Matematica - Manual Clasa a XII-A - Neodion

7/27/2019 Matematica - Manual Clasa a XII-A - Neodion

1/209


2/209

1Elemente de calcul matriceal. MATRICE

MINISTERUL EDUCAIEI, CERCETRII I TINERETULUI

Bucureti, 2007

E. I. Eriksen E. B. EriksenN. I. Nedi

MATEMATICManual pentru ciclul superior

al liceului clasa a XII-a

Filiera teoretic: profil umanist;

Filiera vocaional profil militar M.A.I.;Filiera vocaional profil teologic


3/209

2 MATEMATIC M5- clasa a XII-a, ciclul superior al liceului: filiera teoretic: profilumanist; filiera vocaional profil militar M.A.I.; filiera vocaional profil teologic

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiERIKSEN, ELISABETA IULIANA

Matematic M5: clasa a XII-a /Elisabeta-IulianaEriksen, Eivind B. Eriksen,Neculai I. Nedi. - Bucureti :

Nedion, 2007ISBN 978-973-7748-42-3

I. Eriksen, Eivind

II. Nedi, Neculai I.51(075.35)

Tiparul executat la S.C. LUMINA TIPO s.r.l.

Str. Luigi Galvani, nr. 20 bis, sect. 2, Bucureti. Tel./Fax: 211.32.60. Tel.: 2122927

E-mail: [email protected]. Web: www.luminatipo.com

Toate drepturile asupra acestei lucrri sunt rezervate Editurii NEDION Bucureti

Manualul a fost aprobat prin Ordinul ministrului Educaiei, Cercetrii i

Tineretului ................, n urma evalurii calitative organizatede ctre Consiliul Naional pentru Evaluarea i Difuzarea Manualelor

i este realizat n conformitate cu programa analitic aprobatprin Ordin al ministrului Educaiei i Cercetrii nr. 3252 din 13.02.2006.

Manualul este destinat pieei libere.

ISBN 978-973-7748-42-3

Refereni:

1. Prof. Bulboac Madlena, Arad

2. Prof. Sndulescu Felicia, MEdCT - inspector de specialitate

3. Prof. Stoenescu Viorica, Bucureti

Comenzile pentru aceast lucrare se primesc:

prin e-mail: [email protected]

prin fax 021-2507839 prin telefon: 0722-296699, 0726-571713


4/209


Capitolul 1. Matrice ................................................................... 41.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulimi de matrice ..................... 4

1.1.1. Tabelul de tip matriceal ............................................................ 5

1.1.2. Matrice, mulimi de matrice ..................................................... 61.2. Operaii cu matrice: adunarea a dou matrice,

nmulirea unei matrice cu un scalar, produsula dou matrice, proprieti ............................................................... 81.2.1. Adunarea a dou matrice. Proprieti ...................................... 91.2.2. nmulirea unei matrice cu un scalar ..................................... 141.2.3. Produsul a dou matrice. Proprieti ..................................... 17

Capitolul 2. Determinani.......................................................... 312.1. Determinantul unei matrice de ordin cel mult 3, proprieti ..... 31

2.1.1. Determinantul unei matrice de ordin 2. Proprieti .............. 31

2.1.2. Determinantul unei matrice de ordin 3. Proprieti .............. 36Capitolul 3. Sisteme de ecuaii liniare ....................................... 483.1. Matrice inversabile din n , n = 2, 3. Ecuaii matriceale.... 48

3.1.1. Matrice inversabile din n , n = 2 ................................. 483.1.2. Matrice inversabile din n , n = 3 ................................. 513.1.3. Ecuaii matriceale .................................................................... 55

3.2. Sisteme de ecuaii liniare cu cel mult 3 necunoscute,forma matriceal a unui sistem liniar ........................................... 603.1.1. Sisteme de ecuaii liniare cu cel mult 3 necunoscute ........... 603.1.2. Forma matriceal a unui sistem liniar .................................... 62

3.3. Metode de rezolvare a sistemelor liniare:

metoda Cramer, metoda Gauss ..................................................... 633.3.1. Metoda Cramer ........................................................................ 643.3.2. Metoda Gauss .......................................................................... 72

3.4. Aplicaii: ecuaia unei drepte determinate de dou punctedistincte, aria unui triunghi i caracterizarea coliniaritiia trei puncte n plan .......................................................................... 813.4.1. Ecuaia unei drepte determinate de dou puncte distincte .. 813.4.2. Aria unui triunghi .................................................................... 863.4.3. Caracterizarea coliniaritii a trei puncte n plan .................. 88

ELEMENTE DE CALCULMATRICEAL I SISTEMEDE ECUAII LINIARE


5/209


1.1. Tabel de tip matricial. Matrice, mulimide matrice.

Exitnd foarte multe informaii trebuie s stabilim i s gsim metode pentru ale utiliza cu uurin pentru activitatea pe care o desfurm n vederea interpretriii prelucrrii acestora.

Iat cteva exemple: ntr-o clas elevii sunt cunoscui dup nume i prenume, dar uneori ne

intereseaz i care este locul pe care l ocup un elev n clas, adic pe ce rnd debnci, n a cta banc st; ntr-o livad, ne intereseaz poziia unui anumit pom, adic pe ce rnd din

livad se afl i ce poziie ocup n acest rnd; ntr-o coal se analizeaz rezultatele obinute la o tez cu subiect unic, de

patru clase paralele: a XII-a A, a XII-a B, a XII-a C, a XII-a D.Rezultatele pot fi trecute ntr-un tablou (tabel) astfel:

NotaClasa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Clasa a XII-a A 0 1 0 1 1 2 5 8 12 3

Clasa a XII-a B 0 0 1 1 3 1 4 7 9 4

Clasa a XII-a C 0 0 0 1 2 5 5 4 8 6

Clasa a XII-a D 0 0 1 1 4 3 4 5 7 6

Informaiile privind rezultateleobinute de o clas cu 30 de elevi sunt trecute peo linie, Clasa a XII-a A, Clasa a XII-a B, Clasa a XII-a C i Clasa a XII-a D.

Capitolul 1 MATRICEActivitatea practic a condus la studiul conceptului de matrice.Mat ema tic ien i ren umii au des cop eri t i a stu dia t acest con cep t. Ast fel

matemati cienii englezi Arthur Cayley (18211895 cu studii la renumit ulTrinity Colleg n Cambridger) i James Joseph Sylverster (18141897 n1978 creeaz celebr a The American Journal of Mathematies) colaboratoral lui Cayley, e fiind cel care n 1850 folosete termenul de matrice. Au avutcontribu ii importante n studiul matricel or i matemati cienii W. Hamilton(18051865) i A. Cauchy (17891857).


6/209


Notele de 5, 6, 7, 8, 9 i 10 sunt trecute n acest tabel pe coloane. Astfel, dac ne

intereseaz care este numrul elevilor din Clasa a XII-a B care au obinut nota 10tez, din tabelul ntocmit, pe linia a doua i coloana notei 10 vom gsi c sunt 4elevi care au obinut nota 10.

Tabelul poate fi ntocmit pentru toate colile, de acelai tip, dintr-o localitate, iastfel se vor obine informaii generale, care pot fi interpretate i prelucrate; se facastfel analize, comparaii, concluzii etc.

1.1.1. Tabel de tip matriceal

Exemple1. ntr-o secie a unei croitorii sunt utilizate patru resurse R

1, R

2, R

3, R

4(stof,

a, nasturi i pnz) pentru realizarea a cinci produse P1, P2, P3, P4, P5(costume, cmi, halate, cravate i epci). S notm cu aij costul consumuluidin resursa Ri , exprimat n uniti monetare, pentru a realiza produsul Pjntr-o lun de activitate, unde 1 4i i 1 5j . O situaie de ansambluasupra costurilor pentru consumul de resurse din acea lun de activitate poatefi obinut completnd un tablou cu patru linii corespunztoare resurselori cinci coloane corespunztoare produselor, iar la intersecia liniei Ri cucoloana Pj, se afl numrul aij.

Resurse P1 P2 P3 P4 P5R1 a11 a12 a13 a14 a15

R2 a21 a22 a23 a24 a25R3 a31 a32 a33 a34 a35R4 a41 a42 a43 a44 a45

Putem nota acest tablou, mai simplu astfel:

13 1511 12 14

23 2521 22 24

31 32 33 34 35

3 4541 42 44

a aa a a

aa a aA

a a a a

aa a a

Aceast analiz a consumurilor se poate realiza pentru orice lun.2. Presupunem c ntr-un liceu, n cadrul aciunilor sportive se organizeaz un

campionat de fotbal la care s-au nscris cinci echipe E1, E2, E3, E4, E5 icompetiia se organizeaz tur-retur imitnd campionatul naional de fotbal.Pentru un meci susinut se acord 3 puncte pentru victorie, 1 punct pentru unmeci egal i 0 puncte pentru un meci pierdut.

n urma desfurrii competiiei pentru tur i retur se ntocmesc urmtoareletabele astfel pe linie sunt trecute echipele i pe colone numrul de meciuri,pe prima coloan numrul de meciuri ctigate, pe a doua coloan numrulde meciuri egale, pe a treia coloan numrul de meciuri pierdute i pe coloanaa patra numrul total de puncte.

Produse


7/209


V E P V E PE1 1 2 1 5 E1 1 1 2 4E2 1 1 2 4 E2 1 2 1 5E3 2 1 1 7 E3 0 4 0 4E4 2 1 1 7 E4 1 1 2 4E5 1 1 2 4 E5 2 2 0 8

La sfritul turneului, tabelul pentru stabilirea clasamentului este:

V E PE1 2 3 3 9E2 2 3 3 9E3 2 5 1 11E4 3 2 3 11E5 3 3 2 12

Analiznd tabelul matricial (avnd n vedere numai criteriul, numrul totalde puncte realizat de fiecare echip) vom constata c pe primul loc s-a clasatE5 cu 12 puncte, pe locul doi echipele E3 i E4 cu cte 11 puncte i pe locultrei echipele E1 i E2 cu cte 9 puncte.Vom remarca faptul c, tabelele de tip matriceal stau la baza noiunii de matrice.

1.1.2. Matrice, mulimi de matrice

DefiniieFie m i n dou numere naturale nenule, ,m n , o mulime de numere

i , {( , ) 1,2,.., ; 1,2,..., }m nI i j i m j n .Se numete matrice de tip n cu coeficieni numerici o funcie

: m nA I i se va npta printr-un tablou A format cu n numere: aij,1 , 1i m j n (care sunt aezate la interseciile a m linii cu n coloane)

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

1 2 3

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ...... ...

... ... ... ... ... ... ...

... ...

n

j n

i i ij in

m m mj mn

a a a a

a a a a a

Aa a a a

a a a a a

Fiind dat o matrice A precizm mc: numerele , 1 , 1ij i m j n , se numesc coeficienii matricei A (se mai

numesc elementele sau intrrile matricei A).

Exem

ple

Tur Retur

Victorie

EgalPierdut

Victorie

EgalPierdut

Echipe EchipeTotal

puncteTotal

puncte

FINALTotal

puncte

VictorieEgal

Pierdut

Echipe


8/209


coeficientul j se afl la intersecia liniei i cu coloana j i reprezint poziia

(i, j) a matricei A, unde i este indicele de linie, iar j este indicele de coloan al coeficientului j .O matrice de tip n se numete matrice cu m linii i n coloane.Mulimea tuturor matricelor de tip m n avnd coeficienii numerici n una din

mulimile de numere:

va fi notat cu m n , m n , m n sau m n .Cazul particular n care numrul liniilor este egal cu numrulcoloanelor ntr-omatrice

A, adic m = n, atunci matricea A se numete matrice ptratic de tip n n sausimplu, de ordin n i mulimea matricelor de ordinul n, se va nota:

n , n , n , nPrecizm c au loc incluziunile:

m n m n m n m n i analog:

n n n n .

Exemple

1. Matricele:

1 0 3

2 1 4A

;

2 4 5

1 0 2

2 1 1

0 2 1

1 3 2

B

, 1 5 7 3C ;

2

2

1

1

5

D

sunt de tip, respectiv, 2 3 , 5 3 , 1 4 , 5 1 cu coeficieni ntregi.2. Matricele

1 1

1 2 01 23 2

2 1 1 ; ,11 1

3 1 2

iA B C

i

sunt matrice ptratice de ordinul 3, 2, respectiv 2 i aparin respect ivmulimilor de matrice: 3 , 2 , 2 .

Alte notaii

Fie matricea m nA ,

11 12 1

21 22 2

1 2

...

....

....

...

n

m m mn

a a

a a aA

a a a

Se mai folosesc i notaiile:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

m m mn

a a

a a aA

a a a

; sau

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...m m mn

a a

a aA

a a a

sau 11

mijn

A a

sau simplu jA a dac se deduce din context mulimilevalorilor lui i , respectiv ij.


9/209


10/209


Soluie

Din condiia , 1 2, 1 3ij ija b i j deducem:

1

3

1x

i obinem:

1 2 31 4 1A B .2. Fie matricele 3 2,A B :

3

3

0 3

1 2

1

A x

x

;

2 20 2

1

y xB

SoluieDin definiia egalitii a dou matrice (A, B fiind de acelai tip) din condiia:

j ija b , 1 3i , 1 2j deducem sistemul de ecuaii:2

3

3

0 ,

3 2,

1 0,

1,

1

y

x

x

x

cu soluia x = 1, y = 0. Vom observa c din condiia 3 1 0x , obinem:

21 1 0x x x cu unica soluie real, x = 1.

1.2.1. Adunarea a dou matrice. Proprieti

De reinut. Operaia de adunare se definete numai pentru matrice de acelai tip.

Definiie

Fie 11, ; mm n ij

j nA B A a

; 1

1mijn

B b

. Se numete suma

matricei A cu matricea B, notat A +B, matricea m nS , 11

i mijj n

S s

,

unde ij ij ijb s , oricare ar fi i i j, 1 , 1i m j n .

Exem

ple


11/209


Dac matricele A i B, sunt date sub form explicit:

11 12 1

1 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m mn

a a

a a aA

a a a

,

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

m mn

b b

b b bB

b b b

pentru A + B =S se scrie:

11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1

21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2

1 2 1 2

... ... ...

... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n n n

n n n

m m mn m m mn

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b

1 1 2 2

... ... ... ...

...m m m mn mn

a b a b a b

Exemple

1. Fie matricele 2 3,A B :

2 3 4 1 2 5;

5 1 2 1 3 4A B

.

S se calculeze A + B.Conform definiiei, avem:

2 3 4 1 2 5 2 1 ( 3) 2 4 5

5 1 2 1 3 4 5 1 1 3 ( 2) 4A B

2 33 1 9

6 4 2

.

2. Fie matricele 3 1,A B :2 4

3 ; 3

4 3

A B

.

S se calculeze A + B.Soluie:

3 1

2 4 2 4 2

3 3 3 ( 3) 0

4 3 4 3 1

A B

.

3. Fie matricele 1 4,A B : 3 2 1 5 , 2 5 2 2A B .

S se calculeze A + B.

Soluie: 3 2 1 5 2 5 2 2A B

1 43 2 2 ( 5) 1 2 5 ( 2) 1 3 3 3 .Precizm c suma a dou matrice este o matrice de acelai tip cu matricelecare se adun.


12/209


MatriceparticulareMatricea zero de tip m n este matricea m n cu toi coeficienii egali cu

zero, notat cu nO sau cu O, dac nu este un pericol de confuzie.

0 0 ... 0

0 0 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 0

m nO

.

Matricea opusde tip n pentru o matrice m nA se noteaz cu A i este:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

.. ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a

a a aA

a a a

Exemple

1. Fie matricea 3 4A ,2 3 1 1

3 2 1 0

0 3 4

A

S se scrie matricea opus a matricei A.

Soluie:2 ( 3) 1 ( 1) 2 3 1 1

3 ( 2) ( 1) 0 3 2 1 0

( 4) 0 ( 3) 4 4 0 3 4

A

.

2. Fie matricea 3 2A ;2

1 1

2

i

A i

i i

S se scrie matricea opus matricei A.

Soluie:

2 2

( 1) (1 ) 1 1

( ) (2 ) 2

i i

A i i

i i i i

.

3. Fie matricea 3 2A ; 1 32 2

4 3

A

.


13/209


a) S se scrie matricea A;

b) S se calculeze suma A + ( A).Soluie

a)

1) 3 1 3

2 ( 2) 2 2

4 ( 3) 4 3

A

;

b)

3 2

1 3 1 3 1 1 3 3 0 0

2 2 2 2 2 2 2 2 0 0

4 3 4 3 4 4 3 3 0 0

A A

.

Proprieti ale operaiei de adunare a matricelorFie , , , m n m nA B C O . Operaia de adunare a matricelor are urmtoarele

proprieti :10. adunarea este asociativ:

(A + B) + C = A + (B + C), oricare ar fi , , m nA B C .

20. admite ca element neutru matricea nO :

m n m nA O O A A , oricare ar fi m nA .30. Orice matrice are un opus.

nA A A A O , oricare ar fi m nA .

40. Adunarea este comutativA + B = B + A, oricare ar fi , m nA B .

S demonstrm proprietile 30 i 40.

Dac ja atunci ja , 1 i m , 1 j n i ( )j ij ij m nA A a a o O ; 1 i m , 1 j n .

Analog, m nA A O .

S demonstrm i proprietatea de comutativitate.Dac ija i jB b , 1 i m , 1 n , avem:

j ij ij ijA B a b a b i ij ij ij ijA b a b a , oricare ar fi i i j, 1 i m , 1 n .

Cum adunarea numerelor complexe este comutativ, avem:

j ij ij ijb b a , oricare ar fi i, j, 1 i m , 1 n .

Rezult: A + B = B + A

Exem

ple


14/209


Diferena a dou matrice

Fie , m nA B . Se numete diferena dintre matricea A i matricea B, notatAB ieste prin definiie matricea A + (B),

Exemple

1. Fie 2 3, , ,A B C ,

2 1 3 1 2 1 3 2 1; ;

1 2 2 2 1 1 2 2 3A B C

.

a) S se verifice c: (A + B) + C = A + (B + C).

b) S se verifice c: A + B = B + A.Soluie

2 1 3 1 2 1 3 3 4

1 2 2 2 1 1 1 3 1A B

;

3 3 4 3 2 1 0 1 5

1 3 1 2 2 3 1 1 2A B C

;

1 2 1 3 2 1 2 0 2

2 1 1 2 2 3 0 1 4B C

;

2 1 3 2 0 3 0 1 5

1 2 2 0 1 4 1 1 2A B C

.

Rezult (A + B) + C= A + (B + C).b) Am gsit:

3 3 4

1 3 1A B

.

Analog, deducem:

1 2 1 2 1 3 3 3 4

2 1 1 1 2 2 1 3 1B A

, deci A + B = B + A.

2. Fie 3 2,A B ;

2 4 1 2 3;1 2 4 2 0

A B .

S se calculeze: A B i B A.

Soluie

3 2 4 1 2 3 2 4 1

3 1 2 4 2 0 7 1 2A B A B

.

1 2 3 3 2 4 2 4 1

2 0 3 1 2 7 1 2B A B A

.

def.

B A B


15/209


1.2.2. nmulirea unei matrice cu un scalar

Definiie

Fiemulimea 11

, mm n ijj n

A A a

i unnumr,complex numit scalar.

Se numete produsul numrului (scalarului) cu matricea A i se noteaz

, matricea care se obine din A nmulind toi coeficienii acesteia cu .

11 12 1

def21 22 2

1 2

...

...

.. ... ... ...

...m mn

a a

a a aA

a a a

Exemple

1. Fie 5 i 4 3A : 1 2 1

2 1 1

1 0 3

1 0

A

.

S se calculeze .

Soluie5 ( 1) 5 2 5 1 5 10 55 ( 2) 5 1 5 ( 1) 10 5 5

55 1 5 0 5 3 5 0 15

5 ( 3) 5 1 5 0 15 5 0

A

.

2. Fie 3 i 2 3A .

2 1 5

0 1 2A

.

S se calculeze .

Soluie

( 3) ( 2) ( 3) 1 ( 3) 5 6 3 153( 3) 0 ( 3) ( 1) ( 3) 2 0 3 6

A .

Proprieti ale nmuliriimatricelor cu scalari

Operaiile de adunare i nmulire ale scalarilor din una din mulimile: ,

adunarea matricelor din m n i nmulirea matricelor cu scalari sunt legateprin urmtoarele proprieti:


16/209


50. A A (distributivitatea fa de adunarea scalarilor).

60. B A B (distributivitatea fa de adunarea matricelor);70. A (asociativitatea produsului cu scalari);80. 1 A A (element neutru la produsul cu scalari).S demonstrm aceste proprieti

11 12 1

def21 22 2

1 2

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

... ... ... ...

( ) ( ) ... ( )

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

...

...

... ... ... ...

...

n n

n n

m m m m mn mn

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mn

a a a a a a

a a a a a aA A

a a a a a a

.

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )... ... ... ...

( ) ( ) ... ( )

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a bA B

a b a b a b

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

1 1 2 2

...

...

... ... ... ...

...

n n

n n

m m m m mn mn

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn m m mn

a a a b b b

a a a b b bB

a a a b b b

.

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

... ( ) ( ) ... ( )

... ( ) ( ) ... ( )

... ... ... ... ... ... ... ...

... ( ) ( ) ... ( )

n n

n n

m m mn m m mn

a a a a a a

a a a a a aA

a a a a a a


17/209


11 12 121 22 2

1 2

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

... ... ... ...

( ) ( ) ... ( )

nn

m m mn

a a a

a a a

a a a

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

1 1 ... 1 ...

1 1 ... 1 ...1

... ... ... ... ... ... ... ...

1 1 ... 1 ...

n n

n n

m m mn m m mn

a a a a a a

a a a a a aA

a a a a a a

.

Matrice particulare

10. Vector coloan ndimensional

O matrice de tip 1 se numete vector coloan n-dimensional.Considernd mulimea 1n , vom nota: 1

nn , unde u, v, sunt

vectori coloan ndime nsionali.

Pentru nv , vom scrie:

1

2....

a

v

, , 1i i n

i vom remarca faptul c indicele de coloan este omis iar numerele 1 2, ,...,a a senumesc componentele vectorului coloan n-dimensional v.

Fiind dat o matrice n mA ;

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

m

m

n nm

a a a

a a aA

a a a

vom nota vectorii n-dimensionali, vectorii coloan ai matricei A, cu

1

2 ,1...

j

A jj

nj

a

ac j m

a

i matricea A poate fi scris sub forma:

1 2 3 ...A A AmA c c c c .20. Vector linie n-dimensional

Elementele din mulimea matricelor 1 n se va nota tot cu i se numescvectori linie n-dimensionali.


18/209


Vectorii u, v, din 1 n vor fi reprezentai astfel:

1 2 1 2, , ..., , , ,..., na a a v b b b .Dac m nA , vectorii linie n-dimensionali ai matricei A, corespunztori

liniilor matricei A se mai noteaz:

1 2 ... , 1Ai i i inl a a a i m

i matricea A se poate scrie sub forma:

1

2

...

m

l

lA

l

Vom preciza c proprietile operaiilor cu matrice sunt adevrate i pentruoperaiile cu vectori coloan n-dimensionali i cu vectori linie n-dimensionali.

Exerciii

Fie i 1,n

nu v ,

1 1

2 2,... ...

n n

b

bu v

b

atuncisuma lui u cu v, notat

u + v i produsul lui cu u, notat cu , au aceeai definiiecai n cazulmatricelor, astfel:

1 1 1 1

2 2 2 2

... ... ..........n n n

a b a b

b a bu v

b a b

i

1

2

...n

u

.

Dac i 1,n

nu v

1 2 1 2, ,..., , , ,..., nu a a a v b b b atunci suma lui u cu v, notat u + v i produsul lui cu u, notat , au aceeaidefiniie ca i n cazul matricelor, astfel:

1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., , , ..., , ,...,n n nv a a a b b b a b a b a b i 1 2, ,..., nu a a a .

1.2.3. Produsul a dou matrice. Proprieti

De reinut . n definiia operaiei de adunare a dou matrice o condiie foarteimportant este ca matricele s fie de acelai tip i c suma este o matrice deacelai tip.

Pentru a defini produsul a dou matrice, al matricei A cu matricea B, se impuneurmtoarea condiie:

numrul coloanelor matricei A s fie egal cu numrul liniilor matricei B.


19/209


Mai precis, dac matricea A este de tip m k i matricea B este de tip n

atunci matricea produs P = AB va fi de tip n .Urmtoarea schem, pune n eviden legtura ntre tipul matricelor factori itipul matricei produs.

B P AB

k k n m n

deci m nP , i are attea linii cte linii are matricea A i are attea coloanecte coloane are matricea B.

Fie ,m k k nA B i P= AB unde , 1 , 1ijP p i m j n

coeficientul ij al matricei produs P, este:def.

1 1 2 21

...k

j i j i j ik kj is sjs

p a b a b a b a b

adic n matricea produs P, coeficientul j este suma produselor dintre coeficienii

liniei i a matricei A cu coeficienii coloanei j a matricei B. (Pe scurt se spune c seface produsul liniei i a matricei A cu coloana j a matricei B).

O schem simpl pune n eviden precizrile de mai sus.

1

21 2

1

1

j

ji i ik ij

kj

j n j

b

bi m a a a i p

b

Exemple

1. Fie matricele:

2 31 2 2

;1 0 3

A A

;

3 2

1 0

; 1 1

1 3

B B

.

S se calculeze matricea AB.


20/209


Soluie

Matricea A are trei coloane, numr egal cu numrul de linii al matricei B decise poate efectua produsul matricei A cu matricea B, iar matricea produs P= ABeste de tipul 2 2 .Efectund calculele, obinem:

11 12

21 22

1 01 2 2

1 11 0 3

1 3

p pAB

p

unde elementele liniei nti a matricei produs sunt:

11 1 1 2 1 2 1 1 2 2 5p ;

121 0 2 1 2 3 0 2 6 4p .

Vom observa c sunt haurate: linia nti din matricea A i cele dou coloanea matricei B, care contribuie la determinarea elementelor din linia nti amatricei produs.n mod analog determinm elementele liniei a doua din matricea produs:

11 12

21 22

1 01 2 2

1 11 0 3

1 3

pAB

p p

unde:

21 1 1 0 1 3 1 1 0 3 4p ; 22 1 0 0 1 3 3 0 0 9 9p .

Rezult: 5 4

9AB

Observm c procesul de determinare a elementelor matricei produs AB poatefi pus n eviden n urmtoarea schem:

1

1 1

2 2

2 1

1 1 2 1 2 1

1 0 2 1 2 3

1 01 2 2 5 41 1

1 0 3 4 91 3

1 1 0 1 3 1

1 0 0 1 3

Al

A Bl c

A Bl c

A Bl c

AB

3

B


21/209


Pentru a calcula produsul a dou matrice putem folosi i urmtoarea schem:

B

k n

A P

m k m n

Pentru exemplul analizat avem:1 0

1 1

1 3

1 2 2 5 4

1 0 3 4 9

P

n acest caz un coeficient ijp al matricei produs se afl la intersecia liniei i a

matricei A cu coloana j a matricei B.2. Fie matricele:

2 41 3 2 2

;1 1 3 1

A A

i

4 3

0 3 2

3 2 1;

2 1 3

2 0 1

B B

.

S se calculeze produsul AB.

SoluieMatricea produs va fi de tipul 2 3 .Folosind schema

B

k n

A P

m k m n

deducem:

0 3 2

3 2 1

2 1 3

2 0 1

1 3 2 2 17 1 5

1 1 3 1 7 2 13A P

Exem

ple


22/209


sau:

0 3 2

1 3 2 2 3 2 1 17 1 5

1 1 3 1 2 1 3 7 2 13

2 0 1

B P

.

Matrice de tip nx n (matrice ptrat sau ptratic)Un caz important al mulimilor de matrice l constituie matricele de tipul n i

le vom numi matrice ptratice de ordin n. Vom nota aceast mulime de matrice:

n n n n acest caz, oricare ar fi dou matrice ptratice de ordin n, , nA B putem

calcula att produsul AB ct i produsul BA.

Exemplu

Fie matricele ptratice de ordinul al 3-lea, 3,A B :1 1 2 0 1 2

2 3 0 ; 1 1 1

1 2 1 0 1 2

A B

.

S se calculeze:a) AB; b) BA.

Soluie

a)

1 1 2 0 1 2 1 2 3

2 3 0 1 1 1 3 1 1

1 2 1 0 1 2 2 0 2

AB

.

b)0 1 2 1 1 2 4 7 2

1 1 1 2 3 0 4 6 3

0 1 2 1 2 1 0 1 2

BA

.

Vom remarca faptul c am renunat la calculele intermediare pentru calcululmatricei produs.

O observaie foarte important care se face dup calculul produselor AB i BA:

n general produsul a dou matrice nu este comutativ.

B BA .Am spus c n general produsul a dou matrice nu este comutativ, i s-a constatat

n exemplul precedent, dar exist i matrice al cror produs este comutativ.

Exemple

1. Fie matricele 2,A B . 1 2 1 0;

1 3 0 1A B

.

S se calculeze produsele AB i BA.

Exem

ple


23/209


Soluie

1 2 1 0 1 21 3 0 1 1 3

AB ;

1 0 1 2 1 2

0 1 1 3 1 3BA

, deciAB = BA.

2. Fie matricele 2,A B :

3 1 1 3

2 2 2 2,

1 3 3 1

2 2 2 2

A B

.

S se calculeze AB i BA.

Soluie

3 1 1 3

0 12 2 2 2

1 01 3 3 1

2 2 2 2

AB

;

1 3 3 1

12 2 2 2

1 03 1 1 3

2 2 2 2

BA

.

Proprieti ale produsului de matriceVom preciza c numai unele proprieti ale nmulirii numerelor sunt adevrate

pentru operaia de nmulire a matricelor .Astfel, precizm urmtoarele proprieti pentru orice matrice A, B, C definite

astfel nct s putem efectua operaiile indicate:90. (AB)C = A(BC) (asociativitatea);

100. A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA (distributivitatea );110. A B A B AB Vom verifica prin exemple proprietile precizate mai sus.

1. Fie matricele:

2 33 2 1

,0 1 2

A A

;

3 2

1 0

, 1 2

0 1

B B

;

Exem

ple

Exemple


24/209


2 21 2

,1 1

C C

.

S se verifice proprietatea de asociativitate a nmulirii pentru matricele A,Bi Cdate: (AB)C = A(BC).

SoluieVom observa c expresiile (AB)C i A(BC) au sens, i avem:

1 03 2 1 1 2 5 3 1 2 2 7

1 21 2 1 1 1 0 1 1 1 2

0 1

AB C

;

1 0 1 2

3 2 1 1 2 3 2 1 2 71 2 1 00 1 2 1 1 0 1 2 1 2

0 1 1 1

A BC

de unde rezult (AB)C = A(BC).2. Fie matricele:

3 2

3 0

0 1

2 1

A A

; 2 32 1 1

,1 0 2

B B

;

2 33 0

;0 2 1

C C

.

S se verifice distributivitatea pentru matricele A, B i Cdate: A(B + C) = AB + AC.SoluieVom observa c expresiile A(B + C) i AB + ACau sens.

3 02 1 1 4 3 0

0 11 0 2 0 2 1

2 1

0 6 6 32 2 1

0 1 1 2 3 ;1 2 3

2 1 5 6 1

A B C

3 0 3 02 1 1 4 3 0

0 1 0 11 0 2 0 2 1

2 1 2 1

6 3 3 12 9 0 6 6 3

1 0 2 0 2 1 1 2 3

3 2 0 8 8 1 5 6 1

AB AC

Exem

ple


25/209


de unde rezult A(B + C) = AB + AC.

3. Fie 2 i matricele:

2 31 2 0

;1 1 3

A A

; 3 2

1 1

; 2 0

1 2

B B

.

S se verifice proprietatea B A B AB .Soluie

Expresiile , ,A B A B AB pot fi calculate:

1 12 4 0 6 22 2 02 2 6 8 10

1 2

A B

;

2 21 2 0 6 2

2 4 01 1 3 8 10

2 4

A B

;

1 11 2 0 3 1

2 01 1 3 4 5

1 2

AB

i deducem: 6 2

28 10

AB

, deci

unde rezult: B A B AB .

4. Fie matricele 2,A B ;

1 0

0 0A

i

0 0

1 0B

.

S se calculeze AB i BA. Observaii.Soluie

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0AB

i

0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0BA

.

Observm c 2 2,A O B O , dar: 2B O i 2BA O .

Exem

ple


26/209


Diagonala principal i diagonala secundar a unei matrice ptratice

Fiind dat o matrice ptratic de ordinul n:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

...

... ... ... ... ...

...n n nn

a a a

a a a

a a a aA

a a a

;

11 12 1 1 1

21 22 2 1 2

31 32 3 1 3

1 2 1

...

...

...

... ... ... ... ...

...

n

n

n

n nn nn

a a a

a a a

a a a aA

a a a a

a) b)coeficienii matricei A care au indicele de linie egal cu indicele de coloan:

11 22 33, , , ...., na a a a sunt dispui, n aceast ordine, pe linia care unete colul dinstrnga-sus al matricei A cu colul din dreapta-jos i formeaz ceea ce numimdiagonala principal a matricei A (fig. a), iar coeficienii:

1 2 1 3 1 1, , , ...,n n n na a a a sunt situai pe cealalt diagonal numit diagonal secundar a matricei A (fig. b).

Un caz particular important de matrice ptratic de ordinul n, notat estematricea care are toi coeficienii diagonalei principale egali cu 1, iar toi ceilalicoeficieni egali cu zero:

1 0 0 . .. 0

0 1 0 . .. 0

0 0 1 . .. 0

... ... ... ... ...0 0 0 . .. 1

nI

i se numete matricea unitate de ordin n.O proprietate important a mulimii matricelor ptratice de ordinul n, n

pentru operaia de nmulire este urmtoarea:

120. n nI A AI A , oricare ar fi nA , unde Inreprezint element neutru pentru operaia de nmulire a matricelor.

Exerciiirezolvate

1. S se determine ,x y astfel nct matricele:2 3 2 1 3

;0 1 1

x

A B y z

s fie egale.

SoluieDin definiia egalitii a dou matrice, avem:

1

4

0

x

z

, deci2 1 3

4 0 1A B

.


27/209


2. Se consider matricele:

0 1 1 31 0 , 2 0

1 0 1

A B

.

S se calculeze A + B, A B, 2A + 3B.Soluie

0 1 1 3 1 4

1 0 2 0 3 0

3 1 0 1 3 2

A B

;

1 1 3 1 2

1 0 2 0 1 0

3 1 0 1 3 0

A B

;

0 2 3 9 3 11

2 3 2 0 6 0 8 0

6 2 0 3 6 5

A B

.

3. Fiind dat matricea: 2 31

,k

kA k

k k

, s se calculeze1

n

kk

A

.

Soluie

1 2 31

...

n

k nk

S A A A A A

2 3 2 3 2 3 2 3

1 1 1 2 1 3 1...

1 1 2 2 3 3

n

n n

1

2 2 2 2 3 3 3 32 3

1 1

1 1 1 . .. 1 1 2 3 . ..

1 2 3 ... 1 2 3 ...

n

k

n n

k k

n kn

n nk k

22

1

2

1 2 1 1

6 4

n n

n

n n n n n

.

4. Fie matricea

1 3

2 2

3 1

2 2

A

.


28/209


S se calculeze 2 3, A

.

Soluie

2

1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2

3 1 3 1 3 1

2 2 2 2 2 2

A A A

.

3 2

1 3 1 3

1 02 2 2 2

0 13 1 3 1

2 2 2 2

A A A

.

5. Fie matricea 2 ,a b

A Ac d

.

S se demonstreze c matricea A este soluie a ecuaiei:

2 3 2a d X ad bc I O

numit ecuaia Cauley-Hamilton.

Soluie

22 a b a b a bc ab bd A A A

c d c d c dc bc d

.

Efectund calculele, obinem:

2 2A a b A ad bc I

2 2

22 2

0 0 0

0 0 0

a bc ab bd a ad ab bd ad bcO

ad bcac dc bc d ac cd ad d

.

Unele aplicaii ale calculului matriceal

Importana studiului calculului matrice al este deosebit i se reflect prinaplicaiile din diferite domenii de activitate, economie, tiin, tehnic, transporturietc.

Vom prezenta cteva exemple pentru aplicaiile calculului matriceal.

1. Fiind dat o figur poligonal ntr-un plan P pentru care sunt cunoscutecoordonatele mrfurilor, planul fiind nzestrat cu un reper cartezian, aceast figurpoate fi stocat ntr-un calculator ca o mulime de mrfuri. Figura n plan se obineunind punctele consecutive prin segmente. Presupunnd c figura are n vrfuri,


29/209


1 1 1 2 1 2

, , , ,..., ,n n n

x y A x y A x y acestea pot fi stocate ntr-o matrice de tipul

2 n , n care abscisele sunt stocate pe prima linie i ordonatele sunt stocat pe adoua linie a matricei.

Fie vrfurile unui patrulater:

1 2 3 4, 6 , 3, 2 , 1, 1 , 2, 3A A A A .

Matricea asociat patrulaterului considerat o vom nota:

2 3 1 2

6 2 1 3F

Dac vom considera matricea 5 5 5 5

3 3 3 3T

calculnd suma

matricelorF i T obinem:2 3 1 2 5 5 5 5 7 8 4 3

'6 2 1 3 3 3 3 3 3 1 2 0

F F T

i rezult coordonatele punctelor ' ' ' '1 2 3 4, 3 , 8, 1 , 4, 2 , 3,0A A A A , ale

vrfurilor patrulaterului obinut printr-o translaie de-a lungul axei Ox cu 5 unitii o translaie de-a lungul axei Oy cu 3 uniti.

Exerciiu n clas

Se consider patrulaterul din planul P, nzestrat cu un reper cartezian, pentrucare matricea asociat este

2 4 6 4

1 4 6F

.

Aplicnd o translaie patrulaterului cu 4 de-a lungul axei Ox i o translaie cu2 de-a lungul axei Oy s se determine matricea coordonatelor noului patrulater.S se reprezinte geometric cele dou patrulatere.

2. ntr-o unitate de producie (de exemplu o fabric de confecii) se realizeaz

patru tipuri de produse, 1 2 3 4, , ,p p p avnd preul de distribuie pe pia, respectiv


30/209


1 2 3 4, , ,c c c . Cunoscnd care este numrul de produse destinat unei uniti de

valorificare n trei luni, s se calculeze matricea ncasrilor n fiecare lun pentruprodusele distribuit e n unitatea de distribuie.

Fie exemplu numeric:

1 2 3 41

12

23

34

380 55 75 40

290 65 85 50 ,

4100 75 95 60

p p p pc

lc

A l Bc

lc

3

80 55 75 40 8902

90 65 85 50 10404100 75 95 60 1190

6

AB

.

Exerciiu n clas

S se construiasc o problem asemntoare i s se propun rezolvarea ei unui coleg.

3. Exemple de codificare a informaiei.a) Realiznd o decalare a alfabetului cu un numr de poziii se obine un cifru

dintre cele mai simple. Astfel dac se vor decala literele alfabetului cu 4 poziiivom avea:

Alfabetul

cunoscut a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y zAlfabetul

cifratE F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D

Mesajul Am primit cartea se va transmite astfel:EQ TVMQMX GEVXIA

Exerciiu n clas

1) S se codifice mesajul: A sosit vara. Sosesc vineri.2) Realizai o codificare pentru colegul de banc.

Observaie

Aceast codificare este cunoscut sub denumirea Codul lui Iuliu Cezar (mpratroman).

b) n primul caz codul cifrat poate fi reprezentat printr-o matrice cu dou linii.n acest, al doilea procedeu de a cifra un mesaj, fiecrei litere din alfabet i se

asociaz un numr format din dou cifre (care reprezint numrul linei i numrulcoloanei n care se afl litera).

Astfel, considernd literele alfabetului aezat ntr-un ptrat cu 5 linii i 5 coloane.


31/209


1 2 3 4 5

1 a, , b c d e

2 f g h i, , j k

3 l m n o p

4 q r s, t, u

5 v w x y z

Vom observa c n aceast codificare fiecrei litere i corespunde dou cifresub form de matrice, cu 2 linii i o coloan,

1 1 1 3, , ,..., ,...

1 2 3 2a b c m

unde primul numr este numrul liniei n care se afl litera, iar al doilea este numrulcoloanei din ptrat pe care se afl latura.

Folosind aceast codificare, mesajul: Vine vacana poate fi trimis ca o matrice:

5 2 3 1 5 1 1 1 3 4 5

1 4 3 5 1 1 3 1 3 4 1A

.

Pentru a decodifica mesajul este necesar s fie cunoscut ptratul codificrii dectre destinatar.Codificarea poate fi mai dificil considernd, o matrice care adunat cu matricea

A s conduc la o matrice S cu termenii de o cifr.

Exemplu

Fie:1 2 3 4 3 2 4 2 3 1 3

2 3 1 2 4 5 4 4 1 1 2M

.

Obinem:

6 4 6 5 8 3 5 3 6 5 8

3 7 4 7 5 6 5 7 4 5 3S A M

.

Ajuns la destinatar, mesajul nu poate fi descifrat dac nu este cunoscut matricea M.Observaie. Acest procedeu de codificare este cunoscut sub denumirea Ptratul

lui Polybe (H 207-130 .C.).

Exerciiu n clas

S se codifice mesajulSunt sntos


32/209


4. Codul ISBN. Pentru identificarea crilor se folosete codul ISBN (International

Standard Book Namber) format din 10 cifre:1 2 3 10...x x x

pentru a identifica :ara: 1 2 3, x x ,editorul: 4 5 6 7x x x ,numrul asociat al crii: 8 9x , icifra de control: 10 , care poate fi o cifr x (utilizat pentru a reprezenta numrul 10).Cifra de control 10 {0,1, 2,..., 9, 10}x se alege astfel nct:

10

1

mod11kk

kx

(Precizm c: mod ; , ,a b n n a b a b n ).

Exemplu

S determinm cifra de control c pentru:ISBN (10) 973-7748-29- c

SoluieFcnd produsul matricelor:

1 10 10 1, A B , unde:

9 7 3 7 7 4 8 2 9 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9tA c B x

10x , deducem:

1

2

3

4

59 7 3 7 7 4 8 2 9

6

7

8

9

109 1 7 2 3 3 7 4 7 5 4 6 8 7 2 8 9 9 10

9 14 9 28 35 24 56 16 81 10 272 10

A B c

c

Di n 272 10 0 mod11 11 24 8 10 0 mod11 8 10 0 mod11 C ;

deducem 8 , deci: ISBN (10) 973-7748-29-8.De la codul ISBN (10) s-a trecut la codul ISBN (13) cu 13 cifre


33/209


Exerciii n clas:

Determinai cifra de control pentru:a) ISBN (10) 973-7748-27-

b) ISBN (10) 973-7748-30- c) ISBN (10) 973-7748-28- .

5. Codul de barePentru identificarea unor produse utilizeaz codul de bare i permite s fie citate

electronic, care prezint avantaje deosebite n comer, la recepia n depozite etc.Codurile de bare sunt aplicate de productor.

Sistemul de codificare este gestionat de:

Uniform Code Council (UCC) (n Canada i SUA), respectiv Article Numbering Association (EAN) n celelalte ri.

Structura de numerotare este: EAN/UCC - 13: 1 2 3 11 12...N N N N C ,

unde: 1 2 3N N N reprezint ara;

4 12...N N reprezint prefixul companiei plus referinele despre articol;

reprezint cifra de control (cifra care rezult dintr-un calcul n careintr toate celelalte cifre ale numrului i ne asigur c numrul estecorect, pentru a detecta eventualele erori n scrierea numrului).

Exemplu

Considerm codul: 978-973-7748-29- S determinm cifra de control .

Vom calcula produsul matricelor 1 12A , 12 1B , unde

9 7 8 9 7 3 7 7 4 8 2 9 A i

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1tB i obinem:

1

3

1

3

1

3

9 7 8 9 7 3 7 7 4 8 2 9 1

3

1

3

1

3

1

A B


34/209


9 8 7 7 4 2 3 7 9 3 7 8 9

37 3 43 37 129 166 .

Se pune condiia ca acest numr s fie egal cu cel mai mic multiplu de 10,mai mare sau egal cu 166 .

Avem: 170 166 4 deci avem codul: 978-973-7748-29-4.

Exerciii n clas

S se determine cifra de control pentru codurile:

a) 978-973-7748-27- b) 978-973-7748-30- c) 978-973-7748-28- .

REZUMAT

Matrice Adunarea a dou matrice se poate face numai dac cele dou matrice suntde acelai tip i suma este de acelai tip.

Dac , m nA B , atunci A B , unde nC . Pentru a nmuli o matrice cu un scalar nenul, se nmulete fiecare coeficiental matricei cu scalari;

Dac 11

, mm n ijj n

A A a

i , atunci

11

mijn

A a

.

Dou matrice A i B se pot nmuli numai dac matricea B are attea liniicte coloane are matricea A i matricea produs AB = C are acelai numr delinii ca matricea A i acelai numr de coloane ca matricea B.

Dac m kA i k nB atunci B C , unde m nC . Produsul a dou matrice nu este n general comutativ.

Exerciii propuse1. S se calculeze A + B, dac:

a)

5 3

4 ; 2

4 1

A B

; b)3 4 4 0

;5 2 3 1

A B

;

Exem

ple


35/209


c)1 2 1 0

;2 1 1 3 3 1

i i i iA B

i i i i i

;

d)

1 2 3 9 8 7

5 6 ; 6 5 4

8 9 3 2 1

A B

.

2. S se calculeze A B i B A, dac:

a)

2 0 1 0

1 1 ; 0 2

1 1 3 1

A B

; b)

1 3 1 0

0 1 ; 2 1

1 0 1 3

A B

.

3. Fiind date matricele:

2 1 1,

2 1k

k k kA k

k k

s se calculeze:

1

n

k

A

.

4. S se calculeze AB, dac:

a) 2

2 3 ;1

A B

; b) 3 1

2 3 ;0 2

A B

;

c) 2

3 2 1 ; 0

2 3

A B

, d) 3 ; 1 51

A B ;

e)

4 13 2

5 2 ;1 5

1 3

A B

; f)

1

2 ; 3 2 1

3

A B

.

5. Se consider matricea 3A ,

0 0 1

1 0 0

0 1 0

A

.

S se calculeze 2A , 3 i s se arate c se verific relaia:

2 2 2I A A I O , unde 31 0 0

0 1 0

0 0 1

I

i 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

O

.


36/209


6. Fiind dat matricea1 1 00 1 1

0 0 1

A

, s se calculeze 2 3, A i s se

demonstreze c

11

2

0 1

0 0 1

n

n nn

A n

.

7. Fiind dat matricea:

1 0 1

0 0 0

1 0 1

A

, s se calculeze

2 3, , ,

nA A A n

i1

n

k

A

.

8. Fie matricea1 2

3 4A

. S se calculeze 2 3A A .

9. Fie matricele

3 1

2 21 3

2 2

A

i 2 1 00 1

I . S se afle cel mai mic numr

natural n , astfel nct 2n I .

10. Fie mat ric ea2

1

0A

, unde 2 1 0 , 3 1 . S se calculeze:

,n

A n i 22 ...I A A A .

Test pentru verificarea cunotinelor

2p. 1. S se calculeze produsul , unde i 3 4A , dac:

1

2 i

2 1 1 2

6 2 4

1 2 1 2

A

.


37/209


2p. 2. S se calculeze suma matricelor:

1 3 5 7 4 1 2 4

2 1 4 6 ; 1 4 3 2

3 4 1 1 1 2 4 5

A B

.

2p. 3. S se calculeze 2A 3B, dac:

3 4 2 1 1 4;

1 2 3 2 4 1A B

.

3p. 4. S se calculeze produsul matricelor AB i BA, dac este posibil.

a)

2 23

1 3 ;

12 1

A B

; b)

1 2 3 2 1 1

5 2 1 ; 1 3 2

1 2 1 2 3

A B

.

Timp de lucru 30 minute. Se acord 1 punct din oficiu.

Test pentru verificarea cunotinelor1p. 1. S se calculeze produsele matricelor AB i BA:

1 2

1 4 5 5,

3 2 3 1

10 10

A B

.

2p. 2. Se consider matricele:

4 3 1 2;2 1 3 4

A B S se scrie matricele At, Bt, A, B i s se determine matricea A B i B A.

2p. 3. Se consider matricele:

1 2 1,

2 1 1A B

y

.

a) S se calculezeAB i BA.b) S se determine x, y pentru care AB = BA.

2p. 4. Se consider matricele:1 2 1 1

,1 0 1 1

A B

S se arate c: 2AB BA I , unde 21 0

0 1I

.

2p. 5. Se consider matricele:2 3 1 3

;1 4 1 3

A B

i M = A B.

S se calculeze M5, M10. Observaii.Timp de lucru 45 minute. Se acord 1 punct din oficiu.


38/209

37Elemente de calcul matriceal. DETERMINANI

2.1. Determinantul unei matrice de ordin celmult 3, proprieti.

2.1.1. Determinantul unei matrice de ordinul al 2-lea. Proprieti.

Se tie din clasele anterioare, c o ecuaie de gradul nti avnd coeficieni reali,cu dou necunoscute x i y:

0ax bx c reprezint ecuaia unei drepte d dintr-un plan raportat la un sistem de axe decoordonate xOy .

n continuare vom nota sistemul de axe de coordonate 1 2Ox i considerm

dou ecuaii liniare cu dou necunoscute:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

,a x a x b

a x a x b

(1)

unde , , , 1, 2ij i

a b i j ; j se numesc coeficienii necunoscutelor i termenii

liberi ai ecuaiilor sistemului.n cazul n care coeficienii sistemului de ecuaii sunt reali, ecuaiile sistemului

reprezint ecuaiile a dou drepte din plan n sistemul cartezian de axe de coordonate

1 2Ox .

Pentru cele dou drepte corespunztoare ecuaiilor sistemului sunt posibileurmtoarele trei cazuri, evideniate n figurile urmtoare:

Capitolul

2 DETERMINANIAplica iile determinanil or n diverse domenii de activi tate au prezentat un

interes deosebit al studiului lor.Se consider c matematicianul german G.W. Leibniz (16 161716) este

creatorul determinanilor, dei contribuia sa a venit 10 ani mai trziu (1693)dup aceea a mat ema ticianu lui japonez Seki Kowa (194217 08) care adescoperit determinanii.

Bazele teori ei determinan ilo r i contr ibui a la dezvoltarea studi ului lor aconstituit o preocupare deosebit a colii franceze de matematic i este ilustrat

de renumii matematicieni, G. Cramer (17041752), P. F. Sarrus (17981861)i A.T. Vanclermonde (1735 1796).


39/209


a) dreptele d1 i d2 sunt concurente, 1 2d d , (fig. 1);b) dreptele d1 i d2 sunt paralele, 1 2 1 2,d d d , (fig. 2);

c) dreptele d1 i d2 coincid, 1 2d , (fig. 3).Soluia, dac exist, a sistemului de ecuaii (1) reprezint coordonatele punctuluide intersecie al dreptelor 1 i 2 , dac dreptele sunt concurente sau coordonatelepunctelor situate pe cele dou drepte confundate.

Vom determina n ce condiii sistemul are soluii i care sunt valorile lui1

i

2 prin metoda reducerii.Presupunem 12 0a i 22 0a i nmulind prima ecuaie a sistemului cu 22a i

a doua ecuaie a sistemului cu 12 ,

11 1 12 2 1 22

1221 1 22 2 2

,

,

a x a x b

aa x a x b

deducem:

11 22 1 12 22 2 1 22

12 21 1 12 22 2 2 12

,a a x a a x b aa a x a a x b a

de unde adunnd aceste ecuaii, rezult:

11 22 12 21 1 1 22 2 12a a a x b a b a .

Presupunem c: 11 22 12 21 0a a a a i putem scrie:

1 22 2 121

11 22 12 21

b a b ax

a a a

, ( ).

Procednd, n mod analog, vom nmuli prima ecuaie a sistemului cu 21 i a

doua ecuaia cu 11 , deducem:11 1 12 2 1 21

1121 1 22 2 2

a x a x b a

a x a x b

deci

11 21 1 12 11 2 21 1

11 21 1 11 22 2 11 2

a x a a x a b

a a x a a x a b

i prin adunarea acestor ecuaii rezult:

11 22 12 21 2 11 2 21 1a a a x a b a b .

x1

x2

O

d1

d2

x 1

x2

O

d1

d2

x1

x2

O

d1=d2

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3


40/209


Avnd n vedere presupunerea fcut, 11 22 12 21 0a a a a , rezult:

11 2 21 12

11 22 12 21

b a bx

a a a a

( ).

Am obinut astfel soluia 1 2, x a sistemului de ecuaii considerat.

Observm c putem scrie mulimea coeficienilor necunoscutelor sistemului subforma unei matrice:

11 12

21 22

aA

a a

.

Numrul 11 22 12 21 0a a a a se numete determinant (de ordinul al 2-lea) al

matricei A i se noteaz:

detA sau11 12

21 22

a a

a

i se scrie:

11 1211 2 12 21

21 22

a aa a a a

a a ,

unde 11 22a i 12 21a se numesc termenii determinantului.

Considernd coeficienii necunoscutelor i termenii liberi, putem scrie matricea:

11 12 1

21 22 2

a bA

a b

numit matricea extins corespunztoare sistemului de ecuaii.

Pentru numrtorii din expresia necunoscutelor 1 i 2 , avem determinanii:

1

1 121 22 2 12

2 22x

b ab a b a

b a ;

2

11 111 2 21 1

21 2x

a ba b a b

a b

i soluia sistemului de ecuaiei se poate scrie sub forma:

1 12

2 221

11 12

21 22

ab a

xa

a

;

11 1

21 22

11 12

21 22

bb

xa a

a

,

sau mai simplu, notnd det , putem scrie soluia sistemului sub forma:

1 21 2

;x x

x x

.


41/209


n cazul general, fiind dat o matrice ptratic, de ordinul al doilea:

11 122

21 22

,a

A Aa

se definete determinantul matricei A, notat detA sau11 12

21 22

a a

a i este numrul

11 1211 22 12 21

21 22

deta a

A a a a aa a

.

Proprietiale determinantuluide ordinul al 2-lea

Fie matrice

2A

,

11 12

21 22

aA

a

.

Dac n matricea A se schimb ordinea liniilor sau a coloanelor, determinantul

noii matrice se obine din determinantul matricei A nmulindu-l cu 1.

Astfel:

21 22 11 12

11 12 21 22

a a a

a a a a ; i

12 11 11 12

22 21 21 22

a a a

a a a .

Fiind dat matricea 11 12

21 22

aA

a a

se numete matricea transpus a matricei A i

se noteaz tA sau At matricea care se obine din matricea A schimbnd liniile n coloane:

11 21

12 22t

a

A a

i determinantul matricei transpuse At este egal cu determinantu l matricei A.

det dett

A sau11 21 11 12

12 22 21 22

a a a

a a a a .

Dac ntr-o matrice A, elementele unei linii sau unei coloane sunt egale cusuma a dou numere, avem:

' '' ' ''11 11 12 11 12 11 12

' '' ' ''21 21 22 21 22 21 22

a a a a a a

a a a a a a a

.

Dac ntr-o matrice A elementele unei linii sau coloane sunt nmuli t cu unscala r, avem:11 12 11 12

12 22 12 22

a a a

a a a

.

Exemple

1. S se calculeze determinantul matricei A, dac:

a)3

2 1A

; b)

3 2

2 3A

.


42/209


Soluie

a)4 3

det 4 1 2 3 4 6 22 1

A ;

b)3 2

det 3 3 2 2 3 2 12 3

A .

2. S se calculeze det A, dac:

cos sin,

sin cosA

.

Soluie

2 2cos sin

det cos cos sin sin cos sin 1sin cos

A

3. Fie 2,A B ,

2 3 5 2;

1 4 4 3A B

. S se calculeze detA, detB idet(AB).

Soluie

2 3

det 2 4 1 3 8 3 111 4

A

.

5 2

det 5 3 4 2 15 8 74 3

B

.

2 3 5 2 2 5 2 5

det1 4 4 3 21 14 21 14

AB AB

2 14 5 21 28 105 77 .

Observm c det det detB A B , proprietate adevrat n cazul general.

Fie 2,A B ,

11 12 11 12

21 22 21 22

,a b b

A Ba a b b

.

S demonstrm c: det det detB A B .

Soluie

11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22

21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22

a a b b a b a b a b a bAB

a a b b a b a b a b a b

.

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

deta b a b a b a b

ABa b a b a b a b

11 11 12 21 21 12 22 22 11 12 12 22 21 11 22 21

11 21 11 12

a b a b a b a b a b a b a b a b

a a b b

12 21 12 21 11 22 11 22 12 22 21 22a a b b a a b b a a b b

11 21 11 12a a b b

12 21 11 22 11 22 12 21 12 22 22 21a a b b a a b b a a b b

Exem

ple


43/209


11 22 11 22 12 21 12 21 11 22 12 21

11 22 12 21 11 22 12 21

a a b b b b a a b b b b

a a a a b b b b

11 12 11 12

21 22 21 22

det deta a b b

Ba a b b

.

2.1.2. Determinantul unei matrice de ordinul al 3-lea. Proprieti.

Se consider sistemul de 3 ecuaii cu 3 necunoscute:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

x a x a x b

x a x a x b

x a x a x b

i matricele A, B, unde:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a

a a a

a a

este matricea coeficienilor i

1

2

3

B b

este matricea coloan a termenilor liberi

deci 3 3 1;A B i 1 2 3, ,x x x .

Vom considera ultimele dou ecuaii ale sistemului i le vom scrie sub forma:

22 2 23 3 2 21 1

32 2 33 3 3 31 1

x a x b a x

x a x b a x

i conform rezultatelor obinute la un sistem de 2 ecuaii cu 2 necunoscute putem scrie:

2 21 1 23 2 23 21 231

3 31 1 33 3 33 31 332

22 23 22 23

32 33 32 33

b a x a b a a ax

a x a b a a ax

a a a a

a a a a

,

22 2 21 1 22 2 21 221

32 3 31 1 32 3 31 323

22 23 22 23

32 33 32 33

b a x a b a ax

a b a x a b a ax

a a a a

a a a a

,

n ipoteza: 22 33 23 32 0a a a a .

Exem

ple


44/209


nlocuind aceste valori ale lui 2 i 3x n prima ecuaie a sistemului, vom obine:

22 23 21 23 21 2211 12 13 1

32 33 31 33 31 32

a a a a a aa a a x

a a a a a a

22 23 2 23 2 221 12 13

32 33 3 33 3 32

a a b a b ab a a

a a b a b a .

n mod analog, ca i n cazul sistemelor de 2 ecuaii liniare cu 2 necunoscute,

notm coeficientul lui 1 cu:

det A sau

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a aa a

;

acesta se numete determinantul matricei A de ordinul al treilea.

n cazul general, pentru o matrice 3A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a

A a a a

a a

definim:

22 23 21 23 21 2211 12 13

32 33 31 33 31 32

deta a a a a a

A a a aa a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 22 31 12 23 33 11 23 32a a a a a a a a a a a a a a a a a i se numete determinantul matricei A (determinant de ordinul al treilea).

Vom observa c acest determinant este format din ase termeni, trei precedai de semnulplus i trei precedai de semnul minus i fiecare termen este format dintr-un produs de 3factori, fiecare factor coninnd coeficieni din matricea A situai n linii i coloane diferite.

Reprezentnd termenii precedai de semnul plus, avem:

11

22

33

a

a

,

12

3

31

a

a

a

,

13

21

32

a

a

11 22 33a a a

12 23 31a a a 13 21 32a a arespectiv pentru termenii precedai cu semnul minus.

13

22

31

a

a

,

12

21

3

a

a

,

11

23

32

a

a

13 22 31a a a 12 21 33a a a 11 23 32a a

determinantul de ordinul al 3-lea se poate calcula cu regula triunghiului.


45/209


Marcnd termenii precedai de semnul plus respectiv semnul minus, n regula

triunghiului, avem:11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a

a a

a a a, adic

11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a

unde triunghiul cu vrfurile n cei trei coeficieni care sunt factorii unui termen dincalculul determinantului, are latura paralel cu diagonala principal, i:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a

a a

a a, adic

13 22 31 12 21 33 11 23 32a a a a a a a a a

unde triunghiul cu vrfurile n cei trei coeficieni care sunt factorii unui termen dincalculul determinantului are o latur paralel cu diagonala secundar.

Calculul determinantului de ordinul al 3-lea se poate face i cu regula lui Sariusscriind sub determinant primele dou linii ale acestuia:

11 12 13

21 22 23

13 22 31 31 32 33 11 22 33

11 12 13 13 21 3211 23 32

21 22 23 12 23 3112 21 33

a a a

a a a

a a a

a a a a a a a aa a a a a

a a a a aa a a

unde termenii precedai de semnul + se obin prin nmulirea elementelor marcateprin sgei paralele cu diagonala principal i termenii precedai de semnul seobin prin nmulirea elementelor marcate prin sgei paralele cu diagonala secundar.

Observm c precizrile precedente pot fi realizate repetnd, primele doucoloane n partea dreapt a determinantului.

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a

a a a a a

a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a

13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a .

Precizm c valoarea determinantului de ordinul al treilea se poate determina iprin procedeul care poart numele de dezvoltarea determinantului dup o liniesau o coloan .

Astfel, avem:


46/209


11 12 13

1 1 1 2 1 322 23 21 23 21 2221 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 3331 32 33

1 1 1

a a a

a a a a a aa a a a a aa a a a a a

a a a

unde 1i j

ija

sunt factorii din faa determinanilor de ordinul al doilea care se

obin tind linia i i coloana j corespunztoare indicilor elementului j .

Exemplu

Fie matrice 3A ,

1 2 1

3 0 1

1 4 2

A

. S se calculeze det A.

Soluie Avnd n vedere, rezultatele precedente, putem scrie:

11 22 33 12 23 31 13 21 31 13 22 31 12 21 33 11 23 32det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a

1 0 2 4 2 1 1 1 3 1 0 1 2 3 2 1 1 4 0 2 12 0 12 4 26 .

Aplicnd regula triunghiului, avem:

1 2 1

3 0 1

1 4 2

1 0 2 2 1 1 1 3 4 1 0 1 2 3 2 1 1 4

0 2 12 0 12 4 26.

Folosind regula lui Sarrus, avem:

1 2 1

3 0 1

1 4 2

1 2 1

3 0 1

1 0 2 3 4 1 1 2 1 1 0 1 1 4 1 2 2 3

0 12 2 0 4 12 2 6.

De asemenea:1 2 1 1 2

3 0 1 3 0

1 4 2 1 4

1 0 2 2 1 1 1 3 4 1 0 1 1 1 4 2 3 2

0 2 12 0 4 12 26.


47/209


S calculm det A, dezvoltnd determinantul dup elementelor coloanei a doua:

1 2 2 2 3 21 2 1

3 1 1 1 1 13 0 1 2 1 0 1 4 1

1 2 1 2 3 11 4 2

3 1 1 1 1 12 0 4

1 2 1 2 3 1

2 6 1 0 2 1 4 1 3

2 5 0 3 4 4 10 0 16 26.

Exerciiipropuse1. S se calculeze prin metodele cunoscute det A unde:

1 1 3

0 2 4

1 5 0

A

.

2. S se calculeze det A, unde:

1 1 1

2 3 4

4 9 1 6

A

.


2

2

1

1

1

A

, unde 21 0 .


y z

z x y

z x


2 2 2

1 1 1

a b c

b c

.


48/209


Proprietiale determinantuluide ordinul al 3-lea

Vom prezenta unele proprieti importante pentru determinantul de ordinul al 3-lea.

1). Fie 11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

,

a a a

A A a a a

a a a

i matricea transpus:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

t

a a

a a a

a a

Avem: det det tA

2). Dac elementele unei linii (sau coloane) sunt sume de cte doi termeni,atunci determinantul se descompune ntr-o sum de determinani.

Avem:

' '' ' ''11 11 12 13 11 12 13 11 12 13

' '' ' ''21 21 22 23 21 22 23 21 22 23

' '' ' ''31 31 32 33 31 32 33 31 32 33

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

3) Dac elementele unei linii (sau coloane) a unei matrice se nmulesc cu unfactor , atunci det A se nmulete cu .

Dac11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a

, atunci

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

.

Dac elementele unei matrice 3A se nmulesc cu , atunci det A

se nmulete cu 3 , deci pentru 3A i ,

3det detA A

4) Dac ntr-un determinant se schimb dou linii (sau coloane) ntre ele, atuncise schimb i semnul determinantului

11 12 13 13 12 11

21 22 23 23 22 21

31 32 33 33 32 31

a a a a a

a a a a a a

a a a a a a


49/209


Combinaie liniar. Fie 3A . Se spune c o linie, de exemplu l3, este o

combinaie liniar, de celelalte linii l1 i l2, dac exist 1 2, , nu ambele nule,

astfel nct 3 1 1 2 2l l l .

Proprietatea este adevrat i pentru coloane ntr-un determinant.5) Dac un determinant are dou linii (sau coloane) egale sau are dou linii (sau

coloane) proporionale sau una dintre linii (sau coloane) este o combinaie liniarde alte linii (sau coloane), atunci determinantul este zero.

11 12 13

21 22 23

11 12 133 1

0

l l

a a a

a a a

a a a

;11 12 13

31 32 33

31 32 23 2 3

0

l l

a a a

a a a

a a a

;

11 12 13

21 22 23

1 11 2 21 1 12 2 22 1 13 2 233 11 2 2

0

l l l

a a a

a a a

a a a a a a

.

6) Dac la elementele unei linii (coloane) ale unui determinant adugmcombinaii liniare formate cu elementele din celelalte linii (coloane), atunci valoareadeterminantului nu se schimb.

3 1 1 2 3

11 12 13 1 11 2 12 11 12 13

21 22 23 1 21 2 22 21 22 23

31 32 33 1 31 2 32 31 32 33A A A

c c c

a a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a

.Vom remarca faptul c aceste proprieti ne permit s facem ct mai multe

elemente 0 pe o linie sau pe o coloan, nlocuind determinantul iniial cu un altul,care se calculeaz mai uor.

7) Dac 3,A B atunci det det detB A B

Exemple

1. S se calculeze det A pentru

1 3 2

2 1 5

3 4 5

A

.


50/209


Soluie

Avem:2 1

3 1

1 3 2 2 1 3 2

det 2 1 5 3 2 2 1 1 2 3 5 2 2

3 4 5 3 3 1 4 3 3 5 3 2

l l

A l l

1 11 3 2

7 90 7 9 1 1 77 45 32

5 110 5 11

.

2. S se calculeze determinan ii:

2 32 2 2

1 1 11 1

,V V a b ca ba b c

.

SoluieAvem:

2

1 1V b a

a b .

2 1

3 2

3

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

0

0

l cll cl

V a b c a c b c

a b c a a c b bc

1 3 1 11 1a c b c

a c b ca c b b c a b

c b c b a = a c a c d Rezult

3

2 2 2

1 1 1

V a b c b a c a c b

a b c

.

V3 se numete determinant Vandermonde de ordinul al 3-lea.

Exemplu. S se calculeze determinantul matricei

1 1 1

2 3 4

9 16

A

.

Soluie

Vom observa:

2 2 2

1 1 1 1 1 1

det 2 3 4 2 3 4 3 2 4 2 4 3 1 2 1 2

4 9 1 6 2 3 4

A .

Exem

ple


51/209


3. Fiind dat matriceay z

A z x y

z x

, folosind metodele cunoscute pentru

calculul unui determinant s se stabileasc formula:

3 3 3 2 2 23y z xyz x y z x y z xy yz zx .SoluieFolosind, de exemplu, regula triunghiului, avem:

3 3 3det 3

x y z

z x y x y z xyz

y z x

.

Folosind proprietile prezentate pentru calculul unui determinant, avem:

1 2 3l l ly z x y z x y z x y z

z x y z x y

y z x y z x

,2 1

3 11 1 1 1 0 0c c

c c

y z z x y x y z z x z y z

z x y z y x y

1 11 1z y z

x y z

z y x y

x y z x z x y y z z y

2 2 2y z x y z xy yz zx .Rezult formula:

3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z x y z xy yz zx

Formula demonstrat se poate scrie i sub alt form exprimnd expresia:

2 2 2 2 2 2 2 3y z xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx

2 3y z xy y zx i obinem:

23 3 3 3 3x y z xyz x y z x y z xy yz zx

Pentru formula prezentat mai sus obinem o alt form, cu aplicaii importante.Vom scrie:

2 2 2y z xy yz zx

Exem

ple


52/209


2 2 21

2 2 2 2 2 22

x y z xy yz zx

2 2 2 2 2 21 2 2 22

x xy y y yz z z zx x

2 2 21

2y y z z x

i avem:

2 2 23 3 31

32

x y z xyz x y z x y y z z x

REZUMAT

Determinani

Dac 2n i 2A ,11 12

21 22

a aA

a a

, determinantul matricei A se

noteaz:

det sau 11 12

21 22

a aA

a a -

Valoarea determinantului matricei A, este numrul 11 22 12 21a a a

11 1211 22 12 21

21 22

a aa a a

a a .

Dac 3n i 11 12 13

3 21 22 23

31 32 33

,

a a a

A A a a a

a a a

, determinantul matricei A

se noteaz:

det A sau11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a

a a a

a a

.

Valoarea determinantului matricei A, este numrul

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a a a a a a a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a a

a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 33a a a a a a a a a

13 22 31 11 23 32 12 21 33.a a a a a a a a

Numrul pentru matricele ptratice nA se poate considera det A.

Exem

ple


53/209


Exerciii propuse

1. S se calculeze det A, dac:

a)

1 2 1

1 1 3

2 0 1

A

; b)

0 1 3

1 0 5

2 7 2

A

.

2. S se calculeze det A, dac: a)

1 3 9

1 5 2 5

1 7 4 9

A

; b)

3 5 1

1 1 1

9 25 1

A

.

3. Fie 1 2 3, ,x x soluiile ecuaiei:3 2

4 2 5 0x x x . S se calculeze:2

1 12

2 2

23 3

1

1

1

x

x

x x

.

4. Dac 1 2 3, ,x x sunt soluiile ecuaiei:3 2

6 11 6 0x x x . S se calculeze:

1 2 3

3 1 2

2 3 1

x x

x x

x x

.

5. S se calculeze: a)1 2 2

2 1 2

2 2 1

; b)1 1

1 1

1 1

.

Test pentru verificarea cunotinelor

2p. 1. S se calculeze determinantul matricei A, dac:

a)3 1

2A

; b)

3 1 2

1 0 5

2 3 4

A

.

2p. 2. S se calculeze: det (A B), det (AB) i det (2A B), dac:2 1 3 2

,3 4 1 1

A B

.

2p. 3. S se calculeze:

2 1 3

1 3 2

4 3 2

3p. 4. S se calculeze det A, det B i det (AB) dac:

a)2 1 1 2

,3 2 1 1

A B

; b)

1 0 1 1 2 0

2 1 2 , 3 2 1

1 1 2 1 1 2

A B

.

Timp de lucru: 30 minute. Se acord 1 punct din oficiu .


54/209

53Elemente de calcul matriceal. SISTEME DE ECUAII LINIARE

3.1. Matrice inversabile din n() , n = 2, 3.

Ecuaii matriciale.

3.1.1. Matrice inversabil dinn() n= 2.

Fie 2A ;11 12

21 22

a aA

a

. Numrul det A, asociat matricei A, este:

11 1211 22 12 21

21 22

deta a

a a a aa a

.

Matricele particulare importante, de ordinul al doilea sunt:

2

0 0

0 0O

, care are rol de element neutru n raport cu operaia de adunare a

matricelor din mulimea 2 :

A+ O2 = O2 + A = A, oricare ar fi 2A i matricea:

2

1 0

0 1I

, care are rol de element neutru n raport cu operaia de nmulire a

matricelor din mulimea 2 :

2 2I I A A , oricare ar fi 2A .

Fiind dat o matrice ptratic de ordinul al 2-lea, vom introduce noiunea de

invers a unei matrice i vom arta c are sens numai pentru matricele din 2

Capitolul

3SISTEME DE ECUAII LINIAREStudiul sistemelor de ecuaii liniare a constituit o preocupare important a

multor matematicieni. Astfel, matematicianul german G.W. Leibniz (16461716)a dezvoltat studiul determinanilor n timp ce se ocupa de studier ea rezolvriisistemelor de ecuaii liniare.

Contribuii deosebite n studiul sistemelor de ecuaii liniare au avutmatematicieni renumii de exemplu G. Cramer (1704-1752), matematician francezi F.K . Gau ss (1777 -1 855 ) mat ema ti cia n ger man , fi in d ob in ute rez ult ateimportante n cazul n care numrul ecuaiilor este egal cu numrul

necunos cutelor sau n cazul general .


55/209


dac au determinantul diferit de zero . Vom stabili principalele proprieti ale

inversei unei matrice i metoda de calcul a inversei.

Definiie

Fie matricea 2A . Matricea A se numete inversabil dac exist o

matrice 2B cu proprietatea:

2B BA I

n acest caz matricea B se noteaz A1 i se numete inversa matricei A.

Precizm, i vom vedea mai trziu, c nu orice matrice ptratic admite o matriceinvers. Despre o matrice care are invers, se spune c este inversabil. Vom

demonstra, c n cazul n care inversa exist, aceasta este unic.Demonstraie:Presupunem c pentru matricea A exist inversele A i '' astfel nct:

2' 'A A A I i

2'' ''A A A I .Deducem n aceast ipotez:

2 2' ' '' ' '' '' ''A A I A AA A A A I A A .

Fie matricea 2A ,11 12

21 22

aA

a a

.

S stabilim, n ce condiii exist inversa matricei A i cum se determin inversa.

Din 2B BA I , pentruz

Bt

avem pentru:

2BA I , adic11 12

21 22

1 0

0 1

a ax y

a az t

,

sau:11 21 12 22

11 21 12 22

1 0

0 1

xa ya xa ya

za ta za ta

i conform definiiei egalitii a dou matrice deducem:

11 21

12 22

11 21

12 22

1 (1)0

0(1').

1

a x a ya x a y

a z a t

a z a t

Din sistemul (1), aplicnd formulele lui Cramer, pentru:

11 1211 22 12 21

21 22

det 0a a

a a a a Aa a

Matematica - Manual Clasa a XII-A - Neodion

Documents

Transcript of Matematica - Manual Clasa a XII-A - Neodion