.* a) Dacă σ ∈ Sn atunci ε (σ) = ∏≤<≤

−σ−σ

njiji

ji

1

)()(.

b) Dacă σ, τ ∈ Sn atunci ε (σ τ) = ε (σ) · ε (τ).

c) Să se verifice a) şi b) pentru σ =

31424321 şi τ =

42134321 .

11.* Să se arate că mulţimea Sn conţine 2!n permutări pare şi

2!n permutări

impare. 12.* Pentru orice permutare σ ∈ Sn, n ∈ n, n > 2, definim permutarea

σ ∈ Sn astfel încât σ (i) = σ (n − i + 1), ∀ i = n,1 .

a) Să se arate că m(σ) + m(σ ) = C 2n , ∀ σ ∈ Sn.

b) Să se calculeze ∑∈σ

σnS

m )( .

13. Să se scrie ca produs de transpoziţii (schimbări de poziţie) următoarele permutări:

a) σ =

4521354321 ; b) σ =

153264654321 .

14. Să se arate că orice permutare pară (respectiv impară) este un produs de un număr par (respectiv impar) de transpoziţii.

15. Fie σ ∈ Sn (n ≥ 3) astfel încât στ = τσ, ∀ τ ∈ Sn. Să se atare că σ = e.

EEEEnunţurinunţurinunţurinunţuri –––– Algebra Algebra Algebra Algebra

6

Capitolul 2

MatriceMatriceMatriceMatrice

1. Să se precizeze care dintre următoarele matrice sunt matrice simetrice,

antisimetrice, superior (inferior) triunghiulare, strict superior triunghiulare, diago-nale, scalare, matrice de permutare, matrice conjugate.

a) A ∈ M4 (r), A =

−

−

−

0710

7152

1543

0231

;

b) B ∈ M3(c), B =

π−

π−

−

0

03

30

i

i

;

c) C ∈ M4(z), C =

−

−

6000

5500

4120

2311

;

d) A ∈ M4(z), A =

− 0123

0012

0004

0000

;

e) A ∈ M3(r), A =

−

−

400

020

001

;

f) S ∈ M3(r), S =

a

a

a

00

00

00

, a ∈ r;

Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a

7

g) D ∈ M3(c), D =

π

π−

−−

0

03

30

i

i

;

h) P ∈ M3(n), P =

100

001

010

;

i) A = (aij), unde aij = max (i, j); i, j = n,1 , A ∈ Mn (r);

j) B = (bij), unde bij = i − j; i, j = n,1 , B ∈ Mn(r);

k) A = (aij), i, j = n,1 dacă aij = | i − j |, A ∈ Mn (r).

2. Să se determine numărul de matrice din următoarele mulţimi:

a) G =

∈

}5,4,3,2,1{,|

2yx

xy

yx;

b) M3, 2 =

∈

}3,2,1,0{|

3231

2221

1211

ija

aa

aa

aa

;

c) M3 = {(aij) | aij ∈ {−1, 1}, ∀ i, j = 3,1 }

d) Mm, n (F) − mulţimea tuturor matricelor de tipul (m, n) având ca elemente numere din mulţimea F, ştiind că |F| = p (cardinalul lui F).

3. Să se determine x, y, z ∈ c astfel încât să avem următoarele egalităţi de matrice:

a)

+−+

+−=

−

+−

yxy

yyxy

xyx

yxx

11

4

5

231;

b)

+−

−+

−

=

−+

+

−

xxx

yxi

zyy

zixzy

zxi

xyx

32

2)1(

2

32

2

2 ;

4. Fie A, B, C ∈ M2, 3 (c), A =

++−

+−

iii

ii

31211

132,

B =

−

−

ii

i

02

11şi C =

−

−−

23

1410

ii

i. Să se calculeze:

a) (A + B) + C; b) A + (B − C); c) (A + (− B)) + (− C).

Analiză matematică

· Inegalităţi clasice. Mulţimi. Funcţii. Ecuaţii. Inecuaţii

· Şiruri

· Limite de funcţii

· Continuitatea funcţiilor

· Derivabilitatea funcţiilor

· Grafice de funcţii

· Teste recapitulative. Exerciţii şi probleme

pentru pregătirea examenului de bacalaureat

· Exerciţii şi probleme în sprijinul pregătirii concursurilor

şi olimpiadelor de matematică

EnunţuriEnunţuriEnunţuriEnunţuri –––– Analiză matematicăAnaliză matematicăAnaliză matematicăAnaliză matematică

162

Capitolul 1

InegalităţiInegalităţiInegalităţiInegalităţi clasice. clasice. clasice. clasice. Mulţimi. Funcţii. Mulţimi. Funcţii. Mulţimi. Funcţii. Mulţimi. Funcţii.

EcuaţiiEcuaţiiEcuaţiiEcuaţii.... IIIInecuaţiinecuaţiinecuaţiinecuaţii

I. Numere reale. Inegalităţi clasice (forma discretă)

Teoremă: Media aritmetică a n numere strict pozitive, a1, a2, …, an, este mai mare

sau egală cu media lor geometrică: n

aaa n+…++ 21 ≥ n naaa ⋅⋅⋅ …21 .

Inegalitatea CauchyInegalitatea CauchyInegalitatea CauchyInegalitatea Cauchy----BuniakovskiBuniakovskiBuniakovskiBuniakovski----SchwarzSchwarzSchwarzSchwarz Teoremă: Fie a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn, numere reale, atunci (a1b1 + a2 + … + + anbn)

2 ≤ ( 21a + 2

2a + … + 2na )( 22

221 nbbb +…++ ).

Inegalitatea lui HölderInegalitatea lui HölderInegalitatea lui HölderInegalitatea lui Hölder

Teoremă: Fie a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn > 0, n ≥ 2 şi p, q ∈ r *+ astfel încât

p

1 + q

1 = 1, atunci are loc inegalitatea:pn

i

pia

1

1

∑=

qn

i

qib

1

1

∑=

≥∑=

n

i

iiba1

.

Inegalitatea lui MinkovskiInegalitatea lui MinkovskiInegalitatea lui MinkovskiInegalitatea lui Minkovski

Teoremă: Fie a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn > 0, n ≥ 2 şi p un număr real cu p > 1,

atunci are loc inegalitatea: pn

i

ii ba

1

1

)(

+∑

=

≤ pn

i

pia

1

1

∑=

+ pn

i

pib

1

1

∑=

.

Inegalitatea lui CebâsevInegalitatea lui CebâsevInegalitatea lui CebâsevInegalitatea lui Cebâsev

Teoremă: a) Dacă a1 ≥ a2 ≥ … ≥ an, b1 ≥ b2 ≥ … ≥ bn (în principiu seturile de

numere trebuie să aibă aceeaşi monotonie), atunci n

∑=

n

i

iiba1

≥

∑=

n

i

ia

1

∑=

n

i

ib

1

.

b) Dacă mulţimile de numere nu au aceeaşi monotonie inegalitatea devine:

n

∑=

n

i

iiba1

≤

∑=

n

i

ia1

·

∑=

n

i

ib1

.

Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a

163

Inegalitatea lui JensenInegalitatea lui JensenInegalitatea lui JensenInegalitatea lui Jensen

Definiţie. Fie f : I → r, unde I este interval. Vom spune că f este convexă

(concavă) pe I dacă ∀ x1, x2 ∈ I şi ∀ t ∈ [0, 1], avem: f [t x1 + (1 − t)x2 t f (x1) + + (1 − t) f (x2).

Teoremă: a) Fie f : I → r. Atunci f este convexă pe I w ∀ x’1, x2, …, xn ∈ I şi

(λ1, λ2, …, λn) ∈ [0, 1] cu ∑=

λn

i

i

1

= 1, atunci: f

λ∑

=

n

i

iix

1

≤ ∑=

λn

k

ii xf

1

)( .

b) Dacă f este concavă pe I, atunci avem: f ∑∑==

λ≥

λ

n

i

ii

n

i

ii xfx

11

)( .

Aplicaţii 1

1. Să se arate că ∀ n ∈ n* avem: 21 ·

43 ·

65 · …·

n

n 12 − ≤ 12

1

+n.

2. Să se arate că ∀ n ∈ n* avem: !11 +

!21 + … +

!1n <

n

n 12 − .

3. Să se arate că ∀ n ∈ n* avem:

a) n

n

3

< n! < n

n

2

. b) n 2n

< n! < n

n

+

21 .

c) n n − 1 < n

2 , n ≥ 2, n ∈ n*. d) 2n + 1 < 121

2 −+n

n.

e)

−

2

11

−

3

11 …

−n

11 < 22n

.

f) k

n

+ 11 < 1 +

n

k + 2

2

n

k , (k ≤ n n fixat).

4. Fie a, b ∈ (0, +∞) şi n a + n b ∈ q, ∀ n ∈ n*, n ≥ 2, atunci a = b = 1.

5. Dacă a1, a2, …, an ∈ r *+ şi a1 · a2 · … · an = 1 atunci avem:

1a + 2a + … + na ≤ a1 + a2 + … + an.

6. Să se arate că dacă ai ∈ n* (i = n−1 ), atunci avem:

222

21 naaa +…++ ≥

312 +n ( a1 + a2 + … + an).

7. Să se arate că dacă n, p ∈ n* şi

+++

n

1211 … =

+++

p

1211 … , atunci

n = p.

≥ ≤

EnunţuriEnunţuriEnunţuriEnunţuri –––– Analiză matematicăAnaliză matematicăAnaliză matematicăAnaliză matematică

164

Aplicaţii 2

1. Să se arate că ∀ a, b, c ∈ r, avem: (a2 · b + b2 · c + c2 · a)(a · b2 + b · c2 + c · a.2) ≤ (a2 + b2 + c2)(a4 + b4 + c4). 2. Să se arate că ∀ a, b, c ≥ 0, avem: (a + b + c)(ab + bc + ac) ≥ 9 abc.

3. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: ba

c

ca

b

cb

a

++

++

+ ≥

23.

4. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: b

bac

a

acb

c

cba )()()( 222 −+−+− ≥ 0.

5. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: accbba +

++

++

111 ≤ 21

++

cba

111 .

6. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem:

a

1 (b + c − a)3 + b

1 (a + c − b)3 +c

1 (a + b − c) ≥ a2 + b2 + c2.

7. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: ba

c

ca

b

cb

a

++

++

+222

≥ 2

cba ++ .

8. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: (a + b + c) ∑ +++ ))(2( cbcba

a ≥ 89 .

9. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 avem: ∑ ++cb

abca3 ≥ ab + bc + ac.

10. Să se arate că ∀ a, b, c > 0 pentru care abc = 1, avem: ∑ + )(1

3 cba≥

23.

A. Mulţimi (Exerciţiile marcate cu steluţă sunt recomandate pentru orele opţionale sau cercurile de pregătire)

Exerciţii referitoare la principalele operaţii cu mulţimi: 1. A \ B = A g A ∩ B = Ø. 2. A \ B = Ø g A ⊂ B. 3. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C. 4. A ⊂ B şi C ⊂ D e A \ D ⊂ B \ C. 5. A ∆ (A ∆ B) = B. 6. A ∆ B = A ∆ C e B = C. 7. A ∆ B = C ∆ B e A = C. 8. Dacă C ≠ Ø, atunci A × C ⊂ B × C e A ⊂ B. 9. Dacă C ≠ Ø, atunci C × A ⊂ C × B e A ⊂ B. 10*. (A × C) \ (C × D) = [(A − C) × B] ∪ [A × (B \ D)]. 11. Determinaţi mulţimea A ⊂ R pentru care funcţia:

f : R → A, f (x) = 134

2

2

+++−

xx

xx este surjectivă?

Exerciţii şi probleme de algebră şi analiză matematică pentru clasa a XI-a

165

12. Se consideră mulţimile: A = {x ∈ z *+ |

12

2

+xx }; B = {y ∈ z *

+ | 13

2

+yy }

a) Să se analizeze dacă în mulţimile A şi B există elemente comune. b) Să se determine x, y ∈ z astfel încât A ⊂ z şi B ⊂ z. 13*. Să se determine mulţimea: {(x, y) ∈ n × n | x + y = 1960 }.

14. Să se arate că 3 2 ∉ {a + b r | a, b r ∈ q}. 15. Să se determine mulţimea:

x ∈ q | există y ∈ q astfel încât 5x2 − 3x + 16 = y2}.

16. Fie funcţia f : r → r, f (x) = 1

32

2

+++

x

baxx .

Să se determine a, b ∈ r astfel încât: Imf = [−3, 5].

17*. Să se determine mulţimea: A = {x | x ∈ z şi z = 12 +− xx ∈ z}.

18*. Fie a0 ∈ n şi mulţimea A = {a1, a2, …, an, …,} unde an+1 = 12 +na , ∀ n ∈ n.

1) Să se arate că A \ q ≠ Ø. 2) Să se arate că mulţimea A \ q este o mulţime infinită. 19*. Fie r1 < r2 < … < rn < … numere naturale. Fie a ∈ n. Pentru orice

număr natural k notăm: Ak = {a + rk · m | m ∈ n}. Să se arate că mulţimile Ak (k ≥ 1) nu au nici un element comun.

20. Să se arate că:

−∈

+++=∈ }1{\,1

1|2

RR aa

aaxx = (−∞, − 3] ∪ [1, +∞).

21. Să se arate că dacă x + x

1 ∈ z, atunci:

∈+ *,1

Nnx

xn

n ⊂ z.

22*. Fie mulţimile: A = {(x, y) ∈ r × r | x + y − 1 = 0}; B = (x, y) ∈ r × r | x3 + y3 − 2x2 − 2y2 − xy + 2x + 2y − 1 = 0}. Să se determine: a) A \ B; b) B \ A.

B. Funcţia caracteristică a unei mulţimi (Este recomandată pentru orele opţionale sau cercurile de pregătire)

Definiţie. Fie U o mulţime totală şi P (U) mulţimea tuturor părţilor mulţimii U. Fie A ∈ P (U) pe mulţimea A vom defini funcţia fA : U → {0, 1},

fA(x) =

∉∈Ax

Ax

dacă,0

dacă,1.