Matematica in Muzica Tutorial Prof. Doru Modrisan, Brasov

În teoria muzicii, unitatea de bază care permite separarea şi diferenţierea a două sunete, din punct de vedere al înălţimii este semitonul. Pentru a putea cuantifica acest lucru, vom asocia fiecărei note un număr natural. Două sunete între care există un semiton vor fi numerotate consecutiv. Do central va fi numerotat cu 60. Astfel, iată toate notele octavei centrale:

Din punct de vedere fizic, înălţimea unei note este dată de frecvenţa vibraţiilor care o produc, măsurată în Herţi (Hz). Să notăm cu I înălţimea (considerată ca mai sus - vezi numerele roşii asociate notelor) şi cu F frecvenţa unei note. Relaţia matematică ce leagă cele două mărimi este:

12

3

2875,6)(I

IfF+

⋅== De exemplu, nota Do central, de înălţime I=60, conform acestei formule va avea frecvenţa:

621,261054,38875,62875,62875,62875,6)60( 25,512

63

12

603

≈⋅≈⋅=⋅=⋅=

+

f Dincolo de înălţime (frecvenţă) un sunet mai este caracterizat şi de durata sa. În cele ce urmează, vom considera durata unei note ca fiind măsurată în milisecunde. Vom defini, astfel, următoarele durate:

Denumirea Durata Simbolul

(când e una singură) Simbolul

(când sunt mai multe)

treizecidoime 15

şaisprezecime 30

optime 60

pătrime 120

doime 240

notă întreagă 480

Evident, dacă dorim ca notele unui anumit cântec sa fie cântate mai rapid, nu avem decât să scurtăm proporţional toate duratele de mai sus (prin înmulţirea cu o constantă pozitivă subunitară), iar dacă dorim ca el să fie cântat mai lent, toate duratele vor fi lungite proporţional (prin înmulţirea cu o constantă pozitivă supraunitară). În teoria muzicii mai întâlnim şi următoarele notaţii speciale, numite modificatori de durată: • un "." (punct) situat după o anumită notă, înseamnă lungirea duratei acesteia cu 1/2 din valoarea ei iniţială. Astfel, o doime cu punct (care mai poartă şi numele de treime) în loc de 240, cât am specificat durata în tabelul de mai sus, va avea durata de 360 (adică 240 + 0,5⋅240 = 240 + 120 = 360). Iată cum arată o astfel de notă pe portativ:

• ".." (adică punct punct) situat după o anumită notă, înseamnă lungirea duratei acesteia cu 3/4 din valoarea ei iniţială. Astfel, o doime cu două puncte va avea durata de 420 (adică 240 + 0,75⋅240 = 240 + 180 = 420). Iată cum arată o astfel de notă pe portativ:

• un 3 deasupra unui grup de 3 note de acelaşi fel indică un triolet; durata fiecărei note din triolet este egală doar cu 2/3 din durata notei originale, deoarece 3 note ale unui triolet trebuie să încapă în aceeaşi durată în care încăpeau doar 2. Astfel, o optime a unui triolet va avea durata de 40 (adică 60 ⋅ 2 / 3 = 120 / 3 = 40. Iată cum arată un triolet pe portativ (atât în cazul în care apar toate 3 notele, cât şi în cazul în care apare doar una singură:

În afară de sunetele (notele) propriu-zise, orice melodie poate avea şi mici pauze. Iată notaţiile corespunzătoare precum şi duratele acestora. Modificatorii de durată sunt valabili şi pentru pauze, având aceeaşi semnificaţie ca şi în cazul notelor muzicale:

Denumirea Durata Simbolul

pauză de treizecidoime

15

pauză de şaisprezecime

30

pauză de optime

60

pauză de pătrime

120

pauză de doime

240

pauză de notă întreagă

480

În cazul notelor, dacă două note care au aceeaşi înălţime sunt legate (ca în desenul de mai jos), ele nu se cântă de două ori, ci o singură dată, având ca durată suma duratelor notelor legate:

şaisprezecime (30) + pătrime cu punct (180)=

nota se cântă o singură dată, însă va avea durata de 210.

Aproape orice melodie are un ritm ce se naşte din desfăşurarea ordonată a duratelor. Măsura melodiei ne este dată de periodicitatea accentelor (accentuarea repetată a anumitor timpi). Astfel, atunci când transcriem melodia pe portativ, la începutul său este indicat, de regulă, ritmul. Acesta este de forma n / m, unde m este, în general, 4 sau 8. Atunci când timpii sunt de forma n / 4 spunem că avem o măsură de "n" pătrimi, iar când sunt de forma n / 8 spunem că avem o măsură de "n" optimi. Cele mai întâlnite ritmuri (măsuri) sunt:

Ceva mai puţin întâlnite sunt:

Analogia dintre claviatura pianului şi portativ. Gama Do Major

Iată cum arată claviatura unui pian de-a lungul unei game (do, re, mi, fa, sol, la, si, do):

Se observă că gama propriu-zisă se obţine cântând doar pe clapele albe, care poartă numele sunetelor "de bază" (do, re, mi, fa, sol, la, si). Regula după care sunt construite clapele pianului este următoarea: între orice clapă şi cea care îi urmează (adică, fie două clape albe între care nu există una neagră, fie între o clapă albă şi cea neagră de lângă ea), este o diferenţă de un semiton. Cum două semitonuri formează un ton, deducem că între două clape albe între care există una neagră este un ton. Aşadar, gama do major are între notele sale următoarele diferenţe de înălţime: do-re: ton; re-mi: ton; mi-fa: semiton; fa-sol: ton; sol-la: ton; la-si: ton; si-do: semiton Respectând această regulă, plecând de la orice notă dorim, se poate obţine gama sa majoră. De exemplu (am reprezentat două octave), începând de la re, gama sa majoră este cea dată de clapele marcate cu buline galbene:

re-mi: ton; mi-fa#: ton; fa#-sol: semiton; sol-la:ton; la-si: ton; si-do#: semiton; do#-re: ton. Iată transcrierea celor două game pe portativ:

GAMA DO MAJOR:

GAMA RE MAJOR

După cum probabil aţi observat, sunetele corespunzătoare clapelor negre au denumirea derivata din cea a suntetelor corespunzătoare clapelor albe, fie prin diez (#) fie prin bemol ( ). Aceste sunete poartă numele de sunete alterate; procedeul de obţinere al lor este foarte simplu: prin bemol se înţelege sunetul aflat cu un semiton mai jos, iar prin diez sunetul aflat cu un semiton mai sus. După cum se vede şi pe desenul claviaturii, putem spune că mi diez este acelaşi lucru cu fa şi, de asemenea, că fa bemol este acelaşi lucru cu mi. Ca şi regulă de scriere pe portativ, dacă în cadrul unei măsuri se întâlneşte un anumit semn de alterare, atunci el rămâne valabil pănă la sfârşitul acelei măsuri. De exemplu, dacă am întâlnit un re#, toate celelalte re-uri care NU au alt semn în faţă, în cadrul aceleiaşi măsuri, se vor cânta re#. Dacă dorim, totuşi, anularea diezului, înainte ca măsura să se fi terminat, se foloseşte modificatorul becar ( ). De asemenea, majoritatea gamelor (în afară de Do Major şi La Minor) au sunete alterate. Din acest motiv, pentru a nu mai repeta la fiecare măsură semnul de alterare (fie el diez, fie el becar), la începutul partiturii, înainte de scrierea măsurii, se trec şi sunetele care vor fi tot timpul alterate. Astfel, dacă la începutul partiturii vom întâlni:

înseamnă că toate notele din dreptul semnelor # se vor cânta alterate (e vorba de fa, do, sol şi re) cu excepţia cazurilor în care efectul lor este anulat pe moment de becar. Iată şi corespondenţa dintre toate notele unei octave (intervalul de sunete dintre 2 note cu aceeaşi denumire dar cu frecvenţele în relaţia F2 = F1⋅2 sau F2 = F1/2 ) şi portativ:

Ne interesează în mod special câteva aplicaţii ale celor prezentate pe calculator. Vom prezenta suportul necesar implementării sunetelor în limbajele de programare Borland Pascal 7.0 şi Borland C++ 3.1, sub Ms-DOS. Deşi aceste versiuni ale limbajelor sunt de mult depăşite în cazul acestui gen de aplicaţii, sunetele fiind scoase pe difuzorul calculatorului (PC-Speaker), ne interesează în primul rând studiul teoretic al implementării sunetelor pe calculator; de asemenea, cele două limbaje au funcţii gata implementate pentru generarea de sunete, deci nu e necesară muncă suplimentară de progamare a acestora. Ambele limbaje folosesc două funcţii, şi anume: sound(frecventza) respectiv nosound pentru a genera un sunet de frecvenţă dată, respectiv pentru a opri sunetul respectiv, şi de asemenea funcţia delay(milisec) pentru a produce întârzierea dorită. Iată implementările: C++ Pascal #include<dos.h>//aici se afla functiile sound, nosound si delay #include<math.h>//aici se afla functia pow-pt.ridicarea la putere #define t 1.0 //modificind t la valori subunitare respectiv //supraunitare vom face ca tempo-ul sa fie mai rapid sau mai lent void play(int pitch,int d) { //aceasta functie va cinta un sunet cu inaltimea data de //parametrul pitch, sunet care va dura d milisecunde //nota do central are pitch=60 double f=6.875*pow(2,(3.0+pitch)/12); //in f am calculat frecventa in functie de pitch (inaltimea) sound(f);//producem generarea sunetului de frecventa calculata delay(t*d);//producem intirzierea de d milisecunde nosound();//oprim sunetul } void pause(int d) {//aceasta functie va produce o pauza de d milisecunde nosound();//sa fim siguri ca nu e nici un sunet activ delay(t*d);//procucem pauza de d milisecunde }

uses crt;{aici se afla functiile sound, nosound si delay} const t=1.0;{modificind t la valori subunitare respectiv supraunitare vom face tempo-ul sa fie mai rapid sau mai lent} procedure play(pitch,d:integer); {aceasta procedure va cinta un sunet cu inaltimea data de parametrul pitch, sunet care va dura d milisecunde nota do central are pitch=60} var f:double; begin f:=6.875*exp((3.0+pitch)/12*ln(2));{a se observa combinarea functiilor exp si ln pt. ridicarea la putere-artificiu facut pentru ca limbaul Pascal nu are functie pt. ridicare la putere} {in f am calculat frecventa in functie de pitch (inaltimea)} sound(round(f));{producem generarea sunetului de frecventa calculata} delay(round(t*d));{producem intirzierea de d milisecunde} nosound;{oprim sunetul} end; procedure pause(d:integer); {aceasta functie va produce o pauza de d milisecunde} begin nosound;{sa fim siguri ca nu e nici un sunet activ} delay(round(t*d));{procucem pauza de d milisecunde} end;

Sa transcriem acum un fragment dintr-un cântec cunoscut în aceste limbaje de programare, utilizând cele de mai sus - vom lua primele 4 măsuri ale imnului naţional "Deşteaptă-te, române !".

Sub fiecare notă am scris înălţimea sa, pe baza considerentelor de la început, şi anume a faptului că nota Do Central va avea înălţimea 60. La o primă analiză, observăm următoarele: - portativul are la cheie 3 bemoli, şi anume si, mi şi la, ceea ce înseamnă că toate aceste note, atunci când se vor întâlni pe parcursul cântecului, vor fi cu bemol (în afara cazului de care am povestit, evident, în care ar putea fi anulate de un becar). Din acest motiv, remarcaţi faptul că toate notele de la (2 la număr) în loc de înălţimea 69, cea a la-ului curat, are înălţimea 67. Cei 3 bemoli de la cheie sunt tipici gamei Do minor, în care este transcris cântecul.

Iată această gamă (Do minor):

- se mai remarcă faptul că prima notă a fragmentului din "Deşteaptă-te, române" este scrisă sub portativul normal - este vorba de un sol aflat cu 5 semitonuri sub do (dacă număraţi liniuţele adiacente ale portativului, veţi vedea că faţă de DO s-a coborât cu 4 sunete nealterate (Do, Si, La, Sol) - prima măsură a fragmentului nu este completă - adică nu conţine 4 pătrimi, la fel ca toate celelalte, ci doar una singură. Acest lucru se datorează faptului că melodia începe cu anacruză. Folosind tabelul duratelor, prezentat la început, putem aşadar cuantifica fragmentul din "Deşteaptă-te, române" prin următorul program, care va fi la fel atât în varianta Pascal, cât şi în varianta C++. Se recomandă pentru constanta t (tempo-ul, cea definită cu roşu la început) o valoare de 3: play(55,120); play(60,180); play(62,60); play(63,120); play(65,120); play(67,240); play(60,120); play(60,120); play(68,180); play(67,60); play(65,120); play(65,120); play(70,180); play(68,60); play(67,120); - - - - - - - - - - -

Tipuri de exerciţii: A) Se dă un fragment dintr-o partitură ce conţine o singură voce. Să se descrie, sub forma unui tabel (puteţi efectua calcule automate în Excel) succesiunea de evenimente din aceasta. Forma tabelului: Eveniment Frecvenţă (Hz) Durată (ms) Durata va fi cea predefinită (pătrime = 120). În dreptul coloanei "eveniment" se va trece "sunet" sau "pauză". Exemplu: fie fragmentul:

Tabelul asociat este următorul: Eveniment Frecvenţă (Hz) Durată (ms)

sunet 659,2551 60 sunet 622,254 60 sunet 659,2551 60 sunet 622,254 60 sunet 659,2551 60 sunet 493,8833 60 sunet 587,3295 60 sunet 523,2511 60 sunet 440 120 pauză - 60 sunet 261,6256 60 sunet 329,6276 60 sunet 440 60 sunet 493,8833 120 pauză - 60 sunet 329,6276 60 sunet 415,3047 60 sunet 493,8833 60 sunet 523,2511 240

B) Se dă tabelul asociat (la fel ca mai sus) unui fragment dintr-un cântec. Transcrieţi acest cântec pe portativ şi recunoaşteţi-l (!). Eveniment Frecvenţă (Hz) Durată (ms)

sunet 391,9954 60 sunet 391,9954 180 sunet 466,1638 180 sunet 466,1638 60 sunet 440 60 sunet 391,9954 180 sunet 293,6648 180 pauză - 60 sunet 523,2511 180 sunet 587,3295 60 sunet 622,254 60 sunet 783,9909 180 sunet 587,3295 60 sunet 587,3295 120 sunet 554,3653 60 sunet 587,3295 180 pauză - 60

Transcrierea sa pe portativ este:

Cântecul este "Săracă Inima Mè" C) Asociem fiecărei cifre a unui număr nota muzicală ce care inălţimea obţinută prin adunarea lui 60 cu cifra respectivă. Astfel: - cifrei 0 îi corespunde nota Do Central - cifrei 1 îi corespunde nota Do # - cifrei 2 îi corespunde nota Re .... Să se determine primul grup de 4 cifre vecine în număr (deci consecutive ca poziţie) ce reprezintă toate doar note ale gamei Do Major. Ex: 9287672505345271 - primul grup este 7250 (ar mai fi şi 4527, însă nu e primul). D) Se dă un fragment dintr-o partitură. Unei anumite secvenţe de note i se va asocia un număr, după următoarea regulă: - din înălţimea fiecărei note se va scădea 60 - numerele obţinute se concatenează (alipesc). Să se determine dacă ultimele 4 cifre ale numărului astfel obţinut din fragmentul dat, se regăseşte, ca şi subsecvenţă (fragment) al unui număr dat, indiferent de ordinea cifrelor (ne interesează doar să fie toate 4, chiar dacă vreuna se repetă), iar dacă da, de la a câta cifră. Ex: Se dă fragmentul de mai jos şi numărul 9187640024

Numărul asociat va fi: 434720240. Ultimele sale 4 cifre sunt 0240. Ele se regăsesc în numărul dat începând de la a 6-a cifră.