h-r cetdtin srANtcAIon RO$U

Marius PERIANUDumitru sAvurgSCU

Matematiceclasa a V-a

I

@(/ clueuL \/ulrettlrtctrtruon\

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

CupntNS

Capitolul 1. Numere naturale

1.1. Scrierea gi citirea numerelor naturale 7

1.2. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor'Compararea numerelor naturale. Aproximiri '12

Teste de evaluare .................. 16

Fi$o pentru portofoliulindividual ............... 17

Adunarea numerelor naturale......... 19

Scdderea numerelor naturaleinmullirea numerelor naturaleFactor comunOrdinea efectuirii operaliilor (l) ............'...'..

Teste de evaluare .................-

FiSd pentru portofoliul individual ..............

Test - model pentru Evaluarea Nasionald

1.8. Puterea cu exponent natural a unui numir natural

1.9. Compararea puterilor numerelor naturale

1.10. Pdtrate perfecte. Cuburi perfecte

Teste de evaluare ..................

Fi5a pentru portofoliul individual ...........

1.1 f . imparlirea cu rest zero a numerelor naturale

1.12. impdrlirea cu rest a numerelor naturale

Teste de evaluare ..................

FiSd pentru portofoliul individual ............

Test - model pentru Evaluarea Nalionald'1.13. Sisteme de numeralie (extindere) .'..........'...'.....

1.14. Ordinea efectudrii operaliilor (ll) ..'..'...'......'.1.15. Ecua[ii 5i inecualii. Probleme care se rezolvd cu ajutorul

ecua[iilor gi inecuatiilor ............'......

Teste de eva1uare ..................

FiSa pentru portofoliul individual ..........''1.1 6. Divizibilitatea numerelor naturale

1.17. Criterii de divizibilitate ..................'.

Teste de evaluare ..................

FiSa pentru portofoliul individual

25

29343841

43454751

54575961

83888991

9699

101

646971

7375

78

1.18.

1.19.1.20.

Media aritmeticd a doui numere naturale 103

105

109

112115

117

122128

Ecua{ii gi inecua}iiin mullimea numerelor naturaleProbleme care se rezolvi cu ajutorul ecualiilor gi inecuafiilorgi probleme de organizare a datelorTeste de evoluareF i gd pe ntru portofol i u I i n d ividualTeste - model pentru Evaluarea Nalionald .................:!...,.......

1.21. Probleme cu caracter aplicativ'1.22. Probleme pentru performanld gcolari gi olimpiade

Capitolul2. MullimiMultimi ...................... 135Relaliiintre mulfimi. Submullimi ........................ 140Testedeevaluare ................. ............. 143Fi5a pentru portofoliulindividuol .............. 145Opera{iicu mul}imi ........................ 141Multimi finite gi mullimi infinite. Mullimea divizorilor gi

mullimea multiplilor unui numdr natural ........ 152Teste de evaluare ......---.-.. ............. 155FiSd pentru portofoliulindividual ............ 157Test - model pentru Evaluarea Nasionala ,l59

Probleme cu caracter aplicativ ... 162Probleme pentru performan!5 gcolard giolimpiade .........._.. 164

Capitolul 3. Variante de subiecte pentru tezi ............. ........ 171

Solutii

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

179

CAPITOLUL

NUUERE NATURALE

Tema 1.1 . Scrierea gi citirea numerelor naturaleTema 1.2. Reprezentarea pe axa numerelor.

Compararea numerelor naturale. Aproximdri

Teste de evaluare. FiSd pentru portofoliul individual

Tema 1.3. Adunarea numerelor naturale

Tema 1.4. Sciderea numerelor naturale

Tema 1.5. inmullirea numerelor naturale

Tema 1.6. Factor comun .Tema 1.7. Ordinea efectudrii operaliilor (l)

Teste de evaluare. FiSd pentru portofoliul individualTest - model pentru Evaluarea Nalionald

Tema 1.8. Puterea cu exponent natural a unui numir natural

Tema 1.9. Compararea puterilor numerelor naturale

Tema 1.10. Pltrate perfecte. Cuburi perfecte

Teste de evaluare, FiSd pentru portofoliul individuql

Tema 1.1 f . impirlirea cu rest zero a numerelor naturale

Tema 1.12. impdr;irea cu rest a numerelor naturale

Teste de evaluare. FiSd pentru portofoliul individual

Test - model pentru Evaluarea Na{ionald

Tema 1.13. Sisteme de numeralie fextindere)Tema 1 .14. Ordinea efectudrii operatiilor (llJ

Tema 1.15. Ecualii 9i inecuatii.

Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecualiilor 9i inecualiilor

Teste de evsluare' FiSd pentru portofoliul individualTema 1 .16. Divizibilitatea numerelor naturale

Tema 1.17. Criterii de divizibiiitateTeste de evaluare. FiSd pentru portofoliul individual

Tema 1.18. Media aritmetici a doud numere naturale

Tema 1 .19. Ecualii gi inecualii in mullimea numerelor naturale

Tema 1.2O. Probleme care se rezolvd cu ajutorul ecualiilor 9i inecualiilor.Probleme de organizare a datelor

Teste de evaluare. FiSd pentru portofoliul individualTeste - model pentru Evaluarea Na$ionald

Tema 1.21. Probleme cu caracter aplicativ

Tema 1.22. Probleme pentru performan!5 gcolard 9i olimpiade

Tema 1 ,1Scrierea gi citirea numerelor naturale

Scrierea. Pentru scrierea unui numdr natural, se folosesc unul sau mai multe din

urmltoarele zece sirnboluri, numite cifre arabe:

0123456789Fiecare numdr se scrie ca o succesiune de cifre, care se pot repeta, prima cifri a unui

numdr natural de cel pulin doul cifre fiind diferitd de 0. De asemenea, f,recare

succesiune de cifre repreztntilun num5r. Acest mod de scriere a unui numdr nafural se

nume$te sistem zecimal, sau in baza zece, pentru cd zece unitdli de un anumit ordin

formeazd o unitate de ordin imediat mai mare.

Citirea. Pentru a citi gn num[r natural, grupdm cifrele cdte trei de la dreapta spre

st6nga. Aceste gnrpe se numesc clase. Fiecare clasd se compune din unitili, zeci qi sute.

in ordine de la dreapta la st6nga avem: clasa unitif;lor, clasa miilor, clasa milioanelor,

clasa miliardelor etc. Din acest motiv, scrierea numerelor inbaza zece este o scriere

pozi,tionald,deoarece fiecare cifr6 are o anumiti valoare dupi locul unde este scris5.

Exemplu. in numdrul 23 472 508 216, crfra2 apare de trei ori, de la dreapta spre stAnga qi ea are

urmdtoarele valori: sute, milioane qi respectiv zeci de miliarde.

5"g5'se s'E:= :=

oo:!Ettg'550AN

oo

Htr.Eoo=EEio.ncoaN

23clasa

miliardelor

g3dcdooocEx!!Yoo=E!tro'-50AN

472clasa

milioanelor

588216clasa clasamiilor unitdlilor

Descompunerea zecimalS. Orice numEr natural de doud sau mai multe cifre se

scrie in mod unic sub forma unei sume de produse intre fiecare cifri din scrierea

numdrului qi numlrul ce indici ordinul cifrei respective (1, 10, 100, 1000 etc.)'

Exemple. 1. 37 =3.10 +7 ;

2.275=2.100+7 '10+5;

3. 8086 = 8'1000 +0'100 + 8' l0+ 6 ;

Cifre romane. Pentru scrierea numerelor naturale, romanii foloseau semnele:

r (1) v (s) x (10) L (s0) c (100) D (500) M (1000)

numite cifre romane, valoarea corespunzdtoare fiecdreia fiind cea scrisl in parantezd.

Sistemul de scriere folosit de romani nu este nici zecimal, nici pozilional. La scrie-

rea numerelor cu ajutorul cifrelor romane se line cont de urmdtoarele reguli:

a. o cifri cu valoarea mai mic5, scrisl la dreapta uneia cu o valoare mai mare indicd o

sumi: XV: l0+5, V|tI:5 + I + I + 1, MC: 1000+ 100;

b. o cifri cu valoare mai mic5, scris[ la st6nga uneia cu valoare mai mare indicl osc[dere (nu se poate scldea mai mult de o cifrd!): IX: l0 - 1, CM : 1000 - 100;

ab=lO.a+b;abc=100.a+10.b+c;,b"d =1000.a +100'b+10'c+d .

T(o

(!oro

U

I

=ul

=

-

7

c. cifrele I, X, C, M se pot scrie consecutiv de cel mult trei ori, iar cifrele V, L, D nu sepot repeta consecutiv qi nici nu se pot sc6dea.

d. o cifrd sau un grup de cifre se multiplicd de 1000 de ori tras6nd o linie deasupra

cifrei sau grupului respectiv: 7 = 10000 , XC =90000, MIC =1099000 etc.

Observatie. Determinarea numirului de numere naturale n cuprinse intre doudnumere naturale a qi b date:- de la I la n sunt n numere naturale, iar de la 0 la n sunt r +l num6ie naturale;- in general, de la a la b (ncluzAndu-le pe a qi b) sunt b - a +l numere naturale.

.L,\

1. Citili numerele:a) 84305027; b) 5000002; c) 205017;d)IL; e) MCMLXXXIX; /) CMMXVII;g/ 111111; h)211005; i) 67403067.Rezolvare. a) Grupdm numdrul in grupe de cdte trei cifre de 1a dreapta spre st6nga 84 305027 qi citim optzeci Si patru de milioane trei sute cinci mii doudzeci Si qapte;d) L -l: 50 - 10 : 49, decipatrazeci qi nou6.

2. Citifi numerele:a) 123000456; b)985420; c)203005023;d) 987654321; e) 100005; fl 403061;s)987006s4; h) 120; i)202022.

3. Scrieli inbazazece, numerele:a) doudzeci qi gapte; D) trei sute cincizeci gi opt; c) doudmii trei;

a $ cincimii opt; e) noudmii gapte sute cinci; l) trei milioane cinci;

E g) trei mii; h) trei mii doud sute trei; i) doud sute gase.

3 4. Scrieli inbazazece, numerele:'fi a) doudmilioane opt sute treizeciqi qapte de mii doi;

E b) qapte milioane trei mii gase sute cinci;

E c) treizeci gi gapte de milioane oplzeci de mii gase;

+ d) patruzeci 9i trei de mii opt sute unu.

2 5. Scrieli ?nbazazece, numerele:g a) Sapte mii noud sute optzeci gi doi; b) cinci mii douizeci qi gapte;

E c) trei milioane noul mii unsprezece; d) patrusute de mii douizlci gi trei.o-

.5 6. a/ Scrieli cu cifre romane numerele: 5, ll , 26, lll , 1257 .

S D) Scriefi cu cifre arabe numerele: X, MCCL, XL, VD(MLXXXIX, MMIII.

,i 7. a) Scrie[icu cifre romane numerele; 8, 49, 94, 307, 1457, 1514, 1948, 2003.

Z 6) Scrieli cu cifre arabe numerele: XIV, XLIV, LXIV, MCMXIV, MI\DilV.'E 8. a) Scriefi patru numere impare cu suma cifrelor 3.

? D/ Scriefi trei numere impare cu produsul cifrelor 6.:E c) Scriefi patru numere paxe cu suma cifrelor 10.U

8

9. Dali trei exemple de numere naturale de forma abcdcba qi apoi citilile.

10. Cdte numere cuprinse intre 30 qi 60 confin:a) cifra 4; b) dou;d cifre identice; c) cifrele 1 sau 8?

11. Cdte cifre se folosesc pentru a scrie toate numerele naturale pdndla 20 inclusiv?

12. Cdte cifre se folosesc, tn total, pentru a scrie toate numerele de la 1 la 35, inclusiv1 qi 35?

13. De cdte ori seutllizeazdcifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de 3 cifre?

J..L/L /\

14. a) Scrie,ti 4 numere pare, avdnd suma cifrelor 3'

6) Scrieli 4 numere impare de doui cifre, avind diferen{a cifrelor egal6 cu 1.

15. Cdte numere naturale, cuprinse intre 500 9i 550, conlin:a) c\fua3; b) doud cifre identice; c) cifrele 0 qi 7?

Rezolvare. a) Numerele care conlin cifra 3 sunt: 503, 513, 523,543 qi 530' 531, 532, ...,

539. in total sunt 14 numere.

1 6. a/ Determinali numerele de forma abc gtiind cd a bc = 3' I 00 + 7' I 0 + 9.

D) Determinati cifrele a, b, c qt\ind cd 7 89 = a . 100 + b . I 0 + c .

y' DeterminaEi cifrele a, b, c,d qtiind cd alcq= 5'1000+b. 100+7'10+d .

17. a) Determnafi numerele de forma a2bS Stlind, c[ produsul cifrelor sale este 120.

D) Determinati numerele de forma 11r3b7 gtiind ci suma cifrelor sale este 17.

18. a) Aflalinumerele naturale ab pentru r*, o2b =2b, .

b) AtlaEinumerele naturale abc pentru "ur"

o4b" = tb* .

c) Cdte numere naturale ibcd verificdegalitatea ,7 bd = ,*n I1 9. a) Cdte numere naturale sunt de la I la 34? Dar de la 0 la 25? Dar de la 7 la 28?

D,) C6te numere naturale sunt de la I la 9? Dar de la 1 I la 7 5? Dat de la lll la 211?

Rezolvare. a) Dela I pdnd la 34 sunt 34 numere naturale. De la 0 pdn[ la 25 sunt

25 -0+l-26 numere naturale. DelaT pAnd la 28 sunt 28 -7+l:22 numere naturale.

20. a) Cdte numere pare gi cdte impare sunt de la 127 pdndla 579?

D) Determina{i cite numere pare sunt de la 444 pind b 2012.c) Pe ecranul calculatorului sunt scrise toate numerele de la 600 la 2013. Alin utili-zeazdwrprogrurrcare gterge de pe ecran numerele pare. Cdte numere rdmdn pe ecran?

Rezolvare. a) Vom utiliza un contor de numdrare. Numerele impare de la 127 pdndla 579

se pot scrie3stfel: 127 = 2' 63 + 1, 129 = 2' 64 + 1, 131 = 2' 65 + l, ..., 577 = 2' 287 + 1,

579 = 2. 289 + I , adici sub forma 2k + 1, unde ft (pe care il vom numi contor) ia valori

consecutive de La 63 la 289.Problema se reduce la aflarea numirului de valori pe care le ia contorul, deci trebuie

si gdsim cdte numere naturale sunt de la 63 pdndla 289, adicd 289 - 63 + I = 227 mrmere.

inacelaqifel,numereleparecuprinseintrel2T qi579sunt 128=2'64,130=2'65'..., 578 = 2.289, deci contorul ia valori dela 64ta289. Caurmare,intre 127 9i 579 sunt

289 - 64 + 1 -- 226 wmere naturale pare.

lr!

(!(o

sUt-,

=ul

=

Metoda contorului de numdrare poate fi fiilizatd,, in general, pentru determinareanumirului de termeni ai unei secven{e de numere naturale care se oblin numdrdnd din r in rincepdnd de la primul termen al secven{ei, unde r este un numir natural nenul dat. O astfelde secven!6 se rume$te progresie aritmeticd, iar r se numegte ralia progresiei.

21. a) Scieli primele 12 numere din girul numerelor naturale.b) Care este al 57-lea numAr natural din qirul numerelor naturale nenule?c) Care este al 33-lea numSr par din qirul numerelor naturale?

22. Aflaf cdte numere se g[sesc in fiecare dintre secvenfele:u) 1,2,3,...,30; b) l0,ll,12, ...,30;d) 0, 1,2,3, ..., 19; e) 17, 18, 19, ..., 156;g)15,20,25, ...,125; h) 9,12,15, ...,249:

c) 2,4, 6,8, ...,200;J) ll, 13, 15, 17, ..., 137 ;

i) 6, 12, 18, ..., 660.

23. u) Care este al 37-lea numrr natural par din girul numerelor naturale?b) Carc este al 138-lea numlr natural impar din girul numerelor naturale?

Rezolvare. Cum girul numerelor nafurale este 0, 1, 2, ..., n,... numerele pare fiind de

forma2. t, t e N, oblinem cd2 . 36:72 este al 37-1ea numdr par.

24. a) Cdte numere impare se gdsesc in girul: 5,6,'7,8,...,20?b) C6're numere pare se gesesc in qirul: 2,4,6,8, ..., 80?

25. Pentru fiecare din girurile de mai jos observa{i regula de alcStuire gi scrieli incdtrei numere:a)10,16,22,...,...,... b) 10,21,32,...,...,... c)2,6,18,...,,..,...d) 5,11,23, ..., ..., ... e) 4,11,32, ..., ..., ... J) 12, 23, 34, ..., ..., ...

26. a) Cdte numere de doud cifre exist6? CAte numere impare de trei cifre exist[?b) Aflali cAte numere de doub cifre distincte existd.

c) Determin{i num[ru] de numere pare de forma ab5c .

d) Determinali cite numere pare sunt de forma 2rb6" .

Rezolvare. a) Prima cifrd aunui numdr de doud cifre ab poate fi oricare cifri de la I pinila 9, adicd se poate alege in 9 moduri. Pentru a doua cifr6 sunt 10 posibilitdfl de alegere,adici oricare dintre cifrele de la 0 pdnd la 9. Pentru fiecare cifr6 a pvtem scrie oricare dincele 10 cifre b, deci vor fi 9.10 = 90 numere naturale diferite.

Dacd abc este un numir impar, atunci cifra a poate lua 9 valori, cifua b 70va1ori, iarcifrac5valori(1,3,5,7sau9),decisunt 9.10.5=450 numereimparedetreicifre.

Metoda folositd mai sus se numegte:

Regula produsului. DacS un cuvdnt este format dtn n literc gi dacd penkulitera de pe locul [ (unde k =1,2,...,n ) existi ao posibilitlli de alegere,

independente de alegerile literelor anterioare, atunci numdrul cuvintelor formatedin n litere este egal ct a..a2.....ah.

27. Utilizend eventual regula produsului, determinati:a) cdle mrmere de doud cifre se pot forma, folosind numai cifrele 5 qi7 ;b) cdte numere de trei cifre se pot forma, folosind numai cifrele 2,3 qi 4 ;c) cdte numere impare de patru cifre se pot forma cu numerele 1,2,3 qi 4 .

28. a) Cdte numere naturale de patru cifre se pot forma cu cifrele 2, 5 gi 8?

b) Cdte numere naturale de patru cifre se pot forma cu cifrele 0,2, 7?

29. Determinali:a) Cdre numere naturale de 6 cifre incep cu 123?

Q CA,te numere naturale de 6 cifre se termini w 123?

Q Cfie numere naturale de 6 cifre confin secvenla de cifre 123?

tl) C6'te numere naturale de 6 cifre distincte se terminl cu 123?

30, a) Cdte cifre s-au folosit pentru numerotarea unei cdrli cu 100 de pagini?

,) pentru numerotarea paginilor unei culegeri de matematicl s-au folosit 450 cifre.

C6te pagini are culegerea?

31. u) Cdte cifre s-au folosit pentnr numerotarea unei car,ti cu 1024 de pagini?

D) Pentru numerotarea paginilor unei enciclopedii s-au fillizat 3389 cifre. Cdte

pagini are enciclopedia?

.L J..l.,\ ,I 'L

32. a) Cdte numere impare se g[sesc in qirul: 17,18,19, ..., 173?

Q C6rte numere pare se gdsesc in 9iru1: 3,6,9,12, 15,18, ..., 300?

Q Cdre numere con{ine urmdtorul ;ir: 11, 16,21, ...,2011?

33.QC|iemrmerenaturaledeforma obo ", a+0;i a+b exist6?

b) C|rfenumere naturale au forma rbrrb, ) clJ a +0 qi a+ b * c + a?

c)C|rtenumerenaturalesuntde forma abc,cv a*0 9i a <b<c?

34. a) Cdtenumere naturale au forma ibrd, "o

a # O ;i a > b > c > d ?

b) Cdtenumere naturale impare sunt deforma obrd "ra * 0 $i a >b > c > d?

c) Cdte numere naturale sunt de forma abc qi au produsul cifrelor numdr impar?

35. a) Determinafi numerele naturale de forma abc , Stiind' cd a + c = 3 .

D) Determinali numerele naturale de forma abc , gtiind cd a + c = 6'b .

36. Aflafi num[rul perechilor de numere naturale consecutive de forma ob3 , ,o4 .

Probleme de gapte stele

37. Se construieqte num5rul natural 35355355535555... dupd regula: dup[ primul trei

un cinci, dupd al doilea trei doi de cinci, dup[ al treilea trei se scriu trei de cinci

q.a.m.d.

u) Care este cifra depePozitia2l?b) Acdtacifrd a numErului va fi azeoea cifri de 3?

38. Determinali al 13Jea numer din girul de numere: l, 1,2,3, 5, 8, 13,21, "' '

39. Aflali cate numere auin comun girurile 10, 15, 20, ...,2010 9i 10, 14, 18, "', 2010'

I

(6

(o

6(!rJ

v

=l!

=11

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

(1p) 1. Scrieli cu cifre urmltoarele numere naturale:a) trei sute doudzeci gi gapte; D,) o mie trei;c) un milion trei sute patruzeci gi gapte de mii doud sute patru;d) trei miliarde douizeci de milioane patru sute de mii cinci.

(1 p) 2. Scrieli in cuvinte numerele naturale: a) 1205; b) l0 006; c) 207 405.

(3p) 3. a) ScrieJi cel mai mic numir format din patru cifre distincte, cu cifra sutelor 4.

b) Determina[i cel mai mare numir natural format din 5 cifre distincte.c) Determinali cel mai mic Ai cel mai mare numlr natural de 6 cifre diferite,qtiind cd suma acestor cifre este 17.

(2p) 4. Ce numdr urmeazd in fiecare din urmdtoarele secvenle:a)2 -+ 5 -+ 9 -+ 14 -+ ...?b) 132 -+ 374 -+ 5116 -+ ... ?

(1p) S. Aflali cdte numere de trei cifre au exact dou6 cifre identice.

(1p) 6. Suma cifrelor numdrului abc este 25. Calcutali suma cifrelor numdrului

abc +1.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordd 1 punct din oficiu.

frn!.r,t

lr(ta5vE=olzG,gIr'tr(!

=,<gzr(t,l.g)6)(oU

(2p)

(1p)

(Ip)(2p)

(2p)

Testul 2

1. a) Scrieli in ordine descresc[toare numerele 5678,5876,5768 qi 5687.

b) Aflali cel mai mare numir natural de 5 cifre diferite, cu produsul cifrelor 0.

2. Dacd 237 = a. I 00 + 6 . l0 + c, atunci aflali valoarea produsului a' b' c.

3. Determinali cdte numere naturale de forma abc verificdrelalia ,b, = rbo .

4. Cdte numere pare de patru cifre sunt mai mari decAt 8345?

5. Pe axanumerelor se considerSpunctele A qi B de coordonate 3 gi 14.

a) Afla\i coordonatele punctelor M, N, P situate intre A Si B astfel incitAM =2, NB=6 9i PB=1.

6) Determinali lungimile segmentelor OM, AN, PA qi MP.

(1p) 6. Determinagi numerele naturale ob, ,ur" verificd relalia abc = oU + O, + * .

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordi 1 punct din oficiu.

16