Un ctig de categoria I se obine cu probabilitatea de 1/13

DIN

TAINELE JOCURILOR

DE

LOTERIEBAZELE TEORETICE I PRACTICE ALE JOCURILOR DE LOTERIE

(Loto 6/49, Noroc, Loto 5/40, Joker, Pronosport)

Editura InfoRapArtCUVNT NAINTE

Fr rezerve semnificative, astzi se accept c teoria probabilitilor a aprut odat cu practica jocurilor de noroc. Necesitile crescnde de evaluare a anselor, tot mai multe i mai dificile, au impus crearea unui instrument util i uor de mnuit, pus mai nti n slujba rezolvrii unor probleme complicate de raionament, apoi dezvoltat ca disciplin complex care a ptruns rapid n aproape toate domeniile teoretice i de activitate practic. Pornind de la un tip de activitate uman, calculul probabilitilor s-a dezvoltat extraordinar, devenind o teorie matematic bine fundamentat i, aa cum afirma la un moment dat matematicianul francez Laplace, n scurt timp i-a cptat statut de "cea mai important metod a cunoaterii omeneti". Domeniile de aplicabilitate ale acestei teorii sunt dintre cele mai variate, unele dintre ele conturndu-se ca teorii de sine-stttoare cum ar fi: teoria informaiei, teoria ateptrii, teoria fiabilitii, teoria programrii etc. ns primele aplicaii ale acestei matematicii a hazardului i anume rezolvarea complicatelor probleme de raionament i evaluare a anselor de ctig impuse de practica jocurilor de noroc nu i-au pierdut deloc din interes nici n prezent.

Prin joc de noroc nelegem, practic, acel joc n care ctigul (anumite sume de bani, obiecte de valoare .a., puse n joc) depinde aproape n exclusivitate de ntmplare. Jocul de noroc a aprut nc din cele mai vechi timpuri, ca o necesitate de distracie a oamenilor, prin ceea ce astzi am defini confruntarea, ntrecerea, competiia etc. un astfel de joc se disput ntre doi sau mai muli competitori care au convenit n prealabil asupra anumitor reguli de desfurare i de mprire a mizei, valabile pe toat durata de confruntare.

Se cunosc numeroase astfel de jocuri. Unele dintre ele sunt preluate i dirijate deseori de ctre anumite instituii de stat sau particulare.

Elementul esenial care st la baza fiecrui joc de noroc este hazardul.

Despre hazard tim doar c este principalul acuzat atunci cnd n desfurarea unui eveniment intervin perturbri, ambiguiti i incertitudini. Cum despre hazard ne place des s credem c este ceva care se opune oricrei legi, s-ar putea nelege c acesta nu poate fi controlat de nimic i de nimeni, cu alte cuvinte nu poate fi cunoscut i stpnit. ns, n acelai timp ne-am putea ntreba, la fel de firesc, de unde au aprut i continu s apar attea legi exacte i clare ale fizicii, chimiei, biologiei etc.?

Desigur, nu ne propunem s aici s cutm rspunsuri la astfel de ntrebri, de altfel foarte pretenioase i dificile. ns trebuie s acceptm ideea dup care i hazardul i are propriile sale legi i, aa cum aminteam mai nainte, exist instrumente de apreciere i cunoatere ale lui, bine puse la punct i uor accesibile.

n general, aprecierea unor anse este lsat pe seama bunului sim. Aceast practic se poate dovedi a fi deseori greit. Chiar i unii matematicieni celebri s-au lsat nelai de bunul sim. Este suficient s dm doar dou exemple n acest sens: cel al matematicianului francez D' Alembert care i-a nchipuit c, dup ce o moned a czut de mai multe ori cu stema, este mai probabil ca la urmtoarea aruncare s apar cu valoarea; sau, cel al lui Leibniz, care a apreciat c ansele de a obine valorile 11 sau 12 la aruncarea unei perechi de zaruri sunt perfect egale.

Lucrarea de fa i propune s utilizeze noiunea de probabilitate ca msur a ansei ntr-un joc de noroc. n ea sunt prezentate i analizate cteva dintre cele mai cunoscute jocuri de noroc practicate i oficializate n ara noastr: Loto 6 din 49, Loto 5 din 40, Joker, Noroc i Pronosport.

Zeci i sute de mii de indivizi i ncearc norocul la aceste jocuri sptmn de sptmn. Fr ndoial, tentaia unui ctig substanial este mare. ns i incertitudinea nu poate fi mic atta timp ct evaluarea real a posibilitilor i anselor nu a fost niciodat analizat. Iar rolul bunului sim n apreciere am vzut c poate fi neltor, chiar i atunci cnd avem de-a face cu probleme mai uoare de raionament probabilistic.

Departe de a epuiza subiectul, prezenta lucrare, (se pare, prima de acest gen publicat n ara noastr), ncearc s pun n eviden, n mod sistematic i argumentat, cele mai importante aspecte teoretice i practice ale jocurilor de loterie i de pronosticuri sportive.

Alturi de analizele probabilistice, de evalurile i comparrile posibilitilor oferite de fiecare joc n parte, lucrarea cuprinde i o serie de module matematice elaborate n ideea utilizrii calculatorului electronic pentru rezolvarea complicatelor probleme de joc i probabilitate.

Acolo unde s-a considerat util au fost anexate tabele complete de calcul, elaborate pe calculator, i au fost puse la dispoziia cititorului programele surs aferente. n acest mod autorul consider c cititorul interesat, care dispune de un computer personal, i poate implementa singur toate programele utile pe care le poate ntlni aici. toate aceste instrumente sunt puse la ndemna juctorilor obinuii, n special celor care practic frecvent aceste jocuri, n scopul orientrii i alegerii sistemului de joc adecvat sau a unei scheme reduse de joc, care s-I satisfac preferinele. Cartea cuprinde i o serie de orientri practice n abordarea jocurilor respective i, peste tot acolo unde s-a putut, autorul a prezentat analize complete i concluzii finale.

Unele analize au la baz o serie de date statistice culese de autor de-a lungul timpului, pe o perioad de peste cincisprezece ani, reflectnd totodat i experienele concrete acumulate de unii juctori i de autorul nsui din practica acestor jocuri.

n acelai timp, pentru rezolvarea unor calcule complicate i pentru mrirea preciziei rezultatelor, ori de cte ori s-a considerat necesar s-a apelat la preiosul ajutor oferit de calculatorul electronic.

Cu toate c, la prima vedere, lucrarea poate prea plin de formule matematice, pentru abordarea ei nu sunt necesare dect cunotine matematice de nivel mediu, n special cele legate de combinatoric (permutri, aranjamente, combinri) i de calculul probabilitilor. Pentru cei nefamiliarizai cu aceste discipline, lucrarea prezint n primul ei capitol principalele noiuni teoretice necesare n abordarea ei.

Uneori ne este dat s ntlnim pasionai fericii ai acestor jocuri de noroc. Mai des, ns, avem ocazia s aflm despre muli amatori descumpnii i dezorientai, care pribegesc aceleai cteva numere la loto ce se mpotrivesc s apar de aproape o via, situai nu departe de patima lui D' Alembert amintit mai nainte.

Unii entuziati arunc n joc sume deloc neglijabile, pltind uneori variante de joc care nu pot deveni ctigtoare, orbii, desigur, de tentaia unui ctig substanial care s rsplteasc pe deplin eforturile financiare fcute fr noim pn atunci.

Autorul sper s poat veni n sprijinul tuturor acelora care doresc s cunoasc i s ptrund la modul serios cteva din tainele acestor jocuri. n acelai timp autorul consider c au fost deschise cteva drumuri ctre unele aspecte interesante aflate la confluena dintre joc i probabilitate, drumuri spre care unii cititori pot s-i ndrepte atenia lor creatoare.

Autorul

Capitolul I

NOTIUNI INTRODUCTIVE (1)1. Elemente de teoria mulimilor

Noiunea de mulime este primar, n sensul c nu poate fi definit cu ajutorul altor noiuni mai simple. n matematic, cuvntul mulime marcheaz orice colecie de obiecte sau simboluri. Colecia trebuie s fie bine definit, n sensul c se poate decide ntotdeauna asupra apartenenei sau neapartenenei unui obiect la colecia considerat. Practic, a preciza o mulime nseamn a enumera obiectele care o compun sau a indica proprietatea comun care caracterizeaz aceste obiecte. De exemplu: N = {0,1,2,3,4,} este binecunoscuta mulime a numerelor naturale. Aceeai mulime a numerelor naturale mai poate fi scris i astfel: N = { x | x este numr natural}.

O mul'ime poate conine un numr finit sau un numr infinit de elemente. Dac o mulime nu conine nici un element o vom numi mulime vid i o vom nota cu litera greceasc .

Pentru a evidenia faptul c un element aparine sau nu aparine unei mulimi date vom utiliza simbolurile matematice de apartenen (, sau de neapartenen (. De exemplu, x({1,x,2,y}, sau 3({a,1,2,b,8,c}.

Dac toate elementele unei mulimi A aparin i unei alte mulimi B, vom spune c A este o submulime a mulimii B i vom scrie acest lucru utiliznd simbolul matematic de incluziune, A ( B. Simbolul ( semnific o incluyiune strict, astfel nct, cu siguran mulimea B are cel puin un element care nu exist i n multimea A. Pe lng acest simbol vom mai putea folosi i urmatoarele simboluri, care au semnificaia:

( - pentru incluziunea care poate asigura i egalitatea de elemente a celor dou mulimi

( - pentru a preciza neincluziunea

( - pentru incluziunea strict a celei de-a doua mulimi n prima

( - pentru incluziunea i cu posibilitatea de egalitate a celei de-a doua mulimi n prima.

Prin convenie, mulimea vid ( se consider a fi submulime pentru orice mulime dat.

Ideea de mulime poate fi rentregit prin conceptul de mulimi egale, adic mulimile care au aceleai elemente. Acest concept poate fi suficient dac am defini egalitatea a dou mulimi prin urmtoarea declaraie:

A = B dac i numai dac A(B i B(A.

Avnd de-a face cu mulimi de aceeai natur, n sensul c elementele acestora fac parte dintr-o aceeai colecie mai ampl de obiecte numit mulime total sau mulime universal, pe care o notm cu T, putem indroduce urmtoarele operaii importante:

(1) - n acest capitol nu vom prezenta nici o demonstraie a vreunui rezultat sau a vreunei teoreme sau formule. Scopul este doar acela de a prezenta principalele instrumente matematice utilizate n capitolele care urmeaz. Cititorul interesat poate gsi demonstraiile i alte amnunte n cteva din crile prezentate n bibliografia de la sfritul lucrrii sau n manualelee colare de clasa a X-a i a XI-a.

1. Reuniunea a dou mulimi A i B, notat prin A U B, reprezint mulimea elementelor care aparin sau lui A sau lui B.

2. Intersecia a dou mulimi A i B, notat prin A ( B, reprezint mulimea elementelor care aparin i lui A i lui B. Dac A ( B = (, spunem c mulimile A i B sunt disjuncte.

3. Diferena a dou mulimi A i B, notat prin A - B, reprezint mulimea elementelor care aparin lui A i nu aparin lui B.

4. Complementara unei mulimi A fa de o mulime mai ampl, de exemplu mulimea total T, notat prin (A, sau prin CTA, reprezint mulimea elementelor care aparin lui T i nu aparin lui A, altfel spus: (A = T-A.

2. Elemente de combinatoric

Deseori suntem pui n situaia de a evalua numrul unor grupri care se pot forma cu obiectele unei mulimi date.

Fie M o mulime dat, finit, cu elementele sale notate astfel: x1, x2, x3,, xn. O grupare cu k elemente ale mulimii M este o succesiune de k elemente, 1(k(n, distincte sau nu. O grupare este caracterizat prin: obiectele din care este format i ordinea n care acestea sunt considerate. O grupare de trei elemente poate fi, de exemplu, urmtoarea:

(x5, x1, x12).

Dou grupri, de exemplu (x1, x2,, xp) i (y1, y2,, yq), sunt identice dac i numai dac p=q i xi = yipentru orice i = 1, 2, , p. na cazul n care cel puin una din aceste condiii nu este ndeplinit atunci gruprile se numesc distincte.

2.1. Permutri

Fie M o mulime cu n elemente distincte, M = { x1, x2,, xn}. Orice grupare cu n elemente distincte ale mulimii M se numete permutare asupra mulimii M. Ca exemplu considerm mulimea M cu elementele {1,2,3}. Permutrile acestei mulimi sunt urmtoarele: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1).

Gruprile cu trei elemente (2,1,2) sau (3,3,3) nu sunt permutri asupra mulimii M deoarece elementele lor nu sunt distincte.

Numrul permutrilor asupra unei mulimi cu n elemente distincte se noteaz cu Pn sau cu n! (se citete "n factorial") i este egal cu produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n.

Aadar,

Pn = n! = 1.2.3. .n (1.1)

Prin convenie se consider c 0!=1.

Una dintre cele mai utile proprieti legate de permutri este urmtoarea egalitate evident:

Pn+1 = (n+1).Pn (1.2)

2.2. Aranjamente

Fie M o mulime de n elemente distincte, n(2. Gruprile cu k elemente distincte ale mulimii M, 1(k(n, se numesc aranjamente de n obiecte luate cte k. Numrul total al acestora se noteaz cu Akn i este dat de furmula:

Akn = n.(n-1).(n-2) ..(n-k+1) (1.3)

n formula (1.3) avem exact k factori. De exemplu, A410 = 10.9.8.7 = 5040. Dac considerm mulimea M={1,2,3,4,5} numrul A25=5.4=20 reprezint numrul de aranjamente de 5 obiecte luate cte 2, iar acestea sunt: 1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,3), (5,3), (5,4).

Cea mai util formul legat de aranjamente este urmtoarea:

Akn = n!/(n-k)! (1.4)

Se observ uor c Ann= n!, datorit conveniei menionate anterior. De asemenea avem c A0n = 1, n virtutea formulei (1.4).

2.3. Combinri

Atunci cnd ne intereseaz grupri ale unui numr dat de obiecte, n care ordinea acestor obiecte nu intereseaz, spunem c avem de-a face cu combinri ale acestor obiecte. Fie M o mulime cu n elemente distincte. Combinrile de n obiecte luate cte k se noteaz cu Ckn. Numrul total al acestora este dat de formula:

Ckn = Akn / Pk = n! / [k!(n-k)!] (1.5)

Lund acelai exemplu de mai sus cu mulimea M = {1,2,3,4,5}, avem c Ckn = 10, iar acestea sunt: 1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5).

Cea mai important proprietate a combinrilor este cea legat de complementareitate i este exprimat de formula:

Ckn = Cn-kn (1.6)

Se observ uor c C0n = Cnn = 1.2.4. Binomul lui Newton

Se consider dezvoltarea binomial cunoscut sub numele de formula binomului lui Newton:

(a(b)n = C0nanb0 ( C1nan-1b1 + C2nan-2b2 ( +

+(-1)kCknan-kbk + + (-1)nCnna0bn. (1.7)

Coeficienii C0n, C1n, C2n, , Cnn din aceast dezvoltare se numesc coeficieni binomiali. Termenul general al dezvoltrii este dat de formula:

Tk+1 = (-1)kCknan-kbk, k=0,1,2,,n (1.8)

3. Elemente de calculul probabilitilor

3.1. Eveniment. Frecven. Probabilitate

Prin experien aleatoare se nelege o experien al crei rezultat, numit prob, variaz la ntmplare.

Un eveniment desemneaz apariia sau producerea i, tot aa de bine, neapariia sau neproducerea unui anumit fenomen sau unei anumite situaii. El este legat de o anumit experien.

Un eveniment este numit sigur sau cert dac suntem informai suficient de bine c s-a produs sau se va produce n viitor cu siguran; n caz contrar avem de-a face cu evenimentul incert. Altfel spus, faptul c un eveniment este cert sau incert este o apreciere a celui care decide pe baza informaiilor disponibile la un moment dat i nu neaprat o caracteristic intrinsec sau obiectiv a acestui eveniment. n fapt, producerea unui eveniment este strns legat de realizarea unui anumit numr de condiii. Astfel, evenimentul sigur poate fi considerat ca fiind acela care se produce de fiecare dat cnd sunt realizate condiiile.

Evenimentul imposibil este acel eveniment care nu se poate produce niciodat atunci cnd condiiile sunt realizate. Evenimentul aleator sau incert este acela care n prezena condiiilor se poate produce sau nu.

Presupunem c avem de-a face cu extragerea unei bile dintr-o urn care conine 7 bile albe i 3 bile negre. Se mai presupune c toate cele 10 bile sunt perfect identice ca form, dimensiune i greutate, singura caracteristic distinctiv fiind culoarea. Aceast din urm condiie trebuie s ne asigure c orice extragere se va face de fiecare dat n condiii identice, eliminnd din experien orice element care poate favoriza orict de puin extragerea unei bile naintea celorlalte. Teoretic, putem considera c avem de-a face cu condiii ideale de efectuare a experienei propuse. De asemenea, vom considera c extragerea din urn se va efectua astfel nct nici un operator uman sau de alt natur s nu poat "vedea" sau interveni n vreun fel n selectarea vreunei bile anume.

Punnd de fiecare dat bila extras napoi n urn, vom extrage i vom nota de fiecare dat culoarea bilei care apare.

Considerm urmtoarele evenimente:

E1 = "se extrage o bil alb",

E2 = "se extrage o bil neagr".

Vom face urmtoarele observaii. Fie n numrul experienelor efectuate pn la un moment dat, iar k numrul de realizri ale evenimentului E1, adic numrul de apariii ale unei bile albe. Se va putea observa c raportul k/n tinde s se stabilizeze n jurul unei anumite valori, aceasta fiind egal cu 7/10. Cu ct numrul de experiene efectuate este mai mare, cu att mai bine se poate constata c raportul vizat anterior se va apropia din ce n ce mai mult de valoarea 7/10, aceast tendin astfel din ce n ce mai evident.

Raportul k/n se numete frecven. Prin stabilitatea frecvenei nelegem proprietatea evideniat mai sus de a se apropia de o anumit valoare cnd numrul experienelor crete. Aceast valoare este numit probabilitatea evenimentului E1 i se noteaz cu p(E1).

n mod analog, putem aprecia i probabilitatea evenimentului E2, p(E2)=3/10.n toate cele considerate n continuare ne vom referi numai la experiene cu un numr finit de cazuri posibile. Un asemenea model este cel prezentat mai sus referitor la extragerea bilelor din urn. Dac toate bilele sunt de aceeai form, dimensiune i greutate, atunci nu avem nici un motiv serios s credem c, dac facem un numrsuficient de mare de extrageri (punnd de fiecare dat bila extras napoi n urn), vreuna dintre bile va aprea cu o frecven mai mare sau mai mic dect celelalte.

Raionamentul pentru determinarea probabilitilor n cazul finit poate fi ameliorat substanial prin utilizarea unor noiuni noi precum: numr de cazuri egal posibile i numr de cazuri egal favorabile.

n exemplul de mai sus, pentru extragerea unei bile aflate n urn sunt posibile n mod egal exact 10 cazuri, acesta fiind de fapt numrul total de bile aflate n urn naintea efecturii experienei. Cum printre acestea sunt doar 7 bile care ne intereseaz pe noi - cele 7 bile albe legate de evenimentul E1 - spunem c avem de-a face cu 7 cazuri favorabile. n acest mod intuitiv, probabilitatea de realizare a unui eveniment ar putea fi considerat ca fiind egal cu raportul dintre numrul cazurilor favorabile evenimentului respectiv i numrul cazurilor egal posibile.

Urna cu bile ofer une model simplu pentru experimente probabilistice cu un numr finit de cazuri egal posibile. n locul bilelor albe i negre putem presupune c avem de-a face cu 10 bile numerotate de la 1 la 10. Frecvena de apariie a unei bile, oricare ar fi aceasta, oscileaz n jurul valorii 1/10, atunci cnd numrul probelor crete i nr ateptm ca apropierea s fie cu att mai mare cu ct numrul probelor este mai mare. 1/10 este limita ctre care tinde n general irul frecvenelor unui eveniment de genul apariia bilei cu numrul k, unde 1 k 10, dac numrul probelor ar crete indefinit.

Definiia probabilitii unui eveniment legat de o experien cu un numr finit de cazuri egal posibile este aplicabil doar la aceast categorie de evenimente.

Cele mai simple probleme de calcul probabilistic cer probabilitatea unui eveniment legat de o astfel de experien i se reduc la calcularea celor dou numere i a reportului lor: numrul n al cazirilor (egal) posibile ale experienei, care este caracterizat numai de experiena propriu-zis, fr a fi definit vreun eveniment, i numrul k al cazurilor favorabile producerii evenimentului considerat. n acest caz spunem c probabilitatea acestui eveniment este k/n. ntr-un limbaj mai intuitiv am putea spune c producerii evenimentului respectiv i sunt favorabile k anse din n.

Ct ncredere putem acorda considerentelor de mai sus? Am putea spune fr reticen c total. Pentru aceasta este suficient s ncercm efectuarea unor experiene divers, cum ar fi:

aruncarea zarurilor,

aruncarea unei monede,

extragerea bilei dintr-o urn etc.

ncrederea se bazeaz pe faptul c se satisface intuiia care nu este altceva dect o manifestare a experienei acumulate de om de-a lungul evoluiei sale. i dac totui, n efectuarea unei constatm c se manifest o abatere flagrant de la regulile stipulate mai sus mai degrab ar trebui s ne ndoim de corectitudinea experienei efectuate dect de legea probabilitilor.

Toate cele consemnate mai sus se constituie ntr-o definiie clasic a probabilitii care are la baz noiunea de egal-probabilitate sau, dup o formulare de dat mai recent, echiprobabilitatea evenimentelor. Ea este acceptat n mod intuitive pe considerente de simetrie.

Dac ntr-o urn nu se gsesc dect dou bile, una alb i una neagr, bilee pe care nu le putem deosebi dect dup culoare (nu i dup greutate, form, dimensiuni etc.), i dac din aceast urn se extrage o bil, spunem c urmtoarele evenimente:

E1 = apariia bilei albe i

E2 = apariia bilei negre

sunt echiprobabile. Prin aceasta nelegem nu c ar fi nelogic ca n serii mai lungi de extrageri (frecvene) unul din aceste evenimente s se produc systematic mai des dect cellalt, ci doar c ar fi nefiresc s se ntmple asta.Cu alte cuvinte, o astfel de situaie nu ar intra n conflict cu principiile generale ale logicii, ci doar cu bunul nostru sim.

n ceea ce privete scopul urmrit n aceast lucrare, recomandm cititorului s se mulumeasc cu aceast accepiune intuitiv a noiunilor de eveniment i probabilitate.

Evenimentul sigur i evenimentul imposibil sunt evenimente contrare. Dac dou evenimente sunt contrare, atunci la orice efecture a experienei se realizeaz cu certitudine unul i numai unul dintre ele. Mai general, spunem c evenimentele A1, A2, A3, ..., An formeaz un sistem complet de evenimente dac la orice experiment se realizeaz cu certitudine unul i numai unul din aceste evenimente. Se observ c cele n evenimente formeaz un sistem complet dac i numai dac:

Dou sau mai multe evenimente legate de aceeai experien se numesc incompatibile dac nu pot fi realizate mpreun. n caz contrar sunt compatibile.a) evenimentul A1sau A2 sau A3 ... sau An este eveniment sigur (se realizeaz cel puin unul din cele n evenimente),

b) A1, A2, A3, ..., An sunt incompatibile dou cte dou (se realizeaz cel mult unul din evenimente).n limbajul pe care l-am adoptat n teoria mulimilor cele dou proprieti mai pot fi scrise i astfel:

a) A1U A2U A3U...U An = A, unde A este mulimea tuturor evenimentelor care descriu experiena,

b) Ai, Aj = , pentru orice i i j de la 1 la n, i j.

Considerarea operaiilor cu evenimente i a relaiilor dintre evenimente, preluate din teoria mulimilor este necesar pentru exprimarea celor mai simple proprieti ale probabilitilor dar i cele mai importante.

Proprietile care urmeaz sunt dup cum se va putea observa proprieti evidente ale frecvenei evenimentelor, proprieti pstrate printr-o trecere la limita obinuit. Astfel, dac dou evenimente A i B legate de aceeai experien sunt incompatibile i dac efectum de n ori experiena evenimentul A s-a realizat de nA ori, iar evenimentul B de nB ori, atunci evenimentul A sau B s-a realizat de nA + nB ori (deoarece A i B nu s-au realizat niciodat simultan). Rezult c ntre frecvenele celor trei evenimente exist relaia:

fn(A sau B) = fn(A) + fn(B).

Este normal s transformm aceast proprietate a frecvenelor ntr-o proprietate a probabilitilor. n mod simplu orice proprietate a probabilitilor dintre cele prezentate mai jos poate fi verificat pentru frecvene. n general, vom nota probabilitatea evenimentului A prin p(A). Iat deci, cele mai importante proprieti:

1) 0 p(A) 1, pentru orice eveniment A.

2) p() = 0 i p(S) = 1, unde prin i S s-au notat evenimentul imposibil i, respectiv, evenimentul sigur.

3) p(AUB) = p(A) + p(B), dac A i B sunt evenimente incompatibile.

4) p(AUB) = p(A) + p(B) - p(AB).5) p() = 1 - p(A), unde prin s-a notat evenimentul contrar (opus) al evenimentului A.6) p(B) = p(B) - p(A), dac AB; prin aceast notaie care se citete evenimentul A implic evenimentul B, nelegndu-se c realizarea evenimentului A atrage dup sine realizarea evenimentului B, cu alte cuvinte, de fiecare dat cnd s-a realizat A, s-a realizat cu certitudine i B.7) p(B) = p(B) - p(AB).Cunoaterea acestor proprieti este necesar pentru a obine prin calcul direct probabilitile unor evenimente, cunoscnd probabilitatea de realizare a altor evenimente, ct i pentru stabilirea proprietilor de baz ale unor noiuni, ct i pentru stabilirea proprietilor de baz ale unor noiuni foarte importante din teoria probabilitilor.

Unele dintre proprietile de mai sus admit i anumite generalizri, cum ar fi, de exemplu, proprietile 3 si 4. Lsm pe seama cititorului lmurirea acestor observaii utile.

3.2. Probabilitate condiionat. Dependena i independena

Prin notaia p(B/A) vom nelege probabilitatea ca evenimentul B s se realizeze n ipoteza c evenimentul A s-a realizat, p(A) 0, sau probabilitatea lui B condiionat de realizarea lui A.

Formula de calcul a unei astfel de probabiliti este:p(B/A) = p(AB) / p(A).

Dou evenimente A i B sunt independente dac p(AB) = p(A) . p(B). Intuitiv acest fapt se poate exprima prin aceea c probabilitatea realizrii (sau nerealizrii) oricruia din cele dou evenimente nu se modific n funcie de realizarea, nerealizarea sau ignorarea celuilalt. Dou evenimente care nu sunt independente se spune c sunt dependente.

n mai toate manualele de teoria probabilitilor sunt folosite notaiile i limbajul teoriei mulimilor. Prezentm n continuare o paralel a terminologiei utilizate n cele dou teorii:

Limbajul mulimilorLimbajul evenimentelor

Mulimea total SEvenimentul sigur S

Submulime a lui SEveniment

Mulimea vid Eveniment imposibil

Reuniunea AUBA sau B

Intersecia ABA i B

CSA, non A,

AAB

AB = A, B incompatibile

Uzul a introdus o anumit suprapunere a limbajului mulimilor peste cel al evenimentelor astfel nct vom vorbi de reuniunea evenimentelor, evenimentul complementar etc., dup cum este mai uor n nelegerea explicaiilor.3.3. Formule i scheme probabilistice

Vom prezenta cteva formule uzuale din calculul probabilitilor precum i unele scheme probabilistice dintre cele mai utile. Rolul schemelor este de a da o rezolvare unor probleme de un anumit tip pentru a nu fi nevoii s apelm de fiecare dat la un raionament sau la un calcul complex cnd ntlnim o problem de tipul respectiv. De exemplu, una din scheme d probabilitatea ca un eveniment de probabilitate cunoscut s se realizeze de un numr de ori, cnd repetm experiena de care e legat de un numr dat de ori. Odat cunoscut aceast schem, dac vom ntlni o problem n care este dat o anumit experien care se repet n condiii identice, putem apela la rezultatul cunoscut.

Pentru nelegerea corect a aplicrii acestor reguli i scheme vom prezenta odat cu ele i exemple concrete de utilizare.

3.3.1. Regula de nmulire a probabilitilor

p(A1A2...An) = p(A1).p(A2/A1).p(A3/A1A2) p(An/A1A2An). Exemplu: O urn conine 6 bile albe i 43 bile negre. Se extrag trei bile, una cte una, fr ntoarcerea bilei extrase napoi n urn. Care este probabilitatea obinerii a trei bile albe?

Rezolvare: Introducem evenimentele:

A1: prima bil extras este albA2: a doua bil extras este alb

A3: a treia bil extras este alb

Cu aceste notaii avem

p(A1) = 6/49;

p(A2/A1) = 5/48;

p(A3/A1A2) = 4/47; Aadar

p(A1A2A3) = p(A1).p(A2/A1).p(A3/A1A2) =

= 5/4606. 3.3.2. Formula probabilitii totale

Dac A1, A2, , An formeaz un sistem complet de evenimente atunci pentru orice eveniment A avem:

p(A) = p(A1).p(A/A1)+p(A2).p(A/A2)++p(An).p(A/An)

Exemplu: Se consider dou urne identice. Una conine 3 bile albe i 4 bile negre iar cealalt 4 bile albe i 5 bile negre. Din una din aceste urne, aleas la ntmplare, se extrage o bil. Care este probabilitatea ca bila extras s fie alb?

Rezolvare: Considerm evenimentele:

A1: extragerea se face din prima urn

A2: extragerea se face din a doua urnA: bila extras este albSe observ imediat c A1 i A2 formeaz un system complet de evenimente i

p(A1) = p(A2) = 1/2.

p(A/A1) = 3/7, p(A/A2) = 4/9.

Aplicnd formula probabilitii totale putem scrie:

p(A) = p(A1).p(A/A1)+p(A2).p(A/A2) /A1) =

= 1/2 . 3/7 + 1/2 . 4/9 = 55/126.

... RESTUL DETALIILOR SE AFLA IN MANUAL...3.3.3. Formula lui Bayes

...3.3.4. Schema bilei nentoarse

...

3.3.5. Schema lui Poisson

...

3.3.6. Schema binomial (Bernoulli)...

3.3.7. Ruina juctorului

...

3.4. Variabile aleatoare

...

3.4.1. Valoarea medie i abaterea medie ptratic

...

3.5. Legea numerelor mari

...

Capitolul II

JOCURI DE URN1. Scurt istoric al jocurilor de loterie...

2. Echivalene teoretice

...

3. Principii generale de joc

...

4. Cum se desfoar tragerile?...5. Distribuirea ctigurilor

...Capitolul III

JOCURI PRACTICE DE LOTERIE1. Jocul LOTO 6 din 49

...2. Jocul LOTO 5 din 40

...3. Jocul Joker

...4. Jocul Noroc

5. Definirea variantelor ctigtoare

...6. Sperana moral a jocurilor de loterie

...7. Raionamente utile

...

8. Elemente comparative i cteva concluzii

...Capitolul IV

SISTEME DE JOC1. Generalizarea problemei

...Capitolul V

STRATEGII DE JOC1. STRATEGII BAZATE PE FRECVENA NUMERELOR

...2. Strategia bazat pe frecvene multiple

...2.1. Strategia bazat pe grupe

...2.2. Strategia bazat pe numere frecvente

...Capitolul VI

PARIURI SPORTIVE1. Jocul Pronosport

...2. Jocul Prono-S

...3. Pariuri hipice

...Capitolul VII

ANEXE1. Tabele de calcul

...2. Modele de programe de pe calculator

...... RESTUL DETALIILOR SE AFLA IN MANUAL...

CUPRINS

Cuvnt nainte3

Capitolul I Notiuni introductive9

1. Elemente de teoria multimilor9

2. Elemente de combinatoric11

2.1. Permutri 12

2.2. Aranjamente13

2.3. Combinri14

2.4. Binomul lui Newton14

3. Elemente de calculul probabilitilor14

3.1. Eveniment. Frecven. Probabilitate14

3.2. Probabilitate conditionat22

3.3. Formule i scheme probabilistice23

3.3.1. Regula de nmulire a probabilitilor23

3.3.2. Formula probabilitii totale24

3.3.3. Formula lui Bayes25

3.3.4. Schema bilei nentoarse25

3.3.5. Schema lui Poisson25

3.3.6. Schema binomial (Bernoulli)27

3.3.7. Ruina juctorului28

3.4. Variabile aleatoare30

3.5. Legea numerelor mari33

Capitolul II Jocuri de urn35

1. Scurt istoric al jocurilor de loterie35

2. Echivalente teoretice39

3. Principii generale de joc45

4. Cum se desfoar tragerile57

5. Distribuirea ctigurilor59

Capitolul III Jocuri practice de loterie64

1. Jocul Loto 6 din 4964

2. Jocul Loto 5 din 4074

3. Joker80

4. Noroc89

5. Definirea variantelor ctigtoare96

6. Sperana moral a jocurilor de loterie101

7. Raionamente utile106

8. Elemente comparative i cteva concluzii109

Capitolul IV Sisteme de joc114

1. Generalizarea problemei114

2. Sistemul complet121

3. Sistemul Cap de pod124

4. Sistemul redus126

5. Observaii i concluzii despre sistemele de joc133

6. Scheme reduse de joc142

7. Dileme ale jocurilor de urn148

Capitolul V Strategii de joc156

1. Strategii bazate pe frecvena numerelor156

2. Strategia bazat pe frecvene multiple160

Strategia bazat pe grupe160

Capitolul VI Pariuri sportive163

1. Jocul Pronosport163

1.1. Consideraii teoretice166

1.2. Distribuirea ctigurilor171

1.3. Sisteme de joc la Pronosport173

1.4. Scheme reduse de joc184

2. Jocul PRONO-S200

3. Pariuri hipice200

Capitolul VII Anexe

1. Tabele de calcul202

2. Modele de programe de calculator219

Bibliografie238

PAGE 24