INTEGRAREA FUNCŢIILOR RAŢIONALE SIMPLE

Definiţie: Funcţiile raţionale simple sunt de forma:

definite pe domeniile lor maxime

I. 1)

Caxdxax

axdxax

ln1

2)

Cbaxa

dxbax

bax

adxbax

ln111

II. 1)

Caxn

Cn

axdxaxaxdx

ax n

nn

n

1

1 1

1

1

1

1

2)

C

n

bax

adxbaxbax

adx

bax

nn

n 1

111 11

C

baxna n

1

1

1

1

III. dx

cbxaxI

2

1 , unde 0a .

Caz 1)

Cxxa

dxxxa

Ixxacbxax

1

2

1

2

12 1111

0

(formula III. 1))

Caz 2)

2

2

2

420

aa

bxacbxax (forma canonică)

C

aa

bx

aa

bx

a

adx

aa

bx

a

bx

aI

22

22ln

22

11

22

2122

C

aa

bx

aa

bx

22

22ln1

Caz 3) 0 din forma canonică

Cbax

arctgC

a

a

bx

arctg

a

adx

aa

bx

a

bx

aI

21

2

2

2

11

22

2122

Observaţie: În cazul 2) avem: 21

20 xxxxacbxax

2121

11

xx

B

xx

A

axxxxa (se foloseşte formula I.1))

IV. Se ştie că

baxcbxax 22

dxcbxax

bA

aBbax

a

Adxcbxax

A

aBax

a

Adxcbxax

A

Bx

Adxcbxax

BAx2222

22

2

22

2

bA

aB

a

Adx

cbxax

cbxax

a

Adxcbxax

bA

aB

a

Adxcbxax

bax

a

A 2

22

2

2

2

2 2

2

22

dx

cbxaxa

AbaBcbxax

a

Adxcbxax 2

2

2

1

2

2ln

2

1 , unde

dx

cbxaxJ

2

1 se calculează cu formula III.

V.

dx

ax

xa

adx

ax

axa

adx

ax

a

adx

axI

nnnnn 22

22

222

222

222

2

222

1111

12

2222

2122222

2

2

1

2

1111n

n

nnI

adxaxaxx

adx

axadx

ax

x

a

dxn

axx

n

axx

aI

adx

n

axx

a

nn

n

n

112

11

12

1122122

212

122

2

12122212 12

11

12

11nnnn I

naaxn

x

aI

aI

1222121212

32

nnn

axna

xI

na

nI , ceea ce reprezintă relaţia de

recurenţă din care se poate calcula nI .

VI.

dx

cbxax

BAxI

nn 2, cu 042 acb

Observaţie: Pentru 2120 xxxxacbxax şi după descompunerea

în fracţii raţionale simple devine formula II..

dx

cbxax

bA

aBbax

a

Adx

cbxaxA

aBax

a

Adx

cbxaxA

Bx

AInnnn 222

22

2

22

2

dx

cbxaxb

A

aB

a

An2

12

2

dxcbxaxcbxax

a

Adx

cbxax

bA

aB

a

Adx

cbxax

bax

a

A n

nn

22

22 2

2

2

2

2

n

n

n JbA

aB

a

A

n

cbxax

a

AI

2

212

12

Aplicaţii

;

32

1;

13

4;

3

2;

2

1;

3

1;

32

1;

1

12552

dxxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dx

xx

xJdx

xIdx

xx

xdx

xxdx

xx 22222222252

2;

1

1;

1

12;

269

1;

54

1

Aplicaţii

;

32

1;

13

4;

3

2;

2

1;

3

1;

32

1;

1

12552

dxxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx

dx

xx

xJdx

xIdx

xx

xdx

xxdx

xx 22222222252

2;

1

1;

1

12;

269

1;

54

1