Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

30
Universitatea “Babeş Bolyai” Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Referat Metode numerice în optimizare Optimizarea globală a funcţiilor econometrice Coordonator: prof.univ dr. L. Lupşa Doctorand: 1

description

Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

Transcript of Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

Page 1: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

Universitatea “Babeş Bolyai” Cluj-Napoca

Facultatea de Matematică şi Informatică

Referat Metode numerice în optimizare

Optimizarea globală a funcţiilor

econometrice

Coordonator:

prof.univ dr. L. Lupşa

Doctorand:

Alina Aştefănoaei(Baboş)

1

Page 2: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

Cluj 2010

CUPRINS

1 Introducere 2 De ce optimizarea globală este folositoare? 3 Algoritmii 4 Un model de dezechilibru

5 Modelele lui Garch 6 Concluzii

2

Page 3: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

1. Introducere

Metoda celor mai mici pătrate şi a probabilităţii maxime sunt două din cele mai frecvent utilizate metode de estimare a parametrilor modelelor econometrice. Este necesar a găsi optimul global a acestor funcţii care să satisfacă criteriile metodei celor mai mici pătrate sau a probabilităţii maxime.

Lucrarea prezintă pe scurt câteva exemple a problemelor care apar în estimarea neliniară în Secţiunea 2. Aceste dificultăţi au încurajat economiştii să caute tehnici de optimizare, altele decât metodele deterministe. O serie de tehnici care promit a rezolva unele din aceste dificultăţi sunt metodele de căutare aleatoare. Metodele de căutare folosite în această lucrare sunt discutate în Secţiunea 3. Metodele sunt aplicate la două modele econometrice care sunt cunoscute a fi greu de estimat. Aceste aplicaţii sunt discutate în Secţiunea 4-5. Concluziile sunt prezentate în Secţiunea 6.

2. De ce optimizarea globală este folositoare?

Estimarea modelelor economice necesită găsirea optimului global a unei funcţii neliniare. Presupunem că modelul economic poate fi reprezentat prin

unde este o observaţie a unei variabile dependente, este un vector a variabilelor explicative şi este un vector a parametrilor. Termenul reprezintă eroarea de selecţie pentru observaţia t. Problema constă în obţinerea de estimări ale lui astfel încât modelul rezultat să prezică cel mai bine comportamentul oricărei entităţi reprezentate de model. Cele două metode de estimare cel mai frecvent utilizate sunt: metoda celor mai mici pătrate şi metoda probabilităţii maxime. Cel mai mic pătrat estimator b este ales să minimizeze

unde

şi datele consistă în T observaţii.

3

Page 4: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

Scopul estimării probabilităţii maxime este de a găsi parametrul estimator care dă probabilitatea cea mai mare a generării selecţiei observate. În general se presupune că termenii erorii sunt normal distribuiţi cu media zero şi dispersia astfel încât vectorul termenilor erorii ~ unde I este maticea identitate. Funcţia probabilitate este dată de

şi problema estimării este de a găsi valori ale lui b şi care maximizează . În oricare din cazuri: cele mai mici pătrate sau probabilitatea maximă,

valoarea optimizării globale trebuie să satisfacă criteriu de optimizare stabilit.Funcţiile econometrice neliniare adesea au trăsături care fac şi mai

dificilă găsirea optimului global. Derivatele acestor funcţii pot fi adesea complexe şi dificil de derivat. Metodele de derivare numerice pot greşi în timpul procesului de micşorare şi rotunjire a erorilor apărute din folosirea punctelor aritmetice. În unele cazuri funcţia poate să nu fie diferenţiabilă. Metode de optimizare deterministe nu vor fi prea folositoare în aceste situaţii şi pot greşi complet. Metodele de căutare aleatoare nu folosesc derivate şi sunt de obicei folosite pentru a înlocui metode deterministe în aceste cazuri. În această lucrare se cercetează cât de bine metodele de căutare aleatoare pot estima două funcţii econometrice dificile.

3. Algoritmii

Acestă secţiune prezintă algoritmii de bază folosiţi în aceasta cercetare. Problema va fi: de găsi valorile parametrilor, care minimizează o funcţie . Fiecare din algoritmi foloseşte un proces aleator de căutare în spaţiul parametrilor. Oricum căutarea nu este total aleatoare. Fiecare algoritm este conceput în concentrarea căutării în regiunile promiţătoare unde probabil există un minim. Porţiuni ale căutării vor fi conduse în afara acestor regiuni, pentru a evita focalizarea asupra unui maxim local în deprimentul celui global.

Două din metodele folosite, algorimtul genetic şi strategia evoluţionistă, sunt bazate pe un model biologic. A treia metodă, simularea îmbutisării, este bazată pe o analogie din fizică. Acestea vor fi prezentate în continuare, începând cu algoritmul genetic.

4

Page 5: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

3.1. ALGORITMI GENETICI (AG)

Descrierea a uni AG fundamental a fost făcută de Schwefel(1995). Paşii algoritmului sunt prezentaţi mai întâi pe scurt iar mai târziu sunt dezvoltaţi .

Pasul 0: (Iniţializare)O populaţie dată este formată din indivizi. Fiecare individ este format din n gene, care determină vitalitatea, sau fitnessul, pentru supravieţuire. Fiecare genă este reprezentată de un şir de biţi care pot fi decodificat într-o valoare coordonată a unui parametru. Fitnessul este valoarea funcţiei în punctul reprezentat de genă.

Pasul 1: (Selecţie) Doi indivizi sunt selectaţi pentru reproducere cu probabilităţi proporţionale cu finessul lor relativ în populaţia curentă.

Pasul 3: (Încrucişare)Doi urmaşi sunt produşi prin combinarea genelor părinţilor. Unul din aceşti urmaşi va fi ales (la întâmplare) să se alăture noii generaţii.Pasul 1 şi 2 se repetă până cănd cei indivizi reprezintă noua generaţie.

Pasul 4: (Mutaţie)Bitul individual al genei poate să sufere unele modificări. Fiecărui bit îi este desemnat o mică probabilitate a valorii inverse.

Paşii 1-3 se repetă pentru un număr dat de generaţii. Procesul se termină la timp, în afară de întâlnirea cu nişte criterii terminale anterioare. Un criteriu terminal anterior foarte folosit este de a termina dacă îmbunătăţirea cele mai bune valori fitness între generaţii succesive este mai mică decât o valoare specificată.

În continuare sunt prezentaţii paşii individuali în detaliu.Un punct este reprezentat de un vector bit binar în AG

numit: un individ. Fiecare individ este caracterizat de un număr de gene unde fiecare genă corespunde unei valori coordonate a punctului. Reprezentarea vectorului bit în valori coordonate cere ca valorile coordonate să fie constrânse la un rang.

5

Page 6: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

O genă este reprezentată de cu vector bit cu lungimea l astfel că

reprezintă a i genă. Valorile coordonate, , a unui parametru sunt determinate printr-o decodificare , ca şi

Individul este construit prin concatenarea genelor într-un singur vector bit

cu lungimea nl.

3.1.1. Selecţie

În acestă secţiune este arătat cum sunt selectaţi indivizii ca să devină membri ale noii generaţii.

1. Calculăm fitnessul fiecărui individ k astfel: (se presupune pentru comoditate că toate valorile fitness sunt pozitive)2. Calculăm o valoare fitness pentru o întreagă populaţie

3. Determinăm probabilitatea ca individul k să fie selectat pentru reproducere

4. Determinăm probabilitatea cumulativă pentru fiecare individ în populaţie ( ).

5. Selectăm o variabilă aleatoare, r, pentru o distribuţie .6. Dacă se selectează individul 1, altfel se selectează individul pentru care unde . Acest proces oferă o probabilitate mare de selecţie pentru indivizi cu o valoare fitness bună, o probabilitate moderată de selecţie pentru indivizi cu o valoare fitness medie şi o probabilitate mică de selecţie pentru indivizi cu o valoare fitness săracă. Indivizii de succes vor tinde spre supravieţuire şi reproducere în timp ce alţii tind spre pierire.

3.1.2. Încrucişare

Anumiţi indivizi din noua generaţie sunt selectaţi pentru reproducere(încrucişare). Procesul de încrucişare schimbă vectorii bit pentru

6

Page 7: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

alegerile individuale de împerechere. Acest proces mută puncte în cadrul spaţiului parametrilor. O descriere a procesului de încrucişare urmăreşte:

1. Pentru fiecare individ din populaţie, urmăm următorii paşi.2. Determinăm aleator dacă un individ va fi selectat pentru împerechere.

Fie probabilitatea încrucişării . Selectăm o valoare aleatoare r pentru o distribuţie uniformă U(0,1). Dacă , individul este selectat pentru împerechere.

Selectăm pentru împerechere perechi aleatoare de indivizi (dacă a fost selectat un număr impar, fie renunţăm la acei selectaţi, fie adăugăm un individ în plus la lista indivizilor selectaţi). Presupunem că una din aceste perechi este:

Selectăm un întreg aleator pozitiv (pos) din întregii şi din doi indivizi noi

3.1.3. Mutaţie

Mutaţia este altă operaţie care determină schimbări într-un bit model al individului. Mutaţia se poate produce în indivizi neselectaţi pentru reproducere.

1. Pentru fiecare individ din populaţie, urmăm următorii paşi.2. Fiecare bit într-un individ are o probabilitate , de obicei foarte

mică, a mutaţiei. Selectăm o valoare aleatoare r a distribuţiei uniforme U(0,1). Dacă , schimbăm valoarea bitului. Repetăm pentru fiecare bit a individului.

Dorsey şi Mayer (1995) au examinat performanţa unor metode de optimizare pe un număr de funcţii, incluzând funcţii econometrice. Ei au ajuns la concluzia că metodele stocastice tind să se desfăşoare mai bine decât metodele determinstice pe funcţii econometrice dificile. Ei consideră un AG şi un algoritm de simulare a ambutisării în cercetările lor. Una din funcţiile econometrice examinate de ei, modelul dezechilibrului, este de asemenea prezentat în această lucrare.

3.2. STRATEGII EVOLUŢIONISTE (SE)

Strategia evoluţionsită simplă este aceea unde un singur părinte produce un singur urmaş şi individul cu cea mai bună valoare fitness este acela care

7

Page 8: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

supravieţuieşte în noua generaţie. Aceasta este concepută ca o strategie (1+1). Strategii mai elaborate folosesc părinţi pentru a produce urmaşi. Strategiile

crează o nouă populaţie de indivizi unde indivizi cu cea mai bună valoare fitness supravieţuiesc. În acest caz este posibil ca un individ să supravieţuiescă un număr de generaţii. În strategiile , urmaşi sunt produşi, dar noua generaţie de indivizi sunt selectaţi din urmaşi cu cea mai bună valoare fitness. În acest caz nici un individ nu va supravieţui noii generaţii. Ca şi AG, fiecărui din cei părinţi îi este dată o probabilitate egală de împerechere. Mecanismul de selecţie a SE constă în procesul de selecţie a indivizilor care supravieţuiesc noii generaţii şi nu procesului de selecţie de împerechere. Cercetarea foloseşte şi strategii.

Strategia evoluţionistă reprezintă un individ ca o pereche de vectori de puncte variabile . Vectorul x este un puct în spaţiul căutării şi este un vector al abaterilor standarde. Mutarea de la punctul x la x este generat de

x = x +N(0, )unde N(0, ) este un vector a numerelor aleatoare ale distribuţiei normale independente cu abaterea standard . Ca şi AG, SE este de asemenea format din încrucişare şi mutaţie. 3.2.1. Încrucişare

Doi indivizi sunt selectaţi aleator pentru împerechere

(x , )= şi (x , )=

Există două tipuri de încrucişări

- creăm un nou urmaş

(x, )=

unde sau 2 cu probabilitate egală, sau - creăm un nou urmaş cu

(x, )=

8

Page 9: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

3.2.2. Mutaţie

Urmaşul suferă mutaţii prin

x =x+ N(0, ) unde este un factor care este ajustat în timpul executării extinderii sau contractării regiunii de căutare efectivă.

Aceşti paşi se repetă pentru un număr dat de generaţii sau până când un criteriu terminal este întâlnit. Un criteriu terminal posibil este următorul: presupunem că este cea mai rea valoare fitness într-o generaţie şi cea mai bună. Procesul este terminat dacă pentru o problemă de minim.

3.3. SIMULAREA AMBUTISĂRI (SA)

Aceste tehnici de optimizare rezultă din analogie cu fizica, mai degrabă decât din biologie. Atomii metalului lichid se deplasează liber, dar tind să-şi piardă această mobilitate pe măsură ce metalul se răceşte. Dacă procesul de răcire decurge lent, atomii vor tinde să se alinieze unul cu altul producând o bucată de metal solid (metalul va fi într-o stare de energie minimă). Dacă procesul de răcire are loc prea repede, rezultatul va fi o amorfă sau o bucată fragilă de metal. Ambutisarea este procesul de reducere lentă a temperaturii metalului până când atinge o stare de energie minimă. În termenii unui algoritm de optimizare globale este evitat ca prin răcire lentă minimul local (starea de energie înaltă) să ajungă un minim global (starea de energie minimă).

SA diferă de AG şi SE în modul în care punctele de căutare sunt generate şi în mecanismul de decidere dacă să ne mutăm la un punct nou sau nu. Inima algoritmului de simulare a ambutisării stă în decizia dacă să ne mutăm de la un punct la altul în spaţiul parametrilor. Presupunem că, căutarea a dus la un punct x şi decizia este dacă să stăm la acest punct sau să ne mutăm la x . Decizia va consta în mutarea la x cu probabilitatea

unde C este o constantă şi parametrul T reprezintă temperatura. În terminologia SA acestea se numesc mişcări în amonte şi în aval. Mişcările în aval sunt întotdeauna permise, în timp ce mişcările în amonte sunt permise ocazional.

9

Page 10: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

Sperăm că ultima trăsătură va permite algoritmului să evite alegerea unui minim local. Remarcăm că atunci când temperatura este mare, aşa cum este la începutul algoritmului, probabilitatea unei mişcări în amonte va fi mare. Deci iniţial algoritmul va căuta prin tot spaţiul parametrilor. Temperatura scade periodic astfel încât, atunci când temperatura este foarte scăzută, probabilitatea unei mişcări în amonte va fi foarte mică. Aceasta ar trebui să se întîmple la minimul global.

Noi puncte în spaţiul căutării sunt generate de x x+ z unde z este un vector cu variabile aleatoare simetrice cu media zero. Factorul d este folosit pentru a controla dimensiunile pasului mişcărilor în spaţiul parametrilor. Acest factor va fi redus pe parcursul algoritmului, astfel încât dimensiunile pasului vor tinde să fie foarte mici la sfârşit unde căutarea va fi concentrată pe ce se speră să fie minimul global.

Schwefel (1995) dă un frumos rezumat a unui SA de bază. Algoritmul constă într-o buclă interioară şi una exterioară. Sistemul îi este permis a atinge echilibrul termal în bucla interioară. După ce echilibrul este atins în bucla interioară, temperatura şi parametrii dimensiunii pasului sunt reduşi în bucla exterioară.

Pasul 0: (Iniţializare)Alegem o poziţie de start x

o temperatură iniţială T , şi un parametru al dimensiune pasului iniţial .

Setăm x = = x k=0, şi l=0.

Pasul 1: (Buclă interioară)x = + zDacă f(x ) < f(x ) setăm x = xDacă f(x ) < f( ), ne ducem la Pasul 3, de asemenea alegem un număr aleator uniform, din intervalul [0,1],

Dacă , ne ducem la Pasul 3.

Pasul 2: (Căutarea echilibrului)Dacă f(x ) nu este îmbunătăţit în cadrul ultimeleor N probe, ne ducem la Pasul 4.

Pasul 3: (Sfârşitul buclei interioare)Setăm =x(k,l) şi l=l+1, ne ducem la Pasul 1.

10

Page 11: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

Pasul 4: (Verificare terminală)Dacă ( ), încheiem căutarea cu rezultatul x

Pasul 5: (Răcire, buclă exterioară)Setăm x = x , = x .Setăm Setăm Setăm l=1, k=k+1, mergem la Pasul 1.

3.3.1. Soluţiile numerice SA

Press şi alţii (1994) au combinat algoritmul SA cu algoritmul simplex Nelder-Mead (1965). Un simplex n dimensional constă în (n+1) puncte care nu formează un hiperplan, împreună cu orice combinaţie convexă posibilă a acestor puncte. Suntem interesaţi doar de vârfurile simplexului. Algoritmul Nelder-Mead este descris mai departe şi va fi urmat de o descriere a modificărilor lui Press şi a altora.

Fie vârful cu cea mai mare valoare a funcţiei, vârful cu a doua cea mai mare valoare a funcţiei, vârful cu cea mai mică valoare a funcţiei, centrul de greutate a tuturor vârfurilor cu excepţia lui ,

Locaţia unui nou vârf este determinat după cum urmează:

1. Reflectăm prin centru de greutate folosind unii factori de reflecţie , care se calculează

2. Dacă atunci înlocuim cu şi ne întoarcem la Pasul 1.

3. Dacă extindem simplexul folosind un factor de extindere şi calculăm

1. Dacă , înlocuim cu şi ne întoarcem la Pasul 1.

11

Page 12: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

2. Dacă înlocuim cu şi ne întoarcem la Pasul1.

4. Dacă comprimăm simplexul. Presupunem că are nişte valori între 0 şi 1.

1. Dacă calculăm

2. Dacă calculăm

3. Dacă şi , înlocuim cu şi ne întoarcem la Pasul 1.

4. Dacă sau , reducem dimensiunea simplexului şi ne întoarcem la Pasul 1.

4. Un model de dezechilibru

De obicei economiştii presupun că pieţele sunt în echilibru, aceasta înseamnă că cererea şi oferta sunt egale. Aceasta este probabil o presupunere rezonabilă pentru multe bunuri cum ar fi mărfurile. Totuşi, dând o perioadă de timp în care multe date economice sunt colectate (adesea un sfert de an sau mai mult), nu este posibil să se determine dacă pieţele sunt în echilibru. În anumite cazuri, cum ar fi achiziţionarea de case, piaţa poate fi în dizechilibru pentru multe perioade de timp. Modelul de dizechilibru prezintă probleme de estimare interesante şi dificile. Econometria acestor funcţii au fost prima oară studiate de Fair şi Jaffe (1972). Aici ne concentrăm pe formularea dată de Maddala şi Nelson (1974) pentru că a fost selectată de Dorsey şi Mayer (1995) ca un element într-o serie de probleme de optimizare dificile cu care se confruntă econometricienii.Presupunem că ecuaţia cererii este scrisă ca

în timp ce ecuaţia ofertei este

unde este cantitatea cerută, este cantitatea ofertei, şi sunt termenii erorii. şi sunt vectorii variabilei explicative, şi sunt parametrii care vor fi estimaţi. şi amândouă au aceeaşi lungime la fel ca şi . Ce face modelul de dezechilibru interesant este faptul că, consumatorii nu pot forţaţi să cumpere mai mult decât ei doresc nici nu pot să cumpere mai mult decât li se

12

Page 13: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

oferă. Astfel cantitatea achiziţionată de fapt va fi mai puţin decât cererea sau oferta:

Ce face problema şi mai interesantă este faptul că nu se poate determin dacă cantitatea cumpărată este de la ecuaţia cererii sau din ecuaţia ofertei. Cum, atunci, pot fi estimaţi parametrii şi ? Unul din modele considerate de Maddala şi Nelson (1974) şi Maddala (1983) şi folosite de Dorsey şi Mayer (1995) este evidenţiat în această secţiune.

În timp ce modelul descris mai jos este conceput din două ecuaţii liniare, problema de estimare este una nonliniară dificilă. Nonliniaritatea apare din cauza faptului că nu putem determina dacă o valoare dată se aplică ecuaţiei cererii sau ofertei. În schimb putem determina doar probabilitatea care provine doar de la una din ecuaţii. Probabilitatea ca valoarea observată să fie un punct în ecuaţia cererii este

Dacă se presupune că termenii erorii sunt independenţi şi normal distribuiţi, de exemplu, atunci

unde O relaţie similară se păstrează pentru Definim

Fie densitatea comună a lui D şi S. Dacă o observaţie este un punct în ecuaţia cererii, densitatea condiţionată a lui este

13

Page 14: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

şi dacă observaţia este un punct al ecuaţiei ofertei,

Densitatea necondiţionată a lui este

Atunci funcţia log-probabilitate este

unde T este dimensiunea eşantionului. Dacă se presupune că termenii erorii sunt normal distribuiţi, atunci

14

Page 15: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

În timp ce noi dorim să maximizăm funcţia probabilitate, în practică vom minimiza funcţia probabilitate negativă.

Tebelul 1. Rezultate pentru modelul de dezechilibru pentru construcţia de case noi raportate de Dorsey şi Mayer. Soluţia originală este a lui Maddala şi Nelson. AG soluţia 1 şi AG soluţia 2 sunt soluţii raportate de Dorsey şi Mayer

Variabilă Soluţia originală AG soluţia 1 AG soluţia 2Constanta cererii 223.740 436.333 429.464

TT 2.520 0.457 10.615SH -0.002 -0.035 -0.130

MR(-2) -0.90 0.178 0.328Constanta ofertei 15.550 5.058 7.788

TT -0.153 -0.164 -0.161PDF(-1) 0.053 0.055 0.054BG(-2) 0.053 0.056 0.055MR(-1) 0.093 0.108 0.014

350.000 2.090 0.32180.200 88.922 88.641

Log- probabilitate -459.618 -454.476 -452.449

Tabelul 1 oferă parametrii estimării şi valoarea funcţiei log-probabilitate pentru modelul de dezechilibru pentru construcţia de case noi. Estimările parametrilor pentru modelul care este prezentat în acest tabel sunt:

TT = evoluţie în timpSH = capital investitMR(-2) = amânarea ratei ipotecare pe două perioadePDF(-1) = mutarea dobânzii unui depozit privat amânate o perioadăBG(-2) = mutarea dobânzii împrumutului de asociaţiile de împrumuturi şi economii întârziate două perioade

15

Page 16: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

MR(-1) = amânarea ratei ipotecare pe o perioadăSoluţia numită Soluţia originală conţine cei mai buni parametri ai estimării gasiţi de Maddala şi Nelson. Maddala şi Nelson nu au concluzionat că au găsit maximul global ci doar au prezentat cea mai bună soluţie. AG soluţia 1 este cea mai bună soluţie găsită de Dorsey şi Mayer folosind doar Algoritmul genetic. AG soluţia 2 foloseşte estimările precedente ca un punct de plecare pentru Metoda deterministă hill climbing(~ gradient descendent). Metoda hill climbing dă o îmbunătăţire modestă a valorii funcţiei probabilitate.

Trebuie menţionat că, calculul autorilor (Jerrel şi Campione în [4]) al funcţiei probabilitate folosind aceşti parametri diferă de cei prezentaţi în Tabelul 1. Sunt de acord cu valoarea -459.618 pentru soluţia originală a lui Maddala şi Nelson. Totuşi ei găsit o valoare de -453.507 pentru funcţia log-probabilitate pentru AG soluţia 1 şi o valoare de -2695.775 pentru AG soluţia 2. Rezultatele pentru AG soluţia 1 şi 2 au fost calculate folosind propriul lor cod şi pachetul de software statistic RATS (Regression Analysis for Time Series ). Un rezultat bun interesant s-a obţinut folosind AG soluţia 2 ca şi un punct de început pentru procesul de maximizare RATS. Acest rezultat este arătat în Tabelul 2 în coloana intitulată AG soluţia 2b cu erorile standard în paranteze. Rezultatele obţinute de Maddala şi Nelson impreună cu erorile standard ale estimărilor parametrilor sunt prezentate în coloana intitulată Soluţia originală. Au găsit că soluţia cea mai bună pentru SE şi SA produce valori ale probabilităţilor mai bune decât soluţia originală a lui Maddala şi Nelson. Rezultatul cel mai bun folosind SE este dat în Tabelul3. A dat rezultate mai bune decât cele din Tabelul 1, exceptând AG soluţia 2. Cea mai bună soluţie gasită pentru modelul dezechilibrului este de asemenea dată în Tabelul 3. Acestă soluţie a fost găsită ptrintr-un accident fericit decât folosind oricare dintre metodele considerate în această cercetare. Folosec soluţia originală a lui Maddala şi Nelson ca un punct de plecare în timp ce folosesc programul probabilităţii maxime RATS. Nici un alt punct de plecare folosit la RATS nu produce un altfel de rezultat.

Tebelul 2. Rezultate pentru modelul de dezechilibru. Soluţia originală este a lui Maddala şi Nelson. AG soluţia 2b a fost găsită folosind AG soluţia 2 ca un punct de început în softwareul de maximizare RATS. Erorile standard sunt în paranteze.

Variabilă Soluţia originală AG soluţia 2bConstanta cererii 223.740 458.899

TT 2.520 (1.45) 0.618 (0.349)SH -0.002 (0.013) -0.039 (0.009)

16

Page 17: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

MR(-2) -0.90 (0.062) 0.202 (0.052)Constanta ofertei 15.550 5.415

TT -0.153 (0.027) -0.164 (0.036)PDF(-1) 0.053 (0.006) 0.056 (0.006)BG(-2) 0.053 (0.003) 0.055 (0.004)MR(-1) 0.093 (0.006) 0.108 (0.023)

350.000 2.002 80.200 88.906

Log- probabilitate -459.618 -454.411

Tebelul 3. Rezultate pentru modelul de dezechilibru. Cel mai bun rezultat pentru o metodă de căutare stocastică a fost pentru SE prezentat în coloana numită Ce mai buna soluţie SE. Soluţia cea mai bună generală gasită este prezentată în coloana Cea mai buna soluţie. Erorile standard sunt în paranteze.

Variabilă Cea mai bună soluţie SE Cea mai bună soluţieConstanta cererii 441.658 458.899

TT 11.834 (2.508) 0.618 (1.287)SH -0.145 (0.003) -0.039 (0.012)

MR(-2) 0.395 (0.009) 0.202 (0.022)Constanta ofertei 11.823 5.415

TT -0.156 (0.004) -0.164 (0.036)PDF(-1) 0.055 (0.006) 0.056 (0.006)BG(-2) 0.054 (0.004) 0.055 (0.004)MR(-1) 0.098 (0.004) 0.108 (0.023)

0.468 2.002 89.246 88.906

Log- probabilitate -453.078 -454.411

5. Modelele lui Garch

În ultimul timp, s-a pus mult efort în estimarea modelelor seriilor de timp neliniare. O clasă de modele care au fost utilizate foarte des sunt acele în care modelul se schimbă în variaţia seriilor de timp. Aceste modele sunt folositoare în studiul factorului determinant al schimbărilor în variaţia acelor variabilele economice cum ar fi: rata de inflaţie, ratele de schimb şi variabilitatea preţului echitabil, de exemplu.

17

Page 18: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

Un model poate fi scris ca

unde y este o variabilă dependentă, este un vector al parametrilor şi o eroare de distribuţie normală cu media 0 şi o variaţie constantă. Ei consideră, totuşi, situaţia când variaţia termenilor erorii nu este constantă. Acesta ar putea fi cazul ratei inflaţiei, ratelor de schimb şi indicii Bursei de Valori. Modelul GARCH (1986) este o reprezentare bine cunoscută a unei astfel de situaţii, unde procesul erorii este modelat de

şi este un proces aleator cu media 0 şi variaţia(dispersia) egală cu 1.Un model general a prosesului de variaţie este

unde este un vector de variabile externe şi

şi sunt estimări ale parametrilor modelului autoregresiv. Funcţia log-probabilitate pentru un astfel de model este

unde k este o valoare egală cu maximul întârzierii în sistem.Una din caracteristicile interesante ale acestei probleme de optimizare

este că trebuie să fie pozitiv definit. O abordare ar fi să constrângem toţi parametrii ecuaţiei variaţiei să fie pozitivi. Acest lucru nu este de dorit. Aceasta ar necesita o creştere a valorii oricărei variabile în ecuaţia variaţiei care ar necesita întotdeuna o creştere a valorii variaţiei.

Există alte restricţii pe care trebuie să le aibă estimările astfel încât modelul să fie stabil. Condiţia pentru aceasta este ca rădăcinile ecuaţiei caracteristice

să aibă modulele mai mari decât unu, unde sunt coeficienţii termenilor variaţiei întârziate.

Pentru acestă cercetare noi investigăm

18

Page 19: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

unde este revenirea lunară pentru indexul Bursei de Valori S&P500, raportul pe termen scurt a ratelor dobânzilor dintre Germania şi US pe timpul t,

raportul pe termen scurt a ratelor dobânzilor dintre UK şi US pe timpul t, raportul pe termen scurt a ratelor dobânzilor dintre Japonia şi US pe timpul

t. Acest model a fost sugerat de Gerety şi Leachman (1996). Putem aplica câteva restricţii estimărilor pentru acest model folosind

criteriul stabilităţii rădăcinilor ecuaţiei caracteristice. Rădăcinile vor avea modulele mai mari ca unu dacă şi

6. Concluzii

Acestă lucrare sugerează că poate fi destul de greu să găseşti optimul global a unor anumite funcţii econometrice şi o astfel de sarcină poate să furnizeze o agendă de cercetare fructuoasă şi folositoare. Cele mai bune metode de estimare folosite în această lucrare au fost metoda simulării ambutisării şi strategia evoluţionistă. Strategia evoluţionistă foloseşte mai putin timp de procesare decât tehnica simulării ambutisării şi părea a oferi rezultate de aceeşi calitate.

19

Page 20: Optimizarea globală a funcţiilor econometrice

BIBLIOGRAFIE

1. Bollerslev, T. (1968), Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity. Journal of Econometrics 31, 307-327

2. Brooks, S.P. (1995), Algoritm AS 298: A hybrid Optimization Algorithm. Applied Statistics 44(4), 530-552

3. Dorsey, R. E., Mayer W.J. (1995), Genetic Algorithms for Estimation with Multiple Optima, Nondifferentiability, and Other Irregular Features. Journal of Business & Economic Statisctics (13), 53-66.

4. Jerrel, M. E., Campione, W.A., Global Optimization of Econometric Function. Journal of Global Optimzation (20), 273-295

5. Maddala, G. S., Nelson, F.D (1974), Maximum Likelihood Methods for Models of Markets in Disequilibrium. Econometrica 42, 1013-1030.

20