Breviar teoreticctmbacescu.ro/wp-content/uploads/2018/06/Fisa-de-lucru-U... · 2018. 6. 11. · , o...

INSPECTORATUL SCOLAR JUDEŢEAN DÂMBOVIŢA

Federația Națională a Asociațiilor de Părinți -

Învățământ Preuniversitar

1

Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial Dezvoltarea Resurselor Umane 2007-2013 Axa prioritară 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate”

Titlul proiectului: „TEEN PERFORM - Program inovator de îmbunătăţire a rezultatelor şcolare în învăţământul liceal” Contract număr: POSDRU/153/1.1/S/136612 Beneficiar: Inspectoratul Şcolar Judeţean Suceava

Disciplina FIŞĂ DE LUCRU

Tema/Unitatea:Permutări. Matrice. Determinanţi.

Aplicații ale determinanților în geometrie

Expert educaţie: prof. Monoranu Mihaela Doina, Colegiul Tehnic „Mihai Băcescu” Fălticeni

Breviar teoretic

Permutări

Definiţie: Fie n . O funcţie bijectivă :{1,2,..., } {1,2,..., }n n se numeşte permutare de grad n.

Notaţie: :{1,2,..., } {1,2,..., }n n şi

1 2 3 ...

1 2 3 ... ( )

n

n

(permutare de grad n).

nS este mulţimea tuturor permutărilor de n elemente.

Numărul tuturor permutărilor de grad n este !n . Produsul (compunerea) permutărilor

Definiţie: Fie , nS . Permutarea

1 2 3 ...

1 2 3 ... ( )

n

n

se

numeşte compunerea (produsul) permutărilor , nS şi se notează .

Notaţie: 2 3 2 1; ; ........ n n

Observaţie:

Nu are sens să vorbim despre produsul a două permutări de grade diferite.

( ) , nS astfel încât ( produsul permutărilor nu este operaţie comutativă)

Proprietăţile înmulţirii

1. Înmulţirea permutărilor este asociativă: , , , ,nS

2. Elementul neutru:

1 2 3 ..., .i. ,

1 2 3 ...n n

ne S e a e e S

niar

e se numeşte permutarea identică.




2

3. Orice permutare are inversă: 1 1 1. .n nS S a î e

Transpoziţii

Definiţie: Se numeşte transpoziţie de grad n permutarea nS cu proprietatea

,

,

(k) ,

, { , }

i j

j pentru k i

i pentru k j

k pentru k i j

Notaţie: , ,i j i j

Proprietăţi:

1. , ,i j j i

2. 1

, ,i j i j

3. 2

,i j e

4. Orice transpoziţie este o permutare impară.

5. Numărul transpoziţiilor de gradul n este egal cu 2.nC

Inversiuni, signatura (semnul) unei permutări

Definiţie: Fie , {1,2,..., },i j n . Se defineşte inversiune a permutării nS o pereche ordonată

,i j cu i j şi .j i

Numărul inversiunilor unei permutării se notează cu m şi 2 10

2n

n nm C

.

Definiţie: Număru

1m

se numeşte signatura (semnul) permutării .

Definiţie: Permutarea se numeşte permutare pară dacă 1 şi permutarea se numeşte

permutare impară dacă 1 . Observaţii:

1. Orice transpoziţie este permutare impară.

2.

1

, ( ) ni j n

i jS

i j

.

3. Dacă , nS , atunci .

4. 1 , ( ) nS şi 1e . 5. Permutarea nS este pară (respectiv impară) dacă ambele permutări şi au acelaşi semn

(respectiv semne contrare).

6. Orice permutare din nS este un produs de transpoziţii.




3

Matrice

Fie 1,2,...,mM şi 1,2,...,nN , m,n N*

Definiţie: O aplicaţie f: :A M N , ( , ) ijA i j a , ( ) , ( )i M j N , se numeşte matrice de tip

(m,n) cu elemente din .

Notaţie:

11 12 1

21 22 2

1 2

...........

...........

...............................

...........

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

, 11

( )ij i mj n

A a

Observaţii:

1. Matricea A are m linii şi n coloane iar ,1 ,1ija i m j n se numesc elementele matricei.

2. Dacă 1n , o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice coloană şi

11

12

1

.

.

m

a

a

A

a

.

3. Dacă 1m , o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice linie şi 11 12 1. . nA a a a .

4. Dacă m n , o matrice de tipul (m,n) se numeşte matrice pătratică de ordin n.

Notaţie:

, ( )m n mulţimea matricelor de tip (m,n) cu elemente din .

( )n mulţimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente din .

Definiţie: Matricele 11

( )ij i mj n

A a

şi 11

( )ij i mj n

B b

se numesc matrice egale dacă ij ija b ,

( ) , ( )i M j N .

Definiţie: Fie 1 ,( ) ( )ij i j n nA a . Sistemul ordonat de elemente 11 22( , ,..., )nna a a se numeşte

diagonala principală a matricei A iar sistemul ordonat 1 2 1 1( , ,..., )n n na a a se numeşte diagonala

secundară.

Definiţie: Într-o matrice pătratică suma elementelor de pe diagonala principală se numeşte urma

matricei şi se noteză ij1

( )n

i

Tr A a

.

Operaţii cu matrice

Adunarea matricelor. Fie matricele 11

( )ij i mj n

A a

şi 11

( )ij i mj n

B b

. Matricea 11

( )ij ij i mj n

A B a b

se

numeşte suma matricelor A şi B.




4

Proprietăţi:

1. Adunarea matricelor este asociativă: A B C A B C , ,, , ( )m nA B C .

2. Adunarea matricelor este comutativă: A BB A , ,, ( )m nA B

3. Matricea ,m nO care are toate elementele 0 este elementul neutru al adunării matricelor:

, ,m n m nA O O A A , ,( ) ( )m nA .

4. Orice matrice este simetrizabilă în raport cu operaţia de adunare:

, ( )n mA , ,( ) ( )n mA astfel încât ,( ) ( A) m nA A A O . ( A se numeşte

matricea opusă matricei A).

Înmulţirea cu scalari a matricelor: Fie matricea 11

( )ij i mj n

A a

şi .

Matricea 11

( )ij i mj n

A a

se numeşte produsul dintre scalarul şi matricea A.

Înmulţirea matricelor: Fie matricele 11

( )ij i mj n

A a

şi 11

( )jk j nk p

B b

. Matricea

1 ,

1

( ) ( )ik i m m pk p

C A B c

unde 1

n

ik ij jk

j

c a b

se numeşte produsul matricei A cu matricea B.

Proprietăţi:

1. Înmulţirea matricelor este asociativă:

A B C A B C , , , ,( ), ( ), ( )m n n p p qA B C 2. Înmulţirea matricelor este distributivă la stânga respectiv la dreapta, faţă de adunarea

matricelor: )( C A BB CA A , , ,( ), , ( )m n n pA B C

( )C A CA B B C , , ,, ( ), ( )m n n pA B C

3. Matricea unitate de ordin n,

1 0 0 ... 0

0 1 0 ... 0

( )0 0 1 ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0 ... 1

n nI

este element neutru faţă de

înmulţirea matricelor şi are proprietatea , ( )n n nA I I A A A .

4. Înmulţirea matricelor este necomutativă: ( ) , ( ) . .nA B a i A B B A .

Transpusa unei matrice:

Definiţie: Fie 1 ,1

( ) ( )ij i m m nj n

A a

. Matricea 1 ,1

( ) ( )ji j n n mi m

a

se numeşte transpusa matricei A

şi se notează cu 1 ,1

( ) ( )t ji j n n mi m

A a

.

Matricea transpusă se obţine din matricea A prin schimbarea liniilor în coloane şi a coloanelor în linii.




5

Proprietăţi:

1. ,( ) , ( ) ( )t t

m nA A A

2. ,( ) , ( ) , ( )t t t

m nA B A B A B

3. , ,( ) , ( ) ( ), ( )t t t

m n n pA B B A A B

Ridicarea la putere a matricelor pătratice

Definiţie: Fie ( ),n nA A O . Matricea ...k ori

A A A A

se numeşte puterea k a matricei A şi se

notează ... ,k

k ori

A A A A A

k iar 0

nA I .

Determinanţi

Definiţie: Fie ( )nA . Numărul 1 (1) 2 (2) ( )det( ) ( )n

n n

S

A a a a

se numeşte determinantul

matricei A sau determinant de ordin n.

Observaţii:

1. Un determinant de ordin n este determinantul unei matrice pătratice de ordin n.

2. Determinantul de ordin 2: 11 12

11 22 12 21

21 22

a aa a a a

a a .

3. Determinantul de ordin 3:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 13 21 32 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33

31 32 33

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

Teorema lui Hamilton – Cayley: Dacă 2( )A atunci

2

2 2(A) det(A)A Tr A I O

Proprietăţile determinanţilor:

1. Determinantul unei matrici este egal cu determinantul matricei transpuse. 2. Dacă toate elementele unei linii (sau ale unei coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci

determinantul matricei este nul.

3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantul matricei iniţiale.

4. Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice sau proporţionale atunci determinantul său este nul.

5. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulţite cu un număr

obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu înmulţit cu determinantul matricei

iniţiale.

6. Fie 1 ,( ) ( )ij i j n nA a o matrice pătratică de ordinul n. Dacă toate elementele liniei i sunt

de forma ' '' , ( ) 1,ij ij ija a a j n şi

'A ( respectiv ''A ) este matricea care se obţine din A




6

înlocuind elementele de pe linia i cu elementele '

ija ( respectiv ''

ija ), ( ) 1,j n atunci

' ''det( ) det( ) det( )A A A .

7. Dacă o linie (sau o colană) a unei matrice pătratică este o combinaţie liniară de celelalte linii (sau coloane) atunci determinantul matricei este zero.

8. Dacă la o linie (sau o colană) a unei matrice adunăm elementele altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea

iniţială.

9. Determinantul produsului a două matrice este egal cu produsul determinanţilor celor două

matrice: det( ) det( ) det(B)AB A , ( ) , ( )nA B .

10. Dacă ( )nA atunci det( ) (det( ))n nA A .

11. Dacă ( )nA şi atunci det( ) det( )nA A .

Definiţie: Fie d un determinant de ordin n. Determinantul de ordin 1n care se obţine din d prin

suprimarea liniei i şi coloanei j se numeşte minorul elementului ija şi se notează cu ijd .

Definiţie: Numărul ( 1)i j

ijd se numeşte complementul algebric al elementului ija şi se notează cu

ij .

Dezvoltarea determinantului după linia i sau după coloana j

Dacă d un determinant de ordin n, atunci dezvoltarea determinantului după linia i este:

1 1 2 2 ... , 1i i i i in ind a a a i n

Dacă d un determinant de ordin n, atunci dezvoltarea determinantului după coloana j este:

1 1 2 2 ... , 1j j j j nj njd a a a j n

Aplicații ale determinanților în geometrie Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte

1. Ecuaţia dreptei determinată de punctele 1 1 2 2, , ,A x y B x y este 1 12 2

1

: 1 0

1

x y

AB x y

x y

,

Observaţie: Un punct ,M x y aparţine unei drepte dacă

' '

1 1

2 2

1

1 0

1

x y

x y

x y

.

2. Condiţia de coliniaritate a punctelor 1 1 2 2 3 3, , , , ( , )A x y B x y C x y este 1 1

2 2

3 3

1

1 0

1

x y

x y

x y

.

3. Distanţa de la punctul 0 0 0,M x y la dreapta : 0h ax by c este 0 0

02 2

,ax by c

d M ha b

.

4. Aria suprafeţei triunghiulare ABC , unde 1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y , este

1

2ABC

A , unde

1 1

2 2

3 3

1

1

1

x y

x y

x y

.




7

Exemple de itemi de tip examen de bacalaureat

1. Fie permutarea 4S ,

1243

4321 .

a) Calculați 4 ;

b) Determinaţi numărul elementelor mulţimii *N nA n ; c) Rezolvaţi ecuaţia ex 2013 ; d) Determinaţi semnul permutării ;

e) Rezolvaţi ecuaţia 4x .

2. Se consideră permutarea 5

1 2 3 4 5

4 1 5 3 2S

şi mulţimea *nA n N

a) Să se calculeze permutarea inversă 1 .

b) Să se găsească numărul elementelor mulţimii A .

c) Să se arate că orice permutare din A este pară.

3. Fie nA mulţimea permutărilor pare ale unei mulţimi cu n elemente. Să se determine n, ştiind că nA are

cardinalul !54

)!2(

n.

4. Se consideră permutarea 5

1 2 3 4 5

3 1 5 4 2S

.

a) Să se calculeze signatura permutării .

b) Să se calculeze 2014 .

c) Să se rezolve ecuaţia 1 2 3 4 5

4 5 2 3 1x

.

5. Fie permutarea 5

1 2 3 4 5

1 3 4 5 2S

.

a) Determinaţi inversiunile permutării .

b) Determinaţi numărul de elemente ale mulţimii k k

c) Fie 2,3, 4,5i şi transpoziţia (1, ).i Arătaţi că

6. Se consideră permutările 1 23

231

şi 3123

321S

.

a) Calculaţi 2 .

b) Arătaţi că mulţimea *n n N are 3 elemente.




8

c) Fie ,n m astfel încât n m . Arătaţi că 6 divide nm .

7. Se consideră matricele

11

21,

32

43BA şi .

10

012

I

a) Să se calculeze matricea 2B , unde .2 BBB

b) Să se verifice că .32

431

A

c) Să se arate că ,6 244 IC unde 12 ABC .


3

2

1

,

3

2

1

YX şi

100

010

001

3I . Definim matricea tYXA unde

tY este transpusa matricei Y.

a) Să se arate că matricea

963

642

321

A .

b) Să se calculeze determinantul matricei A.

9. Se consideră matricea ).(31

622 RMA

Se notează

denori

n AAA ... , .*Nn

a) Să se calculeze determinantul matricei A.

b) Să se arate că .232 OAA

c) Să se calculeze suma .10...2 102 AAA


a

aAyxX

1

9, cu Ryxa ,, şi 00B .

a) Să se arate că dacă BAX , atunci .092 xa b) Să se determine valorile reale ale numărului a pentru care determinantul matricei A este nenul.

11. Se consideră matricea ).(10

052 RMA

a) Să se calculeze ,2 AA unde .2 AAA .

b) Ştiind că ,10

05

n

nA ,Nn 2n şi denori

n AAA ... , să se rezolve ecuaţia

.12552)det( nnA

c) Să se determine matricea .... 20082 AAAB


12

24,

42

21BA şi

10

012I în ).(2 RM

a) Să se verifice că .BAAB

b) Să se calculeze ,22 BA unde .2 AAA şi .2 BBB




9

c) Să se arate că ,5 244 IC unde BAC .

13. Se consideră mulţimea .1,, 2

aZba

bab

bbaAG

a) Să se verifice dacă matricele

10

012I şi respectiv

00

002O aparţin mulţimii G.

b) Să se determine matricea )(2 ZMB astfel încât ,2 bBaIbab

bba

., Zba

14. Se consideră matricele ,

000

300

430

,

300

130

113

BA

100

010

001

3I şi funcţia

)()(: 33 RMRMf , ,3)( 32 IXXXf unde .2 XXX

a) Să se calculeze .det 3 BI b) Să se demonstreze că .)( 3 BIAf

c) Să se arate că 233

33)( BBIAf , unde ).()()()( 3 AfAfAfAf

15. Fie matricea ,

2

2

111

)(2

2

kk

kk

xx

xxkA cu 2,1,0k , 10 x şi 21, xx sunt soluţiile ecuaţiei

.022 xx a) Să se calculeze determinatul matricei A(0).

b) Să se determine matricea ).2()1( AA

c) Să se calculeze suma elementelor matricei A(k) pentru fiecare 2,1,0k .


00

002O ,

10

012I şi

baA

10, unde ., Zba

a) Să se calculeze ,2A unde .2 AAA .

b) Să se verifice că ,22 bAaIA unde .2 AAA .

c) Ştiind că )(2 ZMX cu ,XAAX să se arate că există Znm , astfel încât .2 nAmIX


11

11,

11

11BA şi

00

002O .

a) Să se calculeze ,2A unde .2 AAA .

b) Să se verifice că .2 2OBAB

c) Să se determine matricele )(2 RMX care verifică egalitatea .2OAXB

18. În mulţimea 2( )M notăm cu

tA transpusa matricei A.

a) Să se calculeze ,22tII unde

10

012I .




10

b) Să se demonstreze că pentru )(2 RMA şi Rm are loc relaţia .tt mAmA

c) Să se determine matricele )(2 RMA pentru care ,2OAAt unde

00

002O .

19. Se consideră mulţimea .2

2

Ra

aa

aaaAM Pentru MA se notează

denori

n AAA ... ,

unde .*Nn

a) Să se arate că ,2 aaAaA .Ra b) Să se arate că dacă ,, MYX atunci .MXY

c) Să se determine Ra astfel încât .232 aAaAaA

20. Se consideră mulţimea

Rba

bab

babaAM ,, şi matricea

10

012I .

a) Să se calculeze determinantul matricei 1,1 .A

b) Să se demonstreze că dacă ,, MBA atunci .MBA

c) Să se arate că ,0,0det 2 bAI .Rb


11

11A şi

10

012I .

a) Să se verifice că ,2, 22 IA unde .2 AAA .

b) Să se determine Rx astfel încât 0det 2 xIA . c) Să se rezolve în )(2 RM ecuaţia XAAX .


00

002O ,

dc

baA din )(2 RM şi

tA transpusa matricei A.

a) Ştiind că 4ad şi 3bc , să se calculeze Adet . b) Să se calculeze .tAA

c) Să se demonstreze că dacă suma elementelor matriceitAA este egală cu 0, atunci 0det A .


100

010

001

3I şi

100

110

111

X din )(3 RM . Se notează

denori

n XXXX ... pentru *Nn .

a. Să se calculeze 2X .

b. Să se determine inversa matricei X.

c. Să se determine numărul real r astfel încât 323 3 IrXXX .

24. Se consideră matricea

a

a

aH

00

010

0ln1

)( , unde a >0.




11

a. Să se calculeze )(det aH , 0a . b. Să se arate că )()()( baHbHaH , 0, ba .

c. Să se calculeze determinantul matricei )2012(...)3()2()1( HHHH .

25. În )(2 RM se consideră matricele

xx

xxxA

4110

251)( , Rx .

a) Să se calculeze )1()1( AA .

b) Să se verifice dacă ,11 22 xAxA Rx . .

26. În )( 83 ZM se consideră matricele

5̂0̂0̂

0̂3̂0̂

0̂0̂1̂

A ,

5̂7̂3̂

0̂3̂2̂

0̂0̂1̂

B

1̂0̂0̂

0̂1̂0̂

0̂0̂1̂

3I .

Se notează XXX 2 , pentru 83 ZMX .

a) Să se arate că 32 IA .

b) Să se rezolve ecuaţia matriceală 3IXA , unde 83 ZMX .

c) Să se calculeze 2AB .

27. Se consideră matricea A =

1

12

, unde

1 3

2

i

. Calculaţi A 2 +A 3 +…+ nA

28. Se consideră matricea A =

cossin

sincos. Să se calculeze:

a) ,nA n .

b)

31

1312

.

29. Se consideră determinatul

axa

bxa

abx

xbaD

1

1

1

,, , unde a, b şi x sunt numere reale.

a) Să se calculeze 0,1,1D . b) Să se demonstreze că xaaD ,, nu depinde de numărul real x. c) Să se rezolve ecuaţia 0,, xbaD , unde a, b sunt numere reale distincte.

30. a) Să se calculeze determinantul 120121

112012

.

b)Să se calculeze determinantul 12

21

xx

xx

, ştiind că 1x şi 2x sunt soluțiile ecuaţiei

0242 xx .




12


acb

bac

cba

d , unde a, b, Rc .

a) Să se calculeze determinantul d pentru 2, 1, 1a b c .

b) Să se verifice dacă ,2

1 222accbbacbad Rcba ,, .

c) Să se rezolve în R ecuaţia .0

253

325

532

xxx

xxx

xxx

32. Se consideră determinatul ,

213

132

321

xxx

xxx

xxx

d unde 1x , 2x , Rx 3 sunt soluţiile ecuaţiei

0233 xx .

a) Să se calculeze .321 xxx

b) Să se arate că 6333

2

3

1 xxx .

c) Să se calculeze valoarea determinantului d.

33. Se consideră determinatul 21

931

111

)(

aa

aD unde a este număr real.

a) Să se calculeze valoarea determinantului ).9(D

b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia .0)( aD

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia .0)3( xD


acb

bac

cba

cu Rcba ,, .

a) Ştiind că ,1a 0b şi ,1c să se calculeze determinantul .

b) Să se arate că ,222 bcacabcbacba .,, Rcba

c) Să se rezolve ecuaţia ,0

211

121

112

x

x

x

Rx .


11

11

11

)(

a

a

a

aD unde a este număr real.

a) Să se calculeze determinantul pentru 1a a = -1.

b) Să se demonstreze că ,21)( 2 aaaD pentru orice a număr real.




13

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4)( aD .

36. a) Fie punctele 1,2 , 1,3 , 0,4A B C . Să se calculeze lungimea înălţimii duse din vârful A al triunghiului ABC.

b) Se consideră punctele 1, 2A şi 3, 4B . Să se calculeze distanţa de la originea axelor de coordonate la dreapta AB.

c)Se consideră dreptele paralele de ecuaţii 1 : 2 6d x y şi 2 : 2 4 11d x y . Să se calculeze distanţa dintre cele două drepte.

37. a) Laturile AB, BC şi AC ale triunghiului ABC sunt date prin ecuaţiile:

21 22 0, 5 12 7 0, 4 33 146 0x y x y x y .

Să se calculeze distanţa de la centrul de greutate al triunghiului la latura BC.

b) Determinaţi parametrul real astfel încât punctele 1, 5 , 4 , , 2, 3A B C să fie coliniare.

c) Se consideră punctele 2 , 1 , 1,0 , 1,2A m m B C . Să se determine parametrul real m

astfel încât 1

2ABC

A .

38. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1 , 1, 2A B şi ,nC n n cu Zn .

a) Să se scrie ecuaţia dreptei 24CC .

b) Să se arate că *Zn punctele O, ,nC 1nC sunt coliniare.

c) Să se calculeze aria triunghiului 3ABC .

39. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 7, 4 ,A ,B a a şi 3, 2C unde a . a) Pentru a = 0 să se calculeze aria triunghiului ABC. b) Pentru a = - 2 să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele B şi C.

c) Să se determine a pentru care orice punct , 2M x cu Rx este coliniar cu punctele B şi C.

40. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele 042: yxAB şi 023: yxBC .

a) Să se determine coordonatele punctului B.

b) Pentru 4,0 , 0,2 , 1, 1A B C să se scrie ecuaţia medianei triunghiului ABC,duse din vârful C.

c) Pentru 4,0 , 0,2 , 1, 1A B C să se calculeze aria triunghiului ABC.

41. În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2 31

log , log 92

n

n

nA

şi , 2 ,nB n n .*Nn

a) Să se determine ecuaţia dreptei care trece prin punctele 1B şi .2B

b) Să se arate că ,nn BA *Nn .

c) Să se demonstreze că pentru *Nn punctul nA aparţine dreptei .21AA

Breviar teoreticctmbacescu.ro/wp-content/uploads/2018/06/Fisa-de-lucru-U... · 2018. 6. 11. · , o...

Documents

Transcript of Breviar teoreticctmbacescu.ro/wp-content/uploads/2018/06/Fisa-de-lucru-U... · 2018. 6. 11. · , o...